Acustica Applicata - 1 - Acustica Fisica PDF

 

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Appunti dalle Lezioni di Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti di Acustica Applicata

Capitolo 1: Acustica Fisica

Prof. F. Marc Marcotul otullio lio A.A. 2011 - 2012

 

Indice Avvertenze

ii

Testi consigliati 1

iii

Elementi di acustica fisica

1

1.1 L’acustica e i suoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La pressione one sonora e i suoni oni puri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 1.33 Veloc elocit ità à del del su suon ono o in un mezz mezzo o elas elasttic ico o. . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Veloci ocità del suono nei sol oliidi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Veloci ocità del suono nei liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 1.3. 3.3 3 Veloc elocit ità à del del su suon ono o nel nel ga gass perf perfet ettto . . . . . . . . . . . . . 1. 1.44 Eq Equa uazi zion onee diff eren e renzi zial alee de dell llee ond ondee son sonor oree in un gas gas perfe perfett tto o . . . 1. 1.4. 4.0. 0.1 1 Eq Equa uazi zion onee di cons conser erv vaz azio ione ne de dell lla a mass massa a . . . . . 1.4.0. 1.4 .0.2 2 Equazi Equazione one di cons conserv ervazi azione one della della quan quantit tità à di moto moto 1. 1.4. 4.0. 0.3 3 Equ quaz azio ione ne dell dell’a ’adi diab abat atiica . . . . . . . . . . . . . 1.5 1.5 Ca Cara ratt tter eris isti ticche ener energe geti ticche di un’o un’ond nda a son sonor ora a . . . . . . . . . . . 1.6 Onde armoniche piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Onde armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Livelli sonori e decibel bel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Livello di pressione sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Il livello di po pottenza sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Il livello di intensità sonor onora a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 I suoni complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Suoni componen componenti ti di uguale uguale frequen frequenza za e diversa diversa ampiezz ampiezzaa

1 2 3 5 5 7 8 9 9 10 11 13 16 18 19 19 20 21

e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Suoni 1.9.2 Suoni compone component ntii di divers diversa a freque frequenza nza,, ampiez ampiezza za 1.10 S pe pettri acustici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 1.10 10.1 .1 Spet Spettr trii acu acust stic icii di su suon onii peri period odic icii . . . . . . . . . 1. 1.10 10.2 .2 Spet Spettr trii acu acust stic icii di su suon onii non non per perio iodi dici ci . . . . . . 1. 1.10 10..3 Ana nali lisi si sp spet etttra ralle di un su suon ono o . . . . . . . . . . .

22 23 26 27 27 27

i

. e . . . .

. . . fase fase . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

 

Avvertenze La presente dispensa didattica è rivolta agli allievi del Corso di Fisica Tecnica  Ambientale, Corso di Laurea in Ingegneria Edile Architettura e costituisce la  raccolta completa degli argomenti svolti in aula. Disporre della dispensa tuttavia non esime né dai doverosi approfondimenti  sui testi consigliati, né soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercitazioni. Saranno graditi suggerimenti nonché la segnalazione di errori ed inesattezze.

ii

 

Testi consigliati Testi consigliati in lingua italiana: 1. Moncada Moncada Lo Giudice G., Santoboni Santoboni S., S., Acustica   Acustica , Masson S.p.A., Milano, 1997 2. Cirillo Cirillo E.,  E.,  Acustica Applicata , McGraw-Hill Libri Italia srl, Milano 1997 3. Rocc Rocco o L.,   Fondamenti di Acustica Ambientale , Alinea Editrice, Firenze 1984 Testi consigliati in lingua inglese: 1. Beranek Beranek Leo L., L., Acoustics   Acoustics , McGraw-Hill, New York 1954

iii

 

Capitolo 1

Elementi di acustica fisica 1.1 1.1

L’ L’ac acus usti tica ca e i su suon onii

L’acustica  L’acustica  è  è quella parte della Fisica che si occupa dello studio teorico e sperimentale del suono del  suono.. Un suono Un  suono  è un’onda  meccanica   meccanica  di  di assegnate caratteristiche la cui presenza può essere rilevata dall’orecchio umano dall’orecchio  umano o  o da una apparecchiatura che ne simula il comportamento. L’onda meccanica è una   perturbazione   perturbazione   che ha origine in un punto di un mezzo materiale omogeneo ed elastico ad opera di un corpo vibrante (sorgente  ( sorgente  dell’onda ) e si propaga nel mezzo con una velocità   c  finita che è caratteristica  è  caratteristica  del mezzo. mezzo. La superficie superficie immaginaria immaginaria che ad un certo istante istante separa la regione del mezzo interessata dalla perturbazione da quella imperturbata si dice fronte  dice  fronte  d’onda . Pensiamo al mezzo materiale come ad un insieme di particelle mutuamente interconn interconnesse esse da legami elastici elastici come mostrato mostrato nella parte alta di Fig.1.1. Fig.1.1. ParPartendo da un certo istante si supponga, mediante un qualche dispositivo, di imporre alla particella posta all’estremità del sistema (x (x  = 0) un moto un  moto oscillatorio, oscillatorio, intorno alla sua posizione di riposo, con legge assegnata δ   = =  δ (t). L’esperienz L’esperienza a ci insegna che, partendo da quelle più prossime alla sorgente, tutte le particelle si muover muo veranno anno intorno intorno alla relativa relativa posizione posizione di riposo con legge identica identica a quella quella ∆

 x

c. della sorgente, con un ritardo temporale Tale ritardoma temporale è responsabile di unt  = addensamento di particelle in certe regioni (aumento locale della densità  della  densità  e  e della pressione  della  pressione ) e, di conseguenza, una rarefazione in altre regioni (diminuzione locale della densità  della  densità  e  e quindi della pressione )) come mostrato in Fig.1.1. Ciò consente di descrivere un suono, oltre pressione  che con grandezze microscopiche  grandezze  microscopiche , anche con grandezze  macroscopiche   macroscopiche    le quali presentano il vantaggio di essere in numero limitato e misurabili. Da un punto di vista energetico si osserva che ogni particella, una volta interessata dall’onda, si muove intorno alla sua posizione di riposo sotto l’eff etto etto di forze d’inerzia ed elastiche e possiede, quindi, energia cinetica e di posizione che si trasformano continuamente l’una nell’altra. Da ciò discende che un’onda meccanica trasporta energia (quella ricevuta dalla sorgente) da un punto ad un altro del mezzo.

1

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

 

0

2

x

 p

Figura 1.1: Propagazione dell’onda in un mezzo elastico Sebbene ci si sia finora riferiti ad onde meccaniche  longitudinali   longitudinali    (il moto delle particelle avviene nella direzione di propagazione), esistono anche le onde trasversali  per  per le quali il moto delle particelle avviene nella direzione normale a quella di propagazione. Mentre nei mezzi e liquidi) èche possibile la propagazione contemporanea di ondecondensati meccaniche(solidi sia longitudinali trasversali, nei gas, per l’assenza di resistenza significativa agli sforzi tangenziali, si ha presenza di sole onde longitudinali.

1.2

La pr pres essi sion one e sono sonora ra e i suon suonii pu puri ri

In numerose applicazioni di interesse del tecnico acustico il mezzo elastico è l’aria. l’ar ia. In questo questo caso, come come già accennat accennato o in preced precedenz enza, a, l’onda l’onda meccan meccanica ica ρ è più facilmen facilmente te caratt caratterizz erizzabile abile attrave attraverso rso gli scostamen scostamenti ti   ∆ p,  p,   ∆ ,   ∆T  T    che la pressione, la densità o la temperatura subiscono rispetto ai valori   p0 , ρ0 , T 0 presenti presen ti nel fluido in assenza assenza dell’onda. dell’onda. Tra queste è prassi riferirsi, riferirsi, in quanto più accuratamente misurabile, alla variazione di pressione:  p(P, t) ∆ p(

=  p(  p (P, t)

− p0

che è detta pressione detta  pressione acustica  (Pa).   (Pa). Nella equazione precedente si è indicato con  p  p((P, t)  e con p con  p 0   la la pressione  pressione istantanea   e la la pressione  pressione statica 1 rispettivamente. In acustica particolare interesse viene rivolto alle onde alle  onde armoniche  per   per le quali la dipendenza temporale della pressione sonora è cosinusoidale di pulsazione  ω , ossia: ∆ p =  p  = ∆ p0 cos ω t   (1.1) Essa è totalmente caratterizzata dalla sua ampiezza  sua  ampiezza   (o (o valore  valore di picco) picco ) ∆ p0  (Pa) e dal suo periodo suo  periodo   T  (s) T  (s) ovvero dalla lunghezza dalla  lunghezza d’onda : λ  = c  =  c · T    (m) 1 La pressi pressione one stati statica ca è que quella lla med media ia esi esiste stent ntee nel mezz mezzo o in assenz assenza a di suo suono no e par parii a 1.013×105 Pa in condizioni normali

 

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ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

3

o, equivalentemente, dalla frequenza  dalla  frequenza   ν   : ν  =  =

 1   (s−1 o Hz) T 

Se un’onda un’onda armonica  è   è in grado di stimolare gli organi dell’udito umano si dice che siamo in presenza di un  suono puro. puro. Ciò si verifica quando (vedi Fig.1.2): 1. per una assegnata assegnata frequenz frequenzaa  l’ampiezza della pressione sonora  è sonora  è compresa tra il valore che assume   la soglia di udib udibilità  ilità    a quella frequenza (al di sotto della quale è assente la sensazione) ed il valore che assume  la soglia  del dolore  a dolore  a quella stessa frequenza (al di sopra della quale la sensazione diventa dive nta dolorosa dolorosa e, in certe condizioni, condizioni, dannosa). dannosa). I limiti limiti estremi estremi di tale intervallo sono compresi, in senso statistico, tra   2 10−5 Pa e 200 Pa. Da un punto di vista applicativo i suoni che interessano il tecnico acustico presentano valori della pressione sonora inferiori ad 1 Pa per cui è in genere ∆ p lecito lecit o porre    p 1;

×

0



2. per una assegn assegnata ata pression pressionee son sonora, ora, la   frequenza   frequenza   cade all’interno di un ben definit definito o in inter terv vall allo. o. I valori alori estrem estremii di tal talee in inter terv vallo allo di freque frequenze nze sono stimati, ancora in senso statistico, pari a 20 Hz e 20 kHz ( banda di  2

 frequenze  fre quenze udibili   udibili   o  banda udibile ) . )

200 P(

20

a A

SOGLIA DEL DOLORE CAMPO UDIBILE

ICT

2 S U C

0.2 A E

0.02 N IO S

0.002 S E R P

0.0002 0.00002

SOGLIA DI UDIBILITA’

20

50

 100

200

  500

1k 

  10k  20k  5k 

  2k 

FREQUENZA (HZ)

Figura 1.2: Ampiezze e frequenze di suoni armonici

1.3

Veloc elocit ità à del suon suono o in un mez mezzo zo elas elasti tico co

Consideriamo il sistema elastico monodimensionale S  monodimensionale  S  schematizzato  schematizzato in Fig.1.3. Ad un certo istante (t ( t  = 0) viene applicata ad una delle sue estremità (a (a) una forza assiale di compressione di intensità F  intensità  F  per  per un breve intervallo di tempo ∆t. Se la lunghezza L lunghezza  L di  di S   è grande abbastanza, l’osservazione di S  di  S  al  al tempo t tempo  t =  S  è  = ∆t mostra: 1. che ilil punto punto a  a  si è spostato di una quantità 2

∆x  =  = aa  aa  ;

Le perturbazioni perturbazioni di frequ frequenza enza inferio inferiore re a 20 Hz sono dette   infrasuoni    mentre quelle di frequenza superiore a 20 kHz  ultrasuoni .

 

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ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

4

2. che solo solo una porzione   ∆L  =  aa   risulta deformata in seguito all’applicazione dell’impulso I  dell’impulso  I    =  F   · ∆t. La velocità c velocità  c  di propagazione della deformazione vale pertanto: c  =   ∆L ∆t

 

(1.2)

e solo dopo un tempo pari a:

 L   (1.3) c la deformazione indotta in   a  all’istante   t   = 0  ha interessato l’intero sistema elastico che ha subito rigidamente lo spostamento   ∆x  e che pertanto si muove ∆t¯ =

t=0

 F   L  L

a’’  t = t 

a      x 

 x

a’ 

t = t 

Figura 1.3: Deformazione di un sistema elastico sottoposto ad un impulso con velocità w velocità  w S  data da: wS   =

  ∆x ∆t¯

o anche, tenuto conto della (1.3): wS   =  c

∆x

L

 

(1.4)

Applicando ad S  ad  S  il  il teorema dell’impulso si può scrivere: I   = F   · ∆t  = m  =  m  · wS  dove si è indicato con m con  m  la massa di S  di  S .. Ne consegue in virtù della (1.2) e della (1.4) che:  c ∆L   = m ∆x F   · L c dalla quale si ricava facilmente la velocità di propagazione della perturbazione nel sistema elastico considerato: c  =

 

 L · ∆L F  m · ∆x

 

(1.5)

L’equazione precedente è del tutto generale ed opportunamente trattata consente di determinare l’espressione di  di   c  per i diversi stati di aggregazione della materia.

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.3.1 1.3 .1

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

5

Velocità elocità del suon suono o nei soli solidi di

Consideriamo dapprima il caso in cui S  cui  S  sia  sia costituito da una barretta solida per 2 la quale si ipotizzi   A   L . Molti Moltiplica plicando ndo numeratore numeratore e denom denominato inatore re della (1.5) per l’area A l’area  A  si ottiene:

 

csol  =

 

 

 (L  (L  · A)∆L F   = mA · ∆x

  F   · ∆L ρ0  · A · ∆x

dove con  ρ 0  =  Lm ·A  si è indicata la densità media del materiale indeformato. Esprimiamo con:   F    ∆x   (1.6)   e   ε  = σ  = A ∆L lo sforzo assiale di compressione e la deformazione assiale unitaria rispettivamente. Se con E  con  E  si  si indica il modulo di Young, la legge di Hooke σ  = E   =  E  · ε

unitamente alle (1.6) consente di modificare la (1.5) come segue: E  E  csol  =

(1.7)

 

ρ0

La Tab.1 riporta alcuni valori di c di  c sol , calcolati per il tramite della (1.7), riferiti ad altrettanti solidi di interesse ingegneristico. Materiale E·10−10(N   · m−2 ) Ferro   20 20..0 21 21..5 Acciai diversi   21 21..0 22 22..0 Ghisa   8.0 10 10..0 Rame in fili 12.0 Alluminio in fili 7.5 Legno (in media) 1.0 Calcestruzzo 1.5-3.5 Granito 2.5 Vetro 5.0

− − −

  ρ  (kg  ( kg  ·  m−3 )   cs   (m · s−1 )

     

7870 7850 7570 8940 2710 600 2300 1800 2700

5040-5200 5200-5300 3250-3630 3660 5260 4100 2550-3900 3700 4300

Tabella 1.1: Velocità di propagazione c  propagazione  c  per  per alcuni comuni materiali solidi

1.3.2 1.3 .2

Velocità elocità del del suono suono nei nei liqui liquidi di

Maggiore interesse riveste per i nostri scopi il caso in cui il mezzo elastico sia un fluido. In tali ipotesi, ipotesi, se si moltiplica moltiplica ancora il numerato numeratore re e il denominatore denominatore della (1.5) per A per  A  è opportuno porre questa volta (vedi Fig.1.4): F    = ∆ p   e A

 

∆L ∆x

 =

−  ∆V V 0

 

(1.8)

dove con ∆ p si  p si è indicata la sovrappressione indotta dalla perturbazione rispetto alla pressione p pressione  p 0  che regna nel mezzo in condizioni indisturbate (pressione idrostatica) e con V  con  V 0  il volume inizialmente occupato dalla sola porzione deformata

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

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 A F 

 x  V 

 L

V 0  Non deformato

Figura 1.4: Velocità di propagazione del suono in un fluido. di  di   S . Con tali posizioni, la velocità di propagazione diventa: cfl  =

 

−V 0 ∆∆ pV  ρ10 = √   κ¯1 · ρ0

(1.9)

avendo indicato con ¯ con  ¯κ  il  coe  ffi ciente ciente medio di compressibilità  del compressibilità  del mezzo definito come:   1 ∆V  κ ¯  = V 0 ∆ p

−

 

Esso può essere calcolato non appena venga definita la trasformazione che il fluido subisce nel corso del processo di deformazione. Nelle applicazioni che qui ci interessano, è lecito prevedere che la durata della compressione (o dell’espansione) sia tanto breve da poter ritenere trascurabile ogni scambio termico tra il fluido ed il mezzo circostante circostante.. In altri termini è lecito supporre adiabatico adiabatico il processo di compressione e di espansione. La (1.9) diventa: cf l  =

√   κ¯ 1  · ρ0

(1.10)

ad

coe  ffi ciente ciente medio di comp compressibilità ressibilità adiabatica  adiabatica . Ess ssoo dove   κ ¯ ad   rappresenta il   coe  varia con lai temperatura la pressione la riporta, dipendenza dalla pressione per i liquidi liquid sia in genere emolto debole. sebbene La Ta Tab.2 b.2 per alcune classi di liquidi, i valori tipici di ¯ di  ¯κad  e di  ρ 0  riferiti alle condizioni normali di temperatura e di pressione. pressione. L’ultima L’ultima colonna mostra i corrispondenti corrispondenti valori valori di   cf l  calcolati median med iante te la (1. (1.10) 10).. Come Come si ve vede, de, mediam mediamen ente te ris riscon contra trabil bilii nei liquid liquidii sono sono nettamente inferiori a quelle viste per i solidi. Composto   Idrocarburi aromatici Alcoli Oli minerali Acqua

κ ¯ad

× 1011(Pa−1) 85 100 50 46

  ρ0 (kg m−3 )   c(m s−1 )

800 800 880 1000

       

≈1210 ≈1120 ≈1500 ≈1480

Tabella 1.2: Tipici valori di  di   κ ¯ ad  e della densità per alcune classi di liquidi

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.3.3 1.3 .3

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

7

Velocità elocità del del suono suono nel nel gas gas perfett perfetto o

Nel caso dei gas, i valori di ¯ di  ¯κad  possono esprimersi molto agevolmente in funzione delle variabili di stato se si può supporre il gas come perfetto (per l’aria questo è lecito in ampi campi di temperatura intorno ai valori normali). In tale ipotesi, ricordiamo che per una trasformazione adiabatica è:  pV γ  =  Cost  Cost =  = p  p 0 V 0γ 

 

(1.11)

con   γ   =  C   pp /C v  il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante. Se si pone  p =  p  = p  p 0  + ∆ p   e   V   V   =  V 0  + ∆V  la (1.11) diventa:  p0  + ∆ p =  p0 ovvero 1+

  ∆ p

 p0

=

 

  V 0 V 0  + ∆V 

1+

  ∆V 

V 0





γ 

−γ 

(1.12)

Tenuto conto che vale in genere lo sviluppo in serie (serie binomiale) seguente: n

(b + x) =  b n + nbn−1x +

 n(  n (n 1) n−2 2 x + ...   b 2!

−

e tenuto conto che si può supporre per le nostre applicazioni che sia possiamo ammettere valida l’approssimazione seguente:



1+

  ∆V 

V 0



−γ 

  ∆V  

V  0

  1,  1 ,

≈ 1 − γ ∆V V  0

che posta nella (1.12) fornisce: ∆ p

 p0 o anche: V 0

−

=

−γ ∆V V 0

∆ p

= ad

∆V  In definitiva, quindi, la (1.10) fornisce:

 p0

 

γ  ρ0

Essendo, per ipotesi, il gas perfetto vale la:  p0 ρ0

=

 R T 0 M 

per cui si può porre: cgas  =

=  γ  p  p0

κ ¯ ad

 

cgas  =

 1

(1.13)

 

 R  T 0 M 

γ 

(1.14)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

8

con  M  la con M   la massa molecolare del composto considerato e  R la  R  la costante universale   J  Ancora per l’aria l’aria,, essend essendo o la massa molecolar molecolaree dei gas (R (R   = 8314 kmol·K  ). Ancora apparente pari a 29 e   γ  =  = 1.4, si ricava che: caria  = 20 20..05 T 0 In termini di temperatura centigrada  θ  si ottiene facilmente che:

 

 

 

331.4 1 + caria  = 20 20..05 273 273..15 + θ0  = 331.

  θ0

273..15 273

o anche, ricordando che nel caso specifico vale la:

√ 

 1 1+b ≈1+ b 2

si ottiene in forma più semplice:  

caria  = 331. 331.4 + 0. 0.606  · θ0

(1.15)

La precedente mostra che la velocità di propagazione di una perturbazione di pressione in aria cresce con la temperatura in ragione di circa 0.6   m  ·  s 1 per − grado centigrado. Osserviamo come la velocità del suono nei gas sia dell’ordine di un terzo di quella dei liquidi e anche meno di un decimo di quella dei solidi.

Eq Equa uaz zio ione ne diff erenz erenziale iale delle delle ond onde e son sonore ore in un gas perfetto

1.4 1. 4

Una particella di un mezzo elastico si muove obbedendo alle equazioni di  conservazione della massa  e massa  e della quantità della  quantità di moto. moto. Nell’acustica applicata, sono generalmente accettabili le seguenti ipotesi semplificative: densità à del mezzo mezzo subisc subiscee vari ariazi azioni oni   ∆ρ   che che so sono no di al alcu cuni ni ordi ordini ni di a.   la densit grandezza più piccole di quella  ρ 0  =  Cost  Cost del  del mezzo a riposo: ρ  =  ρ 0  + ∆ρ   con

  ∆ρ

ρ0

1

 

(1.16)

Ciò in seguito al fatto, già denunciato, che le variazioni   ∆ p sono  p  sono piccole rispetto alla pressione statica p statica  p 0 .  E’ lecito, quindi, porre: ∆ p

 p0

1

 

(1.17)

  delle particelle è mediamente molto piccola (dell’ordine di 10 di  10 −2 b.   la velocità  w m s

 ) e dello stesso ordine di grandezza sono le relative derivate spaziali;

c.  il mezzo considerato è l’aria che, alle condizioni normali di temperatura e di

pressione, può considerarsi a tutti gli eff etti etti pratici un gas perfetto.

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.4.0.1

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

9

Equa Equazione zione di di conserv conservazio azione ne della mass massa a

Consideriamo un volume di controllo fisso nello spazio di volume dV  volume  dV    =  dx dy dz. dz . La massa che al netto entra nel tempo   dt dt nel  nel volume di controllo è:

− (ρw ) + dydzdt dydzdt+ + dxdzdt+ dxdzdt + (ρw ) − (ρw ) + (ρw ) − (ρw ) + dxdxdt

(ρwx )x

  +

+

x x dx

 

y y

y y

z z

z z dz

dy

Sviluppando in serie di Taylor e riordinando si ottiene:

−∇ · (ρw ) dV dt Ne consegue che la massa  δ m  contenuta nel volume di controllo subisce nell’intervallo di tempo dt tempo  dt  un incremento pari a:   ∂ρ ∂  (δ m) dV dt   dt dt =  = ∂ t ∂ t

Uguagliando le due espressioni precedenti e semplificando si ottiene l’equazione di continuità: ∂ρ   + · (ρw  ) = 0 ∂ t In virtù dell’ipotesi (a. (a.)) e della prima delle (1.16), si ha che:

∇

∇ · (ρw ) ≈ ρ0 ∇ · (w ) Inoltre:

∂ρ   ∂ ∆ρ  = ∂ t ∂ t

essendo  ρ 0  indipendente dal tempo. Ne deriva che è valida la: ∂ ∆ρ  = ∂ t 1.4.0.2

 

−ρ0 ∇ · (w )

(1.18)

Equa Equazione zione di conser conserv vazio azione ne della quan quantità tità di moto

L’equazione di conservazione della quantità di moto si scrive, con riferimento ad un sistema infinitesimo di massa costante   ρ0 dV  dV  in  in moto con il fluido, come: Dw     =  ρ 0 ρ0 Dt





  ∂w     ∂w     ∂w     ∂ w  S   wz  =  F   wy  + wx  +  + S  ∂ z ∂ y ∂ x ∂ t

nella quale è stato trascurato l’eff etto etto delle forze di massa che sono costantemente bilanciate dal gradiente della pressione statica ( ρ0  g  =  p0 ). In virtù dell’ipotesi dell’ipotesi   c.   le forze di contat contatto to si rid riduco ucono no alle sole forze forze di pressione essendo nulle per un gas perfetto gli sforzi viscosi. In questa ipotesi è semplice ricavare che:  S F  (∆ p)  p) S    =

∇

−∇

Uguagliando e ricordando l’ipotesi b. l’ipotesi  b.   si ottiene: ∂w   ∇ (∆ p)  p) = −ρ0 ∂ t

 

(1.19)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.4.0.3

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

10

Equa Equazione zione dell’adiab dell’adiabatic atica a

Notiamo che le funzioni incognite presenti nelle (1.18, 1.19) sono tre ( ∆ρ, ∆ p,    w) a fronte di due sole equazioni diff erenziali; erenziali; è necessaria necessaria perciò una ulteriore ulteriore relazione relazi one che può essere essere costituit costituita a dall’equazi dall’equazione one della trasformazi trasformazione one (1.13) (1.13) ricavata nel precedente paragrafo. Essa viene riscritta per i nostri scopi come 3 : ∆ p

 p0

=  γ 

∆ρ

(1.20)

ρ0

o anche:

 1   ∆ p c2 per la (1.14). Derivando la precedente rispetto al tempo:

(1.21)

∆ρ  =

∂ ∆ρ   1 ∂ ∆ p  = 2 c ∂ t ∂ t

e sostituendola nella equazione di continuità (1.18), si ottiene: 1 ∂ ∆ p  = c2 ∂ t

− ρ0∇ · (w )

 

(1.22)

che derivata nuovamente rispetto a t a  t  fornisce: 1 ∂ 2 ∆ p  = c2 ∂ t2

−ρ0 ∂ ∂ t [∇ · (w )]

 

(1.23)

Se si opera la divergenza dei vettori di ambo i membri della (1.19) si ha:

∇ · [∇ (∆ p)]  p)] = −ρ0 ovvero:

  ∇ ·

∂w   ∂ t

∂   )] ∇2 (∆ p)  p) = −ρ0  [ ∇ · (w ∂ t

 

(1.24)

Uguagliando la (1.23) alla (1.24) si ottiene: 2

(∆ p)  p) =

  1 ∂ 2 ∆ p 2

 

2

(1.25)

∇

c ∂ t che costituisce l’equazione diff erenziale erenziale di Laplace delle onde elastiche in un gas perfetto. E’ possibile dimostrare che valgono anche le: 2

∇

    1 ∂ 2 w   = 2 w 2 c ∂ t

 

(1.26)

2

∇2 (∆ρ) =  c12 ∂ ∂ ∆t2ρ

 

(1.27)

  1 ∂ 2 ∆T  (∆T ) T ) = 2 c ∂ t2

 

(1.28)

2

∇ 3



p ρ Infatti per una trasformazione adiabatica   pρ−γ  =  p 0 ρ0−γ   ovvero  ovvero   1 +   ∆ = 1 + ∆ ρ p 0

∆ρ

1 +  γ  ρ

0

ed in definitiva

  ∆p

p0

∆ρ

=  γ  ρ

0

0

γ 





 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

11

Per quei sistemi in cui è più utile l’impiego di sistemi di riferimento non ortogonali, le (1.25), (1.26), (1.27) e (1.28) si modificano molto semplicemente ricordando, ad esempio, che: 2

2

∇2 f   =   1r ∂ ∂ r

  r ∂ f  f  +   12 ∂  f    +   ∂  f  ∂ z 2 ∂ r r ∂ϑ 2 ∂ 2 f  ∂ f  ∂    1   1 ∂ 2 f    1 2 ϑ + f   = sin  (r  ( r  · f ) f  ) + r ∂ r2 ∂ϑ r2 sin ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂φ 2

∇

 





(1.29)  

(1.30)

per coordinate cilindriche e sferiche rispettivamente.

1.5

Car Caratt atteri eristi stic che ene energe rgetic tiche he di un’o un’onda nda so sononora

Per la caratterizzazione energetica di un campo sonoro si consideri un sistema infinitesimo di massa costante  ρ 0 dV  dV  in  in moto con il fluido. Se si tiene conto che i fenomeni fenome ni di compressione compressione e rarefazione rarefazione provocati provocati nel fluido dall’onda dall’onda sonora sonora sono adiabatici e che il mezzo è non viscoso l’equazione di conservazione dell’energia per il sistema si può scrivere come:   ∂ e  D  Dee   =  ρ 0 dV  ∂ t Dt

δ  ˙L(∆ p)  p) =  ρ 0 dV 

 

(1.31)

avendo trascurato, nella derivata sostanziale, la derivata convettiv convettiva. a. Nella (1.31) si è indicato con   δ  ˙L(∆ p)  p)   il lavoro che nell’unità di tempo la pressione sonora compie sul sistema e con e con  e  il contenuto energetico dello stesso sistema di massa dV .. Il termine a primo membro si ricava mediante la: costante  ρ 0 dV 



(∆ pwx )x

+

+



− (∆ pw ) + dydzdt dydzdt+ + (∆ pw ) − (∆ pw ) + + dxdzdt+ dxdzdt (∆ pw ) − (∆ pw ) + dxdxdt

 

x x dx

 

y y

y y dy

z z

z z dz

Sviluppando in serie di Taylor e semplificando si ottiene, in definitiva, che il lavoro fatto dalle forze di pressione nell’unità di tempo vale: δ  ˙  ˙ (∆ p) L  p)

− [∇ · (∆ pw )] dV 

 

(1.32)

Per esplicitare il secondo membro della (1.31) si consideri che l’energia può essere accumulata nel sistema sotto forma di energia cinetica ed interna. Si ha che:  1 e  = u  =  u + w2 2 e quindi:

  ∂  u +   21 w2   ∂ e ρ0 dV    =  ρ 0 dV  ∂ t ∂ t





 

(1.33)

Uguagliando la (1.32) e la (1.33) si ottiene l’equazione di conservazione dell’energia per il campo sonoro in un mezzo non dissipativo: ∂  ρ0 u +   12 w2



∂ t

 



=

−∇ · (∆ pw )

 

(1.34)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

12

Se si pone  pone   u  = 0  in assenza di suono e si ricorda che le trasformazioni di compressione ed espansione pressione espansione dovute al passaggio passaggio dell’onda dell’onda sonora sono adiabatic adiabatiche, he, la variazione di energia interna coincide con il lavoro delle pressioni che, per unità di volume, vale4 :   ∆ p

ρ0 u =

−ρ0

ˆ 

∆ p  ·

d (∆V  )  )

0

Il seg segno no men meno o deriv deriva a dal fatto che   u   è positi p ositiv va (aumento (aumento di energia energia interinterna) per una diminuzi diminuzione one di volume volume (compres (compression sione). e). Diff erenziando erenziando la (1.13)  p 2 e ricordando che c che  c =  γ  ρ si ottiene: 0 0

d(∆V  )  ) =

d(∆ p)  p) −  γ V  p00 d(∆ p)  p) = − (ρ )2 0c

Sostituendo nella precedente si ottiene:   1 ρ0 u  = ρ0 c2

  ∆ p

ˆ 

 p) ∆ p · d (∆ p)

0

Integrando Inte grando si ha:

2

ρ0 u  =   1 ∆ p 2 2 ρ0 c

La (1.34) diventa in definitiva: ∂ 

 1 2

2

∆ p

  + ρ0 w   ∂ t

ρ0 c2

La grandezza vettoriale:

2



=

−∇ · (∆ pw )

   = ∆ pw I   

 

(1.35)

è detta intensità detta  intensità sonora . Essa è funzione del punto punto e del tempo e rappresenta rappresenta la potenza  la  potenza  che  che attraversa  attraversa   l’unità di area   area   della superficie disposta normalmente W . alla direzione di propagazione dell’onda. Si misura in   m La grandezza scalare: 2

D  =

 1

2 ∆ p   + ρ0 w2 ρ 2 0c

 

(1.36)

2 è detta  detta   densità di energia sonora   sonora   e rappresenta l’energia localizzata nell’unità di volume circostante un punto assegnato. E’ funzione del punto e del tempo e si misura in  mJ . Con tali posizioni l’equazione di conservazione dell’energia può essere scritta in termini di intensità sonora e densità di energia come:





3

∂ D  = ∂ t

−∇ ·  I 

 

(1.37)

la quale evidenzia che l’energia sonora localizzata in un punto qualsiasi dello spazio ad un certo istante, non si conserva ma varia nel tempo ∂ ∂ Dt = 0  e tale variazione è dovuta a quella spaziale associato all’onda sonora. 4

 pdV    = ∆ p d (∆V   )

∇  ·    I 



 



 )  che subisce il flusso d’energia (I 

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.6

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

13

On Onde de armo armoni nic che pian piane e

Un’onda meccanica piana  meccanica  piana  presenta  presenta identiche caratteristiche in ogni punto del piano normale alla direzione di propagazione. Se è x è  x  tale direzione, allora si ha:  p  = ∆ p(  p(x, t) ∆ p = e la (1.25) si riduce alla: ∂ 2 ∆ p   1 ∂ 2 ∆ p  = 2 c ∂ t2 ∂ x2

 

(1.38)

E’ semplice verificare che, essendo una funzione di argomento t  ±   xc  soluzione della precedente, si ha:

 

 x c

 x c

−   

 p  = f   f 1 ∆ p =

t

+ f 2 t +

 

(1.39)

in cui le funzioni f  funzioni  f 1   e  f 2  sono del tutto  tutto   arbitrarie  purché arbitrarie  purché in possesso di derivate seconde rispetto alle due variabili indipendenti  x  e  t.  t . La forma è stabilita dalle condizioni al contorno ed iniziale. La funzione di argomento t   xc  è detta onda detta  onda progressiva  perché   perché si propaga dalla sorgente nel verso delle   x   positiv positive. e. Per Per la stessa stessa ragion ragionee la funzio funzione ne di   x argomento t + c è detta onda detta onda regressiva  e  e si propaga nel verso delle x delle  x negative. Infatti, considerando che la (1.25) vale per un mezzo isotropo, omogeneo e non dissipativo, l’onda (1.39) si propaga mantenedosi inalterata nel tempo e nello spazio.. Ne deriva spazio deriva che, presi due istanti istanti consecutivi consecutivi t  t 1   e  t 2 , deve essere che:

−

 

 



f 1 t1

−

  x1  = f   =  f 1 t2 c

 

−

 x 2 c



Essendo i due istanti qualsiasi la precedente equivale a porre: t1

−   xc1  = t2 −   xc2

da cui discende immediatamente che:

− t1  =   x2 −c x1

t2

che  x 2  < x1 . e quindi x quindi  x 2  > x1 . Analogamente per la f  la  f 2 t +   xc  si ottiene che x Nel caso di un’onda cosinusoidale di frequenza   ν   (onda armonica ) si ha in generale che : ∆ p(  p(x, t)

  − 

(+)

= ∆ p0   cos ω t

 x c

 x c

 

(−)

+ ∆ p0   cos ω t +

Per un mezzo privo di ostacoli (campo ( campo sonoro libero) libero ) il campo sonoro prevede la sola onda progressiva : ∆ p(  p(x, t)

 x c

− 

= ∆ p0 cos ω t

 

(1.40)

La intensità acustica (1.35) e la densità acustica (1.36) istantanee valgono: I (x, t) = ∆ pwx

 

 1 e   D(x, t) = 2



2 ∆ p  + ρ 0 c2

2

ρ0 wx



 

(1.41)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

14

per cui è necessario determinare l’onda di velocità corrispondente alla (1.40). A questo scopo è utile ricordare l’equazione vettoriale (1.19) che nella direzione x zione  x  si scrive come:   1 ∂ ∆ p dwx  =   dt ρ0 ∂ x Derivando la (1.40), sostituendo nella precedente ed integrando si ottiene:

−

wx (x, t) =

  ∆ p0

ρ0 c

 x + cost c

− 

  cos ω t

Tenuto conto che in assenza di suono ( ∆ p0   = 0) deve essere  essere   wx   = 0  si ha che cost = cost  = 0  per cui si ricava che: wx (x, t) =

  ∆ p(  p(x, t)

 

ρ0 c

(1.42)

con ovvio significato significato dei simboli. La precedente precedente mostra che in un’onda un’onda piana 5 progressiva  la velocità di oscillazione delle particelle è costantemente   in fase  con la ∆ p(  p(x, t)  e il relativo rapporto è:   ∆ p(  p(x, t)

Z   = wx (x, t)   =  ρ 0 c

 

(1.43)

detta  impedenza acustica specifica del mezzo. mezzo. Essa varia La quantità Z  quantità  Z    =  ρ 0 c  è detta impedenza con la temperatura e la pressione e per un gas perfetto si ricava, ricordando gli sviluppi che hanno portato alla (1.14), che: ρ0 c  = p  =  p 0

 

γ M  M 

RT 

  kg m−2 s−1

e per l’aria (M  (M   = 29 29,,  γ  = 1.4) si ha: ρ0 c

p0 ≈ 0.07  √  T 

kg m−2 s−1

(1.44)

Ancora per l’aria Ancora l’aria,, in condiz condizion ionii normal normalii (θ   = 20◦ C ,   p0   = 1.013 l’impedenza acustica vale: ρ0 c

× 105

Pa)

≈ 413   kg m−2s−1

Se si ricorda che il valore usuale della pressione acustica è dell’ordine di 1 Pa, il risultato or ora ottenuto consente di determinare che è pari a circa  circa   1/413 − 3 − 1 2.5 10 m s il valore corrispondente della velocità delle particelle dell’aria alle condizioni normali. Ciò giustifica l’ipotesi fatta al (punto  b.)  b. ) del precedente paragrafo. Sostituendo la (1.40) e la (1.42) nelle (1.41) si ottengono l’intensità sonora e la densità sonora istantanee per un campo sonoro libero piano:

≈

×

I (x, t) = 5

  ∆ p2

ρ0 c

 

e   D(x, t) =

  ∆ p2 ρ0 c2

 

(1.45)

Ripetendo lo stesso procedimento si ricava facilmente che nel caso di un’onda regressiva la velocità delle particelle è in opposizione di fase con la pressione acustica essendo costantemente ∆p(x,t)   = −ρ0 c che   w (x,t) x

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

15

da cui si vede che è costantemente: D(x, t) =

  I (x, t) c

Nelle applicazioni interessano relativamente poco i valori istantanei di  D  D((x, t)  e I (x, t), più spesso si ha interesse ai valori mediati nel tempo, ovvero: ¯(x) =   1 I  ∆T 

∆T 

∆T 

ˆ 

ˆ 

¯ (x) =   1 I (x, t)dt   e   D ∆T 

D(x, t)dt

0

0

Sostituendo nelle precedenti le (1.45) si ottiene che: ¯(x) =   1 I  ∆T 

∆T 

ˆ  0

¯ (x) =   1 D ∆T 

∆T 

ˆ  0

∆ p2

  ∆ p2 rms

ρ0 c

ρ0 c

 dt  =

2   ∆ prms dt dt =  = ρ0 c2 ρ0 c2

∆ p

 

(1.46)

 

(1.47)

2

nelle quali si è posto: ∆ prms  =

   

1 ∆T 

∆T 

ˆ 

∆ p2 dt

 

(1.48)

0

il   valore e  ffi cace cace della pressio pressione ne sonora  sonora . Le equazioni equazioni precedent precedentii evidenziano evidenziano che i valori medi della densità sonora e dell’intensità sonora non dipendono dai valori istantanei istantanei della pressione pressione sonora ma dal valore dal valore e  ffi cace  di cace  di ∆ p(  p(x, t). In altre parole, due onde sono equivalenti dal punto di vista energetico se presentano uguali valori valori della pressione sonora e fficace. Concludiamo osservando che il valore dell’integrale a secondo membro della (1.48) dipende dall’intervallo temporale ∆t  su cui viene eff ettuata ettuata l’integrazione. Distinguiamo due casi tipici: a.  il suono considerato è periodico. L’integrazione può essere estesa su un breve

intervallo di tempo costituito da un certo numero di periodi (teoricamente anche uno solo); considerato non è periodico. periodico. L’interv L’intervallo allo temporale temporale   ∆t  deve essere b.   il suono considerato scelto di estensione tale da rendere il valore dell’integrale indipendente da ∆t. Nel caso dell’onda armonica  dell’onda armonica  (1.1)  (1.1) si ricava che 6 : ∆ prms  = 6

  ∆ p0

(1.49)

√ 2

Infatti per un’onda armonica si ha: 2 ∆ p0

T 

T 

ˆ  0

2

cos ω t dt =

2   ∆ p0

T 



 sin2ω t + 2 4ω t



T 

= 0

2   ∆ p0

2

essendo nullo il valore medio di una funzione sinusoidale nel periodo   T .

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.7

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

16

Ond Onde e arm armoni onic che sferic sferiche he

In un mezzo omogeneo e isotropo, in genere, la perturbazione indotta in un pun punto to generico tende a propagarsi, pur se con diverse modalità, in ogni direzione. Ne consegue che:

∆ p =  p  = ∆ p(  p(r, ϑ, φ, t)

Può verificarsi il caso, tuttavia, che le modalità di propagazione siano le stesse in ogni direzione. Per fissare le idee si può pensare ad una sfera (di raggio piccolo rispetto alla lunghezza d’onda) la quale si espanda e si contragga, conservando la sua forma sferica, con una pulsazione   ω . In questa ipote ipotesi si la perturbazione perturbazione si propoga secondo un’onda un’onda sferica   sferica   e la pressione sonora   ∆ p si  p  si può esprimere mediante la:  p  = ∆ p(  p(r, t) ∆ p = mentre, in virtù della (1.30), l’equazione diff erenziale erenziale (1.25) diventa:  p) 1 ∂ 2 (r  · ∆ p)  p)   1 ∂ 2 (∆ p)   = c2 ∂ t2 r ∂ r2 ovvero:

 p) ∂ 2 (r  · ∆ p)  p)   1 ∂ 2 (r  · ∆ p) ∂ t2 ∂ r2   = c2

  (1.50) Essaa è analog Ess analoga a all alla a (1. (1.38) 38) del preced preceden ente te par paragra agrafo fo presen presentan tando, do, ris rispett petto o a quella,, lo stesso quella stesso argomento argomento moltiplicato moltiplicato per p er la variabile ariabile indipenden indipendente te   r. Se ne deduce, perciò, che la soluzione della (1.50) è: ∆ p =  p  =

 1 f 1 t r

 r  1  r + f 2 t + c r c

− 

 

ancora una volta costituita dall’insieme di un’onda progressiva e una regressiva. La precedente precedente mostra, inoltre, inoltre, che in un’onda un’onda sferica, sferica, a diff erenza erenza di una piana, l’ampiezza della perturbazione si attenua in ragione inversa della distanza   r dalla sorgente. Nel caso caso ve venga nga irradi irradiata ata un’ un’ond onda a armoni armonica ca all allora ora in punto punto generi generico co   r   e all’istante t all’istante  t  si ha: ∆ p(  p(r, t)

=

(+)   ∆ p0

 r

  cos ω t

(−)   ∆ p0

  cos ω t +

−  =

  ∆ p0

r

   r c

− 

  cos ω t

 r c

r

c

r e per un campo sonoro libero: ∆ p(  p(r, t)

+

 

(1.51)

in cui   ∆ p0   rappresenta l’ampiezza della perturbazione in corrispondenza della sorgente. Il legame con la velocità istantanea w istantanea  w r (r, t)  può essere ricavato ricorrendo ancora una volta all’equazione vettoriale (1.19) la cui componente nella direzione r direzione  r   diventa: ∂ wr ∂ ∆ p   = ρ0 ∂ t ∂ r Dalla precedente si può ricavare, infatti, che:

−

wr (r, t) =

 1

− ρ0

ˆ   ∂   p ∆

∂ r

  dt + Cost

 

(1.52)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

17

Derivando la (1.51) rispetto ad r ad  r  si ha: ∂ ∆ p  = ∂ r

cos ω t r2

−∆ p0

 r c

 r c

−   − ω sin ω t − rc

       −   − 

Sostituendo nella (1.52) e integrando si ricava: wr (r, t) =

  ∆ p0

 r + cos ω t c

 c  sin ω t ρ0 c · r ω r

essendo  Cost = essendo Cost essere  w r   = 0  per  p er r  = 0  in quanto deve essere w  r 7 Osserviamo che la precedente equivale alla : wr (r, t) =

  ∆ p0

ρ0 c · r

 r c

 

→ ∞.

        − −    1+

 c ωr

2

(1.53)

cos ω t

 r c

 

ϕ

(1.54)

1   in cui si è indicato con in cui   ϕ  = arctan ω  cr   = arctan 2  λπr   = arctan  kr   2π il numero  numero d’onde . k  = λ   il L’equazione L’equ azione (1.54) mostra mostra che la velocità velocità di oscillazione oscillazione delle particell particellee wr (r, t), a diff erenza erenza di quanto accadeva per un’onda piana, è  sfasata   sfasata    di   ϕ   rispetto alla



∆ p  p((x, t)  e l’impedenza caratteristica del mezzo non è costante come per l’onda piana: cos ω t   rc   ρ0 c  p(r, t)   ∆ p(  = Z   =  r wr (r, t) ϕ 1 +   1 cos ω t c

 

  −   − − 

k2 r 2

Ciò nonostante è facile verificare che per   λr  si ha che   Z    ρ0 c   e   ϕ   0 e un’onda sferica assume un comportamento uguale a quello di un’onda piana. Da un punto di vista pratico, le Fig.1.5 mostrano che già per   r  =  λ  l’angolo di fase si riduce ad appena 9◦   sessagesimali e  e   Z  0.99ρ0 c. c. Ciò  Ciò consente, per una propagazione sferica, di distinguere sia pure convenzionalmente un campo un  campo vicino (ad esempio per r per  r <  λ )   e un un campo  campo lontano  lontano   (r >  λ )  e quindi di individuare un dominio, in genere molto ampio, in cui i legami tra   ∆ p   e   wr   sono a tutti gli eff etti etti pratici quelli caratteristici di un’onda piana. Lo sfasamento sfasamento tra l’onda di pressione pressione e quella quella di velocità velocità rende meno imme  ¯   ¯ diato il calcolo di I (r)  e di D(r)  nel caso di onde sferiche progressive. Eseguendo i calcoli che tralasciamo per semplicità si ottiene che:

 → ∞

 →  →

 →

  ≈≈

2

¯(r) =   ∆ prms I  ρ0 c

 

(1.55)

la quale è solo formalmente formalmente analoga analoga alla (1.46) valida valida per le onde piane. Infatti, Infatti, a diff erenza e renza di quanto accade per un’onda piana, la pressione sonora e fficace ¯(r)  può essere legato in un’onda sferica diminuisce con la distanza   r. Inoltr Inoltre, e,  I  facilmente alla potenza  potenza   W  W    della sorgente. sorgente. Infatti Infatti se si suppone, come si è fatto finora, di considerare il mezzo non dissipativo, la potenza della sorgente è costante con r con  r  e per la definizione stessa di intensità sonora si può scrivere: ¯(r) =   W  I  4π r 2 7

Ricordiamo che se è data la:   ξ   =   A cos α  +  B  sin α   essa equivale alla   ξ   =   R cos(α

purché   A  =  R cos β   e  B  =  R sin β .  Ne deriva

che   R2

=  A 2

+ B 2

e  β

 .  = arctan B A

−

β)

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

Figura 1.5:

  

1 1+ k  21r 2

 

18

e   ϕ  in funzione di k di  krr  per un’onda sferica

La densità sonora media per un’onda sferica vale: 2 ¯ (r) =   ∆ prms 1 +   1 D ρ0 c2 2k 2 r 2

Ne deriva che:

¯ ¯ (r) = I (r) D c





1+

  1 2k 2 r 2

 

la quale mostra che, a di ff erenza erenza di quanto accadeva per un’onda piana o nel ¯   dipende dalla intensità campo lontano di un’onda sferica, la densità sonora  D ¯  per il tramite della lunghezza sonora  I   I  lunghezza d’onda e della distanza. distanza. Tuttavia, uttavia, per r λ  il termine tra parentesi tende all’unità e l’equazione precedente si riduce all’analoga valida per le onde piane.



1.8

Liv Livel elli li so sono nori ri e d dec ecibe ibell

Si è avuto modo di mostrare (vedi Fig.1.2) che i valori della pressione acustica  associatii ai suoni puri coprono un intervallo intervallo molto ampio. Infatti Infatti i vava∆ prms  associat 5

×

lori tipici della soglia di udibilità (2 (2 10− Pa) sono sette  sono  sette  ordini  ordini di grandezza più piccoli di quelli della soglia del dolore (circa 200 Pa). Pa). Altretta Altrettanto nto ampio è, ovviamente, il campo di variazione di altre grandezze acustiche quali la potenza sonora, la intensità e la densità di energia che alla pressione sonora sono proporzionali. Si comprende, quindi, che l’utilizzo di una scala lineare per le predette grandezze non sia comoda né in fase di calcolo né, ancor meno, di rappresentazione per ovvie ragioni. Pe Perr tale motivo è prassi in acust acustica ica esprimere esprimere le grandezze grandezze sonore in scala logaritmica. Allo scopo si consideri la grandezza generica   G   ed un valore di  di   GR  assunto come riferimento. riferimento. Si definisce definisce   livello di   di   G   il risultato della: G dB re G re  G R   (1.56) LG  = 10 lo logg10 GR espresso in   decibel . L’e L’equa quazio zione ne preced preceden ente te riport riporta, a, come come prassi prassi,, il valore alore di riferimento   GR   da cui  riferimento cui   LG  dipende  dipende.. Ciò elimina ogni possibile possibile equivoco sia sul

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

19

valore valore otten ottenuto uto sia sulla grandezza a cui esso si riferisce. riferisce. Se Se   GR  rappresenta il valore più basso che può assumere G assumere  G,, si dice che L che  L G  esprime il livello di G di  G sopra  sopra la soglia. Al contrario si parla di livello di   G  sotto la soglia se  se   GR  rappresenta il limite superiore dei valori possibili di  di   G. E’ utile ricordare qui che vale la: LG G = 10 GR 10

Osserviamo che, qualunque sia il valore di riferimento, al raddoppio di   G   fa riscontro un aumento di 3 dB del livello  L G : LG  = 10 log log10

G G 2G +3 + 10log10 2 = 10 lo logg10 = 10 log log10 GR GR GR

L’introduzione dei livelli delle grandezze acustiche, oltre al vantaggio di un più ristretto campo di variabilità e di una compressione dei valori più elevati a favore di quelli più bassi, migliora la correlazione tra il livello   LG   di una grandezza caratteristica di un dato suono e la sensazione acustica che quel suono induce sugli organi dell’udito8 .

1.8.1 1.8 .1

Li Live vell llo o di pres pressio sione ne so sonor nora a

Per la sola  la  sola   pressione pressione sonora è consuetudine costruire la scala dei decibel facendo riferimen riferi mento to al quadrato quadrato della pressione pressione sonora efficace9 : logg10 L∆ p  = 10 lo

∆ p2 rms 2 ∆ p

(1.57)

R,rms

o anche: L∆ p  = 20 log10

∆ prms

dB re ∆ pR,rms  = 2

∆ pR,rms

× 10−5 Pa

(1.58)

dalla quale consegue che al raddoppio della ∆ prms  corrisponde un aumento del livello di pressione sonora pari a circa 6 dB. Dalla stessa equazione si ricava: L∆p

∆ prms  = ∆ pR,rms  ·  10

1.8.2 1.8 .2

20

Il liv livel ello lo di di potenz potenza a sonor sonora a

Il livello di potenza sonora è dato dalla: log10 LW   ¯  = 10 log

W  W R

dB re W  re  W R  = 10−12 watt

da cui W  W    = W R   · 10 8

(1.59)

LW  10

E’ sperimentalmente accertato che l’orecchio segue una legge di variazione della sensazione che è propor proporzion zionale ale alla variaz variazione ione rela relativ tiva a della sollecit sollecitazion azionee (legg (leggee psic psico-fisi o-fisica ca di WeberFechner). 9 Il mot motiv ivo o di que questa sta sce scelta lta è dettat dettato o sol solo o dal dall’o l’oppor pportun tunità ità di render renderee mag maggio giorme rment ntee correlabili le analoghe scale relative a diff erenti erenti grandezze acustiche.

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

1.8.3 1.8 .3

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

20

Il live livell llo o di inten intensi sità tà sonor sonora a

Per la intensità sonora: log10 LI ¯ = 10 log

¯ I  ¯R I 

12

dB re  I  ¯R  = 10−

2

watt watt m−

(1.60)

e, al contrario: ¯  =  I  ¯R   · 10 I 

L¯ I 10

Sebbene deducibile dalla simbologia adottata, si avverte che i valori della potenza acustica W  e  e della intensità sonora  ¯ I  che  che compaiono nelle equazioni precedenti non sono quelli istantanei, ma quelli mediati nel tempo (nel periodo per onde armoniche). ¯   che  I   ¯  risultano proporzionali Nel paragrafo precedente si è visto che sia  W  W   I  al quadrato della pressione pressione acustica. acustica. Discende Discende da ciò che  che   LW ,   LI ¯  e   L∆ p   sono tra loro legati. Ad esempio per onde piane o sferiche progressive si ha: LI ¯ = 10 log log10 = 10 log log10

¯ I  ∆ p2 rms = 10 lo logg10 ¯ ¯R = ρ0 c ·  I  I R



  ∆ p2 rms ∆ p2

·

R,rms

R,rms R,rms ∆ p2

¯R ρ0 c ·  I 



Si ottiene perciò: ¯   dB re 10−12 watt m−2 LI ¯  = L ∆ p +  R La quantità ¯  = 10 log R log10

(1.61)

∆ p2 R,rms

ρ0 c  ·  ¯ I R

che misura la diff erenza erenza tra i due livelli dipende dalla temperatura e dalla pressione per il tramite dell’impedenza acustica del mezzo. Per l’aria alle condizioni ¯ normali (ρ0 c = 413 kg 413  kg m−2 s−1 ) si ha che  R 0.14 dB che può essere ritenuto del tutto tutto trascurabile trascurabile nelle usuali applicazioni. applicazioni. Ciò comporta che per onde progressive possa porsi a tutti gli eff etti etti pratici:

 ≈ −

LI ¯  =  L ∆ p Per condizioni di temperatura e di pressione che diff eriscono eriscono da quell quellee normali, normali, l’entità dello scostamento presenta valori diversi che possono essere calcolati ¯  la dipendenza espressa dalla (1.44) ottenendo: riportando nell’equazione di  R ¯  = 10 log R log10



√ 

400 T  0.07 07 p  p0



¯  può essere determinato con maggiore immediatezza facendo ricorso Il valore di  R al grafico di Fig.1.6 che riporta i risultati dell’equazione precedente nell’intorno delle condizioni normali. Se l’intensità sonora è uniforme su di una superficie di area  A,  l’intensità e la potenza sonora sono legate dalla: ¯  · A   e   W R  =  I  ¯R   · AR W   =  I 

 

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21

¯  in funzione della pressione e della temperatura Figura 1.6: Valore di  R ¯R . Con tali posizioni con  A R  = 1  m 2 essendo uguali i valori numerici di W  con A di  W R   e  I  si ottiene: ¯  · A ¯ I  I  A LW  = 10log10 ¯ = 10log10 ¯ + 10 lo logg10 dB  · I R  AR I R AR o anche: LW   = L I ¯ + 10 log log10 A Ricordando la (1.61) si può ricavare il livello di potenza sonora in funzione di quello di pressione acustica come: ¯ + 10 lo logg10 A LW   = L ∆ p +  R Con riferimento ad un’onda sferica, la precedente consente di ricavare il livello di pressione acustica nel campo sonoro lontano una volta che sia assegnato quello di potenza sonora L sonora  L W  ¯:

 − 10 log log10 4πr2  =  − 20 log log10 r − 11  

 =  L W  L∆ p  = L =  L W 

 

dB

(1.62)

¯  e posto 11=10log avendo trascurato  R 11=10log10 (4π) .  Quindi la diff erenza erenza di livello di pressione tra due punti distinti posti a distanze   r1   e   r2   dalla sorgente di un’ondaacustica sferica sono legati dalla: r2 (1.63) L∆ p,1 L∆ p,2  = 20 lo logg10 r1

−

1.9 1.9

I ssuo uoni ni comp comple less ssii

La quasi totalità dei suoni che udiamo non sono suoni  puri , ma piuttosto suoni complessi    ovv complessi  ovvero ero una combinazione combinazione più o meno compl complicata icata di suoni puri. A parità di ogni altra condizione, due suoni complessi che di ff eriscono eriscono per la per  la forma  dell’onda risultante sono percepiti in modo diverso. Si usa dire che essi presentano un diverso timbro diverso timbro.. Il timbro, perciò, costituisce una ulteriore caratteristica distintiva dei suoni. Al solo scopo di semplificare, si consideri un suono complesso ottenuto come combinazione di due soli suoni puri componenti. Si possono distingure due casi:

 

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22

T   p02 2

 pS  t 

S  1

 p01

 p1  p2

 p01 cos ( t -

 p02 cos ( t -

1

)

2)

Figura 1.7: Suono complesso armonico 1. i suoni puri componenti componenti han hanno no la medesima la  medesima frequenza   frequenza   ma ma   di  ff erente erente ampiezza e fase ; 2. i suoni puri componenti componenti hanno hanno diversa   diversa  frequenza,  frequenza, ampiezza e fase.

1.9.1

Suoni componen componenti ti di uguale uguale frequ frequenza enza e diversa diversa ampiezza e fase

In questo caso (vedi Fig.1.7) il suono risultante è ancora armonico ancora  armonico::  coss (ω t ∆ pS   = ∆ p0S  co

S )

−ϕ

con frequenza frequenza pari a quella quella comune comune dei suoni componenti. componenti. L’ampiezza L’ampiezza   ∆ p0S   si ricava come: ∆ p0S   =

=

   

(∆ p01 cos ϕ1  + ∆ p02 cos ϕ2 )2 + (∆ p01 sin ϕ1  + ∆ p02 sin ϕ2 )2 =

2 ∆ p2 01 + ∆ p02 + 2 ∆ p01∆ p02 (cos ϕ1 cos ϕ2  +

sin ϕ1 sin ϕ2 )

ed in definitiva: ∆ p0S   =

 

2  + ∆ p2  + 2 ∆ p ∆ p  co s (ϕ1 ∆ p01 02 cos 01 02

− ϕ2 )

 

(1.64)

La fase   ϕS  è data dalla:

ϕS  = arctan



∆ p01 sin ϕ1  + ∆ p02 sin ϕ2 ∆ p01 cos ϕ1  + ∆ p02 cos ϕ2



 

(1.65)

Dai risultati precedenti si osserva che ∆ p0S  dipende, dalle ampiezze e dalle fasi dei due suoni componenti. In particolare, poiché:

−1 ≤ cos(ϕ1 − ϕ2) ≤ 1 l’ampiezza ∆ p0S  assume il suo valore massimo per ϕ1

− ϕ2  =  nπ

  con   n  = 0, 2, 4, 6, . . .

 

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ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

 

23

Figura 1.8: Combinazione di due suoni puri di diversa frequenza ossia per suoni puri in concordanza di fase. In tal caso si ottiene: ∆ p0S   = ∆ p01 + ∆ p02

Al contrario, contrario, per: ϕ1

− ϕ2  =  nπ

  con   n  = 1, 3, 5, 7, . . .

i due suoni sono in opposizione di fase e l’ampiezza   ∆ p0S  assume il suo valore minimo che vale: ∆ p02 ∆ p0S   = ∆ p01

−

Quest’ultimo risultato è di particolare interesse in quanto evidenzia che la sovrapposizione di due toni puri di uguale frequenza ed ampiezza ma in opposizione di fase dà luogo al silenzio. Ciò costituisce la base del controllo del  controllo attivo del  rumore . E’ appena il caso di considerare che la pressione sonora e fficace di un tale suono complesso, essendo armonico essendo  armonico,, è data dalla (1.49).

1.9.2 1.9 .2

Suoni Suoni componen componenti ti di dive diversa rsa freque frequenza nza,, ampi ampiezz ezza a e fase

Nel caso in cui le frequenze dei suoni puri componenti siano diverse e tra loro scorrelate (caso (caso 2.), 2.), il suono complesso non è né armonico né periodico (Fig.1.8). Se, invece, le frequenze sono in relazione armonica (quelle più elevate rappresentano multipli presentano multipli interi della minore) minore) il suono complesso complesso pur non essendo essendo armonico è   periodico   (Fig.1.9). (Fig.1.9). Comunque, Comunque, sia nell’uno che nell’altr nell’altro o caso la determinazione di legami generalizzati del tipo (1.64) e (1.65) non è più possibile. Per essi, al contrario, è possibile ricavare il valore e fficace della pressione sonora. Consideriamo due toni puri di pulsazione  ω 1  e  ω 2  e di ampiezze ∆ p01  e ∆ p02 seguenti: ∆ p1  = ∆ p01 cos ω1 t ∆ p2  = ∆ p02 cos ω2 t

 

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24

Figura 1.9: Combinazione di due suoni puri con frequenze in relazione armonica La pressione sonora risultante ∆ pS  sarà data dalla somma dei due toni puri: ∆ pS   = ∆ p1  + ∆ p2

da cui:

2 2 2 ∆ pS   = ∆ p1  + ∆ p2  + 2 ∆ p1∆ p2

Applicando all’equazione precedente la (1.48) si ha10 : ∆ pS,rms  =

 

2 ∆ p2 1,rms + ∆ p2,rms

  ω1 =  ω 2

 



(1.66)

E’ semplice verificare che il risultato espresso dalla (1.66) può essere generalizzato per un numero qualunque di suoni puri componenti secondo la:

   N 

∆ pS,rms  =

∆ p2 i,rms

 

(1.67)

i=1

Dividendo Divide ndo per ∆ pR,rms  ed elevando al quadrato ambo i membri si ha: N 

2



∆ pS,rms ∆ pR,rms

  =

i=1

2 ∆ pi,rms ∆ p2 R,rms

Osserviamo che per ciascun termine della sommatoria a secondo membro si può scrivere: 2 L p,i ∆ pi,rms = 10 ∆ pR,rms





∆ 10

e il primo membro si può porre come:

 10

∆ pS,rms ∆ pR,rms

2



= 10

L∆p,S 10

Si ricordi che 2 che  2 cos( cos(a) cos( cos(b) = cos(a − b)+cos(a + b)  e che è costantemente nullo il valore medio delle funzioni coseno nel periodo.

 

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25

Figura 1.10: Composizione ( Composizione  (L LS )  di due livelli sonori  L 1   e  L 2 Con queste posizioni si ha: 10

N 

L∆p,S

=

10

L∆p,i

10

(1.68)

10

i=1

 

ovvero:

  N 

L∆ p,S  = 10 log log10

10

L∆p,i 10

i=1



 

(1.69)

L’equazione precedente lega, per un suono complesso, i livelli di pressione sonora dei suoni componenti componenti a quello del suono risultante risultante.. Consideriam Consideriamo o il caso sempli sem plice ce in cui si abbia abbia a che che fare fare con due sole sorge sorgent nti. i. In questa questa ipotesi ipotesi la (1.68) si riscrive riscrive come: 10

L∆p,S 10

= 10 = 10

L∆p,1 10

L∆p,1 10

+ 10



L∆p,2 10

1 + 10

=

L∆p,2−L∆p,1 10



Estraendo il logaritmo decimale di entrambi i membri e riordinando: L∆p,1 −L∆p,2

log10 1 + 10− L∆ p,S   =  L ∆ p,1 + 10 log



10



 

(1.70)

Se Se   L∆ p,1   > L∆ p,2  la precedente mostra che il livello sonoro L sonoro  L ∆ p,S  di un suono risultante è dato dalla somma del livello più alto   L∆ p,1   e di un termine che dipende dalla diff eerenza renza dei livelli di pressione acustica dei due suoni componenti L∆ p,1 L∆ p,2 . In partic particolar olare, e, se si hanno hanno due sorgen sorgenti ti che che origina originano no lo ste stesso sso livello livello di pressione sonora (L (L∆ p,1  = L  =  L ∆ p,2  = L  =  L ∆ p) il livello risultante vale:

−

logg10 2 L∆ p,S   =  L ∆ p  + 10 lo

≈L

∆ p

 + 3   dB re 2

× 10−5 Pa

L’equazione (1.70) è espressa dal grafico di sinistra in Fig.1.10. Lo stesso grafico può essere utilizzato anche per la determinazione del livello risultante originato da più sorgenti componendole a due a due. A titolo di esempio consideriamo il caso in cui si abbiano tre sorgenti identiche. Il livello sonoro di ciascuna di esse, in un certo punto del campo, è noto e

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

26

pari a 80 dB. Si ottiene che due di esse producono un livello pari a 80 a  80 + 3 = 83 dB. Questo livello risultante può essere composto con quello della terza sorgente per ottenere ottenere 83  83 + 1. 1.75 = 84. 84.75 75 dB.  dB. Lo stesso risultato si ottiene impiegando la (1.69): 84..77 log10 108.0 + 108.0 + 108.0  = 84 L∆ p,S  = 10 log





Spesso è necessario determinare il livello L livello  L ∆ p,1  di una sorgente dalla conoscenza quello  L ∆ p,2  di una seconda sorgente. In tal caso di quello risultante L risultante  L ∆ p,S  e di quello L possiamo scrivere che: 10

L∆p,1

= 10

10

= 10

L∆p,S 10

L∆p,S 10

da cui si ricava:

L∆p,2

− 10 1 − 10− 10



−

L∆ p,1  =  L ∆ p,S  + 10log10 1

=

L∆p,S −L∆p,2 10

10−



L∆p,S −L∆p,2 10



 

(1.71)

che è espressa dal grafico di destra della Fig.1.10. Come esempio supponiamo di aver rilevato che, in un punto di un campo sonoro, il livello di pressione acustica L∆ p,S    dovuto all’ansieme di due sorgenti è pari a 80 dB. Allorché una delle due sorgenti viene disattivata il livello di pressione sonora nello stesso punto si riduce a  a   L∆ p,2   =75 dB. Attraverso la (1.71) o il predetto diagramma si ricava facilmente che il livello sonoro  L ∆ p,1  dell’altra sorgente vale  vale   80 1.65 = 78. 78.35 dB. Un controllo del risultato può essere fatto sovrapponendo i due livelli  L ∆ p,1 e   L∆ p,2  mdiante il primo diagramma di Fig.1.10.

−

1.10 1.1 0

Spe Spett ttri ri ac acus usti tici ci     p  

    p  

1

i

      i 

    p  

      i 

    p  

t 

i

Figura 1.11: Spettro sonoro di un suono puro L’operazione inversa della composizione (sintesi  ( sintesi ) di suoni puri consiste nella ricerca delle caratteristiche (ampiezza  (ampiezza    e  frequenza ) dei suoni puri componenti (o  armoniche )).. Una volta che per ciascuna armonica armonica siano state determinate determinate l’ampiezza   ∆ pi   e la frequenza   ν i , si costruisce un diagramma su di un piano ∆ p ν  riportando   riportando in corrispondenza di  ν i  un segmento di lunghezza pari (in una certa scala) a ∆ pi . Tale diagramma è detto spettro detto  spettro acustico del acustico  del suono complesso consid con sidera erato. to. Va da sé ch chee lo spettro spettro sonoro sonoro di un suono puro è costit costituit uito o da un’unica riga (vedi Fig.1.11).

−

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

 

27

Si distinguono, distinguono, al solito, solito, i casi in cui il suono complesso complesso sia periodico periodico dai casi in cui il suono complesso sia non periodico.

1.10.1 1.1 0.1

Spettri Spettri acus acustic ticii di suoni suoni period periodic icii

Se il suono è periodico lo spettro può essere definito attraverso la cosiddetta analisi in   banda stetta   stetta   (o di  Fourier   Fourier ). ). La base matema matematic tica a di que questo sto tipo di 1  = ω analisi è rappresentata dal teoreme di Fourier secondo cui se è   ν 0   =   T  2π la frequenza del suono periodico esso può sempre esprimersi mediante la serie aperta (serie (serie di Fourier ): Fourier ): 0

∆ pn  = ∆ p01,n cos nω t + ∆ p02,n sin nω t

n  = 0, 1, 2, . . .

 

(1.72)

(1.72)) corrispondent corrispondentii a ciascuna frequenza frequenza nν 0 Le ampiezze ∆ p01,n  e ∆ p02,n   della (1.72 vengono in generere determinate inviando il segnale in opportuni analizzatori. Lo spettro di un suono periodico è, per quanto or ora ricordato, uno spettro discontinuo  (Fig.1.12).  

    p  

p  

t 

 

1   2   3   4   5 0

Figura 1.12: Spettro acustico di un suono periodico

1.10.2 1.1 0.2

Spettri Spettri acust acustici ici di di suoni suoni non non periodici periodici

Suoni generati da sorgenti che posseggono un numero molto elevato (teoricamente infinito) di modi di vibrazione presentano uno spettro con altrettante frequenze non frequenze  non in relazione armonica  per armonica  per cui il suono non è periodico e lo spettro si presenta continuo presenta  continuo (vedi  (vedi Fig.1.13a). Per completezza consideriamo anche il caso, non infrequente, in cui ad un evento sonoro aperiodico si sovrappone un suono periodico. Lo spettro, in questo questo caso, si presenta come in Fig.1.13,b ed è costituito costituito dalla sovrapposizione di quello continuo di Fig.1.13,a e quello discontinuo di Fig.1.12.

1.10.3 1.1 0.3

Anali Analisi si spett spettral rale e di un suon suono o

Per la determinazione sperimentale dello spettro sonoro di un suono complesso si ricorre ad opportuni strumenti, detti  filtri acustici , che permettono il passaggio delle sole frequenze comprese comprese tra due valori limite: limite: quello inferiore inferiore   ν 1   e quello superiore   ν 2   che sono dette   frequenze di taglio. taglio. Pi Più ù è st stre rett tta a la banda banda ν 1  più è elevato il numero di filtri necessari a coprire l’intera banda ∆ν   =  ν 2

−

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

a  p

28

b

 

p

Figura 1.13 Figura 1.13:: Spettro Spettro di un suono non periodico periodico   (a)   a cui si sovrappongono componenti tonali pure  pure   (b) udibile e più è elevato il numero delle misure da e ff ettuar e ttuare. e. Più comples complessa sa e costosa diventa, perciò, la strumentazione e più lunga e costosa diventa la misura.l’orecchio In compenso, però,piuttosto aumenta aumentagrossolanamente il dett dettaglio aglio dell’analisi. dell’an Va detto, tuttavia, tuttav ia, che distingue le alisi. frequenze nel senso che, dati due suoni di frequenza frequenza ν 1   e  ν 2 , l’orecchio li percepisce come distinti a patto che la banda   ν 1 ν 2   sia uguale o maggiore della cosiddetta  cosiddetta   banda critica per  l’audizione . La banda critica per l’audizione ∆ν  varia   varia con la frequenza secondo la legge:

−

∆ν 

ν c

=

  ν 2

− ν 1 = Cost  Cost =  =  β 

 

ν c

(1.73)

con   ν c   è la la frequenza  frequenza centrale di banda  e banda  e vale: ν c  =

√ ν  ν 

1 2

 

(1.74)

Le bande critiche per l’audizione, pertanto, sono bande ad ampiezza ad  ampiezza percentuale costante  e   e si misurano in ottave  in  ottave . Una banda ha ampiezza pari ad un’ottava se le frequenze limiti sono tali che: ν 2 ν 1 = 2

Sono 11 le bande d’ottava che coprono l’intero intervallo delle frequenze udibili. I valori normalizzati delle frequenze di taglio e di quella centrale per ciascuna di esse sono mostrati in Tab. 1.3. La stessa tabella riporta anche le medesime grandezze per bande a   31  d’ottava che costituiscono costituiscono un altro modo, frequent frequentemen emente te impiegato, impiegato, di costruire costruire bande ad ampiezza percentuale percentuale costant costante. e. Il numero delle bande necessarie necessarie a coprire coprire l’intero intervallo di frequenze udibili è in questo caso pari a 32. Generalizzando, la relazione che intercorre tra le frequenze estreme di banda ν 1   e  ν 2  di una banda di frequenze che contiene n contiene  n  ottave è: ν 2  = 2n ν 1

 

(1.75)

Il valore di n di  n,, perciò, può assumere valori interi (1 è il più frequente) o frazionari 1 1  1 ( 2 , 3 , 24 , . . .). .).

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

 

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

29

Dalle precedenti derivano le seguenti relazioni che esprimono le frequenze estreme e l’ampiezza di banda in funzione di   ν c   (che compare sull’ascissa dello spettro): n n ν 1  = 2− ν c ;   ν 2  = 2 ν c ; 2

2

  ∆ν   =  ν 2

− ν 1  =  ν 

c



2n 2

− 2−

L’ultima delle precedenti, se confrontata con la (1.73), fornisce: n

n

2

2

n 2



− 2− √  1   =  √ 1   = 00..707 da cui si vede che per n per  n =  = 1  si ha  β   = 2 −  √  707 il  il che vuol dire che 2 2 β   = 2

la larghezza di banda è poco po co più del 70% della frequenza frequenza centrale centrale di banda. Allo stesso modo si vede che per bande ad   13   d’ottava  β  = 2 2− 0.231 23%. La larghezza di banda in questo caso rappresenta il 23% di   ν c . Concludiamo dicendo che se lo spettro acustico è determinato per il tramite di bande ad ampiezza percentuale costante, allora è utile costruire l’asse delle frequenze in scala logaritmica. Ciò non solo opera una compressione della scala con il vantaggio di una migliore lettura, ma consente di avere intervalli uguali tra le frequenze centrali di banda. Infatti dalla (1.75) si ricava che: 1 6

−

1 6

≈

≈

log ν 2  = log ν 1  + n log2 dalla quale si vede che è costante la di ff erenza erenza tra le frequenze di taglio della generica generi ca banda. Inoltre Inoltre dalla (1.74) si ricav ricava che: log ν c  =

  log ν 1  + log ν 2 2

la quale mostra che la frequ frequenza enza centrale centrale di banda si colloca, geometricame geometricamente nte,, al centro della banda stessa.

 

CAPITOLO CAPIT OLO 1.

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

 

30

Bande d’ottava Bande   31   d’ottava ν i   (Hz)   ν c   (Hz)   ν s   (Hz)   ν i   (Hz)   ν c  (Hz)   ν s   (Hz) 11 16 22 14.1 16.0 17.8 17.8 20.0 22.4 22.4 25.0 28.2 22 31.5 44 28.2 31.5 35.5 35.5 40.0 44.7 44.7 50.0 56.2 44 63 88 56.2 63.0 70.8 70.8 80.0 89.1 89.1 100.0 112.0 88 125 177 112.0 125.0 141.0

177

250

355

355

500

710

710

1000

1420

1420

2000

2840

2840

4000

5680

5680

8000

11360

11360

16000

22720

114718..00 224.0 282.0 355.0 447.0 562.0 708.0 891.0 1122.0 1413.0 1778.0 2239.0 2818.0 3548.0 4467.0

126000..00 250.0 315.0 400.0 500.0 630.0 800.0 1000.0 1250.0 1600.0 2000.0 2500.0 3150.0 4000.0 5000.0

12728 4..00 282.0 355.0 447.0 562.0 708.0 891.0 1122.0 1413.0 1778.0 2239.0 2818.0 3548.0 4467.0 5623.0

5623.0 7079.0 89 8913 13.0 .0 11 1122 220. 0.0 0 14130.0 17 1778 780. 0.0 0

6300.0 8000.0 10 1000 000. 0.0 0 12 1250 500. 0.0 0 16000.0 20 2000 000. 0.0 0

7079.0 8913.0 11 1122 220. 0.00 14 1413 130. 0.00 17780.0 22 2239 390. 0.00

Tabella 1.3: Valori normalizzati normalizzati delle frequenze frequenze centrali e di taglio taglio per bande d’ottava e terzi d’ottava