Actuarial Seguros Personales - UBA

Cátedra: Metelli Profesores: Ma. Alejandra Metelli Alejandro Simón

Horario: Lu – Ju de 17 a 19 Sá de 9 a 11

Índice CONTRATOS DE SEGURO ............................................................................................................ 8 Introducción .................................................................................................................................. 8

UNIDAD I................................................................................................................... 14 Factores de valuación .................................................................................................................. 14 Capital Diferido de Vida: E(x;t) ..................................................................................................... 14 Análisis de la función .................................................................................................................. 16 Valores singulares del capital diferido de vida ........................................................................... 17 Comparación del capital diferido de vida con sus componentes ................................................ 17 Marcha Progresiva Colectiva ...................................................................................................... 18 Marcha Progresiva Individual ..................................................................................................... 19 Factor de Capitalización Actuarial ................................................................................................ 21 Análisis de la Función ................................................................................................................. 22 Valores singulares del Factor de Capitalización Actuarial ......................................................... 23 Comparación del factor de capitalización actuarial con sus componentes ................................. 23 Capital Diferido de Muerte ............................................................................................................ 24 Expresión del capital diferido de Muerte por medio de la esperanza matemática ...................... 25 Análisis de la función .................................................................................................................. 25 Valores singulares del factor de actualización actuarial muerte ................................................. 26 Marcha Progresiva Colectiva ...................................................................................................... 27 Marcha Progresiva Individual para la Edad de Inicio “x” .......................................................... 28

UNIDAD II ................................................................................................................. 30 Valores de Conmutación ............................................................................................................. 30 Relaciones entre los valores de Conmutación ............................................................................. 31 Seguros de vida de capitales múltiples o Rentas Vitalicias ........................................................... 32 Valores singulares de las rentas vitalicias ................................................................................... 36 Análisis de la función .................................................................................................................. 37 Marchas progresivas de rentas vitalicias ..................................................................................... 40 Marcha Colectiva de riesgo Inmediato y Temporario .......................................................................................... 40 Marcha Individual de riesgo Inmediato yTemporario .......................................................................................... 41 Marcha colectiva de riesgo diferido y limitado .................................................................................................... 41 Marcha individual de riesgo diferido y limitado................................................................................................... 43 Casos particulares ................................................................................................................................................. 44

Valor Final de los seguros de vida de capitales múltiples o Imposiciones Vitalicias .................. 45 Caso particular de las imposiciones vitalicias (por llegar al final de la tabla) ............................ 47

UNIDAD III ............................................................................................................... 48 Seguros de Muerte .......................................................................................................................... 48 Marchas Progresivas del Seguro de Muerte ................................................................................ 53 1- Marcha colectiva del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única) ......................... 53 2- Marcha individual del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única) ....................... 54 3- Marcha colectiva del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única) ............................ 55 4- Marcha individual del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única)........................... 56

Relaciones entre Seguros de Vida y de Muerte........................................................................... 57 Análisis de la Función ................................................................................................................. 59 Cálculo de las Primas Puras Anuales o Primas Niveladas............................................................ 61 Primas puras anuales del Capital diferido de vida ...................................................................... 61 2

Primas puras anuales de las rentas vitalicias ............................................................................... 62 Primas puras anuales del seguro de muerte ................................................................................. 63 Marcha Progresiva Colectiva de Seguro de Renta Vitalicia Diferida y Limitada (a prima pura anual) ........................................................................................................................................... 66

UNIDAD IV ................................................................................................................ 67 Planes Mixtos y Planes Especiales ................................................................................................. 67 Plan mixto o Plan Dotal ................................................................................................................. 67 Prima pura única: ........................................................................................................................ 67 Prima Pura Anual: ....................................................................................................................... 67 Plan Dotal Doble Capital o Capital Doblado ................................................................................ 68 Prima Pura única: ........................................................................................................................ 68 Prima pura anual: ........................................................................................................................ 69 Planes Especiales ........................................................................................................................... 70 Término Fijo ................................................................................................................................... 70 Comparación con el Plan Dotal ................................................................................................... 70 Marcha Progresiva Colectiva (a prima pura única ) .................................................................... 71 Marcha Progresiva Individual (a prima pura única).................................................................... 72 Seguro de Cuotas o Rentas Post-Mortem ....................................................................................... 73 Cuando el plazo de cobertura de muerte es menor que el plazo de cancelación de deudas ........ 74 Marcha progresiva individual a prima pura anual ....................................................................... 74 Seguros de Saldo de Deuda ............................................................................................................ 75 Sistema Francés ........................................................................................................................... 75 Sistema alemán ............................................................................................................................ 77 Préstamo cancelable mediante un sistema americano sin constitución de fondo ....................... 79 Préstamo cancelable mediante un sistema americano con constitución de fondo ...................... 80

UNIDAD V ................................................................................................................. 82 Seguros de Capitales Múltiples Variables ..................................................................................... 82 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión aritmética .................................. 82 - Crecientes de razón igual al capital inicial (Increasing) ........................................................... 82 Marcha progresiva individual a P.P.U. de un seguro de vida de capitales variables en progresión aritmética de razón igual al capital inicial (increasing) .............................................................. 90 - Crecientes de razón distinta al capital inicial............................................................................ 90 - Decrecientes de razón igual al capital final (Decreasing)......................................................... 94 Seguros de muerte de capital variable en progresión aritmética .................................................. 98 - Creciente de razón igual al primer capital ................................................................................ 98 Marcha progresiva individual a P.P.U. de seguros de muerte de capitales variables crecientes en progresión aritmética de razón igual al primer capital (Increasing-diferida h y limitada n)..... 106 Seguros Variables de Razón “r” .................................................................................................. 106 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo limitado: A (x; h; n; r) .......................................... 107 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo limitado: ............................................................ 109 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo ilimitado: ........................................................... 109 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo ilimitado: .............................................................. 110 Seguro de Muerte Decreciente de Razón Igual al Último Capital ............................................... 112 Seguro de muerte de riesgo diferido y plazo limitado .............................................................. 112 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo limitado:.......................................................... 113 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado: ........................................................ 114 Seguro de Muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado: ............................................................ 115 3

Cálculo de las Primas Puras Anuales .......................................................................................... 116 - Crecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n) ..................................................................... 116 - Decrecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n) ................................................................. 117 - Primas variables de razón diferente al valor de la Pv(x;n) ..................................................... 117 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión geométrica .............................. 118 1) De riesgo inmediato y plazo limitado ................................................................................... 118 2) De riesgo inmediato, sin límite ............................................................................................. 118 3) De riesgo diferido y plazo limitado ...................................................................................... 119 4) De riesgo diferido, sin límite ................................................................................................ 120 Seguros de muerte de capitales múltiples variables en progresión geométrica .......................... 121 1) De riesgo inmediato y plazo limitado ................................................................................... 121 2) De riesgo inmediato, sin límite ............................................................................................. 122 3) De riesgo diferido y plazo limitado ...................................................................................... 123 4) De riesgo diferido, sin límite ................................................................................................ 124

UNIDAD VI .............................................................................................................. 125 Seguros Fraccionarios ................................................................................................................. 125 Distribución Uniforme de Fallecimientos (D.U.F.) .................................................................. 125 Distribución uniforme del capital diferido de vida (D.U.E.) .................................................... 125 Seguros fraccionarios - Capital Diferido de Vida ....................................................................... 127 1) Riesgo inmediato y limitado ................................................................................................. 127 2) Riesgo inmediato y sin límite ............................................................................................... 129 3) Riesgo diferido y limitado .................................................................................................... 131 4) Riesgo diferido y sin límite ................................................................................................... 133 Resolución por Woolhouse ........................................................................................................... 134 Seguros fraccionarios - Muerte .................................................................................................... 135 1) Riesgo inmediato y limitado ................................................................................................. 136 2) Riesgo inmediato y sin límite ............................................................................................... 138 3) Riesgo diferido y limitado .................................................................................................... 139 4) Riesgo diferido y sin límite ................................................................................................... 141 Primas Fraccionarias ................................................................................................................... 143 Con efecto liberatorio ................................................................................................................ 143 Sin efecto liberatorio ................................................................................................................. 145 Seguros Continuos ........................................................................................................................ 146 En el caso de Seguros de Vida: ................................................................................................. 146 En el caso de Seguros de Muerte: ............................................................................................. 146

UNIDAD VII ............................................................................................................ 148 Primas de Tarifa ........................................................................................................................... 148 1- Capital diferido de vida ......................................................................................................... 150 2- Seguro de Muerte .................................................................................................................. 151 3- Plan Dotal.............................................................................................................................. 152 4- Plan Dotal Doble Capital ...................................................................................................... 153 5- Rentas Vitalicias ................................................................................................................... 155 6- Término Fijo ......................................................................................................................... 156 Contraseguro ................................................................................................................................ 157 1- Cobertura principal: Capital Diferido de Vida...................................................................... 159 2- Cobertura principal: Seguro de Muerte de riesgo inmediato y temporario .......................... 161 3- Cobertura principal: capital diferido de vida con n : de este modo se indica la cobertura que se está ofreciendo. Sucesos

(x)

/

(x+t)

Capitales

0

1

Factor de actualización financiero

vt

vt

Factor de actualización biométrico q(x,0,t) 0. v t .q(x;0;t)=0

Factor de actualización actuarial

(x)

(x+t)

p(x;t) v t .p(x;t)

La valuación es al momento cero, entonces: E(x;t) = v t .p(x;t)

interactúan un factor financiero ( v t ) y uno biométrico ( p(x;t)).

E(x;t) = (1 − d) t .[1-q(x;0;t)]

siendo: d la tasa de descuento financiera.

Luego

q(x;0;t) tasa de descuento biométrico.

0 E(x;2) > ....... > E(x;t) > E(x;t+1) > ....... > E(x;w-x-1) > E(x;w-x) = 0 Ejemplo: x = 26 E(26;0) > E(26;1) > E(26;2) > ............ > E(26;10) >E(26;11) > ......... >E(26;73) > E(26;74) 1

> 0,959875 > 0,921378 > ........ > 0,6364197 > 0,610473 > ..... >0,00008745 > 0

2) Respecto a la edad

∆ E(x;t) = E(x+1;t)- E(x;t) x

= -E(x;t).[1- E(x+1;t)] E(x;t) = - E(x;t).[1- p(x+1;t) ] < 0 p(x,t) Siendo t constante, variando la edad, en la mayoría de los intervalos la función es decreciente. E(x;t) > E(x+1;t) > E(x+2;t) >.................> E(x+s;t) >..............................> E(w-1;t) < E(w;t) Ejemplo:

x = 26

t = 20

E(26;20)>E(27;20)>E(28;20)>.............>E(50;20)>....................>E(78;20)>E(79;20) 0,4337 >0,4316 >0,4308 >..............>0,31934 >...................>0,00365 > 0,00136 3) Respecto a la edad, pero con una edad de salida que no varía

∆ E(x;y) = E(x+1;y)- E(x;y) x

= E(x+1;y) - E(x;x+1) . E(x+1;y) = E(x+1;y). [1- E(x;x+1)] > 0 A medida que la edad x, manteniendo constante la edad de salida (y), el valor del factor de actualización actuarial AUMENTA. E(x,y) < E(x+1,y) < ............ a(27;20;10) > a(28;20;10) > .... > a(55;20;10) > .... > a(69;20;10) > a(70;20;10) 3,5671682 > 3,5481178 > 3,5268782 > .... > 1,5883147 > .... > 0,2043103 > 0,1593803 2) Respecto al plazo de diferimiento manteniéndose constante x y n

∆ a(x;h;n) = a(x;h+1;n) - a(x;h;n) h

=

h+n

h + n −1

t = h +1

t =h

∑ E(x;t) -

∑

E(x;t)

=E(x;h+n) - E(x;h) 37

= -E(x;h).[ 1 - E(x+h;n) ] < 0 0

1

h

h+1

h+n-2

x

x+1

x+h

x+h+1

x+h+n-2

a(x;h+1;n) a(x;h;n)

1

h+n-1

h+n

x+h+n-1

x+h+n

1

.....

1

1

1

.....

1

1

1

a(x;0;n) > a(x;1;n) > a(x;2;n) >........ > a(x;t;n) > ......... > a(x;w-x-n;n) A medida que aumenta el plazo de diferimiento, manteniéndose constantes la edad de contratación y el número de servicios, el valor de la prima pura única de la renta vitalicia DECRECERÁ. Ejemplo: a(26;0;20} > a(26;1;20) > a(26;2;20) > .... > a(26;20;20) > .... > a(26;53;20) > a(26;54;20) 13,905971 > 13,339765 >12,794896 > ....> 5,73073005 > .... > 0,27947409 > 0,23281791 3) Respecto a la cantidad de servicios manteniéndose constante x y h

∆ a(x;h;n) = a(x;h;n+1) - a(x;h;n) n h+n

h + n −1

t =h

t =h

= ∑ vt . p(x;t) -

∑

vt . p(x;t)

h + n −1

=

∑

t =h

h + n −1

E(x;t) +E(x;h+n) -

∑ E(x;t)

t =h

= E(x;h+n) > 0 0 x

1

2

x+1 x+2

h

h+1

h+n-2

h+n-1

x+h

x+h-+1

x+h+n-2

x+h+n-1

x+h+n 1

a(x;h;n+1)

1

1

......

1

1

a(x;h;n)

1

1

......

1

1

h+n

A medida que aumenta la cantidad de servicios , manteniéndose constantes la edad y el plazo de diferimiento, el valor de la prima pura única CRECERÁ. Ejemplo: a(26;20;1) < a(26;20;2) < a(26;20;3) < .... < a(26;20;20) < .... < a(26;20;53) < a(26;20;54) 38

0,433793 < 0,8488506 < 1.245820 < .... < 5,73073005 < .... < 7,31536019 < 7,3154237 Rentas Vitalicias Inmediatas a) Respecto a la edad

∆ a(x;0;n) = a(x+1;0;n)-a(x;0;n) = t=0∑

n -1

E(x+1;t)-t=0∑n -1 E(x;t) = t=0∑n -1 vt [p(x+1;t) - p(x;t)] <

x

0 a(x;0;n)> a(x+1;0;n)> a(x+2;0;n)> ...........> a(x+t;0;n)>......................... >a(w-n;0;n) En general a medida que aumenta la edad x, manteniéndose constante el numero de servicios; la prima (con respecto al seguro de vida con riesgo inmediato y plazo limitado) DECRECERÁ. Ejemplo: a(26;0;20) > a(27;0;20) > a(28;0;20) > .... > a(55;0;20) > .... > a (79;0;20) > a(80;0;20) 13,90597 > 13,897399 > 13,88674 > .... > 13,522645 > .... > 5,9819312 > 5,701754 b) Respecto al número de primas

∆ a(x;0;n) = a(x;0;n+1) - a(x;0;n) = n

t=0∑

n

E(x;t) - t=0∑n -1 E(x,t)

=E(x;n) + t=0∑n -1 E(x;t) - t=0∑n -1 E(x;t) = E(x;n) > 0

a(x;0;n)