Actphys Cours9 Ledipole RLC

ACTIVITE COURS PHYSIQUE N°9 TS

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LE CIRCUIT RLC

Activité-cours de physique N° 9

Le circuit RLC série Objectifs •

Connaître les différents régimes de décharge d’un condensateur dans une bobine.

•

Savoir établir et résoudre l’équation différentielle des oscillations libres lorsque l’amortissement est négligeable.

•

Savoir interpréter les transferts d’énergie dans un circuit RLC siège d’oscillations libres.

•

Savoir interpréter l’entretien des oscillations.

1. Décharge d’un condensateur dans une bobine Montage et protocole expérimental

1

On a le montage ci-contre où E = 6,0 V :; (L = 1,0 H , r = 11 Ω); r’ = 5,0 Ω; C = 15 μF. On charge le condensateur ( interrupteur en position 1 ) et on le décharge dans la bobine ( interrupteur en position 2 ).

2 K

E

Questions

i(t)

L,r

1. Schématiser les connexions à un système d’acquisition pour visualiser la tension uC aux bornes du condensateur en convention récepteur à la décharge seulement. Citer deux systèmes d’acquisition que vous connaissez. 2.

C r’

On obtient le graphe ci-après.

2.1. Comment varie l’amplitude appelle-t-on ce phénomène ?

de

la

tension

i(t

boîte de résistances

uC ? Comment uC’

2.2 Comment condensateur?

peut-on

qualifier

la

décharge

du

2.3. La décharge est dite pseudopériodique. On définit alors une pseudo-période, notée T . Pourquoi utilise-t-on ce terme ? Indiquer T sur le graphe. Comment la mesurer avec le maximum de précision ? La déterminer graphiquement.

E = 6,0 V ; (L = 1,0 H , r = 11 Ω); r’ = 5 Ω; C = 15 μF

3.

Pourquoi les oscillations de la tension uC observées sont-elles appelées oscillations libres?

4.

Quelle est la valeur de la résistance totale R du circuit de décharge, appelé circuit RLC série.

Retenons Un circuit RLC série est un circuit comportant, en série, un c……………………………………….. de résistance r’, une b…………….. d’inductance L et de résistance r, et un c…………………….. de capacité C. La résistance R est la …………………………………………….. du circuit : R = ………………… Pour une valeur suffisamment faible de R, un circuit RLC série, réalisé avec un condensateur i……………………. chargé est le siège d’o………………… é…………………… l……………. a……………………… La p………………………………. T est la durée entre deux passages consécutifs par une valeur nulle de la tension uC aux bornes du condensateur, celle-ci variant dans le même sens.

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5.

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LE CIRCUIT RLC

Evolution du courant lors de la décharge

Le graphe ci-contre montre les variations de uc et i en fonction de t.

uC’ et i

5.1. Schématiser les connexions à un oscilloscope à mémoire pour visualiser i. Expliquer brièvement.

uC

5.2. Quelle relation devrait-on utiliser pour créer la grandeur i si on voulait la visualiser à l’ordinateur ? i’

5.3. Quelle est la particularité de uC aux instants où i = 0. Expliquer brièvement.

2. Quelle est l’influence de la résistance sur les oscillations électriques libres ? Les figures ci-après montrent l’évolution de uC pour deux valeurs distinctes de la résistance R du circuit. uC’

E = 6,0 V ; (L = 1,0 H , r = 11 Ω); r’ = 5 Ω; C = 15 μF Figure-1

uC’

E = 6,0 V ; (L = 1,0 H , r = 11 Ω); r’ = 50 Ω; C = 15 μF Figure 2

1.

Quelles sont les valeurs de la résistance R dans les deux cas ?

2.

En déduire l’influence de la résistance sur les oscillations électriques libres?

3. Dans le cas idéal où le circuit RLC aurait une résistance nulle ( circuit LC série ), quelle serait, selon vous la nature des oscillations de la tension uC ? Observer une simulation de ce cas idéal. 4.

Selon vous, quel phénomène électrique est responsable de l’amortissement des oscillations libres de la tension uC ?

5. La pseudo période semble-t-elle varier lorsqu’on passe du cas de la figure 1 à celui de la figure 2 ? Observer une simulation pour confirmer. 6. Observer une simulation qui montre comment évolue le régime de décharge du condensateur lorsque l’on augmente « fortement » la résistance. Quelle différence y a-t-il entre les régimes 2 et 3 d’une part et le régime pseudo périodique 1 d’autre part ? Le régime 2, obtenu pour une valeur particulière RC de R est appelé régime critique? A quoi correspond-t-il ? Le régime 3 s’appelle régime apériodique? A quoi correspond-t-il?

uC’

3

2

1

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Retenons C’est la r……………………………… du circuit RLC qui est responsable de l’a………………………… des o………………………….. libres. Selon la valeur de la résistance totale R. du circuit RLC, on distingue : ♦

Le régime p………………………………………. qui caractérise des o……………. a…………………., obtenu pour de « f………. » valeurs de R.

♦

Le régime c…………………………………….., obtenu pour une valeur particulière RC de R, correspond à la décharge la plus r……………… du condensateur sans ……………………….

♦

Le régime a………………………….. obtenu pour de «g…………..» valeurs de la résistance (supérieures à RC ) correspond à une décharge « l ……….. » du condensateur sans …………………..

Pour de « faibles valeurs » de R ( R petit devant Rc ), la pseudo-période T ne dépend pas de ………

3. Quels sont les paramètres qui influent sur la pseudo-période ? 1.

La résistance influe-t-elle sur la pseudo période T ?

2.

A l’aide d’une simulation étudier l’influence de L et de C sur T.

Retenons La pseudo-période T d’un circuit RLC série augmente quand la capacité C ………………….. et quand l’inductance L …………………………….. et vice-versa.

4. Etude théorique de la décharge d’un condensateur dans une bobine idéale : circuit oscillant LC 4.1. Equation différentielle qui régit les variations de uC 1. Placer les charges q et - q portée par les armatures. Placer les flèches tensions uC et uL en convention récepteur, aux bornes du condensateur et de la bobine idéale 2.

Ecrire la loi des mailles.

3. Ecrire les condensateur.

relations

i(t) C

charge-tension

et

charge-intensité

pour

le

L

4.

Ecrire la relation tension-intensité pour la bobine.

5.

Montrer à partir des relations précédentes que uc est régi par l’équation différentielle linéaire du second ordre : 2 d u

C

2 dt

+

1 .u L.C

C

=0

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4.2. Solution de l’équation différentielle qui régit uC(t) On montre en mathématiques que la solution générale de l’équation différentielle précédente est une fonction

sinusoïdale du temps de la forme :

u ( t ) = U cos c m

⎛ ⎜ ⎝

2 πt +φ T o

⎞ ⎟ o ⎠

où Um, φo et Το sont des paramètres constants indépendants de t. 1.

Montrer que To est une période de la fonction uc(t) : on l’appelle période propre.

2.

Exprimer la dérivée première, puis la dérivée seconde de uC.

3. Traduire alors que la fonction uC(t) proposée vérifie l’équation différentielle puis en déduire l’expression de la période To en fonction de L et C.

4.

Montrer, par analyse dimensionnelle, la cohérence de l’expression de To.

5.

Détermination des constantes Um et φο.

Pour déterminer Um et φο , on utilise deux conditions initiales, l’une portant sur la tension uC et l’autre portant sur l’intensité. ¨Par exemple, on suppose qu’initialement ( t = 0 ), le condensateur est chargé sous une tension E et que le courant a une intensité nulle. 5.1. Exprimer les conditions initiales sous forme de deux équations mettant en jeu Um et φo.

5.2. En supposant que Um est positif, calculer Um et φo, puis écrire la solution uC(t) en fonction de E et To.

5.3. Pour les valeurs L = 1,0 H, C = 15 μF et E = 6,0V, le graphe ci-après donne l’allure des variations de uC(t). 5.3.1. Comment peut-on décrire les variations de uC(t)?

uC 6,0 V

5.3.2. Um est appelé amplitude des oscillations. Quelle est la signification de Um ? Indiquer Um sur le graphe.

5.3.3. Calculer To et comparer à la valeur sur le graphe. Comparer de même To à la valeur de la pseudo-période T obtenue à la question 2.3 du paragraphe 1. Conclure.

To = 24,3 ms

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Retenons

La fonction

⎛ u ( t ) = U cos ⎜ c m ⎝

2 πt

⎞ +φ ⎟ o ⎠

2 d u

est solution de l’équation différentielle

C

2

+

1 .u

C

= 0 qui

L.C T dt o régit les variations de la tension uC(t) dans un circuit LC : les variations de uC(t) sont sinusoïdales de période :

To = ………………., appelée ………………………………………….des o………………………… l ……………… du ciruit LC. La constante Um ( conventionnellement > 0 ) appelée …………………. et la constante φo, appelée phase à l’origine des dates sont déterminables à l’aide des c…………………………………………. portant sur uC et i ( uC(0) et i(0) ). 6.

Expression de la charge et du courant.

⎛ 6.1. Exprimer, à partir de la solution générale u (t), la charge q(t), sous la forme q ( t ) = Q cos ⎜ m ⎝

2 πt

C

T o

⎞ +φ ' ⎟ o ⎠

où les constantes Qm et φ’o seront exprimées en fonction de C, Um et φo ( Qm s’appelle amplitude de la charge ).

6.2. Exprimer de même, l’intensité i(t) sous la forme i ( t ) = I

m

cos

en fonction de C, Um To et φo ( Im s’appelle amplitude du courant ).

⎛ ⎜ ⎝

2 πt +φ ' ' T o

⎞ ⎟ où I o ⎠

m

et φ’’o seront exprimées

6.3. La figure ci-contre donne, sur le même graphe les évolutions temporelles de i(t) et uC(t). Commenter les valeurs particulières prises simultanément par i(t) et uC(t).

5. Comment s’effectuent les échanges d’énergie dans un circuit oscillant ? 5.1. Expression de l’énergie emmagasinée par un circuit RLC Rappeler les expressions des énergies emmagasinées par un condensateur de capacité C et par une bobine d’inductance L, à un instant de date t quelconque et en déduire l’expression de l’énergie emmagasinée par un circuit RLC.

Retenons L’expression de l’énergie E(t) emmagasinée par un circuit RLC à un instant de date t quelconque est : E(t) = ………………………………………... Unités S.I: ………………………………………………………………………………………………………………………..

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5.2. Cas d’un circuit idéal LC La figure ci-contre donne les évolutions temporelles des énergies Ebob et Econd et Etotale emmagasinées respectivement par la bobine, le condensateur et le circuit idéal LC (R = 0 ). 1. Comment évolue expliquer cette évolution.

Etotale ?

E

Ebob

Etotal

Econd

Comment

2.

Que pensez-vous de Econd quand Ebob = 0J ?

3.

Que pensez-vous de Ebob quand Econd = 0 J?

4. Comment varie Econd quand Ebob augmente ? Comment s’effectue alors le transfert d’énergie ?

t ( ms 10 ms

5.

20 ms

Comment varie Ebob quand Econd augmente ? Comment s’effectue alors le transfert d’énergie ?

6. Soit Um l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur et Im l’amplitude du courant qui circule dans le circuit LC. Exprimer de deux façons l’énergie totale du circuit. Justifier.

Retenons Lors des oscillations d’un circuit LC, l’énergie totale du circuit se ……………………….. : Etotale = ……….. = ……………= c…….. Il y a transfert mutuel d’…………………….. entre le…………………………. et la …………………………… sans d…………………………..………………………………. Exercice: Montrer, à partir de l’expression de uC(t) obtenue dans le cas d’un dipôle idéal, que l’énergie totale du dipôle LC est constante et retrouver les deux expressions de l’énergie totale obtenues à la question 6 ( cf réponse à l’exercice 1 de la série d’exercices sur le circuit RLC ). On montrera que la période de variation des énergies Econd et Ebob vaut To/2 où To est la période propre des oscillations libres du circuit LC.

5.2. Cas d’un circuit réel RLC La figure ci-contre donne les évolutions temporelles des énergies Ebob et Econd emmagasinées respectivement par la bobine et le condensateur, lorsque ce dernier est chargé initialement. 1.

Identifier Ebob et Econd.

2.

Tracer l’allure de Etotale. Comment évolue-t-elle ?

E (μJ)

2 1

Comment expliquer cette évolution ? E = 6,0 V ; (L = 1,0 H , r = 11 Ω); r’ = 5 Ω; C = 15 μF 3.

Décrire à partir de ces graphes les échanges énergétiques à l’intérieur du circuit RLC.

Retenons Lors des oscillations d’un circuit RLC, l’énergie totale du circuit ………………………………. Il y a transfert mutuel d’…………………….. entre le…………………………. et la …………………………… avec d…………………………..pr………………….. d’énergie dans le circuit par e…………………………………………. Cette d…………………………………d’énergie est à l’origine de l’…………………………. des o………………….

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6. Comment peut-on entretenir les oscillations non amorties? Naturellement les oscillations électriques libres d’un circuit RLC s’amortissent. Que faudrait-il faire pour empêcher l’amortissement ?

La solution est de brancher aux bornes du dipôle RLC un module électronique possédant une conducteur ohmique intérieur de résistance Ro réglable dont on peut ajuster la valeur pour compenser exactement à chaque instant les pertes d’énergie par effet Joule.

Constatations ♦

Si Ro est trop faible, aucune oscillation n’est observée.

♦

Si Ro atteint une valeur particulière, on constate que des oscillations sinusoïdales prennent naissance dont la valeur vaut To = 2 π

L.C ; c’est

« l’accrochage des oscillations »

Questions 1. Quelle doit être l’expression de u(t) aux bornes du module électronique ( générateur d’entretien ) pour que l’équation différentielle vérifiée par uC(t) en convention récepteur, soit identique à celle obtenue pour un circuit LC idéal. 2. En déduire que le générateur d’entretien est alors équivalent à un conducteur ohmique de résistance négative que l’on précisera. 3.

Quelle est la puissance reçue par le générateur ? Commenter son signe et le transfert de puissance.

Retenons Les oscillations d’un circuit RLC série peuvent être entretenues par un module électronique qui compense à chaque instant les pertes d’énergie par effet Joule. Pour un ajustement particulier du générateur d’entretien, la période de ces oscillations est égale à la période propre To = 2 π

L.C du dipôle idéal LC.