Actividad Grupal - EDO Inexacta Caso 3 - Grupo 2
February 19, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA
EDO INEXACTA CASO 3 GRUPO 2 E.A.P. INGENIERÍA GEOGRÁFICA
ARANGO TORRES, Valeria Liz BARRENECHEA BENITES, Marycielo Corazon BECERRA ZEVALLOS, Cesar Gerardo BERNEDO GARCIA, Christian Gabriel CAMPOS TORRES, Sergio Junior CRESPO CCERHUAYO, Alely Gabriela MUÑOZ RIMACHI, Camilo Patricio PINEDO CIENFUEGOS, Diana Melissa QUIROZ ZAVALETA, Cesar Aaron RICRA UBAQUI, Gabriel Alfredo RODRIGUEZ CONDE, Marko Antonio
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 35. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
1 1 =0
PASO 1: Determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
= = 1 2
, =1 ,== 1 = ⇒
Como
≠ entonces la EDO no es exacta.
=,
PASO 2: Hallamos el factor de integración
.
Aplicamos el 3° caso de factor de d e integración. Sea un factor integrante para esto empleamos la ecuación:
,, =,, . ,,=0 , , = 1 1 22 = 1 1 = 1 1 1 1 = =1121 1 2 1 1 2 =
Tal que
Cumple la igualdad en el reemplazo de los valores para
y .
Ahora resolvemos con los valores impuestos para saber los valores de
y
.
= 1 = ln = = 2 ⇒ = 2ln ⇒ =
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si
es una EDO exacta.
,, = . =. ,, = ,, = 1 =0 =0
Como factor integrante ahora multiplicamos a la ecuación diferencial por el factor integrante
Comprobamos si es una ecuación exacta.
, ,== ⇒
=23 =23
= , entonces la EDO es exacta. Entonces usaremos la definición de una EDO exacta. ⇒ ∃ ,,, , =, ∧ , =, Como
/
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando
, =
,, = ,, = ,, = 2 3 … ∗
Como
, =, , derivamos ∗ con con respecto a y.
,
= , = ′ = = 0 ,, = 2 3
PASO 5: Reemplazamos el valor de
en (*)
PASO 6: Comprobamos el diferencial total:
, = ,, = , = ,, = , , =0 ⇒ ,, =0 ⇒ ,, ==
PASO 7:
,, = 2 3 = 3 2 = ∃ = / 3 2 =
Entonces determinamos que
PASO 8: Verificamos el EDO de la solución
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante la condición necesaria y suficiente 35. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
1 1 =0
PASO 1: Determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
,, == 1=1 = ⇒
Como
≠ entonces la EDO no es exacta.
= 1=2
,, =
PASO 2: Hallamos el factor de integración, en el cual es un
Aplicamos el 4° caso de factor de d e integración. Sea
.
,, = ++ =+− +=0 − + = 1 + + , = ,=+− + ⇒ =1−2+ − 1 += =0 1− 2+ =1 un factor integrante, entonces:
Para que sea exacta debe cumplirse
Igualando tenemos:
Luego:
1 =2 =2 ⇒
= =1
Por lo tanto, el factor integrante un
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si es una EDO exacta.
= 1 1 1 1 =0 1 1 =0 ,= 1 = 1 ,= 1 ⇒ == 1
Comprobamos si es una ecuación exacta.
Como
= , entonces la EDO es exacta
Entonces usaremos la definición de una EDO exacta.
⇒ ∃ ,,,
/
, =, ∧ , =,
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando
, = 1 ,, = 1 ,, = l n … ∗ , =, ∗ , = , =′
Como
, derivamos
con respecto a y. con
′ = 1
PASO 5: Integramos con respecto de “y”.
= 1 =ln =ln ,, = ln ln
PASO 6: Reemplazamos el valor de
en (*)
PASO 7: Comprobamos el diferencial total:
, ,, = =0 ,, =⇒1 ,,, 1 =0 =⇒,,,,= ==
PASO 8:
,, = ln ln = ln = = ∃ = / =
Entonces determinamos que
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 42. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
1 1=0 ,,, =0 ,, = ⟹ = = 0 ,, = 1 ⟹= = −−((+ ) = → ∃: ,, , = 0
PASO 1: Comprobamos si es una EDO EXACTA mediante la condición necesaria y
suficiente.
Como no se cumple que
, entonces es una EDO NO EXACTA.
PASO 2: Buscamos el FACTOR INTEGRANTE.
Tal que:
Evaluamos en cada caso:
EDO EXACTA.
Caso 1:
= 1 1 1 = = →= 1 = 1 =l =lnn 1 =ln
Sustitución:
►La integral no depende solo de x.
Caso 2:
= 1 = y = 3
►La integral no depende solo de y. Caso 3:
Sea
un factor integrante para esto empleamos la ecuación: ,,= = ∗ . ∗ = 1 ∗ 1 ∗ = 1 0 =
•
=1 = = 0 == =
•
=1
Cumplen los valores en la ecuación:
= 1 ∗ 1 1 1 ∗1
Entonces:
•
= = == ∫−−− = = 1 = ∫ =
•
Por lo tanto, el factor de integración es
,, = ∗ = −
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si
es una EDO exacta.
−1=0 −− −− =0 () − ′,, = ⟹ = = ( −( − + − ′,, = ⟹ = ) = − =
…(*)
Ahora sí se cumple que
, entonces es una EDO EXACTA.
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta.
′ ,, , −
Integramos
en función a la variable .
= − ,, = ,, = − ,, , − ,= = ′ ,,′
Derivamos
… (1)
en función a la variable y.
Como
′,,−= − ′− = ′ = → = 22 22 ,, = − = − −22 ,, = 22 , = ′,, = − , = ′,,,=,−=0 ,, =0 ⟹ ⟹,, = ,,,, == −− 22 22 = 22 = =
PASO 5: Reemplazamos
en (1).
PASO 6:
Comprobamos el diferencial total.
Por (*):
PASO 7:
Entonces determinamos que
y = ( x ) ;
tal que:
− 22 22 =
PASO 8: Verificamos
la solución de la EDO
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante la condición necesaria y suficiente 42. Resuelva la siguiente ecuación diferencial
1EDO EXACTA 1mediante =0 la condición necesaria y Comprobamos si es una
PASO 1:
suficiente.
,,, =0 ⟹ = = 0 ,, = ( −( − + ,, = 1 ⟹ = ) = = → ∃: ,, , = 0
Como no se cumple que
, entonces es una EDO NO EXACTA.
PASO 2: Buscamos el FACTOR INTEGRANTE.
Tal que:
EDO EXACTA.
Evaluamos en cada caso: Caso 1:
1 = 1 = 1 = →= 1 = 1 =ln =ln 1
Sustitución:
►La integral no depende solo de x. Caso 2:
1
= = y = 4 ,, = . = ∗ ∗ 1∗ ∗ =1 = 1 0 = =1 = = = = 0 = =1 = 1 ∗ 1 1 ∗1
►La integral no depende solo de y. Caso 3:
Sea
un factor integrante para esto empleamos la ecuación:
•
•
Cumplen los valores en la ecuación:
Entonces:
•
= = = ∫∫ −− = ==−= 1 == ∫
•
Por lo tanto, el factor de integración es
,, = ∗ = −
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si
es una EDO exacta. − − − − − 1 =0 =0 () − ⟹ = = ′,, = ′,, = − ⟹ = −−((+) = − Ahora sí se cumple que = , entonces es una EDO EXACTA.
…(*)
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta.
, = ′−,, ,, = − ,, = − ,, Integramos
en función a la variable .
Derivamos
en función a la variable y.
… (1)
, = − ′ , = ′,, ′,,−= − ′− = ′ = → = 3 66 66 ,, = − = − − 3 66 66 ,, = 3 66 , = ′,, = − , = ′,,,=,−=0 ,, =0 ⟹ ⟹,, = ,,,, == −− 33 66 = 66 = = 66
Como
PASO 5: Reemplazamos
en (1).
PASO 6: Comprobamos el diferencial total.
Por (*):
PASO 7:
Entonces determinamos que y = ( x) ; tal que:
− 3 66 66 =
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 50. Halla la EDO No exacta aplicando el Caso 3
4332=0
PASO 1: A través de la condición necesaria y suficiente, verificaremos si la EDO es
exacta, por lo que
M
=
N
se debe cumplir:
y
x
4 33 32 2=0 M
N
Realizamos las derivadas parciales para ambos casos
=62 =83 83≠62
Como no se cumple la EDO es no exacta.
, =. = 8362=3 2 4 3 21=3 2 4 3 relizaremos tanteo para obt e ner una i g ual d ad 21=3 2 4 33 2 1 = 66 4 4 4 3 21=21
PASO 2: Determinamos el factor de integración
, así que para
volver exacta la EDO aplicaremos:
Reemplazamos y tenemos:
Para hallar
Se tiene
•
•
= =
Operamos:
=2
=2 = = = =
Entonces:
,=.
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si
es una EDO exacta.
44 333 332 2 2=0 =12 6 =12 6 , , = 4 3
Realizamos derivadas parciales
Son iguales
Sí cumple por lo que ya es una EDO exacta. PASO 4: Resolvemos la EDO exacta
Integramos
con respecto a la variable
,, = 4 3 ,, =4 33 ,, = ,, = , =, [ ]] = 3 2′ 2′ ,=3 2 =′, = 3 =0
Como
, , entonces derivamos para hallar
= ′ , , ==
PASO 5: Reemplazamos el valor de
PASO 6: Comprobamos el diferencial total:
=,=3 =4 23 , =,
Por:
, , =0 ,, = 0 , , == = c = = , , == ∃= = ⇒, = =
constante
PASO 7:
Entonces determinamos que
tal que
Paso 8: Verificamos la solución de la EDO mediante el gráfico.
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante FACTOR DE INTEGRACIÓN - CASO 3. 50. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
44 33=0
PASO 1: A través de la condición necesaria y suficiente, verificaremos si la EDO es exacta, por lo que
M y
=
N x
se debe cumplir:
4 3=0
M
N
Realizamos las derivadas parciales para ambos casos
=8 =6 8≠6
Como no se cumple la EDO es no exacta.
,=. =
PASO 2: Determinamos el factor de integración
volver exacta la EDO aplicaremos:
, así que para
Reemplazamos y tenemos:
86=3 4 2=3 4 Para hallar relizaremos tanteo para obtener una igualdad 2=3 4
2 = 6 44 2=2
Se tiene
•
= =2 =2 = = == > > ,, = = .
•
Operamos:
Entonces:
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si es una EDO exacta.
4 3=0 4 3 =0
Realizamos derivadas parciales
=12 =12 , = 4
Son iguales
Sí cumple por lo que ya es una EDO exacta. PASO 4: Resolvemos
Integramos
,
la EDO exacta
con respecto a la variable
,, = 4 ,, ,, =4 = ,, = , =, [ ]] = 3 ′ ,=3 = , = 3 ′ =0 ′′= , , == , , == , =, =4 , =,=3 , , =0
Como
, , entonces derivamos para hallar
PASO 5: Reemplazamos
el valor de
PASO 6: Comprobamos
el diferencial total:
Por:
,, = 0 , , == = c , , == = ⇒, = = =
constante
PASO 7:
Entonces determinamos que
tal que
∃= =
PASO 8: Verificamos
la solución de la EDO mediante el gráfico.
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante FACTOR DE INTEGRACIÓN - CASO 4. 50. Halla la EDO No exacta aplicando el Caso 4
43 43 32 32=0
PASO 1: A través de la condición necesaria y suficiente, verificaremos si la EDO es M N exacta, por lo que se debe cumplir: = y x
4 33 32 2=0
M
N
Realizamos las derivadas parciales para ambos casos
=8383≠62 =62
Como no se cumple la EDO es no exacta.
,=. = 8 3 6 2 = + + 2 1 = 3 2 4 3 2 1 = 3 2 4 3 2 1 = 3 4 2 3 relizaremos un sistema de ecuaciones 34=2
PASO 2: Determinamos el factor de integración volver exacta la EDO aplicaremos:
, así que para
Reemplazamos y tenemos:
Para hallar
23=1
Entonces:
,=.
=2 ˄ =1
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si es una
EDO exacta.
44 333 332 2=0 2 =12 6 =12 6 , , = 4 3 ,, = 4 3 ,, =4 33
Realizamos derivadas parciales
Son iguales
Sí cumple por lo que ya es una EDO exacta. PASO 4: Resolvemos la EDO exacta Integramos
con respecto a la variable
= ,, = ,, , Como =, entonces derivamos para hallar [ ]] = 3 2′ ,=3 2 = , = 3 2′
, ,
′= =0
′ , , ==
PASO 5: Reemplazamos el valor de
PASO 6: Comprobamos el diferencial total:
, =, =, =3 =4 23 , , =0 ,, = 0 ,, = = c
Por:
constante
PASO 7:
Entonces que = = = , ,determinamos == que ∃= = tal⇒, =
PASO 8: Verificamos
la solución de la EDO mediante el gráfico.
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 51. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
(
xy
−
−3
−3
y ) dx xdy = 0 + 4 xdy
PASO 1: A simple inspección, la EDO no es de variable separable ni homogénea; por lo
tanto, comprobaremos si es exacta o reducible a estas. M ( x, y ) = − xy
−3
− 3y
M
= 3 xy
y
−4
−3
N ( x, y) = 4 x
La condición necesaria y suficiente no se cum ple, pues
M
y
N x
N x
=
4
, por lo cual tenemos
que encontrar un factor integrante que convierta en exacta a nuestra EDO.
PASO 2: Hallamos el factor integrante
z
=
( x, y )
.
M ( x, y ) N ( x, y ) 3 xy −4 − 7 − = N ( x, y ) 4x y x M ( x, y ) N ( x, y ) 3xy −4 − 7 1 − = Caso 2: g ( y) = − y M ( x, y ) x xy −3 + 3 y
Caso 1:
1
f ( x) =
Ninguno de los factores integrantes (caso 1 y 2) son fáciles de trabajar, por lo cual deducimos que se trata de un caso 3, cuya fórmula es: M ( x,
y)
y
−
N ( x, y ) x
= N ( x, y )
f '( x) f ( x)
− M ( x, y )
g '( y) g ( y)
,
( x,
y ) = f ( x) g ( y )
Reemplazamos los valores conocidos en la fórmula: 3 xy −4 − 3 − 4 = 4 x
f '( x) f ( x)
− − xy−3 − 3 y
g '( y ) g ( y)
Tanteamos los valores de f ( x) y g ( y ) . 3 xy
−4
3 4 − 7 = ( 4 x ) − + ( xy − + 3 y ) x y 3
f '( x)
4 −4 ln x = x −4 dx ln f ( x) = −4 ln x → f ( x) = e
dx = −
f ( x) x g '( y ) dy = 3 dy ln g ( y ) = 3 ln y → g ( y ) = e3ln y = y 3 y g ( y )
,
( x, y )
=
x
4
−
y
3
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor integrante y comprobamos si esta
nueva EDO es exacta. x −4 y 3 − xy −3 − 3 y dx + 4 xdy = 0
(
(
x
−
−3
)
−3
−4
x y
4
) dx
+
4x
−3
y dy = 0 ………… (I) 3
Comprobamos la veracidad de la condición necesaria y suficiente.
(
M ( x, y ) = − x
−3
− 3x
−4
Ahora sí se cumple que
y
4
)
M
=
M y
N
y
x
= 12 x
−4
y
3
−3
3
N ( x, y ) = 4 x y
N x
= 12 x
−4
y
3
, entonces la EDO es exacta.
PASO 4: Resolvemos la EDO integrando la función M ( x, y ) en la variable x . F ( x, y) = −
(x
−3
F ( x, y ) =
+ 3x−4 y 4 ) dx + g ( y) F ( x, y) = − x −3dx − 3 x −4 y 4dx + g ( y) 1 2 x 2
+
3
y
4
3x3
+
g ( y) =
PASO 5: Hallamos el valor de la función
x + 2y
g ( y)
2 x3
4 +
g ( y)
F ( x, y )
, mediante la igualdad
y
F ( x, y ) x + 2 y4 = N ( x, y ) + = 4 y 3 x −3 + g '( y ) ( ) g y 3 y y 2 x −3
N ( x, y ) = 4 x y = 3
Podemos concluir que
F ( x, y) = 4 x−3 y 3 + g '( y) g '( y) = 0 y
g '( y )
=
0 → g ( y) = c
Entonces la función implícita solución de la EDO es:
F ( x, y ) =
x + 2 y
2 x3
4 +
c1
PASO 6: Comprobamos el valor del diferencial total. F ( x, y ) x
= M ( x, y ) = −
(x
−3
+ 3x
−4
y
4
)
F ( x, y
y)
= N ( x,
−3
y ) = 4x y
3
= N ( x,
y)
Como (I):
F ( x, y ) x
dx +
F ( x,
y)
y
dy = 0 dF ( x, y ) = 0 F ( x, y ) = constante = c2
PASO 7: Hallamos la solución de la EDO. F ( x, y ) =
x + 2 y
2 x3
Entonces, la solución de la EDO: F ( x, y ) =
x + 2 y
2 x
3
4 +
c1
=
y = ( x )
c2
x + 2y
4
2 x3
=
c2
c
− 1 =
k
tal que
4 =
k
→
2 y 4 + x = kx3
( x) =
y=
4
kx
3
−
x
2
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO.
Para ello graficamos las funciones F ( x , y ) y h( x) en el plano, con el objetivo de comprobar que F ( x, y ) es una función constante.
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante FACTOR DE INTEGRACIÓN - CASO 4. 51. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
(
xy
−
−3
−3
y ) dx xdy = 0 + 4 xdy
PASO 1: A simple inspección, la EDO no es de variable separable ni homogénea; por lo
tanto, comprobaremos si es exacta o reducible a estas.
−3
=−
M ( x, y )
−
M
3y
xy
−4
=
3
3xy
y
=
−
N ( x, y) M
La condición necesaria y suficiente no se cum ple, pues
4x
y
N x
N x
=
4
, por lo cual tenemos
que encontrar un factor integrante que convierta en exacta a nuestra EDO. PASO 2: Hallamos el factor integrante por CASO 4
z
=
( x, y )
=
m
x y
n
.
Multiplicamos a las funciones por un factor integrante indefinido M ( x, y) ( x, y) =
(
−
xy
3
−
−
N ( x, y) ( x, y) = 4x x m y n
(
3 y ) ( xm y n ) = −xm 1 y n +
)
=
3
−
−
3x m y n 1 +
4 x m 1 y n +
Derivamos parcialmente dichas funciones: M ( x,
y) ( x, y )
=−
y N ( x, y ) ( x,
y)
=
x
+
( n − 3) x m 1 y n
−3
( n + 1) x m y n
4 ( m + 1) x m y n
Igualamos los valores de
M ( x, y ) ( x,
(
y)
=
N ( x,
y
n −3 x
−
−4
m+1
y
n −4
x m
−3
)
n +1 x y
(
− ( n − 3) = 0 , n + 1) = 4 ( m + 1) 3 − (
n
y ) ( x, y)
=3
m
)
n
=
m
4 m +1 x y
(
n
)
= −4
Entonces, el valor de nuestro factor integrante mediante el CASO 4 es ( x, y ) = x
4
−
y
3
.
Los siguientes pasos son exactamente iguales a la resolución mediante el CASO 3.
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 56. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
34=5− , , =0 35−4=0
Reordenando el ejercicio:
PASO 1: Comprobamos si es una EDO exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
= =315− = 4 ∃: → , , ,=. =0 ′ ′ = 15− 1=4 ′ 35− ′ ∎ ′ = 2 = = ∎ ′ = 3 ,== =
EDO no Exacta
PASO 2: Buscamos un factor integrante.
Tal que: ➢ Sea
, resulte una EDO exacta , empleamos la ecuación del caso 3
Por tanto
PASO 3: Multiplicamos la EDO inicial por el factor integrante y comprobamos si es
exacta.
−4=0 35 3 54=0 =12 =12 , , = 3 5
M
N
EDO Exacta
PASO 4: Resolvemos la EDO integrando la función
en la variable .
, , == 3 5 . , , == = =, , , ′ ′=4 4 =
PASO 5: Hallamos el valor de la función
mediante la igualdad:
Podemos concluir que:
PASO 6:
Comprobamos el valor de diferencial total.
, =,=3 5
, =,=4
⋀ ,=0 → ,= =
PASO 7: Hallamos la solución de la EDO.
, , == 1
=
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO.
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio cambiando N(x,y)=3x 56. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
35−3=0 = =315− = 3 ∃: → ,,=0 ,=. ′ ′
PASO 1: Comprobamos si es una EDO exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
PASO 2: Buscamos un factor integrante.
Tal que: ➢
Sea
, resulte una EDO exacta
, empleamos la ecuación del caso 3
=
EDO no Exacta
− ′ =3 ′ 35= ∎ ′ = 3 15−= ∎ ′ = 3 = = ,=
Por tanto
PASO 3: Multiplicamos la EDO inicial por el factor integrante y comprobamos si es
exacta.
5−3 335 3=0 =0
M
N
=12 =12 , , = 3 5 , , == 3 5 . 9 10 , , == 12 , =, , = 91210′ ′=3 3 = 0
PASO 4: Resolvemos la EDO integrando la función
EDO Exacta
PASO 5: Hallamos el valor de la función
mediante la igualdad:
Podemos concluir que:
=
en la variable .
PASO 6: Comprobamos el valor de diferencial total.
, =,=3 5 ⋀ , =,=3 ,=0 → ,= =
PASO 7: Hallamos la solución de la EDO.
9 10 , , ==12 =
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO.
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 57. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
4 66 58 8=0 ,, =4 6 ⟹ =86 ,, = 58⟹ =108 =
PASO 1: Determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y suficiente.
Como no se cumple que
, entonces la EDO no es exacta.
Caso 1:
•
8 = 86 8658 108 108 = 522 = 86 22 86 108 108 = 4 6 4 6 = ,, = . = 86108 86 108 = 58 8 ´ 4 6 6 ´ 22= 58 ´ 4 6 ´ ´ = ∧´ = 22=58 22= 58 46 46
Caso 2:
•
PASO 2: Hallamos el factor de integración
un factor
integrante para esto empleamos la siguiente ecuación:
Tanteando para generar una igualdad
22= 58 46 22= 22= 22=5486 54 54 86 86
2=54 ∧ 2=86 =2 ∧∧=3=3 ´ ´
y .
Cumple con la igualdad en el reemplazo de los valores para
´ = 2 ∧ ´ = 3 ∫ ´ = ∫ l n==2ln = ´ ∫ = ∫ ln==3ln ,, = . ==. 4 6 5 8=0 ,, = 4 6 ⟹ =20 24 ,, = 5 8 ⟹ =20 24 = ,, = 4 6 2 ,, = , = ,, [ 2 ]]== 5 8 ´
Integramos: (I)
(II)
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si es una EDO exacta.
Se cumple que
, entonces es una EDO exacta
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando
Como
, entonces derivamos para hallar
5 8 ´ = 5 8 ´ =0⟶ =0⟶ = ,, = 2 = 2 ,, = ,, = 4 6 ∧ ,, = ,, = 5 8
PASO 5: Reemplazamos el valor de g(y)
PASO 6: Comprobamos el diferencial total:
F ( x, y ) x
dx +
F ( x, y ) y
dy = 0 dF ( x, y ) = 0 F ( x, y ) = constante = c2
PASO 7:
,, = 2 = ⟹ ,, =0⟹ =0⟹,, = 2 = = ∃= 2 =
Entonces determinamos que
PASO 8:
Verificamos la solución de la EDO
tal que
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio ahora por EDO homogenea 57.
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
4 6 58=0 M
N
PASO 1:
Verificar si M(x,y) y N (x,y) son funciones homogéneas Usamos la definición
λ
Se dice que M(X,Y) es una funcion homogenea si existe e xiste tal que
Mλx,λy = λMx,x, y Siendo el grado de función, = 4 6 =4 6 = 46 , =5 8 = 5 8
En consecuencia, la EDO es homogénea
PASO 2: Resolvemos la EDO
4 6 58=0 =0 ∗ = =
Ahora realizaremos sustitución
PASO 3: Remplazando
en (*)
= 0 4 6 58 8 = 0 5 4 6 5858=0 46 858=0 96 9 6 85 8=0 =5 8 99 6 6 888=58
PASO 4:
Integramos en ambos lados
9 6 8=58 3= =3
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos.
71.
Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
=
Reordenando el ejercicio a la forma:
,, ,, =0 =12 = 1
PASO 1: Comprobamos si es una EDO exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
Al no ser iguales se confirma que es una EDO no exacta
,, ,, ,, =0 1 12 12 == = …I ,, = . = 2 = 2 = 2 = 2 =−=2 = − =−=2 =− 1 12 = = 2/ 2/
PASO 2: Hallamos el factor de integración
de tal forma que
resulte ser una EDO exacta.
Además:
Para que se cumpla esta igualdad, asumimos valores para:
Al reemplazarlo en (I) tendremos que:
Por lo tanto, tendremos el valor del factor integrante
, = . = −. − = =0
PASO 3: Multiplicamos la EDO inicial por el factor integrante y comprobamos si es exacta
1 1 1 =0 ,, == 11 ,, ==122112
Al ser iguales se confirma que es una EDO no exacta
,, , 3 ,, ==3,, = ,, = 3 …II , = ,,
PASO 4: Resolvemos la EDO integrando la función
en la variable
PASO 5: Hallamos el valor de la función
usando:
3 = 3 3
= =
,, = 1 , = 1 1 ,, ,, =0
PASO 6: comprobamos el valor de diferencial total
,, = 0
,,= ,, = 1 1 =
PASO 7. Hallamos la solución de la EDO reemplazando el
en (II):
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante FACTOR DE INTEGRACIÓN - CASO 4. 71.
Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
3 = 3
3
Reordenando el ejercicio a la forma:
,, ,, =0
PASO 1: Comprobamos si es una EDO exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
= ,, = 3; ,,=33
= 3
=36
Al no ser iguales se confirma que es una EDO no exacta
,, ,, ,, =0 = 3 …I 3 36 36 = 33 3 ,, = . = 2 = 2 =2− =−=2 = PASO 2. Hallamos el factor de integración
de tal forma que
resulte ser una EDO exacta
Además:
Para que se cumpla esta igualdad, asumimos valores para:
=2 = 2 = − = − 2/ 3 36 36 = 33 2/ 3 3 2/ 2/ = − − 1, = 1. = . = =0 33 333 3 =0
Al reemplazarlo en (I) tendremos que:
Por lo tanto, tendremos el valor del factor integrante
PASO 3:Multiplicamos la EDO inicial por el factor integrante y comprobamos si es exacta
3 3 3 ,, = ,, = = 3 = 3 ,, , = ,, = 3 ,, = 3 ,, = 3 …II , = ,,
Al ser iguales se confirma que es una EDO no exacta
PASO 4: Resolvemos la EDO integrando la función
en la variable
PASO 5: Hallamos el valor de la función
usando:
3 ==3 3 = ,, = 3 , = 3 3 ,, =0 ,, =,,0 = ,, = 3 3 =
PASO 6: comprobamos el valor de diferencial total
PASO 7: Hallamos la solución de la EDO reemplazando el
en (II):
Se confirma que sigue existiendo un resultado a pesar pesa r de que el coeficiente ya no es mónico
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 130. Resuelve la siguiente ecuación deferencial
=0 , ,=0 , = ,= =12 = 1 ≠
PASO 1: Primero determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
Aplicando derivadas parciales
Podemos visualizar que no son iguales, por lo tanto, la EDO no es exacta.
PASO 2: Aplicamos el Caso 3 para encontrar el factor integrante
Sea
,, = . , ,, = ,, ,, ′ 2= ln ′ = − = − 2 = 2 2
( …la …la fórmula para hallar f(x) y g(y), al final se multiplicarán y obtendremos el factor integrante u.)
Sustituimos los valores que ya tenemos en la ecuación:
Se puede deducir que los valores son
y
ya que reemplazando en la
ecuación nos da la igualdad
2 =222 ’ =22 →ln=2 () =2ln = = − = 1 ’ = 2 →ln(() = 2ln =− = 1 ,, = . ,= 1 1 ln 1 . =0 1 1 . =0 ,==11 = = ,1= 1
Despejamos el valor de f(x) y g(y) para hallar el factor integrante
PASO 3: Ahora multiplicamos en la ecuación diferencial por el factor integrante
Como vemos ahora si es exacta y cumple =
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando
,, = 1
,, = 1 1
"",,, = 1 1:2 = , = 1 = 1 =0 → = : 1 1 ,, = 2 = 2
PASO 5: Reemplazamos en f(x,y)
PASO 6: Comprobamos la diferencia total
,, ==,,,, ==11 1 1 . =0
Por nuestra ecuación diferencial
Tenemos lo siguiente
,, ,, = 0 ⇒ ,, = 0
Por lo tanto
,, ==
PASO 7: Ahora hallaremos la solución de la EDO igualando nos da:
Determinamos que
,,1= 1 2 = 2 =
∃= ∃=
Por lo tanto, nuestra respuesta seria:
1 2 = 2
= (2)
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 144.
Resuelve la siguiente ecuación diferencial
=
PASO 1: Determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y
suficiente.
= = =2 = 2 ≠
Como
la ecuación diferencial no es exacta. e xacta.
PASO 2: Hallamos el factor de integración.
Sea
,, = . = 2 2 =
un factor integrante para esto empleamos la ecuación:
Tanteamos para generar una igualdad
•
122 23= 23= 23= 23= 22 2 23=23 = − = − ∫ = ∫ − ∫ = ∫ −
Cumple la igualdad en el reemplazo de los valores para
Integramos:
Integramos:
y .
= = − = −
==2 − = −
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos
si es una EDO exacta.
−. − , = . = −. y−xdy=0 x−,,.y−=y −xydxx − ,, = −. − . = 1 = 1 = Como
Como
, la ecuación diferencial es exacta
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando
tal que
⇒ ∃ ,,,
, = ∧ , = , en dónde. ,, = −. −
Integramos con respecto a x :
,, = −. − ,, = −. − ,, = 1 ,, = − . ‘ ,, = − ‘‘= =0 − =
Derivamos con respecto a y:
,, =
PASO 5: Reemplazamos
en Ec.1 en
PASO 6: Comprobamos el diferencial total:
,,,,= ,, = −. − − − =, = . ,, ,, =0 df x,x, y = 0 f x,x, y =constante=K = = = Determinamos que ∃y=Φx tal que y= − Entonces:
PASO 7: Por último:
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO a través de una gráfica
PASO 9: Demostración algebraica
y = = 1 = . 2 = en en EEc.c. 3 =0. =0. 3 EcEc..2 1 = 0
Derivamos con respecto a “x”
Ahora en la ecuación diferencial inicial :
Dividimos entre dx
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante EDO HOMOGENEA.
144. Resolver la siguiente ecuación e cuación diferencial
=0
M
PASO 1:
N
Verificar si M(x,y) y N (x,y) son funciones homogéneas Usamos la definición
λ
Se dice que M(X,Y) es una funcion homogenea si existe e xiste tal que
Mλx,λy = λMx,x, y siendo elgrado de funci ón , = , = ( )
, = , =
M es homogénea de grado 2
N es homogénea de grado 2
En consecuencia, la EDO es homogénea
PASO 2 :
Resolvemos la EDO
=0 ∗
Ahora realizaremos sustitución
= = = = 0 ( ) =0 =0
PASO 3: Remplazando
en (*)
=0 1 = = 1
PASO 4:
Integramos en ambos lados
1 = 1 =
PASO 5:
Conclusión
αy u=x 1
De ( ):
= xy1 =LnxK x y = LnxK
Resolver un ejercicio propuesto de EDO NO EXACTAS del libro Análisis Matemático IV de Eduardo Espinoza Ramos. 159. Resolver la siguiente ecuación diferencial
( y
2
+
)
(
)
xy + 1 dx + x 2 + xy + 1 dy = 0
PASO 1: Determinamos si la EDO es exacta mediante la condición necesaria y
suficiente. 2
M ( x, y ) = y + xy +1
M y
=
2y + x
2
N ( x, y ) = x + xy + 1
N x
=
2x + y
Como no se cumple que
M
N
=
y
x
, entonces la EDO no es exacta.
PASO 2: Hallamos el facto de integración M ( x, y )
( x, y )
.
( x, y ) ( x, y ) N ( x, y ) M ( x, y) − N ( x, y ) = − ( x, y) y x x y
Entonces, despejamos el factor integrante en la fórmula anterior:
M ( x, y )
N ( x, y )
−
y
N
−
x
=
M
x
y
Reemplazamos los valores conocidos en la ecuación:
( y
2
) y − ( x
+ xy + 1
) x
2
+ xy + 1
=
x − y
Asumimos que la función ( x, y ) depende de xy , por tanto:
( y
2
+ xy + 1) x − ( x 2 + xy + 1) y
x − y
=
z y
d
= x y
z x
= y
.
= xy
Por lo tanto, el factor de integración es: ln = xy = e
xy
PASO 3: Multiplicamos a la EDO inicial por el factor de integración y comprobamos si es una EDO exacta.
(e
xy
y
2
+
e xy xy + e xy ) dx + ( e xy x
2
+
e xy xy + e xy ) dy = 0 (*)
xy
2
xy
M ( x, y ) = e y + e xy + e
xy
2
xy
N ( x, y ) = e x + e xy + e
Ahora sí se cumple que
M y
=
N x
xy
M
=
2 ye xy
+
=
2 ye xy
+
y xy
N x
2 xy
2
xy
xy
xy e + x ye + 2 xe
2 2 xy e + x ye + 2 xe xy
xy
xy
, entonces la EDO es exacta.
PASO 4: Resolvemos la EDO exacta integrando F ( x, y ) =
Como
(e
xy
y + e xy + e
F ( x, y ) y
2
xy
xy
)dx + g ( y) = e
xy
y+e x− xy
e xy y
+
N ( x, y ) , entonces derivamos para hallar =
xy
2 xy
xy
e xy y
+ g ( y ) = e xy ( x + y ) + g ( y )
g ( y)
xy
e y
( x + y) + g ( y) = x e + e 2
xy
xy
xy
N ( x, y ) = e x + e xy + e =
De ahí, concluimos que
g
'( y ) = 0
→
PASO 5: Reemplazamos el valor de
F ( x, y ) y
g ( y) = c
g
=
xy + e + g ( y)
2
xy
xy
xy
x e + e xy + e + g '( y )
'( y )
F ( x, y) = e xy ( x + y ) + g ( y) = e xy ( x + y ) + c
PASO 6: Comprobamos el diferencial total: F ( x, x
Por (*):
y)
= M ( x,
F ( x, y ) x
xy
2
xy
y ) = e y + e xy + e F ( x, y )
dx +
y
xy
F ( x, y )
= N ( x, y ) = e
y
xy
2
xy
dy = 0 dF ( x, y ) = 0 F ( x, y ) = constante = c2
PASO 7: xy
F ( x, y) = e
( x + y ) + c1 = c2 F ( x, y) = e xy ( x + y ) = c2 − c1 = k
Entonces determinamos que
y = ( x )
xy tal que e ( x + y ) = k
PASO 8: Verificamos la solución de la EDO
(e
xy
y
2
+
xy
e xy + e
xy
) (e +
xy
x
2
+
dy
e xy + e
) dx
=
+
xy
xy
=
0
(**)
xy
=
Para ello hallamos la derivada implícita de F ( x, y) e ( x y ) k e ( x + y ) ' = x e ( y + xy ') + e + y e ( y + xy ') + y ' e = 0 xy
xy
xy
xy
xy
dy dy dy dy y + xy + 1 + y + xy +1 + = 0 = − e xy xy + x xy + + d x d x d x d x x x y 1 2
2
xy
2
2
Reemplazamos en (**): y + xy + 1 + xy x y + 1) − =0 1 + + x xy 2
xy
e
(
y
2
+ xy xy + 1) + e
Verificamos que se cumple.
xy
(
x
2
2
xy
x + e xy + e
Sugerencia durante la exposición: Resolver el ejercicio mediante EDO HOMOGENEA y eliminando los términos independientes. 159. Resolver la siguiente ecuación diferencial
( y
2
+
)
(
)
2 xy dx + x + xy dy = 0
PASO 1: Determinamos si la EDO es homogénea 2
2
2
2
2
M ( x, y) = y + xy → M (tx, ty) = t y + t xy M (tx, ty) = t M ( x, y ) 2
2 2
2
2
N ( x, y) = x + xy → N (tx, ty) = t x + t xy N (tx, ty) = t N ( x, y)
Ambas funciones son homogéneas de grado 2, por lo tanto, son de variable separable. PASO 2: Reducimos la ecuación diferencial a su mínimo.
( y
2
ydx + xdy = 0 →
+
)
(
xy dx + x
2
+
)
xy dy = 0 → y ( y + x ) dx + x ( x + y ) dy = 0
dx x
+
dy y
=0
PASO 3: Ahora, resolvemos la EDO mediante integración:
dx x
+
dy y
dx
=0→
x
dy
+
= c ln x + ln y = c
y
PASO 4: Despejamos en una función y=f(x) c
ln y = c − lln nx→ y=e
c − ln x
e f ( x) = y = x
PASO 5: Comprobamos que sea la solución mediante su gráfica
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