Actividad de aprendizaje 2. Vectores en Rn

ALUMNO: JUAN GUILLERMO MARTÍNEZ GÓMEZ

MATRÍCULA 83931

GRUPO: K040 MATERIA: ALGEBRA LINEAL DOCENTE: MTRO. MANUEL DE LA ROSA LÓPEZ

Actividad de Aprendizaje No. 2 Vectores en Rn

Puebla, Puebla A 21 de mayo del 2018

1.- Sean u=(-1,1,2), v=(2,0,3) y w=(-1,3,9). Hallar en forma de coordenadas el resultado de las siguientes operaciones: a) u + v - w b) 6u + 2v - 2w

c)⅓ (v + 3u - 4w) d) 4(u + v) - (v  – w + u)

a) u+v-w (-1,1,2)+(2,0,3)-(-1,3,9) (-1,1,2)+(2,0,3)= (1,1,5) (1,1,5) – (-1,3,9) = (2,-2,4)

b) 6u+2v-2w 6(-1,1,2)+2(2,0,3)-2(-1,3,9) 6(-1,1,2)= (-6,6,12) 2(2,0,3)= (4,0,6) 2(-1,3,9)= (-2,6,18) = (-6,6,12)+(4,0,6)-(-2,6,18) (-6,6,12)+(4,0,6)=(-2,6,18) = (-2,6,18)-(-2,6,18) (-2,6,18)-(-2,6,18)=(0,0,0) =( (-2)-(-2) 6-6 18-18) ) =(0,0,0)

c)⅓ (v+3u-4w) ⅓ [(2,0,3) + 3(-1,1,2) - 4(-1,3,9)] 3(-1,1,2)= (-3,3,6)

4(-1,3,9)= (-4,12,36) = 1/3 [(2,0,3)+(-3,3,6)-(-4,12,36) (2,0,3) + (-3,3,6) = (-1,3,9) =1/3 [(-1,3,9)  – (-4,12,36)] (-1,3,9)  – (-4,12,36) = (3,-9,-27) = 1/3 (3,-9,27) = (1,-3,-9)

d) 4(u + v) - (v  – w + u) 4[(-1,1,2) + (2,0,3)]  – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] = (2,6,24) =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5)  – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5)  – [(3,-3,-6) + (-1,1,2)] =4(1,1,5)  – (2,-2,4) = (4,4,20) – (2,-2,-4) = (2,6,24)

2.- Hallar las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las siguientes rectas: a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P(1,-1,3) b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto P ₒ (1,2,0) a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P(1,-1,3) Q=(2,-1,0) P=(1,-1,3) v= PQ = OQ-OP= (2,-1,0)  – (1,-1,3) = (1,0,-3) (x, y, z)= (1, -1, 3) + t(1,0,-3) Ecuación vectorial

x = l t  + x1 y = m t  + y1 z = n t  + z1 donde las:  

{l; m; n} - coordenadas del vector director: AB; (x1, y1, z1) - coordenadas de un punto situado en la recta (coordenadas de un punto A).

 AB = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = { 1 - 2 ; -1 - (-1) ; 3 - 0 } = { -1 ; 0 ; 3 }

Ecuación paramétrica de la recta: x=-t+2 y = -1 z = 3t

b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto Pₒ (1,2,0) x = t  + 1 y = - t  z = t  + 1 L=[Pₒ + ta / t €  R L= [(1,0,1) + t (2,- 1,2)/t € R Ecuación Paramétrica:

L= [ Pₒ + ta/t € R P€L

P = Pₒ + ta para algún t € R

(x, y , z)= (xₒ yₒ zₒ) + t(a1 a2 a3) x = 1 +1 + 2t L=

y= 0 + 2 – t z= 1 + 0 + 2t

3.- Hallar el punto de intersección (si existe) del siguiente par de rectas: x=4+2s y=6+3s z=1+s x=3+t y=1−2t

z=3+3t x= 4+2s = 3+t

despejamos

y= 6+3s = 1-2t

despejamos

z= 1 + s = 3+3t despejamos

s = t  – 1 2 s = 1/3 (-2t-5) s = 3t + 2

tomamos dos ecuaciones anteriores y despejamos 3t + 2 = 1/3 (-2t-5)

t = -1 en la ecuación

s= -1

s = 3(-1) + 2 y obtenemos

Sustituimos en las ecuaciones (x, y, z,) x = 4 + 2(-1) = 3 + (-1) 2 = 2 y = 6 + 3(-1) = 1  – 2(-1)

El punto de intersección es (2, 3, 0)

3 = 3 z = 1 + (-1)

=

3 + 3(-1)

0 = 0

4.- Espacios vectoriales: Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por u,v, y w cuando: a. w = (2,1,1), v=(1,0,2) y u=(2,1,-1)

w • (u × v)= det 2 2 1

1 1 0

1 -1 2

=

· 2 -1 1 -1 2 1 = 2 · - 1 + 1 · = 0 2 1 2 1 0

= -2 Por lo tanto el volumen del paralelepípedo es 2 5.- Hallar el área del triángulo definido por los siguientes vértices: b. A(3,-1,1), B(4,1,0) y C(2,-3,0)

CA = (1,2,1)

CB = (2,4, 0)

CA × CB = det

i

j

k

1

2

1

2

4

0

= 2j – 4i

 Area del triángulo = √ (2)²  - (4)² = √4 – 16 = √-12 2

2

2

6.- Sea V el conjunto de ternas ordenadas ( , , ) y defínase la suma de V como en 3. Para cada una de las siguientes definiciones de multiplicación por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial. c. ( , , )=( , , ) d. ( , , )=(0,0,0) c. a (x,y,z) = (ax, y, z)

(ax, ay, az) ≠ (ax, y, z)

d) a(x, y ,z) = (0,0,0) (ax, ay, az)= (0,0,0) Si a=0 (0,0,0)=(0,0,0)

7.- Subespacios de espacios vectoriales En cada caso determinar si U es un subespacio de R ᵌ, justificar la respuesta: a. ={[1

] | ,

}

b. ={[  0 ] | 2+ 2=0, ,

}

Independencia lineal 8. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son independientes? Justificar respuesta. a. {[1−1 0] ,[3 2−1] ,[3 5−2] } de

3 No son independientes

{ e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,0),(3,2,-1)(3,5,2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los unicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal:

ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto det

1 -1 3 2 3 5

0 -1 -2

= -2

b. {[1−1 1−1] ,[2 0 1 0] ,[0−2 1−2] } de

4 Si son independientes

{ e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,1, -1),(2,0,1,0)(0,-2,1,-2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los unicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal:

ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto det

1 -1 1 -1 2 0 1 0 0 -2 1 -2

=0

9. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente. a. [1+ ,1− , + 2] en P2 1+x=0 1- x=0 x + x² = 0

b.

1 1 0 1 -1 0 1 1 0

det

=0

si en linealmente independiente

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

en M22

Para ello la igualdad

1 ʎ1 +

1

1 0

0 +ʎ 2

1

1 1

1 +ʎ 3

1

0 1

1 +ʎ4

0

1 1

=0