Actividad de Aprendizaje 1 IO
March 23, 2024 | Author: Anonymous | Category: N/A
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PROGRAMACIÓN LINEAL
AROLDY LLORENTE GÓMEZ JOSE ALEJANDRO ALFARO JULIO JUAN MANUEL CONTRERAS VEGA JUAN RAMÓN PUELLO DÍAZ
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1
WALTER ORTEGA JIMÉNEZ DOCENTE DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SOFTWARE CARTAGENA DE INDIAS 2021
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Esta actividad deberá resolver en CIPAS, hacer el planteamiento del problema y solucionar por el método grafico los que son de dos variables. Todos los procesos deben ser justificados.
PROBLEMA 1 Fabricación de maquinas Steven Chachan fabrica dos tipos de maquinarias X y Y. Cada una de ellas pasan por ciertos procesos antes de ser sacadas a la venta, las ensamblan, las pintan y las revisa un control de calidad. Las maquinas requieren de 4,5 y 5 horas de ensamble, 4 y 7 kg de esmalte para su pintado y 16 y 12 horas para que la revise control de calidad. Los costos totales para fabricar cada una de ellas son 40 y 45 dólares y se venden a 62 y 58 dólares. El señor Steven solo dispone de 270000 minutos para ensamblaje, de 8400000 g de esmalte y 1200000 minutos para la revisión de control de calidad. Los estudios muestran que la demanda semanal de máquinas no debe superar las 1800 unidades y que, en particular, la de tipo X es de al menos 800 unidades. Formule un modelo de programación lineal para ayudar al señor Steven Chachan y dígale cuantas maquinas debe fabricar. Resolver por el método gráfico. Como primer paso hacia la formulación matemática de este problema, tabulamos la información dada (tabla 1). Realicemos las conversiones necesarias para unificar unidades de medidas. Unidades de tiempo 270000 minutos ≡ 4500 horas
1200000 minutos ≡ 20000 horas
Unidades de masa 8400000 g ≡ 8400 kg Tabla 1 Máquinas Tipo X Máquinas Tipo Y Disponibilidad
Ensamble 4.5 horas 5.0 horas 4500 horas
Pintura 4 kg 7 kg 8400 kg
Calidad 16 horas 12 horas 20000 horas
Máquina tipo X Máquina tipo Y
Costo 40 45
Precio de venta 62 58
Utilidad 22 13
1
Introduzcamos las variables siguientes Una manera clara de definir las variables de decisión es: Sea: 𝑥1 = Cantidad de máquinas tipo X a fabricar 𝑥2 = Cantidad de máquinas tipo Y a fabricar Función objetivo Maximizar 𝑧 = 22𝑥1 + 13𝑥2 Restricciones 4.5𝑥1 4𝑥1 16𝑥1 𝑥1 { 𝑥1
+ 5𝑥2 ≤ 4500 + 7𝑥2 ≤ 8400 + 12𝑥2 ≤ 20000 + 𝑥2 ≤ 1800 ≥ 800
Horas de ensamble Kilogramos de pintura Horas de control de calidad Demanda semanal de máquinas tipo X y Y Demanda semanal de máquinas tipo X
Es natural que el número de máquinas a fabricar, deba ser un número positivo o cero y entero. Matemáticamente: 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0
Solución por el método gráfico El procedimiento para resolver geométricamente un problema de programación lineal de dos variables es el siguiente. Paso 1. Trazar la región factible S. Trazando las gráficas de las ecuaciones obtenidas de las desigualdades dadas al sustituir el signo de desigualdad con un signo de igual. Paso 2. Determinar todos los puntos extremos de S. Paso 3. Evaluar la función objetivo en cada punto extremo. Paso 4. Elegir un punto extremo en el cual la función objetivo tiene el valor más grande (más pequeño) para un problema de maximización (minimización).
2
2000 1800 𝑥1 = 800
1600 1400 1200
1000 800 600 400 200
C(800, 180) A(800, 0)
0 0
200
400
600
S
800
B(1000, 0)
1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
Cuando se grafican estas desigualdades, se obtiene el conjunto de soluciones factibles indicadas por la región sombreada. A continuación, se encuentra el valor de la función ganancia en los vértices.
Vértices de Región Factible A B C
Pares ordenados (800, 0) (1000, 0) (800, 180)
Valor de 𝑍 = 22𝑥1 + 13𝑥2 17600 22000 (Máximo) 19940
Por tanto, se obtiene una utilidad máxima de $22000 al fabricar 1000 máquinas Tipo X y ninguna maquina Tipo Y. Solución por el método símplex El procedimiento para aplicar el método símplex es el siguiente. Paso 1. Configurar el tablero inicial. Paso 2. Aplicar el criterio de optimalidad. Si la fila objetivo no tiene entradas negativas en las columnas etiquetadas con variables, entonces la solución indicada es óptima, con lo cual se terminan los cálculos.
3
Paso 3. Elegir como columna pivote la columna que tiene la entrada más negativa en la fila objetivo. Si hay varias candidatas para columna pivote, elegir cualquiera. Paso 4. Elegir una fila pivote. Formar las razones de las entradas de la columna derecha (excepto la entrada en la fila objetivo) entre las entradas correspondientes de la columna pivote que sean positivas. La fila pivote es la que origina el menor valor de estas razones o cocientes. Si hay un empate, porque que el menor cociente se origina en más de una fila, se elige cualquiera de tales filas. Si ninguna de las entradas de la columna pivote que están por encima de la fila objetivo es positiva, el problema no tiene un óptimo finito. En este caso, aquí concluyen los cálculos. Paso 5. Efectuar eliminación con pivotes para construir un nuevo tablero y regresar al paso 2. El problema se resuelve por el método símplex, por tanto, el nuevo problema con variables de holgura es Minimizar 𝑧 = 22𝑥1 + 13𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 Sujeto a 4.5𝑥1 4𝑥1 16𝑥1 𝑥1 { 𝑥1
+ 5𝑥2 + 7𝑥2 + 12𝑥2 + 𝑥2 +
+ 𝑥3 + + +
≤ 4500 ≤ 8400 ≤ 20000 ≤ 1800 𝑥7 ≥ 800
𝑥4 𝑥5 𝑥6
Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥4 ≥ 0,
𝑥5 ≥ 0,
𝑥6 ≥ 0,
𝑥7 ≥ 0,
𝑥8 ≥ 0
La tabla inicial y las posteriores son:
Tabla 1
0
0
0
0
0
0
0
-1
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥3
0
4500
9/2
5
1
0
0
0
0
0
𝑥4
0
8400
4
7
0
1
0
0
0
0
𝑥5
0
20000
16
12
0
0
1
0
0
0
𝑥6
0
1800
1
1
0
0
0
1
0
0
𝑥8
-1
800
1
0
0
0
0
0
-1
1
-800
-1
0
0
0
0
0
1
0
𝑍
4
Tabla 2
0
0
0
0
0
0
0
-1
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥3
0
900
0
5
1
0
0
0
9/2
-9 / 2
𝑥4
0
5200
0
7
0
1
0
0
4
-4
𝑥5
0
7200
0
12
0
0
1
0
16
-16
𝑥6
0
1000
0
1
0
0
0
1
1
-1
𝑥1
0
800
1
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
22
13
0
0
0
0
0
𝑧
Tabla 3 Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥3
0
900
0
5
1
0
0
0
9/2
𝑥4
0
5200
0
7
0
1
0
0
4
𝑥5
0
7200
0
12
0
0
1
0
16
𝑥6
0
1000
0
1
0
0
0
1
1
𝑥1
22
800
1
0
0
0
0
0
-1
17600
0
-13
0
0
0
0
-22
𝑧
Tabla 4
22
13
0
0
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥7
0
200
0
10 / 9
2/9
0
0
0
1
𝑥4
0
4400
0
23 / 9
-8 / 9
1
0
0
0
𝑥5
0
4000
0
-52 / 9
-32 / 9
0
1
0
0
𝑥6
0
800
0
-1 / 9
-2 / 9
0
0
1
0
𝑥1
22
1000
1
10 / 9
2/9
0
0
0
0
22000
0
103 / 9
44 / 9
0
0
0
0
𝑧
Con el método símplex se corrobora la solución al problema de fabricación de maquinas que se realizó inicialmente con el método gráfico. 𝑥1 = 1000, 𝑥2 = 0, 𝑧 = 22000
5
PROBLEMA 2 Coctel a base de jugos de frutas Usted debe elaborar 5 bebidas de ciertas frutas, al menos 500 galones de un coctel que contenga por lo menos el 20% de jugo de mango, 5% de jugo de piña y 10% de jugo de fresa. Usted realizó un inventario y digitó los datos en la siguiente tabla: Bebida 1 2 3 4 5
% Mango 40 5 100 0 0
% Piña 40 10 0 100 0
% Fresa 0 20 0 0 0
Existencia (gal) 200 400 100 50 800
Costo 1.50 0.75 2.00 0.25 1.75
¿Cómo elabora usted y que cantidad debe usar para las composiciones requeridas sean mínimas? Empecemos por introducir las variables siguientes: Sea: 𝑥1 = Cantidad de galones de la bebida 1 a preparar en el coctel. 𝑥2 = Cantidad de galones de la bebida 2 a preparar en el coctel. 𝑥3 = Cantidad de galones de la bebida 3 a preparar en el coctel. 𝑥4 = Cantidad de galones de la bebida 4 a preparar en el coctel. 𝑥5 = Cantidad de galones de la bebida 5 a preparar en el coctel. Restricciones 𝑥1 + 𝑥1
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ≥ ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥4 ≤ 𝑥5 ≤ 0.40𝑥1 + 0.05𝑥2 + 𝑥3 ≥ 0.40𝑥1 + 0.10𝑥2 + 𝑥4 ≥ 0.20𝑥2 ≥ {
500 200 400 100 50 800 0.20(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ) 0.05(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ) 0.10(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 )
Solicitud de coctel Existencia de bebida 1 Existencia de bebida 2 Existencia de bebida 3 Existencia de bebida 4 Existencia de bebida 5 Contenido de jugo de mango Contenido de jugo de piña Contenido de jugo de fresa
Función objetivo Minimizar 𝑧 = 1.5𝑥1 + 0.75𝑥2 + 2.0𝑥3 + 0.25𝑥4 + 1.75𝑥5 Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥4 ≥ 0,
𝑥5 ≥ 0
El problema del coctel de jugo de frutas tiene 5 variables y se resolvería por el método símplex.
6
PROBLEMA 3 Producción de guantes de seguridad Erickssen de Jesús elabora en su empresa tres modelos de guantes. El modelo "M" requiere de 0.06 metros cuadrados de carnaza tipo 1, 0.05 metros cuadrados de carnaza tipo 2 y de piel. El modelo "N" requiere de piel, de 0.09 de carnaza tipo 2 y de 0.05 de carnaza tipo 1. Los requerimientos del modelo "O" son de 0.07 y 0.08 de carnaza tipo 1 y 2 respectivamente y también usa piel. Se sabe que de una pieza de piel pueden salir 8, 9 o 5 pares de guantes de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. Si se usara todo el tiempo disponible en producir guantes de un solo tipo saldrían 600, 700 o 500 de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. El metro cuadrado de carnaza del tipo 1 cuesta $400, $500 la del tipo 2 y $1,000 la pieza de piel. Los guantes modelo 1, 2, y 3 se venderán en $229, $241 y $348 respectivamente. Si se dispone de 45 metros cuadrados de carnaza tipo 1, de 40 del tipo 2 y 80 piezas de piel, desarrolle un modelo que permita maximizar la utilidad, determinando cuántos guantes hay que producir de cada tipo y cuánto sobra de cada recurso utilizado. Como primer paso hacia la formulación matemática de este problema, tabulamos la información dada. Tipo de Material Carnaza Tipo 1 Carnaza Tipo 2 Piel Costo ($/par de guantes) Precio Venta ($/par de guantes) Utilidad ($/par de guantes)
Modelo de Guante de protección M N O 0.06 (400) = 24 0.05(400) = 20 0.07(400) = 28 0.05 (500) = 25 0.09(500) = 45 0.08(500) = 40 1,000/8 =125 1000/9 = 111.10 1000/5 = 200 174 176.10 268 229 241 348 55 64.90 80
Una manera clara de definir las variables de decisión es: Sea: 𝑥1 = Pares de guantes Tipo M a fabricar. 𝑥2 = Pares de guantes Tipo N a fabricar. 𝑥3 = Pares de guantes Tipo O a fabricar. Función objetivo Maximizar 𝑧 = 55𝑥1 + 64.9𝑥2 + 80𝑥3 Sujeto a 0.06𝑥1 + 0.05𝑥2 + 0.07𝑥3 ≤ 45 0.05𝑥1 + 0.09𝑥2 + 0.08𝑥3 ≤ 40 𝑥1 𝑥2 𝑥3 + + ≤ 80 8 9 5 𝑥1 ≤ 600 𝑥2 ≤ 700 { 𝑥3 ≤ 500
Carnaza Tipo 1 Carnaza Tipo 2 Piel Guantes Modelo M Guantes Modelo N Guantes Modelo O
7
Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0
Como el modelo tiene tres variables se buscará la solución por medio del método símplex. Por tanto, el nuevo problema con variables de holgura es Minimizar 𝑧 = 55𝑥1 + 64.9𝑥2 + 80𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 + 0𝑥9 Sujeto a 0.06𝑥1 0.05𝑥1 𝑥1 8 𝑥1
+ 0.05𝑥2 + 0.09𝑥2 𝑥2 + 9 + 𝑥2
+ 0.07𝑥3 + 𝑥4 + 0.08𝑥3 + 𝑥3 + + 5
≤ 45 Carnaza Tipo 1 ≤ 40 Carnaza Tipo 2
𝑥5 𝑥6
≤ 80 Piel 𝑥7
+
≤ 600 Modelo M ≤ 700 Modelo N 𝑥9 ≤ 500 Modelo O
𝑥8
{
𝑥3
+
Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥4 ≥ 0,
𝑥5 ≥ 0,
𝑥6 ≥ 0,
𝑥7 ≥ 0,
𝑥8 ≥ 0,
𝑥9 ≥ 0
La tabla inicial y las posteriores son:
Tabla 1
55
649 / 10
80
0
0
0
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥9
𝑥4
0
45
3 / 50
1 / 20
7 / 100
1
0
0
0
0
0
𝑥5
0
40
1 / 20
9 / 100
2 / 25
0
1
0
0
0
0
𝑥6
0
80
1/8
1/9
1/5
0
0
1
0
0
0
𝑥7
0
600
1
0
0
0
0
0
1
0
0
𝑥8
0
700
0
1
0
0
0
0
0
1
0
𝑥9
0
500
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
-55
-649 / 10
-80
0
0
0
0
0
0
𝑍
8
Tabla 2
55
649 / 10
80
0
0
0
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥9
𝑥4
0
17
13 / 800
1 / 90
0
1
0
-7 / 20
0
0
0
𝑥5
0
8
0
41 / 900
0
0
1
-2 / 5
0
0
0
𝑥3
80
400
5/8
5/9
1
0
0
5
0
0
0
𝑥7
0
600
1
0
0
0
0
0
1
0
0
𝑥8
0
700
0
1
0
0
0
0
0
1
0
𝑥9
0
100
-5 / 8
-5 / 9
0
0
0
-5
0
0
1
32000
-5
-1841 / 90
0
0
0
400
0
0
0
𝑍
Tabla 3
55
649 / 10
80
0
0
0
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥9
𝑥4
0
617 / 41
13 / 800
0
0
1
-10 / 41
-207 / 820
0
0
0
𝑥2
649 / 10
7200 / 41
0
1
0
0
900 / 41
-360 / 41
0
0
0
𝑥3
80
12400 / 41
5/8
0
1
0
-500 / 41
405 / 41
0
0
0
𝑥7
0
600
1
0
0
0
0
0
1
0
0
𝑥8
0
21500 / 41
0
0
0
0
-900 / 41
360 / 41
0
1
0
𝑥9
0
8100 / 41
-5 / 8
0
0
0
500 / 41
-405 / 41
0
0
1
1459280 / 41
-5
0
0
0
18410 / 41
9036 / 41
0
0
0
Z
Tabla 4
55
649 / 10
80
0
0
0
0
0
0
Base
Cb
𝒙𝟎
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝒙𝟓
𝒙𝟔
𝒙𝟕
𝒙𝟖
𝒙𝟗
𝒙𝟒
0
1473 / 205
0
0
-13 / 500
1
3 / 41
-522 / 1025
0
0
0
𝒙𝟐
649 / 10
7200 / 41
0
1
0
0
900 / 41
-360 / 41
0
0
0
𝒙𝟏
55
19840 / 41
1
0
8/5
0
-800 / 41
648 / 41
0
0
0
𝒙𝟕
0
4760 / 41
0
0
-8 / 5
0
800 / 41
-648 / 41
1
0
0
9
𝒙𝟖
0
21500 / 41
0
0
0
0
-900 / 41
360 / 41
0
1
0
𝒙𝟗
0
500
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1558480 / 41
0
0
8
0
14410 / 41
12276 / 41
0
0
0
𝒁
La solución óptima es 𝑧=
1558480 ≈ 38011.71 41
𝑥1 =
19840 ≈ 483.90 41
𝑥2 =
7200 ≈ 175.61 41
𝑥3 = 0 En este problema se tienen variables discretas por lo que es necesario ajustar los valores de 𝑥1 y 𝑥2 a valores enteros, siempre y cuando estos valores estén en la región de factibilidad o que cumpla con todas las restricciones del modelo. En consecuencia, El programa de producción debe fabricar 483 pares de guantes del modelo M y 176 del modelo N para tener la máxima utilidad de $37,987.40. Al hacer esta distribución de recursos limitados, se tienen recursos sobrantes tanto en los materiales como en producción. Sobran 2.22 m2 de carnaza tipo 1 y 0.01 m2 del tipo 2. En producción, no se utilizó la capacidad de 117 pares de guantes del modelo M, ni la capacidad para 524 pares del modelo N, tampoco la capacidad de 500 pares del modelo O.
PROBLEMA 4 Servicio de retroexcavadoras La empresa Steven Chachan compra 26 retroexcavadoras a tres fábricas: 9 a X, 10 a Y y 7 a Z. Las retroexcavadoras deben prestar servicio en dos ciudades: 11 de ellas en Cartagena y 15 en Barranquilla. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla (en miles de euros).
Cartagena Barranquilla
X 6 4
Y 15 20
Z 3 5
10
Cómo hacer esa distribución para que su costo de traslado sea mínimo. Resumimos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema tendremos en cuenta que todos los datos de la tabla deben ser positivos o cero y que 𝑥1 y 𝑥2 deben ser enteros:
Cartagena Barranquilla Total
X 𝑥1 9−𝑥1 9
Y 𝑥2 10−𝑥2 10
Z 11 − 𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 + 𝑥2 − 4 7
Total 11 15 26
Función objetivo en miles de euros Minimizar 𝑧 = 6𝑥1 + 15𝑥2 + 3(11 − 𝑥1 − 𝑥2 ) + 4(9−𝑥1 ) + 20(10−𝑥2 ) + 5(𝑥1 + 𝑥2 − 4) = 6𝑥1 + 15𝑥2 + 33 − 3𝑥1 − 3𝑥2 + 36−4𝑥1 + 200−20𝑥2 + 5𝑥1 + 5𝑥2 − 20 = (6 − 3 − 4 + 5)𝑥1 + (15 − 3 − 20 + 5)𝑥2 + (33 + 36 + 200 − 20) = 4𝑥1 − 3𝑥2 + 249 Restricciones 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 11 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 4 𝑥1 ≤ 9 { 𝑥2 ≤ 10 Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0
El procedimiento para resolver geométricamente un problema de programación lineal de dos variables es el siguiente. Paso 1. Trazar la región factible S. Trazando las gráficas de las ecuaciones obtenidas de las desigualdades dadas al sustituir el signo de desigualdad con un signo de igual. Paso 2. Determinar todos los puntos extremos de S. Paso 3. Evaluar la función objetivo en cada punto extremo. Paso 4. Elegir un punto extremo en el cual la función objetivo tiene el valor más grande (más pequeño) para un problema de maximización (minimización).
11
13 12 11 𝑥2 = 10
D(1, 10)
10 E(0, 10)
9 8 7 𝑥1 =9
6 5 4 3
Región Factible F(0, 4) C(9, 2)
2 1 -1
B(9, 0)
A(4, 0)
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Hallamos 𝑧 en cada uno de los vértices:
Vértices de Región Factible A B C D E F
Pares ordenados (4, 0) (9, 0) (9, 2) (1, 10) (0, 10) (0, 4)
Valor de 𝑧 = 22𝑥1 + 13𝑥2 265 285 279 223 219 (Mínimo) 237
Por consiguiente, el traslado de las retroexcavadoras debe hacerse como se indica en la tabulación
Cartagena Barranquilla Total
X 0 9 9
Y 10 0 10
Z 1 6 7
Total 11 15 26
12
El coste mínimo de € 219000 se logra cuando se hace la siguiente distribución de traslado: diez retroexcavadoras compradas en la fábrica Y y una comprada en la fábrica Z deben prestar servicio en Cartagena, y nueve retroexcavadoras compradas en la fabrica X y seis compradas en la fábrica Z deben prestar servicio en Barranquilla. Solución por el método símplex Por tanto, el nuevo problema con variables de holgura es Minimizar 𝑧 = 4𝑥1 − 3𝑥2 + 249 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 Sujeto a 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1 + { 𝑥2 +
≤ 11 ≥ 4 ≤ 9 𝑥6 ≤ 10
𝑥4 𝑥5
Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
Tabla 1
𝑥4 ≥ 0,
𝑥5 ≥ 0,
𝑥6 ≥ 0
0
0
0
0
0
0
-1
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥7
-1
4
1
1
-1
0
0
0
1
𝑥4
0
11
1
1
0
1
0
0
0
𝑥5
0
9
1
0
0
0
1
0
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
0
-4
-1
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
𝑧
Tabla 2 Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥1
0
4
1
1
-1
0
0
0
1
𝑥4
0
7
0
0
1
1
0
0
-1
𝑥5
0
5
0
-1
1
0
1
0
-1
13
0
𝑥6
𝑧
10
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Tabla 3
-4
3
0
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥1
-4
4
1
1
-1
0
0
0
𝑥4
0
7
0
0
1
1
0
0
𝑥5
0
5
0
-1
1
0
1
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
-16
0
-7
4
0
0
0
-4
3
0
0
0
0
𝑧
Tabla 4 Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥2
3
4
1
1
-1
0
0
0
𝑥4
0
7
0
0
1
1
0
0
𝑥5
0
9
1
0
0
0
1
0
𝑥6
0
6
-1
0
1
0
0
1
12
7
0
-3
0
0
0
-4
3
0
0
0
0
𝑧
Tabla 5 Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥2
3
10
0
1
0
0
0
1
𝑥4
0
1
1
0
0
1
0
-1
𝑥5
0
9
1
0
0
0
1
0
𝑥3
0
6
-1
0
1
0
0
1
30
4
0
0
0
0
3
𝑧
14
La solución óptima es 𝑧 = −30 + 249 = 219 𝑥1 = 0 𝑥2 = 10 Con el método símplex se corrobora la misma solución que se halló con el método gráfico. PROBLEMA 5 Máquinas procesadoras Una fábrica tiene tres tipos de máquinas procesadoras que pueden trabajar los mismos productos, pero cada tipo tiene diferente velocidad y recuperación. La máquina tipo 1 puede procesar 80 piezas por hora con una recuperación del 80%, la máquina tipo 2 puede hacer 60 piezas por horas con una recuperación del 90% y el tipo 3 hace 40 piezas por hora con 95% de recuperación. El funcionamiento de las máquinas tipo 1, 2 y 3, tiene un costo por hora de $45, $70 y $80 respectivamente. Se trabajan 8 horas diarias debiéndose fabricar diariamente cuando menos 3,500 piezas buenas. Actualmente hay 8 máquinas tipo 1, 10 del tipo 2 y 20 del tipo 3. Cada pieza defectuosa le cuesta a la fábrica $60. ¿Cuántas máquinas de cada tipo se deben utilizar para minimizar el costo total? Como primer paso hacia la formulación matemática de este problema, tabule la información dada
Tipo de Producción Recup. Máquina (pza/h) %
Calidad de piezas (pzas/h-máq) Acept. Def. 64 16
Costo de piezas defectuosas ($/d-máq)
Costo de operación ($/d-máq)
Costo total ($/d-máq)
16 × 8 × 60 = 7,680
45 × 8 = 360
7,680 + 360 = 8,040
1
80
80
2
60
90
54
6
6 × 8 × 60 = 2,880
70 × 8 = 560
2,880 + 560 = 3,440
3
40
95
38
2
2 × 8 × 60 = 960
80 × 8 = 640
960 + 640 = 1,600
La función objetivo es Minimizar 𝑧 = 8040𝑥1 + 3440𝑥2 + 1600𝑥3 Restricciones 512𝑥1 + 432𝑥2 + 304𝑥3 ≥ 3500 𝑥1 ≤ 8 𝑥2 ≤ 10 { 𝑥3 ≤ 20
Producción Máquinas Tipo 1 Máquinas Tipo 2 Máquinas Tipo 3
El problema se resuelve por el método símplex, por tanto, el nuevo problema con variables de holgura es
15
Minimizar 𝑧 = 8040𝑥1 + 3440𝑥2 + 1600𝑥3 + 0𝑥4 + 0𝑥5 + 0𝑥6 + 0𝑥7 + 0𝑥8 Sujeto a 512𝑥1 + 432𝑥2 + 304𝑥3 + 𝑥4 𝑥1 + 𝑥2 + { 𝑥3 +
Producción Máquinas Tipo 1 Máquinas Tipo 2 Máquinas Tipo 3
≥ 3500 ≤ 8 ≤ 10 𝑥7 ≤ 20
𝑥5 𝑥6
Condición de no negatividad 𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥3 ≥ 0,
𝑥4 ≥ 0,
𝑥5 ≥ 0,
𝑥6 ≥ 0,
𝑥7 ≥ 0,
𝑥8 ≥ 0
La tabla inicial y las posteriores son:
Tabla 1
0
0
0
0
0
0
0
-1
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥8
-1
3500
512
432
304
-1
0
0
0
1
𝑥5
0
8
1
0
0
0
1
0
0
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
0
0
𝑥7
0
20
0
0
1
0
0
0
1
0
-3500
-512
-432
-304
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
1 512
0
0
0
1 512
1 512
1
0
0
𝑍
Tabla 2 Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1
0
875 128
1
27 32
19 32
𝑥5
0
149 128
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
0
0
𝑥7
0
20
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
𝑧
−
27 32
−
19 32
−
−
1 512
16
Tabla 3
-8040
-3440
-1600
0
0
0
0
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
1 512
0
0
0
1 512
1
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1
-8040
875 128
1
27 32
19 32
𝑥5
0
149 128
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
0
𝑥7
0
20
0
0
1
0
0
0
1
12695 4
1005 64
0
0
0
𝑧
−
879375 16
Tabla 4
−
0
−
27 32
19 32
−
13375 4
−
-8040
-3440
-1600
0
0
0
0
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
1 432
0
0
0
0
1
0
0
1 432
0
1
0
0
0
0
1
22160 27
215 27
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥2
-3440
875 108
32 27
1
19 27
𝑥5
0
8
1
0
0
𝑥6
0
205 108
32 27
0
𝑥7
0
20
0
0
107000 27
0
𝑧
−
752500 27
Tabla 5
−
−
−
−
19 27
1 −
-8040
-3440
-1600
0
0
0
0
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
1 304
0
0
0
Base
Cb
𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥3
-1600
875 76
32 19
27 19
1
𝑥5
0
8
1
0
0
0
1
0
0
𝑥6
0
10
0
1
0
0
0
1
0
𝑥7
0
645 76
27 19
0
1 304
0
0
1
0
100 19
0
0
0
𝑧
−
350000 19
−
32 19
101560 19
−
22160 19
−
17
La solución óptima es 𝑧 = 350000/19 ≈ 18,421.05 𝑥1 = 0 𝑥2 = 0 𝑥3 = 875/76 ≈ 11.51 La fábrica debe utilizar once máquinas Tipo 3 y ninguna Tipo 1 y Tipo 2 para tener el mínimo costo de las ocho horas diarias de trabajo por valor de $18,421.05.
18
CONCLUSIÓN
En definitiva, la programación lineal es una herramienta muy útil para personas con empresas o independientes. Le permite administrar mejor los recursos para hacer un uso completo de los recursos y lo ayuda a obtener mayores ganancias y minimizar los costos. La programación lineal es un proceso o algoritmo matemático mediante el cual se pueden resolver problemas inciertos. Consiste en una función lineal optimizada minimizada o maximizada la llamamos función objetivo, que hace que la función esté sujeta a una serie de restricciones, que se expresan a través de un sistema de desigualdades lineales. La programación lineal nos permite utilizar diferentes métodos, que pueden reducir costos y obtener ganancias.
19
BIBLIOGRAFÍA
CHEDIAK, Francisco A. (2013). Investigación de Operaciones, Volumen 1. (3ª ed). Ibagué: Universidad de Ibagué. HAEUSSLER, Ernest F. (2015). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed). México: Pearson Educación. HILLIER, Frederick S. (2015). Investigación de Operaciones. (10ª ed ). México: Mc Graw Hill.
20
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