Actividad 4 Ecuaciones Diferenciales - Colaborativo

 

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: Álvaro Javier Cangrejo Tutor Entregado por: Laura Fernanda Garzòn Vidales Código: 1109421052 Yeni Paola Ramirez Sanchez Código: 28951870 Johan Enrique Susa Clavijo

Código: 6538264 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx Grupo: 100412_204

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 28 de noviembre 2019

 

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de la actividad de ecuaciones diferenciales, resolviendo problemas y ejercicios por medio de Series de Potencia y Transformada de Laplace, la cual nos permite analizar y evaluar la solución de una situación problemalos planteado, se desarrollarán dejando enyevidencia conocimientos adquiridos.los ejercicios, permitiendo profundizar en cada tema,

 

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: Desarrollar correctamente los ejercicios planteados de ecuaciones diferenciales mediante series de potencia y Transformada de Laplace argumentando lo aprendido durante el curso

OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Reconocer las temácas a desarrollar



Emplear adecuadamente los principios y conceptos estudiados e studiados



Solucionar correctamente los ejercicios planteados

 

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:  Nombre del estudiante Johan Enrique Susa Clavijo

 

Rol a desarrollar 

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.

Alertas

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante estudiante desarrolla desarrolla el ejercicio ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios

Yeni Paola Ramírez Ramírez Sánchez

Compilador Compilador

Laura Fernanda Garzon Vidales

Entr ntrega gass

El es esttud udiiante de dessarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios

 

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

 y + p ( x  x ) y + q ( x  x ) y= 0 ,,

,

 x ) por series de potencias en potencias de  x  (o de ( x − x 0 ) si se  se representa primero  p ( x ) y q ( x  x ) y q ( x  x )son desea obtener soluciones de potencias de  x − x 0 ¿. En muchas ocasiones  p ( x  polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞

 y =

∑= a  x m

m

= a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3+ …

m 0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞ ,

∑

 y =m=1 m am x

m− 1

2

=a1 + 2 a2 x + 3 a3 x + …

 

∞

,,

 y =

∑= m ( m−1 ) a  x

m−2

m

=2 a2 + 3∗2 a3 x + 4∗3 a4 x 2 + …

m 1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de  x  y la suma de los coeficientes de cada potencia de  x  que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a  x , los términos que incluyen a  x 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en  y .

De acuerdo a lo anterior, a nterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Johan Enrique Susa Clavijo Código 6538264  6538264  ' ' 

' 

 y + 2  y +  y =0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA  y

RAZÓN O EXPLICACIÓN

} +2 {y} ^ {´} +y= ¿

Ecuación Ecuaci ón genera general, l, vamos vamos a reempl reemplazar  azar  cuando ∞

 y =

∑=

n

2

3

C n X  =C 0 + C 1 X + C 2 x + C 3 x …

n 0 ∞

´ 

 y =

∑= nC   X  n

n 1 ∞

∑= n (n −1) C   X 

n−2

n

n 2 ∞

(∑ ∞

+2

n=1

∑ (n +2 )( n −1 +2) C n+2 X  n =2

n−1

n C n X 

n − 2+ 2

+2

)∑

n =0

(

∞

n

C n X  =0

∑ (n +1 )C n+1 X  n= 1

n− 1 + 1

∞

´ ´ 

 y =

− n ( n−1 ) C   X  ∑ =

n 2

n

n 2

Reemplazamos en la ecuación general lo anterior 

∞

+

n−1

)

∞

+ ∑ C n X n n=0

Aplicamos la propiedad de sumatoria

 

∞

∑ (n +2 )( n −1 +2) C n+2 X  +2 n

n =2

(

∞

)

∞

∑ (n +1 )C n+1 X  +∑ C n X n=0 n

n=1

n=0

∞

Factorizamos a Xn

 X  ( ( n + 2 ) ( n + 1 ) C  + + 2 ( n + 1 ) C  + + C  ) =0 ∑ = n

n 2

n 1

Operamos

n

n 0

n

2

n

1

(( + ) ( + )

C 

2

n+2

n

1

+ ( + )

C 

n+1

+

C 

n

Despejamos a C 

0

n+ 2

)=

( n + 2 ) ( n + 1 ) C n + =−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ]C n+ = 2

1

C n+2=

−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ] ( n +2 ) ( n + 1 )

C 0+2=

−[ 2 ( 0 + 1 ) C  + + C  ] ( 0 +2 ) ( 0 + 1 )

C 2=

1

0

1

1

Remplazamos n=0

0

−[ 2 C  + C  ] 1

0

2

C n+2=

−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ] ( n +2 ) ( n + 1 )

C 1+2=

−[ 2 (1 + 1 ) C  + + C  ] ( 1+ 2 ) ( 1 + 1 )

C 3=

2

−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ] ( n +2 ) ( n + 1 )

1

1 1

Para n=1

1

−[ 4 C  + C  ] 2

1

6

−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ] C n+ = ( n +2 ) ( n + 1 ) 1

Para n=2

2

C 2+2= C 4=

−[ 2 ( 2+ 1 ) C  + + C  ] ( 2 +2 ) ( 2 + 1 ) 2 1

2

−[ 8 C  + C  ] 3

2

12

−[ 2 ( n + 1 ) C n + + C n ] C n+ = ( n +2 ) ( n + 1 ) 1

2

C 3+2=

−[ 2 ( 3 + 1 ) C  + + C  ] ( 3 +2 ) ( 3 + 1 ) 3 1

3

Para n=3

 

C 5=

−[ 10 C 4 + C 3 ] 20

C n+2=

−[ 2 ( n + 1 ) C n +1+ C n ] ( n +2 ) ( n + 1 )

Para n=4

− 2 ( 4 + 1 ) C 4+1 + C 4 C 4+ 2= [ ( 4 +2 ) ( 4 +1 ) ] C 6=

−[ 12 C 5 + C 4 ] 30 2

 y =C 0 + C 1 X + C 2 x + C 3 x  y =C 0 + C 1 X −

3

Solución

− [ 2 C  + C  ] 1

2

 

0

2

x−

−[ 4 C  + C  ] 2

6

 

1

3

x −

−[ 8 C  + C  ] 3

12

2

  x

4

De la ecuación C 0+ C 1 X + C 2 x reemplazamos

2

+ C 3 x3

STUDIANT QU R ALIZÓ: Yeni Paola Ramírez Sánchez Cód. 28951870

b.  y ' ' − x 2+ y ' = 0 PROPOSICIÓN NUNCIADO O XPR SIÓNMAT MÁTICA

∞

Cn x =C  + C   x + C   x + C   x +… ∑ = n

2

0

1

2

3

n 0 ' ' 

3

RAZÓN O XPLICACIÓN Las potencia potenciass son la sumator sumatoria ia de coefici coeficient entes es multltip mu iplilica cado doss po porr un va valo lorr de X el elev evad adoo a un exponente. Y n toma diferentes valores.

' 

2

 y − x + y = 0 ∞

 y =

∑= C   x

n

n

n 0

Se interpreta con una serie de potencias. Y se derivan para y’’ y y’

∞

' 

 y =

− n C   x ∑ =

n 1

n

n 1 ∞

' ' 

∑= n ( n −1 ) C   x −

n 2

 y =

n

n 2

∞

n− 2

∑ n ( n−1 ) C   x n =2

n

∞ n +∑ n=1 nC   x

n−1

2

− x =0

Remplazamos las expresiones de la ecuación inicial

 

∞

∑= n ( n−1 ) C   x −

n 2

n

n 2

k =n −2 ; n=2 ; k =0 ; n= k + 2

Tomamos el término y lo interpretamos en función de k

∞

∑= (k +2 ) ( k +1 ) C  +  x

k 

k  2

k  2 ∞

∑= nC   x −

n 1

n

n 1

Tomamos el segundo término y lo interpretamos en función de k

n =k ; k =1  ∞

∑= k C   x

k 

k 

k  1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzòn Vidales c.  y ' ' −2 x = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

 y =

∑= a  x

n

n

n 0

 y ' =

∞

La ecuación se soluciona por:

∑= n a  x −

n 1

n

n 1

∞

 y ' ' =

∑= n (n −1 )a  x −

n 2

n

Se halla la primera y segunda derivada derivada

n 2

∞

∑= n (n −1) a  x − −2 x =0 n 2

La ecuación seria:

n

n 2 ∞

(k + 2)( k + 1) a +  x − 2 x =0 ∑ = k 

k  2

k  0

Se hace un

k =n −2 → n =k + 2

 

∞

2 a2 +

Se hace a k=0

(k + 2 )( k + 1 ) a +  x −2 x =0 ∑ = k 

k  2

k  1

∞

2 a2 + 6 a3 x −2 x +

∑= (k + 2)( k +1) a +  x =0

Se hace k=1

k 

k  2

k  2

∞ k 

2

2a

2

k  2 k  1 a  x =0 + 6 a  x −2 x + 12 a  x + k k∑  =3 ( + )( + ) 3

k + 2

4

La solución seda por la formula 1

2

3

4

Se hace k=2 Y así seguidamente

5

 y = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a 5 x + … 2 a2 + 6 a3 x−2 x + 12 a 4 x

2

Los primeros términos son:

3

+ 120 a  x + … . 5

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un u n sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación d diferencial. iferencial.

2

2

 d  x  dx d q  dq m 2 + β  + kx = f ( t )   L 2 + β  + kq= E ( t ) dt  dt  d t  d t 

Es una función que representa una fuerza externa f  ( t ) o un voltaje  E ( t ) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones f  ( t ) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función  y ( t )   está definida para t ≥ 0  y la integral impropia converge para p ara s > s0 . Entonces la transformada de Laplace  y ( t )   existe s > s0  y está dada por:

∞

∫ e−

 L { y ( t ) }=

st 

 y ( t ) dt 

0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

la ecuación . a.  Escriba aquí laecuación

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: REALIZÓ: Yeni Paola R Ramírez amírez Sánchez

b.  L { 2 t + πe3 t  }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

la tr tran ansf sfor orma mada da de La Lapl plac acee  y ( t ) existe si s > s0 y está dada por:

∞

  L { y ( t ) }=∫ e−st  y ( t ) dt  0

∞

∫ ( 2 t + πe

 L { y  y ( t ) }=

Introducimos la función dada en la integral

) e− st dt 

3 t 

0

∞

∞

∫

 L { y  y ( t ) }=

2t

−st 

e

∫

dt +

RAZÓN O EXPLICACIÓN

3 t 

−st 

πe e

dt 

Partimos en dos integrales

0

0

∫

 L { y  y ( t ) }= 2

∞

∞

−st 

te

0

u =t →d u= dt 

∫

dt + π  e 0

( 3−s ) t 

dt 

Saca Sacamo moss la lass cons consta tant ntes es de la integral y sumamos los exponentes de euler  Para la primera integral: hacemos integración por parte.

 

−st 

dv =e

{ ( ) }=

 L { y  y ( t ) }=

 L { y  y ( t ) }=

( (

∞

−1

2

−st 

  te

(

−1 s

−st 

 e

  dh =dt  (3 − s )

h =( 3− s ) t →

 L  y t 

dt → v =

s

−2 t 

−2 t 

− st   L { y  y ( t ) }=−e

(

+∫ s

 e

∞

  π 

dt 

Ree eem mpla lazzamos mos

h

+ ( 3 −s ) ∫

e dh

 )| )  )|

− st 

(

)

−st 

3 t 

− st 

2e

2e

2 t    2

s

 + + 2

s

3 t 

Tr Tran ansf sfor orma mand ndo o

∞

t→∞

 L { y  y ( t ) }=

 2 2

s

+

cambio mbioss

y

(

ec ecua uaci ción ón

y

 )|

 π e ∞ ( s −3 ) ¿ 0

e− st  2 t    22 s

la

factorizando

¿0

3 (0 )

3 t 

 L { y ( t ) }= lim −

los los

resolvemos las integrales

0

0

πe e − 2 + ( 3− s s

− st 

 e

s

1 −st 

 π e 3−s t  ∞ − 2 + ( 3 −s ) ¿ 0 s

− st 

 e

s

)

Para la segunda integral un cambio da variable simple

e−s ( 0) 2 0

) (

  + +   πs−e 3 + ) s (

e (s  ) +   2 + π ( s −3 ) s

2

)

Ree eem mpla lazzamos mos en los los lími límittes obtenemos la respuesta, sabiendo que:

  π  ( s −3 )

∞

∫e

kx

dx =

0

{

0 ,s i k < 0 1 ,sik =0

∞ , s i k  > 0

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzon Vidales c L {t 2−sin πt }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2

 L {t  −sin πt }

2

 L { t  } −{sin πt }

RAZÓN O EXPLICACIÓN Se resuelve por el método de series de potencia.

Se

usa

la

propiedad

de

linealidad

de

la

 

transformada de Laplace

 L { t  } = 2

2

s

Se utiliza la tabla de transformadas de Laplace:

3

 L { sin  ( πt ) } =

 L { t  }= n

2

n+ 1

2

s + π 

 L { t  −sin πt }=

s

Se tiene en cuenta nuevamente la tabla de transformadas de Laplace:

  π  2

 n !

 2 3

s

−

 L { sin  ( at ) }=   π  2

  a 2

2

s +a

La solución sería: 2

s + π 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

,

 }

 y −3  y =e  y ( 0 )=1

2 t 

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

 L { y  y −3 y }=¿  L { e ❑

,

 L { y  y } −3 L { y  y }= ,

}¿

2t 

  1

s −2

sY  ( ( s )− y ( 0 )−3 Y  ( ( s )= sY   (( s )−1−3 Y   (( s )= Y   (( s )=

  1

s −2

  1

s −2

  s −1

( s − 2 ) ( s −3 ) Y  ( ( s )=

 − 1   2 + s −2 ( s− 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar:  y ( t )

−1

 L

{ Y ( s) }=− L−

1

  1 2

s−

( )

+ 2 L−

1

  1 3

s−

( )

 

2t 

 y ( t ) =−e + e

3t 

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeni Paola Ramírez Sánchez

b.  y ' ' + y ' + 2 y = x ; y ( 0 )=2 , y ' ( 0 ) =2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 L { y  y + y + 2 y }= L { x  x }

Aplicam Apli camos os tr tran ansf sfor orma mada da de La  place en ambos lados de la igualdad

' ' 

' 

 L { y  y } + L { y  y } + 2 L { y }= L { x  x }

Partimos en varias sumas

 L { y  y } =s  L { y }− sy ( 0 )− y ' ( 0 )

Te Tene nemo moss la lass ec ecua uaci cion ones es de la lass transformadas para los diferenciales de y

' ' 

' 

' ' 

2

 L { y  y }= s L { y  y }− y ( 0 ) ' 

 L { x  x }=

1 2

s

 

s  L { y  y }− sy ( 0 )− y ' ( 0 )+ s L { y }− y ( 0 ) + 2 L { y  y }= 2

s  L { y  y }− 2 s −2 + s L { y }−2 + 2 L { y }= 2

 1

s

2

( s + s +2 ) L { y }−2 s − 4 = 1

1 2

s

Ree eem mpl plaz azan ando do diferencial

en

la

ecua ecuaci ción ón

Ree eem mpl plaz azan ando do iniciales y transformadas

en los val valor ores es agrupando las

2

s2 1

 L { y }=

2

s

+ 2 s+ 4

( s 2+ s + 2 ) 1

 L { y }=

s

2

2

 1

7

4

4

s + s+ + 1 2

s  L { y }=

+ ( 2 s +1 ) + 3

( )+ + ( + )+ { }= ( + )+ + ) ( { }= + 2

1 s+ 2

1

 L  y

Completamos cuadrados y de desa sarr rrol olla lamo moss la ec ecua uaci ción ón pa para ra llevarla a alguna de las soluciones en tabla

+2 s + 4

7 4

1 2

2 s

s2

s

2 s

 L  y

s+

1

2

1 2

1 2

2

+

7

3

7 4

  3

s+

1

2

+

7

1 2 s

+ s+

1

2

+

7

( ( +) ) ( ) ( ) { }= + + ( + + ) + + + + ( ) ( ) + ) ( { }= + + ( + )+ ( + )+ + + 2

2 s

 L  y

1 s 2 2 s

 L  y

1 s 2

4

1 2

2

4

2

  3

7 4

1 2

2

2

1 s 2

 

2

7 4

1 s 2

1

s2 s 2 s 2

  3

7 4

4

  1

2

7 4

4

s

s

3

2

2s

 

−1  y 1 (t )= L

{  } {  } ( ) ( + )+ 1   2 s+ 2 2

1 s 2

cos

2

 y 2 ( t )= 3

  t 

3

s+

4  e 7

 7 4

sen

−t 

 2

√ 7

e 2 sen

−t 

s+

+

−t  2

  1

=3 L−

1

2

1 2

2

{

( ( )  ) (( )  )  

(√ (

  ( s +a )

 L

√ 7

 y 1 (t )= 2 e cos

 y 2 ( t )= 3

7 4

(√ ) ( )

2

−1

2

4 t 

−t 

 y 2 ( t )= L

1 s 2

7

2

 y  (t )= 2 e

=2 L

7 4

 ( ) ( + )+

Desarrollamos las tres trasformadas inversas por   separ araado, empeza zam mos con la  primera −1

−t  1

−1

1 s+ 2

(√ (

1 2

2

+

7 4

2

}

Desarr Desa rrol olla lamo moss la tr trans ansfo form rmad adaa inversa de la segunda −1

 L

)) ))

7 t  4

√ 7

( s +a ) +b

= e−at cos ( √ b t )

{

  1

( s + a )2 + b

}

=

  1 −at  e sen ( √ b t ) b √ 

  t 

( )

 6 2 √ 7  y 2 ( t )= e sen   t  2 √ 7

 L { y  y 3 }=  L { y 3 }=

 

1

4

3

Realizamos la tercera transformada inversa, descomponi nieendo en división

2

s + s +2 s   s −1 4 (s

 y 4 ( t )= L−1

2

{

+

 1

+ s +2) 2 s

  s2−1 4 ( s + s +2 )

1 −1  y 4 ( t )=   L 4

1 −1  y 4 ( t )=   L 4

2

−

 1 4s

}

{( )  } {( ) ( )  } 1 3   s+ − 2 2 1 s+ 2

2

+

7 4

1   s+ 2

1 s+ 2

2

7 + 4

−

3 2

1 s+ 2

2

7 + 4

Desarr Des arroll ollamo amoss las trasfo trasforma rmadas das inversas por separado  y 4 ( t )  y  y 5 ( t ) ,  para la primera parte de ella compl pleetaremo emos cua uad drad ado os y de desc scom ompon ponem emos os el nu nume mera rador dor.. Recordemos que: −1

 L

−1

 L

{ {

} }

  ( s +a ) = e−at cos ( √ b t ) ( s +a ) +b 2

 

1 2

( s +a ) +b

=

 1

√ b

−at 

e

sen ( √ b t )

 

1 −1  y 4 ( t )=   L 4

{( )  }   s+

1 s+ 2

−t 

1

−1

 y 5 ( t ) = L

2

3 8

−  L−

7 + 4

√ 7

2

 y 4 ( t )= 4  e

1 2

{

2

2s

1 s+ 2

2

+

7 4

√ 7

2

(− )  1 4s

{( )  }   1

−t 

 3

cos 2   t  − 4 √ 7 e  1

1

sen 2   t 

( )

}

Desarrollamos el resto transformada inversa

de

la

{  }

{}

1 1 1 −1 1 −   L−1  y 5 ( t ) =  L 2 4 s 2 s 1

1

2

4

 y 5 ( t ) = t −  H  ( ( t ) t  1  y 5 ( t ) = −  H  ( ( t ) 2

4

−t 

 y ( t ) =2 e cos 2

9  y ( t ) =  e 4 9  y ( t ) =  e 4

−t  2

( ) ( )+ ( )+ √ 7 2

  t  +

√ 7 cos   t  2

−t  2

cos

√ 7 2

  t 

 6

√ 7

−t 

e

  21 4 √ 7

( ) ( ) ( )+ − ( ) ( )+ −  ( ( )

1 √ 7 sen   t  +   e 2 cos   t  2 4 2 − t 

e

3 √ 7  e 4

−t 

√ 7

2

2

−t  2

sen

√ 7

sen

√ 7

2

2

  t 

  t 

 t  2

1   H  t  4

t  2

1   H  t  4

−

 3 4 √ 7

− t 

e

2

La suma de todos los resultados es la solución al sistema. Simplificamos

Racionalizando obtenemos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzòn Vidales

c.  y

+ y ' =7 ; y ( 0 ) =1 , y ' ( 0 )= 0

' ' 

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  L { y ' ' + y ' }= L { 7 }

Se aplica la función de Laplace a cada termino

 

7

 L { y   }+ L { y  } =

s

2

s Y ( s ) −sy ( 0 )− y   ( 0 ) + s Y ( s )− y ( 0 )=

7

Se aplica la definición de derivadas

s

7

2

s Y ( s ) −s∗1 −0 + s Y  ( ( s )−1=

s 7

2

s Y ( s ) −s +s Y ( s ) = + 1 + s s Y  ( ( s ) ( s + s )= 2

7 + s −s

2

s

(  )

Se Despeja la función Y(s)

2

Y  ( ( s )=

7 + s+ s s s ( s+1 ) 2

Y  ( ( s )=

7 + s+ s 2

3

s +s Y  ( ( s )=

−1

 L

−1

 L

  7 3

s +s

2

+

  1

+

  1

( s + 1 ) ( s + 1) 2

{( + ) }   1

s

1

Se aplica transformadas inversas de Laplace

= e−t 

{ }   1

( s 2+ 1 )   1

1

7 L−

= sen ( t )

{

t 

7 t  1 s (s +1 ) = ( − +

}

2

e−

) El resultado sería:

−t 

−t 

 y ( t ) =e + sen ( t ) + 7 t −7 + 7 e −t 

 y ( t ) =8 e + sen ( t ) + 7 t −7

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

 

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

 

A par parti tirr de la si situ tuac ació ión n pr prob oble lema ma plan plante tead ada a el grup grupo o de debe be rea realiz lizar ar lo los s apor ap orte tes s respe respect ctiv ivos os en el foro foro co cola labo bora rati tivo vo co con n el fin fin de re reco cono noce cerr las las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema:

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar  toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera manera correc correcta, ta, deben deben realiz realizar ar aportes aportes en cuanto cuanto a procedi procedimie miento nto faltan faltante te y fórmul fórmulas as utilizadas, resaltando en otro color los los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el  proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error  o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN

OBSERVACIONES, ANEXOS,

 

PLANTEADA GUIA

Solución

MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

 

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

 

A transformadas de Laplace https://screencast-oB Transformada matic.com/watch/cqXOr9UBDI matic.com/watch/cqXOr9UBDI   s de Laplace https://youtu.be/HjX0bqzzUvQ C https://youtu.be/HjX0bqzzUvQ   transformadas de Laplace D transformadas

Yeni Paola Ramírez S.

Laura Fernanda Garzón

de Laplace

Enlace video explicativo

 

CONCLUSIONES   

Se aplicaron los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la unidad 3 Conocimos la aplicación de las series de potencias y Transformadas de Laplace

 

REFERENCIAS REFERENCIA S BIBLIOGRÁFICA BIBLIOGRÁFICAS S