Actividad 3 - ALGEBRA LINEAL.docx

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FASE 4- ACTIVIDAD GRUPAL 3- POST TAREA

Autor: Reservado

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA  A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGICAS  DE INGENIERIA !AO DE "#$% INTRODUCCI&N

En este trabajo se consolidan los aportes del equipo de trabajo relacionados propuesto en la presente unidad En el espacio vectorial se basa un área muy importante de las matemáticas: el Álgebra Lineal. Hoy se puede decir que todas las matemáticas contemplan esta área, cuyo ejemplo más simple es el de los vectores que se estudian en física y geometría. En el estudio de a física, llamamos vector a una magnitud con direccin, definicin que sirve para diferenciarlo de otras magnitudes que se denominan escalares. En matemáticas, está definido como un componente de un espacio vectorial. !tra de las definiciones preponderantes es la de dependencia lineal. esto aplica a conjuntos vectoriales y define que e"iste en el espacio vectorial un vector que puede ser redefinido mediante superposicin por los otros vectores dentro del conjunto. #odas las operaciones y demostraciones reali$adas están basadas en unidades previas donde se estudian temas tales como sistema de ecuaciones y los m%todos de determinantes, &auss y &auss'(ordan.

OB'ETIVOS

). *propiar la definicin sobre espacio vectorial +. Estudiar lo concerniente a dependencia e independencia lineal . *nálisis de rango de una matri$ -. Estudio de espacios vectoriales en + y 

). Elaborar de manera colaborativa dos mapas mentales o mapas conceptuales

+. /emuestre con un ejemplo la siguiente afirmacin y justifique la respuesta. 01n conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos es combinacin lineal de los demás2.

#enemos

() () () 3

v 1= −1 ⃗

2

1

v 2= 2 ⃗

1

5

v 3= ⃗

3 4

3odemos verificar si primeros + vectores Ecuacin vectorial

v 3=( a∗v 1 )+( b∗v 2 ) ⃗

() ( ) () ()( )( ) 5 3

3

1

=a∗ −1 + b

4

2

5

3a

3

= −a +

4

2a

2 1

b 2b b

v3

  se puede e"presar como combinacin lineal de los

{

=3 a + b 3 =−a + 2 b 4 =2 a + b 5

− 8=−a −4 a + 2 b−2 b

3

−5 =−5 a

3or lo tanto, a =1

b =2

4

3odemos reempla$ar estos valores en Ec. ) para verificar si se cumple =3 a + b

5

=( 3∗1 ) + 2

5

=5

5

5on esto verificamos que

v3

depende linealmente de

v1

y

v2

  ya que se

puede escribir como combinacin lineal del resto

. /eterminar mediante &auss (ordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. 6),+,)7 6+,),87 6-,9,+7. ecomendacin ubicar las componentes de manera vertical.

() 1

u= ⃗

2

() 2

v=

4

⃗

1

1

4

0

3odemos comprobar dependencia

( a∗u ) + ( a∗v ) + ( a∗w )=0 ⃗

⃗

⃗

() 4

w=

⃗

5 2

() () () () ( )( )( ) () 1

a

2

2

+b

1

1

4

+c

5

0

2b a 2a + b + a 0b

0

=

0

2

0

4c

0

5c 2c

=

0 0

!btenemos el siguiente sistema

{

a + 2 b + 4 c =0 2 a + b + 5 c =0 a + 0 b + 2 c =0

Escribimos la matri$ aumentada

( |) ( |) ( |) ( |) ( |) 1

2

4 0

2

1

5 0

1

0

2 0

1 0

2

4

−3 −3

0 0

1

0

2

0

1

2

4

0

0 0

f  2− 2 f  1 → f  2

−3 −3 0 −2 −2 0

1

2

4

0

0

1

1

0

0

−2 −2 0

1

2

4 0

0

1

1 0

0

0

0 0

f  3 −f  1 → f  3

−1 3

f  2 → f  2

f  3 + 2 f  2 → f  3

f  1− 2 f  2 → f  1

( |) 1

0

2 0

0

1

1 0

0

0

0 0

 *l no poder obtener la matri$ identidad a partir de operaciones básicas, se trata de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones, lo que nos lleva a la conclusin que se trata de un sistema linealmente dependiente

-. Encontrar el rango de las siguientes matrices  A =

 A =

 A =

( ) ( ) ( ) ( ) 1

1

2

3

1

4

1

0

4

1

1

2

3

1

4

0

−1

2

1

1

0 0

1

 A =

0 0

f  3 −f  1 → f  3

f  2− 3 f  1 → f  2

2

−2 −2 −1 2 1

−2 f  3 + f  2 → f  3

2

−2 −2 −6 0

3or lo tanto,  Ran ( A )=3

( )

B=

1

2

3

2

4

5

1

6

2

f  3 −f  1 → f  3

( ( (

B=

B=

B=

1

2

3

2

4

5

0

4

−1

1

2

3

0

0

0

4

−1 −1

1

2

3

0

4

0

0

−1 −1

) ) )

f  2− 2 f  1 → f  2

f  3 ↔ f  2

3or lo tanto,  Ran (B )= 3

!tra manera de comprobar su rango es por el m%todo de determinantes:  A =

( | ) 1

1

2 1

1

3

1

4 3

1

1

0

4 1

0

| A|=( 4 + 4 + 0 ) −( 2 + 0 +12 ) | A|=( 8 ) −(14 ) | A|=−6  Ran ( A )=3

( | )

B=

1

2

3 1

2

2

4

5 2

4

1

6

2 1

6

|B|= ( 8 + 10 + 36 ) −(12 +30 + 8 ) |B|= (54 )−( 50 ) |B|= 4  Ran ( B )= 3

3 9. El sistema [( 1,0,−1 ) , ( 0,2,3 ), (1,4, −1)]  es base de  R 

. A=

(

)

1

0

−1

0

2

3

1

4

−1

5alculamos ran ( A )

 A =

( | ) 1

0

−1 1

0

0

2

3 0

2

1

4

−1 1

4

| A|=(−2+ 0 + 0 ) −(−2 + 12 + 0 ) | A|=−2−10 | A|=−12  Ran ( A )=3

 *;ora ;ay que comprobar si son conjunto de generadores

() ( ) () ( )  x 1  y =a 0 + b  z −1

0 2 3

1

+c

4

−1

!btenemos el siguiente sistema de ecuaciones

{

x =a + c  y =2 b + 4 c  z =−a + 3 b− c

&enerando matri$ tenemos  A =

(

1

0

1

0

2

4

−1

3

−1

(

| A|=

1

0

1

0

2

4

−1

3

)

| ) 1

0

0

2

−1 − 1

=(−2 )−(−2 + 12 )

3

| A|=(−2 )−(10 ) | A|=−12

Co(o e) deter(*+a+te es d*,ere+te de ero. /a0 so)u*1+ 2+*a. )o ue de(uestra ue e) s*ste(a dado es ase de  R

3

CONCLUSIONES

). * trav%s del uso de ;erramientas online se ;ace e"posicin y estudio de la definicin de espacio vectorial +.