Actividad 2 Unidad 3

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ NIVELACIÓN INGENIERIA AGRICOLA

FISICA

DOCENTE: ING. JOEL GUILLEN

ESTUDIANTE: CEDEÑO MOREIRA DANIEL ALEJANDRO

TEMA: ACTIVIDAD 2 UNIDAD 3

PERÍODO: MAYO – OCTUBRE 2020

1. Si un vehículo se mueve a la ciudad A(-35, 50)km a la ciudad B(-25, -45)km en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a) El desplazamiento realizado. b) La velocidad media. c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje. a) El desplazamiento realizado. ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟𝐵 − ⃗⃗⃗ 𝑟𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = (−25⃗𝒊 − 45 𝒋 ) 𝑘𝑚 − (− 35 𝑖 + 50 𝑗 )𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = (10⃗𝒊 − 95 𝒋 ) 𝑘𝑚

b) La velocidad media. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝒎 = 𝑽

⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 ∆𝒕

⃗⃗⃗⃗𝑚 = 𝑉

(10⃗𝒊 − 95 𝒋 ) 𝑘𝑚 2ℎ

⃗⃗⃗⃗𝑚 = ( 5 𝑖 − 47.5 𝑗 )𝑘𝑚/ℎ 𝑉

c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje. Transformando los minutos a hora: 40𝑚𝑖𝑛 ∗

1ℎ = 0.666 ℎ 60𝑚𝑖𝑛

Entonces: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑚 ∗ 𝑡 ∆𝑟 = 𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ( 5 𝑖 − 47.5 𝑗 )𝑘𝑚/ℎ ∗ 0.666 ℎ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ( 3.33 𝑖 − 31.64 𝑗 )𝑘𝑚 2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son (−𝟒𝟎 𝒊 + 𝟐𝟎 𝒋 ) y ( 𝟏𝟓 𝒊 − 𝟑𝟎 𝒋 )𝒎 y al instante t=10 s sus posiciones son ( 𝟐𝟎 𝒊) y (−𝟏𝟎 𝒋 )𝒌𝒎 respectivamente; determinar: a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo. b) La velocidad media de cada vehículo. c) La velocidad de A respecto a B. a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝑨 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒇𝑨 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝑨 𝑟𝑓𝐴 = (20 𝑖 + 0 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝐴 = (−40 𝑖 + 20 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (20 𝑖 + 0 𝑗 )𝑚 − (−40 𝑖 + 20 𝑗 )𝑚 ∆𝑟𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (60 𝑖 − 20 𝑗 )𝑚 ∆𝑟𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝑩 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒇𝑩 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝑩 𝑟𝑓𝐵 = (−10 𝑖 + 0 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝐵 = (15 𝑖 − 30 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝐵 = (−10 𝑖 + 0 𝑗 )𝑚 − (15 𝑖 − 30 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝐵 = (−25 𝑖 + 30 𝑗 )𝑚

b) La velocidad media de cada vehículo. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑽𝑨 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆ 𝒓𝑨 ∆𝒕

⃗⃗⃗⃗𝐴 = 𝑉

(60 𝑖 − 20 𝑗 )𝑚 10 𝑠

⃗⃗⃗⃗𝐴 = ( 6 𝑖 − 2 𝑗 )𝑚/𝑠 𝑉

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑽𝑩 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 𝑩 ∆𝒕

⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐵 =

(−25 𝑖 + 30 𝑗 )𝑚 10 𝑠

⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐵 = (−2.5 𝑖 + 3 𝑗 )𝑚/𝑠

c) La velocidad de A respecto a B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝐴 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴/𝐵 = 𝑉 𝑽𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴/𝐵 = ( 6 𝑖 − 2 𝑗 )𝑚/𝑠 − (−2.5 𝑖 + 3 𝑗 )𝑚/𝑠 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐴/𝐵 = ( 8.5 𝑖 − 5 𝑗 )𝑚/𝑠

3. Un tren cuya velocidad es 𝟔𝟎 𝒊 𝒌𝒎/𝒉, pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la máquina hasta que sale el último vagón demora 30 s; determinar: a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s). b) La longitud del tren. a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s). Transformando de km/h a m/s: 𝑘 1000 𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 60 ∗ ∗ ∗ = 16.666 𝑚/𝑠 ℎ 1 𝑘𝑚 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠

Entonces: A 30 s: ∆𝑟30𝑠 = 𝑉 ∗ ∆𝑡 ∆𝑟30𝑠 = 16.666 𝑚/𝑠 ∗ 30 𝑠 ∆𝑟30𝑠 = 499.98 𝑚 = 500𝑚 A 60 s: ∆𝑟60𝑠 = 𝑉 ∗ ∆𝑡 ∆𝑟60𝑠 = 16.666 𝑚/𝑠 ∗ 60 𝑠 ∆𝑟60𝑠 = 999.96 𝑚 = 1000𝑚 A 90 s: ∆𝑟90𝑠 = 𝑉 ∗ ∆𝑡 ∆𝑟90𝑠 = 16.666 𝑚/𝑠 ∗ 90 𝑠 ∆𝑟90𝑠 = 1499.94 𝑚 = 1500𝑚

b) La longitud del tren. Ya que el tren demora 30 s en salir, se toma el desplazamiento a 30 s y se le resta la longitud del túnel. 𝑥 = ∆𝑟30𝑠 − 𝐿𝑡𝑢𝑛𝑒𝑙 𝑥 = 500𝑚 − 400𝑚 𝑥 = 100𝑚

4. Una partícula parte del punto (25, 20)m y moviéndose rectilíneamente llega a el punto (-6, 30)m con una rapidez constante de 40 km/h; determinar:

a) La velocidad empleada. b) El tiempo empleado. c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10 s más. a) La velocidad empleada. Transformando de km/h a m/s: 𝑘 1000 𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 40 ∗ ∗ ∗ = 11.11 𝑚/𝑠 ℎ 1 𝑘𝑚 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 Entonces: ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟𝑓 − ⃗⃗⃗ 𝑟𝑜 𝑟𝑓 = (−6⃗𝒊 − 30 𝒋 ) 𝑚 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑜 = ( 25 𝑖 + 20 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟏 = (−6⃗𝒊 − 30 𝒋 ) 𝑚 − ( 25 𝑖 + 20 𝑗 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟏 = (−31⃗𝒊 − 50 𝒋 ) 𝑚

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟| = √(−31)2 + (−50)2 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟| = √961 + 2500 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √3461 𝑚 |∆𝑟| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 58.83 𝑚 |∆𝑟|

⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝑽| 𝑽 𝑼∆𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 11.11 𝑚/𝑠 |𝑉| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼∆𝒓 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝒓|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈∆𝑟 =

(−31⃗𝑖 − 50 𝑗 ) 𝑚 58.53 𝑚

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈∆𝑟 = (−0.53⃗𝑖 − 0.85 𝑗 )

⃗ = 11.11 𝑚/𝑠 ∗ (−0.53⃗𝒊 − 0.85 𝒋 ) 𝑉 ⃗ = (−5.89⃗𝒊 − 9.44 𝒋 )𝑚/𝑠 𝑉

b) El tiempo empleado.

∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽𝑨

∆𝒕 =

58.83 𝑚 11.11 𝑚/𝑠

∆𝒕 = 𝟓. 𝟐𝟗𝟓 𝒔

c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10 s más. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∗ ∆𝑡 ∆𝒓𝟐 = 𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟐 = (−5.89⃗𝒊 − 9.44 𝒋 )𝑚/𝑠 ∗ 10 𝑠 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟐 = (−58.9⃗𝒊 − 94.4 𝒋 )𝑚

⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟏 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓𝟐 ⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 = (−31⃗𝒊 − 50 𝒋 ) 𝑚 + (−58.9⃗𝒊 − 94.4 𝒋 )𝑚 ⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 = (−89.9⃗𝒊 − 144.4 𝒋 ) 𝑚

5. Un deportista se desplaza 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⃗𝒊 𝒌𝒎 por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 𝟏𝟐𝟎 ⃗𝒊 𝒌𝒎/𝒉 en moto y 𝟒𝟎 ⃗𝒊 𝒌𝒎 en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar: a) La velocidad empleada. b) El tiempo empleado. c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10 s más. a) La velocidad empleada. ⃗𝑽 =

⃗⃗⃗⃗ ∆𝒓 ∆𝒕

⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = 1000 ⃗𝑖 𝑘𝑚 ∆𝑡 = 10 ℎ ⃗ = 𝑉

1000 ⃗𝑖 𝑘𝑚 10 ℎ

⃗ = 100 ⃗𝑖 𝑘𝑚/ℎ 𝑽

b) El tiempo empleado. Obtenemos las siguientes ecuaciones: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ➢ ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝑀𝑂𝑇𝑂 + ∆𝑟 𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴

(1)

➢ ∆𝑡 = ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 + ∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 = ∆𝑡 − ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂

(2)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ➢ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝑀𝑂𝑇𝑂 = 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂

(3)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ➢ ∆𝑟 𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 = 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴

(4)

Reemplazamos (3) y (4) en la ecuación (1) para obtener la ecuación (5) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 + 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴

(5)

Reemplazamos (2) en la ecuación (5) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 + 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ (∆𝑡 − ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 + 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 = ∆𝑟 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 = ∆𝑟 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 (𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ) = ∆𝑟 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡 ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 =

∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 =

⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 ∗ ∆𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 − 𝑉𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 𝑘𝑚 ∗ 10ℎ ℎ 𝑘𝑚 𝑘𝑚 120 − 40 ℎ ℎ

1000 𝑘𝑚 − 40

∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 =

1000 𝑘𝑚 − 400𝑘𝑚 𝑘𝑚 80 ℎ

∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 =

600 𝑘𝑚 𝑘𝑚 80 ℎ

∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 = 7.5 ℎ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ➢ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝑀𝑂𝑇𝑂 = 𝑉 𝑀𝑂𝑇𝑂 ∗ ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂 𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝑀𝑂𝑇𝑂 = 120 ∗ 7.5ℎ ℎ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝑀𝑂𝑇𝑂 = 900 𝑘𝑚

(3)

c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10 s más.

∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 = ∆𝑡 − ∆𝑡𝑀𝑂𝑇𝑂

(2)

∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 = 10 ℎ − 7.5 ℎ ∆𝑡𝐵𝐼𝐶𝐼𝐶𝐿𝐸𝑇𝐴 = 2.5 ℎ

6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo.

Determinar: a) b) c) d) e)

La posición inicial. La rapidez en cada tramo del viaje. El tiempo que permaneció en reposo. La posición cuando t=35 s Cuando la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen.

a) La posición inicial. Mediante la observación del grafico podemos determinar que la posición inicial es: 𝑟𝑜 = 10𝑚 ⃗⃗⃗

b) La rapidez en cada tramo del viaje. Tramo 1 𝑽=

𝒓𝒇 − 𝒓𝒐 𝒕𝒇 − 𝒕𝒐

𝑽=

𝟑𝟎 𝒎 − 𝟏𝟎 𝒎 𝟏𝟎 𝒔

𝑽 = 𝟐 𝒎/𝒔

Tramo 2 Como se puede observar en el gráfico, el tramo 2 describe una trayectoria lineal avanzando solo en el eje x, por lo que podemos concluir que este tramo no hay velocidad, la partícula se encuentra en reposo.

Tramo 3 𝑽=

𝟒𝟎 𝒎 − 𝟑𝟎 𝒎 𝟑𝟎 𝒔 − 𝟐𝟎 𝒔

𝑽 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔

Tramo 4 𝑽=

𝟎 𝒎 − 𝟒𝟎 𝒎 𝟒𝟎 𝒔 − 𝟑𝟎 𝒔

𝑽 = −𝟒 𝒎/𝒔

c) El tiempo que permaneció en reposo. ∆𝑡 = 20 𝑠 − 10 𝑠 ∆𝑡 = 10 𝑠

d) La posición cuando t=35 s ∆𝑟 = 𝑉 ∗ 𝑡 ∆𝑟 = −𝟒

𝒎 ∗5𝑠 𝒔

∆𝑟 = −20 𝑚

e) Cuando la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen. A los 5 s y a los 35 s la partícula se encuentra a 20 m del origen. A los 40 s la partícula se encuentra en el origen

7. Una persona parte de una esquina (0, 0) de una cancha de futbol que mide 100 m * 60 m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2 m/s; determinar: a) La velocidad en cada tramo. b) El tiempo que demora en recorrer cada tramo. c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió. d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez. a) La velocidad en cada tramo. La persona se mueve tanto en el eje x como en el eje y con una rapidez constante lo que indica que la velocidad en cada tramo será la misma. Por lo tanto, la velocidad en todos los tramos es: Tramo 1: 𝑽 = (𝟐⃗𝒊) 𝒎/𝒔 Tramo 2: 𝑽 = (𝟐𝒋) 𝒎/𝒔 Tramo 3: 𝑽 = (𝟐⃗𝒊) 𝒎/𝒔 Tramo 4: 𝑽 = (𝟐𝒋) 𝒎/𝒔

b) El tiempo que demora en recorrer cada tramo. Tramo 1: ∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽

∆𝑡 =

60 𝑚 2 𝑚/𝑠

∆𝑡 = 30𝑠

Tramo 2: ∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽

∆𝑡 =

100 𝑚 2 𝑚/𝑠

∆𝑡 = 50𝑠

Tramo 3: ∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽

∆𝑡 =

60 𝑚 2 𝑚/𝑠

∆𝑡 = 30𝑠

Tramo 4: ∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽

∆𝑡 =

100 𝑚 2 𝑚/𝑠

∆𝑡 = 50𝑠

c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió. Recorrido en el eje x= 60m Recorrido en el eje y= 100m ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = (60⃗𝒊 + 𝟏𝟎𝟎𝒋)𝒎 ∆𝑟 = √602 + 1002 𝑚 ∆𝑟 = √3600 + 10000 𝑚 ∆𝑟 = √13600 𝑚 ∆𝑟 = 116.62 𝑚

d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez. ∆𝒕 =

∆𝒓 𝑽

∆𝑡 =

116.62 𝑚 2 𝑚/𝑠

∆𝑡 = 58.31𝑠

8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10⃗𝒊 𝒌/𝒉 y 𝟏𝟐𝒋 𝒌𝒎/𝒉 se cruzan y siguen su camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar: a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas. b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas. c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia. a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝐴 ∗ ∆𝑡 ∆𝑟𝐴 = 𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝐴 = 10⃗𝒊

𝒌 ∗ 6ℎ 𝒉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝐴 = 60⃗𝒊𝒌𝒎

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 = ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 𝑉𝐵 ∗ ∆𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 = 12𝒋 ∆𝑟

𝒌 ∗ 6ℎ 𝒉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 = 72𝒋 𝒌𝒎 ∆𝑟

b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟𝐴 − 𝐵 = (60⃗𝒊 + 𝟕𝟐𝒋)𝒌𝒎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟𝐴 − 𝐵| = √602 + 722 𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟𝐴 − 𝐵| = √3600 + 5184 𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟𝐴 − 𝐵| = √8784 𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∆𝑟𝐴 − 𝐵| = 93.72 𝑘𝑚

c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia. √(10𝑘𝑚/ℎ ∗ 𝑡)2 + (12𝑘𝑚/ℎ ∗ 𝑡)2 = 100𝑘𝑚 √100𝑘𝑚2 /ℎ2 ∗ 𝑡 2 + 144𝑘𝑚2 /ℎ2 ∗ 𝑡 2 = 100𝑘𝑚 𝑡√244𝑘𝑚/ℎ = 100𝑘𝑚 𝑡 = 100𝑘𝑚/√244𝑘𝑚/ℎ 𝑡 = 100𝑘𝑚/15.62𝑘𝑚/ℎ 𝑡 = 6.4 ℎ

9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3 m/s. Cinco segundos después de B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/s; determinar: a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran. b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m. a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran. 𝑡𝐵 = 𝑡𝐴 − 5𝑠 (1) ∆𝑟𝐵 = ∆𝑟𝐴 − 80𝑚 (2) 𝑽=

∆𝒓 𝒕

Despejando: ∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴

(3)

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵

(4)

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 2, y obtenemos la ecuación 5 ∆𝑟𝐵 = ∆𝑟𝐴 − 80𝑚 (2) 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 80𝑚

(5)

Reemplazamos la ecuación 1 en la ecuación 5, y obtenemos: 𝑉𝐵 (𝑡𝐴 − 5𝑠) = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 80𝑚 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐴 − 𝑉𝐵 ∗ 5𝑠 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 80𝑚 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐴 = 80𝑚 − 𝑉𝐵 ∗ 5𝑠 𝑡𝐴 (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 ) = 80𝑚 − 𝑉𝐵 ∗ 5𝑠 𝑡𝐴=

80𝑚 − 𝑉𝐵 ∗ 5𝑠 (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )

𝑡𝐴=

80𝑚 − 2𝑚/𝑠 ∗ 5𝑠 (3𝑚/𝑠 − 2𝑚/𝑠)

𝑡𝐴= 70𝑠

∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 ∆𝑟𝐴 = 3𝑚/𝑠 ∗ 70𝑠 ∆𝑟𝐴 = 𝟐𝟏𝟎𝒎

(3)

b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m. Después de la intersección. ∆𝑟𝐴 = ∆𝑟𝐵 + 80𝑚 (1) 𝑡𝐴= 𝑡𝐵

𝑽=

(2)

∆𝒓 𝒕

Despejando: ∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴

(3)

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵

(4)

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 1, y obtenemos la ecuación 5 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵 + 80𝑚

(5)

Reemplazamos la ecuación 2 en la ecuación 5, y obtenemos: 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐴 + 80𝑚 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐴 = 80𝑚 80𝑚 𝐴 −𝑉𝐵

𝑡𝐴 = 𝑉 𝑡𝐴 =

80𝑚 3𝑚/𝑠 − 2𝑚/𝑠

𝑡𝐴 = 80𝑠

Desde que el móvil parte desde A 𝑡 = 70𝑠 + 8𝑠 𝑡 = 150𝑠

10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 𝟓𝟑⃗𝒊 𝒌𝒎/𝒉 y B con una velocidad de 𝟑𝟐⃗𝒊 𝒌𝒎/𝒉, si los autos se encuentran al cabo de 2.4 horas; determinar: a) La distancia que los separa inicialmente. b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B. c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que se encuentran, B invierte el sentido. a) La distancia que los separa inicialmente. 𝑥 = ∆𝑟𝐴 − ∆𝑟𝐵 𝑽=

(1)

∆𝒓 𝒕

Despejando: ∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴

(2)

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵

(3)

Reemplazamos las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1, y obtenemos: 𝑥 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡𝐴 − 𝑉𝐵 ∗ 𝑡𝐵 𝑥=

53𝑘𝑚 ∗ 2.4ℎ − 32𝑘𝑚/ℎ ∗ 2.4ℎ ℎ

𝑥 = 127.2𝑘𝑚 − 76.8𝑘𝑚 𝑥 = 50.4𝑘𝑚 b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B. 𝑽=

∆𝒓 𝒕

𝑡=

∆𝑟 𝑉

𝑡=

50.4𝑘𝑚 53𝑘𝑚/ℎ

𝑡 = 3.95ℎ c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que se encuentran, B invierte el sentido. 𝑡=

∆𝑟 𝑉

53𝑘𝑚 ∗ 2.4ℎ 𝑡= ℎ 32𝑘𝑚/ℎ 𝑡=

127.2𝑘𝑚 32𝑘𝑚/ℎ

𝑡 = 3.98ℎ

11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 143km de distancia, si el más rápido viaja a 63 km/h; determinar: a) La rapidez del más lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas. b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B. a) La rapidez del más lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas. Automóvil más rápido. ∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡 ∆𝑟𝐴 = 63𝑘𝑚/ℎ ∗ 3ℎ ∆𝑟𝐴 = 189𝑘𝑚

Automóvil más lento. ∆𝑟𝐴 = ∆𝑟𝐴 − 134𝑘𝑚 ∆𝑟𝐴 = 189𝑘𝑚 − 134𝑘𝑚 ∆𝑟𝐴 = 55𝑘𝑚

𝑽𝑩 =

∆𝒓𝑩 ∆𝒕

𝑉𝐵 =

55𝑘𝑚 3ℎ

𝑉𝐵 = 18.333 𝑘𝑚/ℎ

b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B. ∆𝑟𝐴 + ∆𝑟𝐵 = 134𝑘𝑚 (1) 𝑡1 = 𝑡2 (2) ∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1

(3)

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2

(4)

Reemplazando las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 1, obtenemos una quinta ecuación. ∆𝑟𝐴 + ∆𝑟𝐵 = 134𝑘𝑚 (1) 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1 + 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2 = 134𝑘𝑚

(5)

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 5, obtenemos: 𝑡1 = 𝑡2 (2) 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1 + 𝑉𝐵 ∗ 𝑡1 = 134𝑘𝑚 𝑡1 (𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 ) = 134𝑘𝑚 𝑡1 =

134𝑘𝑚 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵

𝑡1 =

134𝑘𝑚 63𝑘𝑚/ℎ + 18.33𝑘𝑚/ℎ

𝑡1 = 1.65ℎ

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 2m/s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a 10km/h, si A y B distan 3km; determinar: a) Analíticamente donde y cuando se encuentran. b) Gráficamente donde y cuando se encuentran. a) Analíticamente donde y cuando se encuentran. 𝑉𝐴 = 2𝑚/𝑠 𝑉𝐵 = 10𝑘𝑚/ℎ Transformando de km/h a m/s: 𝑘 1000 𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 10 ∗ ∗ ∗ = 2.78 𝑚/𝑠 ℎ 1 𝑘𝑚 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠

𝑡𝐵−𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜 = 5𝑚𝑖𝑛 Transformando de minutos a segundos: 5𝑚𝑖𝑛 ∗

60𝑠 = 300𝑠 1𝑚𝑖𝑛

∆𝑟𝐴 = 3𝑘𝑚 3𝑘𝑚 ∗

1000 𝑚 = 3000𝑚 1 𝑘𝑚

∆𝑟𝐴 + ∆𝑟𝐵 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝑚 (1) 𝑡1 = 𝑡2 + 300𝑠

(2)

∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1

(3)

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2

(4)

Reemplazando las ecuaciones 3 y 4 en la ecuación 1, obtenemos una quinta ecuación. ∆𝑟𝐴 + ∆𝑟𝐵 = 𝟑𝟎𝟎𝑚 (1) 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1 + 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2 = 3000𝑚

(5)

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 5, obtenemos: 𝑡1 = 𝑡2 + 300𝑠

(𝟐)

𝑉𝐴 ∗ (𝑡2 + 300𝑠) + 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2 = 3000𝑚 𝑉𝐴 ∗ 𝑡2 + 𝑉𝐴 ∗ 300𝑠 + 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2 = 3000𝑚 𝑡2 (𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 ) = 3000𝑚 − 𝑉𝐴 ∗ 300𝑠 𝑡2 =

3000𝑚 − 𝑉𝐴 ∗ 300𝑠 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵

𝑡2 =

3000𝑚 − 2𝑚/𝑠 ∗ 300𝑠 2𝑚/𝑠 + 2.78𝑚/𝑠

𝑡2 =

3000𝑚 − 600𝑚 4.78𝑚/𝑠

𝑡2 =

2400𝑚 4.78𝑚/𝑠

𝑡2 = 502.09 𝑠

𝑡1 = 𝑡2 + 300𝑠

(2)

𝑡1 = 502.09 𝑠 + 300𝑠 𝑡1 = 802.09 𝑠

∆𝑟𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝑡1

(3)

∆𝑟𝐴 = 2𝑚/𝑠 ∗ 802.09 𝑠 ∆𝑟𝐴 = 𝟏𝟔𝟎𝟒. 𝟏𝟖 𝑚

∆𝑟𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝑡2

(4)

∆𝑟𝐵 = 2.78𝑚/𝑠 ∗ 502.09 𝑠 ∆𝑟𝐵 = 1395.8𝑚

b) Gráficamente donde y cuando se encuentran.