Actividad 2 Informe 2

 

EAP DE ENGENIERÍA CIVIL 

 ACTIVIDAD: 2

DIEDRO Y TRIEDRO

COMPLEMENTO MATEMATICO Y TRIGONOMETRIA ESFERICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS   (Universidad (Universida d del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA E.A.P. INGINIERIA CIVIL INFORME: ACTIVIDAD 2

CURSO:

Complemento Matemático y Trigonometría esférica 

PROFESOR: Lic. Bustamante Ramos Elvis GRUPO: 6  INTEGRANTES: ARBAIZA OCROSPOMA Hulinho Yordy   BARCO TINOCO Albaro André   DE JESUS LEZAMA Marco Antonio   ESPINOZA MEJIA Eduardo Paul   SINGONA VILLACA Cristhian Enrique   VELASQUEZ CAPCHA Andy   VILLA CORONAD CORONADO O Vladimir   YAYICO BARZOLA Brayan Eduardo  

FECHA DE ENTREGA: junio del 2016 

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INDICE 1. PRESENTACION…………………………………………………………..4  

2. INTRODUCCION…………………………………………………………… 5

3. OBJETIVOS………………………………………………………………….6  

4. PRINCIPIOS TEORICOS…………………………………………………...7

5. MATERIALES USADOS EN LA ACTIVIDAD…………….…………… ....11 6. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD…………………………………….… 12

7. CONCLUSIONES………………………………………………………..…..16  

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1.

PRESENTACION

En este informe, indicamos cada uno de los pasos que se llevó a cabo durante la segunda actividad desarrollada en clase correspondiente al tema de “diedros y triedros”; así como también mencionamos los

materiales usados para llevar a cabo dicha actividad que consistía en construir diedros y triedros con cartones y experimentalmente comprobar los teoremas desarrollados en la parte teórica de las diapositivas de la clase correspondiente. También presentamos un resumen teórico con definiciones y teoremas brindados por el profesor del curso de complemento matemático y trigonometría esférica; lo cual nos sirvió de apoyo para desarrollar paso a paso la actividad y la comprobación experimental de los teoremas y proposiciones del tema de “diedros y triedros”.  

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2.

INTRODUCCIÓN

Hablar de ángulos diedros es hablar de un concepto geométrico ideal y sólo es posible representarlo parcialmente como dos paralelogramos con un lado común, que simbolizan dos semiplanos. Sin embargo esto tiene infinidad de aplicaciones en el área de la Geometría Descriptiva, donde utilizando una proyección ortogonal sobre cada uno de los planos y el posterior proceso de abatimiento es posible la representación de objetos tridimensionales sobre un plano.

Incluso el sistema de coordenadas espaciales está basado en el triedro trirrectángulo formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X,Y,Z) que se cortan entre sí en el punto (0,0,0) siendo las caras del triedro XY, YZ, XZ.

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3.

OBJETIVOS

Desarrollar trabajo en equipo.  Aprender a visualizar en tres dimensiones.

Conocer lo que son diedros y triedros.

Verificar la teoría de manera experimental.

Manejar márgenes de error al demostrar de manera física la teoría matemática.

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4.

PRINCIPIOS TEORICOS

DIEDRO: DEFINICION.- Se denomina diedro a la región del espacio comprendido entre dos semiplanos P1 y P2 limitados por una recta común L y se denota por Diedro formado por los semiplanos P1 y P2: D (P1 L P2).

Los semiplanos P1 y P2 que lo forman se denominan caras del diedro, y la recta común L, se denomina arista. Se denomina ángulo del diedro al menor ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara y se denota por α = (P1 L P2) ϵ < 0, л> 

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TEOREMA.- sea D (P1 L P2) un diedro convexo y sea p 0 un punto de la arista L. Si por el punto P0 se trazan los vectores⃗1 y⃗2  que son las normales a las caras del diedro situadas con respecto de cada cara en distinto semiespacio que el que contiene el diedro, entonces el ángulo  (⃗1,  ⃗ 2 ) formado por los vectores⃗1  y⃗ 2   es suplementario al ángulo del diedro D (P 1 L P2).

 

Una consecuencia del teorema seria, si tomamos una normal hacia el mismo mismo semiespacio del diedro -⃗2 , y el otro no, entonces el ángulo del diedro seria igual al ángulo de las normales. (⃗  ⃗ ) = α 

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TEOREMA.- Sean tres rectas L1, L2  y L3 perpendiculares entre si Y además no coplanares. Si L1 ∩ L2 = {p0}, L2 ∩ L3 = {q0} y L3 ∩ L1 = Ø, entonces para todo punto p ϵ L3 se tiene que L4: p0 + t (p - p0) es perpendicular a L1.

TRIEDRO DEFINICION.-Se denomina triedro a la unión de tres planos diedros y la región del espacio limitado por las rectas L 1, L2 y L3.

Donde. V

: Vértice

Li

: Semirrectas o aristas

a, b, c

: Ángulos convexos o caras

 A, B, C

: Diedros o ángulos de diedros convexos del triedro

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TEOREMA.- Sea V el vértice del triedro T formado por las semirrectas L1, L2 y L3. Si se consideran las semirrectas L1´, L2´ y L3´ perpendiculares a las caras del triedro T, estando situadas cada una de ellas en distintas semirrectas que el que contiene al triedro, entonces dichas semirrectas define otro triedro T´ cuyas caras son suplementarias de los diedros T.

DEFINICION.- Sea un triedro T con vértice V. se denomina triedro polar de T al triedro T´ con vértice V, cuyas aristas so las semirrectas L 1´, L2´ y L3´ tal que: a. L1´, L2´ y L3´ son perpendiculares a las caras del triedro T. b. L1´, L2´ y L3´ están situadas cada una de ellas en distintos semiespacios que el contiene que el contiene al triedro. PROPOSICIÓN.- Si T´ es el triedro polar de T, también T es el triedro polar de T´.

TEOREMA.- Sea T (L1, L2, L3) un triedro cualquiera de vértice V. entonces se verifica que cualquiera de sus caras es menor que la suma de las otras dos.

COROLRIO.- Toda cara de un triedro es mayor que la diferencia entre las otras dos. TEOREMA.- La suma de las caras de un triedro es menor que 360°.

TEOREMA.- La suma de los diedros de un triedro T (L1, L2, L3) con vértice V esta comprendida entre 180º y 540º.

el ,triedro T (L1, L2, L3) con vértice V y los diedros (L 1, L3, L2) = A,  TEOREMA.(L3, L1, L2) = Sea B y (L 3 L2, L1) = C. si A es el menor de los diedros, entonces (B + C) – A < 180º.

PROPOSICION.- Sea el triedro T (L1, L2, L3) con vértice V. Si dos caras de un triedro T (L1, L2, L3) son iguales, entonces también son iguales los diedros opuestos; y, análogamente, si dos diedros de T (L1, L2, L3) son iguales entonces también son iguales las caras opuestas.

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5.

MATERIALES USADOS EN LA ACTIVIDAD

 

Pedazos de cartón reciclados.  (Tamaño A4) 

 

pegamento silicona. 

 

Chinches. 

 

Escuadras y transportador.

 

Plumón.

 

Cuchilla. 

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6.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

a) Armando un diedro diedro de 120° Materiales, dos caras y dos cuñas que tengan 60°, 30° y 90°. Con dos pedazos de cartón tamaño A4 construimos un diedro de ángulo 120; para los cuales nos apoyamos con cuñas de 60.

El diedro estará formado por dos semiplanos P1 y P2 (dos pedazos de cartón) limitados por una recta L el cual será trazado con el plumón.

Comprobando que mide el diedro formado mide 120° con la ayuda del transportador

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b) Rectas perpendiculares en las caras del diedro. Colocando dos vectores normales V1 y V2 perpendiculares a las caras de cada plano que conforman el diedro.

Comprobando que mide 60°

Comprobación con el transportador y la escuadra de 30º y 60º.

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Finalmente queda comprobado experimentalmente la siguiente conclusión: La suma del ángulo del diedro y el ángulo menor que forman los vectores normales V1 y V2 al plano suma 180º

c) Formando un triedro Para formar el triedro primero medimos ángulos de 60° a partir de un vértice de L (que pertenece a la intersección de los dos planos) para luego pasar a cortar en ambas caras Midiendo 60° a partir de un vértice de L para luego pasar a cortar en ambas caras.

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-Pegamos un plano en el corte para generar el triedro, triedro , el plano adherido tenía arista que formaban ángulos de 90° para facilitar las mediciones de los diedros.

-En el siguiente paso medimos los ángulos de los diedros formados por el plano pegado y las caras del diedro original. Obteniendo un resultado de ángulos entre entre 49° y 50°.

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7.

CONCLUSIONES

Un buen trabajo en equipo permite una mayor eficiencia al momento de realizar cualquier actividad.

Practicar la visualización en tres dimensiones de ejercicios que impliquen su uso, nos ayuda a agilizar la mente al momento de búsqueda de soluciones.

Los diedros y triedros tienen determinadas propiedades que al conocerlas perfectamente, nos permitirá que podríamos encontrar habitualmente en laresolver carrera inconvenientes de ingeniería civil.

 Al demostrar las propiedades de los diedros y triedros de manera experimental, con materiales reales, pudimos comprender sus diversas propiedades de una manera mucho más óptima.

Comprendemos que al realizar un experimento, este está sujeto a un margen pero el uso cuidadoso de los materiales no permite reducirlo lo más posible dándonos resultados lo más cercanos a lo que la teoría nos indica. Comprobamos experimentalmente la siguiente conclusión: La suma del ángulo del diedro y el ángulo menor que forman los vectores normales V1 y V2 al plano suma 180º

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