Actividad 2 - El Método Del Factor Unitario

Actividad 2: El método del factor unitario (Análisis Dimensional) Muchos procesos químicos y físicos pueden ser descritos por relaciones numéricas. De hecho, muchas de las ideas más útiles en la ciencia deben ser tratadas matemáticamente. En este apartado, se revisan algunas habilidades de resolución de problemas. Las unidades deben acompañar siempre el valor numérico de una medición, si estamos escribiendo sobre la cantidad, hablando de ella, o sobre su utilización en los cálculos. La multiplicación por la unidad (por uno) no cambia el valor de una expresión. Si representamos "uno" de una manera útil, podemos hacer hac er muchas conversiones con sólo "multiplicar por uno." Este método de realizar los cálculos se conoce como análisis dimensional o el método de factor unitario. Independientemente del nombre elegido, es una poderosa herramienta matemática que es casi infalible. Los factores unitarios pueden ser construidos a partir de cualquiera de los dos términos que describen los mismos o sus "cantidades" equivalentes de todo lo que puede considerar. Por ejemplo, un pie es igual a exactamente 12 pulgadas, por definición. Es posible escribir una ecuación para describir esta igualdad: 1 ft = 12 in Dividiendo ambos lados de la ecuación por 1 ft tenemos

                 El factor (la fracción) 12 in / 1 ft es un factor unitario debido a que el numerador y el denominador describen la misma distancia. Dividiendo ambos l ados de la ecuación original por 12 in., tenemos que 1 = 1 ft / 12 in., un segundo factor unitario que es el reciproco del primero. El reciproco de cualquier factor unitario es también un factor unitario. Dicho de otra forma, la división de una cantidad por la misma cantidad, siempre da uno! En el sistema ingles se pueden escribir muchos factores unitarios, tales como

                        El reciproco de estos es también un factor unitario. En ciencias, casi todos los números tienen unidades. ¿Qué significa 12? Por lo general se debe suministrar las unidades apropiadas, tales como 12 huevos o 12 personas. En el método del factor unitario, las unidades nos guiaran a través de los cálculos en un proceso paso a paso, porque todas las unidades, excepto las del resultado deseado, deben cancelarse.

Química General I. Otoño 2015. Docente: Christopher González Ponce

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Ejemplo 1. Exprese 1,47 millas (mi) en pulgadas (in). Plan

En primer lugar, escribir las unidades de lo que deseamos saber, precedido por un signo de interrogación, luego lo ponemos igual a, lo que nos da: ? in = 1,47 mi Luego utilizamos los factores unitarios para convertir c onvertir las unidades dadas (millas) a las unidades deseadas (in): millas (mi) → pies (ft) → pulgadas (in) Solución

                         Note que millas y pies se cancelan, dejando solo pulgadas (in), la unidad deseada. Por lo tanto, no hay ninguna ambigüedad en cuanto a cómo se deben escribir los factores unitarios. La respuesta tiene tres cifras significativas porque hay tres cifras significativas en 1,47 mi. Ejemplo 2. (Conversión de Unidades) El Ångstrom (Å) es una unidad de longitud, 1x 10

-10

m, que proporciona una escala conveniente en que expresar los radios de los átomos. Los radios de los átomos a menudo se expresan en nanómetros. El radio de un átomo de fósforo es de 1,10 Å ¿Cuál es la distancia expresada en centímetros y nanómetros? Plan

Usamos las igualdades 1 Å = 1x 10 -10 m, 1 cm = 1x 10-2 m, y 1 nm = 1x 10-9 m para construir los factores unitarios que conviertan 1,10 Å en las unidades deseadas. Solución

                                                 

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Ejemplo 3. (Calculo de volumen) Asumiendo que el átomo de fosforo es esférico, calcule el

volumen en Å3, cm3, y nm3. La fórmula para el volumen de una esfera es V = (4/3)πr 3. Plan

Utilizamos los resultados del ejemplo 2 para calcular el volumen en cada una de las unidades deseadas. Solución

               

                                      Ejemplo 4. (Conversión de masa) Una muestra de oro tiene una masa de 0,234 mg. ¿Cuál es la

masa en g? ¿en kg? Plan

Usamos la relación 1 g = 1000 mg y 1 kg = 1000 g para escribir los factores unitarios adecuados. Solución

                                    3

Ejemplo 5. (Conversión de volumen) Un litro es exactamente 1000 cm . ¿Cuántas pulgadas (in)

cubicas hay en 1000 cm 3? Plan

Multiplicamos por el factor unidad 1in = 2,54 cm para convertir los cm a in. Aquí se requiere el cubo del factor unitario Solución

   )                        

       (

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Ejemplo 6. (Conversión de energía) Una unidad común de energía es el erg. Convierta 3.74 x

10-2 erg en la unidad del SI, joule y kilojoule. Un erg es exactamente 1 x 10 -7 joule (J). Plan

La definición que relaciona erg y joules es utilizada para generar el factor unitario necesario. La segunda conversión utiliza un factor unitario que se basa en la definición del prefijo kilo-. Solución

          

 

                            

Ejemplo 7. (Conversión entre Sistema Ingles y Sistema Métrico) Exprese 1,0 galón en mililitros. Plan

Nos preguntamos ¿mL? = 1,0 gal y multiplicamos por los factores apropiados Solución

                            El hecho de que todas las unidades se cancelan para dar la unidad deseada, mililitros, muestra que hemos usado los factores unitarios correctos. cor rectos.

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significado Prefijo Prefijo símbolo Numero

Palabra

Notación exponencial

yotta

Y

1000000000000000000000000

septillón

1024

zetta

Z

1000000000000000000000

sextillón

1021

exa

E

1000000000000000000

quintillón

1018

peta

P

1000000000000000

cuadrillón

1015

tera

T

1000000000000

trillón

1012

giga

G

1000000000

billón

109

mega

M

1000000

millón

106

kilo

K

1000

mil

103

hecto

H

100

centena

102

deca

da

10

decena

101

-

-

1

unidad

100

deci

D

0,1

décimos

10-1

centi

C

0,01

centésimos

10-2

mili

M

0,001

milésimos

10-3

micro

Μ

0,000001

millonésimos

10-6

nano

N

0,000000001

billonésimos

10-9

pico

P

0,000000000001

trillonésimos

10-12

femto

F

0,000000000000001 cuadrillonésimos

10-15

atto

A

0,000000000000000001 quintillonésimo

10-18

zepto

Z

sextillonésimo

10-21

yocto Y 0,000000000000000000000 001 septillonésimo 0,000000000000000000000001 Tabla 1. Prefijos decimales comunes usados con las unidades SI

10-24

0,000000000000000000001

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Cantidad SI

Equivalentes SI

Equivalentes ingleses

Longitud 1 kilometro (km)

1000 (103) metros

0,6214 milla (mi)

1 metro (m)

1 centímetro (cm) Volumen 1 metro cúbico (m3) 1 decímetro cúbico (dm3)

1 yarda = 0,9144 m

1000 milímetros (mm) 39,37 pulgadas (in)

1 pie (ft) = 0,3048 m 1 pulgada = 2,54 cm (exactamente)

0,01 (10-2) metros

0,3937 pulgada

1000000 (106) cm3

35,31 pie cúbico (ft3) 1 pie cúbico = 0,02832 m3

1000 cm3

0,2642 galón (gal)

1 galón = 3,785 dm3

1,057 cuartos (qt)

1 cuarto = 0,9464 dm3

0,03381 onza líquida 1 cuarto = 946,4 cm3 1 onza líquida = 29,57 cm3

1 kilogramo (kg) 1000 gramos 2,205 libras (lb) 1 gramo (g) 1000 miligramos (mg) 0,03527 onza (oz) Tabla 2. Equivalentes comunes entre el Sistema Inglés y el SI

Cantidad

1 milla = 1,609 km

100 (102) centímetros 1,094 yardas (yd)

1 centímetro cúbico (cm3) 0,001 dm3

Masa

Equivalente Equivalent e inglés a SI

Nombre de la unidad

Símbolo de la unidad

Energía erg Erg Fuerza dina Dyn Viscosidad dinámica poise P Viscosidad cinemática stokes St Luminancia stilb Sb Iluminancia phot Ph 1 Aceleración gal Gal Flujo magnético maxwell Mx Densidad de flujo gauss G magnético Campo magnético Oe œrsted Tabla 3. Unidades que no son SI asociadas con el sistema CGS.

1 libra = 0,4536 kg 1 onza = 28,35 g

Valor en unidades SI

1 erg = 10-7 J 1 dyn = 10-5 N 1 P = 1 dyn s cm-2 = 0,1 Pa s 1 St = 1 cm2 s-1 = 10-4 m2 s-1 1 sb = 1 cd cm-2 = 104 cd m-2 1 ph = 1 cd sr cm-2 = 104 lx 1 Gal = 1 cm s-2 = 10-2 m s-2 1 Mx = 1 G cm2 = 10-8 Wb 1 G = 1 Mx cm-2 = 10-4 T 1 Oe = (10 3/4π) A m-1

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Ejercicios

1- Escribe el (los) factor(es) unitario(s) para cada uno de los siguientes incisos: (a) in 2 a cm2; (b) km2 a m2; (c) mi/h a cm/s; (d) cm/min a in/min; (e) m 3 a in3; (f) m/s2 a km/h2. 2- Describa la diferencia entre las propiedades intensivas y extensivas. ¿Cuál de las siguientes propiedades son intensivas?: (a) masa; (b) densidad; (c) volumen; (e) punto de fusión. 3- Explique la diferencia entre masa y peso. ¿Por qué el peso es seis veces menor en la superficie de la Luna que en la Tierra? 4- Explique la diferencia entre calor y temperatura. 5- El radio atómico del cobre es de 128 pm. ¿Cuál es su radio en nanómetros (nm)? 6- El radio atómico del bario es 2,22 x 10 -10 m. ¿Cuál es el radio en angstroms (Å)? 7- Una cancha de futbol tiene 100 m de largo. ¿Cuál es la longitud en pies (ft)? 8- El central de su equipo de futbol mide 7 pies y 1 pulgada de alto. ¿Cuán alto es el  jugador en centímetros (cm)? 9- Un pequeño agujero en el ala de un transbordador espacial requiere un parche de 32,7 cm2. (a)¿Cuál es el área del parche en kilómetros cuadrados (km 2)? (b) Si el material de parche le cuesta a la NASA $2,75/in, ¿cuál es el costo del parche? 10- El área de los lentes de un telescopio es de 5786 mm 2. (a)¿Qué área es esta en pies cuadrados (ft2)? (b) Un técnico pule en 45 s, 150 mm2  ¿cuánto tiempo le lleva pulir todos los lentes? 11- En la atmosfera hay 2,60 x 10 15 toneladas netas de oxígeno (1 tonelada neta = 2000 lb) . ¿Cuántas toneladas métricas de oxígeno hay (1 tonelada métrica = 1000 kg)?

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16- Un vial vacío pesa 42,45 g. (a) Si el vial pesa 185,56 g cuando se llena de mercurio liquido (d = 13,53 g/cm3), ¿cuál es su volumen? (b) ¿Cuánto pesaría el vial si estuviera lleno de agua (d = 0,997 g/cm 3 a 25˚°C)? 17- Un matraz Erlenmeyer pesa 141,3 g cuando está vacío. Cuando se llena con agua (d = 1,00 g/cm3), el matraz y su contenido pesan 283,2 g. (a) ¿Cuál es el volumen del matraz? (b) ¿Cuánto más pesa el matraz cuando se llena con cloroformo (d = 1,48 g/cm3)? 18- Un pequeño cubo de aluminio mide 15,6 mm de lado y pesa 4,20 g. ¿Cuál es la densidad del aluminio en g/cm3? 19- Una esfera de acero con una circunferencia de 32,5 mm pesa 4,20 g. ¿Cuál es la densidad del acero en g/cm 3 (V de una esfera = 4/3 πr 3; circunferencia de un circulo = 2πr)?

20- La distancia entre dos picos adyacentes de una onda se denomina longitud de onda. La longitud de onda de la luz visible determina su color. (a) La longitud de onda de una radiación de luz verde es 513 nanómetros (nm). ¿Cuál es su longitud de onda en metros? (b) La longitud de onda de un rayo de luz roja es de 710 nm. ¿Cuál es su longitud de onda en angstroms Å? 21- Para los alquimistas, el oro era el material que representaba la pureza. Es un metal tan suave que puede martillarse hasta obtener láminas extremadamente delgadas. Si una pieza de oro de 1,10 g (d = 19,32 g/cm 3) se malea a una lámina que tiene un área de 40,0 ft2, ¿Cuál es el promedio del grosor de la lamina en centímetros? 22- Un tubo cilíndrico de 13,0 cm de altura y 1,5 cm de diámetro se usa para colectar muestras de sangre. ¿Cuántos decímetros cúbicos (dm3) de sangre puede contener (V 2 de un cilindro = πr h)? 23- Unidades inglesas y no inglesas aparecen en los artículos de abarrotes. (a) Si la etiqueta de una botella de aceite comestible muestra “48 fl oz (1,412)”, ¿cuántas