Activida Razones y Proporciones

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA PANAMERICANA PANAMERICANA MATEMÁTICA FUNDAMENTAL II 2010 RAZONES - PROPORCIONES Objetivo Realizar aproximación y trabajo con las razones y las proporciones. Muchos historiadores concuerdan en que el primer matemático fue el griego Thales de Mileto. Se cuenta que en las tierras del Nilo, los sacerdotes egipcios, poniéndolo a prueba, le preguntaron en cuánto estimaba la altura de la gran pirámide de Keops. Con la serenidad de un sabio, Thales respondió que, antes que estimarla, prefería medirla. Los egipcios, estupefactos, presenciaron la simple y maravillosas medición de Thales, quien, mediante un bastón y una proporción, logró rápidamente la proeza. Primer momento (individual) 1. Lea con detenimiento el siguiente párrafo "El hombre de Vitruvio, la divina proporción" ...La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la   punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del  hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre... 1. Realice el proceso de tomar sus medidas (altura, brazos, etc.) y determinar si las relaciones que se sugieren en el escrito son acertadas para usted o qué tanto se aproximan. Elabore un escrito de una página anexando sus conclusiones. conclusiones.

2. Apoye sus conclusiones observando los siguientes videos que se encuentran en youtube y realice un escrito de una página en el que relacione lo aprendió desde los videos vistos. Proporción áurea: http://www.youtube.com/watch?v=OXOBrYfVCgw&feature=related DIVINA PROPORCION.Número de Oro: http://www.youtube.com/watch?v=fzxmwCddN4c&feature=related

3. Explique a que hace referencia el párrafo introductorio en el que se menciona a Thales de Mileto.

Segundo momento (grupos de tres) 1. Completar cada tabla.

Tabla 1 Velocidad km/h 60

tiempo horas 1

30

2

20

3

15

4

12

5

10

6

5

12

2

30

1

60

COCIENTE  PRODUCTO (B/A)  A*B

Tabla 2 COCIENTE  PRODUCTO (B/A)  A*B

Tabla 4 Días que pasan desde la inscripción a Facebook

Número de solicitudes de amistad

1

1

2

3

3

10

4

25

5

30

6

50

7

100

8

125

9

130

10

135

Código del Estudiante. 1

Nota de la evaluación 2

2

3

3

2,5

4

3,5

(A)LATAS DE BEBIDA

(B)PRECIO

5

4

1

1200

6

3,2

2

2400

7

4,6

3

3600

8

2,1

4

4800

9

3,8

5

6000

10

5

6

7200

7

8400

8

9600

9

10800

10

12000

COCIENTE  (B/A)

PRODUCTO  A*B

Tabla 5

Tabla 3 Número de clientes 20

Hora del día 7

15

8

10

9

8

10

6

11

5

12

3

13

2

14

1

15

COCIENTE  PRODUCTO (B/A)  A*B

COCIENTE  PRODUCTO (B/A)  A*B

2. Luego de completar las tablas conteste para cada una: a. Las magnitudes: crecen simultáneamente, una crece mientras la otra decrece o no tienen relación. b. Al multiplicar o dividir las magnitudes, magnitudes, ¿se encuentra alguna constante? c. Es correcto afirmar que cada vez que las magnitudes crecen simultáneamente, se tiene una constante. Explique su respuesta.

3. Grafique los puntos de cada tabla en su respectivo plano Tabla 1 Tabla

Tabla 2

Tabla 3

Tabla 4

Tabla 5

4. Luego de realizar las gráficas g ráficas compárelas y concluya. 5. Realice tres tablas para las cuales el cociente de las magnitudes de siempre un mismo número. Grafíquelas. 6. Realice tres tablas para las cuales el producto de las magnitudes de siempre un mismo número. Grafíquelas Tercer momento (individual). 1. Lea las siguientes definiciones y estudie los ejemplos. DEFINICIONES Definición 1: Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas. Si las cantidades son a y b, se puede escribir la razón entre a y b (en ese orden) como a:b ó a/b. Que se lee " a " a es a b"  Ejemplo:  De un total de 42 alumnos, 10 son so n mujeres 

Definición 2: Una PROPORCIÓN es una igualdad entre dos razones. Si las razones son a:b y c:d que forman una proporción, entonces se escribe esta proporción como      









 

Que se lee " a es a b como c es c es a d"  A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios Ejemplo: 1:2 y 2:4 forman una proporción, pero 1:3 y 2:4 No 3:4 y 6:8 forman una proporción, pero 3:4 y 5:8 No Tenemos una proporción cuando tenemos una igualdad de dos r azones. En las situaciones que se solucionan con el proceso de regla de tres es necesario que se tenga en cuenta que existen proporciones directa y proporciones inversas, por esto se definen estas proporciones de esta manera. Definición 3: 3: Se dice que dos variables o magnitudes  y  son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si se relacionan:    

 



Donde  es una constante positiva, llamada constante de proporcionalidad. Ejemplo: Si  es el perímetro de un cuadrado de lado , entonces  y  son directamente proporcionales. Si el lado  aumenta entonces el perímetro aumenta cuatro veces como se ve en la siguiente tabla: 



1 2 3

4 8 12

  

  4

 



  

4

Donde   4 es decir la constante de proporcionalidad es 4 Definición 4: Se dice que dos variables o magnitudes  y  son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si se relacionan SI: 

 



  

Donde  es una constante positiva, llamada constante de proporcionalidad.

Ejemplo: Si el área de un rectángulo es de  y la base b y la altura h 

     

Entonces b y h son inversamente proporcionales, si la base aumenta la altura disminuye así: 



1 2 3 4

36 18 12 9

 ℎ

 





 



ℎ    

Definición 4: 4: Si varias variables  estan relacionadas por una ecuación del tipo 

 

Donde k es la constante de proporcionalidad se dice que  es directamente proporcional a  a  a  e inversamente proporcional a  y . Ejemplo 1: Una persona digitando 60 letras por minuto y trabajando 6 horas por día realiza cierto trabajo en 10 días. Cuántos días  se tardara otra persona para hacer el mismo trabajo si digita 50 letras por minuto trabajando 4 horas por día. Persona A B

L 60 50

H 6 4

D 10 

Con el fin de trabajar en las mismas unidades de medida se multiplica 60 por L, además la ecuación queda de la siguiente manera ya que las variables L, H, D son inversas. 



                  4   4       

  



4           4

Ejemplo 2: Si 10 máquinas funcionando 6 horas por día, durante 60 días producen 90000 piezas, en cuantos días x , 12 de las mismas maquinas funcionando 8 horas por día producirán 192000 piezas. Situación 1 2

M 10 12

H 6 8

D 60 

P 90000 192000

Como P es directamente proporcional y M,H,D son inversamente proporcionales se tiene la siguiente ecuación:     











 

                              4    

ERROR COMÚN Comúnmente se plantea a los estudiantes describir la dependencia de las variables involucradas indicando que son directamente proporcionales si aumentan o disminuyen de forma simultánea, e inversamente proporcionales si al aumentar uno el otro disminuye. Esta afirmación puede no ser cierta en algunos casos como el siguiente. Ejemplo: Un empleado pasa cinco horas para limpiar un terreno circular de 7 metros de radio. ¿Cuánto tiempo limpiando un terreno de 14 metros de radio? Radio 7 14

Horas 5 

Con una revisión superficial superficial se podría afirmar que al aumentar la medida del radio aumenta el tiempo es decir que las variables son directamente proporcionales, proporcionales, pero esto no es cierto ya que que el tiempo es proporcional directamente no a  sino a la superficie es decir a  

Esto debido a que al aumentar el radio el tiempo aumenta pero porque si aumenta el radio aumenta la superficie a limpiar.      



5

49 196



    7   4    4   4



 

⇒

    4   

   ℎ

PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD En toda proporción se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios  



 

⇒

Para ejemplificar las propiedades comenzamos con la siguiente proporción como base  

NOMBRE DE PROPIEDAD





y            4



PROPIEDAD 

Alternar extremos

 

Alternar medios

 

Permutar

 

Invertir



Componer con respecto al antecedente y consecuente respectivamente



Descomponer con respecto al antecedente y consecuente respectivamente



Componer y descomponer a la vez



      



 



    

EJEMPLO



4



















4





















































⇒ 4  4

4



⇒ 44

 4

⇒ 44



 4 4

4 







4





⇒ 4  4











4 4

4 4

⇒ 4  4 ⇒ 44 ⇒   

⇒  ⇒   

2. Escriba dos proporciones diferentes y con cada una de ellas realice el proceso de comprobar las propiedades de la tabla anterior

Cuarto momento (grupo 3 personas) ACTIVIDAD1 1.

Determine si las siguientes razones forman una proporción utilizando las propiedades. a.



b.



c.





  

 





 

 

d .



e.



 f .









  

     

2. En las siguientes proporciones encuentra el valor que hace falta para que se cumpla la propiedad fundamental. Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

a.

 



 

b.

 





c.



 



 

d.

 



 

LAS SIGUIENTES SITUACIONES SITUACIONES SOLUCIONELAS UTILIZANDO UTILIZANDO LAS RELACIONES 

 



    



 

SEGÚN SEA N DIRECTAS, INVERSAS O COMBINADAS. COMBINADAS. 3. La siguiente tabla muestra el número de pasajeros que se suben a un bus y el costo total del pasaje. Pasajeros ( p)  p) Costo ($ ($)

1 1100

3 3300

5 5500

6 6600

8 8800

a. ¿Qué tipo de magnitud magnit ud es? _________________________________ ________________ _________________________ ________ b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? __________________ ____________________________ __________ c. Si el costo es de $16500 ¿Cuántos pasajes se compraron?_________________ compraron?_________________

1

Es conveniente ingresar a la página http://www http://www.vitutor.com/di/ .vitutor.com/di/p/a_1.html p/a_1.html, de ésta página se tomaron varios de los ejercicios, porque allí se encuentran resueltos así usted como estudiante se puede orientar, para solucionar los restantes.

http://www.vitutor.com/di/p/p_e.html

4. La siguiente tabla muestra la distancia recorrida por un móvil atendiendo a la velocidad que lleva: Velocidad Km/h 30 50 80 10 15 Distancia km 90 150 240 30 45 a. ¿Qué tipo de magnitud magnit ud es? _________________________________ ________________ _________________________ ________ b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ___________________ ____________________________ _________ c. Si la velocidad es de 12 Km/h ¿Cuál es la distancia?____________ distancia?_____________________ ___________ 5. La siguiente tabla muestra el número de personas y el número de días que dura cierta cantidad de alimento: Personas ( p)  p) 1 2 4 6 10 Días (d  (d ) 20 10 5 4 2 a. ¿Qué tipo de magnitud magnit ud es? _________________________________ ________________ _________________________ ________ b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ___________________ ____________________________ _________ c. Si el número de personas es 12 ¿Cuántos días dura el alimento?____________ 6. Un grupo de 15 personas tiene alimento para 24 días. Si se quiere que el alimento dure 6 días más ¿Cuántas personas tendrán que ser retiradas del grupo? 7. Si con $130000 se pueden comprar comprar 40 metros de tela ¿Cuántos metros de tela se pueden pueden comprar con $600000? 8. 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en dos días. ¿Cuánto tardaran 4 obreros trabajando 7 horas diarias? 9. Seis personas pueden vivir vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 10. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de a ncho en cinco días? 11. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 12. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? 13. Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?2 14. Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 15. Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera. 16. Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresp onde a los otros dos? 17. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

2

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