ActivaDos Matemática 3

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capítulo

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Estadística Contenidos 50. Organización de la información. 51. Frecuencias. 52. Intervalos. 53. Gráficos. 54. Medidas de posición. 55. Media y moda en intervalos.

La máquina

Los camboyanos

✔

✔

x

✔

✔

x

x

Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. La máquina y Los camboyanos empataron el partido y están definiendo el ganador con una serie de 5 penales cada uno. Si continúan igualados, realizarán series de un penal cada uno. En una pizarra van anotando si cada penal es convertido (✔) o no (X). a. ¿Qué equipo tiene ventaja en la definición por penales? b. ¿Qué tiene que ocurrir para que un equipo se asegure el triunfo antes de que se pateen todos los penales de la serie de 5 penales? c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 178

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Organización de la información

infoactiva La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determinada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos.

En la siguiente tabla se puede ver el gusto de helado preferido de 25 alumnos de la escuela. Gusto preferido

Cantidad

Frutilla

5

Chocolate

9

Dulce de leche

7

Limón

4

frutilla 20%

limón 16%

chocolate 36%

dulce de leche 28%

Se denomina población al conjunto de individuos o elementos que se pretende estudiar estadísticamente mediante una encuesta, un censo o una investigación. Cuando no se puede estudiar toda la población, se selecciona una parte de ella que sea representativa. A esa parte se la denomina muestra. En los siguientes ejemplos pueden observar las diferencias entre población y muestra. • Cada cierto intervalo de tiempo, las fábricas toman muestras de los productos que elaboran para certificar el cumplimiento de los niveles de calidad. • Para investigar cómo puede resultar un nuevo gusto de jugo concentrado, se toma una muestra de 50 personas para saber su opinión. Se denomina variable a cada tema sobre el cual se estudia una población o muestra. Cualitativas Variables Cuantitativas

Se miden a partir de datos no numéricos. Por ejemplo: lugar elegido por un grupo de personas para ir de vacaciones. Discretas: Se miden a partir de datos numéricos representados por números enteros. Por ejemplo: cantidad de visitas al médico durante los últimos cinco años. Continuas: Se miden a partir de datos numéricos representados por números en un cierto intervalo real. Por ejemplo: altura de los jugadores de la Liga Nacional de Básquet.

test de comprensión

1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué diferencia hay entre una población y una muestra? b. Si se realiza una encuesta para registrar el color de ojos de un grupo de alumnos de una escuela, ¿cuál es la variable de estudio? ¿De qué tipo es? c. Para saber el equipo de fútbol preferido en la ciudad de Buenos Aires, se encuesta al azar a 200 personas del barrio porteño de la Boca. La muestra, ¿se puede considerar representativa? 179 Nombre:

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ACTIVIDADES Organización de la información

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1. Escriban la población, la muestra y la variable en cada caso. a. Se realizó una encuesta entre 345 estudiantes universitarios para averiguar quién sale a correr en el tiempo libre.

c. Una empresa de telefonía realizó un estudio de mercado para averiguar la cantidad de tiempo que hablan 12 453 de sus abonados.

Población:

Población:

Muestra:

Muestra:

Variable:

Variable:

b. Una fábrica de bicicletas realizó una encuesta entre 547 alumnos de preescolar para saber cuántos chicos andan en bicicleta sin rueditas.

d. Una empresa de turismo realizó una encuesta a 100 familias para saber cuál es el destino elegido para viajar en las próximas vacaciones.

Población:

Población:

Muestra:

Muestra:

Variable:

Variable:

2. Escriban el enunciado de una situación usando la información dada. a. • Población: maratonistas del Gran Buenos Aires. • 300 maratonistas. • Variable: tiempo que tardan en realizar medio maratón.

b. • Población: casas de familia de la provincia de Santa Fe. • Muestra: 13 567 hogares. • Variable: cantidad de mascotas.

3. Clasifiquen las variables en cualitativas o cuantitativas. En los casos que sean cuantitativas, indiquen si son discretas o continuas. a. Tipo de música que pasan por una radio de AM. b. Color preferido por un grupo de chicas. c. Cantidad de personas que usan la bicicleta como medio de transporte. d. Cantidad de veces que se le cambia el pañal a un niño por día. e. Cantidad de papel que se recicla por mes en una empresa. f. Estatura de un grupo de empleados de una empresa.

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Frecuencias

infoactiva Se denomina frecuencia absoluta ( f ) al número de veces que se repite cada valor de la variable. Se denomina frecuencia relativa ( fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La frecuencia acumulada ( F ) se obtiene sumando a la frecuencia absoluta que corresponde a un valor de la variable, las frecuencias absolutas anteriores.

En un campeonato intercolegial participaron alumnos en distintos deportes. Deporte

f (cantidad de participantes)

fr (frecuencia relativa)

F (frecuencia acumulada)

Fútbol

89

0,44

89

Básquet

45

0,23

134

Vóleibol

65

0,33

199

Totales

199

1

Los números índice se utilizan para medir y comparar los cambios de una variable en el tiempo. Es común observarlos en situaciones donde se quiere mostrar la variación de precios, cantidades y ventas de productos.

Ventas mundiales de dispositivos smartphones (en millones de unidades). 2011

2012

491,4

686

Número índice (12/11) (Base 2011 = 100)

686 _____ 491,4 = 1,396

Variación % +39,6%

El número índice 12/11 indica la variación en las unidades vendidas en el 2012 considerando las ventas del 2011 como base.

Fuente: IHS iSUPPLI IDC

Para calcular el porcentaje de variación, se multiplica por 100 el número índice. Si el resultado obtenido es mayor que 100, la variación es positiva y si es menor, la variación es negativa.

1,396 . 100 = 139,6

139,6 – 100 = +39,6

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es la diferencia que existe entre la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa? b. Si se suman todas las frecuencias relativas, ¿qué valor se obtiene? c. ¿Puede suceder que al sumar todas las frecuencias relativas se obtenga 0,98? d. Si un número índice es igual a 0,98, ¿qué significado tiene? 181 Nombre:

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ACTIVIDADES Frecuencias

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4. Lean cada situación y completen la tabla. a. Los alumnos de un curso emitieron los votos para elegir al delegado estudiantil. Los postulantes eran Andrés (A), Bárbara (B), Carla (C)y Darío (D). El resultado de la votación fue: A, A, B, C, D, A, C, C, C, D, D, C, D, A, B, C, A, B, D, A, C, D, B, A, C, A, C, A, B, C

Postulante

b. Los alumnos de tercer año hicieron una votación para elegir la materia preferida de los días viernes: Geografía (G), Historia (H), Lengua (L) y Matemática (M). El resultado de la votación fue el siguiente. M, M, H, G, H, M, M, M, L, L, H, G, M, G, G, L, G, M, L, G, L, L, G, L, M, L, L, M, M, L, L, G, G, H, H, H

Materia

f

fr

F

f

fr

F

A B C D

Matemática Historia Lengua Geografía

5. Resuelvan. El siguiente cuadro muestra las ventas realizadas por una fábrica de muñecas. a. Completen la tabla. Modelo de muñeca

2010

2011

2012

Jenny

23 578

27 459

39 578

Lupe

19 458

17 834

15 849

Cindy

32 948

30 823

29 847

Número índice 12/10

Porcentaje de variación 12/10

b. ¿Cuál es la variación de ventas (en porcentaje) del modelo Jenny del año 2011 respecto del 2010?

c. ¿Cuál es el porcentaje de variación del modelo Cindy del año 2011 con respecto al año 2010?

6. Resuelvan. La siguiente tabla muestra la cantidad de autos clase T 0 km vendidos en los últimos años por una importante cadena de agencias de autos. Modelo

2009

2010

2011

2012

Clase T

12 356

15 005

14 959

17 345

a. Completen la tabla. Número índice 12/09

Número índice 12/10

Número índice 12/11

b. ¿Cuál es la variación (en porcentaje) de la venta de autos 0 km del año 2012 respecto a 2009?

c. ¿Cuál es la variación (en porcentaje) de la venta de autos 0 km del año 2010 respecto a 2009?

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Intervalos

infoactiva En algunas situaciones, los datos de una estadística conviene agruparlos en intervalos de clase.

En una empresa se tomó una muestra de 28 empleados para saber cuánto tiempo tardaban en llegar desde la casa al trabajo. Las respuestas fueron (en minutos) las siguientes. 25 20 50 100

70 60 140 120

30 120 120 100

20 130 30 50

50 140 60 80

50 80 15 80

90 130 30 10

Los datos se pueden organizar en intervalos de clase, por ejemplo, de amplitud 50.

[50;100) Incluye al 50.

No incluye al 100.

En este intervalo se incluyen las duraciones de viaje mayores o iguales que 50 minutos y menores que 100. La amplitud del intervalo es 50, porque 100 – 50 = 50. El punto medio de cada intervalo se denomina marca de clase (se escribe xn ). + 100 ________ = 75. Para obtener la marca de clase de [50;100) se hace 50 2

x: tiempo de viaje

f

xn: marca de clase

fr

F

[0;50)

8

0 + 50 ______ = 25 2

8 = 0,43 ___ 28

8

[50;100)

11

50 + 100 ________ = 75 2

11 ___ 28 = 0,32

19

[100;150)

9

100 + 150 _________ = 125 2

9 ___ 28 = 0,25

28

test de comprensión a. La amplitud de los intervalos de clase, ¿siempre debe ser la misma? b. Si en una tabla todos los intervalos tienen la misma amplitud y uno de ellos es [12,5;15), ¿cuál es la amplitud de los intervalos? c. ¿Cuál es la marca de clase del intervalo [10;40)? 183 Nombre:

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ACTIVIDADES Intervalos

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7. Lean atentamente y completen las tablas. a. Los siguientes datos muestran los pesos de 42 chicos (en kilogramos) que entrenan los sábados por la mañana en el club del barrio. 45,3; 56,5; 49,5; 52,8; 56,7; 45,9; 68,4; 56; 73,6; 62,9; 48,9; 50; 45,8; 71,2; 56; 49,3; 72,9; 74,9; 57,9; 67,9; 74,8; 59,2; 57,2; 61,9; 59,3; 72,9; 67; 69,3; 71,1; 72,9; 57,9; 49,2; 56,9; 49,9; 48,9; 74,9; 60,1; 60; 56,9; 55; 50,3; 57,2

Intervalo

b. Se tomó una muestra de 20 pilas de la marca “Toda energía” para testear la vida útil. Los resultados (expresados en horas) fueron los siguientes. 12, 17, 16, 18, 20, 15, 17, 19, 20, 20, 13, 12, 19, 17, 14, 13, 12, 18, 19, 20

Intervalo

c. Se realizó un estudio para saber cuántos mails por día envían 40 empleados de distintos sectores de una empresa y se obtuvieron los siguientes resultados. 16, 43, 34, 32, 21, 44, 16, 28, 39, 41, 40, 30, 32, 42, 38, 37, 26, 25, 16, 15, 25, 19, 17, 27, 32, 43, 44, 40, 25, 24, 34, 31, 43, 42, 35, 40, 43, 42, 40, 31

f

fr

F

xn

f

fr

F

xn

[45,50) [50;55) [55;60) [60;65) [65;70) [70;75)

[12;15) [15;18) [18;21)

Intervalo

f

fr

F

xn

[15;20)

d. Realicen el histograma correspondiente a cada situación.

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Gráficos

infoactiva

Cantidad de personas

Los gráficos estadísticos permiten visualizar con mayor facilidad la información brindada por una estadística. Entre los gráficos estadísticos se encuentran el de barras, el circular, el pictograma y el histograma. gráfico de barras

10 5 0 muy bueno

bueno

regular Opinión

gráfico circular

bueno 25%

muy bueno 50%

regular 25%

El gráfico circular está dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres: 100% __________ 360° . 360° __________ = 90° 25% ___________ x = 25% 100%

pictograma

vóley fútbol tenis natación

Representa 20 alumnos histograma

f 12 9 7

0

En el gráfico de barras, cada barra tiene una altura que corresponde a la frecuencia del valor de la variable. Por ejemplo, 5 personas opinan que un programa de televisión es bueno.

50

100

150

El pictograma está formado por dibujos relacionados con el tema. Se toma como referencia un dibujo que representa una determinada cantidad.

El histograma se utiliza para representar intervalos de clase. Está formado por rectángulos contiguos cuyo ancho coincide con la amplitud del intervalo y el alto, con su frecuencia.

Minutos de viaje

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un gráfico circular, ¿qué ángulo le corresponde al 50% de una muestra que tiene una característica en particular? b. ¿Cómo se representa en un pictograma la frecuencia de una variable? c. ¿Cuál es la diferencia entre el gráfico de barras y el histograma? 185 Nombre:

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ACTIVIDADES Gráficos

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8. Resuelvan. A partir de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos sobre cuál es el personaje favorito de dibujos animados de un grupo de chicos de entre 4 y 5 años. Superchi: 63; Gran Músculo: 100; Dulzón: 143; Corazón: 87; Poloco: 184 a. Representen los datos en un gráfico de barras y en un gráfico circular.

b. ¿Qué porcentaje representa al personaje más votado?

9. Observen el gráfico y resuelvan. El siguiente gráfico muestra la cantidad de toneladas diarias que recibe la planta CEAMSE y la procedencia. a. De la cantidad de residuos que recibe la planta CEAMSE, ¿qué porcentaje corresponde a CABA? CABA 6 200 t b. ¿Cuántas toneladas de residuos recibe el CEAMSE por día? Fuente: CEAMSE

Gran Buenos Aires 10 800 t

10. Lean atentamente y resuelvan. En una fábrica de lámparas, se toman muestras para realizar el control de calidad de las horas de uso de cierto modelo. Una de las muestras arrojó los siguientes resultados (en horas): 1 900, 2 000, 2 100, 1 980, 2 000, 1 975, 1 977, 1 989, 2 001, 2 006, 2 100, 2 125, 1 890, 2 007 Completen la tabla organizando los datos en intervalos de amplitud 40. Luego, realicen el histograma. Intervalo

f

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Integración

CONTENIDOS

50.51.52.53

11. Indiquen en cada caso cuál es la población, la muestra y la variable. Clasifiquen la variable. a. Se encuestó a 300 deportistas para averiguar la marca de calzado que utilizan. b. Se consultó a 12 000 empleados para saber qué tipos de comidas prefieren en la hora del almuerzo. c. Se realizó una encuesta entre 2 000 estudiantes universitarios para saber qué tipos de páginas web consultan diariamente. d. Se registró la cantidad de litros de nafta que cargan 500 autos en determinada estación de servicio.

14. Completen la tabla y resuelvan. Se realizó una encuesta a todos los integrantes de varias familias para saber cuál es la bebida preferida para acompañar la cena los días sábados. V: vino, G: gaseosa, A: agua sin gas, O: otros V, G, A, V, V, G, A, G, V, A, G, O, V, O, G, O, G, V, G, G, A, G, V, V, A, G, V, V, G, G, V, V, V, V, V, A, G, V, V, V, G, G, V, V, V, V, G, G, V, V, V, V, G, O, G, G, G, G, G, A, V, V, V, G Bebida

cuantitativas; en esta última, indiquen si son discretas o continuas. a. Equipo de fútbol preferido de un grupo de estudiantes. b. Distancia a la que viven los alumnos de cierta escuela. c. Tipo de transporte que usan a diario los empleados de una empresa para trasladarse desde la casa al trabajo. d. Cantidad de horas que los alumnos de tercer año se dedican al estudio. e. Cantidad de habitantes por provincia.

13. Lean atentamente y completen la tabla.

Playa

45

fr

Montaña Lagos Otros

F 60

0,15 80

b. Realicen un gráfico de barras y un gráfico circular.

fr

F

Gaseosa Agua Otros a. ¿Cuál es la variable? b. ¿Cuál es la población? c. ¿A cuántas personas se encuestó? d. ¿Cuál es la bebida preferida para acompañar la cena de los sábados? e. Realicen un gráfico de barras.

15. Lean atentamente y resuelvan. La siguiente tabla muestra la variación de ventas de bicicletas en una fábrica durante distintos períodos.

Se encuestó a 80 personas para saber qué tipo de lugar elegirían para pasar sus próximas vacaciones. a. Completen la tabla. f

f

Vino

12. Clasifiquen las variables en cualitativas o

Lugar

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Año

Cantidad de ventas

2009

34 500

2010

35 650

2011

37 590

a. Calculen. • Número índice 11/09. • Número índice 10/09. • Número índice 11/10. b. ¿Cuál es el porcentaje de variación de las ventas realizadas en el 2011 respecto del 2009? ¿Y las del 2010 respecto del 2009?

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16. Lean atentamente y resuelvan.

18. Resuelvan.

Se realizó una encuesta para saber cuántas canciones en formato MP3 tienen almacenados un grupo de personas en algún tipo de soporte electrónico.

Se realizó una encuesta a 300 personas de distintas provincias para saber la raza de perro preferida. Los resultados fueron los siguientes. Maltés: 120 Caniche Toy: 45 Yorkshire: 65 Dálmata: 34 Otras: 36 a. Completen la tabla.

70, 69, 100, 92, 36, 61, 82, 120, 79, 42, 60, 112, 118, 54, 25, 45, 26, 75, 94, 35, 72, 89, 62, 98, 103, 68, 23, 84, 115, 108, 109, 68, 53, 70, 107, 50, 71, 12, 65, 37, 56, 109, 76, 119, 111, 96, 115, 47, 87, 39 100, 47, 59, 112, 91, 81, 69, 100, 95, 112, 119, 93, 108

Raza

F

Maltés Yorkshire Dálmata

f

xn

fr

F

[0;24)

Otras b. Realicen un gráfico circular. c. Escriban el porcentaje respecto del total que corresponde a cada raza elegida.

[24;48) [48;72) [72;96)

19. Resuelvan.

b. Realicen un histograma. c. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos?

17. Lean atentamente y respondan. Un promotor utiliza diariamente el servicio de telefonía celular para contactarse con distintos clientes. A continuación, se muestra la cantidad de tiempo (en minutos) que habló durante un mes. 200, 174, 134, 67, 160, 32, 224, 30, 193, 56, 220, 110, 79, 134, 48, 100, 148, 234, 239, 236, 217, 156, 120, 150, 145, 172, 198, 170, 145, 123 a. Completen la tabla. f

xn

fr

F

[0;60) [60;120) [120;180) [180;240) b. ¿Cuántos días habló 2 horas o más? c. Realicen un histograma.

El siguiente gráfico de barras muestra los resultados de la votación que realizaron los alumnos para elegir el color de la campera de egresados. Votos

[96;120)

Tiempo

fr

Caniche Toy

a. Completen la tabla. x: cant. de canciones

f

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 rojo

azul

negro

blanco Color

a. ¿Cuántos alumnos participaron de la elección? b. ¿Cuántos votos tuvo cada color? c. ¿Cuál fue el color más votado? ¿Cuál fue su porcentaje? d. ¿Cuál fue el color que recibió menos votos? ¿Cuál fue su porcentaje? e. Realicen un gráfico circular.

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Medidas de posición

infoactiva Se llaman medidas de posición a la media aritmética, la moda y la mediana. Para calcular la media aritmética o promedio (se escribe x) se suman todos los productos que resultan de multiplicar cada valor de la variable por la frecuencia absoluta; a este resultado se lo divide por la cantidad total de datos.

En la siguiente distribución de frecuencias se muestra la cantidad de veces que fue al cine (durante el último año) cada uno de los alumnos de tercer año “A”. 5

0

4

3

2

2

3

4

5

2

1

5

5

. 0 + 1 . 1 + 3 . 2 + 2 . 3 + 2 . 4 + 4 . 5 = 3,15 x = 1________________________________ 13

La moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia. En el ejemplo anterior, mo = 5. La mediana (se escribe me ) es el valor de la variable ubicado en el lugar central, luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide a la muestra de tal forma que deja igual cantidad de datos a su izquierda que a su derecha. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior:

0–1–2–2–2–3–3–4–4–5–5–5–5 me = 3

Cuando la cantidad de datos es par, la mediana es igual al promedio de los valores centrales.

En la siguiente distribución de frecuencias se muestra la cantidad de veces que fue al cine (durante el último año) cada uno de los alumnos de tercer año “B”. 1

3

7

2

2

0

1

3

4

1

5

5

Para calcular la mediana, se escriben los datos ordenados de menor a mayor. 0–1–1–1–2–2–3–3–4–5–5–7 2 + 3 = 2,5 me = _____ 2

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el promedio entre 5, 6 y 7? b. En una distribución de frecuencias, ¿puede haber más de una moda? c. Para calcular la mediana, ¿es lo mismo ordenar los datos de menor a mayor que al revés? 189 Nombre:

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ACTIVIDADES Medidas de posición

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20. Calculen la media aritmética, la mediana y la moda. a. Se encuestó a un grupo de alumnos para saber cuántas veces juegan por mes al fútbol. 3, 6, 10, 13, 7, 5, 9, 5, 14, 7, 7, 8, 5, 4, 10, 12, 3, 9, 8, 5 • Media aritmética:

• Moda:

• Mediana:

b. Se tomó una evaluación integradora a los alumnos de tercer año y se obtuvieron los siguientes resultados. 9, 7, 7 ,8, 10, 9, 6, 9, 6, 7, 6, 7, 9, 7, 3, 7, 3, 8, 7, 7, 8, 7, 6, 8, 8, 7, 8, 9, 3, 10 • Media aritmética:

• Moda:

• Mediana:

c. En la ciudad de Rosario, se registraron las siguientes temperaturas promedio diarias (en °C) durante una semana. 5, 8, 5, 9, 10, 8, 9 • Media aritmética:

• Moda:

• Mediana:

Cantidad de personas

21. Observen el gráfico y respondan. Expliquen las respuestas. Se encuestó a 300 personas para averiguar cuál es su equipo favorito de fútbol. Los resultados fueron volcados en el siguiente gráfico. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

river

boca

racing

san lorenzo

independiente Equipos

a. ¿Cuál es la moda?

b. ¿Se puede calcular la media aritmética? ¿Y la mediana?

mente ACTIVA Asignen un valor a x para que se cumpla la condición indicada. 3, 6, 3, 5, 6, 7, 7, x a. Que el promedio sea igual 5. b. Que la mediana sea igual a 6. c. Que la moda sea 7.

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Media y moda en intervalos

infoactiva Para calcular la media aritmética en una distribución organizada en intervalos de clase, pueden seguir estos pasos. 1. Se multiplica, de cada intervalo de la tabla, la frecuencia absoluta por la marca de clase (xn). 2. Se suman todos los productos del paso 1. y se divide el resultado por el tamaño de la muestra. x: notas de historia en el examen de ingreso

f

xn: marca de clase

f . xn

[0;2,5)

10

1,25

12,5

[2,5;5)

15

3,75

56,25

[5;7,5)

20

6,25

125

[7,5;10)

30

8,75

262,5

75

456,25 = 6,08 x = _______ 75

456,25

Tamaño de la muestra

Suma

La moda, en una distribución organizada en intervalos de clase, corresponde al intervalo que tiene mayor frecuencia. En el ejemplo anterior, la moda corresponde al intervalo [7,5;10). En el siguiente ejemplo, la moda corresponde al intervalo [36;38). x: talle de zapatos

f

[34;36)

8

[36;38)

15

[38;40)

12

[40;42)

5

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Para qué sirve calcular la marca de clase? b. En un histograma, ¿cuál es el intervalo que representa la moda? 191 Nombre:

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Curso:

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ACTIVIDADES Media y moda en intervalos

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22. Lean atentamente y resuelvan. En un supermercado registraron los tiempos de espera (en minutos) de los clientes en las líneas de caja. 2, 3, 1, 2, 1, 2, 6, 7, 6, 5, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 2, 3, 1, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a. Completen la tabla organizando los datos en intervalos de amplitud 2. Intervalo

f

F

Xn

f . xn

b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. Media aritmética:

Moda:

23. Resuelvan. En una clínica maternal se realizó un informe para analizar el peso de los bebés mes del nacimiento. 3 700 4 340 4 500 4 250 4 450 5 400 3 800 4 550 4 400 4 550 5 050 5 300 3 800 5 300 4 520 4 300 4 200 4 250 5 000 5 200 4 100 5 320 4 100 4 000 5 550 5 500 4 550 4 450 4 320 5 250 4 150 4 900 4 500 4 300 4 450 4 250

nacidos (en g) al 4 050 4 650 4 720 3 800

a. Completen la tabla. Intervalo

f

xn

f . xn

[3 600;4 100)

b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. Media aritmética:

Moda:

24. Tengan en cuenta el gráfico y resuelvan.

Tiempo (en minutos)

f

[0;45)

10

[45;90)

30

[90;135)

28

[135;180)

15

F

xn

f . xn

Cantidad de personas

Se realizó una encuesta para saber cuánto tiempo al día mira televisión un grupo de personas de entre 20 y 25 años. 30 a. Completen la tabla. 28

15 10

0

45

90

b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. Media aritmética:

180 135 Tiempo (minutos)

Moda:

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Integración

CONTENIDOS

54.55

25. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen sus respuestas. a. La media aritmética también se denomina promedio. b. La moda es el valor de la variable que tiene menor frecuencia. c. Si una muestra está formada por ocho datos, luego de ordenarlos de menor a mayor la mediana es el que corresponde al quinto lugar. d. La media aritmética entre 10, 10 y 1 coincide con la media entre 6, 7 y 8.

26. Calculen en cada caso la media aritmética, la mediana y la moda. a. Las siguientes medidas corresponden a la capacidad del baúl de distintos tipos de modelos de autos (en cm3): 439, 540, 543, 439, 473, 486, 439, 565, 439, 565. b. En una prueba de Fórmula 1 se registraron los siguientes tiempos: 1 min 41 s, 1 min 42 s, 1 min 41 s, 1 min 43 s, 1 min 42 s, 1 min 45 s, 1 min 45 s, 1 min 45 s.

27. Lean y respondan. El sector de recursos humanos de una empresa está realizando una selección para cubrir puestos en distintas sucursales que tiene en la Argentina. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de postulantes que se presentaron. a. Completen la tabla. Sucursal

f

Buenos Aires

56

Mendoza

34

San Luis

12

Córdoba

23

Catamarca

18

fr

8

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F

b. Calculen la moda y la media aritmética.

28. Lean atentamente y expliquen con qué medida de posición se relaciona cada situación. a. Google registra cuáles son las preguntas que realizan con mayor frecuencia las personas que visitan el buscador. Por ejemplo, una de las preguntas más frecuentes es ¿con qué edad ha debutado Messi para el FC Barcelona en la primera división de la liga española? b. A la hora de hacer el pedido, en un negocio de venta de zapatos saben que los talles 40 y 41 son los más vendidos. 29. Resuelvan. En una estación de servicios se elaboró un registro para saber el tipo de combustible pedido por los clientes durante un día. 600: diésel 600; P: diésel prémium; G: diésel G; S: diésel súper. G, G, 600, P, G, 600, P, 600, P, 600, P, 600, P, 600, G, P, 600, G, G, 600, 600, P, S, G, P, 600, S, P, G, P, S, G, 600, P, S, 600, P, S, G, S, P, G, S, P, G, S, P, G, S, P, 600, P, P, P, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, G, P, 600, G, S, P, G, S, P, S, 600, 600, P, 600, P, 600, P, P a. Realicen una tabla de distribución de frecuencias. b. ¿Cuál es la moda? ¿Y la media aritmética? c. Realicen un gráfico de barras.

30. Resuelvan. Se realizó una encuesta a 500 familias para saber a qué tipo de escuela enviarán a su hijo que comienza el próximo año el primer grado. no sabe 10%

pública 46%

privada 44% a. ¿Cuántas familias enviarán a su hijo a la escuela pública? ¿Y a la privada? b. ¿Cuál es la moda? c. ¿Cuántas familias aún no decidieron el tipo de escuela? d. Confeccionen un gráfico de barras. 193

Nombre:

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Curso:

Fecha:

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Se realizó una encuesta a personas de entre 35 y 50 años de edad para averiguar cuántas veces por semana leen el diario por internet.

El siguiente histograma muestra la velocidad de los automóviles cuando pasan por un control que permite una máxima de 100 km/h.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Vehículos

33. Resuelvan.

Cantidad de personas

31. Resuelvan.

1

2

3

4

5

6

7

Cantidad de veces

a. Realicen una tabla de frecuencias. b. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? c. ¿Cuáles son las medidas de posición? d. Realicen un gráfico circular.

32. Resuelvan. Luego de una clase de gimnasia aeróbica, se le tomó las pulsaciones por minuto a un grupo de 20 chicas. 78, 77, 76, 84, 81, 84, 76, 72, 73, 75, 71, 87, 79, 82, 83, 84, 74, 86, 72, 78 a. Completen la tabla. Pulsaciones

f

xn

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

60

70

80

90

100 110 120 130 Velocidad en km/h

a. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos de clase? b. ¿Cuál es el tamaño de la muestra? c. Completen la tabla. Velocidad de los vehículos

f

xn

f . xn

f . xn

[70;75)

Pulsaciones

b. Realicen un gráfico de barras. c. Indiquen si es correcto el siguiente pictograma. En caso de no serlo, realícenlo correctamente en sus carpetas.

[85;90) [80;85) [75;80)

representa 2 chicas

[70;75) Cantidad de chicas

d. ¿Cuántos vehículos pasaron en infracción? e. Calculen la moda y la media aritmética.

34. Resuelvan. Una empresa organizó la información de los sueldos de los empleados en la siguiente tabla. Intervalo

f

[2 500;3 000)

22

[3 000;3 500)

8

[3 500;4 000)

5

[4 000;4 500)

6

[4 500;5 000)

10

Calculen el promedio. ¿Es representativo del sueldo que perciben los empleados de la empresa?

194

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www.foxitsoftware.com/shopping capítulo

Autoevaluación 35. Lean la información y resuelvan.

Cantidad de horas

f

[6;8)

17

[8;10)

51

[10;12)

12

fr

F

xn

f . xn

Personas

Se realizó una encuesta a 80 jóvenes para averiguar cuántas horas promedio duermen diariamente. a. Completen la tabla a partir de los siguientes datos obtenidos y realicen un histograma.

51

50 40 30

b. ¿Cuál es la población? ¿Y la muestra?

20

17 12

10

c. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla.

0

6

8

10 12 Cantidad de horas

d. Calculen la media aritmética y la moda.

e. ¿Qué conclusiones se pueden sacar a partir de los datos de los estudios?

36. Resuelvan. Se realizó una encuesta a un grupo de empleados para averiguar cuántas veces solicitan el almuerzo a domicilio durante la semana. 1, 2, 3, 1, 3, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 1, 5, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 1, 2, 6, 1, 3, 2, 1, 4, 6, 2, 3, 1, 5 a. Completen la tabla y realicen un gráfico circular. Cantidad de veces por semana

f

fr

F

1 2 3 4 5 6 7 b. Calculen las medidas de posición.

195

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capítulo

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Combinatoria y probabilidad Contenidos 56. Factorial. Permutaciones. 57. Variaciones. 58. Combinaciones. 59. Probabilidad. 60. Probabilidades condicionadas.

YANI

ZOE

BELU

MIRA

Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Inventen una situación que incluya las siguientes preguntas. Luego, respóndanlas. • ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar en cuatro asientos? • ¿De cuántas formas diferentes pueden agruparse para jugar en parejas? • ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar si dos jugadoras del mismo equipo no se pueden sentar juntas? b. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 196

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56

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57

58

59

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Factorial. Permutaciones

infoactiva El factorial de un número natural n (se escribe n! ) es: n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 1 Por definición, 0! = 1

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

3! = 3 . 2 . 1 = 6

El cálculo combinatorio ofrece métodos que permiten contar las distintas agrupaciones que se pueden realizar con los elementos de un conjunto.

Permutaciones Una permutación es una agrupación de cierta cantidad de elementos en la cual dos grupos son distintos cuando sus elementos están ordenados de diferente forma.

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con el 2, el 4 y el 6? Para analizar esta situación se puede armar un diagrama de árbol. 4

6

6

4

2

2

6

6

2

4

2

4

4

2

6

Para la primera cifra hay 3 posibilidades, para la segunda, 2 y para la última, 1 posibilidad. 3.2.1=6

Se pueden formar 6 números.

La expresión anterior coincide con 3!.

La cantidad de permutaciones (sin repetición) que se puede hacer con n elementos es igual a n!.

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿A qué es igual 10!? b. En la expresión (n – 8)!, ¿qué valores puede tomar n? c. En una permutación, dos grupos con los mismos elementos, pero en diferente orden, ¿son iguales o distintos? 197 Nombre:

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Curso:

Fecha:

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ACTIVIDADES Factorial. Permutaciones

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1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. 12! = 12 . 11 . 10!

d. 9! = 9 . 8!

b. 23! = 22 . 21 . 20!

e. 3! = 3 . 2 . 1 . 0

c. 0! = 0

F

f. (–3)! = 6

F

2. Simplifiquen y resuelvan. . 5! ______ a. 3! 7! =

=

. 5! _____ c. 1! 4! =

7! b. ______ 3! . 4! =

=

. 8! ______ d. 7! 9! . 6! =

= =

3. Escriban la cantidad de números que se pueden obtener permutando las cifras en cada caso. a. 23: b. 234: c. 2 345: d. 23 456:

4. Resuelvan. a. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 8 personas en una fila?

b. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los primeros tres números primos?

5. Resuelvan. a. Escriban todos los números menores que 2 000 que se pueden formar permutando las cifras del número 3 211? Realicen un diagrama de árbol.

b. Marquen con una 4!

X las opciones que resuelven el problema anterior. 3!

2 . 3!

1.3.2.1

X

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60

Variaciones

infoactiva Se llama variación de m elementos tomados de a n a la cantidad de grupos de n elementos (en los que importa el orden) que se pueden formar con los m elementos.

Con las cifras 1, 3, 5 y 7 ¿cuántos números de dos cifras se pueden formar? 1

3 5 7

3

1 5 7

5

1 3 7

1 3 5

7

Para la primera cifra hay cuatro posibilidades y para la segunda, tres. 4 . 3 = 12 1.° cifra

V4,2 = 4 . 3 = 12 2 factores

2.° cifra

Se pueden formar 12 números distintos.

Se lee “variaciones de 4 elementos tomados de a 2”.

En una carrera se entregan premios a los tres primeros corredores. Si participan 20 personas, ¿cuántas formas posibles hay de distribuir los premios? 20 . 19 . 18 = 6 840

En general, Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2)... n factores

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En las variaciones, los grupos de tres elementos abc y acb, ¿se consideran iguales? b. ¿A qué es igual V8,3? c. ¿Cómo debe ser m con respecto a n para que se pueda calcular Vm,n? 199 Nombre:

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Curso:

Fecha:

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ACTIVIDADES Variaciones

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6. Calculen las siguientes variaciones. a. V6,4 =

=

d. V3,2 =

=

b. V9,3 =

=

e. V9,1 =

=

c. V5,5 =

=

f. V12,2 =

=

7. Lean la información y resuelvan utilizando la calculadora. Para obtener con la calculadora, por ejemplo, V5,2 se pueden presionar las siguientes teclas.

5

nPr

a. V12,5 =

c. V16,7 =

b. V87,3 =

d. V45,2 =

2

=

8. Resuelvan teniendo en cuenta las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. a. ¿Cuántos números de tres cifras (no repetidas) se pueden formar?

b. ¿Cuántos de ellos comienzan con el número 2?

c. ¿Cuántos de ellos tienen como primera cifra al 1 y como segunda cifra al 2?

9. Resuelvan. a. En una oficina se debe asignar un número interno al teléfono de cada secretaria. Si hay 4 secretarias y 6 números disponibles, ¿de cuántas maneras distintas se pueden asignar los internos?

b. En un hotel quedan libres 8 habitaciones. Si llegan 5 nuevos pasajeros y se quiere asignar una habitación a cada uno, ¿de cuántas maneras se pueden repartir las habitaciones?

mente ACTIVA Cecilia y Esteban están decidiendo el nombre que le van a poner a su beba. A Cecilia le gustan los nombres Laura, Daniela y Andrea. A Esteban le gustan Jazmín y Celeste. Si le quieren poner dos nombres eligiendo uno cada uno, ¿cuántas combinaciones pueden armar?

200

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60

Combinaciones

infoactiva Se llama combinación de m elementos tomados de a n a la cantidad de grupos de n elementos (en los que no importa el orden) que se pueden formar con m elementos.

¿Cuántos grupos de estudio de tres personas se pueden formar entre seis alumnos? Para analizar la cantidad de opciones, se pueden seguir estos pasos. 1. Se calculan las variaciones de 6 elementos tomados de a 3. V6,3 = 6 . 5 . 4 = 120 Hay que tener en cuenta que en este primer cálculo se están considerando grupos con las mismas personas, pero en distinto orden. Por ejemplo: Grupo 1, 2, 3

Formas en que se pueden ordenar los elementos 1, 2, 3 2, 1, 3 3, 1, 2

1, 3, 2 2, 3, 1 3, 2, 1

3! = 6

​ 

Vm,n ____ n!

Se lee “combinaciones de m elementos tomados de a n”.

Número combinatorio

m! Se llama número combinatorio a la expresión ( mn ) = ___________ (m – n)! . n!

Por ejemplo,

( 74 ) es un número combinatorio y ( 74 ) = C7,4

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En las combinaciones, los grupos de tres elementos abc y acb, ¿se consideran iguales? b. Prueben que ( 74 ) = C7,4. c. Entre V8,3 y C8,3, sin hacer las cuentas, ¿se puede decir cuál da un número mayor? 201 Nombre:

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Curso:

Fecha:

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ACTIVIDADES Combinaciones

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10. Calculen.

a. C5,2 =

c. C6,4 =

b. C7,6 =

d. C7,3 =

11. Lean atentamente y resuelvan utilizando la calculadora. Para obtener, por ejemplo, C6,2 con la calculadora, se pueden apretar las teclas según esta secuencia.

6

nCr

2

=

a. C12,6 =

c. C15,2 =

b. C21,3 =

d. C8,6 =

12. Resuelvan. a.

( 52 ) + ( 53 ) =

c.

( 71 ) + ( 66 ) =

b.

( 63 ) – ( 25 ) =

d.

( 76 ) – ( 65 ) =

​  V120,13 _____ P13

14. Marquen con una X la o las opciones equivalentes a cada número combinatorio. a.

( 53 ) =

C3,5

C5,3

C5,4

b.

( 65 ) =

C6,1

C6,4

6

15. Resuelvan. Para armar ramos de media docena de flores se tiene una docena de rosas y dos docenas de margaritas. ¿Cuántos ramos distintos se pueden armar con la misma cantidad de rosas que de margaritas?

mente ACTIVA Realicen el desarrollo de cada expresión. a. ( mn ) – ( m m– n ) =

b. ( mn ) . ( m m– n ) =

202

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Integración 16. Resuelvan cada ecuación y escriban el

9

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CONTENIDOS

56.57.58

20. Observen la figura y resuelvan.

valor de las siguientes expresiones. n n! Vn,3 Cn,3 n! a. _______ =4 (n – 1)! (n – 1)! b. _______ =6 (n – 2)! (n – 1)! c. _______ =7 n!

17. Resuelvan teniendo en cuenta las condicio-

a. ¿Cuántos banderines como el de la figura se pueden formar con los colores rojo, amarillo y azul? b. ¿Cuántos banderines distintos se pueden formar eligiendo tres colores de siete disponibles? c. ¿De cuántas maneras se pueden combinar tres colores entre siete para realizar banderines?

nes indicadas. Realicen un diagrama de árbol para analizar las distintas posibilidades. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar... a. ... si las cifras deben ser distintas? b. ... si las cifras pueden repetirse? c. ... si comienzan con 1 y las cifras pueden repetirse? d. ... si terminan en 13 y las cifras deben ser distintas? e. ... si el número del medio es 9 y las cifras deben ser distintas?

21. Respondan teniendo en cuenta las condiciones indicadas. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 5 personas en 3 aulas? a. Si a cada aula debe ingresar al menos 1 persona. b. Si en la primera aula debe haber 3 personas.

18. Lean atentamente y resuelvan.

22. Lean atentamente y resuelvan.

a. Una persona tiene dos remeras, tres pantalones y tres pares de zapatillas para elegir. ¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar con las tres prendas? b. Un mensaje escrito en código Morse se forma con una sucesión de líneas y/o puntos. ¿Cuántos mensajes de tres símbolos se pueden formar? c. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden determinar con siete puntos no alineados de a tres? d. Con ocho puntos no alineados de a tres, ¿cuántos segmentos que tengan por extremos esos puntos se pueden formar?

19. Resuelvan. a. V9,5 b. V7,3 c. V11,2

d. C8,4 e. C11,3 f. C14,9

De un mazo de 40 cartas se extraen cinco, sin reponerlas nuevamente. a. ¿Cuántas posibilidades distintas hay para sacar las cinco cartas? b. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar los 3 de los cuatro palos? c. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar exactamente tres 5? d. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar al menos un 7?

23. Respondan. a. ¿Cuántas maneras tienen 7 amigos de elegir quiénes suben a la primera aerosilla si en cada una entran 3 personas? b. ¿Cuál de las siguientes opciones resuelve la situación anterior? C7,3

V7,3

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24. Resuelvan. a. Los 24 empleados de una fábrica deben organizarse para formar equipos de igual cantidad de personas, para distribuirse en 4 turnos de trabajo. ¿De cuántas formas distintas puede formarse cada grupo? b. Se debe elegir una comisión, integrada por 3 ingenieros y 2 abogados. Si se debe seleccionar entre 8 ingenieros y 12 abogados, ¿cuántas comisiones distintas se pueden formar?

25. Realicen un diagrama de árbol y respondan. a. Con los dígitos 3 y 5, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? b. ¿Cuántos de esos números son múltiplos de cinco? c. ¿Cuántos son menores que 400?

26. Resuelvan usando los dígitos 1, 2, 3 y 4. a. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar? b. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas y menores que 2 000 se pueden formar? c. ¿Cuántos números de tres cifras distintas y menores que 200, se pueden formar? d. ¿Cuántos números pares, mayores que 100 y menores que 200 se pueden formar? e. ¿Cuántos números impares de cuatro cifras y menores que 3 000 se pueden formar?

27. Resuelvan. En el centro de jubilados, se va a realizar una votación para elegir al director y al subdirector. En total hay 8 postulantes que pueden elegirse para cualquiera de los dos puestos. a. ¿Cuántas parejas distintas pueden resultar ganadoras? b. Si además se elige un gerente, ¿cuántas posibilidades distintas hay para conformar la comisión del centro de jubilados? c. Si también se elige un subgerente, ¿cuántas posibilidades hay de conformar la comisión con los cuatro puestos?

28. Lean atentamente y resuelvan. Las patentes actuales se forman con tres letras y un número de tres dígitos. a. Si se utilizan las letras del abecedario (sin la ñ) y los dígitos del 0 al 9, ¿qué cantidad de patentes se pueden formar? b. Antes de esta modalidad las patentes se formaban con 6 números y una letra que identificaba la provincia. ¿Cuántas patentes se podían formar para los autos de Capital Federal? Tengan en cuenta que la letra para esta ciudad era la C.

29. Respondan. a. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar, con o sin sentido, con todas las letras, sin repetirlas, de la palabra PERMUTACIÓN? b. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderas de diferentes colores, si cada señal se realiza con las 5 banderas dispuestas en un cierto orden? c. En una liga de básquet hay 12 equipos. • Si en la primera ronda cada equipo debe jugar 3 partidos, ¿cuántos encuentros deberán jugarse en total en esa ronda? • Si en la segunda ronda cada equipo debe jugar 5 partidos, ¿cuántos encuentros deberán jugarse en total en esa ronda? d. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir los cargos de presidente, secretario y tesorero de un club, si hay 10 socios que pueden ser elegidos?

30. Resuelvan. Entre los alumnos de 3.° año hay 5 varones y 4 mujeres que quieren integrar una nueva lista de 4 alumnos para formar parte del centro de estudiantes. a. ¿Cuántas listas distintas se pueden armar? b. Si cada lista se debe formar con 2 varones y 2 mujeres, ¿cuántas listas distintas se pueden armar? c. Si cada lista se debe formar con al menos una mujer y un varón, ¿cuántas listas distintas se pueden armar?

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Probabilidad

infoactiva Existen experimentos en donde no se puede anticipar cuál va a ser el resultado. A este tipo de experimentos, que dependen del azar, se los llama experimentos aleatorios.

Algunos experimentos aleatorios pueden ser: • tirar un dado de seis caras; • realizar un sorteo en donde participan 100 números. Hay situaciones que no se pueden considerar como experimentos aleatorios. Por ejemplo, el día que sigue al miércoles es el jueves. Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada resultado o conjunto de ellos se denomina suceso. En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre 0 y 1.

Si se tiran dos dados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea igual a 7? • Espacio muestral: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (son todas las sumas que se pueden obtener). +

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

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4

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7

8

3

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8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

6 = __ 1 P (suma igual a 7) = ___ 36 6

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Observar si el próximo auto que pase es de color blanco, ¿es un experimento aleatorio? b. ¿Qué significa que la probabilidad de un suceso sea 0? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara? d. La probabilidad de un suceso, ¿puede dar como resultado 3? 205 Nombre:

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ACTIVIDADES Probabilidad

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31. Indiquen en cada caso cuál es el espacio muestral. Luego, calculen la probabilidad. a. En un estante hay tres libros de Matemática y dos de Biología. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan elija (sin mirar) dos libros de Matemática? Espacio muestral: Probabilidad = b. Se elige al azar un número natural (sin contar el cero) menor que 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 7? Espacio muestral: Probabilidad = c. En una bolsa hay dos caramelos de frutilla y dos caramelos de ananá. ¿Cuál es la probabilidad de que Nicolás elija (sin mirar) dos caramelos de frutilla y un caramelo de ananá? Espacio muestral: Probabilidad =

32. Resuelvan. La familia de Manuel se acaba de mudar a un edificio en el cual hay 10 cocheras numeradas del 1 al 10, que pueden utilizarse al azar. a. Si al llegar ya están ocupados los primeros cinco lugares y ellos tienen que guardar dos autos, ¿de cuántas maneras distintas pueden ubicarlos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que puedan estacionar uno de los autos en la primera cochera?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos autos queden estacionados juntos?

mente ACTIVA En una bolsa hay 20 bolillas de colores. Luego de realizar 100 extracciones, reponiendo la bolilla extraída, se observan los siguientes resultados. Bolillas rojas

Bolillas verdes

Bolillas azules

55

30

15

Calculen teniendo en cuenta las 100 extracciones realizadas. a. La probabilidad de extraer una bolilla roja. b. La probabilidad de que la bolilla extraída no sea verde. c. ¿Cuántas bolillas de cada color estiman que hay en la bolsa?

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Probabilidades condicionadas

infoactiva El valor de la probabilidad de algunos sucesos puede variar en función de la información que se tiene.

En una bolsa hay bolillas numeradas del 1 al 9, y se quiere calcular la probabilidad de obtener dos bolillas con un número par en dos extracciones. Hay dos formas de realizar este experimento. • Con reposición: una vez realizada la primera extracción, se devuelve la bolilla obtenida para realizar la segunda extracción. 1.° extracción: P(par) = __94 2.° extracción: P(par) = __94

16 . Por lo tanto, P(par/par) = __94 . __94 = ___ 81

En este caso, los dos sucesos son independientes porque la probabilidad de que ocurra el segundo no depende de lo que ocurre en el primero. • Sin reposición: una vez realizada la primera extracción, no se devuelve la bolilla obtenida para realizar la segunda extracción. Si la primera bolilla es par, en la bolsa quedan 3 bolillas pares y 5 impares. La probabilidad de que la segunda bolilla sea un número par es __83 . Por lo tanto, la probabilidad de que salgan dos números pares es __94 . __83 = __61 . En este caso, se dice que es una probabilidad condicionada porque la probabilidad de que salga un número par depende de la bolilla extraída en el primer caso. Probabilidad (par/par) = __94 . __83 = __61

Se lee “probabilidad de obtener par si en la primera extracción se obtuvo par”.

Dos sucesos A y B se denominan excluyentes cuando no pueden ocurrir a la vez.

En el experimento anterior, si se extrae una bolilla, la probabilidad de que salga un número 5 2 = __ 1 + __ menor que 4 o mayor que 7 es __ 3 9 9 Como los sucesos son excluyentes, se suman las probabilidades.

test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si al arrojar un dado se obtiene 2, ¿cuál es la probabilidad de que vuelva a salir ese número? b. Si dos sucesos son independientes, ¿se suman o se multiplican las probabilidades? c. En un tiro de ruleta, los sucesos “que salga rojo” y “que salga cero”, ¿de qué tipo son? 207 Nombre:

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ACTIVIDADES Probabilidades condicionadas

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33. Marquen con una X los sucesos que son independientes. Se tiene una baraja española de 50 cartas. a. Extraer un as y luego un rey. b. Extraer un as y luego otro as. c. Extraer un as, reponerlo, y luego extraer un rey.

34. Resuelvan teniendo en cuenta la actividad anterior. a. Calculen la probabilidad de cada experimento.

b. ¿En qué casos la probabilidad es condicionada?

35. Completen el siguiente diagrama de árbol y calculen las probabilidades indicadas. De una baraja de 40 cartas españolas se extraen dos, sin reposición. a. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos oros? 10 ___ 40

oros

oros

no oros

b. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas extraídas no sean de oros?

cartas españolas 10 ___ 39 oros

no oros

c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la primera carta de oros y la segunda, no?

29 ___ no oros 39

36. Resuelvan. En una caja hay 12 bolillas rojas y 10 blancas. a. Si se extraen dos bolillas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que las dos bolillas extraídas sean rojas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bolilla sea blanca siendo roja la primera?

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Integración

CONTENIDOS

59.60

37. Escriban el espacio muestral para cada uno

40. Calculen las probabilidades indicadas en

de los siguientes experimentos. a. Extraer una carta de la baraja española y anotar el palo. b. Tirar un dado y anotar el doble del resultado obtenido.

cada caso. En un bolillero hay 30 bolillas de las cuales 15 son negras, 10 son rojas y el resto, blancas. a. Una bolilla verde. b. Una bolilla roja o negra. c. Una bolilla. d. Una bolilla roja sabiendo que ya se sacó una negra. e. Una bolilla roja si ya salió una roja. f. Una bolilla no negra.

38. Lean atentamente y respondan.

De los 36 alumnos de un curso, __43 son varones y 15 de ellos tienen celular. De las mujeres, 3 no tienen celular. a. Completen la tabla.

41. Resuelvan.

¿Tienen celular? Sí

No

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Totales

Varones Mujeres

Martín y Lautaro fueron a una fiesta del club en la que había varios juegos y eligieron dos ruletas para jugar. Martín eligió la ruleta A y Lautaro, la B.

Totales b. Calculen la probabilidad de elegir un alumno al azar y que... • ... sea varón. • ... no tenga celular. • ... sea un varón con celular. • ... sea mujer con celular o varón.

39. Resuelvan. Se lanza un dado dos veces y se multiplican los puntos obtenidos. a. Realicen una tabla para determinar el espacio muestral. b. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4. c. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4, si se sabe que se obtuvo un producto par. d. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4, si se sabe que se obtuvo un producto impar.

4 3

4

1

3

2

1 2

A B a. ¿Qué probabilidad tiene Martín de que salga número par? ¿Y Lautaro? b. ¿A qué número debería apostar Martín para tener la mayor probabilidad de ganar? ¿Y Lautaro?

42. Completen. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de… a. obtener un número par? b. obtener un número impar? c. obtener un número primo? d. obtener un múltiplo de 2? e. obtener un número menor que 7? f. obtener un múltiplo de 9? g. obtener un múltiplo de 3?

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43. Resuelvan. a. En una caja hay 8 bolillas negras, 5 rojas y 4 verdes. ¿Cuántas bolillas agregarían para que al extraer una bolilla tengan la misma probabilidad el color negro y el verde? b. Cada una de las caras de un dado están pintadas de verde o amarillo. Al lanzar el dado, la probabilidad de que una cara verde quede arriba es de __32 . ¿Cuántas caras tiene pintadas de verde el dado?

44. Lean atentamente y resuelvan. Para recaudar fondos para el viaje de egresados, los alumnos de una escuela realizan una rifa. Si vendieron números del 00 al 99, ¿qué probabilidad de ganar tiene alguien que compró... a. ... los números terminados en 9? b. ... los primeros 12 números? c. ... los números pares mayores que 86?

45. Marquen con una X los sucesos que son excluyentes. Experimento: de un mazo de cartas se extraen dos cartas sin reposición. a. Que sean de espadas o caballos. b. Que sean de oros o copas. c. Que sean pares o de bastos.

46. Lean atentamente y resuelvan. En cierto juego, se colocan en una bolsa tres fichas: una roja, una verde y una amarilla. Se extrae al azar una de ellas y luego de anotar el color, se repone. Así, se completan tres extracciones. Se gana cuando se saca al menos dos veces seguidas el mismo color. a. Realicen un diagrama de árbol para analizar todos los casos. b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? c. ¿Cuál es la probabilidad de perder? d. ¿Qué tipo de sucesos son los de los ítems b. y c.?

47. Resuelvan. De una caja que contiene 8 bolillas amarillas, 6 bolillas verdes y 4 rojas, se extraen dos sin hacer la reposición luego de sacar la primera. a. Realicen el diagrama de árbol. b. Calculen las siguientes probabilidades. • Que las dos bolillas sean amarillas. • Que las dos bolillas sean verdes. • Que las dos bolillas sean rojas. • Que ninguna bolilla sea roja. • Que ninguna bolilla sea verde. • Que una bolilla sea roja y la otra, verde. • Que una bolilla sea amarilla y la otra, verde. • Que una bolilla sea amarilla y la otra, roja. • Que las dos bolillas sean de distinto color.

48. Calculen la probabilidad en cada caso. Se tienen dos dados, uno amarillo y otro rojo. Si se arrojan los dos al mismo tiempo, ... a. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga 1 en el dado rojo? b. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par en el dado amarillo? c. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga 5 en los dos? d. ... ¿cuál es la probabilidad de que en los dos dados salga un número impar?

49. Resuelvan. Para un examen oral, un profesor preparó 20 temas en distintas tarjetas para que los alumnos elijan al azar. Hay 8 temas sobre geometría, 7 temas sobre aritmética y el resto son de estadística. a. ¿Cuál es la probabilidad de que David elija una tarjeta y le toque un tema de aritmética o estadística? b. ¿Qué probabilidad tiene Eugenia de sacar un tema de geometría? c. ¿Cuál es la probabilidad de que a David le toque una tarjeta de geometría si ya se sacaron 3 de aritmética, 1 de geometría y 2 de estadística?

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www.foxitsoftware.com/shopping capítulo

Autoevaluación 50. Respondan.

a. Si el arco iris tiene 7 colores, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los colores?

b. ¿Cuántos triángulos pueden determinarse considerando los vértices de un decágono regular?

51. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). a. ( mn ) = ( m m– n ), para todo número natural m > 0 y n > 0. b. ( mn ) = c.

( mm ++ 11 ), para todo número natural m > 0 y n > 0.

( m0 ) = ( mm ), para todo número natural m > 0 y n > 0.

52. Observen el siguiente tablero de tiro al blanco y respondan. a. Si Pablo dice tener __31 de probabilidad de D

ganar, ¿a qué letra quiere tirar?

A

b. Marcela tiene __61 de probabilidad de acertar, C

E

¿en qué letras piensa?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno

B F

acierte en la letra D?

53. Resuelvan. Un dado cúbico tiene una cara pintada de rojo, otra de verde y el resto de azul. Se tira el dado dos veces y se anota el color que sale. a. ¿Cuál es el espacio muestral? b. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces salga azul? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una vez salga azul? d. ¿Cuál es la probabilidad de que salga azul en el segundo tiro, si la primera vez salió verde?

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