Act. 2. Razon de Cambio y Tangente de Una Curva

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.

Resuelve los siguientes problema el volumen como función del diámetro aplicando la fórmula del volumen de la esfera (*d ) *3+-i *d0/+

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones =erivamos pues con respecto a t  teniendo en cuenta que d es una función del tiempo

( )=

dV  dV  dd = dt  dd dt  luego

4 3

π ∙3

() d

2

2

2

dd π d  dd ∙ ∙ = ∙ dt  2 tt  2 1

 dd dV  2  dV   = ∙ 2 entonces como =3 dt  dt  π d dt 

dd 6  = 2 dt  π d

Y la derivada cuando d=10 será

dd dt 

6 =

π 10

3 2

=

50 π 

25 m

+. Un ni?o $uega con un papalote a que está a una altura de

 corriendo

0.75 ms

%orizontalmente con una velocidad de

. 'i %ilo que su$eta el papalote esta 60 m

tenso, !a qu# razón se aflo$a cuando la longitud del %ilo suelto es de @lamemos A*t a la distancia que %a recorrido el ni?o en el suelo. A*t ) .87t dAdt ) .87

&

@lamemos A a la función del %ilo que se %a soltado h(t) y aplicando teorema de -itágoras A/0 B 07/0 ) %/0 A ) sqrt*%/0 4 907 calculamos a%ora de derivada de A respecto de t por la regla de la cadena siendo A función de h y h función de t  dx dx dh  =  ∙ dt  dh dt  0.75

=

h

√ h − 625 2

∙

dh dt 

dh 0.75 √ h −625  = dt  h 2

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones  dh 0.75 √ 60 −625 elhiloa 60 m  = =0.682 m / s dt  60 2

50 ms

3. Un %elicóptero vuela %acia el norte con una velocidad de

 a una altura de

70 m

, en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra se?ala la parte inferior del %elicóptero. 'i la luz de mantiene se?alando al %elicóptero, !con qu# velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia 1500 m

%orizontal de

 al sur del faro&

6ste problema está mal escrito. "omienza siendo un %elicóptero, luego un avión, vuela %acia el norte y pregunta la distancia cuando está al sur. 'uponiendo que se quiere saber la velocidad del rayo con el %elicóptero a 17m al norte. Co es el %elicóptero al principio y C*t en el instante t y D es el foco. 6l ángulo será el dado por estos tres puntos Co4D4C*t. 6l ángulo alfa se puede calcular como aquel cuya tangente es C*t  8 ) 7t8 ) 7t8 alfa*t ) arctg*7t8 "alcularemos de forma indirecta la derivada %aciendo derivación en cadena de C como Dunción de alfa. C*t ) 7t dCdt ) 7 C*alfa  8 ) tg*alfa C*alfa ) 8tg*alfa

=

50

dH  dH   dα  dα  = ∙  = 70 ∙ (1 + t g 2 α ) ∙ dt  dα  dt  dt 

dα  50 5  = = 2 dt  70 ( 1 + t g α ) 7 ( 1 + t g 2 α )

6stando el %elicóptero a 1,7m la tengente es 178)178

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones dα  5 35 rad / s  = = dt  7 ( 1 + t g 2 α ) 22549

 f ( x) = x 2 − 2 x

7. =ada la función

, %allar la ecuación de la recta tangente a dic%a ( 3,3 )

función que es paralela a la recta normal que pasa por el punto f  ( x )  x =

2 −

.

2 x

-endiente de la recta normal p= -1/f(xo) f 5*Ao ) 413 0Ao40 ) 413 0Ao ) 413 B0 0Ao ) 83 Ao ) 82 yo ) *82/0 4 0*82 ) 3:93 4 132 ) *3:411093 ) 49+93 6l punto es *82 , 49+93 > la recta tangente en #l esE y ) 49+93 4 *13*A482 y ) 49+93 4 A3 B 8+0 y ) 4A3 4 3:93

9. Callar la  xy 2

−

4 x3 y +

x  y

+

2=0

( 1,1)

8. ecuación de la recta tangente a la función  en el punto . Callemos la derivada implícita para conocer la pendiente de la recta tangente en cada punto *A,y Ay/0 4 3A/+y B Ay B 0 )  Fbtendremos + t#rminos, utilizamos regla del producto para derivar con regla de la cadena y/0 B A 0y y 5 4 10A/0 y 4 3A/+ y 5 B 1 y 4 A y/*4 0 y 5 )  y 5 *0Ay 4 3A/+ 4 Ay/*4 0 ) 4 y/0 B 10 A/0 4 1y y 5 ) * 4 y/0 B 10 A/0 4 1y   *0Ay 4 3A/+ 4 Ay/*4 0 >G para el punto de tangencia *1,1 y 5 ) 4 1  + ) m pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia y)mABb y ) 41+ A B b 1 ) 41+ B b  b ) 1 B 1+ ) 1++ ⇒

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones -or lo tanto la ecuación de la recta tangente esE y ) 4 1+ A B 1++  f ( x ) = x3 − 2x

2. Callar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función

 en

 x  = 1

el punto donde la recta tangente a dic%a función en misma función. @a recta tangente a f*A en *Ao, yo tiene ecuación

 intersecta a la gráfica de

y ) yo B f 5*Ao*A4Ao la tangente en A)1 f*1 ) 140 ) 41 f 5*A ) +A/0 4 0 f 5*1 ) +41)1 @uego la recta tangente en A)1 es y ) 41 B 1*A41 ) A40 "on A)40 42 B 9 B 0 )  si cumple 6l punto de intersección tiene coordanada A)40 y) *40/+ 40*40 ) 42B3 ) 43 @uego el otro punto de intersección es *40, 43 @a derivada es f5*40 ) 1040 ) 1 6ntonces la recta tange en *.0,3 será y ) 43 B 1*AB0 y ) 1A B 19 @a ecuación de la recta normal entonces y ) yo 4 H1f*AoI*A4Ao y ) 43 4 *11*AB0 y ) 4A1 4 301 y) 4A1 4 017

 f ( x) =

:. Callar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función π  

4

que formen un ángulo de  con respecto a la %orizontal. =erivamos f5*A ) **1*A B 1 4 *A 4 1*1*A B 1J

 x − 1  x + 1

 que sean

Cálculo diferencial Unidad 1. Números reales y funciones f5*A ) 0*A B 1J tan *K3 ) 1 1 ) 0*A B 1J *A B 1J ) 0 A B 1 ) LM0 A ) 41 B M0 f*A ) * 41 B M0 4 1* 41 B M0 B 1 ) *40 B M0M0 ) 1 4 M0 la recta tangente y 4 *1 4 M0 ) A 4 *41 B M0 y ) A 4 0M0 B 0 A ) 41 4 M0 f*A ) * 41 4 M0 4 1* 41 4 M0 B 1 ) *40 4 M0*4M0 ) 1 B M0 la recta tangente y 4 *1 B M0 ) A 4 *41 4 M0 y ) A B 0M0 B 0