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ESTADUAL PAULISTA unespCAMPUS DEUNIVERSIDADE GUARATINGUETÁ DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina: Análise e Controle de Sistemas Dinâmicos Turmas: 311 Professor: Francisco A. Lotufo Série de Exercícios – 1º Bimestre 1- A entrada u(t) e a saída y(t) de um sistema contínuo são relacionados através da equação:  y ( t ) = 5u (t ) + 8

Este sistema é estático ou dinâmico? É linear ou não-linear? Justifique sua resposta. 2- As relações de entrada-saída de vários sistemas são dadas abaixo. Estes sistemas são estáticos ou dinâmicos? E classifique-os quanto à linearidade, invariância no tempo, ordem e causalidade.

g-

2

a -  y (t ) = u (t ) + 4  b -  y (t ) = tu(t ) cdef  -

dy(t) dt  dy ( t ) dt  2

dt 

d 2 y ( t ) 2

dt 

+

dy (t ) dt  dy ( t ) dt 

dy ( t ) dt 

+ 3 y (t ) = u(t )

i -  y ( k ) + 2 y (k  − 1) − 3 y ( k  − 2) = 2u(k ) + u(k  + 1)

+  y 2 (t ) = u(t ) +

dt 2

+  y

h -  y (k ) + 2 y ( k  − 1) − 3 y (k  − 2) = 2u (k ) + u(k  − 1)

+ ty (t ) = u(t )

d 2 y (t )

d 2 y ( t )

+ 3 y (t ) = u(t )

 j -  y (k ) = ku ( k ) + k 2 u(k  − 1)

+ 3 y (t ) = u(t ) + 2u 2 (t )

m -  y ( k ) = 2u(k ) + 3[u(k  − 1)]2

Observação: as equações de h à m são equações a diferenças que representam sistemas discretos (análogo à equação diferencial para sistemas contínuos), onde k é um número inteiro. 3- Determinar as equações diferenciais que descrevem o seguinte sistema mecânico:

k 3 B2

M3

k 1 ƒ

B1 M1

k 2

B3

M2

4- O corpo humano, para efeito do estudo de vibrações, pode ser modelado pelo sistema mecânico translacional abaixo. Determine o modelo matemático correspondente.

M1

Cabeça

ƒ

k 1

B1

M2 k 2 Braços

Tronco

B2

k 4

B4

B3

M3 k 3

M4

Órgãos

k 5

B5

5- Dado o sistema mecânico misto abaixo, determinar as equações diferenciais que o descrevem:

N2

r

k 1 J2

T J1 N1

M

B1 k 

B

6- Determinar as equações diferenciais que descrevem o seguinte sistema com acoplamento capacitivo:

y v

A

u k 

R 

M

B

7- Para o sistema mostrado abaixo e dotado dos parâmetros, massa, mola e amortecimento, escreva as equações diferenciais que descrevem seu funcionamento:

ƒ

k 2

B2

M2 x2 k A 1 B1 M1

x1

8- Escreva as equações diferenciais de funcionamento para o sistema mecânico abaixo:

B3 k 3

k 1

ƒ (t)

k 2

M1

k 4 M3

M2

B2

B1

9- No sistema mecânico abaixo, r 2 é o raio do cilindro. Escreva as equações diferenciais necessárias para se descrever o seu funcionamento.

k 1 T(t)

θ1

J2

r2

B2

θ2

x3 M3

k 3

B3

10- A maioria dos sistemas de controle requer algum tipo de força motriz. Um dos meios mais utilizados usualmente é o motor elétrico. Escreva a equação diferencial relativa ao deslocamento angular de uma carga com momento de inércia e amortecimento acoplado diretamente ao eixo de um motor de corrente continua, quando se aplica instantaneamente uma tensão nos terminais da armadura, tendo-se energizado o campo separadamente.

11- Um motor de corrente contínua com controle de armadura é empregado em um sistema de abertura e fechamento automático de uma garagem, conforme modelo abaixo. Determine o modelo matemático correspondente. N2

r J

Motor

k 

N1

M

Porta

12- Um atuador eletromecânico contém um solenóide que produz uma força magnética proporcional à corrente na bobina  f   = k i × i . A bobina apresenta resistência e indutância. Escreva as equações diferenciais do funcionamento utilizando Lagrange.

13- Abaixo temos o esboço de um microfone de bobina móvel. O diafragma possui elastância k, massa M e amortecimento B. Fixado ao diafragma existe uma bobina que se move no interior do campo magnético gerado pelos imãs permanentes. Deduza as equações diferenciais do sistema utilizando Lagrange, considerando variações a partir das condições de equilíbrio. Bobina S Ondas sonoras

L R 

N

v(t)

Diafragma S

E Ímãs permanentes

14- Dado o sistema eletromecânico abaixo, determinar o seu modelo matemático utilizando-se as equações de Lagrange.

v1(t)

R 1

x

A

B2

k  M2

M1

L(x,q)

B1 R 2

v2(t)

15- Resolva as seguintes equações a diferença: a-)  y ( k ) + 0,5 y ( k  − 1) = 3,

y ( −1) = 4

b-)  y ( k ) − 4 y ( k  − 1) + 4 y ( k  − 2) = 4( −3) k  + 3k ,

 y ( −1) = 0

e y ( −2 ) = 2

16- Considere a equação a diferença:  y ( k  + 3) − 8 y ( k  + 2) + 37 y ( k  + 1) − 50 y ( k ) = 8(0,5) k 

que satisfaz as condições iniciais:  y (0) = 2,  y (1) = 3 e y ( 2) = 5 Determine as solução completa para esta equação e plote  y ( k ) × k  para os primeiros 10 (dez) pontos. 17- Obtenha a solução completa para a equação a diferença dada abaixo se  y ( 0) = 2  y ( k ) + 0,6 y ( k  − 1) + 0,25 y ( k  − 2) = 4(0,4) k 

18- O número de Fibonacci pode ser expresso através da equação a diferenças:  y ( k ) =  y ( k  − 1) +  y ( k  − 2),

 y (0) = 1

com

e y (1) = 2

Obtenha uma solução geral para  y ( k ) e determine  y (10) . 19- Plotar  x(t) x t. Assumir t 0 > 0 e τ > 0. a-  x( t ) = x 0 u−1 ( t 0 b-  x( t ) = x 0 c-  x( t ) = a

− t )

3

∑K n= 0

n

u−1 ( t − nt 0 ),

2

∑ K δ ( t − nt ), n

n= 0

0

K  = 0,5 K  = 0,8

e y (1) = 5

20- Use as funções singulares para descrever as formas de onda abaixo. Assuma que os sinais são zero para tempos não mostrados. x(t) [mA]

x(t) [V]

10

2

0 0

2

6

4

3

6

t[ms]

-5

t[ms]

x(t) [mA] 3

2

1

0

2

4

t[ms]

21- Escreva no Matlab um programa (script file) para gerar e plotar as formas de onda abaixo. a- u−1 ( t  − 4) b- u−1 ( t − 2 ) − u−1 ( t −  5) c- −2,5t[u−1 ( t + 2) − u−1 ( t )]  d- 2[1 − e −1,8t  ]u−1 ( t ) 22- Determine a solução no tempo das equações: ••

•

 x( t ) + 3 x ( t ) + 6x( t ) =

x( 0) =

0,

•

a x+ bx = k , ••

0,

x( 0) = x 0 ,

•

2 x+ 7 x+ 3x = 0,

•

x( 0) = 3 a, b e k são constantes •

x ( 0) = x 0 ,

x( 0) =

0

23- Para o circuito RC abaixo a- Determine uma equação diferencial que relacione a tensão de saída y e a tensão de entrada x . b- Seja a tensão inicial sobre o capacitor  C , v C 0 = 1V  , com a polaridade mostrada e seja  x técnica de transformada de Laplace, determine y. C=1F +

Tensão de x(t) Entrada

-

+

+

R = 1Ω

y(t)

-

-

= 2e − t . Usando a

24- Usando a técnica de transformada de Laplace determine a resposta ao impulso unitário do sistema descrito pela equação diferencial

d 3 y ( t ) dy( t ) + dt 3 dt 

= x( t )

25- Determine se a função de transferência:

 P( s) =

2s + 1  s 2 + s + 1

Representa um sistema estável ou instável. 26- Determine os pólos e zeros das funções racionais abaixo

s 2 − 16  F ( s) = 5  s − 7s4 − 30s3

Y ( s) =

20  s3 + 12s2 + 22s + 20

Se essas funções racionais representarem funções de transferência de sistemas lineares, esses sistemas são estáveis ou instáveis. 27- Dado o pulso f(t) esquematizado abaixo, encontre sua transformada F(s). f(t) 1

0

a

t

28- Resolva a equação diferencial ••

•

 x( t ) + 3 x( t ) + 2x( t ) = 4et  •

 x+ 2x = δ ( t ),

x( 0− ) = 0

29- Encontre a transformada inversa das funções racionais

 F ( s) =

s2 + 3 ( s2 + 2s + 5)( s + 2)

 F ( s) =

 F ( s) =

s3 + 5s 2 + 9s + 7 ( s + 1)( s + 2)

 F1 ( s) =

 F2 ( s) =

5s + 2 ( s + 1)( s + 2)2

s−2  s( s + 1)3

6s + 3  s2

30- Encontre a solução x(t) das equações diferenciais ••

•

••

•

 x+ 3 x + 2x = 0,  x+ 2 x + 5x =

3,

x ( 0) = a , x( 0) =

31- Encontre a transformada de Laplace de f(t) definida por 

 0, π  f ( t ) =     , sen 4 + t    3 

t  < 0 t  ≥ 0

0,

•

x( 0) = b •

x ( 0) =

0