Acoplamiento de Coordenadas

Acoplamiento de coordenadas. Las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema de dos grados de libertad están generalmente acopladas en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación. En el caso más general, las dos ecuaciones tienen la forma:

11 ¨1 + 12 ¨2 + 11 1 + 12 1 = 0 21 ¨1 + 22 ¨2 + 21 1 + 22 1 = 0

Que en forma matricial se expresa como:

11 21

12 22

¨1 11 + ¨2 21

12 22

1 0 = ¨2 0

Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente. Existe acoplamiento dinámico o de masa si la matriz de masas es no diagonal, mientras que existe acoplamiento estático o de rigidez si la matriz de rigidez es no diagonal.

Es también posible establecer el tipo de acoplamiento a partir de la expresión para las energías cinética y potencial. Los productos vectoriales en cada expresión denotan acoplamiento dinámico o estático, dependiendo de si son encontrados en T o U. la elección de coordenadas establece el tipo de acoplamiento y, tanto acoplamiento dinámico como estático, pueden estar presentes. Es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento. Cada ecuación puede entonces ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las coordenadas principales (también llamadas coordenadas normales).

Aunque es siempre posible desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no amortiguado, esto no es siempre posible en el sistema amortiguado. Las siguientes ecuaciones matriciales muestran un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.

11 0

0 22

11 ¨1 +  ¨2 21

12 22

´1 11 + 0 ´2

0 22

1 2 = 0

Si en la ecuación de arriba c 12=c21=0 se dice que el amortiguamiento es proporcional (a la matriz de rigidez o de masa)y, las ecuaciones del sistema se desacoplan.

EJEMPLO 5.2-1 La fig. 5.2-1 muestra una barra cuyo centro de masa no coinciden con su centro geom étrico, es decir l 1diferente a l2, y esta soportada por dos resortes k1 y k2. Representa un sistema con dos grados de libertad puesto que, se requieren dos coordenadas para describir su movimiento. La escogencia de las coordenadas definir á el tipo de acoplamiento que puede ser  determinado si la matriz de masa es no diagonal y, acoplamiento estático o de rigidez si la matriz de rigidez es no diagonal. Pueden coexistir ambas formas de acoplamiento.

Fig. 5.2-1

fig. 5.2-2 coordenadas que conducen a acoplamiento estático.

Acoplamiento estático. Escogiendo las coordenadas x y  , de la fig. 5.2-2, en donde x es el desplazamiento lineal del centro de masa, el sistema tendrá acoplamiento estático como el mostrado por la ecuación matricial.

 0

0 

(1 +  2 )  +  (2 2 − 1 1 )

(2 2 − 1 1 ) ((1 12 −  2 22 )

 = *0 

Si k1l1= k2l2, el acoplamiento desaparece y obtenemos vibraciones x y  no acopladas.

 Acoplamiento dinámico. Existe alg ún punto C a lo largo de la barra, en donde una fuerza aplicada normalmente, produce traslación pura; es decir, k 1l3= k2l4 (ver la fig. 5.2-3). Las ecuaciones de movimiento en t érminos de x1 y θ  resultan ser:  

 

(1 +  2 )    +    0 

(2 2 − 1 1 ) ((1 32 −  2 42 )

 = *0 

Que muestran que las coordenadas escogidas eliminan el acoplamiento est ático e introducen el dinámico.

Fig. 5.2-3. Coordenadas que conducen a acoplamiento dinámico.

Fig. 5.2-3. Coordenadas que conducen a acoplamiento din ámico.  Acoplamiento estático y dinámico. Si escogemos x= x 1 en el extremo de la barra, como en la fig.5.2-4, las ecuaciones de movimiento ser án:  1

1 1

(1 +  2 )   1 + 2    

2  2  2

1 = *0 

Y tanto el acoplamiento dinámico como el estático, están presentes.

fig. 5.2-4. Coordenadas que conducen a acoplamiento estático y dinámico