Acilina Azenha, Maria Amélia Jerónimo-Elementos de Calculo Diferencial e Integral Em R e Rn-McGraw-Hill (1...
Cálculo Diferencial e Integral em IR e IR"
lculo iferenci 1 e ln r 1 m Adlina Azenha Maria Amélia Jerónimo
McGRAW HllL 00
LISBOA• SÃO PAULO• BOGOTÁ., BUENOS AIRES s GUATEMALA MADRID .. MÉXICO ª NOVA IORQIJE PANAMÁ 9 SAN JUAN .. SANTIAGO @
AUCKLAND HAMBURGO e KUALA LUMPUR LONDRES MILÃO • MONTREAL" NOVA DEU G PARIS " SINGAPURA .. SYDNEY TÓQUIO º TORONTO @
@
McGraw-Hill A Division ofThe McGraw-Hill Co111pa11ies'i2,
ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL em IR e IRN Copyright© 1995 da Editora McGraw-Hill de Portugal, L.dª Todos os direitos para a Língua Portuguesa reservados pela Editora McGraw-Hill de Portugal, L.dª Estrada de Alfragide, Edifícios Mirante, Bloco A-1 2720 ALFRAGIDE - Portugal Telef. (35 1-1) 472 85 00 - Fax (351 - 1) 4718981 E-mail:
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L.da
Referêm::ia
Acilina do Nascimento C. Rodrigues Azenha, Professora Adjunta do Quadro do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, lecciona no ISEL desde Maio de 1986 e lecciona no Depaitamento de Matemática do Instituto Superior Técnico (IST) desde Janeiro de 1974. É licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciências de Lisboa e obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada no Instituto Superior Técnico, em Janeiro de 1988.
Maria Amélia G. Brandão Jerónimo, Professora Coordenadora do Quadro do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (!SEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, representante da área de Matemática no Conselho Científico do ISEL, onde lecciona desde 1974, Professora do Ex-Instituto Industrial de Lisboa, de 1966 a 1974. Licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciênciar,; de Lisboa. Embora, ambas as autoras tenham participado na elaboração de todo o livro, em particular nos Capítulos m e VIII, a concepção e estrutura básicas dos Capítulos I, IV e VII devem-se a Acilina Azenha e dos Capítulos II, V e VI a Maria Amélia Jerónimo.
Este livro destina-se aos que estudam as matérias tradicionais nas disciplinas de Matemática nos dois primeiros anos do Ensino Superior, principalmente Politécnico. Poderá, no entanto, ser útil a alunos de cursos universitários como, por exemplo, Engenharia, Gestão, Economia, ou Matemática, como complemento de textos mais avançados, pois contém mais de 500 exemplos resolvidos e exercícios propostos com resposta. Para os que consideram que os alunos de Engenharia do ensino politécnico poderiam dispensar a Matemática como disciplina autónoma, faz-se notar que treinar os alunos no uso de receitas, fórmulas e tabelas cuja fundamentação desconhecem, não os ajuda a enfrentar na sua vida profissional os constantes avanços da ciência e da técnica, nem a adaptar-se a mudanças de funções profissionais. Não nos podemos limitar a ensinar e automatizar os tópicos que as disciplinas da especialidade exigem. É necessária uma formação matemática coerente em que os alunos percebam como funcionam os métodos e quais as suas limitações, de forma a poderem adaptá-los a novas situações. Além disso, é de salientar que os conceitos matemáticos exigem uma compreensão progressiva e amadurecimento de ideias, pelo que é impensável uma preparação intensiva de última hora. Assistir às aulas ou ler resoluções de exercícios é manifestamente insuficiente, pois é ao resolver sozinho os exercícios que o aluno se apercebe das dificuldades da matéria, sentindo então a necessidade de consultar os livros ou procurar a ajuda do professor. Os conhecimentos mínimos necessários à compreensão das matérias versadas neste livro são os que normalmente se exigem nas provas especificas de matemática de acesso ao ensino superior. É claro que os alunos que necessitem podem consultar outras obras onde estas matérias são tratadas de forma mais ligeira. Os alunos interessados poderão aprofundar e aperfeiçoar os conceitos teó1icos. estudados. Tanto a uns como a outros, recomenda-se a consulta das obras indicadas na bibliografia. Este texto baseia-se nas aulas teórico-práticas que as autoras têm leccionado no Instituto Superior de Engenharia de Lisboa em várias disciplinas da área da Análise Matemática. Os capítulos enquadram-se nmna sequência possível de leccionar a matéria, mas os professores podem optar por outras sequências, conforme a estrutura do curso. Os Capítulos I e H complementam o Cálculo Diferencíal em IR e a Geometria Analítica
esíudo os alunos iniciaram no ensino secundário. No "'ª1Jmmv em
mn, se bem que, devido ao mvd dos alunos métodos de
lineares de ordem n de coeficientes constantes; ao fenómenos concretos que são modelados por diferenciais mostram a sua '"'"'""'''u"""º'"" à vida real. no vm estudam-se as séries numéricas de da forma que é habitual nos cursos de ~u'"vurn~u·~·
'-'"'u'"""'L· Sistemas Lineares de bd~"ª'""''" I:'ite:rer1cfaüs,
Tranformada de e de Fourier e desenvolver estes assuntos numa
que
m;;u;;"'•"' .;;;u1.
VIJJIHRI""· agraa fim de serem cor-
AcrLINA AzENHA e MARIA AMÉLIA JERÓNIMO
PREFÁCIO .................................................................................................................................. Vil
CAPÍTULO 1 Compleme11tos de Cálculo Diferenciai em IR .............................................................................. ]. I.1. Breve Revisão e Estudo de Algumas Funções ..................................................................... 1
L 1.1. Funções polino1niais ................................................, ................................................... 1 I.1.2. Funções exponenciais e logarítmicas .......................................................................... J· I.1 .3. Funções trigonométricas .............................................................................................. 5 I.1.4. Funções hiperbólicas ................................................................................................... 9 I. i.5. Prolongamento por continuidade. Classificação de descontinuidades ..................... 13 I.2. Complementos Sobre Derivação ....... ,. ............................................................................... 16 I.2. 1. Derivadas de funções definidas parametricamente ................................................... 16 I.2.2. Derivada de funções definidas implicitamente ......................................................... 18 I.2.3. Derivada logarítmica ................................................................................................. 20 I.2.4. Derivadas de ordem superior à primeira ................................................................... 20 I.2.5. Derivadas de ordem superior à primeira para funções compostas, inversas, definidas parametricamente e implícitas . .................................................. 22 I.3. Fórmula de Taylor e Aplicações .......................................................................................... 25 I.3.1. Fórmula de Mac-Laurin e de Taylor ......................................................................... 25 I.3.2. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação
de extremos e pontos de inflexão .............................................................................. 30 I.3.3. Estudo de funções ...................................................................................................... 35
CAPÍTULOH Breves Revif.lões de Geometria Analítica ..................................................................................... 49
II. l . Introdução .......................................................................................................................... 49 II.2. Breves Revisões de Geometria Analítica ........................................................................... 50 II.2.1. Em IR.2 .... .. ... . .. . ........ . . ... . .... .. . . . .... . ... .. .. ... . .... . ... .... ... . ... ... . ... .. . ... ........ .. ... ... . ........... . .. .. 50 II.2.2. Em IR3 .... ............. ........................... ...... ............ . .. ...... . ... .. .. . ..... .. ..... ........... . .. ... .... .. .. 55. II.2.2.1. Recta e plano ............................................................................................ 55 H.2.2.2. Superfícies de revolução .......................................................................... 56
U.2.2.3. Quádricas ................................................................................... ~ .............. 58 ···
II.2.3. Sistemas de coordenadas ........................................................................................ 64 II.2.3.l. Coordenadas cartesianas .......................................................................... 64 II.2.3.2. Coordenadas ................................................................................ 64 II.2.3.3. Coordenadas cilíndricas 66 II.2.3A Coordenadas esféricas .............................................................................. 67
III Cállculo
Difen,~nd.:id
em IR n ........................................................................................................... 71 ~~'·"•"m
HI.l
Escalares e Vectoriais ............................................................... 71
""'·"' O, ou para baixo se a < O e que intersecta o eixo dos xx nos zeros da função.
o
par, temos uma que
y
y
X
X
y=xn(n> 1, y
X
y=
-n
(n > 1, par)
y=
-n
(n
> 1, ímpar)
Complementos de Cólrnlo Diferencial.e m$; >~;:< ...·
·:~:,
Recorde-se ainda que, sendo/: l , ímpar)
1.1.2. Funções exponendais e Rogaritmlcas. A função y =a! só se pode definir se a> O. O seu domínio é IR e o contradomínio éIR+. O gráfico depende de a: y
y
o
X
X
y = ax(O l)
Tem-se: 1 .
a > 1:::::> lim ax x~+co
= +oo
e
lim ax
X~- 1)
y=
X
(O< a<
n
Tem-se:
>l~
X
= +oo
e
Hm Ioga
x->O+
X
= -00
O O,
1.1.3.
Fun~ões
trigonométricas.
As funções seno e coseno estão definidas e são contínuas em IR. Tomam valores no intervalo [-1, l], são limitadas e são periódicas de período 2n. Os seus gráficos são:
X
n/2 ----~---- - -- - ---
-1
y
- 11:
o - 1 __________ _____ _______ ___.:__ -:-....._. _ __
X
rm1çc1es seno e coseno recta:
e outras: cosx
senx cosx
X;--
senx 1
1 cosecx"" ~-~·senx 1+ sen
±
secx=-cosx
1+
X
=senx·
·cosx
cos
X=
X
= COSX·
""'2senx · cosx
X
X
senx±
senx·seny =
cosx+
cosx · cosy =
sen
· cos y ""' X
sen-""
+
cosx-cosy"" -2 X
cos-= 2
X
2
=
+
-n:
X
y
y
rr;/2-----------
X
---------- -n/2
-1
y =are senx
X
y =are cos x
essa inversa a
y
Esta
are é X
tema
=
lR--7 X
~[ +=ea
=
Complemento§ . cos u
=-u' · cosec u ·
u'
sen
=u'·secu·tgu
=-u' · sen u
e Integral em lR
u' 1+
=--
tg cosec
=-u' · cosec 2 u
~-
O seu e Chama-se coseno "'""'"'~'"
[1, +oo[ e é uma
Tem-se X
x=
x,
x=
x= shx,
> o ==> ex > e-x ==>
X
> O;
= O;
X
x e eh" x = chx.
< o ::::> ex < e-x ::::>
X
chx >O;
= 1. Então, como estas AUJJ.•V'-'"'"' elas só terão extremos em onde a pnme~ira ",,.'."""''"' terão E
X
o o
o +
o o
+ +
+
+ 1
+ +
y
y
X
A razão
se
x=
a, y =
a, então
-y2 = 1,
a-
= l, com x = cos a, y = sen a,
y
-1 X
Complementos
em IR
X
X
y =arg shx
y y
x=
= arg
e 2Y -
e7 >O,
eY
então
E
X
eY -
y"' arg eh x
2
1
2
1 = o ==>
eY =X:!:
o
é
= x + ,Jx + 1 :::::> y =
X "" - - -
+.
+
:::::> arg
arg eh x = ln (x +
..Jx2=1) ·
I
As
tem-se:
as suas
- u..Jl +u 2
seu> O
seu< O
=--,se u>l ou uO e O -
y
l
, ~ e' [ x l+senx· ln2-2ln3 ::::> y = - - + 1 +senx ·ln2-2 +1 2cosx x2 + l
2x
""~--+
2
ema,
que se sentar por:
, ou mesmo
se
a,
Complememtos ~~~~~~~~~~~~-~~~~~~~~·
'ou
ser
seguinte
= p=O
EXEMPLO I.9:
Tem-se
= p=O
= (2x-
as únicas como
1Ji:!li.;c1•w
= 2;
=-2;
-2x)(pl =O,
>2.
do somatório que não se anulam são as corres1po11toe1nes a p = 1 e p = 2.
=
= l
E
= 1000! (-2) + 999!
1000! 2
= 1000 (-2) + 1000 . 999 = -2000 + 999000 = 997000. •
+ EXEMPLOUO: diferencial:
2 vezes diferenciável em
+ Fazendo a
-3 em termos de
=ex, e mostre que a
dx dx dy d
"'4 vem e2x •
16 e-2x
16
16
outros
diferencial se reduz a
Complementos invertível num. nn•,rn·~•n
EXEMPLO l.U:
e IR. Mostre que sob certas
é dada por:
x= arg
esta fórmula para calcular a 2.ª derivada da
e
Como é sabido
dx dy. dx
d
l
dx
d
dx X=
arg
=:> y = sh x =:>
dx
=
eh x ::::::>
= shx.
Então
shx
ch 2 x -sh2 x
---=
que
EXEMPLO I.12:
uma
definida
= sect =
Calcule dx 2 no
=
dt
·- =---------
1
dx que
= sec t · tg t =>
d 2y
~~=
l +
t
= sec t ·
t
+ sec3 t e
= sec 2 t
sect·tgt·2sec 2 t·tgt-sec 2 t·(sect·tg 2 t+sec 3 t)
=sec2
rc
No
t=~
4'
= 2 sec 2 t · tg t ~
:=?
=
tg 2 t-sec 2 t t
-1
=-~
tg 3 t
= 1,
= f(;;) uma = 3.
Derivando em ordem a x:
2x+2
Em
3), temos
Substituindo
""O.
= O. Derivando novamente:
O ey = 3, vem l+
1.14:
-
-
_2,
2.
•
definida
X
z= uma a 2.ª derivada da
=0 =>
= t + t3 e
por
t+l
duas vezes diferenciável em tal que c01nposta, g no x = Oé 2. +
=Oe
= 2. Mostre que
e e por um
e[
em
um
n,
+
+
+···+
que:
=
+
= =
= O=:> 3 c 1 E =0 =:> 3 C2 E
e[, tal que C1[,
=O =:>3
=O
+ ... +
=
que
·-----
lntegrnl em IR e
+
+
+
, tE
+
+
+ que: ema e q]j,
+
+
, com te ,,ucuu~'-""
resto de ordem n. Este resto "'"U'~"''-'~
de
para o
+ Em
casos tem-se:
de com x->a
=0.
por resto
Complementos
emlR
.~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~-
X
=o ema e
grau
éum
para
a, tem-se
X
O,
~~~~-~~~~~~~~-~~~-
contínua em
5 vezes diferenciável em IR\
>O; = l; =-1;
a extremos locais e absolutos e
As
l mostram aíi um de inflexão. 2 mostram aí um máximo focaL de inflexão em -1 e um mínimo focal em -2. só ter extremos em deste se a 1. ª derivada se anular neles. Poderia por isso haver extremo nos teorema de RoUe teria de existir um xE 3[ no =O, o que não se verifica. um máximo em 2, a tem a concavidade para baixo para x E 2 + Como >O, 'ílx >O,
mudasse o sentido da concavidade
de x = 2, então teria de intersectar o eixo dos xx de mudar a concavidade de inflexão. ser x = 3, que será um
y
Em resumo: a de inflexão em x"' O,
tem um máximo absoluto em x = 2, um 1nínimo absoluto em x = -2 e ±3. +
\
Complementos
o com-
~
Lª e 2.ª
x-+a
limite
ser+= ou-= e que a rectax =a -·---------X~ a-.)
m= lim f(x) X-'>+=
X
X~
a+, OU
b=
tal que
e Integral em
e IR[I ~~~~~~~~~~~~~~~
EXEMPLO ll.20: Esboce o o estudo da em IR.
=ln
11:
4
A
2
2
7r
-+kn 4
u ...
E
n:,
de
de fazer
={x:-~+2kn
--+kn ln trabalhar apenas no intervalo
-7'4 [.
=ln (cos 2x) = f(x),
estudá-la em [O, : [.
o dominio ?9>P>ri-P''""'
contém u:m intervalo ao
= O ~ cos 2x = 1 ~ x = O, porque estamos a
Complementos =
~2sen2x
cos2x
=-2 tg 2x =O:::::::> tg 2x =O:::::::> x =O;
4 cos 2 2x'
O
da
de
e lntegrnl em não é par,
x=a.A
nem
se x::;; -2 se -2 < x:::;; O sex >O
m = li.m
X+ e-2-x'
= 1+
X
x-t+oo
lim -~ = l; x~+oo
X
x-->+oo
y =x é
as~>i.rrtptiota
em +oo.
y = mx + b em-oo:
X.-.)-00
X
regra de X~-00
b = Hm ex+Z = O.
Logoy= O é
se x , -2[U]
EXERCÍCIO 1.22:
mas não
x = -2 ex = O(o que teria dle ser feito não existem derivadas nesses +oo[. O condomínio é +=[. +
extremos, monotoo seu contradomínio. sex···················· (x, y)
ez
º
-------=+-----~----
81
y
X
p""
y, z)
P. porra
é,
e r = ~x 2 + y 2 + z 2
r=llrll=
{
xy
= psen8
0
pE
(} E
211:[.
é
""'""'"r" para rectas que passam que passam
EXEMPLO 11.5: y=
y=2x.
x2 +
-2x =O.
e) (x-
y= p
=o
COS ()
cos e p
p sen 6 =
= sen 8 p == Ü V
y = 2x Ç:::} p sen fJ =
=2.
+(y-
=
(J
e-sen 8) =o
p=O
cos 8 Ç::; tg fJ = 2 com p :;": 0
Q
(J =
e= are tg 2
ve= V
p
n.
= 0.
e)
COS ()
Ora x 2 + - 2x = O
= 2 p = 0 V p = 2COS fJ.
+ (y-
e raio r = 1. Vemos
=2
1) e raio r =
- 2x -
= O Ç::;>
p = 2cos () + 2sen fJ com fJ E
e+ sen
())=o~
cos
pE
=psen
, 8E
ZE
=z z
EXEMPLO II.6:
xz+ 3x 2
A~~"'.,"""'c•v
as
cn~,_,,.i-,"""'"
x2 +
-zZ=O.
+ 3z2 = 3.
que se seguem e mude~as para coordenadas cfündricas:
e) (x-
+z2 =16.
e) - 4x2 -
-z=O.
+z2 = 16.
z2 =x2 + em torno do eixo dos zz.
cónica de z2
absoluto da cota é
=x2 +
qz2 =
+(y+
lzl =p
""2.
b) É uma
esférica de centro +z2 =16. cilíndrica de com ""'~'"h·n "''""'·~•M ao eixo dos zz e eixo que passa Em coordenadas ciHndricas fica
e)
por
x2 +
-2x+
Ç:}
e-- sen 6) "' o .ç::::.
=Qq
p = 0 V p = 2 COS
e- 2 Sen 8, 8 E z2
3
+-=l
1
é um
de uma de em tomo do eixo dos yy. A coordenadas cilíndricas só fica fácil se orientar o cilindro o eixo dos yy, denadas ()) no xOz:
para
= pcose =y =3.ç::::.
+
Teremos:
-y2=3Ç=?
=
+ 3.
x2 y2 z2 ----+-=l 4 4 16
e) é um
"'W•O~lfo~
de duas
de
em tomo do eixo dos zz. A
dada é
valente a:
+ j) Éum
+z2 = 16-4p2+z2 = 16.ç::::.z2 =
+ 16.
em tomo do eixo dos zz, com a concavidade virada para Em coordenadas cilíndricas será
=z.
+
lntegrnl em IR e mn à em que se vê que z a
fJ,
entre
e
Po
= r cos O, y,
y,
y,
E
E
+ (z~
+
e
as
EXEMPLO Hl,3: Determine o domínio e esboce o e trace ~·,,,·~·m~u das suas linhas de nível. =
dos campos escalares que se seguem
.J1 - x2 - y2 .
= 2-x2
e)
=1-x-y.
e)
=
Escrevendo z=
::::::> x2
+
+ z2 = 1.
h1tegrn! em
n~ em~
Um processo de obter o f IR2 ---'> duma linhas de nível. com os coordenados e Neste caso, a com o (z = rências de raio l e centradas na As Hnhas de nível são da forma = k,
> O)
~
x2 +
= l --
Odl.!0 X 2 + yz
X->0
Y=mX
limite ao
EXEMPLO UUO:
o limite na
x-3y
b)
+5x
=
e)
e)
xy
8x 3y
= ~xz + y2
+y2
y,
=
x+y-z
=xsen
-y
Calculemos o limite ao
·
das rectas que passam em
x-3mx
Hm - - - -
2mx + 5x
,_,o
y=mx.
l-3m 2m + 5
de m, não há limite. Este é um em que uma ""'º"',.""'''"" directa concluir que os limites iterados existem e são J:ambém por este meio se conclui que não existe Hmite. Com efeito m::1p1:::rm1:::
nP·nnitP
1 e Hm y->0 5
Hm x->0
O limite ao
das rectas que passam em 2
Hm x->0
x mx -Hm 2 + x2 ) x->0
da formay = mx, é:
Como o limite não entre x e y na
de m,
ou
mas se
é zero. Da
somos levados a tentar o cákufo do Hmite ao
da
y = x2:
1
4 Como o limite ao e) O limite ao
das rectas, não há limite.
das rectas que passam em
y= mx, é:
8x 3mx lim ----=0. x->0 x2 + m2x2
haver limite. Neste caso, como o numerador tem um grau """'"'"""'' que exista limite e O. Vamos tentar
'\ló>
o,
8x3yl
1
~--O:
x2
+
Como
+
, fica
+
< que o limite é O.
Os alunos concluirão facilmente que os limites iterados e direcdonais dão O. Pela"'"'"""'''>'«"·
ô. Basta tomar e:::;; ó. Então: lim (x,y)->(0,0)
9~=0
~ x2 + y2
,
porque
'liô >o, 3
0<
lim
e)
(x,y,zH•(O,O,O)
x+y-z 2x - y
Vamos tentar os limites iterados:
Hm
=lim
x->0
x->0
lim
=Hm
y->0
y->0
1 2 ,,,,_l
Como os limites iterados existem e são diferentes conduimos que não há Hmite. limites iterados ser considerados neste existir limite duma mesmo que não exista um dos limites não existe Hm (x sen
mas existe
y->0
mais
mais de uma num só de uma variável. Com efeito Hm
(x sen
=O,
(x,y)-4(0,0)
porque
basta tomar e : : ; li, para que se tenha
'lio>o,3
>0:
ou
EXEMPLO 111.11:
se as
*
se se
se y ;t. -x 2
= -x 2
se y
+
=
e)
x-y x2 +
se =
se
Conforme vimos na aHnea e) do -···~..·.-·~ -···-···~-,
tem limite O no
=O não tem Hmite no
A
será contínua em
sse
O)= 2.
das rectas y = m x, que passam em
Calculemos o limite ao
li.m
x-mx )
+x
+m 2 x 2
x->0
1-
=2+limx2 m2 - - = 2 . x->0 l+m 2
Provemos
'ífô>
o
x-y 1 ~~-2O:
x2 +
~x2 +yz ·y2 lx+(-y)I x2 +
~--~<
=
O) e
+
+
=2
+
) 2
~ x2 + yz
<
basta tomar
sem;
EXEMPLO 111.12:
indicados:
y, z) *
se
O,
y,z)=
= e)
em
(x + 2)(y- l) 2 -1)2
y)=k-:,-y'
se
y,z)=
O,
se
*
1) '
se se
use a linha x 2 -y +
x2 +
*
1)
=
1)
l)=O;em
em
=
+ z2 = r2 . Então ficamos com o limite duma 2
Hm sen r = 1 =
duma só variável:
O,
r2
r->0
é contínua em
O,
Como se viu no ~, ..-...~·~ da
xyz +Yz
se se
=
Integral em IR e IR" ~~~~~~~~~~·
~~~~·~~~~~~~~~~-
Hm
=0=
(X,Y)->(0,0)
ou
a
dada (0,l)
Hm x+2
x
~l-x 2 -(mx+1) 2
Consideremos a circunferência de centro x2 -y+
O Hmite ao
y = mx+l:
das rectas que passam em
Calculemos o limite ao
e raio
=Ox=
da semicircunferência x =
é
Hm~=~=Hm y->l
=O.
= 1,
y->l
não há Hmite da
das
no
•
é contínua nesse
em a e
g
n S1lg n
então g,
*O,
. g,
são continuas em
EXEMPLO HI.13: Determine os
b)
+
are tgL
se
X
se
=
O)
""'"'""·"""' em IR"
~~~~--~~~~~~.
= xy é contínua em
é continua em IR 2 é continua em IR2 •
E
'21l = IR 2\ f
do domínio que são diferentes de a é contínua porque é o denominador diferente de O) e c01np1os11;ao de contínuas. ·~~, " 0 ·~ é continua
Nos No
<
X-?@
se
E
q)J f
se x=a
aé
que,
q)j, como
é
que
a
o
que
X---7ll
o
ser um q)j
e IR n
_,,
IR
num
asse não
a esse EXEMPLO IIU4: 1)
0
nesse
Calculemos o Hmite de Considerando os limites ao
por
tende para
x2m x-.o x x 2 m2
Hm
2 -
tais que x2 -
> O.
m
-~-
1-
do declive das rectas, não existe limite O) nem é por continuidade a é contínua em descontínua neste V.W,JVHMV>.U
xz
front 2ll =
=
o
foi estudado. Analisemos os derando os limites ao das rectas que passam em
X ---------"-~
ª2 o
= ~ = oo,
a) e
a;t:O.
é por continuidade aos O mesmo se passa para os Considerando os limites ao das rectas que passam em -a), y = -a + m (x -
lim _ _.::..._ ___::__~e__= - - =ao,
o
x-M
por continuidade aos 1us.u111cand~J,
se a defini.da fronteiro ao domínio. Em caso afirmativo
O domínio
a:t=
O.
KIVl>rlll"'""I
--------·
'íf a E
=
front 21\ =
das rectas que passam em
os limites ao
+
Hm
em IR"
y =a+ mx,
are tg 1/x =O,
x~O
are
é limitada. Provemos
=O.
Hm (x,y)~(O,a)
vô> O, 3
are tg
J
< ô.
Como
IYI =IY - a + ai :Ü
À,
= 2, com v =(vi' v2) um vector de IR 2 e (a, b)E
int 91, temos:
EXEMPLO HI.15: Calcule !.,'(a) para a ) f(x, y) = 2x-y, a= (-1, 2), v = (1, l). b) f(x, y)= xy + 2x2 , a = (1 , l), v = (2, 3). 2
e) f (x,y) = ~ sex+y:;1:0, a=(l, - 2), v=(-1,3). x+ y
Resoh1ção a) f(a) = J(-1, 2) = - 4; a + ílv = (-1 + íl, 2 + Â,); f(a + ílv) = f(- 1 +À, 2 + Jl) = =-2 + 2Â-2 - Â= - 4 + ít; f(a + Âv) - f(a)
= Â;
f '(a; v)
= lim)., = li~ l = 1. Â->0
b)
e)
f(a) = f(l, 1) = 1 + 2 = 3; /(a + Àv) = f(l + 2Â, 1 + 3À) = 3
/ '(a,. V ) -- i·l ffi 13À + 14).2 -1 3. Ã....o Â
Â
Â->0
+ 13Â + 14.í\,2;
em
. e)
= À.->0
l
=limÂ
À->0
-8
=lim
+
À->Ü
=
=8.
+
Â
•
+
z
n-~--'~~~~~~~~-~---
y
X
=
e lntegrnl em IR e IRl!l
EXEMPLO HU6:
1,
a
ratura se mantém constante.
1,1)=(1,0, O, no
que a derivada d:ireccional
l
1, l) =
llvll
então l vl = Há que provar A= l, 1) é nula.
1 Hm -------~ À-.>0 íl
""o. uma
uma
um campo
teremos
+
+
=x + ,a =
EXEMPLO IR 17:
2) e a Hnha Y"" x
=
º
= t2 =t
+
4.íl 4.íl .íl2 8JL )L2 =4+--+4+--+-=8+--+-
+
F7
F?
17
ffi
17
íi,2
8+--+--8 =lim ds
J17
17
ít
1..-,0
=lim~--=
8
1_,o
"'""""''., uma
num
µ,_,,,..,-,,..,, tomar u =cos a e] + cos f3 e2 =cos a e] + sen são os cosenos
aE um em que a e f3 são os vector. Em
u = cos a t\ + cos f3 e2 + cos EXEMPLO HU8: Calcule a
se
Ir* o
se
r=O
se
Jr""'
=
e)
(1· =
o
de:
se
r :;0 h
por
+
zero
EXEMPLO HI.28: y · are tg - X
· are tg y sex·y =O
.
= Hm ~~~~--~-
0-0
= Hm - - - - - - = hm - - = O
h
h->o
k
k-40
k->0
k
h2 · are tg -kk2 · are tg -h = Hm ' - - - - - - - = lim h k k-+0 lc-+0 k k k are tg= Hm k->0
k
are tg
-Hm
are tg
= Hm h
- O= h · l = h.
k->0
h que a
O) = lim ~!,,_'-----"-k-+o k
0-0
= Hm ~--'-~~~ = Hm - - =O h-+0 h h--;.O h
= Hm - - - - - - = Hm (h are tg h-;0 h h->0
h are tg -limk h k =0-k·l=-k. h->0
k
= lim -"-----"-'-- = Hm --k = -1. k-->0
k
k--;.0
k
nem sempre são ""'"'"' .nv anterior como se verificou no ex1~m'D!O HI.27. É por vezes útil conhecer .,...m.,~~~·~ das derivadas cruzadas. 11
então
em IR e IR"
Por tem-se:
e
=
=
EXEMPI..O Hl,29:
é
e
etc.
=
IR 2 -+ IR definida por 1 seny
sey;t.:O sey= O
Calcule
em todos os
Existem Schwarz?
do
de IR 2 e determine o
Xde
nos
X onde
teorema de
1
sen
ô
=-
ôx
sen-+ y
1
l
cosy
l l sen--x cos y
1 1 sen - -cos-. y y
Para y = O tem-se:
= Hm ------~ = Hm ~º--~º = Hm O= O. h-tO
h
h-+0
l
sen--cos-. y y
h
h->0
=lim k->0
k 2 sen _!__O k =limksen_!_=O. k k->0 k O)
0-0 h
= Hm ~----~-- = Hm - - = lim O= O,
h
h->0
h->0
h-;;O
l
sen--0
= Hm - - - - - - - = lim ---=k~- = Hm ak sen _!_=O. k-00
k
k
k-tO
l
l
y
y
sen--cos-
k-tO
k
sey*O sey=O
.,,,.,,._..,.,,.., não
teorema de Schwarz nos da forma de nenhuma delas é continua em
EXEMPLO UUO: Para a
O)=O,
que O)= 1. Contradiz o teorema de Schwarz?
é contínua em
e h1tegml em IR e IR11
116 =
Hm "--'---'--..:;._~~ = Hm Q = lim O= O. h
h->0
h->0
h
h->0
x2 _ yz = ... =X - - - X2
+
ser* O
--'---
= Hm -----~ = Hm Q= Hm O= O.
k
k--+0
k->0
k
k->0
Então:
ser= O
ser= O
Facilmente se conclui que
e
são contínuas em
iJ2f
O)
~---~--
ôx
k->0
k
-k-0
= lim - - - = -1 k->0
k
x6 _ y6 + 9x4yz _ 9x2y4
+ y2)3 que Schwarz.
e
são descontínuas em
+
llz
+Ax,y+
e por isso não é
o teorema de
mfüe1m,[J11
em 1R"
1
~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~~~~~~~~
z
Az ------
y
a
Pe
cotas
EXEMPLO 111.31: Se z = xy + 2x 2 cakule: A de&. nos deslocamos de
& = (x + = xy
/jz
=X
+x
(y+
+ y IJx + IJx
+ y IJx + IJx
+
1)
use & para calcular
-xy-2x2 =
+
+ 2x 2 + 4x IJx +
+ 4x IJx + =
1) para
+
=x IJx = 0.01
-xy-2x2
+ =-0.l
Az =-0.l + 0.01-0.001+0.04 + 0.0002 = -0.101+0.0502 = -0.0508.
/jz
= 1.01
X
0.9 + 2 X l.0l2 - 1 X 1 - 2 1) + /jz
=3 -
X
l2
0.0508 = 2.9492. •
11iti>rm·i11
e Integra! em
e IR"
-------
Hl,5:
e
E
porh ou
e
kou
z éum +h, b+
à
o erro
=lj(x-a,yÉ
z
com
(ólwlo Diferencia! em IR.11 .119 ~~~~~~~~~
variável não basta existirem e serem finitas todas as derivadas parciais def num ponto para quefseja diferenciável nesse ponto. O que é relevante para que uma função seja diferenciável em a é a possibilidade de se poder aproximar a função, em a, por uma aplicação linear. Geometricamente este facto traduz-se por: em IR, que existe recta tangente ao gráfico de/ em a; em IR2, que existe plano tangente ao gráfico de/em a. Seja, por exemplo, a função f JR 2 ----t IR, definida por:
f(x,y)=
{~
sex· y =O sex· y=~ O
Tem-se
J;(o, O)= O e J;(o, O)= O, mas/não é contínua em (O, O), logo não existe plano tangente ao gráfico de/em (O, O), ou seja,fnão é diferenciável nesse ponto.
Def. 111.6: Chama-se diferen cial de z= f(x, y) no ponto (a, b) e representa-se por dz ou df, a
df(a, b) =J;(a, b) · L1x +J;(a, b) · óy. Se considerarmos as funções z = x e z = y concluiremos que dz =L1x = dx /\ dz = Lly = dy, respectivamente, donde, chama-se diferencial de x e de y a L\x e .6.y e representam-se por dx e dy, respectivamente. Teremos então que o diferencial def se pode escrever df(a, b) =f'..(a, b) · dx +J:(a, b) · dy. y X
De forma semelhante se define diferencial duma função escalar diferenciável f de n variáveis, num ponto a
d/(a) =f,'x 1 (a) dx1 + · .. + f'xn (a) · dxn
n
='Lf' (a)· dxk . xk
k=i
e lntegrnl em lR e lR
11
EXEMPLO III.32:
se são diferenciáveis nos
sexy ~O em
z= sexy (0,0)
Pelo exercício HI.31
8z = X
+ y Llx + AJC
+ 4x AJC +
Então
xAy+y.Llx+AxAy+4xAx+2(Ax) 2 -(y+4x)·Ax-x·Ay =Üq ~(Ax)2 + (Ay)2
Hm 0
h
h-->0
h
= Hm /(O, k)- f(O, O) = lim O- O = O. k->0
k
será diferenciável em
lim (h,k)-'>(0,0)
k->0
k
O) sse
l:im (h,k)->(0,0)
-r====O.
Tomando k =
fica
não existe
não é diferenciável em
que a
EXEMPLO IH.33: Cakule o diferencial dz para z = xy + 2x2 º
= (y +
dz
dx+x
exonu EXEMPLO IH.34: Use diferenciais para cakular um vafor apr0ox1m1H:10 da anterior no
(LOl;
Tomando
=(l,
dx=Ofüe
=-0º1,
teremos dz = -0º05º Então
1) + dz
,l)+&
Q
/(LOl;
Note que o erro que se comete tomando dz em vez de & é de
&-dz --- X
1)
n
Para uma
111.7:
f
IRn
~IR
100% = 0º0026%º •
tem-se:
em a e
051' sse
""20950
e Integral em IR ~~~~~~~~--~~~·
por vezes
o ao = 3x 2 - y 2 + X -
+
1
·sen~~
x+y
e)
+ 3.
sex + y :;O
Se h é tal que (a +
+ b 2 < 1, então .
= hm
1-~(a+h) 2 +b 2
•
· = hm
h
h->0
Se h é tal que (a +
h
h->0
I-.J1+2ah+h 2 · · = -a. h
h->0
+ b 2 > 1, então
+ b 2 -1
= Hm - - - - - - = Hm h->0
h
h->0
2ah + h 2 h
=2a.
isto é se os umcos circunferência nos diferenciável são FacHmente se verifica que não existe é diferenciável em nenhum da circunferência. Condusão: B=
x2 +
=lv
=
não é
um desses
é
contínua em B. Nos ou nã.o ser continua. Há que estudar a continuidade na da circunferência x 2 + = L É evidente que a é contínua em numa bola de centro neste
que
uma tais que a2 + b 2 = l, tais que x2 + y 2 :::;; l é zero e o Hmite tais que x2 + > 1 também é zero, em IR 2• diferenciável em ser cakufada por:
""'''"'v''" contínuas. Nos
tende para por
a derivada
se trata duma derivada direccional o vector v tem de ser
No
(1,
temos x 2 +
neste caso será
> 1, =2x e
=
então
=2,
=
donde
e)
é diferenciável neste
a
z-
+
+
ou
+
-
definida por
se onde a é um número inteiro.
"'O
à diferenciabilidade em
De 5.1
catetos medem 4±0.01 e 3±0.015
(x;:::: O y >
V
(x ~ 0 AY <
cen-
e lntegml em IR e
int qj) =
Front qj) = =;}
(x < 0 Ay<
y> x:::O
::/= qj) ::::} qj)
não é abe110.
,qj)=
qj) não é fechado.
e)
O)= O.
2.
O)= l,
= 1.
fün (x,y)-t(O,O)
Se
3.
é de classe C 1. Em
=t
qj) f
'li a E IR.
= a,
=0;
y2
=
=shy---~
+y qj)
f
=
=
2)3/2 ,
f.y = x2 e-x'y' .
+ 5. Int qjj =
O,
Ext qj) =
Front qj) =
O,
qj) é conexo.
e)
diferenciável em qj];
+z 2)2 2z
= O, 1) =LO~ 1.0 +e· e- 1 • 2
= 2.
,
=O.
= Hm ~~~~~~ = 2 ;é LO+ 1.0 ~ g 7. Se
não é diferenciável em
À,
À->0
::;; O, então
é diferenciável em
Se a> O, então
O) e prova-se,
O)= O sse a> 2.
diferenciável em
=x z 11Yno
=
3, 8) =
=2;
=5 ·
3, 8) =
3, 8) = 5.1
"'5.
""
· ln 8 · ~1
"" -
2.3 1;
l y
+
"'10 + 2 X 0.1+2.31X0.1- 0.42X0.11z10.39.
5.1
o erro relativo é
10
""10.397. X
100%"" 0.7%. temos z 2 =x 2 + y 2•
X=
3
z=
= ±0.01.
dx"" ±0.015. y = 4
= t = 0.6 =
diz= 0.6
+0.8
X
~
t = 0.8
--0.017 !
t
":>!
y
t
/1
":>!
y
tem-se:
Se o
dt 2
=
a expressão
dt 2
em ey=
em Então prova-se que
z em
e
=
=a
+
+
=
em que
t
/1
X
':.!
z
u t
':.!
As
se
EXEMPLO III.38:
e)
e
':.!
u
são
que as rur1ço1es dadas são
=xy+2x2 /\X""
ôx
y
calcule:
Ay=
t=xlny.
+
+
+
sendo
y, z)"" ln r, em que r ""
= F
y, z) e
r=
e i' ;to.
em IR"
X
dt
=
dx
= +
-+ dt
":>!
+ ":>!
y
X ~
":>!
ax
Faz~se
v=
y
y
a
=2x
e)
X
lny;
=::> u = x 2
óU
-=2x
ax
iJv -=2xF
+xz
+x 2 F'
ax
iJv = x2 F'
y
-x
e) Há que cakular
õ
iJ
Ô
ax
ax
ax
ar2
X
l·r 2 - x · ---~~-"""'-
r 2 -x 2r-
=
-~-r,,_
r4
r2
-
2x 2
r4
tiramos facilmente as outras duas e, por
+
=
=
+
vem
r 2 - 2x 2 + r 2 - 2y 2 + r 2 - 2z 2
3r 2 -2(x 2 +y2 +z 2 )
r4
X
3r 2 -2r 2
r2
==-
=
ô
=2
;)=
+
Ox
x3 -
2x 3 y3
Ov -+2x Ox
+2x l l --=2 yy
1
-+2x y
+2x
X
em que v=~. y
+
+
l
~-=
y
ox y
4x
+y Ov 2x -ry y3
-x y2
3
y3
Ov l
-+
-=
x4
=-F'(v)+-
x2+x4 +( y2
y4
J
EXEMPLO Ili, 39: Mostre que: w
+
Fazendo x 2 +
=> y
-x
=o
b) u
=x2 F
= u, temos w
2x.
au
=>x-+y-=2u.
y
Fazendo v = obtém-se
temos u = x 2
8u
x3 +-
8u
ax
V=
=O.
Atendendo aos resultados obtidos no
x-+y-=
e) Fazendo
2x-
-X
XJ
y
x;y temos z = xy +X
III.38
=2x 2
y
=2u.
donde
ôz -=y+
1
+x
ax
X
+y
~=y+
y
ôz -=x+x
dz
()z
x-+y-=xy+x
xz
+y
x2 +xy-y
..
=xy+xy+xF
V=(~~ ax , , , a 1
= i=I
=xy+z.
+
e integral em IR e IR
11
ser
momento este
cosa
que
+···+
+
r=
~e~
:1
uma
e
como
ei + ... +
= vem
=
O@Q'
ou
= nos
aem
em
z
u=
num
e v=
l
+
z
e
+ (F'x' F'y'
=0,
+
z-c
- a F'x F'z
=0.
g
/3 ou
=
E
o constantes.
O seu
+
2,
V
EXEMPLO III, 40:
+
e) e-x. (xz
em que
nos
-4xz + 6z2 •
+
2x2 -
e) ln
em quegot- O.
nos
b)
z xz +
X
---+-+
dos campos: y)
,
2
+y +z2)3/2,
+
ln r, em que r =
e
se em quer=
;i:
z
+z,
+
o
e reIRn.
lf E
y)
;;t.
=
h)
no
se
+ y 2 -4xz +
;;t.
- 4z , -3x +
-4x +
-x 2 + y 2 - 2xz -2xy- 2yz 1 -----e+ e+--+y2)2 i +y2)2 2 x2 +
e)
+
+
+
2x 2y =--e +--e+ x2 + 1 xz + 2
(z X
== -3 r
-4x
- z e -3 r
r
i
3xz
=-~e
rs
1
-
+
-4y
- ze +
r
-3
z
r' e z
e3 =
+(~--) r3 rs
+
+
+
+
=V
+
+
=
Cak:ula-se
1
X
X
r r
r2
e daqui deduzem-se as outras duas. X
V ln r = - e + rz
1
Z
r2
e +- e = z
r2
3
l
r2
e1 + y e 2 + z
V ln r = -
1
rz
:r.
Tal como na alínea anterior basta calcular
5r
De modo uu•"'-'l''" se calculavam as derivadas µ~·-·~·u em ordem às restantes n - l variáveis. Então
r
f'(r) x e +--x e 11
r
22
f'(r)
+···+~-x
r
e 'V
nn
r
= O cálculo destas derivadas foi feito no HI.27. Note que este vector não tem não é diferenciável em por um lado é o vector nulo e por outro a
EXEMPLO m:.41:
Como dois vectores são
tem-se:
=
::=';Jf=
=
~!=
xz
+
dx=2
y2
=xz-+ 2
z2
dz=-+ 2
o
é dado
reunião destes três resultados: z2
=
+-+C 2 2
+zz
=--~+e.
2
Doutro modo:
8f
ax =
dx=-
2
+
z)=:>
conclui-se que
z)= O, z)
=
que
0i
=
8 +-
=z,
zz =-+ 2
z2
y,z)=
+-+e. 2 2 Conduimos que se
l r=-r r3
r
=2x-y,
a=
V=
=xy+x2,
a=
v= v=
e) f(x, y, z) = ln
y, z) = e-x = ln r, r
E
1
=--+C. • r
para calcular a derivada
EXEMPLO IH.42: Use o
e)
l
=J-dr~ r2
+
+z,
a= (-1, 1,
+
+
ema=
IR 3, r ;i, o,
a=
para: (1,
l,l)ena 1,
e
de b =
u vector unitário
=2;
1)
=-·-
2
2,
=x;
l\wll =
+ 1,
3)
2x
+ z) =~~e + xz 1 x2
13
e2 +
=
llvl\=
l,
=
1, 1):::
1,1)=~.
3
+
+
2,
1,
=O.
vemos que
\7/(1, 1, r = 2. Os vectores unitários de IR 3 são dados por u = cos a e 1 + cos em que cos
a, cos f3 e cos
f3 e2 + cos
r são os cosenos directores.
1,
a, cos
cos a + cos /3 + .fi. cos r
cos
4
EXEMPLO IH.43: Para o campo x2
=-+ 16
z2
25
9
em a= """"""".v. sentido e valor da máxima do campo a UUvv"w•«U, Sentido e Valor da mínima vmmc;;u1 do Cru!lp0 !l
'"~'"'~~,
c.u""""''v de
nula do campo a
de a.
de a. de a.
O vector u terá de ter a
e sentido de
isto é,
u=
= 3. e sentido contrário e
=
=-3.
e)
EXEMPLO HIA4: Calcule a = e-x seny
entre
=
=e-xcosy
= -sen 30º e1 + cos 30° ez =
1 2
2
1 2
-~e
1
+ 2 e,•
do
EXEMPLO HI.45: Escreva uma definida por xz
-+ 16
da meta normal à
z2
--=20 25 9
no
a dessa
Trata-se da de nível de cota 20 do campo Já sabemos que
conforme vimos = O
1--0===-o===-1
=
~
:::::>
9
= rurc cos
EXEMPLO IU.47: Considere a
z
+
com
Determine: O domínio de z anaHti.cru e sentido e valor da mínima de z a do e) do e uma Pm111' - 2x
y ;;::
3 14'
3 14
11
28
~
11
= - -28-
=--e +-e=> e)
o
1
28
2
Â=
é b=
A
eu"' Â
que é o
=
5, ln 7 +
ser dada por uma
y,z) =O, com
y,z) =
da forma
+
-z.
1
e lntegrnl em IR IRn
o
A recta normal é dada por: x-1
y-5
z-ln7-2
11
-1
28
que se ~V"""'"''~ que g)j/= g)Jli n em termos
111.9:
= .e, sse
l '\/8> O3e(8) >O: x
E
211\{a}
A
l~-al\ l.ll = v;
-1
x 12 y ]
xz
F'(•; o) =
5 ;
xy
= (-1,0,1)
[ O 1
1
o
-1
-1
[e, e, e,] [ :
ffi
v·
14 '
:[ ]= ffi [e,•,·{:]=
l -1
2
:J
llvll = -J14. => u =
3
3
-- - 04e1 +-.Jl4 e2 - ,[14e3" e) Fé diferenciável em todo o seu domínio, que é IR 3 porque é de dasse C 1 (IR 3) . l
dF(a)
=[e
1
-1
e2 e3] [ O
l
o
-1
EXEMPLO IH.49: Seja f IR 2
~
][=J=
(dx - dy + dz) e,+ dy e, - dz e,.
IlP, definida por
f(x, y) = ( l
xy 2 - X
-y
2 ,
~J
•
X
a) Indique o domínio de f e estude f quanto à continuidade. b) Estude f quanto à diferenciabilidade e escreva a matriz jacobíana de f
•
e) Calcule a derivada de Escreva
o vector
coordenadas.
como o domúllo de
e o domínio de
X~
/\X;;/:.
então o domínio de X2
+
"# 1
X~
é continua em todo o seu -~........ ~, contínua em todo o seu domínio.
assim como a
é diferenciável em todo o seu
int ~!,
=
/\Xif::.
tais que x = y 2 embora
Nos
f
estes diferenciável em :;t:l/\x
•
:IR 2 , definida por
COS
Mostre que
o
degé L A derivada direccional de g
o vector
a, sen
é
+
+
e !ntegrnl em IR e IR"
IJI= u
cose 1
sen e
ºI =
-sen cose
e+
cos 2
r
cose
= cos a e 1 + sen a
-sen =
Lseno
-sen e sen
+
e cos a + cos e sen
+
ecos
= cos
+
e1 + sen
=
+
a e tem-se:
z
ou
Então temos:
+
EXEMPLO HI.51:
g:
rn.2 ~
+···+
IR2, definida por:
= (x cos a- y sen a , x sen a+ y cos
onde
a é uma constante real.
tal que:
=O, 'ílu ainda h
E
IR e
v) = v, 'ílv
g. Calcule a matriz
E
IR.
o valor de
+
IRz
IR
f v)
~
z=
e integrnl em IR e ou
temos o
esquema: )1 X
u ',,i y
z= ',,i
)1 X V
',,i
A matriz
y
de h é ""
ou
1].
=[sena cos
Donde:
= 1.
+
definida por z X+ y,
=
u,
•
diferenciável no seu domínio e
~
u, v)
~z
ou
u, v) =
~
com u
v)
X
y,
= x + y e v = xy. X
'\!
y
/1 '\!
X
X
z=
u
~
'\!
y X
V
'\!
y
õF ÔZOx ôzôu ôzôv ôz ôz ôz q -=-·-+-·-+-·-=-+-·l+-·y=-+
ax ax ax
óf
ôu
ax av ax ax
ôu
av
= Oz. Ox + Oz . Ou+ ÔZ. ÔV = Oz O+ ÔZ · l + Oz. X= q +
ax
õF
ôu
iY av
q
õF
ax
ax
q
ou
q
+-+-y--ôu av ôu
q
+-y
ax ou av
av
ôu
av
X.
q
av
X=-+
ax av
Note-se que 1) =:::>
+
3, ôv
+
u, v) =
3, ôv
3,
3,
3,
e,
diferenciável no Mostre que
+
tal que a sua matriz
=0,
sendo
, eY, ln (1 + Fuma
que admite Lª derivada contínua em IR e
Sendo guma
z=xy+x
Mostre que
real diferenciável em IR2 e
y, z) = g
y,z) E
diferenciável e mostre que, em
yz
y, z) + xz
y, z) + xy
y,z)=O.
v)
Mostre que, para todo o
v) E IR2 tal que v ;;;t:, O, existe a derivada
v) =
g: IR->
Mostre que
+ h:
Considere a = :;:,
+
para x
~O.
O) se tem:
ô 2h x2-+
axz
v) e temos
Ô2 h
--+
iJ2h
""o.
•
m.2 ~
definida por
em lR"
vezes
=
=
ema,
+
u=
=
+
=
Em
o que
u=
1'*°''"'"'''''" e lr1tegrnl em IR e IR" -~-~---·----~
0J, então
=
definida por
EXEMPLO IHº54:
z4.
y, z) = 2
-2,
Mostre que existe e calcule a derivada de 2.ª ordem 1, Sendo g: IR 2 ~ IR 3 definida por v) =
2,
calcule a derivada de 3.ª ordem de h no
g,
e h
(1, l)
o vector
então existem derivadas de todas as ordens vector e a derivadade2.ªordem a=(l, -l)na esentidodovectorb= 1, é dada por:
&8J
o -+ o -+b ax
2
2
+
+
+
+ Como
q
z3
-,,,;4xyz4 •
ax
,
então
ax2
= 4 y z4 •
,
z2.,
=0;
ax& =l6xyz , 3•
'
+
161 Então
-4·
.
. [J2j
[J2j
-2,-1)+8~
-2,-1)-16 8.xi3z
-2,-l)=-16x87=-B92.
E
existem derivadas de todas IR2 :
+d3
+ 3cd2
Neste caso
=
~+O
1) =
0
h
Ou
Temos v)
~
y, z) =
v)
y, z)
1) =
2,
z'u =
·O+
=
Como v) =
h'u =
2,
· x'u +
· y'u + x'+
"
·x'+ li
y~ +
X :::: -V,
·O+
y = 2,
Z
=
l=
e
U
z3 •
·z ' = li
·y'u +
z'u =
z.
Então 1) = 23
113
1) = 8
2, 1) = 8
= 768.
v3
é,
Então
F=
ou
+
+···+
EXEMPLO UI,55: Calcule a
sen (J , x sen
e+ y cos
fJ) com ()
E
IR.
o seu
div F =
div F
+x +
= 1 + x 2z + xy.
div F = 2 cos
e.
Um campo central é do
.r = sendo
r=
y, z)
E
IR 3
e r = llrll =
e l11tegrni em llR l!R" ----------------
--~-----------~
Então como
divF =
cakufamos
a
dx
+
+
cakulamos as outras X
x+ = r
z2
divF = =
(x2
r +
r
+
r
=
+3
r
+ r 2 +3
-+
+
r
=
r+3
e) Um campo newtoniano é do k
=-r
r3
Basta fazer na alínea
-3k Conclusão: Todos os campos newtonianos são solenoidlais. tal que
+
+···+
EXEMPLO :Ul,56: Sendo F: IRº
~
IRº; u, v: IRº
-~
prove que:
+u. v+
= u · div
V.
=
=
=
+u·
k~l
div
+u.
=
+ u · '\/2v =
=
V+ U ·
div
V.
•
y,
0lc por rot
~
vec-
é
V
F=
a a
e lntegrnl em IR e IR!ll
para vermos que é
J=
termo
EXEMPLO HI.57: Calcule rot F para os campos do
III.55.
para
J= y
=> rot F""
x+
o
o
Doutro modo:
e3 V
F=
8 ôx
ô
f)
f)z
+
o
=(y~
v
F=
e1
e2
e3
8 Ox
8
8
e1
8z
x-y+z
+ (1 -
e3
8 Ox
v ;,F=
J=
8
8
8z
x cos fJ - y sen
se a matriz
e
nesse caso o rotacional é nulo.
ô 8z
xz
o
o Ox
r
yx
8z
r
r
rnt F =O. e) É um caso
dos campos centrais
é irrotacionaL
f'(r) =--r, r
ou
r
yz r
r
zx
z)
Ox
= 2 sen
o
sen f) + y cos f)
f)
é
o
+ 1)
+
Jí}'Z
e, e)
ez
é um campo central em que
r
simétrica
os campos
1fü"'''m1·1ri
e hitegrnl em IR e IR" ~~~~~~~~--~~~~~~~~~~
e rot
""L'"-""J'"-"-•'-"-'"'"'
111.58: Prove que harmónica. n-l --,comr=
... ,
r
EXEMPLO 111.59: Sendo F: IR 3 ~ .IR 3 , deduza as
div F
e de rot rot F. Prove que o rotacional dum campo vectorial é um campo solenoidaL
divF =
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Cólwlo Difernndal em IRn 169
1!\
e2
eJ
ô
ô
8y ófl - óf3 & &
óZ
[)
-
& óf3 - óf2
8y
+
&
=[;
(
~ - ~ ) - ~ ( ~1
-
;
) ]
e1 +
óf2 - óFl 8y àx
[!...&8y (óF3 _ óF& 2)-!__ôx (óFàx2 _ óF18y )] e + [!__àx& ( ôf1 _ ôF3 )-!__ ( óF3 _ óF2 ) ] e ax 8y8y & 2
2 = ( _ô F_2
ô 2 F_1 éY2
_ _
ay&
ô 2 F_1
_ _
az2
ô 2 F ) e + ... + ( _8 2 F_1 azax 1 &&
+ -3
é12F
8 2F i:y2
= 3
éY2F ) e . 8y& 3
_ __3 _ _ _ 3 + -2
iJx2
b) Dizer que rot Fé solenoidal é dizer que divergência de rot Fé nula. Ora div (:rot F) = VICV /\ F) é um produto misto dado por um determinante com duas linhas iguais, logo é nulo.
a -a
div (rot F) =V!(V' /\ F) =
d
dx
dy
()z
dx
dy
(}z
F1
F2
F3
a - a a = 0.
•
EXERCÍCIO UI.60: Prove as seguintes igualdades, supondo que as funções são pelo menos duas vezes diferenciáveis:
a) (F" V)IG = Fl(V /\ G).
b) V" (jF) = JV" F + (Vf) /\ F = JV "F - F" (V.f). e) V l(F /\ G) = Gl('V /\ F)- F l(V /\ G).
e!) V/\ (F /\ G) =F (VjG) - G (VjF) + (GIV)F - (F!V)G. e) V (FIG) = F
A
(V/\ G) + G ;, (V /\ F) + (FIV)G + (GIV)F.
/) rot (rot F) = grad (div F)- lap F (Para F: IR 3 ~ IR. 3 , define-se lap F
=(lap F
1 ,
lap F 2 , lap F), sendo F
=(Fp F
2,
F 3)).
•
em
=O, restantes
... ,
=
ºº":.l
=O com
a x=
... ,
y=
•••9
qj) um
i) E
det
;é
em que a E
mebE 11
o.
uma
e
emb,
uma
que: y=
a
=b e
=O,
que E
A
ser
por:
•vL-u"'"""'"r;:; num certo noutro
EXEMPLO III.61:
o sistema
+
+z=O
se do sistema
numa bola de centro em
y,z)=
l,
Calcule
e
dy
e) Indique os teorema da
nos
não se
Neste caso com
y, z) = (x +
Verifica-se i) Substituindo y, z) por quer
+z,y-
visto que as coordenadas E Para 1, O) no obtém-se urna "''çouu.ua'u", ordem às variáveis em às se calculemos a matriz derivada l, terá de ser diferente de zero. O dete1minante dessa
e ll'lliegral em IR e IR
-----
det
--
-
-
111
--~---
= det
=det
verifica-se Pelo teorema da como dle z e que esta
= 1;,: O,
então afümar-se que o sistema define 1m1puc:namente é, tal como de classe e~ o
Sendo
Como
=
afirmar-se que
=-l
e) são os
1) Considere as
IR 3
fafüar é a y, z) tais que: 1 +
__,,
IR 2 e g: IR 2
~
y,
v)
nos
definidas por:
com:
w=
""'x+ y+z+sen
= zyz + sen
+y +
y, z) = odefme uma
z) tal que
=
não se t
W
= 1-eu-2v.
iTn~>liro1fon'"'"''"'
a existência
Cakuk
y,z, verifica num certo = Mostre que:
y,z,
=
o teorema da
ôx
óx
Ou
ó'v
existindo nesse
a
e
Considere o sistema
-u 3 +v= O -y+u-v 2 =O Mostre que o sistema define noutra bola centrada em Calcule
v) =
-
e)
numa bola centrada em
e -
g: IR 2 __.., IR 2 definida por v) -?>
Calcule
= (v · cos u, u · sen
O) e com valores
e lntegml em IR e IR_n
1,
3.
ou
=>ôx
=
-1.
e)
o
e i)
comk~ ~O,
1,
coma E
IR"
'
IR_n ~
IR"
que
que:
um
B ser
E
por:
EXEMPLO m:.63: v) definida por =
x+
Mostre que
tal que a ::t b. Calcule
a matriz jacobfana
no
directamente que que a= b.
é localmente invertível em
tal
verifica-se
y
= det
det
verifica-se se
a* b. Nestes que
= det [
exy 1
X
exy] 1
(a.b)
verifica-se o teorema da à classe e=.
existe
lntegrnl em IR e IRn .~~~--~~~·~~~~
~~~~~~~·~~~~~~~~~
Pefo mesmo teorema, a derivada
no
3) é
exy
Estudemos
Temos
à
à inversa da matriz
X
v) =
x+
Então
+
é em !R 2 • Se o resultado fosse apenas o
V= 1
seria
assim conduímos que à rnctay = x.
y<
y>
JRZ -7 JR2, definida invertível apesar CaS
EXEMPLO HI.M: Considere a
hl~)OteS
2
=:>
-Vv
-y=Vv
•
2
XE
numa
+
centro em
com e
1].
P,
centro em O, à g, tem-se:
1 mf' com t E
IR _______,, IR n - - - - - - - IR x=
t
+
+
regra
=
=
+t
+t
+t
=
+t y;
t
é
à
tomar a +ty;
+
+
1 k!
~+
1 - , comtE m!
1 m!
1[.
e lntegrnl em IR e IRn ~~~~~·
~~~~~~~-
de 1
=o, a ·~··u~·~ escrever-se a
·~···"~·~
uma
e y=b+
x=a+ escrever-se na
+ 1 2!
+-
+
+
+ 1 3!
+-
+ +
+
+···+ EXEMPLO HI.66: Desenvolva
conclui-se que neste Temos:
-1)= -1) = 2;
+
=2;
=3; -1) =o.
-1) = l;
Todas as derivadas de ordem neste caso é finito:
à 2.ª são
-O+ 1
que o desenvolvimento de
-1)+
+2!
+
x 2 + JQl + 1 = 3 +
+
+l)
+
+
+
+l)+t
EXEMPLO 111.67: Considere a
-1) +
+l)
a1 J 2
+
definida por = x sen y + y sen x.
Determine a fórmula de "'"'"'~'"1-"'
de 2.ª ordem
o resultado anterior para mostrar que existe uma e uma só constante real e tal que:
Hm (x,y)->(0,0)
f(x,y)-cxy =O. x2 +
Determine e.
=0;
y+ y cos
=0; cosy+sen y+cos
=0; =2;
sen
=0;
sen
=0;
é:
A fórmula = x sen y
sen y + y sen x =
+l.2
+ y sen x = +
com
=0.
Hm (x,y)-.(0,0)
Pela alínea anterior temos:
+l.2
+
com
=0.
lim (x,y)-.(0,0)
Então
Hm
com
=0,
(x,y)-.(0,0)
que se obtém o resuhado
=
são nulas no 2. Determine um , , v . ..,,v..... v do 2.º grau em (x - l) e (yJIR2 ~ =
3, Escreva o desenvolvimento de
que re1Jre:se1tm:
com resto de 3. ª
~y·~,.,..,,.~,,~... v.u.v
em
de
em
de
=ln (y + 4, Escreva o desenvolvimento de
com resto de 2.ª
= are tg
xl+xy
-x3-
+3
-3
+
a
com o desenvolvimento seg:urnttes derivadas: ordem
no
e
um
um mllnimizante local no a
E
Neste caso, o
a
n '71Jr
E '7JJ1 sse
uma
cen-
n
um maximizante focall
IR.
Nesse caso
1)
que
ter um extremo num
Uma
Ponto Ponto Ponto rronte;lfo
ou
,.,,.,,.. ~L•" um menos, uma vez
escrever-se a
+ = o
+
+llYll·
com
+
=0.
+
ao
=o, então para
y
que
pequeno, o
+
é
que =k·
E
a com resto
no
=
as
numa
ema, =
ou
+
+· .. + ter um extremo num
EXEMPLO IH,69:
definida por: y) =
Mostre
tem extremos e tem um
de classe
e~
em IR2
de sefa em
terá extremos em
= 4y o único Uma análise directa da como =O e O) = -x4 ~ O e contém extremo é um ser arbitrariamente
-x4.
3
de estacionaridade.
=o:::::} y =o
nos de sela. Também não há extremos gra1nai~s e arbitrariamente pequenos. Basta notar que
Hm
=+oo e
Hm x-'>+=
nos =O não é os valores
e lntegrnl em IR e ~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Outro modo de verificar que O) é um do = O) os valores da
resulta da análise do
da
z
z:y
4
4 -X
agora um processo de analisar se um dado de estacionaridade é ou não extrebaseado na fórmula de numa bola centrada em e a um de estaciode estacionaridade é determinada sinal + h numa bola de centro a, ou pequeno. Pela
1
+
1 m!
Hm
~+k~l
k!
é de
=Oe até uma certa ordem
=
+
+
=0.
h->0
m!
que todas as
-1. Então
=0.
m!
-- com k!'
<
Nas
então
+
m!'
com
<
Se para é um máximo local tomar valores para ~ O, dir-se-á uma forma indefinitda valores se anular para vectores h "* O, mas para os restantes h tiver sinal diz-se uma forma semidefinida e nada se nnrnr_cp por fazer um estudo
=
ser
1)
O,
um máximo em
e l11tegrnl em
e IR~
"'"'"' '"-""' para um certo Como não se para os restantes
eterno
o
+ h, b+ não se
Determinemos os
=x3-
de estacionaridade.
= 3x 2
-
+
= (x-
EXEMPLO Ili. 70: Determine os extremos locais da
-x2+y2,
-2x =O
=0=>
+ 1) = 0 => y
=0
V
X=
1
-2x =O::::>
de estacionaridade Calculemos as
con-
derivadas nestes
·-2
2
4
4
o
o
-2
2
2
o
o
4
4
4
1) e
-1) não há extremo, A> O. No há um mínimo locaL t
> O, neste
= x4 -3
EXEMPLO 111º71: Determine os extremos locais da
2x 2
= 4x 3 -
=O::::>x=O v y = 3
+
o único
+
3x 2
=Ü=?y=-
4
de estadonaridade é
=0. concluir. Vamos fazer uma análise = O. Há que determinar o sinal da a
tomo dlo
tomar valores "'"~".""''Q e ,.,,...'"""n'" sela. = x4 - 3 =
+
+ y2 =
= x4 - 2
-y
=
y
+
+
+
+
X
em IR e IR_n
y = x2 e
toma valores maiores que sela. •
a:
Escreve-se a
GO.,
os menores
no
é um mínimo e os menores
l) Se
é,
>o, éum
= 1, ... , n,
a:
par
Se se menores são Em
mas
toma-se
começaimos
Então:
então a é um
EXEMPLO IU.72: Determine os extremos, em termos do y, z) = xyz
a,da
-x--y-
y, z) = 4a xyz = 4a yz -
= yz
= 4a xz-x 2z = 4a xy-
-2x-y-
-x= xy
-x-y-
e integrnl em IR e IRI] O sistema de estacionaridade é
= Ov z = Ov 4a - 2x - y - z = O = Ü V Z = Ü V 4a -
X -
- Z
=Ü
1u'ilfl
e Integral em IR IR"
·~~~~-~~~~~
~~~~~~~~~~·
a
O
A
m
>0
o
>0
0
J' = 2x , g = ex =>g = ex
=> !JPx2ex=x2ex -2 qpxex
h = X ::::> h' = 1 { , => J' = aeax
,
cosbx
g = senbx =>g = - - b
, senbx h = cos bx => h =- b
l111tegrnl em IR IR
11
Então: cos bx a e'"' sen bx sen bx = -e'x - - - + - - - b
cakular
De modo semelhante se
IV,20:
rzfJ sen2 x
= rzfJ sen x sen x = -sen x cos x + rzfJ cos 2 x
= -sen x cos x +
- sen2
senx
=
= -sen x cos x + x - rzfJ sen2 x = cosx
g' = sen x =:;. g = -cos x
2 rzfJ Sen2 X = -sen X
Este resultado
COS X +X ~
rzfJ sen2 X ""
x-senxcosx 2
+ C.
das fórmulas se12;u111ttes
cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2 sen2 x = 2 cos 2 x - 1 e sen 2x = 2 sen x cos x,
tem-se 2
l + cos2x
cos-x=-~--
2
como também a
9]' senh2 t =
+ senh2 t) :::::>
senh t cosh - t 2
+ C.
que
/Th,
;:rCOS
h2 t= senh t cosh t + t + e 2
b 2 =-
b~~ senht cosht-t a
2
=
-
_b2 (,Ja 2 x 2 - b 2 a -x-arg 2a b b
+C.
ea
x
2
= 2 are
=--e 1+t2 1-t 2 cosx=-1+t 2
senx=-1+t 2
2t x=--. l-t 2
EXEMPLOS 1 I'V.27: x = 1 ou x = -3.
3x+6
A
A
A
1 1 3 ----~=~+~-+--
x3 + 2x 2
-
3x
x
x- 1
x +3
de reduzir
+3)+
3x+ 6 =
+3)+
-1)
os coefi-
Pelo método dos coeficientes
emx2 : emx: emx0 :
O= 3=
e integral em IR e
!iií1rHuin ·~--------
--------~----------
Resolvendo o sistema formado
obtém-se: -
9 - 4,
=-2,
3x+6 +2x 2 -3x
C/P----x3
9 +--1._+ -41 ) ""-2 x-1 x+3
+3/+C. •
R Seo
EXEMPLO IV.30: Calcufar uma
de
x 2 +2x+3
----- =
::::;.x2
+2x+3=
x-1
+
x+I
+
+---:::::) + 1) +
das raízes. x=l=>6=4 x=-1=>2=-2
emx2 : l =
+
=-1
=>
-11-t
l
+ll+--+C. x+l
EXEMPLO IV.31: Primitive
x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 2 A B + Cx D+Ex - - - - - - - = ---- +---+
x-1
+
x4-x3 +2x2 -x+2=
X=
x=
+ l
~
x 2 +2
+2)2 +
+
+
3 = 9A """>A= 1h
=:> x 2 = -2 ~ x 3 = - 2
-1)~
-2E=2
+
~2+
1
1
3
x-1
-11-~arc
6
=0 =-1
Em x 4 : l = 1h + C ~ C = 2h. Emx3 :-l = B-C ~ B =-1h.
=3
-1)
X
l
1
+21+---+ 2 x +2 2
EXEMPLO IV:.32: Primitive xs
16-x4
Efectuando a divisão obtemos
16x ---=-x+--16+16 e xs
~--=
16-x4
16x
l6x=
+
A+Bx
+ X=
C
D
---+--+-4 +x 2 2 +x 2-x +
+
+
+
2 =? 32 = 32D =? D = l
x =-2 =?-32 = 32c =?e =-1
X=
2i
~
32i"'
+
xs
xz
16-
2
x2 =--+
+
(4-
r,l'lrin1
e hitegrnl em IR IR
ri
·~-~
.~~~--~--
EXEMPLO IV:34: Primitive
-4x+7
x4
-
x 3 + 6x 2 (2 +
x 4 - x 3 + 6x2 - 4x + 7 =
4x + 7
-
C+Dx
-1)
+
+
-1) +
+
-1) +
=>A =-1; B =O; C =-1; D = 1; E= l
x 4 -x 3 +6x 2 -4x+7 +x 2 ) 2 (x-l) 1
+x2
2 l
l 1 ,J2 1 =------x· 2 ,J2 1 + _:_:_ 2 2
2 1
= 2,,/2 are
= X ::::::>
+x2
X
2 = l; g' =
+x2
2+x
::::> g=-
5 4 '\fr;;: 2L are
+x 2)
ex.
se a;;::o. =
tx
se e:?: O.
+e
a
lntegm! EXEMPLO IV:35: Prhnitivar X
Neste caso a 3.ª das outras duas é
1- t 2
"'x + t ~ x 2 -x + l = x2 + 2x t +
=}X=--~
2t+ 1
l-t 2
t 2 +t+l
2t+ 1
2t+ 1
=--+ =
::::}
2t+l
tZ
-1
1
4t2 + 4t + 1
-t
-t2
-t
-t-~
= 2 r;p [ ! + - - - ' - - = ~ - ! r;p 8t + 10 4
2
4
6 ----+---+ 4t + l 4t 2 + 4t + 1
2 Como t=
4
+
2
4t 2 +4t+
4
4t 2 + 4t + l
6 +4t+l)--\!J>2 8
2
3 1 t 1 +----=--4 2t + l 2 2
+
3 1 +1)+---. 4 2t+ l
-x, então
+
i] +-===3~-~+e. +l -8x+4
•
lntegrnl em IR em~ EXEMPLO IV.36: PrimiHvar
X
+
Pode fazer-se
uma vez que 2-x=(x+
=-·~=:>
t 2 +1
e -J4-x 2 =-·-, t2 + 1
çp
~-;::;
4t
t2
+1
x
t2
-16t 2
-8t
=ÇP~-·--·
::;;;Ç}-----
+1 2-2t 2
16t2
A
B
C+Dt
E+Ft
~---- =-+~+--+---
-!) 16t2 =
+
+
t-
+
+ t =
+l
l
+
t2
+l
+
+ 1) +
+
-1)
1 ::::;> 16 = 8A ::::;> A= 2
t=-1::::} 16=-8B::::}B=-2
t=
i
~-16
=-16~E=8
=(E
em t5 : O= 2 - 2 + D =:> D = O; em t4: O= 2 + 2 + C ~ C = -4
O
+
em
I
l11tegrnl em IR e IR"
Ik
=
k
= 1,
n.
e
Ao senta~se
- t
k-1'
com k = 1,
à
IV.4. Soma I, é
a uma
p
a uma
p
y
y
X
s
s
s
-1
sorna I, isto é: 'v'P }.
tem-se sempre:
-l
e Integral em JR mn uma
em I, sse
Nesse caso escreve-se apenas
ou
,ou a
=
EXEMPLO I'V.71:
Para toda a minado por essa
a
vxeI=
que se escolha no intervalo
Cakule
b], tem-se em cada subintervalo Ik deter-
n
9'(f,
n
= í:sup k""'l
= CI;(tk k=l
lk
-tk_) =
k=l
= inf {9'(f, P); 'i!P} == inf
=
= k=l
-1
Como
dx= -1
a
-a).
EXEMPLO IV:.72: Mostre que a sex EQ
=
sexeIR\Q
comb>a.
Neste caso também é calcular o valor das somas da escolhida. Para toda a"'"'"""º'" P do intervalo tem-se em cada subintervafo Ik determinado por essa
2e
-5.
n
O, 3 e> O:VP, partição de I, de diâmetro < ê :=:;. '::f if, P) - s(f, P) < 8. Note-se que este teorema afirma quef é integrável sse o limite da diferença ~(/,
P) - s(f, P),
quando o diâmetro da partição tende para zero, for zero. Ou seja,/ é integrável sse as somas superior e inferior tiverem limites iguais quando o número de pontos da partição tender para infinito. Isto acontece para todas as funções contínuas. Seffor uma função continua e não negativa num intervalo I = [a, b], o integral def neste intervalo, ou seja, o valor comum dos limites das somas superior e inferior, representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx, e pelas rectas x == a e x= b. y
X
EXEMPL O I'V.73. a) Sejaf(x) = xpara x E [O, a], a > O. Paracadan E IN, considere a1)artição de [O, a] Pn ={o,~. 2a, 3a, .. . ,~=a}. n n n n
a
b) Prove que f
é integrável em I =[O, a] e calcule Jx dx. o
Y.
X
n
n
= O, 1, 2, ... , n Atendendo à
f = (k+l)a, n
)=
+l)=
ª2 n2
+2+3+···+
a2 l
+n
a2 l
+n
=---n=---. 2 2 n
Como ka n
ka a k=o n n
=
s a2 k= ª2 2 n k=o n2
Aprova de
n
I ka [(k + l)a _ k=o n
n
=
n
+1+2+3+···+
último
fazer-se de duas maneiras:
a 2 1+n
=---:::;> 2 n
'v'P}
= inf llEIN
ª2
- 2,
ª2
=sup
2'
-1
n-1 - crescent e "'""'""'"º"'";"' para 1. - e. uma sucessao n
Como
= -1
a
a2
o
2
Jxdx=-. Pelo último teorema: a 2 1 +n
lim [ ':J(f,
2
n-->+=
fogo fé integrável.
Teorema IV.5:
n
2
= li.m n-H-oo
az -=O, fl
+ e IR
-1'
IR, continua,
integrável em [a,
=
X
o mesmo não que, apesar ser
l -=+=e x--;.o+
un:
IN:
X
l
-=~=. x--;.o-
X
u1
u2
U3
t
t
t
t
l
2
3
4
o
é
numerável. Com Q: 'li
-'li 'h _lh
2fi
_21i
'h _113 3Ji _)li '/4 -'/4
t t t t t t t t t t t t 1
2
3
4
5
6
INcZc
7
8
cIRc
9
10
11
12
É
a sex
=
EXEMPLO IV.74:
se é
mti~gr:ive
E
sex ElR \
em
l sex=n
2"
sex EI
TI
é contínua em In, V' n E IN. Nos
é constante em cada intervalo
=O:;t: Hm
x~(~r
é limitada e é descontínua no em [O, l]. +
1.
o
com n EIN e I n "'
da forma
* x->(ff lim {xE IR:
X=
[a,
/n
1
E
, que é infinito
é um espaço
em
+
+ a
a
b
f
E
=
a
a
g
~O,
g a
tem-se: b
I
a
a
a
a
em
5.
e
em[a,
6. M=
a
em=
e l11tegrnl em
e IR"
b> a. :S:M ~
~m
E b
b
f
: :; f M
:5
=> m a
m
:5
~
a
a
:5
m :5
a
1
:5
~b~a
a
tomar 1
À=~
b-a
para
a
o ao
b
a
se Â=-1-
a-bb
7.
teorema do valor
b]. Então
que:
a
y
f(c) ---------
o
a
e
b
X
8.
em
teorema
= b
a
=o.
9. a
f
""''"'"I'"""' que os"""""""'"'"" reais a, b e e, pe1rte1tic~mt1:::s a um iptegrável em I, então:
Ie
e
dx+f f(x) a
EXEMPLO IV.75: Calcule o integral em [O,
a
da função 1 sex=-
={:(n+l)
n
Como já se provou esta
In =
E
sex el n
2"
1
=
b
1
l/n
I
dx=···+
J
dx+···+
!/(n+l)
00
11 "
n(n + 1)
n=l
l/(n+l)
2n
f n(n + 1) (l n=l
2"
n
dx+
1 n+
=
J
n(n + 1) x = ln t => x' = r-1,
então x = O => t = l e x = l => t = e,
l
o ex
1
A
B
+t3
t
t2
- - = - +t2
+ e2x
dx =
C
+ ~ => l l+t
t = -1
Je_l_~ dt. t + t2 t 1
= A t (l + t) + B (1 + t) + C t 2
=> l = C; em t 2 : O= A+ l =>A= -1
l 1 l 1 l t l
--+1. • e
EXEMPLOS IV.83: 1. Justifique que senx X
sen x dx x 2.
=f 0
x dx ~are senx·
f
e],
então a um
não
e
em
< b.
ou
'''"'~'"'" 1 e lnfegrn1I em IR e IR11 .~~~~~~~~~-
+=
J
dx.
-J
dx = Hm
+
dx.
.
c-2
-
1
l 2
= hm-~=-, c->+ro
-2
(l.ª
o
J
e)
dx
+
= lim
j-J3 +lnx dx= Hm e
+
~ dx=
X
.l
dx=
4
+
X
+
- 4312] = +oo.
==,
então o
este
não
ou
+
+
=-00.
ll'rim•m,,," e
lntegrnl em
---~--~-~~=--------~~~~-··~··-
De :=oo
em
'
E
EXEMPLO IVJl8: No caso de serem l
f lnx dlx.. o +§oo
1 dlx x~Inx-1 ·
1 f~º -1+x2 dlx •
-
e)
Hm Xnx =-oo, X--70+
o 1
JInx dlx = O
Hm c--70+
e
= -1.
cz
emx = 5.
2
5
2
e
f~~dx=HmJ~-
=
o
c--?s-
=
00.
Jx-JI-1 lnx dx.
e)
0
Como ln e = 1, a
int'"'"'"""'fa tende para infinito nos dois extremos de mt13Qx.aca10
urn."''.'" dado vHo+ x-JI - lnx a_,e- x-Jl - lnx
1
= +oo + 2 = +=.
dado é
1 e
l dx. x-Jinx -1
misto porque se de 2.ª
X""
e)
COffi
um um;oe,i•m l1np1rópno
finito a> e, por
T 1 dx=fex~lnx-1 1 dx+T l dx= ex~lnx-1 ªx~Inx-1 + lim[2~lnd-l d->+oo
e)
Trata~se
dum um.;c;• t = l;
t2 ~ X = t2 -
1 =:> t =
X=
Então 1
J
dx =
3
t t 2t dt = 2[ ~ o 3
JJ2 = 2 1
3
l
~ X'
= 2t.
e Integral em IR e IR11 ------~
EXEMPLO IV.93: Cakule
dx= !
f
=senh l -
= coshx dx =
senh O= senh 1. t
é dado por
-l
Fazendo a
senh t , cosh t 2x=senht=::>x=--=:>x = - - .
2
2
!lP cosh t cosh t = cosh t senh t - !lP cosh2 t = - - - - - -
2
- .! 2
-
cosh t senh t - t t=------
4 ·2x-arg
senht-t) =
- arg senh 4 +
+ arg
l11tegrni em ··-----~-
uma a:;;x::;; b
y y"" g(x)
R -------- ----------- -------- ------- -------- ...... ---
r -----b
o
X
-f2(x)]. X
b
J a
e lntegrnl em IR e IR"
B=
O
c~y$.d
é
então o
d
I
= EXEMPLO IV.95:
Aa
definida por:
Calcule o volume do sólido de dos xx.
de 2n: da
y
y
ó
Neste
A em tomo do eixo
X
X
=O,
volume=
dx
dx=
=
11:
2
-2e+
5
+
IV,96: Considere o domínio A Calcule: A área do domínio A O volume do sólido de 211: dlo domínio A em tomo do eixo dos xx.
y
y=2
X
A área
ser cakulada por meio de um único
definido se considerarmos
A= d
de A=
J
-f(y)]
Teremos 2
f[.J4-y
de A=
=[!._.J4-y 2
2 -
é a soma de duas
O volume V
2
uma gerada
XE[-2,0],-x:
= n
J
-O] dx =
16 3
-11:.
Então V= limitado
2x
+ l =O e x-y- l =O.
das
defini.das por
l11tegrnl em IR e IRl'l """~·i+i'"""' que a área Calcule o volume do sólido domínio que tem x 2:: O.
do
EXEMPLO IV.98: Calcule o volume do sólido rei;:1re~;entaalo na sabendo que ele ser obtido A::c::;;
y
y
X
-r
r
X
+
Volume=
dx=
-1'
dx=4Rn
dx.
-r
r
x=
sen
::::::::>
=
cos t; x = -r =:? t = -"h; x = r
=:? t
= "h =:? Vol. =
f
=
-r
=4n Rr2
cos 2 t dt = 411: Rr 2 -1'12
1-cos2t [ dt = 2n Rr 2 t -n;/2 2 ,
=
Rr 2 •
lliltegrnl em IR
EXEMPLO 1Vo99:
A conente num circuito RCL é dada por
+
=EC
São constantes a a resistência R em R
a=-·
2L'
A carga Q em coufombs é dada por
dt
= i,
Determine Q resolvendo esse
dQ dt
.
-=1
(ª2
T
e
=o:::::}
=
fi
dt=EC -+ ' (1)
T
J
Primitivemos por
u = e-ª1 :::::} u' = -ae-ª1; v' = sen
IV.110: Sendo
=
calcule
+
e X
IV,111: Determine
definida e continua em IR tal que
IV.113:
J
eg(t)
=
IV.114: Mostre que
tem um mínimo local em x = 1 e um máximo local em x = O.
IV,115: Mostre que
X
com
x 4•
tais que tem um
IV.119: Mostre que X
x 2 Je- 1 dt lim x->0
0,
ex
~
l
= l.
IV.120: A densidade de massa dum fio é = x 2 e-x por centímetro. O fio tem 2 metros de Calcule a sua massa sabendo que ela é dada por
dx.
M=
IV.121: Um circuito RCL é corrente = EC a 2 te-ª1, onde E é uma co11st:mte, expressa em volts e a= R/2L. As constantes R e L estão em A carga Q em coulombs é dada por T
=
f
dt.
ohms
lV..122: A carga Q em coulombs num circuito RC verifica a
l
+~-Q
dt
0.04
= 100 sen
= 100
eia
com
=O,
e 25x cos5x dx.
em ordem ao a
que a de acordo com a fórmula
dum
de 60 ciclos varia com o
máxima de saída.
onde P0 é a
IV.100:
e) earctge-
1 +e 2
ln~~-
e) 1/i are tg e2 - "/s.
2
"/z + 2 ln
-L
IV.101:
(2 ln 2-
b)
3" 12 ln3+1 l + ln 2 3
e) ln3 - are tg 1/z + "/4. 6 ln-. 5
de
lntegrnl em IR IRn
IV:102:
e) ln "h- ln "/4.
L L
e)
3
IV,103: e) e
IV:104:
e) "h - ln2/2- e-2
IV.105:
2.
b)
44f3.
e) 7h - 3 e-2•
IV.109: b 3 /4.
IV.110:
e) "/s-ln
hitegrnl em IV.lU:
=ln (3 -
IV.117: A é estritamente crescente, há absoluto em x = O e máximo absoluto em x = 211:.
IV.118: A
de inflexão em x =
tem um mínimo 6
=Oe
=J IV.120: M = 2 - 40402 e-200
IV.121:
= EC[l -
IV.122:
IV.123: 1800 Pw +
+
coulombs.
5t + 5 cos 5t - 5
>o.
e 3"h. Há mlÍnimo
1
.1
e
1
1 1•
lntegrnl em IR IR
1'
em yy: E
recta
em
que passe por um
y y"' (/)z(X)
x= b
y= 1P1(X) X
O x=a
2ou
o eixo
ffi=
XX:
. cs;ys;d
E
s;x::;;
y y=d x= '!fz(y)
Y"'C
o meta
em
X
que
por um
a
esta
V.1:
à soma
5= k~I
EXEMPLO V:.1: Considere a
=4-x-
,.,.,.,+,,.,n."'~
limitada por x = O, y =O e y = -2x + 2. Calcule as somas de Riemann para as definidas por:
=1, y = O, y = +' y = 1, y =+' y =2. X = 0, X = i, X = X = X = 1, y = 0, y = i, y = +, y = 1, y = y= X
= O, X = +' X =
X
y = 2.
como sendo o vértice ~
=.11
~
=3
~
=l!
=(~,
--?
=7
=
--?
::::1.
=
-
4
1)7 - 4
=
l)~
1)- 23
=
~
--?
2
4
1)--?
representa por
ou Em resumo:
EXEMPLO V.2:
9
-
4
em
-
3
-4
Integrais Múltiplos
que
as somas de Riemann são:
a
C
=C
0
k=I
k=I
HmC
A= [O, l], B = [2, 5]
EXEMPLO V.3:
e~=
y)= {
Ax Be
l
D=
=2 D=
+
2.
dx= dx =
+cosy-
+ sen 1 = cos 1 + cos l - l - 1 + sen 1 + sen 1 =
+
dx+
1
+
+
+
-seny-
= 2 cos l + 2 sen l e)
-x
(1, 1).
=
e 2 -1 e
dx=
=
y
X
dx+
x2 = _!_
3
l/x
dx
3
l [32 =- x 6 -Inx
]'12'
3 3
f./2ly x y
2 2
l
]2/x
r'12 iz (64xs - l dx + 1
3fu2
Ou
3
xz [ L
dx
l/y
112
2
lnx-~
+7
6
6
3
dx dy+ J2v2r:: J,2/y x 2y 2 dx dy+ l/y
y3 Jsenx
+-
e)
3
]'12 l
dxdy=
senx + f sen 3
dx=
dx =
o
cosx + 2cosx + 2xsenx + f cosx + tcos 3
ou
+
dx
= ... este
dá muito trabalho e
X
do outro
l11tegrnis Múltiplos
---
--------------------------------=---·~-·--·--~----
dx Dado que
+fJ;
dx
não é imediata nem se
vamos inverter a ordem de
mt,e~1·aç:ao:
=
-l)dx=(e-
3
=-(e-
2 y
X
EXEMPLO V.8: Calcule o volume dos sóHdos limitados por
z=4-x2 -y2 e) z = 4
/\X
z = 6 - x2 - y2 /\ z = ~ x2
z=O.
+ z = 6 /\ z = o
X=
O.
X
+ yz .
V=
§f
-xz -
-x2 -
dx
dx
r;--2
dx
'\/4-X
2 3
--
+!_x~4-x 2
~4-x 2 +2arc
2
= 8n.
+2arc
+
r=
=4
~
+z-6=0
z;;::o
1
\ 2
y X
V=
-xz
dx
y3
_ y2 _ ~ x2 + y2 )
=
V=
é morosa
obter o volume
dx.
calculando o volume
1'"'·"'"""°'"'"'" e adicioná-lo ao volume do cone:
-x2 -
X
alt.=
dx+
ao resultado da alínea
e) Tal como vimos que
=
~
] +~xz+yz)o
y ~
-----yx- +y- + 3 2 2
Como uma das entre o
dx
dx
é um volume se
;;::o,
E~C
também z)
z);;;: O,
dz
z)erzJl.
X
-z) dz
V=
(6-z)dz
=
=
32[16y-~y 3
b)
dx.
e)
dx
e)
dx dx
1 10
704 15
em
EXEMPLO V.9: Inverta a ordem de
f2
=
=
f r-x' -1
o
dx. dxdy.
d)
dx.
+
h)
dx
dydx.
dx
-2
o
2
-X
1 2
X
dx
e) x = 2 - y
Ç::?
x + y = 2 é uma recta. x ""'
é uma semi-circunforência.
(
y
2
X
r~ Jo f(x, y) dy dx +
=2-y =-4
::::;, 2 - y
=-4 + y 2
y)dy dx.
{:::>
y 2 + y - 6 =0
y
X
dx+
dx.
h1tegrnis Múltiplos e)
y
X
dx.
dx+
y
X
+
dx
y
2 X
dx. y
dx dy.
+
s:'
dx
IR IR"
Vimos que se
;: : o, então
dx
eÇ/tcx
= 1 esse volume é numericamente
é um volume. Em
0l
à área de
visto que o sólido tem altura 1. \
Em resumo:
fJ dA=
do
(lJt
8 3
8 3
32 3
= 8--+8-- = - .
22 3
dx=
A=
e)
r2f2-y -P
Jo
dx
= rc+2. elementar:
= 1/4 X 11: X 22 + 1/z X 2 X 2:::: 1/: + 2.
e)
j)
125 6
A=
dx
=
(2-y+4-
A=
dx
=
(2 - y + 4 - y 2 )
A=
dx= [ x2 -xlnx+
2
dx=
A=
dx=
dx
=
s:
= I~ (2-y-
dx=
y2
56 =3
2
e4
=--e2 2
=4.
3 2
Integrais Múltiplos EXEMPLO V. U: Determine dx =-
dx =
dx=
~--1JI dx--11[ +y o
! __ + !) X
1_ x+l
dx
X
+
o (x
-
dx=
=
X
Trocando x por y tem-se
2
Com este de
ex~:m1J10 un~re1me-se
1n~reear~l'.~1n
para o facto de que ~~··fo~~~n inverter a ordem
chamar a
'-'V''""'""'"' do teorema de Fubini. Não é este o
definida em teoria dada. Na realidade
de WIY!YrlYWffl
na e 0 seu cálculo teria de ser feito por
teorema
m::5:
Jf m
::;;
::;;M :::;;
::;;
:::;; Çik
M Çik
(i/í
Çik
Çik
(i/í
m
o
que sef(x,y) :2: O, volume seria o EXEMPLO V.12: Exemplo V.6.
que
uma
e representaria a altura daquele integral duplo. este teorema para calcular o valor médio de f em b) Exemplo V.8
-xEntão
é o valor médio + = 5 e int
com
z
y X
dA = 8n /\
'li:.
2 2 = 4n: =:>
=2,
que é o valor médio 4
-
y~
= 2 Ç;:?
+
= 2.
O cilindro desenhado e que tem altura 2, tem o mesmo volume que o sólido situado entre o parabolóide e o plano +
2 X
M=
y
centro
que as
são
xa M
e que os momentos
inércia são
por
a por
a = + Jyj calcule a massa da lâmina que tem
EXEMPLO \:13: Para a forma e dimensões.
y
X
+
dx = I~
+ 2x + 2x 2 ~ 4x + EXEMPLO \:14: do centro de massa e o momento de inércia em
dx =
+ +
dx
=
I
dx=
=
k
=
lx2 k--=k.
=k·
1
dx=~.
k
3
+
dx=
+
dx=~k 6 .
para as
V
o
-X
e Integral em IR e IR~
em
=
T~
{
x=au+ y=cu+
com a, b, e, d
Para assegurar a
E
IR e teremos
teremos
EXEMPLO V.15: Calcule
fJ '!/I,
y-x ey+x
dx
------y ----------------
3 X
Linha de intersecção +z 2 =9
+z 2
=9
=25x 2 +z 2
= y=4 {
r
=9
Neste caso o sólido projecta-se num círculo no plano transformar z) em (p,
as coordenadas
vão
= psen9
O sóHdo octante. V=
dividir-se em quatro partes iguais, representando a figura a
JJ (bs - x '2lt
2 -
z2
-
dx dz =
J:" f: ~25 - p
2p
de= 122 =-n. 3
que fica no l. º
Esta urn'"ª'-""ª não evidentemente aos dois a teoria e começar por calcular o da trn:nsJtornmaç:ao.
de
"'l
"'1
para
=2
=l
=X
para
de =4x
=4
1 7 =-·7·2·ln2=-ln2. t 6 3
1 1 [ ~' ] 2 x -dvdu=2v 2 3 1
dx
e
=2
V.20:
1. Calcule as áreas das
x2
definidas por
y2
- + - ::;; 1, usando coordenadas cartesianas
e as coordenadas
ª2
b2 x = a p cos () e y = b p sen 9. 9x2 +
- 36x -
O) definidas por
+ 36 ::;; O e
2. Nas alíneas que se seguem inverta a ordem de b)
e)
J7
f(x,
dx dy.
dx. dx
sendo 2ll limitado por x 2 +
= 4, x 2 +
= 9, xy = 1, xy
= 4, com
O$;x
dydx.
dx
e)
dx
n/6.
nab.
dx
3. 15/2.
dx.
à soma
k=l
k=I
V.4: senta-se por
Qao
If
ou
Q
@
ff J
=
Q
+
Q
+f f
f 01J Ili
J =
2
=>
e repre-
y, Q
ff
j1 E:IR
Q
JJ J Q
Q2
I
se
ff
~II
Q
Q
se
u
~Q
n
Em ~O;
~o,
y,
= 1 então
y, z) é amassa
num
= Jf Q
e
centro
as
I =
Jf
µ Q
JI
µ
=
M
L
ser um
ou uma
ó IL
=
I Q
emqueQéum
aos
e l~tegrnl em IR e IR"
31 e
que
porque então
y,
II
y,
X
Q
y, escreva as outras
Como
fI
Q
y,z)
dy
y,
EXEMPLO V.21: Calcule:
dV. e)
dz
Trata~se
dx.
dzdx.
do caso mais
Q é um cubo de faces
aos
coordenados e
X
+z) dV""
dxx
X
3 8
__________________________ ln-=-tegrnis Múltiplos ~4x-y 2
J
_2_X 0
dz
dx =
dx
n: 17; ·-dx=-
l
~4x-,y 2 +2xarc
2
=
dx=-
2
2
4n
2
3
+
e)
+
=
·p·
dex
de=
+
=
dx=
+
n:
5
5n
2
4
8
=-X-=-.
dx=
dzdx
+
dx
+
EXEMPLO V.22: Cakule
f
(x+
dx dy dz
Q é limitado
coordenados e
x+y+z=l.
Q
fJ dx dydz fJ f (x + y) dV
Q é limitado por y = x 2 + z 2 e y
=
Q
e)
2
Qéa
comum a 2a z;::: x 2 +
Qé a
comum a x 2 +
/\ x2 + y 2 + z2 ::::; 3a2 •
Q
Jf fz Q
2
dV
+ z2 ::::; R 2
x2 +
+ z2 ::::; 2Rz.
31 ______ ___1ot"'''""'''" e Integral em IR e ,
,
~-~~-~---· -~-----------------
~-dzdA=fJ~~
dA=
dx=
0l
~[
l
l
-~-----ln
+ 1)
+l)+
X+ l
1
1 1 +1)---2 x+l
+1)-
]! 0
3
"'--2ln2. 2
A linha de = x2 +z2
+
+z2 = 20
y
;:?: o~
'Y = 4 = x 2 + z2 y = 4.
em tomo do eixo dos yy de vértice 0, O) e raio com y ;::: O. O sólido Q a que fica no Lº octante.
O, O) e a sernidividir-se em
z
:4
----a-------- ----------------------
-no
X
Convém começar por nit,,,,,.,.,,, em y; segue-se a .... -,,,.-.,..-coordenadas
= pcose =
y
em xOz em que usaremos
2] /\ fJE
compe
dA=
+
Q
·p
><
dex
dél=
4
dA=
+ +
+z 2
= 3a 2
vai ser feito em coordenadas
dzdA=
H+
dA=
2iJ
=
H
+
2a
dA=
+
®
+
cos
+ =
/
l
=[e-~
(l+
2a
·p
d8=
dOx
+
=
_L)r
+-(-1
5
5 '
12a
3
li:
x2 + x2 +
dtJ =
·p
ª5
o
+ z2 = R2 é uma .,.~_,,,~• + z 2 = 2Rz x 2 + y 2 + (z ~ n ..
= x2
+ O domínio em
o
é x2 +
+
+z2
+(z-
O,
= Rz
"f""Xz+
:3/4R2Az=R!z.
=R2
::;; 3/4 R2 e passaremos para coordenadas [z 3 ]~R'-x'-y'
dz dA = SEJ
dA =
Rc~R2-X2-y2
·p
dO=
eraioR
h1tegrnl em IR e rn_n EXEMPLO V.23: volumes dados por uma ordem de
diferente.
Trata-se dum cubo de aresta l e faces assentes nos '""'""'"'ª"do
conforme foi dito na
V.21
éo uu,nv.nw vemos que é Hmitado
com cota
e eixo no eixo dos XX. rectas x = O, x = 2, y = O e
VU!>JHVV,
y2
em
E
E
e
cos sen qJ
-r sen sen ço
cose cos x+z=x+
e =x+y+
ef>=xy+xz+yz+
~
=O~
+y=x+y+
=C.
Conclusão: efJ = xy + xz + yz + e.
Outro modo será
reunindo os
ef>=
+ z) dx = xy + xz +
z)
=
+
=xy+yz+ dz=xz+yz+
teremos
.\.
= O + l + O + O+ O + l
= 2.
n = 1
6x 2 -z
(6x, O, -1)
.
-J36x 2 + l '
3x 2
1
=
Jf
=J
-l
o
""z=4-x2
2x 2 +z = -J4x 2 +l =
x 2 +4 +l
l
=J s,
~!
+ o
dx =
e Integral em 1R e 1R11 =
=y=O =-y=O~
=O
dx
=y+z=6
=
+z
-1,
6
=H
=
dz dx = 32. -1
Jx2
Então
s
vector
né
com os vectores
teremos
cosa s
s
cos /3 + F3 cos
+
ou
Vamos apenas por:
Q que se
o teorema para o caso
=
Q=
y,
E 2!JI
= =
y,
E 2!J2
:S;y
y,
E
20 3
::;; z
Q=
y,
=
,--~~~~~~--;-~~~~~~--
y X
=
y, e
a, f3 e
y,
y,
n, então o teorema
Jf I
+
= Jf
+
cosa+
cos /3 + F3 cos
s
Q
Para
y,
esta
provar as
J
f
por
=
a
cosa s
=
J
e
cos s
=
cos s
as outras
=H
fJ f Q
Mas
y,
=
cos s
+
cos s1
cos
y,
+
cos S2
=O, porque
cos S3
cos
..l eJ
o.
S3
mas em cos
YJ
= s
s1
Sz
=
y, 2ll3
Ç!/)3
EXEMPLO VI.27: Use este teorema para verificar o resultado do ex1emp10 VI.26
F
= , O, z) ~ div F = 2x + l 1
ff
+1) dV=
+ 1) dx J
1
J az = 2. ~
Q
EXEMPLO VI.28: Usando o teorema da e condua que ele é numericamente
F=
y, z)
~
div F = 3
Q
EXEMPLO VU;9; Use o teorema da
para cakular
H
dS
em IR e IR11 1],
sendo S a
dS =
Jf Jdiv F dx
dz = 6 x
=6
Q
:o:6x
H s,
dS
+
dS =
s1
fo fo
1
oo
p2
ff fp
=3:rr.
Jf (2+
dx dz,,,,
7J ""x 2
21'
+
sen 2
p
de=
dS
J
+
= 311:-
sen 2
de=
dS= 3n-
=
4
+ sen 2
s1
sucessão de sólidos
e teorema
+ z2
~ 1)
V
21' 1
=
21' 1
Pe
que V'ke IN, e
vem
f ff
F
ff
F
= sk
Qk
os
Qk
=
~º·
4
e) de= 2.;r 4
lntegrnis ~~~-
e
Superiíde -~~
sai
S como
1itt,1r1>1u'in
e !ntegrnl em IR e IRn ~~~~~~~~--~~~~~~·
=
+
cos
cos
1+
E
r: 2ll e
cos
sen
sen
re S.
y,
y,
e a, j3 e
y,
y,
n, então o teorema
cos
+
cos
+
cos
cos /3 ~
cos r
por
ser
n=
respec-
temos cos
=
Por outro com
=
S,
er= v)]
e lr1tegral em IR e ~~~~~~~~~~~~~
uOve à
=
+ óF,
+-
=
y, r
=u[(~
+
cos /3-
cos
o
teorema
F=
e se
=
+
+
e1 +
ei
temos
óF2rotF= ( -
n=
:rot
óF2
=--
=
e
que o teorema
EXEMPLO VUO:
S ~4x2 +
é uma
o teorema de Stokes para F =
e1
ez
e3
a
()
()
=VAF=(-3-
-3x
dS=
dS=
e3 =-5
o 5z
rot
e1 - 3x ei sendo
(4x, 4y, -z) n - --,,,===== - .jl6x 2 +16y 2 + z2 '
-z2 = O
rot F = det
fJ rot
no
~16x 2 +16y 2 +z 2
=
5z =
,J5
z
2ll = x 2 +
dx
:,;; 4.
= -2 sen Ode
= 2 cose
ee
= 2 cose de
=0
dx
e Integral em IR e IR11
-----
faz-se em sentido
A
r
21'
=-f
r
- 4 cos w + 6 + 6 cos
8-12
+2 cos
= 20n.
+
EXEMPLO VI.31: Utilize o teorema de Stokes para calcular r
r= x 2 +
= l /\ z = ; F =
de vértices (1, O,
irot F
=V
F
e1 +
-sen
+
1,
e2 +
-cosz)
o,
1,
= det +eY
Para que a n = e3 = O,
-COS Z
no sentido directo temos de escolher para S dS = dx
=
Hrot
dS =
H2x dx
21'
l
= Jcos e de x f
=0.
2íl
-z)
+
-z)
=z = 1, o vector
Também
para S ~z = 2, vem
:rot
dS =dx
=
JJ rot
dS=
H
=y-z=y-2
1
1
=JdxxJ
dx
:!íl
EXEMPLO VI.32: Use o Teorema de Stokes para calcular
O,
fJ rot
dS nos
casos:
F=
r
= 2 cose
=-2 sen () dO
= 2 cose dlO =0
JJ rot
2n
2n
= j(-8
dS=
8+2 cos
ae =J(-4 + 4 cos w + 2 cos
d()
=
r = -8ir.
+2 sen 2fJ+2
=Jr,
r
y-0 2-0
+
+
r,
r,
=dx
=x
=2-2x Ç:}
Ç:}
=2-2x XE
l]
~
=-2dx
=0 =0
=0
Integral em IR e IRn
J
_J,
-
3
o
r,
==o
z-0
= 3-0
-
+
dx ==
+
==o
== 2-
3] =:>
Z E
== dz
==z
3
J =J
dz == -3
r,
3-0
==dx
==X
z-0 q
==0
Z E
l] =>
==o
== 3-3x
== -3dx
l
== J
f
6
== 9
5
que
e
PE
E
O.
e
teorema
f Yk
sk
ao teremos ==
r
Yk
k
para
Superlide ·~--~-.~ .. ~··~--~
situada entre os de
xOzey=x.
e seja Q o sólido que estas as
'"'""""''"t'"'""" delimitam.
que
z) = a-z, determine amassaM
e mude a sua ex1riressa10 analítica para coordenadas cilíndricas.
b)
Q que a S3 • e1 - 3x e2 através da "'""'''""'"'"' S1 e front
e) Cakule a área da superficie fronteira de
Cakuk o fluxo do campo F =
VI.35: Considere o sólido Q limitado
e considere o campo F = (x-y, x + y, O volume de A área de S2 e front e) O trabalho realizado por F ao O da Hnha e)
Cakule:
de front Q com o
e m~
e integral em
------
e
considere o campo F = O volume de A área de S 1 e front e) O fluxo de F através de
Calcule:
da linha que resulta da mt,ersecc:ao de S 1 com
ndx
dz=
sendo n o vector unitário normal a S.
Q
O fluxo do campo F "' x e1 + y e2 + z e3 através de S é numericamente
ao
de V.
fechada e limitando o sólido Q de vo-
n dx Q
n o vector unitário normal a
é numericamente
à área de S.
1, 2) e
base é a
definida por 9x2 +
= l /\ z = 1.
que é uma usando um teorema
z) =
=u UE
=2+senu,
X
e no vector
Mostre que a
S obtida
de =U
em tomo do eixo dos zz,
COS V
v)
E
[0,
""2 +sen
z
y
X
~ ...... .,_,_
""""'u"''"'-·lll"-·.lll'U' VI.41: Determine uma rei:ue:ser1tm;âo ~-F,...,.... ,~u de recta que unem o Determine um campo vectorial G tal que F = :rot G ""
e)
IJ
S formada
= l.
dS.
y,
o teorema de Gauss para campo F e para a de sl comz ~lede s2 comx2+ ::õ;4. o teorema de Stokes para campo F e para a
=
lnz)eas
S fechada que se
Vl.34: vértice em
O,
s2 é uma
com eixo no eixo dos zz,
e raio= 2.
S3 é uma se1.111Hmoer1tl1c1 A passagem para coordenadas cilíndricas ~p
V= 16 7r.
VI,35:
e) W=
VI,36:
V=
16
=8
e) 256
/is.
s3 """
+ z2 = 4. Fluxo= O.
lr.
+ln (4 +
A= 15
h.
= 2,
+8
s=
-3n/2 + 64/9.
b)
e)
11:.
+Â
VJ!.39:
l]
ff
Pelo teorema de 2ir
VI,40:
VI.41: G=
de S = 2n §u~I + cos 2 u du.
e) = (t cos fJ, t/2 sen e, xy,xy
O.
57r.
e) O.
+
l-
9)
E
[O, l]
X
[0,
X
t 1.
e Integral em IR e IR" ---------------~
-------------~
EXEMPLO VIU: A taxa de duma substància radioactiva é prode à massa que ficaº Determine a massa existente num instante tº
por
a massa existente num instante t, tem-se:
dt dt
1)
-=-kt
sendo k uma constante
característica da substànciaº Esta
diferencial resolve-se
facilmente:
dr = -k J dr + e ln
X
= -kt + C
=
e-kr+C
f -1 d:r = -kt + e
=e
Esta por t0
que
= O a massa tem um certo valor
urna constante arbio valor da solução
Chama-se ordem da na diferencial. EXEMPLO VIU: Pela a x, no instante t duma rencial
ordem que
lei de Newton (a
da massa
F, verifica a
de massa m X
dt 2
Eqm.1~ões 111itoir'""''i"'iº ·~--~·---------------------~---~~.
F
dx
=1
e
=3
=1
e
=9
F
--=-=>-=-t+ m dt m
=-+
=>
2m
+
da
=> 2F
=9::::>9=~+
m
F =4--::::> m
=+ 3t + 1. 2m
Ft 2
F
2m
m
=-+
+ 1. •
EXEMPLO VH.3: Consideremos um corpo suspenso duma mola que tem uma extremidade fixa. Para pequenos deslocamentos a do corpo no instante t obedece à lei de Hooke: F =-kx,
característica da mofa.
sendo k uma constante compensa a tensão da mofa (F = Compressão (F > 0)
considerar-se três casos: Equilíbrio (F =O)
o
X
Extensão (F < O)
e lntegm! em IR
IR~
A
dlaí ser k > O em
de
Pela
tem-se:
-kx=
que é
d2x dt 2
~
escrever-se
A dada mais adiante. da forma todas as
no entanto verificar
=
são
da
que, sendo
cos wt +
Com
e
sen wt
derivando duas vezes
EXEMPLO VHA:
definidas por
1
=ex+-:::;:} c
Substituindo na
xc 2 -
em
obtém-se
l
=ex+-, (c
+ 1 =O.
e
constantes
e
;t:. O,
"v''""ª""
=e.
tem-se:
+
1 c
+ l = O xc 2 - c2x - l + 1 = O.
=4x~
=2.
tem-se:
Substituindo na
- 2 + l = O Ç:::}
4x -
-
1 =O
Ç:}
l - 1 = O. +
1ª
terá uma
constante 1
=cx+c é
+ l =O.
EXEMPLO VII.5: x2-xy + y2 =
da
diferencial
(x-
Derivando x2 - xy +
c2
= 2x-y.
= C 2 em ordem a x e atendendo a que y é
2x-y
+
=O,
que é
x 2 -xy define
= C2
de x, tem-se
m•wi~rmm
e líltegrnl em IR
IRn ·~~~~~--~~~~·
= (1
EXEMPLO VH.6: A transmissão de sinais eléctricos ao dum cabo extenso como o dos é por um sistema de dife:rendais de derivadas do
em que as num vamente, a mciut:am:m,
re1Jreserna1m r,esi:iecuvam1ente a intensidade e a tensão em1ssi)r no instante t. As constantes L, C, e S retJre:sei:1mun, n~s111P.c1·1a e a condutância de ecnmcões diferenciais de derivadas µan;JtaJt:s transformar numa única diferencial de 2.ª ordem.
. . . o -dJ assim . ob ter Ida l .-a eq111aç:ao. d envar em ordem a x e sub st1tutr
dx
--CL--
iJt2
conhecida por
+
na 2ª .-
Deri-
EXEMPLO Vlt7: Consideremos uma barra noimogerwa a uma fonte de cafor. A propado calor ao da barra é descrita diferencial de de 2.ª chamada ,,,.,,,,.,,,o;,,. do calor:
--k-=0
i3t
'"""''""'"''"t" a no da barra de abcissa x no instante t, k é uma constante exic1nn1e a difusividade témrica do material da barra. que a barra tem a extremidade de abcissa o e que está sobre o eixo dos XX, com n~,,~~···~' 0 n•c~ infinito. A esta u"c'vvrn.r-.,v,
por
as
_,VlLAUll\tV.00,
=0
vt-::::. o
= Hm
=0
é uma inicial que 0~·~ ,,~ 0 o facto de no instante t = O a da barra ser O; as duas últimas são de o facto de a extremidade em x = Oestar à e a 3. ª cm1(m;ao em qualquer instante t, a tender para zero na extremidade ilimitada (à ..
tcm~"'~'"'"t"""
EXEMPLO VII,8: Consideremos um fio elástico de em repouso, fixo nas extremidades. de abcissa x no instante t. A '·"l ~'"'"''" que descreve as pequenas t) do fio é a chamada das ondas. 1 ----=0
c2
u!
u(x,t)~ 0
~
=0 e
~---------/X
vt?:.o 0 $;X$; l
e Integral em IR e mu EXEMPLO VH.9:
entre as duas
de seres vi.vos coabitando numa as densidades
v) as taxas de crescimento das presas e dos de wu·•~O,
(
R 2C - 4L
é:
desta
R)
(
R 2C - 4L
R)
=A e 41JC-2L 1 + B e - 4!JC-2L 1 + ECL.
VH.14:
1 = cos mt +- sen rot.
ro
VIUS:
= cos 3t
-f sen 3t;
= 5 cos 5t +(5-
sen 5t.
Sim Sim
+
VH.19:
+ VH.20:
=O;
= l;
Sim
+
e)
=O;
e) y' +
b) ln
=
=O;
-(1+
=O;
e) (1
+ (1
=O;
1a
sse a
emI,
é,
\
em
caso, a ax e o outro em
um
+
da - l) y' = 3x2 + 4x + 2.
(y-1)
=
+4x
dx+C~
= x 3 + 2x2 + 2x + e.
EXEMPLO (1 +
= l.
y' = y cos x,
=O.
b)
*º'
Como
=
Jcos x dx + C
ln 1 + l = sen o+ e
= 1 =>
=>
=>
ln IYI +
e = l =>
= sen x
ln IYI +
+ C.
"" sen X + l.
Dado que neste caso se a y que toma o valor zero, não é escrever a ""'"""~'" que separa as variáveis. Substituindo directamente na diferencial y por O, obtém-se y' =O=> y = C. Como =O, resulta C =O, y =O é o que se comprovar facilmente. +
das
+ 1) sen2 yy' =x3-
+
-4 X+ 8) y' = 0. + 1. ser-lhe útil a ª"'·"''"'""'"" de variável y "" x + ]_.
Nesta
z
(1 +
y'=xarc e) y'
=
+
=O.
y-cos ln (2-
a eIR \
y +are cosec x' -x =O.
3x+ l x 2 -4x+8 x2
-
4x + 8 = O
y'
sen 2 y x2
-
=>
Jx 3x+4x + 8 dx 2 -
4x + 4 + 4 = O
Jsen y 2
+4=0
+C
x=2±
e Integral em lR e lR" \lP
=3
3x + l x 2 -4x+8
x+ = \lP 2x - 4 + 4 + x 2 -4x+8 x 2 -4x+8
t =l
\lP
2
2x - 4 + x 2 -4x+8
7 - 4x + 8) + - are tg 2
+l 14 \lP---2 3
y =
-2
ser dada por:
3 -ln
1 ---+e.
2
2 sen 2 y
l
dz dx
dy
y=x+- =:>
-=l-~ 2 dx
z
\
,
z
z =1--. z2
Substituindo na
y'
=x 3 -
2x 2y + xy 2 + l ~ 1- -z' z2
~
e)
-z' =
X {::;>
(x 2 +x-1)
x 2 +x-1
2 z' X +-1) +11--=-+1
2x 2 ( x + l +
=x3 -
z
z2
z2
x2 1 x2 -dz = X dx -z = - + C - - - = - + C. 2 y-x 2
+x 2 y 3 (1+
A
B
C
X
X2
X+
---==-+-+-- => x 2 +x-1=
+l)+
l
em x 2 : l = A + C => A
X=-1::::>-l""
1 X
1
1
X1
X+
- z' =a+
y =are cos y' + x y-x =are cos y' cos (y
= y'.
Fazendo a mu1dai1ça de variável
z
=y-x q
y = z +x
y'
= z' + 1, Tem~se
z' = cos z - l
Ç::>
f cosdzz
~
1
=
Jdx + e.
Como
1- cos 2a = 2 sen 2 a, va
';"rº---
=
-
p- 2 = p-I
-0.002.
ln IP- 21- ln IP -
e . e-0.00!t
Q
e
li= -0.00lt +ln e
e-0.0011
l-
e
+2
e-0.00!t
Então
'llC > O, lim
= 2.
1-H=
= 10
obtém-se o valor da constante C:
10 000 = e + 2 ~ 1-C
A
e=
9998 . 10001
é
0.9997 e-0· 0011 + 2
1-0.9997
EXEMPLO VH.29:
diferencial
em que t é medido em anos e se e homicidi.os. esta de modo a ter em conta que devido aos dois factores ap1:imamJs a popudiminui em 1000 indivíduos por ano. uu..,v>>~v que em 1987 a era de 2 500 000 determine a iJVIJWf•"'\11rmu-~i~~.... ~ Primitivando o 1.º membro por
l
=V
ln V-V.
V
vlnv-v=lnx+lnC
atendendo a que v
C=
= 2:'.: X
Fazendo
y = vx =? y' = X v' + V =?
(x dv + v
4x vx dx +
+v3-
-ln
=
Jv
Ç::)
v-5 -5v+4
V
v-5 v2 -
5v - 4
=
-
5v) x dv + x 2
l dv --dx =
x
dv+C
V=
-4 = -3A =:>A=
t
= 4 =:> -1 = 3B =:> B =
4
l
l
1
3
v- l
3
v- 4
{::?
-3 ln lxl
- ln
lv - 41 = ln lv - 11
4
+ ln
= 4 ln lv - li -
+ ln C ln lv - 41 = ln
ln lv -
41 + ln e ~
- 11 4 • 1X13 ·
diferencial
=x+
e
passa
+
e
y = vx :::::> y' =xv' + v ::=:>3vx (x v' + v) = x +2lxl-JI-3v 2 dv = - 3v2 + l + 2~ 3x v dx l - 3v2 .ç:;.
x> Onuma l
3v
- - - - r = = = dv = - dx 1- 3v2 + X 3v ÇP
.
3v
l-3v 2 +2-Jl-3v 2
= y' =
2-dv,,, _.!_dx 2 v+l
+v=>
+
+li=-
X
+
+
4
sectam o eixo das abcissas num
mu"''""A recta
~ ..J.,~·...,
dos eixos e do
a essas
y
X
da curva é
y-yo =
o
(x
onde esta n~cta intersecta o eixo dos xx. Então ~
=
y
-+x0 =a.
0 ---
Pelo enunciado tem-se
Esta
faz-se
y = vx ~ y' = x v' + v
Ç:)
(x v' +
~
(x v' +
=2v
= 2xvx Ç:)
x;t:O)
~
1-v2
l
dv=-dx. X
B+Cv) v+l+v2 =
lnl~v I= l +v 2
+
l V
- Ç} _.?::!_
1 +v 2 q
=
-lnll +
EXEMPLO VII,38: Considere um feixe de sinais emitidos por um dem numa antena sob a forma dum feixe de raios Estes raios são da Determine a forma esta, sobre um único antena.
que que deverá ter essa
Esco~ da antena, de y= Para consideremos uma onde os raios vão confluir e com o eixo dos xx lhemos o referencial com a que um raio incidente faz com a normal à Qrn"'"'"h""'" "~''"''"" aos raios incidentes. O raio reflectido faz o mesmo /3 com essa nonnaL da antena no
y
rnios incidentes
a
/3
',, X
Da figura resulta: =:n:-a~/3=(rr-
12 e q;+/3=
sendo
faz com o eixo dos xx.
no
eda
2
==> tg a = - - 1-
resulta tg a= X
y
2y'
-=--==>y-
x
1-
+
'
-y=Oy =
-x±~x2 + y2 y
.
e !ntegrnl em IR
IR_n
Fazendo y = vx ==> y' = v'x + v, temos
vx
+v) = -x±
=::>
V
·
v 2 +1-~
1 dv = --dx Ç:> X
V
+
:::>
+xz =
cz +
+ x2
=
c2 +
vC eIR.
Se tivéssemos tomado o sinal + ex< O, ou o sinal - ex > O,
=Cz -
vC ellR
Em ambos os casos obtivemos e se 1-'"''""''""'"''""'"para o v•vvrn•u~a 3 dimensões teríamos sinais e os fazer concentrar ""'""'""u, o que comprova que a melhor forma de num único é usar antenas com a forma dum ""'""'""'''"'"'' as chamadas antenas •
=x+y;
= ~x2 + y2 + y; '"'-""'"'J"'"-'1 - = --·-=> - - = -··2 ' . x + +
= ---·
ax
me
se
é diferencia!
a
mn
e Integral em IR y
X
conexo, porque existem linhas fechadas contidas em
é
X~
conexo e ai a
é diferencial exacta. y
/
/'
,,,.
I'
·'
/
/
/
/
/
/
/
;'
;"
/
/
/
/
/
/
/
/
I'
/
/
/
/
/
/
/
/
I'
-,, X
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I'
e)
M=x 3 +
+l; N=
que a não é diferencial exacta em nenhum diferencial se obter da da aHnea anterior
-1.
--------------------------~-Equações No entanto verifica-se que mesmo em que não incluam a da alínea anterior é exacta, que esta não o é. Este facto tem a ver com o que estudaremos mais e que numa diferencial exacta. Neste caso o factor é l
Fica também desde ahernr o
daro que
destas têm de ser feitas com cuidado
da""'"ª''ª"
2x
y2
6x
6x
-
dM
M=-=::;>~=--; N=---=?-=--=?~=-
sey;t.O.
a é diferencial exacta em ""'""""' sm1p~es1ne111te conexo que não contenha o eixo dos xx, ou no ""'"'!YH:•uv su1Jer1or definido por y > Oe também no inferior definido por y
3x 2
=--+
l =--+ y
x2 1 ---=K. y
-3x 2
---::::>
Como a "'m'"'"---=Oqy=±x. y
Neste caso, como y O y=
mas só se comx>O. t
sex Rt
=eL
L
RI
=:>v=-eL
L
R Rt
dt=
L
+
RI
L -
dt""
roL R
Rt
eL
h1tegrnl em IR IR11 .~~~~~~~
~~~·~~~~~~~~~~~-·
Rt
eL RI
f eL
L
dt =
Rt
eL
-mL
Rt
eL
-mL
K=
+C
+ C e-Rt!L. contém uma
e uma
C
e-Rt/L,
electromo1:riz que tende para zero
t
tende para infinito. •
EXEMPLO vn. 65: Um são vertidos para o 0.67 Htros dum certo ~n'~~.nnQft,,Q 10 litros de que se m:ishrram instantaneamente com a drenados para fora desse 10.67 litros de por ""''"'·'"v A que existe no num instante t e infinito. A que fica ao fim dum
A, com Simultaneamente são .,,.w~«•··~-·~v do
num instante t. A taxa de
à "I "''""'"'''"" sei;:unao. A "l"''"".....'"""'
do co1mp1oneni:e A que entra, menos .., muª'"ª'"" do A que entra é 0.67 l/s e a que sai é 1
10.67x4-l X é = 0.67 - 2.67 X
Trata-se duma
diferencial linear:
+ 2.67 X
""0.67.
Equações dt
0.67
=0.67
2.67
X
lQ-7
+e
Como 0.67
= 0::::;, C =
= ~25.l X
~---~
2.67x
num instante t) é ~ e-2.67x10-1
= 25.l X
t)
e tem-se Hm
= 25.l x 10 5 litros. -t
t-4+00
\
VII. 66: Resolva as seguintes eqtmç1oes diferenciais: l+y+
= (x +
e) y' cos x +
y'.
sen x = sen x cos x.
+ 3)y' =y2. de abcissa x é (1 + y sen x + tg
sec x
e que passa no
têncfa Reum
num circuito eléctrico contendo um condensador de "'"'I''"'""·'"'""' de dectromotriz E, é descrita
R em que
R e E são constantes. Determine
dt
+
e "'E'
umaresis-
Integral em IR IR" ~
··~~~~~~~~~~·
VII. 69: Uma nave é no espaço no instante t = O com uma massa de O combustível é consumido à taxa constante de e por o que faz com que a massa sendo em cada instante = - ct. a uma constante F e a velocidade tem~se para as normas destes vectores,
e se n1"''"r'""'"' a resistência do ar. onde g = 9.8 é a constante verticaL Determine a vefocidade num instante t
=-1-x
VII. X
e)
=
=e~
cosy.
+C
COS 2 X.
COS X
xy =C
+Cx.
-1.
f
secx + [x-
VII. 67:
=
VH.68:
=EC+
VH. 69:
=
Ft
sec x. e-t!RC.
)
•
forma
= 1, a a* oe a* L e se
-~.,,u·~-·~·-•HoJW
é
Para
esta
+ ypara
como a:t:. I,
=(1-
+
que é uma em'la(:ao
emz.
EXEMPLO VII. 70: Resolva as seg:umttes cos x -y (y tg x - sen x + y) =O, (y =t
1nx2 +x lnxy' =O, e) x 2
xy
- 2, efectuando - l) x' = L
COS X
Trata"se duma =~"·n~n·~ de BemouHi com ""2. Dividindo toda a por , obtém~se y' +
tg + 1 tg X=--"--~COS X
e lntegrnl em IR e IR" Mudando
z' =
a variável z =
, então a
fica linear em z:
tg X+ 1
1
z -ztgx=----. COS X
=e =:>
-f !g
X
Z COS X
x lnx y' +
-(z cos
=
x-l=>
dx
= ln COS X -
X+ C =:> y-l
COS X
= ln COS X -
+ C.
2 +--yl/2 x lnx
2 2 /.. =11y21nx=>y +--y=-11Y=> x lnx x /..
X
1
Fazendo
z=
=>z' =
Como
1 1 l -y-112y' +--y112 = 2 x lnx x então
1 l z ' +--z=x lnx
=e
e'
X
l/x -(z
dx
lln xj
=--=> X
ln 2 X ln X C =>zlnx=--+C=>yv2 =--+--. 2 2 lnx
1 1 l 1 xy=l+xz=>y=-+z=>y =--+z. X x2
e)
Então
=
- 2 -1 + x 2 z' = (1 +
=2xz+
2
x
z'z-2
-
2 -z- 1 =1. X
u = z- 1, então
2
2 +- =-1
z'z-2 --z- 1 =1
= -z' z-2 ,
X
x3
em
X
x3
x3
=> x 2u =--+e=>~-= --+e. 3 xy-1 3 =lq/+xy=
+
),
z' - 2xz = -2x 3
=x 3
(z =
z
.qz
= x2
+ l +e
\
+
x3 -
y' =O.
x2 y' + e) y' ln x"
=
= y ( l + x sen x e) y+
(l +ln
sen
=O.
x2
=x+yx',
passa VII. 73: Considere
z
Mostre que por meio da e a:t:-1.
+
-x"
dz dx
-z ) =O. se ae
em IR e IR"
+4x4 +
VH.71:
=
=C.
+
e) 4 y ln2x = C 2 + 2C In 2x + ln4x.
=Cx- 2 -4x-6xlnx.
e)
+
VII.72:
=L
VH.73:
X
X
sen--y y X
e)
y
+
e) y' = x cos x
=O.
+
+ sen y + (x cos y- y
=
y'=O. = 1.
x-y+ i) 2x-
l)
=O.
=y
6x-y-5+(y-4x+3)
j)
=O,
cos~+x
+ 1 + y ex.v =O, com
ex.v
+x
+l)y'=O.
+5-
-2x-l)
X X
+
(x-y-
+
=O.
y }' =0 ~x2 + y2 ·
=O. =-L
- l) +x
=O.
= sen (x
cos
+
+ r) 5x +
+l +
+ =0.
+y+l)y'=O.
+
=0.
•
=4.
•
VU,75:
a curva
que satisfaz a
VU, 76: Determine uma
num
da
P daHnha
da família de Hnhas tais que a sub-normal VII, 77: Determine uma num é a média aritmética entre abcissa e a ordenada desse
VII, 78: Considere
exercido
diferencial
+
-1)
-5+4x-
=O,comkE"IL.
= 2. para k = 3, que verifica a ""·""'""''"' o vafor de k para o a considerada é diferencial exacta e resolva-a como diferencial exacta.
é diferencial exacta.
\ VII, 80: Resolva as
y'=x+ 1.
+y=O.
e) y
com
y=
se x
y2 ---=x. x+l
1í
~ln-
2 1C
sex>ln2 Determine a so1mç:ao Determine a so1mc:ao
=3.
Chama-se su/7-ttmf!.'en;te num ponto P duma Hnha à distância entre a abcissa do ponto P e a do ponto de ordenada nula da tangente à Hnha nesse ponto.
e hUegrni em IR e IR" diferencial linear de 2.ª ordem:
VII. 83: Considere a
+
y'
y=
da
+ mostre que a numa
y=O,
= transforma a linear de l.ª ordem em v'.
VII. 84: Consideremos uma
diferencial linear de 2.ª
que se move à velocidade v dx
v=-
dt,
sendo x o espaço percc1rndo, cidade e a uma é,
a uma resistência de por unidade de
n da velodo movimento com ttA''"'tt~M
1Pa11ar::an r1,,,,,,.,,.,,-,,,.,1
dv -+kv" = dt dines por unidade de massa onde k é a constante de tt~''ttr•~;.,~.~v.,~·.. ~-·~v da resistência de à velocidade do movimento vertical = g, constante
c1
~-e
k e a velocidade tem1inal (t
~
-kt
k
é g k
+
k
k2
u e v de presas e -"',"'"'"'"'' considerarmos que as em que habitam. Neste caso r1"'"'"'""·~·ro "'"''"""'""cu do x do espaço
que a difusão dessas no espaço n. Ficamos assim com o a um sistema de duas ordinárias de l.ª ordem da forma: du
v)
-=u
dt :su1oor1C10 que as presas diminuem a uma taxa b ~~.~~.~.~,..
b =taxa de (e> o e d > o,
e
reduzido
dv -=v dt
mas e ao número de presas, >O, :::.u1p01mamc1s também que v v) = - e v + d uv,
""''Q«ofi 2Ç:?
> O y crescente.
y ///_,0///////////////~//////////
~~~~
~/ / //////JJ~JL//J//
X
/////I////////////
Além continua e
varia
tuem o campo de uu ''""v"" E ]
l,
dex = 2; além X.....P-00
X-J>+oo
Pode ainda observar-se que Hm
=+oo e
Hm
> 2,
"" 1 e
< 1,
. Se
lim
= -oo
lim
+xz-
y'=y
y Estas são as linhas sobre as
e
x--t+co
x~>+oo
+ x 2- 1) = O ~ y = O v x 2 +
= 1.
o dedive é nufo.
xz +
>lAy>O~y'>O
x2 +
>l
x2 +
< l Ay >0
~ y'
x2 +
< 1 "y y = (x + l) y' ln (x +
y' =
é
a
y2 Q-~=
2
l 2
+
y=
+ l)ln
ln
+ 1)-
+ 1) l 2
=>
2
-J -
+l)dx+k
+ 1) ln
'
2
2
+l)dx+kQ
+
ln
+ 1)-
4
+ k.
•
ortog(ma1s das famílias de Hnhas:
=O. x 2 + y 2 = 2Cx e que intersectam a
+ xz + (y
unidades da
= C2e que passa
(-1,
= C 2 e que passa
i) x(21n[y+ll-y) = l +
l)
e) x 3 +
b) Cx2 =
y;xo=
4
=:>y = o
l
4
+ 4 =:>
+-::::::>
2
X
isto é, têm declives
2
=4x:::::>
y=
e
l
x+-~y
e
,=
e ::::::;,
2
Determinemos a eai!lac:ao diferencial associada às rectas. 1
y=Cx+~-~y
e
' =C=:>yy 1 =
+l
y';i:
em cada
de
A 2 y
anterior vem
Substituindo na
4x
2""~+1~
dada. quer as quer a rectas envolvem uma constante arbitrária H:lJreserum:n por ser '"-"'-"vy=± :::::::>
=4x.
X
±
lntegrnl em IR e IRn ~~~~--~~~~~~~~~~
são dados por
Os
= o
=0 e o que é ""I''""''" No wnw•up•~ VII.98 temos a famfüa (x -
+
e=o
i =
o,
= l. Derivando em ordem
C:
=o:::::} e =x. vem
Os
EXEMPLO VH. 100: Determine a envolvente e os nida por
=O.
Derivando em ordem a C:
+
=O.
Eliminando C:
y-C = (x-
=ÜQ
=ÜÇ:?x=CvC=x-f.
Se C = x, então
Se C=x -
então
y-x
~"
Os
""º,
=O e ou
=O
=
o x = e
a recta y = x é formada por
y=
e ç,;, y ""'x.
na
que nesses
não há
y
X
+
A envolvente é a recta defini.da por y = x -
x cos a+ y sen a= k, onde k é uma constante fixa.
Derivando em ordem a a: cos sen
y
~
x sen
+ y sen a = k
+ y cos
=O
+ y cos a= O. Para eliminar a, consideremos + y sen 2 a =>
cos a + y cos 2 a
sen
y
= k sen a => sen a = -
k
=:> cos
= k sen
a
X
= - =:> x 2
k
+
=O
=k 2 •
a
sistema
e Integral em IR e IRn
X
vrn»J u.uuu
são dados porcos a= O sen a= O, mas não existe a nestas = k 2 , rf'111r"'''"'"1~,. a envolvente. Trata-se duma circunferência que a famfüa dada são as rectas y=-x
a+ kcosec a.
+
EXEMPLO VII. 102: Determine a zona de segurança rdativamente a uma arma que está fixa num e atira
y
X
X
do referencial no em que a arma está fixa. Há um movimento uniforme com vefocidade devido à X
cosa=~;
V0
t
sena=
::? V0
t
y 1 = v0 t sena.
do movimento de cada nn)1e1~tu são:
(t E
).
sede
X
t=
v0 cosa
e
e =tg a
=> y=xtg a------
a
então
a
=
= l+
escrever-se y=Cx-
+
Esta é a da família Pretende-se determinar a envolvente. Os
+
=O e o que é ordemaC:
e 1 =O,
Para determinar a envolvente derivemos em
não há
O=x-
Y = -
+
1
- ax1.
4a
y
X
A envolvente é ~~·'*n·~•~ uma eixo dos xx em
com a concavidade para baixo (a > l x=±-.
2a
que intersecta o
situam-se abaixo
a zona
l y>--
4a
EXEMPLO VII. 103: Sendo Ruma constante diferente de zero, detem1ine da
diferencial
Comoy;t, O,
caso contrário ter-se-ia R = O, o que não se
l+
que são
de variáveis
Resolvendo:
=±
sey;t,±R.
resulta
= ±x+C
±
+
=
envolve uma constante arbitrária. então y' = O e a diferencial é que por não estarem induídas na por
y = ±R são
é
y=O que são as
EXEMPLO Vlt 104: ue1terrmnie, se "'"'"tn·,.m as diferenciais:
+ l =O.
=4.
-yp+l""O y
-y=O:::;o.p=~
2x
=4 =O=>p=Ovy=O Em ambos os casos resulta O= 4,
das
VII. 105: Escreva uma -9-·-v··~ da famfüa de circunferências raio 5 e centro sobre o eixo das ordenadas. Determine uma -9··-w··~ diferencial dessa família. Detem1ine das envolventes dessa família de Unhas.
VH. Ul6: Determine a envolvente da famíHa de Hnhas
C
X
Y"'-+2 e'
*°
VH. 107: Considere a família de linhas (x-
+
"'4C.
Determine uma diferencial dessa famHia. o grau dessa Determine das envolventes dessa famiHa de Hnhas. existe entre a diferencial obtida em e as envolventes?
VII, 108:
sobre a bissectriz dos
VII.105: VH.106:
x2
+ (y-
= 25.
x=
±5.
=2x. +
Vlt 107: VII. 108: Não. VII. 109: y =
X
±
=4 (x+
b)
= 4x + 4 é
da
que este se x:S'.,a se x >a
, 'íf a> O.
y
X
Tem-se
x<
=>
=O;
x >a=>
.
= hm
x=a=>
x--ta+
verificam a X :S'.,
diferencial: ::?
0 = 3.0;
X
>a
::?
(x-a) 3 -0 X~
a
=0,
=0.
e Integral em IR e IR" as
Além
=0, são "'"""''V~" Para cada a E JR+, há uma
>0,
no
passam infinitas
EXEMPLO VII, Hl:
não tem nenhuma
Substituindo x =O e y = -1, tenta-se determinar a "'""'""'v inicial =-1. Obtém-se-1 = C2, o que é obviamente impo1ssi' -1) não passa nenhuma da diferencial dada. •
IR"+!
~
IR!l, é uma ,X E
••
~
9
Tomaremos
E
teorema
y
'2ií sse
E
com-
é,
num certo
em
contínua. A unicidade resulta do facto
Y
é Hmitada em
existe L tal que
E
provar-se que se tiínua em
tal que
·!21J e
existe e é contínua em
JRn+i
~
1R", for uma
con-
localmente
ayem
tal
Pode provar-se que nas do teorema de existência e definida em existência foi por este teorema, máximo de I= b [, tal que 10 e t Sendo qjJ o tem-se que o intervalo máximo de I= X ~ a+, OU X ~ b-.
UH'V~'~"'~v.
vHUMUU9
5)
do teorema de existência e a continuamente das imc1a1s Na este resultado é em os valores iniciais são obtidos por leituras que ter pequenos erros. Se não houvesse uma pequena numa das con-
EXEMPLO VU:. 112: que os .,.vv•v••n~u dos "v'·""""v''" do teorema de existência e uni.cidade.
exç~mi::•ws
VII.110 e VII.111 não estão nas
existe que
qjJ
== 13yl2/3 -
2/31 =
teremos de ver se 3 L E IR+ tal que
:S: Tomando y 2 = O, a
E
-y2I'
anterior fica
*j~js:LIY1[q
Y1
:S:LqL~
3
!21J.
y 1 está tão
Não existe L, constante, nestas A mesma condusilo se obteria
de zero
2
não é Hrnitada em nenhum No
'!iJ que contenha
que nem sequer está definida no contínua. Parn y 0 =O, não se
+
-2y 3x
Tem-se y' = -~.
3x
.,v~wunm """""u
f~y
a unicidade.
=o.
só é contínua se x
'J'c-
O
2 so. e· 1·1m1ta . da se x :t: o, 3x
=- -
a existência e unicidade de so1mç:ao em
com x 0 ;;t. O.
2
~dx+ X
para
não se noae1rao obter solu-
a este
=
=>
= 1,
que numa e
a .Yo = l , se De acordo com
é definida por
= 1
ea
verifica a a inicial e é vv1c1rnm•,~. Note que este resultado não contradiz a não se à na forma + =O. Em x=O~y=O. t
(y +
como
+e.
x=(y-
VII. :U4: que contém x 0 • Pode
que numa
""y
que passa em
+ 2x.
definida num certo intervalo
VII, 115:
Y, Y""-3X
+2x y+3x Existe uma e uma só "V''-'"º"' que passa em -.,~~M"~~· tenha x 0 , desde que y 0 =F
definida num certo intervalo que con-
e Integral em IR e IRn
a
e
=
+
Em resumo:
=
+h
+ =0,1,2, ... ,n-1)
y
Yo ---------:
o
X
Eqm1ções
--------------------------
·---~-----·
h
EXEMPLO vn. 116: Dado o UHJUfü!HQC de valor inicial y' =X+ y, = l, determine um valor upAv,"mA''"v da no x = 2, usando o método de Euler com passo h = O. 1. com
Tomando os valores iniciais x 0 = 1, constrói~se ru tabela de
k
o 1 2 3 4 5
=
=
+OJ
l 1.2 1.43
L3 1.4 1.5
1.693 L992 2.332 2.715 3.146 3.631 4.174 4.781
1.6
7 8 9
1.7 1.8 1.9 2
fórmulas que definem o método
=
+
l 1.1 1.2
6
rn
= 1, o passo h = O. l e
+ 0.2 0.23 0.263 0.299 0.339 0.383 0.431 0.485 0.543 0.607
y' - y = x é linear.
= + 1)+
+l)+C e
= ~3 + 3e = 5.1548455 ... •
----·
l11t11grn! em IR IRlll
= +
\
h 6
+
-
+
h 2
h 2
+-
)
+
+
+
'
J
+-
2
)
+
+
)
h
h
este se
EXEMPLO Vlt U7: Resolva o n.Ull>l':l;;'-1:'1..IUClCQJ COm h °"' 0.1.
método de
de valor
Tem-se
+
com
h 6
+
+
+
).
k
k 1
o
1
l 2
1.1 1.2
3 4
1.4
5
1.5
L3
1.00000 L21551 1.46421
8 -9 ---
1.74958 2.07547 2.44616
Note-se que por este método se sendo o valor exacto = 5.1548455 ...
10
""5.
1.8 .9 2
2.86635 3.34125 3.87662 4.47880 5.15484
diferencial
Vlt lUI: Considere a = 2x -
+ , com
Determine um valor ~ 1-"~"'-'"u•·~~ Resolva a mesma '
=2lnx+
X
Como =3=>3=
=>
=2lnx+3=>y'=
Inx-
+ 3x +
= 2x ln
Como =l
=> y=
=> l = l +
1 lnx-2 2
x2
=>
+-+ 2
= O => y'
= 2x ln x + x =>
z x2 x2 =x lnx--+-+
2
2
= x 2 ln x +
+x +
Como
= 1 ::::> y = x 2 ln x + 1.
= 1 ::::>
que
nunca
EXEMPLO VII. 122: Determine a famma de linhas tais que a derivada do inverso do declive da recta .~,,,15 v.uw a cada linha num Determine a "'''-"""'''v
=O,
=-1 e
duma Hnhay =
y"
- -
=X
Fazendo
tem~se
= X
=
escrever-se
""
X
dx+
1
x2
p
2
--=-~+
ç:>p=y'=~2__ y= J~2-dx+ x 2 -C
Se
e> o
x 2 -C
então
2 =J~--dx+ x2 - k2
1
l 1 ------~dx+ k x+k
1x-k1 x+k
1 =-ln -- + k
SeCOq Pode verificar-se que
=
O se
=
tem-se
X
p , - p = X 2 ex q
l = p ' - -p
X
eX,
=l >
X
que é uma Então
'-YUy=
EXEMPLO VII. 124: Determine a
+ que verifica
"'l +x,
=O.
Faz-se
,
1
1
X
X
+p=l x=>p +-p=-+1
d
= 1 +X => px = X+ -
2
+ C =:> p =
X
C
2
X
=l+-+~.
Como 3
=0 => C=--=>
=
X
3 2x
l+----~=>
2
2
3
=x+---lnx+k 4 2
Como 5
x2
3
=O=>k=--=>y=-+-4 2 12 2
lnx-
5
--x+L 4
Dado que
x2 3 5 =O=>L=--=>y=-+-6
2
12
2
lnx-
5 5 --x--. 4
semx.
escrever-se
=
+
que é uma
=O.
à existência e unicidade de so11ucao.
Comente a
Determine a"'"''""'"'" ~'u"'""''"' da e) Determine a da
que verifica as c01tlmçoi~s que verifica
+
=
=-1.
y,
que é contínua e tem derivadas em ordem a y e
desde que Fazendo
escrever-se
y
1 - p2 + p3 = o p' - - p = -
y
y
:;t:O.
de Bernoulli. Tem-se
que é uma
+
1
y
y
Tomando
z=
=:i>z'=
l 1 z ' +-z=-. y
y
e
=l=>zy=y+C=:>z=l+- y
=~y-=? y+2
Como
=-1, então k =-1,
e
- y+c'
=dx=>y+2
y
a
é definida por
y+2
=x-1.
e) Dado que neste caso p = y' =O em x = O, a
como
=x+k.
de Ber-
=O, tem-se para p =O, =O = constante iniciais dadas é =-1, 'li x E IR.
não é
que verifica as por estar definida em todo o IR. •
Esta
EXEMPLO VII. 126: ser
Trata-se duma variável
-~Y_.
=l+-p= y
diferencial
de 2.ª
=l
-------------------------·~qu!lç~es_~--.---···__ A
escrever-se
=l
+
+
-kt ==
=>
e
=
V
-gl--+
:::::::>
+
k2 + k2
onde
k
Hm
e)
g
+C
t-7+=
=
k
=>
+
•
EXEMPLO VII. 129: Um homem salta de determine a menor altura h de que o homem deve saltar para que com velocidade menor ou a U cm/s.
Tem~se
=g- k
um caso do ""'"-"''"" anterior com e a velocidade terminal é u=
k
=
e o movimento
ao solo
k=
que o espaço
_J_ vu + "1 g
=
A altura total é h =
T
é a velocidade com que o homem inicia o percurso xl'
u2
=--m g
~
vu g
u2 g
v- 0 --+-ln
u
deve
Para que o homem
h=
+
ou
h=
l
Uu
u2
g
g
+Tu-~+-
2
é a altura mínima de que o homem deve saltar.
+
ter~se
em IR e IR11
VII. 130: Considere a
diferencial
-y' = x2 e'.
=e' (x-1)
é uma "'-HU\,
y
=
+
+
+
+
x+
=O.
Mostre que =
Como os coeficientes da ~rn,.n,.n~ tência e unicidade há uma e uma só identicamente nufa é indefinidamente não
haver outra
nestas ""''"'""'"'"
=O, x 0 E IR.
x. •
que a sua
e Integral em IR e IR"
+ (x ~- l) y' + y = 1, com x
(x -
*' l
Mostre que
= cos
= sen
-lj) e
=l é uma
l x-1
= -~sen
l
= --cos x-l
Jx-1/) =>
Jx-
=>
Substituindo na
+ (x - l) y' + y = O,
(x -
obtém-se uma identidade.
cos
Jx-lJ)
Jx-11)
sen
l
=--:;
x-1 ·
=o,
que substituídos na A da
y=c 1 cos
lx-1J)+c 2 sen
Jx-lJ)+l.
'
+ ... +
+
y=
= se tomarmos y
= , então =O
Ç:> 1 Á11
.
+_ a1Ál!l-1 +a2A,n-2 + ··· +an-1 A. +an =O • que
A
3
o•&
Nesse caso tem-se:
o que
1
1
=
=
j
= 1, ..
lntegrnl em IR e IRn
516 EXEMPLO VII, 140: e escreva a
Mostre que e", e-x e e2x são Hnearmente mc1epem1en1tes diferencial linear de 30ª ordem que admita as dadas como uv•~v.-;vu dessa
-1
2 =
-2
l = -6e 2 x ;:/::.O.
4
o
3
carne~
duma
=
-1)
+l)
+
=Oº
desta
EXEMPLO VII, 141: Determine a ~v"'""''" =O.
-y"-
das
+
diferenciais: =O.
=-1.
=O~
tem
A
EXEMPLO VH. 1412: Considere a
+
Prove que e', x e", x 2 e', e) Prove que as e escreva a
=O.
característica. são Hneannente mdlep,encilentes.
consideradas na aHnea anterior são dessa e011ac:ao.
"'""'-''-'Y"
éa
característica. Como ·--·..,·-"·- se reconhece  = l é de Ruffini para baixar o grau da vl,,llL"'-1,,''"
l
-5
-4
-3
9
-7
2
-4
5
-2
5
-2
o
-3
2
2
o
-2 l
-2
o
da vw~u~'"v diferencial dada
usar-se a regra
lntegrnl em IR IRn escrever-se
Resulta a "''l '"'"''"u raízes são Para provar
por e" e derivando três vezes (o
Dividindo toda a
por e" e derivando duas
k, de vezes que l é raiz da
- 1) vezes, tem-se:
x=O~
Dividindo toda a
por e" e derivando uma
vez, tem-se:
e)
em vez ser escrita na forma =O, com = dadas. Já se provou que por À= 1 ser raiz da por À = 2 ser raiz da
= =
=O.
=O. da
dada é
carac-
____________________________ Eq~a~õ!i~---EXEMPLO VH.143: Determine a -3
+
=O.
-3
+2=0
+
-y= O.
-1
diferencial é
').} - 3À}
Então a
+
-
l =
o~
da
A
1
e
eax sen bx.
elIX cos bx e
k-1,
EXEMPLO VII, 144: Prove que se a± bisão raízes da -9,-·-y·-eax cos bx e e"-" sen bx são da Prove que eax cos bx e e"x sen bx são linearmente matep1:o:norernles, e) Determine a da diferencial
+
=O.
=O, então
e lntegrni em
e mn ~~~~~~~~~~~~~~·
Se a ± bi são raízes da tem o factor (D -
+
cos
=
cos bx - beªx sen bx - aeªx cos sen
= --abeªx sen bx - b 2eªx cos bx + abeªx sen bx + b2eªx cos bx =O.
+ Provemos que o Wronski.ano destas
fur1çõi~s
sen
=O.
é não nufo.
eaxcos bx
eaxsen bx
+ 5 =O ç:, À= 1 ±
= be2ax
(a = 1 e b =
é
y = c 1 ex cos 2x + c 2 ex sen 2x = ex EXEMPLO VU.145: Determine a
+ 28 y(7)
e) y(6)
+
+
+
=O.
+
+ 16
+ b2 ,
=O, então tem o facíor + b2 • Provemos que este factor anula as dadas.
2x + c 2 sen
das
+
=O.
"'O.
=O.
+ 28
+
-13
=o
;t
O.
+
tem a raiz VIL
À= 1, o que
dividindo
regra de Ruffini
O µv'"",'"um
+
13
por
é
+ e2x
+
y=
cos 3x + c5 sen
é
+
+
+
+ 16 = o{:: :} Jt,2
e)
+
cos
= ±4i {::::} Â
+
sen
=
Como é
e+ 2kn:
-~-+sen
e+ 2kir),
n
=0, ... ,n-
n
+
e
=
diferencial é
da
cos ,J2.x + e4 sen
+
y=
+ V
EXEMPI~O
À=
cos 2x +
+
±2i
Vlt 146: Determine a
+ sabendo que a
+
=O,
+
sen 2x. •
a
Se existe a raiz -1 + i, na em factores do
=O, também existe contém o factor
"v''""''"''V
+
+l=
+ l + i).
+1-
baixa-se o grau de
por este - 4/1} -
raiz -1 ·- i,
+ 6í\, + 18 =
+ l]
+
+
E +9=
Então as raízes da é
característica são -1 ± i e À = 3
y = e -x
cos x + c2 sen
da
+
característica admita exclusivamente todas as raízes das =O e de -y =O.
Então a Como ""'"'"u 1,...,,
características
característica +À= O, raízes são O e -1. 2 característica í\, - l =O, raízes são ±1. terá que ter as raízes O e característica da uma de 6.ª faltam-nos duas que considerar que a raiz O é característica da
-í\,3 =O.
+ diferencial é y(6)+
=O.
v"''~"''uv
z= a, k é a
grau zero, z =a, se este
yna
+
Neste caso k = 1, então
=e".
=e",
= X A e" =>
""' A e" + X A e" =>
= 2A e" + X A e".
= Ae" sut,st1.tmm110, obtém-se:
deve
realmente
2A ex + A ex -
e"
+x A
+ 2x A
verificá~
e" = e"
2A+xA-3A-3xA+2xA= 1 A=-L = -x e". Então y = yh +
ou
+
que seze
e".
e, z=a+
e neste caso ternos z
-X
=
+ sen
~ezx:eax
kéa
na
EXEMPLO VH.149: Resolva a equtaçato
+
= cos 3x.
').} - 2À + l Ü = 0 ~ À= 1 ± 3i ~ yh =ex
= cos
b
COS
3x + c 2 sen
= 3, = 1 e /3 =O. então k =O,
±3i não é =A cos 3x + B sen 3x ~
-9Acos 3x-9B sen 3x-
=-3A sen 3x + 3B cos 3x :::::;>
sen 3x + 3B cos cos 3x +
A- 6B = l
+
+ 1O
=-9A cos 3x-- 9B sen 3x.
cos 3x + B sen
sen 3x = cos 3x
B + 6A"" O Ç:> A = 113 7
B = -613 7.
= cos 3x
3x ~
3x.
é:
y=
+
3x+
3x~
3x. •
são
coseno é um seno.
caso:
j=O
j=O
= r, e z =O,
kéa
EXEMPLO VII. 150: Resolva a
então k = 2,
Como z = O é: raiz
=
Ç:;>
=
~
+
=
+
j=O
~
:=:::>
+
ff!=
+
+
::;:;;
+
+
+
+
= l
~
~x3 ~
= l / 20
=0 =0
=l/4
=>
+x+
=>
=l
+
=5/ 2
=-1
+
=:> Y =e,+
caso, k é a
+
+x+
z= a±
na
+
+ y"' e-x COS X.
O 2.º membro dado é da forma considerada neste caso, com a= -1 e b = L Como -1 ± i, não é raiz da então k = Oe cosx+Bsen
:::::>
cosx+
'=e-x[(-A+
cosx+
sen x] + e-x
= e -x cos x => -2B +A= 1 A 2A + B = O =>A= 115
=> y=
x+
=
+
cosx-
A
cos x + B sen
B = -215 =>
x-2sen
a e IR j=O
senx]=>
=
'A2 -
+ 1 = O Â = l
e".
+
+
+ x2
+
x3 + x3 +
+ -2 e"
+
+
~
=O,
=O,
= 1/12
x3 +
+ xz e"
~
+
y=
+
+
caso:
cos bx + f3 sen
+ sen bx
bx j=O
Neste caso, k é a
j=O
z=
E
EXEMPLO VII. 153: Resolva a
+y =x COS X.
Tem-se
= 1,
=O, b= 1, = l ek= 1, =x
cosx+
+
sen
= + xz
e"~
e !ntegrnl em IR e IR!] obtém-se
Derivando e substituindo na
+
+
+
cosx+
sen X = X
CO§ X
=>
cos x + x 2 sen
=0
+
Se
+
= 2x sen x + x e3x.
+ 9 = O q À = ±3i => yh = c 1 cos 3x + c2 sen 3x. +
senx+
+
cosx
+
sen +
+ Derivando
+
+
obtém-se:
substituindo na
=O,
cosx+
=
"'O,
= 1/18 e
=-~l/54.
é
y = c 1 cos
1 1 ' 3x + 41 sen x - 161 cos x + ( 1s+ c 2 sen 54
+ ... +
+ •&•
+
+ e
5
+···+
-~-
Como temos n ser =0. Então
+ A
a
(~)
•
•
-
+
com
=0
com
=0
com
=0
com
V=
llt :_ = -tg x ln lzl = ln icos xl +ln z
lzl = jc cos xj.
Suponhamos z = C cos x.
- 1) y =
e cos x y' - y = e cos x
de Lª
x-cos
e
=>y=2
x-cos
+
+
da
que são linearmente mdlep1~nd1en1:es, estas formam uma base do espaço de "v'""''J'"" das constantes para determinar uma
=>
---
~fegrnl
.._IR_e_IR_11_ _ _ _ _ _ _ _.
Tem-se X-COS X
==
x+sen
ex 2ex
=?
x -sen x
COS X
ex 2ex
-ex sen x -cos
-ex
==ex
sen x -cos
]
X+ COS X
::::;>
=ex
= -sen x
+ cos x
::::;>
=?
== cos x + sen x
x-cos
x-cos
y =
+2ex sen x. •
+
não uv""'ts~'""'"' da co1rre:>pc1naen1te
± i) são as raízes da equaconclui-se que + l = O. Portanto o "~'"º'""'"r é + + 1.
--~ .... ~.,.,- .. ~·~,
da
=
=
+2D+
=-x cos x é uma y = -x cos
X
+
Ç::}
desta
= -cos X
:=:>
+
Ç::}
+
+X
sen X
sen x - (2 +
=
+
+
=
então derivando e
~
x + x sen
2 sen x + x cos x +
+
x+cos
+
P
"''l'"'"''"'" diferencial Hnear de 2.ª dessa ea
Dado que y cakula-se
e"
COS X==
x-senx
COS X
= 2 sen X
- 2x cos x
+X
=
cos x =
senx-(2 +
cos x.
+
cos X.
EXEMPLO VII. 159: admita as cos 2 x e sen2 x. Prove que essas ""'m"'"""' Determine a da com o 2.º membro n01moge11ea é a que obteve na aHnea anterior.
Para provar a X zero para
é diferente de
x sen x cos x
1=2 sen x cos x = sen 2x *O,
para 2x * kn.
mc1ep1ende11tes, elas formam uma base do espaço de é, no·..i•mntn
X.
cosx senx +
senx cosx =
sen2x
Eliminando as constantes entre estas duas úhimas Pelo método da
~
=2
obtém-se
das constantes, tem-se
2 [-sen 2 = sen 2x cos 2 x
1 [sen 2x = sen 2x sen 2x
2 sen 2 x sen 2x
= _ sen x
=::?
xl
v =ln
cos x
1
___x_= cos x:::;. v =ln
sen 2x
sen
xJ
2
Então = cos 2 x ·ln
xl + sen
2
x · ln
A x + c 2 sen 2 x + cos 2 x ·ln
xl + sen
2
x · ln
cos 2x.
2x=O.
e lntegml em IR e mn EXEMPLO VIl.160:
diferencial Hnear de coeficientes variáveis da forma
A
+
+
+A
y'+By=
b, é conhecida por de Euler. Mostre que a de variável de x para t, definida por ax + b = e 1 a tr:amsfonna numa de coeficientes constantes. método indicado na alínea anterior a Resolva
Pefo teorema da derivada da
y
,
dy
=~=
dx
dt dy a dy _1 - = - - - = - a e => dt dx dt ax+b dt
d 2y az-+ dt 2 que
dy
-+ dt
é de coeficientes constantes.
faz-se x = et => t = ln x.
Neste caso a = 1, b = O, A= 5 e B =
y'
dy dt
dy l
e-'=>
=~~=~~=
dx
dt dx
dt
X
dt
dt 2
e-21 _ dy e-21. dt
substituindo: e -21 -dy dt
+5e1
e-1 dt
+lç:,
dt 2
+
dt
= ez' + 1.
Equações
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - · - · · - - · · - · ·- - - - · - - ·-·-
característica desta
A
').} +
é
-5 = 0 ~À= 1 V À =-5
A com
=?
da
achar-se
=le'e'
e-']
+l)=--l [ (e 2 '+1) 6 es'
l 6
+
e2 ' 7
1 5
+---
+
x2
l
7
5
+---.
•
EXEMPLO VII. 161: Como se viu em VII.5. l, uma diferencial de ordem transformar-se num sistema de n de l.ª ordem. O .V,,,~,,~~·~ nem sempre é mas por vezes é fácil e resolver o sistema só com os métodos das diferenciais escalares. Considere o sistema:
+z=l
>
+ Derivando a l.ª
em ordem a x e substituindo na 2.ª, obtenha uma do sistema.
dz
dz
dx
dx
+-=0~-=
dx
2
Trata-se duma
= lnx x2
::::::;>
dx
2
dxz
2y x2
+-=lnx~
= -x 2 lnx.
dt
dt
de l
y'
dt
X
de 2.ª
em IR e IR~ substituindo:
+
dt
3 l 3
=--t=:>v
t2 6
=-~
l
e3'
1
= -te31
3
::::::>V
2
+
+
Da l.ª
ln 2 x
fox
6
9
--+~-
do sistema tem~se
z"" 1-
dx
então
=l-
c xln 2 xln x x +2- + - - + - - - x2 3 9 27
VII. 162: Determine uma
+y'-(y+ =2e
=O.
=O
•
Vlt 163: Resolva - y = -5 e" COS X Usando o método da das constantes. Usando o método dos coeficientes indeterminados.
VH. 164: Resolva a
+y=
VH, 165: Resolva a
+y=
VII. 166: Resolva a
+ VII. 167: Determine uma diferencial de 2.ª sabendo que 3 -2i é uma raiz da sua dessa
=O.
de coeficientes constantes, característica. Escreva a""""""l+k·t
Se r = 1, então a 1, a A sucessão
no n= 1.
= +
r+
r+
r2 + ... +
=>
+
(1- r)
=
r" => (l -
Então
É
sucessões se > l ser= l
rn =
se -1
1-cos a 1/6
e razão r = 9/s, (verifique),
e ll=l
ru=I
+ ll=l
11=!
é uma
então a
C· ll=l
C· 11=!
bn
an e llll=l
n=l
são duas séries
+ n=l
Mostre que se
n=l
IITl=l
+
EXEMPLO VHI,6: Mostre que é ~oinv,~~·o·p,ntP e calcule a soma da série ~
2" + 3" 6"
Estude a natureza da série
Trata-se da soma de duas séries ge1Gmtét1:nc11s de razão 1h e 1/z,
n=l
com a série
É
a
sucessão
que tem
"""'"""' e lntegrnl em IR e IRn ·~~~~~~~~~~-~~-
VIH.5:
que
é uma sucessão
sse
> 0, 3 p E l\J:
EXEMPLO VIH, 7:
s2n -
-+-+-+···+-=n·-=~ ~ oo ~ -J3 ~- ~ ~ ~ ~ ~ 1'400 •
estas encontram-se as
n=I
se mesma sucessão
EXEMPLO VHI.9: Mostre que
n=I fl 2
+n
é uma série de .cn,,u;.;vu, obtenha uma ex1pressa.o finita para a sucessão das somas "ª'"'1.ª"" e calcule a soma da série.
a n
=-~=-~~=----,
n2
+n
+
n
n
l
IR IR"
554
e k=L
un == -
n
l
+···+
+
+
+
l =1--. n+l Então a soma dia série é
= 1.
•
EXEMPLO VIH.to: Mostre que
+l) é uma série de •. i,..,1.,v.. , obtenha uma ""'',,.."""""" finita para a sucessão das somas a soma da série.
1/2 1/2 -----
A A l =-----::::>A=-::::> +l) n-1 n+l 2
a série dada é dle
n-1
n+ l'
com
li 2 e k:::: 2. n-1
=
,,~.v·~w
+
+
=
ªn +az + ··· +
+
+ .. ·+
1
+ +
1
112
112
+----4 n n+
l l 3 =-+-=-. • 2 4 4
e calcule
---------------·-------------------------·--····-~-~
verificamos que no caso E
Os .,,..V'"'v k termos são constantes relativamente a mesma
S = Hm
=
u1 + u2 + ··· +
e os k úH:imos termos são termos
- k· 11-4""
resulta:
n==l
Neste caso, a soma da série é
S = u1 + u2 + ·.. + uk - k ·
n-;.=
da
e lntegrnl em IR e IR"
4
A
A
a =------n
-----~A=l
+3)
,
e k= 2.
Como
= O a série converge.
s = ul + u2 -
2
= ul
é uma ..,v,,..,-,,,., escrever an na forma un Ú maior e na que É o caso também da alínea g).
a= n
=U
Como ex:iste Hm un
n
+ u2
=
11-70
n+
= i! .
com ma:is de dois factores no denoTPW'l1CP n=I
n=I
:::::>
e n=I
n=I
n=l
Deste e
teorema
e e d,
são
então as
mesma natureza.
=€,então:
Se
00
.e for
a)
e não nulo, as
00
e 1'=1
Se
.e= O, então se
00
n=l
n=l
mesma natureza.
é
00
00
é convergente.
convergente, n=I
Se .e
bn são n=l
00
.e= +oo, então se
que
n=I
e não
<
> com e = JJ, -
e e d = JJ, + e.
Se-€=
então
,e = O, então
>o, >O,
Nestes
< n>p =>
casos a
teorema
EXEMPLO VIH,13: Estude a natureza das séries de termos l bn = n3
1
an = n!
dn =
+2n+3 n 3 +4n
e) en
1 n!
-
e a série de termo
l ' -- e 2n-l
1 e) en = n"'
2 + (-l)n n3
1
::õ;--, 'v'n
<
f) J:=l+n. n n2"
eIN
2n-l
co1rrvi::~rg1~nt1e,
por ser l'ó'""'u"...
de razão 1/z então
critério
de co1mp1an1çào a série dada converge. as duas séries têm a mesma natureza.
e) Para a< 1, tem-se
1
1
n
nª
-:S;-
e como se provou no .,,.,,u11vn.1 de con1pairac~io 5n 2 +2n+3
n
finito
e* O,
a série dada
e l11tegrnl em :IR :IR"
-----
-~~~~~--~~-~~~-~~~-~
3
+
---::;;-, n3 n3
e)
l+n = 1,
2" que a série converge.
+
=
e I
II
=
k=I
a mesma natureza.
notar ::;; I n ::;;
termo n--a, são Estamos agora em crn101 co 1, é + oo se
e 3"
--~ · - - n--+=
b)
+
e3n+3
n +2
= lim---
= "° > 1 =:. série
e3
n--+=
an
n--+oo
+ 1)
+ 1)7
2 1 ::::::;> sene ' ' =-< 7
n"
e)
n"
n!k"
k
e
n--+oo
Como
se k
= e,
a Hm -11±.L = i+ n--7=
an
::::::;>
série cll\1 er1~erae.
Neste caso
ª
1
3
4
5'
=-oun
consoante n é par ou ±i , a f hm-1l±L, n--+oo
an
o critério de D' Alembert Mas
que não se
::;; r, an
E
critério da
' ' converge. t com r = -3 < 1, a sene 5
VIU.10
termos não
uma n=I
3 r< 1,
que, a
certa
:S: r, então
se tem
n=I
a
certa
se tem
;;::: l, então 11=1
como
integrnl em IR e IR" ·~~~~~~~~~-
uma
termos não
rn=I
< 1, então
> 1, então
uma
1, então
te1mos não
converge. n=I
1, ou
1+, então n=l
EXEMPLO VH1Jl6: Estude a natureza das séries:
de
2
e)
1 4
1 3'
=--~=-ou-
consoante n é par ou
que não se
o critério de ::;; r,
a série converge. t
critério da E
comr = t < 1,
como
natureza.
n~o
sse
uma
=0.
a
EXEMPLO VIH,17: Estude a natureza das séries:
e
Para a = 1, a série diz-se série harmónica alternada. e)
= Hm J_ = O,
Se a> O,
n--+00
nª
sendo neste caso - 1-
nª
a série converge.
Se
::;;o,
a série converge.
a série
e)
3n+l sendo ª"
=Hm-1-=0
3n+ 1
n--+=
3n + l
,
que a série converge. 1C
n--+oo
2 sen. rc n 2 2n 2 . n = 1im--sen-"" 1i m - - - - - - = - ; t 0 => n--+oo n + l 2n n--too n + 1 n: 1C n: 2n
série
, .
senedr~·eri~er1te.
sse
mas
n;O
As séries
são ""''"'"·"'"4'""""""' convergentes se a > 1, são ri "'"''°'"'"' 't"'"' para a < Oe são sm1p1es]nente c011venze:nte:s. para O< a < L 1
A
tem-se
114
é:
nn
sen4 n=l
=
e)
3n2 +n
(-
l)"{n 2
n2
n=l
Comecemos por estudar a série dos o é e, além
+ 1) + cos(n2 )
'""~m.... .,,
reri;i;er1te, a série dada também os critérios para séries de termos não
=lim~5 -= O< l, n-->=
n+2
a série dos módulos é
1 3n2 +n - 3n +n
~-~ 25
Ç:?
n :2': 2.
Tomando n = 2, n e 2 l - - < - - - < -
2.
2
2.
200
Ç:?
p;;:: 3.
tomando p = 3, =
l
2
1
32
54
2::----,,,-+-=0.113. • líl.=l
+(-1)"]2"
EXEMPLO VIH.21: Calcule um
se toma a soma da série
> 1), a
EXEMPLO VIH.22:
:::;t< 1,
IsDevemos tomar
~
l
{:=7 - - -
com 99 termos.
< - - ~ n + l > 100 q n > 99. 10000
+
à natureza as
VHI.23: Estude
séries e, se
calcule a soma:
7 n=3
n 2 +3n-10
+ 1)-
e)
+1)-n
+ 1) n=l
n=l
(t)
e) n=l
VHI.24: Estude
n=l
usando o critério de
= 1
l 2n
tg-.
e)
e)
à natureza as
n=l
= 1 +cu:; n
n
-~).
n=l
1
--arcsen~.
n=l
n2 + 3
VIII.25: Estude
n
usando o critério de d' Afombert:
à natureza as 11+21+ 3 32
+ ...
3n n=l
Para o cálculo do Hmite de
n! + l
recorde que uv =
evlnu.
lntegrnl em IR m.ri à natureza as
VHI.26: Estude
1
+,..
+
usando o critério de b)
2k
3k
-+~·
2
2
2
+-+··· 23
l 1 l+-+ 2 •=' \ n n 00
e)
(
+
e)
11:
, coma;t:,-. 2
VIII,27: Cakule o limite das sucessões: n"
VIll,28: Mostre que se
então
a+b --< 2
VHl,29: """"'"'"que as séries que se seguem são "'"''"'"''""''"t'>Q usando o critério da critério de d' Alembert. b)
2-n-(-l)".
n=l
b) n=O 00
el/n
e)
Para o cálculo do Hmite de
recorde que uv =e vlnn.
mas que
VHI,31: Detennine se são absolutamente
an ==
ou
n
n
e) e == TI
n
==
1 +3"
2"
e) en ==
lnn
bn =
+l)
in =
n
VIH.32: Mostre que a série
+ tender para zero. Por que razão este facto
é apesar de ser alternada e o seu termo não contradiz o critério de Leibniz?
vm:.33:
Mostre que a série n=2
n=2
Considere
an
=
e bn =
n
n2 b. é absolutamente co1!1v0,
O: Vx
'\18>0,
E
I, Vn > p =>
r, se tem
1,
então a
x =a± r,
se
tomar
<
=
e usar o
n=O
ser O,
outro
para lx ~ ai > r, "'""'"'"'"'
,~. . . ~~, rm:1:1t:1cand~J,
os valores reais de x para os em que
L ..
2"x"
b) Ili=]
e)
-1)!
as séries convergem
3"x" 11~0 n 3
+2
e) llll=2
n+ l l im-~= n->~ n + 2 o
< l ::::::>
é 1. Estudemos a série nos extremos
do intervalo. Para x = 1, a série é
critério de Leibniz. Mas a série módulos emx= 1 con-
Para lxl > 1,
que é uma série a série
Hm~=O< é infinito.
.
e)
1 3n+1 x•+l
=hm n->oo
(n +
n3 +
21 =
+ 2 3" x"
n 3 +2 Hm----
por compaa série
com n=l
Embora esta série não da forma considerada é ainda urna série de ""'"""" 1 "' de em vez de (x por isso usar o mesmo método.
~ 1 < 2x ~ 3 < l 2 < 2x < 4 q
1 < x < 2.
A série converge absolutamente em ] 1, O raio de é 1h. Para x = 2, a série por com a série harmónica. Para x = 1, a série é é
XE
a série
mn
l11tegra! em IR
·~~~~~~~~~~~~~~~~·
e) n--+oo
n
isto é, só converge para x"" 2. •
n=O
-r, a+ r[ e
EXEMPLO VIH.43: Usando o ~~~'"'P'v série
nesse
e a somada
=
x"
n=O
52n
dle acordo com o teorema antee tem
numa
a= O, a
Mac-Laurin. n vezes
numa
então
é
=
com
t
I=
Então a
XEL
E
a
o
é
determine o '°"'"""'''tn.rn dada nesse intervalo: = senx.
= 1, 'v'n
E
IN.
a fórmula de Mac-Laurin
n~o
n!
Determinemos o intervalo de
= lxlHm-1- =O, 'v'x EIR •->oo n + 1
A série construída é ""'"'"''""""1·"' em todo o IR. '""''~'""''"'"'',rn ex, Vx E IR. Como
e' =-x" n. '
'
então
e' n!
= Hm-x" =O, \lx E n->oo
O-+OO
escrever-se e"=
x2
x3
xn
2!
3!
n!
l+x+-+-+ ··· +-+ ··· \::lx e IR.
""COSX
=
+
'
= 1;
=O =
a fórmula de
+
=L
só tem termos de ordem
e escreve-se
urn.'-AlLV,,
=
+nn: /
que 0 intervalo de ""'"'~,,·~"'''""'"'ºracionais 216
de Dirichlet 562
imediatas 207
por
de
206
208
por
553
de
588 589
por recorrência 211 222
niu,"'"°''"''" 546 geométrica 54 7 harmónica 547
aritméticas 545
harmónica alternada 567 soma 545 soma sucessão das somas
termo
545
série binomial 596 série de .jo;,,~,n;{,M [JU!.!~Ui:!.HUlam;
recta
55
582
uniformemente 584
546
-
-
.....
...~-·········
- · · - - · - - - - - - · - ·--·--
·----
---~--·~-~,~~
série de Mac Laurin 593 593
Teorema 435
~u1rnpj.es1ne1neconexo
solenoidal 162
de Fubini 315 de Gauss ou da rinuw·~"~·~'
inferior 238
'"'"'"'°'",. 238 soma de Riemann sub-normal
inversa 174
da
soma de Darboux
de Green 350 3
334
459
de Schwarz 109 de Stokes 382 de Weierstrass l
551
sucessão de
315
do valor médio
356 368 área bordo 357
existência e unicidade 483 fórmula de Mac-Laurin 26 fórmula de
373
de
179
fundamental do Cálculo
fechada 358
mutmrmc;adcrre~
método dos
massa 368
252 de
trabalho 341 359
trai1ictó1:ia 329
orientável 381
de classe C 1 330 359
fechada 330
367 358
330 secdonalmente
330
356 357 seccionalmente
358
cónica 59 de niíveli 79 esférica 58
valor médio 303 valor vector
191 64
vector elemento de área 374
vector
fundamental 358
Wronskiano 511
195
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