Acerbi Buttazzo - Matematica preuniversitaria di base.pdf

Indice

Presentazione

Indice

v

vii

1 1

Capitolo 1 - Conoscenze preliminari 1.1 - Proposizioni e predicati 1.2 - Terminologia sugli insiemi 1.3 - Funzioni generiche

15

Esercizi relativi al capitolo 1

24

Capitolo 2 - Numeri, angoli, coordinate 2.1 - Algebra elementare dei numeri reali 2.2 - Equazioni e sistemi 2.3 - Disuguaglianze tra numeri reali 2.4 - Sistemi lineari di equazioni 2:5 - Disequazioni in più variabili 2.6 - Potenze e polinomi . 2.7 - Equazioni e disequazioni di secondo grado 2.8 - Coordinate e angoli 2.9 - Trigonometria elementare 2.10 - Geometria analitica 2.11 - Geometria solida

27 27 31 33 37

57 62

Esercizi relativi al capitolo 2

63

9

39 42 45

48 55

viii

67

67

Capitolo 3 - Funzioni elementari 3.1 - Funzioni monotone 3.2 - Funzioni pari e dispari 3.3 - Le potenze 3.4 - Il valore assoluto 3.5 - La parte intera 3.6 - Le funzioni trigonometriche 3.7 - L'esponenziale e il logaritmo 3.8 - Le funzioni iperholiche

86

89

Esercizi relativi al capitolo 3

93

72

73

76

81

82

Capitolo 4 - Grafici di funzioni reali . 4.1 - Informazioni da un grafico e varianti di un grafico 4.2 - Grafici delle funzioni elementari

97

97

106

Esercizi relativi al capitolo 4

109

Lista dei simboli

112

Indice analitico .

113

Capitolo l Conoscenze preliminari

Per poter capire a fondo (o anche semplicemente per seguire con un minimo di profitto) un qualsiasi corso di materie matematiche di una Facoltà universitaria, è indispensabile che lo studente abbia ben chiare alcune (minime) conoscenze di base. Le elenchiamo qui di seguito, in modo che il lettore ne possa eventualmente ripassare qualcuna. Gli esercizi di questo capitolo sono un semplice controllo delle nozioni apprese negli anni delle scuole superiori, e il loro svolgimento non deve presentare alcun problema.

1.1 - Proposizioni e predicati Introduciamo il vocabolario essenziale per poter parlare rigorosamente dei concetti che seguiranno; più che dare definizioni e giustificazioni sofisticate (che sono oggetto di studio di un ramo apposito della Matematica, la Logica Matematica), procederemo per esempi, assumendo tacitamente come "primitivi" (cioè intuitivi) svariati concetti. Gli oggetti su cui operiamo sono le proposizioni: chiameremo proposizione ogni frase di senso compiuto che dà delle informazioni.

Esempio: "oggi", "se oggi piove", "che ore sono?" non sono delle proposizioni, mentre "oggi piove" lo è, come pure "Marco è più alto di Carlo e più basso di Giorgio" o "un triangolo ha sette lati" oppure "il prodotto di due numeri positivi è positivo" (~es. 1.1).

2

Sezione 1.1 : Proposizioni e predicati

Quando, negli esempi che seguono, usiamo frasi tratte dal linguaggio di tutti l giorni, a volte aggiungeremo fra parentesi quadre alcune parole che abitualmente '"5l­ gono omesse: ad esempio scriveremo "Marco è più alto di Carlo e [Marco è] più basso di Giorgio" . Una proposizione (che verrà generalmente indicata con una lettera corsiva maiuscola, $, , ... ) può essere vera o falsa (non contemporaneamente), e quando si considerano più proposizioni simultaneamente è utile tracciare la loro tabella di verità, ovvero una tabella che ha su ogni riga una diversa proposizione, e nelle cui colonne compaiono tutte le combinazioni di vero/falso che possono verificarsi.

Esempio; la tabella di verità delle due proposizioni ,N, :9J può essere scritta .!»"

:9J

:

V V

V F F V

F F, falso, :9J vero"; la tabella delle

cosÌ che alla penultima colonna corrisponde il caso tre proposizioni .!4f', :9J, è V V V

V V

F

V F V

V

F F

F V V

F V F

F F V

F F F.

Diremo equivalenti due proposizioni che hanno lo stesso valore di verità, cioè tali che nella tabella di verità delle due le righe ad esse corrispondenti sono uguali. Nel linguaggio abituale, formiamo frasi complesse a partire da frasi più semplici. che vengono legate da opportune parole: ad esempio, "Marco è più alto di Carlo e più basso di Giorgio" è costituita dalle due frasi "Marco è più alto di Carlo" e "Marco è più basso di Giorgio" , legate dalla congiunzione "e". Formalizziamo questa osservazione: vi sono alcuni operatori (connettivi logici) che trasformano una o più proposizioni in altre proposizioni, i cui valori di verità sono determinati da quelli delle proposizioni di partenza; essi sono dati dai simboli non,

e ,

o,

{=::::}

::::},

date due proposizioni .!»" e :9J, definiamo la proposizione non $ di verità $ V F F V, non.!»" e le proposizioni ,N e seguente tabella di verità:

l

$

::::} :9J ed

o V V

non.!»"

F

.!4f' e :9J $ o :9J

V V V V

$::::}

$

{=::::}

V

F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V.

mediante la tabella

{=::::}

:9J mediante la

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

3

è vera quando $ è falsa, e Ad esempio, la proposizione non $ , negazione di viceversa. L'operatore di negazione, applicato due volte, si cancella: in altri termini, non(non J'ìf) equivale ad $ (~ es. 1.2).

Esempio : la proposizione §I = "non è vero che Marco non è più alto di Carlo" può essere riscritta "non è vero che (non è vero che (Marco è più alto di Carlo))" o anche, se poniamo "Marco è più alto di Carlo", come non( non J'ìf) , quindi la proposizione ha lo stesso valore di verità della proposizione La proposizione e è vera esclusivamente quando sono vere sia $ che §J, mentre o è vera quando almeno una tra e è vera: notiamo che non è esclusa la possibilità che siano vere entrambe, cioè l'operatore o assume uno solo dei due possibili significati della particella italiana "o", quello corrispondente al latino "vel".

Esempio: se diciamo che "Marco è più alto di Carlo e [Marco è] più basso di Giorgio" intendiamo che sono contemporaneamente verificate le proposizioni "Marco è più alto di Carlo" e "Marco è più basso di Giorgio"; se per un certo numero x diciamo che x > l e x < 7 otteniamo che x è (strettamente) compreso fra l e 7. Esempio : se per un certo numero x diciamo che x > 2 o x 2 , intendiamo che x può essere o maggiore di 2 oppure uguale a 2, e quindi x potrebbe ad esempio essere 2,3,2.75,40000, ... , ma non 1,-7,1.33 eccetera. Questo si esprime con il simbolo x 2: 2, che non va letto in modo erroneo come "x è maggiore di 2 e contemporaneamente uguale a 2", che chiaramente non può essere mai vero - ma quanto è comune questo errore! Il simbolo di implicazione ::::} crea una nuova proposizione, che si legge " $ implica allora o anche "§I se $" (intendendo che è sicuramente vera se $ è vera), o infine solo se §1" (cioè $ può essere vera soltanto se LréJ61 è vera): .dunque, $::::} significa che se $ è vera, necessariamente anche deve essere vera, mentre se è falsa può indifferentemente essere vera o falsa. Quando si ha un'implicazione ::::} si dice anche che "condizione necessaria affinché $ sia vera è che §I sia vera", oppure anche " condizione sufficiente affinché sia vera è che $ sia vera". Talvolta conviene scrivere un' implicazione da destra a sinistra, e per fare ciò si rovescia il simbolo: la proposizione $::::} §J si può allora scrivere anche .!(:jJ" oppure "se

.!(:jJ ç:: $ .

Esempio: la moglie dice al marito: "se passi davanti al negozio [allora] compera le mele". Chiaramente, se il marito rientra con le mele la moglie è soddisfatta, però non ha nulla da recriminare neppure se il marito rientra senza mele ma dice che non è passato davanti al negozio: l'unico caso in cui si può lamentare è se il marito è passato davanti al negozio (1' ipotesi è soddisfatta) ma non ha comperato le mele (la tesi non è soddisfatta). Se però la moglie protesta anche negli altri casi, non fatele una lezione di logica a meno che non vogliate proprio litigare ...

4

Sezione 1.1 : Proposizioni e predicati

Esempio : se con a e b indichiamo due numeri reali, allora abbiamo la ben nota legge di annullamento del prodotto:

[a· b

O] => [a

Oo b

OJ.

L'ultimo simbolo che consideriamo è quello di doppia implicazione, {::::::>, e dà una proposizione che è vera esclusivamente quando ,N e hanno lo stesso valore di verità (cioè sono entrambe vere o entrambe false), pertanto se è vera sf {::::::> !!:if le due proposizioni sf e sono equivalenti. La proposizione sf {::::::> equivale a [(.N => !!:if) e (!!:if => sf)] (~es. L3). Si dice anche "condizione necessaria e sufficiente affinché sf sia vera è che !!:if sia vera" .

=>

Esempio: la proposizione

§l equivale a (non ,N) o §l

es, 1.4).

Come nell'algebra elementare, le parentesi indicano le operazioni da compiersi per prime; tuttavia, per evitare l'affastellarsi di parentesi, conveniamo che l'operatore non abbia la precedenza su tutti gli altri: così, non •.w o !!:if sta per (non sf) o il che non è equivalente a non ( •.w o (~ es. 1.6). Nonostante questa convenzione (ed altre che seguiranno), nel dubbio è sempre meglio mettere in più una coppia inutile di parentesi, piuttosto che rischiare di non metterne una coppia indispensabile. L'operatore e è commutativo, cioè

[sf e

{::::::>

e

{::::::>

e sf],

ed è associativo, cioè

[(sf e

[..w e

(

e

)] ;

per questo motivo, l'ultima proposizione potrà essere scritta senza ambiguità c.W e e '6', omettendo le parentesi. Abitualmente, nel corso di un testo in italiano, in una lunga lista di "e" la particella viene omessa, e sostituita da una virgola: così faremo anche noi, e ad esempio troveremo scritto "se x ;::: 1, x2 < 4, cos x > O allora ... " anziché "se [(x;::: 1) e (X2 < 4) e (cosx > O)] allora ... ". Delle proprietà commutativa e associativa gode anche l'operatore o. Invece, (sf e §l) o '6' non è equivalente ad e ( o '6') (~es. L7), anzi vale una sorta di proprietà distributiva (~ es. L8):

[(.N e !!:if) o [(.N o §l) e

{::::::> {::::::>

[( sf o '6') e (§l o )J e '6')]. [(sfe )o(

Una proprietà simile vale anche per la negazione: precisamente si ha [non(sf e

{::::::>

[(non sf) o (non

[non(sf o !!:if)J

{::::::>

[(non sf) e (non

(~

)J

(Ll)

es. L9)

(L2)

Capitolo 1 ; Conoscenze preliminari

5

(per il momento, non facciamo ancora uso della convenzione sulla precedenza di non, dato che le formule sono ugualmente corte e risultano più chiare). Dalle proprietà elencate finora segue la traduzione della negazione di un' implicazione: [non(J>/' =?

~

e (non ~)l.

Infatti, nel precedente esempio si è visto che =? equivale a (non J;i') o &f , pertanto non(.JY' =? ) equivale a non[ (non J4f) o che, distribuendo la ne­ gazione mediante le formule appena trovate (e ricordando che una doppia negazione si cancella), si traduce nella proposizione cercata es. 1.11).

Esempio : se = "Mario è più alto di Carlo e più basso di Giorgio" e ~ = "Carlo e Giorgio hanno la stessa altezza", allora la proposizione =? è falsa; per dimo­ strarlo, basta osservare che è vera la sua negazione, vale a dire che è vera J>/' e non ~ . Questa infatti significa "Giorgio è più alto di Marco e Marco è più alto di Carlo e Giorgio e Carlo hanno altezze diverse" . Occorre prestare molta attenzione a quanto abbiamo visto sulla negazione di una implicazione: infatti, molto spesso capita di vedere la negazione di J>/' =? ~ scritta .JY' =? non ~ , oppure non.N =? , o anche non =? non , che sono tutte "negazioni" errate. Possiamo ora provare una proprietà fondamentale: [J>/' =? ~l

~

[(non

=?

(non

)] .

(1.3)

e non(non ) , che equi­ Infatti, la negazione della seconda proposizione è (non vale alla negazione della prima proposizione (~ es. 1.12). La (1.3) non è altro che uno dei principi della dimostrazione per assurdo: provare che dall'ipotesi segue la tesi ~ è lo stesso che provare che negando la tesi ( ) si ottiene che pure l'ipotesi (J>/') è falsa.

Esempio : per dimostrare che se a, b, c sono le lunghezze dei lati di un triangolo allora a '5 b + c , di solito si procede supponendo che il lato a sia invece più lungo di b + c , e mostrando che allora gli altri due lati non riescono a toccarsi (cioè a, b, c non sono i lati di un triangolo). È interessante provare in un certo senso il viceversa: dati tre numeri positivi a,b,c con a < b+c, b < a+c, c < a+b, è possibile costrure un triangolo che ha i lati di lunghezza a, b, c rispettivamente (provate a fare una costruzione geometrica). Capita spesso di avere bisogno di usare svariate proposizioni, che differiscono fra loro per pochi particolari, se non per uno solo. Sprecare una lettera per ciascuna di esse è poco pratico (se non impossibile, come quando si tratta di infinite proposizioni), pertanto introduciamo il concetto di predicato: chiameremo predicato ogni frase, contenente una o più variabili, che diviene una proposizione quando viene specificato il valore delle variabili.

Esempio: sono predicati i seguenti (che useremo come esempi più avanti): Y(x) = "nel luogo x sta piovendo" @f (x, y) = "il giorno y nel luogo x piove" (~es. 1.13).

6

Sezione 1.1 : Proposizioni e predicati

Oltre che dando un valore alle variabili, un predicato può essere trasformato in proposizione anche usando uno dei due quantificatori, quello universale \i (si legge "per ogni") o quello esistenziale :l (si legge "esiste"). I simboli usati per i due quantificatori derivano rispettivamente dal capovolgimento della lettera A (dall' inglese "for all") e della lettera E (dall'inglese "there exists").

Esempio; Y(Roma) = "a Roma sta piovendo" [\ix, Y(x)] = "sta piovendo in ogni luogo" : gJ(x)] = "c'è un luogo dove sta piovendo" [\ix, X2 ~ O] = "un quadrato è sempre non negativo" : X2 = 4] = "c'è almeno un numero il cui quadrato è 4" (~ es. 1.14). La terza frase si legge "esiste un x tale che ", ed è da intendersi nel senso che esiste almeno un valore di x (non necessariamente uno solo, come mostra l'ultimo esempio) per cui y(x) è vera. Per indicare invece che esiste un unico tale valore, si possono usare il simbolo 3! o il simbolo :lI; entrambi si leggono "esiste unico" .

Esempio; [3!x: .Y'(x)] = "esiste uno ed un solo luogo in cui sta piovendo" "esiste un solo numero positivo il cui quadrato è 4". [:l!x : (x> O e X2 = 4)] Osservazione: se la variabile x può assumere solo un numero finito di valori, le propo­ sizioni \ix, ,9o(x) ed 3x: .o/'(x) sono delle abbreviazioni per delle sequenze di e e di o rispettivamente. Esempio : se x può assumere solo i valori 1, 2 e 3 allora

\ix, .o/'(x) :lx: ,9o(x)

~

.0/'(1) e .0/'(2) e ,90(3)

~

,90(1) o .0/'(2) o ,90(3).

Quando il predicato dipende da più variabili, si possono presentare mescolanze di più quantificatori, ed eventualmente di indicazioni del valore delle variabili.

Esempio; consideriamo il predicato 9R (x, y) " il giorno y nel luogo x piove"; allora si può avere :ly: ,9f (Sahara, y) = "anche nel Sahara qualche giorno piove" \ix, :ly: 9R (x, y) "in ogni luogo c'è qualche giorno in cui piove". Notiamo cosa succede invertendo l'ordine di \ix e :ly: :ly: \ix, (x,y) "c'è un giorno in cui piove dappertutto(!)"(~ es. 1.16). Dunque, non è possibile in generale invertire due quantificatori adiacenti senza alterare il significato della proposizione; si può farlo solo se i due quantificatori sono dello stesso tipo: (3x: 3y : ...) equivale a (3y: :lx : ...) ,e (\ix, \iy, ...) equivale a (\iy, \ix, ...) , cosÌ che d'ora in poi scriveremo queste frasi semplicemente (3x,y: ...) e (\ix,y, ...) .

7

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

(x)] verrà

Introduciamo un'altra convenzione: la proposizione 3x: [J;j7(x) e talvolta scritta per brevità 3J;j7(x) : 91 (x) , mentre la proposizione Vx, [J;j7(x) => (x) VJ;j7(x) .

(1.4) (x) o anche

(x)J verrà scritta VJ;j7(x),

2J , che si legge "esiste un numero che contem­ Esempio : anziché 3x : [x > O e x2 poraneamente è positivo e ha quadrato uguale a 2," scriveremo 3x > O : x2 2 , che si legge "esiste un numero positivo che ha quadrato uguale a 2 ," mentre scriveremo Vx > 3, x2 > 9 ("ogni numero maggiore di 3 ha quadrato maggiore di 9") anziché Vx, [(x> 3) => (X2 > 9)] (~es. 1.17). Osserviamo come si costruisce la negazione di una proposizione contenente quanti­ ficatori: non (Vx, J;j7(x))

.~( x)

~

"non è vero che

è sempre vera"

~

"c'è almeno un x per cui J;j7(x) è falsa",

cioè [non (Vx, J;j7(x))]

e cosÌ pure

(~

~

[3x : non J;j7(x)J ,

(1.5)

~

[Vx, nonJ;j7(x)J .

(1.6)

es. 1.18) [non(3x : J;j7(x))]

Esempio: si ha

(~

es. 1.19)

[non(3x : Vy,

[non(3x: Vy, .!§1!(x,y))]

(x,y))]

~

[Vx, non (Vy,

~

[Vx, 3y: non

(x,y))] (x,y)]

"non c'è un luogo in cui piove sempre" = "in ogni luogo c'è almeno un giorno senza pioggia"

= [Vx, 3y: non §f (x, y)] .

Esempio: abbiamo

non[Vx, (X2

6x

+ 5 < O => x < 5)]

+ 5 < O => x < 5)

~

3x : non(x 2

~

3x: [x2 - 6x

non(x < 5)J

~

3x: (x2

x ~ 5) .

6x

+5 < O e 6x + 5 < O e

Poiché l'ultima proposizione è falsa (infatti le radici dell'equazione x2 6x + 5 = O sono 1 e 5, dunque x2 -6x+5 < O solo per 1 < x < 5 ), è falsa anche non[Vx, (x2 -6x+5 < O => x < 5)J , quindi risulta vera la sua negazione, che è Vx, (x2 6x + 5 < O => x < 5) .

8

Sezione 1.2 ; Terminologia sugli insiemi

Esempio: scomponiamo l'enunciato del teorema di Pitagora nelle varie parti che lo co­ stituiscono, ponendo Y( a, b, c) = "a, b, c sono i lati di un triangolo rettangolo ed a è l'ipotenusa" .9'(a,b,c) = "a 2 = b2 + C2 "i allora l'enunciato si scrive Va,b,c, [Y(a,b, c)

=:}

Y(a,b,c)].

Il teorema di Pitagora è dunque una proposizione. Come suggerisce questo esempio, la matematica non è altro che un insieme di pro­ posizioni; per dimostrare che queste sono vere, si usano solo le tre regole logiche fonda­ mentali: ) (principio del terzo escluso) a) VSlf, (.J:1t' o non b) VSlf, non( Slf e non Slf) (principio di non contraddizione) [ ((.:w =:} e (,91 =:} '6)) =:} (Slf =:} )] (principio di c) VSlf, transitività) . Tutte e tre sono molto sensate, e in realtà abbiamo già usato le prime due (per introdurre le tabelle di verità, e dedurne le proprietà dei connettivi logici: infatti in ogni casella ab­ biamo messo o V o F, niente altro e mai entrambi contemporaneamente). Notiamo che partendo solo da queste regole, non è possibile dimostrare la verità di alcuna proposi­ zione utile: le prime due dicono cose (apparentemente) ovvie su una proposizione Slf, ma non dicono se è vera, e usando la terza, per dimostrare che è vera =:} abbiamo bisogno di sapere già che sono vere addirittura due altre proposizioni. Come possiamo allora dimostrare qualcosa? È evidente, dunque, che è indispensabile partire con un certo numero di proposizioni la cui verità noi assumiamo come postulato (cioè decidiamo noi che sono vere): si tratta degli assiomi; ad esempio, l'intera geometria euclidea è basata sui cinque assiomi di Euclide. L'unica richiesta che facciamo è che gli assiomi scelti ri­ spettino le tre regole fondamentali: ad esempio, non potremmo mettere tra gli assiomi che 1 + 1 2 , che 1 + 1 3 e che 2 1= 3 , perché troveremmo una contraddizione (dai primi due si ricava che la proposizione 2 = 3 è vera, dal terzo che è falsa). In questo senso, la matematica è "vera" soltanto relativamente agli assiomi iniziali; naturalmente, potremmo costruire una matematica differente, ed altrettanto "vera", modificando (in modo non contraddittorio) gli assiomi di partenza: pensiamo ad esempio alla geome­ tria iperbolica, che si adatta bene alla teoria della relatività e si ottiene modificando il postulato delle parallele. L'utilità della nostra matematica nella vita pratica (dopo tutto, siamo in grado di inviare razzi su Marte) è una conferma non tanto della "verità" degli assiomi iniziali, ma piuttosto della ragionevolezza della loro scelta, dato il mondo in cui viviamo. Nel seguito incontreremo alcune "proprietà" che daremo per "già note" (ad esempio le proprietà dei numeri reali o quelle dei numeri naturali): in realtà, alcune di queste possono essere prese come assiomi, oppure esse possono essere dimostrate partendo da altri assiomi o da costruzioni (definizioni, teoremi, ... ) precedenti.

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

9

1.2 - Terminologia sugli insiemi Anche per questa sezione valgono le considerazioni sul carattere euristico della nostra presentazione già esposte all' inizio della sezione precedente. Talvolta è utile considerare una pluralità di oggetti diversi come un tutt'uno, come si fa in italiano usando i nomi collettivi: "gli Italiani", "la classe tale" , oppure con costruzioni del tipo "il contenuto di quella scatola" e simili. La corrispondente struttura matematica è il concetto di insieme. Chiameremo insieme una collezione di oggetti, i quali saranno detti elementi dell' insie­ me. Se E è un insieme ed x è un suo elemento, diciamo che x appartiene ad E, e scriviamo x E E ; per scrivere che x non appartiene ad E si usa il simbolo ~, quindi (x ~ E) -F> non(x E E) . Un insieme si può dare elencandone esplicitamente tutti gli elementi (definizione per enumerazione) oppure descrivendo la proprietà che li individua: nel primo caso si usa la scrittura E

= { ...

lista degli elementi di E, separati da virgole ... } ,

mentre nel secondo si scrive E = {x: .9{x)} , che si legge "E è l'insieme degli x tali che .9(x) ", dove x (o un qualunque altro simbolo) è una variabile, è un predicato e si intende che gli elementi di E sono quelli per cui .9 è vero, cosÌ che [x E El -F> .9{x). In questo secondo caso, perché E risulti un insieme deve essere (teoricamente) possibile per ogni x determinare se x E E ose x~E. Anche se le proprietà dei numeri sono nel capitolo 2, useremo spesso negli esempi degli insiemi numerici; quelli più comuni sono N l'insieme dei numeri naturali: O, 1, 2, 3, ... z l'insieme dei numeri interi relativi: O, +1, +2,-2, ... Q l'insieme dei numeri razionali, cioè quelli che si possono scrivere come p/q con p, q E Z e q =f. O R. l'insieme dei numeri reali, che comprendono anche quelli non razionali come 71", e, y'2, ... l'insieme dei numeri complessi, che comprendono anche i numeri immaginari, come l'unità immaginaria, che è il numero complesso i tale che i2 = -1 .

c

Esempio: E = {1,7,.} è un insieme con tre elementi: 1 E E, 7 E E e • E E j l'insieme A = {Carlo, Dario, Gabriele, Giovanni, Marco, Sergio} ha sei elementi, men­ tre C = {Milano, Napoli, Roma} ne ha tre; B {x: x è figlio di uno degli au­ tori di questo volume}, D = {z : z è una città italiana con più di 106 abitanti} e G {x: [x E R. e (x-l)2 ::; Il} sono altri insiemi, descritti tramite le proprietà dei loro elementi e non enumerandoli (G è l'insieme dei numeri tra O e 2, compresi gli estremi). Abitualmente, quando il predicato .9(x) è del tipo (x E F) e &'(x) , la scrittura E F) e &'(x)} si contrae in {x E F : &'(x)}. Inoltre, conveniamo che anziché

{x: (x

lO

Sezione 1.2 : Terminologia sugli insiemi

("Ix E A, Vy E A, ...), oppure (3x E A : 3y E A : ...) , scriveremo semplicemente (Vx,yEA, ...) e (3x,YEA: ...). Esempio: H = {x E lR : x > O e x2 esclusi gli estremi (~es. 1.20).

< 4} è 1'insieme dei numeri reali tra zero e due

Conformemente alla convenzione (1.4), anziché "Ix, [x E E :::} Y(x)] scriveremo "Ix E E, Y(x), e anziché 3x : [x E E e Y(x)] scriveremo 3x E E: Y(x) . Notiamo che la negazione si comporta molto bene con queste abbreviazioni: infatti (~ es. 1.22)

non ["Ix E E, Y(x)]

{:=:;}

[3x E E : non .:9'(x)]

non[3x E E : L'9'(X)]

{:=:;}

[Vx E

non .'9' (x)] .

(1.7)

Definizione : si dice che un insieme F è sottoinsieme di un insieme E se tutti gli elementi di F appartengono anche ad E, cioè se "Ix E F, x E E ; in tal caso si scrive F C E , che si legge "F è contenuto in E" o "F è sottoinsieme di E " o "F è incluso in E ", oppure si scrive E::::> F, che si legge" E contiene F" (ir§' figura 1.1).

E

Fig. 1.1:

F è un sottoinsieme di E, cioè F C E

Osserviamo che non viene escluso il caso in cui dunque, per ogni insieme E è vero che E C E.

due insiemi siano coincidenti:

Esempio: se E è l'insieme dei numeri reali positivi, è E C lR. Nel seguito indicheremo con l'insieme dei numeri reali positivi (cioè quelli maggiori di zero: in particolare, O ~ lR+ ), e con lR- quello dei numeri reali negativi; entrambi sono sottoinsiemi di lR. Esempio : particolari sottoinsiemi di lR sono gli intervalli: si tratta di insiemi (per così dire) tutti di un pezzo, e si indicano con una notazione particolare:

[a, b]

= {x E lR : a ::::: x::::: b}

la, b] = {x E lR : a < x::::: b}

[a, b[ = {x la, b[ {x

::::: x < b} lR : a < x < b} ,

E lR : a E

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

11

come ad esempio [0,3[= {x E lR : O ~ x < 3} è l'insieme dei numeri fra zero e tre, compreso zero ma escluso tre. Intervalli particolari sono quelli illimitati, o semirette: ad esempio, [-11",+00[= {x E lR: x 2: -11"} indica tutti i numeri reali da -11" compreso in su. Notiamo che

=F]

{=}

[(E C F) e (E:::> F)] :

questa è la strada più comune per provare che due insiemi sono uguali, mostrare che ciascuno dei due è sottoinsieme dell'altro (a dire il vero, è la definizione del simbolo di uguaglianza tra insiemi). A prima vista potrebbe sembrare una stortura da matematici, ma se ci si riflette un attimo si vede che questa è la strada che si segue anche in esempi concreti: pensate ad esempio di avere due lunghi elenchi di nomi, messi in ordine casuale, e di dover controllare che contengono esattamente gli stessi nomi; non disponendo di una matita per spuntare uno degli elenchi, l'unica strada possibile è prendere l'elenco E e controllare, con pazienza, che tutti i nomi dell'elenco siano presenti nell'elenco F , dopo di che, per escludere che l'elenco F possa avere qualche nome in più di E , siete costretti a scambiare gli elenchi e ricominciare. Quel che avete fatto è provare che E C F e poi che F C E.

Esempio: negli esempi della pagina 9 abbiamo C C D e anche D C C , quindi C D (anche A = B , ma questo non potevate saperlo); invece abbiamo H C G ma non G C H (dato che O E G mentre O f/. H ), quindi non è vero che G = H . Esempio: proviamo che {x E lR: x2 > O} = {x E lR : x"l a} . Detto E il primo insieme ed F il secondo, dobbiamo anzitutto provare che E cF. Questo significa provare che "Ix, [(x E E) => (x E F)] .

Prendiamo allora un generico x E E: certamente x è un numero reale, perché tutti

gli elementi di E lo sono; inoltre x "I O, perché altrimenti sarebbe x2 = O, mentre

sappiamo che x2 > O visto che x E E. Allora (x E lR) e (x "I O) , cioè x E F:

abbiamo provato che E cF.

Ora dobbiamo provare che F C E , cioè che preso un generico x E F si ha x E E .

Ancora, x è un numero reale; inoltre, essendo x"l O deve essere x > O (e in tal caso

x2 > O) oppure x < a (e anche in tal caso x2 > O), pertanto è x2 > O, ovvero x E E ,

e questo conclude la dimostrazione.

Oltre al simbolo C si trovano i simboli ç, che noi useremo come sinonimo di C (e sarà usato solo occasionalmente, per sottolineare che i due insiemi potrebbero essere uguali), e ç, che si legge "è strettamente contenuto in": si dice che F ç E se FcEeF"lE.

Definizione : si dicono rispettivamente unione ed intersezione di E ed F gli insiemi E U F = {x : x E E o x E F} ,

E

n F = {x : x E E

e x E F} .

12

Sezione 1.2 : Terminologia sugli insiemi

Dunque, E U F rappresenta gli elementi che appartengono ad almeno uno tra E ed F (~figura 1.2), mentre E n F rappresenta gli elementi comuni a E ed F (~ figura 1.3). Esempio : se E = lR+ e F = {x E lR : X2 < 4} allora E U F = {x E lR : x > - 2} , mentre E n F {x E lR : x > O e x < 2} . Se P è l'insieme dei cittadini di Piemonte e Lombardia, e V quello dei cittadini di Lombardia e Veneto, allora P U V è l insieme dei cittadini di Piemonte, Lombardia e Veneto, mentre P n V quello dei soli cittadini della Lombardia.

E

Fig. 1.2:

l'unione Eu F

Fig. 1.3:

l' intersezione E n F

Le operazioni di unione ed intersezione sono distributive una rispetto all'altra, in modo simile a quanto abbiamo visto per gli operatori logici e e o nelle formule (1.1):

A U (B n C) A n (B U C)

= (A U B) n (A U C) (A n B) U (A n C) ;

(1.8)

la dimostrazione si può svolgere per esercizio, provando che gli elementi dell' insieme al primo membro appartengono a quello al secondo e viceversa, oppure osservando che A U (B n C)

= {x : (x E A)

o [(x E B) e (x E C)]}

ed applicando direttamente (1.1). Introduciamo un'altra convenzione ben nota: se a, bER, la notazione a < x < b significa che x> a e x < b (e analogamente per a:=; x < b eccetera).

Definizione : si dice complementare di El' insieme EC degli elementi che non appar­ tengono ad E : E C {x: X rt. E}.

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

13

Il complementare di E è perciò "tutto il resto" , tutto ciò che non sta in E; è chiaro poi che (EC)C = E . Un particolare insieme, privo di elementi, è l'insieme vuoto, 0 = { }; questo simbolo si usa specialmente per rendere più leggibili certe notazioni, come nel caso della formula E n F = 0 che significa che E ed F non hanno punti in comune (in tal caso si dice che E ed F sono disgiunti). Esempio: se a > b ,allora {x : a < x < b} = 0 : così, chi scrive 2 < x < -2 intendendo x > 2 o x < - 2 commette un errore (particolarmente frequente).

In modo per certi versi analogo a quanto accade in (1.2), l'operazione di comple­ mentare agisce sull'unione e sull' intersezione scambiandole tra di loro, cosÌ (leggi di de Morgan): (E U F)C = (EC) n (FC) , (E n F)C = (E C ) U (FC) .

Definizione: se E ed F sono due insiemi, si dice differenzafra E ed F l'insieme E\ F

{x E E : x

~

F} .

E

Fig. 1.4;

la differenza E \ F ...

Fig. 1.5;

..

e la differenza F \ E

La differenza E \ F è costituita dalla parte di E che non sta in F; notiamo esplicitamente che l'insieme F non è necessariamente un sottoinsieme di E, quindi è scorretto dire che ad E vengono tolti "tutti" gli elementi di F. Esempio: 1R+ \ {x E 1R : X2 < 4} = {x E 1R : x 2: 2}, e analogamente 1R \ {O} {x E R : x i= O} . Nell'esempio visto sopra, P \ V è costituito dai soli cittadini del Piemonte.

Notiamo che E \ F è un sottoinsieme di E, e che gli insiemi E \ F ed F \ E sono disgiunti, cioè (~ es. 1.23) (E \ F) n (F \ E) = 0.

14

Sezione 1.3 : Funzioni generiche

Definizione: si dice insieme delle parti di un insieme E l'insieme

Y(E) = {F: F

C

E}.

L'insieme Y(E) è dunque l'insieme di tutti i sottoinsiemi di E; notiamo che per ogni insieme E si ha E E ,9(E) e 0 E Y(E).

Esempio:se E={a,b} abbiamo Y(E) = {0,{a},{b},E}

es. 1.24).

L'ultima operazione insiemistica che introduciamo è il prodotto cartesiano:

Definizione : se E ed F sono due insiemi, si dice prodotto cartesiano di E per F l'insieme ExF

{(x,y):xE

yEF}.

Gli elementi del prodotto cartesiano E x F sono dunque oggetti della forma: pa­ parentesi, e si chiamano coppie rentesi - elemento di E- virgola - elemento di F ordinate con il primo termine in E e il secondo in F es. 1.25). Si può definire nello stesso modo anche il prodotto di più di due insiemi: ad esempio, dati tre insiemi E, F, G , il loro prodotto è un insieme di terne ordinate: E xF xG

{( x, y, z) : X E E, y E F, z E G} .

Esempio: se JR indica l'insieme dei numeri reali, JR x JR indica il piano cartesiano, cioè l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali il primo dei quali rappresenta l'ascissa, il secondo l'ordinata. Il listino quotidiano della borsa di Milano è un insieme di coppie ordinate della forma (società, quotazione), ed è quindi un sottoinsieme del prodotto cartesiano S x JR+ , se con S indichiamo l'insieme delle società quotate in borsa. Un listino più raffinato è costituito da scritture (quaterne ordinate) della forma (società, quotazione, quotazione precedente, differenza), ed è quindi un sottoinsieme di S x JR+ X JR+ X JR . Terminiamo con alcune convenzioni: indicheremo con JR2 il prodotto JR x JR, e analogamente con JR3 , JR4 eccetera il prodotto di tre, quattro, o più copie dell' insieme JR. Il generico elemento di JRn è dunque una n-upla (si legge "ennupla") ordinata di numeri reali. Inoltre se A C JR indicheremo con - A l'insieme degli opposti degli elementi di A (o, che è lo stesso, il simmetrico di A rispetto all'origine), cioè -A {x E JR : -x E A} .

Esempio: se A = {-2, 3, 57} allora -A = {-57,

2} .

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

15

1.3 - Funzioni generiche Il concetto di funzione che introduciamo è molto generale:

Definizione: si dice funzione (o applicazione) una tema di oggetti, di cui i primi due, detti rispettivamente dominio e codominio, sono insiemi, e il terzo è una legge che ad ogni elemento del dominio fa corrispondere uno ed un solo elemento del codominio. Si scrive f : A ~ B (e si legge" f da A in B") per indicare che A è il dominio, B il codominio ed f la legge; se a E A, l'unico elemento di B che la legge f fa corrispondere ad a si indica con f(a) e si dice immagine di a, o valore assunto dalla funzione f in a. Dunque, perché

f sia una funzione occorre che 'Va E A, 3!b E B : b = f(a)

cioè che per ogni a E A esista un unico bE B tale che b = f(a). Notiamo che una funzione può far corrispondere lo stesso b a diversi valori di a. A prima vista non è molto chiaro il ruolo del codominio: sembra una specie di contenitore dei valori assunti da f e niente più, e sembra che, allargandolo, la funzione non cambi per niente. Non sono obiezioni prive di senso (si veda la convenzione più oltre), ma capiremo l'utilità del codominio quando introdurremo la funzione inversa.

Fig. 1.6:

una funzione f: A --t B

Fig. L 7:

questa non è una funzione

. E sempio; in un normale impianto elettrico, è una funzione quella che ad ogni interruttore fa corrispondere il lampadario che viene acceso (a volte, più interruttori accendono lo stesso lampadario). Una funzione è quella che associa ad ogni individuo la sua statura in un certo istante, oppure il suo numero di scarpe. Esempio : una funzione è quella che ad ogni numero reale associa la somma del suo quadrato con il triplo del numero stesso; questa si indica abitualmente con la scrittura f(x) = x2 +3x , oppure f(.) = +3. o usando un qualunque altro simbolo, e significa "per calcolare il valore di f in un dato numero, indicato per il momento con un certo

.2

16

Sezione 1.3 : Funzioni generiche

simbolo, ad esempio x o . : dovunque nella definizione della funzione si trova questo simbolo, si deve sostituire con il numero dato". In tal caso, la scrittura 1(5) indica il valore della funzione 1 nel punto 5, vale a dire 52 + 3 . 5 = 40 : dunque 1(5) = 40 .

Esempio: la somma tra numeri reali è una funzione s: (IR x IR) -+ IR, che ad ogni punto (x,y) E IR x IR associa il numero s(x,y) x + y; lo stesso si può dire del prodotto. Non si ha una funzione dicendo" I{a) è la soluzione dell'equazione X2 + 2x + a O": infatti, se a > 1 l'equazione non ha soluzione, quindi per tali valori di a l'immagine I{a) non esiste, e per a < 1 l'equazione ha due diverse soluzioni, quindi 1 assocerebbe a tali a due diverse immagini

(~

es. 1.27).

A volte, per evitare di usare troppe lettere, il dominio di una funzione, la cui legge sia I, viene indicato con il simbolo dom 1 . N ella prima parte degli usuali corsi di Analisi matematica si considerano pressoché soltanto funzioni reali di una variabile reale, cioè tali che sia il dominio sia il codominio sono sottoinsiemi di IR. In tal caso, parleremo di una funzione citandone solo la legge, e sottintenderemo, salvo diversa esplicita menzione, che il codominio è tutto IR, e che il dominio è il più grande sottoinsieme A di IR su cui ha senso la legge (il cosiddetto "dominio naturale").

Esempio: parleremo della funzione I(x) = (2x + c)j(x - 1) , intendendo la funzione I: IR \ {l} -+ IR che ha come legge I(x) = (2x + c)j(x - 1) . Per indicare la sola legge, senza assegnarle un simbolo, si usa la notazione ( nome-della-variabile ) I-t

(

legge) ,

o anche semplicemente si cita la legge.

Esempio: si può scrivere la funzione dell'esempio precedente come x I-t (2x+c)j(x-1) , oppure solo (2x + c)j(x - 1) . Tuttavia, l'ultima notazione va usata con precauzione: parlando di (2x+c)j(x-1) , non si può capire se ci riferiamo alla funzione x I-t (2x+c)j(x-1) ,dove il numero reale c è fissato, o alla funzione (completamente diversa!) c I-t (2x + c)j(x 1), dove invece abbiamo fissato iI numero x (~es. 1.28).

Esempio : alcune funzioni interessanti sono:

b definisce una a) le applicazioni costanti: fissato bE B, la legge Va E A, ICa) funzione che assume sempre il valore b, e la indicheremo con I(a) b; b) l'identità di A: è l'applicazione iA : A -+ A definita dalla legge iA{a) a, che ad ogni punto di A associa se stesso; c) le proiezioni canoniche sui fattori di un prodotto cartesiano: la proiezione sul primo fattore Ih : E x F -+ E è l'applicazione che alla coppia (x, y) associa la prima coordinata x; allo stesso modo è definita la proiezione II2 sul secondo fattore (e quelle sugli altri fattori in un prodotto di più di due insiemi).

17

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

Definizione : si dice grafico di una funzione f: A --+ B il sottoinsieme definito da Cfll = {(a, b) E A x B : b = f(a)} . Il grafico di

f

ha la proprietà che

Va

E

(~

di A x B

es. 1.29)

A, 3!b E B : (a, b)

E

171'

(1.9)

B d

---------~

I

c

b

I-----r-----~----

• I

a x

Fig. 1.8:

una funzione f: A -+ B

Fig. 1. 9:

y

z

il grafico della funzione

A

f

Esempio : la circonferenza 'Y {(x, y) : -1 ::; x ::; 1, X2 + y2 = l} non è il grafico di una funzione da A {x E lR. : -1 ::; x ::; l} ad lR., perché in corrispondenza al punto x O (e non solo a quello) esistono due valori (1 e -1) di y per i quali (x, y) E 'Y. Invece, 'Y n {(x, y) : x E A, y 2:: O} è un grafico (~ es. 1.30). Dalla definizione di grafico risulta evidente che un punto P = (x, y) appartiene al grafico della funzione f se e solo se la sua ordinata, y, è uguale al valore assunto da f nella sua ascissa, x. Il prossimo esempio è fondamentale.

Esempio: il punto (2, 11) sta sul grafico della funzione f (t) = 3t 2 -1 ,perché 3.2 2 -1 = 11 . Invece, (0,4) non sta sul grafico perché 3.0 2 1:::f 4. Analogamente, se il punto (2, -3) appartiene al grafico di una certa funzione g, questo ci dice che g(2) = -3. Definizione : si dice che una funzione

f : A --+

Val, a2 E A, [(al:::f a2)

=?

B è iniettiva se

(J(ad :::f f(a2))] .

Una funzione è dunque iniettiva se presi comunque due punti distinti in A le loro immagini sono anch'esse distinte. Un modo equivalente per definire l' iniettività (~ es. 1.31) è (1.10) Val,a2 E A, [(J(ad f(a2)) =? (al = a2)] .

È importante non confondere l'ordine in cui è scritta la formula precedente: infatti, la proposizione

Val,a2 E A, [(al

a2)

=?

(J(ad = f(a2))]

è una banalità, verificata da ogni funzione (controllatelo).

18

Fig. 1.10:

Sezione 1.3 : Funzioni generiche

questa funzione non è iniettiva ...

Esempio: la funzione f(x) f(xt}

f(X2)

= (2x + l)/(x => => => =>

Fig. 1.11:

1) è iniettiva, perché

2X2 + 1 x2 -1 2XIX2 2XI + X2 1 3XI = 3X2 2XI Xl

Xl

... mentre questa è iniettiva

+1

2XIX2

2X2 + XI-1

= X2 .

Invece, g(x) = (2x 2 + 1)/(x2 - 1) non è iniettiva (~ es. 1.32), perché ad esempio g(2) = g( -2) . Riassumendo, la caratteristica delle funzioni iniettive è che se un certo punto b è immagine di qualche punto del dominio, allora è immagine di un solo punto (~es. 1.33). È utile interpretare l'iniettività di una funzione f in maniera grafica: ogni retta oriz­ zontale interseca il grafico di f in al più un punto. Rimandiamo alla fine del presente volume per un elenco di grafici delle funzioni più comuni; mediante la caratterizzazione grafica precedente è facile individuare quali di esse sono iniettive. Osserviamo che non tutti i punti del codominio sono necessariamente immagine di qualche punto del dominio: ad esempio, la funzione (2x + l)/(x - 1) non assume mai il valore 2 (~es. 1.34).

Definizione: si dice che una funzione f: A -+ B è surgettiva (o suriettiva) se VbEB,3aEA:b=f(a).

Una funzione è dunque surgettiva se tutti i punti del codominio sono immagine di qualche punto del dominio.

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

Fig. 1.12:

questa funzione non è surgettiva ...

Fig. 1.13:

19

... mentre questa è surgettiva

Esempio: la funzione (2x + l)/(x - 1) non è surgettiva, perché come visto prima l'equazione (2x + l)/(x - 1) = 2 non ha soluzioni, dunque la funzione non assume mai il valore 2. Invece la funzione x-l (intesa, come si è detto, con dominio quello naturale, cioè lR, e codominio lR) è surgettiva, perché per ogni y E lR l'equazione x 1 y ha soluzione (la soluzione è x = 1 + y ), dunque ogni y E lR è immagine di qualche punto x E lR. Poiché tale punto x è unico, la funzione x 1 è anche iniettiva (~ es. 1.36).

Osserviamo che le due nozioni di iniettività e surgettività sono indipendenti: vi possono essere funzioni iniettive ma non surgettive, cosÌ come vi possono essere funzioni surgettive ma non iniettive (~ es. 1.37).

Definizione: si dice che una funzione I: A -* B è biunivoca (o biiettiva, o bigettiva) se è contemporaneamente iniettiva e surgettiva. Se I: A -* B è biunivoca, si ha: a) I è surgettiva, quindi per ogni bE B esiste (almeno) un a E A tale che b = I(a) b) I è iniettiva, quindi tale a è unico, pertanto I è biunivoca se e solo se Vb E B, 3la E A : b

I(a).

La formula precedente (che è equivalente a dire che I è biunivoca) è una legge che ad ogni bE B associa uno ed un solo a E A, quello tale che I(a) b: dunque, definisce una funzione da B in A.

Definizione : se I : A -* B è biunivoca, si dice funzione inversa di I la funzione l-l : B -* A che all'elemento bE B associa l'unico elemento a E A tale che I(a) = b.

20

Sezione 1.3 : Funzioni generiche

Fig. 1.14:

una funzione biunivoca , : A --+ B

Fig. 1.15:

la sua inversa

,-l :

B --+ A

Esempio: la funzione f: R -t R definita da f(x) 3x + 1 è biunivoca (verificatelo); da b = f(a) segue a = (b - 1)/3: la funzione inversa è allora f-l(X) = (x - 1)/3 (~ es. 1.39). Osservazione: è un errore (che si trova molto frequentemente) pensare che l'inversa della somma di due funzioni a valori reali sia la somma delle due inverse. Questo è falso anche in casi semplicissimi, come si vede prendendo ad esempio f(x) = g(x) = x: allora rl(x) g-l(X) = x, (f + g)(x) 2x e (f + g)-l(X) x/2, quindi (f + g)-l(X) ::f rl(x) + g-l(X) . Osserviamo che se es. 1.40)

f :A

-t B è biunivoca, il grafico della funzione inversa è (~

'fl,-,={(b,a)EBxA:a=rl(b)}

{(b,a)EBxA:(a,b)E 'fl,}:

(1.11)

questo significa che il grafico dell' inversa è il simmetrico del grafico di f, perché si ottiene scambiando A con B (se A e B sono sottoinsiemi di R il grafico di f-l è il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante). Se f : A -t B è una funzione, ed E è un sottoinsieme del dominio A, indichiamo con f (E) l'insieme dei valori assunti da f nei punti di E, cioè

f(E) = {b E B : :3a E E : b = f(a)} , o più brevemente

f(E) = {f(a) : a E E} : l'insieme f(E) è dunque l'insieme delle immagini dei punti di E. In maniera analoga, se invece E è un sottoinsieme del codominio B , e anche se f non è necessariamente biunivoca, indichiamo con f-I(E) l'insieme dei punti di A la cui immagine appartiene ad E es. 1.41), cioè

f-I(E) = {a E A : f(a) E E} .

21

Capitolo 1 : Conoscenze preliminari

Definizione: se f : A -+ B ed E C A, l'insieme f(E) si chiama immagine di E tramite f ; nel caso particolare in cui E è tutto il dominio A, 1'insieme f(A) si dice brevemente immagine di f. Invece, se E cB, l'insieme f-l(E) si chiama immagine in\'ersa di E tramite f .

Fig. 1.16:

l'immagine di E tramite f

Fig. 1.17:

l'immagine inversa di E tramite

f

Bisogna prestare attenzione, vista la coincidenza dei simboli, a non confondere la funzione inversa f-l (che abbiamo visto esistere solo se f è biunivoca) con l'immagine inversa tramite f (che dà come risultato un insieme, ed ha sempre senso).

Esempio: se f(x) =

X2

+ 1 , si ha

f({a E ffi.: 1 < a < 2}) = {b E ffi.: 2 < b < 5} infatti, se 1 < a < 2 si ha 1 < a 2 < 4, quindi 2 < f(a) < 5, ovvero f({a E ffi.: 1 < a < 2}) C {b E ffi. : 2 < b < 5} ; viceversa, se 2 < b < 5 il numero a Vb=! verifica 1 < a < 2 e f (a) b ,quindi {b E ffi. : 2 < b < 5} C f ({a E ffi. : 1 < a < 2}) e l'uguaglianza è dimostrata; invece (~ es. 1.42),

f-l({b E ffi.: 2 < b < 5})

{a E ffi.: 1 < a < 2 o -2 < a < -l}.

(1.12)

Quando parleremo di certe funzioni inverse, avremo bisogno del concetto di restri­ zione; brevemente, restringere una funzione a un sottoinsieme del proprio dominio signi­ fica "dimenticare" che la funzione esisteva anche al di fuori di questo sottoinsieme.

Definizione : se f : A -+ B ed E C A, si dice restrizione di flE : E -+ B definita da fIE(x) f(x) per ogni x E E .

f

ad E la funzione

Esempio : possiamo vedere l'utilizzo del concetto di restrizione in un caso interessante: posto E {x E ffi. : x 2:: O} , la funzione f : ffi. -+ E definita da f(x) = x2 non è iniettiva, perché ad esempio f( -1) f(l) ; invece, la restrizione flE risulta iniettiva (e anche surgettiva), e la sua inversa è Vx (che non è l'inversa di f).

22

Sezione 1.3 : Funzioni generiche

Per calcolare la maggior parte delle funzioni che incontriamo, noi procediamo a passi successivi: così, ad esempio, per calcolare log (cos( X2) ) prima si calcola il quadrato di x, poi del risultato si calcola il coseno, poi del nuovo risultato si calcola il logaritmo. Questo procedimento a catena si formalizza nel concetto di composizione. Definizione : se f : A -+ B e 9 : B -+ C , si dice funzione composta di 9 ed f la funzione 9 o f : A -+ C definita dalla legge (g o f) (x) 9 (J (x)) .

Fig. 1.18:

f : A -+ B,

g: B -+ C e la funzione composta h = go

f : A -+ C

Osservazione: più in generale, si può definire la composizione di due funzioni f : A -+ B e g: B' -+ C, purché vi siano punti x E A in cui si può calcolare g(J(x)) : ciò accade quando c'è qualche punto del tipo f(x) (cioè nell'immagine di f) in cui possiamo calcolare 9 (cioè nel dominio di g), vale a dire se

f(A) n B' :f 0 . Se questa condizione è soddisfatta, la funzione composta gof ha dominio f-l(f(A)nB ' ) (che è l'insieme dei punti di A la cui immagine tramite f sta nel dominio di g).

Esempio: se f(x) = X2 e g(x) cos(x) , allora (g o f)(x) = cos(J(x)) = cos(X2) , mentre (f o g)(x) = (cos X)2 . Notiamo in particolare che anche nei casi in cui possiamo scrivere entrambe le funzioni go f e f o 9 queste possono essere diverse (e lo sono, salvo casi molto particolari). Se f(x) = x - l e g(x) ...;x, la composizione (g o f)(x) = ha dominio {x E R. : x ;::: l}, mentre (f o g)(x) = ...;x - l ha dominio {x E R. : x;::: O} (~es. 1.45). Esempio: se fez) = Z2 e g(y) = cos(y) , allora (g o f)(x) è ancora uguale a COS(X2). Questo esempio è proprio banale, ma l'incertezza su questo punto è molto diffusa: nella legge di una funzione, il simbolo della variabile è muto, quindi la funzione x I---t f(x) è esattamente la stessa della funzione • I---t f(.) . Calcolare una composizione non è altro che seguire correttamente le indicazioni di una ricettaj vediamo qualche esempio meno immediato dei precedenti.

Capitolo l : Conoscenze preliminari

23

Esempio : poniamo

f(x)

= {xt l x

se x



equivale a [( ~ =>

)e (

=>~)].

{=:::;}[~=>

Esercizio 1.6 : dimostrate, scrivendo la tabella di verità, che (non ~W) o è equivalente a non( ~ o !!il).

Esercizio 1. 7 (!!il o @")].

dimostrate che non è vero che [( ~W e

o

Esercizio 1.8 : provate che [(.W e !!il) o J {=:::;} [( ~ o e che [(.W o !!il) e J {==::> [( ~ e ) o (!!il e @")].

Esercizio 1.9 : dimostrate che [non( ~W e

:':ff

l{==::>[ ~W e )e (

o

)J {==::> [(non.W) o (non

Esercizio 1.10 : dimostrate che [non( ~ o !!il) J senza fare uso di tabelle di verità.

{=:::;}

[(

non

non ~) e (non

Esercizio 1.11

trovate la negazione di [~W

Esercizio 1.12

dimostrate la formula (1.3) mediante le tabelle di verità.

Esercizio 1.13

date tre esempi di predicati con una o due variabili.

)J

)l . )J

{=:::;}

Esercizio 1.14 date tre esempi di proposizioni ottenute con i quantificatori, leggetele

come sono scritte e datene una traduzione intelligibile in italiano.

Esercizio 1.15 : dite quali tra le seguenti proposizioni sono vere:

c) ' [3y : ((y > l) e (y2 < x))]} ; scrivete in maniera estesa la proposizione 3x > 2 : ' O,

ab 2: c

{::=;>

se b < O,

ab 2: c

{::=;>

a>c - b c a:::; b'

(2.4)

Nella maggior parte dei casi, il termine indicato sopra con b non è un numero con un segno ben visibile (come ad esempio b = 4 o b -3 ), ma una espressione il cui segno può dipendere da parametri o da incognite (ad esempio b 3k x). In tal caso, la scelta fra le due righe di (2.4) va eseguita dividendo il ragionamento nei casi b > O, b=O, b O otteniamo le soluzioni O < x < 2 ;

' : rISO . l' , X2 - 2 E semplO vlamo l a d'lsequazlOne -

x

O non è verificata (il primo membro non esiste); < O diventa x2 - 2 > x ,cioè x2 - x - 2 > O: poiché quest 'ultima ha soluzione x < -1 o x > 2 , tenendo conto che x < O otteniamo le soluzioni x < -1 ; unendo le soluzioni ottenute ricaviamo la soluzione della disequazione di partenza, che è x < -1 o O < x < 2 (e non" e ", come spesso capita di leggere). b) se x c) se x

Analogamente a quanto fatto per i sistemi di equazioni, si possono considerare i sistemi di disequazioni, del tipo h(x) 2: O h(x) 2: O (2.5)

l

fn(x) 2: O

e simili, eventualmente con il simbolo 2: sostituito da un altro dei simboli di disugua­ glianza. Ancora una volta, risolvere il sistema (2.5) significa determinare il sottoinsieme 8 c]l{ i cui elementi x risolvono tutte le disequazioni fJ(x) 2: O con j = 1, ... , n. In altri termini, detto 8 j l'insieme delle soluzioni della disequazione fJ(x) 2: O, l'insieme 8 delle soluzioni del sistema (2.5) è l'intersezione degli insiemi 8 j :

n8 = 8 n 8 n ... n 8 n

8

j

1

2

n.

j=1

Esempio : consideriamo il sistema di disequazioni

X-vlx>O { 1 - log(1 + x2) 2: O dove, a causa della presenza della radice quadrata, l'incognita x deve essere cercata tra i numeri reali non negativi. La prima disequazione si può allora scrivere come x2 2: x

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

35

che, tenuto conto che x 2: O, ha come insieme di soluzioni SI = [1, +00[. La seconda disequazione si può scrivere nella forma log(l +X2) ::::; 1 e fornisce quindi (llir sezione 3.7) come insieme di soluzioni S2 = [-Ve=-I, Ve=-I l. Poiché e> 2, si ha Ve=-I> 1, quindi i numeri reali x dell' insieme

8

= 8 1 n 82

[1, v'e=11

saranno le soluzioni cercate del sistema di disequazioni

es. 2.13).

In conclusione della sezione, segnaliamo che numerose altre "regolette" algebriche sulle operazioni fra numeri reali, quali ad esempio "meno per meno fa più" oppure "ogni numero per zero fa zero," sono dimostrahili a partire dalle proprietà S,P,D,M. Un altro errore stravagante è commesso da chi ha paura dei numeri negativi, per cui se in una espressione compare, poniamo, la lettera x, ma sappiamo che x < O , la povera x viene tramutata in -x! Basta invece pensare che x è il nome assegnato a quella quantità, e i nomi, si sa, non cambiano a seconda delle situazioni: è come se chiamaste una data persona con un nome se c'è il sole, ma con un nome diverso se il sole non c "e ... Per concludere la lista degli errori comuni anche se incredibili, segnaliamo che molti studenti non sono in grado di mettere correttamente in ordine crescente i numeri, anche quelli "facili", e questo è particolarmente deleterio nella soluzione dei sistemi. In questi, infatti, si usa spesso una grafica a righe continue e tratteggiate, per la quale è necessario ordinare certi capisaldi. Questo metodo nasconde anche un'altra insidia: bisogna sapere quello che si sta facendo (cosa utile anche in altre situazioni ... ). Difatti, a volte le righe-e-tratti vengono usate per esaminare il segno di un prodotto, delle altre per cercare quando certe condizioni sono vere contemporaneamente, delle altre ancora per vedere quando è verificata almeno una fra più condizioni, e bisogna non fare confusione, come si vede nel prossimo esempio.

Esempio: vogliamo risolvere il sistema (x - l)(x; 2)(3 {

Ix - 31>

2

x) > O disequazione (1)

disequazione (2).

La seconda disequazione (llir sezione 3.4) si traduce in [x - 3 > x/2] o [x - 3 perciò abbiamo tre disequazioni,

(x - l)(x + 2)(3 x-3>x/2 x - 3 < -x/2

< -x/2] ,

x) > O disequazione (1) disequazione (2A) disequazione (2B),

e dobbiamo prima trovare le soluzioni di (1), di (2A) e di (2B), poi fare l'unione delle soluzioni di (2A) e (2B) per trovare le soluzioni della seconda disequazione del sistema di partenza, infine fare l'intersezione di quanto trovato con le soluzioni di (1). Per risolvere (1), studiamo il segno dei tre fattori e quindi quello del prodotto:

36

Sezione 2.4 : Sistemi lineari di equazioni

-2

l

3

segno di x - l segno di x

+2

segno di 3 ­ x segno del prodotto

~---

soluzioni di (l)

Fig. 2.1:

il segno di (x - l)(x + 2)(3 - x)

Le soluzioni di (2A) e (2B) sono rispettivamente x > 6 e x fare l'unione:

2

< 2, e di queste dobbiamo

6

soluzioni di (2A)

- - - -,- - - - - - - -41--­

soluzioni di (2B)

--~~"""------

soluzioni di (2)

-----~~------~+-----

Fig. 2.2:

....

---­

unione delle soluzioni di (2A) e (2B)

Infine intersechiamo quanto ora trovato con le soluzioni di (l):

-2

l

2

3

6

-I

soluzioni di (l) soluzioni di (2)

-

soluzioni del sistema

Fig. 2.3:

intersezione delle soluzioni di (l) e (2)

Capitolo 2: Numeri, angoli, coordinate

37

Come si vede, anche se si usa la stessa grafica si compiono operazioni molto differenti!

2.4 - Sistemi lineari di equazioni Capita spesso di avere Più di un'incognita da determinare, attraverso un certo numero di equazioni (o disequazioni). Ad esempio, nel caso di due incognite x ed y, risolvere un'equazione del tipo

I(x,y) = O vorrà dire determinare tutte le coppie (x,y) per cui valga l'uguaglianza I(x,y) O. In generale, può capitare di avere n incognite Xl, X2, .•• , X n , ed m equazioni Ik(XI, .. " x n) = O dove l'indice k varia tra 1 ed m. Si usa allora scrivere il problema sotto forma di sistema:

!I(XI, ... ,Xn):o l2(xI,". ,x n ) - O { Im(XI, ... ,xn)=O. Il caso più semplice è quello dei sistemi lineari, in cui le funzioni Ik dipendono linear­ mente dalle variabili Xi, vale a dire sono della forma

f(XI,X2, ... ,Xn )

alXI

+ a2x2 + ... + anX n + A,

con ab a2, ... ,an , A costanti opportune. Prendiamo ad esempio il caso in cui n m = 2: il sistema si scrive allora (indicando con X ed y le due variabili in gioco) nella forma

ax + by + e = O { ex +dy + I = O

(2.6)

sove a, b, c, d, e, I sono numeri reali assegnati (detti coefficienti del sistema). È subito evidente che non sempre esiste una soluzione; basta ad esempio considerare il sistema

X+y O { x+y+l=O che è del tipo (2.6) con a = b c d I I , e = O , per rendersi conto che non esiste alcuna coppia (x, y) che lo risolve. Analogamente può succedere che le soluzioni siano in numero infinito, come mostra ad esempio il sistema

X+y O

{ 2x + 2y O,

38

Sezione 2.4 : Sistemi lineari di equazioni

che è sempre del tipo (2.6), in cui tutte le coppie (t, con t E lR sono soluzioni. La maniera più semplice di risolvere un sistema del tipo (2.6) è per sostituzione; uno dei coefficienti a, b, c, d sarà non nullo (altrimenti il sistema è banale, dato che non compaiono le incognite!), supponiamo ad esempio che sia a =I O. Si trova allora dalla prima equazione by+e (2.7) x a

che, sostituito nella seconda equazione, fornisce c - - (by a

+ e) + dy + I

= O

che si può scrivere equivalentemente nella forma (ad - bc)y = ce

af.

A questo punto è cruciale osservare se il coefficiente ad ad - be =I O si trova subito ce - al y= ad - be

(2.8) be è non nullo; infatti se

e dunque, sostituendo in (2.7),

x=

bI

de '. ad-bc

Se invece si ha ad bc = O , dalla (2.8) si ricava che: a) se ce - al =I O non esistono soluzioni; b) se ce - al == O allora ogni y E lR risolve (2.8) e dunque le soluzioni di (2.6) sono infinite; più precisamente esse sono tutte e sole le coppie del tipo (- (by + e) I a, y) con y E lR. Più avanti, nello sviluppo dei corsi di Matematica, si capirà meglio il significato della quantità ad bc e più in generale la questione della risolubilità dei sistemi lineari. Ragionamenti analoghi (ma naturalmente la complessità dei calcoli dovuti alle sosti­ tuzioni aumenta) possono essere applicati a sistemi lineari di tre equazioni in tre variabili, del tipo alX + azy + a3Z + A = O b1x + bzy + b3 z + B == O { CIX + czy + C3Z + C = O o più in generale anche a sistemi con un numero più elevato di equazioni e di variabili.

Esempio : per risolvere il sistema

X+Y-Z=3 y+z=2 { x+z=l

(2.9)

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

39

possiamo ricavare ad esempio z 1 - x dalla terza equazione e, sostituendo nelle prime due, trovare il nuovo sistema di due equazioni in due variabili

{~x_:y= l~

Ricavando ora y = l'equazione 3x = 3 y e di z trovate in sistema (2.9) è data

1 + x dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si trova da cui si ottiene x 1 e quindi, risostituendo nelle espressioni di precedenza, si trova y = 2 e z = O. Dunque l'unica soluzione del da x l , y 2, z O .

Esempio ; consideriamo il sistema 3X { ricaviamo z = 3x

O

y-z

6x - 2y - z = O 6x - 2y+ z

= O,

y dalla prima equazione e sostituiamo nelle altre. Si trova il sistema

3X -y = O { 9x 3y = O che è risolto da tutte le infinite coppie del tipo (x, 3x) con x E JR. Risostituendo nell'espressione di z trovata si ottiene z O e dunque le soluzioni del sistema iniziale sono infinite e più precisamente sono le teme del tipo (x, 3x, O) con x E JR (~es. 2.14).

2.5 - Disequazioni in più variabili Diamo in questa sezione un breve cenno sulle disequazioni e sui sistemi di disequazioni in più variabili. Ci limiteremo a qualche esempio in due variabili, rinviando ai corsi di Matematica dei primi anni per ulteriori dettagli e approfondimenti. Una disequazione in due variabili è un'espressione del tipo

f(x,y) ~ O (dove il segno di disuguaglianza ~ è preso solo come esempio) ed è quindi associata a un sottoinsieme del piano cartesiano JR2 : più precisamente all' insieme

((x,y) E JR2 : f(x,y) ~ O} dei punti (x, y) le cui coordinate risolvono la disequazione. Tale insieme può essere -1 x2 - y2 , oppure può essere vuoto, come ad esempio nel caso in cui f (x, y) l'intero piano JR;2 , come ad esempio nel caso in cui f (x, y) = 1 + X2 + y2 . Esempi meno banali, che dovrebbero essere ben noti dalle scuole medie superiori, sono i seguenti.

40

Sezione 2.5 : Disequazioni in più variabili

Esempio: La disequazione X2

+ y2

::;

R2

rappresenta il cerchio (che è "pieno", non va confuso con la circonferenza che è solo la curva esterna) di centro l'origine e raggio R; se operiamo una traslazione e consideriamo la disequazione

(x - a)2 + (y - b)2 ::; R 2 otteniamo allora il cerchio di centro (a, b) e raggio R.

Fig. 2.4:

l'insieme (;1)

2)2

+ (y -

1)2 :S: 5

Esempio : La disequazione

Ixl + Iyl ::; L rappresenta il quadrato di vertici (O, ±L) e (±L, O) , come si verifica facilmente, ad esempio considerando i vari casi determinati dai segni di x e di y.

(l,Q)

Fig. 2.5:

l'insieme

Ixl + lyl :S: 1

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

41

Nel caso si abbia a che fare con un sistema di disequazioni

h(x,y) ::::: O

h(x, y) ::::: O

!

fm(x, y) ::::: O

si determineranno dapprima l'insieme Al delle soluzioni della disequazione h (x, y) ::::: O, l'insieme A 2 delle soluzioni della disequazione h(x, y) ::::: O, ... , l'insieme Am delle soluzioni della disequazione fm(x, y) ::::: O; infine si prenderà la loro intersezione, cioè l'insieme A = Al n A 2 n ... n Am , che sarà l'insieme delle soluzioni cercato.

Esempio : Consideriamo il sistema

+ y2 < 1 31xl + 31yl :-: ; 4. x2

{

Basandoci sugli esempi precedenti abbiamo che la prima disequazione ha per soluzioni i punti che appartengono al cerchio di centro l'origine e raggio 1, mentre la seconda dise­ quazione è risolta dai punti che appartengono al quadrato di vertici (0,4/3), (O, -4/3) , (4/3, O), (-4/3, O) . Le soluzioni del sistema sono date quindi dall' intersezione dei due insiemi (~ es. 2.15).

Fig. 2.6:

la regione scura rappresenta le soluzioni del sistema

42

Sezione 2.6 : Potenze e polinomi

2.6 - Potenze e polinomi Sul significato dell'espressione xm con m intero positivo o negativo non dovrebbero esserci dubbi; per quanto riguarda l'esponente O, poniamo per definizione xO = 1: in particolare, 0° = 1 (questa scelta risulta molto comoda in un gran numero di situazioni algebriche, ma d'altra parte crea dei problemi con le forme indeterminate nei limiti, come si può vedere durante un successivo corso di matematica). Se n è un intero dispari, xl/n è l'unico numero che elevato alla potenza n dà x; se n è un intero pari, xl/n è definito solo per x ~ O, ed è l'unico numero non negativo che elevato alla potenza n dà x: in particolare, 4 1/ 2 = v4 = 2 , e non ±2. Con il simbolo x m / n , se m ed n sono entrambi dispari, oppure se solo m è pari, indichiamo (xm)l/n oppure (xl/n)m, che sono uguali. La stessa definizione vale anche se n è pari ed m è dispari: in tal caso, (xm)l/n = (xl/n)m se x ~ O, e nessuno dei due è definito (e pertanto xm/n non è definito) se x < O. La solita definizione, infine, vale anche se m ed n sono entrambi pari, ma solo se x ~ O ; invece, nel caso x < O ed m, n entrambi pari, non è vero che (Xm) l/n = (Xl/n)m , e pertanto Xm/n non ha senso: infatti (xm)l/n esiste, in quanto xm è positivo ed (xm)l/n ha senso, mentre (xl/n)m non esiste perché xl/n è una radice pari di un numero negativo (ad esempio, [( _2)2]1/2 = 41/ 2 = 2 ,ma [(_2)1/2]2 non esiste). Questo deve far riflettere sulla possibilità (che non è sempre garantita!!!) di effettuare semplificazioni nell'esponente di una potenza, in quanto ad esempio non è certo che X 32 / 16 sia uguale ad X2 : lo è solo se x ~ O ; invece, X6/ 15 = X2/ 5 è sempre vero (~ es. 2.16). Le principali proprietà delle potenze sono: a) se x, y ~ O oppure se n è dispari, allora (xy)m/n = xm/n ym/n b) xm/n x p/ q = x m/ n+p/ q c) se tutte le potenze hanno senso, (xm/n)P/q = xmp/(nq) = (xp/q)m/n . Di nuovo, invitiamo a riflettere sul fatto che la prima proprietà non dice semplicemente che (xy)m/n = xm/n ym/n , ma fa precedere questa formula da una condizione che va verificata: ad esempio, in generale vxy e Vxy'Y potrebbero non indicare la stessa cosa, in quanto la radice del prodotto potrebbe avere senso anche se non lo ha il prodotto delle radici. Bisogna perciò evitare semplificazioni indiscriminate.

Esempio: se x = -3 e y ma il prodotto Vxy'Y = numeri reali.

= -27, ha senso la radice

AvI-27

vxy = J( -3)( -27) = J8I = 9 ,

non ha significato -

perlomeno nell'ambito dei

Esempio: l'equazione vi4 - X2 = X - 2 , elevando alla cieca al quadrato ambo i membri, diventa 4 - X2 = X2 - 4x + 4 , cioè 2X2 - 4x = O , che ha soluzioni x = O e x = 2 ; tuttavia x = O non risolve l'equazione originaria, che diventerebbe v4 = -2. L'errore qui sta nel fatto che l'equazione a = b non è sempre equivalente ad a 2 = b2 : lo è solo se a e b sono concordi; nel nostro caso a = vi4 - X2 ~ O , quindi è necessario imporre che b = x - 2 ~ O per "poter" elevare al quadrato.

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

43

Nel caso particolarmente frequente in cui tutti gli esponenti sono dei numeri interi, le proprietà precedenti si riducono a: a') (xy)m = xm ym b') xm x p = xm+p c') se x i- O o se m,p 2: O allora (xm)p = x mp .

Esempio: (x3 y 5)2 . (x2y)3 = x3.2 . y5.2 . x2.3 . yl.3 = x6 x 6y lO y 3 = (x3/5 y 2/3)3/7 = x9/35 y 2/7 (x3/5 y 2/3)3/4 = x9/20(y2)1/4 :

x12y13

in questo caso non si può semplificare oltre, se non si conosce il segno di y. A partire dalle potenze con esponente intero si costruiscono i polinomi, che sono somme finite di termini (detti monomi) ciascuno dei quali è prodotto di una costante per una potenza dell' incognita. Un polinomio P(x) si dice di grado k se la più grande potenza di x che compare in P(x) con coefficiente diverso da zero è xk: così, 3x 5 ­ 2x + X7 ha grado 7, mentre del polinomio 3x 5 - 2x + ax 7 non possiamo dire lo stesso, dato che il grado è 7 solo se a i- O. Se in un polinomio compare come potenza più alta xk , ma il coefficiente di xk potrebbe essere nullo, si dice che P è un polinomio di ordine k; quindi, un polinomio di ordine k non può avere grado superiore a k, ma può averlo anche inferiore.

Esempio: il polinomio P( x) = 3X2 - 2a 2x +5 ha grado 2 (e ordine 2), mentre il polinomio P(x) = (a 2 - 4)x2 - (a + 2)x + 4, che ha ordine 2, ha grado che dipende da a; in particolare, se a i- ±2 il grado è due, se a = 2 il grado è uno, e se a = -2 il grado è zero. Esempio: la scrittura 2a3x 2 - 3xa 2 + 5 è certamente un polinomio, ma per dire quale ne siano il grado e l'ordine dobbiamo prima sapere quale sia la variabile! Infatti se la variabile è x l'ordine è due, se la variabile è a l'ordine è tre, e se la variabile è qualche altra (per esempio y) il grado del polinomio è zero. Le operazioni di somma e prodotto tra polinomi dovrebbero essere ben note: la somma si esegue termine a termine, mentre per il prodotto si moltiplicano uno per uno i termini del primo polinomio per ciascuno dei termini del secondo. Benché in teoria la cosa non presenti alcuna difficoltà, qui si trovano con incredibile frequenza degli errori; gene­ ralmente sono dovuti semplicemente a mancanza di ordine (grafico o mentale) nel portare avanti i calcoli. Visto che questo è facilmente rimediabile, raccomandiamo di scegliere un modo di procedere ordinato e attenervisi rigorosamente: ad esempio, nell'eseguire le somme di polinomi si potrebbe fare un piccolo segno sotto ad ogni monomio che è stato sommato, e alla fine (molti studenti si dimenticano proprio di questo!) controllare che tutti i monomi da sommare abbiano il loro segnetto. Nell'eseguire i prodotti, conviene prendere il primo monomio del primo polinomio e moltiplicarlo via via per tutti gli ad­ dendi del secondo polinomio, poi (terminata la prima parte dell'operazione) passare al

44

Sezione 2.6 : Potenze e polinomi

secondo monomio del primo polinomio, e moltiplicare anche quello per tutti gli addendi del secondo polinomio, e cosÌ via.

Esempio : calcoliamo (3ax 2

-

2a 3 x

+ 5)(2a3 x 3 -

2

= 3ax (2a 3 x 3

= 6a 4 x 5 -

-

6ax3

2x + l)

2x + l) - 2a 3 x(2a 3 x 3

+ 3ax 2 -

[*4a 6 x 4

-

+ l) + 5(2a3 x 3 2x + l) 4a 3 x2 + 2a 3 x]* + 10a 3 x 3 - 10x + 5 ; 2x

notate che per non rischiare di fare pasticci con i segni è stato lasciato il segno "meno" fuori dalle parentesi asteriscate: questa è una buona norma, utile in particolare per chi non si sente in grado di eseguire diversi passaggi in un colpo solo. CosÌ: ... = 6a 4 x 5 6ax 3 + 3ax2 - 4a6 x 4 + 4a3 x2 - 2a3 x + 10a3 x 3 lOx + 5 . Infine, esprimiamo il risultato ottenuto come polinomio nella variabile x, raccogliendo i monomi con lo stesso esponente:

... = 6a 4 x 5 -

4a6 x 4

+ (lOa 3 -

6a)x 3

+ (4a 3 + 3a)x2 -

(2a 3

+ lO)x + 5.

Ricordiamo a questo punto che nella divisione fra numeri interi, che prevede un quoziente e un resto, si ha ad esempio che la divisione di 17 per 3 dà quoziente 5 e resto 2. Come sono determinati questi numeri, e perché ad esempio non è vero che il quoziente è 7 con resto 4, oppure è 4 con resto 5? Sappiamo bene che la divisione di N per D ha quoziente Q e resto R se anzitutto N

QD+R

(il che elimina la possibilità che nell'esempio il quoziente fosse 7 e il resto 4, perché 17 i= 7·3 + 4 , ma lascia aperta la possibilità che sia Q = 4 e R = 5 ), e inoltre O~R O allora (2.10) ha le due soluzioni

se b2

4ac

se b2

4ac < O allora (2.10) non ha soluzioni

O allora (2.10) ha solo la soluzione

-b ± Vb 2 - 4ac x=-----­ 2a -b x 2a

(per la precisione, non ha soluzioni reali: chi conosce i numeri complessi sa che anche in quest'ultimo caso vi sono soluzioni, ma non sono reali). Il numero b2 - 4ac, appunto perché il suo segno discrimina fra i tra casi, viene detto discriminante dell'equazione e viene talvolta indicato con il simbolo il.

Esempio: risolviamo l'equazione 5X2 + 2x - 1 O: essendo il = (_2)2 - 4·5· (-1) 4 + 20 24> O l'equazione ha due radici, che sono x=

-2±V24 2·5

=

4x 2 ed essendo il

-

V6

-1

Esempio: risolviamo l'equazione 4x - 2 = 4x 2 4x + 1

=

5 1: questa può essere riscritta O

(-4)2 - 4·4·1 = O l'equazione ha una sola radice, che è x = 1/2.

Esempio: risolviamo l'equazione 3x - 2 = x2 + 2: questa può essere riscritta x 2 -3x+4 ed essendo il

= (-3)2 -

4 . 1 ·4

9

16

O

< O l'equazione non ha soluzioni

(~

es. 2.19).

Capitolo 2: Numeri, angoli, coordinate

47

Più interessante è la discussione relativa alle disequazioni di secondo grado: partiamo come prima dal caso modello, e studiamo il segno di t 2 k ; dato che t 2 > O per ogni t i= O e che t 2 = O per t O , se k < O vediamo subito che t 2 k > O per ogni valore di t, mentre se k = O abbiamo di nuovo t 2 - k > O , ma solo per ogni valore di t i= O . Il caso k > O è differente: infatti allora possiamo scrivere

t2- k

t2

(Jk)2 = (t + Jk)(t

Jk);

allora è evidente che il segno è positivo quandi i due fattori sono concordi, vale a dire quando t è minore di -Vk (e allora i due fattori sono entrambi negativi) e quando t è maggiore di Vk (e allora sono entrambi positivi). Il caso generale è complicato dalla presenza del coefficiente a; partendo da (2.11) e scrivendo 1). = b2 - 4ac , abbiamo che

ax

2+ bx + c

a [ (X

+

2~

r

4~2]'

Dalla discussione fatta poco fa si deduce allora che a) se 1). < O la quantità fra parentesi quadre è sempre positiva, dunque tenendo conto anche del termine a il trinomio ax 2 + bx + c ha sempre il segno del coefficiente a; b) se 1). = O la quantità fra parentesi quadre è sempre positiva salvo quando x = -b/2a, dunque tenendo conto anche del termine a il trinomio ax 2 + bx + c ha sempre il segno del coefficiente a, salvo che per x = -b/2a , caso in cui il trinomio si annulla; c) se 1). > O l'equazione ax 2 + bx + c = O ha due radici distinte Xl e X2, diciamo con Xl < X2 ; allora la quantità fra parentesi quadre è positiva se X è al di fuori dell' intervallo [Xl, X2l , nulla per X = Xl e X = X2 , negativa se X è all'interno dell' intervallo ]Xl, X2 [. Tenendo conto del termine a, cl) per X esterno all' intervallo [Xl, x2l , la quantità ax 2 + bx + c ha il segno del coefficiente a; c2) per X = Xl e per X = X2 , la quantità ax 2 + bx + c si annulla; c3) per X interno all' intervallo JXI, X2[, la quantità ax 2 +bx+c ha segno opposto a quello del coefficiente a.

Esempio : risolviamo la disequazione 5x 2 + 2x - 1 S; O: abbiamo visto sopra che l'equazione ha le due radici X = (-1 ± y'6) /5; dato che il coefficiente di X2 è po­ sitivo, il trinomio è positivo all'esterno dell' intervallo delle radici, negativo all'interno, dunque la soluzione della disequazione è

-1-v'6 5

S;xS;

Esempio : risolviamo la disequazione 4x

2

-1+v'6 5

.

< 4x 2 - 1 : questa può essere riscritta

4x 2 -4x+1>O e dato che 1). O e che il coefficiente di X2 è positivo, il trinomio è sempre positivo, tranne che per X 1/2 in cui si annulla. La soluzione della disequazione è allora X i= 1/2 .

48

Sezione 2.8 : Coordinate e angoli

Esempio ; risolviamo la disequazione 3x - 2 ~ x2 + 2 : questa può essere riscritta X2 - 3x

+ 4 :s; O

ed essendo Ll < O il trinomio ha sempre il segno del coefficiente di x2, cioè è positivo: allora la disequazione non ha soluzioni (~ es. 2.20). Possiamo avere una interpretazione grafica (1& sezione 4.1) delle disequazioni di secondo grado, che forse facilita il compito di ricordarsi la casistica: il grafico di un polinomio di secondo grado è una parabola, e nella figura che segue sono riportati i grafici delle tre funzioni 5x 2 + 2x - 1, 4X2 - 4x + 1 e X2 - 3x + 4 rispettivamente, dai quali risulta evidente dove queste sono positive e dove sono negative.

I

Fig. 2.7:

y

= 5x2 + 2x -

l

Fig. 2.8:

y

= 4x 2 -

4x

+l

Fig. 2.9:

-T~

y

__

= x2

M

_ _ _-

3x

+4

2.8 - Coordinate e angoli Un "sistema di coordinate" è in generale un metodo codificato per associare dei valori (in generale numerici, ma anche alfabetici o altro) a certe proprietà degli oggetti, in modo tale che trasmettendo solo questi valori ad un'altra persona lei possa capire in modo univoco le proprietà in questione.

Esempio ; se si parla di lunghezza di una sbarra e decidiamo di usare come sistema di coordinate la misura in metri, il numero 2.73 identifica univocamente una sbarra di lunghezza, appunto, 2.73 metri. Osserviamo che se non avessimo specificato che la misura riguarda una lunghezza ed è espressa in metri, ci sarebbe potuta ben essere una incomprensione (chi riceve l'informazione avrebbe potuto pensare che si riferisse a una lunghezza in pollici, o a un peso, ... ).

Capitolo 2: Numeri, angoli, coordinate

49

Esempio : nel gioco degli scacchi, "b5" è una valida coordinata; VB996785 indica, per un militare italiano, un ben preciso punto del territorio nazionale (al centro del cratere dell'Etna). Esempio : stabilito che il riferimento principale è dato dall'equatore e dal meridiano di Greenwich, latitudine e longitudine identificano univocamente un punto sulla superficie terrestre. Naturalmente le due coordinate non bastano più se vogliamo indicare la po­ sizione di un aereo o di un sommergibile: dovremo evidentemente aggiungere una terza coordinata, che può essere la quota rispetto alla superficie terrestre, o al livello medio del mare, o la distanza dal centro della terra, ... i anche la scelta di questa terza coor­ dinata deve essere codificata: ad esempio, misurando le quote dal livello medio del mare il monte più alto del mondo è l'Everest (8850 m s.l.m.), mentre misurandole dal centro della Terra (che come è noto non è sferica) il più alto è il Chimborazo (6310 m s.l.m.), che dista dal centro del pianeta 6384.45 km, contro 6382.25 km dell'Everest (fonte: National Geographic). Esempio: l'abituale sistema di coordinate su una retta consiste nel fissare sulla retta stessa un punto O che viene detto origine, ed un altro punto A diverso dal primo. In tal modo risultano individuati sia l'unità di misura (la distanza OA) sia il verso (detto "canonico") di percorrenza, quello da O verso A. Ad un punto P della retta associamo come coordinata il numero OP/OA se p e A sono dalla stessa parte rispetto a O, il numero -OP/OA altrimenti.

P1

Fig. 2.10:

o

A

O

A

P2

la coordinata di Pl è -0.5, quella di P2 è 2

Esempio: il sistema più comune di coordinate nel piano è quello cartesiano ortogonale, i cui assi sono due rette ortogonali, ciascuna dotata di coordinate e aventi le origini coincidenti. Spesso anche le unità di misura sulle due rette coincidono, anche se questo non è sempre il caSOi ad esempio, nel profilo altimetrico di una tappa del Giro d'Italia la coordinata verticale è molto esagerata (trenta volte quella orizzontale, nella figura 2.11): infatti l'escursione verticale è di qualche centinaio di metri, quella orizzontale di un paio di centinaia di chilometri. Se si dovesse usare la stessa unità di misura in orizzontale e in verticale (figura 2.12) il profilo di una tappa dolomitica risulterebbe quasi piatto.

50

Sezione 2.8 : Coordinate e angoli

km

2,057 F

Conegliano Fig. 2.11:

1,45

Malga Ciapela I IP.sso Fedaia

Corvara

la tappa dolomitica del 2002

111,9

Fig. 2.12:

km 117,2

la sua parte più ripida

Esempio: l'utilizzo di due assi cartesiani ortogonali è molto utile se si vuole rappresen­ tare graficamente un evento in cui vi siano due quantità tra loro collegate. Ad esempio, l'andamento dell' indice MIBTEL durante una giornata alla Borsa di Milano può essere descritto dal grafico della figura 2.13, dove sull'asse orizzontale delle ascisse viene rap­ presentato il tempo (tra le 9.30 e le 17.30 che, come è noto, sono gli orari di apertura e chiusura della Borsa di Milano) e su quello verticale delle ordinate il valore dell' indice. È da notare che, per rendere più eloquente la rappresentazione grafica, l'origine degli assi, cioè il punto dove questi si intersecano, è stata scelta in corrispondenza dell'ora 9.30 e dell' indice 18000, anziché dell'ora O e dell' indice O.

19000

16105

Fig. 2.13:

un giorno di MIBTEL

Per misurare gli angoli sono disponibili svariati sistemi di coordinate, alcuni più pratici e altri meno. Diamo per noto il sistema di misurazione in gradi sessagesimali, che consiste nel dividere l'angolo retto in 90 parti uguali a ciascuna delle quali viene assegnata la misura di un grado; per inciso, questo metodo è estremamente poco pratico: vi siete mai chiesti, ad esempio, come fareste a costruire un goniometro senza possederne già uno? In Analisi matematica e in generale in tutta la matematica, per motivi molto validi, il sistema usato è quello della misurazione in radianti. Questa consiste nel considerare un

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

51

angolo (cioè una porzione di piano delimitata da due semirette uscenti dallo stesso punto), tracciare una circonferenza di centro quel punto e raggio R qualunque, e misurare la lunghezza L dell'arco di circonferenza compreso entro l'angolo dato. TI rapporto LIR (che non dipende quindi dal raggio R scelto, visto che al raddoppiare di R raddoppia anche L) è la misura in radianti dell'angolo dato.

R' L'

R

Fig. 2.14:

per similitudine,

LIR

L' IR'

In tal modo, come si verifica facilmente, l'angolo retto risulta avere misura pari a rr 12 ; una corrispondenza fra le misure in gradi e radianti per alcuni angoli comuni è riportata qui di seguito (~ es. 2.21).

Una circonferenza di particolare utilità per la misurazione degli angoli è quella (detta goniometrica) avente raggio 1: in tal modo la misura di un angolo si ha semplicemente prendendo la lunghezza dell'arco di circonferenza corripondente; tale misura risulta com­ presa (come si vede nella tabella) fra zero, per l'angolo nullo, e 2rr per l'intero angolo giro. Immaginiamo di essere un osservatore posto al centro di uno stadio intorno al quale si snoda una pista da atletica leggera. Volendo individuare la posizione di un corridore, si potrebbe pensare di fissare la coordinata zero al punto di partenza, e determinare la posizione mediante l'angolo di cui è ruotato il nostro sguardo. Questo sistema funziona bene per competizioni di lunghezza inferiore a un giro di pista, dopo di che ci troviamo nella situazione in cui il nostro sguardo è ruotato per più di un giro: dunque, esiste nella pratica la necessità di misurare angoli (che non sono più necessariamente porzioni di piano) superiori a un giro. In modo analogo a quanto fatto per le coordinate su una retta, introduciamo un sistema di coordinate angolari sulla circonferenza goniometrica: diciamo O il suo centro, e fissiamo su di essa un punto di partenza A. Ad un numero reale non negativo a associamo un angolo nel seguente modo: se O::; a < 2rr l'angolo è quello che si ottiene facendo ruotare il segmento OA intorno ad O in senso antiorario, fino

52

Sezione 2.8 : Coordinate e angoli

a coprire un angolo (inteso ora come porzione di piano) avente misura a (in radianti). Se 27r ~ a < 27r + 27r = 47r associamo ad a l'angolo formato da un intero giro, a cui si somma l'angolo a 27r (notiamo che a e a 27r individuano due angoli delimitati dalla stessa coppia di semirette OA e OP).

Fig. 2.15:

l'angolo

27r 3

Fig. 2.16:

27r l'angolo 211" + 3"

87r 3

In generale, se sarà k· 27r ~ a < (k + l) ·27r associamo ad a l'angolo formato da k giri, a cui si somma l'angolo a 2k7r . Per i numeri reali negativi si procede rovesciando il verso di percorrenza (come già visto sulla retta).

Fig. 2.17:

l'angolo

211" 3

Abbiamo cosÌ stabilito una corrispondenza, che ad ogni numero reale associa un angolo, e quindi a questo un punto della circonferenza goniometrica; tuttavia, come abbiamo visto, a più numeri reali distinti può risultare associato lo stesso punto della circonferenza goniometrica: ad esempio, ai numeri 7r

2'

37r _ ~ + (-27r) , -22

257r _ ~

2-2

+ 6 . 27r

53

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

è associato lo stesso punto. I diversi numeri (ce ne sono infiniti) a cui è associato lo stesso punto differiscono fra loro per multipli interi di 2rr. Le coordinate cartesiane non sono sempre le più vantaggiose: se, chiedendo a un passante dov'è un certo ristorante, quello vi rispondesse "7810 metri a est e 2358 metri a nord dell'obelisco di piazza San Pietro", sareste ben sconcertati, anche se la risposta è molto precisa. Avreste certo preferito un'indicazione del tipo "è a 300 metri in quella direzione" t Questa situazione si riproduce in artiglieria, dove sì vengono ricevute le coordinate del bersaglio, ma poi l'artigliere deve fare un piccolo calcolo per sapere quel che davvero gli interessa, e cioè in che direzione è il bersaglio, e a che distanza. Questa è l'essenza delle coordinate polari nel piano: fissate un'origine O ed una semiretta di riferimento che esce da O (abitualmente questa semiretta coincide con il semiasse positivo delle ascisse), ad ogni punto P del piano vengono associati due numeri. Il primo è la distanza di P da O, e viene solitamente indicato con la lettera greca fl, "rho"; il secondo è la misura in radianti dell'angolo di cui la semiretta di riferimento deve ruotare, muovendosi in senso antiorario, per sovrapporsi alla semÌretta da O passante per p (oppure un qualsiasi numero qualora O e P coincidano): questo viene solitamente indicato con f), "theta".

P

1,.j3)

A

Fig. 2.18:

per P

= (-1, v'3)

è t?

= 2,

{}

2rr/3

Fig. 2.19:

tanti angoli per una direzione

È chiaro che f) non è individuato in modo univoco: ad esempio, per sovrapporre il semiasse positivo delle ascisse al semiasse positivo delle ordinate (s- figura 2.19) possiamo fare nel solito senso antiorario 1/4 di giro (f) = rr/2) oppure un giro e 1/4 (f) = 5rr/2), oppure 3/4 di giro muovendo ci in senso orario ( f) -3rr/2), ... Il legame che dà le coordinate cartesiane a partire da quelle polari si ricava facilmente, ed abbiamo (s- sezione 2.9)

x

flCOS

f) ,

Y = flsenf).

(2.13)

54

Sezione 2.9 : Trigonometria elementare

p

y

e x

Fig. 2.20:

coordinate cartesiane e polari

Viceversa, per ricavare le coordinate polari da quelle cartesiane, osserviamo che, per il teorema di Pitagora, abbiamo

{}

Jx2

+ y2

.

Per ricavare {) in funzione di x e di y osserviamo che, dalle uguaglianze (2.13), divi­ dendo y per x (e supponendo x #- O ) si ottiene

'Il x

= tan {)

da cui si ricava (Iii" sezione 3.6)

{) = arctan(y/x) se x > O {) = ][ + arctan(y/x)

se x < O.

Se x = O ed y > O si ha poi {) ][ /2 , mentre se x O ed y < O si ha {) = -][/2 . È infine evidente che {) non è definito per x = y O ; ricordiamo che queste formule danno solo uno degli infiniti possibili valori corretti di {), che differiscono tutti per multipli interi di 2][ (~es. 2.23).

Esempio: il punto di coordinate cartesiane (1,1) ha coordinate polari (! v'2, {) = ][/4 ; il punto di coordinate po'lari (! 3, {) = ][ /2 ha coordinate cartesiane (O, 3) .

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

55

2.9 - Trigonometria elementare Ricordiamo brevemente le principali nozioni di trigonometria, rimandando per uno studio più dettagliato ad uno dei tanti manuali in uso nelle scuole medie superiori. Fissato un sistema cartesiano ortogonale e tracciata la circonferenza goniometrica avente il centro nell'origine degli assi, e la semiretta fondamentale coincidente con il semi asse positivo delle ascisse, per ogni angolo a misurato in radianti (1& sezione 2.8) introduciamo ri­ spettivamente il seno e il coseno come l'ascissa e l'ordinata (1& sezione 2.10) del punto sulla circonferenza goniometrica individuato dall'angolo a.

(1, O)

Fig. 2.21:

angoli e coordinate sulla circonferenza goniometrica

Geometricamente il coseno (risp. il seno) di un angolo compreso fra zero e 7f/2 è il rapporto fra le lunghezze del cateto adiacente (risp. opposto) e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente un angolo di misura a.

p

o Fig. 2.22:

H

sena = PH/OP, cosa = OH/OP

Per quanto detto in precedenza sugli angoli, ad a e ad a + 2k7f (con k intero) corri­ sponde lo stesso punto sulla circonferenza goniometrica. Pertanto si avrà per ogni numero intero k cosa = cos(a + 2k7f) , sena = sen(a + 2k7f) .

56

Sezione 2.9 : Trigonometria elementare

In particolare osserviamo che si ha sen a = O per ogni a multiplo di 7f, mentre si ha cosa = O per ogni a della forma (7f/2) + k7f con k intero. A partire da seno e coseno si definisce la tangente di un angolo come il rapporto (quando questo ha senso) fra seno e coseno dell'angolo: in particolare quindi la tangente non è definita per gli angoli del tipo (7f/2) + k7f con k intero, in quanto il coseno di tali angoli è nullo. Riportiamo una tabella dei valori di seno, coseno e tangente degli angoli più comuni es. 2.25).

Riportiamo qui i grafici di queste funzioni.

Fig. 2.23 :

y

sena:

Fig. 2.24 :

y

= cosa:

Fig. 2.25 :

y

= tana:

La prossima figura, invece, mostra come sarebbe il grafico della funzione seno, in scala, se usassimo per misurare gli angoli i gradi sessagesimali.

l

5

l

lO

-1

Fig. 2.26 :

l'inizio del grafico del seno, misurando a: in gradi

Capitolo 2: Numeri, angoli, coordinate

57

Questa è una (anche se forse è la meno importante) delle ragioni per privilegiare i radianti rispetto ai gradi. Supporremo poi note le usuali formule di trigonometria, e in particolare a) sen 2 x + cos 2 X l b) le formule di addizione: sen(x + y)

= senxcosy + cosxseny,

cos(x + y)

cos x cos y

sen x sen y,

con le conseguenti formule di duplicazione per il seno e il coseno di 2x: sen(2x) = 2senxcosx cos(2x)

cos 2 x - sen 2 x

c) le formule parametriche: se t = tan(x/2) allora senx =

cosx=

2t

1+ 1- t 2 --2

l+t

tanx = l

2t

Naturalmente, non guasta conoscere qualche altra formula di uso più raro, tipo quelle di bisezione 2sen 2 (x/2}

= 1- cosx

2

2cos (x/2) = l +cosx e quelle di prostaferesi senx + seny = 2 sen(x/2 + y/2} cos(x/2 - y/2)

2cos(x/2 + y/2}sen(x/2 - y/2) cosx + cosy = 2cos(x/2 + y/2) cos(x/2 - y/2) cosx cosy = -2sen(x/2 + y/2)sen(x/2 y/2}. senx - seny

2.10 - Geometria analitica Abbiamo già richiamato le coordinate cartesiane; dati due punti P1 = (Xl, YI) e P2 = (X2, Y2) , la loro distanza si ricava mediante il teorema di Pitagora ed è data dalla relazione

(PI P2 )2 = (PIH)2

+ (HP2)2 .

58

Sezione 2.10 : Geometria analitica

~p, H

p

Q

Fig. 2.27:

Fig. 2.28:

distanza fra due punti

perimetro di un triangolo

A seconda che l'ascissa di P 1 sia maggiore o minore di quella di P2 , la lunghezza PIH è data da Xl X2 o da X2 - Xl rispettivamente, ma (Xl X2)2 = (X2 - XJ)2 , e dato che lo stesso vale per le ordinate abbiamo in ogni caso d(Pl,P2 )

= V(XI

X2)2

+ (YI - Y2)2 .

(2.14)

Esempio: la distanza fra (1,1) e (5, -2) è

/(1- 5)2 + (1- (_2»)2

= V(-4)2

+ 32

v'25

5.

Il perimetro del triangolo di vertici O = (O, O), P (1,1) e Q = (5, -2) è dato dalla somma delle lunghezze dei tre lati: poiché (IEF figura 2.28)

OP=

h,

OQ

V25

+ 4 = J29 ,

y16+9 = 5,

il perimetro è uguale a 5 + ..J2 + J29 (~es. 2.30). Una retta r nel piano è un particolare sottoinsieme del piano stesso; ci proponiamo di descriverla mediante un'equazione: questo vuoI dire trovare un'espressione !(x, y) , contenente le variabili X e y, tale che i punti della retta siano tutti e soli i punti P (x, y) le cui coordinate soddisfano l'equazione !(x, y) = O. Dunque stiamo descrivendo una retta r come un insieme, tramite le proprietà che ne caratterizzano i punti: r

{(x, y) : !(x, y)

O}.

È noto che per una retta del piano l'espressione di ! (che si ricava facilmente dal teorema di Talete) è del tipo ! (x, y) ax + by + c per opportuni valori di a, b, c , dunque l"'equazione della retta" è

ax+by+c

O;

(2.15)

Capitolo 2 ; Numeri, angoli, coordinate

59

a seconda dei valori di a, b, c si ottengono tutte le rette del piano, eccezion fatta per due casi. Infatti è immediato constatare che se a b = c = O tutti i punti (x, y) del piano soddisfano l'equazione ax + by + c O , mentre se a = b = O e c =I O questa non è soddisfatta da alcun punto (x, y). Escluse queste situazioni, il caso particolare b O dà l'equazione ax + c = O, che (essendo a =I O perché abbiamo già parlato dei casi in cui a e b sono contemporaneamente nulli) diventa x = -e/a: dunque è assegnata solo l'ascissa, mentre l'ordinata è qualsiasi, ed r è la retta verticale formata dai punti di ascissa -c/a (1rF figura 2.29).

1

Fig. 2.29:

x-l = O

Fig. 2.30 :

2x - y

+1 =

O : qui, m

tan a = 2

In tutti gli altri casi l'equazione (2.15) equivale a

y=

a c -x- ­ b

b'

ed è quindi del tipo

y=mx+q.

(2.16)

Questa (1rF figura 2.30) rappresenta una retta r che interseca l'asse delle ordinate nel punto (O, q) , e il numero m si chiama coefficiente angolare della retta: ciò significa che se r l è una retta parallela ad r e passante per l'origine, l'angolo fra il semiasse positivo delle ascisse ed r l ha tangente uguale ad m. Facciamo notare che è importante mantenere concettualmente distinte tre cose, che spesso vengono confuse dagli studenti: la prima è la retta r come sottoinsieme del piano, ad esempio r = {(x, y) E J!!:2 : y = 2x + 1} ; la seconda è l'equazione della retta stessa, ad esempio y = 2x + 1: questo non è un sottoinsieme del piano, ma un predicato nelle variabili x e y; la terza, infine, è la parte che nel nostro esempio è rappresentata da 2x + 1 : questa non è un insieme né un predicato, ma semmai una funzione di x, il cui grafico è la retta r. Riportiamo alcune proprietà e formule elementari: a) una retta nella forma (2.16) è orizzontale se e solo se m O; b) due rette nella forma (2.16) sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare;

60

Sezione 2.10 : Geometria analitica

c) due rette di equazioni ax + by + c = O e a' x + b' y + c' = O sono parallele se e solo se ab' = a'b; d) due rette nella forma (2.16) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale -1; e) due rette di equazioni ax + by + c O e a' x + biY + c' = O sono perpendicolari se e solo se aa' + bb' O; f) le rette non verticali passanti per un punto assegnato (Xl, YI) hanno tutte equazione Y

YI

= m( X

xI);

g) la retta passante per i due punti distinti (Xl, YI) e (X2, Y2) ha equazione Y = YI se YI e Y2 sono uguali, ha equazione X Xl se Xl e X2 sono uguali, e ha equazione X -

Y2 - YI

X2

Xl Xl

in tutti gli altri casi (~ es. 2.31). È anche talvolta utile conoscere la distanza di un punto P equazione ax + by + c = O : questa è data dalla formula

(Xl, YI) da una retta r di

+ bYI + cl v'a'l. + b2

d(P, r)

laxi

Passiamo ora dalle rette ai cerchi: dalla formula (2.14) della distanza fra due punti si ricava immediatamente l'equazione della circonferenza di centro C = (xo, Yo) e raggio r > O: dato che questa è l'insieme dei punti P = (x, y) tali che PC r, o che è lo stesso (PC)2 r 2 , tale equazione è (x - xO)2 + (y - Yo)2 r 2 . Questa può essere riscritta x 2 + y2 ed è quindi del tipo

2xox - 2yoY + (x5 X2 + y2

+ Y5 - r 2 )

+ o'x + ,8y + ,

O.

O,

(2.17) (2.18)

Data un'equazione della forma (2.18), per vedere se essa rappresenta una circonferenza (e quale) occorre determinarne il centro (xo,Yo) e il raggio r: dal confronto fra (2.17) e (2.18), il candidato centro deve soddisfare le relazioni -2xo = a e -2yo = ,8 , da cui

,8

a Xo = - 2

-2' x5 + Y6

Yo =

Inoltre il numero positivo r deve soddisfare Xo e Yo appena trovati deve essere 0'2

r2

= "( , cioè usando i valori di

+ ,82

r 2 = -------'­

4

Questo non è possibile sempre, ma soltanto se 0'2 +,82 - 4, > O: in tal caso possiamo rica­ vare r e determinare la circonferenza, mentre negli altri casi l'equazione (2.18) non rap­ presenta una circonferenza - per la precisione, rappresenta il solo punto (-0'/2, -,8/2) se 0'2 +,82 - 4, = O , rappresenta l'insieme vuoto se 0'2 + ,82 4, < O (~es. 2.39).

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

Fig. 2.32 :

Fig. 2.31 :

61

Fig. 2.33 :

Altri luoghi geometrici le cui equazioni canoniche dovrebbero essere note sono l'el­ lisse, l' iperbole e la parabola. Rimandando alle figure per l'interpretazione geometrica dei coefficienti, l'ellisse (w figura 2.31) ha equazione canonica (~ es. 2.45) X2

a2

y2

+ b2

= 1

mentre 1'iperbole, a seconda dei casi (w figure 2.32 e 2.33), ha equazione canonica X2

y2

b2

Fig. 2.34;

Y

3x 2

=1

2x - 1

x2

oppure

y2

+ b2

Fig. 2.35:

y

1.

_x 2

+ 3x + 2

Per la parabola, l'equazione canonica è y = ax 2 con a "1= O , che corrisponde a una parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria verticale; tuttavia, anche tutte le equazioni della forma y ax 2 + bx + c con a "1= O rappresentano delle parabole con asse di simmetria verticale e vertice nel punto ( b/(2a), c b2 /(4a)); queste hanno la concavità rivolta verso l'alto (e vengono dette "convesse") se a > O , rivolta verso il basso (e vengono dette "concave") se a < O (~ es. 2.48).

62

Sezione 2.11 : Geometria solida

2.11 - Geometria solida Ricordiamo qui di seguito alcune formule relative a superfici e volumi di solidi Il parallelepipedo di dimensioni a, b, c ha:

2.51).

super

volume

abe

(~es.

2(ab + be + ae)

Il cono circolare retto (cioè a base circolare e con il vertice sulla verticale del centro della base) di raggio di base r e altezza h ha: volume 1

-1fr 2 h

3

superficie laterale 1fT'\lr2

+ h2

superficie totale 1fr

2

+ 1frv'r 2 + h 2

•

Per la piramide di altezza h il volume è dato da !Ah, dove A è l'area della base (non importa quale ne sia la forma); invece, per la sfera di raggio r si ha

Volumi e superfici di altri solidi possono essere calcolati con i metodi che vengono svi­ luppati nei corsi di Analisi matematica per funzioni di più di una variabile, attraverso lo studio degli integrali multipli e degli integrali superficiali.

63

Capitolo 2 : Numeri, angoli, coordinate

Esercizi relativi al capitolo 2

Esercizio 2.1

dite quali sono le proprietà del prodotto in N e in ;;Z.

Esercizio 2.2

dite quali fra le seguenti operazioni sono corrette:

x

2x

2"

3'

2+x 2y

v'3(1 + a2 )

l+x y

3

_

-

~

+a,

3 Esercizio 2.3

semplificate l'espressione

+ a

(a + b)2 2bc

b- c

Esercizio 2.4 : risolvete le seguenti equazioni: a) (a+l)x-7a 2a 3x c) x2 5x+7 1 b) x2 - X - 6 = O d) x 6 - 3x3 + 2 = O . Esercizio 2.5 : risolvete· l'equazione

X(X2

1)(x2-4)

O.

Esercizio 2.6 : risolvete i seguenti sistemi di equazioni: 2x + 1 O c) {x 2 - 3x + 2 = O a) { X2 2x + 1 = O x2 - 5x + 6 = O 2 2 b) {(X + 4x - 5)(x2 - 3ax + 2a ) O d) {x 4 3X2 + 2 = O X2 2ax = x 2a x 4 - 5X2 + 6 O .

::: = 1.

x

64

Esercizi relativi al capitolo 2

Esercizio 2.7 : dite (senza servirvi della calcolatrice, naturalmente) quali fra le se­ guenti disuguaglianze sono vere:

2 3 - 2 - 2x x < 1 - y X + 2y - 4 ::; O

c)

y 8 b) X2 - 3x < O

risolvete le seguenti disequazioni di secondo grado:

c) X2 + 5x + 1 ~ O

d) X2 3ax + 2a2 :$ O .

Esercizio 2.21 traducete in radianti la misura degli angoli la cui ampiezza, espressa

in gradi, è pari a 1800 , 60 0 , -45 0 , 1050 • Esercizio 2.22 : traducete in gradi la misura degli angoli la cui ampiezza, espressa in · t" . .". 7.". 3.". .". r adlan 1, e pan a -"6' 2""' 4"' 12' Esercizio 2.23 : determinate le coordinate polari dei punti che hanno coordinate car­ tesiane (0,2), (1,-1), (-7V3,7), (-5,0). Esercizio 2.24 : determinate le coordinate cartesiane dei punti che hanno coordinate polari (e,f}) uguali a (2,11"/3), (3,-311"), (1,511"/4), (6,2311"/6). Esercizio 2.25 : trovate la legge per ottenere seno e coseno degli angoli -x, x + X e ~ - x sapendo seno e coseno di x.

11" ,

11" -

Esercizio 2.26 : determinate seno, coseno e tangente degli angoli di ampiezza 7.".

.".

+.".

.".

.".

.".

'3'43'3-4'8'

Esercizio 2.27 : determinate i valori di x per cui si ha: c) V3senx + cosx = 2 a) senx = V3/2 d) senx cosx > 1 . b) cosx:$ 1/2 Esercizio 2.28 determinate la tangente di x, dove x risolve l'equazione sen 2 x 2 6 cos X - senxcosx = O . Esercizio 2.29 : determinate la tangente di x/2, dove x risolve l'equazione senx+ 7cosx + 5 = O. Esercizio 2.30

trovate la distanza fra i punti (1,2) e (-2,3).

Esercizio 2.31

scrivete l'equazione della retta passante per i punti (2,

Esercizio 2.32

scrivete l'equazione della retta passante per i punti (-2, l) e ( - 2, 3).

1) e (-1,0).

Esercizio 2.33 scrivete l'equazione della retta passante per i punti (1,2) e (-1, -l), e trovatene il punto di intersezione con la retta dell'esercizio 2.31. Esercizio 2.34 : scrivete l'equazione della retta passante per il punto (2, -1) ed avente coefficiente angolare -1; tracciate inoltre tale retta.

66

Esercizi relativi al capitolo 2

Esercizio 2.35 tracciate la retta di equazione y 3x - 4y - 9 = O.

-3x

+5

e quella di equazione

Esercizio 2.36 : scrivete l'equazione della retta passante per il punto (1,2) e parallela

alla retta dell'esercizio 2.31.

Esercizio 2.37 : scrivete l'equazione della retta passante per il punto (1,2) ed orta­

gonale alla retta dell'esercizio precedente.

Esercizio 2.38 : trovate la distanza del punto (1,1) dalla retta dell'esercizio 2.32, e

quella dalla retta dell'esercizio 2.34.

Esercizio 2.39 te raggio 2.

scrivete l'equazione della circonferenza centrata nell'origine ed aven­

Esercizio 2.40 : scrivete l'equazione della circonferenza centrata nel punto (-1,2)

ed avente raggio 1.

Esercizio 2.41 : trovate centro e raggio della circonferenza di equazione x2 6x + 2y + 6 = O , e tracciate tale circonferenza.

+ y2

Esercizio 2.42 : trovate i punti di intersezione della retta di equazione x - y con la circonferenza centrata in (1,2) ed avente raggio 1.

+2

O

Esercizio 2.43 : scrivete l'equazione della circonferenza centrata nel punto (1,1) e

tangente alla retta di equazione 3x 4y - 9 = O .

Esercizio 2.44 : trovate i valori di k per cui la retta di equazione x - y + k O

risulta esterna alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x O , quelli per cui è secante,

e quelli per cui è tangente; in quest 'ultimo caso, determinate le coordinate del punto di

tangenza.

Esercizio 2.45 e disegnatela.

scrivete l'equazione canonica dell'ellisse di semiassi a = 2 e b = 7,

Esercizio 2.46 : determinate l'equazione canonica dell'ellisse che passa per i punti

(0,2) e (1,1); riuscite a risolvere lo stesso esercizio per i punti (1,1) e (2, -l)?

Esercizio 2.47 determinate l'equazione canonica dell' iperbole che passa per i punti

(1,1) e (3, -2) .

Esercizio 2.48 : disegnate la parabola di equazione y = 3x2 i punti di intersezione della parabola con la retta di equazione y

+ 1 , e determinate

x+ 1.

x

Esercizio 2.49 : determinate i valori di k per cui la parabola di equazione y =

x2 - 4x + k interseca la retta di equazione 2x + y = O in due punti (badate che due

punti significa due punti distinti, e non "due punti coincidenti").

Esercizio 2.50 : determinate l'equazione della parabola avente l'asse parallelo all'asse

y e passante per i punti (O, O), (1,3) e (4, O) .

Esercizio 2.51 : determinate il volume e la superficie totale del solido che si ottiene

unendo una semisfera di raggio 2 alla base di un cono di altezza 7 e raggio di base 3.

Esercizio 2.52 : determinate il volume e la superficie totale del tronco di cono di

altezza 2 e raggi di base 3 e 2.

Capitolo 3 Funzioni elementari

Questo capitolo è dedicato ad alcune proprietà qualitative delle funzioni reali di variabile reale, ed alle principali proprietà delle funzioni elementari, i mattoni fondamentali che permettono di costruire la maggior parte delle funzioni più frequenti. Le proprietà quali­ tative sono usate per indicare il comportamento di una funzione prescindendo dal valore quantitativo che essa assume in determinati punti e per effettuare quello che si chiama "studio qualitativo" di una funzione.

3.1 - FUnzioni monotone Una prima importante classe di funzioni è quella delle funzioni monotòne.

Definizione : se A C lR ed f: A -+ lR , si dice che f è crescente se

' I(y)].

Fig. 3.1:

sen x non è debolmente crescente ...

Fig. 3.2:

... né debolmente decrescente

Capitolo 3 : Funzioni elementari

69

Il prossimo esempio è particolarmente importante.

Esempio: la funzione I(x)

l/x è decrescente su lR+ , in quanto da (2.4)

O b {:::=:} [(a> b) o (a < -b)] .

(3.1)

Spesso è la 2) ad essere presa come definizione di valore assoluto, ma osserviamo che con la nostra definizione è chiaro che il valore assoluto è una funzione, cioè assume un solo valore. Un errore che si trova molto frequentemente è ritenere che il valore assoluto di un numero x sia "più o meno x", cosÌ che 121 = ±2, lal ±a, ... ; così, sembra che lal possa essere indifferentemente +a o -a, oppure che non si possa mai decidere quale sia tra +a e -a, o addirittura che sia entrambi contemporaneamente! Un altro

Capitolo 3 ; Funzioni elementari

77

errore frequente è scrivere che I al = +a: questo è vero se a ~ O , ma è falso se a < O; questo errore è legato alla misteriosa credenza che il valore assoluto di un numero sia "quel numero senza il segno," si veda anche il commento alla fine della sezione 2.3. Le proprietà seguenti sono di grande utilità nel trattare disuguaglianze in cui è pre­ sente la funzione valore assoluto. Come si potrà vedere durante i corsi in cui verranno introdotti gli spazi euclidei ad n dimensioni, tali proprietà avranno un'importante in­ terpretazione geometrica.

Proposizione (disuguaglianze triangolari) 3.7 : se a, b E lR , 1) la + bi ::; lal + Ibl

2) Ilal-lbll::; la - bi·

Se decidiamo di prendere come distanza tra due numeri reali a e b la differenza tra il più grande e il più piccolo, notiamo subito che tale differenza è la bi, indipen­ dentemente da quale dei due fosse il maggiore: dunque, possiamo usare il valore assoluto della differenza come definizione di distanza fra numeri reali.

Osservazione : la prima disuguaglianza triangolare (il valore assoluto della somma è minore o uguale della somma dei valori assoluti) si generalizza al caso di un numero finito di addendi: se al, ... , an E lR

Itail ::; i=l

t

Esempio: risolvere l'equazione 12x + 11 s = {x E lR : 12x + 11 = 5 4x}; poiché lR

= {x E lR : [2x + 1 ~ O] o = {x E lR : 2x

lail·

i=l

5 - 4x equivale a determinare l'insieme

+ 1 < OJ} E lR : 2x + 1 < O} = TI U

[2x

+ 1 ~ O} U {x

per le formule (1.8) abbiamo (3.2) ovvero

s=

{x E lR : [2x

+ 1 ~ O] e [12x + 11 = 5 - 4xJ} U {x E lR : [2x + 1 < O] e [l2x + 11

5

4xJ}.

L'equazione di partenza equivale allora a 2X+1>0 {

12x+11

5

o

4x

2x + 1 {

O { 2x + 1 = 5 - 4x

o

2x + 1 < O { -(2x + 1) = 5 - 4x ,

78

Sezione 3.4 : Il valore assoluto

cioè a 2x + 1 2:: O { x 2/3

+1 O

X2

X2

2x - 3::; O

X2

2x - 2 > O

{

X

o {

2

o

X2 {

30

x2 2x - 3> O x2 - 2x 4 < O

3 , risulta equivalente a

X2

x

1f

VOx

Vx < O.

(3.12)

Dato che senx > O > -x per O < x < 7r/2, mentre senx :?': -1 > -7r/2 :?': -x per x :?': 7r/2 , abbiamo anche senx> -x Vx > O, quindi da (3.11) e (3.1), usando anche il fatto che il seno è dispari, ricaviamo Isenxl < Ixl

Vx

Isenxl ~ Ixl

(~es.

3.38)

'i O

Vx.

(3.13)

In modo analogo, partendo da (3.6) e (3.10), otteniamo 1

Ixl ~ cosx ~ 1

Vx.

(3.14)

Da (3.8) e (3.11) otteniamo anche O < sen x < x < tan x

7r '110 < x < 2 '

(3.15)

quindi

x 1 1 O per ogni a > O e per ogni x E lR , e l'immagine della funzione a'" è tutta la semiretta lR+ .

87

Capitolo 3 : Funzioni elementari

Fig. 3.20 :

y

eX

y = lO'"

Fig. 3.21:

Fig. 3.22:

y

0.5 x

Il logaritmo in base a, che si indica con loga x , è definito per a > O, salvo il caso • Notiamo che, grazie alla stretta monotonia della funzione aX vista nella proprietà d), la funzione a X è iniettiva se a f 1 e pertanto la sua funzione inversa risulta hen definita. Inoltre, per la proprietà e), la funzione loga x risulta definita soltanto per x > O. Nel caso a = e ometteremo l' indice e, e scriveremo soltanto log x anziché loge x ; in alcuni libri però (specie in quelli di materie tecniche) si usa una convenzione diversa, scrivendo In x per il logaritmo in base e, e log x per quello in base lO. Poiché questo accade anche sui tasti di molte calcolatrici, bisogna stare attenti a non confondersi. a = 1 in cui non è definito, come la funzione inversa dell'esponenziale a X

Fig. 3.23:

y

loge x

Tra le principali proprietà del logaritmo, derivate facilmente da quelle dell'esponenziale, abbiamo: f) se x > O allora a 10ga x = X ;

g) per tutti x si ha loga (aI) = x ;

h) se x, y > O allora loga(xy) = loga x + loga Y;

i) se x > O allora loga (x Y ) = y loga x ;

88

Sezione 3.7 : L'esponenziale e il logaritmo

j) se x, y > O con y =/:- 1 allora loga x ricava

loga y . logy x; in particolare, se a

logyx

e, si

logx logy

--,

cioè conoscendo i logaritmi in base e si possono ricavare i logaritmi in una base y qualsiasi. Osserviamo che dalle proprietà precedenti "segue" l'uguaglianza aX

exp(xloga);

le virgolette sono d'obbligo in quanto questa è in realtà la definizione di a X (~es. 3.49). Dato che l'esponenziale diventa rapidamente molto grande, il logaritmo comprime molto i numeri grandi (B' figura 3.23): ad esempio il logaritmo in base lO aumenta soltanto di una unità nel passare da lO a 100 (due numeri che differiscono di 90), e sempre di una unità nel passare da 1.000.000 a 10.000.000 (qui la differenza è 90 milioni). Per questo motivo, per rappresentare fenomeni in cui la scala dei valori è molto ampia, o in cui una delle variabili è molto sbilanciata rispetto all'altra, si usano talvolta i grafici in scala logaritmica.

Esempio: la popolazione italiana degli ultimi 2400 anni varia fra 3 e 57 milioni (un fattore 20). Rappresentandola in scala lineare, si perdono i dettagli nei valori bassi (decadenza dell' impero Romano, pestilenze del '300 e del '600) per far spazio verticale all'espansione degli ultimi due secoli; invece, se usiamo sulle ordinate il logaritmo in base 2 della popolazione in milioni il grafico è più leggibile.

-400 Fig. 3.24:

500 1000 1500 popolazione italiana in milioni

-400 Fig. 3.25:

500 1000

idem, ordinate in scala logaritmica

Dal grafico del logaritmo si vede che questa funzione ha anche un'altra proprietà, opposta a quella usata nell'esempio precedente, e cioè dilata molto i numeri vicini a zero. Allora, usando una scala logaritmica, si riescono a visualizzare delle variazioni fini sui valori molto piccoli.

89

Capitolo 3 : Funzioni elementari

Esempio: in Chimica, il pH è un indice dell'acidità che misura la concentrazione mo­ lare degli ioni idrogeno in una soluzione; poiché questa concentrazione è molto pic­ cola (nell'acqua è dell'ordine di 10- 7 = 0.0000001) mentre varia molto (di un fattore 10 14 = 100000000000000) fra una soluzione molto acida e una molto alcalina, è meglio usare come indice non la concentrazione stessa, ma il suo logaritmo, magari cambiato di segno visto che questo sarà generalmente un numero negativo. Infatti se [H+j è la concentrazione molare degli ioni idrogeno in una soluzione (il simbolo naturalmente non c'entra affatto con 1'intero più vicino introdotto a pago 81), il pH di questa è definito come

3.8 - Le funzioni iperboliche Anche se non molto frequentemente, capita di incontrare le funzioni iperboliche: queste sono il seno iperbolico, il coseno iperbolico e la tangente iperbolica, definite su tutto lR in termini della funzione esponenziale come eX

senhx

2

coshx =

+ e-x

senhx coshx .

tanhx

2

I grafici di queste tre funzioni iperboliche sono i seguenti:

l - - - - -

- - -::;;.-...--­

--,...,-~----_ ..

Fig. 3.26:

y

senh x

Fig. 3.27 :

y

cosh x

Fig. 3.28:

y = tanhx

Si ha (~es. 3.51) che seno iperbolico e tangente iperbolica sono funzioni dispari, mentre il coseno iperbolico è pari; inoltre, una relazione fondamentale fra le funzioni iperboliche è cosh 2 x

senh 2 x l :

90

Sezione 3.8 : Le funzioni iperboliche

infatti cosh 2 X

-

senh 2 x = (coshx + senhx)(coshx

senhx)

= eX. e-x

1.

Valgono per le funzioni iperboliche altre uguaglianze, in qualche modo simili alle formule trigonometriche di addizione o altre, per le quali rimandiamo agli esercizi (~ es. 3.53). Mostriamo che il seno iperbolico è una funzione biunivoca da lR a lR, e ricaviamo la sua inversa, che si chiama "settore seno iperbolico": occorre risolvere l'equazione x = senh y in termini di y. Questa equazione si scrive x

cioè, posto eY

2

t e osservando che deve essere t > O , t- t - l

x=

e- Y

eY

2

~

2x = t

1 t

~

t2

-

2xt

1

O

questa equazione di secondo grado è sempre risolubile ( Ll 4x2 + 4 ) e il prodotto delle sue radici è il terzo coefficiente, cioè -1. Allora una radice è positiva e l'altra è negativa (ci se ne può accorgere anche dopo averle scritte esplicitamente); dato che ci interessano solo le soluzioni con t > O dobbiamo scegliere solo la positiva, che è quella maggiore, vale a dire t

= x+ Vx2 + 1,

da cui finalmente (ricordiamo che t > O )

Y

logt

= log(x +

abbiamo risolto l'equazione per ogni x E lR, quindi la funzione settsenhx = log(x + è definita su tutto lR. È facile verificare (~ es. 3.54) che le funzioni coshx e tanhx risultano invertibili rispettivamente da [O, +oo[ a [1, +oo[ e da lR a ]-1, l[ , per cui in tali intervalli sono definite le loro inverse. In maniera analoga a quanto fatto sopra per sett senh x risulta

sett coshx = log(x + v'x2=1) , x;:::: 1 1 l+x setttanhx = -21og -1 < x < 1 . 1 x Tracciamo anche i grafici delle funzioni iperboliche inverse:

91

Capitolo 3 : Funzioni elementari

T Fig. 3.29:

y

= sett senh x

Fig. 3.30:

y

= sett cosh x

Fig. 3.31:

y

= sett tanh x

Per capire l'interpretazione geometrica delle funzioni iperboliche, e la giustifica­ zione del loro nome, conviene ricordare alcune proprietà geometriche delle funzioni seno e coseno. Tali funzioni, che si dicono anche funzioni circolari, forniscono le equazioni pa­ rametriche della circonferenza goniometrica (cioè di raggio unitario e centrata nell'origine degli assi cartesiani). In altri termini, se il parametro t varia da O a 211", il punto P(t)

= (cost,sent)

percorre la circonferenza unitaria, partendo dal punto A = (1, O) e ritornando sullo stesso punto dopo un giro completo, percorso in senso antiorario. Inoltre (u:w figura 3.32) il numero t corrisponde alla lunghezza dell'arco AP, e anche al doppio dell'area del settore circolare AOP. Dall'arco AP deriva il simbolo "arc" usato per le funzioni circolari inverse.

Fig. 3.32:

parametrizzazione circolare

Invece, se t varia da

-00

a

+00

P(t)

Fig. 3.33:

il punto

(cosht,sehht)

parametrizzazione iperbolica

92

Sezione 3.8 : Le funzioni iperboliche

percorre dal basso verso l'alto il ramo destro dell' iperbole di equazione infatti le sue coordinate verificano la relazione X2

y2

cosh 2 t

senh2 t

X2

y2

=1:

=1.

Se A = (1, O) e H(t) = (O, senh t) , l'area del "settore iperbolico" AOP è data dalla differenza fra l'area di OAPH e quella del triangolo OPH. Una volta studiati gli integrali, sarà possibile dire che l'area del "settore iperbolico" AOP è data da

l

senh t

J1.+;2 ds

coshtsenht 2

e, calcolando l'integrale, si troverà che t è il doppio dell'area del "settore iperbolico" considerato (1& figura 3.33), da cui il nome dato alle funzioni iperboliche inverse.

Capitolo 3 : Funzioni elementari

93

Esercizi relativi al capitolo 3

Esercizio 3.1

provate che la funzione f(x) = -x 3 è decrescente.

Esercizio 3.2

provate che la funzione se x se x

~

2

>2

è debolmente decrescente.

Esercizio 3.3

negate la proposizione

Esercizio 3.4

negate la proposizione

"f "f

è decrescente" .

è strettamente monotona" .

Esercizio 3.5 provate che la composizione di un numero qualsiasi di funzioni mo­ notone risulta debolmente crescente se il numero di funzioni debolmente decrescenti nella composizione è pari, risulta debolmente decrescente se tale numero è dispari. Esercizio 3.6 : provate, con degli esempi, che la somma di due funzioni iniettive non sempre è inietti va, e che lo stesso vale per la somma di due funzioni surgettive o due biunivoche (questo mostra l'importanza della proposizione 3.1). Esercizio 3.1 : sapendo che la funzione logaritmo è crescente ed è definita solo su jR+ , dite se la funzione X2 + log(2x - e) è iniettiva. Esercizio 3.8 : quali sono le funzioni che sono contemporaneamente debolmente cre­ scenti e debolmente decrescenti? Esercizio 3.9 : dimostrate che l'inversa di una funzione monotona e invertibile è anch'essa monotona. Esercizio 3.10 : provate che le potenze pari di x sono funzioni pari, le potenze dispari sono funzioni dispari. Esercizio 3.11 : provate che una funzione è dispari se e solo se il suo grafico è simme­ trico rispetto all'origine. Trovate poi le funzioni pari e dispari tra quelle disegnate nella sezione 4.2.

94

Esercizi relativi al capitolo 3

Esercizio 3.12

dite se la funzione arctan(2x - x 3 ) è pari o se è dispari.

Esercizio 3.13

dite se la funzione sen(2x + X2) è pari o se è dispari.

Esercizio 3.14

dimostrate che la funzione [J(x)

Esercizio 3.15 ai valori di x.

semplificate 1'espressione

VX2

-

+ f( -x))/2 è pari. x 4 / ?'x 4 - x 3 , facendo

attenzione

Esercizio 3.16 : risolvete le seguenti equazioni: a) V2x - 1 = x + 3 c)

.vx=-r + x = 2

x+3

b)

d) (x-l);(x+2=x.

Esercizio 3.17 : risolvete le seguenti equazioni:

a) b) c)

(x

2)yx + 2

2...;x=2=4 x J3x - 2..jX =

Esercizio 3.18 : risolvete le seguenti disequazioni: a) V2x + 1 ::; x - 3 b) vx+2 O. Esercizio 3.19 : risolvete la disequazione y6x + 2a + vx + 3a riare di a E]]l (errore frequentissimo: chi è più grande tra -a e -3a ?).

> O al va­

Esercizio 3.20 : usando la definizione di valore assoluto, dimostrate i primi sei punti della proposizione 3.6. Esercizio 3.21

dimostrate che

Ixl per ogni x

E ]]l .

Esercizio 3.22 : usando la definizione di valore assoluto, dimostrate gli ultimi tre punti della proposizione 3.6. Esercizio 3.23 : dimostrate tutte le proprietà del valore assoluto, prendendo come definizione quella abituale: lal = { a se a ~ O -a se a ::; O

(occorrerà, specialmente per le proprietà (3.1) e seguenti, dividere la dimostrazione in moltissimi casi, a seconda dei segni di a e b j questo esercizio vuole essere una giustifi­ cazione della definizione che abbiamo dato, con la quale le dimostrazioni riescono enor­ memente più brevi). Dimostrate poi le disuguaglianze triangolari, considerando tutti i casi che occorrono. Esercizio 3.24 Ix -21 a) ..jX = 1

x+

risolvete le seguenti equazioni:

x

b) 12x -11 = Ix + 31 Esercizio 3.25 a) Ixl- x> 2

c)

X2 -

d)

X2

21xl + 1

+ 21xl + 1

risolvete le seguenti disequazioni: e) xlxl < 2

O O.

95

Capitolo 3 : Funzioni elementari

b) 12x

Ix2 21xl

311 < 1

+1> O

c)

X2 -

d)

Ix 2~ 11 < 1

f) g)

vixlxl -

2

1 , "appiattito" se O < a < 1 .

Fig. 4.11:

il grafico di 2f(:c)

Fig. 4.12:

il grafico di f(:c)/2

L'altro caso particolare (.... figura 4.13) è a -1 : in tal caso af = - f ; se (x, y) sta sul grafico di f, (x, -y) sta su quello di - f , che è dunque il simmetrico di quello di f rispetto all'asse x. Nel caso a < O generico, basta osservare che a -Ial e che lal > O: pertanto il grafico di af = -(Ial!) si ottiene dapprima disegnando il grafico di lalf, e poi ribaltandolo intorno all'asse x. Il caso a = O , poi, è banale (~ es. 4.13). In genere le trasformazioni di questo tipo, come pure quelle per disegnare f( ax) , possono essere eseguite solo in modo un po' approssimativo.

102

Sezione 4.1 : Informazioni da un grafico e varianti di un grafico

/

Fig. 4.13:

il grafico di - f(x)

/ Fig. 4.14:

il grafico di - f(x)/2

A questo punto mostriamo alcuni esempi, lasciando per esercizio il compito di giu­ stificare i disegni stessi: il grafico di f(ax) con a> O si ricava da quello di f con un riscalamento dell'asse x.

Fig. 4.15:

il grafico di f(2x)

Fig. 4.16:

il grafico di f(x/2)

/ Fig. 4.17:

il grafico di f(-x)

Fig. 4.18:

il grafico di

f (- 2x)

Il grafico di f( -x) si ottiene (9' figura 4.17) ribaltando il grafico di f intorno all'asse y (~es. 4.16).

l

l l

Capitolo 4 : Grafici di funzioni reali

103

Il grafico della funzione f+ , la parte positiva di f , si ottiene lasciando invariato il grafico di f, nei punti dove f(x) > O , e prendendo il valore zero nei restanti punti del dominio di f; il grafico della parte negativa si può disegnare osservando che f- = (- 1)+ .

/ Fig. 4.19:

Fig. 4.21:

il grafico di 1+

il grafico di I/(x)1

Fig. 4.20:

Fig. 4.22:

il grafico di

r

il grafico di 1(lxl)

Il grafico del valore assoluto di f, cioè di If(x)l, si ottiene (Q> figura 4.21) ribaltando intorno all'asse x la parte di grafico che sta al di sotto di esso (~ es. 4.20). Invece, il

Fig. 4.23:

1v 9

max{!, g}

Fig. 4.24:

1 I\g =

min{!,g}

104

Sezione 4.1 : Informazioni da un grafico e varianti di un grafico

grafico di ! del valore assoluto, cioè di !(Ixl), si ottiene (..... figura 4.22) prendendo solo la parte di grafico di ! per x 2: O , cioè quella a destra dell'asse y, e riportandola, ribaltata, anche a sinistra di tale asse (~ es. 4.23). Non è difficile disegnare i grafici del massimo (..... figura 4.23) e del minimo (..... figura 4.24) fra due funzioni. Un po' più delicato è disegnare il grafico della somma di due funzioni, e ancora di più quello del prodotto: per quest'ultimo è utile trovare i punti dove le funzioni interessate valgono ±1 (~es. 4.24).

Fig. 4.25:

due funzioni e la loro somma

Fig. 4.26:

due funzioni e il loro prodotto

Torniamo un attimo indietro, e mostriamo fianco a fianco i grafici del valore assoluto di x, di una funzione generica !(x) e della funzione 1!(x)1 , che è la composizione delle prime due:

1 Fig. 4.27:

il grafico di

Ixl

Fig. 4.28:

una funzione

1

Fig. 4.29:

il grafico di

I/(x)1

la parte più complessa del disegnare i grafici senza studiare in dettaglio le funzioni è proprio il grafico della composizione. Studiando i tre grafici qui riportati, dovrebbe essere possibile capire come fare a disegnare un'approssimazione del grafico della composizione di due funzioni generiche (~ es. 4.25).

Capitolo 4 : Grafici di funzioni reali

105

Esempio : riportiamo qui dì seguito i grafici della funzione f usata per gli esempi pre­ cedenti, della funzione ef e della funzione log f (i grafici di eX e log x devono essere ben noti, comunque sono disegnati alla fine di questo volume).

Fig. 4.30;

il grafico di e f ("')

Fig. 4.31:

il grafico di log(i(x))

Esempio: applichiamo quanto abbiamo appreso per provare a tracciare il grafico della funzione IIx2 - 2xl cominciamo con X2 - 2x i potremmo tracciare i grafici di x2 e di -2x, che conosciamo, e sommarli, oppure (in questo caso particolare) possiamo osservare che x2 - 2x = (x - 1)2 1, quindi tracciamo (w figura 4.32) prima x 2 , poi con una traslazione a destra (w figura 4.33) tracciamo (x -1)2 , e infine (w figura 4.34) traslando il grafico di 1 verso il basso otteniamo il grafico di x2 - 2x .

11:

Fig. 4.32;

y

= x2

Fig. 4.33:

y = (x - 1)2

Fig.4.34:

y=(x

1)2_1

Poi, dobbiamo ribaltare in alto la parte di grafico sotto l'asse x per avere (w figura 4.35) il valore assoluto di questa funzione, ottenendo Ix2 - 2xl , a questa (w figura 4.36) sottrarre 1, che corrisponde a una nuova traslazione, verso il basso, e del risultato ottenuto (w figura 4.37) prendere il valore assoluto.

106

Sezione 4.2 ; Grafici delle funzioni elementari

Fig. 4.35:

y =

Ix2 - 2xl

Fig. 4.36 ;

Y = Ix2 - 2xl- 1

Fig. 4.37:

y =

IIx

2

2xl-11

Osserviamo che dal grafico è immediato constatare quante sono, ad esempio, le soluzioni dell'equazione Ix2 2xll k: due per k grande, nessuna per k negativo, tre per k = O , sei per k piccolo e quattro per un particolare valore di k. Con queste informazioni, si vede anche cosa si deve fare per trovare questo valore: seguire a ritroso nella nostra costruzione la provenienza delle due punte del grafico, cosÌ da scoprire che il valore che divide il caso a sei soluzioni da quello a due soluzioni è k l es. 4.27).

Il

4.2 - Grafici delle funzioni elementari Riportiamo qui di seguito i grafici di alcune funzioni, che devono essere ben presenti in mente, perché sono alcuni degli ingredienti fondamentali di ogni corso di matematica.

Fig. 4.38 :

y

x

Fig. 4.39;

Y

x2

Fig. 4.40 :

y = x3

107

Capitolo 4 : Grafici di funzioni reali

1 Fig. 4.41:

y =

Vi

Fig. 4.42:

y

=~

Fig. 4.43:

y

= x3 ,

x,Vi,~

\1 Fig. 4.44:

y

Ixl

Fig. 4.45 :

y

= l/x

y = senx

Fig. 4.48 :

y

= 1/x2

Fig. 4.49:

y

tanx

I:

I

1

Fig. 4.47:

Fig. 4.46:

y

cos x

108

Sezione 4.2 : Grafici delle funzioni elementari

rc/2

Fig. 4.50:

Fig. 4.53:

y

arcsen x

y = eX

Fig. 4.51:

Fig. 4.54:

y

arccos x

y

= e-x

Fig. 4.52:

Fig. 4.55:

y

= arctan x

y = log x

Capitolo 4 : Grafici di funzioni reali

109

Esercizi relativi al capitolo 4

Esercizio 4.1 : tracciate, senza guardarli sul libro, i grafici delle funzioni x, Ixl, X2, x S , JX, ?Ix", l/x, 1/x2, senx, cosx, tanx, arcsenx, arccosx, arctanx, eX, e-x, log x . Esercizio 4.2 : utilizzando una calcolatrice, tracciate i grafici delle funzioni X2 , x S sen x, e"', calcolando il valore delle funzioni in una decina di punti.

+1.

Esercizio 4.3

dite per quali x ha senso calcolare \/i 2

Esercizio 4.4

dite per quali x ha senso calcolare sen(2x

log(l - x)) .

Esercizio 4.5

dite per quali x ha senso calcolare log(sen x

+ cos x) eS" .

Esercizio 4.6

determinate graficamente l'immagine della seguente funzione:

,\ Fig. 4.56:

un grafico di funzione

-

x4

,

110

Esercizi relativi al capitolo 4

Disegnate poi su fogli di carta vari grafici di funzioni a casaccio, note o inventate, e ripetete l'esercizio per ciascuna di esse.

Esercizio 4.7 : per ogni funzione disegnata nella sezione 4.2, risolvete approssima­ tivamente la disequazione f(x) > O. Esercizio 4.8 : per ogni grafico dell'esercizio 4.6 dite se la funzione è iniettiva, e determinate approssimativamente al variare di k il numero di soluzioni dell'equazione f(x) k. Esercizio 4.9 : per ogni grafico dell'esercizio 4.6, dopo aver scelto sull'asse delle ordinate la quota l, determinate approssimativamente la soluzione della disequazione O ~ f(x) ~ 1.

Esercizio 4.10 f(x)-2.

per ogni grafico dell'esercizio 4.6 tracciate i grafici di f(x) + l e di

Esercizio 4.11 f(x 2) .

per ogni grafico dell'esercizio 4.6 tracciate i grafici di f(x + l) e di

Esercizio 4.12

per un grafico dell'esercizio 4.6 tracciate il grafico di f(x - l) + 2.

Esercizio 4.13 -3f(x) .

per ogni grafico dell'esercizio 4.6 tracciate i grafici di f(x)/4 e di

Esercizio 4.14

per un grafico dell'esercizio 4.6 tracciate il grafico di -3f(x+ 1)+2.

Esercizio 4.15

giustificate quanto asserito nel testo sul grafico di

Esercizio 4.16 f(x/IO) .

per ogni grafico dell'esercizio 4.6 tracciate i grafici di f( -3x) e di

f (ax)

.

Esercizio 4.17 : per un grafico dell'esercizio 4.6 tracciate il grafico di 2f(2x + l) -l ;

suggerimento: osservate che 2x + l = 2(x + 1/2) ....

Esercizio 4.18

giustificate quanto asserito nel testo sui grafici di f+ , f- e If(x)l.

Esercizio 4.19

tracciate il grafico di (2x + 1)+ .

Esercizio 4.20 f- e If(x)l·

per qualcuno dei grafici dell'esercizio 4.6 tracciate i grafici di f+,

Esercizio 4.21

tracciate il grafico di 12sen(3x)

Esercizio 4.22

giustificate quanto asserito nel testo sul grafico di f(lxl).

Esercizio 4.23

tracciate il grafico di log Ixl .

11.

Esercizio 4.24 provate a tracciare il grafico della somma e del prodotto di due fun­

zioni a caso aventi lo stesso dominio.

Esercizio 4.25 : per un grafico dell'esercizio 4.6 tracciate il grafico di sen(J(x)) e

quello di ef(x) .

Capitolo 4 : Grafici di funzioni reali

111

Esercizio 4.26 : a questo punto siete pronti: prendete un libro delle scuole superiori, e vedete quanti grafici di funzioni non troppo complicate riuscite a tracciare rapida­ mente con una ragionevole approssimazione (naturalmente, senza prima guardare il gra­ fico vero). Confrontate i risultati con il tempo necessario a uno studio completo, che peraltro rimane insostituibile per ottenere grafici corretti. Esercizio 4.27 : risolvete graficamente in modo approssimato nell' intervallo [0,21T] la disequazione 12sen(3x) 11 < 1 .

Lista dei simboli

Raccogliamo in questa lista i simboli matematici usati in questo volume; il numero indica la pagina in cui il simbolo è definito, o compare per la prima volta.

Logica e insiemistica connettivi logici: 2 non, o, e =;.., {=, ~ implicazioni: 2 V, 3, 3!, 3 1 quantificatori: 5 E, ::1, rt: appartenenza: 9 C, :J, ç, ç inclusioni: lO U, n unione, intersezione: 11 Ee complementare: 12 o insieme vuoto: 12 \ differenza tra insiemi: 13 .9(E) insieme delle parti: 13 E x F prodotto cartesiano: 14 Funzioni generiche f : A -+ B, X I-t f(x) funzioni: 15, 16 dom f dominio: 16 identicamente uguale: 16 iA identità: 16 proiezione canonica: 16 II, Cflf grafico: 16

f-1

funzione inversa: 19 f(E), f-I(E) immagine, immagine inversa: 20 flE restrizione: 21 9of composizione: 22 f V g, f A 9 massimo e minimo tra f e g: 80

jR

il jR+ jRn

N

Q :C

e A

Numeri numeri reali: 9 numeri interi: 9 , jRreali positivi e negativi: lO spazio n-dimensionale: 14 numeri naturali: 9 numeri razionali: 9 numeri complessi: 9 unità immaginaria: 9 numero di Nepero: 86 discriminante di un'equazione: 46

Funzioni reali sen x, cos x, tan x funzioni trigonometriche: 54,82 e'" , exp(x) esponenziale: 86 logx, log"x logaritmo: 87 Lxj parte intera: 80 Ixl valore assoluto: 76 x , x+ parti positiva e negativa: 79 arcsen x, arccos x, arctan x funzioni trigono­ metriche inverse: 84, 86 senh x, cosh x, tanh x funzioni iperboliche:

89 sett senh x, sett cosh x, sett tanh x iperboliche inverse: 90

funzioni

Indice analitico

Abbiamo cercato di rendere questo indice il più facile possibile da utilizzare, includendo moltissime voci e citando quelle composte sotto tutte le componenti (ad esempio, "coef­ ficiente angolare" compare sia sotto la voce "coefficiente" che sotto la voce "angolare"). Quando, nella lettura del testo, incontrate una struttura matematica di cui non ricor­ date esattamente definizione e proprietà, vi consigliamo di cercarla immediatamente, aiutandovi sia con l'indice analitico che con l'indice del libro.

Addizione, formule di: 57 algoritmo di Ruffini: 44 angolare, coefficiente: 59 annullamento del prodotto, legge di: 30 antisimmetrica, proprietà: 33 appartenente: 9 applicazione: 15 approssimativo, grafico: 99 arcocoseno: 86 arcoseno: 84 arcotangente: 86 ascissa: 14 assiomi: 8 associativa, proprietà: 27 assoluto, valore: 76

complessi, numeri: 9 composizione: 22 composta, funzione: 22 connettivi logici: 2 cono, formule relative al: 62 contenente, contenuto: lO coordinate - cartesiane: 49,57 - polari: 53 - sistema di: 48 coppia ordinata: 14 coseno: 55,82,83,91 - iperbolico: 89,91 costante, funzione: 16 crescente, funzione: 67

Bisezione, formule di: 57 biunivoca, funzione: 19

De Morgan, leggi di: 13 decrescente, funzione: 67 differenza fra insiemi: 13 discriminante: 46 disequazioni: 33 - di 2° grado: 46 - irrazionali: 74 - metodo grafico: 99 - sistema di: 34 dispari, funzione: 72,73 distanza in lR: 77 distributiva, proprietà: 29 disuguaglianza: 33

Cambiamento di scala: 101 canonica, proiezione: 16 cartesiane, coordinate: 49,57 cartesiano, prodotto: 14 circonferenza equazione della: 60 - goniometrica: 51,54 codominio: 15 coefficiente angolare: 59 commutativa, proprietà: 27 complementare: 12

114

Indice analitico

- triangolare: 77

- stretta: 33

divisione fra polinomi: 44

dominio: 15

naturale: 16

doppia implicazione: 4

duplicazione, formule di: 57

e(numero di Nepero): 86

elementari, funzioni: 67,106

elemento

di un insieme: 9

neutro: 27,29

ellisse, equazione della: 61

ennupla ordinata: 14

equazione

di 2° grado: 45

di un'ellisse: 61

di un'iperbole: 61

di una circonferenza: 60

di una parabola: 61

- di una retta: 58,60

- risoluzione di una: 31

equazioni, sistema di: 32,37

esistenziale, quantificatore: 5

esponenziale: 86

proprietà: 86

Formule

- di addizione: 57

- di bisezione: 57

- di duplicazione: 57

di prostaferesi: 57

parametriche: 57

relative ai solidi: 62

frazione: 29

funzione: 15

- composta: 22

- crescente: 67

- decrescente: 67

dispari: 72,73

elementare: 67,106

immagine inversa tramite: 20,98

immagine tramite: 20,97

- iniettiva: 17,99

- inversa: 19,71

- monotona: 67,nLpropfmonot

- pari: 72,73

- surgettiva: 18

Goniometrica, circonferenza: 51,54

gradi sessagesimali: 50

grado di un polinomio: 43

grafico: 16,97

- approssimativo: 99

- delle funzioni elementari: 106

- metodo: 99

studio qualitativo: 67,99

i(unità immaginaria): 9

identità, funzione: 16

immaginaria, unità: 9

immagine

di un punto: 15

di una funzione: 20,97

- inversa tramite una funzione: 20,98

- tramite una funzione: 20,97

implicazione: 3

-doppia: 4

inclusione: lO

iniettiva, funzione: 17,99

iniettività e monotonia: 71

insieme: 9

- simmetrico: 14,72

- vuoto: 12

intera, parte: 80

interi, numeri: 9

intersezione: 11

intervallo: lO

inversa, funzione: 19,71

iperbole, equazione della: 61

iperboliche, funzioni: 89,91

- inverse: 90,90

irrazionali, disequazioni: 74

Legge di annullamento del prodotto: 30

leggi di de Morgan: 13

lineare, sistema: 37

logaritmica, scala: 88

logaritmo: 87

- proprietà: 87

logiche, regole: 8

Massimo fra due funzioni: 80

metodo grafico: 99

minimo fra due funzioni: 80

molteplicità di una radice: 45

monomio: 43

monotona, funzione: 67,70

Morgan, leggi di de: 13

Naturali, numeri: 9

negativa, parte: 79,102

negazione di una proposizione: 2,7

Nepero, numero di: 86

neutro, elemento: 27,29

numeri

- complessi: 9

- interi: 9

- naturali: 9

razionali: 9

reali: 9

Opposto di un numero: 27

ordinata

- coppia: 14

- di un punto: 14

- ennupla: 14

ordine di un polinomio: 43

Indice analitico

Parabola, equazione della: 61

parallelepipedo, formule relative al: 62

parametriche, formule: 57

pari, funzione: 72,73

parte

-_. intera: 80

negativa: 79,102

- positiva: 79,102

parti di un insieme: 13

periodica, funzione: 82

periodo di una funzione: 82

piramide, formule relative alla: 62

polari, coordinate: 53

polinomio: 43

- divisione: 44,44

- grado: 43

- ordine: 43

- radice: 45

positiva, parte: 79,102

potenze

- intere: 41,73

- proprietà delle: 42

- razionali: 42,74

predicato: 5

prodotto

- cartesiano: 14

- legge di annullamento del: 30

- proprietà del: 29

proiezione canonica: 16

proposizione: 1

- negazione di una: 2,7

proprietà

- antisimmetrica: 33

- associativa: 27

- commutativa: 27

- del prodotto: 29

- della somma: 27

- distributiva: 29

- transitiva: 33

prostaferesi, formule di: 57

Qualitativo, studio: 67

quantificatore

esistenziale: 5

- universale: 5

Radiante: 50

radice

di un numero reale: 74

- di un polinomio: 45

- ennesima: 74

molteplicità di una: 45

razionali

numeri: 9

potenze: 42,74

reali, numeri: 9

reciproco di un numero: 29

regole logiche: 8

restrizione: 21

retta:58

equazione della: 58,60

riscalamento: 101

risoluzione di un'equazione: 31

Ruffini, algoritmo di: 44

Scala

cambiamento di: 101

logaritmica: 88

semiretta: lO

seno: 55,82,83,91

iperbolico: 89

sessagesimali, gradi: 50

settore

circolare: 91

coseno iperbolico: 90

iperbolico: 90,91

seno iperbolico: 90

tangente iperbolica: 90

sfera, formule relative alla: 62

simmetrico, insieme: 14,72

sistema

di coordinate: 48

di disequazioni: 34

di equazioni: 32,37

lineare: 37

somma, proprietà della: 27

sottoinsieme: lO

stretta, disuguaglianza: 33

studio qualitativo: 67

surgettiva, funzione: 18

Tabella di verità: 2

tangente: 55,82,91

iperbolica: 89

transitiva, proprietà: 33

traslazione: 100

triangolari, disuguaglianze: 77

trigonometriche, funzioni: 55,82,83,91

- inverse: 84

Unione: 11

unità immaginaria: 9

universale, quantificatore: 5

Valore assoluto: 76

vuoto, insieme: 12

115