Acciones Dinamicas S-07 - Espectros de Respuesta Inelasticos 1
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Espectros de respuesta inelasticos...
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Dinámica de las Estructuras (S-07) - Respuesta de Sistemas Inelásticos sometidos a sismos M.I. Carlos Villaseñor M. Función de las 8 Constantes Modificada
En la sesiones anteriores aprendimos a determinar el cortante basal usando el espectro de pseudo-aceleración elástico, dicho cortante basal se obtiene multiplicando el desplazamiento por la ordenada espectral correspondiente al periodo natural y la relación de amortiguamiento de un sistema. Sin embargo, la mayoría de las estructuras son diseñadas para cortantes basales menores que los cortantes basales elásticos asociados a sismos fuertes. Lo anterior lo podemos confirmar si comparamos el espectro de diseño especificado por las normas técnicas vigentes para factores de comportamiento sísmico Q >1, con un espectro elástico de diseño correspondiente a Q =1. Esta diferencia implica que las estructuras diseñadas de acuerdo al código sufren desplazamientos más allá del límite lineal elástico cuando están sujetas a sismos.
No es de sorprender entonces que dichas estructuras deben deformarse más allá de su límite elástico durante un sismo intenso, lo cual se traduce en daños durante dicha excitación. No obstante, si los daños causados por sismos intensos llegan a ser muy severos o graves para ser reparados o incluso que la estructura colapse, es un indicativo de que la capacidad de deformación demandada de la estructura la cual debió diseñarse resultó ser ineficiente. Es un hecho entonces que el reto principal del ingeniero es diseñar estructuras de modo que se tenga control sobre los daños potenciales de modo que éstos se encuentren dentro de un rango aceptable de costos.
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Relaciones Fuerza - Deformación
Desde los años 60 se han realizado muchas pruebas de laboratorio para determinar el comportamiento de las estructuras bajo condiciones de sismo. Durante un sismo las estructuras describen un movimiento oscilatorio con deformaciones reversibles. Las pruebas cíclicas para simular este comportamiento se ha realizado sobre miembro estructurales, conexiones, modelos a escala, los resultado obtenidos indican que el comportamiento cíclico fuerza - deformación de una estructura dependen del material del que fueron hechas y del sistema estructural mismo. Dicho comportamiento cíclico muestra una gráfica histerética:
Idealización Elastoplástica
Considere la relación fuerza desplazamiento de una estructura durante la fase inicial de carga, ésta describiría una gráfica de comportamiento como se muestra en la figura. Como veremos más adelante resulta conveniente idealizar la curva de comportamiento de modo que se muestre como un comportamiento elástico y luego perfectamente plástico. A la gráfica resultante (idelizada) se le conoce como aproximación elastoplástica.
En la gráfica elastoplástica se definen los siguientes elementos: fy = fuerza de fluencia, u y=desplazamiento o deformación de fluencia, u m= desplazamiento máximo de fluencia.
Cuando se carga se realizan ciclos de carga y descarga, y durante los intervalos de aplicación de las cargas se alcanza la fluencia del sistema, se obtiene la deformación máxima de fluencia cuando la carga se deja de aplicar, es entonces que la gráfica describe una trayectoria de recuperación, cuya pendiente (que es la rigidez) es la misma que la trayectoria lineal inicial, si se aplica ahora la carga en sentido contrario hasta alcanzar nuevamente la fluencia obtendremos una gráfica histerética elastoplástica.
La relación cíclica de fuerza - deformación describe la historia de movimiento del sistema.
Durante un sismo encontraremos que el punto u m corresponderá al momento en que la velocidad sea cero para luego seguir una trayectoria de descarga, donde la velocidad cambia se signo. Entonces cuando la velocidad ( u' ( t) 0) tenemos que la deformación es creciente y cuando ( u' ( t) 0) es decreciente.
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Correspondencia con Sistemas Lineales y Resistencia Normalizada de Fluencia y Factor de Ductilidad
Es necesario evaluar y comparar los valore pico de desplazamiento entre un sistema elastoplástico y un elástico correspondiente. El periodo natural de vibrar para los dos sistemas es el mismo, es decir, en el sistema elastoplástico, el periodo está definido por la zona elástica al igual que el sistema lineal. El periodo natural de vibrar solo está definido para una sistema elastoplástico cuando los desplazamiento son menores que el desplazamiento de fluencia ( u u y).
La resistencia normalizada de fluencia (también conocida como la inversa del factor "R o Q"), esta definida como:
1 R
=
1 Q
=
fy fo
=
k uy k uo
=
uy uo
donde: fo = el valor pico de la resistencia (también denominada también como fSo) correspondiente al desplazamiento pico ( u o) en un sistema con comportamiento elástico. fy = el valor de la resistencia de fluencia en el sistema elastoplástico.
Otra forma de interpretar "R" es que nos indica la fracción de resistencia necesaria para que el sistema de comporte de manera elástica.
El factor de reducción de resistencia de fluencia (Factor "R") se define como:
R=Q=
fo fy
=
uo uy
que es el recíproco del factor
El valor pico (valor absoluto máximo) del desplazamiento en un sistema inelástico debido a un sismo esta definido como um , si normalizamos dicho valor con respecto al desplazamiento de fluencia obtenemos el factor de ductilidad:
μ=
fy fo
um uy
Considerando la ductilidad, podemos obtener las siguientes relaciones: um uo
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=
μ R
=
μ Q
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Ecuación de Movimiento y Control de Parámetros
La ecuación de movimiento para un sistema elastoplástico es:
Si dividimos toda la ecuación entre la masa
u'' 2 ξ ωn u'
ms u'' c u' fS( u u' ) = m u''g ( t)
1 f ( u u' ) = u''g ( t) ms S
k
pero ωn =
2 uy u'' 2 ξ ωn u' ωn f ( u u' ) = u''g ( t) fy S
k
ms =
ms
ωn
2
=
fy uy
1 ωn
2
2 u'' 2 ξ ωn u' ωn u y fSn( u u' ) = u''g ( t)
fSn( u u' ) =
fS( u u' ) fy
En la ecuación de movimiento resultante, encontramos que u ( t) para un u''g ( t) dado, depende de la frecuencia natural de vibración, la relación de amortiguamiento y del desplazamiento de fluencia. u ( t) = u y μ ( t )
Ahora sabemos que el factor de ductilidad que obtuvimos fue sobre los valores pico de los desplazamientos, pero en la repuesta de un sistema podemos encontrar que:
Si sustituimos estás últimas definiciones sobre la ecuación de movimiento de un sistema inelástico: Dividiendo entre fy fo
=
uy uo
uy
u' ( t) = u y μ' ( t)
= μ ( t)
u'' ( t) = u y μ'' ( t)
uy μ'' ( t) 2ξ ωn uy μ' ( t) ωn
2
u y fSn u y μ ( t) u y μ' ( t) = u''g ( t)
u''g ( t) 2 μ'' ( t) 2 ξ ωn μ' ( t) ωn u y fSn( μ ( t) μ' ( t) ) = uy
uy
pero
u ( t)
2 2 u''g ( t) μ'' ( t) 2 ξ ωn μ' ( t) ωn u y fSn( μ ( t) μ' ( t) ) = ωn fy
fy fy fy fy uy = uo = uo = = fo k uo k 2 ωn ms
ms
2 2 u''g ( t) μ'' ( t) 2 ξ ωn μ' ( t) ωn u y fSn( μ ( t) μ' ( t) ) = ωn fy
2 2 u''g ( t) μ'' ( t) 2 ξ ωn μ' ( t) ωn u y fSn( μ ( t) μ' ( t) ) = ωn ay
ms fy = a y ms
ay =
fy ms
que puede ser interpretada como la aceleración de la masa necesaria para producir la fuerza de fluencia fy
De esta última ecuación, podemos observar que es obvio que μ ( t) depende también de ωn , ξ y el factor a y , que a su vez depende de ωn, ξ y R.
Efecto de la Fluencia en la Respuesta del Sistema
Para comprender cómo la respuesta de un sistema de 1G.L. es afectado por la la fluencia compararemos la respuesta de un sistema elastoplástico con un sistema elástico que tenga las mismas características en cuanto a periodo, y factor de amortiguamiento. Ejemplo 1. Compare la respuesta de un sistema elastoplástico con un sistema inelástico con las siguientes características. Tn 0.5s, ξ 0%
fy = 0.125 fo
Incluya en su comparación las gráficas de la aceleración absoluta normalizada con respecto a la gravedad. Utilice el programa de las 8 constantes para analizar la respuesta elástica y el programa Degtra para la respuesta inelástica. Δt 0.02s
cargando el acelerograma
Acel El Centro
El Centro Sismo de 1940 (02).txt
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t 0
i 1 rows Acel El Centro 1 2π rad ωn 12.566 Tn s ωD ωn 1 ξ
2
12.566
t 0 1 k
ωn = rad
i 1
Δt t
i
2 s ms 800Ton m
Ton 2 k ms ωn 126330.936 m
p ms Acel El Centro g
w ms g 7845.32 Ton
s
ms
t
u 8 Const' u 8 Const Δt p k ξ ωn ωD 1 cm 3 3 10 3 2 10 3 1 10 p ( Ton)
1 3 0 1 10 3 2 10 3 3 10
10
20
30
t 10 5 u 8 Const' ( cm)
1 0
10
20
30
5 10 t u o max u 8 Const' 8.161 cm 2 fS ms ωn u 8 Const' 4 2 10 4 1 10 fS ( Ton)
1 0
10
20
30
4 1 10 4 2 10 t
fo max fS 10310.482 Ton
Para obtener la aceleración absoluta (o aceleración total) debemos regresar a la ecuación de movimiento para un sistema inelástico 2
u'' 2 ξ ωn u' ωn u = u''g ( t)
2 u''rel = u''g ( t) 2 ξ ωn u' ωn u
aceleración relativa
2 u''rel u''g ( t) = 2 ξ ωn u' ωn u ms u''abs = fS
por lo tanto de la gráfica anterior podemos obtener el pico de la aceleración absoluta:
fS =
w g
fo cm u''abs-o 1288.81 ms 2 s
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aceleración total o absoluta
2 u''abs = 2 ξ ωn u' ωn u u''abs
fS w
=
u''abs g
u''abs-o 1.314 g
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El programa de las 8 constantes ha sido modificado para calcular la aceleración absoluta:
u''abs u 8 Const Δt p k ξ ωn ωD 2 g
2 1 u''abs ( g )
1 0
10
20
30
1 2 t
u''abs-o max u''abs 1.314 g
Procesando ahora el sistema elastoplástico: Para el sistema inelástico, tenemos que: fS' ( u )
fy 0.125 fo
( k u ) if fy k u fy
u y
ks( u )
fy if k u fy
fy
fy k
0.402 in
u 0 0
2k ωn
c ξ
k if u y u u y 0 otherwise
0 Ton
u' 0 0
s cm
u s 40cm 39.9 cm 40cm
if k u fy 3 4 10 u Dgt' Inelst
3 2 10
fS' u s ( kip)
Repuesta T_0.5 R_0.125 Xhi_0.dat
1 3
2.4 1.8 1.2 0.6
0
0.6
1.2
1.8
2.4
3
u Dgt' Inelst u Dgt' Inelst m
3 2 10
3 4 10 u s ( in)
1
10
u Dgt' Inelst ( cm) u 8 Const' ( cm)
1
5
1
0
10
20
30
5 10 t
El desplazamiento pico de fluencia es
u m max u Dgt' Inelst 4.369 cm
Se observa en la gráfica que el sistema, los episodios de fluencia causan una serie de derivas con respecto a la posición inicial de equilibrio, cuando el sismo termina el sistema ya no recupera su forma vertical original, es decir que la estructura presenta una deformación permanente residual. Por otro lado, se tiene el el pico de deformación es menor y sucede en un tiempo diferente que el pico obtenido en un sistema elástico lineal.
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Carga de los resultados obtenidos del programa Degtra para la aceleración absoluta:
u''Dgt' Inelst
Repuesta a_abs T_0.5 R_0.125 Xhi_0.dat
m u''Dgt' Inelst u''Dgt' Inelst 2 s fo
w ms g
w
1.314
fo 1.314 w
fy 0.164 w
0.2
fy ( w )
1 4
0.1 u''Dgt' Inelst ( g )
1
2 0 0
2
4
6
8
u Dg
10 2
0.1 fy ( w )
0.2
1
4
t
1 u''Dgt' Inelst ( g ) u''abs ( g )
1
1
0
2
4
6
1 fy ( w ) 1 fy ( w ) 10
8
1
t
El sistema elastoplástico no desarrolla la misma resistencia que el correspondiente sistema lineal, en el caso de sistema inelástico, la energía de deformación es disipada por las deformaciones plásticas. Ejemplo 2. Obtenga la ductilidad máxima para cada unos de los sistemas. Considere el mismo periodo pero con ξ 5% (utilice el programa Degtra). a) R 1
b) R
c) R
d) R
Tn 0.5 s
a) R 1
1 0.5 1 0.25
2 4
1 0.125
8
Δt 0.02 s
ms 7845320 kg
w 7845.32 Ton
k 126330.936
tenemos que el factor R = 1 nos indica que el valor pico de la resistencia es igual a la de fluencia
Carga de los resultados obtenidos del programa Degtra para la aceleración absoluta:
u Dgt' Inelst
Ton m
R=
fo fy
rad ωn 12.566 s =1
ωD ωn 1 ξ
2
12.551
rad s
fo = f y
Repuesta T_0.5 R_1.0 Xhi_0.05.dat
u Dgt' Inelst u Dgt' Inelst m
u 8 Const' u 8 Const Δt p k ξ ωn ωD 1 cm
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5
u 8 Const' ( cm)
1 0
u Dgt' Inelst ( cm)
1
10
20
30
5
10 t
u o max u Dgt' Inelst 5.688 cm
El sistema tiene el mismo comportamiento que un sistema elástico lineal, no se desarrolla fluencia en ningún momento durante el evento sísmico. Comparado con el programa de las 8 constante, obtenemos gráficas idénticas. b) R
1 0.5
2
R=
fo fy
=2
fo = 2fy
Carga de los resultados obtenidos del programa Degtra para la aceleración absoluta:
fy = 0.5fo u Dgt' Inelst
Repuesta T_0.5 R_2.0 Xhi_0.05.dat
u Dgt' Inelst u Dgt' Inelst m
5
u Dgt' Inelst ( cm) u 8 Const' ( cm)
1 0
1
10
20
30
5
10 t
b) R
1 0.25
4
R=
fo fy
u m max u Dgt' Inelst 4.102 cm =4
fo = 4fy
Carga de los resultados obtenidos del programa Degtra para la aceleración absoluta:
μ
um uo
R 1.442
fy = 0.25fo u Dgt' Inelst
Repuesta T_0.5 R_4.0 Xhi_0.05.dat
u Dgt' Inelst u Dgt' Inelst m
5
u Dgt' Inelst ( cm) u 8 Const' ( cm)
1
1
0
10
20
30
5
10 t
u m max u Dgt' Inelst 4.418 cm
b) R
1 0.125
8
R=
fo fy
=8
fo = 8fy
μ
um uo
R 3.107
fy = 0.125fo
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Carga de los resultados obtenidos del programa Degtra para la aceleración absoluta:
u Dgt' Inelst
Repuesta T_0.5 R_8.0 Xhi_0.05.dat
uDgt' Inelst uDgt' Inelstm
5
u Dgt' Inelst ( cm) u 8 Const' ( cm)
1 0
1
10
20
30
5
10 t u m max u Dgt' Inelst 5.255 cm
μ
um uo
R 7.39
Como es de esperar de forma intuitiva, los sistemas con menor resistencia a la fluencia tienen mayor número episodios de fluencia, y eso a su vez hace que la deformación permanente u p de la estructura después de que el sismo ha cesado tienda a aumentar, aunque dicha tendencia no es la regla generalmente, también se observa que los pico de desplazamiento u m son menores que el correspondiente para el sistema elástico, dichas tendencias no siempre suceden así, ya que depende del periodo del sistema, las características del movimiento del terreno y del factor de amortiguamiento. El factor de ductilidad calculado para cada sistemas elastoplástico (con "Q" diferente), se interpreta como la demanda de ductilidad impuesta sobre cada sistema elastoplástico para un sismo dado. Esta demanda representa un requerimiento de capacidad de ductilidad que debe tomarse en cuenta al momento de diseñar una estructura, de modo que dicha capacidad exceda la demandada en el sitio. Ejemplo 3. Construya el espectro de ductilidad para R = 1 1.5 2 4 8 y ξ 5% , periodo mínimo de 0.01s y máximo 20s construyendo el vector de periodos: Tn min 0.01s
Tn max 20s
ΔTn Tn min
n
Tn max ΔTn
2000
i 1 n 1
Tn Tn min 1
Tn ΔTn Tn i 1 i
Primero calcularemos el espectro de respuesta de desplazamiento para un sistema lineal
u o Espctr D8 Const Δt Tn ms p ξ 1 cm
40 30 u o ( cm)
1 20 10
0 u m
5
10
15
20
25
Tn
Periodo 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
um [m] (R=1) um [m] (R=1.5) um [m] (R=2) um [m] (R=4) um [m] (R=8) 7.91E‐06 3.16E‐05 7.06E‐05 1.26E‐04 2.48E‐04 3.40E‐04 6.80E‐04 9.55E‐04 1.23E‐03
1.14E‐05 4.48E‐05 9.91E‐05 1.75E‐04 3.05E‐04 5.04E‐04 8.18E‐04 1.05E‐03 1.37E‐03
1.50E‐05 2.92E‐05 5.85E‐05 1.12E‐04 1.29E‐04 2.43E‐04 2.25E‐04 4.19E‐04 3.47E‐04 6.34E‐04 5.88E‐04 8.93E‐04 9.36E‐04 1.41E‐03 1.19E‐03 1.68E‐03 1.55E‐03 0.002295793 Pág.- 9
5.63E‐05 2.12E‐04 4.54E‐04 7.73E‐04 1.15E‐03 1.58E‐03 2.07E‐03 2.51E‐03 3.44E‐03
u m u m m
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Espectro de demanda de ductilidad
R 1
R 2
R 8
1 um μR=1 R uo
1 um u m/uo R=1 uo
3 um μR=2 R uo
3 um u m/uo R=2 uo
5 um μR=8 R uo
5 um u m/uo R=8 uo
R 1.5
R 4
2 um μ R=1.5 R uo
2 um u m/uo R=1.5 uo
4 um μ R=4 R uo
4 um u m/uo R=4 uo
Gráfica Normalizada de Desplazamientos Pico
Gráfica de Demanda de Ductilidad
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Para sistemas con con periodo muy largos, la deformación u m de un sistema elastoplástico es independiente del factor de reducción "R o Q" y resulta ser casi igual a u o del sistema lineal correspondiente. Esto es, porque la masa, durante el movimiento tiende a permanecer en su lugar sin moverse, por lo que en realidad experimenta deformación igual al pico de desplazamiento del suelo. También podemos observar en la gráfica de demanda de ductilidad que para dicho rango de periodos la demanda de ductilidad es igual "Q". Para sistemas entre 0.5 y 3s de periodo, u m , puede ser mayor o menor que u o (esto es que pueden o no exceder a 1 en la gráfica normalizada de desplazamiento), ambos son afectado irregularmente por las variaciones de fy/fo, la demanda de ductilidad puede ser mayor o menor que el factor "R o Q". Para sistemas con periodos cortos, la razón um /uo se incrementa a medida que fy/fo disminuye (o bien que la resistencia de fluencia disminuye), la demanda de ductilidad puede ser mucho mayor que el factor de reducción "R o Q". Este resultado implica que la demanda de ductilidad para sistemas con periodos muy cortos puede ser grande no obstante si se tienen resistencia a la fluencia muy cercanas a la mínima a fo.
Espectros de Respuesta de Ductilidad Constante
Ejemplo 4. Utilizando el programa Degtra, construya una espectro de resistencia de ductilidad constante para μ = 1 1.5 2 4 8 y ξ 5% , periodo mínimo de 0.01s y máximo 3s. Luego: a) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn = 0.5s , μ = 4
b) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn = 0.5s , μ = 1.5
c) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn = 0.5s , μ = 1
De los resultados obtenido en el Degtra:
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fy/ms
Fy/m [m] (µ=1) Fy/m [m] (µ=1.5) Fy/m [m] (µ=2) Fy/m [m] (µ=4) Fy/m [m] (µ=8)
Periodo 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
3.12E+00 3.12E+00 3.10E+00 3.11E+00 3.92E+00 3.73E+00 5.48E+00 5.89E+00 5.98E+00
3.00E+00 2.95E+00 2.90E+00 2.88E+00 3.21E+00 3.69E+00 4.39E+00 4.30E+00 4.46E+00
2.96E+00 2.89E+00 2.82E+00 2.77E+00 2.74E+00 3.22E+00 3.77E+00 3.67E+00 3.78E+00
2.88E+00 2.76E+00 2.67E+00 2.58E+00 2.50E+00 2.45E+00 2.83E+00 2.59E+00 2.797367
2.78E+00 2.62E+00 2.49E+00 2.38E+00 2.27E+00 2.17E+00 2.08E+00 1.94E+00 2.10E+00
fy/ms fy/ms
m s
2
Los resultado obtenidos del programa están dados en fuerza por unidad de masa, es decir m/s2, para normalizar dichos valores con respecto a g's, habría que dividir las cantidades entre g. Por lo tanto, la gráfica nos proporcionará los valores de la resistencia en fracciones de g's. fy/w
fy/ms g
fy/w μ=1 fy/w
1
fy/w μ=1.5 fy/w
2
fy/w μ=2 fy/w
3
fy/w μ=4 fy/w
4
fy/w μ=8 fy/w
5
1
fy/w μ=1
0.8
fy/w μ=1.5 0.6 fy/w μ=2 fy/w μ=4
0.4
fy/w μ=8 0.2
1
2 Tn ( s)
3
1
De la gráfica anterior, dada la excitación como la de "El Centro", y las propiedades Tn y ξ de un sistema, se puede determinar la resistencia a la fluencia fy de acuerdo a un factor de ductilidad dado. De la misma manera que se obtiene la pseudo-aceleración en un sistema elástico: fy = ms S ay
μ=
um uy
fy ms
u m = μ u y
= S ay
2 Sa ωn u o
para un sistema elastoplástico
que es el resultado que nos regresa el programa Degtra (fuerza por unidad de masa) pero k =
fy uy
Para el sistema considerado en estos ejemplos:
u m = μ
fy k
= μ
fy ms g
ms S ay ms ωn
ms 7845320 kg
2
= μ
=
2 Say ωn u y Say
fy
g
w
ms S ay
2π ms Tn
k 126330.936
2
=
S ay g
Tn u m = μ 2π
2 S ay
Ton m
a) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn 0.5s , μ 4 Del espectro obtenido, tenemos que
Say 0.17951 g 176.039
cm 2 s
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fy ms S ay 1408.313 Ton
Tn u m μ 2π
2 S ay 4.459 cm
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b) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn 0.5s , μ 1.5 Del espectro obtenido, tenemos que
Say 0.4059 g 398.052
cm s
2
2
fy ms S ay 3184.415 Ton
Tn u m μ 2π
2π
2
fy ms S ay 7186.235 Ton
u m μ
S ay 3.781 cm
c) Calcule el desplazamiento máximo de fluencia para Tn 0.5s , μ 1 Del espectro obtenido, tenemos que
Say 0.91599 g 898.279
cm 2 s
Si comparamos con el espectro de respuesta de desplazamiento elástico obtenemos que
uo
50
5.688 cm
fo k u o
50
Tn
S ay 5.688 cm
7186.248 Ton
Efectos Relativos de Amortiguamiento y Ductilidad
En la gráfica tripartita se han graficado tanto para espectro elástico como para espectros inelásticos para relaciones de amortiguamientos ξ = 2% 5% 10%. Se tienen las siguientes observaciones:
El amortiguamiento es despreciable para periodos muy largos ya que,según la gráfica la resistencia por unidad de masa es prácticamente la misma.
Para periodo muy cortos el amortiguamiento es igualmente despreciable.
Finalmente se puede apreciar que las variaciones causadas por el amortiguamiento tienen un efecto reducido, y generalmente se desprecian al momento de considerar los espectros de diseño.
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Espectros Inelásticos de Diseño
Los espectros de diseño pueden construirse a partir de los espectros de repuesta de ductilidad constante para muchos sismos que resulten admisibles en un sitio dado, luego dichos datos deben asociarse a su probabilidad de excedencia. Finalmente los espectros de diseño proveen una base conveniente para direccionar condiciones que traten acerca del diseño de nuevas estructuras y la evaluación de seguridad en estructuras ya existentes. En las NTCDF, básicamente el método consiste en calcular la resistencia de acuerdo a un valor permisible de ductilidad, dicho valor está representado por el coeficiente de comportamiento sísmico (Q) que es independiente de el periodo natural y el factor de reducción de las fuerzas sísmicas con fines de diseño (Q'), como función del periodo natural. El segundo factor se utiliza para reducir las fuerzas sísmicas que se utilizarán para diseñar la estructuras mediante el método estático, es decir para obtener la resistencia para limitar el comportamiento a cierto grado de ductilidad representado por Q.
1.0
19.55
1.5 EL TENAYO C. EL
DEL CERRO CERRO DEL CHIQUIHUITE CHIQUIHUITE
JU AR EZ ES ID EN TE AV .P R
AL CA N
CA CALZ LZAD TA TACU A ME CUBA BA MEXICO
AD
CALZ DE
RS ID AV .U NIE
S SU R SURG
PE R IF ER IC O
AV.IN
20
N UNIO LA
HID AL GO F.C
AV
DE
RESO
NG
1.5 30
2.0
RIO CHURUBUSCO
10
20
20
IMO ON JER SAN
AZ TE CA S
DE S DA TE Z A ON LLZ M CA IRA M
LM A
EJE 11 IN
C.DE ZACATEPEC
19.30
SU R
SUR
GE NT ES
SUR
ESTADIO ESTADIO AZTECA AZTECA
1.5
1.0
DE
3.5 4.0
19.45
2.0
3.5 4.5 4.0
3.0
1.5 1.0 2.5
4.5
4.0
3.5
RA L
2.0 1.0 2.5
2.0
3.0
2.5
3.0
3.0 2.0
20
1.5
2.0
1.0
2.5 2.0 1.5
1.5
1.0
1.0
2.5 1.0
30
40
40
2.0 20 30
1.0
1.0
2.0
2.5
2.0
2.5
1.5
1.5
1.0
3.0
Tlahuac
1.0
1.5 2.5
30 40
1.0 20
3.5
3.5
3.5 2.0
2.5
3.0
VIA
3.5 4.0 3.5
1.5
3.5
19.25
2.0
1.5 1.0
3.0
4.0
2.0 2.5
3.5 4.5 4.0
4.0
3.0
3.5
4.5
4.0
4.5
4.5
4.0 4.0 3.0
1.0
4.5 4.0
4.5
4.5 3.5
4.5
3.0
4.5
2.5
4.5
3.5
4.5 4.0
3.5 2.0
3.0
2.5
1.5
4.5
4.0 3.5
3.0
1.5
2.0
4.0
4.5
3.5
2.5
19.30
1.0
4.0
1.0
3.5
2.0 2.5 1.0 1.5
-99.25
19.35
4.0
3.5
3.0 4.0
4.0
2.5
1.5 1.0
4.5
2.5
1.0
4.5
3.0
2.5
2.0
3.5
2.5
4.0
3.5 4.0
3.5
4.0
2.5
1.0
3.0
2.5
4.5
3.0
3.5
4.5
3.0
4.5
4.0
3.5
2.5
1.0
3.0
2.5 3.5
4.0
3.0
DU CT O
2.0
2.5
1.5
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
1.0
1.0
3.0
2.0
19.40
1.0
1.0
1.0
CAL CALZAD A A DE DEL HU HUESO ESO
TL AL PA N
FE
4.0
30 1.5 1.0
20
1.5
1.0
2.0 2.5
30
40
20
TL AL PA N
PERIFERICO
RITO
3.5
1.5
1.0 EJE EJE 10 SUR 10 SUR
CD.UNIVERSITARIA
V.
2.0
CERRO DE LA ESTRELLA
30
1.0
AV. DE LAS TORRES
4.0 A
4.5
2.5 40
30 1.0
20
3.0 4.0 3.5
3.0
DIST
3.0 30
4.5
OCH IACA
PA NT ITL AN 4.5 CA LZ .IG 4.0 NA 4.0 CIO 4.0 ZA RA 70 GO ZA 60 3.5
50
3.5
4.5
SAN JUAN
OME Z
50 3.0 3.5 40 2.5 2.0 1.5 1.0 1.5 20
NTE
NES LEO LOS DE RTO
4
1.0
3.0
70
60
DEL
IE DES
AN IL LO
70
9
2.5
2.0
CION DIVI
19.35
J.M RICO J.M RICO
ENTE
1
20
14
70
40
3.5
3.0
AV.R OJO G
EJE 5 SUR
18
AV.RIO CHURU BUSCO
20
70
EJE 4 SUR
50
EJE 2OTE
1.5
4.0
iztacalco 4.0
2.5
2.0 30
1.0
10
4
AL ROS DEL AV.
VIGA
3.0
40
4.5
ZA RA 60 4.5 GO 4.0 ZA CD. DEPORTIVA
AV.MORELOS
ORNIA AV.CALIF VIADUCTO
TLALPA N
AV.PATRIOTISMO
1.5
20
AV. X
4.5 70
1.0
2.0 3.0
4.0
60
AV .H AN GA RE S
DE MIER
3.5
YA YU
E
3.0 50
EJE CENTRAL
1.0
19.40
2.0
2.5
4.5
AEROPUERTO 4.5
4.0
v.carranza 4.5
FRAY CERV ANDO Y T
iztapalapa
30
.T AV
2.5
60 3.5
O .C AV
Latitud
10
2.0
CALZ DE LA
RE LA DE O SE EPEC PA PULT CHA 40 V. A
3.0
50
ZOCALO
V.CARRANZ A
AV.CUAHUTEMOC N.Ñ OS H
1.0
AEROPUERTO
TA PO
4.0
cuauhtemoc A RM FO
3.5
19.50
1.0
3.0
CO CO EX
50
2.5
30 1.5
1.5 4.0
4.5 VIA
NTE
EJE I NTE
40
2.0 4.5
10
50
NAL
SAN COSM E
L. NA
20
3.5
3.0
F.F.C.C
A
TE TERM RM IN INOS OS
4.0 4.5
4.5
ARAGON
2.5
EJE 2
EST.
IN AR M
10 L. L. DE DE
40
2.0
30
4.0
2.0
2.5
4.0
JUAN DE ARAGO N
2.5
AV.C O
1.5
20
SA SA N JO AQ UI UIN
40
3.0 SAN
3.0
3.5
50 2.0
1.5
CANAL DE
AV.I.P.N
NT E
GPE
Z O BA STAV
EN TE S .IN SU RG
30
Z
1.0
19.45
1.0
YAC C. DEL TEPE
2.5
3.5
C.DE LOS GACHUPINES
30
2.0
3.0
3.0
2.5
D
AV
NTE 35
EJO ALL
VIA GU
EV .D
BAS
LZ CA
CO
MARTINE
20
g.a madero
AL
I FER
azcapotzalco
1.0
NTR
I PER
10
MAX IMO
CE
20
TZALCO LA VILLA
20
EJE
AZCAPO
.G RA
RD AN
CALZ. DE
BIOLOGO
1.5 3.5
N
10 SE
1.5
ZACATENCO
20
19.55
3.0
2.5 DE M EXIC O
CALZ . DE
UI LE S
1.0
2.5
B
Latitud
NT E RIC O RIF E PE
AV . AQ
2.0
2.0
ESTA DO
19.50
VIA GUS TAVO
1.0
Morelos No. 100
-99.20
-99.15
-99.10
-99.05
Longitud
-99.00
3.0
-98.25 19.25
Mapa de zonificación estratigráfica NTCDF
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A continuación se presenta un algoritmo para calcular el espectro de diseño NTCDF 2004
Espectro diseño param zona Q T_est Tf ΔTn T_Sal
c param zona 1
param Zona I II IIIa IIIb IIIc IIId
a 0 param zona 2
Tb param s zona 4 Ta param s zona 3
r param zona 5
c 0.16 0.32 0.40 0.45 0.40 0.30
ao 0.04 0.08 0.10 0.11 0.10 0.10
Ta 0.20 0.20 0.53 0.85 1.25 0.85
Tb 1.35 1.35 1.80 3.00 4.20 4.20
r 1.00 1.33 2.00 2.00 2.00 2.00
c 1.5 c if T_est = 1 c 1.0 c if T_est = 2 T 0s 1 for i 1
Tf ΔTn
if T Ta i T i a a0 c a0 i Ta
a/Q a 0 i
c Q
T i a 0 Ta
if Ta T Tb i a c i c a/Q i Q if T Tb i
Tb a c i Ti a/Q i T
i 1
r
Tb Q T i
r
c
T ΔTn i
a if T_Sal = 1 a/Q otherwise
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Ejemplo 5. Construya el espectro de diseño hasta para Tn = 5s para para una estructura del grupo A , ubicada cerca del cruce de Av. Universidad y Av. California. La resistencia a fuerzas laterales es suministrada en todos los entrepisos por muros de mampostería de piezas huecas, confinados o con refuerzo interior. La estructura tiene algunas irregularidades. Según el mapa de zonificación la estructura se encuentra en la zona:
NAL
EJE I NTE
40
C OS ME
30 1.5
cuauhtemoc
ZONA II
H
2.0 30
1.0
10
1.5
20
1.0
AV
Tn max 20s
ΔTn 0.01s
n
Tn max ΔTn
LA VIGA
EJE 5 SU
.U NIE RS IDA D
ZONA I
2000
i 1 n 1
Sa/g Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 1
T_est
2.5
R
40
TLALPAN
ZONA IIIa
3.0
40
20
CALZ DE
AV.PATRIOTISMO
ZONA IIIb
FORNIA AV.CALI VIADUCTO
YA
E
ZONA IIIc
3.5
50
EJE 2OTE
ZONA IIId
3.0
YU O .C AV
1.0
2.0
1.5
C ALZ D E
30
50
ZOCALO
2.5
EJE CENTRAL
10
V.CARRANZ A
N.Ñ OS
D O C SE EPE PA ULT P A H .C 40 V A
AV.CUAHUTEMOC
MA OR EF 2.0 R A EL
1.0
Edificio de concreto en Zona IIIa
zona
2.5
2.5
Dadas las características estructurales tenemos la siguiente ductilidad permisible:
3.0
Q
iztapalapa
S AN
20
2.0 1.5
Tn 0 1
Tn ΔTn Tn i 1 i
Say/g Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 2
0.8
0.6
Sa/g 0.4 Say/g
0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Sa S a/g g
Say S ay/g g
Tn
Ejemplo 6 Realice la comparación entre los desplazamientos pico para los diferentes factores de comportamiento sísmico, utilice los mismos datos y condiciones descritas del ejemplo anterior. T Q ( 1 1.5 2 3 4 )
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um
Para encontrar el desplazamiento pico
um =
2 Tn pero S Q a 2π μ
uo
Q=R=
uo uy
=
=
μ
um =
Q
Sa
Q
μ
um =
S ay
μ
Sa
uo
uo =
Sa ωn
2 Tn Sa 2π
2
Tn = Sa 2π
Tn = μ Say 2π
2 uy =
Say ωn
2
2
Say
Dado que estamos tratando con espectros de diseño podemos asumir que la ductilidad puede estar representada con el mismo factor Q.
S' ay param zona Q T_est Tn max ΔTn
for i 1 length( Q)
S ay Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 2 g if i = 1 i
S ay augmentS ay Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 2 g otherwise i S ay
Calculando los espectros:
Say S' ay param zona Q T_est Tn max ΔTn
μ=1 1
μ=1_5 2
μ=2 3
μ=3 4
μ=4 5
8
6
Say 4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tn
u m
for i 1 length( Q) μQ
i
2 i Tn if i = 1 u m μ Say 2π 2 i Tn otherwise u m augmentu m μ Say 2 π um
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3 1 10
100 μ=1 1 um ( cm)
10
μ=1_5 1 um ( cm) 1
μ=2 1 um ( cm) μ=3 1 um ( cm)
0.1
μ=4 1 um ( cm)
0.01
3 1 10
4 1 10 0.01
0.1
1 Tn ( s)
10
100
1
Obteniendo la razón entre el desplazamiento pico inelástico con respecto al elástico μ=1 um u m/uo μ=1 μ=1 um
μ=1_5 um u m/uo μ=1.5 μ=1 um
μ=2 um u m/uo μ=2 μ=1 um
μ=3 um u m/uo μ=3 μ=1 um
μ=4 um u m/uo μ=4 μ=1 um
10
u m/uo μ=1 u m/uo μ=1.5 u m/uo μ=2
1
u m/uo μ=3 u m/uo μ=4
0.1 0.01
0.1
1 Tn ( s)
10
100
1
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μ=1 S ay Q μ=1 μ=1 S ay
Calculando R o Q:
μ=1 Say Q μ=1.5 μ=1_5 Say
μ=1 S ay Q μ=2 μ=2 S ay
μ=1 S ay Q μ=3 μ=3 S ay
μ=1 S ay Q μ=4 μ=4 S ay
10
Q μ=1 Q μ=1.5 Q μ=2 Q μ=3 Q μ=4
1 0.01
0.1
1 Tn ( s)
10
100
1
Espectros Inelásticos de Diseño: Aplicaciones
Los conceptos de espectro inelástico desarrollados en las secciones precedentes, proveen dos aspectos de diseño estructural:
1. Diseño estructural basado en ductilidad permisible Bajo este lineamiento, las estructuras deben incluir detalles de diseño que en conjunto con la selección de los materiales, debe lograrse la capacidad de ductilidad que sea adecuada para el desplazamiento permisible. Para esto debe determinarse la resistencia de fluencia y la deformación de diseño del sistema, los cuales están en función de la ductilidad permisible y los valores conocidos del periodo y el porcentaje de amortiguamiento, el valor de la pseudo-aceleración se obtiene del espectro de diseño correspondiente.
La resistencia de fluencia mínima necesaria para limitar el demanda de ductilidad dentro de la ductilidad permisible está dada por:
El desplazamiento pico expresado en términos de la pseudo-aceleración elástica es:
Que a su vez puede ser expresada en función de la pseudo-acelaración de fluencia:
fy =
um =
um =
S ay g
μ Q
w 2 2π
S a
μ Sa
Tn
2 Tn Sa 2π
Tn = μ Say 2π
2
Say
Ejemplo 7 Considere un marco de un piso (un grado de libertad lateral) y determine la deformación lateral y la fuerza lateral en términos de unidades de masa para los cuales el marco debe ser diseñado bajo las siguientes condiciones: a) El sistema debe tener un comportamiento elástico lineal. b) La ductilidad permisible es de 2. c) La ductilidad permisible es de 4. Considere que la estructura pertenece al grupo A y está ubicado en la zona IIIb. Pág.- 19
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T'n 0.25s
2 s ms 800 Ton m
T Q ( 1 2 4 )
ξ 5%
Construyendo el espectro de diseño
Tn max 20s
ΔTn 0.01s
Calculando los espectros
zona
n
Tn max ΔTn
T_est
2000
i 1 n 1
Tn 0 1
Say S' ay param zona Q T_est Tn max ΔTn
Tn
i 1
ΔTn Tn
i
800
Say
Say
Say
1
2
3
cm 2 s
1
cm 2 s cm 2 s
600 1 400 1
200
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tn
a) El sistema debe tener un comportamiento elástico lineal.
Q=R=
uo uy
=
Sa S ay
μ 1
del espectro se obtiene:
Q 1
Sa 270.84
fy/w
b) La ductilidad permisible es de del espectro se obtiene:
cm 2 s
Say 173.49
cm
Q
2 s
fy/w
del espectro se obtiene:
Tn T'n
ξ 5%
cm 2 s Sa g
0.276
u m
2 2π
0.429 cm
2 Tn S Q a 2π
0.549 cm
2 Tn S Q a 2π
0.79 cm
μ Q
S a
Tn
μ 2
Sa 270.84
c) La ductilidad permisible es de
T'n 0.25 s
Sa Say S ay g
1.561
0.177
u m
μ
μ 4
Sa 270.84
cm 2 s
Say 124.82
cm
Q
2 s
fy/w
Sa Say S ay g
2.17
0.127
u m
μ
Ejemplo 8 Pág.- 20
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Considere los mismos datos del problema anterior considerando un sistema con el periodo que se indica. Resuelva los incisos a, b y c. a) El sistema debe tener un comportamiento elástico lineal.
Q=R=
uo uy
=
Sa S ay
μ 1
del espectro se obtiene:
Q 1
Sa 661.95
fy/w
b) La ductilidad permisible es de del espectro se obtiene:
cm 2 s
Say 330.97
cm
Q
2 s
fy/w
del espectro se obtiene:
Tn T'n
ξ 5%
cm 2 s Sa g
0.675
u m
2 Tn S Q a 2π
104.796 cm
2 Tn S Q a 2π
104.795 cm
μ
μ 2
Sa 661.95
c) La ductilidad permisible es de
T'n 2.5s
Sa Say S ay g
2
0.337
u m
μ
μ 4
Sa 661.95
cm 2 s
Say 165.49
cm
Q
2 s
fy/w
Sa Say S ay g
4
0.169
u m
μ Q
2 2π
S a
Tn
104.798 cm
2. Diseño estructural basado en desplazamientos permisibles (Diseño por Desempeño) En este aspecto del diseño se tiene una desplazamiento permisible y en base a éste se diseña la rigidez de la estructura y se determina la ductilidad asociada. Esta función es parecida a la anterior, la diferencia es que solo calcula el espectro de diseño elástico y uno inelástico: Q debe igualarse a la ductilidad que se desea. Esta función sirve para tantear
Say 2 param zona Q T_est Tn max ΔTn
Sa Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 1 g
augmentS a Espectro diseño param zona Q T_est Tn max ΔTn 2 g
Programa para el cálculo del diagrama de interacción de una columna de concreto
β1 f*c
0.85 if f* c 280
max1.05
kgf 2 cm f*c
1400
kgf 2 cm
0.65 otherwise
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Diag_intSecc rec' h b A s y f* c fy Es Z T_sal
εy
fy Es
for j 1 1500 c
0.003 y 0.003 Z ε 1 y
a β1 f*c c Cc 0.85 f* c a b n length( y ) for i 1 n εs i
c yi 0.003 c
fs ε s E s i i fs
i
if fy fs fy i
fs signfs fy otherwise i i Fs fs 0.85 f* c A s if y a i i i i Fs fs As otherwise i i i a' a j n
Pn Cc j
i 1
Fs i
h a Mn Cc j 2 2
n F h s 2 i i 1
y
i
Z Z 0.025
1 if T_sal Ton Ton m a' Mn 1 otherwise Diag int csort augment m Ton m
Diag int csort augment
Pn
Mn
=1
Problema 5 - Diseño por Desempeño Considere la subestructura de un puente de concreto está formada por marcos de 3 columnas, el sistema que conforma la superestructura tiene una rigidez tal que puede considerarse infinitamente rígida, las columnas tienen sección cuadrada con una distribución la distribución de armado tal como se muestra en la figura. Es necesario diseñar el armado para las condiciones de carga permanente, variables y la rotación permisible en base de las columnas, la estructura es del grupo B y se ubica en la zona II.
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H 8.5m
h 120cm
Cpp 58.5 Ton
θ base 0.02rad
W 1200Ton
zona
f'c 250
kgf 2 cm
T_est
ms
b h
Cpp W g
128.331
s
2
m
Ton
Iteración 01
Comenzaremos estimando un desplazamiento de fluencia de
u y 5cm
u m u y H θ base 22 cm
μ
um uy
4.4
Calculando el espectro de diseño de desplazamientos: Tn 0
Tn max 20s
ΔTn 0.01s
n
Tn max ΔTn
2000
Say Esp Say 2 param zona μ T_est Tn max ΔTn
i 1 n 1
u m' S ay
Tn 0.01s 1
Tn ΔTn Tn i 1 i
for i 1 length Tn
Tn i u m μ S ay i i 2π
2
um 100 u m ( cm)
10
1
Tn' 2.499 s
la rigidez del sistema es:
1 2 1 u m' Say Esp ( cm)
del espectro de lee:
2π k ms Tn'
0.1 0.01
811.259
Ton m
y la fuerza lateral de diseño es:
3 1 10 4 1 10 0.01
2
fy k u y 40.563 Ton 0.1
1
10
100
Tn
Ahora, dadas las características de la sección transversal que deben tener las columnas
Pág.- 23
19/Sep/2012
23:31
h 110cm
b h
d h 3.5in 101.11 cm
2 Ag b h 12100 cm
b 110 cm
Mu fy H 344.785 Ton m
Pu Cpp W 1258.5 Ton
Características de los materiales f'c 250
kgf
f*c 0.8 f' c 200
2 cm
Ec 14000 f'c
kgf 2 cm
221359.436
Características:
kgf
f'' c 0.85 f* c 170
2 cm
fAy 4200
2 cm
kgf 2 cm
6 kgf Es 2.039 10 2 cm
FR 0.9
kgf 2 cm
Acero de refuerzo i #8
Nlechos 6
7.1
30.402 10.134 10.134 As 10.134 10.134 30.402
13.2 13.2 13.2 120.0
kgf
13.2 13.2 13.2
103.325 83.995 64.665 y 45.335 26.005 6.675
As 101.34cm
2 cm
2
cm
13.2 13.0
fAy 4200 120.0
DI Diag_intSecc rec' h b A s y f* c fAy E s 0.335 1
kgf
ε cu 0.003
2 cm
1 Pn DI Ton
ε y
fAy Es
Pu ( Ton)
1
β1 f*c 0.85
2 Mn DI Ton m
3000
Pn ( Ton)
0.002
Mn' 390.599 Ton m Mn'
2200
fy'
1400
Calculando la profundidad del bloque de compresión correspondiente
45.953 Ton
DI Diag_intSecc rec' h b A s y f* c fAy E s 0.335
1 600
200 0
H
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
1 a DI m a' 61.865 cm
1000 Mn ( Ton m)
Calculando la sección transformada: n'
Es Ec
1
Mu ( Ton m)
9.211
Calculando el 12 Ec Iag Ton desplazamiento plástico k 1785.743 3 m nuevo: H
1
4 Iag 4128539.572 cm u y
3fy' k
7.72 cm
u m u y H θ base 24.72 cm μ
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um uy
3.202
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Iteración 02
Calculando el espectro de diseño de desplazamientos: Tn 0
Tn max 20s
ΔTn 0.01s
n
Tn max ΔTn
2000
Say Esp Say 2 param zona μ T_est Tn max ΔTn
i 1 n 1
Tn 0.01s 1
Tn
i 1
ΔTn Tn
i
u m' S ay
for i 1 length Tn
Tn i u m μ S ay 2 π i i
2
um 100 u m ( cm)
10
del espectro de lee:
1
Tn' 2.977 s
la rigidez del sistema es:
1 2 1 u m' Say Esp ( cm)
2π Tn'
k ms
0.1 0.01
2 571.656
Ton m
y la fuerza lateral de diseño es:
3 1 10
fy k u y 44.132 Ton
4 1 10 0.01
0.1
1
10
100
Tn
Ahora, dadas las características de la sección transversal que deben tener las columnas h 110cm
b h
d h 3.5in 101.11 cm
2 Ag b h 12100 cm
b 110 cm
Mu fy H 375.118 Ton m
Pu Cpp W 1258.5 Ton
Características de los materiales f'c 250
kgf 2 cm
Ec 14000 f'c
Características:
f*c 0.8 f' c 200
kgf 2 cm
221359.436
2 cm
f'' c 0.85 f* c 170
kgf 2 cm
13.2 13.2 13.2 13.2 13.2
kgf 2 cm
6 kgf Es 2.039 10 2 cm
FR 0.9
2 cm Nlechos 6
30.402 10.134 10.134 As 10.134 10.134 30.402
13.2
fAy 4200
kgf
Acero de refuerzo i #8
7.1
120.0
kgf
2 cm
103.325 83.995 64.665 y 45.335 26.005 6.675
As 101.34cm
2
cm
13.2 13.0
fAy 4200 120.0
kgf 2 cm
ε cu 0.003
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ε y
fAy Es
0.002
β1 f*c 0.85
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23:31
DI Diag_intSecc rec' h b A s y f* c fAy E s 0.335 1
1 Pn DI Ton
2 Mn DI Ton m
3000
Mn' 390.599 Ton m fy'
2200
Pn ( Ton) Pu ( Ton)
Mn' H
45.953 Ton
1 1400
Calculando la profundidad del bloque de compresión correspondiente
1
DI Diag_intSecc rec' h b A s y f* c fAy E s 0.335
600
200 0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
1 a DI m a' 61.865 cm
1000 Mn ( Ton m)
Calculando la sección transformada: n'
Es Ec
1
Mu ( Ton m)
9.211
Calculando el 12 Ec Iag Ton desplazamiento plástico k 1785.743 3 m nuevo: H
1
4 Iag 4128539.572 cm u y
3fy' k
7.72 cm
u m u y H θ base 24.72 cm μ
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um uy
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