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ÍNDICE Objetivos ......................................................................................................................................... 2 Introducción .................................................................................................................................... 2 Ejercicio 2.1. ................................................................................................................................... 3 Ejercicio 2.2. ................................................................................................................................... 5 Ejercicio 2.3. ................................................................................................................................... 7 Ejercicio 2.4. ................................................................................................................................. 11 Ejercicio 2.5. ................................................................................................................................. 13 Ejercicio 2.6. ................................................................................................................................. 16 Ejercicio 2.7. ................................................................................................................................. 18 Ejercicio 2.8 .................................................................................................................................. 21 Ejercicio 2.9. ................................................................................................................................. 23 Ejercicio 2.10. ............................................................................................................................... 26 Ejercicio 2.11. ............................................................................................................................... 30 Ejercicio 2.12. ............................................................................................................................... 32 Ejercicio 2.13. ............................................................................................................................... 33 Ejercicio 2.14. ............................................................................................................................... 34 Ejercicio 2.15. ............................................................................................................................... 36 Ejercicio 2.16. .................................................. ........................................................................................................ ............................................................................ ...................... 37 Ejercicio 2.17. ............................................................................................................................... 38 Ejercicio 2.18. ............................................................................................................................... 40 Ejercicio 2.19. ............................................................................................................................... 43 Ejercicio 2.20. ............................................................................................................................... 46 Ejercicio 2.21. ............................................................................................................................... 48 Ejercicio 2.22. ............................................................................................................................... 49 Ejercicio 2.23: ............................................................................................................................... 52 Conclusiones ................................................................................................................................. 58 Bibliografía ................................................................................................................................... 58
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Objetivos
Desarrollar ejercicios referentes a transformadores, de diferente dificultad, aplicando los conocimientos abordados durante el período académico y complementarlos complementarlos con otros de ser necesario. Complementar la realización con programas que permitan facilitar la visualización de mejor manera en los ejercicios que lo requieran.
Introducción
Un transformador es un dispositivo que cambia de potencia eléctrica alterna de un nivel de voltaje a potencia eléctrica alterna a otro nivel de voltaje mediante la acción de un campo magnético. Consta de dos o más bobinas de alambre conductor enrolladas alrededor de un núcleo ferromagnético común. Dichas cocinas no están conectadas de forma directa. La única conexión entre las bobinas es el flujo magnético común que se encuentra dentro del núcleo. Uno de los devanados del transformador se conecta a una fuente de energía eléctrica alterna y el segundo suministra energía eléctrica a las cargas. EL devanado del transformador que se conecta a la fuente de potencia se llama devanado primario o devanado de entrada, y el devanado que se conecta a la carga se llama devanado secundario o devanado de salida. Si hay un tercer devanado en el transformador, éste se llama devanado terciario.
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Ejercicio 2.1. El devanado secundario de un transformador transformador real tiene un voltaje terminal de . La relación de vueltas del transformador es de 50:200 (a = 0,25). Si la corriente secundaria del transformador es de , ¿cuál es la corriente primaria de este transformador? transformador? ¿Cuál es su regulación de voltaje y su eficiencia? Las impedancias de este transformador referidas al lado primario son
= 282,8 377 7,07 377 36,87°
=
= 0,05 Ω = 0,225 Ω
= 75 Ω = 20 Ω
El circuito equivalente equivalente de este transformador transformador se muestra a continuación. continuación.
Fig 1. Circuito Ejercicio 2.1. Solución:
Modelo de transformador referido al primario.
Fig 2. Circuito solución ejercicio 2.1.
Conversión a fasores Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= 282,√ 82∠0° = 200∠0° = 7,√ 027 ∠36,87° = 5∠36,87°
Reflejamos voltaje y corriente al primario.
Aplicación de mallas.
′ = = 50∠0° ′ = = 20∠ 20∠ 36, 36,87°
= ′ ( ) VP = 50∠0° 50∠0°VV 20∠36,87°A0,05Ωj0,2250Ω = 53,58 ∠ 3,21°[V] Cálculo de corriente de excitación
∠ 3,21°V 53,58 ∠ 3,21°V = = 53,5875Ω 20Ω = 2,772∠71,859° Cálculo de corriente por nodos.
= ′ = 20∠ 20∠ 36, 36,87° 7° 2,772∠ 72∠ 71, 71,859° 59° = 22, 22,328∠ 328∠ 40, 40,95 Cálculo de regulación de voltaje
5 3, 3 , 5 8 5 0 = ⋅100% = 50 ⋅ 100% 100% = 7.16% Cálculo de potencia de entrada y salida:
= cos cos = 53,58 V V22, 22,328 ( 44,16° 6°) = 858,247 = cos = 2005( 36,87°) = 800 Cálculo de eficiencia Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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800 ⋅ 100% = ⋅100% = 858, 21% 247 100% = 93,21% Ejercicio 2.2. Un transformador de distribución distribución de 20 kVA, 8000/277 V tiene las siguientes resistencias y reactancias:
= 32 = 45 = 250
= 0,05 = 0,06 = 30
Las impedancias de la rama de excitación se dan referidas al lado de alto voltaje del transformador. transformador.
a) Encuentre el circuito equivalente del transformador, referido al lado de alto voltaje.
b) Encuentre el circuito equivalente de este transformador por unidad. c) Suponga que este transformador transformador suministra una carga nominal de 277 V y un FP 0,8 en atraso. ¿Cuál es el voltaje de entrada de este transformador? ¿Cuál es su regulación de voltaje?
d) ¿Cuáles son las pérdidas de cobre y las pérdidas del núcleo en este transformador transformador bajo las condiciones del inciso c) ? e) ¿Cuál es la eficiencia del transformador transformador en las condiciones del literal c) ? Solución
a) El circuito equivalente es el mostrado en la
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figura
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Fig 3. Circuito solución ejercicio 2.2 parte a.
= = 28,880,05Ω = 41,7Ω = = 28,880,06Ω = 50,04Ω b) El circuito equivalente es
el mostrado en la siguiente figura
Fig 4. Circuito solución ejercicio 2.2 parte b.
= 8000 = 3200Ω = 2,5 c)
20 = 277 ∠36,87° = 72,20∠36,87° 87° = 2,5∠36,87° ′ = = 72,20∠36, 28,88 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= ′ ( ) = 8000∠0° 2,5∠36,87°45,961,7 = 8185∠0,38° = 81858000 8000 ⋅100% = 2,31% d)
= = 200,8 = 16 = = 2,545,9 = 287 8185 = = 250000 = 268 ⋅100% = 96,6% = ++ ⋅ 100% = ++ Ejercicio 2.3. Se prueba un transformador de 1000-VA y 230/115 V para determinar su circuito equivalente. Los resultados de la prueba se muestran a continuación:
Prueba de circuito abierto
Prueba de cortocircuito
= =, =
= =13,6,02 = 20,1
Todos los datos fueron tomados en el lado primario del transformador.
a) Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de bajo voltaje.
b) Encuentre la regulación del voltaje del transformador en condiciones nominales y (1) FP 0.8 en atraso, (2) FP 1,0 y (3) FP 0.8 en adelanto.
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c) Determine la eficiencia del transformador en condiciones nominales y un FP 0,8 en retraso. Solución
Fig 5. Circuito solución ejercicio 2.3. a) Prueba de circuito abierto
Magnitud de la admitancia de excitación referida al circuito primario
0, 4 5 1 || = = 230 = 0,001957 Ω Calculamos el ángulo de la admitancia, que se encuentra a partir del factor de potencia.
= − = − 23030 0,45 = 73,15° = 0,001957∠73,15°S = 0,0005670,001873 [S] Nota: El factor de potencia está
en atraso para un transformador real, de modo que el ángulo de la corriente siempre atrasa al voltaje.
La forma más fácil para calcular los valores de y consiste en estimar primero la admitancia de la rama de excitación. La conductancia de la resistencia de pérdidas en el núcleo está dada por
1 = 1763,67 Ω = 1 = 0,000567 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Y la susceptancia de la inductancia de magnetización es
1 1 = = 0,001873 = 533,90 Ω Prueba de cortocircuito
Puesto que el voltaje de entrada es tan pequeño durante la prueba, la corriente que fluye por la rama de excitación es despreciable. La magnitud de las impedancias en serie, referido al lado primario del transformador es:
= 13,6 2 = 2,2 Ω
= − = − 13, 20,2 16 = 75,298°
El ángulo del factor de potencia es
La impedancia en serie es igual a:
= = 2,2∠75,298°Ω = 0,5582,128Ω Para convertir el circuito equivalente al secundario, dividimos cada impedancia para la relación a.
= 211530 = 2 − = 0,14Ω − = 0.532Ω − = 440,75Ω = 134Ω b) Encontramos el voltaje de
regulación referido al secundario
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= 1000 115 = 8,696 FP 0,8 en atraso
= = 115∠0° 0,1400,532Ω6∠36,87° = 117,61∠0,99° Voltaje de regulación
= 117,61151115 ⋅100% = 2,269% FP 1
= = 115∠0° 0,1400,532Ω6∠0° = 115,88∠1,578° Voltaje de regulación
= 115,81158115 ⋅100% = 0,765% FP 0,8 en adelanto
= = 115∠0° 0,1400,532Ω8,7∠36,87° = 113,798∠1,539° Voltaje de regulación
3 115 ⋅100% = 1,15% = 113,115
c) Calculamos las potencias
Calculamos la potencia de salida
= cos = 1158,6960,8 = 800 Potencia disipada por las pérdidas en el cobre Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= = 8,6960,140 = 10,6 Potencia disipada por las pérdidas en el núcleo
118,8 = = 441Ω = 32 Calculamos la eficiencia del transformador
800 = ⋅ 100% = 80010,632 ⋅100% = 94,9% Ejercicio 2.4. En la figura P2-1 muestra un sistema de potencia monofásico. La fuente de potencia alimenta un transformador de 100 kVA, 14/2,4 kV a través de un alimentador cuya impedancia es . La impedancia en serie equivalente del transformador referida a su lado de bajo voltaje es . La carga en el transformador es de 90 kW con un FP 0,85 en atraso y 2 300 V.
38,3 140
0,12 0,5
Fig 6. Circuito Ejercicio 2.4.
a) ¿Cuál es el voltaje en la fuente de potencia del sistema? b) ¿Cuál es la regulación de voltaje del transformador? c) ¿Qué tan eficiente es el sistema de potencia completo? Solución
2, 4 ′ = 14 38,2Ω140Ω = 1,124,11Ω
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90 = 46,03 = 23000, 85 = 46.03∠31,8° a)
= = 2300∠0° 46,03∠31,8°1,124,11Ω 46,03∠31,8°0,120,5Ω = 2464.91∠3,495° 14 = 2464,91∠3,5°2,4 = 14378∠3,495° b) Para encontrar la regulación de tensión del transformador, hay que encontrar el
voltaje en el lado primario del transformador (en lo sucesivo el lado secundario) en condiciones de carga completa:
′ = ′ = 2300∠0° 46,03∠31,8°0,120,5Ω = 2317∠0,41° Hay una caída de tensión de 17 V bajo estas condiciones de carga. Por tanto, la regulación de la tensión del transformador es
= 23172300 2300 ⋅100% = 0,74% c)
= ′ cos = 2464.9146,03cos35,3° = 92598.8 = ⋅100% = , ⋅ 100% = 97,19% Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Ejercicio 2.5. Cuando los viajeros de Estados Unidos y Canadá visitan Europa, encuentran un sistema de distribución de potencia diferente. En los Estados Unidos, los voltajes en las tomas de pared son , a 60 Hz, mientras que los voltaje típicos en Europa son 220 a 240 V, a 50 Hz. Muchos viajeros portan pequeños transformadores elevadores o reductores de voltaje para utilizar sus utensilios en las ciudades que visitan. Un transformador típico podría ser dimensionado a . Este transformador tiene 500 vueltas sobre el lado de 120 V y 1000 vueltas de alambre en el lado de 240 V. La ilustración 1 muestra la curva de magnetización para este transformador.
120
1 120/240
a) Suponga que este transformador está conectado a una fuente de potencia de 120 V, 60 Hz sin carga conectada al lado de 240 V. Dibuje la corriente de magnetización que fluirá en el transformador. (Utilice el MATLAB para graficar de manera aproximada la corriente.) ¿Cuál es el valor rms de la amplitud de la corriente de magnetización? ¿Qué porcentaje de la corriente a plena carga es la corriente de magnetización?
b) Ahora suponga que este transformador se conecta a una fuente de potencia de 240 V y 50 Hz sin carga conectada al lado de 120 V. Dibuje la corriente de magnetización que podría fluir en el transformador (utilice el MATLAB para dibujar la corriente aproximada, si está disponible). ¿Cuál es el valor rms de la amplitud de la corriente de magnetización? ¿Qué porcentaje de la corriente a plena carga es la corriente de magnetización?
c) ¿En qué caso la corriente de magnetización es el porcentaje más alto de la corriente a plena carga? ¿Por qué?
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Fig 7. Curva de magnetización Ejercicio 2.5. Solución
a)
Cuando el transformador está conectado a la fuente de 120V y 60Hz, el flujo en el núcleo estará regido por la siguiente ecuación:
= cos La corriente de magnetización requerida para cualquier nivel de flujo dado se encuentra en la ilustración 1. El libro sugiere la respectiva descarga del Script en MATLAB para la solución del ejercicio. Una vez ejecutado el Script, se obtiene el siguiente resultado: Valor rms de la amplitud de la corriente de magnetización:
= 0.31863 Porcentaje de la corriente de magnetización a plena carga:
= 3.8236% Gráfico resultante de la corriente de magnetización que fluirá en el transformador: Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Fig 8. Solución Ejercicio 2.5 parte a. b) Cuando el transformador está conectado a la fuente de 240V y 50Hz, el flujo en
el núcleo estará regido por la siguiente ecuación:
= cos De igual manera, el autor sugiere la respectiva descarga del Script en MATLAB para realización de este ejercicio. Una vez ejecutado el Script, se obtiene el siguiente resultado: Valor rms de la amplitud de la corriente de magnetización:
= 0.22973 Porcentaje de la corriente de magnetización a plena carga:
= 5.5134% Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Gráfico resultante de la corriente de magnetización que fluirá en el transformador:
Fig 9. Solución Ejercicio 2.5 parte b. c) Al comparar los gráficos y los resultados, la corriente de
magnetización tiene un mayor porcentaje a plena carga para el caso de 50 Hz. Se debe a que el pico del flujo es mayor para el gráfico de la corriente de magnetización a 50 Hz que fluye por el transformador, llevando al núcleo a saturación. Ejercicio 2.6. Un transformador de distribución de 15 kVA y 8000/230 V tiene una impedancia de 8 referida al lado primario. Los componentes de la rama de excitación referidos al lado primario son y .
0 300
= 350 = 70
a) Si el voltaje primario es de 7967 V y la impedancia de la carga es
1,5
= 3,2
, ¿cuál es el voltaje secundario del transformador? ¿Cuál es la regulación de voltaje del transformador?
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b) Si se desconecta la carga y en su lugar se conecta un condensador de
–3,5
, ¿cuál es el voltaje secundario del transformador? ¿Cuál es la regulación de voltaje en estas circunstancias? Solución
La relación de vueltas es igual a a=34.78; por lo tanto, para referir la impedancia tenemos:
′ = 34,783,21,5Ω = 38711815Ω La corriente referida al primario es:
∠° ∠° = 1,78∠28,2° ′ = +++ = ∠, ° Y el voltaje referido al primario:
= = 1,78∠28,2° 38711815Ω = 7610∠3,1° Entonces, el voltaje secundario actual es:
7610∠3,1° = = 34,78 = 218,8∠3,1° Por lo tanto, el voltaje de regulación es:
b) Tal como se
= 79677610 7610 ⋅100% = 4,7%
realizó el primer literal, referimos la impedancia, corriente y voltaje al primario; por lo tanto:
= 34,783,5Ω = 4234Ω Reflejamos corriente:
7967∠0° = 7967∠0° = 2,025∠88,8° = 80300Ω 4234Ω 3935∠88,8°Ω Reflejamos el voltaje:
= = 2,025∠88,8° 4234Ω = 8573∠1,2°
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Voltaje actual en el secundario:
8573∠1,2° = = 34,78 = 246,5∠1,2° Por lo tanto la regulación es:
7 9678573 = 8573 ⋅100% = 7,07% Ejercicio 2.7. Un transformador monofásico de 5 000 kVA, 230/13,8 kV tiene una resistencia de 1% por unidad y una reactancia de 5% por unidad (datos tomados de la placa de características del transformador). La prueba de circuito abierto efectuado en el lado de bajo voltaje del transformador dio los siguientes datos.
= 13,8
= 15,1
= 44,9
a) Encuentre el circuito equivalente referido al lado de bajo voltaje de este transformador.
13,8
b) Si el voltaje en el lado secundario es y la potencia suministrada es de con un FP 0,8 en retraso, encuentre la regulación de voltaje del transformador. Determine su eficiencia.
4 000 Solución
Fig 10. Circuito Ejercicio 2.7.
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a) Prueba de circuito abierto
Magnitud de la admitancia de excitación referida al circuito primario
1 = 0,0010942 || = 15, 13,8 Calculamos el ángulo de la admitancia, que se encuentra a partir del factor de potencia.
= − = − 13, 844.915,1 = 77,56° = 0,0010942∠77,56° [S] = 0,00023580,0010685 [S] Nota: El factor de potencia está
en atraso para un transformador real, de modo que el ángulo de la corriente siempre atrasa al voltaje.
La forma más fácil para calcular los valores de y consiste en estimar primero la admitancia de la rama de excitación. La conductancia de la resistencia de pérdidas en el núcleo está dada por
1 1 = = 0,0002358 = 4240,88Ω Y la susceptancia de la inductancia de magnetización es
1 = 935,89Ω = 1 = 0,001068 Calculamos la impedancia base del transformador referido al secundario
= ⋅ = Despejando la impedancia
13,8 = = 5000 = 38,09Ω Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Multiplicamos por los datos transformador
tomados
de la placa de características del
= 0,0138,09Ω = 0,38Ω = 0,0538,09Ω = 1,9Ω Las resistencias del circuito equivalente.
b)
= 0,38Ω = 4240,88Ω = 1,9Ω = 935,89Ω Si la potencia suministrada es de 4 000 con un FP 0,8 en retraso = 4000 = 362,3 = cos 13,80,8 = 362,3∠36,87°
Calculamos el voltaje del primario reflejado al secundario por mallas
= = 13800∠0° 362,3∠36,87°0,381,9Ω = 14330,8∠1,87° Calculamos el voltaje de regulación del transformador
1 4330, 8 13800 = 13800 ⋅100% = 3,846%
Calculamos la potencia disipada por pérdidas del cobre
= = 362,30,38Ω = 49879 ,3 Calculamos la potencia disipada por pérdidas en el núcleo
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) 14330,8 ( = = 4240,88Ω = 48426,7 Calculamos la eficiencia del transformador
4000 = ⋅ 100% = 4000 49,9 48,4 ⋅ 100% = 97,6% Ejercicio 2. 8 Un transformador monofásico de potencia de 150 MVA y 15/200 kV tiene una resistencia en por unidad de 1,2% y reactancia por unidad de 5% por unidad (datos tomados de la placa de características del transformador). La impedancia de magnetización es de j100 por unidad.
a) Encuentre el circuito equivalente del transformador referido al lado de bajo voltaje.
b) Calcule la regulación de voltaje del transformador para corriente a plena carga y factor de potencia de 0.8 en retraso.
c) Suponga que el voltaje en el primario es 15 kV constante y dibuje el voltaje secundario como función de las corrientes de carga desde vacío hasta plena carga. Repita lo mismo para los factores de potencia de 0.8 en retraso, 1.0 y 0.8 en adelanto. Solución
a) Encontramos la
impedancia del transformador referida al primario>
15 = = 200 = 1,5Ω = 0,0121,5Ω = 0,018Ω = 0,051,125Ω = 0,075Ω = 1001,5Ω = 150Ω Por lo tanto, el circuito equivalente referido al primario es: Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= 0,018Ω = = 0,075Ω = 150Ω
Fig 11. Circuito solución Ejercicio 2.8 parte a. b) Si la carga
está en el lado del secundario, la corriente referida al primario es:
150 = 12500 = = 150,8 = 12500∠36,87° El voltaje en el primario es igual a:
= = 15000∠0° 12500∠36,87°0,018Ω0,075Ω = 15754.5∠2,237° Por lo tanto, la regulación es:
5 15000 ⋅100% = 5,03% = 15754.15000
c) El gráfico resultante es:
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Fig 12. Solución Ejercicio 2.8 parte c.
Ejercicio 2.9. Un banco de transformación trifásico que debe manejar 400 kVA tiene una relación de voltaje de 34.5/13.8 kV. Encuentre los valores nominales de cada transformador del banco (alto voltaje, bajo voltaje, relación de vueltas y potencia aparente) si el banco se conecta en a) , b) , c) , d) , e) abierta y f) Y abierta- abierta
∆
∆ ∆ ∆∆ ∆
Solución
a) Y-Y
= 34.√35 = 19.918 = 7.967
= 13.√38
Calculamos la relación de vueltas
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= = 17.9.996718 = 2.5 Calculamos la Potencia aparente
4 00 = 3 = 133.33 ∆ = 34.√35 = 19.918 = 13.8 Calculamos la relación de vueltas = = 19.13.9188 = 1.44 b)
Calculamos la Potencia aparente
∆∆
c)
= 4003 = 133.33 = 34.5
= 13.8
Calculamos la relación de vueltas
= = 313.4.58 = 2.5 Calculamos la Potencia aparente
∆
= 4003 = 133.33
d)
= 34.5
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= 13.√38 = 7.967
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Calculamos la relación de vueltas
34. 5 = = 7.968 = 4.33 Calculamos la Potencia aparente
e)
∆ = 34.5
= 4003 = 133.33
Calculamos la relación de vueltas
= 13.8√ 3 = 7.967
5 = 4.33 = = 34. 7.967 Calculamos la Potencia aparente
= 400√ 3 = 230.94 ∆ abierta
f) Y abierta-
= 34.√35 = 19.918
= 13.8
Calculamos la relación de vueltas
= = 19.13.9188 = 1.44 Calculamos la Potencia aparente
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= 400√ 3 = 230.94
Fig 13. Solución Ejercicio 2.9 parte f.
Conexión
∆ ∆ ∆∆ ∆ Y abierta-∆ abierta
Voltaje Primario [kV]
Voltaje Secundario [kV]
Potencia Aparente
Relación de vueltas
19.918 19.918 34.5 34.5 34.5
7.967 13.8 7.967 13.8 13.8
133.33 133.33 133.33 133.33 230.94
2.50:1 1.44:1 4.33:1 2.50:1 2.50:1
19.918
13.8
230.94
1.44:1
Ejercicio 2.10. Un banco de transformación trifásico de 13800/480 V conectado en consta de tres transformadores idénticos de 100 kVA y 7967/480 V. Este banco se alimenta directamente desde un gran barraje de voltaje constante. En la prueba de cortocircuito los valores encontrados en el lado de alto voltaje para uno de estos transformadores son
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= 560 3300
= 12,6
=
a) Si el banco suministra la carga nominal a factor de potencia de 0,88 en retraso y voltaje nominal, ¿cuál es el voltaje línea a línea en el primario del banco?
b) ¿Cuál es la regulación de voltaje en estas condiciones? c) Suponga que el voltaje primario del transformador es de 13,8 kV constante y dibuje el voltaje secundario como función de la corriente de carga para corrientes desde vacío hasta plena carga. Repita este proceso para los factores de potencia de 0,85 en atraso, 1.0 y 0,85 en adelanto.
d) Dibuje la regulación de voltaje del transformador como función de la corriente de carga para corrientes entre vacío y plena carga. Repita este proceso para factores de potencia de 0,85 en atraso, 1.0 y 0,85 en adelanto. Solución
Determinamos el voltaje de fase:
La corriente de fase es:
= √3 = 560 = 323, 3 √3 = = 12,6
La potencia en cada fase:
= 3 = 1100
Por lo tanto, la impedancia por fase:
323, 3 = = 12,6 = 25,66Ω 1100 − − = cos = cos 323,312,6 = 74,3° = = 25,66∠74,3° = 6,9424,7 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= 6,94Ω = 24,7Ω a) La corriente equivalente que fluye
en el secundario de un transformador referido
al primario es:
= 100 7967 = 12,55 = 12,55∠28.3576° El voltaje en el primario de un solo transformador es:
= ′ = 7967∠0° 12,55∠31,79°6,9424,7 = 7860.21∠2.199° Por lo tanto, el voltaje Línea a Línea es:
= √ 3 = √ 37860.21 = 13.614 b)
= 82077967 7967 ⋅100% = 1.34% c) El gráfico resultante es:
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Fig 14. Solución Ejercicio 2.10 parte c. d) El gráfico resultante es:
Fig 15. Solución Ejercicio 2.10 parte d.
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Ejercicio 2.11. Un transformador de potencia trifásico de 100 000 kVA, 230/115 kV, tiene una resistencia de 0,02 pu y una reactancia de 0,055 pu. Los elementos de la rama de excitación son y .
= 110 = 20
a) Si este transformador suministra una carga de 80 MVA con un FP 0,85 en retraso, dibuje el diagrama fasorial de una fase del transformador.
b) ¿Cuál es la regulación de voltaje del banco del transformador en estas circunstancias?
c) Dibuje el circuito equivalente referido al lado de bajo voltaje de una fase de este transformador. Calcule todas las impedancias del transformador referidas al lado de bajo voltaje. Solución
a) Calculamos la corriente de línea del secundario
80000000 = √ 3 = √ 311500 = 402 Calculamos la corriente de línea secundaria de base
100000000 = 502 = √ 3 = √ 311500 Calculamos la corriente de línea secundaria por unidad
= 402 ∠cos−0,85 = 0,8∠31,78° = 502 Diagrama fasorial de una fase por unidad
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Fig 16. Solución Ejercicio 2.11 parte a. b) Calculamos el voltaje en el
primario por unidad, aplicando mallas
= = 1∠0°0,8∠31,8°0,020,055 = 1,037∠1,6° Calculamos el voltaje de regulación
= 1,0371 1 ⋅100% = 3,7%
c) Calculamos la impedancia base referido al
secundario
3115 3 = = 100 = 397Ω Convertimos las impedancias por unidad a ohmios, multiplicando la impedancia por unidad, por la base.
= 0,02397Ω = 7,94Ω = 0,055397Ω = 21,8Ω = 110397Ω = 43,7Ω = 20397Ω = 7,94Ω
Fig 17. Solución Ejercicio 2.11 parte c.
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Ejercicio 2.12. Se utiliza un autotransformador para conectar una línea de distribución de 12,6 kV a una línea de distribución de 13,8 kV. Debe ser capaz de manejar 2 000 kVA. Hay tres fases conectadas en con sus neutros que hacen tierra sólidamente.
a) ¿Cuál debe ser la relación de vueltas
/
para esta conexión?
b) ¿Cuánta potencia aparente deben manejar los devanados de cada autotransformador?
c) Si uno de los autotransformadores se conecta como un transformador ordinario, ¿cuáles serían sus valores nominales? Solución
a)
= = 13,8/√ 3 12,6/√ 3 12,6 12,6 = 13,8 13,2 = 1,2 = 11 b)
= = 11 = 12 2000 = 312 = 55,5 c)
13,8/√ 3 = 7967 12,6/√ 3 = 7274 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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7967 7274 = 693 7274 693 10.45 Ejercicio 2.13. Dos de las fases de una línea de distribución trifásica de 14.4 kV dan servicio a un camino rural remoto (también está disponible el neutro). Un granjero tiene un alimentador de 480 V que suministra 120 kW a un FP 0,8 en retraso de estas cargas trifásicas, más 40 kW en un FP 0,9 en retraso de las cargas monofásicas. Las cargas monofásicas se distribuyen uniformemente entre las tres fases. Suponiendo que se utiliza la conexión Y abierta- abierta para suministrar potencia a su granja, encuentre los voltajes y corrientes en cada uno de los dos transformadores. También calcule la potencia real y reactiva suministrada por cada transformador. Suponga que los transformadores son ideales. ¿Cuál es el valor nominal mínimo requerido kVA de cada transformador?
∆
Solución
Fig 18. Solución Ejercicio 2.13.
Como las cargas están balanceadas. Calculamos la potencia real y reactiva total.
= 120 = tan = 120tancos−0,8 = 90 = 50
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= tan = 40 tancos−0,9 = 24,2 = 170 = 114,2 Calculamos el factor de potencia, con la ayuda del triángulo de potencias
= costan− 114,2 = 0,83 = costan− 170 Calculamos la intensidad de línea del secundario
170 = 246,4 = √ 3 = √ 3 4800, 830 = 480∠0° = 480∠120° = cos = 480246,4cos63,9° = 52 = sen = 480246,4 sen63,9° = 106,2 = cos = 480246,4 cos123,9° = 118 = sen = 480246,4sen123,9° = 8,04 Ejercicio 2.14. Un generador monofásico de 13.8 kV suministra potencia a una carga a través de una línea de transmisión. La impedancia de la carga es Zcarga 5 500 ∠ 36.87° V y la impedancia de la línea de transmisión es Zlínea 5 60 ∠ 60° V.
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Fig 19. Circuito Ejercicio 2.14.
a) Si se conecta el generador directamente a la carga como en la figura, ¿cuál es la razón entre el voltaje de la carga y el voltaje generado? ¿Cuáles son las pérdidas de transmisión del sistema?
b) ¿Qué porcentaje de la potencia suministrada por la fuente alcanza la carga? (¿cuál es la efi ciencia del sistema de transmisión?)
c) Si se coloca un transformador elevador de 1:10 a la salida del generador y un transformador 10:1 en el extremo de la línea de transmisión donde está la carga, ¿cuál es la nueva relación entre el voltaje de la carga y el voltaje generado? ¿Ahora cuáles son las pérdidas de transmisión del sistema? (Nota: Se puede suponer que los transformadores son ideales.)
d) ¿Qué porcentaje de la potencia suministrada por la fuente alcanza ahora la carga?
e) Compare las eficiencias del sistema de transmisión con o sin transformadores. Solución
a)
12.4∠0° = 25.94∠39.301° = = 60∠60°Ω500∠36, 87°Ω = = 25.94∠39,301°500∠36,87°Ω = 12.970∠2,431° Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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12.970 = 1.046 12.4 = || cos = 60cos60° = 30Ω = = 25.9430Ω = 20,187 b)
1 1 ′ = 10 = 10 60∠60°Ω = 0,60∠60°Ω 12, 4 ∠0° ′ = = 0,60∠60°Ω500∠36,87°Ω = 24.773∠36,9° = = 24.773∠36,9°500∠36,87°Ω = 12,386∠0,03° 12.386 = 0.9989 12.4 = 101 = 101 24,773 = 2,4773 = = 2,477330Ω = 184.11 Ejercicio 2.15. Se va a utilizar un transformador convencional de 5000 VA, 480/120 V se utiliza para suministrar potencia de una fuente de 600 V a una carga de 120 V. Considere que el transformador es ideal y suponga que su aislamiento puede soportar hasta 600 V.
a) Dibuje la conexión del transformador para este efecto. b) Calcule el valor nominal en kilovoltamperes del transformador con esa configuración.
c) Encuentre las corrientes máximas primarias y secundarias en estas condiciones. Solución
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Para esta configuración, el devanado común debe ser el menor de los dos devanados, a)
Fig 20. Solución Ejercicio 2.15 parte a.
= 4 Calculamos la potencia aparente, donde
está definida como las potencias aparente de entrada y salida del transformador, es la potencia aparente en los devanados del transformador es b)
= = 44 5000 = 6250 Calculamos la corriente máxima en el primario y secundario con esta configuración c)
= = 6250 600 = 10,4 = = 6250 120 = 52,1 Ejercicio 2.16. Un transformador convencional de 10 kVA, 480/120 V se utiliza para suministrar potencia de una fuente de 600 V a una carga de 120 V. Considere que el transformador es ideal y suponga que su aislamiento puede soportar hasta 600 V. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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a) Dibuje la conexión del transformador para este efecto b) Calcule el valor nominal en kilovoltamperes del transformador con esa configuración.
c) Encuentre las corrientes máximas primarias y secundarias en estas condiciones. Solución
a)
= 4
Fig 21. Solución Ejercicio 2.16 parte a. b)
= = 4 5000 = 25000 c)
= = 25000 600 = 41,67 = = 25000 480 = 52,1 Ejercicio 2. 17. Pruebe la siguiente afirmación: si un transformador con una impedancia en serie se conecta como autotransformador, su impedancia en serie por unidad
′
como autotransformador será de Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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′ = Nótese que esta expresión es el inverso de la ventaja de potencia del autotransformador. Solución
Fig 22. Solución Ejercicio 2.17.
Determinamos la impedancia equivalente del circuito referido al primario
= Cuando el transformador le conectamos como autotransformador
Fig 23. Solución Ejercicio 2.17.
= Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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Aplicamos nodos, para determinar la impedancia
= Donde
= Despejando
= = = Aplicando ley de Ohm
= = La impedancia del autotransformador está definido como
′ = = Ejercicio 2. 18. Tres transformadores de distribución de 20 kVA y 24 000/277 V se conectan en DY. Se realizó una prueba de circuito abierto en el lado de bajo voltaje del banco de transformadores y se obtuvieron los siguientes datos:
í, = 480 = 945
í, = 4.10
,
Se realizó la prueba de cortocircuito en el lado de alto voltaje del banco del transformador y se obtuvieron los siguientes datos:
, = 1400
í = 1.80
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= 912 Máquinas Eléctricas-NRC: 2593
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a) Encuentre el circuito equivalente por unidad del banco del transformador. b) Determine la regulación de voltaje del banco de transformadores con la carga nominal y un FP 5 0.90 en retraso.
c) ¿Cuál es la eficiencia del banco de transformadores en estas circunstancias? Solución
a)
= 277 = 4,1 = 315 4,1 = 0,01480 || = = 277 315 = 73,9° = cos− = cos− 2774, 1 = = 0,01483∠73,9° = 0,004100,01422 = 1 = 244Ω 1 = = 70,3Ω ( ) 277 = = 20 = 3,83645Ω = 3, 8244Ω 3645Ω = 63,6 3Ω = 18.3242 = 3, 870,3645Ω = = 1400
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41
= /√ 3 = 1,03923 = /3 = 304 1400 = = 1,03923 = 1347.1513Ω 304 = 77.94° = cos− = cos− 1400 1,03923 = = 1347∠77.94° = 281.441317.27Ω ( ) 24000 = = 20 = 28800Ω 288Ω = 0,01 = 28800Ω = 1355Ω 28800Ω = 0,04705 b)
= 0,9 = cos−0,9 = 25,8° = = 1∠0° 1∠25,8°0,01250,0588 = 1,038∠2,62° = 1,0381 1 ⋅100% = 3,8% c)
= cos = 110,9 = 0,9 = = 10,0125 = 0,0125 1,038 = = 79,5 = 0,0136 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= = 0,9 0,01250,0136 = 0,926 0, 9 = ⋅100% = 0,926 ⋅100% = 97,2% Ejercicio 2.19. Se realiza una prueba a un transformador de distribución de 20 kVA, 20 000/480 V y 60 Hz y se obtienen los siguientes resultados:
Prueba de circuito abierto (medidos en el secundario)
Prueba de cortocircuito (medidos en el pri mario)
= =, =
= =1130 1,0 = 260
a) Encuentre el circuito equivalente por unidad de este transformador a 60 Hz. b) ¿Cuáles serían los valores nominales de este transformador si opera en un sistema de potencia de 50 Hz?
c) Dibuje el circuito equivalente por unidad de este transformador referido al lado primario si opera a 50 Hz. Solución
a) Calculamos la impedancia base del
transformador referido al primario
== 20000 = = 20 = 20Ω
Calculamos la impedancia base del transformador referido al secundario
480 = = 20 = 11,52Ω
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Prueba de circuito abierto
Magnitud de la admitancia de excitación referida al circuito primario
1,51 = 0,00315 || = = 480 Calculamos el ángulo de la admitancia, que se encuentra a partir del factor de potencia.
= cos− = cos− 4802711,51 = 68,04° = = 0,00315 ∠68,04° = 0,00118 0,00292 Nota: El factor de potencia está
en atraso para un transformador real, de modo que el ángulo de la corriente siempre atrasa al voltaje.
La forma más fácil para calcular los valores de y consiste en estimar primero la admitancia de la rama de excitación. La conductancia de la resistencia de pérdidas en el núcleo está dada por
1 1 = = 0,00118 = 847,46 Ω Y la susceptancia de la inductancia de magnetización es
1 1 = = 0,00292 = 342,47 Ω Calculamos la impedancia por unidad
8 47, 4 6 Ω = 11,52Ω = 73,56 = 311,42,542Ω7 Ω = 29,73 Prueba de cortocircuito
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Puesto que el voltaje de entrada es tan pequeño durante la prueba, la corriente que fluye por la rama de excitación es despreciable. La magnitud de las impedancias en serie, referido al lado primario del transformador es:
1 130 = = 1 = 1130Ω
El ángulo del factor de potencia es
260 = 76,7° = cos− = cos− 11301
La impedancia en serie es igual a:
= = 1130∠76,7° = 2601100Ω Calculamos la impedancia por unidad
260Ω = 0,012 = 20000Ω = 1100Ω 20000Ω = 0,055
Fig 24. Solución Ejercicio 2.19 parte a.
b) Si un transformador de 60 Hz se debe
operar a 50 Hz, el voltaje que se le aplique debe reducirse en un sexto o el flujo máximo en el núcleo será demasiado alto. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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La tensión y la potencia aparente tendrían que ser sido reducida por un factor de 50/60, por lo que sus clasificaciones serían 16,67 kVA, 16 667 / 400V. c) Los parámetros del transformador referidos al primario a 60 Hz son
= = 20Ω73,56 = 1,47 Ω = = 20Ω29,73 = 594.6 Ω = = 20Ω0,012 = 240 Ω = = 20Ω0,055 = 1100Ω A 50 Hz las inductancias deben incrementar proporcionalmente.
50 594.6Ω = 495.5 Ω = 60 = 50 60 1100Ω = 917Ω
Fig 25. Solución Ejercicio 2.19 parte c.
Ejercicio 2.20. Pruebe que el sistema trifásico de voltajes en el secundario del transformador Y-D que se muestra en la fi gura 2-37b) retrasa por 30° el sistema de voltajes trifásico en el primario del transformador.
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Fig 26. Ejercicio 2.20.
Solución
= ∠0° = ∠120° = ∠120° ′ = ∠0° ′ = ∠120° ′ = ∠120° = / = = ∠0°∠120° = √ 3∠30° Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= ′ = ∠0° Ejercicio 2.21. Demuestre que el sistema trifásico de voltajes en el secundario del transformador que se muestra en la figura 2-38c atrasa en el sistema trifásico de voltajes en el primario del transformador.
∆
30°
Fig 27. Ejercicio 2.21.
Solución
a) Voltaje
de fase en el primario
= ∠0° = ∠120° Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= ∠120° Voltaje de fase en el secundario
′ = ∠0° ′ = ∠120° ′ = ∠120° Relación del voltaje reflejado del secundario a primario
= / Encontramos el voltaje de línea en el secundario
= = ∠0°∠120° = √ 3∠30° Nota: El voltaje de línea del
secundario se atrasa 30°, con respecto al voltaje de
línea del primario. Ejercicio 2.22. Un transformador monofásico de 10 kvA y 480/120 V se utiliza como autotransformador y une una línea de distribución de 600 V con una carga de 480 V. Se obtienen los siguientes datos cuando se le realizan pruebas como un transformador convencional, que se tomaron del lado primario (480 V) del transformador:
Prueba de Circuito Prueba Abierto Cortocircuito
== . =
de
= =10.106 = 26
a) Encuentre el circuito equivalente por unidad del transformador cuando se conecta de manera convencional. ¿Cuál es la efi ciencia del transformador en condiciones nominales y un factor de potencia unitario? ¿Cuál es la regulación de voltaje en estas condiciones? Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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b) Dibuje las conexiones del transformador cuando se utiliza como un autotransformador reductor de 600/480 V.
c) ¿Cuál es el valor nominal en kilovoltamperes del transformador cuando se utiliza con la conexión de autotransformador?
d) Responda la pregunta del inciso a) para la conexión como autotransformador. Solución
a)
480 = = 10 = 23,04Ω 0,41 = 0,000854 || = = 480 38 = 78,87° = cos− = cos− 4800, 41 = = 0,000854∠78,87° = 0,0001650,000838 1 = = 6063Ω = 1 = 1193Ω = 6063Ω 23,04Ω = 263 = 327Ω 23,04Ω = 51,8 = = 10,106 = 0,943Ω 26 − − = cos = cos 1010,6 = 75,8° Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= = 0,943∠75,8° = 0,2310,915Ω = 0,23,2031Ω4Ω = 0,010 = 0,23,9015Ω4Ω = 0,0397 b)
Fig 28. Ejercicio 2.22 parte b.
1 = = 263 = 0,00380 = = 10,001 = 0,001 = = 10,010,0038 = 0,986 = ⋅100% = 0,9186 ⋅100% = 98,6% = = 1 1∠0°0,010,0387 = 0,991∠2,3° 991 ⋅100% = 0,9% = 1 0, 0,991 c)
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= = 4 1 1 10 = 50 d)
= 0,501 = 0,002 = 0,05397 = 0,00794 1 = = 263 = 0,00380 = = 10,002 = 0,002 = = 10,020,0038 = 0,994 = ⋅100% = 0,9194 ⋅100% = 99,4% = = 1 1∠0°0,0020,00794 = 0,991∠2,3° 1 0, 9 98 = 0,998 ⋅100% = 0,2% Ejercicio 2.23:
La figura P2-4 muestra un sistema de potencia que consta de un generador trifásico que alimenta dos cargas a través de una línea de trasmisión que posee un par de transformadores en cada extremo.
480 ,60
a) Dibuje el circuito equivalente por fase en este sistema b) Con el
interruptor abierto, encuentre las potencias real P, reactiva Q y aparente S, suministradas por el generador. ¿Cuál es el factor de potencia del generador? c) Con el interruptor cerrado, encuentre las potencias
real P, reactiva Q y aparente S, suministrada por el generador. ¿Cuál es el factor de potencia del generador?
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d) ¿Cuáles
son las pérdidas de trasmisión (pérdidas en los transformadores más perdidas en la línea de trasmisión) en este sistema con el interruptor abierto?, ¿con el interruptor cerrado? ¿Cuál es el efecto de adicionar la carga 2 al sistema?
Fig 29. Ejercicio 2.23.
Solución:
Seleccionamos dos magnitudes base para definir el sistema por unidad. Región 1
= 1000 = 480 Región 2
= 500 = 13800 Región 3
= 500 = 480 Calculamos el voltaje de fase Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= √ 3 = 277.128 = 480√ 3 = 277.128
Calculamos las impedancias base
3 3 277. 1 28 = = 1000 = 0,2304
∆
Puesto que el lado primario del transformador 2 está conectado en , su voltaje de fase es igual a su voltaje de línea.
313800 3 = = 500 = 1142.64 Ω 3277.128 3 = = 500 = 0,4608Ω a) La impedancia por unidad del
transformador 1 es:
= 0,010 = 0,040 Los valores en por unidad dados en otra base pueden expresarse en una nueva base, mediante las ecuaciones.
,, = ,, 1000 8314 = 0,020 8314500 = 0,040 1000 8314 = 0,085 8314500 = 0,170 Calculamos la impedancia por unidad de la línea Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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= 1 ,5 10Ω = 0,001313 0,00875 = 1142.64 Ω Calculamos la impedancia por unidad de la carga 1
= 0,45∠36,87°Ω = 1,5131,134 = 0,238Ω Calculamos la impedancia por unidad de la carga 1
= j0,8Ω = 3,36 = 0,238Ω Circuito equivalente por fase
Fig 30. Solución ejercicio 2.24 parte a.
b) Con el
interruptor abierto
= 0,0100,0400,007230,04820.040 0,1701,513 1,134 = 1,57021,3922 = 2,099∠41,6° El factor de potencia es
= cos = cos41.6 = 0.748 Calculamos la corriente por unidad, aplicando ley de Ohm
1∠0° = 2,099∠41,6° = 0,4765∠41,6°
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Calculamos el voltaje en la carga
− = − = 0,4765∠41,6°1,5131,134 = 0,901∠4,7° = = 0,901480 = 432 Calculamos la potencia real
= = 0,47651,513 = 0,344 = = 0,3441000 = 344 Calculamos la potencia real, reactiva y aparente por unidad del generador
= = 10,4765cos41,6° = 0,356 = = 10,4765 sen41,6° = 0,316 = = 10,4765 = 0,4765 Calculamos la potencia real, reactiva y aparente del generador
= = 0,3561000 = 356 = = 0,3161000 = 316 = = 0,47651000 = 476,5 c) Con el interruptor cerrado
= 0,0100,0400,007230,04820,0400,170 131,1343,36 1,1,55131, 1343,36 = 2,4150,367 = 2,443∠8,65° El factor de potencia es
= cos = cos8.65 = 0.9886 Calculamos la corriente por unidad Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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1∠0° = 0,409∠8,65° = 2, 443∠8, 65°° Calculamos el voltaje en la carga
= = 0,409∠8,65°°2,3580,109 = 0,966∠6° = = 0,966480 = 464 Calculamos la potencia real, reactiva y aparente
= = 0,4092,358 = 0,394 = = 0,3941000 = 394 Calculamos la potencia real, reactiva y aparente del generador
= = 10,409cos6° = 0,407 = = 10,409sen6° = 0,0428 = = 10,409 = 0,409 = = 0,4071000 = 407 = = 0,04281000 = 42,8 = = 0,4091000 = 409 c) Las pérdidas de trasmisión con el interruptor abierto
= = 0,47650,00723 = 0,00164 = = 0,001641000 = 1,64 Las pérdidas de trasmisión con el interruptor cerrado
= = 0,4090,00723 = 0,00121 = = 0,001211000 = 1,21 Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
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