Abaque de Smith (Notion 4)

1- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes vues sur une ligne de transmission

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2- Smith

II.8. L’abaque de Smith II.8.a. Rappels Im T v r v  r

Ro

1

O i r i  r



v v r r  v i OT Zr r   r   zr  Zc OT ' i v r r i  i  Impédance r r

T’

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Re

réduite

3- Smith

II.8. L’abaque de Smith 0  R  1 Onde progressive OP

Im

Tout est concentré sur 1 1

Re

O Im

Cercle maximum

Onde stationnaire OS

1 Onde pseudo stationnaire OPS

O

Valeurs intermédiaires Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

Re

4- Smith

II.8. L’abaque de Smith Rx 

vr  vr



e

2 γy

 Re

2 γy

R x  Ro e

1  Rx Zx  Zc 1  Rx Impédance réduite :

R  2 y

e

Vr  Vr



 Ro e

j

 

ir 

ir 

j (   2 y )

1 R Zr  Zc 1 R 1  Rx zx  1  Rx

1 R zr  1 R

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5- Smith

II.8. L’abaque de Smith II.8.b. Construction en impédance zx 1 Rx  zx  1 Sans pertes : R x  Ro e

z z

x x

1 1

 Ro e

j (  2 y )



j

Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un point de la ligne Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

6- Smith

II.8. L’abaque de Smith z z

x x

1 1

 Ro e

j M Ro



x

O

Représentation polaire Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

7- Smith

II.8. L’abaque de Smith Ro e

j

 p  jq Im q

O

M

Re p Représentation cartésienne

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8- Smith

II.8. L’abaque de Smith Ro e

j

 p  jq

Im q

p  Ro cos q  Ro sin 

M Ro

O



Re

p

On pose l’impédance réduite sous la forme :

z x  r  ju z z

x x

1 1

 Ro e

j

p  jq 

 r  1   r  1 

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ju ju

9- Smith

II.8. L’abaque de Smith On arrive à :



r   p  1 r  

2

q

2



1     1 r 

2

Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r) Cercle r=0

correspond à une impédance purement imaginaire

Cercle r=1

correspond à Zx=Zc

Cercle r=infini

correspond au point de partie réelle 1

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10- Smith

II.8. L’abaque de Smith 0,6

Axe p=1

1

2

0,3

Valeur de u

5

Axe des réels

0

0,2

0,5

1

2

Valeur de r -5

- 0,3 - 0,6

-1

-2

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11- Smith

II.8. L’abaque de Smith II.8.c. Utilisation de l’abaque Si on connaît l’impédance

0,6

1

2

0,3

Calcul de l’impédance réduite

5

Exemple : zx=0.5-j0.6 0

0,2

- 0,3

0,5

1

2

zx - 0,6

-5 -1

-2

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12- Smith

II.8. L’abaque de Smith Déduction du coefficient de réflexion

1

0,6

2

0,3

5

 0

0,2

0,5

1

2

Ro - 0,3

zx - 0,6

-5

-1

-2

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13- Smith

II.8. L’abaque de Smith On trouve alors : Rx = 0.48 e-j108° On peut vérifier :

zx 1 Rx  zx  1 Rx = -0.15 - j.0.46

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14- Smith

II.8. L’abaque de Smith Si la ligne est à pertes négligeables

Rx  Ro  cste

Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un cercle de rayon |Ro|

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15- Smith

II.8. L’abaque de Smith Le déplacement autour de l’abaque est gradué en fraction de longueur d’onde Tour complet : /2 Demi-tour : /4

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16- Smith

II.8. L’abaque de Smith II.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque

Zi

Zc=50 

R

Zr

ei

Ligne 50  fermée sur une impédance Zr=25 +j75 

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17- Smith

II.8. L’abaque de Smith Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) : zr=25/50+j.75/50 zr=0.5+1.5j

r=0.5

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u=1.5

18- Smith

II.8. L’abaque de Smith Détermination directe du coefficient de réflexion au niveau de la charge :

Lecture de 

r=0.5

R=0.75 ej64°

u=1.5

Lecture de |Ro|

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19- Smith

II.8. L’abaque de Smith Zi ei

Zc=50 

Rx1

Zx1

Zr

/4

On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à /4 de la charge

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20- Smith

II.8. L’abaque de Smith Pour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du point de la charge, et on parcourt 0.25 vers le générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport au centre)

Impédance de la charge

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21- Smith

II.8. L’abaque de Smith On trouve alors directement le nouveau coefficient de réflexion : Rx1=0.75 e-j116° De même on trouve la nouvelle impédance réduite : zx1 = 0.2 - 0.6j D’où une impédance ramenée: Zx1 = 10 - 30j Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

22- Smith

II.8. L’abaque de Smith  Zi ei

Zc=50 

Rx2

Zx2

Zr

/4

Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de 0.1vers la charge Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

23- Smith

II.8. L’abaque de Smith Point précédent à 0.088 vers la charge

Impédance de la charge

déplacement jusqu’au point à 0.188 vers la charge Déplacement de 0.1  vers la charge Impédance à /4 de la charge

Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|

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24- Smith

II.8. L’abaque de Smith On trouve alors directement le nouveau coefficient de réflexion : Rx2=0.75 e-j45° De même on trouve la nouvelle impédance réduite : zx2 = 0.9 - 2.1j D’où une impédance ramenée: Zx2 = 45 - 105j Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

25- Smith

II.8. L’abaque de Smith II.8.e. Autres grandeurs

On va détailler les autres données que l’on peut extraire de la représentation sur l’abaque

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26- Smith

II.8. L’abaque de Smith Représentation des tensions et courants :

Zi

R

Zc=50 

ei v

Tension :

x

v



x

v



x

v



x

1  Rx 

x  1  Ro e j   2  y  v  x v

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Zr

27- Smith

II.8. L’abaque de Smith Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque

Impédance de la charge

v r v  r

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

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28- Smith

II.8. L’abaque de Smith On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de

Impédance de la charge

v

x v  x

passant par des valeurs min et max

min v

1+|R|

x v  x

v

x v  x

1-|R|

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max

29- Smith

II.8. L’abaque de Smith Détermination du courant

Impédance de la charge

On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le point diamétralement opposé On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

i r i  r

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30- Smith

II.8. L’abaque de Smith On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de

Impédance de la charge

i

x i  x

i

x i  x

passant par des valeurs min et max i

1+|R|

x i  x

1-|R|

v et i toujours en quadrature Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

31- Smith

II.8. L’abaque de Smith Représentation des admittances :

Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance 1 Y  x Zx

Y y  x  Zc.Y x x Y c admittance normalisée

On a alors

y

x



1  Rx 1  Rx

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32- Smith

II.8. L’abaque de Smith Si on compare :

z

x



1  Ro e 1  Ro e

j j

y

x



1  Ro e 1  Ro e

j j

Ajout de  à 

yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque

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33- Smith

II.8. L’abaque de Smith Impédance de la charge

Admittance de la charge

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34- Smith

II.8. L’abaque de Smith Autres grandeurs : R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR ρ

v

max v min

i  max i min



1 R 1 R

Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S. À l’origine, TOS=100Vr/Vi

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35- Smith

II.8. L’abaque de Smith ROS dB=20 log ROS

Coefficient de réflexion en dB : Return loss valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la puissance réfléchie

Px  10 log  20 log Rx  Px Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

ROS

36- Smith

II.8. L’abaque de Smith Pertes d’adaptation en dB : Reflected loss valeur négative correspondant au rapport entre la puissance arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise



Px 2 10 log  10 log 1  Rx  Px Coefficient de réflexion en puissance :

Atténuation en dB :



Px   Px

y

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37- Smith

II.8. L’abaque de Smith A avoir en tête, les ordres de grandeurs : ROS

|R|

Return loss (dB)

Puissance transmise (%)

Puissance réfléchie (%)

1

0

- infini

100

0

1.5

0.2

-14

96

4

2

0.33

-10

90

10

3

0.5

-6

75

25

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