Aanalisis Elastoplastico de Vigas

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Universidad Nacional San Agustín Agustín

Facultad de Ingeniería Civil Curso: Resistencia de Materiales 2

Ensayo elasto –plástico de una viga de acero simplemente simplemente apoyada con carga concentrada sobre su centro de luz

Realizado por:

Victor Revilla V., Giancarlo Giancarlo Riquelme A., Ebherlin Quispe A.

Profesor:

Ing. Fidel Copa Pineda

Arequipa 24 de marzo de 2008

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RESUMEN.-

Básicamente Básicamente este articulo articulo esta referido al estudio del comportamiento inelástico ine lástico de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada en su centro de luz, los resultados de su análisis se obtienen al comparar el diagrama Momento-Curvatura experimental con los resultados modelo teóricos.

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AGRADECIMIENTOS.-

Ingeniero Fidel Copa Pineda por motivar a la realización de este ensayo, a todas las personas que apoyaron y facilitaron los materiales necesarios.

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TABLA DE CONTENIDO.-

-Resumen

02

-Agradecimiento

03

-Tabla de contenido

04

-Lista de figuras

05

-Lista de símbolos

06

-Cuerpo de texto Introducción al análisis elasto-plástico de vigas

08

Modelo eslasto-plástico

08

Objeto de análisis

10

Datos y resultados

11

Curva carga – deflexión

11

Diagrama de esfuerzos

12

Diagrama momento – curvatura teórica

13

Diagrama momento – curvatura experimental

15

Diagramas en comparación

16

Diagrama de momento flector

17

Rotula plástica

17

Calculo de esfuerzos residuales

18

Diagrama de esfuerzos residuales

18

-Conclusiones

19

-Imágenes experimentales

21

-Referencias

23

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LISTA DE FIGURAS.-

Fig.1: Curva de modelo eslasto-plástico ideal desarrollado para análisis simplificado de elementos sometidos a deformaciones plásticas. Pág. 09 Fig. 2: Diagramas de variación de deformaciones unitarias y esfuerzos para cada momento flector. Pág. 09 Fig. 3: Representación del modelo, viga simplemente apoyada en los extremos con carga puntual en el centro de luz. Pág. 10 Fig. 4: Diagrama de cargas vs deformación experimental.

Pag. 11

Fig. 5: Diagrama de esfuerzos en la sección transversal de la viga. Fig. 6: Diagrama momento – curvatura del modelo teorico. Fig. 7: Calculo de la curvatura ultima.

Pag. 12 Pag. 13

Pág. 15

Fig. 8: Diagrama momento – curvatura experimental.

Pág. 15

Fig. 9: Diagramas momento – curvatura teórico y experimental juntos para análisis comparativo. Pág. 16 Fig. 10: Grafica del diagrama de momento flector para la viga de la Fig. nº 3. Pág. 17 Fig. 11: Formación de rotula plástica para cargas criticas sobre la viga. Fig. 12: Diagrama de esfuerzos residuales.

Pág. 17

Pág. 18

LISTA DE TABLAS.-

Tabla Nº1 : datos experimentales de carga y deflexiones para los diferentes valores de carga concentrada. Pag. 11

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LISTA DE SIMBOLOS.-

σ:

Esfuerzos normales a la sección transversal

σf :

Esfuerzo de fluencia

ε:

Deformaciones unitarias

εf :

Deformación unitaria bajo el punto de fluencia

εr :

Deformación unitaria bajo el punto de rotura

y:

Longitud de zona plástica

M:

Momentos de flexión

Mp:

Momento plastico

Mu:

Momento ultimo

E:

Modulo elástico del material

P:

Carga concentrada

Pc:

Carga concentrada critica

I:

Momento de inercia de la sección transversal de la viga

ρ:

Radio de curvatura

κ :

Curvatura

L:

Longitud de la viga

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1. INTRODUCCION:

La razón principal por las que el análisis de algunas estructuras no concuerda con las preestablecidas es por que estas no obedecen las leyes elásticas es decir que su comportamiento se acerca más al del análisis no lineal, inelástico o también llamado elasto-plástico. Entonces con el objeto de conocer el verdadero factor de seguridad de la estructura es que debe conocerse la carga límite o carga que producirá la rotura del elemento estructural y esto solo se lograra llevando a la estructura a comportarse inelasticamente.

Sabemos que en una estructura elástica las deformaciones son pequeñas debido tal vez a un exceso en su rigidez, sobre-dimencionamiento etc. El elemento no deja rastro de deflexión después de quitar su carga actuante. Algo opuesto ocurre si el elemento estructural se comporta inelasticamente debido a que este se mantendrá deformado aun después de su descarga, también es debido a esto por el cual las estructuras con estas características disipan en grandes cantidades la energía sísmica reduciendo sus aceleraciones.

El análisis plástico implica modelar el comportamiento no lineal de las vigas, e interpretarlos a través de los diagramas Momento – Curvatura; causa principal que se explicara en este articulo.

2. MODELO ELASTOPLASTICO

Para este análisis primero se considera un material cuyo comportamiento elasto-plástico Es ideal, es decir que el análisis arrastrara siempre cierto margen de error con el cual también nos evitamos de complicar el análisis.

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Figura Nº 1

Se puede ver que el comportamiento lineal del material esta definido por la línea con pendiente que se inicia en el punto A, donde todos los esfuerzos contenidos obedecen ala ley de Hooke, mientras que para el rango inelástico (línea horizontal), el esfuerzo actuante es constante e igual al máximo esfuerzo en el cual la fibra mas alejada al eje neutro de la sección sufre la primera deformación plástica. Otra de las hipótesis que se sostiene es que la sección plana, permanece plana después de la deformación. A continuación a través de la figura 2 se explicara brevemente el comportamiento interno de esfuerzos y deformaciones que se dan en la viga cuando esta sometida a flexión.

Figura Nº 2 8

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Arriba se muestra el comportamiento siempre lineal de las deformaciones que van incrementando conforme el momento actuante es mayor. En el caso, para el momento M3, las fibras alejadas sufren su primera deformación plástica y para M5 los desplazamientos elásticos prácticamente han desaparecido.

Abajo se muestra la distribución de esfuerzos para cada estado de carga, de la misma forma la estructura se plastifica por primera vez para M3 y alcanzara el colapso cerca a M5. El peralte plástico se incrementa progresivamente y3, y4, y5…

Para

 f 

Para

 f 

 E   f 

3. OBJETO DE ANALISIS

El material que representa el objeto de análisis, se trata de una barra de acero estructural A-36 de sección cuadrada de 15mm de lado simplemente apoyada en sus extremos, el cual es sometido a una carga creciente concentrada en su centro de luz (ver figura Nº 3) de manera paralela al aumento de cargas de fueron midiendo las deflexiones en el punto de máxima deformación, a continuación se muestra el esquema que representa el objeto de análisis. P

B

A

L

Figura Nº 3

Se hace la aclaración de que en los extremos de la viga, los tramos sobrepasan los puntos de apoyo ya que para deflectarse sin alterarlos necesita de mayor longitud.

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4. DATOS Y RESULTADOS

A continuación se muestra la tabla de datos medidos en el ensayo y seguidamente el grafico que esta genera. CARGA (kg) 0 2.5 5 10 15 35 45 55 57.5 57.75 58 58.25 59.35 60.05 60.2 60.3 60.45

DEFLEXION (cm) 0 0 0.2 0.5 0.75 2.2 2.9 3.85 4.0 4.15 4.25 4.6 11.1 21 22.5 23.4 descontrolado

Tabla nº 1

Carga vs Deflexion 80

4.6

23.4

64 60.3

48 carga 32

16

0

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

deflexion

Figura Nº 4

10

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Se puede observar que por encima de los 40 kg de carga, la curva empieza a ser inestable, entonces la carga máxima de comportamiento lineal. Acero A-36

 f  y

2531.

kg cm 2

4

P y

57.5.kg

P y

 M y

 L P y

 M  y

 L

4

 M  y

21.56.kg m

La curvatura correspondiente a este punto se calcula de la siguiente manera

 M  y  y

 y

 E   I 

0.251

1 m

El diagrama de esfuerzos que caracteriza a esta sección en particular es la siguiente

( )

( E ) if  E

fy

fy sign (E ) ot herwise

Diagrama de Esfuerzos 0.004 0.003 0.002

0

0.002 0.003 0.004 50000000

0

50000000

( )

Figura nº 5

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De todo esto y las ecuaciones establecidas obtenemos el diagrama momento curvatura teórico de nuestro modelo el cual nos servirá para la comparación de nuestros resultados ensayados.

u max

h

2

m 2

M( m )

( ) b

umax m

2

d

m

Diagrama Momento - Curvatura 25 22.5 20 17.5 15 M ( )12.5 10 7.5 5 2.5 0

0

0.26

0.52

0.78

1.04

1.3

umax

Figura nº 6 De la grafica también se puede obtener el momento máximo momento lineal a partir del cual se forzara al elemento a plastificarse:  M  y

21 .56

kg m

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Si se trataría de un análisis lineal de la estructura, no es necesario hacer cálculos inherentes del elemento estructural debido a que sus métodos, derivados todos de la ley de Hooke, no toman en cuenta las propiedades de los mismos. Ahora que no podemos recurrir a estos métodos como el método del área de momentos, integración sucesiva o superposición; es entonces cuando buscamos otras maneras de analizar la estructura plásticamente, en este articulo, se pretendió desarrollar este análisis a través del diagrama momento – curvatura, el cual muestra la cantidad de carga que origina reacciones en los apoyos y posteriormente momentos máximos en el centro de luz, necesaria para deformar una viga de sección típica. Con ello también cabe recalcar que para deformar la misma curva en vigas distintas cuya diferencia es solo su sección transversal, se necesitaran valores de momentos diferentes. Como parte de los resultados es importante mostrar la comparación entre las curvas teóricas y experimentales para observar el grado de confiabilidad del estudio.

Como se indico, nuestro análisis se dedica al estudio de una viga de acero de sección rectangular con las siguientes dimensiones:

b

1.5cm

Longitud de la base del elemento viga

h

1.5cm

Altura o peralte del elemento

Ahora solo nos quedaría encontrar el momento y la curvatura del punto crítico donde se produce el colapso.

Pu

60.3.kg

Pu

4  M u  L

 M u

 L Pu

4

 M u

22.6125 kg m

Ahora solo queda hacer el cálculo de la curvatura para el cual se uso el siguiente procedimiento: - teniendo en cuenta que en el punto critico, se forma una curvatura el cual corresponde ala rotula plástica y obedece la siguiente relación:

1

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- siendo

el radio de curvatura, con ayuda de una imagen a escala y usando el

programa AutoCAD se pudo calcular dicho radio.

Figura nº 7

Como se muestra en la figura nº 7,

1 0.20

5

0.20 m

1 m

Por ultimo graficamos nuestra diagrama momento – curvatura experimental:

14

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Diagrama momento - curvatura experimental 35

0.327

5

31.5 28 24.5 22.613 21 Mt 17.5 14 10.5 7 3.5 0

0

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

Figura nº 8

Apreciando el diagrama de nuestro ensayo, podemos ver como la curvatura de la viga aumenta rápidamente cuando el momento actuante es casi el mismo; la curva superior se torna casi horizontal por lo que podemos decir que existe un momento crítico que será responsable de llevar al colapso a la viga. A este momento normalmente se le llama momento ultimo, el mismo que causará una curvatura ultima, a partir del cual conllevara a la formación de una rotula plástica y posteriormente al colapso. Ahora graficamos ambas curvas en un solo plano cartesiano para poder hacer el análisis comparativo grafico:

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Diagramas momento - curvatura (comparacion) 35

0.327

5

31.5 28 24.5 22.613 Mt M( )

21 17.5 14 10.5 7 3.5 0

0

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

umax

Figura nº 9

Podemos ver que el grafico experimental se aproxima bien a la curva teórica por tanto es muy posible que nuestros resultados no se alejen mucho de la realidad. El diagrama de Momento flector correspondiente al rango elástico de nuestra viga es útil para encontrar la carga crítica Pc por encima del cual el elemento empieza a comportarse plásticamente a través de sus deformaciones.

Diagrama de momento flector 2 1

M ( x)

6

4

2

0

2

4

1 2 3 x

Figura Nº 10

A continuación se muestra la rotula plástica que esta carga provoca sobre la viga.

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Todos los elementos sobre forzados fallan de acuerdo a la formación de una rotula plástica en algún lugar donde el momento es máximo. Estas rotulas plásticas se han convertido realmente en un problema no solo para las estructuras de acero sino que también en las juntas o uniones estructurales como por ejemplo la unión columna - zapata, los cuales son afectados severamente cuando entre ellos se forma la rotula plástica por efectos sísmicos o exceso de momentos flectores en el punto. El caso es que en esta viga la rotula plástica ya era perceptible desde los 4.5 cm de deflexión sobre el punto de apoyo de la carga.

P

B

A

ROTULA PLASTICA

Figura nº 11

Calculo de esfuerzo residual:

Por último queda calcular los esfuerzos residuales internos de la viga, los cuales se manifiestan al momento de la descarga, es decir cuando la carga P puntual deja de actuar sobre la viga. Cuando la descarga sucede, el elemento sufre un momento recuperador contrario al principal deformante el cual producirá esfuerzos contrarios (figura 12-b) y la viga regresa a un estado plástico ya deformado pero lo hace linealmente con una trayectoria paralela a línea elástica, si esto sucede la distribución de estos esfuerzos tendrá que ser lineal tal como se muestra en la figura 12-b. Superponiendo ambos estados, tendremos el diagrama de esfuerzos residuales en la sección transversal de la viga (fig 12-c), a continuación se muestran los cálculos realizados:

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Figura nº12

Sabemos que:

 y

r 

kg

 M u

cm 2

0.422 cm4

 I 

 M u h

2531

2261 .3 kg cm

h 1.5 cm

(2261.3) (0.75)

2

r 

 I 

r 

0.422

4019

kg cm 2

De la figura 12-c, la altura en el cual los esfuerzos se hacen cero se calcula por relación de triángulos: 4019 1.5 2

2531  y

 y

0.47 cm

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4. CONCLUSIONES

La rotula plástica se empieza a apreciar experimentalmente cuando se le aplica una carga de 59.35 kg provocando una deflexión de 11.1cm y un momento de 22.26 kg.m . El colapso se produjo con una carga constante de 60.45kg con deflexiones incontrolables mayores a 23.4cm (deflexión causada por una carga anterior de 60.3kg). La curvatura máxima fue

5

1 m

El esfuerzo residual máximo se da en el plano del eje neutro con una magnitud de 2

2

2531kg/cm y de 1488kg/cm en los extremos superior e inferior mas alejados al eje neutro. El porcentaje de error de la curva experimental respecto de la curva teórica es de 6.7% Uno de los factores que influyen en el porcentaje de error de nuestro ensayo se debe a la fricción entre apoyo y elemento estructural, entre otros. El punto de fluencia se da a una carga de 57.75 kg con una deflexión de 4.15cm,para cargas menores el elemento se comporta elásticamente y cargas superiores harán que el elemento se comporte plásticamente . La forma de darnos cuenta que un ensayo se aproxima a la realidad es comparándolo con las graficas o curvas teóricas, demostradas en base a modelos matemáticos que representan al fenómeno, en nuestro experimento, la curva pasa un poco sobre la curva teórica debido a la fricción del elemento con los apoyos, si se hubiera usado apoyos patín tal como se plantea en nuestro modelo matemático, hubiéramos obtenido mayor precisión. Para analizar una estructura inelasticamente debemos modelar el comportamiento de la estructura teniendo en cuenta que no todos los métodos son aplicables a este tipo de análisis ya que derivan de la ley de Hooke, ley para análisis lineal. 19

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Las deformaciones por curvatura cambian drásticamente cuando actúa sobre el elemento estructural cierto valor para el momento, conocido como momento último y es generado por una carga crítica, en este caso puntual. No debemos entender por análisis inelástico como un método que conllevara a la rotura o falla del elemento sino mas bien es el análisis de las deformaciones plásticas para una nueva aplicación del diseño no lineal elasto  – plástico que de seguro economizará los presupuestos de construcción dentro de los límites de seguridad requeridos.

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REFERENCIAS.-

1) R.C. Hibbeler, Mecánica de materiales, sexta edición, 2006, 896 pgs. 2) F.T. Hodgson, Construcciones de acero, 1913, 149 pgs. 3) Fedosiev, Resistencia de materiales, MIR – Moscú 4) S. Popov, Introducción a la mecánica de sólidos, Cáp. Análisis elasto plástico de vigas. 5) R.C. Hibbeler, Structural analysis, thirt edition, 1994, 728 pgs. 6) J. Dario Aristizabal, Estabilidad clásica de vigas - columnas con conexiones semirigidas sobre una fundación elástica, Colombia, 15 pgs. 7) Michael samofalov – Vaidotas, FEM Stability analysis of tapered Beam –  columns, journal of civil engineering and management, vol XV, pgs 211-216. 8) G. Salzgeber, Elasto-plastic stability of co lumns with an unsymmetrically strengthened I – cross section, A-8010 graz, lessingstr. 25, 10 pgs. 9) J.T. Celigueta, Resumen de análisis estructural, Ed. Eunsa, 2003, 19 pgs. 10) Beer Jhonston, Mecanica de materiales, cuarta edicion OLC

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