Álgebra_UNI 5°.pdf

Índice Capítulo 1 Productos notables..................................................................................................... 4 Capítulo 2 División algebraica..................................................................................................... 8 Capítulo 3 Factorización - M.C.D. - M.C.M. - Fracciones algebraicas......................................... 12 Capítulo 4 Factorial - Coeficiente binomial - Binomio de Newton............................................... 16 Capítulo 5 Repaso........................................................................................................................ 21 Capítulo 6 Radicación.................................................................................................................. 24 Capítulo 7 Resolución de ecuaciones........................................................................................... 28 Capítulo 8 Ecuaciones de segundo grado..................................................................................... 32 Capítulo 9 Desigualdades - Números reales................................................................................. 36 Capítulo 10 Inecuaciones de primer y segundo grado - Valor absoluto.......................................... 40 Capítulo 11 Inecuaciones polinomiales - Fraccionarias e irracionales............................................ 44 Capítulo 12 Relaciones de lR en lR (I)........................................................................................... 49 Capítulo 13 Relaciones de lR en lR (II)........................................................................................... 54 Capítulo 14 Funciones I................................................................................................................ 62 Capítulo 15 Funciones II................................................................................................................ 67 Capítulo 16 Repaso........................................................................................................................ 75 Capítulo 17 Funciones III............................................................................................................... 80 Capítulo 18 Funciones IV............................................................................................................... 85

Álgebra Capítulo 19 Logaritmos en lR......................................................................................................... 90 Capítulo 20 Función exponencial y logarítmica............................................................................. 93 Capítulo 21 Cálculo de Límites...................................................................................................... 99 Capítulo 22 Derivadas - Aplicaciones............................................................................................. 103 Capítulo 23 Repaso........................................................................................................................ 107 Capítulo 24 Funciones polinomiales I............................................................................................ 111 Capítulo 25 Funciones polinomiales II........................................................................................... 115 Capítulo 26 Números complejos I.................................................................................................. 119 Capítulo 27 Números complejos II................................................................................................. 123 Capítulo 28 Sucesiones reales........................................................................................................ 128 Capítulo 29 Series y sumatorias..................................................................................................... 133 Capítulo 30 Repaso........................................................................................................................ 138 Capítulo 31 Matrices...................................................................................................................... 142 Capítulo 32 Determinantes ........................................................................................................... 147 Capítulo 33 Sistema de ecuaciones I.............................................................................................. 152 Capítulo 34 Sistema de ecuaciones II............................................................................................. 156 Capítulo 35 Programación lineal.................................................................................................... 161

Problemas resueltos 3. Si: x–y=2n ∧



Resolución



E=



Se tiene:



Resolución

x2= 3 x–1



x2+1= 3 x



x+ 1 = 3 ; dado que: x ≠ 0 x



Ahora bien:

x2+

1 = ^ 3 h2 –2 ∧ x3+ 1 = ^ 3 h3 –3^ 3 h x3 x2 x2+ 12 =1 x



∧ x3+ 13 = 3 3 –3 3 x

(I)

(II)

Multiplicando (I) y (II): 1 1 2 3 cx + 2 mcx + 3 m =0 x x x5+ 1 +x+ 15 =0 ⇒ x5+ 15 + 3 =0 x x x

2. Si: x+y+2z=4; determine el valor de: E=

(x–1) 3 + (y–1) 3 + (z–1) 3 . (8) (x–1) (y–1) (z–1)

Resolución Tenemos: x+y+2z=4 (x – 1)+(y – 1)+2(z – 1)=0 ⇒ (x–1)3+(y–1)3+[2(z–1)]3=3(x–1)(y–1)(2(z–1))



E=

3mx–nx–3my + ny ny2 –nx2 –3my2 + 3mx2

3m (x–y) –n (x–y) (3m–n) 1 ...(I) = = 2 2 2 2 + + (x y) (3m–n) x y 3m (x –y ) –n (x –y )

De la condición:

m(x+y) – n(x – y)=2(m2 – n2) ↓ m(x+y) – n(2n)=2m2 – 2n2



⇒ x+y=2m ... (II)



(II) en (I): ` E = 1 2m

4. Si: x, y, z ∈



`E=6

Quinto UNI

(x–1) 3 + (y–1) 3 + 8 (z–1) 3 =6 (x–1) (y–1) (z–1)

– {0}; tal que:

x2 –yz y2 –xz z2 –xy + + =0 x y z Calcular el valor de la expresión:

⇒ x5+ 15 =– 3 x



4

x + y =2; entonces m + n m–n determine el valor de:

1. Si: x2= 3 x–1; indicar el valor que adopta: x5+ 15 x

M=

(x + y) (y + z) (x + z) x3 + y3 + z3

Resolución De la condición: yz xy + y – xz + z – =0 x y z xyz xyz xyz ⇒ x+y+z= 2 + 2 + 2 x y z ⇒ 1 + 1 + 1 = 12 + 12 + 12 xy yz xz x y z 1 1 1 ⇒ = = ⇒ x=y=z x y z

x–

`M=

(2x) (2x) (2x) 8 = x3 + x3 + x3 3

Colegios

TRILCE

Álgebra 5. Si "a", "b", "c" son números que satisfacen las condiciones: Z a b c 3 + + = ] 3 3 3 [ a + b + c = 30 ] abc = 4 \ Determinar el valor de: E = 1 + 1 + 1 a b c



Resolución



Se sabe que:

(a+b+c)3=a3+b3+c3+

+3(a+b+c)(ab+bc+ac)–3abc

(3)3=30+3(3)(ab+bc+ac) – 3(4)

⇒ ab+bc+ac=1



Ahora bien: E = ab + bc + ac = 1 abc 4

Problemas para la clase 1. Reducir: (x+y – z)(x – y – z) – (x – z)2 a) y2 d) –z2

b) – y2 e) 0

c) z2

a) 0 d) 4a2

2. Simplificar la expresión:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 3 e) 7

c) 6

(1 + x) (1 + y) (1 + z) (1–x) (1–y) (1–z) + (1–x) (1–y) (1–z) (1 + x) (1 + y) (1 + z)

6. Si: x=

3

a 1-a -a -

3

a 1-a +a

Central: 619-8100

b) 2 e) 6

c) 1 n

n

11. Si: a>1; b>1 ∧ c a m + 4 c b m =725 b a

Calcular: T= 3

Determinar el valor de la expresión: 9 3 3 3 K= x - 27a x 4+ 8a - 18ax

c) – 2

an + 5bn + 3cn bn

a) 3 d) 4

a+b+c=5 ∧ a2+b2+c2=7 c) 9

b) – 1 e) abc

10. Si: a2+b2+c2=ab+ac+bc ∀a, b ∧ c ∈ Calcular:

b) 18 e) 12

c) 3

9. Si: x = a–b ; y = b–c ∧ z = c–a b+c c+a a+b Calcular:

5. Calcular: ab + ac + bc, si:

a) 10 d) 11

b) 2 e) 6

a) 0 d) 2

7 5 3 Calcular: x –x 5+ x x

c) – 2

(x–1) 3 + (y–2) 3 + (z–3) 3 (x–1) (y–2) (z–3)

c) 16

b) 4 e) 10

b) 2 e) 1

8. Si: x+y+z=6; calcular:

4. Si se cumple: x2 – 3x+1=0

a) 2 d) 8

x3 + y3 + z3 –3xyz

a) 1 d) 4

7a + 2b + a + 3 b + 3 a b a) 9 d) 4

3

a) 3 d) – 1

c) 3

3. Si: 1 + 1 = 4 a b a+b Calcular la raíz cuadrada de:

c) 2a

7. Si: x+y+z=3 ; xy+yz+xz=0 Calcular:

2 y 22 y 2 y 22 ;c x + m + c x - m E - 4 ;c x m - ` j E y x y x y x E= 2 2 3 3 y 3 y 3 ;c x m + ` j E - ;c x m - ` j E y x y x

b) a e) 6a2

a) 1 d) 4

an + 2bn an bn b) 2 e) 16

c) 3

www.trilce.edu.pe 5

12. Si: m3+n3+p3=5 , además: (m+n)(m+p)(n+p)(m2–mn+n2)(m2–mp+p2)(n2–np+p2)=40 Hallar el valor de: m9+n9+p9 a) 15 d) 20

b) 10 e) 25

c) 5

13. Si: a3+b3+c3=0 (a – b)2+(a – c)2+(b – c)2=12 Calcular: (ab)–1+(ac)–1+(bc)–1 a) – 1 2 d) 3

b) – 1

c) 2

e) –2 6

6

Calcular:

9 3 xyz – (x + y + z) xy + yz + xz

a) 1 d) 4

b) – 2 e) 3

z =0



a) c6 d) b2

(b6 –a6) 2 c6 –4 (ab) 3 b) c2 e) b3

c) c3

x+y y+z + + x + z –xy–xz–yz z x y

x2+y2+z2=xy+xz+yz+1

c) 3

a) 0 d) 3 20. Si:

b) 1 e) –3

c) –1

x+y=–z

xy+yz+xz=1

donde: m,n∈ 2mn +n) (

Reducir: R =

x3+y3+z3=4xyz

(am + an + bm - bn) 2 + (am - an - bm - bn) 2 (a 4/3 - a2/3 b2/3 + b 4/3) R(m; n)

R(m;n)=(m

b2+c2 – bc+c=b

Donde:

16. Al simplificar: Q=

a2+b2 – ab+b=a

a + b + c = 2 (a + b) (a + c) (b + c) a+b+c = 1 b) 2 e) 5

c) 125

18. Si se cumple:

R=

3

a) 1 d) 4

b) 123 e) 129

19. Calcular el V.N. de:

Sabiendo que:

)

a) 121 d) 127

c) 2

1 + 5abc ab + ac + bc 3

17. Si: x2 - 3x+1=0 Halle: x5 + 15 x



15. Calcular el valor de:

3

b) 2a2/3+2b2/3 c) a2/3+b2/3 e) 2a2/3 - 2b2/3

a2+c2 – ac+a=c

14. Si: 6 x +

y+

a) 2(a+b) d) 2(a - b)



4 4 y4 Calcular: K = x + +z yz xz xy

a) – 3 d) – 2

b) – 6 e) – 1

c) – 5

2mn +m+n)

Entonces obtenemos:

Tarea domiciliaria 1. Sabiendo que:

2. Calcular "m" entero positivo de tal forma que: [16x6+(m–2)x3y4+49y8] sea un trinomio cuadrado perfecto.

x+y= 4 3 + 2

xy=2 3 –3

Calcular:

2

x +y

2 a) 4 3 +2 b) 3 d) 3 3 e) Quinto UNI 6

a) 56 d) 52

2

b) 54 e) 60

c) 58

c) 2 2 Colegios

TRILCE

Álgebra 3. Calcular:

10. Hallar la raíz cuadrada de:

(x2 + x–7) 2 – (x–1) (x + 2) (x–3) (x + 4) Si: x= 3 + 2 a) 1 d) 3

b) 3 + 2 c) 2 3 e) 5

2 x e 2– y o – y c 2 –x 2 m y x–y x y–x

y 5. Si: x + = 3 y x Calcular: E= e

b) a2 e) a2b2

a) a – b d) ab

12. Si en c) 2 3

3

3

3 2 x 2 –2 + y + 1 e o o y2 x2

b) 6 2 e) 2 +1

x–2+x–3=b

3 a) 3 b 3 c) 1 d) e) 2 3 13. Si "x" e "y" son reales que verifican la relación: x2+y2+10=6x – 2y calcular el valor numérico de:

b) 2 e) 6

c) 2 3

calcular el valor numérico de: (a + c) 2 –4ac (a–b) 2 + (b–c) 2

E=

x2 + x–2 + 2 =2

Calcular: x3+x–3 b) 10 e) 3 2

c) 10 2

–1

c) 4

ab=3 ... (1)

(a+b)3+a3+b3=23(a+b) ... (2)

Hallar: (x2)–1+(y2)–1 b) – 1 3

b) 5 e) 1

Se verifica:

x2 +y2 =3 a) 1 3 d) – 1 9

a) 2 d) 3

15. Sabiendo que para: a+b ≠ 0

xy=9 –1

c) 3

14. Sabiendo que "a", "b" y "c" verifican la relación: a – b=b – c= 3

a+b

5 a) 4 3 b) d) 9 e) 5

8. Si:

c) 4 2

x2 + y2 –xy + x + y–x2 y2 = 0 Entonces "xy" es:

a) 1 d) 5

x2+x3=a

a) 3 d) 9 2

1+2 2

4 4 E = x + y + 100 91

x+x–1=3

3

3

se cumple:

6. Dado:

7. Si:

8 + 16 2 –

3

a) 0 b) 1 c) 3 d) 3 e) – 1

Calcular:

c) b2

11. Calcular el valor numérico de: E=x6–9

a) 2 2 d) 0

Si: x = 5 + 3 ; y = 5 – 3 b) 2 e) 4

(a – b)4+b3(a – b)+3ab(a – b)2+a3b

Para: x=

4. Calcular el valor numérico de:

a) 0 d) 2 5



Calcular: a2+b2 c) 3 a) 12 d) 16

e) –9

b) 10 e) 14

c) 15

9. Efectuar:

(x – 12)3 – (x – 11)(x – 12)(x – 13)+5

a) x d) x + 17 Central: 619-8100

b) x + 8 e) x – 6

c) x – 7 www.trilce.edu.pe 7

Problemas resueltos 1. Calcular "a+b+c", a partir de la división exacta: x5 –2x 4 –6x3 + ax2 + bx + c x3 –3x2 –x + 3 Resolución

3. Indicar el resto al dividir:

Tenemos:

6(2x + 1) 2 + 3@ + (4x2 + 4x + 3)10 + 4x2 + 1 4x 2 + 4x + 3 17

÷

1

1

–2

1 1 –2

–6

3

+

3 +

1

1

a +

–3 +

c +

–3

–3

–6

–2

6



0

0

0

1

3

b

1

1

\ Residuo = 16 – 2 m = 16 – 2 ( – 2) = 20

–2

+



Resolución



Aplicando el teorema del resto: 4x2+4x+3=0 ⇒ )

\R(x) ≡ (–2+3)17+(–4x–3+4x+3)10+(–4x–3)+1 R(x) ≡ 1+1 – 4x – 3 → R(x) ≡ –4x – 1

\ a – 3 + 1 – 6 = 0 ⇒ a = 8 b – 3 – 2 = 0 ⇒ b = 5



c+6=0



\a+b+c=7

⇒ c = – 6

2. Calcular el residuo al dividir:

4x2 + 4x + 1 = –2 " (2x + 1) 2 = –2 4x2 = –4x–3

4. Si al dividir "P(x)" entre (x2+1) el residuo es (x+3), 2 indicar el residuo de dividir "P " entre (x2+1) (x)



Resolución



→ Resto ≡ R(x) ≡ x+3 x2 + 1 Aplicando el algoritmo de la división: Se tiene:

P(x)

27x3 + 18x2 –6mx + 13 3x–1 P(x) ≡ (x2+1)Q(x)+x+3 sabiendo que la suma de coeficientes del co2 ciente es 25. → P ≡ [(x2+1)Q(x)+x+3]2 (x) Ahora bien: Resolución 2 2 8(x2 + 1) Q(x) + x + 3)B P(x) Tenemos: 2 = x +1 x2 + 1 Aplicando el teorema del resto: 27 18 –6m 13 x2+1=0 → x2=–1 ... (a) 1 9 9 3–2m x= ↓ → R(x) ≡ (0.Q(x) + x+3)2 3 27 27 9–6m 16–2m R(x) ≡ x2+6x+9 1 44444 2 44444 3 ÷ 3 Degradando el resto por (a) 9 9 3–2m ⇒ 9+9+3–2m=25 R ≡ –1+6x+9 (x) 1 44444 2 44444 3 coeficientes del cociente m=–2 \R(x) ≡ 6x+8 Quinto UNI 8

Colegios

TRILCE

Álgebra 5. Al dividir "P(x)" entre (x – 1) y (x+2) se obtiene como restos: – 1 y – 4 respectivamente. Hallar el resto que se obtiene al dividir dicho polinomio entre el producto (x – 1)(x+2).

Resolución



Se tiene:



•



•





Ahora bien:



P(x) → Resto ≡ ax+b ≡ R(x) (x–1) (x + 2)



Usando el algoritmo:

P(x) ≡ (x–1)(x+2)Q(x)+ax+b

P(x) → Resto = R1(x) ≡ –1 ⇒ P(1) ≡ –1 x–1 (Teorema del resto) .... (a) P(x) → Resto ≡ R2(x) ≡ –4 ⇒ P(–2) ≡ –4 x+2 (Teorema del resto) ... (b)



Si: x=1 → – 1 = a+b ... por (a)



Si: x=–2 → – 4= – 2a+b ... por (b)



Resolviendo el sistema: a=1 ∧ b = – 2



\ Resto= R(x) ≡ x – 2

Problemas para la clase 1. Hallar "m.n", si el residuo de dividir: 4

20 a) 17 b) 3 3 d) 9 e) 2

3

4x + 3x + mx + n ; es: 2x–5 x2 + 4 a) – 966 d) 12

b) 366 e) 36

c) 27

2. Hallar "a" para que el residuo de la división:

6. Calcular el resto de la siguiente división:

x3 –ax2 –ax–a2 x–a–2

Sea: 3a+2 a) – 2 d) 2

b) – 1 e) – 3

2 x5 + 2x 4 + 2 3 x3 –3 6 x2 + 6 3 x + 12 x– 3 + 2 a) – 12 d) 3 3

c) 1

c) 6 2

x 4 + a 4 ; a; b >0 x2 + bx + a Dar la suma de coeficientes.

mx 4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 –5x + 2

a) 1 – d) b

2 b) 2 +1 e) 2 – 2

c) a

Es (–5x+8), y además la suma de los coeficientes del cociente entero es igual a 4, calcular el valor de: n(p+m)

8. Calcular el valor de "a", si al dividir:

a) 24 d) 36



b) 30 e) 45

c) 32

4. Encuentre "a" y "b" para que el residuo de la división: (12x4 – 17x3+17x2+ax+b) ÷ (4x2 – 3x+1)

b) 12 e) 6 6

7. Proporcionar el cociente exacto de:

3. Si el residuo de la división:



c) 8

Sea: (4x+1); indicar el valor de "a.b" a) – 12 d) – 24

5. Al dividir:

b) – 16 e) 1

c) 12

ax5 + 2x 4 –bx + 2 3x3 –x + 1

Se obtuvo por resto: bx2+cx. Hallar "c" Central: 619-8100



xa + 17 + xa + 16 + ... + x 4 + x3 + x2 + x + 1 x–1 Se observa que la suma de coeficientes del cociente entero es igual a 90 veces su residuo. a) 160 d) 163

b) 161 e) 164

c) 162

9. Calcular el residuo de dividir: 2 (x2 + 3x–1)1003 –5 (x2 + 3x–3) 511–3x2 –9x + 7 x2 + 3x–2 a) 6 d) 12

b) 8 e) 14

c) 10

www.trilce.edu.pe 9

10. Hallar el resto en la división:

igual a 30. a) 24 d) 25

4x21 + 7x7 + 8 x2 + x + 1 a) 7x – 12 d) 7x

b) x – 12 e) 7x+12

c) x+12

11. Calcular el resto en la siguiente división:

"n∈

(x2 –6x + 9) n (4x–9) 2n–1(3x–8) 2 (x–2) (x–3)

a) 4(x – 3) d) 3(x – 2)

b) 3(x – 4) e) 4(x – 1)

c) 2(x – 3)

12. Hallar el término independiente del cociente:

b) 1 e) 6

c) 2 (x4

13. Al dividir un polinomio "p(x)" entre - 1) se obtuvo como residuo (3x3+nx2+mx–2); si además se sabe que, el resto de dividir "p(x)" entre (x2 – 1) es (5x – 4), entonces el valor de "mn" es: a) – 4 d) 1 4

b) – 2 e) 4

c) 1 2

14. Determinar un polinomio "P(x)" de quinto grado que sea divisible entre (2x4–3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x–2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232. Indicar como respuesta el término lineal de "P(x)". a) 12x d) – 15x

b) – 12x e) 9x

b) 20 e) 16

c) 10

17. Un polinomio "P(x)" al ser dividido entre (x2+1) otorga un residuo (–x+1). Hallar el resto de la siguiente división: 6P(x)@5 x2 + 1

(x + 2) 20 + 1 x+4 a) 0 d) 4

c) 72

16. Se sabe que el polinomio entero en "x" de tercer grado y mónico se anula para: x=2 y para: x=3. Si la suma de coeficientes es igual a 10, hallar el resto de dividir el polinomio "P(x)" entre (x+2). a) 40 d) 80

+

b) 15 e) –12

c) 15x

15. Hallar el término independiente de un polinomio "P(x)" de cuarto grado y de coeficiente principal igual a 2, que es divisible en forma separada por (x – 2); por (x+3) y por (x – 4) y que al dividirlo entre (x+1); proporciona un residuo

a) x – 1 d) –2x

b) 4x – 4 e) 3x

c) 2x

18. Un polinomio mónico de cuarto grado es divisible por (x2 – 1) y (x – 4); al dividirlo entre (x+3) se obtiene como residuo 56. Calcular el resto de dividir "P(x)" entre (x – 2). a) – 12 d) 4

b) – 24 e) – 20

c) – 16

19. El residuo de dividir "P(x)" entre (x5+x+1) es (x4+2x2 – 5). Indicar el residuo de dividir: P(x) x +x+1 2

a) x+3 d) x – 7

b) – x+3 e) x+7

c) – x – 7

20. ¿Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio "F(x)", si se sabe que es de tercer grado, su primer coeficiente es la unidad, es divisible entre (x – 2)(x+1) y carece de término cuadrático? a) 4 d) – 4

b) 3 e) 8

c) – 3

Tarea domiciliaria 1. Calcular: ab+ba, si al dividir: (bx4+(a+2b)x3 – (ab - a)x2 – a2x+a+2b)

entre: (–x2–2x+a) el residuo es: R(x)=6x+a–1 a) 3 d) 32

Quinto UNI 10

b) 17 e) 145

c) 4

2. Sea: P(x)=x5 – ax+b; un polinomio con coeficientes enteros. Si "P(x)" es divisible por (x – c)2 calcular: ac b a) 1,2 d) 2,1

b) 1,4 e) 2,4

c) 1,25

Colegios

TRILCE

Álgebra 3. Indicar el término independiente del cociente de dividir: [x5+( 2+ 3)x4–( 3 – 6)x3–2x2+( 3+4)x+ 3]

9. Calcular el residuo de dividir: (4x+5)2 – (x2 +x –1)9+3

a) 10 d) 13

entre (x+ 3 ) a) 3 d) 4

b) – 3 3 e) 2 3

c) 1

4. Si al dividir: (12x4+Ax3+Bx2+Cx+D) entre (2x2 – x+3) se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen en 1 y un residuo R(x)=7x+9

b) 62 e) 82

(5x2 – x+1)4+(5x2 – x+2)2 – 5x(5x – 1)+7

c) 8

6. Calcular "m" si la división de: [mx5+2(3+m)x4+(12–m)x3+(m–6)x2+2mx–m] entre (x2+2x-1) resulta un cociente que evaluado para: x = 2, equivale a 69. b) 5 e) 8

(6x5 – x4 – ax3 – 3x2+4) entre (3x3 – 2x2+x – 2), se obtiene como residuo: bx + c a) 5 d) 1

b) 4 e) 0

c) 6

8. Hallar la relación que debe cumplirse entre "n" y "p" para que: x5 – (n2+2a)x3+n3x+p – 2a3 sea divisible por: x2 + nx – a a) n2 = 4p c) 9n6 = p3 e) 2n8 = p3

Central: 619-8100

c) 94

b) n2 = 3np3 d) 4n9 = p2

entre: x2 + 4x + 1 a) 27 d) 25

b) 29 e) 32

c) 28

12. Calcular "k" si el residuo de dividir: (x4 – x3+kx+2), entre: (x – 1) es el doble de dividirlo entre (x – 2). a) 2 d) – 7

b) – 8 e) 10

c) -6

13. Calcular "m.n" si el residuo de la división:

x25 –nx19 + mx12 + 2x–9 x6 + 2 a) – 12 d) 18

c) 6

7. Calcular "a + b + c", si al dividir:

b) 92 e) 81

(x+2)6+(x+4)30x30+1

8x 4 –8x3 + ax2 –13x + 5b 2 x 2 –3 x + b es exacta.

a) 4 d) 7

entre (5x2 – x – 2) es: a) 78 d) 75

c) 64

b) 7 e) 10

c) 12

10. El resto de dividir:

5. Calcular "a + b" , si la división:

a) 9 d) 6

b) 11 e) 14

11. Halle el residuo de:

Calcular: A + B + C + D a) 70 d) 68

entre: x + 2

b) – 10 e) – 15

es: 2x + 11 c) 12

14. Halle el resto en:

(x–2) 3 (x + 3) 2 (x–2) (x–1) a) 16x+32 d) 16

b) 16x–32 e) x+4

c) 16x–3

15. Hallar el término independiente de un polinomio de tercer grado si al dividirlo por separado entre (x – 5) y (x – 4) deja el mismo resto 4; pero si se divide entre (x + 1) y (x – 1) deja como resto 34 y 40 respectivamente. a) 42 d) 41

b) 44 e) 43

c) 34

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Problemas resueltos 1. Factorizar: F(x) = (x2 – 1)(x2 – 4)(x2 – 9)+32(x2+1)2



Resolución

F(x)=(x+1)(x–1)(x+2)(x–2)(x+3)(x–3)+32(x2+1)2 F(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x–1)(x–2)(x–3)+32(x2+1)2 1 4444 2 4444 3 1 444 2 444 3 F(x)=(x3+6x2+11x+6)(x3–6x2+11x–6)+32(x2+1)2 F(x)=[(x3+11x)+6(x2+1)][(x3+11x)–6(x2+1)]+32(x2+1)2 F(x)=(x3+11x)2 – 36(x2+1)2+32(x2+1)2 F(x)=(x3+11x)2 – 22(x2+1)2

(1 + a) (1–a) (1 + a + x + ax) (1–a–x + ax)

=

=

(1

+a) (1

–a)

(1

+x) (1

–x)

(1 + a)(1–a) = 1 (1 + a)(1 + x)(1–a)(1–x) 1–x2

4. Indicar el M.C.D. de: P(x)=2x4 – x3 – 3x2+3x – 9 Q(x) = 10x2 – 9x2+17x – 6

F(x)=(x3+11x)2 – (2x2+2)2



Resolución

F(x)=(x3+2x2+11x+2)(x3–2x2+11x–2)

•

Factorizamos P(x): P(x)=2x4 – x3 – 3x2+3x – 9 usando el aspa especial: (2x2 (x2

2. Factorizar: P(x) = x7+2x4+1

Resolución

P(x) =

x7+2x4+1

P(x)=x7+2x4+x3 – (x3 – 1) P(x)=x7+2x4+x3 – (x – 1)(x2+x+1) [x3

–(x–1)]

[x4

+(x2+x+1)]







\P(x)=(x3 –x+1)(x4+x2+x+1)

3. Simplificar: 1 –a 2 (1 + ax) 2 – (a + x) 2

Resolución

+

–x

+3)

0x

–3)



⇒ P(x) =(2x2 – x+3) (x2 – 3) ... (1)

•

Factorizamos Q(x): Q(x) = 10x3–9x2+17x–6



Usando divisores binómicos:

10 –9 17 –6

x= 2 ↓ 4 –2 6 5 10 –5 15 0 Q(x)=(x– 2 )(10x2–5x+15)→Q(x)=(5x–2)(2x2–x+3)... (2) 5



De (1) y (2): M.C.D.[P,Q]=2x2 – x+3



2

(1 + a) (1–a) 1–a = 2 2 + + ( 1 ax a + x)(1 + ax–a–x) (1 + ax) – (a + x)

Quinto UNI 12

Colegios

TRILCE

Álgebra

Problemas para la clase 1. Dadas las proposiciones, indicar (V) o (F): I. G(x)=x2–7, es primo en los II. P(x)=x2–x+1, es primo en

.................( ) y

8. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores. M(x,y)=x3+9y3+3xy(x+y)

............( )

III. F(x)=35(x+5)(x4+1)3, tiene dos factores primos ........................................................( )

a) 4 d) 1

IV. (xy2) tiene dos factores algebraicos .........( ) a) V V V F d) F V F F

b) F F V F e) F V V V

c) F V V F

P(x,y)=10x2+11xy – 6y2 – x – 11y – 3 a) (5x+2y+3)(2x – 3y – 1) b) (10x+y+3)(x – y – 1) c) (x+2y+3)(10x – 3y – 1) d) (5x – 2y – 3)(2x+3y+1) e) (5x – 2y+1)(2x+5y – 3)

e indicar un factor primo. a) xb+ya+1 b) xa+yb d) xb – ya – 1 e) y+x+1

c) xb+ya

3. Factorizar: P(x)=(x2+2x)2 – (2x+4)2 , e indicar el número de factores primos. a) 4 d) 2

b) 3 e) 6

c) 1

10. Factorizar: P(x,y,z)=x4 – x2y+5yz2 – x2z2 – 2y2 – 2z4

b) a+b e) a – 2b

c) a2+b2

b) 4 e) 5



c) 3

b) 3 e) 4

Central: 619-8100

b) 4 e) – 2

b) p e) x2+p

c) 2p

12. Indique el número de factores primos binomios que posee: P(x)=x5+x4 – 6x3+x2+x – 6 a) 1 d) 4

c) 2

b) 2 e) 5

c) 3

13. Luego de factorizar: P(x,y)=(2x – y)4+64

7. Si "P(x)" es un polinomio factorizable definido por: P(x)=x5+3x3+x–2, entonces la suma de coeficientes de un factor primo es: a) 5 d) 2

Hallar la suma de sus factores primos. a) x2 – p d) 2x2 – p

6. Indicar el número de factores primos: M(a,b,c)=(b – c)3+(c – a)3+(a – b)3 a) 6 d) 1

c) 0

11. Luego de factorizar:

Indique el número de factores primos. a) 2 d) 1

b) 10 e) 18

P(x)=x4 – (p+1)x2+(p – 2p2)x+p3 – p4

5. Factorizar al polinomio: P(x)=(x – y)(x – 3y)(x+4y)(x+6y)+48y4

Indicando la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 d) 12

4. Factorizar e indicar un factor: H(a,b,c)=36a11b2–109a9b4+25a7b6 a) 2a – b d) 5a – 3b

c) 2

9. Factorizar:

2. Factorizar: Q(x,y)=xa+b – (yx)b+xa – yb+(xy)a – ya+b

b) 8 e) 3

c) 3



Podemos afirmar: a) Tiene dos factores lineales. b) Un factor primo es cuadrático. c) Tiene dos factores primos. d) Un factor es de multiplicidad 3. e) La suma de coeficientes de un factor primo es 0.

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14. Hallar el MCD de "P(x)", "F(x)" y "R(x)" P(x) =(x+1)4(x – 2)3(x – 3)5(x – 1)2 F(x) =(x+8)4(x – 2)(x – 3)5(x+2)2 R(x) =(x – 2)2(x+2)2(x – 3)(x+7)6

18. Indicar una de las fracciones parciales en la que se descompone: 1 x 4 + x2 + 1 1 x+1 b) x2 + x + 1 2^x2 + x + 1h 1 c) 2x–1 d) 2 x –x–1 x +1 e) 21 x –1

b) x2+5x+6 d) x – 3

a) x – 2 c) x2 – 5x+6 e) x+8

a)

15. Hallar el MCM de: "P(x)","Q(x)" y "R(x)" P(x)= (x+3)4(x – 2)2(x2+1)6(x+7)6 Q(x)=(x+5)4(x2+1)2(x – 2)3(x+3)3 R(x)=(x+7)2(x2+1)3(x – 2)4(x+5)6

a) (x2+1)2(x – 2)2 b) (x2+1)6(x – 2)4(x+3)4(x+7)6(x+5)6 c) (x2+1)6(x – 2)2 d) (x+7)6(x+5)6(x2+1)6 e) (x+3)4(x+7)2(x+5)4

16. Si el producto de dos polinomios es: (x2 – 9)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x – 3)2, calcular su MCD. a) x2 – 6x+9 c) x – 3 e) x+3

b) x2+6x+9 d) x2 – 9

17. Si el MCD de los siguientes polinomios: P(x)=x­2+ax+6 Q(x)

=x2+bx+3

es de la forma (2x+c), halle: (a – b)c a) 4 d) – 6

b) 6 e) – 4

c) 8

19. Conociendo:

x+y+z=3



x3+y3+z3=9

Determine:

E=

1 1 1 + + 3z + xy 3x + yz 3y + zx

a) 1 d) 6

b) 2 e) 5

c) 3

20. Si:

x+y y+z ;b = ; c= z + x x–y y–z z–x xy yz + + xz 2 = 3 además: 2 2 (x–y) (y–z) (x–z) a=

Hallar: M = a2+b2+c2 a) 5 d) 7

b) 10 e) 1

c) 15

Tarea domiciliaria 1. Factorizar: F(x; y)=x3y+2x2y2+xy3+x2+2xy+y2 El factor primo que más se repite es: a) xy + 1 d) x + y

b) xy – 1 e) x – y

c) (x + y)2

2. Indique un término de un factor primo de: R(x; y)=x6+x2y2+y4+xy3 – x3y3 a) xy2 d) – x2y

Quinto UNI 14

b) – x3y e) – y3

c) y4

3. Factorizar: F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – 1)2 Un factor primo es: a) x + y d) x2 + y

b) x – y e) y – 1

c) x + 1

4. Indique la diferencia entre los dos factores primos de: H(a; b; c; d)=(a+b+c+d)2 – a2 – b2 – a(c+d) a) a – c + d c) a – 2b e) a – 2b - c - d

b) a – 2b + c – d d) a – c – d + 2b

Colegios

TRILCE

Álgebra 5. Factorizar: F(x)=x2(x2+3)2 – (3x2+1)2 La suma de factores primos lineales es: a) 4x + 1 c) 2x e) 2x – 1

b) 4x + 3 d) 2x + 3

=(2x2

6. Factorizar: F(x) – Un factor primo es:

3x)2

a) 2x – 1 c) 2x+ 5 e) 2x + 3

–

14(2x2

– 3x)+45

11. El grado del MCM de los polinomios:

A = x4+x2y2+y4



B = x4 – x3y – xy3+y4

es: a) 5 d) 7

4 2 P(x) = x 2– 10x + 169 x + 6x + 13

b) 2x – 3 d) 2x+ 1

H(x)=(2x – 1)4+3(x2 – x – 2)+5 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6



A = 3x3+x2 – 8x+4



B = 3x3+7x2 – 4

a) 9 d) 21

F(x)=

B = x2 – 15x + 36



C = x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6

x2+4x+3

+

2

1 x2+5x+6

(x–3)2+12x 2

b) 2 d) (x + 3)2

a)

(a + b + c) 2 (a–b + c) 2 b) 2bc 2bc

c)

(a + b + c) 2 (a–b + c) 2 d) bc bc

e)

(a + b + c) 2bc

c) x – 3

10. Si el producto de dos polinomios es: (x – 1) (x+1)(x+2)2(x+5) y su MCD es (x + 2); hallar la suma de los coeficientes del MCM de dichos polinomios.

Central: 619-8100

2x

1+ 1 a b + c . c1 + b2 + c2 –a2 m E= 2bc 1– 1 a b+c



b) 10 e) 0

x2+3x+2

+

14. Simplificar:

A = x2 – 9

a) – 10 d) – 36

c) 20

c) 3



b) x + 3 e) 1

1

a) 1 c) 2x + 3 e) x2 + 3x + 2

9. Hallar el MCD de:

a) x2 – 9 d) x – 4

b) 8 e) 22

13. Simplificar la expresión:

Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. b) 11 e) 1

Dar como respuesta la suma de coeficientes del numerador y del denominador.

c) 4

8. Hallar el MCD de:

a) 7 d) 5

c) 6

12. Simplificar la expresión:

7. Indique el número de factores primos de:



b) 4 e) 8

c) 36

15. Simplificar la expresión: a2 b2 c2 E= + + (a–b) (a–c) (b–c) (b–a) (c–a) (c–b) a) 1 d) a + c

b) 2 e) b + c

c) a + b + c

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Problemas resueltos 1. Determinar "x+y", si:



así sucesivamente

y x+5 +5 Cxx+ = C x +3 1 + Cx

⇒ E+1=



Resolución



+5 x+5 = Cxy+3 Cxx+ 1 + Cx 1 444 2 444 3 y +6 Cxx+ 1 = C x+ 3



0 1998

=0

\ E = –1

3. Determinar el penúltimo término en el desarrollo de: (3x2 – y3)12

Resolución

2 12–11(–y3)11 Tpenúltimo=T12=T11+1=C12 11 (3x )

⇒ x+6=y ∧ x+1+x+3=x+6 x=2 → y=8

\ x+y=10



= 12(3x2) . (–y33)



Término penúltimo = – 36x2y33

2. Calcular: –1998



1

–1997

+

+

2

–1996 3

4. Proporcionar el coeficiente del término de grado 7 en el desarrollo de: (x7+x–7)7

–1

+...+

1998



Resolución

Tk+1=C7k (x7)7–k.(x–7)k=C7k x49–14k...(1)

Sea: E=

E+

–1998 0

–1998 1

=

–1998 0

–1997

+

+

2

+

–1998 1

+

–1996 3

–1997 2

–1

+...+

+

–1996 3



1998

+...+

E+1=

E+1=

–1997 1

–1996 2

–1995 3

Quinto UNI 16

+

+

+

–1997 2

–1996 3

–1995 4

+

–1996 3

+...+

+...+

+...+

–1 1998

Ahora bien:

G.A.[T –1



1998

E+1=

Resolución



=49 – 14k=7

k+1]

42=14k k=3

\ En (1): t4=C73 x7 ⇒ Coef(T4)=C73 = 7! 4 !3 ! (7) (6) (5) (4!) = (4!) (3) (2) → Coef.(T4)=35

–1 1998

–1 1998

Colegios

TRILCE

Álgebra 5. Calcular: S=

Cn0 Cn Cn Cn Cnn + 1 + 2 + 3 + ... + 2 3 4 5 n+2

Resolución

Cn0 C1n Cn2 Cn3 Cnn + + + + ... + S= 2 3 4 5 n+2 (n+2)(n+1)S=

(n + 2) (n + 1) n (n + 2) (n + 1) n (n + 2)(n + 1) n (n 2)(n + 1) n C2 + ... + (n + 1) C C0 + 2 + C1 + 3 4 .3 2 .1 3.2 (n + 2) (n + 1) n n+2

n+2

n+2

2

1

2



(n+2)(n+1)S = C



Ahora bien:



(n+2)(n+1)S=0.C







+2 C

+ 3.C

n+2

n+2

n+2

n+2

0

1

2

+0. C

+1.C

n+2

n+2

3

4

+2. C

+3. C

n+2

+...+(n+1) C

n+2

n+2

n+2

n+2

n+2

n+2

n+2

n+2

n+2

0

1

2

3

4

n

n+1

n+2

+n. C

(n+2)(n+1)S=(n+1) C

+(n–1) C

n+2

n+2

n+2

0

1

2

2(n+2)(n+1)S=(n+1) C

+n C

+ nC

n+2

n+2

n+2

0

0

1

2(n+2)(n+2)S = C

n+2

+...+(n+1) C

+n C

+C

+(n–2) C

+(n–3) C

n+2

n+2

n

n+1

+...+n+C

n+2

n+2

2

n+1

+C

+...+ C

+n C

n+2

+C

n+2

+C

+...+C

+0. C

+

+0. C

n+2

+(n+1) C

n+2

n+2 n+2

2(n+2)(n+1)S=1+n.2n+2+1 n+1 +1 2(n+2)(n+1)S=2(n.2n+1+1) ⇒ S = n.2 (n + 2) (n + 1)

Central: 619-8100

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Problemas para la clase 1. Calcular el valor de "n":

8. Calcula r el equivalente de:

(n + 2) ! (n + 4) ! = 720 (n + 2) ! + (n + 3) ! a) 3 d) 2

b) 5 e) 4

n! (n!–3) =18 n! + 4 b) 25 e) 2

c) 3

c) 3

(24! + 1) !– ((4!) !) ! (24!–1) ! b) 24!2 e) 232!

C1n

Cn0

+

2Cn2 C1n

+

3Cn3 Cn2

+

4Cn4

b) n2 n (n + 1) d) (n+1)2 e) 2 a) n



4. Simplifique:

a) 4! d) 242!

L=

Cn3

+ ... +

nCnn

Cnn–1

c) n+1

10. Calcular el valor de "n", que verifica la igualdad:

25 19 C525 C19 9 + C6 C10

E=

c) 2n Cnp

9. Hallar el equivalente reducido de:

20 26 26 C10 C20 – C19 9 C6

b) 1 e) 6

b) 2p Cnp

n d) Cn2+ Cp2n p e)

3. Reducir:

a) 2 d) 10

–1 –2 + Cn2 Cnp–2 + ... + Cnp Cn0–p E = Cn0 Cnp + C1n Cnp–1

a) 22p Cnp

c) 1

2. En la ecuación, calcular el valor de "n":

a) 24 d) 4



c) 42!

nCn0 + C1n + nCn2 + Cn3 + nCn4 + ... + Cnn = 268 a) 36 d) 39

b) 62 e) 93

c) 63

11. Indicar el término central en el desarrollo del binomio: (x2 – 1)8 a) 35x2 d) 70x8

b) 35x4 e) 120x6

c) 70x2

12. Indicar el término independiente en la expansión de: (x5+ 1 )6 x a) 12 b) 6 c) 18 d) 8 e) 10

5. Halle el mayor valor de "x": 48 Cx48 2 = C 2x

a) 6 d) 12

b) 8 e) 4

c) 2

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

13. Sabiendo que en la expansión de: P(x)=(3x+1)n los términos de lugar sexto y séptimo tienen el mismo coeficiente, calcular la suma de todos 6. Calcular el menor valor de: (n+k) que satisfaga los coeficientes de dicha expansión. la condición: a) 1 b) 246 c) 420 n–4 Cn + Cn = 10 C9 d) 223 e) 421 6 10–k k 5 4

7. Simplificar: 5 5 6 7 8 9 10 11 e o+e o+e o+e o+e o+e o+e o+e o 2 3 4 5 2 2 2 2 11 11 10 a) e o b) e o c) e o 1 13 2 11 12 d) e o e) e o 12 9

Quinto UNI 18

14. Calcular "k" en el desarrollo de (x+1)36, si los términos de lugar (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

15. Indicar el quinto término en la expansión de (x+y)–2 2 5y 4 6x2 a) 10x b) c) y x6 y4

5x 2 d) 10x4y4 e) y2 Colegios

TRILCE

Álgebra 16. ¿Para qué valor de "n" en el desarrollo de: cx

80

n

1

n + 1m

+

x el penúltimo término es independiente? a) 5 d) 11

b) 7 e) 13

a) 1710 d) 1017

c) 9

17. ¿Cuántos términos racionales enteros existen en 5 1 50 el desarrollo de: c x + m ? x a) 5 d) 7

19. Indicar el término central en el desarrollo de: (x2n+x–2n+2)2n, si se sabe que es equivalente a: (4n) ! (12–n) ! (5n–12) !

b) 4 e) 2

c) 6

b) 1170 e) 12 870

c) 1071

20. Si: ma2b3cn, pertenece a la expansión de: P(a,b,c)=(a+b+c)7

Calcular: m+n a) 112 d) 95

b) 235 e) 212

c) 53

18. ¿Cuántos términos fraccionarios hay en el desa100 rrollo de: c2x3 + 3 m ? x a) 18 d) 25

b) 21 e) 27

c) 24

Tarea domiciliaria 1. Proporcionar el valor de "a" en:

5. Simplificar:

(a + 2) ! – (a + 1) ! 16 = 5 (a + 1) ! + a! a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4 a) 1 d) 4

2. Calcular el valor de "n"; si: n! (n! – 20) = 96 n! + 5 a) 24 d) 4

b) 5 e) 3

c) 6

b 3

a) 5 d) 8

b) 6 e) F. D.

=8

Central: 619-8100

b) 7 e) 35

c) 17

7. Indicar el equivalente de: c) 7

1 1 + 2 2 + 3 3 + ... + n n = 719 b) 5 e) 8

c) 3

Hallar: cn + 18m 2n a) 1 d) 34

4. Determinar "n" si se cumple que:

a) 4 d) 7

b) 2 e) 5

6. Siendo: c2n + 3m = c2n + 3m 13 24

3. Determinar (a + b) a partir de: a

10 11 2e o + 3e o 3 4 3 10 14 e o – 5 e o 1 2

c) 6

e

–7 –7 –7 –7 o + 3e o + 3e o + e o 3 4 5 6

a) e

–3 –4 –4 o b) e o c) e o 5 5 6

d) e

–5 –6 o e) e o 6 5

www.trilce.edu.pe 19

8. Hallar el valor de "n" a partir de: 8 8 9 10 11 e o + e o + e o + e o = e o; n > 5 2 3 4 5 n a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

n n n n e o + e o + e o + ... + e o = 45 0 1 2 n b) 6 e) 10

c) 7

10. Determinar el lugar que ocupa el término independiente en la expansión de: 3

c

a) 112 d) 115

154 x2 + 4 1 m x

b) 113 e) 117

c) 114

c) 1201

8

2 y2 e 2x + o , entonces el valor de "m+n" es: y 2x

a) 204 d) 672

b) 256 e) 704

c) 412

14. Hallar el coeficiente de "x8" en la expansión de:

(1+x2+x4)8 b) 232 e) 418

c) 266

15. Hallar el coeficiente del término que tiene la forma "x5" en el desarrollo del polinomio: (1 - x+2x2)9 a) -2138 d) -2141

b) -2139 e) -2142

c) -2140

Determinar el valor de "nq". a) 18 d) 28

Quinto UNI 20

b) 1200 e) 1350

13. Si: mxay; nx10y-b; son términos de la expansión de:

a) 182 d) 320

11. Si (x13yzq) es un término en el desarrollo del binomio: 1 n 3 2 cx yz + 2 3 m xy z

término. a) 1001 d) 1280

9. Calcular "n" si:

a) 5 d) 8

12. Si se sabe que "n" es par y es el menor valor n posible tal que la expansión de: c5 x + 1 m x posee un término independiente, calcular dicho

b) 21 e) 35

c) 24

Colegios

TRILCE

Problemas para la clase 8. Factorizar: (x3+1+y3 – 3xy) , indicando uno de sus factores primos.

2 2 1. Si se cumple: a – b =3(a–b) b a (a 4 + b 4) (a3 + b3) Calcular: a7 + b7

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) x+1 d) x2 – x+y c) 3

M =

(a–2b) 2 (2b–3c) 2 (3c–a) 2 + + ab bc ac

a) 6 d) 18 3. Si se cumple: a) 2 d) 3

b) – 36 e) 24 x2+x+1=0; b) 1 e) – 10

c) – 40 hallar:

4. Si: (x24+ax+b), es divisible por (x – 1)2; calcular "b – a" a) 47 d) 44

b) 46 e) 43

a) a+b+c b) 1 c) 0 d) 2(a+b+c) e) – (a+b+c) 10. Dada la relación: c

c) 45



10

cx

b) – x e) 0

c) 2x

a) 6x5 d) 6x2

a) 160 d) 82 13. Reducir:

a) 3a+2b – c+5 c) a+b – c – 2 e) 3b+2a – c+5



b) a+b – c d) 3a – 2b+c+7

7. Factorizar: M(x,y,z)=(x+y+1)(y+x – 1)+(x+1)(1 – x)

Central: 619-8100

b) y(x – y) e) x+y

c) 60

6 + 1m x

b) 5x6 e) 10x

c) 5x

12. Indicar el coeficiente de x7y2 en la expansión de: (2x2+xy – y2)4(x+y)

e indicar un factor primo.

a) 2y(x+y) d) y(2x+y)

b) 40 e) 80

11. Indicar el penúltimo término en la expansión de:

6. Factorizar: N(a,b,c)=(3a+2b–c)2–6a–4b+2c–35

13–y 10 x–4 Cx + 3 m C y–3 = c m 7 y–2 8

Hallar "x.y" a) 7 d) 70

5. Al dividir "P(x)" entre (x3+3x2+3x+1), se obtiene como residuo: (x2+x+1); calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x+1)2. a) x d) – 2x

1 1 1 + + (a–b) (a–c) (b–a) (b–c) (c–a) (c–b)

x31+x–10

c) – 1

c) x2 – xy+y2

9. Efectuar: A=

2. Si: a+4b+9c=0, reducir:

b) y2 – 3x e) x+y+1

b) – 36 e) 102

c) 24

(2n + 1) ! - 3 (2n) ! + (2n - 1) ! (2n - 1) 3 (n - 1) (2n - 3) ! a) 1

b) 2

d) 1 2

e) 4

c) 3

c) y(x+2y)

www.trilce.edu.pe 21

14. Calcular el valor de "n", en: n-1

n+1

C3 + C3 a) 10 d) 13 15. Si:



n

+ 4C3 = 1331

b) 11 e) 14 x+2 Cy + 1

-

a) 62 d) 48

c) 12

b) 70 e) 90

c) 54

19. En el desarrollo de:

x+1 Cy =

80 C15

1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+... + (1+x)n

Indicar el coeficiente de: xp

x-8

Calcular: C5y

n+1

n

a) 35

b) 69

d) 31

e) 71

n+1

d) Cp

50 50 50 50 C 49 + 2C 48 + 3C 47 + ... + 50C0

a) 250(5) d) 251.(50)

b) 250(50) e) 250(25)

n+2

a) Cp b) Cp + 1 c) Cp + 2

c) 28

16. Calcular:

18. Si el término central del desarrollo de (xa+xb)c es: 924x120y180; calcular: a+b+c

n

e) Cp - 1

20. Calcular el término independiente en el desarrollo de: (x+1+x-1)8 a) 1218 d) 1208

c) 249 49

b) 1118 e) 1120

c) 1107

17. En la expansión del binomio: 3

c



56

x + 31 m x

¿qué lugar ocupa el término independiente? a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27

Tarea domiciliaria 1. Indicar un término de un factor primo de:

4. Indique un factor primo de:

H(a,b,c)=(a+b)(a2+b2+c2)+2c(a2+ab+b2)

H(x)=x4 – 4x5 – (x6 – 1)2

a) c2 d) ac

c) a2b2

b) ab e) abc

a) 4a

b) 4(a+b)

c) 2(a+b+c+d)

d) 2(a+d)

e) 4(a+d) 3. Factorizar: F(x; y)=x2(x+y)2 – 8xy2(x+y)+12y4

c) x6 – x3+x2+1

d) x6+x3+2x2+1

5. Al factorizar: P(a,b,c)=2 [(a+b)2+c2]+4c(a+b)–5(a+b+c)+2

e indicar un factor primo. a) a+b+c

b) a+b+c – 1

c) a+b+c – 2

d) a+b+c+2

e) a+b+c+1

La suma de sus factores primos es: a) 2x+y d) 4x+2y

Quinto UNI 22

b) x3 – x – 1

e) 2x6+x3+x2+1

2. Indique la suma de factores primos de: B(a, b, c, d)=(a+b)2 [(a+b)2 – c2 – d2]+(cd)2

a) x3+x+1

b) 3x+y e) 2x+3y

c) 3x+3y

Colegios

TRILCE

Álgebra 6. Si: x – y=2;entonces calcular el valor de "E": 1 y–x 3x+xy – y – – E= 2 2 2 2 x – xy+y x –y x3+y3 a) 0 d) x

b) 1 e) x – y

c) – 1

b) x4 – 1

c) x6+x4+x2+1

d) x4+x2+1

a) 3 d) 8



x+1 x – 1 – x – 1 x+1 A= x – 1 x+1 + x+1 x – 1 B=

x x2+1 2x : 2 2 2a – 2b a – b

x–1 1 a) x – b) 2 2

c) x+

1 2

Central: 619-8100

c) 5

b) – 4 e) – 6

x!+2(x – 1)! =x! – 23 x!+(x+1)!

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

c) 0

b) 7 e) 6

c) 8

14. Si el desarrollo de (x2+y+z3)n tiene un término de la forma: x10y8z6, hallar "n". a) 15 d) 16

e) x – 1

Hallar "A+B" a) 4 d) 6

b) 4 e) 9

a) 5 d) 9

9. Si: 3x3+12x2+15x – 2 Ax – 1 x+B = + 2 3 2 x +5x +9x+5 x+1 x +4x+5

c) x – 3

13. Resolver: (x!)2 2x+1 17 = C 9 (2x)! x+1

x–1 2 x+2 – x +2 x– x–2 x+1

d) x+1

b) x – 2 e) x2+1

12. Resolver:

8. Calcular "A+B"



C(x)=x4+x3 – x2 – x

(30a!.24a!)a+1 = ((b!)!)720

e) x6+1



B(x)=2x3+2x2 – 2x – 2

11. Calcular "a+b", si:

es igual a: a) x6 – 1

A(x)=5x3 – 5x2+2x – 2

a) x2 – 1 d) x – 1

7. La expresión: x10+x8+x6+x4+x2+1 x4+x2+1

10. Hallar el MCD de:

b) 4 e) 12

c) 8

15. Proporcione el término central del desarrollo de (x–2+yn)2n, sabiendo que es de grado "n". a) 10x–6y9 d) 30x–6y5

b) 20x–6y9 e) 10x–6y4

c) 11x–9y6

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Problemas resueltos 1. Indicar el radical doble equivalente a: 4 + 15 + 5, 5 + 30 – 1, 5

3. Sea: T=

Transformar a radicales simples.

Sea:



Resolución

E= 4 + 15 + 5, 5 + 30 – 1, 5

T= ( 2 –1) (112 + 80 2 ) – ( 2 –1) (68 + 52 2 )

Resolución





2E =



2E = 5 + 3 + 6 + 5– 3

T= 48 + 2 162 .2 –



2E = 6 + 2 5

T= 48 + 12 32 (16) –



2E = 3 2 + 2 2 5

T= 32 + 16 – ^ 32 + 4 h

8 + 2 15 + 11 + 2 30 – 3 1 44 4 2 44 4 3 1 444 2 444 3

E = 3 + 10 ⇒ E =



13 + 2 30

2. Si: xk – xk–1 = 5; "k = 1; 2; ..., n; xk > 0 y:

xm –

E=

1 x1 + x0

+



Resolución

E=

x1 – x0 + x1 – x 0

E=

T= 48 + 32 2 – 36 + 16 2

xm – x0 = 5

xm – xm–1 x3 – x2 +...+ xm – xm–1 x3 – x 2

500 = 10 5 5 5

x +2

Sea:





4

x +2

x–

4

x –6

(4 x

– 3)

(4 x ↓

+2)

E=

E=2 5

Quinto UNI

4

Resolución

E= x2 – x1 + x2 – x 1

36 + 2 32 (4)

; indicar luego el térmix – 4 x –6 no independiente de "x" en el denominador.

4. Racionalizar:

1 1 1 + +...+ xm + xm–1 x2 + x1 x3 + x2

36 + 2 82 .2

T=4 – 2 T=2

x0 = 500

Calcular:

24

2 –1 " 112 + 80 2 – 68 + 52 2 ,

=

( 4 x + 2) 4

4

( x + 2) ( x –3)

=

1 4

x –3

1. ( 4 x +3) = ( 4 x +3) ( x +9) = ( 4 x +3) ( x +9) x – 81 ( 4 x –3) ( 4 x +3) ( x –9) ( x +9)

\ Término independiente del denominador = – 81

Colegios

TRILCE

Álgebra 5. Si: x ∈ 〈3; 5〉; simplificar: 1

E= >

x + 3 + 2 x–1 2



Resolución

•

x+3 + 2 x–1 = 2

+

(1) y (2) en "E": 1 . (5–x) x + 3 –2 x–1 H 2

x + 3 + 2 4 (x–1) = 2

4+

•

x–1 2

.... (1)

x + 3–2 4 (x–1) 2– x–1 = 2 2

x + 3 –2 x–1 = 2





2 2 + o . (5 – x) 2 + x–1 2 – x – 1



E=e



E=

2 (2– x–1 + 2 + x–1) (5–x) 22 – (x–1)



E=

2 (4) (5–x) (5–x)



\ E=4 2

.... (2)

Problemas para la clase 1. Efectuar:

P=

6. Calcular: 3

a) 1 d) 4

16 + 252 + 32– 700 b) 2 e) 0

c) 3

2. Sabiendo que: 30 a) x + y + z b) 2x c) 2y e) – 2z d) 2z

1 12 – 143

–

2

–

9 + 77

b) 0 e) 3

3

a) 1 d) 4008

10 – 91

c) 2

P= 6 + 24 + 12 + 8 3 + 2 b) 3 + 2 + +1 d) 3 2 3 + 2 –1 3 – 2 –1

c) 3

18. Indicar el denominador racionalizado de: 236 2005 – 236 2003

b) 2 e) 8016

c) 236

19. Indicar el denominador racionalizado de: 2004 C= 2004 2004 236 + 230

14. Transformar a radicales simples:

a) c) e)

b) 2 e) 5

T=236

13. Calcular:

a) 1 d) 4

entonces la expresión racionalizada es: b) ( 15 + 18 - 30 )/18 c) ( 12 - 18 + 30 )/12

12. Reducir:

S= 2

1 2+ 3+ 5

a) ( 12 + 18 - 30 )/12

4x2 –1

b) 0 e) 3x





2x + 1– 2x–1 2 2x +

a) 1 d) 5x

3x + 1– 3x–1 + 2 3x + 9x2 –1

16. Sea: E=

a) 236 d) 3

b) 2004 e) 1

c) 6

20. Transformar a radicales simples: (1+ 236)+(2+ 236)+(3+ 236)+...+(236+ 236)

e indicar uno de sus términos. a) 236 b) c) 1 118 d) 2 e) 59

15. Transformar a radicales simples: M= 13 + 40 – 120 – 48 a)

2 + 5 – 6 b)

2 + 5 + 6

c)

2 – 5 – 6 d) 5 – 2 – 6

e)

6– 5– 2

Tarea domiciliaria 1. Efectuar: M = 11 - 2 24 + 5 + 2 6 7 - 2 10 + 13 - 2 40



a) 1 b) 2 d) 2 e) 3 Quinto UNI 26

2. Reducir:

c) 3



E=

13 + 4 4 - 2 6 - 2 5 - 5

a) 1 b) 2 d) 2 e) 5

c) 3

Colegios

TRILCE

Álgebra 10. Efectuar:

3. Transformar a radicales simples. L=



4

89 + 28 10

a) 5 + 3 b) 5 +1 c) 5 - 3 d) 5 + 2 e) 3 + 2

x + 14 + 8 x - 2 + x + 2 - 4 x - 2



G=



Siendo: 20 ∧ x2>0



Usando: (x1+x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1x2) (5m – 1)2 – (5)2 = 4(10m)



De aquí: 25m2 – 50m – 24 = 0



(5m – 12= (5m+2)=0

⇒ 5m = 12 ∨ 5m = – 2

↓

3. Halle las raíces irracionales de la ecuación: 8(x – 3)4 – 38(x – 3)2+9=0 y dar como respuesta la suma de ellas.

Resolución



8 (x – 3)4 – 38(x – 3)2 + 9 = 0 [4(x – 3)2

– 1]



[2(x – 3)2

– 9]



[4(x – 3)2 – 1] [ 2 (x – 3) 2 – 9 ] = 0 144 4244 3 (a)

De(α):

2x2 – 12x+9=0 → Discriminante: D = 72>0

→ {x1; x2} ∈ '

\ x1+x2=6

4. Determinar el valor del parámetro a ∈ que las ecuaciones: x2+x+a=0 y x2+ax+1=0 tenga exactamente una raíz común.

Resolución



Si la raíz común es: a

⇒ )

, para

a2 + a + a = 0...... (1) a2 + aa + 1 = 0.... (2)

(1) – (2): a(1 – a) + (a –1) =0 (1 – a) (a – 1)=0 De aquí: a ≠ 1 ∧ a – 1 = 0 → a = 1 En (1): 1 + 1 + a = 0 a=–2 Observación: Si: a=1 → Las ecuaciones serían las mismas.

¡Se obtiene: x1+x2 0 2 2 E= a + ab + b H ab–1

3ab ab–1



⇒E≥



Ahora bien: sea:



E = 2x + 33 ... (1) x Particionando primer sumando: 2x + 2x + 2x + 3 3 3 3 x3 H 4



E H 4 E H 4

4

4

c

2x 2x 2x 3 mc mc mc 3 m 3 3 3 x

8 9 4

8 = 4 8 ( 9) 9 3

E H 4 72 3

Quinto UNI 36

4

4

4 4 72 → Emín= 3

ab–1=m > 0 ab = m2+1

2. Si: x>0, indicar el mínimo valor que puede adoptar "E", si: E = 2x+ 33 x Resolución

3ab ab–1

3 (m2 + 1) m



⇒E≥



⇒ E ≥m+ 1 ≥2 3 m

\ Por transitividad: E ≥ 2 3 →E≥6



\Emín=6





∧ M = c 1 + 1 m (a + b) a b Indicar el menor valor entero de "M", si: a ≠ b



Resolución

4. Si: {a; b} ∈

+

M.A. ≥ M.G. ≥ M.H.

La igualdad se cumplirá si los valores son iguales: M.A. > M.G. > M.H.



⇒ a+b > 2



a+b > 2 2 1+ 1 a b

ab >

2 ; a ≠ b 1+ 1 a b

Colegios

TRILCE

Álgebra (a+b) c 1 + 1 m > 4 ⇒ M > 4 a b \ Mmín∈

=5

⇒ (3x+4y)2 ≤ (32+42) (x2+y2) (3x+4y)2

3



⇒

≤ 25 3

5. Si: x2+y2= 3 ; indicar la variación de:



⇒|3x+4y| ≤ 5 4 3

E(x;y) = 3x+4y



⇒ – 5 4 3 ≤ 3x+4y ≤ 5 4 3



Resolución



\ E(x;y) ∈ [– 5 4 3 ; 5 4 3 ]



Aplicamos la desigualdad de Cauchy:

(ax+by)2 ≤ (a2+b2)(x2+y2); siendo: a=3 ∧ b=4

Problemas para la clase 1. ¿Cuál o cuáles de las proposiciones no es un axioma de los números reales? I. " a, b∈ : a.b=b.a II. " a ∈ : a.0=0.a=0 III. " a ∈ : $!1∈ / a.1=a a) Solo I d) Solo III

b) I ∧ II e) II ∧ III

c) 2 2

3. Si: (x+1)∈[5; 9〉; ¿cuál es el intervalo al cual pertenece: x + 2 ? x–2 a) [ 2 ; 3〉 3 d) 〈 4 ; 3] 3

b) 〈 2 ; 3] 3 5 e) 〈 ; 3] 3

4. Si: g=x2 – 10x+26; x ∈

c) 〈 2 ; 3〉 3

; lo correcto es:

a) 0 ≤ g ≤ 1 b) g ≥ 0 d) g ≥ 1 e) g ≥ –1

c) 2 ≤ g ≤ 4

5. Si: x, y ∧ z ∈ + / x ≠ y ≠ z, determinar el menor valor entero que puede asumir la expresión: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz a) 1 3 d) 1

b) 3

c) 2



y2 + z2 x2 + y2 x2 + z2 + + xy xz yz

es posible afirmar que: a) g ≥ 6 b) g ≥ 1 c) g ≥ 12 3 g≥3 d) g ≥ 4 e) 3

8. Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. x2 =x; " x ∈

................................. ( )

, $x–2∈

.................................... ( )

II. "x∈

III. "a ∧ b∈Q', $(a.b)∈Q' ......................... ( ) a) V V V d) F F V

b) V F F e) F V V

c) 6

e) 2

c) F F F

9. Hallar la suma de todos los valores enteros que puede asumir: 3x–5 , si: x∈〈–1; 1] x–2 a) 1 d) 4

b) 0 e) 6

c) 2

10. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si: x, y, z ∈

6. Sean "m" y "n" números reales positivos, tal que: m.n=1; ¿qué valor no puede asumir: m+n?

Central: 619-8100

g=

c) Solo II

b) 4 2 e) 2

b) 5 e) 1

7. Siendo "x", "y" ∧ "z" reales positivos, tal que:

2. Si: x ∈ +, ¿qué valor puede adoptar la expre2 sión: x + 2x + 9 ? x+1 a) 2 d) 4

a) 3 d) 4

, entonces:

x2+y2+z2 ≥ xy+xz+yz II. Si: a, b∈

+∧

a ≠ b, entonces: a+b>2 ab

III. Si: y>x>0, entonces: x< xy a) F V F d) V V V

b) V F F e) F F V

c) F F F

www.trilce.edu.pe 37

11. Determinar el mínimo valor de "F(x)", siendo: F(x) =

x (x + 5 5 ) + 5 (x + 5 ) ; x∈ x

a) 2 d) 2 2

b) 5 e) 3 5

c) 8 5

x + 10x + 61 3x + 15 b) [1; +∞〉 e) [2; +∞〉

entonces "MN" resulta:

II. a3>b3

III. b–1>a–1



Son verdaderas: a) I ∧ III d) Solo II



x ≠ y ≠ z, la expresión:

(x + y) (x + z) (y + z) , siempre es: xyz a) No mayor que 7 c) Menor que 7 e) No mayor que 8

b) I ∧ II e) Todas

c) II ∧ III

18. Si "S" es la suma de "n" cantidades positivas a,b,c, ..., entonces: resulta:

2 c) 1 a) 1 b) 2 3 3 1 d) 1 e) 6 4 +/

c) 5

17. Si: 0>a>b, de las proposiciones:

c) [4; +∞〉

13. Sean: a, b ∈ +, tal que: a+b=1 Si: 2 2 M ≤ a + b b2

2



a) 3 d) 6

+

12. Si: x ∈ +; determinar el intervalo de la siguiente expresión:

a) [5; +∞〉 d) [3; +∞〉

¿Cuál es el máximo valor que asume "g"?

E= S + S + S + ... S-a S-b S-c

a) E ≥ n2

2 b) E ≥ n_ n 1

2 d) E ≥ n n+1

e) E ≥ n2–1

c) E ≥

n n +1

19. Si: "x", "y", "z" ∧ w∈ +, determinar el máximo valor de "g" a partir de: x4 + y4 + z4 + w4 Hg xyzw

b) Igual que 8 d) Mayor que 8

a) 1 d) 2

b) 2 e) 8

c) 4

15. Si: x, y ∧ z ∈ +/ x ≠ y ≠ z, ¿cuál es el menor valor entero que puede asumir:

20. Si: a ab ⇒ x < 1 b) (a – b)x > b – a ⇒ x > – 1 c) (b – a)x > a – b ⇒ x > – 1 d) (a+b)x > (a+b) ⇒ x > 1 e) (– a – b)x > (a+b) ⇒ x< – 1 8. Sea: a0. Determinar el menor valor de "k", tal que: (a + b) 3 # k; k ∈ a3 + b3 b) 3 e) 6

c) 4

9. De los siguientes enunciados: a > b > 0 I. (a+b)x > a2 – b2 → x > a – b II. (a+b)x > (a+b)2 → x < a+b III. (a – b)x < b – a → x >1 IV. (b – a)x > a – b → x < – 1 V.

b) K ≥ 36 e) K ≥ 48 +

c) K ≥ 24

, además:

(a + b + c) (a2 + b2 + c2) abc b) K ≤ 2 e) K ≤ 20

c) K ≥ 1

x–y y–x x–y b2 ⇔ a>b

a) 2 d) 5

K=



+; a + b > 2ab

b) F F F F e) F V V F

c) 3

12. Si "x" e "y" son números enteros positivos, tal que: x > y, entonces el valor de verdad de las proposiciones siguientes es:

6. Indicar el valor de verdad:

a) V F V V d) V V V V

b) 2 e) 5

10. Si: a;b;c ∈ + además: a+b+c=6 K=a3+b3+c3 entonces:

c) 16

+, señale

III. Si: a ≠ b ∧ {a; b} ⊂

a) 1 d) 4

c) 2 5

2 4. Si: x + 20 ≥ M; hallar el máximo valor de "M". x2 + 4

¿Cuántos son verdaderos?

b) F V F e) F F F

c) V V F

13. Si: x∈ , hallar el valor máximo de: E= 2 x + 2 2x + 3x + 6 1 c) 2 a) 1 b) 2 3 5 3 d) 3 e) 4 2 14. Si: F(x)=ax2+bx+c, x∈ ; F(x) ≥ 0

hallar el mínimo valor positivo de:

A= a + b + c b - a 5 c) a) 2 b) 3 2 d) 7 e) 4 2 15. Sean "a", "b" y "c" números no negativos, tales que: a+b+c=1. Hallar el máximo valor del producto: P=a5b3c2, indicando la suma de cifras de 108p. a) 12 d) 18

b) 13 e) 20

c) 14

x < a2+ab+b2 → x (1, 5) x–1 2 [ 2–x ]] c 2 m G (0, 6) x–6 3 \

3. Resolver: |ax+b| < |bx+a|, si: a>b>0

Resolución



|ax+b| < |bx+a|

(ax+b)2 < (bx+a)2 (ax+b)2 – (bx+a)2 < 0



Resolución



(ax+b+bx+a)(ax+b–bx–a) < 0



El sistema es equivalente a:



[(a+b)x+(a+b)] [(a – b)x – (a – b)] < 0



(a+b)(a – b) (x+1)(x – 1) < 0 SS (+) (+) ⇒ (x+1)(x – 1) < 0

'3x + 5> x – 1 2– x H x –6 'x > – 3 – 2x H – 8



'x > – 3 x G 4

4. Resolver: x2+x+|2x+1|≤ 1

⇒ – 3 < x ≤ 4

\x ∈ 〈 –3; 4 ]

⇒ C.S. = 〈– 1; 1〉



Resolución



Analizamos dos casos:

i) Si: 2x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1 ... (a) 2 En la inecuación:

2. Resolver el sistema: Z 5 1 ] 2 c 2x – 2 m – 3 c x + 3 m G 3 – x [ ] – x + 7x–6 1

x+3 +1 2

x+3+2 2

x+3+1



Elevando al cuadrado: x – 3 ≤



i) Si: x – 3< 0 ⇒ x < 3 \ x={1; 2} ... (1)



ii) Si: x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 ⇒ x2 – 6x+9 ≤ x+3

x+3

⇒ (x – 6)(x – 1) ≤ 0 \ x={3; 4; 5; 6}...(2) De (1) y (2): C.S.={1; 2; 3; 4; 5; 6} 4. Resolver:

Luego:

+



Resolución

Si:

–

– 5x – 6) > 0

\ C.S. = 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈– 1; 1〉 ∪ 〈 2; 6〉

2. Resolver:

–1

– 4)(1 –

x+3 + 1 4

x2+x+1>0



–

≤ (x+1)

x+1

(x2+x+1)27



3x – 2 + 1

3

x3 – 7 < x – 1

Resolución 3

3

x3 – 7 < (x – 1)3

x3 – 7 < x3 – 3x2+3x – 1 3x2 – 3x – 6 < 0 x2 – x – 2 < 0

(x – 2) (x+1) < 0 ⇒ x ∈ 〈–1; 2〉

2 x ∈ ; π –5 ; 4E 4

Quinto UNI 44

Colegios

TRILCE

Álgebra

2 <

4x + 5y – 1 5



Resolución



De la condición alterna: x+7>0 y>5

(+)



\La inecuación es equivalente a:



2x+2y+40 ∧ y>0 → x+y ≤ 2



Si: x=1 → y=4



ii) x0 → – x+y ≤ 2

x → 2 ; y → 7



iii) x0 ⇒ x>0; la región estará en el primer cuadrante y las rectas fronteras serán: y=2x ∧ y=3x

4. Indicar el área de la región triangular encerrada por las siguientes relaciones: y ≥|x| ∧ y ≤ 5

Resolución



Graficando las líneas fronteras: y =|x| ∧ y=5 y y=|x| 10 5 y=5 5 x –5 5



\ Área =

Graficando: y y= 3x

S

x =2

y

Central: 619-8100

x (10) (5) =25 u2 2

www.trilce.edu.pe 49

⇒ x∈〈–5; –1〉; pero no hay restricciones para "y"

5. Graficar la región: M={(x; y) ∈

2

/|x+3|< 2}

• Graficando: y



Resolución



Resolvemos la inecuación en "x"

|x+3|

(b – d) n (a + c) m

c) x <

(b – d) n (a + c) m

d) x >

(b – d) n (a + c) m

e) x <

(b – d) m (a + c) n

x2+y2 ≥ 9 ... (2) 2 7 (4 – p) a) 9 (4 – p) u2 b) 2 2 5 25 (4 – p) c) (4 – p) d) 2 2 e) 9 (2 – p) 2 8. La longitud del intervalo al cual pertenece "x" para verificar: |x – 3| + |x+2| ≤ |x+4| , es:

2. Resolver: x4 < 2x2 + 8 a) x ∈ c) x ∈ 〈– 4; 4〉 e) x ∈ 〈– 3; 3〉

b) x ∈ 〈– 1; 1〉 d) x ∈ 〈– 2; 2〉

3. Si: A ≥ 8x – 4x2+3; se verifica: " x ∈ el menor valor de "A". a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

5. Resolver: |x – 1|= x2 – x – 1 b) {– 2 ; 2} c) {–2; 2} a) { 2 ; 2} d) { 2 ; – 2 } e) {2; –2; 2 ; – 2 } 6. Resolver: |2x – 6| – |x – 2| ≤ |2x – 4| – |x – 3| c) [ 5 ; +∞〉 2

c) 5

x 2 + 4x – 5 ≤ 0 x 2 – 4x – 5 a) 〈–1; +∞〉 b) 〈–1; 5〉

,

c)

d) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉

e) [–5; –1〉 ∪ [1; 5〉 10. Luego de resolver la inecuación: x2 + 5x – 10 > 1 x 2 + 2x – 8 indicar el menor valor entero de "x". a) – 4 d) 1

b) – 3 e) 2

c) – 2

11. Resolver la inecuación: x + 1< 3 – x

Para luego indicar la cantidad de valores enteros que asume "x". a) Ninguno d) 3

Central: 619-8100

b) 4 e) 7

9. Resolver:

c) 5

a) 〈2; 5〉 b) 〈– 2; 2〉 c) 〈– 2; 0〉 d) 〈– 1; 1〉 e) 〈– 1; 2〉

b) [2; +∞〉 e) 〈– ∞; 6]

a) 3 u d) 6

, indicar

2 4. Si: – 3 < x 2+ ax–2 < 2; se verifica: " x ∈ x –x + 1 ¿entre qué valores está "a"?

a) [3; +∞〉 d) 〈– ∞; 5]

7. Calcular el área de la región limitada por las inecuaciones: |x|+|y|≤ 3 ... (1)

b) 1 e) 4

c) 2

www.trilce.edu.pe 75

12. Resolver: 3

e) y

x3 – 7 < x – 1

a) 〈– 1; 1〉 b) 〈0; 2〉 c) 〈– 1; 2〉 d) 〈– 2; 3〉 e) 〈0; 1〉 13. Halle la figura que mejor representa al conjunx–y to: A = {(x; y) ∈ 2 / > 0} y a)

15. Graficar la región definida por el conjunto: A={(x; y) ∈

b) y

y

a)

/ x2+y2 ≤ 4y+16 ∧ x2+2 ≤ y} b) y

y

x



c)

×

x

x

x



c)

x d) y

y

d) y

y

x

x

x

e) y

x

e) y

x



16. Sean "A" y "B" dos conjuntos determinados por:



14. Se definen los conjuntos:

/ y ≤ 2x2+3} 2 / y ≥ – 4 x+4} 5 Halle la gráfica de: (A – B) ∪ (B – A) A = {(x; y) ∈ B = {(x; y) ∈

a)





x

2



A = {(x; y) ∈

2

/ x2 + y2 – 2y < 4}



B = {(x; y) ∈

2

/ xy < x + 1}



Halle gráficamente el conjunto: A ∩ B a)

b) y

y

b) y

y

x

(0; 1)

x

c)

x y

x d) y

c)

d) y

y

x

(0; 1)

x Quinto UNI 76

x







x Colegios

TRILCE

Álgebra c)

e) y

d) y

y

2

1

x

–1

17. Determinar el valor de "m", si las gráficas de las funciones "F" y "H", se muestran a continuación: y 2 y=F(x)= x 8

–1

e) y 1

c) 3

20. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función: y = f(x) y f 1

y –1

2 1

m 3 n



x

a)

Determine el valor de "n – m" 2 b) 3 c) 2 3 5 d) 3 e) 4 4

19. Si la gráfica de "f" es: y

b) y

y

2

x

1

1



–1

Central: 619-8100



–1

1

x

d) y

1

x

–1

1 1

x

e) y 1 –2 –1

1 2

x



–1

x

x

y

–1 0

b) y

1

c)

1 1

1

y –1

–1

1

Determine la gráfica de: g(x) = – f(1 – x) + 1 a)

1

2

1

x

1

Entonces la figura que mejor representa la gráfica de: g(x) = f(1 - |x|), es:

a) 1



x

1

18. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función: F(x) = a |x+b|+c 5

x



x y=H(x)=–x–m b) 2 e) F.D.

1



–1

a) 1 d) 4

–1

x

1

–1

1

x

www.trilce.edu.pe 77

Tarea domiciliaria 1. Encontrar la función lineal "f" tal que:

y

f(2)=3 ∧ f(3)=2f(4) a) f(x)= – 2x+1

b) f(x)=–x+4

c) f(x)=–x+5

d) f(x)=–3x–4

F(x)

(a;b) G(x)

e) f(x)=–x 2. Sea "f(x)" una función lineal, tal que: f(x+2)=3x+11. Halle la abscisa del punto de ordenada 50 de "f(x)". a) 13 d) 15

b) 1 e) 6

c) 8

a) 8 d) – 24

b) – 9 e) 10

b) 2 e) 18

c) 15

8. El área de la figura sombreada es de "a" m2. Calcular el valor de "a". y

3. Hallar el área que limita los ejes coordenados y 2 la recta: y = – x+2 3 a) 3 m2 d) 12

x

2 F(x)=5 – x 2

–a

c) 6

a

x

4. Hallar el área de la región formada por: f(x)=7; g(x)=3x – 2, y el eje "y". a) 9 m2

b) 3

c)

27 2

9 27 d) e) 2 4

a) 3 b) 5 3 5 d) e) 2 2

9. Si “F(x)” es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5; G(2)) donde: G(x)=4x+2, hallar el punto de intersección de "F(x)" y "G(x)".

5. Dada la función: F(x)=ax2+bx+c, si se sabe que: F(1)=F(3)=0; F(0)=–6. Calcular "a–b+c" a) – 4 d) – 16

b) – 8 e) – 20

c) – 12

a) (3; 5) d) (9; 15)

6. Calcular el valor o los valores reales de "m" de modo que – 4 sea el mínimo valor de la función: f(x)=x2+mx – (m+1) b) 4 c) – 6 e) – 6 ≤ m ≤ 2

Donde: F(x)=x2+2x – 3 G(x)=x2 – 10x+21



Calcular "ab"

a) 39 d) – 9

c) 8

b) 48 e) 52

c) 23

12. Sea la función: F:

∈

/ F(x) = x2 + bx + c

F = {(0; 3), (1; 5), (3; a)}

Halle: a+b+c a) 12 d) 18

78

b) 16 e) 20

11. Sea "f(x)" una función lineal tal que: f(5)=3; f(3)=15. Calcular: f(7)



Quinto UNI

c) (–7; –26)

y = – 2x+3; y = –5; x=0 (eje "y")

a) 32 m2 d) 4

7. Del gráfico:

b) (7; 16) e) (6; 13)

10. Halle el área de la región formada por:

a) 6 d) – 6 ó 2

c) 4

b) 15 e) 20

c) 19

Colegios

TRILCE

Álgebra 13. ¿Para qué valores de "n" la función: F(x)=x2+6x – n; no tiene interceptos con el eje "x"?

15. Hallar el valor de "m" si la gráfica de: F(x)=(4 – m)x2+2mx+2; m 3 x + 1; x > 4 Indicar la suma de los elementos del rango de (F+G) Resolución Resolución (F+G)(x)=F(x)+G(x)= )x + 1 + x 1 ; x < 1 x - 1 + x + 1; x > 4 Dom(F+G)=DomF∩DomG=〈-2; 5〉∩{1; 2; 3; 0}

G(x)={(1; 3),(2; 7),(3; 9),(7; 12),(0; 10)}

Dom(F+G)={0; 1; 2; 3} •

(F+G)(x)=F(x)+G(x)



• (F+G)(0)=F(0)+G(0)=3+10=13

4. Dada las funciones:

• (F+G)(1)=F(1)+G(1)=5+3=8



F={(2; 4), (3; 2), (1; –2), (–1; 5), (–2; 3)}

• (F+G)(2)=F(2)+G(2)=7+7=14



G={(–1; 2), (0; 3), (2; –3), (3; 1), (6; –1)}

• (F+G)(3)=F(3)+G(3)=9+9=18



Determinar: GoF



Resolución

\Suma de elementos del rango=13+8+14+18=53 2. Si "F" y "G" son dos funciones definidas por:

(GoF)(x)=G[F

F(x)= – x; x ∈ ;0 ; 5 E 4 G(x) = – 1 ; x ∈ ; 1 ; 3 E x 8 2 Indicar la longitud de la gráfica de la función: (F.G)(x)

(x)]

⇒ Graficamos sagitalmente: F

G

2

4

3

2

(F.G)(x)=F(x).G(x) ∧ Dom(F.G)=DomF∩DomG

1

-2

(F.G)(x)=(– x)(– 1 ) ∧ Dom(F.G)= ;0 ; 5 E + ; 1 ; 3 E x 8 2 4 1 5 (F.G)(x)=1 ∧ Dom(F.G)= ; ; E 8 4

-1

5

-2

3



Resolución

\ La gráfica es un segmento de recta horizontal de longitud: 5 - 1 = 9 u 4 8 8

Quinto UNI 80

\ (F+G)(x)=2x; x4

-3

1

Solo hay concatenación en dos valores: \ (GoF)(x)={(3; –3), (–2; 1)}

Colegios

TRILCE

Álgebra ⇒(FoG)(x)=9x2 – 24x+18;

5. Sean las funciones: G(x)=5 – 3x ; x ∈ [1; 4]

⇒(FoG)(x)=(3x – 4)2+2; 1 ≤ x < 8 ... (1) 3 Ahora bien:



Hallar el rango de "FoG".

3 ≤ 3xc 2x – 1m x→3 x+2

H

c) e–3

e b) e c) e 3 2 e e) e d) e e

a) e

Tarea domiciliaria 3. Calcular:

1. Calcular: x2 – 1 Lim c m 3 x→–1 x + x2 + x + 1

a) 0 d) – 2

b) – 1 e) 3

Lim x→0 c) 1



f

4 d) 5

4 3 2 Lim e x –4 11x 3+ 42x –2 68x + 40 o x→+2 2x –13x + 30x –28x + 8

4. Calcular:

Central: 619-8100

b) –1 e) +2

c) +1

1 + 2x – (1 – x) 1

1 5

(1 – 3x)4 – 3 1 + x

p

1 a) – 1 b) 5 5

2. Calcular:

a) 0 1 d) 5

3

c) – 4 5

e) 1

2 2 2 2 Lim e a + ax + x – a – ax + x o a+x – a–x x→0

www.trilce.edu.pe 101

a) a

b) a

3 a d)

e) 1

c) a2



5. Calcular:



Lim e 3 2 + x + 1 – 2 o x→3 x – 2 – 2x – 5

a) 0

b) – 1 32



d) 3

e) 32

K = Lim ^ 4x2 + 3x + 6 – 4x2 + x + 3h x→∞

a) 1

c) – 3 32



1 d) 4

2 2 Lim e x + x + 1 + x –x + 1 o x→∞ x + x2 + 1

a) 0

d) 2

b) – 1

c) 1

e) Ninguna

8. Si: 0 0 ; a ∉ e x →+∞ 1 a) e d) +∞ Quinto UNI 104

b) 0

a) 3 b) 2 c) 7 d) 5 e) 13

c) 1

e) Imposible calcular

b) y = x – 4 e) y = x+1

c) y = x+6

11. Hallar un punto, donde la recta tangente al gráfico de: f(x)=2x3 – 3x2 – 12x+7; es paralelo al eje de abscisas.

a) (–1; 14) d) (–2, 2)

b) (2; 15) e) (–3; 1)

c) (–1; 4)

12. Hallar "ab+cd" para que la función: f(x)=ax3+bx2+cx+d; tenga un máximo en el punto M(0; 4) y un mínimo en el punto N(2; 0).

a) – 1 d) 4

b) – 3 e) 7

c) 0 Colegios

TRILCE

Álgebra 13. La función definida por la regla: f(x) = x3+px2+q; tiene un valor mínimo relativo igual a 3 en: x=2; hallar "pq".

a) 18 d) – 21

b) – 24 e) – 18

14. Una hoja de papel debe contener 18 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. a) 6 y 4 cm d) 5 y 10

b) 7 y 3 e) 5 y 8

c) 8 y 4

10 b) 5 c) 7 a) 9 3 5 7 e) 11 d) 9 9 16. Dada la ecuación: x3 + cx + d = 0; cuyo C.S.={m;n}. Determinar el valor de: M=4c3+27d2 a) 0 d) 3

b) – 1 e) m+n

x

c)

e)



x

x

e)

x



19. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser de la función polinomial: P(x)=x3+mx+n; si "m" y "n" son positivos? a)

b) y

x

d) y

y

x

x





x

e)

y

x

y

y

c)

d)



d)





y

c)

x

x

y



y



y

b) y

x



c) 1

17. Graficar: P(x)=x3+2x2+x+1 a)

b)

y



15. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje "x"; los otros dos sobre las rectas: y=x; 4y+5x=20. Hallar el valor de la altura, para que el área del rectángulo sea máxima.



a)

c) 32 cm2



18. Graficar la función polinomial: F(x)=1 - x3 - x5

y

x

x

y



Central: 619-8100

x

www.trilce.edu.pe 105

Tarea domiciliaria 1. Calcular:

3 3 2 8. Calcular: Lim e x + 8 –2 x + 4 o x x→0

m

L = Lim c n x – 1m x –1 x → 1

m; n ∈



a) 1

1 a) 12

; m ≥ 2; n ≥ 2 c) m n

b) 0

n d) m



e) mn



1 b) – 1 c) 2 8 e) – 1

n

Lim c n x1 –nx + n–1 m ; n ∈ x + – (n + 1) x + n x→1



+

3 4. Calcular: Lim e 4 1 + x – 5 1 + x o 1+x – 1+x x→0

3 b) 2 c) 10 a) 4 5 3 5 d) e) 1 2 5. Calcular: Lim c x – x + 2 m 4x + 1 – 3 x→2

–

n 2

c) 2(n2

–

m 2)

7. Calcular "m.n", si el polinomio: P(x)=mx4+nx3+1; tiene a 1 como raíz doble. a) 6 d) – 12

Quinto UNI 106

b) – 6 e) – 18

c) 1/2

b) y+4x–4=0 d) y+x–4=0



d) 1

e) 1 2

a) 6 d) 7

b) 5 e) 8

c) 4

ax bx 14. Calcular: Lim c e – e m x x→0

1 (n2 – m2) e) 1 (m2 – n2) d) 2 2



b) 0 e) 2

12. Hallar el valor de la derivada de la función: F(x) = 1 ; en el punto: x = 2 x 1 a) – b) – 1 c) – 1 2 3 4



6. Calcular: Lim c cos mx –2 cos nx m x x→0 –

a) –1 d) 1

13. Si el polinomio: P(x)=x3+ax2+12x+b, admite un cero real doble, ¿cuál es el menor valor entero positivo que puede tomar "a"?

9 b) 7 a) c) – 3 8 2 8 2 d) e) 1 3



c) 10

e) 4 5

a) y–4x+1=0 c) y–4x+4=0 e) y+2x=0

n – 1 e) n+1 d) n–1 n

b) m2

b) 1

11. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva: y=x2, en el punto donde: x=2

n – 1 b) n c) n+1 a) n n–1 n+1

m 2

a) – 2 5 d) 4

10. Dada la función: f(x)=xx; halle: f'(1)

3. Calcular:

a) n2

1 d) – 1 e) 2 4

5 9. Calcular: Lim c 3 x + 1 – 2 x + 1 – 1m x x→0

4 2. Calcular: Lim c 1 – 1 – x m 2x x→0

1 a) 2 d) – 2

1 b) – 1 c) 4 2

c) 12



a) ab d) b – a

b) a – b e) a b

c) ab – 1

senπx – cos πx 15. Calcular: Lim ` 1 – tan πx j x→0,25 a) 2

b) –

d) 2 +1

e) 1

2 2

c) 2 2

Colegios

TRILCE

Problemas para la clase 1. Hallar el dominio de la siguiente función: f(x) = Log(2x–1)(7 – 3x)

7. Si "a", "b", "c" y "d" son números reales positivos, cuyo producto es uno, determine:

1 ; 7 b) 7 ;4 a) 1 ; 7 c) 2 3 3 3

3 3 3 3 (Lna) + (Lnb) + (Lnc) + (Lnd) Ln (ab)6Lnc.Lnd – Lna.Lnb@

1 7 – {1} e) 〈0; 3〉 d) ; 2 3 2. Sea la función: y=bx; b>1; calcular "b2" si la gráfica es: y 16 4

a) 1 d) 4

x

b) 2 e) 5

c) 3

3. Hallar el dominio de la función: 6 F(x)=Log(x–4)(10–x) + x–3 e indicar el número de valores enteros que posee.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. Resolver: Log3(x – 3)>1 a) x ∈ b) 〈6; 21] d) 〈6; 12〉 e) 〈6; +∞〉

c) [3; 7〉

5. Hallar el C.S. para "x" en: Log3(x – 2)0 –a0



II. A = – 1 ∧ B = 1 2 III. A.B. = – 1 2



a) V F V d) F F V

Quinto UNI

b) F V F e) F F F

c) V F F

4n + 1 m n+1 3

2 b) 1 c) 3 3

14. Si la sucesión {an} n∈IN , tal que:



130

15. Si {an}n∈IN , es una sucesión, tal que:

d) 2



Si los valores de esta sucesión se encuentran en el intervalo: [a; b〉, siendo "a" el mayor valor posible y "b" el menor valor posible, entonces el valor de: T=b – a, es:



a) 1

5 b) 3 c) 2 2



d) 3

e) 4 Colegios

TRILCE

Álgebra 20. Si {an}n∈IN, es una sucesión, tal que: a1 = 1; a2 = 2 ∧ an+2 =

entonces la sucesión {an}n∈IN converge a:

1 b) 1 c) 3 a) 4 2 4

d)

an + 2an + 1 ; "n≥1 3

7 4

e)

5 2

Tarea domiciliaria 1. Si: {an}n ≥ 1 es una sucesión, tal que:

4. Marcar verdadero (V) o falso (F):

2 2 2 {an} = ' n –1 ; n ; n + 1 ; n + 2 ; ...1 n n n

1n 1 3n – 2 1 + 1 7n I. '`1 + j + c1 + m c m 1 n 3n 7n



Entonces el enésimo término es:





a) n2 – 1

2 b) n –n–2 n



d) n

2 e) n + n–2 n

2. Si: {an}

n≥1

c) 1 – n2

{an} = '1 ; 3 ; 2 ; 5 ; 3 ; ...1 5 5 17 13 Marcar verdadero (V) o falso (F):



I. {an} es decreciente II. {an} converge a cero III. El término vigésimo es: 20 401



a) V V V d) V V F

b) F F F e) V F V



c) F F V

n



n2 –1 , entonces: n2 + n + 1

an ∈ 〈 8 ; 1〉 , si y solo si: n ≥10 9

–1 ; 1 ; – 1 ; 1 ; –1 ; ... , es divergente. III. '1 ; 1 2 3 4 5 6

a) V V V d) V F F

Central: 619-8100

b) F V V e) V V F

II. '` n + a j + c n + b m 1 n n n

n

n≥1

converge a: ea+eb

2 4 III. * 5n + 5n + 16n + 7 4 n ≥1 7n + 10n2 + 36n4 + 11

converge a 8 11

a) F V F d) V F F

b) V V V e) V V F

c) F F F

5. Indicar el valor de verdad de las proposiciones:

(–1) I. , es acotado. ' 2 1 2n + 1 n ≥ 1 II. Si: {an} / an =



converge a cero.



3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:







es una sucesión definida por:



n≥1

c) V F V

n ' n1 I. 2 n≥1 es decreciente

II. '

2n 1 es decreciente 1 + 2n n≥1

n+1 III. $Log` n j. n≥1 es creciente

a) V V V d) F F F

b) V F F e) F V F

c) F F V

6. Si: {an}n≥1, tal que: {an} = '1 ; 9 ; 19 ; 33 ; ...1 6 11 18

Entonces el valor de convergencia es:

1 a) 4

b) 1 2



e) 4

d) 2

c) 1

www.trilce.edu.pe 131

12. Mostrar el valor de verdad: 7. Si: {an}n ≥1 es una sucesión tal que: a1 = 2; a2 = 3 an+2=3an+1 – 2an; "n∈ + 4n + 5 $ 2n – 1 . n≥1 converge a 2. Entonces el valor de convergencia de la suce- I. a sión: ' nn 1 es: n 2 II. ' n 1 n≥1 es monótona creciente. 2 1 b) 1 a) c) 1 3 2 n2 + 2n + 5 ' 2 1 es acotada. III. n + 2n + 1 n≥1 5 d) 2 e) 2 8. El valor de convergencia de la sucesión: 1/n

1/n

1/n n

8 + 125 + 216 o 3 )e n≥1; es: 3

a) e60 d) 30

b) e30 e) Ln(60)

c) 60



b) V F F e) V F V

c) F V V

13. Sea: {an} la sucesión cuyo término enésimo está dada por la fórmula de recurrencia: a1=2 ∧ an= 1 an–1 ; " n ∈ / n ≥ 2 2 Calcular: a1+a2+a3+...

9. Si: {an}n≥1 / an = n2 –n + 1 – An – B Es convergente al valor de cero, entonces indi- car el valor de verdad de las siguientes afirma- ciones:

a) 4 d) 16

b) 6 e) 10

c) 8

n 14. ¿A qué valor converge: ' 2 1 n≥1? n!



I. A.B 0 x3 ; x G 0



a) 1 d) – 2

2

b) 0 e) $

c) – 1

¿Para qué valor de "n" se verifica que: F'(1) = 7 ? 3 b) 6 e) 10 3

c) 8

12. Carlos recibe 200 m de alambre para cercar un terreno de forma rectangular de área máxima. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho terreno? a) 20 y 80 d) 40 y 60

Central: 619-8100

1 m n

3





c

/ c n + 3 m n n=1

n 11. Dada la función: y = F(x) = x ; n ∈ 3

a) 7 d) 5

/

Calcular:





3

e=

b) 25 y 75 e) 50 y 50

c) 30 y 70



a) 4e d) 4e – 3

b) – 4e e) 4e+4

c) 4e+3

14. Encontrar el octavo término de una progresión geométrica de nueve términos, tales que el producto de los términos extremos sea 2304 y la suma de los términos cuarto y sexto sea 120.

a) 192 d) 384

b) 96 e) 100

c) 48

15. Calcular: Lim x→4

=

a) 3+2 2 d) –1

3 + x x – 2 –1 G 3– x x – 2 +1

b) –3–2 2 e) 2

c) 2 2 –3

www.trilce.edu.pe 141

Problemas resueltos 1. Si "A" es una matriz que cumple: 6 2 2 –1 (A+I)2= = G ∧ (A – I)2 = = G 1 3 1 –1

Hallar la traza de "A"



Resolución



Se sabe que: (A+I)2 – (A – I)2 = 4AI

6 2 2 –1 = G–= G = 4AI 1 3 1 –1 4 3 1 3 A= 1 = G= > 4 H 4 0 4 0 1



1 1 1 1 A = >0 1 1H 0 0 1

→ Traza(A)=1+1=2

2. Dada la matriz: A= =



Resolución

* A= e

0 –1 – 1 –1 o → A2 = A.A= e o 1 1 1 0

1

1 2 3 → A2=A.A= >0 1 2H 0 0 1

1 3 6 →A3=A2.A=>0 1 3H 0 0 1



0 –1 G; hallar la suma de los 1 1 elementos de: E = I+A20+A30

Resolución

1+2+3+4

1 4 10 →A4=A3.A=>0 1 4 H 0 0 1

De acuerdo a la ley de formación:

1 15 120 ⇒ A15= >0 1 15 H 0 0 1

4. Si: A = =

1+2+3

1+2

1+2+3+...+15= 15 (16) 2

5 1 G ; determinar la traza de: A–1 4 1

Resolución

Recordar:



→ A3 = A2.A = e

A30 = I

\ E = I + A18.A2+A30 2 0 –1 –1 1 –1 o+e o=e o 0 2 1 0 1 2



=

d –b G – c a a b Si: A = e ; ad – bc ≠ 0 o ⇒ A–1 = ad–bc c d 1 –1 G = – 4 5 1 –1 5 1 Si: A = = G ⇒ A–1 = G == 5– 4 4 1 –4 5

\ Traz(A–1)=1+5=6

\∑ Elementos = 1+(–1)+1+2=3

3. Si: 1 1 1 A = >0 1 1H; determinar: A15 0 0 1 Quinto UNI 142



18 → A3 = – I ) A = I

E=I+A2+I=2I+A2= e

–1 0 o =–I 0 –1

1 8 –2 4 1 –6 5. Si: A= e o ; B= e o ; C= e o 7 3 5 3 –2 –4

y la ecuación matricial:



5x=3[A–4(B+C)–X]+A; hallar: X–1 Colegios

TRILCE

Álgebra

Resolución



De: 5X=3[A–4(B+C)–X]+A



5X=3A–12(B+C)–3X+A

X =e

2 7 o –1 3

3 –7 X–1= 1 e o 13 1 2

X= 1 [A–3(B+C)] 2 Reemplazando las matrices: 1 8 –2 + 1 4–6 X= 1 )e o3 o – 3e 2 7 3 5–2 3–4



J 3 –7 N K 13 13 O O \ X–1= K KK 1 2 OO L 13 13 P

Problemas para la clase 1. Dada la matriz: A = e

5. Si: "X" ∧ "Y" son dos matrices que verifican: X – 2Y=A ∧ 2X+3Y=B; X, Y K2×2





6 –3 12 8 Donde: A = e o ∧ B=e o 7 4 –7 8



Hallar: E = Traz(X) + Traz(Y)



a) 0 d) 10

2 1 o 0 1 Además: P(x) = x2 – 4x+2 Dar la suma de elementos de: P(A)

a) 8 b) – 6 d) 6 e) – 8 2. Sean las matrices: 2 –1 m 1 A = e o;B=e o 3 1 n 5

c) – 4

6. Si: A = e



Si "A" y "B" son permutables respecto a la multiplicación, hallar: (m+n)



a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Si "P", "Q" y "X" son matrices cuadradas, tal que:



1 y+z 0 P = f–2 5 z p es simétrica y z 3 Q = {(qij)3×3 / qij = 2j – i , si: i < j}

Además "Q" es antisimétrica, donde ambos satisfacen la siguiente ecuación matricial: 2P – PT+Q+QT=X+3P, entonces la "Traz(X)" es: a) – 18 d) 14

b) – 14 e) 18

c) 0





a) 2+ 3 d) 16

Central: 619-8100

b) 36 3 e) 4

c) 2+2 3

3 5 –2 7 11 1 o; B = e oyC=e o –2 1 4 –1 10 5

29 –4 15 17 29 15 a) e o b) e o c) e o –6 28 –6 28 –6 18 29 –4 –49 36 d) e o e) e o –46 –24 –15 26 0 1 0 7. Dada la matriz: A = f0 0 2p 3 0 0 Calcular la suma de los elementos de: A40

a) 611 d) 1212

b) 614 e) 6

c) 613

8. Señale si son verdaderas (V) o falsas (F), las siguientes afirmaciones:



y sea "B" una matriz triangular inferior, tal que: A=B.Bt, hallar la traza de "B". Siendo "B", matriz de componentes reales positivas.

c) 4

Resolver la ecuación: 3(x – 2A) = 5(B – C)+2(X – A – B)



4 2 1 4. Dada la matriz: A = f2 4 2p 1 2 4

b) 6 e) 11



I. Si "A" es una matriz cuadrada → (A – AT)T es antisimétrica II. Toda matriz cuadrada "A", se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica III. Si "A" es una matriz involutiva 1 (I – A) es 2 idempotente a) V V F d) V V V

b) F F V e) F V V

c) V F V

www.trilce.edu.pe 143

9. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que: At – A2 =



A=e

a–2 b+4 3d – 1 p 2

f2c – 4

a) A b) I+A d) I+A2 e) I–A

2 –1 o 1 3

c) A2

15. Si "A" y "B" son dos matrices definidos por:



Dar como respuesta: a+b+c+d



a) 0 d) – 2

b) – 1 e) 3

A=(aij)2×3 = )i ; i G j j;i > j c) 2

B=(bij)3×2= ) j ; i # j , i;i > j

–3 –6 2 10. Sea la matriz: A = f 2 4 –1p 2 3 0



entonces la Traz((AB)–1) es:



a) – 18 5



Dar el valor de verdad:

9 e) 12 d) 5 5



I. A2 es involutiva II. A2 es nilpotente III. A3 es idempotente



a) V F V d) V V V

16. Si "A" es una matriz definida por: A= –1 1 e o; 0 –2 que satisface la ecuación matricial: x2+3x+2I=0 (donde "I" es la matriz identidad). Si "B" y "C" son matrices de elementos enteros que satisfacen: A=B3+C3, entonces la matriz (B – C) es:

b) F V V e) F F F

11. Sea la matriz: B = e

c) V F F

0 –1 o y el polinomio: 1 1

x34

2x9+1

P(x) = – Hallar la sumatoria de los elementos de la matriz: P(B)

a) 4 d) 6

b) 5 e) 9 a

fc

c) 7 b



bc + x p a Los valores de todos los "x" para los cuales existe 1 0 una matriz "B", tal que: AB=BA= e o , son: 0 1



a) 0 b) 1 c) Todo número real d) Todo real no nulo e) Todo real positivo

12. Sea la matriz: A =



a) – 3

1 d) 3 Quinto UNI

b) – 1 3 e) 1



a) A – 2I d) A+I

3 b) – 7 c) 5 5

b) A – I e) A+2I

c) A

17. Para toda matriz: A=(aij)n×n se define: 2 3 4 eA = I+A+ A + A + A +... 2! 3! 4!



0 1 1 Si: A = f0 0 1p , entonces la suma de los ele0 0 0 mentos de la matriz "eA" es:

15 b) 13 c) 11 a) 2 2 2 9 e) 7 d) 2 2 18. Si: A = (aij)2×2, tal que:

13. Si "x" es una matriz que satisface la ecuación 12 1 1 1 2 matricial: e o xT e o = e o , entonces la 13 0 1 2 1 Traz(x–1)es:

144

14. Si "A" es una matriz nilpotente de índice 2, calcular: A(I+A)5

c) 0

aij = )1; si : i ! j 2 ; si: i = j

entonces la suma de los elementos de la matriz An(n ∈ ), es:



a) 5(2n) d) 4(3n)

b) 2n+1 e) 5n

c) 2(3n)

Colegios

TRILCE

Álgebra 19. Si "A" es una matriz cuadrada de orden "n", tal que: AP=0, entonces una expresión equivalente a: E=I+2A+3A2+...+(P–1)AP–2+PAP–1 es: a) I–AP–2 d) A – I

b) (I–A)–2 c) I–A2 e) (I – A3)2

20. Si "A" y "B" son matrices cuadradas definidas 1 0 –1 2 por: A = e o; B = e o , tal que satisfacen 2 1 3 –1 la siguiente ecuación matricial: AX=BX; entonces de la matriz "X" se puede afirmar que:

a) Tiene inversa b) Traz(X)=1 c) Traz(X)=2 d) X = 0 (matriz nula) e) El elemento "X12" es 1

Tarea domiciliaria 1. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que: a + 2 b + 14 At – A2 = >2c – 5 3d – 6 H 2

2 –3 A== G 2 3



Dar como respuesta: a+b+c+d



a) 0 d) – 2

2. Dados:

A==

b) – 1 e) 3

c) 2

1 2 1 0 G ;B== G –1 0 –1 2

Si: P(x; y) = 2x – y+3; determinar: P(A, B)

3 3 4 4 4 4 a) G b) G c) G = = = –3 –1 4 1 –1 1 2 –2 – 1 –1 d) G e) G = = 4 4 3 3 3. Luego de resolver:



Hallar la suma de elementos de An (n ∈



a) 2 d) –n

b) 2n e) n

+)

c) 1

1 a+b 0 5. Si la matriz: A = f2 5 a p b 1 3 es simétrica, calcular: Traza (A2)

a) 47 d) 51

b) 45 e) 53

c) 50

6. Dadas las matrices:

A=e

–3 5 2 –3 –7 3 o; B = e o; C = e o –2 2 4 5 2 –1



Señalar la suma de los elementos de la matriz "X", que se obtiene al resolver la ecuación matricial: 3(X – 2A)=5(B – C)+2(X – A – B)



a) 27 d) 37

b) 31 e) 47

c) 33

7. Si "A" es una matriz nilpotente de índice 2, calcular: A(I+A)6

5 11 o –5 4

a) A b) I+A d) I+A2 e) I–A

A+2B = e



2A – B = e

Donde: "A" y "B" son matrices. Calcular "A+B"

4 0 1 0 4 1 a) e o b) e o c) e o 2 1 –4 1 – 1 –1 4 –1 2 1 d) e o e) e o 1 –1 4 0

Central: 619-8100

0 0 o 1 1

5 –2 o 0 –3





4. Si: A = e

c) A2

8. En la matriz: X = (xij)2×2; de la ecuación: 2 1 –3 2 –1 1 e o .X. e o=e o 3 2 5 –3 1 1

la suma de todos los "xij", es:



a) 0 d) 3

b) 13 e) 10

c) –4

www.trilce.edu.pe 145

9. Si:

13. Si: A = e

3 –2 –3 2 A2 = e o ; B2 = e o 1 3 1 –3



0 1 1 0 AB = e o ; BA = e o 1 0 1 –1

Calcular: (A –

a) – 2 b) – 3 c) 1

–1 – 1 – 1 –1 d) e o e) e o –1 0 0 1 0 –1 10. Dada la matriz: M = e o 1 0 Calcular el periodo de la matriz. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

11. Sabiendo que: A = e

c) 3

3 1 o – 2 –1



Calcular: Traza (A–1)2 Donde A–1; inversa de la matriz "A"



a) 4 d) 8

b) 5 e) 7

c) 6

12. Sea "A" una matriz cuadrada, tal que: A2=2I Determinar: (A+I)–1

a) 2I – A d) A+2I

Quinto UNI 146

Determine: Traz(cos(A))

B)2

– 1 –1 –1 0 –1 1 a) e o b) e o c) e o 1 0 1 –1 1 0



–1 –1 o ; F(x) = cosx 1 1

b) I – A e) A – I



e) 1 2

d) 2

14. Si "A" es una matriz que cumple:



(A + I)2 = e



(A – I)2 = e



1 2 o; 0 1

–1 0 o 0 –1

Determine la traza de "A". a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

15. Sea: D = A–1BA; "A" inversible. Hallar: Dn

a) A–nBA d) A–nBnAn

b) A–1BnA e) –AB

c) A–1BAn

c) A – 2I

Colegios

TRILCE

Determinantes Problemas resueltos senx – cos x 1. Si: E = = G; determinar: |E|5 cos x senx

Resolución |E|5=

senx – cos x cos x senx

5

= (sen2x+cos2x)5=15=1

a b =2; hallar el valor de: 2. Si: c d A = *

1 1 1 E = x y z yz xz xy

Resolución



C1.x; C2.y; C3.z

E=

Resolución 2+a b =2d+ad – 2b – bc 2+c d = 2(d – b)+(ad – bc)=2(d – b)+2

* 2

2+a b 1d +2 2+c d 1b

4. Calcular:

1d = 2(b – d) 1b

→ A = 2(d – b) + 2 + 2 (b – d) = 2

3. Determinar para que valor de "a" la matriz:

a 1 2 E = >2 a 2H sea invertible. 1 a 1



Resolución



"E" será invertible si: |E| ≠ 0



Aplicamos la regla de Sarrus:

a 2 |E|= 1 a 2

1 a a 1 a

2 2 1 = a2+4a+2 – (2a+2a2+2) ≠ 0 2 2

⇒ – a2 + 2a ≠ 0 a(a – 2) ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 ∧ a ≠ 2 \ a ∈ – {0; 2} Central: 619-8100

x y z 1 2 2 E= x y z2 xyz xyz xyz xyz

x y z 1 1 1 xyz . x2 y2 z2 = x y z xyz 1 1 1 x2 y2 z2



Determinante de Vandermonde.



→ E = (z – y)(z – x)(y – x)

5. Sea: A=[aij]n×n ; aij=máx{i; j}

Hallar: |A|



Resolución



Si: A = [aij]n×n ; aij=Máx{1; 5}



Luego se tiene:

1 2 |A|= 3 4 h n

2 2 3 4

4 g n 4 n C1–C2;C2–C3;C3–C4;...;Cn–1–Cn 4 n = 4 n h n n n g n

–1 0 0 |A|= 0 h 0

3 3 3 4

–1 –1 0 0

–1 –1 –1 0

–1 g –1 –1 –1

n n n = (–1)(–1)...(–1) . n n (n–1)veces h 0 0 0 g n

\ |A| = (–1)n–1.n

www.trilce.edu.pe 147

Problemas para la clase 1. Si "a", "b" y "c" son números reales distintos de cero, ¿cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación? a–x b =0 b c –x

6. Calcular el determinante de la siguiente matriz:





a) Son reales e iguales b) Son positivos c) Son negativos d) Son reales y distintos e) Son complejas

x y z I. 0 y z = xyz 0 0 z

e

7 8 9 II. 10 11 12 = 0 13 14 15 4 4 4 III. 4 4 4 =4 4 4 4 a) V V F d) V F V

b) F F V e) V V V

c) V F F

1 w w2 w w2 1 w2 1 w a) w d) w2

b) 4 e) 0

c) 3

b) 3 e) 2

c) 4

5. Resolver: 3 x –x 2 –1 3 =0 x + 10 1 1 ±4 a) – 2 ± 22 b) d) – 2 c) – 4 ± 22 ± 11 e)



Quinto UNI 148

c) 14p

5 o x+5

es no singular.



a) x ≥ 4 d) –4 ≤ x ≤ 5

b) x ≥ –4 c) x ≥ 5 e) x ≥ 5 ∧ x ≠ 5 2

3 2 5 7 3 x = 9 4 2 3 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 9. Si: F(x)=x2 – 5x+3, encuentre usted el determinante de "F(B–I)", donde: 3 –1 B = e o –3 4 a) 4 d) 5

b) 2 e) 0

c) 1

1 1 1 10. Dada la matriz: A = f2 3 4 p 3 5 8

15–2x 11 10 11–3x 17 16 =0 7–x 14 13 a) 5 d) 6

x–5 1





4. Resolver:



b) 12p e) 18p

8. Hallar "x", a partir de:

3. Si "w" es raíz cúbica imaginaria de la unidad, hallar el valor de:



a) 10p d) 16p

7. Indicar los valores reales de "x", para los cuales la matriz:

2. Marcar (V) o (F):





π π π A = 8 10 12 64 100 144

Encontrar otra matriz "B", tal que: A.B=I (I: matriz identidad) 4 –3 1 4 3 –1 b) a) – 4 5 2 – f p f4 –5 2 p 1 –2 1 1 2 –1 4 –1 3 4 3 1 c) d) 2 5 1 f p f4 –5 2p 1 2 1 – 1 3 –1

$B e) Colegios

TRILCE

Álgebra 11. Sea "A" una matriz de orden 7, tal que: Det(A–3) = 64. Luego: Det(A2), es:

a) 16

c) 1 16

b) 4

1 e) 1 d) 4 2



4

3 2 0 0

0 3 2 0

4

0 0 43 0

= x – 12

b) 4 3 e) 0

a) 1 d) 9

c) 13

13. Decir cuántas son verdaderas:

•

|A–1|=|A|–1;

A–1

donde: es la matriz inversa de "A" y existe. • |Adj(A)|=|A|n–1, donde: Adj(A) es la matriz adjunta de "A". a b d –b • Si: A= e o , entonces: Adj(A)= e o c d –c a



• Si: A=kB, donde "k" es un escalar (k ≠ 0), entonces: |A|=k|B|



a) Todas d) 1

b) 3 e) Ninguna

c) 2

14. Sea "A" una matriz definida por: a– b– c 2a 2a A= f 2b b–c–a 2b p 2c 2c c – a – b

Si: a+b+c=3; hallar el valor del Det(A).

a) 27 b) 9 c) 0 d) – 9 e) – 27 15. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la ecuación: x3+x+3=0, entonces el determinante x1 x2 x3 de la matriz: A = fx2 x3 x1 p es 1 x3 x1 x2



II. Si "A" es una matriz definida por:



A=e

1 0 o , entonces: |A+I|=|A|+1 –1 1

III. Si: A=(aij)n×n, es no singular, entonces: ||A–1|An|=1

Central: 619-8100

a) F V F d) V F F

b) V F V e) F F F

c) F F V

16. Si "A" es una matriz definida por:



12. Resolver la ecuación en "x" 2 0 0 43



J2 K K1 A = K1 K1 K L1

1 3 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 5 1

1N O 1O 1O 1OO 6P



entonces el valor de Det(A), es:



a) 180 d) 394

b) 197 e) 360

c) 201

17. Si "A" es una matriz cuadrada de orden "n", tal que: Det(A)=2, entonces el valor de: T=|4||A2T||A3| |A2T|+|AT| – |A|, es:

2

2

a) 22n +5n+2 2 c) 2n +6n+2 2 e) 2n +8n+2

b) 2n +3n+2 2 e) 2n +4n+2

18. Hallar el determinante de la matriz: J N 2 3 K x–1 x –1 x –1 O D = K 2x–4 x2 –4 x3 –8 O K 3x–9 x2 –9 x3 –27O L P a) 4x(x – 1)(x – 2)(x – 3) b) (x – 1)(x – 2)(x – 3) c) 2(x – 1)(x – 2)(x – 3) d) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) e) –2x(x – 1)(x – 2)(x – 3) 19. Si "A" es una matriz definida por:



J 12 K 2 9 A = KK 2 17 K 2 L25

32 112 192 272

52 132 212 292



entonces el Det(A), es:



a) 0 d) 1

72 N O 152 O 232O O 312P

b) 1.3.5.7 e) –1

c) (1.3.5.7)2

20. Si "M" es una matriz definida por: J1 2 3 4 5 N K 3 3 3 3O K1 2 3 4 5 O M = K1 25 35 45 55O K1 27 37 47 57O K 9 9 9 9O L1 2 3 4 5 P

entonces el Det(M) es:



a) 1472 c) (1!)(3!)(5!)(7!)(9!) e) 0

b) (5!)(3!) d) (120!)(5!) www.trilce.edu.pe 149

Tarea domiciliaria de: b21=0 y a21 ≠ 0; proporcionar el valor de "M" donde: M=Traz(B)+2Det(A)

1. Marcar verdadero (V) o falso (F): 1 0 0 II. 2 3 0 = 18 4 5 6

2001 1 I. =1 2002 1

1 –1 =2 III. –1 1

a) V V V d) F V F

b) F V V e) V V F

c) F F F

α γ θ γ θ α θ α γ a) –m d) 0

b) n e) 1

c) m2–n



A==

11 2 G; B== G 2 1 1

a) 0 d) 3

4. Sea: A = =

b) 1 e) 1 2

c) 2

0 –1 G –1 0



¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?



a) An = I, para todo "n" par (n ∈ ) b) An = A, para todo "n" impar (n ∈ ) c) Det(An) ≠ 0, para todo n ∈ d) Det(I+An) ≠ 0, para todo n ∈ e) Det (I – An)=0, para todo n ∈

5. Si "A" es una matriz de orden 3, y se intercambian la primera y la tercera fila y se obtiene la matriz "A0". En "A0" a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz "A1" de manera que: Det(A1)=66 Hallar: Det(A–1)

a) – 11

b) 11

b) 0 e) 3

c) 1

a+x x x =0 x b+x x x x c+x

a) abc ab + ac + bc

b) –

abc ab + ac + bc

c) abc a+b+c

d) –

abc a+b+c



e) abc

8. Dadas las matrices:

3. Si: x ∈ 2 es solución del sistema: Ax=B Calcular: Traz(xTB); donde:

a) – 1 d) 2

7. Si "a", "b" y "c" son números reales positivos, mostrar el valor de "x" para el cual se verifica:

2. Si "a", "g" y "q" son las raíces de la ecuación: x3+mx+n=0 Proporcionar el equivalente de:





R1 –1 1 V u v w S W A= S0 1 –1W ; B = >0 x y H S W 2 0 0 z S W 1 S0 0 W 4 T X Calcular la suma de todos los elementos de la matriz "B", de tal manera que se cumpla: A.B=I; ("I" es la matriz identidad)

a) 21 d) 18

b) 15 e) 7

9. Sea la matriz: H = =

c) 20

x2 –3 G x 1

si se verifica que: Det(H)=4, luego "H2", es:

1 –3 – 2 –6 16 –3 a) G b) G c) G = = = 1 1 2 –2 –4 1 –4 –1 –2 3 d) G e) G = = 4 –2 –4 4

c) – 1 11

1 e) 1 d) 6 11 6. Sea "A" una matriz de orden 2 con: A2=B; donQuinto UNI 150

Colegios

TRILCE

Álgebra 10. Se tiene las seis matrices:

1 2 2 3 7 1 A== G; B == G; C = = G 3 –6 3 2 x 2



D = ABC; M=A2B3C4 Q=AB–1 El valor de "x" para que tres de las seis matrices no sean inversibles es:



a) 0 d) –14

b) 3 e) 14

c) 4

11. Determinar los valores del numeral real "x" para que la matriz:

A==



a) x ≤ 5 d) x ≥ 5

x+3 3

1 G , sea inversible. x–5 b) x ≥ –3 c) x ≥ 0 e) x ≥ 5 ∧ x ≠ 6

0 1 1 B=> 1 b cH a + b b2 c2



Entonces, podemos afirmar que:



a) |A|=|B|

b) |A|=ab|B|



c) |A|= a |B| b

d) |A|=(a+b)|B|



e) |A|=(a – b)|B|

Central: 619-8100



Hallar el valor de "M", donde:



x y = 2 z w

M=

2+x y 1w +2 2+z w 1 y

a) – 2 d) 1

b) – 1 e) 2

c) 0

14. Dada la matriz: 10 0 A = >1 1 0 H 1 1 1

Calcular: Det(A)+Det(AT)+Det(A–1)



a) – 1 d) 3

b) 0 e) – 3

c) 1

15. Encuentre la traza de la matriz "A" sabiendo que se cumple:

12. Dadas las matrices: 1 1 1 A= > a b c H a2 b2 c2

13. Si:

3 2 0 –2 = G . A == G 5 4 4 10

a) 14 d) 13

b) 15 e) 12

c) 16

www.trilce.edu.pe 151

Problemas resueltos Zx + y + 2z = 3 ] 1. Si el siguiente sistema: [ x + 2y – z = 1 ] by + z = a \



En (1): 2x+3(–2z)+4z=0 → x=z



En (3): z2+4z2+z2=24→x2=4→|z|=2=|x|



\ y2=4z2 → y2=16 → |y|=4



tiene infinitas soluciones; entonces el valor de: E=a+b



→|x|+|y|+|z|=2+4+2=8



Resolución

Zx y z 15 ... (1) ] + + = ] 3. Si: [ x + y + w = 16 ... (2) ] x + z + w = 18 ... (3) ] y z w 20 ... (4) + + = \

* x+y+2z = 3 ... (1) * x+2y – z=1 ... (2) * by+z=a ... (3) (2) – (1): y – 3z=–2

De (3):

by+z=a

⇒

Tendrá infinitas soluciones

Si: 1 = –3 = –2 b 1 a

b = – 1 ; a = 2 → a+b= 1 3 3 3

Z ] 2x + 3y + 4z = 0 2. Resolver: [5x + 6y + 7z = 0 ] x2 + y2 + z2 = 24 \ hallar el valor de: |x|+|y|+|x|



Determinar: A= x – y+z – w



Resolución

* [(1)+(3)]–[(2)+(4)]:(2x+y+2z+w)



– (x+2y+z+2w) = (15+18)–(16+20)

→ x – y+z – w= 33 – 36 = – 3

Resolución

* 2x+3y+4z=0 ... (1) * 5x+6y+7z=0 ... (2) * x2+y2+z2=24 ... (3)

De (2) – (1): x+y+z=0



De (1): 2(x+y+z)+y+2z=0 → y=–2z



Quinto UNI 152

0

Colegios

TRILCE

Álgebra

Problemas para la clase 1. Si el siguiente sistema: Z x+y = 3 ] [ 5x – 3y = 7 ] ax + by = 5b \ tiene solución única, entonces la relación correcta entre los valores de "a" y "b" es:

a) a=b d) a=–2b

b) a=–b e) a=3b

c) a=2b

2. Si el siguiente sistema: (a–1) x + (b–1) y = c–1 ) (b + 1) x + (c + 1) y = a + 1 posee infinitas soluciones, calcular el valor de: + + 2 E = (a b c) bc + a (b + c)

a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

123

3. ¿Qué relación debe existir entre "a", "b" y "c" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones? 3x+4y+5z=a ... (I) 4x+5y+6z=b ... (II) 5x+6y+7z=c ... (III)

a) 2a=b+c d) 2a=b+2c

b) 2c=a+b e) 2c=a – b

c) 2b=a+c

5. Dado el sistema: x+y = m * ax + by = m2 a2 x + b2 y = m3

Se cumple: I. Es compatible, si: m=0 ∧ x=y=0 II. Es incompatible, si: m=a ∧ x=a y=0 III. Es compatible, si: m=b ∧ x=0 ∧ y=b



a) V F F d) F F F

b) V V V e) F F V

c) V F V

6. Sea el sistema: Zax + y + bz = 1 ] [ x + ay + z = 0 ] x + y + bz = 1 \

se tiene:





I. Si: a ≠ 1 y ab ≠ 1, el sistema tiene solución única. II. Si: a ≠ 1 y ab ≠ 1, el sistema es compatible indeterminado. III. Si: a≠1 y ab=1, el sistema es inconsistente.



Son correctas:



a) I y III d) Todas



b) I y II e) Ninguna

c) II y III

4. Si un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tiene solución única, ¿cuál de las siguientes gráficas podría representar el sistema?

7. Sea: Z ax + y + z = 1 ] [ x – y + z = 2 ] x + y + az = –1 \





Calcular el valor de "a" para que el sistema lineal no tenga solución única.



a) –3 y 1 d) 3 y 1

I. y

II. L1

y

L2

L1 L2=L3

III. y

L3

x



x

b) – 3 y 3 e) 1 y – 1

8. Del gráfico, hallar "ab" y

(a - 1)x+(b+9)y= -1

L1 L2

9 L3

L3



a) Solo I d) I, II y III

Central: 619-8100

c) – 3 y – 1

5

x

x

2ax - by=62

b) Solo II e) I y III

c) II y III



a) 8 d) –18

b) –8 e) 38

c) 18 www.trilce.edu.pe 153

9. Determine el valor de "a" para que el sistema:

ax + 9y = 3 x + ay = 4 Tenga solución única.

)

a) {3} d) – {3; –3}

b) {-3; 3} c) e) – {9; –9}

– {3}

15. Resolver: Z 2x - y z 3 + = ] [ x + 2y + z = 1 ] 4x 2y - 3z 11 = \ + Indicar el valor de x3+y3+z3

10. Si el sistema:

(2a + 5) x + 5y = 7a ) 3x + (a + 2b) y = 7 admite infinitas soluciones, calcular el valor de: ab – aba a) –150 d) 90

b) –90 e) 150

c) 40

11. Determine el valor de "k" si el sistema:

b) 6 e) 3

16. Calcular "x - y+z - w", si: Zx + y z 15 + = ] ] x + y + w = 16 [ ] x + z + w = 18 ] y + z + w = 20 \ a) 3 b) 6 d) –3 e) 12

(1 + 2k) x + 5y = 7 ) 4x + (2 + k) y = 8 es inconsistente. (No tiene solución)

17. De las relaciones mostradas:

* 3



a) {– 9 ;2} 2

b) {– 9 } 2



Indicar el valor de "z"

d) { 3 } 2

e) { 9 } 2





a) 6 d) 24



c) {2}

b) 12 e) 10



Calcular "x"





a) m(m+n) d) n(m+n)

b) –4 e) 6

c) –3



a) –11 d) –14

a) 10 d) 13

Quinto UNI

c) 18

b) n(m - n) e) mn

c) m(m - n)

b) a - 1 (a + 1) 2 e) a+2

c) a

19. Resolver: Zax + y z 1 + = ] [ x + ay + z = a ] x y + az a2 = \ + Hallar "z" b) –12 e) –15

c) –13

b) 11 e) 14



a) a+1 d) a+2

20. Para que valor de "a" el sistema:

14. Resolver: Z2x - y 2z 6 + = ] [ 3x + 2y - z = 4 ] 4 x + 3 y - 3z = 1 \ Indicar el valor de "x2+y2+z2"

c) –6

=

18. Resolver el sistema: Z x y ]m+n + m-n = m+n [ x + y = 2m ] m n \

a) –2 d) 4

c) 5

y+z = z+x 5 4 7x + 5y + 11z = 300 x+y

12. Calcular el valor de "a" para que el sistema: Z(a 1) x 5y = 7 + ] + x+y = 5 [ ] 5x - 3y = 9 \ tenga solución única.

13. Resolver: Z(x 2y 1 = ] + [ 2x - z = 1 ] 5y + z = 0 \ Indicar "xyz"

154

a) 7 d) 4

c) 12



ax + y = 0 *ax + z = 1 az + x = a



es indeterminado.



a) -1 d) -4

b) -2 e) -5

c) -3 Colegios

TRILCE

Álgebra

Tarea domiciliaria 123

1. El sistema: 2x – y = 5m 3y – 6x = – 15 Presenta infinitas soluciones, indique el "par ordenado" que lo verifica:

a) (3; 1) d) (–4; –13)

b) (4; 3) e) Todos

c) (2; –1)

123

2. El valor de "l" para que no exista solución en el sistema: 2x – 3y = 51 lx + y = 0 es: 3 a) 2

b) – 3 2

c) 0

2 d) – 2 e) 3 3

123

3. Indique la relación entre "a" y "b", del tal manera que el sistema: ax + by = 1 bx + ay = 1 Sea compatible.

a) a ≠ b d) a+b ≠ b

b) a ≠ 2b e) a ≠ 3b

c) a ≠ –3b

123

4. Si el sistema: (a+1)x+y+z=a+8 x+(a+1)y+z=a+9 x+y+(a+1)z= – a – 3 es incompatible, hallar el valor de "a" (a ≠ 0)



a) 3 d) 2

c) – 1

5. Determinar el valor de "a" para que el sistema tenga solución única.

ax + 4y = 2 ) x + ay = 4

6. Determine el valor de "ap - apa" de modo que el sistema de ecuaciones: (a - 1) x + 4y = 10 ) 2x + (p + 1) y = 5 sea indeterminado 7. Determinar el valor de "n" si el sistema: ax + 4y = 2 x + ay = 4



)



es inconsistente (No tiene solución)

Central: 619-8100

9. Resolver: Z 2x y - z 5 + = ] [ x + 2y + z = 4 ] x-y = 1 \ Indicar "xyz" 10. Resolver: Z 5x - 3y - z = 1 ] [ x + 4y - 6y =- 1 ] 2x + 3y + 4z = 9 \ Indicar "x2+y2+z2" 11. Resolver: Z x y+z = 1 + ] x - y + z =- 1 [ ] 2 x + 3 y - 4z = 9 \ Indicar el valor de "x3+y3+z3" 12 Resolver el sistema:



b) 1 e) – 3

8. Calcular la relación entre "a" y "b" para que el sistema: Z x y=3 + ] [ ax + by = 5b ] 5x - 3y = 7 \ Tenga solución única.

x+y = 7 *y + z = 13 z + x = 10 Calcular: z + x y 13. Calcular "

y

x + z " en el sistema:

3x + 5y + z = 34

*x = y = z 6

3

18

14. Resolver el sistema: ax - by = a + b *x + y = a + b ab hallar "xy" 15. Al resolver el sistema: 5x - 4y = - 14 ) 2x + 3y = k

Se cumple que "y" es el triple de "x". Hallar el valor de "k". www.trilce.edu.pe 155

Problemas resueltos 1. Determinar el mayor valor de "x" en el sistema: 2. Indicar el número de soluciones reales al resolZ ver: 3 ] xy – 6 = y ] 3 3 3 3 x )x + x y + y = 17 [ 3 x + xy + y = 5 ]] xy + 24 = x ; x; y ∈ y \ Resolución Resolución Z 3 ] xy – 6 = y ... (1) ] x [ 3 x ]] xy + 24 = ... (2) y \



⇒ (1) × (2): (xy – 6)(xy+24)=x2y2

(xy)2+18(xy) – 144=(xy)2 3 xy=8 ... (a) en (2): x = 32 ... (b) y 4 Luego (a) × (b): x =256 → x=4 ∧ x=–4



\ xmáx=4

Quinto UNI 156

3 3 3 3 )x + x y + y = 17... (1) x + xy + y = 5... (2)



De (2): x+y=5 – xy



→ (x+y)3=55 – (xy)3 – 3(5)(xy)(5 – xy)

x3+y3+3xy(x+y)=125–x3y3 – 75xy+15(xy)2

x3+y3+3xy(5–xy)=125–x3y3–75xy+15(xy)2

x3+y3+x3y3 = 18(xy)2 – 90(xy)+125

17=18(xy)2 – 90(xy)+125 0=(xy – 2)(xy – 3)



⇒ xy=2 ∨ xy=3



Si: xy=2 en (2) ⇒ x+y=3 )x = 1 )x = 2 y=2 y=1



Si: xy=3 en (2)⇒x+y=2⇒No hay solución real



\ El número de soluciones reales es 2

Colegios

TRILCE

Álgebra Problemas para la clase 6. Al resolver el sistema:





indicar el valor de: (x – y)



a) 0 d) 6

123

1. Dado el sistema: x3+y3=35 xy(x+y)=30 Determinar la suma de todas las soluciones reales para "x" e "y". a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

2. Indicar un valor de "xy" al resolver: x+y + x–y = 4 ) x2 – y2 = 9

a) 20 d) 10

b) 16 e) –16

c) 15

entonces se puede afirmar que:



a) "S" tiene un elemento b) "S" tiene dos elementos c) "S" tiene tres elementos d) "S" tiene cuatro elementos e) S = f

c) 4

2 2 )x + y + 4 (x – y) = 122 3 (x – y) + xy = 57



x2 – xy + y2 = 7 ) 2 2x + xy – y2 = 20



b) 2 e) 8

7. Determinar la suma de los valores absolutos de los elementos de los pares que son soluciones del sistema:

3. Si "S" es el conjunto solución del sistema:

(x + y) 3 + (x – y) 3 = 64 * y x2 + 3y2 = – 16 y

a) 60 d) 54

b) 58 e) 52

c) 56

8. Si el siguiente sistema: 'x + y + z = a x2 + y2 = z

tiene solución única, entonces el valor de "a", es:



a) – 2 3

2 b) – 1 c) 2 3

4. Determinar el valor negativo de "x+y+z", del sistema:



d) 1

e) 4 3

Z 2x y z xy yz + + = + ] ] 2y + x + z = xz + xy [ ] 2z + x + y = xz + yz ] x2 y2 z2 2 \ + + =

9. Si "S" es el conjunto solución del sistema:



a) 2 – 6 d) – 2 – 6

b) 1 – 6 e) – 3 – 6

2 2 )x + y = 10x – 24 x+1 = 2– y

c) – 1 – 6

5. El siguiente sistema:



a) "S" tiene un elemento b) "S" tiene dos elementos c) "S" tiene tres elementos d) "S" tiene cuatro elementos e) S=f

10. Si el sistema:

x+y+z = 2 2xy – z2 = 4



)



tiene una solución real de la forma: {(x0; y0; z0)}, entonces el valor de: (x0 – y0 – z0), es:



tiene solución única, entonces el valor de "a" es:



a) – 3 d) 2



a) 2 d) – 1

Central: 619-8100

)

b) – 2 e) 3

c) 0

x = y2 – 1 x2 – 2ax + a2 + y2 – 4 = 0

b) 1 e) – 3

c) 0

www.trilce.edu.pe 157

11. Si: x00 Indicar "a+b+c+d"



a) 0 d) 3

c) 2



Indicar como respuesta "a2+b2+c2"



a) 10 d) 7

b) 9 e) 6

c) 8

123

18. Sea el sistema de incógnitas "x" e "y":



Acerca de su conjunto solución "S", podemos afirmar:



a) n(S)=0 d) n(S)=3

b) n(S)=1 c) n(S)=2 e) n(S)>n; "n ∈ +

ax + y = 1 ... (1) 2+ 2 x by = 1 ... (2)



)



con solución única. Determinar el valor de: b - 1 b



a) 1 d) ab

14. Resolver:

b) a e) ab2

c) a2

19. El mínimo valor de "z" que satisface el sistema de ecuaciones:



3x2 + 2y2 =7 4 4 * 2 2 x +y = 3



a) {(1;

2 ), (1; - 2 ), (-1;

2 ), (-1; - 2 )}



b) {(2;

2 ), (2; - 2 ), (-2;

2 ), (-2; - 2 )}



c) {(3;

2 ), (3; - 2 ), (-3;

2 ), (-3; - 2 )}



d) {(4;

2 ), (3; - 2 ), (-3;

2 ), (-3; - 2 )}

20. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?



e) {(5;

2 ), (5; - 2 ), (-5;

2 ), (-5; - 2 )}





15. Resolver: Zxy + x + y = 23 ] [ xz + x + z = 41 ] yz + y + z = 27 \ Calcular: xz , siendo: x; y; z ∈ y



a) 8 d) 14

Quinto UNI 158

b) 1 e) 4

17. Resolver en +: Za (a + b + c) 5 = ] [b (a + b + c) = 10 ] c (a + b + c) 10 = \

13. Dado el sistema: 2x+3y+4z= 290 x2+y2+z2=10 x, y, z ∈

x2 + xy + y2 = 4 x + xy + y = 2

b) 10 e) 15





)

x + y = 12 x2 + y2 = z

a) 9 d) 72

b) 18 e) 144

c) 36

x = y = -7 x3 + y3 y -3 x2 - 3 2

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

+

c) 12

Colegios

TRILCE

Álgebra Tarea domiciliaria 6. Del sistema: x2+y2+6x+2y=0 x+y+8=0 Indique el mayor valor entero obtenido para "x". 123

1. Dado el sistema: 123

7 x + 2 y = 22 2 x + 3 y = 16 Hallar: x y b) 4–1



a) 4



3 d) 2–1 e) 2

c) 2

2. Al resolver el sistema: 123

3 y – 1= 4x – 10 y = x3 – 3x(x – 1) se tiene que x es: y

a) 2

1 d) x

b) 5 e) Todos

123

a) 6 d) – 6

b) 3 c) – 3 e) Hay dos correctas



)



es de la forma: C-S.={(a: b), (c; d)}, donde: a, b, c∈ Calcular "a+b+c+d"



x2 - y2 = 8 xy = - 3

a) -2 d) 1



)



)

2x + 2 = y - 2 y - 2 = (x + 1) 2

3

⇒ C.S. {(a; b), (c; d)}

x - 1+ y = 4 y3 = x - 1

1442443

a) 2 d) 5



x+y = 1 xz 15

)



siendo: 2x ≠ y



Indique "x"





a) 20 d) 15

a) ±1 d) ±4

b) 10 e) 40

c) 30

⇒ C.S. {(m; n)}

b) 3 e) 6

c) 4

14243

b) 3 – 6 e) – 1 + 6

x2 + y2 + 6xy = 153 2x2 + 2y2 - 3xy = 36

b) ±2 e) ±5

c) ±3

10. Resolver

5. El valor positivo de "x+y+z", obtenido del sistema: 2y+x+z=xz+xy 2x+y+z=xy+yz 2z+x+y=xz+yz x2+y2+z2=2 es:

Central: 619-8100

c) 0

9. Resolver el sistema:

y+z = 1 yz 20

a) 1+ 6 d) – 2 + 6

b) -1 e) 2

2 2 2 2 Calcular: a + b + c + d n-m



4. Del sistema: x+y = 1 xy 12



c) 2

8. Si tenemos el sistema y su respectivo conjunto solución:

3. A partir del sistema: x2+xy+xz=24 y2+yz+yx=8 z2+zx+zy=32 Hallar: x – y+z

b) – 4 e) 0

7. El conjunto solución del sistema:

c) 1 3

a) 3 d) – 2

c) 2+ 6

3x - 2y = 6 2x2 - 2y2 = 14



)



Indicar su conjunto solución.

16 9 9 16 a) '(4; 3), c ; m1 b) '(4; 3), c ; m1 5 5 5 5 9 16 c) '(3; 4), c ; m1 5 5

d) {(4; 3)}

16 9 e) ' c ; m1 5 5 www.trilce.edu.pe 159

13. Resolver el sistema:

11. Calcular "x" en el sistema:

x+y+z = a *(x + y) 2 - z2 = b2 (x + z) 2 - y2 = c2 Siendo: abc ≠ 0

b2 + c2 b) b2 - c2 a) 2a 2a

c) b2+c2

a2 + b2 + c2 d) a2+b2 e) 2



)



y a partir de las soluciones formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean los cuadrados de las componentes de una solución del sistema.



a) t2+4t - 2=0 c) t2 - 4t - 2=0 e) t2 - 4t=0

x2 + y2 - xy 2 = 2 x4 + y4 = 12

b) t2 - 4t+2=0 d) t2+4t+2=0

12. Resolver el sistema:

x = y = z =8 *2 3 6 x2 + y2 + z2 = 1



Calcular el valor de "xyz"



a) ± 63 7



d) ± 63 7

Quinto UNI 160

2

b) ± 63 7

3

5

e) ± 63 7

4

c) ± 63 7

6

Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. Calcular el área de la región: Zy G x 1 + ] ] y G –x + 1 [ ] –1 G x G 1 ]0 G y G 1 \



3. Hallar el mínimo valor de la función:

Resolución

Graficamos: y

⇒ Área= 2 (1) =1u2 2

1 x

Resolución

Graficando:

y=–x+1



y=x+1

y>240 – 4x

y>140 – 2 x 3 1 y>100 – 3 x x ≥ 0



2. Calcular el valor del área de la región definida por: Zy G x 3 + ] [ x + y G 4 ]x H 0 ; y H 0 \

z=4x+6y sujeto a: Z4x y > 240 ] + ] [ 2x + 3y > 420 ] x + 3y > 300 ]x H 0 ; y H 0 \

1

–1

7` 7 j 2 – 3 (3) = 31 u2 Área = 2 2 4

y=4 – x

4 3 –3

Q

x R=(300;0)

y = 240 – 4x = 140 – 2 x 3 x = 30 ∧ y = 120 ; ⇒ P = (30; 120)

* Cálculo de "Q":

y y=x+3

P

* Calculo de "P":



Graficamos:

M=(0; 240)

y ≥ 0



Resolución

y

(x0; y0) 4

x



y = 100 – 1 x = 140 – 2 x 3 3 ⇒ x = 120 ∧ y = 60; ⇒ Q = (120; 60)



Luego evaluando: z=4x+6y se obtiene:

x0 = 1

2 y0 = 7 2

M → z=4(300)+6(0)=1200

P → z=4(30)+6(120)=840

Q → z=4(120)+6(60)=840

Por diferencia de áreas:

Central: 619-8100

R → z=4(0)+6(240)=1440 \ zmín=840

www.trilce.edu.pe 161

4. Encontrar el valor mínimo de: z=2x – 3y, sujeto a las restricciones: Zx 2y G 10 ] + ] [ 2x + y G 11 xH0 ] ] yH0 \

6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fabricar para maximizar su ganancia? y ¿cuántas sillas?

Resolución



# de sillas a fabricar: x



# de mesas a fabricar: y

Resolución

por c/silla por c/mesa

Graficamos: Z 1 ] y G 5– 2 x ]] [ y G 11–2x ]x H 0 ] \y H 0



y (0; 5)

B

A (0; 0)

P ( 11 ; 0) C 2

x

y = 5 – 1 x = 11 – 2x 2 \ x = 4 ∧ y = 3 → P(4; 3)



Luego evaluando: z=2x – 3y, se obtiene:



A → z = 2(0) – 3(0) = 0



B → z = 2(0) – 3(5) = – 15



C → z = 2 c 11m – 3(0) = 11 2 D → z = 2(4) – 3(3) = – 1 \ zmín=–15



5. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El fabricante dispone de 3300 pies de madera y de 380 horas de mano de obra. El fabricante obtiene una utilidad de 3 dólares por cada silla y

Mano de obra hr 4 3

Z20x 50y G 3300 + ] ] [ 4x + 3y G 380 xH0 ] ] yH0 \

Cálculo de "P"

Madera pies 20 50

y la ganancia: G(x; y) = 3x+6y

Graficando: y

y= 380 – 4 x 3

(0; 66) P A (95; 0)

3

y=66 – 2 x 5

x



Cálculo de P: y= 330–2x = 380–4x 5 3



⇒ x=65 ∧ y=40 \ P=(65; 40)



Evaluando en "G"; se obtiene:

Gmáx = 435 = G(65; 40)

\ Se deben fabricar 40 mesas y 65 sillas.

Problemas para la clase 1. Determinar el máximo valor que asume: 2x+y, sujeto a: y ≤ x+2 ; y ≤ –x+3 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

a) 6 d) 20

b) 14 c) 15 e) 30

14243

2. Determinar: Máx (2x1+3x2) Sujeto a: x1+2x2 ≤ 6 5x1+3x2 ≤ 15 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Quinto UNI 162

a) 8 b) 9 c) 69 7 d) 10 e) 11 3. Hallar el máximo valor de: z=3x+6y, tal que: Z x + y G 80 ] ]] 2x + y G 80 2 [ xH0 ] ] yH0 \ a) 200 b) 300 c) 400 d) 480 e) 600 Colegios

TRILCE

Álgebra 4. Maximizar la función objetivo: F(x; y)=4x+3y+2, si se tienen las siguientes restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x+y ≤ 4; 2x – y ≤ – 1 e indique ese máximo.

a) 13 d) 18

b) 15 e) 14

c) 17

5. Elabore la gráfica del sistema: Z x 3y H 12 ] + [ –2x + y G 4 ] 8x 3y G 54 + \

a)

c)

b)

y

y

y

x d)

x y

8. En relación al siguiente problema; maximizar: Z=x1+1,5x2; sujeto a: Z2x + 2x G 160 2 ] 1 ] x1 + x2 G 120 [ ] 4x1 + 2x2 G 280 ] x H 0; x H 0 2 \ 1 Indique el valor de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:

I. No existe región admisible. II. El óptimo es en el punto (60; 20) III. Una solución admisible es el punto (40; 40)



a) V V V d) V V F

b) F F V e) V F F

c) V F V

9. Dadas las restricciones: Z x y H 12 + ] [3x + 2y G 30 ]x H 0 ; y H 0 \

e)

x

x



y



x

6. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Toda región factible siempre es acotada. II. Un problema de programación lineal siempre posee solución óptima. III. Existen siempre infinitas soluciones factibles. IV. En un problema de programación lineal puede haber infinitos soluciones óptimas.

a) V V V V d) F F F V

b) V F V F e) F V F F

c) F V V F

7. Maximizar la función: C(x; y)=3x+2y; sujeto a las restricciones: Z4x 3y G 230 ] + ] x – 2y G 30 ] [ 2y – 3x G 40 ] xG0 ] ] yH0 \ e indique ese valor máximo.

a) 160 d) 170

Central: 619-8100

Determinar la suma de las coordenadas del punto que minimiza a la función: F(x; y)=5x+2y (x ≠ 0 ∨ y ≠ 0)

b) 180 e) 90

c) 230

a) 6 d) 9

b) 12 e) 10

c) 8

10. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana; y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

a) 10 trajes y 20 vestidos b) 20 trajes y 10 vestidos c) 30 trajes y 20 vestidos d) 20 trajes y 30 vestidos e) 30 vestidos y 40 trajes

11. Un granjero tiene 480 Ha en la que puede sembrar cebada o maíz. Él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados los márgenes de utilidad y requerimientos siguientes: Maíz: Utilidad $40 por Ha Trabajo: 2h por Ha Cebada: Utilidad $30 por Ha Trabajo: 1h por Ha

Hallar la utilidad máxima.



a) 15 600 d) 17 600

b) 16 000 e) 18 200

c) 16 400

www.trilce.edu.pe 163

12. Las compañías Stock S.A. requiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo "A" y del "B". Cada unidad tipo "A" producirá una ganancia de $1, mientras que una del tipo "B" generara una ganancia de $1,20. Para fabricar un recuerdo tipo "A" se necesitan 2 minutos en la máquina I y 1 minuto en la máquina II. Un recuerdo tipo "B" requiere 1 minuto en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Stock S.A. para maximizar la ganancia?

a) A=48; B=84 c) A=65; B=42 e) A=40; B=68

b) A=60; B=32 d) A=72; B=50

13. La función: Z=5x+6y; representa el beneficio que se obtiene al vender "x" artículos de clase "A" e "y" artículos de clase "B", determinar cuáles son las cantidades que se deben vender de cada artículo para obtener el máximo beneficio, sabiendo que: x ≥ 0; y ≥ 0; x+y ≤ 5; 2x+y ≤ 9

a) 4 y 0 d) 3 y 4

b) 4 y 1 e) 1 y 3

c) 0 y 5

14. Una empresa fabrica dos clases de cuadernos; los rayados a S/.2 la unidad y los cuadriculados a S/.1,5, la unidad. En la producción diaria se sabe que el número de cuadernos cuadriculados no supera en 1000 unidades al número de cuadernos rayados, entre las dos clases no superan a 3000 unidades y los cuadernos cuadriculados no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria.

a) 5000; 2000 c) 2000; 1200 e) 5500; 2000

b) 5500; 1500 d) 3000; 2000

15. Para recorrer toda la ciudad de Machu Picchu, una compañía de transporte desea ofertar, como máximo, 5000 plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo "T" es de 30 dólares, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 dólares. El número de plazas del tipo "T" no excede de 4500 y el de tipo "P" debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo "T" que oferten. ¿Cuántas tienen que ofertarse de cada tipo para que la ganancia sea máxima?

a) 3800 de "T" y 1200 de "P" b) 4000 de "T" y 1000 de "P" c) 3750 de "T" y 1250 de "P" d) 3780 de "T" y 1220 de "P" e) 3900 de "T" y 1100 de "P"

Quinto UNI 164

16. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes y al menos el doble de pequeños que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 soles y la pequeña de 1 sol. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

a) 6 grandes y 12 pequeñas b) 8 y 4 c) 12 y 8 d) 6 y 4 e) 10 y 10

17. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa "A" le paga 0,5 soles por cada impreso repartido y la empresa "B", con folletos más grandes, le paga 0,7 soles por impreso. El estudiante lleva 2 bolsas: una para los impresos A, en la que cabe 120 y otra para los ingresos "B", en la que cabe 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 ingresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos ingresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

a) 50 A y 100 B c) 80 A y 70 B e) 0 A y 150 B

b) 150 A y 0 B d) 100 A y 50 B

18. Un constructor va a edificar dos tipos de edificios "A" y "B". Dispone de 600 millones de soles y el costo de cada edificio de tipo "A" es de 13 millones y 8 millones una de tipo "B". El número de edificios de tipo "A" ha de ser, al menos, del 40% del total y el tipo "B", el 20% por lo menos. Si cada edificio tipo "A" se vende en 16 millones y cada una de tipo "B" en 9, ¿cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

a) 40 tipo "A" y 10 tipo "B" b) 30 A y 20 B c) 25 A y 25 B d) 10 A y 40 B e) 20 A y 30 B

19. A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las inviertan en dos tipos de acciones: "A" y "B". Las de tipo "A" tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10%. La de tipo "B" son más seguras, pero producen solo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones "A" y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones "B". Además, decide que lo invertido en "A" sea, por lo menos, igual a lo invertido en "B". ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo? Colegios

TRILCE

Álgebra

a) 6 en "A" y 8 en "B" b) 6 y 3 c) 6 y 4 d) 5 y 6 e) 4 y 7

20. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G; 0,4 barriles de "C"

y 0,2 barriles de "T". La refinería ha contratado el suministro de 900 000 barriles de "G", 80 000 barriles de "C" y 50 000 barriles de "T". Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

a) 3 000 000 de crudo ligero y ninguno pesado. b) 3 000 000 de crudo pesado y ninguno ligero. c) 1 500 000 de ambos d) 200 000 de ambos e) 1 750 000 de ambos

Tarea domiciliaria 1. Maximizar la función: F(x; y)=2000x+5000y el gráfico de las restricciones es el siguiente: y (5;1) (0;–1)



a) 1500 d) 16 000

x (3;–3) b) 15 000 e) 1700

c) 1600

2. Minimizar la función: F(x;y)=6x+10y+3000 sujeto a las restricciones: Z0 # x # 1000 ] [ 0 # y # 700 ] 0 # x + y # 800 \

Indicar como respuesta el valor mínimo.



a) 7800 d) 10 000

b) 500 e) 5000

c) 4200

3. Al maximizar la función: F(x;y)=3x+8y, sujeta a las restricciones: Z4x + 5y # 40 ] [ 2x + 5y # 30 ] x $ 0; y $ 0 \

El máximo se obtiene en el vértice:



a) (0;6) d) (1;3)

Central: 619-8100

b) (0;3) e) (2;9)

4. Minimizar la función F(x;y)=2x+y, sujeto a: Z3x + y $ 3 ] ]] 4x + 3y $ 6 [ x + 2y $ 0 ]y $ 0 ]] \x $ 0 a) 2 d) 1

b) 2,4 e) 2,5

c) 3

5. ¿En qué punto de la región limitada por el polígono de vértices: (0;0), (0;800), (600; 400), (800; 200), (900; 0), la función: y F(x;y)= x + ; alcanza su máximo valor? 5 4

a) (800; 200) c) (0; 800) e) (1000; 800)

b) (600; 400) d) (800; 200)

6. Minimizar la función: Fx;y)=2x+3y, sujeto a las restricciones: Zx 2y $ 8 ] + ] 2x + y $ 7 [ ] 4x + 5y # 29 ] x $ 0; y $ 0 \

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

c) (2;1)

www.trilce.edu.pe 165

7. De las siguientes proposiciones respecto a la programación lineal.

I. Las restricciones de la desigualdad son polinomios de primer y segundo grado. II. El punto óptimo se encuentra en la región admisible III. La región admisible contiene puntos los cuales tiene alguna de sus coordenadas valor negativo. Son correctas: a) Solo I d) I y II

b) Solo III e) II y III

c) Solo II

8. Determinar el máximo valor de la función: F(x;y)=x+y, tal que:





Z3 y # 150 ] + ]] y# x 2 [ x $ 20 ] ] y $ 40; x; y ∈ + \ a) 100 b) 150 d) 250 e) 300

c) 200

a) F(x;y)=30x+40y b) F(x;y)=30x+40y Zx + y # 4500 Zx + y $ 4500 ] ] ]] x $ 5000 ]] x # 5000 [ [ y y ]x # 3 ]x # 3 ] ] x $ 0; y $ 0 x $ 0; y $ 0 \ \ c) F(x;y)=30x+40y

Zx + y # 5000 ] ]] x # 4500 [ y ]x # 3 ] x $ 0; y $ 0 \ Quinto UNI 166

d) F(x;y)=30x+40y Zx + y # 5000 ] ]] x $ 4500 [ y x # ] 3 ] x $ 0; y $ 0 \

e) F(x;y)=30x+40y

Zx + y $ 5000 ] ]] x # 4500 [ y x # ] 3 ] x $ 0; y $ 0 \ 10. Es una granja se preparan dos clases de alimentos tipo "P" y "Q", mezclando dos productos "A" y "B". Un saco de "P" contiene 8 kg de "A" y 2 de "B" y un saco de "Q" contiene 10 kg de "A" y 5 de "B". Cada saco de "P" se vende a 300 soles y cada saco de "Q" a 800 soles. Si en la granja hay almacenados 80 kg de "A" y 25 kg de "B", obtener la función objetivo y sus respectivas restricciones suponiendo que: x: Número de sacos de clase "P". y: Número de sacos de clase "Q".

9. Para recorrer un determinado trayecto una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: "T" (turista) y "P" (primera). La ganacia correspondiente a cada plaza de tipo "T" es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 euros, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 euros. El número de plazas tipo "T" no puede exceder de 4500 y el del tipo "P", debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo "T" que se ofertan. Calcular la función objetivo y sus respectivas restricciones suponiendo que: x: Es el número que se ofertan del tipo "T". y: Es el número que se ofertan del tipo "p".





a) F(x;y)=300x+800y b) F(x;y)=300x+800y

Z8x 10y $ 80 Z8x 10y # 80 ] + ] + [ 2x + 5y $ 25 [ 2x + 5y # 25 ] x $ 0; y $ 0 ] x $ 0; y $ 0 \ \

c) F(x;y)=300x+800y d) F(x;y)=300x+800y

Z8x 10y $ 80 Z8x 10y $ 25 ] + ] + [ 2x + 5y # 25 [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0; y $ 0 ] x $ 0; y $ 0 \ \

e) F(x;y)=300x+800y

Z8x 10y # 25 ] + [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0; y $ 0 \ 11. Una fábrica de motos y bicicletas debe producir al menos 10 motos al mes; por limitaciones en el almacén debe producir a lo más 60 motos y 120 bicicletas por mes, o de lo contrario debe producir 160 unidades de ambos tipos. Si la ganancia por moto es S/.134 y por bicicleta S/.20, ¿cuántas motos y cuántas bicicletas debe fabricar al mes para maximizar su utilidad?

a) 40 motos; 120 bicicletas b) 80; 80 c) 60; 100 d) 50; 90 e) 10; 120

Colegios

TRILCE

Álgebra 12. Una microempresa se especializa en vender dos tipos de artículos "A" y "B". Si "x" representa la cantidad de artículos producidos del tipo "A", "y" representa la cantidad de artículos producidos del tipo "B"; sujeta a:

14. Una compañía extrae materiales de un yacimiento. El número de libras de materiales "A" y "B" que puede ser extraído por cada tonelada de los filones I y II está dado en la siguiente tabla junto con los costos por tonelada.

123

2x+y ≤ 8 2x+3y ≤ 12 x ≥ 0; y ≥ 0

Mineral "A" Mineral "B" Costo por tonelada

Determinar la utilidad máxima determina por: U(x;y)=200(3x+y)

a) 3600 d) 3000

b) 2400 e) 2000

c) 1800

13. Juan tiene 24 hectáreas en los que puede sembrar trigo o maíz. Él calcula que tiene 40 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y requerimientos siguientes: Maíz: Utilidad: $ 40 por hectárea Trabajo: 2 horas por hectárea Trigo: Utilidad: $ 30 por hectárea Trabajo: 2 horas por hectárea

Hallare la máxima utilidad.



a) 600 d) 760

Central: 619-8100

b) 880 e) 800

Filón II 200 libras 50 $60



Si la compañía debe extraer al menos 3000 libras de "A" y 2500 de "B", ¿cuántas toneladas del filón I y del filón II deben ser procesadas con el fin de minimizar el costo?



a) 10 y 10 d) 11 y 9

b) 8 y 12 e) 14 y 6

c) 5 y 15

15. Un club social encarga a una empresa de transporte de viaje llevar a 1200 socios a ver la final de su equipo; la empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada viaje en el autobús es de $ 252 y el del viaje en microbús es $ 180. Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores, ¿cuál es el costo máximo del viaje?

c) 400

Filón I 100 libras 200 $50

a) $ 6125 d) 7000

b) 6000 e) 6336

c) 6002

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