Álgebra Superior - Murray R Spiegel

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ALGEBRA ALGEBRA SUPERIOR SUPERIOR MUf¡ray R. Spiegel Murray Spiegel

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601 problemas resueltos con so completamente detalladas. Incluye 487 problemas propuestos con solución.

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Abarca los aspectos teóricos y prácticos del álgebra. Entre los problemas resueltos figura la deducción de algunas fórmulas y teoremas.

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ALGEBRA SUPERIOR SUPERIOR ALGEBRA MURRA y R. SPIEGEL, SPIEGEL, Ph. D. MURRAY of Mathematics Professor of Rensse/aer Polytechnic Institute Rensselaer

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TRADUCCIÓN TRADUCCIÓN

YY ADAPTACIÓN ADAPTACIÓN

LUIS LUIS GUTIÉRREZ GUTIÉRREZ DIEZ DiEZ

Ingeniero de Armamento Armamento ANGEL ANGEL GUTIÉRREZ GUTIÉRREZ V ÁZQUEZ

Ingeniero de Armamento Armamento Licenciado en Ciencias Físicas Diplomado Nuclear Diplomado en Ingeniería Nuclear

McGRAW-HILL McGRAW-HILL MÉXICO. MÉXICO. BUENOS BUENOS AIRES. AIRES. CARACAS CARACAS.• GUATEMALA. GUATEMALA. LISBOA. LISBOA. MADRID. MADRID. NUEVA NUEVA YORK YORK SAN SAN JUAN. JUAN. SANTAFÉ SANTAFÉ DE BOGOTÁ. BOGOTÁ. SANTIAGO. SANTIAGO. SAO SAO PAULO. PAULO. AUCKLAND AUCKLAND LONDRES. LONDRES. MILÁN MILÁN.• MONTREAL MONTREAL •• NUEVA NUEVA DELHI DELHI •• SAN SAN FRANCISCO. FRANCISCO. SINGAPUR SINGAPUR STo STo LOUIS LOUIS •• SIDNEY SIDNEY •• TORONTO TORONTO

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Gerente de Producto: Carlos Granados Islas Supervisorade edición: Leticia Medina Vigil Supervisor de producción: Zeferino García García

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Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

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DERECHOS RESERVADOS © 1998, 1991, 1956 respecto a la primera edición en español por McGRA W-HILLlINTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Una División de The McGraw-Hill Companies Inc. Cedro Num 512, Col. Atlampa Delegación Cuauhtémoc 06450 México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editotial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN

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970-10-2172-X

(ISBN 968-422-925-9

1991-:'l9561

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Translated ofthe firts edition in English of SCHAUM'S OUTLINE OF COLLEGE ALGEBRA Copyrigh © MCML VI, by McGraw-Hill, Inc., U.S.A.

1,

ISBN 0-07-060-226-3

1402356789

Impreso

G.A.91

en México

09876543201

Printed

in Mexico

Esta obra se lenninó de Imprimiren Enero del 2001 en Litográfica Ingramex Centeno Núm. 162-1 Col. Granjas Esmeralda Delegación Iztapalapa 09810 México, D.F.

'Se tiraron

1500 ejemplares

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Prólogo Prólogo álgebra, de brillante brillante historia, historia, con con más más de tres tres mil años años de de antígüedad, El álgebra, antígüedad, muy muy bien bien pudiera pudiera consiconsiderarse como como el idioma idioma universal universal de la civilización. civilización. Constituye Constituye la la base base sobre sobre la que que se apoya apoya la alta alta mamaderarse temática y es el lenguaje lenguaje en que que se expresan expresan la ciencia ciencia y técnica técnica modernas. modernas. Problemas temática Problemas de de dificil dificil solución solución partir de un un planteamiento planteamiento aritmético aritmético se resuelven resuelven mucho mucho más más fácilmente fácilmente si se plantean plantean en en términos ténninos a partir algebraicos. algebraicos. Igual que que ocurre ocurre con con los idiomas, idiomas, el álgebra álgebra también también exige exige muchas muchas horas horas de de dedicación dedicación antes antes de de Igual que el estudioso estudioso pueda pueda considerarse considerarse versado versado en ella. ella. El viejo viejo adagio adagio de existe un de que que «no «no existe un camino camino de de que aprendizaje corto» corto» no no es una una excepción excepción en este este caso caso. . Para Para llegar llegar a «hablar» «hablar» con con soltura soltura este este idioma idioma es aprendizaje necesario adquirir, adquirir, ante ante todo, todo, una una idea idea clara clara y concisa concisa de sus principios principios fundamentales ponecesario fundamentales y, después, después, poseer una una gran gran dosis dosis de práctica. práctica. seer propósito de este libro libro es, en esencia, esencia, proporcionar proporcionar El propósito de este al alumno alumno los los conocimientos conocimientos necesarios necesarios para llegar llegar a dominar dominar este este campo campo fundamental fundamental de de la matemática. matemática. Además para Además de de servir servir como como libro libro de de texto texto alumnos de un curso curso medio medio de álgebra, álgebra, puede puede ser ser de considerable utilidad para aquellos aquellos otros otros que que a los alumnos de considerable utilidad para deseen repasar repasar sus sus principios principios fundamentales fundamentales aplicaciones como como introducción deseen y aplicaciones introducción a ulteriores ulteriores estudios estudios matemáticas, ciencias ciencias o ingeniería. ingeniería. de matemáticas,

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contenido del del libro libro se divide divide en capítulos capítulos que que abarcan abarcan todos todos los El contenido los conceptos conceptos clásicos clásicos de de la teoría. teoría. Cada uno uno de ellos ellos comienza comienza con con un resumen, resumen, a modo modo de de fonnulario, formulario, de Cada de las las definiciones, definiciones, principios principios y teoteoremas correspondientes, correspondientes, junto con con ejemplos ejemplos ilustrativos ilustrativos de los mismos. mismos. A continuación, remas junto continuación, figura figura una una cocolección de problemas problemas resueltos resueltos y otra otra de problemas problemas propuestos. propuestos. Los han elegido eiegido de de forma fonna lección Los primeros primeros se han que proporcionen proporcionen una visión visión clara clara de la aplicación aplicación correcta correcta de de los que una los principios principios enunciados. enunciados. Ilustran Ilustran y complementan teoría, ya que que la repetición repetición de los teoremas teoremas es de de importancia complementan la teoría, importancia vital vital para para conseguir conseguir una una enseñanza eficaz eficaz e iluminan iluminan con con potente potente foco foco aquellos aquellos conceptos conceptos que por su especial especial dificultad dificultad escapan escapan enseñanza que por generalmente al alumno, alumno, y cuya cuya ignorancia traduce siempre siempre en sentimiento sentimiento de de inseguridad. inseguridad. Entre Entre los los generalmente ignorancia se traduce problemas resueltos resueltos figura figura la deducción deducción de algunas algunas fórmulas fórmulas y teoremas. teoremas. El estudio estudio que que se hace hace de de mumuproblemas chas de las materias materias tratadas tratadas es más más profundo profundo y completo completo que que el que chas que se encuentra encuentra en en la mayoría mayoría de de los libros de texto; texto; su exposición exposición incluye incluye el número número complejo, complejo, la teoría teoría de de ecuaciones, ecuaciones, la combinatoria, combinatoria, libros cálculolo de probabilidades, probabilidades, determinantes y las series series infinitas infinitas. . La el cálcu los determinantes La finalidad finalidad de la presente presente obra obra es dar respuesta respuesta a cualquier cualquier selección selección de temas temas propuesta propuesta por por el profesor, profesor, servir libro de dar servir como como libro de consulta consulta estimular un ulterior ulterior interés interés del alumno alumno por materia que que aquí aquí se trata. y estimular por la materia trata.

M. Spiegel M . R. Spiegel

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Tabla de materias CAPITULO CAPITULO

PAGINA PAGINA

FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS...................... 1. OPERACIONES OPERACIONES FUNDAMENTALES 1. NUMEROS .. .. ...... .. . ... ..... .

1

'OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. . . . . . . 2. 'OPERACIONES

11 11

INTERES PRACTICO. PRACTICO. . .. . .................. . .......... . . . .... 3. PRODUCTOS PRODUCTOS DE INTERES

21 21

4.

26

DESCOMPOSICION EN FACTORES.. FACTORES . ......... . .... . . ....... . .. . .. .. .......... . DESCOMPOSICION o

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5. FRACCIONES............................. FRACCIONES 5. .. ................... . ..... . .. . ... .. .

35

6.

POTENCIACION yy RADICACION. RADICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . POTENCIACION

42

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7. RADICALES 7. RADICALES........... . .. . .... .. ................. .. .. . ... .... . ... ..... ..... . . ..

53 53

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. OPERACIONES NUMEROS COMPLEJOS.

63 63

9.

ECUACIONES EN GENERAL....... GENERAL. ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . .

67

10. FUNCIONES FUNCIONES Y GRAFICAS GRAFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lO.

75 75

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11. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES CON UNA INCOGNITA.. INCOGNITA.............................. 11. .. .. .. .. .............. . . . ...

87 87

12. SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES. . . . . . . .. .... ....... .. ... .. .. . .. . . . . .. . . 12.

100 100

13. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA INCOGNITA.... INCOGNITA................ 13. .... ........

110 110

ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS INCOGNITAS... INCOGNITAS o........... 14. ECUACIONES . .. . . ....... .

127 127

15. RAZON, RAZON, PROPORCION PROPORCION y PROPORCIONALIDAD . ............ . ... . .o........... 15. y PROPORCIONALIDAD ........ .. .

135 135

16. PROGRESIONES......... PROGRESIONES............................................................... 16. .. .... . ......... . . ... . . . ..............................

140 140

TEOREMA DEL BINOMIO BINOMIO DE NEWTON....................................... 17. TEOREMA NEWTON .... . .. ...... . ........ .. . . . .. . . . . . . ....

155 155

18. PRINCIPIO PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE INDUCCION INDUCCION COMPLETA......... COMPLETA....................... 18. .. .. .. . . ... . . .

163 163

19. DESIGUALDADES.... DESIGUALDADES.............................................................. 19. .. .. . ... . ........ .. .......... .... .. . .. . .. . .. .. . ...........

167 167

20.

172 172

FORMA POLAR POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS............................. FORMA NUMEROS COMPLEJOS. . .. .... . . .... ... .. .. ..... ...

21. TEORIA TEORIA DE ECUACIONES. ECUACIONES. . . ............ . . .. .. . ......... ....... ... ..... ....... 21.

182 182

22. LOGARITMOS........... LOGARITMOS 22. . .. . ......... . . ..................... . ... ... .. . . . .......

209 209

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23.

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INTERESES Y ANUALIDADES. ANUALIDADES. . . . . .. .... . .. . ..... ... . ....... .. ..... .. ....... .. INTERESES

221 221

24. . ......... . ............ ... .. ... ... ...... . . ... . .... ....... 24. COMBINATORIA...... COMBINATORIA

229 229

25. PROBABILIDADES.. PROBABILIDADES............................................................. 25. . ....................... . .................... .. . . . . .. ... ...

242 242

26. DETERMINANTES DETERMINANTES Y SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES. LINEALES. . . . ......... . ... 26.

252 252

27.

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DETERMINANTES DE ORDEN ORDEN n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. DETERMINANTES

260

28.. FRACCIONES FRACCIONES SIMPLES SIMPLES ......... : . ......... . ..... . .... ... ... . .... ~ . . . . . . . . . . . . . 28

275 275

SERIES INFINITAS. INFINITAS. .. . . . . ..... . . . . . . . .... . . . . . .... . . . . ....... . . . . . . . . ........ . . . . . . . . .... . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . ....... . . . . . .. 29. SERIES

280 280

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APENDICE APENDICE LOGARITMOS DECIMALES....... DECIMALES ... TABLA DE LOGARITMOS . ...... . . . . ....... .. . .. ..........

300 300

INTERES COMPUESTO. COMPUESTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. TABLA DEL INTERES

302 302

VALOR ACTUAL ACTUAL DESPUES DESPUES DE n PERIODOS.... PERIODOS..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... VALOR

303 303

CAPITAL DE UNA UNA ANUALIDAD....... ANUALIDAD CAPITAL .. .. .. . . ..... ... .. .... .o . . .... . ...o...... ... .. .

304

VALOR ACTUAL ACTUAL DE UNA ANUALIDAD.. ANUALIDAD...................................... VALOR . .......... . . . ....... ...... . ...... ..

305 305

INDICE '0·................................... INDICE... . .... . . ..................... ... ...... . ....... . ............. .. ...............

307

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CAPITULO CAPITULO 1

Operaciones Operaciones fundamentales con los números

CUATRO OPERACIONES OPERACIONES fundamentales fundamentales del álgebra y la aritmética aritmética son la suma, la resta, LAS CUATRO multiplicación y la división. la multiplicación SUMA. La suma, o adición, adición, de dos números números a y b se representa representa por por a SUMA. 5. bien 3 y 2, se escribe 3 + 2 == 5.

+ b. Por ejemplo, 3 más 2, o

sustracción o diferencia diferencia de un número número b de otro otro a se representa representa por por a-b. a-b. Por RESTA. La resta, sustracción ejemplo, 6 menos 2, o bien, de 2 a 6, se escribe 6 - 2 == 4. particular de la suma. Esto es, la diferencia a - b es un número número x tal que La resta es un caso particular x más b proporciona proporciona el número número aa:: x + b == a. Por ejemplo, 8 - 3 es un número número x tal que sumadonde 8 - 3 == 5. 5. do a 3 da 8, es decir, x + 3 == 8, de donde MUL TIPLICACION. TIPLICACION. producto de dos dos números números a y bes bes otro otro número número cy se representa representa así: a x b == c. MUL El producto operación de multiplicar multiplicar se puede indicar indicar mediante mediante una cruz, un punto punto o un paréntesis. paréntesis. Por La operación = 5·3 5·3 = = 5(3) = = (5)(3) (5)(3) = = 15, 15, en donde donde los números números 5 y 3 son los factores y 15 15 ejemplo, 5 x 3 = producto. Cuando Cuando se utilicen letras para para representar representar números, números, se debe evitar la notación notación p x q, q, el producto. confundir con una letra que pudiera pudiera representar representar a otro otro número. número. ya que el símbolo x se puede confundir DIVISION. Cuando Cuando se divide un número número a entre, o por, otro b, el cociente se representa representa así: a -:-:- b, a: a: b DIVISION. alb, en donde donde a recibe el nombre nombre de dividendo dividendo y b el de divisor. La expresión a/b ajb también también se deo a/b, nomina fracción, siendo. a el numerador numerador y b el denominador. denominador. nomina l(b), l(e).] l(e).] La división por cero carece de sentido. [Véanse Probs. l(b),

particular de la multiplicación. multiplicación. Esto es, el cociente a/b afb es un número número x La división es un caso particular multiplicado por b da lugar al número número a : bx == a. Por Por ejemplo, 6/3 es un número número x tal que tal que multiplicado multiplicado por 3 da 6, es decir, 3x == 6, de donde donde 6/3 == 2. 2. multiplicado CONJUNTO DE NUMEROS NUMEROS REALES REALES se establece, hoy en día, como resultado resultado de un proceso EL CONJUNTO gradual de aplicación aplicación de otros otros conjuntos conjuntos que vamos a reseñar a continuación. continuación. gradual 1) Números Números naturales naturales 1, 1, 2, 3, 4, ...... , (los puntos puntos suspensivos significan «y así sucesivamente») 1) para contar contar y que se denominan denominan también también números números enteros enteros positivos. La suma o que se utilizan para multiplicación de dos números números naturales naturales es siempre otro otro número número natural. natural. la multiplicación Números racionales racionales positivos o fracciones positivas. Son los cocientes de dos enteros enteros po2) Números positivos ofracciones 121/17. El conjunto conjunto dé los números números naturales naturales está incluido en el de sitivos; por ejemplo, 2/3, 8/5, 121/17. números racionales racionales positivos. positivos. Esto es, el el número número racional 3/1 3/1 es el número número natural natural 3. los números Números irracionales irracionales positivos. números no racionales racionales como, por ejemplo, 3) Números positivos. Son números

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j2, tt. j2, 1t.

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OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS LOS NUMEROS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS

°

Cero.. Se presenta introduce para ampliar el sistema sistema numérico, de forma forma que que 4) Cero presenta por por O y se introduce para ampliar numérico, de operaciones tales tales como como 6 - 6, 10 - 10, etc. etc. El cero cero tiene tiene la propiedad que se puedan puedan realizar realizar operaciones propiedad de que cualquier número multiplicado por da cero. cero. Cero Cero dividido dividido por cualquier número distinto de de cualquier número multiplicado por él da por cualquier número distinto cero (+0) (fO) es igual igual a cero. cero. cero negativos. Son Son los enteros, enteros, racionales irracionales antepuestos antepuestos del signo signo menos 5) Números Números negativos. racionales e irracionales menos de la resta como, por ejemplo, - 3, - 2/3 Y Y -)2. - fi. Se introducen introducen para ampliar el sistema sistema numéde resta como, por ejemplo, para ampliar numérico de forma forma que que se puedan operaciones tales tales como como 2 - 8, ¡¡ ¡¡ - 3¡¡, 2 - 2)2, 2fi, etc. ete. rico de puedan realizar realizar operaciones Cuando a un antepone signo signo alguno, alguno, se sobrentiende sobrentiende que que es positivo. Así, Cuando un número número no no se le antepone positivo . Así, pues, quiere decir decir + 5, )2 fi es +)2. + fi. El cero cero se considera considera como como un carente de de pues, 5 quiere un número número racional racional carente signo. signo. EL CONJUNTO CONJUNTO DE NUMEROS REALES está está formado formado por irracionales, DE NUMEROS REALES por los números números racionales racionales e irracionales, EL tanto positivos como negativos, cero. tanto positivos como negativos, y el número número cero. Nota. emplea para distinguir estos estos números de otros otros que que se caracterizan caracterizan Nota . La palabra palabra real real se emplea para distinguir números de por contener el 'término y que que reciben de imaginarios. imaginarios. Aunque Aunque estos estos últimos apapor contener término reciben el nombre nombre de últimos aparecen con suma suma frecuencia frecuencia en las matemáticas matemáticas y ciencias, ciencias, en general, general, mientras mientras no diga lo conconrecen con no se diga trario, trataremos trataremos con con números trario, números reales. reales.

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REPRESENT ACION ACION GRAFICA GRAFICA DE LOS LOS NUMEROS REALES. Los números REPRESENT DE NUMEROS REALES. Los números reales reales se pueden pueden representar mediante los infinitos infinitos puntos de una Para ello, ello, se elige elige un punto de de la misma misma puntos de una recta. recta. Para un punto representar mediante los que represente cero y que que se toma toma como como origen. Los enteros enteros positivos, ... , se que represente al cero origen. Los positivos, + 1, + 2, + 3, ... asocian con con los los puntos de la recta situados a distancias distancias 1, 1, 2, 3, ... ... , unidades, puntos de recta situados unidades, respectivamente, respectivamente , asocian a la derecha derecha del del origen origen (véase (véase figura), figura), mientras que los enteros enteros negativos negativos - 1, - 2, - 3, ..... . , se mientras que asocian con con los los puntos de la recta situados a 1,2, 1,2,3, 3, ..... . , unidades, asocian puntos de recta situados unidades, respectivamente, respectivamente, a la izquierda izquierda mismo. del mismo. RR PP I i I I II I -4 +3 +5 +3 +2 +2 -2 N-1 +4 o -2 "'-1 -3 -4 -3 -5 o S +1 'M M +

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II

°

esta escala escala, , por equidistante de de los los correscorresEl número número racional racional 1/2 se representa, representa, en esta por un un punto punto P equidistante pondientes situado una número negativo negativo --3/2, 3/2, o --li,1t, se representa representa por por un un punto punto R situado una pondientes al O y + 1. El número unidad media a la izquierda izquierda del origen. origen. unidad y media decir, pues, que a cada corresponde un solo puntq de la recta recta y, reSe puede puede decir, pues, que cada número número real real le corresponde un solo punt~ de re cíprocamente, que que a cada cada punto de la recta corresponde un solo número cíprocamente, punto de recta le corresponde un solo número real. real. LA POSICION POSICION DE DE LOS LOS NUMEROS REALES sobre sobre una establece un orden en en el conjunto conjunto LA NUMEROS REALES una recta recta establece un orden de dichos dichos números. está situado situado a la derecha derecha de de otro otro B de de la recta corresde números. Si un un punto punto A está recta el número númeró correspondiente mayor que que el correspondiente correspondiente a B, o bien, correspondiente menor pondiente a A es mayor bien, el número número correspondiente a B es menor que el correspondiente correspondiente Las expresiones expresiones «mayor «mayor que» que» y «menor «menor que» que» se 'representan 'representan por los a A. A. Las por los que símbolos > > y > 3; también también se dedePor duce que que 3 es menor menor que que 5, y se escribe escribe 3 < < 5. Análogamente, Análogarnente, como como - 6 está está a la izquierda izquierda de de - 4, 4, duce -6 es más más pequeño que -4, es decir, decir. -6 < --4; también se deduce deduce en este este caso caso que que -4> -4 > -6. -6 pequeño que -6 < 4; también EL VALOR VALOR ABSOLUTO ABSOLUTO de de un número es el el correspondiente correspondiente signo EL un número al número número prescindiendo prescindiendo del signo que le afecte. afecte. El valor valor absoluto absoluto se representa representa encerrando encerrando el número entre dos dos barras verticales. que número entre barras vertica les . Por Por ejemplo, ejemplo, 1-61 = 6, 1+41 1+41 = 4, 1-3/41 = 3/4. íí

PROPIEDADES DE LA LA SUMA SUMA Y DE DE LA MUL MULTlPLlCACION PROPIEDADES DE TIPLICACION Propiedad conmutativa conmutativa suma. . El orden orden de los sumandos sumandos no altera el valor valor de de 1) Propiedad de la suma no altera suma. . la suma Es decir: a + b = b + a, decir: 5 + + 3 == 3 + 5 == 8.

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OPERACIONES CON OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS NUMEROS

Propiedad asociativa pueden agrupar 2) Propiedad asociativa de de la suma. suma. Se pueden agrupar los sumandos sumandos de de cualquier cualquier forma forma sin modifique el valor valor de sin que que se modifique de la suma. suma. a

+

b

+

e = a

+

(b + e) = ((1 b) + e. (a + b)

3 + 4 + 1 = 3 + (4 (4 + 1) 1) = (3 (3 + 4) + + 1= 8

conmutativa de de la multiplicación. 3) Propiedad Propiedad conmutativa multiplicación . del producto. producto. ( a'l '

El orden orden de los los factores altera el valor factores no no altera valor

2'5=5'2=\0 2· 5 = 5' 2 = 10

b = = b' b : a, a,

Propiedad aso( multiplicación. Se pueden pueden agrupar 4) Propiedad aso. ,ativa .ativa de la multiplicación. agrupar los los factores factores de cualquier cualquier forma modihque el valor valor del producto. producto. forma sin que que se modifique 3' 4· 3(4' 6) = (3' (3 . 4)6 = 72 72 3' 4· 6 = 3(4'

abe abe = = a(be) a(be) = = abre), ab(e),

5) Propiedad Propiedad distributiva multiplicación. El El producto producto de un número número a por por la suma distributiva de la multiplicación. suma de productos ab yac de otros otros dos dos (b + e) es igual igual a la suma suma de de los los productos ab y ac,. a(}:. .¡. e) = ab ab + ae, (I(b

4(3 + 2) = 4' 4' 3 + 4' 4' 2 = 20

Estas propiedades propiedades son una generalización pueden Estas son susceptibles susceptibles de de una generalización. . Quiere Quiere esto esto decir decir que que se pueden sumar los números a, b, e, d, e, agrupándolos en un un orden por ejemplo, sumar los números agrupándolos orden cualquiera cualquiera como, como, por ejemplo, (a + b) (d + e), a + (b + e) + (d Análogamente, en la multiplicación, multiplicación, se puede puede b) + e + (d (d + e), etc. etc. Análogamente, poner (ab)c(de), bien, a(be)(de), resultado independiente realice poner (ab)c(de), o bien, a(bc)(de), siendo siendo el resultado independiente de de la forma forma en en que que se realice el el agrupamiento. agrupamiento. REGLAS DE DE LOS LOS SIGNOS REGLAS SIGNOS 1) Para Para sumar números del mismo mismo signo valores absolutos sumar dos dos números signo se suman suman sus sus valores absolutos y se antepone antepone al resultado resultado dicho Por ejemplo, dicho signo signo común. común. Por ejemplo, 3 + 4 = 7, (-3) (- 3) + ((--4) 4) = -7. - 7. Para sumar números de valores 2) Para sumar dos dos números de signos signos diferentes diferentes se efectúa efectúa la diferencia diferencia entre entre sus sus valores absol utos y se antepone resultado el signo mayor valor valor absoluto. absolutos antepone al resultado signo del del sumando sumando de de mayor absoluto. Ejemplos. Ejemplos.

3)

17 + ((-8)8) = = 9, 17

(-6) (-6)

+

4 == -2, -2,

(-18)+ (-18) + 15=-3 15 = -3

Para restar restar un un número número b de Para de otro otro a, se cambia cambia el signo signo de de b y se le suma suma a.

Ejemplos. Ejemplos.

12 - 7) = 5, 12 - (7) = 12 12 + ((-7)=

((-9) - 9) - (4) = --99 + (13, (-4)4) = --13,

- 8) = 2 + 8 = 10 2 - ((-8) 10

Para multiplicar multiplicar (o dividir) números del mismo mismo signo multiplican (o dividen) 4) Para dividir) dos dos números signo se multiplican dividen) sus sus ltado el signo más (o no no se pone pone signo). valores absolutos valores absolutos y se antepone antepone al resu resultado signo más signo). Ejemplos. Ejemplos.

15, (5)(3) = 15,

(-5)(-3) = 15, 15, (-5)(-3)

-6

-3= 2 -3=

Para multiplicar multiplicar (o dividir) números de multiplican (o dividen) 5) Para dividir) dos dos números de signos signos diferentes, diferentes, se multiplican dividen) sus valores absolutos resultado el signo menos. sus valores absolutos y se antepone antepone al resultado signo menos. Ejemplos. Ejemplos.

= -- 18, 18, ( - 3)(6) =

(3)( (3)( -6) -6) = = -18, -18,

-12 -12 4

-==

-3

POTENCIAS Y EXPONENTES. EXPONENTES. Cuando un número número a se multiplica multiplica consigo mismo n veces, veces, el POTENCIAS Cuando un consigo mismo el producto a . a . a .•. veces) se representa representa por por el símbolo producto ... a (n veces) símbolo a a"n que que se lee «potencia «potencia enésima enésima de de a» a» o bien bien «a elevado potencia n» o todavía todavía «a a la n». elevado a la potencia

Ejemplos. Ejemplos.

(-w (-w

2'2'2'2'2 2'2'2'2'2 = 25 = 32, = (-5)(-5)(-5) (-5)(-5)(-5) = -125 -125 3b 2 , 2' X' X' X' x = 2x a' (a - b)(a 2' X' 2x33, , a' a' a' a' a' b· b· b = a a'b", b)(a - bita b)(a - b) b) = (a - b)3

En la potencia potencia aa",n , el número número a recibe recibe el nombre nombre de número positivo positivo y entero En de base base y el número entero n el de de exponente. exponente.

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OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS

4

PROPIEDADES LAS POTENCIAS. PROPIEDADES DE DE LAS POTENCIAS.

son enteros enteros y positivos, Si p Y q son positivos, se verifica: verifica:

1) ú"a" = ap + q

aP 2) -a" = aP -

q

1

= a"--P

3344

si a ..t. -r O

jb = ~ =

1 1 = 322 - 4 = 36-4

1. 1b a b e:

OPERACIONES CON FRACCIONES. OPERACIONES CON FRACCIONES.

efectúan teniendo en cuenta cuenta las las reglas siguientes: : Se efectúan teniendo en reglas siguientes

IT

de una fracción no altera si se multiplican denominador por 1) El valor valor de una fracción no se altera multiplican numerador numerador y denominador por un un mismo distinto de de cero. cero. mismo número número distinto

i

Ejemplos. ~ Ejemplos.

3,2 3,2 4,2 4,2

6

15 18

8'

15 18

-7-7-

3 3

d

5

''66

e

cambia el signo signo del del numerador, denominador, fracción, , ésta ésta cambia cambia 2) Si se cambia numerador, o el del denominador, de una una fracción de signo. signo. de

Ejemplo. Ejemplo.

-3

3 5

5 5

3

-5

La suma suma de de dos dos fracciones fracciones del mismo denominador es igual igual a una fracción que que tiene 3) La mismo denominador una fracción tiene por por numerador suma de los los numeradores denominador dicho denominador denominador común. . numerador la suma numeradores y por por denominador dicho común

Ejemplo. Ejemplo.

3

4

5'5" + 5'5"

x

2.

E a b

3+4 7 = -55" = 5 - == 5'

d

se efectúa una vez que 4) La La suma suma de de dos dos fracciones fracciones de de distinto distinto denominador denominador efectúa como como en 3) una que las fracciones fracciones a un denominador común. . se hayan hayan transformado transformado las un denominador común

l'

a

b

Ejemplo. Ejemplo. de dos dos fracciones fracciones es otra otra fracción fracción cuyo cuyo numerador de 5) El producto producto de numerador es igual igual al producto producto de los numeradores denominador igual al producto los denominadores. denominadores. igual producto di! d~ los los numeradores y el denominador

d e

E··

lI ~empos. ~emp os.

2 4

"3"3'' 5'5"

2, 2'44 3, 5 3,

88

15'

3 8

3, 8 3,

¡¡.9 . 9" = 4 . 9 =

24 24 36 =

2

"3

de una fracción es la fracción fracción cuyos cuyos numerador denominador son, res6) El recíproco recíproco de una fracción numerador y denominador son, respectivamente, denominador y numerador de la fracción fracción dada. dada. Así, de 3 (es pectivamente, el denominador numerador de Así, pues, pues, el recíproco recíproco de decir, 3/ 3/1) 1/3. Análogamente, los recíprocos de 5/8 5/8 y - 4/3 son 8/ 8/55 y - 3/4, 3/4, respectivamente. 1) es 1/3. Análogamente, los recíprocos de 4/ 3 son respectivamente. decir, dividir dos dos fracciones fracciones se multiplica de la la segunda segunda 7) Para Para dividir multiplica la primera primera por por el recíproco recíproco de e a ad d . a c ad 2 4 2 5 10 5 EJemplos. b b -7- d d =b b . = bc' be' "3 -7- 5'5" = "3 •• ¡ 4' = 12 = '6 Ejemplos.

j

h

ee

p

a

expresar como como sigue sigue: : b b El resultado resultado se puede puede expresar

ce

-7-

afb alb . bd ad a/b a/b -¡j= c/d = c/d c/d, , bd = bc be {¡=

k

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CON LOS NUMEROS OPERACIONES. FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES OPERACIONES. CON NUMEROS

5

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS I. 1.

Hallar la suma suma S. diferencia diferencia D. producto cociente Q Q de de cada cada uno de los los siguientes siguientes pares de números: números: a) a) 48.12; 48.12; Hallar producto P y cociente uno de pares de b) 8, O: b)

e) O, O, 12; e)

a) a)

= 48 S =

b)

S = 8

+ +

d) 10. 20; 20; d)

O = 8.

e) O, O, O. O. e)

D == 48 - 12 == 36. D

= 60. 60. 12 =

8. D = 8 - O = 8,

P = = 48(12) 48(12) = = 576.

o.

P = 8(0) = O,

48

48 -7 12 12 = -12 = 4 Q = 48.;-

.

.

12 8 Pero. , por definición. O Pero por definición.

8

Q == 8 .;-7 O, 0.0 o bien ~ Q bien O

O

número x (si existe) existe) de forma forma que que x(O) = 8. Ahora número tal no no existe, existe, ya que que todo todo número número es un número x(O) = Ahora bien, bien , un número multiplicado por da cero. cero. multiplicado por O da O O e) S = O + 12 = 12, D -12, P 0(12) = O, O, O e) D = = O - 12 = -12, P = 0(12) Q == -- == O 12 d)

S = 30, S= = 10 + 20 =

e) e)

= O+ O= = O, O, S =

D -10, D = 10 - 20 = -10, D O, D == O - O == O,

P = 10(20) 10(20) = 200, 200,

P 0(0) = O, O, P = 0(0)

10

20 20

-7 20 = Q = 10 .;O O

O es O

Q = O .;-7 O, O, o bien Q bien

1

= "2

por definición un un número número por definición

.

a

x (si existe) existe) tal que que x(O) = O. O. Como Como esto esto ocurre ocurre para Iodos los los números números x, valor del cociente cociente x(O) = para lodos x, el valor

O O

O es O

indeinde-

terminado. terminado. De De

2.

b) y e) e) se deduce deduce que que la división división por cero es una una operación operación que que carece carece de sentido. sentido. b) por cero

Efectuar las siguientes siguientes operaciones operaciones indicadas. indicadas. Efectuar a) 42 + 23. 23, 23 + 42 a) h) 11). (27 + 48) 48) + 12 12 27 + (48 + 12). h) c) c) d) d)

e

e

e)

125 - (38 + 27) 6'8,8, 8·6 8·6 6' 4(7' 6). (4' (4' 7)6 4(7'

+

f)

f)

35·28 35·28

i)

72 -7 24 72.;-

¡r)

-7 21 756 .;21

j) j)

4 -7 2 4.;-

h)

(40 + 21)(72 - 38) (40+21)(72-38) (32 - 15)

k) k)

128 -7 (2'4), (2' 4), (128.;(128 -7 2)'4 2)' 4 128.;-

h)

64 .;-7 16

+ 6 .;-7 3 - 2 -7 .;- 2 + 3 . 4

a) a)

65. Luego Luego 42 + 23 = 23 + 42. 42 + 23 = 65. 23 + 42 = 65. Este es un ejemplo ejemplo de la propiedad conmutativa de la suma. suma. Este propiedad conmutativa

h) h)

87. (27 + 48) + 12 12 = 75 + 12 12 = 87. Luego Luego 27 27 + (48 + 12) = = 27 + 60 = 87, Este es un ejemplo de la propiedad propiedad asociativa asociativa de la suma. suma.' ' Este un ejemplo

e) e)

125 - (38

d) d)

6' 8 = = ?8. 48.. Luego Luego 6 . 8 = = 8 . 6. ejemplo ejemplo de la propiedad conmutativa de la multiplicación. multiplicación. 6' ~8. 8 . 6 == 48 propiedad conmutativa

+

4(7' 6) = 4(42) 4(42) == 168. (4' (4' 7)6 = (28)6 = 168. Luego Luego 4(7' 4(7' 6) = (4' (4' 7)6. 4(7' Este ejemplo de la propiedad asociativa de Es~ es un ejemplo propiedad asociativa de la multiplicación. multiplicación.

/) f)

(35)(28) = 35(20 35(20 (35)(28) plicación. plicación.

¡r)

TI TI

h) h)

= = 36

(48

+

12) = (27

48) + + 48)

12.

= 125 - 65 = = 60. 27) =

e) e)

756

+

+

35(20) 8) = 35(20)

+

35(8) = 700 35(8)

+

distributiva de la multimulti280 = 980 por por la propiedad propiedad distributiva de

Comprobacion : 21 11 . 36 = = 756 Comprohación: 22

21)(72 - 38) = (61)(34) (61)(34) = ~~ 61.2 = 122 (40 + 21)(72 ~~ = 61.2 17 JlI (32 - 15) 17 YI

Los cálculos cálculos aritméticos. aritméticos. por convenio. obedecen obedecen a la siguiente siguiente regla: regla: las operaciones operaciones de multiplicar multiplicar y dividir dividir i) Los por convenio. preceden sumar y restar. restar. preceden a las de sumar Luego 72 .;-7 24 + 64 .;-7 16 = = 3 + 4 = = 7. Luego j) j)

Aplicando la regla regla i) tendremos tendremos 4.;4 -722 + 6 .;-7 3 - 2 .;-7 2 + }..:. 3-.:.4 12 = = 15 15.. Aplicando 4 == 2 + 2 - 1 + 12

k) k)

128 -7 (2'4) (2'4) = 128 -7 8 = -7 2)'4 2)'4 = 64·4 64·4 = 256. 128.;= 128.;= 16. (128 .;escribe 128 .;-7 2 . 4 sin paréntesis, sabría orden de de las operaciones. operaciones. Si se escribe páréntesis. no se sa bría del orden

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OPERACIONES

6 3.

FUNDAMENTALES

CON LOS NUMEROS

Clasificar los siguientes números según las categorías: número cional, número irracional, ninguna de las anteriores. - 5,

3/5,

3n,

2,

-1/4,

Entero positivo

Número real -5

.¡

3/5

,¡

37t

,¡

2

,¡

F, 0,3782,

6,3, O, .)5,

Si el número pertenece a una o más categorías,

real, entero positivo, entero negativo,

Entero negativo

Número racional

,¡

,¡

y

-18/7

8.

Ninguno de los anter.

Número irracional

el .¡

.¡

.¡

,¡

,¡

O

.¡

,¡

.¡5

,¡

9.

a) b)

,¡

e)

,¡ ,¡ ,¡

,¡

,¡

-18/7

d)

.¡

,¡

/4

H: b)

r-I 0,3782

E

a bl

.¡

.¡

6,3

ra-

indíquese por medio de una señal.

,¡

-1/4

)4,

número

10.

,¡

Ef, a)

4.

Representar

(aproximadamente)

los números

t-

~

I -6

-5

~ ..•I -4)

Ordenar

+2

e)

-4,

J)

n, 3

(o -1

g)

J7, 3

h)

-fi,-1

i)

-3/5,

n.

Ca a)

reales siguientes:

-1/2

b) e)

2), es decir, 2 es menor que 5 (o 5 es mayor que 2)

(o 2> O) -1

o » entre cada uno de los pares de números

« -3

entre 2 y 3.

< 3)

(o -3>

e)

-4

< -3

f)

n > 3 (o 3 < n)

g)

3>

J7

(o

J7

-4)

i)

-3,22/7,.)5,

-3,2, O;

a)

-3,2 < -3 < O

d)

-.j2)

ya que -0,6 < -0,5

e)

< 3)

los siguientes grupos de números reales disponiéndolos

a)

h)

i)

de menor a mayor.

-3/2.

-)3

< -1,6 < -3/2

<

j)

-.j2

reales. -3,14,2,83,

-3/8,

-l!,

+5/7

12.

Tn cae a)

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77

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON LOS LOS NUMEROS NUMEROS OPERACIONES CON

Los valores valores absolutos absolutos de de los los números números dados dados se se representan representan por por Los 1-11, 1-11,

31, 12/51, 1+31, 12/51, 1+

I-fil, I-fil·

4 1, 1-3,141, 1-3,1

I-nl, I-nl.

3/ 8 1, 12,831, 11-3/81, 12,831,

5/ 71 1+5/71 1+

su valor valor es es igual igual aa 1, 1, 3, 3, 2/ 2/5, .)2, 3,14, 3,14, 2,83 2,83,, 3/8, 3/8, nn,, 5/7. 5/7, respectivamente. respectivamente. yy su 5, .j2,

8. 8.

Efectuar las las sumas sumas y restas de los los números números reales siguientes siguientes:: Efectuar a) a) b) b) e) e)

9.

(-3) + (-8) (-8) == -11 -11 (-3) (-2)+3=1 (-2)+3=1 (-6) + 33 = = -3 -3 (-6)

S=-2+2=0, S=-2+2=0,

D=(-2)-2=-4, D=(-2)-2=-4,

S=(-3)+6=3, b) S=(-3)+6=3 ,

11)

P=(-2)(2)=-4, P=(-2)(2)=-4,

D=(-3)-6=-9, D=(-3)-6=-9,

a) --2,2; 2, 2;

Q=-2/2=-1 Q=-2/2=-1

P=(-3)(6)=-18, P=(-3)(6)=-18 ,

Q=-3/6=-1/2 Q=-3/6=-1 /2

e) e)

S = O + (- 5) = - 5,, S=0+(-5)=-5

d)

(-5) + 0= 0= -5, -5, D = (-5) (-5) - O = -5, -5, P = (-5)(0) (-5)(0) = O, O, Q = -5/0 -5/0 no está definida definida la operación. operación. S = (-5)

D = O - (- 5) = 5, D=0-(-5)=5,

P = (0)( - 5) = O, P=(0)(-5)=0,

Q = O/ -5=0 - 5 = O Q=0/

Efectuar las siguientes siguientes operaciones: operaciones: Efectuar a) a)

(5)(-3)(-2) (5)(-3)(-2) = = orden de los El orden

b) b)

8(-3)(10) = -240 8(-3)(10) -240

e))

8(-2)+(-4)(-2)=-16+~=4+4=8 8~42) + (-4~-2) = -=-~6+ ~ = 4 + 4 = 8

e

d d))

ll. 11.

50 50 - 23 23 -- 27 27 = O O -3-(-4)=-3+4=1 -3-(-4)=-3+4=1 i)i) -(-14) + (-2) -(-14) (-2) = 14 14 -- 2 = 12 12

g) g)

Hallar la suma S, diferencia diferencia D, producto producto P y cociente cociente Q de los los siguientes siguientes pares pares de números números reales: Hallar -3,6; O, -5; -5; d) d) -5, -5, O. O. b) -3,6; e) O, a)

10.

-2 + 55 == 33 -2 -15+8=-7 -15+8=-7 (-32)+48+(-10)=6 (-32) + 48 + (-JO) = 6

d) d) e) e) f) f)

-4

[(5)(-3)](-2) [(5)(-3)](-2) = (5)[(-3)(-2)] = (5)[(-3)(-2)] factores no altera altera factores

2

-4

(-15)(-2) (-15)(-2) = 30 (5)(6) = 30 el producto. producto.

2

12(-40)(-12) = 12(-40)(-12) 12(-40)(-12) = 12(-40)(-12) 12(-40)(-12) = -960 12(-40)(-12) -960 5(-3) -15 -6 5(-3) _- 3(-3) 3(-3) -15 - (-9) (-9) -6

Calcular: Calcular: 52 . 53

a) a)

233 = 2·2·2 2.2.2= 8

b) b)

5(3)' 5(3)2 = 5' 5' 3 . 3 = 45

e) e)

10 = 1024 2244. . 266 = 24+6 = 22'0 =

d) d)

25s. , 52 = = (32)(25) (32)(25) = 800

e)

- 2- = -

34 . 33

37

55 5s

---s" = 57 5' = 5'

1 57-7 5- S =

lI

25 52 = 25

= 37 - 2 = 3s = 243

i)

3 32 4 2 (3 )3. (3 )4 (-3)'s . 34

j)

JS - 26 +

38

f)f)

4 2 • 24

3'2. 38 320 _3's, 34 = - 3'9 = -3' = -3 ..

3(-2)3 = 33 -

42

22

+ 3(-8) = 27 - 4 - 24 = -1

12. 12. Transformar Transformar las las funciones funciones siguientes siguientes en en otras otras equivalentes equivalentes cuyo cuyo denominador denominador sea sea el el número número que que se se indica indica en en cada cada caso. caso. a) a)

1/3; 1/3; 66

b) b)

3/4; 3/4; 20 20

e) e)

5/8; 5/8; 48 48

d) d)

-3/7; -3/7; 63 63

e) e)

-12/5; -12/5 ; 75 75

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8

OPERACIONES

a)

b)

e)

13.

Para obtener el denominador l 1 2 2 Tendremos - = -' - = 3 3 2 6 3

3·5

15

4

4'5

20

5

5·6

30

8

8'6

48

-=-=-

6. multiplicamos

CON LOS NUMEROS

el numerador

d)

de la fracción

1/3 por 2.

3

3'9

27

7

7·9

63

12

e)

IS.

180

12' 15

-T15=

5

16.

75

Calcular la suma S. diferencia D. producto P y cociente Q de cada uno de los pares de números guientes: a) 1/3, 1/6; b) 2/5. 3/4; e) -4/15. -11/24. a)

1/3 se puede sustituir

por la fracción equivalente

1 1 2 1 S=3+6=6+6=6='2 1 1 D=---=---=-

3

b)

2

1

3

D

8

3

= S- 4=

-4/15

15

8 20 -

Y -11/24

D

a)

20 = - 20

11

las siguientes

Q

32 120

expresiones.

+

3x - 2y - 4z

e)

4x2y=4(2)2(-3)=4'4'(-3)=

3(2) - 2(-3)

d) e)

(::)2 _ 3(~)'

(2.)2

- 3

3

2/5 3/4

4

8

=

2

18.

= "5. 3 = 15 120:

87

29

120

40

-4/15

= -32/120.

3. z = 5.

19.

= (- 15)( - 2"4) = 90 20.

Q =

= -

= -55/120.

41111

P

-4/15

2. )'

-11/24

(J

= 1/2. b

-=11/24 = -

4

= 1-15)(

2/3.

-il)

24

32

=

55 21.

+

6 - 20

=

-8

22.

-48

2' + 4( - 3) 2a _ 3b = 2(1/2.) - 3(-2/3)

=

6

a

- 4(5) = 6

x' + 4y

a

=

17.

3

1

b)

y

6

55 23 120 = 120

siendo .r

2x+y=2(2)+(-3)=4-3=

=

g

= (S)(4)= 20 = \O

7

= (- 15) - (- 2"4) = -

Calcular

2 3

P

tienen por mínimo común denominador

4

j

1

2/5 = 8/20. 3/4 = 15/20

20:

23 20

15

si-

= (3)(6) = 18

1/3 1 6 Q=-=-'-=-=2 1/6 3 1

1

6

S + 4 = 20 + 20 = 2

e)

2

1 1

P

666

racionales

2/6.

l

3

2/5 Y 3/4 se pueden expresar con denominador

S=

14.

FUNDAMENTALES

8 -

a

12

4 3

= 1+2' =

_ 3(-2/3)3

1/2

= (_

~)2 _ 3(-

3

b ~)3 = ~ _ 3(3 9

~~) = ~ 27 9

+

~4 = ~ 9 9

23.

C

d

24. 1

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OPERACIONES

FUNDAMENTALES

CON LOS NUMEROS

9

PROBLEMAS PROPUESTOS 15.

Hallar

Q de cada uno de los siguientes

la suma S, diferencia D, producto P y cociente b) 4, O; e) 0, 4; d) 12, 24; e) 50, 75.

pares de números:

a) 54, 18;

16.

Efectuar

a)

es si-

b) e) d)

e) f) g)

17.

18.

indicadas

Colocar adecuadamente a)

4, 3

b)

-2,

Ordenar

°

e)

-8,-7

d)

3, -2

f)

1,

-2,

.j6,

-2,8,

Calcular:

o » entre cada uno de los siguientes pares de números reales:

«

J2

+ (-6)

d) 6

4, 7/2

g)

-3,-JII

h)

-1/3,

b)

de los siguientes

e) (-4)

5

b) (-4)

21.

1)

el signo de desigualdad

20.

+

k)

45 -;- 15 + 84 -i- 12 10 -i- 5 - 4 -i- 2 + 15 -r- 3 + 2· 5 112 -i- (4' 7), (112 -i- 4)· 7 15 + 3' 2 9 _ 4 -i- 2

-2/5

de menor a mayor los números de los grupos de números

-)3,

a) 6

i) j)

-1,2

Escribir el valor absoluto -n - 1.

55

(35 - 23)(28 + 17) 43 _ 25

h)

e)

19.

32

siguientes:

38 + 57, 57 + 38 15 + (33 + 8), (15 + 33) + 8 (23 + 64) - (41 + 12) 12· 8, 8· 12 6(4' 8), (6' 4)8 42·68 1296 -;- 36

a)

1120.

las operaciones

+

+ 3 (-4)

e)

f)

números

-8 + 4 -4 + 8

)8,

2n, -6,

reales:

h) 40 -

-3n,

2, -3/2,

+

g) (-18)

reales siguientes:

12

(-3) 4

+

22

+

4,8, 19/3

-.j6,

j4,

+3,14,0,5/3,

i) -12 - (-8) j) -(-16) - (-12)

-0,001,

+ (-5)

Hallar la suma S, diferencia D, producto P y cociente Q de cada uno de los siguientes pares de números 12,4; b) -6, -3; e) -8,4; d) 0, -4; e) 3, -2.

-

15

reales:

a)

22.

Efectuar

las operaciones

indicadas

a) (-3)(2)(-6) b)

23.

e) d)

(6)(-8)(-2)

4(-1)(5)

+ (-3)(2)(-4)

(-4)(6)

(-16)(-9) 12

--=-3 +

e)

(-8)

f)

(-4)(-6)

+

-;- (-4)

(-3)(2)

(-3)(8)(-2) - (2)(-12)

Calcular:

a) 33 b) e)

d) e) 24.

siguientes:

3(4)2 24. 23 42 . 32 56. 53 -5-'-

Transformar a) b)

2/5; -4/7;

f)

34. 38 36. 3'

g)

7' 73. 74

h)

(3')3

i) las fracciones 15 28

e)

d)

siguientes 5/16; -10/3;

(_2)3'(2)3 j)

-2

e)

- 1< 2

o

2 > -1

18.

a)

19.

2, 3/2,

20,

a)

b) 21.

-2,8

o 4 > 3

< -2 <

)6,

-.j3

3,14, O, 5/3,

11 - \O

f)

192, 192 2856

d)

-2 < 3

e)

-8

f)

1-8

e)

g)

-fo

h)

-2/5

J8 <

-18

e)

i) j)

1 32

el

< -3 < -1/3

o

-3>-fo

o

-1/3

> -2/5

TERI

-4

8

S = -4, D = 4, P = O, Q =_0 S = 1, D = 5, P = -6, Q = -3/2

BINC TRIJI

e)

20

h)

d)

f)

-4

1/49 36 = 729

g)

20/64

-8

n

4,8 < 2n < 19/3

i) j) e)

-140/42

k) J)

1/2 -4/3 121/132

d)

14

MUl

5 -201 f)

85/90

COEI

I t

5/8, D = - 1/8, P = 3/32, Q = 2/3 11/15, D = -1/15, P = 2/15, Q = 5/6 -10/3, D = -14/3, P = -8/3, Q = -6 - 13/6, D = 5/6, P = 1, Q = 4/9 b)

EXPI

4, 196

1) 3

I < -6 <

-3n

d)

54 = 625 3

-16/28

3 > -2

o

k)

10 15

1

2

f)

h)

b)

e)

e)

i) j)

36 30

g)

o .J2>1

d)

e)

e)

< 7/2 < 4

0,001, n

S = 36, D = -12, P = 288, Q = 1/2 S = 125, D = -25, P = 3750, Q = 2/3

d)

< -7

S = 16, D = 8, P = 48, Q = 3 S = -9, D = -3, P = 18, Q = 2 S= -4, D= -12, P= -32, Q=-2

a)

b)

l'

PROPUESTOS

S = 72, D = 36, P = 972, Q = 3 S = 4, D = 4, P = O, Q no está definido S = 4, D = -4, P = O, Q = O

a)

b)

16.

DE LOS PROBLEMAS

COE

e)

16/5

f)

48

TER

UN"

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CAPITULO 2 CAPITULO

Operaciones fundamentales con expresiones expresiones algebraicas algebraicas Operaciones

EXPRESION ALGEBRAICA. EXPRESION ALGEBRAICA. números cualesquiera. cualesquiera. números 2 - 5xy Por 3X2 Por ejemplo, ejemplo, 3x 5xy

Es una combinación de números que representan representan una combinación de números y de de letras letras que

+

2y 4, 2y4,

son expresiones expresiones algebraicas. algebraicas. son

TERMINO. expresión que que solo solo contiene contiene productos cocientes de de números de letras. TERMINO. Es una una expresión productos y cocientes números y de letras. Así, Así, pues, 6X2 6x2 y3, 5x/3 y4, 3x 7,, son son términos de una expresión algebraica. algebraica. pues, y3, 5x/3 y4, - 3x términos de una expresión

Sin embargo, embargo, 6X2 6x2 MONOMIO. MONOMIO.

+ 7xy 7xy

es una una expresión términos. expresión algebraica algebraica que que consta consta de de dos dos términos.

Es una expresión algebraica algebraica de un solo término. Es una expresión un solo término.

Así, pues, pues, 7X33yy4, 3xyz2, 4x 4x22/y/y son son monomios. 4, 3xyz2, monomios. Así, causa de de esta esta definición, definición, los denominan con con frecuencia frecuencia términos simplemente. A causa los monomios monomios se denominan términos simplemente. BINOMIO. BINOMIO.

expresión algebraica algebraica de Es una una expresión de dos dos términos. términos.

Por ejemplo, ejemplo, 2x Por 2x TRINOMIO. TRINOMIO.

+ 4y, 4y,

3x44 - 4xyz3 son binomios. 3x binomios. 4xyz 3 son

expresión algebraica algebraica de de tres Es una una expresión tres términos. términos.

Por ejemplo, ejemplo, 3X2 3x2 - 5x 5x + 2, 2x 3z, x33 - 3xy/z 3xy/z - 2X33Z77 son son trinomios. Por 2x + 6y - 3z, trinomios. MULTINOMIO. Es expresión algebraica algebraica de de más de un MULTINOMIO. Es una una expresión más de un término. término. Por ejemplo, ejemplo, 7x 7x + 6y, 3x 3x33 + 6x 6x22yy - 7xy 7xy + 6, 7x 7x + 5x 5x22/y 3x33/16 son multinomios. /16 son Por /y - 3x multinomios. COEFICIENTE. Cualquier factor factor de de un coeficiente del resto de dicho dicho término. COEFICIENTE. Cualquier un término término se llama llama coeficiente resto de término. Así, Así, pues, en el término término 5x 5X33yy2, 5x33 es el coeficiente coeficiente de de y2, coeficiente de de x33 y 5 es el coeficiencoeficien2, 5x y2, 5y2 es el coeficiente pues, X3y te de X3 y 2.2. COEFICIENTE NUMERICO. de un COEFICIENTE NUMERICO. Si un un término término es el producto producto de un número número por por una una o varias varias letras, letras, dicho número número es el coeficiente coeficiente numérico simplemente coeficiente) coeficiente) del dicho numérico (o simplemente del término. término. Por ejemplo, ejemplo, en el término 5X coeficiente numérico coeficiente es - 5. Por término - 5 numérico o coeficiente x 33yy2,2, el coeficiente TERMINOS SEMEJANTES. TERMINOS SEMEJANTES.

Son aquellos que que solo solo se diferencian diferencian en su coeficiente coeficiente numérico. Son aquellos numérico. 2 2 Por ejemplo, ejemplo, 7xy 7xy yy -2xy -2xy son son términos semejantes; 3x 3x y4 4 4 son son asimismo asimismo términos Por términos semejantes; y4 yy _iX2y _iX2y términos semejantes; sin sin embargo, embargo, - 2a22bb3 3 yy - 3a22bb 7 no son semejantes. semejantes. semejantes; no son pueden reducir dos o más semejantes a uno solo. Por ejemplo 7x 7x22yy - 4x2y 4x2y + 2x2y Se pueden reducir dos más términos términos semejantes uno solo. Por ejemplo 2x2y pueden reducir reducir a 5x 5x22y.y. se pueden

UN TERMINO TERMINO ES con respecto ciertas letras (que representan UN ES ENTERO ENTERO Y RACIONAL RACIONAL con respecto a ciertas letras (que representan a númenúmeros cualesquiera), cualesquiera), si está está formado formado por: por: ros

11

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OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

12 a) a)

b)

RE

Potencias enteras enteras y positivas de letras multiplicadas multiplicadas por un factor numérico. Potencias Un número.

6, son enteros enteros y racionales racionales con restérminos 6X2y 6X2y3, _5y4,4, 7, -4x, -4x, .)3 .J3 X3y Por ejemplo, los términos 3, _5y X3 },6, embargo, 3); no es racional racional con respecto a pecto a las letras que figuran en ellos. Sin embargo, 4/x no es entero con respecto a x. x y 4/x

3J;

POLINOMIO. Es un monomio, monomio, o un multinomio, multinomio, en el que cada término término es entero entero y racional racional con POLINOMIO. respecto a las letras. 3X2y3 2X44 -- 7x 7x33 + 3X2 3x2 - 5x 5x + 2, 4xy 4xy + ZZ,, 3X2, son polino5x44yy + 2, 2X Por ejemplo, 3X2 y 3 -- 5x embargo, 3X2 3x2 - 4/x, 4/x, 4JY 4.JY mios. Sin embargo,

polinomios. + 3, no son polinomios.

GRADO DE UN MONOMIO. MONOMIO. Es la suma de todos los exponentes exponentes de la parte parte literal del término. término. GRADO Por ejemplo, el grado de 4x 4x33y2z grado de una constante, constante, como por Por y2z es 3 + 2 + 1 == 6. El grado 71:, es cero. .)3, 71:, ejemplo, 6, O, --.J3, GRADO DE UN POLINOMIO. POLINOMIO. GRADO ficiente sea distinto distinto de cero. ficiente

correspondiente al término término de mayor mayor grado cuyo coeEs el correspondiente 2x33yy son 5, 6 y 4, respectivamente; respectivamente; + 2x

grados de los términos términos del polinomio polinomio 7x 7x3y2 4xz5 5 3 y 2 - 4xz Los grados por consiguiente, el grado grado del polinomio polinomio es 6. por

AGRUPAMIENTO. paréntesis ( ),), los corchetes [ ] o las llaves { }; Son los paréntesis SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO. para indicar indicar que los términos términos encerrados encerrados en ellos se consideran consideran como una sola cantidad. cantidad. se emplean para expresiones algebraicas, algebraicas, 5X2 5x2 - 3x 3x + y Y y 2x 2x - 3y, se puede Por ejemplo, la suma de las dos expresiones representar por por (5x (5x22 - 3x 3x + y) (2x - 3y), 3y), su diferencia diferencia por por (5x22 - 3x 3x + y) (2x - 3y), 3y), y su representar y) + (2x y) - (2x producto por por (5x (5x22 - 3x 3x + y)(2x 3y). y)(2x - 3y). producto agrupamiento una barra barra encima de los términos términos Algunas veces se emplea como símbolo de agrupamiento Por ejemplo, 5x 5x - 3y 3y es lo mismo que escribir (5x (5x - 3y). 3y). a asociar. Por SUPRESION DE LOS SIMBOLOS SIMBOLOS DE AGRUPAMIENTO. AGRUPAMIENTO. SUPRESION

por las normas normas siguientes: Está regida por

agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir suprimir sin modi1) Si un signo + precede al símbolo de agrupamiento, términos que contiene. contiene. ficar los términos Por ~or

(3x ejemplo, (3x

7y) + + 7y)

(4xy - 3x 3x33)) = = 3x 3x (4xy

+ 7y + 4 xy xy

3x33.• - 3x

agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir suprimir cambiancambian2) Si un signo - precede al símbolo de agrupamiento, términos que contiene. do el signo de cada uno de los términos (3x Por ejemplo, (3x

7y) + 7y)

(4xy - 3x 3x33)) == 3x 3x + +.7y 4xy - (4xy .7y - 4xy

+

3x33.• 3x

Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, agrupamiento, para para suprimirlos suprimirlos se comien3) Si interiores. za por los interiores.

Por ejemplo, 2x 2x - {4x {4x33 -- (3x (3x22 - 5y)} 5y)} = = 2x 2x - {4x {4x33 -- 3X2 3x2

+

5y} 4x33 5y} = = 2x 2x - 4x

+

3X2 3x2 - 5y.

SJ)MA EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. Se efectúa agrupando agrupando los términos términos semejantes. Para Para SIi MA DE EXPRESIONES cabo la suma se pueden disponer disponer las expresiones en filas, con los términos términos semejantes en llevar a cabo columna, y, a continuación, continuación, se suman los términos términos de cada columna. columna. la misma columna, Ejemplo. Sumar Sumar 7x 7x + 3y 3y33 -- 4xy, 4xy, Ejemplo. Disponemos el cálculo así: Disponemos

Suma: Suma:

7x 3x 3x -5x -5x 5x 5x

3x - 2y 2y33 3x

3y 3 _2y 3 _6y 3 _5y 3

7xy + 7xy

Y

-4xy -4xy 7xy 7xy 2xy 2xy 5xy. 5xy.

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2xy - 5x 5x - 6y 6y3. 2xy 3.

resultado es 5x 5x - 5y 5y33 El resultado

5xy + 5xy

Ml

OPERACIONES U NDAMENTALES CON OPERACIONES F FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

res-

13

RESTA DE DOS ALGEBRAICAS. Se lleva cabo efectuando RESTA DE DOS EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS. lleva a cabo efectuando la suma suma de la expresión presión minuendo rninuendo con con la opuesta opuesta del sustraendo, sustraendo, la cual cual se obtiene obtiene cambiando cambiando el signo signo de todos todos sus sus términos. términos. Ejemplo. Restar 2. Ejemplo. Restar 2X2 2x2 -- 3xy 3xy + 5y2 de IOx 10x22 -- 2xy 2xy - 3y 3y2.

o a IOx 10x22 -- 2xy 2xy - 3y2 3/

3xy + 51'2 5.1'2 2X2 - 3xy 8X2 8x2 + xy xy - 8.1'2 8.1'2

con

Resta: Resta: lino-

También hacer así: También se puede puede hacer así: (IOx (lOx2 2

-

2xy 5y2) 2xy - 3y2) 3y2) - (2x (2x22 - 3xy 3xy + 5y2) 2xy 2xy - 3y2 - 2X2 + 3xy 3xy - 5y2 == 8X2 8x2

= = IOx2 IOx2 --

ino. por

+

xy xy _ 8y2.

MUL TIPLICACION T1PLICACION DE EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS MUL DE ALGEBRAICAS

1) Multiplicación Multiplicación de dos dos o más más monomios. monomios. Se efectúa efectúa aplicando aplicando las reglas reglas de la potenciapotenciación ción y de los signos signos y las las propiedades propiedades asociativa asociativa y conmutativa conmutativa del del producto. producto. coe-

Ejemplo. Ejemplo.

2y 3z , 2x Multiplicar -3X _4xy4Z2. Multiplicar -3X2y3z, 2x44yy y _4xy4Z2. Escribimos ((- 3X22yy3Z)(2x 4xy4Z2). Escribimos 3Z)(2x44y)( y)( - 4xy4Z2).

nte;

Aplicando las propiedades propiedades conmutativa conmutativa asociativa, tendremos, tendremos, Aplicando y asociativa, {( - 3 )(2)( )(2)( - 4)}{ 4)}{ (x (x22)(x {(Z)(Z2)} {( )(x44)(x)}{ )(x)}{ (y3 )(y)(y4)) )(y)(y4)) {(Z)(Z2)}

{ };

(1)) (1

De acuerdo acuerdo con con las reglas reglas de los signos signos y exponentes exponentes se deduce deduce De

idad.

24x 7y88zz33 24x

uede y su

operación (1) se puede puede realizar realizar mentalmente mentalmente cuando cuando se haya haya adquirido adquirido cierta cierta La operación soltura. soltura. Multiplicación de un un monomio monomio por por un un polinomio. polinomio. Se efectúa efectúa multiplicando multiplicando el monomio monomio 2) Multiplicación por todos todos y cada cada uno uno de los términos términos del polinomio, polinomio, sumando sumando los los productos productos obtenidos. obtenidos. por Ejemplo. Ejemplo.

Multiplicar 3xy 3xy - 4x 4x33 + 2xy 2xy22 por por 5x 5x22y4. Multiplicar y4 . Escribimos Escribimos

(5x22y4)(3xy 4x33 + 2xy2) 2xy2) (5x y4)(3xy - 4x 3) 3) = (5x (5x22y4)(3xy) (5x22y4)(_4x = y4)(3xy) + (5x y4)(_4x = 15 = 15xx33yy5 s -- 20X5 y44 + IOX3 IOx3yy66

+

(5x22y4)(2xy2) (5x y4)(2xy2)

Multiplicación dos polinomios. polinomios. efectúa multiplicando multiplicando todos y cada cada uno uno de los los 3) Multiplicación de dos Se efectúa todos términos de uno uno de ellos ellos por por todos todos y cada cada uno uno de los los términos otro, sumando sumando los los productos términos del otro, productos términos obtenidos. obtenidos. conveniente ordenar ordenar los polinomios polinomios según según las las potencias potencias crecientes crecientes (o decrecientes) decrecientes) de de una una Es conveniente letras. de las letras.

5y. Ejemplo. Ejemplo.

Para es en

2 por Multiplicar 3x + 9 + xX2 por 3 - x x.. Multiplicar - 3x Ordenando según las potencias potencias decrecientes decrecientes de x, Ordenando según

Multiplicando por - x, Multiplicando (2) por x, Multiplicando por 3, Multiplicando (2) por Sumando, Sumando,

2 - 3x xX2 3x + 9x 9x (2) --xx + 3 2 _ x3 3 + 3x 3X2 9 XX _x 3X2 3x2 - 9x 9x + 27 - x33 + 6X2 6x2 - 18x 18x + 27

5xy

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14

OPERACIONES OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

DIVISION DE DE EXPRESIONES DIVISION EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS . División de dos monomios. efectúa hallando cociente de de los los coeficientes coeficientes y el de de 1) División de dos monomios. Se efectúa hallando el cociente factores literales, literales, multiplicando después dichos dichos cocientes. cocientes. los factores multiplicando después

Ejemplo. 24x z3z 3 24 x44 y2 y2 Z3 Z3 24x44y2y2 (-)( )(-)(-) Ponemos Ponemos -_-3=-X"';3'y'4Xl)(-)(-) y4 -_-3=-X--'3'-y-'4-ZZ == ( y4 ZZ --- )3(?

2)

= (-8)(x)( (-8)(x)( =

8xz22 8xz

1

)(Z2) == -7 7 ??)(Z2)

2.

División de de dos dos polinomios. División polinomios.

a) Se ordenan ordenan los de ambos ambos polinomios según las creciena) los términos términos de polinomios según las potencias potencias decrecientes decrecientes (o crecientes) de una de las letras letras comunes comunes a los los dos dos polinomios. tes) una de polinomios.

divide el primer del dividendo dividendo por divisor, con con lo que Se divide primer término término del por el primero primero del divisor, que resulta resulta el priprimer término término del cociente. cociente. mer

b)

e) Se multiplica multiplica el primer del cociente divisor y se resta del dividendo, obteniénprimer término término del cociente por por el divisor resta del dividendo, obteniéndose un un nuevo nuevo dividendo. dividendo. dose d) Con Con el dividendo dividendo de de e), se repiten operaciones b) que se obtenga obtenga un d) repiten las las operaciones b) y e) hasta hasta que un resto resto igual igual a cero o de grado grado menor que el del del dividendo. dividendo. cero menor que

e)

resultado es: es: El resultado

Ejemplo. Ejemplo.

dividendo dividendo . divisor = cocIente cociente divisor =

Dividir xX22 Dividir

+ 22X4 X4 -

3x 3x33

resto resto

divisor' + divisor'

+ XX -- 2 por por

2 -- 3x xX2 3x

+ 2.

ordenan los los polinomios según las decrecientes de de x yy se dispone dispone el Se ordenan polinomios según las potencias potencias decrecientes cálculo de de la forma forma siguiente siguiente: : cálculo 2X4 3x33 X4 -- 3x 2X4 6x33 X4 -- 6x

+ xX22 + 2 + 4x 4X2 2 3x 3X2 + 3x33 -- 3x 2 + 3x 9X2 3x33 -- 9x

xX

+

xX 6x 6x

2

2 -- 3x xX2 3x + 2 2X2 3x + 6 2X2 + 3x

3.

2

6X2 - 5x -- 2 6X2 - 18x 18x + 12 13x - 14 13x Por Por tanto, tanto,

2 + XX -- 2 2 22 X4 -- 3x 2X4 3x33 + xX2 = 2x X 2 = x2 - 3 x+ 3x + 2

+

3

X 3x

6

+6+

I3x - 14 I3x 2 3x + 2 xx - x 4.

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Hallar el valor valor de las siguientes, siendo siendo x = 2, -1, Hallar las expresiones expresiones algebraicas algebraicas siguientes, 2, Y = -1,

a) b)

e)

2X2 2X2

3yz = = 2(2)2 - 3(-1)(3) 3(-1)(3) = = 8 3yz

+

Z Z

= 3, a = O, 1/3. O, bb = 4, e = 1/ 3.

9 == 17

2z + 3 = 2z44 - 3z33 + 4z 4222 -- 2z = 2(3)4 - 3(3)3 + 4(3)2 - 2(3) 2(3) + 3 == 162 - 81 2 2 6c = 4(W 4(W - 3(0)(4) 3(0)(4) + 6(1/3) 4a - 3ab + 6c 6(1 / 3) = O - O O+ 2 = 2

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+

36 - 6

+

3= = 114

OPERACIONES d)

e)

5xy 203

+

3z

-

e2

2

3x y 4x2y(z

f)

a

5(2)(-1) + 3(3) 2(o¡J - (1/3)2

=

=

_ ~ x+1

z

+

-

1)

O

+

2. Clasificar las expresiones

+

-lO + 9 -1/9

=

3(2)2 (-1) 3

=

_ 4(1/3) 3

4(2)2 (-1)(3

b - 3e

multinomio,

FUNDAMENTALES

-

1)

CON EXPRESIONES

--=-'- = 9

=

-1/9

-4

=

_ 4/9

-40/9

4(4)(-1)(2)

32

4 - 3(1/3)

4 -

3

algebraicas

siguientes

1

según las categorías:

término

o monomio,

a)

x3

b)

2X2 - 5x

e)

4x2y/z

3y2z

+ 3

+ 3

d)

Y

e)

4z2

+

3z - 2Jz

f)

5x3

+

4/y

g)

la(s) categoria(s)

2%2 - 5%

y 4z2

5%~

1%2

+

+

y2

b3

+

v'

.¡

b)

3x3 - 4. El grado de x2 es 2, el de 3x3 es 3, y el de -4

e)

y3 - 3y2

d)

xz3

e)

x2

El grado de 2x3y es 4, y el de 4xyz4

3X2Z2 - 4x3z

+

x4. Cada término

b)

2(4xy

(y2 _ 4z) ....: (2x - 3y

+

3z)

+

es de grado 6.

es O; luego el grado del polinomio

es de grado 4; luego el polinomio

lOs es de grado 2. (El grado de la constante

+

es 6; luego el polinomio

es 3.

- 2 es de grado 3.

Suprimir los símbolos de aproximadamente reduciendo los términos semejantes:

3x2

.¡

polinomios:

+

a)

.¡

.¡

x2

-

.¡ f

2x3y

+

.¡

.¡

de los siguientes

+ 4y

.¡

.¡

a)

+

.¡

.¡

a~ + b~ + c~ - 3abc

4xyz4.

.¡

.¡

z2

vY+vZ

el grado

Polinomio

Multinomio

.¡

4/y

+

e3 - 3abe

+

.¡

3z - 2vz

+

a3

Z2

.¡

3

+

+

Trinomio

3

+

Jx2 + y2 Jy + Jz

.¡

4%2y/z

4.

trinomio,

a que pertenece cada expresión.

Binomio

+ 3/z

%~

h)

i)

Término o monomio

Hallar

binomio,

polinomio.

Señálese con una indicación

3.

15

ALGEBRAICAS

3(x - 2xy)

e)

x - 3 - 2{2 - 3(x - y)}

d)

4x2 -

+

+

y2 - 4z - 2x

- 4(z - 2xy) = 8xy

=

x - 3 - 2{2 - 3x

{3x2 - 2[y - 3(x2 - y)] = 4x2 -

en cada una de las expresiones

4z) = 3x2

+ 4}

{3x2 - 2y

= 4x2 - 9x2

+

= 4x2 -

+

+

6z

8y - 4

=

+

+

3y}

+

3x - 6xy - 4z

=

+ 4} +

siguientes y simplificar

3y - 4z = 3x2

x - 3 - 4

{3x2 - 2[y - 3x2

6x2 - 6y -5x2

es de grado 4.

lOs es cero.)

= 4x2

-

+

+

+

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y2 - 2x

8xy = 10xy

6x - 6y

=

3y] + 4}

{9x2 - 8y

8y - 4

+

+ 4}

+

+ 3x

los resultados

3y - 8z

+

2z

7x - 6y - 7

OPERACIONES

16 5.

Sumar las expresiones

FUNDAMENTALES

algebraicas

+

y2 _

Z2

+

x2 _ y2 _x2

+

_ y2 _

Z2

2xy.

I _ x2 _ y2 _ ;:2

2xy - 2yz

_ x2 + y2 + Z2

Sumando,

e)

Z2 + x2 _ y2 + 2zx -

y2 + Z2 _ x2 + 2yz _ 2zx,

x2

Ordenando,

ALGEBRAICAS

de cada uno de los grupos siguientes:

x2 + y2 _ Z2 + 2xy _ 2yz,

a)

CON EXPRESIONES

+ 2yz - 2zx

+

2xy

-

2;:x

+

;:2

I El resultado

0+0+0+0+0+0+1

de la suma es 1. g)

5x3y - 4ab

Ordenando, -3x2y

+ +

x2y

Restar la segunda expresión

a)

a - b

+

e2

+

3e2

X3y - 3ab _ 4e2

- 2x2y - 3ab + 4e2 + ab2 -4x2y + 6x3y - 8ab + 4e2 + ab2

Sumando,

6.

2ab

+

e - d,

e - a

+

Ponemos

d - b.

a-b+e-

d

-a - b + e + d Restando,

a)

El resultado

2a+0+0-2d

es 2a - 2d.

(a - b + e - d) - (e - a + d - b) = a - b + e - d - e + a - d + b = 2a - 2d.

De otra forma: b)

8. El

de la primera en los siguientes casos:

4.\"2y - 3ab + 2a2

4xy + ab" - 3a2 + 2ab.

xy,

-

b)

e) 2a2 -

Escribimos

4x2y - 3ab

Restando,

2ab - 3a2 + 4xy + ab2 2 4x )' - 5ab + 5a2 - 5.\")' - ab"

De otra forma.

(4x2)' - 3ab + 2a2 - xy) - (4xy + ab2 - 3a2 + 2ab)

+

= 4x2y _ 3ab = 4x2y -

7.

Efectuar

los productos

a)

( -2ab3)(4a2b')

b)

(-3x2y)(4x/)(

indicados

5ab

xy d)

+

2a2 - xy - 4xy - ab"

+

5a2 - 5xy - ab2

+

e)

3a2 - 2ab

en los casos siguientes:

_2X3y4)

el

(x2 - 3x + 9)(x + 3)

f)

(X4 + X3y +

X2)'2

+ xy3 + y4)(X _ y)

e)

(3ab2 )(2ab + b2)

g)

(x2 _ xy + y2)(X2 + xy + y2)

d)

(x2 - 3xy + y2)(4x/)

h)

(2x + y - z)(3x - z

a)

(-2ah3)(4a2b')

b)

(_3x2y)(4xy2)(_2x'y4)

= {(-2)(4)}{(a)(a2)1{(b')(b')}

=

e)

(3ab2)(2ah

el)

(x2 - 3xy +.y2)(4xy2)

+

b2)

=

= -8a'bB

=

{(-3)(4)(-2)}{(X2)(X)(X')}{lJ'llv2)lv4)}

(3ab2)(2ab)

+

(3ab2)(h2)

= (x2)(4xy2)+ = 4X'.1'2 -

=

6a2b'

(-3xy)(4xy2)

12x2y'

+

+ +

3ah· (y2)(4xy2)

4xy·

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24x6y7

+ )')

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS OPERACIONES

e)

x2 - 3x 3x X2

+

9

x 44

f) f)

xx+3 +3 3

3X2 3x2

Xl x --

+

9x 9x

3X2 3x2 - 9x 9x 3

Xl x

+

O O + O O

+ +

X3y xly

+

x2y2

+

xy3 xyl

+ y4

x x-y- y x~ x! + x·y x4y

+

xly2 X3y2

+

x2yl X2y3

+

xy4 xy4

4y _- xly2 _ xx·y X3y2 _ x2yl X2y3 _ xy4 xy· _ y~ y!

27 27

+ O O + O O + O O + O O -

x~ x!

27 27

Sol. Xl x + 27 3

g) g)

+

17 17

y~ y!

Sol. Sol. x~ x! - y~ y!

+ y2 xy + y2 + xy x44 _ X3 xly x2y2 y + x2y2

x2 _ xy xy X2

h)

x2 X2

X3y _ x2y2 x2y2 xly

+y - z 3x + y - ZZ 3x 6X2 6x2 + 3xy 3xy 2x 2x

+ xy3 xyl + y4 + O O + y4

x2y2 x2y2 _ xy3 xyl x44

+ O O + x2y2 x2y2 Sol. x44 + x2y2 Sol. x2y2 + y4

+

6X2 6x2

3xz 3xz

2xy 2xy

+ y2

_- yz yz

- 2xz 2xz 5xy 5xy - 5xz 5xz

+ y2

- yz yz + - 2yz 2yz +

Z2 Z2 Z2 Z2

8. Efectuar Efectuar las las divisiones. divisiones.

a) a)

b) b) e)

24x3ly2z 24 Xl x3 y2 z 6x22yy 24x y2z 24 2 l1 6x 2 == (6)(x = --z2 = = (-)(-)(-)(2) (4)(~)(y)(zZ> (6)(x )(y)(_) )(y)(~) = 4xyz 4 x y z z z xyz 4 4 6 6 l 4 6 4 6 3 4 -16a -16 2a _16ab b - 16 a b 1 2a bb -8ab2e = ( -8 )(~)(b2)(~) = = -e-8ab2e = (-=S)(~)(b2)(-;;-) -e-

--2 4

3y 3x 3xly

+ 16xy2 16xy2 - 12x 12x44yz4 yz4 2x 2x22yz yz

4a 4a3lbb22 d) d)

+ 16ab 16ab - 4a22 -2a2b -2a2b

22X X44

3y 3x 3xly

16xy2 16 2

2x 2x yz yz

2x 2x yz yz

xy (--) + ( = (--) + (--) 22 22

= (--)+

4a 4a3lbb22 = = (-2a2b) (-2a2b)

16ab 16ab

22XX4 4

3 _- xX2 2 _- 1 + 3x 1 3Xl

3 __ + 3x 3Xl

2 xX2

_4a _ 4a2 2

+ (-2a2b) (-2a 2b) + (-2a2b) ( - 2a2b)

8y 8y

+ __ __ 6X22ZZ3l

8 = ~ = -2ab -2ab -- ;

xz XZ

22

+ bb

16y4 1 16y 4 _- 1 f -f) ) 2y-=-t 2y - 1

xX _ _ 2

e) e)

4yz4 4yz4 -12x 3x -12x 3x )= =_ _ 2x 2x22yz yz 2z

--

22Xl X3

-

-1 -1 2y-1 2y-1

1I x-2 x - 2

3 2x 2 X44 _ 4x 4Xl

+ 77xX22 + I3x 13x + 26 26

8y3 8yl

1

+ 4y2 4y2 + 2y 2y + 11

-1

4y2

-1

4y2 4y2 - 2y 2y

Por Por tanto, tanto,

2X4 2X 4

26x 26x -

2y - 11 2y-

26x 26x -- 52 52

2y2y- 11

51

OO

3 - xX2 2 -- 11 + + 3x 3Xl

xX -- 22

= = 2X3 2Xl

51 x -

16y4 16y 4 --

2 + + + 7x 7X2 + I3x 13x + + 26 26 + + --2 --2 Y Y --- --

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11

2y 2y -- 11

= = 8y3 8yl

+ 4y2 4y2 + + 2v 2y .•. + 11 .

18 18

OPERACIONES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CON CON EXPRESIONES EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS OPERACIONES

g) g)

22XX6 6

5x4 4 __ Xl + X3 + ++ 5x 2 + X + +X +

Ordenando Ordenando según según potencias potencias decrecientes decrecientes de de x.x .

2 _X _x

2 2 ++ 11 _x +-+- XX ++ 11 _x

22XX66

4 4 -2x -2x

2x' + + 7x 7x44 2x'

--

x3 Xl

2x' -- 22X4X 4 2x'

--

22X3X3

9x4 9x

++

9x44 9x

--

4

3

--

10.

(

2 -- 10x 9x 9X2 10x -- 19 19

+ + 11 --

2 9X2 9x

IOx 3 + 9X2 IOxJ3 10x

22X3 X3

+ + 11

xx3

9x33 9x

--

--

+

11.

10x IOx22 -- 10x IOx IOx 19x22 + IOx 19x

+ +

19x22 -- 19x 19x -- 19 19 19x 29x 29x 2X6 De donde

+

5x4

_

x3

+

_x2 + x + 1

4 4 -2x -2x

2x 2xJ3

--

12.

20 + 20

--

29x + 20 20 2 - 10x 9x 9X2 10x -- 19 + -~----:---~ _x _x2 2 + XX + 13.

Ordenando Ordenando según según las las potencias potencias decrecientes decrecientes de de una una letra, letra. por por ejemplo ejemplo x.

14. I 2x2y _ 2xy 2x2y 2yy3J xy22 + 2 2x2y 2x2y _ 2xy22 + 2y33

oo 15. 16.

9. 9. Comprobar Comprobar los Problemas Problemas 7h) 7h) y Sg) 8g) con con los valores valores xX = 1, 1, Y Y = -1, -1, Zz = 2. Del Del Problema Problema 7h). 7h),

(2x (2x ++ y -- z)(3x z)(3x -- zz + y) y) == 6X2 6x2 + 5xy 5xy -- 5xz 5xz -- 2yz ++ Z2 Z2 ++ y2.

Sustituyendo Sustituyendo xx == 1, 1, Y.v == -- l1,. zz == 22 obtenemos obtenemos [2(1) [2(1) + + (-1) (-1) -- 2][3(1) 2][3(1) -- (2) (2) -- 1] 1] == 6(1)2 611)2 ++ 5(1)(-1) 5(1)(-1) -- 5(1)(2) 5(1)(2) -- 2(-1)(2) 2(-1)(2) ++ (2)2 (2)2 ++ (_1)2 (-If sea oo sea

Del Del Problema Problema Sg). 8g).

-1][0] == 66 -- 55 -- 10 10 ++ 44 ++ 44 ++ 1, 1, [[ -1][0]

22X 6 + X6 + 5x 5x44 __ xx3J + + _x _x22 + + XX ++ 11

Haciendo xx == 11 obtenemos obtenemos Haciendo

-_2x 2X44

--

2x3J 2x

--

es decir, decir, es

17.

0= O. O. 0=

29x + + 20 20 29x 9x2 -- IOx IOx -- 19 19 + + ---,-----, --=---9X2 + XX ++ __xx22 +

29 ++ 20 20 22 ++ 55 -- 11 ++ 11 29 -2 -- 22 -- 99 -- 10 10 -- 19 19 ++ == -2 -1+1+1 -1+1+1 -1+1+1 -1+1+1

sea oo sea

77 == 7.7.

La comprobación comprobación de de una una operación operación sustituyendo sustituyendo números números por por letras letras no no es es definitiva definitiva; ; se se puede puede utilizar utilizar para para La indicar indicar posibles posibles errores. errores.

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OPERACIONES

FUNDAMENTALES

CON

EXPRESIONES

19

ALGEBRAICAS

PROBLEMAS PROPUESTOS 10.

Calcular

siendo x =

las siguientes expresiones.

a)

4x3y2 - 3xyz2

h)

(x - y)(y - z)(z - .v}

e)

9ab2

+

11.

12.

13.

14.

a)

3x

b)

4xy4

el grado

a)

(x

b)

3(x2 - 2yz

3y - z) - (2y - x

2X2

h)

a2 - ab

e)

2a2bc - 2aeb2

+

X

3xy - 2yz

b)

4x2

e)

r3 - 3r2s

+

+

+ +

5c2ab,

4zx,

3.1'2- 6x

+

+

16.

Efectuar el producto

3zx

+

_3x3y2

b)

3abe2•

_ 2a3h2e4•

r2s

e)

y - 4,

Efectuar

+

x5

+

y5

(4z - 3x

X - x2,

I

Y

z

+

x2

Y

+

Z5 - 5xyz

los resultados

+ 2y) + y2

X

-

+

4b2ae

2y

+

-

4rs

+

3

+

I)(z -

I){h -

1)

1)

e)

-103

f)

y2 _ 3)'5 _ Y

reduciendo

+

términos

+

4y

+

2y3 - 4

semejantes:

e)

3x

d)

3 - {2x - [1 - (x

3{x - 2(y - x) - y}

+

y)]

+

[x - 2y]:

+

ab - 4be

+

e2

a2,

-

a2

4abe2 - 3a2be - 3ab2e,

2e2

+

+

5be - 2ab

b2ae - abc? - 3a2be

de la primera de los grupos siguientes:

+

yz - 2xy

4y - 2, 2s3

2x - y2

+

+

3x2 - 4y

+ 3

3s2r - 2sr2 - 3r3

algebraicas

6a2b2

S3.

I){y (a -

x2 _ 4y2

4bea2 - Tac'b,

3X)'2 - 4xy 3rs3

(x -

11)

b2 - 3hc - 4e2,

de las expresiones

4X2y5,

e)

2z

4xz del doble de la suma de las siguientes expresiones:

a)

d)

x

de cada uno de los grupos siguientes:

2ab

4rs2 - S3,

Restar xy - 3yz

_4x2y,

by

y simplificar

+

3z)

+

3y2

3e2•

2hc

15.

17.

y.

Restar la segunda expresión a)

+

algebraicas

+

a)

)'2 -

+

+

y2) _ 4(x2 _ y2 _ 3yz)

+

Sumar las expresiones

+

I

g) -+-+-

d) .j3 xyz - 5

los símbolos de agrupamiento

+

I

3ab y - x.+ I

siguientes:

e)

3X3y3

_

(x - y)2 ax

de los polinomios

x2 - 5

+

2X3

-

Suprimir

f)

h

Determinar 4

y)

-8T-

e)

xy2 - 3z a

Y = 3. z = 2. a = 1/2. b = -2/3.

+},

+

6ah - 4a2

+

d) ---

z(x

2r2s4

3xy - 4yz

+

2xz y 3yz - 4zx - 2xy.

de los grupos siguientes:

+

f)

y2 - 4y

g)

x

h)

x + 4x + 8.

3

+

x2)'

16.

+

3r - s -

j)

3 - x - y,

+

xy2

2

i)

/2,

+

Y

2

y3,

x

-

2s

+

2x

+

4

r y

X _ Y

4x

+

+

3/2

+

1,

8

x - y

las divisiones:

e)

4ab3 - 3a2 he + l2a3 b2 e4 -2ah2e3

ra

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d)

4x3 - 5x2

x+l

+

3x - 2

20 18.

OPERACIONES Efectuar

a) 19.

FUNDAMENTALES

+

2y3 e)

las operaciones

indicadas

y5 - 3y - 2

+

y2 _ 3y

x4

SOLUCIONES

DE LOS b)

PROBLEMAS

+

-1

d)

90

e)

e)

O

f)

f) -8

a)

-24

11.

a)

4

12.

a)

3y - x

13.

a)

2x2+x-y

14.

a)

5xy - 3yz

15.

xy

16.

a)

_12x5y7

f)

y3

b)

_ 36a6b5e6

g)

x4 _ y4

e)

- l2x3y3

h)

x4 + 64

6

e) 5

8y2

+

b)

b)

+

d)

e)

zx

3

6yz

e)

11/5

+ 2x2y2 + + y2

y4

d)

l2x - 5y e)

abc"

x2

+

8y - 5

+

4y2 - 8x

g)

h)

-1/6

-24/5

PRO] n e d

5

a2+b2+2e2 b)

xy3 + X3y xy + x2

PROPUESTOS

10.

b)

-12

1

con los valores x = 1. y = 2:

y comprobarlas

b)

+

ALGEBRAICAS

las divisiones:

27s3 - 64 3s _ 4

Efectuar

CON EXPRESIONES

+

y - 4x

4

4r3 - r2s

e)

+

rs2 - 3s3

yz - 8xz

16x3y2

+

d) 2r4s5 + 6r3s7 e)

y2 _ Y -

17.

a)

-7

18.

a)

9s2

19.

al

x8

_

+

+

2r2s7

12

4X2Z2

+

8r3s5

b)

l2s

+

16

x4y4

+

y8.

b)

9s 2r21

-x

3

e)

- x

Comprobación:

2

+

1 1 _ x

+

64

8rl2 - 2s2 - 5S12 - 314

i)

3r2

j)

y3 _ 2y2 _ 3y

+

2b - -3 . e

+-

e)

y3

21(13) = 273.

5rs

3a

2be2

+

+

-

+

3x

+

5x2 - 3xy - 2X3 - .t2y

+

4x2 - 9x

+ --

2

6a e

3y2

+

b)

x2

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d)

lOy

+

+

y2

27

+

68y - 29 ~2~---:---

y

- 3y

+

Comprobación:

1

+

12

2xy2 -14

x+l

d)

x2

35/7 = 5.

+

xy

CAPITULO 3 CAPITULO

Productos de interés práctico PRODUCTOS DE INTERES INTERES PRACTICO. PRACTICO. Las fórmulas fórmulas que que se exponen exponen a continuación continuación son el PRODUCTOS DE Las son resultado de algunos algunos de los productos productos que que con con mayor mayor frecuencia frecuencia se presentan presentan en el cálculo cálculo algebraialgebrairesultado co y con con los que que el alumno alumno debe debe procurar familiarizarse en todo todo lo posible. La comprobación comprobación de co procurar familiarizarse posible. La dichos resultados resultados se puede puede realizar realizar efectuando efectuando las multiplicaciones multiplicaciones correspondientes. dichos correspondientes. I 11 III III IV V VI VII VII

a(c + d) d) == ae ac + ad ad a(e (a + b )(a - b) == a22 - b22 (a + b)(a b)(a + b) == (a + b)2 = a22 + 2ab b)2 = (a - b)(a b)(a - b) == (a - b)2 == a22 - 2ab 2 + (a + b)x a)(x + b) == xX2 b)x + ab (x + a)(x (ax b)(cx + d) d) = acx?2 + (ad (ad + be)x bc)x (ax + b)(ex = aex (a

+

b)(e b)(e

+

d) ac d) = = ae

+

be

+

ad ad

+

+ +

b22 b22

+

bd bd

bd bd

Otros Otros productos productos muy muy utilizados utilizados son: son: 14 +1 xy

VIII VIII IX IX X X XI XI XII XII

(a + b)(a b)(a + b)(a b)(a + b) b) = (a + b)3 = a33 + 3a22bb + 'sab? 3ab 2 + b33 (a - b)(a b)(a - b)(a b)(a - b) b) = = (a - b)3 = = a33 - 3a22bb + 'sab? 3ab 2 - b33 22 22 33 33 (a - b)(a + ab + b ) = a b b)(a )= 3 3 (a + b)(a b )(a22 -- ab + b22) ) = = a3 + b3 22 22 22 (a + b + C)2 e)2 = = a a + b + ee + 2ab 2ab + 2ae + 2bc 2bc

Se puede puede comprobar, comprobar, efectuando efectuando las las multiplicaciones, multiplicaciones, que que (a - b)(a b)(a22 (a - b)(a b)(a33 (a - b)(a b)(a44 (a - b)(a b)(a55

+ ab (X) ab + bb22) ) = = a a33 - bb33 + aa22bb + ab? ab 2 + bb33)) = = a a44 - bb44 + a'b a 3b + aa22bb22 + ab ab33 + bb44) ) = = aS a 5 -- bb55 + aa44bb + aa33bb22 + aa22bb3 3 + ab" ab 4 + bb55) ) = aa66

__

bh66

etc. etc. Generalizando, Generalizando, tendremos tendremos XIII XIII

(a - b)(a b)(ann-1-

I

+ + aann-2-b2b + aann-3-b32 b2 + ... ... + ab abnn-2-

2

+ bnn-1- ) I ) =

siendo siendo nn un un entero entero positivo positivo cualquiera cualquiera (1, 2, 3. 4, 4, ... ... ). Análogamente, Análogamente, se puede puede comprobar comprobar que que (a (a

+ b)(a b)(a2 2 -+ b)(a b)(a44 --

ab (Xl) ab + bb2Z) ) = = a(133 + + bh33 (XI) a+b a 3b + + a'b? a 2 hz - ab? ab 3 + hb44) ) = = aS a 5 -+ hh55

+

21

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a" an __ bbnn

22

PRODUCTOS

+

(a

h)(a6

etc. Generalizando

a4h2 - a3b3

+

a5h

-

DE INTERES PRACTICO

a2h4

+

+

ab5

-

b6) = a7

+

w)

b7

x)

tendremos

(a + b)(an-I - an-2b + an-3b2 siendo n un entero positivo impar (1, 3, 5, 7,

XIV

+

- ab"-2 ).

b"-I)

= a"

+ b"

y)

PRODU 2.

PROBLEMAS RESUELTOS

a)

b)

Efectuar

los productos

que se indican. e)

PRODUCTOS 1.

I-VII

+

a)

3x(2x

b)

x2y(3x3

e)

(3x3y2

= (3x)(2x) + (3x)(3y) = 6x2 + 2y + 4) = (x2.1')(3x3) + (x2y)(-2y)

3y) -

+

2xy -

+

(2x (1 -

+

f)

(5x

+

g)

(3x

+

11)

(x

+

=

2)2

(7x2 -

(3X)2

x2

+

+

j)

(ax (x4

1) 111)

6)2 = (X4)2

+

22

=

+

+

n)

(x -

o)

(x

+

p)

(t2

+

q)

(3x

3)(x

+

5)

2)(x

+

8) = x2+

2)(x -

=

x2

8) = x2

+ +

+

(3

+

(2 -

8)x

+

12) = (t2)2

4)(2x

3) = (3)(2)x2

-

=

6x2

-

X

(2x

+

5)(4x

-

1) = (2)(4)x2

s)

(3x

+

y)(4x

-

2y) = (3x)(4x) = 12x2 -

(312s -

u)

(3xy

+

= 6x3y L')

(x

+

y

+

3)(x

+

y -

3) = (x

aplicando

25y2.

2x,

b

=

3y

III con a

=

3x, b

=

i)

5y

(10)( -12)

+

aplicando

+ +

+

+

y)2 -

+

PRODl a)

120

e)

=

3, b ~ 4, e = 8x2

(5)(-1)

+

=

2, d

18x -

=

-3

=

4x,

5

(y)(-2y)

VII con a

+

(I)(2X2)

2xy

5

b) 212 -

=

(-2)(-3s)

+

(I)(-3y)

3.1'

32 = x2

=

3.

6s

2X2 -

3, b'

16

14 -

(312s)(-3s)

(3xy)(-3y)

=

(4)(-3)

+

(3x)(-2y)

V con a

16

VI con a

+

aplicando

6x -

=

+

(5)(4)]x

2y2.

+

4 15.

x2 +

(4)(2)]x

(-2)(4/)

9xy2

=

8x

+

912S2

+ +

12y2

+

+

4axby

k)

4b2y2

36

= x2 - 6x -

+

(y)(4x)

+

=

11 con a

IV con a = 7x2, b = 2"1

+

12x4

aplicando

12. [(2)(-1)

3y) = (3xy)(2x2)

+

30xy

+

12)12

= 1213S _ 81 1)(2x2 -

f)

j)

(-2)(8)

[(3)(-3)

+

+

x2

=

(2)(-8)

2xy -

35) = (3/2s)(4/)

2)(41 -

+

+

e)

h)

+

(3)(5)

+

8)x

-

+

d)

3y

25x2 _ X6y4

(2)2 = 9y4 -

+

(10 -

+

r)

1)

+

(-2

10)(12 -

+

+

5)x

=

=

(211.1')2= a2x2 -

(6)2 = x8

(3y2 _ 2)2 = (3y2)2 _ 2(3y2)(2) (x

2x, d

g)

aplicando

4x2y2.

2(ax)(2I1y)

2(x4)(6)

+

_ 2x2y2

=

4x2y

+ 4x + 4 + (2xy)2

x2

+

28x]r

3x, e

(_5)(X2y3)

aplicando

9y2.

9x2

=

(5y)2

2(7x2)(2xy)

= (7X2)2 -

211y)2 = (ax)2 -

+

+

3x'y

=

25x6

(5X3)2 = 1 -

(5X)2 _ (X3y2)2

+

2(x)(2)

4x2 -

=

(3.1')2

2(3x)(5y)

= 49x4 -

k)

=

_ X3y2)

=

2xy)2

(2X)2 -

5x3) = (1)2 -

X3y2)(5x 5y)2

=

3)')

-

5x3)(1

e)

i)

3y)(2x

+

(2xY)(X2y3)

I con a

=

(x2y)(4)

2X3.1'4 _ 5x2 y3

+

= 3x' y'

d)

+

+

= (3x3y2)(X2y3)

5)(X2y3)

aplicando

9xy.

+

y2 -

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9

3x, b

=

y. e

d

=

OTRO! -2y

4.

a)

23

PRODUCTOS DE INTERES INTERES PRACTICO PRACTICO PRODUCTOS

+

w) w)

(2x (2x - y -

1)(2x )(2x - y

x)

2 (x (x'

2 _+ y2)(X y')(x'

yy))

+

2xy 2xy

+2+

(x) (X'

+

xy)(x) - 2 xy)(x'

+ y2 y' _ - 1 1 + .1'2 y' + 2xy)(x 2xy)(x' 2 + .1'2 y' - 2xy) 2xy) 4 + 2x2y2 2 = _ + y4 = (x (x' + y2)2 y')' - (2xy)2 (2xy)' = x x4 + 2x'y' y4 = (x' (x) + xy xy + 2)(x' 2)(x) + xy xy - 2) =

1) 1) == (2x (2x - y)2 y)' - (1 (1)'¡> == 4X2 4x' _ - 4xy 4xy

+ y2) y')

2xy 2xy

xy) x)')

== (x (x'2

+

= (x' (x) =

+

xy)' - 2 2'2 == x66 xy)2

2(x))(xy) 2(x')(xy)

+

__ 4x2y2 4x'y'

(xy)' - 4 = = x66 (xy)2

= x4 x 4

+

__ 2x2y2 2x'y'

+ y4 y4

2y2 - 4 2x44yy +-..r +-..r'y' 2x

PRODUCTOS VIII~XII PRODUCTOS VIII :XII 2. a) a)

+

(x (x

2y)) = = x' x) 2y)' = x' x) =

2)) + 2)3

+ +

3(xf (2y) (2y) 3(X)2 6x'y2y 6x

= (3X)3 (3x)) =

+

+

+

3(x)(2y)' 3(x)(2y)2

8y), aplicando VIII VIII con con a == x, x, b b == 2y 2y + 8y', aplicando 3(3x)(2)' (2)) == 27x3. + 54x2 54x' + 36x 36x + 8 + 3(3x)(2)2 + (2)3 3(2y)(5)' (W + 3(2y)(5)2 - (5)3

(3x (3x

e)

(2y - W 5)) = = (2y)3 (2y)3 - 3(2y)2 3(2y)' (5) (2y

d) d)

(xy - 2)3 2)) = = (xy)' (xy)3 - 3(xy)2 3(xy)' (2) (xy

e)

2y)3 _ 3(X 2y)2 ()'2) (x (x'y2y _ - y2)3 y')3 = = (X (x'y)) 3(x'y)' O.')

1) J)

1l)(x' )(x 2

(x (x

+

x X

+

60y' 60y2

(2y¡J (2y)'

12xy' 12xy2

3(3x)' (2) 3(3x)2

b) b)

= 8y 8y)3 =

+

150y - 125,

aplicando IX con con a aplicando

3(xy)(2)' + 3(xy)(2)2

+ 1) = x -- 1, x)3

+

= 2y, 2y, b = = 5 =

= X3y3 6x'y' - (2)3 = X 3)'3 - 6x2y2

+

12xy - 8 I2xy

2y)(v2)2 _ (v2)3 6 )" 3(x _ y4 3(x'y)(y')' (y')) = = xX6y3 _ 3x 3x44y4

+

3x2ys 3x'y5 _

y6 )'6

aplicando X con con a = x, x, b = 1 aplicando

reconoce la forma, forma, se multiplica multiplica como como sigue: sigue: Si se reconoce

1)(x' )(x 2 +

i)

x(x' 2 + xX + 1) - 1 1 (x (x' 2 + X x + 1) = x33 + X2 x' + X x - X2 x' - X x - 1= x x)3 + 1) = x(x 2 3 (x - 2y)(x' 2xy + 4y2) 4y') = x) aplicando x, b = 2y (x 2y)(x + 2xy x - (2y)) (2)')' = x) x' - 8y3, 8y', aplicando X X con con a = x, 2)' (xy + 2)(x'y' (xy)3 + (2)3 = X3y X3y33 + 8, aplicando con aa = xy, (xy 2)(X 2)'2 - 2xy 2xy + 4) = (xy)' aplicando XI con xy, b = 2 (2x + 1)(4x' 2x + 1) == (2X)3 (2X)3 + 1 = = 8x) (2x )(4x 2 - 2x 8x 3 + 1

j) j)

(2x (2x

k) k)

(u' (u

(x g) g)

h) h)

+

3y 3y

--

v' v2

+

xX

= = 4x' 4X2 j

+

+

z)' Z)2 = = (2x)' (2X)2

(3y)')2 (3y

+ (Z)2 (d +

2(2x)(3y) 2(2x)(3y)

+

2(2x)(z) 2(2x)(z)

+

--

1

2(3y)(z) 2(3y)(z)

+

9y' + 12xy + 4xz 6)'z, aplicando 9y2 t z' Z2 + 12xy 4xz + 6yz, aplicando XII XII con con a = 2x, 2x, b = 2 + ((-v')' V )2 + (2w)' (2W)2 + 2(u))(-v') 2(u 3)( - v2) + 2(u)'(2w) 2(u"(2u:) + 2(-v')(2w) 2( - v2 )(2w) + v44 + 4w' 4w 2 -_ 2u)v' 2U 3V 2 + 4u)w 4u 3u: - 4v'w 4v 2u;

3y, 3)',

e = z

2w)' 2W)2 = = (u))' (U 3)2

= u66 =

PRODUCTOS PRODUCTOS XIII-XIV XIII -XIV 3.

5 s + xx44 + x) 1l)(x )(x x' + x' X2 + xX + 1) = = xx66

a) a)

(x (x --

b) b)

44 (x - 2y)(x (x 2y)(x

e) e)

(3y (3y

+

+

2x)y 2x 3y

+

4x'y' 4x2y2

x)(81y4 x)(81y4 -- 27y)x 27y'x

+

+

8xy) 8xy'

9),'x' 9),2X2 --

3 3yx 3yx'

1, l.

--

+ 16y4)

aplicando aplicando XIII XIII con con a = = x.x, bh = 1, n == 66

= = xx55 -

(2y)5 (2y)s

= = xx5S --

32.1'5, 32y s,

+ x") X4)

aplicando aplicando XIII XIII con con a = = .v, x, bh = = 2y 2y

+ xX5S 243)'s + x5S, , = 243)'5 = = (3.1')5 (3.1')5

aplicando XIV XIV con con a = 3y, 3y, bh = xx aplicando

OTROS OTROS TIPOS TIPOS DE DE PRODUCTOS PRODUCTOS 4. 4.

a) a)

(x (x

+ y)' + z)(x z)(x + yy

-- z)(x z)(x -- yy

(x

+

z)(x z)(x -- yy -- z). z).

+ yy + z)(x z)(x + yy

El producto producto de de los los dos dos primeros primeros factores factores es 2xy 2xy

+ y'y2

-- z' Z2

z)(x -- yy -- z) = = (x (x -- y)' y)2 -- z' Z2 = = x' X2 -_ 2xy 2xy z)(x

+ y'y2

--

-- z) z) = = (x (x

+ y)' y)2

- z' Z2 = = x' X2

+

yY el de de los los dos dos últimos últimos

(x -- yy (x

+

El El resultado resultado es es que que

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Z2 z,

PRODUCTOS

24 + )'2

(x2

+

_ =2

+

= X' b)

(x

+

+

y

+

'z

(y2)2

y'

+ z' -

(u -

+

V)3 (u

+ (_ Z2)2 +

+

y)

+

+

y2

2xy

= [(u -

V)3

2x2y2

+ +

(x2 -

d)

X

+

+

I)¿ (x2

+ vJ]3 + 3(U2)(V2)2

v)(u

+

= [(x2

e)

(e'

+

l)(eY

l)(e2y

-

= (e'Y

-

+

+

x'

+

+

2X6

+

l)(éY

-

1

+

+

+

(V2)3

2(y2)( _ Z2) _ 4x2 y2

v)

w)

+

2y

2(x

+

Z2

+

y)(z

+

2z

+ +

3u'v2

= u6 _

+

+

+

1)

+

1

+

3u2v'

X

+

+ 1 ¡>

(z

x) y)

+

2(x')(I)

2X2 = x8

1) = (eS Y -

+

1)(e2y l)(e8y

+

1)]2 = [(x2

1 _ X2]2 = (x"

1) = (e2y -

+ +

I)(esy

u)

+

_ Z2)

V2)3

2X2

+

2x'

2(x2)(

y)2

1 )(x2

2(x')(x2')

I)(esy

+ +

l)(e'Y

+

+

2yz

_

+

X

1)2 _ X2]2 = [x' 12

+

XS

1)2 = [(x2

(X2)2

= (X')2

=

+

X

+

2x

= (u2 -

= (u2)3 _ 3(U2)2V2

+

2y2z2

1)]2 = (x

+

2xz

)'2 _ Z2)2 _ (2xy)2

2(x2 )(y2) 2X2Z2 -

-

+

(z

+

= (x2

y2 _ 2xy)

+

1)2 = [(x

= x2 e)

+

2xy)(x2

= (X2)2

DE INTERES PRACTICO

1 - X)(X2

+

x2

+

1

+

+

+

3x'

l)(e'Y

a)

b)

xJ]2

e)

1)2

2(x2)(1)

2X6

+

+

6.

116

_

d)

+ +

1) = el6y

2X2 I)(esy -

+

e)

1

+

f)

1)

g)

1

h)

7.

a)

b) e)

PROBLEMAS PROPUESTOS Efectuar

s.

los siguientes

2xy(3x2y

b)

3X2y3 (2xy

e)

(2S(3 _ 4rs2

-

(3a

e)

(5xy

+

f)

(2 -

5y2)(2

g)

(3a

+

(y

j)

(z -

m)

+

n)

(x -

o)

(y

p)

(xy

+

(2x

-

r)

(4

+

8xy'

-

5y2)

5a2b)

-

+

= x2

= 4 -

+

8z

12x2

+

-

4x2yz

4 )(x

+

2

+

2

+

4) = x

7) = x

3)lv - 5) = y2 6)(xy

3)( 4x 3r)(2

-

25a'b2

+ +

4z2

8

3x -

28

2y -

15

4) = x2y2

+

1) = 8x2 -

+

16

-

4x'

6x

-

r) = 8

15rs'(3

16

2X2)2 = 9 -

+

+

9x2

_ 2Z)2 = x'y2 2)(x

20r2s3(2

36

+

6x)'

g)

6x2y'

25y'

= 9a2 -

+

12x

+

-

-

25b'

4) = 25x2y2

-

+

9a2 -

=

5b)

4)(5xy

3X3y3

-

= 10rs2(5

3s3()(5rs(2)

5a2b)(3a

+

q)

-

= 6x3y'

2y)

4)2 = Z2 -

(x2y (x

+

3X)2 = y2

k) (3 1)

= 6x3y2

x -

5b)(3a

h) (x + 6 ¡> i)

4y3) -

d)

+

e)

productos:

f)

a)

+

d)

+

2x)'

(5x

+

3y)(2x

-

3y) =

()

(2(2

+

S)(3(2

+

4s) = 6('

24

10x - 3 3r2

2r -

s)

-

IOx

2

+

-

9xy

-

11(2S

+

9y2 4s2

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PRODUCTOS

u)

(x2

v)

x(2x - 3)(3x

+

w) (r +

+ +

l)(r

S -

4) = 6x3 -

+

s

+ +

1) = r2

12x

+

2rs

.1'2-

1

a)

(2x

+

1)3 = 8x3

b)

(3x

+

2y)3 = 27x3

e)

(r - 2S)3 = r3 - 6r2s

+

12rs2 _ 8.1'3

d)

(x2 -

+

3x2 -

e)

(ab2 - 2b)3 = a3b6 - 6a2b'

f)

(1 -

g)

(z - X)(x2

a)

+

1)3 = x6 _ 3x4

+

2)(12

2¡

+

+

3y)(x2 - 3xy

(x - 2)'

6x

+

1 )(S3

+

S2

¡2)(1

-

¡2

+ +

+

9y2) = x3

+

+

(s (1

d)

(3x

+

2y)2 (3x - 2)')2 = 81x4 -

e)

(x2

+

2x

f)

(y -

g)

(u

+

1)3 (y

S

¡4 _

1)2 (x2 -

+

1) = S4 -

12ab4 _ 8b3

+

+

27y3

+

+

2zx - 4zy

Z2

1

¡6) = 1 _ ¡8

2x

+

4)(u4

+

+

+

16y4

4x6

+

72x2y2

1)2 = x8 -

1)3 = y6 _ 3y4

2)(u - 2)(u2

8y3

1

4y2

e)

+

+

8

b)

+

1

36xy2

Z2) = Z3 _ x3

Z)2 = x2 - 4xy

+

+

+

4) = ¡3 -

+

xz

+

54x2y

12x2

+

PRACTICO

7X2)'2 _ 4)'3

x2 -

y)

h) (x +

7.

_ y2) = 2x4)'

INTERES

(x - 2y + z)(x - 2y - z) = x2 - 4x)' + 4y2 _ Z2 2 (x + 2x + 4)(x2 - 2x + 4) = x4 + 4x2 + 16

x)

6.

4y)(2x2y

DE

6x4 _ 4x2

+

1

3y2 _ 1

16) = u8 -

256

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25

LOS PF A)

Fac

B)

Difi

C)

tw

D)

011

E)

SU!

CAPITULO CAPITULO 4

Descomposición Descomposición en factores FACTORES de una expresión expresión algebraica algebraica dada algebraicas que LOS FACTORES dada son dos o más expresiones algebraicas multiplicadas multiplicadas entre sí sí originan originan la primera. primera. Por ejemplo, la expresión expresión algebraica algebraica xX22 - 7x 7x )(x - 6). dos factores (x (x - 1)(x 6). Análogamente, Análogamente, xX22

+ ,2xy 'f.xy

- 8y2 == (x (x

+ 4yKx4y)(,'i:

+ 6 se puede expresar expresar como producto producto de los - 2y) 2)')

PROCESO DE DESCOMPOSICION DESCOMPOSICION EN FACTORES. FACTORES. Se aplica, generalmente, generalmente, a polinomios polinomios de PROCESO también polinomios polinomios de coeficoeficientes enteros. En este caso, se requiere que los factores sean también Mientras no se advierta advierta lo contrario, contrario, supondremos supondremos estas condiciones. condiciones. cientes enteros. Mientras

(Jx l)(Jx -

Por ejemplo, (x (x -- 1) 1) no lo consideraremos consideraremos descompuesto descompuesto en los factores (Jx + I)(Jx - 1), 1), Por polinomios. Igualmente, Igualmente, (x (x22 - 3y2) 3y2) no' no' lo consideramos consideramos descompuesto descompuesto ya que éstos no son polinomios. (x - j3y)(x polinomios de coeficientes enteros. j3y)(x + j3y), j3y), ya que éstos no son polinomios en los factores (x aunque 3x 3x Asimismo, aunque x

~y + ~y

+

2y se pueda pueda expresar expresar por 3(x 3(x 2y

~y), + ~y),

consideraremos así, porque porque no lo consideraremos

polinomio de coeficientes enteros. no es un polinomio

polinomio de coeficientes enteros enteros es primo cuando no se puede desQOmponer descomponer en factores primo cuando Un polinomio criterios expuestos expuestos anteriormente. anteriormente. Por ejemplo, xX22 - 7x 7x + 6 = = (x (x - l)(x l)(x - 6) está siguiendo los criterios expresado como producto producto de los factores primos primos x - 1 Y x - 6. expresado polinomio se puede descomponer descomponer totalmente totalmente en factores cuan.do cuando se pueda pueda expresar expresar como Un polinomio producto de factores primos. producto Nota descomposición en factores se pueden efectuar efectuar cambios cambios de signo; Por Por ejemNota J. En la descomposición 7x + 6 se puede descomponer descomponer en (x (x - l)(x 1)(x - 6), o bien en (1 (1 - x)(6 x)(6 - x). x). Se demuesplo, xX22 - 7x descomposición en factores primos, prescindiendo prescindiendo de los cambios cambios de signo o del orden orden tra que la descomposición teorema fundamental fundamental de la descomposición descomposición en factores. de los factores, es única. Este es el teorema Nota polinomio es primo cuando cuando no admite admite más factores (o divisores) que él mismo, Nota 2. Un polinomio unidad, ± 1. 1. Esta definición es análoga análoga a la de números números primos, primos, como con signo más o menos, y la unidad, 11, ... ... son 2, 3, 5, 7, 11,

F) Ag

Nota Algunas veces veces se se descomponen descomponen en factores polinomios polinomios de coeficientes racionales; racionales; Nota 3. Algunas (x + 3/2)(x 3/2)(x - 3/2). En estos casos, los factores son también también polinomios polinomios por ejemplo, xX22 - 9/4 == (x de coeficientes racionales.

G)

DESCOMPOSICION EN FACTORES FACTORES son de gran aplicación las fórmulas I-XIV del CaEN LA DESCOMPOSICION pítulo 3. De la misma forma que leídas de izquierda izquierda a derecha dan el el resultado resultado de un producto, producto, cuanpítulo izquierda constituyen constituyen la descomposición descomposición en factores. factores. do se leen de derecha a izquierda 26

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Fa

27 27

DESCOMPOSICION FACTORES DESCOMPOSICION EN FACTORES

LOS PROCEDIMIENTOS utilidad en la descomposición descomposición en factores. PROCEDIMIENTOS SIGUIENTES SIGUIENTES son de gran utilidad A)

2)

C)

los

+ ad ad =

+ d) d)

a(c a(c

+

3x 3x22yy = = xy(2x xy(2x2 2 - y

+

3x) 3x)

a22 - b22 = (a

+

b)(a b)(a

Tipo: Tipo:

b) b)

1) donde a = x, x, b = 5 1) X2 x2 - 25 = X2 x2 - 52 52 = (x + 5)(x 5)(x - 5) donde 2 2) donde a = 2x, 2) 4X2 4x - 9y2 = (2X)2 - (3y)2 (3y)2 = (2x (2x + 3y)(2x 3y)(2x - 3y) 3y) donde 2x, b = 3y 3y a22 + 2ab 2ab a a2 a2 _ _ 2ab 2ab

. T T IpOS: IPOS'

Trinomio cuadrado Trinomio cuadrado perfecto. perfecto.

.

+ +

b22 = = (a + b)2 b22 = = (a b)2 b (a -_ b)2

Un trinomio términos son cuadrados cuadrados perfectos perfectos yy el tercero trinomio es un cuadrado cuadrado perfecto si si dos términos es igual al duplo producto de aquéllos. duplo de la raíz cuadrada cuadrada del producto 1) X2 x2

Ejemplos. de oefi-

2)

D) 1), esto ros.

+ 6x 6x + 9 = = (x (x + 12xy 12xy + 4y2 = =

9X2 9x2 -

. T TIpos: IpOS:

Otros Otros trinomios. trinomios.

3)2 (3x (3x - 2y)2 2y)2 X2 b)x + ab ab = a)(x + b) b) x2 + (a + b)x = (x (x + a)(x acx2 bc)x + bd bd = b)(cx acx" + (ad (ad + bc)x = (ax (ax + b)(cx

d + d) )

1) - 4, b = -1 1) X2 x2 - 5x 5x + 4 = (x (x - 4)(x 4)(x - 1) 1) siendo a = -4, -1 su suma es igual a (a + b) b) = -5 ab = 4. -5 Y su producto producto ab

Ejemplos.

X2 4y) siendo a = - 3y, 4y x2 + xy xy - 12y 12y22 = (x (x - 3y)(x 3y)(x + 4y) 3y, b = 4y 3) 3x -5x-2=(x-2)(3x+ 1).Enestecasoac=3,bd= -2,ad+bc= -5 3x22-5x-2=(x-2)(3x+ 1).Enestecasoac=3,bd= -2.ad+bc= -5; ; por tanteos ad + be bc = - 5. tanteos se obtiene que a = 1, 1, ce = 3, b = --2, 2, d = 1 satisface ad

2)

que

4) 4)

5)

ores está . .'.

amo

2x 2x33yy - xy2 xy2

Diferencia de los cuadrados. Diferencia cuadrados.

Ejemplos.

que

ac

(3y - x) 1) 6x 6x22yy - 2X3 2X3 = = 2x 2x22(3y x)

Ejemplos.

B)

Tipo: Tipo:

Factor Factor monomio monomio común. común.

+ XX -- 12 == (3x 3) (3x - 4)(2x 4)(2x + 3) x) 8 - 14x 14x + 5X2 5x2 = = (4 - 5x)(2 5x)(2 - x)

6X2 6x2

.

.

E) Suma, Suma, diferencw diferencia de dos cubos. cubos. •

Ejemplos. jernuesrden

1) 8x 8x33

2) 2)

+

.

TIpos:

a33 + b33 = )(a22 - ab ab + b22)) = (a + b )(a 3 ( b)( 2 b2) b3 b)( b b2) a = a +a+ a- =a- a a+a+

27y33 = = (h)3 (2x)3 + (3y)3 (3y)3 = (2x (2x + 3y)[(2x)2 3y)[(2x)2 - (2x)(3y) (2x)(3y) + (3y)2J (3y)2] = = = (2x (2x + 3y)(4x 3y)(4x2 2 - 6xy 6xy + 9y2) 9y2)

8X33y3 y3 -

1 == (2xy)3 (2xy)3 - 133

= (2xy = (2xy -

\)(4x2y2 1)(4x2y2

+

2xy 2xy

+ 1) 1)

smo, amo

F)

ales;

Ejemplo. 2ax y(a - 2b) = (a - 2b)(2x y) 2ax - 4bx 4bx + ay ay - 2by 2by = = 2x(a 2x(a - 2b) 2b) + y(a 2b) = 2b)(2x + y) G) Factores Capítulo 3. 3. Factores de cl' o" ± b". Aplicamos la fórmulas fórmulas XIII yy XIV del Capítulo

mios

l

ea-

Agrupamiento de términos. Agrupamiento términos.

Ejemplos.

Tipo: Tipo:

1) 32x 32x55 + 1 \)

ac

= (2X)5 =

+ bc be +

+ 155

cuan2)

X7

-

1

= (x -

1)(x6 +

ad ad

+ bd = c(a b) + dia d(a + b) b) = = (a + b)(c b)(c + bd = c(a + b)

= (2x (2x = = = (2x (2x x5

+

1 )[(2X)4 + 1)[(2X)4 + 1)(16x l)(16x44 -x4

+

x.3

+

x2

J

2x + 1 1] (2X)3 + (2X)2 - 2x 2 - 2x 8x 4X2 8x33 + + 4x 2x + + 1)

+

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X

+ 1)

d) d)

28

DESCOMPOSICION EN FACTORES FACTORES DESCOMPOSICION

términos. H) Suma y resta de términos. Factor x44 Ejemplo. Factor

DIF

+ 4.

2.

4x2 (doble del producto cuadradas de x44 y 4), Sumando y restando Sumando restando 4X2 producto de las raíces cuadradas obtenemos obtenemos x44

+4

= = (x (x44 = (x (x22 =

+ 4X2 4x2 + 4) - 4X2 4x2 2 2 + 2 + 2x)(x 2x)(x + 2

= = (x (x22 + 2)2 2)2 - (2X)2 2x) = = (x (x22 + 2x 2x + 2)(x 2)(x22 - 2x 2x - 2x)

Combinación de los métodos anteriores. 1) Combinación = (x44 _ xy3) Ejemplo. x44 _ xy3 xy3 _ X3 X3y + y4 = xy3) _ (x33yy _ y4) y4) = x(x3 _ y3) y3) _ y(x3 y(x3 _ y3) y3) = x(x3 = (x (x33 _ y3)(X y3)(X - y) = y) == (x - y)(x y)(x22 2 2 = (x (x - y)2(X y)2(X + xy = xy + y2) y2)

+

+ 2)

+ y2)(X y2)(X

xy xy

- y) y)

MAXIMO COMUN COMUN DIVISOR DIVISOR (M.C.D.)de (M.C.D.)de dos o más polinomios polinomio de mayor mayor EL MAXIMO polinomios es el polinomio grado (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) divisor) de los mayor coeficiente numérico numérico (prescindiendo grado y mayor polinomios polinomios dados. Para hallar M.C.D. de varios polinomios siguiente: a) a) Se descomPara hallar el M.C.D. polinomios se procede procede de la forma siguiente: pone cada cada polinomio M.C.D. es el producto obtenido polinomio en el producto producto de sus factores primos. b) El M.C.D. producto obtenido comunes elevados a la menor potencia entran a formar formar parte al tomar tomar todos todos los factores comunes potencia con la que entran parte en cada uno de los polinomios. polinomios. M.C.D. de Ejemplo. El M.C.D.

TRI 3.

2y)2, 22333(x 233322(x (x _ y)3(X y)3(X + 2y)2, (x - y)2(X y)2(X 2 2y). es 3 (x (x - y)2(X y)2(X + 2y).

+

2y)3, 2y)3,

32(x (x - y)2(X y)2(X

M.C.D. es la unidad Dos o más polinomios polinomios son primos entre sí si su M.C.D. unidad

+

2y) 2y)

±± 1.

MINIMO COMUN COMUN MULTIPLO MULTIPLO (M.C.M.) (M.C.M.) de dos o más polinomios menor EL MINIMO polinomios es el polinomio polinomio de menor grado y menor menor coeficiente (prescindiendo (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada cada uno grado uno de los polinomios polinomios dados. Para hallar M.C.M. de varios polinomios siguiente: a) a) Se descomPara hallar el M.C.M. polinomios se procede procede de la forma siguiente: pone cada cada polinomio b) El M.C.M. M.C.M. es el producto obtenido producto de sus factores primos. primos. b) producto obtenido polinomio en el producto comunes y no comunes, comunes, elevados a la mayor potencia potencia con la que entran entran al tomar tomar todos todos los factores, comunes formar parte cada uno a formar parte en cada uno de los polinomios. polinomios. M.C.M. de Ejemplo. El M.C.M. 2y)2, 22333(x 233322(x (x - y)3(X y)3(X + 2y)2, (x _ y)2(X y)2(X 2y)3. es 233333(x (x - y)3(X y)3(X + 2y)3.

+ 2y)3, 2y)3,

32(x (x - y)2(X y)2(X

+

4.

2y) 2y)

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS FAcrOR BINOMIO BINOMIO COMUN. COMUN. FAcrOR

Tipo: Tipo:

ac

ad = = a(e a(e + d) + ad

6x33 + 12x44 == 3X2 3x2 (1 (1 + 2x 2x + 4x 4x22) ) + 6x 2[3 -- 3S2[2 d) 9s3[[ + 15s 4x + 8y = 4(x 4(x + 2y + 3z) ISs2[3 [2 == 3s22[(3s + 5[2 S[2 -- [) [) b) 4x By + 12z = 4 22 33 44 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 ISa3bb2cc + 30a bb3ec2 == 5a Sa2bb2ce2 (2be2 -- 3ae 3ac2 + 6a2b) e) 10a bb ee - 15a b) 20 = Sa20 = 40"+ 40"+ I (1 - 20"20"- 1) 1) f) 40"+ 40"+ I - 80

1. a) al

2x22

-

3xy x(2x - 3y) 3xy = = x(2x 3yl

e)

3x2 3X2

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OT!

DESCOMPOSICION DIFERENCIA 2.

b)

25x2 - 4y2

e descomobtenido ue entran

+

(5x

2y)(5x - 2y)

=

(3xy + 4o)(3xy

+

mn2)(1 - mn2)

e)

3x2 -

f)

x2y2 _ 36y4 = y2 [X2 - (6.d]

= y2 (x

g)

x4 _ y4

+

12 = 3(x2 -

8

=

i)

32a b -

j)

X3y - y3x

3. a)

x2

b)

1

+

xy(x2 - y2)

=

36y2

1)2 -

2y)2 -

+ +

+

8x

4y

e) g)

9x4

11)

2x3y3

i)

16a4

+

4y2 = (1

+

12 -

4 =

+

(x

+

2y)2

/)

4m6n6

+

+

32m4n4

6x

+

e)

x2

2x - 8 = (x

y4

+ +

/)

(x

+

+

= =

+

+

25

=

y)(x _ y)

=

+

x4)(I

(x

+

I)(x - 6y

+

1)

(3x - 7y)]

=

(8x - 5y)(2x

x)(1

-

x)

y)(x _ y)

2y)

=

(6y)]

1) -

+

(3x - 7y)][(5x

a2

+

+

(x

2ab

Tipos: a2 _ 2ab 42

=

+

(x

+

6y

2y) -

+

9y)

b2 = (a + b)2 = (a _ b)2

+

+ b2

4)2

+

+

(x

+

8xy

= 2y

[(2a

+

16y2) = 2xy3 (x

+

d)

x2 -

16xy

e)

25x2

+

f)

16m2 - 40mn

+

60xy

64y2 = (x - 8y)2

+

36y2 = (5x

+

+

6y)2

25n2 = (4m - 5n)2

4y)2

=

3b)(2a - 3b)]2

W

+

+

+

8m2n2

+

(2a

+ 3W

k)

a2x2 - 2abxy

4m2n2 (m2n2

=

16)

x2 - 7xy

+

+

f)

x

g)

16 -

2)

h)

20 - x - x2 = (5

X - 6) = 3x(x - 3)(x

+

4)(x - 2)

+ -

+

2

+

1)

=

+ [(x

=

(Z2 -

xy -

12y2 12y2

+

10x

1) = (m2

+

1)

+

+

2][(x

+

2)(m

+

1)

+

1]

l)(z2 - 9)

=

+

Z4 -

o)

2x6y _ 6X4y3 _ 8x2ys = 2x2Y(X4 _ 3x2y2 _ 4y4)

+

(z

y2)(X2

I)(z - I)(z

_

+

= +

+

x)(4 - x)

1)

(x

+

3)(x

+

2)

+

2y)(x - 2y)

71)

3)(z - 3)

4y2) = 2x2Y(X2

+

b2y2

x2 = (8 - x)(2 - x)

2)

1 )(m -

+

4)2

3)

n)

=2x2Y(X2

+

3W

= (x - 3y)(x - 4y) = (x + 4y)(x - 3y)

(x - 4)(x - 2)

2

+

(20 -

d)

e)

m) S2/2 _ 2S13 _ 63/4 = t2(S2 - 2st - 6312) = 12(S - 91)(s 9

+

2)

+

4)(x

4)(y2

+

x2)(1

+

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) aex2 + (ad + be)x + bd = (ax + b)(ex

2)(m2 -

IOz2

(1

9b2)(402 _ 9b2) 9b2)(2a + 3b)(2a - 3b)

.

+

3(x

+ +

+

4m2n2 (m4n4

+

+

X2)(I - X2)

y2)(X

=

12 = (y2

1)2

+

(x2

22 = (l - 2)2

m2 - 2 = (m2

7y2

+

(402 - 9b2)2

=

18x = 3x(x2

+

+

p

b)

j)

[(5x

Ti os'

+

3x2 -

+

64m2n2

6x

3x3 -

(6y)][(x

+

x2 -

i)

+

2y)

x2

8

xy(x

1)

+

a)

+

=

+

=

2y)2

81b4

+

10(x

8

81b

32xys = 2xy3 (x2

TRINOMIOS.

+

x )(1

-

2(1)(2)

+

16x2y4

j)

+

4

= 2b(4a2 = 2b(402

4)

2(x)(4)

+

6y)(x - 6y)

y2)(X2 _ y2)

+

(1

+

16y2 = (3x2 - 4y)2

+

72a2b2

-

+

- 4a)

2)(x - 2)

PERFECTO. x2

=

16

=

=

(3x - 7y)2

24x2y

--

+

[(x

CUADRADO

12 - 41

OTROS

=

+

(x2

4

162bs = 2b(l6a4

4

(5x

=

lV2)2

x )(1 - x4)

+

(1

= (1

4) = 3(x

(X2)2 _

=

x

1 -

k) m"

-1)

=

d)

(mn2f

-

d) x2 - 2x - 8 = (x - 4)(x

2)

3)(x - 3)

(2y)2

(3xy)2 - (4of

m2n4 = 12

TRINOMIO

4.

=

+

(x

1 -

1)

de menor da uno de

16a2

=

(5X)2 -

9x2y2 -

k) (x +

descomobtenido ar parte

=

e)

11)

y)

x2 - 32

=

29

Tipo: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

DE DOS CUADRADOS.

a) x2 - 9

EN FACTORES

y2)(X

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=

(ax - by)2

DESCOMPOSICION x2 -

p)

+

2xy

+ 10(x -

y2

+ 9

y)

= (x -

EN FACTORES

+

y)2

lO(x

-

s,

q)

4X8y'0

r)

x2•

s)

x •••+2"

+

7x"'+O

1)

a2(,-I)

-

5a,-1

84x2)'4

= 4X2y4 (X6y6 _

+

30 = (x· - 6)(x"

x· -

-

+

40X5y7

_

+

6 = (a,-I

-

+ 21)

10x'y'

k)

+ 9] =

y)

+

(x -)'

= 4X2y4 (x')"

-

l)(x

-

+ 9)

y

7)(x'y'

3)

-

1)

5)

IOx'" = x"'(x2"

+

+ 9

y)

= [(x - y) + 1][(x

+

-

+ 10) =

7x"

3)(arl

+ 2)(.>.:" + 5)

x"'(x"

2)

-

AG a)

3x2

b)

2X2 -

Tx

e)

2y2 -

y -

6

g)

4z4 -

9z2

+

h)

16x'y

+

+ IOx + 3

+

i)

12(x

j)

6b2"+1

k)

18x4.+'"

1)

+

3

-

+

8(x

5b"+1

O DIFERENCIA

6.

x' + 8 = -

27 =

e)

a6

+

b6

-

3)

e)

6x2 -

3)(y

-

2)

f)

10 -

a'

-

b6 = (a'

e)

aO

+

b9 = (a')'

2x)'(8x2

15 =

=

4x4y"

a'2

+ b'?

g)

64x'

+

(a -

(b2)'

+

+

+

(x

3' =

b')(a'

+

h)

(x

+

= (a4)'

125v'

y)'

i)

(x -

2)' +

j)

x6

7 x3

-

-

8y'

y) -

5][2(x

+

y)

6)

= b(2b"

+

3)(3b" -

_

= 6x"'(3x2p

+

4x4y'

(16x8 _

2xy(4x

+

y2)(4x2

= 4x4y'

(4x2

+

y2)(2x

= (5 -

4y)(2x

-

+

3x)(2

3)

3)')

7.

x)

+ 5)')

3y)(2x

= (6x

+

6y -

5)(2x

+

2y

+ 3)

2)

4y4) = 6x"'(3x2•

+ 2y)(x' + y8) =

y2)(X'

17x4y4

(4x2

-

+ 3]

11.\,2.)'2-

2)(x2

-

y2)(X2•

+

(16x4 _ y4)(X4

y2)(X2

y)(x2

+

)')(2x

+

2)(x2

-

2x + 4)

3)(a2

+

3a

-

+

_

4)'2)

2y)

4x4y'

_ y2)(X2

+

+

+

b2)(a4 _ a2b2

b')

+

(5y)'

+

+ y -

y -

b)(a

+

_ y4)

_ y2)

+

y2)(X

y)(x

-

y)

+

+

5y)[(4x)2

= (4x

+

5y)(16x2

+

y)2

+

2xy

8 = (x' - 8 )(x' )(x'

+

b4)(a8 _ a4h4

z)(x2

+

(x

b2)(a -

+

+

-

y)z

a'h'

-

+

+

ab

+

b6)

(4x)(5y) 20xy

+

(5yf]

+

+

25y2)

+

Z2)

Z2]

.1'2 +

x= +

(2y)3 = (x -

2+

2)')[(x

-

2)2 - (x - 2)(2)') +

= (x -

2+

2y)(x2

-

4x + 4 -

+

+

8.

b2)

b8)

+

-

b)(a2

(h')2]

b2)(a6

= (4x

FA

b4)

a'b'

ab +

+ 9)

(b2)2]

+

+

ab

-

-

z)[(x

2)' +

2'

2

(a -

_ a2b2

h)(a2 -

+

= (a

= (a4

= (x

-

+ 32) =

3a

= (a2

= (x

= (x'

+

(x

b2)[(a2)2

(b4)'

= (x -

+ 22) =

2x

= (a' + h')[(a')2

(b')'

+

-

3)(a2

= (a2

-

= (4x)'

z'

-

+

5b" -

= 4x4y'

= (ti

f)

14xy -

= 6x"'(3x4•

+

= (3x

+

2)(2s

1)

1)(2z -

15)'2) =

12y2

3x2

x -

+

[6(x

+

+

2)(2z

xy -

= (5s -

DE DOS CUBOS.

= (a2)'

a6

1) = (=2 -

_ 24x"'y4

+

-

ti)

=

y) -

+ 2' =

x'

a'

l)(x

6b = b(6b2"

-

_ 68x8y7

b)

10s2+11s-6

30xy'

_ 66x2'+"'y2

64X'2)"

d)

2 = (Z2 - 2)(4z2 -

SUMA a)

+

= (2)'

+

y)2

+ 3)

= (2x -

28x2y2

+

l)(x

+

= (3x

)'Z

2x)'

(2y)2]

+ 4)' + 4)'2)

1)

+ 1) =

(x -

2 )(x2 +

2x -~ 4)(x

+ 1)(x2

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-

X

+ 1)

31 31

OESCOMPOSICION EN EN FACTORES FACTORES OESCOMPOSICION

k) k)

X8y 64X2y = xx2y(x· Y(X6 -- 64 64y = xx22Y(X33 X8 6) = y 6) y _- 64X2 y77 =

y(x == xx2y(x

++

2v)(x22 -- 2xy 2xy 2v)(x

++ 88yy3)(X 3)(X33 __

4y2)(X --- 2y)(x 2y)(x22 4y2)(X

++

1) 54 54x·y2 38x3 16y' == 2y2(27 2y2(27x· 19x33 1) x 6 -- 19x x 6 y 2 -- 38 x 3y22 -- 16y'

7. 7.

a) a)

x2 + X2

bx -- ah ab bx

ax = h(x b(x -- a) a) -- ax

3ax -- ay ay -- 3bx 3bx 3ax

e) e)

6x2 - 4ax 4ax -- 9bx 9bx 6X2

d) d)

ax ax

e)

x2 -X2

f) f)

x33

x

g) g)

x7

7

++ ay

x2y + x2y 27x44 + 27x

X3y3 - y3 x)y)

a· (16

+

3 = x44 (x33 x 3 -- 27 =

--

+

+

3))(x 3 )(X22

1)

)(x22 1)(x

= a6

b6 -- a22bb44 -_ a44bb22 b.

27) - (x33 27)

6

+

3

8x3 -_ 8 == y3(X) y3(X3 -_ 8x)

+

+

++ XX ++

1) 1)

== c(a c(a + + b) b) + + d(a dia + + b) b) = = (a (a + + b)(c b)(e + + d) d)

x) = + x)

(x -- a)(x a)(x (x

+

+

b) + b)

27)(x44 - 1) + 27)(x 1) 1) == (x + 3)(x 3)(x22 - 3x + (x3 -_ 1 l)(y3 1) == (x) )(y) + 8)

8(x3 -_ 8(x)

3a22 -

5ab 5ab

+

2b 2b22 -

+

I)(y + 2 )(y2 - 2y 2y + 4) + XX + I)(y + bb·6 __ a44bb22 = a22(a(a44 __ b44)) _

b b22)(a )(a

b = (a (a)3 b33 =

+

h)(a - b)(a b)(a b)(a

3) h b))

(3a (3a22 -

+

= = (a -- b)(a b)(a22 b)(a22

= = (a (a --

FACTORES FACTORES DE DE a" a"

b)(a

+ +

1) 1)

27) = = (x) (x3 27)

l)(x l)(x2 2 -

a22hb44

_ _

= (a22 = a a)

2 -- l)(x l)(x2

2a) -- 3b(3x 3b(3x -- 2a) == (3x (3x -- 2a)(2x 2a)(2x -- 3b) 3b) 2a)

= h22)) = = (a (a'2 )(a2 2 -_ b = (a 4 -_ h44)(a

j)j)

++ 4)(x 4)(x

b(3x -- y) y) == (3 (3x y)(a -- h) b) -- h(3x x -- y)(a

4

3

1) 1)

2 ++ 2)(9x 2)(9x2 -- 6x 6x

= a(x a(x + y) y) + (x (x + y) y) = = (x + y)(a y)(a + 1) 1) +y = = (x + 2y)(x 2y)(x - 2y) 2y) + (x + 2.1') 2.1') = = (x + 2y)(x 2y)(x - 2y + + X + 2y = 2 2 xy2 + y3 = = X2 x (x + y) y) + y2 (x (x + y) y) = = (x + y)(x )')(x 2 + y2) y2) + xy2

= (x (x =

i)

a) = (x (x -- a)(h a)(b -- a)

(2y)3] (2.1')3]

+ x -t-

4y2 4.1'2

= = (x) (x3 11) h)

xIx + xIx

by == a(3x a(3x -- y) y) ++ by 6ab == 2x(3x 2x(3x + 6ah

b) b)

2x)' + + 4y2) 4y2) ++ 2.\)' 8)(x33 -++ 8)(x

Tipo Tipo: : ae ac + + be be + + (Id ad + + bd bd

AGRUPAMIENTO DE TERMINOS. TERMINOS_ AGRUPAMIENTO DE

(2y)3][X3 3 __ ++ (2y)3][X

8) == 2y 2y2 (27x33 8) 2 (27x

--

2233](X ](X33 -- 1) 2 (3x 1) == 2y 2y2 (3x

++

== 2)'2 X)3 2)'2 [(3 [(3X)3

= XX22)'[X )'[X33 88yy3) 3) =

ab ab ab ab

+ +

b b22))

+

b22

b

+

+

h)(a - b) b) = b)(a = (a22

+

+

+

I)(x I)(x

+

I)(x I)(x -

1) 1)

b22 (a44 _ b44))

-- b b 2)(a 2 -b22)(a )(a b2)(a2

5ab 5ab

+

2 9)(x 9)(x2

b)(a - b) b) b)(a

+

b b22)(a )(a

+

b)2 b)2 (a _- b)2 b)'

2b 2b22))

(a - b)(3a b)(3a -

2b) 2b)

3a 3a -- 2b) 2b)

± ± bb"n

8. a" a" + b" b" tiene tiene aa + bb como como factor factor (o (o divisor) divisor) solamente solamente cuando cuando nn es es un un número número entero, entero, impar impar yy positivo. positivo . En En estas estas condiciones, condiciones. 3 aa)

++ bb)3

b) b)

64 64

e) e)

3 xx)

++ y3 y) = = 44) ++ y3y) == (4(4 ++ y)W y)W -- 4y 4y + + y2) y2) = = (4(4 ++ y)(16 y )(16 _++ 88yy6 6 == xx3 3 ++ (2y2)3 (2y 2)) = = (x(x ++ 2y2)[X2 2y2)[X2 __ X(2)'2) X(2 y 2) + + (2y2)2] (2.1'2)2]

d) d)

aS a5

++ bb S = = (a (a + + b)(a b)(a44 --

e) e)

5 11 + )'5 = + XXSys = l'1s

.n

Z5 ZS

a) a)

= = (a (a

++ b)(a b)(a2 2 --

ab ab

+ bb22) )

3

2 -- 2xy2 ++ 2y2)(X 2y2)(X2 2xy2 + + 3 + a'b a)b + + aa22bb22 _- ab ab) + bb44) )

= = (x (x

f)

5

++ 32 32 ==

Z5 ZS

++ (xy)s (xy)s

++ 2'25 ==

= = (1 (\

(z (z

++ xy)(1 xy)(1

__ x)' xy

++ x2y2 X2),2

++ 2)(Z4 2)(Z4 -2z - 32z) + + 22Z2 22Z2 _-

aa1010

= = (z(z + + 2)42 )4 __ ++ xx1010 == (a(a22)5)s ++ (x(x2)'2)s == (a(a22 ++ xx22)[(a )[(a 2 = (a (al =

h) h)

++

i)i) xx

++

11 = (X (x33)3))

=

3 = (x (x)

++ 11) = 3

++

4y4) 4y4)

__ X3 x)y) y3

++ xx44y4) y4)

++ 16) 16)

2 )3 2)2 __ (a 2)3 (a')3x2 (a'»)x 2 + + (a(a22)2)2 (X(X2)2 (a22)(x )(x

2)(a8 __ aa·x 6x2 2 + + aa4x44x 4 __ aa22xx6 6 xX2)((18

3 uu77 + + vv77 == (u(u ++ v)(u· v)(u 6 -- U'¡, uSt' + + UU44V12,2 __ Uu33Vv) 99

++ y2) y2)

23 23ZZ + + 24) 24)

2)(Z4 2)(Z4 -- 2z 2z33 + + 4z 4z22 -- 8z 8z

g) g)

4y 4y

1)(x 1)(x6 6 --

++ UU22VV44 __

xx33 + + 1)1) = (x(x

=

++ (X (X22)4] )4]

++ xx8)8)

uv' uv s + + vv66) )

++ 1)(x 1 )(x2 2 --

3 XX + + 1)(x· 1)(x 6 __ xx)

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++ 1)1)

9.

EN FACTORES

DESCOMPOS1C10N

32

a" - b" tiene a - b como factor (o divisor) si

Si

11

+

a2 -

b2 = (a -

b)(a

b)

a3

b3 = (a -

b )(a2

e)

27x3

d)

1-

e)

aS _ 32

y'

-

_ y3 = (3X)3

=

z' =

_

x6 _ a6

h)

u· -

= =

v.

2s

aS -

+

=

(x3

+

(u4

+

+

Ix

X2) = (1 -

+

a3 • 2

= (a - 2)(a4

+

2a3

(a -

+

+ y4z2 +

ySz

a3)(x3

= (x + = (u4 +

_ a3)

V4)(U4

v4)

-

i)

x9 _

I =

j)

x10 _ yl0

Y RESTA

I = (x3 -

(X3)3

_

= (xs

+ yS)(xs + y)(x4 _

= (x

En estas condiciones,

+

b"-I)

+

3xy

b como factor.

(3x)y

x)(l

+

),3Z3

+

a)(x2

+

+

X2)

+

23

a'

y2z4 ax

+

a2)(x

2)(U2

-

+ +

(4)(u2

+

8a

V

+

v2)(u

1) = (x -

+

y2)

MA:li

+ 16) + yzs +

-

¡,4)(U2

+

y2]

a2 . 22

+

4é

x3

x

= (3x - y)(9x2

+

12. ,

24)

Z6)

- a)(x2

ax

+

a2)

I )(x6

+

x3

+

v2) v)(u

-

I )(x2

+

11)

X

+

+

xly

+

1)

_ yS) x3y

+

x2y2

+

_ xy3

_ y)(x4

),4)(X

+

+

xy3

b2 -

ab)

x2y2

+

y4)

DE TERMINOS

= (a4

15x2

+

+

I )(x6

+

4

+

+

2a2b2

(sumando

b4) _ a2b2 = (a2

+

b2)2 -

= (a2

+

b2

+

24x2

= [(6x2

+

2)

+

+

9x

+

+

3x][(6x2

+

2f

y4) _

= (u. -

+

IOu

= (u4 _ 5

+

+

Deseo

3x

+

2)(6x2

-

3x

+

2) 13.

+

+

y2

4xy)(8x2

+

y2 -

e

4xy)

d

25) - 4u4 = (u4 -

2u2)(u·

e

5)2 - (2U2)2

5 - 2u2) = (u·

-

a

b

= (8x2 + y2)2 _ (4xy)2

16x2)'2

4u4)

y restando 4

- (3X)2

= (6x2

2) - 3x]

= (8x2

(sumando

+

16x2y2)

+

16x2y2

ab)(a2

+

)

4) - 9x2 = (6x2

y restando

(sumando

(ab)2

2

y restando

= (36x4

= (64x4

a2b2)

y restando

(sumando

36x4

+

+

+

= (u4

b)

+

ab"-2

b2)

+

ah

2)(a4

(y _ Z)U,6

+ ... +

a"-3b2

b)

+

_ y3 = (3x _ y)[(3X)2

= (1 - x)(12

x3

g)

SUMA

+

a"-2b

es un entero par y positivo. a" - b" también tiene a

a)

f)

es un número entero y positivo.

11

+

h" = (a - b)(a"-1

a" -

+

5)(u4

2u2 -

2u2 -

-

f

5)

g

PROBLEMAS

n.

a)

14.

DIVERSOS

x2 -

4z2

+

9y2 -

6xy

= (x2 - 6xy

+

= (x - 3y)2 b)

1602

e)

x2

+

IObe -

25e2 -

b2 = 16a2 = (4a)2

+

7x

+

y2 -

7y -

2xy

-

-

9y2)

-

b

4:2

(2=)2 = (x (b2 (b -

8 = (x2 = (x -

IObe

+

y)2

+

e 2=)(x

-

3y -

2=)

diJ

25e2)

+ .1'2)

7(x

+

3y

+

5e)2 = (4a 2xy

a

-

+

b -

7(x

y) -

-

5e)(4o y) -

-

+

5e)

15.

8

8 = (x -

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b

a)

b) y

+

8)(x

-

y -

1)

e)

DESCOMPOSICION 2

d)

a

e)

m

- 8ab - 2ae

+

16b2

+

15e2 = (a2 - 8ab

8be -

= (a 4

4

m3 - mn" - n3

+

n

-

+

EN FACTORES

+

33

16b2) _ (2ae _ 8be) _ 15e2

4W - 2e(a - 4b) -

15e2 = (a - 4b - 5e)(a - 4b

m3n = (m4 _ mn3)

+

(m3n _ n4)

+

(m3 _ n3)

= m(m3 - n3)

+

n(m3 _ n3)

+

(m3 _ n3)

3

3

= (m

+

- n )(m

n

+

1) = (m - n)(m2

+

+

mn

n2)(m

+

n

+

+

3e)

1)

MAXIMO COMUN DIVISOR y MINIMO COMUN MULTIPLO 12.

a)

32x4y2,

=

9x4y2

=

M.C.D. b)

=

48,3(4

54~(6

=

=

=

6x - 6y

2· 3,2(2

y4 -

16

=

M.C.D. e)

3' 52 (x

+

+

(y2

4)(y

= y -

+

2,

=

=

2· 33,2(6,

36x4y3

=

60,4(2

=

M.C.M.

6,2(2,

=

22• 32x4y3

22• 3 • 5,4(2

24• 33• 5,4(6

22 (x2 _ y2)

=

=

=

22 (x

2160,4(6

+

y)(x _ y)

M.C.M. = 22 • 3(x + y)(x - y) 2)(y - 2),

M.C.M.

3y)2 (2x - y)4,

M.C.D.

=

4x2 - 4y2

2· 3(x - y),

M.C.D. = 2(x - y), d)

22• 3X3y3

M.C.M.

24. 3,3(\

M.C.D. e)

=

12x3y3 3X3y2,

=

y2 - 4

+

= (y2

23. 32 • 5(x

+

4)(y

+

3· 5(x + 3y)2 (2x - y)2,

+

(y

2)(y _ 2),

y2 - 3y

+

2

=

(y _ I)(y _ 2)

2)(y - 2)(y _ 1)

3y)3 (2x _ y)2,

M.C.M.

=

23• 32•

+

22• 3 • 5(x 52

(x

+

3y)4 (2x _ y)5

3y)4 (2x _ y)5

PROBLEMAS PROPUESTOS Descomponer en factores. 13.

a)

3x2y4

+

6X3y3

h)

18x3y - 8xy3

b)

12s2(2

-

6SS(4

+

4S4(

i)

(2x

+

e)

2x2yz - 4xyz2

+

8xy2z3

j)

4(x

+

1 - a4

f)

64x - x3

1)

g) 8x4 - 128 14.

3y2 -

e)

4s4 í

+

4s3(2

e)

X3y3

12

r)

y2 _ 4y - 5

s)

x2 - 8xy

()

2z3

u)

15

i)

36z6

64

j)

_

24s2(3

12(x - y)2

+

+

9y2

+

16

12x2y2

+

3x Ily

+ +

8

1 6

g) 5m3 - 3m2 - 2m 6x2

h)

+

e)

8x4y

f)

m9

_

9xy3

6a2b2

+

+

7x

+

+

3b4

+

+

8(m2 _ n2)

+;

64xy4

IOz2 - 28z 2x - x2

+

I3z4

-

+

+

Z2

7(x - y) -

k) 4x2.+2 _ 4x"+2 _ 3x2

n9

g)

y6

+

1

h)

(x _ 2)3

i)

8x6

http://carlos2524.jimdo.com/

+

15y2

5xy - 6y2

d) 8z4 _ 27z7

27

+

x2

+

f)

b)

q)

4x3y

b)

+

3y)2 - 9(2x _ y)2

n)

2X2

x3 _ 1

+

x2y2 - 8xy

e)

y3

p)

(m2 - n2)2

m)

a4 - 20a2

a)

y)2 - (3y _ Z)2

12y

m" - 4m2 - 21

d) x2m+4 + 5x'"+4 _ 50x4 15.

4 -

a)

-

3a4

k) x2 + 4x + 4

d) 4y2 - 100 e)

o)

+

+

(y

+

7x3 _ 1

1)3

12

16

DESCOMPOSICION

34 16.

a)

xy

+

3y -

h)

Lpr - po5 + 6qr -

17.

a)

ZS

18.

a)

z· + 64

b)

+

1

+

4x.

+

3x2y2

+

x'

y4

y el M.C.M.

Hallar el M.C.O. a)

16y2z·,

b)

9r3052(S.

e)

x2 -

d)

6y)

ax -

S

32 -

e)

32y'

+

d)

m2 _ 4p2

-

+

x2

+

y2 _ 4z2

de los polinomios

m'" _

+ 16 + 4mn +

12x4

x'

y3

z7

f)

m3 _ mn2

1

+

+

3xz

-

1-

e)

4n2

2xy

2z6

e)

b

d)

U

e)

g)

19.

bx -

d) x3 _ xy2 _ x2y

3qo5

b)

+

ax'

e)

6

2x -

EN FACTORES

+ Z4 + m2n

2z3

+ m2

_ n.l

-

/l"

Z7

4 - a2 - 9h2

e)

6ab

+

f)

9x2

_ X2)'2

+

+

4y2

12xy

3yz

siguientes:

24y3z2

+

3xy

+

21,s52

12,2S·(3,

4x2 -

2y2,

12y2z.

6y2 -

+

16xy

24z2.

16y2

4y2 -

24z2

4yz -

FI SOLUCIONES 13.

a)

3x2y)

e)

(1

15.

16.

17.

18.

19.

+

(y

+

a2)(1

+

/¡)

2xy(3x

k)

(x

p)

(m2 _ n2

1)

14.

DE LOS

+

PROBLEMAS

2x)

h)

+

a)

a)(1 -

2y)(3x

-

2)2

+

a)

(m2 -

7)(m2

d)

x· (x"

-

q)

¡¡)

m(5m

+

j)

(4x

-

+

2)(m

4y -

3)

i)

(2x

+

h)

e) h)

-

+

3y

(xy

+

3)(x

+

(a

10)

3)(3x

m)

-

+

+

(2x

4)

g) -

2xyz(x 8(x2

+

2y

4)2

4)

2)(a

(2x

-

e)

(y -

2z 4)(x

+

xy(2x

+

5)(y

+

4yz2)

+

j)

z)

n)

r]

-

+

(8x

-

+

3y)(9y

-

o)

3(a2

3y)2

1)

s)

-

(x -

3y)(x

2)(a

+

I)(x

+

4)(a

4)

-

31)(05

+

2()

+

1)(3z -

4S21(5 -

e)

f)

1)

(3y -

2)(y

+

Z2 (22 3)

3y)(3x - 2y) i) x2 (2x· + 1)(2x· -

k)

-

1)(2z -

1)(3z

f)

(m -

h)

(x

+

y -

3y + 9) h) (x - l)(x2 + X + 1) e) (x)' + 2)(X2y2 - 2x)' + 4) + 6z + 9z2) e) 8xy(x - 2y)(x2 + 2x)' + 4y2) + mn + n2)(m6 + m3,,3 + n6) g) (y2 + 1)(y4 - )'2 + 1) 1 )(x2 - xy + y2 - 5x + 4y + 7) i) (2x - 1)(4x2 + 2x + I)(x + 1)(x2 -

a)

(x

+

3)(y

-

e)

z'(z-2)(z+I)(z2-z+l)

a)

(2

e)

(2-u)(16+8u+4//2+2u'+u4)

el

(1 -

a)

(z2+4z+8)(Z2_4z+8)

ti)

(m + 2"

If)

(x

a)

M.C.O. M.C.D. M.C.O. M.C.O. M.C.O.

b) e) ti) e)

5y)

3)

(y

+

u

b2¡I

+

z· (2 -

+

5)

4x)

a)

3)(y2

5)(y -

2)

d)

+

+

4(y

d)

2)(x

+ x)

(5 - x)(3

1)

-

x(8

(x

u)

+

+ 2052) + x)(8 - x) + 4y - z)(2x

353(3

-

f)

(2 - 3y)2

4)2

5)(x"'

2S2((6(

2y)

1)

+ 7l(z - 2)

2z(z

PROPUESTOS

1)

-

3z)(4 n)(m2

2)

hj

+

+

z

+

+

Z2 -

+

+

= 2'/Z2

Z

+

1)

+

Z3

+

2n -

Z4

2p)

Z5

+

(ax

b)(x

-

d)

1)

(x -

.1')2 (x

+

+

1)

y)

(m+n)(m-n)(m+n+l) h)

+

e)

3q)

(x

d)

Z2

2p)(m

y + 4zJ(x

+

+

2y)(x4

2x3y

-

+

4x2y2

-

+

8xy'

16y4)

(m+l)(m4_m3+m2_m+l)(m_l)(m4+m3+m2+m+l)

Z6)

h)

(2x2

el

(2

+ xy + y2)(2x2

+

a -

=

24• 3Y)Z4

3b)(2

- xy

+

-

a

=

48y3=4

+ y2)

e)

f)

3b)

+ 2X2 - 4)(x4 + xy + 2)')(3.\

(x4 (3x

-

2X2

- xy

-

4)

+

2y)

SI

Y - z) = 8),2Z2.

= 3,.2S2. = x -

+ f)

J )(Z4 - z' z)(I

(2, - s)(p

X

2)'.

= 2(y

+

2z),

= xIx

-

1).

M.C.M. M.C.M. M.C.M. M.C.M. M.C.M.

= 252,.5S41' = 4(x -

y)(x

= 12y2 (y = x) (x

+

+

-

2y)2

2z)(y

I)(x

-

-

2z)lv

l)(x2

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+

-

3z)

J)(x2

+

X

+

1)

TF

xy

CAPITULO CAPITULO 5

Fracciones Fracciones

FRACCION ALGEBRAICA expresión que que se puede puede escribir escribir como como cociencocienFRACCION ALGEBRAICA RACIONAL. RACIONAL. Es una una expresión te de polinomios PIQ polinomio P es el numerador numerador y Q el denominador denominador de de dos dos polinomios PIQ. . El polinomio de la fracción fracción. .

x

Por ejemplo, Por ejemplo, ~.2 2

5)(y - 5)

3x - 4 x33 + 2y22 x4 _ _ 3xy + 2 33 son fracciones algebraicas racionales. _ 6x-+8' 6x-+8 y x4 y son fracciones algebraicas racionales.

LAS para el cálculo fracciones algebraicas mismas que LAS REGLAS REGLAS para cálculo con con fracciones algebraicas son son las mismas que las correspondientes correspondientes de Una de valor de una fracción no se altera de las las fracciones fracciones en aritmética. aritmética. Una de las fundamentales fundamentales es: es: El valor de una fracción no altera si se multiplican, multiplican, o dividen numerador y el denominador por una una misma misma cantidad, dividen, , el numerador denominador por cantidad, siempre siempre que que ésta ésta sea sea distinta distinta de de cero. cero. En En estas estas condiciones condiciones las las fracciones fracciones se llaman llaman equivalentes. equivalentes. Por ejemplo, multiplica el numerador numerador y denominador de ~ ~~ por por (x - 1), se obtiePor ejemplo, si se multiplica denominador de :: ~ obtie2 ., . Il (x + 2 )(x )(x - 1) ( d xX2 + X - 2 . ne Ila f raccion racclOn eqUlva X2 _ _ 4x 4x + equiva ente ente (x _ 3)(x 3 )(x _ 1) = = x2 + 3 siempre siempre que que x - 1) sea· sea istinto istinto de

cero, es decir, decir, x cero,

1=

1. 1.

=1=

Análogamente, la fracción Análogarnente, fracción 1)

2 + 3x + 2 X2 (x 2)(x + x + +2 (x + + 2)(x + 1) 1) 3 se puede puede expresar por ( 3)( 1) Y dividir, 2 4 expresar por dividir, x+ x+ x + x+ x+ x+ x+

entonces, numerador y denominador por (x entonces, su numerador denominador por bien, bien, x

1=

=1=

1, obteniéndose obteniéndose x

+

x+ x+

+

1), siempre siempre que que (x

+

1) sea sea distinto distinto de de cero, cero, o

23' La por un un factor numerador 23' La operación operación de de dividir dividir por factor común común al numerador

y denominador recibe el nombre nombre de simplificación y se indica tachando el término término común; por denominador recibe de simplificación indica tachando común; por (x+2)(~) (x+2)(~)

. '+m+

1)

-2x'-4) -

x)'

+

2)')

ejemplo, ejemplo, (x (x

(x+2) (x+2) = = (x (x + 3)" 3)'

+ 3)(~) 3)(~)

SIMPLIFICAR una fracción transformarla en otra numerador y denominador SIMPLIFICAR una fracción es transformarla otra equivalente equivalente cuyo cuyo numerador denominador no tengan más más factores comunes que unidad , ± ± 1.l. La resulta es irreducible. no tengan factores comunes que la unidad, La fracción fracción que que resulta irreducible. Esta Esta reducción \leva a cabo en numerador y el denominador, simplificanreducción se lleva cabo descomponiendo descomponiendo en factores factores el numerador denominador, simplificando, los sean distintos do, seguidamente, seguidamente, los factores factores comunes comunes siempre siempre que que sean distintos de de cero. cero. ..

Por Por ejemplo, ejemplo,

xX22 -- 4xy x

2

+

- y

2

3y2 3y2

(x (x

3y)(x.---y) 3y)(x.---y)

+ y)(.x--:r) y )(.x--:r)

x - 3y 3y x +y

siempre y) siempre que que (x - y)

1= O O

=1=

TRES una fracción al numerador, numerador, el del TRES SIGNOS SIGNOS están están asociados asociados a una fracción: : el correspondiente correspondiente del denomidenominador pueden alterar sin nador y el de de la fracción fracción. . Se pueden alterar dos dos cualesquiera cualesquiera de de ellos, ellos, simultáneamente, simultáneamente, sin que que varíe de la fracción fracción. . Si a una fracción no antepone signo signo alguno, alguno, se sobrentiende sobrentiende que que varíe el valor valor de una fracción no se le antepone éste es positivo (más). éste positivo (más). 35

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36

FRACCIONES FRACCIONES

-a -a

Ejemplos.

b b =

a -b -b

a

= - b'

-a -a -b -b

a

-a -a -(-b) -(-b)

= b'

=

co

EL

a bb

der

Muchas Muchas veces la simplificación consiste en un cambio cambio de signo. Por Por ejemplo, 2 Xl - ..".-_3_x_+_2 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) _x_ 1) --;;-2--2 2 - xx 2 -- xx

=

(x - 2)(x - 1) -(x 2) - (x -- 2)

= x_-_l x_-_l =

1_ x

-1 -1

LA SUMA SUMA ALGEBRAICA ALGEBRAICA DE FRACCIONES FRACCIONES que tienen el mismo denominador es otra otra fracción cuyo numerador numerador es la suma algebraica algebraica de los numeradores numeradores de las fracciones dadas, dadas, y cuyo denominador minador es el denominador denominador común. común. Ejemplos.

3

4

2

1

5-5-5+5=

2 3x + 4 -x---3 - -x---3-x---3-x---3

3 - 4 - 2 5

+1

-2

UNA F en 1)

2)

2

=T=-5

Xl 2 - (3x + 4) + (Xl x2 + 5 (x2 + 5) + -x---3 -x---3 == ---'.--x----'-----,3~--'--...:. ----''---x---'---;;3:-'-----'-

3x + 3 x-3 x-3

Xl x2 --

PARA PARA SUMAR SUMAR Y RESTAR RESTAR FRACCIONES FRACCIONES de distinto denominador, denominador, se transforman transforman éstas en otras otras equivalentes equivalentes que tengan tengan un denominador denominador común. El denominador denominador común común mínimo mínimo (D.C.M.) (D.C.M.) de varias fracciones es el mínimo mínimo común común múltiplo múltiplo (M.C.M.) de sus denominadores. denominadores. (M.C.M.) Por ejemplo, el D.C.M. D.C.M. de Por

i,~,

~, ~,

77 M.C.M. de 4, 5, 10 10 que es 20, y 10 0es es el M.C.M.

2 3 x el D.C.M. D.C.M. de ?' 2:i 2J( 7 "1 es 14x2l 3

Ejemplos.

2

x

3

?? -- 2x

7"1 ==

-

+1 + 2)

2x x(x x(x

2(14) - 3(7x) - x(2x x(2x22) ) 14x 22

13 13 20

e)

-

f)

-

g)

-

h)

-

28 -- 21x - 2XX33 14x2l

(2x + 1)(x - 1) - 3x x(x + 2)(x - 1) x(x

3 (x+2)(x-l) (x+2)(x-l)

1. a)

b)

15 16 16 14 14 15 15 - 16 16 + 14 14 7 15 10 == 20 - 20 + 20 == 10 20

4

¡¡ -- "55 +

REDUO

2X2 2X2

x(x x(x

+

4x - 11 2)(x - 1)

PRODUCTO de dos o más fracciones es otra otra fracción cuyo numerador numerador es el producto producto de los EL PRODUCTO numeradores, y cuyo denominador denominador es el producto producto de los denominadores. denominadores. numeradores, . Ejemplos.

2

4

~3". "55 . xX22

15 22· . 4 . 15 15 15 16 = 33 .. 55 .. 16 16 16

xX22

-

9

-

6x

+

1

2"2"

x - 5 (x + 3)(x 3 )(x - 3) x - 5 5 . x + 3 == (x - 5)(x - 1) . xx + 33 = =

(x--r3)(x - 3)(~) 3)(~) x - 3 (.v-r3)(x (.x.---5)(x - 11)(..v-rJ) (x---S")(x )(~) == x - 1

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i)

j)

-

FRACCIONES

37

EL COCIENTE de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o fracción numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción denominador). Ejemplos.

~

7

n

o-

5 - 10

xy

+

x

-t-

+

(x

2 -

7 x + 2 7 2)(x - 2) . -x-y- = xy(x - 2)

UNA FRACCION COMPUESTA es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Para simplificarla: 1) Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples. 2) Se dividen las dos fracciones que resultan. x2

1

xEjemplo.

--=

x

1

-

--xx2 ---=---' x+l x

1 1 +x

1

x2 x+l

X

1

x-l

--=---=

x+l

x

PROBLEMAS RESUELTOS

en lo

5/4 - 8

.

Xl"'=-¡

-1.

3/8 _ ~ . ~

o

-i- ~

REDUCCION

1.

a)

b)

DE FRACCIONES

15x2

3'5'x'x

5x

12xy

3'4'x'Y

4y

4x2y 2'2'x'x'Y 18xy3 = 2·9·x·y·y2

2x =

(x (y -

h)

i)

r3s

+

(8xy 8x3y

X2n+

j)

3r2s + 9/'s 3 r - 27

+

x"+3

4y2)2

+

1 _

y4

X2/1y

_ x"y3

8x -

d)

9j?

3y)(x

-

x)(y

+

(x -

y)

3x(~)

3

2xy(~)

2y

rs(/,2

+

3r

+

rs(r2

9)

r3 _ 33

(4y[2x y(8x3

+ y]J2 + y3)

X2"(X -

(r -

16y2

+

y(2x

x"(X -

Y)(X2

+

-

_ x -

3y = 3y -:-~

y+x

3r

+

9)

+

3r

+

9)

+

y2)

(2.-.: +

y)(4x2

X2"(X -

y)

X"(X3 _ y3)

+

3)(r2

y+x

rs

r -

y)'

3

16y(2x

2xy

x"

+

y2)

X2

+

4x2 _ 2xy

y) xy

8(x..--y)

8y

16(x--rJ

+ x)

y)

-

b

16y

16x -

3y)(x..--y)

(.:L--)')(y

x)

2a

_7a2b4e2

2xy(y - 2x)

3x(2x

os

14a3b3e2

e)

+

xy

+

y2

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y)

+

y2

1

2

(siendo x - y

,¡ O)

38 38

. FRACCIONES FRACC IONES

SUMA

MUL T1PLICACION DE DE FRACCIONES FRACCIONES MULTIPLlCACION 99

x,x~ - - 11

(x(x + 11 )(x )(x - - 1)1)

99

=

b)b) 3x + 3'-63(x + 1)' 3x+3'-6-=3(x+I)'

2xy 2x)'

2 - - 44 xX2

e) e)

~2 ' x --:ry2

X2 2 __

+

2)

(x+2)(x-2) (x 2)(x -

4

4x + +4 4x

xy2 xy2

+

6 6

xx - - 11

4.

a)

==-2-2-

b)

+

2) •. (x(x - - 2¡> 2)2 = = y(x y(x -- 2) 2) 2xy 2xy

2(x+2) 2(x

e) 6x -- 12 12 y2 -- 11 6x y2 2 ti) ~y ~y ++ 4x' 4x ' 22 __ 3x 3x + + xX2 ti)

6(x 6(x -- 2) 2) .• (y(y ++ I)(r l)(r -- 1) 1)

4x(y 4x(y + + 1)1) (2(2 -- x)(1 x)(I -- x) x)

g)

ax ax e)) ((

++ ab ab + + ex ex + + be be 2 __ xX2 2 aa2

e

.)(

)( 2

xX2

++ aa22 )p= '= ++ (b(b ++ a)x a)x + + ab ab

2 -- 2ax xX2 2ax

(a (a

(a (a

L

3(y-1) 3(y - 1) = 3(y-1) 3(y 2x(1 2x(l -- x)x) = 2x(x 2x(x --

6(~)(~1)()' 6(~)(.lYV1)()' -- 1) 1)

4x{)l--n)(~)(1 4x()l--Y1)(~)(1 -- x) x)

1

1)1)

h)

++ e)(x (x e)(x + + b)b) . -'-----:--,-, (x -- a)(x a)(x -- a) a) . -:------:-:--------;-; ++ x)x) (x(x ++ a)(x a)(x + + b)b)

i)

(a (a -- x)(a x)(a

+ e)(x e)(x + + b)b) .. (x(x -- a)(x a)(x -- a) a) + + x)x) (x(x ++ a)(x a)(x + + b)b)

(a (a

++ e){x e)(x -- a) a) (x (x

(x (x -- a){a a)(a

(a (a

+ a)2 a)2

++ e)(a e)(a -- x) x) (x (x + + a)2 a)2

j)

k)

1)

DIVISION DE DE FRACCIONES FRACCIONES DIVISION

3. 3. a) a)

5

3

5 11 11

55

3x 3x

¡4 ~~ 11 = ¡4'. "3 = 12 11 = 3 = 12

2 6x 6X2

3x 3x

4

e) e)

2 6x = 2" ~4 ~4 = =2 2"'.6X2 = :; ~

d) d)

IOxy2 . 5xy 5xy IOxy2 10xy2 IO xy 2 ---~-=--'-=4yz -""" - 33 = - - ' 3z 6z 3z 3z 6z

m)

2

6z33 2 6z 2 = 4yz 5xy 5xy

n) x

+ 2xy 2xy

+

2y 2y

11

x

+ 2xy 2xy

6x 6x

e)

--~ -- ----'-_.----'---=---.---=

f) f)

99 -- X2 xx33 -- 2X2 x2 2X2 -- 3x 3x 4 + 6x3 6x3""""" X2 x2 + + 7x 7x + + 66 xx4 +

3X2 3x2

..

6x 6x

-

3X2 3x2

2y 2y

+

11 -

x(l x(1

+ 2y) 6x 2y) 6x · ----2

3X2 3x2

,---=2 (2y (2y + 1) 1) -

X2 x2 + + 7x 7x + + 66 3 3 6x3 • xx 3 -- 2X2 2X2 -- 3x 3x 6x

99 -- X2 x2 xx44

++

FRACC

(3-x)(3+x) (x+l)(x+6) (3 - x)(3 + x) . (x + 1)(x + 6) 33+x +X (x + + 6) 6) • xIx x(x -- 3)(x 3)(x + + 1)1) = -- ~ ~ xx33 (x

5.

g) g)

2X2 2X2 -- 5x 5x 22

X2 x2 -- 5x 5x

h)

++ 22

xx -- JJ 33

x2

+

33

a)

33

2 (2x2 -- 5x 5x (2x -- 1I)(x 2) 3(x -- 2) 2) ==(2x ++ 2)2)'--• - - - ==(2x )(x -- 2) •.-- - ==3(x 2x -- 11 2x -- 11 2.-.: 2x

d)

++ 66

Tx - 8

99-- X2 x2

x2 -- 5x 5x ++ 66 64 64 -- X2 x2 X2 x2 X2

Tx - ++ 7x

(x -- 3)(x 3)(x -- 2) 2) . . (8(8 -- x)(8 x)(8 (x

x2 == (x (x ++ 8)(x 8)(x - - 1) 1) (3(3 -- x)(3 x)(3 88'• 99 - - X2

64 - x2

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++ x)x) ++ x)x)

(x -- 2)(8 2)(8 -- x) x) (x (x -- 1)(3 1)(3 (x

++ x)x)

e)

FRACCIONES SUMA

Y RESTA

DE FRACCIONES

x-I

3t2

5x

--4-2--

g)

5 3 2x - 4x2

=

h)

3a be

2b

j)

---= 5 15

e)

-+-=--

5 - 2t

~ __

+

5 - x

+

5 k)

+

3

3x(x

5

-2s+4

+

+

3

9t -

=

1) - 2x2

lO 5(x2 x2 _ 9 = .

s2+3s+2

+

+

3(y

+

= x2 +

3x -

+

6

12x -

16

-

3)

+

lO =

2) - 2(y - 2) - Y y2 - 4

s

= ---

s2-s-2

2x - 5

--6x2 -

(3x -

5

+ 4(x)

3(3y)

+

6

+

3x2 8x2

+

6)(6)(x

+

1) -

+

40x

3

+

(2x -

5(x2 - X x2 - 9

32

5)(4)(x

+ 4)(x

-

4)

lO

=

4

y2 -

s

+ -----,--(s-2)(s+l)

+ s(2)(s +

2) - 3(2)(s - 2)

+

+

2)(s

4(x

l)(s

-

6

3x =

2 1)

+

(s+I)(s+2)

I)(s -

7

+ 4)(x

-

1)

+ 4) + (3x2 + I)(x + 1)

2x - 5

-

---

+

2(s

6(x

+

I)(x

3)(3)(x

-

1)

1)

-

5 3

8

x-y

4

5

6+6

+2 I)(s -

24(x

= --

3

8

-

lO

=

5/6

9

8

= - = -" - = 3 6 3 -

a-b

4

f)

---;;-::¡; =

g)

--

2 a -

6 10" 5

1 b "a -

=

(a -

8

x+y

60

=- = 5

2 b

x

x+y

2a

a

=

x

2a"--

+ a

x+1

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1

=

2)

1)

+ x2 - 21x + 35 + 4)(x - I)(x + 1)

9x3

2

9

"6

=3T"x-y=3x(x-y)

x

7s

+

3x2 + 3 + ::-:--~--:-:8(x + 4)(~ +

x+y

3T e)

2)(s

COMPUESTAS

"3+6 d)

7s2 -

2)

2)

e)

2

+ 4x

9y

=hY

3xy

3

-

2(s+2)

24(x

FRACCIONES

xy

+

5x

x2 (x

9) - 5(x x2 _ 9

=

1)

2(s

4x2

y+x

5t + = 30

lO - 4t

30

+

2(x

+

1)

5(s

n)

3

2b2

(5 - 2t)2

x2 (x

3

-

4

3)'

15

3

30

3 2 Y 1) Y _ 2 - Y + 2 - y2 - 4

m)

+

1)3

x2

1

3

x

=-=-

abe

=

+~ =

2_ x

+

3a2 =

(3t -

1

y

-+ -=

f)

10x -

1

x

t2

5t2

4t2 (1)

15

=~

2b(b)

abe

+ -1-5-

x

a)2

+

3a(a)

1

3t -

17x

= 42

- 3(1) 4x2

5(2x)

+ -;;;;=

10

+

5x(2)

6 + 2t =

i)

)(a - x)

+

x(7)

e)

3t2 (3) -

4t2

d)

2

x

39

2(x + 1)

W

12

FRACCIONES

40

+b a -----a - b a + a h)

b b

---;;=Tl+a+b

x+h-3

W -

W

(a -

(x

+

2

+-

l'

~~

=

3y

Y + --Y + --

1---

+b

7

2b = a - b

h - 3)(x - 3)

-2

h

(x

+

h -

3)(x -

3)

2

=

y+2

y-2

+

a b) . ~

-2h

+

(x

h - 3)(x - 3) h

+ --'

k)

4ab (a - b)(a

2(x - 3) - 2(x + h - 3) 3

h

3v -

4ab

(a - b)(a + b) (a - b)(a + b) = ~(a-+--:-b'---) -+---'(-a---b:-:-)2a a s- b a + b

x -

1 j)

+

2

2 i)

(a

3y

Y

+

2 Y - 2

Y

y+2

+ (--)(--)

=

y - 2

+ --

3y

Y

3y2

+y

8.

- 2

= -'-_-c-_ Y

y-2

1

1 1--x+l

x

x

1

1+-

x+l-x

x x + 1

\---

9.

1 =-\-=x+l

x+l

x+l

10. a

1)

a a + b

a-b+--

a

b

b

a

a

a + b a - b + a2 _ b2

b

a-

a

abra + b) (a + b)(a - b)

+

(a-

b)+--

ab a - b

ab a

ara - b)

a

a2-ab+b2

W + ab ----(a -

a-b

m)

\ -

=

----,--

23 __ 2a_-_l

1 - -------,---21 3(2a + 1) - (2a -

2a+l

= 1)

1 1 - ----,,-----,2_2a+l 4a + 4

2a+1

=1-

11.

1 2(4a + 4) - (2a + 1)

=

1 _ 4a + 4 6a + 7

=

6a + 7 - (4a + 4) 6a + 7

=

2a + 3 6a + 7

4a + 4

PROBLEMAS PROPUESTOS Comprobar

que:

d)

e)

e)

5a2 - 10ab a _ 2b = 5a

f)

4x2 - 16 4(x x2 _ 2x = --x-

y2 - 5y 4_y2

+

+

2)

x(x

a(x

6 = 3 - y y+2

(x2 + 4X)2 x2+6x+8

x2 (x

+

4)

x+2

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i)

3a2 2b4 4b3· 9a3

b

= ~

+ +

2a) 3a)

41 41

FRACCIONES FRACCIONES

7.

a)

8xyz2 9xy2z 6y 3x3y2Z· 4xzs = X2Z3

b)

xy2 x2 _ y2 X +Y 2x _ 2y· X3y2 = 2x2

e)

X2 x2 + 3x 3x 2x 2x22 + 2x 2x xX22 - 4x 4x 4x2 _ 4· x2 x2 4X2 X2 _ 99· X2

2 -_ 4y2 2y 2 -- 2 xX2 4y2 2y2 • ::--.;---'--------. ----=--=----~ 3xy 2y2 + xy xy - xX22 3xy + 3x 3x 2y2

d)

+3

1 2

e)

y2 _ yy _ 6 y2 + 3y - 4 y2 _ 2y 1· 9y 9y _ y3 2y + 1·

f)

t33 + 3t22 + t + 3 8 - t33 (t 4t2 _ 16t + 16 . t33 + t == 2 _ 4y2 xX2 e)

y2 _ 3y 3y 2

9. 9. a) a) 6X2 6x - x - 22 = = (2x (2x 3x - 2 3x 2 2x + 1 2x

+

1)2

1

x

1

--+-----=-- +x-2 - - -xx2_4 - =xx2-4 22x+2 x-2 x+2 _4 -4 ,

+2

3 8 3 - 16y 22y2-y=~ y 2 -y=~

) g g)

2X2

y2 =-2

x

x+y x+y -1-1 -1 = xy xy 11. a) -1

h)

a -,----:-:--~ .,.--.,-,---:-:+ a)(a - b) b) (e - a)(a

d) d)

x

e)

+ X = X2

2y Yy + -y---2 -y---2 -----.:...-4:-- = = yy e) ----=---4,1+-1 +-y2 _ 4

e) e)

= 3(, 6= 3(,

+ 22

+ xy2 xy2

x-y x-y

x+y x+y

=~ =~

x-y x-y

12 ,2 + 4, + 12 3)(, - 2)(, + 3)(, 2)(, + 1)

b b)(b - e) (a - b)(b

+

x+1 x-1 x+1 x-1 ----x+1 x-1 x-1 11

x+1 11

f) f)

=2 = 2

2 2 = 2x 2 - -----::---= 2X22 21 __ 2_ 1 _ _2_

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2. X2 x2

3X2 xy 3x2 + xy + y)(2x y)(2x - y)(x y)(x + y) y)

e

x ---:-1-=x+y 1 =x+y 1--1 --x +1 +y

2-~ 2 -

= (2x (2x

e)(e - a) a) (b - c)(c

x+1+x-1 x+1+x-1

2+1 2X2

3) 7)

x - y + Y xx _ x-y y 3xy + y2 - y2 _ 4X2 4x2 + 2X2 + xy + 3xy xy -_ y2

-+-+y x Y

b)

+ +

1

e)

x

y(x - 2y) 2y) y(x = x(x 3y) = x(x - 3y)

x

e) e)

,r - 1

x-1

+ xy xy

99 _ _ y2

3, ,2 + , _ 6 - ,2 + 4,4, + 3 + 3,

x

4t(2 - t) 4t(2

ry

f)

--+---1 2

3)(t2 + 2t + 3)(r 2t + 4) 4)

ry l)(y (y - 1)(y (y - 2)(y 2)(y

4 5 3x - 4x = 12x

X+y2

y2

+ 2y)(y 2y)(y - 1) 3x(x + y) 3x(x y)

2)(y + 4) (y + 2)(y y(y 1)(y + 3) y(y - 1)(y

2 - xy xy - 6y2 xX2

+ + xy xy +

b)

d)

+ 20) + 3a)

x2 X2

+2

y2 + 4y 4y - 21 21 4 _ 4y 4y + y2

b) b)

2(x 2(x

= =

O O

pon

d

CAPITULO 6 CAPITULO

Potenciación Potenciación y radicación pon

p POTENCIA POTENCIA DE DE EXPONENTE EXPONENTE POSITIVO. POSITIVO. Si nn es un un entero entero positivo, positivo, a" representa representa el producto producto de de n factores factores iguales iguales a a. Así, Así, pues, pues, a44 = = a • a . a • a. En En la la expresión expresión a", a recibe recibe el nombre nombre de de base base y n el de de exponente exponente o índice índice de de la la potencia. potencia. a" se lee «potencia «potencia enésima enésima de de a», a», o bien bien «a a la m). Si n = = 2, a22 se lee «a al cuadrado»; cuadrado»; a33 se lee «a al cubo». cubo».

x33 =

Ejemplos. Ejemplos.

255

X·X·X, X·X·X,

= 2'2'2'2'2 2'2'2'2'2 = =

=

POTENCIA POTENCIA DE DE EXPONENTE EXPONENTE ENTERO ENTERO NEGATIVO. NEGATIVO. finición finición a

22

Ejemplos. Ejemplos.

RADICACION. RADICACION. sima de sima de b. por por

-4 -4

II

= = 24 24 = =

II

16' 16'

_" _"

Si n es un un entero entero positivo, positivo, por por dede-

1

a"

II

POTE suponiendo a 9= O. suponiendo

=-=

-3 -3 = 333 ="7 ="7 - ,,

(-w = (-3)(-3)(-3) (-3)(-3)(-3) = -27 -27 (-w

32, 32,

-4x -4x

-2 -2

-4

= -2' = 2'

son tales Si n es un un entero entero positivo positivo y a y bb son tales que que a"

= = b, por por definición, definición,

solamente hay hay un Si b es positivo, positivo, solamente un número número positivo positivo tal tal que que a" y recibe recibe el nombre nombre de de la la raíz raíz enésima enésima principal principal de de b.

jb fi

Ejemplo Ejemplo 1.

1

(a+b)-¡ (a+b)-l

(a

X

+

b) b)

a es la raíz raíz enéené-

= = b. Dicho Dicho número número se representa representa

116 es un 116 un número número positivo positivo que, que, elevado elevado a la cuarta cuarta potencia, potencia, da da lugar lugar al núnú-

mero 16. Es +2 y, por mero 16. Es evidente evidente que que dicho dicho número número es +2 por tanto, tanto, ~~ == +2. +2. Ejemplo 16.En Ejemplo 2. El número número - 2 elevado elevado a la cuarta cuarta potencia potencia también también da da lugar lugar a 16. En estas estas concondiciones, una raíz raíz cuarta cuarta de de 16, pues pues no no es la raíz raíz cuarta cuarta principal principal de de 16. diciones, - 2 es una

Si bb es negativo, negativo, no no existe existe una una raíz raíz enésima enésima positiva positiva de de b, pero pero sí existe existe una una raíz raíz enésima enésima neganegativa siempre que sea impar. que n sea impar. Este Este número número negativo negativo recibe recibe el nombre nombre de raíz raíz enésima enésima principal principal tiva de de h siempre de representa por por de b y se representa

jb. fi.

1-27 es un -27. 1-27 un número número que, que, elevado elevado al cubo cubo (o tercera tercera potencia), potencia), da da lugar lugar a -27. 27 Se ve fácilmente fácilmente que que dicho dicho número número es - 3 y, por por tanto, tanto, 27 = = - 3 es la raíz raíz cúbica cúbica prinprincipal - 27. cipal de de -27. Ejemplo Ejemplo 3.

1-

Ejemplo Siempre que sea par, 1-16, la raíz Ejemplo 4. Siempre que n sea par, por por ejemplo, ejemplo, 1-16, raíz enésima enésima principal principal no no se puede puede representar representar por por medio medio de de un un número número real. real. Nota. Nota.

a"

= = b, b

En superiores se demuestra En matemáticas matemáticas superiores demuestra que que hay hay exactamente exactamente n valores valores tales tales que que

9= O, siempre siempre que que se introduzcan introduzcan los los números números imaginarios imaginarios (o complejos). complejos). 42

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PROP ri

43 43

POTENCIACION yy RADlCACION RADICACION POTENCIACION

Si m m yy nn son son enteros enteros positivos, positivos, por por Si

DE EXPONENTE EXPONENTE FRACCIONARIO POSITIVO. POTENCIA DE POTENCIA FRACCIONARIO POSITIVO. definición definición

.y;;;

ami" =

Ejemplos. Ejemplos.

443/2 =

J43 = J64 = 8,8,

~ ~

(suprimiendo aa (suprimiendo

13 = {/(27)2 (27)2/3 -1(27)2 (27)2

O sisi nn es es par) par) O

= 99

Si m y n son son enteros enteros positivos, positivos, Si

POTENCIA DE EXPONENTE EXPONENTE FRACCIONARIO NEGATIVO. POTENCIA DE FRACCIONARIO NEGATIVO. por definición definición por

o aa Ejemplos.

88-2/3 - 2/3

=

_1_ _1_

8822//33

=

_1_ _1_

.fi2 ,ygz

=

-m/n -mi" _ _l_ 1 m/n -= aami"

_1_ _1_

164 .,y64

!!

=

=

= _1_ _1_ _1_ =

X-5/25 / 2 = X-

4'

P P

552 2 X //

ePOTENCIA DE EXPONENTE EXPONENTE CERO. POTENCIA DE CERO.

Ejemplos Ejemplos

10° = 1,

O Por definición, definición, aaO = 1 si a=l= a4: O. O. Por =

(_3)° (_3)° = 1,1,

(ax)o

=

1 (si ax

PROPIEDADES GENERALES DE LA POTENCIACION. POTENCIACION. PROPIEDADES GENERALES DE rifica rifica

4:

O) =1= O)

son números números reales, reales, se veSi pp Y q son

A) a

Ejemplos.

23'22

25,

5-3'57

=

31/3•• 31/6 = 31/3+1/6 = 31/2 =

)3, J3,

=

23+2

=

5-3+7

=

21/2'25/2

54,

=

23

=

8

39• 3-2. 3-3 = 34 = 81

B) B) Ejemplos. Ejemplos.

(244 )3 )3 = = 212, 2 12 , (X (X55)-4 )-4

3)-3 (511//3)-3

= 5(1/3)(-3) 5(1 /3)(-3) = 55-1 1 = 1/5, 1/ 5, (a2/3)314 )(3/4) (a 2 / 3 )3 /4 = = d0 125 > 121, 121, e)

6. 6.

= =

.y1T .yII

e) e)

2,j5, 2,fi, 3Ji 3fi

13 == 3311/4/4 == 3333/12 /12 = = (333)1/12 )1 /12 = = (27)1/12 (27)1 112

13 >> 12 fi

(5 (533)1/6 )1 /6

= = (125)1/6; (125)1 /6;

fo .yII == (11)"3 (11)"3 = = (11)2/6 (11)216 = = (112)1/6 (11 2 )"6 = = (121)1/6 (121)1 /"

J5 fo .yII

fi>>

2fi 2,fi == J2T:5 ~ == fo; fiO; 3Ji 3fi = = .j32:2 ~= = j18. J18. Por Por tanto, tanto, 2fi > 3Ji 3fi

2J5

Racionalizar Racionalizar el denominador denominador de de las las expresiones expresiones siguientes: siguientes:

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58 58

RADICALES RADICALES

3 16

b)

-

3 % 16 %

= -16'

MULl

3136=-136 1

= --

62

6

2

8.

2/3 3 ' 622/3 /3 3.y6i 33 33 662/3 3. 3% 11 3 -= -'-= - =--=-fi -=-·-=--=-=-136 221 33

Olro método: mélodo:

.y6 16

011'0

e)

3%

= -'-

3x 3x 4fY 4fy == 3x4 3x 4 bVVh

61/3 6 1/3 66 /

6' 6'

6

h)

22

e) d)

33 y(2x)3 .•,4/ y(8x y(2X)3 == 3 3.\" y(8x ) ) == 3x,j/8x3y ~18x3y == ~18x3y 2x(2.\")3 (2.\")4 2x. 2x(2x)3 VV (2X)4 2x. 22

:1

a)

~180

e)

.fl d) d) g)

4xy2 4xy2.j (2xy2)2 4 xy 2.j(2 xy 2)2 3IA""::D 3¡-;-¡e) - - = - - ' = = 2v4x y = 2yV'4x-y .j2x/ .j2xy2 .j(2 xy2)2 2.\")'2

f¡)

i)

SUMA Y Y RESTA RESTA DE DE RADICALES RADICALES SEMEJANTES SEMEJANTES SUMA

7. a)a) Ji8 7, ji8 + J50fi - fo fo ==

~~ +

%2 S,,/2 -- 6.fi 6fi == %2 - )36' )36'22 = = 3fi 3.fi + s.fi

(3

+ S 5 --

6) fi == 2,/2 6).fi 2J2 j)

by 8)3 = -2J'1 b} 2J27 2J'ii - 4J12 = 2,,/9'-3 2.)9,-5 - 4,,/4-3 4J4-3 = 2' 2' 3J3 3)3 - 4' 4· 2J3 2j j = 6J3 6j'3 - 8)3 -2/ i

J~.~-

e)

r4") 4fo 4' S)3 4J7s + 3J4j3 3J 4/3 -- 2fo = 4' 5)3 + 3 1/-' -_. vv 3 3 3 3

d) d)

314)2 --r: V31432 ..

2' 2· 4.j3 4)3 = (20

2

k)

J3

+ 3· 3.~ - - 8) /3 = = 14)3 14)3 33

3'-1--2 S "'- 1 - ;; 11 5 31250 + V 3!jj32 = .j6 1633. , 2 - ,3153:2 (6 - S 3/2 312sO 31J/32 3/ 5" 2 + VV2' I1-,· -5 + --)';;2 = -4" y'/J"2' ' :-2 = (6 4 ) Y3/2 = 11.)"" 4"3.12

y"-JVV v"-J

/)

v

11I)

el )3 )3 + el

fil - fo fo + 5-13 s13 == Ji J3 + -12 jf¡-:} ./9-:'3 S,:,/3 fil 7---:'3 - ,,1 9:'3 + S,Y3

11

= )3 J3 + 3,y3 313-- 3j3 3J3 + 5-13 s13 = = --2J3 = 2j 3 +

813 8.j3 01

f) 2a.j27x 2a127x3y3y + 3h.j8x 3h18x3y3y - 6e.j 6e.j'-x3y 6axj;' + 6bxY; 6bxjY + 6cx~(';; 6ex~/;' = 6x(a + b h + e) .j';; 1-; _ X3 y = 6ax,y'y p)

q)

2 3

1 4

S r: S /6=-.)6 12 \, 4

=(--+4'---)

1')

f¡)

fi fi

+~= JO.I

-

JC6

=

,fiJ. + Ji3 V2

2

, - jiO,16)¡ü¡)

=

1(10

! v'IO + J,/ú5 -

OA"lIo =

3.IJ10

2

9. a G 22 Cl. = -v -vabab = hh

r::í. + -44 Ce 33 C. ' -y·ah ab -- -· y ·ah + - yab ab v ah aa

22 bb

33 aa

(.. -_ -.. + + == (-

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1:la -- 3b 3h + 44 C. G 44 r2a Lab == ((-----)yah - ) v ah ---) - ) ¡ah ab v ab

ab"

ab

RADICALES RADie ALES

59 59

MUL T1PLI CACION DE DE RADICALES RADICALES MULTIPLlCACION 8. 8.

F5 == 6J35 6.fi5

a) a)

(2)7)(3/S) (2yÍ7 )(3J'5 ) = = (2' (2' 3).j'l-:s 3)

h) h)

(3,y2)(516)(s.j4) == (3' (3' 55 .. 8) S) ~ == 120j48 1201 48 == 24016 24016 (3.y2)(516)(8j4)

e) e)

3 (.1i8.;>)(j2.) = (fo~ )(~) = = j36x 1 36.\3 =

d) d)

3h'c·1 == ja 2he 4 24 4 2 4 2 2 3h3c1 • .ya .yah1e'- l e5 ·ja .ya = Ja J 2ahc acfi jahh ch c = == acjh

FH

x.y36 x~136

el • .2 /0• . 2 {0 = el fi·.y2 .j3 . ,y2 == 331/21/2 211/313 == 3333/6 222t6 = ,y33 3 •• 2222 == iJ08 ~

,13

f).fl

4) == (74/12. 4/12)(79/12. 2233/12) (.yJ4)(,y686¡ == (~)(~) (~)(.y73. 2) = = (71/3. (7 113 • 211/133)(73/4. )(73/4. 2211//4) (74 /1 2. 224/12)(79/12. /1 2) (j14)(j686) / 12 ) = == 7(71/12. 7(7 11 12 . 2277/12) = 7if7~ 7!j7? == 7'.]8% 7!j8%

g) g)

.y:;:)6

612xx66!3!3 == 5)~2 (-fi (_Js,J'v )6 == 5612 53x2 == 125x22

11) 11) (Fx10-0)(J8,l (J 4 x lO 6)(JS. I xx 103)(JO.0016) 103)(JO.0016) = = (J4 (J 4 x 1O1O - 66)(J81 )(JSI xx W)(JI6---;-¡ = 7,. - 4s

h)

{s/x -+

i)

{ax - by = al + b Zb x - ay = 2h1 + 3ab - al

2/x

+ +

1=0 5 = O Hallar u y r en función de r y s.

3/y = I l/y = 7 1

1+

Lk.-'~ 4 4

Hallar x e y en función de

ti

y b.

d) x+3_x-y=3 2

28.

Indicar cuáles de los sistemas siguientes son (1) compatibles.

a)

b)

29.

3

+

X {

2x-

3y = 4 y= I

2X - y = 5 { 2y = 7 + 4x

Problemas

(2) indeterminados.

3X = 2y + 3 x - 2y/3 = I

e)

{

d)

{

(x

+

3 )/4 = (2y -

3x - 4y

=

1)/6

2

(3) incompatibles.

el

2X - y = I { 2y - .v = I

.f)

(x + 2)/4 -.(y - 2)/12 = Sl4 { y = 3x - 7

dé números.

a)

Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21. y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.

b)

Hallar una fracción sabiendo que si se aumentan el numerador 2/3. y que si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.

e)

Hallar dos números sabiendo que el doble de su suma es igual al triple de su diferencia semisuma es igual a su diferencia más l.

d)

Hallar dos números sabiendo que si se divide el mayor por el menor da un cociente 6 y un resto también 6. '1 que si se divide el quintuplo del me-vor por el mayor. el cociente es 2 y el resto 3.

y el denominador

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en 3 unidades

se obtiene

más 8. y que su

108

SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES SISTEMAS DE

.30. Problemas de edades. .30. Problemas de edades.

31. 31.

32. 32.

a) a)

Hace 6 años, Agustín era veces mayor mayor que Pablo. Hallar Hallar sus sabiendo que Hace años. Agustín era 4 veces que Pablo. sus edades edades actuales actuales sabiendo que dentro dentro de 4 años años solo será será dos dos veces que Pablo. solo veces mayor mayor que Pablo.

b)

veces mayor mayor que Dentro de veces mayor A es 11 11 veces que B. Dentro de cierto cierto número número de de años. años. A será será 5 veces mayor que que B y, 5 años años Hallar sus más tarde tarde será veces mayor mayor que más será 3 veces que B. Hallar sus edades edades actuales. actuales.

SIS1 35.

Problemas de Problemas de dígitos. dígitos. a) a)

Hallar un un número número de triple de de la cifra Hallar de 2 cifras cifras sabiendo sabiendo que que el triple cifra de de las decena decenas s es igual igual al cuádruplo cuádruplo de número dado dado y el obtenido la correspondiente a las unidades más más 2, y que correspondiente las unidades que la diferencia diferencia entre entre el número obtenido al invertir invertir sus menos 2. sus cifras cifras es igual igual al doble doble de la suma suma de de éstas éstas menos

b) b)

Hallar de 2cifras sabiendo sabiendo que divide por obtenido al invertir invertir sus sus cifras cifras el cocoHallar un un número número de 2"cifras que si se divide por el número número obtenido resto 7, y si se divide por la suma resto 6. ciente ciente es 2 y el resto divide por suma de de sus sus cifras cifras el cociente cociente es 7 y el resto

36.

Problemas comerciales. Problemas comerciales. a) a)

b) b)

e) e)

Dos café y 3 kg de mantequilla cuestan 420 cabo de de 1 mes, café ha suDos kilogramos kilogramos de café kg de mantequilla cuestan 420 pts. pts. Al cabo mes, el precio precio del café ha subido un un 10 mantequilla un un 20 % productos anteriores bido lO % % y el de de la mantequilla % de de forma forma que que la adquisición adquisición de los productos anteriores cuesta cuesta ahora 486 primitivo de de cada cada uno los productos. ahora 486 pts. pts. Hallar Hallar el precio precio primitivo uno de los productos.

Si se mezclan mezclan 3 litros tipo A con tipo B el precio precio de mezcla es de 43 pts pts el litro. litros de de aceite aceite del del tipo con 7 litros litros del tipo de la mezcla litro. mezclan 3 litros precio de mezcla es de pts el Sin embargo. embargo. si se mezclan litros del del aceite aceite A con con 2 litros litros de B el precio de la mezcla de 46 pts litro. Hallar el precio precio del uno de tipos de litro. Hallar del litro litro de de cada cada uno de los los tipos de aceite. aceite.

37.

38.

~ que le costaron costaron 8 de ellas. ellas. que

h) h)

Un comerciante comerciante compró compró cierto cierto número número de unidades 14,40 pts. Un unidades de de un un artículo artículo por por 14.40 pts. Posteriormente, Posteriormente, el precio precio dicho articulo articulo sufre sufre un aumento aumento de 2 céntimos por el mismo mismo dinero dinero le dan dan 24 de dicho céntimos cada cada unidad, unidad , con con lo cual. cual, por unidades menos menos que que la vez anterior. anterior. Hallar unidades Hallar las las unidades unidades que que inicialmente inicialmente compró compró y el precio precio de de cada cada una una ellas. de ellas.

Problemas de tiempos tiempos de trabajo. trabajo. Problemas a) a)

operario B B tarda tarda 6 h más más que que el AA en trabajo. Hallar El operario en efectuar efectuar un un trabajo. Hallar cuánto cuánto tiempo tiempo tardarían tardarían en en realizarlo realizarlo cada uno uno de ellos ellos sa sabiendo que. juntos. cada biendo que, juntos. invierten invierten 4 h en terminarlo. terminarlo.

h) h)

Por medio medio de un grifo grifo A se llena llena un Por un depósito depósito en en 4 h. Por Por medio medio de de otro otro B se llena llena en en 3 h más más que que empleando los dos dos grifos grifos A y B simultáneamente. simultáneamente. Hallar empleando Hallar en en cuánto cuánto tiempo tiempo se llena llena utilizando utilizando solo solo el grifo grifo B. B.

el otro

íprocos

48. 48_

lanza objeto verticalmente verticalmente hacia hacia arriba. Se lan za un objeto arriba. La La distancia distancia s (metros) (metros) del del punto punto de de partida partida en en función función del tiemtiempo, mis en en cada 20, - 5,2 po, (segundos) (segundos) viene viene dada dada por por (tomando!{ (tomando K = = 10 lO mis cada segundo) segundo) s = = 20, 5,2 a) a) h) h)

el el

Hallar los instantes instantes en los cua cuales Hallar les el objeto objeto está está a una una distancia distancia de 15 m. Determinar si el objeto objeto llega a alcanzar alcanzar una Determinar una altura altura de 25 25 m. Hallar máxima altura altura que que alcanza. alcanza. Ha ll ar la máxima

ue si se de los

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". ",

126 SOLUCIONES 30.

a) b)

31.

a) b)

ECUACIONES

DE SEGUNDO

PROBLEMAS

PROPUESTOS

DE LOS

x = +7 x=±lOfi

e)

x

d) x e)

3, 4 2, -3

8, -3

a)

6, -1

e)

b)

3, -2

d) 1/4, 1/4

a)

S= -3/2,

b)

S

e)

S= -3, P=

a)

e) d)

17; 1; - 7; 89;

a)

x2

b)

2

e) d)

x

2

38.

a)

p = -3

39.

a)

3, 6 Si m

36.

b)

37.

e)

40.

a) b)

41.

=

y

f)

x

el 1, -1/2 d) 2, -1/3

1, -5 4, -1

35.

e)

±8

P=

=

1, P

±2.)3

g) 2a, -4a h) 2, -8 f)

2

2 -1/2

1, -7 2e/5, 4e/5

j)

2 i 3 - 3

3/2, 5/3

-1

f)

5

1/2

i)

±3/2 ±2

h) -+-

g) 3a, a/2

2±fo

e)

= =

g) x h) x

±I

3 ± fi

e)

2, -4/3

= =

1/3, 2/3 2. -6/5

e)

b)

33.

±3i

f)

d) 2, 1/2

a)

32.

= =

GRADO CON UNA INCOGNITA

± i.)3

g)

3

2p

3p

3'

5

d)

S = - 3, P = - 5/2

g)

S = -5k/2,

e)

S = O, P = -4/3

h)

S

f)

S

= -

=

3/4, P

reales, irracional es, distintas reales, racionales, distintas imaginarias reales, irracional es, distintas

e)

.f) g) h)

O

i)

49; O; - 4; O;

6±j42

h)

=

P = 3k2/2

= 0,15 t)6, P = tfi

0,5, P

S =

reales, racionales, reales, iguales imaginarias reales, racionales,

distintas

iguales

+

x - 6 = O

x

+ +

3x = O

f)

x

-

4x

+

1 = O

j)

no es posible

x2

-

4x - 32 = O

g)

x2

+

2x

+

2 = O

k)

x2

h)

2

+

4x - 2

/)

4x2

+

+

7x

10 = O b)

e)

2

x

x -

-

p = -1

d)

l

=

=

O

i)

O

e)

a)

±2,

b)

±J5,

±ifi

e)

±2,

± 1/2

42.

a)

5, 3 o -27/5,

43.

a)

5, 15 m

44.

al

21

45.

a) 12, 16 kmfh

46.

a)

24

47.

a)

A, 6 h : B, 12 h

9, I 8, -2

e)

4/9

d) -4,2

f)

e)p=±5

P = 2

g) ±2 h) I

i) j)

16x

-

2ax

-

-

+

a2

+

4mx

25 = O

+ m2

b2 = O -

n =

O

f)p=-7

-11/5

b)

b)

15, 20 cm

7, 5, ± l

f)

1, -2.

(-1

± fo)/2

-7,

-6.

-5

e)

3. 6

d) 1.3 cm

2 cm

e)

b) 85 b)

40 krn/h

e)

6 krn/h

144, 10 céntimos h)

5,3 h aproximadamente

48. a) 1 y 3 segundos después de lanzado

b)

No

/)

g) 2 ±.)3,

e)

5,6.70

k)

3/2 no tiene solución

d) ± 1, ± 1/8

±3

h)

4x2

tn

-1,

2, -1 1, 3

p = -4

6x2

1,,2 e) ±3f2 d) 1/2 ± las raíces son 2, 2; si m = 1/2, las raíces son 1/2, 1/2

b)

=

e)

LA

3

e)

20 m

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hl

79

i)

4

dl

-2 5/4 -1/4 j)

9

± ij!5/4

SOL

I ± i, 2 ± fi

SOL

CAPITULO 14 CAPITULO

Ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas

DE UNA UNA ECUACION ECUACION DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO con con dos dos incógnitas incógnitas (o vaFORMA GENERAL GENERAL DE LA FORMA riables), x e y, es riables). ax?2 ax

bxy + + bxy

cy2 cy2

+ dx +

ey

+ ff

= =

O O

(1)

siendo a, b, c, e, d, e, ff constante constante y a, b, ce distintas distintas de cero. cero. siendo 2 - xy Por ejemplo, ejemplo, 3X2 3x2 + 5xy 5xy = = 2, xX2 2x + 3y = O, y2 = 4x, 4x, xy son ecuacioecuacioxy + y2 y2 + 2x y2 = xy = 4 son Por cuadráticas en x e y. nes cuadráticas

LA ECUACION (1), siendo siendo a, b, c, d, e y freales, freales, depende del valor discrimiLA GRAFICA GRAFICA DE DE LA ECUACION depende del valor del discriminante b22 - 4ac. nante 4ac < gráfica es, en general, una elipse. Sin embargo, 1) Si b21 - 4ac < O, la gráfica general, una elipse. Sin embargo, si b puede ser ser una una circunferencia, circunferencia, un punto, punto, o no no existir. existir. puede 2)

Si b22

3)

22

Si b

= gráfica = O OY Ya = = ec la gráfica

-

4ac == O, O, la gráfica una parábola, parábola, dos dos rectas rectas paralelas no existe. 4ac gráfica es una paralelas coincidentes, coincidentes, o no existe.

-

4ac > > O, la gráfica una hipérbola hipérbola, , o dos que se cortan. 4ac gráfica es una dos rectas rectas que cortan.

Estas cual reciEstas figuras figuras resultan resultan al seccionar seccionar un un cono cono recto recto circular circular por por un un plano, plano, razón razón por por la cual reciben nombre de de secciones secciones cónicas. cónicas. ben el nombre SISTEMA SISTEMA DE DE ECUACIONES ECUACIONES CUADRATICAS CUADRATICAS

fi

SOLUCION SOLUCION GRAFICA. GRAFICA. Las Las soluciones soluciones reales reales de de un un sistema sistema de de dos dos ecuaciones ecuaciones de de segundo segundo grado grado en en x e y son son los los valores valores de de x e y correspondientes correspondientes a los los puntos puntos de de intersección intersección de de las las curvas curvas oo gráficas gráficas de no se cortan, cortan, las las soluciones soluciones del del sistema sistema son son imaginarias. imaginarias. de ambas ambas ecuaciones. ecuaciones. Si no SOLUCION SOLUCION ALGEBRAICA ALGEBRAICA A) A)

Una ecuación ecuación lineal lineal yy una una cuadrática cuadrática Se despeja despeja una una de de las las incógnitas incógnitas de de la ecuación ecuación lineal lineal yy se sustituye sustituye en en la la de de segundo segundo grado. grado. Ejemplo Ejemplo

Resolver Resolver el sistema sistema

1)

x

2 xX2

2) 2)

+ yy = = 7 7 + y2 y2 = = 25

Despejando Despejando yy en en 1), yY = = 77 -- x. Sustituyendo Sustituyendo en en 2) 2) se se obtiene obtiene 2 xX2

+ (7 - x)1 x¡Z = = 25, 25,

2 xX2

--

7x

+ 12 = (x - 4) = O, O, (x - 3) 3)(x 4) = = O,

yy x = = 3,4. 3,4.

Para Para x = 3, 3, yY = 77 -- x = 4; 4; para para x = 4, 4, yY = 77 -- x = 3. Las Las soluciones soluciones del del sissistema tema son son x = 3, yY = 44 Y y x = 4, yY = 3.

127

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ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS INCOGNITAS INCOGNITAS

128 B)

Dos ecuaciones de la forma ax?2 Dos ecuaciones forma ax

+

by2 == c.

aplica el método método de reducción. reducción. Se aplica 1.

Ejemplo. Ejemplo.

Resolver el sistema sistema Resolver

Traza

1) 2X2 - y2 == 7 2)

3X2 3x2

+

2y 2y22 = = 14

al

4.'

Para Para eliminar eliminar y, se multiplica multiplica 1) por por 2 y y se suma suma a 2); 2); así, pues, pues, 7X2 7x2 = = 28,

xX22 = = 4

Y x = =

±

2

Haciendo Haciendo x = = 2 o x = = -2 -2 en 1) se obtiene obtiene y == ± 1 Las cuatro cuatro soluciones soluciones son: son: Las = 2, Y = = 1; x = = - 2, Y = = 2, Y = = - 1; x = = - 2, Y = = - 1 x = = 1; x =

e)

-t-

Dos ecuaciones forma ax Dos ecuaciones de la forma ax' 2 + bxy bxy + cy2 == d.

Ejemplo. Ejemplo.

1) xX22 + xy xy == 6 2) xX22 + Sxy Sxy - 4y2 == 10 lO Eliminar Eliminar el término término independiente independiente entre entre las las dos dos ecuaciones. ecuaciones.

Resolver Resolver el sistema sistema Método l. Método

Multiplicando 1) por Multiplicando por S, 2) por por 3, y restando, restando, tendremos tendremos

+

xX22 - Sxy Sxy

6y2 = = O, (x - 2y) 2y) (x - 3y) 3y) = = O, x = = 2y Y Y x = = 3y

Haciendo Haciendo x = 2y en en 1) o 2) se obtiene obtiene y2 = 1, Y = ± 1

a)

Para y = 1, 1, x = 2y 2y == 2; 2; para para y = -1 -1,, x == 2y = -2 -2. . Para Luego dos dos soluciones soluciones son: son: x = = 2, 2, Y = = 1; 1; x = = -2, -2, Y = -1 -1 Luego .

Haciendo Haciendo x == 3y en 1) o 2) se obtIene obtiene y

0.

Para y = = Para

2

= =

1 2' 2'

30.

y ==

±

.Ji li 2

0.

4.1

o los va

30.

0. 30. 0. 30. x = 3y = T; T; para T T' para y = - T' x = - T =

=

= -

= -

Luego las las cuatro cuatro soluciones son: x = = 2, Y = = 1; x = = - 2, Y = = - 1; Luego soluciones son:

_~ _.Ji. __ ~ -__ _ .Ji _~ -li. __ ~ li2 2'x-' x 2'y-' y 2 ,y,y- 2 2

xxMétodo Método 2.

Hacer y == mx mx en ambas ambas ecuaciones. ecuaciones. Hacer 6 2 22 De 1): xX2 + mx mx = 6, xX22 = ---- 1+ m

De De 2):

2 xX2

Luego Luego

6 1+ +m m 1

+

2 Smx Smx22 - 4m22xx2 == 10, lO,

10

+ Sm -

4

m

2

4,x

01

lO 10 - S-m---4;;?" xX22 == -+ -+-cc Sm---4n12

de donde donde

1 1 m == -2 ' -3; -3; por por tanto, tanto,

x / 2, y == xf). x / 3. A partir aquí se procede y == x/2, partir de aquí procede como como en el Método Método 1. D)

b)

e)

4,)

Otros métodos métodos Otros Algunos sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones se pueden pueden resolver resolver mediante mediante otros otros equivalentes equivalentes más más sensen1) Algunos cillos (véase (véase Problemas Problemas 10-12). cillos

2)

Una ecuación ecuación es simétrica simétrica con con respecto respecto a x e y cuando cuando al permutar permutar x por por y no no se altera. altera. Una 2 + .1'2 Por ejemplo, ejemplo, xX2 .1'2-- 3xy 3xy + 4x 4x + 4y 4y == 8, es simétrica simétrica con con respecto respecto a x e y. Los sistesistePor y. Los mas mas de ecuaciones ecuaciones simétricas simétricas se pueden pueden resolver, resolver, en general general, , efectuando efectuando los cambios cambios de variable x = u + v, )' = = u - v. u. (Véase (Véase Problemas Problemas 13-14.) 13-14.) variable

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01

L,

ECUACIONES

DE SEGUNDO

GRADO

CON

DOS

129

INCOGNITAS

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Trazar a)

4x2

la gráfica de las ecuaciones

+

9y2 = 36,

bl

siguientes:

4x2 - 9y2 = 36,

el

y

al

4x2

+

(a)

Elipse

9)'2

= 36,

+

4x

9y2 = 36.

y

y

Hipérbola

(b)

(e)

2

y=±3~

Obsérvese que)' es real cuando 9 - x2 ;¡; O, es decir, cuando los valores de x mayores que 3 y menores que - 3.

bl

-3

-2

-1

O

Y

O

±1,49

±1,89

±2

- 3 ~ x ~ 3. Por tanto, hay que prescindir

2

3

±1,49

O

1 ±1,89

La gráfica es una elipse con centro en el origen. 4 2 9y2 = 36, y2 = 9'(x2 - 9), Y = ±

3p-=9

que para que y sea real, x no puede tomar

La gráfica consta

1. el

x

4,\'2

Obsérvese

4x

+

9,,2 = 36,

Obsérvese

Parábola

x

6

5

4

3

-3

Y

±3,46

±2,67

±1,76

O

O

de dos ramas

y se denomina

4 - xl .',,2 -- -(9 9 "

que si x es mayor

valores entre

- 3 y 3.

-4

-5

-6

±1,76

±2,67

±3,46

hipérbola.

2 ~ - .\ .v=+-- 3"""

que 9, )' es imaginario.

x

-1

O

Y

±2,11

±2

1 ±1,89

5

8

9

±1,33

±O,67

O

La gráfica es una parábola.

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de

130 2.

ECUACIONES Trazar a)

DE SEGUNDO

la gráfica de las ecuaciones

+

2X2 - 3xy

b)

xy = 8,

GRADO CON DOS INCOGNITAS

siguientes:

+

y2

4. I

X - 2y - 3 = O,

x2

e)

+

y2 - 4x

+

8y

+

25 = O,

y

Hipérbola

(a)

a) xy = 8, Y hipérbola,

b)

=

+

2X2 - 3xy

viéndola

8/x,

Obsérvese que si x es un número real cualquiera

+

y2

general

excepto cero, y es real. La gráfica es una

x

4

2

1

! -!

-1

-2

-4

Y

2

4

8

16 -16

-8

-4

-2

X - 2y - 3 = O, Ordenando

por la fórmula

Dos rectas que se cortan

(b)

se obtiene y =

3x

la ecuación

y2 - (3x

+

+

2

+

JX2 2

8x

+

5. 1

+ 16

+

2)y =

(3x

(2x2

+

X - 3) = O Y resol-

+

+

(x

2)

2

+

4)

O sea y

2x + 3, Y = x - 1, La ecuación dada es equivalente a dos ecuaciones lineales, como se puede ver expresando ecuación dada por (2x - y + 3) (x - y - 1) = O. La gráfica está formada por dos rectas que se cortan.

e)

Ordenando,

y2

+

8y

+

(x2 - 4x

+

25) = O; resolviendo,

y =

-4

+

-

J-4(x2

2

-

4x

+

=

la

6. 1

9)

Como x2 - 4x + 9 = x2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)2 + 5 es siempre positivo, la cantidad subradical es negativa. Por consiguiente, y es imaginario para todos los valores reales de x y no se puede trazar la gráfica correspondiente. 3.

Resolver

gráficamente

los sistemas

siguientes:

x2 + y2 = 25 a) x + 2y = 10'

x2

+

4y2 = 16

b) xy = 4

,e)

x2 + 2y = 9 2X2 _ 3y2 =

7. l y

•• l' :1

(a)

x' + y' = 25 circunferencia

x

+

2y = 10 recta

(b)

x' +

4y' = 16 elipse

xy = 4 hipérbola

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(e)

x2

+ 2y

= 9 parábola

2X2 - 3y2 = 1 hipérbola

8. F

131 131

ECUACIONES DE DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON CON DOS DOS INCOGNITAS INCOGNITAS ECUACIONES · .. . + 2v 2v == 44 · . xx + Reso , _ .:"(.\'= 7'-7 eso Ilver ver llos os sistemas sistemas siguientes siguientes: : a a) )y2 44., R Y - xy = a) a)

Despejando xx en en la ecuación ecuación lineal, lineal, xx Despejando y2 -_ yy(4 2y)) == 7. 7, y' (4 -- 2y

2y == O O ++ 2y ++ 44 == OO

b) 3x 3x -- II b)

3x2 -_),2 3x' )"

2y.. Sustituyendo Sustituyendo en en la la ecuación ecuación cuadrática. cuadrática. == 44 -- 2y

lvv ++ L

3y2 -- 4y 4y -- 77 == O, O, 3y'

1) (3y (3y -- 7) 7) == O O 1)

y)' == -1 -1, ,

ee

7/3 7/3

Si YY = = -1 -1, , x = 44 _. - 2y = 6; 6; si si y = 7/3, 7/3, x = 44 -- 2y = -2/3. -2/3. Si soluciones son son x = 6, 6, y = -1 -1 y x = -2/3, -2/3, YY = 7/ 7/3. Las soluciones 3. b) b)

Despejando y en la ecuación ecuación lineal, lineal, y Despejando

'W -

3x). sustituyendo sustituyendo en en la ecuación ecuación cuadrática, cuadrática, 3x).

== i(1 -

x2 + 2x 2x + 55 == O O x'

3x2 - U(1 [W -- 3x)]' 3X)]2 + 4 == O, O, 3x'

y

xx

=

=

4(1) (5) = J2' -- 4(1)(5) =

-2 ± ± J22 -2

2(1) 2(1)

--11 ± ± 2; 2;

-1 + 2;, y = t(1 Í(l - 3x) 3x) = t[t t[l - 3( - II + 2i)] 2;)] = t(4 í(4 - 6i) 6;) = 2 - 3i. 3;. Si x = -1 3x) = t[t t[l - 3( -1 - I - 2i)] 2;)] = Í(4 t(4 + 6i) 6;) = 2 + 3i. 3;. Yy = it(l(1 - 3x)

2;, Si x = -- 1I - 2i, na

soluciones son son x = - II + 2i, 2;, Y y = 2 - 3i 3; Y y x = - II - 2i, 2;, Y y = 2 + 3i. 3;. Las soluciones S, 5.

Resolver el sistema: sistema: Resolver

2X2' - 3y' 3y2 (1) 2x

= 6,

3x2 + 2y' 2y2 (2) 3x'

= 35.

Para eliminar eliminar y, se multiplica multiplica (1) por por 2, (2) por por 3 y se suman; suman; luego luego 13x' I3x2 Para

= 117, 1l7, x' x2 = 9, x = ±3 ±3. .

Sustituyendo x = 3 o x = --3 3 en (1) obtenemos obtenemos yy = ± ±2.2. Sustituyendo

1,

Las soluciones soluciones son: son: x = 3, Yy = 2; x = ''-3,3, Yy = 2 2;; x = 3, YY = -2 -2; ; x = --3,3, Yy = -2. -2. Las la

6.

Resolver Resolver el sistema: sistema:

8 3 (1)---=5 (1) -x2 - y2 - = 5' x' y' '

5 2 (2) (2)"2- + +"2xx' yy'

= = 38.

1I 11. 1 1 Las Las ecuaciones ecuaciones son son cuadráticas cuadráticas en en - y -.- . Sustituyendo Sustituyendo uu = = -- y vv = = -, - , se obtiene obtiene xx yy xx yY

8u 8u'2 - 3v 3v'2

neo

La La solución solución de de este este sistema sistema es, es, uu'2 Las Las soluciones soluciones son: son : x 77.

=

4, 4, vv'2

== 5

=

5.u 5)1'2

y

2 9 o xx'

+ 2v 2v'2 = = 38

= 1/4, y2 1/9;; luego 1/3. y' = 1/9 luego xx = ± ± 1/2, yy = ± 1/ 3.

= 1/2 1/2,, YY = 1/3; xx = -1/2, 1/3;; xx = 1/2, YY = -1/3; -1 /2, Yy = 1/3 -1 /3 ; xx = -1/2, -1 /2, Yy = -1/3. -1 /3.

2 l si· (1) 5x 4y2 do té " . .. dd di 5x'++2xy 4y' == = 48 48 l" l" d iIos termmos d' R Reso esolver ver eel sistema sistema (2) (2) X2 x' 2xy = 16 ee munan Imman oo os os termmos m m epen epen lentes. lentes. Multiplicamos (2) por por 33 yy se se resta resta de de (1) (1) con con lo lo cual cual Multiplicamos (2) 2X2 2x' -- 6xy 6xy

.

+ 4y2 4y' = O,

2 - 3xy xx' - 3xy

+ 2y2 2y' = O, O,

(x (x -- y) y ) (x (x -- 2y) 2y ) = OO

16 ,16

yy

xx

= y,y , xx = 2)' 2y

44 ¡;;

Sustituyendo SustItuyendo xx

= yy en en (1) (1) oo (2), (2), -tenemos ·tenemos y2 y = "3 3' ee yy = ±± 3)3. 3'; 3.

Sustituyendo Sustituyendo xx

== 2y 2y en en (1) (1) oo (2), (2), tenemos tenemos y2 y' = 22 ee yy = ±)2. ±fi.

Las Las cuatro cuatro soluciones soluciones son: son :

x =

ifi, ifi; y =

x = -

ifi,

y = -

ifi;

x = 2fi,

y = fi;

2 (1) 3x 3x' - 4xy 4xy = = 4 8. Resolver Resolver el el sistema sistema (1) (2) xx' _- 2y 2y' = 24 aplicando aplicando la la sustitución sustitución yy = = mx. mx. 2 (2) 2 = 2

8.

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x = -2 f i , yY =-)2 = - fi

DE SEGUNDO

ECUACIONES

132

GRADO

Sustituimos

r = »r.v en (1):

luego

3x' - 41>1x' =4

Sustituimos

v

luego

x2 -

=

en (2):

ni.\"

4

2

3-=-4-;;;

Por tanto Sustituyendo

=

ahora

.--=-W . = mx

.1'

4m' -

2n:!.x2

4

x2 =

Y

= 2

+ I

4/11

CON DOS INCOGNITAS

.\"2

Y

= O.

2

=

(2m -

= j-x en (1) o (2) se obtiene

3 - 4m

-

I

2m'

1)' =

x' = 4.

°

y

x =

=

ni

j'.

t·

son

± 2. x=

Las soluciones 9.

Resolver

son x = 2.

De (2) • .r = 12/x;

±6 .

Las cuatro No/a.

=

.l'

-, 40.

=

-Z

x

=

Para x

=

y'

sustituyendo

144

+

x'

+

(1) x'

el sistema:

= 1 Y .v = -2 • .1' = -l.

.l·

La ecuación

(2)

Xl'

=

14.

12.

+

x' - 40.\'

=

son: x

para x

144

=

= O.

=

°

2. )'

=

(x' - 36) (x' - 4)

y

x

=

11 -

± 6. ± 2

±2 . .r = ±6.

6. )' = 2:

=

.v

(2) indica que aquellas

-6 ..

=

1'

-2;

=

x

soluciones en las que el producto

6;

Xl'

x = -2 . .r = -6. sea negativo

(por ejemplo .

.\"= 2. Y = - 6) son extrañas.

10.

Resolver

el sistema:

(1) x'

Res,

en (1). tenemos

12/x = ±2:

soluciones

40.

ti

+

y'

.v

+

+

2x - y = 14.

+

(2) x'

+

y'

=

x - 21' = 9. x=

Restando

(2) de (I):

Las soluciones

Resolver

o

y = 5 - x en (1) o (2):

Sustituyendo

11.

y = 5

x = 3/2.

son

(l) x3

el sistema:

+

.l'

2x' - 7x

.r = 7/2

y3 = 35.

= 5 -

y

(2) x

x.

+

x = 2.

+

=

6

O.

(2x - 3) (x - 2)

=

°

y

x

=

3/2. 2.

15.

Hall

r = 3.

= 5.

.1'

pedi x3 Dividiendo

(1) por

(2).

+ y3

35

-

De (2). y = 5 - .v ; sustituyendo x'

-

x(5 -

Las soluciones 12.

Resolver

De

x .v

Resolver

(1) x'

+y + 3)"

el sistema:

1

"5'

=

(1) x'

7.

x'

3x\'

+

2.1" = 3.

x'

+ +

3xy

+ 21" + 6y'

.\' = -2x.

son x

=

+

x'

5x)"

y'

+

2x

+

5x

.1'

= 3.

y' = 7. Hall

.1'

3l (x - 2) =

(x -

+

5xy

+

6\"

+ y) (x + 2\') + 3r) (x + 2\') = -2x

-1, Y

2y = 32.

6 = O.

°

Y

x = 3. 2.

(pos

(2) x'

(x

=

+

-

(x

Sustituyendo

1, Y = -2 y x

+

+

16.

= 2 Y .v = 2 .

.1'

(3) x' - xy

en (3). tenemos

(5 - x)'

(l) por (2).

Las soluciones 13.

+

son .v = 3 .

el sistema:

Dividiendo

.r]

y

5

x+y

=

= 15.

= X X

+V + 3y

17.

Hall

18.

La

= ~

5

en (1) o (2). x' = 1 Y .v

±l.

2.

(2) x

Las ecuaciones son simétricas en x e y, ya que cambiando x = u + 1'• .\' = !I -.l' en (1) y (2). se obtiene

+

y

+

2xr = 22,."

x por y se obtiene la misma ecuación. Sustituyendo

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dos

133

ECUACIONES COGN ITAS ECUACIONES DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON DOS IN INCOGNITAS

(3) u' u' + u' u2 + 2u 2u = = 16 Sumando Sumando (3) Y (4), (4). se obtiene obtiene Para Para

1I u

Y

(4) u' u' -

2u' 2u2 + 3u - 27 = O, O.

¡¡' 11'

+

= = II

1I U

(u - 3)(2u 3)(2u + 9) = O

Y

u = 3, 3. -9/2. -9/2.

= 3,1" = II Y '4 Y 3.1" Y v = ± 1; para para u = -9/2, -9/2. r' ¡-' = 19 19'4 Y rl' = ±fo ±fo,'2.:2. Luego Luego la lass soluciones soluciones de (3) (3) y (4) 11 = 1; u = 3, 3. v = -1; -1; 1I u = -9/2. -9/2. v = fo12; -9/2. r,. = -foI2. ¡¡ f o /2; u = -9/2. f o/2.

son: : u = 3, 3. son

Luego, x = u + r, .l' 1'. las y (2) Luego. como como .v l' = U U-l'. las cuatro cuatro soluciones soluciones de de (1) (1) Y (2) son: son: /2. x = 4,.1' 4. .1' = 2;x = 2 2.. .1'.1' = 44;x -9/2 + fo/2.y -9/2 -fo/2;x -)19/2 . .1'.1' = -9/2 -9,12+ ;x = -9/2 f o /2.y = -9/2 f o/2;x = -912 -)19/2 + ./19 j19/2.

14.

Resolver el sistema: sistema: Resolver

(1) x' x'

+ y' y'

180. = 180,

II

II

II

(2) - + - = = --. . (2) x yy 4

De (2) (2) se obt obtiene (3) 4x 4x + 4.1' 4.1' - xy xy = = O. O. Como Como (1) (1) y Y (3) (3) son son simétricas simétricas en x.v e .\', .1'. sustituimos sustituimos x = = u + v. y == De iene (3) (1) Y Y (3) (3) obteniendo u11 - r,. en (1) obteniendo (4) 11' + v2 = 90 (4)u'+v'=90

(5) 811 - u2 + ,.2 = O (S)811-u'+r'=0

yY

Restando (5) de de (4). tenemos tenemos u' u' - 4u - 45 = O. O. (u - 9) (u + 5) = O O Y Y u = 9. -5. -5. Restando plo.

Para u u = 9, 9. v = ±3; ±3; para para u u = -5. -5. rl' = ±.)65. ±.)65. Luego las soluciones soluciones de (4) y (5) son: son: Para Luego -3; -5. rl' =.)65; =.)65; -5. rl' = -.)65. -.)65. uti = 9. v = 3; uu = 9. rl' = -3; uu = -5. uU = -5. Luego las cuatro cuatro so soluciones (1) Y Y (2) (2) so son: Luego luciones de (1) n: x= 12.y=6; x = 12. Y = 6;

15.

x=6.y= 12;; x = 6 . .1'= 12

x= -5-.)65; x = -5+.)65 -5 + .)65 . .1'.1'== -5 -.)65 ;

x= -5-.)65. l' x = -5 - .)65,.l'

-5 + .)65. .)65.

Hallar dos dos números números sabiendo sabiendo que que su suma suma es 25 y su producto producto 144. Hallar Sean los números x, y. y. Sean los números

(1) x + + (1)

Tendremos Tendremos

.ry ==

25

Y (2) X.l· xr = = 144. Y

Lass soluciones soluciones del sistema sistema formado formado por por (1) Y Y (2) son son x = 9. 9 . .1'= Y x = 16. Y = 9. Luego Luego los los números números y = 16 Y La

pedidos son 9. 16. pedidos son

16.

Hallar dos dos números números positivos positivos sabiendo sabiendo que que su diferencia diferencia es 3 y que que la suma suma de sus sus cuadrados cuadrados es 65. Hallar Sean los números números p. p. q. Sean

(1) pP - q == 3

Tendremos Tendremos

Y Y (2) p2 p'

q' + q'

= 65. =

Lass soluciones soluciones del sistema sistema formado formado por por (1) Y Y (2 (2)) son son p = 7. q = 4 Y Y PP = --4.4. q = -7. -7. Luego Luego los los números números La (positivos) pedidos pedidos son son 7. 4. 4. (positivos)

17.

Hallar las dimensiones dimensiones de un rectángulo rectángulo cuyo cuyo perímetro perímetro es 60 cm y su área área 216 216 cm' cm? Hallar Sean las longitudes longitudes de los lados lados .v, Sean x.

1'. 1'.

Tendremos (1) 2x 2x + 2y = 60 Tendremos

Y (2) Y

XI'· .Y\

= 216.

Resolviendo el sistema sistema formado formado por por (1) (1) Y Y (2) obtenemos obtenemos los los lados lados de 12 y 18 cm. cm. Resolviendo

18.

ndo

hipotenusa de de un triángulo triángulo rectángulo rectángulo mide mide 41 cm y su área área es 180 cm'. cm". Hallar Hallar las longi longitudes los tudes de los La hipotenusa dos catetos. catetos. dos Sean las longitudes longitudes d dee los los catetos catetos x. x. yy.. Sean

Tendremos Tendremos

y' = (41)' (41)2 (1) x' x' + y'

Y (2) j-(xy í(xY) ) = 180. Y

Resolviendo sistema formado formado por por (1) y (2) obtenemos obtenemos los los catetos catetos de 9 y 40 cm. cm. Reso lviendo el sistema

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134

ECl.:¡\CIONFS

DE SEGUNDO

GRADO

CON DOS INCOGNITAS

PROBLEMAS PROPUESTOS 19.

Representar al

21.

22.

23.

= -4



2. DI mi

Pr

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CAPITULO 18 CAPITULO

matemático de inducción completa Principio matemático 24 1)(n+ 2)

PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE INDUCCION INDUCCION COMPLETA COMPLETA es un procedimiento procedimiento que sirve EL PRINCIPIO para teorema general, general, o una fórmula, a partir partir de casos particulares. particulares. Para Para hacer una para demostrar demostrar un teorema demostración por por este método método se procede procede de la forma siguiente siguiente:: demostración 1) Se Se comprueba, comprueba, por simple sustitución, sustitución, que el teorema teorema propuesto, propuesto, o fórmula, fórmula, se verifica para 1) primeros valores de n, enteros enteros yy positivos, por ejemplo, n == 1, 1, n == 2, etc. los primeros Se supone supone que el teorema, teorema, o fórmula, es cierto para n == k y, a continuación, continuación, se demuestra demuestra que 2) Se también se verifica para para el siguiente n == k + 1. l. también

-)

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS l.

Demostrar, por el principio del delinducción completa, que para para todos los valores de n, entero y positivo, se verifica: Demostrar, inducción completa, n(n

+ 1) +

1+2+3+ ... +n=--2+n=--21+2+3+ ... 1(1 + 1) 1(1 1, ya que 1 == --2-1, -2--

Primero. Primero.

,,. . para n La formula se venfica para

Segundo. Segundo.

Supongamos que la fórmula es cierta para para n Supongamos

= =

... + k + (k + 1) 1) == 11 + 2 + 3 + ... n(n n(n

+

= k. =

1. 1.

sumando (k + 1) 1) a los dos miembros, Entonces, sumando

k(k+l) (k+l)(k+2) k(k+l) (k+l)(k+2) --21) == 2+ (k + 1) 2

1)

--4-cuando se sustituye n por (k que es el valor de -4-- cuando

\s\ >

= =

+

1). 1).

tanto, si la fórmula es cierta para n == k, k, hemos demostrado demostrado que también verifica para el siguiente, Por tanto, también se verifica 1. Como la fórmula se verifica verifica para n == 1, 1, también se se verificará para para n == 1 + 1 == 2 y, por la misma ran == k + 1. verifica para todos los valores de n, n, entero y positivo. positivo. zón, para n == 2 + 1 == 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica

1

2.

Demostrar, por por el principio de inducción completa, completa, que la suma de los n primeros primeros términos de una progresión aritDemostrar, n d, a + 2d, ...... , es i2a + (n (n - I)d], I)d], es decir, mética, a, a + d,

i2a

a

+

(a

+

d)

+

(a

+

2d)

... + + ...

= =

verifica para para n La fórmula se verifica

Segundo. Segundo.

Supongamos que es cierta para para n Supongamos

+

(a (a

+

d)

+

(a

+

2d)

+

(n (n

l)d] Ild]

n

= 2{2a Z{2a =

i2a 1

+

1, ya que a == 2"[20 + (1 (1 - 1!)d] 1, ld]

Primero. Primero.

a

[a

= k. = k.

+ ..... . +

(n (n

l)d] Ild]

= a. =

Entonces, [a

+

(k -

!)d] == ~[2a ~[2a + (k - l)d] !)ti] I)d]

163

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164

PRINCIPIO

MATEMATICO

DE INDUCCION

COMPLETA

+

Sumando a los dos miembros de la última ecuación el término que ocupa el lugar (k se tiene

a

+

El segundo

(a

+

d)

+

miembro

(a

+

+ ... +

2d)

de esta ecuación

[a

+

es = ka =

que es el valor de i[2a

+

1)d] cuando

(n -

(k -

k2d

+2 +

kd(k

+

1)d]

k kd) = i2a

+

(a

+

1)

2

+

2a(k

se sustituye

n por

1)d]

+

kd

+

+

kd)

2

=

+

(k

(k -

+

2ka

(a

+

+

Demostrar,

por el principio

de inducción

2a

sustitu p(

1).

lafóm = 3, Y

2

que para todos los valores de n, entero y positivo,

completa,

2

2

1+2+3+

...

+n=

n(n

2

La fórmula

Segundo.

Supongamos

1)

1)(2 6

+

1)

1)(2k 6

+

1)

6

s,

se verifica

Prime

= 1.

para n = k. Entonces,

que es cierta 2

2

2

1+2+3+

...

+k=

se d

+

k(k

2

Demo quiera

Segun,

+

1 )(2n

+

1(1

se verifica para n = 1, ya que 12 =

Primero.

+

+

kd)

Por tanto, si la fórmula es cierta para n = k, hemos demostrado que también se verifica para n = k + l. Como la fórmula se verifica para n = 1, también se verificará para n = 1 + 1 = 2 y, por-la misma razón, para n = 2 + 1 = 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica para todos los valores de n, entero y positivo. 3.

Surnai

El segi

k + I = -2-(2a

1)

+ kd),

(2k

.

+ k2d

kd

- 2 + a + kd

1), que es igual a (a

P Sumando

a ambos miembros

"

12 El segundo

miembro I

+

22

de esta ecuación el término que ocupa el lugar (k

+

32

+ ... +

de esta ecuación

+

k2

es =

(k

+

k(k (k

+

+

1 j2 =

+

k(k

1)[(2k2

1)

+

6

+ 61) +

1)(2k

+

1)(2k

+

k)

+

(k

+

que es el valor de

+

1)(2n 6

+

6)]

+

(k

1)(k

+

2)(2k

+

Demostrar,

por el principio

Demo (a

3)

6 para t

1)

cuando

se sustituye

+

n por (k

1).

Prime

Por tanto, si la fórmula es cierta para n = k, hemos demostrado que también se verifica para n = k + 1. Como la fórmula se verifica para n = 1, también se verificará para n = 1 + 1 = 2 y, por la misma razón, para n = 2 + 1 = 3, y así sucesivamente. Es decir, se verifica para todos los valores de n; entero y positivo. 4.

la fórn y así:

1)2,

1)2

6 n(n

+

1)2

+

(6k

1), que es igual a (k

6.

+

6(k

+

de inducción

completa,

Segun,

que para todos los valores de n, entero y positivo, se verifica Multi¡

1

1

--+--+--+ 1.3

Primero.

La fórmula

Segundo.

Supongamos

3.5

1 5.7

... +

1 (2n -

se verifica para n = 1, ya que

n

+

1)(2n

1)

2n

+

1 1

1

+

1)

(2k - 1)(2k

+

(2 -

=---

1)(2

= 2 +1 1 = -3 .

que es cierta para n = k. Entonces 1

1

1

1.3

3.5

5.7

--+--+--+

... +

k

1

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1)

=---

2k

+

1

165 165

PRINCIPIO MATEMATICO MATEMATICO DE DE INDUCCI INDUCCION COMPLETA PRINCIPIO ON COMPLETA Sumando aa los los dos dos miembros miembros de de la la ecuación ecuación anterior anterior el el término término que que ocupa ocupa el el lugar lugar (k (k Sumando

kel),

++

1), que que es es igual igual aa 1),

(2k + + 1)(2k 1)(2k + + 3) 3) (2k

11

11

11

--1 '-3 ++ --3 '-5 ++ --5 '-7 ++ ... ... + + 1.3 3.5 5.7

11 1l kk 1l = -- + - ___)-::(2C:-k-+~3) c:-:--.,(2k -- 11)(2k + 1) 1) + + (2k (2k + + 1l )(2k )(2k + + 3) 3) = 2k -2k-+-1 (2k-+--:-:1 (2k )(2k + + 1 + (2k + 1 )(2k + 3)

k(2k + + 3) 3) + + 11 + 11 . ., k(2k kk + nn El segundo segundo miembro miembro de de esta esta ecuaClOn ecuación es es == ---- - ,, que que es es el el valor valor de de ._ ._--- - cuando cuando se se El == (2k + + 11)(2k + + 3) 3) 2k 2k + + 33 2n + + 1l (2k 2n sustituye nn por por (k (k + + 1), 1). sustituye Por tanto, tanto, si si la fórmula fórmula es es cierta cierta para para n = kk,, hemos hemos demostrado demostrado que que también también se se verifica verifica para para nn = kk + 1, l. Como Como Por fórmula se verifica verifica para para n = = 1, 1, también también se verificará verificará para para n = = 11 + 1 = = 2 y, por por la misma misma razón razón, , para para n = = 2 + 1 la fórmula Y así sucesivamente. sucesivamente. Es decir, decir, se verifica verifica para para todos todos los los valores valores de n, entero entero y positivo. positivo. == 3, Y

1. ara 5. S.

ifica

Demostrar, por por el principio principio de inducción inducción completa, completa, que que a 22n" -- b 22n" es divisible divisible por por a Demostrar, quiera entero entero y positivo. positivo. quiera Primero. , Primero

teorema se cumple cumple para para n == 1, ya que que a 22 - b 22 == (a (a El teorema

Segundo. Segundo,

Supongamos que que es cierto cierto para para n == k, k. Entonces, Entonces, Supongamos

a22k"

-

+ b)(a

--

b). - b),

divisible por por a + b b22k" es divisible

2k+2 Tenemos que que demostrar demostrar que que a 2k +2 - b2k+2 divisible por por a Tenemos k+2 es divisible

se deduce deduce que que a2k+ k+ 22

siendo n un número número cualcual+ b, siendo

b22k+ divisible por por a k+ 22 es divisible

+

+

identidad b. De la identidad

2k . b si lo es a2k _ bb":

Por tanto, tanto, si la fórmula cierta para para n == k k,, hemos hemos demostrado demostrado que también se verifica para n == k + 1, l. Como Como Por fórmula es cierta que también verifica para la fórmula fórmula se verifica paran = 1, también verificará para 2y, por misma razón, verifica paran ta mbién se verificará para n = = 1+ 1= = 2y, por la lamisma razón , paran paran = 2 + 1 = 3, sucesivamente. Es decir, 'Se 'Se verifica Y así así sucesivamente. Es decir, verifica para para todos todos los los valores valores de de n, entero entero y positivo. positivo,

6.

Demostrar Demostrar la fórmula fórmula del del binomio. binomio. n(n-I) n(n - 1) n 2 (a + + na"-Ix + -___ __ a"-2 2 + ... + x)" x)n = = a" an + nan-lx + a - xx2 2!

+ n(n-I) n(n - 1) ..... . (n-r+2) (n - r + (r (r -

+

1)! 1)'

2)an - ,+lr . .. ++ x" x" a"-'+l + ... x'-1 - 1 +

para para todos todos los los valores valores de de n entero entero y positivo. positivo. Primero. Primero,

La La fórmula fórmula se verifica verifica para para n = = l. 1,

Segundo. Segundo.

Supongamos Supongamos que que es cierta cierta para para n = = k. k. Entonces, Entonces,

1. ara

fica

"k "k .1> b significa

2)

< b significa significa que que «a es menor menor que que b» (o bien bien que que a - b es un un número número negativo). negativo). a <

3)

~ b significa significa que que «a es mayor mayor o igual igual que que b». b», a ~

4)

a ~ b significa significa que que «a es menor menor o igual igual que que b». a:::;;

5)

significa que que «a es mayor mayor que que cero, cero, pero pero menor menor que que 2». O < a < 2 significa

6)

-2 ~ x < < 2 significa significa que que «x «x es mayor mayor o igual igual que que -2, -2, pero pero menor menor que que 2». -2:::;;

Una desigualdad desigualdad absoluta absoluta es aquella aquella que que se verifica verifica para para todos todos los valores valores reales reales de las letras letras Una que intervienen intervienen en ella. ella. Por Por ejemplo, ejemplo, (a - b)2 b)2 > -1 -1 es cierta cierta para para todos todos los los valores valores reales reales de a que que el cuadrado cuadrado de todo todo número número real real es un un número número positivo positivo o cero. cero. y b, ya que Una desigualdad desigualdad condicional condicional es aquella aquella que que solo solo es cierta cierta para para determinados determinados valores de las Una valores letras. Por Por ejemplo, ejemplo, x - 5 > > 3 solo solo es verdad verdad para para x mayor mayor que que 8. letras. Las desigualdades a > > b y ce > > d son son del del mismo mismo sentido. sentido. Las Las desigualdades desigualdades a > >b y x < < yy Las desigualdades son son de sentido sentido contrario. contrario.

TEOREMAS DE LAS LAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES TEOREMAS DE sentido de una una desigualdad desigualdad no no se modifica modifica si se suma, suma, o se resta, resta, un un mismo mismo número número real real a 1) El sentido dos miembros. miembros. Por Por consiguiente, consiguiente, para para pasar pasar un un término término de un un miembro miembro a otro otro de una una desigualdesigualsus dos dad no no hay hay más más que que cambiarle cambiarle de signo. signo. dad Por ejemplo, ejemplo, si a > > b, se tiene tiene a + ce > > b + c, e, y a - ec > > b - c, y a - b > > O. Por sentido de una una desigualdad desigualdad no no se altera altera si se multiplica, multiplica, o divide, divide, por por un mismo mismo número número 2) El sentido real sus dos dos miembros. miembros. real Por ejemplo, ejemplo, si a > >byk > > O, se tiene tiene ka ka > > kb kb y Por

I >> ~~ .

sentido de una una desigualdad desigualdad se invierte invierte cuando cuando se multiplica, multiplica, o divide, divide, por por un mismo mismo número número 3) El sentido negativo sus dos dos miembros. miembros. negativo Por ejemplo, ejemplo, si a > >byk < < O, se tiene tiene ka ka < < kb kb y Por

4)

I b y a, b, n son son positivos, positivos, se tiene tiene a" > > b", pero pero a-o a-n < h-". h-n. Si a > < 167

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DESIGUALDADES

168

1 1 5 > 4; se tiene 53 > 43 o 125 > 64, pero 5-3 < 4-3 o 125 < 64 .

Ejemplos.

16>

9,' se tiene 161/2>

5)

Si a > b Y e > d, se tiene (a

6)

Si a > b >

°

y

C

+

c) > (b

+

< 9-1/2

3, pero 16-1/2

91/2 04>

o

1

dr

1

4 < }.

se

di·

qi

> d > 0, se tiene ac > bd. S. D

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Si a > b Y e > d, demostrar Como

b) Y (e -

(a -

Luego (a - b)

2.

+

+

que a

e > b

d) son ambos

(e - d) > O,

(a

+

d.

positivos,

+

e) - (b

(a -

+

b)

+

d) > O

Y

+

(a

e) > (b

6.

+

D

d).

Encontrar a)

b) e) d) e)

1)

el error en el siguiente razonamiento: a Sean a = 3, b = 5, es decir, a2 Multiplicando por a, a2 _ b2 Restando b2, (a + b)(a - b) Descomponiendo en factores, a+b

4x - 2x > 9 - 5,

Multiplicando

2-3 1. Demostrar e/' + b' positivos y distintos, ti' + b' b" > e/' ti'-Ib ab">, , será será (e/' (ti' - e/'-Ib) ti'-Ib) - (ab,-I (ab":! -bol O Si e/' - Ib + ab,-I - b') > O

a,-I(a - I(a - b) > a"-I(a - b) - b, b"-I(a > O,

es decir, decir,

o

(a,-I (a"-I - bn-I)(a b"-I)(a - b) > >O O

o puede Esto es cierto, cierto, ya que ambos ambos factores factores son son positivos Esto ya que positivos o negativos. negativos. También se puede demostrar razonando en orden orden inverso inverso al expuesto. expuesto. También puede demostrar razonando en

cuando

10.

1 1 Demostrar que que a33 + 3" 3" > a22 + 2" 2" Demostrar a a

O Ya si a > O

+ 1. +

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad desigualdad por (que es positivo, que a > O), tenemos Multiplicando ambos miembros de por a33 (que positivo, ya que tenemos (aS - 1 1 )(a - 1) 1) > O a66 -- aS - a + 11 > O y (aS a66 + 11 > aS + a, ambos factores factores son son positivos, mientras que que si O O < a < 1 ambos ambos son son negativos. En cualquier cualquier caso caso el proSi a > 1 ambos positivos, mientras negativos. En producto es positivo. cero.) ducto positivo. (Si a == 1, el producto producto es cero.) También se puede. demostrar razonando orden inverso. También puede. demostrar razonando en orden inverso.

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DESIGUALDADES

170 11

.

S' b I a, ,e,

d

Método

(a

+

e)d>

. numeros

,son

e(b

+ +

S·I ab

l.

+

d), ad

. . a e d POSItiVOS y b > d' emostrar

»: d' e

el"

+

mu tiplicando

cd > be

+

+

por d(b

+ +

a que b

15. Deter

e e d > d'

d), se obtiene a e por bd resulta, b > d' que se verifica por hipó-

cd, ad > be; dividiendo

1 Y

tesis. También Método

12.

Demostrar

a)

se demuestra a Como b>

2.

razonando e

en orden

. a se tiene b

d'

+

inverso.

e e b > d

+

e

a

+

'i: -b-

e

x2 - y2 >

X -

Y

si

x

+

y >

y x > y

b)

x2 - y2 <

X

Y

si

x

+

y >

y x y, x - y > O. (x

Multiplicando

+

ambos

miembros

y)(x - y) > (x - y)

(x

+

y)(x - y) < (x - y)

+

de x

b) Como x < y, x - y < O. Multiplicando ambos miembros se invierte el sentido de la desigualdad; luego

y >

por el número

positivo

x - y,

y > 1 por el número

negativo

x - y,

X -

+

de x

x2 - /

o

d)

bd

x2 - y2 >

o

+

e(b

>

que a)

-

=;

y ab > -2 a + b

a)

b >

Si a;

fo, se

tiene

(a - b)2 > Oque es cierto b)

(a

si a

el razonamiento,

a De a) y b), --

+

+ b.

si a y b son positivos

+

b

2

Invirtiendo

tenemos

eL.

> yab

a2

b)2 > (2fo)2,

4a2b2 se tiene ab > -(---2' a + b)

eL. 2ab Si yab > --b' a +

Invirtiendo

. . es yCb ao, y l a me dila armoruca

d e dos a + bId' a me la geometnca .. os ni numeros a y b es -2-'

L a me d'la antmetica . ..

+

es a 2ab +b.

y distintos. 2ab

el razonamiento,

+

¿par¡

cuam

b2 > 4ab,

tenemos

19.

20. Dem

a+b

-2--

a2 - 2ab

+

b2 > O

Y

21.

Dem

eL. > yab.

22. Dem (a

+

b)2 > 4ab

y

(a - bl

> O

+

queesciertosia

b.

23. Dem

eL. 2ab yab > --b' a+

24. Si a

2ab

25. Dem

> --b' a +

26. Dete 14.

Hallar los valores de x para los cuales a) x2 - 7x a)

x2 - 7x

+

12 = (x - 3)(x - 4) = O

+

12 = O, b) x2 - 7x

para x = 3

12 > O, e) x2 - 7x

+

12 < O.

(x - 3) > O Y (x - 4) > O simultáneamente,

(x - 3) > O Y (x - 4) > O simultáneamente

cuando

x > 3 Y x > 4, es decir, cuando

x > 4

(x - 3) < O Y (x - 4) < O simultáneamente

cuando

x < 3 Y x < 4, es decir, cuando

x < 3,

Luego x2

-

7x

+

12 > O

se verifica cuando

x > 4

x2 - 7x + 12 < O o (x - 3)(x - 4) < O cuando cuando (x - 3) < O Y (x - 4) > O simultáneamente.

(x - 3) > O

Y (x - 4) < O

3) > O

Y

(x -

4) < O

simultáneamente

cuando

x

(x -

3) < O

Y

(x - 4) > O

simultáneamente

cuando

x < 3 Y x> 4,

Luego x

-

7x

+

12 < O

se verifica cuando

o para SOLUC](

18.

a)

19.

a>

x < 3.

o

(x -

2

a)

;

4.

ó

27. Dete

x2 - 7x + 12> O o (x - 3)(x - 4) > O para (x - 3) < O Y (x - 4) < O simultáneamente.

b)

e)

+

simultáneamente,

> 3 Y x < 4, es decir, cuando

3 < x < 4.

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que es absurdo.

o

3 < x < 4.

26. a) 27. a)

DESIGUALDADES DESIGUALDADES

15. 15.

171

Determinar gráficamente gráficamente el el campo campo de de variación variación de de xx definido definido por por Determinar 2x -+ 2x 2x + 2x + 2x 2x -+

a) a)

2 xX2 2 xX2 2 e) xX2 e)

b) b)

33 ;,O O 33 > OO O 33 < O

La figura figura representa representa la la gráfica gráfica de de la la función función definida definida por por La 2 + 2x = xX2 2x - 3. 3. De De ella ella se se deduce deduce que que yy = = O O para para yy =

a) a)

= 1, xx = = -3 -3 xx =

x> 1 oo xx < -3 -3 x> -=3 < xx < 11 --=3

b) y> y> O O para para b) e) yy < OO para para e)

PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS 16. 16.

b, demostrar demostrar que que a - e > b - e siendo siendo e un un número número real real cualquiera. cualquiera. Si a > b,

17. 17.

O demostrar demostrar que que ka ka > kb. Si aa > b YY k > O

18. 18.

Hallar los los valores valores de de x para para los los cuales cuales se verifican verifican las las desigualdades desigualdades siguientes: siguientes: Hallar a) a)

y

2(x 2(x

+ 3) >

3(x 3(x - 1) + 6

19. 19.

¿Para qué qué valores valores de de aa será ¿Para será (a

20. 20.

Demostrar i(a + b Demostrar que que -Ha = b. cuando cuando a = b. 22

22)

)

x

b) b)

+

-

4

2

2x 2x

1

3

3

6

-+ - < - --

2(2a 3) < 2(2a

+

e) e)

1

3

7

+ -4x >+ 4x > 8 8

:; x

d) d)

I)? 1)?

!1; ~ ab ab para para todos todos los los valores valores reales reales de de aa y b, YY que que la igualdad igualdad solo solo se verifica verifica

21. 21.

1 Demostrar Demostrar que que x

22. 22.

X2 + y2 y2 x2 Demostrar que que Demostrar --- -- < x x+y x+y

23.

Demostrar que xy Demostrar que xy

24. 24.

1 1 n un entero entero positivo, demostrar que que a e: an+ 1 > a" Si a > O, a =F 1 Y n es un positivo, demostrar + 1 + --... a" + -;n .-

25.

Demostrar que Demostrar que

26.

Determinar los valores verifican las desigualdades Determinar valores de x para para los cuales cuales se verifican desigualdades siguientes: siguientes:

b.

2

x+y x+y

._ SI XX

+y

_. son pOSitiVOS e y son positivos y x =F y. y.

*"

si x> x > O, Y y>> O.

1 !1; ~ x + y

si x !1; ~ 1 e y !1; ~ 1 o si x ~ ~ 1 e y ~ ~ 1.

*"

a) a)

27.

1

y

+ - > ---

+

Xl x2

+

a"

j2 j2 + j6 j6

2x 2x - 24 24 > >O O

2 xX2 >9

< <

a"

J3 j3 + .¡s. fi· x

b) b)

2 -X2

6 < x

e)

3X2 3x2 --

2x 2x < < 1

Determinar por a) Determinar gráficamente gráficamente el campo campo de de variación variación de x definido definido por a)

X2 x2 -

d) d)

1l 7 3x 3x + - > x 2

3x 3x - 4 > >O O,, b)

2Xl 2X2 -

5x 5x + 2 < O.

SOLUCIONES DE PROPUESTOS SOLUCIONES DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOS 18. 18. a)

x < 2 x> 2

e)

0O O ' ya O.. Luego: Luego: dividir f(x) por (x (x - a), a), siendo siendo a ~ ~ O, mediante mediante la regla regla de 1) Si al dividir f(x) por de Rufini, Rufini , todos todos los los coeficientes coeficientes polinomio cociente cociente (números (números obtenidos obtenidos en la tercera tercera fila) son son positivos del polinomio positivos o cero, cero , entonces entonces a es f(x) = una una cota cota superior superior de las raíces raíces reales reales de f(x) = O.

2) Si al dividir f(x) por de Rufini, Rufini, todos todos los los coeficientes coeficientes dividir fix¡ por (x - b), siendo siendo b ;2; 2 O, O, mediante mediante la regla regla de del polinomio positivos cero), entonces entonces b es una una cota cota polinomio cociente cociente son son alternativamente alternativamente positivos y negativos negativos (o cero), inferior j{x) = O. inferior de las raíces raíces reales reales de j{x) O.

METO irr,

RELA(

gu

exi 1)

REGLA DE DE LOS LOS SIGNOS SIGNOS DE DE DESCARTES DESCARTES REGLA Ordenando los términos términos de un polinomio polinomio f(x) coeficientes reales Ordenando f(x) de coeficientes reales según según las las potencias potencias dedecrecientes de x, diremos que que se produce produce una una variación variación de signo signo cuando cuando dos crecientes x, diremos dos términos términos consecutivos consecutivos Por variaciones de de signo, signo, y son son de signo signo contrario. contrario. Por ejemplo ejemplo, . x33 - 2X2 2X2 + 3x 3x - 12 tiene tiene 3 variaciones 7 5 4 2 2x 2x + 4 tiene 2x - 6x 6x5 - 4x 4x4 + xX2 - - 2x tiene 4 variaciones variaciones de signo. signo.

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2) 3) 4)

tiei

¡SS IS5

TEORIA TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES

ros

La regla regla de Descartes Descartes de los signos signos establece establece que: que: El número número de raíces raíces positivas positivas de la ecuaecuación f(x) = f(x), o bien ción f(x) = O es igual igual al número número de variaciones variaciones de signo signo del polinomio polinomio f(x), bien a este este número número menos f(x) = menos un entero entero par. par. El número número de raíces raíces negativas negativas de f(x) = O es igual igual al número número de variaciones variaciones de signos bien a este signos de f(f( - x), .x), o bien este número número menos menos un entero entero par. par.

°

°

Por Por ejemplo, ejemplo, en la ecuaciónf(x) ecuación fix¡ == x99 - 2X5 2X5 + 2X2 2X2 - 3x 3x + 12 == O, 0, como como el polinomio/L,) polinomiof'(x) tiene f(x) = tiene 4 variaciones variaciones de signo, signo, el' número número de raíces raíces de ftx¡ = O son son 4, 4, (4 - 2) o (4 - 4). Por Por otra otra parte, f( -x) = 2( _X)5 + 2( _X)2 - 3( -x) + 12 = _x9 9 + 2X parte,f(-x) = (_X)9 (_X)9 - 2(_X)5 2(_X)2 3(-x) = _x 2x55 + 2X2 2x2 + 3x 3x + 12 = = O presenta variación de signo, f(x) = presenta una una variación signo, con con lo que que f(x) = O posee posee una una sola sola raíz raíz negativa negativa. . En resumen resumen, , la ecuación ecuación dada dada podrá podrá tener tener 4, 2 ó O raíces raíces positivas, positivas, 1 raíz raíz negativa negativa y, al menos, menos, 9 - (4 + 1) == 4 raíces complejas. complejas. (Hay (Hay 4,6 4,6 u 8 raíces raíces complejas. complejas. ¿Por ¿Por qué) qué) raíces

°

bles ±3,

el

°

°

°

TRANSFORMACION DE ECUACIONES TRANSFORMACION DE ECUACIONES Multiplicando Para Multiplicando cada cada raí:: rai: pOI' pOI' una constante. constante. Para obtener obtener una una ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean sean k veces veces las correspondientes correspondientes a otra otra dada, dada, se multiplica multiplica el segundo segundo término término de ésta ésta por por kk,, el tercero tercero 3 por k22, , el cuarto cuarto por por kk.", etc.,, teniendo teniendo en cuenta cuenta los los términos términos de coeficiente coeficiente nulo nulo si los hay. hay. por , etc.

°

Por Por ejemplo, ejemplo, la ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean sean dobles dobles de las raíces raíces de x33 - 3X2 3x2 -- 10x + 24 == O 2 3 es x33 - 3x (2) - IOx(2 3x22(2) 10x(22) ) + 24(2 24(23) ) = O, 0, es decir, decir, x33 - 6X2 6x2 - 40x 40x + 192 = O. ben

ecuación cuyas Cambiando Cambiando el signo signo de cada raí::. raiz, Para Para obtener obtener una una ecuación cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales y de signo no contrario contrario a las de otra otra dada, dada, se cambia cambia el signo signo de los términos términos de grado grado impar impar de esta esta última. última.

raales ión

°

Por Por ejemplo, ejemplo, las raíces raíces de 2X 2X33 + 3X2 3x2 -- 3x 3x - 2 = = O son son 1, - ~~ y - 22;; entonces, entonces, - 1, ~ ~ y 2 son raíces raíces de la ecuación ecuación -2x -2x3 3 + 3X2 3x2 + 3x 3x - 2 = O, 0, es decir, decir, 2X33 - 3X2 3x2 -- 3x son 3x + 2 = O.

onr la

ión las pe-

Disminuyendo cada raí:: rai: en una constante. constante. Para obtener obtener una una ecuación ecuación cuyas cuyas raíces raíces sean Disminuyendo Para sean las otra dada, dada, fix¡ = O, 0, menos menos un número número 11, h, se divide divide ftx¡ por (x - 11), Iz), y el resto resto es el coeficiente coeficiente de otra f(x) = f(x) por último término término de la ecuación ecuación buscada. buscada. Dividiendo Dividiendo el cociente cociente obtenido obtenido por por (x - 11), Iz), el resto resto del último penúltimo término término de la ecuación, ecuación, etc etc.. Esta Esta operación operación se realiza realiza fácilmente fácilmente aplicando aplicando la regla regla es el penúltimo Rufini. (Véase (Véase Problema Problema 48.) 48.) de Rufini.

METODO DE DE HORNER. HORNER. Permite obtener, obtener, con con una una aproximación aproximación prefijada prefijada de antemano, antemano, las raíces raíces METODO Permite irracionales de una una ecuación ecuación racional racional entera entera. . (Véanse (Véanse Problemas Problemas 57-59.) 57-59.) irracionales

ales RELACIONES ENTRE LAS RAICES yy LOS LOS COEFICIENTES. COEFICIENTES. RELACIONES ENTRE LAS RAICES que el coeficiente coeficiente de la mayor mayor potencia potencia de x sea 1, 1, que

una ecuación, ecuación, escrita escrita de forma forma En una

existen las siguientes siguientes relaciones relaciones entre entre los coeficientes coeficientes y las raíces: raíces: existen 1) 2) 2)

devos , y

P 1 == suma suma de las las raíces; raíces; - PI P2 == suma suma de los productos productos de las rakes raíces tomadas tomadas dos dos a dos; dos; P2

3)

suma de los los productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas tres tres a tres; tres; etc.; etc.; - P3 == suma

4)

(- 1t», producto de todas todas las raíces. raíces. ()"Pn == producto

Por ejemplo, llamamos XI' XI' X 2 Y x 3 a las raíces raíces de la ecuación ecuación x33 - 6X2 6x2 - 7x 'lx - 8 = = O 0,, se Por ejemplo, si llamamos tiene XI Xl = -(-6) -(-6) = 6, X X1IX2 X,;¡X3 + -"3XI X3X1 = -7, -7, X1X2X3 = -(-8) -(-8) = 8. tiene + X2 X2 + X33 = = X2 + -"lX3 = XIX2X3 = =

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TEORIA DE ECUACIONES

186

PROBLEMAS RESUELTOS TEOREMA l.

DEL RESTO

Y DEL

el teorema

del resto:

Demostrar

Por definición, f(x)

=

=

r, f(r)

Dernc

7.

a)

DIVISOR Si un polinomio

En la división de [ix¡ por (x - r), sea Q(x)

x

6.

= (x -

+

r)Q(x)

se divide por (x - r), el resto es f(r).

f(x)

el cociente y R una constante,

R es una identidad

h)

el resto

para todos los valores de x. En particular.

a)

para

(

h)

2.

Hallar

el resto de las divisiones

+

a)

(2x'

b)

(x' - 3x' + 5x + 8)

e)

(4x

d)

(x' - 2x'

,

8,

e)

(27x

f)

(x8

3x'

-7

+

- 9x

x - 4)

+

x' - x'

x -

+

2).

(x -

-7

-7

"2)

R =f(--)

1 2

1 ,

= 4(--)

2

X.

R =f(O)

-7

3 83, R =f(-) = -(-) 2 272

1) -7 (x

(2x -

+

8. Demr

R = f(2) = 2(2') + 3(2') - 18(2) - 4 = -12 R = f( - 1) = (- 1)4 - 3( - 1)' + 5( - 1) + 8 = 1 + 3 - 5 + 8 = 7

1

3

3).

F)·

R

+

1 z

5(--)

2

-

1 = --

cuam

1 4

= -4

43, - -(-) 92

= (_i)8 - (-i)' =1+i-i+I=2

=f(-il

3

3

2

2

+- - -

cuan, = O (

sible

+ 1 = i8 + ¡' + ¡' + 1

- (-i)'

9. 3.

f

siguientes:

(x + 1).

. -1)~(x+"2)'

4,

-

18x - 4)

-

z

+5x

f

R.

Hall,

Demostrar el teorema del divisor: Si r es una raíz de la ecuación jtx) = O, se verifica que (x - r) es un divisor de f(x); recíprocamente, si (x - r) es un divisor de f(xl, r es una raíz de f(x) = O. a)

En la división de f(x) por (x - r}, sea Q(x) el cociente y R, una constante, el resto. En estas condiciones, [ix¡ = (x - r)Q(x) + R, o sea f(x) = (x - r)Q(x) + f(r), según el teorema del resto. Sea r una raíz de f(x) sor de f(x). Recíprocamente, = O, es decir,

f(r)

= O, esto es, f(r)

= O. Entonces, f(x)

si (x - r) es un divisor de f(x), r es una raíz de f(x) = o.

= (x - r)Q(x),

h)

con lo cual (x - r) es un divi-

el resto de la división de f(x)

por (x - r) es cero. Por tanto,

REGLA

1

Hall, 4.

Demostrar

que (x - 3) es un divisor

del polinomio

= 81 - 108 - 63 + 66 + 24 = O. Como (x o bien 3 es una raíz de la ecuación [ix¡ = O.

f(3) f(x).

S.

b)

¿Es 2 una r~íz de la ecuación f(x)

= y' -

e)

¿Es 2i una raíz de la ecuación f(~)

= 2~' + 3z' + 8: + 12 = O'>

a)

f( - 1) = -1

h)

f(2)

+

7 - 6 = O.

= 16 _ 8 - 2

+

7

Por tanto,

-1

+

22x

3) es un divisor de f(x),

¿Es -1

del polinomio

= x'

- 4x' - Tx?

a)

es un divisor

una raíz de la ecuación j{x)

= x'

f(x)

+

24.

10. (3x'

3 es un cero del polinomio

- Tx - 6 = O? 2y' - Y

+

7 = O'>

en 1, de s

es una raíz de la ecuación f\x)

= O, Y

[x

-

(-1)]

= x

+

1

f(x).

=

13.

Por tanto.

2 no es una raíz de f(y)

= O, e (y -

2) no es un divisor

de

2i es una raíz de [iz¡ =

o.

y' - 2.1" - Y + 7. el fl2i) = 2(2i)' + 3(2i)' + 8(2i) + 12 = -16i y (: - 2i) es un divisor del polinomio f\:)·

-

12 + 16i + 12 = O.

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Por tanto.

el di 2. q: 4 se men

TEORIA DE DE ECUAC ECUACIONES TEORIA IONES

6.

Demostrar que que x - a es un divisor divisor de x" .v" - u". si Demostrar a" . si

1/

187

es un número número entero entero y positivo. positivo .

ftx¡ = x" x" - a" o":; luego luego I(a) [ia¡ == a" a" - a" a" = = O. /Ia) ) = = O. divisor de x" .I(x) = O. Como Como .I(a O. xx - aa es un divisor x" - a" a"

7. a) 7. h) h)

,,5

Demostrar que que xx'5 + aS es divisible divisible por por x + a. Demostrar a. ¿Cuál y O + o" aO por po r y + a' a') ¿Cuál es el resto resto de la división división de y" luego .n-a) .f(-a) = ((_a)' = _a' + a 55; ; luego = _a )5 + a55 = - a' Como /( /(-a) O, x 55 + aS a5 es divisible divisible por Como - a) == O. por x + a.

.f(x) = = x55 a) .f(x)

ar. para

h) b)

8.

+8=7

/(1') =)'6 =)'6 + /ll')

a 66••

Resto =/(-a) =/(-,,) = ((_a)6 Resto = _ a)"

= + ,,0 ah =

+

ar. af>

a' = = O. a'

+

o" = 2a 2a"-6 ah =

Demostrar que que x + a es un di divisor .v" - a" siempre siempre que Demostrar visor de x" que 111/ sea un número número entero. entero. positivo posi tivo y par. par. pero pero no no lo es cuandoo 11 sea un entero entero positivo positivo e impar. impar. Se supone supone que = O. cuand que a = O.

.fh) == x" x" - a". /(x) n n Cuando n es par. par, /( -a) == ((-al" = a" = O. Cua nd o 11 f( -a) - al" - aa" = a -- a" = O. cuando 11n es par. par. cuando

Luego /( -a) = O. Luego .n -a) = O. x

Cuando impar, . .f(-a) .j"(-a) = = ((-a)" = -a" = -2a". +La". C uando n es impar -a)" - o" a" = - a" - a" = sible por por x.v + (Ju cuando cuando n es impar impar (el resto resto es - 2a"). 2a"). sible

ivisor de

9.

a es un ,1(" _ - u" un factor factor de ;e" a"

Como j(-a) Como .I( - a) = O, O. .v" x" - u" (J" no no es dividivi-

Hallar los valores valores de l' l' para para los cuales cuales al a) 2x.1 2x.1 - px' 6x - 31' es divisible x + 2. Hallar px 2 + 6x divi sible por por.\' h) (x· (x· - p'x 1') -i(x - 3) tiene b) p 2X + 3 - ,,) -7- (x tiene de resto resto 4.

+ 6(-2) 3" == -16 - 16 - 41' 4" -- 12 3" == -28 6(-2) - 31' 12 - 31' -28 -

a) a)

El resto resto es 2(-2)' 2(-2)-' - 1'(_2)2 1'(_2)'

b) h)

El resto resto es 3· 34 -- 1'2(3) 1"(3) + 3 - p P = 84 - 31" - l'P = 4. Luego 6/3. Luego 31'2 31" + l' P - 80 == O. O, (p - 5)(3" 5)(31' + 16) = = O Y Pl' == 5. -1 - J6i3.

diciones, un divior tanto,

+

71' = O. = O.

Luego l'l' = Luego = -4. -4.

REGLA DE DE RUFINI RUFINI REGLA Hallar el cocien cocientete y el resto resto de las divi divisiones Hallar siones siguientes. siguientes. aplicando aplicando ..Ia Ia regla regla ' de Rufini. Rufini . 10. 10.

(3x55 (3x

-

4x' - 5x 5x33 4x'

-

8x + 25) 8x

-i-7-

(x - 2)

linomio

~I

~I

4 - 5 + O O - 8 + 25 25 3 - 4 6 + 4 - 2 - 4 - 24 I - 2 - 12 + 1 3 + 2 - 1

Cociente: Cociente:

3x· 3x· + 2X3 X3

--

x' 2x X2 - 2x

12

Resto: Resto:

Los números números que que aparecen aparecen en la primera primera fila son Los son los coeficientes coeficientes del dividendo. d ividendo. habiéndose habiéndose puesto puesto un cero cero potencia de x que que falta falta (OX2) (Ox'). . El núm número segunda fila es el segundo segundo término en la potencia ero 2 de la segunda término del divisor di visor cambiando cambiando signo (ya que que el coeficiente coeficiente de x en el divisor 1). de signo divisor es 1).

]=x+1

divisor de

primer coeficiente coeficiente de la primera primera fifila El primer la se escribe escr ibe en en el primer primer lugar lugar de la tercera tercera y se le multiplica multiplica por por divisor 2. El prod producto coloca en el primer segunda fila y se sum sumaa con el divisor ucto 6 se coloca primer lugar lugar de la segunda con - 4 obteniéndose obteniéndose 2, que que se pone pone en el segundo segundo lugar lugar de la tercera 2. tercera fila. Este Este 2 se multiplica multiplica por po r el 2 del divisor divisor y el producto producto coloca en la segunda segunda fifila suma con 4 se coloca la y se suma con - 5, 5. dando dando lugar lugar a - I en la tercera tercera fila, fil a. etc. etc. El último último núnúmero de la tercera tercera fila es el resto resto y tod todos mero os los números números a su izquierda izquierda son son los coeficientes coeficientes del cociente. cociente. Como el dividendo dividendo es de 5. 5.°0 grado grado y el divisor Como divisor de 1.0. el cociente cociente es de 4.° 4. ° grado. grado .

1(z) = O.

soluciónn se escribe escribe: : La solució

3x' + 2X3 3x' X3

-

x' 12 + x' - 2x - 12

xx -- 22 .

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188 11.

TEORfA

(x4

2X3

-

24x2 + 15x + 50)

-

DE ECUACfONES

(x + 4)

-7

ESCRII

I - 2 - 24 + 15 + 50

~I

-

4 + 24 -

1-6+ 12.

(24

I7x2

-

-

4)

0+

+

(x

-7

O -

Solución:

60

x3

+

6x2

-

17.

10 f 5 - -x+4

Ha a)

15-10

b) e)

3)

d) 2 ~

+

O-

- 6

+

+

17

O- 4

18 - 3

2-6+

+

2X3

Solución:

9

+

6x2

-

X

3

-

+ -x

1-3+5

e)

5

+

J)

3

18. 13.

(4x3

IOx2 +

-

X

1)

-

-7

Ese

1/2)

(x -

a)

10 + f -

4 -

~

+

Dado f(x)

= x3

-

4x2

Solución:

2 - 4 - 3/2

4 -

14.

1 8x _ 3 __

_

8 - 3 - 5/2

6x2

2x

-

+

a)

5_

2x - 1

bl de

40. calcular

a) f( - 5) Y b) f(4)

aplicando

la regla de Rufini.

el a)

~

1 -

6 - 2 + 40 5 + 55 - 265

1-

11 + 53 - 225

f(-5)

b) ~

2 + 40 8-40

1 - 6 +41- 2 -

10 +

dl

O

f(4) = O

= ~225

19. SOLUCION

15.

DE ECUACIONES

Sabiendo

que una raíz de x3

CONOCIENDO

+ 2,,2 -

ALGUNAS

al

DE SUS RAICES

23x - 60 = O es 5. resolver

Ese

la ecuación.

al b)

~I

1 + 2 - 23 - 60 + 5 + 35 + 60 1 + 7 + 12 +

O

. Dividiendo -v

.Se obtiene

x3

+

2X2 - 23x - 60 por x - 5.

la ecuación

+

x3

7x

+

12 = O cuyas

el raíces son

- 3.

Las tres raíces son 5. - 3. - 4. d)

16.

Dos raíces de x· - 2X2 - 3x - 2 = O son - 1 Y 2. Resolver

la ecuación. POLlNC

-=-U

~

1+0-2-3-2 -1+1+1+2

Dividiendo

x

4

-

2X2 - 3x - 2 por x

1-1-1-2+0

Se obtiene

la ecuación

1-1 - I - 2 +2+2+2

Dividiendo

x3

1+

I + 1+ O

Se obtiene

-

x2

-

la ecuación

x

x

3 -

X

-

2 -

X -

raíces son -1, 2, -~

l.

lO,

Ha

2 = O.

2 por x - 2. 21.

x + x + I = O cuyas raíces son 2

I I -+-il3 1-2

Las cuatro

+

± ~ iJ3.

Ha es

v= ./

o si,

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TEORIA TEORJA DE DE ECUACIONES ECUACJONES

189

ESCRIBIR ECUACION CONOCIENDO SUS ESCRIBIR UNA UNA ECUACION CONOCIENDO SUS RAICES RAICES 17.

18.

Hallar Hallar las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones siguientes: siguientes: a)

(x )2(x+2)(x+4)=0 (x - I 1)2(x + 2)(x + 4) = O..

b) b)

(2x (2x

+

e) e)

3 22 (X X3(X

d) d)

(x (x

e) e)

[(x [(x

J)

3(x 3(x

+

Sol. Sol.

IJ corno como raíz raíz doble, doble, -2, -2, -4 -4

1)(3x 1)(3x - 2)3(2x 2)3(2x - 5) 5) == O.

1I

O O corno como raíz raíz triple, triple, 5, - 3

15) = = O. O.

2x 2x -

+

+

J3)(x )3)(x

+ m)4(5x m)4(5x

)3), ((- 1I + J3), )3), 66 J3), ± ii corno corno raíz raíz doble doble como raíces raíces triples, triples, - 1 I como

(- I -

1 - 6) I - J3)(x )3)(x 6) == O.

I¡z + o]l(x il]l(x + 1)2

O(x il(x

- 1/2, 2/ 5/2 2/33 corno como raíz raíz triple, triple, 5/2

= =

o. O.

- n)2 = = O.

-m n/5 como corno raíz raíz doble doble -m corno como raíz raíz cuádruples, cuádruples, n/5

Escribir Escribir las ecuaciones ecuaciones cuyas cuyas raíces raíces son son las que que se indican: indican:

a) 5, 1, -3; a) b) b)

(x (x -

2, --1/4, 1/4, --1/2; 1/2 ;

b) b)

±2, 22 ±±)3; J3; d) O,O, II ±± 2 3X2 3x - 13x 13x + 15 = = O. O.

= = O O

o

¡)(x + 2") 2) = O O + ¡)(x

o

x3 _ 5X2 5x _ _

I)(x I)(x + 3) 3)

5)(x 5)(x -

II

(x - 2)(x 2)(x (x

e) x33 -

II

~ ~

2

~~

_ _

= = O O

o

484 8 4 4

5i.

8x33 - 10x IOx22 8x

Ilx lIx - 2 = = OO

que que es

coeficientes enteros. enteros. de coeficientes e)

d) d)

19.

J3)]

J3]

(x - 2)(x 2)(x + 2)[x 2)[x - (2 - )3)][x = (x (x22 - 4)[(x )3][(x - 2) - )3] (x J3)][x - (2 + )3)] = 4)[(x - 2) + J3][(x 3 2 + 16x = 3X2 = (x (x22 _ - 4)[(x 4)[(x - 2)2 2f - 3] = (x (x22 - 4)(x 4)(x22 - 4x 4x + 1) = O, O, o x44 - 4x 4x3 - 3x 16x - 4 x[x - (1 (1 + 5i)][x 5i)][x (1 - 5il] 50] = x[(x x[(x - 1) - 5i][(x 5i][(x x[x - (J = x(x x(x22 - 2x 2x + 26) 26) = = O, o x33 - 2X2 + 26x 26x = =O O =

5i] 1) + 5i]

x[(x = xCIx

-

=O

1)2 + 25] 1)2 25]

Escribir la ecuación ecuación de coeficientes coeficientes enteros enteros cuyas cuyas raíces raíces son son las las que que se indican: indican: Escribir

1I

1,

a) a)

(x (x -

b) b)

x(4x x(4x

e)

(x (x

o d) d)

3 2 0'3'3,-1; O, 3' 3 ' -1;

I1

22'' - 3;

a) a)

b) b)

I1)(2x )(2x - I1)(3x )(3x + 1) 1) 3)(3x - 2)(x 2)(x 3){3x

3i)(x 3i)(x 2X4 2 X4

+

(x - 2)3(X 2)3(X (x

+

3 6x 6x3 -

o

o

1) == O O 1)

I

-

77xX22 + II

12x44 12x

I

-)2) == 2)2){X + 2)2) 2. 2

3i)(x - -)2)(x 3i)(x

17x22 17x

+

+

= = O O

d)

--

(x22 (x

5x33 5x

como raíz raíz triple, triple, - 1. 2 corno

= = O O lIX2 + 6x 6x = = O O IIx2

I

9)(x22 - 2) -) + 9)(x

2

= O, =

(x22 (x

9)(2x2 2 -- 1) 1) = O, + 9)(2x

9 = =O O 9

1) == O O 1)

x44 -

o

5x33 5x

6x2 + 4x 4x + 6X2

-

8 == O O 8

POLINOMIOS IDENTICOS POLINOMIOS IDENTICOS

20.

Hallar los valores valores de A y B para para los cuales cuales la ecuación ecuación A(2x A(2x + 3) + B(x B(x - 4) = = 3x Hallar 3x + 10 es una una identidad. identidad. Ordenando ecuación (2A (2A + B)x B)x + 3A 3A - 4B 4B = = 3x 3x + 10. Ordenando la ecuación Esto es una una identidad identídad si, y solo solo si, 2A 2A + B = 3, 3A 3A - 4B 4B Esto

21.

=

Resolviendo, A 10. Resolviendo,

=2

y B

= -

1.

Hallar los los valores valores de A, A, B, B, C para para los cuales cuales A(x A(x - 3)(x 3)(x - 1) + B(x I)(x - 1) + C(x C(x + I)(x 6x - 10 Hallar B(x + I)(x I)(x - 3) = = 6x una identidad. identidad. es una Ordenando ecuación A(x A(x2 2 -- 4x 4x + 3) + B(x B(x2 2 -- 1) + C(x C(x22 - 2x 2x - 3) = 6x 6x - 10 Ordenando la ecuación

o solo si, A + B + C si, y solo

(A

O, = O,

+

B

+

C)x2 C)x2

-4A 2C -4A - 2C

+

= 6,

(-4A (-4A 3A 3A

2C)x 2C)x

B -

3C 3C

3A - B - 3C 3C = 6x - 10. Es una + 3A = 6x una -10. Resolviendo,· Resolviendo, A = -2, = -10. -2, B = =

identidad identidad 1, C

=

1. \\

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190

TEORIA TEORIA DE ECUACI'pNES ECUAqPNES ~ ~

RAICES E IRRACIONALES RAICES COMPLEJAS COMPLEJAS IRRACIONALES 22.

d o

Sabiendo números indicados raíces de una ecúación hallar otra raíz de Sabiendo que que los números indicados son son raíces de una ecuación de de coeficientes coeficientes reales, reales, hallar otra raíz de dicha dicha ecuación. ecuación. o) a) 2i, Zi, b) - 3 + 2i. e) e) - 3 - ifi. ifi. -2i, -2i, h) -3 -3 - 2i, 2i,

a) a)

if i + ifi

e) -3 -3

30.

23.

cha cha ecuación. ecuación.

a) a)

a) j7, o),Ji,

24.

~fi.

--j7, ,Ji. b) b) -4 -4 + 2fi, 2)3,

b) b)

-4 - 2fi. 2)3. -4

e) 5 - ~fi.

a

2

I1

2fif i 5+2

e)

Estudiar los los razonamientos siguientes: Estudiar razonamientos siguientes: a) a) b) b)

e)

3 x Xl

b

'lx - 6i = O tiene tiene una raíz .v i ; por tanto. .v otra raíz. + 7x una raíz x = i; por tanto. x = - i es otra raíz. 2)3)x tiene una igual a )3 ifi; por tanto . + (5 - 2fi)x + 5 == O tiene una raíz raíz igual f i -- ifi; por tanto

3 xXl 2)3)x22 + (1(1 - 2fi otra raíz. raíz. otra

x44

+

(1 - 2fi)x 2fi)x3 l (1

.j3 + .)3

ifif i es i 31.

2fi)x2 2 + (3 - 4fi)x 4fi)x + I1 = O tiene tiene una raíz x = + (4 - 2fi)x una raíz =

--1 1

tanto. + fi; fi; por por tanto.

26.

27.

b;

a)

x = = -- ii no son reales reales todos todos los los coeficientes coeficientes de la ecuación ecuación dada. no es necesariamente necesariamente una una raíz, raíz, porque porque no no son dada.

b) b)

conclusión es válida coeficientes de la ecuación ecuación dada dada son son reales. La conclusión válida porque porque los coeficientes reales.

e) e)

x = = - I1 -- fi son raciono racionales todos los los coeficientes coeficientes de de la ecua ecua-f i no no es necesariamente necesariamente una una raíz. raíz. porque porque no no son les todos ción dada dada. . Se puede comprobar. por sustitución. que que x = = -- I1 - fi puede comprobar. por sustitución. f i no no es una una raíz. raíz . ción

Escribir la ecuación ecuación de menor grado, de coeficientes co~ficientes racionales. racionales. que que tenga tenga dos dos raíces iguales a - I1 + J5 J5 y - 6. Escribir menor gr;:¡do. raíces iguales

+ J5)][x J5 )][x -

(-1 (-1 - J5)](x J5)](x

2 2x - 4)(x + 6) bien 6) = (x (x2 + 2x 4)(x + 6) = O o bien

+ 8X2 8x2 + 8x 8x - 24 24 =

Escribir la ecuación ecuación de cuarto cuarto grado, grado, con con coeficientes coeficientes racionales. que tenga dos raíces iguales a Escribir racionales. que tenga dos raíces iguales

}6, )6,

b) 22 b)

+

Y I1 ii Y

5i)(x - 5i)(x 5i)(x - }6)(x (x + 5i)(x )6)(x +

h) h)

[x [x - (2

i)][x - (2 - i)][x i)][x + i)][x

}6) = )6)

(x22

25)(x2 2 -- 6) 6) = + 25)(x

(1 - .)3 .j3)][x (1 (1 )][x - (1

x -- 6Xl x· 6x3

2X2 2X2

+ I1 =

32.

H

al

a) - 5i Y a)

)3)] + .)3)]

O o bien bien = (x22 -=

+ II 11 xX22 -- 2x 2x - 10

x· + 19x22 ...

-

150 = O

4x + 5)(x 5)(x22 -- 2x 2x - 2) = = O 4x

o bien bien

= = O

Hallar raíces de Hallar las cuatro cuatro raíces de ... x· + 2X2 2X2 + I = = O. O.

+

RAlCE

b)

a)

4 x· x

bl

O

)3. fi·

4

28.

3 xXl

e a;

Escribir la ecuación ecuación de menor grado. de coeficientes coeficientes reales. que tenga dos raíces iguales a 2 yy I1 - 3i. Escribir menor grado. reales. que tenga dos raíces iguales 3 - 4X2 2)[x - (1 (1 - 3i)][x 3i)][x - (1 (1 + 3i)] 3i)] = = (x (v - 2)(x 2)(x22 -- 2x lO) = = O xXl 4x2 + 14x 14x - 20 = = O (x - 2)[x 2x + 10) o bien bien

[x - (-1 [x (-1

ti:

y

x ;= otra raíz. ~ -- I1 - fif i es otra raíz.

25.

E ti

Sabiendo números indicados raíces de una una ecuación hallar otra raíz de Sabiendo que que los los números indicados son son raíces ecuación de coeficientes coeficientes racionales, racionales, hallar otra raíz de didi-

2 (x2

+

1)2 = [(x 1)2 [(x

e)

i)(x - iJ]2 = O. O. Las Las raíces son + i)(x raíces son

-i. i. i. -i. --i i

± 29.

4 Resolver la ecuación ecuación xx' 3x3 + 5X2 5x2 -- 27x 27x - 36 = = O sabiendo sabiendo que que una número imaginaResolver -- 3Xl una de sus raíces raíces es un número imaginano forma hi. bi, siendo siendo h 6 un número número real. no puro puro de la forma real.

Sustituyendo hi bi por por x. x. Sustituyendo

27hi - 36 = = O. O. h64 + 3b3lii - 5h22 -- 27hi

d)

Igualando a cero las partes imaginarias: Igualando cero las partes reales reales e imaginarias:

h644

-

O. (h 22 -- 9)W 9 )(h2 + 4) 4) = O Y Y h b = ±3 5h22 -- 36 = O.

3h3l-276=O, -27h=O.

3h(622-9)=0 3h(h -9)=O

y

6=0. ±3. h=O. ±3.

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ya que que h b es real; real;

ra

191 191

TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

;2

solución común común es ~b ==.. ± 3; por por tanto. tanto. dos dos raíces raíces son ± 3i. y Ix (x - 3i)(x 3i)(x + 3i) == + 9 es un divisor divisor La solución + 4 x -- 3x33 + 5X2 5x2 -- 27x 27x ::.. ::.. 3 . El otro otro factor. factor. obtenido obtenido por por si simple división. es X2 x2 - 3x - 4 == (x - 4)(x 4)(x + 1). de x· mple división. que las otras otras dos dos raíces raíces son 4 y - l. con lo que

J"f

e dicha

Las cuatro cuatro raíces raíces son ± 3i. 4. 4, - l. Las 30, JO.

íz de di-

Escribir la ecuación ecuación de menor menor grado. grado, de co(j/ril'l1les coeficientes racionoles. racionales, que que tenga tenga una una raíz raíz igual igual a: Escribir a) o)

-)2, J3 -.fi.

a) ti)

Hacemos x Hacemos

h))2.fi + ,,0. R·

h) = =

)2. J3 - .fi.

Elevando al cuadrado cuadrado los dos dos miembros. miembros, Elevando Elevando al cuadrado. cuadrado, de nuevo, Elevando nuevo. h)

ifi

x4 -- 10x' IOx1 x'

R. .fi p.

Hacemos x == )2 + Hacemos Elevando aall cuadrado cuadrado los los dos Elevando dos miembros, miembros. xX22 Elevando al cuadrado cuadrado de nuevo, Elevando nuevo. xx· -4

es 31.

tanto.

x2 == X2

2X2 2X2

33 --

2../66 + 2 2 == 55 -- 2 2,)6 Y 2,/ fi Y

+ 25 = = 24 YY

x44

2,)=2 -2+ 2P

=-

= - 8

IOx22

1I == l1 +

= 2 =

+ 1I

-

yY xx· -4

2X2 2X2

x2 X2

55

= -- 2 2,)6. fi.

=

+ 1I = = O.O.

2F-2 2P

Y X2 x2 Y

--

lI

= =

2,)=2. 2P.

+ 9 = = O.O.

a) Escribir la ecuación ecuación de menor menor grado, coeficientes constantes (reales o complejos), que tenga tenga las a) Escribir grado, de coeficientes cons/anles (reales complejos). que las raíces raíces 22 Compárese con con el Problema Problema 25. y 1I - 3i. Compárese 25 .

Escribir la ecuación ecuación de menor -6 y -1 + .)5. b) . Escribir menor grado, grado. de coeficientes coeficientes reales. reales. que que tenga tenga las las raíces raíces -6 fi. Compárese con Problema 26. Compárese con el Problema

da.

a) a)

(x (x

2)[x 2)[x

(1 -

3i)] == O O

o

b) (x + 6)[x 6)[x - (-1 (-1 + .)5)] b) f i J] == O O

a ecua-

x22

o

3(1 3( l -- i)x i)x

-

+ 22 -- 6i

= O = O

xX2 + (7 - .)5)x O Js)x - 6(.)5 6(fi - 1) == O 2

RAICES RACIONALES RAICES RACIONALES

32.

=0

Hallar las siguientes: existen de de las las ecuaciones ecuaciones siguientes: Hallar las raíces raíces reales, reales. si existen a) a)

4 xx· -

2X2 2X2 -

3x - 22 = = O O 3x

5 Y -6. Las Las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son los los divisores divisores enteros enteros de de 2, 2. que que son son

-s.

Y

± l.1, ± 2.

Ensayando Ensayando estos estos valores, valores, en en el orden orden + l.1, - l.1, + 2, 2. - 2, mediante mediante la regla regla de de Rufini, Ruf'ini. o por por sustitución. sustitución, se deduce deduce que que las las únicas únicas raíces raíces racionales racionales son son - 1 Y y 2. b) h)

xx33

--

X X

--

66 = = O O

Las Las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son los los divisores divisores enteros enteros de de 6, 6. que que son son ±± l.1, ±± 2, 2. ±± 3. 3. ±± 6.

o bien

Ensayando Ensayando estos estos valores, valores. en en el orden orden cional cional es es 2. e)

2x' 2x J

+ xX22

--

+ 1, -- l.1, + 2, 2, -- 2. 2, + 3, 3. -- 3, 3. + 6. 6, -- 6, 6. se deduce deduce que que la única única raíz raíz rara-

7x 7x - 66 = = O O

Si blc b/c (en forma forma irreducible) irreducible) es es una una raíz raíz racional, racional. los los valores valores posibles posibles de de bh son son ±± 1, ±± 2, 2. ±± 3, 3. ±± 6, 6. yy los los de de e, e. ± ± 1, l. ±± 2. Por Por tanto, tanto. las las raíces raíces racionales racionales posibles posibles son son ±± 1, 1. ±± 2, 2. ±± 3, 3. ±± 6, 6. ±± 1;'2, 1/2. ±± 3/2. 3/2. Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores se deduce deduce que que las las raíces raíces racionales racionales -- 1, 22 yy -- 3/2. 3/2. d) d)

22x· X4

+ xX22 + 2x 2x - 44

= = O O

Si btc b/c es es una una raíz raíz racional. racional. los los valores valores posibles posibles de de bb son son ±± 1, 1. ±2, ±2. ±4, ±4. yy los los de de e,. e, . ±± l.1, ±2. ±2. Por Por tanto tanto las las raíces ±2. ±4, ±4. ±± 1/2. 1/2. raíces racionales racionales posibles posibles son son ±± l.1, ±2, Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores se se deduce. deduce. que que no no existen existen raíces raíces racionales. rac ionales.

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192

TEORIA DE ECUACIONES

33. Resolver la ecuación

x3

Las raíces racionales

+ 20 = O.

2X2 - 31x

-

posibles

son los divisores

enteros

de ,~(). que son.

± 1, ± 2. ± 4. ± 5. ± 10. ± 20.

Ensayando todos estos valores. mediante la regla de Ruflni. se obtiene la raíz racional - 5. La ecuación que resulta, x' - 7x + 4 = O. tiene las raíces irracionales 7/2 ±

1 - 2 - 31 + 20 - 5 + 35 - 20

~

1-7+

J33/2.

Por tanto.

las tres raíces de la ecuación

34. Resolver la ecuación

2x'

- 3x3

7X' - 8x

-

dada

son

- 5. 7/2 ±

4+

raíz' de 1, punt su v, se d,

O

j33/2.

+ 6 = O.

Si b/c es una raíz racional. los valores posibles de b son ± l. ± 2. ± 3. ± 6. y los de c. ± 1, ± 2. Por tanto. las raíces racionales posibles son ±1. ±2. ±3, ±6. ±1/2. ±3/2. Ensayando todos tiene la raíz 3. La ecuación raíz 1/2. La ecuación raíces complejas Las cuatro

35.

Demostrar

estos valores,

que

resulta,

J3

+

3X'

2x - 2 = O.

tiene

la

=

J3 + fi es un J3 + fi; entonces

número

x'

+ fi

es un número

=

be e

2+3+2-2+0

!EJ

raíces son 3, 1/2, -1 ± i.

Elevando de nuevo al cuadrado. cionales posibles de esta ecuación son x =

+

2X3

o se

2-3-7-8+6 ~ +6+9+6-6

la regla de Rufini, se ob-

2X2 + 4x + 4 = O. o bien x2 + 2x + 2 = O. tiene las - 1 + i.

que

Sea x

mediante

2+3+2-2 +1+2+2 2+4+4+0

irracional.

(J3 + fi)' 10x' +

x' -

± 1. Ensayando

= 3 + 2}6 + 2 = 25 = 24, o bien x' -

5 + 2}6 Y x' - 5

=

o se,

2}6.

IOx' + 1 = O. Las únicas raíces raambas se deduce que no existen raíces racionales. Por tanto.

irracional. COTAS:

METODO 36.

GRAFlCO

PARA

HALLAR

RAICES

37.

REALES

Representar la función f(x) = x3 + X - 3. De la gráfica deducir: a) El número de raíces positivas. negativas o complejas de x3 + x - 3 = O. b) Una raíz real de x3 + x - 3 = O aproximada con dos cifras decimales.

I x I -3 1 -2 I f(x) I -331-13

-1

O

1

2

3

4

-5

-3

-1

7

27

65

Hall a) COII

supe

Col' a)

De la curva tiva.

se deduce

que

hay

Por tanto. las otras dos raíces-son

una

raíz

complejas

real

posi-

conjugadas.

El valor aproximado de la raíz real es 1 +. Obsérvese que f(x) cambia de signo entre x = 1 Y x = 2.

h)

-+-+--I--t-~L+---j-I---X

b) COI,

Se puede apreciar que la raíz se aproxima más a 1,0 que a 2.0. Para lograr mayor .aproximación, se dibuja la curva con más detalle para los valores de x comprendidos entre 1 y 2.

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193

TEORIA DE ECUACIONES

B ±20.

=

Como f(x) cambia de signo entre x 1,2 Y x = 1,3, la raíz estará comprendida entre estos dos valores. La recta AB de la figura es. una aproximación de la curva real entre los puntos A y B. La raíz está situada, aproximadamente, en R y su valor es 1,2 + k,. De los triángulos semejantes ABC y ARD se deduce, 0,072 0,072 k, 0,072 + 0,497 = 0,569 = 0,1 + 0,1

tanto,

o sea, k, = 0,01+.

Luego la raíz es 1,21+.

Este procedimiento de localización de la raíz suponiendo be el nombre de interpolación lineal.

Laraíz

es ratanto,

1,21 -0,0184

es aproximadamente

k2 0,01 o sea.x,

x f(x)

0,0184 0,0184 + 0,0358

= 0,003+.

1,22

que A y B están unidos por una línea recta reci-

I

+0,03581

1,21 + k2. Por interpolación,

=

=

0,0184 0,0542

0,3 +

Luego la raíz es 1,21 +0,OO3,osea

1,213+.

Así, pues, la raíz con dos cifras decimales es 1,21.

COTAS SUPERIOR 37.

E INFERIOR

DE RAICES

REALES

Hallar las cotas superior e inferior de las raíces reales de a) x3 a)

Las raíces racionales

posibles son ± 1, ±2,

-

3x2 + 5x + 4

=

O, b) x3 + x2

-

6

=

O.

±4.

Cota superior.

.!J

1-3+5+4 +1-2+3

~

1-3+5+ +2-2+

4 6

~

1 + O + 5 + 19

1-1+3+10

1-2+3+7

1-3+5+ 4 + 3 + 0+15

Como todos los números de la tercera fila de la división de f(x) por x - 3 son positivos (o cero), una cota superior de las raíces es 3, es decir, no hay raíces mayores que 3. Cola inferior.

~I b)

1 - 3 + 5 -1+4-9 1-4+9-5

+4

Las raíces racionales

Como los números de la tercera fila son alternativamente positivos y negativos, -1 es una cota inferior de las raíces, es decir, no hay raíces menores que -1.

posibles son ± 1, ±2,

±3,

±6.

COla superior.

.!J

1+1+0-6 +1+2+2 1+2+2-4

~

1+1+06 + 2 + 6 + 12

Luego 2 es una cota superior de las raíces.

1+3+6+.6

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DE ECUACIONES

TEORIA

194

.~ .

Cola inferior.

d)

son Como todos los números de la primera 'fila son alternativamente y negativos (o cero). una cota inferior de las raíces es - l.

1+1+0-6 1-0+0

--------

positivos e)

1+0+0-6

38.

Hallar las raíces racionales

de 4x'

+

15.\ - 36 = O y. a continuación.

resolver completamente

la ecuación.

f)

Las raíces racionales posibles son ± l. ±2. ±3. ±4. ±6. ±9. ± 12. ± 18. ±36. ± 1/2. ±3/2. ±9/2. ± 1/4. ±3f4. ±9!4. Para evitamos el ensayo de todas estas posibilidades, hallamos las cotas superior e inferior de las raíces.

g)

Cola superior.

-=-!J

4 + O + 15 - 36 + 4 + 4 + 19 4+4+

4 ~

+

O + 15 - 36 + 8 + 16 + 62

Luego no hay raíces (reales) mayores les a. 2.

que. o igua-

!tI

+ 4

4 + 8 + 31 + 26

19-17

Cola inferior. 4

+

-=-!J -

O 4

4 - 4

+ + +

15 - 36 4 - 19

Luego no hay raíces reales menores

que. o iguales a. - l. 40.

19 - 55

Det b) /

Las únicas raíces racionales posibles mayores que -1 y menores que 2 son + 1. ± 1/2. ± 3/2. ± 1/4. ± 3/4. Ensayando estos valores se obtiene que 3/2 es la única raíz racional. 4

+

+

15 - 36

+ 6 +

9 + 36

O

-------

4 + 6 + 24 +

REGLA 39.

DE LOS SIGNOS

a)

Las otras raíces son soluciones de 4.\·2+ 6x + 24 = O, o bien 2.\2 + 3'\ + 12 = O. es decir, x = -

O

3

'4 ±

j87.

-4- /.

h)

DE DESCARTES

Estudiar el número de raíces positivas, los signos de Descartes.

41.

negativas

y complejas

de las ecuaciones

siguientes. aplicando

la regla de

Hall al

a)

al

2.\' + 3.\2 _ 13.\ + 6 = O

b)

,\4

el

x2-2.\+7=0

al

+

_

d) 2X4 + 7x2 + 6 = O

2.\2 - 3.\ - 2 = O

e)

f)

x4

-

3x2 - 4 = O

x' + 3x -

+

Hay una variación de signo en f(x) = x4 3x - 2. Por tanto, existen. como máximo, Las raíces pueden

ser: (1) (2)

e)

!t)

x6

-

3X2 - 4x + 1 =0

14 = O

Hay 2 variaciones de signo enf(x) = 2x' + 3x2 - I3x + 6. Hay 1 variación de signo enf(-x) 3x2 + 13.\ + 6. Por tanto, existen. como máximo, 2 raíces positivas y 1 negativa.

Las raíces pueden ser: (1) 2 positivas, 1 negativa, raíces complejas son conjugadas dos a dos). b)

g) x. + x' - 1 =0

Hay 2 variaciones

positiva, positiva.

de signo enf(x)

-

O complejas;

(2) O positivas,

1 negativa.

= -2.\'

2 complejas

2X2 - 3x - 2 y 3 variaciones de signo en f( -x) 1 raíz positiva y 3 raíces negativas.

=

.\4

-

(las

2.\2

3 negativas. O complejas 1 negativa. 2 complejas

= x2 - 2x + 7 y ninguna variación

Por tanto. las raíces pueden ser: (1) 2 positivas, O negativas, O complejas (2) O positivas. O negativas. 2 complejas

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de signo enf(-x)

h)

= x2 + 2.\ + 7.

e)

raci: Las

d) V3m

195

TEORIA DE TEORIA DE ECUACIONES ECLJACIONES

Como ¡(x) = = 2x· presentan variaciones va riaciones de signos. raices Como ni ¡(x) = 2x' 2x' + 7X2 Ix? + 6 ni ¡I ti --x)x) = 2x· + 7x' 7x' + ó presentan signos. las 4 raíces son complejas, que .1(0) .1(0) ofo O''"' compleja~. ya que ~ O . son

J) d)

positivos

e)

Hay I1 variacíón de signo x4 Hay variación de signo en .n.~') .((.~.) = .\4

-

3x' - 4 3x'

OY Y I1 variación variación de signo signo en .n I( --xlxl = x" 3x' - 4. = O x' - 3x'

Por raíces son: positiva, I1 negativa. negativa, 22 complejas Por tanto tanto, , las raíces son: I1 positiva. complejas. . ción.

..fl fl

2. ±9/2. e inferior

Hay variación de signo x 3 + h - 14 Y ninguna Hay I1 variación signo en ¡(x) f(x) = = x' ninguna en .fl-xl .fi -xl = =

X" -X"

-

h

- 14.

Por raíces se 1: I1 positiva. positiva, 2 complejas. Por tanto tanto, , las raíces complejas. g) g)

x" + X' x3 Hay Hay I1 variación variación de signo signo en .I(x) fix¡ = = .\.6

-

I Y

variación x" - X" x·, variación en cnfl.11 -xl -xl = = .v''

1. 1.

Por positiva. I negativa. negati va, 4 complejas. Por tanto tanto, , las raíces raíces son: son: I positiva. complejas . . o igua-

h) 11)

+

Hay variaciones de x" - 3X2 Hay 2 variaciones de signo signo en ¡(x) [ix¡ = = x" 3x' - 4x 4x 4.\ 4x + ll.. Por tanto, tanto, las raíces ser: Por raíces pueden pueden ser: (1) 2 positivas, positivas, 2 negativas, negativas, 2 complejas complejas (2) 2 positivas, positivas, O negativas. negativas, 4 complejas complejas

40.

+

(3) (4)

1 Y 2 variaciones variacio nes de signo -x) = XO - 3x' signo en I( f1-xl = .v'' 3x'

O positivas. positivas. 2 negativas. negativa s. 4 complejas complejas O positivas. positivas, O negativas. negativas. 6 complejas complejas

Determinar la naturaleza naturaleza de las raíces raíces de la ecuación positivo y a) par. Determinar ecuación .\" .v" - 1 I = = O, O. siendo siendo n entero entero y positivo a) n par. b) impar. b) n impar.

/4. ±3/4 = x" a) .I(x) .1(.\) =

tiene I variación variación de signo signo y .l1-x) .I( -x) = I también también presenta I1 tiene = x" - 1 presenta

Por raíces son: positiva, I1 negativa. Por tanto. tanto. las raíces son: I1 positiva. negativa.

+ 12 = O. h) h)

Frx) ((x) = = .\JO .v" --

(n -

variación signo. variación de signo.

2) complejas. complejas.

1I tiene variación de signo. I( -x) presen ta variaciones tiene I variación signo, y f( -x) = = --x"x" - I no presenta variaciones de signo. signo.

Por raíces son: positiva. O negativas. negativas. (n - 1) complejas. Por tanto. tanto. las raíces son: I1 positiva. complejas. 41. 41.

a regla de

Hallar racionales. si existen. las ecuaciones regla de Hallar la lass raíces raíces racionales. existen. de las ecuaciones siguientes. siguientes. aplicando aplicando la regla de los los signos signos de de Descartes. Descartes.

+ 3x -- 27 = O.

2X5 + x - 66 X5 66 = O, O.

4

+ 7X2 7x' + 6 6 = O O

x33

a) a)

Aplicando los signos signos de de Descartes, Descartes, la ecuación ecuación tiene tiene 3 ó I1 raíces Por Aplicando la regla regla de los raíces positivas positivas y ninguna ninguna negativa. negativa. Por tanto, posibles raíces raíces racionales racionales son positivos de 27. tanto, las posibles son los divisores divisores positivos 27. es decir. decir. 1, 3. 3.9,9. 27.

o

-

X2 x'

h) hl

x33

+ 2.\ 2x + 12 = O. O,

a)

e)

d)

3x 3x'

ó

valores de x, x. la única única raíz Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores raíz racional racional es 3.

) = -2.\"

h) h)

lejas (las

Aplicando la regla regla de los signos positivas y tiene negativa. Por Aplicando signos de Descartes, Descartes. la ecuación ecuación carece carece de raíces raíces positivas tiene I negativa. Por posibles raíces raíces racionales racionales son negativos de 12. es decir. tanto, las tanto. las posibles son los divisores divisores enteros enteros y negativos decir. - 1, - 2. - 3, 3. --4. 4, -6, -6. -12. -12. Ensayando x . la única única raíz Ensayando todos todos estos estos valores valores de .v, raíz racional racional es - 2.

Aplicando la regla raíz positiva positiva y ninguna ninguna negativa. negativa. Por raices Aplicando regla de de los signos. signos. la ecuación ecuación tiene tiene I raíz Por tanto. tanto. las las raíces racionales posibles posibles son números de la forma visor entero uno de racionales son números forma b/l'. bic, en donce donce h es un di divisor entero de de 66 y el' uno de 2. Las raíces posibles posibles son. 66. I '2. 3:2. '2. 332. Las raíces son. l. 2. 3, 3. 6, 6. 11, 11. 22, 21. 33. 66. 3:2. II 11'2. 33 '2. e) e)

Ensayando valores de .v x se obtiene raíz racional Ensayando todos todos estos estos valores obtiene la raíz racional 2. 2.\'

+

7.

no tiene tiene raíces raíces reales. reales. ya que X2 La ecuación ecuación no que ni .flx .flx I1 == 3x' 3x" + 7 7x' variaciones de signo signo y .110 .flO Il +- O. O. variaciones de

d)

+

+ 6 ni I( f( -- xx)l

Por raíces son Por tanto tanto. , todas todas las raíces son complejas. complejas.

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= = 3.\.4 3.\.4

+ 77x' X2 + 6 presentan presentan

196

TEORIA TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES

ESCRIBIR CUY POR UNA ESCRIBIR UNA UNA ECUACION ECUACION CUY AS RAICES RAICES SEAN SEAN LAS LAS DE DE OTRA OTRA DADA DADA MULTIPLICADAS MULTIPLICADAS POR UNA CONSTANTE CONSTANTE 42.

Escribir Escribir una una ecuación, ecuación, en la variable variable o incógnita incógnita y, cuyas cuyas raí«es raíces sea_ seann el doble doble de las raíces raíces de x33 -- 6X2 6x2 + Ilx Ilx - 6 =

..,,

oo.. 45.

R,

Toda Toda raíz raíz y de la ecuación ecuación pedida pedida debe debe ser ser el doble doble de la correspondiente correspondiente x de la ecuación ecuación dada. dada. Por Por tanto, tanto, y = /2, y la ecuación = 2x, 2x, o bien bien x = = yy/2, ecuación pedida pedida es

(~)3 (~)3

_ 6(~)2 6(~)2

+ II(~) II(~)

2 22 222

Comprobación: Comprobación:

43.

o

_ 6 = = O O

y3 - 2(6y)2) y3 2(6y)2)

233(6) (6) = O O

+ 22(1ly) 22(1ly) -

o

y3 y3

12 12y2 y2

+ 44y 44y -

48 = = O.

Las Ix - 6 = O son Las raíces raíces de x33 -- 6X2 6x2 + I1Ix O son 1,2,3. Las raíces raíces de y3 12y22 + 44y 44y - 48 = O O son son 2,4,6. 2,4,6. Las y3 - 12y

±

Escribir en y cuyas Escribir las ecuaciones ecuaciones en cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales a las las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones dadas dadas multiplicadas multiplicadas por por los números números que que figuran figuran entre entre paréntesis. paréntesis. d) 32x 32x44 - 2x 2x - 1I = = O O d)

x + 3 = a) x33 -- xX22 -- 7 7x = O (2) b) b)

e)

x33 --

4

xX4 + +

O 19x - 30 = O

3X2 3x2

55

44 -25 = O -2"5=0

3X2 3x2

re

(4) (4)

(3)

e)

2x' 2x' +

+ I1 == O O

(5)

f)

f)

3 xx3 -- 12x2 12x2 -- 16x 16x + 192 = O O

(-3)

ra

(1/4) (1/4)

y3 _- 2(y2) (3) = OO o y3 _- 22y2 2(y2) _ - 22(7y) 22(7y) + 233(3) y3 28y + 24 = O O y 2 - 28y a) y3 2 2 3 b) y3 y3 + 3(Oy2) (19y) - 3 (30) (30) = O o y3 - I7ly 3(Oy2) - 3 (19y) O y3 I71y - 810 = O O

46.

R

3y2 3y2 44 e) y4 y4 + S(Oy3) (2"5) = O y4 + ISy2 5(Oy3) + 52(5) + S3(Oy) 53(Oy) - 544(25) O o y4 15y2 - 100 = O O d)

32y4 - 433(2y) (2y) - 44 = OO 32y4

e)

2y'+ (-W(3y2) (-3)'(1)=0 2y'+ (-W(3y2) + (-3)'(1)=0

f)f)

12y2 192 33 12y2 16y 192 Y - -44 -- 42 42 + 41 41

32y44 - 128y - 256 = O O 32y

o

=O O

o

y4 4y - 8 = O O y4 - 4y

o

2y'-8Iy2-243=0 2y'-8Iy2-243=0

o y3 y3 - 3y 3y22 - Y + 3 3= O O er

44. 44.

es

Hallar las las ecuaciones ecuaciones en y cuyas cuyas raíces raíces sean sean iguales iguales a las las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones dadas dadas multiplicadas multiplicadas por por el HaBar menor número número entero entero y positivo positivo necesario necesario para para que que las las ecuaciones ecuaciones pedidas pedidas tengan tengan todos todos sus sus coeficientes coeficientes enteros enteros menor coeficiente de la mayor mayor potencia potencia sea igual igual a la unidad. unidad. y el coeficiente

se 33

- x

22

3x 3x

9

- 2 +8 8 == O, -"2

b) b)

x

44

33

- 3x 3x -

X X

11

27 + 9" == O,

8x33 + 18x22 + X 8x

e)

a)

x

a) a)

Las raices raices de la ecuación ecuación en y deben deben ser ser el doble doble de las raíces raíces de dada. Las de la dada. 3y 2 2 3y 3399 - 2(y ) - 2 (-) +2 H = O Y 33 -2(y)-2(-)+·2(-)=0 2 8

b) b)

y

33

= O, 6=

5x3 3 5x

di

+ 33 == OO

2 - 6y + 9 = O - 2y -6y+9=0 -2y ESCRI

34(~) = O + 34(~) =O

9

o sea

y4 y4 - 9yy33 - Y

= O O +9=

Dividiendo los términos términos de la ecuación ecuación dada dada por por 8: Dividiendo

y3 y3

9

2

4(~) 42(~) + 4(~) + 42(~)

4

8

3

= O O _ 433(_) (-) = 4

47.

E Q

x

33

9x2 9x2

X

X

3

4 + 88-- ¡¡= o.O. +4

Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y deben deben ser el cuádruplo cuádruplo de las raíces raíces de la dada. dada. Las

d) d)

d)

Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y deben deben ser ser el triple triple de las raíces raíces de la dada. dada. Las y4 3(3yy3)3) _ 333(1'..) y4 _ 3(3 (1:'.) 27

e)

o sea osea

-

o sea

Dividiendo los términos términos de la ecuación ecuación dada dada por por 5: Dividiendo

y3 y3

x33

9)/ 2 + 2y 2y + 9y

O. + ~~ == O.

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5

a

= O O 48 = b

TEORIA TEORIA DE DE ECUACIONES ECUACIONES

NA

197 197

Las Las raíces raíces de de la ecuación ecuación en en yy deben deben ser ser el el quíntuplo quíntuplo de de las las raíces raíces de de la la dada. dada.

y3 ++ 533(3/5) (3/ 5) = = O O y3

oo

sea sea

)'3 )'3

= OO ++ 75 =

=0. 45. 45.

Resolver la ecuación ecuación 54x 54x33 Resolver

12x - 44 = = O. 12x

9X2 -9x'

-

nto, di d b 3 D'IVI'd' Divi iendo tiene la ecuación len o por por 54, 54, se se oobtiene ecuación x· x --

2x 2 2x ti = 6 -9 9 - n 27 = o. O. X' X2

Para Para obtener obtener una una ecuación ecuación en en yy de de coeficientes coeficientes enteros, enteros, multiplicamos múltiplicamos por por 66 las las raíces. raíces.

= O.

y2 622y 3 y' 6,2y 3 2 YY -- 6(-) (-) -- 6 (-) = 6(6) (9) (27) = O 6 9 27

y3 y3 -- y'y2 -- 8y 8.1' -- 16 = = OO

oo sea sea

Las Las posibles posibles raíces raíces racionales racionales de de la la ecuación ecuación en en yy son son los los divisores di visores enteros decir. ±± l.1, enteros de de 16, es decir. ±2, ± 2, ±4, ± 4. ±8, ± 8, ±± 16. Ensayando Ensayando todos todos estos estos valores valores de de yy mediante mediante la 1 - 11 - 8 - 16 deduce la la raíz raíz 4. La La ecuación ecuación que que resulta resulta de de la la división, división , regla de de Rufini Rufini se deduce regla

r los

i.Ji

z O' I . 33 i.j'i tiene las raíces - 2" ±± -2-2- .' Yy2 + + 3y + + 4 = = O,,tiene as raices

-2

~~

+ + 44 ++ 12 ++ 16 1+3+ 1+3 +

4+ 4+

OO

Las de la ecuación divididas por por 6 son son iguales iguales a las las Las raíces raíces de ecuación en en y divididas raíces x , esto esto es, es, x = = y/6. y/6. raíces de de la ecuación ecuación en en x, 1 i.j'i i.Ji . 41 U

2 2

Luego . Luego las las raíces raíces pedidas pedidas son son -:3 ' -- - +± -3' 4 - 12

46. 46.

Resolver ecuación 64x· 64x· - 32x' Resolver la ecuación 32x 3 ++ 4x' 4 X2 - 8x - 3 = = O O.. X2 ..•, •4 x33 x' Dividiendo 64, se obtiene Dividiendo pur pur 64, obtiene la ecuacion ecuaclOn x - '2 ++ 16

'2

3

xX

- 8' g -- 64 == o.

Para obtener una una ecuación ecuación en y)' de enteros, multiplicamos Para obtener de coeficientes coeficientes enteros, multiplicamos por por 4 las las raíces. raíces. y3 z2 y' ,J YY •• 3 •• )'3 y2 y - 4('2) 4(-) + 4 (16) (-) -- 4 (g) (-) - 4 (64) (-) = = O O Y 2 16 8 64

r el teros

=0

o sea

•

3

2

y. y' - 8)' 8y - 12 = = O O y - 2y' 2y + Y

8 - 12 + 12 12 + O O 1 - 3 + 4 - 12 +

1- 2 + 1+ 3 3 -11 +

Las posibles raíces ecuación en y son son los divisores Las posibles raíces racionales racionales de la ecuación los divisores enteros de 12, es decir, decir, ±I, ±I. ±2, ±2, ±3. ±3, ±4, ±4, ±6, ±6, ±12. ±12. Ensayando Ensayando todos todos enteros estos valores valores de x mediante mediante la regla deduce la raíz estos regla de Rufini Rufini se deduce raíz --1.l .

.=:..!J -=-U --

Las raíces raíces de la primera ecuación obtenida obtenida al efectuar efectuar el cociente, Las primera ecuación cociente, según la regla regla de los signos, signos, son son todas son los los las racionales racionales son según todas positivas, positivas, y las divisores enteros enteros de 12, es decir. decir. 1, 2, 12.. Ensayando divisores 2. 3, 4, 4, 6, 12 Ensayando todos todos estos valores valores se deduce deduce la raíz raíces de la segunda segunda ecuación ecuación son son ± ± 2i. estos raíz 3. Las Las raíces

3 I ~

1- 3

+

44

4 - 12

+ 3 + O O + 12

O 11+0+4+ +0+4+ O Las raíces raíces de la ecuación ecuación en y, transformada, son - 1, 3. ± ± 2i. 2i. Por raíces de la ecuación ecuación en x son Las transformada , son Por tanto. tan to. las raíces que x = = y/4. --1/4, 1/4, 3/4. ± i/2, ya que y/4.

ESCRIBIR UNA UNA ECUACION ECUACION CUYAS RAICES RAICES SEAN SEAN OPUESTAS OPUESTAS A LAS LAS DE DE OTRA OTRA DADA DADA ESCRIBIR CUYAS

47.

Escribir las ecuaciones ecuaciones en y cuyas cuyas raíces raíces sea seann opuestas opuestas a las raíces raíces de las ecuaciones ecuaciones siguientes. siguientes. Escribir a)

Tx? + 11x + 5 == xx'3 + 7X2

O.

b).'(· + 3X2 3x' - Xx -- 27 == O O.. b)."(·

e)) e

,IOx· - 3,\ 3x + 15 15 == O O 2xX5s - .10x·

Las ecuaciones ecuaciones en yy se obtienen obtienen cambi cambiando signo de los términos términos de grado grado impar impar de las las ecuaciones ecuaciones dadas dadas and o el signo sustituyendo x por por y, bien efectu efectuando sustitución x == --y.y. y sustituyendo y, o bien ando la sustitución a)

_-y' ),3

+ 7y2 7y' _ - 11)' Ily + 5

= = O O

o

)'3 )" --

raíces de xx'3 + 7x' + Ilx Ilx + 5 Las raíces b) b)

yy.. + + 3.1'2 3y' + + r.\'-- 27 == O O

e)

_2y5 s -- 10y· IOy· + 3y + 15 15 _2y

= O,

7)" 7)" + 11)' - 5

= O O son son =

bien o bien

= = O O

-5. -1, -1, -1 -1; ; de )'3 y' -- 7)" 7)" + + 11 11)' -5. )' - 5

IOy· - 31' 3r - 15 2y5s + 10y·

= OO

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= O O son 5. 1. 1. 1. 1. =

TEORIA

198 ESCR!BIR UNA ECUACION EN UNA CONSTANTE 48.

CUYAS

RAICES

DE ECUACIONES

SEAN IGUALES

A LAS DE OTRA

DADA

Escribir las ecuaciones en y cuyas raíces sean iguales a las raíces de las dadas disminuidas ran entre paréntesis. 17.\"2 + 26x

a)

2.\"' -

h)

.\"'-x2-17x-15=0

a)

~

+

45 = O

e) . .\". -

(3) (-3)

2 - 17 + 26 + 45 + 6 - 33 - 21

12x -

.~'+8.\"2_2=0

d)

15

5 - 22 + 6

1- 7 - 3

+

1-10

+

6 -

22

I

La ecuación

pedida

2.1" + .1'2 -

La ecuación

es

)"

22.1' + 24 = O

1

e)

~

O + O +2+4+8-8

12 -

-

5

1

d)

1

+ 6 + 24

1+8 La ecuación

pedida

y' + 8.1" + 24y2

ENTRE

pedida

+

dida más dada.

es

16y = O

L

52.

Hall:

53. Dos

+

8 + O - 2 + 0,4 + 3,36 + 1,344

+ + +

8,8 0,4

+

ecuar

6,88

I 9,2 La ecuación

+2

RELACIONES

I poter

16

1 + 8,4 + 3,36 - 0,656 + 0,4 + 3,52

13

1 + 4 + 12 + 20 + 2 + 12 1

Tran cer ~

raíce

10.1'2

~

4 - 4 8 + 24

1 + 2 + + 2 +

51.

Obsérvese que disminuir las raíces en - 3 es lo mismo que incrementarlas en 3.

Haciendo y = x - 3 o x = y + 3 se obtiene el mismo resultado

+

+ +

O

5+ 21

Las raíces de la ecuación en x son -3, -1,5. Las raíces de la ecuación en y son O, 2, 8.

Las raíces de la ecuación en x son 5, 9/2, - 1. Las raíces de la ecuación en y son 2, 3/2, - 4. Otra forma:

-

Dad, de o

5 = O (2) (0,4)

-=2J -

1-4- 3

SO.

en los números que figu-

1-1-17-15 3 + 12 + 15

b)

7 + 24

1 - 11 -

DISMINUIDAS

pedida

y' + 9,2y2

es + 20y -

LAS RAICES

es

+ 6,88y

- 0,656 = O Otro La e

13 = O

54.

Y LOS COEFICIENTES

Dad, a)

49.

Escribir

las ecuaciones

La ecuación p, = -(suma

e)

será de la forma x' + p,x' + P2X2 + p,x + P. = O. de raíces) = -(1

P2 = + (suma de productos = (1)(3) + (1)(-2)

= -[(1)(3)(-2) P. = +(producto

+ (3)(-2)

+ (1)(-2)(-4)

pedida

es x' + 2.\"' -

I3x

-

+ (-2)(-4)

a)

= -13.

tres a tres)

+ (3)(-2)(-4)J

de las raíces) = (1)(3)(-2)(-4) 2

e)

dos a dos)

+ (3)(-4)

de las raíces tomadas

+ (1)(3)(-4)

d)

+ 3 - 2 - 4) = 2.

de las raíces tomadas

+ (1)(-4)

Ps = - (suma de productos

La ecuación

b)

cuyas raíces sean 1, 3 - 2, - 4.

= 24.

14x + 24 = O.

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= -14.

h)

199

TEORIA DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

Dada la ecuación ecuación x33 SO. so. Dada otra. de otra.

-

8x2 + 9x 9x + k = O, O, hallar hallar el valor valor entero entero de k para para que que una una de las raíces raices sea el doble doble 8X2

Sean las raíces raíces a. 2a, 2a, b. Sean

ros que figu-

Sumaderaíces=-(-8)=8=a+2a+b (l)b=8-3a. Sumaderaíces=-(-8)=8=a+2a+b o (l)b=8-3a . Suma de productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas dos dos a dos dos = 9 = a(2a) a(2a) + a(b) a(b) + 2a(b) 2a(b) Suma Producto de las raíces raíces = --.k a(2a)(b) -2a2b.2b. Producto .k = a(2a)(b) o (3) k = -2a solución de (1) y (2~ (2~ es a =:' = 3, b = -1. -1. Sustituyendo Sustituyendo en (3), k = 18. La solución

o

3ab = 9. (2) 2a22 + 3ab

51. 51.

Transformar Transformar la ecuación ecuación 2x' 2x' + 8x 8x33 + 5X2 5x2 -- 3x 3x + 6 = O O en una una ecuación ecuación en y que que carezca carezca de término término de tertercer grado. grado. cer + 8 + + 5 - 3 + + 6 2+ Escribamos la ecuaciÓn, ecuaciÓn, en primer primer lugar, lugar, con con el coeficiente coeficiente de la mayor mayor Escribamos -=-!J -2-6+1+2 ~ 2 6 + l + 2 potencia igual igual a la unidad unidad y apliquemos, apliquemos, a continuación, continuación, relaciones entre entre las potencia las relaciones 2+6-1-2+8 2+6-1-2+8 raíces y los coeficientes. coeficientes. raíces -2-4+5 -2-4+5 Suma de raíces raíces = - 8/2 8/2 = - 4. La suma suma de las raíces raíces de la ecuación ecuación peSuma 2+4-5+3 2+4-5+3 dida en y debe debe ser cero, cero, esto esto es, la suma suma de las raíces raíces de la ecuación ecuación dada dada dida - 2- 2 más 4. Ello Ello se consigue consigue aumentando aumentando las cuatro cuatro raíces raíces de la ecuación ecuación más en 1 las 2 + 2- 7 dada, , es decir, decir, y = x + 1. dada - 2 O 2+O ecuación pedida pedida es 2y' 2y' - 7y2 + 3y + 8 = O. La ecuación

52. 52.

Hallar la suma suma de los cuadrados cuadrados de las raíces raíces de x 33 - 2X2 - 23x 23x + k = O. O. Hallar 2 2 2 2 2 2 Sean las raíces raíces a, b, e. Como Como (a + b + e)2 = a + b + e + 2(ab 2(ab + be + ca), ea), tendremos tendremos a22 + b22 + e22 Sean 2(ab + be be + ca) ea) = 222 - 2( - 23) = 50. = (a + b + e)2 - 2(ab

53. 53.

Dos raíces raíces de la ecuación ecuación incompleta incompleta 3x 3x33 Dos ecuación. ecuación.

o mismo

ecuación 3x 3x33 Sea la ecuación

-

-

17x22 + ... ... = O O son son 2,4. Hallar la tercera tercera raíz raíz y completar 17x 2,4. Hallar completar la

hx + k = O O y sus sus raíces raíces 2,4,r. 2.4." 17x22 + hx

Suma de raíces raíces = 17/3 17/3 = 2 + 4 + r; r ; de donde donde, r = --1/3. Suma 1/3. Suma de productos productos de las raíces raíces tomadas tomadas dos dos a dos dos = h/ h/33 = 2(4) 2(4) + 2( - 1/ 1/3) -1/3) 18/3; donSuma 3) + 4( -1 /3) = 18/ 3; de donde h == 18. Producto de raíces raíces = -k/3 -k/3 = 2(4)(-1/3) 2(4)(-1/3) -8/3; ; de donde donde k = 8. Producto = -8/3 pues. r = -1 -1/3./ 3, Y la ecuación ecuación completa completa es 3x 3x33 Así. pues,

-

O. 17x22 + 18x + 8 = O.

Otro método. método. Suma Suma de raíces raíces = 17/3 = 2 + 4 + r, de donde donde, r = -1 -1/3./3. Por tanto. las raíces raíces son son 2, 2.4,4, --1/3. Otro Por tanto, 1/3. ecuación cuyas cuyas raíces raices son son estas estas tres tres es (x (x - 2)(x 2)(x - 4)(3x 4)(3x + 1) = O, O. o bien, bien, 3,,3 3:'(3 - 17x22 + 18x + 8 = O. O. La ecuación

54.

Dada la ecuación ecuación x33 -- 9x + k = O, O. hallar hallar el valor valor de la constante constante k para para que: que: Dada Dos raíces raíces sean sean opuestas. opuestas. Dos Exista una una raíz raíz doble doble. . Exista Las tres raíces estén estén en progresión progresión geométrica. geométrica. Las tres raíces Las tres tres raíces raíces estén estén en progresión progresión aritmética. aritmética. Las Una raíz sea ,y3. e) U na raíz + .,j3.

a) a) b) b) e) d) d)

19

a)

Sean las raíces raíces a, a. - a, a. b. Sean Tendremos, -a ) + b = O. Tendremos. aa + ((-a) O. ya que que no hay hay término término de segundo segundo grado. grado. Por Por tant tanto.o. b = O. O. Producto de raíces raíces = a( a(-a)(b) Luego k = O. O. Producto - a)(b) = O = --k.k. Luego

b)

Sean las raíces raices a, a. a. a. b. Sean Suma de raíces raices = a + a + b = O (1). Suma Producto Producto de raíces raices tomadas tomadas dos dos a dos dos = 2ab 2ab + l/2 a2 2 Producto ele de las tres raíces raíces = l/,,2b (3 l. Proelucto las tres h = - k (3).

-9 (2). (2). -9

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200

TEORIA

DE ECUACIONES

Resolviendo el sistema formado por (1) Y (2) se deduce a

=

±.)3,

b

=

+2.)3.

Sustituyendo

en (3), k

=

±6.)3.

el Sean las raíces alr, a, aro 3 Tendremos. alr + a + ar = a(l/r + I + r) = O, a2/r + a2 + a2r = a2(I/r + I + r) = -9, a = -k. Ahora bien. ni a ni (I/r + 1 + r) puede ser cero. ¿Por qué? En consecuencia, no existe valor alguno de k para el cúal las raíces están en progresión geométrica. d)

Sean las raíces a - d, a, a + d. Suma de raíces = a - d + a + a

e)

Sustituyendo Desarrollando,

55.

+

=

d

3a

=

=

O, es decir, a

O. Luego k

= -

(a - d)(a)(a

(19 + j3)3 - 9(.y9.. + j3) + k = O 9 + 919 + 9j3 + 3 - 9(19 + .j3i + k = o, de donde k =

en la ecuación

+

d)

=

5x2 + 6x - 1

-

f,

,

d)

-12.

gati

O, escribir la ecuación cuyas raíces sean 1.. , 1.. , 1.. . a b e

ecu

Sustituyendo y = l/x se tiene, 2(1/y)3 - 5(1/y)2 + 6(1/y) - 1 = O, o bien y3 - 6y2 + 5y - 2 = O, cuyas raíces son los recíprocos de las correspondientes de la ecuación dada. (Comparar los coeficientes de la ecuación dada con los de la pedida.)

56.

Las raíces de x3

+

+

e

be

+

2X2

-

+

3x - 4 = O son a, b, e. Hallar los valores de las relaciones

al

a

b)

ab

a)

2 (suma de raíces) 3 (suma de productos de raíces tomadas dos a dos) 4 (prod ucto de raíces) a2 + b2 + e2 = (a + b + e)2 - 2(ab + be + ea) = 22 - 2(3) a3 - 2a2 + 3a - 4 = O, b3 - 2b2 + 3b - 4 = O Y e3 Sumando, a3 + b3 + e3 - 2(a2 + b2 + e2) + 3(a + b + e) Luego a3 + b3 + e3 = 2(-2) - 3(2) + 12 = 2

b)

e) d) e)

f)

b

+

1 1 abe(- + abe

ea

1

+ -) =

be

+

ae

e)

abe

d)

a2

+

ab.

+

+

b2

e2

1 1 Se tiene 4(- + abe

rab

O.

dada,

Si a, b, e, son las raíces de la ecuación 2X3

nui

1

+ -) =

3

+

3

e)

a

b

f)

-+-+-

e)

siguientes.

3

+

e

1

1

1

a

b

e ciór don de

=

-2 2 - 2e + 3e - 4 12 = O

3

y

1 1 - + abe4

=

O f)

1

3

+ - = -. y s

4y3

Otro método. 3y2 + 2y -

-

La ecuación 1 = O.

cuyas

raíces

La suma de las raíces de esta ecuación

METODO DE IRRACIONALES 57.

HORNER

PARA

HALLAR

son dos

recíprocas

3 . 1 es -4' Luego a

de las raíces

1

1

b

e

+- +-

de la ecuación

dada

es

16,1

3 =- . 4

Es" es :

RAICES g)

Hallar las raíces positivas de x3 - 2X2 - 2x - 7 = O con tres cifras decimales exactas.

f(%) %

a) Aplicando la regla de los signos de Descartes deduce que esta ecuación tiene una raíz positiva. b) Se representa la funciónf(x) desde x = O hasta x = 4.

= x3 -

f(%)

se

12 O

-7

1

-10

2X2 - 2x - 7

Como f(x) cambia de signo entre x = 3 y x = 4, existe una raíz entre estos dos valores y su primera cifra es 3, como se puede comprobar gráficamente.

lb

2

-11

3

-4

4

17

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Y

SI

-----d-------------l-----x 16,1

exa

201

TEORIA ECUACIONES TEORIA DE ECUACIONES

Se escribe la ecuación cuyas raíces sean las de la anterior anterior disminuidas en 3, es decir, se hace X, == x - 3. = -k. e k para

=

Se obtiene la ecuación x~ x~ + \3x , - 4 + 7x 7x~f + + 13x, raíz comprendida comprendida entre O y 1. 1.

°

tl

~ ~

que tiene una

= = ()

O. d) Por tanteos tanteos se deduce que I,(xd f, (x d = x~ + xf + d) = x~ + 77x~ + \3x 13x,I -- 4 es nex, = x, = gativo para X, = 0,2 (-1,112), (-1,112), y positivo para X, = 0,3 (0,557). (0,557).

l l

,¡;,~.

°

1+7 +\3 -4 1+7 +13 -4 + 0,2 + 1,44 1,44 + 2,888 2,888 1 + 7,2 + 14,44 14,44 - 1,112 1,112

~ ~

Por tanto, 0,2+ (y (y la raíz de la tanto, la raíz positiva de It!xd.= fdxd .= O es 0,2+ ecuación dada dada es 3,2 + + ).).

I ------------------~ ------------------~

O, cuyas ecuación e)

1-22-7 1-22-7 +3+ 3+3 +3+ 3+3 1+ 1+ 1- 4 + 3 + 12 12 1+4+13 1+4+\3 +3 1 + 77

0,3

Se disminuyen en 0,2 las raíces de I,(xd, f,(xd , (x X, -- 0,2). (x22 = = X, transformada es La segunda ecuación transformada

0,2 ~I

°

12(x2) = x~ 15,92x2 - 1,112 1,112 = = O f2(X2) = x~ + 7,6x~ 7,6x~ + 15,92x2

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,1.

1+7 +13 -4 1+7 +\3 -4 + 0,3 + 2,19 + 4,557 1 + 7,3 + 15,19 15,19 + 0,557 1+7 +\3 -4 1+7 +13 -4 + 0,2 + 1,44 1,44 + 2,888 2,888 I1 + 7,2 + 14,44 14,44 + 1,112 1,112 + 0,2 + 1,48 1,48 15,92 1 + 7,4 + 15,92 + 0,2 1 + 7,6

Para aproximar Para aproximar esta raíz hasta la centésima, resolvemos la ecuación que resulta al prescindir prescindir de los términos términos anteriores anteriores al de primer grado. Es decir, 15,92x2 15,92x2 - 1,112 1,112 = 0, O, de donde cual indica que la raíz positiva de 12(x2) f2(X2) == O está comprendida donde XX22 = 0,06+, 0,06+, 10 10cual comprendida entre entre 0,06 y 0,07 (y (y la raíz dada es 3,26+). 3,26+). de la ecuación dada

°

1) f)

o. Se disminuye en 0,06 las raíces de 12(x2) f2(X2) == O. 0,06

I

La tercera ecuación transformada transformada es

°

13(x 16,8428x33 - 0,129224 0,129224 = O f3(X33) ) = x~ x~ + 7,78x~ 7,78x~ + 16,8428x

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,01. dada es

1+ + 1+ + 1+ + 1+

7,6 0,06 7,66 0,06 7,72 0,06 7,78

+ + + + +

15,92 - 1,112 1,112 15,92 0,982776 0,4596 + 0,982776 16,3796 - 0,129224 0,129224 16,3796 0,4632 16,8428 16,8428

Resolviendo la parte parte lineal, 16,8428x3 - 0,129224 = 0, O, se deduce XX33 = = 0,007 0,007+. 16,8428x3 0,129224 = +.

°

Esto indica que la raíz positiva de/3(x3) comprendida entre 0,007 y 0,008 0,008 (y (y la raíz de la ecuación dada dada def3(x3) == Oestá está comprendida 3,267+). es 3,267 +).

g) g)

0,007 las raíces de 13(x3) o. Se disminuye en 0,007 f3(X3) = O. 0,007

La cuarta cuarta ecuación transformada transformada es 14(x f4(X44) ) == x¡ x¡

7,801x¡ + 16,951867x 16,951867x44 + 7,801x¡

°

0,010942837 = O - 0,010942837

°

y su raíz positiva está comprendida comprendida entre O y 0,001. r

I

1+ + 1+ + 1+ + 1+

7,78 7,78 0,007 0,007 7,787 7,787 0,007 7,794 0,007 7,801 7,801

+ + + + +

16,8428 - 0,129224 0,129224 16,8428 0,054509 + 0,118281163 0,118281163 0,054509 16,897309 - 0,010942837 0,010942837 16,897309 0,054558 0,054558 16,951867 16,951867

Resolvíendo Resolviendo la parte lineal, 16,951867x4 4 - 0,010942837 0,010942837 == 0, O,se 0,0006+. 16,951867x se deduce XX44 == 0,0006+.

Por tanto, J,2676 +, +", o bien, tomando tanto, la raíz pedida de la ecuación 'dada es :1,2676 tomando tres cifras decimales 3,268. exactas, 3,268.

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TEORIA

202 58.

Hallar

x3

una raíz real de la ecuación

Sea f(x)

=

x3 + 3x + 8;

+

se tiene

3x

DE ECUACIONES

+

8 = O con dos cifras decimales

=

f(-x)

_x3

-

exactas.

59.

3x + 8

Hallar SI SI

Aplicando la regla de los signos de Descartes, f(x) = O tiene 1 raíz real que es negativa, y f( - x) = O tiene 1 raíz real que es

a)

e

positiva. ----;;I--"!""""+-~-~- r La raíz positiva de -f(-x) = x3 + 3x - 8 contrario a la raíz negativa de [tx¡ = O.

b)

x

O

g(x)

-8

=

O es de signo

1 12 -4\6

Sea g(x) = x3 + 3x - 8. La raíz igual a la raíz positiva de g(x) = O.

positiva

e)

= O es

de f(-x)

Como g(x) cambia de signo entre x = 1 Y x = 2, la primera Se disminuye

d)

0,4

cifra de la raíz de g(x) = O es 1.

en 1 las raíces de g(x).

.!J Se obtiene la ecuación comprendida entre O y l.

4 = O que tiene una raíz

-

Por tanto,

ecuación g2(X2)

y su raíz positiva

1+ 4 - 4 +1+2

de gtlxtl

= O es 0,5+

T+3

(y la raíz de g(x) = O es 1,5+).

transformada

= x~ + 4,5xi

es

+ 9,75x2

está comprendida

~

-

0,125 = O

1+3 +6 -4 + 0,5 + 1,75 + 3,875 1 + 3,5 + 7,75 - 0,125 + 0,5 + 2 1 + 4 + 9,75 + 0,5

entre O y O, l.

1

+

4,5

Para aproximar esta raíz hasta la centésima. resolvemos la parte lineal, 9,75x2 - 0,125 = O, con lo cual X2 = 0,01 +. indica que la raíz positiva de g2(X2) = O está comprendida entre 0,01 y 0.02 (y la raíz de g(x) = O es 1,51 +).

g)

Se disminuye

en 0.01 las raíces de g2(X2)

= O.

O,Olj La tercera g3(X3)

ecuación

transformada

es

= x~ + 4,53x~ + 9.8403x3 -

y su raíz positiva

está comprendida

0.027049 = O

la raíz de x3

+

3x + 8 = O con dos cifras decimales

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l + + 1 + +

4,5 0,01 4,51 0,01

+ + + +

9.75 - 0,125 0,0451 + 0,097951 9,7951 - 0,027049 0,0452

1+4.52 + 9,8403 + 0.01 1 + 4,.53

entre O y 0.01.

Resolviendo la parte lineal, 9,8403.\3 - 0.027049 = O. se deduce X3 = 0.002+. Esto indica que la raíz de g3(X3) = O es 0,002 + y la raíz de g(x) = O es 1,5 12 + . Por tanto.

0.04

1+2+6 + 1

en 0,5 las raíces de g 1 (x 1)'

La segunda

+

---

la raíz positiva

Se disminuye

+1+1+4 1

gtlxtl = xl + 3xf + 6x1 - 4 para las sucesivas deceque es negativa para XI = 0,5 y positiva para XI = 0,6.

e) Calculando nas, se obtiene

f)

x~ + 3x~ + 6x 1

1+ O + 3 - 8

exactas

es - 1,51.

Luego

203 203

TEORIA DE DE ECUACIONES ECUACIONES TEORIA

59. 59.

Hallar13 con tres tres cifras cifras decimales decimales exactas. exactas. Hallar13 con Sea xx == 13. 13. Tendremos Tendremos xx)3 == 33 Y YI(x) [ix¡ == xx)3 Sea

--

O. 33 == O.

Según la la regla regla de de los los signos signos de de Descartes. Descartes . f(x) .lix) == O O tiene tiene una una raíz raíz positiva positiva (13) (13) yy dos dos raíces raíces imaginarias. imaginarias. Según Como f(l) .lil) es es -- yy j12) 1(2) es es +. +", lala primera primera cifra cifra de de la la raíz raíz es es 1.l. Como %

1+0+0-3 1+0+0 - 3

Disminuimos las las raíces raíces de de /lx) fix) == xx)3 -- 33 == O O en en l\.. Disminuimos

1 + 1+ 1- 2 1+1+1-2 +1+2 +1+2 + 22 ++ 33 11 + +1 +1 +3 11 +

Entonces. f, f. b) 15 = ll ,

a) a)

1) n22 - n .C.-2-'- == ---2-2- == 10 nen-22 == .C ne22 == ---2-'-

b) b)

ne, == .C. nen-,' .C, _"

e)

30' 30' C e = 30(·V 30(nVs)5 ) S • 5 55!!

n(n n(n

a la ece-

n2

=

n

Siendo .V, nV, Siendo

=

3024 3024

nV, = = r!(.C,), r!(ne,), .V,

-

nV44 .V

n

120

r'

.

=

= O, O, =

n = = 55

26

30' 30' .V nV44 • (n - 4) 5! 30(n - 4) 30(n

Y

e

= 30 30·n' .C = s. 5 •

n - 20

15 == n - 11,

Luego Luego

29.

e)

ne, .C,

=

hallar rr.. 126, hallar

= •n V, V, = = 3 024 = = 24 =

ne, .C,

n == 8.

126

'

rr

= 4 =

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236 30.

COMBINATORIA

¿Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con 17 alumnos un concurso de preguntas de matemáticas? Número

de grupos = número

=

de combinaciones 17' 16' 15' 14 1.2 . 3 . 4

=

C4

17

aventajados

de 17 alumnos

=

2 380 grupos

para representar

tomados

a un colegio en

de 4 en 4

¿D

38.

de 4 alumnos.

a)

b)

31.

¿De cuántas

maneras

se pueden

elegir 5 idiomas

de formas = número

Número

= sCs

de entre 8?

de combinaciones

=

sC3

8' 7' 6

= ---

I . 2' 3

=

e)

de 8 idiomas

tomados

de 5 en 5

al

56 formas. b)

32.

¿De cuántas al otro 3?

formas se pueden repartir

En cada una de las divisiones y B recibe 9. Por tanto,

33.

el número

e)

es

=

2'

12C9

=

2·

12C3

=

2(

12· 11 . lO l : 2' 3

)

=

Un

39.

440 formas.

bro

Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los seis vértices de un exágono. Número de triángulos = número de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3 6'5'4

= ---

=

1·2·3

rner

20 triángulos.

¿Cuántos ángulos menores de 1800 forman 12 semirrectas que se cortan en un punto sabiendo ellas puede estar en prolongación de cualquiera de las otras? Número

de ángulos

= número

de combinaciones 12' II

12C2

35.

9 y

de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3

de formas

= 6C3

34.

A y B, de manera que a uno le toquen

12 libros entre dos personas,

¿Cuántas

diagonales

Número

=~

=

de 12 elementos

tomados

que ninguna

de

=

número

¿Cu encr

de 2 en 2

66 ángulos. 41.

tiene un octógono?

de rectas

40.

de combinaciones

de 8 puntos

tomados

de 2 en 2

=

sC2

=

8·7

N=

¿Cu: de,

28. tinta

Como 36.

8 de estas 28 rectas son los lados del octógono,

¿Cuántos paralelogramos tas paralelas?

el número

de diagonales

se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas

= 20.

por otro sistema de 4 rec42.

Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2. Número 37.

=

de paralelogramos

4C2 • 7C2

=

6· 21

=

al cortar a cada una

¿Cu. cada

renn

126 paralelogramos.

En un plano están situados 10 puntos de forma que 4 de ellos están sobre una recta y entre los restantes tres en prolongación. Hallar el número de rectas que se pueden formar uniendo los lO puntos.

no hay a) h)

Número

de rectas suponiendo

que de los lO puntos

no hay tres colineales

=

lOC2

=

10' 9 -2-

e)

=

45. Cad:

Número

de rectas formadas

por 4 puntos

de los que no hay 3 colineales

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=

4C2

=

4'3 -2-

=

6.

.

I

237

COMBINATORIA COMBINATORIA

Como los 4 puntos son colineales. colineales. forman forman una una recta recta en lugar lugar de 6. Como puntos son

n

número de rectas rectas pedido pedido es 45 - 6 + I == 40. El número

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden elegir elegir 3 hombres hombres de de entre entre un grupo grupo de' de' 15. de forma forma que que 38. ¿De a) a) b) b) e) e)

uno de ellos ellos debe debe figurar figurar en cada cada grupo grupo seleccionado. seleccionado. uno dos de ellos ellos no no deben deben figurar figurar en cada cada grupo grupo seleccionado. seleccionado. dos uno de de ellos ellos debe, debe, y otros otros 2 no no deben, deben, figurar figurar en cada cada grupo? grupo? uno

a) a)

Como uno uno debe debe figurar figurar siempre. siempre, tendremos tendremos que que elegir elegir 2 de de entre entre 14. Como 14·13 14·13 número de de formas formas en que que se puede puede hacer hacer es = '4 14e El número C22 = --22= 91.

h) h)

Como hay hay 2 que que no no deben deben figurar. figurar. tendremos tendremos que que elegir elegir 3 de de entre entre 13. Como 13' 12' 12' 11 11 13' número de formas formas es = "C) l3e3 = 3' El número 3! = 286.

e)) e

Número de formas formas == 'S-'-2C) IS-I-2e3-1 Número

y

39.

C2 = '2 12e2 =

,

12· 12' 11 11

= -2 -2= 66. = =

Un equipo equipo científico consta de de 25 miembros, miembros, de de los cuales cuales 4 son son doctores. doctores. Hallar Hallar el número número de de grupos grupos de de 3 miemmiemUn científico consta bros que que se pueden pueden formar. formar. de manera manera que que en cada cada grupo grupo haya haya por por lo menos menos un doctor. doctor. bros

Número grupos de 3 que Número total total de de grupos que se pueden pueden formar formar

COIl COII

25 miembros miembros == 2SC), 2Se3'

Número de de grupos grupos de 3 que que se pueden pueden formar formar de de manera manera que que no no figure figure en ellos ellos un doctor doctor = 2S-4C) 2S-4e3 = 2'C), 21e3• Número

o.

Por tanto. tanto. el número número de grupos grupos de 3 miembros miembros que que se pueden pueden formar formar de manera manera que que en ellos ellos exista exista por por lo Por 25 . 24 . 23 21 . 20 . 19 C) menos C)3 = 3! 3! = 970 menos un doctor doctor = 2S 2Se 3 - 21 21e 970 grupos. grupos.

de

40.

¿Cuántos grupos grupos de 7 miembros miembros se pueden pueden formar formar con con 6 químicos químicos y 5 biólogos biólogos de manera manera que que en cada cada uno uno se ¿Cuántos encuentren 4 químicos? químicos? encuentren Cada grupo grupo de 4 químicos químicos de los 6 se puede puede asociar asociar con con cada cada uno uno de 3 biólogos biólogos de los 5. 5. Cada Por tanto. tanto. el número número de grupos grupos es = Por

41.

6e4 •• sC) se3 6C4

15' 10 = 150. = 15'

¿Cuántas palabras palabras de de 5 letras letras se pueden pueden formar formar con con 8 consonantes consonantes y 4 vocales, vocales, de de manera manera que que cada cada una una conste conste ¿Cuántas consonantes diferentes diferentes y 2 vocales vocales distintas? distintas? de 3 consonantes Las 3 consonantes consonantes distintas pueden elegir elegir de sC) se3 maneras, maneras, las 2 vocales vocales de de 4C2 4e2 formas formas y las 5 letras letras disdisLas distintas se pueden tintas (3 consonantes consonantes y 2 vocales) vocales) se pueden pueden disponer disponer entre entre ellas ellas de P Pss == 5! formas. formas. tintas Por tanto. tanto. el número número de palabras palabras es = sC) se3• . 4C2 4e2' • 5! = 56· 56· 6' 6' 120 = 40320. 40320. Por

42.

Cuántas palabras palabras de 4 letras letras se pueden pueden formar formar con con 7 mayúsculas, mayúsculas, 3 vocales vocales y 5 consonantes, de manera manera que que consonantes, de ¿ Cuántas cada una una empiece empiece por por una una mayúscula mayúscula y tenga tenga al menos menos una una vocal. vocal. siendo siendo todas todas las las letras letras de de cada cada palabra palabra difedifecada rentes? rentes?

primera letra. mayúscula, , se puede puede elegir elegir de 7 formas. formas. La primera letra. mayúscula Las 3 letras letras restantes, restantes, pueden pueden ser: ser: Las hay a) a)

h) h) e)) e

vocal y 2 consonantes. consonantes. que se pueden pueden tomar tomar de 3el se22 maneras. 1 vocal que )C, . sC maneras. 2 vocales )C 2 • sC, vocales y I consonante. consonante. que que se pueden pueden tomar tomar de de 3e2' se, maneras. maneras. y Y vocales, que que se pueden pueden tomar tomar de 3e, = I forma. forma. 3 vocales, )C) =

Cada maneras. Cada una una de de las 3 letras letras de estos estos grupos grupos se pueden pueden disponer disponer entre entre sí de de p) P, == 3! maneras. Por tanto, tanto, el número número de palabras palabras == 7' 7' 3 !()C, !(3el . sC se22 + 3C2 3e2 .• sC, se, + 1) Por = 7 . 6(3 . 10 + 3 . 5 + 1) = = I 932. =

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238 43.

COMBINATORIA

Un niño A tiene 3 cromos y otro B tiene 9. ¿De cuántas maneras se los pueden intercambiar pre el número inicial de cromos? A puede cambiar

I cromo

A puede cambiar

2 cromos

con B

A puede cambiar

3 cromos

con B

N úmero

+

total = 27

108

si cada uno tiene siem-

,e, . ge,' = 3 . 9 = 27 maneras. de ,e2 . ge2 = 3 . 36 = 108 maneras. de ,e, . ge, = I .84 = 84 maneras.

con B de

+

VARIA,

84 = 219 maneras.

Otro método. Supongamos que A y B juntan sus cromos. El problema se reduce a hallar de cuántas maneras A puede elegir 3 cromos, de entre los 12, excluyendo sus tres cromos originales. Este número viene 12' II . 10 dado por I= - I = 219 maneras. I ·2·3

'2e, -

44.

a) b) a)

¿De cuántas maneras se pueden repartir 12 libros entre 3 alumnos de forma que cada uno reciba 4 libros? ¿De cuántas maneras se pueden dividir 12 libros en 3 grupos de 4 libros cada uno?

'2e4

El primer alumno puede elegir 4 libros. de entre los 12, de maneras. 'EI segundo puede elegir 4 libros, de entre los 8 restantes, de se4 maneras. El tercer alumno puede elegir 4 libros, de entre los 4 restantes, de 1 forma.

h)

Los 3 grupos Por tanto,

45.

Se dispone

'2e4'

pedido =

Número

se •• 1 = 495·70·

I = 34650

distribuir entre los alumnos de 3' = 6 maneras. 34650 pedido = -3-'= 5 775 grupos.

de 4 objetos

diferentes.

¿De cuántas

maneras

se puede

escoger

uno o más de dichos

objetos?

Cada objeto se puede considerar de dos formas, que se elija o que no se elija. Ahora bien, cada una de estas dos formas se puede asociar con las dos correspondientes a cada uno de los otros objetos; por tanto, el número de formas relativo a los 4 objetos es = 2 . 2 . 2 . 2 = 24. Pero en 2· está incluido el caso en que no se elija ninguno de los objetos. En consecuencia. Otro método.

+ 4e, 46.

= 4

es = 24

-

1 = 16 -

1 = 15.

Los objetos que se pueden elegir son uno. dos. etc. Luego el número pedido es = = 15 maneras.

4e,

+

4e2

+ 6 + 4 + 1

de sumas = 26

¿De cuántas

maneras

Una o más corbatas dido es = 2s - 1 - 8 O,}'O método, se2 + se,

48.

pedido

¿Cuántas sumas de dinero distintas se pueden sacar de una caja que contiene cinco monedas de 1, 5, 25, 50 y 100 pesetas, una de cada clase? Número

47.

.e.

+

el número

-

I = 63.

se pueden

=

elegir dos o más corbatas

se pueden elegir de 12" 247.

+ seo + se, + ses

de entre una colección

de 8?

"e2 +

se pueden

Número

grises se pueden

elegir de 12' -

de selecciones = 12' -

1)(24

-

¿DI

52.

Ha do

53.

Hal tres

54.

¿D¡ rrue

55.

¿De tos

56.

En en I

57.

Ha\'

58.

Hall

59.

Hall

60. Hall 61.

Hall 6, 7

62.

Hall. 2, 3,

63.

Hall

64.

Hall:

65.

Hall:

66.

Hall: mar

67.

Hall< dígin

68.

Hall< ra qi

69.

¿Cuá nen I

70.

En ci signa do qi

71.

¿De e niños

se,

Se dispone de telas de 5 lonas diferentes de color gris. 4 tonos diferentes de color azul y 3 tonos diferentes de color rojo. Hallar el número de selecciones de tonos que se puede efectuar con la condición de tomar siempre un tono gris y un tono azu 1. Los tonos 2' formas.

51.

hacer de

+ se. + se, + se2 + se, + I = 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + I = 247 maneras. =

Ha

1) formas. Pero como hay que elegir dos o más, el número pe-

Elegir 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. corbatas

+ se. + se,

Cal

maneras.

se pueden

el número

49. SO.

1) formas.

los azules de (2· -

1)12') = 31 . 15' 8 = 3720.

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1) formas

y los rojos

de

COM BI NA TOR lA COMBINATORIA

239

PROBLEMAS PROPUESTOS PROPUESTOS PROBLEMAS VARIACIONES PERMUTACIONES VARIACIONES Y PERMUTACIONES

49.

Calcular 16V3' 16V3' 7V4' 7V4' ,V" ,V" Calcular

.12 V" .12

SO. Hallar Hallar n en las ecuaciones ecuaciones a) a) 10· 10· .V .V22 SO. ane

= n.++ IIV", = V4,

3' 2n+4V3 2.+4V3 == 2' 2' n.+4V", h) 3' + 4V4'

51.

¿De cuántas cuántas maneras pueden sentar sentar seis personas personas en un banco banco? ? ¿De maneras se pueden

52.

Hallar el número número de señales señales distintas distintas que que se pueden pueden hacer hacer con con cuatro cuatro banderas banderas de colores colores diferentes diferentes desplegandespleganHallar do dos dos banderas banderas una una encima encima de la otra. otra. do

53.

Hallar el número número de señales señales distintas distintas que que se pueden pueden realizar realizar con con seis banderas banderas de colores colores diferentes diferen tes desplegando desplegando Hallar tres banderas banderas una una encima encima de la otra. otra. tres

54.

¿De cuántas cuántas maneras puede elegir elegir un presidente, presidente, un secretario secretario y y un tesorero tesorero en ¿De maneras se puede en un un club club formado formado por por 12 miembros? ? miembros

55.

¿De cuántas cuántas maneras maneras se pueden pueden colocar colocar 2 libros libros distintos distintos encuadernados encuadernados rojo, 3 distintos ¿De en rojo, distintos en gris gris y 4 distindistintos en azul azul sobre sobre una una estantería estantería de manera manera que que todos todos los libros un mismo mismo color color estén tos libros de un estén juntos? juntos?

56.

En una una pared pared están están clavadas clavadas 4 perchas. perchas. ¿De ¿De cuántas cuántas maneras maneras distintas distintas se pueden pueden colgar colgar de de ellas ellas 3 chaquetas, chaquetas, una una En cada percha? percha? en cada

57.

Hallar cuántos cuántos números números de dos dos cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos O, Hallar O, 3, 5, 7.

s7

58.

Hallar cuántos cuántos números números pares pares de dos dos cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos Hallar dígitos 3, 4, 5, 6, 8. 8.

tas ro in-

59.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los los dígitos dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Hallar

60.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras cifras se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 1, 1, 2, ... ... , 9. Hallar

61.

Hallar cuántos cuántos números números de tres tres cifras, cifras, iguales iguales o distintas, distintas, se pueden pueden formar formar con Hallar con los los dígitos dígitos 3, 4, '5, 6, 7.

62. 62.

Hallar cuántos cuántos números números impares impares de tres tres cifras, cifras, dos dos iguales iguales y otra otra distinta, distinta, se pueden pueden formar Hallar formar con con los los dígitos dígitos a) a) 1, b) 1, 2, 4, 6, 8. 2, 3, 4, b)

63.

Hallar cuántos cuántos números números de cuatro cuatro cifras cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 3, 5, 6, 7, 9. Hallar

64.

Hallar cuántos cuántos números números de cifras distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos dígitos 2, 3, 5, 7, 9. Hallar de 5 cifras

65.

Hallar cuántos cuántos números números enteros enteros comprendidos comprendidos tienen todas todas sus cifras Hallar 100 y 1 000 tienen cifras distintas. distintas.

66.

Hallar cuántos cuántos números números enteros enteros mayores mayores de 300 y menores menores de 1 000, 000, con con todas todas sus sus cifras Hallar cifras distintas, distintas, se pueden pueden forformar con mar con los digitos dígitos 1, 2, 3, 4, 5.

67.

Hallar cuántos cuántos números números comprendidos comprendidos entre entre 100 y 1 000, con con todas todas sus sus cifras cifras distintas, distintas, se pueden Hallar pueden formar formar con con los los dígitos O O,, 1, 2, 3, 4. dígitos

68.

Hallar cuántos cuántosnúmeros cuatro cifras cifras mayores mayores que que 2000 2000 se pueden pueden formar formar con con los 1,2,3,4 Hallar 'números de cuatro los dígitos dígitos 1, 2, 3, 4 de de manemaneque las las cifras cifras a) no no se puedan puedan repetir, repetir, b) b) se puedan puedan repetir. repetir. ra que

69.

¿Cuántas palabras palabras se pueden pueden formar formar con con las letras letras de problemas manera que que empiecen empiecen por ¿Cuántas problemas de manera por una una vocal vocal y termiterminen por por una una consonante? consonante? (Las palabras palabras no no necesitan necesitan tener tener significado.) significado.) nen (Las

70.

En cierto cierto sistema sistema telefónico telefónico se utilizan utilizan cuatro cuatro letras letras diferentes diferentes P, R, S, T y Y los cuatro cuatro dígitos dígitos 3, 5, 7, 8 para para dedeEn signar a los abonados. abonados. Hallar Hallar el máximo máximo de

a)

b, b2 b3 b¿

al

n

31.

En el desarrollo

32.

a)

Demostrar se modifica.

de

la Propiedad

Demostrar

b)

a2 a3 a4

siguientes:

1:

la Propiedad

d, d2 d3 d¿

el e2 e3 e4

Si se intercambian 11:

Si todos

las filas por las columnas

los elementos

de una

línea

en un determinante, son

nulos,

su valor no

el determinante

vale

cero.

33.

Demostrar

34.

Transformar

1 2

que el determinante

2 4 8

4 3

3 6

es igual a cero.

12 2 16 24 1

3 4

-2

4

1

1 3 4

-2 1

2

3 4

-2

2 -1

el determinante

3

-3

en otro

equivalente

que tenga

tres ceros en la ter-

cera columna. 4

-2 1 3 1 -3 -2 3 4 2 1 1 -3 4 -1 2 -1 2 4

-2 35.

Transformar

la cuarta

el determinante

Dado

el determinante

1-

a) b)

el

3

en otro equivalente

que tenga cuatro

ceros en

-1 2

columna.

-1 36.

1 -2

4 -3

2 -1 1

2

4

-2 2 -1

3

-2 2 -1

3

escribir los menores complementarios y los adjuntos de los elementos desarrollar el determinante por los elementos de una línea, hallar el valor del determinante.

de la tercera

fila.

1. 37.

Transformar

y a continuación

38.

Calcular

2 a)

-1

l

3 1 4

-2 2 3

hallar

2 -3 1 -1

su valor. desarrollándolo

3 2 2 -3

en otro equivalente

por los elementos

que tenga tres ceros en una fila

de dicha fila.

el valor de los determinantes:

-1

-3 l

-2 el determinante

1

3 2

2

-1 -2

-3

2 4 3

-3

h)

3 4 -2

1

-1

2 2 l

O -3

3

-1

1 -3 2 4

el

1 -2 3 -1

2 -1 1 2 -1 3 1 -4 -1 4 -3 2

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3

2

-2 d) 1

O

2

-1

-1 3 3 4

-2

-3 4

-1

1 2

2 3

1 O O 1 I O

DETERMINANTES

274

DE ORDEN

n

1 39.

Descomponer

en factores

los determinantes:

a) \

~2

~2

a3

40.

Resolver

los sistemas:

2:::

42.

Determinar

a)

43.

el sistema

{

b)

!

y y2

Z

x3

y3

Z3

Z2

2x ~ y - 3z = - 5 3y + 42 + u: = 5 2= _ w - 4x = O w

+

3x - y = 4

~44+ 2i5 = O

-:-il -3i2

+ 2i4 + 3i5 = 2 11 + 2/3 - 15 = 9 2il + i2 = 5 incompatibles

FRA

o indeterminados

2X-V+==2

los sistemas:

+ 3y - 2:: = 2 3x - y - z = 1 2x + 6y - 42 = 3

X

+

e)

2)' - 4= = 1 { x - 4)' + 6= = 3 3x

b)

x

Resolver

{

si son compatibles.

2x - 3v + z = 1 + 2.1' - z = 1 ,3x - y + 2= = 6

f

e

h3

!

a)

;;: ~ ;;3_Hallar

b)

\

3

x - 2.1" + 2 - 3w = 4 2x + 3~'- z - 2w = -4 3x - 4)' + 2= - 4w = 12 2x - y - 3= + 2w = - 2

t, e i4 en ,,1 sistema

41.

~2

x x2

{

d)

{

2u + v - 3w = 1 u - 2v - w = 2 u + 3v - 2w = -2

FRA

3x - 2;- + 4= = O 2x + y - 3z = O x + 3y - 22 = O

!

2x + ky +

44.

2 + w = O I)y - 2= - w = O x - 2y + 42 + 2w = O 2x + y + Z + 2w = O

3x

Hallar los valores de k para los cuales el sistema tas de la trivial.

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 29.

a)

30.

a)

31.

36.

5 8 Y

e)

+.

b)

5

b)

8

+

(k -

tiene soluciones

distirÍ-

PROPUESTOS

3

e)

respectivamente

-38

FRAI

37. 28 38.

a)

38

39.

a)

ahe(a -

40.

a)

x

41. il

=

=

-143

b)

b)(b -

2, Y

3. i4

=

=

-1.

z

=

a)

(x -

1

b)

=

3, u'

88

d)

b)

I)(y x

=

1)(z 1. Y

=

l)(x

-1,

Z

y)(}. -

=

2, w

2)(Z "" x)

=

O

-2

42.

a)

43.

solo tiene ·Ia solución

44.

k=-I

compatible

-108

e)

e)le -

b)

indeterminado trivial x

=

y

incompatible

e)

=z =

d)

O

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incompatible

TEO]

~

CAPITULO 28 CAPITULO

Fracciones simples Fracciones

~~:~ de los polinomios polinomios de xx.. Es el cociente ~~:~

FRACCION POLINOMICA. POLINOMICA. FRACCION ·

Por ejemplo,

2 3X2 -

1

3x

polinómica. 3 7 2 4 es una fracción polinómica. x + x -

FRACCION PROPIA. PROPIA. Es aquella en la que el el grado grado del polinomio polinomio numerador numerador es inferior inferior al FRACCION correspondiente del polinomio polinomio denominador. denominador. correspondiente ·

Por ejemplo, ejemplo, xX22

2 2x - 3 4x 2x 4X2 + 1 5 + 4 Y x44 _ 3x 3 son fracciones propias + 5x propias + x+ x - x

Fracción impropia es aquella en la que el grado grado del polinomio Fracción impropia polinomio numerador numerador es igualo igualo superior superior denominador al correspondiente correspondiente del denominador 2 ·. 1 2XX 3 + 6x 6X2 - 9 f ' ,.. . .. l or eJemp ejemp raCCIOnImpropia Por oo,, x232 _ 3x 3 +- 29 es una fracci raCCIOn Impropia

P

x -

x

+

Efectuando EfectUando la división, toda toda fracción impropia impropia siempre es posible expresarla expresarla como suma de un polinomio propia. polinomio y una fracción propia. 2 P . l 22XX33 + 6x Por eJ'emplo, 6X2 -- 9 9 _ _ 2 2 or eJemp o, x2 X2 _ _ 3x 3x + + 22 -- xX

+ +

12 12 +

32x 32x -- 33 33 x2 X2 _ - 3x 3x + + 22

FRACCIONES FRACCIONES SIMPLES. SIMPLES. Toda Toda fracción propia propia se puede, puede, en general, expresar expresar como suma de otras otras fracciones fracciones (fracciones simples) cuyos polinomios polinomios denominadores denominadores sean de grado grado inferior inferior al del denominador denominador de la fracción dada. dada. ·

3x 3x - 5

Por ejemplo, eJemplo,.2 Por 2 x-x+ .~ - 3x

2= +2

3x 2 1 3x - 5 .' = = = --1 - -x- - 2) xxl)(x 2) x - 1 + --2 x - 2

(x: - --;-:-.,---1)(

x- (x

TEOREMA TEOREMA FUNDAMENTAL. FUNDAMENTAL. Para Para descomponer descomponer una una fracción propia propia en fracciones fracciones simples se procede procede de las formas formas siguientes, según segÚn los casos. casos. 1) 1)

Divisores Divisores lineales lineales distintos. distintos.

A cada cada divisor divisor simple del polinomio polinomio denominador denominador de la fracción fracción dada dada del tipo tipo ax ax

+ b, le co-

rresponde ' siendo A una fracción fracción simple de la forma forma ~b ~b A una una constante constante distinta distinta de cero. cero. rresponde una ax ax + x + 44 A B A B Ejemplo. Ejemplo. (x (x + 7)(2x 7)(2x - 1) = = xx + 77 + 2x 2x - 1 275

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276

FRACCIONES SIMPLES SIMPLES FRACCIONES

2)

Divisores lineales lineales múltiples. múltiples. Divisores

cada' ' divisor múltiple múltiple del polinomio polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada dada del tipo ax ax potencia pp,, le corresponden corresponden p fracciones simples de la forma vado a la potencia A Az2

Al Al

+

b ele-

1. •

Ap Ap

ax + b + (ax (ax + b)2 b)Z + .. ... . + (ax (ax + bY' ax

siendo Al' Al' A Az,2 , •.... . ,, Ap Ap constante constante y Ap Ap Ejemplos. Ejemplos.

=1= '"

o. O.

3x - 1 A 3x B (x + 4)2 4)Z = = x (x + 4)2 4)Z (x X + 4 + (x

5X2 - 2 A B e D E 3 2=3+2"+-+ 2+ -x +- 1 x (x + 1) x x x (x + 1)

3) 3)

Divisores cuadráticos euadrátieos distintos. distintos. Divisores

polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada divisor simple del polinomio dada del tipo ax' ax 2 corresponde una fracción simple de la forma le corresponde Ax Ax

ax?2 ax

+

bx + e, + bx

+

B bx bx + e

constantes que no son nulas simultáneamente. simultáneamente. siendo A Y B constantes Nota. . Se supone supone que ax ax'2 + bx bx + e no se puede descomponer Nota descomponer en producto producto de dos factores enteros lineales reales de coeficientes enteros

Ejemplos. Ejemplos.

2.

X2Z -- 3 A Bx X Bx + e = -- - 2 + + --(x _ X2Z+4+ 4 (x-2)(x22)(x +4) 2 + 4) = x x-2 x A Bx Dx 2X3 A Bx + e' Dx + E E X3 - 6 x(2x2 2 + + 3x 3x + + 8 8)(x2 + X + 1) 1) = = + 2X2 x(2x )(x 2 + X+ + 2X2 ++ 3x 3x ++ 88 ++ -X;:'2 X2 ..:.+~x..:.+=-+ X+

xx

4)

Divisores cuadráticos euadrátieos múltiples. múltiples. Divisores

polinomio denominador denominador de la fracción dada A cada divisor del polinomio dada del tipo ax? ax 2 potencia pp,, le corresponden corresponden p fracciones simples de la forma do a la potencia Alx Alx + BI BI ax ax' 2 + bx bx + e

+ AA2x2 x + BB22 + (ax (axZ 2 + bx + C)2 e)2

+ bx bx + e eleva-

Apx+Bp Apx + Bp + ... . ., + (a.x bx + e)P c)P (a.xz2 + bx 3. -

(

Al' ' BII, , A Az,2 , B Bz, siendo Al 2• Ejemplo. Ejemplo.

.... . . ,,

constante y Ap, Ap, Bp no nulas simultáneamente. simultáneamente. AP, Bp constante

ex

xX22 -- 4x + 1 Axx + B Ex + F A ex + D D -:-(.\~.2¡--+-\:-:)T2 ),,-;(.~\z;--+-.-\-+---;-l) = -x-2-+-x-z-+-\ 1 = = (x (XZ2 + 1)2 \)2 + 77-+-.-\ -:(x1 .2-+ ---CI;-:)" 2)-"(x ~2¡-+-.x -+---:-I)= -+- .-x -+-\ -+- 1

Res

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277 277

FRACCIONES SIMPLES FRACCIONES SIMPLES

PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS PROBLEMAS l.

+2

x x+2

.

Recomponer en en fracciones fracciones 2 22 Recomponer 2x 7x X -7x Tendremos Tendremos

+ 22 +

x

o

15

(2x (2x

+

x + 2

+

A A

B

(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

2x 2x+3+ 3

x-S x-S

------- - + ----- = -

3)(x 3)(x - 5)

- =

B(2x + 5) + + B(2x + 3)

A(x A(x

(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

(A (A + + 2B)x 2B)x

+-

3B 3B - 5A 5A

= ~--~----'------~---(2x + 3)(x - 5) (2x+3)(x-5)

Hay que que determinadas determinarlas constantes constantes A y B de de forma forma que que Hay (A + + 2B)x 2B)x + + 3B 3B - 5A 5A (A

xx+2 + 2

+

(2x (2x

(2x (2x

3)(x - 5) 3)(x

+

+

+

+

x + 22 = = (A (A + 2B)x 2B)x + 3B 3B -

o

sea una una identidad identidad

3)(x 3)(x - 5) 5A

Igualando los los coeficientes coeficientes de de las las potencias potencias de x, se obtiene obtiene 1 Igualando / 13 YY B == 7/13 7/ 13.. sistema resulta A == -1 sistema resulta -1/13 Luego

Luego

.\'+2 x + 2 2X2 _- 7x Tx 2X2

Otro método. Otro método.

2.

2X2 2X2

15

== AA + +

2B 2B YY 2

A(x - 5) + B(2x + x + + 2 = = A(x + B(2x + 3)

5 + + 2

Para hallar hallar A, A, hacemos hacemos x Para

= -3/2: -3/2:

-3/2 A(-3/ 2 - 5) + B(O), -3/2 + + 2 = A(-3/2 + B(O),

IOx - 3 2

5A. Resolviendo este este 5A. Resolviendo

-1/13 7/13 -1 7 -1 / 13 7/ 13 _,...,-7_-::+- = 13(2x-1+ 3) + 2x + + 3 + x-S 2x x - 5 = 13(2x + + l3(x l3(x - 5)

=

= 55::

+

-

= --

Para hallar hallar B, B, hacemos hacemos x Para

(x + + I)(x 1)(x - 9) (x

== 3B 3B

A

=

+

+

A(O) + B(IO B(IO + 3). 3), A(O)

7

=

13B, I3B.

B

7/13. = 7/13.

1/2 = -13A -13A/2,/ 2,

A A

/ 13. = -1 -1/13.

e

B

=--+--+-=--+ -- + -x + + 1 xx + + 3 xx -- 3

2X2 + + 10x - 3 = = A(x + B(x + I)(x + e(x + I)(x I)(x + + 3) 2X2 A(x2 2 -- 9) + B(x + I)(x - 3) + e(x +

Para - 1: A, hacemos hacemos x = = -1: Para hallar hallar A,

3.

11/8. 11 /8.

Para - 3: Para hallar hallar B, hacemos hacemos x = -3:

= -5/4. B = -5/4.

18 + + 30 - 3 = = e(3 e(3 + + 1)(3 + + 3). 3),

e ==

15/8.

2X2 + + 10x - 3 11 2X2 1\ 5 15 =--- -- -- --- -- + + --- -= (x+l)(x2-9)2 -9) 8(x+l) 4(x+3) 8(x-3) (x+l)(x 8(x+l) 4(x+3) 8(x-3)

2X2 + 7x + 23 A B 2X2 A B ------ - - - = =-- - + --- - - + --

(x -

A ~ A::

Para hacemos x == 3: Para hallar hallar C. hacemos Luego Luego

\

2 - 10 - 3 = = A(I A(I - 9), 9), 18 - 30 - 3 = B( - 3 + + 1)(-3 1)( - 3 - 3), = B(-3 3),

I)(x + + 3)2 I)(x

X -

1

+ 3)2 (x +

X X

e-

+ +

3

2X2 + + 7x 7.• + + 23 = = A (x + + 3)2 + B( .• 2X2 A (x W+ B(x

e(x 1) + + e(x

= A(x 2 + + 6x 6x + + 9) + + B(x = B(x A(x2

= A.\·2 + 6Ax 6Ax + + 9A 9A + + Bx = Ax 2 + Bx = (A (A + + e)x' = C)x

2

+ +

I)(x + 3) I)(x +

+ e(,,2 e( .• 2 + + 2x 1) +

+

+

B ex2 + 2Cx 2e.>: B + Cx'

= 2. 5. 2, B B = - 5,

e

3e 3C

(6A + + B + 2C).>: + 9A 9A - 88 -- :;C :;e (6A B + 2C)x +

= 2. 6A + + B + 2C 2e = 2, 6A B+ = 7 Y Y 9..1 9..1 - B 2X2 + 7x 2 5 2X2 7x -i-i- 23 = O. Luego ---- - --.. ...----Luego - - == --- - ---(x l)(x (x + 3)2 (x I)(x + 3)2 XX - II (x

Identificando + C e Identificando los coeficientes coeficientes de de potencias potencias x, x. AA + Resolviendo sistema. A Resolviendo el sistema, A

3)

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-

3e 3C

= 23. 23.

FRACCIONES SIMPLES SIMPLES FRACCIONES

278 Otro Otro método.

4.

2X2 2X2

BC-' - [) + 7x + 23 = A(x A(x + 3)2 + B(.' 1) + C(x C(x - I)(x I)(x + 3).

Para hallar hallar A, hacemos hacemos x Para

= 1:

Para hallar hallar B, hacemos hacemos x Para

[8 B(-3 - 1), = -3: -3: 18 - 21 + 23 = B(-3

Para hallar hacemos x Para hallar C, e, hacemos

= O: O:

2-6x+2 xx2-6x+2 (x - 2)2 x22(x

2

+ 7 + 23 = A(1 + 3j2, 3)2,

A(x - 2)2 + Bx(x Bx(x - 2)2 + CX2 + 2 = A(x Cx? + DX2 (x - 2)

+

4) 4)

Bx(x22 - 4x + + Bx(x

x2-6x+21 1 3 x2-6x+21 = -- -- -= -2X2 2(x - 2)2 x22 (x - 2)2 2X2 X 2(x

xX22 - 6x

Otro Otro método.

Para hallarA, hallarA, hacemos hacemos x Para

Para Para x

2)

3

2D = 1, -4A + D = O, A - 4B + C e -- 2D -4A + 4B = -1, - 1, C e = -3/2, - 3/2, D = 1.

= =

Deseo 8. -

t- CX2 t ex2

+ DX2 (x - 2).

9. -

Para hallar hallar C, hacemos x = 2:4 = 0:2 0:2 = 4A,A 4A,A = 1/2. Para e, hacemos 2:4 - 12 + 2 = 4C,C 4e,e = -3/2. -3/2.

1- 6

= dos dos valores cualesquiera excepto excepto O y 2 (por (por ejemplo, ejemplo, x = 1, x = - 1). valores cualesquiera + 2 = A(I e + D(I A(1 - 2)2 + B(I B(1 - 2j2 + C D(I - 2)

y Y

Sea y = = x Sea

+

==

-1, D -1,

=

10.

I)B D == -2. -2. 1) B - D

= -1 -1: : 1 + 6 + 2 = A( -1 -1 - 2)2 - B( -1 -1 - 2)2 + C e + D( -1 -1 - 2) Y 2) 9B + 3D = -6. -6.

11. -

1.

SOLú 2; = y - 2. 2; tendremos tendremos x = 8. -

xX22 -- 4x - 15 (x

2) 2)

1 X - 2

La solución del del sistema sistema formado formado por La solución por 1) y 2), B

xX22 - 4x - 15

DX2 (x + CX2 Cx" + DX2

+-- -

+ 2 = A(x A(x - 2)2 + Bx(x Bx(x - 2j2 2)2

Para Para hallar hallar By By D, hacemos hacemos x Para 1: Para x == 1:

4) 4)

+ D)x3 + (A - 4B + C e -- 2D)x2 + (-4A (-4A + 4B)x 4B)x + 4A

Identificando potencias de de x, x, B Identificando los los coeficientes coeficientes de de iguales iguales potencias -6, Resolviendo el sistema 2, B - 6, 4A = 2. Resolviendo sistema se obtiene obtiene A = 1/ 1/2,

+

= -5. -5.

BC B e D D X (x - 2)2 X -- 2 X X

A

xX2

= (B =

(x (x

B

7.

2(3)2 - 5(-[) = 2(W 5( -1) + C(-1)(3), C( -1 )(3), C e = O. o.

23

= A(x22 ~ ~ 4x = A(x

S.

= 2.

=-+ - + - - - + -=-+-+---+-2 xX22 _ 6x

Luego Luego

A

+ 2)3

.\

y2 y2 -_ 8y - 3 y3

4(y - 2) - 15 (y - 2)2 - 4(y y3

9. -

.\

1

- Y-

8 3 y2 - y3 - X

3 (x '1- 2)3

8

+2

- (x

+ 2)2

-

10.

11.

2 -

.\

6.

7X2 Ax + B 7x2 - 25x + 6 Ax (x2 _ 2x _ 1)(3x _ 2) = xX22 - 2x - 1 (x2 2) = 7X2 7x2 - 25x

+

6

+

C e 3x - 2

B)(3x = (Ax (Ax + B)(3x = = (3Ax (3Ax22

= (3A =

+

2) 2)

+ C(x C(x22 - 2x -

3Bx 2Ax - 2B) 3Bx - 2Ax

7.>:2 7;(2 - 25x + 6 6. . x - 5 = 2 (x22 -_ 2x (x 2x _- 1)(3x 1)(3x -- 2) 2) = xx2 -- 2x 2x -- 11

e) C)

= 7, 3B - 2A - 2e e = 6. 2C = - 25, 25, - 2B - C = 1, B = - 5, C e = 4.

4

+ + 3x 3x--- 22

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x

13.

x

CX2 2Cx - C ex2 - 2ex e

+ C)x e)x22 + (3B - 2A - 2e)x (-2B 2C)x + (-2B

Identificando los los coeficientes coeficientes de de iguales iguales potencias de x, 3A + C e Identificando potencias de La solución del sistema sistema formado formado por estas tres ecuaciones es A La solución por estas tres ecuaciones

L L uego uego

+

1)

12.

14. -

.\

15. x 16.

-

x

FRACCIONES

7.

4x2

28 .

-

+x2_6

X4

4x2

=

28

-

4x2

+

= (Ax3 = (A

Identificando

La solución

8

los coeficientes A + C = O,

+

8x2

D

x -2

8)(x2

+

+

Cx

+ ---2

x +3

28 = (Ax

-

+

Ax

= ---2

(x2+3)(x2-2)

2)

-

-

+

+

(Cx

+

(Cx3

+

2Ax - 28)

C~\"3 + (8

D)(x2

+

3)

+

DX2

+

de iguales potencias de x, 8 + D = 4. 3C - 2A = O.

+3D)

3Cx

D)x2 + (3C - 2A)x - 28

+

3D

- 28 + 3D = - 28

4x2 - 28 Luego --,-----=-x4 + x2 - 6

es A = O. 8 = 8. C = O. D = -4.

del sistema

279

SIMPLES

8

4

x2+3

-7=2

PROBLEMAS PROPUESTOS Descomponer 8.

9.

10. 11.

en fracciones

x+2 x

2

12.

7x + 12

-

+

12x

11

13.

x2+x-6 8 - X 2X2

+

14.

3x - 2

5x + 4

15.

x2 + 2x

SOLUCIONES

•

6 ----x - 4

9.

7 x _ 2

8

DE LOS

x x2 - 3x -

x2 x3

-

+

3x3 + IOx2 x2 (x

19.

+ +

27x + 27

20.

3)2

x

+

x2

-

6x

18.

x'

5x2 + 8x + 21 2 (x + x + 6)(x + 1)

21.

PR08LEMAS

PROPUESTOS 17.

1

3

2

5

-+-+-----X x2 X + 3 (x +

3)2

3

2

+

18.

2

2x x2

+

+

3

X

+

3

6

+-x +

1

3

+

x

+

11.

~

12.

2/3 x-6+x+3

13.

325 x+l+x-l+x+2

14.

I 2 - - -x x-2

15.

x

16.

3 -x - 2

2 1/3

19.

x2

2x -

1

+

2x

+

7x

+

2

+

2x + 2

2

+

3x

+

I

-2----

x

- x -

1

2

+-x+3

2

+

2

x _ 2 + x

+ ---

+

4

(x - 2)2

2

+ ---

5

(x - 2)'

+

5x'

4x2

+

7x + 3

(x2 + 2x + 2 )(x2 -

X -

3x x' -

1

9x - 6

5

+

2x _ 1 - x

2

17.

3x2-8x+9 (x ,.:.,.2)3

x2 - 4

3

x -

16.

18

IOx2 + 9x - 7 (x + 2)(x2 - 1)

5

3 10.

simples:

21. x2

2>: + + ---------.

I

(x2 + 2x + 2)2

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7x' + 16x2 + 20x + 5 (x2 +. 2x + 2)2

1)

w CAPITULO CAPITULO 29

Series infinitas

SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto conjunto de números, números, u¡ U¡, , U2' U2, U3, U3, ... ••. dispuestos en un orden SUCESIONES. Una sucesión ,, dispuestos orden definido y que que guardan guardan una una determinada determinada ley de formación formación. . Cada Cada número número de la sucesión sucesión se llama definido llama término. Si el número número de términos términos es finito, finito, la sucesión sucesión se denomina denomina sucesión sucesión finita caso contérmino. finita y en caso contrario, sucesión sucesión infinita. infinita. trario, Por ejemplo, ejemplo, el conjunto conjunto de números, números, 2, 5, 8, .. ... . , 20, 20, es una una sucesión sucesión finita finita, , mientras mientras que Por que 1, 1/3, una sucesión infinita. sucesión infinita. 1/ 3, 1/5, 1/7, ...... , es una Mientras no no se advierta advierta lo contrario, contrario, en este este capítulo capítulo solo solo trataremos trataremos de las las sucesiones sucesiones infinitas. infinitas. Mientras TERMINO ENESIMO DE DE UNA UNA SUCESION. SUCESION. formación mediante mediante la cual cual se obTERMINO ENESIMO Es la ley de formación obtiene un término término cualquiera cualquiera de la sucesión sucesión en función función de otros otros anteriores. anteriores. Esta Esta ley, en general general, , viene tiene viene dada por por una una expresión expresión en la variable variable n de forma forma que que dándole. dándoleloslos sucesivos sucesivos valores valores 1, 2, 3, ... ..., dada obtienen el primero, primero, segundo, segundo, tercero, tercero, .. ... . , términos. términos. El término término enésimo enésimo es el término término general se obtienen general de la sucesión. sucesión. de Por ejemplo, ejemplo, si el término término enésimo enésimo de una una sucesión sucesión es Un Un Por

Yquinto quinto términos términos son, son, respectivamente, respectivamente, U¡ U¡

1

= n22 =

1

1

primero, segundo segundo + 1 ' el primero,

1

1

1

1

= = 26 . = -¡-r::¡:-¡ tT+1 == 2" ' U2 U2 = = 22 + +1= = "5 ' Us Us = = 52 52 + +1=

SERIE. una suma suma indicada, indicada, U¡ U¡ + + U2 U2 + + U3 U3 + números de una una sucesión. sucesión. Los Los númeSERIE. Es una + ... , de los números números U¡ U¡, , U2, U2, U3' U3' .•••.. ,, se denominan denominan primero, primero, segundo, segundo, tercero, tercero, ... ... , términos términos de la serie; serie; Un Un es el enésiros enésimo término término de la misma. misma. Si la serie serie consta consta de un un número número finito finito de términos, términos, se llama llama serie serie finita, finita, y, mo caso contrario, contrario. serie serie infinita. infinita. en caso Por ejemplo, ejemplo, si el término término enésimo enésimo de una una serie serie es Por

p

El símbolo símbolo

LL Un

Un

representa representa U¡ U¡

n=1 n=1

símbolo El símbolo

f

Un representa representa U¡ U¡ Un

+ .. + + up + uu~2 + + U3 U3 + + .... p

+ U2 U2 + + U3 U3 + + .... + ..

"=1 "=1

co N, la sucesión carece de límin te. Si los sucesivos términos de una sucesión aumentan constantemente, no existe lim Un Y para indicarlo

se emplea

la notación

Iim

Un

= oo.

n-e co

Por ejemplo,

si

Un

=

2n, Iim 2n

= 00, ya que los sucesivos

términos,

2, 4, 6, 8, 10, ...

, de

n-ceo

la sucesión

aumentan

constantemente

sin ninguna

barrera.

Una forma más intuitiva, aunque menos rigurosa que la anterior, de expresar el concepto de límite, es decir, que el límite de la sucesión U¡, U2, U3, .•. es L, si los términos sucesivos se aproximan cada vez más al valor L. Esta manera de interpretar el límite sirve, con frecuencia, para «adivinar» el valor de L, si bien es cierto que para determinar correctamente el valor de un límite, hay que recurrir al concepto primario a pesar de que la demostración resulte a veces muy dificil. . I I ., P or ejernp o, en a sucesion

3 579 ('2' 3 ' 4 ' 5'

...

demostración,

véase el Problema

TEOREMAS

d

) se aproximan

DE LOS LIMITES.

,. e termino

genera

Iim (an

n-e co

2.

±

Iim (an

bn)

=

bn)

=

n-e co

3.

a;

Iim n-e co

TJí

Iim a;

n-eco

2n + 1 n +

= ---1'

Iim a; y Iim b., se verifica: "-'Xl

lim b; e -e co

Iim an

Iim

a-e co

a-e co

b

n

lim a" a-e co

Iim b;

que Iim b; =F O

siempre

e-e eo

n-e ec

Si Iim b;

= O

y Iim a; =F O, Iim ~ no existe e-e co bn a-e co

= O

y Iim an

a-e co

Si Iim b; a-ceo

a-e co

puede

7.

Si existen

±

Un

a 2, con lo que éste número

a-e co

1.

I

= O,

Iim a-e co

an

t; puede

o no existir

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I ,. os terminas ser su límite.

. sucesivos Para

la

282 282

SERIES INFINITAS SERIES INFINITAS

4.

(an)P Iim (an)P

(lim = (lim

an)P, an)P,

p

= un un número número real real

CR

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS. sucesión está acotada si existe existe un un número número popoSUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS . Una Una sucesión está acotada sitivo M M,, independiente independiente que Iunl :~;: ; M para ... de n, tal tal que para n == 1, 2, 3, ... sitivo Por ejemplo, ejemplo, 3, 5/2, 5/2, 7/ 7/3, 9/4 es una sucesión acotada, acotada, ya que el valor absoluto de de cada cada térmiPor 3, 9/4 una sucesión ya que valor absoluto término excede a 3. La La sucesión sucesión 3/4, 3/4, - 4/ 4/5, 5/6, - 6/7, 6/7, 7/8 7/8 está está acotada, acotada, ya que el valor absoluto 5, 5/6, ya que valor absoluto no nunca nunca excede de cada cada término excede a 1. de término nunca nunca excede La sucesión sucesión 2, 4, 6, 8, ... ... , no está acotada. acotada. La no está U na sucesión es monótona monótona creciente creciente si Un Un + I¡ :?; Un' Y monótona monótona decreciente ~ Un' para na sucesión decreciente si Un + I¡ :;::; para Por ejemplo, ejemplo, la sucesión sucesión 1/2, 3/4,4/5, 3/4, 4/5, 5/6, 5/6, .. ... . , es monótona creciente y la sucesucen == 1, 2, 3, ..... . Por monótona creciente sión 3, 2, 1, O, - 1, - 2, 2, - 3, ..... . , es monótona monótona decreciente. decreciente. sión Toda sucesión sucesión monótona, monótona, creciente creciente o decreciente, decreciente, y acotada acotada tiene tiene límite. límite. Por Por ejemplo, ejemplo, las Toda sucesiones sucesiones 3/4, 4/5, 4/5, 5/6, 5/6, ... . . 1/2, 3/4,

y

1/4, 1/ 1/8, 1/16, 1/32, .. ... . 1/4, 8, 1/ 16, 1/32,

CR

están acotadas acotadas y son son monótonas creciente y decreciente, decreciente, respectivamente. Por tanto, ambas susuestán monótonas creciente respectivamente. Por tanto, ambas cesiones tienen límite. cesiones tienen límite.

Sin embargo, embargo, para que una sucesión tenga límite no que sea sea monótona creciente Sin para que una sucesión tenga límite no es necesario necesario que monótona creciente decreciente. Por Por ejemplo, ejemplo, la sucesión sucesión 2/ 2/3,5/4,3/4,6/5,4/5,7/6,5/6, está acotada acotada y no mo3, 5/4, 3/4, 6/ 5, 4/5, 7/6, 5/6, ..... . , está ho es moo decreciente. nótona creciente ni decreciente. decreciente. Su límite nótona creciente límite es 1.

SEF CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DIVERGENCIA DE SERIES SERIES INFINITAS INFINITAS CONVERGENCIA DE Sea Sn S; == U¡ .... + Un la suma suma de de los los n primeros serie U¡ Sea U I + U2 + U3 + .. primeros términos términos de la serie U I + U2 + Los términos sucesión SI' SI' S2, S3' S3, ... ..• llaman sumas serie Si + ...... Los términos de la sucesión S2, ,, se lI'aman sumas parciales parciales de la serie S; = = S es un finito, la serie serie UU¡I + U2 + U3 + ... ... es convergente convergente y S es la suma Iim Sn un número número finito, suma de la n-+

U3 n-+

(fJ (fJ

serie infinita. infinita. Una serie que que no sea convergente convergente se llama llama divergente. divergente. serie Una serie no sea

1 I ... . .' d · 2" · 11 dIe os dl·e1 alsene P·or or eJemp ejernp o,I a suma SUma dI os n pnmeros terrnmos sene "2 o, pnmeros termmos

1 111+1 + 21 233 + 244 + ... es I1a 22

suma de los n primeros geométrica de primer suma primeros términos términos de una una progresión progresión geométrica primer término término

1

2""2 y

razón razón

1

2""2;;

esta suma suma vale vale Sn S; = 1 - }.. Como lim (1 (1 - }.) serie es convergente convergente y su sumaS = 1. esta ~. Como ~) = 1, la serie a-e co n- oc.

serie 1 - 1 + 1 - 1 + .. .... , la suma suma de los los n primeros O ó 1 según según que que el En la serie primeros términos términos es O número dee términos que se tomen sea par impar. Por Por tanto, tanto, no existe lim lim Sn S; y la serie serie es didinúmero d· términos que tomen sea par o impar. no existe n- ce: vergente. nvergente. ó

> 1, c) e) nada afirmar si R = = 1. Convergente divergente si R nada se puede puede afirmar

SERIE ALTERNADA. aquella cuyos cuyos términos son, alternativamente, alternativamente, positivos SERIE ALTERNADA. Es Es aquella términos son, positivos y negativos. negativos. . 1 1 1 Por ejemplo, Por ejemplo, 1 - '2 "2 + '3"3 -- ¡4" +

+ Si la

Una serie alternada alternada es convergente convergente si: si: Una serie a) A partir cierto a) partir de de un un cierto ellos del ellos es menor menor que que el del b) El límite límite del del término término lim Iim Un == O.

término, siguientes, el valor absoluto de cada cada uno término, y para para todos todos los los siguientes, valor absoluto uno de de anterior, < y si anterior, es decir, decir, si general, crece indefinidamente, general, cuando cuando n crece indefinidamente, es igual igual a cero, cero, es decir, decir, si

lun+¡111 Iunl, lunl, lun+

n-e n ~ co oo

la CONVERGENCIA ABSOLUTA CONDICIONAL CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

2' 1.

Una serie es absolutamente absolutamente convergente serie formada formada con abUna serie convergente si es convergente convergente la serie con los los valores valores absolutos de sus términos. serie convergente sea absolutamente absolutamente convergente, se llama Una serie convergente que que no no sea convergente, llama solutos de sus términos. Una condicionalmente ejemplo, condicionalmente convergente. convergente. Por Por ejemplo,

1) 1)

1

-

"2 +

1 22

es convergente. convergente. 1 1 2) 1 - 2' "2 + '3"3

-

1 23

1

+

-- ¡4" +

absolutamente convergente, ya que es absolutamente convergente, que

convergente, pero es convergente, pero no no absolutamente absolutamente convergente, convergente, ya que que 1 +

lid' i d ' l serie alternada Luego la serie alternada es condicionalmente condicionalmente convergente. convergente. 2'1 + + ¡4" + "2 + '3 "3 + + .. .... . ,Iverge. iverge. Luego

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284

SERIES

INf=INfTAS

Los términos de una serie absolutamente convergente se pueden ordenar de cualquier forma sin que deje de ser convergente. Sin embargo, si la serie es condicionalmente convergente, ordenando convenientemente sus términos se puede obtener una serie divergente o convergente cuya suma se haya prefijado de antemano.

Una serie de la forma Co + Clx + C2X2 + C3X3 + ... + c"x" + , son constantes, se llama serie de potencias de x.

SERIES DF POTENCIAS. en la que los coeficientes

I

+

x

... ,

Co, Cl, C2' ...

Análogamente, Co + cl(x - a) + c2(x - a)2 tante, es una serie de potencias de (x - a). , ASI, pues,

3.

x2

x3

+ 2' + 3" + . . .

+ ... +

c"(x

-

a)"

es una serie de potencias

+ ... , siendo

a una cons-

4.

de x.

El conjunto de valores de x para los cuales una serie de potencias es convergente y se determina tremo del intervalo.

de convergencia

se llama campo el criterio del cociente junto con otros aplicados al ex-

mediante

PROBLEMAS RESUELTOS TERMINO 1.

GENERAL

Escribir los cuatro primeros

a)

b)

n 2n + 1

I

2n -

, (n + 1)2'

de la sucesión cuyo término general es el que se indica:

son

Los términos

son

Los términos

son

d)

n2 + 1

J2+1'

Los términos

son

1(i+I)'

Los términos

son

2(1) -

xn+ 1 e)

2.

(n + I)!

I

Escribir los cuatro primeros

al

hl

n

2n +'1

2

(-I).-'Jn

el

2(2) -

21

x3

x2

-

-

n + I

4

o sea

2(3) -

I

2(4) -

1

(-If

x·

x'

-

-

5!

(n

4

7

9

10

14

+

o sea

I

2

3

3'

s'

7'9

1

3

5

7

4'

9'

J6'

25'

23

42+

(_1)3

o sea

o sea

x2 -

I

2

2' s'

(_1)·

x3

x·

2 ' 6 . 24'

o sea

4

8

10' 17 1

I

1

-},

6'

I

-12'20'

x' 120 '

1) de las series cuyo término enésimo es el que se indica:

término

(n + 1):

término

(n + 1):

n+1

6. I

3" 2(n + 1) + 1

2n + 3

4(n + 1) -

4n + 2

( - 1r 5

4

5.

22

2(2 + 1)' 3(3 + 1)' 4(4 + 1)

2! ' 3' ' 4!'

1 fififl ---+--2 3 '4

I

22 + 1 ' 32 + 1 '

términos y el término

3 5 -+-+-+2 6

3

I ' 2(3) + I ' 2(4) + I

(2 + 1)2 ' (3 + 1)2 ' (4 + I f

2°

2 I 1+3+3+'27

.f=I'

4h -

I

(T+T¡2'

(_1)1

(-Ir n(n + 1)

+.

2(1) >

nn

nn

1

nn

1

1 + 21 /2 + 3 1/2 + .. .

La serie serie dada dada es es término término aa término término mayor mayor que que la la serie serie divergente divergente (p (p = = 1/2 1/2 < < 1) 1) La

eJ

luego es es divergente. divergente. luego e) e)

11 +

11

11

11

.. .. El El termmo termmo general general es es

10 + ... ... '44 + "7 + 10

Un Un

11 11 > > -3n 3n -- 2 2 3n 3n

= = --- --

La La serie serie dada dada es es término término aa término término mayor mayor que que un 1m tercio tercio de de la la serie serie armónica armónica divergente divergente (p (p = = 1) 1) 11 11 .. luego luego es es divergente. divergente. 11 + "2 + '3 + . ..

2 3'

. . El El termmo termmo general general es es

La La serie serie es es término término a término término menor menor que que la la serie serie convergente convergente (p (p = = 3> 3 > 1) 1

Un

= =

+ 1 1 3 < n - 33 + 2)n 2)n n

nn (n (n

11

es

f)

1 1

+ 233 + 3333 + . .. .. luego luego es es

convergente. convergente.

CRITERIO DEL DEL COCIENTE COCIENTE CRITERIO 16.

Determinar de las siguientes aplicando cociente. Si con este criterio Determinar el carácter carácter de las series series siguientes aplicando el criterio criterio del del cociente. con este criterio se llega llega a un un caso aplicar el criterio caso dudoso, dudoso, aplicar criterio de de comparación. comparación.

3

a)

2I +

4

23 +

5

6

24 + 2S +

n + 2

u"" ==-2"+1 2"+ 1 U

. .. n

o +! uUn+1

''

+

3

= = 2 2n+2 0 +2

Y y

SERIE~

n + 3 . 20+1 2n+ 1 -~ n + 3 uUno++11 _n+3 -;;,:-= 2n+2.·. n + + 2 -= 2(n ++ 2) un - 2n+2

17. H¡

1 111 n+31 n-- +-3 = Luego lim -U'+ --U.+- 11 = -- lim =-1 = = R < < 11 y la serie es convergente. convergente . Luego = o-oc> 2 n_ •_., Uu.o n-.,oc> n ++ 2 2

I

33'0 u" u,. == ;;¡, ;;¡,

o

e) e)

a)

3n+ 3"+ 11 o +11 = U U.+ = (n (n

. IULuego hm lim IU'++-II11 Luego ""-00 ..... 00

lo:

Uu,. II

++

b)

1)4 1)4

. lim == 33 hm

yy

n-)4 (_~)4 (++ 11

"-00 "_a:> n n

1·2 2·3 3·4 4·5 3·4 4'5 1'2 2'3 3 1+ +33 ] 3++Y 7+ 32 +3 Y' ++ ..... .

R> == 33 == R>

1 yy la la serie serie es es divergente. divergente.

n(n + + 1)1) n(n

U"=~' u"=~ '

(n (n

I)(n + + 2) 2) ++ I)(n

U"+l == U"+l

.. Iu. n-Iu'--o++-1111== -l-1.hm n+ +-22 == -1-1 == RR > ll..

Luego Luego la la serie serie dada dada es es absolutamente absolutamente convergente convergente y, y, por por tanto tanto, , convergente. convergente. 20. 20. Hallar Hallar el el carácter carácter de de las las series series siguientes siguientes aplicando aplicando el el criterio criterio del del cociente: cociente: 11

a) a)

22

33

44

22 -- ¡'4 ++ "88' -- 16 .. 16 ++ ....

.. Se tiene tiene Se

nn

lunl == 22n lu.1

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yY

+ 11 nn +

lun+ ,1 == y+T 2n+ , lu.+'¡

en d serie en e

293 293

SERIES INFI INFINITAS SERIES NITAS

I

11

n + 1 2 n + l l u--U+n \ = lim n+12· --' - ' - - == r lim 11--+ 1 = I- =RR < I l y y lala serie .+ 1 lim lternada eses convergente. serie a alternada convergente. n-a;> Un ,. ....• n n-oo 2;2n = 2:2= "~"! = "0000 2"2"+ + 11 n 1m < \ I l 22 33 44 Como elelcriterio criterio del del cociente cociente también también demuestra demuestra que que lala serie serie de de valores valores absolutos absolutos "2"2++"4"4++"88"++16 16 ++ Como

r lim

7.

n

convergente, lala serie serie dada dada eses aabsolutamente convergente. eses convergente, bsoluta mente convergente.

3·3

3")n++ t 1

n

Se tiene tiene lu/u I / - - --(2n)! Se • n - - (2n)!

. \Iu.+ Ilu-- +1\1 .hm

~~: n- ll YYxx < < -- l.l . EsEstamos tamos en en caso caso de de duda duda para para /x/ Ix l = = ll oo x= x = lI yY .vx = = _l. - l.

ll lI lI Para Para xx = = l.1, la la serie se rie es es lI ++ "2"2 ++ "3"3 ++ "4"4 ++

Para Para .vx == -- l.l. lala serie serie es es -- ll

lI

lI

que que es es divergente. divergente.

lI

++ "2"2 - - "3"3 ++ "4"4 - - . ..

que que eses convergente. conve rgente.

Luego Luego elel campo campo de de convergencia co nvergencia de de lala serie serie dada dada eses -- l l ~~ .rx n + 1 "_00

+

-1 -1

1 1

La serie es convergente para Ixl < 1 o bien bien -1 La serie convergente para -1 < x < 1. Para Para x = = 1,

1 1 1 ... que que es es convergente. convergente. 11 -- ----= + ----= - ----= + ...

fi J3 - J¡

la serie serie es

J2

J3

1

1

Para Para x = = --1,1, la serie serie es --1 l - -

- -

J4

- -

1

fifij4 fifiJ4···

-

26.

que que es divergente. divergente.

· ··

Luego Luego el campo campo de convergencia convergencia es - 1 < nn + (x -- 3) 3) + 11 '_00

La La serie serie converge converge para para Ix Ix -- 31 31