Álgebra Superior I Lascurain

´ Algebra Superior I

30 de noviembre de 2011

Pr´ ologo ´ Este libro trata de algunos temas introductorios de Algebra que se han ense˜ nado en la Facultad de Ciencias de la UNAM en las u ´ltimas d´ecadas, en el primer semestre de las carreras de Matem´aticas, de Actuar´ıa, y hasta hace algunos a˜ nos, de F´ısica. Estos temas son fundamentales para todas las ramas de las matem´aticas. El objetivo es que los alumnos de los primeros semestres de las carreras de Matem´aticas, Actuar´ıa, Ciencias de la Computaci´on y F´ısica cuenten con un texto simple y breve donde puedan entender sin mucha dificultad los temas ´ que se cubren en el curso Algebra Superior I. Esta materia es un fundamento esencial en la formaci´on de los estudiantes de estas carreras, y no solamente ´ de aqu´ellos que se van a especializar en Algebra. Los temas que se discuten son los del programa vigente, es decir, conjuntos, funciones, relaciones de equivalencia, inducci´on, c´alculo combinatorio, el espacio vectorial Rn , matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Adem´as se incluye el tema del anillo de los enteros y los anillos Zm . Existen dos buenos libros sobre el tema: el primero, Algebra superior, de los autores H. C´ardenas, E. Lluis, F. Raggi y F. Tom´as [2], y el segundo, editado en a˜ nos recientes con el mismo t´ıtulo, de los autores A. Bravo, C. Rinc´on y H. Rinc´on [1]. Estos dos libros han constituido la herramienta de los estudiantes en los u ´ltimos a˜ nos para estudiar esta importante materia del inicio de la carrera. Sin embargo, el primero [2] contiene un n´ umero excesivo de erratas, no ha sido actualizado y en algunos temas es impreciso y poco formal; algunos resultados no los prueba como el hecho de que los anillos Zm , en efecto lo son. El segundo [1] es, en cierto sentido, m´as adecuado que el primero al ser m´as actual y al profundizar m´as en los temas; el problema radica en que es demasiado extenso, lo cual, aunque lo convierte en un excelente libro de referencia, no resulta adecuado como texto.

i

II

Por otro lado, el libro Algebra superior, de C´ardenas et al. [2] es, de alguna manera, bastante bueno. Esto se debe, en parte, a que contiene ejemplos muy did´acticos, como son los de la baraja inglesa. Otra cualidad que presenta, es la de estar ordenado conforme al temario vigente. Sin embargo, desde que se edit´o, hace ya m´as de cuarenta a˜ nos, s´olo se han hecho reimpresiones (sin revisi´on), y no parece que se vaya a actualizar. Este hecho, junto con la demanda de mis estudiantes por mis notas manuscritas, motiv´o la elaboraci´on del presente libro, el cual retoma varios de los ejemplos de [2], pero enmarca la teor´ıa en un discurso matem´atico m´as actual. Cabe se˜ nalar que esta materia tiene un alto ´ındice de reprobaci´on, ya que un sector amplio de los estudiantes viene de la preparatoria con una formaci´on deficiente, por lo que un texto de apoyo como el presente puede coadyuvar a mejorar el aprovechamiento de los alumnos. El presente texto, basado principalmente en el de C´ardenas et al [2], pretende presentar los temas de manera simple y rigurosa. En la parte inicial se hace ´enfasis en algunos aspectos de la l´ogica formal, con el objeto de describir la simbolog´ıa y facilitar el manejo de las pruebas formales en matem´aticas. En la parte de combinatoria se hace claramente la diferencia de la parte formal y de la intuitiva. En general, se subraya la relaci´on con otras ramas como el c´alculo y la geometr´ıa anal´ıtica, por ejemplo, en el cap´ıtulo del espacio vectorial Rn , se hace una breve descripci´on de las ecuaciones de los planos; en el cap´ıtulo de determinantes, se proporcionan tambi´en las ideas geom´etricas de este tema. Adem´as, en el cap´ıtulo de ecuaciones, probando algunos teoremas simples de ´algebra lineal, se demuestran de manera rigurosa los resultados necesarios para resolver cualquier sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas; la inclusi´on de estos resultados, f´aciles de probar, ciertamente aclaran al estudiante el tema, el cual se entiende mejor a la luz de la teor´ıa que mediante una aplicaci´on mec´anica de algoritmos. Finalmente, en el cap´ıtulo de los enteros se prueba formalmente que los conjuntos Zm son en efecto anillos. En este libro aparecen tambi´en algunos temas m´as avanzados que no forman parte del material b´asico que se pretende cubrir en un curso dise˜ nado para el primer semestre de la carrera, la raz´on de incluirlos es motivar a los estudiantes. Por ejemplo, la discusi´on del significado geom´etrico del determinante ciertamente es un tema m´as avanzado, por lo que se sugiere verlo al final del curso y no incluirlo como tema por examinar. En resumen, el esp´ıritu del libro es proporcionar a los alumnos un texto breve, simple, formal, que pone ´enfasis en que las matem´aticas no son ramas aisladas, sino que interact´ uan unas con otras.

III

Los temas del libro se pueden cubrir en un semestre, una posible distribuci´on de ellos es la siguiente: 5 semanas para cubrir los primeros dos cap´ıtulos (conjuntos, funciones, inducci´on, relaciones de equivalencia y combinatoria); otras 5 semanas para estudiar el espacio vectorial Rn , las matrices y las permutaciones; las siguientes 5 semanas para los temas de los determinantes (aspectos algebraicos), las ecuaciones y los enteros; y la u ´ltima semana para la interpretaci´on geom´etrica del determinante. ´ Quiero agradecer a Cristina Angelica Nu˜ nez Rodr´ıguez que captur´o en Latex y elabor´o las figuras de las notas que fui escribiendo por varios a˜ nos, al impartir el curso en m´as de diez ocasiones. Mi agradecimiento tambi´en a Manuel Flores Galicia que revis´o cuidadosamente el texto y sugiri´o muchas mejoras. Y a varios de mis alumnos de esta materia por sus pertinentes intervenciones. Asimismo, a algunos de mis colegas que me han enriquecido con sus comentarios sobre la ense˜ nanza de esta materia. Finalmente, a las autoridades de la Facultad de Ciencias y la Direcci´on General de Asuntos del Personal Acad´emico (DGAPA), que me apoyaron en la publicaci´on de este libro, con el proyecto PAPIME PE-103811.

Contenido 1. Fundamentos 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . 1.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . 1.8. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas 1.9. Cardinalidad y conjuntos finitos . . . . . . . . . . 1.10. Inducci´on matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. El teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . 1.13. Estructuras num´ericas y algebraicas . . . . . . . .

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1 1 2 3 8 9 10 12 15 17 19 21 23 28

2. C´ alculo combinatorio 2.1. Ordenaciones con repetici´on (versi´on intuitiva) . . . . . . . . . 2.2. Ordenaciones (versi´on intuitiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Permutaciones (versi´on intuitiva) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Funciones (2a visita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas (2a visita) 2.7. Ordenaciones con repetici´on (versi´on formal) . . . . . . . . . . 2.8. Ordenaciones (versi´on formal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Permutaciones (versi´on formal) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales . . . . . . . . . . . .

31 31 32 33 34 36 39 41 43 45 46

v

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VI

Contenido

3. El espacio vectorial Rn 3.1. Vectores y sus operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal 3.5. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53 53 60 63 69 74

4. Matrices y determinantes 4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Desarrollo por menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. C´alculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Caracterizaci´on del rango de una matriz usando determinantes 4.9. El determinante como ´area o volumen . . . . . . . . . . . . . .

81 81 83 88 93 95 102 107 109 113

5. Sistemas de ecuaciones lineales 5.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Existencia de soluciones . . . . . . . . . 5.3. Sistemas de n ecuaciones y n-inc´ognitas 5.4. Sistemas homog´eneos, funciones lineales 5.5. Sistema homog´eneo asociado . . . . . . . 5.6. Resoluci´on de sistemas . . . . . . . . . .

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121 121 123 126 132 136 138

6. Los 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

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147 147 148 152 155 158

anillos Z y Zm Anillos . . . . . . . . . . . Anillos Zm . . . . . . . . Propiedades de los enteros Orden y unidades en Z . . Principio de inducci´on . .

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Cap´ıtulo 1

Fundamentos 1.1.

Conjuntos

No se profundizar´a en la definici´on axiom´atica de conjunto, simplemente se tratar´a de manera intuitiva como una colecci´ on de elementos, por ejemplo, una colecci´on de libros, o de peces, o de n´ umeros. Se dir´ a que 2 conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Se usar´an las letras may´ usculas A, B, C... para los conjuntos y las min´ usculas a, b, c, . . . , n, m, . . . para los elementos. Para especificar los elementos de un conjunto se usar´an llaves, por ejemplo A = {a, b, c}. Un conjunto importante son los enteros positivos llamados n´ umeros naturales, denotado por N = {1, 2, 3, ...}, y por supuesto los enteros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Notaci´on: x ∈ A significa que el elemento x pertenece al conjunto A, y x 6∈ A querr´a decir que x no pertenece al conjunto A. Ejemplos 1) Sea el conjunto A = {1, 3, 5, 7}. Se tiene que 5 ∈ A y 6 6∈ A. 2) Sea A = {1, 4, 9, 16, ..., n2 , ...}. En este caso 169 ∈ A, pero 50 6∈ A. 3) El conjunto de las letras de la palabra Uaxact´ un es {a, c, n, t, u, x}. 1

2

1.2. Subconjuntos

Otros ejemplos importantes son los n´ umeros reales, que son los puntos de la recta, este conjunto se denota por R. Tambi´en, el plano cartesiano. R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}, as´ı como sus subconjuntos, por ejemplo, la recta y = 3x + 3.

Figura 1.1: La recta y = 3x + 3 es un subconjunto del plano El s´ımbolo ∅ se usar´a para describir el conjunto que no tiene elementos, a este conjunto se le llama el conjunto vac´ıo. Es conveniente usar condiciones para describir conjuntos: {2, 4, 6, 8, ...} = {n ∈ N | n es par} = {n ∈ N | n = 2m, m ∈ N}, o {1, 3, 5, 7, 9} = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 9 y n es impar}. Otro ejemplo ser´ıa {1, 4, 9, 25, 36, ..., m2 , ...} = {n ∈ N | n = m2 , m ∈ N}.

1.2.

Subconjuntos

Definici´ on 1 Sean A y B conjuntos, se dice que B es un subconjunto de A, si cada elemento de B lo es tambi´en de A, se denota B ⊂ A, en caso contrario se escribir´a B 6⊂ A. Obs´ervese que si B ⊂ A, se tiene x ∈ B ⇒ x ∈ A y, viceversa, si para todo x ∈ B se tiene x ∈ A, entonces B ⊂ A. En general, cuando la proposici´on P se cumple si y s´olo si se cumple la proposici´on Q, escribiremos P ⇐⇒ Q.

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1. Fundamentos

La proposici´on de arriba se puede reescribir B ⊂ A ⇐⇒ (x ∈ B ⇒ x ∈ A) . Si B ⊂ A, escribiremos tambi´en A ⊃ B, y se dir´a que B est´a contenido en A, o que A contiene a B. Ejemplos 1. Si A = {golondrinas}, B = {aves} y C = {reptiles}, A ⊂ B, pero B 6⊂ C. 2. A = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 7}, B = {2, 3, 7} y C = {2, 3, 8}, B ⊂ A, pero B 6⊂ C. 3. Si z, w ∈ L, donde L es una recta en R2 y si A = {t ∈ L | t ∈ zw}, entonces z ∈ L y A ⊂ L, donde zw es el segmento en L que une z con w.

1.3.

Operaciones con conjuntos

Al comparar 2 conjuntos es conveniente pensar que ambos son subconjuntos de un mismo conjunto fijo, llamado universal. Definici´ on 2 La uni´on de dos conjuntos A y B se define como el conjunto: A ∪ B = {x | x ∈ A

o

x ∈ B}.

Las propiedades siguientes son consecuencia inmediata de la definici´on. i) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, ii) A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad), iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociatividad). La u ´ltima observaci´on permite no poner par´entesis al denotar la uni´on de m´as de dos conjuntos.

4

1.3. Operaciones con conjuntos

Definici´ on 3 La intersecci´ on de dos conjuntos A y B se define como A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. De nuevo se sigue de manera inmediata que iv) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, v) A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad), vi) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociatividad). Como antes se pueden quitar los par´entesis.

A

B

A∪B

A

B

A∩B

Figura 1.2: Uni´on e intersecci´on de conjuntos Proposici´ on 1.3.1 (Ley distributiva) Sean A, B y C conjuntos, entonces se tiene vii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) viii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ´ n. Probamos vii) y dejamos viii) como ejercicio. Demostracio L´ease primero ⇒ y luego ⇐ x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x ∈ A y x ∈ (B ∪ C) x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C) (x ∈ A y x ∈ B) o (x ∈ A y x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

x ∈ C)



5

1. Fundamentos

 significa fin de la prueba. Otras t´ecnicas de prueba muestran que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

⊂

A ∩ (B ∪ C) :

Se tiene A ∩ B ⊂ A y A ∩ C ⊂ A, adem´as A ∩ B ⊂ B ⊂ B ∪ C y A ∩ C ⊂ C ⊂ B ∪ C, por lo cual (A ∩ B) ⊂ A ∩ (B ∪ C) y

(A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C).

Recordamos que un conjunto universal es un conjunto fijo que contiene a todos los conjuntos en discusi´on. Por ejemplo, en la geometr´ıa anal´ıtica el plano R2 es el conjunto universal y los subconjuntos son las rectas, las par´abolas, los c´ırculos, etc´etera. En otras geometr´ıas, los subconjuntos del plano pueden ser objetos simples, o muy complejos como los fractales. Definici´ on 4 Sea X un conjunto universal y A un subconjunto de X se define el complemento del conjunto A, denotado por Ac , como los elementos de X que no pertenecen a A, espec´ıficamente Ac = {x | x ∈ X, x 6∈ A}. Evidentemente el complemento de un conjunto var´ıa si el universal donde vive cambia, por ejemplo, el complemento de A = {1, 2} en X = {1, 2, 3} es {3} pero en X = {1, 2, 3, 4} es {3, 4}. Las propiedades b´asicas de la complementaci´on son: ix) (Ac )c = A, x) A ∪ Ac = X, xi) A ∩ Ac = ∅. Las propiedades x) y xi) se siguen directamente de la definici´on, para probar ix) sea x ∈ (Ac )c , entonces como x ∈ X y x 6∈ Ac , se sigue de x) que x ∈ A. Viceversa, si x ∈ A, entonces x ∈ X pero x 6∈ Ac ∴ x ∈ (Ac )c . ∴ significa de donde.

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1.3. Operaciones con conjuntos

Otra propiedad importante es xii) A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac .

B A A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac

Figura 1.3: La contenci´on de conjuntos se invierte al tomar complementos Probamos primero ⇒) Se debe probar que si x ∈ B c , entonces x ∈ Ac . Suponiendo que no es cierto lo afirmado se tendr´ıa que existe una x ∈ B c que no pertenece a Ac , i.e., ( del lat´ın id est, que significa es decir) x 6∈ Ac , por lo que x ∈ A, pero entonces se sigue por hip´otesis que x ∈ B, lo cual contradice x ∈ B c . Por lo tanto se concluye que suponer lo contrario de lo afirmado llevo a una contradicci´on, por lo que lo afirmado debe ser cierto. Este tipo de demostraci´on usada por Arist´oteles, se le llama por reducci´on al absurdo, y conlleva el razonamiento elemental de la l´ogica formal que dice: (La proposici´on M ⇒ La proposici´on N ) ⇔ (∼ N ⇒ ∼ M ), ∼ significa no. ⇐) Esta propiedad es dual de la anterior, solo tendr´ıamos que escribir E = B c y F = Ac . Por la primera parte, como E ⊂ F, se sigue F c ⊂ E c , i.e., A ⊂ B.  Proposici´ on 1.3.2 (Leyes de De Morgan) Sean A y B conjuntos, entonces xiii) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , xiv) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .

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1. Fundamentos

A

B

A

B

(A ∩ B)c = Ac ∪ B c

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c

Figura 1.4: Complementos de uni´on e intersecci´on ´ n. Probamos xiv) y dejamos xiii) como ejercicio. Demostracio L´ease primero ⇒ y luego ⇐ x ∈ (A ∩ B)c ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x x x x

6 ∈ 6∈ ∈ ∈

(A A Ac Ac

∩ B) o x 6∈ B o x ∈ Bc ∪ Bc. 

Otra demostraci´on de (A ∩ B)c ⊃ Ac ∪ B c : Se tiene A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B, por lo que (A ∩ B)c ⊃ Ac y (A ∩ B)c ⊃ B c , entonces (A ∩ B)c ⊃ Ac ∪ B c . Definici´ on 5 La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto: A − B = {x | x ∈ A

y

x 6∈ B}.

N´otese que A − B = A ∩ B c .

Proposici´ on 1.3.3 A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).

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1.4. Producto cartesiano

´ n. Demostracio A − (B ∩ C) = = = =

A ∩ (B ∩ C)c A ∩ (B c ∪ C c ) (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ C c ) (A − B) ∪ (A − C). 

EJERCICIOS 1.3 1. Demuestre la Proposici´on 1.3.1 viii). 2. Demuestre la Proposici´on 1.3.2 xiii).

1.4.

Producto cartesiano

Definici´ on 6 Sea A un conjunto, las parejas ordenadas de A son aqu´ellas de la forma (a, b), tal que a ∈ A y b ∈ A. Por ejemplo, el plano cartesiano consiste de las parejas ordenadas de reales: R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Si A = {1, 2} las parejas ordenadas de A son (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2). Tambi´en se pueden considerar parejas ordenadas de un par de conjuntos A y B, de tal manera que el primer t´ermino est´e en A y el segundo en B.

Figura 1.5: Ret´ıcula N × N Definici´ on 7 Sean A y B conjuntos, el producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es el conjunto de parejas ordenadas A × B = {(a, b) | a ∈ A

y

b ∈ B}.

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1. Fundamentos

Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {a, b}, entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. Otros ejemplo es la ret´ıcula descrita en la Figura 1.5 N × N = {(n, m) | n ∈ N y m ∈ N}. Tambi´en, son ejemplos de productos cartesianos Z × Z y R × R. Obs´ervese que (a, b) = (c, d) si y s´olo si a = c y b = d. En particular, (1, 2) 6= (2, 1) (6= significa es distinto). Se escribir´a A2 por A × A. EJERCICIOS 1.4 1. Sea A = {a, b} demuestre que N × A es infinito.

1.5.

Relaciones

Definici´ on 8 Sean A y B conjuntos, una relaci´ on entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano. Por ejemplo, si A = {a} y B = {1, 2}, A × B tiene 2 relaciones de un elemento R1 = {(a, 1)} y R2 = {(a, 2)}, tambi´en tiene una sola relaci´on de 2 elementos (la total) R3 = {(a, 1), (a, 2)}, finalmente contiene la relaci´on vac´ıa, i.e., ∅, por lo que A × B tiene exactamente 4 relaciones. Por convenci´on el vac´ıo es subconjunto de todo conjunto A, ya que ∀ x ∈ ∅, se tiene x ∈ A. ∀ significa para todo. Encontramos ahora las relaciones entre A y B, donde A = {a, b} y ´ B = {1, 2}. Estas son: R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

= = = = = = = =

{(a, 1)}, {(a, 2)}, {(b, 1)}, {(b, 2)}, {(a, 1), (a, 2)}, {(a, 1), (b, 1)}, {(a, 1), (b, 2)}, {(a, 2), (b, 1)},

R9 = {(a, 2), (b, 2)}, R10 = {(b, 1), (b, 2)}, R11 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1)}, R12 = {(a, 1), (a, 2), (b, 2)}, R13 = {(a, 1), (b, 1), (b, 2)}, R14 = {(a, 2), (b, 1), (b, 2)}, R15 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}, R16 = ∅.

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1.6. Funciones

Definici´ on 9 El dominio de una relaci´ on R ⊂ A × B se define como: DR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}. ∃ significa existe. En los ejemplos anteriores se tiene DR5 = {a},

DR7 = A,

DR3 = {b}.

Definici´ on 10 La imagen de una relaci´ on R ⊂ A × B se define como: IR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A,

tal que

(a, b) ∈ R}.

Usando los ejemplos anteriores se tendr´ıa IR3 = {1},

IR5 = B,

IR2 = {2}.

El codominio de una relaci´on A × B es el segundo factor B, obs´ervese que la imagen de una relaci´on siempre es un subconjunto del codominio.

1.6.

Funciones

Algunas relaciones son muy importantes. Definici´ on 11 Sea R una relaci´ on entre A y B se dice que R es una funci´on si R cumple las siguientes 2 condiciones: 1) DR = A, i.e., ∀ x ∈ A

∃ b ∈ B  (a, b) ∈ R.

2) Cada elemento en A tiene asociado un u ´nico elemento en B, i.e., si (x, y1 ) ∈ R y (x, y2 ) ∈ R, entonces necesariamente y1 = y2 .  significa tal que. Si R ⊂ A × B es una funci´on, la pareja (x, y) ∈ R se escribir´a como (x, f (x)) y la funci´on se denotar´a por f : A −→ B

f

o A −−→ B

y se dir´a que f (x) es la imagen de x bajo f. El conjunto A se le llama el dominio de la funci´on y B es el codominio.

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1. Fundamentos

Ejemplos 1. Retomando los ejemplos de la secci´on anterior A = {a, b} y B = {1, 2}, se tiene que R8 = { (a, 2) , (b, 1) } es una funci´on, sin embargo R2 = {(a, 2)} y R10 = {(b, 1), (b, 2)} no lo son ¿por qu´e? 2. f : N −→ N dada por la regla de correspondencia f (n) = n2 + 1 es una funci´on. 3. Sean A = {seres humanos}, B = {paises}, f : A −→ B la relaci´on que a cada persona le asocia su pais de nacimiento, y g : A −→ B la relaci´on que a cada persona le asocia su nacionalidad. Entonces, f es funci´on pero g no lo es ¿ por qu´e? 4. Sea A cualquier conjunto, la relaci´on 1A : A −→ A que tiene la regla de correspondencia 1A (x) = x, ∀ x ∈ A llamada funci´on id´entica es una funci´on. Obs´ervese que 2 funciones f : A −→ B

y g : C −→ D

son iguales si y s´olo si a) A = C, b) B = D, c) f (x) = g(x) ∀ x ∈ A. Esto nos permite reformular nuestra definici´on: Una funci´ on f : A −→ B es una regla de correspondencia que a cada elemento del conjunto A le asocia uno y s´olo un elemento de B. En resumen, una funci´on consiste de 3 cosas: 2 conjuntos (dominio y codominio) y una regla de correspondencia. Definici´ on 12 La imagen de una funci´ on f : A −→ B es Im f = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, f (a) = b}.

12

´ n de funciones 1.7. Composicio

Ejemplos 1. Sean A = {1, 2}, B = {a, b}, f : A → B dada por f (1) = a, y f (2) = a, entonces Im f = {a}. 2. Sea f : N ∪ {0} −→ N dada por f (n) = n + 1, entonces Im f = N. Observ´ese que Im f siempre es un subconjunto del codominio. Trabajando con funciones cuyo codominio es un conjunto finito, y donde no es necesario especificar el codominio, algunas veces conviene denotarlas de la siguiente manera   a1 a2 · · · an f = , b1 b2 · · · bn donde A = {a1 , a2 , ..., an }, bi ∈ B

∀i, f : A −→ B y f (ai ) = bi

∀i.

Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces f (x) = x2 se puede denotar   1 2 3 4 5 f = , 1 4 9 16 25 el codominio puede ser N o Z o cualquier conjunto finito que contenga a {1, 4, 9, 16, 25}. EJERCICIO 1.6 1. Sean f : Z −→ Z y g : N −→ Z dadas por f (n) = n2 + 1 = g(n), ¿son iguales?

1.7.

Composici´ on de funciones

Si el codominio de una funci´on coincide con el dominio de otra se puede construir una nueva funci´on. Definici´ on 13 Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones, se puede construir entonces una nueva funci´ on g ◦ f : A −→ C con dominio A, codominio C y con regla de correspondencia x −→ g(f (x)), A esta funci´on se le llama f compuesta con (o seguida de) g, y se denota por g ◦ f. Tambi´en, se escribe g ◦ f (x) = g(f (x)).

13

1. Fundamentos

Ejemplos 1. Sean f : R −→ R dada por f (x) = x2 + 1 y g : R −→ R dada por g(x) = 4x − 1, entonces g ◦ f : R −→ R y f ◦ g : R −→ R est´an dadas por g ◦ f (x) = g(x2 + 1) = 4(x2 + 1) − 1 = 4x2 − 3, y

f ◦ g(x) = f (4x − 1) = (4x − 1)2 + 1 = 16x2 − 8x + 2.

2. Sean A = {a1 , a2 , a3 }, B = {b1 , b2 }, C = {c1 , c2 , c3 } y     a1 a2 a3 b1 b2 f = y g = , b1 b1 b2 c1 c2 entonces

 g◦f =

a1 a2 a3 c1 c1 c2

 .

3. Sean A = {1, 2} y f : A −→ A dada por   1 2 , 2 1 entonces f 2 = f ◦ f = IA . 4. Sean f, g : R −→ R dadas por f (x) = x3 y g(x) = −2, entonces f ◦ g(x) = f (−2) = (−2)3 = −8 y

g ◦ f (x) = g(x3 ) = −2.

Obs´ervese que si f : A −→ B es una funci´on, entonces IB ◦ f = f

y f ◦ IA = f.

Proposici´ on 1.7.1 Sean f : A −→ B, g : B −→ C funciones, entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f,

y

h : C −→ D

es decir, la composici´on de funciones es asociativa y por lo tanto se pueden omitir los par´entesis.

14

´ n de funciones 1.7. Composicio

´ n. Como ambas composiciones tienen dominio A y codoDemostracio minio D, basta verificar que tienen la misma regla de correspondencia. Si x ∈ A, h ◦ (g ◦ f )(x) = h[g ◦ f (x)] = h[g(f (x))], tambi´en (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ g(f (x)) = h[g(f (x))].  Definici´ on 14 Sea f : A −→ B una funci´ on, si existe otra funci´ on de la forma g : B −→ A  g ◦ f = 1A , a g se le llama inverso izquierdo de f, (y a f inverso derecho de g). Por ejemplo, sea g : Z −→ Z definida por g(n) = [ n2 ], donde [x] es el m´aximo entero menor o igual a x ([2.1] = 2, [0.3] = 0, [-1.2] = -2), y sea f (n) = 2n, f : Z −→ Z, entonces   2n g ◦ f (n) = g(2n) = = [n] = n y g ◦ f = 1Z , 2 i.e. g es inverso izquierdo de f. De manera an´aloga se define el inverso derecho de f : A −→ B, como otra funci´on h : B −→ A  f ◦ h = 1A . Obs´ervese que en el ejemplo anterior la funci´on g no tiene a f como inverso derecho, ya que por ejemplo:   3 = f (1) = 2 i.e. f ◦ g 6= 1Z . f ◦ g(3) = f 2 Sin embargo, como se prob´o, f es inverso derecho de g (ya que g es inverso izquierdo de f ). Definici´ on 15 Sean f : A −→ B y g : B −→ A  g◦f = 1A , y f ◦g = 1B , entonces se dice que f es invertible y a g se le llama simplemente inverso. Por ejemplo, si f : R −→ R, f (x) = 2x, g : R −→ R, g(x) = entonces g es inverso de f .

x , 2

Teorema 1.7.2 Si f tiene inverso izquierdo g1 e inverso derecho g2 , entonces g1 = g2 , i.e., f es invertible.

15

1. Fundamentos

´ n. Por hip´otesis si f : A −→ B se tiene g1 ◦ f = 1A y Demostracio f ◦ g2 = 1B , por lo que g1 = g1 ◦ 1B = g1 ◦ f ◦ g2 = 1A ◦ g2 = g2 .  Corolario 1.7.3 Sea f : A −→ B invertible, entonces su inverso g : B −→ A es u ´nico. EJERCICIOS 1.7 1. Sean f : R −→ R, g : R −→ R dadas por f (x) = 4x2 + x + 1 y g(x) = 2x − 3, calcule g ◦ f y f ◦ g.

1.8.

Funciones biyectivas

inyectivas,

suprayectivas y

Definici´ on 16 Una funci´on f : A −→ B se llama inyectiva si ∀x1 , x2 ∈ A, tales que x1 6= x2 , se tiene f (x1 ) 6= f (x2 ). Ejemplos 1. f (x) = x + 1,

f : R −→ R.

2. f (n) = 2n,

f : Z −→ Z.

Es claro que estas funciones son inyectivas ya que mandan puntos distintos en puntos distintos, sin embargo la funci´on f : R −→ R dada por f (x) = x2 no es inyectiva, ya que f (1) = f (−1) = 1. En general, si la afirmaci´on M dice x1 , x2 ∈ A, x1 6= x2 y la afirmaci´on N dice f (x1 ) 6= f (x2 ), probar que f es inyectiva es mostrar que M ⇒ N, para esto (como ya se mencion´o) basta demostrar que ∼ N ⇒ ∼ M, esto es, f es inyectiva, si dados a1 , a2 ∈ A, tales que f (a1 ) = f (a2 ) se debe tener a1 = a2 . Por ejemplo, f (x) = 2x + 3 es inyectiva, ya que si 2x + 3 = 2y + 3, entonces, 2x = 2y y x = y (´esta es la forma m´as com´ un de probar que una funci´on es inyectiva).

16

1.8. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Definici´ on 17 Sea f : A −→ B se dice que f es suprayectiva (o sobre) si Imf = B, i.e., si ∀ y ∈ B ∃x ∈ A  f (x) = y. Retomando los ejemplos anteriores, f : R −→ R, dada por f (x) = x+1, f es suprayectiva ya que si y ∈ R, escribiendo y = x + 1, se puede tomar x = y − 1 y f (y − 1 + 1) = x. Sin embargo, f : Z −→ Z, f (n) = 2n no es suprayectiva, ya que la imagen de esta funci´on consiste de los n´ umeros pares. Definici´ on 18 Una funci´ on que es inyectiva y suprayectiva se le llama biyectiva. La funci´on f : R −→ R, f (x) = 3x + 1 es biyectiva: si f (x) = f (y), entonces 3x + 1 = 3y + 1 ∴ 3y = 3y y x = y, por lo que es inyectiva. , se Tambi´en dado y ∈ R escribiendo y = 3x + 1 y tomando x = y−1 3 y−1 tiene f ( y−1 ) = 3 ( ) + 1 = y, i.e. f es suprayectiva. 3 3 Como u ´ltimo ejemplo se toma la funci´on g : Z −→ Z dada por hni g(n) = , 2 g es suprayectiva ya que dada m ∈ Z, tomando x = 2m,   2m g(2m) = = m, 2 sin embargo, g no es inyectiva, ya que     2n 2n + 1 g(2n + 1) = = n = = g(2n). 2 2 Proposici´ on 1.8.1 Una funci´ on f : A −→ B es biyectiva si y s´ olo si es invertible. ´ n. Si f es biyectiva se define g : B −→ A de la manera Demostracio obvia: g(y) = x  f (x) = y, a y ∈ B se le asocia la u ´nica x ∈ A que cumple f (x) = y (la existencia de dicha x se sigue de la inyectividad y la suprayectividad). Tomando entonces g(y) = x se tendr´a que si y ∈ B g(y) = x, f (x) = y, esto es, f ◦ g(y) = f (x) = y y f ◦ g = 1B , y si x ∈ A g ◦ f (x) = g(y) = x por lo que g ◦ f = 1A .

1. Fundamentos

17

Viceversa, si f es invertible sea g : B −→ A su inversa, y se tiene que si f (a1 ) = f (a2 ), entonces g ◦ f (a1 ) = g ◦ f (a2 ) y a1 = a2 , por lo cual f es inyectiva. Dada y ∈ B, si g(y) = x, y = f ◦ g(y) = f (x) y f es suprayectiva.  Obs´ervese que la composici´on de funciones inyectivas es inyectiva: dadas g : A −→ B y f : B −→ C funciones inyectivas, a1 , a2 ∈ A tales que f ◦g(a1 ) = f ◦g(a2 ) se sigue que g(a1 ) = g(a2 ), ya que f es inyectiva, m´as a´ un a1 = a2 por la inyectividad de g. Tambi´en si f : A −→ B y g : B −→ C son suprayectivas se tiene que g ◦ f lo es, esto se sigue ya que si c ∈ C existe b ∈ B  g(b) = c y tambi´en a ∈ A  f (a) = b (por la suprayectividad de f y g) ∴ g ◦ f (a) = c y por consiguiente g ◦ f es suprayectiva. EJERCICIOS 1.8 1. Sea f (x) = x2 + 1 f : R −→ R pruebe que f no es inyectiva ni tampoco suprayectiva. 2. Sea f : R −→ R dada por f (x) = 4x + 7, pruebe que f es biyectiva, encuentre la inversa. 3. Exhiba f : N −→ N y g : N −→ N tales que f es inyectiva, g suprayectiva, pero g ◦ f no sea inyectiva ni suprayectiva.

1.9.

Cardinalidad y conjuntos finitos

Definici´ on 19 Dados 2 conjuntos A y B se dice que tienen la misma cardinalidad si existe f : A −→ B biyectiva. Se usar´a el s´ımbolo In para denotar el conjunto de los primeros n naturales, In = {1, 2, 3, ..., n} = {a ∈ N | 1 ≤ a ≤ n}. Definici´ on 20 Un conjunto A es finito si existe una biyecci´ on (funci´ on biyectiva) f : A −→ In , para alguna n ∈ N. En este caso se dice que el cardinal de A, denotado por #A, es n.

18

1.10. Cardinalidad y conjuntos finitos

Definici´ on 21 Sea A un conjunto que no es finito, entonces se dice que A es infinito. Con lo anterior se tienen las siguientes observaciones que relacionan las funciones y la cardinalidad de conjuntos finitos. 1. Sea f : A −→ B una funci´on inyectiva entre 2 conjuntos finitos, entonces #A ≤ #B. Para probar esto, n´otese que si A = {a1 , a2 , ..., an }, entonces el conjunto {f (a1 ), f (a2 ), ..., f (an )} consiste de elementos distintos (ya que f es inyectiva). 2. Sea f : A −→ B una funci´on suprayectiva entre 2 conjuntos finitos, entonces #A ≥ #B. Esto se cumple ya que si B = {b1 , b2 , ..., bm }, como f es suprayectiva existen a1 , a2 , ..., an ∈ A tales que f (ai ) = bi , i = 1, 2, ..., m. y adem´as las ai son todas distintas, ya que f es funci´on. 3. Sea f : A −→ B una funci´on biyectiva entre 2 conjuntos finitos, entonces #A = #B. Por las 2 observaciones anteriores se da la igualdad. Proposici´ on 1.9.1 Sea f : A −→ B una funci´ on, donde A y B son finitos con la misma cardinalidad, entonces, f es inyectiva ⇔ f es suprayectiva. ´ n. Se tiene como hip´otesis que: #A = n = #B. Demostracio ⇒) Dado que f es inyectiva, se tienen n im´agenes distintas i.e. todas lo son. ⇐) Si f no es inyectiva, entonces #Imf < n, pero eso contradice la hip´otesis.  Esta propiedad no es v´alida para conjuntos infinitos, por ejemplo la funci´on f : N −→ N, f (n) = 2n es inyectiva pero no suprayectiva. Tambi´en, como ya se prob´o, g : Z −→ Z, g(n) = [ n2 ] es suprayectiva pero no inyectiva.

19

1. Fundamentos

1.10.

Inducci´ on matem´ atica

La inducci´on mat´ematica consiste de una manera de probar m´ ultiples afirmaciones, o propiedades (tantas como los naturales), y que dependen de los mismos n´ umeros naturales. Por ejemplo si se quiere probar que n(n + 1) , (1.1) 2 obs´ervese que cada n ∈ N define una igualdad, el Axioma o Principio de inducci´on establece que si se cumplen dos condiciones, la propiedad es v´alida para todos los naturales, estas condiciones son: 1 + 2 + ··· + n =

A) 1 cumple la propiedad, B) si la propiedad es v´alida para n, entonces tambi´en lo es para n + 1. En nuestro ejemplo particular probaremos que se cumplen las 2 condiciones y concluiremos que (1.1) se cumple ∀ n ∈ N : A) 1 =

1(2) 2

por lo que (1.1) se cumple si n = 1,

B) si (1.1) es v´alida para n, entonces 1 + 2 + ··· + n =

n(n + 1) , 2

sumando n + 1 se tiene n(n + 1) + n+1 2 n  = (n + 1) +1 2

1 + 2 + ··· + n + n + 1 =

=

(n + 1)(n + 2) , 2

es decir, (1.1) se cumple para n+1 y se sigue del Principio de inducci´on que (1.1) se cumple ∀ n ∈ N. Intuitivamente es clara la validez del principio: si vale para 1, vale para 2, si tambi´en es v´alido para 2, entonces tambi´en para 3, etc´etera.

20

´ n matema ´tica 1.11. Induccio

Otros ejemplos: 1) Se afirma que 2n < n! si n ≥ 4,

(1.2)

donde n! = 1 · 2 · 3 · · · · (n − 1)(n), por ejemplo, 4! = 4 · 3 · 2 = 24. Se debe probar que 2n+3 < (n + 3)! ∀ n ∈ N, usamos inducci´on. A) 21+3 = 16 < (1 + 3)! = 24, B) si 2n+3 < (n + 3)!, como 2 < n + 4 se tiene 2 · 2n+3 < (n + 3)!(n + 4), esto es 2n+4 < (n + 4)! ∴ (1.2) se cumple ∀ n ≥ 4. 2) n3 − n es un multiplo de 6 ∀ n ∈ N.

(1.3)

Para probar (1.3) se aplica inducci´on probando A y B : A) si n = 1 ⇒ 13 − 1 = 6 · 0, B) si se cumple (1.3) para m, se tiene m3 − 1 = 6 · k, Ahora (m + 1)3 − (m + 1)

k ∈ Z.

= m3 + 3m2 + 3m + 1 − m − 1 = m3 − m + 3(m2 + m) = 6k + 6t, t ∈ Z,

i.e., (1.3) se cumple para m + 1 y por lo tanto ∀ m ∈ Z (usamos el hecho de que m2 +m siempre es par: (2n+1)2 = 4n2 +4n+1). EJERCICIOS 1.10 1. Demuestre por inducci´on que si r ∈ R, r 6= 1 1 + r + r2 + · · · + rn =

1 − rn+1 . 1−r

2. Demuestre que 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) . 6

21

1. Fundamentos

1.11.

El teorema del binomio

Dado n un n´ umero natural se define n-factorial, denotado por n!, como n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1. Por convenci´on 0! = 1. Obs´ervese que se puede definir n! inductivamente, esto es, n! = n (n − 1)!. Por ejemplo, 4! = 4 (3)! = 24. Teorema 1.11.1 (Pascal) Sean n,m enteros no negativos y Cnm =

n! , m!(n − m)!

n ≥ m,

entonces se tiene m m−1 Cn−1 + Cn−1 = Cnm .

´ n. Sumamos Demostracio (n − 1)! (n − 1)! + m!(n − 1 − m)! (m − 1)!(n − 1 − (m − 1))! =

(n − 1)! (n − 1)! (n − 1)!(n − m) (n − 1)!m + = + m!(n − m − 1)! (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)! m!(n − m)! =

n! (n − 1)![(n − m) + m] = = Cnm . m!(n − m)! m!(n − m)! 

Corolario 1.11.2 Cnm ∈ N ´ n. Lo probamos por inducci´on sobre n. Demostracio A) Si n = 1

C11 =

1! 1!(1−1)!

= 1

y

C10 =

1! 0!(1−0)!

= 1,

m B) Si suponemos cierto el teorema para n−1 se tiene que tanto Cn−1 como m−1 Cn−1 son n´ umeros naturales, y por lo tanto en virtud del teorema de Pascal, se sigue que Cnm tambi´en es un n´ umero natural 

Teorema 1.11.3 (Del binomio de Newton) Si a, b ∈ R y n es un entero no negativo, entonces (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnn bn .

22

1.11. El teorema del binomio

Por ejemplo (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , ya 2! 3! que C21 = 1!(2−1)! , C32 = 2!(3−2)! , etc´etera. Obs´ervese que los super´ındices y los sub´ındices que definen el teorema crecen y decrecen conforme a la siguiente f´ormula n X Cnj an−j bj , j=0

P

donde el signo significa sumatoria y cada ´ındice desde j = 0 hasta n representa un sumando, i.e., el teorema del binomio dice: n X

n

(a + b) =

Cnj an−j bj .

j=0

´ n. Probamos el teorema usando inducci´on sobre n. Demostracio A) Si n = 1

(a + b)1 = C10 a1 + C11 a0 b1 = 1 · a + 1 · b = a + b.

B) Si el teorema es cierto para n − 1, se tiene n−1

(a + b)

=

n−1 X

j Cn−1 an−1−j bj ,

j=0

y entonces n

n−1

(a + b) = (a + b)(a + b)

= a

n−1 X

j Cn−1 an−1−j bj

+b

j=0

=

n−1 X

n−1 X

j Cn−1 an−1−j bj

j=0

j Cn−1 an−j bj +

j=0

n−1 X

j Cn−1 an−1−j bj+1 ,

j=0

expresando la segunda sumatoria en t´erminos de k = j + 1, en lugar de j, i.e., corriendo los ´ındices, se tiene n

(a + b) =

n−1 X j=0

j Cn−1

a

n−j

j

b +

n X k=1

k−1 n−k k Cn−1 a b .

23

1. Fundamentos

Finalmente, homologando ´ındices y factorizando n

(a + b)

= = =

n−1 X i=1 n−1 X i=1 n X

i Cn−1 an−i bi

+

n−1 X

i−1 n−i i 0 n−1 n Cn−1 a b + Cn−1 an + Cn−1 b

i=1 i i−1 (Cn−1 + Cn−1 )an−i bi + Cn0 an + Cnn bn

Cni an−i bi ,

i=0

en virtud del teorema de Pascal.

1.12.



Relaciones de equivalencia y particiones

Definici´ on 22 Una relaci´on R ⊂ A × A se le llama de equivalencia si satisface: 1) (a, a) ∈ R

∀a ∈ A

(reflexividad),

2) si (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R

(simetr´ıa),

3) si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R

(transitividad).

Obs´ervese que la simetr´ıa se puede expresar como: (a, b) ∈ R ⇔ (b, a) ∈ R. Ejemplos 1. Sea A cualquier conjunto, entonces la m´ınima relaci´on de equivalencia es la diagonal R = {(a, a) | a ∈ A}, i.e., toda relaci´on de equivalencia incluye a la diagonal ¿por qu´e? 2. Sea A la familia de los tri´angulos del plano y R = {(a, b) ∈ A × A | a y b son semejantes}, evidentemente R es de equivalencia.

24

1.12. Relaciones de equivalencia y particiones

3. Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)(2, 2)}, entonces R no es de equivalencia. Aunque es sim´etrica y transitiva, no es reflexiva pues (3, 3) ∈ / R. 4.- Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}, R tampoco es de equivalencia, ya que no es transitiva pues (1, 3) ∈ / R. Dada cualquier relaci´on de equivalencia R, escribiremos a ∼ b si (a, b) ∈ R. Definici´ on 23 Sea A un conjunto, una partici´ on P de A consiste de una familia de subconjuntos de A no vac´ıos {Ai }i ∈ I  1) si Ai 6= Aj , entonces Ai ∩ Aj = ∅, S 2) i ∈ I Ai = A. Ejemplos 1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, una partici´on de A es A1 = {1, 2},

A2 = {3} y A3 = {4, 5}.

2. Si A = N, una partici´on de A es A1 = {pares} y A2 = {nones}. 3. Sea A = {instrumentos de una orquesta sinf´onica} y A1 = {cuerdas},

A2 = {alientos},

A3 = {metales},

A4 = {percusiones}, entonces estos subconjuntos forman una partici´on de A.

25

1. Fundamentos

4. Si A = {1, 2, 3, .., 10} y A1 = {1, 3, 5},

A2 = {1, 4, 6} y A3 = {2, 7, 8, 9, 10},

entonces A1 , A2 , A3 no forman una partici´on de A pues 1 ∈ A1 ∩ A2 . Teorema 1.12.1 Sea A cualquier conjunto y R una relaci´ on de equivalencia en A × A, entonces R induce una partici´ on en A. ´ n. Sea x ∈ A, se define Demostracio Ax = {y ∈ A | y ∼ x}, donde y ∼ x significa (y, x) ∈ R. Obs´ervese que Ax 6= ∅, ya que x ∈ Ax . Se afirma que {Ax }x ∈ A es una partici´on P de A. La propiedad 2) es inmediata, ya que como Ax ⊂ A, ∀ x ∈ A, ciertaS mente i ∈ A Ax ⊂ A. Adem´as, como dada x ∈ A, se tiene que x ∈ Ax S se sigue que A ⊂ i ∈ A Ax . Para probar la propiedad 1) supongamos que z ∈ Ax ∩ Ay , x, y, z ∈ A, se debe probar que Ax = Ay . Como z ∈ Ax ∩ Ay , se sigue que z ∼ x y z ∼ y, por lo que x ∼ y (simetr´ıa y transitividad). Finalmente, probamos Ax ⊂ Ay (y viceversa). Sea w ∈ Ax , entonces w ∼ x y por transitividad w ∼ y, i.e., w ∈ Ay ∴ Ax ⊂ Ay . La otra contenci´on se prueba de la misma manera.  El rec´ıproco tambi´en se cierto. Teorema 1.12.2 Sea A un conjunto arbitrario y P una partici´ on en A, entonces P induce una relaci´on de equivalencia en A. ´ n. Se define una relaci´on R en A × A de la siguiente Demostracio manera (x, y) ∈ R si existe Ai en P  x, y ∈ Ai . Probamos que esta relaci´on es de equivalencia. Evidentemente x ∼ x ∀ x, tambi´en es obvio que si x ∼ y entonces y ∼ x, finalmente si x ∼ y y y ∼ z, entonces existe Ai y Aj en la partici´on tales que x, y ∈ Ai y y, z ∈ Aj , como Ai y Aj se intersectan deben ser iguales i.e. x, z ∈ Ai = Aj , y x ∼ z (por lo que la relaci´on es transitiva). 

26

1.12. Relaciones de equivalencia y particiones

Definici´ on 24 Dada una relaci´ on de equivalencia R en A × A a los subconjuntos de la partici´on inducida por R se les llama clases de equivalencia. Ejemplos 1. Sean A un conjunto arbitrario y R la relaci´on diagonal, i.e., R = {(x, x) | x ∈ A}, entonces la partici´on inducida por R es [ A = {x}. x∈A

2. Sean A = {1, 2, 3} y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}, entonces la partici´on inducida por R es A = {1, 2} ∪ {3}. 3. Sea m ∈ N fijo. Se define una relaci´on R ⊂ Z × Z de la siguiente manera: (x, y) ∈ R si x − y = mt, t ∈ Z. Esta relaci´on es de equivalencia (ejercicio), y la partici´on inducida es Z =

m−1 [

[j],

j=0

donde [j] = {s ∈ Z | s − j = mt,

t ∈ Z},

j ∈ {1, 2, ..., k − 1}.

Esto se sigue del algoritmo de la divisi´on y del hecho de que dados h 6= k, h, k ∈ N ∪ {0}  h, k < m, entonces m no es un factor de h − k. El algoritmo de la divisi´on establece que dado t ∈ Z y m ∈ N existen s, r u ´nicos tales que t = sm + r,

0 ≤ r < m.

En el caso en que t < 0, tomando −t = sm + r t = −sm − r − m + m = −(s + 1)m + (m − r), (m − r) es el nuevo residuo, cf. [2] o [5].

27

1. Fundamentos

Por ejemplo, si m = 3 la partici´on es Z = A 0 ∪ A1 ∪ A2 Aj = {3t + j | t ∈ Z}

donde j = 0, 1, 2.

Sea RA el conjunto de las relaciones de equivalencia en un conjunto A y PA las particiones de A. Los teoremas anteriores muestran que existen funciones ϕ : RA −→ PA y ψ : PA −→ RA , definidas por la asociaci´on natural. Proposici´ on 1.12.3 Sean ϕ, ψ, RA , PA y A como arriba, entonces se tiene a) ψ ◦ ϕ = IRA , b) ϕ ◦ ψ = IPA . ´ n. Demostracio a) Dada una relaci´on de equivalencia R en A, ϕ(R) es la partici´on definida por las clases de equivalencia de A determinadas por R y ciertamente ψϕ(R) = R, ya que la definici´on de ψ establece que dos elementos de A est´an relacionados si pertenecen al mismo subconjunto (estos subconjuntos son las clases de equivalencia de R). b) Dada P una partici´on de A, ψ(P ) es una relaci´on de equivalencia cuyas clases de equivalencia son precisamente los subconjuntos de P y se concluye que ϕψ(P ) es de nuevo P. Esto se sigue, ya que por definici´on ϕ le asocia a ψ(P ) la partici´on definida por sus clases de equivalencia.  EJERCICIOS 1.12 1. Demuestre que la siguiente relaci´on es de equivalencia. Sea m ∈ N fijo, se define una relaci´on R ⊂ Z × Z de la siguiente manera: (x, y) ∈ R si x − y = mt, t ∈ Z. 2. Describa la partici´on en Z inducida por la relaci´on de equivalencia descrita en el Ejercicio 1. Pruebe sus afirmaciones. 3. Defina en R, x ∼ y, si x−y ∈ Z, pruebe que esta relaci´on es de equivalencia, y demuestre que cada clase de equivalencia tiene un u ´nico representante en el intervalo [0, 1).

28

´ricas y algebraicas 1.13. Estructuras nume

1.13.

Estructuras num´ ericas y algebraicas

Las estructuras algebraicas m´as elementales son las num´ericas, es decir, conjuntos de n´ umeros que cumplen ciertos axiomas. Algunas de ´estas son: los naturales N = {1, 2, 3, ...}, el anillo de los n´ umeros enteros Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, el campo de los n´ umeros racionales, denotados por Q, Q =

na a, b, ∈ Z, b

o b 6= 0 ,

el campo de los n´ umeros reales R = {A.b1 b2 b3 ...}, donde A ∈ Z y bj ∈ {1, 2, ..., 0}, i.e los n´ umeros enteros con expansiones decimales infinitas, y sin colas infinitas de nueves, estos puntos se pueden pensar como los puntos de la recta, el campo de los n´ umeros complejos C = {a + ib | a, b ∈ R}, donde i = (0, 1) satisface i2 = −1, estos puntos pueden pensarse como los puntos del plano. Una operaci´on binaria en un conjunto A es una funci´on µ : A × A −→ A.

29

1. Fundamentos

Por ejemplo, en los enteros la suma y el producto son operaciones binarias que satisfacen ciertas propiedades. SUMA

S1) a + b = b + a ∀ a, b ∈ Z (conmutatividad), S2) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ Z (asociatividad), S3) ∃ 0 ∈ Z  a + 0 = a ∀ a ∈ Z

(existencia del neutro aditivo),

S4) a + (−a) = 0 ∀ a ∈ Z (existencia del inverso aditivo).

PRODUCTO

P1) a b = b a ∀ a, b ∈ Z (conmutatividad), P2) (a b) c = a (b c) ∀ a, b, c ∈ Z (asociatividad), P3) ∃ 1 ∈ Z  a · 1 = a ∀ a ∈ Z

(existencia del neutro multiplicativo),

DISTRIBUTIVIDAD

D) a (b + c) = a b + a c ∀ a, b, c ∈ Z. Estas propiedades implican otra. ´ DE LA SUMA LEY DE LA CANCELACION

Si

a + c = b + c,

entonces a = b.

Esto ley se cumple, ya que (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) ⇒ a = b. Los n´ umeros racionales, reales y complejos tambi´en cumplen estas propiedades y otra m´as: P4) a a−1 = 1 ∀ a 6= 0 (existencia del inverso multiplicativo).

30

´ricas y algebraicas 1.13. Estructuras nume

De manera an´aloga a la suma se tiene la siguiente propiedad. ´ DEL PRODUCTO LEY DE LA CANCELACION

Si a b = a c,

a 6= 0,

entonces b = c.

Esto se sigue, ya que a b = a c ⇒ a−1 (a b) = a−1 (a c) ⇒ b = c. En estas estructuras (salvo en C) existe tambi´en una relaci´on de orden, denotada por m, entonces f no puede ser inyectiva ¿por qu´e?

40

2.7. Funciones inyectivas,

suprayectivas y

biyectivas (2a visita)

Obs´ervese que una funci´on es: a) inyectiva, si a elementos distintos del dominio le corresponden elementos distintos del codominio, b) suprayectiva, si su imagen es el codominio, c) biyectiva, si a cada elemento del codominio le corresponde uno y s´olo un elemento en el dominio. Definici´ on 26 Sea f : A −→ B una funci´ on, el subconjunto de B {y ∈ B | ∃ x ∈ A  f (x) = y}, se llama la imagen de f y se denota por Imf . Ejemplo: sea f : R −→ R, f (x) = 2x + 1, f es inyectiva ya que si f (x1 ) = f (x2 ), se tiene 2x1 + 1 = 2x2 + 1 y x1 = x2 . Tambi´en es suprayectiva, ya que si y ∈ R f (x) = 2x + 1 = y si y s´olo si x =

y−1 2

i.e. f ( y −2 1 ) = 2( y −2 1 ) + 1 = y. N´otese que si se tienen dos funciones g : A −→ B y f : B −→ C, tales que f ◦ g es inyectiva, entonces g es inyectiva. Esto se sigue ya que si g(x1 ) = g(x2 ), necesariamente f g(x1 ) = f g(x2 ) y x1 = x2 . Tambi´en si f : A −→ B y g : B −→ C son tales que g ◦ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva. Esto se sigue ya que dado z ∈ C, ∃ x ∈ A  g ◦ f (x) = z, por lo cual g(y) = z, donde f (x) = y. Por otra parte si f : A −→ B es suprayectiva y g, h : B −→ C son tales que g ◦ f = h ◦ f, entonces g = h. Para probar esto se toma y ∈ B, entonces ∃ x ∈ A tal que f (x) = y y se tiene gf (x) = hf (x), i.e., g(y) = h(y). EJERCICIOS 2.6 1. Pruebe que si si f : B −→ C es inyectiva y g, h : A −→ B son tales que f ◦ g = f ◦ h, entonces g = h.

41

´lculo combinatorio 2. Ca

2.7.

Ordenaciones con repetici´ on (versi´ on formal)

Definici´ on 27 Sea A un conjunto de n elementos, las ordenaciones con repetici´ on de A tomadas de m en m son las funciones f : Im −→ A, donde Im = {1, 2, ..., m}. Recordando el ejemplo de las se˜ nales de 2 sonidos, usando las sonidos · −, ´estas se pueden interpretar en t´erminos de funciones, como sigue 

       1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 · · · · · − · − · · − −         1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . − · · − · − − − · − − − Como un segundo ejemplo consideremos la ordenaciones con repetici´on del conjunto A = {x, y, z} tomadas de 2 en 2, ´estas son:           1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x y x z y x y y       1 2 1 2 1 2 . z x z y z z



1 2 y z



Obs´ervese que estas parejas son, en cierta manera, los elementos del producto cartesiano A × A. An´alogamente, las ordenaciones con repetici´on de 3 en 3 del conjunto A son, en cierta manera, los elementos de A × A × A. Algunas veces en lugar de escribir   1 2 3 ··· n a1 a2 a3 · · · an se escribe simplemente (a1 , a2 , a3 , ..., an ). Definici´ on 28 Sean f : A −→ B, g : C −→ B funciones, tales que A ⊂ C, . Sup´ongase tambi´en que f (x) = g(x)

∀ x ∈ A.

Bajo estas hip´otesis se dice que g es una extensi´ on de f y que g restringida a A, denotado por g | A, es igual a f (se escribe g | A = f ).

42

´ n (versio ´ n formal) 2.7. Ordenaciones con repeticio

Por ejemplo, si f : Z −→ Z, f (n) = n2 y g : R −→ R, g(x) = x2 , entonces g | Z = f . Consideramos ahora un ejemplo que nos servir´a para entender la prueba de que ORnm = nm . Sean A un conjunto de 10 elementos, a y b dos elementos de A no necesariamente distintos y f : I2 −→ A  f (1) = a y f (2) = b, es claro que el n´ umero de funciones que extienden f a funciones con dominio I3 son 10, ya que hay 10 maneras de elegir la imagen de 3. Teorema 2.7.1 Sea A un conjunto de n elementos, y m ≤ n, entonces ORnm = nm . ´ n. Inducci´on sobre m, donde n es fija. Demostracio Si m = 1 ORn1 = n, ya que es el n´ umero de funciones de I1 en A. Suponemos cierto el teorema para m − 1, se afirma que ORnm = n ORnm−1 . La afirmaci´on implica el resultado ya que n · nm−1 = nm . Para probar la afirmaci´on basta probar que dada f : Im−1 −→ A existen n funciones que extienden f a funciones de Im en A, esto es claro ya que la imagen de m puede ser cualquier elemento de A.  Definici´ on 29 Sea A un conjunto, el producto cartesiano {z · · · × A}, |A × A × n−veces

denotado por An , es el conjunto cuyos elementos son las n-eadas de elementos de A, es decir, elementos de la forma (a1 , a2 , ..., an ),

ai ∈ A,

i ∈ {1, 2, ..., n}.

Por ejemplo: si n = 2, ´estas son las parejas ordenadas. Si n = 3 son ternas ordenadas, etc´etera. Si A = R, R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}.

43

´lculo combinatorio 2. Ca

Definici´ on 30 Una correspondencia biun´ıvoca entre 2 conjuntos A y B es una funci´on biyectiva f : A −→ B. Las observaciones anteriores muestran que si A es un conjunto de n elementos, la cardinalidad de Am es precisamente el n´ umero ORnm . Esto se sigue ya que hay una correspondencia biun´ıvoca entre las ordenaciones con repetici´on de A tomadas de m en m con los elementos de Am . Si A = {a1 , ..., an }, esta correspondencia est´a dada por  
1 2 ··· m ←→ ai1 , ai2 , ..., aim , ai1 ai2 · · · aim aij ∈ A

2.8.

∀ j.

Ordenaciones (versi´ on formal)

Definici´ on 31 Dado A un conjunto de n elementos y m ≤ n, las ordenaciones de los elementos de A tomadas de m en m son las funciones inyectivas del conjunto Im en A. Observemos que la inyectividad es la condici´on que establece que no haya repeticiones. Como ejemplo, consideremos las ordenaciones del conjunto ´ A = {a, b, c, d, e}, tomadas de tres en tres. Estas se pueden pensar tambi´en como palabras con 3 letras distintas. Un m´etodo para encontrarlas es considerar, por ejemplo, la funci´on inyectiva f : I2 −→ A dado por 

1 2 a e

 .

Ahora la pregunta relevante es ¿Cu´antas funciones inyectivas hay de I3 ´ en A que extiendan a f ? Estas son   1 2 3 , a e x donde x = b, c, d, es decir hay 5-2 funciones. Se concluye que por cada funci´on inyectiva de I2 en A hay 3 de I3 en A.

44

´ n formal) 2.8. Ordenaciones (versio

Teorema 2.8.1 Sean n, m ∈ N, m ≤ n, entonces Onm =

n! . (n − m)!

´ n. Inducci´on sobre m. Sea A un conjunto de n elementos. Demostracio En el caso m = 1, es evidente que hay n funciones inyectivas de I1 en A y se sigue que n! On1 = . (n − 1)! Suponemos cierta la f´ormula para m − 1 Onm−1 =

n! . (n − (m − 1))!

El ejemplo anterior ilustra el paso inductivo. Dada cualquier funci´on inyectiva f de Im−1 en A, f se puede extender a n − (m − 1) funciones inyectivas de Im en A, ya que al elemento m se le puede asociar cualquier elemento que no sea la imagen de 1, 2, ..., m − 1 (por la inyectividad). En consecuencia n! Onm = (n − (m − 1)) Onm−1 = (n − (m − 1)) (n − (m − 1))! = (n − m + 1)

n! n! = (n − m + 1)! (n − m)!

 La f´ormula en el Teorema 2.7.1 resuelve el siguiente problema ¿Cu´antas placas de autom´ovil hay que consten de 3 letras y 2 cifras? 3 Considerando 27 letras en el alfabeto, placas de 3 letras hay OR27 = 273 , 2 y de 2 cifras hay OR10 = 102 , por cada ordenaci´on (con repetici´on) en la 2 primera lista, esto es, la de las letras, se puede generar OR10 placas distintas, lo cual muestra el car´acter multiplicativo y es claro que el n´ umero total de placas es 3 2 = 273 · 102 OR27 OR10 Ejemplos 1. ¿Cu´antos n´ umeros telef´onicos de 6 cifras hay que comiencen con 5, 7, 2, 6 o 8? 5 De 5 cifras hay OR10 = 105 , considerando la 1a cifra se tienen 5 · 105 .

´lculo combinatorio 2. Ca

45

2. ¿Cu´antas placas de autom´ovil hay que consten de 2 letras y 3 cifras, si la primera letra es K y la segunda una letra de la A a la D? 4 × 103 . 3. ¿Cu´antas placas de 7 cifras distintas pueden formarse si la 1a , la 2a y la 5a son cifras pares? Las posibilidades de ordenaciones tomadas de 3 en 3 con cifras pares son O53 (lugares 1, 2 y 5). Fijando cualquiera de ellas, las posibilidades de umeros, ya aparecen ordenaciones que existen son O74 (puesto que 3 n´ 3 en los lugares 1,2 y 5) ∴ el n´ umero total es O5 O74 . EJERCICIOS 2.8 1. Sean B = {x, y, z} y f : I3 −→ B tal que manda 1 y 2 en x y 3 en y, ¿Cu´antas extensiones hay de f a I5 ? 2. ¿Cu´antos n´ umeros telef´onicos hay con tres n´ umeros, no necesariamente distintos, si exactamente dos de ellos son impares? 3. ¿Cu´antas placas de autom´ovil hay de tres cifras y cuatro letras, si las cifras son distintas? 4. ¿Cu´antas cifras de cuatro d´ıgitos distintos hay, si exactamente dos de ellos son impares? 5. ¿Cu´antas placas de cuatro n´ umeros hay, que tengan al menos dos n´ umeros iguales?

2.9.

Permutaciones (versi´ on formal)

Definici´ on 32 Las permutaciones de un conjunto A son las funciones biyectivas de A en A. Se demostr´o que si A es finito y f : A −→ A es inyectiva, entonces f es biyectiva. Sean A = {a1 , a2 , .., an } y f : A −→ A una permutaci´on, entonces se puede identificar a f con la ordenaci´on g : In −→ A dada por   1 2 ··· n g = , f (a1 ) f (a2 ) · · · f (an ) y viceversa dada cualquier funci´on inyectiva de In en A se le puede asociar una u ´nica permutaci´on de A.

46

2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales

Por ejemplo, si A = {a, b, c}, las seis permutaciones de A son : 

a b c a b c



a b c a c b



a b c b a c



a b c b c a



a b c c a b



a b c c b a





1 2 3 c a b



1 2 3 c b a



que se pueden indentificar con las ordenaciones 

1 2 3 a b c



1 2 3 a c b



1 2 3 b a c



1 2 3 b c a

.

Dada esta correspondencia biun´ıvoca se sigue del Teorema 2.8.1 que Pn = Onn =

2.10.

n! = n!. (n − n)!

Combinaciones y coeficientes binomiales

Recordamos la definici´on de combinaci´on. Definici´ on 33 Sea A un conjunto de n elementos, y 0 ≤ m ≤ n, a los subconjuntos de A que tienen m elementos se les llama combinaciones de A tomadas de m en m. El n´ umero de ´estas se denota por Cnm . Probaremos ahora que Cnm es precisamente el coeficiente binomial lo cual justifica el uso doble de este s´ımbolo.

n! , (n−m)!m!

Teorema 2.10.1 Sea A un conjunto de n elementos, entonces Cnm Pm = Onm . ´ n. Sea S el conjunto de las ordenaciones de los elementos Demostracio de A tomados de m en m y T el conjunto de las combinaciones de los elementos de A tomados de m en m. Obs´ervese que #S = Onm y #T = Cnm . Sea ψ : S −→ T dada por   1 2 ··· m ψ = {a1 , a2 , ..., am }, a1 a2 · · · am donde aj ∈ A ∀ j y ai 6= aj si i 6= j, esencialmente la funci´on ψ “olvida” el orden. Claramente ψ es suprayectiva, ya que dados m elementos

47

´lculo combinatorio 2. Ca

distintos en A se puede contruir una funci´on inyectiva de Im en A cuyas im´agenes sean estos elementos. Adem´as existen exactamente Pm ordenaciones a las que se les asocia la misma combinaci´on. En consecuencia Cnm Pm = Onm . Obs´ervese que el teorema anterior establece que Cnm =



Onm n! = . Pm (n − m)!m!

Un ejemplo que ilustra la u ´ltima parte de la prueba del teorema anterior es el siguiente. Sea A = {a, b, c, ..., z} y consideramos las ordenaciones asociadas a la combinaci´on {a, b, c}, ´estas son:        1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . a b c a c b b a c b c a c a b c b a A los n´ umeros Cnm se les llama coeficientes binomiales ya que aparecen en el desarrollo del binomio de Newton. (a + b)n = Cno an + Cn1 an−1 b1 + · · · + Cnn bn umero de subconjuntos que no tienen Obs´ervese que Cno = 1, ya que el n´ elementos del conjunto A = {a1 , a2 , ..., an } es uno, el vac´ıo. Teorema 2.10.2 Sean m, n, enteros no negativos, m ≤ n, entonces Cnm = Cnn−m . ´ n. Sea A un conjunto de n elementos, S las combinaciones Demostracio de A tomadas de m en m y T las combinaciones de A tomadas de n − m en n − m. Definimos una funci´on ψ : S −→ T de la siguiente manera: a cada combinaci´on {a1 , a2 , ..., am } en S se le asocia A − {a1 , a2 , ..., am } en T, i.e., su complemento. Esta funci´on ψ es claramente inyectiva, ya que 2 subconjuntos distintos de A tienen complementos distintos. Tambi´en es suprayectiva, ya que si B ⊂ A, entonces ψ(B c ) = B.

48

2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales

Por lo tanto, ψ es biyectiva y se sigue el teorema #S = #T,

i.e.,

Cnm = Cnn−m .

 Otra prueba m´as simple del teorema anterior, pero menos ilustrativa, es la siguiente n! n! = . (n − m)! m! (n − (n − m))! (n − m)! Definici´ on 34 Sea B un subconjunto de A. Se define la siguiente funci´ on fB : A −→ {0, 1}, llamada caracter´ıstica, como sigue  1 si x ∈ B, fB (x) = 0 si x 6∈ B. Obs´ervese que la asociaci´on B −→ fB es una biyecci´on entre los subconjuntos de A y las funciones caracter´ısticas definidas en A, i.e. las funciones de A en {0, 1}. Si B1 6= B2 , es claro que fB1 6= fB2 . M´as a´ un, dada una funci´on caracter´ıstica g : A −→ {0, 1}, ´esta viene del subconjunto que la define, i.e., si g −1 (1) = B, se sigue que g = fB . Teorema 2.10.3 Sea n un n´ umero natural, entonces Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n . ´ n. Observ´ese que el miembro izquierdo es el n´ Demostracio umero total de subconjuntos de un conjunto A de n elementos, por lo que se sigue de la observaci´on anterior que es el n´ umero de funciones de A en {0, 1}. Se afirma n que este n´ umero es 2 , esto se puede probar por inducci´on sobre n. Si A tiene un elemento hay 2 funciones de A en {0, 1}. Suponiendo cierta la afirmaci´on para n−1, i.e., si A = {a1 , a2 , ..., an−1 } hay 2n−1 funciones de A en {0, 1}. Se sigue entonces que cada una de estas funciones tiene dos extensiones a funciones de {a1 , a2 , ..., an } en {0, 1}, al elemento an se le puede asignar el 0, o el 1 . 

49

´lculo combinatorio 2. Ca

Otra demostraci´on m´as breve se sigue del teorema del binomio n

(1 + 1) =

n X

Cnj .

j=0

Terminamos esta secci´on con una segunda demostraci´on de la f´ormula del tri´angulo de Pascal r Cnr−1 + Cnr = Cn+1 . Sea A = {1, 2, ..., n + 1}. Los subconjuntos de A con r elementos (que r son un total de Cn+1 ) son de 2 tipos: a) los que no contienen al elemento n + 1, de estos hay Cnr , b) los que contienen al elemento n + 1, ´estos quedan determinados por los subconjuntos de {1, 2, ..., n} que contienen r − 1 elementos, de estos hay Cnr−1 . En consecuencia, se sigue la f´ormula de Pascal. C00

1 1 1

1

2

4 5

1

3

1 1

3 6

10

C10 C11

1

C20 C21 C22 1

4 10

C30 C31 C32 C33

1 5

C40 C41 C42 C43 C44

1

Figura 2.8: Tri´angulo de Pascal El domin´o consta de 28 fichas cada una con dos lados, cada lado es blanco, o tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos, por ejemplo, , 1

3

0

6

Figura 2.9: Ejemplo de fichas de domin´o Veamos por qu´e son 28 fichas. En efecto, una ficha se puede pensar como una ordenaci´on con repetici´on de 2 lugares con 7 s´ımbolos: blanco, o ,

, ··· ,

,

50

2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales

i.e., son 72 , sin embargo las que no son dobles se repiten, por ejemplo, =

.

Por lo que el n´ umero de fichas es 49 − 7 + 7 = 21 + 7 = 28. 2 Ejemplos 1. De un grupo de 20 personas debe elegirse un comit´e de 5 miembros en el que debe estar Juan o Pedro, pero no ambos ¿Cu´antos comit´es pueden ser electos? 4 maneras de elegir los otros 4 Excluyendo a Juan y a Pedro, hay C18 4 miembros, i.e., hay 2 · C28 maneras.

2. En la baraja simplificada: 3 n´ umeros y 2 palos ¿Cu´antas manos de 3 cartas hay que no tengan 2 cartas del mismo n´ umero? El n´ umero es: manos posibles − manos con un par. Ahora, hay C63 manos posibles. Por otro lado, las manos con un par se obtienen al elegir un n´ umero entre 3, i.e., hay C31 maneras, la 3a, carta se puede elegir de 4 maneras distintas. Por lo que el n´ umero total es C63 − 3 · 4 =

6! − 3 · 4 = 5 · 4 − 3 · 4 = 8. 3!3!

3. El domin´o consta de 28 fichas, una mano de domin´o consta de 7 fichas ¿Cu´antas manos de domin´o hay? 7 El n´ umero de manos son C28 .

4. Sea A un conjunto con n elementos, n ≥ 5 y x0 un elemento de A ¿Cu´antos subconjuntos de A hay con 5 elementos, tales que contengan al elemento x0 ? 4 El n´ umero es Cn−1 , ya que hay que seleccionar en un conjunto de n−1 elementos 4 elementos.

5. ¿Cu´antas manos de Poker hay que no tengan dos cartas del mismo n´ umero?

51

´lculo combinatorio 2. Ca

Se selecciona primero los 5 n´ umeros distintos, ´estos son tantos como 5 umeros distintos, las posibilidades para los paC13 . Ahora dados 5 n´ los son las ordenaciones con repetici´on de un conjunto de 4 elementos {, , ♣, ♠} tomados de 5 en 5. Fijando, por ejemplo 7,8,9,Q,K las posibles manos con estos n´ umeros corresponden a las palos distintos, 13! 5 5 ·OR45 = 5!8! ·4 . funciones de I5 en {, , ♣, ♠}. Por lo tanto hay C13 6. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan exactamente un par? 1 Elegir un par es elegir un n´ umero de 13, i.e., C13 , ahora hay 4 palos y 2 se deben tomar 2 de 4 i.e., C4 . Fijando este par se piensa cu´antas 3 formas hay de elegir las otras 3 cartas, para esto hay C12 maneras de elegir 3 n´ umeros distintos (13 - 1 = 12), y para los palos, siguiendo la t´ecnica del ejemplo 5, hay OR43 maneras de elegir los palos. Por lo tanto el n´ umero total es 4! 12! 3 1 3 · · 4 = 13 · 12 · 11 · 10 · 43 . C13 C42 C12 OR43 = 13 · 2!2! 9!3!

7. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan 2 pares distintos, que no sea full? (es decir una tercia y un par). 2 maneras de elegir 2 n´ umeros distintos de 13, como en el ejemHay C13 2 plo anterior hay C4 maneras de elegir 2 palos para un par y C42 para el otro. Finalmente hay 44 = 52 - 8 maneras de elegir la 5a carta, por lo que el n´ umero de manos es 2 44(C42 )2 C13 = 44 ·

4! 4! 13! · · = 22 · 36 · 13 · 12. 2!2! 2!2! 11!2!

8. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan al menos 3 cartas del mismo n´ umero? Calculamos independientemente el n´ umero de tercias y de poker (4 cartas iguales). Hay 13 maneras de elegir un n´ umero, C43 = C41 maneras 2 de elegir 3 palos de 4, y C48 maneras de elegir las 2 cartas restantes (de 2 n´ umeros distintos a la tercia), i.e., el n´ umero de tercias es 13 · 4 ·

48! = 13 · 2 · 48 · 47. 46!2!

El n´ umero de manos poker es 13 · 48 por lo que el n´ umero total es 13 · 2 · 48 · 47 + 13 · 48 = 13 · 48 · 95.

52

2.10. Combinaciones y coeficientes binomiales

9. ¿Cu´antas diagonales se pueden trazar en un pol´ıgono regular de n lados? Por cada 2 v´ertices se puede trazar una diagonal, sin embargo el segmento de recta que une un v´ertice con su adyacente no es diagonal ∴ el n´ umero es Cn2

n(n − 1) n! −n= −n=n −n= (n − 2)!2! 2



n 3 − 2 2

 =

n(n − 3) . 2

10. ¿Cu´antas manos de domin´o hay que tengan exactamente 4 fichas dobles? C74 son las posibilidades de elegir 4 n´ umeros de 7 (fichas dobles), habiendo elegido las 4 dobles las 3 restantes se pueden elegir entre 21 (las otras 3 dobles se excluyen). 3 . ∴ la respuesta es C74 C21

11. ¿Cu´antas manos de domin´o hay que tengan por lo menos 3 fichas dobles? 3 4 , etc´etera, , exactamente 4 hay C74 C21 Exactamente 3 dobles C73 C21 por lo que el total es 4 3 2 1 C73 C21 + C74 C21 + C75 C21 + C76 C21 + 1.

EJERCICIOS 2.10 1. ¿De cu´antas maneras se pueden distribuir 4 libros distintos entre 2 estudiantes? 2. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan full, i.e, tercia y par? 3. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan flor (todos los n´ umeros del mismo palo)? 4. ¿Cu´antas manos de Poker hay que tengan flor imperial, i.e., todas las cartas del mismo palo, y los n´ umeros c´ıclicamente consecutivos? 5. ¿Cu´antos n´ umeros telef´onicos con cuatro cifras, no necesariamente distintas, hay, si exactamente dos de ellas son impares?

Cap´ıtulo 3

El espacio vectorial Rn 3.1.

Vectores y sus operaciones

Definici´ on 35 El producto cartesiano R × R es el conjunto de parejas ordenadas (a, b), a ∈ R, b ∈ R, se le designa como R2 y se le identifica con los puntos del plano.

(3, 2)

Figura 3.1: Puntos del plano cartesiano A los elementos del plano o puntos de R2 se les llama vectores y a los n´ umeros reales se les llama escalares. Por ejemplo, el vector (3, 2) es el punto descrito en la Figura 3.1. Se definen las siguientes operaciones en R2 . 1)

SUMA DE VECTORES

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∀ (a, b), (c, d) ∈ R2 . 2)

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

λ(a, b) = (λ a, λ b) ∀ λ ∈ R y ∀ (a, b) ∈ R2 . 53

54

3.1. Vectores y sus operaciones

Si (a, b) es un vector, a la primera coordenada a se le llama abcisa y a la segunda coordenada b se la llama ordenada. Ejemplos (−1, 2) + (1, 2) = (0, 4), (a, 0) + (0, b) = (a, b), 3(1, 2) = (3, 6), b(0, 1) = (0, b). Obs´ervese que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). Exhibimos ahora una interpretaci´on geom´etrica de la adici´on, para esto recordamos 2 hechos de la geometr´ıa elemental. C

m2 A

α

m1

m1

B

m

α m2

D

Figura 3.2: Un cuadril´atero cuyas diagonales se encuentran en su punto medio es un paralelogramo I. Si las diagonales de un cuadril´ atero se intersecan en su punto medio, entonces es un paralelogramo. Para probar este hecho, n´otese primero que el tri´angulo 4 A m C es igual al tri´angulo 4 D m B y tambi´en que 4 A m D = 4 C m B. Esto se sigue ya que tienen un lado com´ un delimitado por lados iguales. Por consiguiente, los ´angulos δ, que aparecen en la Figura 3.3, son iguales. Lo cual implica que AC es paralela a BD, y que AD tambi´en lo es a CB. De otra manera, por ejemplo, se toma la paralela a AC que pasa por D, y al considerar ´angulos alternos internos, se llega a una contradicci´on.

3. El espacio vectorial Rn

55

C δ

A

C

m2

m2 m1

m1

B

A

m

m

m1

δ m1

δ

m2

B

m2

δ

D

D

Figura 3.3: Prueba de la afirmaci´on I a

a

Figura 3.4: En un paralelogramo las diagonales se intersectan en el punto medio Obs´ervese que tambi´en es cierto el rec´ıproco, en un paralelogramo las diagonales se intersecan en su punto medio. Esto se sigue, ya que los 4 tri´angulos que se generan son iguales, dos a dos, al ser semejantes y tener un lado com´ un, v´ease la Figura 3.4. II. Si A1 = (x1 , y1 ) y A2 = (x2 , y2 ) son 2 puntos del plano, entonces el punto medio del segmento A1 A2 est´ a dado por   x1 + x2 y1 + y2 , . m = 2 2 Por semejanza, en los tr´ıangulos descritos en la Figura 3.5, se sigue que y2 − y1 = 2, y2 − m2

i.e., y2 − y1 = 2 (y2 − m2 ),

donde m = (m1 , m2 ). En consecuencia, 2 m2 = y1 + y2 . Un argumento similar prueba que tambi´en 2 m1 = x1 + x2 .

56

3.1. Vectores y sus operaciones

A2 = (x2 , y2 ) m = (m1 , m2 )

l1

l

l l1

= 2

A1 = (x1 , y1 )

Figura 3.5: Punto medio de un segmento

´ GEOMETRICA ´ ´ DE VECTORES INTERPRETACION DE LA ADICION

Dados vectores P = (a, b), Q = (c, d), el cuadril´ atero formado por los vectores O, P, Q y P + Q es un paralelogramo. Esto se sigue, ya que si P + Q = R = (a + c, b + d), los puntos medios de OR y de P Q son iguales, ya que ´estos est´an dados por     a+c b+d a+c+0 b+d+0 , y , , 2 2 2 2 respectivamente, v´ease la Figura 3.6. Obs´ervese que la suma de los vectores, P + Q es el vector determinado por la diagonal desde el origen a P + Q, por lo que se le llama la resultante. R=P +Q

Q

P

O

Figura 3.6: Interpretaci´on geom´etrica de la adici´on

3. El espacio vectorial Rn

57 P +Q

Q

P O

Figura 3.7: La resultante

´ GEOMETRICA ´ INTERPRETACION DEL PRODUCTO ESCALAR POR UN VECTOR

Probamos primero un resultado. Recordamos que dados 2 puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), se define su distancia como p d(P, Q) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . La motivaci´on para esta definici´on es, por supuesto, el teorema de Pit´agoras. Q y2 − y1 P x2 − x1

Figura 3.8: Distancia entre 2 puntos Proposici´ on 3.1.1 Sean P1 , P2 , P3 3 puntos del plano tales que P2 ∈ P2 P3 , entonces d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ) = d(P1 , P3 ). ´ n. Sean P2 − P1 = (x1 , y1 ) y P3 − P2 = (x2 , y2 ), entonces Demostracio p p d(P1 , P2 ) = x1 2 + y1 2 y d(P2 , P3 ) = x2 2 + y2 2 . En virtud de la semejanza de tri´angulos en la Figura 3.9, se sigue que y1 y2 y1 + y2 = = = λ. x1 x2 x1 + x2

58

3.1. Vectores y sus operaciones

En consecuencia, se sigue el resultado, i.e. p p p x1 2 + y1 2 + x2 2 + y2 2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 , ya que ´este es equivalente a la ecuaci´on √ √ √ x1 1 + λ2 + x2 1 + λ2 = (x1 + x2 ) 1 + λ2 .  P3 y2 P2 y1 P1 x1

x2

Figura 3.9: Proporcionalidad de las distancias en 3 puntos alineados El rec´ıproco tambi´en es cierto como se muestra en el siguiente resultado. Proposici´ on 3.1.2 Si se cumple d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ) = d(P1 , P3 ),

(3.1)

entonces P2 ∈ P1 P3 . P2 P3 P1

Figura 3.10: Prueba de la Proposici´on 3.1.2 ´ n. Si P2 ∈ Demostracio / P1 P3 probamos que no se cumple la igualdad (3.1) Si P2 est´a en la misma l´ınea que P1 y P3 y P2 ∈ / P1 P3 , por ejemplo, P3 ∈ / P1 P2 . No se puede cumplir (3.1), ya que en virtud de la Proposici´on 3.1.1 se sigue d(P1 , P3 ) < d(P1 , P2 ), v´ease la Figura 3.10. El otro caso es an´alogo.

3. El espacio vectorial Rn

59 P2

P2

P20

P3 P20

P3

P1

P1

Figura 3.11: Prueba de la Proposici´on 3.1.2 Si P2 no est´a en la recta determinada por el segmento P1 P3 , se tienen otros dos casos, como se muestra en la Figura 3.11. En el primer caso de la figura se cumple la igualdad para P20 , y por lo tanto no se cumple para P2 (por el teorema de Pit´agoras). En el segundo caso de la figura tampoco, ya que d(P1 , P2 ) > d(P1 , P20 ) > d(P1 , P3 ). Un argumento similar muestra tambi´en que no se cumple la igualdad, si P2 se proyecta del lado de P1 .  Proposici´ on 3.1.3 (Interpretaci´ on geom´etrica del producto de un escalar por un vector) Sean P 6= O y Q = λP, puntos del plano, donde O = (0, 0) y λ ∈ R, entonces a) si λ ≥ 1,

P est´a en el segmento OQ,

b) si 0 ≤ λ ≤ 1, c) si λ ≤ 0,

Q ∈ OP , O ∈ P Q.

Q = λP

P P

P

O

λP λP

a)

λ>1

b)

0 . Definici´ on 43 Se dice que los vectores A1 , A2 , ..., Ak en Rn son linealmente dependientes, si alguno de ellos depende linealmente de los otros. Por ejemplo, si A = (1, 1, 0), B = (4, 4, 0) y C = (0, 0, 7), entonces A, B, C son linealmente dependientes, ya que B = 4 · A + 0 · C. Obs´ervese que cuando se dice que uno de ellos depende linealmente de los otros, no se tiene que necesariamente cada uno de ellos es combinaci´on lineal de los otros, por ejemplo si A, B y C son como arriba, C no es combinaci´on lineal de A y B. Teorema 3.4.2 Sean A1 , A2 , ..., Ak vectores en Rn , entonces estos vectores son linealmente dependientes si y s´ olo si existe una combinaci´ on lineal de un coeficiente distinto de 0, i.e. ellos igual a 0 con alg´ λ 1 A 1 + λ 2 A2 + · · · + λ k Ak = 0 y λj 6= 0 para alguna j ∈ {1, 2, ..., k}. ´ n. Demostracio ⇒) Si A1 , A2 , ..., Ak son linealmente dependientes, alguno de ellos, digamos Aj , depende linealmente de los otros, i.e. existen λ1 , λ2 , ..., λj−1 , λj+1 , ..., λk ∈ R, tales que j−1 k X X Aj = λ i Ai + λ i Ai , i=1

i=j+1

y por lo tanto λ1 A1 + · · · + λj−1 Aj−1 + (−1)Aj + λj+1 Aj+1 + · · · + λk Ak = 0.

72

3.4. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal

⇐) Viceversa, si existen λ1 , λ2 , ..., λk ∈ R  λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λk Ak = 0, donde λj 6= 0, entonces despejando se tiene         −λ1 −λj−1 −λj+1 −λk Aj = A1 + · · · + Aj−1 + Aj+1 + · · · + Ak . λj λj λj λj  Definici´ on 44 Se dice que una colecci´ on de vectores A1 , A2 , ..., Ak en Rn son linealmente independientes, si no son linealmente dependientes. Esta definici´on se puede reformular como sigue: A1 , A2 , ..., Ak son linealmente independientes, si ninguno de ellos es combinaci´on lineal de los otros. Corolario 3.4.3 Sean A1 , A2 , ..., Ak vectores en Rn . Entonces, estos vectores son linealmente independientes si y s´ olo si para toda combinaci´on lineal λ1 A1 + · · · + λk Ak = 0, se tiene que λi = 0 ∀ i. ´ n. Demostracio ⇒) Si A1 , A2 , ..., Ak son linealmente independientes, entonces no son linealmente dependientes. En consecuencia, se sigue del Teorema 3.4.1 que si λ1 A1 + · · · + λk Ak = 0, necesariamente λi = 0 ∀ i. ⇐) Si para toda combinaci´on lineal λ1 A1 + · · · + λk Ak = 0, se tiene que λi = 0 ∀ i, se sigue del Teorema 3.4.2 que A1 , A2 , ..., Ak no pueden ser linealmente dependientes i.e. son linealmente independientes.  Por ejemplo, en R2 los vectores (1, 0) y (1, 1) son linealmente independientes, en efecto si λ(1, 0) + µ(1, 1) = 0, entonces λ + µ = 0 y µ = 0, por lo que λ = 0. N´otese que si un conjunto de vectores {A1 , A2 , ..., Ak } es linealmente dependiente, entonces cualquier otro conjunto que lo contenga, por ejemplo {A1 , A2 , . . . , Ak , Ak+1 , . . . , As } tambi´en es linealmente dependiente. Esto se sigue ya que existen λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R, alguno distinto de 0, tales que λ1 A1 + · · · + λk Ak = 0, por lo cual se tiene λ1 A1 + · · · + λk Ak + 0 · Ak+1 + . . . + 0 · Ak+s = 0.

3. El espacio vectorial Rn

73

Ejemplos 1. Probamos que los vectores D1 = (1, 0, 0), D2 = (1, 1, 0) y D3 = (1, 1, 1) son linealmente independientes en R3 : si λ1 D1 + λ2 D2 + λ3 D3 = 0, entonces λ1 + λ2 + λ3 = 0, λ2 + λ3 = 0, λ3 = 0, y por lo tanto λ1 , λ2 , λ3 = 0. 2. En Rn , los vectores D1 = (1 , 0 , . . . , 0), D2 = (1 , 1 , 0 , . . . , 0), . . . , Di = (1, . . . , 1 , 1, 0, . . . , 0), . . . , Dn = (1, . . . , 1) |{z} i-´ esima coordenada

son linealmente independientes: si

n X

λi Di = 0,

i=1

se tiene

λ1 + λ2 + · · · + λn = 0, .. . λ2 + · · · + λn = 0, .. . λn = 0,

y por lo tanto λ1 , λ2 , . . . , λn = 0. 3. Probamos que en R2 los vectores (−1, 1) , (2, 3) y (−5, 2) son linealmente dependientes: si λ1 (−1, 1) + λ2 (2, 3) + λ3 (−5, 2) = 0, entonces ( −λ1 + 2λ2 − 5λ3 = 0, λ1 + 3λ2 + 2λ3 = 0, sumando se tiene 5λ2 − 3λ3 = 0, tomando λ2 = 3 se obtiene λ3 = 5. Sustituyendo estos valores, por ejemplo en la primera ecuaci´on se tiene −λ1 + 6 − 25 = 0 y λ1 = −19. Se concluye que los vectores son linealmente dependientes, ya que −19(−1, 1) + 3(2, 3) + 5(−5, 2) = 0.

74

3.5. Bases

EJERCICIOS 3.4 1. Demuestre que en R2 todo vector es combinaci´on lineal de (1, 2) y (0, 1). 2. Exprese el vector (3, 4) como combinaci´on lineal de (1, 2) y (0, 1). 3. Dados u1 = (3, −1, 0), u2 = (0, 1, 0) y u3 = (5, 4, 0), exprese el vector u3 como combinaci´on lineal de los otros dos. 4. Probar que en R3 los vectores (2, 0, 0), (1, 3, 0) y (1, 2, 4) son linealmente independientes. 5. Probar que en R3 los vectores (1, 0, −2), (1, 1, 0), (1, 0, 4) y (1, 1, 1) son linealmente dependientes.

3.5.

Bases

Definici´ on 45 Un conjunto {A1 , A2 , ..., Ar } de vectores en Rn se llama base del subespacio vectorial W ⊂ Rn , si a) {A1 , A2 , ..., Ar } son linealmente independientes, b) < A1 , A2 , ..., Ar > = W, i.e. A1 , A2 , ..., Ar generan W . Ejemplos 1. Si e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1), entonces {e1 , e2 } es una base de R2 , esto se sigue ya que e1 y e2 son linealmente independientes y generan R2 : (x, y) = x e1 + y e2 . 2. Si D1 = (1, 0) y D2 = (1, 1), entonces {D1 , D2 } es una base de R2 : si λ1 (1, 0) + λ2 (1, 1) = 0, entonces λ1 = λ2 = 0 y D1 , D2 son linealmente independientes. Ahora probamos que generan: dado (x, y) ∈ R2 , se debe resolver el sistema (x, y) = λ1 (1, 0) + λ2 (1, 1), es decir, ( x = λ1 + λ2 , y = λ2 . El cual evidentemente tiene soluci´on. 3. En Rn los vectores can´onicos e1 , e2 , ..., en , forman una base, donde ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0),

3. El espacio vectorial Rn

75

con coordenada i-´esima igual a 1 y las dem´as 0. Estos son linealmente n X independientes ya que si λi ei = 0, se tiene λi = 0 ∀ i. Por i=1

otra parte, se mostr´o en la secci´on anterior que todo vector en Rn es n X n xi ei . combinaci´on lineal de ´estos: si x = (x1 , ..., xn ) ∈ R , x = i=1

4. Tambi´en los vectores D1 , D2 , ..., Dn forman una base de Rn , donde D1 = (1, 0, 0, ..., 0), D2 = (1, 1, 0, ..., 0),...,Dn = (1, 1, 1, ..., 1). Se mostr´o al final de la secci´on anterior que en efecto estos vectores son linealmente independientes, mostramos ahora que generan, dado (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn se deben encontrar λ1 , λ2 , ..., λn ∈ R  n X

λi Di = (x1 , ..., xn ),

i=1

esto es,   λ 1 + λ2 + · · · + λn     λ2 + · · · + λn ..  .     λn

= x1 , = x2 , . = .. = xn ,

y la soluci´on est´a dada por: λn = xn , λn−1 + λn = xn−1 , i.e., λn−1 = xn−1 − xn , λn−2 = xn−2 − (xn−1 − xn ) − xn = xn−2 − xn−1 , λn−3 = xn−3 − (xn−2 − xn−1 ) − (xn−1 − xn ) − xn = xn−3 − xn−2 , inductivamente se sigue que λn−j = xn−j − xn−j+1 (ejercicio). 5. Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y − z = 0}, W es un subespacio vectorial con base {(1, 0, 2) , (0, 1, 3)}: por una parte los vectores son linealmente independientes: λ(1, 0, 2) + µ(0, 1, 3) = 0 ⇒ λ = µ = 0; estos vectores tambi´en generan W , dado (x, y, z) ∈ W , se tiene z = 2x + 3y, hay que probar (x, y, z) = λ(1, 0, 2) + µ(0, 1, 3) i.e. (x, y, z) = (λ, µ, 2λ + 3µ), tomando λ = x y µ = y se sigue el resultado.

76

3.5. Bases

6. Sea A ∈ Rn − {0} y W = {x ∈ Rn | x = λA, λ ∈ R}, entonces A es una base de W : A es linealmente independiente ya que si λA = 0, entonces λ = 0, tambi´en genera ya que si y ∈ W, entonces y = λA. 7. En R3 , W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x3 = 0} es un subespacio vectorial con base e1 = (1, 0, 0) y e2 = (0, 1, 0): ya se mostr´o que e1 y e2 son linealmente independientes, ahora dado (x, y, z) ∈ W se tiene (x, y, z) = xe1 + ye2 . Geom´etricamente es evidente que si A, B, C son vectores en R2 , (ve´ase la Figura 3.21) ´estos deben ser linealmente dependientes, probaremos esto de manera formal y m´as general. B

C A

Figura 3.21: En R2 cualesquiera 3 vectores son linealmente dependientes Teorema 3.5.1 Sea W un subespacio vectorial generado por k vectores, entonces cualquier conjunto de k + 1 vectores en W es linealmente dependiente. Y por ende, cualquier otro conjunto de k + m vectores en W, m ≥ 1, tambi´en es linealmente dependiente. Antes de probar el teorema mostramos un ejemplo. Sea W un subespacio vectorial generado por A1 y A2 en Rn y B1 = α11 A1 + γ1 A2 , B2 = α21 A1 + γ2 A2 , B3 = α31 A1 + γ3 A2 , donde alguna γi 6= 0 (si γi = 0 ∀ i son 3 vectores generados por un s´olo vector, lo cual no es el planteamiento), digamos γ1 6= 0, entonces

3. El espacio vectorial Rn

77

0

γ2 B γ1 1

= (escalar)A1 ,

0

γ3 B γ1 1

= (escalar)A1 ,

B2 = B2 − B3 = B3 −

0

0

por lo que B2 y B3 son linealmente dependientes.Y en consecuencia, B1 , B2 , 0 0 y B3 tambi´en lo son, ya que una combinaci´on lineal de B2 y B3 igual a 0, con alg´ un coeficiente distinto de 0, genera una an´aloga para B1 , B2 , B3 (el 0 0 coeficiente de B2 es el mismo que el de B2 , y tambi´en el de B3 es el de B3 ). ´ n del Teorema 3.5.1. Se prueba por inducci´on sobre k. Demostracio Si k = 1, W = {λA | λ ∈ R}, donde A ∈ Rn − {0} es un vector fijo. Dados B1 y B2 ∈ W , B1 6= B2 , entonces  B1= λ1 A y B2 = λ2 A,

donde podemos suponer λ1 6= 0 ∴ B2 = λ2 mente dependientes.

1 B λ1 1

y B1 , B2 son lineal-

Suponiendo cierto el resultado para k, ahora probamos para k + 1, sean A1 , A2 , ...., Ak+1 vectores que generan W y B1 , B2 , ..., Bk+2 vectores en W, entonces B1 B1 .. .

= =

+ ··· + + ··· +

α11 A1 α21 A1

α1k Ak α2k Ak

+ + .. .

γ1 Ak+1 γ2 Ak+1

Bk+2 = α(k+2)1 A1 + · · · + α(k+2)k Ak + γ(k+2) Ak+1 . Se tienen 2 casos: Caso 1: alguna γi 6= 0. Sin perder generalidad, se puede tomar γ1 6= 0. 0 0 En este caso los vectores B2 , ..., Bk+2 , definidos por 0

B2 = B2 −

γ2 γk+2 0 B1 , ... , Bk+2 = Bk+2 − B1 , γ1 γ1

son k + 1 vectores que pertenecen al subespacio vectorial generado por A1 , A2 , ...., Ak (an´alogamente al ejemplo, se elimin´ o Ak+1 y B1 ). 0 0 Se sigue entonces de la hip´otesis de inducci´on que B2 , ..., Bk+2 son linealmente dependientes, por lo que existe una combinaci´on lineal 0

0

λ1 B2 + · · · + λk+1 Bk+2 = 0

78

3.5. Bases

con alguna λi 6= 0, substituyendo se tiene λ2 B2 + · · · + λk+2 Bk+2 + (coef iciente)B1 = 0 ∴ B2 , ..., Bk+2 son linealmente dependientes. Caso 2: γi = 0 ∀ i. En este caso, B1 , B2 , ..., Bk+2 est´an en el subespacio generado por A1 , ..., Ak , se sigue entonces de la hip´otesis de inducci´on que B1 , B2 , ..., Bk+1 son li- nealmente dependientes, y por lo tanto B1 , B2 , ..., Bk+2 tambi´en lo son.  Corolario 3.5.2 En Rn , cualquier conjunto de m´ as de n vectores es linealmente dependiente. ´ n. La base can´onica e1 , e2 , ..., en genera Rn . Demostracio



Existencia de bases Lema 3.5.3 Sea W un subespacio vectorial de Rn generado por los vectores linealmente independientes B1 , B2 , ..., Bk . Sup´ ongase tambi´en que n B ∈ R − W , entonces B, B1 , B2 , ..., Bk son linealmente independientes. ´ n. Sea Demostracio λ1 B1 + · · · + λk Bk + λB = 0 una combinaci´on lineal. Necesariamente λ = 0, ya que de otra manera B ∈ W , por lo cual λ1 B1 + ... + λk Bk = 0. Se sigue entonces que λi = 0 ∀ i (ya que B1 , B2 , ..., Bk son linealmente independientes), ∴ {B, B1 , B2 , ..., Bk } son linealmente independientes.  Teorema 3.5.4 Sea W un subespacio vectorial de Rn y B1 , B2 , ..., Bk vectores de W linealmente independientes, entonces existen vectores Bk+1 , Bk+2 , ..., Bk+t tales que es una base de W .

B1 , B2 , ..., Bk , ..., Bk+t

3. El espacio vectorial Rn

79

´ n. Si B1 , B2 , ..., Bk generan W no hay nada que probar. De Demostracio otra manera, sea W1 =< B1 , B2 , ..., Bk > y Bk+1 ∈ W − W1 , por el Lema 3.5.3 {B1 , B2 , ..., Bk , Bk+1 } son linealmente independientes. Si estos generan W , ya terminamos, de otra manera, sea Bk+2 ∈ W − W2 , donde W2 =< B1 , ..., Bk+1 >, etc´etera. El proceso debe terminar antes de que k + t sea menor o igual a n, en caso contrario se tendr´ıan m´as de n vectores linealmente independientes en Rn , lo cual contradice el Corolario 3.5.2. ∴ Existe t ∈ N  k + t ≤ n y los vectores {B1 , B2 , ..., Bk+t } forman una base de W .  Corolario 3.5.5 Todo subespacio vectorial de Rn (distinto de 0 ) tiene una base. ´ n. Si W 6= 0, entonces existe A ∈ W  A 6= 0, como {A} Demostracio es linealmente independiente, el resultado se sigue del Teorema 3.5.4.  ´n dimensio Teorema 3.5.6 Todas las bases de un subespacio vectorial W de Rn tienen el mismo n´ umero de elementos. ´ n. Sean {A1 , ..., Ak } y {B1 , ..., Bt } dos bases de W , hay Demostracio que probar que k = t. Como A1 , A2 , ..., Ak generan W y B1 , B2 , ..., Bt son linealmente independientes, se sigue del Teorema 3.5.1 que t ≤ k (si t > k dicho teorema dice que B1 , B2 , ..., Bt son linealmente dependientes). Aplicando el mismo argumento al rev´es se tiene k ≤ t.  Definici´ on 46 Sea W un subespacio vectorial de Rn , se define su dimensi´ on como el n´ umero de elementos de cualquier base. Ejemplos 1. R tiene dimensi´on 1, R2 dimensi´on dos, R3 dimensi´on tres y Rn dimensi´on n.

80

3.5. Bases

2. Cualquier recta por el origen en R2 tiene dimensi´on 1. Una recta con estas caracter´ısticas es de la forma L = {λ(x0 , y0 ) | λ ∈ R}, donde (x0 , y0 ) ∈ L − {0} es un vector fijo. 3. Si se toma el vac´ıo como base de {0}, entonces {0} tiene dimensi´on 0 (el n´ umero de elementos de la base es 0). De otra manera, se puede convenir que su dimensi´on es 0. 4. En R3 las rectas por el origen tienen dimensi´on 1 y los planos dimensi´on 2 : si P es un plano por el origen en R3 , sea A1 6= 0, A1 ∈ P , debe existir tambi´en A2 ∈ P − < A1 >, ya que de otra manera P es una recta. Se afirma que P = < A1 , A2 >; esto se sigue ya que si A3 ∈ P − < A1 , A2 >, se sigue del Lema 3.5.3 que A1 , A2 y A3 son linealmente independientes, y entonces P = R3 (de otra manera existe A4 ∈ R3 − < A1 , A2 , A3 >, y R3 , tendr´ıa dimensi´on mayor a 3). 5. En Rn se les llama rectas por el origen a los subespacios de dimensi´on 1, planos por el origen a los subespacios de dimensi´on 2, hiperplanos a los subespacios de dimensi´on k, 2 < k < n, y subespacios de codimensi´on 1, a los de dimensi´on n − 1 en Rn . EJERCICIOS 3.5 1. Acabar los argumentos formales en el ejemplo 4 antes del Teorema 3.5.1. 2. Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | 5x + y + z = 0}, encuentre una base de W y pruebe que en efecto lo es. 3. Sea W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}, encuentre una base de W , verifique formalmente. 4. Encuentre una base para la recta, W = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x − y − z = 0, 3x + y − 2z = 0}. Justifique rigurosamente sus afirmaciones. 5. Encuentre una base para el plano W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | 2 x1 + x2 − x3 + x4 = 0, x1 − x2 − x3 + 5x4 = 0}. Verifique formalmente.

Cap´ıtulo 4

Matrices y determinantes 4.1.

Definiciones

En las matem´aticas aparecen frecuentemente arreglos rectangulares de n´ umeros. Por ejemplo, al estudiar un sistema de ecuaciones lineales   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. ..  . .     a x + a x + ··· + a x = b , m1 1

m2 2

mn n

es natural considerar el siguiente arreglo de n´ umeros   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n     .. ..  .  . . 

m

(4.1)

am1 am2 · · · amn

Este tipo de arreglos se llaman matrices, las hileras verticales se llaman columnas y las horizontales renglones, en este caso tiene m renglones y n columnas, se dice que se trata de una matriz de m × n. Tambi´en con los t´erminos constantes del sistema se obtiene una matriz de m × 1.   b1  b2     ..  .  .  bm 81

82

4.1. Definiciones

Por ejemplo, al sistema    3x − 2y + z = 0 y − 3z = 7   2x + 7y = 4, se le asocian las matrices   3 −2 1  0 1 −3  2 7 0

 y

 0  7  4

Los elementos que forman una matriz se toman en un anillo como Z, o en un campo como en Q, R, o C. El s´ımbolo aij denotar´a el n´ umero ubicado en el rengl´on i y la columna j. Por ejemplo en la matriz de 3 × 3 descrita anteriormente a2 3 = −3. Una matriz de n × n se le llama cuadrada, a los elementos de una matriz cuadrada de la forma ajj , se les llama diagonales. Una matriz cuadrada se llama diagonal si sus u ´nicos elementos distintos de 0 son los diagonales, por ejemplo     5 0 0 4 0 o  0 6 0  0 1 0 0 0 Sean aij , las entradas de una matriz cuadrada 1 ≤ i ≤ n, y 1 ≤ j ≤ n. N´otese que si i > j, aij est´a abajo de la diagonal, y si i < j, entonces aij est´a arriba de la diagonal. Para constatar este hecho consid´erese el rengl´on i ≥ 2 y la primera columna, esto es abajo de la diagonal, movi´endose de columna en el mismo rengl´on, el n´ umero de columna crece, en la diagonal es igual a i, etc´etera. Definici´ on 47 Una matriz cuadrada se le llama triangular si todas las entradas de arriba (o todas las de abajo) de la diagonal son 0. Por ejemplo, las siguientes matrices son triangulares   1 0 0  5 2 0  triangular superior, 0 1 3 

2 1 0 3

 triangular inferior.

83

4. Matrices y determinantes

Obs´ervese que si A es una matriz de m×n como en (4.1), a los renglones de A se les pueden asociar R1 R2 .. .

= (a11 , = (a21 ,

a12 , . . . , a22 , . . . ,

a1n ) a2n ) .. .

(4.2)

Rm = (am1 , am2 , . . . , amn ), que son m vectores en Rn , llamados vectores rengl´on; y a las columnas se les puede asociar C1 = (a11 , a21 , . . . , C2 = (a12 , a22 , . . . , .. .

am1 ) am2 ) .. .

(4.3)

Cn = (a1n , a2n , . . . , amn ), que son n vectores en Rm , llamados vectores columna. Si una matriz B se obtiene de otra A eliminando algunos renglones y/o columnas se dice que B es una submatriz de A.

4.2.

El rango de una matriz

Definici´ on 48 Sea A la matriz definida en (4.1), se define el rango de A como la dimensi´on del subespacio vectorial en Rn generado por los vectores rengl´ on, i.e los descritos en (4.2). Se probar´a, al final del cap´ıtulo, que esta dimensi´on es la misma que la del subespacio vectorial en Rm generado por los vectores columna. Obs´ervese que si r es el rango, entonces r ≤ m (ya que son m vectores rengl´on) y tambi´en r ≤ n ( ya que estos vectores viven en Rn ). Por ejemplo, el rango de la siguiente matriz es 2 

 1 0 0  0 1 0 , 4 4 0 y de esta otra es 3 

 1 2 3 4  0 2 4 5 . 0 0 2 1

84

4.2. El rango de una matriz

Operaciones elementales A continuaci´on se definen ciertas operaciones llamadas elementales para renglones (tambi´en se puede hacer lo mismo para columnas). ´ 1: OPERACION

intercambio de renglones.

´ 2: OPERACION

multiplicaci´ on de un rengl´ on por un escalar distinto

de 0. ´ 3: OPERACION

sumar un rengl´ on a otro.

Definici´ on 49 Dos matrices A y B son equivalentes si se puede obte– ner una de otra mediante un n´ umero finito de operaciones elementales, se escribir´a A ∼ B. Obs´ervese que ∼ es de equivalencia (ejercicio). Ejemplo de operaci´on 1:     1 3 0 4 π 7 ∼ , 4 π 7 1 3 0 de operaci´on 2: 

   1 0 4 3 0 12  2 1 3  ∼  2 1 3 , 1 1 2 1 1 2 de operaci´on 3: 

1 3 0 4 π 7



 ∼

5 π+3 7 4 π 7

 .

Otros ejemplos:       x1 x2 x1 x2 x1 + αy1 x2 + αy2  y1 y2  ∼  αy1 αy2  ∼   y1 y2 z1 z2 z1 z2 βz1 βz2   x1 + αy1 + βz1 x2 + αy2 + βz2 , y1 y2 ∼ z1 z2 es decir usando operaciones elementales, a un rengl´on se le puede sumar una combinaci´on lineal de otros renglones.

85

4. Matrices y determinantes

Este procedimiento permite hacer ceros, por ejemplo:       1 2 3 1 2 3 1 2 3  2 1 1  ∼  0 −3 −5  ∼  0 −3 −5  3 0 1 3 0 1 0 −6 −8 Obs´ervese que siempre se puede hacer 0 debajo de una entrada distinta de 0 (si las entradas est´an en un campo), por ejemplo si a1 6= 0,       a1 a2 a3 1 a2 /a1 a3 /a1 1 ∗ ∗  b1 b2 b3  ∼  b1 b2 b3  ∼  0 ∗ ∗  c1 c2 c3 c1 c2 c3 0 ∗ ∗ Teorema 4.2.1 Las operaciones elementales no alteran el rango y por consiguiente 2 matrices equivalentes tienen el mismo rango. ´ n. Sean R1 , R2 , . . . , Rm los vectores rengl´on de una matriz Demostracio A, entonces el rango de A resulta ser la dimensi´on del subespacio vectorial W , generado por estos vectores, i.e. W = < R1 , R2 , . . . , Rm >. Hay que probar que cada una de las 3 operaciones no altera el rango: La operaci´on 1 ciertamente no lo cambia (ya que al intercambiar 2 renglones el espacio W no cambia). Con respecto a la operaci´on 2, si multiplicamos Ri por λ, se tiene < R1 , R2 , . . . , Rm > = < R1 , . . . , λRi , . . . , Rm >, ya que los vectores que generan el primer subespacio est´an el el segundo, y viceversa, Ri =

1 (λRi ). λ

Finalmente, en cuanto a la operaci´on 3, si W 0 = < R1 , . . . , Rj−1 , Ri + Rj , Rj+1 , . . . , Rm >, ciertamente W 0 ⊂ W, ya que todas las combinaciones de los vectores que definen W 0 , lo son tambi´en de R1 , R2 , . . . , Rm . Finalmente, para probar que W ⊂ W 0 , basta probar que Rj ∈ W 0 , lo cual se sigue de la identidad Rj = (Ri + Rj ) − Ri . 

86

4.2. El rango de una matriz

Obs´ervese que la prueba del teorema anterior muestra algo m´as general: El subespacio vectorial generado por los vectores rengl´ on no se altera bajo las operaciones elementales, i.e. es invariante. Este teorema permite calcular el rango de una matriz al transformarla mediante operaciones elementales en otra, para la cu´al es f´acil calcular el rango. Definici´ on 50 Una matriz es escalonada si la primera entrada distinta de cero de cada rengl´on est´a m´ as a la derecha de la primera entrada distinta de cero del rengl´on anterior. Ejemplos de matrices escalonadas:      0 2 5 3 1 3 π 4 9 4 0 , , 0 0 1 2 . 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 8   0 1 4 1 1 Por otra parte, la matriz no es escalonada. 0 3 0 0 0 

Lema 4.2.2 En una matriz escalonada, los vectores rengl´ on distintos de 0 son linealmente independientes. Antes de probar el lema exhibimos  1 1 1  0 1 1   0 0 0 0 0 0

un ejemplo:  1 1 1 1  , 1 1  0 0

entonces λ1 (1, 1, 1, 1, 1) + λ2 (0, 1, 1, 1, 1) + λ3 (0, 0, 0, 1, 1) = 0, por lo cual   = 0  λ1 λ 1 + λ2 = 0   λ1 + λ2 + λ3 = 0, y λ1 , λ2 , λ3 = 0. ´ n del lema. En una matriz de m × n sean Demostracio 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n,

k ≤ n,

87

4. Matrices y determinantes

tales que j1 es el n´ umero de columna donde aparece el primer n´ umero 6= 0 del 1er rengl´on, j2 el n´ umero de columna donde aparece el primer n´ umero 6= 0 del 2o rengl´on, etc´etera. Ahora si λ1 R1 + λ2 R2 + · · · + λm Rm = 0, donde Ri son los vectores rengl´on de la matriz. Considerando la ecuaci´on escalar determinada por la coordenada j1 , se tiene λ1 = 0. Con la definida por la coordenada j2 , se obtiene λ1 a1j2 + λ2 a2j2 = 0, por lo que λ2 = 0, etc´etera.  Por consiguiente, para calcular el rango de una matriz basta transformarla mediante operaciones elementales en un escalonada y contar los renglones de ´esta distintos de 0. Ejemplos 1. Sea



 1 −1 3 −5  2 −3 4 −10   A =   −3 3 −9 15  , 3 −3 −6 −4

haciendo ceros debajo de la entrada a11 , se    1 −1 3 −5 1  0 −1 −2 0   0 ∼ A∼  0 0 0 0   0 0 0 −15 11 0 por lo que A tiene rango 3.  0 1 2  0 −1 −2 2. Sea A la matriz   0 0 0 0 1 2  0 1 2 3 1 0  0 0 0 −1 3 1 A∼  0 0 0 2 0 1 0 0 0 −1 3 1 i.e A tiene rango 3.

3 −4 2 2 

1 2 0 4 

tiene  −1 3 −5 −1 −2 0  , 0 −15 11  0 0 0

 0 1  , 1  1

0   0 ∼   0 0

1 0 0 0

 2 3 1 0 0 −1 3 1  , 0 0 6 3  0 0 0 0

88

4.3. Permutaciones

EJERCICIOS 4.2 1. Calcular el rango de las siguientes matrices      2 0 1 −1 3 1 2 3 1 1 2 0  1 2 −1 1 2  4 2 −1  ,  2 3 1 4  ,   1 1 1 2 4 3 0 1 1 5 0 2 3 0 1 1 −1

  . 

2. Pruebe que la relaci´on definida en la Definici´on 49 es de equivalencia.

4.3.

Permutaciones

Recordamos que una permutaci´on de In = {1, 2, . . . , n} es una funci´on biyectiva de In en In y que hay n! permutaciones de In . El conjunto de ellas, se denota por Sn , por ejemplo     1 2 1 2 S2 = , , 1 2 2 1        1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 = , , , , , . 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 2 Escribiremos para una permutaci´on σ ∈ Sn   1 2 ··· n σ = σ(1) σ(2) · · · σ(n) o simplemente σ = (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)). Permutaciones pares e impares Consideramos primero el siguiente ejemplo: sea   1 2 3 4 5 6 7 σ = , 3 7 1 5 6 2 4 diremos que σ(2) = 7 y σ(3) = 1, en el 2o rengl´on forman una inversi´on, ya que 2 < 3, pero σ(2) = 7 > σ(3) = 1, tambi´en σ(5) y σ(7) lo hacen. Sin embargo, σ(3) y σ(6) no la forman, ya que σ(3) = 1 < 2 = σ(6). En consecuencia, la definici´on formal general es la siguiente. Definici´ on 51 Sea σ ∈ Sn , se dice que σ(i) y σ(j) forman inversi´ on, si i < j y σ(i) > σ(j).

89

4. Matrices y determinantes

Para contar el n´ umero de inversiones de una permutaci´on dada basta contar cuantos n´ umeros mayores a un n´ umero dado en el 2o rengl´on lo preceden. En el ejemplo anterior a 1 lo preceden 3 y 7, a 5 el 7, a 6 el 7, a 2, lo hacen 3,7,5 y 6, y a 4, 7,5 y 6. Por lo que esta permutaci´on tiene 11 inversiones. Definici´ on 52 Se dice que una permutaci´ on es par si tiene un n´ umero par de inversiones, e impar si este n´ umero es impar (la paridad de la permutaci´ on es la propiedad de ser par o impar). Por ejemplo, la permutaci´on (1 2 3 4 5) es par, ya que tiene cero inversiones y la permutaci´on (2 1 3 4 5) es impar, ya que tiene una inversi´on (σ(1) > σ(2)). Nuestro ejemplo original σ = (3 7 1 5 6 2 4) es impar, ya que tiene 11 inversiones.

Transposiciones Definici´ on 53 Una transposici´on es una permutaci´ on que consiste de intercambiar 2 elementos. Por ejemplo 

1 2 3 4 5 1 5 3 4 2

 .

Construiremos una nueva permutaci´on a partir de una permutaci´on dada, al intercambiar dos elementos en el 2o rengl´on, i.e., si   1 2 ··· r ··· s ··· n σ = σ(1) σ(2) · · · σ(r) · · · σ(s) · · · σ(n) y τ es la transposici´on que intercambia σ(r) y σ(s), se obtiene una nueva permutaci´on µ = τ · σ   1 2 ··· r ··· s ··· n µ = , σ(1) σ(2) · · · σ(s) · · · σ(r) · · · σ(n) probaremos que si σ es par, entonces µ es impar, y que si σ es impar, µ es par, i.e., σ y µ tienen paridad distinta.

90

4.3. Permutaciones

Por ejemplo, si   1 2 3 4 5 6 7 σ = 3 7 1 5 6 2 4

 y µ =

1 2 3 4 5 6 7 3 7 5 1 6 2 4

 ,

se hab´ıa mostrado que σ tiene 11 inversiones, entonces µ tiene 12, ya que tiene todas las de σ y una m´as, 1 con 5. Lema 4.3.1 Sea µ la permutaci´ on obtenida de σ mediante la transposici´ on de 2 elementos consecutivos en el 2o rengl´ on de σ, entonces σ y µ tienen distinta paridad. ´ n. Probamos que si σ tiene k inversiones, entonces µ tiene Demostracio k − 1 o k + 1 inversiones. Sean   1 2 ··· j j+1 ··· n σ = σ(1) σ(2) · · · σ(j) σ(j + 1) · · · σ(n) y  µ =

1 2 ··· j j + 1 ··· n σ(1) σ(2) · · · σ(j + 1) σ(j) · · · σ(n)

 .

Todas las parejas que forman inversi´on en σ, tambi´en lo hacen en µ, salvo σ(j) y σ(j + 1); ´estas lo forman en σ si y s´olo si no lo forman en µ.  Generalizamos ahora este resultado. Teorema 4.3.2 Sea µ la permutaci´ on obtenida de la permutaci´ on σ me– diante la transposici´on de 2 elementos en el 2o rengl´ on de σ, entonces σ y µ tienen distinta paridad. ´ n. El caso en los n´ Demostracio umeros que se transponen son consecutivos se prob´o en el lema. Supongamos ahora que estos n´ umeros est´an separados por s lugares, i.e,   1 2 ··· r ··· r+s ··· n σ = , y σ(1) σ(2) · · · σ(r) · · · σ(r + s) · · · σ(n)   1 2 ··· r ··· r + s ··· n µ = . σ(1) σ(2) · · · σ(r + s) · · · σ(r) · · · σ(n) En el 2o rengl´on de σ podemos mover σ(r) a la derecha mediante s transposiciones de elementos consecutivos, hasta que ocupe el lugar σ(r + s), obteni´endose

91

4. Matrices y determinantes

0

σ =



1 2 ··· r ··· r + s ··· n σ(1) σ(2) · · · σ(r + 1) · · · σ(r) · · · σ(n)

 ,

posteriormente mediante s − 1 transposiciones de elementos consecutivos podemos mover σ(r + s) a la izquierda, hasta que ocupe el lugar original de σ(r), la permutaci´on obtenida es precisamente µ. Por lo tanto se puede pasar de σ a µ mediante 2s − 1 transposiciones de elementos consecutivos, como la paridad cambia en cada paso y el n´ umero de ´estos es impar, se sigue el resultado.  Teorema 4.3.3 Sean σ ∈ Sn y m el n´ umero de inversiones de σ, entonces σ se puede expresar como composici´ on de m transposiciones. ´ n. La siguiente representaci´on de σ ilustra la idea de la Demostracio prueba   ········· σ = . ···· x 1 · ··· Se mueve el 1 a la izquierda en el 2o rengl´on con transposiciones de elementos consecutivos (todos estos n´ umeros precedentes forman inversi´on con el 1), hasta que ocupe el 1er lugar. Obs´ervese que este movimiento no altera las inversiones que forman otros n´ umeros distintos de 1 entre s´ı. Posteriormente, se repite el proceso con el 2 hasta obtener (1, 2, ...), etc´etera. Se sigue que σm ·· · ··σ1 ·σ = I, donde las σj denotan las transposiciones descritas. N´otese que el n´ umero de estos movimientos, i.e. m, es exactamente el n´ umero de inversiones de σ. Finalmente, σ = σ1 · · · · · σm .  ´n Inversa de una permutacio Dada σ ∈ Sn , σ es una funci´on biyectiva de In en In , por lo que existe σ −1 : In −→ In y σ −1 ∈ Sn . Obs´ervese que σ(i) = k si y s´olo si σ −1 (k) = i. Si   1 2 ··· n σ = , σ(1) σ(2) · · · σ(n) la inversa se puede expresar como   σ(1) σ(2) · · · σ(n) , 1 2 ··· n

92

4.3. Permutaciones

o como



1 2 ··· n −1 −1 −1 σ (1) σ (2) · · · σ (n)

Por ejemplo, si   1 2 3 4 σ= , 4 1 3 2

σ

−1

 =

4 1 3 2 1 2 3 4

 .



 =

1 2 3 4 2 4 3 1

 .

Obs´ervese que las transposiciones son involuciones, i.e., ellas son su propio inverso, ya que si τ es una transposici´on, entonces τ 2 = τ · τ = Id. Podemos enumerar   1 2 3 σ1 = 1 2 3   1 2 3 σ3 = 2 1 3   1 2 3 σ4 = , 2 3 1   1 2 3 σ5 = , 3 1 2   1 2 3 σ6 = 3 2 1

los inversos de los elementos de S3 .   1 2 3 −1 = σ1 , σ2 = = σ2−1 , 1 3 2 = σ3−1 , σ4−1 σ5−1

 =  =

2 3 1 1 2 3



3 1 2 1 2 3



 =  =

1 2 3 3 1 2



1 2 3 2 3 1



, ,

= σ6−1 ,

por lo que σ4 = σ5−1 y σ5 = σ4−1 . Obs´ervese que la asociaci´on σ 7→ σ −1 , es una biyecci´on de Sn . Si σ, τ son distintas, entonces σ −1 y τ −1 lo son, y dada una permutaci´on µ ∈ Sn , µ es la imagen de su inversa bajo esta asociaci´on. Proposici´ on 4.3.4 Una permutaci´ on σ es par si y s´ olo si σ −1 lo es. Consideremos primero un ejemplo:       1 2 3 4 5 · 5 · 1 · 1 · · · 5 −1 σ= , σ = = , · 5 · 1 · · 2 · 4 · 4 · · · 2 i.e σ(2) = 5 y σ(4) = 1, forman inversi´on en σ si y s´olo si σ −1 (1) = 4, lo hace con σ −1 (5) = 2, en σ −1 . La relaci´on: el n´ umero chico en el primer rengl´on va al n´ umero grande en el segundo rengl´on se preserva.

93

4. Matrices y determinantes

´ n de la Proposicio ´ n. La biyeci´on σ 7→ σ −1 en Sn preserva Demostracio inversiones: i σ(j) = s

⇔ s i = σ −1 (r),

i.e. las parejas que forman inversi´on en σ se corresponden de manera biun´ıvoca con las que lo hacen en σ −1 . Por consiguiente, el n´ umero de inversiones −1 de σ es el mismo que el de σ .  N´otese que la inversi´on tambi´en se puede definir en t´erminos del 1er rengl´on i < j y σ(i) > σ(j). EJERCICIOS 4.3 1. Encuentra la paridad de las siguientes permutaciones 3 5 6 1 2 4

4.4.




y

1 7 8 2 4 3 5 6




Determinantes

´ El determinante es una funci´on que le asocia a una matriz un n´ umero. Estos son muy importantes en matem´aticas, por ejemplo en el estudio de las ecuaciones lineales. En muchos casos, estos n´ umeros representan el ´area o el volumen de los lugares geom´etricos asociados a sus vectores rengl´on, es decir los correspondientes paralelogramos o paralelep´ıpedos, como se muestra al final de este cap´ıtulo. Definici´ on 54 Se define el determinante de una matriz cuadrada   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A =  .. .. . . ..  .  . . .  . an1 an2 · · · ann X como det A = ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) , σ ∈ Sn

donde

( ε(σ) =

1 si σ es par, −1 si σ es impar.

94

4.4. Determinantes

En particular, para el caso n = 2, esta definici´on es m´as simple y familiar. Definici´ on 55 Sea

 A=

a b c d



una matriz con entradas reales, al n´ umero ad − bc se le llama determinante de A y se le denota por det A o por |A|. Ejemplos 1. Si

 A=

a11 a12 a21 a22

 ,

entonces det A = a11 a22 − a12 a21 , ya que las permutaciones de {1, 2} son     1 2 1 2 que es par, y que es impar. 1 2 2 1 2. Calculamos el determinante de la matriz   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a13 Calculamos  1 2 1 2  1 2 1 3  1 2 2 1  1 2 2 3  1 2 3 1  1 2 3 2

primero las permutaciones de {1, 2, 3}, y sus paridades.  3 es par (cero inversiones), genera el sumando a11 a22 a33 , 3  3 es impar (una inversi´on), genera −a11 a23 a32 , 2  3 es impar (una inversi´on), genera −a12 a21 a33 , 3  3 es par (dos inversiones), genera a12 a23 a31 , 1  3 es par (dos inversiones), genera a13 a21 a32 , y finalmente 2  3 es impar (tres inversiones), define el sumando −a13 a22 a31 . 1

95

4. Matrices y determinantes

Por consiguiente, det A = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 . Volviendo al caso general de matrices de n × n, obs´ervese que los sumandos est´an hechos por factores que son uno por cada rengl´on (ya que los primeros sub´ındices son 1, 2, . . . , n), y uno por cada columna. Esto se sigue ya que los segundos sub´ındices son σ(1), σ(2), . . . , σ(n), y σ es una permutaci´on. Dada una matriz diagonal A, su determinante es a11 a22 . . . ann , i.e., el producto de los elementos de la diagonal. Esto se sigue, ya que todos los sumandos donde aparecen factores ajσ(j) con σ(j) 6= j son 0, esto es, la u ´nica permutaci´on que produce sumandos distintos de 0 es la identidad. Proposici´ on 4.4.1 Sea A una matriz tiangular A = (aij ), 1 ≤ i, j ≤ n, entonces det A = a11 a22 · · · ann . ´ n. Probamos la proposici´on para triangulares superiores (eleDemostracio mentos debajo de la diagonal son 0), el otro caso es an´alogo. Se afirma que los sumandos donde aparece ajσ(j) , σ(j) 6= j son todos 0. Para probar la afirmaci´on consideramos dos casos, donde σ es fija y no es la identidad. Caso 1: j > σ(j). En este caso por ser A triangular superior ajσ(j) = 0, y se sigue la afirmaci´on. Caso 2: j < σ(j). En este caso, alguna otra i, de los primeros n naturales, cumple i > σ(i). De otra manera, σ(n) ≥ n, y σ(n) = n. Asimismo σ(n − 1) ≥ n − 1, por lo cual σ(n − 1) = n − 1, procediendo de esta manera, se tiene σ(j) = j, lo cual contradice la hip´otesis j < σ(j). Se concluye que existe dicha i, y entonces aiσ(i) = 0 (por ser triangular superior). 

4.5.

Propiedades de los determinantes Propiedad 1

Si el vector rengl´on Ri de una matriz A es la suma de 2 vectores rengl´ on, 0 00 digamos Ri = Ri + Ri , entonces 0

00

|A| = |A | + |A |,

96

4.5. Propiedades de los determinantes 0

00

donde A y A son las matrices cuyos renglones i-´esimos est´ an determi00 0 as renglones son los mismos nados por Ri y Ri , respectivamente y los dem´ que los de A. Ejemplo a + a0 b + b 0 a b a0 b 0 0 0 0 0 = (a + a )d − (b + b )c = ad − bc + a d − b c = c c d + c0 d0 . d ´ n de la Propiedad 1. Sea Demostracio   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A =  .. .. ..  . ..  . . . .  an1 an2 · · · ann 0

(4.4)

00

Si el vector rengl´on Ri de A es Ri + Ri , podemos escribir 0

00

0

0

00

00

(ai1 , ai2 , . . . , ain ) = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) + (ai1 , ai2 , . . . , ain ), y se tiene que X ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · ·aiσ(i) · · ·anσ(n) |A|= σ∈Sn

=

X

0

00

ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · ·(aiσ(i) + aiσ(i) )· · ·anσ(n)

σ∈Sn

=

X

0

ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · ·aiσ(i) · · ·anσ(n) +

00

ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · ·aiσ(i) · · ·anσ(n)

σ∈Sn

σ∈Sn 0

X

00

=|A | + |A |.  Esta propiedad nos permite simplificar determinantes, por ejemplo: a1 b 1 c 1 a1 + 0 b 1 + 0 a2 b 2 c 2 = a2 b2 a3 b 3 c 3 a3 b3 a1 0 0 = a2 b2 c2 + a3 b 3 c 3

c1 + 0 c2 c3 0 b1 a2 b 2 a3 b 3

a1 = a2 a3 0 c2 + c3

b1 0 0 0 c1 b2 c2 + a2 b2 c2 b 3 c 3 a3 b 3 c 3 0 0 c1 a2 b2 c2 . a3 b 3 c 3

97

4. Matrices y determinantes

Propiedad 2 0

Si el vector rengl´on Ri de la matriz A es de la forma Ri = λRi , entonces 0

|A| = λ|A |, 0

donde A es la matriz que se obtiene de A cambiando el rengl´ on definido 0 por Ri por el rengl´on asociado a Ri . Ejemplos λa λb = λad − λbc = λ a b 1. c d c d

.

2. Observando que en la expresi´on del determinante aparece un y s´olo un factor de la forma a1j por cada sumando, 1 ≤ j ≤ 3, se tiene a1 b 1 c 1 λa1 λb1 λc1 a2 b 2 c 2 = λ a2 b 2 c 2 . a3 b 3 c 3 a3 b 3 c 3 0

´ n de la Propiedad 2. Sea A como en (4.4) y Ri = λRi , Demostracio donde 0 0 0 Ri = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) = λ(ai1 , ai2 , . . . , ain ), entonces X |A| = ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · aiσ(i) · · · anσ(n) σ∈Sn

=

X

0

ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · λaiσ(i) · · · anσ(n)

σ∈Sn

= λ

X

0

ε(σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · aiσ(i) · · · anσ(n)

σ∈Sn 0

= λ|A |.  Propiedad 3 0

Si la matriz A se obtiene intercambiando dos renglones de otra matriz A, entonces 0 |A | = −|A|.

98

4.5. Propiedades de los determinantes

Ejemplo  Sean A = entonces

a b c d

 y

0



A =

c d a b

 ,

0

|A | = cb − da = −(ad − bc) = −|A|.

´ n de la Propiedad 3. Sean Demostracio     a11 a12 · · · a1n b11 b12 · · · b1n  .. ..  y A0 =  .. .. . . ..  , .. A =  ...  . . . . .  . .  an1 an2 · · · ann bn1 bn2 · · · bnn donde bij = aij ∀ i, j, brj = asj ∀ j. bsj = arj ∀ j,

i 6= r,

i 6= s,

0

i.e. A y A son la misma matriz excepto por los renglones r y s intercambiados. Ahora dada σ ∈ Sn , se define τ ∈ Sn como sigue: τ (i) = σ(i), τ (r) = σ(s), τ (s) = σ(r), es decir

 τ=

∀ i 6= r, s,

1 ··· r ··· s ··· n σ(1) · · · σ(s) · · · σ(r) · · · σ(n)

 .

N´otese que τ tiene distinta paridad de σ, ya que se obtiene de ´esta mediante una transposici´on. Finalmente X |A| = ε(σ)a1σ(1) · · · arσ(r) · · · asσ(s) · · · anσ(n) σ∈Sn

=

X

ε(σ)b1σ(1) · · · bsσ(r) · · · brσ(s) · · · bnσ(n)

σ∈Sn

=

X

−ε(σ)b1τ (1) · · · bsτ (s) · · · br τ (r) · · · anτ (n)

τ ∈Sn 0

= −|A |.

99

4. Matrices y determinantes

Si σ recorre todas las permutaciones, τ tambi´en, ya que σ 7→ τ es una biyecci´on en Sn .  Propiedad 4 Sea A la matriz identidad, esto es, donde A = (aij ), y aij = δij , donde ( 1 si i = j, δij = 0 si i 6= j. Entonces, |A| = 1, a la funci´on δij se le llama la delta de Kronecker. ´ n. Cada sumando a1σ(1) · · · anσ(n) es 0 salvo si σ(j) = j ∀j, Demostracio i.e., si σ = Id.  Ejemplo 1 0 0 1 = 1. Propiedad 5 Si una matriz cuadrada tiene 2 renglones iguales su determinante es 0. 0 ´ n. Sea A dicha matriz y A la que se obtiene intercambiando Demostracio 0 los 2 renglones que son iguales i.e. A = A, se sigue entonces de la Propiedad 0 3 que |A| = −|A | = −|A|, por lo que 2|A| = 0 y |A| = 0.  Propiedad 6 Si una matriz cuadrada tiene un rengl´ on de ceros, entonces su determinante es cero. ´ n. En la definici´on de determinante aparece en cada sumando Demostracio un factor de cada uno de los renglones, i.e., cada sumando tiene un factor 0, i.e., todos lo sumandos son 0. Otra demostraci´on se obtiene usando la Propiedad 2: se puede factorizar 0 del renglon de ceros y se tiene |A| = 0 · |A|, i.e., |A| = 0.  Ejemplo a1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 b c 1 1 a2 + λa3 b2 + λb3 c2 + λc3 = a2 b2 c2 + λa3 λb3 λc3 = a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3

100

4.5. Propiedades de los determinantes

Las igualdades son consecuencia de las Propiedades 1, 2 y 5. La siguiente propiedad es una generalizaci´on de este ejemplo. Propiedad 7 0

Si la matriz A se obtiene de la matriz cuadrada A sumando a un rengl´ on 0 un multiplo de otro, entonces |A | = |A|. ´ n. Sup´ongase que al rengl´on Ri se le sum´o el rengl´on Rk Demostracio multiplicado por λ, entonces por las Propiedad 1 y la Propiedad 2 se tiene que 0 |A | = |A| + λ|B|, donde B es una matriz igual a A excepto por el rengl´on i que es el mismo que el rengl´on k. Finalmente la Propiedad 5 establece que |B| = 0.  Iterando este proceso se tiene Corolario 4.5.1 Si a un rengl´ on de una matriz cuadrada A le sumamos 0 una combinaci´on lineal de los dem´ as renglones, obteniendo una matriz A , 0 entonces |A | = |A|. Corolario 4.5.2 Si los vectores rengl´ on de una matriz cuadrada A son linealmente dependientes, entonces |A| = 0. ´ n. Las hip´otesis implican que alguno de los vectores rengl´on Demostracio es combinaci´on lineal de los otros, restando a dicho rengl´on dicha combinaci´on lineal se obtiene un rengl´on de ceros.  Por ejemplo, si   1 2 3 A =  4 5 6 , 6 9 12 entonces (6, 9, 12) = 2(1, 2, 3) + (4, 5, 6) y |A| = 0, ya que 1 4 |A| = 6−2·1−4

2 5 9−2·2−5

3 6 12 − 2 · 3 − 6

.

101

4. Matrices y determinantes

Definici´ on 56 Dada una matriz A = (aij ), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, se define otra matriz llamada la transpuesta de A, denotada por t A (o At ), como sigue t

A = (bij ),

donde

bij = aji ,

Por ejemplo, si  A=

a 2 0 π  1



 ,

 a π entonces t A =  2   . o 1

Es decir, el 1er rengl´on se transforma en la 1a columna y el 2o rengl´on en la 2a columna. Propiedad 8

|A| = |t A|. Ejemplo 

a b c d



a c = ad − bc = ad − cb = b d



´ n de la Propiedad 8. Sean A = (aij ) y t A = (bij ), i.e., Demostracio aij = bji ∀ i, j. Ahora X X |A| = ε(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) = ε(σ)bσ(1)1 · · · bσ(n)n , σ∈Sn

σ∈Sn

como bσ(j)j = biσ−1 (i) , donde σ(j) = i; se pueden reordenar los factores de cada sumando y se tiene bσ(1)1 bσ(2)2 · · · bσ(n)n = b1σ−1 (1) · · · bnσ−1 (n) . −1 } y ε(σ) = ε(σ −1 ), en virtud Adem´as Sn = {σ1 , . . . , σn! } = {σ1−1 , . . . , σn! de la Proposici´on 4.3.4, por lo que X |A| = ε(σ)b1σ(1) · · · bnσ(n) = |t A|. σ∈Sn



102

4.6. Desarrollo por menores

Corolario 4.5.3 Las propiedades 1 a 7 para renglones son tambi´en v´ alidas para columnas. Ejemplo a1 λb1 c1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 b 1 c 1 a2 λb2 c2 = λb1 λb2 λb3 = λ b1 b2 b3 = λ a2 b2 c2 . a3 λb3 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 a3 b 3 c 3

4.6.

Desarrollo por menores

Este m´etodo nos permite expresar el determinante de una matriz de n × n como la suma de determinantes de matrices de (n − 1) × (n − 1). Dada una matriz    A= 

a11 a21 .. .

··· ··· ...

a12 a22 .. .

am1 am2

a1n a2n .. .

· · · amn

   , 

se denota por Aij la matriz obtenida de A eliminando el rengl´on i y la columna j. Por ejemplo, si   a π 0 A =  2 4 7 , (4.5) 9 6 8 entonces  A11 =

4 7 6 8



 , A23 =

a π 9 6



 , A32 =

a 0 2 7

 ,

etc´etera. Definici´ on 57 Al determinante |Aij | de una matriz cuadrada A se le llama el menor del elemento aij . Por ejemplo, si A es la matriz (4.5), se tiene |A11 | = −10 y |A32 | = 7a.

103

4. Matrices y determinantes

Podemos desarrollar el determinante de una matriz de 3 × 3 con respecto a los menores del 1er rengl´on. Sea   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  , a31 a32 a33 entonces |A| = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 = a11 |A11 | − a12 |A12 | + a13 |A13 |. Probaremos que este proceso se pueden generalizar a cualquier rengl´on o columna. Lema 4.6.1 Sea

   A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

 · · · a1n · · · a2n   ..  , .. . .  · · · ann

tal que anj = 0 ∀ j 6= n, entonces |A| = ann |Ann |. Ejemplo

1 3 −1 0

0 7 4 0

´ n. Demostracio |A| =

1 0 2 = 7 3 7 1 . −1 4 0

2 1 0 0

4 8 2 7

X

ε(σ)a1σ(1) · · · anσ(n),

σ∈Sn

como anσ(n) = 0 si σ(n) 6= n, se tiene |A| =

X σ∈Sn−1

ε(σ)a1σ(1) · · · an−1σ(n−1) ann = ann |Ann |,

104

4.6. Desarrollo por menores

ya que las permutaciones que fijan a n est´an en correspondencia biun´ıvoca con las permutaciones de Sn−1 (el n´ umero de inversiones tambi´en es el mismo).  Corolario 4.6.2 Sea A = (aij ) una matriz de n × n, tal que ajn = 0 para los naturales j menores a n, entonces |A| = ann |Ann |. ´ n. Aplicando el Lema 4.6.1 a At , se tiene |At | = ann |(At )nn |. Demostracio Ahora, en virtud de la Propiedad 8 se sigue que |A| = ann |Ann |. En este u ´ltimo paso usamos el hecho de que (Ann )t = (At )nn .  Ejemplo     2 3 1 2 5 0 Si A =  5 7 2  , entonces At =  3 7 2  . 0 2 7 1 2 7 Por lo cual t

(A33 ) =



2 5 3 7



= (At )33 .

Lema 4.6.3 Si en una matriz cuadrada todos los elementos distintos de aij en el rengl´on i son cero, entonces |A| = (−1)i+j aij |Aij |. ´ n. Intercambiamos renglones y columnas consecutivas hasta Demostracio obtener la situaci´on del Lema 4.6.1. Espec´ıficamente sean a1,1 · · · a1,j−1 a1,j a1,j+1 · · · a1,n ..  ... .   ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 ai−1.n  ai−1,1  ai,j−1 ai,j ai,j+1 ai,n A =  ai,1  ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 ai+1,n  ai+1,1  . ..  .. . an,1 · · · an,j−1 an,j an,j+1 · · · an,n 

          

y

105

4. Matrices y determinantes

a1,1 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,n a1,j .. ..  ... . .   ai−1,j−1 ai−1,j+1 ai−1,n ai−1,j  ai−1,1 0  ai+1,j−1 ai+1,j+1 ai+1,n ai+1,j A =  ai+1,1  . .. ..  .. . .   an,1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · an,n an,j ai,1 ai,j−1 ai,j+1 ai,n ai,j 

       .    

Obs´ervese que se pueden intercambiar renglones consecutivos, de tal manera que el rengl´on Ri de A se transforme en el rengl´on n-´esimo, esto se obtiene mediante n−i intercambios. An´alogamente se puede intercambiar la columna Cj por la columna Cj+1 , despu´es por Cj+2 hasta que ocupe la columna Cj 0 el lugar de Cn . Es claro entonces que A se obtiene de A mediante n − i intercambios de renglones y n − j de columnas. Finalmente, como cada intercambio de columnas o reglones cambia el signo del determinante, se tiene por el Lema 4.6.1 que 0

0

0

|A| = (−1)2n−i−j |A | = (−1)i+j |A | = (−1)i+j aij |Ann | = (−1)i+j aij |Aij |, 0

1 puesto que (−1)k = (−1)−k = (−1) k , y evidentemente la submatriz Ann es igual a la submatriz Aij (ambas consisten de eliminar el rengl´on i y la columna j en A). 

Corolario 4.6.4 Si en una matriz cuadrada todos los elementos distintos de aij en la columna j son cero, entonces |A| = (−1)i+j aij |Aij |. ´ n. Exactamente la misma prueba del Lema 4.6.3, aplicando Demostracio el Corolario 4.6.2 en lugar de Lema 4.6.1, implica el resultado.  Estos resultados permiten desarrollar el determinante de una matriz utilizando cualquier rengl´on o columna. Propiedad 9 Sea A una matriz de n × n, y 1 ≤ i, j ≤ n, entonces |A| = (−1)i+1 ai,1 |Ai,1 | + (−1)i+2 ai,2 |Ai,2 | + · · · + (−1)i+n ai,n |Ai,n | = (−1)1+j a1,j |A1,j | + (−1)2+j a2,j |A2,j | + · · · + (−1)n+j an,j |An,j |.

106

4.6. Desarrollo por menores

Antes de probar esta propiedad damos algunos ejemplos. Calculamos el siguiente determinante desarrollando con respecto a la 2a columna: 5 7 9 2 0 5 9 5 9 1+2 2+2 3+2 2 1 0 = (−1) · 7 3 5 +(−1) 3 5 +(−1) · 4 2 0 3 4 5 En la siguiente 1 0 2 3 0 1 0 0 2 2 1 0

= −70 − 2 − 4(−18) = 0. matriz desarrollamos con respecto al 3er rengl´on: 0 1 0 0 1 0 2 0 3+3 3 0 0 + (−1)3+4 3 0 1 = (−1) · 2 1 2 1 3 2 1 0 3 = 2 · 0 − [1(−1) + 2(3)] = −5,

´ n de la Propiedad 9. Probamos primero para el caso de Demostracio los renglones, sea Ri = (ai1 , ai2 , . . . , ain ) el vector rengl´on i-´esimo de A, entonces si los renglones se denotan tambi´en por R1 , R2 , . . . , Rn (abusando de la notaci´on), se tiene por la Propiedad 1 que R1 R R R 1 1 1 R2 R2 R2 R2 . .. .. .. . . . . . |A| = = + + ··· + R a 0 · · · 0 0 a 0 · · · 0 0 · · · 0 a i i1 i2 in . .. .. .. .. . . . R Rn Rn Rn n =

n X

(−1)i+k aik |Aik |,

k=1

aplicando el Lema 4.6.3. El mismo argumento se aplica para columnas, usando ahora el Corolario 4.6.4: a 0 i j 0 0 . 0 . |A| = C1 C2 · · · · · · Cn + · · · + C1 C2 · · · . · · · Cn , .. . 0 0 anj donde Ck denota la columna k-´esima, etc´etera.



107

4. Matrices y determinantes

EJERCICIOS 4.6 1. Calcular el determinante de las    1 1 2 −1 2  3 0 1 −1   1   ,   −1 2 3  −1 1  1 2 −1 −2 2

4.7.

siguientes matrices  1 0 −1   3 2 1   ,   1 0 3   −1 2 1

1 0 1 0 1

 3 −1 2 1 2 0 1 2   3 2 1 1  . 1 −2 0 2  3 1 3 0

C´ alculo de determinantes

Calcular un determinante a partir de la definici´on no es muy apropiado, por ejemplo el determinante de una matriz de 7 × 7 involucra 7! = 5040 sumandos. El m´etodo de menores simplifica un poco esta situaci´on, pero no mucho, por ejemplo, encontrar un determinante de 8 × 8 involucra sumar 8 determinantes de 7 × 7, etc´etera. En general, la manera m´as eficaz es simplificar la matriz haci´endola triangular usando las propiedades 1 a 8. En algunos casos es conveniente usar tambi´en el m´etodo de menores. Ejemplos 1. Primero, se hacen ceros debajo de a11 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 0 0 −2 2 −1 2 −1 = 0 −3 0 1 2 −1 −2 0 1 −2  1 1 1 0 + = 6 − 1 −3 1 −2

1 0 1 1 −2 1 = 6 1 0 −3 1 −2 −3 −3  = 6[4 − 2] = 12.

,

En el u ´ltimo paso, se desarroll´o por menores en el primer rengl´on. 2. Haciendo 1 1 1 2 1 3 1 4

ceros 1 1 3 4 = 6 10 10 20

1 0 0 0

1 1 2 3

1 1 2 3 5 9 9 19

1 2 3 = 2 5 0 3 9 19

1 2 3 = 0 1 3 0 3 10

= 10 − 9 = 1. En el u ´ltimo paso, se desarroll´o por menores en la 1a columna.

.

108

´lculo de determinantes 4.7. Ca

3. Sumando las 1 2 3 4

= 10

4 columnas 2 3 4 3 4 1 = 4 1 2 1 2 3

1 2 3 4 0 1 1 −3 0 2 −2 −2 0 −1 −1 −1

10 10 10 10

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

= 10

1 1 −3 = 20 1 −1 −1 −1 −1 −1

1 1 1 1

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3



1 1 −3 = 20 0 −2 2 0 0 −4

= 160.

Determinantes tipo Van der Monde Multiplicando por a1 la 2a columna y rest´andola de la 3a , y posteriormente multiplicando la 1a columna por a1 y rest´andola de la 2a , se tiene 1 a1 1 a1 a21 0 1 a2 a22 = 1 a1 a22 − a1 a2 1 a1 a2 − a1 a3 1 a3 a2 3 3

1 a2 = (a2 − a1 )(a3 − a1 ) 1 a3

1 a1 a21 a31 1 a2 a22 a32 2 3 1 a3 a3 a3 2 3 1 a4 a4 a4

=

1 0 0 = 1 a2 − a1 a22 − a1 a2 1 a3 − a1 a2 − a1 a3 3

= (a2 − a1 )(a3 − a1 )(a3 − a2 ).

1 a1 a21 1 a2 a22 1 a3 a23 1 a4 a24

a32 − a1 a22 3 2 a3 − a1 a3 3 2 a4 − a1 a4 0



109

4. Matrices y determinantes

1 0 1 a2 − a1 1 a2 a22 − a1 a2 a32 − a1 a22 = 1 a3 − a1 1 a3 a23 − a1 a3 a33 − a1 a23 2 3 2 1 a4 − a1 1 a4 a4 − a1 a4 a4 − a1 a4 1 a2 a22 2 = (a2 − a1 )(a3 − a1 )(a4 − a1 ) 1 a3 a3 2 1 a4 a 4 Q donde significa producto. =

1 a1

0

0

0

a22 − a1 a2 a23 − a1 a3 a24 − a1 a4

=

Y

(ak − aj ),

j k, cualquier submatriz de r × r tiene determinante 0, ya que cualesquiera r renglones son linealmente dependientes. ⇐) Se sigue tambi´en del teorema anterior que como existe una submatriz de k × k con determinante no nulo, los renglones involucrados son linealmente independientes, y que si todo submatriz de r × r, donde r > k, tiene determinante 0, entonces cualesquiera r vectores rengl´on son linealmente dependientes. En otras palabras, el rango es k.  Corolario 4.8.3 El rango de una matriz es igual a la dimensi´ on del subespacio vectorial generado por las columnas. ´ n. Provisionalmente denotamos por rango1 , a la definici´on Demostracio original y rango2 a la dimensi´on del subespacio vectorial generado por las columnas. Se sigue entonces del Corolario 4.8.2 que rango2 (A) = rango1 (At ) = rango1 (A), ya que este corolario permite definir rango sin mencionar columnas o renglones, sino solamente submatrices, y ´estas y sus transpuestas tienen los mismos determinantes.  Corolario 4.8.4 Una matriz de n × n es de rango n ⇔ su determinante es distinto de 0. ´ n. Se sigue del Teorema 4.8.1 que los vectores rengl´on son Demostracio linealmente dependientes si y s´olo si el determinante de la matriz es 0.  EJERCICIOS 4.8 1. Pruebe que cualquier conjunto finito de generadores de un subespacio vectorial en Rn contiene una base.

113

4. Matrices y determinantes

4.9.

El determinante como ´ area o volumen

n n Definici´ on 58 Sea f : R × · · · × Rn} −→ R, se dice que f es | × R {z m veces

multilineal, si es lineal con respecto a cada variable, i.e., se cumplen las siguientes dos condiciones ∀ λ ∈ R, ∀ k ∈ {1, 2, . . . , m} y ∀ xk , xk0 ∈ Rn : i)

f (x1 , . . . , xk−1 , xk + xk0 , xk+1 , . . . , xm ) = f (x1 , . . . , xk−1 , xk , xk+1 , . . . , xm )+f (x1 , . . . , xk−1 , xk0 , xk+1 , . . . , xm ),

ii) f (x1 , . . . , λ xk , . . . , xn ) = λ f (x1 , . . . , xk , . . . , xn ). Obs´ervese que la funci´on determinante se puede pensar como una funci´on multilineal de n vectores en Rn , ya sea las columnas, o los renglones (por las propiedades demostradas). Esto se ve claro al escribir, por ejemplo   v1  v2    Det A = Det (v1 , v2 , . . . , vn ), donde A =  ..  .  .  vn Recordamos que el determinante como funci´on de los n vectores rengl´on (o columna) en Rn cumple las siguientes 3 propiedades: Det

i) (Rn × Rn × · · · × Rn ) −−→ R es multilineal, ii) Det (v1 , v2 , . . . , vj−1 , vj , vj , vj+2 , . . . , vn ) = 0, i.e., si se tienen 2 renglones consecutivos iguales, el determinante es 0, iii) Det (e1 , e2 , . . . , en ) = 1, i.e., Det (I) = 1. Teorema 4.9.1 Existe una u ´nica funci´ on con dominio n n R × · · · × Rn} | × R {z n veces

y valores reales, que satisface i), ii) y iii), esta funci´ on es el determinante.

114

´rea o volumen 4.9. El determinante como a

Probamos primero un lema. Lema 4.9.2 Bajo las hip´ otesis del Teorema 4.9.1, una transposici´ on de elementos consecutivos cambia el signo de la funci´ on. ´ n. Demostracio 0 = f (v1 , . . . , vk + vk0 , vk + vk0 , vk+2 , . . . , vn ), por lo cual f (v1 , . . . , vk−1 , vk , vk0 , vk+2 , . . . , vn ) = −f (v1 , . . . , vk−1 , vk0 , vk , vk+2 , . . . , vn ).  ´ n del Teorema 4.9.1 Sea f dicha funci´on, entonces Demostracio ! n n X X X f a1 i ei , . . . , an i ei = a1 σ(1) · · · an σ(n) f (eσ(1) , . . . eσ(n) ). i=1

σ ∈ Sn

i=1

Ya que al aplicar la propiedad de multilinealidad se tienen tantos sumandos como permutaciones. Finalmente, usando el Teorema 4.3.3, si la permutaci´on   1 ··· n σ= σ(1) · · · σ(n) consiste de m inversiones, entonces se puede mediante m transposiciones de elementos consecutivos, componer σ y obtener la identidad. Por lo cual ! n n X X X a1 σ(1) · · · an σ(n) ε(σ). f a1 i ei , . . . , an i ei = i=1

i=1

σ ∈ Sn

 ´ Area - volumen Definici´ on 59 Sean v, w ∈ R2 y P (v, w) el paralelogramo generado por v y w. Se denota por vol0 (v, w) al ´ area de P (v, w) si Det (v, w) ≥ 0 y menos el ´area de P (v, w) si Det (v, w) ≤ 0.

115

4. Matrices y determinantes

N´otese que si el ´area se denota por vol (v, w), entonces |vol0 (v, w)| = vol (v, w). Se usar´an propiedades simples del ´area como las siguientes: ´ 1. Area (segmento)= 0, ´ ´ 2. Si Area(A) = m, Area(T (A)) = m, donde T es una traslaci´on, 3. Si A ∩ B = ∅ o A ∩ B es un conjunto de ´area cero, entonces ´ ´ ´ Area(A ∪ B) = Area(A) ∪ Area(B), La prueba formal de estas propiedades se lleva a cabo en el curso de c´alculo de varias variables, d´onde se define al ´area como una integral doble Z AE (R) = d A. R

La invariabilidad bajo traslaci´on se sigue del teorema de cambio de variable aplicado a x 7→ x + x0 , ya que el jacobiano es la identidad. Teorema 4.9.3 Sean v, w ∈ R2 , entonces vol0 (v, w) = Det (v, w). Necesitamos primero unos lemas antes de probar el teorema. Lema 4.9.4 Si c ∈ R, c ≥ 0 y v, w ∈ R2 , entonces vol (c v, w) = c vol (v, w). ´ n. Basta probar el caso cuando v y w son linealmente inDemostracio dependientes. En este caso, si n ∈ N, el paralelogramo generado por n v y w consiste de n paralelogramos paralelos a P (v, w). Los paralelogramos obtenidos son traslaciones por v, 2 v, . . . , (n−1) v del paralelogramo P (v, w) y se tiene que vol (n v, w) = n vol (v, w).

116

´rea o volumen 4.9. El determinante como a

Tambi´en vol

v n

,w



1 vol (v, w), n

=

y si m, n ∈ N vol

m n

v, w

v , n

Esto se sigue, ya que si v1 =



=

m vol (v, w). n

se tiene de la observaci´on anterior que

vol (n v1 , w) = n vol (v1 , w). M´as a´ un,  vol

1 m v, w n



 = m vol = m

1 v, w n



1 vol (v, w). n

nv (n − 1) v

2v v

w P (v, w)

Figura 4.1: Paralelogramo generado por n v y w Finalmente, si c ∈ R, c > 0, entonces vol (c v, w) = c vol (v, w). Para probar esto, sean r1 , r2 ∈ Q, 0 < r1 < c < r2 . Entonces r1 vol (v, w) = vol (r1 v, w) ≤ vol (c v, w) ≤ vol (r2 v, w) = r2 vol (v, w),

117

4. Matrices y determinantes

(ve´ase la Figura 4.2). Haciendo tender r1 y r2 a c, en el l´ımite se tiene que c vol (v, w) = vol (c v, w). 

r2 v cv r1 v

Figura 4.2: c vol (v, w) = vol (c v, w) Por otro lado, al trasladar el paralelogramo P (v, w) por −v se sigue el siguiente resultado. Lema 4.9.5 Sean v, w ∈ R2 , entonces vol (−v, w) = vol (v, w).

P (v, w) v

w P (−v, w)

−v

Figura 4.3: vol (−v, w) = vol (v, w) Lema 4.9.6 Sean v, w ∈ R2 , y c ∈ R, entonces vol0 (c v, w) = c vol0 (v, w). ´ n. El resultado es evidente si v y w son linealmente depenDemostracio dientes. Consideramos casos

118

´rea o volumen 4.9. El determinante como a

Caso 1: Det (v, w) > 0 y c < 0. En este caso, Det (c v, w) ≤ 0 y tomando c = −d, se sigue en virtud del Lema 4.9.5 que vol0 (c v, w) = −vol(c v, w) = −vol (−d v, w) = −vol (d v, w) = −d vol (v, w) = c vol (v, w) = c vol0 (v, w). El caso Det (v, w) > 0, c > 0 ya se prob´o. De manera an´aloga, se prueban los dos casos restantes (ejercicio).  Para probar que vol0 distribuye la suma usamos los siguientes resultados. Lema 4.9.7 Sean v, w ∈ R2 , y c ∈ R, entonces vol0 (v, w) = −vol0 (w, v). ´ n. Demostracio Caso 1: Det (v, w) ≤ 0. vol0 (v, w) = −vol (v, w) = −vol (w, v) = −vol0 (w, v), puesto que det (w, v) ≥ 0. Caso 2: det (v, w) > 0. vol0 (v, w) = vol (v, w) = vol (w, v) = −vol0 (w, v), puesto que det (w, v) ≤ 0.  v+w

w

v

A

+

A B w

Figura 4.4: vol (v + w, w) = vol (v, w)

Lema 4.9.8 Sean v, w vectores en el plano, entonces vol (v + w, w) = vol (v, w).

119

4. Matrices y determinantes

´ n. El paralelogramo generado por v y w consiste de 2 Demostracio tri´angulos A y B. Por otra parte, el generado por v + w y w consiste del tri´angulo B y del tri´angulo A + w, por lo que tienen la misma ´area (ver la Figura 4.4).  Lema 4.9.9 Sean v, w ∈ R2 , y d ∈ R, entonces vol0 (v + d w, w) = vol0 (v, w). ´ n. Demostracio d vol0 (v + dw, w) = vol0 (v + dw, dw) = vol (v, dw) = d vol (v, w).  ´ n del Teorema 4.9.3 Basta probar que el vol0 (v, w) cumple Demostracio las propiedades i), ii) y iii). Hay que demostrar i), ya que ii) y iii) son triviales. Es decir, hay que probar la multilinealidad. En virtud de los Lemas 4.9.4, 4.9.6 y 4.9.7 es suficiente probar que vol0 (v1 + v2 , w) = vol0 (v1 , w) + vol0 (v2 , w). v + 2w

2w

2w

w

w v

v

Figura 4.5: Interpretaci´on geom´etrica del Lema 4.9.9, para el caso d = 2, se tiene que vol (v + 2w, w) = vol (v, w) Si w = 0 no hay nada que probar. De otra manera, tomando como base {v, w}, se tiene v1 = c1 v + d1 w

y v2 = c2 v + d2 w.

120

´rea o volumen 4.9. El determinante como a

Finalmente, usando los Lemas 4.9.6 y 4.9.9, se tiene vol0 (v1 + v2 , w) = vol0 (c1 v + d1 w + c2 v + d2 w, w) = (c1 + c2 ) vol0 (v, w) = c1 vol0 (v, w) + c2 vol0 (v, w) = vol0 (c1 v, w) + vol0 (c2 v, w) = vol0 (v1 , w) + vol0 (v2 , w).  Un hecho interesante es que la misma prueba se aplica para R3 o Rn . Esto se sigue ya que las condiciones que caracterizan el determinante involucran 2 coordenadas a la vez por lo cual los argumentos se pueden adaptar al caso bidimensional. Por ejemplo, tomando paralelep´ıpedos y traslad´andolos como en el caso bidimensional, se siguen todos los argumentos. N´otese que el teorema se puede formular como sigue | Det (v, w) | = vol (v, w). Otros resultados interesantes sobre ´areas y determinantes se puede consultar en [4]. Uno de estos resultados establece que si L : R2 −→ R2 es lineal, entonces ´ ´ Area L(P ) = |det A| Area P, donde A es la matriz que define L. EJERCICIOS 4.9 1. Terminar la prueba del Lema 4.9.6.

Cap´ıtulo 5

Sistemas de ecuaciones lineales 5.1.

Preliminares

Estudiaremos un sistema   a11 x1 +     a21 x1 + ..  .     a x + m1 1

de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas: a12 x2 a22 x2

+ · · · + a1n xn + · · · + a2n xn

= = .. .

b1 b2

(5.1)

am2 x2 + · · · + amn xn = bm .

Las inc´ognitas o variables por resolver son x1 , x2 , . . . , xn , las constantes ai j , bj se toman generalmente en un campo como los reales o los complejos, o tambi´en en un anillo como los enteros. A los t´erminos b1 , b2 , . . . , bm se les llama libres. A un sistema se le asocian 2 matrices     a1 1 · · · a1 n a1 1 · · · a1 n b 1  .. ..  y  .. ..  ,  .  . .  .  am 1 · · · am n am 1 · · · an n b m a la primera se les llama matriz del sistema y a la segunda se le conoce como la matriz aumentada. Obs´ervese que si denotamos las columnas de la matriz por C1 , C2 , . . . , Cn y a B la columna de los t´erminos libres, el sistema (5.1) se puede reescribir como x1 C1 + x2 C2 + · · · + xn Cn = B. 121

(5.2)

122

5.1. Preliminares

M´as a´ un, si X = (x1 , x2 , . . . , xn ) es soluci´on, entonces B ∈ < C1 , . . . , Cn >. Por ejemplo, el sistema 2x + 3y − z = 5 x − y + z = 2 se puede escribir como x(2, 1) + y(3, −1) + z(−1, 1) = (5, 2). Definici´ on 60 Al sistema (5.1) se le llama homog´eneo si B = (b1 , . . . , bm ) = 0. Algunos sistemas tienen muchas soluciones, otros exactamente una, y algunos otros ninguna. Por ejemplo, ( x + y = 3 x − y = 1 tiene una u ´nica soluci´on, ya que las ecuaciones implican 2x = 4, y y = 1.

(2, 1)

Figura 5.1: Las rectas x + y = 3, x − y = 1 se intersectan en (2, 1) Por otra parte, la ecuaci´on 2x − y = 0 tiene una infinidad de soluciones. ´ Estas son los puntos de la recta 2x = y.

(1, 2)

Figura 5.2: Las soluciones de 2x − y = 0

5. Sistemas de ecuaciones lineales

123

Sin embargo, el sistema (

y − x = 1 y − x = 2

no tiene soluciones. Si as´ı fuera, restando se tendr´ıa 0 = −1.

Figura 5.3: Las rectas y = x + 1, y = x + 2 no se intersecan, al ser paralelas Ciertamente un sistema homog´eneo siempre tiene al menos la soluci´on trivial, i.e., el vector 0.

5.2.

Existencia de soluciones

Conocer el rango de las matrices del sistema es muy u ´til para resolver un sistema. En el siguiente teorema usamos la notaci´on de la ecuaci´on (5.2). Teorema 5.2.1 Un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci´ on si y s´ olo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz aumentada. ´ n. La existencia de soluciones significa que existe x ∈ Rn , Demostracio x = (x1 , . . . , xn ) tal que x1 C1 + x2 C2 + · · · + xn Cn = B. Esto sucede si y s´olo si B ∈ < C1 , C2 , . . . , Cn > . M´as a´ un, esta condici´on se cumple si y s´olo si < C1 , C2 , . . . , Cn > = < B, C1 , C2 , . . . , Cn > .

124

5.2. Existencia de soluciones

Finalmente, esta condici´on equivale a que los rangos de la matriz del sistema, y de la matriz aumentada sean iguales: si B ∈ / < C1 , C2 , . . . , Cn >, entonces el rango de < B, C1 , C2 , . . . , Cn > es mayor al de la matriz del sistema, y B junto con una base de {C1 , C2 , . . . , Cn } forman un conjunto linealmente independiente.  Ejemplos 1. Consideremos el siguiente sistema de    x + y x + z   −x + y − 2z 

ecuaciones − w = 0 − w = −1 + w = 3.

1 1 0 −1  1 0 1 −1 La matriz aumentada es −1 1 −2 1    1 1 0 −1 0 1    0 −1 1 0 −1 0 ∼ ∼ 0 2 −2 0 3 0

 0 −1  3  1 0 −1 0 −1 1 0 −1  , 0 0 0 1

y la matriz tiene rango 3. Las mismas operaciones muestran que la matriz del sistema 

   1 1 0 −1 1 1 0 −1  1 0 1 −1  ∼  0 −1 1 0  , −1 1 −2 1 0 0 0 0 tiene rango 2, por lo que el sistema no tiene soluciones. 2. Analizamos ahora el sistema  x − y + 2z = 1     y − z = 1  3x + y − z = 0    4x + y = 2.

5. Sistemas de ecuaciones lineales

125

La matriz aumentada de este sistema de ecuaciones es     1 −1 2 1 1 −1 2 1  0 1 −1 1      ∼  0 1 −1 1   3 1 −1 0   0 4 −7 −3  4 1 0 2 0 5 −8 −2     1 −1 2 1 1 −1 2 1  0 1 −1 1     ∼  0 1 −1 1  , ∼   0 0 −3 −7   0 0 −3 −7  0 0 −3 −7 0 0 0 0 es decir, tiene rango 3. Las mismas operaciones establecen que 

   1 −1 2 1 −1 2  0 1 −1      ∼  0 1 −1  ,  3 1 −1   0 0 −3  4 1 0 0 0 0 que tambi´en tiene rango 3, y por lo tanto el sistema s´ı tiene soluci´on. 3. Consideramos el sistema X1 C1 + X2 C2 + · · · + Xn Cn = B, donde los vectores columna Cj son vectores en Rn (y B tambi´en), sup´ongase tambi´en que det(C1 C2 · · · Cn ) 6= 0. Entonces el sistema tiene soluci´on, esto se sigue ya que esta hipot´esis implica que la matriz del sistema tiene rango n (Corolario 4.8.4). Adem´as, el rango de la matriz aumentada (que siempre es mayor o igual que el de la matriz del sistema) es ≤ n, ya que sus vectores columna viven en Rn . Es decir, ambos rangos son iguales. 4. Otra prueba de que cualquier sistema homog´eneo tiene soluci´on es observando que las columnas de las 2 matrices del sistema generan el mismo subespacio vectorial (la u ´ltima columna es de ceros). 5. Un sistema de m ecuaciones y n inc´ognitas, donde m < n, y tal que el rango de la matriz sea m, tiene soluci´on. Esto se sigue de que el rango de la matriz aumentada es ≤ m (los vectores columna viven en Rm ), y por lo tanto es m.

126

´ gnitas 5.3. Sistemas de n ecuaciones y n-inco

EJERCICIOS 5.2 1. Determine si los siguientes sistemas tienen soluci´on.     x − y + 2z = 7   x + y − a) b) 2x y + z = 5 −     2z = 6, 2y +      2x + 3y + z = 7  x − y + c) 2x − 4y + 6z = 10 d) 3x − 3y +     3x − 5y + 3z = 4, 2x − 2y +

5.3.

z = 1 3z = 5 5z = 2, 2z = −2 6z = 1 4z = 0.

Sistemas de n ecuaciones y n-inc´ ognitas

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = k1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = k2 .. ..  . .     a x + a x + ··· + a x = k . n1 1 22 2 nn n n Denotaremos por d al determinante de la  a11 a12  a21 a21  d = det  .. ..  . . an1 an1

(5.3)

matriz del sistema, i.e.,  · · · a1n · · · a2n   ..  . ... .  · · · ann

Obs´ervese que si d 6= 0, el sistema (5.3) tiene soluci´on. Esto se sigue del argumento del ejemplo 3 de la secci´on anterior. Para encontrar la soluci´on (se probar´a que es u ´nica), se usan los siguientes determinantes k1 a12 · · · a1n a11 k1 a13 · · · a1n k2 a22 · · · a2n a21 k2 a23 · · · a2n d1 = .. .. .. , d2 = .. .. .. .. , . . . . . . . ., . . . . . kn an2 · · · ann an1 kn an3 · · · ann a11 · · · a1,n−1 k1 a21 · · · a2,n−1 k2 ··· , dn = .. .. .. . . . . . . . an1 · · · an,n−1 kn

5. Sistemas de ecuaciones lineales

127

Ahora sea S = (s1 , s2 , . . . , sn ) una soluci´on del sistema, entonces a11 s1 + · · · + a1n sn = k1 a21 s1 + · · · + a2n sn = k2 .. .. .. .. . . . . an1 s1 + · · · + ann sn = kn , y se tiene usando las propiedades del determinante que k1 a12 · · · a1n k2 a22 · · · a2n d1 = .. .. .. .. . . . . kn an2 · · · ann a11 s1 + · · · + a1n sn a12 · · · a1n a21 s1 + · · · + a2n sn a22 · · · a2n = .. .. .. .. . . . . an1 s1 + · · · + ann sn an2 · · · ann a11 s1 a12 · · · a1n a21 s1 a22 · · · a2n = .. .. .. = s1 d. . . . . . . an1 s1 an2 · · · ann An´alogamente, d2 = s2 d, . . . , dn = sn d. Hemos probado el siguiente teorema. Teorema 5.3.1 (Regla de Cramer) El sistema (5.3) tiene una u ´nica soluci´ on   dn d1 d2 . , ,..., s= d d d Corolario 5.3.2 Si la matriz de un sistema homog´eneo de n ecuaciones y n inc´ ognitas, tiene determinante distinto de 0, entonces su u ´nica soluci´ on es la trivial, i.e., el vector 0. ´ n. Se tiene que d1 = · · · = dn = 0, ya que estas matrices Demostracio tienen una columna de ceros.  Otra demostraci´on se obtiene al observar que 0 siempre es soluci´on, y por la Regla de Cramer es la u ´nica.

128

´ gnitas 5.3. Sistemas de n ecuaciones y n-inco

Ejemplos 1. Dado el sistema (

x + y = a , x − y = b

se tiene que

1 1 d = 1 −1

= −2,

a 1 = −a − b d1 = b −1 1 a = b − a, y d2 = 1 b
, a−b . ∴ la soluci´on u ´nica es (x, y) = a+b 2 2 2. Para el sistema (

x sen α + y cos α = sen 2α x cos α − y sen α = cos 2α, sen α cos α = −1, se tiene que d = cos α − sen α d1

sen 2α cos α = cos 2α − sen α = − sen α sen 2α − cos α cos 2α = − sen α(2 sen α cos α) − cos α(cos2 α − sen2 α) = −2 sen2 α cos α − cos α(1 − 2 sen2 α ) = − cos α,

d2

sen α sen 2α = cos α cos 2α



= (cos2 α − sen2 α) sen α − 2 sen α cos2 α = (2 cos2 α − 1) sen α − 2 sen α cos2 α = − sen α, y la soluci´on es (cos α, sen α).

129

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Usando un poco de geometr´ıa anal´ıtica y notaci´on compleja el u ´ltimo ejemplo se puede interpretar geom´etricamente. Se busca (x, y) ∈ R2        sen α cos α x sen 2α = , cos α − sen α y cos 2α obs´ervese que       0 1 sen α cos α cos α − sen α = . 1 0 cos α − sen α sen α cos α.

(5.4)

x=y α 2

π

α

Figura 5.4: Reflexi´on en la recta por 0 y ei( 4 − 2 ) Ahora las transformaciones definidas por     cos α − sen α 0 1 y sen α cos α 1 0 son respectivamente, rotaci´on por α, y reflexi´on en la recta x = y (la u ´ltima intercambia x por y). Si denotamos la rotaci´on por R y la reflexi´on por T, usando (5.4) se tiene       sen α cos α 0 1 cos α − sen α = , (5.5) cos α − sen α 1 0 sen α cos α (ya que T = T −1 ) y como R(eiα ) = ei(2α) = cos 2α + isen 2 α, al componer con T se tiene ( sen 2α, cos 2α), i.e., la soluci´on es (cos α, sen α). Obs´ervese que se sigue de la ecuaci´on (5.5) que la transformaci´on definida por   sen α cos α cos α − sen α

130

´ gnitas 5.3. Sistemas de n ecuaciones y n-inco π

α



ax + by cx + dy

π

α

es la reflexi´on en la recta que pasa por ei( 4 − 2 ) , ya que al rotar ei( 4 − 2 ) por α π eiα y reflejar en x = y, se tiene ei( 4 − 2 ) (se sigue del ´algebra lineal que como la matriz tiene determinante −1 es una reflexi´on). V´ease la Figura 5.4. El s´ımbolo eix corresponde a (cos x, sen x). La multiplicaci´on de matrices se define como       a b α β aα + bγ aβ + bδ = , c d γ δ cα + dγ cβ + dδ y 

a b c d

 

x y

 =

 .

Otros ejemplos 1. Se resuelve el sistema    x + y + z = 1 ax + by + cz = k   2 a x + b2 y + c2 z = k 2 , donde a, b, c son tres n´ umeros distintos. El determinante del sistema es de tipo Van der Monde y est´a dado por 1 1 1 d = a b c = (c − b)(b − a)(c − a). a2 b 2 c 2 Los determinantes d1 , d2 , d3 son tambi´en de tipo Van der Monde, y se sigue de la regla de Cramer que la soluci´on est´a dada por   (c − k)(c − b)(b − k) (c − k)(k − a)(c − a) (k − b)(k − a)(b − a) , , (c − b)(b − a)(c − a) (c − b)(b − a)(c − a) (c − b)(b − a)(c − a)   (c − k)(b − k) (c − k)(k − a) (k − b)(k − a) = , , . (b − a)(c − a) (c − b)(b − a) (c − b)(c − a) 2. Exprese K = (5, 1, 11) como combinaci´on lineal de B1 = (3, 2, 2), B2 = (2, 3, 1) y B3 = (1, 1, 3). Se debe resolver x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 = K,

131

5. Sistemas de ecuaciones lineales

es decir,    3x1 + 2x2 + x3 = 5 2x1 + 3x2 + x3 = 1   2x1 + x2 + 3x3 = 11. Se tiene 3 2 1 6 2 1 1 2 1 1 2 1 d = 2 3 1 = 6 3 1 = 6 1 3 1 = 6 0 1 0 = 12, 2 1 3 6 1 3 1 1 3 0 −1 2 ∴ hay una u ´nica soluci´on. Ahora 5 2 1 1 5 2 1 5 d1 = 1 3 1 = 1 1 3 = 0 −4 11 1 3 3 11 1 0 −4 3 5 1 1 3 5 1 3 d2 = 2 1 1 = 1 2 1 = 0 −1 2 11 3 3 2 11 0 −7 3 2 5 3 1 2 1 d3 = 2 3 1 = 3 − 2 1 11 2 11 2 1 11 = 3 · 32 − 40 − 20 = 36,

2 1 −5 5 −4 −4

= 24, = −24,

+5

2 3 2 1



∴ la soluci´on es (2, −2, 3). 3. ¿Son los vectores B1 = (1, 5, 3), B2 = (2, 1, −1) y B3 = (4, 2, 1) linealmente independientes? Se debe probar que el determinante de la matriz formada con estos tres vectores es distinto de 0, esto se sigue del teorema que relaciona el rango con vectores linealmente independientes. Dicho de otra manera, escribiendo x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 = 0, la independencia lineal se sigue si x1 , x2 , x3 son 0, esto es, la u ´nica soluci´on es la trivial, lo cual usando el teorema de Cramer se obtiene si el determinante es distinto de 0. En efecto, al calcular se obtiene 1 2 4 1 2 4 2 5 1 2 = 0 −9 −18 = −9 1 −7 −11 = −27 6= 0. 3 −1 1 0 −7 −11

132

´neos, funciones lineales 5.4. Sistemas homoge

EJERCICIOS 5.3 1. Encuentre la soluci´on a los siguientes sistemas usando la      x + y − z = −2  x − y + a) b) 2x − y − 3x − y + 2z = 4     −x + 2y − z = 6, 3x + 2y +

regla de Cramer. z = −1 z = 4 z = −1,

   x − y + 3z = 4 c) 2x − y + z = 6   3x − 2y + 2z = 10. 2. Exprese el vector K = (1, 5, 9) como combinaci´on lineal de los vectores B1 = (1, 3, 7), B2 = (1, 2, 3) y B3 = (0, 1, 1).

5.4.

Sistemas homog´ eneos, funciones lineales

Los sistemas homog´eneos    a11 x1 +    a21 x1 + ..  .     a x + m1 1

son aqu´ellos de la forma a12 x2 a22 x2

+ · · · + a1n xn + · · · + a2n xn

= 0 = 0 .. .

(5.6)

am2 x2 + · · · + amn xn = 0,

o en la notaci´on de la ecuaci´on (5.2) x1 C1 + x2 C2 + · · · + xn Cn = 0. Teorema 5.4.1 Si W es el conjunto de soluciones de (5.6), entonces W es un subespacio vectorial de Rn . ´ n. Evidentemente 0 ∈ W . Tambi´en, si X, Y ∈ W, donde Demostracio X = (x1 , x2 , . . . , xn ) y Y = (y1 , y2 , . . . , yn ), se tiene que x1 C1 + · · · + xn Cn = y1 C1 + · · · + yn Cn = y en consecuencia (x1 + y1 ) C1 + · · · + (xn + yn ) Cn Finalmente, si λ ∈ R y X = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈

0 0, = 0, i.e., X + Y ∈ W. W , entonces

λ x1 C1 + · · · + λ xn Cn = 0 y λ X ∈ W.



5. Sistemas de ecuaciones lineales

133

Obs´ervese que en general para cualquier sistema de ecuaciones como en (5.1), siempre se pueden reordenar las variables, renombr´andolas de tal manera que las primeras columnas C1 , C2 , . . . , Cr sean una base del espacio vectorial generado por las columnas, i.e., < C1 , C2 , . . . , Cn > . En el caso homog´eneo probaremos que W el espacio de soluciones del sistema tiene dimensi´on n − r. Los siguientes resultados relacionan la dimensi´on de W y n. Teorema 5.4.2 Sean C1 , C2 , . . . , Cr una base del subespacio vectorial W generado por las columnas C1 , C2 , . . . , Cn del sistema (5.2), i.e., x1 C1 + x2 C2 + · · · + xn Cn = B. Sup´ ongase tambi´en que el sistema tiene soluci´ on, entonces dados n−r n´ umeros sr+1 , sr+2 , . . . , sn , existen otros r n´ umeros u ´nicos s1 , s2 , . . . , sr , tales que s = (s1 , s2 , . . . , sr , sr+1 , . . . , sn ) es soluci´on de (5.2). ´ n. Sea C = sr+1 Cr+1 + sr+2 Cr+2 + · · · + sn Cn , como Demostracio C1 , C2 , . . . , Cr generan W , entonces C ∈ W. Adem´as, como el sistema tiene soluci´on se tiene que B ∈ W. Por lo cual B − C ∈ W y existen s1 , s2 , . . . , sr  B − C = s1 C1 + · · · + sr Cr , i.e., B = s1 C1 + · · · + sr Cr + sr+1 Cr+1 + · · · + sn Cn , y s = (s1 , s2 , . . . , sr , sr+1 , . . . , sn ) es soluci´on. 0 0 Para probar la unicidad, sup´ongase que (s1 , . . . , sr , sr+1 , . . . , sn ) tambi´en es soluci´on, entonces 0

0

s1 C1 + · · · + sr Cr + sr+1 Cr+1 + · · · + sn Cn = B y s1 C1 + · · · + sr Cr + sr+1 Cr+1 + · · · + sn Cn , = B.

134

´neos, funciones lineales 5.4. Sistemas homoge

Por lo cual restando, se tiene que 0

0

(s1 − s1 ) C1 + · · · + (sr − sr ) Cr = 0, 0

y como C1 , C2 , . . . , Cr son linealmente independientes, se sigue que si = si ∀ i ∈ {1, . . . , r}.  Definici´ on 61 Se dice que una funci´ on f : Rn −→ Rm es lineal, si cumple las siguientes 2 condiciones a) f (X + Y ) = f (X) + f (Y ) b) f (t X) = t f (X)

∀ X, Y ∈ Rn , ∀t ∈ R

y

∀ X ∈ Rn .

N´otese que si f es lineal, entonces f (0) = 0. Esto es consecuencia de la condici´on b), puesto que f (0X) = 0f (X). Si f : Rn −→ Rm es lineal, al conjunto {X ∈ Rn | f (X) = 0} se le llama el n´ ucleo de f y se le denota por ker f (del alem´an kernel). Obs´ervese que se sigue de manera inmediata de la definici´on que ker f es un subespacio vectorial de Rn . Por otra parte, a un sistema de ecuaciones como (5.2) con n inc´ognitas y m ecuaciones x1 C1 + · · · + xn Cn = B, se le puede asociar una funci´on f de Rn en Rm con regla de correspondencia f ((x1 , . . . , xn )) = x1 C1 + · · · + xn Cn .

(5.7)

Esta funci´on es lineal: si X = (x1 , . . . , xn ) y Y = (y1 , . . . , yn ), entonces f (X + Y ) = (x1 + y1 ) C1 + · · · + (xn + yn ) Cn = x1 C1 + · · · + xn Cn + y1 Cn + · · · + yn Cn = f (X) + f (Y ), y si λ ∈ R y X = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , entonces f (λ X) = λ x1 C1 + · · · + λ xn Cn = λ f (X). Es importante destacar que ker f es el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo asociado, es decir, el definido por la ecuaci´on x1 C1 + · · · + xn Cn = 0.

5. Sistemas de ecuaciones lineales

135

Lema 5.4.3 Sea f : Rn −→ Rm lineal, entonces Im f = {Y ∈ Rm | ∃ X ∈ Rn  f (X) = Y } es un subespacio vectorial de Rm . ´ n. Si Y1 , Y2 ∈ Im f , existen X1 , X2 ∈ Rn  f (Xi ) = Yi , Demostracio i = 1, 2, por lo que f (X1 + X2 ) = f (X1 ) + f (X2 ) = Y1 + Y2 , y Y1 + Y2 ∈ Im f, Tambi´en, si Y ∈ Im f y λ ∈ R, entonces existe X ∈ Rn  f (X) = Y . Por lo que f (λ X) = λ f (X) = λ Y, y λ Y ∈ Im f .  N´otese que en el caso de una funci´on lineal f asociada a un sistema de la forma x1 C1 + · · · + xn Cn = B, se tiene que Im f es precisamente el subespacio vectorial generado por las columnas < C1 , C2 , . . . , Cn > . Teorema 5.4.4 Sea f : Rn −→ Rm lineal, entonces dim(ker f ) + dim(Im f ) = n. ´ n. Sean C1 , . . . , Cr una base de Im f y B1 , . . . , Bk una Demostracio un vector Bi ). base de ker f (si ker f = {0} no se considera ning´ Ahora, existen vectores D1 , . . . , Dr ∈ Rn  f (Di ) = Ci ∀ i. Se afirma que el conjunto de vectores D1 , D2 , . . . , Dr , B1 , B2 , . . . , Bk constituyen una base de Rn , lo cual prueba el teorema, por lo que basta probar la afirmaci´on. Los vectores son linealmente independientes ya que si λ1 D1 + · · · + λr Dr + µ1 B1 + · · · + µk Bk = 0, entonces f (λ1 D1 + · · · + λr Dr + µ1 B1 + · · · + µk Bk ) = f (0) = 0. Por lo cual, usando la linealidad se tiene λ1 f (D1 ) + · · · + λr f (Dr ) = 0 y λ1 C1 + · · · + λr Cr = 0.

136

´neo asociado 5.5. Sistema homoge

Como C1 , . . . , Cr son linealmente independientes, λ1 = · · · = λr = 0, lo cual implica que µ1 B1 + · · · + µk Bk = 0, y entonces µ1 = · · · = µk = 0. Estos vectores tambi´en generan. Si X ∈ Rn , f (X) = α1 C1 + α2 C2 + · · · + αr Cr , en t´erminos de los vectores Di , i = 1, 2, . . . , r, esto se escribe f (X) = α1 f (D1 ) + α2 f (D2 ) + · · · + αr f (Dr ), y la linealidad nos permite afirmar que f (X − α1 D1 − · · · − αr Dr ) = 0. En consecuencia, X − α1 D1 − · · · − αr Dr ∈ ker f y X − α1 D1 − · · · − αr Dr = µ1 B1 + · · · + µk Bk , para algunas µj ∈ R, j = 1, 2, . . . , k. Es decir, D1 , . . . Dr , B1 , . . . , Bk generan Rn .  Este resultado implica que si se tiene una ecuaci´on vectorial x1 C1 + · · · + xn Cn = 0 y las columnas C1 ,. . .,Cr son una base del subespacio vectorial , entonces dim(ker f ) = n − r, donde f es como en (5.7). Esto es, el espacio de soluciones de un sistema homog´eneo tiene dimensi´on n − r (comp´arese este resultado con el Teorema 5.4.2).

5.5.

Sistema homog´ eneo asociado

De manera natural al sistema (5.2) x1 C1 + · · · + xn Cn = B, se le asocia el sistema homog´eneo (5.6) x1 C1 + · · · + xn Cn = 0, por lo que se le llama sistema homog´eneo asociado.

137

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema 5.5.1 Las soluciones del sistema (5.2) consisten en todos los vectores de la forma X0 + S, donde X0 es una soluci´on particular de (5.2) y S es cualquier soluci´ on de (5.6) el sistema homog´eneo asociado. ´ n. Sea X0 = (x1 , . . . , xn ) y Y cualquier soluci´on de (5.2), Demostracio Y = (y1 , . . . , yn ), entonces x1 C1 + · · · + xn Cn = B y y1 C1 + · · · + yn Cn = B, por lo cual (y1 − x1 ) C1 + · · · + (yn − xn ) Cn = B − B = 0, y Y − X0 = S es soluci´on de (5.6), i.e., Y = X0 + S. Finalmente si S es soluci´on de (5.6), S = (s1 , . . . , sn ), entonces (x1 + s1 ) C1 + · · · + (xn + sn ) Cn = x1 C1 + · · · + xn Cn + s1 C1 + · · · + sn Cn = B + 0 = B, y X0 + S es soluci´on.



Ejemplo Consideremos

x + y = 2.

El sistema homog´eneo asociado es x + y = 0, una soluci´on particular del sistema es (1, 1), por lo que las soluciones de este sistema consisten de los puntos de la recta y = −x trasladados por (1, 1).

(0, 2) (1, 1) (2, 0)

y = −x

Figura 5.5: Soluciones a los sistemas x+y =2 y x+y =0

138

´ n de sistemas 5.6. Resolucio

5.6.

Resoluci´ on de sistemas

La primera simplificaci´on consiste en aplicar operaciones elementales a los vectores rengl´on. Teorema 5.6.1 Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz aumentada, entonces ambos sistemas tienen las mismas soluciones. Antes de probar el teorema primero exhibimos un ejemplo, consideremos los sistemas: ( ( x − 2y = 3 x − 2y = 3 (1) (2) 3x + 5y = 6 9x + 15y = 18 ( (3)

x − 2y = 3 (3x + x) + (5y − 2y) = 6 + 3

( (4)

3x + 5y = 6 x − 2y = 3

El sistema (2) se obtuvo de (1), multiplicando por 3 el 2o rengl´on. Adem´as, multiplicando por 3 (o dividiendo entre 3), se sigue que (x, y) es soluci´on de (1) ⇐⇒ es soluci´on de (2). Ahora si (x, y) satisface (1) tambi´en satisface (3), ya que sumando las dos ecuaciones en (1) se obtiene la 2a ecuaci´on en (3). Asimismo, si (x, y) satisface (3), restando en este sistema la 1a ecuaci´on de la 2a, se sigue que (x, y) satisface (1). La equivalencia de (1) y (4) es evidente. ´ n del Teorema 5.6.1 La 1a operaci´on elemental de interDemostracio cambiar renglones ciertamente no altera las soluciones del sistema, ya que si (x1 , x2 , . . . , xn ) cumple m ecuaciones, el orden en el que aparezcan es irrelevante. Ahora si se multiplica en el sistema (5.1) el rengl´on (ai1 , ai2 , . . . , ain , bi ) por λ 6= 0, entonces λ x1 ai1 + λ x2 ai2 + · · · + λ xn ain = λ bi ⇐⇒ x1 ai1 + x2 ai2 + · · · + xn ain = bi .

139

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Finalmente, si (x1 , . . . , xn ) satisface ( x1 ai1 + x2 ai2 + · · · + xn ain = bi x1 aj1 + x2 aj2 + · · · + xn ajn = bj ,

(1) (2)

entonces (x1 , x2 , . . . , xn ) satisface x1 (ai1 + aj1 ) + x2 (ai2 + aj2 ) + · · · + xn (ain + ajn ) = bi + bj .

(3)

Y viceversa, si (x1 , x2 , . . . , xn ) satisface (3) y (2), entonces restando (2) de (3), se sigue que este punto satisface tambi´en la ecuaci´on (1).  Sabiendo que un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci´on, por ejemplo, verificando que los rangos de las matrices sean iguales, un m´etodo para resolverlo es el siguiente: Paso 1. Aplicar operaciones elementales a los renglones de la matriz aumentada hasta que ´esta sea escalonada. Paso 2. Se pueden reordenar las columnas de la matriz del sistema (si es necesario), renombrando las variables, para que el nuevo sistema sea de la forma  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr + · · · + a1n xn = b1     a22 x2 + · · · + a2r xr + · · · + a2n xn = b2 (5.8) .. ..  . .     a x + ··· + a x = b , rr r

rn n

r

donde los primeros r vectores columna de la matriz del sistema son linealmente independientes. Usando el Teorema 5.4.2 se obtienen todas las soluciones. Primero se aplica, para encontrar una particular. Posteriormente, se usa para encontrar las soluciones del sistema homog´eneo asociado. Y de esta manera se obtienen todas las soluciones del sistema en virtud del Teorema 5.5.1. Recordamos que el Teorema 5.4.2 establece que dados n − r n´ umeros arbitrarios sr+1 , sr+2 , . . . , sn , existen otros r n´ umeros u ´nicos s1 , s2 , . . . , sn , tales que s = (s1 , . . . , sr , sr+1 , . . . , sn ) es soluci´on de (5.8).

140

´ n de sistemas 5.6. Resolucio

Paso 3. Para encontrar la soluci´on particular, se toma la elecci´on f´acil, es decir, sr+1 = sr+2 = · · · = sn = 0. Este paso es muy simple, ya que basta resolver el sistema   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = b1     a22 x2 + · · · + a2r xr = b2 ..  .     a x = b, rr r

r

que es muy f´acil de resolver, ya sea directamente por sustituci´on, o usando la regla de Cramer. A esta soluci´on particular encontrada del sistema (5.8) la denotamos por X0 . Paso 4. Finalmente, en virtud del Teorema 5.5.1 se encuentran todas las soluciones. Para esto, basta encontrar una base del subespacio de soluciones del sistema homog´eneo asociado a (5.8) Esta base se obtiene directamente aplicando de nuevo el Teorema 5.4.2, n − r veces, ahora al sistema homog´eneo asociado para los valores   sr+1 = 1, sr+2 = 0, · · · , sn = 0     sr+1 = 1, sr+2 = 1, · · · , sn = 0 .. .. .. ..  . . . .     s = 1, s = 1, · · · , s = 1. r+1

r+2

n

Las soluciones se obtienen f´acilmente, por sustituci´on, o usando la regla de Cramer. Los vectores soluci´on en Rn generados por estos valores que denotamos por X1 , . . . , Xn−r son evidentemente linealmente independientes (ya que tienen una submatriz de r × r con determinante igual a 1), y por lo tanto forman una base. Esto u ´ltimo se sigue, ya que si se toma f : Rn −→ Rm determinada por x 7−→ x1 C1 + · · · + xn Cn , donde las Ci son las columnas de (5.8), se tiene en virtud del Teorema 5.4.4 que el kernel de f tiene dimensi´on n − r. Por consiguiente, todas las soluciones de (5.8) est´ an dadas por ( ) n−r X X0 + ti Xi | ti ∈ R, i ∈ {1, 2, ..., n − r} . i=1

141

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplos 1. Resolvemos el sistema  x + y − 2z = 1     2x − y − z − 3t = −4  x + 2y − 3z + t = 3    2x + y − 3z − t = 0. Se aplican operaciones elementales a   1 1 −2 0 1  2 −1 −1 −3 −4    ∼  1 2 −3 1 3  2 1 −3 −1 0

la matriz del sistema  1 1 −2 0 1  0 −3 3 −3 −6   0 1 −1 1 2 0 −1 1 −1 −2

   



   1 1 −2 0 1 1 1 −2 0 1  0 −1 1 −1 −2     ∼  0 −1 1 −1 −2  . ∼  0 1 −1 1  0 0 2  0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Se concluye que el sistema original tiene las mismas soluciones que el sistema ( x + y − 2z = 1 − y + z − t = −2, tomando los valores (t, z) = (0, 0), se obtiene la soluci´on particular X0 = (−1, 2, 0, 0). Resolvemos ahora el sistema homog´eneo asociado. Estas mismas operaciones elementales por renglones, se aplican para simplificar el sistema homog´eneo asociado, la u ´ltima columna, que son ceros, no cambia. N´otese que la dimensi´on del subespacio vectorial de las soluciones es 4−2 = 2. Se puede encontrar una base de ´este tomando para (z, t), los valores (1, 0) y (0, 1). Si z = 1 y t = 0 se tiene ( x + y − 2 = 0 − y + 1 = 0,

142

´ n de sistemas 5.6. Resolucio

cuya soluci´on es X1 = (1, 1, 1, 0). En el caso z = 0, y t = 1 se tiene ( x + y = 0 − y + −1 = 0, i.e., X2 = (1, −1, 0, 1). Por lo cual el sistema de soluciones del sistema est´a dado por {X0 + t1 X1 + t2 X2 | t1 , t2 ∈ R}, o alternativamente, usando las variables originales {X0 + z X1 + t X2 | z, t ∈ R}. 2.  x     2x  x    x

− y + z + y − z − 2y + z + y + 2z

+ 2t = 0 − 5t = −6 + 4t = −1 − t = 5.

La matriz aumentada del sistema es    1 −1 1 2 0 1  2 1 −1 −5 −6   0   ∼   1 −2 1  0 4 −1  1 1 2 −1 5 0    1 −1 1 2 0 1  0 1 −1 −3 −2   0  ∼  ∼   0 −1 0  0 2 −1  0 0 1 1 3 0

 −1 1 2 0 3 −3 −9 −6   −1 0 2 −1  2 1 −3 5  −1 1 2 0 1 −1 −3 −2  , 0 −1 −1 −3  0 1 1 3

y el sistema es equivalente a    x − y + z + 2t = 0 y − z − 3t = −2   z + t = 3. Tomando el valor t = 0, se obtiene de manera inmediata una soluci´on particular X0 = (−2, 1, 3, 0) (se encuentra z, luego y y finalmente x).

143

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Ahora resolvemos el sistema homog´eneo asociado, tomando t = 1 se tiene    x − y + z = −2 y − z = 3   z = −1, cuya soluci´on es X1 = (1, 2, −1, 1). En consecuencia, el conjunto de soluciones est´a dado por {X0 + t X1 | t ∈ R}. N´otese que el conjunto de soluciones se puede expresar en t´erminos de las variables originales, como en los dos ejemplo anteriores. Esto siempre se puede hacer, ya que las variables libres pueden ser usadas como par´ametros, ya que los vectores elegidos tienen coordenadas cero en estas variables, salvo en una de ellas donde toman el valor uno. 3.  x    

− y + 2z = 1 y − z = 1  3x + y − z = 0    4x + y = 2. La matriz  1 −1  0 1   3 1 4 1

aumentada del sistema est´a dada por     2 1 1 −1 2 1    −1 1   ∼  0 1 −1 1  ∼    −1 0 0 4 −7 −3   0 2 0 5 −8 −2

 1 −1 2 1 0 1 −1 1  , 0 0 −3 −7  0 0 −3 −7

i.e., las soluciones son las mismas que las del sistema    x − y + 2z = 1 y − z = 1   3z = 7. Por consiguiente, la u ´nica soluci´on es   3 14 10 −1 10 7 , , , ya que x = − + . X0 = 3 3 3 3 3 3

144

´ n de sistemas 5.6. Resolucio

4. Consid´erese el sistema   + 2 x4 = 2  x1 + x2 x2 + 2 x3 = 0   x4 = 2. La matriz aumentada asociada es   1 1 0 2 2  0 1 2 0 0 . 0 0 0 1 2 Aunque esta matriz es escalonada, las primeras 3 columnas no son linealmente independientes, por lo que se debe renombrar las variables. Sean y1 = x1 , y2 = x2 , y3 = x4 y y4 = x3 , entonces el sistema se escribe   = 2  y1 + y2 + 2 y3 y2 + 2 y4 = 0   y3 = 2, y la matriz aumentada del nuevo  1 1  0 1 0 0

sistema es  2 0 2 0 2 0 . 1 0 2

Obs´ervese que esta matriz se obtuvo al intercambiar dos columnas de la original. Ahora podemos encontrar las soluciones, tomando y4 = 0, se obtiene una soluci´on particular Y0 = (−2, 0, 2, 0). Para el sistema homog´eneo, si y4 = 1 se obtiene la soluci´on Y1 = (4, −2, 0, 1), y todas las soluciones son {Y0 + y4 Y1 | y4 ∈ R}.

145

5. Sistemas de ecuaciones lineales

En t´erminos de las variables originales, se obtiene X0 = (−2, 0, 0, 2),

X1 = (4, −2, 1, 0),

y todas las soluciones son {X0 + x3 X1 | x3 ∈ R}. EJERCICIOS 5.6 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones encontrando una soluci´on particular y una base del subespacio de soluciones del sistema homog´eneo asociado.    2x + 3y + z − t + w = 2 a) 3x + z + 2t − 5 w = 0   x + y − 2z − 4 w = 0,

b)

   x1  

+

4 x1

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 7 2 x2 + x3 − 4 x5 = 8 + 2 x5 − x6 = 2,

   x + 3y + z + c) 3y − 2z  

− w = 2 − 3w = 0 2 t + 5 w = 2, t

   x − 2y + z + t = 5 d) y + 2z − t = 3   5 z − 2 t = −1.

Cap´ıtulo 6

Los anillos Z y Zm Se establecen las propiedades del anillo de los enteros de manera axiom´atica, se definen los anillos Zm , y se prueba que en efecto son anillos. Posteriormente, se discuten los dominios enteros, el orden y las unidades. El libro concluye probando la equivalencia del principio de inducci´on con el del buen orden.

6.1.

Anillos

Definici´ on 62 El conjunto de los enteros, denotados por Z, consiste de los n´ umeros {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.

Un axioma es un fundamento de verdad o un hecho evidente, que se acepta por verdadero pero no se demuestra. Los axiomas que fundamentan la matem´atica son pocos, ´estos esencialmente son los de Peano, que est´an basados en razonamientos que de alguna manera, su v´alidez es evidente, dicho de otra manera, se aceptan como verdaderos. El estudio de estos axiomas son objeto de estudio en los cursos de L´ogica Matem´atica y Teor´ıa de Conjuntos. Recordamos ahora la siguiente importante definici´on. Definici´ on 63 Sea A un conjunto, una operaci´ on binaria en A es una funci´ on µ : A × A −→ A. Por ejemplo, la suma y la multiplicaci´on en Z son operaciones binarias. Recordamos del primer cap´ıtulo que ´estas cumplen los siguientes axiomas. 147

148

6.2. Anillos Zm

S1) a + b = b + a ∀ a, b ∈ Z (conmutatividad), S2) (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ Z (asociatividad), S3) ∃ 0 ∈ Z  a + 0 = a ∀ a ∈ Z

(existencia del neutro aditivo),

S4) a + (−a) = 0 ∀ a ∈ Z (existencia del inverso aditivo). P1) a b = b a ∀ a, b ∈ Z (conmutatividad), P2) (a b) c = a (b c) ∀ a, b, c ∈ Z (asociatividad), P3) ∃ 1 ∈ Z  a · 1 = a ∀ a ∈ Z

(existencia del neutro multiplicativo),

D) a (b + c) = a b + a c ∀ a, b, c ∈ Z

(distributividad).

Definici´ on 64 A un conjunto X con dos operaciones binarias que satisfacen los axiomas S1, S2, S3, S4, P 1, P 2, P 3 y D se le llama anillo conmutativo con elemento unitario (o unidad). Si no satisface P 1 y P 3 se le llama simplemente anillo. Con esta terminolog´ıa Z es un anillo conmutativo con unidad. No se prueba este hecho, aceptaremos las propiedades S1, S2, S3, S4, P 1, P 2, P 3 y D como ciertas, y simplemente nos referiremos a ´estas como los primeros ocho axiomas de los enteros, llam´andolos Axioma 1, Axioma 2,..., y Axioma 8, respectivamente. Estos axiomas, junto con otros axiomas, se tomar´an como el fundamento para el estudio de los anillos Zm y de otros temas que se es´ tudian en el 2o curso Algebra superior II, como por ejemplo, la divisibilidad y los n´ umeros reales.

6.2.

Anillos Zm

Sea A = {0, 1}, se definen operaciones de suma y producto mediante las siguientes tablas. + 0 1

0 0 1

1 1 0

× 0 1

0 0 0

1 0 1

Figura 6.1: Tablas de suma y producto en Z2

149

6. Los anillos Z y Zm

Se les puede llamar suma y producto a estas operaciones, el conjunto A con estas operaciones resulta ser un anillo conmutativo con unidad, que se le denota por Z2 . Se deben verificar las propiedades de anillo, por ejemplo 0 + 1 = 1 + 0. Demostrar otras propiedades es largo y tedioso. En particular, para probar la asociatividad hay que considerar todas las posibles ternas en los valores 0 y 1 (el n´ umero de posibilidades es OR23 = 23 ). M´as a´ un, hay ocho propiedades de anillo por probar. Una manera m´as eficaz es establecer un patr´on general que ahora presentamos. Recordamos del primer cap´ıtulo que dada un n´ umero m ∈ N fijo, la relaci´on a ∼ b, si a − b = km, k ∈ Z es de equivalencia. Denotaremos por a la clase de equivalencia a la que pertenece a. Por ejemplo, si m = 2 0 = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .} = {pares}, 1 = {. . . , −3, −1, 1, 3, 5, . . .} = {impares}. Esto se sigue, ya que 0 = {t ∈ Z | t ∼ 0} y 1 = {t ∈ Z | t ∼ 1}, i.e., t ∼ 0, si t es par. Y tambi´en t ∼ 1, si t − 1 es par, lo cual sucede si t es impar. Para el caso m = 3, las clases de equivalencia son 0 = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . .}, 1 = {. . . , −5, −2, 1, 4, . . .}, 2 = {. . . , −4, −1, 2, 5, . . .}. Una mejor descripci´on ser´ıa 0 = {t | t = 3k,

i.e., t es un m´ ultiplo de 3},

1 = {t | t − 1 = 3k,

i.e., t − 1 es un m´ ultiplo de 3},

2 = {t | t − 2 = 3k,

i.e., t − 2 es un multiplo de 3}.

Obs´ervese que con la convenci´on adaptada se tiene que en el presente caso m = 3, por ejemplo, 5 = 2 = −1.

150

6.2. Anillos Zm

Definici´ on 65 Al conjunto de clases de equivalencia en Z definidas por la relaci´on a ∼ b si a − b = km, k ∈ Z, m ∈ N fijo, se le denota por Zm . Resulta que este conjunto es un anillo conmutativo con unidad, lo cual probamos ahora. Obs´ervese primero que Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1} (ejercicio). Se definen 2 operaciones en Zm a + b = a1 + b1 , donde a1 ∈ a y b1 ∈ b, a b = a1 b1 , donde a1 ∈ a y b1 ∈ b. Hay que probar que estas operaciones est´an bien definidas y no dependen de los representantes a1 y b1 . Si a1 ∼ a2

y b1 ∼ b2 ,

se tiene a1 − a2 = m k 1

y

b1 − b2 = m k 2 ,

donde k1 , k2 ∈ Z.

Por lo tanto a1 + b1 − (a2 + b2 ) = m(k1 − k2 ) ∴ a1 + b1 ∼ a2 + b2 . Tambi´en, a1 b 1 − a2 b 2

= a1 b 1 − a2 b 1 + a2 b 1 − a2 b 2 = (a1 − a2 ) b1 + a2 (b1 − b2 ) = m k1 b1 + a2 m k2 = m(entero),

y a1 b1 ∼ a2 b2 . Resulta ahora f´acil probar para todos los conjuntos Zm que son en efecto anillos conmutativos con unidad. Teorema 6.2.1 ∀ m ∈ N, Zm es un anillo conmutativo con unidad.

151

6. Los anillos Z y Zm

´ n. El teorema se sigue esencialmente del hecho de que estas Demostracio mismas propiedades las cumplen los enteros y de que las operaciones est´an bien definidas. Probamos seis de estas propiedades y las dos restantes quedan como ejercicio. Tomando cualesquiera representantes a, b, y c de a, b y c, se tiene S1) a + b = a + b = b + a = b + a, S2) a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c, S3) a + 0 = a + 0 = a, P1) a · 1 = a · 1 = a, P3) a b = a b = b a = b a, D) a (b + c) = a(b + c) = a(b + c) = ab + ac = ab + ac = a b + a c.  Habiendo probado que Zm es un anillo podemos usar m s´ımbolos u ´nicos para los elementos. Por ejemplo, Z3 = {0, 1, 2}. Sin embargo, esto no impide pensar, o escribir, cualquier elemento en otros t´erminos, por ejemplo, en Z3 4 es 7. Esta manera de razonar es la herramienta adecuada para sumar y multiplicar. La relaci´on a ∼ b se escribir´a posteriormente como a ≡ b mod m, se dir´a que a es congruente con b m´ odulo m. Este tema se estudiar´a con m´as detalle en el 2o curso. Podemos ahora, sin mayor dificultad establecer las tablas de multiplicar de algunos de estos anillos, por ejemplo Z4 . + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

× 0 0 0 1 0 2 0 3 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Figura 6.2: Tablas de suma y producto en Z4 N´otese la simetr´ıa en las tablas, la cual se debe a la conmutatividad de la suma y del producto.

152

6.3. Propiedades de los enteros

EJERCICIOS 6.2 1. Sea m ∈ N fijo. Demuestre que Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1}. Sugerencia: usar el algoritmo de la divisi´on. 2. Terminar la prueba de que Zm es una anillo conmutativo con unidad, es decir, hay que probar las propiedades S4) y P2). 3. Escribir las tablas de Z3 , Z5 y Z6 .

6.3.

Propiedades de los enteros

Probaremos primero ciertas propiedades que s´olo dependen de los axiomas de la suma y el producto junto con la distributividad. Por lo que son tambi´en v´alidas para todo anillo comnutativo con unidad. ´ POR LA IZQUIERDA LEY DE LA CANCELACION

Dados a, b, c ∈ Z tales que a + b = a + c,

se tiene b = c.

Usando la existencia del inverso y la asociatividad, se tiene (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) y b = c. ´ POR LA DERECHA LEY DE LA CANCELACION

Dados a, b, c ∈ Z tales que

a + c = b + c,

se tiene

a = b.

Esta ley se sigue ahora de la conmutatividad. Como consecuencia se tiene que el neutro aditivo es u ´nico. Si a + b = a, entonces a + b = a + 0, y b = 0. Proposici´ on 6.3.1 ∀ a ∈ Z, a · 0 = 0. ´ n. Como Demostracio 0 + 0 · a = 0 · a = (0 + 0) a = 0 · a + 0 · a, por cancelaci´on 0 = 0 · a.  La cancelaci´on implica tambi´en que el inverso aditivo es u ´nico. Si a+c = 0, entonces a + (−a) = a + c , por lo tanto −a = c.

153

6. Los anillos Z y Zm

Proposici´ on 6.3.2 ∀ a ∈ Z −(−a) = a. ´ n. Como a + (−a) = 0, entonces el inverso aditivo de (−a), Demostracio es decir, −(−a) es a, por unicidad.  Una propiedad fundamental es la siguiente. Proposici´ on 6.3.3 (Regla de los signos) ∀ a, b ∈ Z se tiene i) (−a) b = −(a b) = a (−b), ii) (−a)(−b) = a b. ´ n. Como Demostracio (−a) b + a b = ((−a) + a) b = 0, por unicidad (−a) b = −(a b). La otra igualdad en i) se prueba de manera an´aloga. Para probar ii), usando i) se tiene (−a)(−b) + [−(ab)] = (−a)(−b) + [(−a) b] = (−a)(−b + b) = 0, por lo que (por unicidad) (−a)(−b) = a b.  Como caso particular de la Proposici´on 6.3.3 se tiene (−1) a = −a y (−1)(−1) = 1. Definici´ on 66 Sean a, b ∈ Z, se define la resta o diferencia de a menos b como a + (−b), se denota por a − b. Obs´ervese que a (b − c) = ab − ac, ya que a(b + (−c)) = a b + a (−c) = a b + (−(ac)), por la regla de los signos.

154

6.3. Propiedades de los enteros

N´otese que la unicidad del inverso aditivo implica que −(a + b) = −a − b, ya que ambos son inversos aditivos de a + b. Los enteros tienen otras propiedades que no son consecuencia de los primeros 8 axiomas: S1), S2), S3), S4), P1), P2), P3) y D), que los hemos denotado tambi´en como Axioma 1, Axioma 2,. . . , Axioma 8. Axioma 9 ∀ a, b ∈ Z − {0}, se tiene a b 6= 0. q Una formulaci´on equivalente es decir ∀ a, b ∈ Z  a b = 0 se tiene que a = 0 o b = 0. Esta propiedad v´alida en Z no se cumple en otros anillos conmutativos con unidad, por ejemplo en Z4 , 2 · 2 = 0, o en Z9 , 3 · 3 = 0. Tambi´en, en Z6 , 2 · 3 = 0. Obs´ervese que la existencia de estos ejemplos prueba que, en efecto, el Axioma 9 no es consecuencia de los primeros 8 axiomas. Una manera intuitiva de convencerse de la veracidad del Axioma 9, es suponer a b = 0, introducir sus inversos multiplicativos, es decir los n´ umeros racionales 1/a y 1/b y llegar a una contradicci´on:       1 1 1 1 1= ab = 0 = 0. a b a b Sin embargo, este argumento no tiene validez formal, ya que no se han definido los n´ umeros racionales. Definici´ on 67 Sean A un anillo, y a, b ∈ A tales que a b = 0, entonces a los elementos a y b se les llama divisores del cero. El axioma 9 dice que en Z no hay divisores de cero distintos de cero. Definici´ on 68 Un dominio entero es un anillo conmutativo con unidad, que no tiene divisores de 0 distintos de 0. Un ejemplo de dominio entero es Z, mientras que Z4 , Z6 , Z9 , Z18 , no ´ lo son. Obs´ervese que en un dominio entero A vale la LEY DE LA CANCELACION ´ PARA LA MULTIPLICACION: Sean a, b, c ∈ A, a 6= 0, tales que a b = a c, entonces b = c.

155

6. Los anillos Z y Zm

Esta ley se sigue ya que la hip´otesis implica a b − a c = 0, por lo cual se tiene a (b − c) = 0, y dado que a 6= 0, necesariamente b − c = 0. En particular, esta ley es v´alida en Z. N´otese que es necesaria la condici´on a 6= 0, ya que 0 · b = 0 · c ∀ b, c ∈ A. El rec´ıproco es cierto: si A es un anillo conmutativo con 1, para el cual vale la ley de la cancelaci´on para el producto, entonces A es un dominio entero (ejercicio). EJERCICIOS 6.3 1. Probar que si A es un anillo conmutativo con 1, para el cual vale la ley de la cancelaci´on para el producto, entonces A es un dominio entero.

6.4.

Orden y unidades en Z

Se quiere formalizar el hecho de que un n´ umero entero es mayor que otro si est´a m´as a la derecha en la recta. −2 −1 0 1 2

Figura 6.3: Los enteros como puntos en la recta real Este concepto lo podemos relacionar con los naturales, N = {1, 2, 3, . . .}, primero necesitamos algunos axiomas de cerradura y tricotom´ıa. Axioma 10 Si a, b ∈ N, entonces a + b ∈ N. Axioma 11 Si a, b ∈ N, entonces a b ∈ N. Axioma 12 Si a ∈ Z, entonces se cumple una y s´ olo una de las siguientes afirmaciones: i) a ∈ N, ii) a = 0, iii) −a ∈ N. Estos axiomas junto con las leyes de los signos establece que Z es un conjunto cerrado bajo la suma y el producto. Como se mencion´o antes, estos 12 axiomas de los enteros se basan en otro conjunto menor de axiomas llamados de Peano, y ´estos a su vez se basan en otros pocos axiomas fundamentales que de alguna manera son hechos contundentes, por ejemplo, el axioma de extensi´on que establece que 2 conjuntos son iguales si tienen los mismo elementos, otros axiomas son el de especificaci´on y el de infinito. Cf. [3]

156

6.4. Orden y unidades en Z

Definici´ on 69 Sean a, b ∈ Z, se dice que a es mayor que b, si a − b ∈ N, Se escribe a > b. Obs´ervese que a > 0

⇔

a−0 ∈ N

⇔

a ∈ N.

Proposici´ on 6.4.1 (Transitividad) Sean a, b, c ∈ Z tales que a > b y b > c, entonces a > c. ´ n. Como a − b ∈ N, y b − c ∈ N, se tiene Demostracio a−b+b−c=a−c ∈ N (en virtud del Axioma 10), es decir a > c.  Obs´ervese que el Axioma 12 se puede reescribir de la siguiente manera: dado a ∈ Z, sucede una y s´olo una de las siguientes tres afirmaciones: a > 0,

a < 0,

Esto se sigue ya que a ∈ N a < 0

⇔

0 > a

⇔ ⇔

o a = 0.

a > 0, 0−a ∈ N

⇔

−a ∈ N.

El orden es compatible con la suma y el producto. Proposici´ on 6.4.2 Sean a, b, c ∈ Z tales que a > b, entonces a + c > b + c. ´ n. Como a − b ∈ N, se tiene Demostracio a + c − (b + c) ∈ N.  Proposici´ on 6.4.3 Sean a, b, c ∈ Z tales que a > b y c > 0, entonces a c > b c.

157

6. Los anillos Z y Zm

´ n. a − b ∈ N y c ∈ N, por lo cual Demostracio (a − b) c = a c − b c ∈ N, es decir, a c > b c.  OTRAS PROPIEDADES DE ORDEN

1. a2 > 0 ∀ a ∈ Z − {0}: Si a ∈ N, se sigue del Axioma 11 que tambi´en a2 es un natural Si −a ∈ N, (−a)(−a) ∈ N y a2 ∈ N, por la regla de los signos. 2. Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces a + b ≥ 0 : a, b ∈ N 3. a < b

⇒ ⇔

b−a ∈ N

a + b ∈ N. −a > −b (−b < −a) :

⇔

−a − (−b) ∈ N. UNIDADES EN Z

Se mostr´o que todos lo elementos de Z tienen un inverso aditivo, sin embargo, s´olo 1 y -1 tienen inverso multiplicativo. Lo cual se prueba a continuaci´on. Definici´ on 70 En un anillo a los elementos que tienen inverso multiplicativo se les llama unidades. Por ejemplo, en Z5 todos los elementos no cero son unidades, ya que 2 · 3 = 1, y 4 · 4 = 1, sin embargo, en Z6 ,2 no es unidad, ya que 2 · 1 = 2, 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 0, 2 · 4 = 2, 2 · 5 = 4, 2 · 0 = 0. Proposici´ on 6.4.4 Las u ´nicas unidades en Z son 1 y -1. ´ n. 0 no es unidad, ya que 0 a = 0 ∀ a ∈ Z. Como 1· 1 = 1 Demostracio y (−1) (−1) = 1, 1 y −1 s´ı lo son. Ahora, si a > 1, a no es unidad. Probamos que a b 6= 1 ∀ b ∈ Z. Primero, a 0 = 0 y a 1 = a. Si b < 0, entonces a b < a · 0 = 0 y a b 6= 1. Tambi´en si b > 1, a b > a 1 = a y a b 6= 1.

158

´n 6.5. Principio de induccio

Si a < −1, a tampoco es unidad. Si a fuera unidad, se tendr´ıa a b = 1 y (−a)(−b) = 1, i.e., −a, que es mayor a 1, ser´ıa unidad, contradiciendo la 1a parte.  EJERCICIOS 6.4 1. Encuentre las unidades en los anillos Z4 , Z6 , y Z7 .

6.5.

Principio de inducci´ on

Profundizamos sobre este tema que se present´o al inicio del libro. Axioma 13 (Principio de inducci´on) Sea M un subconjunto de los naturales tales que se cumplen las siguientes condiciones: i) 1 ∈ M ii) si n ∈ M, entonces n + 1 ∈ M . Bajo estas hip´otesis se concluye que M = N. Este axioma, o principio, dice que si un subconjunto de los naturales cumple las condiciones i) y ii), entonces ese subconjunto consiste de todos los naturales. Su importancia radica en ser muy u ´til para probar propiedades que cumplen todos los naturales, por ejemplo, para probar la identidad 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 .

(6.1)

Sea M ⊂ N, aquellos n´ umeros que cumplen (6.1), se tiene que i) 1 ∈ M, ya que 1 = 12 , ii) si n ∈ M, entonces 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 , por lo que n + 1 ∈ M .

6. Los anillos Z y Zm

159

El Principio de inducci´on implica que (6.1) es v´alido para todos los naturales. Como un 2o ejemplo, consid´erese la igualdad 20 + 21 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1.

(6.2)

La prueba de esta identidad se puede interpretar como sigue: para cada n´ umero n, la identidad (6.2) es una proposici´on que denotamos por Pn , si se logra probar que P1 es correcta, y que cada vez que Pn lo es, la proposici´on Pn+1 tambi´en lo es, se concluye que (6.2) se cumple ∀ n ∈ N. i) 21−1 = 20 = 21 − 1 y por lo tanto P1 se cumple, ii) si Pn se cumple 20 + 21 + 22 + · · · + 2n−1 + 2n = 2n − 1 + 2n = 2 · 2n − 1 = 2n+1 − 1, por lo que Pn+1 se cumple. Algunas veces es u ´til usar un principio equivalente al de inducci´on. ´ MODIFICADO PRINCIPIO DE INDUCCION

Sea M ⊂ N tal que cumple las siguientes 2 condiciones: a) 1 ∈ M b) cada vez que 1, 2, . . . , n ∈ M, se tiene que n + 1 ∈ M. Bajo estas hip´otesis se concluye que M = N. Teorema 6.5.1 El principio de inducci´ on es equivalente al principio de inducci´ on modificado. ´ n. Denotamos por 1 al Principio de inducci´ 2 Demostracio on y por 1 implica , 2 hay que probar al Principio modificado. Para probar que 2 implican las de . 1 Para esto se debe probar que si que las hip´otesis de n ∈ M, entonces n + 1 ∈ M . Aplicando a) junto con n veces la hip´otesis b) se tiene que si n ∈ M , entonces n + 1 ∈ M : 1, 2 ∈ M ⇒ 3 ∈ M , 1, 2, 3 ∈ M ⇒ 4 ∈ M . Iterando este proceso se obtiene n + 1 ∈ M , por 2 lo que se cumple ii). Por lo tanto M = N , y se sigue . 2 implica , 1 se debe probar que las Finalmente para probar que 1 implican las de , 2 lo cual es evidente. hip´otesis de 

160

´n 6.5. Principio de induccio

El texto concluye estableciendo otra propiedad de los enteros que sorprendentemente es equivalente al principio de inducci´on. PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN

Sea A ⊂ N, A 6= ∅, entonces A tiene un menor elemento, i.e., ∃ m0 ∈ N,  m0 ≤ n ∀ n ∈ A. Teorema 6.5.2 El principio de inducci´ on es equivalente al de buen orden. ´ n. Probamos primero que el de inducci´on implica el del buen Demostracio orden. Si A ⊂ N, A 6= ∅, y A no tiene un menor elemento, sea B = {m ∈ N | m < n ∀ n ∈ A}, es decir, el conjunto de las cotas inferiores de A. Obs´ervese que A y B no se intersecan, ya que ning´ un elemento es menor a s´ı mismo. Resulta que 1 ∈ B: si 1 ∈ A, 1 es el menor elemento. Tambi´en si k ∈ B, k + 1 tambi´en est´a en B, ya que de otra manera k + 1 no es menor que alg´ un elemento de A. Esta u ´ltima situaci´on s´olo acontece si k + 1 ∈ A, puesto que se est´a suponiendo que todos los elementos de A son mayores a k. Sin embargo si k + 1 ∈ A, k + 1 ser´ıa el menor elemento de A. El principio de inducci´on implica entonces que B = N y A = ∅, lo cual contradice las hip´otesis, ∴ A tiene un menor elemento. Finalmente, probamos que el principio de buen orden implica el de inducci´on. Sea M ⊂ N tal que cumple las hip´otesis del principio de inducci´on, probamos que M c = ∅. Si M c 6= ∅, sea m el menor elemento de M c , entonces m − 1 ∈ M y por hip´otesis de inducci´on m ∈ M , lo cual contradice m ∈ M c , ∴ M c = ∅.  EJERCICIOS 6.5 1. Probar la siguiente identidad 2  n (n + 1) 3 3 3 3 . 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2

Bibliograf´ıa ´ ´ n H. y Rinco ´ n C. Algebra [1] Bravo A., Rinco Superior, Facultad de Ciencias, UNAM, 2008. ´ ´rdenas H., Lluis E., Ragg´ı F., Toma ´s F., Algebra [2] Ca Superior, Editorial Trillas, 1982. [3] Halmos, P., Naive Set Theory, Springer-Verlag, New York, 1974. [4] Lang, S., Introducci´on al ´algebra lineal, Addison-Wesley, 1990. ´ [5] Lascurain, A., Algebra Superior II, En preparaci´on.

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´Indice anal´ıtico n factorial, 21 abcisa, 54 anillo, 30, 148 conmutativo, 148 axioma de extensi´on, 155 de infinito, 155 especificaci´on, 155 axiomas Peano, 147 base, 74 buen orden principio del, 160 campo, 30 cardinalidad, 17 clase de equivalencia, 26, 149 coeficientes binomiales, 47 combinaci´on lineal, 69 combinaciones, 34, 46 conjunto de combinaciones lineales, 70 conjunto (s), 1 complemento de, 5 diferencia de, 7 finito, 17 infinito, 18 intersecci´on de, 4 uni´on de, 3

vacio, 2 corresponencia biun´ıvoca, 43 Cramer regla de, 127 DeMorgan leyes de, 6 dependencia lineal, 71 determinante, 93 propiedades, 95 dominio entero, 154 escalares, 53 espacio vectorial Rn , 60 sobre los reales, 62 estructuras algebraicas, 28 funci´on (es), 10, 36 biyectiva, 16, 39 caracter´ıstica, 48 codominio de, 10 composici´on de, 12 dominio de, 10 extensi´on de, 41 imagen de, 11, 40, 135 inverso derecho de, 14 inverso izquierdo de, 14 invertible, 14 inyectiva, 15, 39 kernel, 134 162

163

6. ´Indice anal´ıtico

lineal, 134 multilineal, 113 suprayectiva, 16, 39 grupo, 30 inducci´on principio modificado de, 159 principio de, 19, 158 inversi´on, 88

teorema del binomio, 21 operaci´on binaria, 147 ordenaciones, 32, 43 con repetici´on, 31, 41 ordenada, 54

pareja ordenada, 8 partici´on, 24 Pascal f´ormula del triangulo de, 49 ley teorema de, 21 de cancelaci´on para el producto, permutaci´on 30 impar, 89 de cancelaci´on para la suma, 29 inversa, 91 de la cancelaci´on, 152 par, 89 de tricotom´ıa, 30 permutaciones, 33, 45, 88 ley distributiva, 4 producto cartesiano, 8, 42, 53 matrices, 81 de un escalar por un vector, 53 matriz por escalares, 60 aumentada, 121 punto, 65 cuadrada, 82 del sistema, 121 regla de correspondencia, 11 determinante, 126 relaci´on, 9 diagonal, 82 de equivalencia, 23, 149 escalonada, 86 dominio de, 10 menores, 102 imagen de, 10 rango de, 83, 112, 123 signos transpuesta, 101 regla de los, 153 triangular, 82 sistema n´ umeros homog´eneo, 122 complejos, 28 soluci´on, 123 enteros, 28, 147 sistema homog´eneo, 132 naturales, 28 asociado, 136 racionales, 28 subconjunto, 2 reales, 28 subespacio Newton generado, 70

164 vectorial, 70 vectorial de Rn , 63 vectorial generado, 76 suma, 60 de vectores, 53 transposici´on, 89 unidades, 157 Van der Monde, 130 determinante tipo, 108 vectores, 53 linealmente dependientes, 71 linealmente independiantes, 72 ortogonales, 65

6.5. ´Indice anal´ıtico