Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima Primera Edición

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Primera!Edición,!2013! Imagen!de!portada:!!©2009!Jer!Thorp!(http://www.flickr.com/photos/blprnt/4218003108/)! D.R.!©2013,!Universidad!de!Guadalajara! Centro!Universitario!de!Ciencias!Exactas!e!Ingenierías! Blvd.!Marcelino!García!Barragán!núm.!1421,!esq.!Calzada!olímpica! 44430!Guadalajara,!Jalisco.! ISBN:!978\607\450\695\2! Impreso!y!hecho!en!México! Printed!and!made!in!Mexico.!

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima Oscar Robles Vásquez y Pedro Ortega Gudiño. Enero de 2013

Contenido 1 Preliminares 1.1 Puntos y Rectas en el Plano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 5 6

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.1 Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 2  2 2.2.4 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 22 . . . . . 2.2.5 Clasificación de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3  3 . . . . . . . . . 2.2.7 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 2.2.8 Solución Gráfica de sistemas de 3  3 . . . . . . . . . . . 2.3 El Método de Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Operaciones Elementales de Renglón . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Existencia de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo . . . . . . . .

10 10 10 10 11 12 14 17 18 19 20 21 23 32 33

3 Matrices y Vectores 3.1 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima . . . 3.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Vector renglón y vector columna . . . . . . . 3.2.2 Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices 3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . 3.4.1 Matrices Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales . 3.4.3 Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . .

37 37 37 39 41 41 42 48 49 52 52 57 58

ii

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

CONTENIDO 3.5

iii

Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 wxMaxima y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . .

4 Vectores en R2 y R3 4.1 Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vectores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Magnitud y dirección de un vector . . . . . . . . 4.1.3 Vectores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Interpretación geométrica del producto escalar . . . . . 4.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra . . . . . . . . 4.4 Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Magnitud de un vector en R3 . . . . . . . . . . . 4.4.2 Dirección de un vector en R3 . . . . . . . . . . . 4.4.3 Vectores unitarios en R3 . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial 4.5.2 Producto vectorial con wxMaxima . . . . . . . . 4.5.3 Triple producto escalar. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

60 63 64 71 71 72 74 77 78 80 83 83 83 85 86 87 87 88

Prefacio La meta principal de este libro de Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima es desarrollar en los estudiantes la comprensión de las ideas fundamentales del álgebra lineal a través del uso de programas computacionales libres. Estas herramientas de trabajo le permitirán al los estudiantes interactuar a través de los programas computacionales con los conceptos abstractos del álgebra lineal. Esta interacción va enfocada a dos aspectos: la resolución de problemas y la visualización geométrica; visualizar los conceptos del álgebra lineal de forma inmediata le ayudara al estudiante reforzar el enfoque constructivista de su aprendizaje. La idea al utilizar Software libre en este texto se basa en las siguientes premisas: (1) el profesor tiene la seguridad de que todos los alumnos tendrán disponible una herramienta de trabajo, (2) los alumnos podrán utilizar el software en cualquier sitio, (3) el profesor podra distribuir el programa legalmente; los programas licenciados como Matlab, Maple, Mathematica, etc., no lo autorizan. Sobre la filosofía del movimiento de software libre, es recomendable que el lector vea la referencia obligada: Proyecto Free Software Foundation, GNU (http://www.gnu.org). La selección de software libre se decidió en función de la sencillez en su manejo, la disponibilidad para los sistemas operativos Windows y Mac, la robustez del programa, etc. En el libro se utilizan las versiones más recientes de dos sistemas de álgebra computacional (CAS): GeoGebra (http://www.geogebra.org/) y wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/). El libro está dirigido a estudiantes de ciencias básicas e ingeniería. En el texto se hace énfasis en los aspectos geométrico y computacional para la resolución de problemas, omitiendose por completo las demostraciones. El enfoque en cada capítulo es la presentación del concepto de forma concisa y posteriormente la resolución de problemas a través de GeoGebra o mediante wxMaxima. El libro cubre los temas fundamentales del álgebra lineal: sistemas de ecuaciones lineales y matrices. El libro que tiene hoy en sus manos no pretende describir estos temas de forma exhaustiva, sino más bien proporcionar un herramienta útil para resolución de problemas de álgebra lineal utilizando software libre. Los autores

iv

Capítulo 1

Preliminares 1.1

Puntos y Rectas en el Plano xy

1. La distancia d (P1 P2 ) entre dos puntos cualesquiera P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) en un plano coordenado esta definida por la ecuación (1.1) d (P1 P2 ) =

q

2

2

(x2  x1 ) + (y2  y1 )

(1.1)

2. La pendiente m de una recta ( P1 P2 ) que pasa por los puntos P1 = (x1 , y1 ) y P2 = (x2 , y2 ) (Figura 1.1), esta definida por la ecuación (1.2) m=

y2  y1 para x2  x1 6= 0 x2  x1 y 3 P2 (x2 , y2 ) 2

-3

-2

-1

1 0 -1

m= 0

1

y2 − y1 x2 − x1 2

3

x

P1 (x1 , y1 )

-2 -3

Figura 1.1. Pendiente (m) de una recta. 1

(1.2)

2

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES El orden de los puntos no es importante, nótese que m=

y 2  y1 1 (y2  y1 ) y1  y 2 = = x2  x1 1 (x2  x1 ) x1  x2

La pendiente mide la proporción entre lo que se eleva en el plano xy a lo que se avanza o recorre horizontalmente; se considera como una razón de cambio: elevaci´ on m= avance 3. Rectas paralelas al eje-x tiene una pendiente de cero (Figura 1.2). y 2  y1 0 = =0 x2  x1 x2  x1 3

y m=

2 P2 (x2 , y2 )

-3

-2

-1

0 =0 x2 − x1

1 0 -1

P1 (x1 , y1 )

0

1

2

x

m=

3

-2 -3

Figura 1.2. Recta paralela al eje-x, m=0. 4. Rectas paralelas al eje-y tienen una pendiente indefinida (1), (Figura 1.3). y 2  y1 y 2  y1 m= = =1 x2  x1 0 5. Ecuación de la recta pendiente-ordenada, ecuación (1.3), ver la Figura (1.4): y = mx + b (1.3) Donde b es la ordenada al origen, esto es, (0, b). 6. Ecuación general de una recta, ecuación (1.4):

la pendiente es m =

a . b

ax + by = c con b 6= 0

(1.4)

1.1. PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO XY

3

3

y

2

-3

1 m=

-2

-1

P2 (x2 , y2 )

0 -1

0

y2 − y1 =∞ 0

1

2

x

P1 (x1 , y1 )

3

-2 -3

Figura 1.3. Recta paralela al eje-y, m indefinida.

4 3

y = mx + b

-4

2 (0, b ) = (0, 3)

m

(− 3,0) -3

-2

y

-1

1 0 -1

0

x 1

-2 -3

Figura 1.4. Ecuación de la recta pendiente-ordenada.

4

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7. Dos rectas son paralelas sí y sólo sí tienen la misma pendiente mL1 = mL2 (Figura 1.5), 3

y

2

L2 -3

-2

m L1 = m L2

1 -1

L1

0 0 -1

1

2

x

3

-2 -3

Figura 1.5. Rectas paralelas tienen la misma pendiente. 8. Relación de pendientes en rectas perpéndiculares, ecuación (1.5), Figura (1.6), 1 mL1 =  (1.5) mL2

mL2

3 y 2

m L 1 = ? m1 L2

1 -3

-2

-1

mL1

0 -1

0

1

2

3

x

-2 -3

Figura 1.6. Rectas perpéndiculares. 9. Distancia d de un punto P (x0 , y0 ) a una recta ax + by = c, viene dada por la ecuación (1.6), ver la Figura (1.7), d=

|ax0 + by0  c| p a2 + b2

(1.6)

1.2. GEOGEBRA

5 3 y P›x 0 , y 0 fi

d=

|ax 0 + by 0 ? c|

-2

m = ?a b

1

a2 + b2

-3

ax + by = c

2

-1

0 -1

0

1

2

x 3

-2 -3

Figura 1.7. Distancia entre un punto y una recta.

1.2

GeoGebra

GeoGebra 1 es un Software libre y de plataformas múltiples que se abre a la educación para interactuar dinámicamente, en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Álgebra y el Análisis o Cálculo. Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la capacidad de manejarse con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite encontrar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa. En la Figura (1.8) se presenta el espacio de trabajo de GeoGebra, se muestran las partes más importantes de este programa: 1. Ventana algebraica. 2. Venta gráfica 3. Barra de herramientas 4. Campo de entradas Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes: +

:

suma



: substracción



:

mutiplicación

:

división

ˆ

:

exponenciación

/

1 http://www.geogebra.org/cms/

6

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Figura 1.8. Ventana de trabajo de GeoGebra.

1.3

Álgebra y Geometría con GeoGebra

Utilizaremos GeoGebra para resolver algunos ejemplos relacionados con puntos y rectas localizados en el plano coordenado xy. Algunas funciones básicas de GeoGebra las conoceremos a través del ejemplo siguiente. Ejemplo 1 Utilizando GeoGebra. Grafique la recta L que pasa por los puntos A (3, 6) y B (4, 2), calcule distancia d (AB), la pendiente m y la ecuación de la recta L. Solución 1 Dar clic en el ícono

de GeoGebra. Teclear en el campo de

: 1. A=(3,6) + enter2 ! introduce el punto A en el plano. 2. B=(-4,-2) + enter ! introduce el punto B en el plano. 3. dAB=Distancia[A,B] + enter ! calcula la distancia d (AB). 4. L:Recta[A,B] + enter ! traza la recta L que pasa por los puntos A y B. 5. m=Pendiente[L] + enter ! calcula la pendiente de la recta L.

Cada entrada introducida se despliega automáticamente en la ventana algebraica, estas se muestran en la Figura (1.9).La ecuación de la recta en

2 Una vez que se ha tecleado la entrada correspondiente debe teclear aceptar ( -). La flecha (!) indica la acción que produce.

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA

7

Figura 1.9. Ventana algebraica de GeoGebra. forma de pendiente-ordenada se puede obtener a partir de la ecuación 8x  7y 7y y y

= 18

= 8x  18 8 18 = x+ 7 7 = 1.14x + 2.57

La Figura (1.10) muestra la gráfica de la ecuación de la línea recta.

Figura 1.10. Ventana gráfica de GeoGebra. Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 6) y es paralela a la recta L cuya ecuación es 3x + 5y = 5. Solución 2 Dar clic en el ícono

de GeoGebra. Teclear en el campo de

: 1. A=(-3,6) + enter ! introduce el punto A en el plano. 2. L:-3x+5y=5 + enter ! traza la recta en el plano y asigna la ecuación a L. 3. En la barra de herramientas dar clic en paralela.

, seleccionar

recta

8

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Ir a la zona gráfica y dar clic primero sobre la recta L y luego sobre el punto A. En la ventana algebraica se desplegará inmediatamente: a: 3x  5y = 39 En la ventana gráfica se trazará la recta paralela a la recta L.

Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa en b = 4, y es perpéndicular a la recta L, cuya ecuación es 6x + 3y = 2. Solución 3 En GeoGebra teclear en el campo

:

1. B=(0,-4) + enter ! introduce la ordenada al origen en el plano. 2. L:-6x+3y=2 + enter ! introduce la ecuación de la recta L. 3. L1:Perpendicular[B,L] + enter ! traza la recta que pasa por B y es perpéndicular a la recta L. En la ventana algebraica se desplegara inmediatamente: L1: x+2y=-8 Ejercicio 1 Determine la ecuación de la recta en su forma general y pendiente ordenada de la recta que: 1. Pasa por los puntos (2, 3) y (4, 5). 2. Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (2, 5). 3. Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4. 4. Pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 3x  7y = 21. 5. Pasa por el punto (5, 3) y es perpendicular a la recta y = 3x + 2. 6. Pasa por el punto (8, 2) y es paralela a la recta x = 5. Ejercicio 2 Determine si los puntos A y B dados están o no sobre la recta dada: 1. A (1, 7), B (3, 1) y la recta y = 2x + 5. 2. A (2, 1), B (1, 2) y la recta y = 2. 3. A (1, 1), B (0, 3) y la recta 3x  2y = 1. 4. A (1, 5), B (2, 3) y la recta x + 2y = 1. Ejercicio 3 Determine si las rectas dadas son perpéndiculares, paralelas u oblicuas. 1. 3x + 4  y = 0; 3x + 9y = 18.

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 2. 4x  3y = 2; 3x + 4y = 5. 3. 2x  14y = 2; 4x  7y = 0. Ejercicio 4 Determine la distancia d del punto P (x0 , y0 ) a la recta dada. 1. Punto (3, 9), recta y = 2x + 5. 2. Punto (0, 1), recta y =

2 x  1. 6

3. Punto (2, 5), recta 3x + 7y = 14. 4. Punto (10, 3), recta 8x + 9  y = 0.

9

Capítulo 2

Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.1

Ecuación lineal

Una ecuación lineal (E) con n variables o incógnitas x1 , x2 , ..., xn tiene la forma siguiente E : a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b (2.1) el coeficiente ai (a1 , a2 , ..., an ) y el término constante b son números reales. La solución de la ecuación lineal (2.1) es un conjunto de valores para las variables o incógnitas que satisfacen la ecuación.

2.2 2.2.1

Sistema de Ecuaciones Lineales Sistema lineal

Un sistema lineal es un conjunto de m ecuaciones lineales E1 , E2 , ..., Em del tipo (2.1). El sistema se puede representar por E1 : E2 : .. .

a11 x1 a21 x1 .. .

+ a12 x2 + a22 x2 .. .

Ei : .. .

ai1 x1 .. .

+ ai2 x2 .. .

Em : am1 x1

+ am2 x2

+ ··· + ··· ··· + ··· ··· + ···

+ a1n xn + a2n xn .. .

= b1 = b2 .. .

+ ain xn .. .

= bi .. .

+ amn xn

= bm

(2.2)

A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema lineal de m  n. Los coeficientes aij (a11 , a12 , ..., a1n ; a21 , a22 , ..., a2n ; am1 , am2 , ..., amn ) y los términos constantes bi (b1 , b2 , ..., bm ) son números reales. Si se tiene que todos 10

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

11

los términos son cero (b1 = b2 , = ... = bm = 0) se dice que el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo. Si el número de ecuaciones (m) es igual al de incógnitas (n) el sistema lineal se llama cuadrado de n  n. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (2.2) es un conjunto de valores para las variables, S = {x1 , x2 , ...xn }, tal que satisfacen a cada una de las ecuaciones del sistema.

2.2.2

wxMaxima

wxMaxima 1 es un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, por sus siglas en inglés). Se trata de un programa cuyo objeto es la realización de cálculos matemáticos (tanto numéricos como simbólicos) capaz de manipular expresiones algebraicas, derivar e integrar funciones y realizar diversos tipos de gráficos. Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes +

:



: substracción

suma

/



:

mutiplicación

:

división

ˆ o 

:

exponenciación

Utilizaremos wxMaxima version 0.8.2 para operar con sistemas de ecuaciones lineales. En la Figura (2.1) se presenta la ventana principal de trabajo cuando se inicia este programa en Windows donde se muestran las partes más importantes: 1. Menú 2. Botones de acciones frecuentes 3. Área de trabajo Un documento en wxMaxima consta de varias "Celdas", estás "Celdas" son los bloques básicos de construcción. Cada celda tiene un corchete del lado izquierdo del documento que indica el contenido de está. Para iniciar un documento en wxMaxima dar clíc en el área de trabajo y utilizar el teclado para introducir la instrucción, al final oprimir la combinación de teclas shift + enter (" + - ) o también ctrl + enter (ctrl + - ), en la celda se desplegara lineas numeradas, por ejemplo (%i1) y (%o1) las cuales indican la entrada (%i) y la salida (%o) de la instrucción, respectivamente. Ejemplo 4 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema de dos ecuaciones lineales (E1 y E2 ) con dos incógnitas (x1 y x2 ) E1

: a11 x1 + a12 x2 = b1

E2

: a21 x1 + a22 x2 = b2

encuentre la solución algebraica. 1 http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page

(2.3)

12

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Figura 2.1. Espacio de trabajo en wxMaxima Solución 4 El sistema anterior se puede resolver con wxMaxima, en el área de trabajo teclear secuencialmente: 1. E1: a11*x1+a12*x2=b1 oprimir " +

- : introduce la ecuación E1 .

2. E2: a21*x1+a22*x2=b2 oprimir " +

- : introduce la ecuación E2 .

3. linsolve([E1, E2], [x1,x2]) oprimir ecuaciones lineales.

" +

- : resuelve el sistema de

En la Figura (2.2) se muestra el resultado de estas intrucciones.

Figura 2.2. Solución algebraica de un sistema de ecuaciones de lineales de 2  2 con wxMaxima.

2.2.3

Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 2  2

La solución que se presenta en la Figura (2.2) dada por la salida (%o3) se reescribe en la forma siguiente

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

x1

=

x2

=

a22 b1  a12 b2 (a11 a22  a21 a12 ) a11 b2  a21 b1 (a11 a22  a21 a12 )

13

(2.4)

nótese que el sistema (2.3) tiene solución única cuando el denominador de la ecuación (2.4) sea diferente de cero, esto es, a11 a22  a21 a12 6= 0 a este producto se le conoce como determinante (det) del sistema de ecuaciones lineales de 2  2, su valor diferente de cero establece la existencia de solución única. La definición de determinante para este sistema de ecuaciones lineales se establece con la ecuación siguiente det Sistema (2  2) = (a11 a22  a21 a12 )

(2.5)

Ejemplo 5 Determine la existencia de la solución única en los sistemas de ecuaciones lineales dados. 1. x1 + x2

= 10

x1 + x2

= 0

x1  2x2

= 3

2.

2x1  4x2

= 8

3. x1 + x2 2x1  2x2

= 3 = 6

Solución 5 Para cada uno de los sistemas se puede aplicar la ecuación (2.5) 1. det Sistema (2  2) = (1) (1)  (1) (1) = 2

El sistema tiene solución única.

14

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. det Sistema (2  2) = (1) (4)  (2) (2) = 0

El sistema no tiene solución única. 3. det Sistema (2  2) = (1) (2)  (2) (1) = 0

El sistema no tiene solución única.

2.2.4

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 22

En los siguiente ejemplos que se presentan se resuelven sistemas de ecuaciones lineales de 2  2 utilizando wxMaxima y GeoGebra. Ejemplo 6 Utilizando GeoGebra. Encuentre la solución mediante un método gráfico del sistema de ecuaciones lineales de 2  2 siguiente E1 E2

: 7x  5y = 6

(2.6)

: 3x + 8y = 10

Solución 6 El valor del determinante del sistema (2.6) es det Sistema (2  2) = ((7) (8)  (3) (5)) = 71

por lo tanto el sistema tiene solución única. Para gráficar el sistema de ecualo siguiente ciones lineales (2.6) en GeoGebra teclee en el campo 1. E1: 7x-5y=6 + enter ! introduce la ecuación E1 2. E2: 3x+8y=10 + enter ! introduce la ecuación E2 3. Intersect[E1,E2] + enter ! encuentra el punto de intersección de las dos rectas, está es la solución del sistema (2.6). La solución gráfica es: x  1. 38 y y  0.73 y se puede apreciar en la Figura (2.3). Ejemplo 7 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sistema (2.6). Solución 7 En wxMaxima introducir las instrucciones siguientes 1. E1: 7*x-5*y=6 oprimir " +

- : introduce la ecuación E1 .

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

15

Figura 2.3. Solución gráfica del sistema (2.6) con GeoGebra.

Figura 2.4. Solución algebraica del sistema (2.6) con wxMaxima. 2. E2: 3*x+8*y=10 oprimir " +

- : introduce la ecuación E2 .

3. linsolve([E1, E2], [x,y]) oprimir " + las variables x y y.

- : resuelve el sistema lineal con

En la última celda se despliega la solución, Figura (2.4). Ejemplo 8 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal siguiente E1 E2

: 3x  4y = 6

(2.7)

: 6x  8y = 8

Solución 8 El cálculo del determinante del sistema (2.7) muestra que det Sistema

= ((3) (8)  (6) (4)) = 0

por lo tanto, el sistema (2.7) no tiene solución única. Para gráficar el sistema de ecuaciones lineales (2.7) en GeoGebra teclear en el campo lo siguiente 1. E1: 3x-4y=-6 + enter ! introduce la ecuación E1.

16

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. E2: 6x-8y=8 + enter ! introduce la ecuación E2.

En la Figura (2.5) se observa que ambas ecuaciones representan rectas paralelas sin níngun punto de coincidencia.

Figura 2.5. Sistema de ecuaciones lineales de 2  2 sin solución. Ejemplo 9 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sistema (2.7). Solución 9 En la Figura (2.6) se presenta el resultado obtenido por wxMaxima para un sistema incosistente o que no tiene solución (2.7).La salida (%o3)

Figura 2.6. Resolución del Sistema (2.7) por wxMaxima. muestra sólo [ ], lo cual indica que el sistema no tiene solución. Ejemplo 10 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal siguiente E1 E2

: 3x  2y = 2 : 6x  4y = 4

(2.8)

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

17

Solución 10 El valor del determinante del sistema (2.8) es det Sistema

= ((3) (4)  (2) (6)) = 0

como consecuencia el sistema (2.8) no tiene solución única. Para gráficar este sistema por medio de GeoGebra teclear en el campo lo siguiente 1. E1: 3x-2y=-2 + enter ! introduce la ecuación E1. 2. E2: 6x-4y=-4 + enter ! introduce la ecuación E2.

La gráfica del sistema (2.7) muestra que las dos rectas se sobreponen, es decir, coinciden en un número infinto de puntos en el plano xy, se dice entonces que el sistema tiene soluciones infinitas.

Figura 2.7. Sistema de ecuaciones lineales de 2  2 con soluciones infinitas. Ejemplo 11 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sistema (2.8). Solución 11 La solución obtenida por wxMaxima se muestra en la Figura (2.8)La salida (%o3) muestra que el sistema tiene infinitas soluciones, para simplificar la solución se hace t =%r1, donde t 2 R la solución se escribe: x=

2t  2 , y=t 3

La representación gráfica de este sistema se presenta en la Figura (2.7); las rectas se intersectan en un número infinito de pares ordenados (x, y).

2.2.5

Clasificación de Soluciones

Las soluciones encontradas en un sistema de ecuaciones lineales de 2  2 pueden clasificarce de la forma siguiente:

18

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Figura 2.8. Resolución del Sistema (2.8) por wxMaxima con sloluciones infinitas. 8  Solución única, det 6= 0. > > < Consistente Soluciones infinitas, det = 0. Tipo de solución > > : Inconsistente {Sin solución, det = 0.

esta clasificación se puede extender a sistemas de n  n.

2.2.6

Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3  3

En el siguiente ejemplo que se presenta se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 utilizando wxMaxima. Ejemplo 12 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: E1 : a11 x1 E2 : a21 x1 E3 : a31 x1

+ a12 x2 + a13 x3 + a22 x2 + a23 x3 + a32 x2 . + a33 x3

= b1 = b2 = b3 .

(2.9)

Solución 12 El sistema (2.9) puede ser resuelto con wxMaxima. En el espacio de trabajo introducir secuencialmente cada una de las ecuaciones del sistema 1. E1: a11*x1+a12*x2+a13*x3=b1 oprimir " + E1 .

- : introduce la ecuación

2. E2: a21*x1+a22*x2+a23*x3=b2 oprimir " + E2 .

- : introduce la ecuación

3. E3: a31*x1+a32*x2+a33*x3=b3 oprimir " + E3 .

- : introduce la ecuación

4. linsolve ([E1,E2,E3],[x1,x2,x3]) oprimir " + - : resuelve el sistema lineal con las variables x1, x2 y x3. La solución obtenida por wxMaxima se presenta en la Figura (2.9).

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

19

Figura 2.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 utilizando wxMaxima.

2.2.7

Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 3  3

La solución del conjunto de ecuaciones (2.9) se presenta en la Figura (2.9), la linea de salida (%4) muestra la solución general de este sistema, el denominador de esta solución se reescribe de la forma siguiente a11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (a21 a33  a23 a31 ) + a13 (a21 a32  a22 a31 )

(2.10)

Este producto se le denomina determinante (det) del sistema de ecuaciones de 3  3 (ecuación 2.11) det Sistema (3  3) = a11 (a22 a33  a23 a32 )

(2.11)

a12 (a21 a33  a23 a31 ) + a13 (a21 a32  a22 a31 )

De igual forma que se presenta en el sistema de ecuaciones de 2  2, se establece que el sistema (2.9) tiene solución única, si se cumple que det Sistema (3  3) 6= 0 Es importante hacer notar que el determinante sólo se puede calcular para sistemas cuadrados (n  n). En el Capítulo 5 se tratara ampliamente el tema de determinantes.

20

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.2.8

Solución Gráfica de sistemas de 3  3

El sistema lineal (2.9) forman un conjunto de planos que pueden intersectarse, sobreponerse o intercalarse; la solución gráfica para estos sistemas se ilustra en la figuras siguientes, 1. Solución única, los tres planos se intersectan en un solo punto, ver Figura (2.10). 2. Soluciones infinitas, los planos se intersectan a lo largo de una recta común, ver Figura (2.11). 3. Sin solución, se tienen planos paralelos, en este caso el sistema es incosistente, ver Figura (2.12).

Figura 2.10. Solución única

Figura 2.11. Soluciones infinitas.

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

21

Figura 2.12. Sin solución.

2.3

El Método de Eliminación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales del tipo E1 : E2 : .. .

a11 x1 a21 x1 .. .

+ a12 x2 + a22 x2 .. .

Ei : .. .

ai1 x1 .. .

+ ai2 x2 .. .

Em : am1 x1

+ am2 x2

+ ··· + ··· ··· + ··· ··· + ···

+ a1n xn + a2n xn .. .

= b1 = b2 .. .

+ aij xj .. .

= bi .. .

+ amn xn

= bm

(2.2)

se utiliza una generalización sitemátizada del método de eliminación. Antes de proseguir se aclara lo relacionado con la notación utilizada. Notación 1 En el sistema de ecuaciones (2.2) aij representa cualquier coeficiente del sistema en la ecuación i que multiplica a la incógnita j. Así por ejemplo, el coeficiente a21 , se encuentra en la ecuación E2 multiplicando a la incógnita x1 . Por otro lado, bi identifica a cualquier término constante en la ecuación i. Cuando se efectúan operaciones en cada una de las ecuaciones del sistema (2.2) sólo se afectan los coeficientes aij y los términos bi , las incógnitas no se ven afectadas, por esta razón, para evitar repetición al escribir cada una de las ecuaciones del sistema, los coeficientes aij y los términos bi se escriben en un arreglo rectangular ordenado llamado matriz aumentada, de la forma siguiente 0

B B A˜ = B @

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

= (A |b )

··· ··· ··· ···

a1n a2n .. . amn

        

b1 b2 .. . bm

1 C C C A

(2.12)

(2.13)

22

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La matriz aumentada se dice que es de tamaño u orden m  (n + 1), esto es, m-renglones por (n + 1)-columnas. La matriz aumentada esta formada por una matriz de coeficientes (A) de orden m  n y una matriz de términos constantes (b) de orden m  1. La representación matricial de cada una de ellas es 0 1 0 1 a11 a12 · · · a1n b1 B a21 a22 · · · a2n C B b2 C B C B C A=B . b=B . C C . . .. . . @ .. A @ ··· . . A am1 am2 · · · amn bm Notación 2 De forma similar, los subíndices ij en los elementos a de la matriz de coeficientes (2.12) indican la ubicación del elemento en el renglon i y la columna j. Ejemplo 13 En la matriz aumentada siguiente  0 1 5 7 1 2  b1 @ 0 5 6 3  b2 A 8 6 10 9  b3 Identificar los elementos a23 , a34 , a22 y a55 .

Solución 13 Los elementos identificados son

a23

= 6

a34

= 9

a22 a55

= 5

= no existe

Es importante resaltar, que un sistema de ecuaciones lineales (2.2) puede ˜ y ser representado en forma equivalente mediante una matriz aumentada (A), viceversa, una matriz aumentada tiene su sistema de ecuaciones equivalente, este hecho se muestra en los ejemplos siguientes. Ejemplo 14 Determine A˜ para el sistema de ecuaciones lineales siguiente x1



4x1

+

2x2 2x2 5x2

+  +

x3 8x3 9x3

= = =

0 8 9

Solución 14 La equivalencia entre el sistema de ecuaciones lineales y la matriz aumentada es

x1



4x1

+

2x2 2x2 5x2

+  +

x3 8x3 9x3

= = =

0 0 1 8 @ 0 9 4

 1 2 1  0 2 8  8 A 5 9  9

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

23

Ejemplo 15 Determine el sistema de ecuaciones lineales equivalente de la matriz aumentada siguiente    1 6 0  0 0 3 9  7 Solución 15 El sistema de ecuaciones equivalente es    1 6 0  0 x  6x2  1 0 3 9  7 3x2 

9x3

= =

0 7

En adelante para facilitar el manejo de una matriz aumentada en wxMaxima se omitirá la línea vertical, así que la última columna corresponderá a los términos constantes (bi ).

2.3.1

Operaciones Elementales de Renglón

En el método de eliminación se aplican sobre la matriz A˜ tres operaciones conocidas como operaciones elementales de renglón, estas son: 1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero. 2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón. 3. Permutar o intercambiar renglones. Notación 3 Las operaciones elementales se pueden denotar de la forma siguiente 1. Ri ! cRi , c 6= 0: El renglón i puede ser sustituido al multiplicar ese renglón por una constante c 6= 0. 2. Rj ! Rj + cRi , c 6= 0: El renglón j, puede ser sustituido al sumar al renglón j el multiplo de otro renglón i. 3. Ri  Rj : Los renglones i y j pueden intercambiarse o permutar. En los ejemplos siguientes se explicara con detalle el proceso de eliminación sobre sistemas de ecuaciones lineales de 3  3, llevando los registros de la operaciones elementales efectuadas con la notación antes mencionada. Ejemplo 16 Describa el algorítmo del proceso de solución mediante operaciones elementales de renglón de la matriz aumentada siguiente  0 1 a11 a12 a13  b1 @ a21 a22 a23  b2 A  a31 a32 a33  b1

Solución 16 Los elementos a11 , a22 y a33 se identifican como elementos pivote ubicados en los renlgones pivote, ellos forman la diagonal principal. El algoritmo simple de este proceso es

24

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Paso 1. Hacer a11 = 1 (1er. pivote). Paso 2. Hacer "ceros" los elementos por debajo del elemento pivote a11 (a) Hacer a21 = 0 (b) Hacer a31 = 0 Paso 3. Hacer a22 = 1 (2do. pivote). Paso 4. Hacer "ceros" los elementos por debajo y por arriba del elemento pivote a22 (a) Hacer a12 = 0 (b) Hacer a32 = 0 Paso 5. Hacer a33 = 1 (3er. pivote). Paso 6. Hacer "ceros" los elementos por arriba del elemento pivote a33 (a) Hacer a13 = 0 (b) Hacer a23 = 0 Paso 7. ¿Tiene solución el sistema? Ejemplo 17 Resuelva mediante el método de eliminación el sistema de ecuaciones 2x1 + 4x2 + 8x3

= 6

3x1  2x2  3x3

= 4

8x1 + 2x2 + 5x3

= 1

Solución 17 Aplicando operaciones elementales de renglón se tiene   0 1 0 1 2 4 8  6 1 2 4  3 @ 3 2 3  4 A R1 ! 1 R1 @ 3 2 3  4 A R2 ! R2  3R1 2   !  ! 8 2 5  1 8 2 5  1 hacer a21 =0 hacer a =1 11   0 1 0 1  1 2 4  3 1 2 4  3 @ 0 8 15  5 A R3 ! R3  8R1 @ 0 8 15  5 A   ! 8 2 5  1 0 14 27  23 hacer a31 =0  0 1 0 1F 1 2 4  3 1 2 4 3 15 5 A R3 ! R3 + 14R2 @ 0 1 15  5 A 1 R2 @ 0 R2 ! 1 8 8 8  8 ! 8! 0 14 27 23 0 0  34   57 hacer a32 =0 hacer a22 =1  7 1  0 0 1 4 1 1  7  1 0 1 0 4 4  4  45  A R3 ! 4 R3 @ 0 1 15  5 A R1 ! R1  2R2 @ 0 1 15 8 8 8  8 3  ! ! 0 0 1  19 0 0  34   57 hacer a12 =0 4 1 hacer a33 =1   0 0 1 1 0 0  3 1 0 14  74 @ 0 1 0  35 A R1 ! R1  1 R3 @ 0 1 0  35 A R2 ! R2  15 8 R3    ! 4! 0 0 1  19 0 0 1  19 hacer a23 =0 hacer a13 =0

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

25

El conjunto solución es S = {x1 , x2 , x3 } = {3, 35, 19} . El algoritmo de eliminación implementado se conoce como eliminación de Gauss-Jordan. Note que se hacen "ceros" por arriba y "ceros" por abajo de la diagonal principal. Si el proceso de eliminación sólo contemplara hacer "ceros" por debajo de la diagonal principal y luego sustitución hacia atrás, se trataría del método de eliminación gaussiana. Ejemplo 18 Resuelva mediante el método de eliminación gaussiana el ejemplo anterior. Solución 18 Para esto, el proceso puede continuarse a partir de la marca F de la forma siguiente 0

Luego:

1

B B 0 @ 0 0

2

4

1

15 8

0

 34

1

2

B B 0 @ 0

1 0

  3   5   8  57   4

 4  3  15  5 8  8  1  19

1F

0

1 C B 4 C R3 ! R3 @ 0 A 3 ! hacer a33 =1 0 1

E1 : C C  E2 : A E3 :

2 1 0

 1 4  3 15  5 C 8  8 A  1  19

x1 + 2x2 + 4x3 = 3 x2 +

15 8 x3

=

5 8

x3 = 19

El sistema obtenido es más simple que el original, este último se puede resolver por sustitución hacia atrás. De la ecuación E3 se tiene que x3 = 19 De la ecuación E2 resolvemos para x2 y sustituimos x3 x2

5  8 5 =  8 = 35 =

15 x3 8 15 (19) 8

Resolviendo de la ecuación E1 para x1 y sustituyendo los valores de las incognitas x2 y x3 se tiene: x1

= 3  4x3  2x2

= 3  4 (19)  2 (35) = 3

La solución final es (x1 , x2 , x3 ) = (19, 35, 3).

26

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Operaciones Elementales de Renglón con wxMaxima En wxMaxima una matriz se define mediante una instrucción muy simple, por ejemplo la matriz aumentada A˜ de 2  3   1 2 3 A˜ = 4 7 6 se puede introducir con wxMaxima con la instrucción A: matrix ([1,-2,-3],[4,7,6]) oprimir " +

-

desplegándose en el espacio de trabajo como lo muestra la Figura (2.13).

Figura 2.13. Introducir una matriz en wxMaxima. la introducción de matrices es por renglones entre corchetes. Nótese que las matrices también pueden ser introducida a partir del Menú, la secuencia de instrucciones es la siguiente: 1.

! Enter Matriz...! Matriz ! Aceptar !

2. Introducir matriz ! Aceptar

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

27

wxMaxima permite realizar operaciones elementales de reglón mediante las instrucciones siguientes 1. Función: rowop ( M,i,j,): Si M es una matriz y un  escalar, devuelve la matriz que resulta de realizar la transformación Ri ! Ri  Rj con los renglones Ri y Rj . Si M no tiene estos renglones, devuelve un mensaje de error. 2. Función: rowswap ( M,i,j): Si M es una matriz, intercambia los renglones i y j, R1  Rj . Si M carece de estos renglones, devuelve un mensaje de error. Note que la operación elemental de renglones de Ri ! cRi , no tiene una operación directa en wxMaxima, pero está se puede obtener mediante la operacion rowop ( M, i, j, ), en el ejemplo siguiente se muestra el uso de éstas instrucciones. Ejemplo 19 Resuelva mediante operaciones elementales de renglón aplicando wxMaxima el sistema lineal siguiente 2x1 + 4x2 + 8x3

= 6

3x1  2x2  3x3

= 4

8x1 + 2x2 + 5x3

= 1

Solución 19 Una vez introducida la matriz aumentada (Figura 2.14) del sistema, es importante que le asigne un nuevo nombre a cada matriz que resulte de esa instrucción, al final de cada instrucción oprima la combinación de teclas " + - .

Figura 2.14. Matriz Aumentada. Secuencialmente introduzca las operaciones siguientes 1 Paso 1. A1: rowop(A,1,1,1/2): R1 ! R1  R1 . 2 Paso 2. A2: rowop(A1,2,1,3): R2 ! R2  3R1 . Paso 3. A3: rowop(A2,3,1,8): R3 ! R3  8R1 .

28

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

9 Paso 4. A4: rowop(A3,2,2,9/8): R2 ! R2  R2 . 8 Paso 5. A5: rowop(A4,3,2,-14): R3 ! R3  (14) R2 . Paso 6. A6: rowop(A5,1,2,2): R1 ! R1  2R2 . 7 Paso 7. A7: rowop(A6,3,3,7/3): R3 ! R3  R3 . 3 Paso 8. A8: rowop(A7,2,3,15/8): R2 ! R2 

15 R3 . 8

1 Paso 9. A9: rowop(A8,1,3,1/4): R1 ! R1  R3 . 4 Las instrucciones que se introducen secuencialmente despliegan en wxMaxima las celdas siguientes:

Paso 1.

Paso 3.

Paso 5.

Paso 2.

Paso 4.

Paso 6

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

29

Paso 7.

Paso 8.

Paso 9. La matriz obtenida en 0 1 @ 0 0

la salida  0 0  1 0  0 1 

%o10 (paso 9) es equivalente a 1 3 x1 = 3 35 A  x2 = 35 19 x3 = 19

Una forma directa para obtener la matriz escalonada por renglones es mediante la instrucción echelon de wxMaxima. La función echelon (M) d evuelve la forma escalonada de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana. La aplicación de la función echelon (M) al ejemplo anterior es

a partir de matriz obtenida en la salida (%o2) se aplica sustitución hacia atrás para obtener la solución completa. Ejemplo 20 Encuentre la solución del sistema lineal siguiente x1 + x2  x3

= 2

6x1 + x2 + 3x3

= 1

4x1  x2 + 5x3

= 5

30

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Solución 20 La matriz aumentada del sistema es:  0 1 1 1 1  2 @ 4 1 5  5 A  6 1 3  1 Se aplican las operaciones elementales siguientes 1. R2 ! R2  4R1 2. R3 ! R3  6R1 3. R2 !

R2 5

4. R3 ! R3 + 5R2 5. R3 !

R3 2

0

1

B matriz equivalente obtenida es B @ 0 0

1 1 0

 1 1  2 x1 + x2  x3 = 2  C 9  13 C 9 13 5  5 A  x2  5 x3 = 5  0  1 0=1

el útimo renglón presenta una incosistencia, el sistema no tiene solución. Con wxMaxima se obtiene

Ejemplo 21 Resolver el sistema lineal siguiente x1 + x2  x3

4x1  x2 + 5x3 6x1 + x2 + 3x3

= 2 = 5 = 1

Solución 21 La matriz aumentada del sistema es  0 1 1 1 1  2 @ 4 1 5  5 A  6 1 3  1

Efectuando operaciones elementales de renglón se obtiene 0  0 1 1 1 1 1  2 B R R2 ! R2  4R1 @ 2 B 0 0 5 9  13 A R2 ! R3 ! R3  6R1 5 @  0 5 9 13       ! ! 0

 1 1 1  2  13 C  C 1 9 5  5 A  0 0  0

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

31

Aquí R2 y R3 son igulales, por lo tanto, se sustituye el renglón 3 por un renglón de ceros, y se obtiene el último pivote en R2 , esto es,  0 1 1 0 45  45 B  13 C  C 0 1 9 R 1 ! R 1  R2 B 5  5 A @ !  0 0 0  0 El proceso de operaciones elementales no puede continuar ya que no existe otro elemento pivote. El sistema equivalente es: x1 + 45 x3 = 45 E1 : E2 : x2  9 x3 = 13 5 5 Este sistema equivalente se tienen dos ecuaciones con tres incognitas, en este caso existen soluciones infinitas. El procedimiento para reportar la solución de estos sistemas es 1. Del sistema equivalente de n ecuaciones y r variables o incógnitas determine las variables libres al calcular variables libres

= rn = 32 = 1

2. De las tres incógnitas x1 , x2 , o x3 seleccionar una variable, está incógnita será la varible libre, por ejemplo x3 = t, donde t 2 R t es un parámetro que puede tomar cualquier valor en el conjunto de los reales. 3. Despejar las incognitas x1 y x2 en función de la variable libre: De la ecuación E1 x1

4 3 =  x3  5 5 4 3 =  t 5 5

De la ecuación E2 x2

= =

9 13 x3 + 5 5 9 13 t+ 5 5

32

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La solución se escribe como: (x1 , x2 , x3 ) =



 4 3 9 13  t  , t + ,t 5 5 5 5

o en notación de conjunto, aquí S es el conjunto solución:

S=

2.3.2



4 3 9 13  t  , t + , t ; donde t 2 R 5 5 5 5



Existencia de Soluciones

Algunas conclusiones obtenidas de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2  2 y de 3  3, se pueden generalizar a sistemas de ecuaciones lineales de n  n y de m  n, así se tiene 1. Existe solución única sí y sólo sí el det Sistema (n  n) 6= 0. 2. Existe solución única sí y sólo sí se tienen n pivotes en la matriz aumentada de n  (n + 1). 3. Existen soluciones infinitas o se presenta inconsistencia sí y sólo sí el det Sistema (n  n) = 0 4. Existen soluciones infinitas si en la matriz aumentada n  (n + 1) se tiene por lo menos un renglón de ceros. 5. Inconsistencia se presenta en la matriz aumentada de n  (n + 1) si se tiene un renglón de ceros sólo en la matriz de coeficientes. Ejemplo 22 Elija valores de h y k en el conjunto de los reales para los cuales el sistema x1 + hx2

= 1

2x1 + 3x2

= k

presente 1. Solución única 2. Inconsistencia 3. Soluciones infinitas Solución 22 Las operaciones elementales de renglón son        1 1 h  1 1 h R2  R ! R  2R R2 ! 32h 2 3  k 22!1 0 3  2h  k  2        ! paso A

n ote que 32h6=0

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 

1 0

 h  1 

1 k2 32h



33

R1 ! R1  hR2

1 0

simplificando se tiene 

1 0

 0  1 

3k 32 k2 32





x1 = x2 =

 !  0  1  h(k2) 32h  k2 1  32h 3hk 32h k2 32h

3 1. Para que el sistema tenga solución única 3  2h 6= 0, h 6= , con cualquier 2 valor de k. Probemos por ejemplo, h = 2 y k = 3  !     3(2)(3) 1 0  32(2) 1 0  3   32 0 1  32(3) 0 1   13   1 La solución es:(x1 , x2 )= 3, . 3

3 2. Si h = y k  2 6= 0 ó k 6= 2, al sustituir en en el sistema aumentado 2 obtenido en el paso A !  1 32  1  0 0  k2 se obtiene una inconsistencia.

3 3. Cuando h = y k = 2, al sustituir en en el sistema aumentado obtenido 2 en el paso A !  1 32  1  0 0  0 3 se obtiene el sistema equivalente x1 + x2 = 1 que tiene por solución 2

x1

2.3.3

3 = 1 t 2 x2 = t, t 2 R

Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales homogéno es un sistema ecuaciones similar a (2.2), donde todos los términos constantes son cero (b = 0). Po ejemplo el sistema de ecuaciones lineales de 4  4 siguiente, es homogéneo ya que bi = 0 para todo i.

34

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4

= 0

a21 x1 + a22 x2 + a33 x3 + a34 x4

= 0

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4

= 0

a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4

= 0

La representación de este sistema  0 a11 a12 a13 a14  0 B a21 a22 a23 a24  0 B  @ a31 a32 a33 a34  0  a41 a42 a42 a44  0

(2.14)

en una matriz aumentada esta dado por: 1 0 1 a11 a12 a13 a14 C B a21 a22 a23 a24 C CB C A @ a31 a32 a33 a34 A a41 a42 a42 a44

por cuestiones prácticas la columna de "ceros" no se escribe. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéno se recurre al algorítmo de eliminación gaussiana o Gauss-Jordan visto anteriormente. Para cualquier sistema lineal homogéneo com m-ecuaciones y n-incógnitas, existen dos posibilidades de solución: la solución única o trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0 que se presenta para un sistema de ecuaciones lineales cuadrado cuando det Sistema (n  n) 6= 0 y las soluciones infinitas o no triviales. El cálculo de determinantes de n  n se analizará en el capítulo 5. Ejemplo 23 Utilizando wxMaxima. Resuelva el sistema homogéneo siguiente x1 + x2  x3

= 0

6x1 + x2 + 3x3

= 0 0

4x1  x2 + 5x3

= 0

1 Solución 23 La matriz aumentada del sistema @ 4 6 en wxMaxima con las instrucciones siguientes 1. Ah: matrix ([1,1,-1],[4,-1,5],[6,1,3) oprimir " + 2. echelon (Ah) oprimir " + Se

despliega 95

0

1 @ 0 0

1 1 0

1 9 5

0

1 A

1 1 1 -

1 1 5 A se introduce 3

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

35

La operación elemental adicional R1 ! R1  R2 produce el sistema equivalente 4 x1 + x3 = 0 5 9 x2  x3 = 0 5 donde las variables libres son (r  n) = 3  2 = 1, si x3 = t, t 2 R; 4 9 x1 =  x3 y x2 = x3 o de otra forma 5 5   4 9 (x1 , x2 , x3 ) =  t, t, t 5 5 Ejemplo 24 Determine la solución para el sistema lineal homogéneo siguiente 3x1  7x2 + 9x3  5x4 + 8x5

= 0

3x1  7x2 + 8x3  5x4 + 8x5

= 0

6x3 + 6x4 + 4x5

= 0

Solución 24 En wxMaxima teclear secuencialmente las instrucciones siguientes 1. E1: 3*x1-7*x2+9*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir " + 2. E2: -6*x3+6*x4+4*x5=0 oprimir " +

-

-

3. E3: 3*x1-7*x2+8*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir " +

-

4. linsolve ([E1, E2, E3], [x1,x2,x3,x4,x5]) oprimir " +

-

La solución por wxMaxima es [x1=%r2, x2=(9*%r2+34*%r1)/21, x3=0, x4=-(2*%r1)/3, x5=%r1] Si t=%r2 y s=%r1 con t,s 2 R, la solución dada para el sistema se escribe como x1 x2 x3 x4 x5

= t 9t + 34s = 21 = 0 2s = 3 = s

Finalmente se tiene: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) =



 9t + 34s 2s t, , 0, ,s 21 4

en el Capítulo 3 se dará otra forma de escribir la solución mediante vectores.

36

CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En general un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

Capítulo 3

Matrices y Vectores 3.1

Matriz

Una Matriz es un operador matemático de m  n elementos ordenados en mrenglones y n-columnas, se dice entonces que la matriz es de orden m  n, los elementos de una matriz pueden ser números reales o complejos, funciones reales o complejas, derivadas o integrales de funciones, etc. Cualquier elemento de una matriz A1 de m  n localizado en el renglón i y la columna j se le dedomina aij . De está manera a todos elementos de la matriz A, ecuación (3.1), se les representa en forma compacta por A = (aij ). 0

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

B B B B A=B B ai1 B B . @ .. am1

ai2 .. . am2

··· ··· ··· ··· ··· ···

a1j a2j .. .

··· ··· ··· ···

aij .. . amj

··· ···

a1n a2n .. . ain .. . amn

1

C C C C C = (aij ) C C C A

(3.1)

Así se tiene que la matriz A es 2  3, mientras que B es 2  4 A=

3.1.1



6 9

3 0

8 5



B=



2 7

0 1 6 9 3 4



Matrices Especiales

Algunas matrices, en razón de sus dimensiones o de las características de los elementos que la componen, reciben denominaciones particulares. A continuación se hace mención solamente de algunas de las más comunes. 1A

las matrices las identificaremos con letras mayúsculas.

37

38

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES 1. Matriz Cuadrada. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones que de columnas, por ejemplo: 0 1   0 2 1 4 2 A = @ 1 5 3 A B= 4 8 7 4 9 donde A es una matriz cuadrada de 3  3, o simplemente de orden 3 y B es una matriz cuadrada de 2  2, o de orden 2.

2. Matriz diagonal, matriz triangular inferior y matriz triangular superior. (a) La matriz diagonal D, es una matriz cuadrada de orden n, donde cada elemento dij cumple la siguiente regla:  0 si i 6= j D = (dij ) = dij si i = j Así D3 y D4 son matrices diagonales de orden 3 y 4, respectivamente: 0 1 0 1 d11 0 0 0 d11 0 0 B 0 d22 0 0 C C D3 = @ 0 d22 0 A D4 = B @ 0 0 d33 0 A 0 0 d33 0 0 0 d44 (b) La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada de orden n, donde  0 si i < j A = (aij ) = aij si i  j Las matrices A y B cumplen este requisito 0   b11 a11 0 A= B = @ b21 a21 a22 b31

0 b22 b32

1 0 0 A b33

(c) La matriz triangular superior es una matriz cuadrada de orden n, donde  0 si i > j A = (aij ) = aij si i  j Matrices triangulares superiores son las siguientes: 0 0 1 c11 c12 a11 a12 a13 B 0 c22 B C = @ 0 a22 a23 A D=@ 0 0 0 0 a33 0 0

c13 c23 c33 0

1 c14 c24 C C c34 A c44

3.1. MATRIZ

39

3. Matriz Identidad de orden n, In .: La matriz Identidad de orden n tiene elementos tales que  1 si i = j In = ( ij ) = 0 si i 6= j Matrices Identidad I2 , I3 e I4 son las siguientes

I2 =

3.1.2



1 0

0 1



0

1 I3 = @ 0 0

0 1 0

1

0 0 A 1

0

1 B 0 I4 = B @ 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 C C 0 A 1

Generación de Matrices con wxMaxima

wxMaxima genera matrices cuyos elementos son calculados a partir de una función de dos variables, por ejemplo h (i, j), g (i, j), etc. Para generar una matriz es necesario primero definir la función; en wxMaxima se utiliza el operador ":=" para definir funciones, por ejemplo, la función f(x)=sen x se escribe como f(x):=sin(x) Se pueden definir funciones de dos variables, por ejemplo, la función h (i, j) definida por 1 h(i, j) = 1 + j + i en wxMaxima es equivalente a

h[i,j]:=1/(-1+j+i) Una vez definida la función se utiliza el comando genmatrix (h,m,n) de wxMaxima, h es la función definida, m y n indican el orden de la matriz. A la matriz generada se le puede asignar un nombre para identificarla. Ejemplo 25 Utilizando wxMaxima. Genere la matriz A de 34 con la función 1 definida por h(i, j) = . 1 + j + i Solución 25 Para generar la matriz A siga las intrucciones 1. h[i,j]:=1/(-1+j+i) oprimir " +

- : define la función h (i, j).

2. A=genmatrix (h,3,4) oprimir " + - : genera la matriz A de 3  4 cuyos elementos son calculados mediante la función h. En la Figura (3.1) se presenta la entrada secuencial de las instrucciones y el resultado desplegado en wxMaxima.

40

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Figura 3.1. Generación de Matriz la matriz A con wxMaxima. Si la función h ha sido introducida, entonces se puede generar la matriz A a través del menu de wxMaxima con los íconos siguientes !Generate Matrix !..., deplegándose la figura siguiente

Ejercicio 5 Utilizando wxMaxima. Genere la matrices especiales siguientes 1. Matriz nula de orden 3, donde se cumple que aij = 0. 2. Matriz simétrica de orden 3, donde se cumple que aij = aji . 3. Matriz antisimétrica de orden 4, donde se cumple aij = aji . Note que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos, pues sólo se cumple 0 = 0. 4. Matriz de Vandermonde de orden 4 con elementos dados por g(i, j) = xj1 i 5. Matriz A de orden 3 con elementos a (i, j) =

i i+j1

3.2. VECTORES

41

6. Matriz B de orden 2 con elementos b (i, j) =

2 + ij i+j1

7. Matriz A de orden 4 con elementos a(i, j) = a10i+j

3.2

Vectores

Los vectores son una clase particular de matrices, de tal forma que el álgebra elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés en este tema se centra en vectores con componentes reales.

3.2.1

Vector renglón y vector columna

Se define un vector renglón de n componentes como un conjunto ordenado de n números reales escrito de la forma siguiente   (x1 , x2 , · · · , xn ) o también como x1 x2 · · · xn

Un vector renglón es una matriz de orden 1  n. Se define un vector columna de n componentes como un conjunto ordenado de n números reales escrito de la manera siguiente 0 1 x1 B x2 C B C B .. C @ . A xn

Un vector columna es una matriz de orden n  1. Cada componente de un vector se le identifica como primera componente x1 , segunda componente x2 , sucesivamente hasta la n-ésima componente xn ; en este curso trataremos vectores sólo con componentes reales, esto es xi 2 R. Notación: Los vectores se representan con letras minúsculas en negritas; así por ejemplo tendremos los vectores u, w, x, y, etc. Vectores en Rn Los vectores renglón o columna con dos componentes reales pertenecen al conjunto de vectores R2 estos vectores se pueden visualizar en un plano cartesiano, por ejemplo los vectores y, u, z 2 R2 , estos son     y1 y= , u = (u1 , u2 ) y z = z1 z2 y2

42

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

De forma similar los vectores columna o renglón con tres componentes reales pertenecen al conjunto R3 , estos vectores se pueden visualizar en el espacio, por ejemplo, los vectores a, w, b 2 R3 , estos son 0 1 a1   a = @ a2 A , w = (w1 , w2 , w3 ) , y b = b1 b 2 b3 a3 En general, un vector con n componentes reales pertence al conjunto Rn .

3.2.2

Vectores y Matrices

Los vectores son matrices de n  1 o 1  n; las matrices están formadas por vectores renglón y vectores columna, por ejemplo, la matriz A de 3  4, 0 1 a11 a12 a13 a14 A = @ a21 a22 a23 a24 A a31 a32 a33 a34 la cual se compone de los vectores columna o matrices de 3  1 siguientes 0 1 0 1 0 1 0 1 a11 a12 a13 a14 c1 = @ a21 A, c2 = @ a22 A, c3 = @ a23 A y c4 = @ a24 A. a31 a32 a33 a34

Note que cada ci 2 R3 . En forma similar se tiene los vectores renglón o matrices de orden 1  4 siguientes r1 =



a11

a12

  a13 a14 , r 2 = a21 a22   r 3 = a31 a32 a33 a34

a23

a24



y

Note que cada r i 2 R4 . Una representación alterna de una matriz en términos de vectores columna o renglón es 0 1 r1   A = c1 c2 c3 c4 = @ r 2 A r3 Operaciones elementales con vectores    Sean x = x1 x2 · · · xn y y = y1 y  un escalar.

y2

···

yn

1. Igualdad de vectores, x = y si y sólo si x1 = y1 , x2 = y2 , ..., xn = yn



dos vectores en Rn

3.2. VECTORES

43

2. Adición x+y

= =



x1



x2

x1 + y1

···

xn

x2 + y2



+

···



y1

y2

xn + yn

··· 

yn



la suma se lleva a cabo sólo entre vectores renglón o vectores columna. 3. Producto de un vector por un escalar   x =  x1 x2 · · · xn   x1 x2 · · · xn = 4. Producto escalar de vectores, por definición    x1 x2 · · · xn · y1 x·y = = =

y2

x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn n X xi yi

···

yn



i=1

Este producto se lleva a cabo aplicando la definición entre vectores renglón, entre vectores columna o entre vector renglón y columna, con igual número de componentes. El producto escalar también se conoce como producto punto o producto interno. En forma matricial el producto escalar puede llevarse a cabo como el producto de una matriz 1  n y una matriz de n  1 0 1 y1 C   B B y2 C x1 x2 · · · xn x·y = B .. C @ . A m atriz de 1n yn m atriz de n1

=

x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn

Nótese que el resultado es un solo número y no un arreglo de números como lo es un vector. Propiedades de vectores Sean a, b, c vectores en Rn ,  y  escalares. Entonces 1. a+ 0 = a. 2. 0 a = 0, donde 0 2 Rn . 3. a+ b = b + a (ley conmutativa). 4. (a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa). 5. ( + ) a = a+a (Ley distributiva de la multiplicación por un escalar). 6. () a =  (a).

44

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Vectores con wxMaxima En wxMaxima un vector renglón o columna se define mediante una lista de números, agrupados entre corchetes las componentes del vector separados por comas. Así por ejemplo, los vectores renglón u y v, los vectores columna w y z, dados por   3 2 3 u =   4 1 5 v = 0 1 5 w = @ 3 A 1 0 1 1 z = @ 7 A 9 se introducen en wxMaxima uno a uno con la instrucción u:[3,-2,-3] oprimir " +

-

o con la instrucción u:[3,-2,-3]; v:[4,1,5] ; w:[-5,3,1] ; z:[1,7,6] oprimir " +

-

se introducen todos a la vez. Una vez definidos estos vectores se pueden realizar operaciones según se han definido, por ejemplo 1. Adición de vectores

2. Multiplicación de vectores por un escalar

3. Producto escalar de vectores

3.2. VECTORES

45

Los operadores "" y "." se utilizan para la mutliplicación, el operador "" para efectuar una multiplicación de un vector por un escalar, el operador "." (punto) para efectuar el producto escalar entre vectores. Como los vectores es una clase especial de matrices, entonces se pueden introducir en wxMaxima mediante el comando "matrix ". Así los vectores renglón u y v serán matrices 1  3 u:matrix([3,-2,-3]) oprimir " +

- ; v:matrix([4,1,5]) oprimir " +

-

desplegándose

y los vectores columna w y z matrices de 3  1 w:matrix([-5],[3],[1]) oprimir " +

- ; z:matrix([1],[7],[9]) oprimir " +

-

desplegándose

Los vectores también pueden ser introducidos a partir del Menú, la secuencia de instrucciones es la siguiente: ! Enter Matriz...! Matriz (introducir vector)! Aceptar. wxMaxima puede llevar a cabo el cálculo de producto escalar mediante la Función: dotproduct(u,v), donde u y v deben ser definidos sólo como vectores columna, esto es como matrices de n  1.

46

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Propiedades del producto escalar Sean a, b y c vectores en Rn ,  y  dos escalares. Entonces, 1. a· 0 = 0, donde 0 2 Rn . 2. a · b = b · a, ley conmutativa del producto escalar. 3. a · (b + c) = a · b + a ·c. 4. (a) · b =  (a · b) . Ejercicio 6 Dados los vectores 0 2 v1 = @ 2 1 0 7 v3 = @ 3 11

1

A,

v2 =

1

A y v4 =

 

2

3

2

9

1

4



,



Efectuar las operaciones siguientes 1. v 1 · v 3 2. v 3 · v 2 3. v 2 · v 1 4. v 2 · v 4

Operaciones elementales con matrices Sean A = (aij ) y B = (bij ) matrices de orden m  n y  un escalar, definimos la operaciones elementales siguientes 1. Igualdad: A = B si ambas matrices son del mismo orden y se cumple (aij ) = (bij ). 2. Adición: C = A+ B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) = (cij ), donde C es una matriz de orden m  n, de manera equivalente se define la sustracción de matrices: A  B. 3. Multiplicación por un escalar: C = A =  (aij ) = (aij ), donde C es una matriz de orden m  n. Ejemplo 26 Dadas la matrices siguientes 0 1   10 1 1 5 7 5 4 A A= B = @ 10 6 6 1 10 2 Hallar B + C, B  C y 2A.

0

1 C = @ 5 7

9 10 7

1 8 2 A 7

3.2. VECTORES

47

Solución 26 Las operaciones se muestran 0 1 0 10 1 1 1 5 4 A+@ 5 B+C = @ 10 1 10 2 7 0 1 0 10 1 1 1 5 4 A@ 5 BC = @ 10 1 10 2 7 2A = 2



5 6

7 6



=



10 14 12 12



a continuación 1 0 9 8 10 2 A = @ 7 7 1 0 9 8 10 2 A = @ 7 7

1 9 6 A 5 1 10 7 5 2 A 17 9

11 8 15 15 6 3 9 5 8

Algunas de las operaciones que no se pueden realizar, ya que las matrices no son del mismo orden, son por ejemplo, A + B, A + C, A  B, A  C, etc. Propiedades del álgebra de matrices Sean A, B y C matrices de m  n,  y  escalares, entonces, 1. A + 0 = A donde 0mn . 2. 0A = 0mn donde  = 0. 3. A + B = B + A (ley conmutativa para la suma de matrices). 4. (A + B) + C = A + (A + B) (ley asociativa para la suma de matrices). 5.  (A + B) = A + B (Ley distributiva para la multiplicación por un escalar). 6. Im A = AIn (I: matriz identidad de orden n o m). 7. ( + ) A = A + A Ejercicio 7 Sea A =



1 2

D



3 2

=

1 0 1 0 , B = @ 2 1 A, C = @ 3 2 0 1  2 4 5 2 , E=@ 0 1 4 A y F 4 3 2 1

2 1

de ser posible, cálcule 1. E + C 2. D  F 3. 2C  3E 4. A + B 5. 2B + F

3 4



0

1 1 3 1 5 A 1 3   4 5 = 2 3

3 4 2

48

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

3.3

Multiplicación de Matrices

Sean A = (aij ) una matriz de orden m  n y B = (bij ) una matriz de orden n  q, se obtiene una matriz C = (cij ) de orden m  q al efectuar el producto matricial AB, C

(mq)

=

A

B

(3.2)

(mn)(nq)

donde cada elemento de cij de C se obtiene de la operación siguiente cij

= r i · cj

cij

= (renglón i de A) · (columna j de B)

o en forma matricial

cij

cij cij



=

ai1

ai2

···

ain

0

B B B @

b1j b2j .. . bnj

= ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj n X = aik bkj

1 C C C A

k=1

Note que el producto de dos matrices, ecuación (3.2), puede realizarse sólo si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B; se dice que A y B son compatibles mediante la multiplicación. Ejemplo 27 Dadas las matrices A

=

D

=





a b 1 4

2 3



, 

B= y

lleve a cabo las operaciones siguientes. 1. AB 2. CB 3. DE Solución 27 Las operaciones son     c 1. AB = a b = ac + bd d



c d



E=

, 

C=  5 6 8 7



a u

b v



3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 

2. CB =



3. DE =

a u

1 4

b v

2 3

 

c d



5 8

6 7

=





ac + bd uc + vd 0

B 1 B =B B @  4 =

3.3.1





21 44

49  2

3

 

 

20 45

5 8

5 8 

 

 

1

4

2





6 7

 1

C C C   C  6 A 3 7

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

Sean A, B y C matrices y  un escalar; si todas las sumas y productos indicados están definidos, entonces son válidas las propiedades siguientes 1. AB 6= BA (en general). 2. AB = AC no implica que B = C. 3. (AB) C = A (BC) (ley asociativa de la multiplicación). 4. A (B + C) = AB + AC (ley distributiva izquierda de la multiplicación de matrices bajo la adición). 5. (B + C) A = BA + CA (ley distributiva derecha de la multiplicación de matrices bajo la adición). 6.  (AB) = (A) B = A (B) (ley asociativa de la multiplicación de matrices y escalar). Potencia de Matrices Sean A, B matrices cuadradas de orden n; entonces son válidas las propiedades siguientes 1. Ap = AA · · · A} | {z p-factores

2. A0 = In

3. Ap Aq = Ap+q q

4. (Ap ) = Apq p

5. (AB) 6= Ap B p en general, sólo se cumple si AB = BA

50

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Operaciones con Matrices en wxMaxima En los ejemplos siguientes se muestra como wxMaxima trabaja con las operaciones matriciales antes definidas. Ejemplo 28 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices siguientes 0 1   8 1 1 8 9 A = , B=@ 2 0 A 0 10 1 1 5     1 7 7 4 C = y D= 1 3 4 5 efectue las operaciones matriciales siguientes 1. Adición de matrices, C + D. 2. Multiplicación de una matriz por un escalar, 6  A. 3. Producto de matrices, A.B. 4. Potencia de matrices cuadradas, C ˆˆ2. 5. Operaciones combinadas, 2  (C + D)  3  A.B. Solución 28 Las matrices dadas se introducen en wxMaxima con la instrucción siguiente, A:matrix([1,8,-9],[0,10,-1]); B:matrix([8,1],[2,0],[-1,5]); C:matrix([1,7],[-1,3]); D:matrix([7,-4],[4,5]); al final de la instrucción oprimir " + - . Una vez definidas estas matrices se pueden realizar las operaciones siguientes, 1. Adición de matrices

2. Multiplicación de una matriz por un escalar

3. Producto de matrices

3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

51

4. Potencia2 de matrices cuadradas

5. Operaciones combinadas

Está última operación es

2 (C + D)  3AB

= 2 =





1 1

87 57

7 3 138 31





+



7 4

4 5



3



1 0

Ejercicio 8 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices 0 1   3 1 1 2 3 A = , B=@ 2 4 A 4 0 2 1 5     2 3 2 3 C = y D= 1 2 4 1 de ser posible, cálcule 1. AB + CD 2

2. (AB) + CD 3. D (AB) 4. BA + CF 5. (C + D) A 6. CD2 2 Una

matriz A elevada a una potencia n, An , equivale en wxMaxima a Aˆˆn.

8 9 10 1



0

8 @ 2 1

1 1 0 A 5

52

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

3.4

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente

E1 : E2 : .. .

a11 x1 a21 x1 .. .

Em : am1 x1

+ a12 x2 + a22 x2 .. . + am2 x2

+ ··· + ··· ··· + ···

puede ser representado en 0 a11 a12 B a21 a22 B B .. .. @ . . |

am1

+ a1n xn + a2n xn .. .

= b1 = b2 .. .

+ amn xn

= bm

forma matricial por la ecuación (3.3) 10 1 0 1 · · · a1n x1 b1 B C B C · · · a2n C CB x2 C B b2 C .. CB .. C = B .. C ··· . A@ . A @ . A am2 · · · amn xn bm {z }| {z } | {z } x

A

(3.3)

b

Donde A es la matriz de coeficientes de orden m  n, x es el vector de incognitas en Rn (matriz de n  1) y b es el vector de términos constantes en Rm (matriz de m  1), así la representación del sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial compacta es, Ax = b

(3.4)

La utilidad de está notación abreviada la veremos en la sección siguiente.

3.4.1

Matrices Inversas

La inversa de una matriz A de n  n, es la matriz B de n  n tal que AB = BA = In Entonces B se le llama la inversa de A y se escribe por A1 . Así se tiene que la inversa de una matriz A cuadrada de orden n es aquella que cumple AA1 = A1 A = In Si una matriz tiene inversa su inversa es única, se dice entonces que la matriz es invertible o no singular. Las matrices que no tienen inversas son llamadas singulares. En los ejemplos siguientes utilice wxMaxima para comprobar la operación. Ejemplo 29 Muestre que la inversa de la matriz   5 6 A= 8 7

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES es

7  13

B=

6 13

8 13

5  13

53

!

Solución 29 Se debe probar AB = BA = I2 . 

5 8

6 7



7  13 8 13

AB = I2 !  1 = 5 0  13 6 13

0 1



0 1



y

7  13 8 13

6 13 5  13

!

5 8

BA  6 7

= I2  1 = 0

se muestra entonces que A1 = B. Ejemplo 30 Cálcule la inversa de la matriz A =



2 3

5 1



.

1 1 Solución 30  El cálculo  de su inversa implica que AA = A A = I2 . Suponemos a b que A1 = entonces debe cumplirse: c d

AA1  2 5 a b 3 1 c d   2a + 5c 2b + 5d 3a + c 3b + d 

= I2  1 = 0  1 = 0



Está igualdad matricial plantea los sistemas  2a + 5c = 1  3a + c = 0  2b + 5d = 0  3b + d = 1

0 1 0 1

 

de ecuaciones lineales siguiente   2 5  1 3 1  0   2 5  0 3 1  1

Note que los sistemas aumentados tienen los mismos coeficientes, de tal modo que se pueden resolver simultáneamente en una sóla matriz aumentada:  0 1    C B B 2 5  1 0 C B  C @ 3 1  0 1 A | {z } | {z } A I 2

54

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

note que del lado izquierdo aparece la matriz de coeficientes A y del lado derecho la matriz I2 . Al efectuar operaciones elementales de renglón sobre el sistema aumentado anterior se obtiene  0 1   B  1 5 C B 1 0   17 17 C B  C B  C B 0 1  3 2 C  @ A | {z } | 17 {z 17 } 1 I A

2

Ahora del lado izquierdo del sistema aumentado aparace I2 y del lado derecho A1 , está es ! 1 5  17 17 1 A = 3 17

2 17

la cual cumple: 

2 3

5 1



1  17 3 17

5 17 2 17

!

=



1 0

0 1



Existencia de la Inversa de A El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada se convierte en un proceso largo a medida que el orden de la matriz es mayor que 2; así que lo mejor, primero, es determinar si la inversa de una matriz cuadrada existe. En la determinación de la inversa se tiene que encontrar la solución al sistema aumentado (A |In ), una forma que resulta práctica es recordar que el sistema aumentado representa a sistemas de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente buscando una solución única, ya que la inversa de cualquier matriz que la tenga es única, por lo tanto, los sistemas a resolver no debe tener soluciones infinitas y mucho menos incosistencia. En conclusión, la inversa de una matriz A de orden n existe si y sólo si det A 6= 0 Procedimiento para el cálculo de la inversa A partir del ejemplo anterior, se puede obtener un procedimiemto general para obtener la inversa de una matriz A de orden n, este es el siguiente 1. Determinar si se cumple det A 6= 0, de ser así siga el proceso. 2. Escribir el sistema aumentado: (A |In ), donde In es la matriz identidad de orden n. 3. Efectuar operaciones elementales de reglón. 4. En el sistema aumentado   aparece  In del lado izquierdo y del lado derecho la matriz inversa A1 , In A1 .

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo 31 Sea A =



3 1



2 2

55

, determine A1 .

Solución 31 Es necesario probar que det A 6= 0   3 2 det A = det 1 2

= (3) (2)  (1) (2) = 8

Por lo tanto la inversa de A existe. El cálculo de la inversa por operaciones elementales de renglón se puede efectuar de la siguiente manera:  !    2  1 1 0 1 3 2  1 0 3  3 R1 ! R1 R2 ! R2 + R 1  1 2  0 1 3 1 2  0 1   ! ! 1 23  13 0 1 23  13 0 3 2 R2 ! R2 R1 ! R1  R2   1 3 8  1  8 3 0 1 0 3 1 3  3 87 8!  1 0  8 8  0 1  3 3 4 4 entonces

A

1

=

3 8

7 8

3 4

 34

!

comprobación AA

1

A1 A

=

=



3 1



2 2

3 8

7 8

3 4

 34

0 @

3 8

7 8

3

 34

! 4

3 1

2 2

1

A=



=





1 0

0 1

1 0

0 1





Propiedades de la Matriz Inversa Sea A y B matrices cuadradas invertibles de orden n y  un escalar. Entonces,  1 1. A1 =A   1 2. (AB) = B 1 A1  n 1 3. (An ) = A1 = An 1

4. (A)

=

1 1 A 

56

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Inversas y wxMaxima Si la inversa de una matriz cuadrada existe, wxMaxima puede calcularla fácilmente por medio de la función invert (M), donde M es la matriz cuadrada de orden n, la inversa es calculada por el método de las adjuntas, método que veremos adelante. También puede ser calculada con la instrucción M^^-1. Ejemplo 32 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz   a11 a12 A= a21 a22 determine su inversa. Solución 32 Suponga que el det A = a11 a22  a12 a21 6= 0, entonces la inversa de A existe. La matriz A se introduce en wxMaxima con las instrucciones siguientes ! Enter Matriz... ! Matriz (introducir los elementos) ! Aceptar

El comando invert (A) y la combinación de teclas " + como se muestra en la figura siguiente

- despliega la A1

la salida %o2 puede se reescrita de la forma dada por 2 3 a22 a12   1 a22 a12 a21 a11 a22  a12 a21 5 = 4 a11 a22  a21 a11 a a a  a a 21 11 22 12 21  a11 a22  a12 a21 a11 a22  a12 a21

a12 a11



de tal forma que la inversa de una matriz de 2  2 puede calcularse por medio de   1 a22 a12 A1 = a21 a11 det A esta ecuación también se obtiene al resolver el sistema aumentado    a11 a12  1 0 a21 a22  0 1

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.4.2

57

Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales

La notación matricial, ecuación (3.4), es la representación algebraica símbolica del sistema de ecuaciones lineales, ecuación (3.3). Al multiplicar la ecuación (3.4) por la izquierda por A1 se obtiene



A1 Ax  A1 A x In x

= A1 b = A1 b = A1 b

simplificando x = A1 b

(3.5)

lo que significa 0 B B B @

x1 x2 .. .

1

C B C B C=B A @

xn | {z } x

0 |

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

··· ··· ··· ··· {z

a1n a2n .. . amn

A1

11 0 C C C A

B B B @

}|

b1 b2 .. .

1 C C C A

bm {z } b

es decir, se puede resolver un sistema de ecuaciones mediante el cálculo de la inversa. Ejemplo 33 Dado el sistema de ecuaciones lineales siguiente 3x1 + 2x2  x3 = b1 x1 + 2x2 + 3x3 = b2 3x1 + x2 + 3x3 = b3 Encuentre la solución aplicando la ecuación (3.5) Solución 33 El sistema anterior en forma matricial es 0 10 1 0 1 3 2 1 x1 b1 @ 1 2 3 A @ x2 A = @ b2 A 3 1 3 xn b3 las intrucciones en wxMaxima son

1. Introducir la matriz A, A:matrix([3,2,-1],[-1,2,3],[-3,1,3]) oprimir " + - .

58

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES 2. Introducir el vector b, b:matrix([b1],[b2],[b3]) oprimir " +

-.

3. Calcular la matriz inversa de A, con invert(A) o con la instrucción A^^-1, asigna la matriz inversa de A como Ainv: Ainv:invert(A) oprimir "+ - o Ainv:A^^-1 oprimir "+ -

4. Efectúa el producto matricial Ainv.b, el producto es el vector solución x (xsol),

la solución es   7 3 3 3 9 5 x1 = b3 + b2  b1 , x2 = b3  b2 + b1 , x3 = b3 + b2  b1 8 8 4 4 8 8

3.4.3

Matriz Transpuesta

Si A = (aij ) es una matriz de m  n, la transpuesta de A, denotada por AT , es la matriz de n  m, cuyos elementos AT = (aji ). La propiedades de AT son  T 1. AT = A.

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

59

T

2. (A + B) = AT + B T . T

3. (AB) = B T AT . T

4. Para cualquier escalar , (A) = AT . 5. Si A es una matriz diagonal, entonces A = AT . 6. Si A es una matriz cuadrada, entonces es simetrica si AT = A.  1  1 T 7. Si AT es invertible, entonces AT = A

En wxMaxima la transpuesta de una matriz se puede determinar mediante la función transpose (M), si M es una matriz, el valor devuelto es otra matriz N tal que N[i,j] = M[j,i]. 0

2 Ejemplo 34 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz A = @ 1 0 determine su matriz transpuesta.

1 2 1

1 0 1 A 2

Solución 34 Introducir en wxMaxima la matriz A, mediante la instrucción siguiente, A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]) oprimir " +

-

o directamente en el menú, con la secuencia de instrucciones ! Enter Matriz... ! Matriz ! Aceptar ! Introducir matriz ! Aceptar luego se calcula AT (AT) con la instrucción AT=transpose (A) se despliega

Ejercicio 9 Utilizando wxMaxima. Sea A = T

calcule AB, (AB) , AT B T y B T AT .



1 3

2 0

0 1



0

1 ,B=@ 0 2

1 2 1 A, 4

60

3.5

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

Determinantes

El concepto de determinante fue introducido en el capítulo 2 al resolver sistemas cuadrados de ecuaciones lineales de 2  2 y 3  3. Se considera que estos sistemas tiene solución única sí y sólo si, el valor del determinate del sistema es diferente de cero. El determinante de un sistema se calcula sólo con la matriz de coeficientes. Este concepto de determinate se puede extender a matrices cuadradas de n  n. El determinante es una función que asigna un valor a una matriz cuadrada; la función asigna el valor de acuerdo a la suma de todos los productos posibles, de tal forma que en cada uno de esos productos sólo se incluya un elemento de cada renglón y de cada columna, con un signo positivo cuando el número de inversiones es par y negativo en caso impar; se tiene una inversión cada que un subíndice mayor antecede a uno menor. Para la matriz más simple de un sólo elemento, A = (k), su determinante es de primer orden, su valor es det A = k o también |A| = k. Para una matriz 2  2, dada por   a11 a12 A= a21 a22 su determinante es de segundo orden. Todos los productos posibles son a11 a22 y a21 a12 , el signo se asigna dependiendo del número de inversiones; el producto a11 a12 tiene 0 inversiones, por tanto signo es positivo; el producto a21 a12 tiene una inversión, por lo tanto signo es negativo; su determinate es calculado por: |A| = a11 a22  a12 a21

Ejercicio 10 Sea A una matriz de 3  3, 0 a11 a12 A = @ a21 a22 a31 a32

1 a13 a23 A a33

Calcule el determinante de tercer orden de está matriz a partir de su definición formal. El cálculo de determinante de una matriz de n  n según la definición formal se vuelve tedioso, está tarea se facilita con los métodos dados en adelante. Determinante de una matriz de 2  2 Sea A = determinante se calcula por: det A = a11 a22  a12 a21



a11 a21

a12 a22



entonces el

3.5. DETERMINANTES

61 0

a11 Determinante de una matriz de 3  3. Sea A = @ a21 a31 Entonces

a12 a22 a32

1 a13 a23 A. a33

   a11 a12 a13    |A| =  a21 a22 a23   a31 a32 a33  = a11 a22 a33  a11 a23 a32  a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23  a31 a13 a22

una forma sencilla de   a a23 |A| = a11  22 a32 a33

recordar los productos anteriores es la siguiente             a12  a21 a23  + a13  a21 a22    a31 a33   a31 a32 

= a11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (a21 a33  a23 a31 ) + a13 (a21 a32  a22 a31 )

este método se conoce como desarrollo por cofactores por el primer renglón. Dos métodos nemotécnicos3 muy utilizados son los siguientes, 1. Agregar las dos primeras columnas y efectuar los productos indicados por las flechas con sus signos correspondientes

2. Calcular los productos indicados por las flechas y multiplicar por +1 ó 1, la suma de ambos productos corresponde al valor del determinante

Determinante de una matriz de nn Un método utilizado para el cálculo de determinantes de matrices de n  n es el de desarrollo por cofactores. Sin embargo, antes de describirlo es importante revisar algunos conceptos. Sea A una matriz de n  n, entonces se tiene que: 3 Un método nemotécnico, es un sistema sencillo utilizado para recordar una secuencia de datos, nombres, números, etc.

62

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES 1. A la matriz Mij de orden (n  1)  (n  1) obtenida al eliminar de A el renglón i y la columna j se le llama menor ij. 2. El cofactor ij de la matriz A, denotado por Aij se obtiene a partir de la ecuación (3.6) i+j Aij = (1) |Mij | (3.6) nótese que el cofactor es un número.

Ejemplo 35 Dada la matriz 0

8 A=@ 4 2

obtenga los cofactores A23 , A22 y A33 .

1 1 9 0 2 A 1 6

Solución 35 Los cofactores se calculan A23 A22 A33

  = (1) |M23 | = 1    2+2 = (1) |M22 | = +1    3+3 = (1) |M33 | = +1  2+3

8 2 8 2 8 4

 1  =6 1   9  = 30 6   1  =4 0 

Cálculo de determinantes mediante desarrollo por cofactores 1. El determinante de una matriz A de n  n se calcula mediante el desarrollando por cofactores a lo largo del renglón i por medio de |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain n X = aik Aik k=1

2. El determinante de una matriz A de n  n se calcula mediante el desarrollando por cofactores a lo largo de la columna j por medio de |A| = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj n X = akj Akj k=1

El cálculo de determinates por el método de cofactores puede resultar laborioso, por ejemplo, un determinante de 4 orden implica calcular cuatro cofactores de tercer orden; calcular un determinante de 5 orden representa calcular cinco cofactores de cuarto grado, luego cada uno de esos de 4 grado, implica

3.5. DETERMINANTES

63

cuatro cofactores de tercer orden, por lo tanto, deben calcularse 54 = 20 cofactores de 3 , la tarea se vuelve agotadora. Para simplificar los cálculos un poco, la elección del desarrollo por cofactores por columna o renglón puede hacerse en función de la mayor cantidad de ceros que contenga. Afortunadamente, el trabajo puede hacerse menos complicado mediante el empleo de las propiedades de los determinantes para generar ceros, en un proceso semejante al de Gauss-Jordan, con la ventaja de que se pueden considerar renglones y columnas. i+j Use una matriz de signos para determinar (1) esto es 0 B B B @

3.5.1

+  + ···  +  ··· +  + ··· .. .. .. . . . . . .

1 C C C A

wxMaxima y determinantes

En wxMaxima el cálculo de un determinante se hace con la función determinant (M), aquí M es una matriz cuadrada; la función determinant puede encontrarse en el menú "Algebra y Determinante". Ejemplo 36 Utilzando wxMaxima. Calcule el determinante de la matriz 0

4 A = @ 1 5

1 2 6

1 8 7 A 2

Solución 36 En wxMaxima se introduce la matriz A y calcula su determinante con la secuencia siguiente A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]); determinant (A) al final de la instrucción oprimir " +

- , el resultado obtenido es

64

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

3.5.2

Propiedades de los Determinantes

Sea la matriz A de n  n

0

B B A=B @

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

an1

an2

formada por los vectores columna, 0 1 0 a11 a12 B a21 C B a22 B C B c1 = B . C , c2 = B . @ .. A @ .. an1 an2

··· ··· ··· ···

a1n a2n .. . ann

1

1 C C C A 0

C B C B C , · · · , cn = B A @

a1n a2n .. . ann

1

C C C. A

1. Si cualquier vector columna de la matriz A es el vector cero, entonces |A| = 0. 2. Si cualquier vector columna de la matriz A se multiplica por un escalar k, por ejemplo kcn , entonces k |A|. 3. Si cualquier vector columna en la matriz A es multiplo escalar de otro vector columna, por ejemplo, c1 = kc2 , entonces |A| = 0. 4. Si en la matriz A se tiene tiene dos vectores columna iguales, por ejemplo c1 = cn , entonces |A| = 0. 5. La permutación de dos vectores columna en la matriz A, por ejemplo c1  c2 , entonces (1) |A|. 6. La suma de un multiplo escalar de un vector columna a otro vector columna, por ejemplo, c1 + kcn , no afecta el valor del determinate de la matriz A. Las propiedades anteriores se aplican también a los vectores renglón que forman la matriz A. Factorización de Matrices y Determinantes Cualquier representación de una matriz como un producto de dos o más matrices se denomina factorización matricial. Por ejemplo,      3 1 1 0 3 1 = 9 5 3 1 0 2

es una factorización matricial, éste tipo se le llama factorización LU . Si A es una matriz cuadrada de orden n que tiene una factorización LU entonces A = LU

3.5. DETERMINANTES

65

la matriz U es una matriz triangular superior, la cual se obtiene al efectuar operaciones elementales de renglón sin dividir los elementos de la diagonal; la matriz L es una matriz triangular inferior que tiene "1" en la diagonal principal. El cálculo del determinante para matrices cuadradas que tienen la factorización LU se reduce a, |A| = |LU | = 1 |U |

|A| = u11 u22 . . . unn esto es, al producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz U . Ejemplo 37 Obtenga el determinante de la matriz A mediante la factorización LU 0 1 2 3 2 4 B 4 10 4 0 C C A=B @ 3 2 5 2 A 2 4 4 7 Solución 37 Se efectuan operaciones elementales de renglón sin dividir los elementos pivote, la matriz que se obtiene al final del proceso es U . 0 1    9 2 3 2 4 1 5 R2 ! R2  2R1 > R2 = B 0 4 8 8 C R3 ! R3  3 B C 4   2 5 !B C R3 ! R3 + R1 1 > 2 4 A @ 0 2 ; R4 ! R4  (7) R2 2 R 4 ! R4 + R 1 4 0 7 6 3                  ! 0 1 0 1 2 3 2 4 2 3 2 4   B 0 4 8 8 C B C B C R4 ! R4  1 (20) R3 B 0 4 8 8 C @ 0 0 3 @ A 9 A 0 0 3 9 3 ! 0 0 0 49 0 0 20 11 | {z } U

el valor del determinate es

|A| = |U | = (2) (4) (3) (49) = 1176 Ejemplo 38 Utilizando wxMaxima. Encuentre la factorización LU para la matriz A dada en el ejemplo anterior. Solución 38 Las intrucciones secuenciales siguientes produce la factorización LU , al final de cada instrucción oprimir " + - . 1. A:matrix([2,3,2,4],[4,10,-4,0],[-3,-2,-5,-2],[-2,4,4,-7])

66

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES 2. lu_factor (A)$ 3. get_lu_factors (%)

la última instrucción produce la factorización A = I4 LU donde I4 es la matriz identidad de orden 4.

Regla de Cramer El sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas dado por 0 B B B @

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

an1

an2

··· ··· ··· ···

a1n a2n .. . ann

10 CB CB CB A@

x1 x2 .. . xn

1

0

C B C B C=B A @

b1 b2 .. . bn

1 C C C A

es equivalente a la ecuación matricial siguiente Ax = b si |A| = 6 0, entonces la solución viene dada por x1 =

|Ax1 | |Ax2 | |Axn | , x2 = , ..., xn = |A| |A| |A|

(3.7)

donde Axi es la matriz obtenida al reemplazar el i-ésimo vector columna de A por el vector de términos constantes b o matriz de n  1. La ecuación (3.7) se le conoce como regla de Cramer, así por ejemplo se obtienen

3.5. DETERMINANTES

Ax1

Axn

0

B B = B @ 0

b1 b2 .. .

a12 a22 .. .

bn

an2

a11 B a21 B = B . @ .. an1

67

··· ···

a12 a22 .. . an2

a1n a2n .. .

··· ···

ann

··· ··· ··· ···

b1 b2 .. . bn

1

0

C B C B C , Ax2 = B A @

1

a11 a21 .. .

b1 b2 .. .

an1

bn

··· ··· ··· ···

a1n a2n .. . ann

1

C C C,···, A

C C C A

Determinantes e Inversas Sea A una matriz cuadrada invertible de orden n, si el |A| = 6 0 se cumple  1  A  = 1 |A|

Antes de dar un método para el cálculo de A1 sin efectuar operaciones elementales de reglón definiremos la matriz adjunta. Sea A una matriz de n  n 0

B B A=B @

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

an1

an2

··· ··· ··· ···

a1n a2n .. . ann

y sea B su matriz de cofactores 0

B B B=B @

A11 A21 .. .

A12 A22 .. .

An1

An2

··· ··· ··· ···

A1n A2n .. . Ann

1 C C C A

1 C C C A

entonces la adjunta de A, escrito Adj A, se define como la transpuesta de la matriz de cofactores, es decir, 0

B A11 B B Adj (A) = B T = B A12 B ··· @ A1n

A21 A22 ··· A2n

.. . .. . ··· .. .

1

An1 C C An2 C C ··· C A

Ann

la inversa de la matriz A mediante el cálculo de su adjunta viene dada por la ecuación (3.8).

68

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

A1 =

1 1 T Adj (A) = B |A| |A|

Ejemplo 39 Utilizando wxMaxima. el método de la adjunta. 0 1 B 3 A=B @ 2 1

(3.8)

Encuentre la inversa de la matriz A por 3 12 10 6

0 2 2 1

1 2 6 C C 5 A 3

Solución 39 Es importante primero mostrar que el det A 6= 0. Las instrucciones secuenciales se listan a continuación, al final de cada instrucción oprimir " + -. 1. A:matrix([1,-3,0,2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3])$ 2. detA:determinant(A)$ 3. BT:adjoint(A)

4. Ainv=BT/detA

Hechos importantes en determinantes Sean A y B matrices cuadradas de orden n, entonces   1. AT  = |A|   1 1 2. A1  = |A| = |A| 3. |AB| = |A| |B|

3.5. DETERMINANTES

69

4. Si A es una matriz diagonal, triangular superior o inferior, entonces |A| = a11 a22 · · · ann , esto es, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal. 5. |kA| = k n |A| 6. Advertencia: generalmente |A + B| = 6 |A| + |B|. GeoGebra y Matrices GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas, que contiene los renglones de la matriz. Por ejemplo, en GeoGebra, A={{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la matriz 0 1 1 2 3 A=@ 4 5 6 A 7 8 9 Ejemplo 40 Utilizando Geogebra. Dadas las matrices siguientes 0 1 0 1   1 0 3 1 3 1 2 3 A = , B = @ 2 1 A, C = @ 4 1 5 A 2 1 4 3 2 2 1 3 0 1   2 4 5 3 2 D = , E=@ 0 1 4 A 2 4 3 2 1 realice las operaciones siguientes: AB, AT , D (AB), C 1 y det C. Solución 40 En el campo ciones siguientes 1. A={{1,2,3}, {2,1,4}} 2. B={{1,0}, {2,1},{3,2}} 3. C={{3,-1,3}, {4,1,5},{2,1,3}} 4. D={{3,-2}, {2,4}} 5. E={{2,-4,5}, {0,1,4},{3,2,1}}. La lista de comandos utilizados es (a) AB=A*B (b) AT=Traspone[A] (c) DAB=D(AB) (d) Cinv=MatrizInversa[C]

teclear secuencialmente las instruc-

70

CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES (e) detC=Determinante[C] En la ventana algebraica de GeoGebra se despliegan los resultados de estas operaciones.

Capítulo 4

Vectores en R2 y R3 En el capítulo 3 se estudia a los vectores desde un punto de vista no geométrico. Los vectores son tratados como matrices de (n  1) ó (1  n), de tal forma que el álgebra elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés del presente capítulo es introducir al lector el concepto de vector como una entidad geométrica que tiene magnitud y dirección, principalmente a vectores en el plano (R2 ) y en el espacio (R3 ). Este enfoque visual de vectores fortalecera la compresión del estudio de espacios vectoriales que se vera en el capítulo siguiente.

4.1

Vectores en el plano

Geométricamente, un vector es un segmento de recta dirigido que se corresponde con un desplazamiento desde un punto inicial (o cola), A = (x0 , y0 ), a un punto final (o cabeza), B = (xf , yf ). Un vector se representa por una flecha ! y un segmento de línea dirigido (AB) o bien algebraicamente como u = (xf , yf )  (x0 , y0 ) = (x, y)

un par ordenado (x, y). Este par ordenado es la representación algebraica del vector y geométricamente representa al vector con punto inicial en el origen (0, 0) y punto final (x, y). En adelante se hara uso de GeoGebra para mostrar diferentes aspectos de la geometría de vectores. Ejemplo 41 Utilizando GeoGebra. Represente geométricamente en el plano el vector con punto incial A = (1, 3) y punto final B = (3, 5). lo siguiente

Solución 41 Teclear en el campo de

1. A=(1, 3) + enter ! introduce el punto A en el plano. 71

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

72

2. B=(3, 5) + enter ! introduce el punto B en el plano. 3. En elija vector entre dos puntos, seleccione primero A y luego B, se ! traza el vector AB. La instrucción Vector[A,B] muestra el mismo resultado. ! 4. El vector AB es equivalente algebraicamente a u ! u = AB = (3, 5)  (1, 3) = (2, 2) el vector u se introduce con la instrucción u=Vector[2,2], note que u es un vector con punto inicial en el origen, Figura (4.1).

Figura 4.1. Representación geométrica de vectores en R2 .

4.1.1

Vectores equivalentes

! ! Si dos segmentos de rectas dirigidos AB y CD en R2 tienen la misma magnitud y dirección, se dicen que son equivalentes, sin importar en donde se encuentre localizados en el plano. Ejemplo 42 Utilizando GeoGebra. Se tienen los siguientes vectores en el plano ! ! ! ! AB, CD, EF , GH, con puntos iniciales A = (1, 1), C = (3, 1), E = (1, 6) y G = (2, 7); y con puntos finales B = (2, 4), D = (4, 4), F = (4, 4) y H = (7, 5). Encuentre para cada vector 1. la representación algebraica 2. la representación geométrica Solución 42 Teclear en el campo de entrada ( final para cada vector, como en el ejemplo anterior.

) el punto inicial y

4.1. VECTORES EN EL PLANO

73

1. la representación algebraica para cada uno de los vectores es ! u = AB = (2, 4)  (1, 1) = (1, 3) ! v = CD = (4, 4)  (3, 1) = (1, 3) los vectores u y v son vectores equivalentes, así como los vectores w y z w z

! = EF = (4, 4)  (1, 6) = (5, 2) ! = GH = (7, 5)  (2, 7) = (5, 2)

la representación geométrica de estos vectores se puede obtener al teclear en el campo u=Vector[(1,3)] y w=Vector[(-5,-2)] el resultado se presenta en la Figura (4.2).

Figura 4.2. Representación geométrica de los vectores u y v. observándose que los vectores son trasladados al origen. 2. Los vectores trazados en el plano se presentan en la Figura (4.3).

Figura 4.3. Vectores en el plano.

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

74

4.1.2

Magnitud y dirección de un vector

La magnitud o longitud de un vector u = (a, b) se define como la longitud de su segmento de recta

|u| =

p

a2 + b2

(4.1)

La dirección de un vector u = (a, b) se define como el ángulo , medido en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, que el vector forma con el eje positivo x (ver Figura (4.4)); donde 0    2 ó 0    360  , calculado mediante

tan  =

b para a 6= 0 a

(4.2)

Figura 4.4. Dirección y magnitud de un vector u = (a, b) en el plano. Para determinar en forma única el valor  es importante establecer el cuadrante donde esta el vector.

Ejemplo 43 Utilizando GeoGebra. Determine la dirección y magnitud de los vectores u = (2, 2), v = (3.46, 2), w = (3, 3) y z = (3, 3). Solución 43 En GeoGebra introducir en el campo de entrada los vectores u=Vector[(2,2)], v=Vector[(-3.46,2)], w=Vector[(-3,-3)] y z=Vector[(3,-3)]. La dirección de de cada uno de los vectores se obtiene con u=Angulo[(u)], v=Angulo[(v)], w=Angulo[(w)], z=Angulo[(z)]; y su magnitud con la instrucción Longitud[(u)], Longitud[(v)], Longitud[(w)] y Longitud[(z)]. Los cálculos, aplicando las ecuaciones (4.1) y (4.2), son

4.1. VECTORES EN EL PLANO

75

Magnitud del vector p p |u| = 22 + 22 = 2 2 = 2. 83 q 2 |v| = (3.46) + 22 ' 4

Dirección  delvector 2  1 u = tan = = 45  4 2  2 1 v = tan  3.46  180  = 0.524 = 30. 03     v = 180  30. 03  = 149. 97 q p 3 2 2 |w| = (3) + (3) = 3 2 w = tan1  3  180  = 45  = 4. 24 = 0.785  w = 180  +45 = 225  q p 3 2 |z| = 32 + (3) = 3 2 z = tan1  3  180 = 4. 24 = 0.785 = 45   z = 360   45  = 315  Los vectores trazados se muestran en la figura siguiente

Geometría de la operaciones elementales con vectores Las operaciones elementales entre vectores se definieron en el Capítulo 3. En el ejemplo siguiente se utilizara Geogebra para entender el significado geométrico de algunas operaciones entre vectores en R2 . Ejemplo 44 Utilizando GeoGebra. Sean u = (3, 1) y v = (1, 4) vectores en R2 , represente graficamente las operaciones siguientes

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

76

Figura 4.5. Representación geométrica de la suma de vectores z = u + v. 1. u + v 2. v, con  = 3 y  = 2. Solución 44 Definir cada vector en GeoGebra con la instrucción Vector[(x,y)] + enter. 1. En el campo de entrada introducir secuencialmente (a) u=Vector[(3,1)] (b) v=Vector[(1,4)] (c) z=Vector[u+v]; traza el vector resultante (d) Vector[(3,1),(4,5)]; traza el vector paralelo a v (e) Vector[(1,4),(4,5)]; traza el vector paralelo a u. la representación geométrica se puede visualizar en la Figura (4.5), 2. La multiplicación v tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector  veces, la instrucción es *Vector[(x,y)]+ enter, se tiene entonces, (a) 3v=3*Vector[(1,4)]; la dirección de 3v es igual a la dirección v (b) -2v=-2*Vector[(1,4)]; la dirección de 2v igual a la dirección v +  Ejercicio 11 Utilizando GeoGebra. Sea u = (2, 4) y v = (6, 4). Calcule y trace las operaciones siguientes entre vectores 1. 3u 2. u + v 3. v  u

4.1. VECTORES EN EL PLANO

77

4. 2u  7u Ejercicio 12 Utilizando Geogebra. Encuentre dos vectores u y v en R2 que satisfagan la desigualdad del triángulo |u + v|  |u| + |v| bajo las dos condiciones.

4.1.3

Vectores unitarios en R2

En R2 dos vectores son importantes, los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1), los cuales cumplen las condiciones siguientes 1. |i| = 1 y |j| = 1. 2. i = 0 y j =

 ó 90  , esto es, i y j son perpéndiculares entre si. 2

Su representación geométrica se muestra en la Figura (4.6)

Figura 4.6. Vectores unitarios i y j en el plano. Cualquier vector en el plano se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b) se escribe fácilmente como u = (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = ai + bj note que las componentes del vector u son los escalares de esa combinación lineal. Otra característica importante de estos vectores es que son linealmente independientes, es decir, nínguno es multiplo del otro. Ejemplo 45 Utilizando GeoGebra. Dado el vector v = (2, 3), encuentre un vector unitario u que tenga 1. la misma dirección de v 2. dirección v+180 

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

78

Solución 45 El vector unitario se puede determinar a partir de u=

v |v|

1. En Geogebra la instrucción es u=v/Longitud[u]. Aplicando la ecuación anterior p (2, 3) 13 u=p = (2, 3) 13 22 + 32 La dirección se determina con la instrucción =Angulo[u]. Calculada con la ecuación (4.2)   3  = tan1 2   180 = 0.982 8   = 56.31 p

13 (2, 3), de 13   igual forma la dirección es =Angulo[w].  = 56.31 + 180 = 236.31 

2. El vector unitario con dirección contraria es w = u = 

Los ángulos de los vectores u y w se trazan (Figura (4.7)), con la instrucción Angulo[u] y Angulo [w], respectivamente. Las propiedades del ángulo se editan al dar doble clic en el ángulo de interés.

Figura 4.7. Ángulo de los vectores u y w desplegados por GeoGebra.

4.2

Interpretación geométrica del producto escalar

En producto punto o escalar definido en el Capítulo 3, tiene una interpretación geométrica. Considere dos vectores u y v en R2 . El producto u · v se define

4.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR 79 como el ángulo ' no negativo más pequeño entre los dos vectores con puntos iniciales en el origen, cuya relación viene establecida por cos ' =

u·v |u| |v|

(4.3)

' se encuentra en [0, 180  ] ó [0, ] Dos vectores u y v en R2 resultan ser

1. Paralelos si u = v, para  > 0, ' = 0, esto es, son multiplos escalares, . 2. Colineales si u = v,  < 0, ' = 180  (), esto es, son multiplos escalares con direcciones contrarias.  3. Ortogonales o perpéndiculares si ' = 90  ( ); dos vectores son ortogo2 nales si u· v = 0. Ejemplo 46 Sean u = 2i + 5j y v =i  2j. Determine  tal que 1. u y v sean ortogonales 2. u y v sean paralelos 3. El ángulo entre u y v sea de

2 . 3

Solución 46 A partir de la ecuación (4.3) 1. u y v son ortogonales si (2, 5) · (, 2) = 0 10  2 

= 0 = 5

2. u y v son paralelos si ' es 0 ó 180  , el cos ' = ±1, sustituyendo en la ecuación se tiene 10  2 ±1 = |(2, 5)| |(, 2)| 10  2 ±1 = p p 29 2 + 4 2 (10  2) 1 = 29 (2 + 4) Resolviendo para , 2

(10  2)

100 + 40 + 42 16 + 40  252 

  = 29 2 + 4 = 292 + 116 = 0 4 = 5

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

80 3. u y v forman un ángulo de

2 si 3 cos

2

2 3 2

(2) (10  2)

284 + 160  132

10  2 p 29 (2 + 4)   = 29 2 + 4 =

= 0

1

= 13.881

2

= 1.574

GeoGebra tiene la capacidad de resolver el problema en forma gráfica mediante un proceso iterativo. En adelante se describira el procedimiento.

4.3

Protocolo de la Construcción en GeoGebra

GeoGebra tiene la modalidad de crear automáticamente un Protocolo de la Construcción, es decir, una lista de la secuencia de instrucciones que contienen todos los pasos de construcción de una gráfica, esta modalidad permite rehacer la gráfica, paso a paso usando la barra de navegación que se encuentra en la parte inferior de la Ventana de Dialogo del Protocolo de la Construcción. Para acceder a esta herramienta siga la secuencia siguiente Barra de herramientas!Ménu Vista!Protocolo de la construcción. Ejemplo 47 Utilizando GeoGebra. Determine  mediante un procedimiento gráfico tal que u = 2i + 5j y v =i  2j sean ortogonales. Solución 47 El valor de  es determinado mediante un proceso iterativo-gráfico, el procedimiento es el siguiente se da un valor a  y se observa el ángulo que forman estos dos vectores, cuando el ángulo formado sea de 90  el problema se resuelve. El Protocolo de la Construcción para resolver este problema se presenta en la Figura (??). La secuencia de instrucciones es la siguiente 1. u=Vector[(-2,5)] 2.  = 5 3. v=Vector[(,-2)] 4.  =Angulo[v,u] 5.  =Angulo[u,v] 6. Se agrega un deslizador con el icono , las condiciones se muestran en la Figura (4.8), el deslizador puede ser manejado una vez seleccionado con las flechas de avance izquierda o derecha. En la Figura (4.9) se presenta el resultado de esta animación.

4.3. PROTOCOLO DE LA CONSTRUCCIÓN EN GEOGEBRA

81

Figura 4.8. Propiedades del deslizador agregado en la Figura (4.9).

Figura 4.9. Determinación del ángulo entre los vectores u y v cambiando el valor de .

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

82 Proyecciones

El sentido práctico de una proyección es encontrar la distancia desde un punto P a una recta l, el problema se reduce a encontrar la magnitud del vector perpéndicular a la recta l. Considere dos vectores u y v en R2 , la proyección de u sobre v es un vector (P roy v u), que se define por P roy v u = El vector w = u

u·v

u·v 2

|v|

v

(4.4)

2 v es ortogonal a v, la distancia perpéndicular es |w|. |v| La proyección de v sobre u es un vector (P roy u v), que se define por

P roy u v = El vector w = v

u·v 2

|u|

u·v 2

|u|

u

(4.5)

u es ortogonal a u.

Ejemplo 48 Utilizando Geogebra. Encuentre el vector proyección de u = (1, 2) sobre v = (3, 2) y determine la distancia perpéndicular del punto P = (1, 2) al vector v. Solución 48 En el campo de entradas se introducen los vectores u=Vector[(1,2)], v=Vector[(3,2)]. Aplicando la ecuación (4.4) P roy v u = proyUv=(u*v/(v*v))*v El vector w ortogonal a v calculado por w=u-proyUv la Figura (4.10) muestra los vectores.La distancia perpéndicular del punto P al

Figura 4.10. Vector proyección de u sobre v.

4.4. VECTORES EN EL ESPACIO

83

vector v es d=Longitud [(w)] o calculada q 2 w = (0.62) + 0.922 =

1.109 41.

Ejercicio 13 Utilizando Geogebra. Sean P = (2, 3), Q = (5, 7), R = (2, 3) y S = (1, 2) puntos en el plano. Determine !  ! RS 1. P roy  PQ ! !P Q 2. P roy  RS

4.4

Vectores en el espacio

De forma análoga a los vectores en R2 , geometricamente un vector en R3 es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto inicial (o cola), A = (x0 , y0 , z0 ), a un punto final (o cabeza), B = (xf , yf , zf ); ! su representación algebraica es u = AB, u = (xf , yf , zf )  (x0 , y0 , z0 ) = (x, y, z)

esta terna ordenada (x, y, z) geometricamente representa al vector con punto inicial en el origen y punto final (x, y, z).

4.4.1

Magnitud de un vector en R3

La magnitud de un vector en el espacio con punto inicial A = (x0 , y0 , z0 ) y punto final B = (xf , yf , zf ), es la longitud de su segmento de recta q 2 2 2 AB = (xf  x0 ) + (yf  y0 ) + (zf  z0 ) ! Si u = AB la magnitud viene dada por la ecuación (4.6). |u| =

4.4.2

p

x2 + y 2 + z 2

(4.6)

Dirección de un vector en R3

La dirección de un vector v = (x, y, z) se establece a partir de los ángulos de dirección , , y . Se define  como el ángulo entre v y la parte positiva del eje x,  como el ángulo entre v y la parte positiva del eje y y  como el ángulo entre v y la parte positiva del eje z. Los ángulos de dirección se calculan a partir del vector unitario u = (x0 , y0 , z0 ) que tiene la misma dirección que v a partir de la ecuación (4.7); los ángulos están en el intervalo [0, ].

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

84

cos  = x0

cos  = y0

cos  = z0

(4.7)

Las componentes del vector unitario se calculan con la ecuación (4.8)

x0 =

x |v|

y0 =

y |v|

z0 =

z |v|

(4.8)

los ángulos directores deben satisfacer la relación (4.9) cos2  + cos2  + cos2  = 1

(4.9)

Ejemplo 49 Encuentre los ángulos de dirección del vector v = (5, 6, 7). Solución 49 Aplicando las ecuaciones (4.6, 4.8, 4.9) se tiene la magnitud de v q 2 |v| = (5) + 62 + 72 = 10.488 1 las componentes del vector unitario x0 = 0.476 731

y0 = 0.572 077

z0 = 0.667 423

y los ángulos de dirección   

 180 = cos (0.476 731) = 2.067 73 = 118.472  .   180 1 = cos (0.572 077 ) = 0.961 760 = 55.104 9     180 1 = cos (0.667 423) = 0.840 052 = 48.131 4   1



se cumple que cos2 (2.067 73) + cos2 (0.961 760) + cos2 (0.840 052 ) = 1 Ejemplo 50 Utilizando wxMaxima. Encuentre los ángulos de dirección del vector (5, 6, 7). Solución 50 En wxMaxima la instrucción unitvector (v) o uvect (v), devuelve el cociente v/|v|, esto es, el vector unitario de igual dirección y sentido que v, para utilizar esta función es necesario cargar ("load") el paquete "eigen". La instrucción completa es v:matrix([-5],[6],[7]); load(eigen); unitvector(v); %,numer

4.4. VECTORES EN EL ESPACIO

85

recordar que al final es necesario oprimir la combinación de teclas " + - . La instrucción %, numer da la expresión decimal del último resultado. El vector unitario calculado es,

con las instrucciones siguientes se calcula los ángulos de dirección en grados, estos son alfa:acos(-0.4767312946228)*180/3.1416; beta:acos(0.57207755354736)*180/3.1416; gama:acos(0.66742381247191)*180/3.1416; desplegandose en wxMaxima

4.4.3

Vectores unitarios en R3

En R3 se definen los vectores unitarios i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). De igual forma que en R2 , cualquier vector en el espacio se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b, c) se escribe u = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = ai + bj + ck note que las componentes del vector u son los escalares o constantes de esa combinación lineal. Las definiciones establecidas en las ecuaciones (4.3), (4.4) y (4.5), también se aplican a vectores en R3 . Ejemplo 51 Utilice wxMaxima. Dados los vectores u = (5, 3, 7) y v = (1, 2, 4) determine 1. u · v 2. P roy v u =

u·v 2

|v|

v

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

86 3. P roy u v =

u·v 2

|u|

u

Solución 51 Los vectores en wxMaxima se introducen como u:matrix([-5],[3],[7]); v:matrix([-1],[2],[4]) recordar oprimir la combinación de teclas " + -. 1. dotproduct (u, v) o también u.v el resultado es 39 2. ProyUv:(u.v/(v.v))*v; el vector proyección es

3. ProyVu:(u.v/(u.u))*u; el vector proyección es

4.5

Producto vectorial

Considere los vectores u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), el producto cruz o vectorial se define como el vector w =uv obtenido de forma fácil por el cálculo del determinate    i    j k    u u2     j  u1 u3 w =  u1 u2 u3  = i  1   v1 v3 v1 v2  v1 v2 v3  w

de 3  3      + k  u1   v1

= i (u1 v2  u2 v1 )  j (u1 v3  u3 v1 ) + k (u1 v2  u2 v1 ) = (u1 v2  u2 v1 , u3 v1  u1 v3 , u1 v2  u2 v1 )

el vector generado w es perpéndicular al vector u como a v.

 u2  v2 

4.5. PRODUCTO VECTORIAL

87

Propiedades del producto vectorial. tores en R3 y  un escalar. Entonces

Considere los vectores u, v y w vec-

1. u 0 = 0  u = 0. 2. u  v =  (v  u), el producto cruz no es conmutativo. 3.  u  v =  (u  v). 4. u  (v + w) = (u  v) + (u  w), propiedad distributiva del producto vectorial. 5. (u  v) · w = u· (v  w), definido como triple producto escalar de u, v y w. 6. u · (u  v) = v · (u  v) = 0, u  v es ortogonal tanto a u como a v.

4.5.1

Interpretación geométrica del producto vectorial

El ángulo entre los vectores u y v esta relacionado por, sin ' =

|u  v| |u| |v|

(4.10)

' se encuentra en [0, 180  ] ó [0, ] Los vectores u y v en R3 son 1. Paralelos o colineales, si u v = 0, ' = 0 o ' = 180  ().  2. Ortogonales o perpéndiculares si |u| |v| = |u  v|, ' = 90  ( ). 2

4.5.2

Producto vectorial con wxMaxima

Para evaluar el producto vectorial en forma directa, es necesario primero cargar el paquete "vect". El operador "" es sustitutido por "~" en wxMaxima y la instrucción "express" efectua el producto vectorial. Ejemplo 52 Utilice wxMaxima. Considere los vectores u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), obtenga el producto vectorial mediante wxMaxima. Solución 52 Las instrucciones secuenciales son load(vect);[u1,u2,u3]~[v1,v2,v3];express([u1,u2,u3]~[v1,v2,v3]); la secuencia de intrucciones se efectua en wxMaxima en un sólo paso,el resultado es

CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

88

4.5.3

Triple producto escalar.

Cuando se combinan las operaciones de producto escalar y vectorial; es importante el uso de paréntesis para mayor claridad de las operaciones. El triple producto escalar tiene una interesante interpretación geométrica. Considere los vectores u, v y w en R3 , los cuales no estan situados en un mismo plano, forman los lados de un paralelpípedo en el espacio, cuya base es un paralelogramo de área |u  v| y altura h dada por    u · (v  w)   h =  uv  El volumen (V ol) viene dado por la ecuación (4.11) V ol = |u · (v  w)|

(4.11)

es decir, el volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar de u, v y w. El triple producto se calcula de forma fácil por el determinante (4.12)    u1 u2 u3     v1 v2 v3  (4.12)    w1 w2 w3  Ejemplo 53 Calcule el área del paralelogramo con vertíces (0, 0), (u1 , u2 ) = (1, 2), (v1 , v2 ) = (2, 1) y (u1 + v1 , u2 + v2 ) = (3, 3). Solución 53 El área viene dada por |(u1 , u2 , 0)  (v1 , v2 , 0)| el área del paralelogramo esta limitada por los dos vectores u = y v, donde ´ Area = |u  v|   i j  =  1 2  2 1 = |3k| = 3

k 0 0

     

y 2

0 0

1

2

3

x

4.5. PRODUCTO VECTORIAL

89

Ejercicio 0 1 14 Utilizando wxMaxima. Considere los vectores u = (1, 2, 3), v = 1 @ 0 A, x = [(3, 2, 1) y y = (2, 1, 0); efectue las operaciones vectoriales 1 siguientes 1. u  v  x 2. u  (v  x) 3. u  ((v  x)  y) 4. (u  (v  x))  y Ejercicio 15 Para los vectores siguientes: u = i  2j + 3k, v = 3i + 2j + 5k y w = 2i  4j + k, evalue 1. El ángulo entre los vectores (a) u y v. (b) v y w. Ejercicio 16 Calcule el volumen del paralelepipedo generado por los vectores siguientes u = i  2j + 3k, v = 3i + 2j + 5k y w = 2i  4j + k.