Álgebra Intermedia - Aufmann

Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta final es incrementar el enfoque en el estudiante.

• Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se incluyen al final de cada Ejemplo/Problema par. • La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo específico de problema que debe dominar para tener éxito en los ejercicios de tarea o en un examen. • Los ejercicios de Aplicación de conceptos profundizarán su comprensión de los temas de la sección. • Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará a observar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basa en la información obtenida de fuentes de medios de comunicación conocidos, como periódicos, revistas e Internet. • Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se incluyen al final de cada serie de ejercicios.

estas cuestiones, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general. • Nueva sección Cómo se usa. Estos recuadros se relacionan con el tema en estudio. Presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados en el libro. • Los recuadros de Tecnología contienen  instrucciones para utilizar una calculadora graficadora. • El enfoque del libro en la solución de problemas hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Las estrategias del modelo se presentan como guías para que a medida que intente resolver el problema, al mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo numerado.

• Los recuadros Punto de interés, que mantienen relación con el tema objeto de discusión de Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.

Álgebra Intermedia

Lo nuevo en esta edición

AUFMANN LOCKWOOD

8a. Ed. Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

Portada Aufman.indd 1

Álgebra Intermedia RICHARD N. AUFMANN / JOANNE S. LOCK WOOD

8a. Ed. 16/10/12 09:51 a.m.

Digital Vision

8a. Ed.

Álgebra Intermedia Richard N. Aufmann Palomar College

Joanne S. Lockwood Nashua Community College Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes Traductores profesionales Revisión técnica Ignacio García Juárez Vinicio Pérez Fonseca Academia de Matemáticas ECEE Universidad Panamericana

®

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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12/10/12 12:59 p.m.

®

Álgebra Intermedia 8a. Ed.

Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica: Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editores: Javier Reyes Martínez Timoteo Eliosa García Imagen de portada: Kevin Twomey Composición tipográfica: Ediciones OVA

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Intermediate Algebra, Eight Edition. Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-111-57949-4 Datos para catalogación bibliográfica: Aufmann, Richard N.; Joanne S. Lockwood Álgebra Intermedia, 8a. Ed. ISBN: 978-607-481-909-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

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Contenido

Prefacio

xiii

Capítulo A Aspire al éxito

A-1

Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.

Capítulo 1 Los números reales

1

EXAMEN DE PREPARACIÓN

1.1

1

Introducción a los números reales

Desigualdad y valor absoluto

2

2

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

1.2

Operaciones con números enteros

13

Operaciones con números enteros

13

5

El orden o jerarquía de las operaciones 18

1.3

Operaciones con números racionales

22

Operaciones con números racionales

22

Orden de las operaciones y fracciones complejas Notación decimal

1.4

28

Expresiones algebraicas

33

Propiedades de los números reales Evaluar expresiones algebraicas

33 35

Simplificar expresiones algebraicas

1.5

26

37

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

43

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 43 Problemas de aplicación CAPÍTULO 1 Resumen

45

49

CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 1 Examen

51

53 CONTENIDO

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iii

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IV

CONTENIDO

Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado 2.1

EXAMEN DE PREPARACIÓN

55

Ecuaciones con una variable

56

55

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 56 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 58 Problemas de aplicación

2.2

60

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Problemas de mezcla de valores

64

Problemas de movimiento uniforme

2.3

66

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

Problemas de inversión

75

75

Problemas de mezclas porcentuales

2.4

64

Desigualdades con una variable

77

84

Resolver desigualdades con una variable 84 Resolver desigualdades compuestas Problemas de aplicación

2.5

87

89

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

95

Desigualdades con valor absoluto Problemas de aplicación CAPÍTULO 2 Resumen

96

98

103

CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 2 Examen

95

105

106

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

107

Capítulo 3 Funciones lineales y desigualdades con dos variables EXAMEN DE PREPARACIÓN

3.1

109

El sistema de coordenadas rectangulares

Fórmulas de distancia y punto medio Introducción a las funciones

Evaluar una función

120

Graficar una función

126

Prueba de la recta vertical

00_Preliminares_AUFMANN.indd iv

110

110

Graficar una ecuación con dos variables

3.2

109

112

120

127

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v

CONTENIDO

3.3

Expresiones algebraicas

136

Graficar una función lineal

136

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 138 Problemas de aplicación

3.4

Pendiente de una recta

143 148

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos

148

Graficar una recta dados un punto y la pendiente 151 Tasa de cambio promedio

3.5

154

Determinación de ecuaciones de rectas

161

Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 161 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 163 Problemas de aplicación

3.6

164

Rectas paralelas y perpendiculares

168

Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

3.7

Desigualdades con dos variables

168

176

Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables 176 CAPÍTULO 3 Resumen

179

CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 3 Examen

182

184

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

186

Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN

4.1

187

187

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico

188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución 191

4.2

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 196

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta 196 Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta 198

4.3

Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 204

Evaluar los determinantes

204

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices

4.4

Problemas de aplicación

00_Preliminares_AUFMANN.indd v

210

221

Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente Problemas de aplicación

207

221

223

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VI

CONTENIDO

4.5

Solución de sistemas de desigualdades lineales

229

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales 229 CAPÍTULO 4 Resumen

233

CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 4 Examen

237

238

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

239

Capítulo 5 Polinomios y exponentes 5.1

241

EXAMEN DE PREPARACIÓN

241

Expresiones con exponentes

242

Multiplicar monomios

242

Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos 244 Notación científica

248

Problemas de aplicación

5.2

249

Introducción a los polinomios

255

Evaluar funciones polinomiales Sumar y restar polinomios

5.3

255

259

Multiplicación de polinomios

265

Multiplicar un polinomio por un monomio Multiplicar dos polinomios

265

266

Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 268 Problemas de aplicación

5.4

División de polinomios

269

275

Dividir un polinomio entre un monomio Dividir polinomios División sintética

275

276 278

Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 280

5.5

Introducción a la factorización

285

Factorizar un polinomio para obtener un monomio 285 Factorizar por agrupamiento de términos 286

5.6

Factorización de trinomios

290

Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c 290 Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c 292

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vii

CONTENIDO

5.7

Factorización especial

299

Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 299 Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 301 Factorizar trinomios que están en forma cuadrática Factorizar completamente

5.8

302

Solución de ecuaciones por factorización

Resolver ecuaciones por factorización Problemas de aplicación CAPÍTULO 5 Resumen

307

307

310

315

CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 5 Examen

317

319

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

320

Capítulo 6 Expresiones racionales

323

EXAMEN DE PREPARACIÓN

6.1

302

323

Introducción a las funciones racionales

324

Encontrar el dominio de una función racional 324 Simplificar expresiones racionales

6.2

325

Operaciones con expresiones racionales

331

Multiplicar y dividir expresiones racionales 331 Sumar y restar expresiones racionales

6.3

Fracciones complejas

342

Simplificar fracciones complejas

6.4

342

Ecuaciones racionales o fraccionarias

Resolver ecuaciones fraccionarias Problemas de trabajo

346

346

348

Problemas de movimiento uniforme

6.5

333

Razones y proporciones

350

358

Proporciones 358 Problemas de proporciones

6.6

Ecuaciones literales

359

368

Resolver ecuaciones literales CAPÍTULO 6 Resumen

368

372

CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 6 Examen

374

375

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

00_Preliminares_AUFMANN.indd vii

376

12/10/12 12:59 p.m.

VIII

CONTENIDO

Capítulo 7 Exponentes racionales y radicales EXAMEN DE PREPARACIÓN

7.1

379

379

Exponentes racionales y expresiones radicales

380

Simplificar expresiones con exponentes racionales 380 Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 381 Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 383

7.2

Operaciones con expresiones radicales

Simplificar expresiones radicales

388

Sumar y restar expresiones radicales Multiplicar expresiones radicales Dividir expresiones radicales

7.3

Funciones radicales

388

389

391

392

401

Encontrar el dominio de una función radical 401 Graficar una función radical

7.4

402

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales

407

Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 407 Problemas de aplicación

7.5

Números complejos

410

414

Simplificar números complejos

414

Sumar y restar números complejos Multiplicar números complejos Dividir números complejos CAPÍTULO 7 Resumen

416

418

424

CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 7 Examen

416

427

428

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

429

Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN

8.1

431

431

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces 432

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización 432 Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 434

8.2

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática 439

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 439 Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 442

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ix

CONTENIDO

8.3

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones de forma cuadrática Ecuaciones radicales

453

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Problemas de aplicación

8.5

450

452

Ecuaciones fraccionarias

8.4

458

458

Propiedades de las funciones cuadráticas

Gráfica de una función cuadrática

464

464

Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola

8.6

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Problemas de máximos y mínimos Desigualdades no lineales

478

484

489

CAPÍTULO 8 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 8 Examen

478

484

Resolver desigualdades no lineales CAPÍTULO 8 Resumen

491

493

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

494

Capítulo 9 Funciones y relaciones

497

EXAMEN DE PREPARACIÓN

9.1

Traslaciones de gráficas

497

498

Graficar mediante traslaciones

9.2

Álgebra de funciones

468

478

Aplicaciones de los máximos y mínimos

8.7

450

498

504

Efectuar operaciones aritméticas con funciones 504 Encontrar la composición de dos funciones

9.3

Funciones uno-a-uno e inversas

512

Determinar si una función es uno-a-uno Encontrar la inversa de una función CAPÍTULO 9 Resumen

512

514

522

CAPÍTULO 9 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 9 Examen

523

524

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

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506

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X

CONTENIDO

Capítulo 10 Funciones exponencial y logarítmica EXAMEN DE PREPARACIÓN

10.1

10.2

Funciones exponenciales

529

529

530

Evaluar funciones exponenciales

530

Graficar funciones exponenciales

532

Introducción a los logaritmos

539

Escribir ecuaciones exponenciales y logarítmicas equivalentes 539 Propiedades de los logaritmos

10.3

542

Gráficas de funciones logarítmicas

Graficar funciones logarítmicas

10.4

552

552

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resolver ecuaciones exponenciales

558

Resolver ecuaciones logarítmicas

10.5

558

561

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

Problemas de aplicación CAPÍTULO 10 Resumen

566 575

CAPÍTULO 10 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 10 Examen

576

578

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

579

Capítulo 11 Sucesiones y series

581

EXAMEN DE PREPARACIÓN

11.1

581

Introducción a las sucesiones y las series

Escribir los términos de una sucesión Evaluar una serie

11.2

582

582

583

Sucesiones y series aritméticas

588

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética Evaluar una serie aritmética Problemas de aplicación

11.3

566

588

590

591

Sucesiones y series geométricas

596

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica 596 Series geométricas finitas

598

Series geométricas infinitas Problemas de aplicación

00_Preliminares_AUFMANN.indd x

600

602

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xi

CONTENIDO

11.4

Desarrollo binomial

607

Desarrollar (a 1 b)n 607 CAPÍTULO 11 Resumen

613

CAPÍTULO 11 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 11 Examen

615

617

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

617

Capítulo 12 Secciones cónicas

619

EXAMEN DE PREPARACIÓN

12.1

La parábola

619

620

Graficar parábolas 620

12.2

El círculo

626

Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla 626 Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla 628

12.3

La elipse y la hipérbola

633

Graficar una elipse con centro en el origen 633 Graficar una hipérbola con centro en el origen 634

12.4

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales

639

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales 639

12.5

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades

645

Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables 645 Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal 646 CAPÍTULO 12 Resumen

651

CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 12 Examen

EXAMEN FINAL

653

655

657

APÉNDICE

Tabla de propiedades

661

Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus 663 SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

S1

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS GLOSARIO ÍNDICE

G1

I1

ÍNDICE DE APLICACIONES

00_Preliminares_AUFMANN.indd xi

R1

I9

12/10/12 01:00 p.m.

00_Preliminares_AUFMANN.indd xii

12/10/12 01:00 p.m.

Digital Vision

Prefacio

E Entre llas muchas h preguntas que hhacemos cuando d iiniciamos i i ell proceso dde revisar i un lib libro dde texto, la más importante es: ¿cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta en varias formas, pero más comúnmente hablando con los estudiantes y los profesores y evaluando la retroalimentación que recibimos de nuestros clientes. Empezamos a desarrollar la octava edición de Álgebra Intermedia teniendo en mente la retroalimentación que recibimos, nuestra meta final era incrementar nuestro enfoque en el estudiante. En esta edición, lo mismo que en las previas, se han mantenido las características conocidas como “Tome nota” y “Punto de interés”. También hemos conservado los Ejemplos y los Problemas, con soluciones desarrolladas de los problemas proporcionadas en la parte final del libro. Algo nuevo en esta edición es la sección “Concéntrese en el éxito” que aparece al inicio de cada capítulo. Esta sección ofrece sugerencias prácticas para mejorar los hábitos de estudio y el desempeño en los exámenes. Algo también nuevo en la octava edición son los recuadros “Cómo se usa”. Estos recuadros presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de conceptos seleccionados del libro. Los nuevos ejemplos de “Concéntrese” ofrecen instrucciones detalladas sobre la forma de resolver diversos problemas. “En las noticias” son nuevos ejercicios de aplicación, los cuales se basan en datos y hechos de interés periodístico y en acontecimientos actuales. Los recuadros definición/concepto clave se han mejorado en esta edición; ahora incluyen ejemplos para mostrar la forma en la cual el caso general se traduce en casos específicos. Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición ayudarán al lector a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, los estudiantes deben ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.

Actualizaciones para esta edición

•

¡NUEVO! Las entradas de capítulo han sido revisadas y ahora incluyen viñetas de

• • •

¡NUEVO! Se incluyen llamadas de “Intente” al final de cada par Ejemplo/Problema. ¡NUEVO! En cada capítulo se presentan cuadros de “Cómo se usa”. ¡NUEVO! Los ejemplos “Concéntrese” proporcionan instrucciones detalladas para resolver

•

¡NUEVO! Se han agregado ejercicios de “Revisión de conceptos” al principio de cada serie

•

¡NUEVO! Las aplicaciones “En las noticias” aparecen en muchas de las series de ejercicios

•

¡NUEVO! Al final de cada capítulo se incluyen ejercicios de “Proyectos o actividades en

• • •

equipo”. Los recuadros de Definición/Concepto clave se han mejorado con ejemplos. Las series de ejercicios revisados incluyen nuevas aplicaciones. Los resúmenes de capítulo mejorados ahora incluyen una columna separada que contiene un objetivo y un número de página para una referencia rápida.

“Exámenes de preparación” y “Concéntrese en el éxito”.

problemas. de ejercicios. al final de la sección.

Cambios en la organización Hemos hecho los siguientes cambios, con base en la retroalimentación que obtuvimos, a fin de mejorar la efectividad del libro e incrementar la experiencia de aprendizaje del estudiante. PREFACIO

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xiii

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XIV

PREFACIO

• •

El capítulo 1 ha sido reorganizado. La sección 1.2 de la edición previa, Operaciones con números racionales, ahora está dividido en dos secciones. La sección 1.2 se enfoca en operaciones con números enteros y la sección 1.3 en operaciones con números racionales. Introducción a los números reales. Operaciones con números enteros. Operaciones con números racionales. Expresiones algebraicas. Expresiones verbales y algebraicas. El objetivo 1.1.2, Notación de intervalos y operaciones con conjuntos se ha reorganizado para crear un mejor vínculo entre la notación de intervalos y la notación de conjuntos. Se incorporaron ejemplos nuevos.

•

El capítulo 2 fue reestructurado. La sección 2.2 de la edición anterior, Problemas de monedas, timbres y números enteros, ha sido eliminada, y las secciones 2.3 a 2.6 fueron reenumeradas. 2.1 Ecuaciones con una variable. 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento. 2.3 Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje. 2.4 Desigualdades con una variable. 2.5 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. En la sección 2.4, el material sobre desigualdades compuestas ha sido reestructurado. Se han agregado un ejemplo nuevo y nuevos ejercicios que cubren las aplicaciones de las desigualdades.

•

• •

•

En el capítulo 3, dos objetivos de la edición anterior, objetivo 3.1.1, Puntos en un sistema de coordenadas rectangulares, y objetivo 3.1.2, Cómo calcular la longitud y el punto medio de un segmento de recta, se han combinado para formar un nuevo objetivo 3.1.1, Fórmulas de distancia y punto medio. El objetivo 3.1.2 ahora cubre la graficación de una ecuación con dos variables. El objetivo 3.1.3 de la edición anterior, Trazado de un diagrama de dispersión, ha sido eliminado. El objetivo 3.1.4, Tasa de cambio promedio se ha incorporado a la sección 3.4 como una aplicación del concepto de pendiente. El material sobre la intersección con el eje y en la sección 3.3 de la edición anterior se ha incorporado en la sección 3.4, Pendiente de una recta. Este cambio mantiene en una sección toda la discusión de la ecuación y 5 mx 1 b. Se incorporaron ejercicios nuevos. En la sección 3.4, el método de gráfico para resolver ecuaciones utilizando la pendiente y la ordenada al origen se ha cambiado de manera que primero se instruya al estudiante para desplazarse hacia arriba o hacia abajo de la intersección con el eje y y después desplazarse a la derecha o la izquierda para trazar un segundo punto. Como lo sugirieron los revisores, la sección 5.5, antes titulada Factorización de polinomios, se ha separado en dos secciones. La sección 5.5, ahora llamada Introducción a la factorización, aborda la factorización de un monomio de un polinomio y la factorización por agrupamiento de términos. La sección 5.6 recién escrita, Factorización de trinomios, enseña al estudiante cómo factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c y ax2 1 bc 1 c. Las series de ejercicios han sido modificadas conforme a eso.

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xv

PREFACIO

•

El capítulo 8 ha sido reestructurado. Las desigualdades no lineales ahora aparecen en la última sección. 8.1 Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces. 8.2 Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática. 8.3 Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas. 8.4 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas. 8.5 Propiedades de las funciones cuadráticas. 8.6 Aplicaciones de las funciones cuadráticas. 8.7 Desigualdades no lineales. La sección 8.1 ha sido ampliamente revisada. Los objetivos 8.1.1 (Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización) y 8.1.2 (Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces) de la edición anterior se han combinado, y se agregan nuevos ejemplos y los ejercicios han sido revisados. En la sección 8.7 Desigualdades no lineales, las respuestas de los ejemplos y los problemas ahora se proporcionan utilizando tanto la notación de intervalos como la de conjuntos.

Este libro está organizado en torno a una jerarquía de OBJETIVOS cuidadosamente construida. Este enfoque “basado en objetivos” proporciona un entorno de aprendizaje integrado que permite que tanto el estudiante como el profesor encuentren fácilmente recursos como herramientas de evaluación (tanto en el libro como en línea), videos, tutoriales y ejercicios adicionales.

¡NUEVO! CONCÉNTRESE EN EL ÉXITO aparece al principio de cada entrada de capítulo. Estas sugerencias están diseñadas para ayudarle a aprovechar al máximo el libro y su tiempo a medida que avanza a lo largo del curso y se prepara para los exámenes.

Concéntrese en el éxito Digital Vision

Cada entrada de capítulo compendia los OBJETIVOS de aprendizaje que aparecen en cada sección. La lista de objetivos sirve como un recurso para guiarle en su estudio y repasar los temas.

¿Asistir a clases es una prioridad para usted? Recuerde que para tener éxito, debe asistir a clases. Necesita hacerlo para escuchar las explicaciones e instrucciones de su profesor, así como formular preguntas cuando algo no esté claro. La mayoría de los estudiantes que falta a una clase se atrasa y luego les resulta muy difícil ponerse al día. (Consulte Tiempo para asistir a clases, en la página A-5.)

OBJETIVOS 3.1

3.2

3.3

Resuelva cada EXAMEN DE PREPARACIÓN para determinar cuáles temas necesita estudiar más cuidadosamente con el fin de prepararse para aprender el nuevo material.

3

CAPÍTULO

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

3.4

3.5

3.6 3.7

1 Fórmulas de distancia y punto

medio 2 Graficar una ecuación con dos variables 1 Evaluar una función 2 Graficar una función 3 Prueba de la recta vertical 1 Graficar una función lineal 2 Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 3 Problemas de aplicación 1 Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos 2 Graficar una recta dados un punto y la pendiente 3 Tasa de cambio promedio 1 Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 2 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 3 Problemas de aplicación 1 Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares 1 Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 241x 2 32 2. Simplifique: "1262 2 1 1282 2 3. Simplifique:

3 2 1252 226

4. Evalúe 22x 1 5 para x 5 23. 5. Evalúe

2r para r 5 5. r21

6. Evalúe 2p3 2 3p 1 4 para p 5 21. 7. Evalúe

x1 1 x2 para x1 5 7 y x2 5 25. 2

8. Dada la ecuación 3x 2 4y 5 12, calcule el valor de x cuando y 5 0.

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 3 EXAMEN DE PREPARACIÓN

04_Cap-03_AUFMANN.indd 109

1. 24x 1 12 7. 1 [1.4.2]

00_Preliminares_AUFMANN.indd xv

[1.4.3]

2. 10

[1.2.2]

3. 22

[1.2.2]

4. 11

[1.4.2]

5. 2.5

24/09/12 01:39 p.m.

[1.4.2]

6. 5 [1.4.2]

8. 4 [2.1.1]

12/10/12 01:00 p.m.

XVI

PREFACIO

3.5 OBJETIVO

1

Determinación de ecuaciones de rectas Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente Cuando la pendiente de una recta y un punto sobre la recta son conocidos, la ecuación de la recta puede determinarse. Si el punto particular es la intersección en y, utilice la forma pendienteordenada al origen, y 5 mx 1 b para determinar la ecuación.

Concéntrese en determinar la ecuación de una recta dadas la intersección en y 04_Cap-03_AUFMANN.indd 161

24/09/12 01:52 p.m p.m.

y la pendiente Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(0, 3) y tiene pendiente

1 . 2

El punto conocido es la intersección en y, P(0, 3). y 5 mx 1 b 1 y5 x13 2

Utilice la forma pendiente-ordenada al origen. Sustituya m con 12, la pendiente dada, y sustituya b con 3, la coordenada en y de la intersección en y. La ecuación de la recta es y 5 12x 1 3.

En cada sección, la DECLARACIÓN DEL OBJETIVO introduce cada nuevo tema de discusión. ¡NUEVO! Los nuevos recuadros CONCÉNTRESE le alertan sobre el tipo específico de problema que debe dominar con el fin de tener éxito con los ejercicios en la tarea o en un examen. Cada uno de esos problemas va acompañado de explicaciones detalladas de la solución.

Un método para determinar la ecuación de una recta cuando la pendiente y cualquier punto de la recta son conocidos consiste en utilizar la fórmula punto-pendiente. Esta fórmula se deriva de la fórmula para la pendiente de una recta. Sea P1(x1, y1) el punto dado en la recta y sea P(x, y) cualquier otro punto en la recta. y 2 y1 Utilice la fórmula de la pendiente de una recta. 5m x2x 1

Multiplique cada lado de la ecuación por (x − x1). Luego simplifique.

y 2 y1 1x 2 x12 5 m 1x 2 x12 x 2 x1 y 2 y1 5 m 1x 2 x12

FORMA PUNTO-PENDIENTE

Sea m la pendiente de una recta y sea P1(x1, y1) un punto en la recta. La ecuación de la recta puede determinarse por medio de la forma punto-pendiente: y 2 y1 5 m 1x 2 x12

¡NUEVO! Muchos de los recuadros de DEFINICIÓN/ CONCEPTO CLAVE ahora contienen ejemplos para ilustrar la forma en la cual cada definición o concepto clave se aplican en la práctica.

2

EJEMPLO 1 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto (−2, 4) y tiene pendiente 2. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 4 5 23x 2 1222 4

• Utilice la forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente, 2, y las coordenadas del punto dado, 122, 42 , en la forma punto-pendiente. • Resuelva para y.

y 2 4 5 21x 1 22 y 2 4 5 2x 1 4 y 5 2x 1 8 04_Cap-03_AUFMANN.indd 162

Problema 1 Solución

24/09/12 01:54 p.m.

La ecuación de la recta es y 5 2x 1 8 Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, −3) y tiene pendiente −3. Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 165.

Los pares EJEMPLO/PROBLEMA están diseñados para involucrarle activamente en el proceso de aprendizaje. Los problemas se basan en los ejemplos. Se presentan en pares de manera que se pueda referir fácilmente a los pasos en el ejemplo a medida que trabaja en el problema que lo acompaña. ¡NUEVO! Los recordatorios en INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO se proporcionan al final de cada par Ejemplo/Problema. Éstos lo guían a un ejercicio similar al final de la sección. Al seguir los recordatorios, puede aplicar de inmediato las técnicas presentadas en la sección Ejemplos resueltos a los ejercicios de sus tareas escolares.

SECCIÓN 3.5 2 Problema 1 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 1232 5 231x 2 42 y 1 3 5 23x 1 12 y 5 23x 1 9

2 • Utilice la fórmula punto-pendiente. • m 5 23 y 1x1, y12 5 14, 232 . • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 23x 1 9. Problema 2 1x1, y12 5 12, 02 y 1x2, y22 5 15, 32 . 3 320 y2 2 y1 5 51 5 m5 x2 2 x1 522 3 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 0 5 11x 2 22 y5x22

Las SOLUCIONES DESARROLLADAS completas de los problemas se encuentran en un apéndice al final del libro. Compare su solución con la proporcionada en el apéndice para obtener una retroalimentación y un refuerzo inmediatos del (los) concepto(s) en estudio.

• Calcule la pendiente. • Forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente y las coordenadas de P1 • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 x 2 2.

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24/09/12 01:58 p.m.

00_Preliminares_AUFMANN.indd xvi

12/10/12 01:00 p.m.

xvii

PREFACIO

Álgebra intermedia contiene una AMPLIA VARIEDAD DE EJERCICIOS que promueven el desarrollo y la retención de habilidades, el desarrollo de conceptos, el pensamiento crítico y la solución de problemas.

¡NUEVO! Los ejercicios de REVISIÓN DE CONCEPTOS promueven la comprensión conceptual. Resolver esos ejercicios profundizará su comprensión de los temas en esta sección.

SECCIÓN 3.5

3.5

165

Determinación de ecuaciones de rectas

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuántas rectas con una pendiente dada que pasen por un punto determinado pueden trazarse en el plano? 2. Dados dos puntos en el plano, ¿cuántas rectas que pasen por los dos puntos pueden trazarse? 3. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de una recta con pendiente cero? 4. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de cualquier recta? Explique su respuesta.

¡NUEVO! Los ejercicios de aplicación EN LAS NOTICIAS le ayudarán a visualizar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basan en información recabada de fuentes de noticias conocidas, como periódicos, revistas e Internet.

1 Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente (Revise las páginas 161163.)

PREPÁRESE 5. En la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 65 e intersección en y P(0, 2), m ess ? y b es ? . La ecuación es y 5 ? . 6. Para determinar la ecuación de la recta que contiene el punto P(−4, 5) y tiene pen-diente 2, utilice la forma punto-pendiente. y 2 y1 5 m 1x 2 x12

y 2 5 5 21x 2 1242 2 y 2 5 5 21x 1

?

? • Sustituya ? por x1.

2

por y1,

?

por m, y

?

• Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.

y5

?

• Sume 5 a cada lado de la ecuación.

Determine la ecuación de la recta que tiene el punto y la pendiente dados. † 7. P10, 52 , m 5 2 10. P15, 12 , m 5

8. P10, 32 , m 5 1

2 3

11. P13, 02 , m 5 2

13. P121, 72 , m 5 23 16. P10, 02 , m 5

3 4

19. P13, 52 , m 5 2

2 3

5 3

12. 2. P122, 02 , m 5

3

Libras 1(p)2

14. P122, 42 , m 5 24

5. P10, 02 , m 5 15.

17. P12, 232 , m 5 3

8. P14, 252 , m 5 2 18.

20. P15, 12 , m 5 2

5 22. P12, 02 , m 5 6

Tarifas del servicio de mensajería urgente en aumento

El Servicio Postal de Estados Unidos está listo para incrementar las tarifas de envío de los paquetes de Correo Express. Las nuevas tarifas, aquellas mostradas aquí para los 1 de la zona 3, entrarán paquetes 9. P12, 32 , m 5 en vigor2 a principios de enero.

• Simplifique dentro de los paréntesis.

y255

En las noticias

Costo (c)

0 , p2 , 0.5 $15.90 0.5 # p , 1 $20.70

4 5

21. P10, 232 , m 5 21

1#p,2

23. P13, 242 , la pendiente no está definida

$21.85

24. P122, 2 52 ,# la pendiente p , 3 no está $23.20 definida

25. P122, 232 , m 5 0

26. P123, 222 , m 5 0

p, 3 ,# m5 22 4 27. P14, 252

28. P123, 52 , m 5 3

29. P125, 212 , la pendiente no está definida

Fuentes: www.stamps.com, 30. P10, 42 , la pendiente no está www.usps.com definida

$24.70

04_Cap-03_AUFMANN.indd 165

Los ejercicios PREPÁRESE aparecen en la mayoría de las series de ejercicios al final de la sección y proporcionan una guía práctica y ponen a prueba su comprensión de los conceptos básicos en una lección. Actúan como escalones para los ejercicios restantes para el objetivo.

24/09/12 03:59 p.m.

PREPÁRESE 29. Dada f1x2 5 5x 2 7, determine f (3) al completar lo siguiente. f1x2 5 5x 2 7 2 5 51

?

f1

f132 5

?

2 27

?

• Sustituya x por 3. • Simplifique.

30. Dada f1x2 5 x2 2 3x 1 1, determine f (−2) al completar lo siguiente. f1x2 5 x2 2 3x 1 1 ?

f1

2 51

f1222 5

?

2 2 2 31

?

2 11

• Sustituya x por 22.

?

• Simplifique.

04_Cap-03_AUFMANN.indd 130

24/09/12 04:02 p.m.

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¡NUEVO! Los iconos de INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO † se utilizan para vincular los ejercicios con los ejemplos de la sección.

1

2

1

2

1 2

† 55. Evalúe s 1t2 5 216t2 1 48t cuando t 5 3. 57. Evalúe P1x2 5 3x3 2 4x2 1 6x 2 7 cuando x 5 2. 59. Evalúe R1p2 5

04_Cap-03_AUFMANN.indd 131

00_Preliminares_AUFMANN.indd xvii

24/09

3p cuando p 5 23. 2p 2 3

1

2

1 2

1

2

56. Evalúe T 1s2 5 s2 2 4s 1 1 cuando s 5 4. 3

58. Evalúe R1s2 5 s3 2 2s2 2 5s 1 2 cuando s 5 23. x11 60. Evalúe f 1x2 5 3x 2 1 cuando x 5 3.

24/09/12 04:06 p.m.

12/10/12 01:00 p.m.

XVIII

PREFACIO

Los ejercicios PIENSE EN ELLO promueven la comprensión conceptual. Resolverlos profundizará su comprensión del concepto en estudio.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 69.

71.

Resolver los ejercicios de aplicación que contienen DATOS REALES le preparará para utilizar información del mundo real y responder preguntas y resolver problemas.

Si el sistema de ecuaciones siguiente es inconsistente, ¿cómo se relacionan los valores de C y D? 3x 2 4y 5 C 3x 2 4y 5 D

2x 1 3y 5 6 2x 1 ky 5 9 72.

Suponga que el sistema de ecuaciones siguiente es un sistema de ecuaciones independiente. ¿Cuál es la relación a a entre 1 y 2 ? b b 1

Los ejercicios APLICACIÓN DE CONCEPTOS pueden implicar la exploración y el análisis adicionales de los temas, o pueden integrar conceptos introducidos antes en el libro. Se incluyen ejercicios Opcionales de calculadora graficadora, denotados por .

70.

¿Para qué valores de k será independiente el sistema de ecuaciones siguiente?

Suponga que el sistema de ecuaciones siguiente es un sistema de ecuaciones dependiente o inconsistente. ¿Cuál a a es la relación entre 1 y 2 ? b b 1

2

2

a1x 1 b1y 5 c1 a2x 1 b2y 5 c2

a1x 1 b1y 5 c1 a2x 1 b2y 5 c2

Utilice una calculadora graficadora para resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones siguientes. Redondee las respuestas a la centésima más cercana. 1 73. y 5 2 x 1 2 2 y 5 2x 2 1

75. y 5 !2x 2 1 y 5 2!3x 1 1

74. y 5 1.2x 1 2 y 5 21.3x 2 3

76. y 5 px 2 y 5 2x 1

Economía de combustible Para los ejercicios 29 y 30 utilice la información del recorte de prensa de la derecha.

En las noticias

29. El propietario de un automóvil híbrido condujo 394 millas y gastó $34.74 en gasolina en una semana. ¿Cuántas millas recorrió el propietario en ciudad y cuántas en carretera?

¿Los híbridos son más agradables para sus bolsillos?

30. La gasolina para conducir un automóvil híbrido una semana le cuesta al propietario $26.50. El habría gastado $51.50 en gasolina si condujera el mismo número de millas en un automó05_Cap-04_1a parte_AUFMANN.indd vil tradicional.195 ¿Cuántas millas condujo el propietario en ciudad y en carretera?

Un automóvil híbrido puede 24/09/12 04:09 p.m. compensar su alto precio de lista con un ahorro en gasolina. En seguida se proporciona el costo por milla, a los precios actuales de la gasolina, de una compañía tradicional de automóviles híbridos.

31. Ciencias de la salud Un farmacéutico tiene dos suplementos vitamínicos en polvo. El primero contiene 25% de vitamina Bl y 15% de vitamina B2. El segundo contiene 15% de vitamina Bl y 20% de vitamina B2. ¿Cuántos miligramos de cada uno de los dos suplementos debe utilizar el farmacéutico para preparar una mezcla que contenga 117.5 mg de vitamina B1 y 120 mg de vitamina B2? 32. Química Un químico tiene dos aleaciones, una de las cuales contiene 10% de oro y 15% de plomo, y la otra 30% de oro y 40% de plomo. ¿Cuántos gramos de cada una de las dos aleaciones deben utilizarse para preparar una aleación que contenga 60 gramos de oro y 88 de plomo?

Costo de gasolina por milla

33. Negocios Una empresa fabricante de computadoras realizó tres envíos el lunes. La factura del primer pedido fue por $114,000, por 4 computadoras del modelo II, 6 del modelo VI y 10 del modelo IX. La factura del segundo pedido fue por $72,000, por 8 computadoras del modelo II, 3 del modelo VI y 5 del modelo IX. La factura del tercer pedido fue por $81,000, por 2 computadoras del modelo II, 9 del modelo VI y 5 del modelo IX. ¿Cuánto cobra el fabricante por una computadora del modelo VI? 34 At

Al resolver los EJERCICIOS mejorará sus habilidades de comunicación, al tiempo que incrementa su comprensión de los conceptos matemáticos.

ió

édi

U

3.6

i

ió d

d

i i

li

2 3 p 2

Tipo de automóvil

Ciudad ($/mi)

Híbrido

0.09

0.08

Tradicional 0.18

Carretera ($/mi)

0.13

Fuente: www.fueieconomy.gov

l

Ejercicios

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 228

24/09/12 04:13 p.m.

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

Dadas las pendientes de dos rectas, explique cómo determinar si las dos rectas son paralelas.

2.

Dadas las pendientes de dos rectas, ¿cómo se puede determinar si las dos rectas son perpendiculares?

3. Complete la expresión siguiente. Las rectas paralelas tienen la misma

?

.

4. ¿Cuál es el recíproco negativo de 2 34? 3

¡NUEVO! Los PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO aparecen al final de cada serie de ejercicios. Su profesor los puede asignar de forma individual, o les puede solicitar que los resuelvan en equipo.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto de puntos en un plano es un conjunto convexo si cada segmento de recta que conecta un par de puntos en el conjunto está contenido completamente dentro del conjunto. 35. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son convexos? (i)

(ii)

(iii)

(iv)

36. Grafique el sistema de desigualdades siguiente. ¿El conjunto solución es un conjunto convexo? x 1 y # 10 2x 1 y # 15 x $ 0, y $ 0

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 233 174 04_Cap-03_AUFMANN.indd

00_Preliminares_AUFMANN.indd xviii

24/09/12 04:21 24/09/12 p.m. 04:17 p.m.

12/10/12 01:00 p.m.

xix

PREFACIO

Álgebra Intermedia aborda una amplia variedad de estilos de estudio al ofrecer DIVERSAS HERRAMIENTAS DE REPASO. Al final de cada capítulo encontrará un RESUMEN que compendia los TÉRMINOS CLAVE y las REGLAS Y PROCEDIMIENTOS ESENCIALES presentados en el capítulo. Cada entrada incluye una referencia a nivel del objetivo y a la página para mostrarle en qué parte del capítulo fue introducido el concepto. También se incluye un ejemplo que demuestra el concepto.

En los EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO, el orden en el cual aparecen diferentes tipos de problemas es distinto de aquel en el cual se presentaron los temas en el capítulo. Las SOLUCIONES de estos ejercicios incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan los ejercicios. Esto le ayudará a identificar rápidamente dónde ir para repasar un concepto si requiere más práctica.

CAPÍTULO 4 Resumen Términos clave Un sistema de ecuaciones es dos o más ecuaciones consideradas en forma conjunta. Una solución de un sistema de ecuaciones con dos variables es un par ordenado que es una solución de cada ecuación del sistema.

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

[4.1.1, p. 188]

La solución del sistema x1y52 x2y54 es el par ordenado (3, 21). (3, 21) es el único par ordenado que es una solución de ambas ecuaciones.

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 233

24/09/12 04:21 p.m.

CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso 1. Resuelva por sustitución: 2x 2 6y 5 15 x 5 3y 1 8

2. Resuelva por sustitución: 3x 1 12y 5 18 x 1 4y 5 6

3. Resuelva por suma y resta: 3x 1 2y 5 2 x1y53

4. Resuelva por suma y resta: 5x 2 15y 5 30 x 2 3y 5 6

5. Resuelva por suma y resta: 3x 1 y 5 13 2y 1 3z 5 5 x 1 2z 5 11

6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 4y 2 2z 5 17 4x 2 3y 1 5z 5 5 5x 2 5y 1 3z 5 14

7. Evalúe el determinante: `

1 5 22 4† 8. Evalúe el determinante: † 22 1 4 3 28

6 1 ` 2 5

10. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 3x 2 4y 5 10 2x 1 5y 5 15

9. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 2x 2 y 5 7 3x 1 2y 5 7 11. Resuelva utilizando la regla de Cramer:

13. Resuelva por suma y resta:

x1y1z50 x 1 2y 1 3z 5 5 2x 1 y 1 2z 5 3

12. Resuelva utilizando la regla de Cramer: x 1 3y 1 z 5 6 2x 1 y 2 z 5 12 x 1 2y 2 z 5 13

x 2 2y 1 z 5 7 3x 2 z 5 21 3y 1 z 5 1

14. Resuelva utilizando la regla de Cramer:

3x 2 2y 5 2 22x 1 3y 5 1

3 22 5 16. Evalúe el determinante: † 4 6 3† 1 2 1

15. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 2x 2 2y 2 6z 5 1 4x 1 2y 1 3z 5 1 2x 2 3y 2 3z 5 3 17. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 4x 2 3y 5 17 3x 2 2y 5 12

18. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 2y 2 z 5 21 x 1 2y 1 3z 5 21 3x 1 4y 1 6z 5 0

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 1 3 2. Las soluciones son los pares ordenados ax, 2 x 1 b. [4.1.2] 4 2 1 x 2 2b. [4.2.1] 3

1. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.1.2] 3. La solución es 124, 72 . [4.2.1]

4. Las soluciones son los pares ordenados ax,

5. La solución es 15, 22, 32 . [4.2.2]

6. La solución es 13, 21, 222 . [4.2.2]

9. La solución es 13, 212 . [4.3.2]

10. La solución es a

12. La solución es 12, 3, 252 . [4.3.2]

7. 28 [4.3.1]

13. La solución es 11, 21, 42 . [4.2.2]

1 1 15. La solución es a , 21, b. [4.3.3] 2 3 18. La solución es 12, 23, 12 . [4.3.3]

8 7 14. La solución es a , b. [4.3.2] 5 5

17. La solución es 12, 232 . [4.3.2]

16. 12 [4.3.1] y

19.

8. 0 [4.3.1]

11. La solución es 121, 23, 42 . [4.3.2]

110 25 , b. [4.3.2] 23 23

[4.1.1]

y

20.

[4.1.1]

4

–4

0

x

–4

–4

La solución es 10, 32 . y

21.

[4.5.1]

y

22.

[4.5.1]

4

–4

0

0

4

x

–4

Las soluciones son los pares ordenados x, 2x 2 4 .

23. La tasa de velocidad del crucero en aguas en calma es 16 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 4 mph. [4.4.1]

4

x

–4

0

x

–4

24. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 175 mph. La tasa de velocidad del viento es 25 mph. 25. El número de niños que asisten el viernes fue 100. [4.4.2] 26. Hay $10,400 invertidos al 8%, $5200 invertidos al 6%, y $9400 invertidos al 4%. [4.2.2]

Í

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XX

PREFACIO

Cada EXAMEN DE PREPARACIÓN está diseñado para simular un examen típico de los conceptos estudiados en el capítulo. Las RESPUESTAS incluyen referencias a los objetivos del sector. También se proporciona una referencia a un Ejemplo, Problema o Concéntrese, que refiere al estudiante a un ejemplo resuelto en el libro, similar a la pregunta del examen.

CAPÍTULO 4 Examen 1. Resuelva por sustitución: 3x 1 2y 5 4 x 5 2y 2 1

2. Resuelva por sustitución: 5x 1 2y 5 223 2x 1 y 5 210

3. Resuelva por sustitución: y 5 3x 2 7 y 5 22x 1 3

4. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 4y 5 22 2x 1 5y 5 1

5. Resuelva por el método de suma: 4x 2 6y 5 5 6x 2 9y 5 4

6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 y 5 2x 1 y 2 1 5x 1 2y 5 y 1 6

7. Resuelva por el método de suma: 2x 1 4y 2 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 5 4x 1 8y 2 2z 5 7

8. Resuelva por el método de eliminación gausiana: x2y2z55 2x 1 z 5 2 3y 2 2z 5 1 1 22 1 10. Evalúe el determinante: † 3

3 21 9. Evalúe alúe el determinante: ` ` EXAMEN DEL 4 2 CAPÍTULO 4

3 1†

2. La solución es 123, 242 . [4.1.2, Concéntrese, página 191]

3 7 1. La solución es a , b. [4.1.2, Ejemplo 3A] 4 8

3. La solución es 12, 212 . [4.1.2, Ejemplo 3A] 4. La solución es 122, 12 . [4.3.3, Ejemplo 7] 5. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.1, Problem 1B] 6. La solución es 11, 12 . [4.2.1, Ejemplos 1 y 2] 05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 238 24/09/12 7. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.2, Concéntrese, inciso B, página 200] 8. La solución es 1 2, 21, 222 .04:32 p.m. [4.3.3, Ejemplo 8]

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Los EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS, que aparecen al final de cada capítulo (comenzando en el capítulo 2), le ayudan a retener las habilidades que desarrolló previamente. Las RESPUESTAS incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan los ejercicios.

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Ejercicios de repaso acumulativos 3 7 5 1 3 1. Resuelva: x 2 1 x 5 x 2 2 8 4 12 6

2. Encuentre la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(2, 21) y P2(3, 4).

3. Simplifique: 33x 2 215 2 2x2 2 4x4 1 6

4. Evalúe a 1 bc 4 2 cuando a 5 4, b 5 8, y c 5 22.

5. Resuelva: 2x 2 3 , 9 o 5x 2 1 , 4

6. Resuelva: 0 x 2 2 0 2 4 , 2

7. Resuelva: 0 2x 2 3 0 . 5

8. Dada f1x2 5 3x3 2 2x2 1 1, evalúe f1232 . 10. Dada F1x2 5 x2 2 3, encuentre F122 .

9. Determine el rango de f1x2 5 3x2 2 2x si el dominio es 522, 21, 0, 1, 26.

12. Grafique: 5x 0 x # 26 d 5x 0 x . 236.

11. Dada f1x2 5 3x 2 4, escriba en su forma más simple f12 1 h2 2 f122 .

14. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(21, 2) y es perpendicular a la gráfica de 2x 2 3y 5 7.

13. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto 2 P(22, 3) y pendiente 23.

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 11 . [2.1.1] 2. La solución es y 5 5x 2 11. [3.5.2] 3. 3x 2 24 [1.4.3] 28 5. El conjunto solución es 5x 0 x , 66. [2.4.2] 6. El conjunto solución es 5x 0 24 , x , 86. [2.5.2] 8. 298 [3.2.1] 7. El conjunto solución es 5x 0 x . 46 h 5x 0 x , 216. [2.5.2] 9. El rango es 50, 1, 5, 8, 166. [3.2.1] 10. 1 [3.2.1] 11. 3h [3.2.1] 12.

4. 24 [1.4.2]

1. La solución es 2

[1.1.2]

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

5 2 13. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.5.1] 3 3

3 1 14. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.6.1] 2 2

1 16. Las coordenadas del punto medio son a2 , 4b. [3.1.1] 2

y

17.

[3.4.2]

15. La distancia es 2"10. [3.1.1]

0

[3.7.1]

4

4

x

–4

–4

19. La solución es 125, 2112 . [4.1.2]

y

18.

4

–4

0

4

x

–4

20. La solución es 11, 0, 212 . [4.2.2]

21. 3 [4.3.1]

y

22. –4

0

[4.1.1] 4

x

–4

La solución es (2, 0).

Después del último capítulo se incluye un EXAMEN FINAL, el cual está diseñado para simular un examen amplio que cubre todos los conceptos presentados en el libro. Las RESPUESTAS a las preguntas del Examen final se proporcionan en el apéndice al final del libro e incluyen referencias a los objetivos de la sección en los cuales se basan las preguntas.

Examen final 1. Simplifique: 12 2 833 2 1222 4 2 4 5 2 3

2. Evalúe

3. Simplifique: 5 2 233x 2 712 2 x2 2 5x4

3 4. Resuelva: x 2 2 5 4 4

5. Resuelva:

2 2 4x x26 5x 2 2 2 5 3 12 6

6. Resuelva: 8 2 0 5 2 3x 0 5 1

7. Resuelva: 0 2x 1 5 0 , 3

8. Resuelva: 2 2 3x , 6 y 2x 1 1 . 4

EXAMEN FINAL

2 3. 33 2p 10xq [1.4.3] 4.1 La es4 8. [2.1.1] 3 2 a12 2a35 2 solución 3a22 2 2a4 1 3a 10. Simplifique:

1. recta 231 q [1.2.2] 9. Encuentre la ecuación de la que contiene2.el21 ppun-[1.4.2] 2 6. Las soluciones son 4 y 2 . 3 8. Las soluciones son 11. 14. 17. 21. 25.

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a2 2 b2 donde a 5 3 y b 5 24. a2b

6 3 2 i [7.5.4] 5 5

{

[2.5.1]

3 x0x . . 2

}

7. Las soluciones son 5x 0 24 , x , 216. 1 2 9. La ecuación es y 5 2 x 2 . 3 3

[2.4.2]

12. La ecuación es 2x2 2 3x 2 2 5 0.

[8.1.1]

5. La solución es

2 . 3

[2.1.2]

[2.5.2]

[3.6.1]

10. 6a3 2 5a2 1 10a

13. 12 2 xy2 14 1 2xy 1 x2y22

[5.3.1]

[5.7.2]

x 1x 2 12 5 1x 2 y2 11 1 x2 11 2 x2 [5.7.4] 15. x 2 2x 2 3 2 [5.4.2] 16. [6.2.1] 2x 2 3 2x 2 5 10x 7 a 2 a1 x13 2 [6.3.1] 19. La solución es 2 . [6.4.1] 20. d 5 n [6.2.2] 18. 1x 1 22 1x 2 32 x11 4 n21 2 !2y x y4 1 [5.1.2] 22. [7.1.1] 23. 22x2y !2y [7.2.2] 24. [7.2.4] 3 8 5 2 162x 64x y 2y 3 1 !17 3 2 !17 y . [8.2.2] 26. Las soluciones son 27 y 28. [8.3.1] Las soluciones son 4 4 3 2

[6.6.1]

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2

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PREFACIO

Otras características clave NOTAS AL MARGEN En ellas puede encontrar las siguientes características. Los recuadros TOME NOTA le alertan sobre conceptos que requieren atención especial.

Tome nota El orden de los elementos en un conjunto no importa. Por ejemplo, en el ejemplo (3) de la derecha podría haberse escrito el dominio como {4, −5, −1, −7}. Sin embargo,

Punto de interés

The Granger Collection

Los recuadros PUNTO DE INTERÉS, que se relacionan con el tema en estudio, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general.

2 2 2

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) es considerado uno de

2 ¡NUEVO! Los recuadros CÓMO SE USA se relacionan con el tema en estudio. Estos recuadros presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados del libro.

Cómo se usa

2

2

2

Los grandes sistemas de desigualdades lineales que contienen más de 100 desigualdades se han utilizado para resolver problemas de aplicación en áreas tan diversas como el suministro de cuidados médicos y la edificación de un silo de misiles nucleares.

2

2

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Existen varias maneras de usar una calculadora para evaluar una función. Las pantallas a la derecha, que ilustran la evaluación de R(−2) dada anteriormente, muestran una manera. Consulte otros métodos de evaluación de una función en la Guía de la calculadora del apéndice.

24

Aun cuando el libro no depende del uso de calculadoras, se incluyen recuadros de TECNOLOGÍA que se enfocan en instrucciones para el uso de calculadoras graficadoras en temas seleccionados.

Plot1 Plot2 Plot3 = X^3+3X2 –5X–6

\Y1 \Y2 \Y3 \Y4 \Y5 \Y6 \Y7

= = Y1(-2) = = = =

8

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2

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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS. El enfoque en la solución de problemas que se utiliza a lo largo del libro hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Los modelos de estrategias se presentan como guías para que las siga cuando trata de resolver el problema paralelo que acompaña a cada ejemplo numerado. 05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 230

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ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES

 Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

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PREFACIO

Recursos en inglés para el profesor SUPLEMENTOS IMPRESOS Edición anotada del instructor (ISBN: 978-1-111-82696-3)

La Edición anotada del instructor ofrece las soluciones de todos los problemas del libro, así como un Apéndice que denota aquellos problemas que se pueden encontrar en Enhanced WebAssign. Manual de soluciones del instructor (ISBN: 978-1-133-11236-5) Autora: Patricia M. Parker, Germanna Community College

El Manual de soluciones del instructor proporciona las soluciones de todos los problemas del libro. Documento de recursos del instructor con apéndice (ISBN: 978-1-133-11254-8) Autora: Documento de recursos del instructor por Maria H. Andersen, Muskegon Community College, con Apéndices por Richard N. Aufmann, Palomar College, y Joanne Lockwood, Nashua Community College

Cada sección del libro se analiza en las Guías de enseñanza diseñadas en forma única, contienen sugerencias, ejemplos, actividades, hojas de trabajo, evaluaciones y soluciones para todas las hojas de trabajo y actividades. SUPLEMENTOS ELECTRÓNICOS Videos específicos del libro Autor: Dana Mosely

Estos videos de enseñanza específicos del libro proporcionan al estudiante un refuerzo visual de conceptos y explicaciones. Contienen un lenguaje accesible, junto con ejemplos detallados y problemas muestra. Un formato flexible ofrece versatilidad. Es posible tener acceso rápidamente a los temas y las conferencias se pueden adaptar para cursos intensivos, en línea, o híbridos. Se proporcionan subtítulos para quienes tienen problemas auditivos. Estos videos están disponibles a través de Enhanced WebAssignment y CourseMate. Power Lecture con Diploma® (ISBN: 978-1-133-11235-8)

Este CD-ROM proporciona herramientas de medios dinámicas para la enseñanza. Puede crear, aplicar y adaptar exámenes en minutos (tanto impresos como en línea) con Diploma’s Computerized Testing que presenta ecuaciones de algoritmos. El manual de soluciones en línea Solution Builder´s desarrolla fácilmente series de soluciones para las tareas escolares o los exámenes. Las Hojas de práctica, las diapositivas de conferencias First-Day-of-Class Powerpoint®, el arte y las figuras del libro y un banco de exámenes en formato electrónico también se incluyen en este CD-ROM. Syllabus Creator (Incluido en PowerLecture) Autores: Richard N. Aufmann, Palomar College, y Joanne S. Lockwood, Nashua Community College

¡NUEVO! Escriba, edite y actualice fácilmente su programa

de estudios con el Aufmann/Lockwook Syllabus Creator. Este software le permite crear en varios pasos sencillos su programa de estudios. Primero seleccione los objetivos requeridos del curso; después agregue la información de su contacto, la del curso, las expectativas del estudiante, la política de calificaciones, las fechas y la ubicación de su curso y su curso en línea. ¡Ahora ya tiene su programa de estudios!

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Solution Builder

Esta base de datos en línea del instructor ofrece soluciones totalmente desarrolladas de todos los ejercicios del libro, lo que le permite crear impresiones adaptadas y seguras (en formato PDF) igualadas exactamente con los problemas que asigna en el aula. Para más información, visite www.cengage.com/solutionbuilder. Enhanced WebAssign® (ISBN: 978-0-538-73810-1)

Enhanced Web Assign, exclusivo de Cengage Learning, combina el contenido matemático excepcional que conoce y le agrada con WebAssign, la solución más poderosa de tareas escolares en línea. Enhanced Web Assign atrae al estudiante con una retroalimentación inmediata y un excelente contenido tutorial. Los ebooks interactivos ayudan al estudiante a desarrollar una comprensión conceptual más profunda de su tema. Las actividades en línea se pueden crear seleccionando entre miles de problemas específicos del libro. Las actividades se pueden complementar con problemas de cualquier libro de Cengage Learning. Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante (ISBN: 978-0-495-38479-3) Autor: Brooks/Cole

Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante ayuda al estudiante a organizarse y apresurarse con Enhanced WebAssign de manera que puedan estudiar de manera más inteligente y mejorar su desempeño en el aula. Tarjeta de acceso impresa para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282.7616-1) Tarjeta de acceso instantáneo para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-7615-4)

Complemente su libro y el contenido de su curso con materiales de estudio y práctica. Developmental Mathematics CourseMate de Cengage Learning da vida a los conceptos del curso con herramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparación para los exámenes que apoyan al libro impreso. Vea cómo aumenta la comprensión del estudiante a medida que su grupo trabaja con el libro impreso y su sitio web específico. ¡Developmental Mathematics CourseMate va más allá del libro para proporcionar lo que usted necesita!

Recursos en inglés para el estudiante SUPLEMENTOS IMPRESOS Manual de soluciones para el estudiante (ISBN: 987-1-133-11237-2) Autora: Patricia M. Parker, Germanna Community College

Vea más allá de las respuestas ¡y mejore sus calificaciones! Este manual proporciona soluciones desarrolladas paso a paso de los problemas de número impar en el libro. El Manual de soluciones para el estudiante le proporciona la información que necesita para comprender verdaderamente la forma en la cual se resuelven los problemas.

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PREFACIO

Cuaderno de trabajo para el estudiante (ISBN: 978-1-133-11239-6) Obtenga una ventaja. El cuaderno de trabajo para el estudiante contiene evaluaciones, actividades y hojas de trabajo para las discusiones en el aula, las actividades durante la clase y el trabajo en equipo. Hojas de trabajo ASPIRA al éxito para el estudiante (ISBN: 978-1-133-11238-9) Autora: Christine S. Verity

Estas hojas proporcionan problemas adicionales de práctica para ayudarle a asimilar el material. SUPLEMENTOS ELECTRÓNICOS Videos específicos del libro

Estos videos de enseñanza le proporcionan un refuerzo visual de los conceptos y las explicaciones. Poseen un lenguaje accesible, junto con ejemplos detallados y problemas. Un formato flexible ofrece versatilidad. Se puede tener acceso fácilmente a los temas, y las conferencias se pueden ajustar para cursos intensivos, en línea, o híbridos. Incluyen subtítulos para quienes tienen problemas auditivos. Estos videos están disponibles a través de Enhanced WebAssign y CourseMate. Enhanced WebAssign (ISBN: 978-0-538-73810-1)

Enhanced WebAssign (asignado por el instructor) proporciona una retroalimentación instantánea sobre las asignaciones de tareas escolares. Este sistema de tareas en línea es fácil de usar e incluye vínculos útiles con las secciones del libro, los ejemplos en video y los tutoriales específicos de problemas.

Videos del examen del capítulo (Disponible a través de Enhanced WebAssign)

Los videos del examen del capítulo, disponibles a través de Enhanced WebAssign, proporcionan soluciones paso a paso que siguen los métodos de solución de problemas utilizados en el libro para cada pregunta del examen de final de capítulo. Algunos videos de soluciones ofrecen preguntas interactivas que proporcionan retroalimentación inmediata sobre las respuestas del estudiante. Enhanced WebAssign: Start Smart Guide para el estudiante (ISBN: 978-0-495-38479-3) Autor: Brooks/Cole

Si su profesor ha decidido incluir Enhanced WebAssign con su libro, este manual le ayudará a prepararse y apresurarse con el sistema Enhanced WebAssign, de manera que pueda estudiar en forma más inteligente y mejorar su desempeño en el aula. Tarjeta de acceso impresa para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-76116-1) Tarjeta de acceso instantáneo para CourseMate con ebook (ISBN: 978-1-4282-7615-4)

Mientras más estudie, mayor será su éxito. Puede aprovechar al máximo su tiempo de estudio teniendo acceso a todo lo que necesita para tener éxito en un lugar, en línea con CourseMate. Puede utilizar CourseMate para leer el libro, tomar notas, revisar flashcards, ver videos y responder a series de preguntas de práctica.

Agradecimientos Los autores desean agradecer a las personas que han revisado la séptima edición y que proporcionaron numerosas sugerencias valiosas. Dimos Arsenidis, California State University–Long Beach Peter Arvanites, Rockland Community College Yugal Behl, Central New Mexico Community College Oiyin Pauline Chow, Central Pennsylvania Community College Mark Harbison, Sacramento Community College Brooke Quinlan, Hillsborough Community College Jean Shutters, Central Pennsylvania Community College Lynn Vazquez, Ocean County College Thomas Edward Wells, Delta College Judith Wood, Central Florida Community College Cathleen M. Zucco-Teveloff, Rowan University Nuestro agradecimiento especial para Jean Birmingham por revisar el manuscrito y corregir las páginas, a Patricia M. Parker por elaborar los manuales de soluciones y a Lauri Semarne por su trabajo para asegurarse de la exactitud del libro. También nos gustaría agradecer a las muchas personas en Cengage Learning que trabajaron para llevar el manuscrito de la octava edición desde el desarrollo hasta la producción.

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Digital Vision

Aspire al éxito

A

CAPÍTULO

Concéntrese en el éxito Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.

OBJETIVOS A.1

A.2

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Prepárese Motívese Desarrollar una actitud hacia las matemáticas de “puedo hacerlo” Estrategias para el éxito Administración del tiempo Hábitos de los estudiantes exitosos Tener una visión general Comprender la organización Utilizar el método interactivo Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos Aprobar el examen

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este curso?

1. Lea este capítulo. Responda todas las preguntas. Anote las respuestas en una hoja de papel. 2. Escriba el nombre de su profesor. 3. Anote el número de aula. 4. Escriba los días y los horarios en que el grupo se reúne. 5. Lleve su libro, una libreta y un bolígrafo o lápiz a todas las clases. 6. Sea un participante activo, no un observador pasivo.

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A-2

ASPIRE AL ÉXITO

A.1

Cómo tener éxito en este curso PREPÁRESE Estamos comprometidos con su éxito en el aprendizaje de las matemáticas y hemos desarrollado diversas herramientas y recursos para apoyarle en su camino.

¿LE GUSTARÍA ALCANZAR LA EXCELENCIA EN ESTE CURSO? Siga leyendo para aprender acerca de las habilidades que necesitará y la mejor forma de usar este libro para obtener los resultados que busca. Lo hemos escrito con un estilo interactivo. Verá más sobre este tema más adelante pero, en pocas palabras, esto significa que se supone que interactúe con el texto. ¡No se limite a leerlo! Trabaje con él. ¿Está listo? ¡Comencemos!

¿POR QUÉ USTED ESTÁ TOMANDO ESTE CURSO? ¿Interactuó con el texto o sólo leyó la pregunta anterior? Consiga una hoja de papel y un bolígrafo o lápiz, y responda la pregunta. De verdad, tendrá más éxito en matemáticas y en otros cursos si participa activamente. Ahora interactúe. Escriba una razón por la que está tomando este curso.

Desde luego, no tenemos idea de lo que acaba de escribir, pero la experiencia nos ha mostrado que muchos de ustedes escribieron algo a lo largo de las líneas de “Tengo que tomarlo para graduarme”, “Es un requisito previo para otro curso que quiero tomar” o “Es un requisito para mi asignatura principal”. Esas razones están muy bien. Todos los profesores han tenido que tomar cursos que no se relacionaban directamente con su asignatura principal.

¿POR QUÉ QUIERE TENER ÉXITO EN ESTE CURSO? Piense por qué quiere tener éxito en este curso. Elabore una lista de las razones aquí (no mentalmente… en esta página):

Una de las razones que puede haber incluido en la lista es que las habilidades matemáticas son importantes para tener éxito en la carrera que eligió. Desde luego, esa es una razón importante. A continuación se mencionan otras razones. • Las matemáticas son una habilidad que se aplica en las carreras, lo cual es sin duda un beneficio para los requisitos laborales en constante cambio de nuestro mundo. Tener fundamentos sólidos de matemáticas puede facilitarle hacer un cambio de carrera. • Las matemáticas pueden ayudarle a aprender habilidades de pensamiento crítico, un atributo que todos los empleadores buscan. • Las matemáticas pueden ayudarle a ver las relaciones entre las ideas y a identificar patrones.

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ASPIRE AL ÉXITO

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MOTÍVESE

Tome nota La motivación por sí sola no conduce al éxito. Por ejemplo, suponga que una persona que no puede nadar está remando en medio de un lago y se lanza por la borda. Esa persona tiene mucha motivación para nadar, pero lo más probable es que se ahogue si no recibe ayuda. Usted necesitará motivación y aprendizaje para tener éxito.

En este libro encontrará muchos problemas reales relacionados con los deportes, el dinero, los automóviles, la música y más. Esperamos que estos temas le ayuden a comprender cómo se usan las matemáticas en la vida cotidiana. Para aprender todas las habilidades necesarias y comprender cómo puede aplicarlas a su vida fuera de este curso, motívese a aprender. Una de las razones por las que se planteó la pregunta de por qué está tomando este curso es proporcionarle la motivación para que tenga éxito. Cuando hay una razón para hacer algo, esa tarea es más fácil de lograr. Entendemos que tal vez no desea tomar este curso, pero es un paso necesario para alcanzar su meta profesional. Deje que dicha meta sea su motivación para el éxito.

COMPROMÉTASE CON EL ÉXITO Con la práctica mejorará sus habilidades en matemáticas. ¿Escéptico? Recuerde cuando aprendió por primera vez a conducir un automóvil, andar en patineta, bailar, pintar, surfear o cualquier otra habilidad que ahora tiene. Quizá se sintió cohibido o preocupado porque podría fallar. Pero con el tiempo y la práctica aprendió la habilidad. Anote una situación en la que logró su objetivo al dedicar tiempo a practicar y perfeccionar sus habilidades (como aprender a tocar el piano o jugar basquetbol):

No conseguimos ser “buenos” en algo al hacerlo una vez por semana. La práctica es la columna vertebral de cualquier esfuerzo exitoso, ¡incluidas las matemáticas!

DESARROLLE UNA ACTITUD HACIA LAS MATEMÁTICAS DE “PUEDO HACERLO” ¡Usted puede hacer matemáticas! Cuando aprendió por primera vez las habilidades que anotó arriba, quizá no las utilizaba bien. Con la práctica mejoró. Con la práctica mejorará en matemáticas. Permanezca centrado, motivado y comprometido con el éxito. No podemos hacer suficiente hincapié en la importancia que tiene superar el síndrome de “No puedo hacer matemáticas”. Si escucha entrevistas de deportistas muy exitosos después de un desempeño particularmente malo, notará que se concentran en los aspectos positivos de lo que hicieron, no en los negativos. Los psicólogos del deporte animan a los atletas a que sean siempre positivos —tengan una actitud de “puedo hacerlo”. Desarrolle esta actitud hacia las matemáticas y tendrá éxito. Cambie su discurso acerca de las matemáticas. No diga “No puedo hacer matemáticas”, “Odio las matemáticas” o “Las matemáticas son muy difíciles”. Estos comentarios sólo le dan una excusa para el fracaso. Y usted no quiere fracasar, ni nosotros queremos que esto ocurra. Anótelo ahora: ¡Puedo estudiar matemáticas!

ESTRATEGIAS PARA EL ÉXITO PREPÁRESE PARA TENER ÉXITO Hay una serie de cosas que puede ser motivo de preocupación a medida que comienza un nuevo curso. Elabore ahora una lista de algunas de ellas.

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En seguida se presentan algunas de las inquietudes expresadas por nuestros estudiantes. • Instrucción ¿Podré pagar la escuela? • Empleo Debo trabajar. ¿Mi empleador me asignará un horario que me permita acudir a la escuela? • Ansiedad ¿Tendré éxito? • Cuidado de niños ¿Qué haré con mis hijos cuando esté en clases o cuando necesite estudiar? • Tiempo ¿Podré encontrar el tiempo para asistir a clases y estudiar? • Metas de la carrera ¿Cuánto tiempo tardaré en terminar la escuela y obtener mi título? Todas estas inquietudes son importantes y válidas. Sean cuales fueren sus inquietudes, reconózcalas. Elija una ruta de estudios que le permita tener en cuenta sus inquietudes. Asegúrese de que no le impide tener éxito.

SELECCIONE UN CURSO Muchas escuelas ofrecen exámenes de matemáticas, los cuales evalúan sus habilidades matemáticas actuales. No evalúan lo inteligente que es usted, así que no se preocupe por su calificación en el examen. Si no está seguro de dónde debe iniciar en el plan de estudios de matemáticas, estos exámenes pueden mostrarle dónde comenzar. Es mejor partir de un nivel que sea adecuado para usted en vez tomar un curso más avanzado y luego dejarlo porque no puede mantener el nivel. Abandonar un curso es una pérdida de tiempo y dinero. Si tiene dificultades con las matemáticas, evite cursos breves que reduzcan las clases a unas cuantas semanas. Si ha tenido problemas con las matemáticas en el pasado, estos cursos no le darán el tiempo suficiente para procesar los conceptos matemáticos. Asimismo, evite las clases de una vez por semana. La demora entre las clases hace que sea difícil relacionar los conceptos. Algunas metas profesionales requieren varios cursos de matemáticas. Si esto se aplica a su especialidad, trate de tomar un curso de matemáticas cada semestre hasta que complete los requisitos. Piénselo de esta manera. Si, por ejemplo, toma Francés I y luego espera dos semestres antes de tomar Francés II, puede olvidar una gran cantidad de material. Con las matemáticas sucede lo mismo. Debe mantener frescos los conceptos en su mente.

ADMINISTRACIÓN DEL TIEMPO Uno de los requisitos más importantes para realizar cualquier tarea es reconocer la cantidad de tiempo que le tomará terminar el trabajo de manera satisfactoria. Antes de que una empresa comience la construcción de un rascacielos, dedica meses a estudiar cuánto tiempo tardará cada una de las fases de construcción. Esto se hace de modo que los recursos puedan asignarse en el momento apropiado. Por ejemplo, no tendría sentido programar que los electricistas instalen el cableado si no se han concluido las paredes.

ADMINISTRE SU TIEMPO Sabemos lo ocupado que usted está fuera de la escuela. ¿Tiene un empleo de tiempo completo o de tiempo parcial? ¿Tiene hijos? ¿Visita con frecuencia a su familia? ¿Practica algún deporte o participa en la orquesta o la compañía de teatro de la escuela? Puede ser estresante equilibrar todas las actividades y responsabilidades importantes en su vida cotidiana. La creación de un plan de administración del tiempo le ayudará a programar su tiempo de tal manera que logre hacer todo lo que necesita. Empecemos.

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Primero necesita un calendario. Puede utilizar un planificador diario, un calendario de un smartphone o un calendario en línea, como aquellos ofrecidos por Google, MSN o Yahoo. Es mejor tener un calendario en el que anote sus actividades diarias y pueda obtener también una vista semanal o mensual. Comience a llenar su calendario ahora, incluso si esto implica detenerse justo aquí y buscar un calendario. Algunas de las cosas que usted podría incluir son:

Tome nota Sea realista respecto al tiempo que puede dedicar. Un indicador es que trabajar 10 horas por semana equivale a tomar un curso de tres unidades aproximadamente. Si su universidad considera que 15 unidades es un volumen de trabajo completo y usted le está dedicando 10 horas por semana, debe considerar tomar 12 unidades. Entre más tiempo dedique, menos unidades debe tomar.

• Las horas en que se reúne cada grupo • El tiempo para ir y regresar del trabajo o la escuela • El tiempo libre, un aspecto importante de un estilo de vida saludable • El tiempo para estudiar. Asigne por lo menos una hora de estudio por cada hora de clase. Esto es lo mínimo

• Tiempo para comer • Su horario de trabajo • Tiempo para actividades extracurriculares como deportes, lecciones de música o trabajo voluntario • Tiempo para la familia y los amigos • Tiempo para dormir • Tiempo para hacer ejercicio

De verdad esperamos que haga esto. De no ser así, por favor reconsidérelo. Una de las mejores rutas hacia el éxito es comprender cuánto tiempo se requiere para tener éxito. Cuando termine su calendario, si no cuenta con suficiente tiempo para estar saludable física y emocionalmente, replantee algunas de sus actividades escolares o laborales. No queremos que pierda su empleo porque tiene que estudiar matemáticas. Por otro lado, no queremos que fracase en matemáticas debido a su trabajo. Si las matemáticas le resultan particularmente difíciles, considere tomar menos unidades del curso durante los semestres que cursa matemáticas. Esto se aplica también a cualquier otra materia que se le dificulte. No existe una regla que indique que debe terminar la universidad en cuatro años. Es un mito… descártelo ahora. Ahora amplíe su calendario para que cubra todo el semestre. Muchas de las entradas se repetirán, como el tiempo que un grupo se reúne. En su calendario ampliado, incluya sucesos significativos que puedan interrumpir su rutina normal. Éstos podrían incluir vacaciones, salidas con la familia, cumpleaños, aniversarios o eventos especiales como un partido de futbol. Además de estos sucesos, asegúrese de incluir las fechas de las pruebas, la fecha del examen final, y las fechas de entrega de los proyectos o documentos. Estos son todos los sucesos importantes del semestre. Tenerlos en su calendario le recordará que debe asignarles tiempo.

TIEMPO PARA ASISTIR A CLASES Para tener éxito, asista a clases. Tome en cuenta su compromiso de asistir a clases con la seriedad que se compromete en su empleo o asiste a una cita con una amistad que aprecia. Es difícil exagerar la importancia de asistir a clases. Si usted pierde el trabajo, no recibe su sueldo. Si falta a clases, no recibe el beneficio completo de su inversión en la enseñanza. Está perdiendo dinero. Si por alguna situación inevitable no puede asistir a clases, averigüe en cuanto le sea posible lo que se trató en clase. Podría: • Pedirle a un amigo sus notas y la tarea. • Ponerse en contacto con su profesor y solicitarle la tarea. Faltar a una clase no es excusa para no estar preparado para la clase siguiente. • Determine si hay recursos en línea que pueda usar como apoyo para los temas y conceptos que se trataron en la clase a la que faltó. Asistir a clases es importante. Una vez que esté ahí, participe en la clase. Involúcrese y sea activo. Cuando su profesor formule una pregunta, trate de responderla, al menos mentalmente. Si usted tiene una pregunta, plantéela. Su profesor espera que le hagan preguntas y quiere que usted comprenda el concepto que se está tratando.

TIEMPO PARA TAREAS Además de asistir a clases, usted debe hacer la tarea. La tarea es la mejor manera de reforzar las ideas presentadas en clase. Debe asignar por lo menos de una a dos horas para hacer la tarea y estudiar por cada hora que tome de clase. Hemos tenido muchos estudiantes que nos dicen que una o dos horas parece mucho tiempo. Tal vez sea cierto, pero si usted quiere alcanzar

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sus metas, debe estar dispuesto a dedicar el tiempo necesario para tener éxito en este curso de matemáticas. Debe programar el tiempo de estudio como si se tratara de horas de clase. Para ello, anote cuándo y dónde estudia mejor. Por ejemplo, ¿estudia mejor en casa, en la biblioteca, en el centro de matemáticas, bajo un árbol o en otro lugar? Algunos psicólogos que investigan las estrategias exitosas de estudio sugieren que el simple hecho de variar el lugar donde se estudia puede aumentar la eficacia de una sesión de estudio. Mientras considera dónde prefiere estudiar, piense también en la hora del día durante la cual su periodo de estudio será más productivo. Anote sus reflexiones.

Lea lo que ha escrito y asegúrese de que puede estar sistemáticamente en su entorno de estudio favorito en el momento que haya seleccionado. El estudio y la tarea son sumamente importantes. Del mismo modo que usted no debe faltar a clases, no pierda su tiempo de estudio. Antes de dejar este tema importante, le daremos algunas sugerencias. Si es posible, dedique una hora de estudio justo después de clases. El material estará fresco en su mente y el repaso inmediato, junto con su tarea, le ayudarán a reforzar los conceptos que está estudiando. Si no puede estudiar justo después de clases, asegúrese de que asigna un tiempo en el día de la clase para repasar las notas y comenzar a hacer la tarea. Entre más espere, más difícil será recordar algunos de los puntos importantes cubiertos durante la clase. El estudio de las matemáticas en fragmentos pequeños —una hora al día (quizá no sea suficiente para la mayoría de nosotros), todos los días, es mejor que siete horas en una sesión. Si usted va a estudiar por un periodo prolongado, divida su sesión al estudiar un tema durante un lapso y luego pasar a otro tema. Trate de alternar entre materias parecidas o relacionadas. Por ejemplo, estudie matemáticas durante un lapso, luego estudie ciencias y después regrese a matemáticas. O estudie historia durante un lapso, luego ciencias políticas y después regrese a historia. Reúnase con algunos de sus compañeros de clase y trate de formar un grupo de estudio. El grupo podría reunirse dos o tres veces por semana. Durante esas reuniones podrían formularse preguntas entre sí, prepararse para un examen, tratar de explicar un concepto a otro compañero del grupo o recibir ayuda sobre un tema que se le dificulte. Después de leer estas sugerencias, tal vez quiera replantear dónde y cuándo estudia mejor. Si éste es el caso, hágalo ahora. Recuerde, no obstante, que lo importante es su estilo personal. Elija lo que le funciona a usted, y apéguese a ello.

HÁBITOS DE LOS ESTUDIANTES EXITOSOS Los estudiantes exitosos tienen varios hábitos. Piense en cuáles podrían ser éstos y anótelos.

Lo que ha escrito es muy importante. Los hábitos que ha enumerado probablemente son las cosas que usted sabe que debe hacer para tener éxito. A continuación se presenta una lista de algunas de las respuestas de los estudiantes exitosos que hemos conocido. • Establecer prioridades. Usted encontrará muchas distracciones durante el semestre. No permita que le impidan alcanzar su meta. • Asumir la responsabilidad. Su profesor, este libro, los profesores, los centros de matemáticas y otros recursos están ahí para ayudarle a tener éxito. Sin embargo, en última instancia, debe elegir aprender; debe elegir el éxito.

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• Convivir con estudiantes exitosos. El éxito genera éxito. Al trabajar y estudiar con estudiantes exitosos, usted está en un ambiente que le ayudará a tener éxito. Busque personas que estén comprometidas con sus metas. • Estudiar con regularidad. Hemos hablado antes de esto, pero es muy importante como para repetirlo. • Autoevaluación. Una vez cada pocos días, seleccione ejercicios de tareas anteriores y utilícelos para probar su comprensión. Trate de realizar estos ejercicios sin apoyarse en los ejemplos del texto. Estas autoevaluaciones le ayudarán a adquirir la confianza de que puede resolver este tipo de problemas en un examen en clase. • Probar diferentes estrategias. Si usted lee el texto y sigue teniendo dificultades para entender un concepto, considere ir un paso más allá. Póngase en contacto con el profesor o busque un profesor particular. Numerosas universidades tienen algunos servicios gratuitos de tutoría. Acuda al centro de matemáticas o de aprendizaje. Consulte otro libro de texto. Sea activo y consiga la ayuda que necesita. • Elaborar flash cards. Esta es una de las estrategias que algunos estudiantes de matemáticas ni siquiera piensan en probar. Las flash cards son una parte muy importante del aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, su profesor puede utilizar palabras como lineal, cuadrática, exponente, base, racional y muchas otras. Si usted no conoce el significado de estas palabras, no sabrá de qué habla. • Perseverar. Su educación no es una carrera. La meta principal es terminar. Tomar demasiadas clases y luego abandonar algunas no le lleva al final más rápido. Tome sólo las clases que puede manejar.

A.2

Cómo utilizar este libro para tener éxito en este curso TENER UNA VISIÓN GENERAL Uno de los principales recursos a los que usted tendrá acceso a lo largo de todo el curso es este libro, el cual fue escrito teniéndolo a usted y su éxito en mente. La siguiente es una guía de las características del libro que le ayudarán a tener éxito. En realidad queremos proporcionarle una verdadera visión general. Tómese unos minutos para leer la tabla de contenido. Puede experimentar un poco de ansiedad por todos los conceptos nuevos que aprenderá. Trate de pensar en esto como en una oportunidad apasionante para aprender matemáticas. Ahora revise todo el libro. Cambie rápidamente las páginas. No invierta más de unos segundos en cada página. Analice los títulos, observe las fotografías y los diagramas. Tener esta “visión general” le ayudará a darse una idea de hacia dónde va este curso. Para alcanzar su meta, es importante que esté enterado de los pasos que tendrá que dar en el camino. A medida que revise el libro encontrará temas de su interés. ¿Cuál es su preferencia? ¿Las carreras? ¿La navegación a vela? ¿La televisión? ¿Los parques de diversiones? Encuentre el Índice de aplicaciones en la última parte del libro y escoja tres temas que le interesen. Escriba los temas aquí.

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COMPRENDER LA ORGANIZACIÓN Observe de nuevo la tabla de contenido. Hay 12 capítulos en el libro. Verá que todos se dividen en secciones y que cada sección contiene varios objetivos de aprendizaje, cada uno de los cuales está etiquetado con un número del 1 al 5. Conocer cómo está organizado este libro le ayudará a localizar temas y conceptos importantes mientras estudia.

Flash Card Regla para multiplicar expresiones exponenciales

Antes de empezar con un objetivo nuevo, tómese unos minutos para leer la descripción del mismo. Luego examine el material del objetivo. En particular, observe las palabras o frases en negritas —éstas son conceptos importantes que necesitará conocer a medida que avance en el curso. Estas palabras son buenos candidatos para las flash cards. De ser posible, incluya un ejemplo del concepto en dicha tarjeta, como se muestra a la izquierda. También verá conceptos y reglas importantes incluidas en recuadros. En seguida se proporciona un ejemplo sobre exponentes. Estas reglas también son buenos candidatos para las flash cards.

Si m y n son enteros, entonces x m # x n 5 x m 1n.

REGLA PARA MULTIPLICAR EXPRESIONES EXPONENCIALES

Ejemplos

Si m y n son enteros, entonces xm # xn 5 xm1n.

5

x # x 3 5 x 5 13 5 x 8 a # a 4 5 a 1 14 5 a 5 z 2 # z 4 # z 5 5 z 2 1415 5 z 11

1v 4r 32 1v 2r2 5 v 4 12r 311 5 v 6r 4

EJEMPLOS

1. x5 # x3 5 x5 1 3 5 x8 2. a # a4 5 a114 5 a5 3. z2 # z4 # z5 5 z21415 5 z11 4. 1v4r32 1v2r2 5 v412r311 5 v6r4

• Recuerde que a 5 a1.

• Sume los exponentes de las bases iguales.

Pase al objetivo 5.1.1 del capítulo 5. Anote las palabras en negritas y cualesquiera conceptos o reglas que se muestren en recuadros.

UTILIZAR EL MÉTODO INTERACTIVO Como mencionamos antes, el libro se basa en un método interactivo. Queremos que usted participe de manera activa en el aprendizaje de las matemáticas, y le hemos dado muchas sugerencias para ponerlas en práctica con este libro.

Concéntrese Observe las páginas 259-260. ¿Ve la sección Concéntrese? Esta sección introduce un concepto (en este caso, la suma de polinomios) e incluye una solución paso a paso del tipo de ejercicios que encontrará en las tareas.

Concéntrese en la suma de polinomios utilizando un formato horizontal o vertical. A. Sume 13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22 . Utilice un formato horizontal. Use las propiedades conmutativa y asociativa de la suma para reacomodar y agrupar los términos semejantes. Simplifique los términos semejantes.

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13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22 5 7x3 1 13x2 1 4x22 1 2x 1 127 2 32

5 7x3 1 7x2 1 2x 2 10

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B. Sume 14x2 2 3x 1 22 1 12x3 1 4x 2 72 . Utilice un formato vertical. 4x2 2 3x 1 2 1 4x 2 7

Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas.

2x

Sume los términos en cada columna.

2x3 1 4x2 1 x 2 5

3

Tome papel y un lápiz y trabaje mientras lee la sección Concéntrese. Cuando haya terminado, consiga una hoja de papel limpia. Escriba el problema y trate de completar la solución sin mirar sus notas o el libro. Cuando haya terminado, revise su respuesta. Si es correcta, está listo para seguir avanzando. Revise el texto y encuentre tres casos de la sección Concéntrese. Escriba los conceptos mencionados en cada caso.

Ejemplo/Problema par Usted necesita practicar para tener éxito en las matemáticas. Cuando se muestre un ejemplo, resuélvalo al lado de nuestra solución. Utilice los ejercicios de la sección Ejemplo/Problema par para practicar cuanto sea necesario. Eche un vistazo a la página 260. El ejemplo 5 y el problema 5 se reproducen aquí.

EJEMPLO 5 Solución

Sume 12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 utilizando un formato vertical. 2x3 1 5x2 2 7x 1 1 2x3 2 5x2 1 3x 2 6 x3 1 0x2 2 4x 2 5

• Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas. • Sume los términos en cada columna.

12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 5 x3 2 4x 2 5

Problema 5 Solución

Sume 1x3 2 x 1 22 1 1x2 1 x 2 62 utilizando un formato horizontal. Vea la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 264. Verá que cada ejemplo está totalmente resuelto. Estudie el ejemplo al resolver con cuidado cada paso. Luego trate de resolver el problema. Utilice la solución del ejemplo como modelo para resolver el problema. Si se atora en algún momento, las soluciones a los problemas se presentan al final del libro. Hay un número de página inmediatamente después del problema que muestra dónde se puede encontrar el ejercicio completamente resuelto. Utilice la solución para obtener una pista para el paso en el que está atorado. Luego vuelva a intentarlo. Cuando haya llegado a la solución, revise su trabajo contra la solución que aparece al final del libro. Pase a la página S16 para ver la solución del problema 5. Recuerde que a veces hay más de una manera de resolver un problema. Pero su respuesta siempre debe coincidir con la que se proporciona al final del libro. Si tiene alguna pregunta acerca de si su método funcionará, consulte con su profesor. Ahora observe la línea que dice, “Intente resolver el ejercicio 49 de la página 264”. Debe realizar el Ejercicio de prueba del conjunto de ejercicios para probar su comprensión de los conceptos que se han estudiado. Cuando haya terminado el ejercicio, compruebe su respuesta con aquella proporcionada en la sección Respuestas. Si su respuesta es incorrecta, intente de nuevo. Si sigue teniendo dificultades, busque ayuda de un amigo, un profesor particular o su profesor.

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UTILIZAR UNA ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS ESCRITOS Aprender a resolver problemas escritos es una de las razones por las cuales está estudiando matemáticas. Aquí es donde usted combina todas las habilidades de razonamiento que ha aprendido para resolver problemas prácticos. Trate de no sentirse intimidado por los problemas escritos. Básicamente, lo que necesita es una estrategia que le ayudará a proponer la ecuación necesaria para resolver el problema. Cuando se enfrente a un problema escrito, intente lo siguiente: • Lea el problema. Esto puede parecer obvio, pero queremos decir que lo lea con atención. No lo lea solamente, léalo despacio y con detenimiento. • Anote la información que le proporcionan y lo que le piden. Ahora que ha leído el problema, regrese y anote los datos que le proporcionan. Luego escriba los datos que debe hallar. No sólo piense en esto —¡anótelo! Sea lo más específico que pueda. Por ejemplo, si le piden calcular una distancia, no sólo escriba “Necesito calcular la distancia”. Sea más específico y escriba “Necesito calcular la distancia entre la Tierra y la Luna”. • Piense en un método para determinar lo que pide el problema. Por ejemplo, ¿existe una fórmula que relaciona las cantidades conocidas con las desconocidas? Desde luego este es el paso más difícil. Más adelante debe escribir una ecuación a resolver. • Resuelva la ecuación. Sea lo más cuidadoso que pueda cuando resuelva la ecuación. No tiene sentido llegar a este punto y luego por descuido cometer un error. La mayoría de los problemas le pide encontrar una unidad como pies, dólares o millas por hora. Cuando escriba su respuesta, incluya la unidad. Una respuesta como 20 no tiene mucho sentido. ¿Se trata de 20 pies, 20 dólares, 20 millas por hora o algo? • Compruebe su solución. Ahora que tiene la respuesta, regrese al problema y pregúntese si tiene sentido. Es un paso importante. Por ejemplo, si según su respuesta el costo de un automóvil es $2.51, algo está mal. En este libro, la solución de cada problema escrito se divide en dos pasos, Estrategia y Solución. La estrategia consiste en los primeros tres pasos estudiados antes. La solución son los últimos dos pasos. He aquí un ejemplo de las páginas 567-568 del libro. Dado que usted no ha estudiado los conceptos que involucra el problema, tal vez no pueda resolverlo. Pero observe los detalles proporcionados en la Estrategia. Cuando resuelva el Problema después de un Ejemplo, asegúrese de incluir su propia Estrategia.

EJEMPLO 1

Estrategia

El molibdeno-99 es un isótopo radiactivo utilizado en la medicina. Una muestra original de 20 microgramos de molibdeno-99 decae a 18 microgramos en 10 h. Calcule la vida media del molibdeno-99. Redondee a la hora más cercana. A0 , la cantidad original, es 20 microgramos. A, la cantidad final, es 18 microgramos. El tiempo es 10 h. Para calcular la vida media, resuelva la t 1 k ecuación del decaimiento exponencial A 5 A0 a b para la vida media, k. 2 t

Solución

1 k A ⫽ A0 a b 2

• Utilice la ecuación exponencial.

10

1 k 18 ⫽ 20a b 2

• A0 5 20, A 5 18, t 5 10

10

1 k 18 ⫽a b 20 2

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• Resuelva para k.

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10

18 1 k log 5 loga b 20 2 log

18 10 1 5 log 20 k 2 1 10 log 2 k5 18 log 20 k < 65.8

La vida media del molibdeno-99 es aproximadamente 66 h. Problema 1

Solución

El número de palabras por minuto que un estudiante puede teclear aumentará con la práctica y puede aproximarse mediante la ecuación N 5 100[1 2 (0.9) t], donde N es el número de palabras tecleadas por minuto después de t días de práctica. ¿En cuántos días el estudiante podrá teclear 60 palabras por minuto? Redondee al número entero de días más cercano. Vea la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 571.

Cuando haya terminado de estudiar una sección, resuelva los ejercicios que su profesor haya seleccionado. Las matemáticas no son un deporte de espectadores. Debe practicar diariamente. Haga la tarea y no se atrase.

APROBAR EL EXAMEN Este libro tiene una serie de características que le ayudarán a prepararse para un examen, las cuales le ayudarán aún más si usted hace algo muy simple: cuando esté haciendo su tarea, regrese a cada tarea anterior que le hayan dejado para el capítulo en curso y repase dos ejercicios. Así es, sólo dos ejercicios. Le sorprenderá cuánto mejor preparado estará para un examen al hacer esto. Estos son algunos apoyos adicionales que le ayudarán a aprobar el examen.

Resumen del capítulo Una vez que complete el capítulo, lea el resumen del mismo, el cual está dividido en dos secciones: Palabras clave y Reglas y procedimientos esenciales. Vaya a la página 103 para ver el Resumen del capítulo 2. El resumen muestra todos los temas importantes cubiertos en el capítulo. ¿Ve la referencia que va después de cada tema? Esta referencia le muestra el objetivo y la página del libro donde puede encontrar más información sobre el concepto. Anote el término clave y una Regla o procedimiento esencial. Explique el significado de la referencia 2.1.1 de la página 56.

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Ejercicios de repaso del capítulo Vaya a la página 105 para ver los Ejercicios de repaso del capítulo 2. Cuando usted realiza estos ejercicios, se está dando la oportunidad de probar su comprensión del capítulo. La respuesta de cada ejercicio de repaso se proporciona al final del libro, junto con el objetivo con el cual se relaciona la pregunta. Cuando haya terminado con los Ejercicios de repaso del capítulo, compruebe sus respuestas. Si ha tenido problemas con alguna de las respuestas, puede repasar los objetivos y resolver de nuevo algunos de los ejercicios de dichos objetivos para obtener ayuda adicional. Vaya a la sección de respuestas en la parte final del libro. Encuentre las respuestas para los Ejercicios de repaso del capítulo 2. Anote la respuesta al ejercicio 17. ¿Cuál es el significado de la referencia 2.4.2?

Examen del capítulo En cada capítulo puede encontrar un Examen del capítulo después de los Ejercicios de repaso, el cual puede utilizar para prepararse para su examen. La respuesta de cada pregunta del examen se proporciona al final del libro, junto con una referencia al objetivo y a las secciones Concéntrese, Ejemplo o Problema con que se relaciona la pregunta. Piense en estos exámenes como una “serie de prácticas” para sus exámenes en clase. Realice el examen en un lugar tranquilo, y trate de resolverlo en la misma cantidad de tiempo que se le asignará en el examen real. Los apoyos que mencionamos anteriormente le ayudarán a prepararse para un examen. Debe comenzar su repaso por lo menos dos días antes del examen, si son tres días, mejor. Estos apoyos le ayudarán a prepararse para el mismo. Estas son algunas sugerencias para cuando presente el examen real. • Trate de relajarse. Sabemos que la presentación de un examen es una situación que pone muy nerviosos o ansiosos a algunos estudiantes. Estos sentimientos son normales. Trate de permanecer calmado y concentrado en lo que sabe. Si se ha preparado como le hemos sugerido, las respuestas comenzarán a llegarle. • Hojee el examen. Tenga una visión general. • Lea detenidamente las instrucciones. Asegúrese de dar una respuesta completa a cada pregunta. • Resuelva primero los problemas más fáciles para usted. Esto le ayudará a adquirir confianza y a reducir la sensación de nerviosismo que pueda tener.

EN SUS MARCAS, LISTOS, ¡ÉXITO! Se requiere trabajar arduamente y comprometerse con el éxito, pero sabemos que usted puede lograrlo. Obtener buenos resultados en matemáticas es sólo uno de los pasos que le llevarán al éxito. Buena suerte. Le deseamos lo mejor.

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CAPÍTULO

Digital Vision

Los números reales

Concéntrese en el éxito ¿Ha leído Aspire al éxito? Describe las habilidades de estudio empleadas por los estudiantes que han tenido éxito en sus cursos de matemáticas. Este prefacio le proporciona consejos sobre cómo permanecer motivado, administrar su tiempo y prepararse para los exámenes. También incluye una guía completa para el libro y cómo usar sus características para tener éxito en este curso. Aspire al éxito comienza en la página A-1.

OBJETIVOS 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1 Desigualdad y valor absoluto 2 Notación de intervalos y

operaciones con conjuntos 1 Operaciones con números enteros 2 El orden o jerarquía de las operaciones 1 Operaciones con números racionales 2 Orden de las operaciones y fracciones complejas 3 Notación decimal 1 Propiedades de los números reales 2 Evaluar expresiones algebraicas 3 Simplificar expresiones algebraicas 1 Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 2 Problemas de aplicación

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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. Para los ejercicios 1 a 8, sume, reste, multiplique o divida. 1.

7 5 1 12 30

2.

8 7 2 15 20

3.

5# 4 6 15

4.

4 2 4 15 5

5. 8 1 29.34 1 7.065

6. 92 2 18.37

7. 2.19 13.42

8. 32.436 4 0.6

9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28? (i) 26 (ii) 210 (iii) 0 (iv) 8 10. Una cada fracción con su equivalente decimal. 1 a. A. 0.75 2 7 b. B. 0.89 10 3 c. C. 0.5 4 89 d. D. 0.7 100

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CAPÍTULO 1

1.1 OBJETIVO

Los números reales

Introducción a los números reales Desigualdad y valor absoluto Parece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejemplo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.

Punto de interés La Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.

Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo, a [ 5 a, b, c, d, e 6

d [ 5 a, b, c, d, e 6

k o 5 a, b, c, d, e 6

Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales. Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6 Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos. Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro.

Punto de interés El concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completamente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.

Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6 Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero. Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6 Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo. Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción pq, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales. p Números racionales 5 e , donde p y q son enteros y q 2 0 f q Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 51 . Observe que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número p4 no es un número racional debido a que p no es un entero. Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales periódicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten. Decimales finitos o últimos 0.5 Decimales periódicos

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 2

2.34

26.20137

7

0.3 5 0.33 c 1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c

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SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

3

Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales. Números reales 5 5números racionales y números irracionales6

La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente. Números naturales (Enteros positivos) Cero

Números racionales

Enteros

Números irracionales

Enteros negativos

Concéntrese

Números reales

en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número Determine cuáles de los números siguientes son a. números enteros

b. números racionales

c. números irracionales

d. números reales

e. números primos

f. números compuestos

21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,

19 20 , 2 !7

a. Enteros: 21, 0, 5, 63 19 2 20 c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, !7 19 20 d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, , 2 !7 e. Números primos: 5 b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63,

f. Números compuestos: 63 La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica directamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo. –5 –4 –3 –2 –1 –2.34 –

0 1 2

1

2 5 3

3

4

π

17

5

Considere estos enunciados: El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente. Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año. En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable. Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable. En la siguiente definición se utilizan variables.

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 3

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4

CAPÍTULO 1

Los números reales

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD

Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se escribe a , b. Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se escribe a . b. EJEMPLOS

1. 22 , 8

2. 21 . 25

3.

0.2

2 3

4.

p , !17

Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes. 4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5. 5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.

EJEMPLO 1 Solución

Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera? Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera. y $ 21 25 $ 21 23 $ 21 21 $ 21 1 $ 21

Una expresión falsa Una expresión falsa Una expresión verdadera Una expresión verdadera

La desigualdad es verdadera para 21 y 1. Problema 1 Solución

Sea z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles valores de z la desigualdad z # 0 es una expresión verdadera?

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 10. Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.

5 –5 –4 –3 –2 –1 0

5 1

2

3

4

5

El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2. 2142 significa el inverso aditivo del positivo 4. 21242 significa el inverso aditivo del negativo 4.

EJEMPLO 2 Solución

Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto. 2a 2 12122 5 12 2 102 5 0 2 142 5 24

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 4

2142 5 24 21242 5 4

• Escriba la expresión para el inverso aditivo de a. • Sustituya a con cada elemento del conjunto y determine el valor de la expresión.

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SECCIÓN 1.1

Problema 2 Solución

5

Introducción a los números reales

Sea v [ 528, 0, 96. Determine 2v, el inverso aditivo de v, para cada elemento del conjunto. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 10. 5

5

– 5 – 4 – 3 – 2 –1 0

1

2

3

4

5

El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces 0a0 5 e

a, a $ 0 2a, a , 0

EJEMPLOS

1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo. 2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8. 3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la distancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.

EJEMPLO 3 Solución Problema 3 Solución

Evalúe: 2 0 212 0

A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consiguiente, 2 0 212 0 5 212. Evalúe: 0 223 0

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 10.

OBJETIVO

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enumerarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto. El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.

EJEMPLO 4 Solución

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 5

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números naturales menores que 10. 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96

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6

CAPÍTULO 1

Los números reales

Problema 4 Solución

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros negativos impares mayores que 28. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 11. Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta notación se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe 5x 0 x , 23, x [ enteros6

y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos. El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe 5x 0 x , 5, x [ números reales6

y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”. Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ números reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.

EJEMPLO 5 Solución Problema 5 Solución

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales mayores que 22.

5 x 0 x . 22 6

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números enteros menores o iguales que 7. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 11. La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

EJEMPLO 6 Solución

2

3

4

5

Grafique: 5x 0 x # 36: El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.

–5 –4 –3 –2 –1 0

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 6

1

1

2

3

4

5

• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.

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SECCIÓN 1.1

Problema 6 Solución

7

Introducción a los números reales

Grafique: 5x 0 x . 236 Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 11. También es posible localizar los números reales entre dos números dados.

Concéntrese

en graficar un conjunto de números reales Grafique: 5 x 0 0 # x , 4 6

La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los números dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3. Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto. Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos. Notación de conjuntos 5 x 0 23 # x # 2 6

Notación de intervalos 3 23, 2 4 , un intervalo cerrado

5 x 0 23 , x , 2 6

123, 22 , un intervalo abierto

5 x 0 23 # x , 2 6

3 23, 22 , un intervalo medio abierto

5 x 0 23 , x # 2 6

123, 2 4 , un intervalo medio abierto

Gráfica –5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indicar que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes. Notación de conjuntos 5x 0 x . 16

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 7

Notación de intervalos 11, ` 2

5x 0 x $ 16

3 1, ` 2

5x 0 x , 16

12`, 12

5x 0 x # 16

12`, 1 4

5 x 0 2` , x , ` 6

12`, ` 2

Gráfica –5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 – 1 0

1

2

3

4

5

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8

CAPÍTULO 1

Los números reales

EJEMPLO 7

Utilice la notación dada o grafique para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.

Notación de conjuntos

A. 5 x 0 0 # x # 1 6 B. ? C. ?

Notación de intervalos ? 3 23, 42 ?

Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Solución Notación de conjuntos

A. 5 x 0 0 # x # 1 6

B. 5 x 0 23 # x , 4 6 C. 5 x 0 x , 0 6 Problema 7

3 0, 1 4

Gráfica

3 23, 42

12`, 02

Utilice la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de interrogación.

Notación de conjuntos

A. 5 x 0 22 , x , 0 6 B. ? C. ? Solución

Notación de intervalos

Notación de intervalos ? 121, 2 4 ?

Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Revise la página S1.

† Intente resolver los ejercicios 73, 77 y 93 de las páginas 11 y 12. Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección. UNIÓN DE DOS CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6 EJEMPLOS

Punto de interés Los símbolos [, h y x se utilizaron por primera vez en Arithmetices Principia, Nova Expósita (El principio de las matemáticas, un método de exposición nuevo), de Giuseppe Peano, publicado en 1889. El propósito de este libro era deducir los principios de las matemáticas a partir de la lógica pura.

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1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Observe que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.

INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, esto se escribe A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6

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SECCIÓN 1.1

9

Introducción a los números reales

EJEMPLOS

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos comunes para C y D. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86. Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.

EJEMPLO 8 Solución

Grafique. A. 5 x 0 x # 21 6

h

5 x 0 x . 3 6 B. 12`, 32

x

3 21, ` 2

A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los números reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 3 6 . –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

• La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36 contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3.

B. El conjunto (2`, 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21. La gráfica de (2`, 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Los números reales que son elementos de (2`, 3) y [21, `) corresponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2`, 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observe que 3 no es un elemento de (2`, 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersección de los conjuntos. –5 –4 –3 –2 –1 0

Problema 8

2

3

4

5

Grafique A. 12`, 21 4 B. 5 x 0 x # 3 6

Solución

1

h x

3 2, 42

5 x 0 23 , x , 56

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 103 de la página 12.

1.1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine cuáles de los números son a. números naturales, b. enteros positivos, c. enteros negativos. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626 2. 31, 245, 22, 9.7, 8600,

1 2

Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 15 !5 3. 2 , 0, 23, p, 2.33, 4.232232223 c, , !7 2 4

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10

CAPÍTULO 1

Los números reales

5.

27 3 , 21.010010001 c, , 6.12 p 91 ¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.

6.

¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.

7.

¿Qué es el inverso aditivo de un número?

8.

¿Cuál es el valor absoluto de un número?

9.

Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.

4. 217, 0.3412,

Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.

10.

Desigualdad y valor absoluto (Revise las páginas 2-5.) PREPÁRESE 11. Un número como 0.63633633363333c, cuya notación decimal no termina ni se ? . repite, es un ejemplo de un número 12. El inverso aditivo de un número negativo es un número 13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y

?

?

el conjunto 51, 3, 5, 7, 96”.

.

14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos. Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes. 3 4

15. 27

16. 23

17.

20. 2p

21. 2!33

22. 21.23

18. !17 † 23. 291

19. 0 24. 2

2 3

† 25. Sea x [ 523, 0, 76. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 5 es verdadera?

26. Sea z [ 524, 21, 46. ¿Para cuáles valores de z la expresión z . 22 es verdadera?

29. Sea w [ 522, 21, 0, 16. ¿Para cuáles valores de w la expresión w # 21 es verdadera?

30. Sea p [ 5210, 25, 0, 56. ¿Para cuáles valores de p la expresión p $ 0 es verdadera?

27. Sea y [ 526, 24, 76. ¿Para cuáles valores de y es verdadera la expresión y . 24?

31. Sea b [ 529, 0, 96. Evalúe 2b para cada elemento del conjunto.

† 33. Sea c [ 524, 0, 46. Evalúe 0 c 0 para cada elemento del conjunto.

35. Sea m [ 526, 22, 0, 1, 46. Evalúe 2 0 m 0 para cada elemento del conjunto.

28. Sea x [ 526, 23, 36. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 23 es verdadera?

32. Sea a [ 523, 22, 06. Evalúe 2a para cada elemento del conjunto. 34. Sea q [ 523, 0, 76. Evalúe 0 q 0 para cada elemento del conjunto. 36. Sea x [ 525, 23, 0, 2, 56. Evalúe 2 0 x 0 para cada elemento del conjunto.

¿Existen números reales x para los cuales 2x . 0? Si es así, descríbalos.

37.

¿Existen números reales y para los cuales 2 0 y 0 . 0? Si es así, descríbalos.

38.

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos (Revise las páginas 5-9.) PREPÁRESE 39. Dos maneras de escribir el conjunto de los números naturales menores que 5 son 50, 1, 2, 3, 46 y 5n 0 n , 5, n [ números naturales6. La primera utiliza el método ? y la segunda la notación ? .

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SECCIÓN 1.1

11

Introducción a los números reales

? . El símbolo para la intersección es ? . 40. El símbolo para la “unión” es ? 41. El símbolo ` se llama símbolo . 42. Reemplace cada signo de interrogación con “incluye” o “no incluye” para hacer ? verdadera la expresión siguiente. El conjunto [24, 7) el número 24 y ? el número 7.

Utilice el método de lista para escribir el conjunto. † 43. los enteros entre 23 y 5

44. los enteros entre 24 y 0

45. los números naturales pares menores que 14

46. los números naturales impares menores que 14

47. los enteros positivos múltiplos de 3 que son menores o iguales que 30

48. los enteros negativos múltiplos de 4 que son mayores o iguales que 220

49. los enteros negativos múltiplos de 5 que son mayores o iguales que 235

50. los enteros positivos múltiplos de 6 que son menores o iguales que 36

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto. † 51. los enteros mayores que 4

52. los enteros menores que 22

53. los números enteros mayores o iguales que 22

54. los números reales menores o iguales que 2

55. los números reales entre 0 y 1

56. los números reales entre 22 y 5

57. los números reales entre 1 y 4, inclusive

58. los números reales entre 0 y 2, inclusive

Grafique.

59. 5 x 0 21 , x , 5 6

60. 5 x 0 1 , x , 3 6

61. x 0 0 # x # 3 6

62. 5 x 0 21 # x # 1 6

† 63. 5 x 0 x , 2 6

64. 5 x 0 x , 21 6

65. 5 x 0 x $ 1 6

66. 5 x 0 x # 22 6

Escriba cada intervalo en notación de conjuntos. 67. 10, 82

72. 14, 5 4

68. 122, 42

† 73. 12`, 4 4

69. 3 25, 7 4

70. 3 3, 4 4

71. 3 23, 62

74. 12`, 222

75. 15, ` 2

76. 3 22, ` 2

Escriba cada conjunto de números reales en notación de intervalos. 78. 5 x 0 0 , x , 3 6

79. 5 x 0 21 # x # 5 6

80. 5 x 0 0 # x # 3 6

81. 5 x 0 x , 1 6

82. 5 x 0 x # 6 6

83. 5 x 0 22 # x , 6 6

84. 5 x 0 x $ 3 6

85. 5 x 0 x [ números reales 6

86. 5 x 0 x . 21 6

† 77. 5 x 0 22 , x , 4 6

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12

CAPÍTULO 1

Los números reales

Grafique.

87. 122, 52

88. 10, 32

89. 3 21, 2 4

90. 3 23, 2 4

91. 12`, 3 4

92. 12`, 212

† 93. 3 3, ` 2

94. 3 22, ` 2

Encuentre A < B y A > B.

95. A 5 5 1, 4, 9 6 , B 5 5 2, 4, 6 6

96. A 5 5 21, 0, 1 6 , B 5 5 0, 1, 2 6

97. A 5 5 2, 3, 5, 8 6 , B 5 5 9, 10 6

98. A 5 5 1, 3, 5, 7 6 , B 5 5 2, 4, 6, 8 6

99. A 5 5 24, 22, 0, 2, 4 6 , B 5 5 0, 4, 8 6

100. A 5 5 23, 22, 21 6 , B 5 5 22, 21, 0, 1 6 102. A 5 5 2, 4 6 , B 5 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 6

101. A 5 5 1, 2, 3, 4, 5 6 , B 5 5 3, 4, 5 6

Grafique

† 103. 5 x 0 x . 1 6

h

5 x 0 x , 21 6

104. 5 x 0 x # 2 6

h

5x 0 x . 46

105. 5 x 0 x # 2 6

x

5x 0 x $ 06

5x 0 x # 46

107. 5 x 0 x . 1 6

x

5 x 0 x $ 22 6

108. 5 x 0 x , 4 6

x

5x 0 x # 06

111. 12`, 2 4

3 4, ` 2

106. 5 x 0 x . 21 6

x

109. 5 x 0 x . 2 6

h

5x 0 x . 16

112. 123, 4 4

3 21, 52

115. 12, ` 2

117.

h

h

110. 5 x 0 x , 22 6 113. 3 21, 2 4

122, 4 4

116. 12`, 2 4

x

h

h

5 x 0 x , 24 6

3 0, 4 4

114. 3 25, 42

h

x

122, ` 2

14, ` 2

¿Cuál conjunto es un conjunto vacío? (i) 5 x 0 x [ enteros 6 x 5 x 0 x [ números racionales 6 (ii) 5 24, 22, 0, 2, 4 6 h 5 23, 21, 1, 3 6 (iii) 3 5, ` 2 x 10, 52

118.

¿Cuál conjunto no es equivalente al intervalo [21, 6)? (i) 5 x 0 21 # x , 6 6 (ii) 5 x 0 x $ 21 6 h 5 x 0 x , 6 6 (iii) 5 x 0 x , 6 6 x 5 x 0 x $ 21 6

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

Sean R 5 5x 0 x [ números reales6, A 5 5x 021 # x # 16, B 5 5x 0 0 # x # 16, C 5 5x 021 # x # 06, y [ 5 conjunto vacío. Indique si cada una de las expresiones siguientes es equivalente a R, A, B, C o [. 119. A h B 120. A h A 121. B x B 122. A h C

123. A x R

124. C x R

128. R x [

125. B h R

126. A h R

127. R h R

129. El conjunto B > C no puede expresarse utilizando R, A, B, C o [. ¿Qué número real se representa por B > C? 130.

Un estudiante escribió 23 . x . 5 como la desigualdad que representa los números reales menores que 23 o mayores que 5. Explique por qué esta notación es incorrecta.

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SECCIÓN 1.2

Grafique el conjunto solución.

13

Operaciones con números enteros

131. 0 x 0 , 2

132. 0 x 0 , 5

133. 0 x 0 . 3

134. 0 x 0 . 4

135. Dado que a, b, c y d son números reales positivos, ¿cuál de las respuestas siguientes asegu2b rará que ac 2 d # 0? (i) a $ b y c . d

(ii) a # b y c . d

(iii) a $ b y c , d

(iv) a # b y c , d

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Por ejemplo, si nuestra atención estuviera centrada en el conjunto de los números enteros, entonces el conjunto universal sería el conjunto de los números enteros. Si nos interesáramos por todos los números naturales menores que 10, entonces el conjunto universal sería U 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96. El complemento de un conjunto E, designado por Ec, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen a E. 136. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 52, 4, 6, 86. Encuentre Ec.

137. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 5números primos menores que 106. Encuentre Ec.

138. Sea U 5 5x 0 x [ números naturales6 y E 5 5x 0 x [ números naturales impares6. Encuentre Ec.

139. Sea U 5 5x 0 X [ números reales6 y E 5 5x 0 x [ números racionales6. Encuentre Ec.

140. Si E es un conjunto dentro del conjunto universal U, encuentre a. E < Ec y b. E > Ec.

1.2 OBJETIVO Punto de interés Las reglas para efectuar operaciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas reglas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.

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Operaciones con números enteros Operaciones con números enteros Para tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A continuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.

SUMA DE NÚMEROS REALES

Números que tienen el mismo signo Para sumar dos números que tienen el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Luego coloque el signo de los sumandos.

Números que tienen diferentes signos Para sumar dos números con diferente signo, encuentre el valor absoluto de cada número. Reste el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloque el signo del número con el valor absoluto mayor.

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14

CAPÍTULO 1

Concéntrese

Los números reales

en la suma de números reales Sume. A. 265 1 12482

B. 17 1 12532

C. 245 1 81

A. Los signos son iguales. Sume los valores absolutos de los números. 0 265 0 1 0 248 0 5 65 1 48 5 113

Luego coloque el signo de los sumandos. 265 1 12482 5 2113

B. Los números tienen signos distintos. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 17 0 5 17

0 253 0 5 53

Reste el menor de estos números del mayor. 53 2 17 5 36

Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , coloque el signo de 253. 17 1 12532 5 236

C. Los números tienen diferente signo. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 245 0 5 45

0 81 0 5 81

Reste el menor de estos dos números del mayor. 81 2 45 5 36

Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , coloque el signo de 81. 245 1 81 5 36

RESTA DE NÚMEROS REALES

Para restar dos números reales, sume al primer número el opuesto del segundo.

Concéntrese

en la resta de números reales Reste. A. 48 2 12222

A. 48 2 12222

Sume el opuesto de 222.

c

5 48 1 22 5 70 Sume el opuesto de 37.

B. 217 2 37

B. 217 2 37 C. 225 2 12142

c

5 217 1 12372 5 254

Sume el opuesto de 214.

c

C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211

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SECCIÓN 1.2

15

Operaciones con números enteros

A menudo es necesario escribir una expresión matemática a partir de una verbal. Estas son algunas palabras y frases que se utilizan para indicar la suma y la resta. Palabras o frases para la suma

8 1 1232 5 5

más que

23 más que 8

la suma de

la suma de 25 y 29

25 1 1292 5 214

aumentado por

27 aumentado por 10

27 1 10 5 3

el total de

el total de 223 y 14

223 1 14 5 29

más

215 más 219

215 1 12192 5 234

Palabras o frases para la resta

12 2 20 5 12 1 12202 5 28

menos

12 menos 20

menos que

5 menos que 29

29 2 5 5 29 1 1252 5 214

menos

8 menos 29

8 2 1292 5 8 1 9 5 17

la diferencia entre

la diferencia entre 3 y 28

disminuido por

27 disminuido por 5

EJEMPLO 1

3 2 1282 5 3 1 8 5 11 27 2 5 5 27 1 1252 5 212

Resuelva. A. ¿Cuánto es 27 más que 25? B. Encuentre la diferencia entre 211 y 28.

Solución

Problema 1

A. 25 1 27 5 22 B. 211 2 1282 5 211 1 8 5 23 Resuelva. A. ¿Cuál es la suma de 221 y 32? B. ¿Cuánto es 212 menos que 7?

Solución

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 20.

MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Números que tienen el mismo signo El producto o cociente de dos números con el mismo signo es positivo.

Números que tienen signos distintos El producto o cociente de dos números con diferente signo es negativo.

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16

CAPÍTULO 1

Los números reales

EJEMPLOS

Tome nota Observe en el ejemplo (4) de la derecha que utilizamos una barra de fracciones para denotar la división. La fracción 275 25 se lee 275 dividido por 25. “La barra de fracciones se lee “dividido por” o “dividido entre”.

1. 212 12152 5 180 3. 12652 4 1252 5 13

2. 221 1142 5 2294 275 4. 5 23 25

En seguida se presentan algunas palabras y frases que indican la multiplicación y la división. Palabras o frases para la multiplicación

5 1262 5 230

veces

5 veces 26

el producto de

el producto de 25 y 29

25 1292 5 45

el doble

el doble de 25

2 1252 5 210

Palabras o frases para la división el cociente de

el cociente de 15 y 23

15 4 1232 5 25

dividido entre

228 dividido entre 27

12282 4 1272 5 4

EJEMPLO 2

Resuelva. A. Calcule el cociente de 260 y 12. B. ¿Cuál es el producto de 215 y 25?

Solución

Problema 2

A. 12602 4 12 5 25 B. 215 1252 5 75 Resuelva.

A. Calcule 214 veces 25. B. ¿Cuánto es 236 dividido entre 9? Solución

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 20. La relación entre la multiplicación y la división conduce a las propiedades siguientes.

Tome nota Recuerde que por cada problema de división, existe un problema de multiplicación relacionado. Por ejemplo, para el problema de división 123 5 4, el problema de multiplicación relacionado es 4 · 3 5 12.

PROPIEDADES DEL CERO Y DEL UNO EN LA DIVISIÓN

1. Cualquier número dividido entre 1 es el número mismo. a 5a 1 2. El cero dividido entre cualquier número diferente de cero es cero. 0 5 0, a 2 0 a 3. La división entre cero no está definida. 4. Cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es 1.

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SECCIÓN 1.2

17

Operaciones con números enteros

EJEMPLOS

12 5 12 1 0 2. 50 7

1.

3.

4 0

4.

12 51 12

25 5 25 1 0 50 215

no está definido.

0 0

1 51 1

no está definido.

227 51 227

4 Para comprender que la división entre cero no está permitida, suponga que 0 5 n, donde n es cierto número. Dado que cada problema de división tiene un problema de multiplicación 4 relacionado, 0 5 n significa n # 0 5 4. Pero n # 0 5 4 es imposible porque cualquier número multiplicado por 0 es 0. Por tanto, la división entre 0 no está definida. 0 Asimismo, suponga que 0 5 n. La multiplicación relacionada es 0 5 n # 0. La dificultad aquí es que cualquier número n haría verdadera a la ecuación, de manera que no hay una respuesta única. Debido a ello, 00 no está definida.

Exponente Base

b # b # b # b # b 5 b5 c

c

2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 5 26 c

c

La multiplicación repetida del mismo factor puede escribirse utilizando un exponente. Exponente Base

El exponente indica cuántas veces el factor, llamado la base, ocurre en la multiplicación. La multiplicación 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 está en forma factorizada. La expresión 26 está en forma exponencial. 21 se lee “la primera potencia de dos” o solo “dos”. 22 se lee “la segunda potencia de dos” o “dos al cuadrado”.

Por lo general el exponente 1 no se escribe.

23 se lee “la tercera potencia de dos” o “dos al cubo”. 24 se lee “la cuarta potencia de dos” o “2 a la cuarta”. 25 se lee “la quinta potencia de dos” o “2 a la quinta”. b5 se lee “la quinta potencia de b” o “b a la quinta”.

ENÉSIMA POTENCIA DE a

Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces la enésima potencia de a es el producto de n factores de a.

H

an 5 a # a # a # c # a a como un factor n veces

EJEMPLOS

1. 53 5 5 # 5 # 5 5 125 2. 1232 4 5 1232 1232 1232 1232 5 81 3. 234 5 2 13 # 3 # 3 # 32 5 281

Note la diferencia entre los ejemplos (2) y (3) anteriores. (23)4 significa que utilizamos 23 como un factor 4 veces. Sin embargo, 234 5 2(34). En este caso, 234 significa que usamos 3 como un factor 4 veces y luego encontramos el opuesto del resultado. Estos son algunos ejemplos más.

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18

CAPÍTULO 1

Los números reales

1262 3 5 1262 1262 1262 5 2216

26 5 2 16 # 6 # 62 5 2216 3

Utilice 6 como un factor 3 veces. Luego encuentre el opuesto.

1252 4 5 1252 1252 1252 1252 5 625

254 5 2 15 # 5 # 5 # 52 5 2625

EJEMPLO 3

Problema 3

Utilice 25 como un factor 4 veces. Utilice 5 como un factor 4 veces. Luego encuentre el opuesto.

Evalúe. A. B. C.

Solución

Utilice 26 como un factor 3 veces.

1272 3

244 1222 4 # 1232 3

A. 1272 3 5 1272 1272 1272 5 2343 B. 244 5 2 14 # 4 # 4 # 42 5 2256 C. 1222 4 # 1232 3 5 1222 1222 1222 1222 1232 1232 1232 5 2432

Evalúe. A. 253 B. 1222 7

C. 34 # 1222 2 Solución

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 20.

OBJETIVO

El orden o jerarquía de las operaciones Cuando una expresión contiene varias operaciones, se utiliza el orden o jerarquía de las operaciones para simplificar la expresión.

EL ORDEN O JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Paso 1 Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Estos símbolos incluyen los paréntesis, los corchetes, el símbolo de valor absoluto, y la barra de fracciones. Paso 2 Simplifique las expresiones con exponentes. Paso 3 Realice las multiplicaciones y las divisiones como se presentan de izquierda a derecha. Paso 4 Realice las sumas y las restas como se presentan de izquierda a derecha. EJEMPLOS

1. 3 14 2 92 5 3 1252 5 215 4 # 2. 3 2 5 3 # 16 5 48 3. 12 4 6 # 3 5 2 # 3 56 # 4. 5 2 2 4 5 5 2 8 5 23

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• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. [Paso 1] • Multiplique. [Paso 3] • Simplifique las expresiones con exponentes. [Paso 2] • Multiplique. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. [Paso 3] • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas. [Paso 4]

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SECCIÓN 1.2

EJEMPLO 4 Solución

Operaciones con números enteros

Simplifique: 9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3

9 4 16 2 32 2 3 18 2 102 3 5 9 4 3 2 3 1222 3 5 9 4 3 2 3 # 282 5 3 2 12242 5 27

Problema 4 Solución

19

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.

Simplifique: 24 2 18 4 6 13 2 62 3 Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 21.

EJEMPLO 5 Solución

Simplifique:

14 2 26 9 2 15 2 18a b 4 32 4 6

14 2 26 9 2 15 2 18a b 4 32 4 6 212 26 2 18a b 4 32 4 6 5 23 2 18 1212 4 32

5

5 23 2 18 1212 4 9 5 23 2 1218 2 4 9 5 23 2 1222 5 21

Problema 5 Solución

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación de esta expresión son las barras de fracciones y los paréntesis. Simplifique el numerador en cada fracción. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice las multiplicaciones y las divisiones como se presentan de izquierda a derecha. • Realice las sumas y las restas como se presentan de izquierda a derecha.

Simplifique: 4 2 2 3 125 2 92 4 23 4 2 Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 21.

1.2

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. 2.

Explique cómo sumar a. dos enteros con el mismo signo y b. dos enteros con diferente signo. Explique cómo reescribir 8 2 12122 como la suma del opuesto.

3. Cuando se suman dos números, ¿la suma siempre es mayor que cualquiera de los dos números que se están sumando? Si no es así, proporcione un ejemplo. 4. Si el producto de dos números es positivo, ¿qué se puede decir acerca de los números? 5. Si el cociente de dos números es negativo, ¿qué se puede decir acerca de los números? 6. ¿Es posible restar dos números negativos y obtener un número positivo? En tal caso, dé un ejemplo. 7. Si el producto de dos números es cero, ¿qué se puede decir acerca de los números?

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20

CAPÍTULO 1

Los números reales

8. Escriba en forma exponencial la séptima potencia de 3. 9. Escriba en forma exponencial la sexta potencia de 25. 10. Reemplace el signo de interrogación entre las dos expresiones con 5, , o . para hacer verdadera la expresión. 822#5

?

18 2 22 # 5

Operaciones con números enteros (Revise las páginas 13-18.) PREPÁRESE 11. Simplifique: 28 2 (23): Escriba la resta como la suma del opuesto.

28 2 123 5 28 1 5

Sume.

12. Escriba la expresión de división 63 4 (29) como la fracción ? .

? ?.

.

El cociente es

Sin hacer el cálculo, determine si 278 es un número negativo.

13. 14.

?

?

¿Cuál de las opciones siguientes es un número positivo?

24 , 1242 5, 246, 1242 6 5

Realice la operación indicada. 15. 2 2 1272

16. 192 4 1232 2

21. 28 1292

22. 216 1322

18. 210 12272

17. 14 1 12262

19. 29 1 1222

24. 210 4 12302

20. 24 2 1222

23. 220 122

26. 2140 4 12282

25. 216 1 33

27. 13 1 12292

28. 228 1322

29. 221 2 6

32. 34 1 1262

31. 230 1232

30. 216 2 35 33. Realice la suma de 24 y 28.

34. ¿Cuál es el producto de 25 y 12?

† 35. ¿Cuánto es 48 dividido por 212?

36. ¿Qué número es 5 menos que 2?

37. ¿Cuál es la diferencia entre 223 y 41?

38. ¿Cuál es el cociente de 265 y 25?

39. Encuentre 17 disminuido por 21.

40. Encuentre 227 aumentado por 9.

† 41. Encuentre 16 más que 242.

42. Encuentre la diferencia entre 24 y 14.

43. Encuentre 21 menos que 233.

44. ¿Cuál es el total de 221 y 215?

Evalúe. 45. 53

49. 1252 3 † 53. 222 # 32

46. 34

50. 1282 2 54. 232 # 53

47. 223

48. 243

51. 22 # 34

52. 42 # 33

55. 1222 3 1232 2

56. 1242 3 1222 3

Resuelva los ejercicios 57 y 58 sin usar una calculadora. 57. Determine si la suma, diferencia o producto es positivo o negativo. a. la suma 567 + (2812) b. la diferencia 2259 2 (2327) c. el producto de cuatro números positivos y tres números negativos d. el producto de tres números positivos y cuatro números negativos

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SECCIÓN 1.2

Operaciones con números enteros

58. Determine si cada cociente es positivo, negativo, cero o no está definido. 693 0 b. 2416 4 52 c. 2 a. 291 299

21

d. 287 4 0

El orden o jerarquía de las operaciones (Revise las páginas 18-19.) PREPÁRESE

59. Simplifique: 52 2 110 4 22 3 4 5 52 2 110 4 22 3 4 5 5 52 2 1 ? 5 5 25 2 ? 5

60.

23 4 5

? 2 ?

?

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación.

45

• Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice la multiplicación y la división. • Realice la suma y la resta.

¿Por qué necesitamos el orden de las operaciones?

Simplifique. 61. 27 2 12 4 3 2 52

62. 23 # 23 2 5 11 2 7 2

64. 5 2 3 18 4 42 2

65. 42 2 15 2 22 2 # 3

67. 5 3 12 2 42 # 3 2 2 4

68. 2 3 116 4 82 2 1222 4 1 4

70. 25 4 5a

16 1 8 b25 222 1 8

† 63. 15 2 32 15 2 72 4 6 66. 16 2

71. 6 3 3 2 124 1 22 4 2 4

5 2 24 32 1 2

† 69. 16 2 4a

822 b42 326

72. 12 2 4 3 2 2 123 1 52 2 8 4

73. 2 18 2 112 2 12 4 3 4 4 1 18 # 3 4 6

74. 23 15 2 92 3 4 4 # 1222

77. 5 1 3 3 52 1 4 12 2 52 3 4 2

78. 23 15 2 82 3 1 119 2 72 4 11 2 32

79. 28 4 17 2 92 2 # 11 2 32 4 4 14

80.

75. 6 2 4 # 3 2 18 4 1232 2

81.

76. 29 2 2 3 4 2 13 2 82 2 4 4 7 2 4

3 # 2 2 24 15 2 19 # 3 12 2 72 2 4 222 3#221 10 2 4 # 3

82.

¿Cuál expresión es equivalente a 32 + 32 ÷ 4 2 23? (i) 64 4 4 2 8 (ii) 32 1 32 4 1242 (iii) 32 1 8 2 8

83.

¿Cuál expresión es equivalente a 8 2 2 (5 2 3) ? (ii) 64 2 4 182 (iii) 60 122 3 (iv) 64 2 83 (i) 62 122 3 2

2

9 2 42 3 15 2 72 2 5 2 16 2 72 222#7

(iv) 32 1 32 4 8

3

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 84. ¿Cuál es el dígito de las decenas de 1122? 85. ¿Cuál es el dígito de las unidades de 718? 86. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 533? 87. ¿Cuáles son los últimos tres dígitos de 5234?

88. ¿1232 4 5 213 2? De no ser así, ¿cuál expresión es mayor? 4

c

89. ¿Cuál es el orden de las operaciones para ab ? (Nota: incluso las calculadoras que normalmente siguen el orden de las operaciones, tal vez no lo hagan para esta expresión.)

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CAPÍTULO 1

Los números reales

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Los divisores propios de un número son los divisores que son menores que el número. Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6. A partir de esta idea podemos definir números defectivos, números perfectos y números abundantes. Un número defectivo (deficiente o retrasado) es aquel para el cual la suma de sus divisores propios es menor que el número. Por ejemplo, 8 es un número defectivo. Los divisores propios de 8 son 1, 2 y 4. La suma de estos números es 1 + 2 + 4 5 7, que es menor que 8. Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es un número perfecto. Los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3. La suma de estos números es 1 + 2 + 3 5 6. Un número abundante es aquel para el cual la suma de sus divisores propios es mayor que el número. Por ejemplo, 12 es un número abundante. La suma de sus divisores es 16, que es mayor que 12. 90. Determine si 20 es defectivo, perfecto o abundante. 91. Determine si 28 es defectivo, perfecto o abundante. 92. ¿El cuadrado de un número primo es defectivo, perfecto o abundante?

1.3 OBJETIVO

Operaciones con números racionales Operaciones con números racionales Nuestro trabajo con fracciones a menudo requiere que utilicemos el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más enteros. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el número menor que es un múltiplo de todos los números. Por ejemplo, 36 es el mcm de 12 y 18 porque es el número más pequeño que es divisible exactamente tanto entre 12 como entre 18.

Concéntrese

en obtener el mcm de dos números Encuentre el mcm de 12 y 14. Determine la factorización con números primos de cada número. El factor común se muestra en turquesa. 12 5 2 # 2 # 3 14 5 2 # 7

H

Factores de 14 mcm 5 2 # 2 # 3 # 7 5 84 Factores de 12 mcm 5 22 # 3 # 7 5 84 El mcm de 12 y de 14 es 84.

• El mcm es el producto de los factores primos de ambos números. Utilice el factor común a la mayor potencia.

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide en partes iguales a todos los números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, el número más grande que divide exactamente a 12 y 18. El MCD puede obtenerse al escribir primero cada número como un producto de factores primos. El MCD contiene los factores primos comunes a ambos números.

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SECCIÓN 1.3

Concéntrese

23

Operaciones con números racionales

en obtener el MCD de dos números Obtenga el MCD de 36 y 90.

Cómo se usa Los sitios web seguros, aquellos que tienen URL que comienzan con https, utilizan números primos muy grandes para cifrar los números de tarjeta de crédito para el comercio electrónico.

Determine la factorización en primos de cada número. Los factores comunes se muestran en turquesa. 36 5 2 # 2 # 3 # 3 90 5 2 # 3 # 3 # 5 El MCD es el producto de los factores primos comunes a ambos números. MCD 5 2 # 3 # 3 5 18 El MCD de 36 y 90 es 18.

El concepto de MCD se utiliza cuando se simplifica un número racional. Recuerde que un número racional es aquel que puede escribirse en la forma pq, donde p y q son enteros y q 2 0. Ejemplos de números racionales son 259 y 12 . Debido a que cualquier entero c puede escribirse 5 c 3 como c 5 1 (por ejemplo, 3 5 1), todos los enteros son números racionales. También observe 5 que si c es un entero diferente de cero, entonces cc 5 1 (por ejemplo, 5 5 1). Una buena comprensión sobre las operaciones con números racionales es un requisito para tener éxito en este curso.

Tome nota

15 15 Las fracciones 215 28 , 228 y 228 representan el mismo número. En este libro, cuando una respuesta es una fracción negativa, escribiremos el signo negativo frente a la fracción.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. ac a#c 5 b d bd EJEMPLOS

1.

2#5 2#5 10 5 # 5 3 7 3 7 21

2.

3 5 3 # 1252 215 15 5 52 a2 b 5 4 7 4#7 28 28

Un número racional está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no contienen un factor mayor que 1.

Concéntrese

en la simplificación de una fracción Simplifique:

30 45

Factorice el MCD del numerador y el denominador. El MCD de 30 y 45 es 15. Escríbalo como un producto de fracciones. Observe que

15 5 1. 15

30 2 # 15 5 # 45 3 15 2 15 5 # 3 15 2 5 #1 3 5

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2 3

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24

CAPÍTULO 1

Los números reales

Usted puede simplificar por pasos una fracción al dividir entre un factor común el numerador y el denominador hasta que la fracción esté en su forma más simple. 10

2

30 10 2 5 5 45 15 3 15

3

EJEMPLO 1 Solución

Problema 1 Solución

• Divida entre 3 el numerador y el denominador. Luego divida entre 5 el numerador y el denominador resultantes.

28 5 Multiplique: a2 b a2 b 8 45 28 5 # 28 5 a2 b a2 b 5 # 8 45 8 45 7 5 18 14 10 Multiplique: a2 b 21 25

• Los signos son iguales. El producto es positivo. • Escriba la respuesta en su forma más simple.

Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 30.

EJEMPLO 2 Solución Problema 2 Solución

3 4 Evalúe: a2 b 4 3 4 3 3 3 3 3#3#3#3 81 a2 b 5 a2 b a2 b a2 b a2 b 5 # # # 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 256 2 3 Evalúe: a2 b 5 Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 31 de la página 31. 1

El inverso multiplicativo de un número distinto de cero a es a. A este número también se le 1 llama recíproco de a. Por ejemplo, el recíproco de 2 es 2 y el recíproco de 234 es 243. La división de números reales se define en función de la multiplicación por el recíproco.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir fracciones, multiplique el recíproco del divisor. c a d ad a 4 5 # 5 b d b c bc

EJEMPLO 3

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Divida:

3 9 4 a2 b 8 16

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SECCIÓN 1.3

Solución

3 9 3 9 4 a2 b 5 2a 4 b • Los signos son diferentes. El cociente es 8 16 8 16 negativo. 3 # 16 5 2a b • Multiplique por el recíproco del divisor. 8 9 52

Problema 3 Solución

25

Operaciones con números racionales

2 3

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

25 5 Divida: a2 b 4 a2 b 6 12 Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 13 de la página 30.

SUMA O RESTA DE FRACCIONES

La suma o diferencia de dos fracciones con el mismo denominador es la suma o diferencia de los numeradores sobre el común denominador. EJEMPLOS

3 1 311 4 1 1 5 5 5 8 8 8 8 2 3 2 23 1 2 21 1 2. 2 1 5 5 52 5 5 5 5 5 6 426 22 2 4 2 5 5 52 3. 7 7 7 7 7 1 5 1 2 1252 6 3 4. 2 a2 b 5 5 5 8 8 8 8 4 1.

Para sumar o restar números racionales escritos como fracciones, primero vuelva a escribir las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador. Un común denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

Concéntrese

en la suma de fracciones con diferentes denominadores Sume:

5 7 1 a2 b 6 8

El mcm de 6 y 8 es 24. Por tanto, el común denominador es 24. 7 5 4 27 # 3 5 1 a2 b 5 # 1 a b 6 8 6 4 8 3 Escriba cada fracción en función del común denominador, 24.

Sume los numeradores y coloque la suma sobre el común denominador.

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5

221 20 1a b 24 24

5

20 1 12212 24

5

21 1 52 24 24

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26

CAPÍTULO 1

Los números reales

EJEMPLO 4 Solución

Problema 4 Solución

5 7 Reste: 2 2 9 6 7 5 27 # 2 5 3 2 2 5 2 # 9 6 9 2 6 3 214 15 5 2 18 18 214 2 15 5 18 229 29 5 52 18 18 Reste:

• El mínimo común denominador es 18. Escriba cada fracción en función del mínimo común denominador. • Reste los numeradores y coloque la diferencia sobre el común denominador.

5 3 2 a2 b 12 8

Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 30.

OBJETIVO

Orden de las operaciones y fracciones complejas El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar expresiones racionales.

EJEMPLO 5 Solución

1 7 20 5 Simplifique: 2 2 c2 1 a2 b d 4 5 7 4 1 7 20 5 1 7 280 235 • Sume las frac2 2 c2 1 a2 b d 5 2 2 c 1 d ciones entre 4 5 7 4 4 5 28 28 1 7 2115 52 2 c d 4 5 28

Problema 5 Solución

1 23 5 2 2 a2 b 4 4 22 5 4 11 5 2 5 3 2 5 Simplifique: 2a b 1 16 4 8

corchetes. El mcm es 28.

• Multiplique las fracciones. • Reste las fracciones. • Escriba en su forma más simple.

Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 31.

EJEMPLO 6

Solución

3 2 1 2 7 Simplifique: a2 b 4 a 2 b 1 4 2 3 16 3 1 2 7 a2 b 4 a 2 b 1 4 2 3 16 7 3 2 1 5 a2 b 4 a2 b 1 4 6 16 5

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1 7 9 4 a2 b 1 16 6 16

• Realice las operaciones dentro de los paréntesis. 1 1 3 4 1 2 5 2 52 2 3 6 6 6 • Simplifique las expresiones con exponentes.

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SECCIÓN 1.3

Problema 6 Solución

27

Operaciones con números racionales

52

7 27 1 8 16

• Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.

52

47 16

• Realice de derecha a izquierda las sumas y las restas.

4 5 2 7 3 Simplifique: a 2 b 1 4 3 6 8 4 Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 31. Una fracción compleja es una fracción en la cual el numerador o el denominador contienen una fracción. Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas. 1 3 2 6 4 Barra de fracciones principal S 2 1 1 5 4

3 4 1 2 2 2 3

1 5 3 4

La barra de fracciones principal separa al numerador del denominador en una fracción compleja. El orden de las operaciones se puede utilizar para simplificar una fracción compleja. La barra de fracciones principal es un símbolo de agrupación y puede leerse como “dividido entre”. Por ejemplo, la primera fracción compleja encima puede pensarse como 1 2 6 2 1 5

3 4 1 3 2 1 5a 2 b4a 1 b 1 6 4 5 4 4

Al considerar a la fracción compleja de esta manera, tenemos un método para simplificarla. Simplifique el numerador; simplifique el denominador; divida los dos resultados.

Concéntrese

en la simplificación de una fracción compleja 3 1 2 6 4 Simplifique: 2 1 1 5 4 Simplifique el numerador y el denominador de la fracción compleja.

Reescriba como división la fracción compleja. Multiplique el recíproco del divisor. Simplifique.

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3 7 1 2 2 6 4 12 5 2 1 13 1 5 4 20 7 5 a2 b 12 7 5 a2 b 12 35 52 39

13 20 # 20 13

4

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28

CAPÍTULO 1

Los números reales

Una fracción compleja puede ocurrir dentro de una expresión, como muestra el ejemplo 7.

EJEMPLO 7

Solución

Problema 7

Solución

3 1 1 1 4 3 Simplifique: 2 2 5 1 2 8 6 3 1 13 1 4 3 1 12 1 2 5 2 2 5 1 2 11 2 8 6 24

• Simplifique el numerador y el denominador de la fracción compleja.

5

1 13 11 2 4 2 12 24

• Reescriba como división la fracción compleja.

5

1 13 # 24 2 2 12 11

• Multiplique por el recíproco.

5

1 26 2 2 11

• Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones.

5

11 52 41 2 52 22 22 22

• Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.

3 2 2 3 4 2 2 Simplifique: 1a b 3 1 3 2 10 5 Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 32.

OBJETIVO

Tome nota La pantalla de la calculadora siguiente muestra los resultados de 8 4 55. Observe que el último dígito se ha redondeado. 8/55

.1454545455

Notación decimal Como se mencionó en la sección 1.1, los decimales finito o último y periódico pueden representarse por medio de números racionales. Podemos encontrar la representación decimal de un número racional escrito como una fracción al dividir el numerador entre el denominador. 3 8 Escriba como un decimal. Escriba como un decimal. 8 55 Divida 3 entre 8. Divida 8 entre 55. 0.375 8q3.000 22 4 60 256 40 240 0

d Este es un decimal finito.

d El residuo es cero.

3 5 0.375 8

EJEMPLO 8

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0.14545 d Este es un decimal periódico. Note que las diferencias mostradas 55q8.00000 en turquesa y azul se repiten. 25 5 Cuando una diferencia se repite, 2 50 se han encontrado los dígitos periódicos. 22 20 300 2275 250 2220 300 2275 25 8 5 0.145 d Sobre los dígitos periódicos 55 se coloca una barra.

27 Obtenga la representación decimal de 220 . Coloque una barra sobre los dígitos periódicos.

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SECCIÓN 1.3

Solución

Problema 8 Solución

29

Operaciones con números racionales

0.122727 220q27.000000 222 0 5 00 24 40 600 2440 1600 21540 600 2440 1600 21540 60 27 5 0.1227 220

La diferencia 60 comienza a repetirse. Podríamos habernos detenido en vez de proseguir.

Obtenga la representación decimal de 57. Coloque una barra sobre los dígitos periódicos. Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 81 de la página 32. Las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir los números reales se utilizan para realizar operaciones con decimales.

Concéntrese

en las operaciones con decimales A. Para sumar dos decimales con el mismo signo, sume los valores absolutos de los decimales. Luego coloque el signo de los sumandos.

Sume: 215.23 1 1218.12 215.23 1 1218.12 5 233.33

B. Para restar dos decimales, escriba la resta como suma del opuesto, y luego sume.

Reste: 218.42 2 129.3542

C. El producto de dos factores con diferente signo es negativo.

Multiplique: 120.232 10.042

D. El cociente de dos números con el mismo signo es positivo.

Divida: 122.8352 4 121.352

218.42 2 129.3542 5 218.42 1 9.354 5 29.066 120.232 10.042 5 20.0092 122.8352 4 121.352 5 2.1

Este es un ejemplo que utiliza el orden o jerarquía de las operaciones con decimales.

EJEMPLO 9 Solución

Simplifique: 5.4 2 2.7 326 2 121.72 4 2 5.4 2 2.7 3 26 2 121.72 4 2 5 5.4 2 2.7 3 24.3 4 2 5 5.4 2 2.7 118.492 5 5.4 2 49.923 5 244.523

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• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice de izquierda a derecha las multiplicaciones y las divisiones. • Realice de izquierda a derecha las sumas y las restas.

12/10/12 05:01 p.m.

30

CAPÍTULO 1

Los números reales

Problema 9 Solución

Simplifique: 6.4 4 120.82 1 1.2 10.32 2 0.22 Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 105 de la página 32.

1.3

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es el mcm de dos números? ¿Cómo se utiliza el mcm cuando se suman fracciones?

2.

¿Qué es el MCD de dos números? ¿Cómo se utiliza el MCD cuando se simplifican fracciones?

3. ¿Los tres enteros son números racionales? 4. Proporcione dos ejemplos de números racionales que no sean enteros. 5. ¿Existe un entero positivo menor? ¿Existe un número racional positivo menor? 6. ¿Todos los números racionales tienen un recíproco? Si no es así, dé un ejemplo.

Operaciones con números racionales (Revise las páginas 22-26.) PREPÁRESE 5

1

2

7. El mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones 8 , 2 28 y 7 es ? . Escriba cada fracción utilizando como denominador el MCM: ? 1 ? 2 ? 5 5 ,2 52 5 . 8 56 28 56 7 56 8 8 ? . Para determinar el cociente 23 4 1227 2, encuentre 8. El recíproco de 2 27 es 2 # 2 8 ? . el producto 1 ? 2. El cociente 4 12 2 es 3

3

27

Realice la operación indicada. 9.

2 4 a2 b 5 5

† 13. 2

15 14 4 a2 b 8 3

3 4 17. a2 b 2 21. 2 † 25.

9 35 2 16 2

8 8 a2 b 3 7

02_Cap-01_parte2_AUFMANN.indd 30

35 3 2 a2 b 3 5

10. 2

5 23 1 2 2

11. 2

14. 2

13 19 2 3 6

15.

18. 2

14 30 a b 3 13

9 3 19. a2 b 2

22. 2

15 15 2 7 2

5 3 26. a2 b 3

8 17 1 a2 b 19 2

† 23. 2 27.

11 9 1 a2 b 6 2

9 3 1 a2 b 2 5

12. 2 16.

3 4 a2 b 14 3

37 39 1 a2 b 5 9

20. 2

14 11 a2 b 3 14

1 33 24. 2 4 3 16 28. 2

39 19 1 4 5

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SECCIÓN 1.3

29.

31 33 4 a2 b 2 20

30.

19 12 2 a2 b 4 11

33.

6 7 4 a2 b 7 5

34.

29 38 4 a2 b 14 3

3

† 31. a2

5

35.

Operaciones con números racionales

1 2 b 10

32. 2

31

14 25 2 2 19

2 3 36. a2 b 5

27 5 a2 b 11 2 2

38. ¿Qué número es 3 más que 2 11 15 ?

37. Realice la suma de 2 4 y 6. 11

13

8 40. ¿Cuál es el producto de 2 15 16 y 3 ?

39. ¿Cuál es la diferencia entre 2 12 y 18? 2

41. ¿Qué número es 3 menor que 2 45?

42. Encuentre 9 disminuido por 6.

43. ¿Cuál es el cociente de 58 y 2 75?

44. Encuentre 2 83 aumentado por 2 32 11 .

8

5 45. Encuentre 13 12 más que 2 8 .

5

46. Determine la diferencia entre 2 79 y 256.

47.

Dados dos enteros cualesquiera, ¿es posible encontrar un entero entre los enteros dados? Explique su respuesta.

48.

Dados dos números racionales cualesquiera, ¿es posible encontrar un número racional entre los números racionales dados? Explique su respuesta.

1 Orden de las operaciones y fracciones complejas (Revise las páginas 26-28.) PREPÁRESE 49. Una fracción compleja es una fracción que tiene una o más dor y/o en su denominador. 50. La fracción compleja ?

4

?

Simplifique. 5 10 3 51. 2 4 # a2 b 4 8 11 54.

3 5 5 2 a2 b 4 3 4

57.

1 2 5 5 2a 4 b1 2 3 9 6

60.

2 3 5 3 2 c 1 d 4 3 8 6 5

2 3 63. 4 5

02_Cap-01_parte2_AUFMANN.indd 31

..

3 1 2

?

en su numera-

puede escribirse como la expresión de división

52.

1 4 8 4 a2 b 4 2 5 9

† 55. 2 58.

5 #8 5 3 2 4 16 9 6 4

3 5 5 4 c 2 d 12 4 8 12

5 2 5 2 † 53. a 2 b 2 3 6 12 3 5 9 5 56. 2 a 2 b 1 8 18 4 8 59.

1 5 7 1 2 a2 1 b 6 4 12 24

1 3 3 1 2 61. a2 b 4 a2 2 b 2 2 2 4 3

11 3 4 1 5 2 7 62. a 2 b 4 a 2 b 2 a 2 b 8 12 4 5 2 8 3

5 6 64. 2 3

2 5 2 3 6 65. 3 1 2 4 2

2

12/10/12 05:01 p.m.

32

CAPÍTULO 1

Los números reales

2 1 2 2a b 3 2 † 67. 5 1 3 a 2 b 4 2 4

1 1 2 8 12 66. 2 3 2 3 4

5 7 2 1 18 9 70. 1 2 1 2 1 2 3

2 1 1 5 3 4 69. 2 8 5 7 2 6 8

72.

75.

76.

3 1 4

2 3 3 a 2 b 3 4 68. 3 5 5 a 2 b 8 6 12

71.

3 42 5

1

1 5

3 12 2 52 22 12 2 62 74. 1 2 3 12 2 52 2#321

122#3 4 15 2 42 73. 325#2 3#521

7 9 #2 5 3 6

32

1 2 2

17 25

¿Cuál de las fracciones complejas siguientes se simplifica a valores enteros? 1 1 3 1 3 3 (i) (iv) (ii) (iii) 1 1 3 1 3 3 3 La fracción compleja

2 5 1 ?

se simplifica a un valor entero. ¿Qué afirmaciones acerca del

número que sustituye al signo de interrogación deben ser verdaderas?

3 Notación decimal (Revise las páginas 28-30.) Encuentre un decimal finito o periódico equivalente a cada fracción. 5 8 8 † 81. 55 77.

5 16 19 82. 99

1 6 3 83. 13

78.

79.

7 12 2 84. 26 80.

PREPÁRESE 85. La suma de 0.773 y 281.5 tendrá cimales.

?

86. El producto de 0.773 y 281.5 tendrá decimales.

Realice la operación indicada. 87. 0.0015 1 120.00272

posiciones de?

posiciones

88. 0.31 120.12

89. 20.0008 1 3.5

90. 0.0022 120.82

91. 0.0003 1 120.392

92. 20.031 4 3.1

93. 20.024 120.0192

94. 0.0029 1 120.0032

95. 0.000072 4 120.0042

96. 20.000189 4 120.00092

97. 20.0585 4 4.5

98. 0.02 1 120.42

99. 3.8 123.92 102. 2.7 2 120.0072 Simplifique. † 105. 0.4 11.2 2 2.32 2 1 5.8 108. 13.5 2 4.22 2 2 3.50 4 2.5

02_Cap-01_parte2_AUFMANN.indd 32

100. 20.091 4 123.52

101. 20.0026 2 120.0282

103. 20.000192 4 0.016

104. 20.18 2 0.007

106. 5.4 2 10.32 2 4 0.09

107. 1.75 4 0.25 2 11.252 2

109. 25.76 4 16.54 4 3.272 2

110. 13.09 2 4.772 2 2 4.07 # 3.66

12/10/12 05:01 p.m.

SECCIÓN 1.4

111. 112.

¿La representación decimal de respuesta.

5 23

33

Expresiones algebraicas

es un decimal no finito y no periódico? Explique su 2/3/3/4

Un estudiante introdujo la expresión de la derecha en una calculadora como se muestra para determinar el valor de 23 4 34. ¿Es correcto? De no ser así, ¿por qué no?

.0555555556

Ans ▶Frac

1/18

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique. 2

113. 2 1 22

2 211

2

114. 1 1 31

4

1

115. 3 2

6 51 718

32

116.

1 1 32 3

1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 12 2

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Para los ejercicios 117 a 122, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, dé un ejemplo para demostrar por qué lo es. 117. Dados dos números racionales a y b, existe un número racional entre a y b. 118. El producto de dos números racionales cualesquiera es un número racional. 119. La suma de dos números racionales es un número racional. 120. El producto de dos números irracionales es un número irracional. 121. La suma de dos números irracionales es un número irracional. 122. La suma de un número irracional y un número racional es un número irracional. 1

1

123. Encuentre un número racional entre 3 y 2 .

1.4 OBJETIVO

Expresiones algebraicas Propiedades de los números reales Las propiedades de los números reales describen las formas en que se pueden realizar las operaciones con números. A continuación se proporciona una lista de algunas de las propiedades de los números reales y un ejemplo de cada propiedad.

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA

a1b5b1a

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EJEMPLO

3125213 555

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34

CAPÍTULO 1

Los números reales

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

a#b5b#a

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA

1a 1 b2 1 c 5 a 1 1b 1 c2

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

1a # b2 # c 5 a # 1b # c2

PROPIEDAD DEL NEUTRO ADITIVO

a10501a5a

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN POR CERO

a#050#a50

PROPIEDAD DEL NEUTRO MULTIPLICATIVO

a#151#a5a

PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO

a 1 12a2 5 12a2 1 a 5 0

EJEMPLO

132 1222 5 1222 132 26 5 26

EJEMPLO

13 1 42 1 5 5 3 1 14 1 52 7155319 12 5 12

EJEMPLO

13 # 42 # 5 5 3 # 14 # 52 12 # 5 5 3 # 20 60 5 60

EJEMPLO

310501353

EJEMPLO

8#050#850

EJEMPLO

5#151#555

EJEMPLO

4 1 1242 5 1242 1 4 5 0

2a se conoce como el inverso aditivo de a. Asimismo, a es el inverso aditivo de 2a. La suma de un número y su inverso aditivo es 0.

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SECCIÓN 1.4

PROPIEDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO

a#

1 1 5 # a 5 1, a a

35

Expresiones algebraicas

EJEMPLO

a20

1 1 142 a b 5 a b 142 5 1 4 4

1 a

se conoce como el inverso multiplicativo de a. También se le llama recíproco de a. El producto de un número y su inverso multiplicativo es 1.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a 1b 1 c2 5 ab 1 ac

EJEMPLO 1

EJEMPLO

3 14 1 52 5 3 # 4 1 3 # 5 3 # 9 5 12 1 15 27 5 27

Complete la expresión utilizando la propiedad del inverso aditivo. 3x 1 ? 5 0

Solución Problema 1

3x 1 123x2 5 0 Complete la expresión utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación. 1 1x2 a b 5 1?2 1x2 4

Solución

Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 39.

EJEMPLO 2 Solución Problema 2 Solución

Identifique la propiedad que justifica la expresión. 3 1x 1 42 5 3x 1 12 La propiedad distributiva Identifique la propiedad que justifica la expresión. ( a 1 3b ) 1 c 5 a 1 ( 3b 1 c) Revise la página S2.

† Intente resolver el ejercicio 29 de la página 39.

OBJETIVO

Evaluar expresiones algebraicas Una expresión que contiene una o más variables se llama expresión algebraica.

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Los números reales

2

2

2z

x

1

4

H

4x y

H H

2

4 términos

H

Términos variables

Término constante

Coeficiente numérico c

c

Cada término variable está compuesto de un coeficiente numérico y una parte variable. Cuando el coeficiente numérico es 1 o 21, el 1 por lo general no se escribe.

H

Una expresión algebraica se muestra a la derecha. La expresión tiene cuatro sumandos que se llaman términos de la expresión. La expresión variable tiene tres términos variables y un término constante.

4x2y

2

c

CAPÍTULO 1

6

36

2z

2

c c Parte variable

1

1x

4

c

La sustitución de la variable en una expresión algebraica por un valor numérico y luego la simplificación de la expresión resultante se llama evaluación de la expresión algebraica.

Concéntrese

en la evaluación de una expresión algebraica Evalúe 3 − 2|3x − 2y2| cuando x = −1 y y = 2. 3 2 2 0 3x 2 2y2 0 3 2 2 0 3 1212 2 2 122 2 0

Sustituya cada variable con su valor.

5 3 2 2 0 3 1212 2 2 142 0

Utilice el orden de las operaciones para simplificar la expresión numérica resultante.

EJEMPLO 3 Solución

Evalúe a2 − (ab − c) cuando a = 22, b = 3 y c = 24. a2 2 1ab 2 c2 1222 2 2 3 1222 132 2 1242 4 5 1222 2 2 3 26 2 1242 4 5 1222 2 2 3 22 4 5 4 2 3 22 4 56

Problema 3 Solución

5 3 2 2 0 23 2 8 0 5 3 2 2 0 211 0 5 3 2 2 1112 5 3 2 22 5 219

• Sustituya cada variable de la expresión con su valor. • Utilice el orden de las operaciones para simplificar la expresión numérica resultante.

Evalúe (b 2 c) 2 ÷ ab cuando a = 23, b = 2 y c = 24. Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 40.

EJEMPLO 4

El radio de la base de un cilindro mide 3 pulg. y la altura 6 pulg. Calcule el volumen del cilindro. Redondee a la centésima más cercana.

6 pulg.

3 pulg.

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SECCIÓN 1.4

Solución

V 5 pr2h V 5 p 132 26 V 5 54p V < 169.65

• • • •

37

Expresiones algebraicas

Utilice la fórmula para el volumen de un cilindro. Sustituya r por 3 y h por 6. El volumen exacto del cilindro es 54p pulg3. Una medida aproximada puede obtenerse al usar la tecla p en una calculadora.

El volumen aproximado del cilindro es 169.65 pulg3. Problema 4

Tome nota Por si desea consultar, las fórmulas geométricas se proporcionan en la parte final de este libro.

Solución

Calcule el área de la superficie de un cono circular recto con un radio de 5 cm y una altura inclinada de 12 cm. Proporcione tanto el área exacta como una aproximación a la centésima más cercana.

12 cm

Revise la página S3.

5 cm

† Intente resolver el ejercicio 85 de la página 41.

Para evaluar expresiones algebraicas, se puede usar una calculadora graficadora. Cuando el valor de cada variable se almacena en la memoria de la calculadora, y luego se introduce una expresión algebraica, la calculadora evalúa esa expresión con los valores de las variables almacenados en su memoria. Consulte en el Apéndice una descripción de los procedimientos con la calculadora.

Simplificar expresiones algebraicas c

Los términos semejantes de una expresión algebraica son términos con la misma parte variable.

4x

Términos semejantes 2 c

Los términos semejantes son términos variables. Para combinar términos variables semejantes, utilice la propiedad distributiva ba + ca = (b + c)a para sumar los coeficientes.

EJEMPLO 5 Solución

7x2

1

3x

Términos semejantes

2

9 c

Simplifique: 2 1x 1 y2 1 3 1y 2 3x2 2 1x 1 y2 1 3 1y 2 3x2 5 2x 1 2y 1 3y 2 9x

5 27x 1 5y

Solución

1

4x 1 3x 5 14 1 32 x 5 7x

5 12x 2 9x2 1 12y 1 3y2

Problema 5

5

c

OBJETIVO

• Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. • Utilice las propiedades conmutativa y asociativa de la suma para reordenar y agrupar los términos. • Simplifique los términos.

Simplifique: 12x 1 xy 2 y2 2 15x 2 7xy 1 y2 Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 117 de la página 41.

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38

CAPÍTULO 1

Los números reales

EJEMPLO 6 Solución

Simplifique: 4y 2 2 3 x 2 3 1x 1 y2 2 5y 4 4y 2 2 3 x 2 3 1x 1 y2 2 5y 4 5 4y 2 2 3 x 2 3x 2 3y 2 5y 4 • Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. • Simplifique los términos semejantes. • Utilice la propiedad distributiva para eliminar los corchetes. • Simplifique los términos semejantes.

5 4y 2 2 3 22x 2 8y 4 5 4y 1 4x 1 16y 5 4x 1 20y Problema 6 Solución

Simplifique: 2x 2 3 3 y 2 3 1x 2 2y 1 42 4 Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 113 de la página 41.

1.4

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuál de las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división tienen una propiedad conmutativa? 2. ¿Cuál de las cuatro operaciones de suma, resta, multiplicación y división tienen una propiedad asociativa? 3. ¿Cuál es el inverso aditivo de –a? 4. Si c es un número diferente de cero, ¿cuál es el inverso multiplicativo de c? 5. ¿Qué propiedad de los números reales se ilustra por medio de la expresión 2(x + y) = 2x + 2y? 6. Escriba dos términos cualesquiera que sean términos semejantes con x. 7. ¿2z y 2z2 son términos semejantes? ¿Por qué? 8. ¿−4a2b3c y

2ca2b3 3

son términos semejantes? ¿Por qué?

Propiedades de los números reales (Revise las páginas 33-35.) PREPÁRESE 9. El hecho de que dos términos puedan multiplicarse en cualquier orden se llama ? de la multiplicación. propiedad 10. El hecho de que dos o más sumandos puedan sumarse al agruparlos en cualquier ? de la suma. orden se llama propiedad 11. La propiedad de la multiplicación por cero establece que el producto de un número ? . y cero es 12. La propiedad del neutro aditivo nos dice que la suma de un número y el mismo número.

?

es

Utilice la propiedad de los números reales dada para completar la expresión. 14. La propiedad conmutativa de la suma 13. La propiedad conmutativa de la multiplicación # # 3 454 ? 7 1 15 5 ? 1 7

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SECCIÓN 1.4

15. La propiedad asociativa de la suma 13 1 42 1 5 5 ? 1 14 1 52

16. La propiedad asociativa de la multiplicación 13 # 42 # 5 5 3 # 1? # 52

17. Una propiedad de la división del cero 5 no está definida. ? 19. La propiedad distributiva 3 1x 1 22 5 3x 1 ?

18. La propiedad del neutro aditivo 41?54 20. La propiedad distributiva 5 1y 1 42 5 ? # y 1 20

21. Una propiedad de división del cero ? 50 26 23. La propiedad del inverso multiplicativo 1 1mn2 5 ? mn † 25. La propiedad asociativa de la multiplicación 2 13x2 5 ? # x

22. La propiedad del inverso aditivo 1x 1 y2 1 ? 5 0 24. La propiedad del neutro multiplicativo ?#15x 26. La propiedad conmutativa de la suma ab 1 bc 5 bc 1 ?

Identifique la propiedad que justifique la expresión. 0 28. 28 1 8 5 0 50 27. 25 30. 13 # 42 # 2 5 2 # 13 # 42 29 no está definida. 0

33.

36. 0 1 2 5 2

39

Expresiones algebraicas

† 29. 12122 a2

1 b51 12

31. y 1 0 5 y

32. 2x 1 15y 1 82 5 12x 1 5y2 1 8

34. 1x 1 y2 z 5 xz 1 yz

35. 6 1x 1 y2 5 6x 1 6y

37. 1ab2 c 5 a 1bc2

38. 1x 1 y2 1 z 5 1y 1 x2 1 z

39.

La suma de un número n y su inverso aditivo se multiplicó por el recíproco del número n. ¿Cuál es el resultado?

40.

El producto de un número n y su recíproco se multiplicó por el número n. ¿Cuál es el resultado?

Evaluar expresiones algebraicas (Revise las páginas 35-37.) Explique el significado de la frase “evalúe una expresión algebraica”.

41.

Explique la diferencia entre el significado de “el valor de la variable” y el significado de “el valor de la expresión algebraica”.

42.

PREPÁRESE 43. Evalúe n2|m − n| cuando n = –5 y m = –3. n2 0 m 2 n 0 ? y m por ? . 5 1252 2 0 23 2 1252 0 • Sustituya n por 5 1252 2 0 ? 0 • Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. 5 1252 2 1 ? 2 • Evalúe el valor absoluto. ? (2) 5 • Simplifique la expresión con exponentes. ? • Multiplique. 5 44. El volumen de un cono con altura h y base de radio r es V = _____. Si r = 2 pulg. y h = 3 pulg., entonces el volumen exacto del cono es V 5 13p 1 ? 2 2 1 ? 2 pulg3. 5 ( ? .)p pulg3. Utilice la tecla p en una calculadora para aproximar el volumen a ? pulg3. la centésima más cercana: V <

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40

CAPÍTULO 1

Los números reales

Evalúe la expresión algebraica cuando a = 2, b = 3, c = 21 y d = 24. 46. 2ab 2 3dc

45. ab 1 dc

48. b 2 1d 2 c2 2

2

† 49. 1b 2 2a2 1 c 2

51. 1bc 1 a2 2 4 1d 2 b2 2c a 2 2b d

55.

3ac 2 c2 24

57.

3b 2 5c 3a 2 c

58.

2d 2 a b 2 2c

60. 0 a2 1 d 0 63.

2a 2 4d 3b 2 c

59.

a2d b1c

61. 2a 0 a 1 2d 0

62. d 0 b 2 2d 0

3d 2 b b 2 2c

65. 23d 4 `

64. bc 1 d ` ab 2 c

50. 1b 2 d2 2 4 1b 2 d2 53. b2 2 4ac 1 a2 a 56. 1 d1 d

52. 2d 2 2 a2c3

54.

47. b 2 a 12c 1 d2

ab 2 4c ` 2b 1 c

67. 2 1d 2 b2 4 13a 2 c2

68. 2d 3 1 4a2b3

69. 2d 2 2 c3a

70. a2c 2 d 3

71. 2d 3 1 4ac

72. ba

73. 4a

66. 22bc 1 `

2

74. ab

Geometría Calcule el volumen de cada figura. Para los cálculos que involucran p, proporcione tanto el valor exacto como una aproximación a la centésima más cercana. 77. 75. 76. 6 pulg.

14 pulg.

5 pies

10 pulg. 14 pies 3 pies 12 pies

78.

79. 7.5 m 7.5 m

3 pies

80. 3 cm

8 cm

7.5 m 8 cm

Geometría Calcule el área de la superficie de cada figura. Para los cálculos que involucran p, proporcione tanto el valor exacto como una aproximación a la centésima más cercana. 82. 83. 81. 3m

4m

5m

14 pies

5m 14 pies

14 pies 4m 4m

02_Cap-01_parte2_AUFMANN.indd 40

12/10/12 05:01 p.m.

SECCIÓN 1.4

† 85.

84.

41

Expresiones algebraicas

86. 2 pulg.

2 cm

6 pulg.

9 pies

3 pies

† Resuelva los ejercicios 87 y 88 sin usar una calculadora. 87. Si b abc 2 a se evalúa cuando a = −38, b = −52 y c es un entero positivo, ¿el resultado será un número positivo o negativo? 88. La fórmula para el volumen de un cilindro circular recto con una altura h un una base de radio r es V = pr2h. Imagine que un cilindro tiene un radio de 2 cm y una altura de 3 cm. a. ¿Puede ser V cm3 un volumen exacto del cilindro, donde V es un número entero? b. ¿Puede ser V cm3 el volumen exacto del cilindro, donde V es un número irracional?

Simplificar expresiones algebraicas (Revise las páginas 37-38.) 89.

Explique cómo se utiliza la propiedad distributiva para simplificar términos semejantes.

PREPÁRESE ? y 90. Los cuatro términos de la expresión 5x − 6y + 4x − 8 son ? , ? , ? Los términos 5x y 4x se llaman términos . El coeficiente del término y es ? . El término constante es 91. Simplifique: 25 1y 2 5x2 1 9y 25 1y 2 5x2 1 9y 5 1 ? 2 y 1 1 ? 2 x 1 9y 5 125y 1 9y2 1 25x 5

?

1 25x

? ?

. .

• Utilice la propiedad distributiva para eliminar paréntesis. ? ? • Utilice el y propiedades de suma para reordenar y agrupar términos semejantes. • Simplifique los términos semejantes.

Simplifique. 1 xb 12

92. 5x 1 7x

93. 3x 1 10x

94. 28ab 2 5ab

95. 12a

1 13y2 3

97. 23 1x 2 22

98. 25 1x 2 92

99. 1x 1 22 5

96.

100. 2 1x 1 y2

101. 2 12x 2 y2

102. 5 1 2 13x 2 72

103. 7 2 3 14a 2 52

104. 5v 2 3 12 2 4v2

105. 23m 2 2 14m 1 32

106. 23 1 4 12z 2 92

107. 25 2 6 12y 2 32

108. 4x 2 3 12y 2 52

109. 22a 2 3 13a 2 72

110. 3x 2 2 15x 2 72

111. 2x 2 3 1x 2 2y2

114. 3 3 x 2 2 1x 1 2y2 4

115. 5 3 y 2 3 1y 2 2x2 4

112. 3 3 a 2 5 15 2 3a2 4

† 113. 5 3 22 2 6 1a 2 52 4

116. 22 1x 2 3y2 1 2 13y 2 5x2

118. 5 13a 2 2b2 2 3 126a 1 5b2

120. 3x 2 2 3 y 2 2 1x 1 3 3 2x 1 3y 42 4

122. 4 2 2 17x 2 2y2 2 3 122x 1 3y2

124.

1 3 8x 2 2 1x 2 122 1 3 4 3

02_Cap-01_parte2_AUFMANN.indd 41

† 117. 4 12a 2 2b2 2 2 13a 2 5b2

119. 27 12a 2 b2 1 2 123b 1 a2

121. 2x 2 4 3 x 2 4 1y 2 2 3 5y 1 3 42 4

123. 3x 1 8 1x 2 42 2 3 12x 2 y2 125.

1 3 14x 2 3 1x 2 82 2 7x 4 4

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42

CAPÍTULO 1

Los números reales

126.

Establezca si el número dado será positivo, negativo o cero después de que se simplifique la expresión 31a − 102b + 73 − 88a + 256b − 73. b. el coeficiente de b c. el término constante a. el coeficiente de a

127.

Establezca si la expresión dada es equivalente a 3[5 − 2(y − 6)]. b. 15 2 6 1y 2 62 a. 3 3 3 1y 2 62 4

APLICACIÓN DE CONCEPTOS En cada una de las expresiones siguientes, es posible que por lo menos una de las propiedades de los números reales se haya aplicado incorrectamente. Si la expresión es incorrecta, determine la aplicación incorrecta de las propiedades de los números reales y corrija la respuesta. Si la expresión es correcta, establezca la propiedad de los números reales que se está utilizando. 128. 24 15x 2 y2 5 220x 1 4y 129. 4 13y 1 12 5 12y 1 4 130. 6 2 6x 5 0x 5 0 131. 2 1 3x 5 12 1 32 x 5 5x 132. 3a 2 4b 5 4b 2 3a 133. 2 13y2 5 12 # 32 12y2 5 12y 1 134. x4 # 4 5 1, x 2 0 x 135. 2x2 1 y2 5 y2 2 x2

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si x y y son dos números en A, entonces definiremos una operación de productos nueva con x y y, denotada por x # y, como el residuo cuando xy se divide entre 7. Por ejemplo, 2 # 5 5 3 debido a que 2 − 5 = 10 y, cuando 10 se divide entre 7, el residuo es 3. Aunque esto puede parecer una manera muy extraña de definir una operación, una variante de esta operación se utiliza para enviar por Internet información de una tarjeta de crédito. 136. Encuentre lo que se pide. a. 4 # 5 b. 6 # 3 137. ¿Esta operación es conmutativa? 138. ¿La siguiente ecuación es verdadera? 2 # 13 # 52 5 12 # 32 # 5 139. Intente proporcionar algunos otros ejemplos de esta operación que sean similares al ejercicio 138. Con base en sus ejemplos, ¿parece que la operación ^ es asociativa? 140. Recuerde que a y b son inversos multiplicativos si ab = 1. Encuentre el inverso multiplicativo de 5 para la operación #.

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SECCIÓN 1.5

1.5 OBJETIVO

43

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica Una de las principales habilidades necesarias en matemáticas aplicadas es la capacidad de convertir una expresión verbal en una expresión matemática. Como se vio en las secciones 1.2 y 1.3, para hacerlo se requiere el reconocimiento de las expresiones verbales que se traducirán en operaciones matemáticas. A continuación se presenta una lista parcial de las expresiones verbales que se utilizan para indicar las diferentes operaciones matemáticas.

Punto de interés El simbolismo matemático, como se muestra en esta página, ha pasado por varias etapas: retórica, sincopada y moderna. En la etapa de la retórica, toda descripción matemática se hacía por medio de las palabras. En la etapa sincopada, hubo una combinación de palabras y símbolos. Por ejemplo, “x plano 4 en y” significaba 4xy. La etapa moderna, que se utiliza hoy, se inició en el siglo XVII. El simbolismo moderno también está cambiando. Por ejemplo, existen defensores de un sistema de simbolismo que pondría todas las operaciones anteriores. Utilizando esta notación, 4 más 7 se escribiría 471 y 6 dividida entre 4 se escribiría 644.

Suma

más que sumado a la suma de el total de aumentado por

8 más w x sumado a 9 la suma de z y 9 el total de r y s x aumentado por 7

w18 91x z19 r1s x17

Resta

menos que la diferencia entre menos disminuido por

12 menos que b la diferencia entre xy1 z menos 7 17 disminuido por a

b 2 12

por el producto de multiplicado por

2 negativo por c el producto de x y y 3 multiplicado por n

de

tres cuartos de m

el doble

el doble de d

22c xy 3n 3 m 4 2d

dividido entre

v dividido entre 15

el cociente de

el cociente de y y 3

la razón de

la razón de x a 7

un número al cuadrado o a la segunda potencia un número al cubo o la tercera potencia la quinta potencia de

x al cuadrado o x cuadrada

x2

r cubica o r al cubo a la quinta potencia

r3

Multiplicación

División

Potencia

Sea particularmente cuidadoso cuando traduzca una expresión que contenga las palabras suma, diferencia, producto o cociente. En los ejemplos de la derecha, observe dónde se coloca el símbolo de la operación.

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x21 z27 17 2 a

v 15 y 3 x 7

a5

1 la suma de x y y

x1y

2 la diferencia entre x y y

x2y

? el producto de x y y

x#y

4 el cociente de x y y

x y

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44

CAPÍTULO 1

Concéntrese

Los números reales

en la conversión de una expresión verbal en una expresión algebraica A. Convierta “cinco menos que el doble de la diferencia entre un número y siete” en una expresión algebraica. Luego simplifique. Asigne una variable al número desconocido.

el número desconocido: x

Identifique las palabras que indican las operaciones matemáticas.

5 menos que el doble de la diferencia entre x y 7

Utilice las palabras identificadas para escribir la expresión algebraica. Simplifique la expresión.

2 1x 2 72 2 5

5 2x 2 14 2 5 5 2x 2 19

B. La suma de dos números es 37. Si x representa el número menor, convierta en una expresión algebraica “el doble del número mayor”. Escriba una expresión para el número mayor al restar el número menor, x, de 37.

número mayor: 37 2 x

Identifique las palabras que indican las operaciones matemáticas.

el doble del número mayor

Utilice las palabras identificadas para escribir una expresión algebraica.

EJEMPLO 1 Solución

Convierta y simplifique “el total de cinco veces un número y el doble de la diferencia entre el número y tres”. el número desconocido: n cinco veces el número: 5n la diferencia entre el número y tres: n − 3: el doble de la diferencia entre el número y tres: 2(n − 3) 5n 1 2 1n 2 32 5 5n 1 2n 2 6 5 7n 2 6

Problema 1 Solución

2 137 2 x2

• Asigne una variable al número desconocido. • Utilice la variable asignada para escribir una expresión para cualquier otra cantidad desconocida.

• Escriba la expresión algebraica. • Simplifique la expresión algebraica.

Convierta y simplifique “un número disminuido por la diferencia entre ocho y el doble del número”. Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 46.

EJEMPLO 2 Solución

Convierta y simplifique “quince menos un medio de la suma de un número y diez”. el número desconocido: n la suma del número y diez: n + 10 un medio de la suma del número 1 y diez: 1n 1 102 2

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• Asigne una variable al número desconocido. • Utilice la variable asignada para escribir una expresión para cualquier otra cantidad desconocida.

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SECCIÓN 1.5

1 15 2 1n 1 102 2 1 5 15 2 n 2 5 2 1 5 2 n 1 10 2 Problema 2 Solución

45

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

• Escriba la expresión algebraica. • Simplifique la expresión algebraica.

Convierta y simplifique “la suma de tres octavos de un número y cinco doceavos del número”. Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 13 de la página 46.

OBJETIVO

Problemas de aplicación Muchas de las aplicaciones de las matemáticas requieren que usted identifique la cantidad desconocida, asigne una variable a esa cantidad y luego intente expresar otras desconocidas en función de esa cantidad.

Concéntrese

g

Diez galones de pintura se vertieron en dos recipientes de distintos tamaños. Exprese la cantidad de pintura vertida en el recipiente pequeño en función de la cantidad vertida en el recipiente grande.

g g

en convertir un problema de aplicaciones

Asigne una variable a la cantidad de pintura vertida en el recipiente.

el número de galones de pintura vertidos en el recipiente grande: g

Exprese la cantidad de pintura vertida en el recipiente pequeño en función de g (g galones de pintura se vertieron en el recipiente grande).

el número de galones de pintura vertidos en el recipiente pequeño: 10 – g

g g

EJEMPLO 3

Solución

Un ciclista se desplaza a una velocidad que es el doble de la velocidad de un corredor. Exprese la velocidad del ciclista en función de la velocidad del corredor. la velocidad del corredor: r la velocidad del ciclista es el doble de r: 2r ? lb

Problema 3

Solución

Una mezcla de dulce contiene 3 lb más de leche con chocolate que de caramelo. Exprese la cantidad de leche con chocolate en la mezcla, en función de la cantidad de caramelo en la mezcla.

c lb

Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 47.

EJEMPLO 4 Solución

La longitud de un rectángulo es 2 pies más grande que 3 veces el ancho. Exprese la longitud del rectángulo en función del ancho. el ancho del rectángulo: W la longitud es 2 más que 3 veces W: 3W + 2

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46

CAPÍTULO 1

Los números reales

Problema 4

Solución

La profundidad de la parte más honda de una alberca es 2 pies más que el doble de la profundidad de la parte menos honda. Exprese la profundidad de la parte más honda en función de la profundidad de la parte menos honda. Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 48.

1.5

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Escriba dos expresiones verbales que se convertirían en y + 6. 2. Escriba dos expresiones verbales que se convertirían en 5x. 3. ¿Las expresiones “la diferencia entre x y 2” y “x menos 2” se convierten en la misma expresión algebraica? 4. Las frases “diez menos que m” y “diez menos m” ¿se covierten en la misma expresión algebraica? 5. Si la suma de dos números es 14 y un número es x, exprese el segundo número en función de x. 6. Las frases “la razón de x a y” y “el cociente de x y y” ¿se convierten en la misma expresión algebraica?

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica (Revise las páginas 43-45.) PREPÁRESE Para cada expresión de los ejercicios 7 a 9, identifique las palabras que indican las operaciones matemáticas. 7. diez más que el producto de ocho y un número 8. trece restado del cociente de cinco negativo y el cubo de un número 9. la diferencia entre diez veces un número y dieciséis veces el número 10. La suma de dos números es 24. Exprese ambos números en función de la misma variable, sea ? . x un número. Por tanto, el otro número es

Convierta en una expresión algebraica. Luego simplifique. † 11. un número menos la suma del número y dos † 13. la suma de un tercio de un número y cuatro quintos del número

12. un número disminuido por la diferencia entre cinco y el número 14. la diferencia entre tres octavos de un número y un sexto del número

15. cinco veces el producto de ocho y un número

16. un número aumentado por dos tercios del número

17. la diferencia entre el producto de diecisiete y un número y el doble del número

18. un medio del total de seis veces un número y veintidós

19. la diferencia entre el cuadrado de un número y el total de doce y el cuadrado del número

20. once más que el cuadrado de un número sumado a la diferencia entre el número y diecisiete

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SECCIÓN 1.5

47

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

21. la suma de cinco veces un número y doce, sumado al producto de quince y el número

22. cuatro menos el doble de la suma de un número y once.

23. La suma de dos números es 15. Utilizando x para representar el menor de los dos números, convierta “la suma de dos veces el número menor y dos más que el número mayor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

24. La suma de dos números es 20. Utilizando x para representar el menor de los dos números, convierta “la diferencia entre cinco veces el número mayor y tres menos que el número menor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

25. La suma de dos números es 34. Utilizando x para representar el mayor de los dos números, convierta “la diferencia entre dos más que el número menor y el doble del número mayor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

26. La suma de dos números es 33. Utilizando x para representar el mayor de los dos números, convierta “la diferencia entre seis más el doble del número menor y tres más que el número mayor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

27.

¿Cuál(es) expresión(es) se convierte(n) en la expresión 8n3 − 5? (i) la diferencia entre cinco y el producto de ocho y el cubo de un número (ii) cinco restado del cubo de ocho y un número (iii) cinco menos que el producto de ocho y el cubo de un número

28.

¿Cuál(es) expresión(es) se convierte(n) en la expresión (5n + 2) + 15? (i) quince más que la suma de cinco veces un número y dos (ii) el total de dos más que el producto de cinco y un número más quince (iii) quince sumado a dos más que el producto de cinco y un número

Problemas de aplicación (Revise las páginas 45-46.) PREPÁRESE 29. La longitud de un rectángulo es ocho más que el ancho. Exprese la longitud y el ? . Por tanto, la longitud es ancho en función de la misma variable, sea W el ? . 30. El ancho de un rectángulo es un tercio de la longitud. Exprese la longitud y el ? . Por tanto, el ancho es ancho en función de la misma variable, sea L el ? . 31.

Gasto del gobierno Vea el recorte de prensa de la derecha. Exprese la cantidad de dinero que el gobierno gasta en carreteras, en función de la cantidad de dinero que invertirá en los trenes de alta velocidad.

32.

Demografía La población de la ciudad de Nueva York es cuatro veces la población de Houston, Texas. Exprese la población de la ciudad de Nueva York en función de la población de Houston, Texas. (Fuente: Information Please Almanac)

† 33.

Astronomía La distancia desde la Tierra al Sol es aproximadamente 390 veces la distancia de la Tierra a la Luna. Exprese la distancia entre la Tierra y el Sol en función de la distancia de la Tierra a la Luna.

34.

Construcción El túnel ferroviario más largo (de Hanshu a Hokkaido, Japón) es 18.2 millas más largo que el túnel de carretera más largo (de Laerdal a Aurland, Noruega). Exprese la longitud del túnel de ferrocarril más largo en función de la longitud del túnel de carretera más largo.

35. Inversiones Un asesor financiero ha invertido $10,000 en dos cuentas. Si una contiene x dólares, exprese la cantidad de la segunda cuenta en función de x. 36. Recreación Una caña de pescar de 3 pies de largo se corta en dos trozos, uno más corto que el otro. Exprese la longitud del trozo más corto en función de la longitud del trozo más largo.

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En las noticias Ayuda para los trenes de alta velocidad En un esfuerzo por hacer más asequibles los viajes en trenes de alta velocidad en Estados Unidos, el gobierno está comenzando el desarrollo de una red nacional de trenes de alta velocidad. Sin embargo, los viajes en automóvil siguen en primer lugar: el año pasado el gobierno federal gastó ocho veces más en las carreteras que el monto que invertirá en la primera ronda de trabajo en los trenes de alta velocidad. Fuente: revista Time

3 pies L

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48

CAPÍTULO 1

Los números reales

† 37. Viajes El tiempo total de vuelo para un viaje de ida y vuelta entre Nueva York y San Diego es de 13 horas. Debido a la corriente de aire, el tiempo de ida no es igual al de regreso. Exprese el tiempo de vuelo entre Nueva York y San Diego en función del tiempo de vuelo entre San Diego y Nueva York. 38. Carpintería Una tabla de 12 pies se corta en dos trozos de longitudes diferentes. Exprese la longitud del trozo más grande en función de la longitud del trozo más corto. 39. Geometría La medida del ángulo A de un triángulo es el doble de la medida del ángulo B. La medida del ángulo C es el doble de la medida del ángulo A. Escriba expresiones para el ángulo A y el ángulo C en función del ángulo B. 40. Geometría La longitud de un rectángulo es tres más el doble del ancho. Exprese la longitud del rectángulo en función del ancho.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Algunas frases requieren más de una variable para poder traducirlas en una expresión algebraica. 41. Física Convierta en una expresión algebraica “el producto de la mitad de la aceleración de la gravedad (g) y el tiempo (t) al cuadrado”. (Esta expresión proporciona la distancia a la que caerá un objeto que se suelta durante un cierto intervalo de tiempo.) 42. Física Convierta en una expresión algebraica “el producto de la masa (m) y la aceleración (a)”. (Esta expresión se utiliza para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto acelerado.) 43. Física Convierta en una expresión algebraica “el producto del área (A) y el cuadrado de la velocidad (v)”. (Esta expresión se utiliza para calcular la fuerza que el viento ejerce sobre una vela.) 44. Física Convierta en una expresión algebraica “la raíz cuadrada del cociente de la constante de resorte (k) y la masa (m)”. (Esto es parte de la expresión que se utiliza para calcular la frecuencia de oscilación de una masa en el extremo de un resorte.)

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO En cada uno de los ejercicios siguientes, escriba una expresión que se convertiría en la expresión dada. 45. 2x 1 3 46. 5y 2 4 47. 2 1x 1 32 48. 5 1y 2 42

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SECCIÓN 1.1

49

Introducción a los números reales

CAPÍTULO 1 Resumen Términos clave

1

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Los números enteros son . . . , 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . .

[1.1.1, p. 2]1

Los enteros negativos son los enteros . . . , 24, 23, 22, 21. Los enteros positivos son los enteros 1, 2, 3, 4, . . . Los números enteros positivos contienen a los números naturales.

[1.1.1, p. 2]

Los enteros positivos y el cero se llaman números naturales.

[1.1.1, p. 2]

0, 1, 2, 3, 4, . . .

Un número racional es un número de la forma, pq, donde p y q son enteros y q no es igual a cero.

[1.1.1, p. 2]

5 23 6, 4

Un número irracional es un número cuya representación decimal nunca termina ni se repite.

[1.1.1, p. 3]

!3, p y 0.21211211121111. . . son números irracionales.

Los números racionales y los números irracionales en su conjunto se llaman números reales.

[1.1.1, p. 3]

23, !5, p, 26 7 y 0.232332333. . . son números reales.

El inverso aditivo u opuesto de un número es la misma distancia desde el cero en la recta numérica, pero en el lado opuesto.

[1.1.1, p. 4]

El inverso aditivo de 23 es 3.

El valor absoluto de un número es la medida de su distancia desde el cero en la recta numérica.

[1.1.1, p. 5]

040 5 4

Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos en el conjunto se llaman elementos del conjunto. El método de lista de nomenclatura de un conjunto encierra una lista de los elementos del conjunto entre llaves.

[1.1.1, 1.1.2, pp. 2, 5]

El conjunto A = {4, 5, 6, 7} contiene los elementos 4, 5, 6 y 7.

El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos.

[1.1.2, p. 5]

El conjunto vacío se escribe como [ o { }.

Un conjunto finito es un conjunto en el que los elementos pueden contarse.

[1.1.2, p. 5]

A 5 5 1, 2, 3, 4 6

Un conjunto infinito es un conjunto en el que es imposible enumerar todos los elementos.

[1.1.2, p. 5]

A 5 5 1, 2, 3, 4, c 6

La notación de conjuntos se utiliza para describir conjuntos finitos e infinitos.

[1.1.2, p. 6]

En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 27 se escribe {x | x > 27, x [ enteros}

6 y 1, son números racionales.

0 23 0 5 3

2 0 26 0 5 26

Los números entre corchetes son una referencia al objetivo en el cual se introduce por primera vez el término clave o la regla o procedimiento esencial. Por ejemplo, la referencia [1.1.1] representa el objetivo 1, de la sección 1, del capítulo 1. Esta notación se utilizará en todos los resúmenes de capítulo de este libro.

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50

CAPÍTULO 1

Los números reales

La notación de intervalos es un método alterno para representar un conjunto. Un intervalo es cerrado si incluye los dos puntos extremos. Un intervalo es abierto si no incluye algún punto extremo. Un intervalo es medio abierto si un extremo está incluido y el otro no. Se utiliza un corchete para indicar que un punto extremo está incluido, y un paréntesis para indicar que un punto extremo está excluido.

[1.1.2, p. 7]

La unión de dos conjuntos, que se escribe A < B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B. Los elementos que están tanto en A como en B se enumeran sólo una vez.

[1.1.2, p. 8]

Si A = {2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, entonces A < B = {2, 3, 4, 5, 6}.

La intersección de dos conjuntos, que se escribe A > B, es el conjunto que contiene los elementos que son comunes tanto para A como para B.

[1.1.2, p. 8]

Si A = {2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}, entonces A > B = {4}.

La expresión an está en forma exponencial, donde a es la base y n el exponente.

[1.2.1, p. 17]

53 está en forma exponencial.

El inverso multiplicativo, o recíproco, de un número diferente de cero a es 1a.

[1.3.1, p. 24]

El inverso multiplicativo de 5 es 3.

Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador o denominador (o ambos) contiene una o más fracciones.

[1.3.2, p. 27]

3 5

Una expresión algebraica es una expresión que contiene una o más variables. Los términos de una expresión algebraica son los sumandos de la expresión.

[1.4.2, pp. 35–36]

3xy + x2 2 4 es una expresión algebraica. 3xy, x2 y 24 son los términos de la expresión.

Un término variable se compone de un coeficiente numérico y una parte variable.

[1.4.2, p. 36]

El coeficiente numérico de 3xy es 3 y la parte variable es xy.

Los términos semejantes de una expresión algebraica tienen la misma parte variable. Los términos constantes son términos semejantes.

[1.4.3, p. 37]

3xy y 27xy son términos semejantes.

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Reglas y procedimientos esenciales

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

–5 –4 –3 –2 –1 0

3

4

5

1

2

3

4

5

4

5

Intervalo abierto (–1, 3) –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

Intervalo medio abierto (–3, 4]

3

22 4 5

5

es una fracción compleja.

Para sumar dos números con el mismo signo, sume los valores absolutos de los dos números y coloque el signo de los sumandos

[1.2.1, p. 13]

25 1 1262 5 211 41256

Para sumar dos números con diferente signo, encuentre la diferencia entre los valores absolutos de los dos números y coloque el signo del número con el valor absoluto más grande.

[1.2.1, p. 13]

24 1 8 5 4 6 1 12112 5 25

Para restar dos números, sume el opuesto del segundo número al primero.

[1.2.1, p. 14]

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2

Intervalo cerrado [–4, 5]

24 2 1252 5 24 1 5 5 1 5 2 12 5 5 1 1212 2 5 27

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CAPÍTULO 1

51

Ejercicios de repaso

El producto de dos números con el mismo signo es positivo. El producto de dos números con diferente signo es negativo.

[1.2.1, p. 15]

142 152 5 20 1242 122 5 28

1232 1272 5 21 152 1242 5 220

El cociente de dos números con el mismo signo es positivo. El cociente de dos números con diferente signo es negativo.

[1.2.1, p. 15]

84254 12102 4 5 5 22

12202 4 1252 5 4 15 4 1232 5 25

El orden o jerarquía de las operaciones Paso 1 Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Paso 2 Simplifique las expresiones con exponentes. Paso 3 Realice la multiplicación y la división como se presentan de izquierda a derecha. Paso 4 Realice la suma y la resta como se presentan de izquierda a derecha.

[1.2.2, p. 18]

15 2 22 1 92 4 3 5 3 1 92 4 3

Propiedades de la suma de los números reales Conmutativa: a + b = b + a Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Propiedad del cero: a + 0 = 0 + a = 0 Propiedad del inverso: a + (−a) = (−a) + a = 0

[1.4.1, pp. 33–34]

Propiedades de la multiplicación de los números reales Conmutativa: a # b = b # a Asociativa: (a # b) # c = a # (b # c) Propiedad del cero: a # 0 = 0 # a = 0 Propiedad del uno: a # 1 = 1 # a = a 1 1 Propiedad del inverso: a # 5 # a 5 1 a a

[1.4.1, pp. 34–35]

Propiedad distributiva a (b + c) = ab + ac

[1.4.1, p. 35]

5 3 1 81 4 3 5 3 1 27 5 30

3125213 14 1 52 1 9 5 4 1 15 1 92 01454 8 1 1282 5 0

3#555#3 12 # 32 # 5 5 2 # 13 # 52 7#050 6#156 1 3a b 5 1 3 3 1x 1 52 5 3x 1 3 152 5 3x 1 15

CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso 1. Encuentre el inverso aditivo de 2 34.

2. Sea x [ {−4, −2, 0, 2}. ¿Para cuáles valores de x la expresión x > 21 es verdadera?

3. Sea p [ {−4, 0, 7}. Evalúe |−p| para cada elemento del conjunto.

4. Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros entre 23 y 4.

5. Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales menores que −3.

6. Escriba [22, 3] en notación de conjuntos.

7. Encuentre A < B dados A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 4, 6, 8}.

8. Encuentre A > B dados A = {0, 1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}.

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52

CAPÍTULO 1

Los números reales

9. Grafique: 3 23, ` 2

10. Grafique: 5 x 0 x , 1 6

11. Grafique: 5 x 0 x # 23 6

h

13. Grafique: 5 x 0 x . 4 6

5 x 0 22 # x , 0 6

h

5x 0 x . 06

12. Grafique: (22, 4] 14. Grafique: 12`, 2 4

x

10, ` 2

15. Reste: 210 2 1232

16. Divida: 2204 4 12172

3 1 17. Reste: 2 2 8 6

3 3 18. Divida: 2 4 8 5

19. Sume: 24.07 1 2.3

20. Simplifique: 242 2 1232 2

21. Simplifique: 7 2 3 15 2 92 2 4 4 # 1222

22. Simplifique:

6 2 8 15 2 32 4 1 2 11 2 62 23. Simplifique: 32 2 22 12 2 52 2

24. Simplifique: 23.2 1 1.1 14 2 3.82 2 4 122.22

25. Utilice la propiedad distributiva para completar la expresión 3 12x 2 7y2 5 6x 2 ?

26. Utilice la propiedad conmutativa de la multiplicación para completar la expresión. 1ab2 14 5 14?

27. Identifique la propiedad que justifica la expresión. 1242 1 4 5 0

28. Identifique la propiedad que justifica la expresión. 2 13x2 5 12 # 32 x

29. Evalúe: b2 − 4ac cuando a = 2, b = 23 y c = 24.

30. Evalúe −a2 − b(2a − 2)2 + 2b cuando a = 23, b = 4 y c = 21.

31. Simplifique: 6 2 2 14a 2 22

32. Simplifique: 22 1x 2 32 1 4 12 2 x2

33. Simplifique: 4y 2 3 3 x 2 2 13 2 2x2 2 4y 4

34. Simplifique: 5 1 2 14x 2 3y2 2 3 3 4 2 2 1x 2 y2 4

35. Convierta y simplifique “cuatro veces la suma de un número y cuatro”.

36. Convierta y simplifique “ocho más el doble de la diferencia entre un número y dos”.

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2 1 1 5 2 8 2 a 2 b 4 3 3 2 6 9

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CAPÍTULO 1

53

Examen

37. Problema de números enteros La suma de dos números es 40. Utilizando x para representar el menor de los dos números, convierta “la suma de dos veces el número menor y cinco más el número mayor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

38. Problema de números enteros La suma de dos números es 9. Utilizando x para representar el mayor de los dos números, convierta “la diferencia entre tres más el doble del número menor y uno más el número mayor” en una expresión algebraica. Luego simplifique.

39. Geometría La longitud de un rectángulo es 3 pies menos que tres veces el ancho. Exprese la longitud del rectángulo en función del ancho.

40. Problemas de números enteros Un segundo entero es cinco más cuatro veces el primer número entero. Exprese el segundo entero en función del primer número entero.

CAPÍTULO 1 Examen 1. Encuentre el inverso aditivo de 212.

2. Sea x [ {25, 3, 7}. ¿Para cuáles valores de x la expresión 21 > x es verdadera?

3. Simplifique: 2 2 12122 1 3 2 5

4. Multiplique: (22)(23)(25)

5. Divida: 2180 ÷ 12

6. Simplifique: |23 2 (25)

7. Simplifique: 252 · 4

8. Simplifique: (22)3(23)2

9. Simplifique:

2 5 4 2 1 3 12 9

11. Simplifique: 4.27 2 6.98 + 1.3

13. Simplifique: 12 2 4a

52 2 1 b 4 16 3

2 9 10 10. Multiplique: a2 b a b a b 3 15 27 12. Divida: 215.092 ÷ 3.08

14. Simplifique: 8 2 4(2 2 3)2 ÷ 2 b2 2 c2 cuando a = 2, b = 3 y c = −1. a 2 2c

15. Evalúe: (a 2 b)2 ÷ (2b + 1) cuando a = 2 y b = 23.

16. Evalúe

17. Utilice la propiedad conmutativa de la suma para completar la expresión. 13 1 42 1 2 5 1? 1 32 1 2

18. Identifique la propiedad que justifica la expresión. 22 1x 1 y2 5 22x 2 2y

19. Simplifique: 3x 2 2 1x 2 y2 2 3 1y 2 4x2

20. Simplifique: 2x 2 4 3 2 2 3 1x 1 4y2 2 2 4

21. Convierta y simplifique “trece disminuido por el producto de tres menos un número y nueve”.

22. Convierta y simplifique “un tercio del total de doce veces un número y veintisiete”.

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CAPÍTULO 1

Los números reales

23. Encuentre A < B dados A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 3, 4, 5}.

24. Encuentre A < B dados A = {22, 21, 0, 1, 2, 3} y B = {−1, 0, 1}.

25. Encuentre A > B dados A = {1, 3, 5, 7} y B = {5, 7, 9, 11}

26. Encuentre A > B dados A = {23, 22, 21, 0, 1, 2, 3} y B = {−1, 0, 1}.

27. Grafique: 12`, 21 4

28. Grafique: 13, ` 2

29. Grafique: 5 x 0 x # 3 6

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h

5 x 0 x , 22 6

30. Grafique: 5 x 0 x , 3 6

x

5 x 0 x . 22 6

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2

CAPÍTULO

Ecuaciones y desigualdades de primer grado Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Tiene dificultades con los problemas expresados en palabras? Este tipo de problemas muestra la diversidad de maneras en que pueden utilizarse las matemáticas. La solución de cada problema en palabras puede dividirse en dos pasos: estrategia y solución. La estrategia consiste en leer el problema, anotar los datos que se proporcionan y los que se piden, e idear un plan para encontrar los datos que se solicitan. La solución a menudo consiste en resolver una ecuación y luego comprobar la solución. (Vea en la página A-10 la sección Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos.)

OBJETIVOS 2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

1 Resolver ecuaciones utilizando

las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 3 Problemas de aplicación 1 Problemas de mezclas porcentuales 2 Problemas de movimiento uniforme 1 Problemas de inversión 2 Problemas de mezclas porcentuales 1 Resolver desigualdades con una variable 2 Resolver desigualdades compuestas 3 Problemas de aplicación 1 Ecuaciones con valor absoluto 2 Desigualdades con valor absoluto 3 Problemas de aplicación

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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. Para los ejercicios 1 a 5, sume, reste, multiplique o divida. 1. 8 2 12 3.

218 26

2. 29 1 3 3 4 4. 2 a2 b 4 3

5 4 5. 2 a b 8 5 Para los ejercicios 6 a 9, simplifique. 6. 3x 2 5 1 7 7. 6 1x 2 22 1 3 8. n 1 1n 1 22 1 1n 1 42 9. 0.08x 1 0.05 1400 2 x2 10. Veinte onzas de la mezcla de una botana contienen frutos secos y pretzels. n representa el número de onzas de frutos secos en la mezcla. Exprese en función de n el número de onzas de pretzels en la mezcla.

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CAPÍTULO 2

2.1 OBJETIVO

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Ecuaciones con una variable Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones Una ecuación expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser expresiones numéricas o algebraicas. La ecuación de la derecha es una ecuación condicional. La ecuación es verdadera si la variable se sustituye por 3. La ecuación es falsa si la variable se sustituye por 4.

2 1 8 5 10 x 1 8 5 11 s x2 1 2y 5 7

Ecuaciones

x1255 31255 41255

Ecuación condicional Una ecuación verdadera Una ecuación falsa

Los valores de sustitución de la variable que hacen verdadera una ecuación se llaman raíces, o soluciones, de la ecuación. La solución de la ecuación x + 2 = 5 es 3. La ecuación de la derecha es una identidad. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación verdadera.

x 1 2 5 x 1 2 Identidad

La ecuación de la derecha es una ecuación sin solución porque no existe un número que se iguale a sí mismo más 1. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación falsa.

x5x11

Cada una de las ecuaciones de la derecha es una ecuación de primer grado con una variable. Todas las variables tienen exponente de grado uno.

Sin solución

x 1 2 5 12 Ecuaciones de 3y 2 2 5 5y primer grado 3 1a 1 22 5 14a

Tome nota

Resolver una ecuación significa encontrar una solución de la ecuación. La ecuación más simple de resolver es una ecuación de la forma variable = constante, porque la constante es la solución.

El modelo de una ecuación como una balanza es aplicable.

Si x = 3, entonces 3 es la solución de la ecuación, ya que 3 = 3 es una ecuación verdadera.

3 x–3

3 7

Al resolver una ecuación, la meta es reescribir la ecuación dada en la forma variable = constante. La propiedad de la adición de las ecuaciones puede utilizarse para reescribir en esta forma una ecuación.

PROPIEDAD DE LA SUMA DE ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones que la ecuación a + c = b + c. Si se añade una pesa en un lado de la ecuación, se requiere añadir una pesa igual en el otro lado de la ecuación, de modo que ésta se mantenga en equilibrio.

La propiedad de la suma de las ecuaciones establece que la misma cantidad puede sumarse a cada lado de una ecuación sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un término de un lado de una ecuación al sumar el opuesto de ese término en ambos lados de la ecuación.

Concéntrese en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la suma de las ecuaciones A. Resuelva: x − 3 = 7

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SECCIÓN 2.1

57

Ecuaciones con una variable

Sume a cada lado de la ecuación el opuesto del término constante −3. Simplifique. Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante. Para comprobar la solución, sustituya la variable con 10. Simplifique el lado izquierdo de la ecuación. Debido a que 7 = 7 es una ecuación verdadera, 10 es una solución.

x2357 x23135713 x 1 0 5 10 x 5 10 Comprobación:

x2357 10 2 3 7 75 7

La solución es 10.

B. Resuelva: x 1

7 1 5 12 2 7

Tome nota Recuerde comprobar la solución. 7 1 5 12 2 1 7 1 2 1 12 12 2 1 6 12 2 1 1 5 2 2 x1

7 1 5 12 2 7 7 7 1 x1 2 5 2 12 12 2 12 x1

Sume el opuesto del término constante 12 a cada lado de la ecuación. Esto es equivalente 7 a restar 12 de cada lado. Simplifique.

6 7 2 12 12 1 x52 12

x105

1 . La solución es 212

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones también puede utilizarse para reescribir una ecuación en la forma variable = constante.

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, y c Z 0, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones como la ecuación ac = be.

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones establece que podemos multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número diferente de cero, sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un coeficiente de un término variable en una ecuación al multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente.

Concéntrese en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la multiplicación de

las ecuaciones

Tome nota Cuando se utiliza la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones, por lo general es más fácil multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente cuando el coeficiente es una fracción, como en el inciso A. Divida cada lado de la ecuación entre el coeficiente cuando el coeficiente sea un entero o un decimal, como en el inciso B.

3 A. Resuelva: 2 x 5 12 4 Multiplique cada lado de la ecuación por 243, que es el recíproco de 234. Simplifique. Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.

3 2 x 5 12 4 4 3 4 a2 b a2 bx 5 a2 b12 3 4 3 1x 5 216 x 5 216 3 Comprobación: 2 x 5 12 4 3 2 12162 12 4 12 5 12 La solución es 216.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

B. Resuelva: −5x = 9 La multiplicación de cada lado de la ecuación por el recíproco de −5 es equivalente a dividir cada lado de la ecuación entre −5.

25x 5 9 25x 9 5 25 25 9 5 9 x52 5

1x 5 2

Simplifique.

La solución es 295.

Usted debe comprobar la solución.

Al resolver una ecuación, a menudo es necesario aplicar las propiedades tanto de la suma como de la multiplicación de las ecuaciones.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva: 5 2 6x 5 9 5 2 6x 5 9 5 2 5 2 6x 5 9 2 5 26x 5 4 4 26x 5 26 26 2 x52 3

• Reste 5 de cada lado de la ecuación. • Simplifique. • Divida entre 26 cada lado de la ecuación. • Simplifique.

La solución es 223.

Problema 1 Solución

6x 2 3 5 27 5 Revise la página S3. Resuelva:

† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 61.

EJEMPLO 2

Resuelva: 3x 2 5 5 26x 1 2

Solución

3x 2 5 5 26x 1 2 3x 1 6x 2 5 5 26x 1 6x 1 2 9x 2 5 5 2 9x 2 5 1 5 5 2 1 5 9x 5 7 9x 7 5 9 9 7 x5 9

• Sume 6x a cada lado de la ecuación. • Sume 5 a cada lado de la ecuación. • Divida entre 9 cada lado de la ecuación.

La solución es 79. Problema 2 Solución

Resuelva: 3x 2 5 5 14 2 5x Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 61.

OBJETIVO

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis Cuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos al resolverla requiere utilizar la propiedad distributiva.

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SECCIÓN 2.1

59

Ecuaciones con una variable

Concéntrese en resolver una ecuación que contiene paréntesis Resuelva:

3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2

Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2 3x 2 6 1 3 5 12 2 2x

Simplifique.

3x 2 3 5 12 2 2x

Sume 2x a cada lado de la ecuación.

5x 2 3 5 12 5x 5 15

Sume 3 a cada lado de la ecuación. Divida entre el coeficiente 5 cada lado de la ecuación. Compruebe la solución.

EJEMPLO 3 Solución

x53 La solución es 3.

Resuelva: 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12 10x 2 35 1 2 5 12 2 3x 2 12 10x 2 33 5 23x 233 5 213x 33 5x 13

• Utilice la propiedad distributiva. • Simplifique. • Reste 10x de cada lado de la ecuación. • Divida entre −13 cada lado de la ecuación.

La solución es 33 13 . Problema 3 Solución

Resuelva:

6 15 2 x2 2 12 5 2x 2 3 14 1 x2

Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 57 de la página 62. Para resolver una ecuación que contiene fracciones, primero elimine los denominadores al multiplicar cada lado de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

Concéntrese en resolver una ecuación mediante la eliminación de los denominadores Resuelva:

x 7 x 2 2 5 1 2 9 6 3

Multiplique por 18 cada lado de la ecuación, que es el mcm de 2, 9, 6 y 3. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

18x 18 # 7 18x 18 # 2 2 5 1 2 9 6 3

Simplifique.

9 x 2 14 5 3x 1 12

Reste 3x de cada lado de la ecuación.

6 x 2 14 5 12

Sume 14 a cada lado de la ecuación. Divida entre el coeficiente 6 cada lado de la ecuación. Compruebe la solución.

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x 7 x 2 2 5 1 2 9 6 3 x 7 x 2 18a 2 b 5 18a 1 b 2 9 6 3

6 x 5 26 13 x5 3 La solución es

13 3.

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60

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva:

x x 3x 2 2 2 5 12 9 2

x x 3x 2 2 2 5 12 9 2 3x 2 2 x x 36a 2 b 5 36a b 12 9 2 36 13x 2 22 36x 36x 2 5 12 9 2 3 13x 2 22 2 4x 5 18x 9x 2 6 2 4x 5 18x 5x 2 6 5 18x 26 5 13x 6 2 5x 13

• El mcm de 12, 9 y 2 es 36. • Multiplique cada lado de la ecuación por el mcm de los denominadores • Utilice la propiedad distributiva. • Simplifique.

6 La solución es 213 .

Problema 4 Solución

Resuelva:

2x 2 7 5x 1 4 2x 2 4 2 5 3 5 30

Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 79 de la página 62.

OBJETIVO

Problemas de aplicación La solución de problemas de aplicación es principalmente una habilidad para convertir enunciados en ecuaciones y luego resolver las ecuaciones. Una ecuación indica que dos expresiones matemáticas son iguales. Por tanto, la conversión de un enunciado en una ecuación requiere el reconocimiento de las palabras o frases que significan igual. Estas frases incluyen “es”, “es igual que”, “equivale a” y “representa”. Una vez que la expresión se convierte en una ecuación, ésta se resuelve al reescribirla en la forma variable = constante.

EJEMPLO 5

Un plomero cobra $80 por una visita de servicio más $1.25 por cada minuto adicional de servicio después de los 60 min. Si la factura por un trabajo de reparación de plomería fue de $115, ¿cuántos minutos duró la visita?

Estrategia

Para calcular la duración en minutos de la visita de servicio, escriba y resuelva una ecuación utilizando n para representar el número total de minutos de la visita. Por tanto n − 60 es el número de minutos adicionales después de los primeros 60 minutos de la visita de servicio. El precio fijo por los 60 minutos más el cargo por los minutos adicionales es el costo total de la llamada de servicio.

Solución

Problema 5 Solución

80 1 1.25 1n 2 602 5 115 80 1 1.25n 2 75 5 115 1.25n 1 5 5 115 1.25n 5 110 n 5 88 La visita de servicio duró 88 min. Usted gana un sueldo de $34,500 y recibe 4% de incremento para el próximo año. Calcule su sueldo para el próximo año. Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 95 de la página 63.

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SECCIÓN 2.1

2.1

61

Ecuaciones con una variable

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Cómo difiere una ecuación de una expresión?

2.

¿Cuál es la propiedad de la adición de las ecuaciones y cómo se utiliza?

3.

¿Cuál es la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones y cómo se utiliza?

Determine si cada una de las ecuaciones siguientes es una ecuación de primer grado con una variable. 5. 2x 1 7 4. 4a 2 5 5 0 8. 6 2 2 14a 2 12

7. 2 1 3y 5 6

6. x2 1 3 5 4 9. 5 5 7 2 2

10. ¿Todas las ecuaciones tienen por lo menos una solución?

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones (Vea las páginas 56-58.) 11. ¿es 1 una solución de 7 − 3m = 4?

12. ¿es 5 una solución de 4y − 5 = 3y?

13. ¿es −2 una solución de 6x − 1 = 7x + 1?

14. ¿es 3 una solución de x2 = 4x − 5?

PREPÁRESE 15. Para resolver la ecuación a − 42 = 13, utilice la propiedad de la suma de las ecuacio? a cada lado de la ecuación. La solución es ? . nes para sumar 16. Para resolver la ecuación 12 + x = 5, ? . solución es

?

12 de cada lado de la ecuación. La

17. Para resolver la ecuación 225 n = 8, utilice la propiedad de la multiplicación de las ? . La solución es ecuaciones para multiplicar cada lado de la ecuación por ? . 18. Para resolver la ecuación 9 = 18b, la solución es ? . por 18. La solución es

?

cada lado de la ecuación

Resuelva y compruebe. 19. x 2 2 5 7

20. x 2 8 5 4

21. a 1 3 5 27

22. 212 5 x 2 3

23. 3x 5 12

24. 8x 5 4

25. 2y 5 7

26. 2x 5 0

27.

2 17 1x5 7 21

30.

3t 5 215 8

28. x 1

2 5 5 3 6

29.

3a 5 221 7

3 4 32. 2 x 5 2 4 7

33. b 2 14.72 5 218.45

34. b 1 3.87 5 22.19

35. 3x 1 5x 5 12

36. 2x 2 7x 5 15

37. 2x 2 4 5 12

38. 5 2 7a 5 19

39. 16 5 1 2 6x

31. 2

5 7 y5 12 16

40. 7 5 7 2 5x

† 41. 29 5 4x 1 3

42. 2x 1 2 5 3x 1 5

† 43. 2 2 3t 5 3t 2 4

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

44. 3x 2 2x 1 7 5 12 2 4x

45. 2x 2 9x 1 3 5 6 2 5x

46. 2x 2 5 1 7x 5 11 2 3x 1 4x

47. 9 1 4x 2 12 5 23x 1 5x 1 8

48.

r es un número positivo menor que 1. ¿La solución de la ecuación 10 9 1 x 5 r es positiva o negativa?

49.

a es un número negativo menor que −5. ¿La solución de la ecuación a = −5b es menor o mayor que 1?

2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis (Revise las páginas 58-60.) PREPÁRESE 50. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación 9x – 3(5 − x) ? + ? = ? + ? = 3(8x + 7): 9 − x 1 1 51. Para eliminar los denominadores de la ecuación 7 1 14 5 6, multiplique cada lado de ? , el mínimo común múltiplo de los denominadores 7, 14 y 6. la ecuación por

Resuelva y compruebe. 52. 2x 1 2 1x 1 12 5 10

53. 2x 1 3 1x 2 52 5 15

55. 5 12 2 b2 5 23 1b 2 32

56. 3 2 2 1y 2 32 5 4y 2 7

54. 2 1a 2 32 5 2 14 2 2a2 † 57. 3 1y 2 52 2 5y 5 2y 1 9

58. 4 1x 2 22 1 2 5 4x 2 2 12 2 x2

59. 2x 2 3 1x 2 42 5 2 13 2 2x2 1 2

62. 4 3 3 1 5 13 2 x2 1 2x 4 5 6 2 2x

63. 2 3 4 1 2 15 2 x2 2 2x 4 5 4x 2 7

60. 2 12d 1 12 2 3d 5 5 13d 2 22 1 4d 64. 2 3 b 2 14b 2 52 4 5 3b 1 4

61. 24 17y 2 12 1 5y 5 22 13y 1 42 2 3y 65. 23 3 x 1 4 1x 1 12 4 5 x 1 4

66. 4 3 a 2 13a 2 52 4 5 a 2 7

67. 5 2 6 3 2t 2 2 1t 1 32 4 5 8 2 t

5 1 2 70. t 2 5 t 9 6 12

7 1 3 5 71. t 2 4 12 6

68. 23 1x 2 22 5 2 3 x 2 4 1x 2 22 1 x 4

69. 3 3 x 2 12 2 x2 2 2x 4 5 3 14 2 x2

72.

2 5 1 x2 x235 x25 3 6 2

73.

1 3 5 3 5 x2 x1 5 x2 2 4 8 2 2

74.

3x 2 2 2 3x 5 12 4

75.

2a 2 9 1 3 5 2a 5

76.

x22 x15 5x 2 2 2 5 4 6 9

77.

2x 2 1 3x 1 4 1 2 4x 1 5 4 8 12

78.

2 5 115 2 6a2 5 112a 1 182 3 6

80.

1 1x 2 72 1 5 5 6x 1 4 3

1 81. 2 1y 2 42 1 8 5 16y 1 202 2

82.

7 1 3 1 x2 5 x2 8 4 4 2

83.

84. 24.2 1 p 1 3.42 5 11.13

86. 0.11x 1 0.04 1700 2 x 2 5 0.06 17002

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† 79.

1 1 120x 1 302 5 16x 1 362 5 3

1 3 2 1 x2 5 x1 2 5 5 2

85. 21.6 1b 2 2.352 5 211.28

87. x 1 0.06 1602 5 0.20 1x 1 20 2

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SECCIÓN 2.1

63

Ecuaciones con una variable

88.

Considere la ecuación 23 3 5 2 4 1x 2 22 4 5 5 1x 2 52 . ¿Cuántas veces utilizaría la propiedad distributiva para eliminar los símbolos de agrupación si resuelve la ecuación?

89.

¿Cuál de las ecuaciones siguientes es equivalente a la ecuación del ejercicio 88? (i) 215 1 12 1x 2 22 5 5x 2 25 (ii) 23 3 x 2 2 4 5 5 1x 2 52 (iii) 23 3 5 2 4x 2 8 4 5 5x 2 25

Problemas de aplicación (Revise la página 60.) PREPÁRESE 90. Cuando una expresión se convierte en una ecuación, la palabra “es” se convierte en el ? . signo 91. Suponga que 10 amigos van a cenar a un restaurante. Algunas personas del grupo ordenan el buffet, mientras que el resto ordena el combo de sopa y sándwich. Si 2 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces el número de de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es el buffet, entonces una expresión que representa el número de personas que ordenan el ? . combo de sopa y sándwich es 92. Temperatura La temperatura Fahrenheit es 59°. Esto es 32° más que 95 de la temperatura Celsius. Calcule la temperatura Celsius. 93. Temperatura La temperatura Celsius en una mañana de otoño fue de 5º. Esto es 59 de la diferencia entre la temperatura Fahrenheit y 32°. Calcule la temperatura Fahrenheit. 94. Mano de obra La factura por la reparación de su automóvil es por $428.55. El cargo por las refacciones fue de $148.55. Un mecánico trabajó en su automóvil durante 4 horas. ¿Cuál fue el cargo por hora de mano de obra? † 95. Consumerismo Una tienda local de alimentos vende por $10.90 una bolsa de 100 libras de alimento. Si un cliente compra más de una bolsa, cada bolsa adicional cuesta $10.50. Un cliente compró $84.40 de alimento. ¿Cuántas bolsas de 100 libras de alimento compró? 96. Consumerismo El Showcase Cinema of Lawrence cobra $7.75 por un boleto de adultos y $4.75 por un boleto de niños para todos los espectáculos antes de las 6:00 P.M. Si una familia de seis integrantes paga $34.50 para entrar a un espectáculo por la tarde, ¿cuántos boletos de adultos y cuántos de niños compró la familia? 97.

Sueldos Vea el recorte de prensa de la derecha. Calcule la tarifa por hora que se pagará a los profesores por las horas extra que trabajarán.

98. Consumerismo La tarifa de admisión por familia en un zoológico de la ciudad es $7.50 por la primera persona y $4.25 por cada miembro de la familia adicional. ¿Cuántas personas hay en una familia que paga $28.75 por su admisión? 99.

100.

Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta en Charlotte fue $4681.25, más 25% de sus ingresos que rebasan los $34,000. Si pagó $8181.25 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuál fue su ingreso anual?

En las noticias Horas extra para los profesores En un esfuerzo por mejorar el desempeño de los estudiantes, se solicitó a los profesores de 12 escuelas de la ciudad que, por un incremento de sueldo relativamente pequeño, trabajen más horas al día el próximo año. Por trabajar 190 horas adicionales, un profesor que actualmente gana 79,400 dólares al año vería que su sueldo aumenta a 83,500 dólares al año. Fuente: The Boston Globe

Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta para una pareja de esposos que presentan juntos su declaración de impuestos fue $9362.50, más 25% de sus ingresos que rebasan los $68,000. Si pagaron $10,612.50 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuáles fueron sus ingresos anuales?

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva. 1 101. 5 29 1 y 103.

102. 8 4

10 2 5 5 4x 3 x

104.

1 5 23 x

6 5 218 7 a

Resuelva. Si la ecuación no tiene solución, escriba “sin solución”. 106. 3 3 4 1 y 1 22 2 1 y 1 52 4 5 3 13y 1 12 105. 2 3 3 1x 1 42 2 2 1x 1 12 4 5 5x 1 3 11 2 x2 107.

4 3 1x 2 32 1 2 11 2 x2 4 5x11 5

109. 3 12x 1 22 2 4 1x 2 32 5 2 1x 1 92

4 1x 2 52 2 1x 1 12 5x27 3 46 110. 2584 4 x 5 54 x 108.

PROYECTOS 0 ACTIVIDADES EN EQUIPO Recuerde que un número entero par es un entero que es divisible entre 2. Un número entero impar es un entero que no es divisible entre 2. 8, 9, 10 Los enteros consecutivos son enteros que siguen 23, 22, 21 en orden uno después de otro. Los ejemplos de n, n 1 1, n 1 2, donde n es un número entero enteros consecutivos se muestran a la derecha. A la derecha se muestran ejemplos de enteros pares consecutivos.

16, 18, 20 26, 24, 22 n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero par

A la derecha se muestran enteros impares consecutivos.

11, 13, 15 223, 221, 219 n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero impar

111. La suma de tres números enteros consecutivos es 33. Encuentre los enteros. 112. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 105. Encuentre los enteros. 113. La suma de cuatro números enteros pares consecutivos es 92. Encuentre los enteros.

2.2 OBJETIVO

Mezcla de valores y problemas de movimiento Problemas de mezcla de valores Un problema de mezcla de valores implica la combinación de dos ingredientes que tienen precios diferentes en una sola mezcla. Por ejemplo, un fabricante de café puede mezclar dos tipos de café en una mezcla única. Una solución a un problema de mezcla de valores se basa en la ecuación V = AC, donde V es el valor del ingrediente, A la cantidad del ingrediente y C el costo por unidad del ingrediente.

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SECCIÓN 2.2

65

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación de mezcla de valores para obtener el valor de 12 libras de café que cuestan $5.25 por libra. $2.25 por libra

$6.00 por libra

V 5 AC V 5 12 15.252 V 5 63 El valor del café es $63.

0 $3.5 por libra

Resuelva: ¿Cuántas libras de cacahuates que cuestan $2.25 por libra deben mezclarse con 40 libras de nueces de la India que cuestan $6.00 por libra para hacer una mezcla que cuesta $3.50 por libra?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES

 Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

Cantidad de cacahuates: x Cantidad, A

#

Costo unitario, C

=

Valor, V

Cacahuates

x

#

2.25

=

2.25x

Nueces de la India

40

#

6.00

=

6.00(40)

Mezcla

x + 40

#

3.50

=

3.50(x + 40)

 Determine cómo se relacionan los valores de los ingredientes individuales. Utilice el hecho de que la suma de los valores de los ingredientes es igual al valor de la mezcla.

La suma de los valores de los cacahuates y las nueces de la India es igual al valor de la mezcla. 2.25x 1 6.00 1402 5 3.50 1x 1 402 2.25x 1 240 5 3.50x 1 140 21.25x 1 240 5 140 21.25x 5 2100 x 5 80 x onzas

La mezcla debe contener 80 lb de cacahuates.

100 onzas

EJEMPLO 1

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¿Cuántas onzas de una aleación de oro que cuesta $320 la onza deben mezclarse con 100 onzas de una aleación que cuesta $100 la onza para elaborar una mezcla que cuesta $160 la onza?

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Estrategia

 Onzas de la aleación de oro de $320: x Cantidad

Costo

Valor

Aleación de $320

x

320

320x

Aleación de $100

100

100

100(100)

Mezcla

x + 100

160

160(x + 100)

 La suma de los valores antes de la mezcla es igual al valor después de la mezcla. Solución

320x 1 100 11002 5 160 1x 1 1002 320x 1 10,000 5 160x 1 16,000 160x 1 10,000 5 16,000 160x 5 6000 x 5 37.5 La mezcla debe contener 37.5 onzas de la aleación de oro de $320.

Problema 1

Solución

Un carnicero mezcló carne molida para hamburguesa que cuesta $4.00 por libra con otra que cuesta $2.80 por libra. ¿Cuántas libras de cada una se utilizaron para elaborar una mezcla de 75 libras que cuesta $3.20 por libra? Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 72.

OBJETIVO

Cómo se usa El receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS) de un automóvil utiliza en repetidas ocasiones la ecuación d = rt cada vez que determina la ubicación del automóvil, siendo r la velocidad de la luz y t el tiempo que tarda una señal en viajar desde un satélite GPS al receptor en el automóvil.

Problemas de movimiento uniforme Cualquier objeto que se desplaza a una velocidad constante en línea recta se dice que está en movimiento uniforme. El movimiento uniforme significa que la velocidad y la dirección de un objeto no cambian. Por ejemplo, un tren que viaja a una velocidad constante de 50 millas por hora en una vía recta está en movimiento uniforme. La solución de un problema de movimiento uniforme se basa en la ecuación d = r t, donde d es la distancia recorrida, r la velocidad a que se viaja y t el tiempo que dura el viaje. Por ejemplo, suponga que un tren viaja durante 2 horas a una velocidad promedio de 45 mph. Debido a que el tiempo (2 horas) y la velocidad (45 mph) son conocidas, podemos calcular la distancia recorrida al resolver d para la ecuación d = rt. d 5 rt d 5 45 122

• r 5 45, t 5 2

d 5 90 El tren viaja una distancia de 90 millas.

Concéntrese en utilizar la ecuación d = rt Un chef sale de un restaurante y conduce a su casa, que está a 16 millas de distancia. Si el chef tarda 20 minutos en llegar, ¿cuál es la velocidad promedio a la que conduce? Dado que la respuesta debe estar en millas por hora y el tiempo en minutos, convierta 1 20 minutos a horas: 20 min 5 20 60 h 5 3 h.

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SECCIÓN 2.2

d 5 rt

Para calcular la tasa de velocidad, resuelva r para la ecuación d = rt, sustituyendo los valores d = 16 y t 5 13.

Tome nota La abreviatura pies/s significa “pies por segundo”.

67

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Si dos objetos se mueven en direcciones opuestas, entonces la velocidad a la cual la distancia entre ellos está aumentando es la suma de las velocidades de los dos objetos. Por ejemplo, en el diagrama de la derecha, dos corredores parten del mismo punto y corren en direcciones opuestas. La distancia entre ellos cambia a una velocidad de 21 pies/s. Asimismo, si dos objetos se mueven aproximándose entre sí, la distancia entre ellos está disminuyendo a una velocidad que es igual a la suma de las velocidades. La velocidad a la cual los dos ciclistas de la derecha se aproximan entre sí es 35 mph.

1 16 5 ra b 3 1 16 5 r 3 1 132 16 5 132 r 3 48 5 r La velocidad media es 48 mph.

9 pies/s

12 pies/s

9 pies/s + 12 pies/s = 21 pies/s 15 mph

20 mph

35 mph

Concéntrese en utilizar la ecuación d = rt Dos automóviles parten del mismo punto y se mueven en direcciones opuestas. El automóvil que se desplaza hacia el oeste viaja a 50 mph, y el que se desplaza al este viaja a 65 mph. ¿En cuántas horas los automóviles estarán a 230 millas de distancia? 50 mph

65 mph

115 mph

Los automóviles se desplazan en direcciones opuestas, así que la velocidad a la cual la distancia entre ellos está cambiando es la suma de las velocidades de los automóviles. Por tanto, r = 115.

50 mph + 65 mph = 115 mph

La distancia es 230 millas. Para calcular el tiempo, resuelva para t d = rt.

d 5 rt 230 5 115t 230 115t 5 115 115 25 t El tiempo es 2 h.

Tome nota La corriente en chorro que fluye generalmente de oeste a este a través de Estados Unidos afecta el tiempo que tarda un avión en volar desde Los Ángeles a Nueva York. Por ejemplo, en un día cualquiera, el tiempo de vuelo desde Nueva York a Los Ángeles es aproximadamente unos 40 minutos más largo que el viaje de Los Ángeles a Nueva York.

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La velocidad de crucero típica de un avión Boeing 777 es 525 mph. Sin embargo, el viento afecta la velocidad del avión. Por ejemplo, cuando un avión está volando de California a Nueva York, el viento está por lo general en la dirección de vuelo, aumentando así la velocidad efectiva del avión. Si la velocidad del viento es de 50 mph, entonces la velocidad efectiva del avión es la suma de la velocidad del avión y la velocidad del viento: 525 mph + 50 mph = 575 mph.

50 mph

525 mph

viento 575 mph Velocidad efectiva

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68

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado 525 mph

50 mph

Si el avión viaja de Nueva York a California, el viento está por lo general en la dirección opuesta del vuelo, de manera que hace que la velocidad del avión disminuya. Si la velocidad del viento es 50 mph, entonces la velocidad efectiva del avión es la diferencia entre la velocidad del avión y la velocidad del viento: 525 mph − 50 mph = 475 mph

viento

475 mph Velocidad efectiva

Existen otras situaciones en las cuales se pueden aplicar estos conceptos.

EJEMPLO 2

Estrategia

Un recorrido turístico por el río Misisipi lleva a los turistas en un viaje de 30 millas por el río desde el muelle turístico hasta un sitio histórico de la Guerra Civil, donde pasan una hora caminando por los jardines. El recorrido regresa al muelle turístico. Si la velocidad del bote tiene previsto viajar a 16 mph en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente es de 4 mph, calcule el tiempo total del viaje. Para determinar el tiempo total:  Calcule el tiempo que tarda el recorrido por el río al resolver t para la ecuación d = rt. La distancia es 30 millas. Por consiguiente, d = 30. Como el bote viaja con la corriente, su velocidad es la suma de la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente: 16 mph + 4 mph = 20 mph. Por tanto, r = 20 mph.  Calcule el tiempo que tarda en regresar el grupo de turistas a la estación al resolver t para d = rt. La distancia es 30 millas. Por consiguiente, d = 30. Debido a que el bote viaja contra la corriente, su velocidad es la diferencia de la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente: 16 mph − 4 mph = 12 mph. Por tanto, r = 12 mph.  Sume el tiempo que tarda el recorrido por el río, el tiempo que tarda la visita al sitio histórico (1 h) y el tiempo que toma el regreso.

Solución

d 5 rt 30 5 20t 30 20t 5 20 20 1.5 5 t

• d5

,r5

1

5

El tiempo que tarda el recorrido por el río es 1.5 h. d 5 rt 30 5 12t 30 12t 5 12 12 2.5 5 t

• d5

,r5

2

5

El tiempo que tarda en regresar el grupo de turistas a la estación es 2.5 h. Tiempo total 5 1.5 1 1 1 2.5 5 5 El tiempo total del viaje es 5 h. Problema 2

Solución

Un avión que normalmente puede viajar a 175 mph con viento en calma vuela contra un viento de 35 mph. ¿Cuánto tiempo le tomará al avión volar 350 millas? Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 29 de la página 73.

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SECCIÓN 2.2

69

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Para algunos problemas de movimiento uniforme, puede ser útil registrar en una tabla la información conocida. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. Resuelva: Un ejecutivo tiene una cita a 785 millas de la oficina. Aborda un helicóptero desde la oficina hasta el aeropuerto y un avión desde el aeropuerto a la cita de negocios. El helicóptero viaja a un promedio de 70 mph, y el avión a 500 mph. El tiempo total empleado en el viaje es de 2 horas. Calcule la distancia desde la oficina del ejecutivo hasta el aeropuerto.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MOVIMIENTO UNIFORME

 Para cada objeto, escriba una expresión numérica o algebraica para la distancia, la velocidad y el tiempo. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

El tiempo total de viaje es 2 h. Tiempo desconocido en el helicóptero: t Tiempo en el avión: 2 − t Velocidad, r

#

Tiempo, t

=

Distancia, d

70

#

t

=

70t

500

#

2−t

=

500(2 − t)

Helicóptero Avión

 Determine cómo se relacionan las distancias recorridas por los objetos individuales. Por ejemplo, la distancia total recorrida por ambos objetos puede ser conocida o tal vez se conozca que los dos objetos recorren la misma distancia.

La distancia total recorrida es 785 millas 70t 1 500 12 2 t2 5 785 70t 1 1000 2 500t 5 785 2430t 1 1000 5 785 2430t 5 2215 t 5 0.5

70t

500(2 – t)

Oficina Aeropuerto

Cita

785 mi

El tiempo que tarda el viaje de la oficina al aeropuerto en el helicóptero es 0.5 horas. Para calcular la distancia entre estos dos lugares, sustituya r con 0.5 y t con 70 en la ecuación rt = d. rt 5 d 1 70 0.52 5 d 35 5 d La distancia desde la oficina al aeropuerto es 35 millas.

EJEMPLO 3

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Un corredor de larga distancia empezó a correr por una pista a una velocidad media de 6 mph. Una y media horas más tarde, un ciclista recorrió la misma pista a una velocidad media de 12 mph. ¿Cuánto tiempo después de que el corredor empezó a correr lo alcanzará el ciclista?

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70

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Estrategia

 Tiempo desconocido para el ciclista: t Tiempo para el corredor: t + 1.5 Velocidad

Tiempo

Distancia

Corredor

6

t + 1.5

6(t + 1.5)

Ciclista

12

t

12t

 El corredor y el ciclista recorrieron la misma distancia. Solución

6 1t 1 1.52 5 12t 6t 1 9 5 12t 95 6t 3 5t 2 t 1 1.5 5 1.5 1 1.5

• El ciclista montó su bicicleta por 1.5 h. • Sustituya el valor de t en la expresión para el tiempo del corredor.

53 El ciclista alcanzó al corredor 3 horas después de que éste empezó a correr. Problema 3

Solución

Dos aviones pequeños parten del mismo punto y vuelan en direcciones opuestas. El primer avión vuela 30 mph más rápido que el segundo. En 4 horas los aviones están a 1160 millas de distancia. Calcule la velocidad de cada avión. Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 74.

2.1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Un tendero mezcla cacahuates que cuestan $4 por libra con almendras que cuestan $8 por libra. ¿Cuál de las opciones siguientes no es posible para el costo de la mezcla? (i) $4.50 (ii) $3.75 (iii) $9.50 (iv) $6.25 (v) $6.00 2. Una mezcla de semillas de césped se vende a $1.75 la libra. La mezcla se creó con semilla de pasto de Michigan Premium que cuesta $1.60 por libra y semillas de festuca que cuestan $2.00 por libra. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (i) En la mezcla hay más de pasto Michigan Premium que festuca. (ii) En la mezcla hay cantidades iguales de pasto Michigan Premium que de festuca. (iii) En la mezcla hay más festuca que pasto Michigan Premium. (iv) No hay suficiente información. 3. Una bolsa de 10 libras de un surtido de frutos secos se llena con una mezcla de pasas y frutos secos. Si la bolsa contiene x libras de pasas, entonces la cantidad de frutos secos es (i) 110 2 x2 libras (ii) 1x 2 102 libras (iii) 1x 1 102 libras

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SECCIÓN 2.2

Mezcla de valores y problemas de movimiento

71

4. Lois y Damián empiezan al mismo tiempo, y caminan aproximándose entre sí hasta que se encuentran. Van por un camino recto que mide 2 millas de largo. Lois camina más rápido que Damián. a. ¿La distancia recorrida por Lois es menor, igual o mayor que la distancia recorrida por Damián? b. ¿El tiempo que Lois caminó es menor, igual o mayor que el tiempo que caminó Damián? c. ¿Cuál es la distancia total recorrida por Lois y Damián? 5. Margot y Juanita comienzan al mismo tiempo y caminan en direcciones opuestas en un sendero recto. Margot camina a 2 mph y Juanita a 3 mph. Después de 1 hora, ¿estarán a menos o más de 6 millas de distancia? 6. Morgan y Emma van en bicicleta de la casa de Emma a la tienda por la misma ruta. Emma es más veloz que Morgan, quien monta su bicicleta 5 minutos antes que Emma, pero llegan a la tienda al mismo tiempo. a. Cuando llegan a la tienda, ¿la distancia recorrida por Emma en bicicleta es menor, igual o mayor que la distancia recorrida por Morgan? b. Cuando llegan a la tienda, ¿el tiempo que pasó Emma en la bicicleta es menor, igual o mayor que el tiempo que pasó Morgan?

Problemas de mezcla de valores (Revise las páginas 64-66.) PREPÁRESE 7. a. El valor total de una bolsa de 20 libras de semillas para pájaros que cuesta $0.42 por libra es _____. b. El costo por onza de una caja de 24 onzas de chocolates que tiene un valor total de $16.80 es _____. 8. Una mezcla de frutos secos se prepara con arándanos que cuestan $7.20 por libra y duraznos que cuestan $4.50 por libra. Quince libras de la mezcla cuestan $5.40 por libra. Sea x la cantidad de arándanos secos en la mezcla. a. Complete la tabla siguiente. Cantidad, A

ⴢ

Costo unitario

ⴝ

Valor, V

Arándanos secos

x

#

?

=

?

Duraznos secos

?

#

?

=

?

Mezcla

?

#

?

=

?

b. Utilice las expresiones de la última columna de la tabla del inciso a) para escribir una ecuación que pueda resolverse para calcular el número de libras de arándanos ? + ? = ? . secos en la mezcla: 9.

Un vendedor de café mezcla café tostado oscuro que cuesta $10 por libra con un café tostado ligero que cuesta $7 por libra. ¿Cuál de las expresiones siguientes acerca del costo C por libra de mezcla podría ser verdadera? Puede haber más de una respuesta correcta. (i) C 5 $17 (ii) C 5 $10 (iii) C , $7 (iv) C . $7 (v) C . $10 (vi) C , $10

10.

Una mezcla para botana se prepara con cacahuates que cuestan $3 por libra y palomitas de maíz acarameladas que cuestan $2.20 por libra. La mezcla cuesta $2.50 por libra. ¿La mezcla contiene más cacahuates o más palomitas de maíz?

11. El chef de un restaurante mezcla 20 libras de chícharos que cuestan $1.99 la libra con 14 libras de cebollitas de cambray que cuestan $1.19 la libra para preparar una mezcla de vegetales para la cena. Calcule el costo por libra de la mezcla.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

12. Un vendedor de café combina café que cuesta $5.50 por libra con café que cuesta $3.00 por libra. ¿Cuántas libras de cada uno deben utilizarse para preparar 40 libras de una mezcla que cuesta $4.00 por libra? 13. Los boletos para adultos para una obra de teatro cuestan $5.00, y los boletos para niños $2.00. Para una función se vendieron 460 boletos. Las ganancias por la función fueron $1880. Calcule el número de boletos para adultos que se vendieron. 14. Los boletos para una producción local de H.M.S. Pinafore de Gilbert y Sullivan cuestan $6.00 para adultos y $3.00 para niños y ancianos. Los ingresos totales por las 505 entradas fueron $1977. Calcule el número de boletos vendidos para adultos. † 15. Cincuenta litros de jarabe puro de maple que cuestan $9.50 por litro se mezclan con jarabe de maple de imitación, que cuesta $4.00 por litro. ¿Qué cantidad de jarabe de maple de imitación se necesita para preparar una mezcla que cuesta $5.00 el litro? 16. Para elaborar una mezcla de harina, un molinero combinó soya que cuesta $8.50 por fanega con trigo que cuesta $4.50 por fanega. ¿Cuántas fanegas de cada uno se utiliza para preparar una mezcla de 800 fanegas que cuesta $5.50 por fanega? 17. Una instructora de senderismo está preparando una mezcla de frutos secos para un grupo de jóvenes excursionistas. Mezcla los frutos secos que cuestan $3.99 la libra con pretzels que cuestan $1.29 la libra para preparar una mezcla de 20 libras que cuesta $2.37 la libra. Calcule el número de libras de nueces que se utilizó. 18. Un orfebre combinó plata pura que cuesta $5.20 la onza, con 50 onzas de una aleación de plata que cuesta $2.80 la onza. ¿Cuántas onzas de plata pura utiliza para hacer una aleación de plata que cuesta $4.40 la onza? 19. Una mezcla de té se preparó con 30 libras de té que cuesta $6.00 por libra y 70 libras de té que cuesta $3.20 por libra. Calcule el costo por libra de la mezcla de té. 20. Calcule el costo por onza de la mezcla de aderezo para ensaladas a partir de 64 onzas de aceite de oliva, que cuesta $8.29 y 20 onzas de vinagre que cuesta $1.99. Redondee a la centésima más cercana. 21. El dueño de un puesto de frutas combinó jugo de arándano que cuesta $4.20 por galón con 50 galones de jugo de manzana que cuesta $2.10 por galón. ¿Cuánto jugo de arándano utilizó para elaborar el jugo de arándanos y manzana que cuesta $3.00 por galón? 22. Se mezclaron nueces que cuestan $4.05 por kg con castañas que cuestan $7.25 por kg. ¿Cuántos kilogramos de cada uno se utilizaron para elaborar una mezcla de 50 kg que cuesta $6.25 por kg? Redondea a la décima más cercana.

Problemas de movimiento uniforme (Revise las páginas 66-70.) PREPÁRESE 23. a. Marvin y Nancy comenzaron a andar en bicicleta al mismo tiempo. Marvin monta su bicicleta a 12 mph y Nancy a 15 mph. Después de t horas, Marvin ha recorrido ? millas y Nancy ? millas. b. Un avión vuela a una velocidad de 380 mph con viento en calma. El viento sopla ? mph. Al volar contra el a 20 mph. Al volar con el viento, el avión vuela a ? mph. viento, el avión vuela a

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SECCIÓN 2.2

Mezcla de valores y problemas de movimiento

73

24. Sam y José salieron del cine y tomaron direcciones opuestas. Sam se fue en bicicleta y José caminando. Sam es cuatro veces más rápido en su bicicleta que José caminando. Después de un cuarto de hora, Sam y José están a 3.75 millas de distancia. Sea r la tasa de velocidad de José. a. Complete la tabla siguiente. Velocidad

ⴢ

Tiempo

ⴝ

Distancia

Sam

?

#

?

=

?

José

r

#

?

=

?

b. Utilice las expresiones de la última columna de la tabla del inciso a para escribir una ecuación que se pueda resolver para calcular la tasa de velocidad de José: ? + ? = ? .

25.

Mike y Mindy viven a 3 millas de distancia. Salen de sus casas al mismo tiempo, y caminan aproximándose entre sí hasta que se encuentran. Mindy camina más rápido que Mike. a. ¿La distancia recorrida por Mike es menor, igual o mayor que la recorrida por Mindy? b. ¿El tiempo que caminó Mike es menor, igual o mayor que el tiempo que caminó Mindy? c. ¿Cuál es la distancia total recorrida por Mike y Mindy?

26.

Eric y James van en bicicleta a la escuela desde la casa de Eric. James sale 10 minutos antes que Eric, quien es más rápido en su bicicleta que James y lo alcanza justo cuando llegan a la escuela. a. ¿La distancia que recorrió James en bicicleta es menor, igual o mayor que la distancia que recorrió Eric? b. ¿El tiempo que montó James en bicicleta es menor, igual o mayor que el tiempo que montó Eric en su bicicleta?

27. Un estudiante tarda 30 minutos en ir en automóvil desde la escuela al trabajo, que está a una distancia de 20 millas. ¿A qué velocidad media conduce el estudiante? 28. Un ciclista monta en su bicicleta a una velocidad de 16 mph durante 45 minutos. ¿Qué distancia recorre el ciclista en ese tiempo? † 29. La velocidad de crucero típica de un avión Boeing 747−400 es 30 mph más rápida que la velocidad de un Boeing 737−800. Si un Boeing 747−400 puede hacer un viaje de 1680 millas en 3 horas, ¿cuánto tiempo le tomaría a un Boeing 737−800 hacer el mismo viaje? Redondea a la décima más cercana. 30. Algunos hoteles en Las Vegas utilizan pasillos mecánicos para transportar a las personas entre distintos destinos. Suponga que un huésped de un hotel decide entrar en un pasillo mecánico que mide 195 pies de largo. Si el huésped camina a una velocidad de 5 pies/s y el pasillo se mueve a una velocidad de 7 pies/s, ¿cuántos segundos tardará el huésped en llegar de un extremo del pasillo al otro? 31. Dos ciclistas parten a la 1:00 P.M. desde extremos opuestos de una pista que mide 54 millas. La velocidad media del primer ciclista es de 17 mph y la velocidad media del segundo ciclista es de 19 mph. ¿A qué hora se encuentran los dos ciclistas? 32. A las 9:00 de la mañana, Katrina inicia su recorrido por un camino de ejercicio a una velocidad de 4 mph. A las 9:30 A.M., Carla sale desde el mismo lugar y empieza a perseguir a Katrina, y la alcanza a la 10:00 A.M. Calcule la velocidad a la que Carla corre. 33. Un ciclista que viaja a 18 mph alcanza a un patinador que patina a 10 mph y que salió con una ventaja de 0.5 horas. ¿A qué distancia del punto de partida el ciclista alcanza al patinador?

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

34. Un helicóptero que viaja a 120 mph alcanza a un automóvil que viaja a 90 mph. El automóvil tenía una ventaja de 0.5 horas. ¿A qué distancia del punto de partida el helicóptero alcanza al automóvil?

r

† 35. Dos aviones están a 1380 millas de distancia uno del otro y viajan aproximándose entre sí. Un avión viaja 80 mph más rápido que el otro. Los aviones se cruzan 1.5 h después. Calcule la velocidad de cada avión. 36. Dos esquiadores parten del mismo muelle al mismo tiempo y se desplazan en direcciones opuestas. Un esquiador se desplaza 14 mph más lento que el otro esquiador. En media hora los esquiadores están a 48 millas de distancia. Calcule la velocidad del esquiador más lento. r + 80

37. Dos aviones salen del mismo punto y vuelan en direcciones opuestas. El primer avión vuela 50 mph más lento que el segundo. En 2.5 horas, los aviones están a 1400 millas de distancia. Determine la velocidad de cada avión.

cozyta/Shutterstock.com

38. Un avión de pasajeros proporciona transporte de un aeropuerto internacional hacia las ciudades vecinas. Un avión de pasajeros voló con una velocidad media de 210 mph hacia un aeropuerto de la ciudad y regresó al aeropuerto internacional con una velocidad media de 140 mph. El tiempo total de vuelo fue de 4 horas. Calcule la distancia entre los dos aeropuertos. 39. Un ferry sale de un puerto y viaja a una isla turística a una velocidad media de 18 mph. En el viaje de regreso, a causa de la niebla, el ferry se desplaza a una velocidad media de 12 mph. El tiempo total del viaje es de 6 horas. ¿A qué distancia de la isla se encuentra el puerto? 40. Dos excursionistas parten del mismo punto y caminan en direcciones opuestas alrededor de un lago cuya costa mide 13 millas de largo. Un excursionista camina 0.5 mph más rápido que el otro. ¿Con qué velocidad caminó cada excursionista si se encontraron en 2 horas?

Taller de bicicletas

41. Marcela caminó desde su casa a un taller de reparación de bicicletas a una velocidad de 3.5 mph. Después de recoger su bicicleta, regresó a su casa por la misma ruta a una velocidad de 14 mph. Su tiempo de recorrido total fue de 1 hora. ¿A qué distancia del taller de bicicletas está la casa de Marcela? 42. Un tren expreso sale de la estación Grand Central 1 hora después que un tren de carga sale de la misma estación. El tren expreso viaja 15 mph más rápido que el tren de carga. Calcule la velocidad a la que se desplaza cada tren si el tren expreso alcanza el tren de carga en 3 horas. 43. Al medio día, un tren parte de Washington, D.C. con destino a Pittsburgh, Pensilvania, que está a una distancia de 260 millas. El tren viaja a una velocidad de 60 mph. A la 1 P.M., un segundo tren que viaja a 40 mph parte de Pittsburgh con destino a Washington, D.C. ¿Cuánto tiempo después de que el tren sale de Pittsburgh se cruzan ambos trenes?

3.5 mph Taller de bicicletas

14 mph

44. Un avión sale de un aeropuerto a las 3 P.M. A las 4 P.M., otro avión sale del mismo aeropuerto viajando en la misma dirección a una velocidad 150 mph más rápida que la del primero. Cuatro horas después de que el primer avión despega, el segundo está a 250 millas por delante del primero. ¿Qué distancia viajó el segundo avión?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 45.

Viaje al espacio En 1999 los astrónomos confirmaron la existencia de tres planetas que orbitan alrededor de una estrella distinta del Sol. Los planetas tienen aproximadamente el mismo tamaño que Júpiter y orbitan alrededor de la estrella Upsilon Andrómeda, que se encuentra a una distancia cercana a los 260 billones de millas de la Tierra. ¿Cuántos años después de dejar la Tierra llegaría a esta estrella una nave espacial que viaja a 18 millones de millas por hora? Redondea a la centena más cercana. (Una velocidad de 18 millones de millas por hora es aproximadamente 1000 veces más rápida que velocidad a la que pueden viajar las naves espaciales actuales.)

46. Movimiento uniforme Si un desfile de 2 millas de largo avanza a 3 mph, ¿cuánto tiempo tardará un corredor, que corre a 6 mph, en desplazarse desde el final del desfile hasta el comienzo del mismo? 47. Movimiento uniforme Dos automóviles se dirigen uno hacia el otro a una velocidad de 40 y 60 mph. ¿A cuántas millas de distancia están 2 minutos antes de que choquen?

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48.

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

Aeronáutica En diciembre de 1986, los pilotos Dick Rutan y Jeana Yeager tripularon el Voyager en el primer vuelo alrededor del mundo sin escalas y sin parar. Volaron al este de la Base Aérea Edwards en California el 14 de diciembre, recorrieron 24,986.727 millas en todo el mundo, y regresó a Edwards 216 h 3 min 44 s después de su partida. a. ¿En qué fecha después de su partida aterrizaron Rutan y Yeager en la Base Aérea Edwards? b. ¿Cuál fue su velocidad promedio en millas por hora? Redondee al número entero más cercano. c. Calcule la circunferencia de la Tierra en un almanaque de referencia, y luego calcule la distancia aproximada sobre la Tierra que se recorrió durante el vuelo. Redondee al entero más cercano.

75

Thomas Harrop/NASA

SECCIÓN 2.3

49. Movimiento uniforme Un automóvil viaja a una velocidad media de 30 mph a lo largo de 1 milla. ¿Es posible que el automóvil aumente su velocidad durante la milla siguiente de modo que su velocidad media a lo largo de las 2 millas sea 60 mph? 50.

Un estudiante corre 1 milla a una velocidad de 8 mph y corre de regreso a una velocidad de 6 mph. ¿Le parece razonable que la velocidad media sea de 7 mph? ¿Por qué? Justifique su respuesta.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 51. Una mezcla está hecha de un ingrediente A, que cuesta $10 por libra, y un ingrediente B, que cuesta $20 por libra. a. Si se utilizan cantidades iguales de los ingredientes A y B, ¿cuánto cuesta la mezcla? b. Si la mezcla se prepara utilizando menos del ingrediente A que del ingrediente B, ¿el costo de la mezcla es menor o mayor que el costo calculado en el inciso a? 52. Jason y Quan comparten una bicicleta. Jason recorre una distancia acordada y luego le coloca un candado a la bicicleta para dejársela a Quan, quien ha estado caminando. Mientras tanto, Jason camina por delante. Los amigos alternan entre caminar y andar en bicicleta. Si los dos jóvenes caminan a una velocidad de 4 mph y pasean a una velocidad de 12 mph, ¿qué parte del tiempo ha estado detenida la bicicleta, cuando Jason y Quan se encuentran de nuevo?

2.3 OBJETIVO

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje Problemas de inversión El interés anual simple que una inversión gana está dado por la ecuación I = Pr, donde I es el interés simple, P el capital o monto invertido, y r la tasa de interés simple. La solución de un problema de inversión se basa en esta ecuación. Por ejemplo, si la tasa de interés anual de una inversión de $3000 es 9%, entonces podemos utilizar la ecuación del interés simple para calcular el interés anual simple que se gana en la inversión. I 5 Pr I 5 3000 10.092 I 5 270 El interés anual simple ganado es $270.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Resuelva: Usted tiene un total de $8000 invertidos en dos cuentas de interés simple. En una cuenta, un fondo del mercado de dinero, la tasa de interés anual simple es 11.5%. En la segunda cuenta, un fondo de bonos, la tasa de interés anual simple es 9.75%. El interés anual total ganado en las dos cuentas es $823.75. ¿Cuánto ha invertido en cada cuenta?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA QUE INVOLUCRA DINERO DEPOSITADO EN DOS CUENTAS DE INTERÉS SIMPLE

 Por cada suma invertida, utilice la ecuación Pr = I. Escriba una expresión numérica o algebraica para el capital, la tasa de interés y el interés ganado. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

La suma total invertida es $8000. Suma invertida al 11.5%: x Suma invertida al 9.75%: 8000 − x $x

$8,000 - x

Capital, P Suma al 11.5%

x

Suma al 9.75%

8000 − x

#

Tasa de interés, r

#

#

0.115 0.0975

= = =

Interés ganado, I 0.115x 0.0975(8000 − x)

 Determine cómo se relacionan los montos del interés ganado en las inversiones individuales. Por ejemplo, un dato conocido puede ser el interés total ganado en ambas cuentas, o que el interés ganado en una cuenta es igual al interés ganado en la otra.

El interés anual total ganado es $823.75.

0.115x 1 0.0975 18000 2 x2 5 823.75 0.115x 1 780 2 0.0975x 5 823.75 0.0175x 1 780 5 823.75 0.0175x 5 43.75 x 5 2500

El monto invertido al 9.75% es 8000 − x. Sustituya x con 2500 y evalúe. 8000 2 x 5 8000 2 2500 5 5500 El monto invertido al 11.5% es $2500. El monto invertido al 9.75% es $5500.

EJEMPLO 1

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Una inversión de $4000 produce rendimientos con un interés anual simple de 4.9%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse a una tasa de interés simple de 7.4% de modo que el interés total ganado sea 6.4% de la inversión total?

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SECCIÓN 2.3

Estrategia

77

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

 Monto adicional a invertir al 7.4%: x Capital

Tasa

Interés

Monto al 4.9%

4000

0.049

0.049(4000)

Monto al 7.4%

x

0.074

0.074x

Monto al 6.4%

4000 + x

0.064

0.064(4000 + x)

 La suma de los montos de interés ganado en las dos inversiones es igual al interés ganado en la inversión total. Solución

Problema 1

Solución

0.049 140002 1 0.074x 5 0.064 14000 1 x2 196 1 0.074x 5 256 1 0.064x 196 1 0.01x 5 256 0.01x 5 60 x 5 6000 Se deben invertir $6000 a una tasa de interés anual simple de 7.4%. Una inversión de $3500 produce rendimientos con una tasa de interés anual simple de 5.2%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse a una tasa de interés anual simple de 7.5%, de modo que el interés total ganado sea $575? Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 80.

OBJETIVO Tome nota Como se menciona a la derecha, en una solución al 10% de peróxido de hidrógeno, 10% de la solución total es peróxido de hidrógeno. Aquí nos referimos al peso: la solución tiene 10% de peróxido de hidrógeno por peso. Por ejemplo, si la solución pesa 100 g, entonces el peróxido de hidrógeno en la solución pesa 10 g y el agua pesa 90% de 100 g, o 90 g.

Problemas de mezclas porcentuales La cantidad de una sustancia en una solución o en una aleación puede darse como un porcentaje de la solución o aleación total. Por ejemplo, en una solución de peróxido de hidrógeno al 10%, 10% de la solución total es peróxido de hidrógeno. El 90% restante es agua. La solución de un problema de mezcla de porcentaje se basa en la ecuación Q = Ar, donde Q es la cantidad de una sustancia en la solución o aleación, A es la cantidad de solución o aleación y r es el porcentaje de concentración. Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación de mezcla de porcentajes para obtener el número de gramos de plata en 50 g de una aleación de 40% de plata. Q 5 Ar Q 5 50 10.402 Q 5 20 Hay 20 g de plata en la aleación. Resuelva: Un químico mezcla una solución de ácido al 11% con una solución de ácido al 4%. ¿Cuántos mililitros de cada solución debe utilizar el químico para preparar una solución que tiene 6% de ácido? ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PORCENTAJES

 Para cada solución, utilice la ecuación Ar = Q. Escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad de solución, el porcentaje de concentración y la cantidad de la sustancia en la solución. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

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78

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

La cantidad total de solución es 700 ml. Cantidad de solución al 11%: x Cantidad de solución al 4%: 700 − x Cantidad de solución, A

#

Porcentaje de concentración, r

=

Cantidad de sustancia, Q

Solución al 11%

x

#

0.11

=

0.11x

Solución al 4%

700 − x

#

0.04

=

0.04(700 − x)

Solución al 6%

700

#

0.06

=

0.06(700)

 Determine cómo se relacionan las cantidades de la sustancia en las soluciones individuales. Utilice el hecho de que la suma de las cantidades de la sustancia que se está mezclando es igual a la cantidad de la sustancia después de mezclarla.

La suma de las cantidades de ácido en la solución al 11% y en la solución al 4% es igual a la cantidad de ácido en la solución al 6%. 0.11x 1 0.04 1700 2 x2 5 0.06 17002 0.11x 1 28 2 0.04x 5 42 0.07x 1 28 5 42 0.07x 5 14 x 5 200

La cantidad de solución al 4% es 700 − x. Sustituya x por 200 y evalúe. 700 2 x 5 700 2 200 5 500 El químico debe usar 200 mililitros de la solución al 11% y 500 mililitros de la solución al 4%.

EJEMPLO 2 Estrategia

¿Cuántos gramos de ácido puro deben añadirse a 60 g de una solución al 8% de ácido para preparar una solución de ácido al 20%?  Gramos de ácido puro: x

60 g de 8% ácido

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+

x g de = (60 + x) g 100% ácido de 20% ácido

Porción

Porcentaje

Cantidad

Ácido puro (100%)

x

1.00

x

8%

60

0.08

0.08(60)

20%

x + 60

0.20

0.20(x + 60)

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SECCIÓN 2.3

79

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

 La suma de las porciones antes de mezclar es igual a la cantidad después de mezclar. Solución

Problema 2

Solución

x 1 0.08 1602 5 0.20 1x 1 602 x 1 4.8 5 0.20x 1 12 0.8x 1 4.8 5 12 0.8x 5 7.2 x59 Para preparar la solución de ácido al 20%, se deben utilizar 9 g de ácido puro. Un carnicero tiene un poco de carne molida que contiene 22% de grasa y un poco que contiene 12% de grasa. ¿Cuántas libras de cada una debe mezclar para elaborar 80 lb de carne molida que contenga 18% de grasa? Revise las páginas S4−S5.

† Intente resolver el ejercicio 39 de la página 83.

2.3

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Para el ejemplo siguiente, proporcione a. el capital, b. la tasa de interés y c. el interés ganado. La tasa de interés anual simple de una inversión de $1500 es 4%. Calcule el interés anual simple ganado sobre la inversión. 2. La inversión A tiene una tasa de interés anual de 5%, y una inversión B tiene una tasa de interés anual de 8%. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? (i) La tasa anual de rendimiento de ambas inversiones es menor de 5%. (ii) La tasa anual de rendimiento de ambas inversiones está entre 5% y 8%. (iii) La tasa anual de rendimiento de ambas inversiones es mayor de 8%. 3. Una solución que tiene 10% de sal está mezclada con una solución que tiene 20% de sal. ¿Cuáles de las opciones siguientes no son posibles para la concentración de sal en la mezcla resultante? (i) 10% (ii) 15% (iii) 18% (iv) 20% (v) 25% 4. Se agrega agua pura a una solución de azúcar y agua que tiene 20% de azúcar. ¿Cuáles de las opciones siguientes no son posibles para la concentración de azúcar en la mezcla resultante? (i) 10% (ii) 15% (iii) 20% (iv) 25% (v) 30%

Problemas de inversión (Revise las páginas 75-77.) 5.

Explique el significado de cada variable en la ecuación I = Pr. Proporcione un ejemplo de cómo se utiliza esta ecuación.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

PREPÁRESE 6. Usted invierte una suma de dinero a una tasa de interés anual simple de 6.25%. Luego invierte una segunda cantidad, $500 menor que la primera, a una tasa de interés anual simple de 6%, donde x representa el monto invertido al 6.25%. Complete la siguiente tabla. Capital, P

ⴢ

Tasa de interés, r

ⴝ

Interés ganado, I

Monto al 6.25%

x

#

?

=

?

Monto al 6%

?

#

?

=

?

7. El interés anual total ganado en las inversiones del ejercicio 6 es $115. Utilice esta información y la de la tabla del ejercicio 6 para escribir una ecuación que pueda resol? + ? = ? . verse para calcular el monto invertido al 6.25%:

8.

Suponga que se invierten $5000 en dos cuentas de interés simple. En una, la tasa de interés anual simple es 6%, y en la otra 7%. El interés anual total ganado en las dos cuentas es $330. En el contexto de esta situación, explique cada término de la ecuación 0.06x 1 0.07 15000 2 x2 5 330

9. Joseph Abruzzio decide dividir un regalo de $5000 en dos cuentas diferentes. Deposita $2000 en una cuenta individual de retiro que gana una tasa de interés anual simple de 5.5%. Deposita el dinero restante en una cuenta que gana una tasa de interés anual simple de 7.25%. ¿Cuánto recibirá Joseph de interés en un año en las dos cuentas? 10. Kristi invierte $1500 a una tasa de interés anual simple de 7.25% y su hermana Kari invierte $2000 a una tasa de interés anual simple de 6.75%. ¿Cuál de las dos cuentas ganará el mayor interés después de un año? ¿Cuánto más? 11. Deon Brown compra un bono municipal por $2000. El bono gana una tasa de interés anual simple de 6.4%. ¿Cuánto debe invertir Deon en una cuenta que gana 8% de interés anual simple, de modo que ambas inversiones ganen el mismo monto de interés en un año? 12. Una inversión de $5000 a una tasa de interés anual simple de 5.2% ganó el mismo interés después de un año que otra inversión en una cuenta que gana un interés anual simple de 6.5%. ¿Cuánto se invirtió al 6.5%? 13. Dos inversiones obtienen una ganancia anual total de $2825. Una está en un certificado de depósito con un interés anual simple de 6.75%. La otra en una cuenta de interés anual simple de 7.25%. El monto total invertido es $40,000. Calcule el monto invertido en el certificado de depósito. 14. Dos inversiones obtienen una ganancia anual total de $765. Una inversión gana una tasa de interés anual simple de 8.5%, y la otra una tasa de interés anual simple de 10.2%. El monto total invertido es $8000. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? † 15. Un club de inversión invirtió $5000 a una tasa de interés anual simple de 8.4%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse a una tasa de interés anual simple de 10.5% para que el interés total ganado sea 9% de la inversión total?

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SECCIÓN 2.3

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

81

16. Dos inversiones ganan una tasa de interés anual de $465. Una inversión es una cuenta con un interés anual simple de 5.5% libre de impuestos, y la otra es un certificado de depósito de interés anual simple de 4.5%. El monto total invertido es $9600. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? 17. Dos inversiones obtienen una ganancia anual de $575. Una gana una tasa de interés anual simple de 8.5%, y la otra una tasa de interés anual simple de 6.4%. El monto total invertido es $8000. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? 18. Un club de inversión invirtió $6000 a una tasa de interés anual simple de 4%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse a una tasa de interés anual simple de 6.5% para que el interés anual total ganado sea 5% de la inversión total? 19. Dee Pinckney colocó una inversión de $6000 a una tasa de interés anual simple de 5.5%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertir a una tasa de interés anual simple de 10% para que el interés total anual ganado sea 7% de la inversión? 20. Un ejecutivo de cuenta depositó $42,000 en dos cuentas de interés simple. En la cuenta libre de impuestos, la tasa de interés anual simple es 3.5%, y en el fondo del mercado de dinero, la tasa de interés anual simple es 4.5%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta de modo que ambas ganen el mismo interés anual? 21. Un club de inversión invirtió $13,600 en dos cuentas de interés simple. En una, la tasa de interés anual simple es 4.2%. En la otra, la tasa de interés anual simple es 6%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta de modo que ambas ganen el mismo interés anual? 22. Orlando Salavarrio, un planificador financiero, recomendó que 25% de la inversión de un cliente se colocara en una cuenta libre de impuestos con un interés anual simple de 4%, 40% se colocara en certificados de depósito al 6% y el resto se colocara en una inversión de alto riesgo al 9%. El interés total ganado de las inversiones sería $6550. Calcule el monto total a invertir. 23.

El monto de interés anual ganado en los x dólares que Will invirtió en una cuenta de interés simple fue 0.055(6000 − x), y el monto de interés anual ganado por el dinero que Will invirtió en otra cuenta de interés simple fue 0.072(6000 − x). a. ¿Cuáles fueron las tasas de interés de las dos cuentas? b. ¿Cuál fue el monto total de dinero que Will invirtió en las dos cuentas?

24.

Remítase a las inversiones descritas en el ejercicio 23. ¿Cuál de las expresiones siguientes sobre el monto total T de interés ganado por las dos cuentas de Will es verdadera? Puede haber más de una respuesta correcta. (ii) T , 432 (iii) T . 432 (iv) T . 330 (i) T , 330

Problemas de mezclas porcentuales (Revise las páginas 77-79.) PREPÁRESE 25. La etiqueta de una botella de 32 onzas de limonada dice que contiene 10% de jugo ? real de limón. La cantidad de dicho jugo en la botella es 32( ? ) = onzas.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

26. Una solución de ácido al 25% se prepara al agregar una cantidad de solución al 75% de ácido a 50 mililitros de una solución de ácido al 15% donde x es la cantidad de solución de ácido al 75% que está en la mezcla. a. Complete la tabla siguiente. Solución, A

ⴢ

Porcentaje de concentración, r

ⴝ

Cantidad, Q

Solución de ácido al 15%

?

?

?

Solución de ácido al 75%

x

?

?

Mezcla

?

?

?

b. Utilice las expresiones de la última columna de la tabla del inciso a) para escribir una ecuación que pueda resolverse para calcular la cantidad de solución de ? + ? = ? . ácido al 75% que está en la mezcla:

27. Una botella de 32 onzas de Orange Ade contiene 8 onzas de jugo de naranja. A la misma concentración porcentual, ¿cuánto jugo de naranja contiene una botella de 40 onzas de Orange Ade? 28. Un químico tiene 4 litros de una solución que contiene 0.36 litros de ácido acético. El químico necesita preparar 6 litros de una solución con la misma concentración de ácido acético. ¿Cuánto ácido acético deben contener los 6 litros de la solución? 29. Una solución de 750 mililitros tiene 4% de peróxido de hidrógeno. ¿Cuánto más de peróxido de hidrógeno contiene una solución de 850 mililitros de peróxido de hidrógeno al 5%? 30. Una barra de 8 onzas de una aleación de plata contiene 30% de plata. La concentración porcentual de plata en una segunda barra, que pesa 12 onzas, es 35%. Calcule la cantidad total de plata en las dos barras. 31. Un joyero mezcló 15 g de una aleación de 60% de plata con 45 g de una aleación de 20% de plata. ¿Cuál es la concentración porcentual de plata en la aleación resultante? 32. Un orfebre mezcló 10 gramos de una aleación de 50% de oro con 40 gramos de una aleación de 15% de oro. ¿Cuál es la concentración porcentual de la aleación resultante? 33. Un orfebre mezcló 25 gramos de una aleación de 70% de plata con 50 gramos de una aleación de 15% de plata. ¿Cuál es la concentración porcentual de la aleación resultante? 34. Un químico mezcló 100 mililitros de una solución salina al 8% con 60 mililitros de una solución salina al 5%. Calcule la concentración porcentual de la mezcla resultante. 35. ¿Cuántas libras de una aleación de 12% de aluminio deben mezclarse con 400 libras de una aleación de 30% de aluminio para elaborar una aleación de 20% de aluminio? 36. ¿Cuántas libras de una aleación de 20% de cobre deben mezclarse con 600 libras de una aleación de 30% de cobre para elaborar una aleación de 27.5% de cobre? 37. Un miembro del personal de un hospital mezcló una solución desinfectante al 65% con una solución desinfectante al 15%. ¿Cuántos litros de cada una utilizó para preparar 50 litros de una solución desinfectante al 40%? 38. Un carnicero tiene un poco de carne molida que contiene 20% de grasa y un poco que contiene 12% de grasa. ¿Cuántas libras de cada una debe mezclar para preparar 80 libras de carne molida que contiene 17% de grasa?

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SECCIÓN 2.3

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

83

† 39. ¿Cuántos cuartos de galón deben añadirse a 5 cuartos de galón de una solución anticongelante al 80% para preparar una solución anticongelante al 50%? 40. El alcohol para uso externo por lo general está diluido con agua a una concentración de 70%. Si usted necesita 3.5 oz de alcohol para uso externo al 45%, ¿cuántas onzas de alcohol para uso externo al 70% y cuánta agua se debe combinar? 41. ¿Cuántas onzas de agua pura deben añadirse a 60 oz de una solución salina al 7.5% para preparar una solución salina al 5%? 42. ¿Cuánta agua debe evaporarse de 10 galones de una solución azucarada al 12% con el fin de obtener una solución azucarada al 15%? 43. Muchas bebidas de fruta en realidad sólo contienen 5% de jugo de fruta. Si usted deja que 2 onzas de agua se evaporen de 12 onzas de una bebida que contiene 5% de jugo de fruta, ¿cuál es la concentración porcentual del resultado? 44. Un estudiante mezcló 50 mililitros de una solución de peróxido de hidrógeno al 3% con 30 mililitros de una solución de peróxido de hidrógeno al 12%. Calcule la concentración porcentual de la mezcla resultante. Redondee a la décima más cercana del porcentaje. 45. Ochenta libras de una aleación de 54% de cobre se mezclan con 200 libras de una aleación de 22% de cobre. Calcule la concentración porcentual de la mezcla resultante. Redondee a la décima más cercana del porcentaje. 46. Un farmacéutico mezcló 100 cc (centímetros cúbicos) de una solución de alcohol al 15% con 50 cc de alcohol puro. Calcule la concentración porcentual de la mezcla resultante. Redondee a la décima más cercana del porcentaje. 47.

n onzas de una solución salina al 30% se mezclan con m onzas de una solución salina al 50%. ¿Cuál relación entre n y m producirá una mezcla con una concentración salina al 40%? (i) m 5 2n (ii) m 5 n (iii) m 5 0.4n

48.

n onzas de una solución de ácido al 20% se mezclan con m onzas de una solución salina al 60%. ¿Cuáles de las opciones siguientes son concentraciones de sal posibles en la mezcla? (i) 40% (ii) 80% (iii) 15% (iv) 25% (v) 55%

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 49. Problema de inversión Un gerente de finanzas invirtió 25% del dinero de un cliente en bonos que pagan un interés anual simple de 9%, 30% en una cuenta de interés anual simple de 8% y el resto en bonos corporativos al 9.5%. Calcule el monto invertido en cada uno si el interés total anual ganado es $1785. 50. Problema de mezclas porcentuales Un orfebre mezcló 90 g de una aleación de 40% de plata con 120 g de una aleación de 60% de plata. Calcule la concentración porcentual de la aleación resultante. Redondee a la décima más cercana del porcentaje. 51. Problema de mezclas de valores Calcule el costo por libra de una mezcla de té a base de 50 libras de té que cuestan $5.50 por libra y 75 libras de té que cuestan $4.40 por libra. 52. Problema de mezclas porcentuales ¿Cuántos kilogramos de agua deben evaporarse de 75 kg de una solución salina al 15% para producir una solución salina al 20%? 53. Problema de mezclas porcentuales Un químico añadió 20 g de ácido puro a un vaso de precipitados que contiene un número desconocido de gramos de agua pura. La solución resultante contenía 25% de ácido. ¿Cuántos gramos de agua había en el vaso de precipitados antes de que se añadiera el ácido? 54. Problema de mezclas porcentuales Un radiador contiene 6 litros de una solución anticongelante. ¿Cuánto debe vaciarse y reemplazarse con anticongelante puro para producir una solución anticongelante al 50%?

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CAPÍTULO 2

55.

Índice de precios al consumidor El Índice de precios al consumidor (IPC), o “Índice del costo de vida”, mide el costo promedio de los bienes y servicios de consumo. La gráfica de la derecha muestra el incremento o decremento porcentual en el IPC durante el año anterior, para los años 2000 a 2010. a. ¿Durante cuál año mostrado el incremento porcentual fue menor en el IPC? b. ¿Durante cuál año el costo de los bienes y servicios de consumo fue el menor?

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Incremento porcentual

Incremento porcentual en el Índice de precios al consumidor

4.0

3.4

3.0

3.4

2.8

2.8

2.7

2.3

3.8

3.2

2.0 1.6

1.6

1.0 0 –0.4

–1.0 2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2009

2008

2010

Año

Fuente: Oficina de Estadísticas Laborales

56.

Redacte un informe sobre los descuentos comerciales en serie. Explique cómo convertir un descuento en serie en un equivalente de un solo descuento.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 57. Suponga que en una mesa hay dos botellas de 1 galón. Una contiene un cuarto de galón de jugo de manzana y la otra un cuarto de galón de jugo de arándano. Se toma una cucharada de jugo de la botella de jugo de manzana y se añade a la botella de jugo de arándano. Después de mezclar minuciosamente, se toma una cucharada de la mezcla de manzana y arándano y se mezcla en la botella de jugo de manzana. En este momento, ¿la cantidad de jugo de manzana en la botella de jugo de arándano es mayor, igual o menor que la cantidad de jugo de arándano en la botella de jugo de manzana?

2.4 OBJETIVO

Desigualdades con una variable Resolver desigualdades con una variable El conjunto solución de una desigualdad es un conjunto de números, cada elemento del cual, cuando se sustituye por la variable, hace cierta la desigualdad. La desigualdad de la derecha es cierta si la variable se sustituye con 3, por ejemplo, con −1.98 o con 23.

x21,4 321,4 21.98 2 1 , 4 2 21,4 3

Existen muchos valores de la variable x que harán cierta la desigualdad x 2 1 < 4. El conjunto solución de la desigualdad es cualquier número menor que 5. Dicho conjunto puede escribirse en notación de conjuntos como {x | x < 5} o en notación de intervalos como (−`, 5). La gráfica del conjunto solución de x 2 1 < 4 se muestra a la derecha.

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Al resolver una desigualdad, utilice las propiedades de la suma y la multiplicación de las desigualdades para reescribir la desigualdad en la forma variable < constante o variable > constante.

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SECCIÓN 2.4

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Desigualdades con una variable

PROPIEDAD DE LA SUMA DE LAS DESIGUALDADES

Si a > b y c son números reales, entonces las desigualdades a > b y a + c > b + c tienen el mismo conjunto solución. Si a < b y c son números reales, entonces las desigualdades a < b y a + c < b + c tienen el mismo conjunto solución. EJEMPLOS

1. Comience con una desigualdad cier-

6. 2 61 1282 . 2 1 1282 22 . 26 29 , 23 29 1 5 , 23 1 5 24 , 2

ta. Sume −8 a cada lado. Simplifique. La desigualdad es cierta. 2. Comience con una desigualdad cierta. Sume 5 a cada lado. Simplifique. La desigualdad es cierta.

La propiedad de la suma de las desigualdades establece que el mismo número puede añadirse a cada lado de una desigualdad sin cambiar el conjunto solución de la desigualdad. Esta propiedad también es verdadera para una desigualdad que contiene el símbolo # o $. La propiedad de la suma de las desigualdades se utiliza para eliminar un término de un lado de una desigualdad al añadir el inverso aditivo de ese término a cada lado de la desigualdad. Debido a que la sustracción (o resta) se define en función de la adición (o suma), el mismo número puede restarse a cada lado de una desigualdad sin cambiar el conjunto solución de la misma.

Concéntrese en utilizar la propiedad de la suma de las desigualdades Resuelva:

3x 2 4 , 2x 2 1

Reste 2x a cada lado de la desigualdad.

3x 2 4 , 2x 2 1 x 2 4 , 21

Sume 4 a cada lado de la desigualdad.

x,3

Escriba en notación de conjuntos o en notación de intervalos el conjunto solución.

El conjunto solución es 5 x 0 x , 3 6 o 12`, 32 .

PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES REGLA 1

Tome nota c > 0 significa que c es un número positivo. Observe que los símbolos de la desigualdad no han cambiado.

Si a > b y c > 0, entonces las desigualdades a > b y ac > bc tienen el mismo conjunto solución. Si a < b y c > 0, entonces las desigualdades a < b y ac < bc tienen el mismo conjunto solución. EJEMPLOS

1. Comience con una desigualdad cierta. Multiplique cada lado de la desigualdad por 3 positivo. Simplifique. La desigualdad es cierta. 2. Comience con una desigualdad cierta. Multiplique cada lado de la desigualdad por 4 positivo. Simplifique. La desigualdad es cierta.

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5.2 3 152 . 3 122 15 . 6 25 , 23 1 4 252 , 4 1232 220 , 212

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

REGLA 2

Tome nota c < 0 significa que c es un número negativo. Observe que los símbolos de desigualdad están invertidos.

Si a > b y c < 0, entonces las desigualdades a > b y ac < bc tienen el mismo conjunto solución. Si a < b y c < 0, entonces las desigualdades a < b y ac > bc tienen el mismo conjunto solución. EJEMPLOS

1. Comience con una desigualdad cierta. Multiplique cada lado de la desigualdad por 2 negativo e invierta el símbolo de desigualdad. Simplifique. La desigualdad es cierta. 2. Comience con una desigualdad cierta. Multiplique cada lado de la desigualdad por 3 negativo e invierta el símbolo de desigualdad. Simplifique. La desigualdad es cierta.

9.3 1222 9 1222 3 218 , 26 26 , 24 1232 1262 . 1232 1242 18 . 12

La propiedad de multiplicación de las desigualdades también es verdadera para el símbolo # o $. La regla 1 establece que cuando cada lado de una desigualdad se multiplica por un número positivo, el símbolo de desigualdad sigue siendo el mismo. Sin embargo, la regla 2 establece que cuando cada lado de una desigualdad se multiplica por un número negativo, el símbolo de desigualdad debe invertirse. Como la división se define en función de la multiplicación, cuando cada lado de una desigualdad se divide entre un número positivo, el símbolo de desigualdad permanece igual. Cuando cada lado de una desigualdad se divide entre un número negativo, el símbolo de desigualdad debe invertirse. La propiedad de la multiplicación de las desigualdades se utiliza para eliminar un coeficiente de un lado de una desigualdad.

Concéntrese en utilizar la propiedad de la multiplicación de las desigualdades Resuelva −3x > 9. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

Tome nota Cada lado de una desigualdad se divide por un número negativo; el símbolo de desigualdad debe invertirse.

Divida cada lado de la desigualdad entre el coeficiente −3 e invierta el símbolo de desigualdad. Simplifique.

23x . 9 23x 9 , 23 23 x , 23

Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

El conjunto solución es 12`, 232 .

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva: x 1 3 . 4x 1 6 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. x 1 3 . 4x 1 6 23x 1 3 . 6 23x . 3 x , 21

• Reste 4x a cada lado de la desigualdad. • Reste 3 a cada lado de la desigualdad. • Divida entre −3 cada lado de la desigualdad e invierta el símbolo de desigualdad.

El conjunto solución es {x | x < −1}

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• Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

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SECCIÓN 2.4

Problema 1 Solución

87

Desigualdades con una variable

Resuelva: 2x 2 1 , 6x 1 7 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 91. Cuando una desigualdad contiene paréntesis, el primer paso en la solución de la misma es utilizar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva: 5 1x 2 22 $ 9x 2 3 12x 2 42 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

5 1x 2 22 $ 9x 2 3 12x 2 42 5x 2 10 $ 9x 2 6x 1 12 5x 2 10 $ 3x 1 12 2x 2 10 $ 12 2x $ 22 x $ 11 El conjunto solución es 5 x 0 x $ 11 6 .

Problema 2

Solución

• Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. • Simplifique. • Reste 3x a cada lado de la desigualdad. • Sume 10 a cada lado de la desigualdad. • Divida entre 2 cada lado de la desigualdad. • Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

Resuelva: 5x 2 2 # 4 2 3 1x 2 22 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 91.

OBJETIVO

Resolver desigualdades compuestas Una desigualdad compuesta se forma al unir dos desigualdades con una palabra que funciona como conectivo, por ejemplo “y” u “o”. Las desigualdades mostradas abajo son desigualdades compuestas. 2x , 4 y 3x 2 2 . 28 2x 1 3 . 5 o x 1 2 , 5 El conjunto solución de una desigualdad compuesta con un conectivo o es la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades.

Concéntrese en resolver una desigualdad compuesta con el conectivo o Resuelva:

3x 1 1 $ 10 o 2x 2 3 , 1

Escriba la solución utilizando notación de intervalos. Esta desigualdad se lee “3x más 1 es mayor o igual que 10 o 2x menos 3 es menor que 1”. Resuelva cada desigualdad.

Las desigualdades se combinan con la palabra o. Encuentre la unión de los dos conjuntos solución.

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3x 1 1 $ 10 3x $ 9 x$3 3 3, ` 2

o

2x 2 3 , 1 2x , 4 x,2 12`, 22

El conjunto solución es 12`, 22

h

3 3, ` 2 .

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88

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

EJEMPLO 3 Solución

Problema 3 Solución

Resuelva: 3 2 4x . 7 o 4x 1 5 , 9 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 3 2 4x . 7 o 4x 1 5 , 9 24x . 4 4x , 4 x , 21 x,1 12`, 212 12`, 12 12`, 212 h 12`, 12 5 12`, 12 El conjunto solución es 12`, 12 .

• Resuelva cada desigualdad.

• Encuentre la unión de los conjuntos solución.

Resuelva: 2 2 3x . 11 o 5 1 2x . 7 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 71 de la página 92. El conjunto solución de una desigualdad compuesta con el conectivo y es el conjunto de todos los elementos comunes a los conjuntos solución de ambas desigualdades. Por consiguiente, es la intersección de los conjuntos solución de las dos desigualdades.

Concéntrese en la solución de una desigualdad compuesta con el conectivo y Resuelva: 2x < 6 y 3x + 2 > −4 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. Esta desigualdad se lee “2x es menor que 6 y 3x más 2 es mayor que −4”. Resuelva cada desigualdad.

2x , 6 y x,3 12`, 32

Encuentre la intersección de los conjuntos solución.

EJEMPLO 4 Solución

12`, 32

122, ` 2

x

Solución

122, ` 2 5 122, 32

El conjunto solución es 122, 32 .

Resuelva: 11 2 2x . 23 y 7 2 3x , 4 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 11 2 2x . 23 y 7 2 3x , 4 22x . 214 23x , 23 x,7 x.1 5x 0 x , 76 5x 0 x . 16 5x 0 x , 76 x 5x 0 x . 16 5 5x 0 1 , x , 76

El conjunto solución es 5 x 0 1 , x , 7 6 . Problema 4

3x 1 2 . 24 3x . 26 x . 22

• Resuelva cada desigualdad.

• Encuentre la intersección de los conjuntos solución.

Resuelva: 5 2 4x . 1 y 6 2 5x , 11 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 79 de la página 93. Algunas desigualdades que utilizan el conectivo y pueden escribirse utilizando una notación más compacta. Por ejemplo, las desigualdades 2x + 1 > 23 y 2x + 1 # 7 pueden escribirse como −3 < 2x + 1 # 7. Cuando la desigualdad compuesta se escribe de esta manera, se puede utilizar un método alterno para resolver la desigualdad del compuesto.

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SECCIÓN 2.4

89

Desigualdades con una variable

Concéntrese en resolver una desigualdad compuesta de la forma c < ax + b < d Resuelva:

23 , 2x 1 1 , 7

Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. Reste 1 de cada una de las tres partes de la desigualdad. Divida cada una de las tres partes de la desigualdad entre el coeficiente 2. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva: 1 , 3x 2 5 , 4 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 1, 3x 2 5 , 4 11 1 5 , 3x 2 5 1 5 , 4 1 5 6, 3x , 9 6 3x 9 , , 3 3 3 2, x , 3 El conjunto solución es 12, 32 .

Problema 5 Solución

23 , 2x 1 1 , 7 23 2 1 , 2x 1 1 2 1 , 7 2 1 24 , 2x , 6 24 2x 6 , , 2 2 2 22 , x , 3 El conjunto solución es 5 x 0 22 , x , 3 6 .

• Sume 5 a cada una de las tres partes de la desigualdad. • Simplifique. • Divida entre 3 cada una de las tres partes de la desigualdad. • Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

Resuelva: 22 # 5x 1 3 # 13 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 73 de la página 92.

OBJETIVO

Problemas de aplicación EJEMPLO 6

Estrategia

Solución

Una calificación media de 80 a 89 en un curso de historia equivale a una calificación de B. Un estudiante tiene calificaciones de 72, 94, 83 y 70 en cuatro exámenes. Calcule el rango de calificaciones del quinto examen que permitirán al estudiante obtener una B en el curso. Para calcular el rango de calificaciones, escriba y resuelva una desigualdad utilizando S para representar la calificación del quinto examen. 72 1 94 1 83 1 70 1 S 5 80 #

72 1 94 1 83 1 70 1 S # 89 5

80 #

319 1 S # 89 5

319 1 S b # 5 1892 5 400 # 319 1 S # 445 400 2 319 # 319 2 319 1 S # 445 2 319 81 # S # 126 5 1802 # 5a

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• La calificación media del estudiante es la suma de las cinco calificaciones, dividida entre 5. • Escriba la desigualdad que coloca incluso la calificación media del estudiante entre 80 y 89. • Simplifique el numerador. • Multiplique por 5 cada parte de la desigualdad. • Reste 319 a cada parte de la desigualdad.

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90

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

La calificación máxima en un problema es 100, de modo que elimine los valores de S superiores a 100. El rango de calificaciones que dará al estudiante una B en el curso es 81 # S # 100. Problema 6

Solución

La compañía A renta automóviles por $6 el día y 14¢ por cada milla recorrida. La compañía B renta automóviles por $12 el día y 80¢ por cada milla recorrida. Usted quiere rentar un automóvil por 5 días. ¿Cuántas millas puede manejar un automóvil de la compañía A durante los 5 días si costará menos que un automóvil de la compañía B? Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 99 de la página 93.

EJEMPLO 7

Estrategia

Un vendedor de café mezcla un poco de café colombiano que cuesta $8 por libra con 10 libras de café tostado francés que cuesta $5 por libra. ¿Cuántas libras del café colombiano deben utilizarse si el vendedor quiere una mezcla que cuesta entre $6 y $7 por libra? Número de libras de café colombiano: n La suma de los valores de los dos ingredientes: 8n 1 5 1102 5 8n 1 50 Número de libras de la mezcla colombiana y de tostado francés: n + 10 Valor de la mezcla a $6 por libra: 6 1n 1 102 5 6n 1 60 Valor de la mezcla a $7 por libra: 7 1n 1 102 5 7n 1 70 La suma de los valores de los dos ingredientes es mayor que el valor de la mezcla a $6 por libra y menor que el valor de la mezcla a $7 por libra.

Solución

8n 1 50 . 6n 1 60 y 8n 1 50 , 7n 1 70 2n 1 50 . 60 n 1 50 , 70 2n . 10 n , 20 n.5 El vendedor debe utilizar entre 5 y 20 libras del café colombiano para preparar una mezcla que cuesta $6 y $7 por libra.

Problema 7

Ocho libras de nueces de castilla que cuestan $4 por libra se mezclan con nueces que cuestan $7 por libra. ¿Cuántas libras de nueces deben utilizarse para crear una mezcla que cuesta entre $5 y $6 por libra?

Solución

Revise la página S5.

† Intente resolver el ejercicio 109 de la página 94.

2.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

Defina la propiedad de la suma de las desigualdades y proporcione ejemplos numéricos de su uso.

2.

Defina la propiedad de la multiplicación de las desigualdades y proporcione ejemplos numéricos de su uso.

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SECCIÓN 2.4

Desigualdades con una variable

91

¿En qué difiere el conjunto solución para x < 5 del conjunto solución para x # 5?

3.

4. Si a < b y ac > bc, ¿qué se puede decir acerca de c? 5. ¿Las desigualdades 5 > x > 1 y 1 < x < 5 son equivalentes? 6. Si −x < 0, ¿x es un número positivo o un número negativo?

Resolver desigualdades con una variable (Revise las páginas 84-87.) 7. ¿Cuáles números son soluciones de la desigualdad x 1 7 # 23? (i) 217 (ii) 8 (iii) 210 (iv) 0 8. ¿Cuáles números son soluciones de la desigualdad 2x 2 1 . 5? (i) 6 (ii) 24 (iii) 3 (iv) 5

PREPÁRESE Realice los ejercicios 9 a 12 reemplazando el signo de interrogación con “permanece igual” o “se invierte”. 9. La desigualdad x + 5 > 10 puede resolverse al restar 5 de cada lado de la desigualdad. ? . El símbolo de desigualdad 10. La desigualdad 15 x > 10 se puede resolver al multiplicar cada lado de la desigualdad ? . por el recíproco de 15. El símbolo de desigualdad 11. La desigualdad −5x > 10 puede resolverse al dividir entre −5 cada lado de la desigual? . dad. El símbolo de desigualdad 12. La desigualdad x 2 5 > −10 puede resolverse al sumar 5 a cada lado de la desigual? . dad. El símbolo de desigualdad

Resuelva. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 14. x 1 4 $ 2 13. x 2 3 , 2

15. 4x # 8

16. 6x . 12

17. 22x . 8

18. 23x # 29

19. 3x 2 1 . 2x 1 2

20. 5x 1 2 $ 4x 2 1

21. 2x 2 1 . 7

22. 4x 1 3 # 21

23. 6x 1 3 . 4x 2 1

24. 7x 1 4 , 2x 2 6

25. 8x 1 1 $ 2x 1 13

26. 5x 2 4 , 2x 1 5

28. 3 2 5x # 18

29. 4x 2 2 , x 2 11

† 27. 7 2 2x $ 1 30. 6x 1 5 $ x 2 10

Resuelva. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 32. 3x 1 1 # 7x 2 15 31. x 1 7 $ 4x 2 8 † 33. 6 2 2 1x 2 42 # 2x 1 10 35. 2 11 2 3x2 2 4 . 10 1 3 11 2 x2

34. 4 12x 2 12 . 3x 2 2 13x 2 52 36. 2 2 5 1x 1 12 $ 3 1x 2 12 2 8

37.

3 3 x22, 2x 5 10

38.

5 1 x2 #x24 6 6

39.

1 3 7 2 x2 $ 2 x 3 2 6 3

40.

7 3 2 5 x2 , x1 12 2 3 6

41.

1 3 7 x2 . x22 2 4 4

42.

22x 3 2 2 $ x 4 8 5

43. 2 2 2 17 2 2x2 , 3 13 2 x2

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44. 3 1 2 1x 1 52 $ x 1 5 1x 1 12 1 1

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92

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Determine si el conjunto solución de una desigualdad en la forma dada contiene sólo números negativos, sólo números positivos o números positivos y negativos. 45. x + n > a, donde n y a son positivos y n < a 46. nx > a, donde n y a son negativos 47. nx > a, donde n es negativo y a es positivo 48. x 2 n > 2a, donde n y a son positivos y n < a

Resolver desigualdades compuestas (Revise las páginas 87-89.) 49. a. ¿Cuál conjunto de operaciones se utiliza cuando una desigualdad compuesta se combina con la palabra o? b. ¿Cuál conjunto de operaciones se utiliza cuando una desigualdad compuesta se combina con la palabra y? Explique por qué escribir −3 > x > 4 no tiene sentido.

50.

PREPÁRESE ? 51. Para resolver la desigualdad compuesta 4x # 4 o x + 2 > 8, divida entre ? cada lado de la primera desigualdad y reste a cada lado de la segunda ? ox> ? . desigualdad: x # 52. El conjunto solución en el ejercicio 51 puede escribirse en notación de intervalos ? ] < (6, ? ). como (−`,

Determine si la desigualdad describe el conjunto vacío, todos los números reales, dos intervalos de números reales o un intervalo de números reales. 53. x . 23 y x . 2 54. x . 23 o x , 2 55. x , 23 y x . 2 56. x , 23 o x . 2 Resuelva. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

57. 3x , 6 y x 1 2 . 1

58. x 2 3 # 1 y 2x $ 24

59. x 1 2 $ 5 o 3x # 3

60. 2x , 6 o x 2 4 . 1

61. 22x . 28 y 23x , 6

1 62. x . 22 y 5x , 10 2

1 63. x , 21 o 2x . 0 3

2 64. x . 4 o 2x , 28 3

65. x 1 4 $ 5 y 2x $ 6

66. 3x , 29 y x 2 2 , 2

67. 25x . 10 y x 1 1 . 6

68. 7x , 14 y 1 2 x , 4

69. 2x 2 3 . 1 y 3x 2 1 , 2

70. 4x 1 1 , 5 y 4x 1 7 . 21

† 71. 3x 1 7 , 10 o 2x 2 1 . 5

72. 6x 2 2 , 214 o 5x 1 1 . 11

Resuelva. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 74. 5 , 4x 2 3 , 21 † 73. 25 , 3x 1 4 , 16 75. 0 # 2x 2 6 # 4

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76. 22 # 3x 1 7 # 1

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SECCIÓN 2.4

†

Desigualdades con una variable

77. 4x 2 1 . 11 o 4x 2 1 # 211

78. 3x 2 5 . 10 o 3x 2 5 , 210

79. 2x 1 3 $ 5 y 3x 2 1 . 11

80. 6x 2 2 , 5 o 7x 2 5 , 16

81. 9x 2 2 , 7 y 3x 2 5 . 10

82. 8x 1 2 # 214 y 4x 2 2 . 10

83. 3x 2 11 , 4 o 4x 1 9 $ 1

84. 5x 1 12 $ 2 o 7x 2 1 # 13

85. 3 2 2x . 7 y 5x 1 2 . 218

86. 1 2 3x , 16 y 1 2 3x . 216

87. 5 2 4x . 21 o 7x 2 2 . 19

88. 6x 1 5 , 21 o 1 2 2x , 7

89. 3 2 7x # 31 y 5 2 4x . 1

90. 9 2 x $ 7 y 9 2 2x , 3

91.

2 1 x24.5ox1 ,3 3 2

1 7 3 93. 2 # 1 2 x # 8 4 2

93

5 3 92. x 1 2 , 23 o 2 2 x , 27 8 5 2 94. 22 # x 2 1 # 3 3

Problemas de aplicación (Revise las páginas 89-90.) PREPÁRESE Para los ejercicios 95 y 96, convierta cada expresión en una desigualdad. 95. El valor mínimo de un número n es 40. 96. Un número n está entre 150 y 300.

98. Consumerismo Suponga que PayRite Rental Cars alquila automóviles compactos por $32 el día con millaje ilimitado, y Otto Rental ofrece automóviles compactos por $19.99 por día, pero cobra $0.19 dólares por cada milla entera que rebase las 100 millas recorridas por día. Usted quiere alquilar un automóvil por una semana. ¿Cuántas millas puede conducir durante la semana para que Otto Rental resulte menos costoso que PayRite? † 99. Consumerismo AirTouch anuncia que ofrece mensajes de texto por $6.95 al mes con un máximo de 400 mensajes y $0.10 por mensaje a partir de esa cantidad. Un competidor anuncia que ofrece mensajes de texto por $3.95 al mes con un máximo de 400 mensajes y $0.15 por mensaje a partir de esa cantidad. ¿Cuántos mensajes se tendrían que enviar al mes para que el plan de AirTouch resulte menos costoso?

Richard Cummins/Corbis

97. Consumerismo Una compañía de telefonía celular ofrece a sus clientes una tarifa de $49 por un máximo de 200 minutos al mes de tiempo aire, o una tarifa de $25 al mes, más $0.40 por cada minuto de tiempo aire. ¿Cuántos minutos al mes puede un cliente usar un teléfono celular que opta por la segunda alternativa para que sus tarifas no excedan las de la primera opción?

100. Consumerismo El Banco Nacional Heritage ofrece dos cuentas corrientes distintas. La primera cobra $3 por mes y $0.50 por cheque después de los primeros 10 cheques. La segunda cuenta cobra $8 por mes, con emisión ilimitada de cheques. ¿Cuántos cheques pueden emitirse por mes para que la primera cuenta resulte menos costosa que la segunda? 101. Consumerismo Glendale Federal Bank ofrece una cuenta de cheques a las pequeñas empresas. El costo es de $8 por mes, más $0.12 por cheque después de los primeros 100 cheques. Un competidor ofrece una cuenta por $5 al mes, más $0.15 por cheque después de los primeros 100 cheques. Si una empresa elige la cuenta bancaria del Glendale Federal Bank, ¿cuántos cheques puede emitir la empresa al mes, considerando que esta cuenta cuesta menos que la del competidor? 102. Comisiones George Stoia gana $1000 al mes más 5% de comisión sobre el monto de las ventas. La meta de George es ganar un mínimo de $3200 al mes. ¿Qué monto de ventas permitirá a George ganar $3200 o más al mes?

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94 103.

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Vehículos híbridos Vea el recorte de prensa de la derecha. Si un autobús urbano típico tiene un tanque de combustible que contiene 112 galones de diesel, calcule el rango de millas que los autobuses de la flotilla de una ciudad pueden viajar con un tanque lleno.

104. Calificaciones de exámenes Una puntuación media de 90 o más en un curso de inglés equivale a una A de calificación. Un estudiante tiene puntuaciones de 85, 88, 90 y 98 en cuatro exámenes. Encuentre el rango de puntuaciones en el quinto examen que permitirá que el estudiante obtenga una A de calificación. 105. Calificaciones de exámenes Una puntuación media de 80 a 89 en un curso de matemáticas equivale a una B de calificación. Un estudiante tiene puntuaciones de 82, 78 75 y 88 en cuatro exámenes. Encuentre el rango de puntuaciones en el quinto examen que permitirá que el estudiante obtenga una B de calificación. 106. Problema de mezcla de valores Un vendedor de té mezcla un poco de té negro que cuesta $40 por libra con 4 lb de té Earl Grey que cuesta $52 por libra. ¿Cuántas libras de té negro debe utilizar si quiere preparar una mezcla que cueste entre $44 y $48 por libra? 107. Problema de mezcla de valores ¿Cuántas libras de cacahuates que cuestan $2.50 por libra deben mezclarse con 50 libras de castañas que cuestan $6.00 por libra para preparar una mezcla que cuesta entre $4.50 y $5.00 por libra? 108. Problema de mezcla de valores Un químico mezcla una aleación de plata AG1 que cuesta $12 por onza con otra aleación de plata AG2 que cuesta $16 por onza para preparar 10 onzas de una nueva aleación. Si el químico quiere que la nueva aleación cueste entre $14 y $15 por onza, ¿cuántas onzas de AG1 debe utilizar?

En las noticias Ciudades que introducen camiones híbridos Más y más ciudades de todo el país están introduciendo autobuses de diesel-eléctricos híbridos a sus flotillas de autobuses de transporte público, logrando así una mejora significativa en las millas recorridas por tanque de combustible. Mientras que los autobuses urbanos de diesel convencionales pueden promediar un precio bajo de 3.5 millas por galón, los híbridos pueden promediar hasta 5 millas por galón. Fuentes: www.boston.com, www.courier-journal.com, www.napiesnews.com, www.sanantomo.b/zjournals.com

† 109. Problema de mezcla de valores Un molinero combinó soya que cuesta $8 por fanega con trigo que cuesta $5 por fanega para elaborar 30 toneladas de una mezcla nueva. ¿Cuántas fanegas de soya debe utilizar para elaborar una mezcla de 30 fanegas que cueste entre $6 y $7 por fanega?

2W – 5

110. Geometría La longitud de un rectángulo mide 5 cm menos que el doble de su ancho. Exprese como un número entero el ancho máximo del rectángulo cuando el perímetro es menor de 60 cm.

W

111. Geometría La longitud de un rectángulo mide 2 pies más que cuatro veces su ancho. Exprese como un número entero el ancho máximo del rectángulo cuando el perímetro es menor de 34 pies. 112. Geometría La longitud de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su ancho. Calcule, al número entero más cercano, el ancho del rectángulo si el perímetro mide más de 28 y menos de 40 pies. 113. Geometría Un lado de un triángulo es 1 pulgada más largo que el segundo lado. El tercer lado es 2 pulgadas más largo que el segundo. Calcule, al número entero más cercano, la longitud del segundo lado del triángulo si el perímetro mide más de 15 y menos de 25 pulgadas.

x+2

x

x+1

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Utilice el método de lista para enumerar los números enteros positivos que son soluciones de la desigualdad. 115. 8x 2 7 , 2x 1 9 114. 2x 1 9 $ 5x 2 4

116. 6 1 4 12 2 x2 . 7 1 3 1x 1 52

117. 5 1 3 12 1 x2 . 8 1 4 1x 2 12

118. 3x 2 2 . 1 y 2x 2 3 , 5

119. 23x , 15 y x 1 2 , 7

120. 5 , 7x 2 3 # 24

121. 24 # 3x 1 8 , 16

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SECCIÓN 2.5

95

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

122. Temperatura La relación entre la temperatura Celsius y la temperatura Fahrenheit está dada por la fórmula F 5 95C 1 32. Si la temperatura está entre 77°F y 86°F, ¿cuál es el rango de temperatura en grados Celsius?

°C

°F 100°C

100

200

90

123. Consumerismo Los cargos por una llamada telefónica transatlántica son $1.56 por los primeros 3 min y $0.52 por cada minuto o fracción de minuto adicional. ¿Cuál es el número entero más grande de minutos que una llamada puede durar si costará menos de $5.40?

80

180

70

160

60

140

50

120

40

100

30

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO

80

20

60

10

Dadas las reglas para el redondeo de los números, algunos valores posibles para el número 2.7 antes de redondearlo a la décima más cercana son 2.73, 2.68, 2.65 y 2.749. Si V representa el valor exacto de 2.7 antes de redondearlo, entonces la desigualdad 2.65 < V < 2.75 representa todos los valores posibles de 2.7 antes de redondearlo. 124. Suponga que un rectángulo tiene un ancho de 3.4 m y una longitud de 4.8 m, y que cada medición está redondeada a la décima más cercana de un metro. a. Escriba una desigualdad para las medidas exactas posibles del ancho. b. Escriba una desigualdad para las medidas exactas posibles de la longitud. c. El área del rectángulo es A = LW. Escriba una desigualdad para las áreas exactas posibles del rectángulo.

212°F

220

0°C

0

32°F

40 20

–10

0

125. Suponga que un triángulo tiene una base de 3.26 pies, redondeada a la centésima más cercana, y una altura de 5.13 pies, redondeada a la centésima más cercana. a. Escriba una desigualdad para las medidas exactas posibles de la base. b. Escriba una desigualdad para las medidas exactas posibles de la altura. c. El área del triángulo es A 5 12bh. Escriba una desigualdad para las áreas exactas posibles del triángulo.

2.5 OBJETIVO

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Ecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en la recta numérica. La distancia es siempre un número positivo o cero. Por consiguiente, el valor absoluto de un número es siempre un número positivo o cero. La distancia de 0 a 3 o de 0 a −3 es 3 unidades. 030 5 3

0 23 0 5 3

Una ecuación que contiene una variable dentro de un símbolo de valor absoluto se llama ecuación con valor absoluto.

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3 –5 –4 –3 –2 –1 0

3 1

2

3 4 5

0x0 5 3 Ecuación con 0x 1 20 5 8 ¶ valor 0 3x 2 4 0 5 5x 2 9 absoluto

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96

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Si a $ 0 y 0 x 0 = a, entonces c = a o x = −a. EJEMPLOS

1. Resuelva: 0 x 0 5 3 x 5 3 o x 5 23 Las soluciones son 3 o −3. 2. Resuelva: 0 y 0 5 26 El valor absoluto de un número no puede ser negativo. La ecuación no tiene solución.

EJEMPLO 1

Resuelva. A. 0 3x 0 5 15 B. 0 2 2 x 0 5 12 C. 3 2 0 2x 2 4 0 5 25

Solución

A. 0 3x 0 5 15 3x 5 15

3x 5 215

o

x55 x 5 25 Las soluciones son 5 y 25.

B. 0 2 2 x 0 5 12 22 x 5 12 o

Tome nota

22 x 5 212

2x 5 10 2x 5 214 x 5 210 x 5 14 Las soluciones son 210 y 14.

Recuerde comprobar las soluciones. Para el inciso C: 3 2 0 2x 2 4 0 5 25 3 2 0 2 162 2 4 0 25 3 2 0 12 2 4 0 25 3 2 080 25 3 2 8 25 25 5 25

C. 32 0 2x 2 4 0 5 25 2 0 2x 2 4 0 5 28 0 2x 2 4 0 5 8 2x 2 4 5 8 o

3 2 0 2x 2 4 0 5 25 3 2 0 2 1222 2 4 0 25 3 2 0 24 2 4 0 25 3 2 0 28 0 25 3 2 8 25 25 5 25

2x 2 4 5 28

2x 5 12 2x 5 24 x56 x 5 22 Las soluciones son 6 y 22. Problema 1

Solución

• Elimine el signo de valor absoluto y escriba dos ecuaciones. • Resuelva para x.

• Elimine el signo de valor absoluto y escriba dos ecuaciones. • Resuelva cada ecuación.

• Resuelva para obtener el valor absoluto. • Multiplique por −1 cada lado de la ecuación. • Elimine el signo de valor absoluto y escriba dos ecuaciones. • Resuelva cada ecuación.

Resuelva. A. 0 x 0 5 25 B. 0 2x 2 3 0 5 5 C. 5 2 0 3x 1 5 0 5 3 Revise las páginas S5−S6.

† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 99.

OBJETIVO

2

Desigualdades con valor absoluto El valor absoluto puede utilizarse para representar la distancia entre dos puntos. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación con valor absoluto |x − 1| = 3 son −2 y 4, los números cuya distancia desde el 1 es 3.

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SECCIÓN 2.5

97

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

Las soluciones de la desigualdad con valor absoluto 0 x − 1 0 < 3 son los números cuya distancia desde 1 es menor que 3. Por tanto, las soluciones son los números mayores que −2 y menores que 4. El conjunto solución es {x | −2 < x < 4}. Nota: en este libro, las soluciones de las desigualdades con valor absoluto siempre se escriben en notación de conjuntos. Distancia desde el 1 menor que 3

–5 –4 –3 –2 –1 0

Distancia desde el 1 menor que 3

1

2

3 4

5

Los valores de x para los cuales x − 1 < 3

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO DE LA FORMA |ax + b| < c

Para resolver una desigualdad con valor absoluto de la forma |ax + b| < c, resuelva la desigualdad compuesta equivalente –c < ax + b < c.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva:

0 4x 2 3 0 , 5

0 4x 2 3 0 , 5 25 , 4x 2 3 , 5

• Resuelva la desigualdad compuesta equivalente. • Sume 3 a cada lado de las tres partes de la desigualdad.

25 1 3 , 4x 2 3 1 3 , 5 1 3 22 , 4x , 8 22 4x 8 , , • Divida entre 4 cada una de las 4 4 4 tres partes de la desigualdad. 1 2 ,x,2 2 1 • Escriba el conjunto El conjunto solución es e x ` 2 , x , 2 f . 2 solución. Problema 2 Solución

Resuelva:

0 3x 1 2 0 , 8

Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 100. Las soluciones de la desigualdad con valor absoluto |x + 1| > 2 son los números cuya distancia desde el −1 es mayor que 2. Por consiguiente, las soluciones son los números menores que −3 o mayores que 1. El conjunto solución es {x | x < −3} < {x | x > 1}. Distancia desde el 21 mayor que 2

–5 –4 –3 –2 –1

Distancia desde el 21 mayor que 2

0

1 2 3

4

5

Los valores de x para los cuales x − 1 < 2

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO DE LA FORMA |ax + b| > c

Para resolver una desigualdad con valor absoluto de la forma |ax + b| > c, resuelva la desigualdad compuesta equivalente ax + b < –c o ax + b > c.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

EJEMPLO 3

Tome nota

Solución

Observe detenidamente la diferencia entre el método de solución para |ax + b| > c mostrado aquí y el método para |ax + b| < c mostrado en el ejemplo 2.

Resuelva:

0 2x 2 1 0 . 7

0 2x 2 1 0 . 7 2x 2 1 , 27 2x , 26 x , 23 5 x 0 x , 23 6

o

• Resuelva la desigualdad compuesta equivalente.

2x 2 1 . 7 2x . 8 x.4 5x 0 x . 46

• Escriba los dos conjuntos solución.

El conjunto solución es 5 x 0 x , 23 6 h 5 x 0 x . 4 6 . Problema 3 Solución

• Encuentre la unión de los conjuntos solución.

Resuelva: 0 5x 1 3 0 . 8 Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 61 de la página 100.

OBJETIVO

Pistón

Problemas de aplicación La tolerancia de un componente, o parte, es la cantidad aceptable que el componente puede variar a partir de una medición dada. Por ejemplo, el diámetro de un pistón puede variar 0.001 cm de la medida dada de 9 cm. Esto se escribe como 9 cm ± 0.01 cm, que se lee “9 centímetros más o menos 0.001 centímetros”. El diámetro máximo, o límite superior, del pistón es 9 cm – 0.001 cm = 9.001 cm. El diámetro mínimo, o límite inferior, del pistón es 9 cm − 0.001 cm = 8.999 cm. Los límites inferior y superior del diámetro también se puede obtener mediante la solución de la desigualdad con valor absoluto 0 d 2 9 0 # 0.001, donde d es el diámetro del pistón. 0 d 2 9 0 # 0.001 20.001 # d 2 9 # 0.001 20.001 1 9 # d 2 9 1 9 # 0.001 1 9 8.999 # d # 9.001

Los límites inferior y superior del diámetro son 8.999 y 9.001 cm.

EJEMPLO 4

Un médico recetó 2 cc de medicamento para un paciente. La tolerancia es 0.03 cc. Calcule los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que se recetó.

Estrategia

p representa la cantidad de medicamento recetada, T la tolerancia y m la cantidad de medicamento dada. Resuelva para m la desigualdad con valor absoluto 0 m 2 p 0 # T .

Solución

0m 2 p0 # T 0 m 2 2 0 # 0.03 20.03 # m 2 2 # 0.03 1.97 # m # 2.03

• Sustituya en la desigualdad los valores de p y T. • Resuelva la desigualdad compuesta equivalente.

Los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que se dará al paciente son 1.97 y 2.03 cc. Problema 4

Solución

Un operario debe fabricar un casquillo que tiene una tolerancia de 0.003 pulgadas. El diámetro del casquillo es de 2.55 pulgadas. Calcule los límites inferior y superior del diámetro del casquillo. Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 85 de la página 101.

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SECCIÓN 2.5

2.5

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

99

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Explique por qué la ecuación |2x + 1| = −4 no tiene solución.

1.

2. ¿Para qué valor de a la ecuación |x 2 2| = a tiene sólo una solución? 3. ¿El conjunto solución de |x| > 3 representa la unión o la intersección de los conjuntos {x | x > 3} y {x | x < −3}? 4. ¿El conjunto solución de |x| < 3 representa la unión o la intersección de los conjuntos {x | x < 3} y {x | x > −3}?

Ecuaciones con valor absoluto (Revise las páginas 95-96.) PREPÁRESE 5. ¿2 es una solución de |x − 8| = 6? 6. ¿−2 es una solución de |2x − 5| = 9? 7. ¿−1 es una solución de |3x − 4| = 7? 8. ¿1 es una solución de |6x − 1| = −5? 9. Si |x| = 8, entonces x =

?

ox=

?

.

? ox+5= ? . Reste 5 a cada lado de 10. Si |x + 5| = 8, entonces x + 5 = la ecuación para encontrar que las dos soluciones de la ecuación |x + 5| = 8 son ? y ? .

Resuelva. 11. 0 x 0 5 7

12. 0 a 0 5 2

13. 0 2t 0 5 3

14. 0 2a 0 5 7

15. 0 3x 0 5 12

16. 0 4a 0 5 28

17. 0 9x 0 5 12

18. 0 6z 0 5 3

19. 0 25y 0 5 20

20. 0 28t 0 5 16

21. 0 x 1 2 0 5 3

22. 0 x 1 5 0 5 2

23. 0 y 2 5 0 5 3

24. 0 y 2 8 0 5 4

25. 0 a 2 2 0 5 0

26. 0 a 1 7 0 5 0

27. 0 x 2 2 0 5 24

28. 0 x 1 8 0 5 22

29. 0 2x 2 5 0 5 4

30. 0 4 2 3x 0 5 4

31. 0 2 2 5x 0 5 2

32. 0 2x 2 3 0 5 0

33. 0 5x 1 5 0 5 0

34. 0 x 2 2 0 2 2 5 3

36. 0 3a 1 2 0 2 4 5 4

37. 0 8 2 y 0 2 3 5 1

38. 0 2x 2 3 0 1 3 5 3

39. 0 4x 2 7 0 2 5 5 25

40. 0 6x 2 5 0 2 2 5 4

41. 0 4b 1 3 0 2 2 5 7

42. 0 3t 1 2 0 1 3 5 4

43. 0 5x 2 2 0 1 5 5 7

44. 2 1 0 3x 2 4 0 5 5

45. 5 1 0 2x 1 1 0 5 8

46. 5 2 0 2x 1 1 0 5 5

47. 9 2 0 5x 1 3 0 5 1

48. 8 2 0 1 2 3x 0 5 21

† 35. 0 x 2 9 0 2 3 5 2

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100

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Suponga que a y b son números enteros positivos tales que a < b. determine si una ecuación con valor absoluto en la forma dada no tiene solución, tiene dos soluciones negativas, dos soluciones positivas o una solución positiva y una negativa. 50. 0 x 2 b 0 5 2a 49. 0 x 2 b 0 5 a 51. 0 x 1 b 0 5 a

52. 0 x 1 a 0 5 b

Desigualdades con valor absoluto (Revise las páginas 96-98.) PREPÁRESE ?

53. Si |x| > 9, entonces x 54. Si |x| < 5, entonces

?

?

−9 o x 0.)

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 109. Al probar diferentes valores para a y b, determine cuál de las opciones siguientes parece ser siempre verdadera. (i) 0 a 1 b 0 # 0 a 0 1 0 b 0 (ii) 0 a 1 b 0 5 0 a 0 1 0 b 0 (iii) 0 a 1 b 0 $ 0 a 0 1 0 b 0 110. Al probar diferentes valores para a y b, determine cuál de las opciones siguientes parece ser siempre verdadera. (i) ) 0 a 0 2 0 b 0 ) # 0 a 2 b 0 (ii) ) 0 a 0 2 0 b 0 ) 5 0 a 2 b 0 (iii) ) 0 a 0 2 0 b 0 ) $ 0 a 2 b 0 111. La desigualdad de triángulo establece que para todos los números reales a y b, 0 a 1 b 0 # 0 a 0 1 0 b 0 . Demuestre esta desigualdad. Sugerencia: Observe que 2 0 a 0 # a # 0 a 0 y 2 0 b 0 # b # 0 b 0. Ahora sume estas dos desigualdades y utilice las propiedades del valor absoluto.

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SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

103

CAPÍTULO 2 Resumen Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Una ecuación expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas.

[2.1.1, p. 56]

31255

La ecuación más simple de resolver es una ecuación de la forma variable = constante.

[2.1.1, p. 56]

x55

Una solución, o raíz, de una ecuación es un valor de sustitución para la variable que hará verdadera la ecuación.

[2.1.1, p. 56]

La solución de x + 5 = 2 es −3.

Resolver una ecuación significa encontrar una solución para la ecuación. La meta es reescribir la ecuación en la forma variable = constante, porque la constante es la solución.

[2.1.1, p. 56]

La ecuación x = 12 está en la forma variable = constante. La constante 12 es la solución de la ecuación.

Una ecuación en la cual todas las variables tienen un exponente con valor 1 se llama ecuación de primer grado.

[2.1.1, p. 56]

3x 2 2 5 5

Movimiento uniforme significa que la rapidez y la dirección de un objeto no cambian.

[2.2.2, p. 66]

Un automóvil que viaja por una carretera recta a una velocidad constante de 60 mph tiene un movimiento uniforme.

El conjunto solución de una desigualdad es un conjunto de números, cada elemento del cual, cuando se sustituye en la desigualdad, da como resultado una desigualdad cierta.

[2.4.1, p. 84]

Cualquier número mayor que 4 es una solución de la desigualdad x > 4.

Una desigualdad compuesta se forma al unir dos desigualdades con un conectivo como “y” u “o”.

[2.4.2, p. 87]

3x . 6 y 2x 1 5 , 7 2x 1 2 , 3 o x 1 2 . 4

Una ecuación con valor absoluto es una ecuación que contiene una variable dentro de un símbolo de valor absoluto.

[2.5.1, p. 95]

0x 2 20 5 3

Una desigualdad con valor absoluto es una desigualdad que contiene una variable dentro de un símbolo de valor absoluto.

[2.5.2, p. 97]

0x 2 40 , 5

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Términos clave

Reglas y procedimientos esenciales

2x 2 5 5 4 22 5 x

0 2x 2 3 0 . 6

Propiedad de la suma de las ecuaciones Si a = b, entonces a + c = b + c.

[2.1.1, p. 56]

x 1 5 5 23 x 1 5 2 5 5 23 2 5 x 5 28

Propiedad de la multiplicación de las ecuaciones Si a = b y c ≠ 0, entonces ac = bc.

[2.1.1, p. 57]

2 x54 3 3 2 3 a b a xb 5 a b4 2 3 2 x56

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104

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Ecuación de mezcla de valores V = AC

[2.2.1, p. 64]

Un comerciante combina café que cuesta $6 por libra con otro que cuesta $3.20 por libra. ¿Cuántas libras de cada uno debe utilizar para preparar 60 libras de una mezcla que cuesta $4.50 por libra? 6x 1 3.20 160 2 x2 5 4.50 1602

Ecuación del movimiento uniforme d = rt

[2.2.2, p. 66]

Dos aviones están a 1640 millas de distancia y viajan aproximándose entre sí. Un avión se desplaza 60 mph más rápido que el otro. Los aviones se cruzan en 2 horas. Calcule la velocidad de cada avión. 2r 1 2 1r 1 602 5 1640

Ecuación del interés anual simple I = Pr

[2.3.1, p. 75]

Una inversión de $4000 se coloca a una tasa de interés anual simple de 5%. ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse a una tasa de interés anual simple de 6.5% de modo que el interés total ganado es $720? 0.05 140002 1 0.065x 5 720

Ecuación de mezcla porcentual Q = Ar

[2.3.2, p. 77]

Un joyero mezcló 120 onzas de una aleación de 80% de plata con 240 onzas de una aleación de 30% de plata. Calcule la concentración porcentual de la aleación de plata resultante. 0.80 11202 1 0.30 12402 5 x 13602

Propiedad de la suma de las desigualdades Si a > b, entonces a + c > b + c. Si a < b, entonces a + c < b + c.

[2.4.1, p. 85]

x 1 3 . 22 x 1 3 2 3 . 22 2 3 x . 25

Propiedad de la multiplicación de las desigualdades Regla 1 Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

[2.4.1, pp. 85–86]

3x . 2 1 1 a b 13x2 . a b2 3 3 2 x. 3 22x , 5 22x 5 . 22 22 5 x.2 2

Regla 2 Si a > b y c < 0, entonces ac < bc. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Ecuaciones con valor absoluto Si a ≥ 0 y |x| = a, entonces x = a o x = −a.

[2.5.1, p. 96]

Si 0 x 0 5 5, entonces x 5 5 o x 5 25.

Desigualdades con valor absoluto Una desigualdad con valor absoluto de la forma |ax + b| < c es equivalente a la desigualdad compuesta −c < ax + b < c.

[2.5.2, p. 97]

Si 0 x 1 1 0 , 3, entonces 23 , x 1 1 , 3.

Una desigualdad con valor absoluto de la forma |ax + b| > c es equivalente a la desigualdad compuesta ax + b < −c o ax + b > c.

[2.5.2, p. 97]

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Si 0 x 2 2 0 . 5, entonces x 2 2 , 25 o x 2 2 . 5.

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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones de una CAPÍTULO 2 Ejercicios devariable repaso

105

CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso 4 2 x5 3 9

1. Resuelva: x 1 4 5 25

2. Resuelva:

3. Resuelva: 5x 1 7 5 2

4. Resuelva: 3 2 7x 5 5

5. Resuelva: 1 2

4x 55 3

7. Resuelva: 3y 2 5 5 3 2 2y

9. Resuelva: 2 1x 2 32 5 5 14 2 3x2 11. Resuelva:

1 5 3 3 x2 5 x1 2 8 4 2

13. Resuelva: 3x 2 7 . 22 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

6. Resuelva:

2x 1751 5

8. Resuelva: 3x 2 3 1 2x 5 7x 2 15

10. Resuelva: 2x 2 13 2 2x2 5 4 2 3 14 2 2x2 12. Resuelva:

2x 2 3 2 2 3x 125 3 5

14. Resuelva: 2x 2 9 , 8x 1 15 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

15. Resuelva:

16. Resuelva: 2 2 3 1x 2 42 # 4x 2 2 11 2 3x2 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

17. Resuelva: 25 , 4x 2 1 , 7 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

18. Resuelva: 5x 2 2 . 8 o 3x 1 2 , 24 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución.

19. Resuelva: 3x , 4 y x 1 2 . 21 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

20. Resuelva: 3x 2 2 . 24 o 7x 2 5 , 3x 1 3 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

2 5 5 x2 $ x13 3 8 4 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

21. Resuelva: 2 1 0 5 2 8x 0 5 15

23. Resuelva: 6 1 0 3x 2 3 0 5 2 25. Resuelva: 0 4x 2 5 0 $ 3

22. Resuelva: 0 5x 1 8 0 5 0

24. Resuelva: 0 2x 2 5 0 # 3

26. Resuelva: 0 5x 2 4 0 , 22

27. Mecánica El diámetro de un casquillo mide 2.75 pulgadas. El casquillo tiene una tolerancia de 0.003 pulgadas. Calcule los límites superior e inferior del diámetro del casquillo. 28. Medicina Un médico prescribió 2 cc de medicamento para una paciente. La tolerancia es 0.25 cc. Calcule los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que la paciente debe ingerir. 29. Metalurgia Un joyero combina 40 onzas de plata pura que cuestan $16.00 por onza con 200 onzas de una aleación de plata que cuesta $8.50 por onza. Calcule el costo por onza de la mezcla. 30. Mezclas de alimentos Un tendero mezcló jugo de manzana que cuesta $3.20 por galón con 40 galones de jugo de arándano que cuesta $5.50 por galón. ¿Cuánto jugo de manzana se utilizó para preparar jugo de arándano que cuesta $4.20 por galón? 31. Movimiento uniforme Un corredor comenzó a correr en una pista a una velocidad de 8 mph. Media hora más tarde, un ciclista comenzó a recorrer la misma ruta en su bicicleta hacia el corredor a una velocidad de 12 mph. ¿Cuánto tardó el ciclista en alcanzar al corredor? 32. Movimiento uniforme Dos aviones están a 1680 millas de distancia y viajan aproximándose entre sí. Un avión se desplaza con una velocidad de 80 mph más rápido que el otro avión. Los aviones se alcanzan en 1.75 horas. Calcule la velocidad de cada avión. 33. Inversiones˙Dos inversiones obtienen una ganancia anual de $635. Una gana un interés anual simple de 10.5%, y la otra un interés anual simple de 326.4%. La inversión total es $8000. Calcule el monto invertido en cada cuenta.

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

34. Metalurgia Una aleación que contiene 30% de estaño se mezcla con otra que contiene 70% de estaño. ¿Cuántas libras de cada una se utilizaron para preparar 500 lb de una aleación que contiene 40% de estaño? 35. Comisiones Un ejecutivo de ventas gana $800 por mes más una comisión de 4% sobre el monto de las ventas. La meta del ejecutivo es ganar por lo menos $3000 por mes. ¿Qué monto de ventas permitirá que el ejecutivo gane $3000 o más por mes? 36. Calificaciones de exámenes Una puntuación media de 80 a 90 en un curso de psicología recibe una calificación de B. Un estudiante obtiene en cuatro exámenes puntuaciones de 92, 66, 72 y 88. Encuentre el rango de puntuaciones en el quinto examen que permitirán al estudiante obtener una B en el curso. 37. Mezclas de plata La plata pura cuesta $18 por onza y se mezcla con 5 onzas de una aleación de plata que cuesta $12 por onza. ¿Cuántas onzas de plata pura deben mezclarse con la aleación de plata para crear una nueva mezcla que cueste entre $16 y $17 por onza?

CAPÍTULO 2 Examen 3 5 5 4 8

1. Resuelva: x 2 2 5 24

2. Resuelva: x 1

3 5 3. Resuelva: 2 y 5 2 4 8

4. Resuelva: 3x 2 5 5 7

5. Resuelva:

3 y2 2 5 6 4

7. Resuelva: 2 3 x 2 12 2 3x2 2 4 4 5 x 2 5

9. Resuelva:

2x 1 1 3x 1 4 5x 2 9 2 5 3 6 9

11. Resuelva: 4 2 3 1x 1 22 , 2 12x 1 32 2 1 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 13. Resuelva: 4 2 3x $ 7 y 2x 1 3 $ 7 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 15. Resuelva: 2 2 0 2x 2 5 0 5 27 17. Resuelva: 0 2x 2 1 0 . 3

6. Resuelva: 2x 2 3 2 5x 5 8 1 2x 2 10 8. Resuelva:

2 5 x2 x54 3 6

10. Resuelva: 2x 2 5 $ 5x 1 4 Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 12. Resuelva: 3x 2 2 . 4 o 4 2 5x , 14 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 14. Resuelva: 0 3 2 5x 0 5 12

16. Resuelva: 0 3x 2 1 0 # 2

18. Resuelva: 4 1 0 2x 2 3 0 5 1

19. Alquiler de automóviles La agencia A alquila automóviles en $12 por día y 10 por cada milla recorrida. La agencia B alquila automóviles por $24 por día con millaje ilimitado. ¿Cuántas millas por día puede usted conducir un automóvil de la agencia A si rentarlo le cuesta menos que rentar un automóvil de la agencia B? 20. Medicina Un médico prescribió 3 cc de medicamento para un paciente. La tolerancia es 0.1 cc. Calcule los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que debe ingerir el paciente. 21. Mezclas de alimentos Un carnicero combina 100 lb de carne molida que cuesta $2.60 por libra con 60 lb de carne molida que cuestan $4.20 por libra. Calcule el costo de la mezcla de carne molida. 22. Movimiento uniforme Un corredor corre una distancia a una velocidad de 8 mph y regresa la misma distancia corriendo a una velocidad de 6 mph. Calcule la distancia total que recorre el corredor si el tiempo total que tarda es 1 h 45 min.

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SECCIÓN 2.1 Ecuaciones deacumulativos una variable Ejercicios de repaso

23. Inversiones Una inversión de $12,000 fue depositada en dos cuentas de interés simple. En una cuenta, la tasa de interés anual simple es 7.8%. En la otra, la tasa de interés anual simple es 9%. El interés total ganado por un año es $1020. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? 24. Problema de mezcla ¿Cuántas onzas de agua pura deben añadirse a 60 onzas de una solución salina al 8% para preparar una solución salina al 3%?

Ejercicios de repaso acumulativos 1. Simplifique: 222 # 33 3 21 8 #2 3. Simplifique: 4 4 5 5. Identifique la propiedad que justifica el enunciado. 12x 1 3y2 1 2 5 13y 1 2x2 1 2 7. Simplifique: 3x 2 2 3 x 2 3 12 2 3x2 1 5 4 9. Resuelva: 4 2 3x 5 22

2. Simplifique: 4 2 12 2 52 2 4 3 1 2 4. Evalúe 2a2 2 1b 2 c2 2 cuando a 5 2, b 5 3 y c 5 21.

6. Encuentre A x B dado A 5 5 3, 5, 7, 9 6 y B 5 5 3, 6, 9 6 . 8. Simplifique: 5 3 y 2 2 13 2 2y2 1 6 4 5 5 10. Resuelva: 2 b 5 2 6 12 5 x2357 12

11. Resuelva: 2x 1 5 5 5x 1 2

12. Resuelva:

13. Resuelva: 2 3 3 2 2 13 2 2x2 4 5 2 13 1 x2

14. Resuelva: 3 3 2x 2 3 14 2 x2 4 5 2 11 2 2x2

15. Resuelva:

3x 2 1 4x 2 1 3 1 5x 2 5 4 12 8

16. Resuelva: 3x 2 2 $ 6x 1 7 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

17. Resuelva: 5 2 2x $ 6 y 3x 1 2 $ 5 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

18. Resuelva: 4x 2 1 . 5 o 2 2 3x , 8 Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución.

21. Resuelva: 0 3x 2 5 0 # 4

22. Resuelva: 0 4x 2 3 0 . 5

19. Resuelva: 0 3 2 2x 0 5 5

23. Grafique: 5 x 0 x $ 22 6

20. Resuelva: 3 2 0 2x 2 3 0 5 28

24. Grafique: 5 x 0 x $ 1 6

h

5 x 0 x , 22 6

25. Convierta y simplifique “la suma de tres veces un número y seis sumado al producto de tres y el número”. 26. Recreación Los boletos para una obra de teatro escolar se vendieron en $2.25 por adulto y $0.75 por cada niño. El dinero obtenido por 75 boletos fue $128.25. Calcule el número de boletos de adulto vendidos. 27. Movimiento uniforme Dos aviones están a 1400 millas de distancia y se aproximan entre sí. Un avión se desplaza a 120 mph más rápido que el otro. Los aviones se encuentran en 2.5 horas. Calcule la velocidad del avión más rápido. 28. Problema de mezcla ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 12% deben prepararse con 4 litros de una solución de ácido al 5% para preparar una solución de ácido al 8%?

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CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

29. Inversiones Un asesor de inversiones invirtió $10,000 en dos cuentas. Una ganó un interés anual simple de 9.8%, y la otra un interés anual simple de 12.8%. El monto del interés ganado en un año fue $1085. ¿Cuánto se invirtió en la cuenta al 9.8%? 30. Problema de mezclas Se prepararon 10 libras de una mezcla de frutos secos al mezclar pasas que cuestan $3.00 por libra con nueces mixtas que cuestan $5 por libra. ¿Cuántas libras de nueces mixtas deben utilizarse para que la mezcla de frutos secos cueste entre $3.70 y $4.20 por libra?

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Funciones lineales y desigualdades con dos variables

3

CAPÍTULO

Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Asistir a clases es una prioridad para usted? Recuerde que para tener éxito, debe asistir a clases. Debe hacerlo para escuchar las explicaciones e instrucciones de su profesor, así como formular preguntas cuando algo no esté claro. La mayoría de los estudiantes que falta a una clase se atrasa y luego les resulta muy difícil ponerse al día. (Consulte Tiempo para asistir a clases, en la página A-5.)

OBJETIVOS 3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6 3.7

1 Fórmulas de distancia y punto

medio 2 Graficar una ecuación con dos variables 1 Evaluar una función 2 Graficar una función 3 Prueba de la recta vertical 1 Graficar una función lineal 2 Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 3 Problemas de aplicación 1 Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos Graficar una recta dados un 2 punto y la pendiente 3 Tasa de cambio promedio 1 Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 2 Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 3 Problemas de aplicación 1 Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares 1 Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables

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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 24 1x 2 32 2. Simplifique: " 1262 2 1 1282 2 3. Simplifique:

3 2 1252 226

4. Evalúe 22x 1 5 para x 5 23. 5. Evalúe

2r para r 5 5. r21

6. Evalúe 2p3 2 3p 1 4 para p 5 21. 7. Evalúe

x1 1 x2 para x1 5 7 y x2 5 25. 2

8. Dada la ecuación 3x 2 4y 5 12, calcule el valor de x cuando y 5 0.

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CAPÍTULO 3

3.1 OBJETIVO Punto de interés En honor a Descartes, a un sistema de coordenadas rectangulares también se le llama sistema de coordenadas cartesianas.

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

El sistema de coordenadas rectangulares Fórmulas de distancia y punto medio Antes del siglo XV, la geometría y el álgebra se consideraban ramas separadas de las matemáticas. Eso cambió cuando René Descartes, un matemático francés que vivió de 1596 a 1650, inventó la geometría analítica. En esta geometría, un sistema de coordenadas se utilizó para estudiar las relaciones entre las variables. Un sistema de coordenadas rectangulares se forma por dos rectas numéricas, una horizontal y una vertical, que se intersecan en el punto cero de cada recta. El punto de intersección se llama origen. Las dos rectas se llaman ejes de coordenadas, o simplemente ejes. Los ejes determinan un plano, que puede considerarse como una hoja de papel grande y plana. Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran de I a IV en sentido contrario a las manecillas del reloj.

y Cuadrante II 5

Cuadrante I

4 3 2 1

Eje horizontal

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

Cuadrante III

Eje vertical x

1 2 3 4 5

Origen

Cuadrante IV

Cada punto del plano puede identificarse por medio de un par de números llamados par ordenado. El primer número del par mide una distancia horizontal y se llama abscisa. El segundo número del par mide una distancia vertical y se llama ordenada. Las coordenadas del punto son los números del par ordenado asociados con el punto. La abscisa se conoce también como primera coordenada, o coordenada x, del par ordenado, y la ordenada como segunda coordenada, o coordenada y, del par ordenado. Distancia horizontal

Coordenada x

c

Par ordenado

cc

12, 32 cc

Distancia vertical

Coordenada y

Cuando se dibuja un sistema de coordenadas rectangulares, a menudo se rotula el eje horizontal como x y el eje vertical como y. En este caso, el sistema de coordenadas es un sistema de coordenadas xy. Para graficar o trazar un punto en un sistema de coordenadas xy, coloque el punto en la ubicación dada por el par ordenado. La gráfica de un par ordenado es el punto que se traza en el sistema de coordenadas xy según las coordenadas del par ordenado. En la figura de la derecha se trazaron los puntos cuyas coordenadas son (3, 4) y (−2.5, −3).

y

4 2 3 2.5 izquierda derecha arriba x –4

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0

2

4

2

4

–2

(–2.5, –3) – 4 y 4

(–1, 3) 2 –4

Un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 90°. El lado opuesto del ángulo de 90° se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos.

–2

3 abajo

Los puntos cuyas coordenadas son (3, −1) y (−1, 3) se trazaron a la derecha. Observe que las gráficas están en lugares distintos. El orden de las coordenadas de un par ordenado es importante.

Tome nota

(3, 4)

4

–2

La distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas xy puede calcularse por medio del teorema de Pitágoras. TEOREMA DE PITÁGORAS

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 1 b2 5 c2.

0

x

(3, –1)

–2 –4

c

b

a

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SECCIÓN 3.1

y

Considere los dos puntos y el triángulo rectángulo mostrado a la derecha. La distancia vertical entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es 0 y2 2 y1 0. La distancia horizontal entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es 0 x2 2 x1 0 .

Punto de interés Si bien Pitágoras (c. 550 a.C.) recibe el crédito por el teorema de Pitágoras, una tablilla de barro llamada Plimpton 322 muestra que los babilonios conocían el teorema ¡1000 años antes que Pitágoras!

111

El sistema de coordenadas rectangulares

P2(x 2, y 2) d P1(x 1, y 1)

y2 – y1

x

Q(x 2, y 1)

x2 – x1

d 2 5 0 x2 2 x1 0 2 1 0 y2 2 y1 0 2

La cantidad d 2 se calcula al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo.

d 2 5 1x2 2 x12 2 1 1 y2 2 y12 2

Como el cuadrado de un número es siempre no negativo, no se requieren los símbolos del valor absoluto.

d 5 " 1x2 2 x12 2 1 1 y2 2 y12 2

La distancia d es la raíz cuadrada de d 2.

FÓRMULA DE LA DISTANCIA

Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos en el plano, entonces la distancia d entre los dos puntos está dada por d 5 " 1x2 2 x12 2 1 1y2 2 y12 2

EJEMPLO 1 y

Solución

4

(–3, 2)

–4

–2

2 0 –2

d 5 " 1x2 2 x12 2 1 1 y2 2 y12 2

• Utilice la fórmula de la distancia.

5 " 3 4 2 1232 4 2 1 121 2 22 2 • 1x1, y12 5 123, 22 y

d = √58

5 "72 1 1232 2 5 !49 1 9

x

2

Calcule la distancia exacta entre los puntos cuyas coordenadas son (−3, 2) y (4, −1).

1x2, y22 5 14, 212 .

5 !58

(4, –1)

La distancia entre los puntos es !58. Observe la gráfica de la izquierda.

–4

Problema 1 Solución

Calcule la distancia exacta entre los puntos cuyas coordenadas son (5, −2) y (−4, 3). Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 15, inciso a, de la página 117. El punto medio de un segmento de recta es equidistante de sus puntos extremos. Las coordenadas del punto medio del segmento de recta P1P2 son (xm, ym). La intersección del segmento de recta horizontal que pasa por P1 y el segmento de recta vertical que pasa por P2 es Q, con coordenadas (x2, y1).

y P2(x 2, y 2) (xm, ym)

(x2, ym) Q(x 2, y 1)

P1 (x 1, y 1)

(xm, y 1)

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x

xm, la coordenada x del punto medio del segmento de recta P1P2 es la misma que la coordenada y del punto medio del segmento de recta P1Q. Es el promedio de las coordenadas x de los puntos P1 y P2.

xm 5

x1 1 x2 2

Asimismo, ym, la coordenada y del punto medio del segmento de recta P1P2 es la misma que la coordenada y del punto medio del segmento de recta P2Q. Es el promedio de las coordenadas y de los puntos P1 y P2.

ym 5

y1 1 y2 2

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112

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO

Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son los puntos extremos de un segmento de recta, entonces las coordenadas (xm, ym) del punto medio del segmento de recta están dadas por xm 5

EJEMPLO 2

Solución y (–5, 4)

4 2

d –4

(–2, 1– )

x1 1 x2 2

d

0

–2 Estas distancias –4 son iguales

2

4

x

y1 1 y2 2

Determine las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos puntos extremos son P1(−5, 4) y P2 (1, −3). xm 5

x1 1 x2 2

ym 5

y1 1 y2 2

25 1 1 5 2

4 1 1232 5 2

5 22

5

2

–2

ym 5

y

• Utilice la ecuación del punto medio. • 1x1, y12 5 125, 42 y 1x2, y22 5 11, 232 .

1 2

1 Las coordenadas del punto medio son a22, b. Observe la gráfica de 2 la izquierda.

(1, –3)

Problema 2 Solución

Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta que tiene como puntos extremos P1(−3, −5) y P2 (−2, 3). Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 15, inciso b, de la página 117.

OBJETIVO

Graficar una ecuación con dos variables El sistema de coordenadas xy se utiliza para graficar las ecuaciones con dos variables. A la derecha se muestran ejemplos de ecuaciones con dos variables.

y 5 3x 1 7 y 5 x 2 2 4x 1 3 x 2 1 y 2 5 25 y x5 2 y 14

Una solución de una ecuación con dos variables es un par ordenado (x, y) cuyas coordenadas hacen que la ecuación sea una expresión verdadera.

Concéntrese en determinar si un par ordenado es una solución de una ecuación ¿El par ordenado (−3, 7) es una solución de la ecuación y 5 22x 1 1? Sustituya x por −3 y sustituya y por 7. Luego simplifique.

Compare los resultados. Si la ecuación resultante es una expresión verdadera, el par ordenado es una solución de la ecuación. Si no es una expresión verdadera, el par ordenado no es una solución de la ecuación.

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y 5 22x 1 1 7 22 1232 1 1 7 611 75 7 Sí, el par ordenado 123, 72 es una solución de la ecuación.

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SECCIÓN 3.1

113

El sistema de coordenadas rectangulares

Además del par ordenado (−3, 7), existen muchas otras soluciones de pares ordenados de la ecuación y 5 22x 1 1. Por ejemplo, (−5, 11), (0, 1), 1232, 42 y (4, −7) también son soluciones de la ecuación. En general, una ecuación con dos variables tiene un número infinito de soluciones. Al escoger un valor de x cualquiera y sustituir x por ese valor en la ecuación, podemos calcular un valor correspondiente de y.

EJEMPLO 3 Solución

Determine la solución de y 5 x que corresponde a x 5 4. x y5 x22 y5

4 422

x 22

representada por el par ordenado

• Sustituya x por 4 y resuelva para y.

y52

La solución representada por el par ordenado es 14, 22 . Problema 3 Solución

Determine la solución de y 5 x 3x 1 1 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 −2. Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 31 de la página 118. La gráfica de los pares ordenados que son soluciones de una ecuación con dos variables puede trazarse en un sistema de coordenadas rectangulares.

Concéntrese en graficar algunas soluciones de una ecuación con dos variables Grafique las soluciones (x, y) de y 5 x 2 2 1 cuando x es igual a −2, −1, 0, 1 y 2. Sustituya cada valor de x en la ecuación y resuelva para y. Luego grafique los pares ordenados al dibujar un punto en las coordenadas de cada par ordenado. A veces a esto se le llama simplemente trazado de puntos. Es recomendable anotar los pares ordenados que son soluciones en una tabla como la que se muestra abajo. x

y 5 x2 − 1

−2 −1 0 1 2

y 5 (− 2) − 1 5 3 y 5 (− 1)2 − 1 5 0 y 5 02 − 1 5 − 1 y 5 12 − 1 5 0 y 5 22 − 1 5 3 2

y

y 3 0 −1 0 3

(x, y) (− 2, 3) (− 1, 0) (0, − 1) (1, 0) (2, 3)

4

( –2, 3)

(2, 3) 2

(–1, 0) –4

–2

(1, 0) 0

–2

2

(0, –1)

4

x

–4

Por lo general, cuando se grafica una ecuación con dos variables, se incluyen todas las soluciones, no sólo algunas como se hizo arriba. Considere la ecuación y 5 22x 1 1. Es posible determinar los pares ordenados solución cuando x 5 −2, −1, 0, 1, 2 y 3. Éstos se incluyen en la tabla de la página siguiente. La figura 1 muestra la gráfica de estas soluciones.

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CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

y 5 −2x + 1

y

y 5 − 2 (− 2) + 1 5 5 y 5 − 2 (− 1) + 1 5 3 y 5 − 2 (0) + 1 5 1 y 5 − 2 (1) + 1 5 − 1 y 5 − 2 (2) + 1 5 − 3 y 5 − 2 (3) + 1 5 − 5

5 3 1 −1 −3 −5

x −2 −1 0 1 2 3

y

(x, y) 4

(− 2, 5) (− 1, 3) (0, 1) (1, − 1) (2, − 3) (3, − 5)

2 –4

–2

0

x

4

2

–2 –4

FIGURA 1

Si encontramos otras soluciones, como los pares ordenados que corresponden a x 5 −1.5, −0.5, 0.5, 1.5 y 2.5, obtenemos más puntos, como se aprecia en la figura 2. Si seguimos añadiendo más y más puntos, habrá tantos puntos que la gráfica parecerá la recta de la figura 3, que es la gráfica de y 5 22x 1 1. Las puntas de flecha indican que la gráfica se extiende en ambas direcciones hasta el infinito. y

y 4

4

2 –4

–2

0

2

4

x

–4

–2

0

–2

–2

–4

–4

FIGURA 2

y = –2x + 1 2

4

x

FIGURA 3

La gráfica de y 5 22x 1 1 se presenta de nuevo abajo. Como se puede ver en la misma, el punto con las coordenadas (1, 4) no está en la gráfica. Y, como se muestra también, (1, 4) no es una solución de y 5 22x 1 1. El punto con las coordenadas (2, −3) es un punto de la gráfica y es una solución de la ecuación. y y 5 − 2x 1 1 4 − 2(1) 1 1 4 −211 42−1

y 5 − 2x 1 1 − 3 − 2(2) 1 1 −3 −411 −35−3

(1, 4) no representa un punto en la gráfica y no es una solución de la ecuación.

(2, −3) sí representa un punto en la gráfica y sí es una solución de la ecuación.

4

(1, 4)

2

y = –2x + 1 –4

–2

0

2

x

4

–2

(2, –3) –4

Todos los pares ordenados de la gráfica de una ecuación son soluciones de la ecuación, y cada solución representada por el par ordenado de una ecuación da las coordenadas de un punto en la gráfica de la ecuación.

EJEMPLO 4 Solución

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Grafique y 5 12 x 1 1 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −4, −2, 0, 2 y 4, y luego unir los puntos mediante una recta continua. Determine los pares ordenados (x, y) que son solución para los valores dados de x. Trace los puntos y luego únalos por medio de una recta continua.

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SECCIÓN 3.1

1 y5 x11 2

x

y

1x, y2

21

124, 212

24

1 y 5 1242 1 1 5 21 2

22

1 y 5 1222 1 1 5 0 2

0

0

1 y 5 102 1 1 5 1 2

1

10, 12

2

1 y 5 122 1 1 5 2 2

2

12, 22

1 y 5 142 1 1 5 3 2

3

4

Problema 4

Solución

115

El sistema de coordenadas rectangulares

122, 02 y 4 2

(–2, 0)

14, 32

(0, 1)

–2

–4

(4, 3) (2, 2)

0

4

2

x

(–4, –1) – 2 –4

Grafique y 5 212 x 1 3 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −4, −2, 0, 2 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua. Revise la página S6.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 118.

EJEMPLO 5

Grafique y 5 x 2 2 2x 2 3 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4, y luego unir los puntos por medio de una recta continua.

Solución

Determine los pares ordenados (x, y) que son solución para los valores de x. Trace los puntos y luego únalos por medio de una línea continua. y 5 x 2 2 2x 2 3

x 22 21 0 1 2 3 4

y5 y5 y5 y5 y5 y5 y5

1222 2 2 2 1 1212 2 2 2 1 102 2 2 2 1 2 112 2 2 2 1 2 122 2 2 2 1 2 132 2 2 2 1 2 142 2 2 2 1 2

Problema 5

Solución

2 2355 2 2350 2 3 5 23 2 3 5 24 2 3 5 23 2350 2355

y

1x, y2

5 0 23 24 23 0 5

122, 52 121, 02 10, 232 11, 242 12, 232 13, 02 14, 52

y (–2, 5)

6

(4, 5)

4 2

(–1, 0) –4

(3, 0)

–2 0 –2

(0, –3)

–4

2

4

x

(2, –3) (1, –4)

Grafique y 5 2x 2 1 4 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3, y luego unir los puntos por medio de una línea continua. Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 118.

EJEMPLO 6

04_Cap-03_AUFMANN.indd 115

Grafique y 5 0 2x 2 4 0 2 1 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

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116

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Solución

Determine los pares ordenados (x, y) que son solución para los valores de x. Trace los puntos y luego únalos por medio de una línea continua. y 5 0 2x 2 4 0 2 1

x 21 0 1 2 3 4 5

y5 y5 y5 y5 y5 y5 y5

0 2 1212 2 4 0 2 1 5 5 0 2 102 2 4 0 2 1 5 3 0 2 112 2 4 0 2 1 5 1 0 2 122 2 4 0 2 1 5 21 0 2 132 2 4 0 2 1 5 1 0 2 142 2 4 0 2 1 5 3 0 2 152 2 4 0 2 1 5 5

Problema 6

Solución

y

1x, y2

5 3 1 21 1 3 5

121, 52 10, 32 11, 12 12, 212 13, 12 14, 32 15, 52

y 6

(–1, 5)

(5, 5) 4

(0, 3)

(4, 3)

2

(1, 1) –2

0

(3, 1) 2

4

6

x

– 2 (2, –1)

Grafique y 5 3 2 0 x 0 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3, y luego unir los puntos por medio de una línea continua. Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 45 de la página 118. Una calculadora graficadora grafica una ecuación con dos variables de manera muy parecida a como lo hemos hecho: selecciona valores de x, encuentra pares ordenados (x, y) que son solución para esos valores de x y luego traza los puntos. Las tres gráficas anteriores se muestran abajo. Consulte en el apéndice los detalles de cómo elaborar gráficas por medio de una calculadora graficadora. 6

–6

6

6

–6

–6 1 y= –x+1 2

3.1

6

6

–6

6

–6

–6

y = x2 – 2x – 3

y = 2x – 4 – 1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuál es la coordenada x de un punto en el eje y? 2. ¿Cuál es la coordenada y de un punto en el eje x? 3. Mencione el cuadrante el cual se ubica la gráfica de cada uno de los pares ordenados siguientes. a. 122, 32 b. 14, 12 c. 123, 212 d. 15, 212 4. ¿En cuáles cuadrantes la coordenada y de un punto es un número negativo? 5. ¿En cuáles cuadrantes la coordenada x de un punto es un número positivo? 6. Escoja la palabra o palabras que hacen verdadera la expresión siguiente: Si M es el punto medio de un segmento de recta entre A y B, entonces la distancia entre A y M es igual/no es igual a la distancia entre B y M.

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SECCIÓN 3.1

117

El sistema de coordenadas rectangulares

7. Determine si cada uno de los pares ordenados siguientes pertenece a la gráfica de y 5 22x 1 6. a. 12, 22

8.

b. 123, 02

c. 121, 42

d. 13, 02

Explique por qué (2, 4) no es una solución de la ecuación y 5

4 x 2 2.

Fórmulas de distancia y punto medio (Revise las páginas 110-112.) PREPÁRESE 9. Para los puntos P1(3, −3) y P2(−1, 4), identifique cada uno de los valores siguientes: x1 5

, x2 5

?

, y1 5

?

?

, y y2 5

?

.

10. Determine la longitud del segmento de recta entre los puntos P1 y P2 dados en el ejercicio 9. d 5 " 1x2 2 x12 2 1 1y2 2 y12 2 5 "1 5 "1

? ?

5"

?

5"

?

2

22 1 1 1

22 1 1

? ?

22

• Utilice la fórmula

?

2

?

?

2 2 • Sustituya las coordenadas.

.

• Realice las operaciones dentro de los paréntesis.

?

• Simplifique las expresiones con exponentes. • Sume.

La longitud del segmento de recta entre P1(3, −3) y P2 (−1, 4) es

?

.

Determine a. la distancia exacta entre los puntos P1 y P2, y b. las coordenadas del punto medio del segmento de recta con puntos extremos P1 y P2. 11. P1 12, 52 y P2 15, 92

14. P1 122, 32 y P2 15, 212

12. P1 125, 222 y P2 17, 32

† 15. P1 13, 52 y P2 14, 12

13. P1 122, 292 y P2 16, 62

16. P1 16, 212 y P2 123, 222

17. P1 10, 32 y P2 122, 42

18. P1 127, 252 y P2 122, 212

19. P1 123, 252 y P2 12, 242

20. P1 13, 252 y P2 16, 02

21. P1 15, 222 y P2 121, 52

22. P1 15, 252 y P2 12, 252

23.

a, b, c y d son números positivos tales que a . c y b , d. ¿En qué cuadrante se ubica el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(a, b) y P2(−c, −d)?

24.

a, b, c y d son números positivos tales que a , c y b , d. ¿En qué cuadrante se ubica el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(−a, −b) y P2(c, d)?

25. Trace una recta que pase por todos los puntos con una abscisa de 2.

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26. Trace una recta que pase por todos los puntos con una abscisa de −3.

27. Trace una recta que pase por todos los puntos con una ordenada de −3.

28. Trace una recta que pase por todos los puntos con una ordenada de 4.

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118

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Graficar una ecuación con dos variables (Revise las páginas 112-116.) PREPÁRESE 29. Para determinar la solución de y 5 4x 2 3 representada por el par ordenado ? y luego resuelva para y. El valor de y es cuando x 5 −1. Sustituya x por ? . La solución representada por el par ordenado es ? . 30. Para determinar la solución de y 5 x 2 1 x 2 1 representada por el par ordenado ? y luego resuelva para y. El valor de y es cuando x 5 2. Sustituya x por ? . La solución representada por el par ordenado es ? . † 31. Determine la solución de y 5 0 x 1 1 0 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 −5.

32. Determine la solución de y 5 22 0 x 0 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 3.

33. Determine la solución de y 5 2x 2 1 2 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 −1.

34. Determine la solución de y 5 2x 2 2 x 1 4 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 1.

35. Determine la solución de y 5 x 3 2 2 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 0.

36. Determine la solución de y 5 2x 3 1 1 representada por el par ordenado que corresponde a x 5 −2.

† 37. Grafique y 5 2x 2 3 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −1, 0, 1, 2, 3 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

38. Grafique de y 5 22x 1 1 al trazar las soluciones de la ecuación x 5 −2, −1, 0, 1 y 2, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

39. Grafique y 5 223 x 1 1 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −6, −3, 0, 3 y 6, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

40. Grafique y 5 32 x 2 2 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −4, −2, 0, 2 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

† 41. Grafique y 5 x 2 2 4 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

42. Grafique y 5 2x 2 1 5 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

43. Grafique y 5 2x 2 1 2x 1 3 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

44. Grafique y 5 x 2 2 2x 2 4 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

† 45. Grafique y 5 0 x 1 2 0 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1 y 2, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

46. Grafique y 5 2 0 x 0 1 2 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −6, −4, −2, 0, 2, 4 y 6, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

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SECCIÓN 3.1

47. Grafique y 5 2 0 x 2 1 0 1 3 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −3, −1, 1, 3 y 5, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

49.

3 Existe un valor de x para el cual la ecuación y 5 x 2 1 no tiene una solución representada por un par ordenado. ¿Cuál es ese valor?

El sistema de coordenadas rectangulares

48. Grafique y 5 0 x 1 2 0 2 4 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −6, −4, −2, 0, 2 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

50.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

51. Grafique y 5 x 1 0 x 0 al trazar las soluciones de la ecuación cuando x 5 −7, −5, −3, −1, 0, 1, 2 y 3, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

53. Trace una recta que pase por todos los puntos cuya abscisa es igual a su ordenada.

55.

Describa la gráfica de todos los pares ordenados (x, y) que están a 5 unidades del origen.

119

Existe un valor de x para el cual la ecuación y 5 2x x2 4 no tiene una solución representada por un par ordenado. ¿Cuál es ese valor?

6 al trazar las soluciones de la ecuación x 11 cuando x 5 −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4, y luego unir los puntos por medio de una línea continua.

52. Grafique y 5

2

54. Trace una recta que pase por todos los puntos cuya ordenada es el inverso aditivo de su abscisa.

56.

Considere dos puntos fijos distintos en el plano. Describa la gráfica de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de estos puntos fijos.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Se dice que dos puntos son simétricos respecto al eje x si tienen coordenadas en x que son iguales y coordenadas en y que son opuestas. Se dice que dos puntos son simétricos respecto al eje y si tienen coordenadas en x que son iguales y coordenadas en y que son opuestas. 57. Determine las coordenadas del punto que es simétrico, respecto al eje x, al punto con las coordenadas dadas. b. 15, 232 c. 123, 42 d. 10, 252 a. 13, 52

58. Determine las coordenadas del punto que es simétrico, respecto al eje y, al punto con las coordenadas dadas. a. 12, 42

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b. 123, 22

c. 124, 252

d. 14, 02

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120

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

3.2

Introducción a las funciones

OBJETIVO

Evaluar una función En matemáticas, una función se utiliza para describir una relación entre dos cantidades. Debido a que se involucran dos cantidades, es natural que se utilicen pares ordenados.

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN

Tome nota El orden de los elementos en un conjunto no importa. Por ejemplo, en el ejemplo (3) de la derecha podría haberse escrito el dominio como {4, −5, −1, −7}. Sin embargo, se acostumbra ordenar los números de menor a mayor como se hizo en el ejemplo. También recuerde que, en un dominio o en un rango, los elementos de un conjunto no se repiten. En el ejemplo (3) el número 5 se incluyó en el rango sólo una vez.

Una función es un conjunto de pares ordenados en los cuales no hay dos pares ordenados que tengan la misma primera coordenada. El dominio de una función es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados; el rango de una función es el conjunto de las segundas coordenadas de los pares ordenados. EJEMPLOS

1. 5 11, 22 , 12, 42 , 13, 62 , 14, 82 6 Dominio 5 5 1, 2, 3, 4 6

Rango 5 5 2, 4, 6, 8 6 2. 5 121, 02 , 10, 02 , 11, 02 , 12, 02 , 13, 02 6 Dominio 5 5 21, 0, 1, 2, 3 6 Rango 5 5 0 6 3. 5 125, 52 , 121, 12 , 127, 102 , 14, 52 6 Dominio 5 5 27, 25, 21, 4 6 Rango 5 5 1, 5, 10 6

Ahora considere el conjunto de pares ordenados {(1, 2), (4, 5), (7, 8), (4, 6)}. Este conjunto no es una función. Hay dos pares ordenados, (4, 5) y (4, 6), que tienen la misma primera coordenada. A este conjunto de pares ordenados se le llama relación. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo especial de relación. El concepto de dominio y rango se aplica tanto a las relaciones como a las funciones. Hay varias maneras de describir una función: como una gráfica, como una tabla y como una ecuación. Estudiaremos cada una de ellas.

Los datos de la gráfica pueden escribirse como un conjunto de pares ordenados. 5 12005, 86.12 , 12006, 90.72 , 12007, 93.22 , 12008, 97.42 , 12009, 98.72 , 12010, 106.52 6

Espectadores del Super Bowl Millones de espectadores

La gráfica de barras de la derecha muestra el número de personas que observaron el Super Bowl en los años 2005 a 2010. La línea quebrada entre 0 y 85 en el eje vertical indica que se ha omitido una porción del eje vertical.

110

106.5

105 100

97.4

95 90

90.7

98.7

93.2

86.1

85 0

2005 2006 2007 2008 2009 2010 Año

Este conjunto es una función. No hay dos pares ordenados que tengan la misma primera coordenada. El dominio es {2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010}. El rango es {86.1, 90.7, 93.2, 97.4, 98.7, 106.5}. El par ordenado (2010, 106.5) significa que, en 2010, el número de personas que observaron el Super Bowl fue 106.5 millones.

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SECCIÓN 3.2

121

Introducción a las funciones

Una tabla es otra manera de describir una relación entre dos cantidades. La tabla de la derecha muestra una escala de calificación para un examen. Esta escala también puede describirse con pares ordenados. Algunos de los pares ordenados posibles son (95, A), (72, C), (84, B), (92, A), (61, D) y (88, B).

Puntuación en el examen

Calificación

90–100 80–89 70–79 60–69 0–59

A B C D F

La tabla representa una función. No hay dos pares ordenados con la misma primera coordenada. Para entender esto, imagine dos pares ordenados cuyas primeras coordenadas sean iguales y cuyas segundas coordenadas sean diferentes: por ejemplo, (92, A) y (92, C). Esto significaría que un estudiante que obtuvo una puntuación de 92 recibió una calificación de A, y un segundo estudiante que obtuvo una puntuación de 92 recibió una calificación de C. Un resultado como éste no se produce con una escala de calificación. El dominio de la función de la escala de calificación es {0, 1, 2, 3, ..., 97, 98, 99, 100}. El rango es {A, B, C, D, F}.

Punto de interés Alrededor de 28 segundos después de que Kittinger salta de la góndola, estaba a una altitud de 90,000 pies y se desplazaba a una velocidad de 614 mph. Ésta sigue siendo la velocidad más rápida que un ser humano ha alcanzado sin ayuda de un sistema de propulsión. A medida que continuó el descenso, la resistencia del aire redujo su velocidad. A 50,000 pies, su velocidad era de alrededor de 250 mph. Debido a que la resistencia del aire era insignificante durante los primeros 30 segundos, la ecuación s 5 16t2 proporcionan una buena aproximación de la distancia que cayó. En altitudes más bajas, sería más apropiada una ecuación diferente que considere la resistencia del aire.

Una tercera manera de describir una relación entre dos cantidades es una ecuación. Considere la situación de Joseph Kittinger, un oficial de la Fuerza Aérea que participó en un experimento a gran altura para la Fuerza Aérea en 1960. Ascendió en el Excelsior III, un globo lleno de helio, a una altura de 102,800 pies sobre la Tierra y luego saltó de la góndola. La distancia s, en pies, que él había caído en t segundos después de saltar de la góndola se puede obtener de manera aproximada por medio de la ecuación s 5 16 t2. Los pares ordenados se pueden obtener al sustituir los valores de t en la ecuación s 5 16 t2 y despejar s. Los pares ordenados para t 5 2, 5, 7 y 9 se muestran en la tabla de la derecha.

2 5 7 9

s

1t, s2

64 400 784 1296

12, 642 15, 4002 17, 7842 19, 12962

s 5 16t2

t s s s s

5 16 122 2 5 16 152 2 5 16 172 2 5 16 192 2

5 64 5 400 5 784 5 1296

Una ventaja de la ecuación es que permite calcular la distancia que Kittinger cayó para cualquier valor de t. Por ejemplo, cuando t 5 6.7, s 5 16(6.7)2 5 718.24. El par ordenado (6.7, 718.24) significa que 6.7 s después de saltar de la góndola, Kittinger había caído 718.24 pies. Una vez que se elige un valor de t, sólo hay un valor posible de s. Por consiguiente, no hay dos pares ordenados con la misma primera coordenada. La ecuación representa una función. Por ejemplo, cuando t 5 3, s 5 16(3)2 5 144. 144 es el único valor posible de s cuando t 5 3. Como se menciona en la sección Punto de interés de la izquierda, la ecuación s 5 16t2 proporciona un valor aproximado de la distancia que Kittinger cayó durante los primeros 30 segundos. Podemos describir el dominio de la función asociada (todos los tiempos entre 0 y 30 segundos) que utilizan la notación de conjuntos o notación de intervalos. Dominio 5 5 t 0 0 # t # 30 6

o

Dominio 5 3 0, 30 4

El rango de la función es de 0 pies (en el momento preciso que empieza el descenso) a la distancia que Kittinger cayó en 30 segundos. Al sustituir 30 en s 5 16t2 se obtiene s 5 16(30)2 5 14,400. Por tanto, Rango 5 5 s 0 0 # s # 14,400 6

EJEMPLO 1

Solución

Rango 5 3 0, 14,400 4

¿Cuáles son el dominio y el rango de la relación siguiente? ¿La relación es una función? 5 12, 42 , 13, 62 , 14, 82 , 15, 102 , 14, 62 , 16, 102 6 El dominio es 5 2, 3, 4, 5, 6 6 . El rango es 5 4, 6, 8, 10 6 .

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o

• El dominio de la relación es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados. • El rango de la relación es el conjunto de las segundas coordenadas de los pares ordenados.

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122

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

La relación no es una función.

Problema 1

• Hay dos pares ordenados que tienen las primeras coordenadas iguales y las segundas coordenadas diferentes, (4, 8) y (4, 6).

¿Cuáles son el dominio y el rango de la siguiente relación? ¿La relación es una función? 5 122, 62 , 121, 32 , 10, 02 , 11, 232 , 12, 262 , 13, 292 6

Solución

Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 9 de la página 129. Para cada elemento del dominio de una relación, existe un elemento correspondiente en el rango de la relación. Un diagrama posible de la relación en el ejemplo 1 es Dominio

Rango

2 3 4 5 6

4 6 8 10

{(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), (4, 6), (6, 10)}

Observe que en el diagrama hay dos flechas desde el 4 en el dominio hacia diferentes elementos, 6 y 8, en el rango. Esto significa que hay dos pares ordenados, (4, 6) y (4, 8), con las primeras coordenadas iguales y las segundas coordenadas diferentes. La relación no es una función.

Concéntrese en determinar si un diagrama representa una función Escriba la relación mostrada en el diagrama siguiente como un conjunto de pares ordenados. ¿La relación es una función? Dominio

Rango

–2 –1 0 1 2

0 1 4

La relación es 5 122, 42 , 121, 12 , 10, 02 , 11, 12 , 12, 42 6 . No hay pares ordenados con la misma primera coordenada. La relación es una función.

Cómo se usa Las funciones se utilizan en las aplicaciones dinámicas. Por ejemplo, hay funciones para calcular p en millones de dígitos, para predecir las oportunidades de ganar la lotería, para determinar la edad de un fósil y para calcular el pago mensual de un automóvil.

Aunque una función se puede describir en términos de los pares ordenados, en una tabla o mediante una gráfica, este texto se centra principalmente en las funciones representadas por las ecuaciones con dos variables. Por ejemplo, la ecuación s 5 16t2 proporcionada antes describe la relación entre el tiempo t que Joseph Kittinger cayó y la distancia s que cayó. Los pares ordenados pueden escribirse como (t, s), donde s 5 16t2. Al sustituir 16t2 por s, también podemos escribir los pares ordenados como (t, 16t2). Debido a que la distancia que cae depende de cuánto tiempo ha estado cayendo, s se conoce como la variable dependiente y t es la variable independiente. Para la ecuación s 5 16t2, decimos que “la distancia es una función del tiempo”. Una función puede considerarse como una regla que empata un número con otro número. Por ejemplo, la función cuadrada empata un número real con su cuadrado. Esta función puede representarse por medio de la ecuación y 5 x2. Esta ecuación establece que, dado cualquier elemento x en el dominio, el valor de y en el rango es el cuadrado de x. En este caso, la variable indepen-

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SECCIÓN 3.2

123

Introducción a las funciones

diente es x y la variable dependiente es y. Cuando x 5 6, y 5 36 y un par ordenado de la función es (6, 36). Cuando x 5 −7, y 5 49. El par ordenado (−7, 49) pertenece a la función. Otros pares ordenados de la función son 122, 42 ,

Q

3 9 R 4 , 16

y (−1.1, 1.21).

En muchos casos, usted puede pensar en una función como en una máquina que convierte un número en otro. Por ejemplo, puede pensar que la máquina de la función cuadrada de la derecha toma una entrada (un elemento del dominio) y crea una salida (un elemento del rango) que es el cuadrado de la entrada.

–4

0 3

Cuadrado

No todas las ecuaciones con dos variables definen una función. Por ejemplo,

16 0 9

f(x) = x 2

y2 5 x2 1 9 No es una ecuación que define una función. Como se muestra en seguida, los pares ordenados (4, 5) y (4, −5) son soluciones de la ecuación. • Sea 1x, y2 5 14, 52. Sustituya x por 4 y y por 5.

y2 5 x2 1 9 52 42 1 9 25 16 1 9 25 5 25

Tome nota La notación f (x) no significa f por x. La letra f es el nombre de la función, y f (x) es el valor de la función en x.

y2 5 x2 1 9 1252 2 42 1 9 25 16 1 9 25 5 25

• 14, 52 se comprueba.

• Sea 1x, y2 5 14, 252. Sustituya x por 4 y y por 25. • 14,252 se comprueba.

Por consiguiente, hay dos pares ordenados, (4, 5) y (4, −5), con las primeras coordenadas iguales y las segundas coordenadas diferentes; la ecuación no define una función. La frase “y es una función de x” o una frase parecida con diferentes variables, se utiliza para describir aquellas ecuaciones con dos variables que definen a las funciones. La notación de funciones se utiliza con frecuencia para las ecuaciones que definen a las funciones. Al igual que el uso de x como una variable para un número es común, la letra f suele utilizarse para nombrar una función. Por ejemplo, utilizando la función cuadrada, se puede escribir f (x) 5 x2. El símbolo f (x) se lee “el valor de f en x” o “f de x”. El símbolo f (x) es el valor de la función y representa el valor de la variable dependiente para un valor dado de la variable independiente. Éste es el valor de la función. Es el valor de la variable dependiente.

c

El nombre de la función es f .

c

H

f 1x2 5 x 2

Es una expresión algebraica que define la relación entre la variable dependiente y la variable independiente.

El proceso de calcular el valor de f (x) para un valor dado de x se llama evaluación de la función. Por ejemplo, para evaluar f 1x2 5 x 2 cuando x es 4, sustituya x por 4 y simplifique. f 1x2 5 x 2

f 142 5 42

• Sustituya x por 4, luego simplifique.

5 16 El valor de la función es 16 cuando x 5 4. Un par ordenado de la función es (4, 16) Las letras utilizadas para representar una función son, de alguna manera, arbitrarias. Todas las ecuaciones siguientes representan la misma función. Observe que se puede utilizar más de una letra. f 1x2 5 x 2

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g 1t2 5 t2

P 1v2 5 v2

SQ 1x2 5 x 2

• Todas estas ecuaciones representan la función cuadrada.

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124

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Escriba y 5 f (x) para recalcar la relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y. Recuerde: y y f (x) son símbolos diferentes para el mismo número. Además, el nombre de la función es f; el valor de la función en x es f (x).

Concéntrese en evaluar una función

Tome nota Para evaluar una función, sustituya en cada término los paréntesis abiertos por la variable. Por ejemplo,

R 1v2 5 v3 1 3v2 2 5v 2 6 R1 2 5 1 23 1 31 22 2 51 2 2 6

Para evaluar la función, llene cada par de paréntesis con el mismo número y luego simplifique.

Determine el valor R 1v2 5 v3 1 3v2 2 5v 2 6 cuando v 5 −2. Sustituya v por −2 y simplifique. R 1v2 5 v3 1 3v2 2 5v 2 6

R 1222 5 1222 3 1 3 1222 2 2 5 1222 2 6 5 28 1 12 1 10 2 6 58

El valor de R 1v2 cuando v 5 22 es 8.

Existen varias maneras de usar una calculadora para evaluar una función. Las pantallas a la derecha, que ilustran la evaluación de R(−2) dada anteriormente, muestran una manera. Consulte otros métodos de evaluación de una función en la Guía de la calculadora del apéndice.

EJEMPLO 2

Plot1 Plot2 Plot3 = X^3+3X2 –5X–6

\Y1 \Y2 \Y3 \Y4 \Y5 \Y6 \Y7

= = Y1( 2) = = = =

8

Sea q 1r2 5 2r3 1 5r2 2 6. A. Calcule q(−3). B. Determine el valor de q(r) cuando r 5 2.

Solución

A.

q 1r2 5 2r3 1 5r2 2 6

q 1232 5 2 1232 3 1 5 1232 2 2 6

• Sustituya r por 23.

5 2 12272 1 5 192 2 6 5 254 1 45 2 6 • Simplifique.

q 1232 5 215 B. Calcular el valor de q(r) cuando r 5 2 significa evaluar la función cuando r 5 2. q 1r2 5 2r3 1 5r2 2 6

q 122 5 2 122 3 1 5 122 2 2 6

5 2 182 1 5 142 2 6 5 16 1 20 2 6

• Sustituya r por 2. • Simplifique.

q 122 5 30

El valor de la función cuando r 5 2 es 30.

Problema 2

Sea f 1z2 5 z 1 0 z 0 . A. Calcule f (−4).

B. Evalúe f (z) cuando z 5 3. Solución

Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 131.

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SECCIÓN 3.2

125

Introducción a las funciones

También es posible evaluar una función con otra variable o con otra expresión.

EJEMPLO 3

Sea f 1x2 5 3 2 2x. Calcule f 13h 2 22 . f 1x2 5 3 2 2x

Solución

f 13h 2 22 5 3 2 2 13h 2 22

• Sustituya x por 3h 2 2.

5 3 2 6h 1 4

• Simplifique.

f 13h 2 22 5 26h 1 7

Problema 3 Solución

Sea r 1s2 5 3s 2 6. Calcule r 12a 1 32 . Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 39 de la página 131. El rango de una función contiene todos los elementos que resultan de la evaluación de la función para cada elemento del dominio. Si el dominio contiene un número infinito de elementos, como en el caso de la caída del piloto, quizá sea difícil determinar el rango. Sin embargo, si el dominio tiene sólo un número finito de elementos, entonces el rango puede determinarse al evaluar la función para cada elemento del dominio.

EJEMPLO 4 Solución

Determine el rango de f 1x2 5 x 2 1 2x 2 1 si el dominio es 5 23, 22, 21, 0, 1 6 . Evalúe la función para cada elemento del dominio. El rango incluye los valores de f 1232 , f 1222 , f 1212 , f 102 , y f (1). f 1x2 5 x 2 1 2x 2 1

f 1232 5 1232 2 1 2 1232 2 1 5 2

f 1222 5 1222 2 1 2 1222 2 1 5 21 f 1212 5 1212 2 1 2 1212 2 1 5 22 f 102 5 102 2 1 2 102 2 1 5 21

f 112 5 112 2 1 2 112 2 1 5 2

El rango es 5 22, 21, 2 6 .

Problema 4 Solución

Determine el rango de f 1x2 5 x 3 1 x si el dominio es 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6 . Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 61 de la página 131. La función TABLE de una calculadora se puede utilizar para determinar los valores del rango de una función para valores seleccionados del dominio. Plot1 Plot2 Plot3 = X2 +2X–1

\Y1 \Y2 \Y3 \Y4 \Y5 \Y6 \Y7

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= = TABLE SETUP TblStart = -3 = ΔTbl = 1 = Indpnt: Auto = Depend: Auto =

Ask Ask

X -3 -2 -1 0 1 2 3 X = -3

Y1 2 -1 -2 -1 2 7 14

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126

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Dado un elemento del rango de una función, podemos determinar un elemento correspondiente en el dominio.

EJEMPLO 5 Solución

Dado f 1x2 5 3x 1 1, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 7. Escriba el par ordenado correspondiente de la función. f 1x2 5 3x 1 1

f 1c2 5 3c 1 1 7 5 3c 1 1

• f 1c2 5 7

65 3c

• Resuelva para c.

25c

Tome nota Puede comprobar la respuesta del ejemplo 5 al evaluar f (x) 5 3x 1 1 en x 5 2. f 122 5 3 122 1 1

• Sustituya x por c.

El valor de c es 2. El par ordenado correspondiente es (2, 7). Problema 5

f 122 5 7

Solución

Dada f 1x2 5 2x 2 5, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 −3. Escriba el par ordenado correspondiente de la función. Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 132.

OBJETIVO

Graficar una función La gráfica de una función es la gráfica de los pares ordenados que pertenecen a la función. Graficar una función es similar a graficar una ecuación con dos variables. Primero evalúe la función en los valores seleccionados de x y trace los pares ordenados correspondientes. Luego una los puntos por medio de una curva continua para formar la gráfica.

EJEMPLO 6

Solución

Grafique h 1x2 5 x 2 2 3. Primero evalúe la función cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3. Trace los pares ordenados resultantes. Luego una los puntos para formar la gráfica. Evalúe la función para los valores dados de x. Esto producirá algunos pares ordenados de la función. Los resultados pueden registrarse en una tabla. Trace los pares ordenados y luego una los puntos para formar la gráfica.

x

y 5 h 1x2 5 x 2 2 3

y

1x, y2

23 22 21 0 1 2 3

h 1232 5 1232 2 2 3 5 6 h 1222 5 1222 2 2 3 5 1 h 1212 5 1212 2 2 3 5 22 h 102 5 102 2 2 3 5 23 h 112 5 112 2 2 3 5 22 h 122 5 122 2 2 3 5 1 h 132 5 132 2 2 3 5 6

6 1 22 23 22 1 6

123, 62 122, 12 121, 222 10, 232 11, 222 12, 12 13, 62

Problema 5

Solución

y 6 4 2 –4

–2 0

2

4

x

–2

Grafique f 1x2 5 2x 2 2 4x 1 2. Primero evalúe la función cuando x 5 −5, −4, −3, −2, −1, 0 y 1. Trace los pares ordenados resultantes. Luego una los puntos para formar la gráfica. Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 87 de la página 133.

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SECCIÓN 3.2

127

Introducción a las funciones

La gráfica de una función de valor absoluto se utilizará para ilustrar varios conceptos a lo largo del libro. Podemos graficar f 1x2 5 0 x 0 al evaluar la función para varios valores de x, trazar los pares ordenados resultantes y luego unir los puntos para elaborar la gráfica. x

y 5 f 1x2 5 0 x 0

y

1x, y2

23 22 21 0 1 2 3

f 1232 5 0 23 0 5 3 f 1222 5 0 22 0 5 2 f 1212 5 0 21 0 5 1 f 102 5 0 0 0 5 0 f 112 5 0 1 0 5 1 f 122 5 0 2 0 5 2 f 132 5 0 3 0 5 3

3 2 1 0 1 2 3

123, 32 122, 22 121, 12 10, 02 11, 12 12, 22 13, 32

EJEMPLO 7

Solución

y

f 1232 5 2 0 23 0 1 2 5 21 21

22

0

0 1 2 3

f 1222 5 2 0 22 0 1 2 5 0 f 1212 5 2 0 21 0 1 2 5 1

1

f 102 5 2 0 0 0 1 2 5 2

2

f 112 5 2 0 1 0 1 2 5 1

1

f 122 5 2 0 2 0 1 2 5 0

f 132 5 2 0 3 0 1 2 5 21

Problema 7

Solución

2 –4

–2

0

2

x

4

–2 –4

Evalúe la función para los valores dados de x. Trace los pares ordenados y luego una los puntos para elaborar una gráfica en forma de V.

23 21

f(x) = x

4

Grafique f 1x2 5 2 0 x 0 1 2. Primero evalúe la función cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3. Trace los pares ordenados resultantes y una los puntos para elaborar una gráfica con forma de V.

y 5 f 1x2 5 2 0 x 0 1 2

x

y

0 21

1x, y2

123, 212 122, 02

y

121, 12

4

10, 22 11, 12 12, 02

13, 212

2 –4

–2

0

2

4

x

–2 –4

Grafique f 1x2 5 0 x 2 2 0 . Primero evalúe la función cuando x 5 −1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Trace los pares ordenados resultantes. Luego una los puntos para formar la gráfica. Revise la página S7.

† Intente resolver el ejercicio 97 de la página 133.

OBJETIVO y 4 2 0

(4, 2) 2

–2 –4

4

6

x

Prueba de la recta vertical Una gráfica es una descripción visual de una relación. Para la relación cuya gráfica se muestra a la izquierda, los dos pares ordenados (4, 2) y (4, −2) pertenecen a la gráfica, y aquellos puntos están en una recta vertical. Como hay dos pares ordenados con la misma primera coordenada, el conjunto de pares ordenados de la gráfica no es una función. Con esta observación en mente, podemos utilizar un método rápido para determinar si una gráfica es la gráfica de una función.

(4, –2)

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL PARA LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si cada recta vertical interseca una gráfica como máximo una vez, entonces la gráfica es la de una función.

Esta interpretación gráfica de una función suele describirse al decir que cada valor del dominio de la función se empata con exactamente un valor del rango de la función.

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128

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables y

Tome nota Para la gráfica del extremo derecho, observe que hay valores de x para los cuales hay sólo un valor de y. Por ejemplo, cuando x 5 −5, y 5 4. No obstante, para que la relación sea una función, cada valor de x en el dominio de la función debe corresponder a exactamente un valor de y. Si hay incluso un valor de x que se empareje con dos o más valores de y, la condición para una función no se cumple. Esto es lo que la prueba de la recta vertical establece: si hay algún lugar en la gráfica en el cual una recta vertical interseque a la gráfica más de una vez, la gráfica no es la gráfica de una función.

y

8

(–1, 3) –8

–4

(–3, –6)

8

(5, 7)

(–5, 4)

4 0

–4

4

8

(2, 1)

x

–8

(3, –2)

0

–4

4

–8

Para cada x, hay exactamente un valor de y. Por ejemplo, cuando x 5 −3, y 5 −6. Ésta es la gráfica de una función.

x

8

(6, –5)

–4

–8

EJEMPLO 8

4 (2, 3)

(2, –2)

Algunos valores de x pueden empatarse con más de un valor de y. Por ejemplo, 2 puede empatarse con −2, 1 y 3. Ésta no es la gráfica de una función.

Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si la gráfica es la de una función. A.

B.

y

y

x

x

Solución A. Como se muestra a la derecha, existen rectas verticales que intersecan la gráfica en más de un punto. Por consiguiente, la gráfica no es la de una función.

y

B. Para la gráfica de la derecha, cada recta vertical interseca a la gráfica como máximo una vez. Por consiguiente, la gráfica es la de una función.

y

x

x

Problema 8

Para cada una de las gráficas siguientes, determine si la gráfica es la de una función. A.

y

B.

x

Solución

y

x

Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 105 de la página 134.

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SECCIÓN 3.2

3.2

129

Introducción a las funciones

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Todas las funciones son relaciones? Explique su respuesta.

2.

¿Cuál es el dominio de una función? ¿Cuál es el rango de una función?

3. Complete la expresión siguiente utilizando exactamente uno o más de uno. Para una fun? elemento del rango. ción, cada elemento del dominio se empata con 4. Complete las expresiones siguientes utilizando puede o no puede. Si (5, 2) pertenece a una ? pertenecer a la función. Si (5, 2) pertenece a una relación, función, entonces (5, 9) ? pertenecer a la relación. entonces (5, 9) 5. Una función f se define por 5 122, 32 , 121, 02 , 10, 22 , 13, 42 , 15, 72 6 . ¿Cuál es valor de f (3)? 6. ¿Qué número no está en el dominio de la función definida f 1x2 5 x

x 2 2?

7. ¿La gráfica de una recta vertical representa una función? ¿La gráfica de una recta horizontal representa una función? 8. Si f es una función y f (−2) 5 4, ¿cuál es un par ordenado que pertenece a la función?

Evaluar una función (Revise las páginas 120-126.) Determine si la relación es una función. Determine el dominio y el rango de la relación. 10. 5 125, 42 , 122, 32 , 10, 12 , 13, 22 17, 112 6 † 9. 5 123, 12 , 122, 22 , 11, 52 , 14, 272 6 11. 5 11, 52 , 12, 52 , 13, 52 , 14, 52 , 15, 52 6

12. 5 11, 02 , 110, 12 , 1100, 22 , 11000, 32 , 110,000, 42 6

1 1 1 13. e a22, 2 b, 121, 212 , 11, 12 , a2, b, a3, b f 2 2 3

14. 5 10, 02 , 11, 12 , 14, 22 , 19, 32 , 11, 212 , 14, 222 , 19, 232 6

15. 5 12, 32 , 14, 52 , 16, 72 , 18, 92 , 16, 82 6

16. 5 121, 22 , 122, 42 , 12, 42 , 122, 52 , 14, 92 6

17.

19.

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

Dominio

Rango

Dominio

Rango

0 1 2 3 4

0 2 4 6 8

0 1 2 3 4

–8 –6 –4 –2 0

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

20.

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

Dominio

Rango

Dominio

0

–2 –1 0 1 2

–2 –1 1 2

1 4

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18.

Rango –1 –1 2 1 2

1

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130

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

21.

Dominio

22.

¿El diagrama siguiente representa una función? Explique su respuesta.

Rango

–2 –1 0 1 2

0

Dominio

Rango

0

–2 –1 0 1 2

En las noticias Mensajería Utilice la tabla del recorte de noticias de la derecha.

23.

Tarifas del servicio de mensajería urgente en aumento

a. ¿La tabla define una función? b. Dado p 5 3.15 lb, calcule c. c. Dado p 5 2 lb, calcule c. d. ¿Cuánto cuesta enviar un paquete que pesa 0.55 lb? Mensajería La tabla de la derecha muestra el costo de enviar un paquete durante la noche por United Parcel Service.

24.

a. ¿La tabla define una función? b. Dada x 5 3.54 lb, determine y. c. Dado x 5 2 lb, determine y. d. ¿Cuánto cuesta enviar un paquete que pesa 0.35 lb?

Peso en libras (x)

Costo (y)

0,x#1

$25.20

1,x#2

$27.40

2,x#3

$29.10

3,x#4

$30.45

4,x#5

$31.75

El Servicio Postal de Estados Unidos está listo para incrementar las tarifas de envío de los paquetes de Correo Express. Las nuevas tarifas, aquellas mostradas aquí para los paquetes de la zona 3, entrarán en vigor a principios de enero. Libras (p)

Costo (c)

0 , p , 0.5 $15.90 0.5 # p , 1 $20.70 1#p,2

$21.85

2#p,3

$23.20

3#p,4

$24.70

Fuentes: www.stamps.com, www.usps.com

25.

¿Qué significa evaluar una función? Explique cómo evaluar f 1x2 5 3x cuando x 5 2.

26.

27.

¿Verdadero o falso? Si f es una función, entonces es posible que f 102 5 22 y f 132 5 22.

28.

¿Qué es el valor de una función? ¿Verdadero o falso? Si f es una función, entonces es posible que f 142 5 3 y f 142 5 2.

PREPÁRESE

29. Dada f 1x2 5 5x 2 7, determine f (3) al completar lo siguiente. f1

f 1x2 5 5x 2 7

?

2 5 51

f 132 5

2 27

? ?

• Sustituya x por 3. • Simplifique.

30. Dada f 1x2 5 x2 2 3x 1 1, determine f (−2) al completar lo siguiente. f 1x2 5 x2 2 3x 1 1 f1

?

2 51

f 1222 5

?

22 2 31

2 11

?

Evalúe la función. 31. f 1x2 5 4x 1 5 b. f 1222 a. f 122

04_Cap-03_AUFMANN.indd 130

?

• Sustituya x por 22. • Simplifique.

c. f 102

32. g 1x2 5 22x 2 7 a. g 1232 b. g 112

c. g 102

12/10/12 06:51 p.m.

SECCIÓN 3.2

33. v 1s2 5 6 2 3s a. v 132

b. v 1222

2 c. va2 b 3

b. f 1222

4 c. f a b 3

3 35. f 1x2 5 2 x 2 2 2 a. f 142

1 3 37. p 1c2 5 c 2 2 4 1 7 b. pa2 b a. pa b 2 2 1 2 x 5 4x 2 1 39. f † a. f 1a 1 32

41. f 1x2 5 2x2 2 1

b. f 1222

a. h 1222

b. h 1212

a. g 112

b. g 1232

43. h 1t2 5 3t2 2 4t 2 5

45. g 1x2 5 x2 1 2x 2 1

47. p 1t2 5 4t2 2 8t 1 3 a. p 1222

1 c. pa b 2

c. f 102 c. h 1w2 c. g 1a2 c. p 12a2

a. f 1212

b. f 152

c. f 132

a. C 1232

b. C 142

51. C 1r2 5 3 0 r 0 2 2

53. K 1p2 5 5 2 3 0 p 1 2 0 a. K 1222

b. K 1272

a. f 182

5 c. pa2 b 6

b. f 1242

2 5 2 x 3 6 2 a. Ha2 b 5 40. f 1x2 5 3x 2 2

8 c. f a2 b 3

b. H 122

a. f 12 2 h2

1 b. pa b 2

49. f 1x2 5 0 x 2 3 0

34. p 1z2 5 4 2 6z 2 b. p 142 a. pa b 3 3 36. f 1x2 5 x 1 1 4

38. H 1x2 5

b. f 12a2

a. f 132

131

Introducción a las funciones

c. C 102

c. K 132

† 55. Evalúe s 1t2 5 216t2 1 48t cuando t 5 3.

b. f 124h2

42. f 1x2 5 2x2 1 3 a. f 102

c. H 102

b. f 1232

44. p 1t2 5 3 2 4t 2 2t2

c. f 122

a. p 142

b. p 1242

a. g 1222

b. g 142

c. g 1z2

a. r 1222

2 b. ra2 b 3

c. r 12x2

46. g 1x2 5 2x2 2 4x 1 1 48. r 1s2 5 3 2 6s 2 3s2

50. h 1x2 5 0 2x 1 4 0 a. h 1222

b. h 132

1 a. ya b 2

3 b. ya2 b 2

52. y 1x2 5 3 2 0 2x 0

54. R 1s2 5 2 0 1 2 s 0 2 3 a. R 1272

b. R 142

c. p 102

c. h 1232 1 c. ya b 4 c. R 1212

3 56. Evalúe T 1s2 5 s2 2 4s 1 1 cuando s 5 4.

57. Evalúe P 1x2 5 3x3 2 4x2 1 6x 2 7 cuando x 5 2.

58. Evalúe R 1s2 5 s3 2 2s2 2 5s 1 2 cuando s 5 23.

59. Evalúe R 1p2 5

60. Evalúe f 1x2 5 3x

3p cuando p 5 23. 2p 2 3

x11 21

cuando x 5 3.

Determine el rango de la función definida por cada ecuación, para el dominio dado.

† 61. f 1x2 5 3x 2 5; dominio 5 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6

62. g 1x2 5 1 2 2x; dominio 5 5 24, 22, 0, 2, 4, 6 6

t 63. r 1t2 5 ; dominio 5 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6 2

3 64. v 1s2 5 s 2 1; dominio 5 5 28, 24, 0, 4, 8 6 4

65. f 1x2 5 x2 1 3; dominio 5 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6

66. r 1t2 5 t2 2 t 2 6; dominio 5 5 22, 21, 0, 1, 2, 3 6

67. c 1n2 5 n3 2 n 2 2; dominio 5 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6

68. q 1x2 5 x3 1 2x2 2 x 2 2; dominio 5 5 23, 22, 21, 0, 1, 2 6

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132

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

† 69. Dada f 1x2 5 2x 2 3, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 5. Escriba el par ordenado correspondiente de la función. 70. Dada f 1x2 5 3x 1 1, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 −8. Escriba el par ordenado correspondiente de la función. 71. Dada f 1x2 5 1 2 2x, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 −7. Escriba el par ordenado correspondiente de la función.

72. Dada f 1x2 5 220 2 5x, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 −10. Escriba el par ordenado correspondiente de la función.

2 73. Dada f 1x2 5 3 x 2 2, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 0. Escriba el par ordenado correspondiente de la función.

74. Dada f 1x2 5 3x 1 3, determine un número c en el dominio de f tal que f (c) 5 0. Escriba el par ordenado correspondiente de la función.

Graficar una función (Revise las páginas 126-127.) PREPÁRESE

75. Sea f la función definida por la ecuación f 1x2 5 3x 2 4. Para determinar el par ordenado de f que tiene −5 como coordenada en x, evalúe f (−5): f 1252 5 3 1

2 245

?

245

?

? ?

El par ordenado de f que tiene −5 como coordenada x es

.

76. Sea g la función definida por la ecuación g 1x2 5 22 0 x 0 . Para determinar el punto en la gráfica de g que tiene −6 como una coordenada x, evalúe g(−6): g 1262 5 22 0

?

0 5 22 1

2 5

?

? ?

El punto en la gráfica de g que tiene −6 como coordenada x es

77.

¿El par ordenado (−3, 4) pertenece a la función cuya gráfica se trazó abajo?

78.

¿El par ordenado (−2, 4) pertenece a la función cuya gráfica se trazó abajo?

y

–4

.

79.

¿El par ordenado (4, −1) pertenece a la función cuya gráfica se trazó abajo?

y

y

4

4

4

2

2

2

–2 0

2

4

x

–4

–2 0

2

4

x

–4

–2 0

–2

–2

–2

–4

–4

–4

80. Si f 1x2 5 0 x 0 2 5, ¿el par ordenado (−1, −6) pertenece a la función f ?

81. Si f 1x2 5 3x 2 4, ¿el par ordenado (−1, −7) pertenece a la función f ?

2

4

x

82. Si f 1x2 5 x2 2 4x, ¿el par ordenado (2, 4) pertenece a la función f ?

Grafique cada función. Primero evalúe la función en los valores dados de x. Trace los pares ordenados resultantes. Luego una los puntos para formar la gráfica. 84. f 1x2 5 2x 1 2 85. g 1x2 5 22x 1 2 83. f 1x2 5 x 2 3 x 5 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5

04_Cap-03_AUFMANN.indd 132

x 5 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4

x 5 22, 21, 0, 1, 2, 3

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SECCIÓN 3.2

86. g 1x2 5 2x 2 2 x 5 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4

89. f 1x2 5 x2 2 4 x 5 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3

92. h 1x2 5 x2 1 2x x 5 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2

95. f 1x2 5 0 x 0 2 3 x 5 26, 24, 22, 0, 2, 4, 6

98. h 1x2 5 0 2x 0 2 5 x 5 25, 23, 21, 0, 1, 3, 5

133

Introducción a las funciones

1 † 87. h 1x2 5 x 2 1 2 x 5 26, 24, 22, 0, 2, 4, 6

90. g 1x2 5 2x2 1 5 x 5 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3

93. g 1x2 5 x2 1 2x 2 3 x 5 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2

96. f 1x2 5 2 0 x 0 1 4 x 5 26, 24, 22, 0, 2, 4, 6

99. f 1x2 5 0 x 2 2 0 2 3 x 5 26, 24, 0, 2, 4, 5, 6

2 88. h 1x2 5 x 1 1 3 x 5 26, 23, 0, 3, 6

91. h 1x2 5 x2 2 4x x 5 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5

94. f 1x2 5 2x2 1 4x 1 2 x 5 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5

† 97. h 1x2 5 22 0 x 0 1 5 x 5 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3

100. g 1x2 5 2 0 x 1 2 0 1 4 x 5 26, 24, 22, 0, 2, 4, 6

Prueba de la recta vertical (Revise las páginas 127-128.) PREPÁRESE 101. Complete la expresión siguiente utilizando todas las o por lo menos una. Si ? recta(s) vertical(es) interseca(n) una gráfica como máximo una vez, entonces la gráfica es la gráfica de una función.

102. Complete la expresión siguiente utilizando x o y. Si una recta vertical interseca una gráfica más de una vez, entonces por lo menos dos puntos de la gráfica tienen ? . la misma coordenada

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134

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si la gráfica es la de una función. y

103.

–4

–2

4

2

2

2

0

2

4

x

0

2

4

x

–4

–2

0 –2

–4

–4

–4

y

107. 4

4

2

2

2

0

2

4

x

–4

–2

0

2

4

x

–4

–2

0

–2

–2

–2

–4

–4

–4

y

110. 4

8

2

2

4

2

4

x

–4

–2

0

2

4

x

4

2

4

4

8

x

x

y

111.

4

0

2

y

108.

4

y

–2

–2

–2

109.

–4

–4

–2

y

–2

y 4

106.

–4

† 105.

y

104.

4

–8

–4

0

–2

–2

–4

–4

–4

–8

x

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

112. Dada f 1x2 5 0 x 0 , determine todos los números c en el dominio de f tal que f (c) 5 3. 113. Dada f 1x2 5 0 x 2 2 0 , determine todos los números c en el dominio de f tal que f (c) 5 4. 114. Dada f 1x2 5 0 x 0 1 4, ¿es posible determinar un número c tal que f (c) 5 2? ¿2 está en el rango de f? 115. Dada f 1x2 5 4x 1 7, escriba f 122 1 h2 2 f 1222 en su forma más simple. 116. Dada P 1x2 5 3 2 2x, escriba P (3 1 h) − P(3) en su forma más simple. 117.

Determine el conjunto de pares ordenados (x, y) determinado por la ecuación 0 y 0 5 x, donde x [ 5 0, 1, 2, 3 6 . ¿El conjunto de pares ordenados define una función? ¿Por qué?

04_Cap-03_AUFMANN.indd 134

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SECCIÓN 3.2

135

Introducción a las funciones

118. Deuda de una tarjeta de crédito La gráfica siguiente muestra el monto que una persona pagará por los intereses de una deuda de $1000 en su tarjeta de crédito y el tiempo que tardará en saldar la deuda si sólo paga el monto mínimo mensual (y no tiene cargos adicionales). 24 años, 3655.73

Interés pagado (en dólares)

4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

7 años, 1 mes 231.65

0

7.9

8 años, 6 meses 509.66

13.9

10 años, 5 meses 879.87

13 años, 8 meses 1536.34

18.9

23.9

29.9

Tasa de interés (en porcentaje)

a. ¿Cuánto interés pagará esta persona si la tasa de interés de la tarjeta de crédito es 18.9% ? b. ¿Cuántos años y meses tardará en pagar la deuda si la tasa de interés es 23.9%? 119. Tecnología automotriz La distancia s (en pies) que un automóvil se derrapará en la superficie de cierta carretera después de aplicar los frenos es una función de la velocidad v del automóvil (en millas por hora). La función puede calcularse de manera aproximada por medio de s 5 f 1v2 5 0.017v2. ¿Qué distancia se derrapará el automóvil después de aplicar los frenos si viaja a 60 mph?

v

120. Energía La potencia que un molino de viento puede generar es una función de la velocidad del viento. La función puede calcularse aproximadamente por medio de P 5 f 1v2 5 0.015v3, donde P es la potencia en watts y v es la velocidad del viento en metros por segundo. ¿Cuánta potencia producirá un molino de viento cuando la velocidad del viento sea 15 m/s? Temperatura (en °F)

Cada una de las gráficas siguientes define una función. Evalúe la función al estimar la ordenada (que es el valor de la función) para el valor de t dado. 121. Física La gráfica de la derecha muestra la temperatura T (en grados Fahrenheit) de una lata de refresco de cola t horas después de que se coloca en un refrigerador. Utilice la gráfica para estimar la temperatura del refresco de cola cuando:

s

T 80 60 40 20 0

5 10 15 20 25

a. t 5 10 h b. t 5 15 h

a. t 5 5 min b. t 5 20 min

Horas r Latidos por minuto

122. Ciencias de la salud La gráfica de la derecha muestra la disminución en la frecuencia cardiaca r (en latidos por minuto) de un corredor t minutos después de terminar una carrera. Utilice la gráfica para estimar la frecuencia cardiaca de un corredor cuando:

t

125 100 75 50 25 0

t

5 10 15 20 25

Minutos

123. Psicología La gráfica de la derecha muestra que un psicólogo industrial ha determinado la calificación porcentual media P para un empleado que realiza una prueba de desempeño t semanas después de que la capacitación comience. Estime la calificación que un empleado recibiría en esta prueba cuando: a. t 5 4 semanas b. t 5 10 semanas

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Porcentaje

100

P

80 60 40 20 0

5

10

t

Semanas

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136

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO En un plano de coordenadas, trace una curva que tenga la propiedad indicada. 124. La curva es la gráfica de una función. 125. La curva no es la gráfica de una función. 126. La curva es la gráfica de una función y el punto P(3, 0) está en la gráfica. 127. La curva es la gráfica de una función y los puntos P(1, 4) y Q(5, 4) están en la gráfica. 128. ¿Es posible graficar una función que pase por los: P(3, 2) y Q(3, 7)? De ser así, dibuje un ejemplo de una función de este tipo. De lo contrario, explique por qué no es posible.

3.3 OBJETIVO

Expresiones algebraicas Graficar una función lineal Recuerde que los pares ordenados de una función pueden escribirse como (x, f (x)) o (x, y). La gráfica de una función es una gráfica de los pares ordenados (x, y) que pertenecen a la función. Ciertas funciones tienen gráficas características. Una función que puede escribirse en la forma f (x) 5 mx + b (o y 5 mx + b) se llama función lineal debido a que su gráfica es una recta. A la derecha se muestran ejemplos de funciones lineales. Observe que el exponente en cada variable es 1.

f 1x2 5 2x 1 5 P 1t2 5 3t 2 2 y 5 22x 2 y52 x11 3 g 1z 2 5 z 2 2

1m 5 2, b 5 52 1m 5 3, b 5 222 1m 5 22, b 5 02 2 am 5 2 , b 5 1b 3 1m 5 1, b 5 222

La ecuación y 5 x2 1 4x 1 3 no es una función lineal debido a que incluye un término con 3 una variable cuadrada. La ecuación f 1x2 5 x 2 2 no es una función lineal debido a que hay una variable en el denominador. Otro ejemplo de una ecuación que no es una función lineal es y 5 !x 1 4; esta ecuación contiene una variable dentro de un radical y, por tanto, no es una función lineal. Considere f 1x2 5 2x 1 1. La evaluación de la función lineal cuando x 5 −3, −2, −1, 0, 1 y 2 produce algunos de los pares ordenados de la función. Es conveniente anotar los resultados en una tabla parecida a la de la derecha. La gráfica de los pares ordenados se muestra a la derecha en la figura 1 de la página siguiente.

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f 1x2 5 2x 1 1

x 23 22 21 0 1 2

f 1232 f 1222 f 1212 f 102 f 112 f 122

5 2 1232 1 1 5 25 5 2 1222 1 1 5 23 5 2 1212 1 1 5 21 5 2 102 1 1 5 1 5 2 112 1 1 5 3 5 2 122 1 1 5 5

y

1x, y2

25 23 21 1 3 5

123, 252 122, 232 121, 212 10, 12 11, 32 12, 52

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SECCIÓN 3.3

137

Expresiones algebraicas

La evaluación de la función cuando x no es un entero produce más pares ordenados para graficar, 5 3 como 122, 242 y 1 2, 42 , como muestra la figura 2. La evaluación de la función para otros valores de x daría como resultado más y más pares ordenados para graficar. El resultado serían tantos puntos que la gráfica se vería como la recta de la figura 3, que es la gráfica de f 1x2 5 2x 1 1. y

–4

–2

y

y

4

4

4

2

2

2

0

2

4

x

–4

–2

0

2

4

x

–4

–2

0

–2

–2

–2

–4

–4

–4

FIGURA 1

FIGURA 2

2

4

x

FIGURA 3

No importa qué valor de x se elija, 2x + 1 es un número real. Esto significa que el dominio de f 1x2 5 2x 1 1 es todos los números reales. Por consiguiente, podemos utilizar cualquier número real cuando se evalúa la función. No obstante, los valores como p y !5 normalmente no se utilizan, porque es difícil graficar los pares ordenados resultantes. Ya sea que una ecuación se escriba como f 1x2 5 mx 1 b o como y 5 mx 1 b, la ecuación representa una función lineal, y la gráfica de la ecuación es una recta. Como la gráfica de una función lineal es una recta, y una recta está determinada por dos puntos, la gráfica de una función lineal puede trazarse al determinar sólo dos de los pares ordenados de la función. Sin embargo, es recomendable determinar por lo menos tres pares ordenados para asegurar la precisión.

Tome nota Cuando el coeficiente de x es una fracción, eligen valores de x que son múltiplos del denominador de la fracción. Esto dará como resultado coordenadas que son enteros.

EJEMPLO 1

3 Grafique: f 1x2 5 2 x 2 3 2 x

3 y 5 f 1x2 5 2 x 2 3 2

0 22 24

23 0 3

Solución

• Determine por lo menos tres pares ordenados. Debido a que el coeficiente de x es una fracción con denominador 2, al elegir valores de x que sean divisibles por 2 las evaluaciones se simplifican. Los pares ordenados pueden mostrarse en una tabla.

• Grafique los pares ordenados y trace una recta que pase por los puntos.

y 4 2 –4

–2

0

2

4

x

–4

Problema 1 Solución

3 Grafique: y 5 x 2 4 5 Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 144.

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138

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Las calculadoras graficadoras crean gráficas al trazar los puntos y luego unirlos para formar una curva. Utilizando una calculadora graficadora, introduzca la ecuación y 5 232x 2 3 y verifique la gráfica que aparece en el ejemplo 7. (Consulte en el apéndice sugerencias sobre qué dominio y rango utilizar.) Grafique y verifique que (0, −3), (−2, 0) y (−4, 3) son las coordenadas de los puntos de la gráfica. Ahora introduzca la ecuación y 5 53 x 2 4 dada en el problema 1. Verifique que los pares ordenados que encontró para esta función son coordenadas de los puntos de la gráfica.

OBJETIVO

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C Una ecuación literal es una ecuación con más de una variable. Ejemplos de ecuaciones literales son P 5 2L 1 2W , V 5 LWH, d 5 rt, y 3x 1 2y 5 6. Las ecuaciones lineales de la forma y 5 mx 1 b son ecuaciones literales. En algunos casos, una ecuación lineal tiene la forma Ax + By 5 C. En un caso como éste, tal vez sea conveniente despejar y en la ecuación en la forma y 5 mx 1 b. Para resolver para y, se utilizan las mismas reglas y procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones con valores numéricos.

Concéntrese en resolver una ecuación para y Escriba 4x 2 3y 5 6 en la forma y 5 mx 1 b. Reste 4x de cada lado de la ecuación. Simplifique.

4x 2 3y 5 6 4x 2 4x 2 3y 5 6 2 4x

Simplifique.

23y 5 6 2 4x

Divida cada lado de la ecuación entre −3.

23y 6 2 4x 5 23 23 6 2 4x 23 6 4x y5 2 23 23

y5

Simplifique. Divida cada término en el numerador entre el denominador. Simplifique.

4 y 5 22 1 x 3

Escriba la ecuación en la forma y 5 mx 1 b.

4 y5 x22 3

Mostraremos dos métodos para graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C. En el primer método se resuelve para y en la ecuación y luego se sigue el mismo procedimiento utilizado para graficar de una ecuación de la forma y 5 mx 1 b.

EJEMPLO 2 Solución

Grafique: 3x 1 2y 5 6 3x 1 2y 5 6 2y 5 23x 1 6

• Resuelva la ecuación para y.

3 y52 x13 2

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SECCIÓN 3.3

x

3 y52 x13 2

0 2 4

3 0 23

139

Expresiones algebraicas

• Determine como mínimo tres soluciones. Elija múltiplos de 2 para x.

y

• Trace los pares ordenados y dibuje una recta que una los puntos.

4 2 –4

–2

0

2

4

x

–2 –4

Problema 2 Solución

Grafique: 23x 1 2y 5 4 Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 145.

Utilice una calculadora graficadora para graficar la ecuación 3x 1 2y 5 6. Primero 3 resuelva para y en la ecuación y luego introduzca la ecuación y 5 22x 1 3. Después grafique y verifique que (0, 3), (2, 0) y (4, −3) son coordenadas de los puntos de la gráfica. Siga el mismo procedimiento para el problema 2.

Una ecuación en la que falta una de las variables tiene una gráfica que es una recta, ya sea horizontal o vertical. La ecuación y 5 −2 puede escribirse 0 # x 1 y 5 22 Como 0 # x 5 0 para cualquier valor de x, y es −2 para cada valor de x. Algunos de los pares ordenados que son soluciones posibles de y 5 −2 se proporcionan en la tabla siguiente. La gráfica se muestra a la derecha. x

y 5 22

22 0 3

22 22 22

y 4 2 –4

–2

0

(–2, –2)

2

(0, –2)

4

x

(3, –2)

–4

La ecuación y 5 −2 representa una función. Algunos de los pares ordenados de esta función son (−2, −2), (0, −2) y (3, −2). En la notación de funciones, escribiríamos f (x) 5 −2. Esta función es un ejemplo de una función constante. Sin importar cuál valor de x se seleccione, f 1x2 5 22. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

Una función dada por f (x) 5 b, donde b es una constante, es una función constante. La gráfica de una función constante es una recta horizontal que pasa por (0, b).

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140

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Concéntrese en graficar una función constante Grafique: y 1 4 5 0 y1450

Resuelva para y.

y 5 24 y

La gráfica de y 5 −4 es una recta horizontal que pasa por (0, −4).

4 2 –4

–2

0

2

x

4

–2

Para cada valor del dominio de una función constante, el valor de la función es el mismo (es decir, es constante). Por ejemplo, si f (x) 5 4, entonces f 122 5 4, f 132 5 4, f 1 !32 5 4, f(p) 5 4, etc. El valor de f (x) es 4 para todos los valores de x.

Concéntrese en la evaluación de una función constante Evalúe P 1t2 5 27 cuando t 5 6.

P 1t2 5 27 P 162 5 27

El valor de la función constante es el mismo para todos los valores de la variable.

Para la ecuación y 5 −2, el coeficiente de x es cero. Para la ecuación x 5 2, el coeficiente de y es cero. Por ejemplo, la ecuación x 5 2 puede escribirse x10#y52 No importa qué valor de y se elija, 0 # y 5 0, y por consiguiente x siempre es 2. y

Algunos de los pares ordenados que son soluciones posibles se proporcionan en la tabla siguiente. La gráfica se muestra a la derecha.

8

( 2, 6)

x

y

2 2 2

6 1 24

4

( 2, 1) –8

–4

0 –4

4

8

x

(2, –4)

–8

GRÁFICA DE x 5 a

Tome nota La ecuación y 5 b representa una función. La ecuación x 5 a no representa una función. Recuerde que no todas las ecuaciones representan funciones.

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La gráfica de x 5 a es una recta vertical que pasa por el punto (a, 0).

Recuerde que una función es un conjunto de pares ordenados en los cuales ningún par ordenado tiene la misma primera coordenada. Como (2, 6), (2, 1) y (2, −4) son pares ordenados solución de la ecuación x = 2, esta ecuación no representa una función y su gráfica no es la gráfica de una función.

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SECCIÓN 3.3

EJEMPLO 3

141

Expresiones algebraicas

Grafique: x 5 −4

Solución

• La gráfica de una ecuación de la forma x = a es una recta vertical que pasa por el punto cuyas coordenadas son 1a, 02. La gráfica de x 5 24 pasa por 124, 02.

y 2 –2

0

2

4

x

–2

Problema 3

Grafique: y 2 3 5 0

Solución

Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 145. Un segundo método de graficación de rectas utiliza las intersecciones de la gráfica. La gráfica de la ecuación x − 2y 5 4 se muestra a la derecha. La gráfica cruza el eje x en el punto con las coordenadas (4, 0). Este punto se llama intersección con el eje x. La gráfica cruza el eje y en el punto con las coordenadas (0, −2). Este punto se llama intersección con el eje y.

y Intersección

2 con el eje x

(4, 0) –4

–2

0 –2

2

4

x

(0, –2) Intersección con el eje y

Concéntrese en determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y Determine las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de la ecuación 3x 1 4y 5 212.

Tome nota La intersección con el eje x ocurre cuando y 5 0. La intersección con el eje y ocurre cuando x 5 0.

Para determinar la intersección con el eje x, sea y 5 0. (Cualquier punto en el eje x tiene coordenada en y 0.) Las coordenadas de la intersección con el eje x son (−4, 0). Para determinar la intersección con el eje y, sea x 5 0. (Cualquier punto en el eje y tiene coordenada en x 0.) Las coordenadas de la intersección con el eje y son (0, −3).

3x 1 4y 5 212 3x 1 4 102 5 212 3x 5 212 x 5 24 3x 1 4y 5 212 3 102 1 4y 5 212 4y 5 212 y 5 23

Una ecuación lineal puede graficarse al determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y y luego trazar una recta que pase por los puntos.

EJEMPLO 4 Solución

Grafique 4x 2 y 5 4 utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Intersección con el eje x: 4x 2 y 5 4 4x 2 0 5 4 4x 5 4 x51

• Para determinar la intersección con el eje x sea y 5 0.

Las coordenadas de la intersección con el eje x son (1, 0). Intersección con el eje y: 4x 2 y 5 4 4 102 2 y 5 4 • Para determinar la intersección con el 2y 5 4 eje y, sea x 5 0. y 5 24 Las coordenadas de la intersección con el eje y son (0, −4).

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142

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

• Grafique las intersecciones con el eje x y con el eje y. Dibuje una recta que pase por los dos puntos.

y 4 2

(1, 0) –4

–2

0

2

4

x

–2 –4

Problema 4 Solución

(0, –4)

Grafique 3x 2 y 5 2 utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 145. La gráfica de f 1x2 5 2x 1 4 se muestra a la derecha.

y

Al evaluar la función cuando x 5 −2, tenemos

8

f 1x2 5 2x 1 4

(–2, 0)

f 1222 5 2 1222 1 4 5 24 1 4

–8

f 1222 5 0

–4

4 0

4

8

x

–4

−2 es el valor de x para el cual f (x) 5 0. Un valor de x para el cual f (x) 5 0 se llama cero de la función.

–8

Observe que la intersección con el eje x de la gráfica tiene coordenadas (−2, 0). La coordenada x de la intersección con el eje x es −2, el cero de la función.

EL CERO DE UNA FUNCIÓN

Un valor de x para el cual f (x) 5 0 se conoce como cero de f. EJEMPLOS

1. Sea f 1x2 5 3x 2 6 y x 5 2.

f 122 5 3 122 2 6 5 0

Dado que f (2) 5 0, 2 es un cero de f. 2. Sea g 1x2 5 4x 1 8 y x 5 22.

g 1222 5 4 1222 1 8 5 28 1 8 5 0

Como g(−2) 5 0, −2 es un cero de g. 3. Sea h 1x2 5 2x 1 1 y x 5 0.

h 102 5 2 102 1 1 5011 5120

Debido a que h 102 2 0, 0 no es un cero de h.

Para determinar un cero de una función f, sea f (x) 5 0 y resuelva para x.

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SECCIÓN 3.3

EJEMPLO 5 Solución

f 1x2 5 22x 2 3

–4

• Para determinar un cero de una función, sea f 1x2 5 0.

0 5 22x 2 3 2x 5 23

8

–8

4

x52

0

4

–4

8

x

f(x) = –2x – 3

–8

Problema 5 Solución

143

Determine el cero de f 1x2 5 22x 2 3.

y

3 (– – , 0) 2

Expresiones algebraicas

• Resuelva para x.

3 2

3 El cero es 2 . La gráfica de f se muestra a la izquierda. Observe que la 2 coordenada en x de la intersección con el eje x es el cero de f. 2 Determine el cero de f 1x2 5 x 1 4. 3 Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 59 de la página 146.

OBJETIVO

Problemas de aplicación EJEMPLO 6

Sobre la base de los datos de The Joy of Cooking, la cantidad diaria de calorías requerida para una mujer puede calcularse de manera aproximada por medio de la ecuación C 5 −7.5A + 2187.5, donde C es el consumo de calorías y A es la edad de la mujer. Grafique esta ecuación para 25 # A # 75. El punto cuyas coordenadas son (45, 1850) está en la gráfica. Escriba una expresión que describa el significado de este par ordenado.

Solución

C 2000

Calorías

1800

(45, 1850)

1600 1400 1200 0

25

35

45

55

65

75

A

Edad (en años)

El par ordenado (45, 1850) significa que la cantidad de calorías recomendada para una mujer de 45 años de edad es de 1850 calorías por día. La estatua h (en pulgadas) de una persona y la longitud L (en pulgadas) de la zancada de esa persona mientras camina están relacionadas. La 3 ecuación h 5 4L 1 50 calcula de manera aproximada la relación. Grafique esta ecuación para 15 # L # 40. El punto cuyas coordenadas son (32, 74) está en la gráfica. Escriba una expresión que describa el significado de este par ordenado. Altura (en pulgadas)

Problema 6

h 100 80 60 40 20 0

10 20 30 40 50

L

Zancada (en pulgadas)

Solución

Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 146.

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144

CAPÍTULO 3

3.3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine si la gráfica de la ecuación dada es una recta. 1. y 5 1 2 x 2. f 1x2 5 x 4. y 5 1 2 x2

5. f 1x2 5

3. g 1x2 5 0.2x 1 3

2 13 x

7.

Explique cómo graficar una función lineal al trazar los puntos.

8.

Explique lo que representa la gráfica de una ecuación.

6. y 5 2x 1

2 3

Graficar una función lineal (Revise las páginas 136-138.) PREPÁRESE 9. Determine tres pares ordenados en la gráfica de y 5 2x 2 5 al determinar los valores de y que corresponden a los valores de x de −1, 0 y 1. ? . Un par ordenado de la gráfica es a. Cuando x 5 21, y 5 ? ). ( ? , ? . Un par ordenado de la gráfica es b. Cuando x 5 0, y 5 ? ). ( ? , ? . Un par ordenado de la gráfica es c. Cuando x 5 1, y 5 ? ). ( ? , 1 10. Para determinar los pares ordenados en la gráfica de y 5 2 x 1 1, es útil elegir 4 ? . los valores de x que son divisibles entre

Grafique. 11. y 5 3x 2 4

3 14. y 5 x 2

12. y 5 22x 1 3

2 † 15. y 5 x 2 4 3

2 13. y 5 2 x 3

3 16. y 5 x 1 2 4

1 17. y 5 2 x 1 2 3

3 18. y 5 2 x 2 3 2

3 19. y 5 x 2 1 5

1 20. y 5 3 2 x 2

21. f 1x2 5 4 2

22. g 1x2 5 2 1

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2x 3

x 4

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SECCIÓN 3.3

Expresiones algebraicas

145

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C (Revise las páginas 138-143.) Grafique. † 23. 2x 1 y 5 23

26. 2x 1 5y 5 10

24. 2x 2 y 5 3

† 27. y 5 1

25. x 2 4y 5 8

28. y 5 22

29. x 5 4

30. x 5 23

31. 2x 2 3y 5 12

32. x 2 3y 5 0

33. 3x 2 2y 5 8

34. 3x 2 y 5 22

PREPÁRESE 35. La intersección con el eje x de una gráfica de una ecuación lineal es el punto donde ? . Su coordenada en ? es 0. la gráfica cruza el 36. La intersección con el eje y de una gráfica de una ecuación lineal es el punto donde ? . Su coordenada en ? es 0. la gráfica cruza el

Determine las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de cada ecuación. Luego grafique la ecuación. 39. 2x 2 3y 5 9 38. 3x 1 y 5 3 † 37. x 2 2y 5 24

40. 4x 2 2y 5 5

41. 2x 2 y 5 4

42. 2x 1 y 5 3

43. 3x 1 2y 5 5

44. 4x 2 3y 5 8

45. 3x 1 2y 5 4

46. 2x 2 3y 5 4

47. 3x 2 5y 5 9

48. 4x 2 3y 5 6

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146

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

49.

La intersección con el eje y de la gráfica de Ax 1 By 5 C está debajo del eje x. ¿Los signos de B y C son iguales u opuestos?

50.

La intersección con el eje x de la gráfica de Ax 1 By 5 C está a la derecha del eje y. ¿Los signos de A y C son iguales u opuestos?

51. 52.

4 La intersección con el eje x de la gráfica de f 1x2 5 23 x 2 4 tiene las coordenadas (−3, 0). ¿Cuál es el cero de f?

2 La intersección con el eje x de la gráfica de g 1x2 5 25 x 1 4 tiene las coordenadas (10, 0). ¿Cuál es el cero de g?

A partir de la gráfica, estime el cero de la función. y

53.

–4

y

55.

8

8

8

8

4

4

4

4

0

4

8

x

–8

–4

0

4

8

x

–8

–4

0

4

8

x

–8

0

–4

–4

–4

–4

–4

–8

–8

–8

–8

Determine el cero de cada función lineal. 58. g 1x2 5 3x 1 6 57. f 1x2 5 2x 2 6 3 61. y 1x2 5 x 2 6 4

2 62. s 1t2 5 2 t 1 4 5

65. g 1x2 5 3x 1 8

2 66. h 1z2 5 z 2 3 3

† 59. g 1x2 5 22x 1 5 63. f 1t2 5

t 23 2

3 67. f 1x2 5 2 x 1 2 4

4

8

x

60. f 1x2 5 23x 2 9 64. f 1x2 5

3x 13 2

5 68. g 1x2 5 x 1 4 2

Problemas de aplicación (Revise la página 143.) † 69.

y

56.

Distancia recorrida (en pies)

–8

y

54.

Parque de diversiones La montaña rusa Kingda Ka de Six Flags Great Adventure en Jackson, Nueva Jersey, tiene una velocidad máxima de 188 pies/s. La ecuación que describe el número total de pies recorridos por un carrito de la montaña rusa en t segundos a esta velocidad está dada por D 5 188t. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # t # 6. El punto cuyas coordenadas son (5, 940) se encuentra en esta gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

D 1000

500

5

0

t

10

Tiempo (en segundos) E

Deportes Un instructor de tenis gana $40 la hora por una lección privada para los miembros de un grupo de un condominio. La ecuación que describe las ganancias totales G (en dólares) obtenidas por el instructor es G 5 40t, donde t es el número total de horas que trabajó. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # t # 30. El punto cuyas coordenadas son (25, 1000) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Ganancias (en dólares)

70.

1000

500

10

0

20

30

t

Tiempo (en horas)

Bienes raíces Un agente inmobiliario recibe $400 por mes más 6% de comisión por ventas. La ecuación que describe el ingreso total mensual I (en dólares) del agente inmobiliario es I 5 0.06s 1 400, donde s es el monto de las ventas. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # s # 150,000. El punto cuyas coordenadas son (60,000, 4000) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

I Ingresos (en dólares)

71.

8000 6000 4000 2000

0

20

40

60

80

100 120 140

s

Ventas (en miles de dólares)

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SECCIÓN 3.3

Recursos humanos Una empresa que fabrica productos electrónicos paga a los trabajadores de la línea de producción $9 por hora más $0.05 por cada transistor producido. La ecuación que describe el salario W (en dólares) es W 5 0.05n + 9, donde n es el número de transistores fabricados durante una hora cualquiera. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # n # 20. El punto cuyas coordenadas son (16, 9.80) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Salarios (en dólares)

72.

147

Expresiones algebraicas W 10

9 5

0

10

15

n

20

Número de transistores

Ciencias de los alimentos Un cocinero cobra una tarifa fija de $500 más $0.95 por cada aperitivo caliente. La ecuación que describe el costo C (en dólares) de ofrecer el servicio de alimentos para la cena de una fiesta C 5 0.95n + 500, donde n es el número de aperitivos calientes. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # n # 300. El punto cuyas coordenadas son (120, 614) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Costo (en dólares)

C

73.

750 650 550

0

100

200

300

n

Número de aperitivos

76.

C 4000 3000 2000 1000

Mantenimiento del hogar Un técnico en electrónica cobra $45 más $1 por minuto por reparar el cableado defectuoso en una casa o apartamento. La ecuación que describe el costo total C (en dólares) por la reparación del cableado defectuoso es C 5 t + 45, donde t es el número de minutos que el técnico trabaja. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # t # 60. El punto cuyas coordenadas son (15, 60) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

50

0

n

100

Número de árboles C Costo (en dólares)

75.

Ciencia ambiental Un servicio de tala de árboles cobra $60 más $35 por cada árbol talado. La ecuación que describe el costo C (en dólares) de la tala de árboles es C 5 35n + 60, donde n es el número de árboles talados. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # n # 100. El punto cuyas coordenadas son (50, 1810) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Costo (en dólares)

74.

Oceanografía Lea el recorte de prensa siguiente acerca del pequeño submarino Alvin utilizado por los científicos para explorar el océano.

100 80 60 40 20 0

10 20 30 40 50

t

Tiempo (en minutos)

En las noticias Los científicos de Alvin profundizan En Alvin, el vehículo original tripulado por humanos (HOV, por sus siglas en inglés), construido en 1964 para la exploración en aguas profundas, los científicos pueden descender a una velocidad de 30 m/min hasta una profundidad máxima de 4500 m. Como parte de un plan para crear un HOV que pueda sumergirse en aguas más profundas y permanecer bajo el agua más tiempo, ahora Alvin, después de más de 40 años, tiene una esfera más grande y resistente para albergar a sus científicos. Fuente: Woods Hole Oceanographic Institute Profundidad (en metros)

La ecuación que describe la profundidad D, en metros, a la que se sumerge Alvin, es D 5 230t, donde t es el número de minutos que Alvin ha descendido. Utilice los ejes coordenados de la derecha para graficar esta ecuación para 0 # t # 150. El punto cuyas coordenadas son (65, −1950) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Tiempo (en minutos) 0

20

60

100

140

t

–1000 –2000 –3000 –4000

D

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 77. Negocios El precio de venta de un artículo es una función s del precio original p, donde s(p) 5 0.80p. Si el precio original de un artículo es $200, ¿cuál es el precio de venta del artículo? 78. Negocios El margen de utilidad de un artículo es una función m de su costo c, donde m(c) 5 0.25c. Si el costo de un artículo es $150, ¿cuál es el margen de utilidad del artículo?

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CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Utilice una calculadora graficadora para graficar cada una de las ecuaciones siguientes. 79. f 1x2 5 1.2x 1 2.3

82. y 5 2

3x 5 2 4 2

80. f 1x2 5 2.4x 1 0.5

81. f 1x2 5

83. 3x 2 y 5 4

84. 2x 1 y 5 3

85.

Explique la relación entre el cero de una función lineal y la intersección con el eje x de la gráfica de esa función.

86.

Existe una relación entre el número de veces que un grillo estridula y la temperatura del aire. La función f 1C2 5 7C 2 30, donde C es la temperatura en grados Celsius, puede utilizarse para aproximar el número de veces por minuto que un grillo estridula. Determine el dominio y el rango de esta función, y explique el significado de su intersección con el eje x.

87.

Explique por qué usted no puede graficar la ecuación 4x 1 3y 5 0 al utilizar sólo sus intersecciones.

5 2x 2 3 3

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO x y 1 5 1, donde (a, 0) a b son las coordenadas de la intersección con el eje x y (0, b) son las coordenadas de la intersección con el eje y. La forma intersección de la ecuación de una recta está dada por

88. Determine las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de x y 1 5 1. 4 5 89. Determine las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de x y 2 5 1. 2 3 90. Escriba la ecuación 3x 1 2y 5 6 en la forma de intersección. 91. Escriba la ecuación

x y 1 5 1 en la forma pendiente ordenada al origen. 2 6

3.4 OBJETIVO y y = 3x + 2

–4

–2

0

y = 2x+2 3 (0, 2) 2

–2

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4

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos Las gráficas de y 5 3x 1 2 y y 5 23x 1 2 se muestran a la izquierda. Cada gráfica cruza el eje y en el punto cuyas coordenadas son (0, 2), pero las gráficas tienen diferentes inclinaciones. La pendiente de una recta es una medida de su inclinación. El símbolo para la pendiente es m.

4 2

Pendiente de una recta

x

La pendiente de una recta que contiene dos puntos es la razón del cambio en los valores de y entre el cambio de los valores de x. La recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (−1, −3) y (5, 2) se muestra en la página siguiente.

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SECCIÓN 3.4

149

Pendiente de una recta

y Cambio en x 5 – (–1) = 6

El cambio en los valores de y es la diferencia entre la coordenadas en y de los dos puntos. Cambio en y 5 2 2 1232 5 5

Cambio en y 2 – (–3) = 5

2

–2

0

El cambio en los valores de x es la diferencia entre las coordenadas en x de los dos puntos. Cambio en x 5 5 2 1212 5 6

(5, 2) 2

x

4

–2

(–1, –3) –4

La pendiente de la recta entre los dos puntos es la razón del cambio en y al cambio en x. Pendiente 5 m 5

5 cambio en y 5 cambio en x 6

m5

2 2 1232 5 5 5 2 1212 6

En general, si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos en una recta, entonces Cambio en y 5 y2 2 y1

Cambio en x 5 x2 2 x1

Utilizando estas ideas, podemos determinar una fórmula para la pendiente.

FÓRMULA DE LA PENDIENTE

La pendiente de la recta que contiene los dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está dada por m5

y2 2 y1 , x2 2 x1

x1 2 x2

La letra griega D (delta) se utiliza para designar el cambio en una variable. Utilizando esta notación podemos escribir como sigue las ecuaciones para el cambio en x y el cambio en y: Cambio en y 5 y2 2 y1 5 Dy

Cambio en x 5 x2 2 x1 5 Dx

Dy Con esta notación, la fórmula de la pendiente se escribe m 5 Dx.

Concéntrese en determinar la pendiente de una recta entre dos puntos y

A. Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (−2, 0) y (4, 5).

Tome nota No importa cuál punto se llame P1 y cuál se llame P2, la pendiente será la misma.

(4, 5) 4

Sea P1 5 (−2, 0) y P2 5 (4, 5). 520 5 y2 2 y1 5 5 m5 x2 2 x1 4 2 1222 6

2

(–2, 0) –4

–2

224 22 2 y2 2 y1 5 5 52 m5 x2 2 x1 4 2 1232 7 7 La pendiente de la recta es 227. Una recta que se inclina hacia abajo a la derecha siempre tiene una pendiente negativa.

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4

x

Pendiente positiva y

B. Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (−3, 4) y (4, 2). Sean P1 5 (−3, 4) y P2 5 (4, 2).

2

–2

La pendiente es 56. Una recta que se inclina hacia arriba a la derecha tiene siempre una pendiente positiva.

0

(–3, 4)

4 2

–4

–2

0

(4, 2) 2

4

x

–2

Pendiente negativa

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150

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

C. Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (−2, 2) y (4, 2).

y 4

Sea P1 5 (−2, 2) y P2 5 (4, 2).

(–2, 2)

y 2 y1 222 0 m5 2 5 5 50 x2 2 x1 4 2 1222 6

–4

–2

(4, 2)

0

Una recta horizontal tiene pendiente cero.

y

Sean P1 5 (1, −2) y P2 5 (1, 3).

4

5 3 2 1222 y2 2 y1 5 5 x2 2 x1 121 0

–4

La pendiente de una recta vertical no está definida.

Solución

(1, 3)

2 –2

0 –2

no es un número real. La pendiente no está definida.

EJEMPLO 1

x

Pendiente cero

D. Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (1, −2) y (1, 3).

5 0

4

–2

La pendiente de la recta es 0.

m5

2

2

4

x

(1, –2)

Pendiente no definida

Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (2, −5) y (−4, 2). m5 5

y2 2 y1 x2 2 x1

2 2 1252 7 7 5 52 24 2 2 26 6

• Sean P1 5 12, 252 y P2 5 124, 22

La pendiente es 276. Problema 1 Solución

Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos cuyas coordenadas son (4, −3) y (2, 7). Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 157. Existen muchas aplicaciones de la pendiente. Enseguida se presentan dos ejemplos.

La gráfica de la derecha muestra la distancia que Webster corrió durante esa carrera. Observe en la gráfica que después de 60 segundos (1 min) él había recorrido 1140 pies, y que después de 180 segundos (3 min) había recorrido 3420 pies.

y Distancia (en pies)

El primer récord para la carrera de una milla fue registrado en 1865 en Inglaterra. Richard Webster corrió la milla en 4 minutos y 36.5 segundos. Su velocidad media fue de aproximadamente 19 pies por segundo.

4000

(180, 3420)

3000 2000 1000 0

(60, 1140) x

60 120 180 240 Tiempo (en segundos)

Sea (x1, y1) el par ordenado (60, 1140) y (x2, y2) el par ordenado (180, 3420). La pendiente de la recta entre estos dos puntos es m5

y2 2 y1 3420 2 1140 2280 5 5 5 19 x2 2 x1 180 2 60 120

Observe que la pendiente de la recta es la misma que la velocidad media de Webster, 19 pies por segundo.

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151

Pendiente de una recta

El valor de un automóvil disminuye a medida que aumenta el número de millas que ha recorrido. La gráfica de la derecha se trazó tomando los datos del sitio web Kelley Blue Book que muestra la disminución del valor de cierto automóvil Corvette Z06. El par ordenado (35, 50) significa que el valor de un automóvil que ha sido conducido 35,000 millas es $50,000, y el par ordenado (60, 42) significa que el valor de un automóvil que se ha tripulado 60,000 millas es $42,000.

Valor del automóvil (en miles de dólares)

SECCIÓN 3.4

y 60

(35, 50) (60, 42)

40 20 0

x

20 40 60 80

Millas manejadas (en miles)

La pendiente de la recta entre los puntos m5 5

y2 2 y1 x2 2 x1 42 2 50 8 52 60 2 35 25

5 20.32

EJEMPLO 2

Solución

La gráfica muestra la relación entre el costo de un artículo y el impuesto de ventas. Determine la pendiente de la recta entre los dos puntos mostrados en la gráfica. Escriba una frase que establezca el significado de la pendiente. m5

Impuesto sobre ventas (en dólares)

Debido a que las unidades en el numerador de la pendiente son dólares y las unidades en el denominador son millas, las unidades de la pendiente están en dólares por milla. El signo negativo indica que la pendiente está disminuyendo. La pendiente de la recta significa que el valor del automóvil está disminuyendo a una velocidad de $0.32 por milla, o 32 centavos por milla.

5.25 2 3.50 1.75 5 5 0.07 75 2 50 25

y 8

(75, 5.25)

6 4

(50, 3.50)

2 0

20 40 60 80 100

x

Costo de adquisición (en dólares)

Una pendiente de 0.07 significa que el impuesto sobre ventas es $0.07 por dólar.

Solución

La gráfica muestra la disminución en el valor de una imprenta para un periodo de seis años. Determine la pendiente de la recta entre los dos puntos mostrados en la gráfica. Escriba una expresión que establezca el significado de la pendiente.

y Ventas (en miles de dólares)

Problema 2

70 60 50 40 30 20 10 0

Revise la página S8.

(2, 55)

(5, 25) 1 2 3 4 5 6

x

Edad (en años)

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 157.

OBJETIVO

Graficar una recta dados un punto y la pendiente 3 La gráfica de la ecuación y 5 24x 1 4 se muestra a la derecha. Los puntos cuyas coordenadas son (−4, 7) y (4, 1) están en la gráfica. La pendiente de la recta es

m5

6 3 721 5 52 24 2 4 28 4

Observe que la pendiente de la recta tiene el mismo valor que el coeficiente de x.

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y (–4, 7) 6

(0, 4)

y=– 3 x + 4 4 2

(4, 1) –4

–2

0

2

4

x

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152

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Recuerde que la intersección con el eje y se encuentra al sustituir x por cero y luego resolver para y. 3 y52 x14 4 3 y 5 2 102 1 4 5 4 4 Las coordenadas de la intersección con el eje y son (0, 4). Observe que la coordenada y de las intersecciones con el eje y es el término constante de la ecuación 3 y52 x14 4 FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

La ecuación y 5 mx 1 b se llama la forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de una recta. La pendiente de la recta es m, el coeficiente de x. Las coordenadas de la intersección con el eje y son (0, b).

Cuando la ecuación de una recta está en la forma y 5 mx 1 b, la gráfica puede trazarse utilizando la pendiente y la intersección con el eje y. Primero localice la intersección con el eje y. Utilizamos la pendiente para determinar un segundo punto en la recta. Luego trace una recta que pase por los puntos.

Concéntrese en graficar una recta utilizando la pendiente y la intersección con el eje y A. Grafique y 5 53x 2 4 al utilizar la pendiente y la intersección con el eje y.

y

m5

5 cambio en y 5 3 cambio en x

El término constante es la coordenada y de la intersección con el eje y.

derecha 3

2

La pendiente es el coeficiente de x. –2

0

(3, 1) 4

x

hacia – 2 arriba 5 (0, –4)

La intersección con el eje y tiene coordenadas (0, 24).

Tome nota grafique una recta utilizando su pendiente y la intersección en y, parta siempre de la intersección con el eje y.

Partiendo de la intersección con el eje y, cuyas coordenadas son (0, −4), avance 5 unidades hacia arriba (cambio en y) y luego 3 unidades a la derecha (cambio en x). El punto cuyas coordenadas son (3, 1) es un segundo punto en la gráfica. Trace una recta que pase por los puntos cuyas coordenadas son (0, −4) y (3, 1). B. Grafique x 1 2y 5 4 al utilizar la pendiente y la intersección con el eje y. Resuelva la ecuación para y. x 1 2y 5 4 2y 5 2x 1 4 1 y52 x12 2 Identifique la pendiente y la intersección con el eje y.

y 4

(0, 2)

hacia abajo 1 –2

(2, 1) derecha 2 0

2

4

x

–2

La pendiente es m 5 212 5 21 2 y la intersección con el eje y tiene las coordenadas (0, 2). Partiendo de la intersección en y, cuyas coordenadas son (0, 2), avance 1 unidad hacia abajo (cambio en y) y luego 2 unidades a la derecha (cambio en x). El punto cuyas coordenadas son (2, 1) es un segundo punto en la gráfica. Trace una recta que pase por los puntos cuyas coordenadas son (0, 2) y (2, 1).

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SECCIÓN 3.4

EJEMPLO 3 Solución

153

Pendiente de una recta

Grafique y 5 232x 1 4 utilizando la pendiente y la intersección con el eje y. Intersección con el eje y: (0, 4) • Determine la intersección con el eje y utilizando el término constante.

3 23 cambio en y m52 5 5 2 2 cambio en x

• Mueva el signo negativo hacia el numerador de la fracción de la pendiente.

y 6

hacia 4 (0, 4) abajo 2 3 (2, 1) derecha 2 –2

0

2

4

6

x

• Partiendo de la intersección con el eje y, cuyas coordenadas son 10, 42, avance 3 unidades hacia abajo y 2 unidades a la derecha. 12, 12 son las coordenadas de un segundo punto en la gráfica. • Trace una recta que pase por los puntos cuyas coordenadas son 10, 42 y 12, 12.

–2

Problema 3 Solución

Grafique 2x 1 3y 5 6 utilizando la pendiente y la intersección con el eje y. Revise la página S8.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 158. La gráfica de una recta puede trazarse cuando se proporcionan algún punto en la recta y la pendiente de la misma.

Concéntrese en trazar una recta que pase por un punto dado y tenga una pendiente dada Trace la gráfica que pasa por el punto P(−4, −4) y tiene pendiente 2. Cuando la pendiente es un entero, escríbalo como una fracción con un denominador de 1. m525

Tome nota Este ejemplo difiere de los otros en que se utiliza un punto diferente de la intersección con el eje y. En este caso, parta del punto dado.

2 cambio en y 5 1 cambio en x

y 2

Localice P(−4, −4) en el plano de coordenadas. Partiendo de ese punto, avance 2 unidades hacia arriba (cambio en y) y luego 1 unidad a la derecha (cambio en x). El punto cuyas coordenadas son (−3, −2) es un segundo punto en la gráfica. Trace una recta que pase por los puntos cuyas coordenadas son (−4, −4) y (−3, −2).

EJEMPLO 4

Solución

–2

0

2

derecha 1 (–3, –2) hacia arriba (–4, –4) 2

x

–6

Trace la gráfica de la recta que pasa por el punto P(−2, 3) y tiene pendiente 243. 4 24 cambio en y m52 5 5 3 3 cambio en x 4

(–2, 3) hacia abajo 4 –4

2 0

derecha 3 –4

• Mueva el signo negativo hacia el numerador de la fracción de la pendiente. • Localice 122, 32. Partiendo de ese punto, avance 4 unidades hacia abajo y luego 3 unidades a la derecha. 11, 212 son las coordenadas de un segundo punto de la recta.

y

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–4

2

4

(1, –1)

x

• Trace una recta que pase por los puntos cuyas coordenadas son 122, 32 y 11, 212.

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154

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Problema 4 Solución

Trace la gráfica de la recta que pasa por el punto P(−3, −2) y tiene pendiente 3. Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 159.

OBJETIVO

Tasa de cambio promedio Recuerde que la pendiente mide la tasa a la cual una cantidad cambia respecto a una segunda cantidad. Las rectas tienen una pendiente constante. No importa cuáles dos puntos de la recta se elijan, la pendiente entre dos puntos es la misma. Si una gráfica no es una recta, la pendiente de la recta entre dos puntos de la gráfica puede ser diferente de la pendiente entre los otros dos puntos. Considere la gráfica de f 1x2 5 12x2 1 2x 2 10 mostrada a la derecha. La pendiente mP de la recta entre P1 y P2 es diferente de la pendiente mQ de la recta entre Q1 y Q2. 24 2 12122 8 5 52 mP 5 1 2 2 2 22 4 6 2 12102 16 5 54 mQ 5 420 4

y 12

f(x) = 1– x2 + 2x – 10 2

8 4

–8

–6

–2

–4

Q2(4, 6)

0 –4

x

4

2

P2(2, –4)

–8

P1(–2, –12)

–12

Q1(0, –10)

En estos casos, la tasa de cambio promedio entre dos puntos cualesquiera es la pendiente de la recta entre dos puntos.

EJEMPLO 5 Solución

Determine la tasa de cambio promedio de f 1x2 5 2x2 2 4x 1 5 entre los puntos cuyas coordenadas en x son x1 5 2 y x2 5 4. Determine las coordenadas de cada punto al determinar la coordenada y para la coordenada x dada.

y f(x) = 2x2 – 4x + 5

y1 5 f 1x12

5 2 122 2 2 4 122 1 5 5 5

10

m=8

• x1 5 2

El primer punto es P1 12, 52 .

(2, 5) –2

0

2

4

x

–10

y2 5 f 1x22

5 2 142 2 2 4 142 1 5 5 21

(4, 21)

20

• x2 5 4

El segundo punto es P2 (4, 21). Para determinar la tasa de cambio promedio entre los dos puntos, determine la pendiente de la recta entre P1 (2, 5) y P2 (4, 21). m5

y2 2 y1 x2 2 x1

21 2 5 16 5 58 422 2 La tasa de cambio promedio entre los dos puntos es 8. Vea la gráfica anterior. Determine la tasa de cambio promedio de y 5 x2 1 x 2 1 entre los puntos cuyas coordenadas x son x1 5 −4 y x2 5 −1. 5

Problema 5 Solución

Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 159.

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SECCIÓN 3.4

Año

Población (en millones)

1850

0.1

1860

0.4

1870

0.6

1880

0.9

1890

1.2

1900

1.5

1910

2.4

1920

3.4

1930

5.7

1940

6.9

1950

10.6

1960

15.7

1970

20.0

1980

23.7

1990

29.8

2000

33.9

2010

37.3

La tabla de la izquierda muestra la población de California para cada década desde 1850 hasta 2010. (Fuente: Oficina del Censo de Estados Unidos.) La gráfica siguiente, llamada diagrama de dispersión, es una gráfica de los datos de la tabla. y 35

Población (en millones)

Población de California

155

Pendiente de una recta

30 25 20 15 10 5 0

1850

1900

1950

2000

x

Año

Para determinar la tasa de cambio promedio de la población entre 1980 y 2000, determine la pendiente de la recta entre los puntos correspondientes en la gráfica. m5

33.9 2 23.7 10.2 5 5 0.51 2000 2 1980 20

La tasa de cambio promedio fue de 0.51 millones o 510,000 personas por año. Esto significa que, en promedio, de 1980 a 2000 la población de California aumentó 510,000 personas por año.

EJEMPLO 6 Solución

Determine la tasa de cambio promedio anual de la población de California de 1850 a 1950. En 1850, la población era de 0.1 millones: (1850, 0.1) En 1950, la población era de 10.6 millones: (1950, 10.6) m5

10.6 2 0.1 1950 2 1850

5

10.5 5 0.105 100

La tasa de cambio promedio en la población de California de 1850 a 1950 fue de 105,000 personas por año. Problema 6 Solución

Determine la tasa de cambio promedio anual en la población de California de 1900 a 2000. Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 63, inciso a, de la página 159. La tabla siguiente muestra los sueldos medios en 1995, 2000, 2005 y 2010 de los jugadores de los Medias Rojas de Boston y de los Yankees de Nueva York. (Fuente: usatoday.com.) Utilice estos datos para el ejemplo 7 y el problema 7. Año

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1995

2000

2005

2010

Sueldo mediano, Medias Rojas de Boston 282,500

2,000,000

2,875,000

3,750,000

Sueldo mediano, Yankees de Nueva York 531,000

1,350,000

5,833,334

5,500,000

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156

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

EJEMPLO 7

Solución

Determine la tasa de cambio promedio anual del sueldo mediano de los jugadores de los Medias Rojas de Boston entre 1995 y 2010. Redondee a los miles de dólares más cercanos. En 1995, el sueldo mediano era 282,500: (1995, 282,500) En 2010, el sueldo mediano era 3,750,000: (2010, 3,750,000) m5

3,750,000 2 282,500 2010 2 1995

5

3,467,500 < 231,000 15

La tasa de cambio promedio anual en el sueldo mediano fue de aproximadamente $231,000 por año. Problema 7

Solución

Determine la tasa de cambio promedio anual del sueldo mediano de los jugadores de los Yankees de Nueva York entre 1995 y 2010. Redondee a los miles de dólares más cercanos. B. ¿Esto fue mayor o menor que la tasa de cambio promedio anual en el sueldo mediano de los jugadores de los Medias Rojas de Boston entre 1995 y 2010? A.

Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 63, incisos b y c, de la página 159.

3.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS Complete cada expresión utilizando aumentos o disminuciones. 1. Si una recta tiene una pendiente positiva, entonces a medida que x aumenta, y 2. Si una recta tiene pendiente negativa, entonces a medida que x

?

?

.

, y disminuye.

Determine la pendiente y las coordenadas de la intersección con el eje y de la gráfica de la ecuación. 3 3. y 5 2 x 1 2 4. y 5 x 5. f 1x2 5 3 2 x 4

6. f 1x2 5

2x 21 3

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos (Revise las páginas 148-151.) PREPÁRESE 7. Para determinar la pendiente m de la recta que contiene los puntos P1(2, −4) y y 2 y1 P2(3, −5), utilice la fórmula de la pendiente m 5 2 . Identifique cada valor de x x2 2 x1 y y para sustituirlo en la fórmula de la pendiente. y2 5

?

, y1 5

?

, x2 5

?

, x1 5

?

210 2 1 2 5 52 1 2 (hacia arriba o hacia abajo) a la derecha.

8. La pendiente de la recta que contiene los puntos P1(1, −6) y P2(5, −10) es ?

. Esta recta se inclina

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?

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SECCIÓN 3.4

Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos P1 y P2. 9. P1 11, 32 , P2 13, 12 10. P1 12, 32 , P2 15, 12 12. P1 13, 222 , P2 11, 42

Pendiente de una recta

† 11. P1 121, 42 , P2 12, 52

13. P1 121, 32 , P2 124, 52

14. P1 121, 222 , P2 123, 22

15. P1 10, 32 , P2 14, 02

16. P1 122, 02 , P2 10, 32

17. P1 12, 42 , P2 12, 222

21. P1 12, 32 , P2 121, 32

22. P1 13, 42 , P2 10, 42

23. P1 10, 42 , P2 122, 52

18. P1 14, 12 , P2 14, 232

19. P1 12, 52 , P2 123, 222

24. P1 122, 32 , P2 122, 52

25. P1 123, 212 , P2 123, 42

Movimiento uniforme La gráfica siguiente muestra la relación entre la distancia recorrida por un motociclista y el tiempo que tardó en recorrerla. Determine la pendiente de la recta entre los dos puntos mostrados en la gráfica. Escriba una frase que establezca el significado de la pendiente.

28.

Distancia (en millas)

(6, 240)

(2, 80)

0

26. P1 122, 252 , P2 124, 212

Aeronáutica La gráfica siguiente muestra cómo la altitud de un avión sobre la pista cambia después del despegue. Determine la pendiente de la recta. Escriba una frase que establezca el significado de la pendiente. y

y 240 200 160 120 80 40

20. P1 14, 12 , P2 121, 222

Altitud (en miles de pies)

† 27.

1 2 3 4 5 6

x

15

(8, 6) 5

0

30.

10

(180, 6) 5

100

200

300

x

20 10 0 –10 –20 –30 –40 –50

Distancia recorrida (en millas)

(2, 5) 5

10

x

(8, –34)

32. Química Un químico está llenando dos latas en una llave que deja salir el agua a una velocidad constante. La lata 1 tiene un diámetro de 20 mm y la lata 2 tiene un diámetro de 30 mm. La profundidad del agua en cada lata se mide a intervalos de 5 segundos. La gráfica de los resultados se muestra abajo. En la gráfica, ¿cuál recta representa la profundidad del agua de cada una de las latas?

y

y A

15

B

10

C

5

0.5

1

1.5

Tiempo (en horas)

x

Profundidad del agua (en milímetros)

Distancia total (en kilómetros)

x

Altitud (en kilómetros)

31. Deportes Lois y Tanya empiezan a trotar por un camino partiendo del mismo lugar. Lois trota a 9 km/h y Tanya a 6 km/h. Las gráficas siguientes muestran la distancia total recorrida por cada persona y la distancia total entre Lois y Tanya. ¿Cuáles rectas representan estas distancias?

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15

y (40, 13)

0

10

Meteorología La troposfera se extiende desde la superficie de la Tierra hasta una elevación de aproximadamente 11 km. La gráfica siguiente muestra la disminución en temperatura de la troposfera a medida que la altitud aumenta. Determine la pendiente de la recta. Escriba una frase que establezca el significado de la pendiente. Temperatura (en grados Celsius)

Cantidad de gas en el tanque (en galones)

y

0

5

Tiempo (en minutos)

Tecnología automotriz La gráfica siguiente muestra cómo la cantidad de gas en el tanque de un automóvil disminuye a medida que el automóvil es conducido. Determine la pendiente de la recta. Escriba una frase que establezca el significado de la pendiente. 15

(12, 9)

10

Tiempo (en horas)

29.

157

A

15

B 10 5

0

5

10

15

x

Tiempo (en segundos)

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CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

33.

Ciencias de la salud El American National Standards Institute (ANSI) establece que 1 la pendiente de una rampa para sillas de ruedas no debe exceder de 12 . a. ¿Una rampa que mide 6 pulgadas de altura y 5 pies de largo cumple con los requerimientos del ANSI? b. ¿Una rampa que mide 12 pulgadas de altura y 170 pulgadas de largo cumple con los requerimientos del ANSI?

34.

Energía solar Observe el diseño del techo en forma de mariposa en el recorte de prensa siguiente. ¿Qué lado del techo, el izquierdo o el derecho, tiene una pendiente de aproximadamente 1? ¿La pendiente del otro lado del techo es mayor o menor que 1? (Nota: tenga en cuenta la inclinación respecto al piso y las pendientes en valor absoluto.)

nicobatista/Shutterstock.com

158

En las noticias Salas de práctica con energía solar Una escuela de música en Vermont construirá ocho edificios modulares, con techos en forma de mariposa, para que funcionen como sus salas de práctica más novedosas. El diseño del techo combina dos secciones inclinadas una hacia la otra en ángulos diferentes, y es ideal para el uso de paneles solares. Fuentes: www.1888pressrelease.com, www.zdnet.com

Graficar una recta dados un punto y la pendiente (Revise las páginas 151-154.) PREPÁRESE 35. La pendiente de la recta con la ecuación y 5 5x 2 3 es ? . su intersección con el eje y son

?

y las coordenadas de

36. La pendiente de la recta con la ecuación 2x 1 y 5 7 es ? . su intersección con el eje y son

?

y las coordenadas de

Grafique utilizando la pendiente y la intersección con el eje y. 1 2 38. y 5 x 2 3 † 37. y 5 x 1 2 2 3

3 39. y 5 2 x 2

3 40. y 5 x 4

1 41. y 5 2 x 1 2 2

2 42. y 5 x 2 1 3

43. x 2 3y 5 3

44. 3x 1 2y 5 8

45. 4x 1 y 5 2

46.

Suponga que A y B son números positivos y C es un número negativo. ¿La intersección con el eje y de la gráfica de Ax 1 By 5 C está arriba o abajo del eje x? ¿La pendiente de la recta es positiva o negativa?

47.

Suponga que A y C son números positivos y que B es un número negativo. ¿La intersección con el eje y de la gráfica de Ax 1 By 5 C está por encima o por debajo del eje x? ¿La pendiente de la recta es positiva o negativa?

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SECCIÓN 3.4

48. Grafique la recta que pasa por el punto P(−1, −3) y tiene pendiente 43.

159

Pendiente de una recta

49. Grafique la recta que pasa por el punto P(−2, −3) y tiene pendiente 54.

50. Grafique la recta que pasa por el punto P(23, 0) y tiene † 51. Grafique la recta que pasa por el punto P(2, 0) y tiene penpendiente −3. diente −1.

Tasa de cambio promedio (Revise las páginas 154-156.) PREPÁRESE 52. Para determinar la tasa de cambio promedio entre los dos puntos de la gráfica de ? de la recta que contiene los dos puntos. una función no lineal, determine el 53. Para determinar la tasa de variación media de una función entre dos pares ordena? de cada una dos cuyas coordenadas x están dadas, primero determine el de las coordenadas x dadas.

Determine la tasa de cambio promedio de la función dada entre los puntos con las coordenadas x dadas. 54. f 1x2 5 2x 2 1 3x; x1 5 6, x2 5 9

56. f 1x2 5 x 2 2 3x 1 1; x1 5 22, x2 5 21

58. f 1x2 5 22x 3 1 6x 1 6; x1 5 21, x2 5 1

60. f 1x2 5 2x 3 2 5x 2 2 3x 1 2; x1 5 21, x2 5 2

† 55. f 1x2 5 2x 2 2 x 1 3; x1 5 3, x2 5 5

57. f 1x2 5 2x 2 1 2x 1 4; x1 5 26, x2 5 22 59. f 1x2 5 x 3 2 7x 2 1 4; x1 5 5, x2 5 8

61. f 1x2 5 3x 3 1 x 2 1 3x 2 6; x1 5 23, x2 5 0

62. Temperatura El 5 de noviembre en la parte central de New Hampshire, la temperatura a las 6 A.M. fue de 34°F. A las 2 P.M. del mismo día, la temperatura fue de 58°F. Determine la tasa de cambio promedio en la temperatura por hora. Población de Texas † 63.

Demografía La tabla de la derecha muestra la población de Texas para cada década desde 1850 hasta 2010. (Fuente: Oficina del Censo de Estados Unidos.) a. Determine la tasa de cambio promedio anual de la población de Texas, de 1900 a 2000. b. ¿La tasa de cambio promedio anual de la población de 1900 a 1950 fue mayor o menor que la tasa de cambio promedio anual de la población de 1950 a 2000? c. ¿La tasa de cambio promedio anual de la población de Texas de 1980 a 2000 fue mayor o menor que la tasa de cambio promedio anual de la población de California de 1980 a 2000? (Consulte en la página 155 la tasa de cambio promedio anual de la población de California de 1980 a 2000.)

64.

Demografía Utilice la tabla del ejercicio 63. a. ¿Durante cuál década la tasa de cambio promedio anual de la población fue la menor? b. ¿Durante cuál década la tasa de cambio promedio anual de la población fue de aproximadamente 300,000 personas?

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Año

Población (en millones)

1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

0.2 0.6 0.8 1.6 2.2 3.0 3.9 4.7 5.8 6.4 7.7 9.6 11.2 14.2 17.0 20.9 25.1

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160

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Cambio climático Utilice la información del recorte de prensa de la derecha.

65.

a. Determine la meta para la tasa de cambio promedio en las emisiones de gas invernadero de 2020 a 2030. b. Determine la meta para la tasa de cambio promedio en las emisiones de gas invernadero de 2030 a 2050. 66.

Cremación En 1990 había en Estados Unidos 2.15 millones de muertes y 367,975 cremaciones. En 2007 había 2.42 millones de muertes y 832,340 cremaciones. (Fuente: Cremation Association of North America.) a. De 1990 a 2007, ¿cuál fue la tasa de cambio promedio anual del número de muertes en Estados Unidos? Redondee a la milésima más cercana. b. De 1990 a 2007, ¿cuál fue la tasa de cambio promedio en el número de cremaciones de Estados Unidos? Redondee a la milésima más cercana. c. De 1990 a 2007, ¿qué tasa mostró un mayor incremento: el número de muertes o el número de cremaciones?

67.

En las noticias Reducción de gases de efecto invernadero El Congreso de Estados Unidos ha aprobado un documento que podría ayudar al país a reducir las emisiones de gases de efecto invernadero en las décadas por venir. Las metas para los niveles de emisiones en miles de millones de toneladas métricas son 6000 en 2020, 4200 en 2030 y 1200 en 2050 Fuente: Revista Time

Muertes por accidentes de tránsito El número de peatones muertos por vehículos automotores en 1998 fue de 5228; en 2008 fue de 4378. (Fuente: Administración Nacional Estadounidense de Seguridad en el Transporte Carretero.) a. Calcule la tasa de cambio promedio anual del número de muertes peatonales de 1998 a 2008. (Nota: una tasa de cambio promedio negativa denota una disminución.) b.

68.

¿Por qué la respuesta al inciso a puede considerarse favorable?

Precios de los energéticos La tabla de la derecha muestra el precio promedio por galón de gasolina en Estados Unidos durante enero de cada año de 2000 a 2010. (Fuente: Administración de Información Energética.) a. Determine la tasa de cambio promedio anual en el precio de un galón de gasolina de 2000 a 2010. b. ¿Cuál tasa fue mayor: la tasa de cambio promedio anual de 2000 a 2005 o la tasa de cambio promedio anual de 2005 a 2010?

69.

Marcas comerciales La tabla siguiente muestra el número de aplicaciones para el registro de marcas comerciales en Estados Unidos en 1990, 1995, 2000 y 2005. (Fuente: Asociación Internacional de Marcas.) Una razón para el gran número de aplicaciones es el incremento en la popularidad de Internet y el deseo de registrar los nombres de dominio y los sitios web. Año

1990

1995

2000

2005

Aplicaciones (en miles)

120

175

375

324

Año

Precio por galón

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

$1.29 $1.45 $1.11 $1.46 $1.57 $1.83 $2.32 $2.24 $3.04 $1.79 $2.72

a. Determine la tasa de cambio promedio anual en el número de aplicaciones de 1990 a 2000. b. ¿Cuánto mayor fue la tasa de cambio promedio anual en el número de aplicaciones de 1995 a 2000 que de 1990 a 1995?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

70. Sea f (x) el dígito en la enésima posición del decimal periódico 0.387. Por ejemplo, f 132 5 7 porque 7 es el dígito en la tercera posición decimal. Determine f (14).

Determine el valor de k tal que los tres puntos cuyas coordenadas se proporcionan estén en la misma recta. 71. 13, 22 , 14, 62 , 15, k2

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72. 1k, 12 , 10, 212 , 12, 222

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SECCIÓN 3.5

73. Relacione la ecuación con su gráfica.

A.

161

Determinación de ecuaciones de rectas

y

y

B.

C.

y

i. y 5 22x 1 4 ii. y 5 2x 2 4

x

x

x

iii. y 5 2 iv. 2x 1 4y 5 0 1

v. y 5 2x 1 4

D.

y

y

E.

F.

y

vi. y 5 214x 2 2 x

74.

x

x

Grafique y 5 2x 1 3 y y 5 2x 2 1 en el mismo sistema de coordenadas. Explique en qué difieren y en qué son similares las gráficas. Si b es cualquier número real, ¿cómo se relaciona la gráfica de y 5 2x 1 b con las dos gráficas que usted dibujó?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Complete cada expresión utilizando aumentos o disminuciones en el primer espacio en blanco y un número positivo en el segundo espacio en blanco. ? por ? a medida 75. Si una recta tiene una pendiente de 2, entonces el valor de y que el valor de x aumenta 1. 76. Si una recta tiene una pendiente de −3, entonces el valor de y que el valor de x aumenta 1.

?

por

?

a medida

77. Si una recta tiene una pendiente de 12, entonces el valor de y que el valor de x aumenta 1.

?

por

?

a medida

78. Si una recta tiene una pendiente de 223, entonces el valor de y que el valor de x aumenta 1.

?

por

?

a medida

79.

Explique cómo puede utilizar la pendiente de una recta para determinar si los tres puntos están en la misma recta. Luego utilice su procedimiento para determinar si los tres puntos cuyas coordenadas se proporcionan están en la misma recta.

a. 12, 52 , 121, 212 , 13, 72 b. 121, 52 , 10, 32 , 123, 42

3.5 OBJETIVO

Determinación de ecuaciones de rectas Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente Cuando la pendiente de una recta y un punto sobre la recta son conocidos, la ecuación de la recta puede determinarse. Si el punto particular es la intersección con el eje y, utilice la forma pendiente-ordenada al origen, y 5 mx 1 b para determinar la ecuación.

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CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Concéntrese en determinar la ecuación de una recta dadas la intersección con el eje y

y la pendiente Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(0, 3) y tiene pendiente 12. El punto conocido es la intersección con el eje y, P(0, 3). y 5 mx 1 b 1 y5 x13 2

Utilice la forma pendiente-ordenada al origen. Sustituya m con 12, la pendiente dada, y sustituya b con 3, la coordenada y de la intersección con el eje y. La ecuación de la recta es y 5 12x 1 3.

Un método para determinar la ecuación de una recta cuando la pendiente y cualquier punto de la recta son conocidos consiste en utilizar la fórmula punto-pendiente. Esta fórmula se deriva de la fórmula para la pendiente de una recta. Sea P1(x1, y1) el punto dado en la recta y sea P(x, y) cualquier otro punto en la recta. y 2 y1 Utilice la fórmula de la pendiente de una recta. 5m x 2 x1 y 2 y1 1x 2 x12 5 m 1x 2 x12 Multiplique cada lado de la ecuación por (x − x1). x 2 x1 Luego simplifique. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 FORMA PUNTO-PENDIENTE

Sea m la pendiente de una recta y sea P1(x1, y1) un punto en la recta. La ecuación de la recta puede determinarse por medio de la forma punto-pendiente: y 2 y1 5 m 1x 2 x12

Concéntrese en determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente A. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, −1) y tiene pendiente 234. Utilice la forma punto-pendiente. Sustituya la pendiente, 234, y las coordenadas del punto dado, (4, −1), en la forma punto-pendiente. Luego simplifique. Resuelva para y. La ecuación de la recta es y 5 234x 1 2.

y 2 y1 5 m 1x 2 x12 3 y 2 1212 5 2 1x 2 42 4 3 y1152 x13 4 3 y52 x12 4

B. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, 3) y cuya pendiente no está definida. Como la pendiente no está definida, la forma punto-pendiente no se puede utilizar para determinar la ecuación. En vez de ello, recuerde que cuando la pendiente no está definida, la recta es vertical y que la ecuación de una recta vertical es x 5 a, donde a es la coordenada x de la intersección con el eje x. Dado que la recta es vertical y pasa por el punto P(4, 3), las coordenadas de la intersección con el eje x son (4, 0).

y 4

(4, 3)

2

(4, 0) –4

–2

0

2

x

–2 –4

La ecuación de la recta es x 5 4.

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SECCIÓN 3.5

EJEMPLO 1 Solución

163

Determinación de ecuaciones de rectas

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−2, 4) y tiene pendiente 2. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 4 5 2 3 x 2 1222 4 y 2 4 5 2 1x 1 22 y 2 4 5 2x 1 4 y 5 2x 1 8

• Utilice la forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente, 2, y las coordenadas del punto dado, 122, 42 , en la forma punto-pendiente. • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 2x 1 8 Problema 1 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, −3) y tiene pendiente −3. Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 165.

OBJETIVO

Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos La forma punto-pendiente para la pendiente se utiliza para determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos puntos.

Concéntrese en determinar la ecuación de una recta entre dos puntos Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(3, 2) y P2(−5, 6). Para utilizar la forma punto-pendiente, debemos conocer la pendiente. Utilice la fórmula de la pendiente para determinar la pendiente de la recta entre dos puntos dados. y 2 y1 622 4 1 Sean 1x1, y12 5 13, 22 y 1x2, y22 5 125, 62 . m5 2 5 5 52 x2 2 x1 25 2 3 28 2 Ahora utilice la forma punto-pendiente con y 2 y1 5 m 1x 2 x12 m 5 212 y 1x1, y12 5 13, 22 . 1 y 2 2 5 2 1x 2 32 2 1 3 y2252 x1 Resuelva para y. 2 2 1 7 y52 x1 2 2 La ecuación de la recta es y 5 212x 1 72.

EJEMPLO 2 Solución

Determinar la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(2, 3) y P2 (4, 1). 123 22 y2 2 y1 • Determine la pendiente. Sean 5 5 5 21 m5 x2 2 x1 422 2 1x , y 2 5 12, 32 y 1

y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 3 5 21 1x 2 22 y 2 3 5 2x 1 2 y 5 2x 1 5

1

1x2, y22 5 14, 12 .

• Sustituya la pendiente y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la forma punto-pendiente. • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 2x 1 5.

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CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Problema 2 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(2, 0) y P2 (5, 3). Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 166.

OBJETIVO

Problemas de aplicación Las funciones lineales se pueden utilizar para representar una variedad de aplicaciones de las ciencias y los negocios. Para cada aplicación se recaban los datos y se seleccionan las variables independientes y dependientes. Luego se determina una función lineal que represente los datos.

EJEMPLO 3

Estrategia

En 2000 había en Estados Unidos alrededor de 50,000 centenarios (personas de 100 años de edad o mayores). Los datos de la Oficina del Censo muestran que se espera que esta población se incremente a lo largo del año 2020 a una tasa de aproximadamente 4250 centenarios por año. Determine una función lineal que obtenga una aproximación de la población de centenarios por año. Utilice su función para hacer un cálculo aproximado del número de centenarios en 2015. Seleccione las variables dependientes e independientes. Debido a que queremos determinar la población de centenarios, esa cantidad es la variable dependiente, y. El año es la variable independiente. A partir de los datos, el par ordenado (2000, 50,000) da las coordenadas de un punto en la recta. La pendiente de la recta es la tasa de incremento, 4250 centenarios por año.

Solución

y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 50,000 5 4250 1x 2 20002 y 2 50,000 5 4250x 2 8,500,000 y 5 4250x 2 8,450,000

• Utilice la forma punto-pendiente. • m 5 4250; 1x1, y12 5 12000, 50,0002

La función lineal es f 1x2 5 4250x 2 8,450,000. f 1x2 5 4250x 2 8,450,000 f 120152 5 4250 120152 2 8,450,000 5 8,563,750 2 8,450,000 5 113,750

• Evalúe la función en 2015 para predecir el número de centenarios en 2015.

La función da una estimación de 113,750 centenarios en 2015. Problema 3

Solución

Gabriel Daniel Fahrenheit inventó el termómetro de mercurio en 1717. Según las lecturas de este termómetro, el agua se congela a 32°F y hierve a 212°F. En 1742, Anders Celsius inventó la escala de temperatura Celsius. En esta escala, el agua se congela a 0°C y hierve a 100ºC. Determine una función lineal que se puede utilizar para predecir la temperatura Celsius cuando se conoce la temperatura Fahrenheit. Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 61 de la página 167.

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SECCIÓN 3.5

3.5

Determinación de ecuaciones de rectas

165

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuántas rectas con una pendiente dada que pasen por un punto determinado pueden trazarse en el plano? 2. Dados dos puntos en el plano, ¿cuántas rectas que pasen por los dos puntos pueden trazarse? 3. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de una recta con pendiente cero? 4. ¿La forma punto-pendiente se puede utilizar para determinar la ecuación de cualquier recta? Explique su respuesta.

Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente (Revise las páginas 161-163.)

PREPÁRESE 5. En la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 65 e intersección con el eje y ? y b es ? . La ecuación es y 5 ? . P(0, 2), m es 6. Para determinar la ecuación de la recta que contiene el punto P(−4, 5) y tiene pendiente 2, utilice la forma punto-pendiente. y 2 y1 5 m 1x 2 x12

y 2 5 5 2 1x 2 1242 2 y 2 5 5 2 1x 1

?

2

? • Sustituya ? por x1.

por y1,

?

por m, y

• Simplifique dentro de los paréntesis.

y255

?

• Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.

y5

?

• Sume 5 a cada lado de la ecuación.

Determine la ecuación de la recta que tiene el punto y la pendiente dados. † 7. P 10, 52 , m 5 2

8. P 10, 32 , m 5 1

10. P 15, 12 , m 5

11. P 13, 02 , m 5 2

2 3

9. P 12, 32 , m 5 5 3

1 2

12. P 122, 02 , m 5

3 2

13. P 121, 72 , m 5 23

14. P 122, 42 , m 5 24

15. P 10, 02 , m 5

16. P 10, 02 , m 5

17. P 12, 232 , m 5 3

18. P 14, 252 , m 5 2

20. P 15, 12 , m 5 2

21. P 10, 232 , m 5 21

3 4

19. P 13, 52 , m 5 2 22. P 12, 02 , m 5

2 3

5 6

4 5

23. P 13, 242 , la pendiente no está definida

1 2

24. P 122, 52 , la pendiente no está definida

25. P 122, 232 , m 5 0

26. P 123, 222 , m 5 0

27. P 14, 252 , m 5 22

28. P 123, 52 , m 5 3

29. P 125, 212 , la pendiente no está definida

30. P 10, 42 , la pendiente no está definida

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166

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

31.

Un estudiante encontró que la ecuación de la recta que contiene los puntos P(−2, 4) y Q(1, 1) era y 5 x + 6. Trace la recta que contiene P(−2, 4) y Q(1, 1), y utilice su dibujo para explicar por qué los valores del estudiante para m y b no pueden ser correctos.

32.

Un estudiante encontró que la ecuación de la recta que contiene los puntos P(−4, 4) y Q(4, 6) era y 5 14 x 1 5. Trace la recta que contiene los puntos P(−4, 4) y Q(4, 6), y utilice su dibujo para explicar por qué los valores del estudiante para m y b parecen razonables.

Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos (Revise las páginas 163-164.) PREPÁRESE 33. El primer paso para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos ? dados es utilizar las coordenadas de los puntos para determinar la de la recta. ? , de modo que 34. Los puntos P1(4, 3) y P2(4, −2) tiene la misma coordenada en ? . La ecuación de la recta es la pendiente de la recta que contiene a P1 y P2 es ? .

Determine la ecuación de la recta que contiene los puntos dados. 35. P1 10, 22 , P2 13, 52

36. P1 10, 42 , P2 11, 52

† 37. P1 10, 232 , P2 124, 52

38. P1 10, 222 , P2 123, 42

39. P1 121, 32 , P2 12, 42

40. P1 121, 12 , P2 14, 42

41. P1 10, 32 , P2 12, 02

42. P1 10, 42 , P2 12, 02

43. P1 122, 232 , P2 121, 222

44. P1 14, 12 , P2 13, 222

45. P1 12, 32 , P2 15, 52

46. P1 17, 22 , P2 14, 42

47. P1 12, 02 , P2 10, 212

48. P1 10, 42 , P2 122, 02

49. P1 13, 242 , P2 122, 242

50. P1 123, 32 , P2 122, 32

51. P1 10, 02 , P2 14, 32

52. P1 12, 252 , P2 10, 02

53. P1 122, 52 , P2 122, 252

54. P1 13, 22 , P2 13, 242

55. P1 12, 12 , P2 122, 232

56. P1 123, 222 , P2 11, 242

57. P1 10, 32 , P2 13, 02

58. P1 11, 232 , P2 122, 42

Problemas de aplicación (Revise la página 164.) PREPÁRESE 59. Un avión despega de un aeropuerto que está a 500 pies sobre el nivel del mar. El avión asciende a una velocidad de 1000 pies/min. Si y 5 mx 1 b es una ecuación lineal que proporciona la altura y (en pies) del avión sobre el nivel del mar en términos del ? y un par ordenado tiempo x (en minutos) después del despegue, entonces m 5 ? que representa una solución de la ecuación es (0, ). 60. Un avión despega de un aeropuerto que está al nivel del mar y asciende a una altura de 12,500 pies en 10 min. Si y 5 mx 1 b es una ecuación lineal que da la altura y (en pies) del avión sobre el nivel del mar en términos del tiempo x (en minutos) después del despegue, entonces los dos pares ordenados que son soluciones de la ecuación son ? ) y (10, ? ). (0,

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SECCIÓN 3.5

167

Determinación de ecuaciones de rectas

† 61. Aeronáutica El piloto de un jet Boeing 757 despega del aeropuerto Logan de Boston, que está al nivel del mar y asciende a una altura de crucero de 32,000 pies a una velocidad constante de 1200 pies/min. Determine una función lineal para la altura del avión en términos del tiempo después del despegue. Utilice su función para determinar la altura del avión 11 minutos después del despegue. 62. Acondicionamiento físico Un corredor que trota a 9 mph quema aproximadamente 14 calorías por minuto. Determine una función lineal para el número de calorías quemadas por el corredor en función del número de minutos que trota. Utilice su función para determinar el número de calorías quemadas después de trotar durante 32 min. 63. Telecomunicaciones Una compañía de telefonía celular ofrece varias opciones distintas para usar un teléfono celular. Una opción, para las personas que planean usar el teléfono sólo en emergencias, le cuesta al usuario $4.95 por mes más $0.59 por cada minuto que usa el teléfono. Determine una función lineal para el costo mensual del teléfono en términos del número de minutos que se usa el teléfono. Utilice su función para calcular el costo mensual de usar el teléfono celular durante 13 minutos en un mes. 64. Aeronáutica Un avión Airbus 320 despega del Aeropuerto Internacional de Denver, que está a 5200 pies sobre el nivel del mar, y asciende a 30,000 pies a una velocidad constante de 1000 pies/min. Determine una función lineal para la altura del avión en términos del tiempo después del despegue. Utilice su función para calcular la altura del avión 8 minutos después del despegue. 65. Nutrición Una porción de 2 onzas de carne molida sin grasa contiene aproximadamente 126 calorías, mientras que una porción de 3 onzas contiene alrededor de 189 calorías. Determine una función lineal para el número de calorías de la carne molida sin grasa en términos del tamaño de la porción. Utilice su función para estimar el número de calorías en una porción de 5 onzas de carne molida sin grasa. 66. Química Al nivel del mar, el punto de ebullición del agua es 100°C. A una altitud de 2 km, el punto de ebullición del agua es 93°C. Determine una función lineal para el punto de ebullición del agua en términos de la altitud sobre el nivel del mar. Utilice su función para predecir el punto de ebullición del agua en la cima del monte Everest, que está aproximadamente a 8.85 km sobre el nivel del mar. Redondee al grado más cercano. 67.

Ecología Utilice la información del recorte de prensa de la derecha. Determine una función lineal para el porcentaje de árboles a 2600 pies que son maderas nobles en términos del año. Utilice su función para predecir el porcentaje de árboles a 2600 pies que serán maderas nobles en 2020.

68. Oceanografía Las ballenas, los delfines y las marsopas se comunican mediante sonidos de tono alto que viajan a través del agua. La velocidad a la que viaja el sonido depende de muchos factores, uno de los cuales es la profundidad del agua. Aproximadamente a 1000 metros por debajo del nivel del mar, la velocidad del sonido es de 1480 m/s. Por debajo de 1000 metros, la velocidad del sonido aumenta a una tasa constante de 0.017 m/s por cada metro adicional por debajo de 1000 metros. Determine una función lineal de la velocidad del sonido en términos del número de metros por debajo del nivel del mar. Utilice su función para hacer un cálculo aproximado de la velocidad del sonido 2500 metros por bajo del nivel del mar. Redondee al metro por segundo más cercano. 69. Tecnología automotriz El tanque de gasolina de cierto automóvil contiene 16 galones cuando el conductor del mismo comienza un viaje. Con cada milla recorrida por el conductor, la cantidad de gasolina en el depósito disminuye 0.032 galones. Encuentre una función lineal para el número de galones de gasolina en el tanque en términos del número de millas recorridas. Utilice su función para determinar el número de galones en el tanque después de manejar 150 millas.

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En las noticias ¿El calentamiento global mueve montañas? En las montañas de Vermont, los arces, las hayas y otros árboles de madera noble que se desarrollan en climas cálidos se apoderan gradualmente de áreas que una vez soportaron árboles más amantes del frío, como los árboles de navidad. Los ecologistas informan que en 2004, 82% de los árboles a una elevación de 2600 pies eran maderas nobles, en comparación con sólo 57% en 1964. Fuente: The Boston Globe

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168

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Historia En 1927 Charles Lindbergh hizo historia al hacer el primer vuelo transatlántico de Nueva York a París. Lindbergh tardó aproximadamente 33.5 horas en hacer el viaje. En 1997, el Concorde podía hacer el mismo viaje en alrededor de 3.3 horas. Determine una función lineal para el tiempo, en horas, que se requiere para cruzar el Atlántico en términos del año. Utilice su función para predecir cuánto tiempo habría tardado un vuelo entre las dos ciudades en 1967. Redondee su respuesta a la décima más cercana.

© Bettmann/Corbis

70.

CAPÍTULO 3

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 7 1. ¿Cuáles son las coordenadas de la intersección con el eje x de la gráfica de y 5 mx 1 b? 72. Una recta contiene los puntos P(4, −1) y Q(2, 1). Determine las coordenadas de otros tres puntos que estén en esta recta. 73. Dado que f es una función lineal para la cual f (1) 5 3 y f (−1) 5 5, determine f (4). 74. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de recta entre P1(2, 5) y P2(−4, 1) y tiene pendiente −2. 75. Si y 5 mx + b, donde m es una constante dada, ¿cómo cambia la gráfica de esta ecuación a medida que el valor de b cambia? 76.

Explique las semejanzas y diferencias entre la fórmula de punto-pendiente y la forma pendiente-ordenada al origen de un segmento de recta.

77.

Explique por qué la forma punto-pendiente no puede utilizarse para determinar la ecuación de una recta que es paralela al eje y.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 78. Suponga que la velocidad máxima que alcanzará su automóvil es una función lineal de la inclinación de la colina por la que éste asciende o desciende. Si la pendiente de la colina es de 5° hacia arriba (la calle forma un ángulo de 5° con la horizontal), la velocidad máxima del automóvil es 77 km/h. Si la pendiente de la colina es de 2° hacia abajo, la velocidad máxima del automóvil es 154 km/h. Cuando la velocidad máxima de su automóvil es 99 km/h, ¿cuán empinada es la colina? Exprese su respuesta en grados, y observe si la inclinación es hacia arriba o hacia abajo. 79. Suponga que f es una función lineal y que f (3) 5 10 y f (−3) 5 −2, determine el valor de a para el cual f (a) 5 0.

3.6 OBJETIVO

Rectas paralelas y perpendiculares Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares y

Dos rectas que tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje y no se intersecan y se llaman rectas paralelas. La pendiente de cada una de las rectas de la derecha es 23. Las rectas son paralelas.

4

(3, 3)

2

(0, 1) –4

–2

0 –2

2 3 2

(0, –4) –4

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4

(3, –2)

x

2 3

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SECCIÓN 3.6

169

Rectas paralelas y perpendiculares

PENDIENTES DE RECTAS PARALELAS

Dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 son paralelas si y sólo si m1 5 m2. Las rectas verticales son rectas paralelas. EJEMPLOS 2

2

1. Las pendientes de las gráficas de y 5 23 x 1 2 y y 5 23 x 2 3 son 2 23 ambas. Las rectas son paralelas. 2. Las gráficas de x 5 2 y x 5 5 son rectas verticales. Las rectas son paralelas. 3. La pendiente de la gráfica de y 5 2x 1 3 es 2. La pendiente de la gráfica de y 5 22x 1 1 es −2. Las pendientes no son iguales. Las rectas no son paralelas.

EJEMPLO 1 Solución

¿Las gráficas de y 5 232 x 2 5 y 2x 1 3y 5 6 son paralelas? Escriba cada ecuación, si es necesario, en la forma y 5 mx 1 b y luego compare los valores de m, las pendientes de las rectas. Si los valores de m son iguales, las gráficas son paralelas. 3

La ecuación y 5 22 x 2 5 está en la forma y 5 mx 1 b. 3

La pendiente es 22 . 2x 1 3y 5 6 3y 5 22x 1 6 2 y52 x12 3 2 La pendiente es 23 . 2 3 2 22 3 2

• Escriba la ecuación 2x 1 3y 5 6 en la forma y 5 mx 1 b.

• Compare las pendientes.

Debido a que las pendientes no son iguales, las gráficas no son paralelas. Problema 1

Solución

¿La pendiente de la recta que contiene los puntos con coordenadas (−2, 1) y (−5, −1) son paralelas a la recta que contiene los puntos con coordenadas (1, 0) y (4, 2)? Revise la página S9.

† Intente resolver el ejercicio 19 de la página 174.

Concéntrese en determinar la ecuación de una recta paralela a una recta dada A. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−1, 4) y es paralela a la gráfica de 2x 2 3y 5 5.

y (–1, 4) 4 2 –4

–2

0 –2 –4

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2

4

x

2x – 3y = 5

Como las rectas son paralelas, la pendiente de la recta desconocida es igual que la pendiente de la recta conocida. Resuelva para y en la ecuación 2x 2 3y 5 5 y determine su pendiente. La pendiente de la recta dada es 23. Dado que las rectas son paralelas, la pendiente de la recta desconocida es también 23.

2x 2 3y 5 5 23y 5 22x 1 5 2 5 y5 x2 3 3

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170

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

y 2 y1 5 m 1x 2 x12

Utilice la forma punto-pendiente.

2 y 2 4 5 3 x 2 1212 4 3 2 y 2 4 5 1x 1 12 3 2 2 y245 x1 3 3 2 14 y5 x1 3 3

Sustituya m 5 23 y (x1, y1) 5 (−1, 4). Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 23x 1 14 3. B. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(2, 3) y es paralela a la gráfica de y 5 12 x 2 4.

y 4 2 –4

–2

0

(2, 3)

2

4

x

La pendiente de la recta dada es 12. Debido a que las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la pendiente de la recta desconocida es también 12.

y 2 y1 5 m 1x 2 x12

Utilice la forma punto-pendiente.

–2 –4

y=1x–4 2

1 1 x 2 22 2 1 y235 x21 2 1 y5 x12 2

Sustituya m 5 12 y (x1, y1) 5 (2, 3).

y235

Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 12x 1 2.

EJEMPLO 2 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(3, −1) y es paralela a la gráfica de 3x − 2y 5 4. 3x 2 2y 5 4 22y 5 23x 1 4 3 y5 x22 2 3 m5 2

• Resuelva la ecuación para y, a fin de determinar la pendiente.

• La recta paralela tiene la misma pendiente que la recta dada.

• Utilice la forma punto-pendiente. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 3 3 • m 5 , 1x1, y12 5 13, 212 y 2 1212 5 1x 2 32 2 2 3 9 y115 x2 • Resuelva para y. 2 2 3 11 y5 x2 2 2 La ecuación de la recta es y 5 x 2 11 2.

Problema 2 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, 1) y es 3 paralela a la gráfica de y 5 4 x 2 1. Revise la página S10.

† Intente resolver el ejercicio 31 de la página 175.

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SECCIÓN 3.6

171

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas que se intersecan en ángulos rectos, como en la figura 1 siguiente, son rectas perpendiculares. Una recta horizontal es perpendicular a una recta vertical, como muestra la figura 2 siguiente.

y

y

4 2 –4

–2

0 –2

4

2

4

x=3

2

y=1x+1 2 x

–4

y = – 2x + 1

–2

0

2

4

x

y = –2

–4

–4

FIGURA 1

FIGURA 2

PENDIENTES DE RECTAS PERPENDICULARES

Si ml y m2 son las pendientes de dos rectas, ninguna de las cuales es vertical, entonces las rectas son perpendiculares si y sólo si m1 # m2 5 −1. Una recta vertical es perpendicular a una recta horizontal. EJEMPLOS 3 3 1. La pendiente de la gráfica de y 5 4 x 1 1 es 4 , y la pendiente de la gráfica de 4 4 y 5 23 x 2 3 es 2 3. El producto de las dos pendientes es 34 # Q 243 R 5 21. Las rectas son perpendiculares.

2. La gráfica de x 5 −1 es una recta vertical, y la gráfica de y 5 5 es una recta horizontal. Las rectas son perpendiculares. 1

1

3. La pendiente de la gráfica de y 5 2 x 1 3 es 2. La pendiente de la gráfica de y 5 2x 1 1 es 2. El producto de las pendientes es 12 # 2 5 1 2 21. Las rectas no son perpendiculares.

Concéntrese en determinar si dos rectas son perpendiculares A. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (4, 2) y (−2, 5) es perpendicular a la recta que contiene los puntos con coordenadas (−4, 3) y (−3, 5)? 522 3 1 Determine la pendiente de la recta que pasa m1 5 5 52 22 2 4 26 2 por los puntos con las coordenadas (4, 2) y (−2, 5). 523 2 Determine la pendiente de la recta que pasa m2 5 5 52 1 2 23 2 24 1 por los puntos con las coordenadas (−4, 3) y (−3, 5). Determine el producto de las dos pendientes.

1 m1 # m2 5 2 122 5 21 2

Dado que m1 # m2 5 21, las rectas son perpendiculares.

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172

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

B. ¿Las rectas cuyas ecuaciones son 3x 1 4y 5 8 y 8x 1 6y 5 5 son perpendiculares? Para determinar si las rectas son perpendiculares, resuelva cada ecuación para y y determine la pendiente de cada recta.

Luego compruebe si la ecuación m1 # m2 5 21 es verdadera.

3x 1 4y 5 8

8x 1 6y 5 5

4y 5 23x 1 8

6y 5 28x 1 5

3 4 5 y52 x12 y52 x1 4 3 6 3 4 m1 5 2 m2 5 2 4 3 3 4 m1 # m2 5 a2 b a2 b 5 1 4 3

Debido a que m1 # m2 5 1 2 21, las rectas no son perpendiculares.

EJEMPLO 3

Solución

¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (−2, 3) y (−2, −5) es perpendicular a la recta que contiene los puntos con coordenadas (−1, 4) y (2, 4)? 25 2 3 28 no está m1 5 5 • Determine la pendiente de 22 2 1222 0 definida

m2 5

424 0 5 50 2 2 1212 3

la recta entre los puntos con coordenadas 122, 32 y 122, 252 . La pendiente no está definida. La recta es vertical. • Determine la pendiente de la recta entre los puntos con coordenadas 121, 42 y 12, 42 . La pendiente es cero. La recta es horizontal

Una recta es vertical y la otra horizontal. Las rectas son perpendiculares. Problema 3 Solución

¿Las gráficas de 4x − y 5 −2 y x 1 4y 5 −12 son perpendiculares? Revise la página S10.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 174. 1 Al despejar m1 en m1 # m2 5 21 se obtiene m1 5 2 . Esta última ecuación establece que las m2 pendientes de las rectas perpendiculares son recíprocos negativos entre sí.

Concéntrese en determinar las ecuaciones de las rectas perpendiculares A. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−2, 1) y es perpendicular a la gráfica de y 5 223 x 1 1. 2 2 La pendiente de la gráfica de y 5 23 x 1 1 es 23. La pendiente de la recta 2 perpendicular a la recta dada es 32, el recíproco negativo de 23 .

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SECCIÓN 3.6 y

2 –2

Sustituya m 5

y = – 2– x + 1

(–2, 1) –4

y 2 y1 5 m 1x 2 x12

Utilice la forma punto-pendiente.

4

3

2

0

4

3 2

3 y 2 1 5 1x 2 1222 2 2 3 y215 x13 2 3 y5 x14 2

(x1, y1) = (−2, 1).

x

Resuelva para y.

–2 y = 3– x + 4 2 –4

173

Rectas paralelas y perpendiculares

3 La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 4.

B. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(3, −4) y es perpendicular a la gráfica 2x 2 y 5 23.

y 4 2 –4

–2

Determine la pendiente de la recta dada al resolver para y en la ecuación.

2x – y = –3

0

2

4

x

–2 –4

(3, –4)

La pendiente es 2.

2x 2 y 5 23 2y 5 22x 2 3 y 5 2x 1 3

La pendiente de la recta perpendicular a la recta dada es 212, el recíproco negativo de 2.

y 2 y1 5 m 1x 2 x12

Utilice la forma punto-pendiente.

1 y 2 1242 5 2 1x 2 32 2 1 3 y1452 x1 2 2 1 5 y52 x2 2 2

Sustituya m 5 212 y (x1, y1) 5 (3, −4). Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 212x 2 52.

EJEMPLO 4

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(3, −5) y es perpendicular a la gráfica de y 5 23x 1 2.

Solución La pendiente de y 5 23x 1 2 es 23. La pendiente de una recta perpendicular a la recta dada es 13, el recíproco negativo de −3. y 2 y1 5 m 1x 2 x12

1 y 2 1252 5 1x 2 32 3 1 y155 x21 3 1 y5 x26 3

• Utilice la forma punto-pendiente. • Sustituya m 5

1 y 1x1, y12 5 13, 252 . 3

• Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 13 x 2 6. Problema 4 Solución

Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−2, 3) y es perpendicular a la gráfica de x 2 4y 5 3. Revise la página S10.

† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 175.

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174

3.6

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

Dadas las pendientes de dos rectas, explique cómo determinar si las dos rectas son paralelas.

2.

Dadas las pendientes de dos rectas, ¿cómo se puede determinar si las dos rectas son perpendiculares?

3. Complete la expresión siguiente. Las rectas paralelas tienen la misma 4. ¿Cuál es el recíproco negativo de

?

.

3 2 4?

5. La pendiente de una recta es −5. ¿Cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a esta recta?

6. La pendiente de una recta es 32. ¿Cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a esta recta?

7. La pendiente de una recta es 4. ¿Cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a esta recta?

8. La pendiente de una recta es 245. ¿Cuál es la pendiente de cualquier recta paralela a esta recta?

9. Dé la pendiente de cualquier recta que sea paralela a la grá1 fica de y 5 23 x 1 5.

10. Dé la pendiente de cualquier recta que sea perpendicular a la gráfica de y 5 35 x 1 2.

Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares (Revise las páginas 168-173.) 11. ¿La gráfica de x 5 −2 es perpendicular a la gráfica de y 5 3?

12. ¿La gráfica de y 5 12 es perpendicular a la gráfica de y 5 −4?

13. ¿La gráfica de x 5 −3 es paralela a la gráfica de y 5 13 ?

14. ¿La gráfica de x 5 4 es perpendicular a la gráfica de y 5 −4?

15. ¿La gráfica de y 5 23x 2 4 es paralela a la gráfica de 3 y 5 22x 2 4?

16. ¿La gráfica de y 5 22x 1 23 es paralela a la gráfica de y 5 22x 1 3?

4

17. ¿La gráfica de y 5 3x 2 2 es perpendicular a la gráfica de 3 y 5 24x 1 2?

18. ¿La gráfica de y 5 12x 1 32 es perpendicular a la gráfica de y 5 212x 1 32?

† 19. ¿Las gráficas de 2x 1 3y 5 2 y 2x 1 3y 5 −4 son paralelas?

20. ¿Las gráficas de 2x 2 4y 5 3 y 2x 1 4y 5 23 son paralelas?

† 21. ¿Las gráficas de x − 4y 5 2 y 4x 1 y 5 8 son perpendiculares?

22. ¿Las gráficas de 4x 2 3y 5 2 y 4x 1 3y 5 27 son perpendiculares?

23. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (3, 2) y (1, 6) son paralelas a la recta que contiene los puntos con coordenadas (−1, 3) y (−1, −1)?

24. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (4, −3) y (2, 5) es paralela a la recta que contiene los puntos con coordenadas (−2, −3) y (−4, 1)?

25. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (−3, 2) y (4, −1) es perpendicular a la recta que contiene los puntos con coordenadas (1, 3) y (−2, −4)?

26. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (−1, 2) y (3, 4) es perpendicular a la recta que contiene los puntos con coordenadas (−1, 3) y (−4, 1)?

27. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (−5, 0) y (0, 2) es paralela a la recta que contiene los puntos con coordenadas (5, 1) y (0, −1)?

28. ¿La recta que contiene los puntos con coordenadas (3, 5) y (−3, 3) es perpendicular a la recta que contiene los puntos con coordenadas (2, −5) y (−4, 4)?

29. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−2, −4) y es paralela a la gráfica de 2x − 3y 5 2.

30. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(3, 2) y es paralela a la gráfica de 3x 1 y 5 23.

04_Cap-03_AUFMANN.indd 174

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SECCIÓN 3.6

175

Rectas paralelas y perpendiculares

† 31. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−4, −1) y es paralela a la gráfica de y 5 254 x 1 3.

32. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(3, −3) y es paralela a la gráfica de y 5 2x 3 2 1.

33. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(4, 1) y es perpendicular a la gráfica de y 5 23x 1 4.

34. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(2, −5) y es perpendicular a la gráfica de y 5 52x 2 4.

† 35. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−1, 23) y es perpendicular a la gráfica de 3x 2 5y 5 2.

36. Determine la ecuación de la recta que contiene el punto P(−1, 3) y es perpendicular a la gráfica de 2x 1 4y 5 21.

37.

l es una recta con la ecuación Ax 1 By 5 C tal que A y B son positivas. ¿Una recta paralela a l se inclina hacia abajo a la derecha o hacia arriba a la derecha?

38.

l es una recta con la ecuación Ax 1 By 5 C tal que A es positiva y B es negativa. ¿Una recta perpendicular a l se inclina hacia abajo a la derecha o hacia arriba a la derecha?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS A 39. Si las gráficas de A1x 1 B1y 5 C1 y A2x 1 B2y 5 C2 son paralelas, exprese 1 en términos B1 de A2 y B2. A 40. Si las gráficas de A1x 1 B1y 5 C1 y A2x 1 B2y 5 C2 son perpendiculares, exprese 1 en B1 términos de A2 y B2. Para los ejercicios 41 y 42, suponga que una pelota se hace girar al final de una cuerda y que el centro de rotación es el origen de un sistema de coordenadas. Si la cuerda se rompe, la trayectoria inicial de la pelota está en una recta que es perpendicular al radio del círculo. 41. Imagine que la cuerda se rompe cuando la pelota está en el punto P(6, 3). Determine la ecuación de la recta en la cual está la trayectoria inicial.

P(6, 3) O(0, 0)

42. Suponga que la cuerda se rompe cuando la pelota está en P(2, 8). Determine la ecuación de la recta en la cual está la trayectoria inicial. 1 2 43. Las gráficas de y 5 22x 1 2 y y 5 3x 2 5 se intersecan en el punto cuyas coordenadas son (6, −1). Determine la ecuación de una recta cuya gráfica interseque las gráficas de las rectas dadas para formar un triángulo rectángulo. (Sugerencia: Hay más de una respuesta a esta pregunta.)

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 44. Geometría Un teorema de geometría establece que una recta que pasa por el centro de un círculo y por un punto P en el círculo es perpendicular a la recta tangente en P. Vea la figura de la derecha. a. Si las coordenadas de P son (5, 4) y las coordenadas de C son (3, 2), ¿cuál es la ecuación de la recta tangente? b. ¿Cuáles son las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de la recta tangente?

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y recta tangente P C x

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176

CAPÍTULO 3

Funciones lineales y desigualdades con dos variables

3.7 OBJETIVO

Desigualdades con dos variables

Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables La gráfica de la ecuación lineal y 5 x 2 1 separa el plano en tres conjuntos: el conjunto de puntos en la recta, el conjunto de puntos sobre la recta y el conjunto de puntos por debajo de la recta. y

El punto cuyas coordenadas son (2, 1) es una solución de y 5 x 2 1 y es un punto sobre la recta. El punto cuyas coordenadas son (2, 4) es una solución de y . x 2 1 y es un punto por encima de la recta. El punto cuyas coordenadas son (2, −2) es una solución de y , x 2 1 y es un punto por debajo de la recta.

(2, 4)

4

encima y>x–1

2

(2, 1) –2

–4

0

2

–2

x

4

(2, –2)

El conjunto de puntos en la recta son las soluciones de la debajo –4 ecuación y 5 x 2 1. El conjunto de puntos por encima de y b. Describa el conjunto solución de cada sistema de desigualdades. 26. x 1 y . a 25. x 1 y , a x1y,b x1y,b 27. x 1 y , a x1y.b

28. x 1 y . a x1y.b

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Grafique el conjunto solución. 29. 2x 1 3y # 15 3x 2 y # 6 y$0

30. x 1 y # 6 x2y#2 x$0

31. x 2 y # 5 2x 2 y $ 6 y$0

32. x 2 3y # 6 5x 2 2y $ 4 y$0

33. 2x 2 y # 4 3x 1 y , 1 y#0

34.

x2y#4 2x 1 3y . 6 x$0

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto de puntos en un plano es un conjunto convexo si cada segmento de recta que conecta un par de puntos en el conjunto está contenido completamente dentro del conjunto. 35. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son convexos? (i)

(ii)

(iii)

(iv)

36. Grafique el sistema de desigualdades siguiente. ¿El conjunto solución es un conjunto convexo? x 1 y # 10 2x 1 y # 15 x $ 0, y $ 0

CAPÍTULO 4 Resumen Términos clave Un sistema de ecuaciones es dos o más ecuaciones consideradas en forma conjunta. Una solución de un sistema de ecuaciones con dos variables es un par ordenado que es una solución de cada ecuación del sistema.

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Objetivo y página de referencia

Ejemplos

[4.1.1, p. 188]

La solución del sistema x1y52 x2y54 es el par ordenado (3, 21). (3, 21) es el único par ordenado que es una solución de ambas ecuaciones.

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234

CAPÍTULO 4

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Cuando las gráficas de un sistema de ecuaciones se intersecan en exactamente un punto, el sistema se llama sistema de ecuaciones independiente.

[4.1.1, p. 188]

El sistema de ecuaciones 6x 2 5y 5 23 5x 1 4y 5 22 es independiente. La solución es (2, 3). y 6x – 5y = – 3

4

(2, 3)

2 –2 0 –2

2

4

6

x

5x + 4y = 22

Cuando las gráficas de un sistema de ecuaciones no se intersecan, el sistema no tiene solución y se llama sistema de ecuaciones inconsistente.

[4.1.1, p. 189]

El sistema de ecuaciones x 1 2y 5 6 x 1 2y 5 22 es inconsistente. El sistema no tiene solución. y 4 2 –2 0 –2 –4

Cuando las gráficas de un sistema de ecuaciones coinciden, el sistema se llama sistema de ecuaciones dependiente.

[4.1.1, p. 189]

x + 2y = 6 2

4

6

x

x + 2y = – 2

El sistema de ecuaciones 2x 2 y 5 4 4x 2 2y 5 8 es dependiente. Las soluciones son los pares ordenados (x, 2x - 4). y 2 –2 0 –2

2

2x – y = 4 x

4

6

–4 4x – 2y = 8 –6

Una ecuación de la forma Ax By Cz D se llama ecuación lineal con tres variables.

[4.2.2, p. 198]

3x 1 2y 2 5z 5 12 es una ecuación lineal con tres variables.

Una solución de un sistema de ecuaciones con tres variables es una terna ordenada que es solución de cada ecuación del sistema.

[4.2.2, p. 199]

La terna ordenada (1, 2, 1) es una solución del sistema de ecuaciones.

Una matriz es un arreglo rectangular de números.

[4.3.1, p. 204]

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 234

3x 1 y 2 3z 5 2 2x 1 2y 1 3z 5 6 2x 1 2y 2 2z 5 4 B

2 3 6 R es una matriz 2 3 3. 21 2 4

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235

4.3 E CAPÍTULOSECCIÓN 4 Resumen

Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

[4.3.1, p. 204]

Un determinante es un número asociado con una matriz cuadrada. El determinante de una matriz 2 3 2.

[4.3.1, pp. 204–205]

`

El menor de un elemento aij de un determinante es el determinante que permanece después de que la fila i y la columna j se han eliminado.

[4.3.1, p. 205]

2 1 3 †4 6 2† 1 8 3

El cofactor de un elemento aij de un determinante es (21) i1j por el menor de aij.

[4.3.1, p. 206]

En el determinante anterior, 4 es a21. El cofactor de 4 es

B

a11 a21

a12 a R es ` 11 a22 a21

a12 ` 5 a11a22 2 a21a12. a22

B

2 3 R es una matriz cuadrada. 4 21

2 23 ` 5 2 152 2 1242 1232 24 5 5 10 2 12 5 22

El menor de 4 es `

1212 211 ` La evaluación del determinante de una matriz 3 3 3 o mayor se realiza al expandir por cofactores.

[4.3.1, p. 206]

1 3 `. 8 3

1 3 1 3 ` 5 2` ` 8 3 8 3

La primera columna se expande por cofactores. 2 1 3 6 2 1 3 1 3 †4 6 2† 5 2` ` 2 4` ` 1 1` ` 8 3 8 3 6 2 1 8 3

Una matriz aumentada es una matriz que consiste en los coeficientes y los términos constantes de un sistema de ecuaciones.

[4.3.3, p. 210]

La matriz aumentada asociada con el sistema 4x 2 3y 1 z 5 7 x 1 y 2 5z 5 14 2x 1 3z 5 24 es 4 23 1 7 £1 1 25 † 14 § 2 0 3 24

El proceso de resolver un sistema de ecuaciones utilizando las operaciones elementales por fila se llama método de eliminación gausiana.

[4.3.3, p. 214]

Las desigualdades consideradas en conjunto se llaman sistema de desigualdades. El conjunto solución de un sistema de desigualdades es la intersección de los conjuntos individuales de soluciones de las desigualdades.

[4.5.1, p. 229]

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 235

y

x1y.3 x 2 y . 22

4

–4

0

4

x

–4

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236

CAPÍTULO 4

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Reglas y procedimientos esenciales

Objetivo y página de referencia

Un sistema de ecuaciones se puede resolver por:

[4.1.1, pp. 188–189]

1. El método gráfico

Ejemplos 1 y5 x12 2 5 y5 x22 2

y 4

(2, 3) –4

0

4

x

–4

2. El método de sustitución

[4.1.2, pp. 191–192]

(1) 2x 2 3y 5 4 (2) y 5 2x 1 2 Sustituya y por la expresión en la ecuación (1). 2x 2 3 12x 1 22 5 4 5x 2 6 5 4 5x 5 10 x52

Sustituya x en la ecuación (2). y 5 2x 1 2 y 5 2 122 1 2 5 0

La solución es 12, 02 . 3. El método de suma y resta

[4.2.1 y 4.2.2, pp. 196–197, 200]

22x 1 3y 5 6 2x 2 5y 5 22 22y 5 4 y 5 22

(1) (2)

(1)

22x 1 3y 5 6 22x 1 3 1222 5 6 22x 2 6 5 6 22x 5 12 x 5 26

• Sume las ecuaciones • Sustituya y por la expresión en la ecuación (1).

La solución es 126, 222 . La regla de Cramer

[4.3.2, pp. 207, 208]

Para dos variables: a11x 1 a12 y 5 b1 a21x 1 a22 y 5 b2 x5

Dy Dx a , y 5 , donde D 5 ` 11 D D a21

Dx 5 `

y

b1 b2

a12 a11 ` , Dy 5 ` a22 a21

D 2 0.

b1 `, b2

a12 `, a22

2x 2 y 5 6 x 1 3y 5 4 D5 `

2 21 ` 5 7, 1 3

Dx 5 `

6 21 ` 5 22, 4 3

Dy 5 `

2 6 ` 52 1 4

x5

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Dy 22 2 Dx 5 ,y5 5 D 7 D 7

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CAPÍTULO 4

Las operaciones elementales por fila se utilizan para reescribir una matriz en forma escalonada por filas:

[4.3.3, pp. 210, 212]

237

SECCIÓN 4.3 E Ejercicios de repaso

1 4 22 3 £0 1 3 † 21 § Forma escalonada por filas 0 0 1 6

1. Intercambie dos filas. 2. Multiplique todos los elementos de una fila por el mismo número diferente de cero. 3. Reemplace una fila con la suma de esa fila y un múltiplo de cualquier otra fila.

CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso 1. Resuelva por sustitución: 2x 2 6y 5 15 x 5 3y 1 8

2. Resuelva por sustitución: 3x 1 12y 5 18 x 1 4y 5 6

3. Resuelva por suma y resta: 3x 1 2y 5 2 x1y53

4. Resuelva por suma y resta: 5x 2 15y 5 30 x 2 3y 5 6

5. Resuelva por suma y resta: 3x 1 y 5 13 2y 1 3z 5 5 x 1 2z 5 11

6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 4y 2 2z 5 17 4x 2 3y 1 5z 5 5 5x 2 5y 1 3z 5 14

7. Evalúe el determinante: `

1 5 22 4† 8. Evalúe el determinante: † 22 1 4 3 28

6 1 ` 2 5

9. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 2x 2 y 5 7 3x 1 2y 5 7 11. Resuelva utilizando la regla de Cramer:

13. Resuelva por suma y resta:

x1y1z50 x 1 2y 1 3z 5 5 2x 1 y 1 2z 5 3

x 2 2y 1 z 5 7 3x 2 z 5 21 3y 1 z 5 1

15. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 2x 2 2y 2 6z 5 1 4x 1 2y 1 3z 5 1 2x 2 3y 2 3z 5 3 17. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 4x 2 3y 5 17 3x 2 2y 5 12

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10. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 3x 2 4y 5 10 2x 1 5y 5 15 12. Resuelva utilizando la regla de Cramer: x 1 3y 1 z 5 6 2x 1 y 2 z 5 12 x 1 2y 2 z 5 13 14. Resuelva utilizando la regla de Cramer:

3x 2 2y 5 2 22x 1 3y 5 1

3 22 5 16. Evalúe el determinante: † 4 6 3† 1 2 1

18. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 2y 2 z 5 21 x 1 2y 1 3z 5 21 3x 1 4y 1 6z 5 0

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238

CAPÍTULO 4

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

19. Resuelva por el método gráfico:

x1y53 3x 2 2y 5 26

21. Resuelva por el método gráfico: x 1 3y , 6 2x 2 y . 4

20. Resuelva por el método gráfico: 2x 2 y 5 4 y 5 2x 2 4 22. Resuelva por el método gráfico: 2x 1 4y $ 8 x1y#3

23. Movimiento uniforme Un crucero que viaja con la corriente recorrió 60 millas en 3 horas. Contra la corriente tardó 5 horas en recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del crucero en aguas en calma y la velocidad de la corriente. 24. Movimiento uniforme Un avión que vuela con el viento recorrió 600 millas en 3 horas. Volando contra el viento, el avión requirió 4 horas para recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del avión con viento en calma y la velocidad del viento. 25. Recreación En un cine, los boletos de admisión cuestan $5 por niño y $8 por adulto. Los recibos de un viernes por la noche fueron por $2500. Al día siguiente asistieron tres veces más niños que la noche anterior y sólo la mitad de adultos que la noche anterior, aun así el monto total por los recibos fue de $2500. Determine el número de niños que asistieron al cine el viernes por la noche. 26. Inversiones Un inversionista tiene un total de $25,000 depositados en tres cuentas distintas, que ganan tasas de interés anual de 8%, 6% y 4%. El monto depositado en la cuenta al 8% es el doble del monto en la cuenta del 6%. Si las tres cuentas ganan un interés total anual de $1520, ¿cuánto dinero se depositó en cada cuenta?

CAPÍTULO 4 Examen 1. Resuelva por sustitución: 3x 1 2y 5 4 x 5 2y 2 1

2. Resuelva por sustitución: 5x 1 2y 5 223 2x 1 y 5 210

3. Resuelva por sustitución: y 5 3x 2 7 y 5 22x 1 3

4. Resuelva por el método de eliminación gausiana: 3x 1 4y 5 22 2x 1 5y 5 1

5. Resuelva por suma y resta: 4x 2 6y 5 5 6x 2 9y 5 4

6. Resuelva por suma y resta: 3x 2 y 5 2x 1 y 2 1 5x 1 2y 5 y 1 6

7. Resuelva por suma y resta: 2x 1 4y 2 z 5 3 x 1 2y 1 z 5 5 4x 1 8y 2 2z 5 7

8. Resuelva por el método de eliminación gausiana: x2y2z55 2x 1 z 5 2 3y 2 2z 5 1

3 21 9. Evalúe el determinante: ` ` 22 4

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1 22 3 1 1† 10. Evalúe el determinante: † 3 2 21 22

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239

SECCIÓN 4.3 E Ejercicios de repaso acumulativos

11. Resuelva utilizando la regla de Cramer: x 2 y 5 3 2x 1 y 5 24

12. Resuelva utilizando la regla de Cramer: x2y1z52 2x 2 y 2 z 5 1 x 1 2y 2 3z 5 24

13. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 3x 1 2y 1 2z 5 2 x 2 2y 2 z 5 1 2x 2 3y 2 3z 5 23

14. Resuelva por el método gráfico: 2x 2 3y 5 26 2x 2 y 5 2

15. Resuelva por el método gráfico: x 2 2y 5 25 3x 1 4y 5 215

16. Grafique el conjunto solución: 2x 2 y , 3 4x 1 3y , 11

17. Grafique el conjunto solución: x 1 y . 2 2x 2 y , 21

18. Movimiento uniforme Un avión que vuela con el viento recorrió 350 millas en 2 horas. El viaje de regreso, volando contra el viento, tardó 2.8 horas. Calcule la velocidad del avión con viento en calma y la velocidad del viento. 19. Compras Un fabricante de ropa compró 60 yardas de algodón y 90 yardas de lana por un costo total de $1800. Otra compra, a los mismos precios, incluyó 80 yardas de algodón y 20 yardas de lana por un costo total de $1000. Calcule el costo por yarda del algodón y de la lana.

Ejercicios de repaso acumulativos 1 3 3 7 5 1. Resuelva: x 2 1 x 5 x 2 2 8 4 12 6

2. Encuentre la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(2, 21) y P2(3, 4).

3. Simplifique: 3 3 x 2 2 15 2 2x2 2 4x 4 1 6

4. Evalúe a 1 bc 4 2 cuando a 5 4, b 5 8, y c 5 22.

5. Resuelva: 2x 2 3 , 9 o 5x 2 1 , 4

6. Resuelva: 0 x 2 2 0 2 4 , 2

7. Resuelva: 0 2x 2 3 0 . 5

8. Dada f 1x2 5 3x3 2 2x2 1 1, evalúe f 1232 .

9. Determine el rango de f 1x2 5 3x2 2 2x si el dominio es 5 22, 21, 0, 1, 2 6 .

10. Dada F 1x2 5 x2 2 3, encuentre F 122 .

11. Dada f 1x2 5 3x 2 4, escriba en su forma más simple f 12 1 h2 2 f 122 .

12. Grafique: 5 x 0 x # 2 6 d 5 x 0 x . 23 6 .

13. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto 2 P(22, 3) y pendiente 23.

14. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(21, 2) y es perpendicular a la gráfica de 2x 2 3y 5 7.

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240

CAPÍTULO 4

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

15. Calcule la distancia entre los puntos con coordenadas (24, 2) y (2, 0).

16. Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos P1(24, 3) y P2(3, 5).

17. Grafique 2x 2 5y 5 10 utilizando la pendiente y la intersección con el eje y.

18. Grafique el conjunto solución de la desigualdad 3x 2 4y $ 8.

19. Resuelva por sustitución: 3x 2 2y 5 7 y 5 2x 2 1

20. Resuelva por suma y resta: 3x 1 2z 5 1 2y 2 z 5 1 x 1 2y 5 1

2 25 1 21. Evalúe el determinante: † 3 1 2† 6 21 4

22. Resuelva por el método gráfico: 5x 2 2y 5 10 3x 1 2y 5 6

23. Resuelva utilizando la regla de Cramer: 4x 2 3y 5 17 3x 2 2y 5 12

24. Grafique el conjunto solución: 3x 2 2y $ 4 x1y,3

25. Problema de mezclas ¿Cuántos mililitros de agua pura deben añadirse a 100 ml de una solución salina al 4% para preparar una solución salina al 2.5%? 26. Movimiento uniforme Volando con el viento, una avioneta tarda 2 horas en recorrer 150 millas. Contra el viento tarda 3 horas en recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del viento. 27. Compras El gerente de un restaurante compra 100 libras de carne molida y 50 de bistec por un costo total de $490. Una segunda compra, que pesa las mismas onzas, incluye 150 libras de carne molida y 100 de bistec. El costo total es de $860. Calcule el precio de una libra de bistec. 28. Electrónica Encuentre los límites inferior y superior de un resistor de 12,000 ohms con una tolerancia de 15%. Compensación La gráfica de la derecha muestra la relación entre el ingreso mensual, en dólares, y las ventas, en miles de dólares, de un ejecutivo de cuenta. Encuentre la pendiente de la recta entre los dos puntos mostrados en la gráfica. Escriba una expresión que establezca el significado de la pendiente.

y Ingreso (en dólares)

29.

5000

(100, 5000)

4000 3000 2000 1000 0

(0, 1000)

x

20 40 60 80 100

Ventas (en miles de dólares)

05_Cap-04_2a parte_AUFMANN.indd 240

12/10/12 07:29 p.m.

5

CAPÍTULO

Polinomios y exponentes

Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Leíste “Pregunta a los autores” al principio del libro? De ser así, ya sabes que el consejo de los autores es practicar, practicar y practicar, y luego practicar un poco más. Cuanto más tiempo dediques a las matemáticas fuera de la clase, tanto más exitoso serás en este curso. (Revisa Comprométase con el éxito, en la página A-3.)

OBJETIVOS 5.1

5.2 5.3

5.4

5.5

5.6

1 Multiplicar monomios 2 Dividir monomios y simplificar

expresiones con exponentes negativos 3 Notación científica 4 Problemas de aplicación 1 Evaluar funciones polinomiales 2 Sumar y restar polinomios 1 Multiplicar un polinomio por un monomio 2 Multiplicar dos polinomios 3 Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 4 Problemas de aplicación 1 Dividir un polinomio entre un monomio 2 Dividir polinomios 3 División sintética 4 Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 1 Factorizar un polinomio para obtener un monomio 2 Factorizar por agrupamiento de términos trinomios de la 1 Factorizar forma x2 1 bx 1 c 2 Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 241

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el siguiente Examen de preparación para averiguar si está preparado para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 24 13y2 2. Simplifique: 1222 3 3. Simplifique: 24a 2 8b 1 7a 4. Simplifique: 3x 2 2 3 y 2 4 1x 1 12 1 5 4 5. Simplifique: 2 1x 2 y2 6. Escriba 40 como producto de números primos. 7. Encuentre el MCD de 16, 20 y 24. 8. Evalúe x3 2 2x2 1 x 1 5 si x 5 22. 9. Resuelva: 3x 1 1 5 0

5.7

5.8

1 Factorizar la diferencia de

dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 2 Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 3 Factorizar trinomios que están en forma cuadrática 4 Factorizar completamente 1 Resolver ecuaciones por factorización 2 Problemas de aplicación

12/10/12 07:48 p.m.

242

CAPÍTULO 5

5.1 OBJETIVO

Polinomios y exponentes

Expresiones con exponentes Multiplicar monomios Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.

Punto de interés Alrededor del año 250 d.C., el monomio 3x2 que aparece a la derecha se habría escrito DY3, o por lo menos algo parecido. En el año 250 d.C., el símbolo del número 3 no era el que utilizamos en la actualidad.

Los ejemplos que se presentan a la derecha son monomios. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables.

El grado de un término constante diferente de cero es cero.

grado 1 1x 5 x12 grado 2 grado 3 grado 9 grado n grado 0

x 3x2 4x2y 6x3y4z2 xn 6

La expresión 5!x no es un monomio, porque !x no puede escribirse como un producto de variables. La expresión xy no es un monomio porque es un cociente de variables. La expresión x4 es una expresión con exponente. El exponente, 4, indica el número de veces que la base, x, se presenta como factor.

Considere que si suma los exponentes, obtiene el mismo producto.

3 factores 4 factores

H

H

x3 # x4 5 1x # x # x2 # 1x # x # x # x2

6

Para simplificar el producto de expresiones con exponentes con la misma base, se escribe cada expresión en forma factorizada y el resultado se escribe con un exponente.

7 factores 5 x7 x3 # x4 5 x314 5 x7

REGLA PARA MULTIPLICAR EXPRESIONES CON EXPONENTES

Si m y n son números enteros, entonces xm # xn 5 xm1n. EJEMPLOS

1. x5 # x3 5 x5 1 3 5 x8 2. a # a4 5 a114 5 a5 3. z2 # z4 # z5 5 z21415 5 z11 4. 1v4r32 1v2r2 5 v412r311 5 v6r4

• Recuerde que a 5 a1.

• Sume los exponentes de bases semejantes.

Concéntrese en simplificar el producto de expresiones con exponentes Simplifique: 124x5y2 123x2y32

Utilice las propiedades conmutativa y asociativa para reordenar y agrupar factores. Multiplique los coeficientes. Para multiplicar las variables con bases semejantes, sume los exponentes.

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 242

124x5y2 123x2y32 5 3 1242 1232 4 1x5 # x22 1y # y32 5 12x512y113 5 12x7y4

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SECCIÓN 5.1

243

Expresiones con exponentes

Simplifique: 122a3b2c2 14a4c72

EJEMPLO 1

122a3b2c2 14a4c72 5 122 # 42 a314b2c117 • Multiplique los coeficientes. Multiplique las variables con 5 28a7b2c8

Solución

bases semejantes sumando los exponentes.

Simplifique: 17xy32 125x2y22 12xy22

Problema 1 Solución

Revise la página S14.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 250. Como se muestra a continuación, para simplificar la potencia de un monomio, se escribe la potencia en forma factorizada y luego se utiliza la regla para multiplicar expresiones con exponentes. Escriba en forma factorizada.

1a22 3 5 a2 # a2 # a2

Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes. La expresión también puede simplificarse si se multiplica cada exponente entre paréntesis por el exponente fuera de los paréntesis.

5 a21212 5 a6

1a22 3 5 a2 3 5 a6 #

1x3y42 2 5 1x3y42 1x3y42 5 x313y414 5 x6y8

1x3y42 2 5 x3 2y4 2 5 x6y8 #

#

REGLA PARA SIMPLIFICAR UNA POTENCIA DE UNA EXPRESIÓN CON EXPONENTES

Si m y n son números enteros, entonces 1xm2 n 5 xmn. EJEMPLOS

1. 1x52 3 5 x5 3 5 x15 # 2. 1y82 2 5 y8 2 5 y16 #

Una regla relacionada con la anterior aplica a la potencia de un monomio.

REGLA PARA SIMPLIFICAR POTENCIAS DE PRODUCTOS

Si m, n y p son números enteros, entonces 1xmyn2 p 5 xmpynp. EJEMPLOS

1. 1x4y32 5 5 x4 5y3 5 5 x20y15 # # 2. 12x42 3 5 21 3x4 3 • 2 5 21 3 12 12 5 2 x 5 8x #

EJEMPLO 2 Solución

#

Simplifique. A. 122a4b22 3

B. 122x2y32 123xy22 4

A. 122a4b22 3 5 1222 1?3a4?3b2?3 5 1222 3a12b6 5 28a12b6

B. 122x2y32 123xy22 4 5 122x2y32 3 1232 1?4x1?4y2?4 4 5 122x2y32 3 1232 4x4y8 4 5 122x2y32 3 81x4y8 4 5 2162x6y11

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 243

• Multiplique los exponentes.

• Utilice la regla para simplificar potencias de productos.

• Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes.

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244

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Problema 2 Solución

B. 12a3b22 123a4b2 3

Simplifique. A. 12x2y42 5 Revise las páginas S14-S15.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 250.

OBJETIVO

Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos Para simplificar el cociente de dos expresiones con exponentes con la misma base, escriba cada expresión en forma factorizada, divida entre los factores comunes y escriba el resultado con un exponente.

x5 x#x#x#x#x 5 5 x3 x2 x#x

Si resta los exponentes, obtendrá el mismo resultado.

x5 5 x522 5 x3 x2

1

1

1

1

Para dividir dos monomios con la misma base, reste los exponentes de las bases semejantes.

REGLA PARA DIVIDIR EXPRESIONES CON EXPONENTES

Si m y n son números enteros y x 2 0, entonces

xm 5 xm2n. xn

EJEMPLOS

x7 5 x725 5 x2 x5 a5b7 5 a524b721 2. a4b 5 ab6 1.

EJEMPLO 3 Solución

Simplifique. A.

A.

B.

Problema 3 Solución

• Reste los exponentes de bases semejantes.

6x5y3 8x2y

3x522y321 6x5y3 5 8x2y 4 3x3y2 5 4

B.

6 en su forma más simple. Reste 8 los exponentes de bases semejantes.

• Escriba

26a7b5 5 23a725b524 2a5b4 5 23a2b

Simplifique. A.

26a7b5 2a5b4

28x7y5 16xy4

26 en su forma más simple. 2 Reste los exponentes de bases semejantes.

• Escriba

B.

5a5b3 8a2b

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 47 de la página 251. x4 Considere la expresión 4 , x 2 0. Para simplificar esta expresión, reste los exponentes o divida x entre los factores comunes. x4 5 x424 5 x0 x4

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1

1

1

1

1

1

1

1

x4 x#x#x#x 51 4 5 x x#x#x#x

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SECCIÓN 5.1

Las ecuaciones

245

Expresiones con exponentes

x4 x4 0 5 x y 5 1 indican la siguiente definición de x0. x4 x4

DEFINICIÓN DEL CERO COMO EXPONENTE

Si x 2 0, entonces x0 5 1. La expresión 00 no está definida. EJEMPLOS

Suponga que el valor de una variable es diferente de cero.

1. 12122 0 5 1 3. 13y2 0 5 1

2. a0 5 1 4. 3y0 5 3 # 1 5 3

x4 Considere la expresión 6 , x 2 0. Para simplificar esta expresión reste los exponentes o divida x entre los factores comunes. x4 5 x426 5 x22 x6

1

4

Las ecuaciones

1

1

1

1

1

1

1

x4 x#x#x#x 1 5 2 6 5 # # # # # x x x x x x x x 4

1 x x 1 22 y 6 5 2 indican que x22 5 2 . 6 5 x x x x x

DEFINICIÓN DE UN EXPONENTE NEGATIVO

Si x 2 0 y n es un entero positivo, entonces x2n 5

1 1 n n y 2n 5 x . x x

EJEMPLOS

Suponga que el valor de una variable es diferente de cero. 1 1 2 2. 2x25 5 5 1. 322 5 2 5 3 9 x 1 1 5 3. 12x2 25 5 5 4. 24 5 5a4 12x2 5 32x5 a

Una expresión con exponentes está en su forma más simple cuando contiene sólo exponentes positivos.

Concéntrese en escribir en su forma más simple una expresión con exponentes negativos Utilice la definición de exponente negativo para escribir lo siguiente en su forma más simple. Suponga que x 2 0 y y 2 0. A. 223x 5

1 # 1# x x5 3 x 5 2 8 8

B.

x22 1 # 3 y3 22 # 1 23 5 x 23 5 2 y 5 2 y y x x

C.

2x24 2 2 1 2 5 # x24 5 # 4 5 4 y y y x xy

En los ejemplos anteriores supusimos que x 2 0 y y 2 0. La razón es que la división entre cero no está definida. En este libro supondremos que los valores de las variables se eligen de modo que no haya divisiones entre cero. Con base en esta condición, por lo general no mencionaremos las restricciones sobre las variables.

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246

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

El cero y los exponentes negativos pueden presentarse cuando se utiliza la regla para dividir expresiones con exponentes.

EJEMPLO 4

9x5y2 12x5y7

Simplifique. A.

Solución

A.

B.

5x22y4 10x5y21

B.

3x525y227 3x0y25 9x5y2 5 5 75 12x y 4 4 3 5 5 4y

• Utilice la regla para dividir expresiones con exponentes. • Utilice las definiciones de cero y de los exponentes negativos para escribir en la forma más simple.

5x22y4 x2225y42 1212 x27y5 • Utilice la regla para dividir expresiones 5 5 21 5 10x y 2 2 con exponentes. 5 y • Utilice la definición de exponente 5 7 negativo para escribir en la forma 2x más simple.

Problema 4

Simplifique.

Solución

18x26y 9x26y7

A.

B.

6x8y23 4x22y4

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 75 de la página 251.

x3 2 x3 Considere la expresión a 4 b , y 2 0. Para simplificarla, eleve al cuadrado 4 o multiplique y y cada exponente en el cociente por el exponente fuera de los paréntesis. #

x3 2 x3 x3 x3 # x3 x313 x6 a 4 b 5 a 4 b a 4 b 5 4 # 4 5 414 5 8 y y y y y y y

x3 2 x3 2 x6 a 4b 5 4#2 5 8 y y y

REGLA PARA SIMPLIFICAR POTENCIAS DE COCIENTES

Si m, n y p son números enteros y y 2 0, entonces a

xm p xmp b 5 np . yn y

EJEMPLOS

1. a

#

EJEMPLO 5

Solución

r3 5 r 3 5 r15 2. a b 5 1 # 5 5 5 t t t

Simplifique. A. a A. a

B. a

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#

a4 3 a4 3 a12 5 5 b # b5 b5 3 b15

r22 3 b t4

r22 3 r22 3 r26 5 5 b # t4 t4 3 t12 1 5 6 12 rt #

a4 22 a4 1222 a28 5 3 1222 5 26 3b b b b 6 b 5 8 a

B. a

a4 22 b b3

• Utilice la regla para simplificar potencias. • Utilice la definición de exponente negativo para simplificar. • Utilice la regla para simplificar potencias de cocientes • Utilice la definición de exponente negativo para simplificar.

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SECCIÓN 5.1

Problema 5 Solución

Simplifique.

A. a

247

Expresiones con exponentes

x2 4 b y23

x5 23 B. a 4 b y

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 73 de la página 251.

Las reglas para simplificar expresiones con exponentes y potencias de expresiones con exponentes se vuelven a plantear a continuación por conveniencia.

REGLAS DE LOS EXPONENTES

Si m, n y p son números enteros y x 2 0 y y 2 0, entonces xm # xn 5 xm1n xm 5 xm2n xn x0 5 1

EJEMPLO 6 Solución

1xm2 n 5 xmn xm p xmp a n b 5 np y y

Simplifique. A. 13x2y232 16x24y52 A. 13x2y232 16x24y52 5 18x21 1242 y2315 5 18x22y2 18y2 5 2 x

B. a

Problema 6 Solución

1xmyn2 p 5 xmpynp 1 x2n 5 n x

3a2b22c21 22 b 27a21b2c24

• Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes. • Utilice la definición de exponente negativo para reescribir la expresión sin exponentes negativos.

3a2b22c21 22 a3b24c3 22 5 b a b 27a21b2c24 9

Simplifique.

B. a

5

a26b8c26 922

5

92b8 a6c6

5

81b8 a6c6

A. 12x25y2 15x4y232

• Simplifique dentro de los paréntesis utilizando la regla para dividir expresiones con exponentes. • Multiplique cada exponente dentro de los paréntesis por el exponente fuera de los paréntesis. • Utilice la definición de exponente negativo para reescribir la expresión sin exponentes negativos. • Simplifique.

B. a

221x2y23 22 b 4x22y25

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 77 de la página 252.

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CAPÍTULO 5

OBJETIVO Punto de interés Los astrónomos miden con el pársec la distancia a la que están algunas estrellas. Un pársec es aproximadamente 1.92 3 1013 mi.

Tome nota

Notación científica En los campos de la ciencia y la ingeniería se encuentran números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, la masa del electrón es de 0.0000000000000000000000000009 g. Números así son difíciles de leer y escribir, por lo que se inventó un sistema más práctico para escribirlos. Se llama notación científica. Para expresar un número en notación científica, escríbalo como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. La forma de la notación científica es a 3 10n, donde 1 # a , 10 y n es un entero. Para números mayores que 10, desplace el punto decimal a la derecha del primer dígito. El exponente n es positivo e igual al número de posiciones que se recorrió el punto decimal.

965,000

5 9.65 3 105

3,600,000

5 3.6 3 106

Para números menores que 1, recorra el punto decimal a la derecha del primer dígito diferente de cero. El exponente n es negativo. El valor absoluto del exponente es igual al número de posiciones que se recorrió el punto decimal.

0.0002

5 2 3 1024

0.0000000974

5 9.74 3 1028

Problema 7 Solución

0.000000000086 5 8.6 3 10211

Q

Solución

Q

EJEMPLO 7

92,000,000,000 5 9.2 3 1010

Q

Hay dos pasos para escribir un número en notación científica: 1. determinar el número entre 1 y 10, y 2. determinar el exponente de 10.

Polinomios y exponentes

Q Q Q

248

Escriba en notación científica 0.000041. 0.000041 5 4.1 3 1025

• El punto decimal debe recorrerse 5 posiciones a la derecha. El exponente es negativo.

Escriba en notación científica 942,000,000. Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 93 de la página 252. La conversión de un número escrito en notación científica a notación decimal requiere recorrer el punto decimal. Cuando el exponente es positivo, recorra el punto decimal a la derecha el mismo número de posiciones que el exponente.

1.32 3 104 5 13,200 1.4 3 108 5 140,000,000

Cuando el exponente es negativo, recorra el punto decimal a la izquierda el mismo número de posiciones que el valor absoluto del exponente.

1.32 3 1022 5 0.0132 1.4 3 1024 5 0.00014

EJEMPLO 8 Solución Problema 8 Solución

Escriba en notación decimal 3.3 3 107. 3.3 3 107 5 33,000,000 • Recorra el punto decimal 7 posiciones a la derecha. Escriba en notación decimal 2.7 3 1025. Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 101 de la página 252. Los cálculos numéricos que se relacionan con números que tienen más dígitos de los que una calculadora maneja se pueden realizar con notación científica.

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SECCIÓN 5.1

EJEMPLO 9 Solución

Simplifique:

2,400,000,000 3 0.0000063 0.00009 3 480

2,400,000,000 3 0.0000063 0.00009 3 480 5 5

2.4 3 109 3 6.3 3 1026 9 3 1025 3 4.8 3 102

12.42 16.32 3 1091 1262 2 1252 22 192 14.82

5 0.35 3 106 5 3.5 3 105 Problema 9 Solución

249

Expresiones con exponentes

Simplifique:

• Escriba los números en notación científica. • Utilice las reglas para multiplicar y dividir expresiones con exponentes. • Simplifique. • Escriba en notación científica.

5,600,000 3 0.000000081 900 3 0.000000028

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 105 de la página 252.

OBJETIVO

Problemas de aplicación EJEMPLO 10 Estrategia

Solución

¿Cuántas millas recorre la luz en un día? La velocidad de la luz es de 186,000 mi/s. Escriba la respuesta en notación científica. Para calcular la distancia recorrida:  Escriba en notación científica la velocidad de la luz.  Escriba en notación científica el número de segundos que hay en un día.  Utilice la ecuación d 5 rt, donde r es la velocidad de la luz y t el número de segundos que hay en un 1 día. 186,000 5 1.86 3 105 24 # 60 # 60 5 86,400 5 8.64 3 104 d 5 rt d 5 11.86 3 1052 18.64 3 1042 d 5 1.86 3 8.64 3 109 d 5 16.0704 3 109 d 5 1.60704 3 1010 La luz recorre 1.60704 × 1010 mi en 1 día.

Problema 10

Solución

Una computadora realiza una operación aritmética en 1 3 1027 s. ¿Cuántas operaciones aritméticas puede realizar en 1 min? Escriba la respuesta en notación científica. Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 125 de la página 253.

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250

CAPÍTULO 5

5.1

Polinomios y exponentes

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuáles de los siguientes son monomios? (i) 7

(ii) 23x2y3

(iii) 2x 1 3

(iv)

xy2 3

(v)

3y x

2. ¿Qué establece la regla para multiplicar expresiones con exponentes? 3.

¿La regla para simplificar potencias de productos aplica a (a2 1 b3)4? ¿Por qué?

4. Si x es un número positivo, ¿es x23 un número positivo o negativo? 1 5. ¿Cuál es el valor de 25 ? 2 6. Si a 2 0, ¿cuáles son los valores de 2a0 y (2a)0?

Multiplicar monomios (Revise las páginas 242–244.) PREPÁRESE 7. De las dos expresiones x4 1 y5 y x4y5, la que es un monomio es ? . El grado del monomio es

?

.

8. a. Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes para multiplicar: ? . 1a82 1a52 5 b. Utilice la regla para simplificar la potencia de una expresión con exponentes para ? . simplificar: 1a82 5 5 c. Utilice la regla para simplificar potencias de productos para simplificar: ? . 1a8b2 5 5 9.

Indique si es posible simplificar la expresión con una o más de las reglas mencionadas en el ejercicio 8.

a. 1ab2 2 10.

b. 1a 1 b2 2

c. 1x2 1 y32 2

d. 1x2y32 2

a. ¿Verdadero o falso? x3y4 5 xy12 b. ¿Verdadero o falso? x3y4 5 xy7 c. ¿Verdadero o falso? 1x3y42 2 5 x9y16 d. ¿Verdadero o falso? 1x3 1 y42 2 5 x6 1 y8

Simplifique.

12. 15x2y42 13y2z32

13. 12b3c52 12a2c42

14. 1z32 4

15. 1b52 2

16. 1a7b32 2

17. 1xy62 4

18. 1r3s2 5

19. 1x2y42 4

20. 12x32 5

21. 13a2 4

22. 125x32 3

23. 124c52 4

24. 16x3y42 2

26. 123x2y32 4

27. 122ab22 3

28. 1xy2z32 4

29. 122x2yz32 5

30. 123r3s2t2 6

31. 12xy2 123x2yz2 1x2y3z32

† 11. 126r2t52 124rt2

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 250

† 25. 122x5y2 6

12/10/12 07:48 p.m.

SECCIÓN 5.1

251

Expresiones con exponentes

32. 1x2z42 12xyz42 123x3y22

33. 13b52 12ab22 122ab2c22

34. 12c32 122a2bc2 13a2b2

35. 122x2y3z2 13x2yz42

36. 12a2b2 3 123ab42 2

37. 123ab32 3 1222a2b2 2

38. 14ab2 2 122ab2c32 3

39. 122ab22 123a4b52 3

Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos (Revise las páginas 244–247.) Explique cómo se dividen dos expresiones con exponentes con la misma base.

40.

Si una variable tiene exponente negativo, ¿cómo puede reescribirla con un exponente positivo?

41.

PREPÁRESE 42. Siempre que x sea diferente de cero, x0 se define igual a ? , 12x22 0 5 ? , y 24x0 5 ? nición, 50 5 43. Simplifique: a a

a23 2 b 51 a5

? .

. Utilizando esta defi-

a23 2 b a5 ?

5

?

5

?

22

• Las bases dentro de los paréntesis son iguales. Reste los exponentes. • Multiplique el exponente dentro de los paréntesis por el exponente fuera de los paréntesis. • Utilice la definición de exponente negativo para reescribir la expresión con un exponente positivo.

Simplifique. 44.

a8 a5

45.

15a7 5a4

46.

x5y10 x2y

48.

3x9y4 26x3y3

49.

12ab3c6 18bc5

50.

53.

1 325

54.

57.

a3 4b22

58. x24x4

52. 223

56.

2x22 y4

† 47.

a7b a2b4

x3 x12

51.

x3y6 x3y3

1 x24

55.

1 y23

x23 x2

59. x23x25

60. 13x222 2

61. 15x22 23

62.

64. a22 # a4

65. a25 # a7

66. 1x2y242 2

67. 1x3y52 22

68. 12a212 22 12a212 4

69. 13a2 23 19a212 22

70. 1x22y2 2 1xy2 22

71. 1x21y22 23 1x2y242 23

72.

62a22b3 3ab4

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 251

x2 24 † 73. a b y

74.

248ab10 32a4b3

63.

† 75.

x4 x25

a2b3c7 a6bc5

12/10/12 07:48 p.m.

252

CAPÍTULO 5

76.

124x2y32 2 12xy22 3

80.

12a23b222 3 1a24b212 22

Polinomios y exponentes

† 77.

123a2b32 2 122ab42 3

78. a

x23y24 22 b x22y

81.

13x22y2 22 14xy222 21

82. a

422xy23 3 821x22y 22 9ab22 22 3a22b 3 83. a 22 b a 2 22 b b a 4 21 b 23 x y xy 8a b 2a b

84. 3 1xy222 3 4 22

79. a

x 22 3 86. c a 2 b d y

85. 3 1x22y212 2 4 23

a22b 2 b a3b24

87. c a

a2 21 2 b d b

¿Verdadero o falso?

88.

a 21 b a. a b 5 b a

b. 1a 2 b2 2 1 5

1 1 2 a b

¿Verdadero o falso?

89. a.

an a n2m m 5 a b b b

b.

an 5 an 2 m am

Notación científica (Revise las páginas 248–249.) PREPÁRESE 90. Un número está en notación científica si se escribe como el producto de un número ? y ? y una potencia de ? . entre 91. Para escribir en notación científica el número 0.00000078, desplace el punto decimal ? posiciones a la ? . Esto significa que el exponente de 10 es ? .

Escriba en notación científica. 92. 0.00000467 95. 4,300,000

† 93. 0.00000005

94. 0.00000000017

96. 200,000,000,000

97. 9,800,000,000

Escriba en notación decimal. 98. 1.23 3 1027 † 101. 6.34 3 105

99. 6.2 3 10212 102. 3.9 3 1022

Simplifique. Escriba la respuesta en notación científica. 104. 13 3 102122 15 3 10162

106. 10.00000652 13,200,000,000,0002

100. 8.2 3 1015 103. 4.35 3 109

† 105. 18.9 3 10252 13.2 3 10262 107. 1480,0002 10.00000000962

108.

9 3 1023 6 3 105

109.

2.7 3 104 3 3 1026

110.

0.0089 500,000,000

111.

4800 0.00000024

112.

0.00056 0.000000000004

113.

0.000000346 0.0000005

114. 116.

13.2 3 102112 12.9 3 10152 8.1 3 1023

10.000000042 184,0002 10.00032 11,400,0002

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 252

115. 117.

16.9 3 10272 18.2 3 102132 4.1 3 1015

17202 10.00000000392 126,000,000,0002 10.0182

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SECCIÓN 5.1

Expresiones con exponentes

253

En los ejercicios 118 y 119, a × 10n y b × 10m son números escritos en notación científica. Indique si la expresión es mayor o menor que 1. 1a 3 10n2 , donde n . m 118. 1b 3 10m2

119. 1a 3 10n2 1b 3 10m2, donde n , 0 y m , 0

Problemas de aplicación (Revise la página 249.) PREPÁRESE 120. Escriba en notación científica el número de segundos que hay en 5 h: 5 h 5 (5 h)( ? min/h)( ? s/min) ? s 5 5 1.8 3 10 ? s 121. La velocidad de la luz es 3 3 105 km/s. Utilice su respuesta del ejercicio 120 para calcular cuántos kilómetros recorre la luz en 5 h: ? 3 10 ? km d 5 13 3 1052 11.8 3 1042 km 5

Física ¿Cuántos metros recorre la luz en un día? La velocidad de la luz es 3 3 108 m/s.

124.

Física Una centrifugadora de alta velocidad realiza 4 3 108 revoluciones por minuto. Calcule el tiempo en segundos que tarda la centrifugadora en realizar una revolución.

† 125.

Física La masa de un electrón es 9.109 3 10231 kg. La masa de un protón es 1.673 3 10227 kg. ¿Cuántas veces es más pesado un protón que un electrón?

126.

Geología La masa de la Tierra es 5.9 3 1024 kg. La masa del Sol es 2 3 1030 kg. ¿Cuántas veces es más pesado el Sol que la Tierra?

127.

Astronomía Utilice la información del siguiente artículo para determinar el número promedio de millas que recorrió diariamente el Phoenix en su viaje a Marte.

En las noticias Aterrizaje del Phoenix en Marte A las 7:53 de la noche, un aterrizaje sin contratiempos en la superficie de Marte puso fin al viaje de 296 días y 422 millones de millas de la nave espacial Phoenix al Planeta Rojo.

NASA/JPL/UA/Lockheed Martin

123.

Gorich/Shutterstock.com

Resuelva. Escriba la respuesta en notación científica. Física ¿Cuántos metros recorre la luz en 8 h? La velocidad de la luz es 3 3 108 m/s. 122.

Fuente: The Los Angeles Times

128.

Astronomía Las órdenes enviadas desde una computadora en la Tierra tardaron 11 minutos en llegar al Phoenix Mars Lander, una distancia de 119 millones de millas. ¿A qué velocidad viajaron las señales de la Tierra a Marte?

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 253

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254 129.

130.

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Silvicultura Utilice la información del artículo que aparece a la derecha. Si cada acre quemado del parque Yellowstone tuviera 12,000 plantas jóvenes de pino contorta que crecen en él un año después de un incendio, ¿cuántas nuevas plantas jóvenes crecerían?

En las noticias Los incendios forestales dispersan semillas

Silvicultura Utilice la información del artículo que aparece a la derecha. Calcule el número de semillas que dispersan los pinos contorta por cada planta joven sobreviviente.

131.

Astronomía ¿Cuánto tiempo tardaría un viaje de la Tierra al Sol? El Sol se encuentra a 9.3 3 107 mi de la Tierra, y la velocidad de la luz es de 1.86 3 105 mi/s.

132.

Astronomía El diámetro de Neptuno mide 3 3 104 mi. Utilice la fórmula SA 5 4pr2 para calcular el área superficial de Neptuno en millas cuadradas.

Los seres humanos temen a los incendios forestales, pero no el pino contorta, un árbol que aprovecha el intenso calor de un incendio para liberar las semillas de sus piñas. Después de un incendio que arrasó 12,000,000 de acres del Parque Nacional Yellowstone, los científicos contaron 2 millones de semillas de pino contorta en un acre del parque. Un año después, los científicos regresaron a ese acre y calcularon 12,000 plantas jóvenes de pino contorta que renacieron de las cenizas.

133. Biología El radio de una célula mide 1.5 3 1024 mm. Utilice la fórmula V 5 43pr3 para calcular el volumen de la célula.

135.

Química Un gramo de hidrógeno contiene 6.023 3 1023 átomos. Calcule el peso de un átomo de hidrógeno.

Fuente: National Public Radio

Astronomía Se estima que nuestra galaxia mide a lo ancho 5.6 3 1019 mi. ¿Cuánto tiempo (en horas) tardaría una nave espacial en cruzar la galaxia si se desplazara a 25,000 mph?

Viktar Malyshchyts/ Shutterstock.com

134.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 2

136. Evalúe 3x para los valores dados de x. b. x 5 3 a. x 5 2

c. x 5 21

d. x 5 22

137. Evalúe 22x para los valores dados de x. a. x 5 2 b. x 5 3

c. x 5 21

d. x 5 22

2

Simplifique cada expresión. Suponga que m y n son enteros positivos y que x 2 0. 138. x3nx4n 141.

x5n x2n

139. 122xnym2 13xny2m2

142.

xny5m x3nym

140. 13xm2 4 143. a

3 22 b x3n

Simplifique. 144.

n21 22 4m4 b 22 1 a n m2

146. a

3a22b 2 a21b 21 4 b a b a24b21 9a2b3

145.

5x3 x21 23 26 1 a 2 b y y

147. a

2m3n22 22 mn5 3 4 b a b 4m4n m21n3

148. ¿Verdadero o falso? 12 1 32 22 5 222 1 322 149. Si a y b son números reales positivos y a , b, ¿qué relación hay entre a21 y b21?

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SECCIÓN 5.2

255

Introducción a los polinomios

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 150. Reúna tres monedas: una de un centavo, una de cinco centavos y una de diez centavos. Dibuje tres puntos en una hoja de papel y coloque las monedas en una pila de mayor a menor (en tamaño) sobre uno de los puntos. Ahora pase las monedas a uno de los otros puntos siguiendo estas reglas: desplace una moneda a la vez; nunca coloque una moneda de mayor tamaño sobre una más pequeña. ¿Cuántos movimientos se requieren? Escriba este número como una expresión con exponentes con una base de 2. 151. Repita el ejercicio 150 con cuatro monedas: una de un centavo, una de cinco centavos, una de diez centavos y una de veinticinco centavos. ¿Cuántos movimientos se requieren para pasar la pila de monedas a uno de los otros puntos? Escriba este número como una expresión con exponentes con una base de 2. 152. Repita el ejercicio 150 con cinco monedas: una de un centavo, una de cinco centavos, una de diez centavos, una de veinticinco centavos y una de cincuenta centavos (utilice un disco de cartón si no tiene una moneda de cincuenta centavos). ¿Cuántos movimientos se requieren para pasar la pila de monedas a uno de los otros puntos? Escriba este número como una expresión con exponentes con una base de 2.

5.2 OBJETIVO

Introducción a los polinomios Evaluar funciones polinomiales Un polinomio es una expresión algebraica en la cual los términos son monomios. Un polinomio de un término es un monomio.

5x

Un polinomio de dos términos es un binomio.

5x2y 1 6x

Un polinomio de tres términos es un trinomio.

3x2 1 9xy 2 5y

Los polinomios con más de tres términos no tienen nombres especiales. A continuación se presentan algunos ejemplos adicionales de polinomios. Un polinomio de cuatro términos Los coeficientes pueden ser cualquier número real. Los exponentes de las variables deben ser enteros positivos.

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3x4 2 6x2 1 5x 2 9 5 !3x3 2 px2 1 x 2 7 2

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256

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Concéntrese en identificar un polinomio Indique si la expresión dada es un polinomio. Explique. B. x4 2 3x 2 !7

1 12 x A. No. Los polinomios deben tener exponentes enteros positivos en las variables. A. 3x4 1 2x22 2 3

C.

B. Sí. Los exponentes de las variables son enteros positivos. C. No. Porque

1 1 2 5 x21 1 2, el exponente de la variable es un entero negativo. x

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de cualquiera de sus términos.

3x 1 2 3x2 1 2x 2 4 4x3y2 1 6x4

Los términos de un polinomio en una variable por lo general se ordenan de manera que los exponentes de la variable disminuyan de izquierda a derecha. Esto se llama orden descendente.

2x2 2 x 1 8

grado 1 grado 2 grado 5

3y3 2 3y2 1 y 2 12

En un polinomio de más de una variable, el “orden descendente” puede referirse a cualquiera de las variables. El polinomio de la derecha aparece primero en orden descendente de la variable x y luego en orden descendente de la variable y.

2x2 1 3xy 1 5y2 5y2 1 3xy 1 2x2

La función lineal dada por f 1x2 5 mx 1 b es un ejemplo de una función polinomial. Se trata de una función polinomial de grado 1. Una función polinomial de segundo grado, conocida como función cuadrática, está dada por la ecuación f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c, a 2 0. Una función polinomial de tercer grado se llama función cúbica. En general, una función polinomial es una expresión cuyos términos son monomios. El coeficiente principal de una función polinomial es el coeficiente del término que tiene la variable con el mayor exponente. El término constante es el término sin variable. En la función polinomial P 1x2 5 7x4 2 3x2 1 2x 2 4, el coeficiente principal es 7 y el término constante 24. El grado del polinomio es 4.

EJEMPLO 1

Encuentre el coeficiente principal, el término constante y el grado del polinomio P 1x2 5 5x6 2 4x5 2 3x2 1 7.

Solución

El término con el mayor exponente es 5x6. El término sin variable es 7. El coeficiente principal es 5, el término constante 7, y el grado del polinomio 6.

Problema 1 Solución

Encuentre el coeficiente principal, el término constante y el grado del polinomio R 1x2 5 23x4 1 3x3 1 3x2 2 2x 2 12. Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 9 de la página 262. Para evaluar una función polinomial, sustituya la variable por su valor y simplifique.

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SECCIÓN 5.2

257

Introducción a los polinomios

Concéntrese en evaluar una función polinomial

Dado P 1x2 5 x3 2 3x2 1 4, evalúe P(23).

Cómo se usa Los economistas utilizan las funciones económicas para elaborar modelos de costos, ingresos y utilidades y para hacer pronósticos sobre las tendencias económicas.

P 1x2 P 1232 P 1232 P 1232

Sustituya x por 23. Simplifique.

EJEMPLO 2

5 x3 2 3x2 1 4 5 1232 3 2 3 1232 2 1 4 5 227 2 27 1 4 5 250

Para superar la resistencia al viento y los neumáticos sobre el pavimento, la potencia en caballos de fuerza (hp), P, que necesita un ciclista para que una cierta bicicleta siga avanzando a v millas por hora está dada por P(v) 5 0.00003v3 1 0.00211v. ¿Cuántos caballos de fuerza necesita aportar el ciclista para que esta bicicleta avance a 20 mph? Para calcular la potencia, evalúe la función cuando v 5 20.

Estrategia

P 1v2 5 0.00003v3 1 0.00211v P 1202 5 0.00003 1202 3 1 0.00211 1202 5 0.2822

Solución

• Sustituya v por 20. • Simplifique.

El ciclista tiene que aportar 0.2822 hp. Problema 2

La velocidad del aire que se exhala al toser se puede modelar por v 1r2 5 600r2 2 1000r3, donde v es la velocidad del aire en centímetros por segundo y r el radio de la tráquea en centímetros. ¿Cuál es la velocidad del aire exhalado al toser cuando el radio de la tráquea es de 0.4 cm?

Solución

Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 263. La gráfica de una función lineal es una recta y se puede calcular con sólo trazar dos puntos. La gráfica de una función polinomial de grado mayor que 1 es una curva. En consecuencia, es posible que usted tenga que calcular muchos puntos para trazar una gráfica exacta.

La evaluación de la función cuadrática dada por la ecuación f 1x2 5 x2 2 x 2 6 cuando x 5 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3 y 4 da por resultado los puntos que se muestran en la figura 1. Por ejemplo, f(23) 5 6, por lo que (23, 6) se grafican; f(2) 5 24, por lo que (2, 24) se trazan para obtener la gráfica; y f(4) 5 6, por lo que (4, 6) se grafican. La evaluación de la función con valores no enteros de x, como x 5 232 y x 5 52, produce más puntos para graficar, como se muestra en la figura 2. Conectar los puntos por medio de una curva suave da por resultado la figura 3, que es la gráfica de f. y

–4

–2

y

y

8

8

8

4

4

4

0

2

4

x

–4

–2

0

2

4

x

–4

–2

0

2

4

x

–4 –8

FIGURA 1

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 257

–8

FIGURA 2

–8

FIGURA 3

12/10/12 07:48 p.m.

258

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

En seguida se presenta un ejemplo de gráfica de una función cúbica, P 1x2 5 x3 2 2x2 2 5x 1 6. Si se evalúa la función cuando x 5 22, 21, 0, 1, 2, 3 y 4, se obtiene la gráfica de la figura 4. Si se evalúa con algunos valores no enteros, se obtiene la gráfica de la figura 5. Por último, los puntos se conectan en una curva para obtener la gráfica de la figura 6. y

–4

y

16

16

8

8

–2

0

4

x

–4

–2

y 16

0

x

4

–4

–2

0

–8

–8

–8

– 16

– 16

– 16

FIGURA 4

FIGURA 5

Las gráficas de f 1x2 5 x2 2 x 2 6 (figura 3) y P 1x2 5 x3 2 2x2 2 5x 1 6 (figura 6) se repiten a la derecha. Observe que por la prueba de la recta vertical, estas son gráficas de funciones.

2

x

4

FIGURA 6

y

–4

–2

y

8

16

4

8

0

2

4

x

–4

0

–2

–4

–8

–8

–16

2

4

x

Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados de la función. Debido a que una función polinomial se puede evaluar para cualquier número dado, el dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales.

EJEMPLO 3 Solución

Problema 3 Solución

Grafique: f 1x2 5 x2 2 2 x

y 5 x2 2 2

23 22 21 0 1 2 3

7 2 21 22 21 2 7

y 6 4 2 –4

–2

0

2

4

x

–2

Grafique: f 1x2 5 x2 2 2x Revise la página S15.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 262.

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12/10/12 07:48 p.m.

SECCIÓN 5.2

EJEMPLO 4 Solución

259

Introducción a los polinomios

Grafique: f 1x2 5 x3 2 1 x 22 21 0 1 2

y

y 5 x3 2 1

8

29 22 21 0 7

4 –4

–2

0

2

4

x

–4 –8

Problema 4 Solución

Grafique: F 1x2 5 2x3 1 1 Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 29 de la página 262.

Puede ser necesario trazar un gran número de puntos para dibujar la gráfica del ejemplo 4. Las calculadoras gráficadoras crean gráficas trazando un gran número de puntos que luego conectan para formar una curva. Con ayuda de una calculadora graficadora, ingrese la ecuación y 5 x3 2 1. Para obtener la gráfica de la ecuación, utilice XMIN 5 24.7,XMAX 5 4.7, YMIN 5 210 y YMAX 5 10. Ahora utilice la función TRACE para desplazarse por la gráfica 10 y verificar que (22, 29), (21, 22), (0, 21), (1, 0) y (2, 7) son las coordenadas de los puntos en la gráfica. Y1 = – x3 + 1 Siga el mismo procedimiento para graficar la – 4.7 4.7 ecuación del problema 4. La gráfica se muestra a la derecha, con el cursor en el punto (2, 27). Si necesita ayuda, consulte en el apéndice Guía X=2 Y=-7 sobre uso de calculadoras graficadoras. – 10

OBJETIVO

Sumar y restar polinomios Para sumar polinomios, se simplifican los términos semejantes. Se puede utilizar un formato horizontal o vertical.

Concéntrese en sumar polinomios utilizando un formato horizontal o vertical. A. Sume 13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22. Utilice un formato horizontal. Utilice las propiedades conmutativa y asociativa de la suma para reordenar y agrupar los términos semejantes. Simplifique los términos semejantes.

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13x2 1 2x 2 72 1 17x3 2 3 1 4x22 5 7x3 1 13x2 1 4x22 1 2x 1 127 2 32

5 7x3 1 7x2 1 2x 2 10

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260

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

B. Sume 14x2 2 3x 1 22 1 12x3 1 4x 2 72. Utilice un formato vertical. 4x2 2 3x 1 2 1 4x 2 7

Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas.

2x

Sume los términos de cada columna.

2x3 1 4x2 1 x 2 5

EJEMPLO 5 Solución

Problema 5 Solución

3

Sume 12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 en formato vertical. • Escriba cada polinomio en orden descendente 2x3 1 5x2 2 7x 1 1 con los términos semejantes en columnas. 2x3 2 5x2 1 3x 2 6 3 2 • Sume los términos semejantes de cada columna. x 1 0x 2 4x 2 5 12x3 1 5x2 2 7x 1 12 1 12x3 2 5x2 1 3x 2 62 5 x3 2 4x 2 5

Sume 1x3 2 x 1 22 1 1x2 1 x 2 62 en un formato horizontal. Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 264.

El inverso aditivo del polinomio x2 1 5x 2 4 es 2 1x2 1 5x 2 42 .

Tome nota Esta es la misma definición que se utilizó para la resta de números enteros: la resta es la suma de los opuestos.

Para simplificar el inverso aditivo de un polinomio, cambie el signo de cada término dentro de los paréntesis. 2 1x2 1 5x 2 42 5 2x2 2 5x 1 4 Para restar dos polinomios, sume el inverso aditivo del segundo polinomio al primero.

Concéntrese en restar polinomios utilizando los formatos horizontal o vertical

A. Reste 13x2 2 7xy 1 y22 2 124x2 1 7xy 2 3y22. Utilice el formato horizontal. Reescriba la resta como suma del inverso aditivo. Simplifique los términos semejantes.

13x2 2 7xy 1 y22 2 124x2 1 7xy 2 3y22 5 13x2 2 7xy 1 y22 1 14x2 2 7xy 1 3y22 5 7x2 2 14xy 1 4y2

B. Reste 16x3 2 3x 1 72 2 13x2 2 5x 1 122. Utilice el formato vertical. Reescriba la resta como la suma del inverso aditivo. Escriba cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en columnas. Sume los términos de cada columna.

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 260

16x3 2 3x 1 72 2 13x2 2 5x 1 122 5 16x3 2 3x 1 72 1 123x2 1 5x 2 122

6x3

2 3x 1 7 2 3x2 1 5x 2 12

6x3 2 3x2 1 2x 2 5

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SECCIÓN 5.2

EJEMPLO 6 Solución

Reste 13x2 2 2x 1 42 2 17x2 1 3x 2 122. Utilice el formato vertical. 13x2 2 2x 1 42 2 17x2 1 3x 2 122 13x2 2 2x 1 42 1 127x2 2 3x 1 122

3x2 2 2x 1 4 27x2 2 3x 1 12 24x2 2 5x 1 16 Problema 6 Solución

261

Introducción a los polinomios

• Reescriba la resta como la suma del inverso aditivo. • Escriba cada polinomio en orden descendente en formato vertical. • Simplifique los términos semejantes de cada columna.

Reste 125x2 1 2x 2 32 2 16x2 1 3x 2 72 en formato vertical. Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 264. Se puede utilizar la notación de funciones para sumar o restar polinomios. Por ejemplo, si P 1x2 5 3x2 2 2x 1 4 y R 1x2 5 25x3 1 4x 1 7, entonces P 1x2 1 R 1x2 5 13x2 2 2x 1 42 1 125x3 1 4x 1 72 5 25x3 1 3x2 1 2x 1 11 P 1x2 2 R 1x2 5 13x2 2 2x 1 42 2 125x3 1 4x 1 72 5 13x2 2 2x 1 42 1 15x3 2 4x 2 72 5 5x3 1 3x2 2 6x 2 3

EJEMPLO 7 Solución

Problema 3 Solución

Dado P 1x2 5 23x2 1 2x 2 6 y R 1x2 5 4x3 2 3x 1 4, encuentre S 1x2 5 P 1x2 1 R 1x2 .

S 1x2 5 P 1x2 1 R 1x2 5 123x2 1 2x 2 62 1 14x3 2 3x 1 42 5 4x3 2 3x2 2 x 2 2

Dado P 1x2 5 4x3 2 3x2 1 2 y R 1x2 5 22x2 1 2x 2 3, encuentre D 1x2 5 P 1x2 2 R 1x2 . Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 264.

5.2

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Identifique cada uno de los siguientes como monomio, binomio, trinomio o ninguno de ellos. a. 23x4 1 1 b. 2x 2 7 c. 3x2y5z d. 1 2 4x 2 x2 f. 7 e. 5z4 2 2z22 1 4

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262

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

2. Escriba cada polinomio en orden descendente. a. 3x 2 7x2 1 5

b. 3x4 2 7 2 2x 1 4x2

3. ¿Cuál es el dominio de una función polinomial? 4. Escriba el inverso aditivo de 4x3 2 7x 1 8.

Evaluar funciones polinomiales (Revise las páginas 255–259.) 5. 6.

Explique cómo se determina el grado de un polinomio con una variable. Proporcione dos ejemplos de un polinomio de tercer grado. Explique cómo se evalúa una función polinomial.

PREPÁRESE

En los ejercicios 7 y 8, utilice la función polinomial P 1x2 5 23x2 2 2x 1 10. ? . El coeficiente 23 se llama coeficiente ? . El término 7. El grado de P es ? 10 se llama término . ? por ? , y simplifique: 8. a. Para evaluar P(22), sustituya 2 P 1 ? 2 5 23 1 ? 2 2 2 1 ? 2 1 10 ? 1 ? 1 10 5 ? 5 b. Utilice los resultados de la parte a para designar un punto que está en la gráfica de y 5 P(x).

En los ejercicios 9 a 20, determine si la función es una función polinomial. En el caso de las funciones que sean funciones polinomiales, identifique a. el coeficiente principal, b. el término constante y c. el grado. † 9. P 1x2 5 2x2 1 3x 1 8

10. P 1x2 5 3x4 2 3x 2 7

11. R 1x2 5

3x2 2 2x 1 1 x

13. f 1x2 5 !x 2 x2 1 2

14. f 1x2 5 x2 2 !x 1 2 2 8

15. g 1x2 5 3x5 2 2x2 1 p

16. g 1x2 5 24x5 2 3x2 1 x 2 !7

17. P 1x2 5 3x2 2 5x3 1 2

18. P 1x2 5 x2 2 5x4 2 x6

19. R 1x2 5 14

20. R 1x2 5

12. R 1x2 5

x x11

1 12 x

21. Dado P 1x2 5 3x2 2 2x 2 8, evalúe P 132 .

22. Dado P 1x2 5 23x2 2 5x 1 8, evalúe P 1252 .

23. Dado R 1x2 5 2x3 2 3x2 1 4x 2 2, evalúe R 122 .

24. Dado R 1x2 5 2x3 1 2x2 2 3x 1 4, evalúe R 1212 .

25. Dado f 1x2 5 x4 2 2x2 2 10, evalúe f 1212 .

26. Dado f 1x2 5 x5 2 2x3 1 4x, evalúe f 122 .

Grafique.

† 27. P 1x2 5 x2 2 1

28. P 1x2 5 2x2 1 3

30. R 1x2 5 x4 1 1

31. f 1x2 5 x3 2 2x

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† 29. R 1x2 5 x3 1 2

32. f 1x2 5 x2 2 x 2 2

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SECCIÓN 5.2

Introducción a los polinomios

263

† 33. Oceanografía La longitud de una ola cerca de la tierra depende de varios factores, uno de los cuales es la profundidad del agua. Sin embargo, la longitud L (en metros) de las olas en aguas profundas (las que están lejos de la tierra) se puede aproximar con L(s) 5 0.641s2, donde s es la velocidad de la ola en metros por segundo. Calcule la longitud de una ola en aguas profundas que tiene una velocidad de 6 m/s. Redondee a la décima más cercana de 1 m. 34. Física La distancia s (en pies) que un objeto en la Luna caerá en t segundos está dada por s(t) 5 2.735t2. ¿Qué distancia caerá un objeto de la Luna en 3 s? 35. Deportes El número total de juegos de softbol T que deben programarse en una liga que tiene n equipos para que cada equipo juegue dos veces está dado por T(n) 5 n2 2 n. ¿Cuál es el número total de juegos que deben programarse para una liga que tiene 8 equipos? 36. Geometría La diagonal de un polígono es una recta que va de un vértice a otro no adyacente. Siete de las posibles diagonales de un decágono (figura de 10 lados) se muestran a la derecha. El número total T de diagonales de un polígono de n lados está dado por T 1n2 5 12 n2 2 32 n. Encuentre el número total de diagonales de un decágono. 37. Ciencias alimentarias Baked Alaska es un postre que se prepara colocando una capa de merengue de 1 pulgada alrededor de un hemisferio de helado. La cantidad de merengue que se necesita depende del radio del hemisferio de helado y está dado por M 1r2 5 6.14r2 1 6.14r 1 2.094, donde M(r) es el volumen de merengue necesario (en pulgadas cúbicas) y r el radio del helado en pulgadas. Calcule la cantidad de merengue necesaria para un Baked Alaska que tiene una bola de helado con radio de 6 pulgadas. Redondee al número natural más cercano.

En los ejercicios 38 y 39, utilice las gráficas A, B y C que se muestran a continuación. A

y

y

y C

B

x

x

x

38. ¿Qué gráfica podría ser la de P 1x2 5 x2 1 2x 2 3?

39. ¿Qué gráfica podría ser la de R 1x2 5 x3 1 3x2 2 x 2 3? 40.

Suponga que f 1x2 5 x2 1 1 y g 1x2 5 x3 1 x. Es f 1x2 . g 1x2 o es f 1x2 , g 1x2 cuando 0 , x , 1? Explique su respuesta.

Sumar y restar polinomios (Revise las páginas 259–261.) PREPÁRESE

41. El inverso aditivo de 8x2 1 3x 2 5 es 2 18x2 1 3x 2 52 5

42. 14x2 1 6x 2 12 2 13x2 2 5x 1 22 5 14x2 1 6x 2 12 1 (

Simplifique. Utilice el formato vertical.

? ?

. )

43. 15x2 1 2x 2 72 1 1x2 2 8x 1 122

44. 13x2 2 2x 1 72 1 123x2 1 2x 2 122

45. 1x2 1 8 2 3x2 2 12x2 2 3x 1 72

46. 12x2 1 3x 2 72 2 15x2 2 1 2 8x2

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264

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

47. 18x3 2 4x2 1 2x 2 102 2 129x3 2 5x2 1 4x 2 42 † 49. 127x3 1 2x2 2 3x 1 42 1 17x3 2 10x2 1 9x 1 52 51. 16x2 1 2x 1 32 2 127x2 1 10x 2 42

Simplifique. Utilice el formato horizontal. 53. 13y2 2 7y2 1 12y2 2 8y 1 22

† 55. 12a2 2 3a 2 72 2 125a2 2 2a 2 92

48. 17x3 1 x2 2 5x 1 42 2 125x2 1 2x 1 92 50. 1210x3 1 9x2 1 x 1 32 1 1210x3 1 3x2 1 4x 1 12 52. 19x2 2 52 1 1x2 1 3x 1 102

54. 122y2 2 4y 2 122 1 15y2 2 5y2 56. 13a2 2 9a2 2 125a2 1 7a 2 62

57. 18x2 1 6x 1 62 2 12x2 2 7x 1 62

58. 1210x2 1 7x 1 82 2 123x2 2 6x 2 92

59. 126x2 1 4x 2 92 1 19x3 1 2x2 1 7x 1 12

60. 126x2 2 8x 1 82 1 1210x3 1 2x2 2 2x 2 102

61. 123x3 2 8x2 1 2x 2 22 2 14x 2 82

62. 17x2 2 5x 2 32 2 124x3 2 3x2 1 6x 2 42

† 63. Dado P 1x2 5 3x3 2 4x2 2 x 1 1 y R 1x2 5 2x3 1 5x 2 8, encuentre P 1x2 1 R 1x2 .

64. Dado P 1x2 5 5x3 2 3x 2 7 y R 1x2 5 2x3 2 3x2 1 8, encuentre P 1x2 2 R 1x2 .

65. Dado P 1x2 5 3x4 2 3x3 2 x2 y R 1x2 5 3x3 2 7x2 1 2x, encuentre S 1x2 5 P 1x2 1 R 1x2 .

66. Dado P 1x2 5 3x4 2 2x 1 1 y R 1x2 5 3x5 2 5x 2 8, encuentre S 1x2 5 P 1x2 1 R 1x2 .

67. Dado P 1x2 5 x2 1 2x 1 1 y R 1x2 5 2x3 2 3x2 1 2x 2 7, encuentre D 1x2 5 P 1x2 2 R 1x2 .

68. Dado P 1x2 5 2x4 2 2x2 1 1 y R 1x2 5 3x3 2 2x2 1 3x 1 8, encuentre D 1x2 5 P 1x2 2 R 1x2 .

69.

70.

Si P 1x2 es un polinomio de tercer grado y Q 1x2 es un polinomio de cuarto grado, ¿qué se puede decir sobre el grado de P 1x2 1 Q 1x2? Proporcione algunos ejemplos de polinomios que apoyen su respuesta.

Si P 1x2 es un polinomio de quinto grado y Q 1x2 es un polinomio de cuarto grado, ¿qué se puede decir sobre el grado de P 1x2 2 Q 1x2? Proporcione algunos ejemplos de polinomios que apoyen su respuesta.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Dos polinomios son iguales si los coeficientes de las potencias semejantes son iguales. En los ejercicios 71 y 72, utilice esta definición de igualdad de polinomios para calcular el valor de k que convierte la ecuación en una identidad. 71. 12x3 1 3x2 1 kx 1 52 2 1x3 1 x2 2 5x 2 22 5 x3 1 2x2 1 3x 1 7 72. 16x3 1 kx2 2 2x 2 12 2 14x3 2 3x2 1 12 5 2x3 2 x2 2 2x 2 2

73. Si P 1212 5 23 y P 1x2 5 4x4 2 3x2 1 6x 1 c, encuentre el valor de c.

74. Si P 122 5 3 y P 1x2 5 2x3 2 4x2 2 2x 1 c, encuentre el valor de c.

75. Grafique f 1x2 5 x2, g 1x2 5 x2 2 3, y h 1x2 5 x2 1 4 en la misma cuadrícula de coordenadas. Observe las gráficas y haga una conjetura sobre la forma y ubicación de k 1x2 5 x2 2 2. Compruebe su conjetura graficando k. 76. Grafique f 1x2 5 x2, g 1x2 5 1x 2 32 2, y h 1x2 5 1x 1 42 2 en la misma cuadrícula de coordenadas. Observe las gráficas y haga una conjetura sobre la forma y ubicación de k 1x2 5 1x 2 22 2. Compruebe su conjetura graficando k.

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SECCIÓN 5.3

77. Deportes La deflexión D (en pulgadas) de una barra con carga uniforme está dada por la función polinomial D 1x2 5 0.005x4 2 0.1x3 1 0.5x2, donde x es la distancia en pies desde un extremo de la barra. Vea la figura a la derecha. La deflexión máxima se produce cuando x es el punto medio de la viga. Calcule la deflexión máxima de la barra ilustrada en el diagrama. 78.

265

Multiplicación de polinomios

D x

Ingeniería La construcción del puente Golden Gate, que es un puente colgante, concluyó en 1937. La longitud de la extensión principal del puente es de 4200 pies. La altura, en pies, de los cables de suspensión sobre la avenida varía entre 0 pies en el centro del puente y 525 pies en las torres que soportan los cables. Distancia desde el centro del puente

Altura de los cables por encima de la avenida

0 pies

0 pies

1050 pies

150 pies

2100 pies

525 pies

10 pies

4200 pies

1 La función que modela aproximadamente los datos es f 1x2 5 8820 x2 1 25, donde x es la distancia desde el centro del puente y f 1x2 es la altura de los cables por encima de la avenida. Utilice este modelo para aproximar la altura de los cables a una distancia de a. 1000 pies desde el centro del puente y b. 1500 pies desde el centro del puente. Redondee a la décima más cercana.

79.

Explique las semejanzas y las diferencias entre las gráficas de f 1x2 5 x2, g 1x2 5 1x 2 32 2, y h 1x2 5 x2 2 3.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Estos ejercicios son una continuación de los ejercicios de Proyectos o actividades en equipo de la sección 5.1. Si no ha concluido aún esos ejercicios, hágalo ahora. 80. Suponga que n discos se ordenan de mayor a menor en uno de los tres puntos. Examinando el patrón de sus respuestas a los ejercicios 150 a 152 de la sección 5.1, escriba una expresión con exponentes que represente el número de movimientos requeridos para transferir n discos de un punto a otro. 81. Cuenta un antiguo mito que tres chamanes recibieron 64 discos de oro ordenados de mayor a menor en una de tres espirales de diamantes. Se solicitó a los chamanes que pasaran los discos de oro a una de las otras espirales utilizando las reglas establecidas en el ejercicio 150 de la sección 5.1. Si los chamanes pudieran realizar un movimiento cada segundo, ¿cuántos años tardarían en desplazar todos los discos de oro a otra espiral? Escriba su respuesta en notación científica. 82. Una estimación de la edad del universo es 1.37 3 1010 años. Si los chamanes del ejercicio 81 hubieran iniciado su tarea hace 1.37 3 1010 años, ¿aproximadamente qué porcentaje de la obra estaría terminada?

5.3 OBJETIVO

Multiplicación de polinomios Multiplicar un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio, utilice la propiedad distributiva y la regla para multiplicar expresiones con exponentes.

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266

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

EJEMPLO 1 Solución

Multiplique. A. 25x 1x2 2 2x 1 32

B. x2 2 x 3 3 2 x 1x 2 22 1 3 4

A. 25x 1x2 2 2x 1 32 5 25x 1x22 2 125x2 12x2 1 125x2 132 5 25x3 1 10x2 2 15x

B. x2 2 x 3 3 2 x 1x 2 22 1 3 4 5 x2 2 x 3 3 2 x2 1 2x 1 3 4 5 x2 2 x 3 6 2 x2 1 2x 4 5 x2 2 6x 1 x3 2 2x2 5 x3 2 x2 2 6x

Problema 1

Multiplique. A. 24y 1y2 2 3y 1 22

Solución

Revise la página S16.

• Utilice la propiedad distributiva. • Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes.

• Utilice la propiedad distributiva para eliminar los símbolos del grupo interior. • Simplifique los términos semejantes. • Utilice la propiedad distributiva para eliminar los corchetes. • Simplifique los términos semejantes y escriba el polinomio en orden descendente.

B. x2 2 2x 3 x 2 x 14x 2 52 1 x2 4

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 271.

OBJETIVO

Multiplicar dos polinomios El producto de dos polinomios es el polinomio obtenido de la multiplicación de cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y la simplificación de los términos semejantes. El grado del producto es la suma de los grados de cada polinomio.

Concéntrese en multiplicar polinomios

Multiplique: 13x2 2 4x 2 22 12x 1 32 Utilice la propiedad distributiva para multiplicar el trinomio por cada término del binomio. 13x2 2 4x 2 22 12x 1 32 5 13x2 2 4x 2 22 2x 1 13x2 2 4x 2 22 3 5 16x3 2 8x2 2 4x2 1 19x2 2 12x 2 62 5 6x3 1 x2 2 16x 2 6 El grado de 3x2 2 4x 22 es 2; el grado de 2x 1 3 es 1; el grado del producto es 3, la suma de 2 y 1.

Un método práctico para multiplicar dos polinomios consiste en utilizar un formato vertical parecido al que se utilizó para la multiplicación de números naturales. A continuación se presenta el método para obtener el producto de los polinomios antes mencionados. 3x2 2 4x 2 2 2x 1 3 2 9x 2 12x 2 6 5 13x2 2 4x 2 22 3 6x3 2 8x2 2 4x 5 13x2 2 4x 2 22 2x 6x3 1 x2 2 16x 2 6

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SECCIÓN 5.3

EJEMPLO 2 Solución

Problema 2 Solución

267

Multiplicación de polinomios

Multiplique: 14a3 2 3a 1 72 1a 2 52 4a3 2 3a 1 7 a2 5 3 220a 1 15a 2 35 4a4 2 3a2 1 7a 4a4 2 20a3 2 3a2 1 22a 2 35

Multiplique: 122b2 1 5b 2 42 123b 1 22 Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 272. Con frecuencia es necesario obtener el producto de dos binomios. Para ello, se sigue un método llamado PEIU, que se basa en la propiedad distributiva. Las letras PEIU representan primero, exterior, interior y último.

Concéntrese en multiplicar binomios siguiendo el método PEIU Multiplique: 13x 2 22 12x 1 52

Multiplique los primeros términos. Multiplique los términos exteriores. Multiplique los términos interiores. Multiplique los últimos términos.

13x 2 22 12x 1 52

13x 2 22 12x 1 52

13x 2 22 12x 1 52

13x 2 22 12x 1 52

3x # 2x 5 6x2 3x # 5 5 15x 22 # 2x 5 24x 22 # 5 5 210 P

E

I

U

13x 2 22 12x 1 52 5 6x 1 15x 2 4x 2 10 2

Sume los productos. Simplifique los términos semejantes.

5 6x2 1 11x 2 10

El método PEIU no es en realidad una forma diferente de multiplicar. Se basa en la propiedad distributiva. El producto 13x 2 22 12x 1 52 se vuelve a mostrar a continuación. 13x 2 22 12x 1 52 5 3x 12x 1 52 2 2 12x 1 52 5 6x2 1 15x 2 4x 2 10 5 6x2 1 11x 2 10 PEIU es sólo una forma eficiente de multiplicar binomios.

EJEMPLO 3

Solución

Multiplique. A. 16x 2 52 13x 2 42 B. 12x 1 3y2 14x 2 5y2 C. 12x 2 12 1x 1 32 13x 2 42

A. 16x 2 52 13x 2 42 5 6x 13x2 1 6x 1242 1 1252 13x2 1 1252 1242 5 18x2 2 24x 2 15x 1 20 5 18x2 2 39x 1 20

B. 12x 1 3y2 14x 2 5y2 5 2x 14x2 1 2x 125y2 1 3y 14x2 1 3y 125y2 5 8x2 2 10xy 1 12xy 2 15y2 5 8x2 1 2xy 2 15y2

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• Utilice el método PEIU. • Simplifique.

• Multiplique utilizando PEIU. • Simplifique.

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268

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

C. 12x 2 12 1x 1 32 13x 2 42 5 3 2x 1x2 1 2x 132 1 1212 x 1 1212 3 4 13x 2 42

Tome nota El producto 12x2 1 5x 2 32 13x 2 42 se podría haber obtenido con el formato vertical. 2x2 5x 3 3x 4 20x 9x

12

6x

8x2 15x2

6x3

7x2

29x

12

3

5 3 2x2 1 6x 2 x 2 3 4 13x 2 42 5 3 2x2 1 5x 2 3 4 13x 2 42 5 12x2 1 5x 2 32 3x 2 12x2 1 5x 2 32 4

5 16x3 1 15x2 2 9x2 2 18x2 1 20x 2 122 5 6x3 1 7x2 2 29x 1 12 Problema 3

Solución

• Utilice PEIU para multiplicar 12x 2 12 1x 1 32 . • Simplifique. • Utilice la propiedad distributiva para multiplicar 12x2 1 5x 2 32 por 3x 2 4. • Vuelva a utilizar la propiedad distributiva. • Simplifique

Multiplique. A. 13x 1 42 15x 2 22 B. 1x 2 3y2 12x 2 7y2 C. 1x 1 32 1x 2 42 12x 2 32 Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 77 de la página 272.

OBJETIVO

Multiplicar polinomios que tienen productos especiales El método PEIU se puede utilizar para encontrar una fórmula para obtener el producto de la suma y la diferencia de los mismos términos. PRODUCTO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE a Y b

1a 1 b2 1a 2 b2 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 5 a2 2 b2 c c Cuadrado de a Cuadrado de b

EJEMPLOS

1. 1x 1 42 1x 2 42 5 x2 2 42 5 x2 2 16 2. 13x 1 52 13x 2 52 5 13x2 2 2 52 5 9x2 2 25

También podemos encontrar la fórmula del cuadrado de un binomio.

CUADRADO DE UN BINOMIO

1a 1 b2 2 5 1a 1 b2 1a 1 b2 5 a2 1 ab 1 ab 1 b2 5 a2 1 2ab 1 b2

Cuadrado de a Doble de ab Cuadrado de b

Cuadrado de a Doble de ab Cuadrado de b

06_Cap-05_AUFMANN_1a parte.indd 268

c

c

c

1a 2 b2 2 5 1a 2 b2 1a 2 b2 5 a2 2 ab 2 ab 1 b2 5 a2 2 2ab 1 b2 c

c

c

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SECCIÓN 5.3

269

Multiplicación de polinomios

EJEMPLOS

1. 1x 1 52 2 5 x2 1 2 1x2 152 1 52 5 x2 1 10x 1 25 2. 12x 2 32 2 5 12x2 2 2 2 12x2 132 1 32 5 4x2 2 12x 1 9

EJEMPLO 4

Solución

Simplifique. A. 13x 2 2y2 13x 1 2y2 C. 15x 1 4y2 2

B. 15x2 1 62 15x2 2 62 D. 1x3 2 52 2

A. 13x 2 2y2 13x 1 2y2 5 13x2 2 2 12y2 2 5 9x2 2 4y2

• Este es el producto de la suma y la diferencia de 3x y 2y.

B. 15x2 1 62 15x2 2 62 5 15x22 2 2 162 2 5 25x4 2 36 C. 15x 1 4y2 2 5 15x2 2 1 2 15x2 14y2 1 14y2 2 5 25x2 1 40xy 1 16y2 D. 1x3 2 52 2 5 1x32 2 2 2 1x32 152 1 52 5 x6 2 10x3 1 25 Problema 4 Solución

Simplifique. A. (4x2 2 y)(4x2 1 y)

• Este es el producto de la suma y la diferencia de 5x2 y 6. • Este es el cuadrado de un binomio. • Este es el cuadrado de un binomio.

B. (3x2 1 5y2)2

Revise la página S16.

† Intente resolver los ejercicios 113 y 117 de la página 273.

OBJETIVO

Problemas de aplicación EJEMPLO 5 Estrategia

Solución

Problema 5

Solución

El largo de un rectángulo es (2x 1 3) pies. El ancho es (x 2 5) pies. Calcule el área del rectángulo en términos de la variable x. Para calcular el área, sustituya las variables L y W en la ecuación A 5 LW por los valores dados y resuelva para A. A 5 LW A 5 12x 1 32 1x 2 52 A 5 2x2 2 10x 1 3x 2 15 A 5 2x2 2 7x 2 15 El área es (2x2 – 7x – 15) pies2. La base de un triángulo es (2x 1 6) pies. La altura es (x 2 4) pies. Calcule el área del triángulo en términos de la variable x.

x–5 2x + 3

x– 4 2x + 6

Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 129 de la página 274.

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270

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

EJEMPLO 6

Estrategia

Solución

Problema 6

Solución

Se cortan las esquinas de un cartón rectangular que mide 8 por 12 pulg. Los lados se pliegan para formar una caja. Calcule el volumen de la caja en términos de la variable x, donde x es la longitud del lado del cuadrado cortado de cada esquina del rectángulo.

x

x

x

x

x

x x

8 pulg

x 12 pulg

Longitud de la caja: 12 2 2x Ancho de la caja: 8 2 2x Altura de la caja: x Para calcular el volumen, sustituya las variables L, W y H en la ecuación V 5 LWH, y resuelva para V. V 5 LWH V 5 112 2 2x2 18 2 2x2 x V 5 196 2 24x 2 16x 1 4x22 x V 5 196 2 40x 1 4x22 x V 5 96x 2 40x2 1 4x3 V 5 4x3 2 40x2 1 96x El volumen es (4x3 2 40x2 1 96x) pulg3. Encuentre una expresión en términos de la variable x para el volumen del sólido rectangular que se ilustra en el diagrama. Todas las dimensiones están dadas en pies.

5x – 4

2x x

7x + 2

12x

Revise la página S16.

† Intente resolver el ejercicio 133 de la página 274.

5.3

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Si p es un polinomio de grado 2 y q un polinomio de grado 3, ¿cuál es el grado del producto de los dos polinomios? 2.

¿Qué es el método PEIU?

3. ¿Verdadero o falso? 1x 2 y2 1x 1 y2 5 x2 2 y2 4. ¿Verdadero o falso? 1x 1 y2 2 5 x2 1 y2

Multiplicar un polinomio por un monomio (Revise las páginas 265–266.) 5. 6.

¿Cuándo se utiliza la propiedad distributiva? Explique cómo se multiplican un monomio y un polinomio utilizando la propiedad distributiva.

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SECCIÓN 5.3

Multiplicación de polinomios

271

PREPÁRESE

7. Multiplique: 23y3 1 y2 2 102 23y3 1y2 2 102 5

?

1y22 2 1

5

?

1

?

?

8. Multiplique: a2b 12a 1 b2 a2b 12a 1 b2 5 1 5

? ?

2 12a2 1 1

1

2 1102

?

2 1b2

?

Simplifique.

9. 2x 1x 2 32

12. 24y2 14y 2 6y22 † 15. 2b 1 4b 12 2 b2

? para • Utilice la propiedad multiplicar cada término de 1y2 2 102 por 23y3. • En el primer término, las bases son iguales. Sume los exponentes. • Utilice la propiedad distributiva para multiplicar cada término de 12a 1 b2 por a2b. • En cada término, sume los exponentes de bases semejantes.

10. 2a 12a 1 42

11. 3x2 12x2 2 x2

13. 3xy 12x 2 3y2

14. 24ab 15a 2 3b2

16. x 2 2x 1x 2 22

17. 3a2 2 2a 13 2 a2

18. 22y 13 2 y2 1 2y2

19. 22a2 13a2 2 2a 1 32

20. 4b 13b3 2 12b2 2 62

21. 3b 13b4 2 3b2 1 82

22. 12x2 2 3x 2 72 122x22

23. 25x2 14 2 3x 1 3x2 1 4x32

24. 22y2 13 2 2y 2 3y2 1 2y32

25. 22x2y 1x2 2 3xy 1 2y22

26. 3ab2 13a2 2 2ab 1 4b22

27. 2y2 2 y 3 3 2 2 1y 2 42 2 y 4

28. 3x2 2 x 3 x 2 2 13x 2 42 4

29. 2y 2 3 3 y 2 2y 1y 2 32 1 4y 4

30. 4a2 2 2a 3 3 2 a 12 2 a 1 a22 4

En los ejercicios 31 a 34, indique si la expresión dada es equivalente a 2x 2 x(5x 2 3). 31. 2x 2 5x2 2 3

32. x 15x 2 32

33. 5x2 2 3x

34. 5x2 1 5x

Multiplicar dos polinomios (Revise las páginas 266–268.) PREPÁRESE 35. Para el producto (3x – 2)(x 1 5): ? y ? . Los primeros términos son ? ? . Los términos exteriores son y ? ? Los términos interiores son y . ? y ? . Los últimos términos son

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272

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

PREPÁRESE 36. Utilice el método PEIU para multiplicar (y 1 4)(2y 2 7): ? El producto de los primeros términos es y # 2y 5 ? El producto de los términos exteriores es y 1272 5 # ? El producto de los términos interiores es 4 2y 5 ? El producto de los últimos términos es 4 1272 5 ? . La suma de estos cuatro productos es

Multiplique.

† 37. 18x2 1 x 1 12 13x 2 82

38. 12x2 2 2x 1 22 16x 2 62

39. 126x2 1 x 1 42 1x 2 42

40. 122x2 2 4x 2 82 18x 2 62

41. 124x2 1 4x 1 22 13x 2 32

42. 14x2 1 3x 1 12 16x 2 62

43. 15x3 1 x2 2 8x 1 62 127x 2 32

44. 123x3 2 6x2 1 3x 2 52 1x 1 32

45. 14x3 2 4x2 2 5x 1 52 1x 1 82

46. 12x3 2 5x2 1 7x 1 82 17x 2 82

47. 14x3 1 5x 2 42 1x 2 12

48. 123x3 1 3x 1 52 13x 2 82

49. 12x3 1 3x2 1 42 15x 1 82

50. 123x3 2 4x2 2 52 123x 2 22

51. 13x2 1 5x 2 32 18x2 1 5x 1 62

52. 14x2 2 5x 2 42 127x2 1 7x 1 52

53. 122x2 2 4x 1 32 1x2 1 4x 2 52

54. 123x2 1 5x 2 42 124x2 2 4x 1 72

55. 12x 1 12 1x 2 32 1x 1 42

56. 1x 1 42 1x 2 52 12x 1 32

57. 1x 2 32 13x 1 12 1x 1 32

58. 12x 1 52 1x 2 12 13x 1 22

59. 12x 2 72 12x 2 12 1x 1 42

60. 13x 1 42 1x 2 32 14x 1 32

61. 1x 1 132 1x 1 152

62. 1x 1 22 1x 2 102

63. 1x 2 132 1x 2 82

64. 1x 1 102 1x 1 42

65. 1x 2 42 1x 1 122

66. 1x 2 142 1x 2 112

67. 1x 1 92 1x 1 32

68. 1x 2 122 1x 1 42

69. 1x 1 82 1x 2 42

70. 1x 1 32 1x 1 22

71. 14x 1 42 13x 1 32

72. 122x 2 22 126x 2 72

73. 13x 1 32 123x 2 42

74. 16x 1 82 1x 1 12

75. 1x 1 62 125x 2 12

Multiplique utilizando el método PEIU.

76. 15x 2 22 18x 1 82

† 77. 13x 2 82 13x 1 32

78. 127x 2 12 17x 1 32

79. 12x 2 22 122x 2 12

80. 1x 2 62 17x 1 72

81. 128x 2 22 13x 1 52

82. 17x 1 82 13x 1 32

83. 1x 1 2y2 1x 2 4y2

84. 12a 2 b2 1a 1 b2

85. 13a 1 b2 1a 2 3b2

86. 15x 2 2y2 12x 2 3y2

87. 17x 2 y2 1x 1 5y2

88. 12a 1 9b2 13a 2 7b2

89. 1xy 1 42 1xy 2 52

90. 13xy 2 22 12xy 1 32

91. 1ab 1 42 13ab 2 82

92. 1x2 1 32 1x2 1 62

93. 15a2 2 62 12a2 1 32

94. 12x3 2 52 13x3 1 22 95.

Si los términos constantes de dos binomios son ambos negativos, ¿el término constante del producto de los dos binomios también será negativo?

96.

Suponga que a y b son números positivos tales que a , b. ¿El coeficiente del término x del producto (ax 2 b)(x 1 1) será positivo o negativo?

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SECCIÓN 5.3

273

Multiplicación de polinomios

Multiplicar polinomios que tienen productos especiales (Revise las páginas 268–269.) PREPÁRESE

97. El producto 1a 1 b2 2 5 a2 1 2ab 1 b2, por tanto 14x 1 12 2 5 1 ? 2 2 1 2 1 ? 2 1 ? 2 1 1 5

?

1

?

1

?

22

?

.

98. El producto 1a 1 b2 1a 2 b2 5 a 2 b2, por tanto 12x 1 32 12x 2 32 5 1 ? 2 2 2 1 ? 2 2 5 2

Simplifique.

99. 1b 2 72 1b 1 72

?

2

?

.

100. 1a 2 42 1a 1 42

101. 1b 2 112 1b 1 112

102. 13x 2 22 13x 1 22

103. 15x 2 4y2 2

104. 13a 1 5b2 2

105. 1x2 1 y22 2

106. 1x2 2 32 2

107. 12a 2 3b2 12a 1 3b2

108. 110 1 b2 110 2 b2

109. 1x2 1 12 1x2 2 12

110. 15x 2 7y2 15x 1 7y2

111. 15a 2 9b2 15a 1 9b2

112. 1x2 1 y22 1x2 2 y22

114. 14y 1 12 14y 2 12

115. 16 2 x2 16 1 x2

116. 12x2 2 3y22 2

118. 12x2 1 52 2

119. 13x3 1 22 2

† 117. 13a 2 4b2 2

† 113. 13x 1 7y2 13x 2 7y2

En los ejercicios 120 a 123, indique si el coeficiente del término x del producto es positivo, negativo, o cero. 120. 1ax 1 b2 2, donde a . 0 y b . 0 121. 1ax 1 b2 1ax 2 b2, donde a . 0 y b . 0 122. 1ax 1 b2 1ax 1 b2, donde a . 0 y b , 0 123. 1ax 1 b2 2, donde a , 0 y b , 0

Problemas de aplicación (Revise las páginas 269–270.) PREPÁRESE 124. Utilice la figura de la derecha, que muestra un cartón rectangular con las esquinas recortadas. Los lados se pliegan para formar una caja. Indique cada dimensión de la caja en términos de x. ? a. Longitud de la caja 5 ? b. Ancho de la caja 5 ? c. Altura de la caja 5 125. a. Utilice la figura de la derecha. Las propiedades de los rectángulos se pueden utilizar para mostrar que la longitud de los dos lados no marca? 5 x. dos es x. La longitud del lado vertical no marcado es 4x 2 ? La longitud del lado horizontal no marcado es x 1 3 2 5 x. b. Divida la figura en dos rectángulos; para ello, extienda el lado horizontal ? . no marcado. El área del rectángulo superior es 3x( ? ) 5 ? . El área de El área del rectángulo inferior es (x 1 3)( ? ) 5 ? 1 ? 5 ? . toda la figura es

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x

x

x

x

x

x x

7 pulg

x 10 pulg 3

3x 4x

x+3

12/10/12 07:48 p.m.

274

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

126. Geometría El largo de un rectángulo es (3x 1 3) pies. El ancho es (x – 4) pies. Calcule el área del rectángulo en términos de la variable x.

127. Geometría La base de un triángulo es (x 1 2) pies. La altura es (2x – 3) pies. Calcule el área del triángulo en términos de la variable x.

128. Geometría Encuentre una expresión en términos de x para el área de la figura que se muestra a continuación. Todas las dimensiones están dadas en metros.

† 129. Geometría Encuentre una expresión en términos de x para el área de la figura que se muestra a continuación. Todas las dimensiones están dadas en pies. 2

x x x– 2

2

2

2

2

2 2

2

x+5

x

x+4

130. Construcción Se fabrica un recipiente con una lámina metálica rectangular; para ello, se pliegan los lados como se muestra en la figura siguiente. ¿Cuál es el volumen del recipiente en términos de x, la longitud de un lado plegado?

131. Construcción Una hoja cuadrada de cartón que mide 18 por 18 pulg se utiliza para fabricar una caja sin tapa; para ello se recortan cuadrados de igual tamaño de las esquinas y se pliegan los lados. Calcule el volumen de la caja en términos de la variable x, donde x es la longitud del lado de un cuadrado recortado del cartón.

x x

x

x

x

10 m

x 18 pulg

6m

x

x x

x 18 pulg

132. Geometría La longitud del lado de un cubo mide (x – 2) cm. Calcule el volumen del cubo en términos de la variable x.

† 133. Geometría La longitud de una caja es (2x 1 3) cm, el ancho (x – 5) cm, y la altura x cm. Calcule el volumen de la caja en términos de la variable x.

134. Geometría Encuentre una expresión en términos de x para el volumen de la figura que se presenta a continuación. Todas las dimensiones están dadas en pulgadas.

135. Geometría Encuentre una expresión en términos de x para el volumen de la figura que se presenta a continuación. Todas las dimensiones están en centímetros.

x

2

2

x

x

x x+2

2x

x

x

x 3x + 4

x+6

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique.

136. 1a 2 b2 2 2 1a 1 b2 2

137. 1x 1 2y2 2 1 1x 1 2y2 1x 2 2y2

138. 14y 1 32 2 2 13y 1 42 2

139. 2x2 13x3 1 4x 2 12 2 5x2 1x2 2 32

140. 12b 1 32 1b 2 42 1 13 1 b2 13 2 2b2

141. 13x 2 2y2 2 2 12x 2 3y2 2

Multiplique.

142. 1xn 1 32 1xn 1 62

143. 12xn 2 32 1xn 1 42

144. 13xn 1 52 12xn 2 62

145. 1xn 1 72 1xn 2 72

146. 12xn 1 52 12xn 2 52

147. 1xn 2 yn2 1xn 1 yn2

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SECCIÓN 5.4

148. 1xn 2 42 2

275

División de polinomios

149. 13xn 1 52 2

150. 1xn 1 yn2 2

¿Para qué valor de k la ecuación dada es una identidad? 151. 15x 2 k2 13x 1 k2 5 15x2 1 4x 2 k2 152. 1kx 2 72 1kx 1 22 5 k2x2 1 5x 2 14

153. ¿Qué polinomio, cuando se divide entre 2x 2 3, tiene un cociente de x 1 7? 154. ¿Que polinomio, cuando se divide entre x 2 4, tiene un cociente de 2x 1 3?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 155. Escriba dos polinomios cuyo producto sea un polinomio de tercer grado. 156. Escriba dos polinomios cuyo producto sea un polinomio de cuarto grado. 157. ¿Cuáles son posibilidades para los grados de dos polinomios cuyo producto es un polinomio de quinto grado?

5.4 OBJETIVO

División de polinomios Dividir un polinomio entre un monomio Observe que para simplificar se divide entre 3.

9x 1 6x , primero se suman los términos en el numerador y luego 3

9x 1 6x 15x 5 5 5x 3 3 9x 1 6x también se puede simplificar si divide primero cada término en el nume3 rador entre el denominador y luego suma los resultados. La expresión

9x 1 6x 9x 6x 5 1 5 3x 1 2x 5 5x 3 3 3 Para dividir un polinomio entre un monomio, divida cada término del polinomio entre el monomio.

Concéntrese en dividir un polinomio entre un monomio. Divida:

8x3 2 4x2 1 6x 2x

Divida cada término del polinomio 8x3 2 4x2 1 6x entre el monomio 2x. Simplifique.

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8x3 4x2 6x 8x3 2 4x2 1 6x 5 2 1 2x 2x 2x 2x 5 4x2 2 2x 1 3

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276

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

EJEMPLO 1 Solución

Divida:

6p4 2 9p3 2 12p2 3p2

6p4 2 9p3 2 12p2 6p4 9p3 12p2 5 22 22 2 3p 3p 3p 3p2 5 2p2 2 3p 2 4

Solución

Divida:

• Simplifique.

15y 1 10y 2 25y 25y 3

Problema 1

• Divida cada término del polinomio entre 3p2.

2

Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 281.

EJEMPLO 2 Solución

Problema 2 Solución

18a2b 1 27a2b2 2 9ab2 9a2b 18a2b 1 27a2b2 2 9ab2 9a2b 2 18a b 27a2b2 9ab2 • Divida cada término del 5 1 2 9a2b 9a2b 9a2b polinomio entre 9a2b. b 5 2 1 3b 2 • Simplifique. a Divida:

Divida:

12x2y2 2 16xy2 2 8x 4x2y

Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 281.

OBJETIVO

Dividir polinomios El método de división ilustrado en el objetivo 1 es apropiado sólo cuando el divisor es un monomio. Para dividir dos polinomios cuando el divisor no es un monomio, siga un método parecido al que se utilizó para la división de números naturales. Para comprobar la división de polinomios, utilice (Cociente 3 divisor) 1 residuo 5 dividendo

Concéntrese en dividir dos polinomios A. Divida: 1x2 1 5x 2 72 4 1x 1 32 Paso 1

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x x 1 3qx2 1 5x 2 7 x2 1 3x c 2x 2 7

Piense: xqx2 5

x2 5x x

Multiplique: x 1x 1 32 5 x2 1 3x Reste: 1x2 1 5x2 2 1x2 1 3x2 5 2x Baje 27.

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SECCIÓN 5.4

Paso 2

x12 x 1 3qx2 1 5x 2 7 x2 1 3x 2x 2 7 2x 1 6 213

277

División de polinomios

Piense: xq2x 5

2x 52 x

Multiplique: 2 1x 1 32 5 2x 1 6 Reste: 12x 2 72 2 12x 1 62 5 213 El residuo es 213.

Comprobación: (Cociente 3 divisor) 1 residuo 5 dividendo

1x 1 22 1x 1 32 1 12132 5 x2 1 3x 1 2x 1 6 2 13 5 x2 1 5x 2 7 1x2 1 5x 2 72 4 1x 1 32 5 x 1 2 2

B. Divida:

6 2 6x2 1 4x3 2x 1 3

2x2 2x 1 3q4x 2 6x2 4x3 1 6x2 2 12x2 2 12x2 3

Ordene en forma descendente los términos de cada polinomio. Tenga en cuenta que no hay término x en 4x3 2 6x2 1 6. Inserte un cero como 0x en lugar del término faltante para que los términos semejantes queden en las mismas columnas.

EJEMPLO 3 Solución

Divida. A.

13 x13

9 6

1 0x 2 18x 18x 1 6 18x 1 27 2 21

4x3 2 6x2 1 6 21 5 2x2 2 6x 1 9 2 2x 1 3 2x 1 3

12x2 2 11x 1 10 4x 2 5

B.

x3 1 1 x11

A.

3x 1 1 4x 2 5q12x2 2 11x 1 10 12x2 2 15x 4x 1 10 4x 2 5 15 12x2 2 11x 1 10 15 5 3x 1 1 1 4x 2 5 4x 2 5

B.

x2 x 1 1qx 1 0x2 x3 1 x2 2x2 2x2 3

2 6x 1 1 0x 1

2 x1 1 1 0x 1 1 1 0x 2 x x1 1 x1 1 0

x3 1 1 5 x2 2 x 1 1 x11 Problema 3 Solución

Divida. A.

15x2 1 17x 2 20 3x 1 4

B.

3x3 1 8x2 2 6x 1 2 3x 2 1

Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 282.

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278

CAPÍTULO 5

OBJETIVO

Polinomios y exponentes

División sintética La división sintética es un método más corto para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a. Este método para dividir utiliza sólo los coeficientes de los términos variables y el término constante. Tanto la división larga como la división sintética se utilizan a continuación para simplificar la expresión 13x2 2 10x 1 72 4 1x 2 22 .

DIVISIÓN LARGA Compare los coeficientes de este problema resuelto por medio de la división larga con los coeficientes del mismo problema resueltos por medio de la división sintética.

3x 2 4 x 2 2q3x2 2 10x 1 7 3x2 2 6x 24x 1 7 24x 1 8 21

13x2 2 10x 1 72 4 1x 2 22 5 3x 2 4 2

1 x22

DIVISIÓN SINTÉTICA Identifique el valor de a.

c

x 2 a 5 x 2 2, por tanto, a 5 2. Baje el 3.

Valor de a Coeficientes del dividendo 6 2 c3 210 7 3 2

Multiplique 2(24) y sume el producto (28) a 7. El resultado es 21.

2

3

210 6 24

7

210 6 24

7 28 21

c

Multiplique 2 · 3 y sume el producto (6) a 210. El resultado es 24.

c

3 3

6

Coeficientes del cociente

c

c

3

c

Residuo

Utilice los coeficientes del cociente y el residuo para escribir el resultado de la división. El grado del primer término del cociente es un grado menos que el grado del primer término del dividendo. 13x2 2 10x 1 72 4 1x 2 22 1 5 3x 2 4 2 x22 Comprobación: 13x 2 42 1x 2 22 2 1 5 3x2 2 6x 2 4x 1 8 2 1 5 3x2 2 10x 1 7

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SECCIÓN 5.4

División de polinomios

279

Concéntrese en dividir polinomios utilizando la división sintética Divida: 12x3 1 3x2 2 4x 1 82 4 1x 1 32

Identifique el valor de a. x 2 a 5 x 1 3 5 x 2 1232 , por tanto a 5 23.

Escriba el cociente. El grado del cociente es un grado menos que el grado del dividendo.

EJEMPLO 4

Solución

3

24

8

26 9 215 2 23 5 27 Coeficientes Residuo del cociente 3 12x 1 3x2 2 4x 1 82 4 1x 1 32 7 5 2x2 2 3x 1 5 2 x13

H

Baje el 2. Multiplique 23 · 2 y sume el producto (26) a 3. Continúe hasta haber utilizado todos los coeficientes.

23 2

H

Escriba el valor de a y los coeficientes del dividendo.

Divida.

A. 15x2 2 3x 1 72 4 1x 2 12 B. 13x4 2 8x2 1 2x 1 12 4 1x 1 22 5 23 7 • x 2 a 5 x 2 1; a 5 1 5 2 5 2 9 15x2 2 3x 1 72 4 1x 2 12 9 5 5x 1 2 1 x21

A. 1

B. 22

0 28 2 26 12 28 4 26 3 26 13x4 2 8x2 1 2x 1 12 4

1 • Inserte un cero en lugar del término faltante x3 12 13 • x 2 a 5 x 1 2; a 5 22 1x 1 22 13 5 3x3 2 6x2 1 4x 2 6 1 x12

Problema 4

Solución

3

Divida. A. 16x2 1 8x 2 52 4 1x 1 22 B. 12x4 2 3x3 2 8x2 2 22 4 1x 2 32 Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 283.

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280

CAPÍTULO 5

OBJETIVO

Polinomios y exponentes

Evaluar un polinomio utilizando la división sintética Para evaluar un polinomio se puede utilizar la división sintética. Considere el polinomio P 1x2 5 2x4 2 3x3 1 4x2 2 5x 1 1. Una forma de evaluar el polinomio cuando x 5 2 es sustituir x por 2 y luego simplificar la expresión numérica. P 1x2 P 122 P 122 P 122

5 2x4 2 3x3 1 4x2 2 5x 1 1 5 2 122 4 2 3 122 3 1 4 122 2 2 5 122 1 1 5 2 1162 2 3 182 1 4 142 2 5 122 1 1 5 32 2 24 1 16 2 10 1 1 5 15

Ahora utilice la división sintética para dividir 12x4 2 3x3 1 4x2 2 5x 1 12 4 1x 2 22 . 2

4 2 6

25 12 7

H

2

23 4 1

1 14 15

H

2

Residuo

Coeficientes del cociente

Observe que el residuo es 15, que es el mismo valor que P(2). No se trata de ninguna coincidencia. El siguiente teorema indica que esta situación es siempre verdadera.

TEOREMA DEL RESIDUO

Si el polinomio P(x) se divide entre x – a, el residuo es P(a).

Concéntrese en evaluar un polinomio utilizando el teorema del residuo.

Evalúe P 1x2 5 x4 2 3x2 1 4x 2 5 cuando x 5 22; utilice el teorema del residuo. El valor al que se evalúa el polinomio. Se inserta un 0 en lugar del término x3 22 1 0 23 4 25 22 4 22 24 1 22 1 2 29 El residuo es P 1222 . c

c

c

P 22 5 29

EJEMPLO 5 Solución

Utilice el teorema del residuo para evaluar P(22) cuando P 1x2 5 x3 2 3x2 1 x 1 3. Utilice la división sintética con a 5 22. 22

23 1 3 22 10 222 1 25 11 219 Por el teorema del residuo, P 1222 5 219. Problema 5 Solución

1

Utilice el teorema del residuo para evaluar P(3) cuando P 1x2 5 2x3 2 4x 2 5. Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 87 de la página 284.

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SECCIÓN 5.4

División de polinomios

281

5.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Se dividen dos polinomios. El grado del dividendo es 5, y el grado del divisor es 1. ¿Cuál es el grado del cociente? 2. Suponga que r es el residuo cuando se dividen dos polinomios. ¿El grado de r es menor, mayor o igual que el grado del divisor? 3. Suponga que dividirá un polinomio P(x) entre x 1 5. ¿Cuál es el valor de a que escribirá a la izquierda de la recta vertical? 4.

¿Qué es el teorema del residuo?

Dividir un polinomio entre un monomio (Revise las páginas 275–276.) PREPÁRESE 5. Sustituya cada signo de interrogación para que la expresión sea verdadera. 9y2 6y 9y2 1 6y 5 1 3y ? ? ? 1 ? 5 6. Sustituya cada signo de interrogación para que la expresión sea verdadera. 12x2 8x3 8x3 2 12x2 2 5 4x2 ? ? ? 2 ? 5 Cada ecuación de división tiene una ecuación de multiplicación relacionada. Por ejemplo, 12 3 5 4 significa que 12 5 3 · 4. ¿Cuál es la ecuación de multiplicación relacionada para 12x2 1 6x 5 4x 1 2? 3x 6x3 2 12x2 2 2x ¿Cómo se puede utilizar la multiplicación para comprobar que 8. 5 2x 3x2 2 6x 2 1? 7.

Divida. 4a 2 8 9. 4

10.

8x 2 12y 2

† 11.

6w2 1 4w 2w

12.

8z3 2 6z2 22z

13.

3t 3 2 9t 2 1 12t 3t

14.

10a3 2 20a2 1 15a 5a

15.

22xy2 1 4x2y 2xy

16.

8a3b2 2 12a2b3 4a2b

17.

8v3 2 6v2 1 12v 4v

18.

12x4 2 9x3 1 8x2 6x2

19.

16x3 2 24x2 1 48x 28x2

20.

12y2 2 9y 1 6 23y

12x2y2 2 16x2y 1 20xy2 4x2y

22.

6uv3 1 9u2v2 2 3u3v 3uv2

† 21.

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282

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Dividir polinomios (Revise las páginas 276–277.) † 23.

Explique cómo se comprueba el resultado de la división de dos polinomios. Explique cómo se relaciona el grado del cociente de dos polinomios con los grados del dividendo y el divisor.

24.

Divida utilizando la división larga.

† 25. 1x2 1 3x 2 402 4 1x 2 52

26. 1x2 2 14x 1 242 4 1x 2 22

27. 16x2 1 5x 2 62 4 13x 2 22

28. 112x2 1 13x 2 142 4 13x 2 22

29. 110x2 1 9x 2 52 4 12x 2 12

30. 118x2 2 3x 1 22 4 13x 1 22

31. 12x2 1 3x 2 52 4 1x 1 22

32. 16x2 2 7x 2 82 4 12x 2 32

33. 1x 3 2 x 2 2 10x 2 82 4 1x 1 22

34. 1x3 2 2x2 2 3x 2 202 4 1x 2 42

35. 12x3 2 3x2 2 24x 2 102 4 12x 1 52

36. 112 2 5x2 1 6x3 2 13x2 4 13x 2 42

37. 13x2 1 3x 1 x3 2 52 4 1x 1 42

38. 14x3 1 2x2 2 16x 2 122 4 13 1 2x2

39. 1x3 2 3x2 1 22 4 1x 2 32

40. 1x3 1 4x2 2 82 4 1x 1 42

41. 1x3 2 7x 2 52 4 12 1 x2

42. 12x3 1 x 2 22 4 1x 2 32

43. 12x3 1 5x2 2 62 4 1x 1 32

44. 13x3 2 15x2 1 82 4 1x 2 32

45. 18x3 2 92 4 12x 2 32

46. 164x3 1 42 4 14x 1 22

47.

3x3 2 8x2 2 33x 2 10 3x 1 1

48.

8x3 2 38x2 1 49x 2 10 4x 2 1

49.

4 2 7x 1 5x2 2 x3 x23

50.

4 1 6x 2 3x2 1 2x3 2x 1 1

51.

16x2 2 13x3 1 2x4 2 9x 1 20 x25

52.

x 1 3x4 2 x2 1 5x3 2 2 x12

53.

6x3 1 2x2 1 x 1 4 2x2 2 3

54.

9x3 1 6x2 1 2x 1 1 3x2 1 2

55.

¿Verdadero o falso? Cuando un polinomio de décimo grado se divide entre un polinomio de segundo grado, el cociente es un polinomio de quinto grado.

56.

¿Verdadero o falso? Cuando un polinomio de grado 3n se divide entre un polinomio de grado n, el grado del polinomio del cociente es 2n.

División sintética (Revise las páginas 278–279.) PREPÁRESE 57. La división sintética es un método corto para dividir un polinomio entre un ? . de la forma

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?

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SECCIÓN 5.4

División de polinomios

283

58. Utilice este desarrollo de la división sintética de dos polinomios en x: 22 4 21 3 28 18 4 29 21 a. El dividendo es el polinomio ? . ? 5 ? . b. El divisor es x 2 ? y ? . c. “28” se obtiene de multiplicar ? y ? . d. “29” se obtiene de sumar ? y el residuo es ? . e. El cociente es el polinomio

Divida utilizando la división sintética. 59. 12x2 2 6x 2 82 4 1x 1 12

60. 13x2 1 19x 1 202 4 1x 1 52

61. 1x2 1 5x 2 92 4 1x 1 42

62. 1x2 2 7x 2 42 4 1x 2 32

63. 13x2 2 42 4 1x 2 12

64. 14x2 2 82 4 1x 2 22

65. 12x2 1 242 4 12x 1 42

66. 13x2 2 152 4 1x 1 32

† 67. 12x3 2 x2 1 6x 1 92 4 1x 1 12

68. 13x3 1 10x2 1 6x 2 42 4 1x 1 22

69. 16x 2 3x2 1 x3 2 92 4 1x 1 22

70. 15 2 5x 1 4x2 1 x32 4 1x 2 32

71. 1x3 1 x 2 22 4 1x 1 12

72. 1x3 1 2x 1 52 4 1x 2 22

73.

3x4 1 3x3 2 x2 1 3x 1 2 x11

74.

4x4 1 12x3 2 x2 2 x 1 2 x13

75.

16x2 2 13x3 1 2x4 2 9x 1 20 x25

76.

2x3 2 x2 2 10x 1 15 1 x4 x22

77.

2x4 2 x2 1 2 x23

78.

x4 2 3x3 2 30 x12

79.

x3 1 125 x15

80.

x3 1 343 x17

81.

Suponga que conoce el número a la izquierda de la recta vertical en el desarrollo de la división sintética de P(x) 4 Q(x), y que conoce los números que van debajo de la recta horizontal. ¿Cuenta con información suficiente para determinar P(x)?

82.

Suponga que conoce el número a la izquierda de la recta vertical en el desarrollo de la división sintética de P(x) 4 Q(x), y que conoce los números que van por encima de la recta horizontal. ¿Cuenta con información suficiente para determinar P(x) ?

Evaluar un polinomio utilizando la división sintética (Revise la página 280.) PREPÁRESE

83. Complete la división sintética de P 1x2 5 3x3 2 2x2 1 x 2 9 entre x – 2. 2

3 3

22 6 4

1 ? ?

El valor de P(2) es

06_Cap-05_AUFMANN_2a parte.indd 283

29 ? ? ?

.

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284

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

84. Utilice el desarrollo de la división sintética para señalar un punto que sabe que se encuentra en la gráfica de P 1x2 5 x3 1 x2 2 9x 2 9. 1 1 1 29 29 1 2 27 1 2 27 216

Utilice el teorema del residuo para evaluar el polinomio. 85. P 1x2 5 2x2 2 3x 2 1; P 132

† 87. R 1x2 5 x3 2 2x2 1 3x 2 1; R 142

89. P 1z2 5 2z3 2 4z2 1 3z 2 1; P 1222

86. Q 1x2 5 3x2 2 5x 2 1; Q 122

88. F 1x2 5 x3 1 4x2 2 3x 1 2; F 132

90. R 1t2 5 3t3 1 t2 2 4t 1 2; R 1232

91. Q 1x2 5 x4 1 3x3 2 2x2 1 4x 2 9; Q 122

92. Y 1z2 5 z4 2 2z3 2 3z2 2 z 1 7; Y 132

95. P 1x2 5 x3 2 3; P 152

96. S 1t2 5 4t3 1 5; S 1242

93. F 1x2 5 2x4 2 x3 2 2x 2 5; F 1232 97. R 1t2 5 4t4 2 3t2 1 5; R 1232

99. Q 1x2 5 x5 2 4x3 2 2x2 1 5x 2 2; Q 122

94. Q 1x2 5 x4 2 2x3 1 4x 2 2; Q 1222

98. P 1z2 5 2z4 1 z2 2 3; P 1242

100. T 1x2 5 2x5 1 4x4 2 x2 1 4; T 132

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Divida.

101. 1x4 2 2x3 1 7x2 2 6x 1 122 4 1x2 1 32

102. 1x4 1 3x3 2 6x2 2 12x 1 82 4 1x2 2 42

103. 1x4 1 2x3 1 2x2 1 x 2 202 4 1x2 1 x 2 42

104. 1x4 2 x3 2 9x2 1 19x 2 102 4 1x2 2 3x 1 22

¿Para qué valor de k el residuo será cero? 105. 1x3 2 3x2 2 x 1 k2 4 1x 2 32

107. 1x2 1 kx 2 62 4 1x 2 32

106. 1x3 2 2x2 1 x 1 k2 4 1x 2 22 108. 1x3 1 kx 1 k 2 12 4 1x 2 12

109. Cuando x2 1 x 1 2 se divide entre un polinomio, el cociente es x 1 4 y el residuo 14. Encuentra el polinomio.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO El teorema del factor es un resultado del teorema del residuo. El teorema del factor establece que un polinomio P(x) tiene un factor (x – c) si y sólo si P(c) 5 0. En otras palabras, un residuo cero significa que el divisor es un factor del dividendo. 110. Determine si x 1 5 es un factor de P 1x2 5 x4 1 x3 2 21x2 2 x 1 20. 111. Según su respuesta del ejercicio 110, ¿es –5 un cero de P(x)? Explique su respuesta.

112. Explique por qué P 1x2 5 4x4 1 7x2 1 12 no tiene factor de la forma x – c, donde c es un número real.

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SECCIÓN 5.5

5.5 OBJETIVO

285

Introducción a la factorización

Introducción a la factorización Factorizar un polinomio para obtener un monomio El máximo común divisor (MCD) de dos o más expresiones con exponentes con la misma base es la expresión con el exponente más pequeño. 22, 25, 23 MCD 5 22

x5, x7, x MCD 5 x

z 4 , z3 , z7 MCD 5 z3

El MCD de dos o más monomios es el producto de cada factor común con su exponente más pequeño. Si no hay factores comunes, el MCD es 1.

EJEMPLO 1

Encuentre el MCD de los monomios. A. 6x6y3, 4x2y6

Solución

B. 18x4y2z2, 24xz3, 36x2y2z 6x6y3 5 2 # 3 # x6 # y3

A. El factor numérico común es 2. El exponente más pequeño de 2 es 1.

4x2y6 5 22 # x2 # y6

Las variables comunes son x y y. El exponente más pequeño de x es 2; El exponente más pequeño de y es 3. La expresión algebraica común es x2y3. El MCD de 6x6y3 y 4x2y6 es 2x2y3. B. Los factores numéricos comunes son 2 y 3, y 1 es el exponente más pequeño de cada uno. El factor numérico común es 2 · 3 5 6.

18x4y2z2 5 2 # 32 # x4 # y2 # z2 24xz3 5 23 # 3 # x # z3 36x2y2z 5 22 # 32 # x2 # y2 # z

Los factores variables comunes son x y z, y 1 es el exponente más pequeño de cada uno. El factor variable común es xz. El MCD de 18x4y2z2, 24xz3, y 36x2y2z es 6xz. Problema 1 Solución

Encuentre el MCD de los monomios. A. 16x6yz4, 9y2z5 B. 36x5y3, 12x2y4z5, 15x2y4 Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 288. Factorizar un polinomio significa escribirlo como producto de otros polinomios.

Tome nota Para determinar los factores del monomio entre paréntesis, divida cada término del polinomio entre el MCD. 6x3 12x2 3x 5 2x2, 5 4x, 5 1 3x 3x 3x

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EJEMPLO 2 Solución

Factorice: A. 6x3 2 12x2 2 3x

B. 36x3y2 1 24x3y3 2 60x4y

A. El MCD de 6x3, 12x2, y 3x es 3x. 6x3 2 12x2 2 3x 5 3x 12x22 2 3x 14x2 2 3x 112 5 3x 12x2 2 4x 2 12

• Reescriba cada término del polinomio como un producto que tenga el MCD como uno de los factores.

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286

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

B. El MCD de 36x3y2, 24x3y3, y 60x4y es 12x3y. 36x3y2 1 24x3y3 2 60x4y • Reescriba cada término del polinomio 5 12x 3y 13y2 1 12x 3y 12y22 2 12x 3y 15x2 como un producto que 3 2 5 12x y 13y 1 2y 2 5x2 tenga el MCD como uno de los factores.

Problema 2 Solución

Factorice. A. 6x6z3 1 8x5z2

B. 16x5y4z3 1 30xy6z3 2 30xy6z

Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 288.

OBJETIVO

Factorizar por agrupamiento de términos En los siguientes ejemplos, los binomios entre paréntesis son factores. 3rs 12r 2 5s2 22xy 13x 1 72

Si los términos de una expresión contienen un factor común, se puede utilizar la propiedad distributiva para factorizar el factor común de la expresión.

Concéntrese en factorizar un factor común de una expresión. Factorice: 4a 12b 1 32 2 5 12b 1 32

4a 12b 1 32 2 5 12b 1 32 5 12b 1 32 14a 2 52

El factor común es 12b 1 32 . Utilice la propiedad distributiva para escribir la expresión como un producto de factores.

Considere el binomio y – x. Factorizando 21 de este binomio da y 2 x 5 2 1x 2 y2

Esta ecuación se emplea en ocasiones para factorizar un factor común de una expresión.

Concéntrese en factorizar un factor común de una expresión. Factorice: 6r 1r 2 s2 2 7 1s 2 r2

Reescriba la expresión como la suma de términos que tienen un factor común. Utilice s 2 r 5 2 1r 2 s2 . Escriba la expresión como un producto de factores

6r 1r 2 s2 2 7 1s 2 r2 5 6r 1r 2 s2 1 7 1r 2 s2

5 1r 2 s2 16r 1 72

Algunos polinomios pueden factorizarse por agrupamiento de términos para encontrar un factor común.

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SECCIÓN 5.5

287

Introducción a la factorización

Concéntrese en factorizar por agrupamiento de términos. Factorice: 8y2 1 4y 2 6ay 2 3a 8y2 1 4y 2 6ay 2 3a 5 18y2 1 4y2 2 16ay 1 3a2

Agrupe los primeros y los últimos dos términos. Observe que 26ay 2 3a 5 2 16ay 1 3a2

5 4y 12y 1 12 2 3a 12y 1 12

Factorice para obtener el MCD de cada grupo.

5 12y 1 12 14y 2 3a2

Escriba la expresión como un producto de factores.

EJEMPLO 3 Solución

Factorice. A. 3x 1y 2 42 2 2 14 2 y2

A. 3x 1y 2 42 2 2 14 2 y2 5 3x 1y 2 42 1 2 1y 2 42

• Escriba la expresión como la suma de los términos que tienen un factor común. Tenga en cuenta que 4 2 y 5 2 1y 2 42 . • Factorice para obtener el factor común.

5 1y 2 42 13x 1 22 B. xy 2 4x 2 2y 1 8 5 1xy 2 4x2 2 12y 2 82

• Agrupe los dos primeros y los dos últimos términos. Tenga en cuenta que 22y 1 8 5 2 12y 2 82 .

5 x 1y 2 42 2 2 1y 2 42

• Factorice para obtener el MCD de cada grupo.

5 1y 2 42 1x 2 22

Problema 3 Solución

B. xy 2 4x 2 2y 1 8

• Factorice para obtener el factor común.

Factorice. A. 6a 12b 1 52 2 7 15 1 2b2

B. 3rs 2 2r 2 3s 1 2

Revise la página S17.

† Intente resolver los ejercicios 49 y 55 de la página 289.

EJEMPLO 4 Solución

Factorice. x3 1 4x2 2 3x 2 12 x3 1 4x2 2 3x 2 12 5 1x3 1 4x22 2 13x 1 122 5 x2 1x 1 42 2 3 1x 1 42 5 1x 1 42 1x2 2 32

Problema 4 Solución

• Agrupe los dos primeros y los dos últimos términos. Tenga en cuenta que 23x 2 12 5 2 13x 1 122 . • Factorice para obtener el MCD de cada grupo de términos entre paréntesis. • Factorice para obtener el factor común.

Factorice. 2x3 2 4x2 1 3x 2 6 Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 289.

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288

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

5.5 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Cuál es el MCD de dos o más monomios?

2.

¿Qué significa factorizar un polinomio?

3. De las dos expresiones 15x2 2 10x y 5x 13x 2 22, ¿cuál de ellas está escrita en forma factorizada?

4. La expresión 5x 13x 2 22 tiene como factores un monomio y un binomio. El monomio es ? y el binomio es ?

Factorizar un polinomio para obtener un monomio (Revise las páginas 285–286.) Encuentre el MCD de los monomios. 5. 18x4y3, 12x4y3

6. 4xy3, 12y2

8. 12x5y3, 8x5y6

9. 18x3y2, 12x2

11. 12xy6, 6x6

12. 24y3, 12y † 15. 10x5y5z3, 18xz, 9x2y3z

14. 8x4y3z4, 24xz5, 12xy4z4

7. 10y4, 8x5 10. 20x4y5, 15x6y2 13. 20x3y6z2, 36x3yz4 16. 24x4yz, 10xy5z3, 18xy2z6

17. 12x3yz, 12x4y5z2, 8x4y6

18. 12x6yz4, 24y4z5, 10x2y3z3

19. 15y4, 8y5z6, 4x3z

20. 16y2z, 8y4z3, 15y6z6

21. 12x3y4z4, 25x6y4, 12x2y

22. 8x2z3, 12x5yz2, 4x6y6z2

26. 18x5y5 1 9xy

27. 12x2y6 1 20

28. 30x6y 2 8x3y3

29. 18x6y3 2 10xy3

30. 8x3y4 2 6y5

31. 8x2y 1 6y

32. 24x3y4 2 20xy

33. 10x6y5z3 2 10x4y4z3 1 6x3y4z6

34. 12x5y2z2 2 30x4z3 1 24y5z3

35. 20x5z4 1 15x4y3z6 1 8x4z6

36. 4x5y4z2 1 25x3y2z6 2 15z3

37. 18x4y3z2 2 10x2y4 1 8x2y3z3

38. 30x5y6z 1 36x5y2z 1 24x2yz5

39. 24x5yz 1 36xy3 2 30y5

40. 24x5y5z2 1 25x4y3z 2 18x2z3

41. 30x5 1 20y4z3 2 25y3

42. 26x6y6 1 18x5y4z6 2 10x2z2

PREPÁRESE Complete cada factorización. 23. 15x2y 2 9xy2 5 3xy 1 24. 4x y 1 6x y 5 5 2

2 2

?

?

2

12x 1 32 3

Factorice el polinomio. † 25. 30x2y4 1 18xy2

43.

Si n es un entero positivo, ¿cuál es el MCD de x3n y x2n?

44.

Si n es un entero positivo, ¿cuál es el MCD de xn13 y xx12?

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SECCIÓN 5.5

Introducción a la factorización

289

Factorizar por agrupamiento de términos (Revise las páginas 286–287.) PREPÁRESE

45. El factor común de los dos términos de la expresión 3x 1x 2 52 2 4 1x 2 52 es

46. Factorice para obtener 21 del binomio: 3 – y 5 21(

Factorice.

47. x 1a 1 22 2 2 1a 1 22 50. 3 1a 2 72 2 b 17 2 a2

?

?

.

).

48. 3 1x 1 y2 1 a 1x 1 y2 † 51. x2 1 3x 1 2x 1 6

† 49. a 1x 2 22 2 b 12 2 x2 52. x2 2 5x 1 4x 2 20

53. xy 1 4y 2 2x 2 8

54. ab 1 7b 2 3a 2 21

† 55. ax 1 bx 2 ay 2 by

56. 2ax 2 3ay 2 2bx 1 3by

57. x2y 2 3x2 2 2y 1 6

58. a2b 1 3a2 1 2b 1 6

59. 6 1 2y 1 3x2 1 x2y

60. 15 1 3b 2 5a2 2 a2b

61. 2ax2 1 bx2 2 4ay 2 2by

62. 4a2x 1 2a2y 2 6bx 2 3by

63. x3 1 x2 1 2x 1 2

64. y3 2 y2 1 3y 2 3

65. 2x3 2 x2 1 4x 2 2

66. 2y3 2 y2 1 6y 2 3

67. x3 1 6x2 2 6x 2 36

68. 2x3 1 14x2 2 3x 2 21

69. 3x3 1 7x2 2 21x 2 49

70. 6x3 1 18x2 2 8x 2 24

APLICACIÓN DE CONCEPTOS El MCD de dos o más monomios es el producto de cada factor común con su exponente más pequeño. Esta definición aplica también a expresiones con exponentes negativos. El MCD de 4x22 y 6x24 es 2x24 porque, si se comparan los exponentes, 24 < 22. Factorice. 71. 4x22 1 6x24

72. 9x23 2 6x21

73. 12x21y22 2 18x22y21

74. 4x22 1 8x2

La factorización por agrupamiento de términos se puede extender a expresiones con más de cuatro términos. En los siguientes ejercicios, agrupe los primeros tres y los últimos tres términos y luego factorice por agrupamiento de términos. 75. ac 1 ad 1 2a 1 bc 1 bd 1 2b

76. ac 1 ad 2 a 2 bc 2 bd 1 b

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 77. Escriba un polinomio con dos términos en el cual 3x2y sea el máximo común divisor de los términos. 78. Escriba un polinomio con tres términos en el cual 2a2b3 sea el máximo común divisor de los términos. 79. Escriba una expresión en la cual 2a 1 b sea un factor común.

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290

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

5.6

Factorización de trinomios

OBJETIVO

Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c x2 1 9x 1 20 x2 1 2x 2 48 x2 2 5x 1 6

A la derecha se presentan trinomios cuadráticos de la forma x2 1 bx 1 c. Observe que el coeficiente de x2 es 1; b y c son enteros diferentes de cero.

b 5 9, c 5 20 b 5 2, c 5 248 b 5 25, c 5 6

Para factorizar un trinomio cuadrático, tratamos de escribir el trinomio como el producto de dos binomios. Por ejemplo: Trinomio x 1 9x 1 20 5 x2 1 2x 2 48 5 x2 2 5x 1 6 5 2

Forma factorizada 1x 1 42 1x 1 52 1x 2 62 1x 1 82 1x 2 32 1x 2 22

El método por medio del cual se encuentran los factores de un trinomio de la forma x2 1 bx 1 c se basa en el método PEIU. Considere los siguientes productos binomiales y tenga en cuenta la relación entre los términos constantes de los binomios y los términos del trinomio. Suma de constantes binomiales

Productos de constantes binomiales c

H

H

c P E I U 1x 1 42 1x 1 52 5 x # x 1 5x 1 4x 1 4 # 5 5 x2 1 9x 1 20 1x 2 62 1x 1 82 5 x # x 1 8x 2 6x 1 1262 # 8 5 x2 1 2x 2 48 1x 2 32 1x 2 22 5 x # x 2 2x 2 3x 1 1232 1222 5 x2 2 5x 1 6

Observe dos aspectos importantes de estos ejemplos: 1. El término constante del trinomio es el producto de los términos constantes de los binomios. El coeficiente de x en el trinomio es la suma de los términos constantes de los binomios. 2. Cuando el término constante del trinomio es positivo, los términos constantes de los binomios tienen el mismo signo. Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos.

Concéntrese en factorizar un trinomio de la forma x2 1 bx 1 c A. Factorice: x2 2 4x 2 12 El término constante es negativo. Encuentre dos factores de 212, uno positivo y uno negativo, cuya suma sea 24. Puede listar los factores como hicimos nosotros a la derecha. Aunque presentamos todas las posibilidades, puede detenerse una vez que determine la suma correcta.

Factores de 212

Suma de factores

1, 212 21, 12 2, 26 22, 6 3, 24 23, 4

211 11 24 4 21 1

El producto de 2 y 26 es 212; la suma de 2 y 26 es 24. x2 2 4x 2 12 5 1x 1 22 1x 2 62

Comprobación: 1x 1 22 1x 2 62 5 x2 2 6x 1 2x 2 12 5 x2 2 4x 2 12

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SECCIÓN 5.6

291

Factorización de trinomios

B Factorice: z2 2 11z 1 18 El término constante es positivo. Encuentre dos factores de 18, ambos negativos (el coeficiente de z es negativo), cuya suma sea 211. El producto de 22 y 29 es 18; la suma de 22 y 29 es 211.

Tome nota Asegúrese de comprobar las factorizaciones propuestas. Por ejemplo, en el caso de la derecha, podríamos haber probado con 1x 2 32 1x 1 5y22 . 1x 2 32 1x 1 5y 2 5 x2 1 5xy2 2 3x 2 15y2 2

Los términos primero y último son correctos, pero la suma de los dos términos intermedios es diferente del término intermedio del polinomio original.

Factores de 18

Suma de factores

21, 218 22, 29 23, 26

219 211 29

z2 2 11z 1 18 5 1z 2 22 1z 2 92

Comprobación: 1z 2 22 1z 2 92 5 z2 2 9z 2 2z 1 18 5 z2 2 11z 1 18 C. Factorice: x2 1 2xy 2 15y2 El término 215y2 es negativo. Encuentre dos factores de 215, uno positivo y uno negativo, cuya suma sea 2. En la tabla se observa que el producto de 23 y 5 es 215; la suma de 23 y 5 es 2. Debido a que el último término de x2 1 2xy 2 15y2 contiene y2, utilizamos 23y y 5y. Tenga en cuenta que 123y2 5y 5 215y2.

Factores de 215

Suma de factores

1, 215 21, 15 3, 25 23, 5

214 14 22 2

x2 1 2xy 2 15y2 5 1x 2 3y2 1x 1 5y2

Comprobación: 1x 2 3y2 1x 1 5y2 5 x2 1 5xy 2 3xy 2 15y2 5 x2 1 2xy 2 15y2

EJEMPLO 1 Solución

Factorice. A. x2 1 8x 1 12

B. x2 1 5x 2 84

A. x2 1 8x 1 12 2 162 5 12 • Encuentre dos factores de 12 cuya suma sea 8. Los factores son 2 y 6. 21658 • Factorice el trinomio. x2 1 8x 1 12 5 1x 1 22 1x 1 62 Comprobación: 1x 1 22 1x 1 62 5 x2 1 6x 1 2x 1 12 5 x2 1 8x 1 12

B. x2 1 5x 2 84 1272 1122 5 284 • Encuentre dos factores de 284 cuya suma 27 1 12 5 5 sea 5. Los factores son 27 y 12. • Factorice el trinomio. x2 1 5x 2 84 5 1x 1 122 1x 2 72 Comprobación: 1x 1 122 1x 2 72 5 x2 2 7x 1 12x 2 84 5 x2 1 5x 2 84 Problema 1 Solución

Factorice. A. x2 1 13x 1 42

B. x2 2 x 2 20

Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 297.

Cuando factorice un polinomio, el primer paso debe ser siempre comprobar si los términos tienen un factor común.

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CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

EJEMPLO 2 Solución

Factorice. 2x2y 2 4xy 2 70y 2y es un monomio con un factor común. 2x2y 2 4xy 2 70y 5 2y 1x2 2 2x 2 352 • Factorice para obtener el factor común 2y.

5 2y 1x 2 72 1x 1 52 • Ahora factorice x2 2 2x 2 35;

para ello, encuentre dos factores de 235 cuya suma sea 22. Los factores son 27 y 5.

Comprobación: 2y 1x 2 72 1x 1 52 5 2y 1x2 1 5x 2 7x 2 352 5 2y 1x2 2 2x 2 352 5 2x2y 2 4xy 2 70y Problema 2 Solución

Factorice: 6x3y 1 6x2y 2 36xy Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 297. No todos los trinomios se factorizan sólo con números enteros.

Factores de 21

Suma de factores

1, 21 3, 7

22 10

Considere x2 1 4x 1 21. Debemos calcular dos factores positivos de 21 cuya suma sea 4. En la tabla de la derecha vemos que no existen estos enteros.

Se dice que el polinomio x2 1 4x 1 21 no es factorizable en números enteros.

EJEMPLO 3 Solución

Problema 3 Solución

Factorice: x2 1 2x 2 4 Encuentre dos factores de –4 cuya suma sea 2. En la tabla siguiente se observa que no existen esos enteros. x2 1 2x 2 4 no es factorizable en números enteros. Factores de 24

Suma de factores

21, 4 1, 24 22, 2

3 23 0

Factorice: x2 1 5x 2 1 Revise la página S17.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 297.

OBJETIVO

Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c Existen varios métodos para factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c, donde a 2 1. En este objetivo se explicará la factorización por medio de factores de prueba y la factorización por agrupamiento de términos. En primer término, se ilustra la factorización por medio de factores de prueba. En el método de factores de prueba, se utilizan los factores de a y los factores de c para escribir todos los posibles factores del trinomio. Luego se utiliza el método PEIU para determinar la factorización correcta. Para reducir el número de factores de prueba que deben tomarse en consideración, recuerde lo siguiente: 1. Utilice los signos del término constante y el coeficiente de x en el trinomio para determinar los signos de los factores. Si el término constante es positivo, los signos de los factores serán iguales al signo del coeficiente de x en el trinomio. Si el término constante es negativo, los términos constantes de los binomios tendrán signos opuestos. 2. Si los términos del trinomio no tienen un factor común, los términos de cualquiera de los dos factores no tendrán un factor común.

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SECCIÓN 5.6

293

Factorización de trinomios

Concéntrese en factorizar un trinomio por medio de factores de prueba Factorice: 4x2 1 31x 2 8 Los términos del trinomio no tienen un factor común; por tanto, los términos de los factores no tendrán un factor común. Debido a que el término constante c del trinomio es negativo (28), los términos constantes de los factores tendrán signos opuestos. Encuentre los factores de a (4) y los factores de c (28).

Tome nota Los términos del factor 4x 2 8 tienen un factor común de 4: 4x 2 8 5 4 1x 2 22. Debido a que los términos de 4x2 1 31x 2 8 no tienen un factor común, ninguno de los términos de los factores puede tener un factor común.

Utilice estos factores para escribir factores de prueba, y PEIU para comprobar el término intermedio de cada trinomio.

Factores de 4

Factores de 28

1, 4 2, 2

1, 28 21, 8 2, 24 22, 4

Factores de prueba

Término intermedio

1x 1 12 14x 2 82 1x 2 12 14x 1 82 1x 1 22 14x 2 42 1x 2 22 14x 1 42 12x 1 12 12x 2 82 12x 2 12 12x 1 82 12x 1 22 12x 2 42 12x 2 22 12x 1 42 14x 1 12 1x 2 82 14x 2 12 1x 1 82

Factor común Factor común Factor común Factor común Factor común Factor común Factor común Factor común 232x 1 x 5 231x 32x 2 x 5 31x

Recuerde que si los términos del trinomio no tienen un factor común, entonces los términos del factor no pueden tener un factor común. Por tanto, no es necesario comprobar esos factores de prueba. Se han encontrado los factores correctos.

4x2 1 31x 2 8 5 14x 2 12 1x 1 82 No es necesario comprobar más factores.

El ejemplo anterior ilustra que muchos de los factores de prueba pueden tener factores comunes y, por consiguiente, no es necesario probarlos. En lo que queda de este capítulo, no se mencionarán los factores de prueba con un factor común.

EJEMPLO 4 Solución

Factorice. A. 2x2 2 21x 1 10

B. 6x2 1 17x 2 10

A. 2x2 2 21x 1 10 Factores de 2

Factores de 10

1, 2

21, 210 22, 25

Factores de prueba

Término intermedio

1x 2 22 12x 2 52 12x 2 12 1x 2 102

25x 2 4x 5 29x 220x 2 x 5 221x

• Utilice factores negativos de 10.

• Escriba los factores de prueba. Utilice el método PEIU para comprobar el término intermedio.

2x2 2 21x 1 10 5 12x 2 12 1x 2 102

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CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

B. 6x2 1 17x 2 10 Factores de 6

Factores de 210

1, 6 2, 3

1, 210 21, 10 2, 25 22, 5

• Encuentre los factores de a (6) y los factores de c (210).

Factores de prueba

Término intermedio

1x 1 22 16x 2 52 1x 2 22 16x 1 52 12x 1 12 13x 2 102 12x 2 12 13x 1 102

25x 1 12x 5 7x 5x 2 12x 5 27x 220x 1 3x 5 217x 20x 2 3x 5 17x

• Escriba los factores de prueba. Utilice el método PEIU para comprobar el término intermedio.

6x2 1 17x 2 10 5 12x 2 12 13x 1 102 Problema 4 Solución

Factorice. A. 4x2 1 15x 2 4

B. 10x2 1 39x 1 14

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 45 de la página 298.

Los trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c también pueden factorizarse por agrupamiento de términos. Este método es una extensión del que se explicó en la sección 5.5, objetivo 2. Para factorizar ax2 1 bx 1 c, en primer lugar encuentre los factores de a · c cuya suma sea b. Utilice los dos factores para reescribir el término intermedio del trinomio como la suma de dos términos. Luego realice la factorización por agrupamiento de términos para escribir la factorización del trinomio.

Concéntrese en factorizar un trinomio por agrupamiento de términos. A. Factorice: 3x2 1 11x 1 8 Encuentre el producto de a 5 3 y c 5 8. 3 182 5 24.

Ahora encuentre dos factores de 24 cuya suma sea 11. 3 182 5 24

Factores de 24

Suma de factores

1, 24 2, 12 3, 8 4, 6

25 14 11 10

3 1 8 5 11

Los factores son 3 y 8. Utilice estos factores para reescribir 11x como 3x 1 8x.

3x2 1 11x 1 8 5 3x2 1 3x 1 8x 1 8

Factorice por agrupamiento de términos

5 13x2 1 3x2 1 18x 1 82 5 3x 1x 1 12 1 8 1x 1 12 5 1x 1 12 13x 1 82

Comprobación: 1x 1 12 13x 1 82 5 3x2 1 8x 1 3x 1 8 5 3x2 1 11x 1 8

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SECCIÓN 5.6

295

Factorización de trinomios

B. Factorice: 4x2 2 12x 2 7 Encuentre el producto de a 5 4 y c 5 27. 4 1272 5 228 Ahora encuentre dos factores de 228 cuya suma sea 212. 2 12142 5 224 2 1 12142 5 212 Los factores son 2 y 214. Utilice estos factores para reescribir 212x como 214x 1 2x.

Factores de 228

Suma de factores 227 27 212 12 23 3

1, 228 21, 28 2, 214 22, 14 4, 27 24, 7

4x2 2 12x 2 7 5 4x2 2 14x 1 2x 2 7 5 14x2 2 14x2 1 12x 2 72 5 2x 12x 2 72 1 12x 2 72 5 12x 2 72 12x 1 12

Factorice por agrupamiento de términos

Comprobación: 12x 2 72 12x 1 12 5 4x2 1 2x 2 14x 2 7 5 4x2 2 12x 2 7 C. Factorice: 3x2 2 11x 1 4 Encuentre el producto de a 5 3 y c 5 4. 3 142 5 12.

Ahora encuentre dos factores de 12 cuya suma sea 211. Como muestra la tabla, no existen tales factores.

Factores de 12

Suma de factores

21, 212 22, 26 23, 24

213 28 27

3x2 2 11x 1 4 no es factorizable en números enteros.

EJEMPLO 5 Solución

Factorice. A. 2x2 2 21x 1 10

B. 10 2 17x 2 6x2

A. 2x2 2 21x 1 10 a 5 2, c 5 10; ac 5 20. Encuentre dos factores de 20 cuya suma sea 221. 21 12202 5 20 21 1 12202 5 221 Los factores son 21 y 220. 2x2 2 21x 1 10 5 2x2 2 x 2 20x 1 10

5 12x2 2 x2 2 120x 2 102 5 x 12x 2 12 2 10 12x 2 12 5 12x 2 12 1x 2 102

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• Utilice estos factores para reescribir 221x como 2x220x. • Factorice por agrupamiento de términos. Observe que 220x 1 10 5 2120x 2 102. • La factorización se comprueba.

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296

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

B. 10 2 17x 2 6x2 a 5 26, c 5 10; ac 5 260. Encuentre dos factores de 260 cuya suma sea 217. 3 12202 5 260 3 1 12202 5 217 Los factores son 3 y 220.

10 2 17x 2 6x2 5 10 1 3x 2 20x 2 6x2 5 110 1 3x2 2 120x 1 6x22 5 110 1 3x2 2 2x 110 1 3x2 5 110 1 3x2 11 2 2x2 Problema 5 Solución

Factorice. A. 6x2 1 7x 2 20

• Utilice estos factores para reescribir 217x como 3x 2 20x. • Factorice por agrupamiento de términos. Observe que 220x 2 6x2 5 2 120x 1 6x22 . • La factorización se comprueba.

B. 2 2 x 2 6x2

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 47 de la página 298. Cualquiera de los dos métodos de factorización explicados en este objetivo siempre conducirá a una factorización correcta de los trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c que son factores. Un polinomio está factorizado completamente cuando se escribe como un producto de factores que no son factorizables en números enteros.

EJEMPLO 6 Solución

Problema 6 Solución

Factorice. A. 30y 1 2xy 2 4x2y

B. 12x3y 1 14x2y 2 6xy

A. 30y 1 2xy 2 4x2y 5 2y 115 1 x 2 2x22 5 2y 15 1 2x2 13 2 x2

• El MCD de 30y, 2xy, y 4x2y es 2y. • Factorice para obtener el MCD. • Factorice el trinomio.

B. 12x3y 1 14x2y 2 6xy 5 2xy 16x2 1 7x 2 32 5 2xy 13x 2 12 12x 1 32

• El MCD de 12x3y, 14x2y, y 6xy es 2xy.

Factorice. A. 3a3b3 1 3a2b2 2 60ab

B. 40a 2 10a2 2 15a3

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 71 de la página 298.

5.6

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuál de las siguientes es la factorización correcta de 4x2 1 9x 2 28? (i) 12x 1 72 12x 2 42 (ii) 14x 2 72 1x 1 42 (iii) 14x 1 282 1x 2 12 2. En cada una de las siguientes, encuentre dos factores de c cuya suma sea b. a. b 5 27, c 5 12 c. b 5 7, c 5 218

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b. b 5 210, c 5 224 d. b 5 25, c 5 84

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SECCIÓN 5.6

297

Factorización de trinomios

3. En cada una de las siguientes, encuentre dos factores de a · c cuya suma sea b. a. a 5 2, b 5 211, c 5 9 c. a 5 21, b 5 21, c 5 20 4.

b. a 5 3, b 5 4, c 5 24 d. a 5 4, b 5 5, c 5 26

¿Qué significa que un polinomio no es factorizable en números enteros?

Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c (Revise las páginas 290–292.) PREPÁRESE 5. a. Encuentre dos números cuyo producto sea 221 y cuya suma sea 4. b. Encuentre dos números cuyo producto sea 20 y cuya suma sea 29. 6. Para factorizar un trinomio cuadrado de la forma x2 1 bx 1 c en dos binomios ? y cuya (x 1 n) y (x 1 m), busque las constantes n y m cuyo producto sea ? suma sea

Factorice 7. x2 2 8x 1 15 10. a2 1 a 2 72

8. x2 1 12x 1 20

9. a2 1 12a 1 11

† 11. b2 1 2b 2 35

12. a2 1 7a 1 6

13. y2 2 16y 1 39

14. x2 1 x 2 132

15. a2 2 15a 1 56

16. x2 1 15x 1 50

17. x2 1 4x 2 5

18. a2 2 3ab 1 2b2

19. a2 1 11ab 1 30b2

20. a2 1 8ab 2 33b2

21. x2 2 14xy 1 24y2

22. x2 1 5xy 1 6y2

23. y2 1 2xy 2 63x2

24. x2 2 5x 1 7

† 25. x2 2 7x 2 12

26. 5x6 2 50x5 1 105x4

† 27. x4y4 2 4x3y4 2 21x2y4

28. x2y3 2 xy3 2 2y3

29. 6x6 2 60x5 1 54x4

30. 4x4y4 1 12x3y4 1 8x2y4

31. 3x5y4 2 24x4y4 1 45x3y4

32. 5x2 1 15x 2 140

33. 3x6y 2 45x5y 1 168x4y

34. 4x3y3 1 56x2y3 1 180xy3

35. 2x5y4 1 4x4y4 2 30x3y4

36. 30 1 17a 2 20a2

37. 4x4 2 45x2 1 80 38.

Suponga que b y c son diferentes de cero y que n y m son constantes positivas, de modo que x2 1 bx 1 c 5 1x 2 n2 1x 1 m2 . a. ¿Es c un número positivo o negativo? b. Si b es negativo, ¿es n menor, igual o mayor que m?

39.

Suponga que b y c son diferentes de cero y que n y m son constantes positivas, de modo que x2 1 bx 1 c 5 1x 2 n2 1x 2 m2 . a. ¿Es c un número positivo o negativo? b. ¿Es b un número positivo o negativo? c. ¿Es b menor, igual o mayor que c?

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CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c (Revise las páginas 292–296.) Si desea factorizar ax2 1 bx 1 c por agrupamiento de términos, tiene que buscar los factores de ac cuya suma sea b. En los ejercicios 40 a 43 se proporciona información sobre los signos de b y c en el trinomio ax2 1 bx 1 c, a > 0. En cada caso, indique si los factores de ac deben ser dos números positivos, dos números negativos o uno positivo y otro negativo. 40. b , 0 y c , 0 41. b , 0 y c . 0 42. b . 0 y c , 0

43. b . 0 y c . 0

Factorice. 44. 2x2 1 7x 1 3

† 45. 2x2 2 11x 2 40

† 47. 4y2 2 15y 1 9

46. 6y2 1 5y 2 6

48. 6b2 2 b 2 35

49. 2a2 1 13a 1 6

50. 3y2 2 22y 1 39

51. 12y2 2 13y 2 72

52. 6a2 2 26a 1 15

53. 5x2 1 26x 1 5

54. 4a2 2 a 2 5

55. 11x2 2 122x 1 11

56. 11y2 2 47y 1 12

57. 12x2 2 17x 1 5

58. 12x2 2 40x 1 25

59. 8y2 2 18y 1 9

60. 4x2 1 9x 1 10

61. 6a2 2 5a 2 2

62. 10x2 2 29x 1 10

63. 2x2 1 5x 1 12

64. 4x2 2 6x 1 1

65. 40 2 3x 2 x2

66. 42 1 x 2 x2

67. 24 1 13x 2 2x2

68. 6 2 7x 2 5x2

69. 120x4 2 306x3 1 162x2

70. 25x2y3 2 30xy3 2 27y3

72. 14x6y 1 26x5y 2 48x4y

73. 24x3 2 96x2 1 42x

75. 144x3y4 1 28x2y5 2 60xy6

76. 108x2y3 2 63xy4 1 9y5

† 71. 32x4y3 1 36x3y3 2 56x2y3 74. 20x4y 2 24x3y 1 4x2y

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Encuentre todos los enteros k que permitan factorizar el trinomio en números enteros. 77. x2 1 kx 2 6

78. x2 1 kx 1 8

79. 2x2 2 kx 2 5

80. 2x2 2 kx 1 3

81. 2x2 1 kx 2 3

82. 3x2 1 kx 1 5

83. ¿Cuáles son los valores enteros positivos de k con los que x2 1 6x 1 k se factoriza en números enteros? 84. En el ejercicio 83, suponga que se elimina la restricción que k sea un entero positivo. ¿Con cuántos valores enteros de k se factorizará x2 1 6x 1 k en números enteros? 85. Si x2 1 bx 1 c se factoriza como (x 1 m)(x 1 n), entonces b 5

?

yc5

?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 86. El área de un rectángulo es (3x2 1 x – 2) pies2. El largo y el ancho del rectángulo son los factores del trinomio. a. Exprese las dimensiones del rectángulo en términos de x. b. ¿x puede ser menor o igual que cero? c. ¿Cuál es el valor más pequeño de x con el cual el área del rectángulo es mayor que cero?

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SECCIÓN 5.7

Factorización especial

299

d. Suponiendo que el largo es mayor que el ancho, ¿qué factor es el largo y qué factor es el ancho? Pista: su respuesta dependerá del valor de x.

5.7 OBJETIVO

Factorización especial Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos El producto de un término por sí mismo se llama cuadrado perfecto. Los exponentes de las partes variables de los cuadrados perfectos siempre son números pares.

Término Cuadrado perfecto 5 5#55 25 x x#x5 x2 3y4 3y4 # 3y4 5 9y8

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es uno de los dos factores iguales del cuadrado perfecto. ! es el símbolo de la raíz cuadrada. Para determinar el exponente de la raíz cuadrada de un término variable, divida el exponente entre 2. En los ejemplos de la derecha, suponga que x y y representan números positivos.

"25 5 5 "x2 5 x "9y8 5 3y4

Los factores de la diferencia de dos cuadrados perfectos son la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.

FACTORIZAR LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2

EJEMPLOS

1. x2 2 9 5 x2 2 32 5 1x 1 32 1x 2 32 2. z2 2 49 5 z2 2 72 5 1z 1 72 1z 2 72

Una expresión como a2 1 b2 es la suma de dos cuadrados. La suma de dos cuadrados no se factoriza en números enteros. Por ejemplo, x2 1 9 es la suma de dos cuadrados. No se factoriza en números enteros.

EJEMPLO 1 Solución

Factorice. A. 25x2 2 81

A. 25x2 2 81 5 15x2 2 2 92

B. 12x3 2 147x

5 15x 1 92 15x 2 92

• Escriba 25x2 2 81 como la diferencia de dos cuadrados. • Utilice a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 para factorizar.

B. 12x3 2 147x 5 3x 14x2 2 492 5 3x 3 12x2 2 2 72 4 5 3x 12x 1 72 12x 2 72

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• Factorice para obtener el MCD. • Escriba 4x2 2 49 como la diferencia de dos cuadrados. • Utilice a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 para factorizar.

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300

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Problema 1 Solución

Factorice. A. 81x2 2 4y2

B. 20x3y2 2 45xy2

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 71 de la página 298.

El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto. Aquí se presentan dos ejemplos. 1a 1 b2 2 5 a2 1 2ab 1 b2 1a 2 b2 2 5 a2 2 2ab 1 b2

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, escriba el trinomio como el cuadrado de un binomio.

FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a2 1 2ab 1 b2 5 1a 1 b2 2 a2 2 2ab 1 b2 5 1a 2 b2 2 EJEMPLOS

1. x2 1 6x 1 9 5 1x 1 32 2 2. x2 2 12x 1 36 5 1x 2 62 2

Concéntrese en factorizar un trinomio cuadrado perfecto Factorice: 4x2 2 12x 1 9 Como 4x2 es un cuadrado perfecto y 9 también lo es, trate de factorizar 4x2 2 12x 1 9 como el cuadrado de un binomio. 4x2 2 12x 1 9 0 12x 2 32 2

Comprobación: 12x 2 32 2 5 12x 2 32 12x 2 32 5 4x2 2 6x 2 6x 1 9 5 4x2 2 12x 1 9 La factorización se comprueba. Por tanto, 4x2 2 12x 1 9 5 12x 2 32 2.

Es importante comprobar la factorización propuesta, como lo acabamos de hacer. Por ejemplo, considere factorizar x2 1 13x 1 36. Como x2 es un cuadrado perfecto y 36 también lo es, trate de factorizar x2 1 13x 1 36 como el cuadrado de un binomio. x2 1 13x 1 36 0 1x 1 62 2

Comprobación: 1x 1 62 2 5 1x 1 62 1x 1 62 5 x2 1 6x 1 6x 1 36 5 x2 1 12x 1 36 En este caso, la factorización propuesta de x2 1 13x 1 36 no se comprueba. Intente otra factorización. Los números 4 y 9 son factores de 36 cuya suma es 13. x2 1 13x 1 36 5 1x 1 42 1x 1 92

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SECCIÓN 5.7

EJEMPLO 2 Solución Problema 2 Solución

301

Factorización especial

Factorice: 4x2 2 20x 1 25 4x2 2 20x 1 25 5 12x 2 52 2

• 4x2 5 12x2 2 y 25 5 52. • Compruebe que 12x 2 52 2 5 4x2 2 20x 1 25.

Factorice: 9x2 1 12x 1 4 Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 304.

OBJETIVO

Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos El producto de los mismos tres factores se llama cubo perfecto. Los exponentes de las partes variables de los cubos perfectos siempre son divisibles entre 3.

Término 2 2#2#25 # 3y 3y 3y # 3y 5 2 x x2 # x2 # x2 5

La raíz cúbica de un cubo perfecto es uno de los tres factores iguales 3 del cubo perfecto. " es el símbolo de la raíz cúbica. Para determinar el exponente de la raíz cúbica de un término variable que es un cubo perfecto, divida el exponente entre 3.

Cubo perfecto 8 27y3 x6 3 " 852

3 " 27y3 5 3y 3 6 " x 5x

Las siguientes reglas se utilizan para factorizar la suma o la diferencia de dos cubos perfectos.

FACTORIZAR LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS

a3 1 b3 5 1a 1 b2 1a2 2 ab 1 b22 a3 2 b3 5 1a 2 b2 1a2 1 ab 1 b22 EJEMPLOS

1. x3 1 27 5 x3 1 33 5 1x 1 32 1x2 2 3x 1 92 2. z3 2 64 5 z3 2 43 5 1z 2 42 1z2 1 4z 1 162

EJEMPLO 3 Solución

Factorice A. 8x3 1 125

A. 8x3 1 125 5 12x2 3 1 53

B. 3x4y 2 81xy4

5 12x 1 52 3 12x2 2 2 2x 152 1 52 4 5 12x 1 52 14x2 2 10x 1 252 B. 3x4y 2 81xy4 5 3xy 1x3 2 27y32 5 3xy 3 x3 2 13y2 3 4 5 3xy 1x 2 3y2 3 1x2 2 1 x 13y2 1 13y2 2 4 5 3xy 1x 2 3y2 1x2 1 3xy 1 9y22 Problema 3 Solución

Factorice: A. a3 1 64b3

• 8x3 1 125 es la suma de dos cubos. • Factorice utilizando la fórmula de la suma de dos cubos.

• 3xy es un factor común. • x3 2 27y3 es la diferencia de dos cubos. • Factorice utilizando la fórmula de la diferencia de dos cubos.

B. 32x4y3 2 108xy3

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 65 de la página 305.

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302

CAPÍTULO 5

OBJETIVO

Polinomios y exponentes

Factorizar trinomios que están en forma cuadrática Ciertos trinomios pueden expresarse como trinomios cuadráticos mediante las sustituciones adecuadas de variables.

Tome nota Una expresión tiene forma cuadrática si se puede escribir como a 1 2 2 1 b 1 2 1 c, donde la misma expresión se coloca dentro de ambos grupos de paréntesis. La expresión 2x6 2 7x3 1 4 tiene forma cuadrática porque 2x6 2 7x3 1 4 5 2 1x32 2 2 7 1x32 1 4> La expresión 5x2y2 1 3xy 2 6 tiene forma cuadrática porque 5x2y2 1 3xy 2 6 5 5 1xy2 2 1 3 1xy2 2 6

TRINOMIOS QUE ESTÁN EN FORMA CUADRÁTICA

Un trinomio tiene forma cuadrática si se puede escribir como au2 1 bu 1 c. EJEMPLOS

1. 2x6 2 7x3 1 4 Sea u 5 x3. Entonces u2 5 1x32 2 5 x6. 2x6 2 7x3 1 4 1 2u2 2 7u 1 4 2x6 2 7x3 1 4 tiene forma cuadrática. 2. 5x2y2 1 3xy 2 6 Sea u 5 xy. Entonces u2 5 1xy2 2 5 x2y2. 5x2y2 1 3xy 2 6 1 5u2 1 3u 2 6 5x2y2 1 3xy 2 6 tiene forma cuadrática.

Concéntrese en factorizar un polinomio que está en forma cuadrática Factorice: x4 2 2x2 2 15 Sea u 5 x2.

x4 2 2x2 2 15 5 1x22 2 2 2 1x22 2 15 5 u2 2 2u 2 15

Sustituya x2 por u.

5 1u 2 52 1u 1 32

Factorice.

5 1x2 2 52 1x2 1 32

Sustituya u por x2.

EJEMPLO 4 Solución

Problema 4 Solución

Factorice. A. 6x2y2 2 xy 2 12

B. 2x4 1 5x2 2 12

A. 6x2y2 2 xy 2 12 5 13xy 1 42 12xy 2 32

• Sea u 5 xy. • Factorice 6u2 2 u 2 12.

B. 2x4 1 5x2 2 12 5 1x2 1 42 12x2 2 32

• Sea u 5 x2. • Factorice 2u2 1 5u 2 12.

Factorice. A. 6x2y2 2 19xy 1 10

B. 3x4 1 4x2 2 4

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 89 de la página 305.

OBJETIVO

Factorizar completamente Cuando factorice completamente un polinomio, pregúntese lo siguiente en torno al polinomio.

Tome nota Recuerde que es posible que tenga que factorizar más de una vez para factorizar completamente el polinomio.

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1. ¿Existe un factor común? De ser así, factorice para obtener el MCD. 2. Si el polinomio es un binomio, ¿es la diferencia de dos cuadrados perfectos, la suma de dos cubos perfectos, o la diferencia de dos cubos perfectos? De ser así, factorice. 3. Si el polinomio es un trinomio, ¿es un trinomio cuadrado perfecto o el producto de dos binomios? De ser así, factorice.

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SECCIÓN 5.7

303

Factorización especial

4. Si el polinomio tiene cuatro términos, ¿es posible realizar una factorización por agrupamiento de términos? De ser así, factorice. 5. ¿Es cada factor no factorizable en números enteros? Si no, factorice.

EJEMPLO 4 Solución

Factorice. A. x2y 1 2x2 2 y 2 2 A. x2y 1 2x2 2 y 2 2 5 1x2y 1 2x22 2 1 y 1 22 5 x2 1 y 1 22 2 1 y 1 22 5 1 y 1 22 1x2 2 12 5 1 y 1 22 1x 1 12 1x 2 12

B. x6 2 y6 • Factorice por agrupamiento de términos. • Factorice la diferencia de dos cuadrados perfectos.

B. x6 2 y6 5 1x32 2 2 1 y32 2 5 1x3 2 y32 1x3 1 y32 5 1x 2 y2 1x2 1 xy 1 y22 1x 1 y2 1x2 2 xy 1 y22

Problema 5 Solución

Factorice. A. 4x 2 4y 2 x3 1 x2y

• Escriba x6 2 y6 como la diferencia de dos cuadrados. • Factorice la diferencia de dos cuadrados. • Factorice la diferencia de dos cubos y la suma de dos cubos.

B. x4 2 8x2 2 9

Revise la página S18.

† Intente resolver el ejercicio 107 de la página 306.

5.7

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Indique si cada expresión es un cuadrado perfecto. a. 2x4

b. 25x4y8

c. 64x6

d. 9x5

c. 64x6

d. 27x9y6

2. Indique si cada expresión es un cubo perfecto. a. 8x6

b. 16x3

3. Indique si cada expresión es la diferencia de cuadrados perfectos. a. 4x2 2 9

b. x2 1 9

c. x2y2 2 81

d. 16x2 2 8

4. Indique si cada expresión es la suma o la diferencia de cubos perfectos. a. 8x3 1 27

b. 1x 1 82 3

c. 1x 2 272 3

d. x3 2 64

c. x4 2 9

d. x2y2 2 2xy 1 3

5. Indique si cada expresión está en forma cuadrática. a. 2x4 1 x2 2 6

b. 4x4 1 9x 1 25

6. Complete la siguiente expresión: al factorizar un polinomio, el primer paso consiste en ? de los términos del polinomio. calcular el

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304

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos (Revise las páginas 299–301.) PREPÁRESE ¿Cuáles de las siguientes expresiones son cuadrados perfectos? 7. 4; 8; 25x6; 12y10; 100x4y4

8. 9; 18; 15a8; 49b12; 64a16b2

Obtenga la raíz cuadrada de la expresión. 9. 16z8

11. 81a4b6

10. 36d10

12. 25m2n12

? y 13. a. El binomio 16x2 2 1 está en la forma a2 2 b2, donde a 5 ? . b5 b. Utilice la fórmula a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 para factorizar 16x2 2 1: 16x2 2 1 5 1 ? 2 1 ? 2 . 14. a. El trinomio 25y2 2 20y 1 4 está en la forma a2 2 2ab 1 b2, donde ? yb5 ? . a5

b. Utilice la fórmula a2 2 2ab 1 b2 5 1a 2 b2 2 para factorizar 25y2 2 20y 1 4: 25y2 2 20y 1 4 5 1 ? 2 2.

15.

Explique cómo se factoriza la diferencia de dos cuadrados perfectos.

16.

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

Factorice. 17. x2 2 16

18. y2 2 49

20. 81x2 2 4

21. b2 2 2b 1 1

22. a2 1 14a 1 49

24. 49x2 1 28x 1 4

25. x2 1 4

26. a2 1 16

27. x2 1 6xy 1 9y2

28. 4x2y2 1 12xy 1 9

29. 4x2 2 y2

30. 49a2 2 16b4

31. 16x2 2 121

32. 49y2 2 36

33. 1 2 9a2

34. 16 2 81y2

35. 4a2 1 4a 2 1

36. 9x2 1 12x 2 4

37. b2 1 7b 1 14

38. y2 2 5y 1 25

39. 25a2 2 40ab 1 16b2

40. 4a2 2 36ab 1 81b2

41. 245x3y 1 120x2y 2 80xy

42. 16x2y3 2 9y3

43. 54x5y4 2 144x4y4 1 96x3y4

44. 12x3y 1 36x2y 1 27xy

45. 45x4y3 1 30x3y3 1 5x2y3

46. 254x4y4 2 144x3y4 2 96x2y4

47. 9x4 2 4x6

48. 3x3y4 2 75x5y4

49. 5x3y 2 45x5y

† 23. 16x2 2 40x 1 25

† 19. 4x2 2 1

50. 16x3y4 2 36xy4 51.

¿Qué expresiones son equivalentes a x16 2 81? (i) 1x4 1 92 1x4 2 92 (ii) 1x8 1 92 1x8 2 92

52.

Dado que a y b son números positivos, ¿qué expresiones pueden factorizarse? (ii) 2a2x2 2 2abx 2 b2 (iii) 2a2x2 1 2abx 2 b2 (i) a2x2 2 2abx 1 b2

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(iii) 1x4 1 92 1x2 1 32 1x2 2 32

(iv) 1x8 1 92 1x4 1 32 1x4 2 32

(iv) a2x2 2 2abx 2 b2

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SECCIÓN 5.7

Factorización especial

305

Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos (Revise la página 301.) PREPÁRESE ¿Cuáles de las expresiones son cubos perfectos? 53. 4; 8; x9; a8b8; 27c15d18

54. 9; 27; y12; m3n6; 64mn9

Obtenga la raíz cuadrada de la expresión. 55. 8x9

56. 27y15

58. 125c12d3

57. 64a6b18

? y 59. a. El binomio 125x3 1 8 está en la forma a3 1 b3, donde a 5 ? . b5 b. Utilice la fórmula a3 1 b3 5 1a 1 b2 1a2 2 ab 1 b22 para factorizar 125x3 1 8: 125x3 1 8 5 1 ? 2 1 ? 2 . 60.

a y b son números positivos. ¿Qué expresiones pueden factorizarse? (i) a3x3 2 b3y3

(ii) a9x3 1 b9y3

(iii) a8x3 1 b8y3

(iv) a6x3 2 b3y6

Factorice. 61. x3 2 27 64. 64a3 1 27

62. y3 1 125 † 65. x3 2 8y3

63. 8x3 2 1 66. 27a3 1 b3

67. 64x3 1 1

68. 1 2 125b3

69. 27x3 2 8y3

70. 64x3 1 27y3

71. x3y3 1 64

72. 8x3y3 1 27

73. 24x6y 2 3x3y

74. 32x3y 2 4y

75. 54x6y 1 2x3y

76. 24x7 2 3x4

77. 81x3y 1 3y

78. 81x5y3 1 24x2y3

Factorizar trinomios que están en forma cuadrática (Revise la página 302.) PREPÁRESE 79. El trinomio 8x4 1 2x2 2 3 se puede escribir en la forma cuadrática 8u2 1 2u 2 3, ? . donde u 5 80. El trinomio 5x4y2 2 17x2y 2 12 se puede escribir en la forma cuadrática ? . 5u2 2 17u 2 12, donde y 5 81. 82.

¿Qué significa que un polinomio está en forma cuadrática? ¿Todos los polinomios en forma cuadrática se factorizan? Si no, proporcione un ejemplo de uno que no se factoriza.

Factorice. 83. x2y2 2 8xy 1 15

84. x2y2 2 8xy 2 33

85. x4 2 9x2 1 18

86. y4 2 6y2 2 16

87. b4 2 13b2 2 90

88. a4 1 14a2 1 45

90. a4b4 1 11a2b2 2 26

91. 3x2y2 2 14xy 1 15

93. 6a2b2 2 23ab 1 21

94. 10a2b2 1 3ab 2 7

4 4 2 2 † 89. x y 2 8x y 1 12

92. 5x2y2 2 59xy 1 44

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306

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

95. 2x4 2 13x2 2 15

96. 3x4 1 20x2 1 32

98. 36x6y3 1 45x4y3 2 54x2y3

99. 16x6y2 2 80x4y2 1 100x2y2

101. 12x6y3 1 2x4y3 2 4x2y3

97. 6x5y 1 x3y 2 12xy 100. 60x7y3 1 33x5y3 2 9x3y3

102. 72x7 2 12x5 2 4x3

Factorizar completamente (Revise las páginas 302–303.) PREPÁRESE 103. Al factorizar un polinomio, primero debe buscar un factor

?

.

104. Para factorizar un polinomio con cuatro términos, trate de factorizar por

?

.

Factorice. 105. 12x2 2 36x 1 27

106. 5x2 1 10x 1 5

108. 3x4 2 81x

109. 20x2 2 5

110. 7x2 2 28

111. y5 1 6y4 2 55y3

112. y4 2 10y3 1 21y2

113. 16x4 2 81

114. x4 2 16

115. 16a 2 2a4

116. 8x5 2 98x3

117. x3 1 2x2 2 x 2 2

118. x3y3 2 x3

119. 2x3 1 4x2 2 3x 2 6

120. 2x3 2 3x2 2 8x 1 12

121. x3 1 x2 2 16x 2 16

122. 3x3 2 3x2 1 4x 2 4

123. x4 2 2x3 2 35x2

124. 4x3 1 8x2 2 9x 2 18

125. 4x2 1 4x 2 1

126. 8x4 2 40x3 1 50x2

127. 6x5 1 74x4 1 24x3

128. x4 2 y4

129. 16a4 2 b4

130. a4 2 25a2 2 144

131. x4 2 5x2 2 4

132. 16a4 2 2a

133. 3b5 2 24b2

134. a4b2 2 8a3b3 2 48a2b4

135. x4y2 2 5x3y3 1 6x2y4

136. 24a2b2 2 14ab3 2 90b4

137. 16x3y 1 4x2y2 2 42xy3

138. x3 2 2x2 2 4x 1 8

139. x3 2 2x2 2 x 1 2

140. 8xb 2 8x 2 4b 1 4

141. 142.

† 107. 27a4 2 a

La forma factorizada de un polinomio P(x) es xn 1x 2 a2 1x 1 b2. ¿Cuál es el grado del polinomio P?

La forma factorizada de un polinomio P(x) es xn 1xn 1 a2 1xn 1 b2. ¿Cuál es el grado del polinomio P?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Encuentre todos los enteros k que hacen del trinomio un trinomio cuadrado perfecto. 143. 4x2 2 kx 1 25

144. 9x2 2 kx 1 1

145. 16x2 1 kxy 1 y2

146. 49x2 1 kxy 1 64y2

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SECCIÓN 5.8

Factorice.

307

Solución de ecuaciones por factorización

148. a3 1 1a 1 b2 3

147. 1a 2 b2 3 2 b3 Factorice el polinomio. Suponga que n es un entero positivo. 149. x2n 2 49

150. x2n 1 xn 2 6

151. x3n 1 8

152. x4n 1 2x2n 2 8

153. x4n 2 16

154. x4n 2 5x2n 1 4

155. Factorice x4 1 64. [Sugerencia: sume y reste 16x2 para que la expresión se convierta en 1x4 1 16x2 1 642 2 16x2. Ahora factorice la diferencia de dos cuadrados.] 156. Siga la estrategia del ejercicio 155 y factorice x4 1 4. (Sugerencia: sume y reste 4x2.) 157.

¿Un polinomio de tercer grado puede tener los factores x 2 1, x 1 1, x 2 3 y x 1 4? ¿Por qué?

158. Ciencia de los alimentos Una galleta circular grande es cortada de un trozo cuadrado de masa. El trozo de masa mide x centímetros de lado y 1 cm de espesor. En términos de x, ¿cuántos centímetros cúbicos de masa quedan? Utilice la aproximación 3.14 para p.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Si no ha concluido los ejercicios 110 a 112 de la sección 5.4, debe hacerlo ahora. 159. Dado que 3 es un cero de P 1x2 5 x3 2 x2 2 3x 2 9, determine la factorización en números enteros de x3 2 x2 2 3x 2 9. 160. Dado que 23 y 2 son ceros de P 1x2 5 x4 1 2x3 2 4x2 2 5x 2 6, determine la factorización en números enteros de x4 1 2x3 2 4x2 2 5x 2 6.

5.8 OBJETIVO

Solución de ecuaciones por factorización Resolver ecuaciones por factorización Si el producto de dos factores es cero, entonces uno o ambos factores tienen que ser cero.

PRINCIPIO DEL PRODUCTO CERO

Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de los factores es igual a cero. Si ab 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0.

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308

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

EJEMPLOS

Tome nota El principio del producto cero contiene la frase por lo menos uno. Esto significa que uno o los dos factores pueden ser cero. Observe cómo se utiliza este concepto en el ejemplo (3).

1. Suponga que 5x 5 0. Los factores son 5 y x. El producto es igual a cero, así que por lo menos uno de los factores tiene que ser cero. Como 5 2 0, sabemos que x 5 0. 2. Suponga que 23(x – 5) 5 0. Los factores son 23 y x – 5. El producto es igual a cero, así que por lo menos uno de los factores tiene que ser cero. Como 23 2 0, sabemos que x – 5 5 0, lo que significa que x 5 5. 3. Suponga que (x – 5)(x 1 4) 5 0. Los factores son x – 5 y x 1 4. El producto es igual a cero, así que x – 5 5 0, o x 1 4 5 0. Si x – 5 5 0, entonces x 5 5. Si x 1 4 5 0, entonces x 5 24.

Una ecuación de la forma ax2 1 bx 1 c, es una ecuación cuadrática. Una ecuación está en forma general cuando el polinomio se escribe en orden descendente y es igual a cero. Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por factorización y después se utiliza el principio del producto cero.

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática con el principio del producto cero Resuelva: 2x2 2 x 5 1

Escriba la ecuación en forma general. Factorice el trinomio.

12x 1 12 1x 2 12 5 0

Utilice el principio de los productos cero.

2x 1 1 5 0

Resuelva cada ecuación para x.

Las soluciones se comprueban.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva. A. x 1x 1 22 5 15 A.

x 1x 1 22 5 15 x2 1 2x 5 15 2 x 1 2x 2 15 5 0

1x 1 52 1x 2 32 5 0 x1550 x2350 x 5 25 x53 Las soluciones son 25 y 3.

B. 1x 1 42 1x 2 32 5 3x 2 4 x2 1 x 2 12 5 3x 2 4 x2 2 2x 2 8 5 0

1x 1 22 1x 2 42 5 0 x1250 x2450 x 5 22 x54 Las soluciones son 22 y 4.

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2x2 2 x 5 1 2x 2 x 2 1 5 0 2

x2150

2x 5 21 1 x52 2

x51

Las soluciones son 212 y 1.

B. 1x 1 42 1x 2 32 5 3x 2 4 • Multiplique x 1x 1 22 . • Escriba la ecuación en forma general. • Factorice el trinomio. • Utilice el principio del producto cero. El producto de x 1 5 y x 2 3 es igual a 0. Las soluciones son x 1 5 5 0 o x 2 3 5 0. • Multiplique 1x 1 42 1x 2 32 . • Escriba la ecuación en forma general. • Factorice el trinomio. • Utilice el principio del producto cero. El producto de x 1 2 y x 2 4 es igual a 0. Por tanto, x 1 2 5 0 o x 2 4 5 0.

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SECCIÓN 5.8

Problema 1 Solución

309

Solución de ecuaciones por factorización

Resuelva. A. 4x2 1 11x 5 3

B. 1x 2 22 1x 1 52 5 8

Revise las páginas S18-S19.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 312. El principio del producto cero se puede extender a más de dos factores. Por ejemplo, si abc 5 0, entonces a 5 0, b 5 0 o c 5 0.

Concéntrese en resolver una ecuación de tercer grado con el principio del producto cero Resuelva: x3 2 x2 2 25x 1 25 5 0 Factorice por agrupamiento de términos.

Utilice el principio del producto cero.

x3 2 x2 2 25x 1 25 5 0 1x 2 x22 2 125x 2 252 5 0 x2 1x 2 12 2 25 1x 2 12 5 0 1x 2 12 1x2 2 252 5 0 1x 2 12 1x 1 52 1x 2 52 5 0 3

x2150 x51

Resuelva cada ecuación para x.

x1550 x 5 25

x2550 x55

Las soluciones son 25, 5 y 1.

El principio del producto cero se utiliza para encontrar elementos en el dominio de una función cuadrática que corresponden a un elemento dado en el rango.

EJEMPLO 2 Solución

Tome nota Para comprobar los valores de c, evalúe la función. f 1x2 5 x2 2 3x 2 5 f 142 5 42 2 3 142 2 5 5 21 f 1212 5 1212 2 2 3 1212 2 5 5 21

Dado que 21 se encuentra dentro del rango de la función definida por f 1x2 5 x2 2 3x 2 5, encuentre dos valores de c para los que f(c) 5 21.

f 1c2 5 21 c2 2 3c 2 5 5 21 c2 2 3c 2 4 5 0 1c 2 42 1c 1 12 5 0 c2450 c1150 c54 c 5 21

• f 1c2 5 c2 2 3c 2 5 • Escriba en forma general. • Resuelva para c por factorización. • Utilice el principio del producto cero.

Los valores de c son 21 y 4. Problema 2 Solución

Dado que 4 se encuentra en el rango de la función definida por s 1t2 5 t2 2 t 2 2, encuentre dos valores de c para los que s(c) 5 4. Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 312. y 2 –4 –2

y = –1 x

2

(–1, –1)

(4, –1)

–4 –6 – 8 f(x) = x2 – 3x – 5

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En el ejemplo 2 hay dos valores en el dominio que pueden hacer pareja con el elemento 21 del rango. Los dos valores son 21 y 4. Dos pares ordenados que pertenecen a la función son (21, 21) y (4, 21). Recuerde: una función puede tener diferentes primeros elementos en pareja con el mismo segundo elemento. Una función no puede tener el mismo primer elemento en pareja con diferentes segundos elementos. A la izquierda se muestra la gráfica de f 1x2 5 x2 2 3x 2 5.

Recuerde que un cero de una función f es un número c para el cual f(c) 5 0. Es posible determinar los ceros de algunas funciones cuadráticas con el principio del producto cero. El proceso para determinar los ceros es parecido a resolver el ejemplo 2, donde el elemento del rango es 0.

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310

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Encuentre los ceros de f 1x2 5 x2 2 2x 2 8.

EJEMPLO 3

Es necesario calcular los valores de c con los que f(c) 5 0.

Solución

f 1c2 5 0 c2 2 2c 2 8 5 0 • f 1x2 5 x2 2 2x 2 8. Por consiguiente, f 1c2 5 c2 2 2c 2 8. 1c 1 22 1c 2 42 5 0 • Factorice y utilice el principio del producto cero. c1250 c2450 c 5 22 c54

Los ceros de f son 22 y 4. Encuentre los ceros de s 1t2 5 t2 1 5t 2 14.

Problema 3 Solución

Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 59 de la página 312.

Para encontrar los ceros en el ejemplo 3, se puede utilizar una calculadora graficadora. Primero grafique la función. A continuación se muestran algunos ejemplos de pantallas. Si necesita ayuda, consulta en el apéndice sobre uso de calculadoras graficadoras. 10

Plot1 Plot2 Plot3 = X2 –2X–8

\Y1 \Y2 \Y3 \Y4 \Y5 \Y6 \Y7

= = = = = =

CALCULATE 1:value 2:zero 3:minimum 4:maximum 5:intersect 6:dy/dx 7:∫f(x)dx

– 10

10

Zero X=-2

Y=0 – 10

10

– 10

10

Zero X=4

Y=0 – 10

Problemas de aplicación EJEMPLO 4

Un arquitecto desea diseñar una fuente que se colocará en el jardín de la entrada de un nuevo museo de arte. La base de la fuente medirá 30 por 40 pies, y habrá una vereda uniforme de ladrillo en torno a la fuente. El área total de la fuente y la vereda es de 2576 pies2. ¿Qué ancho tiene la vereda?

Estrategia

Sea x el ancho de la vereda de ladrillo. Entonces el ancho de la fuente y la vereda es de 30 1 2x, y la longitud de la fuente y la vereda es 40 1 2x. Utilice la fórmula A 5 LW, donde A 5 2576, para escribir una ecuación.

40

pie

s

OBJETIVO

x 30 pies x

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SECCIÓN 5.8

Solución

A 5 LW 2576 5 140 1 2x2 130 1 2x2 2576 5 1200 1 140x 1 4x2 05 4x2 1 140x 2 1376 05 x2 1 35x 2 344 05 1x 2 82 1x 1 432 x2850 x58

• • • • •

Sustituya A, L, y W por sus valores. Multiplique. Escriba en forma general. Divida cada lado entre 4. Factorice y utilice el principio del producto cero.

x 1 43 5 0 x 5 243

Una vereda de 243 pies de ancho no tendría sentido.

Tome nota En ocasiones, una solución de una ecuación cuadrática no tiene sentido en términos de la situación del problema. Elimine dicha solución.

311

Solución de ecuaciones por factorización

La vereda debe medir 8 pies de ancho. Problema 4

Una diagonal de un polígono es una recta que va de un vértice del polígono a otro vértice no adyacente. El número de diagonales D de 1

2

nn23 . Determine el un polígono con n lados está dado por D 5 2 número de lados de un polígono que tiene 20 diagonales.

Solución

Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 313.

5.8 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es el principio del producto cero?

2. ¿Verdadero o falso? Según el principio del producto cero, si 1x 1 22 1x 2 32 5 4, entonces x 1 2 5 4 o x 2 3 5 4. 3. Indique si la ecuación dada es una ecuación cuadrática. a. 3x2 1 6x 5 0 d. 2x 2 4 5 0

b. x2 2 3x 1 2 e. x2 5 25

c. 3x 1 6 5 x2 f. x4 2 2x2 2 3 5 0

4. Escriba cada ecuación en forma entera; el coeficiente de x2 debe ser un número positivo. a. 2x2 1 3 5 26x

b. 3x 5 6 2 x2

c. x 1x 1 12 2 3 5 0

d. 1x 1 22 1x 2 42 5 9

Resolver ecuaciones por factorización (Revise las páginas 307–310.) 5.

¿Qué es una ecuación cuadrática? ¿En qué difiere de una ecuación lineal? Proporcione un ejemplo de cada tipo de ecuación.

6.

¿Cómo se utiliza el principio del producto cero para resolver algunas ecuaciones cuadráticas?

PREPÁRESE

7. Sea f 1x2 5 x2 1 x 2 15. Para encontrar dos valores de c para los cuales f(c) 5 5, ? . resuelva la ecuación c 2 1 c 2 15 5

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312

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

8. Resuelva: 3x2 2 5x 2 2 5 0 ? 1x 2 x225 x5

3x2 2 5x 2 2 5 0 ? 2 50 2 13x 1 ? ? 3x 1 1 5 ? ? x5

Resuelva.

9. 1y 1 42 1y 1 62 5 0

• • • •

? La ecuación está en forma Factorice el trinomio. Utilice el principio del producto cero. Resuelva cada ecuación para x.

10. 1a 2 52 1a 2 22 5 0

11. x 1x 2 72 5 0

12. 3z 12z 1 52 5 0

13. 12x 1 32 1x 2 72 5 0

14. 14a 2 12 1a 1 92 5 0

15. b2 2 49 5 0

16. 9t2 2 16 5 0

17. y2 1 4y 2 5 5 0

18. x2 1 x 2 6 5 0

19. 2b2 2 5b 2 12 5 0

20. a2 2 8a 1 16 5 0

21. x2 2 9x 5 0

22. 3a2 2 12a 5 0

24. b2 2 4b 5 32

25. 3t2 1 13t 5 10

26. 2x2 2 5x 5 12

27. 5b2 2 17b 5 26

28. 4y2 2 19y 5 5

29. 8x2 2 10x 5 3

30. 6a2 1 a 5 2

31. y 1y 2 22 5 35

32. z 1z 2 12 5 20

33. y 13y 2 22 5 8

34. x 12x 2 52 5 12

35. 3a2 2 4a 5 20 2 15a

36. 2b2 2 6b 5 b 2 3

37. 1 y 1 52 1 y 2 72 5 220

38. 1x 1 22 1x 2 62 5 20

39. 1b 1 52 1b 1 102 5 6

40. 1a 2 92 1a 2 12 5 27

41. 1a 2 12 2 5 3a 2 5

42. 1b 2 22 2 1 b2 5 10

43. x3 1 4x2 2 x 2 4 5 0

44. x3 1 x2 2 9x 2 9 5 0

45. x3 2 4x2 2 25x 1 100 5 0

46. 2x3 1 3x2 2 18x 2 27 5 0

47. 3x3 1 2x2 2 48x 2 32 5 0

48. 2x3 1 x2 2 8x 2 4 5 0

49. 9x3 2 9x2 2 25x 1 25 5 0

50. 12x3 2 8x2 2 3x 1 2 5 0

† 23. z2 2 3z 5 28

Encuentre los valores de c en el dominio de f para los cuales f(c) es el valor indicado.

† 51. f 1x2 5 x2 2 3x 1 3; f 1c2 5 1

53. f 1x2 5 2x2 2 x 2 5; f 1c2 5 24

Encuentre los ceros de la función. 55. f 1x2 5 x2 1 3x 2 4 57. s 1t2 5 t2 2 4t 2 12

2 † 59. f 1x2 5 2x 2 5x 1 3

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52. f 1x2 5 x2 1 4x 2 2; f 1c2 5 3

54. f 1x2 5 6x2 2 5x 2 9; f 1c2 5 23

56. g 1x2 5 x2 1 2x 2 15 58. f 1t2 5 t2 1 3t 2 18

60. g 1x2 5 3x2 2 7x 2 6

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SECCIÓN 5.8

313

Solución de ecuaciones por factorización

Los ceros de algunas ecuaciones cuadráticas que no se factorizan con facilidad se pueden determinar con una calculadora graficadora. Utilícela para encontrar los ceros en las siguientes ecuaciones. Redondee a la centésima más cercana. 61. f 1x2 5 x2 1 3x 2 1

63. f 1x2 5 2x2 2 3x 2 1

62. f 1x2 5 2x2 2 2x 1 4

64. f 1x2 5 22x2 1 4x 1 1

Problemas de aplicación (Revise las páginas 310–311.) 65. Geometría El número de posibles diagonales D en un polígono con n lados está dado por 1

2

D 5 n n 22 3 . Encuentre los lados de un polígono con 54 diagonales. 66. Geometría El largo de un rectángulo es 5 pulg más del doble que el ancho. El área mide 168 pulg2. Calcule el ancho y el largo del rectángulo. † 67.

2w + 5 w

Editorial Lee el artículo que aparece a la derecha. Si el largo del lector electrónico rectangular mide 5 cm menos que el doble del ancho, calcule el largo y el ancho del lector electrónico.

En las noticias Lector electrónico de bolsillo

68. Geometría El ancho de un rectángulo mide 5 pies menos que el largo. El área del rectángulo es de 300 pies2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo.

Sony ha lanzado al mercado un pequeño lector electrónico que verdaderamente podría caber en el bolsillo, ya que es un rectángulo que mide sólo 150 cm2.

69. Geometría El largo de la base de un triángulo es el triple de la altura. El área del triángulo es de 24 cm2. Calcule su base y su altura. 70. Geometría La altura de un triángulo mide 4 cm más del doble del largo de la base. El área del triángulo es de 35 cm2. Calcule su altura.

Fuente: dailyator.com

71. Geometría El largo de un rectángulo mide 6 cm, y el ancho 3 cm. Si tanto el largo como el ancho aumentan cantidades iguales, el área del rectángulo aumentará 70 cm2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo mayor.

6 cm 3 cm

72. Geometría El ancho de un rectángulo mide 4 cm, y el largo 8 cm. Si tanto el ancho como el largo aumentan cantidades iguales, el área del rectángulo aumentará 64 cm2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo mayor. 73. Construcción Para fabricar un recipiente, se pliegan los lados de una lámina metálica rectangular, como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cuál debe ser el valor de x para que el volumen sea de 72 m3?

x x

10 m

6m

74. Construcción Un cartón rectangular mide 10 pulg más de largo que su ancho. En cada esquina se recortarán cuadrados de 2 pulg de lado y luego se plegarán los lados del cartón para formar una caja sin tapa con volumen de 112 pulg3. Calcule el largo y el ancho del cartón.

x + 10 x

8 pies

77. Física La altura h, en pies, de una pelota respecto al nivel del suelo t segundos después de haber sido lanzada hacia arriba a una velocidad de 64 pies/s está dada por h 5 216t2 1 64t 1 3 ¿Después de cuántos segundos estará la pelota a 63 pies de altura del suelo?

x pies

10 pies

76. Física La altura h, en pies, de una pelota respecto al nivel del suelo t segundos después de haber sido lanzada hacia arriba a una velocidad de 48 pies/s está dada por h 5 216t2 1 48t 1 3 ¿Después de cuántos segundos estará la pelota a 35 pies de altura del suelo?

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2 2

75. Construcción El dueño de una casa está construyendo una vereda de ladrillo alrededor de un patio de concreto de 8 por 10 pies, como se ilustra en el diagrama de la derecha. ¿Qué ancho debe tener la vereda de ladrillo si el área total del patio y la vereda deben ser de 143 pies2?

x pies

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314

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

78. Ciencia espacial Un cohete pequeño es lanzado con una aceleración de 10 m/s2. La velocidad v del cohete después de recorrer s metros está dada por v3 5 20s. Calcule la velocidad de este cohete después de haber recorrido 500 m.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 79. Encuentre 3n2 1 2n 2 1 si n 1n 1 62 5 16. 80. Encuentre 4y2 2 y 1 3 si 1y 2 12 1y 1 22 5 4. 81. Encuentre 2a2 1 5a 2 2 si 6a 1a 2 12 5 36. Encuentre los valores de c en el dominio de f para los cuales f(c) es el valor indicado. 82. f 1x2 5 x3 1 9x2 2 x 2 14; f 1c2 5 25 83. f 1x2 5 x3 1 3x2 2 4x 2 11; f 1c2 5 1 84. Geometría El perímetro de un jardín rectangular mide 44 m. El área del jardín mide 120 m2. Calcule el largo y el ancho del jardín. 85. Geometría Los lados de una caja rectangular tienen áreas de 16 cm2, 20 cm2 y 80 cm2. Calcule el volumen de la caja. 86. Escriba una ecuación cuyas soluciones sean 3, 2 y 21. 87.

Lo siguiente parece demostrar que 1 5 2. Explique el error. a5b a2 5 ab a2 2 b2 5 ab 2 b2 1a 2 b2 1a 1 b2 5 b 1a 2 b2 a1b5b b1b5b 2b 5 b 25 1

• • • • •

Multiplique por a cada lado de la ecuación. Reste b2 a cada lado de la ecuación. Factorice. Divida cada lado entre a 2 b. Como a 5 b, sustituya b por a.

• Divida los dos lados entre b.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Resuelva para x 88. x2 2 9ax 1 14a2 5 0 89. x2 1 9xy 2 36y2 5 0 90. 3x2 2 4cx 1 c2 5 0 91. 2x2 1 3bx 1 b2 5 0 92.

¿Es posible que una ecuación de tercer grado tenga 1, 2, 3 y 4 como soluciones? ¿Por qué?

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SECCIÓN SECCIÓN5.1 2.1

315

Expresiones exponentes Ecuaciones con de una variable

CAPÍTULO 5 Resumen Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables.

[5.1.1, p. 242]

2, x, 3x, 24x2, y 23x2y3 son monomios.

Un número escrito en notación científica es un número escrito en la forma a 3 10n, donde 1 # a , 10 y n es un entero.

[5.1.3, p. 248]

0.000000023 5 2.3 3 1028

Un polinomio es una expresión algebraica cuyos términos son monomios.

[5.2.1, p. 255]

x4 2 2xy 2 32x 1 8 es un polinomio. Los términos son x4, 22xy, 232x, y 8.

Un polinomio de dos términos es un binomio.

[5.2.1, p. 255]

3x 2 y es un binomio.

Un polinomio de tres términos es un trinomio.

[5.2.1, p. 255]

x2 2 2x 1 4 es un trinomio.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de cualquiera de sus términos.

[5.2.1, p. 256]

El grado del polinomio x3 1 3x2y2 2 4xy 2 3 es 4.

La división sintética es un método más corto para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x – a. Este método utiliza sólo los coeficientes de los términos variables.

[5.4.3, p. 278]

0 29 25 6 12 6 3 6 3 1 3 13x 2 9x 2 52 4 1x 2 22 1 5 3x2 1 6x 1 3 1 x22

Factorizar un polinomio significa escribirlo como el producto de otros polinomios.

[5.5.1, p. 285]

x2 1 5x 1 6 5 1x 1 22 1x 1 32

Un trinomio cuadrático es un polinomio de la forma ax2 1 bx 1 c, donde a y b son coeficientes diferentes de cero y c es una constante diferente de cero.

[5.6.1, 5.6.2, pp. 290, 292]

3x2 2 2x 1 8: a 5 3, b 5 22, c 5 8

Factorizar un trinomio cuadrático significa expresar el trinomio como el producto de dos binomios.

[5.6.1, p. 290]

x2 1 2x 2 8 5 1x 2 22 1x 1 42

Un polinomio no es factorizable en números enteros si no es posible factorizarlo utilizando únicamente enteros.

[5.6.1, p. 292]

x2 1 x 1 1 no es factorizable.

El producto de un término por sí mismo es un cuadrado perfecto.

[5.7.1, p. 299]

15x2 15x2 5 25x2; 25x2 es un cuadrado perfecto.

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es uno de los dos factores iguales del cuadrado perfecto.

[5.7.1, p. 299]

"25x2 5 5x

El producto de los mismos tres factores se llama cubo perfecto.

[5.7.2, p. 301]

12x2 12x2 12x2 5 8x3; 8x3 es un cubo perfecto.

La raíz cúbica de un cubo perfecto es uno de los tres factores iguales del cubo perfecto.

[5.7.2, p. 301]

Términos clave

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2

3

3 " 8x3 5 2x

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CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Un trinomio tiene forma cuadrática si puede escribirse como au2 1 bu 1 c.

[5.7.3, p. 302]

x4 2 3x2 1 2 está en forma cuadrática porque x4 2 3x2 1 2 5 u2 2 3u 1 2, donde u 5 x2.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0, a 2 0

[5.8.1, p. 308]

3x2 1 3x 1 8 5 0 es una ecuación cuadrática en forma general.

Una ecuación cuadrática está en forma general cuando el polinomio está en orden descendente y es igual a cero.

Reglas y procedimientos esenciales

Objetivo y página de referencia

Regla para multiplicar expresiones con exponentes Si m y n son números enteros, entonces xm # xn 5 xm 1 n.

[5.1.1, p. 242]

Regla para simplificar una potencia de una expresión con exponentes Si m y n son números enteros, entonces 1xm2 n 5 xmn.

[5.1.1, p. 243]

Regla para simplificar potencias de productos Si m, n y p son números enteros, entonces 1xmyn2 p 5 xmpynp.

[5.1.1, p. 243]

Regla para dividir expresiones con exponentes Si m y n son números enteros y x 2 0, entonces xm 5 xm 2 n. xn

[5.1.2, p. 244]

Definición de cero como exponente Si x 2 0, entonces x0 5 1.

[5.1.2, p. 245]

Definición de exponente negativo 1 1 Si n > 0 y x 2 0, entonces x2n 5 n y 2n 5 xn. x x

[5.1.2, p. 245]

Regla para simplificar potencias de cocientes

[5.1.2, p. 246]

Si m, n y p son números enteros y y 2 0, xm p xmp entonces a n b 5 np . y y Para dividir un polinomio entre un monomio, divida cada término del polinomio entre el monomio. Teorema del residuo Si el polinomio P(x) se divide entre x – a, el residuo es P(a).

Ejemplos x2 # x5 5 x2 1 5 5 x7

1x42 3 5 x4 3 5 x12 #

1x2y52 3 5 x2 3y5 3 5 x6y15 #

#

x12 5 x12 2 7 5 x5 x7

12xy42 0 5 1

50 5 1

x23 5

1 x3

1 5 x4 x24 #

x10 x2 5 x2 5 a 4 b 5 4 # 5 5 20 y y y [5.4.1, p. 275]

[5.4.4, p. 280]

12x5 1 8x3 2 6x 3 5 3x3 1 2x 2 4x2 2x P 1x2 5 x3 2 x2 1 x 2 1 22 1 21 1 21 22 6 214 1 23 7 215 P 1222 5 215

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317

SECCIÓNCAPÍTULO 5.1 Expresiones con exponentes 5 Ejercicios de repaso

Factorización de la diferencia de dos cuadrados a2 2 b2 5 1a 2 b2 1a 1 b2

[5.7.1, p. 299]

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

[5.7.1, p. 300]

x2 2 9 5 1x 2 32 1x 1 32

a 1 2ab 1 b 5 1a 1 b2 2 1a2 2 2ab 1 b22 5 1a 2 b2 2 2

2

Factorización de la suma o la diferencia de dos cubos a3 1 b3 5 1a 1 b2 1a2 2 ab 1 b22 a3 2 b3 5 1a 2 b2 1a2 1 ab 1 b22

[5.7.2, p. 301]

Principio del producto cero Si ab 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0.

[5.8.1, p. 307]

4x2 1 12x 1 9 5 12x 1 32 2 x2 2 10x 1 25 5 1x 2 52 2

x3 1 64 5 1x 1 42 1x2 2 4x 1 162 8b3 2 1 5 12b 2 12 14b2 1 2b 1 12 1x 2 42 1x 1 22 5 0 x2450 x1250 x54 x 5 22

CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso 1. Sume: 13x2 2 2x 2 62 1 12x2 2 3x 1 42

2. Reste: 15x2 2 8xy 1 2y22 2 1x2 2 3y22

3. Multiplique: 15x2yz42 12xy3z212 17x22y22z32

4. Multiplique: 12x21y2z52 4 123x3yz232

5. Simplifique:

3x4yz21 212xy3z2

7. Escriba en notación científica 93,000,000.

9. Simplifique:

3 3 1023 1.5 3 103

11. Grafique: y 5 x2 1 1

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6. Simplifique:

12a4b23c22 3 12a3b2c212 4

8. Escriba en notación decimal 2.54 3 1023.

10. Dado P 1x2 5 2x3 2 x 1 7, evalúe P(22).

12. Identifique a. el coeficiente principal, b. el término constante, y c. el grado del polinomio P 1x2 5 3x5 2 3x2 1 7x 1 8.

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CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

13. Utilice el teorema del residuo para evaluar P 1x2 5 22x3 1 2x2 2 4 cuando x 5 23.

14. Divida:

6x2y3 2 18x3y2 1 12x4y 3x2y

15. Divida:

15x2 1 2x 2 2 3x 2 2

16. Divida:

12x2 2 16x 2 7 6x 1 1

17. Divida:

4x3 1 27x2 1 10x 1 2 x16

18. Divida:

x3 2 2x 1 2 x22

19. Multiplique: 4x2y 13x3y2 1 2xy 2 7y32

20. Simplifique: 5x2 2 4x 3 x 2 13x 1 22 1 x 4

21. Multiplique: 1x 1 62 1x3 2 3x2 2 5x 1 12

22. Multiplique: 1x 2 42 13x 1 22 12x 2 32

23. Multiplique: 15a 1 2b2 15a 2 2b2

24. Simplifique: 14x 2 3y2 2

25. Factorice: 18a5b2 2 12a3b3 1 30a2b

26. Factorice: x 1y 2 32 1 4 13 2 y2

27. Factorice: 2ax 1 4bx 2 3ay 2 6by

28. Factorice: x2 1 12x 1 35

29. Factorice: 12 1 x 2 x2

30. Factorice: x2 2 16x 1 63

31. Factorice: 6x2 2 31x 1 18

32. Factorice: 24x2 1 61x 2 8

33. Factorice: x2y2 2 9

34. Factorice: 4x2 1 12xy 1 9y2

35. Factorice: 27x3 1 8

36. Factorice: 64a3 2 27b3

37. Factorice: x4 2 13x2 1 36

38. Factorice: 15x4 1 x2 2 6

39. Factorice: 36x8 2 36x4 1 5

40. Factorice: 21x4y4 1 23x2y2 1 6

41. Factorice: 3a6 2 15a4 2 18a2

42. Factorice: 3a4b 2 3ab4

43. Resuelva: x3 2 x2 2 6x 5 0

44. Resuelva: 6x2 1 60 5 39x

45. Resuelva: x3 1 5x2 2 4x 2 20 5 0

46. Resuelva: y3 1 y2 2 36y 2 36 5 0

47. Encuentre los ceros de f 1x2 5 x2 2 5x 2 6.

48. Encuentre dos valores de c en el dominio de f 1x2 5 x2 1 4x 2 9 tales que f 1c2 5 3.

49.

Astronomía El objeto más distante visible desde la Tierra sin ayuda de un telescopio es la gran galaxia de Andrómeda. La luz tarda 2.2 3 106 años en viajar de la gran galaxia de Andrómeda a la Tierra. La velocidad de la luz es de aproximadamente 5.9 3 1012 mph. ¿A qué distancia está la Tierra de la gran galaxia de Andrómeda?

50.

Energía solar La luz del Sol suministra energía a la Tierra equivalente a 2.4 3 1014 caballos de fuerza. La Tierra recibe sólo 2.2 3 1027 de la energía generada por el Sol. ¿Cuánta energía genera el Sol? x

51. Geometría El largo de un rectángulo mide (5x 1 3) cm. El ancho es de (2x – 7) cm. Calcule el área del rectángulo en términos de la variable x.

x x+4

52. Geometría Calcule el área de la figura que aparece a la derecha. Todas las dimensiones están en pulgadas.

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3x – 2

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SECCIÓN 5.1

319

Expresiones con Capítulo 5 exponentes Examen

53. Geometría El largo de un rectángulo mide 2 m más que el doble del ancho. El área del rectángulo es de 60 m2. Calcule el largo del rectángulo. 54 Física La altura h, en pies, de una pelota respecto al nivel del suelo t segundos después de haber sido lanzada hacia arriba a una velocidad de 96 pies/s está dada por h 5 216t2 1 96t 1 3. ¿Después de cuántos segundos estará la pelota a 143 pies de altura del suelo?

CAPÍTULO 5 Examen 1. Reste: 16x3 2 7x2 1 6x 2 72 2 14x3 2 3x2 1 72

3. Simplifique:

12a24b22 3 4a22b21

5. Escriba en notación científica el número de segundos que hay en 1 semana. 7. Simplifique: 25x 3 3 2 2 12x 2 42 2 3x 4 9. Multiplique: 1x2 1 3x 2 52 12x 1 32

11. Divida:

25x2y2 2 15x2y 1 20xy2 5x2y

2. Simplifique: 124a2b2 3 12ab42

4. Escriba en notación científica el número 0.000000501. 6. Simplifique: 12x23y2 24 8. Multiplique: 13a 1 4b2 12a 2 7b2 10. Simplifique: 13z 2 52 2 12. Divida: 14x3 1 x 2 152 4 12x 2 32

13. Divida: 1x3 2 5x2 1 5x 1 52 4 1x 2 32

14. Dado P 1x2 5 3x2 2 8x 1 1, evalúe P 122 .

15. Utilice el teorema del residuo para evaluar P 1x2 5 2x3 1 4x 2 8 cuando x 5 22.

16. Factorice: 6a4 2 13a2 2 5

17. Factorice: 12x3 1 12x2 2 45x

18. Factorice: 16x2 2 25

19. Factorice: 16t2 1 24t 1 9

20. Factorice: 27x3 2 8

21. Factorice: 6x2 2 4x 2 3xa 1 2a

22. Encuentre los ceros de g 1x2 5 2x2 2 5x 2 12.

23. Resuelva: 6x2 5 x 1 1

24. Resuelva: 6x3 1 x2 2 6x 2 1 5 0

25. Geometría El largo de un rectángulo mide (5x 1 1) pies. El ancho es de (2x – 1) pies. Calcule el área del rectángulo en términos de la variable x. 26. Viajes espaciales Un vehículo espacial recorre 2.4 3 105 mi en un viaje de la Tierra a la Luna a una velocidad promedio de 2 3 104 mph. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo espacial en llegar a la Luna?

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5x + 1 2x – 1

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320

CAPÍTULO 5

Polinomios y exponentes

Ejercicios de repaso acumulativos 1. Simplifique: 8 2 2 3 23 2 1212 4 2 1 4

3. Identifique la propiedad que justifica la expresión 2x 1 122x2 5 0.

5. Resuelva:

7. Divida:

2 5 2y5 3 6

x3 2 3 x23

9. Dado P 1x2 5 3x2 2 2x 1 2, evalúe P(22).

2. Evalúe

2a 2 b si a 5 4, b 5 22 y c 5 6. b2c

4. Simplifique: 2x 2 4 3 x 2 2 13 2 2x2 1 4 4

6. Resuelva: 8x 2 3 2 x 5 26 1 3x 2 8

8. Resuelva: 3 2 0 2 2 3x 0 5 22

10. Evalúe f 1x2 5

x11 cuando x 5 23. x12

11. Encuentre el rango de la función dada por F 1x2 5 3x2 2 4 si el dominio es 5 22, 21, 0, 1, 2 6 .

12. Calcule la pendiente de la recta que contiene los puntos P1(22, 3) y P2(4, 2).

13. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(21, 2) y tiene pendiente 232.

14. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(22, 4) y es perpendicular a la gráfica de 3x 1 2y 5 4.

15. Resuelva por la regla de Cramer: 2x 2 3y 5 2 x 1 y 5 23

16. Resuelva por el método de suma y resta: x2y1z50 2x 1 y 2 3z 5 27 2x 1 2y 1 2z 5 5

17. Grafique 3x 2 4y 5 12, utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y.

18. Grafique el conjunto solución de 23x 1 2y , 6.

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SECCIÓN 5.1 Expresiones conacumulativos exponentes Ejercicios de repaso

19. Resuelva por el método gráfico:

x 2 2y 5 3 22x 1 y 5 23

20. Grafique el conjunto solución:

321

2x 1 y , 3 26x 1 3y $ 4

15x3y23z2 22 y4z22

21. Simplifique: 14a22b32 12a3b212 22

22. Simplifique:

23. Divida: 1x3 1 2x2 2 4x 1 12 4 1x 1 32

24. Multiplique: 12x 1 32 12x2 2 3x 1 12

25. Factorice: 24x3 1 14x2 2 12x

26. Factorice: a 1x 2 y2 2 b 1y 2 x2

27. Factorice: x4 2 16

28. Factorice: 2x3 2 16

29. Biología Un biólogo mezcla una solución de ácido al 4% con otra al 8% para preparar 10 litros de una solución de ácido al 5%. ¿Cuántos litros de cada solución utilizó? 30. Metalurgia ¿Cuántas onzas de oro puro que cuesta $360 la onza deben mezclarse con 80 onzas de una aleación que cuesta $120 la onza para preparar una mezcla que cuesta $200 por onza? 31. Movimiento uniforme Dos ciclistas se encuentran a 25 mi de distancia y viajan en dirección de uno hacia el otro. Un ciclista se desplaza a 23 de la velocidad del otro. Se cruzan en 2 h. Calcule la velocidad de cada ciclista. 32. Inversiones Si se invierten $3000 a una tasa de interés simple de 7.5% anual, ¿cuánto dinero más debe invertirse a una tasa de interés simple de 10% anual para que el interés total ganado sea de 9% de la inversión total?

Distancia (en millas)

33. Viajes La siguiente gráfica muestra la relación entre la distancia recorrida en millas y el tiempo de viaje en horas. Calcule la pendiente de la recta entre los dos puntos en la gráfica. Escriba un enunciado que explique el significado de la pendiente. y (6, 300)

300 250 200 150 100 50 0

(2, 100) 1

2

3

4

5

6

x

Tiempo (en horas)

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6

CAPÍTULO

Expresiones racionales Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Está utilizando las características de este libro para aprender los conceptos que se le presentan? La sección Concéntrese incluye una solución paso a paso del tipo de ejercicio con el que lidiará al hacer su tarea. El ejemplo numerado le proporciona una solución totalmente desarrollada. Luego de estudiarlo, trate de resolver el problema que le sigue. En la parte final de este libro se encuentra la solución completa de dicho problema. Después, trate de resolver el ejercicio que se encuentra a continuación del problema. Así estará reforzando los conceptos aprendidos en cada paso. (Consulte Utilizar el método interactivo en la página A-8.)

OBJETIVOS 6.1

6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

1 Encontrar el dominio de una

función racional 2 Simplificar expresiones racionales 1 Multiplicar y dividir expresiones racionales 2 Sumar y restar expresiones racionales 1 Simplificar fracciones complejas 1 Resolver ecuaciones fraccionarias 2 Problemas de trabajo 3 Problemas de movimiento uniforme 1 Razones y Proporciones 2 Problemas de proporciones 1 Resolver ecuaciones literales

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el siguiente Examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Encuentre el mcm de 10 y 25. Sume, reste, multiplique o divida. 3 4 4 8 2. 2 # 3. 2 4 8 9 5 15 3 7 5. 2 2 a2 b 8 12

5 7 4. 2 1 6 8 2 1 2 3 4 6. Simplifique: 1 22 8 7. Evalúe:

2x 2 3 para x 5 2. x 2x11 2

8. Resuelva: 4 12x 1 12 5 3 1x 2 22 t t 9. Resuelva: 10a 1 b 5 10 112 2 5 10. Dos aviones despegan del mismo sitio y vuelan en direcciones opuestas. El primero vuela 20 mph más lento que el segundo. Luego de 2 horas, los aviones están a 480 millas uno del otro. Calcule la velocidad de cada uno.

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324

CAPÍTULO 6

6.1 OBJETIVO

Expresiones racionales

Introducción a las funciones racionales Encontrar el dominio de una función racional Cuando en una expresión el numerador y el denominador son polinomios, se le llama expresión racional. A la derecha se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales.

3x 1 4 2x 2 1 1

9 z

x3 2 x 1 1 x 2 2 3x 2 5

La expresión "x x1 3 no es una expresión racional porque "x 1 3 no es un polinomio. Una función escrita en términos de una expresión racional es una función racional. Cada una de las siguientes ecuaciones representa una función racional. f 1x2 5

x2 1 3 2x 2 1

g 1t2 5

3 t 24 2

R 1z2 5

z 2 1 3z 2 1 z 2 1 z 2 12

Para evaluar una función racional, primero se reemplaza la variable por su valor y luego se simplifica.

EJEMPLO 1 Solución

Dada f 1x2 5

3x 2 4 x 2 2 2x 1 1 3 1232 2 4 f 1232 5 1232 2 2 2 1232 1 1 f 1x2 5

f 1232 5

29 2 4 91611

f 1232 5

213 16

f 1232 5 2 Problema 1 Solución

3x 2 4 , encuentre f(23). x 2 2 2x 1 1

• Sustituir x por 3.

13 16

Dada f 1x2 5

3 2 5x , encuentre f(2). x 1 5x 1 6 2

Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 327.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Puesto que la división entre cero no está definida, el dominio de una función racional debe excluir los números con los que el valor del denominador es igual a cero. EJEMPLOS

1.

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 324

x13 x24 El denominador es igual a cero cuando x – 4 5 0, o x 5 4. El dominio de f es todos los números reales, con excepción de 4. Esto se escribe 5 x 0 x 2 4 6. f 1x2 5

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SECCIÓN 6.1

2.

325

Introducción a las funciones racionales

x2 2 6 4x 1 8 El denominador es igual a 0 cuando 4x + 8 5 0. Al resolver para x la ecuación tenemos: f 1x2 5

4x 1 8 5 0 4x 5 28 x 5 22 El dominio de f son todos los números reales, con excepción de 22. Esto se escribe 5 x 0 x 2 22 6 . 3.

f 1x2 5

2x x2 1 4 El denominador es igual a cero cuando x2 + 4 5 0. Sin embargo, x2 $ 0 para todos los número reales. Por tanto, x2 + 4 7 0 para todos los números reales, y el denominador nunca es igual a 0. El dominio es todos los números reales, o {x | x H los números reales}.

EJEMPLO 2 Solución

2x 2 6 . x 2 2 3x 2 4 El dominio debe excluir los valores de x para los que x 2 2 3x 2 4 5 0. Resuelva esta ecuación para x. Encuentre el dominio de f 1x2 5

x 2 2 3x 2 4 5 0 1x 1 12 1x 2 42 5 0 x1150 x 5 21

Tome nota

x2450 x54

• Factorice el trinomio. • Utilice el principio de los productos de cero para establecer cada factor igual a cero.

Las soluciones son 21 y 4. El dominio de f debe excluir dichos valores.

En el capítulo 8 se analiza cómo resolver este problema cuando no es posible factorizar el polinomio.

El dominio de f es 5 x 0 x 2 21, x 2 4 6 . Problema 2 Solución

Encuentre el dominio de g 1x2 5

52x . x2 2 4

Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 327.

OBJETIVO

Simplificar expresiones racionales Una expresión racional es la forma más simple cuando el numerador y el denominador no tienen otros factores comunes además de 1. Se utiliza la propiedad del neutro multiplicativo para escribir una expresión en su forma más simple, como se muestra a continuación. 1x 2 52 1x 1 52 x 2 2 25 5 2 1x 1 82 1x 1 52 x 1 13x 1 40 5

1x 2 52 # 1x 1 52 1x 1 82 1x 1 52

5

x25# x25 , x 2 28, x 2 25 15 x18 x18

Se debe incluir el requisito de que x 2 28, x 2 25, porque la división entre 0 no está permitida.

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326

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

La simplificación suele representarse utilizando diagonales para señalar la eliminación de un factor común: 1x 2 52 1x 1 52 x25 x 2 2 25 5 5 , x 2 28, x 2 25 2 1x 1 82 1x 1 52 x 1 13x 1 40 x18 1

1

Le mostraremos una simplificación con diagonales. También omitiremos las restricciones que impiden la división entre cero. No obstante, dichas restricciones siempre están implícitas.

EJEMPLO 3

Solución

Simplifique. A.

x 2 2 16 x 2 1 11x 1 28

A.

1x 1 42 1x 2 42 x 2 2 16 5 2 1x 1 42 1x 1 72 x 1 11x 1 28

B.

12 1 5x 2 2x 2 2x 2 2 3x 2 20

1x 1 42 1x 2 42 5 1x 1 42 1x 1 72

• Factorice el numerador y el denominador.

1

1

5

Tome nota

B.

Recuerde que

x24 x17

14 2 x2 13 1 2x2 12 1 5x 2 2x 2 5 2 1x 2 42 12x 1 52 2x 2 3x 2 20 14 2 x2 13 1 2x2 5 1x 2 42 12x 1 52

• Divida entre los factores comunes. • Escriba la respuesta en su forma más simple. • Factorice el numerador y el denominador.

21

(b 2 a) 5 2(a 2 b) Por tanto,

1

(4 2 x) 5 2(x 2 4) En general, 1

b2a 2 1a 2 b2 5 5 21 a2b a2b

52

1

Problema 3

Simplifique. A.

Solución

2x 1 3 2x 1 5

• Divida entre los factores comunes. Recuerde que 4 2 x 5 2 1x 2 42 . 42x 5 Por tanto, x24 21 2 1x 2 42 5 5 21. x24 1 • Escriba la respuesta en su forma más simple.

6x 4 2 24x 3 12x 3 2 48x 2

B.

20x 2 15x 2 15x 3 2 5x 2 2 20x

Revise la página S19.

† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 329.

6.1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Determine si la función es una función racional. a. f 1x2 5

1 x

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 326

b. g 1x2 5

1

"x

c. h 1x2 5

22 x2 1 1

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SECCIÓN 6.1

327

Introducción a las funciones racionales

p 1x2

2. Si q 1x2 es una ecuación racional en su forma más simple, y 2 es un cero de p(x) y 3 es un cero de q(x), entonces ¿cuál expresión es verdadera? (i) 2 no está en el dominio de la expresión. (ii) 3 no está en el dominio de la expresión. (iii) 2 y 3 no están en el dominio de la expresión. 3. ¿Cuál es el factor común de x 2 1 5x 2 6 y x 2 1 7x 1 6? Explique por qué no es correcta la siguiente simplificación.

4. 1

10 3x 1 7 5 5 5. 2x 2 1

Encontrar el dominio de una función racional (Revise las páginas 324-325.) 5.

¿Qué es una función racional? Proporcione un ejemplo de función racional.

6.

¿Qué valores no están dentro del dominio de una función racional?

PREPÁRESE Resuelva los ejercicios 7 y 8 sustituyendo los signos de interrogación. Utilice la función x12 racional f 1x2 5 . 1 2 2x 7. Para calcular f(23), sustituya las x por 23: f 1232 5

?12 ? 5 5 1 2 2 1?2 11?

?

.

8. Encuentre el dominio de la función. El dominio debe excluir los valores de x para los que ? . el denominador es igual a 1 2 2x 5

?

• Establezca el denominador igual a cero.

22x 5

?

• Reste 1 a ambos lados de la ecuación.

x5

?

• Divida entre —2 ambos lados de la ecuación.

Se debe excluir del dominio de la ecuación al valor ? }. {x | x Z

?

, por lo que el dominio es

2 , encuentre f 142 . x23

10. Dada f 1x2 5

27 , encuentre f 1222 . 52x

x22 , encuentre f 122 2. x14

12. Dada f 1x2 5

x23 , encuentre f 132 . 2x 2 1

13. Dada f 1x2 5

x22 , encuentre f 132 . 2x 1 3x 1 8

14. Dada f 1x2 5

x2 , encuentre f 142 . 3x 2 3x 1 5

15. Dada f 1x2 5

x 2 2 2x , encuentre f 1212 . x 2x14

16. Dada f 1x2 5

8 2 x2 , encuentre f 1232 . x 2 x2 1 4

9. Dada f 1x2 5 † 11. Dada f 1x2 5

2

3

2

3

Determine el dominio de la función. 17. H 1x2 5

4 x23

18. G 1x2 5

20. g 1x2 5

3x x25

† 21. R 1x2 5

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 327

22 x12

19. f 1x2 5

x x14

5x 3x 1 9

22. p 1x2 5

22x 6 2 2x

12/10/12 08:30 p.m.

328

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

23. q 1x2 5

x22 1x 2 42 1x 1 22

24. h 1x2 5

2x 1 1 1x 1 12 1x 1 52

25. V 1x2 5

x2 12x 1 52 13x 2 62

26. F 1x2 5

x2 2 1 14x 1 82 13x 2 12

27. f 1x2 5

x2 1 1 x

28. g 1x2 5

2x 3 2 x 2 1 x2

x11 x2 1 1 2x 2 1 31. f 1x2 5 2 x 1x26 5x 1 2 33. A 1x2 5 2 x 1 2x 2 24

2x 1 3 2x 2 1 3 3 2 4x 32. G 1x2 5 2 x 1 4x 2 5 3x 34. h 1x2 5 2 x 24

29. k 1x2 5

30. P 1x2 5

35. f 1x2 5

4x 2 7 3x 2 1 12

36. g 1x2 5

x2 1 x 1 1 5x 2 1 1

37. G 1x2 5

x2 1 1 6x 2 13x 1 6

38. A 1x2 5

5x 2 7 x 1x 2 22 1x 2 32

39. f 1x2 5

x 2 1 8x 1 4 2x 3 1 9x 2 2 5x

40. H 1x2 5

x4 2 1 2x 3 1 2x 2 2 24x

2

La función f 1x2 5 2

1 no está definida en x 5 21. El valor de la función cuando x11 x 7 21 ¿es positivo o negativo? 1 42. La función f 1x2 5 no está definida para x 5 1 y x 5 22. El valor de la 1x 2 12 1x 1 22 función cuando 22 < x < 1 ¿es positivo o negativo? 41.

Simplificar expresiones racionales (Revise las páginas 325-326.) ¿Cuándo una expresión racional está en su forma más simple? x 1x 2 22 x 44. Las expresiones racionales y ¿son iguales para todos los valores de x? ¿Por 1x 2 22 2 2 qué?

43.

PREPÁRESE 45. Para simplificar una expresión racional, primero se escribe el numerador y el de? . Luego se simplifica al dividir el denominador y el nominador en forma ? . numerador entre todos los factores 46. Simplifique:

x2 2 1 3x 2 1 3x

1x 2 ?2 1x 1 ?2 x2 2 1 5 2 1?2 1x 1 12 3x 1 3x 5

? ?

• Factorice el numerador y el denominador. • Divida el numerador y el denominador entre el factor común ? .

Simplifique. 47.

4 2 8x 4

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48.

8y 1 2 2

49.

6x 2 2 2x 2x

50.

3y 2 12y 2 3y

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SECCIÓN 6.1

51.

8x 2 1x 2 32 4x 1x 2 32

55.

6x 3 2 15x 2 12x 2 2 30x

56.

236a2 2 48a 18a3 1 24a2

57.

a2 1 4a 4a 2 16

58.

3x 2 6 x 2 1 2x

59.

16x 3 2 8x 2 1 12x 4x

60.

3x 3y 3 2 12x 2y 2 1 15xy 3xy

61.

210a4 2 20a3 1 30a2 210a2

62.

27a5 2 14a4 1 21a3 27a3

63.

x 2 2 7x 1 12 x 2 2 9x 1 20

64.

x 2 2 x 2 20 x 2 2 2x 2 15

65.

x 2 2 xy 2 2y 2 x 2 2 3xy 1 2y 2

66.

2x 2 1 7xy 2 4y 2 4x 2 2 4xy 1 y 2

67.

6 2 x 2 x2 3x 2 2 10x 1 8

68.

3x 2 1 10x 2 8 8 2 14x 1 3x 2

69.

14 2 19x 2 3x 2 3x 2 2 23x 1 14

70.

x 2 1 x 2 12 x 2 2 x 2 12

71.

a2 2 7a 1 10 a2 1 9a 1 14

72.

x4 2 y4 x2 1 y2

73.

x3 1 y3 3x 3 2 3x 2y 1 3xy 2

74.

3x 3 1 3x 2 1 3x 9x 3 2 9

75.

x 3 2 4xy 2 3x 3 2 2x 2y 2 8xy 2

76.

4a2 2 8ab 1 4b2 4a2 2 4b2

77.

4x 3 2 14x 2 1 12x 24x 1 4x 2 2 8x 3

78.

6x 3 2 15x 2 2 75x 150x 1 30x 2 2 12x 3

79.

x 4 1 3x 2 1 2 x4 2 1

80.

x 4 2 2x 2 2 3 x 4 1 2x 2 1 1

81.

x 2y 2 1 4xy 2 21 x 2y 2 2 10xy 1 21

82.

6x 2y 2 1 11xy 1 4 9x 2y 2 1 9xy 2 4

83.

52.

¿Verdadero o falso?

16y 4 1 y 1 82 12y 3 1 y 1 82

329

Introducción a las funciones racionales

4x 2 2 8x x2 5 16 2 8x 4

† 53.

84.

2x 2 6 3x 2 x 2

¿Verdadero o falso?

54.

3a2 2 6a 12 2 6a

4x 1 1 1 5 8x 1 2 2

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique cada una de las siguientes expresiones. Suponga que n es un número entero positivo. a2n 2 an 2 2 a2n 1 an 2 12 85. 2n 86. n a 1 3a 1 2 a2n 2 2an 2 3 87. Evalúe h 1x2 5 xx

12 23

cuando x 5 2.9, 2.99, 2.999 y 2.9999. Con base en sus evaluaciones,

responda la siguiente pregunta. A medida que x se acerca más a 3, ¿aumentan o disminuyen los valores de h(x)?

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330

CAPÍTULO 6

x 88. Evalúe h 1x2 5 x

12 23

Expresiones racionales

cuando x 5 3.1, 3.01, 3.001 y 3.0001. Con base en sus evaluaciones,

responda la siguiente pregunta. A medida que x se acerca más a 3, ¿aumentan o disminuyen los valores de h(x)? 89.

Suponga que F 1x2 5

g 1x2 h 1x2

y que, para algún número real a, g(a) 5 0 y h(a) 5 0. ¿Está

F(x) en su forma más simple? Explique su respuesta. 90.

¿Por qué se puede dividir el numerador y el denominador de una expresión racional entre sus factores comunes? ¿Qué condiciones deben satisfacer los valores de las variables al simplificar una expresión racional?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 91. Fotografía La distancia focal de la lente de una cámara es la longitud que hay desde la lente hasta el punto donde convergen rayos paralelos de luz.

Distancia focal

La relación entre la distancia focal (F), la distancia entre el objeto y la lente (x, en metros) 1 1 1 y la distancia entre la lente y la película (y, en milímetros) está dada por F 5 x 1 y . Las cámaras para uso profesional cuentan con un mecanismo que permite configurar un valor constante para la distancia focal. Suponga que un fotógrafo selecciona una distancia focal de 50 mm. Al sustituir este valor en la ecuación, resolver para y, y utilizar la notación y 5 f(x) tenemos f 1x2 5 x 50x 2 50 . a. Grafique esta ecuación para 50 < x # 6000. b. El punto cuyas coordenadas son (2000, 51), al entero más cercano, está sobre la gráfica de la función. Haga una interpretación de este par ordenado. c. Encuentre una razón para elegir un dominio tal que x 7 50. d. Los fotógrafos llaman profundidad de campo al intervalo de distancias a las que un objeto permanece enfocado. Utilice la gráfica para explicar por qué la profundidad de campo es mayor para los objetos que están más alejados de la lente que para los objetos que están cerca.

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SECCIÓN 6.2

6.2 OBJETIVO

331

Operaciones con expresiones racionales

Operaciones con expresiones racionales Multiplicar y dividir expresiones racionales MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

El producto de dos expresiones racionales es igual al producto de sus numeradores sobre el producto de sus denominadores. EJEMPLOS

1.

2.

2x2 # 6y2 12x2y2 3 5 3y x 3x3y 4y 5 x

• Multiplique los numeradores. Multiplique los denominadores. • Escriba la respuesta en su forma más simple.

x 1 2 # 5 1x 2 32 x 1 2 # 5x 2 15 5 2x 2 6 3x 1 6 2 1x 2 32 3 1x 1 22 5 1x 1 22 1x 2 32 5 6 1x 2 32 1x 1 22 5

1

1

1

1

• Factorice los numeradores y los denominadores. • Multiplique los numeradores. Multiplique los denominadores.

5 6

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

Concéntrese en simplificar el producto de dos expresiones racionales Simplifique:

2 x2 2 2x # 2x 2 x 2 10 2x2 1 x 2 15 x2 2 4

Factorice los numeradores y los denominadores. Multiplique los numeradores. Multiplique los denominadores.

2 x2 2 2x # 2x 2 x 2 10 2x2 1 x 2 15 x2 2 4 x 1x 2 22 # 1x 1 22 12x 2 52 5 1x 1 32 12x 2 52 1x 1 22 1x 2 22

5

x 1x 2 22 1x 1 22 12x 2 52 1x 1 32 12x 2 52 1x 1 22 1x 2 22

Divida entre los factores comunes.

x 1x 2 22 1x 1 22 12x 2 52 5 1x 1 32 12x 2 52 1x 1 22 1x 2 22

Escriba la respuesta en su forma más simple.

x 5 x13

1

1

1

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1

1

1

12/10/12 08:30 p.m.

332

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

EJEMPLO 1 Solución

2x 2 2 5x 2 3 # 20 2 x 2 x 2 x 2 2 7x 1 12 2x 2 1 13x 1 6 2 2x 2 5x 2 3 # 20 2 x 2 x 2 x 2 2 7x 1 12 2x 2 1 13x 1 6 Multiplique:

5

12x 1 12 1x 2 32 # 15 1 x2 14 2 x2 1x 2 32 1x 2 42 12x 1 12 1x 1 62

12x 1 12 1x 2 32 15 1 x2 14 2 x2 5 1x 2 32 1x 2 42 12x 1 12 1x 1 62 1

21

1

1

1

• Multiplique las expresiones racionales. Recuerde que

42x 2 1x 2 42 5 5 21. x24 x24 1

1

1

x15 52 x16 Problema 1 Solución

Multiplique:

• Factorice los numeradores y los denominadores.

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

12 1 5x 2 3x2 # 2x2 1 x 2 45 x2 1 2x 2 15 3x2 1 4x

Revise la página S20.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 338. El recíproco de una expresión racional es la expresión racional con el numerador y el denominador intercambiados. a b μ 2 a 2 2y 4

Expresión racional

b a ∂ 4 a2 2 2y

Recíproco

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Para dividir expresiones racionales, se multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. EJEMPLOS

1.

5a2b 10a3b2 5a2b # 9xy2 5 2 4 7x y 7x2y 10a3b2 9xy2

• Multiplique por el recíproco del divisor.

45a2bxy2 70a3b2x2y 9y 5 14abx 3x 1 15 6x 1 30 3x 1 15 2. 4 5 5x 2 4x 5x 2 3 1x 1 52 5 5x 2 5

• Multiplique.

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

# #

4x 6x 1 30

• Multiplique por el recíproco del divisor.

4x 1 6 x 1 52

• Factorice los numeradores y los denominadores.

12x 1x 1 52 2 5 30x 2 1x 1 52 5x 1

5

• Multiplique. Luego escriba la respuesta en su forma más simple.

1

EJEMPLO 2

Divida. A.

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 332

4x3y 2 8x2y 12x2y2 2 24xy2 4 5z2 3z4

12/10/12 08:30 p.m.

SECCIÓN 6.2

Solución

B.

2y2 2 7y 1 6 3y2 2 10y 1 8 4 3y2 1 8y 2 16 2y2 1 5y 2 12

A.

12x2y2 2 24xy2 4x3y 2 8x2y 4 5z2 3z4 5 5

333

Operaciones con expresiones racionales

12x2y2 2 24xy2 # 3z4 2 3 5z 4x y 2 8x2y 12xy2 1x 2 22 # 3z4 5z2 4x2y 1x 2 22

• Multiplique por el recíproco del divisor. • Factorice los numeradores y los denominadores.

9yz2 36xy2z4 1x 2 22 5 5 20x2yz2 1x 2 22 5x 1

• Multiplique y luego escriba la respuesta en su forma más simple.

1

B.

2y2 2 7y 1 6 3y2 2 10y 1 8 4 2 2 3y 1 8y 2 16 2y 1 5y 2 12 5 5

3y2 2 10y 1 8 # 2y2 1 5y 2 12 3y2 1 8y 2 16 2y2 2 7y 1 6

1 y 2 22 13y 2 42 # 1 y 1 42 12y 2 32 13y 2 42 1 y 1 42 1 y 2 22 12y 2 32

1 y 2 22 13y 2 42 1 y 1 42 12y 2 32 51 5 13y 2 42 1 y 1 42 1 y 2 22 12y 2 32

Problema 2

1

1

1

1

1

1

1

1

• Multiplique por el recíproco del divisor. • Factorice los numeradores y los denominadores. • Multiplique y luego escriba la respuesta en su forma más simple.

Dividir. 16x2y2 2 8xy3 6x2 2 3xy 4 10ab4 15a2b2 2 6x 2 7x 1 2 4x2 2 8x 1 3 B. 4 3x2 1 x 2 2 5x2 1 x 2 4 A.

Solución

Revise la página S20

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 338.

OBJETIVO

Sumar y restar expresiones racionales SUMA O RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

Para sumar dos expresiones racionales con el mismo denominador, se suman los numeradores y se coloca la suma sobre el común denominador. Para restar dos expresiones racionales con el mismo denominador, se restan los numeradores y se coloca la diferencia sobre el común denominador. EJEMPLOS

1.

12a 1 b2 1 1a 2 4b2 2a 1 b a 2 4b 2 2 1 2 2 5 a 2b a 2b a2 2 b2 3a 2 3b 3 1a 2 b2 5 2 2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 a 2b 1 3 5 a1b 1

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 333

• Los denominadores son iguales. Se suman los numeradores. • Simplifique. Escriba la fracción en su forma más simple.

12/10/12 08:30 p.m.

334

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

2.

7x 2 12 3x 2 6 2 2 2x 1 5x 2 12 2x 1 5x 2 12 2

17x 2 122 2 13x 2 62 2x2 1 5x 2 12 7x 2 12 2 3x 1 6 5 2x2 1 5x 2 12 4x 2 6 5 2 2x 1 5x 2 12 2 12x 2 32 5 12x 2 32 1x 1 42 5

• Los denominadores son iguales. Se restan los numeradores • Simplifique. Escriba la fracción en su forma más simple.

2 2 12x 2 32 5 5 12x 2 32 1x 1 42 x14 1

1

En cada uno de los ejemplos anteriores, los denominadores de ambas expresiones eran iguales. Cuando las expresiones tienen distinto denominador, ambas expresiones racionales se deberán expresar en términos de un común denominador. Un común denominador fácil de utilizar es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, también llamado mínimo común denominador (mcd). El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de grado mínimo que contiene los factores de cada polinomio. Para encontrar el mcm, primero se factoriza completamente cada polinomio. El mcm es el producto de cada factor por el mayor número de veces que aparece en cualquiera de las factorizaciones. Para encontrar el mcm de 3x2 + 15x y 6x4 + 24x3 – 30x, se factoriza cada uno de los polinomios. 3x2 1 15x 5 3x 1x 1 52 6x4 1 24x3 2 30x2 5 6x2 1x2 1 4x 2 52 5 6x2 1x 2 12 1x 1 52 El mcm es el producto del mcm de los coeficientes numéricos y cada factor variable el mayor número de veces que se produce en cualquier factorización. mcm 5 6x2 1x 2 12 1x 1 52

Concéntrese en escribir expresiones racionales en términos del mcd Escriba las fracciones

x12 5x en términos del mcd (el mcm de los denominay 2 x 2 2x 3x 2 6

dores). Factorice cada uno de los denominadores.

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 334

x 2 2 2x 5 x 1x 2 22 3x 2 6 5 3 1x 2 22

Se encuentra el mcd

Se encuentra el mcd 3x 1x 2 22 .

En cada una de las fracciones, multiplique el numerador y el denominador por el factor cuyo producto con el denominador es el mcd.

x12 x12 5 2 x 2 2x x 1x 2 22 5x 5x 5 3x 2 6 3 1x 2 22

# 3 5 3x 1 6

3 3x 1x 2 22 5x 2 #x5 x 3x 1x 2 22

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SECCIÓN 6.2

335

Operaciones con expresiones racionales

Concéntrese en sumar expresiones racionales Sume:

3x 1 6 3x 1 2 2x 2 3 2x 1 x 2 6 2x 2 3 no se factoriza 2x 2 1 x 2 6 5 12x 2 32 1x 1 22

Factorice los denominadores.

3x 3x 1 6 1 2 2x 2 3 2x 1 x 2 6

El mcd es (2x − 3)(x + 2)

5

Reescriba cada una de las fracciones en términos del mcd.

3x 2 1 6x 3x 1 6 1 12x 2 32 1x 1 22 12x 2 32 1x 1 22 13x 2 1 6x2 1 13x 1 62 5 12x 2 32 1x 1 22 5

Punto de interés Anote los pasos necesarios para sumar o restar expresiones racionales: 1. Encuentre el mcd. 2. Reescriba cada una de las fracciones en términos del mcd. 3. Sume o reste las expresiones racionales. 4. Simplifique la suma o diferencia resultante.

3x # x 1 2 3x 1 6 1 1 2x 2 3 x 1 2 2x 2 32 1x 1 22

Sume las fracciones.

3x 2 1 9x 1 6 12x 2 32 1x 1 22 3 1x 2 1 3x 1 22 5 12x 2 32 1x 1 22

5

Factorice el numerador para determinar si existen factores comunes entre el numerador y el denominador.

5

3 1x 1 22 1x 1 12 12x 2 32 1x 1 22

3 1x 1 12 3 1x 1 22 1x 1 12 5 5 12x 2 32 1x 1 22 2x 2 3 1

1

EJEMPLO 3 Solución

Sume:

4b 2a 3 1 2 1 a2 b ab

El mcd es a2b2.

• Encuentre el mcd.

4b b2 2a 3 2a a2 3 # ab 4b 5 2 # 21 2 # 21 2 1 2 1 a b ab a b b a ab ab

Problema 3 Solución

Reste:

5

2a3 3ab 4b3 2 2 1 2 2 1 2 2 ab ab ab

5

4b3 1 2a3 1 3ab a2b2

• Cada una de las fracciones se escribe en términos del mcd. • Simplifique. • Sume los numeradores. Coloque la suma sobre el común denominador.

5y 9 4 2 2 2 x xy y

Revise la página S20.

† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 340.

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336

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

EJEMPLO 4 Solución

Reste:

x 42x 2 2 2x 2 4 x 2 2x

2x 2 4 5 2 1x 2 22 x2 2 2x 5 x 1x 2 22 El mcd es 2x 1x 2 22 .

• Encuentre el mcd.

x 42x 2 2 2x 2 4 x 2 2x x # x 2 4 2 x # 2 • Escriba cada una de las 5 fracciones en términos 2 1x 2 22 x x 1x 2 22 2 del mcd. 2 8 2 2x x 2 5 2x 1x 2 22 2x 1x 2 22 • Reste las fracciones. x 2 2 18 2 2x2 5 2x 1x 2 22 x 2 1 2x 2 8 2x 1x 2 22 1x 1 42 1x 2 22 5 2x 1x 2 22 5

1x 1 42 1x 2 22 x14 5 5 2x 1x 2 22 2x

• Simplifique.

1

• Divida entre los factores comunes.

1

Problema 4 Solución

a23 a29 Sume: 2 1 2 a 2 5a a 2 25 Revise la página S20.

† Intente resolver el ejercicio 71 de la página 340.

EJEMPLO 5

4 2x 132 x23 x21

Simplifique: A. B.

3x 5 6x 2 23 1 2 2 2x 1 x 2 6 2x 2 3 x12

Solución

A. El mcd es 1x 2 32 1x 2 12 . 2x 4 132 x23 x21 3 1x 2 32 1x 2 12 2x # x 2 3 4 #x21 1 # 2 5 x23 x21 1 1x 2 32 1x 2 12 x21 x23 5

3x 2 2 12x 1 9 2x 2 2 6x 4x 2 4 1 2 1x 2 32 1x 2 12 1x 2 32 1x 2 12 1x 2 32 1x 2 12

5

14x 2 42 1 13x 2 2 12x 1 92 2 12x 2 2 6x2 1x 2 32 1x 2 12

5

x 2 2 2x 1 5 1x 2 32 1x 2 12

B. 2x 2 1 x 2 6 5 12x 2 32 1x 1 22 El mcd es 12x 2 32 1x 1 22 .

• Encuentre el mcd.

• Escriba cada una de las fracciones en términos del mcd. • Simplifique.

• Escriba la suma y la diferencia sobre el común denominador. • Escriba la respuesta en su forma más simple.

• Encuentre el mcd.

6x 2 23 3x 5 1 2 2x 2 1 x 2 6 2x 2 3 x12

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SECCIÓN 6.2

5

337

Operaciones con expresiones racionales

6x 2 23 5 # 2x 2 3 3x # x 1 2 2 1 12x 2 32 1x 1 22 2x 2 3 x 1 2 x 1 2 2x 2 3

• Escriba cada una de las fracciones en términos del mcd.

3x 2 1 6x 10x 2 15 6x 2 23 • Simplifique. 1 2 12x 2 32 1x 1 22 12x 2 32 1x 1 22 12x 2 32 1x 1 22 16x 2 232 1 13x 2 1 6x2 2 110x 2 152 • Escriba la suma 5 y la diferencia 12x 2 32 1x 1 22 5

sobre el común denominador.

5

6x 2 23 1 3x 2 1 6x 2 10x 1 15 3x 2 1 2x 2 8 5 12x 2 32 1x 1 22 12x 2 32 1x 1 22

13x 2 42 1x 1 22 3x 2 4 5 5 12x 2 32 1x 1 22 2x 2 3

• Simplifique el numerador.

1

• Escriba la respuesta en su forma más simple.

1

Problema 5

Simplifique: A. B.

Solución

1 x 2 12 x12 x23 x21 7 2 6x 4 2 2 1 x22 2x 2 7x 1 6 2x 2 3

Revise la página S20.

† Intente resolver el ejercicio 91 de la página 341.

6.2

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Al multiplicar expresiones racionales con denominadores distintos, ¿es necesario encontrar el común denominador de las expresiones? 2. Al sumar expresiones racionales con denominadores distintos, ¿es necesario encontrar el común denominador de las expresiones? 3. ¿Cuál es el recíproco de

x2 ? x21

4. Encuentre el error en la siguiente división: 1x 2 22 1x 1 22 1x 1 32 1x 1 22 1x 1 32 x11 x13 x2 2 4 # x 1 3 4 5 5 5 2 1x 1 12 1x 2 22 x 24 x22 x11 x22 x11 1

1

Multiplicar y dividir expresiones racionales (Revise las páginas 331-333.) 5.

Explicar cómo multiplicar dos expresiones racionales.

6.

Explicar cómo dividir dos expresiones racionales.

PREPÁRESE 7. El primer paso en el proceso de multiplicar dos expresiones racionales consiste en ? . escribir cada uno de los numeradores y denominadores en forma x22 ? 8. Resuelva: 5 22x

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 337

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338

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Multiplique o divida. 27a2b5 # 20x 2y 3 16xy 2 9a2b

10.

15x 2y 4 # 28a2b4 24ab3 35xy 4

11.

3x 2 15 # 20x 2 2 10x 4x 2 2 2x 15x 2 75

12.

2x 2 1 4x # 6x 3 2 30x 2 8x 2 2 40x 3x 2 1 6x

13.

2 x 2y 3 # 2x 2 13x 1 15 x 2 4x 2 5 x 4y 3

14.

2x 2 2 5x 1 3 # x 4y 4 6 3 2 x y 2x 2 x 2 3

x 2 2 3x 1 2 # x 2 1 x 2 12 x 2 2 8x 1 15 8 2 2x 2 x 2

16.

x 2 1 x 2 6 # x 2 1 x 2 20 12 1 x 2 x 2 x 2 2 4x 1 4

17.

12 1 x 2 6x 2 # 2x 2 1 x 2 21 6x 2 1 29x 1 28 4x 2 2 9

18.

x 2 1 5x 1 4 # 3x 2 1 2x 2 8 4 1 x 2 3x 2 x 2 1 4x

19.

2 2 x3 2 y3 # 2x 1 5xy 1 3y 2 2 2 2x 1 xy 2 3y x 1 xy 1 y

20.

x 4 2 5x 2 1 4 # 3x 2 2 10x 2 8 3x 2 2 4x 2 4 x2 2 4

21.

12x 3y 3 6x 2y 4 4 35a2b5 7a4b5

22.

12a4b7 18a5b6 4 13x 2y 2 26xy 3

2x 2 6 4x 2 2 12x 4 2 6x 2 15x 18x 3 2 45x 2

24.

4x 2 2 4y 2 3x 2 1 3xy 4 2 2 2 6x y 2x y 2 2xy 2

25.

2x 2 2 2y 2 x 2 1 2xy 1 y 2 4 14x 2y 4 35xy 3

26.

8x 3 1 12x 2y 16x 2y 2 4 4x 2 2 9y 2 4x 2 2 12xy 1 9y 2

27.

2x 2 2 5x 2 3 2x 2 2 3x 2 20 4 2 2x 1 7x 1 3 2x 2 2 x 2 15

28.

3x 2 2 10x 2 8 2x 2 2 9x 1 10 4 2 2 6x 1 13x 1 6 4x 2 4x 2 15

29.

x 2 2 8x 1 15 15 2 2x 2 x 2 4 x 2 1 2x 2 35 x 2 1 9x 1 14

30.

2x 2 1 13x 1 20 6x 2 2 13x 2 5 4 8 2 10x 2 3x 2 9x 2 2 3x 2 2

31.

2x 2 1 x 2 28 2x 2 2 13x 1 21 4 2 2 2x 1 11x 1 15 3x 1 4x 2 15

32.

2x 2 2 13x 1 15 6x 2 1 x 2 12 4 2 2 2x 2 3x 2 35 6x 1 13x 2 28

33.

14 1 17x 2 6x 2 4x 2 2 49 4 3x 2 1 14x 1 8 2x 2 1 15x 1 28

34.

16x 2 2 9 16x 2 1 24x 1 9 4 6 2 5x 2 4x 2 4x 2 1 11x 1 6

35.

x2 2 1 6x 2 1 6x 2 3 4 3x 1 6x 1 3x 1 2 x3

36.

x3 1 y3 3x 3 2 3x 2y 1 3xy 2 3 2 4 2x 1 2x y 6x 2 2 6y 2

9.

† 15.

† 23.

37.

38.

2

2

¿Cuál expresión no es equivalente a

x 2 1 4x 2 5 ? x2 2 x 2 6

(i)

x21 x23 4 x12 x15

(ii)

x21# x15 x23 x12

(iii)

x23 x15 4 x21 x12

(iv)

x 1 5 # 2x 2 2 2x 2 6 x 1 2

La forma simplificada del producto a

x 2 1 8 x5 2 n b a b tiene un factor de la forma x en x x25

el numerador. ¿Cuál es el valor de n?

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12/10/12 08:30 p.m.

SECCIÓN 6.2

Operaciones con expresiones racionales

339

Sumar y restar expresiones racionales (Revise las páginas 333-337.) PREPÁRESE 39. Para encontrar el mcm de x2 2 6x + 9 y x2 – 9, primero se factoriza cada uno de los polinomios: x 2 2 6x 1 9 5 x2 2 9 5

?

?

• Los factores de x2 2 6x 1 9 como trinomio cuadrado perfecto. • Los factores de x2 2 9 como la diferencia de dos cuadrados.

El mcm utilizará el factor x – 3 multiplicado por ? . El mcm es ? . cado por

?

y el factor x + 3 multipli-

¿Verdadero o falso? El mcm de (xy)3 y de xy3 es (xy)3.

40.

¿Cuántos factores de x 2 4 hay en el mcm de cada uno de los siguientes pares de expresiones?

41.

a. x 2 2 x 2 12 y x 2 2 8x 1 16 c. x 2 2 16 y x 2 2 x 2 12

b. x 2 1 x 2 12 y x 2 1 8x 1 16

¿Cuántos factores de a hay en el mcm de (a2b)3 y a4b4? ¿Y cuántos factores de b?

42.

Escriba cada una de las siguientes acciones en términos del mcd. 43.

3 17 , 4x 2y 12xy 4

44.

5 7 , 16a3b3 30a5b

45.

3x 5x , 2x 2 3 2x 1 3

46.

2 23 , 7y 2 3 7y 1 3

47.

2x x11 , x2 2 9 x 2 3

48.

3x 2x , x 2 2 16 4x 2 16

49.

3x 5x , x 2 2 1 x 2 2 2x 1 1

50.

2x 24x , x 2 1 x 2 6 x 2 1 5x 1 6

PREPÁRESE 51. Reste:

5 2 2 x24 x13

5 2 2 x24 x13

• El mcd es

2 # x24 5 # x13 2 x24 x13 x13 x24 ? ? 5 2 1x 2 42 1x 1 32 1x 2 42 1x 1 32

5

52.

5

1?2 2 1?2 5x 1 15 2 ? 1 ? 5 1x 2 42 1x 1 32 1x 2 42 1x 1 32

5

?1? 1x 2 42 1x 1 32

¿Verdadero o falso?

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 339

?

.

• Multiplique el numerador y el denominador de cada fracción por el factor cuyo producto con el denominador es igual al mcd.

1 1 1 50 x23 32x

12/10/12 08:30 p.m.

340

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Sume o reste. 7 9 3 2 2 2xy 2xy 2xy

54. 2

55.

x 2 2 2 x 2 3x 1 2 x 2 3x 1 2

56.

3x 5 2 2 3x 1 x 2 10 3x 1 x 2 10

57.

3 8 9 2 2 2x 2y 5x 10xy

58.

2 3 4 2 1 5ab 10a2b 15ab2

59.

2x 2 1 3x 1 4 2 12x 9x

60.

3x 2 4 2x 2 5 2 6x 4x

61.

3x 1 2 y25 2 2 4x y 6xy 2

62.

2y 2 4 3 2 2x 2 1 5xy 10x 2y

63.

3 4 2 x13 x22

64.

5 2 1 x24 x16

65.

3x 2x 2 x23 x25

66.

3a 5a 2 a22 a11

67.

x17 x22 1 x23 x25

68.

x21 x14 2 x25 x12

69.

x25 2x 1 1 2 2x 2 3 3x 1 2

70.

x25 x16 2 2x 1 5 3x 2 1

† 71.

3 2x 1 7 1 2 x15 x 2 25

72.

x 4 2 2 42x x 2 16

73.

10 2 232 x x24

74.

6a 3 251 a23 a

75.

5 1 2 11 2x 2 3 2x

76.

5 5x 2 12 x 5 2 6x

77.

2x 3 1 2 x2 2 1 x 1 2x 1 1

78.

1 1 2 2 x 2 2 6x 1 9 x 29

79.

32x x 2 2 x13 x 29

80.

1 3x 2 2 x12 x 1 4x 1 4

81.

x 2 2 4x 2 19 2x 2 3 2 2 x15 x 1 8x 1 15

82.

23x 2 1 8x 1 2 2x 2 5 2 x 2 1 2x 2 8 x14

83.

5 2x 2 2 2 2 4x 2 9 3 2 2x

84.

x2 1 4 13 2 2 4x 2 36 x13

85.

x22 3 2 12x 2 2 x11 2x 2 x 2 3

86.

3x 2 4 3x 1 6 1 2 4x 1 1 4x 1 9x 1 2

87.

x11 x12 2 2 x2 1 x 2 6 x 1 4x 1 3

88.

x11 x23 2 2 x 2 1 x 2 12 x 1 7x 1 12

† 53.

2

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3 8 3 2 1 2 2 4x 4x 4x 2

2

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SECCIÓN 6.2

89.

† 91.

93.

Operaciones con expresiones racionales

x21 2x 1 2 2x 1 11x 1 12 2x 2 3x 2 9

90.

x22 3 2 2x 1 2 4x 1 4x 2 3 6x 1 x 2 2

2 14 x 2 2 2 x23 x14 x 1 x 2 12

92.

x2 3 4 1 2 2 x 1x22 x21 x12

2x 2 1 x22 x 2 1 6x 2 1 2 x 1 3x 2 18 x16 32x

94.

2x 2 2 2x 2 x 2 1 2 x 2 2x 2 15 x13 52x

2

341

2

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique: 95.

4x 3 2 23x 2 1 15x 25x 2 x 3 # 3 2 x 2 4x 2 4 x 4 2 1 2x 2 1 7x 2 15 3 2 5x 1 2x 2

96. a

y22 y 1 2 # 3y 1 1 3y 2 1 2 2 b b a 3y 1 1 3y 2 1 y y2

97. a

x 2 1 # 2x 2 1 2x 2 1 x11 2 2 b a b 2x 2 1 2x 1 1 x x2

98. Sustituya el signo de interrogación con una expresión racional que haga verdadera la ecuación. 3 2 1?5 x22 x13 99. Sustituya el símbolo de interrogación con una expresión racional que haga verdadera la ecuación. 2x 2 1 x 4?5 x2 2 9 x13 100. Si 101.

Ax 1 B 10 11 5 2 , encuentre A y B. 2x 2 5x 1 2 x22 2x 2 1 2

Para sumar o restar fracciones, se puede utilizar cualquier común denominador. Explique las ventajas y desventajas de utilizar el mcd.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 102.

Manufactura Unos fabricantes cuyos productos se envasan en lata, desean diseñar una lata en la que se utilice la menor cantidad de aluminio posible. Si la lata de una bebida gaseosa contiene 12 onzas (355 cm3), la función que relaciona el área superficial de la lata (cantidad de aluminio necesaria) con el radio de la base de la misma está dada por la ecuación f 1r2 5 2pr2 1 710 r , donde r se mide en centímetros. a. Exprese el lado derecho de esta ecuación con un común denominador. b. Grafique la ecuación para 0 , r # 7.5. c. El punto cuyas coordenadas son (7, 409), al entero más cercano, se encuentra sobre la gráfica de f. Escriba una frase que brinde una interpretación de este par ordenado. d. Utilice una calculadora graficadora para determinar el radio de la lata que tiene un área superficie mínima. Redondee a la décima más cercana. 355 e. La altura de la lata está determinada por la ecuación h 5 . Utilice la respuesta del pr2 inciso d para determinar la altura de la lata que tiene un área de la superficie mínima. Redondee a la décima más cercana. f. Determine el área de la superficie mínima. Redondee a la décima más cercana.

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342 103.

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Manufactura Un fabricante desea elaborar pañuelos desechables y empacarlos en una caja. El industrial determinó que, para ser competitivo, la caja debe contener 175 pañuelos, lo cual implica que el volumen de la misma sea de 132 pulg3. La cantidad de cartón (área

528 de la superficie) que será necesaria para elaborar dicha caja está dada por f 1x2 5 2x 2 1 x , donde x es la altura de la caja en pulgadas.

a. Exprese el lado derecho de esta ecuación con un común denominador. b. Grafique la ecuación para 1.5 < x # 10. c. El punto cuyas coordenadas son (4, 164) está sobre la gráfica. Escriba una frase que explique el significado de este punto. d. Utilice una calculadora graficadora y calcule la altura de la caja que utiliza la cantidad mínima de cartón, a la décima más cercana. e. Determine la cantidad mínima de cartón. Redondee a la décima más cercana.

6.3 OBJETIVO

Fracciones complejas Simplificar fracciones complejas Una fracción compleja es aquella en la cual el numerador o el denominador contienen una o más fracciones. Los siguientes son ejemplos de fracciones complejas. 5 21

1 y 1 52 y

51 1 2

1 x12 1 x221 x12

x141

Para simplificar una fracción compleja, es necesario reescribirla de tal modo que no persistan fracciones en el numerador o en el denominador. Luego se escribe la fracción resultante en su forma más simple.

Concéntrese en simplificar una fracción compleja

Cómo se usa En algunas ecuaciones físicas, como la ecuación de la lente, aparecen fracciones complejas f5

1 1 1 1 p q

que relaciona la distancia focal de una lente con las distancias de un objeto y su imagen desde la lente.

1 1 1 x y Simplifique: 1 1 2 x y Se multiplican el numerador y el denominador de la fracción compleja por el mcd de las frac1 1 ciones. El mcd de y es xy. x y

Utilice la propiedad distributiva, y luego simplifique cada uno de los productos.

1 1 1 1 1 1 x y x y # xy 5 1 1 1 1 xy 2 2 x y x y 1 x 5 1 x

# xy 1 1 # xy

y1x y 5 # xy 2 1 # xy y 2 x y

Observe que, tras multiplicar por el mcd el numerador y el denominador de la fracción compleja, no quedan fracciones en ninguno de ellos.

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SECCIÓN 6.3

Tome nota Recuerde que una fracción también se puede leer en términos de “dividido entre”.

343

Fracciones complejas

En el ejemplo 1 se utiliza el método, recién descrito, de multiplicar el numerador y el denominador por el mcd para simplificar una fracción compleja. Sin embargo, otro método consiste en reescribir el numerador y el denominador de la fracción compleja como fracciones simples y luego dividir el numerador entre el denominador. Aquí, en el ejemplo descrito en la página anterior, se simplifica mediante el uso de este método alterno. 1 x y 1 1 1# y x y1x 1 # 1 1 y x x y x y xy xy xy El numerador y el denominador de la frac5 5 5 y ción compleja se reescriben como fracciones 1 x 1 1 1# y x y2x 2 # 2 2 simples. x y x y y x xy xy xy y1x y2x y 1 x # xy 5 4 5 Divida el numerador de la fracción compleja xy xy xy y2x entre el denominador. 1 y 1 x2 xy y1x 5 5 Multiplique las fracciones. Simplifique. y2x xy 1 y 2 x2 Observe que este resultado es igual al que obtuvimos antes. 11 7 15 2x 2 1 1 1 2 x x x14 B. 5 12 17 32 2 2 3x 2 8 1 x x x14 11 15 22 1 2 2 x x #x • Multiplique el numerador y el 5 5 12 x2 denominador por el mcd, x2. 32 2 2 x x 22

EJEMPLO 1

Simplificar.

A.

11 15 1 2 x x A. 5 12 32 2 2 x x 22

Solución

11 # 2 15 # 2 x 1 2 x x x 5 5 12 3 # x2 2 # x2 2 2 # x2 x x 2 # x2 2

5 5

• Propiedad distributiva.

2x 2 2 11x 1 15 3x 2 2 5x 2 12

12x 2 52 1x 2 32 2x 2 5 5 13x 1 42 1x 2 32 3x 1 4

7 x14 17 3x 2 8 1 x14 2x 2 1 1

B.

7 x14 # x14 5 17 x14 3x 2 8 1 x14 2x 2 1 1

12x 2 12 1x 1 42 1

• Multiplique el numerador y el denominador por el mcd, x 1 4.

7 1x 1 42 x14 5 17 13x 2 82 1x 1 42 1 1x 1 42 x14 5 5

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• Propiedad distributiva.

2x 2 1 7x 1 3 2x 2 1 7x 2 4 1 7 5 2 2 3x 1 4x 2 32 1 17 3x 1 4x 2 15 12x 1 12 1x 1 32 2x 1 1 5 13x 2 52 1x 1 32 3x 2 5

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344

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

16 16 1 2 x x A. 5 4 61 2 2 x x

14 x23 B. 49 4x 1 16 1 x23 2x 1 5 1

31

Problema 1

Solución

Revise la página S21.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 345.

6.3

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una fracción compleja?

2.

¿Cuál es el objetivo general de simplificar una fracción compleja? 12

3. ¿Cuál es el mcd de las fracciones incluidas en la fracción compleja

21

4. ¿Verdadero o falso?

3 x23

2 11 x

??

1 c

c 5 a21 1 b21 1 1 1 a b

Simplificar fracciones complejas (Revise las páginas 342-344.) PREPÁRESE 2 a Para los ejercicios 5 a 8, utilice la fracción compleja . 1 11 2 a 12

5. Para simplificar la fracción compleja, multiplique el numerador y el denominador ? y ? . El mcd es ? . por el mcd de las fracciones 6. Al multiplicar el numerador de la fracción compleja por a2, el numerador de la ? . fracción compleja se simplifica a 7. Al multiplicar el denominador de la fracción compleja por a2, el denominador de ? . la fracción compleja se simplifica a 8. La forma simplificada de la fracción compleja es

?

.

Simplifique. 1 3 9. 11 41 3 22

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5 2 10. 7 82 2 31

2 3 11. 5 51 6 32

1 x 12. 1 12 2 x 11

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SECCIÓN 6.3

1 21 y2 13. 1 11 y

Fracciones complejas

1 1 2 a2 a 16. 1 1 1 a2 a

25 2a a 15. 51a

a22 14. 4 2a a

1 1 1 b 2 17. 4 21 b2

4 x12 18. 10 52 x12

12 2x 2 3 19. 15 51 2x 2 3

1 x 2 x11 x 20. x 1 1 x11 x

2a 3 2 a21 a 21. 1 2 1 a21 a

25 23 b25 22. 10 16 b25

6 1 2 2 x x † 23. 4 3 12 1 2 x x

3 10 2 2 x x 24. 11 18 11 1 2 x x

15 2 2 21 x2 x 25. 4 5 2 14 x2 x

2x 3x 2 4 26. 32 x2 3x 2 4

12 3x 1 10 27. 8 x2 3x 1 10

2 x24 28. 6 x131 x24

22

12

12

12

12

41

x211

18 x12 29. 6 x171 x12

9 2x 1 3 30. 5 x132 2x 1 3

1 3 2 a a22 31. 2 5 1 a a22

2 5 2 b b13 32. 3 3 1 b b13

1 1 2 2 2 2 y2 xy x 33. 1 3 2 2 1 2 y2 xy x

2 5 3 2 2 2 b2 ab a 34. 2 7 3 1 1 2 b2 ab a

x21 x11 2 x11 x21 35. x21 x11 1 x11 x21

y y 2 y12 y22 36. y y 1 y12 y22

x241

x252

37.

El denominador de cierta fracción compleja es el recíproco de su numerador. ¿Cuál de las siguientes opciones es la forma simplificada de esta fracción compleja? (i) 1 (ii) el cuadrado de la fracción compleja (iii) el cuadrado del numerador de la fracción compleja (iv) el recíproco de la fracción compleja

38.

Determine si la expresión dada es equivalente al recíproco de la fracción compleja

a.

1 1 12 a

a a21

345

.

b.

07_Cap_06_AUFMANN_1a-Parte.indd 345

a21 a

c. 1 2

1 a

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346

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique. y x 21 39. 21 1 y x

42.

x 21 1 y 21 40. 21 x 2 y 21

x 21 1 y x 21 2 y

22

12

2 32

2 c21

1 1 2 x1h x 46. h

2

45. 3 2

2

43. 2 2

1 x 41. 1 11 x x2

1

44. 1 2 12

1 b22

1 1 2 2 1x 1 h2 2 x 47. h

2 x

48. Electrónica La resistencia total R de tres resistencias eléctricas conectadas en paralelo está 1 dada por la fórmula R 5 . Calcule la resistencia total cuando R1 5 2 ohms, 1 1 1 1 1 R1 R2 R3 R2 5 4 ohms y R3 5 8 ohms.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 49. Créditos automotrices La tasa de interés de un crédito automotriz influye en el pago mensual. La función que relaciona dicho pago en un préstamo a 5 años (60 meses) con la tasa de interés mensual está dada por P 1x2 5

Cx c1 2

1 d 1x 1 12 60

donde x es la tasa de interés mensual (como decimal), C el monto del préstamo y P(x) la cuota mensual. a. Simplifique la función compleja. b. El punto cuyas coordenadas son aproximadamente (0.005, 386.66) está sobre la gráfica de esta ecuación. Escriba una expresión que proporcione una interpretación de este par ordenado. c. Utilice una calculadora graficadora para determinar el monto de la cuota mensual correspondiente a un crédito automotriz de $20,000, con una tasa de interés anual de 8%. Redondee a la unidad monetaria más cercana.

6.4 OBJETIVO

Ecuaciones racionales o fraccionarias Resolver ecuaciones fraccionarias Para resolver una ecuación que contiene fracciones, se eliminan los denominadores al multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd de las fracciones. Luego se despeja la variable.

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SECCIÓN 6.4

Ecuaciones racionales o fraccionarias

347

Concéntrese en resolver una ecuación racional o fraccionaria Resolver:

3x 5 552 x25 x25

Multiplique ambos lados de la ecuación por el mcd.

3x 5 552 x25 x25 1x 2 52 a

3x 5 b 5 1x 2 52 a5 2 b x25 x25 3x 5 1x 2 52 5 2 1x 2 52 a

Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.

5 b x25

3x 5 5x 2 25 2 5 3x 5 5x 2 30

Simplifique.

22x 5 230 x 5 15

Resuelva para x.

15 se comprueba como solución. La solución es 15.

En ocasiones, el valor de una variable que parece ser la solución hace que uno de los denominadores sea igual a cero. Tal solución se denomina solución extraña. En estos casos, la ecuación no tiene solución para dicho valor de la variable.

Concéntrese en una ecuación racional sin solución Resuelva:

9 3x 521 x23 x23

Tome nota Si se multiplican ambos lados de una ecuación por una expresión algebraica, es indispensable comprobar las soluciones. Como se muestra en el ejemplo, es posible que la solución propuesta para una ecuación no la compruebe al sustituirla en la ecuación original.

Multiplique por el mcd ambos lados de la ecuación. Utilice la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación.

Resuelva para x. Al sustituir el 3 en la ecuación original, se obtiene una división entre cero.

Puesto que la división entre cero no está definida, la ecuación no tiene solución.

3x 9 521 x23 x23 1x 2 32 a

3x 9 b 5 1x 2 32 a2 1 b x23 x23 3x 5 1x 2 32 2 1 1x 2 32 a 3x 5 2x 2 6 1 9 3x 5 2x 1 3 x53

9 b x23

9 3x 521 x23 x23 9 3 132 521 323 323 9 9 521 0 0

Al multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión algebraica, se puede obtener una ecuación con soluciones diferentes a partir de la ecuación original. Así, toda vez que multiplique ambos lados de una ecuación por una expresión algebraica, debe comprobar la solución resultante.

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348

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva. A.

1 5 5 4 x15

B.

2x 1 5 12 x22 3x 2 4

1 5 5 4 x15

A.

5 1 5 4 1x 1 52 a b • Multiplique por el mcd ambos 4 x15 lados de la ecuación. x 1 5 5 4 152

4 1x 1 52

x 1 5 5 20 x 5 15 15 se comprueba como solución. La solución es 15. 2x 1 5 12 x22 3x 2 4

B. 1x 2 22 13x 2 42 a

1 2x 1 2b b 5 1x 2 22 13x 2 42 a x22 3x 2 4

1 b 1 1x 2 22 13x 2 42 2 3x 2 4 6x 2 2 8x 5 x 2 2 1 6x 2 2 20x 1 16 6x 2 2 8x 5 6x 2 2 19x 1 14 11x 5 14 14 x5 11

13x 2 42 2x 5 1x 2 22 13x 2 42 a

14 11

se comprueba como solución.

La solución es Problema 1 Solución

Resuelva.

A.

14 11 .

22 5 5 2x 2 3 x11

B.

4x 1 1 3 521 2x 2 1 x23

Revise la página S21.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 353.

John Leung/Shutterstock.com

OBJETIVO

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Problemas de trabajo La tasa de trabajo describe la parte de una tarea que se realiza por unidad de tiempo. Si un albañil puede construir un muro de contención en 12 horas, entonces en 1 hora puede construir 1 1 12 del muro. La tasa de trabajo del albañil es de 12 del muro por hora. Si un aprendiz puede construir el muro en x horas, su tasa de trabajo es de 1x del muro por hora. Al resolver un problema de trabajo, el objetivo radica en determinar el tiempo que toma completar una tarea. La ecuación básica que se utiliza para problemas de trabajo es Tasa de trabajo 3 Tiempo laborado 5 Parte realizada de la tarea Por ejemplo, si un ducto puede llenar un tanque en cinco horas, entonces en 2 horas llenará 1 t 3 2 5 25 del tanque. En t horas, el ducto llenará 5 3 t 5 5 del tanque.

1 5

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SECCIÓN 6.4

Punto de interés El siguiente problema está escrito en el Jiuzhang, libro chino que data de la dinastía Han (alrededor del año 200 a.C. al año 200 d.C.). “Un embalse cuenta con cinco canales que le proporcionan agua. El primero puede llenar el embalse 1 en día, el segundo en 1 día, el 3 1 tercero en 2 días, el cuarto en 2 3 días y el quinto en 5 días. Si todos los canales están abiertos, ¿cuánto tiempo les llevará llenar el embalse?” Este es el problema de trabajo más antiguo que se conoce.

349

Ecuaciones racionales o fraccionarias

Resuelva: Un albañil puede construir un muro en 10 horas. Un aprendiz puede construirlo en 15 horas. ¿Cuánto tiempo les llevará construirlo si trabajan juntos?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE TRABAJO

 Escriba una expresión numérica o algebraica para la tasa de trabajo, el tiempo laborado y la parte terminada de la tarea, correspondiente a cada persona o máquina. Los resultados se pueden registrar en una tabla.

Tiempo desconocido para construir el muro trabajando juntos: t Tasa de trabajo

#

Tiempo laborado

5

Parte terminada de la tarea

Albañil

1 10

#

t

5

t 10

Aprendiz

1 15

#

t

5

t 15

 Determine cómo se correlacionan las partes terminadas de la tarea. Utilice el hecho de que la suma de las partes terminadas de la tarea deben ser iguales a 1, la tarea totalmente terminada.

La suma de la parte terminada por el albañil y la terminada por el aprendiz es igual a 1. t t 1 51 10 15 30a

t t 1 b 5 30 112 10 15 3t 1 2t 5 30 5t 5 30 t56

Trabajando juntos construirían la pared en 6 horas.

EJEMPLO 2

Estrategia

Un electricista requiere 12 horas para realizar la instalación eléctrica de una casa. El aprendiz de electricista puede hacerla en 16 horas. Luego de trabajar él solo en esa tarea durante 4 horas, el electricista se retira y su aprendiz finaliza la tarea. ¿Cuánto tiempo le tomará al aprendiz completar la instalación?  Tiempo requerido por el aprendiz para completar la instalación: t

Electricista Aprendiz

Tasa 1 12 1 16

# Tiempo 5 #

4

5

#

t

5

Parte 4 12 t 16

 La suma de la parte de la tarea realizada por el electricista y la parte realizada por el aprendiz es 1.

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350

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Solución

t 4 1 51 12 16 1 t 1 51 3 16 1 t 48a 1 b 5 48 112 3 16 16 1 3t 5 48 3t 5 32 2 32 5 10 t5 3 3 Al aprendiz le toma 10 32 horas completar la instalación eléctrica de la casa.

Llena el tanque en x horas

Llena el tanque en 9 horas

Problema 2

Solución 1 x

Llena del tanque cada hora

1 9

Llena del tanque cada hora

OBJETIVO

Dos ductos de agua pueden llenar un tanque en 6 horas. El más grande, por sí solo, puede llenar el tanque en 9 horas. ¿Cuánto tiempo le llevará al ducto más chico llenar por sí solo el tanque? Revise la página S21.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 355.

Problemas de movimiento uniforme Un automóvil que viaja de forma constante en línea recta a 55 mph está en movimiento uniforme. Movimiento uniforme significa que la velocidad de un objeto no varía. La ecuación básica utilizada para problemas de movimiento uniforme es Distancia 5 Tasa de velocidad 3 Tiempo Una forma alterna de esta ecuación es escribirla resolviendo en ella para el tiempo. Esta forma de la ecuación se utiliza para resolver el siguiente problema.

50 mi r 150 mi 3r

Distancia 5 Tiempo Tasa de velocidad Resuelva: Un conductor manejó 150 millas por caminos rurales antes de conducir 50 millas por caminos montañosos. Su tasa de velocidad en los caminos rurales fue tres veces su tasa en los caminos montañosos. Su viaje para recorrer las 200 millas fue de 5 horas. Calcule la tasa de velocidad del conductor en los caminos rurales. ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MOVIMIENTO UNIFORME

 Escriba una expresión numérica o algebraica para la distancia, la tasa de velocidad y el tiempo para cada objeto. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

Tasa de velocidad no conocida en los caminos montañosos: r Tasa de velocidad en los caminos rurales: 3r Distancia 4 Tasa de velocidad 5 Caminos rurales Caminos montañosos

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150

4

3r

5

Tiempo 150 3r

50

4

r

5

50 r

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SECCIÓN 6.4

351

Ecuaciones racionales o fraccionarias

 Determine cómo se correlacionan los tiempos de viaje de cada objeto. Por ejemplo, se puede conocer que los tiempos son iguales o se puede conocer el tiempo total.

El tiempo total del viaje es de 5 horas. 150 50 55 1 r 3r 50 50 1 55 r r ra

50 50 1 b 5 r 152 r r 50 1 50 5 5r 100 5 5r 20 5 r

La tasa de velocidad en los caminos rurales fue 3r. Al sustituir r por 20 y evaluar. 3r 5 3 1202 5 60 La tasa de velocidad en los caminos rurales fue 60 mph.

EJEMPLO 3

Estrategia

Un ejecutivo de mercadotecnia viajó 810 millas en un jet corporativo durante la misma cantidad de tiempo que luego le tomó viajar 162 millas adicionales en helicóptero. La tasa de velocidad del jet fue de 360 mph mayor que la del helicóptero. Calcule la tasa de velocidad del jet.  Tasa de velocidad del helicóptero: r Tasa de velocidad del jet: r + 360 r 162 mi r + 360 810 mi

Distancia 4

Tasa de 5 velocidad

Tiempo

Jet

810

4

r 1 360

5

810 r 1 360

Helicóptero

162

4

r

5

162 r

 El tiempo de viaje en jet es igual al tiempo de viaje en helicóptero. 162 810 5 r 1 360 r

Solución r 1r 1 3602 a

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162 810 b 5 r 1r 1 3602 a b r 1 360 r 810r 5 1r 1 3602 162 810r 5 162r 1 58,320 648r 5 58,320 r 5 90

• La tasa de velocidad del helicóptero fue 90 mph.

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352

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

r 1 360 5 90 1 360 5 450

• Sustituya el valor de r en la variable correspondiente a la tasa de velocidad del jet.

La tasa de velocidad del jet fue de 450 mph. Problema 3

Solución

Un aeroplano puede volar a una tasa de velocidad de 150 mph con viento en calma. Al volar con el viento a favor, el avión recorrió 700 millas en la misma cantidad de tiempo que le tomó volar 500 millas en contra del viento. Calcule la tasa de velocidad del viento. Revise las páginas S21-S22.

† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 356.

6.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Qué números no son posibles soluciones de la ecuación racional

x21 x22 1 5 4? x11 x

2. Ambos lados de una ecuación se multiplican por x 2 3. La nueva ecuación (i) tiene las mismas soluciones que la ecuación original, (ii) puede tener las mismas soluciones que la ecuación original, o (iii) no tiene las mismas soluciones que la ecuación original. 3. Si Hana puede pintar un muro en 30 minutos y Miya puede pintarlo en 45 minutos, ¿quién tiene mayor tasa de trabajo? 4. Si usted maneja 500 millas en r horas, ¿cuántas horas le llevó completar el viaje?

Resolver ecuaciones fraccionarias (Revise las páginas 346-348.) PREPÁRESE 5 8 5 . x x13 5. El primer paso para resolver una ecuación consiste en eliminar los denominadores al multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcm de los denominadores ? y ? . El mcd es ? .

Para los ejercicios 5 a 8, utilice la ecuación

6. a. Al multiplicar el lado izquierdo de la ecuación por el mcd x(x + 3), dicho lado ? . se simplifica, quedando como b. Al multiplicar el lado derecho de la ecuación por el mcd x(x + 3), dicho lado se ? . simplifica, quedando como 7. Utilice sus respuestas del ejercicio 6 para escribir la ecuación que resulta de ? ? . La solución de esta ecuación eliminar los denominadores: 5 ? es . 8. La solución de una ecuación racional se debe comprobar en la ecuación original. Para comprobar la solución encontrada en el ejercicio 7 en la ecuación original, se ? y se simplifica: sustituye x por 8 5 ? 5 ? , lo cual demuestra que la soluse simplifica a 5 28 28 1 3 ción se comprueba.

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SECCIÓN 6.4

353

Ecuaciones racionales o fraccionarias

Resuelva. x 5 x 1 5 2 6 3

10.

x 2 x 2 5 5 9 15

11. 1 2

3 54 y

6 55 y

13.

8 52 2x 2 1

14. 3 5

18 3x 2 4

15.

4 2 5 x24 x22

16.

x x11 5 3 7

17.

x22 1 5 5 x12

18.

x14 6 5 10 x23

19.

3 4 5 x22 x

20.

5 2 5 x x13

21.

3 5 125 x24 x24

22.

5 7 225 y13 y13

† 23.

8 3 5 x25 x

24.

16 4 5 22x x

25. 5 1

8 4a 5 a22 a22

26.

24 a 532 a24 a24

27.

x 20 1 57 2 x

28. 3x 5

29.

6 1 5 x25 x

30.

8 4 5 x22 x11

31.

32.

x 3 5 x22 x24

35.

2 1 3 1 5 4y 2 2 9 2y 2 3 2y 1 3

38.

9 5 3 5 2 x 2 1 7x 1 10 x12 x15

9.

12. 7 1

33. 2

36.

5 4 115 x17 x17

5 2 3 2 5 2 x22 x12 x 24

x 6 5 x12 x15

34. 5 2

37.

4 13 2 x 2

2 3 5 2x 2 5 2x 2 5

5 2 5 5 1 x 2 2 7x 1 12 x23 x24

Cuando una solución propuesta de una ecuación racional no es comparable en la ecuación original, es porque dicha solución tiene como resultado una expresión que contiene una división entre cero. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine los valores de x que, al sustituirlos en la ecuación original, también dan como resultado una división entre cero. 39.

x 2 1 24 x 2x 1 5 x 1 x 2 12 4 x23 2

40.

1 2 215 2 x22 x 2 2x

Problemas de trabajo (Revise las páginas 348-350.) 41.

Si una persona puede completar una tarea en 2 horas y otra puede completarla en 3 horas, ¿llevará más o menos de 2 horas completar dicha tarea si ambas personas trabajan en conjunto? Explique su respuesta.

42. Si un jardinero puede podar el césped en 20 minutos, ¿qué fracción del césped puede podar en 1 minuto?

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CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

PREPÁRESE 43. La manguera del agua caliente tarda 6 minutos en llenar la lavadora de ropa. La manguera del agua fría tarda 4 minutos en hacer lo mismo. Sea t que representa la cantidad de tiempo que le tomaría a ambas mangueras llenar la lavadora con agua tibia. Complete la siguiente tabla. Tiempo de Parte terminada 5 funcionamiento de la tarea

Tasa de trabajo

#

Manguera de agua caliente

?

#

?

Manguera de agua fría

?

#

?

5

5

? ?

44. Consulte el ejercicio 43. Cuando la lavadora de ropa está llena, la “parte terminada de la tarea” es toda la tarea, por lo que la suma de las partes realizadas por ? . Utilice este hecho y las expresiones que cada una de las mangueras es se encuentran en la tabla del ejercicio 43 para escribir una ecuación posible de resolver para calcular la cantidad de tiempo necesaria para llenar con agua tibia la ? + ? 5 ? . lavadora:

45. Una empresa grande de biotecnología usa computadoras para procesar los resultados diarios de sus estudios de investigación. Una computadora puede procesar los datos en 2 horas; la otra requiere de 3 horas para hacer el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo requeriría procesar los datos si se utilizaran ambas computadoras?

47. Un panel de calentador solar puede aumentar 1 grado la temperatura del agua en 30 minutos. Otro panel puede elevar 1 grado la temperatura en 45 minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría en incrementarse 1 grado la temperatura del agua con ambos paneles solares en funcionamiento? 48. Un miembro de un equipo de jardinería puede colocar un césped nuevo en 36 horas. El otro miembro del equipo puede realizar el trabajo en 45 horas. ¿Cuánto tiempo les llevaría realizar ese mismo trabajo colaborando juntos?

luiggi33/Shutterstock.com

46. Dos estudiantes universitarios emprendieron su propio negocio de ensamble de computadoras. Trabajando solo, uno de ellos puede ensamblar una computadora en 20 horas. Cuando lo ayuda su compañero, arman una computadora en 7.5 horas. ¿Cuánto tiempo le llevaría al segundo estudiante ensamblar la computadora si trabaja solo?

49. Un miembro de un equipo de telefonía puede colocar el cableado de unas líneas telefónicas en 5 horas. A otro miembro del equipo le lleva 7.5 horas realizar la misma tarea. ¿Cuánto tiempo les tomaría colocar el cableado si ambos miembros del equipo trabajan al mismo tiempo? 50. A medida que el agua de una inundación primaveral comienza a retroceder en Texas, una familia enfrenta la necesidad de bombear el agua de su sótano. Una de las bombas que usan puede extraer 9000 galones en 3 horas. Otra bomba puede desalojar la misma cantidad de agua en 4.5 horas. ¿Cuántas horas se requieren para extraer 9000 galones utilizando ambas bombas? 51. Una máquina nueva puede empacar transistores cuatro veces más rápido que la máquina vieja. Trabajando al mismo tiempo, las máquinas pueden empacar los transistores en 8 horas. ¿Cuánto tiempo necesitaría la máquina nueva para empacar los transistores si trabaja sola?

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Ecuaciones racionales o fraccionarias

52. Un hotel para esquiadores puede producir nieve suficiente para abrir su pista más con mayor pendiente en 12 horas, mientras que la nieve natural tiene que caer por 36 horas para lograr lo mismo. Si el hotel produce nieve al mismo tiempo que nieva de forma natural, ¿cuánto tiempo pasará hasta que se pueda abrir la pista? 53. La más grande de dos impresoras que se usan para imprimir la nómina de una empresa grande requiere 40 minutos para hacerlo. Luego de que ambas impresoras han operado durante 10 minutos, la más grande se avería. La impresora más chica requiere de 50 minutos más para completar la nómina. ¿Cuánto le llevaría a la impresora más chica imprimir la nómina si trabaja sola?

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SECCIÓN 6.4

† 55. Un constructor requiere de 12 horas para terminar un tejado. Luego de que él y su aprendiz han trabajado en un techo durante 3 horas, el constructor se va a otro trabajo. El aprendiz requiere de 12 horas más para completar el trabajo. ¿Cuánto tiempo le tomaría al aprendiz realizar todo el trabajo si lo hace solo?

© Vicki Silbert/PhotoEdit

54. Un soldador requiere 25 horas para realizar un trabajo. Después de que él y su aprendiz han trabajado por 10 horas, el soldador decide irse. El aprendiz completa el trabajo en 17 horas. ¿Cuánto tiempo le llevaría al aprendiz completar el trabajo si trabaja solo?

56. Un albañil experimentado puede trabajar dos veces más rápido que un aprendiz. Luego de que ambos han trabajado juntos durante 8 horas, el albañil experimentado se retira. El aprendiz requirió de 12 horas más para completar el trabajo. ¿Cuánto tiempo le llevaría al albañil experimentado realizar el trabajo si lo hace solo?

58. Tres máquinas llenan botellas de agua y pueden satisfacer la demanda diaria de botellas de agua en 12, 15 y 20 horas, respectivamente. ¿Cuánto tiempo les llevaría satisfacer la cuota diaria de botellas de agua a las tres máquinas juntas? 59. Utilizando las llaves de agua caliente y fría, es posible llenar una bañera en 10 minutos. El desagüe la vacía en 15 minutos. Un niño abre ambas llaves y olvida tapar el desagüe. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la bañera comience a desbordarse? 60. El tubo de entrada a un tanque de agua puede llenarlo en 30 minutos. El tubo de salida lo puede vaciar en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tomaría vaciar el tanque lleno con ambos tubos abiertos?

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57. Dos oficinistas llenan los sobres para la campaña política de un candidato a alcalde. Uno de ellos puede llenar un sobre cada 30 segundos, mientras que al otro le toma 40 segundos. ¿Cuántos minutos les llevará llenar 140 sobres si trabajan juntos?

61. Un tanque de petróleo tiene dos ductos de entrada y uno de salida. Un ducto de entrada puede llenarlo en 12 horas, mientras que el otro puede llenarlo en 20 horas. El ducto de salida puede vaciar el tanque en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tomaría vaciar el tanque lleno con los tres ductos abiertos? 62. El agua de un tanque se utiliza para el riego, al mismo tiempo que el tanque se llena. Los dos ductos de entrada pueden llenar el tanque en 6 y 12 horas, respectivamente. El ducto de salida puede vaciarlo en 24 horas. ¿Cuánto tiempo tomaría llenar el tanque con los tres ductos abiertos? 63.

A Jane le toma n minutos deshierbar una franja de jardín, mientras que a Paul le toma m minutos hacer lo mismo, donde m 7 n. Sea t el tiempo que le lleva a Jane y Paul deshierbar una franja de jardín trabajando juntos. ¿Es t menor que n, está entre n y m, o es mayor que m?

64.

Ernie y Mike pintaron juntos una cerca en a horas. A Ernie le hubiera llevado b horas hacerlo solo. ¿Qué fracción de la cerca pintó Ernie y qué fracción pintó Mike?

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CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Problemas de movimiento uniforme (Revise las páginas 350-352.) PREPÁRESE 65. a. Un avión puede volar 470 millas con viento en calma. En el tiempo que le llevó volar 1320 millas con el viento en contra, podría haber volado 1500 millas si estuviera volando con el viento a favor. Sea w que representa la tasa de velocidad del viento. Complete la siguiente tabla. Tasa de 5 velocidad

Distancia

4

Con el viento en contra

?

4

?

5

?

Con el viento a favor

?

4

?

5

?

Tiempo

b. Utilizando la relación que existe entre las expresiones de la última columna de la tabla, escriba una ecuación que pueda resolverse para calcular la tasa de ? 5 ? . velocidad del viento: 66. Utilice la ecuación del inciso b del ejercicio 65. El primer paso para resolver esta ? . ecuación consiste en multiplicar ambos lados de la misma por

68. Un jet comercial vuela 1620 millas en la misma cantidad de tiempo que un jet privado recorre 1260 millas. La tasa de velocidad del jet comercial es 120 mph superior a la del jet privado. Calcule la tasa de velocidad de cada uno.

sepavo/Shutterstock.com

67. Dos jóvenes salieron a patinar una tarde por Central Park. El primero recorrió 15 millas en la misma cantidad de tiempo que al segundo, que patina a 3 mph menos que el primero, le tomó recorrer 12 millas. Calcule la tasa de velocidad de cada patinador.

Fuente de Bethesda en Central Park

† 69. Un tren de pasajeros recorre 295 millas en la misma cantidad de tiempo que un tren de carga recorre 225 millas. La tasa de velocidad del tren de pasajeros es 14 mph superior a la del tren de carga. Calcule la tasa de velocidad de cada tren. 70. La tasa de velocidad de un ciclista es 7 mph superior a la de un corredor de larga distancia. El ciclista recorre 30 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma al corredor recorrer 16 millas. Calcule la tasa de velocidad del corredor. 71. Un ciclista recorre 40 millas, tras lo cual se le pincha una rueda y tiene que caminar 5 millas más hasta una estación de servicio. Su tasa de velocidad en bicicleta fue cuatro veces su tasa de velocidad caminando. El tiempo total pedaleando y caminando fue de 5 horas. Calcule la tasa de velocidad a la que el ciclista iba en su bicicleta. 72.

16 mi r 30 mi r+7

Utilice la información del siguiente artículo para calcular la tasa de velocidad del tren bala. Redondee a la milla por hora más cercana.

En las noticias El primer tren bala estará en funcionamiento en 2015 Se espera que el primer “tren bala” estadounidense recorra las vías de Florida en 2015. Con un promedio cercano a 55 mph más rápido que un tren convencional, el tren bala recorrerá las 88 millas que separan a Orlando y Tampa en la misma cantidad de tiempo en la que un tren convencional recorrería 38 millas. Fuente: Revista Time.

73. Un conductor manejó durante 72 millas antes de quedarse sin combustible, luego tuvo que caminar 4 millas hasta la estación de servicio. La velocidad del conductor en el automóvil era 12 veces su velocidad al caminar. El tiempo total que el conductor pasó conduciendo y caminando fue de 2.5 horas. Calcule la tasa de velocidad a la que caminó el conductor.

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SECCIÓN 6.4

357

Ecuaciones racionales o fraccionarias

74. Un ciclista y un corredor parten al mismo tiempo y en la misma dirección desde un pueblo hacia su destino a 18 millas de distancia. La tasa de velocidad del ciclista es el doble de la del corredor. El ciclista llega 1.5 horas antes que el corredor. Calcule la tasa de velocidad del ciclista. 75. Un ejecutivo de negocios puede recorrer los 480 pies que separan las dos terminales de un aeropuerto caminando sobre una banda móvil en la misma cantidad de tiempo necesaria para caminar 360 pies sin usar dicha banda. Si la tasa de velocidad de la banda móvil es de 2 pies/ segundo, calcule la tasa de velocidad a la que el ejecutivo puede caminar. 76. Un agente de seguros viajó 735 millas en jet comercial y luego 105 millas adicionales en helicóptero. La tasa de velocidad del jet fue cuatro veces la velocidad del helicóptero. Todo el viaje duró 2.2 horas. Calcule la tasa de velocidad del jet. 77. Un aeroplano de un motor y un jet comercial despegan del aeropuerto a las 10 A.M. en dirección de un aeropuerto a 960 millas de distancia. La tasa de velocidad del jet es el cuádruple de la tasa de velocidad del aeroplano. Este último llega 4 horas después que el jet. Calcule la tasa de velocidad de cada aeroplano.

r 105 mi

4r 960 mi

78. Marlys puede remar 3 mph más rápido de lo que puede nadar. Ella puede remar 10 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma nadar 4 millas. Calcule la tasa de velocidad a la que nada. 79. Un crucero puede navegar 28 mph en aguas tranquilas. Cuando navega a favor de la corriente del golfo, este barco puede recorrer 170 millas en la misma cantidad de tiempo que necesita para navegar 110 millas en contra de la corriente del golfo. Calcule la tasa de velocidad de la corriente del golfo.

4r 735 mi

r 960 mi

2420 mi 500 + r

80. Un jet comercial puede recorrer 500 mph sin viento. Al viajar con el viento a favor, el avión recorrió 2420 millas en la misma cantidad de tiempo que le tomaría recorrer 1580 millas con el viento en contra. Calcule la tasa de velocidad del viento.

1580 mi 500 − r

81. Una lancha turística que se utiliza para excursiones por el río puede recorrer 7 mph en aguas tranquilas. El tiempo que le toma recorrer 20 millas río abajo es igual al tiempo que requiere para recorrer 8 millas río arriba (contracorriente). Calcule la tasa de velocidad de la corriente. 82. Una canoa puede viajar 8 mph en agua en calma. Al viajar a favor de la corriente de un río, la canoa puede recorrer 15 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma recorrer 9 millas contra la corriente. Calcule la tasa de velocidad de la corriente.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 83. Problema de movimiento uniforme Debido a las condiciones climáticas, el conductor de un autobús redujo 5 mph la velocidad usual a lo largo de una ruta de 165 millas. El autobús llegó sólo 15 minutos después de lo habitual. ¿A qué velocidad suele viajar el autobús?

85. Problema de movimiento uniforme Si un desfile tiene 1 milla de largo y avanza a 3 mph, ¿cuánto tiempo le llevará a un corredor, que trota a 5 mph, correr desde el frente del desfile hasta su parte final y luego de regreso hasta el frente? 86. Problema de trabajo Un ducto puede llenar un tanque en 3 horas, otro puede llenarlo en 4 horas, y un tercero puede llenarlo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar el tanque utilizando los tres ductos?

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dashingstock/Shutterstock.com

84. Problema de movimiento uniforme Al aumentar su velocidad 10 mph, usted puede conducir las 200 millas de vuelta a su lugar de origen en 40 minutos menos de lo que suele tardar en ese viaje. ¿A qué velocidad acostumbra conducir?

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CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 87. Los matemáticos egipcios trabajaron con fracciones unitarias. a. ¿Qué son las fracciones unitarias? 3

b. Escriba 8 como la suma de dos fracciones unitarias. 3

c. Escriba 5 como la suma de dos fracciones unitarias. 7

d. Escriba 12 como la suma de dos fracciones unitarias y de dos maneras distintas. 88.

Redacte un informe sobre el Papiro de Ahmes (también conocido como Papiro Rhind).

6.5 OBJETIVO

Razones y proporciones Proporciones Cantidades como 3 pies, 5 litros y 2 millas son cantidades numéricas escritas con unidades. En estos ejemplos, las unidades son pies, litros y millas. Una razón tipo I es el cociente de dos cantidades que tienen la misma unidad. El salario semanal de un pintor es $800. El pintor gasta $150 a la semana en comida. La razón entre el gasto semanal en comida y el salario total se escribe como se muestra a continuación. 150 3 $150 5 5 $800 800 16

Una razón está en su forma más simple cuando los dos números no tienen un factor común. Las unidades no se escriben.

Una razón tipo II es el cociente de dos cantidades que tienen unidades diferentes. Un automóvil recorre 120 millas con 3 galones de combustible. La razón tipo 2 millas por galón se escribe de la siguiente manera. 120 mi 40 mi 5 3 gal 1 gal

Una relación está en su forma más simple cuando los dos números no tienen un factor común. Las unidades se escriben como parte de la relación.

Una proporción es una ecuación que establece que dos razones o relaciones son iguales. Por 45 km 3 x12 ejemplo, 904 km proporciones. L 5 2 L y 4 5 16 Observe que una proporción es un tipo especial de ecuación que incluye fracciones. Es posible resolver muchos problemas mediante el uso de proporciones.

Concéntrese en resolver una proporción El impuesto por comprar un automóvil que cuesta $24,000 es $1320. Calcule el impuesto para un automóvil que cuesta $29,000. 1320 x Escribimos una proporción, utilizando x para 5 24,000 29,000 representar una cifra que no se conoce. Simplifique el lado izquierdo.

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x 11 5 200 29,000

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SECCIÓN 6.5

Multiplique por los denominadores ambos lados de la ecuación.

Razones y proporciones

12002 129,0002 a

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x 11 b 5 12002 129,0002 a b 200 29,000

129,0002 1112 5 200x 319,000 5 200x 1595 5 x

El impuesto correspondiente al automóvil de $29,000 es $1595.

EJEMPLO 1

Estrategia

Solución

Una inversión bursátil de 50 acciones paga dividendos por $106. Con base en esta relación, ¿cuántas acciones más se necesitan para obtener dividendos por $424? Para determinar el número adicional de acciones que se requieren, escriba y resuelva una proporción utilizando x para representar el número adicional de acciones. Así 50 + x es el número total de acciones. 106 424 5 50 50 1 x 53 424 5 25 50 1 x 53 424 25 150 1 x2 5 25 150 1 x2 25 50 1 x 150 1 x2 53 5 1252 424 2650 1 53x 5 10,600 53x 5 7950 x 5 150

• Simplifique el lado izquierdo. • Multiplique ambos lados por los denominadores.

Se necesitan 150 acciones bursátiles adicionales. Problema 1 Solución

Dos libras de nueces cuestan $5.80. Con base en esta relación, ¿cuánto cuestan 15 libras de nueces? Revise la página S22.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 364.

OBJETIVO

Problemas de proporciones Una proporción directa es una función especial que se puede expresar como la ecuación y = kx, donde k es una constante. Esta ecuación se lee “y varía directamente respecto a x” o “y es directamente proporcional a x”. La constante k se denomina constante de variación o constante de proporcionalidad. La circunferencia (C) de un círculo varía directamente respecto al diámetro (d). La ecuación se escribe C 5 pd. La constante de proporcionalidad es p. Una enfermera gana $28 por hora. Su salario total (w) es directamente proporcional al número de horas (h) laboradas. La ecuación de proporción es w 5 28h. La constante de proporcionalidad es 28. Por regla general, una ecuación de proporción directa se puede escribir de la forma y = kxn, donde n es un número positivo. Por ejemplo, la ecuación y = kx2 se lee “y varía directamente respecto al cuadrado de x”. El área (A) de un círculo varía directamente respecto al cuadrado del radio (r) del círculo. La ecuación es A 5 pr2. La constante de variación es p.

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CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Dado que V varía directamente respecto a r, y V = 20 cuando r = 4, se puede determinar la constante de proporcionalidad escribiendo la ecuación básica de la proporción directa, sustituyendo V y r por los valores dados, y resolviendo para la constante de proporcionalidad.

V 5 kr 20 5 k # 4 55k

Luego es posible escribir la ecuación de proporción directa siguiendo el valor de k en la ecuación básica de proporción directa.

V 5 5r

Concéntrese en resolver un problema de proporción directa La tensión (T) de un resorte varía directamente respecto a la distancia (x) de estiramiento. Si T = 8 libras cuando x = 2 pulgadas, encuentre T cuando x = 4 pulgadas. Escriba la ecuación básica de proporción directa.

T 5 kx

Sustituya T y x por los valores dados.

85k#2

Resuelva para la constante de proporcionalidad.

45k

Escriba la ecuación de proporción directa.

T 5 4x

Para encontrar T cuando x = 4 pulgadas, se sustituye x por 4 en la ecuación de proporción directa y se resuelve para T.

T 5 4x T54#4 T 5 16 Cuando x 5 4 pulgadas, la tensión es de 16 libras.

EJEMPLO 2

Estrategia

La cantidad (A) de medicamento que se prescribe a un paciente varía directamente con el peso (W) del paciente. A una persona que pesa 50 kg se le recetan 2 ml de medicamento. ¿Cuántos mililitros de medicamento se requieren para una persona que pesa 75 kg? Para calcular la cantidad de medicamento necesaria:  Se escribe la ecuación básica de una proporción directa, se sustituyen las variables por los valores dados, y se resuelve para k.  Escriba la ecuación de la proporción directa, sustituyendo k por su valor. Sustituya W por 75, y resuelva para A.

Solución

A 5 kW 2 5 k # 50 1 5k 25 1 A5 W 25 1 # A5 75 5 3 25

• Esta es la ecuación de una proporción directa. • Sustituya W por 75.

La cantidad de medicamento necesaria es 3 ml. Problema 2

Solución

La distancia (s) que cae un cuerpo en reposo varía directamente respecto al cuadrado del tiempo (t) que dura la caída. Un objeto cae 64 pies en 2 segundos. ¿Qué tanto caerá en 5 segundos? Revise la página S22.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 365.

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SECCIÓN 6.5

361

Razones y proporciones k

Una proporción inversa es una función que se puede expresar como la ecuación y 5 x , donde k es una constante. La ecuación y 5 kx se lee “y varía inversamente respecto a x” o “y es inversamente proporcional a x”. k En general, una ecuación de proporción inversa se puede escribir y 5 n , donde n es un número x k positivo. Por ejemplo, la ecuación y 5 2 “y varía de forma inversa respecto al cuadrado de x”. x k P5 2 Dado que P varía de manera inversa respecto al cuadrado de x, P = 5 cuando x x = 2, es posible encontrar la constante de proporcionalidad escribiendo la ecuak ción de proporción inversa básica, reemplazando P y x por los valores dados, 55 2 y resolviendo para la constante de proporcionalidad. 2 k 55 4 20 5 k Luego es posible encontrar la ecuación de proporción inversa mediante la sustitución del valor de k en la ecuación de proporción inversa básica.

P5

20 x2

Concéntrese en resolver un problema de proporción inversa La longitud (L) de un rectángulo con área fija es inversamente proporcional a su ancho (w). Si L = 6 pies cuando w = 2 pies, calcule L cuando w = 3 pies. k Escriba la ecuación básica de proporción inversa. L5 w Sustituya L y w por los valores dados. Resuelva para la constante de proporcionalidad.

k 2 12 5 k 65

Escriba la ecuación de proporción inversa.

L5

12 w

Para calcular L cuando w = 3 pies, se sustituye w por 3 en la ecuación de proporción inversa, y se resuelve para L.

L5

12 w

L5

12 3

L54 Cuando w 5 3 pies, la longitud es 4 pies.

EJEMPLO 3

Estrategia

Una empresa que fabrica computadoras personales ha determinado que el número de computadoras que puede vender (s) es inversamente proporcional al precio (P) de la computadora. Se pueden vender 2000 computadoras cuando el precio es de $900 cada una. ¿Cuántas computadoras se pueden vender cuando el precio unitario es $800? Para determinar el número de computadoras:  Escriba la ecuación básica de proporción inversa, sustituya las variables por los valores dados, y resuelva para k.  Escriba la ecuación de proporción inversa, sustituya k por su valor. Sustituya 800 por P, y resuelva para s.

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362

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Solución

k P k 2000 5 900 1,800,000 5 k s5

s5

1,800,000 P

s5

1,800,000 5 2250 800

• Esta es la ecuación de proporción inversa. • Sustituya P por 800.

A un precio de $300, se pueden vender 2250 computadoras. Problema 3

Solución

La resistencia (R) al flujo de corriente eléctrica de un cable con longitud fija es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro (d). Si un cable con diámetro de 0.01 cm tiene una resistencia de 0.5 ohms, ¿cuál es la resistencia en un cable que tiene 0.02 cm de diámetro? Revise la página S22.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 366. Una proporción combinada es aquella en la que se presentan al mismo tiempo dos o más tipos de proporción. Por ejemplo, en química, el volumen (V) de un gas varía directamente respecto a la temperatura (T) e inversamente respecto a la presión (P). Esta proporción combinada se escribe kT . El tema en el ejemplo 4 es una proporción combinada. P Una proporción conjunta es aquella en la que una variable cambia de forma directa respecto al producto de otras dos o más variables. Una proporción conjunta se puede expresar como la ecuación z = kxy, donde k es una constante. La ecuación z = kxy se lee “z varía de forma conjunta respecto a x y y”. Por ejemplo, el área (A) de un triángulo varía de forma conjunta respecto a la base (b) y la altura (h). La ecuación de proporción conjunta se escribe A 5 12 bh. La constante 1 de proporcionalidad es 2 . El problema 4 involucra las proporciones combinada y conjunta. V5

EJEMPLO 4

Estrategia

Solución

La presión (P) de un gas varía directamente respecto a la temperatura (T) e inversamente respecto al volumen (V). Cuando T = 50° y V = 275 pulg3, P = 20 lb/pulg3. Calcule la presión del gas cuando T = 60° y V = 250 pulg3. Para calcular la presión:  Escriba la ecuación básica de proporción combinada, sustituyendo las variables por los valores dados, y resuelva para k.  Escriba la ecuación de proporción combinada, sustituyendo k por su valor. Sustituya T por 60 y V por 250, y resuelva para P. kT V k 1502 20 5 275 110 5 k 110T P5 V 110 1602 P5 5 26.4 250 P5

• Esta es la ecuación de proporción combinada. • Sustituya T por 60 y V por 250.

La presión es 26.4 lb/pulg2.

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SECCIÓN 6.5

Problema 4

Solución

Razones y proporciones

363

La resistencia (s) de una viga rectangular varía de manera conjunta respecto a su ancho (W) y al cuadrado de su espesor (d) de forma inversa respecto a su longitud (L). Si la resistencia de una viga de 2 pulgadas de ancho, 12 pulgadas de espesor y 12 pies de largo es de 1200 libras, calcule la resistencia de una viga con 4 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de espesor y 16 pies de largo. Revise la página S22.

† Intente resolver el problema 57 de la página 367.

6.5

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1 Si y varía directamente respecto a x y k es la constante de proporcionalidad, ¿cuál ecuación es verdadera? (i) x 1 y 5 k

(ii) x 2 y 5 k

(iii) xy 5 k

(iv)

y 5k x

2. Si y varía inversamente respecto a x y k es la constante de proporcionalidad, ¿cuál ecuación es verdadera? (i) x 1 y 5 k

(ii) x 2 y 5 k

(iii) xy 5 k

(iv)

y 5k x

3. Escriba como una ecuación “y varía de manera conjunta respecto a x y z”, donde k es la constante de proporcionalidad. 4. Escriba como una ecuación “y varía directamente respecto al cuadrado de x e inversamente respecto a z”, donde k es la constante de proporcionalidad.

Proporciones (Revise las páginas 358-359.) 5.

¿En qué se distingue la razón tipo I de la razón tipo II?

6.

¿Qué es una proporción?

PREPÁRESE 7. La escala marcada en un mapa muestra que una distancia de 2 cm sobre el mapa representa una distancia real de 5 millas. Esta razón se puede expresar como el ? ? cociente o como el cociente . ? ? 8. Sea x la distancia en millas representada por 13 cm sobre el mapa descrito en el ejercicio 7. Utilice una proporción para calcular x. ? mi 5 mi 5 2 cm ? cm

• Escriba la proporción de tal modo que en ambos lados aparezca la relación entre millas y centímetros.

5 x 122 1132 a b 5 122 1132 a b 2 13 ?

5(

?

5x

?

)x

• Multiplique por ? proporción

? .

y ambos lados de la

• Simplifique. • Divida ambos lados de la ecuación entre

?

.

13 cm sobre el mapa representan ___?___ millas.

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364

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Resuelva la proporción. 9.

13.

x11 2 5 10 5

10.

4 3 5 x12 4

11.

x x22 5 4 8

12.

8 3 5 x25 x

8 4 5 x22 x11

14.

4 2 5 x24 x22

15.

8 2 5 3x 2 2 2x 1 1

16.

x22 2x 5 x25 2x 1 5

17.

¿Verdadero o falso? Si

a c b d 5 , entonces 5 . b d a c

18.

¿Verdadero o falso? Si

a c a b 5 , entonces 5 . b d c d

19. Ciencias ambientales En una reserva salvaje se capturan, etiquetan y liberan 60 patos. Más adelante se examinan 200 patos y se encuentra que tres de ellos están etiquetados. Calcule el número estimado de patos en la reserva. 20. Ciencias políticas Una encuesta preelectoral mostró que votarán 7 de cada 12 electores. Con esta razón ¿cuántas personas cabría esperar que voten en una ciudad con 210,000 electores? 1

21. Arquitectura En un plano arquitectónico, 4 de pulgada representa 1 pie. Calcule las di1 1 mensiones de una habitación que en el plano mide 44 pulgadas por 52 pulgadas.

23. Energía Caminar 4 millas en 2 horas quema 650 calorías. Caminando a ese ritmo, ¿cuántas millas necesitaría recorrer una persona para perder una libra? (La quema de 3500 calorías equivale a la pérdida de 1 libra.) Redondee a la centésima más cercana. 24. Construcción Para embaldosar un área de 24 pies2 se requieren 124 baldosas de cerámica. Con esta relación, ¿cuántas baldosas se necesitan para embaldosar 300 pies2? 25. Ciencias de la salud Para tratar a un adulto de 120 libras, se requieren tres cuartos de onza de un medicamento. Con la misma relación, ¿cuántas onzas de medicamento adicionales se requieren para tratar a un adulto de 200 libras? 26.

Biología Utilice la información del artículo de la derecha. Si la distancia que viaja el mensaje nervioso desde la pata trasera del elefante hasta su cerebro es de 9 pies, ¿qué distancia recorre el mensaje nervioso desde la pata trasera de la musaraña hasta su cerebro? Redondee a la pulgada más cercana.

† 27. Ciencias ambientales Se mezclan 6 onzas de insecticida con 15 galones de agua para preparar el líquido que se rociará en una plantación de naranjas. A esa misma relación, ¿cuánto insecticida se necesita para mezclarlo con 100 galones de agua? 28. Ecología En un intento por estimar el número de tigres siberianos dentro de una reserva, un equipo de control de la vida animal capturó, etiquetó y liberó 50 tigres. Unos meses después, el equipo capturó a 150 tigres siberianos, de los que 30 tenían etiqueta. Estime el número de tigres siberianos en la región.

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En las noticias Tiempos de reacción, grande y pequeño Un estudio sobre los tiempos de reacción realizados en elefantes y musarañas muestra que, a través del reino animal, desde las criaturas grandes hasta las pequeñas, los mensajes nerviosos viajan desde y hacia el cerebro a la misma velocidad. Los científicos descubrieron que un elefante reaccionaba a un toque en su pata trasera en 100 milisegundos, mientras que la musaraña sólo necesitó de 1 milisegundo para reaccionar a un toque similar. Fuente: smithsonianmag.com

Mertens Photography/Shutterstock.com

22. Construcción Un contratista estima que se podrán tener 15 pies2 de superficie para ventanas por cada 160 pies2 de superficie de suelo. Utilizando esta estimación, ¿cuánta superficie para ventanas se podrá tener en un suelo con una superficie de 3200 pies2?

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SECCIÓN 6.5

365

Razones y proporciones

29. Velocidades de Internet Una conexión inalámbrica a Internet descargará un archivo de 4 megabytes en 2 segundos. Con esta relación, ¿cuántos segundos le tomará descargar un archivo de 5 megabytes? 30. Construcción Un contratista estimó que necesita 30 pies3 de cemento para elaborar un piso de concreto que mide 90 pies2. Utilizando esta estimación, calcule cuántos pies cúbicos de cemento se necesitarían para elaborar un piso de concreto de 120 pies2. 31. Artes gráficas La imagen de una ballena que aparece a la derecha utiliza una escala en la que 1 pulgada representa 48 pies. Calcule el tamaño real de la ballena. 32. Física Un objeto que pesa 100 libras en la Tierra pesaría 90.5 libras en Venus. Con esta relación, ¿cuánto pesaría en Venus un objeto que pesa 150 libras en la Tierra?

Problemas de proporciones (Revise las páginas 359-363.) ¿Qué es una proporción directa?

34.

¿Qué es una proporción inversa?

35.

Una pelota cuya circunferencia es de 30 cm pesa 250 gramos. Una pelota de 800 gramos, elaborada con el mismo material, tiene una circunferencia de 96 cm. La relación entre la circunferencia y el peso de la pelota hecha del mismo material ¿es una proporción directa o una proporción inversa?

36.

Una persona que pesa 150 libras pesa sobre la Tierra sólo 149.25 libras a 10 millas por encima de la Tierra y 148.5 libras a 20 millas por encima de la Tierra. La relación entre el peso y la distancia por encima de la Tierra ¿es una proporción directa o una proporción inversa?

† 37. Negocios Las utilidades (P) que obtiene una empresa varían directamente respecto al número de productos que vende (s). Si una empresa obtiene utilidades por $2500 de la venta de 20 productos, ¿cuál será la utilidad cuando la empresa venda 300 productos? 38. Agricultura El número de fanegas de trigo (b) que produce una granja es directamente proporcional al número de acres (A) plantados con trigo. Si una granja de 25 acres produce 1125 fanegas de trigo, ¿cuál es la producción de una granja que tiene 220 acres de trigo? 39.

Derrame petrolero Lea el artículo de la derecha sobre el derrame petrolero del Deepwater Horizon en 2010. Si el pozo derramó petróleo a la misma velocidad durante toda la duración del derrame, entonces la cantidad total de petróleo derramado sería directamente proporcional al número de días que se estuvo derramando el petróleo. Utilizando los datos del artículo, calcule cuántos barriles de petróleo se derramaron durante los 86 días del derrame. Redondee a la décima de millón más cercana.

40.

Arte Leonardo da Vinci observó que el peso de una persona varía directamente respecto al ancho de sus hombros. Si una persona de 70 pulgadas de alto tiene hombros de 17.5 pulgadas de ancho, ¿cuál será el peso de una persona cuyo ancho de hombros sea de 16 pulgadas?

41.

Arte Leonardo da Vinci observó que el largo de la cara de una persona varía directamente respecto al largo de su mentón. Si una persona cuya cara mide 9 pulgadas tiene un mentón de 1.5 pulgadas, ¿cuál será el largo de la cara de una persona cuyo mentón mide 1.7 pulgadas?

42. Buceo La presión (p) que recibe un buzo bajo el agua varía directamente respecto a la profundidad (d). Si la presión es de 3.6 lb/pulg2 cuando está a 8 pies de profundidad, ¿cuál será la presión cuando el buzo esté a 30 pies?

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En las noticias Derrame petrolero finalmente taponado El 16 de junio, con 56 días de derrame petrolero, las estimaciones gubernamentales de la cantidad de petróleo derramado en el Golfo de México alcanzaron 3.1 millones de barriles. Un mes después, el pozo ha sido taponado con éxito y, finalmente, después de 86 días, ya no se derrama petróleo en las aguas marinas. Fuente: nytimes.com

Cameraphoto Arte, Venice/Art Resource, NY

33.

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366

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

43. Física La distancia (d) que se estira un resorte varía directamente respecto a la fuerza (f) que se le aplica. Si se requiere de una fuerza de 5 libras para alargar el resorte 2 pulgadas, ¿qué fuerza se necesita para alargarlo 5 pulgadas? 44. Física El periodo (p) de un péndulo, o el tiempo que le toma hacer un balanceo completo, varía directamente respecto a la raíz cuadrada de su longitud (L). Si el periodo de un péndulo es de 1.5 segundos cuando tiene 2 pies de longitud, calcule el periodo cuando su longitud es de 4.5 pies. Redondee a la centésima más cercana. 45 Óptica La distancia (d) que una persona puede avistar hacia el horizonte desde un punto sobre la superficie de la Tierra varía directamente respecto a la raíz cuadrada de la altura (H). Si desde una altura de 500 pies el horizonte se avista hasta 19 millas, ¿a qué distancia se avistará en el horizonte desde un punto a 800 pies de altura? Redondee a la centésima más cercana.

2 pulg 5 pulg 5 lb

x lb

46. Tecnología automotriz La distancia de frenado (s) de un automóvil varía directamente respecto al cuadrado de su velocidad (v). Si el automóvil viaja a 30 mph necesita 60 pies para detenerse, calcule la distancia que requiere para detenerse un automóvil que viaja a 45 mph. Redondee a la décima más cercana. 45 mph

30 mph

60 pies

x pies

47. Física La distancia (s ) que una pelota rueda hacia abajo de un plano inclinado es directamente proporcional al cuadrado del tiempo (t). Si la pelota rueda 5 pies en 1 segundo, ¿cuánto rodará en 4 segundos? 48. Física La presión (p) de un líquido varía de manera conjunta respecto a la profundidad (d) y a la densidad (D) del mismo. Si la presión es de 37.5 lb/pulg2 cuando la profundidad es de 100 pulgadas y la densidad es de 1.2 lb/pulg2, calcule a qué presión la densidad permanecerá igual y la profundidad será de 60 pulgadas. 49. Química A temperatura constante, la presión (P) del gas varía inversamente respecto al volumen (V). Si la presión es de 25 lb/pulg2 cuando el volumen es de 400 pies3, calcule la presión cuando el volumen es de 150 pies3. 50. Electricidad La corriente (I) en un cable varía directamente respecto al voltaje (v) e inversamente respecto a la resistencia (r). Si la corriente es de 27.5 amperes cuando el voltaje es de 110 volts y la resistencia es de 4 ohms, calcule la corriente cuando el voltaje es de 195 volts y la resistencia de 12 ohms. † 51. Ingeniería mecánica La velocidad (v) de un engrane varía inversamente respecto al número de dientes (t). Si un engrane que tiene 48 dientes realiza 20 revoluciones por minuto, ¿cuántas revoluciones por minuto realizará un engrane de 30 dientes? 52. Física La intensidad (I) de una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) desde dicha fuente. Si la intensidad es de 8 lúmenes a una distancia de 6 m, ¿cuál es la intensidad a una distancia de 4 m? 53. Magnetismo La fuerza de repulsión (f) entre los polos positivos de dos imanes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) que los separa. Si la fuerza de repulsión es de 18 libras cuando la distancia es de 3 pulgadas, calcule la fuerza de repulsión cuando la distancia es 1.2 pulgadas.

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SECCIÓN 6.5

Razones y proporciones

367

54. Música La frecuencia de vibración (f) de una cuerda de guitarra varía directamente respecto a la raíz cuadrada de la tensión (T) e inversamente respecto a la longitud (L) de la cuerda. Si la frecuencia es de 40 vibraciones por segundo cuando la tensión es de 25 libras y la longitud de la cuerda es de 3 pies, calcule la frecuencia cuando la tensión es de 36 libras y la cuerda tiene 4 pies de longitud. 55. Electricidad La resistencia (R) de un cable varía directamente respecto a su longitud (L) e inversamente respecto al cuadrado de su diámetro (d). Si la resistencia es de 9 ohms en un cable de 50 pies con un diámetro de 0.05 pulgadas, calcule la resistencia en un cable similar de 50 pies de largo con un diámetro de 0.02 pulgadas. 56. Electricidad La energía (P) de un circuito eléctrico es directamente proporcional al producto de la corriente (I) por el cuadrado de la resistencia (R). Si al haber una corriente de 4 amps y una resistencia de 5 ohms la energía es de 100 watts, calcule la energía cuando la corriente es de 2 amps y la resistencia de 10 ohms. † 57. Veleo La fuerza del viento (w) sobre una superficie vertical varía de manera conjunta respecto al área (A) de dicha superficie y al cuadrado de la velocidad del viento (v). Cuando el viento sopla a 30 mph, la fuerza sobre un área de 10 pies2 es de 45 libras. Calcule la fuerza sobre esta área cuando el viento sopla a 60 mph.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 58. En la ecuación de proporción directa y = kx, ¿qué efecto tiene sobre y duplicar x? k 59. En la ecuación de proporción inversa y 5 , ¿qué efecto tiene sobre x duplicar y? x

Complete cada enunciado utilizando las palabras directamente o inversamente. 60. Si a varía ________ respecto a b y c, entonces abc es constante. 61. Si a varía directamente respecto a b, e inversamente respecto a c, entonces c varía ________ respecto a b, y ________ respecto a a. 62. Si el área de un rectángulo se mantiene constante, la base del rectángulo varía ________ respecto a la altura. 63. Si la altura de un rectángulo se mantiene constante, el área del rectángulo varía ________ respecto a la base.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 64. Experimentos de Galileo Se atribuye a Galileo Galilei (1564-1642) haber dejado caer varias esferas desde la torre de Pisa para demostrar que esferas de distintos pesos llegan al piso al mismo tiempo. Sin embargo, no existe registro de que Galileo lo hiciera en realidad. No obstante, él demostró que esferas con diferentes pesos, deslizándose por un plano ligeramente inclinado con una muesca marcada desde el centro, recorrerían todo lo largo del plano en el mismo tiempo. A partir de este experimento, Galileo concluyó que al dejar caer esferas de diferentes pesos desde la misma altura, llegarían al piso al mismo tiempo. La siguiente tabla proporciona datos, recabados utilizando técnicas más modernas, de un experimento semejante al realizado por Galileo.

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368

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Distancia (cm)

Tiempo (s)

Distancia (cm)

Tiempo (s)

50

1.12

300

2.74

100

1.58

350

2.96

150

1.94

400

3.16

200

2.24

450

3.35

250

2.50

500

3.54

a. Calcule la razón de dos distancias cualesquiera y la razón de los cuadrados de los tiempos para dichas distancias. Haga esto para cinco pares y tiempos distintos. ¿Cómo se relacionan las razones? b. A partir de sus experimentos, Galileo concluyó que la razón de las distancias recorridas por una esfera igualaban la razón de los cuadrados de los tiempos durante los que la esfera se deslizaba por la rampa. Sean (d1, t1) y (d2, t2) dos pares cualesquiera de la tabla. Escriba como una proporción la conclusión de Galileo. c. A partir del resultado del inciso b, Galileo concluyó que la distancia que un objeto cae varía directamente respecto al cuadrado del tiempo que dura esa caída. Escriba este resultado como una ecuación.

6.6 OBJETIVO

Ecuaciones literales Resolver ecuaciones literales Una ecuación literal es aquella que contiene más de una variable. A la derecha se muestran ejemplos de ecuaciones literales.

3x 2 2y 5 4 v2 5 v20 1 2as

Las fórmulas se utilizan para expresar relaciones entre cantidades físicas. Una fórmula es una ecuación literal que establece una regla acerca de las mediciones. A continuación se encuentran ejemplos de fórmulas. s 5 vt 2 16t2 c2 5 a2 1 b2 A 5 P 11 1 r2 t

(física) (geometría) (negocios)

Las propiedades de adición y multiplicación de las ecuaciones se pueden emplear para encontrar una de las variables de la ecuación literal. El objetivo es reescribir la ecuación de tal modo que la variable que se pretende encontrar quede sola en un lado de la ecuación, y todos los demás números y variables en el otro lado.

Concéntrese en resolver para una de las variables de una ecuación literal Resuelva para F, C 5

5 1F 2 322 . 9

Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

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5 1F 2 322 9 5 160 C5 F2 9 9

C5

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SECCIÓN 6.6

Multiplique por 9 ambos lados de la ecuación.

9C 5 5F 2 160

Sume 160 a ambos lados de la ecuación.

9C 1 160 5 5F

Divida entre el coeficiente 5 ambos lados de la ecuación.

9C 1 160 5F 5

EJEMPLO 1 Solución

A. Resuelva para P, A 5 P 1 Prt. A.

C5

Solución

B. Resuelva para C,

S 5 R. S2C

A 5 P 1 Prt

A 5 11 1 rt2 P 11 1 rt2 P A 5 1 1 rt 1 1 rt A 5P 1 1 rt S B. 5R S2C S 1S 2 C2 5 1S 2 C2 R S2C S 5 SR 2 CR CR 1 S 5 SR CR 5 SR 2 S

Problema 1

369

Ecuaciones literales

A. Resuelva para R,

SR 2 S R

1 1 1 1 5 . R1 R2 R

• Factorice P de P 1 Prt. • Divida entre 1 1 rt ambos lados de la ecuación.

• Multiplique por S 2 C ambos lados de la ecuación. • Sume CR a ambos lados de la ecuación. • Reste S a ambos lados de la ecuación. • Divida entre R ambos lados de la ecuación.

B. Resuelva para r, t 5

r . r11

Revise la página S22.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 370.

6.6

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una ecuación literal?

2. ¿Las ecuaciones literales

1 1 1 1 5 y A 1 B 5 C son equivalentes? A B C

3. ¿Cómo resolvería para a en a(b + 1) = b? 4. ¿Cuál es el primer paso para resolver para N en M = NP + N?

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370

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

Resolver ecuaciones literales (Revise las páginas 368-369.) PREPÁRESE 5. Resuelva para C, P 5 P5 1

?

2P 5 1

?

R2C n

R2C n 2a

R2C b n

? nP 5 nP 2 R 5 2C ? 5C

?

• Multiplique por

ambos lados de la ecuación.

• Simplifique. • Reste

?

a ambos lados de la ecuación.

• Multiplique por 21 ambos lados.

R2C . El primer paso n es ___?___ ambos lados de la ecuación por ___?___. El segundo paso es ___?___ ambos lados de la ecuación por ___?___. El resultado es n = ___?___.

6. Sólo son necesarios dos pasos para resolver para n, P 5

Resuelva la fórmula para la variable dada. † 7. P 5 2L 1 2W; W

9. S 5 C 2 rC; C

(geometría)

(negocios)

11. PV 5 nRT; R (química)

13. F 5

Gm1m2 ; m2 r2

15. I 5

E ; R (física) R1r

17. A 5

1 h 1b1 1 b22 ; b2 2

19.

1 1 1 5 1 ; R2 R R1 R2

(física)

07_Cap_06_AUFMANN_2a-Parte.indd 370

9 C 1 32; C 5

10. A 5 P 1 Prt; t

12. A 5

14.

(conversión de temperatura)

(negocios)

1 bh; h (geometría) 2

P1V1 PV 5 2 2 ; P2 T1 T2

16. S 5 V0 t 2 16t2; V0

(geometría)

(física)

21. an 5 a1 1 1n 2 12 d; d

8. F 5

(matemáticas)

(química)

(física)

1 18. V 5 pr2h; h (geometría) 3

20.

1 1 1 5 1 ; b (física) f a b

22. P 5

R2C ; n (negocios) n

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SECCIÓN 6.6

23. S 5 2WH 1 2WL 1 2LH; H

(geometría)

Ecuaciones literales

24. S 5 2pr2 1 2prH; H

371

(geometría)

Resuelva para x. 25. ax 1 by 1 c 5 0

26. x 5 ax 1 b

27. ax 1 b 5 cx 1 d

28. y 2 y1 5 m 1x 2 x12

29.

b a 5 x c

30.

31.

1 1 1 1 5 a b x

32. a 1a 2 x2 5 b 1b 2 x2

33.

Al pedirle que resolviera para x, ax + b = cx, el resultado de un estudiante fue x 5 El resultado de otro estudiante fue x 5 2

34.

1 1 1 5b x a

b . ¿Sus respuestas son equivalentes? a2c

b . c2a

E E , el resultado de un estudiante fue r 5 2 R. R1r I E 2 IR . ¿Sus respuestas son equivalentes? El resultado de otro estudiante fue r 5 I Al pedirle que resolviera para r, I 5

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva para x. 2x x 5 35. x1y 4y

36.

2x x 5 x 2 2y 2y

37.

x2y x 2 3y 5 2x 5y

38.

x2y 2x 5 x 9y

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 39. Créditos automotrices La aplicación de Excel le brinda muchas fórmulas distintas. Una fórmula que le puede resultar útil es PMT (abreviatura de “payment”, pago en inglés). Esta fórmula le proporcionará, por ejemplo, el pago mensual de un crédito para la compra de un automóvil. Abra Excel y siga los pasos a continuación. Paso 1 Introduzca en la celda A1 la tasa de interés mensual. Por ejemplo, si la tasa de interés anual es de 8%, teclee = 0.08/12. El símbolo de igual le indica a Excel que calcule el resultado. La tasa de interés se introduce como decimal. Paso 2 En A2 teclee el número de meses de duración del crédito. Por ejemplo, si es por 5 años, introduzca 60 meses. También puede teclear =12*5. Paso 3 En A3 teclee el monto del crédito. Por ejemplo, si el monto es $10,000, introduzca 10000. No utilice el símbolo de moneda ni comas. Paso 4 En A4 teclee =PMT (A1, A2, A3) y presione INTRO (ENTER). Aparecerá el monto del pago. Suponga que puede obtener un crédito automotriz a 5 años, con una tasa de interés anual de 8%. Si no desea que su pago por este concepto sea superior a $250 al mes, ¿hasta qué monto puede solicitar su crédito a la centena más cercana?

07_Cap_06_AUFMANN_2a-Parte.indd 371

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SECCIÓN 1.1

372

Introducción a los números reales

CAPÍTULO 6 Resumen Términos clave

Objetivo y página de referencia

Ejemplos x 2 1 2x 1 1 es una expresión racional. x23

Una fracción en la que el numerador y el denominador son polinomios se denomina expresión racional.

[6.1.1, p. 324]

Una expresión racional está en su forma más simple cuando el numerador y el denominador no tienen más factores comunes que el 1.

[6.1.2, p. 325]

El recíproco de una expresión racional es la expresión racional con el numerador y el denominador intercambiados.

[6.2.1, p. 332]

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más polinomios es el polinomio más simple que contiene los factores de cada polinomio.

[6.2.2, p. 334]

Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contienen una o más fracciones.

[6.3.1, p. 342]

1 1 1 x y es una fracción compleja. 1 x

Una razón tipo I es el cociente de dos cantidades que tienen la misma unidad. Cuando una razón está en su forma más simple, no se escriben las unidades.

[6.5.1, p. 358]

$35 $100

Una razón tipo II es el cociente de dos cantidades que tienen distintas unidades.

[6.5.1, p. 358]

65 mi 2 gal

Una proporción es una ecuación que establece la igualdad de dos razones o relaciones.

[6.5.1, p. 358]

75 3

Una proporción directa es una función especial que se puede expresar como la ecuación y = kxn, donde t es una constante llamada constante de variación o constante de proporcionalidad.

[6.5.2, p. 359]

C = pd es una fórmula que correlaciona la circunferencia y el diámetro de un círculo. p es la constante de proporcionalidad

Una proporción inversa es una función que k se puede expresar como la ecuación y 5 n , x donde k es una constante.

[6.5.2, p. 361]

I5

Una proporción combinada es una variación en la que se presentan dos o más tipos de proporción al mismo tiempo.

[6.5.2, p. 362]

V 5 P es una fórmula que establece que el volumen de un gas es directamente proporcional a la temperatura e inversamente proporcional a la presión.

Una proporción conjunta es una variación en la que una variable cambia directamente en relación con el producto de dos o más variables. Una proporción conjunta se puede expresar como la ecuación z = kxy, donde k es una constante.

[6.5.2, p. 362]

C = kAT es una fórmula para el costo del aislamiento, donde A es el área por aislar y T el espesor del aislamiento.

Una fórmula es una ecuación literal que establece una regla sobre mediciones.

[6.6.1, p. 368]

P = 2L + 2W es la fórmula del perímetro de un rectángulo.

07_Cap_06_AUFMANN_2a-Parte.indd 372

1x 1 12 1x 1 22 x12 x 2 1 3x 1 2 5 5 1x 1 12 2 1x 1 12 1x 1 12 x11 El recíproco de

a2 2 b2 x2y es 2 . x2y a 2 b2

4x 2 2 12x 5 4x 1x 2 32 3x 3 2 21x 2 1 36x 5 3x 1x 2 32 1x 2 42 mcm 5 12x 1x 2 32 1x 2 42

escrito como una razón en su forma 7

más simple es 20 . es una razón.

x 5 42 es una proporción.

k proporciona la intensidad de una d2

fuente de luz a una distancia d de la fuente. kT

12/10/12 08:38 p.m.

373

SECCIÓN 6.4CAPÍTULO Ecuaciones 6 racionales Resumen

Reglas y procedimientos esenciales Regla para multiplicar fracciones a#c ac 5 b d bd

Objetivo y página de referencia [6.2.1, p. 331]

Ejemplos x 2 1 2x 2 8 # 3x 2 12 x 2 2 2x x 2 2 16 1x 1 42 1x 2 22 # 3 1x 2 42 5 1 2 1 xx22 x 1 42 1x 2 42 1x 1 42 1x 2 22 # 3 1x 2 42 5 x 1x 2 22 1x 1 42 1x 2 42 5

Regla para dividir fracciones a c a d 4 5 # b d b c

[6.2.1, p. 332]

3 x

3x 3 3x # x 1 4 4 5 x25 x14 x25 3 1 2 x 1x 1 42 3x x 1 4 5 5 3 1x 2 52 x25 5

Regla para sumar fracciones con el mismo denominador

[6.2.2, pp. 333–334]

b a1b a 1 5 c c c

x 2 1 4x x25

12x 2 72 1 1x 1 22 x12 2x 2 7 1 2 5 x2 1 4 x 14 x2 1 4 3x 2 5 5 2 x 14 15x 2 62 2 12x 1 42 5x 2 6 2x 1 4 2 5 x12 x12 x12 3x 2 10 5 x12

Regla para restar fracciones con el mismo denominador a b a2b 2 5 c c c

[6.2.2, pp. 333–334]

Ecuación para problemas de trabajo Tasa de trabajo * Tiempo de trabajo = Parte terminada de la tarea

[6.4.2, p. 348]

Un constructor necesita 24 horas para colocar un tejado. Un aprendiz puede hacerlo en 36 horas. ¿Cuánto tiempo les tomaría colocarlo si trabajaran los dos al mismo tiempo? La ecuación que se utiliza para resolver este problema es t t 1 51 24 36 donde t es el tiempo que les toma terminar de colocar el tejado.

Ecuación para problemas de movimiento uniforme

[6.4.3, p. 350]

Un motociclista viaja 195 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma a un automóvil recorrer 159 millas. La velocidad del motociclista es 12 mph superior a la del automóvil. Calcule la tasa de velocidad del automóvil. La ecuación que se utiliza para resolver este problema es 195 159 5 r 1 12 r

Distancia 5 Velocidad 3 Tiempo o Distancia 5 Tiempo Velocidad

donde r es la tasa de velocidad del automóvil.

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374

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

SECCIÓN 2.1

Ecuaciones de una variable

374

CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso 1. Dada P 1x2 5

x , encuentre P 142 . x23

2. Dada P 1x2 5

x2 2 2 , encuentre P 1222 . 3x 2 2x 1 5 2

3. Encuentre el dominio de g 1x2 5

2x . x23

4. Encuentre el dominio de f 1x2 5

5. Encuentre el dominio de F 1x2 5

x2 2 x . 3x 2 1 4

6. Simplifique:

6a5 1 4a4 2 2a3 2a3

8. Simplifique:

x 3 2 27 x2 2 9

2x 2 7 . 3x 2 1 3x 2 18

7. Simplifique:

16 2 x 2 x 3 2 2x 2 2 8x

9. Multiplique:

a6b4 1 a4b6 # a2 2 b2 a5b4 2 a4b4 a4 2 b4

10. Multiplique:

16 2 x 2 # x 2 1 5x 1 6 6x 2 6 x 2 2 8x 1 16

12. Divida:

x 2 2 5x 1 4 x 2 2 4x 1 3 4 2 2 x 2 2x 2 8 x 1 8x 1 12

27x 3 2 8 9x 2 2 12x 1 4 4 2 9x 1 6x 1 4x 9x 2 2 4

14. Divida:

32x x2 2 9 4 3 x 1 3x 1 9 x 2 27

7 5 2 3 1 3a b 8ab4

16. Reste:

3x 2 1 2 9x 2 x 2 2 x2 2 4 x2 2 4

11. Multiplique:

13. Divida:

15. Sume:

3

17. Simplifique:

8 5 4 1 2 9x 2 4 3x 2 2 3x 1 2 2

2x 2 5 x 242 19. Simplifique: x23 x12 3 x24 21. Simplifique: x 31 x24

3 2 x3 2 8 # x 1 2x x 3 1 2x 2 1 4x x 2 2 4

2

18. Simplifique:

6x 2 3x 2 1 3x 2 7x 1 2 3x 2 1 x22 2

6 x21 20. Simplifique: 12 x132 x21 x261

x1

22. Resuelva:

5x 3 145 2x 2 3 2x 2 3

6 1 51 2 5 2 x23 x13 x 29

23. Resuelva:

2x 1 5 x 5 x23 x11

24. Resuelva:

25. Resuelva:

30 10 4 1 5 x 1 5x 1 4 x14 x11

26. Resuelva: I 5

2

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1 V para R. R

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375

CAPÍTULO 2

27. Resuelva Q 5

375

6 racionales Examen Ecuaciones y desigualdades de primer grado SECCIÓN 6.4 CAPÍTULO Ecuaciones

N2S para N. N

28. Resuelva S 5

a para r. 12r

29. Rendimiento de combustible Un automóvil utiliza cuatro tanques de combustible para viajar 1800 millas. Con esta relación, ¿cuántos tanques de combustible necesitaría para un viaje de 3000 millas? 30. Cartografía En un mapa, 2.5 pulgadas representan 10 millas. ¿Cuántas millas representarían 12 pulgadas? 31. Problema de trabajo Un electricista necesita 65 minutos para instalar un ventilador de techo. Al electricista y su aprendiz, trabajando juntos, les toma 40 minutos instalarlo. ¿Cuánto tiempo le llevaría al aprendiz instalar el ventilador de techo trabajando solo? 32. Problema de trabajo El ducto de entrada puede llenar una bañera en 24 minutos. El ducto de desagüe puede vaciarla en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo llevaría vaciar la tina llena con ambos ductos abiertos? 33. Problema de trabajo Tres estudiantes pueden pintar su dormitorio en 8, 16 y 16 horas, respectivamente, ¿cuánto tiempo les llevaría la tarea si trabajaran los tres juntos? 34. Movimiento uniforme Un remero puede viajar a 10 mph en aguas tranquilas. La cantidad de tiempo que le lleva viajar 60 millas corriente abajo es igual al tiempo que le lleva recorrer 40 millas contra la corriente. Calcule la velocidad de la corriente. 35. Movimiento uniforme Un autobús y un ciclista salen de la escuela a las 8 A.M., en dirección a un estadio que está a 90 millas de distancia. La tasa de velocidad del autobús es tres veces la tasa de velocidad del ciclista, el cual llega 4 horas después que el autobús. Calcule la tasa de velocidad del autobús. 36. Movimiento uniforme Un tractor recorre 10 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma a un automóvil viajar 15 millas. La tasa de velocidad del tractor es 15 mph menor a la del automóvil. Calcule la tasa de velocidad del tractor.

90 mi 3r

90 mi r

37. Física La presión (p) del viento sobre una superficie plana varía de manera conjunta respecto al área (A) de la superficie y al cuadrado de la velocidad del viento (v). Si cuando la velocidad del viento es de 10 mph, la presión sobre 22 pies2 de superficie es de 10 libras, calcule la presión que se ejerce sobre la misma superficie cuando la velocidad del viento es de 20 mph. 38. Luz La iluminación (I) producida por una fuente de luz varía de forma inversa respecto al cuadrado de la distancia (d) hasta la luz. Si la iluminación producida a 10 pies de una luz es de 12 lúmenes, calcule la iluminación a 2 pies de la luz. 39. Electricidad La resistencia eléctrica (r) de un cable varía directamente respecto a su longitud (l) e inversamente respecto al cuadrado de su diámetro (d). Si un cable de 16,000 pies 1 de largo y 4 de pulgada de diámetro tiene una resistencia de 3.2 ohms, ¿cuál es la resisten1 cia de un cable que tiene 8000 pies de largo y 2 pulgada de diámetro?

CAPÍTULO 6 Examen 1. Simplifique:

v3 2 4v 2v2 2 5v 1 2

2. Simplifique:

2a2 2 8a 1 8 4 1 4a 2 3a2

3. Multiplique:

3x 2 2 12 # 2x 2 2 18 5x 2 15 x 2 1 5x 1 6

4. Dada P 1x2 5

3 2 x2 , encuentre P 1212 . x 2 2x 2 1 4

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3

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376 5. Divida:

CAPÍTULO 6

Expresiones racionales

2x 2 2 x 2 3 3x 2 2 x 2 4 4 2x 2 2 5x 1 3 x2 2 1

7. Simplifique:

3 5 2 2 1 2 2 x y 2xy

9. Encuentre el dominio de f 1x2 5

3x 2 2 x 1 1 . x2 2 9

1 12 2 2 x x 11. Simplifique: 6 9 11 1 2 x x 12

13. Resuelva:

2 3 5 x11 x

6. Multiplique:

x2 2 x 2 2 # x2 2 x x2 1 x x2 2 4

8. Simplifique:

3x 4 231 x22 x12

10. Reste:

x12 2x 2 2 x 1 3x 2 4 x 21 2

1 x12 12. Simplifique: 3 12 x14 12

14. Resuelva:

4x 1 522 2x 2 1 2x 2 1

15. Resuelva para x, ax 5 bx 1 c. 16. Problema de trabajo El ducto de entrada puede llenar un tanque de agua en 48 minutos. El ducto de salida puede vaciarlo en 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tomaría vaciar un tanque lleno con ambos ductos abiertos?

Bonnie Kamin/PhotoEdit, Inc.

17. Tapizado de muros Un diseñador de interiores utiliza dos rollos de papel tapiz para cada 45 pies2 de muro en una oficina. Con esta relación, ¿cuántos rollos de papel tapiz necesita para una oficina que tiene 315 pies2 de pared? 18. Problema de trabajo Un jardinero puede rastrillar el suelo de un prado en 30 minutos, mientras que a otro le toma 15 minutos hacer el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo tomaría rastrillar el suelo del prado si ambos jardineros trabajan juntos? 19. Movimiento uniforme Un ciclista recorre 20 millas en la misma cantidad de tiempo que un excursionista necesita para caminar 6 millas. La tasa de velocidad del ciclista es 7 mph mayor que la del excursionista. Calcule la tasa de velocidad del ciclista. 20. Física La distancia (s) que requiere un automóvil para detenerse varía directamente respecto al cuadrado de su velocidad (v). Un automóvil que viaja a 50 mph necesita 170 pies para detenerse. Calcule la distancia que requiere para detenerse un automóvil que viaja a 30 mph.

Ejercicios de revisión acumulativos 2x 2 3 x x24 2 5 6 9 3

1. Simplifique: 8 2 4 3 23 2 1222 4 2 4 5

2. Resuelva:

3. Resuelva: 5 2 0 x 2 4 0 5 2

4. Encuentre el dominio de f 1x2 5

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x . x23

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377

SECCIÓN 6.4 racionales SECCIÓN 2.1 Ecuaciones deacumulativos una variable Ejercicios deEcuaciones repaso

5. Dada P 1x2 5

x21 , encuentre P 1222 . 2x 2 3

8. Resuelva: 19x 2 12 1x 2 42 5 0

x 51 x11

7. Resuelva:

9. Simplifique:

6. Escriba 0.000000035 en notación científica.

12a22b32 14a2 21

10. Resuelva: x 2 3 11 2 2x2 $ 1 2 4 12 2 2x2

11. Multiplique: 12a2 2 3a 1 12 122a22

12. Factorice: 2x 2 1 3x 2 2

13. Factorice: x 3y 3 2 27

14. Simplifique:

15. Encuentre la ecuación de la recta que contiene al punto P 122, 212 y es paralela a la gráfica de 3x 2 2y 5 6.

17. Grafique 23x 1 5y 5 215 utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y.

19. Divida:

4x 3 1 2x 2 2 10x 1 1 x22

21. Encuentre el dominio de f 1x2 5

23. Evalúe el determinante: `

25. Resuelva

6 5 ` 2 23

x1y1z53 22x 1 y 1 3z 5 2 2x 2 4y 1 z 5 21

27. Resuelva:

2 5 5 x23 2x 2 3

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16. Simplifique: 1x 2 x 212 21

18. Grafique el conjunto solución:

20. Divida:

x 2 1 6x 1 7 . 3x 2 1 5

x 4 1 x 3y 2 6x 2y 2 x 3 2 2x 2y

22. Reste:

x1y#3 22x 1 y . 4

4x 2 2 xy 2 3y 2 16x 2 2 9y 2 4 16x 2y 2 12xy 2 12x 2y 2

5x 2x 2 2 3x 2 x 2 2 x 21 2

5 x12 24. Simplifique: 1 x122 x12 x241

26. Dadas f 1x2 5 x 2 2 3x 1 3 y f 1c2 5 1, encuentre c.

28. Resuelva:

3 2 5 5 2 x 2 36 x26 x16 2

12/10/12 08:38 p.m.

378

CAPÍTULO 4 2 6

Sistemas deyracionales Ecuaciones ecuaciones desigualdades y desigualdades de primer grado Expresiones

E . R1r

29. Multiplique: 1a 1 52 1a3 2 3a 1 42

30. Resuelva para r, I 5

31. ¿Son perpendiculares las gráficas 4x 1 3y 5 12 y 3x 1 4y 5 16?

32. Grafique: f(x) 5 1 − x 1 x3

33. Mezcla de alimentos ¿Cuántas libras de almendra, que cuesta $5.40 la libra, se deben mezclar con 50 libras de cacahuate, que cuesta $2.60 la libra, para elaborar una mezcla que cueste $4.00 la libra? 34. Elecciones Una encuesta preelectoral mostró que en las elecciones votarán tres de cada cinco electores. Con esta relación, ¿cuántas personas cabría esperar que voten en una ciudad con 125,000 electores? 35. Problema de trabajo Una nueva computadora puede trabajar seis veces más rápido que una computadora antigua. En conjunto, las computadoras pueden completar un trabajo en 2 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomaría a la nueva computadora completar el trabajo si opera sola? 36. Movimiento uniforme Un avión puede volar a una velocidad de 300 mph sin viento. Volando con el viento a favor, el avión voló 900 millas en la misma cantidad de tiempo que le toma volar 600 millas con el viento en contra. Calcule la velocidad del viento. 37. Música La frecuencia de vibración (f) de un órgano de tubo abierto varía de forma inversa respecto a la longitud (L) del tubo. Si el aire en un tubo de 2 metros vibra 60 veces por minuto, calcule la frecuencia en un tubo con 1.5 metros de largo.

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900 mi 300 + r 600 mi 300 − r

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7

CAPÍTULO

Exponentes racionales y radicales Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Se siente nervioso antes de presentar un examen de matemáticas? Cuanto más preparado se encuentre, menos nervioso se sentirá. En este libro se incluyen varias opciones que le ayudarán a prepararse. Le sugerimos comenzar con el Resumen. Éste describe los temas importantes que se abarcan en el capítulo. Las referencias que aparecen luego de cada tema muestran el objetivo y la página del libro en el que puede encontrar más información sobre el concepto. Responda los Ejercicios de repaso del capítulo para probar su comprensión del material expuesto. Si tiene problemas con alguna de las preguntas, estudie de nuevo los objetivos y preguntas correspondientes, e intente resolver otra vez algunos de los ejercicios correspondientes a esos objetivos. Responda el Examen del capítulo en un lugar tranquilo, trabajando como si se tratara de un examen real. (Revise Aprobar el examen, página A-11.)

OBJETIVOS 7.1

7.2

7.3 7.4 7.5

1 Simplificar expresiones con

exponentes racionales 2 Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 3 Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 1 Simplificar expresiones radicales 2 Sumar y restar expresiones radicales 3 Multiplicar expresiones radicales 4 Dividir expresiones radicales 1 Encontrar el dominio de una función radical 2 Graficar una función radical 1 Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 2 Problemas de aplicación 1 Simplificar números complejos 2 Sumar y restar números complejos 3 Multiplicar números complejos 4 Dividir números complejos

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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Resuelva: 48 5 ? # 3 Simplifique: 2. 25 3 3. 6a b 2 4.

2 1 1 2 1 2 3 4

5. 13 2 7x2 2 14 2 2x2 6.

3x5y6 12x4y

7. 13x 2 22 2 Multiplique: 8. 12 1 4x2 15 2 3x2 9. 16x 2 12 16x 1 12 10. Resuelva: x2 2 14x 2 5 5 10

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380

CAPÍTULO 7

7.1 OBJETIVO Punto de interés Nicolás Chuquet (hacia 1475), médico francés, escribió un libro de álgebra en el que utilizaba una notación específica para las expresiones con exponentes fraccionarios. Escribía R26 para representar 1 1 2 6 y R315 para representar 15 3. Esta fue una notable mejora en comparación con las notaciones que le precedieron, las cuales utilizaban palabras para este tipo de expresiones.

Exponentes racionales y radicales

Exponentes racionales y expresiones radicales Simplificar expresiones con exponentes racionales En esta sección, la definición de los exponentes rebasa el umbral de los números enteros hasta el punto en el que cualquier número racional se puede utilizar como exponente. La definición se expresa de tal modo que las reglas de los exponentes siguen siendo verdaderas para los exponentes racionales. 1

Considere la expresión 1an2 n para a . 0 y n como entero positivo. Ahora simplifique, asumiendo que la regla de simplificación de potencias de una expresión con exponentes es verdadera. 1

1#

1an2 n 5 an n 5 a1 5 a 1

1

Puesto que 1an2 n 5 a, el número an es el número cuya n-ésima potencia es a. 1

DEFINICIÓN DE a n 1

Si n es un entero positivo, entonces an es el número cuya n-ésima potencia es a. EJEMPLO 1

1. 92 5 3 porque 32 5 9. 1 2. 643 5 4 porque 43 5 64. 1 3. 12322 5 5 22 porque 1222 5 5 232.

1

Tome nota

Suponga que 1292 2 5 x. Entonces, por la definición de 1 an , x2 5 29. Sin embargo, el cuadrado de todo número real no puede ser negativo. Por tanto, 1 1292 2 no es un número real. 1

Si a es un número negativo y n un número entero par, entonces an no es un número real. Por 1 ejemplo, 1292 2 no es un número real. Esta clase de números la analizaremos más adelante en este capítulo. Como se muestra a la izquierda, cuando la base de la expresión con exponentes es un número negativo, las expresiones con exponentes racionales no siempre representan números reales. Por tal motivo, todas las variables empleadas en este capítulo representan números positivos, a menos que se mencione lo contrario. 1

Utilizando la definición de an y las reglas de los exponentes, es posible definir cualquier expresión con exponentes con exponente racional. m

DEFINICIÓN DE a n

1

Si m y n son enteros positivos y an es un número real, entonces a n 5 1an2 m m

EJEMPLO 1 Solución

1

2

Simplifique: A. 273

A. 273 5 1332 3 2

2

2 31 3 2

53

5 32 59

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2

B. 3225

• Reescriba 27 como 33. • Utilice la regla para simplificar potencias de expresiones con exponentes. • Simplifique.

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SECCIÓN 7.1

B. 3225 5 1252 25 5 222 2

Tome nota

2

• Reescriba 32 como 25. • Utilice la regla para simplificar potencias de expresiones con exponentes.

2

Observe que 3225 5 41 , un número positivo. Un exponente negativo no afecta el signo de un número.

1 22 1 5 4 5

Problema 1 Solución

381

Exponentes racionales y expresiones radicales

Simplifique:

• Utilice la definición de exponente negativo. • Simplifique. 3

2

B. 1624

A. 643

Revise la página S23.

† Intente resolver el problema 21 de la página 385.

EJEMPLO 2 Solución

B. 1264x6y222 3

1 2 1 1 2 1 A. b2 # b3 # b24 5 b2 1 3 2 4 6 8 3 5 b12 1 12 2 12 11 5 b12 3 4

• Reescriba 264 como 12423.

3 4

5 1242 3 1 32 x6 1 32 y22 132 4

• Utilice la regla para simplificar potencias de expresiones con exponentes.

34

5 1242 4x8y22 5 C. a

• Simplifique.

256x8 y2

2

2

1 8 5 y utilice 64 8 la regla para dividir expresiones con exponentes.

8a3b24 3 a12 3 b 29 2 b 5 a 64a b 8b6

• Simplifique

2

a12 3 5 a 3 6b 2b a8 5 2 4 2b a8 5 4 4b 5

1

Problema 2 Solución

Simplifique:

A.

2

8a3b24 3 b 64a29b2

• Utilice la regla para multiplicar expresiones exponenciales.

B. 1264x6y222 3 5 3 1242 3x6y22 4 3 4

C. a

3 4

1 2 1 Simplifique. A. b2 # b3 # b24

x2y24 4 1

x23y3

• Reescriba 8 como 23. • Utilice la regla para simplificar potencias de cocientes.

B. 1x 4y 2z232 23 3

1

2

13x 4y242 4 3

4

C.

1

19x2y42 2 1

Revise la página S23.

† Intente resolver el problema 65 de la página 386.

OBJETIVO

Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 1

1

Recuerde que an es el número cuya n-ésima potencia es a. También podemos decir que an es la raíz n-ésima de a.

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CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

RAÍZ n-ÉSIMA DE a

Si a es un número real y n un entero positivo, entonces ! a 5 an. n

En la expresión ! a, el símbolo ! a es el radicando. n

EJEMPLOS

3 1. ! 7 5 73

1

se denomina radical, n es el índice de radical, y

5 2. ! x 5 x5

1

1

Cuando n 5 2, la expresión radical representa a una raíz cuadrada y no se acostumbra escribir el índice 2. Una expresión exponencial con un exponente racional se puede escribir como una expresión radical.

Tome nota c

c

m n

n m a 5" a

c

c

m

ESCRIBIR a n COMO UNA EXPRESIÓN RADICAL

Si an es un número real, entonces a n 5 ! am. m

1

EJEMPLOS

3 1. 153 5 " 152 3 5 3 3. " 2 5 25

5 4 2. x5 5 " x 5 6 5 4. " z 5 z6

2

EJEMPLO 3

4

Reescriba la expresión con exponentes como una expresión radical.

A. 13x2 3

2

Solución

n

2

B. 22x3

3 A. 13x2 3 5 " 13x2 2 3 5" 9x2 2

• El denominador del exponente racional es el índice del radical. El numerador es la potencia del radicando.

B. 22x3 5 22 1x22 3 3 2 5 22" x 2

Problema 3 Solución

1

• El 22 no se eleva a la potencia.

Reescriba como una expresión radical la expresión con exponentes. 3 5 A. 12x32 4 B. 25a6 Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 95 de la página 387.

EJEMPLO 4 Solución

Reescriba como una expresión con exponentes las expresiones radicales.

7 5 A. " x

3 3 B. " a 1 b3

7 5 x 5 1x52 7 5 x7 A. " 1

5

• El índice del radical es el denominador del exponente racional. La potencia del radicando es el numerador del exponente racional.

3 3 B. " a 1 b3 5 1a3 1 b32 3 1

Problema 4 Solución

• Observe que 1a3 1 b32 3 2 a 1 b. 1

Reescriba como una expresión radical la expresión con exponentes. 3 4 4 A. ! 3ab B. " x 1 y4 Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 109 de la página 387.

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SECCIÓN 7.1

OBJETIVO

383

Exponentes racionales y expresiones radicales

Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una es un número positivo y otra un número negativo. Por ejemplo, puesto que (5)2 y (25)2 5 25, existen dos raíces cuadradas de 25: 5 y 25. El símbolo ! se utiliza para indicar una raíz cuadrada principal o positiva. Para indicar la raíz cuadrada negativa de un número, se coloca frente al radical un signo negativo.

2!25 5 25

La raíz cuadrada de cero es cero.

!0 5 0

La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, porque el cuadrado de un número real debe ser positivo.

!225 no es un número real.

La raíz cuadrada de un número negativo elevado al cuadrado es un número positivo.

" 1252 2 5 !25 5 5

!25 5 5

Para todo número real a, "a2 5 0 a 0 y 2"a2 5 2 0 a 0 . Si a es un número real positivo, entonces "a2 5 a y 1 !a 2 2 5 a. La raíz cúbica de un número positivo es positiva.

3 8 5 2, porque 23 5 8. !

La raíz cúbica de un número negativo es negativa.

3 ! 28 5 22, porque 1222 3 5 28.

3 Para todo número real a, "a3 5 a.

Lo siguiente es válido para encontrar la raíz n-ésima de un número real. Si n es un entero par, entonces n "an 5 a.

n

an 5 0 a 0 y 2

n

an 5 2 0 a 0 . Si n es un entero impar, entonces

Por ejemplo, 6 6 " y 5 0y0

12

2"x12 5 2 0 x 0

5 5 " b 5b

En lo que resta de este capítulo, supondremos que las expresiones algebraicas incluidas en un radical representan números positivos. Por tanto, no es necesario utilizar las barras de valor absoluto.

Concéntrese

en simplificar la raíz de una potencia perfecta 4 4 8 A. Simplifique: " xy

El radicando es una cuarta potencia perfecta porque los exponentes de las variables son divisibles entre 4.

Tome nota Observe que cuando el índice es un número natural par, la raíz n-ésima necesita barras de valor absoluto. "y6 5 0 y 0 pero "y5 5 y 6

5

Puesto que ya establecimos que las variables incluidas dentro de los radicales representan números positivos, al escribir las respuestas omitiremos las barras de valor absoluto.

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1

4 4 8 Se escribe la expresión radical como una expresión con exponentes. " x y 5 1x4y82 4

Utilice la regla para simplificar potencias de productos.

5 xy2

3 B. Simplifique: " 125c9d 6

El radicando es un cubo perfecto, ya que 125 es un cubo perfecto (125 5 53) y todos los exponentes de las variables son divisibles entre 3. Escriba el radical como una expresión con exponentes. Utilice la regla para simplificar potencias de productos.

1

3 " 125c9d 6 5 153c9d 62 3

5 5c3d2

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384

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Observe que una expresión algebraica es una potencia perfecta si los exponentes de los factores son igualmente divisibles entre el índice del radical. En la tabla siguiente se muestran raíces de potencias perfectas. Es muy útil memorizar estas raíces para simplificar expresiones radicales.

Raíces cuadradas !1 5 1 !4 5 2 !9 5 3 !16 5 4 !25 5 5

Raíces cúbicas

!36 5 6 !49 5 7 !64 5 8 !81 5 9 !100 5 10

3 ! 151 3 ! 852 3 ! 27 5 3 3 ! 64 5 4 3 ! 125 5 5

Raíces cuartas 4 ! 151 ! 16 5 2 4 ! 81 5 3 4 ! 256 5 4 4 ! 625 5 5

Raíces quintas !1 5 1 ! 32 5 2 5 ! 243 5 3 5

4

5

Si un número no es una potencia perfecta, sólo es posible aproximar su raíz; ejemplos de esto 3 serían !5 y ! 3. Éstos son números irracionales. Sus representaciones decimales no son finitas ni se repiten. !5 5 2.2360679...

Concéntrese

3 ! 3 5 1.4422495...

en simplificar la raíz de una potencia perfecta Simplifique: " 2243x5y15 5

Tome nota

De la tabla: ! 243 5 3, lo que significa que 35 5 243. De aquí sabemos que (23)5 5 2243, lo que 5 significa que ! 2243 5 23. 5

Utilizando la tabla anterior, se observa que 243 es una quinta potencia perfecta y cada exponente es divisible entre 5. Por tanto, el radicando es una quinta potencia perfecta.

5 " 2243x5y15 5 23xy3

Cada exponente se divide entre 5.

EJEMPLO 5 Solución

Simplifique

A. "49x2

3 B. " 2125a6b9

A. "49x2 5 7x

3 B. " 2125a6b9 5 25a2b3 4 C. 2" 16a4b8 5 22ab2

Problema 5

Simplifique.

A. "121x10 Solución

3 B. " 28x12 y3

4 C. 2" 16a4b8

• El radicando es el cuadrado perfecto. El exponente se divide entre 2. • El radicando es un cubo perfecto. Cada exponente se divide entre 3. • El radicando es una cuarta potencia perfecta. Cada exponente se divide entre 4.

4 C. 2" 81x12 y8

Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 145 de la página 387.

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SECCIÓN 7.1

7.1

385

Exponentes racionales y expresiones radicales

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Encuentre el valor de a. 1

1

1. a3 5 4

1

2. a4 5 3

1

3. a5 5 22

4. a3 5 25

Determine si el número dado es racional o irracional. 5. !25

Simplifique. 9. !100

4 6. ! 16

3 7. ! 25

8. !32

3 10. ! 64

4 11. ! 81

5 12. ! 32

Simplificar expresiones con exponentes racionales (Revise las páginas 380-381.) PREPÁRESE 3

13. Simplifique: 6422 3 ? __22 232 6422 5 1_____ 5 8___?____ 1 ? ? 5 ________

5

(?)2 .

• Escriba 64 como

• Utilice la regla para simplificar potencias de expresiones con exponentes: multiplique los exponentes. • Utilice la definición de un exponente negativo: 1 a2n 5 n . a • Evalúe.

1 1 14. Simplifique: 1a3 # a22 2 1 1 1a3 # a22 2 5 1a___?____2 2

5 a___?____

15.

• Utilice la regla para multiplicar expresiones con exponentes: sume los exponentes. • Utilice la regla para simplificar potencias de expresiones con exponentes: multiplique los exponentes.

¿Cuál de las siguientes expresiones no es un número real? 1

1

(ii) 2522

(i) 2252

1

(iii) 22522

(iv) 12252 2 1

1

16.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 1622? 1 (i) 28 (ii) (iii) 24 (iv) 421 4 Simplifique. 1

3

1

18. 162

17. 83 3

19. 92 2

1

† 21. 2723

20. 252

22. 6423 25. a

3

2

23. 325

24. 164

3

25 22 b 49

2

8 23 26. a b 27 1

3

29. y24 y 4 1

32. x # x22

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1 5

1 1

27. x2x2

28. a3a3

2 4 30. x5 # x25

2 31. x23 # x4

3

1 1 33. a3 # a4 # a22

3

1 2 1 34. y26 # y3 # y2

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386

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

1

35.

36.

3

a2

b3

37.

4

b3 3

39.

1

x5

y24 1

y4 3

2

x25

38.

3

1

a2

y3

40.

5

y26

b4 3

b22

41. 1x22 22

42. 1a82 24

43. 1x23 2 6

44. 1 y 26 2 12

45. 1a22 2 22

46. 1b23 2 26

47. 1x28 2 25

48. 1 y22 2 29

49. 1x8y22 2

50. 1a3b92 3

51. 1x4y2z62 2

52. 1a8b4c42 4

3

1

1

5

3

2

3

4

2

2

1

3

2

3

53. 1x23y62 23

54. 1a2b262 22

56. 1a23 b32 2

57. 16x2y5 2 13x2y2 3 2

2 3

2

62.

1x2y52 2

124x y 2

63.

3

1 1

71. 116m n 2 74. a

5

3

y24

1

b

1mn 2 1 2

72.

24

78.

1x 2

1 2 4

2

23

1x232 3

1

3

1

73. a

x2y24

76. a

49c3

b

2 3

y

5

1 5

a24b6 1

1x y 2 2

1

1

26

b

3

22

79. a24 1a4 2 a42

1 9 6 6

81. y3 1y3 1 y232

80. x3 1x3 1 x232 2

b

1 4

212x22y5 1

1

1

4

1

220x2y2

70. 1x3y222 22 1x23y22 6 1 5

1

a22

4 3 1

67. 1

226b23

24x2y5 6x3y4

127m3n262 3 1m23n62 6

75. a

1x22y42 2

77.

64.

4

12x5y2

2

22 4 2 2

3

1 3

36x2y3

69. 1a3b22 6 1a3b32 3

5 5

28x22y3

1

4 3

5 3

218xy4

x2y24

61. 16x5y52 15xy42

4 3

24x2y5 66. 18xy2

12x3y4 18x2y2

68.

5

2

4 2 3 3

5 3

† 65.

58. 122xy2 125x4y2

3

3 2

3

3

1

60. 122x4y52 124x5y42

59. 124xy52 12x4y22 2

55. 1x22 y32 24

1

1

5

9

82. b25 1b25 2 b52

2

2

3

7

83. a6 1a6 2 a262 1

5

7

Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa (Revise las páginas 381-382.) PREPÁRESE

84. En la expresión radical !a, n se llama n

?

y a se llama

?

.

5 4 85. Para reescribir "a como una ecuación exponencial, encuentre el exponente para ? potencia del radicando la base a. El exponente racional es 5 , entonces índice ? ? 5 4 _______ "a 5 a . 1

86.

3 ¿Verdadero o falso? 8x3 5 2! x

87.

4 4 ¿Verdadero o falso? "x3 5 1 !x 2 3

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SECCIÓN 7.1

387

Exponentes racionales y expresiones radicales

Reescriba como expresión radical la expresión con exponentes. 1

3

1

89. 52

88. 34

90. a2 5

4

2

92. 12t2 2

91. b3 2

93. 13x2 3 3

96. 1a2b42 5

2

94. 22x3

† 95. 23a5 3

97. 1a3b72 2

1

99. 13x 2 22 3

3

98. 14x 1 32 4

2

100. x23

Reescriba como expresión con exponentes la expresión radical. 101. !14

102. !7

3 103. ! x

4 104. ! y

3 4 105. " x

4 3 106. " a

5 3 107. " b

4 5 108. " b

5 110. " 4y7

111. 2"3x5

3 † 109. "2x2 4 112. 2" 4x5

3 2 113. 3x" y

Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas (Revise las páginas 383–384.)

PREPÁRESE 114. 16x12y20 es una cuarta potencia perfecta, porque 16 5 ( y y20 5 ( ? )4.

?

)4, x12 5 (

?

)4

115. 32a10b15 es una quinta potencia perfecta, porque 32 5 ( y b15 5 ( ? )5.

?

)5, a10 5 (

?

)5

Determine si la expresión se simplifica en un número positivo, un número negativo o un número que no es un número real. 3 116. 2" 8x15

117. 2"9x8

118. "24x12

3 119. 2" 227x9

Simplifique. 120. "x16

121. "y14

122. 2"x8

123. 2"a6

124. "x2 y10

125. "a14b6

126. "25x6

127. "121y12

3 3 9 128. " xy

3 6 12 129. " ab

3 15 3 130. 2" x y

3 9 9 131. 2" ab

3 132. " 27a9

3 133. " 125b15

3 134. " 28x3

3 135. " 2a6b9

136. "16a4b12

137. "25x8y2

3 138. " 27x9

3 139. " 8a21b6

3 140. " 264x9y12

3 141. " 227a3b15

4 16 142. " x

4 12 143. " y

4 144. " 16x12

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4 † 145. "81a20

4 8 12 146. 2" xy

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388

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

4 16 4 147. 2" a b

5 20 10 148. " x y

5 5 25 149. " ab

4 150. " 81x4y20

4 151. " 16a8b20

5 152. " 32a5b10

5 153. " 232x15y20

5 154. " 243x10y40

155.

27b3 Å a9 3

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique. 156. " 14x 1 12 2

157. " 12x 1 32 2

158. "x2 1 4x 1 4

159. "x2 1 2x 1 1

3 6 160. "! y

3 161. " !x6

162. "!16x12

5 3 15 163. " !b

3 164. " !64x36y30

5 165. " !a10b20

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Una fracción continua es una fracción compleja de la forma: b0 a0 1 b1 a1 1 b2 a 1 2

a3 1 ...

donde la fracción compleja continúa de manera indefinida. Al detener el proceso indefinido en algún punto, podemos aproximar la raíz cuadrada de un número natural. 1 166. Demuestre que !2 < 1 1 1 21 21 1 1 21 2 1 167. Demuestre que !3 < 1 1 1 11 21 1 1 11 211

7.2 OBJETIVO

Operaciones con expresiones radicales Simplificar expresiones radicales Una expresión radical no está en su forma más simple si el radicando contiene un factor que es una potencia perfecta del índice. A continuación unos ejemplos. !32 no está en su forma más simple. 32 5 16 # 2, entonces 16 5 42 es un factor cuadrado perfecto de 32. 3 " 24 no está en su forma más simple. 24 5 8 # 3, entonces 8 5 23 es un factor cúbico perfecto de 24.

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SECCIÓN 7.2

389

Operaciones con expresiones radicales

5 " 160 no está en su forma más simple. 160 5 32 # 5, entonces 32 5 25 es un factor de quinta potencia perfecto de 160. 4 " 72 está en su forma más simple. No existe factor perfecto de cuarta potencia de 72.

La propiedad del producto de los radicales se utiliza para escribir de manera más simple una expresión radical.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE LOS RADICALES

Si ! a y ! b son números reales, entonces ! a # ! b 5 ! ab. n

Concéntrese

n

n

n

n

en simplificar una expresión radical A. Simplifique: !72 Escriba el radicando como el producto de un cuadrado perfecto y un factor que no contiene un cuadrado perfecto.

Tome nota Quizá podría pensar en iniciar con !72 5 !9 # 8. Pero aunque 9 es un cuadrado perfecto, 8 incluye a 4 como factor cuadrado perfecto. Así, usted podría reducir !72 a su forma más simple, pero necesitaría realizar más pasos. Comience por obtener el factor n-ésimo perfecto más grande del radicando.

!72 5 !36 # 2

Utilice la propiedad del producto de los radicales.

5 !36 # !2

Simplifique !36.

5 6!2

3

B. Simplifique: "72x4. Se escribe el radicando como el producto de un cubo perfecto y un factor que no contiene un cubo perfecto.

3 3 " 72x4 5 " 8x3 # 9x

Utilice la propiedad del producto de los radicales.

3 3 5" 8x3 # " 9x

3 Simplifique " 8x3.

3 5 2x! 9x

EJEMPLO 1 Solución

4 Simplifique: "32x6y9z 2 4 4 "32x6y9z 2 5 "16x4y8 # 2x2yz 2

4 4 5" 16x4y8 # " 2x2yz2 4 5 2xy2" 2x2yz 2

Problema 1 Solución

• Escriba el radicando como el producto de una cuarta potencia perfecta y un factor que no contiene una cuarta potencia perfecta. • Utilice la propiedad del producto de los radicales. • Simplifique.

5 Simplifique: " 128x7

Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 397.

OBJETIVO

Sumar y restar expresiones radicales La propiedad distributiva se utiliza para simplificar la suma o la diferencia de expresiones radicales que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Por ejemplo, 3 !5 1 8!5 5 13 1 82 !5 5 11!5 3 3 3 3 2! 3x 2 9! 3x 5 12 2 92 ! 3x 5 27! 3x

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390

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

No es posible utilizar la propiedad distributiva para simplificar las expresiones radicales que están en su forma más simple y tienen radicandos desiguales o índices distintos. Las siguientes expresiones no se pueden simplificar mediante el uso de la propiedad distributiva. 4 4 3! 2 2 6! 3 4 3 2! 4x 1 3! 4x

• Los radicandos son desiguales. • Los índices son diferentes.

Concéntrese en sumar o restar expresiones radicales 3 3 A. Reste: ! 81 2 ! 192

Utilice la propiedad del producto de los radicales para simplificar cada expresión radical.

3 3 3 3 ! 81 2 ! 192 5 ! 27 # 3 2 ! 64 # 3 3 3 3 3 5! 27 # ! 32 ! 64 # ! 3 3 3 3 5 3! 3 2 4! 3 5 13 2 42 ! 3

Utilice la propiedad distributiva para simplificar los términos semejantes.

3 5 2! 3

B. Sume: "48a3 1 a"75a

Utilice la propiedad del producto "48a3 1 a"75a 5 "16a2 # 3a 1 a!25 # 3a de los radicales para simplificar 5 "16a2 # !3a 1 a!25 # !3a cada expresión radical. 5 4a!3a 1 5a!3a 5 9a!3a

Utilice la propiedad distributiva para simplificar los términos semejantes.

Algunas expresiones radicales no se pueden simplificar hasta un solo término. Por ejemplo, 4 4 4 4 " 16a5 1 " 81a 5 " 16a4 # a 1 " 81 # a 4 4 4 4 5" 16a4 # " a1" 81 # " a 4 4 5 4a"a 1 3"a 4 4 4a" a y 3" a no son términos semejantes, por lo que la expresión está en su forma más simple.

EJEMPLO 2

A. Sume: 5"20a6b3 1 4b"125a6b 3 3 B. Reste: 2x"16y7 2 4y"16x3y4

Solución

A. 5"20a6b3 1 4b"125a6b 5 5"4a6b2 5 5"4a6b2

# 5b 1 4b"25a6 # 5b # !5b 1 4b"25a6 # !5b

5 5 12a3b2 !5b 1 4b 15a32 !5b 5 10a3b!5b 1 20a3b!5b 5 30a3b!5b 3 3 B. 2x" 16y7 2 4y" 16x3y4

• Utilice la propiedad del producto de los radicales para simplificar cada expresión radical.

• "4a6b2 5 2a3b; "25a6 5 5a3 • Simplifique. • Simplifique los términos semejantes.

3 3 • Utilice la propiedad del pro5 2x" 8y6 # 2y 2 4y" 8x3y3 # 2y ducto de los radicales para 3 3 6 # 3 3 3 # 3 5 2x"8y ! 2y 2 4y"8x y ! 2y simplificar cada una de las 3 3 5 2x 12y22 ! 2y 2 4y 12xy2 ! 2y 3 3 5 4xy2 ! 2y 2 8xy2 ! 2y 3 5 24xy2 ! 2y

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expresiones radicales.

3 3 • " 8y6 5 2y2; " 8x3y3 5 2xy

• Simplifique. • Simplifique los términos semejantes.

13/10/12 09:43 a.m.

SECCIÓN 7.2

Problema 2 Solución

391

Operaciones con expresiones radicales

A. Sume: 4"45x4y3 1 2xy"20x2y 4 4 B. Reste: 5a"32b5 2 7b"162a4b Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 77 de la página 398.

OBJETIVO

Multiplicar expresiones radicales La propiedad del producto de los radicales se utiliza para multiplicar expresiones radicales con el mismo índice.

EJEMPLO 3 Solución

Multiplique: A. 13!52 2

A. 13!52 2 5 13!52 13!52 5 9!25

B. !2xy!6x

• Utilice la propiedad del producto de los radicales para multiplicar los radicandos.

5 9 152 5 45

• Simplifique.

B. !2xy!6x 5 "12x2y 5 "4x2 !3y 5 2x!3y

• Utilice la propiedad del producto de los radicales. • Simplifique.

3 3 3 C. " 9a2b" 18a5b2 5 " 162a7b3 3 3 5 "27a6b3 " 6a 2 3 5 3a b"6a

Problema 3

Multiplique: A. 123!72 2

• Utilice la propiedad del producto de los radicales. • Simplifique.

B. "15xy3 !5xy

C. "20ab "2a4b2 3

Solución

3 3 C. " 9a2b" 18a5b2

4 3

Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 99 de la página 398.

EJEMPLO 4 Solución

Multiplique: !2x 1 !8x 2 !32

!2x 1 !8x 2 !32 5 "16x2 2 !6x 5 4x 2 !6x

Problema 4 Solución

• Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. • Simplifique.

Multiplique: !5b 1 !3b 2 !102 Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 111 de la página 398. Cuando cada una de las expresiones radicales que se están multiplicando contiene dos términos, utilice el método PEIU (del inglés FOIL, siglas de Primeros, Externos, Internos, Últimos).

EJEMPLO 5 Solución

08_Cap-07_AUFMANN.indd 391

Multiplique: A. 12!3 2 52 17!3 1 22

A. 12!3 2 52 17!3 1 22 5 14!9 1 4!3 2 35!3 2 10 5 14 132 2 31!3 2 10 5 42 2 31!3 2 10 5 32 2 31!3

B. 13!x 2 2!y 2 2 • Utilice el método PEIU. • Simplifique !9 y los términos semejantes.

13/10/12 09:43 a.m.

392

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

B. 13!x 2 2!y 2 2 5 13!x 2 2!y 2 13!x 2 2!y 2 5 9"x2 2 6!xy 2 6!xy 1 4"y2 5 9x 2 12!xy 1 4y Multiplique: A. 12!5 1 32 14!5 2 72 B. 12!a 1 3!b 2 1 !a 2 2!b 2

Problema 5 Solución

• Utilice el método PEIU. • Simplifique "x2 y "y2. Simplifique los términos semejantes.

Revise la página S23.

† Intente resolver el ejercicio 131 de la página 399.

OBJETIVO

Dividir expresiones radicales La propiedad del cociente de los radicales se utiliza para dividir expresiones radicales con el mismo índice.

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE LOS RADICALES n

n

n

Si ! a y ! b son números reales, y b 2 0, entonces

!a n a 5 . n !b Ä b

Concéntrese en simplificar una expresión radical utilizando la propiedad del cociente

de los radicales A. Simplifique:

81x5 Å y6 3

Utilice la propiedad del cociente de los radicales. Simplifique cada una de las expresiones radicales.

3 81x5 " 81x5 6 5 3 6 Å y " y 3

5 5

B. Simplifique:

"5a4b7c2

"ab3c Utilice la propiedad del cociente de los radicales.

"5a4b7c2 "ab3c

Simplifique el radicado. Utilice la propiedad del cociente de los radicales. Simplifique.

3 3 " 27x3" 3x2 3 6 " y 3 3x" 3x2 y2

5

5a4b7c2 Å ab3c

5 "5a3b4c 5 "a2b4 !5ac 5 ab2 !5ac

FORMA MÁS SIMPLE DE UNA EXPRESIÓN RADICAL

Una expresión radical está en su forma más simple cuando se satisfacen todas las condiciones siguientes. 1. El radicando no contiene un factor mayor que 1 que sea una potencia perfecta del índice. 2. No hay fracciones bajo el signo del radical. 3. No quedan radicales en el denominador de la expresión radical.

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SECCIÓN 7.2

393

Operaciones con expresiones radicales

EJEMPLOS 3

1. ! 40 no está en su forma más simple. 8 5 23 es un factor cúbico perfecto de 40. 2 no está en su forma más simple. Hay una fracción bajo el símbolo del radical. Å3 5 3. no está en su forma más simple. Hay un radical en el denominador. !6 2.

La condición 3 de la forma más simple de una expresión radical demanda que no quede ningún radical en el denominador de la expresión radical. El procedimiento utilizado para eliminar un radical del denominador se llama racionalización del denominador.

Concéntrese en racionalizar el denominador de una expresión radical A. Simplifique:

Tome nota Para encontrar el factor que se debe utilizar para multiplicar el numerador y el denominador, busque la expresión que generará una potencia perfecta del índice. 3 3 Para la parte B, ! 2# ! ?5 3 "23. Al sustituir el signo de interrogación con 22 5 4 3 3 2 3 3 se tiene ! 2#" 2 5" 2. 3 Por tanto, multiplique por ! 4. el numerador y el denominador. Para la parte C escriba 4 5 22 y 5 2 3 # 5 5 5 5 considere" 2 x !? 5 " 2x. Al reemplazar el signo de interrogación con 23x2 5 8x2 se tiene 5 5 5 " 4x3 # " 8x2 5 " 32x5 5 2x.

5 !6

El radical en el denominador es una raíz cuadrada. Multiplique el numerador y el denominador por una expresión que genere un cuadrado perfecto. Puesto que !6 # !6 5 !36 5 6, utilizamos !6. 5 5 # !6 5 !6 !6 !6

Multiplique por !6. el numerador y el denominador. !6 Puesto que 5 1, el valor de la expresión no se !6 modifica.

5

Simplifique.

B. Simplifique:

5!6 5!6 5 6 !36

6 3 ! 2

El radical en el denominador es una raíz cúbica. Se multiplica el numerador y el denominador por una expresión que genere un cubo perfecto. Puesto 3 3 3 3 que ! 2# ! 45 ! 8 5 2, utilizamos ! 4. 3 6 # ! 4 6 5 3 3 3 !2 !2 !4

3

Multiplique por ! 4 el numerador y el denominador. 3 ! 4 Puesto que 3 5 1, el valor de la expresión no !4 cambia.

5

Simplifique.

C. Simplifique:

3 3 6! 4 6! 4 5 3 2 ! 8

3 5 3! 4

3x 5

"4x3 El radical en el denominador es una raíz quinta. Multiplique el numerador y el denominador por una expresión que genere una quinta potencia perfecta. 5 5 5 5 Puesto que "4x3 # "8x2 5 "32x5 5 2x utilizamos " 8x2.

5 Multiplique por " 8x2 el numerador y el deno5 " 8x2 minador. Puesto que 5 5 1, el valor de la "8x2 expresión no cambia.

Simplifique.

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3x 5 " 4x3

5 5 5

3x

5 2 # "8x

5 5 " 4x3 " 8x2 5 3x" 8x2 5 " 32x5

5

5 3x" 8x2 2x

5 3" 8x2 2

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394

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

EJEMPLO 6 Solución

Simplifique. A.

2 Å3

5

B.

!5x

!2 2 5 A. Å3 !3 !2 # !3 !6 5 5 !3 !3 !9 !6 5 3 B.

5 !5x

5 5

5

# !5x

C.

3x 3

"4x

• Utilice la propiedad del cociente de los radicales. • Al multiplicar el numerador y el denominador por !3 racionaliza el denominador. • Simplifique. • Multiplique por !5x. el numerador y el denominador.

!5x !5x 5!5x

"25x2 5!5x 5 5x !5x 5 x

Tome nota Observe que, en la parte C, al 3 ! 4x multiplicar por 3 no se racio! 4x nalizará al denominador:

3 2 • Multiplique por "2x . el numerador y el denominador. Entonces

3 3x 3x # " 2x 2 C. 3 5 3 3 ! 4x ! 4x " 2x 2

3 3 3x # ! 4x 3x ! 4x 5 3 3 ! 4x ! 4x "16x2 Puesto que 16x2 no es un cubo perfecto, el denominador seguirá conteniendo una expresión radical. 3

5

Problema 6 Solución

3 3 3 !4x ? "2x2 5 "8x3. 3 8x es un cubo perfecto.

3 3x" 2x2 3 " 8x3

5

3 3x" 2x2 2x

5

3 3" 2x2 2

Simplifique. A.

3 Å7

B.

y !3y

C.

3 3

"3x2

Revise las páginas S23-S24.

† Intente resolver el ejercicio 159 de la página 400. Para simplificar una fracción cuyo denominador contiene una expresión radical de dos términos, uno de los cuales es una raíz cuadrada, el denominador y el numerador se multiplican por el conjugado del denominador.

DEFINICIÓN DE CONJUGADO

El conjugado de a 1 b es a 2 b, y el conjugado de a 2 b es a 1 b. El producto de los conjugados es (a 1 b) (a 2 b) 5 a2 – b2. EJEMPLOS

1. El conjugado de 3 1 !7 es 3 2 !7. El producto de los conjugados es 13 1 !72 13 2 !72 5 32 2 1 !72 2 5 9 2 7 5 2 2. El conjugado de !5 2 6 es !5 1 6. El producto de los conjugados es 1 !5 2 62 1 !5 1 62 5 1 !52 2 2 62 5 5 2 36 5 231 3. El conjugado de 22 1 3!2 es22 2 3!2. El producto de los conjugados es 122 1 3!22 122 2 3!22 5 1222 2 2 13!22 2 5 4 2 19 # 22 5 4 2 18 5 214 4. El conjugado de !x 2 !y es !x 1 !y. El producto de los conjugados es 1 !x 2 !y2 1 !x 1 !y2 5 1 !x2 2 2 1 !y2 2 5 x 2 y

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SECCIÓN 7.2

Operaciones con expresiones radicales

395

Concéntrese en simplificar una expresión radical mediante la multiplicación del

numerador y el denominador por el conjugado del denominador A. Simplifique:

12 4 2 3!2 12 12 # 4 1 3!2 5 4 2 3!2 4 2 3!2 4 1 3!2

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

12 14 1 3!22 42 2 13!22 2

Utilice 1a 2 b2 1a 1 b2 5 a2 2 b2.

5

Simplifique. Observe que 13!22 2 5 9 # 2 5 18.

48 1 36!2 48 1 36!2 5 16 2 18 22 5 224 2 18!2

B. Simplifique:

5

3 !x 1 4

3 3 # !x 2 4 5 !x 1 4 !x 1 4 !x 2 4

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Utilice 1a 1 b2 1a 2 b2 5 a2 2 b2.

5

3 1 !x 2 42 1 !x2 2 2 42

Simplifique. Observe que 1 !x2 2 5 x.

5

3!x 2 12 x 2 16

EJEMPLO 7 Solución

4 2 3!5 3 1 2!5

Simplifique. A. A.

B.

!3 1 !y !3 2 !y

4 2 3!5 4 2 3!5 # 3 2 2!5 5 3 1 2!5 3 1 2!5 3 2 2!5 5

12 2 8!5 2 9!5 1 6!25 • Utilice el método PEIU. • Utilice 1a 1 b2 1a 2 b2 32 2 12!52 2 2 2

12 2 17!5 1 30 5 9 2 20 5

B.

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• Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

42 2 17!5 42 2 17!5 52 211 11

!3 1 !y !3 1 !y # !3 1 !y 5 !3 2 !y !3 2 !y !3 1 !y 5

!9 1 !3y 1 !3y 1 "y2 1 !32 2 2 1 !y2 2

5

3 1 2!3y 1 y 32y

5a 2b. • Simplifique. 6 !25 5 6 152 5 30; 12 !52 2 5 4 152 5 20

• Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. • Utilice el método PEIU. • Utilice 1a 2 b2 1a 1 b2 5 a2 2 b2. • Simplifique.

13/10/12 09:43 a.m.

396

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Problema 7 Solución

Simplifique. A.

4 1 !2 3 2 !3

B.

!2 1 !x !2 2 !x

Revise la página S24.

† Intente resolver el ejercicio 179 de la página 400.

7.2

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Indique si la expresión radical está en su forma más simple. Si no lo está, explique a qué se debe. 1. !75

2. 3!6

3 4. ! 16

5.

1 !2

3.

!5 5

6.

3 Å4 4

Escriba el conjugado de la expresión dada. 7. 3 2 !5

8. 2!7 1 6

9. 2!3 1 !5

10. 5 2 !x

Escriba la expresión cuyo producto con la expresión radical dada genera una potencia perfecta del índice. Esta operación se utiliza al racionalizar el denominador de algunas expresiones racionales. 11. !7

3 12. ! 25

4 3 13. " x

5 14. " 8x2

Simplificar expresiones radicales (Revise las páginas 388-389.) PREPÁRESE 15. Simplifique: !50 ? __ # 2 !50 5 "_____ ? __ "_____ ? __ 5 "_____ 5 ___? ____ !2 3 16. Simplifique: " 16x14 3 3 1___? " 16x14 5 " ____2 12x22 3 3 5" ___? ___ " 2x2 3

5 ___? ____ "2x

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2

• Escriba 50, el producto de un factor cuadrado perfecto y un factor que no contenga un cuadrado perfecto. • Utilice la propiedad del producto de los radicales para escribir la expresión como un producto de dos raíces cuadradas. • Simplifique !25.

• Escriba 16x4 como el producto de un cubo perfecto y un factor que no contenga un cubo perfecto. • Utilice la propiedad del producto de los radicales. • Simplifique.

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SECCIÓN 7.2

Indique si la expresión está en su forma más simple. 3 b. " 36y2

5 17. a. 2"x7

Operaciones con expresiones radicales

18. a. 9a2"54ab

397

4 b. 2b" 8b3

Explique por qué la simplificación no es correcta. !32 5 !4 # 8 5 !4!8 5 2!8

19.

Simplifique. 21. !18

22. !40

25. ! 72

23. !98

26. ! 54

3

4 29. ! 48

33. "x4y3z5

36. "24a9b6

3 3 3 3 3 ! 128 5 ! 8 # 16 5 ! 8! 16 5 2! 16

20.

3

27. ! 16

4 30. ! 162

5 31. ! 96

3 8 11 15 42. " ab c

3 28. ! 128 5 32. ! 729

34. "x3y6z9

35. "8a3b8

4 40. " 16x9y5

3 41. " 2216x5y9

† 37. "45x2y3z5

3 39. " 125x2y4

24. !128

3

38. "60xy7z12

3 5 8 43. " ab

4 44. " 64x8y10

Sumar y restar expresiones radicales (Revise las páginas 389-391.) PREPÁRESE 45. La propiedad distributiva se puede utilizar para sumar o restar radicales que tienen el ? y el mismo ? . mismo 5 12 5 7 46. Simplifique: 5" x 1 2x" x 5 12 5 7 5" x 1 2x" x 5 5 2 5 5 2 5 5" ___? ____" x 1 2x" ___? ____ " x 5 2 5 2 5 5 1___? ____2 "x 1 2x 1___?____2 "x 5 2 2 5 2 5 5x "x 1 ___? ____ " x 5 2 5 1___? ____ 1 ___? ____2 " x 5 2 5 ___? ____ "x

• Utilice la propiedad del producto de los radicales. • Simplifique las raíces quintas perfectas. • Multiplique. • Utilice la propiedad distributiva. • Sume.

47.

Indique si la expresión se puede simplificar. 3 5 5 a. 5x!x 1 x! x b. ! 10y 2 ! y 3 3 2 c. ! 2 1 a 1 !2 1 a d. "8x 1 !2

48.

Indique si la expresión es equivalente a !ab 1 !ab. b. !2ab c. 2ab d. !4ab a. 2!ab

Simplifique. 49. !2 1 !2

50. !5 2 !5

3 3 51. 4! 72 ! 7

3 3 52. 3! 11 2 8! 11

53. !8 2 !32

54. !27 2 !75

55. 3!108 2 2!18 2 3!48

56. 2!50 2 3!125 1 !98

3

3

57. ! 128 1 ! 250

08_Cap-07_AUFMANN.indd 397

3 3 58. ! 16 2 ! 54

13/10/12 09:43 a.m.

398

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

3 3 59. 4! 254 1 ! 250

3 3 60. 3! 24 2 6! 2192

4 4 61. 4! 16 2 9! 81

4 4 62. 27! 162 1 2! 512

63. !128x 2 !98x

64. !48x 1 !147x

65. 2"2x3 1 4x!8x

66. 5y!8y 1 2"50y3

67. x!75xy 2 "27x3y

68. 3"8x2y3 2 2x"32y3

69. !27a 2 !8a

70. !18b 1 !75b

71. 2"32x y 2 xy"98y

72. 6y"x3y 2 2"x3y3

73. 7b"a5b3 2 2ab"a3b3

74. 2a"27ab5 1 3b"3a3b

3 3 75. 2" 3a4 2 3a" 81a

3 3 76. 2b" 16b2 1 " 128b5

2 3

3 3 † 77. 3"x5y7 2 8xy"x2y4

3 3 78. 2x" 216x3y7 1 5y" 250x6y4

4 4 79. 3" 32a5 2 a" 162a

4 4 80. 2a" 16ab5 2 2b" 81a5b

4 4 81. 2a" 16ab5 1 3b" 256a5b

4 4 82. 24a" 32a5b8 1 9b" 162a9b4

83. "4x7y5 1 9x2"x3y5 2 5xy"x5y3

84. 2x"8xy2 2 3y"32x3 1 "8x3y2

3 3 3 85. 3x" 8xy 4 2 7y" 64x 4y 1 " 125x 4y 4

3 3 3 86. " 54xy3 2 5" 2xy3 1 " 128xy3

Multiplicar expresiones radicales (Revise las páginas 391-392.) PREPÁRESE 87. Multiplique: !3 1 !6 2 6!x 2 !3 1 !6 2 6!x2 5 !3 # !6 2 !3 # 6!x 5 "___? ____ 2 6"___? ____ 5 ___? ____!2 2 6!3x

• Utilice la propiedad distributiva. • Los índices son iguales. Se multiplican los radicandos. • Simplifique !18.

3 2 3 5 88. Multiplique: " a "a 3 2 3 5 3 3 3 3 "a "a 5 "___? ____ 5 " ___? ____ # a 5 " ___? ____ # "a

5

?

3 #" a

Multiplique. 89. !8 !32

90. !14 !35

91. 3!6 # 5!3

92. 22!14 # 5!21

3 3 93. ! 4! 8

3 3 94. ! 6! 36

3 3 95. 22" 20 # 5 " 6

4 4 96. 13" 182 122" 272

97. "x2y5 !xy

98. "a3b "ab4

† 99. "2x2y !32xy

100. "5x3y "10x3y4

3 2 3 101. " x y "16x4y2

3 3 102. " 4a2b3 " 8ab5

4 4 103. " 12ab3 " 4a5b2

4 4 104. " 36a2b4 " 12a5b3

105. 2!14xy # 4"7x2y # 3"8xy2

106. 2"3x2 # 3"12xy3 # "6x3y

3 3 3 107. " 2a2b" 4a3b2 " 8a5b6

3 3 3 108. ! 8ab" 4a2b3 " 9ab4

109. !3 1 !27 2 !32

110. !10 1 !10 2 !52

† 111. !x 1 !x 2 !22

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112. !y 1 !y 2 !52

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SECCIÓN 7.2

Operaciones con expresiones radicales

113. !2x 1 !8x 2 !322

114. !3a 1"27a2 2 !a2

115. 1 !5 2 52 12!5 1 22

116. 1 !2 2 32 1 !2 1 42

117. 13 2 4!72 12 1 3!72

118. 12!5 1 42 15 2 3!52

119. 12!3 1 !62 13!3 2 5!62

120. 1 !10 2 2!52 12!10 1 3!52

121. 14!5 1 22 2

122. 12 2 3!72 2

123. 1 !x 1 42 1 !x 2 72

124. 1 !a 2 22 1 !a 2 32

125. 12!z 1 32 13!z 2 42

126. 15 2 2!x2 12 1 3!x2

127. 1 !x 2 y2 1 !x 1 y2

128. 1 !y 2 22 1 !y 1 22

129. 12!3x 2 !y2 12!3x 1 !y2

130. 1 !2x 2 3!y2 1 !2x 1 3!y2

† 131. 1 !x 2 32

2

399

132. 1 !2x 1 42 2

133. 11 2 5!x2 2

134. 13!x 1 52 2

3 3 135. 1 ! x 2 42 1 ! x 1 52

3 3 136. 1 ! a 1 22 1 ! a 1 32

137.

¿Verdadero o falso? 1 !a 2 12 1 !a 1 12 . a

138.

¿Verdadero o falso? !a 1 !a 2 a2 5 a 11 2 !a 2

Dividir expresiones radicales (Revise las páginas 392–396.) PREPÁRESE 139. Divida:

4 " 80x10 4 ! 5x

4 " 80x10 80x10 5 4 4 Å 5x ! 5x 4 5" 16x

?

4 5" 16x

?

• Simplifique el radicando. 4 ! x

4 ? ! x 5 _______

140. a. b. c. d.

• Simplifique la cuarta potencia perfecta.

? . Dos expresiones en la forma a 1 b y a – b se llaman ? . El conjugado de !y 2 5 es El producto de los conjugados de la forma a 1 b y a 2 b es ? 2 1 !y 2 52 1 !y 1 52 5 1 ? 2 2 2 1 ? 2 2 5

? . ? .

Determine si la expresión está en su forma más simple.

141. a. 142.

?

• Utilice la propiedad de los radicales.

3 2 " a b

b.

"a3 b

c.

4 a Åb

d.

!a !a 1 b

¿Por qué expresión se deben multiplicar el denominador y el numerador con el fin de racionalizar el denominador? a.

1 !6

b.

7

"2y 3

5

c.

8x ! 27x 4

Simplifique.

d.

4 !3 2 x

143.

"32x2 !2x

144.

"60y4 !12y

145.

146.

"65ab4 !5ab

147.

1 !5

148.

08_Cap-07_AUFMANN.indd 399

"42a3b5 "14a2b

1 !2

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400

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

149.

14 3!7

150.

10 9!5

151.

5 Å8

152.

7 Å 18

153.

1 !2x

154.

2 !3y

155.

5 !5x

156.

9 !3a

157.

x Ä5

158.

y Ä2

3 !2

160.

5 !9

5 3 ! 3y

163.

161.

164.

† 159.

3

162.

3 " 4x2

"15a2b5 "30a5b3 3

167.

"8x

170.

"81a

4

3

a

5

4

"24a2b

165.

"18ab4

168.

"27y

171.

173.

2 !5 1 2

174.

176.

11 7 2 3!3

177.

† 179.

3

166.

23

3

"40x3y2 "80x2y3 "12x3y "20x4y 4

169.

"16a2

"64x3

172.

"32y2

5 2 2 !7

175.

8 4 1 !6

178.

2!5 3 1 2!5

4

2

2x

5

!3 5 2 !15

3 !y 2 2

180.

5

3y

4

27 !x 2 3

181.

!2 2 !3 !2 1 !3

182.

!3 1 !4 !2 1 !3

183.

4 2 !2 2 2 !3

184.

3 2 !x 3 1 !x

185.

!3 2 !5 !2 1 !5

186.

!2 1 !3 !3 2 !2

187.

!a 1 a!b !a 2 a!b

188.

!3 2 3!y !3 1 3!y

189.

3!xy 1 2!xy !x 2 !y

190.

2!x 1 3!y !x 2 4!y

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Simplifique.

191. 1 !8 2 !22 3

192. 1 !27 2 !32 3

194. 1 !5 1 22 3

195.

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3 !y 1 1 1 1

193. 1 !2 2 32 3 196.

2 !x 1 4 1 2

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SECCIÓN 7.3

401

Funciones radicales

En algunos casos, en vez de hacerlo con el denominador, es necesario racionalizar el numerador de una expresión radical. Racionalice el numerador en los ejercicios 197 y 198. 197. 199.

!4 1 h 2 2 h

198.

!9 1 h 2 3 h

¿Por qué factor debe multiplicar un número si se pretende duplicar su raíz cuadrada? ¿Y para triplicarla? ¿Para duplicar su raíz cúbica? Explique.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Las fórmulas de factorización para la suma y la resta de dos cubos se pueden utilizar para simplificar algunas expresiones radicales que incluyan raíces cúbicas. Recapitulando: a3 1 b3 5 1a 1 b2 1a2 2 ab 1 b22 a3 2 b3 5 1a 2 b2 1a2 1 ab 1 b22

200. Utilice la fórmula para la suma de cubos perfectos, demuestre que 3 3 3 13 1 ! 22 19 2 3! 21 ! 42 5 29

201. Utilice la fórmula para la resta de cubos perfectos, demuestre que 3 3 3 2 3 3 3 2 1! x2 ! y2 1" x 1! x! y1" y2 5x2y

1 utilizando la multiplicación del numerador y el denominador 3 31 ! 2 3 3 por 9 2 3! 2 1 ! 4. (Sugerencia: revise el ejercicio 200.)

202. Simplifique

203. Simplifique:

4 !5 2 1 3

7.3 OBJETIVO

Funciones radicales Encontrar el dominio de una función radical Una función radical es aquella que contiene un exponente fraccionario o una variable dentro del radical. A la derecha se muestran ejemplos de una función radical.

f 1x2 5 34"x5 2 7

g 1x2 5 3x 2 2x 2 1 5 1

Observe que estas no son funciones polinomiales, ya que dichas funciones no contienen variables elevadas a una potencia fraccionaria o expresiones con variable radical. El dominio de una función radical es el conjunto de los números reales para el que la expresión radical es un número real. Por ejemplo, 29 es un número que habría que excluir del dominio de f 1x2 5 !x 1 5 porque f 1292 5 !29 1 5 5 !24, el cual no es un número real.

Concéntrese en encontrar el dominio de una función radical

A. Exprese en notación de conjuntos el dominio de f 1x2 5 !x 1 5.

El valor de !x 1 5 es un número real cuando x 1 5 es mayor o igual que cero: x 1 5 $ 0. Al resolver esta desigualdad para x, resulta x $ 25. El dominio de f es 5 x 0 x $ 25 6 .

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402

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales 3 B. Exprese en notación de intervalos el dominio de F 1x2 5 ! 2x 2 6. 3 Puesto que la raíz cúbica de un número real es un número real, ! 2x 2 6 es un número 3 3 real para todos los valores de x (por ejemplo, F 1212 5 ! 2 1212 2 6 5 ! 28 5 22). Por tanto, en notación de intervalos, el dominio de F es 12`, ` 2.

Estos dos últimos ejemplos sugieren lo siguiente: Si el índice de una expresión radical es un número par, el radicando debe ser mayor o igual que cero para garantizar que el valor de la expresión radical sea un número real. Si el índice de la expresión radical es un número impar, el radicando puede ser un número positivo o negativo.

EJEMPLO 1 Solución

Exprese en notación de conjuntos el dominio de cada función. 4 5 A. V 1x2 5 ! 6 2 4x B. R 1x2 5 ! x14 A. 6 2 4x $ 0 24x $ 26 3 x# 2

• V contiene una raíz par. Por tanto, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

El dominio es 5 x 0 x # 32 6 . 5 x14 B. R 1x2 5 !

• Puesto que R contiene una raíz impar, el radicando puede ser positivo o negativo.

El dominio es 5 x 0 xPNúmeros reales6. Problema 1 Solución

Exprese el dominio de cada función en notación de intervalos. 1 3 A. Q 1x2 5 ! 6x 1 12 B. T 1x2 5 13x 1 92 2 Revise la página S24.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 405.

OBJETIVO

Graficar una función radical La gráfica de una función radical se realiza del mismo modo que la gráfica de cualquier otra función. La función se evalúa con varios valores en el dominio de la función, y se grafican los pares ordenados resultantes. Se deben graficar los pares ordenados hasta que sea posible trazar una gráfica exacta.

Concéntrese en graficar una función radical Grafique: f 1x2 5 !x 1 2 Puesto que f contiene una raíz par, el radicando debe ser mayor o igual que cero. Para determinar el dominio de f, se resuelve la desigualdad x 1 2 $ 0. La solución es x $ 22, por lo que el dominio es 5 x 0 x $ 22 6 . Ahora se determinan pares ordenados de la función mediante la selección de valores de x del dominio. En la siguiente tabla se muestran algunas posibles opciones.

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SECCIÓN 7.3

Tome nota Al determinar primero el dominio de la función, descubrirá los posibles valores de x que se pueden utilizar al evaluar la función. Todo valor de x se puede utilizar para todo valor de x dentro del dominio. Nosotros utilizamos valores “convenientes”: valores de x que tienen como resultado un radicando de cuadrado perfecto. Sin embargo, se puede utilizar cualquier valor para x. Por ejemplo, si x 5 3, entonces

x 22 21 2 7

f 1x2 5 !x 1 2

y

f 1222 f 1212 f 122 f 172

0 1 2 3

5 5 5 5

!22 1 2 5 !0 5 0 !21 1 2 5 !1 5 1 !2 1 2 5 !4 5 2 !7 1 2 5 !9 5 3

403

Funciones radicales

y 4

(7, 3)

(2, 2)

(–1, 1) 2 (–2, 0) –2 0 –2

2

4

6

8

x

–4

f 132 5 !5 < 2.24 y el par ordenado (3, 2.24) pertenece a la gráfica. Este par ordenado tan sólo es un poco más difícil de graficar.

EJEMPLO 2 Solución

3 Grafique: H 1x2 5 ! x

Puesto que H sólo contiene una raíz impar, el dominio de H es el de todos los números reales. Seleccione algunos valores de x en el dominio de H y evalúe la función para dichos valores. En la siguiente tabla se muestran algunos de esos posibles valores. y

Problema 2 Solución

3

x

y 5 !x

28 21 0 1 8

22 21 0 1 2

4 2

(1, 1)

(8, 2)

(0, 0) –8 –4

(–8, –2)

4

8

x

– 2 (–1, –1) –4

Grafique: F 1x2 5 !x 2 2 Revise la página S24.

† Intente resolver el ejercicio 39 de la página 405. 3 A continuación se muestran las gráficas de f 1x2 5 !x 1 2 y H 1x2 5 ! x observe que ambas gráficas satisfacen la prueba de la recta vertical para la gráfica de una función.

y

y

4

4

2

2

–2 0

2

4

6

8

x

–8

–4 0

–2

–2

–4

–4

f(x) =

x+2

H(x) =

4

3

8

x

x

Se puede utilizar una calculadora graficadora para graficar las funciones radicales. Consulte en el Apéndice las instrucciones para introducir una función radical en una calculadora graficadora.

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404

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Grafique: Z 1x2 5 4 1 18 2 6x2 2 1

EJEMPLO 3 Solución

Puesto que Z incluye una raíz par, el radicando debe ser mayor o igual que cero. El dominio es 5 x 0 x # 43 6 . 10

–6

6 –1

Problema 3 Solución

Grafique:

3 y 1x2 5 2 2 ! x21

Revise la página S24.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 406.

7.3

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine si 25 está en el dominio de cada una de las siguientes expresiones. 3 1. f 1x2 5 ! x15

2. g 1x2 5 !x 1 5

3. k 1x2 5 ! x 2 4

4. h 1x2 5 !x 2 4

3 5. r 1x2 5 ! x15

6. v 1x2 5 !x 1 5

3

Encontrar el dominio de una función radical (Revise las páginas 401-402.) 7.

¿Qué es una función radical?

8.

¿Cuál es la diferencia entre una función radical y una función polinomial?

PREPÁRESE 1

9. a. Cuando n es un número par, el dominio de f 1x2 5 x n es 5 x | x 1 n

b. Cuando n es un número impar, el dominio de f 1x2 5 x es 5 x | x

6.

? ?

6.

4 10. Para encontrar el dominio de f 1x2 5 8 1 ! 2x 2 1, observe que el índice del ? $ 0. Al radical es par, por lo que la función está definida sólo cuando ? . En notación de intervalos, el resolver para x esta desigualdad resulta x $ ? ). dominio de f es [ ? ,

11.

Determine si el dominio de f es 12`, 0 4 , 3 0, ` 2 , 12`, ` 2 , o el conjunto vacío. a. f 1x2 5 !2x b. f 1x2 5 "2x2 c. f 1x2 5 2"x2

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d. f 1x2 5 " 12x2 2

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SECCIÓN 7.3

12.

405

Funciones radicales

4 3 a. ¿Verdadero o falso? Las funciones f 1x2 5 ! 3x 2 4 y g 1x2 5 ! 3x 2 4 tienen el mismo dominio. b. ¿Verdadero o falso? f 1x2 5 !3x2 es una función radical.

Escriba el dominio de cada una de las siguientes opciones utilizando notación de conjuntos. 5 14. r 1x2 5 23! 2x

13. f 1x2 5 2x3 1

16. h 1x2 5 3x4 2 2

† 15. g 1x2 5 22!x 1 1

1

3 18. y 1x2 5 23! 11x

17. f 1x2 5 2x!x 2 3

20. G 1x2 5 6x5 1 5

19. C 1x2 5 23x4 1 1

2

3

21. F 1x2 5 4 13x 2 62 2 1

Escriba el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando notación de intervalos. 1

2

2

22. f 1x2 5 22 14x 2 122 2

23. g 1x2 5 2 12x 2 102 3

24. J 1x2 5 4 2 13x 2 32 5

25. V 1x2 5 x 2 !12 2 4x

26. Y 1x2 5 26 1 !6 2 x

4 1x 2 22 3 27. h 1x2 5 3"

28. g 1x2 5

2 4 " 14 2 x2 3 3

1

29. f 1x2 5 x 2 14 2 6x2 2

1

30. F 1x2 5 19 1 12x2 2 2 4

Graficar una función radical (Revise las páginas 402-404.) PREPÁRESE Para los ejercicios 31 a 34, utilice la función f 1x2 5 2!x 2 5. 31. El dominio de f es 5 x | x ? 6 . 32. ¿Para qué valor de x el radicando será igual al cuadrado perfecto 9?

____ 5 ____ 2 5 5 2"___? 33. f 1142 5 2"___?

?

.

34. Utilice los resultados del ejercicio 33 para determinar un punto que se encuentra sobre la gráfica de f 1x2 5 2!x 2 5.

Grafique.

35. F 1x2 5 !x

3 38. K 1x2 5 ! x11

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36. G 1x2 5 2!x

† 39. f 1x2 5 2!x 1 2

3 37. h 1x2 5 2! x

40. g 1x2 5 !x 2 1

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406

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

4 41. S 1x2 5 2! x

1

43. F 1x2 5 1x 2 22 2

1

1

46. H 1x2 5 12x2 3

42. C 1x2 5 1x 1 22 4

1

44. f 1x2 5 2 1x 2 12 2

1

45. Q 1x2 5 1x 2 32 3

Grafique. 2

2

1

48. h 1x2 5 3x5 1 2

47. f 1x2 5 2x5 2 1

1

† 49. g 1x2 5 3 2 15 2 2x2 2

50. y 1x2 5 1 1 14 2 8x2 2

5 1x 2 22 2 51. V 1x2 5 "

52. A 1x2 5 x!3x 2 9

3 53. F 1x2 5 2x 2 3! x21

54. f 1x2 5 2x 2 !x 2 1

55. f 1x2 5 3x!4x 1 8

56.

1

a. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser la gráfica de f 1x2 5 2x2? 1 b. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser la gráfica de f 1x2 5 12x2 2? 1 c. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser la gráfica de f 1x2 5 2 12x2 2? 1 d. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser la gráfica de f 1x2 5 x2? y

y

x

(i) 57.

y

x

(ii)

y

x

(iii)

x

(iv)

Determine si la gráfica de la función dada estará por encima del eje x, por debajo del eje x, o tanto por encima como por debajo del eje x. 1 1 4 a. f 1x2 5 2x3 b. f 1x2 5 2!x 1 2 c. f 1x2 5 ! 3x d. f 1x2 5 122x2 2

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SECCIÓN 7.4

407

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales y

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 58. Deportes Muchos parques de béisbol de las grandes ligas tienen un diseño simétrico, como se aprecia en la figura de la derecha. Una decisión que debe tomar el diseñador es la forma de los jardines. Un posible diseño utiliza la función f 1x2 5 k 1 1400 2 k2

Å

12

f

x2 a2

para determinar la forma de los jardines. a. Grafique esta ecuación para k 5 0, a 5 287, y 2240 # x # 240.

x

(0, 0)

b. ¿Cuál es el valor máximo de esta función para el intervalo dado? c. La ecuación para la línea de foul de jardín derecho es y 5 x. ¿En dónde se interseca la línea de foul con la gráfica de f? Esto es, encuentre el punto en la gráfica de f para el que y 5 x. d. Si las unidades sobre los ejes están en pies, ¿qué distancia hay desde el plato de home hasta el fondo del jardín derecho, siguiendo la línea de foul?

59.

Denominación

Moneda Según la casa de moneda, la duración promedio de los billetes de distintas denominaciones es como se muestra en la tabla que aparece a la derecha. La función que 2 modela aproximadamente estos datos es f 1x2 5 1.38x5, donde x es la denominación del billete y f (x) su duración promedio en años. 2

a. En el contexto del problema, ¿cuál es el dominio de la función f 1x2 5 1.38x5? ¿Por qué no es cero el dominio? ¿Por qué los números negativos no son el dominio? b. Si 2 estuviera en el dominio de la función, ¿qué duración pronostica el modelo para el billete de $2? Redondee a la décima más cercana. ¿Dicha estimación parece razonable?

Duración

Billete de

$1

1.8 años

Billete de

$5

2 años

Billete de $10

3 años

Billete de $20

4 años

Billete de $50

9 años

Billete de $100

9 años

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 60.

Al escribir la fracción 24 en términos más simples como 12 , parece que 1x22 4 5 x2. Utilizando 1

1

210 # x # 10, grafique f 1x2 5 1x22 4 y luego grafique g 1x2 5 x2 , ¿las gráficas son iguales? 1

1

Si es así, pruebe graficando primero g 1x2 5 x2 y luego f 1x2 5 1x22 4. Explique por qué las 1

1

2

1

gráficas no son iguales. En la explicación, incluya por qué x4 5 x2 no siempre es una expresión verdadera.

7.4 OBJETIVO

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales Una ecuación con una expresión algebraica en un radicando es una expresión radical.

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3 ! 2x 2 5 1 x 5 7 Ecuaciones f !x 1 1 2 !x 5 4 radicales

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408

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Para resolver una ecuación radical utilice la siguiente propiedad.

Tome nota Se puede suponer que también es verdadero lo opuesto a esta propiedad. Es decir, si a2 5 b2, entonces a 5 b. Pero no es el caso. Por ejemplo, si a 5 24 y b 5 4, entonces (24)2 5 42 pero 24 2 4.

PROPIEDAD DE ELEVAR A UNA POTENCIA CADA LADO DE UNA ECUACIÓN

Si dos números son iguales, entonces las mismas potencias de dichos números son iguales. Si a 5 b, entonces an 5 bn

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva. A. !3x 2 2 2 8 5 23 A. !3x 2 2 2 8 5 23 !3x 2 2 5 5 1 !3x 2 2 2 2 5 52 3x 2 2 5 25 3x 5 27 x59 Comprobación: !3x 2 2 2 8 5 23 !3 # 9 2 2 2 8 23 !27 2 2 2 8 23 !25 2 8 23 5 2 8 23 23 5 23 La solución es 9. B.

Problema 1 Solución

3 ! 3x 2 1 5 24 3 1! 3x 2 1 2 3 5 1242 3 3x 2 1 5 264 3x 5 263 x 5 221 Comprobación: 3 ! 3x 2 1 5 24 3 ! 3 12212 2 1 24 3 ! 263 2 1 24 3 ! 264 24 24 5 24 La solución es 221.

3 B. ! 3x 2 1 5 24

• Reescriba la ecuación de modo tal que el radical quede sólo en un lado de la ecuación. • Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. • Resuelva la ecuación resultante.

• Compruebe la solución.

• Eleve al cubo ambos lados de la ecuación. • Resuelva la ecuación resultante.

• Compruebe la solución.

Resuelva. A. !4x 1 5 2 12 5 25

4 B. ! x2853

Revise la página S24.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 411. Al elevar ambos lados de una ecuación a una potencia par, la ecuación resultante puede tener una solución no válida en comparación con la de la ecuación original. Por tanto, es necesario revisar todas las soluciones propuestas de una ecuación radical.

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SECCIÓN 7.4

409

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva. A. x 1 2!x 2 1 5 9

B. !x 1 7 5 !x 1 1

A. x 1 2!x 2 1 5 9 2!x 2 1 5 9 2 x

• Reescriba la ecuación dejando sólo el radical en uno de los lados.

12!x 2 1 2 2 5 19 2 x2 2 4 1x 2 12 5 81 2 18x 1 x2 4x 2 4 5 81 2 18x 1 x2 0 5 x2 2 22x 1 85

• Eleve al cuadrado cada lado de la ecuación. • Escriba en forma general la ecuación cuadrática.

0 5 1x 2 52 1x 2 172 x2550 x 2 17 5 0 x55 x 5 17 Comprobación: x 1 2!x 2 1 5 9

Tome nota Usted debe comprobar las soluciones propuestas de las ecuaciones radicales. Las soluciones propuestas de la ecuación de la derecha fueron 5 y 17. Sin embargo, 17 no se comprueba como solución, por lo que es una solución no válida.

5 1 2!5 2 1 9 5 1 2!4 9 512#2 9 514 9 959

• Factorice. • Utilice el principio del producto cero.

x 1 2!x 2 1 5 9 17 1 2!17 2 1 9 17 1 2!16 9 17 1 2 # 4 9 17 1 8 9 25 2 9

El 17 no se comprueba como solución. Esta es una solución no válida de la ecuación. La solución es 5.

B.

Tome nota Observe que 1 !x 1 12 2 5 1 !x 1 12 1 !x 1 12 5 x 1 2!x 1 1

Problema 2 Solución

!x 1 7 5 !x 1 1

• Existe un radical en cada lado de la ecuación.

1 !x 1 7 2 2 5 1 !x 1 12 2 x 1 7 5 x 1 2!x 1 1 6 5 2!x 3 5 !x 32 5 1 !x 2 2 95x

• Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Comprobación: !x 1 7 5 !x 1 1 !9 1 7 !9 1 1 !16 3 1 1 454 La solución es 9.

• Compruebe la solución.

Resuelva. A. x 1 3!x 1 2 5 8

• Simplifique la ecuación resultante. • La ecuación contiene un radical. • Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación.

B. !x 1 5 5 5 2 !x

Revise las páginas S24-S25.

† Intente resolver el ejercicio 55 de la página 411.

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CAPÍTULO 7

OBJETIVO

Exponentes racionales y radicales

Problemas de aplicación Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. El lado opuesto a ese ángulo se denomina hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos.

Hip

ote

Cateto

nus

a

©Bettmann/Corbis

Cateto

Se acredita a Pitágoras, matemático griego, el descubrimiento de que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Esto se conoce como Teorema de Pitágoras.

c

a

b 2 2 2 c =a +b

Pitágoras (580 al 529 a. C. aprox.) TEOREMA DE PITÁGORAS

El cuadrado de la hipotenusa c de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos, a y b. c2 5 a2 1 b2

EJEMPLO 3

Una escalera de 20 pies está recargada sobre un edificio. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared del edificio si la base de la escalera está a 8 pies de la base de la pared? Redondee a la décima más cercana.

20 pies

8 pies

Estrategia

Solución

Para calcular la distancia, utilice el teorema de Pitágoras. La hipotenusa es la longitud de la escalera. Un cateto es la distancia desde la base de la escalera hasta la base de la pared del ejercicio. La distancia vertical a lo largo del muro hasta la parte superior de la escalera es el cateto no conocido. c2 5 a2 1 b2 202 5 82 1 b2 400 5 64 1 b2 336 5 b2 !336 5 "b2 !336 5 b 18.3 < b La distancia es 18.3 pies.

Problema 3 Solución

Encuentre la diagonal de un rectángulo que tiene 6 cm de alto y 3 cm de ancho. Redondee a la décima más cercana. Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 413.

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SECCIÓN 7.4

411

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales

7.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine si la expresión es siempre o sólo en ocasiones verdadera. 1. Si a2 5 b2, entonces a 5 b.

2. Si a3 5 b3, entonces a 5 b.

3. Si a4 5 b4, entonces a 5 b.

4. Si a5 5 b5, entonces a 5 b.

Determine si 2 es una solución para la expresión dada. 5. !x 1 2 2 !4x 1 1 5 1

6. !3x 1 3 2 !x 2 1 5 2

Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales (Revise las páginas 407-409.) PREPÁRESE 7. ¿Cuál de las ecuaciones !2x 1 1 5 7 y !2x 1 1 5 7 es una ecuación radical? 3 8. Resuelva. ! x 2 3 5 24 3 ! x 2 3 5 24 3 1 ! x 2 3 2 ___?____ 5 1242 ___?____ ? 5 ? ? x5

• Se elevan al cubo ambos lados de la ecuación. • Simplifique. • Se suma

?

a ambos lados de la ecuación.

¿Cuál es el primer paso al resolver !x 1 3 5 9?

9.

¿Por qué es necesario revisar las soluciones propuestas de una ecuación radical?

10.

Resuelva. 11. !3x 5 12

12. !5x 5 10

3 13. ! 4x 5 22

3 14. ! 6x 5 23

15. !2x 5 24

16. !5x 5 25

17. !3x 2 2 5 5

18. !5x 2 4 5 9

19. !3 2 2x 5 7

20. !9 2 4x 5 4

21. 7 5 !1 2 3x

22. 6 5 !8 2 7x

3 † 23. ! 4x 2 1 5 2

3 24. ! 5x 1 2 5 3

3 25. ! 1 2 2x 5 23

27. !4x 2 3 2 5 5 0

28. !x 2 2 5 4

3 26. ! 3 2 2x 5 22 3

29. ! x 2 3 1 5 5 0

30. ! x 2 2 5 3

4 31. ! 2x 2 9 5 3

4 32. ! 4x 1 1 5 2

33. !3x 2 5 2 5 5 3

34. !2x 2 3 2 2 5 1

3 35. ! x241755

3 36. ! 2x 2 3 1 5 5 2

37. !2x 1 4 5 3 2 !2x

38. !x 1 1 5 2 2 !x

39. !x 1 2 2 !x 2 1 5 1

40. !3x 1 1 1 !3x 2 6 5 7

41. !2x 2 1 2 !2x 1 6 5 1

42. !x 2 1 2 !x 1 2 5 3

43. !4x 1 5 2 !4x 2 11 5 2

44. !3 2 2x 1 !10 2 2x 5 7

45. "x2 2 4x 2 1 1 3 5 x

46. "x2 1 3x 2 2 2 x 5 1

47. "x2 2 2x 1 1 5 3

48. "x2 2 3x 2 1 5 3

49. !4x 1 1 2 !2x 1 4 5 1

50. !2x 1 5 2 !3x 2 2 5 1

51. !5x 1 4 2 !3x 1 1 5 1

52. !5x 2 1 2 !3x 2 2 5 1

53. 3!x 2 2 1 2 5 x

54. 4!x 1 1 2 x 5 1

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3

† 55. x 1 2!x 1 1 5 7

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412

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Sin resolver realmente las ecuaciones, identifique cuál de ellas no tiene solución.

56.

3 (ii) ! 4x 2 8 5 25 (iv) 2!4x 2 8 5 25

(i) !4x 2 8 5 25 (iii) !4x 2 8 5 25 57.

¿Cuántas veces se utilizará la propiedad de elevar a una potencia ambos lados de la ecuación para resolver cada una de las siguientes ecuaciones? No las resuelva. a. !x 2 8 5 !2x 2 1

b. !x 2 8 5 !2x 2 1

Problemas de aplicación (Revise la página 410.) PREPÁRESE 58. La ecuación v 5 8!d calcula la velocidad v, en pies por segundo, de un objeto en caída libre luego de que ya ha caído d pies. Si se deja caer una piedra desde un puente, para calcular la distancia que ha caído al alcanzar una velocidad de ? por 56 y se resuelve para ? . 56 pies/s, se sustituye 59.

Una escalera de 15 pies está recargada sobre un edificio y su base está a d pies de la pared. La escalera llega hasta una altura de h pies. ¿Cuál de las siguientes distancias no es un posible valor de h? (i) 2 pies

(ii) 8 pies

(iii) 14 pies

(iv) 20 pies

60. Deportes La ecuación s 5 16.97!n se puede utilizar para pronosticar la velocidad máxima s (en pies por segundo) de n remeros en una canoa. Calcule, redondeando al entero más cercano, cuántos remeros se necesitan para avanzar a 20 pies/s. ¿Al duplicar el número de remeros, se duplica la velocidad máxima de la canoa?

Vladimir Wrangel/Shutterstock.com

9

61. Ciencias de la salud El número de calorías diarias que emplea un animal (lo que se denomi4 na el índice metabólico) se puede aproximar mediante M 5 126.4"W 3, donde M es el índice metabólico y W el peso en libras del animal. Calcule, redondeando a la centena de libras más cercana, el peso de un elefante cuyo índice metabólico es de 60,000 calorías por día. 62. Astronomía El tiempo T (en días) que le toma a un planeta dar una vuelta completa alrededor del Sol se puede aproximar mediante la ecuación T 5 0.407"d3, donde d es la distancia media del planeta al Sol, en millones de millas. A Venus le toma aproximadamente 226 días completar una rotación alrededor del Sol. Redondeando al millón de millas más cercano, ¿cuál es la distancia media de Venus al Sol? 63. Astronomía El tiempo T (en días) que le toma a una de las zonas de Saturno darle una rotación completa se puede aproximar utilizando la ecuación T 5 0.373"d 3, donde d es la distancia media desde esa luna hasta Saturno, en unidades de 100,000 km. A la luna Thetis le toma aproximadamente 1.89 días completar una rotación alrededor de Saturno. Redondeando a los 1000 km más cercanos, ¿cuál es la distancia media entre Thetis y Saturno? 64. Construcción La velocidad máxima de una montaña rusa depende de la caída vertical desde la parte superior hasta la base de la cuesta más elevada. La fórmula v 5 8!h proporciona la relación que existe entre la velocidad máxima v (en pies por segundo) y la altura h (en pies). La velocidad máxima de la montaña rusa Magnum XL-200 de Sandusky, Ohio, es de aproximadamente 114 pies/s. ¿Qué tan alta, redondeando al pie más cercano, es la cuesta más elevada de esta montaña rusa? 65.

Meteorología La velocidad sostenida del viento v (en metros por segundo) en un huracán, está dada por v 5 6.3!1013 2 p, donde p es la presión del aire en milibares (mb). Lea el artículo de la derecha. ¿Cuál era la presión del aire cuando los vientos de Julia soplaban a la velocidad mencionada en el artículo? ¿Qué sucede con la velocidad del viento en un huracán a medida que la presión del aire desciende?

66. Construcción Una escalera de 12 pies está recargada sobre un edificio. ¿Qué altura alcanzará la escalera sobre la pared si su base está a 4 pies del edificio? Redondee a la décima más cercana.

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En las noticias Una categoría especial de huracán Esto no había ocurrido desde 1926: dos huracanes de Categoría 4 presentes al mismo tiempo en el Atlántico. Ahora, el mismo día, los huracanes Igor y Julia fueron clasificados como Categoría 4, teniendo Julia los vientos más fuertes, con velocidades de hasta 69.3 m/s (155 mph). Fuente: www.examiner.com/ weather-in-baltimore

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SECCIÓN 7.4

413

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales

† 67. Construcción Una escalera de 26 pies de largo está recargada sobre un edificio. Cuando alcanza una altura de 24 pies, ¿a qué distancia del muro está su base? 9 pies/s

68. Movimiento uniforme Dos corredores parten del mismo lugar y van en las direcciones que se muestran en la figura de la derecha. Uno de ellos va a 8 pies/s y el otro a 9 pies/s. ¿Qué distancia habrá entre ellos luego de 1 min? Redondee a la décima más cercana. 69. Movimiento uniforme Dos corredores parten del mismo punto al mismo tiempo, uno de ellos corre hacia el este a 3 m/s y el otro hacia el sur a 3.5 m/s. ¿A qué distancia estarán uno del otro después de 3 minutos? Redondee a la centésima más cercana. 70. Movimiento uniforme Resuelva el siguiente problema, que aparece en un éxito de matemáticas escrito alrededor del año 1200 d.C. “Dos aves emprenden el vuelo, al mismo tiempo y a la misma velocidad, cada una desde la parte superior de una torre a 50 pies de la otra. Una torre tiene 30 pies de alto y la otra 40. Las aves llegan al mismo tiempo hasta una semilla de césped que está en el suelo. ¿A qué distancia está la semilla de la torre de 40 pies?”

8 pies/s

40 pies 30 pies semilla 50 pies

71. Oceanografía ¿A qué distancia por encima del agua tiene que estar el periscopio de un submarino para avistar un barco a 3.5 mi de distancia? La ecuación para la distancia en millas que el puesto de observación puede distinguir es d 5 !1.5h, donde h es la altura en pies sobre la superficie del agua. Redondee a la centésima más cercana. 72. Oceanografía ¿A qué distancia por encima del agua tiene que estar el periscopio submarino para avistar un barco a 3.2 mi de distancia? La ecuación para la distancia en millas que el puesto de observación puede distinguir es d 5 !1.5h, donde h es la altura en pies sobre la superficie del agua. Redondee a la centésima más cercana. 73. Física Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio. Calcule la distancia vertical que ha recorrido dicho objeto cuando alcanza una velocidad de 120 pies/s. Utilice la ecuación v 5 8!d, donde v es la velocidad y d la distancia del objeto.

d v = 80 pies/s

74. Física Se deja caer un objeto desde lo alto de un puente. Calcule la distancia vertical que ha recorrido dicho objeto cuando alcanza una velocidad de 80 pies/s. Utilice la ecuación v 5 8!d, donde v es la velocidad y d la distancia del objeto. 75. Tecnología automotriz Calcule la distancia que necesita un automóvil para alcanzar una velocidad de 48 pies/s cuando su aceleración es de 12 pies/s2. Utilice la ecuación v 5 !2as, donde v es la velocidad, a la aceleración y s la distancia. 76. Tecnología automotriz Calcule la distancia que necesita un automóvil para alcanzar una velocidad de 60 pies/s cuando su aceleración es de 10 pies/s2. Utilice la ecuación v 5 !2as, donde v es la velocidad, a la aceleración y s la distancia. 77. Satélites Lea el artículo de la derecha. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra se 4 3 1014 , donde v es la encuentra la órbita del Tren A? Utilice la ecuación v 5 Å h 1 6.4 3 106 velocidad de los satélites, en metros por segundo, y h la altura en metros sobre la superficie de la Tierra. Redondee al centenar de mil más cercano. 78. Relojes Calcule la longitud de un péndulo que hace una oscilación en 3 s. La ecuación para L el tiempo de una oscilación de un péndulo es T 5 2p , donde T es el tiempo en segunÄ 32 dos y L la longitud en pies. Redondee a la centésima más cercana.

En las noticias Observatorio Orbital de Carbono Un comité del Congreso de Estados Unidos especificó que los fondos del presupuesto de la NASA se concentren en un segundo intento por añadir un Observatorio Orbital de Carbono al “Tren A” de satélites que orbitan la Tierra a aproximadamente 7500 m/s, que brindaría a los científicos una gran cantidad de datos que pueden utilizar para estudiar el cambio climático. Fuente: Jet Propulsion Laboratory

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 79. Geometría Una caja tiene una base que mide 4 por 6 pulg. La altura de la caja es de 3 pulg. Calcule la mayor distancia entre dos esquinas. Redondee a la centésima más cercana.

3 pulg 4 pulg

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6 pulg

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414

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

80. Geometría Calcule la longitud del lado marcado como x. 1

1 1

1

1

x 1

81.

Si a y b son números reales no negativos, ¿la ecuación es siempre verdadera, a veces verdadera o nunca verdadera? "a2 1 b2 5 a 1 b Escriba un párrafo que respalde su respuesta.

82.

Si a y b son números reales positivos, y a > b, ¿ab es menor que, igual a o mayor que ba? ¿Su respuesta depende de a y b?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Nota: para esta actividad necesitará una regla y un compás. Aquí representará raíces cuadradas sobre la recta numérica. Comenzaremos por explicar cómo graficar !2 sobre la recta numérica. Dibuje una recta numérica que vaya desde 21 hasta 2. Deje 1 pulgada entre cada número. Comenzando en el 0, dibuje un triángulo ABC. El cateto AC, desde el 0 hasta el 1 sobre la recta numérica, tiene 1 unidad de largo. El cateto BC es perpendicular a AC y tiene la misma longitud que AC. Trace AB desde el punto A hasta el punto B. El triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Utilice el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa (la hipotenusa tiene !2 unidades). Coloque la punta de su compás en A (cero sobre la recta numérica) y la puntilla en el punto B. Trace un círculo de radio AB. Llamaremos D al punto donde el círculo se interseca con la recta numérica. Marque un punto en D. Esta es la gráfica de !2 sobre la recta numérica.

B

A –1

0

C 1

2

83. Utilice el procedimiento descrito en el problema anterior para graficar !5 y !8 sobre la recta numérica.

7.5 OBJETIVO

Números complejos Simplificar números complejos La expresión radical !24 no es un número real, porque no existe número real cuyo cuadrado sea 24. Sin embargo, algunas veces la solución de una ecuación algebraica es la raíz cuadrada de un número negativo.

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SECCIÓN 7.5

415

Números complejos

A finales del siglo XVII, se definió un nuevo tipo de número, llamado número imaginario, de tal modo que un número negativo tendría raíz cuadrada. Se eligió la letra i para representar al número cuyo cuadrado es 21. i2 5 21 Un número imaginario se define en términos de i.

DEFINICIÓN DE UN NÚMERO IMAGINARIO

Si a es un número real positivo, entonces la principal raíz cuadrada de 2a es el número imaginario i!a. Esto se puede escribir como !2a 5 i!a Cuando a 5 1, tenemos !21 5 i. EJEMPLOS

1. !216 5 i!16 5 4i

2. !221 5 i!21

Se acostumbra escribir la i antes del radical, para evitar que se confunda !a i con !ai.

EJEMPLO 1 Solución Problema 1 Solución

Simplifique:3!220 3!220 5 3i!20 5 3i 12!52 5 6i!5 Simplifique:25!280 Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 421. La serie que contiene números reales y números imaginarios se denomina el conjunto de los números complejos.

DEFINICIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO

Un número complejo es el que tiene la forma a 1 bi, donde a y d son números reales e i 5 !21. El número a es la parte real, a y b la parte imaginaria del número complejo. Un número complejo escrito como a 1 bi está en su forma normal o general. EJEMPLOS

Cómo se usa Los números complejos tienen aplicaciones en la ingeniería eléctrica. La importancia de un circuito de corriente alterna es un número complejo que mide la resistencia del circuito al flujo de la electricidad.

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1. 2. 3. 4.

3 1 4i 5 2 2i!7 5 24i

5.

2 1 3i 2 3 5 1 i 5 5 5

La parte real es 3; la parte imaginaria es 4. La parte real es 5; la parte imaginaria es 22!7. La parte real es 5; la parte imaginaria es 0, porque 5 5 5 1 0i. La parte real es 0; la parte imaginaria es 24, porque 24i 5 0 2 4i. 2 3 La parte real es ; la parte imaginaria es . 5 5

Números reales a 1 0i

Un número real es un número complejo en el que b 5 0.

Números imaginarios 0 1 bi

Un número imaginario es un número complejo en el que a 5 0.

Números complejos a 1 bi

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416

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

EJEMPLO 2 Solución

Escriba en forma general

4 1 !220 . 6

4 1 i!20 4 1 !220 5 6 6 5

• Escriba !220 como i !20.

4 1 2i!5 6

• Simplifique el radical.

1

2 12 1 i!5 2 2 1 i!5 5 5 # 2 3 3

• Factorice y simplifique.

1

2 !5 5 1 i 3 3 Problema 2 Solución

Escriba en forma general

• Escriba en forma general.

12 2 !272 . 3

Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 421.

OBJETIVO

Sumar y restar números complejos SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para sumar dos números complejos, se suman las partes reales y las partes imaginarias. Para restar dos números complejos, se restan las partes reales y las partes imaginarias. 1a 1 bi2 1 1c 1 di2 5 1a 1 c2 1 1b 1 d 2 i 1a 1 bi2 2 1c 1 di2 5 1a 2 c2 1 1b 2 d 2 i

EJEMPLO 3

Sume o reste. A. 13 1 2i2 1 16 2 5i2

Solución

B. 122 1 6i2 2 14 2 3i2

A. 13 1 2i2 1 16 2 5i2 5 13 1 62 1 12 2 52 i 5 9 2 3i B. 122 1 6i2 2 14 2 3i2 5 122 2 42 1 3 6 2 1232 4 i 5 26 1 9i

Problema 3

• Reste las partes reales y las partes imaginarias.

Sume o reste. A. 15 2 7i2 1 12 2 i2

Solución

• Sume las partes reales y las partes imaginarias.

B. 124 1 2i2 2 16 2 8i2

Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 45 de la página 421.

OBJETIVO

Multiplicar números complejos Al multiplicar números complejos, el término i2 con frecuencia forma parte del producto. Hay que recordar que i2 5 21.

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SECCIÓN 7.5

417

Números complejos

Concéntrese en multiplicar números imaginarios A. Multiplique: 123i2 15i2

Tome nota La parte B) ilustra un punto muy importante. Al trabajar con la raíz cuadrada de un número negativo, siempre debe reescribir la expresión en términos de i antes de proseguir.

123i2 15i2 5 215i2

Multiplique los números imaginarios

5 215 1212 5 15

Sustituya i2 por 21. Luego simplifique. B. Multiplique !26 # !224

Escriba los números imaginarios en términos de i. !26 # !224 5 i!6 # i!24 Multiplique los números imaginarios.

5 i2 !144

Sustituya i 2 por 21. Luego simplifique.

5 1212 1122 5 212

EJEMPLO 4

Multiplique. A. 13 2 4i2 12 1 5i2 C. 14 1 5i2 14 2 5i2

Solución

9 3 1 1 ib a1 2 ib 10 10 3 D. 16 1 i2 2

B. a

A. 13 2 4i2 12 1 5i2 5 6 1 15i 2 8i 2 20i2 5 6 1 7i 2 20i2 5 6 1 7i 2 20 1212 5 26 1 7i B. a

• • • •

9 3 1 1 ib a1 2 ib 10 10 3 3 3 1 2 9 2 i1 i2 i 5 10 10 10 10 9 1 2 5 2 i 10 10 1 9 1212 2 5 10 10 9 1 5 1 51 10 10

• Utilice el método PEIU. • Simplifique los términos semejantes. • Sustituya i2 por 21. • Simplifique.

C. 14 1 5i2 14 2 5i2 5 16 2 20i 1 20i 2 25i2 5 16 2 25i2 5 16 2 25 1212 5 16 1 25 5 41

• Utilice el método PEIU.

D. 16 1 i2 2 5 36 1 12i 1 i2 5 36 1 12i 1 1212 5 35 1 12i Problema 4

Solución

Utilice el método PEIU. Simplifique los términos semejantes. Sustituya i2 por 21. Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

• 16 1 i 2 2 5 16 1 i 2 16 1 i 2

Resuelva: 1 3 1 ib 10 10

A. 14 2 3i2 12 2 i2

B. 13 2 i2 a

C. 13 1 6i2 13 2 6i2

D. 11 1 5i2 2

Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 79 de la página 422.

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418

CAPÍTULO 7

OBJETIVO

Exponentes racionales y radicales

Dividir números complejos Una fracción que contiene uno o más números complejos está en su forma más simple cuando no quedan números imaginarios en el denominador.

Concéntrese en dividir un número imaginario A. Divida:

7 i

i Multiplique por 1 la expresión en la forma . i 2 Sustituya i por 21. Luego simplifique. B. Divida:

4 2 5i 2i

i Multiplique por 1 la expresión en la forma . i

Sustituya i2 por 21. Simplifique. Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

EJEMPLO 5 Solución

5 4i

Divida. A. A.

• Multiplique por 1 la exi presión en la forma . i • Sustituya i2 por 21. Luego simplifique.

5i 5 52 i 4 1212 4

2 1 7i 2 1 7i # i 5 214i 214i i 5 5

• Multiplique por 1 la exi presión en la forma . i

2i 1 7i2 214i2

2i 1 7 1212 27 1 2i 5 214 1212 14

1 1 52 1 i 2 7

Problema 5 Solución

Divida. A.

23 6i

B.

4 2 5i 4 2 5i # i 5 2i 2i i 4i 2 5i2 5 2i2 4i 2 5 1212 5 2 1212 5 1 4i 5 22 5 5 2 2 2i 2

2 1 7i 214i

5 i 5i 5 5 # 5 2 4i 4i i 4i 5

B.

B.

7 i 7i 7 5 # 5 2 i i i i 7i 5 5 27i 21

• Sustituya i2 por 21. Luego simplifique. • Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

2 2 3i 4i

Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 97 de la página 423.

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SECCIÓN 7.5

419

Números complejos

CONJUGAR UN NÚMERO COMPLEJO

El conjugado de a 1 bi es a 2 bi, y el conjugado de a 2 bi es a 1 bi. El producto de los conjugados es 1a 1 bi2 1a 2 bi2 5 a2 1 b2. EJEMPLOS

1. El conjugado de 2 1 5i es 2 2 5i. El producto de los conjugados es 12 1 5i2 12 2 5i2 5 22 1 52 5 29. 2. El conjugado de 3 2 4i es 3 1 4i. El producto de los conjugados es 13 2 4i2 13 1 4i2 5 32 1 42 5 25. 3. El conjugado de 25 + i es 25 2 i. El producto de los conjugados es 125 1 i2 125 2 i2 5 1252 2 1 12 5 26.

El conjugado de un número complejo se utiliza para dividir números complejos cuando el denominador tiene la forma a 1 bi.

Concéntrese en dividir dos números complejos A. Dividir:

3 2 2 3i 3 3 # 2 1 3i 5 2 2 3i 2 2 3i 2 1 3i 3 12 1 3i2 5 2 2 1 32 6 1 9i 6 9 5 5 1 i 13 13 13

Multiplique por 2 1 3i, el conjugado del denominador, el numerador y el denominador.

Escriba la respuesta en la forma a 1 bi. B. Divida:

5 2 2i 1 1 2i

5 2 2i # 1 2 2i 5 2 2i 5 1 1 2i 1 1 2i 1 2 2i 5 2 10i 2 2i 1 4i2 5 12 1 22 5 2 12i 1 4 1212 5 114 5 2 12i 2 4 5 5 1 2 12i 1 12 5 5 2 i 5 5 5

Multiplique por 1 – 2i, que es el conjugado del denominador, el numerador y el denominador.

Sustituya i2 por 21. Luego simplifique.

Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

EJEMPLO 6 Solución

Divida. A.

A.

13i 3 1 2i

B.

5 1 3i 4 1 2i

13i 13i # 3 2 2i 5 3 1 2i 3 1 2i 3 2 2i 5

13i 13 2 2i2 39i 2 26i2 5 2 2 3 12 914

39i 2 26 1212 26 1 39i 5 13 13 5 2 1 3i 5

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• Multiplique por 3 2 2i, el conjugado del denominador, el numerador y el denominador.

• Sustituya i2 por 21. Luego simplifique. • Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

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420

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

B.

Problema 6 Solución

5 1 3i # 4 2 2i 5 1 3i 5 4 1 2i 4 1 2i 4 2 2i 20 2 10i 1 12i 2 6i2 5 42 1 22 20 1 2i 2 6 1212 5 16 1 4 20 1 2i 1 6 5 20 26 1 2i 13 1 5 5 1 i 20 10 10 5 1 1 3i

Divida. A.

B.

• Multiplique por 4 2 2i, el conjugado del denominador, el numerador y el denominador.

• Sustituya i2 por 21. Luego simplifique.

• Escriba la respuesta en la forma a 1 bi.

2 1 5i 3 2 2i

Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 107 de la página 423.

7.5

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS ¿Qué es un número imaginario? ¿Qué es un número complejo?

1.

2. ¿Todos los números reales pertenecen al conjunto de los números complejos? ¿Todos los números imaginarios pertenecen al conjunto de los números reales? En cada uno de los siguientes números complejos, identifique la parte real y la parte imaginaria. 3. 5 2 7i

4. 6i

5. 9

6.

1 1 3i 2

Simplificar números complejos (Revise las páginas 414-416.) PREPÁRESE 7. !21 5 i, de donde i2 5

?

.

? . 8. a. La parte real del número complejo 7 2 9i es ? b. La parte imaginaria del número complejo 7 2 9i es

.

9. Simplifique: !254 !254 5 _____ ? __!54 5 i" 1_____ ? __2 1_____ ? __2 5 _____ ? __!6 10. Simplifique: "2100x16 "2100x16 5 _____ ? __"100x16 5 _____ ? __i .

11.

¿10 – 3i es equivalente a 10 1 !29 o a 10 2 !29?

12.

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a !25 1 !225? (i) 5 2 5i

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(ii) 5 1 5i

(iii) !25 1 i!25

(iv) !25 2 i!25

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SECCIÓN 7.5

Números complejos

421

Simplifique. 13. !24

14. !264

15. 5!2100

16. 6!264

17. 24!29

18. 25!281

19. !298

20. !272

22. !275

21. !227

† 23. 24!250

24. 23!220

25. 24!298

26. 9!290

28. 26 2 !225

29. 27 2 !280

31. 11 2 3!296

32. 215 1 4!240

27. 5 1 !249

30. 10 1 !263 † 33.

14 2 3 !249 7

34.

215 1 3!225 5

35.

26 2 5!24 8

36.

15 1 2!281 9

37.

6 1 4!245 3

38.

220 1 7!2125 10

39.

12 2 5!227 18

Sumar y restar números complejos (Revise la página 416.) PREPÁRESE 40. Sume: 17 2 9i2 1 123 1 4i2 17 2 9i2 1 123 1 4i2 5 17 1 _____ ? __2 1 129 1 _____ ? __2 i 5 _____ ? __

• Sume las partes reales y las partes imaginarias. • Simplifique.

41. Reste: 12 2 16 2 8i2 12 2 16 2 8i2 5 112 2 _____ ? __2 2 1 _____ ? __ 2 • Reste las partes reales y las 5 _____ ? __ 1 _____ ? __

Sume o reste.

42. 12 1 4i2 1 16 2 5i2

44. 122 2 4i2 2 16 2 8i2

46. 125 1 4i2 1 129 1 3i2 48. 16 2 2i2 2 18 2 3i2 50. 13 2 6i2 2 13 1 5i2 52. 15 2 3i2 1 2i

54. 17 1 2i2 1 127 2 2i2 56. 19 1 4i2 1 6

partes imaginarias.

• Simplifique.

43. 16 2 9i2 1 14 1 2i2

† 45. 13 2 5i2 2 18 2 2i2

47. 127 2 10i2 1 14 2 6i2 49. 127 1 5i2 2 17 2 2i2 51. 122 1 7i2 1 15 2 7i2 53. 16 2 8i2 1 4i

55. 18 2 3i2 1 128 1 3i2 57. 14 1 6i2 2 7

En los ejercicios 58 a 61 utilice los números complejos m 5 a 1 bi y n 5 c 2 di, donde a, b, c y d son todos números reales positivos. 58. ¿Verdadero o falso? Si a 5 c y b 5 d, entonces m 2 n 5 2bi. 59. ¿Verdadero o falso? Si m 2 n es un número real, entonces b 1 d 5 0. 60. Suponga que a > c y b > d. ¿La parte imaginaria de m 1 n es positiva o negativa? 61. Suponga que a < c y b < d. ¿La parte imaginaria de m 2 n es positiva o negativa?

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422

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Multiplicar números complejos (Revise las páginas 416-417.) PREPÁRESE 62. Multiplique: 27i 15 2 8i2 27i 15 2 8i2 5 1_____ ? __2 152 2 1_____ ? __2 18i2 5 _____ ? __ 1 _____ ? __i2 5 235i 1 56 1_____ ? __2 5 _____ ? __

• • • •

63. Multiplique: 11 1 4i2 12 2 3i2 11 1 4i2 12 2 3i2 5 2 2 3i 1 _____ ? __ 2 _____ ? __ 5 2 2 3i 1 8i 2 12 1_____ ? __2 5 _____ ? __

Multiplique:

Utilice la propiedad distributiva. Simplifique. i 2 5 _____ ? __ Escriba la respuesta en la forma a 1 bi. • Utilice el método PEIU. • i 2 5 _____ ? __ • Simplifique los términos semejantes.

64. 17i2 129i2

65. 126i2 124i2

66. !22 !28

67. !25 !245

68. !23 !26

69. !25 !210

70. 2i 16 1 2i2

71. 23i 14 2 5i2

72. 13 2 6i2 127 2 9i2

73. 124 1 4i2 127 2 4i2

74. 13 1 3i2 122 1 3i2

75. 11 2 3i2 19 1 6i2

76. 15 2 2i2 13 1 i2

77. 12 2 4i2 12 2 i2

78. 16 1 5i2 13 1 2i2

† 79. 14 2 7i2 12 1 3i2

1 1 80. 11 2 i2 a 1 ib 2 2

2 1 4 81. a 2 ib a1 1 ib 5 5 2

6 3 2 1 82. a 1 ib a 2 ib 5 5 3 3

2 1 83. 12 2 i2 a 1 ib 5 5

84. 121 2 3i2 123 1 9i2

85. 12 1 3i2 124 1 6i2

86. 15 1 i2 11 1 5i2 88. 16 1 i2 2 90. 15 2 2i2 2

87. 14 2 i2 121 1 4i2 89. 14 2 3i2 2 91. 121 1 i2 2

92.

¿Verdadero o falso? Para todos los números reales a y b, el producto (a 1 bi)(a 2 bi) es un número real positivo.

93.

¿Verdadero o falso? El producto de los números imaginarios es siempre un número real negativo.

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SECCIÓN 7.5

Números complejos

423

Dividir números complejos (Revise las páginas 418-420.) PREPÁRESE 1 2 2i 25i 1 2 2i 1 2 2i # ? 5 25i 25i ? i2 1 ? 2 5 25i2 i 2 21 ? 2 5 25 1 ? 2 i1 1 ? 2 5 ? 5 _____ ? __ 1 _____ ? __i

94. Simplifique:

• Para eliminar i del denominador, se multiplica i por 1 la expresión con la forma . i • Multiplique los numeradores y los denominadores. • Sustituya i 2 por 21. • Simplifique. • Escriba en la forma a 1 bi.

2i 95. Para simplificar , se multiplican por denominador. 2 2 3i

?

el numerador y el

Divida. 98.

2 2 3i 24i

4 51i

101.

6 5 1 2i

103.

5 42i

104.

7i 4 2 3i

6i 5 2 9i

106.

8i 8 1 2i

† 107.

22i 3 1 5i

108.

1 2 3i 31i

109.

2 1 12i 51i

110.

218 1 4i 21 2 2i

111.

227 2 i 21 2 3i

112.

234 1 31i 22 2 5i

113.

41 2 3i 1 1 5i

114.

2 2 3i 31i

115.

3 1 5i 12i

96.

3 i

99.

16 1 5i 23i

100.

102.

2 22i

105.

† 97.

4 5i

116.

¿Verdadero o falso? El cociente de dos números imaginarios es un número imaginario.

117.

¿Verdadero o falso? El recíproco de un número imaginario es un número imaginario.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Observe el patrón cuando se simplifican potencias sucesivas de i. Utilice este patrón para los ejercicios 118 a 126. i1 i2 i3 i4

5i 5 21 5 i2 # i 5 2i 5 i2 # i2 5 1212 1212 5 1

i5 i6 i7 i8

5 i # i4 5 i 112 5 i 5 i2 # i4 5 21 5 i3 # i4 5 2i 5 i4 # i4 5 1

118. Cuando el exponente de i es un múltiplo de 4, la potencia es igual a _______.

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424

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

119. i6

120. i9

121. i57

122. i65

123. i26

124. i234

125. i258

126. i2180

128. a. ¿Es 1 + 3i solución de x2 2 2x 2 10 5 0? b. ¿Es 1 2 3i solución de x 2 2 2x 2 10 5 0?

127. a. ¿Es 3i solución de 2x2 1 18 5 0? b. ¿Es 23i solución de 2x2 1 18 5 0?

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Los números complejos se pueden graficar en un plano. Esta gráfica se conoce como plano complejo, como se muestra abajo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Im 8

–2 + 5i

0 + 7i 6 + 3i 4

–5 + 0i –8

–4

0

4

–4

8

Re

5 – 4i

–7 – 6i –8

129. Utilice un plano complejo como el anterior para graficar los números complejos 3 1 5i, 24 2 2i, 26 1 4i, 3i, y 4. 130. El valor absoluto del número complejo z 5 a 1 bi es 0 z 0 5 "a2 1 b2. Encuentre el valor absoluto de cada uno de los números complejos del ejercicio 129. 131.

Proporcione una interpretación geométrica del valor absoluto de un número complejo.

SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

424

CAPÍTULO 7 Resumen Objetivo y página de referencia

Términos clave 1

Si n es un número entero positivo, entonces an es la raíz n-ésima de a, o el número cuya n-ésima n potencia es a. La expresión ! a es otra notación para la raíz n-ésima de a. El símbolo ! se denomina radical, n es el índice, y a el radicando. 1

Si m y n son números enteros positivos y an es un m número real, entonces el exponente racional n se define como sigue. m

Ejemplos 1

[7.1.1, p. 380, y 7.1.2, pp. 381–382]

164 5 2 porque 24 5 16.

[7.1.1, p. 380]

1253 5 112532 2 5 52 5 25

[7.1.3, p. 383]

!16 5 4

3 ! 125 5 5 porque 53 5 125.

2

1

1

1a n 2 5 1an2 m El símbolo ! se utiliza para indicar la raíz cuadrada principal o positiva de un número.

08_Cap-07_AUFMANN.indd 424

2!16 5 24

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SECCIÓN 7.1

425

Exponentes racionales CAPÍTULO y expresiones 7 Resumen radicales

El conjugado de a 1 b es a – b, y el conjugado de a – b es a 1 b. El producto de los conjugados es 1a 1 b2 1a 2 b2 5 a2 2 b2.

[7.2.4, p. 394]

El conjugado de 3 1 !5 es 3 2 !5. El producto de los conjugados es 131!52 132!52 5 32 2 1 !52 2 592554

Una función radical es aquella que contiene una variable con un exponente fraccionario o una variable dentro de un radical.

[7.3.1, p. 401]

f 1x2 5 1x 2 12 2

Una ecuación radical es aquella que contiene una expresión algebraica en el radicando.

[7.4.1, p. 407]

El símbolo i se utiliza para representar al número cuyo cuadrado es 21.

[7.5.1, p. 415]

i2 5 21

Si a es un número real positivo, entonces la raíz cuadrada principal de 2a es el número imaginario i!a. Esto se escribe !2a 5 i!a.

[7.5.1, p. 415]

!237 5 i!37 !281 5 i!81 5 9i !21 5 i

Un número complejo es un número de la forma a 1 bi, donde a y b son números reales e i 5 !21. El número a es la parte real del número complejo; b es la parte imaginaria del número complejo. Un número complejo escrito como a + bi está en su forma general.

[7.5.1, p. 415]

5 1 2i

1

3 g 1x2 5 ! x22 3 ! x142157 !x 1 !2x 1 1 5 5

6 2 2i 17 5i

Reglas y procedimientos esenciales

Objetivo y página de referencia

La parte real es 5; la parte imaginaria es 2. La parte real es 6; la parte imaginaria es 22. La parte real es 17; la parte imaginaria es 0. La parte real es 0; la parte imaginaria es 5.

Ejemplos 2

Escribir una expresión con exponentes como una expresión radical y viceversa m

[7.1.2, p. 382]

3 x22 x3 5 1 ! 1

4 ! 3x 5 13x2 4

n

a n 5 ! am 3 3 3 6 " 27x6 5 " 3 x 5 3x2

Simplificar una expresión radical que es una potencia perfecta Divida cada exponente entre el índice del radical.

[7.1.3, p. 383]

Propiedad del producto de los radicales n n Si n es un entero positivo, y ! a y ! b son n n n números reales, entonces ! a # ! b 5 ! ab.

[7.2.1, p. 389]

!7 # !5 5 !7 # 5 5 !35 4 4 4 4 ! 9# ! 75 ! 9#75 ! 63

Simplificar una expresión radical que no es una potencia perfecta Escriba el radicando como el producto de un factor a la n-ésima potencia perfecta y un factor que no contenga una n-ésima potencia perfecta.

[7.2.1, p. 389]

"12x3y2 5 "4x2y2 13x2 5 2xy!3x

Sumar o restar expresiones radicales Utilice la propiedad distributiva para sumar o restar radicales semejantes como si fueran términos semejantes.

[7.2.2, p. 389]

5!7 2 8!7 5 23!7

08_Cap-07_AUFMANN.indd 425

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426

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

Multiplicar expresiones radicales Utilice la propiedad del producto de los radicales para multiplicar los radicales con el mismo índice. Utilice el método PEIU para multiplicar expresiones radicales de dos términos.

[7.2.3, p. 391]

Propiedad del cociente de los radicales

[7.2.4, p. 392]

n

12 1 !x2 13 2 !x2 5 6 2 2!x 1 3!x 2 x 5 6 1 !x 2 x

n

Si n es un entero positivo, y ! a y ! b son números reales, entonces

Graficar una función radical El dominio de una función radical con un índice par se determina al resolver la desigualdad que establece que el radicando es mayor o igual que cero.

!42 42 5 5 !7 Å6 !6 3 ! 63 63 3 5 3 5! 9 3 Å 7 !7

n

!a n a 5 . n !b Å b Dividir expresiones radicales Utilice la propiedad del cociente de los radicales para dividir radicales con el mismo índice. El denominador se racionaliza mediante la multiplicación del numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Utilice 1a 1 b2 1a 2 b2 5 a2 2 b2.

3 3 3 3 ! 6x # " 4x2 5 " 24x3 5 2x! 3

[7.2.4, pp. 392–393]

3 " 8x5 3 " 2x3

[7.3.2, pp. 402–403]

5

8x5 3 5" 4x2 Å 2x3 3

2 2 # 3 2 !5 5 3 1 !5 3 1 !5 3 2 !5 2 13 2 !52 6 2 2!5 5 5 925 4 3 2 !5 5 2 El dominio de f 1x2 5 !4x 1 20 es 5 x 0 x $ 25 6 . y 8 6 4

f(x) =

4x + 20

2 –4

–2 0

2

4

x

Resolver una ecuación radical Reescriba la ecuación de tal modo que el radical quede solo en un lado de la ecuación. Luego se elevan ambos lados de la ecuación a la potencia dada por el índice del radical.

[7.4.1, p. 408]

Teorema de Pitágoras Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 1 b2 5 c2.

[7.4.2, p. 410]

Escribir de forma numérica un número complejo Escriba el número en la forma a 1 bi.

[7.5.1, p. 415]

Sumar o restar números complejos Sume (o reste) las partes reales. Sume (o reste) las partes imaginarias.

[7.5.2, p. 416]

Multiplicar números complejos Multiplique como si fuesen números reales y sustituya i2 por 21.

[7.5.3, pp. 416–417]

13 1 i2 12 2 3i2 5 6 2 9i 1 2i 2 3i2 5 6 2 7i 2 3 1212 5 9 2 7i

Dividir números complejos Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Si el denominador es un número imaginario, se multiplican por i el numerador y el denominador.

[7.5.4, p. 418]

41i#21i 7 1 6i 7 6 41i 5 5 5 1 i 22i 22i 21i 5 5 5

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3 ! 2x 2 2 5 4 3 ! 2x 5 6 3 1 ! 2x2 3 5 63 2x 5 216 x 5 108

5

3

32 1 42 5 52

4

4 1 2i!3 4 1 !212 5 5 2 1 i!3 2 2 13 1 4i2 1 12 2 7i2 5 5 2 3i

13/10/12 09:43 a.m.

SECCIÓN 7.1

427

Exponentes CAPÍTULO racionales 7 y expresiones Ejercicios de radicales repaso

CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso 3

1

24

1. Simplifique: 81

2. Simplifique:

x22 7

x2 3. Simplifique: 1a162 28

4. Simplifique: 116x24y122 1100x6y222 2

5

1

13x4y22 4 3 1

5. Simplifique:

1x22y42 2 1

3 2 7. Reescriba como una expresión radical 7y" x

9. Simplifique: 2"49x6y16

3

6. Reescriba como una expresión radical 3x4 4 8. Simplifique: " 81a8b12 3 10. Simplifique: " 28a6b12

11. Simplifique: "18a3b6

5 12. Simplifique: " 264a8b12

4 6 8 10 13. Simplifique: " xyz

14. Sume: !54 1 !24

3 3 15. Reste: 4" 8x6y5 2 3xy" 27x3y2

16. Reste: "50a4b3 2 ab"18a2b

17. Simplifique: 4x"12x2y 1 "3x4y 2 x2 !27y

18. Multiplique: !32 !50

3 3 19. Multiplique: " 16x4y " 4xy5

20. Multiplique: !3x 13 1 !3x2

2 21. Multiplique: 15 2 !62

22. Multiplique: 1 !3 1 82 1 !3 2 22

23. Multiplique: 13!a 1 5!b2 12!a 2 6!b2

24. Simplifique:

"125x6 "5x3

25. Simplifique:

8 !3y

26. Simplifique:

6 3 ! 9x

27. Simplifique:

6 7 2 3!5

28. Simplifique:

1 1 2!3 2 2 5!3

29. Simplifique:

!x 1 !y !x 2 !y

31. Exprese en notación de conjuntos el dominio 3 de f 1x2 5 !x 2 5 33. Grafique: f 1x2 5 !x 2 3

08_Cap-07_AUFMANN.indd 427

30. Exprese en notación de conjuntos el dominio 4 de f 1x2 5 ! 3x 2 2 32. Grafique: g 1x2 5 3x3 1

3 34. Resuelva: ! 9x 5 26

13/10/12 09:43 a.m.

428

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales

3 35. Resuelva: ! 3x 2 5 5 2

36. Resuelva: !4x 1 9 1 10 5 11

37. Resuelva: !3x 1 1 1 !3x 1 10 5 9

38. Simplifique: !236

39. Simplifique: !250

40. Simplifique:

41. Sume: 15 1 2i2 1 14 2 3i2

42. Reste: 128 1 3i2 2 14 2 7i2

43. Sume: 13 2 9i2 1 7

44. Multiplique: 18i2 12i2

45. Multiplique: i 13 2 7i2

46. Multiplique: 16 2 5i2 14 1 3i2

14 2 3!272 21

47. Divida:

26 i

48. Divida:

5 1 2i 3i

49. Divida:

7 22i

50. Divida:

5 1 9i 12i

51. Geometría Calcule la altura de un rectángulo que tiene una diagonal de 13 pulg y una base de 12 pulg.

v

52. Energía eólica La velocidad del viento determina la cantidad de energía producida por 3 un generador eólico. Una ecuación típica para esta relación es v 5 4.05! P, donde v es la velocidad en millas por hora y P la energía en watts. Calcule la cantidad de energía generada por un viento de 20 mph. Redondee al número entero más cercano. 53. Física Calcule la distancia que requiere un automóvil para alcanzar una velocidad de 88 pies/s cuando su aceleración es de 16 pulg/s2. Utilice la ecuación v 5 !2as, donde v es la velocidad, a la aceleración y f la distancia. 54. Mantenimiento de edificios Una escalera de 12 pies está recargada contra la pared de un edificio. ¿A qué distancia de la pared está la base de la escalera si su parte superior hace contacto con el edificio a 10 pies por encima del suelo? Redondee a la centésima más cercana.

CAPÍTULO 7 Examen 1. Simplifique:

12x3y232 6 1

2

r3r21

2. Simplifique:

1

r2 2

2

1x24y82 4 1

3

4a4 22 3. Simplifique: a 2 b b

4 3 5. Reescriba como una expresión con exponentes 12" x

7. Exprese en notación de intervalos el dominio de 1 f 1x2 5 12x 2 32 3 9. Sume: "18a3 1 a!50a 11. Multiplique: !3x 1 !x 2 !25x2 13. Multiplique: 1!a 2 3!b2 12!a 1 5!b2

08_Cap-07_AUFMANN.indd 428

2

4. Reescriba como una expresión radical 3y5 6. Exprese en notación de conjuntos el dominio de f 1x2 5 !4 2 x 3 8. Simplifique: " 27a4b3c7

3 3 3 10. Reste: " 54x7y3 2 x" 128x4y3 2 x2" 2xy3

12. Multiplique: 12!3 1 42 13!3 2 12 2 14. Multiplique: 12!x 1 !y2

13/10/12 09:43 a.m.

SECCIÓN 7.1

15. Simplifique: 17. Simplifique:

"32x5y "2xy3 !x !x 2 !y

19. Reste: 15 2 2i2 2 18 2 4i2 21. Divida:

2 1 3i 1 2 2i

429

Exponentes racionales Ejercicios de y expresiones repaso acumulativos radicales

16. Simplifique:

4 2 2!5 2 2 !5

18. Multiplique: 1 !282 1 !222 20. Multiplique: 12 1 5i2 14 2 2i2 22. Sume: 12 1 i2 1 12 2 i2

23. Resuelva: !x 1 12 2 !x 5 2

3

24. Resuelva: ! 2x 2 2 1 4 5 2

25. Cable de sujeción Un cable está sujeto a un poste de alumbrado público en un punto que está a 30 pies sobre el nivel del suelo. A su vez, está anclado al suelo en un punto que está a 6 pies de la base del poste. Calcule la longitud del cable. Redondee a la décima más cercana.

30 pies

6 pies

Ejercicios de repaso acumulativos 1. Identifique la propiedad que justifica la expresión. 1a 1 22 b 5 ab 1 2b

3. Encuentre A d B dados A 5 5 2, 4, 6 6 y B 5 5 1, 3, 5 6 .

5. Resuelva: 5 2

2 x54 3

7. Resuelva: 3x 2 4 # 8x 1 1 Escriba la solución en notación de conjuntos.

9. Resuelva: 0 7 2 3x 0 . 1

2. Simplifique: 2x 2 3 3 x 2 2 1x 2 42 1 2x 4

3 4. Resuelva: ! 2x 2 5 1 3 5 6

6. Resuelva: 2 3 4 2 2 13 2 2x2 4 5 4 11 2 x2

8. Resuelva: 5 , 2x 2 3 , 7 Escriba la solución en notación de conjuntos.

10. Factorice: 64a2 2 b2

11. Factorice: x5 1 2x3 2 3x

12. Resuelva: 3x2 1 13x 2 10 5 0

13. Grafique: g 1x2 5 !1 2 x

14. La recta con ecuación x 2 2y 5 4 ¿es perpendicular a la recta con ecuación 2x 1 y 5 4?

08_Cap-07_AUFMANN.indd 429

13/10/12 09:43 a.m.

430

CAPÍTULO 7

Exponentes racionales y radicales 1

15. Simplifique: 13 x y 2 13 y 2 21 3 25

21 22 22

17. Reste: "20x3 2 x!45x

19. Simplifique:

3 " 4x5y4 3

"8x y

2 5

16. Simplifique: a

3

x22y 4 5 24

y

4

b

18. Multiplique: 1 !5 2 32 1 !5 2 22

20. Divida:

3i 22i

21. Grafique: 5 x 0 x . 21 6 d 5 x 0 x # 3 6

22. Exprese en notación de conjuntos el dominio de 5 g 1x2 5 ! 2x 1 5

23. Dada f 1x2 5 3x2 2 2x 1 1, evalúe f 1232 .

24. Encuentre la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos P1 12, 32 y P2 121, 22 .

1 2 23 25. Evalúe el determinante: † 0 21 2† 3 1 22

27. Encuentre la pendiente y la intersección con el eje y de la recta con ecuación 3x 2 2y 5 26, y luego grafique la recta.

26. Resuelva utilizando la regla de Cramer:

2x 2 y 5 4 22x 1 3y 5 5

28. Grafique el conjunto solución de 3x 1 2y # 4.

29. Inversiones Se hace una inversión de $2500 con una tasa de interés anual simple de 7.2%. ¿Cuánto dinero adicional se deberá invertir a una tasa de interés anual simple de 8.4% para que el total de ingresos por intereses sea de $516?

L

30. Geometría La altura de un rectángulo es 6 pies menor que su base. Su área es de 72 pies2. Calcule la base y la altura del rectángulo.

L−6

31. Movimiento uniforme Un ejecutivo de ventas viajó 25 mi en automóvil y luego 625 mi en avión. La tasa de velocidad del avión fue cinco veces la del automóvil. El tiempo total del viaje fue 3 h. Calcule la tasa de velocidad del avión. 32. Astronomía ¿Cuánto tiempo le lleva a la luz viajar desde la Luna a la Tierra cuando la Luna se encuentra a 232,500 mi de la Tierra? La luz viaja a 1.86 3 105 mi/s.

34. Inversiones La gráfica muestra la cantidad invertida y los ingresos por intereses anuales de una inversión. Calcule la pendiente de la recta entre los dos puntos que se muestran en la gráfica. Luego formule una expresión que describa el significado de la pendiente.

08_Cap-07_AUFMANN.indd 430

y Intereses (en dólares)

33. Periscopios ¿A qué distancia por encima del agua tiene que estar el periscopio de un submarino para avistar un barco que se encuentra a 7 mi de distancia? La ecuación para la distancia en millas que alcanza a distinguir un puesto de observación es d 5 !1.5h, donde h es la altura en pies por encima de la superficie del agua. Redondee a la décima más cercana.

500 400 300 200 100 0

(5000, 400)

1000

2000

3000

4000

5000

x

Inversión (en dólares)

13/10/12 09:43 a.m.

8

CAPÍTULO

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Elaboró un plan de administración del tiempo antes de comenzar con este curso? Si no es así, todavía está a tiempo de disfrutar de los beneficios de hacerlo. Elabore un programa de actividades que le ofrezca tiempo suficiente para hacer todo lo que necesita. Queremos que programe tiempo para estudiar matemáticas cada semana, de manera que complete con éxito este curso. Una vez que determine los horarios en los que estudiará, considere ese tiempo de estudio como un compromiso que no puede romper. (Revise Administración del tiempo, página A-4.)

OBJETIVOS 8.1

8.2

8.3

8.4 8.5

8.6

8.7

1 Resolver ecuaciones

cuadráticas por el método de factorización 2 Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 1 Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 2 Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 1 Ecuaciones de forma cuadrática 2 Ecuaciones radicales 3 Ecuaciones fraccionarias 1 Problemas de aplicación 1 Gráfica de una función cuadrática 2 Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola 1 Problemas de máximos y mínimos 2 Aplicaciones de los máximos y mínimos 1 Resolver desigualdades no lineales

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EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: !18 2. Simplifique: !29 3. Simplifique:

3x 2 2 21 x21

4. Evalúe: b2 2 4ac cuando a 5 2, b 5 24, y c 5 1. 5. 4x2 1 28x 1 49 ¿es un trinomio cuadrado perfecto? 6. Factorice: 4x2 2 4x 1 1 7. Factorice: 9x2 2 4 8. Grafique 5 x 0 x , 21 6

x

5x 0 x , 46

9. Resuelva: x 1x 2 12 5 x 1 15 10. Resuelva:

16 4 5 x23 x

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432

CAPÍTULO 8

8.1 OBJETIVO

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización Una ecuación cuadrática es aquella que tiene la forma ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a y b son coeficientes, c una constante y a 2 0. 3x2 2 x 1 2 5 0, a 5 3,

b 5 21, c 5 2

2x 1 4 5 0,

a 5 21, b 5 0,

6x 2 5x 5 0,

a 5 6,

2

2

c54

b 5 25, c 5 0

Una ecuación cuadrática está en su forma general cuando el polinomio está en orden descendente y es igual a cero. Puesto que el grado del polinomio ax2 1 bx 1 c es 2, a la ecuación cuadrática también se le conoce como ecuación de segundo grado. La propiedad del producto cero establece que si el producto de dos números es igual a cero, por lo menos uno de los factores es igual a cero.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO CERO

Tome nota La propiedad del producto cero contiene la frase por lo menos uno. Esta frase significa que uno o ambos factores pueden ser iguales a cero. Observe que este concepto se utiliza en el ejemplo (3) del recuadro de la derecha.

Si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de los factores es igual a cero. Si ab 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0. EJEMPLOS

1. Suponga que 3x 5 0. Los factores son 3 y x. El producto es igual a cero, por lo que por lo menos uno de ellos debe ser cero. Puesto que 3 2 0, sabemos que x 5 0. 2. Suponga que 24(x – 4) 5 0. Los factores son 24 y x – 4. El producto es igual a cero, por lo que por lo menos uno de ellos debe ser cero. Puesto que 24 2 0, sabemos que x – 4 5 0, lo cual significa que x 5 4. 3. Suponga que (x – 2)(x 1 3) 5 0. Los factores son x – 2 y x 1 3. El producto es igual a cero, por lo que x – 2 5 0 o x 1 3 5 0. Si x – 2 5 0, entonces x 5 2. Si x 1 3 5 0, entonces x 5 23.

La propiedad del producto cero se puede utilizar para resolver algunas ecuaciones cuadráticas.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva por factorización: 2x2 2 3x 5 2 2x2 2 3x 2 2 5 0 2x2 2 3x 2 2 5 0

• Escriba la ecuación en forma general.

12x 1 12 1x 2 22 5 0

• Factorice el polinomio.

2x 1 1 5 0

• Utilice la propiedad del producto cero. El producto de 2x 1 1 y x 2 2 es 0. Por tanto, por lo menos uno de los factores es cero.

x2250

2x 5 21 x52

x52

1 2

1 Las soluciones son 2 y 2. 2

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SECCIÓN 8.1

433

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces

Problema 1 Solución

Resuelva por factorización: 3x2 1 14x 1 8 5 0 Revise la página S25.

† Intente resolver el ejercicio 29 de la página 436.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva por factorización: 1x 1 12 12x 2 12 5 2x 1 2 1x 1 12 12x 2 12 5 2x 1 2 2x2 1 x 2 1 5 2x 1 2

• Multiplique los factores del lado izquierdo.

2x2 2 x 2 3 5 0

• Escriba la ecuación en su forma general.

1x 1 12 12x 2 32 5 0

• Factorice.

x1150

• Utilice la propiedad del producto cero.

2x 2 3 5 0

x 5 21

x5

3 2

3 Las soluciones son 21 y . 2 Problema 2 Solución

Resuelva por factorización: 1x 1 52 1x 2 12 5 7 Revise la página S26.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 437. Cuando una ecuación cuadrática tiene dos soluciones que son el mismo número, la solución se denomina la raíz doble de la ecuación.

Concéntrese en resolver una ecuación con raíz doble Resuelva por factorización: x2 2 6x 1 9 5 0 x2 2 6x 1 9 5 0 Factorice.

1x 2 32 1x 2 32 5 0

Utilice la propiedad del producto cero.

x2350

x2350

x53

x53

Resuelva cada ecuación para x. 3 es la raíz doble de x 2 6x 1 9 5 0. 2

La propiedad del producto cero también se puede utilizar para escribir una ecuación que tiene raíces específicas. Por ejemplo, suponga que se dan r y s como soluciones de una ecuación. La primera ecuación posible es 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0, como se muestra a continuación. 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0 Utilice la propiedad del producto cero. Resuelva para x.

x2r50

x2s50

x5r

x5s

Las soluciones son r y s. Dadas las soluciones r y s, y la ecuación 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0, podemos encontrar una ecuación cuadrática que tenga las soluciones dadas.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Concéntrese en escribir una ecuación cuadrática, dadas sus soluciones Escriba una ecuación cuadrática que tiene las soluciones 25 y 4. 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0 3 x 2 1252 4 1x 2 42 5 0

Sustituya r por 25 y s por 4.

1x 1 52 1x 2 42 5 0

Simplifique.

x2 1 x 2 20 5 0

Multiplique los binomios. La ecuación cuadrática con soluciones 25 y 4 es x2 1 x 2 20 5 0.

EJEMPLO 3

Escriba una ecuación cuadrática que tiene coeficientes enteros y soluciones 23 y 12. 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0

Solución

1 2 ax 2 b ax 2 b 5 0 3 2 7 1 x2 2 x 1 5 0 6 3 7 1 6ax2 2 x 1 b 5 6 # 0 6 3

• Sustituya r por

2 1 y s por . 3 2

• Multiplique los binomios.

• Multiplique por 6, el mcd, ambos lados de la ecuación.

6x2 2 7x 1 2 5 0 Una ecuación cuadrática con soluciones 23 y 12 es 6x2 2 7x 1 2 5 0. Problema 3 Solución

Escriba una ecuación cuadrática que tenga coeficientes enteros y soluciones 223 y 16. Revise la página S26.

† Intente resolver el ejercicio 59 de la página 437.

OBJETIVO

Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces Recuerde que si x es una variable que puede ser positiva o negativa, entonces "x2 5 0 x 0. Este hecho se utiliza para resolver una ecuación cuadrática utilizando raíces.

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática utilizando raíces A. Resuelva: x2 5 16 x2 5 16 Calcule la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. "x2 5 0 x 0 , !16 5 4 Resuelva la ecuación de valor absoluto. La notación x 5 ±4 significa que x 5 4 o x 5 24.

"x2 5 !16 0x0 5 4 x 5 64

Las soluciones son −4 y 4.

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SECCIÓN 8.1

435

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces

B. Resuelva utilizando raíces: 3x2 2 54 5 0 3x2 2 54 5 0 3x2 5 54

Resuelva para x2.

x2 5 18 "x2 5 !18

Se obtiene la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

0 x 0 5 3!2

Simplifique.

x 5 63!2

Resuelva el valor absoluto de la ecuación. Las soluciones son 23!2 y 3!2. C. Resuelva utilizando raíces: x2 1 18 5 6

x2 1 18 5 6 x2 5 212

Resuelva para x2.

"x2 5 !212

Se obtiene la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

0 x 0 5 i!12 5 2i!3

Simplifique.

x 5 62i!3

Las soluciones son 22i!3 y 2i!3.

Se puede resolver una ecuación que contiene un binomio al cuadrado utilizando raíces.

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva utilizando raíces: 3 1x 2 22 2 1 12 5 0 3 1x 2 22 2 1 12 5 0 3 1x 2 22 2 5 212

• Resuelva para 1x 2 22 2.

1x 2 22 2 5 24 " 1x 2 22 2 5 !24

• Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Luego simplifique.

0 x 2 2 0 5 2i x 2 2 5 62i x 2 2 5 2i

x 2 2 5 22i

x 5 2 1 2i

• Resuelva para x.

x 5 2 2 2i

Las soluciones son 2 1 2i y 2 2 2i. Problema 4 Solución

Resuelva utilizando raíces: 5 1x 1 42 2 1 7 5 17 Revise la página S26.

† Intente resolver el ejercicio 103 de la página 438.

8.1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuáles de las siguientes no son ecuaciones cuadráticas? (i) 3x 2 5 5 0

09_Cap-08_AUFMANN_1a-Parte.indd 435

(ii) 3x2 5 4x 2 8

(iii) x2 1 4x 2 5

(iv) 0 5 x2 2 6x 1 12

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436

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Escriba una ecuación en forma general con el coeficiente de x2 positivo. 2. 4x 5 2x2 2 3

3. x2 1 3x 5 7

4. 3x 5 22x2

5. 4x2 5 15

Determine si la expresión es siempre verdadera, en ocasiones verdadera o nunca verdadera. 6. Una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. 7. Si 1x 2 32 1x 1 52 5 8, entonces x 2 3 5 8 o x 1 5 5 8. 8. Una solución de x2 1 x 5 5 es 2. Resuelva la ecuación. 9. 5 1x 1 32 5 0

10. 1x 2 42 1x 1 22 5 0

11. x 1x 2 52 5 0

12. 12x 1 32 13x 2 42 5 0

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización (Revise las páginas 432-434.) 13.

Explique por qué se incluye la restricción a 2 0 en la definición de una ecuación cuadrática.

14.

¿Qué establece la propiedad del producto cero? ¿Cómo se utiliza para resolver una ecuación cuadrática?

PREPÁRESE 15. Resuelva: x2 5 6x 1 27 x2 5 6x 1 27 x2 2 6x 2 27 5 0

1x 1

2 1x 2

?

x135

?

x5

?

? o

? • Escriba la ecuación en forma al restar 6x y 27 a ambos lados de la ecuación.

2 50

• Factorice el trinomio.

x295

?

x5

?

• Utilice la propiedad del producto cero.

16. a. La forma actualizada de la ecuación cuadrática que tiene las soluciones 24 y 7 es ( ? )( ? ) 5 0. b. La forma general de la ecuación que se menciona en el inciso a es

?

5 0.

Resuelva por factorización. 17. x2 2 4x 5 0

18. y2 1 6y 5 0

19. 9z2 2 18z 5 0

20. 4y2 1 20y 5 0

21. s2 2 s 2 6 5 0

22. v2 1 4v 2 5 5 0

23. t2 2 25 5 0

24. p2 2 81 5 0

25. y2 2 6y 1 9 5 0

26. x2 1 10x 1 25 5 0

27. r2 2 3r 5 10

28. p2 1 5p 5 6

30. t2 2 16 5 15t

31. 2x2 2 9x 2 18 5 0

32. 3y2 2 4y 2 4 5 0

33. 4z2 2 9z 1 2 5 0

34. 2s2 2 9s 1 9 5 0

35. 3w2 1 11w 5 4

36. 2r2 1 r 5 6

37. 6x2 5 23x 1 18

38. 6x2 5 7x 2 2

39. 4 2 15u 2 4u2 5 0

40. 3 2 2y 2 8y2 5 0

† 29. v2 1 10 5 7v

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SECCIÓN 8.1

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces

41. 4s 1s 1 32 5 s 2 6

42. 3v 1v 2 22 5 11v 1 6

† 43. 12x 2 32 1x 1 42 5 4x 2 2

44. 13x 2 22 1x 1 52 5 20x 2 4 46. 13v 2 22 12v 1 12 5 3v2 2 11v 2 10

45. 13x 2 42 1x 1 42 5 x2 2 3x 2 28 47.

Dado que ax2 1 bx 1 c 5 0 es una ecuación cuadrática que se puede resolver por factorización, determine si la ecuación tiene dos soluciones positivas, dos soluciones negativas o una solución positiva y una negativa. a. a . 0, b , 0, c , 0

48.

437

b. a . 0, b . 0, c . 0

c. a . 0, b , 0, c . 0

¿Cuál ecuación tiene una raíz doble? (i) x2 5 a2

(ii) x2 1 2ax 5 a2

(iii) x2 1 2ax 5 2a2

(iv) x2 2 2ax 5 a2

Escriba una raíz cuadrática que tenga coeficientes enteros y tenga como solución el par de números que se dan. 49. 2 y 5 50. 22 y 24 51. 6 y 21 52. 22 y 5

53. 3 y 23

54. 5 y 25

55. 4 y 4

56. 2 y 2

57. 0 y 5

58. 0 y 22

† 59. 3 y

1 2

1 60. 2 y 5 2

5 61. 2 y 22 3

3 62. 2 y 21 2

1 1 64. 2 y 2 2

65.

1 1 67. 2 y 2 4 2

5 2 68. 2 y 2 6 3

2 2 63. 2 y 3 3

6 1 y2 5 2

66.

3 3 y2 4 2

69.

3 1 y2 5 10

Para los ejercicios 70 a 73, r y s son soluciones de la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a es positiva. En todos los casos, determine si b es positiva o negativa y si c es positiva o negativa. 70. r . 0, s . 0 71. r , 0, s , 0 72. r . 0, s , 0, r . 0 s 0

73. r . 0, s , 0, r , 0 s 0

Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces (Revise las páginas 434-435.) PREPÁRESE 74. La notación x 5 ±6, significa que x 5

ox5

?

?

.

75. Resuelva utilizando raíces: 4x 1 100 5 0 2

4x2 1 100 5 0 4x2 5

?

• Reste

x2 5

?

• Divida entre

"x 5 !225 2

0x0 5 x56

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?

?

• Obtenga la

en ambos lados de la ecuación.

? ?

ambos lados de la ecuación. de cada lado de la ecuación.

• Simplifique !225.

?

• Resuelva para x.

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438

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Resuelva utilizando raíces. 76. x2 5 64

77. y2 5 49

78. r2 2 36 5 0

79. s2 2 4 5 0

80. 9x2 2 16 5 0

81. 4x2 2 81 5 0

82. s2 2 32 5 0

83. v2 2 48 5 0

84. 4r2 2 80 5 0

86. 1x 1 22 2 5 25

87. 1x 2 12 2 5 36

88. 1x 2 52 2 2 18 5 0

89. 1x 1 42 2 2 50 5 0

90. 3 1x 1 22 2 2 36 5 0

91. 7 1y 2 32 2 2 56 5 0

1 2 4 92. ay 1 b 5 3 9

2 2 9 93. ax 2 b 5 5 25

3 2 8 94. 2ax 1 b 5 5 25

5 2 4 95. 3ax 2 b 5 3 3

96. z2 1 16 5 0

97. y2 1 49 5 0

98. t2 1 27 5 0

99. z2 1 18 5 0

85.

x2 2 16 5 0 2

100. 1x 2 22 2 5 24 † 103. 1z 1 12 2 1 12 5 0 3 2 9 106. az 2 b 1 5 0 4 2

101. 1x 1 52 2 5 225

102. 1r 2 22 2 1 28 5 0

1 2 104. 2ax 1 b 1 50 5 0 2

2 2 105. 3ay 2 b 1 4 5 0 3

4 2 9 107. av 1 b 1 5 0 5 5

Para los ejercicios 108 a 111, a y b son números reales positivos. En cada caso determine cuántas soluciones, en número real o complejo, tiene la ecuación. 108. 1x 2 a2 2 1 b 5 0

109. x2 1 a 5 0

110. 1x 2 a2 2 5 0

111. 1x 2 a2 2 2 b 5 0

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Escriba una ecuación con coeficientes enteros que tenga los números dados como soluciones. 112. 1 2 !5 y 1 1 !5

113. 4 2 2!3 y 4 1 2!3

114. 23i y 3i

115. 2i!3 e i!3

116. 2 2 i y 2 1 i

117. 1 2 5i y 1 1 5i

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 118. Una solución de 2x2 2 5x 1 c 5 0 es 4. ¿Cuál es la otra solución? 119. ¿Para cuántos valores enteros de b tiene soluciones enteras la ecuación x2 2 bx 2 16 5 0? 120. Marc y Elena trataron de resolver la misma ecuación de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0. Por desgracia, Marc copió de forma incorrecta el valor de a y obtuvo las soluciones 22 y 232. Elena copió de forma incorrecta el valor de b y obtuvo las soluciones 2 y 3. Si ninguno de ellos hubiera cometido un error al copiarla, ¿cuál sería la ecuación correcta?

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SECCIÓN 8.2

439

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

8.2 OBJETIVO

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio. A continuación aparecen algunos ejemplos de trinomio cuadrado perfecto. Trinomio cuadrado perfecto

Cuadrado de un binomio

x2 1 8x 1 16

5

1x 1 42 2

x2 2 10x 1 25

5

1x 2 52 2

25 4

5

5 2 ax 2 b 2

x2 2 5x 1

Para todo trinomio cuadrado perfecto, el cuadrado del coeficiente 12 de x es igual al término constante. 2 1 a coeficiente de xb 5 Término constante 2 2 1 x2 1 8x 1 16, a # 8b 5 16 2 2 1 x2 2 10x 1 25, c 12102 d 5 25 2 2 1 25 25 x2 2 5x 1 , a 1252 b 5 4 2 4 Para completar el cuadrado en x2

bx, se suma A 12bB2 a x2 1 bx.

Concéntrese en completar el cuadrado A. Complete el cuadrado de x2 2 12x. Escriba como el cuadrado de un binomio el trinomio cuadrado perfecto resultante.

Punto de interés Los primeros intentos de resolver las ecuaciones cuadráticas fueron principalmente geométricos. El matemático persa al-Khwarizmi (800 a. C., aprox.) en esencia completó un cuadrado de x2 1 12x como se muestra a continuación. 6x x2

6x

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Encuentre el término constante

2 1 c 12122 d 5 1262 2 5 36 2

Complete el cuadrado en x2 2 12x sumándole el término constante.

x2 2 12x 1 36

Escriba como el cuadrado de un binomio el trinomio cuadrado perfecto resultante.

x2 2 12x 1 36 5 1x 2 62 2

B. Complete el cuadrado en z2 1 3z. Escriba como el cuadrado de un binomio el trinomio cuadrado perfecto resultante. 2 1 3 2 9 a # 3b 5 a b 5 Encuentre el término constante. 2 2 4 Complete el cuadrado en z2 1 3z sumándole el término constante.

z2 1 3z 1

9 4

Escriba como el cuadrado de un binomio el trinomio cuadrado perfecto resultante.

z2 1 3z 1

9 3 2 5 az 1 b 4 2

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440

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

No todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por medio de factorización, pero toda ecuación cuadrática se puede resolver por el método de completar el cuadrado. Añada el término que complete al cuadrado a ambos lados de la ecuación. Reescriba la ecuación en la forma 1x 1 a2 2 5 b. Luego obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática por el método de completar el cuadrado Resuelva por el método de completar el cuadrado: x2 2 4x 2 14 5 0 Sume 14 a ambos lados de la ecuación. Sume el término constante que completa el cuadrado de x2 2 4x a ambos lados de la ecuación.

Punto de interés Siempre debe comprobar sus soluciones.

3 12 1242 4 2 5 4

Comprobación:

Factorice el trinomio cuadrado perfecto.

x 2 4x 2 14 5 0 2

12 1 3 !22 2 4 12 1 3 !22 2 14 0 4 1 12 !2 1 18 2 8 2 12 !2 2 14 0 050 2

x2 2 4x 2 14 5 0 12 2 3 !22 2 2 4 12 2 3 !22 2 14 0 4 2 12 !2 1 18 2 8 1 12 !2 2 14 0 050

Obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. Simplifique.

x2 2 4x 2 14 5 0 x2 2 4x 5 14 x2 2 4x 1 4 5 14 1 4

1x 2 22 2 5 18 " 1x 2 22 2 5 !18 0 x 2 2 0 5 3!2 x 2 2 5 63!2

Resuelva para x.

x 2 2 5 3!2

x 2 2 5 23!2

x 5 2 1 3!2

x 5 2 2 3!2

Las soluciones son 2 1 3!2 y 2 2 3!2. Las soluciones de la ecuación x2 2 4x 2 14 5 0 son 2 1 3!2 y 2 2 3!2. Estas son soluciones exactas. Sin embargo, en algunas situaciones puede resultar preferible tener aproximaciones decimales de las soluciones de una ecuación cuadrática. Las soluciones aproximadas se pueden encontrar utilizando una calculadora y luego redondeando al grado de exactitud deseado. 2 1 3!2 < 6.243 y 2 2 3!2 < 22.243 Redondeando a la milésima más cercana, las soluciones aproximadas de la ecuación x2 2 4x 2 14 5 0 son 6.243 y 22.243. Cuando a, el coeficiente del término x2, no es 1, se dividen entre a ambos lados de la ecuación antes de completar el cuadrado.

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática por el método de completar el cuadrado Resuelva: 2x2 2 x 2 2 5 0 Divida entre el coeficiente de x2 ambos lados de la ecuación. El coeficiente del término x2 es ahora 1.

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2x2 2 x 2 2 5 0 2x2 2 x 5 2 2 2x2 2 x 5 2 2 1 x2 2 x 5 1 2

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SECCIÓN 8.2

441

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

Punto de interés Este ejemplo ilustra todos los pasos necesarios para resolver una ecuación cuadrática por el método de completar el cuadrado. 1. Escriba la ecuación en la forma ax2 1 bx 5 2c. 2. Divida entre a cada lado de la ecuación. 3. Complete el cuadrado en x2 1 bax. Sume a ambos lados de la ecuación el número que completa el cuadrado. 4. Factorice el trinomio cuadrado perfecto. 5. Obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. 6. Resuelva para x la ecuación resultante. 7. Revise las soluciones.

1 1 1 x2 2 x 1 511 2 16 16

Sume a ambos lados de la ecuación el término que complete el cuadrado en 1 x2 2 2x.

1 2 17 ax 2 b 5 4 16

Factorice el trinomio cuadrado perfecto.

1 2 17 ax 2 b 5 Å 4 Å 16

Obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.

1 !17 `x 2 ` 5 4 4

Simplifique.

x2 x2

Resuelva para x. Las soluciones son 1 1 !17 1 2 !17 y . 4 4

EJEMPLO 1

1 !17 5 4 4 1 !17 x5 1 4 4

x2

1 !17 52 4 4 1 !17 x5 2 4 4

Resuelva por el método de completar el cuadrado. A. 4x2 2 8x 1 1 5 0

Solución

1 !17 56 4 4

B. x2 1 4x 1 5 5 0

A. 4x2 2 8x 1 1 5 0 4x2 2 8x 5 21

• Reste 1 a ambos lados de la ecuación.

21 4x2 2 8x 5 4 4

• El coeficiente del término x2 debe ser 1. Divida entre 4 ambos lados de la ecuación.

1 4 2 1 • Complete el cuadrado. S2 1222 T 5 1 1 x2 2 2x 1 1 5 2 1 1 4 3 • Factorice el trinomio cuadrado perfecto. 1x 2 12 2 5 4 3 • Obtenga la raíz cuadrada de cada " 1x 2 12 2 5 lado de la ecuación. Å4 !3 0x 2 10 5 • Simplifique. 2 !3 x2156 2 !3 !3 x215 x2152 • Resuelva para x. 2 2 x2 2 2x 5 2

x511

!3 2

2 1 !3 2

x512

!3 2

2 2 !3 2 2 1 !3 2 2 !3 Las soluciones son y . 2 2 x5

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x5

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442

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

B. x2 1 4x 1 5 5 0 x2 1 4x 5 25 x2 1 4x 1 4 5 25 1 4 1x 1 22 2 5 21 " 1x 1 22 2 5 !21 0x 1 20 5 i x 1 2 5 6i x125i x 5 22 1 i

• Reste 5 de ambos lados de la ecuación. • Complete el cuadrado. • Factorice el trinomio cuadrado perfecto. • Obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. Simplifique.

x 1 2 5 2i x 5 22 2 i

• Resuelva para x.

Las soluciones son 22 1 i y 22 2 i. Problema 1

Resuelva por el método de completar el cuadrado. A. 4x2 2 4x 2 1 5 0

Solución

B. 2x2 1 x 2 5 5 0

Revise la página S26.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 447.

OBJETIVO

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática Se puede deducir una fórmula general, conocida como fórmula general para ecuaciones de segundo grado, al aplicar el método de completar el cuadrado a la forma general de una ecuación cuadrática. Esta fórmula se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. A continuación se muestra la solución de la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 mediante el método de completar el cuadrado. ax2 1 bx 1 c 5 0 Reste el término constante de ambos ax2 1 bx 1 c 2 c 5 0 2 c lados de la ecuación. ax2 1 bx 5 2c 2c ax2 1 bx Divida entre a, el coeficiente de x2, 5 ambos lados de la ecuación. a a b c x2 1 x 5 2 a a Complete el cuadrado sumando A 12 # baB2 a ambos lados de la ecuación.

Simplifique el lado derecho de la ecuación.

b 1 b 2 1 b 2 c x2 1 x 1 a # b 5 a # b 2 a 2 a 2 a a b b2 b2 c x2 1 x 1 2 5 2 2 a 4a 4a a b2 b b2 c 4a x2 1 x 1 2 5 2 2 a # b a 4a 4a a 4a b b2 b2 4ac x2 1 x 1 2 5 2 2 2 a 4a 4a 4a

Factorice el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación. Obtenga la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.

b b2 b2 2 4ac x2 1 x 1 2 5 a 4a 4a2 2 2 b b 2 4ac ax 1 b 5 2a 4a2 Å

ax 1

b 2 b2 2 4ac b 5 2a Å 4a2

`x 1 x1

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b "b2 2 4ac ` 5 2a 2a "b2 2 4ac b 5 6 2a 2a

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SECCIÓN 8.2

443

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

Resuelva para x. x 1

"b2 2 4ac b 5 2a 2a x52 5

x1

b "b2 2 4ac 52 2a 2a

"b2 2 4ac b 1 2a 2a

x52

2b 1 "b2 2 4ac 2a

5

b "b2 2 4ac 2 2a 2a

2b 2 "b2 2 4ac 2a

Punto de interés A pesar de que los matemáticos han estudiado las ecuaciones cuadráticas desde aproximadamente el año 500 a. C., no fue sino hasta el siglo XVIII que la fórmula se escribió en la forma que la conocemos actualmente. También cabe notar que la palabra cuadrática tiene la misma raíz latina que la palabra cuadrado.

FÓRMULA GENERAL PARA ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las soluciones de ax2 1 bx 1 c 5 0, a 2 0, son 2b 1 "b2 2 4ac 2a

y

2b 2 "b2 2 4ac 2a

La fórmula cuadrática suele escribirse en la forma x5

2b 6 "b2 2 4ac 2a

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática con soluciones racionales mediante la

fórmula general Resuelva mediante la fórmula general: 2x2 1 5x 1 3 5 0 x5

La ecuación 2x2 1 5x 1 3 5 0 está escrita en forma general. a 5 2, b 5 5, c 5 3 Sustituya a, b y c en la fórmula general con los valores correspondientes.

x5

25 1 1 24 5 5 21 4 4

2b 6 "b2 2 4ac 2a

5

2 152 6 " 152 2 2 4 122 132 2 122

5

25 6 !25 2 24 4

5

25 6 1 25 6 !1 5 4 4

x5

26 3 25 2 1 5 52 4 4 2

Las soluciones son 21 y 232.

Cuando una ecuación cuadrática tiene soluciones en números racionales (como la anterior), puede resultar más fácil resolverla por medio de factorización, como se muestra a continuación. 2x2 1 5x 1 3 5 0 12x 1 32 1x 1 12 5 0 2x 1 3 5 0 2x 5 23 x52

x1150 x 5 21

• Factorice. • Utilice la propiedad del producto cero.

3 2

Las soluciones son 232 y 21.

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444

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática con soluciones irracionales mediante la

fórmula general Resuelva mediante la fórmula general 3x2 5 4x 1 6. Escriba en forma general la ecuación al restar 4x y 6 en ambos lados de la ecuación.

3x2 5 4x 1 6 3x 2 4x 2 6 5 0 a 5 3, b 5 24, c 5 26 2

x5 Sustituya a, b y c en la fórmula general por sus valores.

Las soluciones son

2b 6 "b2 2 4ac 2a

5

2 1242 6 " 1242 2 2 4 132 1262 2 132

5

4 6 !16 2 12722 6

5

4 6 !88 4 6 2!22 5 6 6

5

2 12 6 !222 2 6 !22 5 # 2 3 3

2 1 !22 2 2 !22 y . 3 3

Concéntrese en resolver una ecuación cuadrática con soluciones en números complejos

mediante la fórmula general Resuelva mediante la fórmula general: 4x2 5 8x 2 13

Punto de interés Recuerde comprobar las soluciones.

Escriba la ecuación en forma general.

Comprobación: 4x2 5 8x 2 13 3 2 3 4a1 1 ib 8a1 1 ib 2 13 2 2 9 4a1 1 3i 2 b 8 1 12i 2 13 4 5 4a2 1 3ib 25 1 12i 4 25 1 12i 5 25 1 12i

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a 5 4, b 5 28, c 5 13 x5

2b 6 "b2 2 4ac 2a

Sustituya los valores a, b y c en la fórmula general.

5

2 1282 6 " 1282 2 2 4 # 4 # 13 2#4

Simplifique.

5

8 6 !64 2 208 8

4x2 5 8x 2 13 3 2 3 4a1 2 ib 8a1 2 ib 2 13 2 2 9 4a1 2 3i 2 b 8 2 12i 2 13 4 5 4a2 2 3ib 25 2 12i 4 25 2 12i 5 25 2 12i

4x2 5 8x 2 13 4x 2 8x 1 13 5 0 2

8 6 !2144 8 8 6 12i 2 6 3i 3 5 5 516 i 8 2 2 5

Escriba la respuesta en la forma a 1 bi. Las soluciones son 1 1 32i y 1 2 32i.

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SECCIÓN 8.2

445

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

EJEMPLO 2

Resuelva utilizando la fórmula general. A. 4x2 1 12x 1 9 5 0

Solución

B. 2x2 2 x 1 5 5 0

A. 4x2 1 12x 1 9 5 0 x5

• a 5 4, b 5 12, c 5 9

2b 6 "b2 2 4ac 2a

5

212 6 "122 2 4 # 4 # 9 2#4

5

212 6 !144 2 144 8

5

212 6 !0 212 3 5 52 8 8 2

• Sustituya los valores de a, b y c en la fórmula general. Luego simplifique.

• La ecuación tiene una raíz doble.

La solución es 232. B. 2x2 2 x 1 5 5 0 x5

2b 6 "b2 2 4ac 2a

5

2 1212 6 " 1212 2 2 4 # 2 # 5 2#2

5

1 6 !1 2 40 4

5

1 6 !239 1 6 i!39 5 4 4

Las soluciones son

Problema 2

• Sustituya los valores de a, b y c en la fórmula general. Luego simplifique.

1 !39 1 !39 1 iy 2 i. 4 4 4 4

Resuelva utilizando la fórmula general. A. x2 1 6x 2 9 5 0

Solución

• a 5 2, b 5 21, c 5 5

B. 4x2 5 4x 2 1

Revise las páginas S26-S27.

† Intente resolver el ejercicio 91 de la página 448. En la fórmula general, la cantidad b2 2 4ac se denomina el discriminante. Cuando a, b y c son números reales, el discriminante determina si una ecuación cuadrática tendrá una raíz doble, dos soluciones en números reales que no son iguales, o dos soluciones en números complejos.

EFECTO DEL DISCRIMINANTE EN LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

1. Si b2 2 4ac 5 0, la ecuación tiene una solución en números reales, una raíz doble. 2. Si b2 2 4ac . 0, la ecuación tiene dos soluciones en números reales que no son iguales. 3. Si b2 2 4ac , 0, la ecuación tiene dos soluciones en números complejos.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

EJEMPLO 3

Solución

Problema 3

Solución

Utilice el discriminante para determinar si 4x2 2 2x 1 5 5 0 tiene una solución en los números reales, dos soluciones distintas en los números reales, o dos soluciones en los números complejos. b2 2 4ac 5 1222 2 2 4 142 152 • a 5 4, b 5 22, c 5 5 5 4 2 80 5 276 276 , 0 • El discriminante es menor que 0. La ecuación tiene dos soluciones en los números complejos. Utilice el discriminante para determinar si 3x2 2 x 2 1 5 0 tiene una solución en los números reales, dos soluciones distintas en los números reales, o dos soluciones en los números complejos. Revise la página S27.

† Intente resolver el ejercicio 113 de la página 449.

8.2 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Determine si cada uno de los siguientes es un trinomio cuadrado perfecto. a. x 2 1 6x 2 9 c. x2 1 9x 1

81 4

b. x2 2 12x 1 36 d. x2 2 5x 1

25 2

2. ¿Completar el cuadrado es un método para resolver cuál tipo de ecuación? 3. ¿Es posible resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática utilizando la fórmula general? ? . 4. Complete. Al utilizar la fórmula general, primero escriba la ecuación en forma ? ? El valor de a es el coeficiente de , el valor de b es el coeficiente de , y c es ? . el término 5. Luego de escribirlas en forma general, ¿cuál de las siguientes ecuaciones se puede resolver mediante la fórmula general? (i) 3x 1 2 5 x2 (iii) 2x 1x 2 12 5 4

(ii) 2 13x 1 12 5 4x 2 2 (iv) 12x 1 12 2 5 x 2 1

6. Complete. Si el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, entonces la ecuación ? . Si el discriminante es negativo, la ecuación tendrá dos solutendrá dos soluciones ? . ciones

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado (Revise las páginas 439-442).

PREPÁRESE 7. a. Para completar el cuadrado en x2 1 14x, se determina la constante c que hace de ? . El término constante c será el cuadrado de la x2 1 14x 1 c un trinomio 2 1 ? , de modo que c 5 c 1 ? 2 d 5 ? . mitad el coeficiente de 2

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SECCIÓN 8.2

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

447

b. Complete el cuadrado en x2 1 14x, y escriba el resultado como el cuadrado de un binomio: x2 1 14x 1

51

?

?

22

8. Reescriba la ecuación 3x2 2 6x 1 2 5 0 en la forma 1x 2 m2 2 5 n. 3x2 2 6x 1 2 5 0 ? 3x2 2 6x 5 2 ? x 2 1 ? 2x 5 x2 2 2x 1

2 52 1 3

?

• Reste 2 a ambos lados de la ecuación. • Para hacer el coeficiente de x2 = 1, divida entre 3 ambos lados de la ecuación.

?

• Sume c

1 1 2

?

2

2 d en ambos lados de

la ecuación.

1x 2

?

)2 5

?

• Factorice el lado izquierdo de la ecuación. Simplifique el lado derecho de la ecuación.

9.

Utilizando el método de completar el cuadrado, ¿cuál es el siguiente paso para resolver x2 1 6x 5 4?

10.

¿Existen algunas ecuaciones cuadráticas que no se puedan resolver por el método de completar el cuadrado? ¿Por qué?

Resuelva por el método de completar el cuadrado. 11. x2 2 4x 2 5 5 0 14. u2 1 10u 1 25 5 0

12. w2 2 2w 2 24 5 0 † 15. r2 1 4r 2 7 5 0

13. z2 2 6z 1 9 5 0 16. s2 1 6s 2 1 5 0

17. x2 2 6x 1 7 5 0

18. y2 1 8y 1 13 5 0

19. z2 2 2z 1 2 5 0

20. t2 2 4t 1 8 5 0

21. t2 2 t 2 1 5 0

22. u2 2 u 2 7 5 0

23. y2 2 6y 5 4

24. w2 1 4w 5 2

25. x2 5 8x 2 15

26. z2 5 4z 2 3

27. v2 5 4v 2 13

28. x2 5 2x 2 17

29. p2 1 6p 5 213

30. x2 1 4x 5 220

31. y2 2 2y 5 17

32. x2 1 10x 5 7

33. z2 5 z 1 4

34. r2 5 3r 2 1

35. x2 1 13 5 2x

36. x2 1 27 5 6x

37. 2y2 1 3y 1 1 5 0

38. 2t2 1 5t 2 3 5 0

39. 4r2 2 8r 5 23

40. 4u2 2 20u 5 29

41. 4x2 2 4x 1 5 5 0

42. 4t2 2 4t 1 17 5 0

43. 9x2 2 6x 1 2 5 0

44. 9y2 2 12y 1 13 5 0

45. 2s2 5 4s 1 5

46. 3u2 5 6u 1 1

47. y 2 2 5 1 y 2 32 1 y 1 22

48. 8s 2 11 5 1s 2 42 1s 2 22

49. 6t 2 2 5 12t 2 32 1t 2 12

50. 2z 1 9 5 12z 1 32 1z 1 22

51. 1x 2 42 1x 1 12 5 x 2 3

52. 1 y 2 32 2 5 2y 1 10

Resuelva por el método de completar el cuadrado. Aproxime las soluciones a la milésima más cercana. 53. z2 1 2z 5 4

54. t2 2 4t 5 7

55. 2x2 5 4x 2 1

56. 3y2 5 5y 2 1

57. 4z2 1 2z 2 1 5 0

58. 4w2 2 8w 5 3

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448

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

59.

¿Verdadero o falso? Si c > 4, las soluciones de x2 1 4x 1 c 5 0 son números reales.

60.

¿Verdadero o falso? x2 1 2bx 5 2b2 tiene una solución real.

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática (Revise las páginas 442-446.) 61.

Escriba la fórmula general. ¿Qué representa cada variable en la fórmula?

62.

Escriba la expresión que aparece bajo el símbolo de radical de la fórmula general. ¿Cómo se denomina a esta cantidad? ¿Qué se puede determinar utilizándola?

63.

Suponga que debe resolver la ecuación cuadrática x2 5 3x 1 5. ¿Tiene importancia si la reescribe como x2 2 3x 2 5 5 0 o como 0 5 2x2 1 3x 1 5 antes de empezar?

64.

¿Cuál método para resolver una ecuación cuadrática prefiere usted: completar el cuadrado o utilizar la fórmula general? ¿Por qué?

PREPÁRESE ? y se suma 65. Para escribir la ecuación x2 5 6x 2 10 en forma general, se resta ? en ambos lados de la ecuación. La ecuación resultante es ? 5 0. Enton? ,b5 ? yc5 ? . ces a 5 66. Utilice los valores de a, b y c que determinó en el ejercicio 65 para evaluar el discriminante de la ecuación x2 5 6x 2 10: b2 2 4ac 5 1 5

? ?

22 2 41

?

2

5

?

21

?

2

?

67. Con base en el valor del discriminante calculado en el ejercicio 66, la ecuación ? . x2 5 6x 2 10 debe tener dos soluciones en los números 68. Utilizando la fórmula general para resolver x2 5 6x 2 10, se obtiene el resultado 6 6 !24 . Simplifique este resultado. 2 66? 6 6 !24 5 2 2 ? 6 5

• Reescriba !24 como un número imaginario

?

?

.

• Divida entre el denominador cada término del numerador.

Resuelva mediante la fórmula general. 69. x2 2 3x 2 10 5 0

70. y2 1 5y 2 36 5 0

71. v2 5 24 2 5v

72. t2 5 2t 1 35

73. 8s2 5 10s 1 3

74. 12t2 5 5t 1 2

75. v2 2 2v 2 7 5 0

76. t2 2 2t 2 11 5 0

77. y2 2 8y 2 20 5 0

78. x2 5 14x 2 24

79. v2 5 12v 2 24

80. 2z2 2 2z 2 1 5 0

81. 4x2 2 4x 2 7 5 0

82. 2p2 2 8p 1 5 5 0

83. 2s2 2 3s 1 1 5 0

84. 4w2 2 4w 2 1 5 0

85. 3x2 1 10x 1 6 5 0

86. 3v2 5 6v 2 2

87. 6w2 5 19w 2 10

88. z2 1 2z 1 2 5 0

89. p2 2 4p 1 5 5 0

90. y2 2 2y 1 5 5 0

09_Cap-08_AUFMANN_1a-Parte.indd 448

† 91. x2 1 6x 1 13 5 0

92. 2w2 2 2w 1 5 5 0

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SECCIÓN 8.2

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general...

93. 4v2 1 8v 1 3 5 0

94. 2x2 1 6x 1 5 5 0

95. 2y2 1 2y 1 13 5 0

96. 4t2 2 6t 1 9 5 0

97. 3v2 1 6v 1 1 5 0

98. 2r2 5 4r 2 11

99. 3y2 5 6y 2 5

100. 2x 1x 2 22 5 x 1 12

102. 13s 2 22 1s 1 12 5 2

449

101. 10y 1y 1 42 5 15y 2 15

103. 12t 1 12 1t 2 32 5 9

Resuelva mediante la fórmula general. Aproxime las soluciones a la milésima más cercana. 104. x2 2 6x 2 6 5 0

105. p2 2 8p 1 3 5 0

106. r2 2 2r 5 4

107. w2 1 4w 5 1

108. 3t2 5 7t 1 1

109. 2y2 5 y 1 5

Utilice el discriminante para determinar si la ecuación cuadrática tiene una solución en los números reales, dos soluciones en los números reales, o dos soluciones en los números complejos. 110. 2z2 2 z 1 5 5 0

111. 3y2 1 y 1 1 5 0

112. 9x2 2 12x 1 4 5 0

† 113. 4x2 1 20x 1 25 5 0

114. 2v2 2 3v 2 1 5 0

115. 3w2 1 3w 2 2 5 0

116. 2p2 1 5p 1 1 5 0

117. 2t2 1 9t 1 3 5 0

118. 5z2 1 2 5 0

119.

¿Verdadero o falso? Si a . 0 y c , 0, las soluciones de ax2 1 bx 1 c 5 0 son números reales.

120.

¿Verdadero o falso? Si a . 0, b 5 0 y c . 0, las soluciones de ax2 1 bx 1 c 5 0 son números reales.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva. 121. !2x2 1 5x 2 3!2 5 0

122. !3w2 1 w 2 2!3 5 0

123. t2 2 t!3 1 1 5 0

124. y2 1 y!7 1 2 5 0

Resuelva para x. 125. x2 2 ax 2 2a2 5 0

126. x2 2 ax 2 6a2 5 0

127. x2 2 2x 2 y 5 0

128. x2 2 4xy 2 4 5 0

¿Para cuáles valores de p la ecuación cuadrática tiene en los números reales dos soluciones que no son iguales? Escriba la respuesta en notación de conjuntos. 129. x2 2 6x 1 p 5 0

130. x2 1 10x 1 p 5 0

¿Para cuáles valores de p la ecuación cuadrática tiene dos soluciones en los números complejos? Escriba la respuesta en notación de conjuntos. 131. x2 2 2x 1 p 5 0

132. x2 1 4x 1 p 5 0

133. Deportes La altura h (en pies) de una pelota en el campo de beisbol t segundos luego de ser bateada se puede aproximar con la ecuación h 5 216t2 1 70t 1 4. Utilizando esta ecuación, determine cuánto tiempo le tomará a la pelota golpear sobre el piso. Redondee a la milésima más cercana. (Sugerencia: la pelota golpea el piso cuando h 5 0.) 134. Deportes Luego de que una pelota de beisbol es bateada, se pueden considerar dos ecuaciones. Una calcula la altura h (en pies) de la pelota sobre el campo luego de t segundos de ser golpeada. La segunda calcula la distancia s (en pies) a la que se encuentra la pelota respecto al plato de “Home” a los t segundos de ser golpeada. Un modelo de esta situación está dado por h 5 216t2 1 70t 1 4 y s 5 44.5t. Utilizando este modelo, determine si la pelota rebasará la cerca que se encuentra a 325 pies de home. Redondee a la décima más cercana.

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135.

136.

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Conservación La Ley estadounidense de control forestal de 1976 especifica que la explotación de madera en los bosques nacionales se debe efectuar considerando el ambiente. Una de esas consideraciones consiste en preservar el hábitat del búho moteado. Un modelo de supervivencia de esta ave requiere resolver para x la ecuación x2 2 sa x 2 sj ss f 5 0. En la tabla de la derecha se muestran distintos valores de sa, sj, ss, y f. (Fuente: Charles Biles y Barry Noon, “The Spotted Owl” de The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Application, Vol. 11, N° 2, 1990. Reimpreso con autorización.) Esos valores son especialmente importantes porque se relacionan con la supervivencia del búho. Si x > 1, entonces el modelo pronostica un aumento de la población; si x 5 1, la población permanece constante; si x < 1, la población disminuye. La solución de la ecuación que nos importa es la mayor de las dos raíces de la ecuación. a. Determine la raíz más grande de esta ecuación para los valores proporcionados por el servicio forestal estadounidense. Redondee a la centésima más cercana. ¿Este modelo pronostica que la población aumentará, permanecerá constante o disminuirá? b. Determine la raíz más grande de esta ecuación para los valores proporcionados por R. Lande en Oecologia (Vol. 75, 1988). Redondee a la centésima más cercana. ¿Este modelo pronostica que la población aumentará, permanecerá constante o disminuirá?

Servicio forestal estadounidense

Lande

sj

0.34

0.11

ss

0.97

0.71

sa

0.97

0.94

f

0.24

0.24

Agricultura Un grupo de investigación agrícola determinó que la cantidad de hierba recolectada de un pastizal se puede modelar mediante la ecuación A 5 20.001532x2 1 0.3358x 2 7.5323, donde x es la cantidad, en 100,000 kg por hectárea, de fertilizante que se aplica al pastizal. Con base en este modelo, ¿cuántos kilogramos de fertilizante por hectárea se deben aplicar al pastizal para producir 800,000 kg de hierba por hectárea? Redondee a la milésima más cercana.

Kevin Schafer/Corbis

450

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO El discriminante del polinomio cuadrático también se puede definir como el cuadrado de la diferencia entre las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación x2 2 x 2 6 5 0 son 22 y 3. El cuadrado de la diferencia entre las soluciones es 122 2 32 2 5 25, que es el mismo valor del discriminante que se obtendría utilizando b2 2 4ac. Al emplear esta definición alterna, encuentre el discriminante de cada una de las siguientes ecuaciones. 137. x2 1 3x 2 18 5 0

138. x2 2 6x 1 9 5 0

139. x2 2 5x 1 2 5 0

140. x2 1 2x 1 3 5 0

8.3 OBJETIVO

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas Ecuaciones de forma cuadrática Algunas ecuaciones que no son cuadráticas se pueden expresar en forma cuadrática realizando las sustituciones pertinentes. Una ecuación tiene forma cuadrática si se puede escribir como au2 1 bu 1 c 5 0.

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Para ver si la ecuación de la derecha tiene forma cuadrática, sea x2 5 u. Sustituya x2 por u. La ecuación tiene forma cuadrática.

x4 2 4x2 2 5 5 0 1x22 2 2 4 1x22 2 5 5 0 u2 2 4u 2 5 5 0

Para ver si la ecuación de la derecha tiene forma cua1 1 drática, sea y2 5 u. Sustituya y2 por u. La ecuación tiene forma cuadrática.

y 2 y2 2 6 5 0 1 1 2 2 1y 2 2 1y22 2 6 5 0 u2 2 u 2 6 5 0

1

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SECCIÓN 8.3

451

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

La clave para reconocer ecuaciones que están en forma cuadrática radica en que cuando la ecuación esté escrita en forma general, el exponente de un término variable es 12 del exponente del otro término variable.

Concéntrese en resolver una ecuación que tiene forma cuadrática 1

Resuelva: z 1 7z2 2 18 5 0 1

1

z 1 7z2 2 18 5 0 1 1z 2 1 7 1z22 2 18 5 0 u2 1 7u 2 18 5 0 1u 2 22 1u 1 92 5 0 u2250 u1950 u52 u 5 29 1 1 2 z 52 z2 5 29 1 1 1z 22 2 5 22 1z 22 2 5 1292 2 z54 z 5 81

La ecuación z 1 7z2 2 18 5 0 tiene forma cuadrática.

1 2 2

1

Para resolver esta ecuación, sea z2 5 u. Resuelva para u por factorización.

1

Sustituya u por z2. Resuelva para z elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Compruebe las soluciones. Cuando se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, la ecuación resultante puede tener una solución inadmisible.

1

z 1 7z2 2 18 5 0

Comprobación:

1

4 1 7 142 2 2 18 0 41 7 # 2 2 18 41 14 2 18 05 0 4 coincide como solución. 1

z 1 7z2 2 18 5 0 1

81 1 7 1812 2 2 18 0 81 1 7 # 9 2 18 81 1 63 2 18 126 2 0 81 no se comprueba como solución. La solución es 4.

Escriba la solución.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva: A. x4 1 x2 2 12 5 0 A.

2

1

B. x3 2 2x3 2 3 5 0

x4 1 x2 2 12 5 0 1x22 2 1 1x22 2 12 5 0 u2 1 u 2 12 5 0 1u 2 32 1u 1 42 5 0 u2350 u1450 u53 u 5 24 2 x2 5 24 x 53 2 "x 5 !3 "x2 5 !24 x 5 6 !3 x 5 62i

• La ecuación tiene forma cuadrática. • Sea x2 5 u. • Resuelva para u por factorización.

• Sustituya u por x2. • Resuelva para x obteniendo las raíces cuadradas.

Las soluciones son !3, 2!3, 2i, y 22i. B.

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2

1

x3 2 2x3 2 3 5 0 1 1 1x32 2 2 2 1x32 2 3 5 0 u2 2 2u 2 3 5 0 1u 2 32 1u 1 12 5 0

• La ecuación tiene forma cuadrática. 1

• Sea x3 5 u. • Resuelva para u por factorización.

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452

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

u2350 u53 1 x3 5 3 1 1x32 3 5 33 x 5 27

u1150 u 5 21 1 x3 5 21 1 1x32 3 5 1212 3 x 5 21

1

• Sustituya u por x3. • Resuelva para x elevando al cubo ambos lados de la ecuación.

Las soluciones son 27 y 21. Problema 2 Solución

Resuelva:

1

A. x 2 5x2 1 6 5 0

B. 4x4 1 35x2 2 9 5 0

Revise la página S27.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 455.

OBJETIVO

Ecuaciones radicales Algunas ecuaciones que contienen un radical se pueden resolver al solucionar primero la ecuación para la expresión radical y luego elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Hay que recordar que cuando se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, la ecuación resultante puede tener una solución inadmisible. Por tanto, se deben revisar las soluciones de una ecuación radical.

Concéntrese en resolver una expresión radical Resuelva: !x 1 2 1 4 5 x !x 1 2 1 4 5 x !x 1 2 5 x 2 4

Resuelva para la expresión radical. Se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación.

1 !x 1 2 2 2 5 1x 2 42 2 x 1 2 5 x2 2 8x 1 16

Simplifique.

0 5 x2 2 9x 1 14

Escriba la ecuación en forma estándar.

0 5 1x 2 72 1x 2 22 x2750 x2250 x57 x52

Resuelva para x por factorización.

Compruebe la solución.

Comprobación: !x 1 2 1 4 5 x

!x 1 2 1 4 5 x

!7 1 2 1 4 7 !9 1 4 31 4 75 7

!2 1 2 1 4 2 !4 1 4 21 4 62 2

2 no se comprueba como solución. Escriba la solución.

EJEMPLO 2 Solución

La solución es 7.

Resuelva: !3x 1 7 2 x 5 3 !3x 1 7 2 x 5 3 !3x 1 7 5 x 1 3 1 !3x 1 7 2 2 5 1x 1 32 2 3x 1 7 5 x2 1 6x 1 9 05 x2 1 3x 1 2 05 1x 1 22 1x 1 12

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• Resuelva la expresión radical. • Se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación. • Simplifique. • Escriba la ecuación en forma general. • Factorice.

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SECCIÓN 8.3

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

x1250 x 5 22

x1150 x 5 21

453

• Utilice la propiedad del producto cero.

!3x 1 7 2 x 5 3

!3x 1 7 2 x 5 3

!31222 1 7 2 1222 3 !1 1 2 11 2 35 3

!31212 1 7 2 1212 3 !4 1 1 21 1 35 3

Comprobación:

22 y 21 se comprueban como soluciones. Las soluciones son 22 y 21. Problema 2 Solución

Resuelva: !2x 1 1 1 x 5 7 Revise la página S27.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 456. Si una ecuación contiene más de un radical, quizá sea necesario repetir el procedimiento para resolver la expresión radical y elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva: !2x 1 5 2 !x 1 2 5 1 !2x 1 5 2 !x 1 2 5 1 !2x 1 5 5 !x 1 2 1 1

• Resuelva para una de las expresiones radicales. 1 !2x 1 5 2 2 5 1 !x 1 2 1 12 2 • Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. 2x 1 5 5 x 1 2 1 2!x 1 2 1 1 • Simplifique.

2x 1 5 5 x 1 2!x 1 2 1 3

Tome nota

x 1 2 5 2!x 1 2

Debe comprobar las soluciones del ejemplo 3.

1x 1 22 2 5 12!x 1 2 2 2

Comprobación:

x2 1 4x 1 4 5 4 1x 1 22

!2x 1 5 2 !x 1 2 5 1

x2 1 4x 1 4 5 4x 1 8

!2 1222 1 5 2 ! 1222 1 2 1 !1 2 !0 120 151

x2 2 4 5 0 1x 1 22 1x 2 22 5 0 x1250 x2250 x 5 22 x52

!2x 1 5 2 !x 1 2 5 1 !2 122 1 5 2 ! 122 1 2

• Resuelva para la expresión radical. • Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. • Simplifique.

1

!9 2 !4 322 151

Las soluciones son 22 y 2.

Problema 3 Solución

• Escriba la ecuación en forma general. • Factorice. • Utilice la propiedad del producto cero. • Como se muestra a la izquierda, 22 y 2 se comprueban como soluciones.

Resuelva: !2x 2 1 1 !x 5 2 Revise la página S27.

† Intente resolver el ejercicio 53 de la página 456.

OBJETIVO

Ecuaciones fraccionarias Luego de multiplicar por el mcd ambos lados de una ecuación fraccionaria, algunas veces la ecuación resultante es una ecuación cuadrática. Las soluciones de la ecuación resultante se deben comprobar, ya que multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión algebraica puede producir una ecuación con una solución que no necesariamente es solución de la ecuación original.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Concéntrese en resolver una ecuación fraccionaria Resuelva:

1 1 3 1 5 r r11 2

1 1 3 1 5 r r11 2 1 3 1 2r 1r 1 12 a 1 b 5 2r 1r 1 12 # r r11 2 # 2 1r 1 12 1 2r 5 r 1r 1 12 3 2r 1 2 1 2r 5 1r2 1 r2 # 3 4r 1 2 5 3r2 1 3r 0 5 3r2 2 r 2 2 0 5 13r 1 22 1r 2 12

Multiplique por el mcd ambos lados de la ecuación.

Escriba la ecuación en forma general. Resuelva por factorización para r.

3r 1 2 5 0 r2150 3r 5 22 r51 2 r52 3 2 23 y 1 se comprueban como soluciones.

Escriba las soluciones.

Las soluciones son 223 y 1.

EJEMPLO 4

Resuelva:

18 1 3a 5 17 2a 2 1 18 1 3a 5 17 2a 2 1

Solución 12a 2 12 a 12a 2 12

18 1 3ab 5 12a 2 12 17 2a 2 1

18 1 12a 2 12 13a2 5 12a 2 12 17 2a 2 1 18 1 6a2 2 3a 5 34a 2 17 6a2 2 37a 1 35 5 0 16a 2 72 1a 2 52 5 0

6a 2 7 5 0 6a 5 7 7 a5 6 7 6

Solución

• Escriba la ecuación en forma general. • Resuelva para a por factorización.

a2550 a55

y 5 se comprueban como soluciones.

Las soluciones son Problema 4

• El mcd es 2a 2 1.

Resuelva: 3y 1

7 6

y 5.

25 5 28 3y 2 2

Revise la página S27.

† Intente resolver el ejercicio 61 de la página 457.

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SECCIÓN 8.3

8.3

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

455

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Determine si cada una de las ecuaciones tiene forma cuadrática. a. x5 1 7x3 1 12 5 0 1 1 c. 2x2 1 3x4 2 5 5 0

b. x4 2 x2 2 1 5 0 d. 4 2 3x3 1 2x6 5 0

2. Simplifique cada una de las siguientes expresiones. a. 1 !x 2 5 2 2 c. 1 !2x 1 32 2

b. 1 !x 2 52 2 d. 1 !2x 1 3 2 2

¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación !x 1 1 1 x 5 5?

3.

4. Complete. Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación puede producir una ? . solución

Ecuaciones de forma cuadrática (Revise las páginas 450-452.) PREPÁRESE 5. La ecuación x8 1 4x4 2 5 5 0 es equivalente a la ecuación cuadrática ? . u2 1 4u 2 5 5 0, donde u 5 1

6. La ecuación p 2 2p2 2 8 5 0 es equivalente a la ecuación cuadrática ? . u2 2 2u 2 8 5 0, donde u 5 7.

¿Qué significa que una ecuación esté en forma cuadrática?

8.

Explique cómo se demuestra que x4 2 2x2 2 3 5 0 tiene forma cuadrática.

Resuelva. 9. x4 2 13x2 1 36 5 0 12. t4 2 12t2 1 27 5 0 1

10. y4 2 5y2 1 4 5 0 1

13. p 2 3p2 1 2 5 0 1

† 11. z4 2 6z2 1 8 5 0 1

14. v 2 7v2 1 12 5 0

15. x 2 x2 2 12 5 0

16. w 2 2w2 2 15 5 0

17. z4 1 3z2 2 4 5 0

18. y4 1 5y2 2 36 5 0

19. x4 1 12x2 2 64 5 0

20. x4 2 81 5 0

1

21. p 1 2p2 2 24 5 0

1

2

1

22. v 1 3v2 2 4 5 0

23. y3 2 9y3 1 8 5 0

24. z3 2 z3 2 6 5 0

25. x6 2 9x3 1 8 5 0

26. y6 1 9y3 1 8 5 0

27. z8 2 17z4 1 16 5 0

28. v4 2 15v2 2 16 5 0

29. p3 1 2p3 2 8 5 0

2

2

1

1

30. w3 1 3w3 2 10 5 0 33.

1

31. 2x 2 3x2 1 1 5 0

2

1

1

32. 3y 2 5y2 2 2 5 0

¿Cuáles ecuaciones se pueden resolver mediante la solución de la ecuación cuadrática u2 2 8u 2 20 5 0? (i) x10 2 8x5 2 20 5 0 1 1 (iii) x 10 2 8x 5 2 20 5 0

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(ii) x16 2 8x4 2 20 5 0 2 1 (iv) x 5 2 8x 5 2 20 5 0

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456

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

34. Cada una de las siguientes ecuaciones se puede resolver mediante la solución de la ecuación cuadrática u2 1 5u 1 6 5 0. ¿Cuáles ecuaciones podrían terminar con soluciones inadmisibles? 1

1

(i) x 4 1 5x 8 1 6 5 0 1 (iii) x 1 5x2 1 6 5 0

(ii) x8 1 5x4 1 6 5 0 2 1 (iv) x3 1 5x3 1 6 5 0

Ecuaciones radicales (Revise las páginas 452-453.) PREPÁRESE 35. El primer paso para resolver la ecuación "a 1 1 1 7 5 a 1 2 consiste en resolver ? al restar ? en ambos lados de la ecuación. El segundo paso conpara ? siste en ambos lados de la ecuación. 36. Al resolver la ecuación del ejercicio 35, se obtiene a 5 8 y a 5 3. Al revisar estas so? es inadmisible. luciones en la ecuación original, se demuestra que la solución 37.

Observe las ecuaciones que se resolverán en los ejercicios 39 a 56. Liste los números de ejercicio de las ecuaciones en las que el primer paso para resolverlas sea elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

38.

Observe las ecuaciones que se resolverán en los ejercicios 39 a 56. Liste los números de ejercicio de las ecuaciones cuya solución precise que se eleven al cuadrado ambos lados en dos ocasiones distintas.

Resuelva. 39. !3w 1 3 5 w 1 1

40. !2s 1 1 5 s 2 1

42. x 2 7 5 !x 2 5

† 43. !2y 2 1 5 y 2 2

41. !p 1 11 5 1 2 p 44. !t 1 8 5 2t 1 1

45. !x 1 1 1 x 5 5

46. !x 2 4 1 x 5 6

47. x 5 !x 1 6

48. !4y 1 1 2 y 5 1

49. !10x 1 5 2 2x 5 1

50. !3s 1 4 1 2s 5 12

51. !2x 2 1 5 1 2 !x 2 1

52. !y 1 1 5 !y 1 5

54. !5 2 2x 5 !2 2 x 1 1

55. !t 1 3 1 !2t 1 7 5 1

† 53. !x 2 1 2 !x 5 21 56. !x 1 6 1 !x 1 2 5 2

Ecuaciones fraccionarias (Revise las páginas 453-454.) PREPÁRESE 57. Utilice la ecuación

y26 4 5 . y y24

a. El primer paso para resolverla es eliminar los denominadores al multipli? car ambos lados de la ecuación por el mcd de los denominadores y ? . El mcd es ? . b. Al multiplicar el lado izquierdo de la ecuación por el mcd y(y 2 4), el lado ? . izquierdo se simplifica a c. Al multiplicar el lado derecho de la ecuación por el mcd y(y 2 4), el lado de? . recho se simplifica a d. Utilice las respuestas de los incisos a, b y c para escribir la ecuación que resulta ? 5 ? . de eliminar los denominadores:

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SECCIÓN 8.3

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

457

58. a. Utilizando los resultados del ejercicio 57, sabemos que podemos resolver la 4 y26 ecuación racional 5 mediante la solución de la ecuación cuadrática y y24 ? . 4y 2 16 5 y2 2 6y. Escrita en forma general, esta ecuación es 0 5 b. Resuelva por factorización 0 5 y2 2 10y 1 16: 0 5 ( ? oy5 ? . y5

?

)(

?

), entonces

c. Las dos soluciones del inciso b coinciden para la ecuación original, porque ningu? . na de ellas hace algunos de los denominadores igual a

Resuelva. 59. x 5

10 x29

60. z 5

5 z24

† 61.

y21 1y51 y12

62.

2p 2 1 1p58 p22

63.

3r 1 2 2 2r 5 1 r12

64.

2v 1 3 1 3v 5 4 v14

65.

2 1 1 53 2x 1 1 x

66.

3 2 2 51 s 2s 2 1

67.

16 16 1 56 z22 z12

68.

2 1 1 51 y11 y21

69.

t 2 1 54 t22 t21

70.

4t 1 1 3t 2 1 1 52 t14 t11

71.

5 4 1 52 2p 2 1 p11

72.

3w 2 1 51 2w 1 3 w12

73.

x12 2x 2 4 1 58 x24 x11

x2 x 1 1 1 50 4 2 8

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva. 74.

x4 5x2 115 4 4

75.

x12 2 1 53 3 x22

76.

77.

x4 8x2 2 53 3 3

78.

x4 x2 1 53 8 4

79. !x4 1 4 5 2x

80. 1 !x 2 22 2 2 5!x 1 14 5 0 (Sugerencia: Sea u 5 !x 2 2.) 81. 1 !x 1 32 2 2 4!x 2 17 5 0 (Sugerencia: u 5 !x 1 3.)

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 82.

Deportes Según la Enciclopedia Interactiva de Compton, las dimensiones mínimas del balón de fútbol americano utilizado en los juegos de la NFL son 10.875 pulg de largo y 20.75 pulg de circunferencia al centro. Un posible modelo para la sección transversal del x2 balón de fútbol está dado por y 5 63.3041 1 2 , donde x es la distancia desde Å 29.7366 el centro del balón y y es el radio del balón en x. a. ¿Cuál es el dominio de la ecuación? x2 x2 b. Grafique y 5 3.3041 1 2 sobre los misy y 5 23.3041 1 2 Å 29.7366 Å 29.7366 mos ejes coordenados. Explique por qué se presenta en la ecuación el símbolo 6. c. Determine el radio del balón de fútbol americano cuando x tiene 3 pulg. Redondee a la diezmilésima más cercana.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

8.4

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

OBJETIVO

Problemas de aplicación Los problemas de aplicación de esta sección son parecidos a los problemas que se han resuelto a lo largo del libro. Cada una de las estrategias para los problemas en esta sección tendrán como resultado una ecuación cuadrática. Resuelva: Un ducto pequeño necesita 16 minutos más que un ducto grande para vaciar un tanque. Trabajando juntos, los ductos pueden vaciarlo en 6 min. ¿Cuánto tiempo le toma a cada uno de los ductos vaciar el tanque si trabaja solo?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE APLICACIÓN

 Determine el tipo de problema. ¿Se trata de un problema de movimiento uniforme, un problema de geometría, un problema de números enteros o un problema de trabajo?

Este problema es un problema de trabajo.  Seleccione una variable que represente la cantidad desconocida. Escriba expresiones numéricas o algebraicas para todas las demás cantidades. Estos resultados se pueden registrar en una tabla.

El tiempo desconocido del ducto más grande: t El tiempo desconocido del ducto más pequeño: t 1 16 Tasa de trabajo

#

Tiempo laborado

5

Ducto grande

1 t

#

6

5

6 t

Ducto pequeño

1 t 1 16

#

6

5

6 t 1 16

Parte completa de la tarea

 Determine cómo se relacionan las cantidades. Si es necesario, conviene revisar las estrategias expuestas en capítulos anteriores.

La suma de las partes de la tarea terminada debe ser igual a 1. 6 6 1 51 t t 1 16 6 6 t 1t 1 162 a 1 b 5 t 1t 1 162 # 1 t t 1 16 1t 1 162 6 1 6t 5 t2 1 16t 6t 1 96 1 6t 5 t2 1 16t 05 t2 1 4t 2 96 05 1t 1 122 1t 2 82 t 1 12 5 0 t2850 t 5 212 t58

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SECCIÓN 8.4

459

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

La solución t 5 212 no es posible, porque el tiempo no puede ser un número negativo. El tiempo para el tubo pequeño es t 1 16. Sustituya t por 8 y evalúe. t 1 16 5 8 1 16 5 24 El tubo grande requiere 8 min para vaciar el tanque El tubo pequeño requiere 24 min para vaciar el tanque

EJEMPLO 1

Estrategia

Solución

Un pateador despeja un balón de fútbol americano con un ángulo de 60° respecto al piso. Suponiendo que no hay resistencia del aire, la altura h, en pies, del balón pateado al llegar a x pies del lugar donde partió se puede calcular por medio de h 5 20.0065x2 1 1.73x 1 4. ¿A qué distancia está el balón del pateador cuando alcanza una altura de 70 pies? Redondee a la décima más cercana. Para calcular a qué distancia del pateador está el balón cuando alcanza 70 pies sobre el suelo, resuelva la ecuación h 5 20.0065x2 1 1.73x 1 4 para x cuando h 5 70. h 5 20.0065x 2 1 1.73x 1 4 70 5 20.0065x 2 1 1.73x 1 4

• Sustituya h por 70.

05 20.0065x 1 1.73x 2 66 2

x5

21.73 6 "1.732 2 4 120.00652 12662 2 120.00652

x5

21.73 6 1.13 21.73 6 "1.2769 < 20.013 20.013

21.73 1 1.13 20.013 x < 46.2 x<

• Escriba en forma general. • Resuelva utilizando la fórmula general.

21.73 2 1.13 20.013 x < 220

x<

Cuando el balón alcanza 70 pies de altura, está a 46.2 o 220 pies del pateador. En la siguiente figura se muestra la trayectoria del balón. Observe que está dos veces a 70 pies sobre el suelo, cuando x 5 46.2 pies y cuando x 5 220 pies del pateador.

Altura (en pies)

h 120 100 80

70 pies de altura

60 40 20 0

100 46.2

x

200 220

Distancia del pateador (en pies)

Problema 1

Solución

Para la patada del ejemplo 1, la altura h del balón, en pies, transcurridos t segundos después de ser pateado está dada por h 5 216t2 1 60.6t 1 4. Suponiendo que nadie atrapa el balón y éste cae sobre el suelo, ¿cuál es el “tiempo de vuelo”; es decir, la cantidad de tiempo que el balón permanece en el aire? Redondee a la décima más cercana. Revise las páginas S27-S28.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 461.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

EJEMPLO 2

Estrategia

Solución

Para vaciar una piscina, se utilizan dos mangueras. La manguera más pequeña requiere 2 horas más que la grande para vaciarla. Se utilizan ambas mangueras durante 1 h y luego se cierra la válvula de la manguera grande. Entonces, a la manguera pequeña le toma 1 h más vaciar la piscina. ¿Cuánto tiempo le tomaría a la manguera grande, por sí sola, vaciar la piscina?    

Es un problema de trabajo. Tiempo desconocido para la manguera grande trabajando sola: t Tiempo desconocido para la manguera pequeña trabajando sola: t 1 2 La manguera grande opera durante 1 h; la manguera pequeña opera durante 2 h. Tasa

#

Tiempo

5

Parte

Manguera grande

1 t

#

1

5

1 t

Manguera pequeña

1 t12

#

2

5

2 t12

 La suma de la parte de la tarea completada por la manguera grande y la completada por la manguera pequeña es 1. 2 1 1 51 t t12 2 1 t 1t 1 22 a 1 b 5 t 1t 1 22 # 1 t t12

• Multiplique por el mcd ambos lados de la ecuación. • Simplifique.

1t 1 22 1 2t 5 t2 1 2t 0 5 t2 2 t 2 2

t1150 t 5 21

Problema 2

Solución

0 5 1t 1 12 1t 2 22 t2250 t52

• Escriba la ecuación cuadrática en forma general. • Factorice. • Utilice la propiedad del producto cero.

Puesto que el tiempo no puede ser negativo, t 5 21 no es posible. A la manguera grande, trabajando sola, le tomaría 2 h vaciar la piscina. A Seth le toma 3 h más que a Tessa lavar las ventanas de una casa. Trabajando juntos, pueden lavar las ventanas en 2 h. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Tessa, trabajando sola, lavar todas las ventanas de la casa? Revise la página S28.

† Intente resolver el ejercicio 13 de la página 462.

EJEMPLO 3

Estrategia

A medida que serpentea por Idaho, en una parte del río Snake, la velocidad de la corriente es 4 mph. Un guía de turistas puede remar 5 mi río abajo y regresar en 3 h. Calcule la velocidad a la que rema el guía en aguas en calma.  Este es un problema de movimiento uniforme.  La velocidad a la que rema el guía: v Distancia

4

Tasa de velocidad

5

Tiempo

Río abajo

5

4

r 14

5

5 r14

Río arriba

5

4

r24

5

5 r24

 El tiempo total de viaje fue 3 h.

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SECCIÓN 8.4

Solución

461

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

5 5 1 53 r14 r24

1r 1 42 1r 2 42 a

5 5 1 b 5 1r 1 42 1r 2 42 # 3 • Multiplique por el mcd ambos r14 r24

5 1r 2 42 1 5 1r 1 42 5 3r2 2 48

lados de la ecuación. • Simplifique.

10r 5 3r2 2 48 0 5 3r2 2 10r 2 48

3r 1 8 5 0

0 5 13r 1 82 1r 2 62 r2650

8 r52 3

r56

• Escriba en forma general la ecuación cuadrática. • Factorice. • Utilice la propiedad del producto cero.

Puesto que la velocidad no puede ser negativa, r 5 283 no es posible. La tasa de velocidad a la que rema el guía de turistas en aguas en calma es 6 mph. Problema 3

Solución

La tasa de velocidad de un jet con viento en calma es 250 mph. Al volar con el viento favor, el jet puede volar 1200 mi en 2 h menos de lo que necesita para hacer el viaje de regreso con el viento en contra. Calcule la tasa de velocidad del viento. Revise la página S28.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 463.

8.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Si se requieren t horas para completar un proyecto, ¿qué parte del trabajo se termina en 1 h? 2. Suponga que una persona puede hacer un trabajo en 2 h y otra puede hacerlo en 3 h. Si trabajan juntas, ¿terminarían el trabajo en menos de 2 h, entre 2 h y 3 h o en más de 3 h? 3. Suponga que una persona puede realizar una tarea en 3 h y otra puede realizarla en 5 h. Trabajando juntas, ¿qué cantidad de dicha tarea terminarán en 1 h? 4. Sea v la velocidad a la que rema una persona en aguas en calma. Si la velocidad de la corriente del río es 2 mph, escriba como expresiones algebraicas la velocidad de remo río abajo (con la corriente) y la de remo río arriba (contra la corriente). 5. Sea v la velocidad a la que puede volar un avión con viento en calma. Escriba una expresión algebraica para el tiempo que le tomaría volar 500 mi con viento en contra de 50 mph. 6. Sea v la velocidad a la que puede volar un avión en viento en calma. Escriba una expresión algebraica para el tiempo que le tomaría volar 500 mi con viento a favor de 50 mph.

Problemas de aplicación (Revise las páginas 458-461.) † 7. Física La altura de un proyectil que es lanzado hacia arriba está dada por la fórmula s 5 v0t 2 16t2, donde s es la altura, v0 la velocidad inicial y t el tiempo. Calcule el tiempo que le toma al proyectil volver a tierra si su velocidad inicial fue 200 pies/s.

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CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

8. Deportes Un clavadista se lanza desde una plataforma que está a 10 m de altura. La altura del clavadista t segundos después está dada por h 5 24.9t2 1 3.2t 1 10.5. A la centésima de segundo más próxima, ¿cuánto tiempo después de saltar de la plataforma le tomará al clavadista llegar al agua? 10 m

9. Tecnología automotriz La distancia d (en metros) necesaria para detener un automóvil que va a v kilómetros por hora es d 5 0.019v2 1 0.69v. Aproxime, a la décima más cercana, la velocidad máxima a la que puede conducir el chofer y ser capaz de frenar dentro de 150 m.

10. Física La altura de un proyectil que es disparado hacia arriba está dada por la fórmula s 5 v0t 2 16t2, donde s es la altura, v0 la velocidad inicial y t el tiempo. Calcule los tiempos a los que un proyectil con una velocidad inicial de 128 pies/s estará a 64 pies sobre el suelo. Redondee a la centésima de segundo más cercana.

11. Aeronáutica Un cohete es lanzado con una velocidad inicial de 200 pies/s. La altura h del cohete después de t segundos de lanzamiento está dada por h 5 216t2 1 200t. ¿Cuántos segundos después de su lanzamiento el cohete estará a 300 pies arriba del suelo? Redondee a la centésima de segundo más cercana.

12. Deportes Un tiro penal de futbol se ejecuta desde la marca que está a 36 pies de la portería, que tiene 8 pies de alto. Una posible ecuación para la trayectoria del tiro penal es h 5 20.002x2 1 0.35x, donde h es la altura (en pies) del balón a x pies de la marca correspondiente. Suponga que la trayectoria del tiro va en dirección de gol y el portero no lo toca, ¿el balón llegará a la red?

† 13. Ingeniería petrolera Una tubería pequeña puede llenar un tanque de petróleo en 6 min más de lo que tarda una tubería grande. Trabajando juntas, ambas tuberías pueden llenar el tanque en 4 min. ¿Cuánto le llevaría a cada tubería, trabajando sola, llenar el tanque?

14. Metalurgia Una unidad de calentamiento pequeña necesita 8 h más que una grande para fundir una pieza de hierro. Trabajando juntas, las unidades de calentamiento pueden fundirla en 3 h. ¿Cuánto tiempo le llevaría a cada unidad, trabajando sola, fundir el hierro?

15. Procesamiento paralelo El procesamiento paralelo es el uso simultáneo de más de una computadora para ejecutar un programa. Suponga que a una computadora, trabajando sola, le toma 4 h más que a otra ejecutar un programa que determina si un número es primo. Luego de trabajar juntas durante 1 h, la computadora más rápida se avería. La computadora más lenta trabaja otras 2 h antes de completar el programa. ¿Cuánto le tomaría a la computadora más rápida, trabajando sola, completar el programa?

16. Construcción Un aprendiz de carpintero tarda 2 h más en instalar una sección de piso de madera que un carpintero con más experiencia. Luego de que ambos trabajan juntos durante 2 h, el carpintero experimentado se va a realizar otro trabajo. Entonces al aprendiz le toma 2 h más completar la instalación. ¿Cuánto le tomaría al aprendiz, trabajando solo, instalar el piso? Redondee a la décima más cercana.

17. Jardinería A un aspersor pequeño le toma 16 min más que a un aspersor grande regar un césped. Trabajando juntos, ambos pueden regar todo el césped en 6 min. ¿Cuánto le tomaría a cada uno de ellos, trabajando solo, regar el césped?

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SECCIÓN 8.4

463

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

18. Nómina Una impresora, trabajando sola, tarda 6 h más que otra en imprimir la nómina semanal. Trabajando juntas, ambas impresoras pueden terminar en 4 h la impresión de la nómina semanal. ¿Cuánto le tomaría a cada una de ellas, trabajando sola, imprimir la nómina? 19. Diversión Un crucero hizo un viaje de 100 mi en 8 h. El barco viajó las primeras 40 mi a velocidad constante, antes de aumentarla 5 mph. Viajó otras 60 mi a esa nueva velocidad. Calcule la velocidad del barco durante las primeras 40 mi. 20. Deportes Un ciclista viajó 60 mi a velocidad constante, antes de reducirla 2 mph. Las siguientes 40 millas viajó a esta nueva velocidad. El tiempo total para el viaje de 100 millas fue 9 h. Calcule la velocidad del ciclista durante las primeras 60 mi. † 21. Aeronáutica La velocidad de un aeroplano monomotor con viento en calma es 100 mph. Al volar con el viento a favor, el aeroplano puede recorrer 240 mi en 1 h menos del tiempo que se requiere para hacer el viaje de regreso de 240 mi. Calcule la velocidad del viento.

USAF

22. Transporte Un automóvil viaja 120 mi. Otro vehículo, que viaja 10 mph más rápido que el primero, hace el mismo viaje en 1 h menos. Calcule la velocidad de cada uno de los vehículos. 23. Fuerza Aérea Uno La Fuerza Aérea estadounidense utiliza la designación VC-25 para el avión en el que vuela el presidente de Estados Unidos. Cuando el presidente está en la nave, su señal de llamada es Fuerza Aérea Uno. La velocidad de este avión con viento en calma es 630 mph. Al volar en sentido opuesto a la rotación de la Tierra, el avión puede volar de Washington, D.C. a Londres, separadas por una distancia de aproximadamente 3660 mi, en 1.75 h menos del tiempo que se requiere para hacer el viaje de regreso. Calcule la velocidad de la rotación de la Tierra. Redondee a la décima de millas por hora más cercana.

Colorado

24. Geografía El estado de Colorado es casi perfectamente rectangular, siendo su frontera norte 111 mi más larga que su frontera oeste. El estado abarca 104,000 mi2. Calcule las dimensiones de Colorado. Redondee a la milla más cercana. 25. Geometría Una caja es fabricada con una pieza rectangular de cartón, cuyo largo es 8 cm mayor que su ancho, y se le recortan de las esquinas cuadrados cuyos lados tienen 2 cm de largo, y luego se doblan los lados. Calcule las dimensiones de la caja si su volumen es de 256 cm³. 26. Geometría Una caja es elaborada utilizando una pieza cuadrada de cartón a la que se le recorta, en cada una de las cuatro esquinas, un cuadrado de 10 centímetros y se doblan luego los lados, como se muestra en la figura. Si se pretende que el volumen de la caja sea de 49,000 cm³, ¿de qué tamaño se requiere la pieza cuadrada de cartón? 27.

2 cm

w+8

w

10 cm 10 cm

Deportes Lea el artículo de la derecha. a. La pantalla que está tras la zona de anotación del lado este es un rectángulo cuya altura es 13 pies menor que el triple de su base. Calcule la base y la altura de la pantalla. b. La pantalla que está detrás de la zona de anotación del lado oeste es un rectángulo cuya base es 1 pie menor que el doble de su altura. Calcule la base y la altura de la pantalla del lado oeste.

28. Material para cercas Un entrenador canino tiene 80 pies de material para cercas, que utilizará para construir un área de trabajo rectangular para perros. Si el entrenador quiere abarcar una superficie de 300 pies2, ¿cuáles serán las dimensiones del área de trabajo?

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2 cm

En las noticias Los Delfines en la pantalla grande El estadio Landshark, de los Delfines de Miami, alberga una de las pantallas digitales más grandes del mundo: una de 6850 pies2 instalada detrás de la zona de anotación del lado este. Una pantalla ligeramente más pequeña, con área de 4950 pies2, se ubica detrás de la zona de anotación del lado oeste. Fuente: Business Wire

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464

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

29. Construcción El propietario de una casa contrata a un albañil para colocar un borde de ladrillos alrededor de un patio de cemento que mide 8 por 10 pies. Si el área total del patio y el borde es de 168 pies2, ¿cuál es el ancho del borde?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 30. Manufactura La superficie del cono de helado que se muestra a la derecha está dada por A 5 pr2 1 prs, donde r es el radio del borde superior circular del cono y s la longitud diagonal del cono. Si el área del cono es 11.25p pulg2 y su longitud diagonal 6 pulg, calcule el radio del cono.

x pies

8 pies

x pies

10 pies r

s = 6 pulg

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 31. Automotores Un automóvil con buena rodada puede detenerse en menor distancia que uno con baja rodada. Un modelo para la distancia de frenado d, en pies, de un automóvil con buena rodada sobre cemento seco es d 5 0.04v2 1 0.5v, donde v es la velocidad del automóvil en millas por hora. Si el conductor debe poder detenerse antes de 60 pies, ¿Cuál es la velocidad máxima segura para el automóvil? Redondee al número entero más cercano. 32. Física Cuando se abre la llave de un tanque de agua, la profundidad d del agua, en centímetros, luego de t segundos de abierta se puede aproximar por medio de d 5 0.00000177t2 2 0.0532t 1 400. ¿Cuánto tiempo después de abrir la llave la profundidad del agua será de 100 cm? Redondee a la décima más cercana. 33. Geometría Una bola de helado, perfectamente esférica, es colocada sobre un cono, como se muestra en la figura de la derecha. ¿A qué distancia se encuentra la parte inferior de la bola de helado del fondo del cono? (Sugerencia: un segmento de la recta que va del centro de la bola de helado al punto donde el helado toca al cono es perpendicular al borde del mismo.) Redondee a la décima más cercana.

8.5 OBJETIVO

1.5 pulg

x

3.5 pulg

Propiedades de las funciones cuadráticas

Gráfica de una función cuadrática FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que se puede expresar mediante la ecuación f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c, a 2 0. EJEMPLOS

1. f 1x2 5 2x2 2 3x 1 4 2. g 1x2 5 x2 1 4x 3. h 1x2 5 6 2 x2

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a 5 2, b 5 23, c 5 4 a 5 1, b 5 4, c 5 0 a 5 21, b 5 0, c 5 6

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SECCIÓN 8.5

465

Propiedades de las funciones cuadráticas

La gráfica de una función cuadrática se puede trazar al calcular los pares ordenados que pertenecen a la función.

Concéntrese en graficar una función cuadrática Grafique: f 1x2 5 x2 2 2x 2 3 Evalúe la función para varios valores de x. Encuentre los suficientes pares ordenados para determinar la forma de la gráfica. x

Punto de interés

f 1x2 5 x2 2 2x 2 3

f 1x2

1x, y2

22

f 1222 5 1222 2 2 2 1222 2 3

5

122, 52

21

f 1212 5 1212 2 2 2 1212 2 3

0

121, 02

0

f 102 5 102 2 2 102 2 3

23

10, 232

1

f 112 5 112 2 2 2 112 2 3

24

11, 242

2

f 122 5 122 2 2 2 122 2 3

23

12, 232

3

f 132 5 132 2 2 2 132 2 3

0

13, 02

4

f 142 5 142 2 2 2 142 2 3

5

14, 52

2

y (–2, 5)

(4, 5)

4 2

(–1, 0)

(3, 0)

–4 –2 0

(0, –3)

–4

2

4

x

(2, –3) (1, –4)

f (x) = x2 – 2x – 3

La gráfica de una función cuadrática se denomina parábola y tiene forma de “tazón”, como se mostró antes. Ésta puede tener la abertura hacia arriba o hacia abajo. La parábola se abre hacia arriba cuando a . 0 y se abre hacia abajo cuando a , 0.

Los cables de soporte de algunos puentes, como el Golden Gate, tienen forma de parábola. Las formas parabólicas también se utilizan en los espejos de los telescopios y para el diseño de algunas antenas.

y

y

Vértice

Ejes de simetría

x

x Ejes de simetría Vértice a>0

a 0, la gráfica se abre hacia b ? 52 5 2a 2 1?2

d. La coordenada y del vértice es f 102 5 3 1 ? ? . das del vértice de la parábola son

?

22 2 1 5

. ?

. Las coordena-

20. Utilice los resultados del ejercicio 19.

a. El eje de simetría de la gráfica f 1x2 5 3x2 2 1 es la recta vertical con ecuación ? . x5 b. Las coordenadas de un punto sobre la gráfica de f 1x2 5 3x2 2 1 son (2, 11). El ? unidades a la derecha del eje de simetría. El punto corresponpunto está diente 2 unidades a la izquierda del eje de simetría tiene coordenadas ( ? , ? ).

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría para las fórmulas dadas en cada ecuación. Luego trace su gráfica. 21. y 5 x2 2 2

22. y 5 x2 1 2

24. y 5 2x2 2 1

1 25. y 5 x2 2

26. y 5 2x2

27. y 5 2x2 2 1

1 28. y 5 2 x2 1 2 2

29. y 5 x2 2 2x

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 473

† 23. y 5 2x2 1 3

13/10/12 10:14 a.m.

474

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

30. y 5 x2 1 2x

31. y 5 22x2 1 4x

1 32. y 5 x2 2 x 2

33. y 5 x2 2 x 2 2

34. y 5 x2 2 3x 1 2

35. y 5 2x2 2 x 2 5

36. y 5 2x2 2 x 2 3

37. y 5 22x2 1 4x 1 1

38. y 5 2x2 2 3x 1 3

Grafique la función. Determine el dominio y el rango de la función. 39. f 1x2 5 2x2 2 4x 2 5

40. f 1x2 5 2x2 1 8x 1 3

41. f 1x2 5 22x2 2 3x 1 2

42. f 1x2 5 2x2 2 7x 1 3

43. f 1x2 5 x2 2 4x 1 4

44. f 1x2 5 2x2 1 6x 2 9

45. f 1x2 5 x2 1 4x 2 3

46. f 1x2 5 x2 2 2x 2 2

† 47. f 1x2 5 2x2 2 4x 2 5

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 474

48. f 1x2 5 2x2 1 4x 1 1

13/10/12 10:14 a.m.

SECCIÓN 8.5

Propiedades de las funciones cuadráticas

475

En los ejercicios 49 a 52, utilice la función cuadrática f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c. b 49. ¿Verdadero o falso? Si a < 0, entonces el rango f es e y ` y $ f a2 b f . 2a 50. ¿Verdadero o falso? Si b 5 0, entonces el eje de simetría de la gráfica de f es el eje y. 51. Si a > 0 y b < 0, ¿el eje de simetría para la gráfica de f está a la derecha o a la izquierda del eje y? 52. ¿Verdadero o falso? Si b = 2a, entonces el punto con coordenada 22 en x tiene la misma coordenada y que el punto con coordenada 0 en x.

Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola (Revise las páginas 468-471.) PREPÁRESE

? 53. Si 3 es un cero de la función y 5 f 1x2, entonces f 1 ? 2 5 y ? 2 son las coordenadas de una intersección ___?___ de la gráfica de 1 ? , y 5 f(x). 54. Utilice la ecuación y 5 2x2 2 3x 1 5. El discriminante es b2 2 4ac 5 1 ? ? 5

22 2 41 ? 2

? 5

21

?

2

?

Puesto que el discriminante es negativo, la gráfica de y 5 2x2 2 3x 1 5 tiene ___?___ intersecciones con el eje x.

55.

¿Cómo se pueden encontrar las intersecciones en x de la gráfica de una ecuación cuadrática?

56.

¿Cómo se puede utilizar el discriminante para determinar el número de intersecciones con el eje x de la gráfica de una función cuadrática?

Encuentre las coordenadas de las intersecciones con el eje x para la parábola dada. 57. y 5 x2 2 4 60. y 5 3x2 1 6x

58. y 5 x2 2 9

59. y 5 2x2 2 4x

2 † 61. y 5 x 2 x 2 2

62. y 5 x2 2 2x 2 8

63. y 5 2x2 2 5x 2 3

64. y 5 4x2 1 11x 1 6

65. y 5 3x2 2 19x 2 14

66. y 5 6x2 1 7x 1 2

67. y 5 9x2 2 12x 1 4

68. y 5 x2 2 2

69. y 5 9x2 2 2

70. y 5 2x2 2 x 2 1

71. y 5 4x2 2 4x 2 15

72. y 5 x2 1 2x 2 1

73. y 5 x2 1 4x 2 3

74. y 5 x2 1 6x 1 10

75. y 5 2x2 2 4x 2 5

76. y 5 x2 2 2x 2 2

77. y 5 2x2 2 2x 1 1

78. y 5 2x2 1 4x 1 1

Encuentre los ceros de la función. 79. f 1x2 5 2x2 2 3x

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 475

80. f 1x2 5 23x2 1 4x

† 81. f 1x2 5 x2 1 3x 1 2

13/10/12 10:14 a.m.

476

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

82. f 1x2 5 23x2 1 4x 2 1

83. f 1x2 5 9x2 1 12x 1 4

84. f 1x2 5 x2 2 6x 1 9

85. f 1x2 5 x2 2 16

86. f 1x2 5 2x2 2 4

87. f 1x2 5 2x2 1 3x 1 8

88. f 1x2 5 22x2 1 x 1 5

† 89. f 1x2 5 2x2 1 3x 1 2

90. f 1x2 5 3x2 2 x 1 4

Grafique la función. Estime los ceros reales de la función a la centésima más cercana. 91. f 1x2 5 x2 1 3x 2 1

92. f 1x2 5 x2 2 2x 2 4

93. f 1x2 5 2x2 2 3x 2 7

94. f 1x2 5 22x2 2 x 1 2

95. f 1x2 5 x2 1 6x 1 12

96. f 1x2 5 x2 2 3x 1 9

Utilice el discriminante para determinar el número de intersecciones con el eje x de la parábola dada. 97. y 5 2x2 1 x 1 1 100. y 5 22x2 1 x 1 1

98. y 5 2x2 1 2x 2 1 † 101. y 5 x2 2 8x 1 16

99. y 5 2x2 2 x 1 3 102. y 5 x2 2 10x 1 25

103. y 5 23x2 2 x 2 2

104. y 5 22x2 1 x 2 1

105. y 5 4x2 2 x 2 2

106. y 5 2x2 1 x 1 4

107. y 5 22x2 2 x 2 5

108. y 5 23x2 1 4x 2 5

109. y 5 x2 1 8x 1 16

110. y 5 x2 2 12x 1 36

111. y 5 x2 1 x 2 3

Para los ejercicios 112 al 115, f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que sólo tiene una intersección con el eje x, P 1n, 02. Determine si las expresiones son verdaderas o falsas. 112. P 1n, 02 también es el vértice de la parábola. 113. ax2 1 bx 1 c es un trinomio cuadrado perfecto. 114. Si a > 0, entonces para todos los números reales x, f 1x2 $ 0. 115. El punto con coordenada n 2 m en x tiene la misma coordenada y que el punto con coordenada n 1 m.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Encuentre el valor de k, tal que la gráfica de la ecuación contenga el punto dado. 116. y 5 x2 2 3x 1 k; 12, 52

117. y 5 x2 1 2x 1 k; 123, 12

118. y 5 2x2 1 kx 2 3; 14, 232

119. y 5 3x2 1 kx 2 6; 122, 42

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13/10/12 10:14 a.m.

SECCIÓN 8.5

Propiedades de las funciones cuadráticas

477

120. Un cero de la función f 1x2 5 2x2 2 5x 1 k es 4. ¿Cuál es el otro cero? 121. Los ceros de la función f 1x2 5 mx2 1 nx 1 6 son 22 y 3. ¿Cuáles son los ceros de la función g 1x2 5 nx2 1 mx 2 6? Cabe recordar que podemos encontrar el cero de una ecuación cuadrática f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c al determinar el valor de x en el dominio de f tal que f (x) 5 0. Podemos extender esta idea para encontrar un valor de x en el dominio de f tal que f (x) 5 c, donde c es cualquier número en el rango de f. Aquí un ejemplo. Encuentre dos valores de x en el dominio de f 1x2 5 x2 1 3x 2 1 tales que f (x) 5 9. f 1x2 5 9

x 1 3x 2 1 5 9 2

x 1 3x 2 10 5 0 1x 1 52 1x 2 22 5 0 2

x1550 x 5 25

• Sustituya f(x) por x2 1 3x 2 1. • Resuelva la ecuación cuadrática.

x2250 x52

Los valores de x para los que f 1x2 5 9 son 25 y 2. Para los ejercicios 122 a 125, encuentre dos valores de x en el dominio de f tales que f (x) tenga el valor dado. 122. f 1x2 5 x2 1 3x 2 2; f 1x2 5 2

123. f 1x2 5 2x2 1 6x 2 3; f 1x2 5 5 124. f 1x2 5 2x2 1 x 2 4; f 1x2 5 21 125. f 1x2 5 2x2 1 5x 2 1; f 1x2 5 23

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO

Una ecuación de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c se puede escribir de la formay 5 a 1x 2 h2 2 1 k, donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola. Utilice el proceso de completar el cuadrado para reescribir las ecuaciones en la forma y 5 a 1x 2 h2 2 1 k. Encuentre las coordenadas del vértice. (Sugerencia: revise la sección Concéntrese en las páginas 465-466). 126. y 5 x2 2 2x 2 2 127. y 5 x2 2 4x 1 7 128. y 5 x2 2 x 2 3 129. y 5 x2 1 x 1 2 Utilizando y 5 a 1x 2 h2 2 1 k como la ecuación de una parábola con vértice en V(h, k), encuentre la ecuación final de la parábola que tiene las características dadas. Escriba la ecuación final de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c. 130. Vértice V(0, 3); la gráfica pasa por P(3, 22) 131. Vértice V(1, 2); la gráfica pasa por P(2, 5)

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478

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

8.6

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

OBJETIVO Cómo se usa El cálculo es una rama de las matemáticas que, entre otras cosas, muestra cómo encontrar los máximos y mínimos de funciones distintas de las funciones cuadráticas. Estos son problemas muy importantes en matemáticas aplicadas. Por ejemplo, un ingeniero quiere diseñar un automóvil cuya forma reducirá al mínimo el efecto del flujo del aire. Él trata de incrementar al máximo la eficiencia del motor del automóvil. Del mismo modo, un economista puede tratar de determinar las prácticas de negocios que reducirán al mínimo los costos y aumentarán al máximo las utilidades.

Problemas de máximos y mínimos A la derecha se muestra la gráfica de f 1x2 5 x2 2 2x 1 3. Como a es negativa, la parábola se abre hacia arriba. El vértice es el punto inferior de la parábola. Este es el punto que tiene la coordenada menor en y. Por tanto, el valor de la función en este punto es un mínimo.

A la derecha se muestra la gráfica de f 1x2 5 2x2 1 2x 1 1. Como a es negativa, la parábola se abre hacia abajo. El vértice de la parábola es el punto más alto de la parábola. Este es el punto que tiene la coordenada mayor en y. Por tanto, el valor de la función en este punto es un máximo.

Vértice (1, 2)

2

Mínimo Coordenada y

0

2

4

6

x

y 4

Vértice (1, 2)

2 0

2

Máximo Coordenada y x 4

6

Para determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática, primero se encuentra la coordenada x del vértice. Luego se evalúa la función en dicho valor. Determine el valor máximo o mínimo de la función f 1x2 5 22x2 1 4x 1 3. x52

b 4 52 51 2a 2 1222

f 1x2 5 22x 2 1 4x 1 3 f 112 5 22 112 2 1 4 112 1 3 f 112 5 5 (1, 5)

• Encuentre la coordenada x del vértice. a 5 22, b 5 4 • Evalúe la función en x 5 1.

Puesto que a < 0, la gráfica de f se abre hacia abajo. Por tanto, la función tiene un valor máximo.

4 2 –2 0

4

–4

Solución

–4

6

–2

EJEMPLO 1

y

y

El valor máximo de la función es 5. Observe la gráfica de la izquierda. 2

4

x

Problema 1

–2 –4

Solución

f(x) = –2x 2 + 4x + 3

Determine el valor máximo o mínimo de la función f 1x2 5 2x2 2 3x 1 1. Revise la página S29.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 481.

OBJETIVO

Aplicaciones de los máximos y mínimos

Concéntrese en resolver un problema de maximización Un albañil está haciendo un piso rectangular. El perímetro del rectángulo es 44 pies. ¿Qué dimensiones del rectángulo darán el área máxima del piso? ¿Cuál es el área máxima?

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SECCIÓN 8.6

479

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Tenemos el perímetro del rectángulo y deseamos calcular las dimensiones del mismo que producirán el área máxima del piso. Utilice la ecuación del perímetro del rectángulo. P 5 44 Divida entre 2 ambos lados de la ecuación. Resuelva la ecuación para W.

P 5 2L 1 2W 44 5 2L 1 2W 22 5 L 1 W 22 2 L 5 W

Ahora utilice la ecuación del área de un rectángulo. Utilice la sustitución para expresar el área en términos de L. A 5 LW De la ecuación anterior, W 5 22 – L. Sustituya 22 – L por W.

A 5 L 122 2 L2 A 5 22L 2 L2

El área del rectángulo es 22L 2 L2. Para calcular el largo del rectángulo, encuentre la coordenada L del vértice de la función f 1L2 5 2L2 1 22L. Para la función f 1L2 5 2L2 1 22L, a 5 21 y b 5 22.

L52

b 22 52 5 11 2a 2 1212

El largo del rectángulo es 11 pies. Para calcular el ancho, sustituya L en 22 – L por 11, la coordenada L del vértice y evalúe.

W 5 22 2 L W 5 22 2 11 5 11

El ancho del rectángulo es 11 pies. Las dimensiones del rectángulo que darían al piso la mayor superficie son 11 por 11 pies. Para calcular el área máxima del piso, evalúe la función f 1L2 5 2L2 1 22L en 11, la coordenada L del vértice.

f 1L2 5 2L2 1 22L f 1112 5 2 1112 2 1 22 1112 5 2121 1 242 5 121

El área máxima del piso es 121 pies2.

A la derecha se muestra la gráfica de la función f 1L2 5 2L2 1 22L. Observe que el vértice de la parábola está en (11, 121). Para todo valor de L menor que 11, el área del rectángulo será menor que 121 pies2. Para todo valor de L mayor que 11, el área del rectángulo será menor que 121 pies2. 121 es el valor máximo de la función, y el valor máximo se presenta cuando L 5 11.

EJEMPLO 2

f(L) 150

(11, 121)

100 50 –10 0 – 50

10

20

30

L

Una compañía minera ha determinado que el costo c, en dólares por tonelada, del mineral que extrae está dado por

c 1x2 5 0.2x2 2 2x 1 12

donde x es el número de toneladas de mineral extraído. Calcule el número de toneladas de mineral que se deben extraer para reducir al mínimo el costo. ¿Cuál es el costo mínimo? Estrategia

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 479

 Para determinar el número de toneladas que reducen al mínimo el costo, encuentre la coordenada x del vértice.

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480

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Solución

 Para calcular el costo mínimo, evalúe la función en la coordenada x del vértice. b 22 x52 52 55 2a 2 10.22 Para reducir al mínimo el costo, se deben extraer 5 toneladas. c 1x2 5 0.2x2 2 2x 1 12 c 152 5 0.2 152 2 2 2 152 1 12 5 5 2 10 1 12 5 7

c(x)

El costo mínimo por tonelada es $7. 15

Nota: a la izquierda se muestra la gráfica de la función c 1x2 5 0.2x2 2 2x 1 12. El vértice de la parábola está en (5, 7). Para todo valor de x menor que 5, el costo por tonelada es mayor que $7. Para todo valor de x mayor que 5, el costo por tonelada es mayor que $7.7, el valor mínimo de la función, y dicho valor mínimo se presenta cuando x 5 5.

10

(5, 7)

5 –5

0 –5

5

10

x

15

Problema 2

Solución

La altura s, en pies, de una pelota lanzada hacia arriba está dada por s 1t2 5 216t2 1 64t, donde t es el tiempo en segundos. Calcule el tiempo que le toma a la pelota alcanzar su máxima altura. ¿Cuál es la altura máxima? Revise la página S29.

† Intente resolver el ejercicio 35 de la página 483.

EJEMPLO 3 Estrategia

Encuentre dos números cuya diferencia es 10 y cuyo producto es un mínimo.  Sean x y y que representan los dos números.  Exprese y en términos de x. y 2 x 5 10 y 5 x 1 10

• La diferencia de los números es 10. • Resuelva para y.

 Exprese el producto de los números en términos de x xy 5 x 1x 1 102 • y 5 x 1 10 f 1x2 5 x 2 1 10x • La función f representa el producto de los dos números.

 Para determinar uno de los dos números, encuentre la coordenada x del vértice de f 1x2 5 x2 1 10x.

Solución

 Para encontrar el otro número, sustituya x en x 1 10 por la coordenada x del vértice y evalúe. 10 b 5 25 x52 52 2a 2 112 x 1 10 5 25 1 10 5 5 Los números son 25 y 5.

x

Problema 3 y

x

Solución

Un área rectangular, ubicada a lo largo de un arroyo, está siendo cercada para separar el área de picnic. Si se dispone de 100 pies de cerca, ¿qué dimensiones del rectángulo producirán la máxima área disponible de picnic? Observe la figura de la derecha. Revise la página S29.

† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 483.

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SECCIÓN 8.6

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

481

8.6 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine si la función tiene un valor mínimo, un valor máximo o ninguno de los dos. a. f 1x2 5 22x2 1 3x 2 7

b. f 1x2 5 3x 1 5

c. f 1x2 5 x2

2. Las coordenadas del vértice de una parábola que se abre hacia abajo son (2, 23). ¿Cuál es el valor máximo de la función? 3. La coordenada x del vértice de la gráfica de f 1x2 5 3x2 2 6x 1 3 es 2. ¿Cuál es el valor mínimo de f? 4. ¿Una función cuadrática puede tener un valor mínimo y un valor máximo a la vez?

Problemas de máximos y mínimos (Revise la página 478.) 5.

¿Qué es el valor mínimo o el valor máximo de una función cuadrática?

6.

Describa cómo se determina el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

PREPÁRESE Para los ejercicios 7 y 8, utilice la función cuadrática f 1x2 5 28x2 1 8x. 7. Puesto que a 5 ___?___, la gráfica de f se abre ___?___. El vértice es el punto sobre la gráfica, por lo que su coordenada en ___?___ es el valor máximo de f(x). ? b 5 8. El vértice de la gráfica de f se encuentra en x 5 2 5 2 1?2 2a 2 máximo de f(x) es f1

?

2 5 28 1

?

22 1 81

?

2 5

?

1

?

5

?

. El valor

?

9. ¿La función tiene un valor mínimo o un valor máximo? a. f 1x2 5 2x2 1 6x 2 1

b. f 1x2 5 2x2 2 4

10. ¿La función tiene un valor mínimo o un valor máximo? a. f 1x2 5 3x2 2 2x 1 4

b. f 1x2 5 2x2 1 9

c. f 1x2 5 25x2 1 x

c. f 1x2 5 6x2 2 3x

Determine el valor mínimo o máximo de la función cuadrática.

12. f 1x2 5 2x2 1 4x

13. f 1x2 5 22x2 1 4x 2 3

14. f 1x2 5 22x2 1 4x 2 5

15. f 1x2 5 22x2 2 3x 1 4

16. f 1x2 5 22x2 2 3x

17. f 1x2 5 2x2 1 3x 2 8

18. f 1x2 5 3x2 1 3x 2 2

19. f 1x2 5 23x2 1 x 2 6

† 11. f 1x2 5 x2 2 2x 1 3

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 481

13/10/12 10:14 a.m.

482

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

20. f 1x2 5 2x2 2 x 1 2

21. f 1x2 5 x2 2 5x 1 3

22. f 1x2 5 3x2 1 5x 1 2

23. ¿Cuál de las siguientes parábolas tiene el valor mínimo mayor? (i) y 5 x2 2 2x 2 3

(ii) y 5 x2 2 10x 1 20

(iii) y 5 3x2 2 6

24. ¿Cuál de las siguientes parábolas tiene el valor máximo mayor? (i) y 5 22x2 1 2x 2 1

(ii) y 5 2x2 1 8x 2 2

(iii) y 5 24x2 1 3

25. El vértice de una parábola que se abre hacia arriba está en P(24, 7). ¿La función tiene un valor máximo o mínimo? ¿Cuál es el valor máximo o mínimo de la función? 26. El vértice de una parábola que se abre hacia abajo está en P(3, 25). ¿La función tiene un valor máximo o mínimo? ¿Cuál es el valor máximo o mínimo de la función? Para los ejercicios 27 y 28, utilice la siguiente información. f es una función cuadrática cuya gráfica se abre hacia arriba y tiene vértice en P (n, p). g es una función cuadrática cuya gráfica se abre hacia abajo y tiene vértice en Q (n, q). 27. ¿Verdadero o falso? Si p > q, entonces para todos los valores de x, f 1x2 . g 1x2 .

28. ¿Verdadero o falso? Si p < q, entonces para todos los valores de x, f 1x2 , g 1x2 .

Aplicaciones de los máximos y mínimos (Revise las páginas 478-480.) PREPÁRESE Resuelva los ejercicios 29 y 30 considerando que la altura aproximada h, en metros, de una pelota tras t segundos de haber sido lanzada verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 m, con una velocidad inicial de 30 m/s, está dada por la función h 1t2 5 25t2 1 30t 1 2. 29. Para calcular cuántos segundos le toma a la pelota alcanzar su altura máxima, se determina la coordenada ___?___ del vértice de la gráfica de h: ? b ? 5 t52 52 2a 22 1?2 La pelota alcanza su altura máxima luego de ___?___ s. 30. Utilice el resultado del ejercicio 29. Calcule la altura máxima de la pelota: h1

?

2 5 25 1 5

?

? 1

2 2 1 30 1 ?

?

125

2 12 ?

La altura máxima de la pelota es ___?___ m.

Resuelva. 31. Física La altura s, en pies, de una roca que es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/s desde un cerro que está a 50 pies por encima de la playa, está dada por la función s 1t2 5 216t2 1 64t 1 50, donde t es el tiempo en segundos. Calcule la altura máxima que alcanzará la roca por encima de la playa. 32.

Deportes Los clavados desde la plataforma de 10 m es un evento de los Juegos Olímpicos, en el cual, la altura s, en metros, de un clavadista por encima del agua t segundos después de saltar está dada por s 1t2 5 24.9t2 1 7.8t 1 10. ¿Cuál es la altura máxima a la que estará el clavadista por encima del agua? Redondee a la décima más cercana.

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13/10/12 10:14 a.m.

SECCIÓN 8.6

33.

Viaje espacial Lea el artículo de la derecha. La NASA utiliza una nave semejante a la descrita en el artículo, con el fin de preparar astronautas estadounidenses para sus labores en el entorno de ingravidez del espacio. Suponga que la altura h, en pies, del aeroplano de la NASA está modelada por la ecuación h 1t2 5 26.63t2 1 431t 1 25,000, donde t es el número de segundos transcurridos a partir de que la nave entra en ruta parabólica. Calcule la altura máxima de la nave de la NASA. Redondee en pies a la unidad de millar más cercana.

34. Manufactura Un fabricante de hornos de microondas considera que los ingresos R, en dólares, que obtiene la empresa se relacionan con el precio P, en dólares, de un horno mediante la función R 1P2 5 125P 2 0.25P2. ¿Cuál precio generará los ingresos máximos? † 35. Negocios Una agencia de viajes considera que las utilidades P, en dólares, por vender x boletos está dada por P 1x2 5 40x 2 0.25x2. Utilice este modelo para calcular el máximo de utilidades que puede esperar la agencia de viajes. 36.

483

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Arte La fuente Buckingham de Chicago arroja agua por una boquilla que está en su base. La altura h, en pies, del agua por encima del piso t segundos después de dejar la boquilla está dada por la función h 1t2 5 216t2 1 90t 1 15. ¿Cuál es la altura máxima del agua? Redondee a la décima más cercana.

En las noticias Turismo en gravedad cero ¿Por qué no conducir a la Luna? Ahora la compañía Zero Gravity ofrece viajes en una nave que produce un entorno de ingravidez mediante el vuelo en una serie de rutas parabólicas. La primera de ellas reproduce la gravedad de Marte por alrededor de 35 s. Las dos siguientes producen la sensación de estar en la Luna y, posteriormente, se realizan 12 parábolas de verdadera ingravidez absoluta. Fuente: www.space.com/news

37. Ingeniería estructural El cable de suspensión que sostiene un pequeño puente cuelga con la forma de una parábola. La altura h, en pies, del cable por encima del puente está dada por la función h 1x2 5 0.25x2 2 0.8x 1 25, donde x es la distancia en pies de un extremo al otro del puente. ¿Cuál es la altura mínima del cable por encima del puente? 38.

Telescopios Una ecuación para el espesor h, en pulgadas, del espejo que se encuentra en el Observatorio Monte Palomar de California está dada por la función h 1x2 5 0.000379x2 2 0.0758x 1 24, donde x se mide desde el borde del espejo. Calcule el espesor mínimo del espejo.

24 pulg

x

h

200 pulg No está a escala

39. Ciencias del fuego La altura s, en pies, del agua propulsada desde la boquilla de una 1 2 manguera contra incendios está dada por la ecuación s 1x2 5 230 x 1 2x 1 5, donde x es la distancia horizontal desde la boquilla. ¿A qué altura caerá el agua sobre un edificio que está a 40 pies de la manguera?

40 pies

s

40. Tecnología automotriz En concreto mojado, la distancia de frenado s, en pies, de un automóvil que va a v millas por hora está dada por s 1v2 5 0.055v2 1 1.1v. ¿A qué velocidad puede ir el automóvil para poder detenerse en una señal colocada a 44 pies de distancia? † 41. Problema numérico Encuentre dos números cuya suma sea 20 y cuyo producto sea un máximo. 42 Problema numérico Encuentre dos números cuya diferencia sea 14 y cuyo producto sea un mínimo.

x

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 483

y

x

43. Granjería Un granjero tiene 200 pies de material para cercar, con los que construirá un corral rectangular a un lado de una cerca ya existente. Determine las dimensiones del corral que maximizarán el área cercada. 44. Comidas campestres El departamento de parques y recreación de una ciudad quiere cercar una zona de alimentos para una tienda de bocadillos ya existente, como se muestra en el diagrama de la derecha. Si la ciudad tiene material para construir 400 pies de cerca, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo maximizarán el área de alimentos?

5 pies

y – 40 Tienda de 20 pies bocadillos 40 pies x – 20

x

Zona de alimentos y

13/10/12 10:14 a.m.

484

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 45. Demuestre que el valor mínimo de

S 1x2 5 12 2 x2 2 1 15 2 x2 2 1 14 2 x2 2 1 17 2 x2 2 se presenta cuando x es el promedio de los números 2, 5, 4 y 7.

Utilice una calculadora graficadora para determinar el valor mínimo o máximo de la función. Redondee a la décima más cercana. Si necesita ayuda, consulte el Apéndice sobre calculadoras graficadoras. 47. f 1x2 5 x4 2 2x2 1 4

46. f 1x2 5 x4 1 2x3 1 1

48. f 1x2 5 2x8 1 x6 2 x4 1 5x2 1 7 50.

49. f 1x2 5 2x6 1 x4 2 x3 1 x

Con base en los ejercicios 46 a 49, haga una conjetura respecto a la relación que existe entre el signo del coeficiente más alto de una función polinomial de grado par y si la función tendrá un valor mínimo o máximo.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 51. Fútbol Algunos campos de fútbol se construyen con forma ligeramente parabólica, de tal modo que el agua escurra hacia afuera del campo. Un modelo para la forma de esta clase de campo está dado por h 1x2 5 20.00023475x2 1 0.0375x donde h es la altura del campo en pies a una distancia de x pies de la línea lateral. ¿Cuál es la altura máxima del campo? Redondee a la décima más cercana. 52. Eficiencia energética La eficiencia energética promedio de un automóvil está dada por la ecuación E 1v2 5 20.018v2 1 1.476v 1 3.4, donde E es la eficiencia energética en millas por galón y v la velocidad del automóvil en millas por hora. ¿A qué velocidad alcanzará la máxima eficiencia energética? ¿Cuál es la máxima eficiencia energética?

8.7 OBJETIVO

Desigualdades no lineales Resolver desigualdades no lineales Una desigualdad cuadrática con una variable es una desigualdad que se puede escribir en la forma ax 2 1 bx 1 c , 0 o ax 2 1 bx 1 c . 0, donde a 2 0. También se pueden utilizar los símbolos # y $. Las desigualdades cuadráticas se pueden resolver por medios algebraicos. Sin embargo, puede resultar más sencillo utilizar el método gráfico para resolver esta clase de desigualdades. En el ejemplo que se muestra a continuación se emplea el método gráfico.

Concéntrese en resolver una desigualdad cuadrática Resuelva y grafique el conjunto solución de x 2 2 x 2 6 , 0. Factorice el trinomio.

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 484

x2 2 x 2 6 , 0 1x 2 32 1x 1 22 , 0

13/10/12 10:14 a.m.

SECCIÓN 8.7

Dibuje rectas verticales sobre una recta numérica en los números que hacen cada factor igual a cero. x2350 x53

Tome nota Para cada uno de los factores se selecciona un número en cada región. Por ejemplo, cuando x 5 24, x 2 3 es negativa, cuando x 5 1, x 2 3 es negativa, y cuando x 5 4, x 2 3 es positiva. Cuando x 5 24, x 1 2 es negativa, cuando x 5 1, x 1 2 es positiva, y cuando x 5 4, x 1 2 es positiva.

485

Desigualdades no lineales

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

x1250 x 5 22

Para cada factor, coloque signos de más sobre la recta numérica para aquellas regiones donde el factor es positivo, y signos de menos donde el factor es negativo. x 2 3 es positivo para x > 3, y x 1 2 es positivo para x > 22.

x – 3 −−−−−−−− −−−−−−−−−−−

+++++

x + 2 −−−−−−−− +++++++++++

+++++

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

4

5

5

Puesto que x 2 2 x 2 6 , 0, el conjunto solución tendrá regiones donde un factor es positivo y el otro negativo. Escriba el conjunto solución utilizando notación de conjuntos o notación de intervalos. A la derecha se muestra la gráfica del conjunto solución de la desigualdad x 2 2 x 2 6 , 0.

El conjunto solución es 5 x 0 22 , x , 3 6 , o (–2, 3)

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

Este método para resolver desigualdades cuadráticas se puede utilizar con cualquier polinomio que se pueda factorizar en factores lineales.

Concéntrese en resolver una desigualdad cúbica Resuelva y grafique el conjunto solución de x 3 2 4x 2 2 4x 1 16 . 0. Escriba el conjunto solución utilizando notación de conjuntos. Factorice el trinomio mediante agrupamiento de términos.

Sobre la recta numérica se identifican las regiones donde el factor es positivo y donde es negativo para cada uno de los factores.

x 3 2 4x 2 2 4x 1 16 . 0 x 2 1x 2 42 2 4 1x 2 42 . 0 1x 2 2 42 1x 2 42 . 0 1x 2 22 1x 1 22 1x 2 42 . 0 x – 2 −−−−−−− −−−−−−−−− ++++ ++++ x + 2 −−−−−−− +++++++++ ++++ ++++ x – 4 −−−−−−− −−−−−−−−− −−−− ++++

Existen dos regiones donde el producto de los tres factores es positivo. Escriba el conjunto solución. A la derecha se muestra la gráfica del conjunto solución de la desigualdad x 3 2 4x 2 2 4x 1 16 . 0.

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 485

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

El conjunto solución es 5 x 0 22 , x , 2 6 h 5 x 0 x . 4 6 . –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

13/10/12 10:14 a.m.

486

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva y grafique el conjunto solución de 2x 2 2 x 2 3 $ 0. Escriba el conjunto solución utilizando notación de intervalos. 2x 2 2 x 2 3 $ 0 12x 2 32 1x 1 12 $ 0 2x – 3 − − − − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + + x + 1 −−−−−−−−−− +++++ ++++++++++ –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

El conjunto solución es 12`, 21 4 –5 –4 –3 –2 –1 0

Problema 1 Solución

1

2

3

4

5

3 h 3 2,

`2 .

5

Resuelva y grafique el conjunto solución de 2x 2 2 x 2 10 # 0. Escriba el conjunto solución utilizando notación de conjuntos. Revise la página S29.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 488. El método gráfico se puede utilizar para resolver desigualdades racionales.

Concéntrese en resolver una desigualdad racional. 2x 2 5 # 1. Escriba el conjunto solución utilizando notación de intervalos. x24 2x 2 5 #1 x24 Reescriba la desigualdad de manera que 2x 2 5 21#0 quede cero en su lado derecho. x24 2x 2 5 x24 Después simplifique. 2 #0 x24 x24 x21 #0 x24

Resuelva:

Sobre una recta numérica identifique las regiones en las que el factor es positivo y en las que es negativo, esto con cada factor del numerador y del denominador.

x – 1 −−−−−−−−−−−−−−− ++++++ +++ x – 4 −−−−−−−−−−−−−−− −−−−−− +++ –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

La región en la que el cociente de dos factores es negativo está entre 1 y 4. Escriba el conjunto solución.

El conjunto solución es [1, 4).

Observe que 1 es parte del conjunto solución, pero 4 no lo es, porque cuando x 5 4, el denominador de la expresión racional es cero.

EJEMPLO 2 Solución

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 486

x14 23

Resuelva y grafique el conjunto solución de x tación de conjuntos el conjunto solución. x14 $0 x23

$ 0. Escriba con no-

13/10/12 10:14 a.m.

SECCIÓN 8.7

Desigualdades no lineales

x + 4 −−

++++++++++++++++

+++++

x – 3 −−

−−−−−−−−−−−−−−−−

+++++

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

El conjunto solución es 5 x 0 x . 3 6 –5 –4 –3 –2 –1

Problema 2 Solución

0

1

2

3

4

5

h

487

5 x 0 x # 24 6 .

5

Resuelva y grafique el conjunto solución de x notación de intervalos el conjunto solución.

x 22

# 0. Escriba con

Revise la página S29.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 488.

8.7 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

x22 23

Suponga que x junto solución?

$ 0. ¿Es 3 elemento del conjunto solución? ¿Es 2 elemento del con-

2.

Si xy > 0, ¿qué debe ser verdadero respecto a los valores de x y y?

3.

Si xy # 0, ¿qué debe de ser verdadero respecto a los valores de x y y?

4. Resuelva: Si 22x . 0, entonces x es un número ___?___.

Resolver desigualdades no lineales (Revise las páginas 484–487.) PREPÁRESE 5. Para utilizar un diagrama de recta numérica con el fin de resolver la desigualdad 1x 1 32 1x 2 82 . 0, comience por trazar rectas verticales de ___?___ a ___?___. 7 6. Cuando x está entre 24 y 7, el numerador de xx 2 es negativo y el denominador es 14 ___?___. El cociente de un número negativo y de uno positivo es ___?___, por lo que 7 la expresión xx 2 es ___?___ para todos los valores de x entre 24 y 7. 14

Resuelva y grafique el conjunto solución. Escriba en notación de conjuntos el conjunto solución. 7. 1x 2 42 1x 1 22 . 0

8. 1x 1 12 1x 2 32 . 0

9. x 2 2 3x 1 2 $ 0

10. x 2 1 5x 1 6 . 0

11. x 2 2 x 2 12 , 0

12. x 2 1 x 2 20 , 0

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 487

13/10/12 10:14 a.m.

488

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

13. 1x 2 12 1x 1 22 1x 2 32 , 0

14. 1x 1 42 1x 2 22 1x 2 12 $ 0

† 15.

x24 .0 x12

16.

x12 .0 x23

17.

x23 #0 x11

18.

x21 .0 x

19.

1x 2 12 1x 1 22 #0 x23

20.

1x 1 32 1x 2 12 $0 x22

21.

¿Cuáles desigualdades se pueden resolver utilizando el siguiente diagrama? x – 4 −−−−−− −−−−−−− −−−−−−−−− +++ x −−−−−− −−−−−−− +++++++++ +++ x + 3 −−−−−− +++++++ +++++++++ +++ – 5 – 4 – 3 –2 –1

0

1

2

3

(i) x 1x 1 32 1x 2 42 . 0 (iii) 0 . 22.

x 32x

4

5

(ii) x 1 3 , x 1x 2 42 (iv)

x13 ,0 x 1x 2 42

a, b y c son números positivos tales que a < b < c. ¿En cuáles de los siguientes intervalos el producto 1x 2 a2 1x 2 b2 1x 2 c2 es siempre negativo? (i) 5 x 0 a , x , c 6

(iii) 5 x 0 x , a 6

(ii) 5 x 0 x . c 6

(iv) 5 x 0 b , x , c 6

Resuelva. Escriba en notación de intervalos el conjunto solución. 2 † 23. x 2 16 . 0

24. x 2 2 4 $ 0

25. x 2 2 4x 1 4 . 0

26. x 2 1 6x 1 9 . 0

27. x 2 2 9x # 36

28. x 2 1 4x . 21

29. 2x 2 2 5x 1 2 $ 0

30. 4x 2 2 9x 1 2 , 0

31. 4x 2 2 8x 1 3 , 0

32. 2x 2 1 11x 1 12 $ 0

33. 1x 2 62 1x 1 32 1x 2 22 # 0

34. 1x 1 52 1x 2 22 1x 2 32 . 0

35. 12x 2 12 1x 2 42 12x 1 32 . 0

36. 1x 2 22 13x 2 12 1x 1 22 # 0

37. x 3 1 3x 2 2 x 2 3 # 0

38. x 3 1 x 2 2 9x 2 9 , 0

39. x 3 2 x 2 2 4x 1 4 $ 0

40. 2x 3 1 3x 2 2 8x 2 12 $ 0

41.

3x .1 x22

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 488

42.

2x ,1 x11

13/10/12 10:14 a.m.

CAPÍTULO 8

43.

2 $2 x11

44.

3 ,2 x21

45.

x $0 1x 2 12 1x 1 22

46.

x22 #0 1x 1 12 1x 2 12

47.

1 ,2 x

48.

x $1 2x 2 1

Resumen

489

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Grafique el conjunto solución. 49. 1x 1 22 1x 2 32 1x 1 12 1x 1 42 . 0

50. 1x 2 12 1x 1 32 1x 2 22 1x 2 42 $ 0

51. 1x 2 1 2x 2 82 1x 2 2 2x 2 32 , 0

52. 1x 2 1 2x 2 32 1x 2 1 3x 1 22 $ 0

53. 1x 2 1 12 1x 2 2 3x 1 22 . 0

54. 1x 2 2 92 1x 2 1 5x 1 62 # 0

55.

x 2 13 2 x2 12x 1 12 $0 1x 1 42 1x 1 22

57. 3x 2

1 #2 x

56.

1 1x.2 x

58. x 2 2 x ,

12x x

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 59. Una flecha es disparada a una velocidad inicial de 70 m/s. La distancia hacia arriba, en metros, está dada por d 5 rt 2 5t2, donde t es el número de segundos transcurridos desde que se disparó y v la velocidad inicial. Calcule el intervalo de tiempo durante el que la flecha estará a más de 200 m de altura.

SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

489

CAPÍTULO 8 Resumen Términos clave Una ecuación cuadrática es aquella de la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0, donde a 2 0. Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado.

09_Cap-08_AUFMANN_2a-Parte.indd 489

Objetivo y página de referencia [8.1.1, p. 432]

Ejemplos 3x 2 1 4x 2 7 5 0 y x 2 2 1 5 0 son ecuaciones cuadráticas.

13/10/12 10:14 a.m.

490

CAPÍTULO 8

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Una ecuación cuadrática está en su forma general cuando el polinomio está en orden descendente y es igual a cero.

[8.1.1, p. 432]

x 2 2 5x 1 6 5 0 es una ecuación cuadrática en forma general.

Cuando una ecuación cuadrática tiene dos soluciones que son el mismo número, la solución se denomina raíz doble de la ecuación.

[8.1.1, p. 433]

x 2 2 4x 1 4 5 0 1x 2 22 1x 2 22 5 0 x2250 x52

x2250 x52

2 es una raíz doble. La gráfica de una ecuación cuadrática f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c es una parábola que se abre hacia arriba cuando a > 0 y hacia abajo cuando a < 0 El eje de simetría es una recta que pasa a través del vértice de la parábola.

y

[8.5.1, pp. 464–465]

y

x

Una desigualdad cuadrática con una variable es aquella que se puede escribir de la forma ax 2 1 bx 1 c . 0 o ax 2 1 bx 1 c , 0, donde a Z 0. También se pueden utilizar los símbolos # y $.

Reglas y procedimientos esenciales Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por factorización y utilizando la propiedad del producto cero.

x

Eje de simetría Vértice a>0

La gráfica de f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c tiene un valor mínimo si a > 0 y un valor máximo si a < 0.

Vértice

Eje de simetría

a 1 y que m y n son números positivos tales que m > n. ¿Es logb m menor que, igual a o mayor que logb n? Suponga que 0 < b < 1 y m > 1. ¿Es logb m menor que, igual a o mayor que cero?

60.

Propiedades de los logaritmos (Revise las páginas 542-547.) 61.

¿Cuál es la propiedad del logaritmo de un producto?

62.

¿Cuál es la propiedad del logaritmo de un cociente?

PREPÁRESE 63. Complete la propiedad del logaritmo de un exponente. Para cualesquiera números reales ? . positivos x y b, b 2 1, y para cualquier número real r, logb xr 5 64. Escriba con notación desarrollada log4 x8y. log4 1x 8y2 5 log4 1 51

?

?

2 1 log4 1

?

2

)log4 x 1 log4 y

• Por la propiedad del logaritmo de un producto, el logaritmo de un producto se expande en la suma de los logaritmos de los factores. • Utilice la propiedad del logaritmo de un cociente.

Escriba con notación desarrollada el logaritmo. 66. log7 14y2 65. log8 1xz2 68. log2 y7 † 71. log3 1x2y62 74. log

s5 t2

77. log9 1x2yz2 79. lna

xy2 b z4

81. log8 a

x2 b yz2

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 549

69. ln

67. log3 x5

r s

70. ln

z 4

72. log4 1t4u22

73. log7

75. log2 1rs2 2

76. log3 1x2y2 3

u3 v4

78. log6 1xy2z32 80. lna

r 2s b t3

82. log9 a

2 3b

x yz

15/10/12 05:37 p.m.

550

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

83. log7 !xy 85. log2

3 84. log8 ! xz

x Åy

86. log3

87. ln"x3y 89. log7

r Ås 3

88. ln"x5y3

x3 Åy

90. logb

r2 Åt 3

Exprese como un logaritmo simple con un coeficiente de 1. 91. log3 x3 2 log3 y

92. log7 t 1 log7 v2

93. log8 x4 1 log8 y2

94. log2 r2 1 log2 s3

95. 3 ln x

96. 4 ln y

97. 3 log5 x 1 4 log5 y

98. 2 log6 x 1 5 log6 y

99. 22 log4 x

100. 23 log2 y

101. 2 log3 x 2 log3 y 1 2 log3 z

102. 4 log5 r 2 3 log5 s 1 log5 t

103. logb x 2 12 logb y 1 logb z2

104. 2 log2 x 2 13 log2 y 1 log2 z2

105. 2 1ln x 1 ln y 2

106. 3 1ln r 1 ln t2 108.

† 107.

1 1log6 x 2 log6 y2 2

109. 2 1log4 s 2 2 log4 t 1 log4 r2

1 1log8 x 2 log8 y2 3

110. 3 1log9 x 1 2 log9 y 2 2 log9 z2

111. log5 x 2 2 1log5 y 1 log5 z2

112. log4 t 2 3 1log4 u 1 log4 v2

113. 3 ln t 2 2 1ln r 2 ln v2

114. 2 ln x 2 3 1ln y 2 ln z2

115.

116.

1 13 log4 x 2 2 log4 y 1 log4 z2 2

1 14 log5 t 2 3 log5 u 2 3 log5 v2 3

Sin utilizar una calculadora, determine si la expresión es verdadera o falsa. 118. log 10 2 log 5 5 log 2 117. log 10 1 log 5 5 log 15 119. logb b10 2 logb 1 5 10

120.

Evalúe. Redondee a la diezmilésima más cercana. 122. log4 8 † 121. log8 6 125. log3 10.52

126. log5 10.62

129. log5 15

130. log3 25

Reescriba cada función en términos de logaritmos comunes. † 133. f 1x2 5 log3 13x 2 22 135. f 1x2 5 5 log9 16x 1 72

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 550

log 10 5 log 8 log 2

123. log5 30

124. log6 28

127. log7 11.72

128. log6 13.22

131. log12 120

132. log9 90

134. f 1x2 5 log5 1x2 1 42 136. f 1x2 5 3 log2 12x2 2 x2

15/10/12 05:37 p.m.

SECCIÓN 10.2

Introducción a los logaritmos

Reescriba cada función en términos de logaritmos naturales. 137. f 1x2 5 log2 1x 1 52

138. f 1x2 5 log4 13x 1 42

139. f 1x2 5 log3 1x2 1 92

140. f 1x2 5 log7 19 2 x22

551

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

141. Dado S 1t2 5 8 log5 16t 1 22 , determine S(2) a la centésima más cercana.

142. Dado f 1x2 5 3 log6 12x 2 12 , determine f(7) a la centésima más cercana.

143. Dado G 1x2 5 25 log7 12x 1 192 , determine G(23) a la centésima más cercana. 144. Dado P 1v2 5 23 log6 14 2 2v2 , determine P(24) a la centésima más cercana. Resuelva para x. 145. log2 1log2 x2 5 3

146. log3 1log3 x2 5 1

147. ln 1ln x2 5 1

148. ln 1log x2 5 2

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 149.

Biología Para analizar la variedad de especies que viven en cierto ambiente, un biólogo necesita una definición precisa de diversidad. Sea p1, p2, ... , pn las proporciones de n especies que viven en un ambiente. La diversidad biológica D de este sistema es D 5 2 1 p1 log2 p1 1 p2 log2 p2 1 c1 pn log2 pn2 Mientras mayor sea el valor de D, mayor será la diversidad del sistema. Suponga que un ecosistema tiene exactamente cinco variedades diferentes de pasto: raigrás (R), Bermuda (B), azul (L), fescue (F), y San Agustín (A). Tabla 1

Tabla 2

R

B

L

F

A

R

B

L

F

A

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 8

3 8

1 16

1 8

5 16

Tabla 3

Tabla 4

R

B

L

F

A

R

B

L

F

A

1 4

0

0

0

1

0

0

3 4

0

0

a. Calcule la diversidad de este ecosistema si las proporciones son las que se muestran en la tabla 1. b. Debido a que Bermuda y San Agustín son pastos virulentos, después de cierto tiempo las proporciones son las que se ilustran en la tabla 2. ¿El sistema tiene una mayor o menor diversidad que la que se dio en la tabla 1? c. Luego de un periodo incluso más largo, Bermuda y San Agustín dominan por completo el ambiente, y las proporciones son las que se ilustran en la tabla 3. Calcule la diversidad de este sistema. (Nota: para propósitos de la definición de diversidad, 0 log2 0 5 0. ¿El sistema tiene mayor o menor diversidad que la que se dio en la tabla 2? d.

Por último, el San Agustín domina al Bermuda, y las proporciones son las que se ilustran en la tabla 4. Calcule la diversidad de este sistema. Escriba una frase que explique su respuesta.

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 551

15/10/12 05:37 p.m.

552

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

10.3

Gráficas de funciones logarítmicas

OBJETIVO Punto de interés Si bien los logaritmos se desarrollaron originalmente como apoyo para los cálculos, hoy las funciones logarítmicas tienen un uso mucho más amplio. Estas funciones ocurren en geología, acústica, química y economía, por ejemplo.

Graficar funciones logarítmicas La gráfica de una función logarítmica puede trazarse utilizando la relación entre las funciones exponencial y logarítmica. Para graficar g 1x2 5 log2 x, piense en la función como ecuación y 5 log2 x

g 1x2 5 log2 x y 5 log2 x

Escriba la ecuación exponencial equivalente.

x 5 2y

Puesto que la ecuación se resuelve para x en términos de y, es más fácil elegir los valores de y, y encontrar los valores correspondientes de x. Los resultados se pueden registrar en una tabla. Grafique los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares. Una los puntos con una curva suave.

y

x 5 2y

y

1 4 1 2 1 2 4

22

2

21

0

4

2

4

6

x

–2

0 1 2

–4

Al aplicar las pruebas de rectas horizontal y vertical, se revela que g 1x2 5 log2 x, es la gráfica de una función 121. y

Recuerde que la gráfica del inverso de una función f es la imagen especular de la gráfica de f respecto de la recta cuya ecuación es y 5 x. La gráfica de f 1x2 5 2x se ilustró arriba. Debido a que g(x) 5 log2 x es el inverso de f 1x2 5 2x, las gráficas de estas funciones son imágenes especulares una de la otra respecto de la recta cuya ecuación es y 5 x.

f 6 4

g

2

–2

0

2

4

6

x

–2

Concéntrese en graficar una función logarítmica Grafique: f 1x2 5 log2 x 1 1

Piense en la función como la ecuación y 5 log2 x 1 1. Resuelva la ecuación para log2 x. Escriba la ecuación exponencial equivalente.

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 552

f 1x2 5 log2 x 1 1 y 5 log2 x 1 1 y 2 1 5 log2 x 2y21 5 x

15/10/12 05:37 p.m.

SECCIÓN 10.3

553

Gráficas de funciones logarítmicas

Elija los valores de y, y encuentre los valores correspondientes de x. Grafique los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares. Una los puntos con una curva suave. x 5 2y21

y

1 4 1 2 1 2 4

21

EJEMPLO 1 Solución

y 4

0

2

1 2 3

0

2

4

6

x

–2 –4

Grafique: A. f 1x2 5 log3 x

A. f 1x2 5 log3 x y 5 log3 x x 5 3y

B. f 1x2 5 2 log3 x

• Sustituya y por f 1x2 . • Escriba la ecuación exponencial equivalente.

Elija los valores de y, y encuentre los valores correspondientes de x. Grafique los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares. Una los puntos con una curva suave. x 5 3y

y

1 9 1 3 1 3

22

y 4 2

21

–4

–2

4

x

–2

0 1

B. f 1x2 5 2 log3 x y 5 2 log3 x y 5 log3 x 2

2

0

–4

• Sustituya y por f 1x2 . • Resuelva la ecuación para log3 x.

y

x 5 32

• Escriba la ecuación exponencial equivalente.

Elija los valores de y, y encuentre los valores correspondientes de x. Grafique los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares. Una los puntos con una curva suave. y

x 5 32 1 9 1 3 1 3

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 553

y

y 4

24

2

22 0 2

–4

–2

0

2

4

x

–2 –4

15/10/12 05:37 p.m.

554

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

Problema 1 Solución

Grafique:

A. f 1x2 5 log2 1x 2 12

B. f 1x2 5 log3 2x

Revise la página S32.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 556. Grafique: f 1x2 5 2 ln x 1 3

EJEMPLO 2 Solución

La gráfica se ilustra a continuación. Para verificar la precisión de la gráfica, evalúe f(x) para algunos valores de x, y compare los resultados encontrados utilizando la función TRACE de la calculadora graficadora. Por ejemplo, f 112 5 2 ln 112 1 3 5 3, entonces (1, 3) es un punto en la gráfica. Cuando x 5 3, f 132 5 2 ln 132 1 3 < 5.2, entonces (3, 5.2) es un punto en la gráfica. 8

–1

6

–4

Problema 2 Solución

Grafique: f 1x2 5 10 log 1x 2 22 Vea la página S32.

† Intente resolver el ejercicio 19 de la página 556.

Con una calculadora graficadora es posible trazar las gráficas de las funciones logarítmicas en bases distintas a la base e o a la base 10, utilizando primero la fórmula de log N cambio de base loga N 5 b para reescribir la función logarítmica en términos de la logb a base e o de la base 10.

Concéntrese en utilizar una calculadora graficadora para graficar una función logarítmica

con una base distinta de e o de 10. Grafique: f 1x2 5 log3 x

Utilice la fórmula de cambio de base para reescribir log3 x en términos de log x o de ln x. Aquí se utiliza la función logarítmica natural ln x.

11_Cap-10_AUFMANN_1a parte.indd 554

log3 x 5

ln x ln 3

15/10/12 05:38 p.m.

SECCIÓN 10.3

555

Gráficas de funciones logarítmicas

Para graficar f 1x2 5 log3 x utilizando una calculadora graficadora, utilice la forma equivalente ln x f 1x2 5 ln 3 . La gráfica se muestra a continuación.

3

La gráfica de f 1x2 5 log3 x pudo haberse trazado reescribiendo log3 x en términos de log x, como log x 1 2 log3 x 5 log 3 . La gráfica de f x 5 log3 x es idénlog x tica a la gráfica de f 1x2 5 log 3.

–1

6

–3

El ejemplo siguiente se trazó reescribiendo la función logarítmica en términos de la función logarítmica natural. También pudo haberse utilizado la función logarítmica común. Grafique: f 1x2 5 23 log2 x

EJEMPLO 3 Solución

f 1x2 5 23 log2 x ln x 3 5 23 # 52 ln x ln 2 ln 2

• La gráfica de f 1x2 5 23 log2 x es la misma que la gráfica de 3 ln x. f 1x2 5 2 ln 2

10

–1

• Reescriba log2 x en términos de ln x.

6

–8

Problema 3 Solución

Grafique: f 1x2 5 2 log4 x Revise la página S32.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 556.

10.3 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿La función f 1x2 5 log x es una función 1–1? ¿Por qué?

2.

Mencione dos características de la gráfica de y 5 logb x, b . 1.

3.

¿Cuál es la relación entre la gráfica de x 5 3y y la de y 5 log3 x?

4.

¿Cuál es la relación entre la gráfica de y 5 3x y la de y 5 log3 x?

11_Cap-10_AUFMANN_2a parte.indd 555

15/10/12 06:00 p.m.

556

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

Graficar funciones logarítmicas (Revise las páginas 552-555). PREPÁRESE

5. Para determinar las coordenadas de los puntos en la gráfica de f 1x2 5 log3 1x 2 12 , pri? y escriba la ecuación en la forma ? : x 2 1 5 3y. mero sustituya f(x) con ? ? . Elija valores para y encuentre los Resuelva la ecuación para x: x 5 ? . valores correspondientes para 6. Utilice los resultados del ejercicio 5. ¿La coordenada x del punto en la gráfica de ? ? . Las f 1x2 5 log3 1x 2 12 que tiene una coordenada y de 2 es 3 115 ? ). coordenadas de un punto de la gráfica de f 1x2 5 log3 1x 2 12 son ( ? ,

Grafique trazando los puntos. 7. f 1x2 5 log4 x

8. f 1x2 5 log2 1x 1 12

1 10. f 1x2 5 log2 a xb 2

11. f 1x2 5 3 log2 x

13. f 1x2 5 2log2 x

14. f 1x2 5 2log3 x

16. f 1x2 5 log3 12 2 x2

17. f 1x2 5 2log2 1x 2 12

9. f 1x2 5 log3 12x 2 12

12. f 1x2 5

1 log2 x 2

† 15. f 1x2 5 log2 1x 2 12

18. f 1x2 5 2log2 11 2 x2

Utilice una calculadora graficadora para trazar lo siguiente: † 19. y 5 2ln x 1 1

22. f 1x2 5 log3 x 1 2

11_Cap-10_AUFMANN_2a parte.indd 556

20. y 5 3 log 1x 1 12

† 23. f 1x2 5 log2 x 2 3

21. y 5 ln 1x 2 32

1 24. f 1x2 5 2 log2 x 2 1 2

15/10/12 06:00 p.m.

SECCIÓN 10.3

25. f 1x2 5 2log2 x 1 2

26. f 1x2 5 x 1 log3 12 2 x2

Grafique las funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. 1 x 28. f 1x2 5 3x; g 1x2 5 log3 x 29. f 1x2 5 a b ; g 1x2 5 log12 x 2

31.

557

Gráficas de funciones logarítmicas

27. f 1x2 5 x 2 log2 11 2 x2

30. f 1x2 5 10x; g 1x2 5 log10 x

¿Qué función o funciones tendrán la misma gráfica que la función f 1x2 5 log3 3x? (i) g 1x2 5 3 log3 x (ii) h 1x2 5 1 1 log3 x log 3x 3 (iv) G 1x2 5 (iii) F 1x2 5 log3 x log 3 ¿Qué función o funciones tendrán la misma gráfica que la función f 1x2 5 2logb x?

32.

(i) g 1x2 5 logb 12x2 (iii) F 1x2 5 logb

1 x

(ii) h 1x2 5

1 logb x log b (iv) G 1x2 5 log x

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

35.

Módulo de distancia

34. Astronomía Los astrónomos utilizan el módulo de distancia de una estrella como método para calcular la distancia de ésta a la Tierra. La fórmula es M 5 5 log s 2 5, donde M es el módulo de distancia y s la distancia de ésta a la Tierra, medida en pársecs. (1 parsec < 2.1 3 1013 millas). a. Grafique la ecuación. Utilice Xmin 5 0, Xmax 5 30, Xscl 5 5, Ymin 525, Ymax 5 5, Yscl 5 1. b.

55 50 45 2

4

6

8

10

t

12

Número de meses

El punto cuyas coordenadas aproximadas son (4, 49) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado. M 4 0

5

10

15

20

s

25

–4 –8

Distancia desde la Tierra (en pársecs)

El punto cuyas coordenadas aproximadas son (25.1, 2) está en la gráfica. Escriba una frase que describa el significado de este par ordenado.

Energía La Oficina de Información de Energía pronostica la producción de energía para Estados Unidos. Con base en los datos de esta agencia, la ecuación: y 5 23.6196 1 3.4455 ln 1x 1 52

modela los miles de trillones de Btu de energía “y” que se producirán en Estados Unidos con combustibles de biomasa durante el año x, donde x es el número de años desde 2005. a. Grafique la ecuación. Utilice Xmin 525, Xmax 5 20, Ymin 5210, Ymax 5 10.

11_Cap-10_AUFMANN_2a parte.indd 557

Producto de energía (en miles de trillones de Btu)

b.

S

Velocidad (en palabras por minuto)

Para la parte a de los ejercicios 33 a 35, utilice una calculadora graficadora. 33. Empleo La eficiencia de una mecanógrafa disminuye (sin práctica) con el paso del tiempo. S 5 60 2 7 ln 1t 1 12 , proporciona una ecuación que aproxima esta disminución, donde S es la velocidad de tecleo en palabras por minuto y t el número de meses sin trabajar. a. Grafique la ecuación. Utilice Xmin 5 0, Xmax 5 6, Xscl 5 1, Ymin 5 0, Ymax 5 60, Yscl 5 10.

y 8 4 –4

0

4

8

12

16

20

x

–4 –8

Años desde 2005

15/10/12 06:00 p.m.

558

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

b. Con base en este modelo, ¿cuál es el producto de energía proyectado, en miles de trillones de Btu, de combustibles de biomasa en 2015? Redondee a la centésima de millar de trillón más cercana. c. Con base en este modelo, ¿en qué año la energía que se produce con combustibles de biomasa superará por primera vez los 10,000 trillones de Btu? 36.

37.

Por la propiedad de los exponentes de los logaritmos, ln x2 5 2 ln x. Grafique las ecuaciones f 1x2 5 ln x2 y g 1x2 5 2 ln x en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. ¿Las gráficas son las mismas? ¿Por qué? Puesto que f 1x2 5 ex y g 1x2 5 ln x son funciones mutuamente inversas, f 3 g 1x2 4 5 x y g 3 f 1x2 4 5 x. Grafique f 3 g 1x2 4 5 eln x y g 3 f 1x2 4 5 ln ex. Explique por qué las gráficas son diferentes incluso cuando f 3 g 1x2 4 5 g 3 f 1x2 4 .

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Trace los pares ordenados en la tabla. Determine si pertenecen a una función lineal, cuadrática, exponencial o logarítmica. 39. 38. 40. x y x y x y

41.

44.

0 1 2 3 4

5 3 1 21 23

x

y

0 2 4 6 8

23 22 21 0 1

x

y

1 2 1 2 4 8

21

21 0 1 2 3

42.

45.

0 1 2 3

10.4 OBJETIVO

6 1 2 9 22

43.

x

y

0 1 2 3 4

23 27 29 29 27

x

y

1 4 1 4 16 256

22

0 1 2 3 4

1 4 16 64 256

x

y

0 1 2 3 4

160 80 40 20 10

0 2 4 8

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Resolver ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es aquella en la que una variable ocurre en un exponente. Los ejemplos de la derecha son ecuaciones exponenciales.

11_Cap-10_AUFMANN_2a parte.indd 558

62x11 5 63x22 4x 5 3 x11 2 57

15/10/12 06:00 p.m.

SECCIÓN 10.4

559

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una ecuación exponencial es aquella en la que es posible expresar cada lado de la misma en términos de la misma base que puede resolverse utilizando la propiedad de la igualdad de los exponentes. Recuerde que esta propiedad afirma que Si bu 5 bv, entonces u 5 v.

Concéntrese en resolver una ecuación que contiene paréntesis Resuelva: 43x12 5 4x26 43x12 5 4x26

Las bases son las mismas. Utilice la propiedad de la igualdad de los exponentes para igualar los exponentes.

3x 1 2 5 x 2 6 2x 5 28

Resuelva para x.

x 5 24

La solución es 24.

Si las bases no son las mismas, como en el ejemplo 1 siguiente, trate de reescribir la ecuación de manera que ambos lados se escriban en términos de la misma base.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva y compruebe: 9x11 5 27x21 9x11 5 27x21 13 2 5 1332 x21 2x12 3 5 33x23 2x 1 2 5 3x 2 3 2 x11

25x23 55x

• Reescriba cada lado de la ecuación utilizando la misma base. • Utilice la propiedad de la igualdad de los exponentes para igualar los exponentes. • Resuelva la ecuación resultante.

Comprobación: 9x11 5 27x21 9511 275 2 1 96 274 2 6 13 2 1332 4 12 3 5 312 La solución es 5. Problema 1 Solución

Resuelva y compruebe: 103x15 5 10x23 Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 563. Cuando no es posible expresar con facilidad ambos lados de una ecuación exponencial en términos de la misma base, se utilizan los logaritmos para resolver dicha ecuación.

EJEMPLO 2

Resuelva para x. Redondee a la diezmilésima más cercana. A. 4x 5 7

Solución

A.

B. 32x 5 4

4x 5 7 log 4x 5 log 7 x log 4 5 log 7 log 7 log 4 x < 1.4037 x5

• Obtenga el logaritmo común de cada lado de la ecuación. • Reescriba utilizando las propiedades de los logaritmos. • Resuelva para x.

La solución es 1.4037.

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560

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

B.

32x 5 4 log 32x 5 log 4

• Obtenga el logaritmo común de cada lado de la ecuación. • Reescriba utilizando las propiedades de los logaritmos • Resuelva para x.

2x log 3 5 log 4 log 4 2 log 3 x < 0.6309

x5

La solución es 0.6309. Problema 2

Resuelva para x. Redondee a la diezmilésima más cercana. B. 11.062 x 5 1.5

A. 43x 5 25 Solución

Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 563.

Es posible resolver mediante gráficas las ecuaciones del ejemplo 2. Por ejemplo 2(A), mediante la resta de 7 a cada lado de la ecuación 4x 5 7, es posible escribir ésta como 4x 2 7 5 0. La gráfica de f 1x2 5 4x 2 7 se ilustra a la derecha. Los valores de x para los que f 1x2 5 0 son las soluciones de la ecuación 4x 5 7. Estos valores de x son los ceros de la función. Utilizando las funciones de una calculadora graficadora, es posible determinar una solución muy precisa. La solución a la décima más cercana se ilustra en la gráfica.

8

1.4 –3

3

–8

EJEMPLO 3

Resuelva para x: ex 5 2x 1 1. Redondee a la centésima más cercana.

Solución

Reescriba la ecuación restando 2x 1 1 a cada lado y escribiendo la ecuación como ex 2 2x 2 1 5 0. Los ceros de f 1x2 5 ex 2 2x 2 1 son las soluciones de ex 5 2x 1 1. Grafique f y utilice las funciones de una calculadora graficadora para estimar las soluciones a la centésima más cercana. 5

0 –3

3

1.26 –2

Las soluciones son 0 y 1.26. Problema 3 Solución

Resuelva ex 5 x para x. Redondee a la centésima más cercana. Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 45 de la página 564.

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SECCIÓN 10.4

OBJETIVO

561

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resolver ecuaciones logarítmicas Es posible resolver una ecuación logarítmica utilizando las propiedades de los logaritmos.

Concéntrese en resolver una ecuación logarítmica Resuelva: log9 x 1 log9 1x 2 82 5 1

log9 x 1 log9 1x 2 82 5 1

Utilice la propiedad del logaritmo de un producto para reescribir el lado izquierdo de la ecuación.

log9 x 1x 2 82 5 1 91 5 x 1x 2 82

Escriba en forma exponencial la ecuación.

95 x2 2 8x 05 x2 2 8x 2 9 05 1x 2 92 1x 1 12

Simplifique y resuelva para x.

x2950 x59

x1150 x 5 21

Cuando x es sustituido por 9 en la ecuación original, 9 funciona como solución. Cuando x es sustituida por 21, la ecuación original contiene la expresión log9 1212. Debido a que el logaritmo de un número negativo no es un número real, 21 no puede ser la solución. La solución de la ecuación es 9. La solución algebraica anterior produjo 21 y 9 como soluciones posibles, pero sólo 9 satisface la ecuación log9 x 1 log9 1x 2 82 5 1. La solución inadmisisble se introdujo en el segundo paso. La propiedad del logaritmo de un producto, logb 1xy2 5 logb x 1 logb y, se aplica sólo cuando tanto x como y son números positivos. Para la ecuación que se considera, esto ocurre cuando x . 8. Por tanto, una solución a esta ecuación debe ser mayor que 8.

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva: log4 1x2 2 6x2 5 2

log4 1x2 2 6x2 5 2 42 5 x2 2 6x

16 5 x2 2 6x 05 x2 2 6x 2 16 05 1x 1 22 1x 2 82 x1250 x 5 22

x2850 x58

• Reescriba la ecuación en forma exponencial. • Simplifique. • Escriba la ecuación cuadrática en forma general. • Factorice y utilice el principio del producto cero.

22 y 8 se comprueben como soluciones. Las soluciones son 22 y 8. Problema 4 Solución

Resuelva: log4 1x2 2 3x2 5 1 Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 59 de la página 564. Es posible resolver algunas ecuaciones logarítmicas utilizando la propiedad del logaritmo de 121, que afirma que para x . 0, y . 0, b . 0, b 2 1, Si logb x 5 logb y, entonces x 5 y.

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562

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

EJEMPLO 5

Resuelva: log2 x 2 log2 1x 2 12 5 log2 2

log2 x 2 log2 1x 2 12 5 log2 2 x log2 a b 5 log2 2 x21 x 52 x21 x 1x 2 12 a b 5 1x 2 12 2 x21 x 5 2x 2 2 2x 5 22 x52

Solución

• Utilice la propiedad del logaritmo de un cociente. • Utilice la propiedad del logaritmo de 1–1. • Resuelva para x.

2 se comprueba como solución. La solución es 2. Problema 5 Solución

Resuelva: log3 x 1 log3 1x 1 32 5 log3 4 Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 69 de la página 565. No es posible resolver de manera algebraica algunas ecuaciones logarítmicas. En tales casos, puede ser apropiado el método gráfico. Resuelva: ln 12x 1 42 5 x2 para x. Redondee a la centésima más cercana.

EJEMPLO 6 Solución

Comience por restar x2 a cada lado y reescribir la ecuación como ln 12x 1 42 2 x2 5 0. Los ceros de la función definida por f 1x2 5 ln 12x 1 42 2 x2 son las soluciones de la ecuación. Grafique f y utilice las funciones de una calculadora graficadora para estimar las soluciones a la centésima más cercana. 3

– 0.89

1.38

–3

3

–4

Las soluciones son 20.89 y 1.38. Problema 6 Solución

Resuelva log 13x 2 22 5 22x para x Redondee a la centésima más cercana. Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 81 de la página 565.

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SECCIÓN 10.4

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

563

10.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una ecuación exponencial?

2.

a. ¿Qué expresa la propiedad de la igualdad de los exponentes? b. Describa cuándo utilizaría esta propiedad.

3.

¿Qué es una ecuación logarítmica?

4.

¿Qué expresa la propiedad 121 de los logaritmos?

Resolver ecuaciones exponenciales (Revise las páginas 558-560). PREPÁRESE 5. Resuelva: 33x21 5 92x 33x21 5 92x ? 33x21 5 13 ? 3x21 3 53 ? 5 ? x5

2 2x

?

? ? ¿Ambas bases son potencias de Escriba 9 como potencia de 3. Simplifique el exponente. Utilice la propiedad de la igualdad de los exponentes para igualar los exponentes. • Resuelva para x. • • • •

6. Resuelva: 5 5 18 x

1

?

5x 5 18 log 5x 5 log 18 )log 5 5 log 18 ? x5 ? ? x<

• Las bases no son potencias del mismo número. ? de cada lado de la ecuación. • Obtenga el • Utilice la propiedad del logaritmo de un cociente. • Resuelva para x al dividir entre

?

cada lado de la ecuación.

• Utilice una calculadora para evaluar x a la diezmilésima más cercana.

Resuelva para x. Redondee a la diezmilésima más cercana. 7. 54x21 5 5x12

8. 74x23 5 72x11

9. 8x24 5 85x18

10. 104x25 5 10x14

11. 5x 5 6

12. 7x 5 10

13. 12x 5 6

14. 10x 5 5

1 x 15. a b 5 3 2

1 x 16. a b 5 2 3

17. 11.52 x 5 2

18. 12.72 x 5 3

19. 10x 5 21

20. 10x 5 37

21. 22x 5 7

22. 32x 5 14

23. 2x21 5 6

24. 4x11 5 9

25. 32x21 5 4

26. 42x12 5 12

28. 2x21 5 4x

29. 8x12 5 16x

2

2

† 27. 9x 5 3x11 30. 93x 5 81x24

31. 5x 5 21

32. 3x 5 40

33. 24x22 5 20

34. 43x18 5 12

35. 32x12 5 18

36. 52x11 5 15

38. 33x 5 1000

39. 2.52x 5 4

41. 0.25x 5 0.125

42. 0.15x 5 1022

† 37. 42x 5 100 40. 3.25x11 5 4.2

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564

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

43.

Dado que a es cualquier número real, ¿cuáles ecuaciones tienen la misma solución? (i) 9x2a 5 81x (ii) 52x22a 5 252x (iii) 49 1x 2 a2 /4 5 7x (iv) 9x 5 81x2a

44.

Utilice las gráficas que se ilustran a continuación. ¿Cuáles gráficas pueden utilizarse para resolver la ecuación ex 2 5 5 x? ¿Cuántas soluciones positivas tiene la ecuación ex 2 5 5 x? (i)

(ii)

10

– 10

10

–10

10

–10

10

(iii)

10

–10

–10

–10

y = ex + x + 5

10

y = ex − x − 5

y = x + 5 − ex

Resuelva para x por el método gráfico. Redondee a la centésima más cercana. † 45. 3x 5 2 48. 3x 5 2x 2 1

46. 5x 5 9

47. 2x 5 2x 1 4

49. ex 5 22x 2 2

50. ex 5 3x 1 4

Resolver ecuaciones logarítmicas (Revise las páginas 561-562.) PREPÁRESE

51. ¿Una ecuación logarítmica en la forma logb 1expresión2 5 n, donde n es un número ? ? real, puede resolverse reescribiendo la ecuación en

52. Una ecuación logarítmica en la forma logb 1expresión2 5 logb 1expresión2 puede re? solverse utilizando la propiedad de los logaritmos para establecer las dos ? entre sí. expresiones 53.

Observe la ecuación en cada ejercicio. Indique si utilizaría el método descrito en el ejercicio 51 o el descrito en el ejercicio 52 para resolver la ecuación. a. Ejercicio 63 b. Ejercicio 65 c. Ejercicio 67 d. Ejercicio 69

54.

Utilice las gráficas que se ilustran a continuación. ¿Qué ecuación no tiene solución, log 1x 2 12 5 22x 1 3 o log 1x 2 12 5 2x 2 3? 1

5

0

5 0

–2

–5

y = log(x − 1) − 2x + 3

Resuelva para x.

55. log3 1x 1 12 5 2

58. log4 13x 1 12 5 2

61. log5 a 64.

5

2x b51 x21

3 log x 5 3 4

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y = log(x − 1) + 2x − 3

56. log5 1x 2 12 5 1

† 59. log2 1x2 1 2x2 5 3 62. log6 a 65.

3x b51 x11

2 log x 5 6 3

57. log2 12x 2 32 5 3

60. log3 1x2 1 6x2 5 3 63. log7 x 5 log7 11 2 x2 66. log 1x 2 22 2 log x 5 3

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SECCIÓN 10.4

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

565

68. log x 2 2 5 log 1x 2 42

67. log2 1x 2 32 1 log2 1x 1 42 5 3

† 69. log3 x 1 log3 1x 2 12 5 log3 6

70. log4 x 1 log4 1x 2 22 5 log4 15

71. log2 18x2 2 log2 1x 2 12 5 log2 3

72. log5 13x2 2 log5 1x2 2 12 5 log5 2

2

73. log9 x 1 log9 12x 2 32 5 log9 2

74. log6 x 1 log6 13x 2 52 5 log6 2

77. log9 17x2 5 log9 2 1 log9 1x2 2 22

78. log3 x 5 log3 2 1 log3 1x2 2 32

75. log8 16x2 5 log8 2 1 log8 1x 2 42

76. log7 15x2 5 log7 3 1 log7 12x 1 12

79. log 1x2 1 32 2 log 1x 1 12 5 log 5

80. log 1x 1 32 1 log 12x 2 42 5 log 3

Resuelva para x por el método gráfico. Redondee a la centésima más cercana. † 81. log x 5 2x 1 2

84. log 1x 1 42 5 22x 1 1

82. log x 5 22x

85. ln 1x 1 22 5 x 2 3 2

83. log 12x 2 12 5 2x 1 3 86. ln x 5 2x2 1 1

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva para x. Redondee a la diezmilésima más cercana. x

88. 43 5 2

2x

91. 1.22 2 1 5 1.4

87. 82 5 6 90. 9 3 5 8

x

x

3x

89. 5 2 5 7 x

92. 5.63 1 1 5 7.8

Resuelva. 93. Si 4x 5 7, encuentre el valor de 216x 1 32 . 94.

La siguiente “prueba” parece demostrar que 0.04 , 0.008. Explique el error. 2, 3 2 log 0.2 , 3 log 0.2 log 10.22 2 , log 10.22 3 10.22 2 , 10.22 3 0.04 , 0.008

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 95. Física Un modelo para la distancia s (en pies) que un objeto que experimenta resistencia al e0.32t 1 e20.32t viento caerá en t segundos está dada por s 5 312.5 lna b. 2 a. Grafique esta ecuación. Sugerencia: Utilice Xmin 5 0, Xmax 5 4.5, Xscl 5 0.5, Ymin 5 0, Ymax 5 140, y Yscl 5 20. b. Determine, hasta la milésima de segundo más cercana, el tiempo que le tomará a un objeto caer 100 pies. 96. Física Un modelo para la distancia s (en pies) que un objeto que experimenta resistencia al e0.8t 1 e20.8t viento caerá en t segundos está dada por s 5 78 lna b. 2 a. Grafique esta ecuación. Sugerencia: Utilice Xmin 5 0, Xmax 5 4.5, Xscl 5 0.5, Ymin 5 0, Ymax 5 140, y Yscl 5 20. b. Determine, hasta la milésima de segundo más cercana, el tiempo que le tomará a un objeto caer 125 pies.

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566

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

10.5

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

OBJETIVO

Problemas de aplicación Un biólogo coloca una bacteria unicelular en un cultivo, y cada hora esa especie particular se divide en dos. Después de 1 hora, habrá dos bacterias. Después de 2 h, cada una de las dos bacterias se dividirá y habrá cuatro bacterias. Después de 3 h, cada una de las cuatro bacterias se dividirá y habrá ocho bacterias.

Tiempo, t

Número de bacterias, N

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

La tabla de la izquierda muestra el número de bacterias en el cultivo después de varios intervalos de tiempo t, en horas. También es posible determinar los valores de esta tabla utilizando la ecuación exponencial N 5 2t. La ecuación N 5 2t es un ejemplo de una ecuación de crecimiento exponencial. En general, cualquier ecuación que pueda escribirse en la forma A 5 A0bkt, donde A es el tamaño en el momento t, A0, es el tamaño inicial, b . 1, y k es un número real positivo, es una ecuación de crecimiento exponencial. Estas ecuaciones son importantes no sólo en los estudios de crecimiento de la población, sino también en física, química, psicología y economía. Recuerde que el interés es la cantidad de dinero que se paga (o recibe) cuando se toma prestado (o se invierte) dinero. El interés compuesto es el interés que se calcula no sólo sobre el principal original, sino también sobre el interés ya devengado. La fórmula del interés compuesto es una ecuación de crecimiento exponencial. La fórmula del interés compuesto es P 5 A 1 1 1 i 2 n, donde A es el valor original de una inversión, i la tasa de interés por periodo compuesto, n el número total de periodos compuestos, y P el valor de la inversión después de n periodos.

Concéntrese en calcular el interés compuesto Un corredor de inversiones deposita $1000 en una cuenta que devenga un interés de 12% anual, compuesto cada trimestre. ¿Cuál es el valor de la inversión después de 2 años? Redondee al dólar más cercano. 12% 0.12 i5 5 5 0.03 Calcule i, la tasa de interés trimestral. La tasa 4 4 trimestral es la tasa anual dividida entre 4, el número de trimestres que hay en un año. Determine n, el número de periodos de composición. La inversión se compone en forma trimestral, 4 veces al año, durante 2 años. Utilice la fórmula del interés compuesto.

n54#258 P 5 A 11 1 i2 n

Sustituya A, i y n por sus valores.

P 5 1000 11 1 0.032 8

Resuelva para P.

P < 1267

El valor de la inversión después de 2 años es de aproximadamente 1267.

El decaimiento exponencial también puede modelarse por medio de una ecuación exponencial. Una de las ilustraciones más comunes del decaimiento exponencial es la referente a sustancias radiactivas.

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SECCIÓN 10.5

567

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

0

10

5

5

Un isótopo radiactivo de cobalto tiene una vida media aproximada de 5 años. Esto significa que la mitad de cualquier cantidad del isótopo de cobalto se desintegrará después de cinco años. Suponga que usted comienza con 10 mg de un isótopo de cobalto. La tabla de la izquierda indica la cantidad inicial de 10 mg del isótopo de cobalto que queda después de varios intervalos de tiempo, t, en años. También es posible determinar los valores de esta tabla utilizando la ecuación

10

2.5

exponencial A 5 10

15

1.25

20

0.625

Cantidad, A

t 5

(12) . 1 La ecuación A 5 10(2) es un ejemplo de una ecuación de decaimiento exponencial. t 5

Compare esta ecuación con la ecuación de crecimiento exponencial, y observe que, para el crecimiento exponencial, la base de la expresión exponencial es mayor que 1, en tanto que para el decaimiento exponencial, la base está entre 0 y 1.

topal/Shutterstock.com

Tiempo, t

Un método por el que un arqueólogo puede medir la edad de un hueso se basa en la ecuación 1 t exponencial de la disminución de vida media A 5 A0 2 k , donde A es la cantidad de material que queda después del tiempo t, k la vida media del material, y A0 la cantidad original de material presente.

()

Concéntrese en utilizar la ecuación de decaimiento exponencial La datación por carbono se basa en un isótopo radiactivo del carbono llamado carbono-14, que tiene una vida media aproximada de 5570 años. Un hueso que originalmente tenía 100 mg de carbono-14 hoy tiene 70 mg de dicho isótopo. ¿Cuál es la edad aproximada del hueso? Redondee al año más cercano. t 1 k A 5 A0 a b Utilice la ecuación de decaimiento exponencial. 2 t 1 5570 Sustituya A0, A y k por sus valores determina70 5 100a b 2 dos, y resuelva para t. t 70 1 5570 5a ¢ Divida entre 100 ambos lados de la ecuación. 100 2 t 70 1 5570 log 5 loga b Obtenga el logaritmo común de cada lado de la 100 2 ecuación Utilice la propiedad del logaritmo de un cociente. Resuelva para t.

La edad aproximada del hueso es de unos 2866 años.

EJEMPLO 1

Estrategia

11_Cap-10_AUFMANN_2a parte.indd 567

70 t 1 5 log 100 5570 2 70 5570 log 100 5t 1 log 2 2866 < t log

El molibdeno-99 es un isótopo radiactivo que se utiliza en medicina. Una muestra original de 20 microgramos de molibdeno-99 disminuye a 18 microgramos en 10 h. Calcule la vida media del molibdeno-99. Redondee a la hora más cercana. A0, la cantidad original, es 20 microgramos. A, la cantidad final, es 18 microgramos. El tiempo es 10 h. Para calcular la vida media, resuelva la t 1 k ecuación de decaimiento exponencial, A 5 A0 a b , para la vida media, k. 2

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568

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica t

1 k A 5 A0 a b 2

Solución

1 18 5 20a b 2

• Utilice la ecuación de decaimiento exponencial.

10 k

• A0 5 20, A 5 18, t 5 10

10

18 1 k 5a b 20 2 log log

18 1 5 loga b 20 2

• Resuelva para k. 10 k

18 10 1 5 log 20 k 2 1 10 log 2 k5 18 log 20 k < 65.8

La vida media del molibdeno-99 es de aproximadamente 66 horas.

Punto de interés Cortesia de Edgar Fahs Smith Image Collection/University of PA Library, PA 19104-6206

Problema 1

Søren Sørensen La escala pH para medir la acidez del agua que se utilizaba para producir cerveza fue creada por el bioquímico danés Søren Sørensen en 1909. pH es la abreviatura de pondus hydrogenii, que se traduce como “potencial de hidrógeno”.

Solución

El número de palabras por minuto que un estudiante puede mecanografiar aumentará con la práctica y puede aproximarse por la ecuación N 5 100 3 1 2 10.92 t 4 , donde N es el número de palabras por minuto mecanografiadas después de t días de práctica. ¿En cuántos días el estudiante podrá mecanografiar 60 palabras por minuto? Redondee al número entero de días más cercano. Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 11 de la página 571. Las primeras aplicaciones de los logaritmos (y la principal razón por la que se desarrollaron) fue para reducir lo tedioso de los cálculos. Hoy, con el uso generalizado de las calculadoras y computadoras, los usos computacionales de los logaritmos han disminuido. Sin embargo, han surgido otras aplicaciones de los logaritmos.

Un químico mide la acidez o la alcalinidad de una solución por medio de la fórmula pH 5 2log 1H 2 , donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno en la solución. Una solución neutral, como el agua destilada, tiene un pH de 7; los ácidos tienen un pH menor que 7, y las soluciones alcalinas (que se llaman también soluciones básicas) tienen un pH mayor que 7.

Concéntrese en determinar el pH de una solución Calcule el pH del vinagre para el que H1 5 1.26 3 1023. Redondee a la décima más cercana. Utilice la ecuación del pH. H1 5 1.26 3 1023

pH 5 2log 1H12

5 2log 11.26 3 10232 5 2 1log 1.26 1 log 10232 < 2 3 0.1004 1 1232 4 5 2.8996

El pH del vinagre es aproximadamente 2.9.

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SECCIÓN 10.5

569

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones logarítmicas se utilizan como escala para números muy grandes o muy pequeños, en escalas más fáciles de entender. Por ejemplo, la magnitud en la escala de Richter de un terremoto utiliza una función logarítmica para convertir la intensidad de las ondas de choque I en un número M, que para la mayoría de los terremotos queda en el rango de 0 a 10. Con frecuencia, la intensidad I de un terremoto se da en términos de la constante I0, que es la intensidad del terremoto más pequeño, llamado terremoto de nivel cero, que puede medirse en un sismógrafo cerca del epicentro del terremoto. Un terremoto con una intensidad de I0 tiene una magnitud de I la escala de Richter de M 5 log , donde I0 es la medida de un terremoto de nivel cero. I0

Concéntrese en calcular la magnitud de un terremoto El terremoto con la mayor intensidad jamás registrada desde 1900 en la parte continental de Estados Unidos ocurrió en San Francisco, California, en 1906. La intensidad I del terremoto fue de aproximadamente 50,118,000I0. Calcule la magnitud del terremoto en la escala de Richter. Redondee a la décima más cercana.

Tome nota Observe que no es necesario conocer el valor de I0 para determinar la magnitud de un terremoto en la escala de Richter.

M 5 log

I I0

I 5 50,118,000I0

M 5 log

50,118,000 I0 I0

Divida el numerador y el denominador entre I0.

M 5 log 50,118,000

Evalúe log 50,118,000.

M < 7.7

El terremoto de San Francisco tuvo una magnitud en la escala de Richter de 7.7.

Si se conoce la magnitud en la escala de Richter de un terremoto, se puede determinar la intensidad del terremoto.

Concéntrese en determinar la intensidad de un terremoto En 1964, Prince William Sound, Alaska, sufrió lo que hasta entonces fue el terremoto de mayor magnitud de todos los tiempos que haya ocurrido en Estados Unidos. La magnitud fue de 9.2 es la escala de Richter. Calcule la intensidad del terremoto en términos de I0. Redondee al millar más cercano.

Punto de interés

Sustituya M en M 5 log

I por 9.2. I0

© Bettmann/Corbis

Escriba la ecuación en su forma exponencial equivalente.

La escala de Richter fue creada en 1935 por el sismólogo Charles F. Richter. Observe que un aumento en un factor de 10 en el nivel de intensidad del terremoto aumenta la magnitud del mismo en la escala de Richter sólo 1.

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Multiplique por I0 cada lado de la ecuación. Evalúe 109.2.

9.2 5 log 109.2 5

I I0

I I0

109.2I0 5 I 1,584,893,000I0 < I

El terremoto de Prince William Sound tuvo una intensidad que fue aproximadamente 1,584,893,000 veces la intensidad de un terremoto de nivel cero.

El porcentaje de luz que atraviesa una sustancia está dado por la ecuación log P 5 2kd, donde P es el porcentaje de luz, como decimal, que atraviesa la sustancia, k una constante que depende de la sustancia, y d el espesor de la sustancia en centímetros.

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570

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

Concéntrese en calcular el porcentaje de luz que atraviesa una sustancia. Calcule el porcentaje de luz que atravesará el vidrio translúcido para el que k 5 0.4 y d 5 0.5 cm.

Sustituya k y d en la ecuación por sus valores dados, y resuelva para P.

log P 5 2kd log P 5 2 10.42 10.52 log P 5 20.2

Utilice la relación entre las funciones logarítmica y exponencial.

P 5 1020.2 P < 0.6310

Aproximadamente 63.1% de la luz atravesará el vidrio.

EJEMPLO 2 Estrategia Solución

Calcule la concentración de iones de hidrógeno H1 del jugo de naranja que tiene un pH de 3.6. Para calcular la concentración de iones de hidrógeno, sustituya pH por 3.6 en la ecuación pH 5 2log 1H12 y resuelva para H1. pH 5 2log 1H12 3.6 5 2log 1H12 23.6 5 log 1H12 1023.6 5 H1 0.00025 < H1

La concentración de iones de hidrógeno es de aproximadamente 0.00025. Problema 2

Solución

El 3 de septiembre de 2000, un terremoto que midió 5.2 en la escala de Richter golpeó el Valle de Napa, 50 millas al norte de San Francisco. Calcule la intensidad del terremoto en términos de I0. Revise la página S33.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 572.

10.5 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. 2.

¿Qué significa la frase decaimiento exponencial? Explique la forma en que el interés compuesto difiere del interés simple. ¿El interés compuesto es un ejemplo de crecimiento o de decaimiento exponencial?

3. Indique si cada ecuación es de crecimiento exponencial, de decaimiento exponencial, o ninguna de las dos. 3 3 x a. y 5 3a b b. y 5 3x4 4 d. y 5 2x11 4.

e. y 5 50x2

c. y 5 2e0.34x f. y 5 223x

¿Cuál es el significado de la vida media de un isótopo radiactivo?

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SECCIÓN 10.5

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

571

Problemas de aplicación (Revise las páginas 566-570.) PREPÁRESE Sustituya los signos de interrogación de los ejercicios 5 y 6 con el número correcto de la situación del problema o con la palabra “desconocido”. 5. Situación del problema: Usted invierte 3000 dólares en una cuenta que devenga 3% de interés anual compuesto cada mes. ¿En aproximadamente cuántos años su inversión valdrá 4000 dólares? En la fórmula P 5 A 11 1 i2 n, P 5

?

,A5

?

,i5

?

,yn5

?

.

6. Situación del problema: Una muestra de un isótopo radiactivo con una vida media de 4 h contiene 40 mg. ¿Qué cantidad del isótopo radiactivo está presente después de 24 h? t 1 k ? , A0 5 ? ,t5 ? ,yk5 ? . En la fórmula A 5 A0 a b , A 5 2

Finanzas Para los ejercicios 7 a 10, utilice la fórmula del interés compuesto P 5 A 11 1 i2 n, donde A es el valor original de una inversión, i la tasa de interés por periodo compuesto, n el número total de periodos compuestos, y P el valor de la inversión después de n periodos. 7. Un corredor de inversiones deposita 1000 dólares en una cuenta que devenga un interés de 8% anual, compuesto cada trimestre. ¿Cuál es el valor de la inversión después de 2 años? Redondee al dólar más cercano. 8. Un asesor financiero recomienda que un cliente deposite $2500 en un fondo que devenga un interés de 7.5% anual, compuesto cada mes. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 3 años? Redondee al centavo más cercano. 9. Para ahorrar para la colegiatura universitaria, los padres de un preescolar invierten $5000 en un fondo de bono que devenga un interés anual de 6%, compuesto cada mes. ¿En aproximadamente cuántos años la inversión valdrá $15,000? Redondee al número entero de días más cercano. 10. Un administrador de inversiones deposita $10,000 en una cuenta que devenga un interés de 9% anual, compuesto cada mes. ¿En aproximadamente cuántos años la inversión valdrá $15,000? Redondee al número entero más cercano.

12.

El yodo-131 es un isótopo que se utiliza para estudiar el funcionamiento de la glándula tiroides. Este isótopo tiene una vida media de aproximadamente 8 días. Se administra a un paciente una inyección que contiene 8 microgramos de yodo-131. a. ¿Cuál será la cantidad de yodo en el paciente después de 5 días? b. ¿Cuánto tiempo (en días) es necesario para que la cantidad de yodo en el paciente llegue a 5 microgramos?

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Stuart Monk/Shutterstock.com

t

1 k Biología Para los ejercicios 11 a 14, utilice la ecuación de decaimiento exponencial A 5 A0 a b , 2 donde A es la cantidad de material radiactivo que queda después del tiempo t, k la vida media del material, y A0 la cantidad original de la sustancia radiactiva. Redondee a la décima más cercana. Se utiliza un isótopo de tecnecio para preparar imágenes de los órganos internos del cuerpo. † 11. Este isótopo tiene una vida media de aproximadamente 6 h. Se inyectan a un paciente 30 mg de este isótopo. a. ¿Cuál será la cantidad de tecnecio en el paciente después de 3 h? b. ¿Cuánto tiempo (en horas) es necesario para que la cantidad de tecnecio en el paciente llegue a 20 mg?

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572

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

13.

Una muestra de prometio-147 (que se usa en pinturas luminosas) contiene 25 mg. Un año después, la muestra contiene 18.95 mg. ¿Cuál es la vida media del prometio-147, en años? Redondee a la décima de año más cercana.

14.

El francio-223 es un isótopo radiactivo muy raro, descubierto en 1939 por Marguerite Percy. Una muestra de 3 microgramos de francio 223 disminuye a 2.54 microgramos en 5 minutos. ¿Cuál es la vida media del francio-223 en minutos? Redondee a la décima de minuto más cercana.

15.

Luego de 6 años, queda 18 de la cantidad original de un isótopo radiactivo. ¿Cuál es la vida media del isótopo?

16.

1 Luego de 12 horas, queda 16 de la cantidad original de un isótopo radiactivo. ¿Cuál es la vida media del isótopo?

17.

Presión atmosférica La presión atmosférica cambia en la medida que una persona se eleva por encima de la superficie de la tierra. A una altitud de h kilómetros, donde 0 , h , 80, la ecuación P 1h2 5 10.13e20.116h modela aproximadamente la presión P en newtons por centímetro cuadrado. a. ¿Cuál es la presión aproximada a 40 kilómetros por encima de la tierra? b. ¿Cuál es la presión aproximada en la superficie de la tierra? c. ¿La presión atmosférica aumenta o disminuye en la medida que una persona se eleva por encima de la superficie de la tierra?

18.

Energía eólica Lee el artículo de la derecha. Es posible modelar los datos dados en el Global Wind Report de 2009 para la capacidad de energía eólica instalada en todo el mundo para los años 1996 a 2009 con base en la ecuación y 5 4.982 11.282x2, donde x es el número de años desde 1995 y y es la capacidad de energía eólica en gigawatts. a. Demuestra que el modelo se ajusta a los datos dados en el artículo para los años 1996, 2009 y 2010. b. Con base en el modelo, ¿durante qué año la capacidad mundial llegará por primera vez a los 300 GW de capacidad instalada?

Química Para los ejercicios 19 y 20, utilice la ecuación pH 5 2log 1H12, donde H1 es la concentración de iones de hidrógeno en una solución. Redondee a la centésima más cercana. 19. Calcule el pH de la leche, para la que la concentración de iones de hidrógeno es 3.97 3 1027.

En las noticias GWEC publica el Informe anual global de energía eólica Los datos del Global Wind Report de 2009 del Global Wind Energy Council demuestran que la capacidad instalada global de energía eólica continúa su rápido crecimiento, habiendo aumentado de aproximadamente 6 gigawatts (GW) de energía en 1996 a 160 GW en 2009. El reporte proyecta que en 2010 se superará la marca de 200 gigawatts. Fuente: Global Wind Energy Council

20. Calcule el pH de la solución de bicarbonato de sodio para la que la concentración de iones de hidrógeno es 3.98 3 1029.

22. La constante k para una pieza de vidrio emplomado azul es 20. ¿Qué porcentaje de luz pasará a través de una pieza de este vidrio que tiene 0.005 m de espesor? Acústica La ecuación D 5 10 1log I 1 162 puede dar el número de decibeles D de un sonido, donde I es la potencia de un sonido medido en watts. Utilice esta ecuación para los ejercicios 23 y 24. Redondee al número entero más cercano. 23. Calcule la cantidad total de decibeles de una conversación normal. La potencia del sonido de una conversación normal es aproximadamente 3.2 3 10210 watts. 24.

a454/Shutterstock.com

Óptica Para los ejercicios 21 y 22, utilice la ecuación log P 5 2kd, que proporciona la relación entre el porcentaje P, como decimal, de luz que atraviesa una sustancia de espesor d. † 21. El valor de k para una piscina es de aproximadamente 0.05. ¿A qué profundidad, en metros, el porcentaje de luz será 75% de la luz en la superficie de la piscina?

El sonido más fuerte que emite cualquier animal es el de la ballena azul, que puede escucharse desde más de 500 millas de distancia. La potencia del sonido es 630 watts. Calcule la cantidad de decibeles de sonido que emite la ballena azul.

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SECCIÓN 10.5

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Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

25. E. coli La ecuación real para el crecimiento de la población de bacterias de E. coli que se mencionan en la novela The Andromeda Strain de Michael Crichton está dado por y 5 23t, donde y es el tamaño de la población en t horas. En la novela, Crichton dice, “es posible demostrar que, en un solo día, una célula de E. coli puede producir una súper-colonia igual en tamaño y peso a todo el planeta Tierra”. La masa de la Tierra es 5.98 3 1027 g, y la masa de una sola bacteria de E. coli es aproximadamente 6.7 3 10215 g. Suponiendo que una colonia de bacterias de E. coli continúa creciendo con base en lo que predice la ecuación, en cuántas horas la masa de la colonia será igual a la masa de la Tierra? Redondee a la hora más cercana. ¿Es más o menos tiempo del que predice la novela? 26. Electricidad La corriente, en amperes, en un circuito eléctrico está dada por I 5 6 112e22t2 , donde t es el tiempo en segundos. Utilizando este modelo, después de cuántos segundos la corriente es de 4 amperes? Redondee a la centésima más cercana. 27. Medicina La intensidad I de un rayo x después de atravesar un material que tiene x centímetros de espesor está dada por I 5 I0e2kx, donde I0 es la intensidad inicial y k un número que depende del material. La constante k para el cobre es 3.2. Calcule el espesor necesario del cobre, de modo que la intensidad de un rayo x después de atravesar el cobre sea de 25% de la intensidad original. Redondee a la décima más cercana. 28. Energía La ecuación T 5 14.29 ln 10.00411r 1 12 presenta un modelo para el tiempo que se requerirá para agotar las reservas mundiales de petróleo, donde r son las reservas mundiales estimadas de petróleo en miles de millones de barriles y T el tiempo antes de agotar esa cantidad de petróleo. Utilice esta ecuación para determinar cuántos barriles de petróleo son necesarios para que duren 20 años. Redondee a la décima más cercana. I de la escala de Richter, I0 donde M es la magnitud de un terremoto, I la intensidad de las ondas de choque, e I0 la medida de un terremoto de nivel cero. 29. El mayor terremoto jamás registrado ocurrió el 22 de mayo de 1960, frente a las costas de Chile. Este terremoto tuvo una intensidad de aproximadamente I 5 3,162,277,000I0. Calcule la magnitud del terremoto en la escala de Richter. Redondee a la décima más cercana.

Geología Para los ejercicios 29 a 32, utilice la ecuación M 5 log

30.

Uno de los mayores terremotos registrados jamás en Estados Unidos ocurrió el 3 de febrero de 1965 en las Rat Islands de Alaska. Este terremoto tuvo una intensidad aproximada de I 5 501,187,000I0. Calcule la magnitud del terremoto en la escala de Richter. Redondee a la décima más cercana.

31.

Lea el artículo de la derecha sobre el terremoto del 13 de abril de 2010 en la provincia de Qinghai, China. Calcule la intensidad del terremoto, en términos de I0, para cada una de las magnitudes reportadas en el artículo. Redondee al millar más cercano.

32.

La magnitud del terremoto de Sumatra-Andamán que ocurrió el 26 de diciembre de 2004, frente a las costas del norte de Sumatra, fue de 9.15 en la escala de Richter. Calcule la intensidad del terremoto en términos de I0.

Geología A la derecha se ilustra un sismograma que se utiliza para medir la magnitud de un terremoto. La magnitud se determina por la amplitud A de la onda y el tiempo t entre la ocurrencia de dos tipos de ondas, llamadas ondas primarias y ondas secundarias. Como puede observarse en la gráfica, una onda primaria se abrevia onda p, y una secundaria onda s. La amplitud A de una onda es la mitad de la diferencia entre sus puntos más alto y más bajo. Para esta gráfica, A es 23 mm. La ecuación de la gráfica es M 5 log A 1 3 log 8t 2 2.92.

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Llegada de la primera onda s Llegada de la primera onda p

En las noticias Terremoto golpea una región remota de China Los trabajadores de rescate continúan buscando sobrevivientes de un severo terremoto que sacudió una remota región del occidente de China. La China Earthquake Commission reportó el terremoto de magnitud 7.1 en la escala de Richter, en tanto que el U.S. Geological Survey registró una magnitud de 6.9 para el terremoto. Fuente: www.msnbc.msn.com

Amplitud = 23 mm

24 segundos Tiempo entre la onda s y la onda p

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CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

33. Determine la magnitud del terremoto para el sismograma que aparece en la gráfica. Redondee a la décima más cercana.

35. Calcule la magnitud de un terremoto que tiene un sismograma con una amplitud de 28 mm y para el cual t es 28 s. Redondee a la décima más cercana.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 36. Biología A las 9:00 A.M., un cultivo de bacterias tiene una población de 1.5 3 106. Al medio día, la población era de 3.0 3 106. Si la población crece de manera exponencial, ¿en qué momento la población será 9 3 106? Redondee a la hora más cercana.

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34. Calcule la magnitud de un terremoto que tiene un sismograma con una amplitud de 30 mm y para el cual t es 21 s. Redondee a la décima más cercana.

37. Inflación Si la tasa anual promedio de inflación es 5%, ¿en cuántos años se duplicarán los precios? Redondee al número entero más cercano. 38. Inversiones El valor de una inversión en una cuenta que devenga una tasa de interés anual 0.10 365t de 100% compuesto cada día crece con base en la ecuación A 5 A0 a1 1 b . Calcule 365 el tiempo para que la inversión duplique su valor. Redondee al número entero más cercano.

40.

Un estudio científico sugirió que la capacidad de carga de la Tierra es de aproximadamente 10,000 millones de personas. Investigue lo que significa “capacidad de carga”. Calcule la población mundial actual y proyecte cuándo la población de la Tierra llegaría a 10,000 millones de personas, suponiendo tasas de crecimiento de la población de 1%, 2%, 3%, 4% y 5%. Calcule la tasa actual de crecimiento de la población mundial y utilice ese número para determinar cuándo, con base en su modelo, la población llegará a 10,000 millones de habitantes.

41.

Sólo en ciertas situaciones es posible utilizar la datación por carbono radiactivo. Otros métodos de datación radiactiva, como el método de rubidio-estroncio, son apropiados en otras situaciones. Redacte un informe sobre métodos de datación radiactiva. Incluya en él una descripción de las condiciones bajo las que es apropiada cada forma de datación.

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39. Inversiones Hoy algunos bancos utilizan la composición continua de una cantidad invertida. En este caso, la ecuación que relaciona el valor de una inversión inicial de A dólares después de t años a una tasa anual promedio de r% es P 5 Aert. Utilizando esta ecuación, calcule el valor después de 5 años para una inversión de $2500 en una cuenta que devenga un interés anual de 5%.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO

y 1t2 5 At 2 16t2 1

A k 1M 1 m 2 kt2 lna1 2 tb k M1m

donde M es la masa del cohete, m la masa del combustible, A la velocidad a la que el combustible es expulsado de los motores, k la tasa a la que se quema el combustible, t el tiempo en segundos, y y(t) la altura en pies después de t segundos. 42.

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Cohetes Cuando una roca es lanzada al aire, su masa permanece constante, y es posible obtener un modelo razonable de la altura de la roca por medio de una ecuación cuadrática. Sin embargo, cuando un cohete es lanzado directamente hacia arriba desde la superficie de la Tierra, el cohete quema combustible, de modo que su masa cambia en todo momento. Es posible aproximar la altura del cohete encima de la Tierra por medio de la ecuación

Durante el desarrollo del programa de cohetes V-2 en Estados Unidos, los valores aproximados para un cohete V-2 fueron M 5 8000 lb, m 5 16,000 lb, A 5 8000 pies/s, y k 5 250 lb/s. a. Utilice una calculadora graficadora para estimar, hasta el segundo más cercano, el tiempo que se requiere para que el cohete alcance una altura de 1 milla (5280 pies).

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Capítulo 10

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Resumen

M1m b, y la respuesta a la parte a, para determinar M 1 m 2 kt la velocidad del cohete. Redondee al número entero más cercano. c. Determine el dominio de la función de velocidad. b. Utilice v 1t2 5 232t 1 A lna

43. Hipotecas Cuando usted compra un automóvil o una casa y realiza pagos mensuales sobre el préstamo, lo está amortizando. Parte de cada pago mensual es el interés sobre el préstamo, y la parte restante es un reembolso de la cantidad original del mismo. y 5 A 11 1 i2 x 1 B proporciona el monto y que queda por pagar sobre el préstamo después de x meses. En esta M Pi 2 M ecuación, A 5 y B 5 , donde P es la cantidad original del préstamo, i la tasa i i tasa mensual de interés mensual de interés a b y M el pago mensual. Para una hipoteca de 12 una casa de $100,000 a 30 años con una tasa anual de interés de 8%, i 5 0.00667 y M 5 733.76. a. ¿Cuántos meses se requieren para reducir el monto del préstamo a 90,000 dólares? Redondee al mes más cercano. b. ¿Cuántos meses se requieren para reducir el monto del préstamo a la mitad del monto original? Redondee al mes más cercano. c. I 5 Mx 1 A 11 1 i2 x 1 B 2 P proporciona el monto total de intereses que se pagaron después de x meses. Determine el mes en el que los intereses totales pagados exceden $100,000. Redondee al mes más cercano.

CAPÍTULO 10 Resumen Objetivo y página de referencia

Ejemplos

[10.1.1, p. 530]

f 1x2 5 3x; 3 es la base de la función.

[10.1.1, p. 531]

f 1x2 5 ex; e es un número irracional aproximadamente igual a 2.71828183.

Para x . 0, b . 0, b 2 1, y 5 logb x es equivalente a x 5 by. Lea logb x como “el logaritmo base b de x”, o log base b de x.

[10.2.1, p. 540]

log2 8 5 3 es equivalente a 8 5 23.

Si logb M 5 N, el antilogaritmo base b de N es M. En forma exponencial, M 5 bN .

[10.2.1, p. 541]

log4 x 5 2 42 5 x 16 5 x El antilogaritmo base 4 de 2 es 16.

Los logaritmos comunes son los logaritmos con base 10.

[10.2.1, p. 542]

log10 100 5 2 por lo general se escribe como log 100 5 2.

Los logaritmos naturales comunes son los logaritmos con base e.

[10.2.1, p. 542]

loge 100 < 4.61 por lo general se escribe como ln 100 < 4.61.

Términos clave Una función de la forma f 1x2 5 bx, donde b es un número real positivo diferente de 1, es una función exponencial. El número b es la base de la función exponencial. La función f 1x2 5 ex es llamada función exponencial natural.

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CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la variable ocurre en un exponente.

Reglas y procedimientos esenciales

[10.4.1, p. 558]

2x 5 12 es una ecuación exponencial.

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Propiedad de la igualdad de los exponentes Para b . 0, b 2 1, si bu 5 bv, entonces u 5 v.

[10.2.1, p. 541]

Si bx 5 b5, entonces x 5 5.

Propiedad del logaritmo de un producto Para cualquier número real positivo x, y, y b, b 2 1, logb 1xy2 5 logb x 1 logb y.

[10.2.2, p. 543]

logb 13x2 5 logb 3 1 logb x

Propiedad del logaritmo de un cociente Para cualquier número real positivo x, y, y b, x b 2 1, logb 5 logb x 2 logb y. y

[10.2.2, p. 543]

logb

Propiedad del logaritmo de un exponente Para cualquier número real positivo x y b, b 2 1, y para cualquier número real r, logb xr 5 r logb x.

[10.2.2, p. 544]

logb x5 5 5 logb x

Propiedad logarítmica de uno Para cualquier número real positivo b, b 2 1, logb 1 5 0.

[10.2.2, p. 546]

log6 1 5 0

Propiedad del inverso de un logaritmo Para cualesquiera números reales positivos x, y b, b 2 1, logb bx 5 x y blogbx 5 x.

[10.2.2, p. 546]

log3 34 5 4

Propiedad del logaritmo de 1–1 Para cualesquiera números reales positivos x, y, y b, b 2 1, si logb x 5 logb y, entonces x 5 y.

[10.2.2, p. 546]

Si log5 1x 2 22 5 log5 3, entonces x 2 2 5 3.

Fórmula de cambio de base logb N loga N 5 logb a

[10.2.2, p. 547]

log3 12 5

x 5 logb x 2 logb 20 20

2log27 5 7

log 12 log 3

log6 16 5

ln 16 ln 6

CAPÍTULO 10 Ejercicios de repaso 1. Evalúe: log4 16

2. Escriba 12 1log3 x 2 log3 y2 como un logaritmo simple con un coeficiente de 1.

3. Evalúe la función f 1x2 5 ex22 en x 5 2.

4. Resuelva para x: 8x 5 2x26

2 x 5. Evalúe f 1x2 5 a b en x 5 0. 3

6. Resuelva para x: log3 x 5 22

7. Escriba en forma logarítmica 25 5 32

8. Resuelva para x: log x 1 log 1x 2 42 5 log 12

9. Escriba con notación desarrollada log6"xy3 11. Resuelva para x: 37x11 5 34x25

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10. Resuelva para x: 45x22 5 43x12

12. Evalúe f 1x2 5 3x11 en x 5 22.

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SECCIÓN 10.3

577

Capítulo Gráficas10 de funciones Ejercicios logarítmicas de repaso

13. Evalúe: log2 16

14. Resuelva log6 2x 5 log6 2 1 log6 13x 2 42 para x.

15. Evalúe log2 5. Redondee a la diezmilésima más cercana.

16. Evalúe log6 22. Redondee a la diezmilésima más cercana.

17. Resuelva 4x 5 8x21 para x.

1 x 18. Evalúe f 1x2 5 a b en x 5 21. 4

19. Escriba con notación desarrollada log5

x Äy

21. Resuelva log5 x 5 3 para x.

23. Escriba 3 logb x 2 5 logb y como un logaritmo simple con un coeficiente de 1.

20. Resuelva log5

7x 1 2 5 1 para x. 3x

22. Resuelva log x 1 log 12x 1 32 5 log 2 para x.

24. Evalúe f 1x2 5 22x21 en x 5 23.

25. Evalúe log3 19. Redondee a la diezmilésima más cercana.

26. Resuelva 3x12 5 5 para x. Redondee a la diezmilésima más cercana.

27. Grafique: f 1x2 5 2x 2 3

1 x 28. Grafique: f 1x2 5 a b 1 1 2

29. Grafique: f 1x2 5 log2 12x2

30. Grafique: f 1x2 5 log2 x 2 1

31. Grafique: f 1x2 5

log x y aproxime los ceros de f a la décima más cercana. x

()

t

1 32. Radiactividad Utilice la ecuación de decaimiento exponencial A 5 A0 2 k , donde A es la cantidad de material radiactivo presente después del tiempo t, k la vida media, y A0 la cantidad original de la sustancia radiactiva, para calcular la vida media de un material que disminuye de 10 mg a 9 mg en 5 h. Redondee al número natural más cercano.

33. Óptica El porcentaje de luz que atraviesa un material translúcido está dado por la ecuación P 5 20.5d, donde P es el porcentaje de luz, como decimal, que atraviesa la sustancia, k una constante que depende de la sustancia, y d el espesor de la sustancia en centímetros. ¿Qué tan espeso debe ser este material translúcido de modo que sólo 50% de la luz que incide en el mismo lo atraviese? Redondee a la milésima más cercana.

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578

CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

CAPÍTULO 10 Examen 3 x 1. Evalúe f 1x2 5 a b en x 5 0. 4

2. Evalúe f 1x2 5 4x21 en x 5 22.

3. Evalúe: log4 64

4. Resuelva log4 x 5 22 para x.

3 2 5 5. Escriba con notación desarrollada log6" xy

6. Escriba 12 1log5 x 2 log5 y2 como un logaritmo simple con un coeficiente de 1.

7. Resuelva log6 x 1 log6 1x 2 12 5 1 para x.

8. Evalúe f 1x2 5 3x11 en x 5 22.

9. Resuelva 3x 5 17 para x. Redondee a la diezmilésima más cercana.

10. Resuelva log2 x 1 3 5 log2 1x2 2 202 para x.

11. Resuelva 56x22 5 53x17 para x.

12. Resuelva 4x 5 23x14 para x.

13. Resuelva log 12x 1 12 1 log x 5 log 6 para x.

14. Grafique: f 1x2 5 2x 2 1

15. Grafique: f 1x2 5 2x 1 2

16. Grafique: f 1x2 5 log2 13x2

17. Grafique: f 1x2 5 log3 1x 1 12

18. Grafique f 1x2 5 3 2 2x y aproxime los ceros de f a la décima más cercana.

19. Inversiones Calcule el valor de $10,000 invertidos durante 6 años a una tasa de 7.5% compuesto mensual. Utilice la fórmula del interés compuesto P 5 A 11 1 i2 n, donde A es el valor original de una inversión, i la tasa de interés por periodo compuesto, y n el número total de periodos compuestos. Redondee al dólar más cercano.

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SECCIÓN 10.3 Gráficas de funciones logarítmicas Ejercicios de repaso acumulativos

(1)

579

t

20. Radiactividad Utiliza la ecuación de decaimiento exponencial A 5 A0 2 k , donde A es la cantidad de material radiactivo presente después del tiempo t, k la vida media, y A0 la cantidad original de la sustancia radiactiva, para calcular la vida media de un material que disminuye de 40 a 30 mg en 10 h. Redondee al número entero más cercano.

Ejercicios de repaso acumulativos 1. Resuelva: 4 2 2 3 x 2 3 12 2 3x2 2 4x 4 5 2x

2. Resuelva S 5 2WH 1 2WL 1 2LH para L.

3. Resuelva: 0 2x 2 5 0 # 3

4. Factorice: 4x2 1 7x 1 3

5. Resuelva: x2 1 4x 2 5 # 0

6 5 1 2 x x 6. Simplifique: 1 6 11 2 2 x x 12

7. Simplifique:

9. Divida.

!xy !x 2 !y

i 22i

8. Simplifique: y"18x5y4 2 x"98x3y6

10. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P(2, 22) y es paralela a la recta con ecuación 2x 2 y 5 5.

11. Escriba una ecuación cuadrática que tiene coeficientes en1 teros y sus soluciones son 3 y 23.

12. Resuelva: x2 2 4x 2 6 5 0

13. Encuentre el rango de f 1x2 5 x2 2 3x 2 4 si el dominio es 5 21, 0, 1, 2, 3 6 .

14. Dados f 1x2 5 x2 1 2x 1 1 y g 1x2 5 2x 2 3, encuentre f 3 g 102 4 .

15. Resuelva por el método de suma y resta: 3x 2 y 1 z 5 3 x 1 y 1 4z 5 7 3x 2 2y 1 3z 5 8

16. Resuelva: y 5 22x 2 3 y 5 2x 2 1

17. Evalúe f 1x2 5 32x11 en x 5 24.

18. Resuelva log4 x 5 3 para x.

19. Resuelva 23x12 5 4x15 para x.

20. Resuelva log x 1 log 13x 1 22 5 log 5 para x.

21. Grafique: 5 x 0 x , 0 6

22. Grafique el conjunto solución de

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x

5 x 0 x . 24 6

x12 $ 0. x21

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CAPÍTULO 10

Funciones exponencial y logarítmica

23. Grafique: y 5 2x2 2 2x 1 3

24. Grafique: f 1x2 5 0 x 0 2 2

1 x 25. Grafique: f 1x2 5 a b 2 1 2

26. Grafique: f 1x2 5 log2 x 1 1

27. Metalurgia Una aleación que contiene 25% de estaño se mezcla con otra que contiene 50% de estaño. ¿Qué tanto de cada una se utilizó para producir 2000 lb de una aleación que contiene 40% de estaño? 28. Compensación Un ejecutivo de cuenta gana $1000 mensuales más una comisión de 8% sobre el monto de las ventas. La meta del ejecutivo es ganar un mínimo de $7,000 mensuales. ¿Qué monto de ventas le permitirá ganar $7,000 o más mensuales?

Año

Graduados de secundaria

2008

142,102

Educación La tabla de la derecha muestra los números reales o proyectados de graduados de secundaria de Florida, en miles, para ciertos años selectos. Si las proyecciones son precisas, ¿cuál será la tasa anual promedio de cambio en el número de graduados de secundaria en Florida para los años 2008 a 2014? Redondee al número entero más cercano.

2009

147,735

2010

145,793

2011

148,147

30. Problema de trabajo Una nueva impresora puede imprimir cheques tres veces más rápido que una impresora antigua. La impresora antigua puede imprimir los cheques en 30 minutos. ¿Cuánto tiempo se requerirá para imprimir los cheques con ambas impresoras funcionando?

2012

142,695

2013

146,193

2014

146,942

29.

31. Química Para una temperatura constante, la presión (P) de un gas varía de manera inversa al volumen (V). Si la presión es 50 lb/pulg2 cuando el volumen es 250 pies3, calcule la presión cuando el volumen es 25 pies3.

Fuente: Departamento de Educación de Florida

32. Compras Un contratista compra 45 yardas de alfombra de nylon y 30 yardas de alfombra de lana por $2340. Una segunda compra, a los mismos precios, incluye 25 yardas de alfombra de nylon y 80 de alfombra de lana por $2820. Calcule el costo por yarda de la alfombra de lana. 33. Inversiones Un inversionista deposita $10,000 en una cuenta que devenga un interés de 9% anual, compuesto cada mes. ¿Cuál es el valor de la inversión después de 5 años? Utilice la fórmula del interés compuesto P 5 A 11 1 i2 n, donde A es el valor original de una inversión, i la tasa de interés por periodo compuesto, n el número total de periodos compuestos, y P el valor de la inversión después de n periodos. Redondee al dólar más cercano.

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Los Sucesiones números reales y series

117

CAPÍTULO

Digital Vision Vision Digital

Concéntrese resse eenn eell ééxito xito Recuerde prepararse mentalmente para el material que aprenderá en este capítulo. Lea la lista de objetivos en esta página. Revise todo el capítulo y observe las palabras que están resaltadas en bold. Lea las reglas y definiciones que aparecen en los cuadros. Al darse una idea general del material nuevo, estará construyendo las bases para aprenderlo. (Revise la sección Comprender la organización en la página A-8.)

OBJETIVOS A.1 11.1

11.2

11.3 A.2

11.4

Escribir los términos de una 1 Prepárese

sucesión Motívese Evaluar unauna serie 2 Desarrolle actitud hacia Encontrar el n-ésimo término las matemáticas de “puedo 1 de una sucesión aritmética hacerlo” Evaluar unapara serieelaritmética éxito 2 Estrategias Problemas de aplicación del tiempo 3 Administración Encontrar término deellosn-ésimo estudiantes 1 Hábitos exitosos de una sucesión geométrica Series geométricas una visión general finitas 2 Obtenga Series geométricas la organización infinitas 3 Comprenda Problemas el método de aplicación interactivo 4 Utilice 1a 1 b2 n para Desarrollar una estrategia 1 Utilice resolver problemas escritos Apruebe el examen

EX EXAMEN XAMEN DE PREPARACIÓN X ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. 1. Simplifique: 3 3 112 2 2 4 1 3 3 122 2 2 4 1 3 3 132 2 2 4 n para n 5 6. 2. Evalúe f 1n2 5 n12 3. Evalúe a1 1 1n 2 12 d para a1 5 2, n 5 5, y d 5 4. 4. Evalúe a1rn21 para a1 5 23, r 5 22, y n 5 6. 5. Evalúe n 5 5.

a1 11 2 rn2 para a1 5 22, r 5 24, y 12r

6. Simplifique:

4 10 12

1 10

7. Simplifique: 1x 1 y2 2 8. Simplifique: 1x 1 y2 3

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582

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

11.1 OBJETIVO

Introducción a las sucesiones y las series

Escribir los términos de una sucesión Un inversionista deposita $100 en una cuenta que gana 10% de interés anual compuesto. El monto del interés ganado cada año puede determinarse utilizando la fórmula del interés compuesto. El monto del interés ganado en cada uno de los primeros cuatro años de la inversión se muestra en seguida. Año Interés ganado

1

2

3

4

$10

$11

$12.10

$13.31

La lista de números 10, 11, 12.10, 13.31 se llama sucesión. Una sucesión es una lista ordenada de números. La lista 10, 11, 12.10, 13.31 es ordenada debido a que la posición de un número en la lista indica el año en el cual se ganó el monto de intereses. Cada uno de los números de una sucesión se llama término de la sucesión. A la derecha se muestran ejemplos de otras secuencias. Estas secuencias están separadas en dos grupos. Una sucesión finita contiene un número finito de términos. Una sucesión infinita contiene un número infinito de términos.

1, 1, 2, 3, 5, 8 Sucesiones 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8¶ finitas 1, 21, 1, 21

Para la sucesión de la derecha, el primer término es 2, el segundo 4, el tercero 6 y el cuarto 8.

2, 4, 6, 8, . . .

Una sucesión general se muestra a la derecha. El primer término es a1, el segundo es a2, el tercero es a3 y el n-ésimo término, también llamado término general de la sucesión es an. Observe que cada término de la sucesión hace pareja con un número natural.

a1, a2 , a3 , . . . , an , . . .

1, 3, 5, 7, . . . 1, 12 , 14 , 18 , . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

¶

Sucesiones infinitas

Una sucesión suele tener un patrón definido que puede expresarse por medio de una fórmula. Cada término de la sucesión mostrado a la derecha hace pareja con un número natural mediante la fórmula an 5 3n. El primer término, a1, es 3. El segundo término, a2, es 6. El tercer término, a3, es 9. El n-ésimo término, an, es 3n.

EJEMPLO 1 Solución

an 5 3n a1, a2 , a3 , ..., an , . . . 3 112 , 3 122 , 3 132 , . . . , 3 1n2 , . . . 3, 6, 9, . . . , 3n, . . .

Escriba los primeros tres términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 2n 2 1. an a1 a2 a3

5 2n 2 1 5 2 112 2 1 5 1 5 2 122 2 1 5 3 5 2 132 2 1 5 5

• Sustituya n por 1. • Sustituya n por 2. • Sustituya n por 3.

El primer término es 1, el segundo 3 y el tercero 5.

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SECCIÓN 11.1

Problema 1 Solución

Introducción a las sucesiones y las series

583

Escriba los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 n 1n 1 12 . Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 17 de la página 585.

EJEMPLO 2 Solución

Encuentre el octavo y el décimo términos de la sucesión cuyo n n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 n 1 1. n n11 8 8 a8 5 5 811 9 10 10 a10 5 5 10 1 1 11 an 5

• Sustituya n por 8. • Sustituya n por 10. 8

El octavo término es 9, y el décimo término es 10 11 . Problema 2

Encuentre el sexto y el noveno términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 n 1n 11 22 .

Solución

Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 31 de la página 585.

OBJETIVO

Evaluar una serie Al principio de esta sección se mostró que la sucesión 10, 11, 12.10, 13.31 representa el monto de los intereses ganados en cada uno de los 4 años de una inversión.

10, 11, 12.10, 13.31

La suma de los términos de esta secuencia representa el interés total ganado por la inversión en el periodo de 4 años.

10 1 11 1 12.10 1 13.31 5 46.41 El interés total ganado en el periodo de 4 años es $46.41.

La suma indicada de los términos de una sucesión se llama serie. Dada la secuencia 10, 11, 12.10, 13.31, se puede escribir la serie 10 1 11 1 12.10 1 13.31. Sn se utiliza para indicar la suma de los primeros n términos de una sucesión.

Cómo se usa Los expertos en estadística utilizan las matemáticas para dar sentido a grandes cantidades de datos sin procesar. Numerosas fórmulas estadísticas involucran el uso de la notación sigma.

12_Cap-11_AUFMANN.indd 583

Para el ejemplo anterior, las sumas de las series S1, S2, S3 y S4 representan el interés total ganado después de 1, 2, 3 y 4 años, respectivamente.

S1 S2 S3 S4

5 10 5 10 5 10 1 11 5 21 5 10 1 11 1 12.10 5 33.10 5 10 1 11 1 12.10 1 13.31 5 46.41

Para la sucesión general a1, a2, a3,..., an, las series S1, S2, S3 y S4 se muestran a la derecha.

S1 S2 S3 Sn

5 a1 5 a1 1 a2 5 a1 1 a2 1 a3 5 a1 1 a2 1 a3 1 . . . 1 an

Es conveniente representar una serie en la forma compacta llamada notación de suma, o notación sigma. La letra griega sigma, , se utiliza para indicar una suma.

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584

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series 4

Los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 2n son 2, 4, 6, 8. La serie correspondiente se muestra a la derecha escrita en notación de suma y se lee “la sumatoria de 1 a 4 de 2n”. La letra n se conoce como el índice de la suma.

a 2n

n51

a 2n 5 2 112 1 2 122 1 2 132 1 2 142 4

Para escribir los términos de la serie, sustituya n por los enteros consecutivos del 1 al 4.

n51

La serie es 2 1 4 1 6 1 8.

52141618

La suma de la serie es 20.

5 20

Evalúe la serie A. a 12i 2 12 3

EJEMPLO 3

6 1 B. a n 2 n53

i51

Tome nota

A. a 12i 2 12 3

Solución

i51

5 3 2 112 2 1 4 1 3 2 122 2 1 4 1 3 2 132 2 1 4

La colocación de los paréntesis en la parte A es importante. Observe que

511315 59

3

a 2i 2 1 i51

5 2 112 1 2 122 1 2 132 2 1 5 2 1 4 1 6 2 1 5 11

• Escriba la serie. • Realice la suma de la serie.

6 1 B. a n 2 n53 1 1 1 1 5 132 1 142 1 152 1 162 2 2 2 2 3 5 5 121 13 2 2 59

Este resultado no es el mismo que el obtenido al evaluar 3

a 12i 2 12 . i51

A. a 17 2 n2 4

Problema 3

Evalúe la serie

n51

Solución

• Sustituya i por 1, 2 y 3.

• Sustituya n por 3, 4, 5 y 6. • Escriba la serie. • Realice la suma de la serie.

B. a 1i2 2 22 6

i53

Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 586.

5

EJEMPLO 4

Escriba con notación desarrollada a xi. 5

Solución

i 2 3 4 5 ax 5x1x 1x 1x 1x

i51

i51

• Esta es una serie variable. Sustituya i con 1, 2, 3, 4 y 5. 5

Problema 4

Escriba con notación desarrollada a nx. n51

Solución

Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 586.

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SECCIÓN 11.1

11.1

Introducción a las sucesiones y las series

585

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una sucesión?

2.

¿Cuál es la diferencia entre una sucesión finita y una sucesión infinita?

3.

¿Qué es una serie? 7

4. Considere la serie escrita en notación sigma como a an. ¿Qué es el índice de la suma? ¿Qué n51 representa? ¿Cuántos términos hay en la suma?

Escribir los términos de una sucesión (Revise las páginas 582–583.) PREPÁRESE ?

5. El tercer término de la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, . . . es

. ?

6. El cuarto término de la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . es

.

? término de una sucesión. La no7. La notación a1 se utiliza para representar el ? tación a2 se utiliza para representar el término de una sucesión. La nota? término de una sucesión. ción an se utiliza para representar el 8. Para encontrar el primer término de la sucesión dada por la fórmula an 5 2n 2 5, sustituya n en la fórmula por 1: a1 5 2 1_____ ? __2 2 5 5 _____ ? __. Para encontrar el segundo término, sustituya n por

?

a___?____ 5 2 1_____ ? __2 2 5 5 _____ ? __.

:

Escriba los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula. 10. an 5 n 2 1 11. an 5 2n 1 1 9. an 5 n 1 1 12. an 5 3n 2 1

13. an 5 2 2 2n

15. an 5 2

16. an 5 3

18. an 5 n2 2 1

19. an 5

n

21. an 5 n 2

1 n

n 2 n 11

22. an 5 n2 2

14. an 5 1 2 2n † 17. an 5 n2 1 1

n

1 n

20. an 5

n2 2 1 n

23. an 5 1212 n11n

1212 n11 n11

25. an 5

1212 n11 n2 1 1

26. an 5 1212 n 1n2 1 2n 1 12

27. an 5 1212 n2n

28. an 5

1 3 n 11 3

1 n11 29. an 5 2a b 3

24. an 5

Encuentre el término indicado de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula. 30. an 5 3n 1 4; a12 33. an 5

n ; a12 n11

1 n 36. an 5 a b ; a8 2

12_Cap-11_AUFMANN.indd 585

† 31. an 5 2n 2 5; a10

32. an 5 n 1n 2 12 ; a11

34. an 5 1212 n21n2; a15

35. an 5 1212 n21 1n 2 12 ; a25

2 n 37. an 5 a b ; a5 3

38. an 5 1n 1 22 1n 1 32 ; a17

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586

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

39. an 5 1n 1 42 1n 1 12 ; a7 42. an 5

3 2 n 2 2; a8 2

40. an 5

1212 2n21 ; a6 n2

41. an 5

1212 2n ;a n 1 4 16

43. an 5

1 n 1 n2; a6 3

44. an 5

3 2 1 n 2 n; a4 4 4

¿Verdadero o falso? Para cualquier número real b, todos los términos de la sucesión dada por la fórmula an 5 bn son mayores que b.

45.

¿Verdadero o falso? El 99o término de la sucesión dada por la fórmula an 5 1212 n 1 1n es positivo.

46.

Evaluar una serie (Revise las páginas 583–584.) PREPÁRESE 47. a. La notación sigma a 13n 1 12 representa la suma indicada de los primeros n51 ? . términos de la secuencia dada por la fórmula an 5 4

?

b. Para evaluar la serie del inciso a, primero escriba la serie con notación desarrollada al sustituir n por 1, 2, 3 y 4: a 13n 1 12 4

5 33 1 ? 2 1 1 4 1 33 1 ? 2 1 1 4 1 33 1 ? 2 1 1 4 1 3 3 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 5 • Simplifique cada término. ? • Realice la suma. 5

n51

2 1 14

Evalúe la serie. 48. a 12n 1 32 5

n51 6

52. a i2 i51 6

† 49. a 1i 1 22 7

i51

53. a 1i2 1 12 5

i51 4

50. a 12i2 4

i51

7

51. a n n51

54. a 1212 n

4 1 55. a 2n n51

6

n51

i11 i i53 6

56. a i3

57. a 2n

7 n 58. a n 2 1 n53

59. a

4 1 60. a i 2 i51

5 1 61. a 2i i51

62. a 1212 n 2 1n2

63. a 1212 i 2 1 1i 1 12

5 1212 n 2 1 64. a n53 n 2 2

7 1212 n 2 1 65. a n54 n 2 3

i53

n52

4

n51

4

i51

Escriba la serie con notación desarrollada. 5

66. a 2xn n51

5 xi 68. a i51 i

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4 2n † 67. a n51 x 4 xi 69. a i51 i 1 1

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SECCIÓN 11.1 5 xi 70. a i 5 3 2i

Introducción a las sucesiones y las series

587

4 xi 71. a i 5 2 2i 2 1

5

4

73. a x2n 2 1

72. a x2n n51

n51

4

Determine si cada serie es equivalente a a n2. n51

74. a 1n2 1 22

75. a 1n2 1 22 2

6

76. a 1n 2 22 2

6

n53

6

n53

n53

77. a 1n 2 92 2 13

n 5 10

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Escriba una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión. 78. La sucesión de los números naturales

79. La sucesión de los números naturales impares

80. La sucesión de los números pares negativos

81. La sucesión de los números impares negativos

82. La sucesión de los múltiplos positivos de 7

83. La sucesión de los enteros positivos que son divisibles entre 4

Evalúe la serie. Escriba su respuesta como un solo logaritmo. 5

4

84. a log n

85. a log 2i

n51

i51

86. Problema numérico Los primeros 22 números de la sucesión 4, 44, 444, 4444,... se suman juntos. ¿Qué dígito está en la posición de los millares de la suma? 87. Problema numérico Los primeros 31 números de la sucesión 6, 66, 666, 6666,... se suman juntos. ¿Qué dígito está en la posición de las centenas de la suma? Una sucesión recursiva es aquella en la cual cada término de la sucesión se define utilizando los términos precedentes. Encuentre los primeros cuatro términos de cada sucesión definida de manera recursiva. 88. a1 5 1, an 5 nan21, n $ 2 90.

89. a1 5 1, a2 5 1, an 5 an21 1 an22, n $ 3

En el primero de los cuadros siguientes, 1 del cuadro está sombreado. 2

En los cuadros sucesivos, se muestran las sumas 12 1 14 y 12 1 14 1 18. ¿Puede identificar la suma 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .? Explique su respuesta. 2

4

8

16

1 4 1 2

1 2

1 4 1 2

1 8

91. Reescriba 1 1 12 1 13 1 . . . 1 1n utilizando la notación sigma.

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588

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Epidemiología Un modelo utilizado por los epidemiólogos (personas que estudian las epidemias) para estudiar la diseminación de un virus sugiere que el número de personas de una población que se infectaron recientemente en un día determinado es proporcional al número de aún no expuestos en el día anterior. Esta relación puede describirse por medio de una sucesión recursiva definida por an 2 an 2 1 5 k 1P 2 an 2 12 , donde P es el número de personas de la población original expuestas a un virus, an el número de personas infectadas con el virus n días después de haber sido expuestos, an21 el número de personas infectadas con el virus el día anterior y k una constante que depende del contagio de la enfermedad. k se determinó a partir de evidencia experimental. 92. Suponga que una población de 5000 personas está expuesta a un virus y que 150 personas se infectan (a0 5 150). Al día siguiente, se infectan 344 personas (a1 5 344). Determine el valor de k. 93. Sustituya los valores de k y P en la ecuación recursiva, y resuelva para an. 94. ¿Cuántas personas se han infectado después de 4 días?

11.2 OBJETIVO

Sucesiones y series aritméticas Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética Los gastos de una empresa en capacitar a un nuevo empleado son muy altos. Para estimular a los empleados a que conserven su empleo, una empresa que tiene un programa de capacitación de 6 meses ofrece un sueldo inicial de $1600 mensuales y luego un incremento de $200 mensuales durante el periodo de la capacitación. La sucesión siguiente muestra los sueldos mensuales del empleado durante el periodo de capacitación. Cada término de la sucesión se encuentra al añadir $200 al término anterior. Mes Sueldo

Tome nota Una sucesión aritmética es un tipo especial de sucesión, en la cual la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es la misma constante. Por ejemplo, 5, 10, 15, 20, 25,… es una sucesión aritmética. La diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es 5. La sucesión 1, 4, 9, 16,… no es una sucesión aritmética porque 4 2 1 2 9 2 4.

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1

2

3

4

5

6

1600

1800

2000

2200

2400

2600

La sucesión 1600, 1800, 2000, 2200, 2400, 2600 se llama sucesión aritmética. Una sucesión aritmética, o progresión aritmética, es una sucesión en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. La diferencia entre los términos consecutivos se llama diferencia común de la sucesión. Cada sucesión mostrada abajo es una sucesión aritmética. Para encontrar la diferencia común de una sucesión aritmética, reste el primer término del segundo término. 2, 7, 12, 17, 22, . . . Diferencia común: 5 3, 1, 21, 23, 25, . . . Diferencia común: 22 3 5 7 1 1, , 2, , 3, Diferencia común: 2 2 2 2

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SECCIÓN 11.2

589

Sucesiones y series aritméticas

Considere una sucesión aritmética en la cual el primer término es a1 y la diferencia común es d. La suma de la diferencia común a cada término sucesivo de la sucesión aritmética produce una fórmula para el n-ésimo término. El primer término es a1.

a1 5 a1

Para encontrar el segundo término, sume la diferencia común d al primer término.

a2 5 a1 1 d

Para encontrar el tercer término, sume la diferencia común d al segundo término.

a3 5 a2 1 d 5 1a1 1 d 2 1 d a3 5 a1 1 2d

Para encontrar el cuarto término, sume la diferencia común d al tercer término.

a4 5 a3 1 d 5 1a1 1 2d 2 1 d a4 5 a1 1 3d

Observe la relación entre el número del término y el número que multiplica a d. El multiplicador de d es 1 menor que el número de término.

an 5 a1 1 1n 2 12 d

FÓRMULA PARA EL n-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA

El n-ésimo término de una sucesión aritmética con una diferencia común de d está dado por an 5 a1 1 1n 2 12 d.

EJEMPLO 1 Solución

Encuentre el 27o término de la sucesión aritmética −4, −1, 2, 5, 8, . . . . d 5 a2 2 a1 5 21 2 1242 5 3 an 5 a1 1 1n 2 12 d

a27 5 24 1 127 2 12 3 5 24 1 1262 3 5 24 1 78 5 74 Problema 1 Solución

• Encuentre la diferencia común. • Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética. • n 5 27, a1 5 24, d 5 3

Encuentre el 15o término de la sucesión aritmética 9, 3, −3, −9, . . . . Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 9 de la página 593.

EJEMPLO 2 Solución

Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética 25, 21, 3, 7,… d 5 a2 2 a1 5 21 2 1252 5 4 an an an an

Problema 1 Solución

5 a1 1 1n 2 12 d 5 25 1 1n 2 12 4 5 25 1 4n 2 4 5 4n 2 9

• Encuentre la diferencia común. • Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética. • a1 5 25, d 5 4

Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética −3, 1, 5, 9,… Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 593.

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590

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

EJEMPLO 3 Solución

Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética 7, 10, 13,…, 55. d 5 a2 2 a1 5 10 2 7 5 3 an 5 a1 1 1n 2 12 d

55 5 7 1 1n 2 12 3 55 5 7 1 3n 2 3 55 5 3n 1 4 51 5 3n 17 5 n

• Encuentre la diferencia común. • Utilice la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética. • an 5 55, a1 5 7, d 5 3 • Resuelva para n.

Hay 17 términos en la sucesión. Problema 3

Solución

Encuentre el número de términos que hay en la sucesión aritmética finita 7, 9, 11,…, 59. Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 593.

OBJETIVO

Evaluar una serie aritmética La suma indicada de los términos de una sucesión aritmética se llama serie aritmética. La suma de una serie aritmética puede encontrarse al utilizar la fórmula.

Punto de interés Esta fórmula se demostró en Aryabhatiya, escrito por Aryabhata alrededor del año 499. El libro es el primer trabajo matemático indio conocido, que fue escrito por un autor identificable. Aun cuando la prueba de la fórmula aparece en ese texto, la fórmula ya se conocía antes de la época de Aryabhata.

FÓRMULA PARA LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA SERIE ARITMÉTICA

Sea a1 el primer término de una sucesión aritmética finita, n el número de términos y an el último término de la sucesión. Por tanto, la suma de la serie Sn está dada por Sn 5 n2 1a1 1 an2 .

Cada término de la sucesión aritmética mostrado a la derecha se encontró al sumar 3 al término anterior.

2, 5, 8, . . . , 17, 20

Cada término de la sucesión aritmética inversa puede encontrarse al restar 3 del término anterior.

20, 17, 14, . . . , 5, 2

Esta idea se utiliza en la prueba de la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética. Sea Sn que representa la suma de la serie. Sn 5 a1 1 1a1 1 d 2 1 1a1 1 2d 2 1 . . . 1 an Escriba en orden inverso los términos de la suma de la serie. La suma es la misma. Sn 5 an 1 1an 2 d 2 1 1an 2 2d 2 1 . . . 1 a1 Sume las dos ecuaciones. 2Sn 5 1a1 1 an2 1 1a1 1 an2 1 1a1 1 an2 1 . . . 1 1a1 1 an2 Simplifique el lado derecho de la ecuación utilizando el hecho de que hay n términos en la sucesión. 2Sn 5 n 1a1 1 an2

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SECCIÓN 11.2

591

Sucesiones y series aritméticas

Resuelva para Sn. Sn 5

n 1a 1 an2 2 1

EJEMPLO 4 Solución

Calcule la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 2, 4, 6, 8,… d 5 a2 2 a1 5 4 2 2 5 2

an 5 a1 1 1n 2 12 d a10 5 2 1 110 2 12 2 5 2 1 192 2 5 2 1 18 5 20 n Sn 5 1a1 1 an2 2 S10 5

Problema 4

Solución

• Encuentre la diferencia común. • Para encontrar el décimo término, utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética. • Utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética.

10 12 1 202 5 5 1222 5 110 2

• n 5 10, a1 5 2, an 5 20

Calcule la suma de los primeros 25 términos de la sucesión aritmética 24, 22, 0, 2, 4,… Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 594. Evalúe la serie aritmética a 13n 1 12 . 25

EJEMPLO 5

n51

Solución

an 5 3n 1 1 a1 5 3 112 1 1 5 4 a25 5 3 1252 1 1 5 76 n Sn 5 1a1 1 an2 2

• Encuentre el primer término. • Encuentre el 25º término. • Utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética.

25 14 1 762 2 25 1802 5 2 5 1000

S25 5

• n 5 25, a1 5 4, an 5 76

Evalúe la serie aritmética a 13n 2 22 . 18

Problema 5

n51

Solución

Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 57 de la página 594.

OBJETIVO

Problemas de aplicación EJEMPLO 6

12_Cap-11_AUFMANN.indd 591

La distancia que una pelota rueda hacia abajo por una rampa cada segundo está dada por una sucesión aritmética. La distancia en pies recorrida por la pelota durante el n-ésimo segundo está dada por 2n 2 1. Calcule la distancia que recorrerá la pelota durante los primeros 10 s.

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592

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

Estrategia

Punto de interés

Para calcular la distancia: 䉴 Encuentre el primer y el n-ésimo términos de la sucesión.

Galileo (1564–1642) construyó planos inclinados de varias pendientes parecidas al que se muestra abajo, con un riel en el centro e intervalos iguales marcados a lo largo del plano inclinado. Midió las diversas distancias que los balines de diferentes pesos recorrían en intervalos de tiempo iguales. Demostró que los objetos de diferentes pesos caen a la misma velocidad.

䉴 Utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética para calcular la suma de los primeros 10 términos. Solución

Problema 6

Solución

an 5 2n 2 1 a1 5 2 112 2 1 5 1 a10 5 2 1102 2 1 5 19 n Sn 5 1a1 1 an2 2 10 11 1 192 5 5 1202 5 100 S10 5 2 La pelota rodará 100 pies durante los primeros 10 s. Un concurso ofrece 20 premios. El primero es $10,000, y cada premio sucesivo es $300 menos que el anterior. ¿Cuál es el valor del premio del 20o lugar? ¿Cuál es el monto total de los premios que se están otorgando? Revise la página S34.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 595.

11.2 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una sucesión aritmética?

2. Para la sucesión aritmética 5, 11, 17, 23,…, ¿cuál es la diferencia común? 3. Determine si cada fórmula para el n-ésimo término de una sucesión define una sucesión aritmética. a. an 5 2n 2 7

b. an 5 3 2 4n

d. an 5 2n 2 1

e. an 5 n

c. an 5 2n2 1 1 1 f. an 5 n

4. ¿Cuál es la fórmula para sumar los primeros n términos de una serie aritmética?

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética (Revise las páginas 588–590.) PREPÁRESE 5. a. La sucesión 3, 7, 11, 15, 19,… es una sucesión aritmética debido a que la diferen? . A este número se le llama cia entre cada par de términos consecutivos es ? de la sucesión. diferencia

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SECCIÓN 11.2

Sucesiones y series aritméticas

593

b. Encuentre el 50o término de la sucesión aritmética dada en el inciso a. an 5 a1 1 1n 2 12 d a50 5 3 1 150 2 12 142 ? 5

? • Utilice la fórmula para el una sucesión aritmética. ? , a1 por • Sustituya n por • Simplifique.

término de

?

, y d por

?

.

6. Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética 10, 8, 6, 4,… ? d 5 a2 2 a1 5 ? 5 an 5 a1 1 1n 2 12 d ? an 5 an 5 10 2 ? an 5

2

1 1n 2 12 1 ? ? 1 ?

?

• Para encontrar la diferencia común, reste el primer término del segundo término.

2

• Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética. • Sustituya a1 por 10 y d por 22. • Utilice la propiedad distributiva. • Simplifique.

Encuentre el término indicado de la sucesión aritmética. 8. 3, 8, 13, . . . ; a20 7. 1, 11, 21, . . . ; a15 10. 27, 22, 3, . . . ; a14

11. 3, 7, 11, . . . ; a18

3 3 13. 2 , 0, , . . . ; a11 4 4

14.

5 3 16. 1, , , . . . ; a17 4 2

17. 6, 5.75, 5.50, . . . ; a10

† 9. 26, 22, 2, . . . ; a15 12. 213, 26, 1, . . . ; a31

3 13 , 1, , . . . ; a17 8 8

Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética. 19. 1, 2, 3, . . . 20. 1, 4, 7, . . .

5 15. 2, , 3, . . . ; a31 2 18. 4, 3.7, 3.4, . . . ; a12

† 21. 6, 2, 22, . . .

22. 3, 0, 23, . . .

7 23. 2, , 5, . . . 2

24. 7, 4.5, 2, . . .

25. 28, 213, 218, . . .

26. 17, 30, 43, . . .

27. 26, 16, 6, . . .

Encuentre el número de términos en la sucesión aritmética finita. 28. 22, 1, 4, . . . , 73 31.

1 5 61 , , 3, . . . , 3 3 3

1 3 7 71 30. 2 , , , . . . , 2 2 2 2

29. 7, 11, 15, . . . , 171 32. 1, 5, 9, . . . , 81

† 33. 3, 8, 13, . . . , 98 5 7 , 3, , . . . , 13 2 2

34. 2, 0, 22, . . . , 256

35. 1, 23, 27, . . . , 275

36.

79 7 13 19 37. , , , . . . , 3 3 3 3

38. 1, 0.75, 0.50, . . . , 24

39. 3.5, 2, 0.5, . . . , 225

Para los ejercicios 40 a 43, a1, a2, a3, a4,… es una sucesión aritmética con diferencia común d. Determine si la expresión es verdadera o falsa. 40. Si a1 , 0 y d , 0, entonces todos los términos de la sucesión son negativos. 41. a7 2 a3 5 4d 42. Si d , 0, entonces an , an11. 43. Si a1 , 0 y d . 0, entonces la sucesión tiene un número finito de términos negativos y un número infinito de términos positivos.

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594

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

Evaluar una serie aritmética (Revise las páginas 590–591.) PREPÁRESE 44. Proporcione el significado de cada parte de la fórmula para la suma de n términos de una serie n aritmética, Sn 5 1a1 1 an2 . 2 ? de n términos de la serie. Sn es el n es el

?

de los términos.

a1 es el

?

término.

an es el

?

término.

45. Calcule la suma de la serie aritmética a 1n 2 32 . 10

n51

? términos de la sucesión dada por la fórmula Esta serie es la suma de los primeros ? . an 5 ? 235 ? a1 5 • Para encontrar el primer término, sustituya n por 1 y simplifique. ? ? a10 5 235 • Para encontrar el último término, sustituya n por 10 y simplifique. n ? . Sn 5 1a1 1 an2 • Utilice la fórmula para la suma de n términos de una 2 ? ? __ 1 _____ ? __2 • Sustituya n por 10, a1 por 22, y a10 por 7. S___?____ 5 1_____ 2 • Simplifique. 5 1_____ ? __2 1_____ ? __2 • Simplifique. 5 _____ ? __ Calcule la suma del número indicado de términos de la sucesión aritmética. 46. 1, 3, 5, . . . ; n 5 50 47. 2, 4, 6, . . . ; n 5 25 † 49. 25, 20, 15, . . . ; n 5 22

50.

48. 20, 18, 16, . . . ; n 5 40

1 3 , 1, , . . . ; n 5 27 2 2

51. 2,

11 7 , , . . . ; n 5 10 4 2

Evalúe la serie aritmética. 52. a 13i 2 12

53. a 13i 1 42

55. a 11 2 4n2

56. a 14 2 2i2

15

15

i51

i51

10

15

n51

58.

17 1 54. a a n 1 1b n51 2

i51

† 57. a 15 2 n2 10

n51

n Determine si la serie puede evaluarse utilizando la fórmula Sn 5 1a1 1 an2 . 2 a. 12 1 7 1 2 2 3 2 8 b. 2 1 4 1 8 1 . . . 1 64 ¿La suma de la serie a 15 2 n2 será positiva o negativa? 100

59.

n51

Problemas de aplicación (Revise las páginas 591–592.) PREPÁRESE Para los ejercicios 60 y 61, utilice este problema: una sección de un teatro tiene 8 filas de asientos. La primera tiene 3 asientos, la segunda 5, la tercera 7, y así sucesivamente en una sucesión aritmética. 60. a. Proporcione el valor de cada una de las variables siguientes para la sucesión de números de asientos por fila. a1 5

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?

,

d5

?

,

n5

?

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SECCIÓN 11.2

595

Sucesiones y series aritméticas

b. Calcule el número de asientos en la última fila.

an 5 a1 1 1n 2 12 d

• Escriba la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

a___?____ 5 _____ ? __ 1 1_____ ? __ 2 12 1_____ ? __2 5 _____ ? __

• Sustituya n, a1 y d por los valores listados en el inciso a. • Simplifique

61. Utilice los resultados del ejercicio 60 para calcular el número total de asientos en la sección del teatro. n 1a 1 an2 • Escriba la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética. 2 1 ? 5 1_____ ? __ 1 _____ ? __2 • Sustituya n, a1 y an por los valores que encuentre 2

Sn 5 S___?____

5 _____ ? __

en el ejercicio 60. • Simplifique.

Stephan Ferry/Liaison/Getty Images

62. Física La distancia que un objeto cayó desde un acantilado es 16 pies el primer segundo, 48 pies el segundo siguiente, 80 pies el tercer segundo y así sucesivamente en una sucesión aritmética. ¿Cuál es la distancia total que el objeto caerá en 6 s? 63. Ciencias de la salud Un programa de ejercicio requiere caminar 12 minutos al día durante una semana. Cada semana subsiguiente, la cantidad de tiempo que se invierte en caminar aumenta 6 minutos por día. ¿En cuántas semanas una persona estará caminando 60 minutos al día? 64. Negocios Un estante de latas en una tienda de abarrotes tiene 20 latas en la fila inferior, 18 en la fila siguiente, y así sucesivamente en una sucesión aritmética. La fila superior tiene 4 latas. Calcule el número total de latas en el estante. 65. Construcción Un “teatro circular” tiene 52 asientos en la primera fila, 58 en la segunda, 64 en la tercera y así sucesivamente en una sucesión aritmética. Calcule el número total de asientos en el teatro si hay 20 filas de asientos. 66.

Virus de computadora Lea el recorte de prensa de la derecha. Calcule el número de minutos que tomará que el número de virus de computadora llegue a los 2,000,000. Demuestre que la predicción dada al final del artículo es correcta.

† 67. Recursos humanos El programa de sueldos para un asistente de ingeniería es $2200 para el primer mes y un incremento de $150 mensuales durante los 9 meses siguientes. Calcule el sueldo mensual para el décimo mes. Calcule el sueldo total para el periodo de 10 meses.

Para los ejercicios 68 y 69, remítase a los problemas de los ejercicios 62 a 67. Determine el número de ejercicio del problema que está representado por las series dadas. 68. a 122 2 2n2 9

n51

En las noticias Virus de computadora a niveles sin precedentes Ha habido un gran incremento en el número de ataques de virus a computadoras personales. En los primeros seis meses del año, hubo alrededor de 1,000,000 de virus. Con la aparición de virus nuevos a una tasa de 4 por minuto, el número de virus llegará a 2,000,000 antes de que concluya el año. Fuente: linuxtoday.com

69. a 132n 2 162 6

n51

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 70. Calcule la suma de los primeros 50 números enteros positivos. 71. ¿Cuántos términos de la sucesión aritmética −3, 2, 7,… deben sumarse para que el total de la serie sea 116? 72. Dada una sucesión aritmética para la cual a1 5 29, an 5 21, y Sn 5 36, encuentre d y n.

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596

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

73. El cuarto término de una sucesión aritmética es 9, y el noveno término es 29. Encuentre el primer término. 74.

Negocios Algunas empresas utilizan la depreciación en línea recta para determinar el valor de un activo. Un modelo para este método de depreciación es an 5 V 2 dn, donde an es el valor del activo después de n años, V el valor original del activo, d la disminución anual del valor del activo, y n el número de años. Suponga que un activo tiene un valor original de $20,000 y que la disminución anual del valor es $3000. a. Sustituya los valores de V y d en la ecuación, y escriba una expresión para an. b. Demuestre que an es una sucesión aritmética.

75. Geometría La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. La suma es 360° para un cuadrilátero y 540° para un pentágono. Suponiendo que este patrón continúa, calcule la suma de los ángulos interiores de un duodecágono (figura de 12 lados). Encuentre una fórmula para la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

b a

c

a + b + c = 180°

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 76.

Deportes La Federación Internacional de Deportistas Amateur (IAAF) especifica los diseños de las pistas en las cuales se pueden establecer récords mundiales. Un diseño habitual tiene la forma de un rectángulo con semicírculos en cualquier extremo, como se muestra enseguida. Hay ocho carriles y cada uno mide 1.22 m de ancho. La distancia alrededor de la pista para cada carril se mide desde el centro de ese carril. Encuentre una fórmula para la sucesión de los radios de la parte circular de la pista (los dos extremos). Redondee a la centésima más cercana. línea final

83.4 m 36.5 m

77 a.

Deportes Utilizando la información del ejercicio anterior, escriba una fórmula para la sucesión de distancias alrededor de la pista para cada carril. Redondee a la centésima más cercana y utilice 3.14 como aproximación de p. Recuerde que la distancia alrededor de la porción circular de la pista se mide desde el centro del carril.

b.

Explique por qué la IAAF escalona el punto de partida de los corredores en una carrera de 400 metros.

11.3 OBJETIVO

Sucesiones y series geométricas Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica Una muestra de mineral contiene 20 mg de un material radiactivo con una vida media de 1 semana. La cantidad de material radiactivo que la muestra contiene al comienzo de cada semana puede determinarse por medio de una ecuación de decaimiento exponencial.

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SECCIÓN 11.3

597

Sucesiones y series geométricas

La sucesión siguiente representa la cantidad en la muestra al inicio de cada semana. Cada término de la sucesión se encuentra al multiplicar por 12 el término anterior. Semana

1

2

3

4

5

Cantidad

20

10

5

2.5

1.25

La sucesión 20, 10, 5, 2.5, 1.25 se llama sucesión geométrica. Una sucesión geométrica, o progresión geométrica, es una en la que cada término sucesivo de la sucesión es el mismo múltiplo constante distinto de cero del término anterior. El múltiplo común se conoce como la razón común de la sucesión.

Tome nota Las sucesiones geométricas son diferentes de las sucesiones aritméticas. Para una sucesión geométrica, cada dos términos sucesivos tienen la misma razón. Para una sucesión aritmética, cada dos términos sucesivos tienen la misma diferencia.

Cada una de las sucesiones mostradas abajo es una sucesión geométrica. Para encontrar la razón común de una sucesión geométrica, divida el segundo término de la sucesión entre el primero. 3, 6, 12, 24, 48, . . . 4, 212, 36, 2108, 324, . . . 8 16 32 6, 4, , , , . . . 3 9 27

Razón común: 2 Razón común: 23 2 Razón común: 3

Considere una sucesión geométrica en la cual el primer término es a1 y la razón común es r. Al multiplicar cada término sucesivo de la sucesión geométrica por la razón común se obtiene una fórmula para el n-ésimo término. El primer término es a1.

a1 5 a1

Para encontrar el segundo término, multiplique el primer término por la razón común r.

a2 5 a1r

Para encontrar el tercer término, multiplique el segundo término por la razón común r. Para encontrar el cuarto término, multiplique el tercer término por la razón común r. Observe la relación entre el número del término y el número que es el exponente en r. El exponente en r es 1 menos que el número del término.

a3 5 1a22 r 5 1a1r2 r a3 5 a1r2

a4 5 1a32 r 5 1a1r22 r a4 5 a1r3 an 5 a1rn21

FÓRMULA PARA EL n-ÉSIMO TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA

El n-ésimo término de una sucesión geométrica con el primer término a1 y la razón común r está dado por an 5 a1rn21.

Concéntrese en encontrar una fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica 9 Encuentre una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión geométrica 5, 3, , . . . . 5 a2 3 Encuentre r, la razón común. r5 5 a1 5 Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica. a1 5 5, r 5

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3 5

an 5 a1rn21 3 n21 an 5 5a b 5

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CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

EJEMPLO 1 Solución

Encuentre el sexto término de la sucesión geométrica 3, 6, 12, . . . . a2 6 5 52 • Encuentre la razón común. a1 3 an 5 a1rn21 • Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una r5

a6 5 3 122 5 3 122 5 5 3 1322 5 96

621

Problema 1 Solución

sucesión geométrica para encontrar el sexto término. • n 5 6, a1 5 3, r 5 2

4 Encuentre el quinto término de la sucesión geométrica 5, 2, 5 , . . . .

Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 13 de la página 603.

EJEMPLO 2 Solución

Encuentre a3 para la sucesión geométrica 8, a2, a3, 27, . . . . an 5 a1rn21 a4 5 a1r421 27 5 8r421 27 5 r3 8 3 5r 2 3 321 a3 5 8a b 2 3 2 5 8a b 2 9 5 8a b 5 18 4

Problema 2 Solución

• Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica para determinar la razón común. El primero y el cuarto términos son conocidos. Sustituya n por 4. • a4 5 27, a1 5 8 • Resuelva para r. • Aplique la raíz cúbica de cada lado de la ecuación. • Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica para determinar 3 a 3. n 5 3, a1 5 8, r 5 2

Encuentre a3 para la sucesión geométrica 3, a2, a3, 2192, . . . . Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 19 de la página 603.

OBJETIVO Punto de interés Las series geométricas se utilizan ampliamente en matemáticas financieras. Las series geométricas finitas se utilizan para calcular los saldos de préstamos y los pagos mensuales de los préstamos amortizados

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Series geométricas finitas La suma indicada de los términos de una sucesión geométrica se llama serie geométrica. La suma de una serie geométrica puede calcularse por medio de una fórmula. FÓRMULA PARA LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA SERIE GEOMÉTRICA FINITA

Sea a1 el primer término de una sucesión geométrica finita, n el número de términos y r la razón común, r 2 1. Por tanto, la suma de la serie Sn está dada por a1 11 2 rn2 . Sn 5 12r

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SECCIÓN 11.3

599

Sucesiones y series geométricas

Prueba de la fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita: Sea Sn la suma de n términos de la secuencia.

Sn 5 a1 1 a1r 1 a1r2 1 . . . 1 a1rn22 1 a1rn21

Multiplique por r cada lado de la ecuación.

rSn 5 a1r 1 a1r2 1 a1r3 1 . . . 1 a1rn21 1 a1rn Sn 2 rSn 5 a1 2 a1rn

Reste las dos ecuaciones. Factorice cada lado de la ecuación.

11 2 r2 Sn 5 a1 11 2 rn2

Suponiendo que r 2 1, resuelva para Sn.

EJEMPLO 3 Solución

Problema 3 Solución

Sn 5

a1 11 2 rn2 12r

Calcule la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica 2, 8, 32, . . . a 8 • Encuentre la razón común. r5 25 54 a1 2 a 11 2 r n 2 • Utilice la fórmula para la suma Sn 5 1 de n términos de una serie geométrica finita. 12r 5 2 11 2 4 2 • n 5 5, a1 5 2, r 5 4 S5 5 124 2 11 2 10242 5 23 2 1210232 5 23 22046 5 23 5 682 Calcule la suma de los primeros ocho términos de la sucesión geométrica 1,213 , 19 , . . . . Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 29 de la página 604.

EJEMPLO 4 Solución

7 2 i Evalúe la serie geométrica a a b . i51 3 2 i ai 5 a b 3

2 1 2 a1 5 a b 5 3 3 r5

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2 3

• Para encontrar a1, sea i 5 1. • r es la base de la expresión con exponentes.

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600

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

a1 11 2 rn2 12r 2 2 7 2 128 c1 2 a b d a1 2 b 3 3 3 2187 S7 5 5 2 1 12 3 3 2 2059 a b 3 2187 4118 5 5 1 2187 3

Sn 5

5

Problema 4 Solución

Evalúe la serie geométrica a n51 Revise la página S35.

• Utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita. 2 2 • n 5 7, a1 5 , r 5 3 3

(12) . n

† Intente resolver el ejercicio 39 de la página 604.

OBJETIVO

Series geométricas infinitas Cuando el valor absoluto de la razón común de una sucesión geométrica es menor que 1, 0 r 0 , 1, entonces a medida que n se vuelve más grande, rn se acerca a cero. A la derecha se muestran ejemplos de sucesiones geométricas para las cuales 0 r 0 , 1. Conforme el número de términos aumenta, el valor absoluto del último término listado se acerca a cero.

1 1 1 1 1 1, , , , , , ... 3 9 27 81 243 1 1 1 1 1 1, 2 , , 2 , , 2 , . . . 2 4 8 16 32

La suma indicada de los términos de una sucesión geométrica infinita se llama serie geométrica infinita. A la derecha se muestra un ejemplo de una serie geométrica infinita. El primer término es 1. 1 La razón común es 3 . Las sumas de los primeros 5, 7, 12 y 15 términos, junto con los valores de rn, se muestran a la derecha. Observe que a medida que n aumenta, la suma de los términos se acerca a 1.5, y el valor de rn se acerca a cero.

11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 3 9 27 81 243

n

Sn

rn

5 7 12 15

1.4938272 1.4993141 1.4999972 1.4999999

0.0041152 0.0004572 0.0000019 0.0000001

Utilizando la fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica y el hecho de que rn se aproxima a cero cuando 0 r 0 , 1 y n aumenta, puede encontrarse una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.

12_Cap-11_AUFMANN.indd 600

c

La suma de los primeros n términos de una serie geométrica se muestra a la derecha. Si 0 r 0 , 1, entonces rn puede acercarse mucho a cero utilizando valores de n cada vez más grandes. Por consiguiente, la suma de los pria1 meros n términos es aproximadamente . 12r

Sn 5 Sn <

a1 11 2 rn2 12r

Aproximadamente cero

a1 11 2 02 a1 5 12r 12r

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SECCIÓN 11.3

601

Sucesiones y series geométricas

FÓRMULA PARA LA SUMA DE UNA SERIE GEOMÉTRICA INFINITA

La suma de una serie geométrica infinita en la cual 0 r 0 , 1, r 2 0, y a1 es el primer a1 término, está dada por S 5 . 12r Cuando 0 r 0 $ 1, la serie geométrica infinita no tiene una suma finita. Por ejemplo, la suma de la serie geométrica infinita 1 1 2 1 4 1 8 1 . . . se incrementa sin límite.

EJEMPLO 5

Solución

Calcule la suma de los términos de la sucesión geométrica infinita 1, 212, 14, 218, ... . 1 2 a 2 1 • Encuentre la razón común. r5 25 52 a1 1 2 a1 • 0 r 0 , 1. Utilice la fórmula para la suma S5 12r de una serie geométrica infinita. 1 1 • a1 5 1, r 5 2 5 2 1 1 2 a2 b 2 5

Problema 5 Solución

1 2 5 3 3 2

Calcule la suma de los términos de la sucesión geométrica 4 8 infinita 3,22, 3 , 29 , ... . Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 49 de la página 605. La suma de una serie geométrica infinita puede utilizarse para encontrar una fracción que es equivalente a un decimal infinito, periódico. 0.3 5 0.3 1 0.03 1 0.003 1 . . . El decimal periódico mostrado a la derecha se ha reescrito como una serie geométrica 3 3 3 3 5 1 1 1... infinita con el primer término 10 y razón 10 100 1000 1 común 10 . 3 3 a1 10 10 1 3 S5 5 5 5 5 Utilice la fórmula para la suma de una serie 1 2 r 1 9 9 3 geométrica infinita. 12 10 10 1 0.3. es equivalente al decimal infinito y al decimal periódico 3

EJEMPLO 6 Solución

Encuentre una fracción equivalente para 0.12. Escriba el decimal como una suma que incluya una serie geométrica infinita. 0.12 5 0.1 1 0.02 1 0.002 1 0.0002 1 . . . 1 2 2 2 5 1 1 1 1... 10 100 1000 10,000 1 La serie geométrica no comienza con el primer término, 10 . 1 2 La serie comienza con 100 . La razón común es 10 .

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602

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

2 100 1 12 10 2 100 2 5 5 9 90 10 1 2 11 0.12 5 1 5 10 90 90 a1 S5 5 12r

• Utilice la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita para calcular la suma de todos los términos, excepto 1 el primero . 10

• Sume

1 a la suma de la serie 10

Una fracción equivalente para 0.12 es 11 90 . Problema 6 Solución

Encuentre una fracción equivalente para 0.36. Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 57 de la página 605.

OBJETIVO Punto de interés Galileo utilizó mucho los péndulos en sus experimentos. Sus investigaciones del comportamiento de los mismos al principio de su carrera lo llevaron a utilizarlos como dispositivos de medición en experimentos posteriores.

Problemas de aplicación EJEMPLO 7

Estrategia

En la primera oscilación, la longitud del arco a lo largo del cual oscila un péndulo es 16 pulg. La longitud de cada oscilación sucesiva es 78 de la oscilación anterior. Calcule la longitud del arco en la quinta oscilación. Redondee a la décima más cercana. Para calcular la longitud del arco en la quinta oscilación, utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica. 7 n 5 5, a1 5 16, r 5 8

Solución

an 5 a1rn21 7 521 7 4 2401 38,416 a5 5 16a b 5 16a b 5 16a < 9.4 b5 8 8 4096 4096 La longitud del arco en la quinta oscilación es aproximadamente 9.4 pulg.

Problema 7

Solución

Usted inicia una cadena de cartas y la envía a tres amigos. Cada uno de ellos envía la carta a otros tres amigos y la secuencia se repite. Si nadie rompe la cadena, ¿cuántas cartas se habrán enviado desde el primer hasta el sexto envío? Revise la página S35.

† Intente resolver el ejercicio 67 de la página 606.

11.3 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es una sucesión geométrica?

2. Para la sucesión geométrica 2, 6, 18, 54, . . . , ¿cuál es la razón común?

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SECCIÓN 11.3

Sucesiones y series geométricas

603

3. Determine si cada fórmula para el n-ésimo término de una sucesión, define una sucesión geométrica. a. an 5 n2 1

d. an 5 n2

b. an 5 2n

2 n c. an 5 a2 b 3

e. an 5 3n 2 1

f. an 5

1 2n

4. ¿Cuál es la fórmula para la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica?

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica (Revise las páginas 596–598.) PREPÁRESE 5. a. La sucesión 2, 6, 18, 54,… es una sucesión geométrica debido a que cada término puede ? . A este número se le llama la obtenerse al multiplicar el término precedente por ? de la sucesión. b. Encuentre el séptimo término de la sucesión geométrica dada en el inciso a. an 5 a1rn 2 1 a7 5 2 132 7 2 1 5 2 132 ____?___ 5 2 1____?____2 5 ____?____

• • • • •

? Utilice la fórmula para el ? , a1 por Sustituya n por Simplifique. Evalúe 36. Multiplique.

término de una sucesión geométrica. ? , y r por ? .

6. Encuentre la razón común de la sucesión geométrica 18, a2, a3, n21

an 5 a1r 16 5 18r4 2 1 3 1 16 ? a b a b 5 r _______ ? 3 ? 5 r3 ? ? 5r

16 3,

... .

• Utilice la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica. • Sustituya an por • Multiplique por

?

, a1 por

?

, y n por

.

1 cada lado de la ecuación. 18

• Simplifique el lado izquierdo de la ecuación. • Aplique la raíz cúbica a cada lado de la ecuación.

Encuentre una fórmula para el n-ésimo término de la sucesión geométrica. 8. 2, 10, 50, . . . 7. 3, 12, 48, . . . 4 16 10. 1, , , . . . 9 81

?

9 27 11. 3, , , . . . 4 16

9. 4, 22, 1, . . . 4 8 12. 2, 2 , , . . . 5 25

Encuentre el término indicado de la sucesión geométrica. † 13. 2, 8, 32, . . . ; a9 16. 25, 15, 245, . . . ; a7

9 4

14. 4, 3, , . . . ; a8 17. 1, !2, 2, . . . ; a9

Encuentre a2 y a3 para la sucesión geométrica. 8 27 20. 8, a2, a3, , . . . † 19. 9, a2, a3, , . . . 3 8 22. 6, a2, a3, 248, . . .

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23. 23, a2, a3, 192, . . .

8 15. 6, 24, , . . . ; a7 3 18. 3, 3!3, 9, . . . ; a8

8 21. 3, a2, a3, 2 , . . . 9 24. 5, a2, a3, 625, . . .

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604

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

Para los ejercicios 25 y 26, a1, a2, a3, a4,… es una sucesión geométrica con razón común r. 25. ¿Verdadero o falso? Si r , 0, entonces todos los términos de la sucesión son negativos. 26. ¿Verdadero o falso? Si 0 , r , 1, entonces an , an 1 1.

Series geométricas finitas (Revise las páginas 598–600.) PREPÁRESE 27. Proporcione el significado de cada parte de la fórmula para la suma de n términos de una a1 11 2 rn2 . serie geométrica finita, Sn 5 12r ? de n términos de la serie. Sn es la ? de términos. n es el ? término. a1 es el ? . r es la 4

28. Evalúe una serie geométrica a 10n. n51

? términos de la sucesión dada por la fórmula Esta serie es la suma de los primeros ? . an 5 ____ • Para encontrar el primer término, sustituya n por 1 y simplifique. a1 5 10___?____ 5 ___? r 5 ___? ____ a1 11 2 rn2 12r 1 ?2 3 1 2 1?2 4 4 S4 5 1 2? 1 10 ?2 5 ? 5 ___? ____ Sn 5

• r es la base de la expresión con exponentes 10n. • Utilice la fórmula para la suma de n términos de una

?

.

• Sustituya a1 y r con sus valores. • Simplifique.

Calcule la suma del número indicado de términos de la sucesión geométrica. 30. 24, 12, 236, . . . ; n 5 7 † 29. 2, 6, 18, . . . ; n 5 7 31. 12, 9,

27 , ... ; n 5 5 4

32. 3, 3!2, 6, . . . ; n 5 12

Evalúe la serie geométrica. 33. a 122 i

6 3 n 34. a a b n51 2

37. a 142 i

38. a 132 n

5 3 i 41. a a b i51 4

3 7 n 42. a a b n51 4

5

i51 5

i51

8

n51

5 1 i 35. a a b i51 3

† 39. a 172 i 4

i51

4 5 i 43. a a b i51 3 a 11 2 r n 2 45. Determine si las series pueden evaluarse utilizando la fórmula Sn 5 1 . 12r a. 1 1 4 1 9 1 . . . 1 81 b. !3 2 3 1 3 !3 2 9 1 9 !3

6 2 n 36. a a b n51 3

40. a 152 n 5

n51

6 1 n 44. a a b n51 2

Si b . 1, ¿la suma de la serie a 12b2 n será positiva o negativa? 100

46.

n51

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SECCIÓN 11.3

Sucesiones y series geométricas

605

Series geométricas infinitas (Revise las páginas 600–602.) PREPÁRESE a1 puede utilizarse para obtener la suma de una serie geométrica infinita, 12r ? y ? ; es decir, siempre siempre y cuando la razón común r sea un número entre y cuando 0 r 0 , ___? ____.

47. La fórmula S 5

48. Calcule la suma de la sucesión geométrica infinita 8 1 4 1 2 1 . . . . a ? r 5 2 5 5 ___?___ • Utilice los primeros dos términos para encontrar la razón común. a1 ? a1 ? . S5 • 0 r 0 * 1. Utilice la fórmula para la suma de una 12r ? 1 S5 • Sustituya a1 por 8 y r por . 2 12? 8 5 • Simplifique. ? 5 ___? ____

Calcule la suma de los términos de la sucesión geométrica infinita. 4 1 1 50. 2, 2 , , . . . † 49. 3, 2, , . . . 3 4 32 1 1 1 , , ,... 10 100 1000

52.

53.

7 7 7 , , ,... 10 100 1000

Determine si la serie puede evaluarse utilizando la fórmula S 5

55.

a. 1 1 56.

!2 1 1 1... 2 2

b.

8 51. 6, 24, , . . . 3 54.

5 5 5 , , ,... 100 10,000 1,000,000

a1 . 12r

4 16 64 . . . 2 1 2 3 9 27

a1 1 a2 1 a3 1 . . . es una serie geométrica infinita con a1 , 0 y la razón común r tal que 21 , r , 0. ¿La suma de la serie es mayor o menor que a1?

Encuentre una fracción equivalente para el decimal periódico. † 57. 0.8 61. 0.45

58. 0.5

59. 0.2

60. 0.9

62. 0.18

63. 0.16

64. 0.83

Problemas de aplicación (Revise la página 602.) PREPÁRESE Para los ejercicios 65 y 66, utilice este problema: una población de bacterias se duplica cada hora. La población comienza con 350 bacterias. ? bacterias. Des65. Después de 1 h, la población original de 350 bacterias se duplica a ? pués de 2 h, la población se duplica de nuevo, a bacterias. La sucesión 350, 700, ? con a1 5 ? yr5 ? . 1400,… es una sucesión 66. Utilice los resultados del ejercicio 65 para encontrar una fórmula para la población de bacterias después de n horas. an 5 a1rn 2 1 an 5 (___? ____)(___? ____)n 2 1

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• Escriba la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica. ? y r por ? . • Sustituya a1 por

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606

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

† 67. Física Una muestra mineral de laboratorio contiene 500 mg de un material radioactivo con una vida media de 1 día. Calcule la cantidad de material radiactivo en la muestra al principio del séptimo día. 68. Péndulo En la primera oscilación, la longitud del arco por el que oscila un péndulo es 18 pulg. La longitud de cada oscilación sucesiva es 34 de la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total que el péndulo recorre en las primeras cinco oscilaciones? Redondee a la décima más cercana. 69. Deportes Para probar el rebote de una pelota de tenis, ésta se deja caer desde una altura de 8 pies. La pelota rebota a 80% de su altura anterior con cada rebote. ¿Qué altura alcanzará la pelota en el quinto rebote? Redondee a la décima más cercana. 70. Física La temperatura de un manantial de agua caliente es 75°F. Cada hora, la temperatura es 10% más alta que en la hora anterior. Calcule la temperatura del manantial después de 3 h. Redondee a la décima más cercana. 71. Bienes raíces Un agente de bienes raíces estima que el valor de una parte de un terreno aumentará a una tasa de 12% anual. Si el valor original del terreno es $15,000, ¿cuál será su valor en 15 años?

Día 1

Día 2

Día 3

72. Negocios Suponga que un empleado recibe un salario de 1¢ el primer día de trabajo, 2¢ en el segundo, 4¢ en el tercero, y así sucesivamente en una sucesión geométrica. Calcule el monto total de dinero ganado por trabajar 30 días. 73. Bienes raíces Suponga que el valor promedio de una casa aumenta 5% anual. ¿Cuánto valdría una casa dentro de 30 años que cuesta $100,000? 74. Biología Un cultivo de bacterias se duplica en tamaño cada 2 h. Si hay 500 bacterias al inicio, ¿cuántas bacterias habrá después de 24 h? Determine si la sucesión es aritmética (A), geométrica (G) o ninguna de las dos (N), y escriba el término siguiente de la sucesión. 76. 28, 0, 8, . . . 75. 4, 22, 1, . . . 77. 5, 6.5, 8, . . . 79. 1, 4, 9, 16, . . .

78. 27, 14, 228, . . .

80. !1, !2, !3, !4, . . .

81. x , x , x , . . .

82. 5a2, 3a2, a2, . . .

83. log x, 2 log x, 3 log x, . . .

84. log x, 3 log x, 9 log x, . . .

8

6

4

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva. 1 85. El tercer término de una sucesión geométrica es 3, y el sexto término 9. Encuentre el primer término. 86. Dado an 5 162, r 5 23, y Sn 5 122 para una sucesión geométrica, encuentre a1 y n. 87. Para la sucesión geométrica dada por an 5 2n, demuestre que la sucesión bn 5 log an es una sucesión aritmética. 88. Para la sucesión geométrica dada por an 5 en, demuestre que la sucesión bn 5 ln an es una sucesión aritmética. a 89. Para la sucesión geométrica dada por an 5 3n 2 2, demuestre que la sucesión bn 5 2 n es una sucesión geométrica.

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SECCIÓN 11.4

Desarrollo binomial

607

91. Finanzas Un préstamo para comprar automóvil normalmente se estructura de tal manera que parte de cada pago mensual reduce el monto del préstamo, y el resto paga un interés sobre el préstamo. Los intereses se pagan sólo sobre el monto del préstamo pendiente de pago (el saldo insoluto). Si usted solicitó un préstamo de $5000 a una tasa de interés anual de 9%, su pago mensual de un préstamo a 5 años es $103.79. El monto del préstamo liquidado Rn en el n-ésimo pago del préstamo es una sucesión geométrica dada por Rn 5 R1 11.00752 n21. Para la situación anterior descrita, R1 5 66.29. a. ¿Cuánto del préstamo se ha liquidado en el pago 27? b. El monto total T del préstamo liquidado después de n pagos es la suma de una sucesión geométrica, T 5 a R1 11.00752 k21. Calcule el monto total liquidado después de n

k51

20 pagos. c. Determine el saldo pendiente sobre el préstamo después de 20 pagos.

Monkey Business Images/Shutterstock.com

90. Para f 1n2 5 abn, donde n es un número natural, demuestre que f 1n2 es una sucesión geométrica.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 92. Arte El diseñador Jhane Barnes creó un patrón textil para una tela basado en el triángulo de Sierpinski. Este triángulo es un fractal, que es un patrón geométrico que se repite a escalas cada vez más pequeñas para producir formas irregulares. Las primeras cuatro etapas en la construcción de un triángulo de Sierpinski se muestran abajo. El triángulo inicial es un triángulo equilátero con lados que miden 1 unidad de longitud. Los triángulos de corte se forman al conectar los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados. Este patrón se repite indefinidamente. Encuentre una fórmula para el n-ésimo término de la serie de triángulos no sombreados.

93. Arte Una alfombra de Sierpinski es similar a un triángulo de Sierpinski (revise el ejercicio 92), excepto que todos los cuadros sombreados deben dividirse en nueve cuadrados congruentes más pequeños con el uno en el centro sombreado. Las tres primeras etapas del patrón se muestran a continuación. Encuentre una fórmula para el n-ésimo término del número de cuadrados sin sombrear.

11.4 OBJETIVO

Desarrollo binomial Desarrollar 1 a 1 b 2 n

La observación meticulosa del desarrollo del binomio 1a 1 b2 n siguiente permite identificar algunos patrones interesantes. 1a 1 b2 1 5 a 1 b 1a 1 b2 2 5 a2 1 2ab 1 b2 1a 1 b2 3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 1a 1 b2 4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 1a 1 b2 5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5

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608

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

PATRONES PARA LAS PARTES VARIABLES 1. El primer término es an. El exponente de a disminuye 1 para cada término sucesivo. 2. El exponente de b aumenta 1 para cada término sucesivo. El último término es bn. 3. El grado de cada término es n.

Concéntrese en escribir las partes variables de los términos de un desarrollo binomial Escriba las partes variables de los términos del desarrollo de 1a 1 b2 6.

El primer término es a6. Para cada término sucesivo, el exponente de a disminuye 1 y el exponente de b aumenta 1. El último término es b6.

Punto de interés

a6, a5b, a4b2, a3b3, a2b4, ab5, b6

Las partes variables del desarrollo general de 1a 1 b2 n son

The Granger Collection, NYC

an, an21b, an22b2, . . . , an2r br, . . . , abn21, bn

Este triángulo, que se publicó por vez primera en 1654, se atribuye a Blaise Pascal (1623–1662). En esa publicación, el triángulo aparecía así: 1 2 3 4 5

1 2 1 1 1 2 1 3 1 4... 1

3 4 5... 1 1 1... 3 4... 6...

Luego el triángulo se rotó 45° para obtener la forma en que se muestra ahora. La primera publicación europea del triángulo se atribuye a Peter Apianus en 1527. Sin embargo, hay versión de él en un texto chino escrito por Yang Hui que data de 1250. En ese texto, Hui demostró comó calcular las raíces tercera, cuarta, quinta y sexta de un número utilizando el triángulo.

Un patrón para los coeficientes de los términos del binomio desarrollado puede encontrarse al escribir los coeficientes en un arreglo triangular conocido como triángulo de Pascal. Para 1a 1 b2 1:

Cada fila comienza y termina con el número 1. Cualquier otro número de una fila es la suma de los dos números más cercanos por encima de él. Por ejemplo, 4 1 6 5 10.

1

Para 1a 1 b2 : 2

1

Para 1a 1 b2 3:

1

Para 1a 1 b2 4: Para 1a 1 b2 : 5

1 1

1 2

3 4

5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

Para escribir la sexta fila del triángulo de Pascal, primero escriba los números de la quinta fila. El primer y el último números de la sexta fila son 1. Cada uno de los otros números de la sexta fila puede obtenerse al encontrar la suma de los dos números más cercanos por encima de él en la quinta fila. 1 1

5 6

10 15

10 20

5 15

1 6

1

Los números de la sexta fila del triángulo de Pascal serán los coeficientes de los términos del desarrollo de 1a 1 b2 6. Utilizando estos números para los coeficientes y el patrón para la parte variable de cada término, podemos escribir con notación desarrollada 1a 1 b2 6 como sigue: 1a 1 b2 6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6

Aun cuando el triángulo de Pascal puede utilizarse para encontrar los coeficientes para la notación desarrollada de la potencia de cualquier binomio, este método no es conveniente cuando la potencia del binomio es grande. Un método alterno para determinar estos coeficientes se basa en el concepto de factorial. n FACTORIAL

Para un número natural n, n! (que se lee “n factorial”) es el producto de los primeros n números naturales. n! 5 n ? 1 n 2 1 2 ? 1 n 2 2 2 ? . . . ? 3 ? 2 ? 1 El factorial de cero es un caso especial y se define como 0! 5 1.

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SECCIÓN 11.4

609

Desarrollo binomial

EJEMPLOS

1. 2. 3. 4.

5! 5 5 # 4 # 3 # 2 # 1 5 120 8! 5 8 # 7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 5 40,320 1! 5 1 0! 5 1

EJEMPLO 1 Solución

Problema 1 Solución

Evalúe:

7! 4! 3!

7#6#5#4#3#2#1 7! 5 # # # 14 3 2 12 13 # 2 # 12 4! 3! 5 35 Evalúe:

• Escriba cada factorial como un producto. • Simplifique.

12! 7! 5!

Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 611. Los coeficientes en un desarrollo binomial pueden estar dados en términos de factoriales. En el desarrollo de (a 1 b)5 que se muestra abajo, observe que el coeficiente de a2b3 puede estar dado por 2!5!3!. El numerador es el factorial de la potencia del binomio. El denominador es el producto de los factoriales de los exponentes en a y b. 1a 1 b2 5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5 5! 5#4#3#2#1 5 # 5 10 12 12 13 # 2 # 12 2! 3!

En general, los coeficientes en el desarrollo de 1a 1 b2 n se proporcionan como los cocientes de n! n los factoriales. El coeficiente de an2r br es . El símbolo a b se utiliza para expresar 1n 2 r2 ! r! r este cociente de factoriales. n! n a b5 1n 2 r2 ! r! r

EJEMPLO 2 Solución

Problema 2 Solución

8 Evalúe: a b 5 8 8! • Escriba el cociente de los factoriales. a b5 18 2 52 ! 5! 5 8#7#6#5#4#3#2#1 8! 5 # # 5 56 • Simplifique. 5 13 2 12 15 # 4 # 3 # 2 # 12 3!5! 7 Evalúe: a b 0 Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 612. Utilizando los factoriales y el patrón para la parte variable de cada término, podemos escribir una fórmula para cualquier potencia de un binomio que sea un número natural.

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610

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

FÓRMULA DEL DESARROLLO BINOMIAL

n n n n n 1a 1 b2 n 5 a ban 1 a ban21b 1 a ban22b2 1 . . . 1 a ban2r br 1 . . . 1 a bbn 0 1 2 r n EJEMPLOS

4 4 4 4 4 1. 1a 1 b2 4 5 a ba4 1 a ba3b 1 a ba2b2 1 a bab3 1 a bb4 0 1 2 3 4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 3 3 3 3 2. 1x 2 22 3 5 a bx3 1 a bx2 1222 1 a bx 1222 2 1 a b 1222 3 0 1 2 3 5 x3 2 6x2 1 12x 2 8

EJEMPLO 3 Solución

Problema 3 Solución

Escriba con notación desarrollada 14x 1 3y2 3.

14x 1 3y2 3 3 3 3 3 5 a b 14x2 3 1 a b 14x2 2 13y2 1 a b 14x2 13y2 2 1a b 13y2 3 0 1 2 3 5 1 164x32 1 3 116x22 13y2 1 3 14x2 19y22 1 1 127y32 5 64x3 1 144x2y 1 108xy2 1 27y3 Escriba con notación desarrollada 13m 2 n2 4. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 39 de la página 612.

EJEMPLO 4 Solución

Problema 4 Solución

Encuentre los primeros tres términos del desarrollo de 1x 1 32 15. 1x 1 32 15 5 a

15 15 15 15 bx 1 a bx14 132 1 a bx13 132 2 1 . . . 0 1 2 15 14 13 5 1x 1 15x 132 1 105x 192 1 . . . 5 x15 1 45x14 1 945x13 1 . . .

Encuentre los primeros tres términos del desarrollo de 1 y 2 22 10. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 612. La fórmula del desarrollo binomial también se puede utilizar para escribir cualquier término de un desarrollo binomial. En el desarrollo de 1a 1 b2 5 siguiente, observe que el exponente de b es 1 menos que el número de términos. 1a 1 b2 5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5

FÓRMULA PARA EL r-ÉSIMO TÉRMINO DE UN DESARROLLO BINOMIAL

El r-ésimo término del desarrollo de 1a 1 b2 n es a

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n ban2r11br21. r21

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SECCIÓN 11.4

EJEMPLO 4 Solución

611

Desarrollo binomial

Encuentre el cuarto término del desarrollo de 1x 1 32 7. a

n ban2r11br21 r21

• Utilice la fórmula para el r-ésimo término de un desarrollo binomial.

a

7 bx72411 132 4 2 1 421

• r 5 4, n 5 7, a 5 x, b 5 3

7 5 a bx4 132 3 3 5 35x4 1272 5 945x4

Problema 4 Solución

Encuentre el tercer término del desarrollo de 1t 2 2s2 7. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 59 de la página 612.

11.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Qué es el factorial de un número natural n?

n 2. ¿Qué significa la notación a b? r 3. En el desarrollo de 1x 1 y2 n, ¿cuál es el grado de cada término? 4. ¿Cuántos términos hay en el desarrollo de 1x 2 42 6?

Desarrollar 1 a 1 b 2 n (Revise las páginas 607–611.) PREPÁRESE 5. La notación n! se lee “n

?

”.

? __ # _____ ? __ # _____ ? __ # _____ ? __ # _____ ? __ 6. 6! 5 _____ ? __ # _____ 5 _____ ? __ 7. 0! 5 _____ ? __ 1?2 1?2 1?2 1?2 1?2 5 ? 8. a b 5 5 1?2 1?2 1?2 1?2 1?2 1?2 1?2 4 5 _____ ? __

Evalúe. 9. 3! † 15.

5! 2! 3!

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10. 4! 16.

8! 5! 3!

11. 8! 17.

6! 6! 0!

12. 9! 18.

10! 10! 0!

13. 0! 19.

9! 6! 3!

14. 1! 20.

10! 2! 8!

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612

CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

Evalúe. 7 21. a b 2

8 22. a b 6

† 23. a

10 b 2

9 24. a b 6

9 25. a b 0

26. a

6 27. a b 3

7 28. a b 6

29. a

11 b 1

30. a

4 31. a b 2

8 32. a b 4

33.

¿Verdadero o falso?

12n2 ! 52 n!

34.

¿Verdadero o falso?

n! 5 1n 2 12 ! n

Escriba con notación desarrollada. 35. 1x 1 y2 4 37. 1x 2 y2 5

13 b 1

36. 1r 2 s2 3

38. 1 y 2 32 4

† 39. 12m 1 12 4

40. 12x 1 3y2 3

41. 12r 2 32 5

42. 1x 1 3y2 4

Encuentre los primeros tres términos del desarrollo.

† 43. 1a 1 b2 10 45. 1a 2 b2 11

44. 1a 1 b2 9

46. 1a 2 b2 12

47. 12x 1 y2 8

48. 1x 1 3y2 9

49. 14x 2 3y2 8

50. 12x 2 52 7

1 7 51. ax 1 b x

1 8 52. ax 2 b x

53. 1x2 1 32 5

54. 1x2 2 22 6

Encuentre el término indicado del desarrollo. 55. 12x 2 12 7; 4º término

57. 1x2 2 y22 6; 2º término

† 59. 1 y 2 12 9; 5º término

56. 1x 1 42 5; 3er término

58. 1x2 1 y22 7; 6º término

60. 1x 2 22 8; 8º término

1 5 61. an 1 b ; 2º término n

1 6 62. ax 1 b ; 3er término 2

5 x 63. a 1 2b ; 1er término 2

2 6 64. ay 2 b ; 3er término 3

65. 66.

10 b 10

Si n es impar, ¿el término constante en el desarrollo de 13x 2 42 n es positivo o negativo? Suponga que n . 7 y b es una constante positiva. ¿El coeficiente del séptimo término del desarrollo de 1x 2 b2 n es positivo o negativo?

APLICACIÓN DE CONCEPTOS 67. Simplifique:

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n! 1n 2 12 !

68. Simplifique:

n! 1n 2 22 !

12/10/12 06:22 p.m.

CAPÍTULO 11

613

Resumen

n n 69. Para 0 # r # n, demuestre que a b 5 a b. r n2r 2 # 4 # 6 # 8 # . . . # 12n2 . 70. Para n $ 1, evalúe 2nn! 71.

Escriba un resumen de la historia del desarrollo del triángulo de Pascal. Incluya algunas de las propiedades del triángulo.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Las potencias de los números complejos pueden obtenerse por medio de la fórmula del desarrollo binomial. Antes de resolver los ejercicios 72–79, revise el tema de las potencia de i en Aplicación de conceptos de la sección 7.5. Escriba en forma general cada número complejo. 72. 11 1 i2 5

73. 12 2 3i2 4

74. 11 2 2i2 5

1 1 4 76. a 1 ib 2 2

1 1 5 77. a 2 ib 2 2

78. a

!3 1 3 1 ib 2 2

75. 12 1 i2 6 1 !3 3 79. a2 1 ib 2 2

CAPÍTULO 11 Resumen Términos clave

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Una sucesión es una lista ordenada de números. Cada uno de los números de una secuencia se llama término de la sucesión.

[11.1.1, p. 582]

Una sucesión finita contiene un número finito de términos.

[11.1.1, p. 582]

2, 4, 6, 8 es una sucesión finita.

Una sucesión infinita contiene un número infinito de términos.

[11.1.1, p. 582]

1, 3, 5, 7, . . . es una sucesión infinita.

La suma indicada de los términos de una sucesión se llama serie.

[11.1.2, p. 583]

1, 5, 9, 13 es una sucesión.

La notación de suma se utiliza para representar en forma compacta una serie. La letra griega sigma, S, se utiliza para indicar la suma.

[11.1.2, p. 583]

Una sucesión aritmética, o progresión aritmética, es una sucesión en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. La diferencia entre términos consecutivos cualesquiera se llama diferencia común de la sucesión.

[11.2.1, p. 588]

12_Cap-11_AUFMANN.indd 613

1 1

1

1, 3 , 9 , 27 es una sucesión. 1 1 Los términos son 1, 3 , 9 , y

1 27 .

La serie es 1 1 5 1 9 1 13. a 2n 5 2 112 1 2 122 1 2 132 1 2 142 4

n51

3, 9, 15, 21,... es una sucesión aritmética. 9 2 3 5 6; 6 es la diferencia común.

12/10/12 06:22 p.m.

614

CAPÍTULO 11

Secuencias y series Sucesiones

Una serie aritmética es la suma indicada de los términos de una sucesión aritmética.

[11.2.2, p. 590]

Una sucesión geométrica, o progresión geométrica, es una sucesión en la cual cada término sucesivo es el mismo múltiplo constante diferente de cero del término anterior. El múltiplo común se llama razón común de la sucesión.

[11.3.1, p. 597]

Una serie geométrica es la suma indicada de los términos de una sucesión geométrica.

[11.3.2, p. 598]

Para un número natural n, n factorial, que se escribe n!, es el producto de los primeros n números naturales. Se define que 0! es 1.

[11.4.1, p. 608]

5! 5 5 # 4 # 3 # 2 # 1 5 120

Objetivo y página de referencia

Ejemplos

Reglas y procedimientos esenciales

1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión aritmética. La serie aritmética es 1 1 2 1 3 1 4 1 5. 1

9, 3, 1, 3 , . . . es una sucesión geométrica. 3 9

5 13 ; 13 es la razón común.

5, 10, 20, 40 es una sucesión geométrica. La serie geométrica es 5 1 10 1 20 1 40.

Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética El n-ésimo término de una sucesión aritmética con una diferencia común de d está dado por an 5 a1 1 1n 2 12 d.

[11.2.1, p. 589]

Encuentre el décimo término de la sucesión aritmética 4, 7, 10, . . . . La diferencia común es d 5 7 2 4 5 3; a1 5 4. a10 5 4 1 110 2 12 3 5 31

Fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética Sea a1 el primer término de una sucesión aritmética finita, n el número de términos y an el último término de la sucesión. Por tanto, la suma de la serie está dada por Sn 5 n2 1a1 1 an2 .

[11.2.2, p. 590]

Calcule la suma de los primeros 12 términos de la sucesión aritmética 5, 8, 11, . . . . La diferencia común es d 5 8 2 5 5 3; a1 5 5. a12 5 5 1 112 2 12 3 5 38 12 S12 5 15 1 382 5 258 2

Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica El n-ésimo término de una sucesión geométrica con el primer término a1 y una razón común r está dado por an 5 a1rn21.

[11.3.1, p. 597]

Encuentre el décimo término de la sucesión geométrica 2, 6, 18, . . . . 6 La razón común es r 5 5 3; a1 5 2. 2 a10 5 2 132 1021 5 39,366

Fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita Sea a1 el primer término de una sucesión geométrica finita, n el número de términos y r la razón común. Así, la suma de la serie Sn a 11 2 r n 2 está dada por Sn 5 1 . 12r

[11.3.2, p. 598]

Calcule la suma de los primeros 8 términos de la sucesión geométrica 1, 4, 16, . . . . 4 La razón común es r 5 5 4; a1 5 1. 1 1 11 2 482 5 21,845 S8 5 124

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SECCIÓN 11.3

615

Exponentes racionales yEjercicios expresiones CAPÍTULO 11 de radicales repaso

Fórmula para la suma de una serie geométrica infinita La suma de una serie geométrica infinita en la

[11.3.3, p. 601]

Calcule la suma de los términos de la 1 sucesión geométrica infinita 2, 1, , . . . . 2 1 La razón común es r 5 ; a1 5 2. 2 2 S5 54 1 12 2

Coeficientes binomiales Los coeficientes de an2r br en el desarrollo n de 1a 1 b2 n están dados por a b, donde r n! n 5 . a b 1n 2 r2 ! r! r

[11.4.1, p. 609]

6 6! 6! 5 15 5 a b5 16 2 22 ! 2! 2 4! 2!

Fórmula del desarrollo binomial 1a 1 b2 n 5 n n n a ban 1 a ban21b 1 a ban22b2 1 . . . 0 1 2

[11.4.1, p. 610]

cual 0 r 0 , 1, r 2 0, y a1 es el primer término, a1 . está dada por S 5 12r

1x 1 y2 4 4 4 4 5 a bx4 1 a bx3y 1 a bx2y2 1 0 1 2 4 4 a bxy3 1 a by4 3 4 5 x4 1 4x3y 1 6x2y2 1 4xy3 1 y4

n n 1 a ban2rbr 1 . . . 1 a bbn r n Fórmula del r-ésimo término de un desarrollo binomial El r-ésimo término del desarrollo de 1a 1 b2 n n es a ban2r11br21. r21

[11.4.1, p. 610]

El sexto término del desarrollo de 12x 2 y2 9 es 9 a b 12x2 92611 12y2 621 5 22016x4y5 5

CAPÍTULO 11 Ejercicios de repaso 4

1. Escriba con notación desarrollada a 3xi.

2. Encuentre el número de términos en la sucesión aritmética finita −5, −8, −11, . . . , −50.

3. Encuentre el séptimo término de la sucesión geométrica 4, 4!2, 8, . . . .

4. Calcule la suma de los términos de la sucesión geométrica infinita 4, 3, 94, . . . .

i51

9 5. Evalúe: a b 3 7. Encuentre el décimo término de la sucesión aritmética −10, −4, 2, . . . .

9. Calcule la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica −6, 12, −24, . . . . 11. Encuentre el séptimo término del desarrollo de 13x 1 y2 9.

6. Escriba el 14o término de la sucesión cuyo n-ésimo térmi8 no está dado por la fórmula an 5 n 1 2 . 8. Calcule la suma de los primeros 18 términos de la sucesión aritmética −25, −19, −13, . . . .

10. Evalúe:

8! 4! 4!

12. Calcule la suma de la serie a 13n 1 12 . 4

n51

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616

CAPÍTULO 11

Secuencias y series Sucesiones

13. Escriba el sexto término de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 n

11 n .

14. Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética 12, 9, 6, . . . .

15. Encuentre el quinto término de la sucesión geométrica 2 6, 2, 3 , . . . .

16. Encuentre una fracción equivalente para 0.53.

17. Encuentre el 35o término de la sucesión aritmética −13, −16, −19, . . . .

18. Calcule la suma de los primeros seis términos de la sucesión geométrica 1, 32 , 94 , . . . .

19. Calcule la suma de los 21 primeros términos de la sucesión aritmética 5, 12, 19, . . . . 21. Encuentre el número de términos en la sucesión aritmética finita 1, 7, 13, . . . , 121.

20. Encuentre el cuarto término del desarrollo de 1x 2 2y2 7.

22. Encuentre el octavo término de la sucesión geométrica 3 3 3 8, 4, 2, ... .

5

24. Calcule la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica 1, 4, 16, . . . .

23. Evalúe la serie a 2i. i51

25. Evalúe: 5!

26. Encuentre el tercer término del desarrollo de 1x 2 42 6.

27. Encuentre el 30o término de la sucesión aritmética −2, 3, 8, . . . .

28. Calcule la suma de los primeros 25 términos de la sucesión aritmética 25, 21, 17, . . . .

29. Escriba el quinto término de la sucesión cuyo n-ésimo 1212 2n21n término está dado por la fórmula an 5 2 . n 12

30. Escriba con notación desarrollada a 2xi21.

31. Encuentre una fracción equivalente para 0.23.

32. Calcule la suma de la serie geométrica finita 4 2 1 1 14 2 . . . .

4

34. Encuentre el octavo término del desarrollo de 1x 2 2y2 11.

33. Evalúe la serie geométrica a 2 132 n. 5

n51 8

()

i51

1 35. Evalúe la serie geométrica a 2 . Redondee a la milésin51 ma más cercana.

36. Calcule la suma de la serie geométrica finita 2 1 43 1 89 1 . . . .

37. Encuentre una fracción equivalente para 0.63.

38. Escriba con notación desarrollada 1x 2 3y22 5.

n

39. Encuentre el número de términos de la sucesión aritmética finita 8, 2, 24, . . . , 2118. 5

41. Escriba con notación desarrollada a

i51

12x2 i . i

40. Evalúe:

12! 5! 8! 4

42. Evalúe la serie a

n51

1212 n21n . n11

43. Compensación El programa de sueldos para un aprendiz de electricista es $2400 el primer mes y un incremento de $80 mensuales durante los 9 meses siguientes. Calcule el sueldo total de los primeros 9 meses. 44. Temperatura La temperatura de un manantial de agua caliente es 102°F. Cada hora, la temperatura es 5% más baja que durante la hora anterior. Calcule la temperatura del manantial después de 8 h. Redondee a la décima más cercana.

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SECCIÓN 11.3

Exponentes racionales expresiones radicales Ejercicios de yrepaso acumulativos

617

CAPÍTULO 11 Examen 1. Escriba el 14o término de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5

2. Desarrolle: 12x 1 32 4

6 n 1 4.

3. Evalúe la serie a 12n 1 32 .

4. Escriba con notación desarrollada a 2x2i.

5. Encuentre el 28o término de la sucesión aritmética 212, 216, 220, . . . .

6. Encuentre la fórmula para el n-ésimo término de la sucesión aritmética 23, 21, 1, . . . .

7. Encuentre el número de términos de la sucesión aritmética 7, 3, 21, . . . , 277.

8. Calcule la suma de los primeros 15 términos de la sucesión aritmética 242, 233, 224, . . . .

4

n51

9. Calcule la suma de los primeros 24 términos de la sucesión aritmética 24, 2, 8, . . . .

4 i51

10. Evalúe:

10! 5! 5!

11. Encuentre una fórmula para el n–ésimo de la sucesión geométrica 4, 3, 94, . . . .

12. Encuentre el quinto término de la sucesión geométrica 5, 3, 95 , . . . .

13. Calcule la suma de los primeros cinco términos de la 3 9 sucesión geométrica 1, 4 , 16 , . . . .

14. Encuentre la suma de los primeros cinco términos de la sucesión geométrica 25, 10, 220, . . . .

15. Calcule la suma de los términos de la sucesión geométri1 ca infinita 2, 1, 2 , . . . .

16. Encuentre una fracción equivalente para 0.23.

17. Evalúe: a

18. Encuentre el quinto término del desarrollo de 13x 2 y2 8.

11 b 4

19. Inventarios Un inventario de suministros para un fabricante de telas indicó que había 7,500 yardas de material en stock el 1 de enero. El 1 de febrero, y el primer día del mes de cada mes consecutivo, el fabricante envió a los puntos de venta 550 yardas de material. ¿Cuánto material quedaba en stock después del envío del 1 de octubre? 20. Radiactividad Una muestra de mineral contiene 320 mg de una sustancia radiactiva con una vida media de 1 día. Calcule la cantidad de material radiactivo en la muestra al comienzo del quinto día.

Ejercicios de repaso acumulativos 1. Reste:

4x2 3x 2 2 2 2 x 1x22 x12

3. Multiplique: !2y 1 !8xy 2 !y 2

2. Factorice: 2x6 1 16 4. Simplifique: °

3 3

x24x2 5

28

¢

22

x 5. Resuelva: 5 2 !x 5 !x 1 5

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6. Resuelva: 2x2 2 x 1 7 5 0

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CAPÍTULO 11

Sucesiones y series

7. Resuelva por el método de suma y resta: 3x 2 3y 5 2 6x 2 4y 5 5 9. Evalúe el determinante: `

8. Resuelva: 2x 2 1 . 3 o 1 2 3x . 7

23 1 ` 4 2

10. Escriba con notación desarrollada log5

11. Resuelva para x: 4x 5 8x21

x Äy

12. Escriba el quinto y el sexto términos de la sucesión cuyo n-ésimo término está dado por la fórmula an 5 n 1n 2 12 .

13. Evalúe la serie a 1212 n21 1n 1 22 . 7

14. Resuelva por el método de suma y resta: x 1 2y 1 z 5 3 2x 2 y 1 2z 5 6 3x 1 y 2 z 5 5

n51

16. Divida: 14x3 2 3x 1 52 4 12x 1 12

15. Resuelva para x: log6 x 5 3 17. Para g 1x2 5 23x 1 4, encuentre g 11 1 h2 .

a3 2 1 18. Encuentre el rango de f 1a2 5 si el dominio es 2a 1 1 5 0, 1, 2 6 .

19. Grafique: 3x 2 2y 5 24

20. Grafique el conjunto solución de 2x 2 3y , 9.

21. Problema de funcionamiento Una computadora nueva puede completar una nómina 16 minutos antes que el tiempo que tarda una computadora vieja en completar la misma nómina. Si trabajan juntas, ambas computadoras pueden completar la nómina en 15 min. ¿Cuánto tiempo tardaría cada computadora, si trabajan por separado, en completar la nómina? 22. Movimiento uniforme Un barco que viaja con la corriente recorrió 15 millas en 2 h. Contra la corriente, tardó 3 h en recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del barco en aguas en calma y la velocidad de la corriente. 23. Radiactividad Una muestra de 80 miligramos de material radiactivo decae a 55 mg en 30 t días. Utilice la ecuación del decaimiento exponencial A 5 A0 12 k , donde A es la cantidad de material radiactivo presente después del tiempo t, k la vida media y A0 la cantidad original de material radiactivo, para calcular la vida media de la muestra de 80 miligramos. Redondee al número entero más cercano.

()

25. Deportes Para probar el “rebote” de una pelota, ésta se deja caer desde una altura de 10 pies. La pelota rebota a 80% de su altura anterior en cada rebote. ¿Qué altura alcanza la pelota en el quinto rebote? Redondee a la décima más cercana.

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Tony Freeman/PhotoEdit, Inc.

24. Teatros Un “teatro circular” tiene 62 asientos en la primera fila, 74 en la segunda, 86 en la tercera y así sucesivamente en una sucesión aritmética. Calcule el número total de asientos en el teatro si hay 12 filas de asientos.

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12

CAPÍTULO

Digital Vision

Secciones cónicas Concéntrese en el éxito Por lo general, el final del semestre es una época con mucho trabajo y tensión. Tal vez tenga muchos trabajos o proyectos pendientes de entrega, tareas por concluir y ansiedad por los exámenes finales. En este curso ha enfrentado una gran cantidad de material y repasarlo todo puede resultar complicado. Puede empezar por revisar el resumen de cada capítulo incluido en su curso. Luego resuelva el Examen final de la página 657. En la parte final del libro se encuentran las respuestas de todos los ejercicios, además del objetivo con el que se relaciona cada uno. Si tiene problemas con alguna de las preguntas, revise los objetivos correspondientes y resuelva de nuevo algunos de los ejercicios de dichos objetivos (revise la sección Aprobar el examen, página A-11).

OBJETIVOS 12.1 12.2

12.3

12.4 12.5

1 Graficar parábolas. 1 Encontrar la ecuación de un

círculo y luego graficarla. 2 Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla. 1 Graficar una elipse con centro en el origen. 2 Graficar una hipérbola con centro en el origen. 1 Resolver sistemas de ecuaciones no lineales. 1 Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables. 2 Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal.

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el siguiente Examen de preparación para saber si está listo para aprender material nuevo. 1. Calcule la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son (22, 3) y (4, 21). Redondee a la centésima más cercana. 2. Complete el cuadrado de x2 2 8x. Escriba el trinomio cuadrado perfecto resultante como el cuadrado de un binomio. 3. Resuelva y 5 0.

x2 y2 1 5 1 para x cuando y 5 3 y 16 9

4. Resuelva por el método de sustitución:

7x 1 4y 5 3 4x 2 y 5 9 y5x22 2x 1 3y 5 213 6. Encuentre la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de la gráfica de y 5 x2 2 4x 1 2. 7. Grafique: f 1x2 5 22x2 1 4x

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5. Resuelva por el método de suma y resta:

8. Grafique el conjunto solución de: x 1 2y # 4 x2y#2

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CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

12.1

La parábola

OBJETIVO

Graficar parábolas Las secciones cónicas son curvas que pueden construirse a partir de la intersección de un plano y un cono recto circular. Las cuatro secciones cónicas son la parábola, el círculo, la elipse y la hipérbola. La primera ya fue estudiada antes. Aquí se revisará una parte de lo estudiado y se verán ecuaciones de parábolas no estudiadas antes. y

Punto de interés

Jennifer Waddell. Courtesy of Houghton Mifflin Company.

x

Las cuatro secciones cónicas (parábola, círculo, elipse e hipérbola) se obtienen al cortar un cono con planos de distinta orientación.

Vértice Eje de simetría

Una parábola es una sección cónica que se forma a partir de la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo al lado del cono. Toda parábola tiene un eje de simetría y un vértice que está sobre dicho eje. Para comprender el eje de simetría, piense en un papel doblado a lo largo del eje y en el que concuerdan ambas mitades de la curva. La gráfica de la ecuación y 5 ax2 1 bx 1 c, a 2 0, es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y. La parábola abre hacia arriba cuando a . 0 y hacia abajo cuando a , 0. Cuando una parábola abre hacia arriba, el vértice es su punto más bajo, mientras que cuando abre hacia abajo, su vértice es el punto más alto. Las coordenadas del vértice se encuentran completando el cuadrado.

Concéntrese en calcular el vértice de una parábola completando el cuadrado. Encuentre las coordenadas del vértice de la parábola con la ecuación y 5 x2 2 4x 1 5. Agrupe los términos que incluyen a x. Complete el cuadrado en x2 2 4x. Observe que se suma y se resta 4, porque 4 2 4 5 0, y la ecuación no se modifica. Factorice el trinomio y sume los términos semejantes.

y 5 x2 2 4x 1 5 y 5 1x2 2 4x2 1 5

y 5 1x2 2 4x 1 42 2 4 1 5 y 5 1x 2 22 2 1 1 y

El coeficiente de x2 es positivo, por lo que la parábola se abre hacia arriba. El vértice es el punto más bajo de la parábola o, dicho de otra manera, el punto con la coordenada y más baja.

Puesto que 1x 2 22 2 $ 0 para toda x, la coordenada y más baja se presenta cuando 1x 2 22 2 5 0, lo cual ocurre cuando x 5 2. Esto significa que la coordenada x del vértice x es 2.

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4 2 –4

–2

0

2

Vértice x 4

–2 –4

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SECCIÓN 12.1

La coordenada y del vértice se encuentra al sustituir x por 2 en y 5 1x 2 22 2 1 1 y resolver para y.

621

La parábola

y 5 1x 2 22 2 1 1 5 12 2 22 2 1 1 5 1 Las coordenadas del vértice son (2, 1).

Punto de interés

Cedric Weber/Shutterstock.com

Si seguimos el procedimiento del último ejemplo y completando el cuadrado de la ecuación y 5 ax2 1 bx 1 c, encuentre que la coordenada x del vértice es 22ab . Podemos determinar la coordenada y del vértice mediante la sustitución de este valor de x en y 5 ax2 1 bx 1 c y resolviendo para y.

Puente Golden Gate

Puesto que el eje de simetría es paralelo al eje y y pasa por el vértice, la ecuación del eje de b simetría es x 5 22a .

EJEMPLO 1

Solución

Los cables de suspensión de algunos puentes, como el Golden Gate, cuelgan con la forma de una parábola. Las formas parabólicas también se usan en los espejos de telescopios y ciertos diseños de antenas.

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola dada por la ecuación y 5 x2 1 2x 2 3. Luego grafique la parábola. b 2 b 2 52 5 21 • La coordenada x del vértice es 2 . 2a 2a 2 112 a 5 1, b 5 2

y 5 x2 1 2x 2 3 y 5 1212 2 1 2 1212 2 3 y 5 24

• Encuentre la coordenada y del vértice al sustituir x por 21 y resolver para x.

Las coordenadas del vértice son (21, 24). La ecuación del eje de simetría es x 5 21. y 4 2 –4 –2 0 –2

2

4

• La ecuación del eje de simetría es b x52 . 2a • Puesto que a es positiva, la parábola se abre hacia arriba. Utilice el vértice y el eje de simetría para trazar la gráfica.

x

–4

Problema 1

Solución

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola dada por la ecuación y 5 2x2 1 x 1 3. Después trace la gráfica de la parábola. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 623. La gráfica de una ecuación con la forma x 5 ay2 1 by 1 c, a Z 0, también es una parábola. En este caso la parábola abre hacia la derecha cuando a es positiva y hacia la izquierda cuando a es negativa. Para una parábola con esta forma, la coordenada y del vértice es 22ab El eje de simetría es la recta cuya ecuación es

y Eje de simetría

Vértice

x

y 5 22ab . La prueba de la recta vertical muestra que la gráfica de una parábola con esta forma no corresponde a la gráfica de una función. La gráfica de x 5 ay2 1 by 1 c es la gráfica de una relación.

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CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

EJEMPLO 2 Solución

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola con ecuación x 5 2y2 2 8y 1 5. Luego grafique. 2

28 b 52 52 2a 2 122

x 5 2y2 2 8y 1 5 x 5 2 122 2 2 8 122 1 5 x 5 23

• Encuentre la coordenada y del vértice a 5 2, b 5 28. • Encuentre la coordenada x del vértice al sustituir y por 2 y resolver para x.

Las coordenadas del vértice son (23, 2). La ecuación del eje de simetría es y 5 2. y

• Puesto que a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Utilice el vértice y el eje de simetría para trazar la gráfica.

4 2 –4 –2 0 –2

• La ecuación del eje de simetría es b y52 . 2a

2

4

x

–4

Problema 2

Solución

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola con ecuación x 5 22y2 2 4y 2 3. Después trace su gráfica. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 623.

12.1 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene una gráfica que no es una parábola? (i) y2 5 x

(ii) x 5 3y 2 5

(iii) x2 2 3x 1 4 2 y 5 0

(iv) y 5 2x 1 5

2. ¿Cuántas intersecciones con el eje x pueden existir en la gráfica de y 5 ax2 1 bx 1 c, a 2 0? Indique a. si el eje de simetría es una recta vertical u horizontal, y b. la dirección hacia la que abre la parábola. 3. y 5 3x2 2 4x 1 7

4. y 5 2x2 1 5x 2 2

5. x 5 y2 1 2y 2 8

6. x 5 23y2 2 y 1 9

1 7. x 5 2 y2 2 4y 2 7 2

8. y 5

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1 2 x 1 6x 2 1 4

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SECCIÓN 12.1

La parábola

623

Graficar parábolas (Revise las páginas 620–622.) PREPÁRESE b 9. Para una parábola con ecuación de la forma x 5 ay2 1 by 1 c, 22a es la coorde? del vértice. La parábola se abre hacia la derecha cuando a es ? . nada ? . La parábola se abre hacia la izquierda cuando a es ? b ? . 5 10. a. Para la ecuación y 5 3x2 2 4y 1 6, el valor de 22a es 2 2 1?2 b. La ecuación del eje de simetría de la parábola con la ecuación

y 5 3x2 2 4y 1 6 es

?

5

2 . 3

Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola con la ecuación dada. 11. y 5 2x2 1 8x 2 1

12. x 5 2y2 2 4y 1 1

13. x 5 y2 1 3

14. y 5 2x2 1 5

15. La ecuación del eje de simetría de una parábola es x 5 2, y (3, 4) son las coordenadas de un punto de la parábola. Utilice esta información para encontrar las coordenadas de otro punto sobre la parábola. 16. La ecuación del eje de simetría de una parábola es y 5 21, y (22, 5) son las coordenadas de un punto de la parábola. Utilice esta información para encontrar las coordenadas de otro punto sobre la parábola. 17. La ecuación del eje de simetría de una parábola es y 5 3, y (7, 0) son las coordenadas de un punto de la parábola. Utilice esta información para encontrar las coordenadas de otro punto sobre la parábola. 18. La ecuación del eje de simetría de una parábola es x 5 23, y (0, 22) son las coordenadas de un punto de la parábola. Utilice esta información para encontrar las coordenadas de otro punto sobre la parábola. Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola dada por la ecuación. Después trace su gráfica. 19. y 5 x2 2 2x 2 4

† 21. y 5 2x2 1 2x 2 3

23. x 5 y2 1 6y 1 5

† 25. x 5 2y2 1 3y 2 4

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20. y 5 x2 1 4x 2 4

22. y 5 2x2 1 4x 2 5

24. x 5 y2 2 y 2 6

26. x 5 2y2 2 4y 1 1

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624

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

27. y 5 2x2 2 4x 1 1

28. y 5 2x2 1 4x 2 5

29. y 5 x2 2 5x 1 4

30. y 5 x2 1 5x 1 6

31. x 5 y2 2 2y 2 5

32. x 5 y2 2 3y 2 4

33. y 5 23x2 2 9x

34. y 5 22x2 1 6x

1 35. x 5 2 y2 1 4 2

1 36. x 5 2 y2 2 1 4

37. x 5

1 2 y 2y11 2

1 38. x 5 2 y2 1 2y 2 3 2

39. y 5

1 2 x 1 2x 2 6 2

1 40. y 5 2 x2 1 x 2 3 2

Indique si la ecuación de la parábola que se muestra en la gráfica es de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c o de la forma x 5 ay2 1 by 1 c. Después indique si a es positiva o negativa y si c es positiva, cero o negativa. 41.

y

42.

x

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y

43.

x

y

44.

x

y

x

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SECCIÓN 12.1

625

La parábola

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

y

Las parábolas tienen una propiedad única que resulta importante en el diseño de telescopios y antenas. Si una parábola tiene superficie reflejante, entonces todos los rayos de luz paralelos a su eje de simetría se reflejan hacia un solo punto denominado foco de la parábola. Este punto se localiza a p unidades del vértice, sobre el eje de simetría. El valor de p está dado por 1 p 5 4a , donde y 5 ax2 es la ecuación de una parábola con vértice en el origen. Para la gráfica 1 de y 5 4 x2 que se muestra a la derecha, las coordenadas del foco son (0, 1). Para los ejercicios 45-46, encuentre las coordenadas del foco de la parábola dada por la ecuación. 1 2 46. y 5 x 45. y 5 2x2 10

Foco

3

y = 1 x2

p

4

–3

x

3

Los rayos de luz paralelos se reflejan hacia el foco a= 1 4

p= 1 = 1 =1 4a 4(1/4)

47.

Astronomía Los espejos que se usan en los telescopios de reflexión tienen una sección transversal parabólica. El espejo de 200 pulgadas del Observatorio Palomar en California está hecho de Pyrex, tiene 2 pies de espesor en los extremos y pesa 14.75 toneladas. La sección transversal del espejo se basa en una verdadera parábola al 0.0000015 pulg. Sin importar en dónde golpee la superficie parabólica, la luz se refleja hacia el punto llamado foco de la parábola, como se muestra en la figura de la derecha.

y 20.21 pulg

a. Encuentre la ecuación del espejo. b. ¿Sobre qué intervalo de x es válida la ecuación?

48.

Meteorología Una antena de radar utilizada en el sistema Cassegrain tiene una sección transversal que es una parábola. La antena de radar, utilizada para pronosticar el clima, tiene un diámetro de 84 pies. Está hecha de acero estructural y tiene una profundidad de 17.7 pies. Las señales de radar rebotan en las nubes, las recoge el sistema de radar y luego se analizan. a. Encuentre la ecuación de la antena de radar. Redondee el valor de a a la centésima más cercana. b. ¿Sobre qué intervalo de x es válida la ecuación?

49.

Explique cómo cambia la gráfica de f 1x2 5 ax2 dependiendo del valor de a.

50.

Explique por qué la ecuación x 5 y2 1 4 no define a y como una función de x.

51.

Cuando y 5 0, los valores de x en la ecuación y 5 x2 1 2x 1 3 son números imaginarios. ¿Qué significa esto para la gráfica de la ecuación?

3.79 pulg Luz

100 pulg 660 pulg 100 pulg

x

(0, 0)

y

20

17.7 pies

Antena de radar

84 pies

20

x

–20

17.7 pies Antena del radar de Cassegrain

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 52. En esta actividad utilizará una calculadora graficadora para elaborar varias gráficas de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c. a. Grafique y 5 ax2 1 3x 2 2 para a 5 0.25, 0.5, 1, 2 y 3. ¿Cómo cambia la gráfica a medida que lo hace el valor de a? b. Grafique y 5 x2 1 bx 2 2 para b 5 22, 21, 0, 1 y 2. ¿Cómo cambia la gráfica a medida que lo hace el valor de b? c. Grafique y 5 x2 1 2x 1 c para c 5 22, 21, 0, 1 y 2. ¿Cómo cambia la gráfica a medida que lo hace el valor de c? d. Escriba una expresión donde se incluya a, b y c que pueda utilizar para determinar si la gráfica de y 5 ax2 1 bx 1 c tiene cero, una o dos intersecciones con el eje x. (Nota: la expresión ya fue estudiada previamente en este libro.)

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626

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

53. En esta actividad utilizará una calculadora graficadora para elaborar varias gráficas de la forma x 5 ay2 1 by 1 c. Recuerde que la gráfica de una ecuación con esta forma no es la gráfica de una función. Para elaborar la gráfica, resuelva primero la ecuación para y. Por ejemplo, para graficar x 5 y2 2 5y 1 3, primero resuelva para y. x 5 y2 2 5y 1 3 0 5 y2 2 5y 1 3 2 x

Plot1 Plot2 Plot3

2 1252 6 " 1252 2 4 112 13 2 x2 2 112 2

y5 y5

5 6 "25 2 4 13 2 x2 2

Esto produce dos ecuaciones, y 5

\Y1 = (5+√(25–4(3–X))/2 \Y2 = (5–√(25–4(3–X))/2 \Y3 = \Y4 = \Y5 = \Y6 = \Y7 =

• Escriba la ecuación en forma general. • Utilice la fórmula cuadrática. a 5 1, b 5 25, c 5 3 2 x

10

5 2 "25 2 4 13 2 x2 5 1 "25 2 4 13 2 x2 y y5 , 2 2 –10

que representan las mitades superior e inferior de la gráfica. Introduzca estas ecuaciones en Y1 y Y2. Después grafique las ecuaciones. A la derecha se muestra el resultado. a. Grafique x 5 y2 2 4y 1 2. b. Grafique x 5 2y2 2 8y 1 1. c. Grafique x 5 y2 1 2y 2 3.

12.2 OBJETIVO Tome nota A medida que cambia el ángulo del plano que se interseca con el cono, se forman distintas secciones cónicas. Para la parábola, el plano es paralelo al lado del cono. Para el círculo, el plano es paralelo a la base del cono.

10

–10

El círculo Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla Un círculo es una sección cónica formada por la intersección de un cono y un plano paralelo a su base. y

r ( h, k )

Radio Centro x

Un círculo se puede definir como los puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes de un punto dado C(h, k) llamado centro. Esa distancia fija es el radio del círculo. La ecuación de un círculo se puede determinar utilizando la fórmula de la distancia.

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SECCIÓN 12.2

627

El círculo y

Sean (h, k) las coordenadas del centro del círculo, r su radio y (x, y) las coordenadas de cualquier punto del círculo. Entonces, por la fórmula de la distancia,

( x, y)

r

r 5 " 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2

( h, k )

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene la forma entera de la ecuación de un círculo. r2 5 " 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2 r2 5 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2

[

Tome nota

]

x

2

FORMA ORDINARIA O CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UN CÍRCULO

En la forma ordinaria de la ecuación de un círculo, 1x 2 h2 2 y 1y 2 k2 2 se escriben utilizando la resta. Puesto que 1y 1 32 2 está escrita utilizando la suma, la expresión se reescribe utilizando la resta como 3 y 2 1232 4 2. Observe que y 2 1232 5 y 1 3. Además,

La forma ordinaria de la ecuación de un círculo con centro C(h, k) y radio r es 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2 5 r2

EJEMPLOS

1. La ecuación 1x 2 32 2 1 1y 2 12 2 5 62 es la ecuación de un círculo en forma ordinaria, con h 5 3 y k 5 1. Por tanto, las coordenadas del centro son (3, 1). Puesto que r 5 6, el radio del círculo es 6. 2. La ecuación 1x 2 22 2 1 1y 1 32 2 5 16 no está en forma ordinaria. Escribiendo la ecuación en forma ordinaria tendríamos 1x 2 22 2 1 3 y 2 1232 4 2 5 42 , con h 5 2, y k 5 23. Por consiguiente, las coordenadas del centro son (2, 23). Puesto que r 5 4, el radio del círculo es 4. Revise la sección Tome nota de la izquierda.

r2 5 16 "r2 5 !16 r54

Concéntrese en utilizar la ecuación de un círculo en forma ordinaria. A. Encuentre las coordenadas del centro y el radio del círculo dado por la ecuación 1x 1 32 2 1 y2 5 25.

Punto de interés

Escriba la ecuación en forma ordinaria.

© Bettmann/Corbis

1x 1 32 2 5 3 x 2 1232 4 2; y2 5 1y 2 02 2; r 5 !25 5 5

Hipatia Hipatia (340–415 aprox.) es considerada la primera matemática prominente. Estudió matemáticas y filosofía en el Museo de Alejandría, en esa época el lugar de enseñanza más distinguido del mundo. Uno de los temas estudiados por Hipatia fueron las secciones cónicas. Un historiador asegura que, con la muerte (en realidad asesinato) de Hipatia, “llegó a su fin la larga y gloriosa historia de las matemáticas griegas”.

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1x 1 32 2 1 y2 5 25 3 x 2 1232 4 2 1 1y 2 02 2 5 52

Las coordenadas del centro son (23, 0). El radio es 5. B. Encuentre la ecuación de un círculo con radio 4 y centro C(21, 2). Utilice la forma ordinaria de la ecuación de un círculo. Sustituya r por 4, h por 21 y k por 2. Simplifique. La ecuación del círculo es 1x 1 12 2 1 1y 2 22 2 5 16.

EJEMPLO 1 Solución

1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 5 r2

3 x 2 1212 4 2 1 1y 2 22 2 5 42

1x 1 12 2 1 1y 2 22 2 5 16

Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(21, 4) y cuyo centro es el punto C(2, 23). El radio del círculo es la distancia desde el centro C hasta el punto P. Utilice la fórmula de la distancia para calcular el radio.

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CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

r r r r

5 " 1x2 2 x12 2 1 1y2 2 y12 2 5 " 3 2 2 1212 4 2 1 123 2 42 2 5 "32 1 1272 2 5 !9 1 49 5 !58

1x 2 22 2 1 3 y 2 1232 4 2 5 1 !58 2 2 1x 2 22 2 1 1y 1 32 2 5 58 y

P(–1, 4)

6

58 –8 –4 0 –4

4

8

• 1x1, y12 5 121, 42 ,

1x2, y22 5 12, 232

• El radio del círculo es !58. Utilice las coordenadas del centro C 12, 232 y el radio para escribir la ecuación.

x

C(2, –3)

–8

Problema 1 Solución

Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(22, 3) y cuyo centro está en C(3, 5). Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 19 de la página 631.

EJEMPLO 2 Solución

Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos P1(24, 21) y P2 (2, 3). x1 1 x2 2 24 1 2 xm 5 2 xm 5 21

xm 5

y1 1 y2 2 21 1 3 ym 5 2 ym 5 1 ym 5

• Sean 1x1, y12 5 124, 212 y 1x2, y22 5 12, 32 . Encuentre el centro del círculo al calcular el punto medio del diámetro.

Centro: 1xm, ym2 5 121, 12

r 5 " 1x1 2 xm2 2 1 1y1 2 ym2 2

r 5 " 3 24 2 1212 4 2 1 121 2 12 2 r 5 !9 1 4 r 5 !13 1x 1 12 2 1 1 y 2 12 2 5 13

Problema 2 Solución

• Calcule el radio del círculo. Utilice cualquier punto del círculo y las coordenadas del centro del mismo. Aquí se utiliza P1 . • Escriba la ecuación del círculo con centro C 121, 12 y radio !13.

Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos P1(22, 1) y P2 (4, 21). Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 631.

OBJETIVO

Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla La ecuación de un círculo también se puede escribir en su forma general como x2 1 y2 1 ax 1 by 1 c 5 0 Para reescribir esta ecuación en forma ordinaria, es necesario completar el cuadrado de los términos x y y.

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SECCIÓN 12.2

629

El círculo

Concéntrese en escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria. Escriba la ecuación del círculo x2 1 y2 1 4x 1 2y 1 1 5 0 en forma ordinaria. x2 1 y2 1 4x 1 2y 1 1 5 0 x2 1 y2 1 4x 1 2y 5 21

Reste el término constante a ambos lados de la ecuación.

1x2 1 4x2 1 1 y2 1 2y2 5 21

Reescriba la ecuación agrupando los términos que incluyen a x y los que incluyan a y.

1x2 1 4x 1 42 1 1 y2 1 2y 1 12 5 21 1 4 1 1 1x2 1 4x 1 42 1 1 y2 1 2y 1 12 5 4

Complete los cuadrados de x2 1 4x y y2 1 2y.

y

1x 1 22 2 1 1 y 1 12 2 5 4

Factorice cada trinomio.

4 2 –4 –2 0 –2

2

4

x

A la izquierda se muestra la gráfica de 1x 1 22 2 1 1 y 1 12 2 5 4.

–4

EJEMPLO 3 Solución

Escriba la ecuación del círculo x2 1 y2 1 3x 2 2y 5 1 en forma ordinaria. Luego trace su gráfica. x2 1 y2 1 3x 2 2y 5 1 1x 1 3x2 1 1 y2 2 2y2 5 1 2

9 9 ax2 1 3x 1 b 1 1 y2 2 2y 1 12 5 1 1 1 1 4 4 3 2 17 ax 1 b 1 1y 2 12 2 5 2 4 y

• Factorice cada uno de los trinomios. • Dibuje un círculo con

4

3 centro a2 , 1b y radio 2

2 –4 –2 0 –2

• Agrupe los términos que incluyen a x y los que incluyen a y. • Complete el cuadrado de x 2 1 3x y y 2 2 2y.

2

4

x

17 !17 < 2.1. 5 Ä4 2

–4

Problema 3 Solución

Escriba la ecuación del círculo x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 15 5 0 en forma ordinaria. Después trace la gráfica. Revise la página S36.

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 632.

12.2 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

Describa cómo se relacionan los puntos sobre la circunferencia de un círculo con el centro del mismo.

2.

¿Qué representan los valores de h, k y r en la ecuación de un círculo en la forma ordinaria?

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630 3.

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

¿La gráfica de un círculo es la gráfica de una función? ¿Por qué?

4. ¿Cuál de las siguientes no es la ecuación de un círculo? (i) 1x 2 32 1 1y 2 42 2 5 16 (iv) 1x 1 52 2 1 1y 1 52 2 5 5

(ii) x2 1 y2 5 1 (v) 1x 2 12 1 1y 2 42 5 25

(iii) 1x 1 12 2 2 1y 2 32 2 5 36 (vi) 1x 1 32 2 1 1y 2 22 2 5 225

Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla (Revise las páginas 626-628.) PREPÁRESE

5. La ecuación 1x 2 12 2 1 1y 1 42 2 5 36 está en la forma 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2 5 r2

? , k 5 ? ? . Esto significa que donde h 5 y r 5 1x 2 12 2 1 1y 1 42 2 5 36 es la ecuación de un círculo con centro C( ? , ? ) y radio ? . 6. Una manera de trazar la gráfica del círculo del ejercicio 5 consiste en localizar cuatro puntos sobre el círculo: a. Las coordenadas del punto que está 6 unidades arriba del centro C(1, 24) son ? ). (1, 24 1 6), o (1, b. Las coordenadas del punto que está 6 unidades abajo del centro C(1, 24) son ? ), o (1, ? ). (1, 24 2 c. Las coordenadas del punto que está 6 unidades a la derecha del centro C(1, 24) ? ), o ( ? , ? ). son (1, 1 6, d. Las coordenadas del punto que está 6 unidades a la izquierda del centro C(1, ? ), o ( ? , ? ). 24) son ( ? ,

Trace la gráfica del círculo dado por la ecuación. 7. 1x 2 22 2 1 1 y 1 22 2 5 9

9. 1x 1 32 2 1 1 y 2 12 2 5 25

8. 1x 1 22 2 1 1 y 2 32 2 5 16

10. 1x 2 22 2 1 1 y 1 32 2 5 4

11. 1x 2 42 2 1 1 y 1 22 2 5 1

12. 1x 2 32 2 1 1 y 2 22 2 5 16

13. 1x 1 52 2 1 1 y 1 22 2 5 4

14. 1x 1 12 2 1 1 y 2 12 2 5 9

15. 16.

Si h . 0 y k , 0, ¿en qué cuadrante queda el centro del círculo con ecuación 1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 5 r2 ? El círculo con ecuación 1x 1 22 2 1 1y 2 32 2 5 4 ¿pasa por el cuadrante III?

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SECCIÓN 12.2

El círculo

631

17. Encuentre la ecuación del círculo con radio 2 y centro C(2, 21). Después trace su gráfica.

18. Encuentre la ecuación del círculo con radio 3 y centro C(21, 22). Después trace su gráfica.

† 19. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(1, 2) y cuyo centro está en el punto C(21, 1). Después trace su gráfica.

20. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(21, 3) y cuyo centro está en el punto C(22, 1). Después trace su gráfica.

† 21. Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos en los puntos P1(21, 4) y P2(25, 8).

22. Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos en los puntos P1(2, 3) y P2(5, 22).

23. Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos en los puntos P1(24, 2) y P2(0, 0).

24. Encuentre la ecuación del círculo cuyo diámetro tiene los extremos en los puntos P1(28, 23) y P2(0, 24).

Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla (Revise las páginas 628-629.) PREPÁRESE 25. a. Los primeros dos pasos para escribir la ecuación del círculo x2 1 y2 1 8x 2 4y 2 5 5 0 en forma ordinaria son 1. sumar 5 a ambos lados de la ecuación y 2. agrupar los términos que contienen x y los términos que contienen y. El resultado es 1x2 1 ___? ____2 1 1y2 2 ___? ____2 5 ___? ____. ? a b. El siguiente paso consiste en completar el cuadrado de x2 1 8x al sumar ? ambos lados de la ecuación, y completar el cuadrado de y2 2 4y al sumar a ambos lados de la ecuación. El resultado es 1x2 1 8x 1 ___? ____2 1 1y2 2 4y 1 ___? ____2 5 5 1 ___? ____ 1 ___? ____.

c. Escriba la ecuación del inciso b de forma ordinaria mediante la factorización de cada trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo de la ecuación y simplificando en su lado derecho: 1___? ____2 2 5 ___? ____. ____2 2 1 1___?

26. Utilice el resultado del inciso c del ejercicio 25 para encontrar las coordenadas del centro y el radio del círculo con ecuación x2 1 y2 1 8x 2 4y 2 5 5 0. Las coorde? y el radio ? . nadas del centro son

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632

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

Escriba la ecuación del círculo en forma ordinaria. Después trace su gráfica. † 27. x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 20 5 0

28. x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 4 5 0

29. x2 1 y2 1 6x 1 8y 1 9 5 0

31. x2 1 y2 2 x 1 4y 1

30. x2 1 y2 2 6x 1 10y 1 25 5 0

13 50 4

32. x2 1 y2 1 4x 1 y 1

33. x2 1 y2 2 6x 1 4y 1 4 5 0

1 50 4

34. x2 1 y2 2 10x 1 8y 1 40 5 0

Utilice la forma general de la ecuación de un círculo, x2 1 y2 1 ax 1 by 1 c 5 0. Relacione las condiciones dadas para a y b con el círculo A, B, C o D de la gráfica. 35. a 5 0 y b 5 0 36. a , 0 y b , 0 37. a 5 0 y b . 0

38. a . 0 y b 5 0

y 4

A 2

C –4

B –2

0

2

4

x

–2

APLICACIÓN DE CONCEPTOS

–4

D

En los ejercicios 39 a 41, escriba la ecuación del círculo de forma ordinaria. 39. El círculo tiene su centro en el punto C(3, 0) y pasa por el origen. 40. El círculo tiene un radio de 5 y centro en P(6, 23). 41. El círculo tiene un radio de 1, es tangente a los ejes x y y, y se encuentra en el cuadrante II. 42.

¿Es x2 1 y2 1 4x 1 8y 1 24 5 0 la ecuación de un círculo? Si no lo es, explique por qué. Si lo es, calcule el radio y las coordenadas del centro.

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 43 Geometría El radio de una esfera es de 12 pulg. ¿Cuál es el radio del círculo que se forma por la intersección de la esfera y un plano que se encuentra a 6 pulg del centro de la esfera? r 12

6

44. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de y 5 0 x 0 y x2 1 y 2 5 4. 45 La recta con ecuación x 5 3 cruza el círculo con ecuación x2 1 y 2 5 34 en los puntos A y B. Calcule la longitud de AB.

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SECCIÓN 12.3

12.3 OBJETIVO

633

La elipse y la hipérbola

La elipse y la hipérbola Graficar una elipse con centro en el origen Las órbitas de los planetas alrededor del Sol tienen forma “ovalada”. Esa forma oval se puede describir como una elipse, que es otra de las secciones cónicas. y

x

Una elipse tiene dos ejes de simetría. La intersección de estos dos ejes es el centro de la elipse. y

A la derecha se muestra una elipse con centro en el origen. Observe que hay dos intersecciones con el eje x y dos con el eje y.

Punto de interés La palabra elipse proviene de la palabra griega ellipsis, que significa “deficiente”. El método utilizado por los antiguos griegos para analizar las secciones cónicas originó que cierta área en la construcción de la elipse fuera menor que otra área (deficiente). La palabra elipsis, que significa “omisión”, tiene la misma raíz griega que la palabra elipse.

(0, b) (– a, 0)

(a, 0)

x

(0, –b)

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

y2 x2 2 1 2 5 1. Las coordenadas de a b las intersecciones con el eje x son (a, 0) y (2a, 0). Las coordenadas de las intersecciones con el eje y son (0, b) y (0, 2b).

La ecuación de una elipse con centro en el origen es

Al encontrar las coordenadas de las intersecciones con el eje x y con el eje y de una elipse, y utilizando el hecho de que una elipse tiene forma “oval”, podemos trazar la gráfica de una elipse.

EJEMPLO 1

Trace la gráfica de la elipse dada por la ecuación. A.

Solución

y2 x2 1 51 9 4

B.

x2 y2 1 51 16 12

x2 y2 1 51 9 4 Intersecciones con el eje x: (3, 0) y (23, 0)

A.

Intersecciones con el eje y: (0, 2) y (0, 22)

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• a 2 5 9, b 2 5 4 • Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son (a, 0) y (2a, 0). • Las coordenadas de las intersecciones con el eje y son (0, b) y (0, 2b).

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634

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas y

• Utilice las intersecciones y la simetría para trazar la gráfica de la elipse.

4

Tome nota

2

Al aplicar la prueba de la recta vertical se revela que la gráfica de una elipse no es la gráfica de una función. La gráfica de una elipse es la gráfica de una relación.

–4 –2 0 –2

2

4

x

–4

B.

y2 x2 1 51 16 12

• a 2 5 16, b 2 5 12

Intersecciones con el eje x: (4, 0) y (24, 0)

• Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son (a, 0) y (2a, 0).

Intersecciones con el eje y: 10, 2!3 2 y 10, 22!3 2

• Las coordenadas de las intersecciones con el eje y son (0, b) y (0, 2b).

y

Punto de interés Los antiguos astrónomos griegos creían que los planetas tenían una órbita circular. En la actualidad sabemos que en realidad tienen órbitas elípticas. Sin embargo, en muchos casos la elipse se acerca mucho a un círculo. Observe que cuando a 5 b en la ecuación x2 y2 1 5 1, la gráfica a2 b2 resultante es la de un círculo.

• Utilice las intersecciones y la simetría para trazar la gráfica de la elipse. 2 !3 < 3.5

4 2 –4 –2 0 –2

2

4

x

–4

Problema 1

Trace la gráfica de la elipse dada por la ecuación. A.

Solución

y2 x2 1 51 4 25

B.

x2 y2 1 51 18 9

Revise las páginas S36-S37.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 637.

OBJETIVO

Graficar una hipérbola con centro en el origen La hipérbola es una sección cónica que se forma por la intersección de un cono recto circular y un plano perpendicular a la base del mismo. y

x

La hipérbola tiene dos vértices y un eje de simetría que pasa a través de los vértices. El centro de una hipérbola es el punto intermedio entre los vértices. Las siguientes figuras muestran dos gráficas de una hipérbola con centro en el origen. En la primera, el eje de simetría que contiene los vértices es el eje x. En la segunda, el eje de simetría que contiene a los vértices es el eje y.

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y

y

x

x

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SECCIÓN 12.3

635

La elipse y la hipérbola

Observe que en ambos casos, la gráfica de una hipérbola no es la gráfica de una función. La gráfica de una hipérbola es la gráfica de una relación.

ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN

Punto de interés La palabra hipérbola procede del término griego yperboli, que significa “exceso”. El método utilizado por los antiguos griegos para analizar las secciones cónicas originó que cierta área en la construcción de la hipérbola fuera mayor (excediera) que otra. La palabra hipérbole, que significa “exageración”, tiene la misma raíz griega que la palabra hipérbola. La palabra asíntota procede del término griego asymptotos, que significa “incapaz de unirse”.

La ecuación de una hipérbola en la que el eje de simetría que contiene los vértices es y2 x2 el eje x es 2 2 2 5 1. Las coordenadas de los vértices son (a, 0) y (2a, 0). a b La ecuación de una hipérbola en la que el eje de simetría que contiene los vértices es y2 x2 el eje y es 2 2 2 5 1. Las coordenadas de los vértices son (0, b) y (0, 2b). b a

Para trazar una hipérbola, es útil dibujar dos rectas a las que “se acerca” la hipérbola. Dichas rectas se denominan asíntotas. A medida que un punto de la hipérbola se aleja del origen, la hipérbola “se acerca” a las asíntotas.

y

Puesto que las asíntotas son rectas, sus ecuaciones son lineales. Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola b b con centro en el origen son y 5 a x y y 5 2 a x.

EJEMPLO 2

Solución

x

Trace la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación. A.

y2 x2 2 51 16 4

A.

x2 y2 2 51 16 4

B.

y2 x2 2 51 16 25 • a 2 5 16, b 2 5 4

Eje de simetría: eje x Vértices: (4, 0) y (24, 0)

• Las coordenadas de los vértices son (a, 0) y (2a, 0).

Asíntotas:

• Las ecuaciones de las asíntotas son

y5

1 1 xyy52 x 2 2

y5

b b x y y 5 2 x. a a

• Trace las asíntotas. Utilice la simetría y el hecho de que la hipérbola se acercará a las asíntotas para trazar esta gráfica.

y 6

–6

0

6

x

–6

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636

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

B.

Cómo se usa

y2 x2 2 51 16 25

• a 2 5 25, b 2 5 16

Eje de simetría: eje y

Las hipérbolas se utilizan en “loran” (Acrónimo de LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance) como un método mediante el que el navegante de un barco puede determinar su posición respecto a tres transmisores, T1, T2 y T3, como se muestra en la siguiente figura.

Vértices: (0, 4) y (0, 24)

• Las coordenadas de los vértices son (0, b) y (0, 2b).

Asíntotas:

• Las ecuaciones de las asíntotas son

y5

4 4 xyy52 x 5 5

y5

y T1

• Trace las asíntotas. Utilice la simetría y el hecho de que la hipérbola se acercará a las asíntotas para trazar esta gráfica.

6

T2 –6

0

b b x y y 5 2 x. a a

6

x

T3 –6

Problema 2

Trace la gráfica de la hipérbola dada por la educación. x2 y2 y2 x2 2 51 B. 2 51 9 25 9 9 Revise la página S37. A.

Solución

† Intente resolver el ejercicio 27 de la página 638.

12.3 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿La gráfica de una elipse es la gráfica de una función? ¿Por qué?

2.

¿La gráfica de una hipérbola es la gráfica de una función? ¿Por qué?

3. Identifique cada una de las siguientes ecuaciones como de una elipse, de una hipérbola o ninguna de las dos. y x 1 51 16 9 x2 y d. 2 51 16 9 a.

b.

e. x2 2 y2 5 1

4. ¿Cuáles son los ejes de simetría de

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x2 y2 2 51 5 3

y2 x2 1 51 9 16 x2 y2 f. 1 51 7 3 c.

x2 y2 1 5 1? a2 b2

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SECCIÓN 12.3

La elipse y la hipérbola

637

Graficar una elipse con centro en el origen (Revise las páginas 633-634.) PREPÁRESE 2

y2 x 5. La ecuación 2 1 2 5 1 es la ecuación de una b ? ). a

?

con centro en C (

?

,

? ? y , y las Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son coordenadas de las intersecciones con el eje y son ? y ? . x2 y2 x2 y2 ? y 1 5 1 está en la forma 2 1 2 5 1, con a2 5 6. La ecuación 36 49 a b ? . Las coordenadas de las intersecciones con el eje x de la elipse son b2 5 ? y ? . Las coordenadas de las intersecciones con el eje y de la elipse son ? y ? .

Trace la gráfica de la elipse dada por la ecuación. † 7.

y2 x2 1 51 4 9

8.

x2 y2 1 51 25 16

9.

x2 y2 1 51 25 9

10.

y2 x2 1 51 16 9

11.

x2 y2 1 51 36 16

12.

y2 x2 1 51 49 64

13.

x2 y2 1 51 9 25

14.

y2 x2 1 51 16 36

15.

y2 x2 1 51 36 9

16.

y2 x2 1 51 4 16

17.

x2 y2 1 51 12 4

18.

x2 y2 1 51 8 25

19.

20.

x2 y2 1 5 1, donde a . b. ¿La distancia entre las intera2 b2 secciones con el eje y de la elipse es menor que, igual a o mayor que la distancia entre sus intersecciones con el eje x? Una elipse tiene la ecuación

y2 x2 5 1 es la ecuación de una elipse con a . 2. Si usted fuera a gra2 1 a 4 ficar elipses con valores de a aún mayores, ¿las elipses se volverían más redondeadas o más alargadas? Suponga que

Graficar una hipérbola con centro en el origen (Revise las páginas 634-636.) 21. 22.

¿Cómo puede decir, a partir de una ecuación, si la gráfica será la de una elipse o la de una hipérbola? ¿Qué son las asíntotas de una hipérbola?

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638

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

PREPÁRESE Para los ejercicios 23 a 26, utilice la hipérbola con ecuación 23. Para esta hipérbola, a2 5

?

y b2 5

?

. ?

24. El eje de simetría que contiene los vértices es el eje 25. Los vértices de la hipérbola están sobre el eje ? y ? .

x2 y2 2 5 1. 49 25

?

. . Sus coordenadas son

26. Las asíntotas de la hipérbola son las rectas con ecuaciones

?

y

?

.

Trace una gráfica de la hipérbola dada por la ecuación. † 27.

y2 x2 2 51 9 16

28.

x2 y2 2 51 25 4

29.

x2 y2 2 51 16 9

30.

y2 x2 2 51 4 9

31.

x2 y2 2 51 4 25

32.

x2 y2 2 51 9 49

33.

y2 x2 2 51 25 9

34.

y2 x2 2 51 4 16

35.

x2 y2 2 51 25 16

36.

y2 x2 2 51 9 9

37.

x2 y2 2 51 16 4

38.

x2 y2 2 51 9 36

39.

x2 y2 2 51 25 9

40.

x2 y2 2 51 16 25

41.

x2 y2 2 51 16 16

42.

La ecuación 25x2 2 4y2 5 100 es la de una hipérbola. ¿Por qué paso comenzaría para x2 y2 reescribir la ecuación en la forma general 2 2 2 5 1? a b

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Trace una gráfica de la sección cónica dada por la ecuación. (Sugerencia: divida cada término entre el número que aparece al lado derecho de la ecuación.) 43. 4x2 1 y2 5 16

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44. x2 2 y2 5 9

45. y2 2 4x2 5 16

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SECCIÓN 12.4

46. 9x2 1 4y2 5 144

49.

639

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales

47. 9x2 2 25y2 5 225

48. 4y2 2 x2 5 36

Redacte un informe sobre el sistema de navegación denominado loran (navegación de largo alcance).

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 50.

Astronomía La órbita del cometa Halley es una elipse con un eje mayor de aproximadamente 36 UA y un eje menor de aproximadamente 9 UA (una UA es 1 unidad astronómica y equivale aproximadamente a 92,960,000 mi, la distancia promedio del Sol a la Tierra). a. Defina la ecuación de la órbita del cometa Halley en términos de unidades astronómiy cas. Revise el diagrama de la derecha. b. La distancia del Sol al centro de la órbita elíptica del cometa Halley es "a2 2 b2. El afelio de la órbita (el punto donde el cox Sol (0, 0) meta está más alejado del Sol) es un vértice sobre el eje mayor. Calcule la distancia, a la centena de millar de millas más cercana, del Sol al punto del afelio del cometa Halley. c. El perihelio de la órbita (el punto donde el cometa está más cercano al Sol) es un vértice sobre el eje mayor. Calcule la distancia, a la centena de millar de millas más cercana, del Sol al punto del perihelio del cometa Halley.

51.

Astronomía La órbita del cometa Hale-Bopp es una elipse como la que se muestra en la figura de la derecha, donde utilizan las unidades astronómicas, abreviadas UA. 1 UA < 92,960,000 mi. a. Encuentre la ecuación de la órbita del cometa. b. La distancia desde el centro C de la órbita al Sol es de aproximadamente 182.085 UA. No a escala Calcule el afelio (el punto donde el cometa está más alejado del Sol) en millas. Redondee al millón de millas más cercano c. Calcule el perihelio (punto donde el cometa está más cercano al Sol) en millas. Redondee a la centena de millar más cercana.

52.

(0, 18)

Hale–Bopp 10

Sol

C

100

(183, 0)

Astronomía Como se menciona en la sección Punto de interés, las órbitas de los planetas son elipses. La longitud del eje mayor de la órbita de Marte es de 3.04 UA (revise el ejercicio 50), y la longitud de su eje menor es de 2.99 UA. a. Defina una ecuación para la órbita de Marte. b. Calcule el afelio a la centena de millar de millas más cercana. c. Calcule el perihelio a la centena de millar de millas más cercana.

12.4 OBJETIVO

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales Resolver sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema de ecuaciones no lineal es en el que una o más ecuaciones que lo componen es una ecuación no lineal. En la siguiente página se muestran algunos ejemplos de sistemas no lineales y sus gráficas.

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640

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

x2 1 y2 5 4 y 5 x2 1 2

y 4

Las gráficas se intersecan en un punto. El sistema de ecuaciones tiene una solución. 0

–4

4

x

–4

y

y5x y 5 2x 1 2 Las gráficas se intersecan en: El sistema de ecuaciones tiene dos soluciones. 2

4 2 –4

–2

0

2

4

2

4

x

–2 –4

1x 1 22 2 1 1 y 2 22 2 5 4 x 5 y2

y 4

Las gráficas no se intersecan. El sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

2 –4

–2

0

x

–2 –4

Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden resolver por los métodos de sustitución o de suma y resta.

Concéntrese en resolver un sistema de ecuaciones no lineal por el método de sustitución Resuelva: 2x 2 y 5 4 (1) y2 5 4x (2) Cuando un sistema contiene una ecuación lineal y una cuadrática, se utiliza el método de sustitución. Resuelva para y en la ecuación (1).

Sustituya 2x 2 4 por y en la ecuación (2). Escriba la ecuación cuadrática en forma general. Resuelva para x por factorización.

2x 2 y 5 4 2y 5 22x 1 4 y 5 2x 2 4 y2 5 4x 12x 2 42 2 5 4x 4x2 2 16x 1 16 5 4x 4x2 2 20x 1 16 5 0

4 1x2 2 5x 1 42 5 0 4 1x 2 42 1x 2 12 5 0 x2450 x54

Sustituya los valores de x en la ecuación y 5 2x 2 4, y resuelva para y.

y 5 2x 2 4 y 5 2 142 2 4 y54

x2150 x51 y 5 2x 2 4 y 5 2 112 2 4 y 5 22

Las soluciones son 14, 42 y 11, 222 .

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SECCIÓN 12.4 y

A la izquierda se muestra la gráfica del sistema que acabamos de resolver. Observe que la recta se interseca con la parábola en dos puntos, los cuales corresponden a las soluciones.

(4, 4)

4

641

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales

2

–4

–2

0

2

4

x

(1, –2)

–2

(1) Resuelva: x2 1 y2 5 4 y 5 x 1 4 (2) El sistema de ecuaciones contiene una ecuación lineal. Para resolver el sistema utilice el método de sustitución.

–4

x2 1 y2 5 4 x2 1 1x 1 42 2 5 4

Sustituya la expresión para y en la ecuación (1). Escriba la ecuación en forma general.

Utilice la fórmula cuadrática para resolver x. Puesto que las soluciones son números complejos, las gráficas no se intersecan.

y 4 2

–4

–2

0

2

4

x

x2 1 x2 1 8x 1 16 5 4 2x2 1 8x 1 16 5 4 2x2 1 8x 1 12 5 0 28 6 "82 2 4 122 1122 2 122 28 6 !64 2 96 x5 4 28 6 !232 28 6 4i!2 x5 5 4 4 x 5 22 6 i!2 x5

–2

El sistema de ecuaciones no tiene soluciones con números reales.

–4

La gráfica del sistema de ecuaciones que acabamos de resolver se muestra a la izquierda. Observe que las dos gráficas no se intersecan.

Concéntrese en resolver un sistema de ecuaciones no lineal por el método de suma y resta Resuelva:

Tome nota Observe en los ejemplos de esta sección que el número de puntos en los que se intersecan las gráficas de las ecuaciones del sistema es igual al número de soluciones en números reales del sistema de ecuaciones.

4x2 1 y2 5 16 (1) x2 1 y2 5 4 (2)

Utilice ahora el método de suma y resta para resolver este sistema de ecuaciones. Multiplique la ecuación (2) por 21 y súmela a la ecuación (1).

4x2 1 y2 5 16 2x2 2 y2 5 24 3x2 5 12 x2 5 4 x 5 62

Resuelva para x. Sustituya los valores de x en la ecuación (2), y resuelva para y.

y

x2 1 y2 5 4 22 1 y2 5 4 y2 5 0 y50

x2 1 y2 5 4 1222 2 1 y2 5 4 y2 5 0 y50

Las soluciones son 12, 02 y 122, 02 .

4 2

–4

–2

0 –2

2

4

x

La gráfica del sistema que acabamos de resolver se muestra a la izquierda. Observe que las gráficas se intersecan en dos puntos.

–4

EJEMPLO 1

13_Cap-12_AUFMANN.indd 641

Resuelva:

y 5 2x2 2 3x 2 1 y 5 x2 2 2x 1 5

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642

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

Solución

y (–2, 13)

12 8

(3, 8)

4 –8

–4

0

4

x

8

Problema 1

Solución

112 122

y 5 2x2 2 3x 2 1 y 5 x2 2 2x 1 5 2x2 2 3x 2 1 5 x2 2 2x 1 5 • Utilice el método de sustitución x2 2 x 2 6 5 0 para resolver x. 1x 1 22 1x 2 32 5 0 x1250 x2350 x 5 22 x53 2 y 5 2x 2 3x 2 1 • Sustituya cada valor de x en la ecuación (1) o en la ecuación (2) y resuelva y 5 2 1222 2 2 3 1222 2 1 para y. Utilizaremos la ecuación (1). y581621 x 5 22, y 5 13. • Cuando y 5 13 2 y 5 2x 2 3x 2 1 y 5 2 132 2 2 3 132 2 1 y 5 18 2 9 2 1 y58 • Cuando x 5 3, y 5 8. Las soluciones son 122, 132 y 13, 82 . Resuelva: y 5 2x2 1 x 2 3 y 5 2x2 2 2x 1 9 Revise la página S37.

† Intente resolver el ejercicio 17 de la página 644.

EJEMPLO 2 Solución

y (–4,

11)

4

11 )

(4,

2

–4 –2 0 –2

(–4, – 11)

2

4

x

(4, – 11 )

–4

Problema 2 Solución

Resuelva: 3x2 2 2y2 5 26 x2 2 y2 5 5 112 3x2 2 2y2 5 26 122 x2 2 y2 5 5 • Utilice el método de suma y resta. 3x2 2 2y2 5 26 Eliminaremos y. Multiplique la ecuación (2) 22x2 1 2y2 5 210 por 22 y resuelva para x. x2 5 16 x 5 64 • Sustituya cada valor de x en la ecuación (1) o x2 2 y2 5 5 en la ecuación (2) y resuelva para y. 1242 2 2 y2 5 5 Utilizaremos la ecuación (2). 16 2 y2 5 5 2 2y 5 211 y2 5 11 • Cuando x 5 24, y 5 2 !11 o y 5 !11. y 5 6!11 x2 2 y2 5 5 42 2 y2 5 5 16 2 y2 5 5 2y2 5 211 y2 5 11 • Cuando x 5 4, y 5 2 !11 o y 5 !11. y 5 6!11 Las soluciones son 124, 2!11 2 , 124, !11 2 , 14, 2!11 2 , y 14, !11 2 . Resuelva: x2 2 y2 5 10 x2 1 y2 5 8 Revise la página S37.

† Intente resolver el ejercicio 21 de la página 644.

13_Cap-12_AUFMANN.indd 642

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SECCIÓN 12.4

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales

643

12.4 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. Un sistema de ecuaciones está compuesto por la ecuación de una recta y la ecuación de una hipérbola ¿cuántas soluciones puede tener el sistema de ecuaciones? 2. Un sistema de ecuaciones está compuesto por la ecuación de una recta y la ecuación de una parábola ¿cuántas soluciones puede tener el sistema de ecuaciones? 3. Un sistema de ecuaciones está compuesto por la ecuación de una parábola y la ecuación de una elipse ¿cuántas soluciones puede tener el sistema de ecuaciones? 4. Un sistema de ecuaciones está compuesto por la ecuación de una elipse y la ecuación de una hipérbola ¿cuántas soluciones puede tener el sistema de ecuaciones?

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales (Revise las páginas 639–642.) 5.

¿En qué se diferencian los sistemas de ecuaciones no lineales de los lineales?

PREPÁRESE y 5 x2 2 5x 1 6 y5x22

6. Resuelva el sistema de ecuaciones no lineal: y 5 x2 2 5x 1 6 y5x22

• La segunda ecuación tiene variables elevadas a la primera potencia. Utilice el método de sustitución.

____?___ 5 x2 2 5x 1 6

Sustituya x 2 2 por y en la primera ecuación.

0 5 x2 2 ___? ____x 1 ___? ____

• Escriba la ecuación cuadrática en forma general restando x y sumando 2 en ambos lados.

0 5 1x 2 42 1x 2 ___? ____2 0 5 ___? ____ 0 5 ___? ____ ____?___ 5 x ___? ____ 5 x

• Factorice el trinomio. • Utilice la propiedad del producto cero. • Resuelva para x. Éstas son las coordenadas x de las soluciones del sistema.

y5422

y5222

• Sustituya los valores de x en la ecua? . ción y 5

y52

y50

• Simplifique. Éstas son las coordenadas ? de las soluciones del sistema.

Las soluciones del sistema son (

?

,

?

)y(

?

,

?

).

Resuelva. 7. y 5 x2 2 x 2 1 y 5 2x 1 9

10.

y2 5 4x x 2 y 5 21

13. x2 1 2y2 5 12 2x 2 y 5 2

13_Cap-12_AUFMANN.indd 643

8. y 5 x2 2 3x 1 1 y5x16

9.

y2 5 2x x 1 2y 5 22

12.

11.

14. x2 1 4y2 5 37 x 2 y 5 24

y2 5 2x 1 3 x2y51 y2 5 2x x2y54

15. x2 1 y2 5 13 x1y55

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644

CAPÍTULO 12

16. x2 1 y2 5 16 x 2 2y 5 24

Secciones cónicas

† 17. 4x2 1 y2 5 12 y 5 4x2

18. 2x2 1 y2 5 6 y 5 2x2

19. y 5 x2 2 2x 2 3 y5x26

20. y 5 x2 1 4x 1 5 y 5 2x 2 3

22. x2 1 y2 5 10 x2 1 9y2 5 18

23. 2x2 1 3y2 5 30 x2 1 y2 5 13

24. x2 1 y2 5 61 x2 2 y2 5 11

25. y 5 2x2 2 x 1 1 y 5 x2 2 x 1 5

26. y 5 2x2 1 x 2 1 y 5 x2 1 2x 2 2

27. 2x2 1 3y2 5 24 x2 2 y2 5 7

28. 2x2 1 3y2 5 21 x2 1 2y2 5 12

29.

31. 11x2 2 2y2 5 4 3x2 1 y2 5 15

32. x2 1 4y2 5 25 x2 2 y2 5 5

33. 2x2 2 y2 5 7 2x 2 y 5 5

34. 3x2 1 4y2 5 7 x 2 2y 5 23

35. y 5 3x2 1 x 2 4 y 5 3x2 2 8x 1 5

36. y 5 2x2 1 3x 1 1 y 5 2x2 1 9x 1 7

† 21. 3x2 2 y2 5 21 x2 1 4y2 5 17

x2 1 y2 5 36 4x 1 9y2 5 36 2

30. 2x2 1 3y2 5 12 x2 2 y2 5 25

En los ejercicios 37 a 40 se le proporciona un sistema de ecuaciones no lineal y sus soluciones. Describa la gráfica del sistema determinando los nombres de las dos figuras y el número de puntos en los que se intersecan. 37. x2 1 4y2 5 16 x2 1 y2 5 4 Soluciones: 10, 22 , 10, 222

39.

38. 2x2 1 y2 5 4 x2 2 2y2 5 12 Sin soluciones

y 5 x2 2 3x 2 4 6x 2 2y 5 26 Solución: 13, 242

40. x2 2 y2 5 8 x 5 y2 2 4 Soluciones: 14, 2!22 , 14, 22!22 , 123, 12 , 123, 212

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva el sistema por el método gráfico. Aproxime las soluciones a la milésima más cercana. 41.

y 5 2x x1y53

13_Cap-12_AUFMANN.indd 644

42.

y 5 32x x 1 y2 5 9 2

43.

y 5 log2 x y2 x 1 51 9 1 2

12/10/12 06:47 p.m.

SECCIÓN 12.5

44.

y 5 log3 x x2 1 y2 5 4

47.

¿Es posible que los círculos con centro en el origen se intersequen exactamente en dos puntos?

45.

645

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades

y 5 2log3 x x1y54

46.

1 x y5a b 2 x2 y2 1 51 9 4

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 48. Astronomía Suponga que lo contratan para hacer el seguimiento de meteoritos que se acercan a la Tierra y determinar si impactarán con ella. La ecuación de la superficie terrestre es x2 1 y 2 5 40. Usted observa que un meteorito se mueve siguiendo una trayectoria cuya ecuación es 18x 2 y 2 5 2144. ¿Este meteorito golpeará la Tierra?

12.5 OBJETIVO

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables La gráfica de una desigualdad cuadrática con dos variables es una región del plano limitada por una de las secciones cónicas (parábola, círculo, elipse o hipérbola). Al graficar una desigualdad de este tipo, primero sustituya el símbolo de desigualdad por un signo de igual. En la gráfica de la cónica resultante utilice una curva punteada cuando la desigualdad original es menor que (,) o mayor que (.). Utilice una curva sólida cuando la desigualdad original es # o $. Utilizamos el punto con coordenadas (0, 0) para determinar cuál región del plano sombreamos. Si (0, 0) es una solución de la desigualdad, sombreamos la región del plano que contiene al punto con coordenadas (0, 0). De lo contrario, sombreamos la otra región del plano.

Concéntrese en graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática Grafique el conjunto solución de x2 1 y2 . 9. Convierta la desigualdad en una igualdad. Esta es la ecuación de un círculo con centro C(0, 0) y radio 3.

x2 1 y2 . 9 x2 1 y2 5 9 y

Puesto que la desigualdad es ., la gráfica de x2 1 y2 5 9 se traza como un círculo punteado. Sustituya (0, 0) en la desigualdad. Como 02 1 02 . 9 no es cierta, el punto con coordenadas (0, 0) no debe estar en la región sombreada.

6

–6

0

6

x

–6

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12/10/12 06:47 p.m.

646

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

EJEMPLO 1

Grafique el conjunto solución. A. y # x2 1 2x 1 2

Solución

B.

A. y # x2 1 2x 1 2 y 5 x2 1 2x 1 2

• Cambie la desigualdad a una igualdad. Esta es la ecuación de una parábola que abre hacia arriba. Las coordenadas del vértice son (21, 1). La ecuación del eje de simetría es x 5 21. • Puesto que la desigualdad es ", la gráfica se traza como una curva sólida. • Sustituya (0, 0) en la desigualdad. Puesto que la 2 desigualdad 0 * 0 1 2 102 1 2 es cierta, el punto con coordenadas (0, 0) debe estar en la región sombreada.

y 6

–6

0

6

y2 x2 2 $1 9 4

x

–6

B.

y2 x2 2 $1 9 4 y2 x2 2 51 9 4

• Cambie la desigualdad a una igualdad. Esta es la ecuación de una hipérbola. Las coordenadas de los vértices son (0, 23) y (0, 3). Las ecuaciones de las asíntotas son 3 3 y 5 x y y 5 2 x. 2 2 • Puesto que la desigualdad es #, la gráfica se traza como una curva sólida. • Sustituya (0, 0) en la desigualdad.

y 6

02 02 2 # 1 no 9 4 es cierta, el punto con coordenadas (0, 0)

Puesto que la desigualdad –6

0

6

x

no debe estar en la región sombreada.

–6

Problema 1

Grafique el conjunto solución. A.

Solución

y2 x2 1 #1 9 16

B.

x2 y2 2 #1 9 4

Revise la página S37.

† Intente resolver el ejercicio 7 de la página 648.

OBJETIVO

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal Un sistema de desigualdades no lineal es aquel en el que una o más de las desigualdades que lo conforman es no lineal. El conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal es la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades individuales. Para graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades, primero grafique el conjunto solución de cada desigualdad. La gráfica del conjunto solución del sistema de desigualdades es la zona del plano representada por la intersección de las dos regiones sombreadas.

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12/10/12 06:47 p.m.

SECCIÓN 12.5

EJEMPLO 2 Solución

647

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades

Grafique el conjunto solución. A. y . x2 y,x12 y

A.

8 4 –8 –4 0 –4

4

x

8

–8

B.

x2 y2 2 $1 9 16 x2 1 y2 # 4

• Grafique el conjunto solución de cada desigualdad. • y 5 x 2 es la ecuación de una parábola. Utilice una curva punteada. Sombree dentro de la parábola. • y 5 x 1 2 es la ecuación de una recta. Utilice una línea punteada. Sombree bajo la recta.

El conjunto solución es la región del plano representado por la intersección de los conjuntos solución de cada una de las desigualdades. B.

y 4 2 –4 –2 0 –2

2

4

x

–4

• Grafique el conjunto solución de cada desigualdad. y2 x2 2 5 1 es la ecuación de una hipérbola. • 9 16 Utilice una curva sólida. El punto con coordenadas (0, 0) no debe estar en la región sombreada. • x 2 1 y 2 5 4 es la ecuación de un círculo. Utilice una curva sólida. Sombree dentro del círculo.

Los conjuntos solución de las dos desigualdades no se intersecan. El sistema de desigualdades no tiene soluciones en los números reales. Problema 2

Grafique el conjunto solución. A.

Solución

x2 y2 1 #1 4 9 x . y2 2 2

B.

x2 y2 1 $1 16 25 x2 1 y2 , 9

Revise la página S37.

† Intente resolver el ejercicio 37 de la página 650.

12.5 Ejercicios REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

Explique cómo puede verificar si sombreó la región del plano correcta al graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática.

2. Si las gráficas de las desigualdades de un sistema desigualdades no se intersecan, ¿cuál es el conjunto solución de dicho sistema de desigualdades?

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648

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables (Revise las páginas 645-646.) PREPÁRESE 3. Complete los siguientes enunciados sobre la gráfica de la desigualdad y , x2 2 8x 1 16. ? . a. La curva que la representa es una b. Puesto que la desigualdad es ,, la línea se debe trazar utilizando una curva ? . c. (0, 0) es una solución de la desigualdad, por lo que el punto con estas coorde? (está, no está) en la región sombreada de la gráfica. nadas 4. Complete los siguientes enunciados sobre la gráfica de la desigualdad x2 y2 2 $ 1. 4 25 ? . a. La curva que la representa es una b. Puesto que la desigualdad es $, la línea se debe trazar utilizando una curva ? . c. (0, 0) no es una solución de la desigualdad, por lo que el punto con estas coor? (está, no está) en la región sombreada de la gráfica. denadas

Grafique el conjunto solución. 5. y # x2 2 4x 1 3

6. y , x2 2 2x 2 3

8. 1x 1 22 2 1 1 y 2 32 2 . 4

9. 1x 1 32 2 1 1 y 2 22 2 $ 9

† 7. 1x 2 12 2 1 1 y 1 22 2 # 9

10. 1x 2 22 2 1 1 y 1 12 2 # 16

11.

y2 x2 1 ,1 16 25

12.

y2 x2 1 $1 9 4

13.

y2 x2 2 #1 25 9

14.

x2 y2 2 .1 25 36

15.

y2 x2 1 $1 4 16

16.

y2 x2 2 #1 4 16

18. x # y2 1 2y 1 1

19.

x2 y2 2 #1 9 16

17. y # x2 2 2x 1 3

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12/10/12 06:47 p.m.

SECCIÓN 12.5

y2 x2 2 ,1 16 4

20.

23. 1x 2 12 2 1 1 y 1 32 2 # 25

26.

y2 x2 2 $1 9 25

21.

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades

x2 y2 1 #1 9 1

24. 1x 1 12 2 1 1 y 2 22 2 $ 16

27.

y2 x2 1 #1 25 9

22.

x2 y2 1 .1 16 4

25.

x2 y2 2 #1 25 4

28.

y2 x2 1 #1 36 4

29.

¿Verdadero o falso? Para todos los números reales h, k y r, con a Z 0, la gráfica de la desigualdad 1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 , r2 será la región dentro de la parábola con ecuación 1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 5 r2.

30.

¿Verdadero o falso? Para todos los números reales a, b, y c, a Z 0, la gráfica de la desigualdad y . ax2 1 bx 1 c será la región dentro de la parábola con ecuación y 5 ax2 1 bx 1 c.

649

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal (Revise las páginas 646-647). PREPÁRESE 31. Para graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades, se encuentra la ? de las gráficas de cada una de las desigualdades. 32. Si no se superponen las gráficas individuales de las desigualdades que conforman un ? soluciones. sistema de desigualdades, entonces este sistema tiene

Grafique el conjunto solución. 33.

y # x2 2 4x 1 4 y1x.4

13_Cap-12_AUFMANN.indd 649

34. x2 1 y2 , 1 x1y$4

35. x2 1 y2 , 16 y.x11

12/10/12 06:47 p.m.

650

CAPÍTULO 12

36. y . x2 2 4 y,x22

39. x $ y2 2 3y 1 2 y $ 2x 2 2

42.

y2 x2 2 ,1 9 4 x2 y2 1 ,1 25 9

Secciones cónicas

† 37.

y2 x2 1 #1 4 16

38.

1 y#2 x12 2

y2 x2 2 $1 4 25 2 y# x14 3

40. x2 1 y2 # 25 1 y#2 x12 3

41. x2 1 y2 , 25 x2 y2 1 ,1 9 36

43. x2 1 y2 . 4 x2 1 y2 , 25

44.

y2 x2 1 #1 25 16 x2 y2 1 $1 4 4

Para los ejercicios 45 a 48, a y b son números positivos tales que a , b. Describa el conjunto solución de cada sistema de desigualdades. 45. x2 1 y2 , a x2 1 y2 , b

46. x2 1 y2 , a x2 1 y2 . b

47. x2 1 y2 . a x2 1 y2 , b

48. x2 1 y2 . a x2 1 y2 . b

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Grafique el conjunto solución. 49. y . x2 2 3 y,x13 x#0

52.

x2 y2 2 #1 4 25 x2 y2 1 #1 4 4 y$0

13_Cap-12_AUFMANN.indd 650

50. x2 1 y2 # 25 y.x11 x$0

53.

x2 y2 1 #4 4 1 x2 1 y2 # 4 x$0 y#0

51. x2 1 y2 , 3 x . y2 2 1 y$0

54.

y2 x2 1 #1 4 25 x . y2 2 4 x#0 y$0

12/10/12 06:47 p.m.

CAPÍTULO 12

55.

y . 2x x1y,4

56.

58.

y # 2log3 x x y2 1 ,1 9 4

59.

2

1 x y,a b 2 2x 2 y $ 2

y , 32x x y2 2 $1 4 1 2

651

Resumen

57.

y $ log2 x x2 1 y2 , 9

60.

y $ 2x21 2x 1 3y . 6

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO 61. a. Grafique xy . 1 y y .

b.

1 sobre distintos planos cartesianos. x

1

Observe que al dividir entre x ambos lados de xy . 1 para x se tiene y . , pero las x gráficas que realizó en el inciso a no son iguales. Explique.

CAPÍTULO 12 Resumen Términos clave Las secciones cónicas son curvas que se pueden construir a partir de la intersección de un plano y un cono. Las cuatro secciones cónicas son la parábola, el círculo, la elipse y la hipérbola.

13_Cap-12_AUFMANN.indd 651

Objetivo y página de referencia [12.1.1, p. 620]

Ejemplos y

y

y

x

y

x

x

x

Parábola

Círculo

Elipse

Hipérbola

12/10/12 06:47 p.m.

652

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

Las asíntotas de una hipérbola son las dos rectas a las que “se acerca” la hipérbola. A medida que la gráfica de la hipérbola se aleja del origen, “se acerca” a las asíntotas.

y

[12.3.2, p. 635]

x

Asíntotas

Un sistema de ecuaciones no lineal es aquel en el que una o más de las ecuaciones que lo componen no es una ecuación lineal.

[12.4.1, p. 639]

x2 1 y2 5 16 y 5 x2 2 2

La gráfica de una desigualdad cuadrática con dos variables es la región del plano que está limitada por una de las secciones cónicas.

[12.5.1, p. 645]

y $ x2 2 2x 2 4

y 4

–4

0

x

4

–4

Un sistema de desigualdades no lineal es aquel en el que una o más de las desigualdades que lo componen no es una desigualdad lineal. El conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal es la intersección de los conjuntos solución de cada desigualdad.

[12.5.2, p. 646]

Gráfica del conjunto solución de y # 2x2 1 3 y y$x11 4

–4

0

4

x

–4

Reglas y procedimientos esenciales Ecuación de una parábola y 5 ax2 1 bx 1 c Cuando a . 0, la parábola abre hacia arriba. Cuando a , 0, la parábola abre hacia abajo. b La coordenada x del vértice es 22a . b La ecuación del eje de simetría es x 5 22a .

Objetivo y página de referencia

Ejemplos y

[12.1.1, pp. 620–621]

y

4

-4

4

0

4

x

x = –1 -4

13_Cap-12_AUFMANN.indd 652

0

x

1 y 5 2 x2 1 2x 2 3 2

y

y

4

4

y=2

y=1 –4

4

–4

y 5 x2 1 2x 1 2 x 5 ay2 1 by 1 c Cuando a . 0, la parábola se abre hacia la derecha. Cuando a , 0, la parábola se abre hacia la izquierda. b La coordenada y del vértice es 22a . b La ecuación del eje de simetría es y 5 22a .

–4

x=2

0

4

x

–4

x 5 2y2 2 4y 1 1

–4

0

4

x

–4

x 5 2y2 1 4y 2 3

12/10/12 06:47 p.m.

653

12.1 de una Lade parábola SECCIÓN CAPÍTULO 2.1 SECCIÓN Ecuaciones 12 Ejercicios variable repaso

Ecuación de un círculo 1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 5 r2

[12.2.1, p. 627]

El centro de un círculo es C(h, k), y el radio r.

1x 2 22 2 1 1 y 1 12 2 5 9 1h, k2 5 12, 212 r53

4

–4

0

y Radio = 3

4

x

C(2, –1) –4

Ecuación de una elipse x2 y2 1 51 a2 b2

[12.3.1, p. 633]

Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son (a, 0) y (2a, 0) Las coordenadas de las intersecciones con el eje y son (0, b) y (0, 2b).

Ecuación de una hipérbola x2 y2 2 2 2 5 1 a b

[12.3.2, p. 635]

El eje de simetría que contiene los vértices es el eje x.

y2 x2 1 51 9 1 Intersecciones con el eje x: (3, 0) y (23, 0) Intersecciones con el eje y: (0, 1) y (0, 21) y2 x2 2 51 9 4 Vértices: (3, 0) y (23, 0)

y 4

(0, 1)

(–3, 0) –4

0

(3, 0) x

(0, –1)

4

–4

y 4

–4

0

4

x

Asíntotas: y 5 23 x y y 5 223 x

Las coordenadas de los vértices son (a, 0) y (2a, 0). Las ecuaciones de las asíntotas son

y = 23 x

y = – 23 x

y 5 ba x y y 5 2ba x. x2 y2 2 51 b2 a2 El eje de simetría que contiene los vértices es el eje y. Las coordenadas de los vértices son (0, b) y (0, 2b). Las ecuaciones de las asíntotas son

y

x2 y2 2 51 1 4 Vértices: (0, 1) y (0, 21) Asíntotas:

4

y = – 12 x –4

y 5 12 x y y 5 212 x

y 5 ba x y y 5 2ba x.

0

y = 12 x 4

x

–4

CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso 1. Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola con ecuación y 5 x2 2 4x 1 8.

2. Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola con ecuación y 5 2x2 1 7x 2 8.

3. Trace la gráfica de y 5 22x2 1 x 2 2.

4. Trace la gráfica de x 5 2y2 2 6y 1 5.

5. Calcule la ecuación del círculo que pasa por el punto P(2, 21) y cuyo centro está en el punto C(21, 2).

6. Encuentre la ecuación del círculo con radio 6 y centro C(21, 5).

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654

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

7. Trace la gráfica de 1x 1 32 2 1 1 y 1 12 2 5 1.

9. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(4, 6) y cuyo centro es el punto C(0, 23).

8. Trace la gráfica de x2 1 1 y 2 22 2 5 9.

10. Escriba la ecuación x2 1 y2 1 4x 2 2y 5 4 en forma ordinaria.

11. Trace la gráfica de

y2 x2 1 5 1. 1 9

12. Trace la gráfica de

x2 y2 1 5 1. 25 9

13. Trace la gráfica de

x2 y2 2 5 1. 25 1

14. Trace la gráfica de

y2 x2 2 5 1. 16 9

15. Resuelva: y 5 x2 1 5x 2 6 y 5 x 2 10

17. Resuelva:

x 5 2y2 2 3y 1 1 3x 2 2y 5 0

16. Resuelva: 2x2 1 y2 5 19 3x2 2 y2 5 6

18. Resuelva: y2 5 2x2 2 3x 1 6 y2 5 2x2 1 5x 2 2

19. Grafique el conjunto solución: 1x 2 22 2 1 1 y 1 12 2 # 16

20. Grafique el conjunto solución:

x2 y2 2 ,1 9 16

21. Grafique el conjunto solución: y $ 2x2 2 2x 1 3

22. Grafique el conjunto solución:

x2 y2 1 .1 16 4

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SECCIÓN 12.1 12 La parábola CAPÍTULO Examen

23. Grafique el conjunto solución: y $ x2 2 4x 1 2 1 y# x21 3

25. Grafique el conjunto solución:

x2 y2 1 $1 9 1 x2 y2 2 #1 4 1

24 Grafique el conjunto solución:

26. Grafique el conjunto solución:

655

x2 y2 1 #1 25 16 y2 x2 2 $1 4 4

x2 y2 1 ,1 16 4 x2 1 y2 . 9

CAPÍTULO 12 Examen 1. Encuentre la ecuación del eje de simetría de la parábola con ecuación y 5 2x2 1 6x 2 5.

2. Encuentre las coordenadas del vértice de la parábola con ecuación y 5 2x2 1 3x 2 2.

1 3. Trace una gráfica de y 5 2 x2 1 x 2 4.

4. Trace una gráfica de x 5 y2 2 y 2 2.

5. Encuentre la ecuación de un círculo con radio 4 y centro C(23, 23).

6. Resuelva: x2 1 2y2 5 4 x1y52

7. Resuelva: x 5 3y2 1 2y 2 4 x 5 y2 2 5y

8. Resuelva:

9. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(2, 4) y cuyo centro está en el punto C(21, 23).

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x2 2 y2 5 24 2x 1 5y2 5 55 2

10. Trace una gráfica de 1x 2 22 2 1 1 y 1 12 2 5 9.

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656

CAPÍTULO 12

Secciones cónicas

11. Encuentre la ecuación del círculo con radio 3 y centro C(−2, 4).

12. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por el punto P(2, 5) y cuyo centro está en el punto C(22, 1).

13. Escriba la ecuación x2 1 y2 2 4x 1 2y 1 1 5 0 de forma ordinaria y luego trace su gráfica.

14. Trace una gráfica de

y2 x2 2 5 1. 25 16

16. Trace una gráfica de

x2 y2 1 5 1. 16 4

2

15. Trace una gráfica de

2

x y 2 5 1. 9 4

17 Grafique el conjunto solución:

x2 y2 2 ,1 16 25

19. Grafique el conjunto solución:

x2 y2 1 #1 25 4

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18. Grafique el conjunto solución: x2 1 y2 , 36 x1y.4

20. Grafique el conjunto solución:

x2 y2 2 $1 25 16 x2 1 y2 # 9

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SECCIÓN 2.1

final SECCIÓN 12.1 de Examen La parábola Ecuaciones una variable

657 657

Examen final 1. Simplifique: 12 2 8 3 3 2 1222 4 2 4 5 2 3

3. Simplifique: 5 2 2 3 3x 2 7 12 2 x2 2 5x 4

5. Resuelva:

2 2 4x x26 5x 2 2 2 5 3 12 6

7. Resuelva: 0 2x 1 5 0 , 3

9. Encuentre la ecuación de la recta que contiene el punto P 122, 12 y es perpendicular a la recta con ecuación 3x 2 2y 5 6. 11. Divida:

3 21i

2. Evalúe

a2 2 b2 donde a 5 3 y b 5 24. a2b

3 4. Resuelva: x 2 2 5 4 4

6. Resuelva: 8 2 0 5 2 3x 0 5 1

8. Resuelva: 2 2 3x , 6 y 2x 1 1 . 4

10. Simplifique: 2a 3 5 2 a 12 2 3a2 2 2a 4 1 3a2

12. Escriba una ecuación cuadrática que tiene coeficientes 1 enteros y soluciones 22 y 2.

13. Factorice: 8 2 x3y3

14. Factorice: x 2 y 2 x3 1 x2y

15. Divida: 12x3 2 7x2 1 42 4 12x 2 32

16. Divida:

17. Reste:

x22 x13 2 x12 x23

19. Resuelva:

5 5 1 2 2 5 x22 x 24 x12

x2 2 3x 4x 2 12 4 2 2x 2 3x 2 5 4x 2 4 2

18. Simplifique:

3 1 1 x x14 3 1 1 x x14

20. Resuelva: an 5 a1 1 1n 2 12 d para d.

4x2y21 22 2x21y2 3 21. Simplifique: a 21 b a 22 2 b 3x y 9x y

22. Simplifique: a

23. Simplifique: x"18x2y3 2 y"50x4y

24. Simplifique:

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2 1

4b 6x2y3

3x3y2

6

"16x5y4 "32xy7

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658

CAPÍTULO 12 Examen final

Secciones cónicas 2

1

25. Resuelva mediante la fórmula cuadrática: 2x2 2 3x 2 1 5 0

26. Resuelva: x3 2 x3 2 6 5 0

27. Encuentre la ecuación de la recta que contiene los puntos P1(3, 22) y P2(1, 4).

28. Resuelva:

29. Resuelva por el método de suma y resta: 3x 2 2y 5 1 5x 2 3y 5 3

30. Evalúe el determinante: `

31. Resuelva para log3 x 2 log3 1x 2 32 5 log3 2

2 2 2 51 x 2x 1 3

3 4 ` 21 2 5

32. Escriba con notación desarrollada a 2y i. i51

33. Encuentre una función equivalente para 0.51. 

2 2 35. Resuelva: x 2 y 5 4 x1y51

34. Encuentre el tercer término en el desarrollo de 1x 2 2y2 9.

2 36. Encuentre la función inversa de f 1x2 5 3 x 2 4.

37. Escriba 2 1log2 a 2 log2 b2 como un logaritmo simple con un coeficiente 1

38. Grafique 2x 2 3y 5 9 utilizando las intersecciones con el eje x y con el eje y.

39. Grafique el conjunto solución de 3x 1 2y . 6.

40. Grafique: f 1x2 5 2x2 1 4

41. Grafique:

x2 y2 1 51 16 4

43. Grafique f 1x2 5 x 1 22x y aproxime a la décima más cercana, los valores de x para los que f 1x2 5 2.

42. Grafique: f 1x2 5 log2 1x 1 12

44. Dada la gráfica de y 5 f 1x2 que se muestra en seguida, grafique g 1x2 5 f 1x 1 32 . y 4 2 –4

–2

0

f 2

4

x

–2 –4

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SECCIÓN 12.1

659

La parábola Examen final

45. Calificación de exámenes En la clase de historia, una puntuación promedio de 70 a 79 obtiene una calificación de C. Un estudiante obtiene puntuaciones de 64, 58, 82 y 77 en sus cuatro exámenes. Encuentre el rango de puntuación en el quinto examen que le permitirá obtener una calificación de C al final del curso. 46. Movimiento uniforme Un corredor y un ciclista parten a las 8 A.M. del mismo lugar y en la misma dirección. La velocidad promedio del ciclista es dos y media veces la velocidad promedio del corredor. Tras 2 h, el ciclista está 24 mi delante del corredor. ¿Qué tan lejos llegó el ciclista? 47. Inversiones Usted tiene un total de $12,000 invertidos en dos cuentas a interés simple. Una de ellas es un fondo del mercado de dinero cuya tasa de interés simple es 8.5% anual. La otra cuenta es un fondo de bonos libre de impuestos, cuya tasa de interés anual simple es 6.4%. El total de intereses obtenido por usted en las dos cuentas es $936. ¿Cuánto tiene invertido en cada cuenta? 48. Geometría El ancho de un rectángulo es 1 pie menor que el triple de su largo. El área del rectángulo es 140 pies2. Calcule el largo y el ancho del rectángulo.

3w – 1 w

49. Inversiones Trescientas acciones de una empresa de servicio público rindieron un dividendo anual de $486. ¿Cuántas acciones de la misma empresa tendrían un rendimiento total de $810? 50. Movimiento uniforme Un ejecutivo de cuenta viajó 45 millas en automóvil y luego 1050 millas en avión. La tasa de velocidad del avión fue siete veces la tasa de velocidad del automóvil. El tiempo total del viaje fue 3 41 h. Calcule la tasa de velocidad del avión. 51. Física Se deja caer un objeto desde la parte superior de un edificio. Calcule la distancia que ha caído cuando alcanza una velocidad de 75 pies/s. Utilice la ecuación v 5 !64d, donde v es la velocidad del objeto y d la distancia. Redondee al entero más cercano. 52. Movimiento uniforme Un pequeño avión viaja 660 millas en 5 horas. Al principio viajó 360 mi a tasa de velocidad constante, antes de aumentar su velocidad 30 mph. Viajó las otras 300 mi a esta mayor velocidad. Calcule la tasa de velocidad del avión durante las primeras 360 mi. 53. Luz La intensidad (L) de una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) desde la fuente. Si la intensidad es de 8 lúmenes a 20 pies de distancia, ¿cuál es la intensidad a una distancia de 4 pies? 54. Movimiento uniforme Una lancha de motor que viaja río abajo puede recorrer 30 millas en 2 horas. Contra la corriente, le toma 3 h recorrer la misma distancia. Calcule la tasa de velocidad de la lancha en aguas en calma y la tasa de velocidad de la corriente. 55. Inversiones Un inversionista deposita $4000 en una cuenta que rinde 9% de interés anual compuesto al mes. Utilice la fórmula del interés compuesto P 5 A 11 1 i2 n, donde A es el valor original de la inversión, i la tasa de interés por periodo compuesto, n el número total de periodos compuestos, y P el valor de la inversión luego de n periodos, para calcular el valor de la inversión luego de dos años. Redondee a la centena más cercana. 56. Apreciación Suponga que el valor promedio de una casa aumenta 6% anual. ¿Cuánto valdrá una casa de $180,000 dentro de 20 años? Redondee a la unidad monetaria más cercana.

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Tabla de propiedades Digital Vision

APÉNDICE

Propiedades de los números reales Propiedad asociativa de la suma Si a, b, y c son números reales, entonces 1a 1 b2 1 c 5 a 1 1b 1 c2 .

Propiedad asociativa de la multiplicación Si a,, b,, y c son números reales, entonces 1a # b2 # c 5 a # 1b # c2 .

Propiedad conmutativa de la suma Si a y b son números reales, entonces a 1 b 5 b 1 a.

Propiedad conmutativa de la multiplicación Si a y b son números reales, entonces a # b = b # a.

Propiedad del neutro aditivo Si a es un número real, entonces a 1 0 5 0 1 a 5 a.

Propiedad del neutro multiplicativo Si a es un número real, entonces a # 1 = 1 # a = a.

Propiedad de la multiplicación por cero Si a es un número real, entonces a # 0 = 0 # a = 0.

Propiedad del inverso multiplicativo 1 1 Si a es un número real y a 2 0, entonces a # 5 # a 5 1. a a Propiedad distributiva Si a, b, y c son números reales, entonces a(b 1 c) 5 ab 1 ac o (b 1 c)a 5 ba 1 ca.

Propiedad del inverso aditivo Si a es un número real, entonces a 1 (2a) 5 (2a) 1 a 5 0

Propiedades de las ecuaciones Propiedad de la suma de las ecuaciones El mismo número o término variable puede añadirse a cada lado de una ecuación sin cambiar la solución de la misma.

Propiedad de la multiplicación de las ecuaciones Cada lado de una ecuación puede multiplicarse por el mismo número diferente de cero sin modificar la solución de la misma.

Propiedades de las desigualdades Propiedad de la suma de las desigualdades Si a . b, entonces a 1 c . b 1 c. Si a , b, entonces a 1 c , b 1 c.

Propiedad de la multiplicación de las desigualdades Si a . b y c . 0, entonces ac . bc. Si a , b y c . 0, entonces ac , bc. Si a . b y c , 0, entonces ac , bc. Si a , b y c , 0, entonces ac . bc.

661

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662

APÉNDICE

Propiedades de los exponentes Si m y n son números enteros, entonces xm # xn 5 xm1n.

Si m, n y p son números enteros, entonces (xm # yn) p 5 xmpymp.

Si m y n son números enteros, entonces (xm)n = xmn.

Si n es un entero positivo y x Z 0, entonces 1 1 x2n 5 n y 2n 5 x n. x x Si m, n y p son números enteros, y y Z 0, entonces x mp xm p a n b 5 np . y y

Si x Z 0, entonces x0 = 1. Si m y n son números enteros, y x Z 0, entonces xm 5 x m 2 n. xn

Principio del producto cero Si a # b 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0.

Propiedades de las expresiones radicales Si a y b son números reales positivos, entonces n n n !ab 5 !a !b.

Si a y b son números reales positivos, entonces n a !a n 5 n . Äb !b

Propiedad de elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación Si a y b son números reales y a 5 b, entonces a2 = b2.

Propiedades de los logaritmos Si x, y y b son números reales positivos y b Z 1, entonces logb 1xy2 5 logb x 1 logb y.

Si x y b son números reales positivos, b Z 1, y r es cualquier número real y logb xr 5 r logb x.

Si x, y y b son números reales positivos y b Z 1, entonces x logb 5 logb x 2 logb y. y

Si x y b son números reales positivos y b Z 1, entonces logb bx 5 x.

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Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus Digital Vision

APÉNDICE

Operaciones básicas

Los cálculos numéricos se realizan en la pantalla de inicio. Siempre se puede volver a dicha pantalla al oprimir 2ND QUIT. Al oprimir CLEAR se borra la pantalla de inicio. Para evaluar la expresión 22(3 1 5) 28 4 4, utilice las siguientes pulsaciones del teclado.

Tome nota

2

Las descripciones al margen (por ejemplo, Operaciones básicas y Números complejos) son las mismas que aquellas utilizadas en el libro y que son ordenadas alfabéticamente.

3

5

8

–

4

−2(3+5)–8/4 -18

ENTER

Nota: existe una diferencia entre la tecla para introducir un número negativo , y la tecla para la resta – . No se pueden utilizar estas teclas de manera intercambiable.

√(49) 7

La tecla 2ND se utiliza para acceder a los comandos de escritura color azul sobre la tecla. Por ejemplo, para calcular !49, presione 2ND ! 49 . ENTER

La tecla ALPHA se utiliza para colocar una letra en la pantalla. Una de las razones para llevarlo a cabo es almacenar un valor de una variable. Las siguientes teclas le dan a A el valor de 5. 5

STO

ALPHA

A

5→A 5

ENTER

Este valor ya está disponible en los cálculos. Por ejemplo, se puede encontrar el valor de 3a2 al utilizar las siguientes teclas: 3 ALPHA A x . Para mostrar el valor de la variable en la pantalla, presione 2ND RCL ALPHA A. 2

3A2 75

Nota: cuando se utiliza la tecla ALPHA , sólo las letras mayúsculas están disponibles en la calculadora TI-83.

Números complejos

Para realizar operaciones con números complejos, primero presione MODE y después utilice las teclas de flechas para seleccionar a 1 bi. Después oprima 2ND QUIT ENTER

Suma de números complejos Para sumar (3 1 4i) + (2 2 7i), utilice las teclas 3 2

–

4

2ND

i

7

2ND

i

Normal Sci Eng Float 0123456789 Radian Degree Func Par Pol Seq Connected Dot Sequential Simul Real a+bi re^θi Full Horiz G–T (3+4i)+(2–7i) 5–3i

ENTER

.

663

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664

APÉNDICE

División de números complejos Para 1 2i dividir 26 , utilice las teclas 2 1 4i

(26+2i)/(2+4i) 3–5i

26 2 2ND i 2 4 2ND i . Nota: las operaciones de resta y multiplicación son similares. ENTER

Las operaciones adicionales con números complejos se pueden encontrar al seleccionar CPX bajo la tecla MATH .

MATH NUM CPX PRB 1 : conj( 2 : real( abs(2–5i) 3 : imag( 4 : angle( 5 : abs( 6 : Rect 7 : Polar

Para encontrar el valor absoluto de 2 2 5i, oprima MATH (desplace hasta CPX) (desplace hasta abs) (2 – . 5 2ND i

5.385164807

ENTER

ENTER

Evaluación de funciones

Tome nota Utilice la tecla de flecha hacia abajo para desplazarse al último Y 7 para ver Y8, Y9 y Y0.

Existen varios métodos para evaluar una función, pero todos requieren que la expresión se introduzca como una de las diez funciones Y1 x2 a Y0. Para evaluar f 1x2 5 x 2 1 cuando x 5 23, introduzca la expresión dentro, por ejemplo, Y1, y después oprima VARS 11 3 .

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X2/(X–1) \Y 2 = − \Y 3 = Y 1( 3) \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

–2.25

ENTER

Nota: si trata de evaluar una función en un número que no está en el dominio de la función, recibirá un mensaje de error. Por ejemplo, 1 no está en el dominio de f 1x2 5

Y1(1) ERR:DIVIDE BY 0 1: Quit 2: Goto

2

x x 2 1.

Si tratamos de evaluar la función en 1, aparece la pantalla de error de la derecha.

Evaluación de expresiones algebraicas

Para evaluar una expresión algebraica, primero almacene los valores de cada variable. Después introduzca la expresión algebraica. Por ejemplo, para evaluar s2 1 2sl cuando s 5 4 y l 5 5, utilice las siguientes teclas. 4

STO

ALPHA

2

x2

Graficar

S

ENTER

ALPHA

5 STO ALPHA L S ALPHA L

ENTER

ALPHA

4→S 4 5→L 5 S2+2SL 56

S

ENTER

Para graficar una función, utilice la tecla Y = para ingresar la expresión para la función, seleccione una ventana de visualización adecuada, y después oprima GRAPH . Por ejemplo, para graficar f (x) 5 0.1x3 2 2x 2 1 en la ventana de visualización estándar, utilice las siguientes teclas. Y=

0.1

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n

^

3

–

2

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ, n

–

1

ZOOM

(desplazar hasta 6)

ENTER

10

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = 0.1X^3–2X–1 \Y 2 = \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

ZOOM MEMORY 1 : ZBox 2: Zoom In 3: Zoom Out 4: ZDecimal 5: ZSquare 6: ZStandard 7 ZTrig

10

–10

–10

Nota: para las teclas anteriores, no tiene que desplazarse hasta 6. Como alternativa, utilice ZOOM 6. Se seleccionará la ventana de visualización estándar y se iniciará automáticamente la gráfica. Utilice la tecla WINDOW para crear una ventana personalizada para una gráfica.

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665

APÉNDICE

Graficar desigualdades

Para ilustrar esta función, graficaremos y # 2x 2 1. Ingrese 2x 2 1 dentro de Y1. Puesto que y # 2x 2 1, queremos sombrear debajo de la gráfica. Mueva el cursor a la izquierda de Y1 y presione tres veces . Presione GRAPH . ENTER

Plot1 Plot2 Plot3 Y 1 = 2X–1 \Y 2 = \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 = –10

10

10

–10

Nota: para sombrear encima de la gráfica, mueva el cursor a la izquierda de Y1 y presione dos veces . Una desigualdad con el símbolo # o $ debe graficarse con una línea continua, y una desigualdad con el símbolo , o . deberá graficarse con una línea discontinua. Sin embargo, la gráfica de una desigualdad lineal en una calculadora graficadora no distingue entre una línea continua y una discontinua. ENTER

Para graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades, resuelva cada desigualdad para y y grafique cada desigualdad. El conjunto solución es la intersección de las dos desigualdades. El conjunto 3x 1 2y . 10 solución de se mues4x 2 3y # 5 tra a la derecha.

Plot1 Plot2 Plot3 Y 1 = −3X /2+5 Y 2 = 4X /3–5/3 \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 = –10

10

10

–10

Intersección

La función INTERSECT se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones. Para ilus2x 2 3y 5 13 . trar esta función, utilizaremos el sistema de ecuaciones 3x 1 4y 5 26 Nota: algunas ecuaciones pueden resolverse mediante este método. Observe la siguiente sección “Resolver una ecuación”. Además, este método se utiliza para encontrar un número en el dominio de una función para un número dado en el rango. Vea la sección “Encontrar un elemento del dominio”. Resuelva cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones para y. En este caso 2 13 3 3 tenemos y 5 3x 2 3 y y 5 2 4 x 2 2. Utilice el editor Y para introducir 2 2 13 en Y y 3 3 2 4 x 2 2 en Y2. 1 3x 3 Grafique las dos funciones de la ventana de visualización estándar. (Si la ventana no muestra el punto de intersección de las dos gráficas, ajústela hasta que pueda ver el punto de intersección.)

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = 2X/3–13/3 \Y 2 = −3X/4–3/2 \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 = –10

10

10

–10

Presione 2ND CALC (desplace hasta 5, Intersect) . ENTER

De forma alterna, puede oprimir 2ND CALC 5.

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CALCULATE 1 : value 2: zero 3: minimum 4: maximum 5: intersect 6: dy/dx 7: ∫f(x)dx

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666

APÉNDICE 10

First curve? se muestra en la parte inferior de

Y1=2X/3–13/3

la pantalla e identifica una de las dos gráficas de la pantalla. Presione la tecla . ENTER

–10

10

First curve? X=0

Y= −4.333333 –10

Second curve? se muestra en la parte inferior de la pantalla e identifica la segunda de las dos gráficas en la pantalla. Presione la tecla . ENTER

10

Y2=−3X/4–3/2

–10

10

Second curve? X=0 Y=−1.5 –10 10

Guess? se muestra en la parte inferior de la

pantalla y le pide utilizar la tecla de flechas izquierda o derecha para mover el cursor a la ubicación aproximada del punto de intersección. (Si existen dos o más puntos de intersección, no importa cuál se elija primero.) . Oprima ENTER

–10

10

Intersection X=2

Y=−3 –10

La solución del sistema de ecuaciones es (2, 23).

Resolver una ecuación Para ilustrar los pasos a seguir, resolveremos la ecuación 2x 1 4 5 23x 2 1. La idea es escribir la ecuación como el sistema de ecuaciones y 5 2x 1 4 y después utilizar los pasos para resolver un sistema de ecuaciones. y 5 23x 2 1 Utilice Y-editor para entrar a los lados izquierdo y derecho de la ecuación en Y1 y Y2. Grafique las dos funciones y siga los pasos para Intersect. La solución es 21, la coordenada x del punto de intersección.

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = 2X+4 \Y 2 = −3X–1 \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 = –10

10

10

Intersection X=−1

Y=2 –10

Encontrar el elemento del dominio Para este ejemplo, encontraremos un número en 2 el dominio de f 1x2 5 2 3 x 1 2 que corresponda a 4 en el rango de la función. Esto es como resolver el sistema de ecuaciones y 5 2 32 x 1 2 y y 5 4. Utilice Y-editor para ingresar la expresión para la función en Y1 y el resultado deseado, 4, en Y2. Grafique las dos funciones, y después siga los pasos para Intersect. El punto de intersección es (23, 4). El número 23 en el dominio de f produce un resultado de 4 en el rango de f.

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 666

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = −2X/3+2 \Y 2 = 4 \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 = –10

10

10

Intersection X=−3

Y=4 –10

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667

APÉNDICE

Math

Al oprimir MATH ello le dará acceso a muchas funciones integradas. Las siguientes teclas convertirán 0.125 en una fracción: 0.125 MATH 1 . ENTER

.125

MATH NUM CPX PRB 1 : Frac 2 : Dec 3:3 4 : 3√( 5 : x√ 6 : fMin( 7 fMax(

.125 Frac 1/8

Se pueden encontrar otras funciones integradas bajo MATH al oprimir MATH MATH ejemplo, para calcular, 2 0 225 0, presione 1 25 .

. Por

ENTER

–

MATH NUM CPX PRB 1 : abs( 2 : round( 3 : iPart( 4 : fPart( 5 : int( 6 : min( 7 max(

Consulte el manual del propietario para obtener ayuda con otras funciones bajo la tecla MATH .

Min y Max

Los valores local mínimo y máximo de una función se calculan mediante el acceso al menú CALC. Para esta demostración, encontraremos el valor mínimo y el valor máximo de f 1x2 5 0.2x3 1 0.3x2 2 3.6x 1 2. Introduzca la función en Y1. Presione 2ND CALC (desplace hasta 3 para el mínimo de . la función)

CALCULATE 1 : value 2: zero 3: minimum 4: maximum 5: intersect 6: dy/dx 7: ∫f(x)dx

ENTER

También puede oprimir

2ND

CALC 3.

15

Left Bound? Se muestra en la parte inferior

de la pantalla y le pide utilizar las teclas de flechas izquierda o derecha para mover el cursor a la izquierda del mínimo. Oprima la tecla .

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

–10

10

ENTER

Left Bound? X=1.0638298 Y=−1.249473 –15 15

Right Bound? Se muestra en la parte inferior

de la pantalla y le pide utilizar las teclas de flechas izquierda o derecha para mover el cursor a la derecha del mínimo. Oprima la tecla .

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

–10

10

ENTER

Right Bound? X=2.9787234 Y=−.775647 –15

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 667

12/10/12 01:45 p.m.

668

APÉNDICE 15

Guess? Se muestra en la parte inferior de la

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

pantalla y le pide utilizar las teclas de flechas izquierda o derecha para mover el cursor a la ubicación aproximada del mínimo. Oprima la tecla .

–10

10

ENTER

Guess? X=1.9148936

Y=−2.389259

–15

El valor mínimo de la función es la coordenada y. Para este ejemplo, el valor mínimo de la función es 22.4.

15

La coordenada x para el mínimo es 2. Sin embargo, debido a errores de redondeo en el cálculo, se muestra como un número cercano a 2.

–10

10

Minimum X=1.9999972 Y=−2.4 –15

Para encontrar el valor máximo de la función, siga los mismos pasos anteriores, excepto al seleccionar maximum en el menú CALC. Las pantallas para este cálculo se muestran a continuación. 15

CALCULATE 1 : value 2: zero 3: minimum 4: maximum 5: intersect 6: dy/dx 7: ∫f(x)dx

15

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

–10

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

10

Left Bound? X=−3.617021

–10

10

Right Bound? X=−2.12766 Y=9.0912996

Y=9.4819452

–15

–15

15

15

Y1=.2X^3+.3X2–3.6X+2

–10

10

Guess? X=−2.765957 Y=10.0204

–10

10

Maximum X=−3

–15

Y=10.1 –15

El valor máximo de la función es 10.1.

Expresiones radicales

Para evaluar una expresión de raíz cuadrada, oprima 2ND ! .

100000→P 100000 0.15√(P2+4P+10)

Por ejemplo, para evaluar 0.15!p2 1 4p 1 10 cuando p 5 100,000, primero almacene 100,000 en ALPHA P x P. Después oprima 0.15 2ND ! ALPHA 4 P 10 .

15000.3

2

ENTER

Para evaluar una expresión radical que x no sea una raíz cuadrada, acceda a ! MATH al oprimir . Por ejemplo, para eva4 luar !67, presione 4 (el índice del radical) MATH (desplace hasta 5) 67 . ENTER

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 668

ENTER

MATH NUM CPX PRB 1 : Frac 2 : Dec 4x√67 3:3 4 : 3√( 5 : x√ 6 : fMin( 7 fMax(

2.861005553

12/10/12 01:45 p.m.

669

APÉNDICE

Notación científica

3.45 3 10212, 1.5 3 1025 2ND

Sucesiones y series

3.45E−12/1.5E25

Para introducir un número en notación científica, utilice 2ND EE. Por ejemplo, para encontrar

EE 25

oprima 3.45

EE

2ND

12

1.5 237

. La respuesta es 2.3 3 10

ENTER

2.3E−37

.

Los términos de una sucesión y la suma de una serie pueden ser calculados utilizando la función 2ND LIST. Almacenar una sucesión Una sucesión se almacena en una de las listas L1 a L6. Por ejemplo, para almacenar la sucesión 1, 3, 5, 7, 9 en L1, utilice las siguientes teclas. 2ND

9

{1 }

2ND

3

, STO

5

,

L1

2ND

7

,

{1,3,5,7,9}→L1 {1,3,5,7,9}

,

ENTER

Visualizar los términos de una sucesión Los términos de una sucesión se muestran mediante la función seq(expression, variable, begin, end, increment). Por ejemplo, para mostrar los términos tercero hasta el octavo de la secuencia dada por an 5 n2 1 6, oprima las siguientes teclas. 2ND

ENTER

, ,

LIST X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n

6

x2

ENTER

3

,

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n

1

NAMES OPS MATH 1 : SortA( 2 : SortD( seq(X2+6,X,3,8,1) 3 : dim( {15 22 31 42 55… 4 : Fill( : 5 seq( 6 : cumSum( 7 ΔList(

(desplace hasta 5)

STO

8

,

L1

2ND

ENTER

2ND Las teclas STO L1 almacenan los términos de la sucesión de L1. Esto no es necesario, pero a veces es útil si el trabajo adicional se realiza con esa sucesión. ENTER

Encontrar una sucesión de sumas parciales Para encontrar una sucesión de sumas parciales, utilice la función cumSum(. Por ejemplo, para encontrar la sucesión de las sumas parciales de 2, 4, 6, 8, 10, utilice las siguientes teclas. 2ND

ENTER

,

LIST

(desplazar hasta 6)

2ND

{2

8

,

,

10

4 2ND

,

NAMES OPS MATH 1 : SortA( 2 : SortD( cumSum({2,4,6,8,10}) 3 : dim( {2 6 12 20 30} : 4 Fill( : 5 seq( 6 : cumSum( 7 ΔList(

6

}

ENTER

Si una sucesión se almacena como una lista en L1, entonces la sucesión de sumas parciales se pueden calcular al oprimir 2ND pulse 6]) L1 . ENTER

2ND

LIST

(desplace hasta 6 [o

ENTER

Encontrar la suma de una serie La suma de una serie se calcula al utilizar sum. Por ejemplo, para encontrar a 1n2 1 22, introduzca las siguientes teclas. 6

n53

2ND

LIST

(desplace hasta 5)

LIST [u oprimir 5]) ENTER

ENTER

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 669

2ND

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n

,

3

,

6

x2

,

1

(desplace hasta 5 2

,

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ, n

NAMES OPS MATH 1 : min( 2 : max( sum(seq(X2+2,X,3,6,1)) 3 : mean( 4 : median( 5 : sum( 6 : prod( 7 stdDev(

94

ENTER

12/10/12 01:45 p.m.

670

APÉNDICE

Tabla

Existen tres pasos para la creación de una tabla de entrada/salida para una función. En primer lugar utilice el editor Y = para introducir la función. El segundo paso es la creación de la tabla, y el tercero es mostrar la tabla. Para crear la tabla, oprima 2ND TBLSET. TblStart es el primer valor de la variable independiente en la entrada/salida de la tabla. ^Tbl es la diferencia entre los valores sucesivos. Establecer en 1 significa que, para esta tabla, los valores de entrada son 22, 21, 0, 1, 2, . . . . Si ^Tbl = 0.5, luego los valores de entrada son de 22, 21.5, 21, 20.5, 0, 0.5,....

TABLE SETUP TblStart=−2 ΔTbl=1 Indpnt: Auto Depend: Auto

Ask Ask

Indpnt es la variable independiente. Cuando se establece en Auto, los valores de la variable independiente se introducen automáticamente en la tabla. Depend es la variable dependiente. Cuando se establece en Auto, los valores de la variable dependiente

se introducen automáticamente en la tabla. Para desplegar la tabla, oprima 2ND TABLE. Una tabla de entrada/salida para f 1x2 5 x2 2 1 se muestra a la derecha. Una vez que la tabla se muestra en la pantalla, las teclas de flechas hacia arriba y abajo pueden utilizarse para mostrar más valores en la tabla. Para la tabla de la derecha, se utiliza la tecla de flecha arriba para mover a x 5 7.

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X2–1 \Y 2 = X Y1 \Y 3 = −2 3 −1 \Y 4 = 0 X −1 0 \Y 5 = −7 0 1 −6 \Y 6 = 3 2 −5 \Y 7 = 8 3 4

15

X=−2

Una tabla de entrada/salida para cualquier entrada puede crearse al seleccionar Ask para la variable independiente. La tabla de la derecha muestra una tabla de entrada/salida para f 1x2 5 x 4x 2 2 para valores seleccionados de x. Observe la palabra ERROR cuando se introduce 2. Esto ocurrió porque f no está definida cuando x 5 2.

−4 −3 −2 −1 X=−7

Y1 48 35 24 15 8 3 0

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = 4X/(X–2) \Y 2 = TABLE SETUP \Y 3 = TblStart=–2 \Y 4 = ΔTbl=1 Auto \Y 5 = Indpnt: Auto \Y 6 = Depend: \Y 7 = X Y1 3 −5 0 4 2 −3

Ask Ask

12 2.8571 0 8 ERROR 2.4

X=

Nota: al utilizar la función de tabla en modo Ask es lo mismo que evaluar una función para los valores dados de la variable independiente. Por ejemplo, a partir de la tabla anterior tenemos que f 142 5 8.

Test

La función TEST tiene muchas aplicaciones, una de las cuales es graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales con una variable. Para ilustrar esta característica, graficaremos el conjunto solución de x 2 1 , 4. Oprima Y = X,T,θ,n – 1 2ND TEST (desplace hasta 5) 4 GRAPH . ENTER

10

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X–1 \Y 2 = \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

TEST LOGIC 1: = 2: ≠ 3: > 4: ≥ 5: < 6: ≤

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X–1 < 4 \Y 2 = \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

–10

10

–10

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 670

12/10/12 01:45 p.m.

671

APÉNDICE

Trace

10

Una vez que se traza una gráfica, al oprimir TRACE se colocará el cursor en la pantalla, y las coordenadas del punto por debajo del cursor se muestran en la parte inferior de la pantalla. Utilice las teclas de flechas izquierda y derecha para mover el cursor a lo largo de la gráfica. Para la gráfica de la derecha, tenemos f (4.8) 5 3.4592, donde f (x) 5 0.1x3 2 2x + 2 aparece en la parte superior izquierda de la pantalla.

Y1=.1X^3–2X+2

–10

10

X=4.8

Y=3.4592 –10

En el modo TRACE, usted puede evaluar una función en cualquier valor de la variable independiente que está dentro de Xmin y Xmax. Para realizar esto, primero . Para la gráfica de abajo grafique la función. Ahora oprima TRACE (el valor de x) a la izquierda, utilizamos x 5 23.5. Si se elige un valor de x fuera de la ventana, aparecerá un mensaje de error. ENTER

10

10

10

Y1=.1X^3–2X+2

Y1=.1X^3–2X+2

Y1=.1X^3–2X+2

–10

10 –10

X=−3.5

ERR:INVALID 1: Quit 2: Goto

10 –10

X=−3.5 –10

Y=4.7125

10

X=55

–10

–10

En el ejemplo anterior donde se ingresó 23.5 para x, el valor de la función se calculó como 4.7125. Esto significa que f 123.52 5 4.7125. Las teclas 2ND QUIT VARS 11 MATH 1 convertirán el valor decimal en una fracción.

Y1 Frac 377/80

ENTER

Cuando la función TRACE se utiliza con dos o más gráficas, se utilizan las teclas con flechas hacia arriba y hacia abajo para desplazarse entre las gráficas. Las gráficas siguientes son las funciones f 1x2 5 0.1x3 2 2x 1 2 y g 1x2 5 2x 2 3. Mediante el uso de las flechas hacia arriba y hacia abajo se puede colocar el cursor sobre cualquier punto de la gráfica. Las flechas izquierda y derecha se utilizan para moverse a lo largo de la gráfica. 10

10

Y1=.1X^3–2X+2

Y2=2X–3

–10

10

X=−1.4

–10

Y=4.5256

10

X=−1.4

Ventana

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 671

La ventana de visualización de una gráfica se controla al presionar WINDOW . Xmin y Xmax son los valores mínimos y los valores máximos, respectivamente, de la variable independiente mostrada en la gráfica. Xscl es la distancia entre las marcas en el eje x. Ymin y Ymax son el valor mínimo y el valor máximo, respectivamente, de la variable dependiente mostrada en la gráfica. Yscl es la distancia entre las marcas en el eje y. Establezca Xres como 1.

Y= −5.8 –10

–10

Ymax Yscl Xscl Xmax

Xmin

Ymin

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672

APÉNDICE

Nota: en la ventana de visualización estándar, la distancia entre las marcas en el eje x es distinta de la distancia entre las marcas en el eje y. Esto distorsionará la gráfica. Una imagen más precisa de una gráfica puede crearse mediante el uso de una ventana de visualización cuadrada. Vea ZOOM. Y=

El editor Y = se utiliza para introducir la expresión para una función. Existen diez posibles funciones, con etiqueta Y1 hasta Y0, que pueden estar activas en cualquier momento. Por ejemplo, para ingresar en f (x) 5 x2 + 3x 2 2 como Y1, utilice las siguientes teclas. Y=

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n

3

x2

X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ, n

–

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X2+3X–2 \Y 2 = \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

2

Nota: si una expresión ya ha sido ingresada para Y1, coloque el cursor en cualquier lugar en esa expresión y oprima CLEAR . Para introducir s 5

2v 2 1 v3 2 3

en Y2, coloque el cursor a la derecha del signo de igual para Y2. Después X,T,θ X,T, θ,n X,T,θ X,T, X,T,θ,n θ,n – oprima 2 X,T,θ,n 1 ^ 3 – 3 .

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X2+3X–2 \Y 2 = (2X–1)/(X^3–3) \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

Nota: cuando se introduce una ecuación, la variable independiente, v, en la exX,T,θ X,T, θ,n . La variable dependiente, s, en la presión anterior, se introduce mediante X,T,θ,n expresión anterior, es uno de Y1 hasta Y0. También observe el uso de los paréntesis para asegurar el orden correcto de las operaciones. Observe el rectángulo negro que cubre el signo igual para los dos ejemplos que se muestran. Este rectángulo significa que la función está “activa”. Si se tuviera que oprimir GRAPH , entonces aparecería la gráfica de ambas funciones. Usted puede desactivar una función mediante las teclas de flechas para mover el cursor sobre los signos de igual de esa función y después oprimir . Esto eliminará el rectángulo negro. Se ha realizado esto para Y2, como se muestra aquí. Ahora bien, si se presiona sólo GRAPH , Y1 se graficará.

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = X2+3X–2 \Y 2 = (2X–1)/(X^3–3) \Y 3 = \Y 4 = \Y 5 = \Y 6 = \Y 7 =

ENTER

También es posible controlar la apariencia de la gráfica al mover el cursor de la pantalla Y = a la izquierda de cualquier Y. Con el cursor en esta posición, al oprimir cambiará el aspecto de la gráfica. Las opciones se muestran a la derecha. ENTER

Cero

Plot1 Plot2 Plot3 \Y 1 = Default graph line \ Y2 = Bold graph line Y3 = Shade above graph Y 4 = Shade below graph -0Y 5 = Draw path of graph 0Y 6 = Travel path of graph Y 7 = Dashed graph line

La característica cero de una calculadora graficadora se utiliza para diversos cálculos: para encontrar las intersecciones con el eje x de una función, para resolver algunas ecuaciones, y para encontrar el cero de una función. Intersecciones con el eje x Para ilustrar el procedimiento para encontrar las intersecciones con el eje x, utilizaremos f 1x2 5 x2 1 x 2 2. Primero utiliceY-editor para introducir la expresión para la función y luego grafique la función en la ventana de visualización estándar. (Podría ser necesario ajustar esta ventana para que las intersecciones sean visibles.) Una vez que se visualice la gráfica, utilice las siguientes teclas para encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de la función.

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 672

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673

APÉNDICE

Presione 2ND CALC (desplace a 2 para obtener el zero de la función) . ENTER

De forma alterna, puede oprimir

2ND

CALC 2.

Left Bound? se muestra en la parte inferior de la pantalla y le pide utilizar las teclas de flecha izquierda o derecha para mover el cursor a la izquierda de la intersección con el eje x deseada. Oprima .

CALCULATE 1 : value 2: zero 3: minimum 4: maximum 5: intersect 6: dy/dx 7: ∫f(x)dx 10

Y1=X^2+X–2

–10

10

ENTER

Left Bound? X=−2.553191

Y=1.9655953

–10

Right Bound? se muestra en la parte inferior de la pantalla y le pide utilizar las teclas de flecha izquierda o derecha para mover el cursor a la derecha de la intersección con el eje x deseada. Oprima . ENTER

10

Y1=X^2+X–2

–10

10

Right Bound? X=−1.06383 Y=−1.932096 –10 10

Guess? se muestra en la parte inferior de la

pantalla y le pide utilizar las teclas de flecha izquierda o derecha para mover el cursor a la ubicación aproximada de la intersección con el eje x deseada. Oprima .

Y1=X^2+X–2

–10

10

ENTER

Guess? X=−2.12766

Y=.39927569 –10 10

La coordenada x de una intersección con el eje x es 22. Por tanto, una intersección con el eje x es (22, 0). –10

10

Zero X=−2

Y=0 –10

Para encontrar la otra intersección con el eje x, siga los mismos pasos anteriores. Las pantallas de este cálculo se muestran a continuación. 10

10

10 –10

–10

Left Bound? X=.63829787 Y=−.954278 –10

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 673

10

Y1=X^2+X–2

Y1=X^2+X–2

10 –10

Right Bound? X=1.4893617 Y=1.70756 –10

10

Y1=X^2+X–2

Y1=X^2+X–2

10 –10

10

Guess? X=1.0638298 Y=.19556361

Zero Guess? X=1 Y=0 X=1.0638298 Y=.19556361

–10

–10

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674

APÉNDICE

Una segunda intersección con el eje x es (1, 0). Resolver una ecuación Para utilizar la función ZERO para resolver una ecuación, primero se reescribe la ecuación con todos los términos de un lado. Por ejemplo, una manera de resolver la ecuación x3 2 x 1 1 5 22x 1 3 es primero reescribirla como x3 + x 2 2 5 0. Ingrese x3 + x 2 2 en Y1 y después siga los pasos para encontrar las intersecciones con el eje x. Encontrar los ceros reales de una función Para encontrar los ceros reales de una función, siga los pasos para encontrar las intersecciones con el eje x.

Zoom

14_Uso de la calculadora_AUFMANN.indd 674

Al oprimir la tecla ZOOM , ello le permite seleccionar algunas de las ventanas de visualización preestablecidas. Esta tecla también permite el acceso a ZBox, Zoom In, y Zoom Out. Estas funciones le permiten volver a dibujar una parte seleccionada de una gráfica en una nueva ventana. A continuación se muestran algunas de las ventanas que se utilizan con frecuencia en este libro.

ZOOM MEMORY 1 : ZBox 2: Zoom In WINDOW 3: Zoom Out Xmin = −4.7 4: ZDecimal Xmax = 4.7 5: ZSquare Xscl = 1 6: ZStandard Ymin = −3.1 7 ZTrig Ymax = 3.1 Yscl = 1 Xres = 1

ZOOM MEMORY 1 : ZBox 2: Zoom In WINDOW 3: Zoom Out Xmin = −15.16129… 4: ZDecimal Xmax = 15.161290… 5: ZSquare Xscl = 1 6: ZStandard Ymin = −10 7 ZTrig Ymax = 10 Yscl = 1 Xres = 1

ZOOM MEMORY 1 : ZBox 2: Zoom In WINDOW 3: Zoom Out Xmin = −10 4: ZDecimal Xmax = 10 5: ZSquare Xscl = 1 6: ZStandard Ymin = −10 7 ZTrig Ymax = 10 Yscl = 1 Xres = 1

ZOOM MEMORY 4 ZDecimal 5: ZSquare WINDOW 6: ZStandard Xmin = −47 7: ZTrig Xmax = 47 8: ZInteger Xscl = 10 9: ZoomStat Ymin = −31 0: ZoomFit Ymax = 31 Yscl = 10 Xres = 1

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Digital Vision

Soluciones de los problemas de capítulo B. 5 x 0 x # 3 6 x 5 x 0 23 , x , 5 6 es el conjunto de los números reales menores o iguales que 4 y mayores que –3 y menores que 5. La gráfica de x # 3 se muestra por las llaves en 3 y la flecha que apunta hacia la izquierda, y la gráfica de 23 , x , 5 está el segmento entre –3 y 5.

Soluciones de los problemas del capítulo 1 SECCIÓN 1.1 Problema 1 Sustituya z por cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera. z#0 22 # 0 Una expresión verdadera 21 # 0 Una expresión verdadera 0#0 Una expresión verdadera 1#0 Una expresión falsa 2#0 Una expresión falsa La desigualdad es cierta para 22, 21, y 0. Problema 2 • Escriba la expresión para el inverso aditivo 2v

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

2

3

4

B. 5 x 0 21 , x # 2 6

121, 2 4

C. 5 x 0 x $ 22 6

0

15_Soluciones_AUFMANN.indd S1

1

3 22, ` 2

2

3

1

2

5 24 2 3 12272 5 24 1 81 5 105 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

Problema 8 A. 12`, 21 4 h 3 2, 42 es el conjunto de los números reales menores o iguales que –1 o mayores o iguales que 2 y menores que 4. La gráfica de 12`, 21 4 h 3 2, 42 contiene todos los puntos sobre las gráficas de 12`, 21 4 y 3 2, 42 . – 5 –4 –3 –2 –1

0

3

5 24 2 18 4 6 12272

5

Problema 7 Notación Notación de de conjuntos intervalos Gráfica A. 5 x 0 22 , x , 0 6 122, 02 –5 –4 –3 –2

4

5

4

5

4

5

Problema 2 A. 12142 1252 5 70 B. 12362 4 9 5 24 Problema 3 A. 253 5 2 15 # 5 # 52 5 2125 B. 1222 7 5 1222 1222 1222 1222 1222 1222 1222 5 2128 C. 34 # 1222 2 5 3 # 3 # 3 # 3 # 1222 # 1222 5 324 Problema 4 24 2 18 4 6 13 2 62 3 5 24 2 18 4 6 1232 3 • Realice las operaciones dentro de

Problema 6 1

3

Problema 1 A. 221 1 32 5 11 B. 7 2 12122 5 7 1 12 5 19

Problema 5 5 x 0 x # 7, x [ enteros 6 0

2

SECCIÓN 1.2

Problema 3 De la definición de valor absoluto, 0 223 0 5 23. Problema 4 5 27, 25 23, 21 6

– 5 – 4 – 3 –2 –1

1

Los números reales que satisfacen tanto a x # 3 como 23 , x , 5 corresponde a los puntos en la sección de superposición; aunque 5 x 0 x # 3 6 x 5 x 0 23 , x , 5 6 es el intervalo 123, 3 4 .

de v. • Sustituya v por cada elemento del conjunto y determine el valor de la expresión.

2 1282 5 8 2 102 5 0 2 192 5 29

0

Problema 5 4 2 2 3 125 2 92 4 23 4 2 5 4 2 2 3 16 4 23 4 2 5 4 2 2 3 16 4 8 4 2 5 4 2 2 3 2 42 5422#4 5428 5 24

los símbolos de agrupación. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Realice las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha. • Realice las sumas y restas de izquierda a derecha.

• Realice las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Primero, reste. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Divida. • Simplifique las expresiones con exponentes. • Multiplique. • Reste.

S1

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S2

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 1.3 Problema 1 Los signos son distintos. El producto es negativo. 10 14 10 # 14 4 52 a2 b 5 2 # 21 25 21 25 15 Problema 2 2 3 2 2 2 8 a2 b 5 a2 b a2 b a2 b 5 2 5 5 5 5 125 Problema 3 25 5 a2 b 4 a2 b 6 12 5 # 12 5 a2 b a2 b • Multiplique el recíproco del divisor. 6 25 5 # 12 2 • Los signos son los mismos. El producto 5 # 5 es positivo. 6 25 5 Problema 4 3 5 2 a2 b 12 8 5 3 5 1 • Reescriba la resta como suma del opuesto. 12 8 10 9 5 1 • Escriba cada fracción en términos del mcd. 24 24 19 5 • Sume los numeradores. 24 Problema 5 5 3 2 5 2a b 1 16 4 8 5 9 5 2 1 16 16 5 9 5 2 1 16 16

5 • Simplifique las expresiones con exponentes. 8 10 6 3 • Escriba cada fracción en 5 5 términos del mcd. Después 16 16 8 simplifique.

Problema 6 5 2 7 3 4 a 2 b 1 4 3 6 8 4 8 5 2 7 3 5a 2 b 1 4 6 6 8 4 1 2 7 3 5a b 1 4 2 8 4 1 7 3 5 1 4 4 8 4 1 7 5 1 4 6 17 5 12 Problema 7 3 2 2 3 4 2 2 1a b 3 1 3 2 10 5

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• Reste las fracciones dentro de los paréntesis. El mcd es 6.

1 12 2 2 • Simplifique el numerador y el denominador 5 1a b de la fracción compleja. 1 3 10 1 10 4 52 # 1 • Reescriba la fracción compleja y 12 1 9 simplifique la expresión con exponentes. 2

5 4 52 1 6 9 7 52 18 Problema 8 0.7142857 7q5.0000000 24 9 10 27 30 228 20 214 60 256 40 235 50 249 1 5 5 0.714285 7

• Multiplique primero. Después sume.

• La diferencia inicia al repetir.

Problema 9 6.4 4 120.82 1 1.2 10.32 2 0.22 5 6.4 4 120.82 1 1.2 10.09 2 0.22 • Las operaciones den5 6.4 4 120.82 1 1.2 120.112 5 28 1 120.1322

tro de los símbolos de agrupación. • Multiplique y divida de izquierda a derecha.

5 28.132

• Sume.

SECCIÓN 1.4 • Simplifique las expresiones con exponentes. • Divida.

Problema 1 1 1 1x2 a b 5 a b 1x2 4 4 Problema 2 La propiedad asociativa de la suma

• Sume.

Problema 3 1b 2 c2 2 4 ab 3 2 2 1242 4 2 4 1232 122 5 3 6 4 2 4 1232 122 5 36 4 1232 122 5 212 122 5 224

• Sustituya cada variable por su valor. • Utilice el orden o jerarquía de las operaciones.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 4 • La fórmula del área de la superficie SA 5 pr2 1 prl de un cono circular recto. SA 5 p 152 2 1 p 152 1122 SA 5 25p 1 60p SA 5 85p SA < 267.04 • Utilice la tecla p de una calculadora. El área exacta es de 85p cm2. El área aproximada es de 267.04 cm2. Problema 5 12x 1 xy 2 y2 2 15x 2 7xy 1 y2 5 2x 1 xy 2 y 2 5x 1 7xy 2 y • Propiedad distributiva. • Simplifique los 5 23x 1 8xy 2 2y términos semejantes.

Problema 6 2x 2 3 3 y 2 3 1x 2 2y 1 42 4 5 2x 2 3 3 y 2 3x 1 6y 2 12 4 5 2x 2 3 3 7y 2 3x 2 12 4 5 2x 2 21y 1 9x 1 36 5 11x 2 21y 1 36

• Propiedad distributiva. • Simplifique los términos semejantes. • Propiedad distributiva • Simplifique los términos semejantes.

SECCIÓN 1.5 Problema 1 el número desconocido: n dos veces el número desconocido: 2n

• Asigne una variable al número desconocido. • Utilice la variable para escribir una expresión para cualquier otra cantidad desconocida.

la diferencia entre 8 y dos veces el número desconocido: 8 2 2n • Escriba la expresión algebraica. n 2 18 2 2n2 5 n 2 8 1 2n • Simplifique. 5 3n 2 8 Problema 2 el número desconocido: n 3 tres octavos del número: n 8 cinco doceavos del número: 3 5 n1 n 8 12 9 10 19 5 n1 n5 n 24 24 24

5 n 12

• Asigne una variable al número desconocido. • Utilice la variable para escribir las expresiones para los números en la suma. • Escriba la expresión algebraica. • Simplifique.

Problema 3 Las libras de caramelo: c Las libras de leche con chocolate: c 1 3 Problema 4 Profundidad de la parte menos profunda: D Profundidad de la parte más profunda: 2D 1 2

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Soluciones de los problemas del capítulo 2 SECCIÓN 2.1 Problema 1 6x 2 3 5 27 5 6x 2 3 1 3 5 27 1 3 5 6x 5 24 5 5 6 5 a xb 5 1242 6 5 6 10 x52 3

• Sume 3 a cada lado. • Simplifique. • Multiplique cada lado por el 6 recíproco de . 5 • Simplifique.

La solución es 210 3. Problema 2 3x 2 5 5 14 2 5x 3x 1 5x 2 5 5 14 2 5x 1 5x 8x 2 5 5 14 8x 2 5 1 5 5 14 1 5 8x 5 19 8x 19 5 8 8 19 x5 8 La solución es

• • • •

Sume 5x a cada lado. Simplifique. Sume 5 a cada lado. Simplifique.

• Divida cada lado entre 8. • Simplifique.

19 8.

Problema 3 6 15 2 x2 2 12 5 2x 2 3 14 1 x2 30 2 6x 2 12 5 2x 2 12 2 3x 18 2 6x 5 2x 2 12 18 2 5x 5 212 25x 5 230 x56 La solución es 6.

• • • • •

Propiedad distributiva. Simplifique. Sume x a cada lado. Reste 18 de cada lado. Divida cada lado entre 25.

Problema 4 El mcm de 3, 5, y 30 es 30. 5x 1 4 2x 2 4 2x 2 7 2 5 3 5 30 2x 2 7 5x 1 4 2x 2 4 30a 2 b 5 30a b 3 5 30

30 12x 2 72 30 15x 1 42 30 12x 2 42 2 5 3 5 30 10 12x 2 72 2 6 15x 1 42 5 2x 2 4 20x 2 70 2 30x 2 24 5 2x 2 4 210x 2 94 5 2x 2 4 29x 2 94 5 24 29x 5 90 x 5 210 La solución es 210.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 5 Estrategia El sueldo del próximo año: s El sueldo del próximo año es la suma del sueldo de este año, así como del incremento. Solución s 5 34,500 1 0.04 134,5002 5 34,500 1 1380 5 35,880 El sueldo del año próximo es $35,880.

Problema 3 Estrategia  Tasa de velocidad del segundo avión: r Tasa de velocidad del primer avión: r 1 30

Primer avión Segundo avión

SECCIÓN 2.2 Problema 1 Estrategia

 Libras de hamburguesa $4.00: x Libras de hamburguesa $2.80: 75 2 x Cantidad

Costo

Valor

$4.00 hamburguesa

x

4.00

4.00x

$2.80 hamburguesa

75 2 x

2.80

2.80(75 2 x)

75

3.20

75(3.20)

Mezcla

 La suma de los valores antes de mezclar es igual al valor después de mezclar. 4.00x 1 2.80 175 2 x2 5 75 13.202 Solución 4x 1 210 2 2.80x 5 240 1.2x 1 210 5 240 1.2x 5 30 x 5 25 El valor de x es la cantidad de la hamburguesa de $4.00. Para calcular la cantidad de hamburguesa de $2.80, sustituya el valor de x dentro de la expresión para la cantidad de hamburguesa de $2.80. 75 2 x 5 75 2 25 5 50 La mezcla debe contener 25 lb de la hamburguesa de $4.00 y 50 lb de la hamburguesa de $2.80. Problema 2 Estrategia La distancia es de 350 millas. Por tanto, d 5 350. El avión vuela con viento en contra, así que su tasa de velocidad es la diferencia entre su tasa de velocidad con viento en calma (175 mph) y la tasa de velocidad del viento (35 mph): 175 mph – 35 mph = 140 mph. Por tanto, r 5 140, para determinar el tiempo, resuelva la ecuación d 5 rt para t. Solución d 5 rt 350 5 140t • d 5 350, r 5 140 350 140t 5 140 140 2.5 5 t Al avión le toma 2.5 h recorrer 350 millas.

15_Soluciones_AUFMANN.indd S4

Solución:

Tasa de velocidad

Tiempo

Distancia

r + 30

4

4(r + 30)

r

4

4r

 La distancia total recorrida por los dos aviones es de 1160 millas. 4 1r 1 302 1 4r 5 1160 4r 1 120 1 4r 5 1160 8r 1 120 5 1160 8r 5 1040 r 5 130 El valor de r es la tasa de velocidad del segundo avión. Para calcular la tasa de velocidad del primer avión, sustituya el valor de r dentro de la expresión para la tasa de velocidad del primer avión. r 1 30 5 130 1 30 5 160 El primer avión viaja a 160 mph. El segundo avión viaja a 130 mph.

SECCIÓN 2.3 Problema 1 Estrategia

 Monto invertido al 7.5%: x Capital

Tasa

Interés

Monto al 5.2%

3500

0.052

0.052(3500)

Monto al 7.5%

x

0.075

0.075x

 La suma de los montos de intereses ganados por las dos inversiones es igual al total de los intereses anuales ganados ($575). Solución: 0.052 135002 1 0.075x 5 575 182 1 0.075x 5 575 0.075x 5 393 x 5 5240 El monto invertido al 7.5% es $5240. Problema 2 Estrategia  Libras de hamburguesa con 22% de grasa: x Libras de hamburguesa con 12% de grasa: 80 2 x Cantidad

Por ciento

Cantidad

22%

x

0.22

0.22x

12%

80 2 x

0.12

0.12(80 2 x)

18%

80

0.18

0.18(80)

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Solución

 La suma de las cantidades antes de mezclar es igual a la cantidad después de mezclar. 0.22x 1 0.12 180 2 x2 5 0.18 1802 0.22x 1 9.6 2 0.12x 5 14.4 0.10x 1 9.6 5 14.4 0.10x 5 4.8 x 5 48 El valor de x es la cantidad de hamburguesa con 22% de grasa. Para calcular la cantidad de hamburguesa con 12% de grasa, sustituya el valor de x dentro de la expresión para la cantidad de hamburguesa con 12% de grasa. 80 2 x 5 80 2 48 5 32 El carnicero necesita 48 lb de la hamburguesa con 22% de grasa y 32 lb de la hamburguesa con 12% de grasa.

SECCIÓN 2.4 Problema 1 2x 2 1 , 6x 1 7 24x 2 1 , 7 24x , 8 24x 8 . 24 24 x . 22

• Reste 6x de cada lado. • Sume 1 a cada lado. • Divida cada lado entre 24 e invierta el símbolo de desigualdad. • Simplifique.

El conjunto solución es 5 x 0 x . 22 6 . Problema 2 5x 2 2 # 4 2 3 1x 2 22 5x 2 2 # 4 2 3x 1 6 5x 2 2 # 10 2 3x 8x 2 2 # 10 8x # 12 8x 12 # 8 8 3 x# 2

• • • •

Propiedad distributiva. Simplifique. Sume 3x a cada lado. Sume 2 a cada lado.

• Divida cada lado entre 8. • Simplifique.

3 El conjunto solución es a2`, d . 2 Problema 3 2 2 3x . 11 o 23x . 9 x , 23 5 x 0 x , 23 6

Problema 4 5 2 4x . 1 y 6 2 5x , 11 24x . 24 25x , 5 x,1 x . 21 5x 0 x , 16 5 x 0 x . 21 6 5 x 0 x , 1 6 x 5 x 0 x . 21 6 5 121, 12 El conjunto solución es 121, 12 .

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25 # 5x # 10 25 5x 10 # # 5 5 5 21 # x # 2 El conjunto solución es 3 21, 2 4 .

• Reste 3 de cada parte. • Simplifique. • Divida cada parte entre 5. • Simplifique.

Problema 6 Estrategia Para determinar el número de millas, escriba y resuelva una desigualdad utilizando N para representar el número de millas. Solución

Costo de una compañía automotriz A , Costo de una compañía automotriz B 6 152 1 0.14N , 12 152 1 0.08N 30 1 0.14N , 60 1 0.08N 30 1 0.06N , 60 0.06N , 30 N , 500 Es menos caro rentar de una compañía A si el automóvil conduce menos de 500 millas. Problema 7 Estrategia Número de libras de pecanas: n Suma de los valores de pecanas y nueces: 7n 1 4 182 5 7n 1 32 Número de libras de nueces mixtas: n 1 8 Valor de la mezcla a $5 por libra: 5 1n 1 82 5 5n 1 40 Valor de la mezcla a $6 por libra: 6 1n 1 82 5 6n 1 48 La suma de los valores de las pecanas y las nueces es mayor que el valor de la mezcla a $5 por libra y menor que el valor de la mezcla a $6 por libra. Solución

7n 1 32 . 5n 1 40 y 7n 1 32 , 6n 1 48 2n 1 32 . 40 n 1 32 , 48 2n . 8 n , 16 n.4 La mezcla debe contener entre 4 y 16 lb de pecanas si es que cuesta entre $5 y $6 por libra.

5 1 2x . 7 2x . 2 x.1 5x 0 x . 16

El conjunto solución es 5 x 0 x , 23 6

Problema 5 22 # 5x 1 3 # 13 22 2 3 # 5x 1 3 2 3 # 13 2 3

h

5x 0 x . 16.

SECCIÓN 2.5 Problema 1 A. 0 x 0 5 25 x 5 25 x 5 225 Las soluciones son 25 y 225. B. 0 2x 2 3 0 5 5 2x 2 3 5 5 2x 2 3 5 25 • Escriba dos ecuaciones. 2x 5 8 2x 5 22 • Resuelva cada ecuación. x54 x 5 21 Las soluciones son 4 y 21.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

C. 5 2 0 3x 1 5 0 5 3 2 0 3x 1 5 0 5 22 0 3x 1 5 0 5 2 3x 1 5 5 2 3x 1 5 5 22 3x 5 23

3x 5 27

x 5 21

x52

Soluciones de los problemas del capítulo 3 • Resuelva por el valor absoluto. • Escriba dos ecuaciones. • Resuelva cada ecuación.

7 3

Las soluciones son 21 y 273. Problema 2 0 3x 1 2 0 , 8 28 , 3x 1 2 , 8 • Resuelva la desigualdad 28 2 2 , 3x 1 2 2 2 , 8 2 2 compuesta equivalente. 210 , 3x , 6 210 3x 6 , , 3 3 3 10 2 ,x,2 3 10 El conjunto solución es e x ` 2 , x , 2 f . 3 Problema 3 0 5x 1 3 0 . 8 5x 1 3 , 28 o 5x 1 3 . 8 5x , 211 5x . 5 11 x,2 x.1 5 11 5x 0 x . 16 e x `x , 2 f 5 El conjunto solución es e x ` x , 2

• Resuelva la desigualdad compuesta equivalente.

11 f 5

h

5x 0 x . 16.

Problema 4 Estrategia Sea b que representa el diámetro deseado del cojinete, T la tolerancia, y d el diámetro actual del cojinete. Resuelva el valor absoluto de la desigualdad 0 d 2 b 0 # T para d. Solución

0d 2 b0 # T 0 d 2 2.55 0 # 0.003 • b 5 2.55, T 5 0.003 20.003 # d 2 2.55 # 0.003 20.003 1 2.55 # d 2 2.55 1 2.55 # 0.003 1 2.55 2.547 # d # 2.553 El límite inferior y superior del diámetro del cojinete es de 2.547 pulg y 2.553 pulg.

SECCIÓN 3.1 Problema 1 1x1, y12 5 15, 222 1x2, y22 5 124, 32 2 d 5 " 1x2 2 x12 1 1y2 2 y12 2 5 " 124 2 52 2 1 13 2 1222 2 2 5 " 1292 2 1 152 2 5 !81 1 25 5 !106 La distancia ente los puntos es !106. Problema 2 1x1, y12 5 123, 252 x1 1 x2 xm 5 2 23 1 1222 5 2 5 52 2

1x2, y22 5 122, 32 y 1 y2 ym 5 1 2 25 1 3 5 2 5 21

Las coordenadas del punto medio son 1252, 212 .

Problema 3 Sustituya x por –2 y resuelva para y. 3x 3 1222 26 y5 5 5 56 x11 22 1 1 21 El par ordenado que representan la solución es 122, 62 . Problema 4 Determine el par ordenado que representa la solución para los valores dados de x. x

1 y52 x13 2

y

1x, y2

24

1 y 5 2 1242 1 3 5 5 2

5

124, 52

22

1 y 5 2 1222 1 3 5 4 2

4

122, 42

0

1 y 5 2 102 1 3 5 3 2

3

10, 32

2

1 y 5 2 122 1 3 5 2 2

2

12, 22

4

1 y 5 2 142 1 3 5 1 2

1

14, 12

y 4

–4

0

4

x

–4

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S7

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 5 Determine el par ordenado que representa la solución para los valores dados de x. x 23 22 21 0 1 2 3

y 5 2x 2 1 4

y

y 5 2 1232 1 4 5 25 25 0 y 5 2 1222 2 1 4 5 0 3 y 5 2 1212 2 1 4 5 3 4 y 5 2 102 2 1 4 5 4 3 y 5 2 112 2 1 4 5 3 2 1 2 0 y522 1450 2 1 2 25 y 5 2 3 1 4 5 25 2

1x, y2 123, 252 122, 02 121, 32 10, 42 11, 32 12, 02 13, 252

y 4

–4

0

x

4

–4

Problema 6 Determine el par ordenado que representa la solución para los valores dados de x. x 23 22 21 0 1 2 3

y 5 3 2 0x0 y532 y532 y532 y532 y532 y532 y532

0 23 0 5 0 0 22 0 5 1 0 21 0 5 2 000 5 3 010 5 2 020 5 1 030 5 0

y

1x, y2

0 1 2 3 2 1 0

123, 02 122, 12 121, 22 10, 32 11, 22 12, 12 13, 02

y

B. f 1z2 5 z 1 0 z 0 • Sustituya z por 3. f 132 5 3 1 0 3 0 5 3 1 3 Después simplifique. f 132 5 6 Problema 3 r 1s2 5 3s 2 6 • Sustituya s por 2a 1 3. r 12a 1 32 5 3 12a 1 32 2 6 • Simplifique. 5 6a 1 9 2 6 5 6a 1 3 Problema 4 Evalúe la función de cada elemento del dominio. El rango incluye los valores de f 1232 , f 1222 , f 1212 , f 102 , f 112 , y f 122 . f 1x2 5 x 3 1 x f 1232 5 1232 3 1 1232 5 230 f 1222 5 1222 3 1 1222 5 210 f 1212 5 1212 3 1 1212 5 22 f 102 5 102 3 1 0 5 0 f 112 5 112 3 1 1 5 2 f 122 5 122 3 1 2 5 10 El rango es 5 230, 210, 22, 0, 2, 10 6 . Problema 5 f 1x2 5 2x 2 5 f 1c2 5 2c 2 5 23 5 2c 2 5 2 5 2c 15c

El valor de c es 1. El par ordenado correspondiente es 11, 232 . Problema 6 x

y 5 f 1x2 5 2x 2 2 4x 1 2

1x, y2

25 24 23 22 21 0 1

f 1252 5 2 1252 2 4 1252 1 2 5 23 f 1242 5 2 1242 2 2 4 1242 1 2 5 2 f 1232 5 2 1232 2 2 4 1232 1 2 5 5 f 1222 5 2 1222 2 2 4 1222 1 2 5 6 f 1212 5 2 1212 2 2 4 1212 1 2 5 5 f 102 5 2 102 2 2 4 102 1 2 5 2 f 112 5 2 112 2 2 4 112 1 2 5 25

125, 232 124, 22 123, 52 122, 62 121, 52 10, 22 11, 252

4

–4

0

4

x

SECCIÓN 3.2 Problema 1 5 122, 62 , 121, 32 , 10, 02 , 11, 232 , 12, 262 , 13, 292 6 El dominio es 5 22, 21, 0, 1, 2, 3 6 . • El dominio de la rela-

ción es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados.

El rango es 5 29, 26, 23, 0, 3, 6 6 .

La relación es una función.

• El rango de la relación es el conjunto de las segundas coordenadas de los pares ordenados.

• No existen dos pares ordenados con la misma coordenada y distinta segunda coordenada.

Problema 2 A. f 1z2 5 z 1 0 z 0 f 1242 5 24 1 0 24 0 5 24 1 4 f 1242 5 0

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• Sustituya z por 24. Después simplifique.

• Sustituya x por c. • f 1c2 5 23 • Resuelva para c.

2

y 4

–4

0

4

x

–4

Problema 7 x

y 5 f 1x2 5 0 x 2 2 0

1x, y2

21 0 1 2 3 4 5

f 1212 5 0 21 2 2 0 5 3 f 102 5 0 0 2 2 0 5 2 f 112 5 0 1 2 2 0 5 1 f 122 5 0 2 2 2 0 5 0 f 132 5 0 3 2 2 0 5 1 f 142 5 0 4 2 2 0 5 2 f 152 5 0 5 2 2 0 5 3

121, 32 10, 22 11, 12 12, 02 13, 12 14, 22 15, 32

y 4

–4

0

4

x

–4

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S8

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 8 A. Cualquier recta vertical interseca la gráfica por lo menos una vez. La gráfica es la de una función.

B. Hay rectas verticales que intersecan la gráfica en más de un punto. La gráfica no es la de una función.

y

x

y

SECCIÓN 3.3

25 0 5

27 24 21 y 4

–4

0

4

x

–4

• Encuentre por lo menos tres pares ordenados. Elija los valores de x que son divisibles entre 5.

• Grafique los pares ordenados y trace una recta a través de los puntos.

Problema 2 23x 1 2y 5 4 2y 5 3x 1 4 3 y5 x12 2 x

y 5 32x 1 2

22 0 2

21 2 5

–4

0

4

x

• Resuelva la ecuación para y.

• Encuentre por lo menos tres soluciones.

• Grafique los pares ordenados y trace una recta a través de los puntos.

Problema 3 • Resuelva para y. y2350 y53

–4

0

• La gráfica de y 5 3 es una recta horizontal. 4

15_Soluciones_AUFMANN.indd S8

0

4

x

y 5 22

• Sea f 1x2 5 0. • Resuelva para x.

Problema 6 El par ordenado (32,74) significa que una persona con una zancada de 32 pulg es 74 pulg de alto.

h 80

(32, 74)

60 40 20 0

10 20 30 40

L

Zancada (en pulgadas)

SECCIÓN 3.4 7 2 1232 10 y2 2 y1 5 5 5 25 x2 2 x1 224 22

m5

Problema 2 30,000 55,000 2 25,000 5 5 210,000 m5 225 23 La pendiente –10,000 significa que el valor de la imprenta es decreciente por $10,000 por año. Problema 3 • Resuelva la ecuación para y. 2x 1 3y 5 6 3y 5 22x 1 6 2 y52 x12 3 2 22 • Determine la pendiente y la m52 5 3 3 intersección de y desde la intersección con el ecuación. eje y = (0, 2) • Inicie en la intersección con y

4

x

–4

–4

La pendiente es 25.

–4

y

y 4

Problema 1 Sea P1 5 14, 232 y P2 5 12, 72 .

y 4

10, 222

Problema 5 2 f 1x2 5 x 1 4 3 2 05 x14 3 2 24 5 x 3 26 5 x

Altura (en pulgadas)

3

y 5 5x 2 4

intersección con el eje y: 3x 2 y 5 2 3 102 2 y 5 2 2y 5 2

El cero es 26.

Problema 1 x

x

Problema 4 intersección con el eje x: 3x 2 y 5 2 3x 2 0 5 2 3x 5 2 2 x5 3 2 a , 0b 3

–4

0

x

el eje y y utilice la pendiente para determinar un segundo punto.

–4

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 4 3 cambio en y m535 5 1 cambio en x y

–4

0

x

4

–4

SECCIÓN 3.5 • Escriba la pendiente con un denominador de 1. • Grafique (23,22). Desde ese punto, utilice la pendiente para desplazar 3 unidades hacia arriba y 1 unidad a la derecha.

Problema 5 Encuentre las coordenadas y para las coordenadas x dadas. y1 5 f 1x12 5 1242 1 1242 2 1 5 11 y2 5 f 1x22 5 1212 2 1 1212 2 1 5 21 2

Calcule la pendiente de la recta entre P1 124, 112 y P2 121, 212 . y2 2 y1 m5 x2 2 x1 21 2 11 212 5 5 5 24 21 2 1242 3 La tasa de cambio promedio entre los dos puntos es –4. Problema 6 En 1900, la población era de 1.5 millones: (1900, 1.5) En 2000, la población era de 33.9 millones (2000, 33.9) 33.9 2 1.5 m5 2000 2 1900 32.4 5 5 0.324 100 La tasa de cambio promedio en la población de California desde 1900 hasta 2000 era de 324,000 personas por año. Problema 7 A. En 1995, el sueldo medio era de 531,000. (1995, 531,000) En 2010 el sueldo mediano era de 5,500,000. (2010, 5,500,000) 5,500,000 2 531,000 m5 2010 2 1995 4,969,000 5 < 331,000 15 La tasa de cambio promedio anual en el sueldo mediano fue de aproximadamente $331,000 por año. B. $331,000 . $231,000 La tasa de cambio promedio anual en el sueldo mediano de los jugadores de los Yanquis de Nueva York entre 1995 y 2010 es mayor que la tasa de cambio promedio en el sueldo mediano de los jugadores de los Red Sox de Boston entre 1995 y 2010.

Problema 1 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 1232 5 23 1x 2 42 y 1 3 5 23x 1 12 y 5 23x 1 9

• Utilice la forma punto-pendiente. • m 5 23 y 1x1, y12 5 14, 232 . • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 23x 1 9. Problema 2 1x1, y12 5 12, 02 y 1x2, y22 5 15, 32 . 320 3 y2 2 y1 5 5 51 m5 x2 2 x1 522 3 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 0 5 1 1x 2 22 y5x22

• Calcule la pendiente. • Forma punto-pendiente. • Sustituya la pendiente y las coordenadas de P1 . • Resuelva para y.

La ecuación de la recta es y 5 x 2 2. Problema 3 Estrategia  Seleccione las variables independiente y dependiente. Puesto que la función predecirá la temperatura Celsius, esa cantidad es la variable dependiente, y. La temperatura Fahrenheit es la variable independiente.  A partir de los datos dados, dos pares ordenados son (212, 100) y (32, 0). Utilice estos pares ordenados para determinar la función lineal. Solución Sea 1x1, y12 5 132, 02 y 1x2, y22 5 1212, 1002 . y 2 y1 100 2 0 100 5 • Calcule la pendiente. m5 2 5 5 5 x2 2 x1 212 2 32 180 9

• Forma punto-pendiente. y 2 y1 5 m 1x 2 x12 5 • Sustituya m, x1 y y1 . y 2 0 5 1x 2 322 9 5 5 y 5 1x 2 322 , o C 5 1F 2 322 • Resuelva para y. 9 9 5 La función lineal es f 1F2 5 1F 2 322 . 9

SECCIÓN 3.6 Problema 1 21 2 1 22 2 5 5 m1 5 25 2 1222 23 3

m2 5

220 2 5 421 3

m1 5 m2

• Calcule la pendiente de la recta que contiene los puntos con las coordenadas 122, 1) y 125, 212. • Calcule la pendiente de la recta que contiene los puntos con las coordenadas 11, 02 y 14, 22. • Compare las pendientes.

Puesto que las pendientes son las mismas, las rectas son paralelas.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 2 y 2 y1 5 m 1x 2 x12 3 y 2 1 5 1x 2 42 4

• Utilice la forma punto-pendiente. 3

• m 5 4, la pendiente de la recta 3 paralela hacia la gráfica de y 5 4 x 2 1. 1x1, y12 5 14, 12 , el punto dado.

3 • Resuelva para y. y215 x23 4 3 y5 x22 4 3 La ecuación de la recta es y 5 4 x 2 2. Problema 3 4x 2 y 5 22 2y 5 24x 2 2 y 5 4x 1 2 m1 5 4

Problema 2 y,2 • El símbolo de desigualdad es *. Grafique 4

–4

la gráfica de cada ecuación. • Calcule el producto de las pendientes.

Problema 1 y

–4

y

–4

0

4

x

–4

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0

4

x

–4

La solución es 121, 22 . Problema 2 A.

• Grafique cada recta. Las rectas son

y 4

–4

0

4

x

El sistema de ecuaciones no tiene solución. y

B.

• Las gráficas son la misma recta. El sistema de ecuaciones es dependiente.

• Forma punto-pendiente • Sustituya las coordenadas del punto dado y la pendiente de la recta perpendicular, m2.

• Resuelva la desigualdad para y.

• El símbolo de desigualdad es +. Grafique y 5 231 x 1 2 como una línea punteada y sombree sobre la recta.

4

x

Las soluciones son los pares ordenados 1x, 34 x 2 32 . Problema 3 A. (1)

(2)

(3) • Resuelva para y.

0 –4

• Pendiente de la recta dada. • La pendiente de la recta perpendicular es el recíproco negativo de m1.

paralelas. El sistema de ecuaciones es inconsistente.

–4

–4

SECCIÓN 3.7

4

• Grafique cada recta. Las coordenadas del punto de intersección proporcionan la solución representada por los pares ordenados del sistema.

4

4

La ecuación de la recta es y 5 24x 2 5.

Problema 1 x 1 3y . 6 3y . 2x 1 6 1 y.2 x12 3

x

SECCIÓN 4.1

• Resuelva la ecuación de la recta dada para y.

y 2 y1 5 m 1x 2 x12 y 2 3 5 24 3 x 2 1222 4 y 2 3 5 24 1x 1 22 y 2 3 5 24x 2 8 y 5 24x 2 5

4

Soluciones de los problemas del capítulo 4

Puesto que el producto de las pendientes es −1, las gráficas son perpendiculares. Problema 4 x 2 4y 5 3 24y 5 2x 1 3 1 3 y5 x2 4 4 1 m1 5 4 m2 5 24

0 –4

x 1 4y 5 212 • Resuelva cada 4y 5 2x 2 12 ecuación para y. 1 y52 x23 4 1 m2 5 2 • Identifique la 4 pendiente hacia

1 m1 # m2 5 4a2 b 5 21 4

y 5 2 como una línea punteada y sombree bajo la recta.

y

3x 2 y 5 3 6x 1 3y 5 24 3x 2 y 5 3 2y 5 23x 1 3 y 5 3x 2 3 6x 1 3y 5 24 6x 1 3 13x 2 32 5 24

• Resuelva la ecuación (1) para y. El resultado es la ecuación (3). • Utilice la ecuación (2). • Sustituya y.

• Resuelva para x. 6x 1 9x 2 9 5 24 15x 2 9 5 24 15x 5 5 5 1 x5 5 15 3 y 5 3x 2 3 1 y 5 3a b 2 3 • Sustituya dentro de 3 la ecuación (3). 5123 5 22 1 La solución es a , 22b. 3

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S11

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

6x 2 3y 5 6 2x 2 y 5 2 2x 2 y 5 2 2y 5 22x 1 2 y 5 2x 2 2 6x 2 3y 5 6

B. (1)

(2)

6x 2 3 12x 2 22 5 6

• Resuelva la ecuación (2) para y. • Utilice la ecuación (1). • Sustituya y.

• Resuelva 6x 2 6x 1 6 5 6 para x. 656 6 = 6 es una igualdad cierta. El sistema de ecuaciones es dependiente. Las soluciones son los pares ordenados 1x, 2x 2 22 .

SECCIÓN 4.2 Problema 1 A. (1) 2x 1 5y 5 6 (2) 3x 2 2y 5 6x 1 2 2x 1 5y 5 6 23x 2 2y 5 2 2 12x 1 5y2 5 2 162 5 123x 2 2y2 5 5 122

4x 1 10y 5 12 215x 2 10y 5 10 211x 5 22 x 5 22 (1) 2x 1 5y 5 6 2 1222 1 5y 5 6 24 1 5y 5 6 5y 5 10 y52

• Escriba la ecuación (2) en la forma Ax 1 By 5 C. • Elimine y. Multiplique la ecuación (1) por 2 y multiplique la ecuación (2) por 5. • Simplifique.

(2)

2x 1 y 5 5 4x 1 2y 5 6 22 12x 1 y2 5 22 152 4x 1 2y 5 6 24x 2 2y 5 210 4x 1 2y 5 6 0x 1 0y 5 24 0 5 24

• Sume las ecuaciones. • Sustituya x en la ecuación (1). Resuelva para y.

• Elimine y. Multiplique la ecuación (1) por 22. • Simplifique. • Sume las ecuaciones.

0 5 24 no es una igualdad cierta. El sistema es inconsistente y, por tanto, no existe solución.

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• Elimine z. Sume las ecuaciones (1) y (2). • Elimine z. Multiplique la ecuación (2) por 2 y sume a la ecuación (3). • Resuelva el sistema de dos ecuaciones, ecuaciones (4) y (5). • Multiplique la ecuación (4) por 24 y sume a la ecuación (5). Resuelva para x. • Sustituya x por 3 en la ecuación (4). Resuelva para x.

• Sustituya x por 3 y y por 21 en la ecuación (1). Resuelva para x.

SECCIÓN 4.3

La solución es 122, 22 . B. (1)

Problema 2 (1) x2y1z56 (2) 2x 1 3y 2 z 5 1 (3) x 1 2y 1 2z 5 5 x2y1z56 2x 1 3y 2 z 5 1 (4) 3x 1 2y 5 7 4x 1 6y 2 2z 5 2 x 1 2y 1 2z 5 5 (5) 5x 1 8y 5 7 (4) 3x 1 2y 5 7 (5) 5x 1 8y 5 7 212x 2 8y 5 228 5x 1 8y 5 7 27x 5 221 x53 (4) 3x 1 2y 5 7 3 132 1 2y 5 7 9 1 2y 5 7 2y 5 22 y 5 21 x2y1z56 3 2 1212 1 z 5 6 41z56 z52 1 La solución es 3, 21, 22 .

Problema 1 21 24 A. ` ` 5 21 1252 2 3 1242 3 25 5 5 1 12 5 17 B. No existen ceros en ninguna de las filas o columnas. Desarrolle por los cofactores de cualquier fila o columna. Utilizaremos la fila 1. 2 21 3 † 4 21 1 † 2 2 1 21 1 4 1 5 2 1212 111 ` ` 1 1212 1212 112 ` ` 2 1 2 1 4 21 1 3 1212 113 ` ` 2 2 21 1 4 1 4 21 5 2 112 ` ` 1 1212 1212 ` ` 1 3 112 ` ` 2 1 2 1 2 2 5 2 121 2 22 1 1 14 2 22 1 3 18 2 1222 2 5 2 1232 1 1 122 1 3 1102 5 26 1 2 1 30 5 26

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S12

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 2 6 26 D5 ` ` 5 248 2 210 Dx 5 `

5 26 ` 5 256 21 210

Dy 5 `

6 5 ` 5 216 2 21

x5

256 7 Dx 5 5 D 248 6

y5

Dy 216 1 5 5 D 248 3

La solución es

Problema 5 • Evalúe el determinante coeficiente. • Evalúe cada numerador determinante.

• Utilice la Regla de Cramer para encontrar las coordenadas de la solución.

( 76 , 13).

Problema 3 2 21 1 2 21 † 5 21 D 5 †3 1 3 1 21 21 1 Dx 5 † 3 2 21 † 5 9 22 3 1

• Evalúe el determinante coeficiente.

• Evalué cada numerador determinante.

2 21 1 Dy 5 † 3 3 21 † 5 23 1 22 1

9 3 Dx 5 5 D 21 7

y5

Dy 23 1 5 52 D 21 7

1 8 22 3 1 8 22 3 £ 2 23 4 † 1 § R2 4 R3 £ 3 5 27 † 3 § 3 5 27 3 2 23 4 1 B. 3R2 significa multiplicar la fila 2 por la fila 3. 1 8 22 3 1 8 22 3 £ 2 23 4 † 1 § 3R2 S £ 6 29 12 † 3 § 3 5 27 3 3 5 27 3 C. 23R1 1 R3 significa multiplicar la fila 1 por 23 y después sumar el resultado a la fila 3. El resultado sustituye la fila 3. 1 8 22 3 1 8 22 3 4 † 1§ £ 2 23 4 † 1 § 23R1 1 R3 S £ 2 23 0 219 21 26 3 5 27 3 Problema 6 Nota: la forma escalonada no es la única. Se muestra una serie de pasos para llegar a la forma escalonada de la matriz. a11 es 1. Para cambiar a21 a 0, multiplique la fila 1 por el opuesto de a21 y sume el resultado a la fila 2. 1 23 2 1 1 23 2 1 2 8 † 2§ £ 24 14 0 † 22 § 4R1 1 R2 S £ 0 2 25 23 16 2 25 23 16 Para cambiar a31 a 0, multiplique la fila 1 por el opuesto de a31 y sume el resultado a la fila 3.

2 21 21 Dz 5 † 3 2 3 † 5 242 1 3 22 x5

A. R2 4 R3 significa el intercambio de la fila 2 por la fila 3.

1 23 2 1 1 23 2 1 2 8† 2§ £0 2 8 † 2 § 22R1 1 R3 S £ 0 0 1 27 14 2 25 23 16 • Utilice la Regla de Cramer para encontrar las coordenadas de la solución.

Dz 242 5 5 22 D 21 La solución es ( 37 , 2 71 , 22). z5

Problema 4 Cada fila de la matriz representa una ecuación del sistema. Los números a la izquierda de la recta vertical son los coeficientes de x, y, y z. Los números a la derecha de la recta vertical son los términos constantes. El sistema de 2 23 1 4 ecuaciones de la matriz aumentada £ 1 0 22 † 3 § es 0

1

Para cambiar a22 a 1, multiplique la fila 2 por el recíproco de a22. 1 23 2 1 1 23 2 1 1 1 4† 1§ £0 2 8 † 2 § R2 S £ 0 2 0 1 27 14 0 1 27 14 Para cambiar a32 a 0, multiplique la fila 2 por el opuesto de a32 y sume el resultado a la fila 3. 1 23 2 1 1 23 2 1 1 4† 1§ £0 1 4 † 1 § 21R2 1 R3 S £ 0 0 0 211 13 0 1 27 14

2 23

2x 2 3y 1 z 5 4 x 2 2z 5 3 y 1 2z 5 23

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Para cambiar a33 a 1, multiplique la fila 3 por el recíproco de 1 23 2 1 1 23 2 1 1 1 4 1§ £0 1 4 † 1 § 2 R3 S £ 0 11 13 0 0 1 2 11 0 0 211 13 Una fila de forma escalonada de la matriz es 1 23 2 1 1 4 1§ . £0 13 0 0 1 2 11

Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones y después utilice las operaciones elementales de la fila para reescribir la matriz en forma escalonada. Se muestra una serie de pasos para llegar a una forma escalonada de la matriz.

2

0

23 4

§

Cambie a21 a 0.

7 17 4 § 23 24

23R1 1 R2

Cambie a22 a 1.

5 17 y5 4 4 (2) y 5 21 5 17 x 2 1212 5 4 4 17 5 x1 5 4 4 x53 La solución es 13, 212 . (1)

x2

4 23 R2

1

2 45 17 4

3 £

2

1 2 45 23 4

0

c

1 2 45

17 4

c

3 £

£

c

£

4 25 17 Cambie a11 a 1. R ` 3 2 7 1 4 R1 1 2 45

17 4 § 2 23 4

5 c 1 24

0

§

7

17 4 d

1 21

1 2 23 9 1 2 23 9 1 £ 0 1 29 † 20 § 2 R2 S £ 0 1 29 † 20 § 67 0 0 267 134 0 0 1 22 x 1 2y 2 3z 5 9 y 2 9z 5 20 z 5 22 1 y 2 9 222 5 20 y 1 18 5 20 y52 x 1 2 122 2 3 1222 5 9 x 1 10 5 9 x 5 21 La solución es 121, 2, 222 .

(1) (2) (3)

• Sustituya z por 22 en la ecuación (2) y resuelva para y. • Sustituya z por 22 y y por 2 en la ecuación (1) y resuelva para x.

Problema 1 Estrategia

 Tasa de velocidad de un equipo de remo en aguas en calma: t Tasa de velocidad de la corriente: c Tasa de velocidad Tiempo

• Sustituya 21 pory en la ecuación (1) y resuelva para x.

1 2 23 9 1 2 23 9 £2 3 3 † 22 § 22R1 1 R2 S £ 0 21 9 † 220 § 3 22 24 1 3 22 24 1

• Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la fila de la forma escalonada de la matriz.

SECCIÓN 4.4

• Escriba el sistema de ecuaciones correspondientes a la fila de forma escalonada de la matriz.

Problema 8 2x 1 3y 1 3z 5 22 x 1 2y 2 3z 5 9 3x 2 2y 2 4z 5 1 Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones y después utilice las operaciones elementales de la fila para reescribir en forma escalonada la matriz. Se muestra una serie de pasos para llegar a una forma escalonada de la matriz. 1 2 23 9 2 3 3 22 3 3 † 22 § £1 2 23 † 9 § R1 4 R2 £ 2 3 22 24 1 3 22 24 1

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1 2 23 9 1 2 23 9 £ 0 21 9 † 220 § 21R2 S £ 0 1 29 † 20 § 0 28 5 226 0 28 5 226 1 2 23 9 1 2 23 9 £0 1 29 † 20 § 8R2 1 R3 S £ 0 1 29 † 20 § 0 28 5 226 0 0 267 134

Problema 7 4x 2 5y 5 17 3x 1 2y 5 7

B

1 2 23 9 1 2 23 9 9 † 220 § £ 0 21 9 † 220 § 23R1 1 R3 S £ 0 21 0 28 5 226 3 22 24 1

Distancia

Con la corriente

t+c

2

2(t + c)

Contra la corriente

t2c

2

2(t 2 c)

 La distancia recorrida con la corriente es 18 millas.  La distancia recorrida contra la corriente es 10 millas. Solución

• Escriba un sistema de 2 1t 1 c2 5 18 ecuaciones. 2 1t 2 c2 5 10 • Divida entre 2 cada lado de t1c59 ambas ecuaciones. t2c55 • Sume las ecuaciones. 2t 5 14 • Resuelva para t. t57 • Sustituya el valor de t en una t1c59 ecuación y resuelva para c. 71c59 c52 La tasa de velocidad del equipo de remo en aguas en calma es 7 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 2 mph.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

• Sustituya el valor 2x 1 y 5 730 de x dentro de la 2 11902 1 y 5 730 ecuación (4) 380 1 y 5 730 y resuelva para y. y 5 350 x 1 y 1 z 5 750 • Sustituya x y y 190 1 350 1 z 5 750 en la ecuación (1) y resuelva para z. 540 1 z 5 750 z 5 210 El museo vendió 190 boletos a precio regular, 350 boletos para socios, y 210 boletos para estudiantes.

Problema 2 Estrategia  Costo de un naranjo: x Costo de un árbol frutal: y Primera compra: Cantidad

Costo unitario

Valor

Naranjos

25

x

25x

Árboles frutales

20

y

20y

Cantidad

Costo unitario

Valor

Naranjos

20

x

20x

Problema 1

Árboles frutales

30

y

30y

A.

Segunda compra:

Solución

 El total de la primera venta fue $290. El total de la segunda venta fue $330. 25x 1 20y 5 290 • Escriba un sistema de ecuaciones. 20x 1 30y 5 330

4 125x 1 20y2 5 4 # 290 25 120x 1 30y2 5 25 # 330 100x 1 80y 5 1160 2100x 2 150y 5 21650 270y 5 2490 y57

• Cambie los coeficientes de x a inversos aditivos. • Simplifique.

214x 2 7y 5 25110 15x 1 7y 5 5300 x 5 190

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–4

0

• Sombree sobre la línea sólida de la gráfica de y 5 2x 2 3. 4

x

y

–4

0

• Multiplique la ecuación (4) por –7 y sume la ecuación (5).

4

x

• Sombree sobre la línea punteada de la gráfica de y 5 23x. • El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades individuales.

B. 3x 1 4y . 12

4y . 23x 1 12 3 y.2 x13 4

• Sume las ecuaciones. • Resuelva para y.

por x 1 20.

2x 1 y 5 730 15x 1 7y 5 5300

y 4

4

25x 1 20y 5 290 • Sustituya el valor de y en una ecuación y 25x 1 20 172 5 290 resuelva para x. 25x 1 140 5 290 25x 5 150 x56 El costo de un naranjo es $6. El costo de un árbol frutal es $7. Problema 3 Estrategia Número de boletos vendidos a precio regular: x Número de boletos vendidos para socios: y Número de boletos vendidos para estudiantes: z Hubo 750 boletos vendidos: x 1 y 1 z 5 750 El ingreso fue de $5400: 10x 1 7y 1 5z 5 5400 Se vendieron 20 boletos más para alumnos que los boletos de precio regular: z 5 x 1 20 Solución (1) x 1 y 1 z 5 750 • Escriba un sistema de ecuaciones. (2) 10x 1 7y 1 5z 5 5400 (3) z 5 x 1 20 • Sustituya z en las x 1 y 1 1x 1 202 5 750 ecuaciones (1) y (2) 10x 1 7y 1 5 1x 1 202 5 5400 (4) (5)

SECCIÓN 4.5

y

–4

0

• Sombree sobre la línea punteada 4

x

de la gráfica de y 5 2 43 x 1 3. • Sombree debajo de la línea punteada 3 de la gráfica de y 5 4 x 2 1.

–4

y

–4

• Resuelva 3x 1 4y + 12 para y.

0

4

x

• El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades individuales.

–4

desigualdades individuales.

Soluciones de los problemas del capítulo 5

SECCIÓN 5.1 Problema 1 17xy32 125x2y22 12xy22 5 3 7 1252 1212 4 1x # x2 # x2 1y3 # y2 # y22 • Utilice las propiedades conmutativa y asociativa.

5 35x4y7

• Sume los exponentes en términos semejantes.

Problema 2 # # # • Regla para la simplifiA. 12x2y42 5 5 1212 1 5x2 5y4 5 cación de potencias 5 1212 5x10y20 5 2x10y20 de los cocientes.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

B. 12a3b22 123a4b2 3 # # # 5 12a3b22 3 1232 1 3a4 3b1 3 4 5 12a3b22 3 1232 3a12b3 4 5 12a3b22 3 227a12b3 4 5 254a15b5

• Regla para simplificar potencias de los productos. • Regla para multiplicar expresiones con exponentes.

Problema 3 28x7y5 x7 2 1y5 2 4 5 2 16xy4 2 x6y 52 2 5 3 522 321 • 5a b 5a b B. 5 8a2b 8 5a3b2 5 8

28 en la forma más simple. 16 Reste los exponentes en términos semejantes.

• Escriba

A.

5 en la forma más simple. 8 Reste los exponentes en términos semejantes. Escriba

Problema 4 18x26y A. 5 2x26 2 1262 y1 2 7 9x26y7 5 2x0y26 2 5 6 y

• Regla para dividir expresiones con exponentes • Definiciones de cero y exponentes negativos.

Problema 8 Desplace el punto decimal 5 posiciones hacia la izquierda. 2.7 3 1025 5 0.000027 Problema 9 5,600,000 3 0.000000081 900 3 0.000000028 5.6 3 106 3 8.1 3 1028 5 9 3 102 3 2.8 3 1028 15.62 18.12 3 106 1 1282 2 2 2 1282 5 192 12.82 5 1.8 3 104

Solución

Problema 6 A. 12x25y2 15x4y232 5 10x25 1 4y1 1 1232 5 10x21y22

Solución

5 B. a

10 xy2

221x2y23 22 x4y2 22 x28y24 82 5a 5 8 4 b 5 22 25 b 22 4x y 8 8 xy 64 5 8 4 xy

Problema 7 Desplace el punto decimal 8 posiciones hacia la izquierda. 942,000,000 5 9.42 3 108

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• Utilice las reglas para la multiplicación y división de expresiones con exponentes.

Problema 10 Estrategia Para determinar el número de operaciones aritméticas:  Calcule el recíproco de 1 3 1027, que es el número de operaciones realizadas en 1 s.  Escriba en notación científica el número de segundos en 1 min (60).  Multiplique el número de operaciones aritméticas por segundo por el número de segundos en 1 min.

6x8y23 3x8 2 1222 y23 2 4 • Regla para dividir expresiones B. 5 con exponentes. 4x22y4 2 10 27 3x y 5 2 3x10 • Definición de un exponente 5 7 negativo. 2y Problema 5 # x2 4 x8 • Regla para simplificar x2 4 A. a 23 b 5 23 # 4 5 212 potencias de los cocientes. y y y 8 12 • Definición de un exponente negativo. 5xy x5 23 x215 B. a 4 b 5 212 • Regla para simplificar potencias y y de los cocientes. y12 • Definición de un exponente negativo 5 15 x • Regla para multiplicar expresiones con exponentes. • Definición de un exponente negativo.

• Escriba los números en notación científica.

1 5 107 1 3 1027 60 5 6 3 10 6 3 10 3 107 5 6 3 108 La computadora puede realizar 6 3 108 operaciones en 1 min.

SECCIÓN 5.2 Problema 1 El término con el mayor exponente es 23x4. El término sin una variable es –12. El coeficiente principal es –3, el término constante –12, y el grado 4. Problema 2 Estrategia Evalúe la función cuando r 5 0.4. v 1r2 5 600r2 2 1000r3 V 10.42 5 600 10.42 2 2 1000 10.42 3 5 32

La velocidad es 32 cm/s. Problema 3 x

y 5 x2 2 2x

21 0 1 2 3

3 0 21 0 3

y 4

–4

0

4

x

–4

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

B. 1x 2 3y2 12x 2 7y2 5 x 12x2 1 x 127y2 1 123y2 2x 1 123y2 127y2 • PEIU. • Simpli5 2x2 2 7xy 2 6xy 1 21y2 fique. 5 2x2 2 13xy 1 21y2 C. 1x 1 32 1x 2 42 12x 2 32 • Multiplique 5 3 x 1x2 2 4x 1 3x 2 12 4 12x 2 32

Problema 4 x

y 5 2x3 1 1

23 22 21 0 1 2 3

28 9 2 1 0 27 226

y

5 3 x2 2 x 2 12 4 12x 2 32 5 1x2 2 x 2 122 2x 2 1x2 2 x 2 122 3

8

–4

0

4

x

5 12x3 2 2x2 2 24x2 2 13x2 2 3x 2 362 • Propiedad

–8

Problema 5 1x3 2 x 1 22 1 1x2 1 x 2 62 • Utilice las propiedades conmutativa y asociativa para 5 x3 1 x2 1 12x 1 x2 1 12 2 62 5 x3 1 x2 2 4

simplificar términos semejantes. • Simplifique los términos semejantes.

Problema 6 125x2 1 2x 2 32 1 126x2 2 3x 1 72 • Reescriba la resta como la suma de los opuestos.

25x2 1 2x 2 3 26x2 2 3x 1 7 211x2 2 x 1 4

• Escriba en formato vertical. • Simplifique los términos semejantes.

Problema 7 D 1x2 5 P 1x2 2 R 1x2 5 14x3 2 3x2 1 22 2 122x2 1 2x 2 32 5 14x3 2 3x2 1 22 1 12x2 2 2x 1 32 5 4x3 2 x2 2 2x 1 5

distributiva.

5 2x3 2 5x2 2 21x 1 36

Problema 1 A. 24y 1 y2 2 3y 1 22 5 24y 1 y22 2 124y2 13y2 1 124y2 122 5 24y3 1 12y2 2 8y

Problema 5 Estrategia Para calcular el área, sustituya las variables b y h 1 en la ecuación A 5 2 bh con los valores dados, y resuelva para A. Solución

semejantes. • Propiedad distributiva. • Simplifique los términos semejantes.

Problema 2 22b2 1 5b 2 4 2 3b 1 2 2 24b 1 10b 2 8 6b3 2 15b2 1 12b 6b3 2 19b2 1 22b 2 8

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1 bh 2 1 A 5 12x 1 62 1x 2 42 2 A 5 1x 1 32 1x 2 42 A 5 x2 2 4x 1 3x 2 12 A 5 x2 2 x 2 12 El área es 1x2 2 x 2 122 pies2. A5

• Propiedad distributiva. Problema 6 • Regla para multipli- Estrategia Para calcular el volumen, reste el volumen de un car expresiones paralelepípedo rectangular pequeño del volumen con exponentes.

B. x2 2 2x 3 x 2 x 14x 2 52 1 x2 4 5 x2 2 2x 3 x 2 4x2 1 5x 1 x2 4 • Propiedad distributiva. • Simplifique los términos 5 x2 2 2x 3 6x 2 3x2 4

Problema 3 A. 13x 1 42 15x 2 22 5 3x 15x2 1 3x 1222 1 4 15x2 1 4 1222 5 15x2 2 6x 1 20x 2 8 5 15x2 1 14x 2 8

• Simplifique.

Problema 4 A. 14x2 2 y2 14x2 1 y2 5 14x22 2 2 y2 5 16x4 2 y2 • 1a 2 b2 1a 1 b2 5 a2 2 b2 B. 13x2 1 5y22 2 5 13x22 2 1 2 13x22 15y22 1 15y22 2 • 1a 1 b2 2 5 a2 1 2ab 1 b2 5 9x4 1 30x2y2 1 25y4

SECCIÓN 5.3

5 x2 2 12x2 1 6x3 5 6x3 2 11x2

1x 1 32 1x 2 42 . • Simplifique. • Propiedad distributiva.

de un paralelepípedo rectangular mayor. Paralelepípedo rectangular mayor: Largo 5 L1 5 12x Ancho 5 W1 5 7x 1 2 Altura 5 H1 5 5x 2 4 Paralelepípedo rectangular menor: Largo 5 L2 5 12x Ancho 5 W2 5 x Altura 5 H2 5 2x Solución

• PEIU. • Simplifique.

V = Volumen del paralelepípedo rectangular mayor – Volumen del paralelepípedo rectangular menor V 5 1L1 # W1 # H12 2 1L2 # W2 # H22 V 5 112x2 17x 1 22 15x 2 42 2 112x2 1x2 12x2 V 5 184x2 1 24x2 15x 2 42 2 112x22 12x2 V 5 1420x3 2 336x2 1 120x2 2 96x2 2 124x32 V 5 396x3 2 216x2 2 96x El volumen es 1396x3 2 216x2 2 96x2 pies3.

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S17

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 5.4

SECCIÓN 5.5

Problema 1 15y3 1 10y2 2 25y 25y 15y3 10y2 25y 5 1 2 • Divida cada término entre 25y. 25y 25y 25y 5 23y2 2 2y 1 5 • Simplifique. Problema 2 12x2y2 2 16xy2 2 8x 4x2y 2 2 12x y 16xy2 8x 5 2 2 2 • Divida cada término entre 4x2y. 2 2 4x y 4x y 4x y 4y 2 5 3y 2 2 • Simplifique. x xy Problema 3 A. 5x 2 1 3x 1 4 q 15x2 1 17x 2 20 15x2 1 20x 23x 2 20 23x 2 4 216 15x2 1 17x 2 20 16 5 5x 2 1 2 3x 1 4 3x 1 4 B. x2 1 3x 2 1 3x 2 1 q 3x3 1 8x2 2 6x 1 2 3x3 2 x2 9x2 2 6x 9x2 2 3x 23x 1 2 23x 1 1 1 3x3 1 8x2 2 6x 1 2 1 2 5 x 1 3x 2 1 1 3x 2 1 3x 2 1 Problema 4 • x 2 a 5 x 1 2; a 5 22 A. 22 6 8 25 212 8

Problema 1 A. 16x6yz4 5 24 9y2z5 5 32

6

24

3

3 16x 1 8x 2 52 4 1x 1 22 5 6x 2 4 1 x12 2

B.

3

2

23 6

28 9

0 3

22 9

2

3

1

3

7

• Inserte un 0 para el término faltante.

12x4 2 3x3 2 8x2 2 22 4 1x 2 32 7 5 2x3 1 3x2 1 x 1 3 1 x23 Problema 5 3

2 2

0 6

24 18

25 42

6

14

37

• Utilice la división sintética con a 5 3.

Mediante el teorema del residuo, P 132 5 37.

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# x6 # y # z4 # y2 # z5

No existe factor común. Los factores comunes variables son y, con el menor exponente 1, y z con el exponente mayor 4. El MCD de 6x6yz4 y 9y2z5 es yz4. B. 36x5y3 5 22 # 32 # x5 # y3 12x2y4z5 5 22 # 3 # x2 # y4 # z5 15x2y4 5 3 # 5 # x2 # y4 El factor común es 3, con el exponente menor 1. Los factores comunes variables son x, con el exponente menor 2, y con y, con el exponente menor 3. El MCD de 36x5y3, 12x2y4z5, y 15x2y4 es 3x2y3. Problema 2 A. El MCD de 6x6z3 y 8x5z2 es 2x5z2. 6x6z3 1 8x5z2 5 2x5z2 13xz2 1 2x5z2 142 5 2x5z2 13xz 1 42 B. El MCD de 16x5y4z3, 30xy6z3, y 30xy6z es 2xy4z. 16x5y4z3 1 30xy6z3 2 30xy6z 5 2xy4z 18x4z22 1 2xy4z 115y2z22 2 2xy4z 115y22 5 2xy4z 18x4z2 1 15y2z2 2 15y22 Problema 3 A. 6a 12b 1 52 2 7 15 1 2b2 • 5 1 2b 5 2b 1 5 5 6a 12b 1 52 2 7 12b 1 52 • Factorice 2b 1 5. 5 12b 1 52 16a 2 72 B. 3rs 2 2r 2 3s 1 2 5 13rs 2 2r2 2 13s 2 22 • 23s 1 2 5 2 13s 2 22 5 r 13s 2 22 2 13s 2 22 • Factorice r. • Factorice 3s 2 2. 5 13s 2 22 1r 2 12 Problema 4 2x3 2 4x2 1 3x 2 6 5 12x3 2 4x22 1 13x 2 62 5 2x2 1x 2 22 1 3 1x 2 22

5 1x 2 22 12x2 1 32

• Agrupe los primeros dos y los últimos dos términos. • Factorice el MCD de cada grupo. • Factorice x 2 2.

SECCIÓN 5.6 Problema 1 A. Determine dos factores de 42 cuya suma sea 13. x2 1 13x 1 42 5 1x 1 62 1x 1 72 B. Determine dos factores de 220 cuya suma es 21. x2 2 x 2 20 5 1x 1 42 1x 2 52 Problema 2 6x3y 1 6x2y 2 36xy • Factorice el MCD. 5 6xy 1x2 1 x 2 62 5 6xy 1x 1 32 1x 2 22 • Factorice el trinomio. Problema 3 x2 1 5x 2 1 No hay factores de –1 cuya suma sea 5. El trinomio es no factorizable en los números enteros.

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S18

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 4 A. 4x2 1 15x 2 4 Factores de 4 1, 4 2, 2

SECCIÓN 5.7 Factores de 24 1, 24 21, 4 2, 22

• Determine los factores de a y c.

Factores de prueba

Término intermedio

14x 1 12 1x 2 42 14x 2 12 1x 1 42

216x 1 x 5 215x 16x 2 x 5 15x

4x2 1 15x 2 4 5 14x 2 12 1x 1 42 B. 10x2 1 39x 1 14 Factores de 10

Factores de 14

1, 10 2, 5

1, 14 2, 7

• Escriba los factores de prueba y compruebe el término medio.

• Determine los factores de a y c.

Factores de prueba

Término intermedio

1x 1 22 110x 1 72 12x 1 12 15x 1 142 110x 1 12 1x 1 142 15x 1 22 12x 1 72

7x 1 20x 5 27x 28x 1 5x 5 33x 140x 1 x 5 141x 35x 1 4x 5 39x

• Escriba los factores de prueba y compruebe el término medio.

10x2 1 39x 1 14 5 15x 1 22 12x 1 72 Problema 5 A. 6x2 1 7x 2 20 a # c 5 2120 Determine los dos factores de 2120 cuya suma es 7. Los factores son 15 y 28. 6x2 1 7x 2 20 5 6x2 1 15x 2 8x 2 20 • Reescriba 7x como 15x 2 8x. 5 16x2 1 15x2 2 18x 1 202 • Factorice por agrupamiento de términos. 5 3x 12x 1 52 2 4 12x 1 52 5 12x 1 52 13x 2 42

B. 2 2 x 2 6x2 a # c 5 212 Determine dos factores de 212 cuya suma es 21. Los factores son 24 y 3. 2 2 x 2 6x2 5 2 2 4x 1 3x 2 6x2 • Reescriba 2x como 24x 1 3x. 5 12 2 4x2 1 13x 2 6x22 • Factorice por agrupamiento 5 2 11 2 2x2 1 3x 11 2 2x2 de términos. 5 11 2 2x2 12 1 3x2 Problema 6 A. 3a3b3 1 3a2b2 2 60ab 5 3ab 1a2b2 1 ab 2 202 5 3ab 1ab 1 52 1ab 2 42 B. 40a 2 10a2 2 15a3 5 5a 18 2 2a 2 3a22 5 5a 12 1 a2 14 2 3a2

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• El MCD es 3ab. • Factorice el MCD. • Factorice el trinomio. • El MCD es 5a. • Factorice el MCD. • Factorice el trinomio.

Problema 1 A. 81x2 2 4y2 5 19x2 2 2 12y2 2 5 19x 1 2y2 19x 2 2y2 B. 20x3y2 2 45xy2 5 5xy2 14x22 2 5xy2 192 5 5xy2 14x2 2 92 5 5xy2 3 12x2 2 2 32 4

• a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 • El MCD es 5xy2. • Factorice el MCD. • 4x2 2 9 es una diferencia de dos cuadrados.

5 5xy2 12x 1 32 12x 2 32 Problema 2 9x2 1 12x 1 4 5 13x 1 22 2

• 81x2 2 4y2 es una diferencia de dos cuadrados.

• a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2

• 9x2 5 13x2 2 y 4 5 22. • Compruebe que 13x 1 22 2 5 9x2 1 12x 1 4.

Problema 3 A. a3 1 64b3 5 a3 1 14b2 3 5 1a 1 4b2 3 a2 2 a 14b2 1 14b2 2 4 5 1a 1 4b2 1a2 2 4ab 1 16b22 B. 32x4y3 2 108xy3 5 4xy3 18x3 2 272 5 4xy3 3 12x2 3 2 33 4

• a3 1 64b3 es la suma de dos cubos. • Utilice la fórmula de la suma de dos cubos. • El MCD es 4xy3. • Factorice el MCD. • 8x3 2 27 es la suma de dos cubos.

5 4xy3 12x 2 32 3 12x2 2 1 2x 132 1 32 4 • Utilice la fórmula de la suma de dos cubos. 5 4xy3 12x 2 32 14x2 1 6x 1 92 Problema 4 A. 6x2y2 2 19xy 1 10 5 13xy 2 22 12xy 2 52 B. 3x4 1 4x2 2 4 5 1x2 1 22 13x2 2 22

• Sea u 5 xy. • Factor 6u2 2 19u 1 10. • Sea u 5 x2. • Factorice 3u2 1 4u 2 4.

Problema 5 A. 4x 2 4y 2 x3 1 x2y 5 14x 2 4y2 2 1x3 2 x2y2 5 4 1x 2 y2 2 x2 1x 2 y2 5 1x 2 y2 14 2 x22 5 1x 2 y2 12 1 x2 12 2 x2 B. x4 2 8x2 2 9 5 1x2 2 92 1x2 1 12 5 1x 1 32 1x 2 32 1x2 1 12

• Factorice por agrupamiento de términos. • Factorice la diferencia de cuadrados. • Sea u 5 x2. • Factorice u2 2 8u 2 9. • Factorice la diferencia de cuadrados.

SECCIÓN 5.8 Problema 1 A. 4x2 1 11x 5 3 2 4x 1 11x 2 3 5 0 14x 2 12 1x 1 32 5 0 4x 2 1 5 0 x1350 4x 5 1 x 5 23 1 x5 4 1 Las soluciones son y 23. 4

• Escriba en forma general. • Factorice. • Propiedad del producto cero.

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S19

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

B. 1x 2 22 1x 1 52 5 8 x2 1 3x 2 10 5 8 x2 1 3x 2 18 5 0 1x 1 62 1x 2 32 5 0

• Multiplique. • Escriba en forma general. • Factorice.

x1650 x 2 3 5 0 • Propiedad del producto cero. x 5 26 x53 Las soluciones son 26 y 3. Problema 2 s 1c2 5 4 c2 2 c 2 2 5 4 • c2 2 c 2 6 5 0 • 1c 1 22 1c 2 32 5 0 • c1250 c2350 • c 5 22 c53 Los valores de c son 22 y 3. Problema 3 s 1c2 5 0 c2 1 5c 2 14 5 0

s 1c2 5 c2 2 c 2 2 Escriba en forma general. Factorice. Propiedad del producto cero

• s 1t2 5 t 2 1 5t 2 14; así s 1c2 5 c 2 1 5c 2 14. • Factorice.

1c 1 72 1c 2 22 5 0 c1750 c 2 2 5 0 • Propiedad del producto cero. c 5 27 c52 Los valores de c son 27 y 2. Problema 4 Estrategia Sustituya D por 20 en la ecuación 1

2

D 5 n n 22 3 , y después resuelva para n. Solución

n 1n 2 32 D5 2 n 1n 2 32 20 5 2 40 5 n2 2 3n

Problema 1 3 2 5x f 1x2 5 2 x 1 5x 1 6 3 2 5 122 f 122 5 2 2 1 5 122 1 6 3 2 10 f 122 5 4 1 10 1 6 27 f 122 5 20 7 f 122 5 2 20

• Sustituya x por 2.

Problema 2 El dominio debe excluir los valores de x para los cuales x 2 2 4 5 0. x2 2 4 5 0 1x 2 22 1x 1 22 5 0 • Factorice. • Propiedad del producto cero x2250 x1250 x52 x 5 22 El dominio es 5 x 0 x 2 22, x 2 2 6 . Problema 3 6x 3 1x 2 42 6x 4 2 24x 3 5 A. 12x 3 2 48x 2 12x 2 1x 2 42

• Factorice.

6x 3 1x 2 42 x 5 5 • Divida entre los factores 2 12x 1x 2 42 2 comunes. 1

• D 5 20

• Multiplique • Escriba en forma general.

0 5 1n 2 82 1n 1 52 • Factorice. • Propiedad del n2850 n1550 producto cero n58 n 5 25

La respuesta –5 no tiene sentido en el contexto de este problema. El polígono tiene 8 lados.

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SECCIÓN 6.1

1

cada lado por 2.

0 5 n2 2 3n 2 40

Soluciones de los problemas del capítulo 6

B.

5x 14 2 3x2 20x 2 15x 2 5 15x 3 2 5x 2 2 20x 5x 13x 2 2 x 2 42 5

• Factorice cada MCD.

5x 14 2 3x2 • Factorice 5x 13x 2 42 1x 1 12 el trinomio.

5x 14 2 3x2 • Divida entre 5 5x 13x 2 42 1x 1 12 los factores 1 21

1 52 x11

comunes.

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S20

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 6.2 Problema 1 12 1 5x 2 3x 2 # 2x 2 1 x 2 45 x 2 1 2x 2 15 3x 2 1 4x 14 1 3x2 13 2 x2 # 12x 2 92 1x 1 52 • Factorice. 5 1x 1 52 1x 2 32 x 13x 1 42 14 1 3x2 13 2 x2 12x 2 92 1x 1 52 5 1x 1 52 1x 2 32 # x 13x 1 42 21

1

1

14 1 3x2 13 2 x2 12x 2 92 1x 1 52 5 1x 1 52 1x 2 32 # x 13x 1 42 1

• Multiplique.

1

1

• Divida entre los factores comunes.

2x 2 9 x Problema 2 6x 2 2 3xy 16x 2y 2 2 8xy 3 A. 4 10ab4 15a2b2 52

a2 2 9a a2 1 2a 2 15 1 a 1a 2 52 1a 1 52 a 1a 2 52 1a 1 52 2 1a 1 2a 2 152 1 1a2 2 9a2 5 a 1a 2 52 1a 1 52 5

a2 1 2a 2 15 1 a2 2 9a a 1a 2 52 1a 1 52 2 12a 1 32 1a 2 52 2a 2 7a 2 15 5 5 a 1a 2 52 1a 1 52 a 1a 2 52 1a 1 52 5

12a 1 32 1a 2 52 2a 1 3 5 5 a 1a 2 52 1a 1 52 a 1a 1 52 1

6x 2 2 3xy # 15a2b2 4 2 2 10ab 16x y 2 8xy 3 3x 12x 2 y2 # 15a2b2 5 4 10ab 8xy 2 12x 2 y2 5

5

Problema 4 El mcd es a 1a 2 52 1a 1 52 . a23 a29 1 2 2 a 2 5a a 2 25 a29 a23 #a15 #a 1 5 1 2 1 2 1 2 aa25 a15 a25 a15 a

45a2b2x 12x 2 y2 80ab4xy 2 12x 2 y2

• Multiplique por el recíproco. • Factorice. • Multiplique.

1

Problema 5 A. El mcd es 1x 1 22 1x 2 32 . x 1 2 12 x12 x23 5

x #x12 2 1x 1 22 1x 2 32 1 #x23 2 1 # x12 x23 x23 x12 1 1x 1 22 1x 2 32

5

x23 x2 1 2x 2x2 2 2x 2 12 2 1 1x 1 22 1x 2 32 1x 1 22 1x 2 32 1x 1 22 1x 2 32

5

x 2 3 2 x2 2 2x 1 2x2 2 2x 2 12 1x 1 22 1x 2 32

1

45a2b2x 12x 2 y2 9a 5 5 4 2 80ab xy 12x 2 y2 16b2y 2 1

• Divida entre los factores comunes.

6x 2 7x 1 2 4x 2 2 8x 1 3 B. 4 2 3x 1 x 2 2 5x 2 1 x 2 4 2

6x 2 2 7x 1 2 # 5x 2 1 x 2 4 5 3x 2 1 x 2 2 4x 2 2 8x 1 3

• Multiplique por el recíproco.

5

12x 2 12 13x 2 22 # 1x 1 12 15x 2 42 1x 1 12 13x 2 22 12x 2 12 12x 2 32

• Factorice.

5

12x 2 12 13x 2 22 1x 1 12 15x 2 42 1x 1 12 13x 2 22 12x 2 12 12x 2 32

• Multiplique.

1

1

1

12x 2 12 13x 2 22 1x 1 12 15x 2 42 5 1x 1 12 13x 2 22 12x 2 12 12x 2 32 1

1

• Simplifique.

1

5x 2 4 5 2x 2 3 Problema 3 El mcd es xy 2. 5y 9 4 2 2 2 x xy y 5y # y 2 9 #y 4 x 5 2 2 2# x y2 xy y y x 9y 4x 5y3 5 22 22 2 xy xy xy 5y3 2 9y 2 4x 5 xy2

x2 2 3x 2 15 1x 1 22 1x 2 32 B. El mcd es 1x 2 22 12x 2 32 . 7 2 6x 4 x21 2 2 1 x22 2x 2 7x 1 6 2x 2 3 x 2 1 # 2x 2 3 7 2 6x 5 2 1x 2 22 12x 2 32 x 2 2 2x 2 3 4 # x22 1 2x 2 3 x 2 2 5

7 2 6x 2x 2 2 5x 1 3 2 1x 2 22 12x 2 32 1x 2 22 12x 2 32 4x 2 8 1 1x 2 22 12x 2 32 12x 2 2 5x 1 32 2 17 2 6x2 1 14x 2 82 5 1x 2 22 12x 2 32 5

2x 2 2 5x 1 3 2 7 1 6x 1 4x 2 8 1x 2 22 12x 2 32

• Escriba cada fracción en términos del mcd.

5

• Simplifique.

5

• Reste los numeradores. Coloque la diferencia sobre el común denominador.

1x 1 42 12x 2 32 x14 5 5 1x 2 22 12x 2 32 x22

1x 1 42 12x 2 32 2x 2 1 5x 2 12 5 1x 2 22 12x 2 32 1x 2 22 12x 2 32 1

1

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S21

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 6.3 Problema 1 A. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción compleja por el mcd. El mcd es x2. 16 16 16 16 31 1 2 31 1 2 2 x x x x #x 5 5 4 5 4 x2 61 2 2 61 2 2 x x x x 16 # 2 16 # 2 x 1 2 x x x 5 5 4 6 # x2 1 # x2 2 2 # x2 x x 3 # x2 1

5 5

4x 1 1 3 521 2x 2 1 x23 3 4x 1 1 12x 2 12 1x 2 32 5 12x 2 12 1x 2 32 a2 1 b 12x 2 12 x23

B.

• Propiedad distributiva.

3x 2 1 16x 1 16 6x 2 1 5x 2 4

1x 2 32 14x 1 12 5 12x 2 12 1x 2 32 2 1 12x 2 12 3 4x 2 2 11x 2 3 5 4x 2 2 14x 1 6 1 6x 2 3 211x 2 3 5 28x 1 3 23x 5 6 x 5 22 La solución es 22. Problema 2  Tiempo que requiere el ducto menor para llenar el tanque: x

Estrategia

• Simplifique.

13x 1 42 1x 1 42 12x 2 12 13x 1 42

Tasa de velocidad # Tiempo 5 Parte

• Factorice.

13x 1 42 1x 1 42 x14 5 5 12x 2 12 13x 1 42 2x 2 1

Ducto mayor

1 9

#

6

5

6 9

Ducto menor

1 x

#

6

5

6 x

1

1

B. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción compleja por el mcd. El mcd es x 2 3. 14 14 2x 1 5 1 2x 1 5 1 x23 x23 # x23 5 49 49 x23 4x 1 16 1 4x 1 16 1 x23 x23 14 12x 1 52 1x 2 32 1 1x 2 32 x23 5 • Propiedad 49 distributiva. 14x 1 162 1x 2 32 1 1x 2 32 x23 5

1

• Factorice.

1

x21 2x 1 1

SECCIÓN 6.4 Problema 1 A.

Solución

2x 2 2 x 2 1 2x 2 2 x 2 15 1 14 5 • Simplifique. 4x 2 1 4x 2 48 1 49 4x 2 1 4x 1 1

12x 1 12 1x 2 12 12x 1 12 1x 2 12 5 5 12x 1 12 12x 1 12 12x 1 12 12x 1 12 5

 La suma de la parte de la tarea terminada por el ducto mayor y la parte de la tarea terminada por el ducto menor es 1.

22 5 5 2x 2 3 x11 5 22 1x 1 12 12x 2 32 5 1x 1 12 12x 2 32 12x 2 32 1x 1 12 5 1x 1 12 5 22 12x 2 32 5x 1 5 5 24x 1 6 9x 1 5 5 6 9x 5 1 1 x5 9 La solución es 19 .

15_Soluciones_AUFMANN.indd S21

6 6 1 51 9 x 2 6 1 51 3 x 6 2 3xa 1 b 5 3x # 1 3 x 2x 1 18 5 3x 18 5 x

El ducto menor, al trabajar solo llenará el tanque en 18 h. Problema 3 Estrategia  Tasa de velocidad del viento: r Distancia 4

Tasa de 5 velocidad

Tiempo

Con viento a favor

700

4

150 1 r

5

700 150 1 r

Con viento en contra

500

4

150 2 r

5

500 150 2 r

 El tiempo de vuelo con viento a favor es igual al tiempo de vuelo con viento en contra.

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S22

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Solución

700 500 5 150 1 r 150 2 r 1150 1 r2 1150 2 r2 a

R5

Solución

k 10.012 2 k 0.5 5 0.0001 0.00005 5 k 0.5 5

500 700 b 5 1150 1 r2 1150 2 r2 a b 150 1 r 150 2 r

1150 2 r2 700 5 1150 1 r2 500 105,000 2 700r 5 75,000 1 500r 30,000 5 1200r 25 5 r La tasa de velocidad del viento es 25 mph

0.00005 d2 0.00005 R5 5 0.125 10.022 2 R5

SECCIÓN 6.5

La resistencia es 0.125 ohm.

Problema 1 Estrategia

Solución

Para calcular el costo, escriba y resuelva una proporción utilizando x para representar el costo. 2 15 5 5.80 x 15 2 5 x 15.802 x 15.802 5.80 x 2x 5 15 15.802 2x 5 87 x 5 43.5 El costo de 15 lb de nueces es $43.50.

Problema 2 Para calcular la distancia:  Escriba la ecuación básica de proporción directa, sustituya las variables por los valores dados y resuelva para k.  Escriba la ecuación de proporción directa, sustituyendo k por su valor. Sustituya t por 5 y resuelva para s.

Problema 4 Para calcular la fuerza de la viga:  Escriba la ecuación básica de proporción inversa, sustituya las variables por los valores dados, y resuelva para k.  Escriba la ecuación de proporción combinada, sustituyendo k por su valor y W por 4, d por 8, y L por 16. Resuelva para s.

Estrategia

kWd2 L 1 k 22 1122 2 1200 5 12 k 12882 1200 5 12 14,400 5 288k s5

Solución

Estrategia

Solución

s 5 kt 64 5 k 122 2 64 5 k # 4 16 5 k s 5 16t2 s 5 16 152 2 5 400 El objeto caerá 400 pies en 5 s. 2

Problema 3 Estrategia Para calcular la resistencia:  Escriba la ecuación básica de proporción inversa, sustituya las variables por los valores dados, y resuelva para k.  Escriba la ecuación de proporción inversa, sustituyendo k por su valor. Sustituya d por 0.02, y resuelva para R.

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k d2

50Wd2 L 50 142 82 s5 16 12,800 s5 16 s 5 800 s5

50 5 k La fuerza de la viga es de 800 lb.

SECCIÓN 6.6 Problema 1 A.

1 1 1 1 5 R1 R2 R 1 1 1 RR1 R2 a 1 b 5 RR1 R2 a b R1 R2 R RR1 R2 a

1 1 b 1 RR1 R2 a b 5 R1 R2 R1 R2 RR2 1 RR1 5 R1 R2 R 1R2 1 R12 5 R1 R2 R1 R 2 R5 R2 1 R1

B.

t5

r r11

1r 1 12 t 5 1r 1 12 a tr 1 t 5 r t 5 r 2 tr t 5 r 11 2 t2 t 5r 12t

r b r 1 1 • Multiplique cada lado por r 1 1.

• Reste tr a cada lado. • Factorice. • Divida cada lado entre 1 2 t.

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S23

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Soluciones de los problemas del capítulo 7 SECCIÓN 7.1 Problema 7.1 2 2 A. 643 5 1262 3 5 24 5 16 3 3 B. 16 2 4 5 1242 2 4 5 223 1 1 5 35 2 8 Problema 2 5

1

x2y 2 4

1

4 1

5

B. 1x y z

2

A.

x 2 3y3

1 5 314

y

1

3

C.

19x2y42 2 1

5

• Reescriba 16 como 2 . • Multiplique los exponentes. • Definición de un exponente negativo.

• Simplifique "9x4y2 y "4x2.

5 12x2y!5y 1 4x2y!5y 5 16x2y!5y

11

x6

• Regla de la división de expresiones con exponentes.

19 12

y

2 8

5 x 2 1y 2 3 z9 z

8 9

• Multiplique los exponentes. • Definición de un exponente negativo.

2

xy3

34x3y21 1

92xy2 34x3y21 5 3xy2 5 34 2 1x3 2 1y21 2 2 27x2 5 33x2y23 5 3 y

• Regla para simplificar potencias de los productos. 1 2

• Simplifique 9 . • Regla para dividir expresiones con exponentes.

Problema 3 A. El denominador del exponente racional es el índice del radical. El numerador es la potencia del radicando. 3

4 4 12x32 3 5 " 12x32 4 5 " 8x9 B. Observe que 25 no está elevado a la potencia. 5 1 6 5 25a6 5 25 1a52 6 5 25" a

Problema 4 1

3 3ab 5 13ab2 3 A. ! 1 4 4

4 4 B. " x 1 y4 5 1x4 1 y 2

Problema 5 A. "121x10 5 11x5 3 B. " 28x12y3 5 22x4y 4 C. 2" 81x12y8 5 23x3y2

• El índice del radical es el denominador del exponente. • El índice del radical es el denominador del exponente.

• El radicando es un cuadrado perfecto. Divida el exponente entre 2. • El radicando es un cubo perfecto. Divida cada exponente entre 3. • El radicando es una 4a. potencia perfecta. Divida cada exponente entre 4.

• Simplifique.

• Simplifique los términos B. 5a"32b 2 7b"162a b semejantes. 4 4 • Utilice la propiedad 5 5a" 16b4 12b2 2 7b" 81a4 12b2 4 4 4 4 5 5a" 16b4 # ! 2b 2 7b" 81a4 # ! 2b del producto de los radicales para simplificar cada radical. 4

5

5 13x4y242 4

5 4 13x2y2 # !5y 1 2xy 12x2 # !5y

radicales para simplificar cada radical.

4

4

x2 1 3

3 1 2 4 4 2 23 23

• Reescriba 64 como 26. • Multiplique los exponentes.

Problema 2 A. 4"45x4y3 1 2xy"20x2y 5 4"9x4y2 15y2 1 2xy"4x2 15y2 • Utilice la propiedad 4 2 # 2 # 5 4"9x y !5y 1 2xy"4x !5y del producto de los

5

4

4

4 4 5 5a 12b2 # ! 2b 2 7b 13a2 # ! 2b

4 • Simplifique " 16b4 4 y" 81a4.

4 4 5 10ab! 2b 2 21ab! 2b 4 5 211ab! 2b

• Simplifique.

Problema 3 A. 123!72 2 5 123!72 123!72 5 9!49 5 9 172 5 63

B. "15xy3 !5xy 5 "75x2y4 5 "25x2y4 !3 5 5xy2 !3

• Simplifique los términos semejantes. • La propiedad del producto de los radicales. • La propiedad del producto de los radicales.

3 3 3 • La propiedad del producto C. " 20ab4 " 2a4b2 5 " 40a5b6 de los radicales. 3 3 5 "8a3b6 " 5a2 3 5 2ab2" 5a2 Problema 4 !5b 1 !3b 2 !102

• Propiedad distributiva. 5 "15b2 2 !50b 2 5 "b !15 2 !25"2b • Simplifique. 5 b!15 2 5!2b Problema 5 A. 12!5 1 32 14!5 2 72 5 8!25 2 14!5 1 12!5 2 21 • Utilice PEIU. • Simplifique !25 y 5 8 152 2 2!5 2 21 los términos 5 40 2 2!5 2 21 semejantes. 5 19 2 2!5 B. 12!a 1 3!b2 1 !a 2 2!b2

5 2"a2 2 4!ab 1 3!ab 2 6"b2 • Utilice PEIU. 5 2a 2 !ab 2 6b • Simplifique "a2 y "b2. Simplifique los términos semejantes.

SECCIÓN 7.2 Problema 1 5 5 " 128x7 5 " 32x5 14x22 5 5 5" 32x5" 4x2 5 5 2x"4x2

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• Reescriba 128x7 utilizando una quinta potencia perfecta. • Propiedad del producto de los radicales. • Simplifique.

Problema 6 3 !3 A. 5 Å7 !7 !3 # !7 !21 5 5 !7 !7 !49 !21 5 7

• Propiedad del cociente de los radicales. • Multiplique el numerador y el denominador por !7. • Simplifique.

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S24

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

y y # !3y 5 !3y !3y !3y

B.

5

• Multiplique el numerador y el denominador por !3y.

C.

3 " 3x2

5 5

3 # ! 9x

3

3 3 " 3x2 ! 9x 3 3! 9x

3 " 27x3 3 3 3! 9x ! 9x 5 5 3x x

• Simplifique.

• Simplifique.

• Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado de 3 2 !3. • Utilice PEIU.

!4 1 !2x 1 !2x 1 "x2 • Utilice PEIU. 1 !22 2 2 1 !x2 2 2 1 2!2x 1 x 5 22x

SECCIÓN 7.3 Problema 1 A. Puesto que Q contiene una raíz impar, no hay restricciones en el radicando. El dominio es (2`, `). B. T contiene una raíz par. El radicando debe ser positivo o cero. 3x 1 9 $ 0 3x $ 29 x $ 23 El dominio es 3 23, ` 2 .

y 8 4 4

8

12

16

x

SECCIÓN 7.4 Problema 1 A. !4x 1 5 2 12 5 25 • Sume 12 a cada lado de manera que el radical esté solo. !4x 1 5 5 7 1 !4x 1 52 2 5 72 • Eleve al cuadrado cada lado. 4x 1 5 5 49 4x 5 44 x 5 11 Comprobación: !4x 1 5 2 12 5 25 !4 # 11 1 5 2 12 25 !44 1 5 2 12 5 25 !49 2 12 5 25 7 2 12 5 25 25 5 25 La solución es 11.

• Multiplique B. !x 2 8 4 el numerador y 1! x 2 82 4 el denominador x28 por el conjugado x de !2 2 !x.

5

Problema 2 x22$0 x$2

8 –2

12 1 4!3 1 3!2 1 !6 9 2 1 !32 2 12 1 4!3 1 3!2 1 !6 5 6 !2 1 !x !2 1 !x # !2 1 !x B. 5 !2 2 !x !2 2 !x !2 1 !x 5

–8

• Multiplique el numerador y el 3 denominador por ! 9x.

Problema 7 4 1 !2 # 3 1 !3 4 1 !2 5 A. 3 2 !3 3 2 !3 3 1 !3

–4 0 –4

• Puesto que y contiene una raíz impar, el dominio es todos los números reales.

8

y!3y

"9y2 y!3y !3y 5 5 3y 3 3

Problema ob e a 3 3

• Puesto que F contiene una raíz par, el radicando debe ser positivo o cero. • Encuentre pares ordenados al evaluar F(x) para los valores de los números enteros de x en el dominio de 5 x 0 x # 2 6 .

4

5 3 • El radical está solo. 5 34 • Eleve cada lado a la 4a. potencia. 5 81 5 89 4 Comprobación: ! x 2 8 5 3 4 ! 89 2 8 3 4 ! 81 5 3 353 La solución es 89.

Problema 2 A. x 1 3!x 1 2 5 8 3!x 1 2 5 8 2 x 13!x 1 22 2 5 18 2 x2 2 9 1x 1 22 5 64 2 16x 1 x2 9x 1 18 5 64 2 16x 1 x2 0 5 x2 2 25x 1 46 0 5 1x 2 22 1x 2 232 x2250 x52

x 2 23 5 0 x 5 23

• Reste x de cada lado de manera que el radical esté solo. • Eleve al cuadrado cada lado. • Esta es una ecuación cuadrática. • Escriba en forma general. • Factorice. • Propiedad del producto cero.

Comprobación:

x 1 3!x 1 2 5 8 x 1 3!x 1 2 5 8 2 1 3!2 1 2 8 23 1 3!23 1 2 8 2 1 3!4 8 23 1 3!25 8 213#2 8 23 1 3 # 5 8 216 8 23 1 15 8 858 38 2 8 23 no se comprueba como solución. La solución es 2.

–8

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

B.

!x 1 5 5 5 2 !x 1 !x 1 52 2 5 15 2 !x2 2 x 1 5 5 25 2 10!x 1 x 220 5 210!x 2 5 !x 22 5 1 !x2 2 45x Comprobación: !x 1 5 5 5 2

3 1 • No hay dos radicales. B. 13 2 i2 a 1 ib • Eleve al cuadrado cada lado. 10 10 9 3 3 1 9 1 • Simplifique y reescriba la 5 1 i 2 i 2 i2 5 2 i2 ecuación de manera que 10 10 10 10 10 10 el radical esté solo. 9 1 9 1 5 2 1212 5 1 51 • Eleve al cuadrado cada lado. 10 10 10 10

La solución es 4. Problema 3 Estrategia Para determinar la diagonal, utilice el teorema de Pitágoras. Un cateto es la longitud del rectángulo. El segundo cateto es el ancho del rectángulo. La hipotenusa es la diagonal del rectángulo. Solución

c 5a 1b c2 5 162 2 1 132 2 c2 5 36 1 9 c2 5 45 "c2 5 !45 c 5 !45 c < 6.7 La diagonal es de aproximadamente 6.7 cm. 2

2

SECCIÓN 7.5 Problema 1 25!280 5 25i!80 5 25i 14!52 5 220i!5 Problema 2 12 2 !272 12 2 i!72 5 • 3 3 12 2 6i!2 5 • 3 3 14 2 2i!22 5 • 3 5 4 2 2i!2 • Problema 3 A. 15 2 7i2 1 12 2 i2 5 15 1 22 1 3 27 1 1212 4 i 5 7 2 8i B. 124 1 2i2 2 16 2 8i2 5 124 2 62 1 3 2 2 1282 4 i 5 210 1 10i

!272 5 i !72 Simplifique el radical. Factorice 3 de cada numerador. Simplifique.

• Sume las partes reales y las imaginarias.

Problema 5 23 # i 23i 23 5 5 2 A. 6i 6i i 6i 23i i 1 23i 5 5 5 i 5 6 1212 26 2 2 B.

i • Multiplique por 5 1. i

• i2 5 21

• Multiplique 2 2 3i 2 2 3i # i 2i 2 3i2 5 5 i por 5 1. 4i 4i i 4i2 i 2i 2 3 1212 3 1 2i 3 1 5 5 5 2 2 i • i2 5 21 4 1212 24 4 2

Problema 6 5 5 # 1 2 3i A. 5 1 1 3i 1 1 3i 1 2 3i 5 11 2 3i2 5 2 15i 5 2 5 1 1 32 119 5 2 15i 1 3 5 5 2 i 10 2 2 1 2 1 2 1 5i 2 1 5i # 3 1 2i2 B. 5 13 2 2i2 13 1 2i2 3 2 2i 6 1 4i 1 15i 1 10i2 5 32 1 22 6 1 19i 1 10 1212 5 13 4 24 1 19i 52 1 5 13 13

• Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. • Escriba en la forma a 1 bi. • Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

• i2 5 21 19 i 13

• Escriba en la forma a 1 bi.

Soluciones de los problemas del capítulo 8 SECCIÓN 8.1

• Reste las partes reales y las imaginarias.

Problema 4 A. 14 2 3i2 12 2 i2 5 8 2 4i 2 6i 1 3i2 5 8 2 10i 1 3i2 5 8 2 10i 1 3 1212 5 5 2 10i

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• i2 5 21

C. 13 1 6i2 13 2 6i2 5 9 2 18i 1 18i 2 36i2 5 9 2 36i2 • PEIU. 5 9 2 36 1212 5 9 1 36 5 45 • i2 5 21 D. 11 1 5i2 2 5 1 1 10i 1 25i2 • 1a 1 b2 2 5 a2 1 2ab 1 b2 5 1 1 10i 1 25 1212 • i2 5 21 5 1 1 10i 2 25 5 224 1 10i

!x

!4 1 5 5 2 !4 !9 5 2 2 353

2

• PEIU.

• PEIU. • i2 5 21

Problema 1 3x 2 1 14x 1 8 5 0 13x 1 22 1x 1 42 5 0 3x 1 2 5 0 x1450 3x 5 22 x 5 24 2 x52 3 Las soluciones son 24 y 223.

• La ecuación está en forma general. • Factorice. • Propiedad del producto cero.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 2 1x 1 52 1x 2 12 5 7 x 2 1 4x 2 5 5 7 x 2 1 4x 2 12 5 0 1x 1 62 1x 2 22 5 0 x1650 x2250 x 5 26 x52 Las soluciones son –6 y 2.

• Multiplique los binomios. • Escriba en forma general. • Factorice. • Propiedad del producto cero

Problema 3 1x 2 r2 1x 2 s2 5 0 2 1 cx 2 a2 b d ax 2 b 5 0 3 6 1 2 ax 1 b ax 2 b 5 0 3 6 3 2 x2 1 x 2 50 6 18

2 1 • r52 ,s5 3 6 • Simplifique.

Problema 4 5 1x 1 42 2 1 7 5 17 • Resuelva para 1x 1 42 2. 5 1x 1 42 2 5 10 2 1x 1 42 5 2 • Obtenga la raíz cuadrada de cada lado. " 1x 1 42 2 5 !2 • Simplifique. 0 x 1 4 0 5 !2 x 1 4 5 6 !2 x 1 4 5 2!2 x 1 4 5 !2 • Resuelva para x. x 5 24 2 !2 x 5 24 1 !2 Las soluciones son 24 2 !2 y 24 1 !2.

SECCIÓN 8.2 Problema 1 A. 4x 2 2 4x 2 1 5 0 • Sume 1 a cada lado. 4x 2 2 4x 5 1 1 4x 2 2 4x • Divida cada lado entre 4. 5 4 4 1 x2 2 x 5 • El coeficiente de x2 es 1. 4 Termine el cuadrado. 2 1 1 1 1 1 • c 1212 d 5 x2 2 x 1 5 1 2 4 4 4 4

1 2 2 ax 2 b 5 Å 2 Å4 !2 1 `x 2 ` 5 2 2 x2

• Factorice el trinomio cuadrado perfecto.

1 !2 5 2 2 1 !2 x5 1 2 2

x2

1 2 41 ax 1 b 5 4 16

• Multiplique los binomios.

3 2 18ax 2 1 x 2 b 5 18 # 0 • Multiplique cada lado por 6 18 el mcd. 2 18x 1 9x 2 2 5 0

1 2 2 ax 2 b 5 2 4

1 !2 • Resuelva para x. 52 2 2 1 !2 x5 2 2 2 1 1 !2 1 2 !2 Las soluciones son y . 2 2 B. 2x 2 1 x 2 5 5 0 • Sume 5 a cada lado. 2x 2 1 x 5 5 2x 2 1 x 5 • Divida cada lado entre 2. 5 2 2 1 5 x2 1 x 5 • El coeficiente de x2 es 1. 2 2 Complete el cuadrado. 1 1 5 1 1 1 2 1 • c a bd 5 x2 1 x 1 5 1 2 2 16 2 16 2 16 x2

1 2 41 ax 1 b 5 Å 4 Å 16 1 !41 `x 1 ` 5 4 4

• Factorice el trinomio cuadrado perfecto. • Obtenga la raíz cuadrada de cada lado. • Simplifique.

1 !41 56 4 4 1 !41 1 !41 • Resuelva para x. x1 5 x1 52 4 4 4 4 1 !41 1 !41 x52 1 x52 2 4 4 4 4 21 1 !41 21 2 !41 Las soluciones son y . 4 4 Problema 2 • La ecuación está A. x 2 1 6x 2 9 5 0 x1

2b 6 "b2 2 4ac x5 2a 5 5 5

26 6 "62 2 4 112 1292 2#1

26 6 !36 1 36 2

en forma general.

• a 5 1, b 5 6, c 5 29

26 6 !72 2

26 6 6!2 5 23 6 3!2 2 Las soluciones son 23 1 3!2 y 23 2 3!2. 5

• Obtenga la raíz cuadrada de cada lado. • Simplifique.

1 !2 56 2 2

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S27

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

B.

4x 2 5 4x 2 1 4x 2 4x 1 1 5 0

• Escriba en forma general.

2

2b 6 "b2 2 4ac x5 2a 5

2 1242 6 " 1242 2 2 4 142 112 2#4

5

4 6 !16 2 16 8

• a 5 4, b 5 24, c51

La solución es 12.

• a 5 3, b 5 21, c 5 21 • El discriminante es mayor que cero.

La ecuación tiene dos soluciones en los números reales.

SECCIÓN 8.3 Problema 1 x 2 5x 2 1 6 5 0

1x 2 2 2 5 1x 2 1 6 5 0 1 • Sea x2 5 u. u2 2 5u 1 6 5 0 1u 2 22 1u 2 32 5 0 • Resuelva por factorización u2250 u 2 3 5 0 para u. u52 u53 1 2

1 2

1

x2 5 2

1

x2 5 3

• Escriba en forma general. • Resuelva por factorización para x.

1 2

• Resuelva para un radical. • Eleve al cuadrado cada lado. • Resuelva para los otros radicales. • Eleve al cuadrado cada lado. • Escriba en forma general. • Resuelva por factorización para x.

x2150 x 2 25 5 0 x51 x 5 25 1 se comprueba como solución, pero se comprueba que 25 no es solución. La solución es 1.

1

• Sustituya u por x2 .

1x 2 2 5 22 1x 2 2 5 32 • Resuelva para x. x54 x59 4 y 9 se comprueban como soluciones. Las soluciones son 4 y 9. 1 2

Problema 3 !2x 2 1 1 !x 5 2 !2x 2 1 5 2 2 !x 1 !2x 2 12 2 5 12 2 !x2 2 2x 2 1 5 4 2 4!x 1 x x 2 5 5 24!x 1x 2 52 2 5 124!x2 2 x 2 2 10x 1 25 5 16x x 2 2 26x 1 25 5 0 1x 2 12 1x 2 252 5 0

1

A.

0 5 1x 2 42 1x 2 122

• Resuelva para el radical. • Eleve al cuadrado cada lado.

x2450 x 2 12 5 0 x54 x 5 12 4 se comprueba como solución, pero se comprueba que 12 no es solución. La solución es 4.

4 6 !0 4 1 5 5 5 8 8 2 Problema 3 3x 2 2 x 2 1 5 0 b2 2 4ac 5 1212 2 2 4 132 1212 5 1 1 12 5 13 13 . 0

Problema 2 !2x 1 1 1 x 5 7 !2x 1 1 5 7 2 x 1 !2x 1 12 2 5 17 2 x2 2 2x 1 1 5 49 2 14x 1 x 2 0 5 x 2 2 16x 1 48

Problema 4

25 5 28 3y 2 2 25 13y 2 22 a3y 1 b 5 13y 2 22 1282 3y 2 2 B. 4x 4 1 35x 2 2 9 5 0 25 13y 2 22 13y2 1 13y 2 22 a b 5 13y 2 22 1282 2 2 4 1x 2 1 35 1x 22 2 9 5 0 3y 2 2 2 2 4u 1 35u 2 9 5 0 • Sea x 5 u. 9y 2 2 6y 1 25 5 224y 1 16 14u 2 12 1u 1 92 5 0 • Resuelva por factorización para u. 9y 2 1 18y 1 9 5 0 4u 2 1 5 0 u1950 9 1y 2 1 2y 1 12 5 0 4u 5 1 u 5 29 9 1y 1 12 1y 1 12 5 0 1 y 1 1 5 0 y 1150 u5 4 y 5 21 y 5 21 –1 se comprueba como solución. 1 x2 5 x 2 5 29 La solución es –1. • Sustituya u 4 por x2. 1 2 2 "x 5 "x 5 !29 • Resuelva para x. SECCIÓN 8.4 Å4 Problema 1 1 0x0 5 0 x 0 5 3i Estrategia Para determinar el paso del tiempo, sustituya h 2 por 0 en la ecuación h 5 216t2 1 60.6t 1 4 y 1 x56 x 5 63i resuelva para t. 2 Las soluciones son

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1 2,

3y 1

212, 3i, y 23i.

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S28

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Solución

Solución

h 5 216t2 1 60.6t 1 4 0 5 216t2 1 60.6t 1 4

• Sustituya h por 0.

260.6 6 " 160.62 2 4 12162 142 t5 2 12162

• Utilice la fórmula cuadrática.

2

260.6 6 !3928.36 260.6 6 62.68 t5 < 2 12162 232 260.6 1 62.68 260.6 2 62.68 t< t< 232 232 t 5 20.065 t 5 3.8525 El tiempo no puede ser negativo. El paso del tiempo es aproximadamente 3.9 s. Problema 2 Estrategia  Este es un problema de trabajo.  El tiempo desconocido para Tessa: t  El tiempo desconocido para Seth: t + 3  Trabajan juntos por 2 h. Tasa 1 t

Tessa

1 t13

Seth

#

Tiempo

5

#

2

5

#

2

5

Parte 2 t 2 t13

1200 1200 5 22 250 1 r 250 2 r 1200 1200 2 2b b 5 1250 1 r2 1250 2 r2 a 250 1 r 250 2 r 1200 1250 2 r2 5 1200 1250 1 r2 2 2 162,500 2 r22

1250 1 r2 1250 2 r2 a

22400r 5 2125,000 1 2r2 0 5 2r2 1 2400r 2 125,000 0 5 2 1r 1 12502 1r 2 502 0 5 1r 1 12502 1r 2 502 r 1 1250 5 0 r 5 21250

La tasa de velocidad no puede ser negativa. La tasa de velocidad del viento es de 50 mph.

SECCIÓN 8.5 Problema 1 Coordenada x: 2

Solución

Tasa de Distancia 4 velocidad

5

Con viento a favor

1200

4

250 1 r

5

Con viento en contra

1200

4

250 2 r

5

Tiempo 1200 250 1 r 1200 250 2 r

 El tiempo de vuelo con viento a favor es 2 h menos que el tiempo de vuelo con viento en contra.

15_Soluciones_AUFMANN.indd S28

0 b 52 50 2a 2 112

• a 5 1, b 5 0

y 5 x 2 2 2 • Calcule y cuando x 5 0. 5 02 2 2 5 22 Las coordenadas del vértice son (0, 22). La ecuación del eje de simetría es x 5 0.

 La suma de la parte de la tarea terminada por Tessa y la parte terminada por Seth es 1. 2 2 1 51 t t13 2 2 • Multiplique cada t 1t 1 32 a 1 b 5 t 1t 1 32 # 1 t t13 lado por el mcd. 2 1t 1 32 1 2t 5 t2 1 3t • Simplifique. 4t 1 6 5 t2 1 3t 0 5 t2 2 t 2 6 • Forma general. 0 5 1t 1 22 1t 2 32 • Factorice. • Resuelva para t. t1250 t2350 t 5 22 t53 El tiempo no puede ser negativo. A Tessa le tomaría 3 h lavar las ventanas. Problema 3 Estrategia  Este es un problema de movimiento uniforme.  Tasa de velocidad desconocida del viento: r

r 2 50 5 0 r 5 50

x

y 5 x2 2 2

1

21

2

2

• Encontrar las soluciones representadas por los pares ordenados utilizando los valores de x mayores que 0.

y 4

–4

4 –4

x

• Utilice la simetría para encontrar dos o más puntos sobre el otro lado de los ejes de simetría.

Problema 2 Puesto que a > 0, la gráfica de g se abrirá hacia arriba. Las coordenadas del vértice son 24 b 5 22 x52 5 2a 2 112 y 5 g 1222 5 1222 2 1 4 1222 2 2 5 26 Encuentre varias soluciones representadas por los pares ordenados y después utilice la simetría para trazar la gráfica. El dominio es 5 x 0 x [ números reales}. El rango es 5 y 0 y $ 26 6 .

y 8

–8

0

x

8

(–2, –6 )

Problema 3 f 1x2 5 x 2 1 2x 2 8 • Sustituya f 1x2 por 0. 0 5 x 2 1 2x 2 8 • Factorice. 0 5 1x 1 42 1x 2 22 x1450 x 2 2 5 0 • Resuelva para x. x 5 24 x52 Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son (24, 0) y (2, 0).

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 4 f 1x2 5 2x 2 1 3x 2 1 0 5 2x 2 1 3x 2 1 23 6 "32 2 4 122 1212 x5 2 122

s 1t2 5 216t2 1 64t s 122 5 216 122 2 1 64 122 5 264 1 128 5 64

• Sustituya f 1x2 por 0.

La altura máxima es de 64 pies.

• Utilice la fórmula cuadrática para resolver para x.

Problema 3 Estrategia  Ancho del rectángulo: x 23 6 !9 1 8 23 6 !17 Largo del rectángulo: y 5 5 Cantidad de cerca, F: 100 pies 4 4  Exprese el largo del rectángulo en términos 23 2 !17 23 1 !17 Los ceros son y . de x. 4 4 F 5 2x 1 y Problema 5 100 5 2x 1 y • F 5 100 f 1x2 5 4x 2 2 8x 1 5 100 2 2x 5 y • Resuelva para y. 0 5 4x 2 2 8x 1 5 • Sustituya f1x2 por 0. Exprese el área del rectángulo en términos 2 1282 6 " 1282 2 2 4 142 152 • Utilice la fórmula cuadrática de x. x5 2 142 para resolver para x. A 5 xy

8 6 !64 2 80 8 8 6 !216 8 6 4i 1 5 5 516 i 8 8 2 1 1 Los ceros son 1 2 i y 1 1 i. 2 2 Problema 6 y 5 x2 2 x 2 6 a 5 1, b 5 21, c 5 26 • Evalúe el b2 2 4ac 5 1212 2 2 4 112 1262 discriminante. 5 1 1 24 5 25

A 5 x 1100 2 2x2 A 5 22x2 1 100x

5

• y 5 100 2 2x

 Para calcular el ancho, encuentre la coordenada x del vértice de f 1x2 5 22x 2 1 100x.  Para calcular el largo, sustituya x en y 5 100 2 2x por la coordenada x del vértice. 100 b 52 5 25 2a 2 1222 El ancho es de 25 pies. 100 2 2x 5 100 2 2 1252 5 100 2 50 5 50 El largo es de 50 pies. x52

Solución

El discriminante es positivo. La parábola tiene dos intersecciones con el eje x.

SECCIÓN 8.6 Problema 1 23 3 b 5 x52 52 2a 2 122 4 2 f 1x2 5 2x 2 3x 1 1

SECCIÓN 8.7 • Encuentre la coordenada x del vértice.

3 3 3 2 3 • Evalúe f en x 5 . fa b 5 2a b 2 3a b 1 1 4 4 4 4 9 9 5 2 11 8 4 1 52 8 Puesto que a es positivo, la función tiene un valor mínimo. El valor mínimo de la función es 218.

Problema 2  Para calcular el tiempo que le toma a una pelota alcanzar su altura máxima, encuentre la coordenada t del vértice.  Para calcular la altura máxima, evalúe la función en la coordenada t del vértice. b 64 Solución t52 52 52 2a 2 12162 Estrategia

Problema 1 2x 2 2 x 2 10 # 0 12x 2 52 1x 1 22 # 0 2x − 5 − − −

−−−−−−−−

+++

x + 2 −−−

++++++++

+++

–3 –2 –1 0 1 2 3

El conjunto solución es e x ` 22 # x # –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5 f. 2

5

Problema 2 x #0 x22 x −−−− +++ ++++++ x − 2 −−−− −−− ++++++ –1 0 1 2 3 4

El conjunto solución es [0,2). –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

La pelota alcanza su altura máxima en 2 s.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Soluciones de los problemas del capítulo 9 SECCIÓN 9.1 Problema 1 La gráfica de g 1x2 5 f 1x2 2 3 es la gráfica de y 5 f 1x2 desplazada 3 unidades hacia abajo. y f

4

–4

g x

4 –4

Problema 2 La gráfica de g 1x2 5 f 1x 2 32 es la gráfica de y 5 f 1x2 desplazada 3 unidades hacia la derecha. y f

3 2

g

1 0

2

4

x

6

Problema 3 La gráfica de V 1x2 5 g 1x 2 22 1 1 es la gráfica de y 5 g 1x2 desplazada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. y 4

–4

g

V

4

x

–4

SECCIÓN 9.2 Problema 1 Dadas f 1x2 5 x2 1 2x y g 1x2 5 5x 2 2, 1 f 1 g2 1222 5 f 1222 1 g 1222 5 3 1222 2 1 2 1222 4 1 3 5 1222 2 2 4 5 14 2 42 1 1210 2 22 1 f 1 g2 1222 5 212 Problema 2 Dadas f 1x2 5 x2 1 3 y g 1x2 5 3x 2 5, 1 f # g2 1x2 5 f 1x2 # g 1x2 5 1x2 1 32 13x 2 52 1 f # g2 1x2 5 3x3 2 5x2 1 9x 2 15 Problema 3 Dadas f 1x2 5 x2 2 4 y g 1x2 5 x2 1 2x 1 1, f f 142 a b 142 5 g g 142 42 2 4 5 2 4 12#411 16 2 4 5 16 1 8 1 1 f 12 a b 142 5 g 25

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Problema 4 A. h 1x2 5 x2 1 1 h 102 5 02 1 1 5 1 • Calcule h(0). g 1x2 5 3x 2 2 g 3 h 102 4 5 3 3 h 102 4 2 2 • Calcule g[h(0)]. 5 3 112 2 2 • Sustituya h(0) por 1. g 3 h 102 4 5 1 B. h 1x2 5 x2 1 1 3 h g 1x2 4 5 3 g 1x2 4 2 1 1 • Sustituya x por g(x). 5 13x 2 22 2 1 1 • Sustituya g(x) por 3x 2 2. 5 9x2 2 12x 1 4 1 1 h 3 g 1x2 4 5 9x2 2 12x 1 5

SECCIÓN 9.3 Problema 1 A. Puesto que cualquier recta vertical interseca la gráfica en no más de un punto, y cualquier recta horizontal interseca la gráfica en no más de un punto, la gráfica es la de una función 121. B. Puesto que cualquier recta vertical interseca la gráfica en no más de un punto, y cualquier recta horizontal interseca la gráfica en no más de un punto, la gráfica es la de una función 121. Problema 2 f 1x2 5 4x 1 2 y 5 4x 1 2 • Sustituya f(x) por y. x 5 4y 1 2 • Intercambie x y y. 4y 5 x 2 2 • Resuelva para y. 1 1 y5 x2 4 2 1 1 21 f 1x2 5 x 2 4 2 Problema 3 Compruebe que las funciones h y g satisfacen la composición de la propiedad de las funciones inversas. 1 1 h 3 g 1x2 4 5 ha x 2 b 4 2 1 1 5 4a x 2 b 1 2 4 2 5x22125x • h[g(x)] x g 3 h 1x2 4 5 g 14x 1 22 1 1 5 14x 1 22 2 4 2 1 1 • g[h(x)] 5x1 2 5x 2 2 Las funciones son inversas entre sí.

x

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Soluciones de los problemas del capítulo 10

B.

22 21 0 2 4

SECCIÓN 10.1 Problema 1 2 x f 1x2 5 a b 3 2 3 8 f 132 5 a b 5 3 27 3 2 9 2 22 f 1222 5 a b 5 a b 5 3 2 4

24 22 0 2 B.

x 24 22 0 2

Problema 5 A. x 22 21 0 1 2

15_Soluciones_AUFMANN.indd S31

–4

4

x

–4

A la décima más cercana, el valor de x para los cuales f 1x2 5 1 es22.4.

6

–6

3

1 1 3 5 2 8

–3

SECCIÓN 10.2

Problema 3 f 1x2 5 e x f 11.22 5 e1.2 < 3.3201 1 2 f 22.5 5 e22.5 < 0.0821 f 1e2 5 ee < 15.1543 Problema 4 A. x

50.60 3.39 23 23.98 23.99

Problema 6

Problema 2 f 1x2 5 22x11 f 102 5 22 102 11 5 21 5 2 f 1222 5 22 1222 11 5 223 5

y

y 5 e22x 2 4

x

Problema 1 1 1 324 5 81 es equivalente a log3 81 5 24.

Problema 2 log10 0.0001 5 24 es equivalente a 1024 5 0.0001.

y

1

y 5 222x 4 2 1 1 2

6

–6

0

1 16 1 1 4 2 5

Escriba una ecuación. Escriba en forma exponencial. Escriba 64 utilizando 4 como base. Propiedad de igualdad de los exponentes

Problema 4 log2 x 5 24 224 5 x • Escriba en forma exponencial. 1 5x 24 1 5x 16

y 6

–6

0

6

x

La solución es

–6

8

–4

0

1 16 .

Problema 5 log x 5 1.5 • Escriba en forma exponencial. 101.5 5 x 31.6228 < x • Evalúe. La solución es aproximadamente 31.6228.

y

y 5 22x 1 2 6 4 3 1 2 2 1 2 4

x

6

• • • •

–6

y 5 2x 1 1 1

Problema 3 log4 64 5 x 64 5 4x 43 5 4x 35x log4 64 5 3

4

x

Problema 6 x2 A. logb 5 logb x 2 2 logb y y 5 2 logb x 2 logb y 1 3 3

1 3

B. ln y z 5 ln y 1 ln z3 1 5 ln y 1 3 ln z 3

• Propiedad del cociente. • Propiedad de la potencia. • Propiedad del producto. • Propiedad de la potencia.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

3 C. log8 " xy2 5 log8 1xy22 3 1

• Escriba el radical como una expresión con exponentes.

1 log8 1xy22 3 1 5 1log8 x 1 log8 y22 3 1 5 1log8 x 1 2 log8 y2 3 1 2 5 log8 x 1 log8 y 3 3 5

• Propiedad de la potencia.

SECCIÓN 10.3 Problema 1 A. f 1x2 5 log2 1x 2 12 y 5 log2 1x 2 12 2y 5 x 2 1

• Propiedad del producto.

2y 1 1 5 x

• Propiedad de la potencia.

2

x 5 ln a 5 b y

1 4 1 1 2 2 3 5

22

1

5 ln

f 1x2 5 4 log8 13x 1 42 5 4 # 5

4 log 13x 1 42 log 8

15_Soluciones_AUFMANN.indd S32

–4

0

4

x

–4

21 0 1 2

3y 2

y 4

y –4

1 18 1 6 1 2 1 1 2 1 4 2

0

4

x

–4

22 21 0 1 2

Problema 2 8

2

• Escriba la expresión con exponentes como una radical.

Problema 8 ln 2.4 < 0.6315 log4 2.4 5 ln 4 Problema 9

x5

1 2

x Å y5

4

B. f 1x2 5 log3 2x y 5 log3 2x • Sustituya y por f(x). 3y 5 2x • Escriba la ecuación exponencial equivalente. 3y 5x • Resuelva para x. 2

• Propiedad del cociente. • Propiedad de la potencia.

y

y

Problema 7

1 x2 5 aln 5 b 2 y

• Resuelva para x.

x 5 2y 1 1

• Propiedad distributiva.

A. 2 logb x 2 3 logb y 2 logb z 5 logb x2 2 logb y3 2 logb z • Propiedad de la potencia. x2 5 logb 3 2 logb z • Propiedad del cociente. y x2 5 logb 3 • Propiedad del cociente. yz B. 3 1log5 x 2 2 log5 y 1 4 log5 z2 5 3 1log5 x 2 log5 y2 1 log5 z42 • Propiedad de la potencia. x 5 3alog5 2 1 log5 z4 b • Propiedad del cociente. y xz4 5 3 log5 2 • Propiedad del producto. y xz4 3 5 log5 a 2 b • Propiedad de la potencia. y x3z12 5 log5 6 • Simplifique. y 1 1 C. 12 ln x 2 5 ln y2 5 1ln x2 2 ln y52 • Propiedad de la 2 2 potencia.

• Sustituya y por f(x). • Escriba la ecuación exponencial equivalente.

–1

8

–12

log 13x 1 42 log 8

• Cambio de la fórmula de base.

Problema 3 f 1x2 5 2 log4 x ln x 52# ln 4 2 ln x 5 ln 4

4

–1

6

–4

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S33

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Problema 5 log3 x 1 log3 1x 1 32 5 log3 4 log3 3 x 1x 1 32 4 5 log3 4

SECCIÓN 10.4 Problema 1 103x15 5 10x23 3x 1 5 5 x 2 3 2x 1 5 5 23 2x 5 28 x 5 24

• Propiedad de igualdad de los exponentes. • Resuelva para x.

103x15 5 10x23 103 1242 15 102423 10212 1 5 1027 1027 5 1027 La solución es 24. Problema 2 A. 43x 5 25 • Aplique el logaritmo común a cada lado. log 43x 5 log 25 3x log 4 5 log 25 • Propiedad del logaritmo de una potencia. log 25 3x 5 • Resuelva para x. log 4 log 25 x5 3 log 4 x < 0.7740 La solución es 0.7740. 11.062 x 5 1.5 B. • Aplique el logaritmo a cada lado. log 11.062 x 5 log 1.5 Comprobación:

x log 1.06 5 log 1.5 • Propiedad del logaritmo de una potencia. log 1.5 x5 • Resuelva para x. log 1.06 x < 6.9585 La solución es 6.9585. Problema 3 ex 5 x x e 2x50 Grafique f 1x2 5 ex 2 x y encuentre cualquier cero. 8

–8

8

–4

x 1x 1 32 5 4 x2 1 3x 5 4 2 x 1 3x 2 4 5 0 1x 1 42 1x 2 12 5 0

4 5 x2 2 3x 0 5 x2 2 3x 2 4 • Escriba en forma general. 0 5 1x 1 12 1x 2 42 • Factorice. x1150 x 2 4 5 0 • Propiedad del producto cero. x 5 21 x54 Las soluciones son –1 y 4.

15_Soluciones_AUFMANN.indd S33

• Escriba en forma general. • Factorice.

Problema 6 log 13x 2 22 5 22x 1 log 3x 2 22 1 2x 5 0 Grafique f 1x2 5 log 13x 2 22 1 2x y encuentre cualquier cero.

8

0.68 –2

La solución es 0.68.

6 –2

SECCIÓN 10.5 Problema 1 Estrategia

Para determinar el número de días, sustituya N por 60 y resuelva para t.

N 5 100 3 1 2 10.92 t 4 60 5 100 3 1 2 10.92 t 4 0.6 5 1 2 10.92 t 20.4 5 2 10.92 t 0.4 5 10.92 t log 0.4 5 log 10.92 t log 0.4 5 t log 0.9 log 0.4 t5 < 8.6967184 log 0.9 Después de aproximadamente 9 días, el estudiante escribirá 60 palabras por minuto. Problema 2 Estrategia Para calcular la intensidad, utilice la ecuación para la escala de magnitud Richter de un I terremoto, M 5 log . Sustituya M por 5.2 y I0 resuelva para I. Solución

Solución

• Escriba en forma exponencial.

• Propiedad 1–1 de los logaritmos.

x1450 x2150 • Propiedad del producto cero. x 5 24 x51 24 no se comprueba como solución. La solución es 1.

La ecuación no tiene soluciones en ningún número real. Problema 4 log4 1x2 2 3x2 5 1 41 5 x2 2 3x

• Propiedad del logaritmo de un producto.

I I0 I 5.2 5 log I0 I 105.2 5 I0 105.2I0 5 I 158,489I0 < I M 5 log

• Sustituya M por 5.2. • Escriba en forma exponencial. • Resuelva para I.

El terremoto tuvo una intensidad de aproximadamente 158,489 veces la intensidad de un terremoto de nivel cero.

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S34

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

Soluciones de los problemas del capítulo 11 SECCIÓN 11.1 Problema 1 an 5 n 1n 1 12 a1 5 1 11 1 12 a2 5 2 12 1 12 a3 5 3 13 1 12 a4 5 4 14 1 12

52 56 5 12 5 20

El primer término es 2. El segundo término es 6. El tercer término es 12. El cuarto término es 20.

Problema 2 1 an 5 n 1n 1 22 1 1 1 . a6 5 5 El sexto término es 48 6 16 1 22 48 1 1 1 a9 5 . 5 El noveno término es 99 9 19 1 22 99 Problema 3 4

A. a 17 2 n2 • Sustituya n por 1, 2, 3, y 4. n51 5 17 2 12 1 17 2 22 1 17 2 32 1 17 2 42 5 6 1 5 1 4 1 3 5 18 6

B. a 1i2 2 22 • Sustituya i por 3, 4, 5, y 6. i53 5 132 2 22 1 142 2 22 1 152 2 22 1 162 2 22 5 7 1 14 1 23 1 34 5 78 Problema 4 5

a nx 5 x 1 2x 1 3x 1 4x 1 5x

n51

SECCIÓN 11.2 Problema 1 9, 3, 23, 29,... d 5 a2 2 a1 5 3 2 9 5 26 • Encuentre la diferencia común. an 5 a1 1 1n 2 12 d a15 5 9 1 115 2 12 1262 • n 5 15, a1 5 9, d 5 26 5 9 1 1142 1262 5 9 2 84 5 275 Problema 2 23, 1, 5, 9, ... d 5 a2 2 a1 5 1 2 1232 5 4 • Encuentre la diferencia común. an 5 a1 1 1n 2 12 d an 5 23 1 1n 2 12 4 • a1 5 23, d 5 4 an 5 23 1 4n 2 4 an 5 4n 2 7 Problema 3 7, 9, 11, ... , 59 d 5 a2 2 a1 5 9 2 7 5 2 • Encuentre la diferencia común. an 5 a1 1 1n 2 12 d 59 5 7 1 1n 2 12 2 • an 5 59, a1 5 7, d 5 2 59 5 7 1 2n 2 2 • Resuelva para n. 59 5 5 1 2n 54 5 2n 27 5 n Existen 27 términos en la sucesión.

15_Soluciones_AUFMANN.indd S34

Problema 4 24, 22, 0, 2, 4, ... d 5 a2 2 a1 5 22 2 1242 5 2 • Encuentre la diferencia común. an 5 a1 1 1n 2 12 d • Encuentre el 25o. término. a25 5 24 1 125 2 12 2 • n 5 25, a1 5 24, d 5 2 5 24 1 1242 2 5 24 1 48 5 44 n • Fórmula de la suma de los n Sn 5 1a1 1 an2 2 términos de una serie aritmética. 25 1 2 • n 5 25, a1 5 24, 24 1 44 S25 5 2 an 5 a25 5 44 25 1402 5 25 1202 5 500 5 2 Problema 5 a 13n 2 22 18

n51

an 5 3n 2 2 a1 5 3 112 2 2 5 1 a18 5 3 1182 2 2 5 52 n • Sn 5 1a1 1 an2 2 18 11 1 522 • S18 5 2 5 9 1532 5 477

• Encuentre el primer término. • Encuentre el 18o. término. Fórmula para la suma de los n términos de las series aritméticas. n 5 18, a1 5 1, an 5 a18 5 52

Problema 6 Estrategia Para determinar el valor del precio del 20o. lugar:  Escriba la ecuación para el precio del no lugar.  Determine el 20o. término de la sucesión. Para determinar el monto total de dinero del premio que se otorgó, utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie aritmética. Solución

10,000, 9700, ... d 5 a2 2 a1 5 9700 2 10,000 5 2300 an 5 a1 1 1n 2 12 d 5 10,000 1 1n 2 12 123002 5 10,000 2 300n 1 300 5 2300n 1 10,300 a20 5 2300 1202 1 10,300 5 26000 1 10,300 5 4300 n Sn 5 1a1 1 an2 2 20 110,000 1 43002 S20 5 2 5 10 114,3002 5 143,000 El valor del premio del 20o. lugar es $4300. El monto total del premio en dinero es $143,000.

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 11.3 Problema 1 4 5, 2, , ... 5 a 2 r5 25 a1 5 an 5 a1rn21 2 521 a5 5 5a b 5

Sn 5

S5 5

2 5

2 4 16 16 5 5a b 5 5a b5 5 625 125 Problema 2 3, a2, a3, 2192, ... an 5 a1rn21 a4 5 3r421 • n 5 4 2192 5 3r421 • a4 5 2192, a1 5 3 2192 5 3r3 • Resuelva para r. 264 5 r3 24 5 r an 5 a1rn21 a3 5 3 1242 321 • n 5 3, a1 5 3, r 5 24 5 3 1242 2 5 3 1162 5 48 Problema 3 1 1 1, 2 , , ... 3 9 1 2 a2 3 1 r5 5 52 a1 1 3 Sn 5

S8 5

a1 11 2 rn2 12r

1 8 1 c1 2 a2 b d 3

r5 S5 5

• Fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita 1

Problema 4 5 1 n a a2b n51

r5

1 2

1

• Para determinar a, sea n 5 1.

• Calcule la razón común. • 0 r 0 * 1. Utilice la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.

a1 12r 3

• a1 5 3, r 5 2

2 3

Problema 6 0.36 5 0.36 1 0.0036 1 0.000036 1 . . . 36 a1 100 1 36 ,r5 S5 5 • a1 5 100 100 12r 1 12 100 36 100 36 4 5 5 5 99 99 11 100 4 Una fracción equivalente para 0.36 es 11 . Problema 7 Estrategia Para determinar el número total de cartas enviadas, utilice la fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita. n 5 6, a1 5 3, r 5 3 Solución

• r es la base de una expresión con exponentes.

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a2 22 2 5 52 a1 3 3

2 1 2 a2 b 3 3 3 9 5 5 5 2 5 5 11 3 3

3 1 1 2 a2 b 3 1 6560 12 6561 6561 6560 # 3 1640 5 5 5 5 4 4 6561 4 2187 3 3

1 n an 5 a b 2 1 1 1 a1 5 a b 5 2 2

1

Problema 5 4 8 3, 22, , 2 , ... 3 9

• Calcule la razón común.

• n 5 8, a1 5 1, r 5 2

1 1 5 c1 2 a b d 2 2

• n 5 5, a1 5 , r 5 2 2 1 12 2 1 1 1 31 31 a1 2 b a b 2 32 2 32 64 5 5 5 1 1 1 2 2 2 31 # 2 31 5 5 64 1 32

• Determine la razón común.

• n 5 5, a1 5 5, r 5

a1 11 2 rn2 • Fórmula para la suma de n términos de una serie geométrica finita. 12r

a1 11 2 rn2 12r 3 11 2 362 3 11 2 7292 3 127282 S6 5 5 5 123 123 22 22184 5 5 1092 22 Desde el primero hasta el sexto envíos, 1092 cartas han sido enviadas por correo. Sn 5

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

SECCIÓN 11.4 Problema 1 12! 12 # 11 # 10 # 9 # 8 # 7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 5 17 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 12 15 # 4 # 3 # 2 # 12 7! 5! 5 792 Problema 2 7! 7 a b5 17 2 02 ! 0! 0 7! n n! • a b5 5 1n 2 r2 !r! r 7! 0! 7#6#5#4#3#2#1 5 # # # # # # 51 17 6 5 4 3 2 12 112 Problema 3 13m 2 n2 4 4 4 4 5 a b 13m2 4 1 a b 13m2 3 12n2 1 a b 13m2 2 12n2 2 1 0 1 2 4 4 a b 13m2 12n2 3 1 a b 12n2 4 3 4 5 1 181m42 1 4 127m32 12n2 1 6 19m22 1n22 1 4 13m2 12n32 1 1 1n42 5 81m4 2 108m3n 1 54m2n2 2 12mn3 1 n4 Problema 4 10 10 10 1 y 2 22 10 5 a by10 1 a by9 1222 1 a by8 1222 2 1 . . . 0 1 2 5 1 1 y102 1 10y9 1222 1 45y8 142 1 . . . 5 y10 2 20y9 1 180y8 2 . . . Problema 5 1t 2 2s2 7 n a b 5 an2r11br21 r21 a

7 b 1t2 72311 122s2 321 321 7 5 a b 1t2 5 122s2 2 2 5 21t5 14s22 5 84t5s2

• Fórmula para el rº término del desarrollo de un binomio • r 5 3, n 5 7, a 5 t, b 5 22s

SECCIÓN 12.1

y 5 2x2 1 x 1 3 1 2 1 13 y 5 2a b 1 1 3 5 2 2 4 Las coordenadas del vértice son 12 , 13 4 . La ecuación del eje de simetría es x 5 12 .

(

x 5 22y2 2 4y 2 3 x 5 22 1212 2 2 4 1212 2 3 x 5 21 Las coordenadas del vérticen son 121, 212 . La ecuación del eje de simetría es y 5 21.

• Encuentre la coordenada x del vértice. y 4

–4

x

4 –4

SECCIÓN 12.2 Problema 1 Utilice la fórmula de la distancia para calcular el radio. r 5 " 3 3 2 1222 4 2 1 15 2 32 2 • 1x1, y12 5 122, 32 , r 5 "52 1 22 r 5 !25 1 4 r 5 !29 1x 2 h2 2 1 1y 2 k2 2 5 r2 1x 2 32 2 1 1y 2 52 2 5 1 !292 2 1x 2 32 2 1 1y 2 52 2 5 29

1x2, y22 5 13, 52

• El radio es !29. • 1h, k2 5 13, 52 , r 5 !29

Problema 2 x1 1 x2 y 1 y2 ym 5 1 xm 5 2 2 22 1 4 1 1 1212 xm 5 51 ym 5 50 2 2 Centro: 1xm, ym2 5 11, 02 r 5 " 122 2 12 2 1 11 2 02 2 5 !9 1 1 5 !10 Radio: !10 1x 2 h2 2 1 1 y 2 k2 2 5 r2 1x 2 12 2 1 1 y 2 02 2 5 1 !102 2 1x 2 12 2 1 y2 5 10 Problema 3 x2 1 y2 2 4x 1 8y 1 15 5 0 1x2 2 4x2 1 1 y2 1 8y2 5 215 2 1x 2 4x 1 42 1 1 y2 1 8y 1 162 5 215 1 4 1 16 1x 2 22 2 1 1 y 1 42 2 5 5 Centro: 12, 242 y Radio: !5 6

• Encuentre la coordenada x del vértice.

–6

0

6

x

–6

• Encuentre la coordenada y del vértice y

)

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• Encuentre la coordenada y del vértice.

r 5 " 1x1 2 xm2 2 1 1 y1 2 ym2 2

Soluciones de los problemas del capítulo 12 Problema 1 1 1 b 5 2 52 2a 2 1212 2

Problema 2 b 24 2 52 5 21 2a 2 1222

4

–4

0 –4

4

x

SECCIÓN 12.3 Problema 1 A. Intersecciones con el eje x: 12, 02 y 122, 02 Intersecciones con el eje y: 10, 52 y 10, 252

y

–4

0

4

x

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO y

B. La intersección con el eje x: 13!2, 02 y 123!2, 02 La intersección con el eje y: 10, 32 y 10, 232 1 a3!2 < 4 b 4 Problema 2 A. Eje de simetría: eje x Vértices: 13, 02 y 123, 02 Asíntotas: 5 5 y5 xyy52 x 3 3 B. Eje de simetría: eje y Vértices: 10, 32 y 10, 232

SECCIÓN 12.5

4

Problema 1 x

0

x2 y2 1 5 1 como una curva sólida. 9 16 Sombree la región del plano que incluye (0, 0).

A. Grafique la elipse

–4

y 6

y

–6

6

0

6

x

–6

–6

6

x

x2 y2 2 5 1 como una curva sólida. 9 4 Sombree la región que incluye (0, 0).

B. Grafique la hipérbola

–6

y 6

y

–6

0

6

x

6 –6 –6

6

x

–6

Asíntotas: y 5 x y y 5 2x

SECCIÓN 12.4 Problema 1 112 y 5 2x2 1 x 2 3 122 y 5 2x2 2 2x 1 9 Utilice el método de sustitución. 2x2 2 2x 1 9 5 2x2 1 x 2 3 23x 1 9 5 23 23x 5 212 x54 Sustituya el valor de x en la ecuación (1). y 5 2x2 1 x 2 3 y 5 2 142 2 1 4 2 3 y 5 32 1 4 2 3 y 5 33 La solución es (4, 33). Problema 2 112 x2 2 y2 5 10 122 x2 1 y2 5 8 Utilice el método de suma y resta. 2x2 5 18 x2 5 9 x 5 6 !9 5 63 Sustituya los valores de x en la ecuación (2). x2 1 y2 5 8 x2 1 y2 5 8 2 2 1232 2 1 y2 5 8 3 1y 58 2 91y 58 9 1 y2 5 8 2 y 5 21 y2 5 21 y 5 6 !21 y 5 6 !21 y no es un número real. Sin embargo, el sistema de ecuaciones no tiene soluciones en los números reales.

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S37

Problema 2 x2 y2 1 5 1 como una curva sólida. 4 9 Sombree dentro de la elipse. Grafique la parábola x 5 y2 2 2 como una curva punteada. Sombree dentro de la parábola. El conjunto solución es la región del plano representado por la intersección de las gráficas de los conjuntos solución de las dos desigualdades.

A. Grafique la elipse

y 4

–4

4

x

–4

y2 x2 1 5 1 como una curva sólida. 16 25 Sombree fuera de la elipse. Grafique el círculo x2 1 y2 5 9 como una curva punteada. Sombree dentro del círculo Las gráficas del conjunto solución de las dos desigualdades no se intersecan. El sistema de desigualdades no tiene soluciones en ningún número real.

B. Grafique la elipse

y 4 2 0

2

x

–4

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Digital Vision

Respuestas de los ejercicios seleccionados Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 1 EXAMEN DE PREPARACIÓN 13 11 2. 20 60 c y A; d y B 1.

2 9

3.

4.

2 3

5. 44.405

6. 73.63

7. 7.446

8. 54.06

9. i, iii, iv

10. a y C; b y D;

SECCIÓN 1.1 1. a. Números naturales; 9, 53 b. Números naturales: 0, 9, 53 c. Números enteros:214, 9, 0, 53, 2626 d. Números enteros positivos: 9, 53 e. Números enteros negativos:214, 2626 3. a. Números enteros: 0, 23 15 !5 b. Racional: 2 , 0, 23, 2.33 c. Irracional: p, 4.232232223 c , , !7 d. Reales: todos 2 4 3 11. irracional 13. es un elemento de 15. 227 17. 2 19. 0 21. !33 † 23. 91 † 25. 23, 0 4 27. 7 29. 22, 21 31. 9, 0, 29 † 33. 4, 0, 4 35. 26, 22, 0, 21, 24 37. Sí, los números reales negativos 39. lista; notación de conjuntos 41. infinidad † 43. 5 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4 6 45. 5 2, 4, 6, 8, 10, 12 6 47. 5 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 6 49. 5 235, 230, 225, 220, 215, 210, 25 6 55. 5 x 0 0 , x , 1 6 57. 5 x 0 1 # x # 4 6 † 51. 5 x 0 x . 4, x [ números enteros 6 53. 5 x 0 x $ 22 6 59. 61. † 63. –5 –4 –3 –2 –1

65.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

0

2

1

† 73. 5 x 0 x # 4 6

3

2

4

3

5

4

–5 –4 –3 –2 –1

5

89. –5 –4 –3 –2 –1

0

1

–5 –4 –3 –2 –1

2 0

3 1

4 2

5 3

4

113.

–5 –4 –3 –2 –1 –5 –4 –3 –2 –1

125. R

127. R

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5

129. 0

137. 5 1, 4, 6, 8, 9 6

3

4

–5 –4 –3 –2 –1

5

69. 5 x 0 25 # x # 7 6 79. 3 21, 5 4

0

1

2

3

4

5

115.

0

1

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

2

0

0

1

4

–5 –4 –3 –2 –1

2

2

5

3

3

4

0

4

1

131.

2

0

1

–5 –4 –3 –2 –1

117. iii

5

2

3

4

5

3

85. 12`, ` 2

4

5

99. 5 24, 22, 0, 2, 4, 8 6 ; 5 0, 4 6

–5 –4 –3 –2 –1

111.

5

1

83. 3 22, 62

97. 5 2, 3, 5, 8, 9, 10 6 ; [

3

1

0

71. 5 x 0 23 # x , 6 6

81. 12`, 12 91.

105. –5 –4 –3 –2 –1

109.

5 5

–5 –4 –3 –2 –1

2

0

3

1

119. A

4

2

5

3

4

121. B

5

123. A

133. –5 –4 –3 –2 –1

135. ii y iii

2

95. 5 1, 2, 4, 6, 9 6 ; 5 4 6

† 103.

101. 5 1, 2, 3, 4, 5 6 ; 5 3, 4, 5 6 107.

1

† 77. 122, 42

75. 5 x 0 x . 5 6

87.

† 93.

0

67. 5 x 0 0 , x , 8 6

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

139. 5 x 0 x [ números irracionales 6

SECCIÓN 1.2 3. No. Por ejemplo, 25 1 1232 5 28. 5. Un número es positivo y el otro es negativo. 7. Por lo menos uno de los 11. 3; 25 13. Negativo 15. 9 17. 212 19. 27 21. 2232 23. 240 números es cero. 9. 1252 6 25. 17 27. 216 29. 227 31. 90 33. 212 37. 264 39. 24 † 35. 24 † 41. 226 43. 254 45. 125 47. 28 49. 2125 51. 324 55. 272 57. a. Negativo † 53. 236 b. Positivo c. Negativo d. Positivo 59. 5; 25; 125; 25; 0 61. 22 65. 211 67. 240 † 63. 18 71. 24 73. 2 75. 28 77. 9413 79. 8 81. 2 83. ii 85. 9 87. 625 89. Encuentre bc; † 69. 20 1bc2 después calcule a . 91. Perfecto

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 1.3 3. Sí

5. Sí; no

289 16 59 39. 2 36 21. 2

7. 56; 35; 2; 16

† 23. 2 41. 2

19 3

22 15

† 25. 2 43. 2

25 56

9. 2

64 21

45.

8 25 39 10

27. 11 24

11. 2

166 15

29. 2

† 13.

330 31

45 112

15. 2

1 100

† 31.

307 38

33. 2

30 49

17.

81 16

35. 2

47. No. Por ejemplo, no hay números enteros entre 2 y 3.

19. 2

729 8

37.

1 12

135 22

49. fracciones

12 2 27 25 5 2 181 7 25 4 57. 59. 61. 2 63. 65. 2 69. † 53. 2 † 55. 2 † 67. 2 11 18 18 15 32 42 6 3 3 8 5 1 83. 0.230769 85. 3 87. 20.0012 73. 75. i, ii y iv 77. 0.625 79. 0.16 71. † 81. 0.145 2 2 89. 3.4992 91. 20.3897 93. 0.000456 95. 20.018 97. 20.013 99. 214.82 101. 0.0254 103. 20.012 5 107. 5.4375 109. 6.44 111. No. es un número racional, así como su representación decimal o bien finito o † 105. 6.284 23 55 5 7 115. 117. Verdadero 119. Verdadero 121. Falso; por ejemplo p 1 (2p ) 5 0. 123. Por ejemplo, periódico. 113. 2 21 12 51.

SECCIÓN 1.4 1. Suma, multiplicación 3. a 5. Propiedad distributiva 7. No. Las partes variables no son las mismas. 9. Conmutativa † 25. 12 # 32 11. Cero 13. 3 15. 3 17. 0 19. 6 21. 0 23. 1 27. Propiedad de la división del cero † 29. Propiedad del inverso multiplicativo 31. Propiedad del neutro aditivo 33. Propiedad de la división del cero 35. Propiedad distributiva 37. propiedad asociativa de la multiplicación 39. Cero 43. 25; 23; 22; 2; 25; 50 45. 10 1 1 † 49. 0 53. 17 55. 57. 2 59. 3 61. 212 63. 2 65. 6 67. 22 51. 2 47. 15 7 2 69. 214 71. 56 73. 256 75. El volumen de un paralelepípedo rectangular es de 840 pulg3. 77. El volumen de la pirámide es de 15 pies3. 79. El volumen de la esfera es exactamente 4.5p cm3. El volumen de la esfera es aproximadamente 14.14 cm3. 81. El área de la superficie de un paralelepípedo rectangular es 94 m2. 83. El área de la superficie de la pirámide es 56 m2. 2 † 85. El área de la superficie del cilindro es exactamente 96p pulg . El área de la superficie del cilindro es de aproximadamente 301.59 pulg2. 87. Negativo 91. 25; 25; conmutativa; asociativa; 4y 93. 13x 95. x 97. 23x 1 6 99. 5x 1 10 101. x 1 y † 113. 140 2 30a 103. 212a 1 22 105. 211m 2 6 107. 212y 1 13 109. 211a 1 21 111. 2x 1 6y † 117. 210a 1 2b 115. 210y 1 30x 119. 212a 1 b 121. 22x 2 144y 2 96 123. 5x 2 32 1 3y 125. x 1 6 127. a. No b. Sí 129. Propiedad distributiva 131. Uso incorrecto de la propiedad distributiva; 2 1 3x 5 2 1 3x 133. Uso incorrecto de la propiedad asociativa de la multiplicación; 2(3y) 5 12 # 32y 5 6y 135. Propiedad conmutativa de la suma 137. Sí 139. Sí

SECCIÓN 1.5 1. Por ejemplo, “la suma de y y 6” y “6 más que y” 3. No. La primera expresión se convierte en x 2 2, y la segunda expresión se convierte en 2 2 x 5. 14 2 x 7. más que; producto 9. diferencia entre; veces; veces 1 4 17 15. 5 18n2 ; 40n 17. 17n 2 2n; 15n 19. n2 2 112 1 n22 ; 212 † 11. n 2 1n 1 22 ; 22 † 13. n 1 n; n 3 5 15 21. 15n 1 15n 1 122 ; 20n 1 12 23. 2x 1 115 2 x 1 22 ; x 1 17 25. 134 2 x 1 22 2 2x; 23x 1 36 27. iii 29. ancho; W + 8 31. El dinero que se gastó en los carriles de alta velocidad, A; el dinero que se gastó en las carreteras: 8A † 33. La distancia de la Tierra a la Luna: d; la distancia de la Tierra al Sol: 390d † 37. El tiempo de vuelo entre 35. 10,000 2 x San Diego y Nueva York: t; el tiempo de vuelo entre Nueva York y San Diego: 13 2 t 39. La medida del ángulo B: x; la medida 1 43. Av2 45. La suma de dos veces un número y tres 47. Dos veces la del ángulo A: 2x; la medida del ángulo C: 4x 41. gt2 2 suma de un número y tres

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 11 3 [1.4.1] 2. 0, 2 [1.1.1] 3. 24, 0, 27 [1.1.1] 4. 5 22, 21, 0, 1, 2, 3 6 [1.1.2] 4 6. 5 x 0 22 # x # 3 6 [1.1.2] 7. 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 6 [1.1.2] 8. 5 2, 3 6 [1.1.2] 9.

5. 5 x 0 x , 23 6

1.

10.

– 5 – 4 – 3 – 2 –1

0

1

2

3

4

5

– 5 – 4 – 3 – 2 –1

0

1

2

3

4

5

– 5 – 4 – 3 – 2 –1

0

1

2

3

4

5

12. 14. 19. 21.77

[1.3.3]

20. 225

[1.1.2]

11.

[1.1.2]

13.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

[1.1.2] 3

4

5

[1.1.2]

[1.1.2] [1.1.2]

–5 –4 –3 –2 –1

[1.1.2]

15. 27

[1.2.2]

21. 31

[1.2.1] [1.2.2]

0

1

2

3

16. 12 22.

5 8

4

5

[1.2.1] [1.3.2]

17. 2

13 24

[1.3.1]

23. 3 [1.3.2]

18. 2

24. 23.22

5 8

[1.3.1]

[1.3.3]

1

Los números entre corchetes después de las respuestas de los ejercicios de repaso son una referencia al objetivo que corresponde a ese problema. Por ejemplo, la referencia [1.2.1] representa la sección 1.2 del objetivo 1. Esta notación se utiliza para todos los exámenes de preparación, los repasos del capítulo, exámenes del capítulo, y los ejercicios de repaso acumulativos de todo el libro.

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

25. 21y [1.4.1] 26. 1ab2 [1.4.1] 27. La propiedad del inverso aditivo [1.4.1] 28. La propiedad asociativa de la multiplicación [1.4.1] 29. 41 [1.4.2] 30. 2257 [1.4.2] 31. 28a 1 10 [1.4.3] 32. 26x 1 14 [1.4.3] 33. 16y 2 15x 1 18 [1.4.3] 34. 14x 2 12y 2 7 [1.4.3] 35. 4 1x 1 42 ; 4x 1 16 [1.5.1] 36. 2 1x 2 22 1 8; 2x 1 4 [1.5.1] 37. 2x 1 3 140 2 x2 1 5 4 ; x 1 45 [1.5.1] 38. 3 2 19 2 x2 1 3 4 2 1x 1 12 ; 23x 1 20 [1.5.1] 39. El ancho del rectángulo: W ; el largo del rectángulo: 3W 2 3 [1.5.2] 40. El primer número entero: x; el segundo número entero: 4x 1 5 [1.5.2]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 1 1. 12 [1.1.1, Ejemplo 2] 2. 25 [1.1.1, Ejemplo 1] 3. 12 [1.2.1, 1o. y 2o. de Concéntrese, página 14] 4. 230 [1.2.1, multiplicación o división de los números reales, Ejemplos 1 y 2] 5. 215 [1.2.1, multiplicación o división de los números reales, Ejemplos 3 y 4] 6. 2 [1.2.1, 2o. de Concéntrese, página. 14] 7. 2100 [1.2.1, Ejemplo 3] 8. 272 [1.2.1, Ejemplo 3] 25 4 9. [1.3.1, Ejemplo 4] 10. 2 [1.3.1, Ejemplo 1] 11. 21.41 [1.3.3, Concéntrese, página 29] 12. 24.9 [1.3.3, 36 27 Concéntrese, página 29] 13. 10 [1.2.2, Ejemplo 5] 14. 6 [1.2.2, Ejemplo 4] 15. 25 [1.4.2, Ejemplo 3] 16. 2 [1.4.2, Ejemplo 3] 17. 4 [1.4.1, Ejemplo 1] 18. La propiedad distributiva [1.4.1, Ejemplo 2] 19. 13x 2 y [1.4.3, Ejemplo 5] 20. 14x 1 48y [1.4.3, Ejemplo 6] 21. 13 2 1n 2 32 192 ; 40 2 9n, [1.5.1, Ejemplo 1] 1 23. 5 1, 2, 3, 4, 5, 7 6 [1.1.2, Unión de dos conjuntos, Ejemplos 123] 22. 112n 1 272 ; 4n 1 9; [1.5.1, Ejemplo 2] 3 24. 5 22, 21, 0, 1, 2, 3 6 [1.1.2, Unión de dos conjuntos, Ejemplos 123] 25. 5 5, 7 6 [1.1.2, Intersección de dos conjuntos, Ejemplos 123] 26. 5 21, 0, 1 6 [1.1.2, Ejemplo 7B]

[1.1.2, Intersección de dos conjuntos, Ejemplos 123]

28.

[1.1.2, Ejemplo 7B]

30.

– 5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

– 5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

29.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

27.

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

[1.1.2, Ejemplo 8]

[1.1.2, Ejemplo 8]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 2 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 24

[1.2.1]

7. 6x 2 9

[1.4.3]

2. 26

[1.2.1]

8. 3n 1 6

3. 3 [1.2.1] [1.4.3]

4. 1 [1.3.1]

9. 0.03x 1 20

[1.4.3]

1 [1.3.1] 6. 10x 2 5 2 10. 20 2 n [1.5.2] 5. 2

[1.4.3]

SECCIÓN 2.1 5 17. 2 ; 220 19. La solución es 9. 2 11 27. La solución es 21. La solución es 210. 23. La solución es 4. 25. La solución es 27. . 21 21 3 29. La solución es 249. 31. La solución es 2 . 35. La solución es . 33. La solución es 23.73. 20 2 5 37. La solución es 8. 39. La solución es 2 . † 41. La solución es 23. † 43. La solución es 1. 2 3 11 45. La solución es 2 . 47. La solución es . 49. Mayor que 51. 42 53. La solución es 6. 2 2 1 4 6 55. La solución es . 59. La solución es 2 . 61. La solución es . † 57. La solución es 26. 2 3 7 35 63. La solución es 69. La solución es 6. . 65. La solución es 21. 67. La solución es 233. 12 25 3 4 71. La solución es 1. 73. La solución es . 75. La solución es . 77. La solución es 2 . 14 4 29 81. La solución es 210. 83. La solución es 11. 85. La solución es 9.4. † 79. La solución es 3. 87. La solución es 0.5. 89. i 91. 8; 3; 10 2 n 93. La temperatura fue 41°F. † 95. El cliente compró 8 bolsas de alimento. 97. A los profesores se les pagará $21.58 por hora. 99. La utilidad anual de Charlotte fue de $48,000. 15 101. The solution is 29. 103. La solución es 2 . 105. No hay solución. 107. La solución es 21. 2 109. Todos los números reales son soluciones. 111. 10, 11, 12 113. 20, 22, 24, 26 5. No

7. Sí

9. No

11. Sí

13. Sí

15. 42; 55

SECCIÓN 2.2 1. ii, iii 3. i 5. Menor que 7. a. $8.40 b. $.70 9. iv y vi 11. La mezcla de vegetales cuesta $1.66 por libra. † 15. La mezcla debe contener 225 L de jarabe de maíz. 13. Hubo 320 boletos vendidos para adultos. 17. El profesor utilizó 8 lb de nueces. 19. El costo de la mezcla es $4.04 por libra. 21. La mezcla contiene 37.5 gal de jugo de arándano. 23. a. 12t; 15t

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

b. 400; 360 25. a. Menor que b. Igual a c. 3 millas 27. El estudiante conduce a una tasa de velocidad promedio de 40 mph. † 29. A un avión Boeing 737-800 le tomará cerca de 3.2 h realizar el mismo viaje. 31. Los dos ciclistas se encontrarán a las 2:30 p.m. † 35. La velocidad del primer avión es de 420 mph. 33. El ciclista alcanza al patinador en línea 11.25 millas desde el punto de partida. La velocidad del segundo avión es de 500 mph. 37. La tasa de velocidad del primer avión es de 255 mph. La tasa de velocidad del segundo avión es de 305 mph. 39. La distancia a la isla es de 43.2 millas. 41. La distancia entre el hogar de Marcella y la tienda de bicicletas es 2.8 millas. 43. Los dos trenes se cruzarán en 2 h. 45. A una nave espacial le tomaría cerca de 1600 años alcanzar a esta estrella. 1 49. No 51. a. El costo de la mezcla es de $15/lb 47. Los automóviles están 3 millas de distancia 2 min antes del impacto. 3 b. El costo es mayor que el costo encontrado en el inciso a).

SECCIÓN 2.3 1 a. El capital es $1500.00 b. La tasa de interés es de 4%. c. El interés ganado es $60. 3. i, iv, v 7. 0.0625x; 0.06 1x 2 5002 ; 115 9. Joseph ganará $327.50 de las dos cuentas. 11. Deon deberá invertir $1600 en la cuenta que gana † 15. Deberán invertirse $2000 adicionales a una tasa de interés simple 8% de interés. 13. El monto invertido en el CD es $15,000. de 10.5%. 17. El monto invertido al 8.5% es $3000. El monto invertido al 6.4% es $5000. 19. Ella deberá invertir $3000 adicionales a una tasa de interés anual simple de 10%. 21. El monto que debe invertirse al 4.2% es $8000. El monto que debería invertirse al 6% es $5600. 23. a. Las tasas de interés fueron 5.5% y 7.2%. b. Will había invertido $6000. 25. 0.10; 3.2 27. Una botella de 40 onzas de Naranjada contiene 10 oz de jugo de naranja. 29. 850 ml de solución contienen 12.5 ml más de peróxido de hidrógeno. 1 31. La aleación resultante es de 30% plata. 33. La aleación resultante es 33 % plata. 35. Son necesarias 500 lb de 12% de aleación de 3 † 39. Se añadieron 3 qt de agua. 41. Se aluminio. 37. Se utilizaron 25 L de la solución al 65% y 25 L de la solución al 15%. debieron añadir 30 oz de agua pura. 43. El resultado es 6% de jugo de fruta natural. 45. La aleación resultante es 31.1% de cobre. 47. ii 49. El monto invertido al 9% fue $5000. El monto invertido al 8% fue $6000. El monto invertido al 9.5% fue $9000. 51. El costo por libra de la mezcla de té es $4.84. 53. 60 g de agua pura estaban en el vaso antes de que el ácido fuera agregado. 55. a. 2002 b. 2000 c. Igual a

SECCIÓN 2.4 5. Sí 7. i, iii 9. Sigue siendo el mismo 11. Se invierte 13. El conjunto solución es 5 x 0 x , 5 6 15. El conjunto solución es 5 x 0 x # 2 6 17. El conjunto solución es 5 x 0 x , 24 6 19. El conjunto solución es 5 x 0 x . 3 6 21. El conjunto solución † 27. El conjunto solución es 5 x 0 x . 4 6 23. El conjunto solución es 5 x 0 x . 22 6 25. El conjunto solución es 5 x 0 x $ 2 6 . † 33. El conjunto solución es 3 1, ` 2 . es 5 x 0 x # 3 6 . 29. El conjunto solución es 5 x 0 x , 23 6 31. El conjunto solución es 12`, 5 4 . 23 8 35. El conjunto solución es 12`, 252 . 37. El conjunto solución es a2`, b. 39. El conjunto solución es c , ` b. 16 3 41. El conjunto solución es 12`, 12 . 43. El conjunto solución es 12`, 32 . 45. Sólo números positivos 47. Sólo números negativos 49. a. Unión b. Intersección 51. 4; 2; 1; 6 53. Conjunto vacío 55. El conjunto solución 57. El conjunto solución es 121, 22 . 59. El conjunto solución es 12`, 1 4 h 3 3, ` 2 . 61. El conjunto solución es 122, 42 . 63. El conjunto solución es 12`, 232 h 10, ` 2 . 65. El conjunto solución es 3 3, ` 2 . 67. El conjunto solución es [. 69. El conjunto solución es [. † 71. El conjunto solución es 12`, 12 h 13, ` 2 . † 73. El conjunto solución es 5 x 0 23 , x , 4 6 . 75. El conjunto solución es 5 5x 0 3 # x # 56. † 79. El conjunto solución es 5 x 0 x . 4 6 . 77. El conjunto solución es 5 x 0 x . 3 6 h e x ` x # 2 f . 2 81. El conjunto solución es [. 83. El conjunto solución es 5 x 0 x [ números reales6 . 85. El conjunto solución es 5 x 0 24 , x , 22 6 . 5 0 6 5 0 6 5 0 87. El conjunto solución es x x , 24 h x x . 3 . 89. El conjunto solución es x 24 # x , 1 6 . 91. El conjunto solución es 5 27 11 f h e x `x , f . 93. El conjunto solución es e x ` 210 # x # 95. n $ 40 97. Un cliente puede utilizar un e x `x . f. 2 2 2 † 99. El plan de AirTouch es menos teléfono celular durante 60 minutos antes de que las tarifas sean superiores a la primera opción. costoso para los más de 460 mensajes al mes. 101. Si una empresa elige el Glendale Federal Bank, entonces la empresa expide más de 200 cheques por mes. 103. Los autobuses pueden viajar entre 392 y 560 millas con un tanque lleno de combustible. 105. El rango de puntuación que le dará al estudiante una B para el curso es 77 # S # 100. 107. La mezcla debe contener entre 20 y 37.5 libras de † 109. El molinero debe utilizar entre 10 y 20 bushels de soya. cacahuetes. 111. El ancho máximo del rectángulo es 2 pies. 113. El largo del segundo lado podría ser de 5 pulg, 6 pulg, o 7 pulg. 115. El conjunto solución es 5 1, 2 6 . 117. El conjunto solución es 5 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 . 119. El conjunto solución es 5 1, 2, 3, 4 6 . 121. El conjunto solución es 5 1, 2 6 . 123. El mayor número total de minutos que una llamada puede durar es 10 min. 125. a. 3.255 # b , 3.265 b. 5.125 # h , 5.135 c. 8.3409375 # A , 8.3828875

SECCIÓN 2.5 3. Unión

5. Sí

7. Sí

15. Las soluciones son 24 y 4. 23. Las soluciones son 8 y 2.

9. 8, 28

11. Las soluciones son 27 y 7. 13. Las soluciones son 23 y 3. 4 4 19. Las soluciones son 24 y 4. 21. Las soluciones son 25 y 1. 17. Las soluciones son 2 y . 3 3 1 9 25. La solución es 2. 27. La ecuación no tiene solución. 29. Las soluciones son y . 2 2

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

R5

4 31. Las soluciones son 0 y . 5 37. Las soluciones son 4 y 12.

† 35. Las soluciones son 4 y 14. 33. La solución es 21. 3 4 7 41. Las soluciones son 23 y . 43. Las soluciones son y 0. 39. La solución es . 4 2 5 11 49. Dos soluciones positivas. 51. Dos soluciones negativas. 45. Las soluciones son 22 y 1. 47. Las soluciones son 2 y 1. 5 53. < ; > 55. El conjunto solución es 5 x 0 x . 3 6 h 5 x 0 x , 23 6 . 57. El conjunto solución es 5 x 0 x . 1 6 h 5 x 0 x , 23 6 . † 61. El conjunto solución es 5 x 0 x # 21 6 h 5 x 0 x $ 5 6 . † 63. El conjunto solución es 59. El conjunto solución es 5 x 0 4 # x # 6 6 . 14 5 x 0 23 , x , 2 6 . 65. El conjunto solución es 5 x 0 x . 2 6 h e x ` x , 2 f . 67. El conjunto solución es [. 69. El conjunto solución 5 9 1 71. El conjunto solución es e x ` x # 2 f h 5 x k x $ 3 6 . es 5 x 0 x [ números reales6 . 73. El conjunto solución es e x `22 # x # f . 2 3 22 75. El conjunto solución es 5 x 0 x 5 2 6 . 77. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 h e x ` x . 79. Todas son soluciones f. 9 negativas. 81. tolerancia; 50.5; superior; 49.5; inferior 83. Los límites superior e inferior del diámetro del cojinete son 1.742 y 1.758 pulg. † 85. Los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que debe darse al paciente son 2.3 y 2.7 cc. 87. Los límites inferior y superior para el porcentaje de votantes que sentía que la economía era el tema más importante de la elección son 38% y 44%. 89. Los límites inferior y superior del voltaje en la computadora son 93.5 y 126.5 volts. 91. a. Los límites inferior y superior de la circunferencia de un 3 1 balón de fútbol de la NCAA son: 20 pulg y 21 pulg. b. Los límites inferior y superior de la circunferencia de un balón de fútbol NCAA son 4 4 7 3 1 3 27 pulg y 28 pulg. c. Los límites inferior y superior para la longitud de un balón de fútbol NCAA son 10 pulg y 11 pulg. 93. El 8 4 2 16 diámetro deseado es de 5 pulg. La tolerancia es 0.01 pulg. 95. Los límites inferior y superior del resistor son 13,500 y 16,500 ohms. 2 6 6 99. El conjunto solución es 5 x 0 27 # x # 8 6 . 101. Las soluciones son 22, 2 , y 2. 103. El 97. Las soluciones son 2 y 2 . 3 5 5 105. El conjunto solución es 5 b 0 b # 7 6 . 107. 0 x 2 2 0 , 5. 109. i. conjunto solución es 5 y 0 y $ 26 6 .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2 2 2 2. La solución es . [2.1.1] 3. La solución es 21. [2.1.1] 4. La solución es 2 . [2.1.1] 3 7 8 5. La solución es 23. [2.1.1] 6. La solución es 215. [2.1.1] 7. La solución es . [2.1.1] 8. La solución es 6. [2.1.1] 5 26 5 17 9. La solución es . [2.1.2] 10. La solución es . [2.1.2] 11. La solución es 2 . [2.1.2] 12. La solución es 17 2 2 5 9 13. La solución es a , ` b. [2.4.1] 14. La solución es 124, ` 2 . [2.4.1] 15. La solución es 2 . [2.1.2] 19 3 87 16 16. La solución es e x ` x $ 17. La solución es 121, 22 . [2.4.2] e x ` x # 2 f . [2.4.1] f . [2.4.1] 14 13 4 18. El conjunto solución es 12`, 222 h 12, ` 2 . [2.4.2] 20. El conjunto 19. El conjunto solución es e x `23 , x , f . [2.4.2] 3 8 9 22. La solución es 2 . [2.5.1] solución es 5 x 0 x [ números reales. 6. [2.4.2] 21. Las soluciones son 21 y . [2.5.1] 2 5 23. La ecuación no tiene solución. [2.5.1] 24. El conjunto solución es 5 x 0 1 # x # 4 6 . [2.5.2] 25. El conjunto solución es 1 26. El conjunto solución es [. [2.5.2] 27. Los límites inferior y superior del diámetro del buje e x ` x # f h 5 x 0 x $ 2 6 . [2.5.2] 2 1. La solución es 29. [2.1.1]

son 2.747 y 2.753 pulg. [2.5.3] 28. Los límites superior e inferior del diámetro de la cantidad de medicamento que ha de suministrarse son 1.75 y 2.25 cc. [2.5.3] 29. La mezcla cuesta $ 9.75 por onza. [2.2.1] 30. La mezcla debe contener 52 galones de jugo de manzana. [2.2.1] 31. El ciclista alcanzó al corredor en 1 h. [2.2.2] 32. La velocidad del primer avión es 440 mph. La velocidad del segundo avión es 520 mph. [2.2.2] 33. El monto invertido al 10.5% fue $3000. El monto invertido al 6.4% fue $5000. [2.3.1] 34. 375 libras de 30% de aleación de estaño y 125 libras de 70% de aleación de estaño fueron utilizadas. [2.3.2] 35. El monto de un ejecutivo de ventas debe ser $55,000 o más. [2.4.3] 36. El rango de calificaciones para obtener calificación de B es 82 # S # 100. [2.4.3] 37. La cantidad de plata pura debe estar entre 10 y 25 oz. [2.4.3]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 2

1 1. La solución es 22. [2.1.1, Concéntrese A, páginas 56257] 2. La solución es 2 . [2.1.1, Concéntrese B, páginas 56257] 8 5 32 4. La solución es 4. [2.1.1, Ejemplo 1] 5. La solución es . 3. La solución es . [2.1.1, Concéntrese A, página 57] 6 3 1 7. La solución es 1. [2.1.2, Ejemplo 3] 8. La solución es 224. [2.1.1, Problema 1] 6. La solución es 2 . [2.1.1, Ejemplo 2] 5 12 [2.1.2, Concéntrese, página 59] 9. La solución es . [2.1.2, Ejemplo 4] 10. El conjunto solución es 12`, 23 4 . [2.4.1, Ejemplo 1] 7 11. El conjunto solución es 121, ` 2 . [2.4.1, Problema 2] 12. El conjunto solución es 5 x 0 x . 22 6 . [2.4.2, Problema 3] 9 15. Las soluciones son 7 13. El conjunto solución es [. [2.4.2, Ejemplo 4] 14. Las soluciones son 3 y 2 . [2.5.1, Ejemplo 1] 5 y 22. [2.5.1, Ejemplo 1]

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R6

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

1 16. El conjunto solución es e x ` 2 # x # 1 f . [2.5.2, Ejemplo 2] 17. El conjunto solución es 5 x 0 x . 2 6 h 5 x 0 x , 21 6. [2.5.2, 3 Ejemplo 3] 18. La ecuación no tiene solución. [2.5.1, Ejemplo 1] 19. Cuesta menos alquilar en la agencia A si el automóvil es conducido menos de 120 millas [2.4.3, Problema 6] 20. Los límites inferior y superior de la cantidad de medicamento que debe suministrarse es 2.9 y 3.1 cc. [2.5.3, Ejemplo 4] 21. El costo de la mezcla de hamburguesa es $3.20/lb [2.2.1, Ejemplo 1] 22. El corredor recorrió una distancia total de 12 millas. [2.2.2, Ejemplo 3] 23. El monto invertido al 7.8% fue $5000. El monto invertido al 9% fue $7000. [2.3.1, Ejemplo 1] 24. Se deben agregar 100 onzas de agua pura. [2.3.2, Ejemplo 2]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1. 2108

[1.2.1]

2. 3 [1.2.2]

6. 5 3, 9 6

[1.1.2]

7. 217x 1 2

11. La solución es 1. [2.1.1] 13 15. La solución es 2 . 5

3. 264 [1.4.3]

4. 28

[1.3.2] 8. 25y

[1.4.2]

5. La propiedad conmutativa de la suma [1.4.1] 1 9. La solución es 2. [2.1.1] 10. La solución es . [2.1.1] 2 13. La solución es 2. [2.1.2] 14. La solución es 2. [2.1.2]

[1.4.3]

12. La solución es 24. [2.1.1]

16. El conjunto solución es 5 x 0 x # 23 6.

[2.1.2]

17. El conjunto solución es [.

[2.4.1]

[2.4.2]

18. El conjunto solución es 5 x 0 x . 22 6 .

[2.4.2] 19. Las soluciones son 21 y 4. [2.5.1] 20. Las soluciones son 24 y 7. 1 1 21. El conjunto solución es e x ` # x # 3 f . [2.5.2] 22. El conjunto solución es 5 x 0 x . 2 6 h e x ` x , 2 f . [2.5.2] 3 2

[2.5.1] 23.

– 5 – 4 – 3 – 2 –1

0

1

2

3

4

[1.1.2]

5

24.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

25. 3n 1 13n 1 62 ; 6n 1 6 [1.5.1]

[1.1.2]

5

26. Se vendieron 48 boletos para adultos. [2.2.1] 27. La velocidad del avión más veloz es 340 mph. [2.2.2] 28. Se deben agregar a la mezcla 3 L de la solución de ácido al 12%. [2.3.2] 29. Se invirtieron $6500 al 9.8%. [2.3.1] 30. La cantidad de nueces mixtas debería ser entre 3.5 y 6 lb. [2.4.3]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 3 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 24x 1 12

[1.4.3]

7. 1 [1.4.2]

2. 10

3. 22

[1.2.2]

[1.2.2]

4. 11

[1.4.2]

5. 2.5

[1.4.2]

6. 5 [1.4.2]

8. 4 [2.1.1]

SECCIÓN 3.1 1. 0

3. a. II

b. I

c. III

d. IV

5. I y IV

7. a. sí

b. No

c. No

d. Sí

7 b. Las coordenadas del punto medio son a , 7b. 2 3 † 15. a. La distancia entre 13. a. La distancia entre los puntos es 17. b. Las coordenadas del punto medio son a2, 2 b. 2 7 los puntos es !17. b. Las 17. a. La distancia entre los puntos es !5. b. Las coordenadas del punto medio son a , 3b. 2 7 b. Las coordenadas del punto medio son 19. a. La distancia entre los puntos es !26. coordenadas del punto medio son a21, b. 2 1 9 3 a2 , 2 b. b. Las coordenadas del punto medio son a2, b. 21. a. La distancia entre los puntos es !85. 23. IV 2 2 2 9. 3; 21; 23; 4

11. a. La distancia entre los puntos es 5.

y

25. –4

† 31. El par ordenado que representa la solución es 125, 42 .

29. 21; 27; 121, 272

y

27.

4

4

0

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

33. El par ordenado que representa la solución es 121, 12 .

† 37.

35. El par ordenado que representa la solución es 10, 222 .

y

y

39. 6

4

–4

0

4

x

–6

0

y

0 –4

4

x

–4

0

4

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R6

x

y

47.

4

4

4

–4

y

† 45.

y

43.

–4

0 –4

49. 1

x

–6

–4

† 41.

6

y

51.

4

2

x

–4

0 –4

4

4

x –4

0

2

x

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R7

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

57. a. 13, 252

y

53.

b. 15, 32

c. 123, 242

d. 10, 52

4

–4

x

4 –4

SECCIÓN 3.2 3. exactamente uno

5. 4

† 9. La relación es una función. El dominio es 5 23, 22, 1, 4 6 . El rango es 5 27, 1, 2, 5 6 .

7. No; Sí

11. La relación es una función. El dominio es 5 1, 2, 3, 4, 5 6 . El rango es 5 5 6 . 13. La relación es una función. El dominio 1 1 1 15. La relación no es una función. El dominio es 5 2, 4, 6, 8 6 . El rango es es 5 22, 21, 1, 2, 3 6 . El rango es e 21, 2 , , , 1 f . 2 3 2 5 3, 5, 7, 8 , 9 6 . 17. Sí, cada elemento en el dominio hace pareja con exactamente un elemento del rango. 19. No, 1 y 4 en el dominio hacen pareja con más de un elemento en el rango. 23. a. Sí

b. $24.70

b. 12 41. a. 17

c. 21

b. 7

c. 4a 1 8a 1 3 2

b. 0

† 55. 0

29. 3; 3; 8 31. a. 13 b. 23 c. 5 33. a. 23 1 b. 8a 2 1 b. 1 c. 24 37. a. 1 b. 21 c. 2 † 39. a. 4a 1 11 2 2 2 45. a. 2 b. 2 c. a 1 2a 2 1 47. a. 35 43. a. 15 b. 2 c. 3w 2 4w 2 5

c. $23.20

35. a. 28

c. 8

57. 13

21. Sí, cada elemento del dominio hace pareja con exactamente un elemento del rango.

d. $20.70

49. a. 4

b. 2

27. Verdadero

c. 0

51. a. 7

c. 22

b. 210 c. 210 1 1 3 63. El rango es e 2 , 21, 2 , 0, , 1 f . 2 2 2

b. 10

† 61. El rango es 5 214, 211, 28, 25, 22, 1 6 .

59. 1

53. a. 5

† 69. El valor de c es 4. El par ordenado de la función es 14, 52 . 65. El rango es 5 3, 4, 7, 12 6 . 67. El rango es 5 226, 28, 22, 4 6 . 71. El valor de c es 4. El par ordenado de la función es 14, 272 . 73. El valor de c es 3. El par ordenado de la función es 13, 02 . 75. 25; 215; 219; 125, 2192 77. No 79. No 81. Sí y

83. –4

0

4

x

–8

y

0

x

8

–8

0

8

x

–8

–8

8

x

–8

0

y

x

8

–8

0

109. No es una función

119. El automóvil derrapará 61.2 pies.

0

8

x

–8

y

8

x

–8

101. Todos

103. Función

0

8

x

–8

113. 22, 6

111. Función

121. a. La temperatura de la cola es de 60ºF.

123. a. El empleado obtendría una calificación de 90%.

–8

8

–8

107. Función

x

8

99.

8

0

8

–8

† 97.

–8

† 105. Función

variarán.

0

8

y

91.

8

–8

y

95.

y

89.

8

–8

8

–8

y

8

–4

93.

† 87.

y

85.

4

115. 4h

b. La temperatura de la cola es de 52ºF.

b. El empleado obtendría una calificación de 100%.

125. Las respuestas

127. Las respuestas variarán.

SECCIÓN 3.3 1. Sí

3. Sí

9. a. 27; 21; 27

5. No

b. 25; 0; 25

c. 23; 1; 23

y

11.

y

13.

4

–4

4

0

4

x

–4

–4

† 15.

y

y

17.

–4

0

4

x

–4

–4

0 –4

0

29.

y

4

x

–4

31.

4

–4

x

–4

0 –4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R7

33.

4

–4

0 –4

4

x

y

–4

x

y

25. 4

4 –4

x

–4

0

x

–4

35. eje x ; y

y

4

x

0 –4

y

4

x

4

4

–4

4

–4

y

4

† 23.

y

21.

4

–4

–4

† 27.

y

19.

4

4

0

4

4

x

–4

0

4

x

–4

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R8

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 37. intersección con el

39. intersección con el 9 eje x: a , 0b 2 intersección con el eje y: 10, 232

eje x: 124, 02

intersección con el eje y: 10, 22 y

–4

y

4

0

4

x

–4

x

4

0

x

4

–4

–4

y

0

4

x

–4

47. intersección con el eje x: 13, 02

49. Opuesto

9 intersección con el eje y: a0, 2 b 5

y

4

4

0

x

4

–4

0

–4

x

4

–4

51. El cero es 23.

53. El cero es 21.

63. El cero es 6.

65. El cero es

8 23 .

55. El cero es 3. 67. El cero es

† 69. La montaña rusa recorre 940 pies en 5 s.

† 59. El cero es 52.

57. El cero es 3.

8 3.

61. El cero es 8.

71. El agente de bienes raíces gana un ingreso mensual de $4000 por vender una propiedad con valor de $60,000.

D

I

1000

(5, 940)

Ingreso (en dólares)

Distancia recorrida (en pies)

–4

–4

4 45. intersección con el eje x: a , 0b 3 intersección con el eje y: 10, 22

y

4

0

–4

–4

intersección con el eje y: 10, 242

y

4

43. intersección con el 5 eje x: a , 0b 3 intersección con el 5 eje y: a0, b 2

41. intersección con el eje x: 12, 02

500

5

0

10

t

8000 6000 4000

(60,000, 4000)

2000

0

Tiempo (en segundos)

20

40

60

80

s

100 120 140

Ventas (en miles de dólares)

73. El servicio cobra $614 por 120 bocadillos calientes.

75. El técnico cobra $60 por trabajar durante 15 minutos.

Costo (en dólares)

Costo (en dólares)

C 750 650

(120, 614)

550

0

100

200

300

n

C 100 80 60 40

0

Número de bocadillos

77. El precio de venta es $160.

(15, 60)

20 10 20 30 40 50

t

Tiempo (en minutos) y

79.

y

81.

4

–4

0

y

83.

4

4

x

–4

–4

89. intersección con el eje x: 12,02; intersección con el eje y: 10, 232

0 –4

4

4

x

–4

0

4

x

–4

91. La ecuación es y 5 23x 1 6.

SECCIÓN 3.4

3 5. La pendiente es 21. Las coordenadas 3. La pendiente es 2 . Las coordenadas de la intersección con el eje y son (0, 2). 4 1 † 11. La pendiente es . 13. La pendiente de la intersección con el eje y son (0, 3). 7. 25; 24; 3; 2 9. La pendiente es 21. 3 2 3 7 15. La pendiente es 2 . 17. La pendiente no está definida. 19. La pendiente es . 21. La pendiente es 0. es 2 . 3 4 5 1 † 27. La pendiente es 40. El motorista viaja a 40 mph. 25. La pendiente no está definida. 23. La pendiente es 2 . 29. La 2 pendiente es 20.05. Por cada milla que el automóvil es conducido, se utilizan aproximadamente 0.05 galones de combustible. 31. La línea A representa la distancia de Lois; la línea B, la distancia de Tanya; y la línea C, la distancia entre Lois y Tanya. 33. a. La rampa no cumple con los requisitos de la ANSI. b. La rampa cumple con los requisitos de la ANSI. 35. 5; 10, 232 1. aumenta

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 37.

y

y

39.

4

–4

0

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

0

y

y

45.

47. Abajo; positivo

4

4

x

–4

† 51.

4

y

43.

4

–4

y

49.

y

41.

4

53. coordenada y

–4

0

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

† 55. La tasa de cambio promedio es 15.

4

–4

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

57. La tasa de cambio promedio es 214.

59. La tasa de cambio promedio es 38.

61. La tasa de cambio promedio es 27.

† 63. a. La tasa de cambio promedio en la población fue 179,000 personas por año.

b. La tasa de cambio promedio anual en la población desde 1900 a 1950 fue menor que la tasa de cambio promedio anual desde 1950 hasta 2000. c. La tasa de cambio promedio anual en la población de Texas desde 1980 hasta 2000 fue menor que la tasa de cambio promedio anual en la población de California desde 1980 hasta 2000.

65. a. La meta de la tasa de cambio promedio en las emisiones de gas de efecto invernadero desde 2020 hasta 2030 es 20.18 mil millones de toneladas métricas al año. b. La meta de la tasa de cambio promedio en las emisiones de gas de efecto invernadero desde 2030 hasta 2050 es 20.15 mil millones de toneladas métricas al año. 67. a. La tasa de cambio promedio anual en el número de defunciones por atropellamiento desde 1998 hasta 2008 fue de 285 peatones por año. b. La respuesta del inciso a) puede considerarse alentadora, ya que refleja el hecho de que el número de defunciones por atropellamiento está disminuyendo. 69. a. La tasa de cambio promedio en el número de solicitudes de 1990 a 2000 fue 25,500 por año. b. La tasa de cambio promedio anual en el número de solicitudes de 1995 a 2000 fue 29,000 por año mayor que la tasa de cambio promedio de 1990 a 1995. 71. 10 73. i y D; ii y C; iii y B; iv y F; v y E; vi y A 1 75. se incrementa a 2. 77. se incrementa 2

SECCIÓN 3.5 1. Uno

6 6 5. 2 ; 2; 2 x 1 2 5 5

3. Sí

1 y 5 x 1 2. 2

† 7. La ecuación de la recta es y 5 2x 1 5.

9. La ecuación de la recta es

5 11. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 5. 13. La ecuación de la recta es y 5 23x 1 4. 3 1 2 15. La ecuación de la recta es y 5 x. 17. La ecuación de la recta es y 5 3x 2 9. 19. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 7. 2 3 21. La ecuación de la recta es y 5 2x 2 3. 23. La ecuación de la recta es x 5 3. 25. La ecuación de la recta es y 5 23. 27. La ecuación de la recta es y 5 22x 1 3. 35. La ecuación de la recta es y 5 x 1 2.

29. La ecuación de la recta es x 5 25.

33. pendiente

† 37. La ecuación de la recta es y 5 22x 2 3.

39. La ecuación de la recta es

1 10 y5 x1 . 3 3

3 41. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 3. 43. La ecuación de la recta es y 5 x 2 1. 2 2 5 1 45. La ecuación de la recta es y 5 x 1 . 47. La ecuación de la recta es y 5 x 2 1. 49. La ecuación de la recta es y 5 24. 3 3 2 3 53. La ecuación de la recta es x 5 22. 55. La ecuación de la recta es y 5 x 2 1. 51. La ecuación de la recta es y 5 x. 4 † 61. f 1x2 5 1200x; la función pronostica que el avión estará 13,200 pies 57. La ecuación de la recta es y 5 2x 1 3. 59. 1000; 500 sobre el nivel del mar en 11 min. 13 minutos en un mes.

63. f 1x2 5 0.59x 1 4.95; la función da un costo de $12.62 por usar un teléfono celular durante

65. f 1x2 5 63x; la función da un estimado de 315 calorías en una porción de 5 onzas de hamburguesa magra.

67. f 1x2 5 0.625x 2 1170.5; la función predice que 92% de los árboles a 2600 pies serán madera en 2020.

69. f 1x2 5 20.032x 1 16; b la función predice que este automóvil podría contener 11.2 galones de gasolina después de conducir 150 millas. 71. a2 , 0b m 73. 0 75. Cambiar a b desplaza la gráfica de la recta hacia arriba o abajo. 79. 22.

SECCIÓN 3.6

1 9. La pendiente es 2 . 11. Sí 13. No 15. No 3 8 2 † 19. Sí † 21. Sí 17. Sí 29. La ecuación de la recta es y 5 x 2 . 3 3 5 1 1 † 35. La ecuación de la recta es 33. La ecuación de la recta es y 5 x 2 . † 31. La ecuación de la recta es y 5 2 x 2 6. 4 3 3 5 14 A2 A1 y52 x2 . 37. Abajo hacia la derecha 39. 41. La ecuación de la recta es y 5 22x 1 15. 5 3 3 B1 B2 3 43. Cualquier ecuación de la forma y 5 2x 1 b, donde b 2 213, o de la forma y 5 2 x 1 c, donde c 2 8 2 3. pendiente

1 7. La pendiente es 2 . 4 23. No 25. Sí 27. Sí

5. La pendiente es 25.

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R10

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 3.7 3. Sí

5. No

7. arriba

y

9.

y

11.

4

–4

y

13.

4

0

x

4

–4

0

4

x

–4

–4

† 19.

y

17.

–4

† 21.

y

4

4

0

x

4

–4

x

–4

–4

0

–4

y

y

23.

x

4

–4

y

25.

4

0

y

15.

4

27. Negativo

4

0

x

4

–4

0

–4

x

4

–4

0

–4

x

4

–4

–4

0

x

4

–4

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 1. 14, 22

1 9 2. Las coordenadas del punto medio son a , b. La longitud es de !26. 2 2

[3.2.1]

[3.1.1]

y

3.

[3.2.2]

8 4

–4

0

x

4

–4

y

4.

5. P 1222 5 22; P 1a2 5 3a 1 4

[3.3.2]

6. El dominio es 5 21, 0, 1, 2, 5 6 . El rango es 5 0, 2, 3 6 .

[3.2.1]

4

–4

0

Sí, la relación es una función. [3.2.1] 4

x

–4

7. El rango es 5 22, 21, 2 6 .

[3.2.1] 9. La intersección con el eje x: 13, 02 La intersección con el eje y: 10, 222

8. El valor de c es 2. El par ordenado es 12, 52 . [3.3.2]

y

10.

[3.3.1]

y

11.

0

4

–4

x

0

x

4

0

–4

y

[3.3.2]

17. La ecuación de la recta es y 5 23x 1 7.

[3.6.1]

21. El cero es 4.

[3.3.2]

22. Sí

[3.2.3]

[3.6.1]

y

14.

x

4

–4

–4

[3.5.1]

x

[3.4.2]

4

–4

5 23 15. La ecuación de la recta es y 5 x 1 . 2 2

4

–4

4 13. La intersección con el eje x: a2 , 0b 3 La intersección con el eje y: 10, 222

3 19. La ecuación de la recta es y 5 x 1 2. 2

[3.3.2]

4

–4

[3.4.1]

[3.2.1]

4

–4

12. La pendiente es 21.

y

0

4

x

–4

7 5 16. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 . [3.5.2] 6 3 2 8 18. La ecuación de la recta es y 5 x 2 . [3.6.1] 3 3 1 5 20. La ecuación de la recta es y 5 2 x 2 . [3.6.1] 2 2 y

23.

[3.7.1]

y

24.

4

–4

0

[3.7.1]

4

4

x

–4

0

4

x

25. a. La tasa de cambio promedio anual en el número de nacidos de origen extranjero que viven en Estados Unidos de 1980 a 2000 fue de 715,000 personas al año. b. La tasa de cambio promedio anual en el número de nacidos de origen extranjero que viven en Estados Unidos de 1970 a 1980 fue de 450,000 personas al año. Ésta es menor a la tasa de cambio promedio anual de 1980 a 1990. [3.4.3] d Después de 4 horas, el automóvil ha recorrido 220 millas. [3.3.3] 26. Millas

300 200

(4, 220)

100 0

1 2 3 4 5 6

t

Horas

27. La pendiente es 20. El costo de fabricación de una calculadora es $20. [3.4.1] costo de $185,000 para construir una casa de 2000 pies2. [3.5.3]

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R10

28. f 1x2 5 80x 1 25,000; esta función proporciona el

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R11

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

EXAMEN DEL CAPÍTULO 3 y

1.

[3.2.2, Ejemplo 6]

2. La solución representada por el par ordenado es 123, 02 .

[3.3.1, Ejemplo 1]

4.

[3.1.2, Ejemplo 3]

4

–4

0

x

4

–4 –8

y

3.

y

–4

5. La ecuación de la recta es x 5 22.

[3.3.2, Ejemplo 2]

4

4

x

0

–4

x

4 –4

–4

1 6. Las coordenadas del punto medio son a2 , 5b. La longitud es !117. 2 [3.1.1, Ejemplos 1 y 2]

[3.5.1, Concéntrese, inciso (B), página 162]

1 7. La pendiente es 2 . 6

[3.4.1, Ejemplo 1]

8. 9 [3.2.1, Ejemplo 2]

y

9.

[3.3.2, Ejemplo 4]

4

–4

0

4

x

–4

y

10.

[3.4.2, Ejemplo 4]

4

–4

0

4

2 11. La ecuación de la recta es y 5 x 1 4. [3.5.1, Ejemplo 1] 5

x

–4

1 7 13. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 . [3.5.2, 5 5 Ejemplo 2] 14. El cero es 6. [3.3.2, Ejemplo 5] 15. El dominio es 5 24, 22, 0, 3 6 . El rango es 5 0, 2, 5 6. Sí, la relación 3 7 17. La ecuación es una función. [3.2.1, Ejemplo 1] 16. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 . [3.6.1, Ejemplo 2] 2 2 y de la recta es y 5 2x 1 1. [3.6.1, Ejemplo 4] 18. [3.7.1, Ejemplo 1] 19. No [3.2.3, Ejemplo 8] 12. El valor de c es 1. El par ordenado es (1, 3).

[3.2.1, Ejemplo 5]

4

–4

0

4

x

–4

3 x 1 175; esta función predice que 85 estudiantes se inscribirán en la matrícula de $300. [3.5.3, Ejemplo 3] 10 10,000 . El valor de la casa decreció en $3333.33 cada año. [3.4.1, Ejemplo 2] 21. La pendiente es 2 3

20. f 1x2 5 2

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1. La propiedad conmutativa de la multiplicación 4. La solución es 2 3 y2 . 2 10.

1 . 14

[2.1.2]

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

[1.1.2]

y

[3.4.2]

4

–4

0

4

[2.1.2]

10 f. 3

[2.6.2]

11. El conjunto solución es [.

8. 8

1 f. 2

[1.2.2]

[2.5.2]

8 3. La solución es . 9 [2.5.2]

6. Las soluciones son

9. 218 12. 14

[2.1.2] 5 2

[1.4.2]

[3.2.1]

13. La solución

7 14. La pendiente es 2 . [3.4.1] 15. La ecuación 4 5 [3.5.1] 16. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 3. [3.5.2] 17. La ecuación de la recta 4 8 2 y 18. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 . [3.6.1] 19. [3.3.2] 3 3 4

representada por el par ordenado es (28, 13). 3 13 de la recta es y 5 x 1 . 2 2 3 es y 5 2 x 1 7. [3.6.1] 2

9 2. La solución es . 2

5. El conjunto solución es 5 x 0 x , 21 6 h e x 0 x .

7. El conjunto solución es e x ` 0 , x ,

[2.6.1]

20.

[1.3.1]

[3.1.1]

–4

0

x

x

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R11

12/10/12 01:52 p.m.

R12

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

21.

[3.7.1]

22. La velocidad del primer avión es de 200 mph, y la del segundo avión es 400 mph. [2.3.2]

4

–4

0

x

4

23. La mezcla consiste en 32 lb de café de $8 y 48 lb de café de $3. decrece a $2500 cada año. [3.4.1]

[2.3.1]

24. La pendiente es –2500. El valor del camión

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 4 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 6x 1 5y [1.4.3] y

6.

2. 7 [1.4.2]

[3.3.2]

7.

4

–4

4. La solución es 23. [2.1.2]

3. 0 [2.1.1] y

[3.3.2]

y

8.

4

0

x

4

–4

[3.7.1]

4

0

–4

5. La solución es 1000. [2.1.2]

x

4

–4

–4

0

4

x

–4

SECCIÓN 4.1 1. exactamente una solución; sin solución; número infinito de soluciones y

11.

y

13.

–4

0

4

x

–4

La solución es 13, 212 .

0

–4

0

x

4

y

25.

x

–4

–4

4

x

La solución es 14, 32 . La solución es 14, 212 . y 27. a1 2 a2 31. 3; 22; 3; 22

0

–4

0

x

–4

La solución es 13, 222 .

4

4

4

9. 122, 32

y

4

–4

La solución es 12, 42 .

4

0

x

4

7. Inconsistente

† 19.

y

17.

4

† 23.

y

–4

5. Independiente

–4

–4

21.

15.

4

4

3. Sí

y

4

x

–4

0

4

x

–4

El sistema de ecuaciones no tiene solución. 33. La solución es 12, 12 .

Las soluciones son los pares ordenados 2 ax, x 2 2b. 5 35. La solución es 11, 12 .

La solución es 10, 232 .

37. La solución es 12, 12 . 39. La solución es 122, 232 . 1 41. La solución es 13, 242 . 43. La solución es 10, 212 . 45. La solución es a , 3b. 47. La solución es 11, 22 . 2 49. La solución es 121, 22 . 51. La solución es 122, 52 . 53. La solución es 10, 02 . 55. La solución es 124, 262 . 1 59. Las soluciones son los pares ordenados ax, x 2 4b. † 57. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 2 61. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 63. La solución es 11, 52 . 65. La solución es 15, 22 . a1 a 67. La solución es 11, 42 . 69. Cualquier número real excepto 3. 71. 2 2 73. La solución es 11.20, 1.402 . b1 b2 75. La solución es 10.64, 20.102 .

SECCIÓN 4.2 1. No

5. A 5 22, B 5 12, C 5 24

7. La solución es 16, 12 .

9. La solución es 11, 12 .

1 15. La solución es a2 , 2b. 2 17. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 19. La solución es 121, 222 . 21. La solución es 12, 52 . 1 3 2 2 23. La solución es a , b. 25. La solución es 10, 02 . 27. La solución es a , 2 b. 29. La solución es 11, 212 . 2 4 3 3 4 1 31. Las soluciones son los pares ordenados ax, x 2 6b. 33. La solución es 15, 32 . 35. La solución es a , 21b. 3 3

† 11. La solución es 12, 12 .

13. Las soluciones son los pares ordenados 1x, 3x 2 42 .

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

5 1 39. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 43. Dependiente 45. 22 37. La solución es a , b. 3 3 47. La solución es 121, 2, 12 . 51. La solución es 14, 1, 52 . 53. La solución es 13, 1, 02 . † 49. La solución es 16, 2, 42 . 55. La solución es 121, 22, 22 . 57. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 59. La solución es 12, 1, 232 . 61. La solución es 12, 21, 32 . 63. La solución es 16, 22, 22 . 65. La solución es 10, 22, 02 . 67. La solución es 12, 3, 12 . 69. La solución es 11, 1, 32 . 71. La solución es 12, 12 . 73. La solución es 12, 212 . 75. La solución es 12, 0, 212 . 77. A 5 2, B 5 3, C 5 23 79. 3

SECCIÓN 4.3 3. 3 3 4 15. 11 b. 21

11. 8; 21; 23

5. 2, 0, 3 17. 18

13. El menor de 7 es `

† 21. 15

19. 0

31. La solución es 13, 242 . 1 2

23. 230

23 0

4 2 ` . El menor de 8 es ` 8 23

27. a. 2; 23; 25; 4

25. 0

33. La solución es 14, 212 .

39. No es posible por la Regla de Cramer.

43. La solución es 11, 21, 22 .

† 45. La solución es 12, 22, 32 .

49. La solución es a

68 56 8 , , 2 b. 25 25 25

3 57. La matriz aumentada es £ 1 21 5 63. £ 2 1

21 23 2

3 22 4 † 1§ 23 7

65. £

51. 23

23 25 2 † 6§. 21 0

1

4 3

2

23

†

223 5

0 1

22

0

1

†

1 † 73. Una fila de forma escalonada de la matriz es D 0

4 1

0

0

77. La solución es 127, 4, 32 .

1 2 . § 5 2

† 91. La solución es 11, 21, 212 . 3 1 2 97. La solución es a , , 2 b. 5 5 5 107. El área del polígono es 239 pies2.

7

1 4 R. ` 23 210

† 61. x 2 4y 2 z 5 0

y 1 6z 5 15 z52

22 1 26 4

71. Una fila de forma escalonada de la matriz es £

1 22 4 ∞ 28 T . 1 232 19

† 79. La solución es 11, 32 .

85. El sistema de ecuaciones no tiene solución.

3

2 1

† 67. £ 0 4 23 † 2 §

§

69. Una fila de forma escalonada de la matriz es £

41. La solución es 121, 02 .

47. No es posible por la Regla de Cramer.

59. 8x 2 y 5 215 2x 1 y 5 23 1

29. a. 2; 5; 25; 22

11 17 , b. 14 21

† 55. La matriz aumentada es B

53. 1; 0

1 21 4

b. 27

35. La solución es a

† 37. La solución es a , 1b.

7 `. 21

1 0

2

25

†

3 5

1 26

§.

75. Una fila de forma escalonada de la matriz es ≥ 0

1

1 2 3 2

0

0

1

1 23

81. La solución es 121, 232 .

87. La solución es 122, 22 .

3

22 ∞

5¥. 2

3

83. La solución es 13, 22 .

89. La solución es 10, 0, 232 .

93. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 1 2 99. La solución es a , 0, 2 b. 101. 214 4 3

1 1 95. La solución es a , , 0b. 3 2 103. 0 105. a. 0 b. 0

85. El sistema de ecuaciones no tiene solución.

SECCIÓN 4.4 1. La velocidad del avión es 450 mph. 3. 50x 1 100y 5. Fila 1: b 1 c; 3; 3 1b 1 c2; Fila 2: b 2 c; 5; 5 1b 2 c2; 7. Menor que † 9. La velocidad del avión con viento en calma es 150 mph. La velocidad del viento es 10 mph. 11. La tasa de velocidad de la lancha de motor en aguas en calma es 14 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 2 mph. 13. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 165 mph. La tasa de velocidad del viento es 15 mph. 15. La tasa de velocidad del barco en aguas en calma es 19 km/h. La tasa de velocidad de la corriente es 3 km/h. 17. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 105 mph. La tasa de velocidad del viento es 15 mph. 19. La tasa de velocidad del barco en aguas en calma es 16.5 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 1.5 mph. 21. Tabla 1, † 23. El costo del pino es de $.18 por pie. Fila 1: 200; h; 200h; Fila 2: 300; w; 300w; Tabla 2, Fila 1: 350; h; 350h; Fila 2: 100; w; 100w El costo de la secoya es $.30 por pie. 25. El costo unitario del gas es $.16. 27. La empresa planea fabricar 25 bicicletas de montaña durante la semana. 29. El dueño condujo 322 millas en ciudad y 72 millas en carretera. 31. El farmacéutico debe utilizar 200 mg † 35. $8000 fueron del primer polvo y 450 mg del segundo polvo. 33. El fabricante gasta $4000 por una computadora Modelo VI. invertidos al 9%, $6000 al 7%, y $4000 al 5%. 37. Las distancias son d1 5 6 pulg, d2 5 3 pulg, y d3 5 9 pulg. 39. Las medidas de los dos ángulos son 35º y 145º. 41. El punto de no retorno es aproximadamente 1517 millas desde Nueva York.

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 4.5 1. ii

3. Intersección

5. a. A; D

b. A; B

† 7.

c. A

y

y

9.

4

–4

0

4

x

–4

0

x

4

–4

y

11.

y

13.

y

15.

4

–4

4

x

–4

0

x

4

–4

y

y

23.

4

–4

y

19. 4

0

4

x

–4

4

x

–4

0

4

x

–4

–4

21.

y

17.

4

25. Los puntos debajo de la gráfica de la recta x1y5b

4

x

0

–4

0

27. La región entre las gráficas de las rectas paralelas x1y5a y x1y5b

x

4

–4

y

29.

y

31.

4

–4

y

33.

35. ii, iii

4

0

4

x

–4

–4

x

0

–4

0

4

x

–4

–4

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 1 3 2. Las soluciones son los pares ordenados ax, 2 x 1 b. [4.1.2] 4 2 1 4. Las soluciones son los pares ordenados ax, x 2 2b. [4.2.1] 3

1. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.1.2] 3. La solución es 124, 72 . [4.2.1] 5. La solución es 15, 22, 32 . [4.2.2]

6. La solución es 13, 21, 222 . [4.2.2]

9. La solución es 13, 212 . [4.3.2]

10. La solución es a

12. La solución es 12, 3, 252 . [4.3.2]

110 25 , b. [4.3.2] 23 23

7. 28 [4.3.1]

11. La solución es 121, 23, 42 . [4.3.2] 8 7 14. La solución es a , b. [4.3.2] 5 5

13. La solución es 11, 21, 42 . [4.2.2]

1 1 15. La solución es a , 21, b. [4.3.3] 2 3 18. La solución es 12, 23, 12 . [4.3.3]

17. La solución es 12, 232 . [4.3.2]

16. 12 [4.3.1] y

19.

8. 0 [4.3.1]

[4.1.1]

y

20.

[4.1.1]

4

–4

0

x

–4

–4

La solución es 10, 32 . y

21.

[4.5.1]

y

22.

[4.5.1]

4

–4

0

0

4

x

–4

Las soluciones son los pares ordenados ( x, 2x 2 4) .

23. La tasa de velocidad del crucero en aguas en calma es 16 mph. La tasa de velocidad de la corriente es 4 mph. [4.4.1]

4

x

–4

0

x

–4

24. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 175 mph. La tasa de velocidad del viento es 25 mph. [4.4.1] 25. El número de niños que asisten el viernes fue 100. [4.4.2] 26. Hay $10,400 invertidos al 8%, $5200 invertidos al 6%, y $9400 invertidos al 4%. [4.2.2]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 4 3 7 1. La solución es a , b. [4.1.2, Ejemplo 3A] 4 8

2. La solución es 123, 242 . [4.1.2, Concéntrese, página 191]

3. La solución es 12, 212 . [4.1.2, Ejemplo 3A] 4. La solución es 122, 12 . [4.3.3, Ejemplo 7] 5. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.1, Problema 1B] 6. La solución es 11, 12 . [4.2.1, Ejemplos 1 y 2] 7. El sistema de ecuaciones no tiene solución. [4.2.2, Concéntrese, inciso B, página 200] 8. La solución es 1 2, 21, 222 . [4.3.3, Ejemplo 8]

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

9. 10 [4.3.1, Ejemplo 1A]

10. 232 [4.3.1, Ejemplo 1B]

1 6 3 12. La solución es a , 2 , b. [4.3.2, Ejemplo 3] 5 5 5 y

14.

[4.1.1, Ejemplo 1]

13. La solución es 10, 22, 32 . [4.3.2, Ejemplo 3] y

15.

4

10 1 11. La solución es a2 , 2 b. [4.3.2, Ejemplo 2] 3 3

[4.1.1, Ejemplo 1]

4

0

4

x

0

x

4

–4

La solución es 13, 42 . y

16.

[4.5.1, Ejemplo 1]

La solución es 125, 02 . y

17.

[4.5.1, Ejemplo 1]

4

–4

0

4

x

–4

4

x

–4

18. La tasa de velocidad del avión con viento en calma es 150 mph. La tasa de velocidad del viento es 25 mph. [4.1.1, Problema 1] 19. El costo por yarda de algodón es $9. El costo por yarda de lana es $14. [4.4.2, Problema 2]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 11 . [2.1.1] 2. La ecuación es y 5 5x 2 11. [3.5.2] 3. 3x 2 24 [1.4.3] 28 5. El conjunto solución es 5 x 0 x , 6 6 . [2.4.2] 6. El conjunto solución es 5 x 0 24 , x , 8 6 . [2.5.2] 7. El conjunto solución es 5 x 0 x . 4 6 h 5 x 0 x , 21 6 . [2.5.2] 8. 298 [3.2.1] 9. El rango es 5 0, 1, 5, 8, 16 6 . [3.2.1] 10. 1 [3.2.1] 11. 3h [3.2.1] 12.

1. La solución es 2

4. 24 [1.4.2]

[1.1.2]

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

5 2 13. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.5.1] 3 3

3 1 14. La ecuación es y 5 2 x 1 . [3.6.1] 2 2

1 16. Las coordenadas del punto medio son a2 , 4b. [3.1.1] 2

y

17.

[3.4.2]

15. La distancia es 2"10. [3.1.1]

–4

0

[3.7.1]

4

4

x

–4

–4

19. La solución es 125, 2112 . [4.1.2]

y

18.

4

20. La solución es 11, 0, 212 . [4.2.2]

0

4

x

–4

21. 3 [4.3.1]

y

22. –4

0

[4.1.1] 4

x

–4

La solución es (2, 0). 23. La solución es 12, 232 . [4.3.2]

y

24.

[4.5.1]

25. La cantidad de agua que debe agregarse son 60 ml. [2.3.2]

2 –4

0

x

26. La tasa de velocidad del viento es 12.5 mph. [4.4.1] 27. El costo por libra de filete es $5. [4.4.2] 28. Los límites inferior y superior de la resistencia son 10,200 y 13,800 ohms. [2.5.3] 29. La pendiente es 40. El ejecutivo de cuenta gana $40 por cada $1000 de venta. [3.4.1]

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RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 5 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 212y

2. 28

[1.4.3]

6. 2 # 2 # 2 # 5

[1.3.1]

3. 3a 2 8b

[1.2.1]

7. 4

8. 213

[1.3.1]

4. 11x 2 2y 2 2

[1.4.3] 5. 2x 1 y 1 9. La solución es 2 . [2.1.1] 3

[1.4.3] [1.4.2]

[1.4.3]

SECCIÓN 5.1 1. i, ii, iv

5. 32

17. x4y24

19. x8y16

33. 212a2b9c2

7. x4y5; 9

9. a. Sí

21. 81a4

35. 26x4y4z5

b. No

c. No

† 25. 64x30y6

23. 256c20 37. 2432a7b11

† 11. 24r 3t6

d. Sí

27. 28a3b6

29. 232x10y5z15

43. a28; a2 16; 1 /a16

39. 54a13b17

45. 3a3

1 a 3b 2 1 2ab2c 51. y3 53. 243 55. y3 57. 59. 8 61. 63. x9 3 4 x 125x6 y6 y4 b 2c 2 9a b10 4x5 1 71. 3 79. 10 81. 69. † 73. 8 † 75. 4 † 77. 2 6 2187a x x a 8b a 9y4 2 b 89. a. Falso b. Verdadero 91. 7; derecha; 27 95. 4.3 87. 4 † 93. 5 3 1028 a 103. 4,350,000,000 99. 0.0000000000062 † 101. 634,000 † 105. 2.848 3 10210 49.

109. 9 3 10

9

111. 2 3 10

10

113. 6.92 3 10

21

117. 6 3 10

115. 1.38

13. a2b3c9

215

65. a2 83.

15. b10

31. 26x5y5z4 a5 † 47. 3 b 1 67. 6 10 xy

8b15 3a18

3 106

85. x12y6 97. 9.8 3 109

107. 4.608 3 1023

119. Menor que

121. 5.4; 9

† 125. El protón es 1.83664508 3 103 veces más pesado que el electrón.

123. La luz viaja a 2.592 3 1013 m en 1 día.

127. El Phoenix recorre un promedio de 1.43 3 106 mi/día.

129. 1.44 3 1011 nuevas plantas estarían en crecimiento.

131. A la luz le toma 5 3 102 recorrer desde el Sol hasta la Tierra.

133. El volumen de la célula es 1.41371669 3 10211 mm3. 1 1 1 1 139. 26x2ny3m b. 512 c. 2 d. 16 137. a. 16

135. La nave espacial viaja a través de la galaxia en 2.24 3 1015 h. x6n 4 3 6 145. 6x y 141. x3n 143. 9 147. 4 149. a21 . b21 m

151. 15; 24 2 1

SECCIÓN 5.2 1. a. binomio b. binomio c. monomio d. trinomio e. Ninguno f. monomio 3. Todos los números reales † 9. a. El coeficiente principal es 21. 7. 2; principal; constante b. El término constante es 8. c. El grado es 2. 11. La expresión no es un polinomio. 13. La expresión no es un polinomio. 15. a. El coeficiente principal es 3. b. El término constante es p. c. El grado es 5. 17. a. El término principal es 25. b. El término constante es 2. c. El grado es 3. 19. a. El coeficiente principal es 14. b. El término constante es 14. c. El grado es 0. y y y 21. 13 23. 10 25. 211 † 29. 31. † 27. 4

4

–4

4

x

–4

0

de merengue.

† 49. 28x2 1 6x 1 9

41. 28x 2 3x 1 5

43. 6x 2 6x 1 5

51. 13x2 2 8x 1 7

53. 5y2 2 15y 1 2

2

67. 22x3 1 4x2 1 8

–4

0

x

–4

37. El pastel Alaska necesita 260 pulg3

45. 2x 1 1

2

4

47. 17x3 1 x2 2 2x 2 6

2

† 55. 7a2 2 a 1 2

57. 6x2 1 13x

61. 23x 2 8x 2 2x 1 6 65. 3x4 2 8x2 1 2x † 63. 5x 2 4x 1 4x 2 7 y 69. P 1x2 1 Q 1x2 es un polinomio de cuarto grado. 71. 22 73. 2 75.

59. 9x 2 4x 1 11x 2 8 3

x

35. Debe haber 56 partidos programados.

2

39. A

4

–4

–4

† 33. La longitud de la ola es 23.1 m.

4

3

2

3

2

y 12 8 4

–8

8

La gráfica de k es la gráfica de f desplazándose 2 unidades abajo. 77. La máxima desviación del haz es 3.125 pulg. chamanes les tomará 5.85 3 1011 años desplazar todos los discos de oro.

x

–8

8

x

81. A los

SECCIÓN 5.3 1. 5

7. 23y3; 23y3; Distributiva; 23y5; 30y3

3. Verdadero

† 15. 24b2 1 10b

17. 5a2 2 6a

25. 22x y 1 6x y 2 4x y 4

3 2

2 3

19. 26a4 1 4a3 2 6a2

27. 5y 2 11y 2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R16

29. 6y 2 31y 2

9. 2x2 2 6x

11. 6x4 2 3x3

21. 9b5 2 9b3 1 24b 31. No

33. No

13. 6x2y 2 9xy2

23. 220x5 2 15x4 1 15x3 2 20x2 35. 3x; x; 3x; 5; 22; x; 22; 5

12/10/12 01:52 p.m.

R17

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 37. 24x3 2 61x2 2 5x 2 8

39. 26x3 1 25x2 2 16

43. 235x 2 22x 1 53x 2 18x 2 18 4

3

4

49. 25x4 1 7x3 1 24x2 1 20x 1 32 55. 2x 1 3x 2 23x 2 12 3

73. 29x 2 21x 2 12 83. x2 2 2xy 2 8y2

51. 24x4 1 55x3 1 19x2 1 15x 2 18 3

95. No

105. x4 1 2x2y2 1 y4

107. 4a2 2 9b2

2

† 117. 9a 2 24ab 1 16b 2

2

87. 7x2 1 34xy 2 5y2 2

97. 4x; 4x; 1; 1; 16x ; 8x; 1 109. x4 2 1

119. 9x 1 12x 1 4 6

b. 3; 9x; x; x2 1 3x; 9x; x2 1 3x; x2 1 12x

3

2

89. x2y2 2 xy 2 20

99. b 2 49 2

111. 25a2 2 81b2 121. Cero

127. El área es ax2 1

71. 12x2 1 24x 1 12

79. 2x 1 5x 1 2

2

85. 3a2 2 8ab 2 3b2

93. 10a 1 3a 2 18 4

69. x2 1 4x 2 32

† 77. 9x 2 15x 2 24

75. 25x 2 31x 2 6

61. x2 1 28x 1 195

3

67. x2 1 12x 1 27

2

53. 22x4 2 12x3 2 3x2 1 32x 2 15

59. 4x 2 57x 1 28

2

65. x2 1 8x 2 48

2

47. 4x4 2 4x3 1 5x2 2 9x 1 4

3

57. 3x 1 x 2 27x 2 9

2

63. x2 2 21x 1 104

41. 212x3 1 24x2 2 6x 2 6

45. 4x 1 28x 2 37x2 2 35x 1 40

2

91. 3a2b2 1 4ab 2 32

101. b 2 121

103. 25x2 2 40xy 1 16y2

2

† 113. 9x2 2 49y2

123. Positivo x 2 3b pies2. 2

115. 36 2 x2

125. a. 3x; 3

† 129. El área es 1x2 1 12x 1 162 pies2.

131. El volumen es 14x3 2 72x2 1 324x2 pulg3. † 133. El volumen es 12x3 2 7x2 2 15x2 cm3. 3 2 3 137. 2x2 1 4xy 139. 6x5 2 5x4 1 8x3 1 13x2 135. El volumen es 14x 1 32x 1 48x2 cm . 145. x2n 2 49 147. x2n 2 y2n 143. 2x2n 1 5xn 2 12 2 157. 1 y 4, 2 y 3 155. Por ejemplo, 1x 1 32 12x 2 12

81. 224x2 2 46x 2 10

149. 9x2n 1 30xn 1 25

151. 2

141. 5x2 2 5y2 153. 2x2 1 11x 2 21

SECCIÓN 5.4 5. 3y; 3y; 3y; 2 7. 12x2 1 6x 5 3x 14x 1 22 9. a 2 2 13. t2 2 3t 1 4 † 11. 3w 1 2 5y 3 6 15. 2y 1 2x 17. 2v2 2 v 1 3 19. 22x 1 3 2 27. 2x 1 3 † 21. 3y 2 4 1 † 25. x 1 8 2 x x 2 3 33 29. 5x 1 7 1 31. 2x 2 1 2 33. x2 2 3x 2 4 35. x2 2 4x 2 2 37. x2 2 x 1 7 2 2x 2 1 x12 x14 2 1 15 18 41. x2 2 2x 2 3 1 43. 2x2 2 x 1 3 2 45. 4x2 1 6x 1 9 1 47. x2 2 3x 2 10 39. x2 1 x23 x12 x13 2x 2 3 1 10x 1 7 51. 2x3 2 3x2 1 x 2 4 53. 3x 1 1 1 2 55. Falso 57. binomio; x 2 a 49. 2x2 1 2x 2 1 1 x23 2x 2 3 1 16 13 63. 3x 1 3 2 65. x 2 2 1 59. 2x 2 8 61. x 1 1 2 † 67. 2x2 2 3x 1 9 x14 x21 x12 41 4 2 71. x2 2 x 1 2 2 73. 3x3 2 x 1 4 2 75. 2x3 2 3x2 1 x 2 4 69. x2 2 5x 1 16 2 x12 x11 x11 155 79. x2 2 5x 1 25 81. Si 83. 8; 9; 18; 9; 9 85. P 132 5 8 77. 2x3 1 6x2 1 17x 1 51 1 x23 89. P 1222 5 239 91. Q 122 5 31 93. F 1232 5 190 95. P 152 5 122 97. R 1232 5 302 † 87. R 142 5 43 103. x2 1 x 1 5 105. 3 107. 21 109. x 2 3 111. Sí 99. Q 122 5 0 101. x2 2 2x 1 4 1. 4

3. 25

SECCIÓN 5.5 3. 5x 13x 2 22 23. 33. 41.

5. 6x4y3

53. 63. 1x 1 12 1x2 1 22 73. 6x22y22 12x 2 3y2

2

9. 6x2

† 15. xz

17. 4x3y 19. 1 21. x2y 2 27. 4 13x y 1 52 29. 2xy 19x 2 52 31. 2y 14x 1 32 5x 2 3y † 25. 6xy 15xy 1 32 3 4 3 3 3 4 4 3 2 2 2 3 2 2 35. x z 120x 1 15y z 1 8z 2 37. 2x y 19x z 2 5y 1 4z32 39. 6y 14x5z 1 6xy2 2 5y42 2x y z 15x y 2 5x 1 3z 2 5 4 3 3 2n 45. 1x 2 52 47. 1a 1 22 1x 2 22 43. x 5 16x 1 4y z 2 5y 2 † 49. 1x 2 22 1a 1 b2 † 51. 1x 1 32 1x 1 22 2 2 1x 1 42 1 y 2 22 57. 1 y 2 32 1x 2 22 59. 13 1 y2 12 1 x 2 61. 12a 1 b2 1x2 2 2y2 † 55. 1a 1 b2 1x 2 y2 7. 2

2

11. 6x 2 6

13. 4x3yz2

3

5

65. 12x 2 12 1x2 1 22 67. 1x 1 62 1x2 2 62 69. 13x 1 72 1x2 2 72 71. 2x24 12x2 1 32 79. Por ejemplo, 3a 12a 1 b2 1 b 12a 1 b2 75. 1a 1 b2 1c 1 d 1 22 77. Por ejemplo, 6x3y2 1 15x2y

SECCIÓN 5.6 1. ii 3. a. 22 y 29 b. 22 y 6 c. 25 y 4 d. 23 y 8 5. a. 23 y 7 b. 24 y 25 13. 1 y 2 32 1 y 2 132 15. 1a 2 72 1a 2 82 7. 1x 2 52 1x 2 32 9. 1a 1 112 1a 1 12 † 11. 1b 1 72 1b 2 52 17. 1x 1 52 1x 2 12 19. 1a 1 6b2 1a 1 5b2 21. 1x 2 12y2 1x 2 2y2 23. 1 y 1 9x2 1 y 2 7x2 † 25. No es factorizable 2 4 4 3 4 4 29. 6x 1x 2 92 1x 2 12 31. 3x y 1x 2 52 1x 2 32 33. 3x y 1x 2 82 1x 2 72 † 27. x y 1x 2 72 1x 1 32 35. 2x3y4 1x 2 32 1x 1 52

37. No es factorizable 39. a. Positivo b. Negativo c. Menor que 41. Dos negativo 49. 12a 1 12 1a 1 62 51. No es factorizable 43. Dos positivo † 45. 12x 1 52 1x 2 82 † 47. 14y 2 32 1 y 2 32 53. 15x 1 12 1x 1 52 55. 111x 2 12 1x 2 112 57. 112x 2 52 1x 2 12 59. 14y 2 32 12y 2 32 61. No es factorizable

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R17

12/10/12 01:52 p.m.

R18

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

63. No es factorizable 73. 6x 12x 2 72 12x 2 12

65. 15 2 x2 18 1 x2 67. 18 2 x2 13 1 2x2 69. 6x2 14x 2 32 15x 2 92 77. 5, 25, 1, 21 79. 3, 23, 9, 29 75. 4xy4 19x 2 5y2 14x 1 3y2

† 71. 4x2y3 1x 1 22 18x 2 72 81. 1, 21, 5, 25

85. m 1 n; mn

83. 5, 8, y 9

SECCIÓN 5.7 1. a. No

b. Sí

c. Sí

5. a. Sí b. No c. Sí 9. 4z 11. 9a b 13. a. 4x; 1 b. 4x 1 1; 4x 2 1 17. 1x 1 42 1x 2 42 d. Sí 7. 4; 25x ; 100x y 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1x 1 3y2 2 19. 2x 1 1 2x 2 1 21. b 2 1 23. 4x 2 5 25. No es factorizable 27. 29. 12x 1 y2 12x 2 y2 † † 31. 14x 1 112 14x 2 112 33. 11 1 3a2 11 2 3a2 35. No es factorizable 37. No es factorizable 39. 15a 2 4b2 2 43. 6x3y4 13x 2 42 2 45. 5x2y3 13x 1 12 2 47. 2x4 12x 1 32 12x 2 32 49. 25x3y 13x 1 12 13x 2 12 41. 25xy 13x 2 42 2 6

4 4

d. No

3. a. Sí

4

b. No

c. Sí

d. No

2 3

55. 2x3 57. 4a2b6 59. a. 5x; 2 b. 5x 1 2; 25x2 2 10x 1 4 51. ii y iv 53. 8; x9; 27c15d18 63. 12x 2 12 14x2 1 2x 1 12 67. 14x 1 12 116x2 2 4x 1 12 61. 1x 2 32 1x2 1 3x 1 92 † 65. 1x 2 2y2 1x2 1 2xy 1 4y22 2 2 2 2 3 2 73. 3x y 12x 2 12 14x 1 2x 1 12 71. 1xy 1 42 1x y 2 4xy 1 162 69. 13x 2 2y2 19x 1 6xy 1 4y 2 77. 3y 13x 1 12 19x2 2 3x 1 12 79. x2 83. 1xy 2 32 1xy 2 52 85. 1x2 2 62 1x2 2 32 75. 2x3y 13x 1 12 19x2 2 3x 1 12 2 2 2 2 2 2 91. 13xy 2 52 1xy 2 32 93. 12ab 2 32 13ab 2 72 87. 1b 2 182 1b 1 52 † 89. 1x y 2 62 1x y 2 22 97. xy 12x2 1 32 13x2 2 42 99. 4x2y2 12x2 2 52 2 101. 2x2y3 12x2 2 12 13x2 1 22 103. Común 95. 12x2 2 152 1x2 1 12 2 2 3 109. 5 12x 1 12 12x 2 12 111. y 1 y 1 112 1 y 2 52 105. 3 12x 2 32 † 107. a 13a 2 12 19a 1 3a 1 12 115. 2a 12 2 a2 14 1 2a 1 a22 117. 1x 1 22 1x 1 12 1x 2 12 119. 1x 1 22 12x2 2 32 113. 14x2 1 92 12x 1 32 12x 2 32 2 3 125. No es factorizable 127. 2x 13x 1 12 1x 1 122 121. 1x 1 12 1x 1 42 1x 2 42 123. x 1x 2 72 1x 1 52 135. x2y2 1x 2 3y2 1x 2 2y2 131. No es factorizable 133. 3b2 1b 2 22 1b2 1 2b 1 42 129. 14a2 1 b22 12a 1 b2 12a 2 b2 137. 2xy 14x 1 7y2 12x 2 3y2 139. 1x 2 22 1x 1 12 1x 2 12 141. n 1 2 143. 20, 220 145. 8, 28 151. 1xn 1 22 1x2n 2 2xn 1 42 153. 1xn 1 22 1xn 2 22 1x2n 1 42 149. 1xn 1 72 1xn 2 72 147. 1a 2 2b2 1a2 2 ab 1 b22 159. 1x 2 32 1x2 1 2x 1 32 155. 1x2 2 4x 1 82 1x2 1 4x 1 82

SECCIÓN 5.8 f. No 7. 5 9. Las soluciones son 24 y 26. 3 15. Las soluciones son 7 y 27. 11. Las soluciones son 0 y 7. 13. Las soluciones son 2 y 7. 2 3 17. Las soluciones son 25 y 1. 19. Las soluciones son 2 y 4. 21. Las soluciones son 0 y 9. 2 2 2 27. Las soluciones son y 3. 25. Las soluciones son y 25. † 23. Las soluciones son 7 y 24. 3 5 3 1 4 29. Las soluciones son y 2 . 31. Las soluciones son 7 y 25. 33. Las soluciones son 2 y 2. 2 4 3 4 35. Las soluciones son y 25. 37. Las soluciones son 5 y 23. 39. Las soluciones son 211 y 24. 3 41. Las soluciones son 2 y 3. 43. Las soluciones son 24, 21, y 1. 45. Las soluciones son 25, 4, y 5. 5 5 2 49. Las soluciones son 2 , 1, y . 47. Las soluciones son 24, 2, y 4. † 51. Los valores de c son 1 y 2. 3 3 3 1 3 53. Los valores de c son 2 y 1. 55. Los ceros son 24 y 1. 57. Los ceros son 22 y 6. † 59. Los ceros son 1 y . 2 2 3. a. Sí

b. No

c. Sí

d. No

e. Sí

61. Los ceros son 23.30 y 0.30. 63. Los ceros son 20.28 y 1.78. 65. Un polígono con 54 diagonales tiene 12 lados. † 67. La longitud de los lectores electrónicos es de 15 cm. El ancho es de 10 cm. 69. La altura es de 4 cm. La base es de 12 cm. 71. La longitud del rectángulo mayor es de 11 cm. El ancho es de 8 cm. 73. El valor de x es de 2 m o 3 m. 3 75. El ladrillo del pasillo debería ser de 3 pies de ancho. 77. El balón estará 63 pies sobre el suelo después de segundo (en el trayecto 2 5 hacia arriba) y después de (en el trayecto hacia abajo). 79. 175 o 15 81. 216 o 4 83. Los valores de c son 23, 22, y 2. 2 b 3 85. El volumen de la caja es 160 cm . 89. Las soluciones son 12y y 3y. 91. Las soluciones son 2 y 2b. 2

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 5 1. 2x2 2 5x 2 2 c10 6. 2b17

[5.1.2]

[5.2.2]

2. 4x2 2 8xy 1 5y2

7. 9.3 3 107

[5.1.3]

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R18

[5.2.2]

8. 0.00254

3. 70xy2z6 [5.1.3]

[5.1.2]

9. 2 3 1026

4. 2

48y9z17 x

[5.1.3]

[5.1.2]

5. 2

10. P 1222 5 27

x3 4y2z3

[5.1.2]

[5.2.1]

12/10/12 01:52 p.m.

R19

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

11.

[5.2.1]

12. a. El coeficiente principal es 3.

b. El término constante es 8.

c. El grado es 5. [5.2.1]

4

–4

0

4

x

–4

13. P 1232 5 68

14. 2y2 2 6xy 1 4x2

[5.4.3]

15. 5x 1 4 1

[5.4.1]

6 3x 2 2

16. 2x 2 3 2

[5.4.1]

4 6x 1 1

[5.4.1]

50 6 [5.4.1/5.4.2] 18. x2 1 2x 1 2 1 [5.4.1/5.4.2] 19. 12x5y3 1 8x3y2 2 28x2y4 [5.3.1] x16 x2z 21. x4 1 3x3 2 23x2 2 29x 1 6 [5.3.2] 22. 6x3 2 29x2 1 14x 1 24 [5.3.2] 20. 9x2 1 8x [5.3.1] 24. 16x2 2 24xy 1 9y2 [5.3.3] 25. 6a2b 13a3b 2 2ab2 1 52 [5.5.1] 23. 25a2 2 4b2 [5.3.3] 26. 1 y 2 32 1x 2 42 [5.5.2] 27. 1a 1 2b2 12x 2 3y2 [5.5.2] 28. 1x 1 52 1x 1 72 [5.6.1] 29. 13 1 x2 14 2 x2 [5.6.1] 30. 1x 2 72 1x 2 92 [5.6.1] 31. 13x 2 22 12x 2 92 [5.6.2] 32. 18x 2 12 13x 1 82 [5.6.2] 17. 4x2 1 3x 2 8 1

35. 13x 1 22 19x2 2 6x 1 42 [5.7.2] 33. 1xy 1 32 1xy 2 32 [5.7.1] 34. 12x 1 3y2 2 [5.7.1] 37. 1x 1 32 1x 2 32 1x 1 22 1x 2 22 [5.7.3] 38. 13x2 1 22 15x2 2 32 [5.7.3] 36. 14a 2 3b2 116a2 1 12ab 1 9b22 [5.7.2] 4 4 2 2 2 2 2 2 2 40. 13x y 1 22 17x y 1 32 [5.7.3] 41. 3a 1a 2 62 1a 1 12 [5.7.4] 39. 16x 2 52 16x 2 12 [5.7.3] 5 2 2 2 1 2 1 1 ab 1 b [5.7.4] 43. Las soluciones son22, 0 y 3. [5.8.1] 44. Las soluciones son y 4. [5.8.1] 42. 3ab a 2 b a 2 45. Las soluciones son25, 22 y 2. [5.8.1] 46. Las soluciones son 21, 26 y 6. [5.8.1] 47. Los ceros son 21 y 6. [5.8.1] 48. Los valores de c son 26 y 2.

[5.8.1]

49. La distancia desde la Tierra hasta la Gran galaxia de Andrómeda es de

50. El Sol genera 1.09 3 1021 caballos de fuerza. [5.1.4] 51. El área es de 52. El área es de 15x2 1 8x 2 82 pulg2. [5.3.4] 53. El largo del rectángulo es de 12 m. [5.8.2] 5 7 54. El balón estará 143 pies sobre el piso después de s y después de s. [5.8.2] 2 2 1.137048 3 1023 millas. [5.1.4] 110x2 2 29x 2 212 cm2. [5.3.4]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 5 1. 2x3 2 4x2 1 6x 2 14

2. 64a7b7

[5.2.2, Concéntrese, página 260]

[5.1.1, Ejemplo 1]

3.

12

4. 5.01 3 1027

[5.1.3, Ejemplo 7]

7. 35x2 2 55x

[5.3.1, Ejemplo 1B]

10. 9z 2 30z 1 25 2

5. 6.048 3 105 s

2b7 a10

[5.1.2, Ejemplo 6]

x [5.1.2, Ejemplo 5] 16y4 [5.3.2, Ejemplo 3B] 9. 2x3 1 9x2 2 x 2 15

[5.1.4, Ejemplo 10]

8. 6a2 2 13ab 2 28b2 4y [5.3.3, Ejemplo 4C] 11. 5y 2 3 1 x

6.

[5.3.2, Ejemplo 2]

12. 2x 1 3x 1 5 2

[5.4.1, Ejemplo 2]

2 [5.4.2, Ejemplo 3/5.4.3, Concéntrese, página 279] x23 14. P 122 5 23 [5.2.1, Concéntrese, página 275/5.4.4, Concéntrese, página 280] 15. P 1222 5 28 [5.4.4, Concéntrese, página 280] 17. 3x 12x 2 32 12x 1 52 [5.6.1, Ejemplo 2] 16. 12a2 2 52 13a2 1 12 [5.7.3, Concéntrese, página 302] 18. 14x 2 52 14x 1 52 [5.7.1, Ejemplo 1A] 19. 14t 1 32 2 [5.7.1, Concéntrese, página 300] 2 21. 13x 2 22 12x 2 a2 [5.5.2, Concéntrese, página 287] 20. 13x 2 22 19x 1 6x 1 42 [5.7.2, Ejemplo 3] 1 1 3 23. Las soluciones son 2 y . [5.8.1, Problema 1] 22. Los ceros son 2 y 4. [5.8.1, Ejemplo 3] 2 3 2 1 24. Las soluciones son 21, 2 , y 1. [5.8.1, Concéntrese, página 309] 25. El área del rectángulo es 110x 2 2 3x 2 12 pies2. 6 [5.3.4, Ejemplo 5] 26. Al vehículo espacial le toma 12 h llegar a la luna. [5.1.4, Ejemplo 10] 13. x2 2 2x 2 1 1

[5.4.2, Concéntrese, páginas 276–277]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1. 4

[1.2.2]

2. 2

1 5. La solución es 2 . 6

5 4

[1.4.2] [2.1.1]

8. Las soluciones son 21 y

7 . 3

3. Propiedad del inverso aditivo [1.4.1] 11 6. La solución es 2 . 4

[2.5.1]

9. P 1222 5 18

[2.1.1]

4. 218x 1 8

24 7. x2 1 3x 1 9 1 x23

[3.2.1/5.2.1/5.4.4]

10. 2

[1.4.3] [5.4.2/5.4.3]

[3.2.1]

1 3 1 12. La pendiente es 2 . [3.4.1] 13. La ecuación de la recta es y 5 2 x 1 . 6 2 2 2 16 7 8 14. La ecuación de la recta es y 5 x 1 . [3.6.1] 15. La solución es a2 , 2 b. [4.3.2] 3 3 5 5 9 2 11 y y 16. La solución es a2 , , b. [4.2.2] [3.3.2] 18. [3.7.1] 17. 7 7 7 4 4

11. El rango es 5 24, 21, 8 6 . [3.2.1]

–4

0

4

x

–4

0

4

[3.5.1]

x

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R19

12/10/12 01:52 p.m.

R20

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

La solución es 11, 212 .

y

19.

[4.1.1]

y

20.

[4.5.1]

21.

4

–4

0

4

x

–4

0

4

b5 a8

[5.1.2]

22.

y2 25x6

[5.1.2]

x

–4

4 [5.4.2/5.4.3] 24. 4x3 2 7x 1 3 [5.3.2] x13 26. 1x 2 y2 1a 1 b2 [5.5.2] 27. 1x 2 22 1x 1 22 1x2 1 42 [5.7.4]

25. 22x 12x 2 32 1x 2 22

[5.6.2]

28. 2 1x 2 22 1x 1 2x 1 42

[5.7.4]

23. x2 2 x 2 1 1

2

29. El biólogo utiliza 7.4% de la solución de 7.5 L y 8% de la solución de 2.5 L. [2.3.2] 30. 40 oz de oro puro deben mezclarse con la aleación. [2.2.1] 31. El ciclista más lento se desplaza a 5 mph, y el ciclista más veloz a 7.5 mph. [2.2.2] 32. La inversión adicional es $4500. [2.3.1] 33. m = 50; una pendiente de 50 significa que la velocidad promedio era de 50 mph. [3.4.1]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 6 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1 [1.3.1] 6 10 [2.1.2] 8. 22 [2.1.2] 9. 7 es 130 mph. [2.2.2] 2. 2

1. 50 [1.3.1]

3. 2

3 [1.3.1] 2

4.

1 [1.3.1] 24

5.

5 [1.3.1] 24

6. 2

2 [1.3.2] 9

7.

1 [1.4.2] 3

10. La tasa de velocidad del primer avión es 110 mph. La tasa de velocidad del segundo avión

SECCIÓN 6.1 1. a. Sí

b. No

15. f 1212 5

3 4

3. x 1 6

c. Sí

7. 23; 23; 21; 6; 2

17. El dominio es 5 x 0 x 2 3 6 .

† 21. El dominio es 5 x 0 x 2 23 6 . 27. El dominio es 5 x 0 x 2 0 6 .

1 7

29. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 .

39. El dominio es e x `x 2 0, x 2

1 35

5 25. El dominio es e x `x 2 2 , x 2 2 f . 2 31. El dominio es 5 x 0 x 2 23, x 2 2 6 .

35. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 .

1 , x 2 25 f . 2

13. f 132 5

19. El dominio es 5 x 0 x 2 24 6 .

23. El dominio es 5 x 0 x 2 22, x 2 4 6 .

33. El dominio es 5 x 0 x 2 26, x 2 4 6 .

† 11. f 1222 5 22

9. f 142 5 2

41. Negativo

37. El dominio es e x ` x 2

45. factorizado; común

47. 1 2 2x

2 3 , x 2 f. 3 2

49. 3x 2 1

2 x 55. 57. La expresión está en la forma más simple. 59. 4x 2 2 2x 1 3 61. a2 1 2a 2 3 x 2 x1y x1y x13 x17 65. 67. 2 69. 2 71. La expresión está en la forma más simple. 73. x2y 3x 2 4 x27 3x xy 1 7 2x 2 3 x2 1 2 an 2 2 77. 2 79. 83. Falso 85. n 87. decrece 81. 1x 1 12 1x 2 12 2 12x 1 32 xy 2 7 a 12

† 53. 2

51. 2x

x23 x25 x 1 2y 75. 3x 1 4y f(x) 91. a. La Distancia entre la lente y la película (en milímetros)

63.

100 80 60 40 20 0

2000

4000

x

Distancia entre la lente y el objeto (en metros)

b. El par ordenado (2000, 51) significa que cuando la distancia entre el objeto y la lente es de 2000 m, la distancia entre la lente y la película 50x no está definida. Para 0 , x , 50, f 1x2 es negativo, y la distancia no puede ser es de 51 mm. c. Para x 5 50, la expresión x 2 50 negativa. Por tanto, el dominio es x . 50. d. Para x . 1000, f 1x2 cambia muy poco para las variaciones significativas en x.

SECCIÓN 6.2 1. No 21.

a 2y 10x

3.

x21 x2

† 23.

7. factorizado 3 2

25.

5 1x 2 y2 xy 1x 1 y2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R20

9.

15b4xy 4 27.

11. 1

1x 2 32 2 1x 1 32 1x 2 42

2x 2 3 x 2 1x 1 12 x12 29. 2 x15

13.

x21 x23 17. 2 x25 2x 1 3 1x 2 32 13x 2 52 31. 33. 21 12x 1 52 1x 1 42

† 15. 2

19. x 1 y

12/10/12 01:52 p.m.

R21

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

35. 2 43.

2 1x 2 1 x 1 12 1x 1 12 2

39. 1x 2 32 2; 1x 1 32 1x 2 32 ; dos; uno; 1x 2 32 2 1x 1 32

37. iii

9y 3 17x , 12x 2y 4 12x 2y 4

6x 2 1 9x 10x 2 2 15x , 12x 2 32 12x 1 32 12x 2 32 12x 1 32

45.

47.

41. a. Dos

b. Cero

c. Uno

2x x 2 1 4x 1 3 , 1x 1 32 1x 2 32 1x 1 32 1x 2 32

3x 2 2 3x 5x 2 1 5x , 51. 1x 2 42 1x 1 32 ; 5x 1 15; 2x 2 8; 5x 1 15; 2x 2 8; 2x; 8; 3x; 23 1x 1 12 1x 2 12 2 1x 1 12 1x 2 12 2 15 2 16xy 2 9x 10x 1 6y 1 7xy 1 6x 1 19 13 2x 2 18 55. 57. 59. 2 61. 63. † 53. 2 1x 1 32 1x 2 22 2xy x21 10x 2y 36x 12x 2y 2

49.

x2 1 x 1x 2 32 1x 2 52

67.

2x 2 2 3x 2 11 1x 2 32 1x 2 52

69.

4x 2 1 20x 2 13 12x 2 32 13x 1 22

75.

4x 2 2 14x 1 15 2x 12x 2 32

77.

2x 2 1 x 1 3 1x 1 12 2 1x 2 12

79.

x11 x13

87.

2x 1 5 1x 1 32 1x 2 22 1x 1 12

95.

1 x 11

65. 2

97.

2

89.

6 1x 2 12 x 12x 1 12

3x 2 1 4x 1 3 12x 1 32 1x 1 42 1x 2 32 99.

y Área de la superficie (en pulgadas cuadradas)

b. 300

81.

† 71.

x12 x13

† 91.

83.

x22 x23

5x 2 8 1x 1 52 1x 2 52 12x 1 13 12x 1 32 12x 2 32

93. 2

73. 2 85.

3x 2 2 4x 1 8 x 1x 2 42 2x 1 3 2x 2 3

2x 2 2 9x 2 9 1x 1 62 1x 2 32

2x 2 1 2x 3 1 528 103. a. f 1x2 5 x 1x 2 3 2 x c. Cuando la altura de la caja es de 4 pulg, se necesitan 164 pulg2 de cartón. d. La altura de la caja es 5.1 pulg. e. La cantidad mínima de cartón es 155.5 pulg2.

200 100

0

5

10

Alto de la caja (en pulg)

x

SECCIÓN 6.3 2 1 2 ; ;a a a2 2 2a 2 3a 1 3 4 21. 19. 5 3a 2 2 x1y 2x 35. 2 2 33. x2y x 11 3. x 1x 2 32

5.

12y 2 52a b 13. 15. 17. 5 y a 2 12 2 b2 1x 2 32 1x 1 52 1 x27 2 1a 1 12 x12 25. 2 2 27. 29. 31. 2 † 23. x21 4x 2 5x 1 4 x14 x15 7a 2 4 2y c23 3x 1 2 2x 1 h 37. iii 39. 41. x 2 1 43. 45. 2 47. 2 2 x c22 x22 x 1x 1 h2 2

7. a2 1 1

9.

5 23

11.

Cx 1x 1 12 60 b. El par ordenado (0.005, 386.66) significa que cuando la tasa de interés mensual de un préstamo para 1x 1 12 60 2 1 automóvil es 0.5%, el pago mensual del préstamo es $386.66. c. El pago mensual de un préstamo de $20,000 a una tasa de interés anual de 8% es $406. 49. a. P 1x2 5

SECCIÓN 6.4 1. 21 y 0

3. Hana 5 13. La solución es . 2 21. La solución es 5. 29. La solución es 21.

5. x; x 1 3; x 1x 1 32 15. La solución es 0.

7. 8 1x 1 32 ; 5x; 28

9. La solución es 25.

17. Las soluciones son 23 y 3.

† 23. La solución es 23.

11. La solución es 2 1

19. La solución es 8.

25. La ecuación no tiene solución.

31. Las soluciones son 23 y 4.

33. La solución es 2.

27. Las soluciones son 4 y 10. 7 35. La solución es . 2

t 1 t 1 45. Le tomaría 1.2 h procesar los datos con las 43. Fila 1: ; t; ; t; Fila 2: ; t; ; 6 6 4 4 dos computadoras funcionando. 47. Con ambos paneles en funcionamiento, se necesitarían 18 minutos para elevar 1 grado la temperatura. 49. Con ambos miembros trabajando juntos, se necesitarían 3 horas para conectar las líneas telefónicas. 51. Trabajando sola, a la nueva máquina le tomaría 10 horas empacar los transistores. 53. Trabajando sola, a la impresora más pequeña le tomaría 80 minutos imprimir la † 55. Trabajando solo, al aprendiz le tomaría 20 horas colocar las tejas del techo. nómina. 57. Se necesitarían 40 minutos para hacer enviar 140 sobres. 59. En 30 minutos la bañera comenzará a desbordarse. 61. Con los tres ductos abiertos tomará 30 h llenar el 1320 1500 1320 1500 ; tanque. 63. Menor que n 65. a. Fila 1: 1320; 470 2 w; Fila 2: 1500; 470 1 w; b. 470 2 w 470 1 w 470 2 w 470 1 w † 69. La tasa de 67. La tasa de velocidad del primer patinador es 15 mph. La tasa de velocidad del segundo patinador es 12 mph. velocidad del tren de carga es 45 mph. La tasa de velocidad del tren de pasajeros es 59 mph. 71. El ciclista iba a una tasa de velocidad de 12 mph. 73. El automovilista entró a una tasa de velocidad de 4 mph.

37. La ecuación no tiene solución.

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R21

39. 3 y 24.

12/10/12 01:52 p.m.

R22

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

75. El ejecutivo de negocios puede caminar a la tasa de velocidad de 6 pies/s 77. La tasa de velocidad del avión de un solo motor es 180 mph. La tasa de velocidad del jet es 720 mph. 79. La tasa de velocidad de la Corriente del Golfo es 6 mph. 81. La tasa de 5 87. a. Las fracciones velocidad de la corriente es 3 mph. 83. El autobús suele viajar a 60 mph. 85. El tiempo total es h. 8 1 1 1 1 1 1 1 1 unitarias son fracciones para las que el numerador es 1. b. 1 c. Por ejemplo, 1 d. Por ejemplo 1 o 1 4 8 2 10 2 12 3 4

SECCIÓN 6.5

3. y 5 kxz

7. 5 millas; 2 cm; 2 cm; 5 millas 9. La solución es 3. 11. La solución es 22. 13. La solución es 24. 6 17. Verdadero 19. Hay 4000 patos en la reserva. 21. Las dimensiones de la habitación son 17 por 22 15. La solución es 2 . 5 pies. 23. Para perder 1 lb, una persona necesitaría caminar 21.54 minutos. 25. Se requieren 0.5 oz adicionales de medicamento. 1. iv

† 27. Se requieren 34 oz adicionales de insecticida. ballena es de aproximadamente 96 pies.

29. Tomaría 2.5 s descargar un archivo de 5 megabytes.

35. Variación directa

31. La longitud de una

† 37. Si la empresa vende 300 productos la utilidad es de $37,500.

39. Cerca de 4.8 millones de barriles de petróleo derramado durante 86 días. 43. Se requiere de una fuerza de 12.5 libras para alargar el muelle 5 pulg.

41. La longitud de la cara de una persona es de 10.2 pulg. 45. El horizonte está aproximadamente 24.03 millas desde un

punto que se encuentra a 800 pies de altura. 47. El balón rodará 80 pies en 4 s. 49. Si el volumen es de 150 pies3, la presión es de 2 66 lb/pulg2. † 51. Un engranaje de 30 dientes hará 32 revoluciones por minuto. 53. La fuerza de repulsión es de 112.5 libras 3 † 57. La fuerza del viento es de 180 lb. cuando la distancia es de 1.2 pulg. 55. La resistencia es de 56.26 ohms. 59. x está reducida a la mitad. 61. directamente; inversamente 63. directamente

SECCIÓN 6.6 P 2 2L 2

PV nT Fr2 E 2 Ir 2A 2 hb1 RR1 an 2 a1 S 2 2WL 15. R 5 17. b2 5 19. R2 5 21. d 5 23. H 5 13. m2 5 Gm1 I h R1 2 R n21 2W 1 2L 2by 2 c y d2b ac ab 27. x 5 29. x 5 31. x 5 33. Sí 35. 0, y 37. , 5y 25. x 5 a a2c b a1b 2 39. Puede darse el lujo de pedir prestado $12,300. 3. Dividir cada lado entre b 1 1.

5. n; n; n; R 2 C; R; R 2 nP

† 7. W 5

9. C 5

S 12r

11. R 5

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 6 1. P 142 5 4 [6.1.1]

2. P 1222 5

2 [6.1.1] 21

3. El dominio es 5 x 0 x 2 3 6 . [6.1.1]

4. El dominio es 5 x 0 x 2 23, x 2 2 6 . [6.1.1]

x14 5. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 . [6.1.1] 6. 3a2 1 2a 2 1 [6.1.2] 7. 2 [6.1.2] 1 x x 1 22 1x 1 42 1x 1 32 1x 1 22 1 x 2 1 3x 1 9 [6.1.2] 9. [6.2.1] 10. x [6.2.1] 11. 2 [6.2.1] 8. x13 a21 6 1x 2 12 1x 2 42 3x 1 2 x23 21a 1 40b x16 [6.2.2] [6.2.1] 13. [6.2.1] 14. 2 [6.2.1] 15. 12. x23 x x13 24a2b4 2 5x 2 2 17x 2 9 3x 1 26 9x 1 x 1 4 4x 2 1 [6.2.2] 19. 2 [6.2.2] 17. [6.2.2] 18. [6.2.2] 16. 1x 2 32 1x 1 22 13x 2 22 13x 1 22 13x 2 12 1x 2 22 x12 x21 15 x24 [6.3.1] 21. . [6.4.1] 23. Las soluciones son 23 y 5. [6.4.1] [6.3.1] 22. La solución es 20. x15 13 4 V 24. La solución es 6. [6.4.1] 25. La ecuación no tiene solución. [6.4.1] 26. R 5 [6.6.1] I S S2a 2 27. N 5 [6.6.1] 28. r 5 [6.6.1] 29. El número de tanques de combustible que se requieren es 6 . [6.5.1] 12Q S 3 30. El número de millas es 48.

[6.5.1]

31. Al aprendiz, trabajando solo, le tomaría 104 minutos instalar el ventilador de techo. [6.4.2]

32. Con los dos ductos abiertos, se necesitarían 40 minutos para vaciar la bañera. [6.4.2] pintar el dormitorio. [6.4.2] 45 mph. [6.4.3]

34. La tasa de velocidad de la corriente es 2 mph. [6.4.3]

36. La tasa de velocidad del tractor es 30 mph. [6.4.3]

es de 300 lúmenes 2 pies de la luz. [6.5.2]

33. A los tres estudiantes les tomaría 4 horas 35. La tasa de velocidad del autobús es

37. La presión es de 40 lb. [6.5.2]

38. La iluminación

39. La resistencia del cable es de 0.4 ohms. [6.5.2]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 6 1.

v 1v 1 22 [6.1.2, Ejemplo 3A] 2v 2 1

4. P 1212 5 2 [6.1.1, Ejemplo 1]

2 1a 2 22 6 1x 2 22 [6.1.2, Ejemplo 3B] 3. [6.2.1, Concéntrese, página 331] 3a 1 2 5 x21 x11 [6.2.1, Ejemplo 2B] 6. [6.2.1, Concéntrese, página 331] 5. 3x 2 4 x12

2. 2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R22

12/10/12 01:52 p.m.

R23

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

2 15x 1 22 [6.2.2, Ejemplo 5A] 1x 2 22 1x 1 22 x 2 1 5x 2 2 9. El dominio es 5 x 0 x 2 23, x 2 3 6 . [6.1.1, Ejemplo 2] 10. 2 [6.2.2, Ejemplo 4] 1x 1 12 1x 1 42 1x 2 12 x24 x14 11. [6.3.1, Ejemplo 1A] 12. [6.3.1, Ejemplo 1B] 13. La solución es 2. [6.4.1, Ejemplo 1A] x13 x12 c 14. La ecuación no tiene solución [6.4.1, Ejemplo 1B] 15. x 5 [6.6.1, Ejemplo 1] a2b 4y 2 1 6x 2 2 5xy [6.2.2, Ejemplo 3] 2x 2y 2

7.

8.

16. Tomaría 80 minutos vaciar el tanque lleno con los dos ductos abiertos. [6.4.2, Ejemplo 2] papel tapiz. [6.5.1, Concéntrese, páginas 3582359] Ejemplo 2]

17. La oficina requiere de 14 rollos de

18. Trabajando juntos, los paisajistas completarían la tarea en 10 minutos. [6.4.2,

19. La tasa de velocidad del ciclista es 10 mph. [6.4.3, Ejemplo 3]

20. La distancia de frenado del automóvil es

61.2 pies. [6.5.2, Problema 2]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 15 36 [1.1.2] 2. La solución es . [2.1.2] 3. Las soluciones son 7 y 1. [2.6.1] 4. El dominio es 5 x 0 x 2 3 6 . [6.1.1] 5 2 1 3 6. 3.5 3 1028 [5.1.3] 7. La ecuación no tiene solución. [6.4.1] 8. Las soluciones son y 4. [5.8.1] 5. P 1222 5 [6.1.1] 7 9 8b3 4 3 2 [5.1.2] 10. El conjunto solución es 5 x 0 x # 4 6 . [2.5.1] 11. 24a 1 6a 2 2a [5.3.1] 12. 12x 2 12 1x 1 22 [5.6.2] 9. a 3 14. x 1 3y [6.1.2] 15. La ecuación es y 5 x 1 2. [3.6.1] 13. 1xy 2 32 1x 2y 2 1 3xy 1 92 [5.7.2] 2 x 21 y y [5.1.2] 17. [5.4.2] 16. 2 [3.3.2] 18. [4.5.1] 19. 4x 2 1 10x 1 10 1 x 21 x 22 4

1.

–4

0

x

4

–4

x

0 –4

3xy [6.2.1] x2y x23 [6.3.1] 24. x13

21. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 . [6.1.1]

20.

25. 11, 1, 12 [4.2.2 o 4.3.2]

y

[5.2.1]

x [6.2.2] 13x 1 22 1x 1 12

26. Los valores de c son 1 y 2. [5.8.1]

29. a4 1 5a3 2 3a2 2 11a 1 20 [5.3.2]

28. La solución es 13. [6.4.1] 32.

22. 2

30. r 5

23. 228 [4.3.1]

27. La solución es 9. [6.5.1]

E 2 IR [6.6.1] I

31. No [3.6.1]

33. La cantidad de libras de almendras es 50. [2.3.1]

8

–8

8

x

34. El número de personas que espera votar es 75,000. [6.5.1] 35. A la computadora nueva le tomaría 14 min realizar el trabajo por sí sola. [6.4.2] 36. La tasa de velocidad del viento es 60 mph. [6.4.3.] 37. La frecuencia de la vibración del órgano tubular abierto es 80 vibraciones/min. [6.5.2]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 7 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 16

[1.2.1]

2. 32

7. 9x2 2 12x 1 4

[1.2.1]

[5.3.3]

3. 9

[1.3.1]

xy5 1 [1.3.1] 5. 25x 2 1 [1.4.3] 6. [5.1.2] 12 4 2 [5.3.2] 9. 36x 2 1 [5.3.3] 10. Las soluciones son 21 y 15. 4.

8. 212x2 1 14x 1 10

[5.8.1]

SECCIÓN 7.1 3. 232

1. 64

† 21.

1 9

23. 4

5. Racional 25.

343 125

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R23

7. Irracional 27. x

9. 10 1

29. y2

11. 3 1

31. x12

1 13. 8; 8; 23; 83; 512 7

33. a12

35.

1 a

37.

15. iv 1 y

17. 2 3

39. y2

41.

19. 27 1 x

43.

1 x4

12/10/12 01:52 p.m.

R24

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

3

45. a

49. x4y

47. x10

51. x6y3z9

5

2

2x3 3 1 83. a 2 a

† 65. 2

67.

5x2 3y

69. a5b13

3 10

4 5

1

1

101. 142

117. Negativo

119. Positivo

17

3 2

a

3

7 12

y2 x3

77.

1 3

3 4 91. " b

79. a 2 a2

97. "a9b21

2

115. 2; a2; b3

113. 3xy3 131. 2a3b3

129. a2b4

† 145. 3a5

137. 5x4y 139. 2a7b2 141. 23ab5 143. y3 3b 151. 2a2b5 153. 22x3y4 155. 3 157. 2x 1 3 159. x 1 1 161. x a 167. !3 < 1.7321, y el valor de la fracción continua es aproximadamente 1.7333.

4

81. y 1 1

5 2 a † 95. 23" 1

127. 11y6

3x5

63.

y3

111. 2 13x52 2

135. 2a2b3

133. 5b5

61. 30x5y20

3 93. " 9x2 1

125. a7b3

9 27

59. 28x4 y 5

† 109. 12x22 3

107. b5

123. 2a3

16b2

75.

89. !5

105. x3

121. y7

1

y2 x3

73.

4

103. x3

7

57. 18x3y5

y4

87. Verdadero

3 99. ! 3x 2 2

6

x2

55.

m2

71.

4n

85. 4; 5;

3

x y2

53.

147. 2a4b

149. ab5

165. ab2

163. b

SECCIÓN 7.2 1. No; 25 es un factor cuadrado perfecto. 4 13. ! x

11. !7 4

5 31. 2 ! 3

29. 2 ! 3 2 3

43. ab "a2b2

3

57. 9 ! 2

3

85. 217xy ! xy

4

101. 2x y ! 2

103. 2ab"3a b

139. Cociente; 9; 8; 2x 149.

2 !7 3

2

141. a. Sí

!10 4

151.

153.

b. No

!2x 2x

c. No !5x x

155.

157.

97. xy3 !x

† 99. 8xy !x

3

† 159.

125. 6z 1 !z 2 12

3

2

137. Falso !5 147. 5 !2xy 163. 2y

145. b !3a 2

3

!5x 5

113. 4x 2 8 !x

135. "x 1 ! x 2 20

143. 4 !x

d. No

69. 3 !3a 2 2 !2a 83. 6x3y2 !xy

123. x 2 3 !x 2 28

133. 1 2 10 !x 1 25x

53. 22 !2

4 81. 16ab ! ab

† 111. x 2 !2x

109. 6

121. 84 1 16 !5

† 131. x 2 6 !x 1 9

129. 12x 2 y

2

3 51. 3 ! 7

67. 2x !3xy

3 95. 220 ! 15

107. 4a b ! a

105. 672x y

65. 10x !2x

3 27. 2 ! 2

3 2 41. 26xy3" x

49. 2 !2

4 79. 3a ! 2a

3 93. 2 ! 4

119. 212 2 21 !2

3 2 39. 5y" xy

d. Sí

63. !2x

3 3 3

2 2

117. 278 1 !7

115. 28 !5

c. Sí

3 2 xy † 77. 25xy2"

91. 45 !2

89. 16

2

b. No

9. 2!3 2 !5

3 25. 2 ! 9

23. 7 !2

† 37. 3xyz2 !5yz

61. 219

3 75. 27a ! 3a

87. 18; 3x; 3

3

47. a. No

59. 27 ! 2

21. 3 !2

b. Sí

35. 2ab4 !2a 3

73. 5a2b2 !ab

71. xy !2y

127. x 2 y

33. x2yz2 !yz

7. 3 1 !5

5. No; hay un radical en el denominador.

17. a. No

45. radicando; índice

55. 6 !3 2 6 !2

2

3. Sí

15. 25; 25; 2; 5

3!4 2

3 2x 3! 2x

161.

4 5 5 3! 2x 2a3 16x2 16 2 4 !6 2 !3ab 2" " 5 !3 1 3 !5 167. 175. 169. 171. 173. 2 !5 2 4 177. 2 3b 2x a 2 5 10 3 !y 1 6 !15 1 !10 2 !6 2 5 183. 8 1 4 !3 2 2 !2 2 !6 185. 181. 25 1 2 !6 † 179. y24 3

165.

5x !y 1 5y !x 1 1 2 !ab 1 ab 189. 1 2 ab x2y 1 3 3 197. 203. ! 25 1 ! 511 !4 1 h 1 2

193. 29 !2 2 45

191. 2 !2

187.

195.

3 !y 1 1 2 3 y

SECCIÓN 7.3 1. Sí

3. Sí

9. a. $ 0

5. Sí

13. 5 x 0 xPnúmeros reales6

† 15. 5 x 0 x $ 21 6

25. 12`, 3 4

2 29. a2`, d 3

27. 3 2, ` 2

11. a. 12`, 0 4

b. Pnúmeros reales 17. 5 x 0 x $ 0 6

31. $ 5

19. 5 x 0 x $ 0 6

33. 14; 9; 23

c. 12`, ` 2

b. Conjunto vacío 21. 5 x 0 x $ 2 6 y

35.

0

y

y

41.

–4

4 –4

y

43.

4

4

x

–4

0

y

45.

4

x

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R24

y 4

4

x

–4

–4

† 39.

–4

0 –4

x

–4

0 –4

8

x

4

x

† 49.

y

47.

4

0 –4

4

4

23. 12`, ` 2

37.

4

–4

d. 12`, ` 2

–8

0 –8

y 4

8

x

0

4

x

–4

12/10/12 01:52 p.m.

R25

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

51.

53.

–4

55.

y

4

0

x

4

–4

0

–4

57. a. Ambos

y

4

b. Debajo

c. Arriba

d. Arriba

8

x

4

–8

–4

x

8 –8

SECCIÓN 7.4 11. La solución es 48. 13. La 1. Algunas veces verdadero 3. Algunas veces verdadero 5. No 7. !2x 1 1 5 7 solución es 22. 15. La ecuación no tiene solución. 17. La solución es 9. 19. La solución es 223. 21. La solución es 216. 9 † 23. La solución es . 25. La solución es 14. 27. La solución es 7. 29. La solución es 2122. 4 25 39. La solución es 2. 31. La solución es 45. 33. La solución es 23. 35. La solución es 24. 37. La solución es . 72 41. La ecuación no tiene solución. 43. La solución es 5. 45. La solución es 5. 47. Las soluciones son 22 y 4. 49. La solución es 6.

51. Las soluciones son 0 y 1.

† 55. La solución es 3.

53. Las soluciones son 2 y 11.

57. a. Una vez b. Dos veces 59. iv 61. El elefante pesa aproximadamente 3700 lb. 63. La distancia media es † 67. La distancia es 10 pies. aproximadamente 295,000 km. 65. La presión del aire fue 892 mb. La velocidad del viento aumenta. 69. La distancia entre los corredores después de 3 min es aproximadamente 829.76 m. 8.17 pies por encima del agua.

73. La distancia es 225 pies.

alrededor de 700,000 m sobre la superficie de la Tierra.

71. El periscopio debe estar aproximadamente

75. La distancia es 96 pies.

77. El A-Train está en órbita

79. La distancia entre las esquinas es aproximadamente 7.81 pulg.

SECCIÓN 7.5 3. La parte real es 5. La parte imaginaria es 27. 13. 2i

29. 27 2 4i!5 41. 6; 28i; 6; 8i 57. 23 1 6i

15. 50i

59. Verdadero

71. 215 2 12i

5 20 1 i 17 17 115. 21 1 4i Im –6 + 4i

4

12i

9. i; 9; 6; 3i

19. 7i!2

63. 8i; 12i ; 21; 21; 14 1 5i

91. 22i

27 15 1 i 53 53 117. Verdadero

93. Falso

† 107. 2 119. 21

65. 224

2

77. 210i

† 79. 29 2 2i

95. 2 1 3i

† 97. 2 i

75. 27 2 21i

105. 2

103.

129.

17.

61. Negativo

73. 44 2 12i

89. 7 2 24i

87. 17i

7. 21

5. La parte real es 9. La parte imaginaria es 0.

21. 3i!3 25. 228i!2 † 23. 20i!2 5 5 !3 3 2 37. 2 1 4i!5 i 31. 11 2 12i!6 35. 2 2 i 39. 2 † 33. 2 2 3i 4 4 3 6 43. 10 2 7i 47. 23 2 16i 49. 214 1 7i 51. 3 53. 6 2 4i † 45. 25 2 3i

11. 10 2 !29

4 5

67. 215

55. 0

69. 25 !2

85. 226 30 12 101. 2 i 29 29

81. 1 83. 1 5 16 99. 2 1 i 3 3

5 3 11 29 2 i 109. 1 i 111. 3 2 8i 17 17 13 13 121. i 123. 21 125. 21 127. a. Sí

27. 5 1 7i

113. 1 2 8i b. Sí

3 + 5i

3i

2

4

–4 –2 0 –2 –4 – 2 i –4

2

Re

4

2 – 5i

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7 160y11 [7.1.1] 5. 81x4 x [7.1.3] 10. 22a2b4 [7.1.3]

1 1 1 [7.1.1] 2. 5 [7.1.1] 3. 10 [7.1.1] 3 x a 2 7. 7x3y [7.1.2] 8. 3a2b3 [7.1.3] 9. 27x3y8

1.

2 5

12. 22ab "2a b 17. 6x !3y 2

3 2

26.

3 2" 3x2 x

13. xy z "x z

[7.2.1]

[7.2.2]

22. 213 1 6 !3

2 2 4

18. 40

27.

30. El dominio es e x ` x $

[7.2.1] 2 3

19. 4xy "x

23. 6a 2 8 !ab 2 30b

[7.2.3]

[7.2.4]

[7.2.3]

2 2

4.

21 1 9 !5 2

2 f. 3

[7.3.1]

[7.2.4]

2

14. 5 !6

[7.2.2]

[7.2.3]

20. 3x 1 3 !3x

[7.2.3]

28. 2

24. 5x !x

32 1 9 !3 71

[7.2.4]

11. 3ab3 !2a 3

15. 2x y"y 2

[7.2.4] 29.

4 3 6. 3" x

[7.1.1]

2

[7.2.1] 16. 2a2b !2b

[7.2.2]

21. 31 2 10 !6

[7.2.3] 8 !3y 25. 3y

x 1 2 !xy 1 y x2y

31. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 . [7.3.1]

[7.1.2]

[7.2.2]

[7.2.3]

[7.2.4] [7.2.4]

32.

[7.3.2]

y 8

–8

0

8

x

–8

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R25

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R26

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

y

33.

34. La solución es 224. [7.4.1]

[7.3.2]

35. La solución es

4

0

4

8

13 . 3

[7.4.1]

x

–4

36. La solución es 22. [7.4.1] 37. La solución es 5. [7.4.1] 38. 6i 6 !2 2 i [7.5.1] 41. 9 2 i [7.5.2] 42. 212 1 10i [7.5.2] 40. 2 3 7 2 45. 7 1 3i [7.5.3] 46. 39 2 2i [7.5.3] 47. 6i [7.5.4] 48. 2 3

[7.5.1]

39. 5i!2

[7.5.1]

43. 10 2 9i [7.5.2] 5 i [7.5.4] 3

44. 216

[7.5.3]

14 7 1 i [7.5.4] 5 5

49.

50. 22 1 7i [7.5.4] 51. El ancho es 5 pulg. [7.4.2] 52. La cantidad de potencia es aproximadamente 120 watts. [7.4.2] 53. La distancia requerida es 242 pies. [7.4.2] 54. La distancia es aproximadamente 6.63 pies. [7.4.2]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 7 1

1. r6

[7.1.1, Problema 2A]

2.

64x3 y6

[7.1.1, Problema 2B]

3.

b3 8a6

5 2 4. 3" y

[7.1.1, Ejemplo 2C]

[7.1.2, Ejemplo 3]

1 34 x [7.1.2, Ejemplo 4] 6. El dominio es 5 x 0 x # 4 6 . [7.3.1, Ejemplo 1A] 7. El dominio es 12`, ` 2 . [7.3.1, Ejemplo 1B] 2 3 3 ac [7.2.1, Ejemplo 1] 9. 8a !2a [7.2.2, Concéntrese, inciso (A), página 390] 10. 22x2y ! 2x [7.2.2, Ejemplo 2] 8. 3abc2 ! 5.

11. 24x !3

12. 14 1 10 !3 [7.2.3, Ejemplo 5A] 13. 2a 2 !ab 2 15b 4x2 [7.2.4, Concéntrese, inciso (B), página 392] [7.2.3, Ejemplo 5B] 15. y

[7.2.3, Ejemplo 4]

14. 4x 1 4 !xy 1 y x 1 !xy 17. x2y

18. 24

[7.2.4, Ejemplo 7B]

20. 18 1 16i [7.5.3, Ejemplo 4]

21. 2

23. La solución es 4. [7.4.1, Ejemplo 1B]

[7.2.3, Ejemplo 5] 16. 2

[7.2.4, Ejemplo 7A]

19. 23 1 2i [7.5.2, Ejemplo 3B]

[7.5.3, Concéntrese, inciso (B), página 417]

4 7 1 i [7.5.4, Ejemplo 6] 22. 4 [7.5.2, Ejemplo 3A] 5 5 24. La solución es 23. [7.4.1, Ejemplo 2B]

25. La longitud del alambre es 30.6 pies. [7.4.2, Ejemplo 3]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1. La propiedad distributiva. [1.4.1] 2. 2x 2 24 [1.4.3] 2 3 6. La solución es . [2.1.2] 5. La solución es . [2.1.1] 2 3 8. El conjunto solución es 5 x 0 4 , x , 5 6 . 10. 18a 1 b2 18a 2 b2 y

13.

14. Sí

[3.6.1]

3x3 15. y

[7.2.4]

20. 2

4

–8

–4

0

[1.1.2]

4. La solución es 16.

[7.4.1]

7. El conjunto solución es 5 x 0 x $ 21 6 .

[2.4.1]

9. El conjunto solución es e x ` x , 2 f h e x ` x .

11. x 1x2 1 32 1x 1 12 1x 2 12

[5.7.1]

[7.3.2]

[2.4.2]

3. [

[5.7.4]

[5.1.2]

2 y 25. 3

12. Las soluciones son y8 16. 2 x

[7.1.1]

8 f. 3

17. 2x !5x

[2.5.2]

[5.8.1] [7.2.2]

x

–4

18. 11 2 5 !5

[7.2.3]

19.

3 x"4y2 2y

22. El dominio es 5 x 0 xPnúmeros reales6 . [7.3.1] 26. La solución es a

17 9 , b. 4 2

[4.3.2]

27. m 5

3 6 1 i [7.5.4] 5 5

–5 –4 –3 –2 –1

0

24. Una ecuación es y 5

23. 34 [3.2.1] 3 ,b53 2

21.

y

[3.4.2]

1

2

3

5

[1.1.2]

7 1 x 1 . [3.5.2] 3 3

y

28.

4

25. 3 [4.3.1]

[3.7.1]

4

–4

29. La inversión adicional debe ser $4000.

[2.3.1]

0

4

x

–4

30. El largo es 12 pies. El ancho es 6 pies.

0

4

x

–4

[5.8.2]

31. La tasa de velocidad del avión es 250 mph [6.4.3] 32. El tiempo es 1.25 s. [5.1.4] 33. La altura del periscopio sobre el agua es aproximadamente 32.7 pies. [7.4.2] 34. La pendiente es 0.08. Una pendiente de 0.08 significa que el ingreso anual por intereses es 8% de la inversión. [3.4.1]

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R26

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R27

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 8 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 3 !2

[7.2.1]

2. 3i [7.5.1]

7. 13x 1 22 13x 2 22

[5.7.1]

10. La solución es 4.

[6.4.1]

3.

2x 2 1 x21

[6.2.2]

4. 8 [1.4.2]

5. Sí

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

6. 12x 2 12 2

[5.7.1]

9. Las soluciones son 23 y 5.

[1.1.2]

8.

[5.7.1]

5

[5.8.1]

SECCIÓN 8.1 1. i y iii

3. x 2 1 3x 2 7 5 0

5. 4x 2 2 15 5 0

9. La solución es 23.

7. Nunca es verdadero

15. estándar ; 3; 9; 0; 0; 23; 9

11. Las soluciones son 0 y 5.

17. Las soluciones son 0 y 4.

19. Las soluciones son 0 y 2.

21. Las soluciones son 22 y 3.

23. Las soluciones son 25 y 5. 25. La solución es 3. 27. Las soluciones son 22 y 5. 1 1 3 † 29. Las soluciones son 2 y 5. 31. Las soluciones son 6 y 2 . 33. Las soluciones son y 2. 35. Las soluciones son 24 y . 2 4 3 1 3 2 9 39. Las soluciones son 24 y . 41. Las soluciones son 22 y 2 . 37. Las soluciones son 2 y . 3 2 4 4 3 5 45. Las soluciones son 2 y 24. 47. a. Uno positivo y uno negativo. † 43. Las soluciones son 2 y 2. 2 2 b. Dos negativo c. Dos positivo 49. x 2 2 7x 1 10 5 0 51. x 2 2 5x 2 6 5 0 53. x 2 2 9 5 0 55. x 2 2 8x 1 16 5 0

57. x 2 2 5x 5 0

65. 10x 2 2 7x 2 6 5 0

† 59. 2x 2 2 7x 1 3 5 0

67. 8x 2 1 6x 1 1 5 0

61. 3x 2 1 11x 1 10 5 0

69. 50x 2 2 25x 2 3 5 0

63. 9x 2 2 4 5 0

71. b es positivo y c positivo.

75. 2100; 100; 225; 4; raíz cuadrada; 5i; 5i 77. Las soluciones son 7 y 27. 9 9 83. Las soluciones son 4 !3 y 24 !3. 79. Las soluciones son 2 y 22. 81. Las soluciones son y 2 . 2 2 87. Las soluciones son 7 y 25. 89. Las soluciones son 24 1 5 !2 y 24 2 5 !2. 85. Las soluciones son 4 !2 y 24 !2. 1 7 91. Las soluciones son 3 1 2 !2 y 3 2 2 !2. 93. Las soluciones son 2 y 1. 95. Las soluciones son y 1. 5 3 101. Las soluciones son 25 1 5i y 25 2 5i. 97. Las soluciones son 7i y 27i. 99. Las soluciones son 3i!2 y 23i!2. 2 2i!3 2 2i!3 105. Las soluciones son 1 y 2 . † 103. Las soluciones son 21 1 2i!3 y 21 2 2i!3. 3 3 3 3 4 3i!5 4 3i!5 107. Las soluciones son 2 1 y2 2 . 109. Dos soluciones complejas 111. Dos soluciones reales 5 5 5 5 2 2 2 115. x 1 3 5 0 117. x 2 2x 1 26 5 0 119. Cinco 113. x 2 8x 1 4 5 0 73. b es positivo y c negativo.

SECCIÓN 8.2 1. a. No

b. Sí

c. Sí

11. Las soluciones son 5 y 21.

d. No

3. Sí

13. La solución es 3.

17. Las soluciones son 3 1 !2 y 3 2 !2. 23. Las soluciones son 3 1 !13 y 3 2 !13.

5. i, iii, y iv

7. a. cuadrado perfecto; x; 14; 49

b. 49; x 1 7

† 15. Las soluciones son 22 1 !11 y 22 2 !11.

1 1 !5 1 2 !5 y . 2 2 27. Las soluciones son 2 1 3i y 2 2 3i.

19. Las soluciones son 1 1 i y 1 2 i. 25. Las soluciones son 3 y 5.

21. Las soluciones son

29. Las soluciones son 23 1 2i y 23 2 2i. 31. Las soluciones son 1 1 3 !2 y 1 2 3 !2. 1 1 !17 1 2 !17 33. Las soluciones son y . 35. Las soluciones son 1 1 2i!3 y 1 2 2i!3. 2 2 1 3 1 1 1 39. Las soluciones son y . 41. Las soluciones son 1 i y 2 i. 37. Las soluciones son 2 y 21. 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 !14 2 2 !14 1 45. Las soluciones son y . 43. Las soluciones son 1 i y 2 i. 3 3 3 3 2 2 1 49. Las soluciones son y 5. 51. Las soluciones son 2 1 !5 y 2 2 !5. 47. Las soluciones son 1 1 !5 y 1 2 !5. 2 53. Las soluciones son aproximadamente 23.236 y 1.236. 55. Las soluciones son aproximadamente 1.707 y 0.293. 57. Las soluciones son aproximadamente 0.309 y 20.809. 69. Las soluciones son 5 y 22.

71. Las soluciones son 3 y 28.

75. Las soluciones son 1 1 2 !2 y 1 2 2 !2. 81. Las soluciones son

1 1 2 !2 1 2 2 !2 y . 2 2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R27

65. 6x; 10; x 2 2 6x 1 10; 1; 26; 10 1 3 73. Las soluciones son 2 y . 4 2

59. Falso

77. Las soluciones son 10 y 22. 83. Las soluciones son

1 y 1. 2

67. compleja

79. Las soluciones son 6 1 2 !3 y 6 2 2 !3. 85. Las soluciones son

25 1 !7 25 2 !7 y . 3 3

12/10/12 01:52 p.m.

R28

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

2 5 † 91. Las soluciones son 23 1 2i y 23 2 2i. y . 89. Las soluciones son 2 1 i y 2 2 i. 3 2 3 1 1 5 1 5 23 1 !6 93. Las soluciones son 2 y 2 . 95. Las soluciones son 2 1 i y 2 2 i. 97. Las soluciones son y 2 2 2 2 2 2 3 3 !6 23 2 !6 !6 101. Las soluciones son 2 y 21. 99. Las soluciones son 1 1 i. . iy12 2 3 3 3 3 103. Las soluciones son 2 y 4. 105. Las soluciones son aproximadamente 7.606 y 0.394. 107. Las soluciones son aproximadamente 2 0.236 y 24.236. 109. Las soluciones son aproximadamente 1.851 y 21.351. 111. La ecuación tiene dos soluciones complejas. 87. Las soluciones son

† 113. La ecuación tiene una solución real.

115. La ecuación tiene dos soluciones reales. 117. La ecuación tiene dos soluciones reales. !2 !3 1 !3 1 . 1 iy 2 i. 123. Las soluciones son 121. Las soluciones son 23 !2 y 2 2 2 2 2

119. Verdadero

125. Las soluciones son 2a y 2a.

127. Las soluciones son 1 1 !y 1 1 y 1 2 !y 1 1.

129. El conjunto solución es 5 p 0 p , 9, p [ números reales6 . 133. El balón tarda aproximadamente 4.43 s en llegar al suelo. b. 0.96; el modelo predice que la población disminuirá.

131. El conjunto solución es 5 p 0 p . 1, p [ números reales6 . 135. a. 1.05; el modelo pronostica que la población aumentará.

137. El discriminante es 81.

139. El discriminante es 17.

SECCIÓN 8.3 1. a. No b. Si c. Si d. Si 5. x4 9. Las soluciones son 3, 23, 2 y 22. † 11. Las soluciones son 2, 22, !2, y 2!2. 13. Las soluciones son 1 y 4. 15. La solución es 16. 22i, 1, y 21.

17. Las soluciones son 2i,

19. Las soluciones son 4i, 24i, 2, y 22.

21. La solución es 16. 23. Las soluciones son 512 y 1. !3 1 1 !3 i. 27. Las soluciones son 1, 21, 2, 22, i, 2i, 2i y 22i. 25. Las soluciones son 2, 1, 21 1 i!3, 21 2 i!3, 2 1 i, y 2 2 2 2 2 2 1 29. Las soluciones son 264 y 8. 31. Las soluciones son y 1. 33. i y iv 35. !a 1 1; 7; cuadrado 4 † 43. La solución es 5. 37. 39, 40, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 54 39. Las soluciones son 2 y 21. 41. La solución es 22. 1 51. La solución es 1. 45. La solución es 3. 47. La solución es 9. 49. Las soluciones son 2 y 2. 2 1 2 † 53. La solución es 1. 55. La solución es 23. 57. a. y; y 2 4; y y 2 4 b. 4y 2 16 c. y 2 2 6y 2 † 61. Las soluciones son 1 y 23. d. 4y 2 16; y 2 6y 59. Las soluciones son 10 y 21. 63. Las soluciones son 0 y 21. 1 2 4 1 67. Las soluciones son 6 y 2 . 69. Las soluciones son y 3. 65. Las soluciones son y 2 . 2 3 3 3 1 71. Las soluciones son 2 y 3. 73. Las soluciones son 22 y 5. 75. Las soluciones son 5 y 4. 4 77. las soluciones son 3, 23, i, y 2i. 79. La solución es !2. 81. La solución es 4.

SECCIÓN 8.4 1.

1 t

3.

72.5 km/h.

8 15

5.

500 r 2 50

† 7. El proyectil tiene 12.5 s para volver a la Tierra.

9. La velocidad máxima es aproximadamente

11. El cohete estará 300 pies sobre el suelo después de aproximadamente 1.74 s y después de aproximadamente 10.76 s.

† 13. Al ducto menor le tomaría 12 min llenar el tanque trabajando solo. Al ducto mayor le tomaría 6 min. rápida, trabajando sola, le tomaría 2 horas completar el programa. el césped. Al aspersor más grande le tomaría 8 min.

† 21. La tasa de velocidad del viento es 20 mph.

15. A la computadora más

17. Al aspersor más pequeño, trabajando solo, le tomaría 24 min regar

19. La tasa de velocidad del crucero durante los primeros 40 minutos fue 10 mph. 23. La tasa de velocidad de la corriente del jet es aproximadamente 92.8 mph.

25. El ancho es de 8 cm. El largo es de 16 cm. La altura es de 2 cm. 27. a. La zona de anotación de la pantalla es de 137 pies. El ancho es de 50 pies. b. La longitud de la zona de anotación de la pantalla es de 99 pies. El ancho es de 50 pies. 29. El ancho del borde es de 4 pies. 31. La velocidad máxima de seguridad del automóvil es aproximadamente 33 mph. 33. La parte inferior de la bola de helado es de aproximadamente 2.3 pulg desde la parte inferior del cono.

SECCIÓN 8.5 1. a. Sí

b. No

c. No

17. x 5 7

19. a. 3; 0; 21

d. Sí

3. 6

b. parábola; arriba

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R28

5. Ninguno c. 0; 3; 0

7. 13, 12

9. 13, 02

11. Dos

15. 25

d. 0; 21; 0; 21

12/10/12 01:52 p.m.

R29

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

21. Las coordenadas del vértice son 10, 222. La ecuación del eje

† 23. Las coordenadas del vértice son (0, 3). La ecuación del eje

de simetría es x 5 0.

de simetría es x 5 0.

y

y

4

4

–4

4

x

–4

0

–4

4

x

–4

25. Las coordenadas del vértice son (0, 0). La ecuación del eje

27. Las coordenadas del vértice son (0,21). La ecuación del eje

de simetría es x 5 0.

de simetría es x 5 0.

y

y

4

–4

4

0

4

x

–4

0

–4

4

x

–4

29. Las coordenadas del vértice son (1, 21). La ecuación del eje

31. Las coordenadas del vértice son (1, 2). La ecuación del eje

de simetría es x 5 1.

de simetría es x 5 1.

y

y

4

–4

4

0

4

x

–4

0

4

x

–4

1 9 33. Las coordenadas del vértice son a , 2 . b. La ecuación del 2 4 1 y eje de simetría es x 5 . 2 4 –4

4

1 41 35. Las coordenadas del vértice son a , 2 b.. La ecuación del 4 8 1 y eje de simetría es x 5 . 4 4

x

–4

0

4

x

–4

37. Las coordenadas del vértice son (1, 3). La ecuación del eje de simetría es x 5 1.

y

39. El dominio es 5 x 0 x [ números reales 6 . El rango es y 5 y 0 y $ 27 6 .

4

–4

0

4

x

–8

0

8

x

–8

41. El dominio es 5 x 0 x [ números reales6. El rango es e y `y #

43. El dominio es 5 x 0 x [ números reales6. El rango es 5 y 0 y $ 0 6 .

y

25 f. 8

y

4

–4

4

0

x

4

–4

–4

0

4

x

–4

45. El dominio es 5 x 0 x [ números reales 6 . El rango es y 5 y 0 y $ 27 6 .

† 47. El dominio es 5 x 0 x [ números reales6. El rango es 5 y 0 y # 21 6 .

y

8

–8

0

4

8

x

–4

–8

49. Falso

51. Derecho

0

4

x

–4

53. 3; 0; 3; 0; x

57. Las coordenadas de la intersección con el eje x son (2, 0) y (22, 0).

59. Las

† 61. Las coordenadas de la intersección con el eje x son (2, 0) y (21, 0). 2 1 65. Las coordenadas de la intersección con el eje x son a2 , 0b 63. Las coordenadas de la intersección con el eje x son (3, 0) y a2 , 0b. 3 2 2 69. Las coordenadas de la intersección con el eje x son y (7, 0). 67. Las coordenadas de la intersección con el eje x son a , 0b. 3 5 3 !2 !2 73. Las coordenadas de la 71. Las coordenadas de la intersección con el eje x son a2 , 0b y a , 0b. , 0b y a2 , 0b. a 2 2 3 3 75. La parábola no tiene intersección con el eje x. 77. Las coordenadas intersección con el eje x son 122 1 !7, 02, y 122 2 !7, 02 . 3 † 81. Los ceros de la función 79. Los ceros de la función 0 y . de la intersección con el eje x son 121 1 !2, 02 y 121 2 !2, 02 . 2 2 85. Los ceros de la función son 4 y 24. 87. Los ceros de la función son son 22 y 21. 83. El cero de la función es 2 . 3 !7 3 !7 3 3 1 !41 3 2 !41 iy2 2 i. † 89. Los ceros de la función son 2 1 y . 4 4 4 4 2 2 coordenadas de la intersección con el eje x son (0, 0) y (2, 0).

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R29

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R30

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

91.

y

93.

4

–4

y

95. 16

2

0

–4

x

4

–4

0

4

x 8

–6

Los ceros son aproximadamente 23.3 y 0.3.

–8

Los ceros son aproximadamente 21.3 y 2.8.

0

8

x

No hay ceros reales

† 101. La parábola tiene 97. La parábola no tiene intersección con el eje x. 99. La parábola tiene dos intersecciones con el eje x. una intersección con el eje x. 103. La parábola no tiene intersección con el eje x. 105. La parábola tiene dos intersecciones con el eje x. 107. La parábola no tiene intersección con el eje x. 109. La parábola tiene una intersección con el eje x. 111. La parábola tiene dos intersecciones con el eje x. 113. Verdadero 115. Verdadero 117. El valor de k es 22. 119. El valor de k es 1. 121. Los ceros de g son 22 y 3. 123. Los valores de x para los que f 1x2 5 5 son 2 y 4. 125. Los valores de x para los que f 1x2 5 23 1 1 2 7 127. y 5 1x 2 22 2 1 3; las coordenadas del vértice son (2, 3). son 22 y 2 . 129. y 5 ax 1 b 1 ; las coordenadas del vértice son 2 2 4 1 7 131. y 5 3x 2 2 6x 1 5 a2 , b. 2 4

SECCIÓN 8.6 1. a. Valor máximo

b. Ninguno

c. Valor mínimo

7. 28; abajo; y

3. 3

9. a. Valor máximo

† 11. El valor mínimo es 2. 13. El valor máximo es 21. c. Valor máximo 73 71 41 17. El valor mínimo es 2 . 19. El valor máximo es 2 . 15. El valor máximo es . 8 8 12 13 21. El valor mínimo es 2 . 23. i 25. La función tiene un valor mínimo en 7. 27. Verdadero 29. t; 30; 25; 3; 3 4 31. La roca alcanzará una altura máxima sobre la playa de 114 pies. 33. La altura máxima del avión de la NASA es aproximadamente b. Valor mínimo

† 35. La utilidad máxima que el operador turístico puede esperar es $1600.

32,000 pies.

39. El agua llegará a una altura de

2 313

† 41. Los números son 10 y 10.

pies del edificio.

43. Las dimensiones que maximizan el área cerrada son 100 por 50 pies. es 4.5.

47. El valor mínimo es 3.0.

37. La altura mínima del cable es de 24.36 pies.

45. El valor mínimo de S es 4.5. El promedio es 2, 5, 4, y 7

49. El valor máximo es aproximadamente 0.5.

51. La altura máxima de un campo de

fútbol es aproximadamente 1.5 pies.

SECCIÓN 8.7 5. 23; 8

7. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 h 5 x 0 x . 4 6 .

9. El conjunto solución es 5 x 0 x # 1 6 h 5 x 0 x $ 2 6 . –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

21. i y iv

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

h

5x 0 x . 46.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

† 23. El conjunto solución es 12`, 242 h 14, ` 2 .

0

1

2

3

4

5

17. El conjunto solución es 5 x 0 21 , x # 3 6 .

19. El conjunto solución es 5 x 0 x # 22 6 h 5 x 0 1 # x , 3 6 .

5

5

11. El conjunto solución es 5 x 0 23 , x , 4 6 .

5

13. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 h 5 x 0 1 , x , 3 6 .

5

† 15. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 –5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

25. El conjunto solución es 12`, 22 h 12, ` 2 .

3

4

5

27. El conjunto

1 1 3 29. El conjunto solución es a2`, d h 3 2, ` 2 . 33. El conjunto 31. El conjunto solución es a , b. 2 2 2 3 1 35. El conjunto solución es a2 , b h 14, ` 2 . 37. El conjunto solución es 12`, 23 4 h 3 21, 1 4 . solución es 12`, 23 4 h 3 2, 6 4 . 2 2

solución es 3 23, 12 4 .

39. El conjunto solución es 3 22, 1 4 h 3 2, ` 2 . 45. El conjunto solución es 122, 0 4 h 11, ` 2 . 49. 55.

–5 –4 –3 –2 –1

–5 –4 –3 –2 –1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

51. 57.

41. El conjunto solución es 12`, 212 h 12, ` 2 . 1 47. El conjunto solución es 12`, 02 h a , ` b. 2 53.

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

43. El conjunto solución es 121, 0 4 .

1

2

3

4

5

59. La flecha estará a más de 200 metros de altura entre 4 s y 10 s después de haber sido disparada.

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R31

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8 3 1 1. Las soluciones son 0 y . [8.1.1] 2. Las soluciones son 22 y . [8.1.1] 3. Las soluciones son 24 !3 y 4 !3. [8.1.2] 2 2 1 1 17 4. Las soluciones son 2 2 2i y 2 1 2i. [8.1.2] 5. El valor mínimo es 2 . [8.6.1] 2 2 4 1 6. El valor máximo es 3. [8.6.1] 7. 3x 2 1 8x 2 3 5 0 [8.1.1] 8. Las soluciones son 25 y . [8.1.1] 2 10. Las soluciones son 23 2 i y 23 1 i. [8.2.1] 9. Las soluciones son 21 2 3 !2 y 21 1 3 !2. [8.1.2] 25 11. Las soluciones son 2 y 3. [8.3.3] 12. Las soluciones son 2!2, !2, 22, y 2. [8.3.1] 13. La solución es . [8.3.2] 18 1 15. La solución es 2. [8.3.2] 16. Las soluciones son 3 2 !11 y 3 1 !11. [8.2.2] 14. Las soluciones son 28 y . [8.3.1] 8 1 1 !3 1 2 !3 5 4 18. Las soluciones son y . [8.2.2] 19. La solución es . [8.3.2] 17. Las soluciones son 5 y 2 . [8.3.3] 9 2 2 4 23 1 !249 23 2 !249 y . 20. Las soluciones son 3 y 21. [8.3.3] 21. La solución es 21. [8.3.3] 22. Las soluciones son 10 10 211 2 !129 211 1 !129 y . [8.3.3] 24. La ecuación es x 5 3. [8.5.1] [8.3.3] 23. Las soluciones son 2 2 3 1 25. Las coordenadas del vértice son a , b. [8.5.1] 26. Los ceros son 4 1 2 !5 y 4 2 2 !5. [8.5.2] 27. La parábola tiene 2 4 23 1 !5 23 2 !5 dos intersecciones con el eje x [8.5.2] 28. Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son a , 0b y a , 0b. [8.5.2] 2 2 1 !5 1 !5 1 30. Los ceros son 2 1 29. Las coordenadas de las intersecciones con el eje x son 122, 02 y a , 0b. [8.5.2] iy2 2 i. [8.5.2] 3 3 3 3 2 3 5 32. El conjunto solución es 5 x 0 x # 24 6 h e x ` 2 # x # 2 f . [8.7.1] 31. El conjunto solución es a23, b. [8.7.1] 2 2 3 33. El conjunto solución es a2`, b h 3 2, ` 2 . – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 2 1 34. El conjunto solución es 5 x 0 x # 23 6 h e x ` # x , 4 f . 2 y

35.

[8.5.1]

y

36.

4

–4

0

0

1

2

3

4

[8.7.1]

5

–5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

[8.7.1]

[8.5.1]

4

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

El dominio es 5 x 0 x [ números reales6 . El rango es 5 y 0 y $ 25 6 .

Las coordenadas del vértice son (1, 2). La ecuación de los ejes de simetría es x 5 1.

37. El ancho del rectángulo es de 5 cm. El largo del rectángulo es de 12 cm. [8.4.1] 38. Al trabajar sola, la nueva computadora puede imprimir la nómina en 12 min. [8.4.1] 39. La tasa de velocidad del primer automóvil es 40 mph. La tasa de velocidad del segundo automóvil es 50 mph. [8.4.1]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 8 3 4 3 y 22. [8.1.1, Ejemplo 1] 2. Las soluciones son y 2 . [8.1.1, Problema 1] 2 4 3 2 3. El valor máximo es 9. [8.6.1, Ejemplo 1] 4. 3x 2 8x 2 3 5 0. [8.1.1, Ejemplo 3] 1. Las soluciones son

5. Las soluciones son 23 1 3 !2 y 23 2 3 !2. Concéntrese, página 444] 8. Las soluciones son

7. Los ceros son

1 !95 1 !95 2 iy 1 i. 6 6 6 6

[8.1.2, Ejemplo 4]

6. Las soluciones son 22 1 !5 y 22 2 !5.

23 1 !41 23 2 !41 y . 2 2 [8.2.2, Ejemplo 2B]

[8.2.2, primer

[8.5.2, Ejemplo 4]

9. Las soluciones son 23 2 !10 y 23 1 !10.

1 10. La solución es . [8.3.1, Concéntrese, página 451] 11. Las soluciones son 4 23, 3, 2!2, y !2. [8.3.1, Ejemplo 1A] 12. La solución es 4. [8.3.2, Ejemplo 2] 13. Los ceros son 2 1 i y 2 2 i. [8.5.2, Ejemplo 5] 14. La parábola tiene dos intersecciones con el eje x. [8.5.2, Ejemplo 1B] 15. Las coordenadas de las 3 3 intersecciones con el eje x son 124, 02 y a , 0b. [8.5.2, Problema 6] 16. La ecuación es x 5 2 . [8.5.1, Ejemplo 3] 2 2 [8.3.3, Concéntrese, página 454]

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R32

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

y

17.

18. El conjunto solución es e x `24 , x #

[8.5.1, Ejemplo 2]

4

–4

0

–5 –4 –3 –2 –1

x

4

0

1

2

3

4

3 f . [8.7.1, Concéntrese, página 486] 2

5

–4

El dominio es 5 x 0 x [ números reales6 . El rango es 5 y 0 y $ 24.5 6 . 19. Al ducto menor trabajando solo le tomaría 12 min llenar el tanque. Al ducto mayor le tomaría 6 min. [8.4.1, Problema 2] 20. La tasa de velocidad al remar en aguas en calma es 4 mph. [8.4.1, Ejemplo 3]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 3 4. La ecuación de la recta es y 5 x 1 1. 3. La pendiente es 2 . [3.4.1] 2 [3.6.1] 5. 23xy 1x 2 2 2xy 1 3y 22 [5.5.1] 6. 12x 2 52 13x 1 42 [5.6.2] 7. 1x 1 y2 1a 2 22 [5.5.2] x 6 2S 2 an [5.4.2] 9. [6.2.1] 10. La distancia es 2 !5. [3.1.1] [6.6.1] 8. x 2 2 3x 2 4 2 11. b 5 3x 2 4 2 n 3 x"4y 2 3 [7.2.4] 15. Las soluciones son 2 y 21. [8.3.3] 12. 28 2 14i [7.5.3] 13. 1 2 a [7.1.1] 14. 2y 2 1 17. Las soluciones son 2, 22, !2, y 2!2. [8.3.1] 18. Las soluciones son 0 y 1. [8.3.2] 16. La solución es 2 . [8.3.3] 2 5 10 20. Las coordenadas de la intersección con el eje x son a , 0b. Las coordenadas 19. El conjunto solución es e x ` 22 , x , f . [2.5.2] 3 2 1. 14

2. La solución es 228.

[1.4.2]

[2.1.2]

de la intersección con el eje y son 10, 232 .

[3.3.2]

y

21.

22. La solución es 11, 21, 22 .

[4.5.1]

[4.2.2]

4

–4

0

4

x

–4

23. 2

7 3

24. El dominio es 5 x 0 x 2 5, x 2 23 6 .

[6.1.1]

25. El conjunto solución es 5 x 0 x , 23 6 h 5 x 0 0 , x , 2 6 . 26. El conjunto solución es 123, 1 4 h 3 5, ` 2 .

–5 –4 –3 –2 –1

[6.1.1] –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

[8.7.1]

5

[8.7.1]

5

27. La tasa de cambio promedio anual en la altura es aproximadamente 5.8 pies. [3.4.3]

28. Los límites inferior y superior de la longitud

25 23 pulg y 9 pulg. [2.5.3] 29. El área del triángulo es 1x 2 1 6x 2 162 pies 2. [5.3.4] 64 64 25,000 25,000 30. m 5 2 ; una pendiente de 2 significa que el valor del edificio disminuye $8333.33 por año. [3.4.1] 3 3

de los brazos del pistón son 9

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 9 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 2

2. 27

[1.4.2]

[1.4.2]

3. 30

[3.2.1]

4. h2 1 4h 2 1

6. El dominio es 5 22, 3, 4, 6 6 ; el rango es 5 4, 5, 6 6 ; sí. [3.2.1] y y [3.2.2] 9. [8.5.1] 8. 4

–4

0

7. 8

5. y 5

[3.2.1]

1 x22 2

[3.3.2]

[6.1.1]

4

4

x

–4

–4

0

4

x

–4

SECCIÓN 9.1 1. izquierda

3. arriba

5. 5 unidades abajo

7. 7 unidades a la izquierda

y

9. 8 4

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R32

4

f

g

f –4 4

x

† 13.

y

11.

g

4

y 4

x

g –4

f 4

x

–4

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R33

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 17.

y

15. 4

f –4

g

0

–4

–4

y

19.

4

f x

4

y g

f

4

0

x

4

y

21.

g

y f

4

–4

x

4

0

–4

g

35. a. (0, 9)

b. (8, 0)

4

0

x

8

39. 4

–1

x

g

f

2

x

4

f

–4

y

g

43. La ecuación de la gráfica es y 5 0 x 2 1 0 1 1.

F

x

0

f

x 0

–4

41.

4

0

y

33. 4

g

y

1 –4

x

4

g

–4

x

4

g

–4

y

37.

–4

f

y

31. f

–4

f 0

g

x

4

4

4

–4

y

29.

8

x

4

y

27.

g

f

4

–4

† 25.

y

23.

–4

–4

0

4

x

SECCIÓN 9.2 † 7. 5

5. 22; 22; 22; 4; 4; 26; 0; 27; 7

3. g; f

15. 4x2 2 16x 1 16

† 27. 7

17. 39

19. No está definido

29. No está definido

43. 1

31. Definido

47. x 1 1 2

45. 5

49. 5

61. No

63. Sí

65. 6h 1 h

79. 22

81. 0

83. 6

21. 2x2 1 5x 2 5

37. 213

33. 4x; 4x; 4x; 16x ; 8x 53. 3x 1 3x 1 5

55. 23

2

69. h 1 2a

13. 24x3 1 8x2 1 6x 2 12

11. 0

23. 4x3 2 2x2 2 14x 1 4

2

51. 11

67. 2 1 h

2

† 9. 2x2 2 2x 1 1

71. 21

73. 26

† 41. 8x 2 13

39. 229 57. 227

25. 22

59. x3 2 6x2 1 12x 2 8

75. 6x 2 13

77. 22

SECCIÓN 9.3 1. Sí

3. No

23. Sí

9. 22; 4

5. Sí

35. No inversa

21

37. f

† 13. No

15. Sí

29. 5 10, 12 , 13, 22 , 18, 32 , 115, 42 6

27. 23; 2

25. No

11. Sí

31. No inversa

† 39. f 21 1x2 5 3x 2 6

1x2 5 x 1 5

17. No

41. f

21

19. No

21. No 1 33. f 21 1x2 5 x 1 2 4

1 1x2 5 2 x 2 3 3

43. f

21

3 x26 2

1x2 5

5 5 1 x1 49. No inversa 51. 53. 3 55. Sí; sí † 57. Sí 2 2 3 59. No 61. Sí 63. Sí 65. rango 67. 3 69. 0 71. 2 73. c 75. a 77. f 3 g 1x2 4 5 f 15x 1 42 5 3 15x 1 42 1 2 5 15x 1 14; g 3 f 1x2 4 5 g 13x 1 22 5 5 13x 1 22 1 4 5 15x 1 14; No 45. f

21

1x2 5 23x 1 3

47. f

y

79.

21

1x2 5

y

81.

La función y su inverso tienen la misma gráfica.

y

83.

(4, 5)

(1, 3) (0, 1) (2, 2)

(–2, 0)

x

(1, 0)

0

(–4, 2)

(–2, 0) (–1, –1)

(0, –2)

(5, 4)

(–1, 2)

(–3, 1) (0, –2) (1, –3)

(–2, 1)

x

(3, 1) 0

(2, –1)

x

(1, –2)

(2, –4)

87. f 21 1x2 5 0.008233x

93. EXAMEN

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9 y

1.

y

2. 4

g

f –4

[9.1.1]

0

4

g

x

–4

[9.1.1]

y

3.

4

x

–4

0 –4

[9.2.1]

12. 6x2 1 3x 2 16 16. Sí

[9.3.1]

20. Sí

[9.3.2]

y

4. 4

f

f

–4

6. 2x 2 1

[9.1.1]

g

4

x

[9.1.1]

[9.2.1]

f g4

–4

5. 7

x

–4

12 [9.2.1] 9. 5 [9.2.2] 10. 10 [9.2.2] 11. 12x2 1 12x 2 1 [9.2.2] 7 [9.2.2] 13. No [9.3.1] 14. 5 11, 222 , 13, 22 , 124, 52 , 19, 72 6 [9.3.2] 15. No [9.3.1] 2 1 3 [9.3.2] 19. f 21 1x2 5 x 1 18 [9.3.2] 17. f 21 1x2 5 2x 2 16 [9.3.2] 18. f 21 1x2 5 2 x 1 6 3 2 7. 70

[9.2.1]

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R33

8.

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R34

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

EXAMEN DEL CAPÍTULO 9 1. No [9.3.1, Ejemplo 1] 2. 22 [9.2.1, Ejemplo 1] 3. 234 [9.2.1, Concéntrese, páginas 504–505 ] 13 4. 2 [9.2.1, Ejemplo 3] 5. 25 [9.2.1, Ejemplo 1] 6. 5 [9.2.2, primer Concéntrese, página 508 ] 2 y y [9.1.1, Problema 1] 8. [9.1.1, Ejemplo 1] 9. 47 [9.2.2, Ejemplo 4A] 7. 4

4

g –4

x

4

g –2

f

–4

f y

10. 4

[9.1.1, Ejemplo 2]

f

–4

[9.1.1, Ejemplo 1]

y

11. 4

g 0

x

2

x

4

–4

12. f21 1x2 5 4x 1 16

x

4

g

f

–4

13. 5 16, 22 , 15, 32 , 14, 42 , 13, 52 6

[9.3.2, Concéntrese, página 515]

14. Sí

[9.3.2, Concéntrese, página 516]

17. No

[9.3.2, Ejemplo 3]

18. No

15. 2x 2 4x 2 5 2

[9.3.2, Concéntrese, página 514] 16. f 1x2 5 2x 1 6 [9.3.2, Ejemplo 2] 21

[9.2.2, Ejemplo 4B]

[9.3.1, Ejemplo 1]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1. 2

23 4

[1.4.2]

2.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

[1.1.2]

3. La solución es 3.

4. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 h 5 x 0 x . 3 6 . [2.4.2]

Las coordenadas del vértice son 10, 02 . La ecuación de los ejes de simetría es x 5 0.

y

5. 4

–4

[2.1.2]

0

4

[8.5.1]

x

–4

y

6.

[3.7.1]

7. El conjunto solución es 5 x 0 xPnúmeros reales6 . [2.5.2]

8. 2

4

–4

0

4

a10 12b4

[5.1.2]

x

–4

9. 2x3 2 4x2 2 17x 1 4

[5.3.2]

12. Las soluciones son 23 y 8. 15. La solución es 22.

[6.4.1]

10. 1a 1 22 1a 2 22 1a2 1 22 [5.8.1]

11. xy 1x 2 2y2 1x 1 3y2

[5.7.4]

13. El conjunto solución es 5 x 0 x , 23 6 h 5 x 0 x . 5 6 .

16. 23 2 2i [7.5.4]

[5.7.4]

[8.7.1]

17. La ecuación de la recta es y 5 22x 2 2.

14.

5 2x 2 1

[6.2.2]

[3.5.2]

3 7 1 !3 1 !3 18. La ecuación de la recta es y 5 2 x 2 . [3.6.1] 19. Las soluciones son 1 iy 2 i. [8.2.2] 2 2 2 6 2 6 20. La solución es 3. [7.4.1] 21. El valor mínimo es 23. [8.6.1] 22. El rango es 5 1, 2, 4, 5 6 . [3.2.1] 1 23. Sí [3.2.1] 24. La solución es 2. [7.4.1] 25. 10 [9.2.2] 26. f 21 x 5 2 x 1 3 [9.3.2] 3 27. El costo por libra de la mezcla es $3.96.

[2.2.1]

28. Se deben utilizar 25 libras de la aleación 80% cobre. [2.3.2]

29. Se requieren 4.5 onzas adicionales de insecticida. [6.5.1] 31. Una fuerza de 40 libras alargará el muelle 24 pulg. renovables es de 2.36 billones de Btu por año.

[3.4.3]

[6.5.2]

30. Al ducto menor le tomaría 4 minutos llenar el tanque.

[6.4.2]

32. La tasa de cambio promedio en el uso mundial de las energías

33. La frecuencia es de 80 vibraciones por minuto.

[6.5.2]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 10 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1 [5.1.2] 2. 16 [5.1.2] 3. 23 [5.1.2] 9 6. Las soluciones son 22 y 8. [8.1.1] 7. 6326.60

1.

4. f 1 212 5 0; f 132 5 108 [1.4.2]

y

8.

[3.2.1]

5. La solución es 26.

[2.1.1]

[3.2.2]

4

–4

0

4

x

–4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R34

12/10/12 01:52 p.m.

R35

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 10.1 1. i y ii

3. (0, 1)

5. Verdadero

7. No

1 1 17. a. 1 b. c. 16 4 8 23. a. 54.5982 b. 1 c. 0.1353

c.

1 1 ; 23; 27 27

† 37.

y

35.

43.

y

–4

45.

y

0

x

4

–4

0

4

–4

–4

0

4

x

–4

–4

0

4

x

4

4

x

–4

8

4

4

0

x

4

–4

0

0

x

4

–4

51. ii y iv

y

8

–4

–4

0

49.

y

4

y

39.

–4

† 47.

y

4

x

b. 4

4

–4

4

† 15. a. 16

y

4

–4

41.

1 9

19. a.

33. 23; 33;

31. Menor que

b. 1

1 b. 0.3679 c. 1.2840 b. 9 c. 1 † 21. a. 7.3891 9 25. a. 16 b. 16 c. 1.4768 27. a. 0.1353 b. 0.1353 c. 0.0111

c.

1 23 29. a b 2

† 13. a. 9

11. 1; 0; 1

4

x

53. Las coordenadas del punto de intersección son 10, 12 . 55. La gráfica no tiene intersección con el eje x. Las coordenadas de la y intersección con el eje y son 10, 12 . 57. Mayor a 59. g 1x2 5 bx 2 a † 61. El cero es aproximadamente 1.6. 4

–4

0

x

4

–4

63. El valor de x por el que f 1x2 5 3 es 1.1.

y 4

–4

0

4

x

F(n) Valor de la inversión (en dólares)

65. La inversión tendrá un valor de $1000 en casi 9 años.

1000 800 600 400 200 0

2

4

6

8

n

10

Número de años

67. 50% de la luz llegará a una profundidad de aproximadamente 0.5 m.

P (m) Porcentaje de luz

90 70 50 30 10 0

0.5

1.0

m

Profundidad (en metros) y 8 4

–4

v

71. a. h f g

Velocidad (pies/s)

69.

4

0

x

b. El par ordenado (4,55.3) significa que después de 4 segundos, el objeto se mueve a una velocidad de 55.3 pies/segundo.

70

35

0

2

4

6

8

10

t

Tiempo (en segundos)

SECCIÓN 10.2 3. Falso

5. Verdadero

17. log x 5 y

7. Verdadero

† 21. 32 5 9

19. loga w 5 x

† 33. 7

35. 2

55. 7.39

57. 0.61

37. 3

9. Verdadero

39. 0

59. Mayor a

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R35

11. base b; x

23. 1022 5 0.01

† 13. log5 25 5 2

1 5 22 16 29. u 5 v 31. 4

15. log4

25. e y 5 x 27. bv 5 u 1 49. 1 41. 4 45. 64 47. † 43. 9 † 51. 316.23 7 65. log8 x 1 log8 z 67. 5 log3 x 69. ln r 2 ln s 63. r logb x

53. 0.02

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R36

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 71. 2 log3 x 1 6 log3 y

75. 2 log2 r 1 2 log2 s 77. 2 log9 x 1 log9 y 1 log9 z 1 1 1 1 83. log7 x 1 log7 y 85. log2 x 2 log2 y 79. ln x 1 2 ln y 2 4 ln z 81. 2 log8 x 2 log8 y 2 2 log8 z 2 2 2 2 3 1 3 x3 1 1 87. ln x 1 ln y 89. log7 x 2 log7 y 91. log3 93. log8 1x4y22 97. log5 1x3y42 95. ln x3 99. log4 2 2 2 2 2 y x x x 2z2 x s2r2 x t3v2 103. logb 2 105. ln 1x2y22 109. log4 4 111. log5 2 2 113. ln 2 101. log3 † 107. log6 y yz Äy t yz r 115. log4

x 3z Å y2

73. 3 log7 u 2 4 log7 v

117. Falso

129. 1.6826

† 121. 0.8617

119. Verdadero

† 133.

131. 1.9266

log 13x 2 22 log 3

5 log 16x 1 72 log 9

135.

125. 20.6309

123. 2.1133

ln 1x 1 52 ln 2

137.

127. 0.2727

139.

149. a. 2.3619281 143. 26.59 145. La solución es 256. 147. La solución es ee. d. 0; Debido a que este sistema tiene sólo una especie, no existe ninguna diversidad en él.

141. 13.12 c. Menor

ln 1x2 1 92 ln 3 b. Menor

SECCIÓN 10.3 y

7.

y

9.

–4

0

x

4

–4

y

–4

4

0

x

4

–4

0

y

–4

4

x

0

4

4

0 4

8

x

x

–4

–2 –2

6

0

x

4

–4

† 23.

y 4

x

4

–4

x

0 –4

–4

31. ii y iv

x

–4

4

4

33. a.

6

–4

–4

0

y

21.

y

29.

4

x

–4

4

–4

y

0

y

27.

x

4

–4

4

4

8

0

–4

25.

† 19.

y

17.

4

y

13.

4

–4

–4

† 15.

y

11.

4

4

x

Velocidad en mecanografía (en palabras/min)

5. y; exponencial; 3y 1 1; y; x

S 55 50 45 2

4

6

8

10

12

t

Número de meses

Energía del producto (en cuatrillones Btu)

b. El par ordenado (4, 49) significa que después de 4 meses, el dominio de la mecanógrafa ha disminuido a 49 palabras por minuto. y 35. a. b. Con base en el modelo, la energía proyectada que se produzca en 2015 será 5.71 cuatrillones 8 de Btu. c. Con base en el modelo, la energía producida por combustibles biomasa serán los primeros que excederán los 10 cuatrillones de Btu en 2052. 4 –4

0

4

8

12

16

20

x

–4 –8

Años después de 2005

39. Una función cuadrática

41. Una función lineal

43. Una función exponencial

45. Una función logarítmica

SECCIÓN 10.4 5. 3; 2; 4x; 3x 2 1; 4x; 21 13. La solución es 0.7211. 21. La solución es 22.8074. 29. La solución es 6.

7. La solución es 1.

9. La solución es 23.

11. La solución es 1.1133.

15. La solución es 21.5850.

17. La solución es 1.7095.

19. La solución es 1.3222.

23. La solución es 3.5850.

25. La solución es 1.1309.

† 27. La solución es 1.

31. Las soluciones son 1.3754 y 21.3754.

33. La solución es 1.5805.

35. La solución es 20.6309.

† 37. La solución es 1.6610. 39. La solución es 21.5129. 41. La solución es 1.5. 43. i, ii, y iii. † 45. La solución es 0.63. 47. Las soluciones son 21.86 y 3.44. 49. La solución es 21.16. 51. Forma exponencial

11 c. Ejercicio 51 d. Ejercicio 52 55. La solución es 8. 57. La solución es . 2 1 5 † 59. Las soluciones son 2 y 24. 63. La solución es . 65. La solución es 1,000,000,000. 61. La solución es . 3 2 † 69. La solución es 3. 71. La solución es 3. 73. La solución es 2. 75. La ecuación no tiene solución. 67. La solución es 4. 5 1 !33 5 2 !33 y . † 81. la solución es 1.76. 77. La solución es 4. 79. Las soluciones son 2 2 83. La solución es 2.42. 85. Las soluciones son 21.51 y 2.10. 87. La solución es 1.7233. 89. La solución es 0.8060. 53. a. Ejercicio 52

b. Ejercicio 51

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R36

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R37

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

91. La solución es 5.6910.

93. 2744

95. a.

b. Al objeto le tomará aproximadamente 2.64 segundos caer 100 pies.

s Distancia (en pies)

120 80 40

0

1

2

3

t

4

Tiempo (en segundos)

SECCIÓN 10.5 3. a. Ecuación de decaimiento exponencial exponencial

e. Ninguno

b. Ninguno

c. Ecuación de crecimiento exponencial

f. Ecuación de decaimiento exponencial

inversión después de 2 años es $1172.

b. A la cantidad de tecnecio le tomará cerca de 3.5 horas alcanzar los 20 mg.

vida media del promecio 147 es aproximadamente 2.5 años.

15. La vida media es de 2 años.

sobre la Tierra es 0.098 grados newton por centímetro cuadrado. newton por centímetro cuadrado.

7. El valor de la

† 11. a. La cantidad de tecnecio será de

9. La inversión valdrá $15,000 dentro de 18 años.

aproximadamente 21.2 mg después de 3 horas.

d. Ecuación de crecimiento

5. 4000, 3000, 0.0025 en 18 años.

13. La

17. a. La presión aproximada a 40 km

b. La presión aproximada sobre la superficie de la Tierra es 10.13 grados

c. La presión atmosférica decrece a medida que se eleva sobre la Tierra.

19. El pH de la leche es 6.4.

† 21. A una profundidad de aproximadamente 2.5 metros, el porcentaje de luz será 75% de la luz en la superficie de la piscina. 23. Una conversación normal es de 65 decibeles. Esto es más del tiempo previsto en la novela.

25. La masa de la colonia sería igual a la de la Tierra en aproximadamente 46 horas. 27. Es necesario un espesor de aproximadamente 0.4 cm.

29. La magnitud del terremoto fue 9.5 en la escala de Richter.

31. Con una magnitud de 7.1, la intensidad del terremoto sería de

12,598,000 I0. Con una magnitud de 6.9, la intensidad del terremoto sería de 7,943,000 I0. 33. La magnitud del terremoto es 5.3. 35. La magnitud del terremoto es 5.6. 37. Los precios estarán al doble en casi 14 años. 39. El valor de la inversión después de 5 años es $3210.06. $90,000.

43. a. Se requieren casi 104 meses para reducir el monto del préstamo a

b. Se requieren de aproximadamente 269 meses para reducir el monto del préstamo a la mitad del monto original.

c. El

pago de los intereses totales supera $100,000 en el mes 163.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 10 1. 2

[10.2.1]

2. log3

6. La solución es

x Äy

1 . [10.2.1] 9

[10.2.2]

3. 1

4. La solución es 23. [10.4.1]

[10.1.1]

7. log2 32 5 5

[10.2.1]

5. 1

[10.1.1]

8. La solución es 6. [10.4.2]

3 1 10. La solución es 2. [10.4.1] 11. La solución es 22. [10.4.1] log6 x 1 log6 y [10.2.2] 2 2 13. 4 [10.2.1] 14. La solución es 2. [10.4.2] 15. 2.3219 [10.2.2] 16. 1.7251 [10.2.2] 1 1 17. La solución es 3. [10.4.1] 18. 4 [10.1.1] 19. log5 x 2 log5 y [10.2.2] 2 2 1 1 20. La solución es . [10.4.2] 21. La solución es 125. [10.2.1] 22. La solución es . [10.4.2] 4 2

12.

9.

24. 4

[10.1.1]

25. 2.6801

26. La solución es 20.5350. [10.4.1]

[10.2.2]

23. logb

y

27.

1 3

[10.1.1]

x3 y5

[10.2.2]

[10.1.2]

4

–4

0

4

x

–4

y

28.

[10.1.2]

y

29.

4

–4

0

4

x

–4

–4

y

30.

0

El cero es 1.0. [10.3.1]

[10.3.1]

4

4

x

–4

y

31.

[10.3.1]

4

–4

0

4

x

–4

32. La vida media es aproximadamente 33 horas. [10.5.1]

1

0

8

16

x

–1

33. El material debe ser de aproximadamente 0.602 cm de espesor.

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R37

[10.5.1]

12/10/12 01:52 p.m.

R38

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

EXAMEN DEL CAPÍTULO 10 1. 1 [10.1.1, Ejemplo 1] 2 5 log6 x 1 log6 y 3 3

5.

2.

1 64

[10.1.1, Ejemplo 2]

[10.2.2, Ejemplo 6C]

3. 3 [10.2.1, Ejemplo 3] x Äy

6. log5

[10.2.2, Ejemplo 7C]

4. La solución es

1 . [10.2.1, Ejemplo 4] 16

7. La solución es 3.

1 [10.1.1, Ejemplo 2] 9. La solución es 2.5789. [10.4.1, Ejemplo 2] 3 10. La solución es 10. [10.4.2, Concéntrese, página 561] 11. La solución es 3. [10.4.1, Problema 1] 12. La solución es 24. 3 y [10.1.2, Ejemplo 4] 14. [10.4.1, Ejemplo 1] 13. La solución es . [10.4.2, Ejemplo 5] 2 4 [10.4.2, Concéntrese, página 561]

8.

x

4 –4

y

15.

[10.1.2, Problema 4]

16.

–4

4

0

4

x

–4

–4

0

x

4

–4

y

17.

[10.3.1, Problema 1B]

y

4

[10.3.1, Problema 1A]

y

18.

4

1.6

[10.1.2, Ejemplo 6]

4

–4

4

x

–4

0

4

x

–4

19. El valor de la inversión después de 6 años es casi $15,661. [10.5.1, Concéntrese, página 566] 20. La vida media es 24 horas. [10.5.1, Ejemplo 1]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 8 . 7

1. La solución es

[2.1.2]

4. 14x 1 32 1x 1 12

[5.6.2]

2. L 5

S 2 2WH 2W 1 2H

[6.6.1]

3. El conjunto solución es 5 x 0 1 # x # 4 6 .

5. El conjunto solución es 5 x 0 25 # x # 1 6 .

[8.7.1]

x23 6. x13

[2.5.2]

[6.3.1]

7.

1 2 9. 2 1 i [7.5.4] 10. La ecuación de la recta es y 5 2x 2 6. [3.6.1] 5 5 12. Las soluciones son 2 1 !10 y 2 2 !10. [8.2.1, 8.2.2] 11. La ecuación es 3x2 1 8x 2 3 5 0. [8.1.1] 13. El rango es 5 26, 24, 0 6 . [3.2.1] 14. 4 [9.2.2] 15. La solución es 10, 21, 22 . [4.2.2] 8. 24x2y3 !2x

[8.5.1]

y

17. 243 [10.1.1]

18. La solución es 64. [10.2.1] [1.1.2]

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

[3.2.2]

y

24.

0

4

x

–4

–4

19. La solución es 8. [10.4.1]

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

[10.1.2]

x

–4

0

[8.7.1] [10.3.1]

y

26. 4

4

4 –4

22.

y

25.

4

–4

[7.2.4]

[7.2.2]

1 16. La solución es a2 , 22b . [4.1.2] 2 20. La solución es 1. [10.4.2] 21. 23.

x !y 1 y !x x2y

x

–4

0

4

x

–4

–4

27. Se utilizaron 800 libras de la aleación que contiene 25% de estaño y 1200 libras de la aleación que contiene 50% de estaño. [2.3.2] 28. Para ganar $7000 o más al mes, un ejecutivo de ventas debe realizar ventas por $75,000 o más. [2.4.3] 29. La tasa de cambio será de 807 graduados por año. [3.4.3] 30. Con ambas impresoras funcionando a la vez, tardaría 7.5 minutos imprimir los cheques. [6.4.2] 31. Cuando el volumen es de 25 pies3, la presión es de 500 lb/pulg2. [6.5.2] 32. El costo por metro de la alfombra de lana es $24. [4.4.2] 33. El valor de la inversión después de 5 años es aproximadamente $15,657. [10.5.1]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 11 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. 12

[1.2.2]

7. x 1 2xy 1 y 2

3 [3.2.1] 3. 18 [1.3.2] 4. 96 [1.3.2] 4 3 2 2 3 [5.3.3] 8. x 1 3x y 1 3xy 1 y [5.3.2, 5.3.3]

2. 2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R38

5. 2410

[1.3.2]

6.

4 9

[1.3.2]

12/10/12 01:52 p.m.

R39

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 11.1 7. primero; segundo; nº 9. 2, 3, 4, 5 11. 3, 5, 7, 9 13. 0, 22, 24, 26 15. 2, 4, 8, 16 † 17. 2, 5, 10, 17 3 8 15 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 4 19. , , , 21. 0, , , 23. 1, 22, 3, 24 25. , 2 , , 2 27. 22, 4, 28, 16 29. , , , 2 5 10 17 2 3 4 2 5 10 17 9 27 81 243 32 1 12 33. 35. 24 37. 39. 88 41. 43. 38 45. Falso 47. a. 4; 3n 1 1 † 31. 15 13 243 20 99 137 25 51. 28 53. 60 55. 57. 28 59. 61. 63. 22 b. 1; 2; 3; 4; 4; 7; 10; 13; 34 † 49. 42 24 20 120 2 3 4 2 3 4 4 6 8 x x x x x x x 2 7 69. 1 1 1 71. 1 1 73. x 1 x3 1 x5 1 x7 75. No 65. 2 † 67. 1 1 1 12 x x x x 2 3 4 5 3 5 7 77. Sí 79. an 5 2n 2 1 81. an 5 22n 1 1 83. an 5 4n 85. log 384 87. 3 89. 1, 2, 3, 5 5. 8

n 1 91. a i51 i

93. an 5 200 1 0.96an21

SECCIÓN 11.2 3. a. Sí

b. Sí

† 9. 50

c. No

d. No

11. 71

25. an 5 25n 2 3

† 33. Hay 20 términos en la sucesión.

b. nº; 50; 3; 4; 199

7. 141

37. Hay 13 términos en la sucesión.

45. 10; n 2 3; 1; 22; 10; 7; 215 51. 53. 420 55. 2210 † 49. 2605 4 63. En 9 semanas la persona caminará 60 minutos por día.

47. 650

61. 8; 8; 3; 17; 80

43. Verdadero

† 67. El sueldo para el décimo mes es de $3550. El sueldo total para el periodo del 10o. mes es

65. Hay 2180 butacas en el teatro. de $28,750.

5. a. 4; común

3n 1 1 17. 3.75 19. an 5 n 23. an 5 † 21. an 5 24n 1 10 2 29. Hay 42 términos en la sucesión. 31. Hay 16 términos en la sucesión.

41. Verdadero

Series aritméticas; 10; 10; 22; 7; 5; 5; 25 59. Negativo

f. No

35. Hay 20 términos en la sucesión.

39. Hay 20 términos en la sucesión.

† 57. 25

e. Sí

27 13. 15. 17 4 27. an 5 210n 1 36

69. Ejercicio 62

71. 8

73. 23

d. No

e. No

75. 1800°; 180 1n 2 22

77. a. an 5 7.66n 1 392.19

SECCIÓN 11.3 3. a. No

b. Sí

c. Sí

f. Sí

1 n21 3 n21 7. an 5 3 142 n21 9. an 5 4a2 b 11. an 5 3a b 2 4 4 21. a2 5 22, a3 5 23. a2 5 12, a3 5 248 25. Falso 3 2343 121 31. 33. 62 35. 37. 1364 † 39. 2800 64 243 18 7 47. 21; 1; 1 51. 53. 55. a. Sí † 49. 9 5 9

5. a. 3; radio común

b. nº; 7; 2; 3; 6; 729; 1458

128 15. 243

† 13. 131,072

† 19. a2 5 6, a3 5 4

17. 16

27. suma; número; primero; radio común 41.

2343 1024

b. No

43.

† 57.

1360 81

8 9

45. a. No

59.

2 9

61.

5 11

† 29. 2186 b. Sí 63.

1 6

† 67. Habrá 7.8125 mg de material radiactivo en la muestra en el comienzo del séptimo día. 65. 700; 1400; geométrico; 350; 2 69. La pelota rebota a una altura de aproximadamente 2.6 pies en el quinto rebote. 71. El valor de la tierra en 15 años será $82,103.49. 1 73. El valor de la vivienda en 30 años será $432,194.24 75. G; 2 77. A; 9.5 79. N; 25 2 2 81. G; x 83. A; 4 log x 85. 27 87. La diferencia común es el log de 2 89. El radio común es 8. 91. a. $80.50 del préstamo se reembolsan en el 27o. pago. b. El monto total que se reembolsa después de 20 pagos es $1424.65. c. El saldo insoluto sobre el préstamo después de 20 pagos es de $3575.35 93. Una fórmula para el término no es an 5 8n21.

SECCIÓN 11.4 3. n

5. factorial

25. 1

27. 20

7. 1 29. 11

9. 6

11. 40,320

31. 6

33. Falso

13. 1

† 15. 10

17. 1

19. 84

21. 21

† 23. 45

35. x4 1 4x3y 1 6x2y2 1 4xy3 1 y4

† 39. 16m4 1 32m3 1 24m2 1 8m 1 1 45. a11 2 11a10b 1 55a9b2 41. 32r 2 240r 1 720r 2 1080r 1 810r 2 243 † 43. a10 1 10a9b 1 45a8b2

37. x5 2 5x4y 1 10x3y2 2 10x2y3 1 5xy4 2 y5 5

4

3

2

47. 256x8 1 1024x7y 1 1792x6y2 53. x10 1 15x8 1 90x6 67. n

49. 65,536x8 2 393,216x7y 1 1,032,192x6y2

55. 2560x4

73. 2119 1 120i

57. 26x10y2

75. 2117 1 44i

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R39

† 59. 126y5

1 1 77. 2 1 i 8 8

51. x7 1 7x5 1 21x3 x5 65. Negativo 61. 5n3 63. 32

79. 1

12/10/12 01:52 p.m.

R40

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 11 1. 3x 1 3x2 1 3x3 1 3x4 [11.1.2] 2. 16 [11.2.1] 3. 32 [11.3.1] 4. 16 [11.3.3] 5. 84 [11.4.1] 1 6. [11.1.1] 7. 44 [11.2.1] 8. 468 [11.2.2] 9. 266 [11.3.2] 10. 70 [11.4.1] 11. 2268x3y6 [11.4.1] 2 7 2 8 12. 34 [11.2.2] 13. 15. [11.1.1] 14. an 5 23n 1 15 [11.2.1] [11.3.1] 16. [11.3.3] 6 27 15 665 17. 2115 [11.2.1] 18. 21. 21 [11.2.1] [11.3.2] 19. 1575 [11.2.2] 20. 2280x4y3 [11.4.1] 32 4 27. 143 [11.2.1] 22. 48 [11.3.1] 23. 30 [11.2.2] 24. 341 [11.3.2] 25. 120 [11.4.1] 26. 240x [11.4.1] 16 5 23 2 3 28. 2575 [11.2.2] 29. 2 [11.1.1] 30. 2 1 2x 1 2x 1 2x [11.1.2] 31. [11.3.3] 32. [11.3.3] 27 99 5 19 33. 726 [11.3.2] 34. 242,240x4y7 [11.4.1] 35. 0.996 [11.3.2] 36. 6 [11.3.3] 37. [11.3.3] 30 5 4 2 3 4 2 6 8 10 [11.4.1] 39. 22 [11.2.1] 40. 99 [11.4.1] 38. x 2 15x y 1 90x y 2 270x y 1 405xy 2 243y 13 8x3 32x5 1 4x4 1 [11.1.2] 42. 2 60 [11.1.2] 3 5 44. La temperatura es de aproximadamente 67.7ºF. [11.3.4]

41. 2x 1 2x2 1

43. El sueldo total para el periodo de 9 meses es de $24,480. [11.2.3]

EXAMEN DEL CAPÍTULO 11 1 [11.1.1, Ejemplo 2] 2. 16x4 1 96x3 1 216x2 1 216x 1 81 [11.4.1, Ejemplo 3] 3. 32 [11.1.2, Ejemplo 3] 3 2 4 6 8 5. 2120 [11.2.1, Ejemplo 1] 6. an 5 2n 2 5 [11.2.1, Ejemplo 2] 4. 2x 1 2x 1 2x 1 2x [11.1.2, Ejemplo 4] 1.

7. 22

[11.2.1, Ejemplo 3]

3 n21 11. an 5 4a b 4 14. 255

8. 315

[11.2.2, Ejemplo 4]

81 12. 125

[11.3.1, Concéntrese, página 597]

[11.3.2, Ejemplo 3]

15. 4

9. 1560

[11.3.3, Ejemplo 5]

16.

[11.2.2, Problema 4]

[11.3.1, Problema 1] 7 30

10. 252 781 13. 256

[11.3.3, Ejemplo 6]

[11.4.1, Ejemplo 1]

[11.3.2, Problema 3]

17. 330

[11.4.1, Ejemplo 2]

19. El inventario después del embarque del 1 de octubre fue 2550 yardas. [11.2.3, Problema 6] 18. 5670x4y4 [11.4.1, Ejemplo 6] 20. Al inicio del quinto día habrá 20 mg de material radioactivo en la muestra. [11.3.4, Ejemplo 7]

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 1.

x2 1 5x 2 2 1x 1 22 1x 2 12

[6.2.2]

2. 2 1x2 1 22 1x4 2 2x2 1 42

[5.7.4]

3. 4y !x 2 y !2

1 !55 1 !55 6. Las soluciones son 2 i y 1 i. 4 4 4 4

[7.2.3]

4.

1 x26

[7.1.1]

7 1 7. La solución es a , b. [4.2.1] 6 2 1 1 8. El conjunto solución es 5 x 0 x , 22 6 h 5 x 0 x . 2 6 . [2.4.2] 9. 210 [4.3.1] 10. log5 x 2 log5 y [10.2.2] 2 2 13. 6 [11.1.2] 14. La solución es 12, 0, 12 . [4.2.2] 11. La solución es 3. [10.4.1] 12. a5 5 20; a6 5 30 [11.1.1] 6 15. La solución es 216. [10.4.2] 16. 2x2 2 x 2 1 1 [5.4.2] 17. 23h 1 1 [3.2.1] 2x 1 1 7 y y 19. [3.3.2] 20. [3.7.1] 18. El rango es e 21, 0, f . [3.2.1] 5 4

5. La solución es 4.

[7.4.1]

[8.2.2]

4

–4

0

4

x

–4

–4

0

4

x

21. A la nueva computadora le tomaría 24 min completar la nómina. A la vieja computadora le tomaría 40 min completar la nómina. [6.4.2] 22. La velocidad del barco en aguas en calma es 6.25 mph. La velocidad de la corriente es 1.25 mph. [4.4.1] 23. La vida media es casi 55 días. [10.5.1] 24. El total de butacas en el teatro es 1536. [11.2.3] 25. La altura que el balón alcanza al quinto rebote es aproximadamente 3.3 pies. [11.3.4]

Respuestas de los ejercicios seleccionados del capítulo 12 EXAMEN DE PREPARACIÓN 1. La distancia es 7.21. [3.1.1] 2. x2 2 8x 1 16; 1x 2 42 2 [8.2.1] 4. La solución es (1, 21). [4.1.2] 5. La solución es (1, 25). [4.2.1]

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R40

3. La solución es 0; las soluciones son 4 y 24. 6. La ecuación del eje de simetría es x 5 2.

[8.1.2]

12/10/12 01:52 p.m.

R41

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

Las coordenadas del vértice son 12, 222 .

[8.5.1]

y

7.

[8.6.1]

4

y

8.

2 –4

y

9.

–2

0

[3.7.1]

4 2

2

4

x

–4

–2

0

–2

–2

–4

–4

2

4

x

[4.5.1]

4 2 –4

–2

0

2

x

4

–2 –4

SECCIÓN 12.1 1. ii y iv 3. a. El eje de simetría es una recta vertical. b. La parábola abre hacia arriba. 5. a. El eje de simetría es una recta horizontal. b. La parábola abre hacia la derecha. 7. a. El eje de simetría es una recta horizontal. b. La parábola abre hacia la izquierda. 9. y; positivo; negativo 11. Las coordenadas del vértice son 122, 292. La ecuación del eje de simetría es x 5 22. 13. Las coordenadas del vértice son (3, 0). La ecuación del eje de simetría es y 5 0. 15. (1, 4) 17. (7, 6)

† 21. Las coordenadas del

19. Las coordenadas del vértice son (1, 25). La ecuación del eje de simetría es x 5 1.

vértice son (1, 22). La ecuación del eje de simetría es x 5 1.

y 6

–6

6

x

–6

(

y

4

0

6

x

–4

4

x –4

–4

–6

0

4

x

–4

27. Las coordenadas del vértice son (1, 21). La ecuación del eje de simetría es x 5 1.

29. Las coordenadas del vértice son 52 , 294 . La ecuación del eje de simetría es x 5 52 .

(

y

)

31. Las coordenadas del vértice son (26, 1). La ecuación del eje de simetría es y 5 1.

33. Las coordenadas del

(

3

simetría es x 5 22 .

y

y

0

4

y

6

x –4

–4

x

0

–6

6

x –6

–6

–4

)

3 27 vértice son 22 , 4 . La ecuación del eje de

4 –4

)

vértice son 274 , 32 . La ecuación del eje de 3 simetría es y 5 2 .

y

y

6

† 25. Las coordenadas del

23. Las coordenadas del vértice son (24, 23). La ecuación del eje de simetría es y 5 23.

0

6

x

–6

35. Las coordenadas del vértice son (4, 0). La ecuación del eje de simetría es y 5 0.

37. Las coordenadas del vértice son 12 , 1 . La ecuación del eje de simetría es y 5 1.

( )

y

y

y

4

41. x 5 ay2 1 by 1 c; a es positivo; c es negativo.

39. Las coordenadas del vértice son (22, 28). La ecuación del eje de simetría es x 5 22. 6

4 –4

0

4

x –4

–4

0

4

x

–6

43. y 5 ax2 1 bx 1 c; a es positivo; c es negativo. 1 2 y. 2640

6

x

–6

–4

espejo es x 5

0

1 45. Las coordenadas del objetivo son a0, b. 8

b. La ecuación es válida sobre el intervalo [0, 3.79]

47. a. Una ecuación para el 10

53. a. –10

10

–10

b.

c.

10

–10

10

10

–10

–10

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R41

10

–10

12/10/12 01:52 p.m.

R42

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

SECCIÓN 12.2 5. 1; 24; 6; 1; 24; 6

y

7.

y

9.

y

11.

–4

x

4

–6

0

–4

2

–6

–6

15. IV

6

0

x

6

0

–6

2

y

6

x

–6

† 21. 1x 1 32 1 1 y 2 62 5 8

2

2

2

y

4

–4

x

6

† 19. 1x 1 12 1 1 y 2 12 5 5

17. 1x 2 22 1 1 y 1 12 5 4 2

y

13.

6

4

4

x

0

–4

x

4

–4

–4

23. 1x 1 22 2 1 1 y 2 12 2 5 5

25. a. 8x; 4y; 5

† 27. 1x 2 12 2 1 1 y 1 22 2 5 25

1 2 31. ax 2 b 1 1 y 1 22 2 5 1 2

29. 1x 1 32 2 1 1 y 1 42 2 5 16 y

y

y

6

6

–6

c. x 1 4; y 2 2; 25

b. 16; 4; 16; 4; 16; 4

x

0

6

0

6

x

–6

–6

33. 1x 2 32 1 1 y 1 22 5 9 2

2

0

x

6

–6

35. Círculo B

39. 1x 2 32 2 1 y2 5 9

37. Círculo D

41. 1x 1 12 2 1 1 y 2 12 2 5 1

y 6

–6

x

0 –6

43. El radio es de 6 !3 pulg.

45. 10 unidades

SECCIÓN 12.3 3. a. Ninguno b. Hipérbola 1a, 02 ; 12a, 02 ; 10, b2 ; 10, 2b2

c. Elipse

† 7.

d. Ninguno y

e. Hipérbola y

9.

6

–6

6

x

–6

15.

y

17.

6

0

6

x

x

0

–6

x

0

† 27.

25. y; 10, 72 ; 10, 272

6

x

y

–6

–6

y

y

33.

35.

6

–6

6

x

–6

37.

y

39.

y

0

6

x

–6

6

6

x

x

–6

6

x

0

–6

6

–6

45.

y

47.

y

6

6

x

–6

–6

x

–6

–6

6

x

0 –6

2

y x 1 51 33,489 324 b. El afelio está a 33,938,000,000 millas del Sol. c. El perihelio está a 85,100,000 millas del Sol.

51. a.

y 6

6

x

–6

2

43.

y

6

–6

y

x

6 –6

y

31.

6

x

–6

–6

23. 25; 49

6

6

–6

–6

41.

0

6

6

29.

y

13.

6

–6

19. Menor que

5. Elipse; 0; 0;

y

6

–6

y

f. Elipse 11.

x

SECCIÓN 12.4 1. 0, 1, o 2

3. 0, 1, 2, 3, o 4

7. Las soluciones son 122, 52 y 15, 192 .

9. Las soluciones son 121, 222 y 12, 12 .

2 22 11. La solución es 12, 222 . 13. Las soluciones son 12, 22 y a2 , 2 b. 15. Las soluciones son 13, 22 y 12, 32 . 9 9 !3 !3 , 3b y a2 , 3b. 19. El sistema de ecuaciones no tiene solución. † 17. Las soluciones son a 2 2

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R42

12/10/12 01:52 p.m.

R43

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

† 21. Las soluciones son (1, 2), (1, 22), (21, 2) y (21,22).

23. Las soluciones son (3, 2), (3, 22), (23, 2) y (23,22).

27. Las soluciones son 13, !2 2 , 13, 2!2 2 , 123, !2 2 , y 123, 2!2 2 . 29. El sistema de ecuaciones no tiene solución. 31. Las soluciones son 1 !2, 32 , 1 !2, 232 , 12!2, 32 , y 12!2, 232 .

25. Las soluciones son (2, 7) y (22, 11)

33. Las soluciones son (2, 21) y (8, 11).

35. La solución es (1, 0)

37. Una elipse y un círculo que se intersecan en dos puntos.

39. Una parábola y una recta que se intersecan en un punto. 41. La solución es (1.000, 2000). y (0.505, 20.986). 45. Las soluciones son (5.562, 21.562) y (0.013, 3.987).

43. Las soluciones son (1.755, 0.811)

SECCIÓN 12.5 3. a. parábola

b. discontinua

c. es

† 7.

y

5.

y

y

9.

–8

0

8

x

13.

15.

17.

y

8

x

8

–8

–8

y

19.

x

8

–8

–8

y

21.

y

23.

4

8

x

8

0

–8

y

8

y 8

–8

–8

y

11.

8

8

8

2 –8

0

x

8

–8

–8

0

y

27.

8

8

x

–8

–8

–8

y

25.

x

8

–8

x

8

0

–4

x

–8

31. intersección

33.

x

8

0

–4

–8

29. Verdadero

4

–2

–8

35.

y

y

8 2

–8

x

8

0

–8

–8

x

8

0

–8

0

–8

† 37.

y

41.

y

8

x

y

43.

8

4

–8

8

0 –2

–4 –2 0 –2

x

2

–8

45. El conjunto solución es la región dentro del círculo x2 1 y2 5 a.

8

0

8

x

–8

8

–8

–8

x

–8

47. El conjunto solución es la región entre los círculos x2 1 y2 5 a y x2 1 y2 5 b.

y

49.

y

51. 4

8

–8

x

8

–4

y

y

55.

4

y

57.

8

–4

x

4

–8

–4

y

59.

8

0

x

8

8

–8

y

61. a.

4

–8

x

–4

–8

4

y

6

0

x

4

–6

–4

x

–4

–8

53.

x

2

–8

39.

y

x

6

6

x

–6

6

–6

–6

xy > 1

y>

x

1

x

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 12 1. Las coordenadas del vértice son (2, 4). La ecuación del eje de simetría es x 5 2 [12.1.1] 7 7 17 2 Las coordenadas del vértice son a , b. La ecuación del eje de simetría es x 5 . 2 2 4 3.

[12.1.1]

y

4.

−8

0

[12.1.1]

y

8

[12.1.1]

5. 1x 1 12 2 1 1 y 2 22 2 5 18

[12.2.1]

[12.2.1]

[12.2.1]

8

8

x

−8

0

8

x

−8

6. 1x 1 12 2 1 1 y 2 52 2 5 36

[12.2.1]

7.

y

8.

y

4

0 −4

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R43

8

4

x

−8

0

8

x

−8

12/10/12 01:52 p.m.

R44

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS

9. x2 1 1 y 1 32 2 5 97

10. 1x 1 22 2 1 1 y 2 12 2 5 9

[12.2.1]

[12.2.2]

y

11.

[12.3.1]

4

−4

4

x

−4

[12.3.1]

y

12.

−8

x

8

8

x

0

−8

−8

−8

15. La solución es 122, 2122 .

8

16. Las soluciones son 1!5, 32 , 12!5, 32 , 1!5, 232 , y 12!5, 232 . 18. Las soluciones son 11, !5 2 y 11, 2!5 2 .

[12.4.1] y

8

[12.5.1]

y

21.

8

x

8

−8

−8

[12.5.2]

0

8

x

−8

[12.5.2]

x

4

x

−2 0

8

x

[12.5.2]

x

y

26.

[12.5.2]

4

−4

−8

2

−4

4

−8

−4

8

y

25.

[12.5.1]

4

0

8

−4

y

22.

−8

y

24.

[12.5.1]

[12.4.1]

[12.4.1]

8

−8

y

x

−8

[12.4.1]

2 1 3 17. Las soluciones son a , b y a1, b. 9 3 2 y 19. [12.5.1] 20.

−8

[12.3.2]

y

14.

8

0

23.

[12.3.2]

y

13.

8

4

x

−2 0

−4

2

x

−4

EXAMEN DEL CAPÍTULO 12 1. La ecuación del eje de simetría es x 5 3. [12.1.1., Ejemplo 1] 3 1 2. Las coordenadas del vértice son a , b. [12.1.1, Problema 1] 2 4

y

3.

[12.1.1, Ejemplo 1]

8

–8

0

8

x

–8

y

4.

[12.1.1, Ejemplo 2]

5. 1x 1 32 1 1 y 1 32 5 16 2

2

[12.2.1, Concéntrese, inciso B, página 627]

8

–8

x

0 –8

9 1 2 4 7. Las soluciones son (36, 24) y a2 , b. [12.4.1, Ejemplo 1] 6. Las soluciones son (2, 0) y a , b. [12.4.1, Concéntrese, página 640] 3 3 4 2 8. Las soluciones son 15, 12 , 125, 12 , 15, 212 y 125, 212 . [12.4.1, Concéntrese, página 641] 9. 1x 1 12 2 1 1 y 1 32 2 5 58 [12.2.1, Ejemplo 1] y

10.

[12.2.1, Ejemplo 3]

8

–8

8

x

–8

11. 1x 1 22 2 1 1 y 2 42 2 5 9 13. 1x 2 22 2 1 1 y 1 12 2 5 4

12. 1x 1 22 2 1 1 y 2 12 2 5 32

[12.2.1, Concéntrese, inciso B, página 627] [12.2.2, Problema 3]

y

14. 8

4

–4

0

x

–8

y

[12.3.2, Ejemplo 2A]

8

–8

0

8

x

–8

–4

15.

16.

[12.3.1, Ejemplo 1]

y

y

17.

x

–8

16_Respuestas a problemas seleccionados_AUFMANN.indd R44

–2 0 –4

[12.5.1, Ejemplo 1B]

8

4

8

[12.2.1, Problema 1]

[12.3.2, Ejemplo 2B]

y

2

x

–8

0

8

x

–8

12/10/12 01:52 p.m.

R45

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS y

18.

[12.5.2, Ejemplo 2A]

19.

–8

8

0

8

x

–8

8

–8

x

–8

y

20.

[12.5.1, Problema 1A]

y

8

El sistema de desigualdades no tiene una solución real. [12.5.2, Ejemplo 2B]

8

–8

0

8

x

–8

EXAMEN FINAL 1. 231

2. 21

[1.2.2]

2 6. Las soluciones son 4 y 2 . 3

{

8. El conjunto solución es 11.

6 3 2 i [7.5.4] 5 5

}

3 . 2

15. x2 2 2x 2 3 2

[5.7.4]

[6.2.2]

33.

23 45

37. log2

[4.3.1]

a2 b2

[10.2.2]

[3.6.1]

[5.4.2]

16.

x 1x 2 12 2x 2 5

3 y 22. [8.3.3] 2 32. 2y 1 2y2 1 2y3 1 2y4 1 2y5

28. Las soluciones son [10.4.2]

3 5 35. La solución es a , 2 b. [12.4.1] 2 2 y 9 38. intersección con el eje x: a , 0b [3.3.2] 6 2 x intersección con el eje y: 10, 232 – 6 0 6

34. 144x7y2

[11.3.3]

10. 6a3 2 5a2 1 10a

[5.3.1]

[2.5.2]

26. Las soluciones son 27 y 28.

[8.2.2]

[3.5.2]

31. La solución es 6.

[2.1.2]

13. 12 2 xy2 14 1 2xy 1 x2y22

[8.1.1]

5 2x 2 3

2 . 3

5. La solución es

[5.7.2]

[6.2.1]

7 a 2 a1 [6.3.1] 19. La solución es 2 . [6.4.1] 20. d 5 n 4 n21 2 !2y x 23. 22x2y !2y [7.2.2] 24. [7.2.4] 2y2

x13 18. x11

22.

27. La ecuación es y 5 23x 1 7.

[2.1.1]

1 2 9. La ecuación es y 5 2 x 2 . 3 3

[2.4.2]

1 [7.1.1] 64x8y5 3 1 !17 3 2 !17 y . 25. Las soluciones son 4 4

30. 10

4. La solución es 8.

7. El conjunto solución es 5 x 0 24 , x , 21 6 .

[2.5.1]

x0x .

[1.4.3]

12. La ecuación es 2x2 2 3x 2 2 5 0.

14. 1x 2 y2 11 1 x2 11 2 x2 10x 17. 2 1x 1 22 1x 2 32 y4 [5.1.2] 21. 162x3

3. 33 2 10x

[1.4.2]

[11.4.1]

[6.6.1]

[8.3.1] 29. La solución es 13, 42 .

[4.2.1]

[11.1.2] 36. f 21 1x2 5

3 x16 2

y

39.

[9.3.2]

[3.7.1]

6

–6

0

6

x

–6 –6

[8.5.1/12.1.1]

y

40.

y

41.

–6

0

6

x

x

6

[10.3.1]

–6

0

6

x

–6

22, 1.7

y

[10.1.2]

y

44.

0

[9.1.1]

45. El rango de puntuación es 69 o más. [2.4.3]

4

4

–4

y

42. 6

–6

–6

43.

[12.3.1]

6

6

4

g

x

–4

f

4

x

–4

–4

46. El ciclista recorre 40 millas. [2.2.2]

47. El monto invertido al 8.5% es $8000. El monto invertido al 6.4% es $4000. [2.3.1]

48. El ancho es 7 pies y el largo 20 pies. [8.4.1] es 420 mph. [6.4.3]

0

49. El número de acciones adicionales es 200. [6.5.1]

51. La distancia que el objeto ha caído es aproximadamente 88 pies. [7.4.2]

primeras 360 millas fue 120 mph. [8.4.1]

53. La intensidad es 200 lúmenes. [6.5.2]

es 12.5 mph. La velocidad de la corriente es de 2.5 mph. [4.4.1]

50. La velocidad del avión

52. La velocidad del avión en las

54. La velocidad del barco en aguas en calma

55. El valor de la inversión es $4785.65. [10.5.1]

56. El valor de la

vivienda sería aproximadamente $577,284. [11.3.4]

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Digital Vision

Glosario

a elevado a la n an 5 a # a # a # # # a, donde n es un número entero positivo y a un factor multiplicado n veces. (Sec. 1.2) abscisa primer número en un par ordenado; mide una distancia horizontal y también se llama la primera coordenada de un par ordenado. (Sec. 3.1) antilogaritmo Si logb M 5 N, entonces el antilogaritmo, base b, de N es M. (Sec. 10.2) asíntotas Las dos rectas a las que “se acerca” una hipérbola. (Sec. 12.3) barra de fracción principal barra de fracción que está colocada entre el numerador y el denominador de una fracción compleja. (Sec. 1.2) base en una expresión exponencial, el número que se toma como factor tantas veces como lo indique el exponente. (Sec. 1.1) binomio un polinomio con dos términos. (Sec. 5.2) binomio al cuadrado un polinomio que se puede expresar en la forma (a – b)2. (Sec. 5.3) cambio horizontal desplazamiento de una gráfica hacia la derecha o la izquierda de los ejes coordenados; también conocido como traslación horizontal. (Sec. 9.1) cambio vertical desplazamiento de una gráfica hacia arriba o hacia abajo en los ejes coordenados; también conocido como traslación vertical. (Sec. 9.1) centro de un círculo punto central que es equidistante de todos los puntos que constituyen un círculo. (Sec. 12.2) centro de una elipse intersección de los dos ejes de simetría de la elipse. (Sec. 12.3) centro de una hipérbola punto a la mitad entre los dos vértices de una hipérbola. (Sec. 12.3) cero de una función valor de x para el cual f (x) 5 0. (Sec. 3.3) círculo conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano que están a una distancia fija de un punto dado (h, k) llamado el centro. (Sec. 12.2) coeficiente numérico parte del número de un término variable. (Sec. 1.4) coeficiente principal en un polinomio, el coeficiente de la variable con el exponente mayor. (Sec. 5.2)

cofactor de un elemento de una matriz (21)i 1j veces el menor de aquel elemento de la matriz, donde i es el número de renglón del elemento y j es el número de columna. (Sec. 4.3) completar el cuadrado sumar a un binomio el término constante que hace que sea un trinomio cuadrado perfecto. (Sec. 8.2) composición de funciones operación sobre dos funciones f y g denotadas por f + g. El valor de la composición de f y g está dado por ( f + g)(x) 5 f [ g(x)]. (Sec. 9.2) conjugados expresiones binomiales que difieren sólo en el signo de un término. Las expresiones a 1 b y a – b son conjugados. (Secs. 7.2/7.5) conjunto colección de objetos. (Sec. 1.1) conjunto solución de un sistema de desigualdades la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades individuales. (Sec. 4.5) conjunto solución de una desigualdad conjunto de números en el que cada elemento, cuando se sustituye en la variable, resulta en una desigualdad cierta. (Sec. 2.4) conjunto finito conjunto en el cual se pueden listar todos los elementos. (Sec. 1.1) conjunto infinito conjunto en el cual no se pueden listar todos los elementos. (Sec. 1.1) conjunto nulo conjunto que no contiene elementos; también llamado conjunto vacío. (Sec. 1.1) conjunto vacío conjunto que no contiene elementos. (Sec. 1.1) constante de proporcionalidad k en una ecuación de variación; también llamada constante de variación. (Sec. 6.5) constante de variación k en una ecuación de variación; también llamada constante de proporcionalidad. (Sec. 6.5) coordenada x La abscisa en un par ordenado. (Sec. 3.1) coordenada y La ordenada en un par ordenado. (Sec. 3.1) coordenadas de un punto número en el par ordenado que está asociado con el punto. (Sec. 3.1) cuadrado perfecto producto de un término y él mismo. (Sec. 5.7) cuadrante una de las cuatro regiones en las cuales se divide un sistema de coordenadas regulares en el plano. (Sec. 3.1) G1

17_Glosario_AUFMANN.indd G1

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G2

GLOSARIO

cubo perfecto producto de los mismos tres factores. (Sec. 5.7) decimal exacto decimal resultante cuando se divide el numerador de una fracción entre su denominador y el residuo es cero. (Sec. 1.1) desigualdad compuesta Dos desigualdades unidas con una palabra conectiva como “y” u “o”. (Sec. 2.4) desigualdad cuadrática en una variable desigualdad que se puede escribir en la forma ax2 1 bx 1 c < 0 o ax2 1 bx 1 c 7 0, donde a es diferente de cero. Los símbolos # y $ también se pueden utilizar. (Sec. 8.7) desigualdad lineal con dos variables Una desigualdad de la forma y 7 mx 1 b o Ax 1 By 7 C. El símbolo 7 se podría sustituir por $,