Álgebra_Gen 5°
January 29, 2017 | Author: Emilio Campos | Category: N/A
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Índice I Bimestre Capítulo 1
Teoría de exponentes
5
Capítulo 2
Polinomios
8
Capítulo 3
Productos notables I
11
Capítulo 4
Productos notables II
14
Capítulo 5
Repaso
17
Capítulo 6
División algebraica I
20
Capítulo 7
División algebraica II
23
Capítulo 8
Factorización
25
Capítulo 9
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
29
II Bimestre Capítulo 10
Ecuaciones de primer grado
32
Capítulo 11
Planteo de ecuaciones de primer grado
35
Capítulo 12
Ecuaciones de segundo grado
38
Capítulo 13
Ecuaciones de grado superior - ecuación bicuadrada
41
Capítulo 14
Sistemas de ecuaciones I
43
Capítulo 15
Sistemas de ecuaciones II
46
Capítulo 16
Repaso
49
Capítulo 17
Desigualdades - inecuaciones de primer grado
52
Capítulo 18
Inecuaciones de 2º grado - valor absoluto
55
III Bimestre Capítulo 19
Funciones I
59
Capítulo 20
Funciones II
62
Capítulo 21
Logaritmos I
66
Capítulo 22
Logaritmos II
69
Capítulo 23
Repaso
73
Capítulo 24
Progresiones
77
Capítulo 25
Factorial, número combinatorio y binomio de Newton
82
Capítulo 26
Radicación
85
Capítulo 27
Cantidades imaginarias
88
Capítulo 28
Repaso
91
IV Bimestre Capítulo 29
Teoría de exponentes
94
Capítulo 30
Polinomios - productos notables
96
Capítulo 31
Repaso
100
Capítulo 32
Ecuaciones de 2do. grado
103
Capítulo 33
Sistema de ecuaciones
106
Capítulo 34
Inecuaciones - Valor absoluto
109
Capítulo 35
Funciones
112
Capítulo 36
Logaritmos - progresiones
116
Álgebra
Álgebra
1
Teoría de exponentes
Ejercicios resueltos 1. Si: xy=2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: (Ex. Admisión UNMSM 2010–I)
y −y y (4 x ) x . (x x ) y + (x2) − y 2x 2y − 6x − y
Resolución Preparamos convenientemente a la expresión:
Reemplazamos el dato: 16 + 1 4 . (2) 2 + 2 − 2 4 = 8−3 2 (2) 2 − 6 (2) − 1
y −y y 4 x . x . (x y) x + (x y) − 2 2 (x y) 2 − 6 (x y) − 1
=
65 13 4 = 5 4
2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I)
Resolución Factorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente) 5n + 1 . (1 + 5 + 52 + 53) = 780 1 444 4 2 444 43 Factor común
se obtiene de dividir: 5n + 1 ; 5n + 1
5n + 2 ; 5n + 3 ; 5n + 4 5n + 1 5n + 1 5n + 1
Operando: 5n + 1 . (156) = 780 & 5n + 1 = 51 & n + 1 = 1 & n=0 ` 2 (n+3) = 6 3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5x (Ex. Admisión UNMSM 2011 - I)
Resolución Preparamos las potencias de la ecuación 22x . 22 − 5 . (3 x) (2 x) = 32x . 32 4 . (2 x) 2 − 5 . (2 x) (3 x) = 9 (3 x) 2 Entonces:
Puesto que: a ≠ –b 4 . (2x)=9 . (3x) Para facilitar su resolución cambios: 2x = a / 3x=b
4a2 − 5ab − 9 b2 = 0
4 a2 − 5 ab − 9 b2 = 0
Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0
4a a
4a=9b 22 . 2 x = 32 . 3 x " 2 x + 2 = 3 x + 2 ;
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hacemos
x+2=0 ;
5
–9 b b
–9 ab (+) 4 ab –5 ab
` x = − 2 5 x = 5− 2 = 1 25
Quinto año de secundaria
Capítulo 01
Práctica 1. Calcule el valor de:
−3
'` 1 j 2
8 9. Calcular el valor de "x": 83
−1 0, 5
+ 82 B + ;4 E 1 5 7 −2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
(x7 . x7 . ... . x7) (x7 + x7 + ... + x7) 1 44 4 2 44 4 3 1 444 2 444 3 10 veces
10 veces
a) 72 d) 77
b) 70 e) 78
c) 76
4
(x2) 3 . x2 . x −2 2
2
; x!0
a) 11
b) 12
d) 14
e) 16
c) 13
b) m1/2 × n–4
c) m2 × n–1/4
d) m–2 × n4
b) x ∈ N
c) 3x ∈ N
d) 2 < x < 2,5
e) 2x ∈ Z
1/2 −4
G
b) 8 e) 14
a) 15
b) 11
d) 9
e) 12
4
9 x - 1 + 9 x + 9 x + 1 + 92 = 30 .
b) 42 – 1
d) 23 – 1
e) 43 – 1
1 2
x
2 3
x
3 4
x xn
b) 0,25 e) 0,83
c) 32 – 1
14. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II) Si x es positivo, simplificar la expresión:
c) 10
4 . 42 23
a) 0,1 d) 0,75
c) 13
a) 24+1
6. Reduzca la expresión:
3
13. Calcular "x" en: 3x–7+3x–5=3x–6+7x–6
5. Calcule el valor de 6M, si: M = =e 12 − 48 + 27 o 20 + 45 − 80
5
Indica una característica del valor obtenido para "x". a) Es un número impar. b) Es un número no negativo. c) Es un número fraccionario. d) Es un número primo. e) Hay dos correctas.
. 6 ; entonces es verdad que: 4. Si: x = 15 . 10 2 96 . 15 4
a) 9 d) 12
a) m2 × n–4
12. Al resolver la ecuación:
5
a) x < 2
.
c) 3
7
Se obtiene xn, entonces. ¿Cuál es el valor de n+3?
4
e) 1
44
11. Si al simplificar: x8 . x3 . x3m . x2m el exponente de "x" es 10. Hallar el valor de "m"
3
x −4 . x(− 3) . x12
d) 4
= 81
e) m2 × n4
3. Al reducir la expresión:
b) 5
B
10. Si: 5x = m y 5z = n, halle: (0,04)–x+2z
2. Indique el exponente final de "x" en:
a) 2
x 1 x+1 4 +
c) 0,5
a) x1/2
b) xn
d) x
e) 1
4 5
n
x ... n + 1 x
2 3n +
c) x2
15. (Ex Admisión UNMSM 2007 – I) 1
15 n 8 Si: = 7n - 4- 7 3 G = 7 . Hallar la suma de cifras de "n". -7 7
7. Simplifique la expresión: x
x
x
x ; x>0
x a)
6
x5
b)
8
x7
d)
5
x3
e)
6
x31
x
x–1
8. En la ecuación: 3 + 3 Calcular el valor de 2x. a) 5
b) 8
d) 2/5
e) 10
9
c)
x8
a) 3
b) 8
d) 2
e) 9
c) 1
16. (Ex Admisión UNMSM 2009 – I) ¿Qué valor debe tomar "m" para que se verifique la x–2
+3
x–3
+3
x–4
+3
=363
igualdad: a) 11 8 d) 12 11
c) 16
6
^0, 1h- m . ^0, 01h- 2m . 0, 001 = 10?
b) – 11 15 e) – 11 12
c) 11 12
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Álgebra
Tarea domiciliaria 4 1. Hallar el valor de "x" en la ecuación: 3
a) 11 2 d) – 11 4 2. Resolver:
b) 11 4 13 e) 2 3
2x + 1 . 4 2
a) 11 4 d) – 4 11 3. Resolver: 5
=3
11. Muestre el exponente final de "a", luego de
32
transformar:
c) – 11 2
x+3
=
6
2
+2.5 =35 b) 2 7 11 e) 7
b) 4
= 81. 1 17
c)
7. Hallar el valor de "x": 25 - 8
=
a) 1 3 d) 4 3
2
32x
= 27
42x
d)
d) 5 = 25
-8
- 3 -1
e) 6
b) 3 5
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4
d) 2 5
e) 10
8
b) 64
c)
3
4
e) 2
2
d) 1 3
d)
e) 1 4
c) 2 3
2 2 +
2
b) 64
d) 121
e) 5
20. Si: x = d) 4
e) 5 2
2 - 4x 4 +
12 + x2 - 8x
=3
b) 77 6 14 e) 15
c) 100
. Dar como respuesta:
c) 11
6 + 6 + 6 + ... . Entonces se cumple que:
a) x=–3 d) x=2 7
n
8 y x x = (nx) x , entonces ¿cuál es
a) 49
d) 6 5
c) 3 2
7
c) 4
2 2
e)
a) 7
.
c) 1010
=4
b) 2 2
19. Resolver: 2 x 7 . ; 11 E x+5 c) – 1 2
10
e) 10–10
a) 2
.
10
b)
17. Hallar "x" de: x x
.
5x + 3
e) 33
= 9 ...... 2
a) 1010 d) 10
e) 1 =2
. Calcular: y x
a) 16
.
b) –1
x-1
y2
18. Se sabe que: x = 2 el valor de n ?
b) 5 7 e) 3 8
a) 1 4 d) 1 2
a) 1 2
-1 - x -2
c) 16 3
d) 23
c) 16
10
32x
22x + 276 = 2 22x + 256
10
16. Si: xayb=10a...(1) ; xbya=10b...(2). Calcular: (xy)x/y.
c) 4
b) 4
2
+ 4 = 17
c) 1 8
c) 34
b) 8
x y = 3 ...... 1 x
6. Resolver: 36 x - 1 = 1 . 16 144 b) 3
b) 36
a) 5
e) 1 2
x-1
10. Resolver: 3225
e) 6
15. Si:
b) – 1 2 e) 1 2
9. Resolver: 81
d) 4
3 - 16
Calcular el valor de 2x.
"2x - 4" veces
d) 1 3
c) 3
a) – 1 17 d) 2 3
3
c) 9 2
14. En la ecuación: 3 x + 3 x - 1 + 3 x - 2 + 3 x - 3 + 3 x - 4 = 363 .
5. Calcular el valor de "x": 3
8. Resolver: 2
b) 2–1
a) 20
16 x
x
a) 8
13. Calcular el valor de "x":
c) 1
32 veces
a) 9
b) 13 6 21 e) 4
12. Hallar el valor de xx , al resolver: 22x
c) 15 7
x x x # 2 # ... # 2 . +22 4...4+442 3 = 2 4. Hallar el valor de "x": 21 4x +4244 144 4 2 44 43
a) 2
a3x + y . 2x a x - 4y . 3x 5x - 3y a
x
a) 1 7 d) 53 7
a) 9
x
a) 7 4 11 d) 6
b) – 11 7 e) 13 2 x+1
x-3
b) x=3 e) x=4
c) x=–2
Quinto año de secundaria
Capítulo 02
2
Polinomios
Ejercicios resueltos 1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de m+n+a+b.
Resolución El dato expresa; que los términos del "polinomio"
además: 3+m+b=10
se reducen a un monomio; por lo tanto:
a=7
3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1.
m+b=7
son términos semejantes.
`m+n+a+b=7+7+6=14
& a – 2=5 / n=6; b+1=6
m+n+a+b=14
2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.
Resolución Por propiedad: / coef.P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0) luego, se establece; del dato: P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 [ 1 +4+2h – [ 1 +2h=12 " 2 x 2h=8 ` h=2 3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).
Resolución Piden:
P(1)=12 – 3= –2
T. Independiente f(x)+/ coef. f(x)
P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1
Por propiedad: f(0)+f(1)
y como:
Del dato:
f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1))
P(P(0))+P(P(1))
` f(0)+f(1)=6+1=7
P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6
8
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Álgebra
Práctica 1. Resolver los siguientes ejercicios: * Sabiendo que: F(x)=x2+5x+4, halle F(6). * Si: F(3x – 4)=x2 – 3x+2, halle F(11). * Si: F(x)=x2+3x; G(2x+3)=x2–x, F(5)+G(17). 2. (Ex. Admisión UNMSM 2013–I) Si: f(x–3) = x2+1 y h(x+1) = 4x + 1 halle el valor de h (f(3) + h(–1)) a) 117 d) 107
b) 145 e) 120
halle:
c) 115
4. Se define:
c) 267
7. Indique el valor de n/m si se sabe que en el siguiente polinomio se cumple que: GA(P)=8 y GR(y)=5 P(x; y) = 3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 7
9. Sea: P(x;y)=x12y5+axby8+bx11ya; un polinomio homogéneo. Hallar la suma de coeficientes de P(x;y). a) 14
b) 16
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c) 15
d) 17
e) 72
12. Sea: A(x)=3x2 +bx2 – 5 – ax – 7x+c; un polinomio idénticamente nulo. Hallar: E = a + b . c a) –2
b) 4
c) 8
d) 1
e) 6
13. Calcular: E = b − c si se cumple que: a+2 a(x – 3)2+b(x – 2)2+c(x – 1)2 ≡ 5x2 – 2x+3 a) –4
b) 4
c) 7
d) 9
e) 5
14. Sea el polinomio: f(x) = x(x+1), si para a≠b, se cumple que: f(a)=1–b y f(b)=1–a, calcule el valor de a+b b) 0 e) 1/2
a) 4x+4 2 c) 2x –4 2 e) 2x +2x+4
c) 2
b) 4x+2 d) 2x–2
16. (Ex Admisión UNMSM 2006 – II) Si: f(x – 1)=2 f(x – 2) – 1; f(–3)=2. Hallar f(0). a) 1 b) 2 c) 8 d) 9 e) 12 17. (Ex Admisión UNMSM 2009 – II) Si el polinomio: P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+... es ordenado y completo. Calcular: P(1) – P(–1) a) –15 b) –12 c) 12 d) 5 e) 15 18. (Ex Admisión UNMSM 2010 – I Hab. Matemática) P(x)+Q(x)=ax+b, P(x) – Q(x)=a+bx y P(5)=4 a) 4 3 5 d) 3
A(x; y; z)=xm+2+(m+n)yn – (m – n)zm+n – 4 A^ - 2; 2; 2h .
e) 8
Calcular: P(Q(1)).
8. Dado el polinomio homogéneo: 3
d) 1
2
6. Halle el coeficiente del monomio: F(x;y;z)=(9a+ b) xa+3 y5 zb – 2, si sus grados relativos son iguales. a) 65 b) 16 c) 47 d) 88 e) 82
Calcule:
c) 15
15. Si g(x) es un polinomio que cumple g(x–1)=x –x+1, entonces el equivalente de: g(x+1)–g(x–1), es:
c) 8
P(x) = (x2+3x+1)2–7x(x+1) es "a"; y el término independiente de Q(x) es "b". Halle: a + b2; si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2 b) 543 e) 357
b) 16
a) 1 d) –1
5. Si la suma de coeficientes del polinomio:
a) 243 d) 257
a) 2
11. Sea: P(x)=(2x+3)2 – 4x(x – 1) – 74 F(x)=a(x – 5) +b(x – 2) Hallar: a b, si: P(x) ≡ F(x). a) 55 b) 30 c) 84 d) 18
3. Con respecto al polinomio: P(x) = 3x+2, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. P(z) = 3x + 2 II. P(x+2) = 3x + 6 III. P(P(x)) = 3P(x) + 2 Dé como respuesta la secuencia correcta a) FFF b) VFF c) FFV d) VFV e) VVV H(x+3) = 5x – 1 H(P(x)) = 5x + 4 Calcular: P(2) a) 6 b) 7 d) 9 e) 12
a–2 +2xb – 3+3xc – 4+...+nxm+nm es un 10. Si: F(x)=x polinomio completo y ordenado de 15 términos. Hallar: a + b . c
e) 18 9
b) 1 3 e) – 4 3
c) 2 3
19. Dadas las expresiones: P(2x+1)=x2 ∧ Q(P(x+1))=x–1 Calcule el mayor valor de Q(4) a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –5
Quinto año de secundaria
Capítulo 02
Tarea domiciliaria 2
n+2 3
1. Si el monomio: M(x)=(n –1) x calcular el coeficiente. a) 46
b) 47
c) 48
es de grado tres,
d) 43
e) 49
2. Si: P(x)=x – 3 y P(f(x))=3x – 4. Calcular: f(3). a) 9
b) 6
c) 8
d) 0
11. Si: P(x)=7xn – 8xn+1 – xn+2; es completo en "x" ¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 b) –13 c) –15 a) –16 b) –17 m– 2 m +3xn y17
12. Siendo: E(x;y)=xm
e) 2
polinomio homogéneo. Indicar: a) 16 b) 0 c) 2
3. Si: P(3x – 1)=6x – 1. Determinar: R(x)=P(2x+4). Señalar el término independiente de R(x). a) 4 b) 13 c) 9 d) 3
e) 6
4. Si: f(x)=2x+8 y g(x)=2x+k. Además: f(g(x)) – g (f(x))=18. Calcular: k – 1. a) 4
b) 9
c) 18
d) 16
e) 25
5. Si se cumple que: h(x)=x+2 y f(x)=x+k. a) 0 d) 0v − 17 3
7. Determinar "x" en la igualdad: h(g(x))+15=g(h(x)) – 2x Si se cumple que: h(x)=2x+5; g(x)=3x – 2. a) 2 3 d) – 2 3
b) 3 2 e) – 3 2
c) 4 3
8. Si se tiene el polinomio: P(x)=(1+x2)(1+x4)(1+x6)... "2n" paréntesis. Determinar el grado de P(x). a) n2(n+1)
b) (n2+1)n e)
10. Sabiendo que: P(x+2)=6x+1; P(f(x))=12x. Resolver: f(f(x–1))=13. ! b) 0,25 a) 0, 53 d) 2 e) 4
un
mn + nm - 1
d) 3
e) 4
a) 19
b) 35
d) 11
e) –5
c) 25 3
15. Si: x 4 + 4 / ^ x2 - ax + ah^ x2 + 2x + 2h . Calcular: "a" a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 12
16. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+3b – 10)x2+(5a+6b – 23) Calcular el grado de: Q(y)=(b – a – 2)ya+b – 1+2bxa+1 a) 3
b) 2
c) 1
d) 4
e) 0
2 2 17. Si se cumple: AKx +3xK+2BK≡(A+1)x +Bx+3B, el valor de: (A+B+K) es: a) 6 b) 8 c) 9 d) 14 e) 7
18. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: P (x; y) = 3pxn
c) n(n+1)
n2 ^n + 1h 2 9. Sea P(x) un polinomio lineal tal que: P(a+b)=a + P(a – b) / ab≠0 Determinar el coeficiente lineal de dicho polinomio a) a+b b) a – 2b c) a 2b d) 2a+b e) a – b 2 d) n 2
– m
14. Si los polinomios: (x–a)(x–b)+(x–c)(x-b)+(x–c)(x–a), y ax2+bx+cb+a son equivalentes. Indicar el valor de: ca–1 – b
c) 17 3
6. Dado el polinomio mónico y a la vez cuadrático tal que: P(x)=(a – 8)xa – 10 +(a – 2b – 2)xa – 9+a+2b. Determinar: P(x). a) x2 – 2x+12 b) x2 – 3x+15 2 d) x2+3x+19 c) x +3x+13 2 e) x +3x+11
2^m - nh4
13. Si: P(x)=mxp – 1+nxm – 2+mnxn – 3+pxm; es un polinomio completo y ordenado ascendentemente, dar la suma de coeficientes a) 14 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24
Calcular "k", si además: h(f(k+3))=5. b) 3 17 e) – 17 3
– xm-3y28
2 - 5 12
a) 324 d) 542
y
p q n 3n - 14 + 5^p - qh x y + ^13q + 4h x y 2
b) 254 e) 432
c) 756
19. De la siguiente identidad: 5 5 5 3 (x+1) + (x–1) ≡ 2x + ax + 10x + b (b+3)
Calcule el valor de: (a–18) a) 4 b) 6 c) –4
d) 8
e) 0
20. Dados: P(3x2+2x)=(3x2+2x+2)2+3(3x2+2x+2)3. Hallar: E=P(2x – 2) – 4x2 a) 6x2 – 2x2 d) 24x3
c) 0,75
10
b) 6x3 e) 6x3+2x2
c) 12x3
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Álgebra
3
Productos notables I
Ejercicios resueltos 1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?
Resolución Ordenando lo que se pide: ^ x + 1h^ x + 4h^ x + 2h^ x + 3h - 79
1 444 2 444 3 1 444 2 444 3 2 2 = ^ x + 5x + 4h ^ x + 5x + 6h - 79 Reemplazando el dato:
= ^4 + 4h^4 + 6h - 79 = 80 - 79 = 1
2. Simplifique la siguiente expresión:
^ x + 1h^ x - 1h^ x + 1h + 1 . x ! R+ . 2
Resolución Aplicando diferencia de cuadrados: ^ x + 1h^ x - 1h^ x + 1h + 1 2 2 = ^ x - 1h^ x + 1h + 1 2
= =
^ x2h - 1 + 1 2
x 4 = x2
3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que x = 3 4 - 3 2
Resolución Elevando al cubo el dato: x3 = ^3 4 - 3 2 h
3
x3 = 4 - 2 - 3 3 4 . 3 2 ^3 4 − 3 2 h 1 44 2 44 3 1 44 4 2 44 43 2
x
" x3 = 2 - 6x ` x3 + 6x = 2
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11
Quinto año de secundaria
Capítulo 03
Práctica 1. Efectuar: (x+5)2 – (x+4)2 – (x – 3)2+(x – 4)2 a) 8 d) 20 2. Efectuar: a) a+b d) 2ab
b) 16 e) 14
12. Efectuar:
c) 12
^a + bh^a - bh + 2ab + 2b
(a+1)(a – 1)(a4+a2+1)(a6 – a3+1)(a6+a3+1)+1
2
b) a – b e) 4ac
c) ab
b) 26
c) 6
d) 36
b) 2
c) –3
d) –2
e) 0
Si se cumple: )
^ x + 1h^ x + 3h^ x + 6h^ x - 2h - ^ x + 4xh^ x + 4x - 9h
a) 10 d) –10
b) 5 e) –36
b) 198
d) 144
e) 176
a) –3 d) 7
c) 0
b) 2
d) 4
e) 0
a) 10 d) 8
d) 125
e) 343
b) 4 e) –6
c) –5
b) 2/5 e) 15
c) 5
a2+b2 +c2 es:
K = (3x + 3y)3 b) 216
x3 = 8 ; x ! 2 y3 = - 1 ; y ! - 1
16. (Ex Admisión UNMSM 2010 – II) Si a(b+c)=–bc y a+b+c=2, entonces el valor de:
8. Si: 32x + 32y = 27; 3x+y=11, calcule el valor de: a) 512
c) – 1 5
− 7x + 1 + 3 − 7x + 2 E= 5 7 . (5 − 7x − 1)
c) 216
c) 3
b) – 1 4 1 e) – 2
x x x 15. Si: 25 +9 =2(15 ), determine el valor de:
7. Sabiendo que: x2+1= 3 x. Calcular: x3+x–3 a) 1
x 4 ^ x 4 + 1h x6 + 1
Hallar el valor de: (x2+2x+3)(2y2 – 2y+5).
2
6. Si se cumple: x+x–1=6. Calcular: x3+x–3 a) 196
e) a24
c) 1
14. (Ex Admisión UNMSM 2007 – II)
5. Efectuar: 2
d) a4
a) – 1 3 1 d) – 6
e) 0
2 4. Si se cumple: m + n = 2 . Calcular: E = m 2 + 2mn n m n - 2mn
a) 3
b) a27
13. Si: x3=1, x ≠1. Halle:
3. Sabiendo que: p + q = 6; pq = 10. Calcular: p2+q2 a) 16
a) a18
c) 729
a) 4
b) 2
d) 3
e) 4 2
c) 2 2
y 17. Si se cumple que: x + =66; x>y. Calcular: y x
9. Calcular: M=(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)(a+b)(a – b)+1 para: a= a) 2 d) 5
16
2 + 5 ; b=
16
b) 3 e) 6
5 -2.
a) 1 2 x-y d) 2
c) 4
1 1 4 10. Sabiendo que: x + y = x y , encontrar el valor de: + S=
M=3
b) 2 e) 5
a) 1 d) 8 c) 3
54x3
a) d) 54
–
27x3
b) e) 27
c) xy
b) 7 e) 10
c) 11
2 9 –9 19. Si 1 + a = 2 , calcula el valor de: F = a + a a
11. Efectuar: (x–3)(x+3)(x2+3x+9)(x2
xy 2 e) 1 3 b)
18. Si: bx+by=3, x+y=0. Calcule: b2x+b2y.
x + 3y 2y + + 2x 4x x + 3 y y + 3x
a) 1 d) 4
xy x-y
3x+9)–(x3–27)2+1458 c) 9x3
12
a) 2 2
b)
2
d)
e)
2 /3
2 (0,5)
c) 3 2
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Álgebra
Tarea domiciliaria 10. Reducir: M=(x+y)2+(x – y)2+2(x+y)(x – y) – 4x2
x + 4y = 2 . y x
1. Sabiendo que:
a) x+y d) x2+y2
3x + 2y 5x - 2y . x + 2y 3x + 2y
Calcular: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) –m d) 1
3 3 Calcular: ` a + 2je a +3b o + a2 - b2 b b
d) 4
c) a – b
3. Mostrar el equivalente de: 3
a) 1 d) 2
1 2 ^ x2
^x + h
4. Halle el valor de:
2^ 2 -
+ 2x - 1h - ^ x - 1h x
b) 2x e) x3
5. Sabiendo que: ) a) 12
c) 3
d) 2
c) 16
d) 24
a) 7
e) –2
e) 20
6. Siendo a, b y c números pitagóricos tales que c>b>a c4 - a4 - b4 Determine el valor de: 2 2 2 ^a + b2h - ^a2 - b2h a) 1
b) –1
d) –2
e) 1 2
c) 2
e)
c) 9
d) 10
3j
e) 6
b) –2m3 e) 0
c) 2
16. Si: x= 3 ; y=1. Calcular el valor de: (x+y)9– (x – y)9 – 3(x2 – y2)3[(x+y)3 – (x – y)3] a) 800 d) 125
b) 8000 e) 64
c) 1000
b) 15
c) 7
d) 10
c) 1 3
b) 1
e) 13 y x + x y
d) 1
e) 2 3
19. Si: x3 = 125 ∧ x ≠ 5 2 Calcular: E = 8x + 25 + 2B x
c) m2+1
a) 4
b) 9
d) 25
e) 36
20. Si bx+b–x=
9. Si: x+x–1=5. Calcular: x – x–1
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a) 2m3 d) –2
a) 1 2
2
d) 4 21
b) 8
Si se satisfacen: x+y= 5 ; xy=2. Hallar:
5 8 E = 10 ^m + 1h3 ^m - 1h3 ^m2 - 1h ^m2 + 1h ^m 4 - 1h
b) 5 21
c) 12
18. (Ex Admisión UNMSM 2005 – II)
II. x 4 + x2 + 1 = ^ x2 + x + 1h^ x2 - x + 1h De estas expresiones son correctas: a) Ambas. b) La primera. c) La segunda. d) Ninguna. e) No se puede determinar. 8. Simplificar:
a) 2 21
b) 11 e) 14
15. Efectuar: (m – 1)(m2+m+1) – (m+1)(m2 – m+1)
a) 12
b) m4 – 1 e) (m – 1)4
c) 2 7
17. Si: (a – b)2=ab; (b – c) 2=3bc; (c – a)2=5ca; donde abc≠0 Halle: a + b + b + c + c + a c a b
7. En un libro de Álgebra, se lee: I. x3 - 1 = ^ x - 1h^ x3 + x + 1h
a) m4+1 d) m2 – 1
e) 2 2
x2 y2
E = ^3 5 + 3 2 h^3 4 - 3 10 + 3 25 h + ^3 3 - 1h`3 9 + 1 +
3
b) 10
d) 4
^ x + yh4 - ^ x - yh4
14. Calcular:
a + b = 40 ......... ^1h . Calcular: a2+b2 a + b = 4 ......... ^ 2h 3
b) 2
a) 10 d) 13
c) x
3^a14 + b14h ; ab ! 0 2^a7 b7h
b) –3
a) 1
c) m+1
13. Calcular: E=3x2 – 5xy+3y2. Si: x= 2 +1; y= 2 –1
2x - 1h
2 2 Si: a - b = 3^a - bh . b a
a) 1
b) –1 e) 0
12. Si: x + y = 1. Calcular: G = 3 y x
b) a b e) 6
c) xy
11. Reducir: (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) – (m2+5m+5)2
e) 5
2. Si: ^a + bh2 - ^a - bh2 = a + b, " a, b, 1 R+
a) 2
b) x – y e) 0
a) 2 d) 5
c) –2 21
3 + 2
c) 16
1 . Calcule el valor de b4x+b–4x 2 b) –3 e) 4
c) 1
21 13
Quinto año de secundaria
Capítulo 04
4
Productos notables II
Ejercicios resueltos 1. Calcule el valor de
x2 + y2 + z2 si se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8
Resolución Del dato se tiene que: x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que: (x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16) Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32 " `
x2 +y2 +z2 =32 x2 + y2 + z2 = 32 = 4 2
2. Calcule el valor de: J = =
x3 + y3 + z3 xy + yz + zx E, si se sabe que: x = 5 - 2, y = 2 - 3 , z = 3 - 5 G; xyz x2 + y2 + z2
Resolución Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: 3xyz xy + yz + zx E E; - 2^ xy + yz + zxh xyz J = 8 3 B=- 3 2 -2 J =;
Por identidad condicionales: x3+y3+z3=3xyz Si: x+y+z=0 x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)
3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.
Resolución Ordenando el dato: 2 2 6x 4 +493 + y + 2y + 1 = 0 1x44- 2 1 44 2 44 3 ^ x - 3h2 + ^ y + 1h2 = 0
Por el teorema x2 + y2=0 " x=y=0 6 " x; y , 1 R se tiene: (x - 3)2=0 / (y - 1)2=0 " x=3 / y= -1 ` (x - y)2=16
14
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Álgebra
Práctica 1. Siendo:{a,b} 1 R , tales que: 3 2 indicar el valor de: M = a2 + b3 a +b a) 0 b) 1 c) 2
a2 + b2 1 = a b , + + 2 d) 3
e) 4
2. Dados: {a,b,c} 1 R tales que: a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) =4 y a+b+c=6. Indicar el valor de: a2+b2+c2 a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 e) 44 3. Siendo a un valor de x que verifica la siguiente condición: x2+2x+4=0, indicar el valor de: 3 2
3 4
P = ca m +ca m 2 4 a) 25
b) 27
c) 29
b) 12
d) 32
c) 14
e) 36
d) 16
e) 18
5. Siendo "a" el valor de x que verifica la ecuación: x+1= 3 x . Calcular el valor de: N = ^a + 1h^a + a- 2h a) 5
b) 3 6
d) 7 5
e) 6 3
c) 2 6
d)
b)
3
3
7
e)
6
6
7
c)
5
b) –6
c) 9
a) 5
b) 6
d) –9
3
e) 12
3
x + 5xy + y .
c) 7
d) 8
9. Sabiendo que: a + b + c = 0 ab + bc + ac = –7 y abc = –6 –2 –2 –2 Calcule: a + b + c a) 1/2 b) 49/36 a) 7/36 b) 7/6
e) 9
^ x2 + xy + z2h^ y2 + xz + z2h
a) 0,1
^ x2 + y2 + z2h
2
b) 1
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, si
c) 0,2
Además:
e) 8
x= 2 – 1 y=1–
3
2 . Además: z= 3 2 –
Determine el valor de: (a – b – a) 3 b) 4 c) 7 14. Sabiendo que: ^ xyh3 . 6 6 ^ x + yh6 - x - y
15. Reducir:
x+y=
b) 1
d) 1
1 ; x + y- 1 -1
c) –1
2 +4
c)2 x≠y.
d) –2
e) –2 Reducir:
e) 2
a3 + b3 + c3 - 3abc . Siendo: a+b+c=6 ^a - bh2 + ^ b - ch2 + ^c - ah2 b) 1
c) –1
d) –2
e) 2
b) 16
c) 24
d) 12
e) 28
17. Si: a3+b3+c3=5 , y
^a + bh^a + ch^ b + ch^a2 - ab + b2h^a2 - ac + c2h^ b2 - bc + c2h = 40
hallar el valor de: a9 + b9 + c9 . a) 15 b) 10 c) 5
a) 1 d) 2
c) 26/36
d) 20
e) 25
b) 3 e) 5
c) 4
19. Si: ax + by + cz + abcxyz = 0, calcule el valor de: (ax + 1) (by + 1) (cz + 1) (ax − 1) (by − 1) (cz − 1) a) –1 d) –5
(x–y)2=(z–y)(x–z). d) 2
* y=b2 – 2ac
2 2 2 18. Si: 4a + 4b = 4c (a+b) – 2c ; {a; b; c} ⊂ R 2 2 Halle: 12b +212a 3c
10. Siendo: {x; y; z} 1 R . Indicar el valor de: M=
* x=a2+2bc * z=c2 – 2ab
a) 20
8. Dados: x; y ! R tales que: x2 – xy+y2=2(x+y – 2)=4 Indicar el valor de: M =
x+y+z=0 / xy+yz+zx≠0. x2+y2+z2+2 c 1 + 1 + 1 m =0 x y z Indicar el valor de: x3+y3+z3+3xyz a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
e) 38
16. Si: x3 +y3+z3=3xyz / x+y+z≠0; siendo {x;y;z} 1 R , ^ y + zh3 ^ x + yh3 ^z + xh3 reducir: P = . + + x3 z3 y3
5
7. Si: a+b=–c, calcule el valor de: 2 2 2 2 2 2 ; a + b + c E; a + b + c E ab + ac + bc bc ac ab a) –3
d) 0
12. Siendo:
a) 3
F = a2 + b2 a +b 2
Si: a+b+c=0 / abc≠0. a) 43 b) 42 c) 32
a) 3
6. Dados "a" y "b" números reales tales que: 4 2 a + b2 - ab + a + b - a2 b2 = 0 . Indicar el valor de:
a)
V = a + b ^a2 + b2 - c2h + b + c ^ b2 + c2 - a2h + a + c ^a2 + c2 - b2h ab bc ac
13. Dadas las condiciones:
4. Se tiene las siguientes condiciones: a+b+c=4, ab+bc+ca=3 y abc=2. Determine el valor de: (a+b)(b+c)(c+a) a) 10
11. Calcula el valor numérico de:
b) 5 e) 2
c) –2
e) 0,3 15
Quinto año de secundaria
Capítulo 04
Tarea domiciliaria 1. Si:
11. Reducir: E=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2)–(a+b+c)(ab+ac+bc)
mn + p + mn - p = p
Hallar el valor de: K = a) 1
b) 2
mn + p - mn - p c) –2
d) –1
a) a+b+c c) a3+b3+c3 e) a+b+c+abc
e) 0
2. Simplificar: M=
^a x + a - xh2 - 4 +
a) 2ax d) ax 3. Si: (x – a) 1
^a x - a - xh2 + 4 ;^a x 2 a - xh
b) 2a–x e) –2ax 1)2=x.
Calcular: M =
b) 2
12. Si: a3+b3+c3=3abc; a+b+c≠0; {a, b, c} 1 R . Hallar: E = n-1
c) 0
c) 3
d) 4
d) 1 4
e) 5
4. Si se cumple que: a+b+c=0. Calcular: ^a + b + 2ch2 + ^a + c + 2bh2 + ^ b + c + 2ah2
b) 3
c) 5
d) 7
2 2 2 a +b +c =14 y a + b + c = 6
a) 30
b) 50
c) 40
d) 60
e) 70
6. Si se cumple: x+y+z=0. Calcular: E= a) 1
3
3
3
2
2
c) –2
d) 4
a) –3
a) 1
a) 1 2
p−n p−m 8. Si: m + n = − . Calcular: ; {m; n; p} ⊂ R m p−m m+n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2
p +q +r a) 4
b) –4
c) 2
b) 1 3
c) 1 4
d) 1
3
e) 5
e) 2
17. Si:
3
a2 + 3 b L=
3
b) a2+b2+c2 d) 9a2b2c
a) –3abc c) a3+b3+c3 e) 3abc a +3 c
b = 0 . Hallar: c2
5abc^ca + bh^c2 a2 + abc + b2h 5 5 5 ^ca + bh5 - c a - b
a) –5
b) 1
d) abc
e) abc 3
c) 5
18. Si: x+y+z=0, el equivalente de: S=
2
d) –2
d) 4
3
c) 5 3
10. Si: p+q+r=2 y pq+pr=–qr, hallar el valor de: 2
c) 3
3^ 2 3^ 2 3^ 2 h h h E = a a - bc2 + b b2 - ac 2+ c c - ab ^c - abh^ b - ach^a - bch
9. Dadas las relaciones: a+b+c=n; ab+ac+bc=2n2 y 2 2 2 abc=3n3; reducir: E = a + b + c . bc ac ab b) – 3 4 e) 4 3
e) –7
16. Si se cumple: a+b+c=0. Hallar:
e) –6
a) 2 3 d) – 5 3
d) –6
1+1+1 a b c
c) – 1 3
b) 3
b) 2
e) 5
^m + 2h3 + ^n + 3h3 + ^p + 1h3 ; (m+2)(n+3)(p+1) ≠ 0 ^m + 2h^n + 3h^p + 1h
a) 1 3 d) –3
c) –5
z2 14. Si: x - z + = 1. Hallar: z - y ^ x + yh^z - yh 2 x y z-y 2 J = ` z - x j +` + j+` j x y z
7. Si: m+n+p=–6. Calcular: E=
b) –4
15. Si: a3+b3+c3=30; a+b+c=3; abc=4. Calcular:
2
x +y +z x +y +z + xyz xy + xz + yz
b) 2
^a3 + b3 + c3h^a2 + b2 + c2h abc^ab + bc + ach
a = 5 + 3 - 2 ;b = 2 + 3 -2 5 ;c = 5 -2 3
e) 9
5. Calcular: F=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2, si se cumple:
c) 1 3
13. Hallar el valor numérico de: si:
ab + bc + ac
a) –2
an + bn + cn ^a + b + chn
b) 1 2 e) 1 6
a) 1
x2 + 5x + 1 x
3
b) 3abc d) a2+b2+c2
e) 0
a) 1
16
^3x + yh3 + ^3y + zh3 + ^3z + xh3 ^3x + yh^3y + zh^3z + xh
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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Álgebra
5
Repaso
1. Siendo: n1+n=3. Calcular: E = nn a) 82
b) 27
d) 28
e) 14
n + 2+ 3
+1
a) 100
b) 105
c) 10
d) 120
e) 131
8. Si: 1
715 − 7n 8 = n−4 3G = 7 7 −7 Hallar la suma de las cifras de "n".
2. Simplificar: 10 . 3 x + 3 − 3 x + 5 − 2 . 3 x + 2 4 . 3x − 3x + 1 a) 2
b) 3
d) 4
e) 1
c) 5
n m n m n m 3. Si tenemos que: x y =10 , x y =10 , entonces el
valor de: (xy)y/x, será: (m,n > 0,m≠n). (1/10) b) c 1 m 10
a) 1010 10 c) c 1 m 10
e)
d) 101/10
10
a) 3
b) 8
d) 2
e) 3
c) 1
9. Si: b, x, r ! R y se verifica: Z r 10 r2 ] b b = 9 + 2 − (3 ) [ 44 ] x 2 x 1= 0 + \4 . 2 − 2 Entonces se puede afirmar que: a) x – b = 3
b) x + b = 3
c) |b| < |x|
d) x < b
e) x . b = 2
4. Si: x+y
c) 112
2 x xy − 1 x *y 4 = 31 1 − 3 x y
10. Si: 2 2 2 2 2 2 x + 2 x − 1 + 2 x − 2 + 2 x − 3 + 2 x − 4 = 62 donde x > 0, hallar "x".
Hallar la relación entre x e y. a) x=3y
b) y=3x
d) y=2x
e) 2y=3x
a) 1
c) x=2y
d)
b) 1 3 e) 1 27
b) 11
d) 13
e) 14
c) 3
a) 29 8
b) 83 8
d) 27 8
e) 85 8
c) 81 8
12. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación: 4 x + 1 − 257 = − 64 4x
c) 12
7. Resuelva la ecuación exponencial: 2 x + 2 + 2 x + 1 + 2 x + 2 x − 1 + 2 x − 2 = 248 Calcule: 2 x + 1 + 2 x + 2 x − 1
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5
x + 4 + 2y + 2 M= 3 2y + 3
6. Calcule la suma de cifras de "x", si se cumple que: 9x+1=27x–12 a) 10
e)
2
11. Si: 3x=2y, calcular el valor de:
5. Si: F(x)=(3a)x+1; a > 0; F(x+1) = 729 F(x–1) Halle el valor de "a". a) 1 9 d) 9
c) 5 2
b) 2
17
a) 25
b) 20
d) 10
e) 8
c) 17
Quinto año de secundaria
Capítulo 05 20. Si:
13. Reduzca:
K = 80 3n Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:
n m m m 2 m 3 m n x. x . x ... x ; x>0 n n2
a) x
x
n
x
b) xm
3
14. Sabiendo que: x=
24
24 24 ...
Si: M ! N; calcule: M = a) 10
b) 7
d) 3
e) 9
15. Si: 325
2 (x + 1 )
=
5x
25
3
x + 3 x + ...
5 (x − 1 )
a) 14
b) 17
d) 23
e) 2
b) 2
d) 4
e) 5
a) 3
b) 4
d) 7
e) 8
a)
d) 125
, hallar el valor de 3x+2 c) 8
c) 3
a) xy.yx
b) xy
4 xo− 1 + 1 es:
d) 4
e) 5
c) 3
d) x-yy-x
e) (xy)x+y
4n − 2 + 1 + n − 3 42 − n + 1
b) 1 6
c) 3 4
e) 1
n
x n − 2 3n
b) 4
d) 1
e) 0
d) 7
e) 9
5
4 8x–3.
c) 5
4
5
4 5 4 ...3 = 22x ; hallar el valor de:
a) –2
b) 1
d) 1/2
e) 5
c) –1
25. Si: 12
3
aa 6 y bb 3 = = Hallar el valor de a4b
= 2 ; calcular x
a) 16
b) 3
5
19. Si: 2 5n − x n
a) 1
5n − 3 + 1 53 − n + 1
24. Si se cumple:
18. Si: 34 x − 4 . (32 x ) + 3 = 0 y 128m = 16 − x + 3 ; 2 hallar el valor de m. a) 1 7 d) 5 2
c) xxyy
23. Simplificar:
2 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + 2 x + 4 = 120 . (8 x − 1)
b) 1
c) 25
e) 5 5
22. Simplificar: R Vxy xy + yx S xy +1W S W x− y + y− x S W y x − − S xy x + y W +1W S y x x +y T X
17. Si xo es el valor que verifica la ecuación:
a) 2
c) 6
b) 2,5 5
5
n−2
El valor de
3
x x-1 x/5 21. Si: 4 -4 =24. Halle: (2x)
c) 133
16. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación: 6x-3(2x)-4(3x)+12=0 a) 0
3
n − radicales
e) xn/m
d) 2
3
x2 x2 x2 ... x2 = xK 1 444444 4 2 444444 43
c) 1
a)
2
b) 3 12
d)
6
e)
c) 3 18
2 .3 3
c) 2
18
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Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Siendo: a2+a=5. Calcular: F = aa Indicar la suma de cifras F. a) 10
b) 11
d) 13
e) 17
a + 3 + 10
d) 18
−1
9. Sabiendo que: x>0 / x ≠ 1. Simplifique:
c) 12
E=>
2. Simplificar: 270 . 3 x − 81 . 3 x + 1 − 18 . 3 x 4 . 3x − 3x + 1 a) 2
b) 3
d) 4
e) 1
c) 5
b) 22 − n/m
c) 2 − n/m
d) 24 − 2n/m
e) 3
b) x
d) x–1
e)
c) 5/2
a) 5/18
b) 25/18
d) 625/18
e) 175/18
c) 125/18
b) 1/8
d) 1/16
e) 1/24
a) 3/5
b) 5/3
d) 2/3
e) –5/3
c) 4
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c) 1/18
c) –1/3
n
92 − n = 9
a) 4
b) 3
d) 2
e) 1
c) 5
2n + 1 + 4 n . Halle: 2 n 2 + 1 + 4 (2n)
a) x/8
b) x
d) 2x
e) 4x
c) x/4
5 xx = 5 2 2
a) d) 5
2x − 3 + 2x − 2 + 2x − 1 b) 14
(m + 1) 4
2 15. Resuelva e indique el valor de x en:
2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3
a) 12
3n + 4 .
n+1
8. Calcular: E=
n
14. Si: x=2
2x x 7. Al resolver la ecuación: 3(2 )–5(2 )–152=0 el valor de (x–5)2 es:
e) 16
c)
13. Hallar el valor de "n" en la siguiente ecuación:
0, 1 0 , 2 # 0, 3 0 , 4 # 0, 5 0, 6 = 0, 5 # n 0, 2 , , 0 4 0 8 0, 2 # 0, 6
d) 9
2 b) 2m 5 e) 4
214x − 3 = 7 x + 2 3x + 2
6. Hallar "n", si:
b) 1
x
a) 1/4
3.
a) 0
c) 1
12. Hallar el valor de "x" en:
c) 5
2x x 5. Si: x +16=8x , calcular: x + 1 x
d) 17/4
a) x2
−1 11. Al resolver la ecuación: x x = 2 − 4 , el valor de "x" es:
4. La suma de soluciones de: 92x–3 = 4(32x–1) – 243 es:
b) 10/3
xH
d) 1/4
e) 22 − n/2m
a) 2
+ xx
a) m/4
a) 24 − n/m
e) 6
−x
1/m
n4
d) 5,5
x− x
xx 1 − x 2x
6 4m = 2m + 1# 4m + 1 G 4 +2 se obtiene:
88621/n . 2− 1/2@1/m B B ; es:
b) 4,5
x −x x x + x− x
10. Al simplificar la expresión:
3. El valor de:
a) 4
e) 22
5
b) 5 2
c) 5 5
e) 2
c) 16
19
Quinto año de secundaria
Capítulo 06
6
División algebraica I
Ejercicios resueltos 1. Efectúe:
x 4 + ^a + 1h x3 + ^a + b - 1h x2 ^ b - ah x + 3 - b x2 + ax + b
; e indique la suma de los coeficientes del cociente.
Resolución Aplicando el método de Horner: : 1
1 a+1 +
a+b-1
-a
-b
1
-a -1
#- a
b-a +
-b
#- b
-1
1
1
3-b
a
b
0
3
` El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1
2. Dado el polinomio: P (x) = x5 + ^3 2 - 2h x3 + 2 2 + 1; halle el valor de P^ 2 - 1h
Resolución P( 2 - 1) es el residuo de dividir P^ x h ' ^ x - 2 + 1h ABBBBB C
"divisor de primer grado"
Luego por Ruffini: x- 2 +1 = 0
1
x = 2 -1 1
3 2 -2
0
0
2 -1
3-2 2
1
2 -1 3-2 2
2 -1
2 +1
1
2 -1
0
2 2 +1
4
` P^ 2 - 1h = 4 Residuo
2 2 * ^ 2 - 1h = 2 - 2 2 + 12 = 3 - 2 2
2 * ^ 2 - 1h^ 2 - 1h = 2 - 12 = 2 - 1 = 1
20
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Álgebra
Práctica 1. Halle el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x)=10x4+6x3–37x2+36x–1 entre 5x2–7x+3 a) x b) 2x c) 3x d) 4x e) 5x 4 3 2 2. Si la siguiente división: 12x + 14x2 + 15x - 6x + 4 , x + 2x - 3
genera un residuo R(x) tal que: R(x)=ax+b. Indicar el valor que adopta a+b. a) 36 b) 39 c) 11 d) 38 e) 103 5 4 3 2 3. Si la división 8x - 2x + x - ax + 2x + 5 , genera 4x - 3
como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+a a) 12
b) 7
c) 5
4. Calcular el resto de dividir:
d) 10
e) 0
A^ x h . Si: B^ x h
b) -35
c) -37
d) -51
e) -61
5. Si: P(x)=x3–2009x2+4015x–2010. Evaluar: P(2007) a) 4017 d) 3
b) –3 e) –2007
c) –4017
6x 4 + αx3 + βx2 + γx + θ , se obtiene un 3x^ x + 2h - 1
6. Al dividir:
cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a 2x+7, calcular a–b+g–q a) 23
b) 19
c) 12
d) 6
e) 13
7. ¿Cuál es el número que se le debe restar al polinomio: 5 2 3 P(x)=2x –2x –x +1, para que sea dividido en forma exacta por (x–2)? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número. a) 10
b) 19
c) 13
d) 16
e) 9
8. A partir de: G^ x h = ^ 3 + 1h x 4 - 8x + 10 - 2 3 . Indicar el valor que adopta cuando x = 3 - 1. a) 2(1+ 3 )
b) 2( 3 – 1)
d) 2( 3 – 2)
e) 2( 3 +2)
c) 2 3
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III. F(0)=3 IV. F(3)=0 a) solo II d) II y IV
b) solo IV e) III y IV
c) I y II
11. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre: (x3 – 2x+1) deja cociente (x2 – 8) y un residuo igual a (x+3). a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 8
12. Al dividir P(x) entre (x+2) el resto que se obtiene es –1. Si la suma de coeficientes de P(x) es 5. Calcular el término independiente del residuo obtenido al dividir P(x) entre (x+2)(x – 1). b) 15
c) 12
d) 4
e) 3
13. Calcule el residuo, al dividir: P(x)=4(x–2)120+7(x–3)51, entre x2–5x+6 a) 9x – 11 b) 9x+11 c) 11x – 9 d) 11x+9 e) 11x – 29 14. Hallar el término independiente de un polinomio tal que al dividirlo entre (x2+4) deja un cociente igual a (x – 1) y un residuo igual a (3x+2). a) 1
b) –2
c) 3
d) 4
e) 2
15. Hallar el valor de a.b–1, si en la división: (a − b) xn + (a − b) 2 xn − 1 + (a − b) 3 xn − 2 ; b≠0 x−a+b n+1 se obtiene como residuo 3b a) 1/2
b) 3
c) 1/3
d) 4
e) 2
16. Al dividir un polinomio P(x) entre (x–3) se obtuvo un cociente Q(x) y un resto igual a –2; al dividir Q(x) entre (x+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(x) entre (x–3)(x+2) b) –8 c) 9 a) 8 d) –9 e) 10
a) 69
(y + 4) 10 + y5 (y + 8) 5 + (y + 2) (y + 6) y2 + 8y + 8 b) 2 e) 5
II. F(x)÷(x – 3) es exacta.
17. Hallar el resto en:
9. Hallar el resto en:
a) 1 d) 4
I. F(x)÷(x+3) es exacta.
a) 8
A(x)=x100 – 9x98+7x – 5x2 – 13 y B(x)=x – 3 a) -27
10. Si: x=3, es un cero del polinomio F(x), luego podemos afirmar:
b) 54
^ x + 1h12 + 5 ^ x + 1h2 + 2
c) 28
d) 36
e) 42
18. Al dividir F(x) entre (x–1)(x–2) (x – 3)(x – 4) (x – 5), se obtiene como residuo (x3 – 3x + 1). Hallar el residuo de dividir F(x) entre (x – 1)(x – 2)
c) 3
a) 8x+2 d) 8x – 1 21
b) 6x+2 e) 4x – 5
c) 4x+2
Quinto año de secundaria
Capítulo 06
Tarea domiciliaria 4 3 + mx + n 1. Hallar m – n, si el residuo de dividir: 4x + 3x 2 x x + -4 es 2x – 5.
a) 96 d) 12
b) 366 e) 126
a) 1
c) 27
2. ¿Qué valor debe tomar m, para que el polinomio: x3 – mx2+mx – 1 sea divisible por: x2 – x+1? a) 0
b) 2
c) –1
d) 3
x2 + ax + c
es
a) 2 d) –12 12. Al
b) 2
d) 4
b) –9 e) –18
6. En
b) –1
la
c) 1
d) 2
e) 3
b) 2 2 e) 0
2
d) 6 2
2 x5 + 2x 4 + 2 3 x3 - 3 6 x2 + 6 3 x + 12 x- 3 + 2 b) 12
d) 3 3
e) 6 6 2
c) 6 2
2
8. Calcular: a + b . Si la división: ab 2 ^a - b2h x3 + 2b^a - bh x2 + 4abx + b^2b - ah ^a + bh x + ^ b - ah deja de residuo ab a) 1 b) 2
9. Hallar el resto en: a) 0 a) 2a5
c) 3
d) 4
^ x + ah5 - x + a
b) –a b) 8
5
x+a
5
se
a) 1
e) 5
^ x2 + x + 1h + x2 + x + 10 10
x2 + x + 2
c) 9
b) 2
15. Hallar el resto de: a) 10
d) 8
17. En la división: a) 2x+5 d) 2x – 3
c) 3
e) 11
d) 4
e) 5
^ x + 1h^ x + 2h^ x + 3h^ x + 4h + 5
x2 + 5x + 2
b) 11
a) 16x+32 d) 16
c) 12 ^ x - 2h3 ^ x + 3h2 ^ x - 2h^ x - 1h
b) 16x – 32 e) x+4
d) 13
e) 14
c) 16x – 3
^ x - 8h9 + ^ x - 7h8 . Hallar el residuo. ^ x - 8h^ x - 7h
b) 2x – 15 e) Ninguna
c) 2x+3
18. Al dividir P(x) entre (x+1) (x–3) se halla por resto 5x–2 ¿qué resto se encontrará sise divide P(x) entre x–3? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 16 19. Al dividir el polinomio F(x) entre los binomios (x – 4) y (x – 2) se obtiene como residuos 9 y 5 respectivamente. Calcular el residuo de dividir F(x) entre (x – 4) (x – 2)
e) 5
a) 2x d) 4x
5
c) –2a5
d) 4
12 9 6 3 14. Calcular el resto: x + 2x +33x + 4x + 5 x +1
c) 3 2
7. Calcular el resto de la siguiente división:
a) –12
c) 12
c) 3
b) 12
16. Hallar el resto en:
indique el residuo. a)
a) 10
2x 4 + 3 2 x3 - 12x2 + 3 2 x - 2 , x- 2
división:
b) 2
13. Determinar el resto de:
c) 9
5. Hallar "a" para que el residuo de la división: x3 - ax2 - ax - a2 , sea: 3a+2. x-a-2 a) –2
e) 6
3 x 4 - 8 x3 - ^ 12 - 1h x2 - 6 x + m , x- 6
e) 5
4. Calcular ab, si: 10x5+x4 – 9x3+16x2+ax+b es divisible por 2x2+x – 3. a) 81 d) 27
d) 4
b) –2 e) 5
dividir:
a) 1
c) 3
c) 3
obtuvo como resto 3m – 4. Calcule: m
exacta, calcule: J = 2d + bc ab - bc a) 1
b) 2
11. Hallar la diferencia "m–n", si la división de: 2 2 3x +mxy+4y +5y+ny; entre x+y es exacta
e) 4
x3 + ^2a + bh x2 + ^a2 + c + dh x + ac
3. Si la división:
8 4 10. Hallar el resto en: x +2x + 1 x -1
b) 1 e) 4x+1
c) 2x+1
20. Determinar el residuo de la división: 6 x 7 + 2 3 x 6 + ( 3 + 2 ) x 4 + 4x 3 + x + 2 2 x 3 + 2x 2 + 1
22
a) 2 2 x2
b) –2 2 x2
d) – 2 x2
e)
2x
c) 2x2
2
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Álgebra
7
División algebraica II
1. Dado un polinomio cúbico P(x), cuyo coeficiente principal es 3 y además la suma de sus coeficientes es 18. Determinar el resto de dividir P(x) entre (x–4), si al ser dividido dicho polinomio P(x) entre (x2–5x+6) su residuo es (5x+1). a) 21 b) 32 c) 41 d) 51 e) 61 2. Hallar el producto de los coeficientes del resto que resulta al dividir el polinomio. 12 5 2 P(x) = (x–7) + (x–8) , por Q(x) = x – 15x + 56 a) –48 b) –30 c) –27 d) –32 e) –45
2
b) 10x +2x+6
2
e) 10x2+6x–2x 5. Dado P(x) un polinomio mónico cúbico, divisible 2 2 entre x –5x+6; además al dividir P(x) entre x –x–2 se obtiene como residuo (8x–16). Determinar el resto al dividir P(x) entre (x2–2x+3) a) 3x–2 b) 2x–3 c) x–1 d) –2x+6 e) 6 6. Sea P(x) un polinomio de tercer grado. Si P(x) es divisible entre (x–1) y también entre (x+3); además, 2 al dividir P(x) entre x –4 el resto es R(x) = x+23, halle P(–1). a) –28 d) 26
b) –27 e) 28
b) 2
c) –5
d) 7
e) 0
8. Se tiene un polinomio cúbico que se anula para x=1; x=2 y es divisible por x–3. Si su coeficiente principal es 8. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre (x+1). a) 190 b) –190 c) 196 d) –196 e) –192
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a) a12b30
b) a30b6
d) –a30b6
e) –a30b12
c) a30b12
13. Hallar el término de lugar 6 luego de desarrollar el cociente de:
a) 32x2y5
b) 32x5y4
c) –32x4y5
d) –32x5y4
e) x5y4 14. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: M (x; y) = a) 5
x180 − y80 x9 − y 4 b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
x3α − yα el x3β − yβ quinto término es x36y16. Hallar el número de
15. En el desarrollo del cociente notable
c) 16
7. Si un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente por (x–4), (x–3) y (x+2); además la suma de sus coeficientes y su término independiente son 2 iguales a 72, hallar el residuo de dividir P(x) por (x –x–5) a) –1
e) 10
x28 + 128y7 x 4 + 2y
d) –10x2+6x–2x
c) –10x –2x+6
11. Para que valor de "n" la división: xn + 1 − y3n − 4 , genera un cociente notable. x − y2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 a75 − b30 a15 − b6
2 4. Al dividir un polinomio P(x) entre (x –1) se obtiene (–2x+4) de residuo y al dividirlo entre (x2–x–2) se tiene(8x+14) de residuo. Determinar residuo que se obtiene al dividir P(x) entre (x3–2x2–x+2)
a) 10x –2x–6
10. Calcule el valor de: K = a + c − 5 , si se sabe que la a−c 21 división: x 2 − ax + c , es exacta. x −x+1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Hallar el tercer término del cociente al dividir:
3 3. Hallar: 2K+17, si: x +Kx+3, es divisible por: 2 x –3x+1 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
2
9. Hallar la suma de los coeficientes del residuo que se 70 69 2 obtiene al dividir P(x)=x +x +1 por d(x)=x +x+1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16
23
términos del cociente notable. a) 6 b) 7 c) 8
d) 9
e) 12
16. Simplificar la expresión: 102 96 90 P = x90 + x72 + x54 + ... + 1 x + x + x + ... + 1
a) x6+x3+1
b) x3+x2+1
c) x6–x3+1
d) x12+x6+1
e) x12–x+1
Quinto año de secundaria
Capítulo 07
Tarea domiciliaria 1. Hallar el residuo de la división de: Q(x)=x3–3x2–2x–a, entre (x–4), sabiendo que "a" es el término independiente del cociente de la división: x 2 − 4x + 1 x−3 a) 4 b) 3
c) 1/7
d) 9
e) 18
11. Halla el valor de "n" del siguiente cociente notable: x112 + yn x n + y7 a) 31 b) 20
b) 3
c) 2
d) 4
e) 5
3. Hallar "m+n" si la siguiente división es exacta: (m+1)x28–(n+2)x22+mx15–nx8+(2m–2)x7+1 entre (x7+1) a) 3 b) 4 c) 7 d) 1 e) –1 4. Al dividir un polinomio P(y) entre (y–3) se obtuvo un cociente Q(y) y un resto igual a –2; al dividir Q(y) entre (y+2) se obtiene un resto igual a 2. Calcular el término independiente del residuo al dividir P(y) entre (y–3)(y+2) a) 8
b) –8
c) 9
d) –9
e) 13
5. Un polinomio P(x) de tercer grado tiene siempre el mismo valor numérico igual a uno para x=–2, –3 y –4. Sabiendo que al dividirlo entre (x–1) el residuo es 121. Calcular el resto de dividirlo entre (x–2). a) 122 d) 241
b) 119 e) 242
c) 239
b) 13
c) 26
d) 25
e) 17
7. Hallar el resto de la división: (x + 1) 7 − 2 (x − 2) 2 (x + 4) 2 x − 10 (x + 2) x − 12x x 2 + 2x − 3 a) 2x+34 d) 4x+3
b) x+2 e) x–3
c) 2x–2
8. Si los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto grado son números enteros consecutivos y al dividir P(x) por x–1 el resto es 35. Hallar el coeficiente del término cuadrático de P(x). a) 5
b) 6
c) 7 4
d) 8
e) 9
2
9. En el polinomio P(x)=ax –5x +3x+b, uno de sus factores es: 2x–4 y la suma de sus coeficientes es –3, hallar a2+b2. a) 28
b) 35
c) 13
d) 10
e) 5
10. Hallar el número de términos en el desarrollo del siguiente C.N.: x56 − y32 x7 + y 4 a) 3
b) 2
c) 8
d) 5
e) 28
m31 + n31 m+n a) –m13n17
b) –m15n16
a) –m15n15
b) –m17n13
c) –m14n16
13. Hallar el número de términos del cociente notable: x p − y507 x3 − y p a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18 14. Hallar el cociente de: a22 + a20 + ... + a2 + 1 a10 + a8 + ... + a2 + 1 a) a12–1 b) a12+1 a) a6–1
c) 1–a12
b) a6+1
15. Luego de dividir: x95 − x90 + x85 − x80 + .... + x5 − 1 x80 + x60 + ... + x20 + 1 Se obtiene como cociente: a) x15–x10+1 b) x15+x10+x5+1 c) x15–x10+x5–1
3 2 2 6. Si al dividir P(x) = mx –nx +x+2, por d(x)=x –a+1, 2 se obtiene como resto r(x)=2x–4. Hallar: m +n2
a) 8
d) 14
12. Hallar el término de lugar 14, del desarrollo de:
2. Hallar el valor de "m" para que el polinomio 3 2 Q(x)=x +x –3mx+5, al dividirlo entre (x–1), dé como respuesta el doble del resto de dividir dicho polinomio entre (x–2). a) 1
c) 26
d) x20+x15+x10+x5+1 e) x20–x15+x10–x5+1 16. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N. an − b5n − 18 a2 − b9 e indicar su grado absoluto. a) 32 b) 34 c) 36 d) 40 e) 48 17. ¿Cuántos términos tiene el C.N. x 4m − y5n x2 + y a) 8
si t5, es de grado 32 b) 7
c) 12
d) 6
e) 19
18. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo en el cociente notable: x 40 − y20 x2 + y el término que tiene grado absoluto igual a 34. a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 12
19. Hallar (m+n) si el término 25 del desarrollo de: x129m − a86n es x270a288 x3m − a2n a) 3 b) 5 c) 7
e) 7
24
d) 9
e) 11
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Álgebra
8
Factorización
Ejercicios resueltos 1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.
Resolución Extraemos el factor común: a2b3c5 E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy] E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)] E = a2b3c5(b+y)(a+x) Los factores primos son: a; b; c; (b+y); (a+x) & En total son cinco 2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.
Resolución Factor común: (x+y)
Efectuando: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z)
P(x;y)=(x+y)(x+y+z) Los factores primos son:
Agrupando convenientemente:
(x+y); (x+y+z)
P(x; y)=(x2+y2+xy+yx)+(xz+yz) P(x; y)=(x2+y2+2xy)+(xz+yz) P(x;
La suma de factores primos es:
y)=(x+y)2+z(x+y)
x+y+x+y+z=2x+2y+z
3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.
Resolución A potencia 3:
Factores primos:
R=(x – 3)3+53 ........ suma de cubos.
( x + 2) S
/ (x2 - 11x + 49) 1 444 2 444 3
R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52]
primer grado
Desarrollando y reduciendo:
Finalmente la suma de coeficientes
R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25)
del factor primo de 2do grado es: 1 – 11+49=39
R=(x+2)(x2 – 11x+49)
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segundo grado
25
Quinto año de secundaria
Capítulo 08 4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.
Resolución Agrupando de 2 en 2: M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180) Factorizando cada paréntesis: M=x4 ^2x + 5h – 13x2 ^2x + 5h + 36 ^2x + 5h S S S Factor común: 2x+5 M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] Luego factorizando el polinomio de cuarto grado:
x2 x2
"Aspa simple" - 4 " - 4x2 - 9 " - 9x2 suman: - 13x2
Luego: M=(2x+5)(x2 – 4)(x2 – 9) " M=(2x+5)^ x2 - 22h^ x2 - 32h M=(2x+5)(x+2)(x – 2)(x+3)(x – 3) Donde la suma de sus factores primos será: (2x+5)+(x+2)+(x – 2)+(x+3)+(x – 3)=6x+5
5. Factorizar: P(x)=4x4 – 101x2+25
Resolución P(x)=4x4 – 101x2+25 Aplicamos aspa simple: 4x2 x2
- 1 " - x2 - 25 " - 100x2 suman: - 101x2
Luego: 2 2 P(x)=(4x – 1)(x – 25)
Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados: P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52] Finalmente: P(x)=(2x+1)(2x – 1)(x+5)(x – 5)
26
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Álgebra
Práctica 12. Factorizar: F(x)=x8+6x6+13x4+12x2 – 5 La suma de coeficientes de un factor primo es:
1. Factorizar: a) P(x) = x6 + 2x3 – 5x4 b) Q(x) = 2x (x–8) + 4m (x–8) c) R(x; y) = 3x3 y2 – 6xy3 2. Factorizar: a) P(x; y) = xy + 2x + ay + 2a b) Q(x; z) = xz – z2 – x2z2 + x3z c) R(x; y) = x3 – 3x2 + 2x – 6
a) 6
a) 7x+1 d) 7x+4
6. Luego de factorizar: M(a;b)=6ab+5b+2(3a+1)+3. Indique la suma de coeficientes de un factor primo. d) 11
e) 14
7. Al factorizar: P(x)=(3x+1)2 – 4x2; un factor primo es de la forma: mx+1 (m≠1). Hallar:"m". a) 6 a) 3
b) 5 b) 2
c) 4
8. Factorizar: P(x)=(x2 – 3)2+7x(x2 – 3)+10x2. Indique la suma de factores primos lineales. a) 2x+1 d) 2x+4
b) 2x+2 e) 2x+5
b) 2x+4y+3 e) 2x+3y+3
c) 2x – 3y+4
b) x5+7 e) x5–5
c) x5+3
17. Al factorizar el polinomio 2 P(x)=(x–3)(x–5)(x+2)(x+4)–x +x–70 en Z[x], hallar el resto que se obtiene al dividir el factor primo de mayor grado de P(x) por (x+5) a) 5 b) –1 c) 28 d) –10 e) 9
b) 3x5 e) 8x5
c) 6x5
19. Factorizar: F(x)=x8+x6+x4+x2+1. Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar la suma de los factores primos de F(x). b) x2 – x – 1 d) x4+x2
20. Factorizar: F(x)= x3+(x2+1)2 – (x+1)(x – 1) e indicar un factor primo.
11. Factorizar: Indicar la suma de términos independientes de sus factores primos.
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a) x5+5 5 d) x –7
a) x2+x – 1 c) x2+x+1 e) x4 – x3+x2 – x+1
F(x)=x4+6x3+16x2+22x+15
b) 12 e) 6
c) 7x+3
16. Factorizar: P(x)=6x7+7x6–5x5+42x2+49x–35 e indique un factor primo no lineal.
a) 2x4 d) –4x4
10. Dado el polinomio: P(x) = x5 (x2 + 1)(x2 – 9) Se afirma: a) Un factor primo es x. b) Posee 4 factores primos. c) El factor primo de mayor multiplicidad es x. d) El factor primo de mayor grado es x2+1. e) Toda son correctas.
a) 16 d) 8
b) 7x+2 e) 7x–1
18. Factorizar: P(x)=x6 – x5 – 6x4 – 5x2 – 1; e indicar el producto de los términos de uno de los factores primos de:
c) 2x+3
9. Factorizar: F(x;y)=6x2+16xy+8y2+13x+14y+6 Señalar un factor primo: a) 2x+3y+4 d) 2x – 4y+3
e) 10
15. Factorizar: 5 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 P(x) = x –x +(b –a )x +(a –b )x –a b x+(ab) e indique un factor primo. a) 7+2a b) x–b c) x+b 2 2 2 e) x +b d) x +b
5. Factorizar: a) P(x) = x2 – 8x + 12 b) Q(x) = 3x2 – 11x + 10 c) R(x; y) = x4 – 13x2y2 + 36y4
c) 9
d) 9
5 4 3 2 14. Factorizar: Q(x)=2x +x –10x –5x +8x+4 e indique la suma de sus factores primos lineales. a) 5x–1 b) 5x c) 5x+1 d) 5x–2 e) 5x+2
4. Factorizar: a) P(x) = x3 – 8 b) Q(x; y) = 27x3 + y3 c) R(x; z) = (x–1)3 + z3
b) 5
c) 8
13. Factorizar: P(x)=12x3+8x2–13x+3, e indique la suma de sus factores primos.
3. Factorizar: a) P(x) = 4x2 – 12x + 9 b) R( x; y) = 25x2 – 9y2 c) Q(x; y; z) = 9x2 + 6xy + y2 – 4z2
a) 3
b) 7
a) x2+x+1 c) x2+2x+2 e) x2+2x – 1
b) x2+x+2 d) x2 – x+2
c) 10
27
Quinto año de secundaria
Capítulo 08
Tarea domiciliaria 1. Factorizar: x2 – ax+bx – ab. a) (x – a)(x+b) c) (x – a)(x – b) e) (x – a – b)2
11. Factorizar: x7y3 – 2x6y4+x5y5 E indicar el número de factores de primer grado.
b) (x+a)(x – b) d) (x+a)(x+b)
a) 1
a) x+a+5 d) x+a+7
b) 3x+8 e) 5x+4
a) 6x+9 d) 6x – 7
c) 4x+8
5. Uno de los factores primos de: x2 – 4x+4 – 25y2 es: c) x – y+2
6. Factorizar: x14 – (x2+6x+9) e indicar uno de sus factores primos. a) x7–x+9 d) x7 – x+3
b) x7 – x – 9 e) x7+x – 3
b) 1
c) 2
a) x – y d) x – 2y
d) 3
b) x+2 e) x+1 25x4
c) x – 2
b) x + 1 e) x + 3
a) 6x + 1 d) 5x – 1
b) 6x – 1 e) 6x + 3
10. Factorizar: P(x)=abx2+(2a + 3b) x+6. Indicar un factor primo. a) ax+3 b) bx2+24 c) ax – 3 d) bx – 2 e) ax – 1
c) 5x + 1
4x3+8x2 – 11x+3 a) 3x – 2 d) 3x + 2
b) 2x – 3 e) 3x + 1
c) 2x – 1
18. Factorizar e indicar el factor que más se repite: x6 – x2+2x(x4 – 1)+x4 – 1 a) x – 1 d) x + 2
c) x2+4
c) x – 2
17. Indicar la suma de factores primos de:
109x2y2+36y4.
– 9. Factorizar: Indicar un factor primo. a) 5x+3y b) 25x2+9y2 d) x+2 e) a y d
c) x
16. Indicar la suma de factores primos de: 6x3+7x2 – 1
e) 4
5x9y – 39x6y – 8x3y
b) x+2y e) x+y
a) x + 2 d) x+ 4
8. Señalar uno de los factores primos de: a) 2x+1 d) x+4
c) 6x+1
15. Al factorizar: P(x)=x3+x2 – 10x+8. Indique el factor primo de menor término independiente.
c) x7+x+3
7. ¿Cuántos factores lineales tiene: 2x4 – 3x2 – 20? a) 0
b) 5x+1 e) 6x+5
x(y2+z2)+y(z2+x 2)
c) 3x+13
b) x – 5y+2 e) x+5y
c) x+a – 2
14. Señalar uno de los factores primos de:
x2(x+7)+6x(x+7)+9x+63 b) 2x+10 e) 3x+12
b) x – a – 5 e) x+a
(6x2 – 2x)(x – 4)+(4 – x)(3x+4)
4. Indicar la suma de factores primos de:
a) x – 5y d) x – 5y – 2
e) 5
13. Indicar la suma de factores primos de:
(2x2+7x)(x+5)+(6x+15)(x+5)
a) 2x+11 d) 2x+13
d) 4
x2+(2a+7)x+a2+7a+10
b) x3(x – a)(x+b) d) x3(x – a)(x – b)
3. Indicar la suma de factores primos de: a) 4x+13 d) 3x+13
c) 3
12. Señalar un factor primo de:
2. Factorizar: x5 – ax4+bx4 – abx3. a) x(a+a+b+1) c) x3(x+a)(x+b) e) x(x+a3)
b) 2
b) x + 1 e) x4 – 1
c) x2 + 1
19. Señale un factor primo de: M(x)=(x – 3)5+x – 2. a) x2 + 5x – 1 c) x2 – 5x + 7 e) x2 + 1
b) x2 – 5x – 1 d) x2 + 5x + 1
20. ¿Qué término hay que sumarle a: P(x;k) = n(n + 5k) + 3(kn + 7k2) para que sea factorizable? a) 3nk d) 8nk
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b) 6nk e) 2nk
c) 5nk
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Álgebra
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
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Ejercicios resueltos 1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1)2(x+2)2(x – 3).
Resolución MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1)2 . (x+2) MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1)3(x+2)2 (x – 3). R=[(x – 3)+5][(x – 3)2 - (x – 3)(5)+52] 2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18
Resolución Los polinomios factorizados son: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3) Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto: MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3) ^a - 3h x + ^2a - 5b + 3h y + 5b - 2 3. Si la fracción: adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor 3x - 5y + 3 de la constante.
Resolución Si es independiente de las variables se cumplirá: 2 a - 3 = 2a - 5b + 3 = 5b - 2 = k (valor cons tan te) 3 3 -5 1 De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 .....(a) De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2) 6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b) De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b ∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b
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en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=– 1 8 Entonces: 5 c - 1 m - 2 - 21 8 K= = 8 3 3 7 ` K =8
Quinto año de secundaria
Capítulo 09
Práctica 1. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de: P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x2+2(n+1)x+4n ∧ R(x)=x2+(2n+1)x+2n. Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x). a) n b) –2n c) –n d) 2n e) n+1 2. Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1 a) (x – 1)2 d) (x+2)
b) (x – 1) e) (x+1)2
c) (x+1)
3. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II) Determine el MCD de los siguientes polinomios: P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y2 y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4. a) x(x –y) b) (x+y)y c) x+y d) x – y e) (x+y)(x –y) 4. Sean: P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+n Si: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n" a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 5. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2)2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x). Si: Q(x)=(x –1) (x2 – x – 2). a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2 2 c) (x – 2)(x+1) d) (x – 2)2(x+1) e) (x – 2)(x+1)(x – 1) 6. P(x) es uno de 10 polinomios, donde: 3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1. a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5 7. Al efectuar la operación: -1 x y x+y E = - 1+ + c - 1 m , se obtiene: + -1 x+y xy + 1 yx + 1 a) x d) 1
b) x – y e) 0
c) x+y
10. Al simplificar la siguiente expresión: 24 xy 1− 2 9x + 12xy + 16y2 , se obtiene 8y 27x3 + 64y3 c1 − me o 3x + 4y 54x3 − 128y3
b) 8
9. Simplificar: a+b + P= a−b a+b − a−b
c) 7
d) 6
b) –1
d) –2
e) 1/2
F (x; y) = a) 0
b) 4
b) ab
d) a/b
e) a2+b2
c) 1/2
d) 1
e) 2
2 Dado: R(x) = x + 1 ; Q(x) = x2 + 1 x−1 x −1 Calcular: R (Q(R(x)))
a) x + 1 x−1
b) x+1
(x − 1) 2 x+1 13. (Examen UNMSM 2006-I) x−1 x+ 1 Si: x = x − 1 ; x = x + 1 a) x – 1
Calcular:
2 c) ` x + 1 j x−1
b)
x
a) x 2 a) x
b) x+1 b) x2–1
c) x–1
14. Si: G(x) = x + 1 ; n ∈ N x−1 Reducir: G (G (G...G (x) ...)) 1 4444 2 444 43 "2n + 1" veces
a) x
b) x + 1 x−1
n d) xn + 1 x −1
e) xn
c) x − 1 x+1
2 2 2 15. Al simplificar: a 2 + b 2 − c 2 + 2 ab ; se obtiene un a + c − b + 2ac numerador y denominador, cuya suma es:
a) 2c
b) 2b
d) a–b
e) 2(a+b+c)
16. Reducir: R =
a) 1
Ax2 + 2y2 + 6 x2 + By2 + 3
12. (Examen UNMSM 2006-I)
e) 5
a−b a+b a−b a+b
c) 2
11. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B".
+ 1 . Hallar: "A+2B". 8. Si: A + B = 7x x - 2 x + 1 x2 - x - 2 a) 9
a) 1
2 2 c) a + b 2 ab
30
c) 2a
x+1 − x−1 x2 + x + 1 x2 − x + 1
a)
2 x4 + 1
b)
2 x4 − 1
d)
2 x 4 − x2 + 1
e)
1 x 4 + x2 + 1
c)
2 x 4 + x2 + 1
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Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Hallar el MCM de los polinomios: P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2)5(x – 3)5(x+6) a) b) c) d) e)
11. Si la fracción: F (x; y) =
a) 12 d) –6
x3 - 6x2 + 11x - 6 c)
x-2 x+3
2
4. Reducir: 2x2 - 10x + x 2+ 16x + 15 x - 25 x + 6x + 5 b) 1 e) N.A.
b) x - 2 x+1 e) 2
a) 1 c) x - 3 x
e) 0
2 x+y
d) 1 Central 6198-100
1 x+y x e) x+y
b)
a) 3
c) x2+1
^a + bh3 - ^a - bh3 - 2b
d) –2 3
^a + bh3 + ^a - bh3 - 2a
3
e) 0
. c) b a
a 4 - ^ bch2 b4 - ^ach2 c 4 - ^abh2 . + + a^a - b - ch b^ b - a - ch c^c - a - bh
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
16. Si: x2≠1 y b≠1, simplificar la siguiente fracción:
c) 3 5
c)
c) 2
b) a b e) –1
Calcular: S =
E= 1 1 + x2 d) 1 1+x a)
2xy 8. Simplificar: S = 1 = x + x + 2 2 G. 2 x-y x+y x -y a)
c) –8
15. Sabiendo que: a2+b2+c2= 3 , y ab+bc+ac= 0.
Cumplen: MCM=axay4 ; MCD=bx5yb. Calcular: β b-n R= + α+a-m
d) – 3 5
b) –1
a) a + b a-b d) 1
7. Si: A(x,y)=12xn – 1 ym+1 ,y B(x,y)=16xn+1 ym – 1.
b) –1
b) 8 e) –12
14. Reducir: E =
6. Indicar el MCD de los polinomios: A(a,b)=a2+ab – 6b2; B(a,b)=a2 – ab – 2b2 , y C(a,b)=a2 – 4ab+4b2. a) a + b b) a – b c) a – 2b d) a + 2b e) ab
a) 1
mx - 12y , es independiente de 4x - 6y
13. Si el MCM de los polinomios: A(x)=x2+x – 2, B(x)=x2 – x – 2, y C(x)= x4+5x2+4; es equivalente a: x8+Ax6+Bx4+Cx2+D. Calcular: (A+B+C+D).
c) 2
2 2 5. Reducir: e x2 + x - 2 o + e x 2+ 7x + 12 o x + 2x - 3 x + 6x + 9
a) x + 5 x-3 d) x
c) 2n
12. Hallar el MCD de los polinomios: P(x)=x5+x+1, Q(x)=x5+x4+1, y R(x)=x4+x3+2x2+x+1 b) x2+x+1 a) x2 – x+1 2 e) x3+x+1 d) x – 1
e) N.A
a) 0 d) 3
5x + 1 6^ x - 1h
“x” e ”y”. Calcular "m".
^ x2 - 9h^ x - 1h
2
c)
b) 1 n e) n + 1
d) 3n
b) (x2+1)2 (x – 2)2 d) (x2+1)4(x – 2)3
b) x + 3 x-2
5x + 7 6^ x + 1h
e) x
a) n
P(x)=(x+3)4 (x2+1)6 (x – 2)2 (x+7)6 Q(x)=(x+7)2 (x2+1)3 (x – 2)4 (x+5)6 R(x)=(x+5)4 (x2+1)2 (x – 2)3 (x+3)3
a) x + 2 x+3 d) x + 1 x-1
b)
n n an bn 10. Si: x = a + b . Calcular: E = . 2 2nan - 2nx n^an - bnh
2. Hallar el MCD de los polinomios:
3. Simplificar: F (x) =
1 + 1 + 1 ^ x - 1h . 3x + 3 2x - 2 x2 - 1 m
a) 2x + 1 x-3 x d) + 1 x-2
(x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6) (x+2)4 (x – 3)4 (x – 2) (x+1)6 (x – 1)6 (x+2)2 (x – 3)4 (x+1) (x – 2)
a) (x2+1)(x – 2) c) (x+1)(x+3) e) N.A
9. Reducir: M = c
x x-y
31
1 - b2 ^1 + bxh2 - ^ b + xh2
1 1 - x2 e) x + 1 x-1 b)
c)
1 1-x
Quinto año de secundaria
Capítulo 10
10
Ecuaciones de primer grado
Ejercicios resueltos 1. Si xo el valor que satisface la ecuación:
3
x3 + 9x2 + 25x + 1 = x + 3 . Hallar: x2o + 1
Resolución Elevamos al cubo miembro a miembro para eliminar el radical: x3 + 9x2 + 25x + 1 = x3 + 33 + 3 (3x) (x + 3) x3 + 9x2 + 25x + 1 = x3 + 27 + 9x2 + 27x Reduciendo: 25x + 1 = 27 + 27x –26 = 2x - 13 = xo " x2o + 1 = 170 2. Si: "x" es el valor que satisfacen la ecuación: Hallar el valor de: 1+x+x2+....+x8
x2 - 2x + 14 + x 2 + 4x + 2
x 2 + 4x + 2 = 2 x2 - 2x + 14
Resolución El primer miembro de la ecuación tiene la forma: a +n b
n
b ; luego si: a
n
a +n b
b =2"a =b a
` x2 - 2x + 14 = x2 + 4 + 2 12 = 6x 2=x 9 entonces: 1 + 2 + 22 + ... + 28 = 2 - 1 = 511 2-1 n+1 -1 Nota: 1 + x + x2 + ... + xn = x x-1
3. Si la ecuación en "x": n2x–n2+5x=2+6nx–3n; tiene infinitas soluciones, halle el valor de "n". a) 5
b) 2
c) 1
d) 0
e) 3
Resolución Se tiene la ecuación: n2x–n2+5x=2+6nx–3n Ordenando convenientemente: 2
2
n x–6nx+5x=n –3n+2 2
2
(n –6n+5)x=n –3n+2 Factorizando los coeficientes por aspa simple: (n - 1) (n - 5) x = (n - 1) (n - 2) 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 A
B
Se obtiene una ecuación paramétrica, que por dato debe tener infinitas soluciones, entonces A=0 / B=0, es decir: (n–1)(n–5)=0 (n–1)(n–2)=0 De donde: n=1.
32
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Álgebra
Práctica 1. Si el conjunto de la ecuación:
2 ( x + 1) - 1 - x =x+ 3 5 10 3
es $ n + 1 . . Halle el valor de: n2-3 n a) 0
b) 6
d) 13
e) 46
a) m! R -{3} c) m! R -{-3;3} e) m!{-2;2}
c) 22
2. Con respecto a la siguiente ecuación: (a–1)(a–3)x = (a–1)(a–2) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a=1; es compatible determinada. II. Si: a=2; es compatible indeterminada. III. Si a=3; es incompatible. a) VFV
b) FFV
c) FFF
d) FVV
VVF
3. Determine la cantidad de elementos del conjunto solución de la siguiente ecuación: 1 + x = x+4 + 1 x−2 x+1 x+7 x−2 a) 2
b) 1
d) 5
e) 3
c) 0
4. Resolver: x + a + b + x + b + c + 2 = a + c ; ac ≠ 0 a ac c a) 1–a–b–c d) 1 - a + b - c
b) 1+a–b+c 2
d) –2n
e) n–m
c) –2m
c) - 5 21
7. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtienen infinitos valores de "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b". a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
8. Si la ecuación en "x"; (x–1)m2+(5 – 4x)m+3x – 4=0; resulta ser compatible indeterminada, encontrar el valor de "m" a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 9
9. Del problema anterior indique el valor de "m" para que el conjunto solución de la ecuación sea vacío. a) 7
b) 5
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c) 3
c) 8
d) 7
e) 6
12. Sean los conjuntos iguales: A = {x ∈ R / x − 2 + 4 = x} B = {5m+3} Halle el valor de m a) 0,2 d) 0,8
b) 0,4 e) 0,9
c) 0,6
13. Resolver: ^ x + nh + ^2x + n - 1h + ^3x + n - 2h + .... + ^nx + 1h =
a) -3
b) -2
d) 0
e) 1
n^n + 1h 2
c) -1
a2 - 2ax + x2 a x 1; x2 ! a2 , + 2 + 2 2 2 = a -x a + 2ax + x
a) 1 2 d) 1 5
es reducible a una ecuación de primer grado. b) 5 6 e) 2 5
b) 9
para "x".
6. Resolver la ecuación en "x": x + 2n = x + 1 , si ésta 2nx + 1 5x a) 1 2 d) - 5 3
a) 10
c) 1–a+b–c
2 2 5. Resolver: x + m - x + n = m + n - 2 ; ac ≠ 0 n m mn
b) m–n
b) m!-{-3} d) m!{-3;3}
11. Al resolver: 4 m2 - 2mx + x2 + x2 = m , se obtiene CS a {2}, indicar "m" para que esto sea posible
14. Resolver:
e) 1–b–c
a) m+n
10. La ecuación en x: (x – 1)m2 – 9(x – m)= 18; genera un conjunto solución unitario Hallar "m".
d) 1
e) -1 33
b) 1 3 1 e) 6
15. Resolver la ecuación en "x": a) 46a 15 49 a d) 15
b) 47a 15 50 a e) 15
c) 1 4
5x + a + 6a =4; a>0 5x + a - 6a c) 48a 15
16. Siendo: a2 ! ^ b - ch2 , resolver:
b2 + c2 - x x + a2 -1 = ^c - a - bh^ b - a - ch (a + b - c) (a - b + c)
a) a
b) c
d) bc
c) ac
e) b+c
17. Determine la solución de la ecuación de incógnita "x": x+
n
n+1
K=1
i=1
/ (x + K) = /
i
a) 1/4
b) 1/2
d) –1/2
e) –1/4
c) 1
Quinto año de secundaria
Capítulo 10
Tarea domiciliaria 1. Resolver:
6 - 7 = 21 5 - x 5 + x 25 - x2
a) 0
b) 1
c) 2
12. Resolver: d) 4
Dando el valor de x; además a≠b a) 3 b) 2 c) 1 d) -1
3q 35 6q d) 5
3q 27 2q e) 15
a)
e) 0
5p + q + 6p =4 5p + q - 6p
3. Resolver para "p":
b)
c)
a) 1 d) 4
e) 5
+a+b = 1 2. Resolver: xa + xb a-b a2 - b2
13. Resolver: ^ x - 2 + 3h^ x - 5h^ x + 3h = 0 . Indique su menor raíz a) 11 b) 5 c) -3 d) 2 e) 1
5q 27
15. Dar "a" si la raíz de la ecuación: ax + 2 = 3x - 5 es: 7 x=-19.
(k2 – 4)x+6=(k+4)k – 1 c) 2
d) -2
e) -4
5. De la ecuación de 1er grado: (a–3)x2+bx+c=0; sabiendo además: a+b+c=6. Hallar: E=b+c a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6. Resolver: 1 a) 5
8. Resolver:
d) 2
e) 1
c) 2
b) 4
9. Despejar "x" en:
c) 5
10. Resolver:
3+
11. Hallar "x" en:
=
5 x- 1 3
1
3+
b) 2 3 e) 4 5 4+
5 2+ 1 5 15
76 133
x-3 + 2x + 5
2x + 5 = 2 . Dar el valor de x-3
b) 0 e) N.A.
c) -1
17. Hallar "x" en la ecuación de 1er grado: a) 9 d) 11
e) 4
d) 7
e) 6
c) p2+q2
b) p - q e) p+q+pq 1
a) 4 3 10 d) 3
a) 1 d) 40
d) 5
p^ x - ph q^ x - qh = x; pq ! 0 . + q p
a) p+q d) p2 - q2
e)
c) 4 7
(a+5)x2+(a+3)x+7 – 3a=0
x + 11 + x + 4 = 7
a) 3
d) 7 4
a) 1 d) –27
c) 3
b) 1
b) 7
(x+7)3.
7. Resolver: 3x + 7 + x = 1 + 8 x+2 x+2 a) -3
a) 4
16. Resolver:
2 =0 2+ x-2 x+4
b) 4
b) 2 c) 3 e) Incompatible
14. Hallar "m" si la raíz de la ecuación en x: mx + 2 = x + 6 3 es 2. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
4. La siguiente ecuación es incompatible: Hallar:-k2 a) 0 b) 1
4 2x - 1 = 4 + 1 . + 5 x-1 x-1 5
b) -5 e) 13
c) -3
18. Resolver: x + 2 + 4x - 7 = 2 . Dar: x2 – x+1. 4x - 7 x + 2 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 7
19. Resolver: x + x + x - 1 = abc - x^a + b + ch . ab bc ca a) abc d) a+b+c
.
b) a + b + c abc e) ab+c
c)
abc a+b+c
20. Resolver: x - 3 + 22x - 5 = x + 2 . x-2 x +x-6 x+3 c)
a) 3 d) 6
8 10
b) 4 e) 7
c) 5
23 + 1 + x - 3 = 3 .
b) 20 e) 12
c) 30
34
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Álgebra
Planteo de ecuaciones de primer 11 grado Ejercicios resueltos 1. De un depósito lleno de x litros se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y queda aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.
Resolución Traducción: capacidad del depósito
x
un cuarto del contenido
1x 4
mitad de resto
1 (x - 1 x) 2 4
queda aún
1500 litros
Expresión: x = 1 x + 1 ( 3 x) + 1500 2 4 4 8x = 2x + 3x + 12000 3x = 12000 x = 4000 litros
2. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ellas más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?
Resolución Traducción: extensión de la hacienda
x (en hectáreas)
primer hermano
1 x + 80 3
segundo hermano
1x 4
tercer hermano
20
Expresión - ecuación: 1 x + 80 + 1 x + 20 = x 3 4 4x + 960 + 3x + 240 = 12x 1200 = 5x x = 240 hectáreas
Central 6198-100
35
Quinto año de secundaria
Capítulo 11
Práctica 1. Ana compró una bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regala 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? a) 18 b) 25 c) 30 d) 20 e) 22 2. Un frutero compra fresas pagando S/.7 por cada 3 kg. de fresa. Si vende a S/.13 cada 4 kg. y ha ganado el precio de costo de 44 kg. de fresa. ¿Cuántos kg. de fresa vendió? a) 120 kg b) 116 kg c) 112 kg d) 105 kg e) 110 kg 3. Al examen de un curso de matemáticas, solo asistieron los 2/3 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/4 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso? a) 75
b) 180
d) 80
e) 120
c) 10
4. Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso? a) 3,50 soles
b) 4,00 soles
d) 3,75 soles
e) 4,25 soles
c) 4,50 soles
5. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/.360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero? a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 6. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. Desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela? a) 120 b) 160 c) 180 d) 100 e) 80 7. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran 3 conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 4 8. Solo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul menos cuatro, y todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9
9. Cierto número de gorriones están volando y se posarán en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste, quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay? a) 16 b) 14 c) 20 d) 18 e) 22 10. Una persona tiene "x" años y otra "z" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n
b) x – z
c) x − zn
d) x - zn e) x - zn n n-1 11. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino mas S/.11 y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5. ¿Cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15 d) S/.13 e) S/.11 12. Un boticario tiene cierta cantidad de kilos de una sustancia química, vende la cuarta parte y compra 12 kilos, con lo cual tiene los 3/2 de la cantidad primitiva. ¿Qué cantidad tiene de sustancia el boticario? a) 16 Kg b) 24 c) 32 d) 8 e) 48 13. Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 nietos. José, el primogénito, tiene un hijo más que su hermano Jorge; y su hermana Carmen tiene dos hijos más que su hermano menor. ¿Cuántos hijos tiene José? a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 14. Para comprar "n" libros me falta S/.a; pero si compro (n−1)libros me sobra S/.b. Si todos los libros tiene el mismo precio. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. a + 2b
b) S/. 2a + b
2 (a + b) 3 e) S/. a + 2b 2
d) S/. a+b
c) S/.
15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró? a) 5200
b) 4800
d) 3800
e) 3200
c) 4200
16. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas, lleno hasta los 3/5 pesa 7/4 del vagón vacío. Halle el peso de la cal.
36
a) 12
b) 13
d) 15
e) 16
c) 14
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Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Si Juan recibe S/.5 tendría el doble que si hubiera gastado S/.5. ¿Cuánto tiene Juan? a) S/.18 b) 15 c) 9 d) 10 e) 22 2. Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años? a) 18
b) 30
d) 10
e) 5
c) 4
3. Si los 7/3 del número de inteligentes de una familia y los 5/2 de este mismo número resultan dos números consecutivos, calcular el número de inteligentes de esa familia. a) 6 b) 12 c) 9 d) 17 e) 18 4. Dos personas tienen 200 y 250 dólares, si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 3 a 5; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos. a) $ 300
b) 200
d) 210
e) 190
c) 180
5. Las edades de dos esposos se diferencian en 3 (esposo mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre? a) 30 años
b) 33
d) 34
e) 38
c) 36
6. La cantidad de naranjas que tiene una vendedora es el doble de lo que tiene otra, menos 5. Si el producto de dichas cantidades es 558. ¿Qué cantidad tiene entre las dos? a) 43 b) 48 c) 60 d) 49 e) 50 7. Si a mi edad le aumentamos 4 años y luego a este resultado lo multiplicamos por 3, obtenemos un número que no es mayor que 59, ni tampoco menor que 49. ¿Cuál es la mitad de mi edad? a) 9
b) 3
d) 6
e) 8
c) 7
8. Los 3/4 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto gallinas y las 9 restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja? a) 16
b) 18
d) 54
e) 72
c) 144
9. Hallar tres números consecutivos, si se sabe que los 8/15 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. El menor de ellos es: a) 42
b) 41
d) 46
e) 47
Central 6198-100
c) 44
37
10. Tengo S/.120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría. ¿Cuánto más hubiese gastado? a) 6
b) 41
d) 46
e) 2
c) 44
11. Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de los valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números. a) 9
b) 10
d) 12
e) 12
c) 11
12. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora, "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en 4 horas? a) 20
b) 16
d) 28
e) 32
c) 24
13. De un juego de 32 cartas se sacan "y" cartas y 3 más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez? a) 20
b) 16
d) 28
e) 9
c) 24
14. Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta? a) 66
b) 136
d) 108
e) 118
c) 96
15. Seis veces la novena parte de la edad de Carlos, excede en nueve al triple de la cuarta parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 30 años? a) 5 años
b) 6
d) 2
e) 10
c) 9
16. "A", "B" y "C" tienen en total 126 limones; si "C" le diera la cuarta parte a "A" entonces tendrían la misma cantidad, pero, si "A" le diera la mitad a "B", entonces "B" tendría la misma cantidad de "C". ¿Cuántos limones tiene B? a) 28
b) 56
d) 48
e) 54
c) 42
17. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras? a) 60
b) 40
d) 50
e) 70
c) 30
Quinto año de secundaria
Capítulo 12
12
Ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) 2 Sea: a = 2 + 5 , indique el polinomio cuya raíz es a .
Resolución Hallamos a2 2
2
a2 = ( 2 + 5 ) 2 = 2 + 2 10 + 5 = 7 + 2 10 2
Luego si: x= a es raíz del polinomio pedido; lo formamos a través de: x = 7 + 2 10 x - 7 = 2 10 (x - 7) 2 = 40 x2 - 14x + 49 - 40 = 0 ∴ el polinomio pedido es: x2–14x+9
2. (Ex. Admisión UNMSM 2007−II) Dada la ecuación con raíces complejas: 2 3x + (m+2)x + m = –2
Halle el máximo valor entero que puede tomar m.
Resolución Ordenando la ecuación: 3x2 + (m + 2) x + m + 2 = 0 "
T 37 - 2 - 5 10 10 5 2
En (I): 5x>2+3(4) 5x>14 x> 14 → x>2,8 5
y> 30 ⇒ y>3 ................. a 10 Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la segunda inecuación por -5, se tiene:
En (II): 2x
1 2y – 5 Luego indique el producto del mayor valor de G y el menor valor de H.
b) a>0 b>0
e) 19
c) a
a) 8 d) 4
9. Al resolver: 5x - 3 - x 2 6
2. Dados los intervalos:
a) d) −a2 − b2
e) x1 ∧ x>−3 ..................................... (1) 4 2 3y + 7 y - 1 ..................................................... (2) 2 -2 3 Respectivamente. Calcular: AC∩B. a) 11 e) 11
53
c) 17
b) 11 d)
Quinto año de secundaria
Capítulo 17
Tarea domiciliaria 1. Si: 3 ≤ a ≤ 5; hallar la variación de: M = 2a − 7; indicando la suma del menor y mayor valor. a) 2
b) 4
c) 3
d) −3
12. Si: −4 ≤ a ≤ 2; hallar la variación de: 12 indicando a-8
e) −2
el menor valor. a) −2 d) 1
2. Si: −2 ≤ a ≤ 3; hallar la variación de: E = 8 − 3a; indicando el menor valor. a) 14 d) –2
b) −3 e) 3
c) −1
b) 3 e) 9
c) 10
b) −8 e) −2
b) −1≤N
d)
e) f
b. |x − a|2 − 7|a − x| − 60≥0 b) a+6
d) a+8
e) a+12
e) 12
a)
- 9; + 3 2
b)
9; + 3 2
d)
- 3; 9 2
e) $ - 9 . 2
c) 8 - 9 ; + 3 2
a) {4 ; 5}
b) [4 ; 5]
d) {4}
e) {5}
c)
23. Si |x − a|0 a que intervalo pertenece: b . x - a + 3b
c) 0; ∀ x ∈ R . Hallar el conjunto de valores de "a". a) a ! 8− 1 ; 3 > 4 c) a ! < − 1 ; 3 > 4
10. Resolver: x2 − 4|x|+4=0. E indicar el número de soluciones mayores que 2.
b) a ! < 1 ; 3 > 4 d) a ! 8 1 ; 3 > 4
e) a ! < − 3; + 3 > 2
4. Sean A el mayor numero real tal que: 4+2x+5x ≥ A
b) 15
d) 19
e) 21
d) −4
e) 5
N # x − 4x + 29,
6x!R
a) 24
b) 25
d) −24
e) −25
b) < 1 ; 3 > 2
d) < 1 ; + 3 > 4
e) < 5; + 3 >
b) 2;6
d) −2;2
e) 2;3
c) −2;6
a) 5
b) 1
d) 125
e) 625
c) 25
a) x∈∪ b) x∈∪ c) x∈
c) 7
d) x∈f e) x∈ 14. Resolver:|1+x|≤3∧|x|≥3, e indicar su intervalo solución. a) x∈∪[3;+∞>
c) 26
b) x∈∪ c) x∈[−4;−3] d) x∈[−4;3>
2 7. Si: ax +(1–2a)x+a>0, ∀ x ∈ R. Hallar el conjunto solución de "a".
a) 65; + 3 >
a) 2;2
13. Resolver:|x − 2|>3 e indicar el intervalo solución.
6. Determine el mayor valor de "N" en: 2
e) 0
Calcular: (x+y)2; además {x,y} ⊂ Z.
5. Dado el polinomio: P(x)=x –6x+11. Determine la constante K de modo que P(x) ≤ K tenga por solución al intervalo 6 0; r @, donde: r > 0. Calcular: 2K − 5r. b) −3
d) 4
c) 3
12. Si se cumple: ) x + 1 = 2x − 3 . 2y − 2 = y − 1
c) 17
2
a) −8
b) 2
11. Resolver: ||x2 − 1|−x|=x Luego indicar el valor del doble de la mayor solución entera, e indicar el número de soluciones.
∀ x ∈ R y B el menor número real tal que: 4–2x–5x2 ≤ B. Hallar: E = 10A − 5B. a) 13
a) 1
c) 63 ; 2 >
e) x∈f 15. Indicar el intervalo de valores negativos que verifican:: |x2 − 4|≤|3x|.
8. Resolver: |16 − 2x2|=0. Luego se afirma que: a) Tiene solo una solución, cuyo valor es 2 2 . b) Tiene solo dos soluciones, siendo una de ellas cero. c) Tiene como raíz a cero. d) Tiene dos soluciones. e) x ∈ R
a) x∈[−12;−3]
b) x∈[−1;3]
c) x∈[−6;−2]
d) x∈[−4;−1]
e) x∈ 16. Resolver:|5x − 1| d) b) [1; +∞> c) [3; +∞> d) [–1; +∞> e) [0; +∞> 9. Halle el rango de la función: f(x) = –x2 + 2x Sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) De como respuesta el valor de la menor imagen. a) –10 b) –3 c) –2 d) –4 e) 5 6. Dado: A = {x ∈ Z / |x| ≤ 4} Sean f y g funciones de A en R, definidas por: f(x) = x2 – 3 y g(x) = 1 − x +1 Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de g. a) {0; –2; –3} b) {–3; –2; –1} c) {1; 2; 3} d) {–3; –2; 1} e) {–1; 0; 1}
Central 6198-100
b) [1; 3] e) [0; 3]
10. Determine el rango de la función "H" definida por: H(x) = x2 – 2 (|x| + 1) + 7 a) [6; +∞> c) [–4; 4] b) R d) [–8; 3> e) [4; +∞>
4. Dado: M = {x ∈ N / |x| ≤ 5} Sea "f" una función de M en R, definida por: 1 f (x) = 5 − x + x−2 Donde la suma de los elementos del rango de la −1 −1 función es: a + a + b + 2 , entonces a . b, es: a) 1 d) 2
4− x +1
59
c)
c) [1; 2]
13. Si "f" es una función cuadrática; cuya regla de correspondencia la conforma solo un polinomio mónico de término independiente unitario. Hallar: f(2x). Si f(3) = 13. a) x2 + x + 1 b) c) d) e)
x2 – 2x – 1 4x2 + 2x – 1 4x2 + 2x + 1 4x2 – 4x + 1
Quinto año de secundaria
Capítulo 19 18. Hallar el menor valor del rango de la función: f(x) = x2 – |x| + 1, si: Dom (f) = [–3; 3]
14. Hallar el rango de la siguiente función: f (x ) =
2
2
( x − x) ( x + 2x ) x2 + x − 2
a) R 0+ c)
R 0+
b) R – {1; –2} – {1; 4}
d)
R 0+
– {2; 4}
e) {1; 4} 15. Halle la menor imagen de la siguiente función: G (x) = 4 x a) 26
2− 4 x + 1
b) 2–3
d) 2–6
c) 2–5
d) 2,5
e) 2
c) 1,5
a)
c)
Tarea domiciliaria 1. Si el siguiente conjunto; es una función: F = {(4; 4), (x; 5), (4; x2), (2; 6)} Calcule el valor de: P = x + F(−x) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3 4
4x − x2 , y de como x respuesta el resultado del número de valores enteros
2. Calcular el dominio de: G (x) =
5. Sea f una función constante tal que: 2f (10) + f (20) = 8. f (3, 5) − 5 Calcular: B = f(1020)+f(31)+f(2560)
incluidos en dicho dominio. a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
3. Calcular el rango en: F(x) = 4x − 8; x ! 6− 2 ; 5 > y de como respuesta el valor de la menor imagen. a) −16
b) −17
d) −19
e) −20
c) −18
2 −1
6 −13
40 a
a) 21
b) 22
d) 24
e) 25
c) 23
6. Hallar el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0) = 9 f(−1) = 7 f(1) = 19 Para todo pre-imagen real de "f". a) 8 27 : + 3 > 4 c) < 17 ; + 3 > 4 11 e) < ; + 3 > 5
4. La tabla adjunta muestra parte del dominio y rango de una función lineal f. x f(x)
c) −45
b −175
La suma de a y b es:
60
b) 8 11 : + 3 > 4 d) < 27 ; + 3 > 4
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Álgebra 7. Hallar el rango de la función: f(x) = –x2+4x Sabiendo que su dominio es igual al conjunto de los números reales. a) < − 3; 1@
b) < − 3; 4 @
c) < − 3; 2@
d) {–3; 7}
e) {5; –3} 9. Dada la función: F = " (x; y) ! R2 / F (x) = x2 − 2x / 4x ! < − 4; 20 > , Además: Ran F = [m; n>. Calcular: S=16m–45n–1 a) −17
b) −18/
d) −20
e) −21
c) −19
10. Dado: A = " x ! Z / x # 3 , sean f y g funciones de 2 A en R , definidas por: f(x)=x –2 y g (x) = 1 − x + 2 Hallar la intersección del rango de f con el dominio de g. a) {–2; –1}
b) {–3; –2; –1}
c) {–1; 0; 1}
d) {–1; –2; 0}
c) [–1; 2]
d) [–1; 3]
17. Si: F : R " R , es una función definida por: 2x − 3 F (x ) x$3 F ( x) = * 3x F (x ) − 3x + 1 x < 3 / x ! 1 3 Determine el valor de: P = F(4) + F(2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Sea la función: f(x)=x6–3x4+3x2–12; Dom (f) = Determinar el mínimo valor de "f". b) −13 e) −9
c) −12
19. Se define la función: f (x) = "x , / f (x) = n * n G x < n + 1; n ! Z, 6 x ! R A partir de dicha definición se establece que la solución de la ecuación: f(2x) + f(3x) = 2; es x ! 6a; b > . Hallar "ab".
11. Dadas las funciones: f(x) = 5x + 6; x ! ; − 7 ; 1 > y 5 5 2 g (x) = 18 − 7x − x . Hallar Ran (f) + Dom (g) b) [1; 2]
d) 6− 7; 1@
a) −15 d) −10
e) {1; 2; 3}
a) [–2; –1]
b) 61 ; + 90@
16. Dadas las funciones: F(x) = x2+3x–3 G(x) = x2+x+m Calcular el mínimo valor entero de "m" tal que 6x ! R , se cumpla que: F(x) + G(x) ≥ 0. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Calcular el rango de la función: x−4 x f (x) = x c) {1; –3}
a) 61 ; 4 @ e) 61 ; 8@
e) < − 3; 4 >
b) {–5; –3}
f (x) = 9 − x + 1
c) 61 ; 9@
d) < − 3; − 1 >
a) {–4; –3}
15. Hallar el rango de:
a) 1/2
b) 1/3
d) 1/6
e) 3/4
c) 2/3
20. En la figura adjunta se muestra un trapecio isósceles: 1
e) [1; 4] 12. Si "f" es una función lineal, tal que: f(1)=20 / f(−1)=0. Halle la pendiente de la recta que representa f. a) 5
b) 10
d) 20
e) 25
h
c) 15 45º
2
13. Sea: f(x)=x –4x+5; Dom f = [0; 3]. Si n y N son el mínimo y máximo valor de f(x), respectivamente, hallar: N – n. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
a)
c) 3
1 14. Sea "f" una función definida por: f (x) = x−1 − x−2 Hallar el Ran (f) a) c) R / 6− 1; 1@ e) < − 3; − 1@ Central 6198-100
x Expresar el área sombreada en términos de "x".
b) 6− 1; 1@
( x − 1) 2 8
2 c) x 4 (x + 4) (x − 4) e) 8
b)
(x + 2) (x − 2) 8
d)
(x + 1) (x − 1) 8
d) R / < − 1; 1 >
61
Quinto año de secundaria
Capítulo 20
20
Funciones II
1. Si la gráfica de la función "f": f(x) = x2 – 3x + 2m pasa por el punto (5; 20). Halle la imagen de –3 mediante "f". a) 12 b) 8 c) 18 d) 28
2
e) 38
2. Obtener la gráfica de la función constante "g" tal que: g (10) + g (15) =8 g (7) − 3 a)
2
5. La gráfica de la función: f(x) = –x +6x–5, intersecta al eje "x" en los puntos "P" y "Q", y al eje "y" en el punto "R". Hallar el área de la región triangular PQR.
b)
y
e)
x
x 2 III. f={(x;y) ∈ R2 / y = 8 – |x–2|}
7. Si las gráficas de las funciones f y g se intersectan en el punto (m; n). Indicar el valor de: E = 2m+3n donde: f(x) = 2 – 3x g(x) = |x+8| – 2 a) –14 b) 7
y 4
x x
d) –36
d) (5; 4)
3. Esbozar los gráficos de las siguientes funciones:
4. Dadas las siguientes funciones:
d) 39/8
f:R
R / y = f(x) = x2 + 3
g:R
R / y = g(x) = –x2 + 2x
h:R
R / y = h(x) = 3x2 – 6x + 1
cuyas gráficas están representadas por parábolas cuyos vértices son V1, V2 y V3 respectivamente.
Calcular: d12 + d22 , si: d1 es la distancia de V1 a V2; y d2 es la distancia de V2 a V3. e) 16
e) (2; 5)
f(x) = 2 x2 + x + 5n – 5 pasa por el punto (3; 26). Halle el menor valor que toma dicha función. a) –1/4 b) 3 c) 24/5
II. y = − 2 x– 6 3 2 III. f = {(x; y) ∈ R / 2y + 3x = 12}
d) 14
c) (1; 0)
9. Si la gráfica de la función:
R / y = f(x) = 3x – 12
b) 12
e) 17
g(x) = –2x2 – 6x + 8 h(x) = –x + 1 a) (1; 3) b) (0; 1)
–4
a) 11
c) 13
8. Halle las coordenadas de uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:
y x
I. f : R
R / y = f(x) = |x|
IV. f(x) = |2x+1|+4
4 –4
e) 30
I. f : R
y
d)
y
d) 20
c) 12
II. y =
x c)
b) 10
6. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones:
4
4
a) 15 u
c) 13
e) 10
10. La resistencia de un material de aluminio está dada por la función: f(x) = 10 x (12 – x) 9 siendo "x" el peso ejercido sobre el material. Para que peso la resistencia es máxima y cuál es la resistencia máxima a) 15; 36 b) 6; 30 c) 6; 40 d) 10; 25
62
e) 11; 40
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Álgebra 11. Indicar la suma de valores de "n", para que las gráficas de las funciones: f(x) = –nx2 – 5x + 4 g(x) = 11x + n sean tangentes. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
e) 8
12. Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = |2x| y g(x) = x + 5 2 2 a) 20 u 3 d) 40 3
b) 32 3 e) 16 3
c) 38 3
13. Grafique la función: f(x) = |x–2| – 1 Si: 0 ≤ x ≤ 4 Luego, calcule el área de la región determinada por la gráfica de "f" y el eje "x". a) 1 u2 2 c) 4 u2
a) 3 u2
b) 1 u2
d) 2 u2
14. Una avispa se mueve según la trayectoria descrita por la curva: y = x2 – 10x + 29 Hallar la menor distancia de la trayectoria al eje "x". a) 4u b) 5u c) 6u d) 2u
e) 1u
15. Halle la suma de los valores de "K", tal que la recta: y=Kx, sea tangente a la curva: x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0 a) 0,75 b) –1,5 c) 6/5 d) –0,75
e) 1,5
16. Halle el área de la región limitada por el gráfico de la relación: R = {(x; y) ∈ R2 / y = |x–2| ∨ y=2} a) 20 u2 b) 10 u2 c) 8 u2 d) 4 u2
e) 2 u2
17. Halle el área de la región determinada por el gráfico de la relación: R= {(x; y) ∈ R2 / x ≤ y ≤
4 − x2 }
2 a) ≠ u 4
b) ≠ u2 2
d) 2p u2
e) ≠ u2 3
c) p u2
18. El perímetro de un terreno de forma rectangular es "8a". Indique el intervalo de variación de la función A; si ésta representa el área de dicho terreno. 2 a) [0; 8a ]
b)
a) y ! R
los puntos de intersección de la parábola:
2
a) 3 d) 5/2
x
a
19. Hallar el rango de : F(x) = |x − 7| + 7
2
14. Hallar el área de la región triangular formada al unir
a) 6u
2
–a
e) {(5 ; −2), (21 ; 6)}
a) b) c) d) e)
15. El área de la figura sombreada es "a" u2. Calcular "a" y 2 F(x)=5– x
c) y ! 67; + 3 >
d) y ! R − " 7,
e) y ! " 7,
20. Sean las funciones f y g definidas en R por: f(x) = x2 + 2 ; g(x) = x + b. Hallar la suma de todos los valores de "b" que cumplen: f [g(b + 3)] = g[f(b − 3)]
c) 16u2
65
a) 0
b) 1
d) − 17 3
e) 17
c) 17 3
Quinto año de secundaria
Capítulo 21
21
Logaritmos I
Ejercicios resueltos 1. Si: Log 2= x, Log 3= y, el valor de la expresión Log ( 8 ) − 3 log 60 en términos de x e y, es: 27
Resolución Aplicando las propiedades: Log A + Lob B = Log (A . B) " A, B, 1 R+ Log A − Log B = Log ( A ) 4 B Entonces: Log ( 8 ) − 3 Log 60 = Log 8 − Log 27 − 3 (Log (6 # 10)) 27 = Log 23 − Log 33 − 3 (Log 3 + Log 2 + Log 10) S 1
Además: Log xn = n . Log x ; x>0 Entonces: Log ( 8 ) − 3 Log 60 = 3 Log 2 − 3 Log 3 − 3 Log 3 − 3 Log 2 − 3 27 = 3x − 3y − 3y − 3x − 3 = −6y − 3 ` Log 8 − 3 Log 60 = − 3 (2y + 1) 27
2. Si: Log 4 y = 2 y Log 4 (
x2 y3 )=5 16
El valor de x es:
Resolución Aplicando las mismas propiedades y la definición: Log ) y 42 ` y = 16 = 4 y 2= Del segundo dato: Log 4 x2 + log 4 y3 − log 4 16 = 5 2 . Log 4 x + 3 Log 4 y − 2 = 5 S 2
1/2 1 ....= 2 log 4 x 1= " log 4 x x 4= 2 = 2
66
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Álgebra
Práctica 1. Si: a+b=ab y 1 1 + = loga (ab) log b (a + b) a) 2
b) 4
d) 0,5
e) 1
2. Hallar el valor de: Log
2 2
10. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I) Los logaritmos decimales de 2 y 3 son: log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4711, calcular log 2880 con cuatro cifras decimales. a) 1,4116 b) 1,7236 c) 2,2236 d) 1,7080 e) 2,0103
x − 1. Indique: x/2. c)
2
0, 25
a) –1/3
b) –2/3
d) –5/3
e) –2
11. Si: a > b > c > 1, reducir: logc a + 1 E= logc b . log b (a2 c2)
c) –4/3
3. Calcular: K = Log 4 (Log32 4) 8 25 B
a) 0,25 d) 1
b) 0,5 e) 1,25
2
10
log 5 6
d) 125
e) 625
2
5Log x (x − 5x + 15) = 3Log x 25 a) 2 y 3 b) 2 y 4 d) 3 y 4 e) 2 y 5
c) 25
3−a 3 (1 − a)
b) 3 − a 1−a
d)
2−a 2 (1 − a)
e)
c) 2 − a 1−a
a) 2 d) 1/5
3+a 3 (1 + a)
a) 7/3 d) 4/3
Calcular "b" log 5
2
b)
log 6
d)
log 7
2
e)
log 11
2
c)
log 4
a) 1/2 d) 1/4
9. Reducir: 1 1 1 + + 1 + log3 (10e) 1 + Ln (30) 1 + log (3e) b) log 3
d) Ln (30)
e) log (3e)
c) 1/2 3
a) b c) 13/6
b) 5/6 e) 17/6
17. Si: Log 4 x + Log x 2 = 3 . Hallar el mayor valor de 2 logab, siendo a y b soluciones de la ecuación.
2
2
a) 1
b) 5 e) 10–1
16. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular: Logab (
8. Si: loga 3 = log b 2 ∧ ab=10 a)
c) 3 y 5
15. Calcular: 1 1 Ln 25 E =; 2 + log3 5 E ; 1 − log 45 9 E 8 Ln 3 B
7. Si: Log 2 = a, calcular: log5 3 500 a)
c) 3 + Log 2
14. (Ex. Adm. UNMSM 2011 − I) Halle los valores de "x" que satisfacen la ecuación:
9B
b) 5
e) 2
Calcular: Log (n2 + 10n) a) 3 Log 2 b) 2 Log 2 d) 2 + Log 2 e) 2 + Log 3
6. Indicar el valor de:
a) 1
d) 1
c) abc
13. (Ex. Adm. UNMSM 2002) Si se verifica que: −n 1 Log 11 ; 1 + 1 + 1 + ... + =n 1. 2 2. 3 3 . 4 n (n + 1) E
5. Si: 5Logb 3 + 7Log7 b = 3Logb 5 + Log 3 3 3 Indique (b2+2) a) −5 b) 5 c) " 5; − 1, d) −1 e) "1; − 5, log2 3
b) ac b
12. (Ex. Adm. UNMSM 2005 − I) Si: Log 15 = a, Log 21 = b y Log 35 = c Calcular: Log 49 a) b+c−a b) a − b + c c) 2a − b + c d) b − 2a + c e) c − a − b
c) 0,75
4. Si: Log 4 = x; log 9 = y, el valor de la expresión: Log 1024 + 2 Log 36 en términos de x e y es: 81 a) 5x−24 b) 3x − 4y c) 2x − 5y d) 4x − 3y e) 7x
8log3 2 4 .
a) 1/2
b) 2 e) 1
c) 4
18. Si: log3 5 = a ; entonces: log15 81 es:
c) Ln (10)
a) 4 (a+1)–1
b) 2 (a + 1)–1
c) (a+4)–1
d) 3 (a+2)2
e) 4(a+2)–1
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67
Quinto año de secundaria
Capítulo 21
Tarea domiciliaria 1. Calcular: E = Log2 a) −4 d) −2
11. Calcular: E = Colog6 Antilog3 (Log312 + 1)
(1) 8 b) −6 e) −1 2
c) −8
Hallar "x", de: (a + b) Logab x = 64 c) 8
c) 3
Log7 (x2 + 9x − 5) Log7 5 x + 4 b) 13 e) 15
a) 9 d) 11
= 10 c) 21
5. Si: Log x = 3. Hallar el valor de: Log2x3 b) 81 e) −16
a) –81 d) –9
15. Resolver para "x" Log b
c) 9
Log3(Log25)+Log3(Log57)+Log3(Log78) b) 4 e) 1
c) 3
7. Dada la ecuación: x Log4 + Log(Log3) = Log(Log81) El valor de "x" que le verifica es: a) 6 d) 5
b) 1 e) 4
c) 8
8. Si: Log 2 = a; Log 3 = b, hallar el logaritmo de 5 en base 6 en términos de "a" y "b". b) a + b a−b e) a − 1 a+b
a) 1 d) 1 − a a+b
c) a + b ab
9. Si: b = 3 a ; a > 0. Reducir: A = Log
b
3
a + Log b3 a
a) 8/3 d) 8
Log7 5 a) 5 d)
x
b
a
e)
xa + Log8 xab = 4b
a)
b
2
b)
ab
2
d)
b
8
e)
ab
8
c)
8
x c) 3
18. Hallar el valor de "n", si: Log3 9 + Log3 92 + ... + Log3 9n = Log3 928 a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
19. Resolver la ecuación: (Log x)
2
x
a
17. Indicar la suma de los 999 primeros términos de la sucesión: Log (1 + 1); Log (1 + 1 ); Log (1 + 1 ); ... 2 3 a) 1/2 b) 7 c) 3/2 d) 5 e) 3
a) 0 d) 3
c) 4
b) 1 e) 4
Co log Anti log x Log Log x
= 10 − 2
c) 2
20. Si: Log2006Log2005Log2004x=0. Hallar "x"
= Log Log5 x 5
2
16. Si: 6Log2 3 + 10Log x = 3Log2 6 + Log El valor de "x" es: a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
x , si:
b) 7 5
− Log3
b) 5/2 e) 2
10. Calcular el valor de Log 7Log5 x
24
c) ab
b) ab
14. En el sistema: Log x − Log y = Log 2 2x+y = 64 ; El valor de "x" es: a) 4 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1/4
6. Reducir la expresión:
a) 5 d) 2
e) −1/2
e) − ab 13. Si: Log 3 = m / Log 2 = n Reducir en función de "m" / "n" la expresión: E = Log 180 a) 1 + 2m + n b) 1 + m + 2n c) m + n + 2 d) 1 + m + n e) 2 + 2n + m
Si: a > 0 / b > 0 b) 4 e) 1
c) −2
d) −ab
3. Reducir: E = Loga2 b3 (a5 . b 4) + Loga2 b3 (ab5)
4. Resolver:
d) 1/4
a) 0
b) 2 e) 6
a) 5 d) 2
b) 2
12. Si: AntilogcAntilogab = ab; a, b, c ! R + − " 1, Reducir: E = Cologca + Cologcb
2. Si: a3b3 = a + b; ab ≠ 1 / a + b > 0
a) 1/2 d) 4
a) 1/2
c)
5
7
a) 20042006
b) 20052006
c) 20052004
d) 20042005
e) 20062005
5
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Álgebra
22
Logaritmos II
Ejercicios resueltos 1. Si se satisfacen: 10x−1 +10y+2 = 2p − 1 x − y - 3 = Log ( Hallar: 10x–1 − 10y+2
p+q−1 ) p−q
Resolución
Del dato: 10x−1 + 10y+2 = 2p − 1 ..... (1) Factorizar: 10y+2 10y+2 (10x−y−3+1) = 2p − 1 ..... (a) Usando la otra condición por definición de Log: 10x−y−3 = 10y+2 ;
p+q−1 reemplazando en (a): p−q
p+q−1 + 1E = 2p − 1 p−q
10y+2 = p - q ... (b) en (1): 10x−1 = p+q−1 ..... (c) Restando: (c − b): 10x−1 − 10y+2 = 2q−1
2. Si: – xn = Log ( 3 ) + Log ( 4 ) 2 + ... + Log ( n + 1 ) n − 1 , entonces el valor de: 2 3 n E=
10 − xn (n + 1) n − n ; es: n!
Resolución Del dato, por propiedad: 2
3
Tener en cuenta que: n! = 2 . 3 . 4 ... n
n−1
3 . 4 . 5 ... (n + 1) 2 . 32 . 43 .... nn − 1 Por definición: xn = Log
10
xn
Reemplazando E = ; 2 . 3 . 4n...− n E ( n + 1) 1
3 . 42 . 53 ...... (n + 1) n − 1 = 2 . 22 . 43 ...... nn − 1
E = n+1 - n = 1
Elevando a la (−1): 10 − xn =
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(n + 1) n (n + 1) n −n= −n n! (n + 1) n − 1
2 . 32 . 43 ... nn − 1 = 2 . 3 . 4 .... n 3 . 42 . 53 ... (n + 1) n − 1 (n + 1) n − 1
69
Quinto año de secundaria
Capítulo 22 3. Resolver: x log8 20 = 1 + log45; Indique el valor de: 4x2 − 2x + 1
Resolución x log820 = log44 + log45
Reemplazando: 2 4x −2x+1 = 4 . 9 −2 . 3 + 1 = 7 4 2
x
log820 = log420 log 3 20 x log 201 & x 1 ` x = 3 = = 2 22 2 3 2
4. Halle la suma de las raíces de la ecuación: Log 4 x2 + Log x 4 − 3 = 0
Resolución Multiplicamos cada miembro por Log4x: (2 log 4 x + Log x 4 = 3) . Log 4 x Factorizando:
2 Log24 x − 3 Log 4 x + 1 = 0 2 Log 4 x
−1
=
0
Log 4 x
−1
=
0
Log 4 x = 1 2 x1 = 2
log 4 x = 1 x2 = 4 ` x1 + x2 = 6
70
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Álgebra
Práctica 1. Halle la solución de la siguiente ecuación: Log3(Log9(Log9x81)) = 0 a) 93
b) 327
d) 320
e) 99
11. Hallar el producto de las soluciones de la ecuación logarítmica: x = 2 log x (4x) a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4
c) 927
−1
2
2. Si: 5 loga (x − 3x + 5) = 3 loga 5, hallar la suma de sus soluciones. a) −1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Resuelva: 5 4x − 52 (x + 1) + 46 = 0 , e indique la suma de soluciones. a) Log5 2
b) Log25 4
d) Log 46 5
e) Log2 5
c) Log25 46
b) 16
d) 12
e) 9
c) 24
a) 109
log x7 − 12
3
d) 10
b) 106 5
e) 10
log(3 + x) 4 = 1, log(4 − x) 4
hallar el mayor valor de: log2 (x2+7x+14) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
d) "28,
b) "2 − 4 , e) "2 − 9,
a) d)
6 e5
b)
7 e8
e)
3 e5
c) "2 − 8,
c)
5 e6
9. Si "x" satisface la ecuación: 2 ( 2 ) Log4 (x − 1) = 4 32 , calcular: x2−1 a) 8 b) 24 c) 35 d) 15 e) 48 10. Al resolver el sistema: ln x − ln y = 2 ; Hallar el valor de x/y. ) ln x − ln 3 y = 3 a) e11 d) e14 Central 6198-100
b) e12 e) e15
16. (Ex. Adm. UNMSM 2010 − I) Sea "a" un número real positivo diferente de 1. Halle el valor de "y" que satisface el sistema de ecuaciones: a x + y = 16 ; a x − 2y = 1 4 a) Logab b) Loga64 c) Loga16 e) Loga4
17. Si:
8. Al resolver la ecuación: 6 Lnx − 6 = 5 , hallar el Lnx producto de las soluciones: 11 e6
c) ab
4 (256) log4 x = x x , hallar el valor de x . 4 b) 4 c) 1 e) 23
d) Loga8
7. Resolver la ecuación: log2x ` 1 j + log x 2 + log8x 2 = 0 4 8 a) "2 − 3,
x x x
a) 44 d) 2
c) 107
6. Al resolver la ecuación: log(x + 3) 10 −
= x , calcular: b) bp e) p
13. (Ex. Adm. UNMSM 2004 − I) Hallar el valor de "x" en la ecuación siguiente: 2 + log x (x − 1) 2 + Log x 12 = Log x x2 x a) 2 b) 1 c) 1/4 d) 4 e) 1/2
15. Si:
5. (Ex Adm. UNMSM 2004 − I) Hallar el producto de las soluciones de: Log x =
12. Si: a) ap d) a
x log b ( a ) b p
14. Si: log3 5 . log5 x = 2. log x 2 . log2 3, 0 < x < 1, hallar 9x − 1. a) 1 b) 2 c) 0 d) −1 e) −2
4. Si a es la solución de la ecuación: 2 Log2 x + Log 4 x = 3 ; hallar el valor de a + a + 1 a) 21
log −b 1 a + log −b 1 p
Log3 3 − Log3 32 + Log3 33 − Log3 3 4 + Log3 35 − ... − Log3 32n = − 21
Indique: (n–20)
a) −1 d) −21
b) 1 e) 0
18. Si "f" es una función definida por: f(x) = log(4x–3)(3–2x), hallar el dominio de f. a)
b)
d) < 3 ; 3 > c) < 1; 3 > 2 4 2 e) < 3 ; 3 > − " 1 , 4 2 19. Una colonia de virus AH1N1 crece de acuerdo a N(t)=n0ekt, t en horas, Si la cantidad de virus se duplica cada 3 horas. ¿Cuánto tardará la colonia en triplicar su cantidad inicial? a) 3 ln 3 horas ln 2 3 ln 2 horas c) ln 3 e) 2 ln 3 horas
c) e13
71
c) 21
b) 3 ln 2 horas 2 d) 3 ln 3 horas
Quinto año de secundaria
Capítulo 22
Tarea domiciliaria 11. Hallar el valor de "x" en la ecuación:
1. Hallar: Log2 (64) 1, 5 a) 1,5 d) 9
b) 6 e) 29
2. Hallar "x", si: Log3x5 + Log3x2 = 28 a) 81 d) 729
b) 27 e) 123
b) 4 c) 5 e) No tiene solución
b) 7/3 e) 3/7
c) 28/3
5. Resolver: Log2 3 x + 1 log2 (x − 2) = 1 3 Y dar como respuesta la suma de las soluciones. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
x −x 6. Dada la ecuación: y = e − 4 e ; encontrar "x", para 2 y=1,5.
a) Ln 2 d) Ln 3/2
Dar como respuesta: 5 x a) 2 b) 3 d) 27 e) 81
c) 243
4. Si: Lognm=2 y Logmp=3. Calcular: logn3 (m2 p 4) a) 1/3 d) 16/9
b) Ln 3 e) Ln 1
c) Ln 4
b) 5 e) −5
8. Resolver la ecuación: 13Log5 (2x
14. A condición de que el polinomio: P(x) = x4 + nx3 + mx2 + px + q Es un cuadrado perfecto. Hallar: Logp (n2 . q) a) 2 b) 1/2 c) 4m 2 3 m e) 3m d) 2 15. Hallar el equivalente de: n Log 2 + n Log 3 + n Log 4 + ... + n Log x n S== n G Ln 2 + n Ln 3 + n Ln 4 + .... + n Ln x a) Log e b) Ln x c) Log n n n d) Logn e) Log x 16. Sabiendo que: a=logx7; b=logx3; c=logx21 Reducir: P =
= 2Log5 169
Y calcular el producto de las soluciones. a) 1 d) 11,5
b) 8 e) 7,5 50
en base 9. Si el logaritmo de 2 Calcular: Log505 + Log10y10 + y a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
a) 7 d) 31
c) 3
2 − 13x + 19)
2 es "y". c) 4
10. Si: Log23.Log34.Log45...Log20012002.Logyx=Log20032002 b) 8 e) 12
b) 3 e) 41
a) −4 d) 8
b) 4 e) 6
18. Hallar una solución de la ecuación: Ln (ex) + Ln ( x ) e =3+2 2 Ln (ex) − Ln ( x ) e a) e b) e2 d) e4 e) e5 19. Hallar "a", si: Logn a
Calcular la suma de cifras de: (x+y+2003) a) 7 d) 10
(a + b + c) (xa + x b + xc) xLog x (b − a) + xLog x (2c − b) + xLog x a c) 21
17. Sabiendo que: a y b son las raíces reales positivas de la ecuación: x2 – 4x + m2 = 0. Hallar el valor de: L = Logm a b + Logm aa + Logm b b + Logm ba
c) 1,5
2
c) 4
13. Si Log 2 = 0,30103; cuántas cifras tiene. N = 520 . 2100 a) 44 b) 45 c) 46 d) 47 e) 49
7. Si 3x=5 el valor de: (x+2).log45(243) es: a) 7 d) −3
c) 3−2
12. Resolver: 2 log3x + 3 log27x = 15
3. Resolver: Log0,5(x+1) − Log0,5(x−3) = 1 a) −5 d) 7
Log x x − 1 = 2x log 3 a) 3 b) 3−1 d) 3 e) 3−3
c) 8
a)
c) 9
p
p
d) p − p
72
−1
aa
ap
c) −8
c) e3
= a p − a y n = aa
b) pp
a
c) p−p
e) p−1
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Álgebra
23
Repaso
1. Considerando: Dom F =
b) [−10;40]
d) [8;40]
e) [−10;40>
c) [0;40]
2. Calcular: "a+1" en F(G(−1)) = −3a.
7. Calcular "m" tal que: f(x)=−2x2+16x+m adopte máximo valor igual a 35. a) 2
b) 8
d) 4
e) 3
8. Grafique la relación: R = " (x; y) ! R2 / y $ (x − 2) 2 / y # x ,
Sabiendo que: F(x) = 3x2 + 10x − a − 2
y
G(x−2) = 3 − |x − 6| a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
b) 3
d) 8
e) 12
a)
2
d) 80u
b)
x y
c) 4 x
c)
b) 105u2
c) 100u2
d)
x
y
x
e)
2
e) 50u
9. Calcular la oferta máxima, si la función oferta "l" de
5. Calcular el área de la región formada por las gráficas de las rectas: y=2x−6; y=x+4 y los ejes coordenados. a) 41u
2
b) 32u2
d) 45u2
e) 18u2
a) m−n=−4
b) m=4n
d) m−n=4
e) mn=4
una empresa está dada por:
l(x)=−2x2+60x+50 tal que "x" representa unidades en soles.
c) 100u2
6. Hallar la relación entre "m" y "n", tal que las gráficas de la recta: f(x)=−3x+n y la parábola: g(x)=x2+x+m, sean tangentes.
Central 6198-100
x y
4. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la gráfica de: F(x) = x2 − 4x − 21 con los ejes cartesianos. a) 125u2
y
c) 7
3. Sea "f" una función lineal tal que su gráfica pasa por (4; 10) y además f(2)+2f(0)=0. Indique el valor de su pendiente. a) 2
c) 9
a) 300
b) 500
d) 200
e) 650
10. Si: M = Log2 3
c) m+n=4
i log3 4log4 5
Hallar el valor de: M
73
c) 400
log4095 4096
log144 81
a) 36
b) 8
d) 9
e) 25
c) 16
Quinto año de secundaria
Capítulo 23
log b 7 11. Si: aK = K; 6 K ! Z , el valor de:
+ 7 logb a2 + 7Logb a3 + ... + 7 logb an ) x donde: 2x-n=1 logn ( 7
log b a1
a) 1
b) 2
d) nx
e) nn
b) 23a+1
d) a+1
e) a6+1
d) 10
e) 9
c) 3/2
• Antilog0,2log0,29−log0,9antilog0,94=5 • −lnp=cologep
log 2 2009 log 2 2008 = 2009
a) VFVVV
b) VVFVV
d) VVFFV
e) VVVVV
15. Sabiendo que: p m n log56=a ; log310=b ; log215=c El valor de: (ap+1)−1+(bm+1)−1+(cn+1)−1; es:
b) 12
d) 2 2
e) 2
c) 24
17. Si: a = log32 ; b=log52 Calcule log154 en términos de a y b. b) 2ab a+b d) a + b b a
a) ab
18. Calcule: 1 1 + log(a + 1) ab log(b + 1) ab Si la ecuación: x2 − 5x + 2 = 0 , tiene por raíces a y b.
14. En las proposiciones marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • log37 = (log73)−1 log7 20 • = log7 5 log5 20
• 2008
a) 3
c) 1 + 1 a b e) ab a+b
entonces: x es igual a:
b) 29
6(y2) log x z @1 + log x y
c) a12+1
13. Si: log3 64 + co log3 (log3 (anti log9 x))@ = 1 a) 318
1 + log y x
c) 2x
12. Si: 2 . 5Loga x + 3 . x loga 5 = 125 para: a > 0; x>0; a≠1. Calcular: x3+1 a) (a2+1)3
16. Si: x 4= 3; y 3 4; z = 2 = Calcular el valor de:
a) 1
b) 2
d) 5
e) 8
c) 3
19. Si x e y verifican: y = anti log 1 + anti log 2 + ... + anti log x .... (I) 9 log (y+10) = 3x − 5 .............................. (II) y Calcule: x
c) VVVVF
a) 9999
b) 3330
d) 6660
e) 9990
c) 3333
20. En el sistema: log3 6log1/2 x @ > 1 log x (y + 1) > 0
Hallar la variación de x+y.
a) log5 6 log3 10 log215
a) < 0; 1 > 8 d) < − 1; 1 > 4
b) log26 c) log215
b) < − 1; 1 > 8
c) < 0; 1 >
e) < 0; 4 >
d) 1 e) 7/6
74
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Álgebra
Tarea domiciliaria 6. ¿Qué relación deben cumplir m y n para que la gráfica de la recta g(x) = n − 3x sea tangente a la gráfica de la parábola: f(x) = x2 + x + m?
1. Sea la función: F = "(2; 24), (a ; a + 3), (a − 3; 7), (2; a!), (2a; 10), 2
y sean los conjuntos D: Dominio de F y R: Rango de F. Hallar: n(D) . n(R) . F(8) a) 2!
b) 3!
d) 5!
e) 6!
Sabiendo que la gráfica de F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; −2) b) 4
d) 3
e) 1
b) mn = 4
c) m = 4n
d) m = n + 4
e) m = 4 − n
7. Sea la función lineal: cuya regla de correspondencia es: f(x) = |ax2 − 3ax + a − 2| + ax2 − ax + 3 Indicar los valores del parámetro real "a" que definen completamente la función "f".
c) 4!
2. Obtener la pendiente de: F(x) = Ax + B + 2
a) −2
a) m = n − 4
c) 5
3. Hallar el área del triángulo sombreado, si L es una recta de pendiente −3.
a) a ! < 0; 8 > 5
b) a ! < 1; 5 > 3
c) a ! < − 8 ; 1 > 5
d) a ! R
e) a ! < − 8 ; 0 > 5 8. De la gráfica:
y
y b
(-1;15)
S a
x a) 12u2
b) 32u2
d) 24u2
e) 16u2
L
Si el área "S" del rectángulo es máxima; hallar dicha área.
c) 18u2
a) ab
b) 6
d) 3
e) 9
b) ab 2 e) ab 6
d) ab 3
4. Calcular el valor absoluto de la diferencia de las raíces del polinomio: f(x) = −x2 + bx + c Si este toma como valor máximo 9. a) 8
x
c) ab 4
9. Sea la gráfica de la función F:
y -b
c) 12
5. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: f(x) = |2x − 25| g(x) = 5 − 3x
x
b
Hallar el valor de "b", tal que el punto (400; 798) ∈H(x), siendo: H (x) =
F(2− x) − F(x2) b
a) (6 ,−20)
b) (−6 ; 23)
a) 9
b) −5
c) (6 ; 13)
d) (−20 ; 65)
d) −8
e) −3
c) −9
e) Dos anteriores son correctas
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75
Quinto año de secundaria
Capítulo 23 10. Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81
Log x 3
= 27 x
a) 1/3
b) 1/9
d) 1/81
e) 1/243
c) 1/27
logn x
=n
a) n d) nn+1
nn
b) 3a + 2b + 1
c) 4a+b+1
d) a+2b+1
17. El valor de la expresión: 10Log9 27
c) nn−1
b) nn e) n
nn − 1
12. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación: Log2 x = Log2 x b) 17
d) 21
e) 32
b) 0,1
d) 1 000
e) 100 000
a) 5
b) 15
d) 25
e) 1/5
c) 125
14. Resolver el sistema: Log2 xy − Log2 x = 8 y * Log x Log y 2 =4 e indicar el producto de valores "x". a) 10
b) 100
d) 1
e) 0
a) 2
b) 5
d) 10
e) 12
b) 4 2
c) 8
e) N.A.
19. UNMSM 2011 - II Sea: f:
c) 0
2. Sea a; b ∈ R , reduzca:
b) a
d) 4x−3y
c) 2x−5y
3 2 A = Log2 m − nm m−n
+
a) ab
b) 3x−4y
5. Sea:
e) "18,
d) ' 18 1 5
a) 5x−2y
a) m
b) n
d) m+n
e) m−n
c) mn
6. Sea: A = Log27(m+n)2−Log27(m−n)2 B = Log27 m − n ; m > n > 0 m+n
c) 12
3A+3B
Indique: 3
4. Si: Log 4 = x; Log 9=y; el valor de la expresión: Log 1024 – 2 Log 36 en términos de x e y es: 81
92
a) m + n m−n
b) m − n m+n
d) n m
e) mn+1
c) m n
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Álgebra 14. Resuelva: 54x − 52(x+1)+46=0, e indique la suma de soluciones.
7. Si: Log 27=3m; Log 64=3n. Halle (Log43+Log34)mn a) m+n
b) m2n2
d) m2−n2
e) m−n
c) m2+n2
a) Log52
b) Log254
d) Log465
e) Log25
15. Sea:
8. Si: Log 3 Log b2 Log 5 5 b + 7 7 = 3 b + Log
A = antilog3log3 (log69+log64)
9 33
B = log4antilog4(log8128−log82)
Indique (b+2) a) −5
b) 5
d) 1; −5
e) −1
Indique: A2 + B2
c) 5; −1
9. Si: Log3 3 − Log3 32 + Log3 33 − Log3 3 4 + ...... − Log3 32n = − 21
a) −1
b) 1
d) −21
e) 0
c) 21
10. Si: Log2 3 + Log2 4 + Log2 5 + ... + Log2 n + 1 = 5 2 3 4 n
b) 32
d) 15
e) 30
c) 16
3Log3 (m + n) − 3Log3 (m + 2n) + 3Log3 (m + 3n) ... − 3Log3 (m + 10n) = − n2
Halle: 2n−1 b) 11
d) 8
e) 7
d) 16
e) 32
2 2 a) m +n
b) m2−n2
d) m−n
e) 1
c) 9
a) 32
b) 30
d) 28
e) x
a) 18
b) −6
d) −8
e) 8
c) 6
log3 x + log 1 x + Log 4 x + Log
b) n + 1 2
3
c) n(n+1)
d) −4
e) 8
d) −3
e) 5
n
k=2
x y m = 6 . Indique: x + y 16
b) 4
b) −2
/
2 5
a) 12
a) 2
2
x= 5 2 c) 3
20. Si se verifica:
−1
e) (n+1)
13. Si: Log22y=3; Log 4 c
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c) 22
19. Halle el valor de "x" que verifica:
n log n2 + log log n − log log nn + log n log n2 + log n 4 + .... + log n2n
d) n
c) m+n
18. Calcule "x" si se cumple: 1 log ln x co log 1 = e ln 2 cco log ln x m hc x 3m 64 ^ 3
12. Reduzca:
2 n+1
c) 8
anti log2 8anti log7 log x anti log5 co log7 1 B x
11. Si:
a) 10
b) 4
17. Efectúe:
Indique: n + 1 2 a) 31
a) 2
16. Calcule el antilogaritmo de: 1 6log (m2 − n2) 4 − log (m + n) 2 − Log (m − n) 2@ 2 con m>n
Indique: (n−20)
a)
c) Log2546
halle el valor de n
c) −12
93
log(
1
k )3 k−1
a) 9
b) 27
d) 12
e) 144
=3
c) 81
Quinto año de secundaria
Capítulo 29
29
Teoría de exponentes
1. Si los números enteros "x" e "y" satisfacen la ecuación: 3x+1+2y = 2y+2 − 3x, el valor de 3x/y es: b) 1/3 c) 1/9 a) 3 d) 1
e) 9
2. Si: aa = 5
56
− 92
/ b = c1m 3
Hallar el valor de: a) 1 d) 53
−1 0
a 5 ( b − 2) b) 5 e) 55
c) 52
3. ¿Qué valor debe tomar "n" para que se verifique la
m = m − 1 . 9 12
4. Si: m2+m−2. a) 40 d) 34
b) 38 e) 30 b) 4 e) 9/2
7. Si al simplificar: M =
a+b 1−b (a b) b a . (bab) a a − 2ab ab a
El exponente de a es valor de b − a. a) 1 b) d) 9 e)
^
b.
ah
d)
14
b)
19
e)
7
b) −1 e) 2
a
; b>0
c) 0
c) −2
4 a 20 + a b) 2 e) 16
c) 4
15 (3 x) + 21 x1/x + 3 (3 x) 2 21 + 5 (3 x) + x2 b) 2 c) 3 e) 5
1
13. Si: (x) x = 3 , reducir: N = a) 1 d) 4 14. Si: x8
− 8x
= 8 , hallar:
3x
x
b) 3
a) 2 3 2 d) 2
e)
3
c)
` x x x + 1j
1/3
15. Si: x =3. Calcular: M =
3
b) 2
a) 2 d) 3
3
3
2
x
+ 27 ` x − x
x
2x
−1
j
x+1
c) 4
e) 0
16. Hallar "n" en la siguiente igualdad: x x x... = x31/32 1 44 4 2 44 43 n radicales
2x x+y y+2 8. Si: ) 3 − 79 (3 ) = 2 (9 ) x2 + 2xy + y2 − 12x − 12y + 36 = 0 Hallar el valor de la expresión: x2 − 2y + 2
a) 3
a
U= 2 a) 1 d) 8
b2 y el de b es −4. Hallar el a
−4 −5
3
12. Si: a3 − (a + 1) 2 = − 1, hallar el valor numérico de:
c) 5
x=n
a
a) −3 d) 0
c) 36
7 (3 b − 1) 3n + 1 y b+1 = 3b n+2 9 − 2 (32b) 9 9n Hallar la suma de x+2b a) 4/3 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
6. Si:
a
11. Si: (625) 3 = (125) 4 y 7 b = (343) 3 , hallar: a3−b3/2
; m ! N ; hallar el valor de:
5. Calcular "x", si: 5x+1−5x−1+5x+2−5x−2=18600 a) 3 d) 7/2
10. En el polinomio Q(x) se cumple que la suma de coeficientes es el cuádruplo del valor que toma su término independiente, tal que: Q(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4 Hallar la suma de coeficientes del polinomio Q(x) a) 2 b) 8 c) 20 d) 16 e) 32
0
x − n . (x2) − 2n . x3 = x − 2 b) −11/5 c) 11/12 e) −11/12
igualdad: a) 11/8 d) 12/11 −m 4 12
9. Si: P(2x+1)=3x+2 y P(x−2)=ax+b Hallar el valor de 4a+6b. a) −5 b) −7 c) −90 d) 3 e) −9
a) 6 d) 7
b) 4 e) 3
17. Simplificar: ; 2n S = ` xn j
c) 5
a) x
d) x3n
94
−2
n2 . ^ x2 h
−n
E
2n
b) x
3
c) 5
^ x − 3nh3
−n
. ^ x 4n − 1h ; x ≠ 0 −1
c) xn
e) 1
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Álgebra
Tarea domiciliaria 10. Si: x2 + 12 = 2 , calcular el valor de: x
x
x 25 5 1. Calcular el valor de "x" en: ^4125 h = 425 a) 1/2 b) 4 c) 2 d) 1/4 e) 8
M=
2. Calcular el valor de "n" si se cumple:
a) 3 d) 1/3
n
(3 3 3 3 ) = 27 a) 3 b) 5/3 d) 1/3 e) 8/5
R= a
x yb
b
b
y c zc b) b e) 0
b
a) a d) 1
a
c
c
z xa
9
;8
8
8 8 `8
b) 8
d) 2
e) 4
. 3x
4+ 1 x4
c) 9
a) 25 d) 64
c) 9
8 8 −1 j8
8 8
7E
4 83
c)
8
7m + 3m + (21) m ; m ! Z+ − " 1, 7− m + 3− m + 1 b) 21 c) 11 e) 26
−m
b) 6 e) 81
8
a) 1
13. Si: − 3 − 3 = − 27 − 27 valor de: (m+2−n)2
. 3
a) 3 d) 27
11. Simplificar:
a) 10 d) 15
n+ 1 . 3n − 2 4 n 1
3
x3 + 1 x3
b) 4 e) 1/9
12. Reducir: S = m
c) c
4. Resolver y calcular el valor de: S= n
3
c) 5/9
3. Hallar la suma de exponentes de las variables x, y, z después de simplificar: a
x+ 1 x
−n
y
3m−2n=18, hallar el
b) 100 e) 81
c) 49
2m
2n
5. Calcular el valor de la expresión: 10n − 1 + 6n − 1 + 15n − 1 C = n−1 n − 1 −1 (2 ) + (3n − 1) − 1 + (5n − 1) − 1 a) 1 b) 6 c) 30 d) 10 e) 18
` m − n j + 35 `7 m − n j 14. Simplificar: M = 8 7 m−n m+ n 7 a) 56 b) 1/48 c) 61 d) 49 e) 91
6. Señalar el exponente de "x" después de simplificar: R4 V 72 S x '8 x W S6 W P=S 3 x 9 W S x. x W S W x T X a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5
15. Determinar: M = a) 6/5 d) 1/2
d)
b) 3 2
2 /2
e)
c)
3 3
1+3 3
a) 9 d) 1/3 9. Si: aa = 5
9
2 /4
2
3 9 3 3
.
1+3 3
b) 1/9 e) 27 56
a 5 ( b − 2) a) 1 d) 53
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− 92
y b= c1m 3
b) 5
9
x
c) 36
17. Si: a, b, c, ∈ Z+, simplificar: (12a + b) (18 b + c) (36a + c) E= a+ b+ c (22a + b + c) (3a + 2c + b) a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 36
8. Simplificar: E=
2x + 3− x + 2− x + 3x x 6x + 1 b) 6 c) 1/3 e) 5/6
16. Si: 4–m/12=m−19m/12, m ∈ Z Hallar el valor de m2+m–2 a) 40 b) 38 d) 34 e) 30
7. Hallar: P=nm−1−1, si se cumple que: n+m = n n n .... m m m n−m a) 2 2
x
18. Si al simplificar:
3 9
a+b
1− b
(a b) b a (bab) a a ; b > 0 el exponente de a es M = ab a ( b a ) − 2ab
c) 3
b2 y el de b es −4, hallar el valor de b − a. a
−1 0
, hallar el valor de:
a) 1 d) 9
b) −4 e) −5
c) 0
c) 52
e) 55
95
Quinto año de secundaria
Capítulo 30
30 Polinomios - productos notables 1. Si p(x) =x+1 y p(p(p(x)))=ax−b, hallar: p(a+b) a) −2
b) −1
d) 1
e) 2
c) 0
2. Si: p(2x+1)=3x+2 y p(x−2) =ax+b, hallar el valor de 4a+6b. a) −5
b) −7
d) 3
e) 5
c) −9
7. Si: P(x)=ax4 + 6ax3 + (bx + 1)2 y Q(x) = 4x4 + 6ax3 + 25x2 − 10x + 1 son polinomios idénticos, hallar a+b
p (x; y) = x
+x
m−1
r n
b) −1
d) −9
e) 4
c) 9
8. Sean p(x) y q(x)=(2−a)x3+(a2+2)x2+d, dos polinomios idénticos tal que: p(x−1)=ax3−(b−2) x − c + d Hallar: a+b+c.
3. Dado el polinomio: n2 − 1
a) 1
1−q
a) −1
b) 7
d) 4
e) −5
c) 0
y+x y +y
completo y ordenado con respecto a las variables x e y, hallar: m+n+q−r. a) 0
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
9. En el polinomio P(x) se cumple que la suma de coeficientes es el cuádruplo de su término independiente, tal que: P(x−1)=(3mx−4m)2+(3x−4)4m−x2+4 Hallar la suma de coeficientes del polinomio P(x).
4. Si: P(x,y)=x14+myn−5xny2m+4+7y49; es un polinomio homogéneo, hallar el grado relativo respecto a la variable x. a) 28
b) 25
d) 20
e) 18
a) 8
b) 6
d) 2
e) 0
b) 32
d) 121
e) 343
e) 32
a) −3
b) 1
d) −5
e) 2
c) 4
11. Si: x>0, y>0 y xy−1+x−1y=3, hallar el valor de: 3 3y 3 M = c 3x m + c m y x
6. Dado el polinomio:
a) 25
d) 16
c) 20
P (x, y) = x n − 1 y2 − 3x2 y 4 + kxα − k yβ , es homogéneo con n>0>k y a−b=3, y la suma de coeficientes es k2−k−5. Hallar el valor de n−k−a+2b.
c) 4
P(x,y)=14xa+b+3yb−2+ 19 xa+b+1yb+4−5xa+b−1yb+1 de grado absoluto 18 y además: b GRx 6p (x, y)@ − GRy 6p (x, y)@ = 6 , hallar a .
b) 8
10. Si el polinomio:
c) 22
5. Dado el polinomio: P (x) = `2a + 2 j xn + 2 − 6axn + a − 1 3 mónico y de grado 6, hallar la suma de los coeficientes del polinomio q(x), si q(x+2)=4xn/2−(6a+1)x+3an
a) 2
a) 320
b) 340
d) 486
e) 527
c) 402
12. Simplificar: P=
c) 49
96
(m 2 − 3 m − 1 ) (m 2 + 3 m − 1 ) + (m 2 + 3) 2 − ( m 2 − 3) 2 +m; m2 − m + 1
a) m+4
b) m
d) m+1
e) m+2
m>0
c) m+3
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Álgebra 13. Si: a3+b3+c3=5 y 2
2
2
2
2
17. Si:
2
(a+b)(a+c)(b+c)(a −ab+b )(a −ac+c )(b −bc+c )=40 9
9
9
Hallar el valor de: a + b + c a) 15
b) 10
d) 20
e) 25
c) 5
4
6 x ! 0, y ! 0 3
b) 2
d) −2−4
e) 16−1/2
8
c) 4
4n 2p Halle: W = m4m + n 2n + 1 ; 6 m, n, p ! R + m +p +1
d) m+n+p 16. Si:
6
b) 1
c)
4
9 3 xyz − (x + y + z) o , 6 x, y, z ! R − " 0, xy + xz + yz
d) 16
e) 8
Central 6198-100
−1
=3 − x−1y, halle:
(x + y) 4 + 3 x2 y2 o 4 x2 y2
a) 11
b) 7
d) 4
e) 8
W=
e) 2
b) 32
e) 1
c) 2 (y+z)
c) −6
19. Simplificar:
−1
a) 16−1
d) 1/abc
mnp
x + 6 y + 6 z = 0 , halle:
W=e
b) b+c−a
W=e
m–n +8 n–p +8 p–m =0
a) mnp
a) x/y
18. Si: xy
−2
a) 16
15. Si:
x2 yz + xy2 z + xyz2 (b + c − a) (c + a − b) (a + b − c) (a + b + c)
W=
2 y2 14. Si: x − = 3 (x − y) ; halle: y x y yx W = e xx + y o y x
x = b +c − a y=c+a−b z=a+b−c Halle:
27 2n − 1
1 + 3 (22 + 1) (2 4 + 1) (28 + 1) .. (2128 + 1)
1 + (2 + 1) (22 + 1) (2 4 + 1) (28 + 1) ... n factores
a) 0,5
b) 2
d) 0,25
e) 1
c) 4
20. Operar:
c) 18
3
97
1 + 2 7 + 3 1– 2 7 3 3 3 3
a) 1
b) 2
d) 2 7
e) −2 3
c) 3
Quinto año de secundaria
Capítulo 30
Tarea domiciliaria 1. Si: F(x) es un polinomio de coeficiente principal positivo que verifica:
7. Si: P(x)=Q(x), donde: P(x) = a(x+1)2+b(x−2)+2
F (F(x)) = 4x − 3 Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Q(x) = (x−2)(x+1)+(x+3)(x+2) Calcular: a . b
I. La suma de coeficientes de F(2x−1) es 1.
a) 0
b) 1
II. F(5)=17
d) −1
e) −2
III. El término independiente de F(3x−1) es 3. a) VVV
b) FFF
d) FVF
e) FVV
c) VFF
2. Hallar el término independiente del siguiente polinomio mónico: P(x) = (a3 − 7) x5 + ax3 + a2x + a2+1; a ∈ R a) 3
b) 2
d) 1
e) 5
c) 4
3. Calcule "n" en el siguiente polinomio:
8. Dado el polinomio: P(x) = x (ax3+bx2+cx+d) Calcular: 2a+b; sabiendo que: p(x) ≡ p (1 − x)
x ) / (2x − 9) n − 4 ( nx − 4) + n (x − 9) 9 9 Si en P(x) su término independiente más 9 veces su suma de coeficientes es cero. b) 21
d) 5
e) 4
c) 3
P (x, y) = x y + 5x es homogéneo.
b−5
8 c+4
y + 6x y
a) 24
b) 23
d) 21
e) 20
10
+x y c) 22
5. Si el polinomio: P(x) = 18xa−8+32xa−b+15+18xc−b+16 es completo y ordenado en forma ascendente, calcular: a+b+c a) 18
b) 32
d) 38
e) 92
c) 36
b) 2
d) 4
e) 7
d) 1
e) 0
c) −4
a) 2 (47 + 1) 3
b) 3 (47 + 1) 2
d) 3 (47 − 1) 2
e) 3 (46 − 1) 2
c) 2 (47 − 1) 3
a) 1
b) 2
d) 4
e) 0
c) 3
11. Si: a+b+c=20 a2 + b2 + c2 = 300 Calcular: (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2 a) 500
b) 600
d) 800
e) 900
c) 700
12. Sabiendo que: a3 + b3 = 40 ....... (1) a + b = 4 ............... (2) Calcular: a2 +b2
)
6. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado. P(x) = axa−4+bxa+b−5+cxc−b+3 a) 1
b) 5
10. Sabiendo que: x2 + 1 = 3 x Calcular: x3 +x–3
4. Calcular "a+b+c" si el polinomio: a+3 2
a) 3
9. Si: (2x+5)7−(x−1)7=(x2+9x+18) . P(x) + ax + b Calcular: a + b , siendo: 6 5 4 3 P(x) = aox + a1x +a2x +....+a5; ao ≠ 0
P (3 −
a) 11
c) 2
c) 3
98
a) 10
b) 12
d) 24
e) 20
c) 16
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Álgebra 13. Mostrar el equivalente de: x3 − 3x + 2; a partir de: x=
3
9 + 80 +
3
9 − 80
a) 20
b) 21
d) 23
e) 24
2
2
17. Si:
x + 2yz + x − 2yz = 8yz
Calcular: c) 22
a) 3
b) 2
d) 1/2
e) 1/3
a) 1024
b) 512
d) 0
e) 32
18. Siendo "x" ∧ "y" dos números reales que verifican: x2 + y2 = 8. ¿Cuál es el máximo valor que puede asumir: x+y?
c) 1
a)
2
d) 4 2 15. Con las condiciones: a + b + c = 4....................... (1) ) (a + b) (a + c) (b + c) = 13...... (2) a) 4
b) 9
d) 25
e) 36
e) 2
2
2 ; (1 + 2 + 3 ) − 2 − 3 − 6 E 2
c) 16
a) 4
b) 5
d) 16
e) 25
c) 9
20. Si: x+y+z=0, Calcular:
16. Si: ab=1, calcular: a2 + 1 b2 + 1
a) 1
b) 2
d) 2 2
e) 1/2
Central 6198-100
c) 4
b) 2 2
19. Reducir:
Calcular: a3 + b3 + c3
b2 + 1 + b a2 + 1
c) 1
2
14. Si: 2x + 2y = (x+y) − (x−y)2 Calcular: ( x ) 10 y
a
x + 2yz − x − 2yz
^ x + y − 2zh3 + ^ y + z − 2xh3 + ^z + x − 2yh3
xyz
c) 4
99
a) 9
b) 27
d) 81
e) –81
c) –27
Quinto año de secundaria
Capítulo 31
31
Repaso
1. Determine el conjunto: A = ' (x − 1) ! R / x − 1 + x − 2 = x − 3 + x − 4 1 3 4 5 2 a) {1}
b) {2}
d) {-1}
e) {-2}
e) 1/7
3. Para qué valor de "m" la ecuación: 2 m–1 –3m (m – 5m + 6) x = m presenta infinitas soluciones a) 2 b) 3 d) –2
c) 2 o 3
e) –2 o –3
4. Calcular "n" si la ecuación: (n2–25)x = (n–3)n–1–16 es incompatible. a) 5 b) –5 c) ±5 d) –3
e) –4
5. Halle el número de elementos del siguiente conjunto: B = " x ! R / (2x − 1) 4 1 − x = 3 4 1 − x , a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
6. Resolver: 8 x − 2 + 8 x2 − 4 − 8 x + 2 = 1 e indicar el valor de: x − 1 2 x − 2 a) d)
2 4
2
b)
4
8
e)
3
2
7. Calcular "x" a partir de la igualdad: x 3 + 5x 2 + 3x + 9 = x 2 + 5 x + 3 x 3 + 2x 2 + 7x + 9 x 2 + 2 x + 7 a) 1/3 b) 2/3 d) 1/9 e) 5/3
c)
5
8
c) 4/3
8. En la ecuación: m − n =0 1 + nx 1 + mx Determinar: 2m , si se sabe que es compatible n indeterminada. a) 1 b) –2 c) 2 d) 3
e) –1
2x + 2 a) 17 d) 9
c) {3}
2. Indicar la solución de la ecuación: x + a = 3x x + 1 ax + 1 Sabiendo que se reduce a primer grado. a) 7/5 b) 7/3 c) -3/7 d) -2/3
9. Indique la solución de: x2 − 1 = 3 2 + x − 1 b) 13 e) 21
c) 19
10. Reducir para x>0; n ∈ Z, n ≥ 2008: (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) n + x = (x − 1) + (x − 2) + (x − 3) + .... + (x − n) n − x 0, 5 0, 5 2 2 0, 5 c) ` n j a) c n + n m b) c n − n m 2 2 2 0 , 5 0, 5 d) ` n + 1 j e) ` n − 1 j 2 2 11. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en "a" horas y el segundo en "b" horas (a>b), si se encienden simultáneamente. ¿Dentro de cuánto tiempo la altura del mas lento será "n" veces la altura del más rápido?
ab (n − 1) ab (n − 1) b (n − 1) b) c) n−b an − b n−b b ( n 1 ) − d) an − b e) ab (n − 1) an − b 12. Se tiene dos depósitos de vino de diferente calidad. El primero contiene 20 l y el segundo 30 l. Si se saca de cada uno la misma cantidad y se echa al primero lo que se saca del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito a otro, si el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad? b) 10 c) 11 a) 12 l d) 13 e) 15 a)
13. En un autobús se observa que hay 56 personas, de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús? a) 40 b) 26 c) 38 d) 42 e) 34 14. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura expresada en centímetros? a) 10cm b) 25 c) 12 d) 15 e) 27 15. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche adulterada, los cuales pesan 11,28 kg. b) 4 c) 3,26 a) 3 l 100
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Álgebra d) 2,25
e) 2
16. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar 5 kg y le falta "a" soles, pero si hubiera llevado "b" soles más habría comprado 2 kilos más y aún le hubiera sobrado "a" soles. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? b) a c) b/a a) b + a 2 d) 5b − 12a e) b + a 2 3 17. Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la siguiente manera: al primero le da S/.A más la enésima parte del resto, al segundo le da S/.2A más la enésima parte del resto, al tercero S/.3A y la enésima parte del resto, y así sucesivamente. Al final se observa que cada hijo recibió la misma cantidad. ¿De cuánto era la herencia? a) A(n–1)2
b) A n2
c) A(n+1)2
d) A(n–2)2
e) A(n+2)2
19. En un año Don Chuma gastó en comer la mitad de lo que gastó en beber y Florencio gastó en beber la mitad de lo que gastó en comer, resultando un gasto total entre los dos de S/.16200. Esta misma cantidad gastaron el año siguiente, pero Don Chuma disminuyó en la octava parte el gasto en la bebida y Florencio lo aumentó en la mitad. ¿Cuánto gastó Don Chuma en los dos años? a) 20700 b) 21700 c) 20300 d) 31700
e) 70200
20. Halle el máximo valor de S. 15cm
20cm S a) 10 cm2
b) 75 cm2
d) 70 cm2
e) 55 cm2
c) 50 cm2
18. Tres cirios de una misma calidad y diámetro con duración para 2h, 4h y 6h respectivamente, se prenden simultáneamente, repentinamente se apagó el primero observándose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90cm; 1,5 h después la altura de la mayor era la mitad de los consumido por los otros dos. ¿Cuál era la altura del primer y tercer cirio inicialmente? a) 24 y 72 cm b) 64 y 192 c) 88 y 264
d) 32 y 96
e) 13 y 36
Tarea domiciliaria 1. Una persona tiene "a" años y otra "b" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n
b) a–b
d) a–bn/n
e) (a–bn)(n–1)
c) a–bn
2. Hallar el valor de "a" para que la siguiente ecuación sea incompatible: 2 (3ax − 5) + 7x − 9 = 0 2 a) 5/6
b) –7/12
d) 1/10
e) –3/11
c) 3/8
b) 81
d) 84
e) 79
Central 6198-100
a) –2
b) –3
d) –5
e) –6
c) 83
c) –4
5. Resolver: 3 x − 2 + 2 x − 1 = 5x − 4 + 4 x − 3 Indicando luego la naturaleza de su raíz. a) Primo b) Par c) Irracional d) Impar
3. Se ha pagado una deuda de S/.265 soles con monedas de S/.5 y de S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 5 y de 2 soles? a) 82
4. Al resolver: 3(x–1)+a(2 3x − 2 +a)=0 Se obtiene como una solución a "b". Calcular: E=a2–2a–3b
e) Fracción
6. Sobre la ecuación: 3 − 5x = 2 + x x + 2 x2 − 4 x − 2 x2 − 4 Se puede afirmar que: a) Admite solución x=2 b) Admite solución x=-2 c) Es indeterminada
101
Quinto año de secundaria
Capítulo 31
d) Es incompatible e) Tiene solución diferente de 2 y –2 7. Resolver: 2x − x − 4 − x + 4 = 0 e indicar la suma de sus soluciones a) 7
b) 8
d) 4
e) 10
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
b) 50 e) 120
b) 8
d) 24
e) 12
c) 32
11. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triple. Halle la suma de las edades actuales. a) 88
b) 98
d) 30
e) 40
12. Resolver:
16. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego? a) 84 b) 72 c) 94
c) 90
b) 2
d) f
e) 3
c) a y b
13. Si: x ∈ [3; 5], calcular: A = 3x + 5 − x + 2x − 12 a) 30
b) 17
d) 12
e) x
a) 2/5
b) 4/9
d) 1/3
e) 3/4
c) 2/3
18. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizaron 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, solo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? a) 2000
b) 1760
d) 3000
e) 3520
19. Resolver:
x − 1 + 3 = 3x − 2
a) 17
e) 86
17. Hallar una fracción que al agregarle su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13/4.
c) 60
10. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta x rosas en una hora A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? a) 6
e) 164
d) 96
9. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. Indique la suma de los días que trabajó cada uno. a) 40 d) 80
d) 189
c) 9
8. Resolver la siguiente ecuación: 3 − 2 − x+3 = 0 2x + 1 2x − 1 4x2 − 1 a) 4
15. La edad años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número N; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga? a) 276 b) 245 c) 120
5
1+x +
5
1+x =5 x
a) 7
b) 5
d) 4
e) 1
c) 2240
x 64 c) -2
20. Resolver en x: 6x + 2a + 3b + c = 2 x + 6 a + b + 3 c 6x + 2a − 3b − c 2x + 6a − b − 3c a) ac b d) 1 abc
c) 4x–7
b) ab c e) ac2 b
c) abc
14. Antonio le dijo a Carlos; cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tenía Luís y Luís tenía dos años. Si nuestras edades están en la relación de 13/7. Hallar la edad de Antonio actualmente a) 14
b) 18
d) 13
e) 17
c) 15
102
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Álgebra
32
Ecuaciones de 2do. grado 8. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. x2+x+1=0, no tiene solución real. II. 25x2+100x+100=0, tiene solución única.
1. Hallar el mayor valor de "n"; si la ecuación: (2n+1)x2+(7n+2)x = −6n−1 tiene raíces reales e iguales a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
2 III. x +3 3 5 x + 3 25 = 0, tiene raíces reales diferentes.
e) 6
a) VVV d) VVF
2. Si la ecuación:
ax2 + bx + c = 0; "a, b, c, 1 R / a ! 0 presenta como raíces x1 ∧ x2; Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si: x1 = 3x2, entonces: 3b2=13ac II. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual a su producto entonces: b2=2ac. III. Si: a=b=c, entonces la ecuación no tiene raíces reales. a) VVF
b) VFV
d) FVV
e) VFF
c) FFV
2
3. Si r y s son raíces de: 3x +5x=2, hallar la suma de raíces de: x2 + 9 (r2+s2)x + 2r + s = 0. a) 27
b) −27
d) −37
e) 30
c) 37
4. Si la ecuación: x2+mx+m+2=0; (m ∈ Z) tiene una raíz que es el doble de la otra. Hallar el número de valores enteros en el intervalo de a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2−5x−3=0, hallar el valor de x1 (x1−1)+x2(x2−1) a) 25
b) 26
d) 28
e) 24
c) 27
2
6. Si: 3x +(m−3)x + 5 = 0, tiene raíces simétricas y (m+1)x2+7x+n−3=0, tiene sus raíces recíprocas. Hallar "n". a) 5 b) 8 c) 7 d) 10 e) 12 7. Si las ecuaciones: (m−1)x2 + (n+2)x + 6 = 0 4x2 + 5x + 2 = 0 son equivalentes. Hallar: m . n a) 10
b) 13
d) 16
e) 20
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b) VFV e) FVV
c) FFF
9. En un rectángulo, si al lado mayor le aumentamos una longitud igual al lado menor, su área aumentaría 2 en 25u . ¿Cuánto debemos aumentar al lado menor para que la relación de áreas sea de 1 a 3? a) 5 b) 12 c) 15 d) 8
e) 10
10. La suma de tres números es 21, el cociente de dos de ellos es 2,5; y la suma de estas dividida por el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 10
b) 11
d) 15
e) 17
c) 12
2 11. Dada la ecuación cuadrática: ax +bx+c=0, los coeficientes a, b y c forman una progresión aritmética, si r1 y r2 son las raíces de la ecuación y cumplen a+b+c=3 (r1+r2) y b+7=r1r2. Hallar "abc"
a) 105
b) 34/9
c) +104/9
d) 54
e) 104/9
12. Formar una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son la suma y el producto de las raíces respectivamente de la siguiente ecuación: 2x2 − 3x + 5 = 0 a) 6x2−8x−7=0
b) 4x2−3x−15=0
c) 3x2−4x+15=0
d) 3x2−4x+2=0
e) 4x2−16x+15=0 13. ¿Qué valor debe tener "m" para que las raíces de la 2 ecuación: mx − (m+3)x+2m+1=0, difieran en dos unidades? a) −1 b) 9 c) 1 d) 11 e) 6 14. ¿En qué tiempo harían A, B y C un trabajo juntos, si A solo, puede hacerlo en 6 horas más; B solo puede hacerlo en una hora más; y C solo en el doble de tiempo?
c) 14
103
a) 1/3 horas
b) 4/3 horas
d) 2/3 horas
e) 7/5 horas
c) 2/5 horas
Quinto año de secundaria
Capítulo 32 15. Un muchacho y una chica parten al mismo tiempo del mismo lugar en el mismo camino y en la misma dirección. El a 6 km/h y ella a 5 km/h. Después de 3 horas, el muchacho regresa; a qué distancia del punto de partida se encuentra la muchacha. a) 4 km
b) 3 km
d) 5 km
e) 6 km
c) 2 km
16. En un río cuya velocidad de corriente es de 3km/h, un botero encuentra que demora lo mismo para hacer 30 km de bajada que para recorrer 18 km río arriba (de subida). ¿Cuál debe ser la velocidad, en km/h, de remada en agua quieta? a) 6
b) 9
d) 15
e) 3
2 18. En la ecuación: ax −(a−5)x+1=0, el producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas. Hallar la mayor raíz.
c) 12
b) 3
d) a ∨ c
e) 2
b) 1/2
d) 1/6
e) 1/5
c) 1/4
19. Determinar "m" en la ecuación: x2−(3m−2)x + (m2−1)=0 de modo que una raíz sea el triple de la otra. a) 1 b) 11/14 c) −1 d) −11/14
e) 14/11
20. ¿En cuánto tiempo harán Yuri, Emilio y Niltón un trabajo juntos, si Yuri sólo puede hacerlo en 5 horas más, Emilio sólo en una hora más y Niltón sólo en el triple del tiempo?
17. Hallar el valor de "K" si las raíces de la ecuación de segundo grado son iguales: x2+2(k+2)x + 9k=0 a) 1
a) 1/3
c) 4
a) −1
b) 1
d) −5/2
e) 3
c) 5/2
Tarea domiciliaria 1. Dado el siguiente conjunto unitario: P = " x ! R / ( 2 n + 1 ) x 2 + 6 n + 1 = (− 7 n − 2 ) x , Determinar el mayor valor de "n". a) 4
b) 8
d) 16
e) 20
c) 12
2. Si la ecuación: x2+ax=−b, {a; b} ⊂ R, presenta como raíces a x1 ∧ x2; hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si: x1 = 3x2 3a2 − 13b = 0 II. Si la suma de los cuadrados de sus raíces es igual al producto de las mismas entonces a2=2b. III. Si: a=b=1 entonces la ecuación no tiene raíces reales. a) VVF b) VFV c) FFV d) FVV
e) VFF
3. Si m y n son raíces de: 3(1−x2)=5x+1, hallar la suma de raíces de: x2+9 (m2+n2) x + 2m + n = 0 a) 27
b) −27
d) −37
e) 30
c) 37
4. Si el conjunto: {a; b} está formado por todas las soluciones de la ecuación: x2+cx+c+2=0 (c ∈ Z) tal que: a − 2b = 0. Hallar el número de valore enteros en el intervalo de a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
5. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 − 5x = 3, hallar el valor x12 + x22 − x1 − x2 a) 25
b) 26
d) 28
e) 29
c) 27
6. Si: 8x2+(7m−21)x−16=0, presenta raíces aditivas y (m+1)x2+6x+n−5=0 presenta raíces recíprocas. Hallar "n". a) 5
b) 7
d) 11
e) 12
7. Si las ecuaciones: (m−5)x2+(p+3)x+18=0 4x2+3x+9=0 Son equivalentes. Hallar: m × p a) 35 b) 37 d) 41 e) 43
c) 9
c) 39
8. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. x2+x+5=0 no tiene solución real II. 15x2−90x+135=0 tiene solución única III. x2 + 3 3 5 x + 3 25 = 0 tiene raíces diferentes y reales.
c) 4
104
a) VVV
b) VFV
d) VVF
e) FVV
c) FFF
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Álgebra 9. Las dos soluciones de: x2−3x−10=0, son también soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio de dicha ecuación bicuadrada. a) 72
b) 116
d) 216
e) 224
c) 174
10. Hallar la suma de las raíces complejas de la ecuación: 3 x 2 + 3 + 2x = 7 x x2 + 1 a) 2/5
b) 3/2
d) 1/3
e) 2/3
c) 1/3
11. Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y producto son también números consecutivos. Hallar el cuadrado de la suma del menor con el duplo del mayor. a) 49
b) 16
d) 64
e) 81
c) 25
12. Del producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. El número mayor es: a) 10
b) 8
d) 6
e) 9
c) 7
13. Un padre tiene "x" años y su hijo "y" años. Dentro de cuántos años tendrá el padre el triple de la edad de su hijo. a) x+3y
b) x−3y
x − 3y 2
e) x+2y
d)
14. Al resolver el sistema: 3x + 4y = 3α − 6 ) αx + y = α + 3 Se obtiene y=3x. Hallar "a" a) −2 b) 1 d) 4
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c)
x + 2y 2
15. Si Pedro le regala S/.2 a su hermano Juan, Pedro queda con el doble de lo que reúne Juan; ahora, si Pedro gasta S/.3, queda con el triple de lo que tiene Juan. ¿Cuántos soles tiene Pedro inicialmente? a) 18
b) 16
d) 8
e) 6
c) 12
16. En una semana un establecimiento vendió 40 manteles, los blancos costaban S/.4,95, y los estampados S/.7,95. En total las ventas fueron de S/.282. ¿Cuántos manteles de cada tipo se vendieron? a) 10 y 30
b) 20 y 20
d) 15 y 25
e) 16 y 24
c) 12 y 28
2 2 17. Halle el valor de: (x − y ) en: x+ y = 5 ) xy = 3
a) 8 3
b) 10 5
d) 13 7
e) 2 2
c) 5 13
18. Las suma de tres números es 5, el primero menos el segundo más el tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más que el segundo. Calcular los números. a) 4; 2 y −1
b) −5; 2 y 8
d) 1; 7 y −2
e) 0, 2 y 3
c) 3, 7 y −5
19. El par de números reales (xo; yo) es una solución del sistema: xy = 6 ) 2 x y + xy2 + x + y = 63 Calcule el valor de x2o + y2o a) 47
b) 51
d) 63
e) 69
c) 55
20. Luego de resolver:
*
c) 3
e) 7
105
2 x+ y − 1 = 7 , calcular el valor de "y" y − ( x + 1) 2 = 1
a) 4
b) 25
d) 81
e) 100
c) 49
Quinto año de secundaria
Capítulo 33
33
Sistema de ecuaciones
1. Respecto al sistema lineal: ax + (a + 1) y = 2 ) ( a + 2) x + ( a + 3) y = 4 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. p : ∀ a ∈ R; x+y=1 q : ∀ a ∈ R; la solución es única. r : Si: a=2008 (2007; −2008) es solución. a) VVV
b) VVF
d) FVF
e) FFF
c) FVV
2. Dado el sistema lineal: 3mx + 6y = 2 ) 2x + my = 1 Halle los valores de "m" para los cuales el sistema tiene solución única que pertenece al conjunto A. A = {(x; y) ∈ R2 / y ≤ x – 1} a) [5/3;2> b) c) d)
e) 1
4. Si el sistema lineal: 2x − my = 1 ; m ! Z ) x+y = m tiene C.S. = {(a; b) / b < 0}, calcule la suma de valores de "m" a) −2 b) −1 c) 0 d) 1
7. En la figura adjunta se muestran las gráficas de 3 rectas. y 5 d b 1
e)
3. Si el sistema lineal: (2n − 1) x + ny = 6 * 15 x + 4y = 3 2 Presenta infinitas soluciones, calcule el valor del parámetro "n". a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
6. Indique para qué valor negativo del parámetro l el sistema lineal: Z lx y z l ] + + = [ x + ly + z = 1 ] x y lz 1 = \ + + tiene infinitas soluciones. a) 0 b) −1 c) − 2 d) −2 e) −3
e) 2
5. Dado el sistema lineal: Zx y z 4 ] + + = [ 2 x − 3 y + 5z = 7 ] 6x y 9z 21 = \ + + entonces, indique lo correcto.
Q
3 P
-4 a c7 Calcule el valor de (19a+2d) a) 59
b) 60
d) 62
e) 63
12
x c) 61
8. Dado el sistema de ecuaciones no lineal: x2 + xy + y2 = 12 ) x−y = 6 calcule el mayor valor de: x+y a) 0 b) 1 c) 2 d) −2 e) −1 9. Dado el sistema: x2 + 4y2 = 25 ) x + 2y = 7 Si: 2y>x, entonces el valor de x/y, es: a) 1 b) 2 c) 3/2 d) 8/3
e) 3
10. Si:
xy yz xz = 6; = 8; =6 5x + 4y 3x + 2z 3y + 5z y Determine el valor de: E = x−z a) 5 b) 7,5 c) 10 d) 12,5 e) 25
a) Tiene infinitas soluciones b) No tiene solución c) Tiene solución única d) (2; −1; 0) es una solución e) (−1; 0; 3) es una solución
106
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Álgebra 15. ¿Para qué valor de "n" el siguiente sistema tiene solución única: (n + 2) x + (1 − n) y = 5 ) nx + (n + 1) y = 3
11. Dado el sistema de ecuaciones: 4 5 =− 5 − x + y − 1 2x − y + 3 2 3 1 =−7 + x + y − 1 2x − y + 3 5 El valor de "x+y" es igual a: a) –1
b) 0
d) 2
e) 3
c) 1
12. Dado el sistema lineal de incógnita x e y. Z x y − ]] = 1 − a2 ab b2 [ ]] x + y = a + ab2 \b a Si se sabe que: ab 2 1 e) < ; + 3 > 2 16. Si el sistema lineal:
(a2 − 5) x + ay = 5 4ax + 3ay = b es indeterminado, calcule un valor de ab. a) 25 b) −12 c) 10
y
c) −ab
d) 36
e) 2
18. ¿Para qué valores del parámetro "m" el sistema lineal adjunto tiene soluciones de componentes no negativas: Zx y z 5 ] + + = [ 2x + y − z = 3 ]x − y + z = m \ a) −9 ≤ m ≤ 0 b) −3 ≤ m ≤ 5
14. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales: Z − x + 2x + x = − 2 2 3 ] 1 [ 3x3 + 6x2 + 3x1 = 6 ] 3x − x = 3 \ 1 3 e indique el resultado de: x1+x2+x3 a) 3/2
b) 9/2
d) 10
e) 15/2
e) 45
17. Indique para qué conjunto de valores de "n" el sistema lineal: x + ny = 3 ) nx − 3ny = 2n + 3 es inconsistente a) {−3} b) {−3; 1; 0} c) {3; −1; 0} d) {0; −3} e) {0}
13. Resolver el sistema siguiente: 3 x + y + 2 − 2x − 3y − 7 = − 3 2 3 x + y + 2 + 3 2x − 3y − 7 = 14 Se obtiene que el valor de (x+y) es: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1
d) < − 1 ; + 3 > 4
)
e) −b
ab
b) f
a) R
c) 7/2
c) 0 ≤ m ≤ 5
d) 5 ≤ m ≤ 9
e) 0 ≤ m ≤ 9
Tarea domiciliaria 4. La base de un rectángulo es 6cm mayor que su altura. el perímetro es 32 cm. Encuentre las dimensiones.
1. Halle (y−x) en: 3x − 2y = − 2 ) 5x + 8y = − 60 a) −4
b) −5
d) −1
e) 2
2. Resolver: )
3
c) 1
Calcular "x". b) 17
d) 19
e) 20
3. Resolver: ) x + y = 1 + a x−y = 1−a Hallar: y − ax a) 0 b) 1 d) 3
Central 6198-100
b) 4 y 12
d) 2 y 14
e) 1 y 15
c) 3 y 13
5. Hallar dos números cuya suma sea 60 y el cociente de sus recíprocas es 3.
x−y+1 = 3 x+y+4 = 4
a) 16
a) 5 y 11
c) 18
a) 15 y 45
b) 20 y 40
d) 17 y 43
e) 24 y 36
6. Resuelva: Z ]] a − x + b − y = a x y ; Hallar: "y". [ a y + ]] b + x + =b x y \ a) 2−b b) b−a
c) 2
d) a − b 2
e) 4
107
e) b − a 2
c) 25 y 35
c) a + b 2
Quinto año de secundaria
Capítulo 33 7. La razón entre los ángulos de un triángulo es 2, 4 y 6 el triángulo es: a) Isósceles no rectángulo
14. Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho, está encerrado por "x" metros de cerca para protegerlo. El área en términos de "x" es:
c) Rectángulo isósceles e) Equilátero
)
8. Resolver: Z1 2 7 ]x+ y = 6 [ ]2+1 = 4 \x y 3 Hallar: "x−y" b) 3
d) −1
e) −2
c) 1
9. Determinar el valor de "a" en el sistema: (3a + 1) x + 2y = 25 ) (a + 1) x + y = 28 Para que tenga solución única a) R − " 1 ,
d) R − " 2 ,
b) R − " − 1 ,
b) 2
d) 3
e) −2 o 3
c) −2
Presenta más de una solución. Hallar: "m . n" a) 10 b) 12 c) 15 e) 18
12. Juan y Abel tienen juntos S/.450, además la cuarta parte de lo que tiene Juan equivale a la quinta parte de lo de Abel. ¿Cuánto tiene cada uno? a) 100 y 350 b) 220 y 230
d) 4/3
e) 7/5
c) 3/5
a) x+20
b) x+15
d) x+5
e) x+8
)
c) x+10
x+y + 2
x−y =5
2
a) 48,5
b) 42
d) 45
e) 45,5
c) 40,5
18. Halle el valor de "x+2" en el sistema: Z2 1 ]x+ y = 3 ]] 4 6 [ y + z = 10 ] ]3−2 =1 \x z a) 3 b) 2 c) 1 d) 4
e) 5
19. La suma de tres números es 100. El tercero es 15 menos que cinco veces el segundo. Dos veces el primero es 10 más trece veces el segundo. Calcular los números.
d) 300 y 150
a) 213,32 y −145
b) 10, 50 y 40
c) −120, 80 y 140
d) 70, 60 y −30
e) 150, 60 y −110
e) 180 y 270 13. Hallar la suma de dos números tales que dividiendo el mayor por el menor cociente sea 7 y el resto 4, y que la división del triple del mayor por el doble del menor el cociente sea 11 y el resto 4. a) 62 b) 64 c) 66 d) 68
b) 1/2
x −y = 6 se tendrá que: x2+y2 es igual a:
11. Si el sistema: x+ y = m 2 * 3x + ny = 6
c) 200 y 250
a) 2/3
17. Siendo "x" e "y" números positivos, con "x" mayor que "y" que satisfacen el sistema:
e) R − " − 1 ,
a) 5
x3 + y3 = 5 x2 y + xy2 = 1
16. El último día del año "x" un tío y su sobrino cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad del sobrino será el 50% de la edad del tío?
c) R
10. Sabiendo que el sistema: Kx + 2y = 4 ) 3x + ( K − 1 ) y = K − 4 no tiene solución, calcular "K".
d) 16
2 c) 2x 9
2 2 d) x e) x 18 72 15. Halle "x . y" en el sistema:
d) Isósceles
a) 2
b) 2x2
2 a) x 2
b) Rectángulo no isósceles
20. Determine "x.y" al resolver el sistema:
)
e) 70
108
8y − 2 x + 1 = 24 y2 + 22x = y (2 x + 1)
a) 2
b) log 2
d) 8
e) 16
c) 2 log 2
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Álgebra
34
Inecuaciones - Valor absoluto
1. Si: a, b son reales; se definen las operaciones: a ∗ b = b − a y a # b = 2a + b. Indique el mayor valor entero que verifica: [(x+3)∗(x+2)]∗(x+6) ≥ x # (x+2) a) −1 d) 2
b) 0 e) 3
8. La suma de las raíces de la ecuación: 2 2 |x – 3| + |7x – 21| – 15 = 0 es:
c) 1
2. Si: x ∈ 0). Si: F (x) > m (n2 + n ) ; 6 x ! R n m
b) −1 e) 4
c) 2
b) mn
d) m−n
e) m/n
c) m +n
2
e) Todas
6. Sabiendo que: {m; n} ⊂ N. Indique la suma de soluciones de la ecuación: 2 nx − m + 1 + nx − m + 2 + nx − m + 3 + ..... + nx − m + m = m + 7m 2
b) 2n/m e) mn
c) n/m
7. Luego de resolver: |2x−3| ≤ |x+4| + |x−7| Señale la suma de los valores enteros no negativos que la verifican. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 Central 6198-100
9. Si: 0 − { a }; y 0 < m < a < n. Calcular: (p+n)2 − 2 mq a) m+n
b) 6
e) 2 + a + 2 y 2 – a + 2 10. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación: (x2–5 |x| + 6)(|x|3 – 5) = 0 ?
3. Dada la función "f", definida por:
a) 0 d) −3
a) 11/2
a) a < − 4 ; + 3 > 7
b) a < − 4 ; 35 > 7 2
c) 6 a < − 3; 35 > 2
d) a ∈ f
e) a < − 3; − 4 > , < 35 ; + 3 > 2 7 13. Resolver: 1 + x−1
x−1 $2
a) [–1; +∞>
b)
c) {1}
d)
e)
e) 29 109
Quinto año de secundaria
Capítulo 34 14. Juan le dice a Luis: "Si al quíntuplo de lo que tengo le restamos el triple de lo que tú tienes, quedarían más de dos soles; y si al doble de lo que tengo le aumentamos lo que tú tienes, no llegamos a reunir ni once soles". ¿Cuánto tiene Juan, si Luís tiene más de tres soles? a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
18. Si: A = {x ∈ R / |x – 3|2 – 3|x – 3| – 18 > 0} A = {x ∈ R / 1 ∈ 8 1 ; 2B} 2x + 8 12 C C Entonces A ∩ B , es:
c) 3
15. Indicar el mínimo valor que toma: 4 ; si: x >0 M= x 3+ 1 + x ( x + 1) a) 3/5 b) 6/5 d) 1/5 e) 1
c) 9/5
||2x2−14x+24|+m|x2+3||
e) 0)
d) 40
a) f
a) 2
b) 1
c) 0
d) –1
e) –2
e) 0
Tarea domiciliaria 1. (UNMSM 2006 − I) Halle la suma de los números naturales, tales que su cuadrado es menor que su séxtuplo disminuido en cinco. a) 7
b) 10
d) 9
e) 8
c) 11
2. Obtener el intervalo al cual pertenece: x3 + 6x2 + 12x + 13 Si se sabe que: x ∈
a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
5. Indique la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes: I. 5 +
c) R
b) 0 a) { }
b) {±1}
d) {1}
e) {−1}
c) {0}
7. Resolver: |3x−5| ≤ |2x+3| + |x−8| Indique el conjunto solución. a) [ − 3 ; 8 ] 2 d) R
x 2 − 5x + 6 7x − x2 − 12
110
b) 2
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Álgebra 8. Hallar la suma de los dos mayores valores enteros que satisfacen la inecuación: 2x – 5 < 2x x−3 a) 4 b) 5 c) 6 d) 3
9. Hallar el conjunto solución de m, para que se cumpla la inecuación en "x", mx2+(m+2)x+6>2m; ∀x∈R, m>0. a) < 4 ; 9> 9 d)
c) b) < 2 ; 2> 9 e) < 1 ; 4> 9 10. Al resolver la inecuación: x6 − 1 $ x5 − 2 ; hallar el conjunto solución. x4 + 1 x4 + 2 a) [−1; +∞>
b)
d)
e) [0; ∞> 2
27
c) [1;+∞ >
e) 14
12. Calcular "m" de forma tal que la inecuación: (2x+3)(x+m) ≥ x(x+3) se verifica: ∀ x ∈ R a) [0; 3]
b) [0; +∞>
d) R
e) f
d) 43
Central 6198-100
a) 2
b) 4
d) 16
e) 25
c) 9
17. A partir de: a (x−b) > 0 b (x − a) < 0 con a < b < 0 se puede afirmar: a) abx > 0 b) (x−a)(x−b) > 0 d) a < x < b
e) x+a+b > 0 18. Hallar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación: x − 9 # 13 x−2 x−2 a) 247
b) 273
d) 250
e) 243
c) 253
Entonces se puede afirmar que:
x+1 # x 2−x x+3 Se obtuvo como solución: ∪ Calcular: ab+a+b a) −1 b) −5 c) −6
a) [1; 2] ⊂ S
b) [–1; 1] ⊂ S
c) S ⊂ [1; 2>
d) S ⊂ [2; 3>
e) S ⊂ [–2; 1>
e) −8
14. Resolver el sistema en Z: Z x 7 > 49 ] + [ x − y < 10 ] x 2y < 112 \ + Señale el valor de "x". a) 34 b) 38
16. Luego de resolver la inecuación: |x2+5| + 2x > |x2−x+1| + 7 Indique como respuesta el cuadrado del menor valor entero que la comprueba.
19. Si "S" es el conjunto solución de la inecuación: ( x − 2) (1 − x2) $ 0, ( x + 1) 2 − x
c) 0 Indique la suma de los enteros no negativos que la verifiquen a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
c) e)
e) 7
2
15. Si: a (x−a)2 + a2 a) b)
20. Hallar el complemento del conjunto solución de: x2 + 3 |x – 3| + 5 ≥ 6x a)
c) 42
e) 83
111
Quinto año de secundaria
Capítulo 35
35
Funciones
1. Hallar: a2–b2, para que el conjunto "A" sea una función: A = {(2; 4); (1; 3); (2; a+b); (1; a–b)} a) 14 b) 12 c) 10 d) 8
IV. El mínimo valor que toma el dominio de F (x) = x + 2 es igual a –2. V. Una recta horizontal, puede intersectar a una función en más de un punto.
e) 7
2. Sea la función F: F = {(2; 3); (3; 4); (1; 5); (5; 7)} Calcular: J = F(F(1)) + F(F(2)) + F(1) + F(2) a) 18
b) 19
d) 21
e) 22
c) 20
c)
y
x e)
x
4. Calcular el dominio de: f(x) = 4 − x2 ; y dar como respuesta el número de valores enteros de dicho dominio. d) 5
e) 6
c) 4
5. Calcular la suma de valores enteros del dominio de "f": f(x) = 4 x + 5 − 4 8 − x a) 20
b) 21
d) 23
e) 24
a) [10; 15]
b) [–11; 13]
d) [–12; 13]
e) [12; 13]
c) [–12; 14]
a) –3
b) 0
d) –3
e) –2
c) –4
a) {0;–2;–3}
b) {–3;–2;–1}
d) {–3;–2;1}
e) {–1; 0; 1}
c) {1; 2; 3}
10. UNMSM 2002 Dada la función: f(x) = |a |x –b| + b |x–a||; en donde: a > b > 0. Calcular: f ( a + b ) 2
x
b) 3
e) VFVVV
9. UNMSM 2008 Dado: A = {x ∈ Z / |x| < 4}, sean "f" y "g" funciones de A en R definidas por: f(x) = x2 – 3 y g (x) = 1 − x + 1. Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de "g".
y
a) 2
d) FVVVV
c) VVFVV
8. Sea la función polinomial: f(x) = mx7 + 5x4 + nx – 3 sabiendo que f(–1)=6; calcule: f(1)
x d)
y
b) VVVVF
7. Calcular el rango en: F(x) = 3 – 5x, x ∈ [–2; 3]
3. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función? b) a) y y
x
a) VVVVV
b) (a2 + b2) / 2
2 2 c) (b – a ) /2
d) (a2 – b2) / 2
2 2 e) 2 b – a
11. UNMSM 2007 - II Halle el rango de: f(x) =
c) 22
6. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. El dominio de F(x)=x+5 es el conjunto de los reales. II. El rango de F(x)=(x–3)2+1 es un conjunto de números positivos. III. El punto (0; 0) representa una función.
a) 2 a2 – b2
4− x +1
a) [0; 3]
b)
d) [1; 3]
e) [1; 3>
c) 2
10. Si: 3Log x + x − 1 + 16 = 4 (3Logx + 3 x − 1) ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos? I. Posee 3 raíces
2 -1
6. Calcule el valor de
d) 4
b) < 0; 7 > 2 1 3 e) < ;16@ 2
II. Una de sus raíces es: 10Log3 4 III. La menor de sus raíces es: Log312
e) 1/e
a) 1
e)
a) pr/8
14. Calcular el número de términos de una P.G. de razón 2, siendo 189 la suma de ellos y la suma de sus cuadrados 12285. a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
15. Una persona tiene que pagar una deuda de S/.3600 nuevos soles en 40 pagos anuales que forman una P.A. cuando ya había pagado 30 de las anualidades convenidas, fallece dejando una tercera parte de la 116
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Álgebra deuda sin pagar, entonces ¿El importe del primer pago es? a) 83
b) 77
d) 55
e) 51
c) 56
d) 8
16. Calcular el valor límite de: 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ..... 7 72 7 3 7 4 7 5 76 a) 1/8 b) 3/32 d) 1/16
c) 1/32
e) 3/16
17. En una P.G. de términos positivos la suma de los términos 2do, 3ero y 4to es 78, además el producto del 1ero y 3ero es 36. Halle el cuarto término de la P.G. a) 52 b) 53 c) 54 d) 57
19. Sea la sucesión geométrica: S : '' 1: 1 : 22 : 1 : 1 m n + 4 8 16 Calcule el valor de (m+n) a) 2 b) 4
c) 7
e) 5
20. De una P.G. con el primer término y distinto de cero y q ≠ 0 y una sucesión aritmética con el primer término igual a cero, se suman los términos correspondientes de las dos sucesiones y se obtiene una nueva sucesión: 1, 1, 2, ..... entonces la suma de los diez primeros términos de la nueva sucesión es: a) 435 b) 531 c) 654 d) 124
e) 978
e) 58
18. Una persona caminó 1 Km el primer día, 3 km el segundo día, 5 km el siguiente día y así sucesivamente. Después de tres días, parte otra persona y recorre 12 km el primer día, 13 km el segundo, 14 el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántos días tardará la primera persona en alcanzar a la segunda persona? a) 12
b) 14
d) 18
e) 21
c) 13
Tarea domiciliaria 1. Si: a = Log23 b=Log35. Halle Log512
a) 8− 4; 1 B 2
a) 1 + a b) 2 + b c) 2 + a ab 2ab ab d) 1 + b e) a + b 2ab 2+b Log(2 − x) 2 + Log 4 (Log2 x2) =3 2. Si: (2 − x) Entonces el valor de: (x+5)2, es: a) 81 b) 25 c) 100 d) 1 3. Si: 3 x
b) < − 3: − 4 @ , 62; + 3 > − " 1, c) < 1; + 3 > d) < − 3; − 4 @ , < 1 ; + 3 > − " 1, 2 1 e) < ; + 3 > − " 1, 2
e) 9 2 − 2x
6. Si: Log 2 = 0,30103..., calcule la cantidad de cifras del número "N". N = 230 x 1020 a) 31 b) 32 c) 28
= 5 , calcule el valor de "x".
a) Log35
b)
Log3 15 + 1
c)
Log3 5 + 1
d)
Log3 15
e)
Log5 3 + 1
d) 29
7. Si Log a y Log b son las soluciones de la ecuación: x2 – 4x + 2 = 0, determine el valor de: Log2 a2 + Log2b2
4. Si xo es la solución de la ecuación logarítmica: Log2 (3x + 2) − Log
2
2x − 1 = Ln e ,
Calcule el valor de Log x
3 o
a) 1/4
b) 1/3
d) –1
e) –1/4
4 c) 1
a) 12
b) 36
d) 8
e) 24
c) 48
8. Al resolver la inecuación: Log2/5(3x-2) > -2; se obtuvo como conjunto solución . Halle el valor de: a+b
5. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: Log x (x + 4) (2x − 1) Log x (x + 4) (2x − 1) = 2 Central 6198-100
e) 30
117
a) 13/12
b) 15/13
d) 8
e) 25
c) 41/12
Quinto año de secundaria
Capítulo 36
9. Al resolver la inecuación logarítmica: Ln (x+2) < Ln (–x2+6x+16) – Ln (5–x), se obtiene como conjunto solución. Determine (b + a). a) 2
b) 3
d) 5
c) 4
e) 6 2
10. Si: b > b , halle el C.S. de: Log
6( b2
16. La diferencia del tercer término menos el sexto término de una P.G. es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.
x − 3) ( x + 1)@ > Log
b
a)
b)
d)
e)
x+ 3 c)
b) 158
d) 150
e) 162
c) 152
12. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42; la suma de los tres últimos términos es 312 y la suma de todos los términos es 1062. Hallar el número de términos de dicha progresión. a) 20 b) 18 c) 16 d) 10
e) 12
13. Tres números están en P.G.; si al segundo se suma 2, se convierte en aritmética y si a continuación se suma al tercero nueve, vuelve a ser geométrica. Hallar el tercer número. a) 4
b) 8
d) 12
e) 10
c) 16
b) 6
d) 14
e) 40
b) 7
d) 231
e) 77
e) 5/9
a) 36
b) 64
d) 156
e) 216
c) 122
a) 125/64
b) 4/5
c) 1
d) 3/4
e) 25/16
19. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es n(3n+1) la razón de la progresión es: a) 8
b) 6
d) 3
e) 2
c) 5
20. Calcule la suma: n
/
K=1
c) 4
15. La suma de tres números positivos, que forman una P.A. es igual a 21. Si a estos tres números les sumamos respectivamente 2, 3 y 9 los nuevos números forman una PG. Hallar el producto de ellos. a) 3
d) 4/9
c) 243
18. Calcule el valor límite de la siguiente expresión: S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... 5 25 125
14. Si la media aritmética entre (a – 4) y (10 – b) es igual a su media geométrica, evaluar "a+b". a) 10
b) 234
17. En la siguiente P.A. ÷ a . b . c si se aumenta respectivamente 2; 3 y 8 estos nuevos números son proporcionales a 10; 25 y 50. Hallar el valor de: ab + bc + ca
11. Hallar el término de lugar 20 de una P.A. si la suma de los "n" primeros términos es 4n2+2n. a) 160
a) 245
K−1 2K − 1
a) 1 − nn+ 41 2 2 +
b) 1 − nn+ 11 2 2 +
c) 2 − nn+−11 2
d) 1 2
e) 1 − nn 2 2
c) 11
118
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