Álgebra (completo)
January 24, 2017 | Author: linsow | Category: N/A
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Álgebra 6to grado – I Bimestre
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Índice Índice
Pág
l
Historia del Álgebra – Simbología algebraica
75
l
Expresiones algebraicas
81
l
Términos semejantes
87
l
Reducción de términos semejantes con coeficiente entero 93
l
Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario 101
l
Repaso
109
l
Potenciación: Propiedades I
113
l
Propiedades de la potenciación II
117
l
Repaso
121
Historia del Álgebra "El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide"
Jean le Rond D'alembert Filósofo, físico y matemático francés del siglo XVIII
Introducción A lo largo de la historia, la Matemática ha mantenido una evolución en todas sus áreas, permitiendo al hombre hacer frente a problemas que en principio fueron originados por situaciones cotidianas y que, posteriormente, surgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.
del Álgebra". Escribió varios libros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En uno de sus libros "Al - jabr - wa'l muqäbala", aparece la palabra "Al Jabr", de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA". "Al Jabr" significa "restauración", refiriéndose al equilibrio de una ecuación mediante la transposición de El Álgebra, siendo una de las principales términos. "Muqäbala" significa "simplificación", áreas de la Matemática, tuvo un inicio que se refiriéndose a la reducción de términos semeremonta aproximadamente al año 3000 a.C. jantes en cada miembro de una ecuación. Fue la cultura babilónica la que dejó indicios, Otros matemáticos que dieron gran imen sus "tablas cuneiformes", sobre las nociones pulso al desarrollo del Álgebra fueron: Niccolo básicas para la resolución de ecuaciones de Fontana, llamado TARTAGLIA ("El Tartamudo"); primer y segundo grado. matemático italiano que centró su trabajo en Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) la ecuación cúbica. en su obra "Aritméticas", difunde la teoría sobre Girolamo Cardano, en su obra "Ars las ecuaciones de primer y segundo grado, in- Magna" publica un resultado similar a TARTAfluenciado por los trabajos de los babilonios. GLIA. Ludovico Ferrari, trabajó investigando las Luego, durante la Edad de Oro del ecuaciones de cuarto grado. Francois Vietté, mundo musulmán, que corresponde a la emplea las letras en el Álgebra; utilizando las Edad Media del Mundo Occidental, aproxi- primeras (a, b, c, ...) para representar cantimadamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la dades conocidas, y las últimas (z, y, w, x, ....) lengua internacional de las matemáticas. Los como incógnitas. matemáticos árabes conservaron el patrimoComo habrás visto, todos los matemátinio matemático de los griegos, divulgaron cos mencionados son extranjeros; sin embarlos conocimientos matemáticos de la India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar go, también existieron matemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollo del Álgebra; tanto el Álgebra como la Trigonometría. podemos mencionar a Cristóbal de Losada y Es durante esta época que surge la Puga, Godofredo García, José Tola Pasquel y figura de Mohammed Ibn Musa Al - Khwarizmi principalmente Federico Villareal. (780 - 850 d.C.) llamado por algunos el "Padre
CUESTIONARIO •
De la lectura anterior, responde a las siguientes preguntas:
1.
¿Qué cultura es considerada como la 8. iniciadora del Álgebra? ___________________________________ ¿En qué temas basó su investigación 9. DIOFANTO?
2.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3.
¿Cuándo nació aproximadamente Al - Khwarizmi?
___________________________________
___________________________________
4. 5. 6. 7.
¿Qué significa la palabra "Al - jabr"? ___________________________________ ___________________________________ ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo del Álgebra?
___________________________________
___________________________________
10. Escribe el nombre de matemáticos peruanos investigadores del Álgebra.
___________________________________
___________________________________
11. ¿Por qué crees que es importante la Del año 700 al 1200 d.C., la lengua Matemática para el ser humano? internacional de la Matemática fue: ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 12. R e s u m e b r e v e m e n t e l a l e c t u r a ¿Quién es considerado "Padre del Álgeanterior: bra"? ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi? ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ______________________________ ___________________________________ ¿De dónde se deriva la palabra ___________________________________ ÁLGEBRA?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Simbología Algebraica SÍMBOLO x; •; ( )
÷; :; –
SIGNIFICADO Operadores de la multiplicación. Operadores de la división. Operador radical.
( ); [ ]; { }
Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente.
M(x;y) = 2xy2
Monomio de variables "x" e "y".
P(x) = x2 + 2x + 1
Polinomio de variable "x".
x
Variable, es decir, letra que puede tomar varios valores.
∀
Para todo.
≠
Diferente.
¡Listos, a trabajar! Utilizamos los operadores de multiplicación y división en los siguientes ejemplos: *
La multiplicación de 3 por 8
se escribe:
*
3 × 8 = 24
La división de 14 entre 2 se escribe:
3 . 8 = 24
(3) (8) = 24
1.
Completa según los ejemplos anteriores:
I.
La multiplicación de 5 por 7
se escribe:
A.
14 ÷ 2 = 7 14 : 2 = 7 14 =7 2
La división de 35 entre 5
_______ = _______
se escribe:
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
II.
La multiplicación de 9 por 8
se escribe:
B.
La división de 48 entre 6
_______ = _______
se escribe:
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
III.
La multiplicación de 6 por 9
se escribe:
C.
La división de 63 entre 7
_______ = _______
se escribe:
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
2.
Completa según los ejemplos:
•
M(x;y;z) = 3x6y5z4a
•
Las variables son: x; y; z
Las variables son: x; y
El coeficiente es: 3a
R(a;b;c) = 7a6b9c7
I.
P(x;y) = –7x6y5
El coeficiente es : -7 II. Q(m;n;p) = –4m7n3p2
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
III. F(x;y) = 31x4y8a
IV.
S(x;y) = 2abx9y12
Las variables son: _______
Las variables son: _______
El coeficiente es : _______
El coeficiente es : _______
V. P(y) = 7y7 + ay6
VI.
R(z) = bz9 + 7z5 – 3z
Las variables son: _______
Las variables son: _______
Los coeficientes son: _______
Los coeficientes son: _______
⇒
Diviértete completando el siguiente cruciálgebra:
1.
El Álgebra, la Aritmética y la Geometría forman parte de la ...
2.
Es una parte de la matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.
3.
El padre del Álgebra es ...
4.
Matemático griego, autor de "Aritméticas".
5.
Niccolo Fontana era llamado ... 3
2
5
4
1
Demuestra lo aprendido 1.
Completa utilizando operadores matemáticos, según sea el caso:
I.
La multiplicación de 8 por 10
se escribe:
II.
_______ = _______
La división de 100 entre 20 se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
III.
La multiplicación de 9 por 12
se escribe:
IV.
_______ = _______
La división de 49 entre 7 se escribe: _______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
_______ = _______
2.
Completa:
I.
A(x;y) = 3x2y
Las variables son: _________
Las variables son: _________
El coeficiente es: _________
El coeficiente es : _________
III.
I(x;y;w) = –
Las variables son: _________
Las variables son: _________
El coeficiente es: _________
El coeficiente es : _________
V.
N(x) = 5x2 + 7x - 1
A(a;b;c) = 15a2b + 7abc + 8ac2
Las variables son: _________
Las variables son: _________
El coeficiente es: _________
El coeficiente es : _________
1 4 6 7 xyw 2
II.
IV.
VI.
R(a;b;c) = –7a4b5c6
A(x;y;z) = 14x + 15y + 7z
Desafío 1.
Dado el polinomio:
C(x;y;z) = 8x2y + 5xy2z3 - 10y3z - 3z3
señala la suma de sus coeficientes.
Expresiones algebraicas Se llama expresión algebraica a aquella en la cual las variables (letras) y constantes (números) están relacionados por las operaciones de adición ( + ), sustracción ( – ), multiplicación ( • , × , ( ) ) y división ( : , ÷ , / ).
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es la unidad de la expresión algebraica, está conformado por números y letras relacionadas por signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación.
•
Partes de un término algebraico
Presenta dos partes: parte numérica y parte literal.
coeficiente
exponente
11 –7x PARTE NUMÉRICA
1.
Completa correctamente:
En: -5x9
variable PARTE LITERAL
En: 31z12
Parte numérica: _______
Parte numérica: _______
Parte literal: _______
Parte literal: _______
Variable: ________
Variable: ________
Exponente: ________
Exponente: ________
En: –43x4
En: +75x3/4
Parte numérica: _______
Parte numérica: _______
Parte literal: _______
Parte literal: _______
Variable: ________
Variable: ________
Exponente: ________
Exponente: ________
2.
Crea tu término algebraico:
y completa:
coeficiente: _______ Variable: ________
parte literal: _______
Exponente: ________
Notación de un término algebraico Es la representación simbólica de un término, la cual nos indica las variables de dicho término.
P(x) =
–4x3
M(x,y)
=
41x7y3
NOTACIÓN
NOTACIÓN
* Se lee "P" de "x"
* Se lee "M" de "x" e "y"
* Variable: x
* Variable: x,y
¡Listos, a trabajar...! 1.
Completa:
•
R(x,y,z) = ax7y3z4
variables: _____________
•
Q(m;n) = a2b3m17n16
variables: _____________
•
R(x;y) = –4x6y11
•
•
F(a,b) = 45a7b2 variables: _____________
N(c;x) = 2m3c4x7
Parte literal: __________
Parte numérica: __________
Variable: __________
Exponente: __________
variables: _____________
Diviértete completando el siguiente cruciálgebra:
Dado el término algebraico: B
3x2y3
A
C
Son signos de agrupación o colección:
D
→ ___________________________
E
→ ___________________________ B D C
A
E
Clasificación de términos algebraicos El término algebraico se clasifica en: 1.
Término racional
Cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser:
a. Término Racional Entero
Cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos.
b. Término Racional Fraccionario
Cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo.
2.
Término irracional
Cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.
¡Listos, a trabajar...! •
P(x;y) = 4x4y3
⇒
_________________________________________________
•
F(x;y;z) = 3x9y6z–2
⇒
_________________________________________________
•
R(x;y) = –4x1/3y–3
⇒
_________________________________________________
•
A(a;b) =
4 3 –5 4 3 x y a b 3
⇒
_________________________________________________
•
B(m;n) =
3 x 2m n
⇒
_________________________________________________
3
–2 4
Demuestra lo aprendido 1.
En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señala con un círculo su respectiva parte literal.
•
•
2.
En las siguientes expresiones algebraicas, señala con un círculo cuáles son los exponentes de cada una de sus variables.
•
x2
•
•
5x4z5
•
•
100x15z
3.
En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:
Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2
•
2x
•
4y2
•
5xy
•
7x5y6
4.
En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes.
Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y
•
x3
•
x2y4
•
x5y2z
•
83x4y3
x2y
•
5 x3y4z5 8
•
3xy2z3
•
5z8
400 x 100
y3 3 8 z 5
•
x3y4
•
7xyz2
Desafío 1.
Da el menor valor que puede tomar "a", si la expresión:
P(x;y) = x y + x
es un polinomio.
7
8
a –2 3
y
a –1 y
+ xy 7
Términos semejantes I.
Completa lo siguiente:
1.
El __________________ es una de las partes de la Matemática que estudia las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.
2.
Las ___________________ se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
3.
____________________________, son aquellos que tienen la misma parte literal.
4.
Son ____________________________ o signos de _________________________ los corchetes, ______________________ y ________________________.
Términos semejantes Son aquellos que presentan la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Son los únicos que se pueden sumar o restar. Ejemplos:
1 2 3 4 a b x ; –8a2b3x4 2
a.
4a2b3x4 ; –6a2b3x4 ;
b.
6x2m4 ; 5m4x2 ; –
c.
7x3 ; x3 ; –7x3 ; –5x3 ; 6x3
d.
5x ; –9x ; 17x ;
1 4 2 m x 3
3x
Reducción de términos semejantes Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un solo término; mediante la adición o sustracción. Ejemplos: a)
2a + 5a = 7a
b)
8b - 3b = 5b
c)
5x2 – 2x2 = 3x2
Recuerda: *
Cantidades del mismo signo se suman y se pone el mismo signo.
Ej.: –7 –4 = –11
*
Cantidades de signos contrarios se restan y se pone el signo del mayor.
Ej.: –9 +7 = –2
¡Listos, a trabajar...! I.
Reduce los siguientes términos semejantes:
1)
5x – 2x – 10x + 3x – 6x
2)
–15m + 7m – 4m + 10m – m
3)
–8y2 – 3y2 – 2y2 – y2 – 10y2
4)
14xy + 14xy + 7xy + 2xy
5)
–16x3 – 3x3 – x3 – 2x3 – 100x3
Reducción de términos semejantes suprimiendo signos de agrupación -
Se suprimen sucesivamente dichos signos empezando de preferencia por el signo de agrupación más interno.
-
En una expresión, al suprimir signos de agrupación precedidos del signo más (+), deberá escribirse con su mismo signo cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.
-
E n u n a e x p re s i ó n , a l s u p r i m i r s i g n o s d e a g r u p a c i ó n p re c e d i d o s d e l s i g n o menos (-), deberá escribirse con signo cambiado cada uno de los términos que se encuentran dentro de él.
Ejemplos:
a. 3x + (4x + 6x)
b.
3x + 10x 13x
–2m – [3m + 4m – (6m + 8m) – 4m + m]
c.
–2m – [3m + 4m – 6m – 8m – 4m + m]
–2m – 3m – 4m + 6m + 8m + 4m – m
8m
3m – (6m – 4m) + 2m 3m – 6m + 4m + 2m 3m
¡Listos, a trabajar! 1.
Reduce los siguientes términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación.
a. 3x + (2x + 5x)
b. 4m – (3y – 10m)
c.
d. –[3x – 2x + x] + 4x – x + (2x – x + 4x)
e. –m3 + 3x4 – [3x4 + 8m3]
f.
g. (–m + 3n) – {–n + 4m}
h. –3z – [–2z + 8z] + [8x – 5m + 9z] – 15x
i.
8a2 + {5a + 6p3} – (4a2 – 8a) – [9p3 + 5a2]
j.
– {[3a + 6x – (2m – 5x)] – [5z – 8m + 6a – (7x – 6m)]}
–2a – (3a + 2a – a) + 8a
–4y3 – {7a3 + [–5x4 – (7y3 – 9a3 – 12x4) – 8m2] + y3}
Diviértete completando el siguiente cruciálgebra: 1.
Es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.
2.
Las ............ se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas.
3.
Términos .........., son aquellos que tienen la misma parte literal, afectada de los mismos exponentes.
4.
Son signos de colección o agrupación:
a) ______________________
b) ______________________
c) ______________________
1
4c
2
4a
3
4b
Demuestra lo aprendido 1.
Reduce los siguientes términos semejantes:
a) b6 + 5b6 + 2b6 – 5b6 – b6
b)
7xy3 + 18xy3 – 10xy3 – 7xy3
c) 33ab – 17ab – 8ab – 33ab + 5ab
d)
8z4 + 2z4 + 6z4 – 8z4 – 13z4 + z4
2.
Reduce los términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación:
a) 10x – (5x + 2x)
b) 14x2y + (25x2y – 12x2y)
c) (–15m + 7n) – (3n – 20m)
d) 15a2 + (7a – 8a2) – (4a2 + 8a) – (–10a2 – 10a)
e) – { – [ – (–20ab + 15ab)]}
f ) 10x2 – {5x2 – [–3x2 – (8x2 – 9x2)] – 15x2}
Desafío 1.
Si los términos:
t1(x;y) = 8x2a+1y7
t2(x;y) = –15x15y3b–2
son semejantes, halla "a + b"
Reducción de términos semejantes con coeficiente entero Recordemos la adición de números enteros. Observa: • (+1) + (+2) = +3
(+) + (+)
• (–4) + (–3) = –7
(–) + (–)
• (+7) + (–2) = +5
(+) + (–)
• (–4) + (+1) = –3
(–) + (+)
SUMA ⇒ Se coloca el mismo signo.
SUMA ⇒ Se coloca el signo del número mayor.
Camino a casa
Ayuda a nuestro amigo "Pingüis" a encontrar el camino de llegada a su casa y colorearlo. Para esto, tendrás que sumar los números y seguir operando sobre el número que en ese momento hayas obtenido.
6
–7
2 +7 –9
+3
+1
–1 +12
–10
–4
+5
–5 6
–1
Ahora observa los siguientes ejemplos: •
(+3x) + (+2x)
= [(+3) + (+2)]x
= +5x
•
(–4y) + (–6y)
= [(–4) + (–6)]y
= –10y
•
(10x) + (–3x)
= [(10) + (–3)]x
= 7x
•
(–20y) + (12y)
= [(–20) + (12)]y = –8y
–15
¡Listos, a trabajar! I.
Con ayuda de tu profesora resuelve los siguientes ejercicios:
(3x) + (–2y) + (–4y) + (+10x) 1.
(3x) + (+10x) + (+2y) + (–4y) (+13x)
+ (–6y)
Recuerda: 1º
Reconocer los términos semejantes.
2º
Reducir los términos teniendo en cuenta los signos.
2.
(–10z) + (4y2) + (6y2) + (–8y2)
3.
(5z) + (–12z) + (3y) + (4y)
4.
(–4ab2) + (–6a) + (+12ab2) + (+8a) + (3b)
5.
(13m) + (–2n) + (–13m) + (–10n)
¡A jugar con el dominó algebraico! Para jugar y aprender sigue los siguientes pasos: ⇒
Recorta cada pieza del dominó algebraico.
⇒
Realiza tus operaciones en la cara indicada de la siguiente hoja.
⇒
Cuando ya hayas obtenido los resultados, arma en forma de número con las piezas del dominó. ¿Qué número formaste?
⇒
Pega cada pieza en la hoja indicada.
–2x – 14y
–7x2 – 2y
y
INICIO
(–x3) + 7y2
+3xy
(–6x2) + (2y)
(–3xy) + (6xy)
(4z) + (+2xy) + (–4z) + (xy) (3x 2 ) + (–2y) + (–10x2)
(6x2) + (–y) +
(–2x 3 ) + (y 2 ) + (6y2) + x3
(3x) + (–6x) + (–4y) + (10y) + x
RECort indica a como te la prof esora
Dominó algebraico •
Resuelve aquí tus operaciones para que puedas armar tu dominó algebraico:
•
¡Ahora intenta formar con las piezas la forma de un número y pégalo!
¿Qué número formaste?
Rpta.: ____________________
Demuestra lo aprendido I.
En tu cuaderno, reduce los siguientes términos semejantes:
a) (–4z2) + (+6yx) + (–10xy) + (20z)
b) (10x3) + (–100x3) + y + (–8y)
c) (3ab) + (–8ba) + 3a
d) (6x) + (10y) + 4z + (–10y)
e) (5m) + –4n + (–12m) + 4n
II. Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y halla las respuestas en la "sopa algebraica":
a) (–3x) + (–2x) + (3y) + (–10y)
b) (6xy2) + (–4xy2) + x2y + 1
c) (6y2) + 4y2 + (–12y2) + y2 – 6
d) 4xy + –3x + 8x + 3y2 – 2y2
e) 80x + –60y + –72x + 50y – 3
–3x
4y3
–10
y2x
–3
–7y
2xy2
x2y
1
–10y
–8x
–6
–6
y2
8x
y4
–y2
+6
5x
0
–5x
–8
x2
y2
–7y
–14y
6x
7y
5x
y3
1
–1y
0
4xy
1
x
Desafío 1. Halla la suma de coeficientes de la siguiente expresión (después de reducirla):
(–4x2) + (5xy) + (–12x2) + (–6xy) + y
Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario Observación: Para reducir términos semejantes con coeficiente fraccionario tenemos que recordar cómo resolver las operaciones básicas con fracciones.
Adición y Sustracción de fracciones A.
Fracciones homogéneas
•
1
•
7 2 5 – = =1 5 5 5
B.
Fracciones heterogéneas
1 3 3 7 10 +2 = + = =5 2 2 2 2 2
MÉTODO 1 •
3 +4 4 5 3.5 + 4.4 4.5
MÉTODO 2 3 4 + • 4 5 3.5 4.4 + 4.5 5.4
15 + 16 20
31 20
15 16 + 20 20 31 20
Estos tres métodos estudiados, también te ayudarán a resolver las fracciones heterogéneas.
MÉTODO 3 •
3 4 + 4 5 5.3 + 4.4 20 15 + 16 20 31 20
4
–
5
2
2
–
5
2
1
–
5
5
1
–
1
MCM (4;5) = 22.5 MCM (4;5) = 20
Recuerda como se resuelven las operaciones de multiplicación y división de fracciones:
•
•
3 4 7 2
•
3.1 1 1 = = 4.6 6 8
•
1
2
•
3 7x3 21 = = 2 2x2 4
2
1
7 14 7 ÷ = 6 12 6
•
•
12 = 1 14 1 2
•
2 =1 2
1 3 1 4 3 ÷ = 3 = 1•9 = 3 9 4 4 3•4 9
¡Listos, a trabajar! •
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.
2 13 1 1 2 13 4x2 3 13 8 – – x = x + x + x – 4x = + x + x = x + 4 2 4 4 4 2 1x2 4 2 2
13 3 5 3 5 3 5 3 5x2 3 10 x x + x = + x = + x = + x = + x = 4 4 2 4 2 4 2 4 2x2 4 4
2.
1 1 1 1 x + x + x – x 3 2 3 2
3.
1 2 3 3 y + y+ y – y 3 3 5 5
4.
7 9 2 9.1 7 9 2 9 7 9 2 2 9 2 2 9 2 2 2 1– 9 . 7 x = 9.1 – 9 . 2 x = 9 – 9 . 2 x = 9 . 2 x = 9 . 2 x = 1.x = x
5.
2 1 1 7 5 . 3 + 2 ÷ 30 b
6.
3 1 1 3 m – 2 m + 5 m 4 4 3
7.
1 4 9 1 2 1 + ÷ a – – a 4 4 3 3 5 2
8.
1 5 1 n + n ÷ n 3 6 2
9.
3 5 + a + 4a 4 4
2 10 3 10. m + m . m 10 8 5
¡Arma y pega aquí tu algexágono! 1.
En la siguiente página encontrarás las piezas para armar la figura.
y2
2 18 x 2 ÷ 5 4 – 5
2
1x
3 1a 7 – 1a 1 2 + a 3
5 t 3t – 7 t– 5 t + 2 4 t + 2t – 7 2
30 42 7 0 x2
t2
2
2 y 1 . 3 2 – 2
2 13 42 a 2 x2 2 x + 7 – 4 2 x2 2 + 3 3 x 5
15 t 4
Reduce las siguientes operaciones y arma el correctamente el exágono.
1 1 1 . . 1 4 2 3 ÷ t 2 24
2.
RECort indica a como te la prof esora
Demuestra lo aprendido Resuelve:
1.
1 n n 1 n + n – – 6 3 6 3
2.
x 3x x 5x – + + 2 10 2 10
3.
2 3 3 3 4 3 ÷ 9 ÷ 5 ÷ 7 y
4.
2 3 4 1 3 x – 2 x + 4 x – 3 x 5 5 5 5
5.
1 1 1 1 2 2 + 3 3 + 4 y
6.
1 1 1 2 + ÷ m 7 5 3
7.
1 1 p p 4 p + 3 p – 3 – 4
8.
2 1 1 9 + 7 ÷ 2 m
Desafío Reduce la siguiente expresión algebraica: 1 5 4 1 2 ∈ E = ÷ 1– x – ( –4 + 3 – 5 ) x + – x 4 8 5 5 3 4
4
1 – –6 + x 2
Repaso Reducción de términos semejantes con coeficiente entero Recuerda: a)
(+8) + (+12) = +20
b)
(–6) + (–9) = –15
c)
(–24) + (+15) = –9
d)
(32) + (–10) = 22
¡Listos, a trabajar! Reduce los siguientes términos semejantes:
1. (150x – 5x) – {14x + (9x – 6x + 3x)}
2. [30 ÷ {(15 – 6) ÷ 3 + (18 – 3) ÷ 5}]m
3. (7a + 9a + 4a) + 25a – 3a
4. [(30 – 20) ÷ 2]y + {[(6 + 5) + 3 + (40 – 15)] ÷ (9 – 6)}y
5. 500p – {6p + [(14p – 6p) – (7p – 2p) + (4p – p)]}
6. 60y + [(4y + 2y) – 5y]
7. {(55 ÷ 11)m + (66 ÷ 11)m + (77 ÷ 11 – 11)m}
8. [(30 – 20) ÷ 2]a + [(6 × 5) ÷ 3]a + [(40 – 25) ÷ (9 – 6)]a
9. {(15 + (8 – 3) – 7] ÷ [(8 – 2) ÷ 3 + 11]}x
10. [a + b + (2a – 3b)] + [5b – 4a – (3b – 7a)]
Reducción de términos semejantes con coeficiente fraccionario Recuerda: a)
8 3 8 + 3 11 + = = 15 15 15 15
b)
6 5 42 + 15 57 + = = 3 7 21 21
¡Listos, a trabajar! Reduce los siguientes términos semejantes:
1.
3 6 2 9 x + x + x – x 4 4 4 4
2.
8 1 3 32 m + m – 2 – m 7 7 7 7
3.
7 1 3 18 a – a + 3 – 2 5 5 5 7
4.
3 1 1 2 5 x – 3 x ÷ 3 + 2 9 9 9 9
5.
30 4 6 y+2 12 y – 7 7 7
6.
1 1 1 1 m – m + m + m 5 5 4 4
7.
1 1 1 1 x + x – x – m 6 5 6 5
8.
2 1 1 9 + 7 ÷ 2 a
9.
1 1 1 1 1 1 y – y+ y – y+ y – y 5 2 4 2 3 2
1 1 7 10. 2 x + + x 3 2 3
Demuestra lo aprendido Reduce los siguientes términos semejantes:
1. –4y3 – [2y3 + y3 + (3y3 – 4y3)]
2. 4a + (7a – a + 5a)
3. -3z – {–2x + 8z} + [8x – 5m + 9z] – 15x
4. +10x – 20x + [3x5 – 10x + 3x5] – 6x5 + 20x
5. {10a2 – 3a + 1 – (5a2 – a – 4)} – {5a2 – 1 + a2 – [(6a2 – a + 1]}
6.
1 3 8 3 6 3 10 3 x + x + x – x 12 12 12 12
7.
2 3 4 x – x + 2 x 5 5 5
8.
3 1 2 2 4 a + a + 8 a + a 7 7 7 7
9.
3 2 2 2 + 6 ÷ 3 x
1 2 2 1 10. 7 + 4 ÷ 5 – 2 m 3 4 3 2
Desafío 1.
En la siguiente expresión se tienen tres términos semejantes: 5xa+b+ 3x3 – 7xb+1
al reducir a un solo término se obtiene: _____
2.
Une los puntos: De un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz o bolígrafo, une 9 puntos como los de la figura con 4 líneas rectas.
Propiedades de la potenciación I La potenciación es una multiplicación de un mismo número, una cantidad limitada de veces.
DEFINICIÓN am = a . a . a . . . a
; m ≥ 1; m ∈ N
"m" factores
El resultado: am se denomina potencia, en donde:
a = base
m = exponente
Ejemplos: a)
35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243
b)
43 = 4 . 4 . 4 = 64
c)
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
d)
63 = _______________________
e)
53 = _______________________
f )
104 = _______________________
Expresa simbólicamente los siguientes enunciados: •
Seis elevado al cuadrado:
___________________
•
Ocho elevado al cuadrado:
___________________
•
"x" elevado al cuadrado:
___________________
•
Cuatro elevado al cubo:
___________________
•
Cinco elevado al cubo:
___________________
•
Nueve elevado al cubo:
___________________
•
Tres elevado a la cinco:
___________________
•
Cinco elevado a la seis:
___________________
•
"x" elevado a la cuatro:
___________________
EXPONENTE NULO a0 = 1 ; ∀ a ≠ 0
Ejemplos:
*
(5x)0 = 1
*
(2
*
8 3 x = 1 9
2a
)
0
= 1
*
(1023x4)0 = ____________
*
(
*
(259y5)0 = ____________
0
4x
)
0
= ____________
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am . an = am+n
Ejemplos:
*
43 . 42 = 45
*
a4 . a3 . a = _________
*
x9 . x3 = x12
*
p4 . p5 . p6 = _________
*
m6 . m7 . m2 = m15
*
z5 . z5 . z4 = _________
*
y4 . y7 . y3 = _________
*
b3 . b10 . b . b5 = _________
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am am
=a
m–n
;a≠0
Ejemplos:
*
78 = 72 6 7
*
m13 = m3 10 m
*
y6 = y2 4 y
*
a 16 = ___________________ a 12
*
x5 = ___________________ x4
*
b9 = ___________________ b3
¡Listos, a trabajar! 1.
Resuelve los siguientes ejercicios:
a)
(4
c)
0 7 P = x + ( 2x ) – 3
2.
Reduce:
3x
)
0
+ (7x ) – ( 3m ) + 4 0
0
G=
0
(
)
0
4x
b)
M = ( y 5 ) + ( 8a ) + (12x )
d)
R = (79x
b)
G = a.a.a.a...a =
Expresa como potencia cada caso:
a)
G = m.m.m...m = 18 fac tores
Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:
0 5 4 A = y + ( 2y ) + ( y .y ) –
(
3
125a
O = 9x5 –
R=
) – ( 5m )
4 0
20 fac tores
4.
0
m 8 .m 4 .m 3 m 2 .m
3.
M=
0
)
0
(
3y
+ 2a 7 + ( a 3 .a 4 )
x9 .x6 x10
m7 .m 4 .m 6 m12 .m 5 .m 3 + m 2 .m 3 m8
)
0
3 0
0
1 + x 2
0
5.
Expresa como potencia:
a)
( 5m ) . ( 5m ) . ( 5m ) 2 ( 5m ) 4
3
( 2a ) . ( 2a ) 8 ( 2a ) 7
2
b)
4
( 2b ) . ( 2b ) . ( 2b ) + 7 ( 2b ) 8
Demuestra lo aprendido 1.
Reduce:
a)
2.
Expresa como potencia cada caso:
a)
(7x )
0
+ ( 2x4 ) – 0
(
)
0
16x
x.x.x....x
b)
0 2 4 5 0 y + ( 3m ) + (16a ) 9
b)
b.b.b.b....b
25 fac tores
13 fac tores
3.
Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:
a)
6 8 9 9 3 2 b) I = y .y .y + x .x .x y 5 .y 7 x5 .x6
0 B = m 8 + ( 2m ) – ( m 5 . m3 )
( 3m ) . ( 3m ) . ( 3m ) E= 5 ( 3m ) . ( 3m ) 6
8
c)
d) N = ( 9a ) . ( 5a ) . ( 5a ) 5 2 ( 5a ) . ( 5a )
4.
Resuelve:
7
a)
x9 .x4 .x5 x7 + x12 x
4
2
3
b)
y 3 .y 9 .y .y 5 y 8 .y 7 .y 6 + y3 y 5 .y
Propiedades de la potenciación II Sabías que... Las propiedades de la potencia son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia.
POTENCIA DE UN PRODUCTO Su regla de correspondencia es: n
n
n
(ab) = a .b
¡Ahora, hazlo tú! •
(7.8)2 = 72.82 •
(5.9)3 =
•
(x.y)2 = x2.y2
•
(x.z)3 =
•
(3.z)3 = 33.z3
•
(2.x.y)2 =
POTENCIA DE UNA DIVISIÓN Su regla de correspondencia es:
a a
n
=
an an
¡Ahora, hazlo tú! 3
2
•
22 2 = 32 3
•
x3 x = y y3
•
x2 x = 82 8
•
5 = 7
•
z y =
•
10 = x
3
2
2
3
POTENCIA DE POTENCIA Su regla de correspondencia es: m n
m.n
(a ) = a
¡Ahora, hazlo tú!
•
(52)3 = 52.3 = 56
•
(72)3 =
•
(x2)3 = x2.3 = x6
•
(y4)2 =
•
((y3)2)4 = y3.2.4 = y24
•
((x2)3)5 =
también:
•
( x .y )
•
( a .b
•
x3 x3.2 x6 = = 2 z2.2 z4 z
•
a5 3 = b
2
3 2
= x2.2 .y 3.2 = x4 .y 6
3
.c 2 ) = 2
2
2
2
¡Listos, a trabajar! 1.
Simplifica las siguientes expresiones:
a) (2.3)2x – 42x
c)
–3(z3y2)3 – 10z9y6
b) 18(x3y2)2 + 3x6y4
d)
(3.x.y)3 – (4xy)3
2.
Simplifica las siguientes expresiones:
c)
1 3 x x + x – 2 2 2
d)
6a 3b 2 6 3 + 3a b 2ab
2
2
2
2 3 1 x + x – x 4 4 4
a)
3x + 2x 5x – x b) + x x
2
3
2
3
3
3.
Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3(x2)3 – 9(x3)2 + 3x6
b)
8 – ((x0)2)10 – 6((x2)5)0
d)
3.x3 x3 3 2 + 3 2 .3 2 .3
2
180(x6)2 – 150(x3)4 – 6x12
2
c)
4.
Colorea todas las fichas de modo que cada grupo tenga el mismo valor, usa diferente color para cada grupo.
x+x
x/x
0
2.x
x3
x.x
x÷x
x+1
x.0
x.1
x dividido por x
2x
x–x
x.2
x+2
x
2x –x
1
Demuestra lo aprendido Simplifica las siguientes expresiones:
a) (4.2)2x – 10x
b)
–5(a3b3)3 – 6a9b9
c) 6(x2y)2 + 7x4y2
d)
(7.x.z)2 – 40(xz)2
f )
3x 2x x + – 5 5 5
2
2
3
2
3
3
e)
1x 7x 5x + – 3 3 3
g)
7x – 3x 2x + 5x – – x x
h)
125a 5b 4 – 20a 6b 4 2 2 5a b
i)
(2x2)3 – 3(x3)2 + x6
j)
510((x3)3)0 – 220(((x4)5)0)6 – 5x0
l)
x 3x 2 6 6 + –12x – x 4 4
2
2
3
k) 15(x3)4 – 3(x6)2 – 17x12
Desafío El número desconocido Sigue la clave: –
cifra en su lugar.
–
cifra descolocada.
–
cifra que no es del número desconocido.
•
•
Averigua el número desconocido:
9
3
8
8
7
4
0
8
5
El número desconocido es:
Repaso 1.
En cada uno de los siguientes casos, encuentra el valor de "a", si se sabe que son semejantes al primer término de cada lista.
a)
2.
Reduce los siguientes términos semejantes:
a) –x0 + 2x0 – 8 + 5
d) 2x2y3 + 5x2y3 – 10x2y3
b) +10x – 20x – 3x + 5x
e) +10xy2 – 20xy2 – 3xy2
c) –16x2 + 7x2 – 2x2 + 6x2
f ) –3z + 5z – 8z – 2z
3.
Reduce:
a)
1 3 5 x + x + x 2 2 2
d)
1 1 y– y 2 8
b)
3 2 1 2 x2 x + x – 5 5 5
e)
1 1 z– z 3 4
c)
7 3 4 3 5 3 x – x + x 3 3 3
f )
7 2 1 2 x + x 8 4
4.
Simplifica:
a) – 3x + 6x – [–2x + 5]}
d) +[–13x2 + 5y – 2x2] – [x2 + 3y – 7x2]
b) –{–3y + 5x – (–8y + 5x) – y}
e) –{–8a2 + 3b} + {5a2 – 3b} – {–a2 – b}
c) –(4z + 5x) + (3z + 10x)
f ) –{–4 + [5x – 6 + (–2 + 7x + 8x)]}
5.
Simplifica las siguientes expresiones:
a) –8(a2b2)3 – 3(a3b3)2
c)
b) (5.x.y)2 – (10.x.y)2
d) 18 + 3((x2)3)0 – 5
3x5 ;–3x2a +1;180xa
2
+1
a
b) –7x3 ; x9 ÷a ; x2
2
–5
1 3x x + 4 4
2
Desafío Problemita de ajedrez y matemática El ajedrez es un juego muy antiguo. A lo largo de la historia los jugadores de ajedrez han ido inventándose distintos problemas que, además de ser divertidos, nos ayudan a entender mejor el juego.
¡Ojalá los disfrutes!
Una torre se mueve en el tablero de ajedrez siguiendo la fila o la columna en la que está.
Para que sea más fácil expresar el problemita, llamaremos a las casillas del tablero de la siguiente manera: 8 7 6 5 4 3 2 1 A
B
C
D
E
F
G
H
Así por ejemplo, esta torre está en la casilla D5.
¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla, empezando en la casilla A1 y terminando en la casilla H1?
Glosario -
IN
:
Símbolo que representa al Conjunto de Números Naturales.
-
ZZ
:
Símbolo que representa al Conjunto de Números Enteros.
-
Coeficiente
:
Elemento incluido en la parte numérica de una expresión algebraica. (número)
-
Variable
:
Letra del abecedario escrita en minúscula, que puede tomar varios valores.
-
Exponente
:
Número de veces en que se va a repetir la base (número o variable).
-
Monomio
:
Expresión algebraica de un solo término.
-
Polinomio
:
Expresión algebraica de 2 o más términos.
-
Numerador
:
Partes que se toma de la unidad.
-
Denominador
:
Partes en que se divide la unidad.
-
Fracciones Homogéneas
:
Aquellas que tienen igual denominador.
-
Fracciones Heterogéneas
:
Aquellas que tiene diferente denominador.
-
Factores
:
Elementos de la multiplicación.
-
Potencia
:
Es el resultado de multiplicar la base tantas veces como indica el exponente.
y=
2 x
+ ... +
Álgebra 6to grado – II Bimestre
3 x
Índice Índice
Pág
l
Radicación
75
l
Operaciones Combinadas
79
l
Monomios: Grado relativo y absoluto
83
l
Adición y sustracción algebraica de monomios
87
l
Polinomios: Grado relativo y absoluto – Homogeneidad
93
l
Valor numérico de un polinomio
99
l
Adición de polinomios con coeficiente entero
105
l
Adición de polinomios con coeficiente fraccionario
111
l
Repaso
115
Álgebra – 6to. grado
53
Radicación Raíz enésima de un número Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a". ∴ n a =×
si:
×n = a ; n ≥ 2
de donde: a = base o radicando n = índice × = raíz (número real) = operador radical
índice 4
81 = 3
raíz radicando
operador matemático radical La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81. Ejemplos: *
3 125
=
5
→
53 = 125
*
3 27
=
3
→
debido a que:
33 = 27
*
4 16
=
2
→
debido a que:
24 = 16
*
5 32
=
2
→
debido a que:
25 = 32
*
10
1 024 =
2
→
debido a que:
210 = 1 024
196
14
→
debido a que:
142 = 196
*
=
1 2 16 =
⇒
2
16 = 4
"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobreentiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".
9
→
raíz cuadrada de 9
= _________
3 512
→
raíz cúbica de 512
= _________
5 3 125 →
raíz quinta de 3 125
= _________
PROPIEDADES
1.
Raíz de un producto:
n
•
Raíz de un cociente:
n
AB = n A . n B
2.
3 ( 8 )( 27 )
=
3 8 3 27
.
=
2.3
=
6
nA A = nB B
4 256 • 256 4 4 = 4 = 2 16 16
=
2
Exponente fraccionario: m n m ×n = ×
•
3 4 3 ×4 = ×
•
1 2 16 =
, m ∧ n ∈ IN, n ≥ 2
16 = 4
Álgebra – 6to. grado
•
•
1 3 1 83 = 8 = 3 8 = 2
50 100
3
100
= 3 50 = 32 = 9
55
2
Observación: n n
× =×
42 = 4
•
3 3
5
•
= 5
15 15
3
•
=3
¡Listos, a trabajar! 1.
Halla cada una de las raíces.
16 =
4 =
3 64
9 =
38
25 =
3 125
36 =
31
49 =
3 216
81 =
4 16
1 =
4 625
2.
5 32
100 =
3 3
2
=
=
5
5 = 5 =
4 (16 )( 81)
=
=
( 81)(121)
=
3 ( 8 )( 64 )
=
30 1
=
=
=
(16 )( 64 )
=
=
=
Representa cada raíz, usando el exponente fraccionario: 3 5
4
30 3
×
= =
27 = 5 7
× =
3.
Representa cada expresión mediante radicales:
1 27 =
56
=
2 3 5 =
1 5 9 =
3 77 =
Álgebra – 6to. grado
4.
Reduce:
A = 16 +
B = 3 125 + 3 64 + 5 32
C = 3 8 + 7 1 +
D=
E=
F=
G=
25 +
2
36
64
121– 16 4+ 9 5 32 + 6 64 + 4 81
9 + 25 –100 1
5 + 16 30 60
2
+
40 120
3
+
50 100
4
Demuestra lo aprendido Reduce cada una de las siguientes expresiones: 1. A = 225 + 196 + 169 6 64
+ 121 – 100
3.
C=
5.
3 6 E = 64 + 64 + 64
7.
G=
52 +
3 3
3
7
7 + 2
3 + 6 + 5 36
9.
I=
•
Desafío final:
Simplifica:
2 2 3 5 5 A = 32 –32
2. B = 4 + 16 + 4. D =
81 – 121
36 + 64 + 100 196 – 144
6. F = 4 81 + 5 32 8. H = 10. J =
3 125 + 3 27 3 64 – 5 32
532 530
+
647 646
–
3100 397
1
Álgebra – 6to. grado
57
Operaciones combinadas POTENCIACIÓN – RADICACIÓN Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto, poseen la misma jerarquía. Hay que respetar las siguientes reglas: 1º
Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación.
2º
Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando.
3º
Luego, se reducen las sumas y restas, respetando los signos.
4º
Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde las operaciones más internos hacia las más externas.
5º
Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.
Ejemplo: 5
E=
33 – 121 7 7 2 + 4 +2 81 + 14 ÷ 2
E=
27 –11 9 +7 + 4 + 4
E=
16 5 16 + 8 = 1 + 8
E = 1+ 8 = 9 = 3
⇒
5
5
¡Listos, a trabajar! Reduce en tu cuaderno cada caso: 3 2
2 2 9 + 10 –8
1.
A=
2.
B = 122 + 5 2 + 102 –43
3.
C=
4.
D = 33 –42 + 25
5.
E=
3
242 + 72 – 32
3 7 3 + 4 6 4 + 5 35
53 –102
3 +2
6.
F=
7.
4 G = 3 729 –23 +
8.
H=
9.
I=
10. J =
2
2 – 9
(
) (
)
1 121
0
2
625 + 42 + 22 + 34
62 + 82 +
32 + 42
2 + 22 + 23 + 24 + 61
Álgebra – 6to. grado
59
2
2
Demuestra lo aprendido Reduce cada una de las siguientes expresiones: 4 3
2 2 4 + 10 –6
1.
A=
2.
B=
3.
2 C = 122 + 5 2 – 3
4.
D=
3 3
5.
E=
30 30 30
6.
F=
541 732 38 + – 5 40 731 37
7.
G= 4
8.
H=
9.
I=
10. J =
60
2
2 2 42 + 32 + 10 –8
7
4
5 + 7 7 + 44
527 523
5
0
+ 5 5 + (10 000 )
+4
314 + 4 10 12 3 2
216
32 + 42 + 02 38+
64
23 + 42 + 5 2 38 + 121
0
121 + 3 125 + 2 006 + 6 + 6 0 + 1
Álgebra – 6to. grado
Desafío
Simplifica:
A=
480 vec es 12 a .12 a .12 a ...12 a 3 a .3 a .3 a ...3 a
30 vec es
Álgebra – 6to. grado
61
2
Monomios: Grado relativo y absoluto 1.
MONOMIOS
Un monomio es un polinomio de un solo término, donde los exponentes de sus variables son números naturales.
Ejemplo:
12x7y3 ; –3x4z ;
2.
3 8 2 x y 4 GRADOS DE UN MONOMIO
Cuando el monomio presenta dos o más variables, se consideran dos grados, que son:
a. Grado absoluto (GA)
Cuando se refiere a todas las variables y está dada por la suma de los exponentes de las variables.
b. Grado relativo (GR)
Cuando se refiere a una sola variable y está dado por el exponente de la variable indicada.
Ejemplo:
En: M(x;y) = 2x8y5
En: P(x;y;z) = 3ax4y6z9
GA = 8 + 5 = 13
GA = 4 + 6 + 9 = 19
GR(x) = 8
GR(x) = 4
GR(y) = 5
GR(y) = 6
GR(z) = 9
En: F(x;y) = –5x10y6
En: R(x;y;z) = 2a4xy3z6
GA = 10 + 6 = 16
GA = 1 + 3 + 6 = 10
GR(x) = 10
GR(x) = 1
GR(y) = 6
GR(y) = 3
GR(z) = 6
Observación: Si el monomio presenta una sola variable el grado absoluto y el grado relativo son iguales.
M(x) = 3x8
P(x) = –12x5
GA = 8
GA = 5
GR(x) = 8
GR(x) = 5
¡Listos, a trabajar! 1.
D a d o s l o s s i g u i e n t e s m o n o m i o s , 4. determina el valor pedido: a. M(x) = 3x7 GA = ______ 3 6 b. P(x;y) = –4x y GA = ______
c.
d. J(x;y;z) = 15x2y8z3 GA = ______
Q(x;y) =
3 8 4 x y 2
GA = ______
2.
Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:
a. M(x) = 13x5
b. P(x;y) = –4x2y7
c.
R(x;y) = 2x3(y4)2
GR(x) = ______ GR(x) = ______
Halla "a" si el G.A. en: P(x;y) = 7xa+3 y7 es 16 Rpta.: ________
5.
Para el siguiente monomio:
A(x;y) = xa+1ya–1
halla "a" si el GA = 12 Rpta.: ________
6.
Si en el siguiente monomio:
P(a;b) = 5anb3n
halla "n" si el GA = 20
GR(y) = ______
Rpta.: ________
GR(x) = ______
7.
Si en el siguiente monomio:
GR(y) = ______
P(a;b) = 2a5bn+3
se sabe que GA = 12, calcula GR(b)
3.
Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = –5x3a+1y2a+1
se sabe que GR (y) = 11, determina el valor de "a".
Rpta.: ________ 8.
Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = xnyn+5
Rpta.: ________
se cumple que: GA = 9, calcula GR(x) Rpta.: ________
Álgebra – 6to. grado
63
2
2
9.
Para el siguiente monomio:
Q(x;y) = 2xa+1yb+6
se cumple que: GR(x) = 5; GR(y) = 8, calcula "a.b". Rpta.: ________
10. Calcula el grado absoluto del siguiente monomio:
M(x;y) =
2 10–m m+2 x y 3
Rpta.: ________
Demuestra lo aprendido 1.
Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:
a) M(x) = –5x9
GA = ___________________________
b) P(x,y) = 7x9y10
GA = ___________________________
c) Q(x,y) = 8x2y3z9
GA = ___________________________
d) R(x,y,z) =
2.
Dados los siguientes monomios, determina el valor pedido:
a) M(x) = –3x10
GR(x) = ___________________________
b) P(x,y) = –7x8y7
GR(x) = ___________________________
c) Q(x,y) =
7 8 5 4 x y z 4
8 9 3 4 x y z 3
GA = ___________________________
GR(x) = ___________________________
GR(y) = ___________________________
GR(z) = ___________________________
d) R (x,y,z) = 3x3(y4)2z
GR(x) = ___________________________
GR(y) = ___________________________
GR(z) = ___________________________
64
Álgebra – 6to. grado
3.
Si en el siguiente monomio:
P(a;b) = 5a2n+1bn
se sabe que: GA = 10, calcula: GR(b)
8.
Si: GR(z) = 4, determina el GA de M(x;y;z), si: M(x;y;z)
= –7xa+2y2az3a+1 Rpta.: ________
Rpta.: ________ 4.
Si: GR (y) = 5, determina el GA de M (x;y), si: M(x;y) = 2axa+6ya
9.
Rpta.: ________
Si: GR (x) = m + 2, determina el GA de M(x;y), si: M(x;y) = 2008x16ym–10 Rpta.: ________
5.
Si: GR(x) = 30, determina el GA de P(x;y), si: P(x;y) = x3aya+1 Rpta.: ________
10. Si: GR (y) = n + 5, determina el GA de M(x;y), si:
6.
Halla el grado del siguiente monomio:
M(x;y;z) = (x2y3)5z2
M(x;y) = 2a4xn+5ya Rpta.: ________
Rpta.: ________ 7.
Para el siguiente monomio:
P(x;y) = 2xn+1y4n+1
se cumple que: GA = 12. Calcula GR(x). Rpta.: ________
Desafío
Halla el grado absoluto:
A(x,y) = 3 x4 y 2 7 x35 y 28
Álgebra – 6to. grado
65
2
Adición y sustracción algebraica de monomios *
ADICIÓN DE MONOMIOS
Para sumar dos o más monomios se escribe uno a continuación de otro, con sus respectivos signos, luego se reducen términos semejantes.
Ejemplo:
1.
Suma: 3a ; 8b y c
2.
Suma: 9a y –5b
3a = +3a ; 8b = +8b ; c = +1c
9a = +9a ; –5b = –5b
La suma será: 3a + 8b + c
La suma será: 9a –5b
¡Listos, a trabajar!
1.
*
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS
Para restar dos monomios, primero se escribe el monomio minuendo con su respectivo signo y a continuación se escribe el monomio sustraendo, con el signo cambiado o inverso. Si son semejantes se reducen.
Ejemplo:
1.
Suma: 6x; 2y; 3x
Resta: 5x3 de 25x3
2.
2.
Suma: 5y; –4b; b; y
Resta: 12x2y – (5x2y)
25x3 – 5x3
12x2y – 5x2y
20x3
7x2y
3.
Resta: –4b de –10b
–10b – (–4b)
–10b + 4b
–6b
¡Listos, a trabajar!
1.
Resta: 6xy de 32xy
3.
Resta: –y de –21y
2.
3pq2 – (10pq2)
Demuestra lo aprendido 1.
Suma los monomios: 8m; +5n; 8n; +10m; y
2.
Suma: Q(x) + M(x) + N(x), si:
Q(x) = –5x2
M(x) = 6x2
N(x) = 10x2
3.
Suma los monomios:
E(x) = x2 + 2x2 + 3x2 + 4x2 + ... + 30x2
4.
Resta:
3x de –12x
5.
De 5p restarle –5p
6.
Resta 12a de 31a
7.
Efectúa:
–12xy2 – (15xy2)
8.
Si: A(x;y) = 5xy4
B(x;y) = –12xy4
C(x;y) = –7xy4
D(x;y) = +3xy4
Álgebra – 6to. grado
67
2
2
Halla el valor de :
a) N = A(x;y) + B(x;y)
b) M = A(x;y) + D(x;y) – C(x;y)
c) P = D(x;y) + C(x;y) + A(x;y)
d) Q = D(x;y) – B(x;y) – C(x;y) – A(x;y)
9.
Interpreta y efectúa correctamente:
a) Adicionar 8 veces "x" con 12 veces "x".
b) El número de pollos en una granja es de 12x 2 . Si se venden 2x 2 , se regalan 3x 2 y se mueren x2, ¿cuántos pollos quedan aún?
10. Recorta las fichas del dominó polinómico, resuelve y pega en tu cuaderno. 1
2 Halla el perímetro:
12x3
Halla el perímetro:
30x3
5x
3xy3 12xy3
6y
3
4
Suma M(x;y) = 5x2y3
–53x3
con N(x;y) = –10x2y3
Quita el triple de "x" al cubo a 15 veces "x" al cubo.
23xy3
5
–5x2y3
8xy3
6 Halla su perímetro si es un hexágono regular:
12y + 10x
Resta +33x3 de –20x3
5x3
68
Álgebra – 6to. grado
Desafío A 1.
Halla el polinomio: P(x;y) + Q (x;y) + R (x;y) + S (x;y)
Si:
P(x;y) = x3y
Q(x;y) = 5x3y
R(x;y) = –10x2y
S(x;y) = 30x2y
2.
Suma:
x1 008 + 2x1 008 + 3x1 008 + ... + 41x1 008
3.
Interpreta y efectúa:
a) Adiciona 8 veces "x" a la cuarta a 301 veces "x" a la cuarta.
b) Aumenta a 15 veces "p" al cubo, 6 veces al cubo y el triple de "p" al cubo.
c) A 15x2y3 agrégale –6x2y3 con 2b.
Álgebra – 6to. grado
69
2
Desafío B
2 Monograma •
Resuelve y completa el monograma:
Horizontal
Vertical
1. 5x2 – 10x2 + 2x2
1.
–12y + 9y
2. 52xy2 + 10xy2 – 20xy2
2.
Adiciona a 7m3; 8m3
4. 6xyz – 13xyz
3.
Aumenta a 7xyz; 10xyz
5. Halla el perímetro de: mx
3mx
y quítale –6xyz.
4. 2 2 6. –12x n + 7x n
Quítale 10 veces "x" al cubo a tres veces "x" al cubo.
7. –7xn – (–3xn)
5.
22xn + 32xn – 5nx
8. 21x2y – (–12x2y)
6.
–6x2 + 7x2 + 2x2
1
2
3 4 5
8 6
70
7
Álgebra – 6to. grado
Polinomios: Grado relativo y absoluto - Homogeneidad •
Recuerda:
Halla lo que se requiere conocer de cada figura plana:
b
8n
4y
a
Perímetro
Área
_____________
_____________
Área = a.b Perímetro = 2a + 2b
4y
2x 4y
6x
Perímetro
Área
_____________
_____________
Perímetro total
Área total
a
c
b
d
d .c 2 Perímetro = a + b + d
Área =
A partir de los ejemplos anteriores, podemos observar que hemos hallado algunas expresiones algebraicas, como por ejemplo:
a)
16n + 8y
Tiene 2 términos: _______ y _______.
b)
16n + 16y + 6x
Tiene ___ términos: _______, _______ y _______.
c)
32yn + 36x2
Tiene ___ términos: _______ y _______.
d)
32yn
Tiene ___ término: _______.
e)
36x2
Tiene ___ término: _______.
Recuerda: Una expresión algebraica con un término se llama MONOMIO.
Ejemplo:
a)
32yn
c)
________
b)
36x2
d)
________
POLINOMIO:
Un polinomio es una expresión algebraica con dos o más términos algebraicos, cuyos exponentes de sus variables son números enteros positivos incluido el cero.
Ejemplo:
a)
16n + 8y
d)
____________
3 términos.
b)
16n +16y + 6x
e)
____________
4 términos.
c)
32yn + 36x2
f )
____________
2 términos.
Grados de un polinomio: a)
Grado Relativo:
Está dado por el mayor exponente de cada una de las variables del polinomio.
b)
Grado Absoluto:
Está dado por el mayor grado absoluto de un término del polinomio.
Ejemplo:
a)
Dado el siguiente polinomio: 1er términ o
b)
P(x;y) =
6x2 y 3
GA =
2do términ o
2+3=5
c)
2+4=6
Exponentes de la variable "x"=2 y 2 GR(x) = 2 Exponentes de la variable "y"=3 y 4 GR(y) = 4 El mayor GA es del segundo término: GA= 6 Dado el polinomio:
P(x,y,z) = –6x21yz3 + GA =
2 4 12x y
+
1er términ o
2
21+1+3=25
2do términ o
3 2 6xz y
3er términ o
– 13x10 y 3 z
1+3+2=6
10+3+1=14
Exponentes de la variable "x"=21; 1; 10 GR(x) = 21 Exponentes de la variable "y"=1; 2; 3 GR(y) = 3 Exponentes de la variable "z"=3; 3; 1 GR(z) = 3 El mayor GA es del primer término: GA = 25 Dado el siguiente polinomio, completa:
2 3 4 P(m,n) = –13m n – 2n m + 40m10n6 GA =
__+__=__
Álgebra – 6to. grado
__+__=__
__+__=__
73
2
Exponentes de la variable "m"= __ , __ y __.
GR(m) = ___ Exponentes de la variable "n"= __ , __ y __.
GR(n) = ___ El mayor GA es del __ término.
GA = ___
Polinomio Homogéneo
Es aquel polinomio cuyos términos están constituidos por uno o más variables y cada término tiene el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
a)
Dado el polinomio: P(x,y) = 8x6 + 6x2y4 – 12y6 GA = 6
2+4=6
6
El polinomio P(x,y) es homogéneo de grado "6".
b)
Dado el siguiente polinomio, hallar (a + b)2, si P(x,y) es homogéneo. P(x,y) = –6x3y2 + 3xay4 + ybx5 GA = 3+2 = 5
a+4 = 5
b+5 = 5
a = 1
b=0
(a + b)2 = (1 + 0)2 = 1
¡Listos, a trabajar! 1.
Indica el grado relativo de "x" en el siguiente polinomio:
P(x;y) = x6y + 8xy3 – 12xy
2.
Indica el grado relativo de "y" en el siguiente polinomio:
P(z;y) = z3 + y12 – 8xy7z4 – 16xy6
3.
Dado el polinomio: U(x;y;z) = 25x4y16 + 13x7y2z2 + 4xy2z5. Indicar el G.A.
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
4.
Sea: Q(x;y) = a+5 –7y2b
Si: GR(x) =6, GR(y) = 12; calcular "a+ b"
74
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________ Álgebra – 6to. grado
5.
Dado el polinomio homogéneo: P(x;y) = x20y10 + x19y11 + x5ya + x4yb
Halla el valor de "a+b"
6.
Halla el GR(x) en el polinomio que tiene 2 006 términos:
A(x;y) = y + xy + xy2 + xy3 + xy4 + ...
7.
Encuentra el GA de P(x;y) = xn+4yn+5 + xn+1yn+7 ; n ∈ IN
si: GR(x) = 10
8.
Indica la suma de coeficientes del polinomio:
Q(x;y) = axa–2yb–3 + bxa+1yb , siendo: GR(x) = 10 y GA = 16
9.
Sea: P(x;y) = 4x2yb + 7x4y7 – 5x5y3; se sabe que: GR(y) = 11.
Determina el GA de P(x;y)
Rpta.: _____________
Rpta.: _____________
Rpta.: _____________
Rpta.: _____________
Rpta.: _____________
10. Si: GR(y) = 16 en el siguiente polinomio:
R (x;y) = 3x2aya+2 + 5x10ya+9. Halla el GR(x)
Ahora, busca las respuestas y colorea. Encontrarás una clave: 1
11
8 2
3
16
14
12
6
13
07
7
24
26
51 20
26
1
18
25
9
23
27
20
22
Rpta.: ______________
13
21 17
10
4 5
19
¿Cuál es la frase? ______________________________________________________
Álgebra – 6to. grado
75
2
¡Demuestra lo aprendido!
2
Resuelve los ejercicios, luego busca y pinta la frase secreta: 1.
Indica el GR(p) en el siguiente polinomio:
S(p;m) = –3p6 + 2p4m7 + 5p7m2
2.
Indica el GR(y) en:
Q(x;y) = 16x6y5 – 100x9y3 + 13xy6
3.
En S(x;y;z) = x9 + 12x7y4 – 3z8y5 + 7x11y3z7
Indica el valor de E = GA + GR(y) + GR(z)
4.
Dado el polinomio homogéneo: D(x;y) = 4x5ya + 7x7y4 + 3xby3 – xcy2 – 4xyd
Indica el valor de "a + b + c + d"
5.
Halla "2m+n", en el polinomio:
Q(x;y) = 13 xm+2 + 9xm+1yn+2 + 2xmyn+3
Si se cumple que: GR(y) = 8; GR(x) = 4
6.
Halla "m", si P(x) = 5mxm+1 –2xm+3 –xm+5
posee GA = 10
7.
Si: GR(x) = 35; en: P(x) = xm+30yn + xm+25y10–n
halla el GA si el exponente de "y"es el mismo en ambos términos.
8.
Si: P(a;b) =
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
a 8b 3 1 5 4 7 – a b + ab9, calcula GR(a) + GR(b) 3 2 5
9.
Si: "P(x)" tiene un GA = 36, halla "m ∈ IN"
P(x) = 0,5 (x5m+3)2 + 7,2 (xm+1)3
Rpta.: ______________
Rpta.: ______________
10. Si el polinomio es homogéneo:
P(x;y;z) = xm+4yn+6 + xm+20z15 + xn–1z32
halla: n–m
76
Rpta.: ______________ Álgebra – 6to. grado
Ahora encuentra la frase secreta y coloréala.
7
2 100
6 18 1
11
19
2 0
41
5
33
9
44
40 30
21
81
36
101
22 3
8
31
Responde la pregunta:
¿Qué significado tiene para ti este año en que realizas tu promoción?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Álgebra – 6to. grado
77
Valor numérico de un polinomio NOTACIÓN POLINÓMICA Le llamamos a una forma abreviada de representación de polinomios. Si "x" es la única variable de un polinomio, este puede ser representado así: P(x) Se lee: "P de x" o "P en x". Significa: Polinomio cuya única variable es "x". Por lo tanto: 1.
M(x;y) = –2x4y5
será un monomio de variables "x" e "y".
2.
P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3
será un monomio de variables "x", "y", "z".
Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.
3.
P(x) = 3x4 + 2x3 – 2x2 + x – 7
será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".
4.
P(x;y) = –x2 + y3x4 – 7x2y7
será un polinomio de tres términos cuyas variables son "x" e "y".
VALOR NUMÉRICO (V.N.) Se llama así al número que resulta de efectuar las operaciones indicadas en el polinomio o en cualquier expresión algebraica dada, al reemplazar valores dados a sus variables. Ejemplo:
a.
Si: P(x) = 3x2 + 1; halla P(2)
Resolución:
Como:
P(x) = 3x2 + 1
entonces:
P(2) = 3(2)2 + 1
P(2) = 13
b.
Si: P(x;y) = –x2y + 3x; halla P(1;2)
Resolución:
Como:
P(x;y) = –x2y + 3x
entonces:
P(1;2) = –(1)2(2) + 3(1)
P(1;2) = 1
c.
Si: M(x) = 7b2x3; halla: M(5)
Resolución:
Como:
M(x) = 7b2x3
entonces:
M(5) = 7b2(5)3
2
M(5) = 875b2
¡Listos, a trabajar! 1.
Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 – x + 1
Q(x) = x + 3
H(x) = 2x – 3x2
halla:
a)
P(2) =
b)
Q(–1) =
c)
H(2) =
d)
A = P(1) + Q(1)
e)
B = Q(6) – H(3)
Álgebra – 6to. grado
79
2
2.
Resuelve los siguientes ejercicios en el cuaderno:
a. Si: P(x) = 3x – 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)
b. Si: Q(x;y) = 2xy – y2, calcula: Q(3;2)
c.
d. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy – y2
Sabiendo que: M(x) = 3x2 – x + 1 y N(x) = 5x – x2 + 3, calcula: M(3) + N(4)
calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(–1; –1)
e. Dado: H(x) = 3x – (x – 2)2; halla: H(4) – H(12)
f.
Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5) donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x – 5y
g. Calcula el valor de: E = P
PP (1)
Si se conoce el polinomio: P(x) = 3x2 – x – 3
h. Calcula: M =
P 2 + P –1 ( ) ( ) P 0 –P1
( )
()
Sabiendo que: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Si: F(x) = 3x3 + 2x2 – 1; calcula el valor de: F(5)
i.
Demuestra lo aprendido 1.
Sean los polinomios:
P(x) = 7x4 – 5x2 – 1
Q(x) = 3x3 + 5x
R(x) = 4x – 2
calcula:
a) P(2) =
80
b)
Q(3) =
Álgebra – 6to. grado
c) P(1) + R(1) =
d)
Q(2) – R(3)
2.
Si: F(x) = 5x – 3; calcula: F(3) + F(1)
3.
Si: P(x;y) = x2 + 2xy –1; calcula: P(3;4)
4.
Si: Q(x) = 3x2 – x – 3 calcula: Q(3;2)
5.
Si se sabe que: P(x) = 2x – 3; G(x) = 3x + 2 calcula: MP
6.
Dado: P(x) = 7x +(x + 2)2 – 6; halla: P(4) – P(2)
7.
Halla P(2) + P(0); sabiendo que: P(x) = 7x2 + 5x – 10
8.
Si: F(2x–5) = 3x2; halla el valor de: F(13)
9.
1 4 1 5 Halla el valor numérico de: P = 3 x + y para: x=–2; y=–1 3 2
+ G( 2 ) (1)
2
, donde M(x) = x
10. Calcula "PP " ; si: P(x) = x2 – x + 1 (0 )
Álgebra – 6to. grado
81
Desafío
2 1.
Calcula el V.N. de "E" para: x=0,4
si: E =
2.
Criptosuma.
Cada símbolo representa un dígito diferente del 1 al 9. Se muestra el valor de la suma de los elementos de cada columna y cada fila. ¿Cuál es la suma de la diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha?
( 5x –1)3 + ( 5x –1)2 –1
Ω
16
82
27
28
16
20 18 23 26 ?
Álgebra – 6to. grado
Adición de polinomios con coeficiente entero Para sumar polinomios nos limitamos a reducir términos semejantes; para esto ponemos un polinomio bajo el otro o también un polinomio a continuación del otro. 1.
2.
3.
Suma: a + b ; 2a + 3b + 5c ; 4a – 2b + c (a + b)
+
(2a + 3b + 5c)
+
(4a – 2b + c)
a + b
a + b
+
2a + 3b + 5c
+
4a – 2b + c
2a + 3b + 5c
+
2b
+
6c
7a
ó
4a – 2b + c 7a + 2b + 6c
Suma: 2x3 + 5x ; 6x3 – 2x ; x3 – x (2x3 + 5x) + (6x3 – 2x) + (x3 – x)
2x3 + 5x
2x3 + 5x +
6x3 – 2x
6x3 – 2x
3
+
9x
+ x3 – x
ó
2x
x3 – x 9x3 + 2x
Suma: 3x2 + 8x + 1 ; 2x2 – 3x + 7 ; –x2 – 2x ; 4x2 – 3 (3x2 + 8x + 1) + (2x2 – 3x + 7) + (–x2 – 2x) + (4x2 – 3)
3x2 + 8x + 1
3x2 + 8x + 1
2x2 – 3x + 7
+ 2
8x
2x2 – 3x + 7
–
x2 – 2x
+
3x
+
+ 4x2 – 3
ó
5
4x2
Suma: 7x4 + 2x – 1 ; 3x4 + 6x + 4 y –10x4 – 8x + 2 (7x4 + 2x – 1)
+
(3x4 + 6x + 4)
+
(–10x4 – 8x + 2)
7x4 + 2x – 1
+
3x4 + 6x + 4
–
10x4 – 8x + 2
– 3
8x2 + 3x + 5
4.
–x2 – 2x
5
7x4 + 2x – 1 ó
3x4 + 6x + 4 –10x4 – 8x + 2
5
¡Listos, a trabajar! 1.
Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3x2 – 5x + 2
B(x) = 4x3 + 3x2 + 2x – 5
C(x) = –4x + x3 + 3
D(x) = 2x4 + 5x2 – 7
calcula:
a)
B(x) + C(x)
b)
A(x) + D(x)
c)
B(x) + D(x)
d)
A(x) + C(x)
e)
A(x) + B(x) + C(x)
f )
B(x) + 2C(x)
g)
B(x) + 2C(x)
h)
2D(x) + C(x)
Álgebra – 6to. grado
85
2
2
i)
2.
Si: A = 4a + 3b – 2c + 6d
2A(x) + 5B(x)
j)
2C(x) + D(x) + A(x)
B = 5a – 2b + c – 4d
halla: 2A + 3B
3.
Dados los polinomios:
A = x2 + x + 1
B = x2 – x + 1
C = –x2 + 1
halla: A + B + 2C
4.
Suma:
3a + 5b + c ; 4a + 2b – c
Rpta.: ___________________________
5.
Suma:
p + q + r ; –2p – 6q + 3r ; p + 5q – 8r
Rpta.: ___________________________
86
Álgebra – 6to. grado
6.
Resuelve las siguientes adiciones de polinomios: a.
2
El resultado de sumar: 3x2 – 8x + 1 con el doble de: x2 + 4x + 2 es:
Rpta.: ___________________________
b.
¿Cuál será el resultado de sumar el triple de: a 2 – 4ab – b 2 con el doble de: a2 + 3ab + b2 Rpta.: ___________________________
7.
Si: P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 3
Q(x) = –2x3 – 4x2 – 4x + 2
determina el valor de:
A = 2P(x) + Q(x)
8.
Rpta.: ___________________________ Si: P(x) = 5 – 9x + 8x2 – 7x3 + 6x4
Q(x) = – 5x4 + 8x3 – 7x2 + 3x – 4
calcula: P(x) + Q(x)
9.
Rpta.: ___________________________ Si: P(x) = x2 + x+ 5
Q(x) = 5x2 + 2x – 3
R(x) = –3x3 – 4x + 1
calcula:
2P(x) + Q(x) + R(x)
Rpta.: ___________________________
10. Si: A(x) = 2x3 – x2 + 6x – 1
B(x) = x3 + x2 + 3x – 2
C(x) = –x3 + 5x2 + 4
calcula:
3A(x) + 4B(x) + 10C(x)
Álgebra – 6to. grado
Rpta.: ___________________________
87
Demuestra lo aprendido
2 1.
Dado los polinomios:
P(x) = 7x5 + 3x3 – x2 + 1
Q(x) = 8x3 + 5x2 + 9
R(x) = 9x4 + 2x2 – 5
calcula:
a)
P(x) + Q(x)
b)
Q(x) + R(x)
c)
P(x) + R(x)
d)
P(x) + 2R(x)
2.
Halla A + B sabiendo que:
A = 4x3 + 5x2 + x + 8
B = 3x2 + 6
3.
Dados los polinomios:
A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6
B = 6x2 – x3 + 8 + 5x4
C = 9x4 – 7x2 + 13x + 4
halla: 2a + b + 3c
88
Álgebra – 6to. grado
4.
Suma:
10x2 – 7x4 + 6x3 + 9; 4x2 + 5x4 – 6x3 + 8; 10x3 – 4x4 + 5x2
5.
Suma:
a + b + c; –2a + 2b +3p + 5c; 7a + 4p – 3c
6.
Resuelve:
El doble de (3x2 + 5x + 10) más (7x2 – 6x – 2)
7.
Si: P(x) = 5x5 + 2x4 + 6x + 16
2
Q(x) = 10x4 + 2x3 + 5x + 4
determina el valor de: A = P(x) + 2Q(x)
8.
Dado los polinomios:
A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8
B = 7x2 + 9x + 11 + 6x3
calcula: A + B
Desafío FIGURAS ORIENTALES •
¿Cuál de las siguientes figuras sobra en la serie?
A
Álgebra – 6to. grado
B
C
D
E
89
Adición de polinomios con coeficiente fraccionario Raíces de un polinomio Sabías que las raíces de un polinomio hace que este valga cero. En un plano cartesiano esto lo identificaremos con las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tiene como abscisa la raíz del polinomio graficado.
Función Polinominal
Raíces
Gráfica f(x) 15
10
f(x) = x2 + x – 12
5
–4 y 3
(–4;0) –4
(3;0) 0
–2
2
x
4
5
10
f(x) 6 4
(3;0)
2
3
2
f(x) = x – 4x + x + 6
–1; 2 y 3
0
(–1;0)
–2
2
4
4
x
(2;0)
–4 –6 –8
Ejemplo
1. Suma:
1 3 1 x + x2 + x3 y 2 4 5
3 3 2 x – x2 + x3 2 4 5
Resolución:
Se ordena los polinomios uno debajo de otro, haciendo corresponder los monomios semejantes.
1 x+ 2 3 x– 2
2
2 3 4 x + x2 + x3 4 5 2
3 2 1 3 x + x 4 5 3 2 2 3 x + x 4 5
También es resultado:
2. Halla P(x) + Q(x) si P(x) =
2x +
1 2 3 3 x + x 2 5
1 1 x + x2 y 6 5
Q(x) =
1 2 x + x2 4 3
Resolución:
Se procede como en el caso anterior, ubicando cada polinomio debajo del otro.
P(x) =
1 4 x + x2 6 5 1 2 Q(x) = x + x2 4 3 1 1 P(x) + Q(x) = + x + 6 4
1 2 2 10 13 2 x+ x + x = 24 15 5 3
¡Listos, a trabajar! 1.
Halla el resultado de:
a)
2.
1 3 1 2 1 x + x + x 3 2 2
b)
3 2 5 x + x 2 2
Suma:
1 2 5 x + x + x2 4 3 2 1 1 1 x + x + x2 8 4 2
3 5 1 2 3 x + x2 ; x + x2 – x2 7 8 4 7 8
Álgebra – 6to. grado
91
2
3.
Suma:
3 2 1 2 1 2 1 1 3 + x + x2 ; – x + x2; – x + x2 5 3 4 10 3 4 5 3 4
4.
Suma:
5 2 3 1 3 1 1 x + x + ; x2 – x – 8 2 3 4 2 3
5.
Si: P(x) =
R(x) =
1 3 3 1 x + x2 ; Q(x) = x + x2 2 4 7 2 2 3 1 1 2 1 1 + x + x3 ; S(x) = x3 + x2 + x + 5 8 5 4 4 8 5
halla:
a)
P(x) + Q(x)
d)
P(x) + R(x) + S(x)
b)
P(x) + R(x)
e)
Q(x) + S(x)
c)
R(x) + S(x)
Demuestra lo aprendido 1.
Halla el resultado de:
a)
1 3 1 2 1 x + x + x 3 3 3
2 2 5 x + x 3 3
2.
Suma:
2 5 1 2 1 + x ; – x + x2 6 3 2 3 4
3.
Suma:
2 –2 1 1 3 2 3 1 + x + x3 ; + x + x2 ; + x 9 9 5 3 9 10 2 5
4.
Suma:
2 3 1 2 3 –3 1 2 x + x + x; x – x2 – x3 5 3 2 5 2 3
5.
Si: F(x) =
92
b)
1 2 5 + x + x2 4 3 4 2 1 3 – x – x2 4 3 4
5 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 x + ; G(x) = x3 – ; H(x) = x + x2 + x3 ; I(x) = + x2 + x3 8 7 4 7 5 4 7 2 3 4 Álgebra – 6to. grado
halla:
a)
F(x) + G(x)
d)
F(x) + H(x) + I(x)
b)
F(x) + G(x) + H(x)
e)
G(x) + I(x)
c)
H(x) + I(x)
2
Desafío •
Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que para el primer caso las raíces aparecen representadas en el gráfico y en el segundo caso se recomienda elaborar una gráfica aproximada.
Función Polinominal
Raíces
Gráfica f(x) 6 4
(–1,0)
F(x)= x3 + 4x2 + 3x
–3
–2
–1
(–3,0)
2 0
x
–2 –4 –6 –8
F(x) F(x)= x3 – 2x2 – 5x + 6
Álgebra – 6to. grado
1; –2 y 3
x
93
Repaso POLINOMIOS
Sabías que... ...un polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre "x "o "y") elevada a un exponente (entero positivo).
Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo: •
Monomio (un término): 5x2
En este caso el coeficiente es 5, la variable es x; y el exponente es 2.
•
Binomio (dos términos):
6x7 – 2
•
Trinomio (tres términos):
3x5 + 4x3 – x2
¡Listos, a trabajar! 1.
Resta:
a)
3x2 de 5x2
c)
–18x de 18x
b)
–7x3 de –19x3
d)
180x2 de – 300x2
2.
Si: A(x) = 16x ; B(x) = –15x ; C(x) = 13x
halla:
a)
b)
A (x) – B (x)
3.
El siguiente polinomio es homogéneo:
P(x;y) = 3xay3 + x3yb, indica el valor de: T = a . b
A(x) + B(x) + C(x)
P(1) – P( –1)
Calcula: L =
6.
Si: F(x) = 5x3 + 3x2 – 4x + 1; G(x) = –7x2 + 2x – 3 ; H(x) = 18 + 3x3
halla:
a)
7.
Si: M(x) =
halla:
a)
P(0 )
2
, sabiendo que: P(x) = x2 + 2x + 1
5.
F(x) + G(x)
b)
F(x) + G(x) +H(x)
1 3 1 1 4 3 1 3 + x + x2 ; N(x) = + x2 ; P(x) = + x + x2 2 2 5 3 5 4 4 5
M(x) + N(x)
b)
M(x) + N(x) + P(x)
Demuestra lo aprendido 1.
Resta:
a)
5x2y3 de –5x2y3
c)
–17x de – 200x
b)
13xy2 de 10xy2
d)
–150x2 de – 150x2
2.
Si: M(x) = 12x3 ; N(x) = – 36x3 ; S(x) = –9x3
halla:
a)
b)
M(x) – N(x) + S(x)
3.
Dado el polinomio homogéneo:
P(x;y) = x2 – y13 + 3x10ya + 7x7yb
Halla el valor de: R = a.b
4.
Si: P(x;y) = x3 – y3 , halla el valor numérico de: P(4;3) – P(6;5)
5.
Si: A(x) = –7 + 8x + 3x2 ; B(x) = –16 –8x + 7x2 ; C(x) = 16x + 30x2
halla:
a)
6.
Si: F(x) =
halla:
a)
M(x) + N(x) – S(x)
A(x) + B(x) + C(x)
b)
A(x) – B(x) – C(x)
b)
F(x) – G(x)
1 3 3 2 5 1 1 2 x + x + x ; G(x) = x3 – x2 – x 3 4 8 3 4 4
F(x) + G(x)
Álgebra – 6to. grado
95
Desafío
2 El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:
5x2
96
Es un polinomio de grado 2
6x7 – 2
Es de grado 7
3x5 + 4x3 – x2
Es de grado 5
2x4 – x3 – x2
¿De qué grado es?
2x4 + 4x2 – 19x
¿De qué grado es?
3x15 + x13 – x2
¿De qué grado es?
13
¿De qué grado es?
Álgebra – 6to. grado
2
y=
2 x
+ ... +
3 x
Álgebra 6to grado – III Bimestre Álgebra – 6to. grado
97
2
Índice Índice
Pág
l
Sustracción de polinomios
49
l
Multiplicación de un monomio por un polinomio
53
l
División de un polinomio entre un monomio
59
l
Resolución de ecuaciones con coeficiente entero
63
l
Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario
67
l
Planteo de ecuaciones
71
l
Sistema de ecuaciones lineales
73
l
Repaso
79
98
Álgebra – 6to. grado
Sustracción de polinomios
2
Para restar polinomios, se escribe el polinomio minuendo con sus respectivos signos y a continuación el polinomio sustraendo, cambiando el signo de cada uno de sus términos; si hay términos semejantes se reducen. Ejemplo: a.
De: (4x – 2y + 5z) restar: (3x + 4y + z)
(4x – 2y + 5z)
–
4x – 2y + 5z
–
b.
(3x + 4y + z) 3x – 4y – z
ó
x – 6y + 4z
4x
–
2y
+
5z
–3x –
4y
–
z
6y
+
4z
x
–
Restar: (4a3 + 6b2 + a – 5) de: (8a3 + 10b2 + 6a)
(8a3 + 10b2 + 6a) – (4a3 + 6b3 + a – 5)
8a3 + 10b2 + 6a
8a3 + 10b2 + 6a
–4a3 – 6b2 –
– 4a3 – 6b2 – a +5
4a3 + 4b2 + 5a + 5
c.
Si: P(x) = 4x3 + 3x2 – 2x – 1 ; Q(x) = –5x2 + 3x + 2
determinar el valor de: P(x) – Q(x).
ó 4a3
4x3 + 3x2 – 2x – 1 – (–5x2 + 3x + 2) 4x3 + 3x2 – 2x – 1 + 5x2 – 3x – 2
d.
Si: P(x) = x2 + 3x + 2 ; Q(x) = x2 + x – 1
determinar el valor de: P(x) – 3Q(x).
(x2 + 3x + 2) – 3(x2 + x – 1)
x2 + 3x + 2 – 3x2 – 3x + 3
ó
–2x2 + 5
Álgebra – 6to. grado
+ 5
5a +
5
4x3 + 3x2
–
2x
– 1
– 5x2
–
3x
– 2
4x3 + 8x2
–
5x
– 3
x2
ó
4x3 + 8x2 – 5x – 3
+ 4b2 +
a
+
3x
+
2
–3x2 –
3x
+
3
+
5
–2x2
99
2
Ejercicios 1.
Considerando los siguientes polinomios:
A(x) = 3x2 + 4x – 6
B(x) = x2 – 2x + 3
C(x) = 2x2 + x + 2
calcula:
a. A(x) – B(x)
b. C(x) – B(x)
c. A(x) – C(x)
d. A(x) – B(x) – C(x)
e.
f. 2A(x) – 3C(x)
g. A(x) – 3B(x)
h. A(x) – 4C(x)
j.
2.
Efectúa: (6a3b4 + 2x3 + 3mn) – (–mn + 2x3 – a3b4)
3.
Efectúa las siguientes operaciones:
a. De (5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2) resta (14mn2 – 21m2n + 5m3 – 18)
b. De (–a5b + 6a3b3 – 18ab5 + 42) resta (–8a6 + 9b6 – 11ab5 – 11a5b)
4.
Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios:
a. Resta el polinomio: (2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 2) del polinomio:
3C(x) – 2B(x)
i.
2A(x) – 4B(x) – C(x)
A(x) – [B(x) – C(x)]
(3x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3)
b. Indica el resultado de restar la suma de (x3 + 3x 2 + x + 2) con: (x2 – 3x 2 + x – 2); de la suma de (2x3 + x2 + x + 1) con: (x3 + x2 + 2x – 6)
5.
Si: A(x) = x2 + 6x + 1 ; B(x) = 3x2 – 5x + 2 ; C(x) = 4x2 – 6x – 1
calcula: C(x) – A(x) – B(x)
6.
Si: P(x) = 5x4 + 2x3 – 3x2 + x + 5 ; R(x) = –5x3 + 2x2 – 6x – 6
calcula: P(x) – R(x)
7.
Si: P(x) = 4x2 – 5x2 + x ; R(x) = 6x2 – 3x – (x2 – x)
calcula: P(x) – R(x)
100
Álgebra – 6to. grado
8.
Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4; N(x) = 3x2 – 7x + 6
calcula: 3M(x) – 2N(x)
9.
Si: P = 5x – 7t + 30
Q = –10t + x – 4t + 20
R = x – t + x – 11 + 12t
calcula: P – Q – R
2
10. Si: M(x) = 2x2 – 5x + 4 ; N(x) = 3x2 – 7x + 6 ; P(x) = 5x2 – 2x + 1
calcula: 5M(x) – N(x) – P(x)
¡Ahora, hazlo tú! 1.
Efectúa:
a. De (5a2 + 4ab – 8b2) resta (4a2 – 4ab + 8b2)
b. De (4xy – 5x2y2 + 8) resta (8xy + 10x2y2 – 15)
2.
Efectúa:
a. Resta (4x2 + 5xy + 10) de (8x2 – 10xy + 10)
b. Resta (9a3 + 10a2 + 7a) de (8a3 + 4a2 + 6a)
3.
Si: A(x) = 4x2 + 5x + 3; B(x) = 3x2 – 3x + 4; C(x) = 5x2 + 4x – 1
calcula: A(x) – B(x) – C(x)
4.
Si: A(x) = 5x5 + 7x3 + 8x – 1; M(x) = 10x5 – 7x3 + 15x – 9
calcula:
a. A(x) – M(x)
5.
Dados los polinomios:
A(x) = x4 + 6x – 1; B(x) = x4 – 2x3 – x2 + 6; C(x) = –4x3 + x2 + 6x + 11
calcula:
a. A(x) – B(x)
b. A(x) – C(x)
c.
d. B(x) – A(x)
B(x) – C(x)
Álgebra – 6to. grado
b. M(x) – A(x)
101
2
6.
Dados los polinomios: A(x) = x4 – (2x3 – x + 1); B(x) = x3 + 5x2 – (6x – 3)
calcula: A(x) – B(x)
7.
Efectúa: (5a3 + b4 + 8ab) – (–8ab + 4a3 – 7b4)
8.
Si: M(x) = 4x2 + 5x + 3; N(x) = 3x2 – 5x – 7
calcula: 5M(x) – 4N(x)
9.
Si: A(x) = 4x5 – x – 1; B(x) = 7x5 + 2x – 4
calcula: 7A(x) – 4B(x)
10. Dados los polinomios:
A(x) = 4x2 – 3x + 9; B(x) = x2 + 5x – 3; C(x) = 4x2 – 4x + 1
calcula:
a. A(x) – 4B(x)
b. 2A(x) – 3B(x)
c.
d. 4A(x) – 8C(x)
A(x) – 9C(x)
Desafío Sea: A(x) = 2(5x + 3x5) – 4(x2 + 5x); B(x) = –7(2x5 – 8x) + 5(3x – 4x2) calcula: 5A(x) – 4B(x)
102
Álgebra – 6to. grado
Multiplicación de un monomio por un polinomio
2
Amiguito: de la atención en clase depende el conocimiento. ¡Tú puedes!
Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: Propiedad Distributiva:
se hace uso de la
Además de considerar: Ley de los signos:
Conclusión:
(+) . (+)
= +
*
(+) . (–)
= –
Si se multiplica dos expresiones del mismo signo se obtiene siempre "+".
(–) . (–)
= +
*
Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios, se obtiene siempre "–".
(–) . (+)
= –
–
Ejemplos:
Efectuar en cada caso:
a.
2x(x + 2y)
Recuerda que: x
= 2x1(1x1 + 2y1)
tiene características: +1 x1
= 2x2 + 4xy
b.
–3x2y3(x3 – y)
Recuerda: xa . xb = xa+b
= –3x2y3(1x3 – 1y1)
Además: (–) . (–) = +
= –3x5y3 + 3x2y4
Álgebra – 6to. grado
(bases iguales los exponentes se suman)
103
2
c.
d.
–3x4(2x – 5x5 + 1)
e.
2x4(x5 – 3x2 – 2)
=
2x4(
=
x
=
–3x4( 2x
=
–
x4y2z3 (xyz2 – 2x4y4z)
x5 – 3x2 – 2) –
x
x
x4
–
– 5x5 + 1) +
x
–
x
=
x4y2z3(x y z2 – 2x4y4z )
=
x y z
–
x y z
Ejercicios 1.
Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión:
a. 4(5x + 3)
h. 4xy3(x7 + 2x4 – 3x7 + x4)
b. –3(5xy – 2)
i.
–x4y(x4 – 5x3 + y3 + 2x4)
c.
7x(x2 – yx2)
j.
3x2y3(x3 – z4 + x3)
d. –3x2y3(x3 – y2)
k. 2x2y2(x2 + x2 + y2)
e. 4x2(x3 – x7 + 2x4)
l.
f.
g. 5(x + 2y – 3z)
2.
Reduce cada caso en el cuaderno:
a. P(x) = 2x(x2 + 1) – 2x3
b. G(x) = 3x2(x – 1) + 3x2
c.
d. E(x) = 7x3(x2 – x4) + x4(7x3 + x)
e. M(x) = 3x4 – 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)
104
–3xy2(x – y + 2xy)
–5xy(xy – 3xy + 5x2y)
m. 2x2y3(3x3y – 2x4y3) n. –5x4(2x2 – 3x3 + 5x3)
F(x) = -5x(2 – 3x) + x(10 – 6x)
Álgebra – 6to. grado
3.
Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x – 3x2)
4.
Simplifica: Q(x) = x(7x – 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x
5.
Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x)
si: P(x) = 3x(6x – 8) + 4x(9 – 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 – 2x)
6.
Calcula: P(x) – Q(x); si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 – 3x)
7.
Si: R (x) = 7x 3 (5x 3 – 3) + 4(2x 6 – x 3 ); halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
8.
Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si:
P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 – 3x3)
9.
Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación:
a.
2
P = _______________________ 4x + 8 12x – 5
_______________________
3x + 4
b. P = _______________________ 2x + 5
_______________________
2x + 5
c. 2 + 3x
P = _______________________ _______________________
2 + 3x 5x – 1
Álgebra – 6to. grado
105
2
10. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:
a. A = _______________________ _______________________
2x
2x
b. A = _______________________ 4x
_______________________
3xy
c. A = _______________________ 3x2
_______________________
4x
e. A = _______________________
10xy 9xy
4xy
_______________________ _______________________
12xy
¡Ahora, hazlo tú! 1.
Efectúa:
a) 5x(x – 3)
e) –2x3y4(x2y + xy2)
b) –4x2(5x2 + 7x – 1)
f ) –8x4(x4 + 3x2 + 5)
c) 4x2y3(xy + 7xy3)
g) 4xy3z2(8xyz3 – 4xyz + x2y)
d) 4x(x + y – z)
h) –2xy3(x2 + y2 + x + y)
106
Álgebra – 6to. grado
2.
Simplifica:
A(x) = 5x(x2 – 7x) + 3x(–4x + 8x2)
3.
Simplifica:
B(x) = –x(8x – 4) + 7x2(–2 + 5x) + 8x2
4.
Simplifica y luego, halla: P(x) + Q(x)
si: P(x) = 3x(–3x + 8) + 5x(4 – x) y Q(x) = 5x2 + 8(5x2 – 3x)
5.
Calcula: P(x) – Q(x)
si: P(x) = 5x3 + 5(x2 – 2x3) y Q(x) = 5x2(3 – 4x)
6.
Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado en:
P(x;y) = 4x2y3(y2 – 2x2y5 – 8x) + 7x4y8
7.
Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:
P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 – 4b4a3z5x3y4
Encuentra:
a. GA =
b.
GR(x) =
d. GR(z) =
e.
Coeficientes
8.
Halla el valor numérico (VN) de P(2); si:
P(x) = 7x(x2 – 3x) – 4x3 + 21x2 + 5x(2x – 3x2)
9.
Representa algebraicamente el perímetro de cada figura que se muestra a continuación:
a.
2
c. GR(y) =
Perímetro: 4x + 10 9x – 10
3x + 2
Álgebra – 6to. grado
107
2
b.
Perímetro: 3x + 1
3x + 1
10. Halla la expresión algebraica que representa el área de cada figura:
a.
Área: 5x 5x
b.
Área: 2xy4 5x2y
108
Álgebra – 6to. grado
División de un polinomio entre un monomio
2
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio. Además, se debe considerar:
Ley de los signos: (+) ÷ (+) = +
Al dividir dos expresiones con el mismo signo,
(–) ÷ (–) = +
el resultado tiene signo "+".
(+) ÷ (–) = –
Al dividir dos expresiones con signos contrarios,
(–) ÷ (+) = –
el resultado tiene signo "–".
Ejemplos:
a. b.
c.
32 x6 y7 32x6y7 . . = = –8x5y6 1 1 –4xy –4 x y (32x8 – 4x6 – 12x5) ÷ (4x4) = 8x4 – x2 – 3x
36x5y7 – 12x6y5 – 24x8y5 12x5y5
=
4m3n6
x2
= x6–2 = x4
12x6y5 24x8y5 – – 12x5y5 12x5y5 12x5y5
= 3y 24m8n9
x6
36x5y7
= 3x0y2 – xy0 – 2x3y0
d.
Recuerda:
2 – x – 2x3
Recuerda:
y0 = 1
=
Álgebra – 6to. grado
109
2
–20x9y4z8 + 4x6z8y9
e. f.
4x5z7y4
(2n4 – 4n6 + 6n5) ÷ (–2n4) =
¡Listos, a trabajar! I.
Resuelve cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno:
a)
b)
c) {2 (162n9m8 – 36n6m10)} ÷ (–6n5m8)
d) x(7x – 7) + 7
12x6y7 – 32x5y8 –4x4y6 12x13y10 – 3x14y9 + 9x10y8 3x10y8
7x2 (8 + 3x) + 7x
5x 5x
II. Relaciona luego de resolver los ejercicios en tu cuaderno. 16x7y8 8x4y5
a)
b)
c) Halla el GA del polinomio simplificado:
P(x) =
32x6y14 8y8x5
)
6xy6
(
)
2
(
)
2x3y3
(
)
17x – 6x2
(
)
54
4x(3x2 + 2x3) + 2(7x3 + 5x4) 2x2 8x2y4 + 6xy2 – 2x2y4 – 3xy2 2x
halla: P(1;2)
e) Simplifica:
110
12x5y3
+
d) Si: P(x;y) =
24x6y9
(
5x(5x – 3x2) + 3x(x2 + 3x) 2x Álgebra – 6to. grado
¡Ahora, hazlo tú! 1.
Resuelve los ejercicios y según las letras, encuentra la frase correcta.
L.
A. (16x4y9 – 32x6y9) ÷ (4x3y8)
S.
D. Halla el valor numérico (VN) de P(1;1) si:
15x9y3 –3x6y2
20x6y9 – 44x5y8 + 2x6y9 + 50x5y8 2x5y8
18x6y8 + 36x8y6 – 6x10y10
P(x;y) =
–6x5y5
V. Calcula "A(1) + B(2)", si:
A(x) =
B(x) =
8x2(4x + 3x2 –5x3) 4x2 3x5 + 6x(4x4 – 2x2 + x3) 3x3
N. (16x6y6 – 36x9y5) ÷ (4x5y5)
G. Del ejercicio "S", halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
E. Del polinomio simplificado del ejercicio "L"; halla: GR(x) + GR(y)
I.
Halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
Si: R(x) =
7x3(5x3 – 3) + 4(5x6 – x3) 15x2 – (10x2 + 5x2 + 5x2)
Álgebra – 6to. grado
111
2
2
O. Al simplificar, calcula el GA del polinomio.
12x4y5 – 6x3y2 3xy
C. Halla P(2;2) si:
B. Al dividir: resultante.
R. Divide:
–100x7y12 –10x6y10 18x10 + 24x12 – 6x9 6x8
, halla la suma de coeficientes del polinomio
45x10y4z6 9x8y2z4
"
–5x3y
4xy–8x3y
–8
–6
40
–6
11xy+3
–6
7
4xy–9x4
"
4xy–8x3y
–5x3y
14
4
6
5x2y2z2
4xy–8x3y
–6
80
4xy–8x3y
Desafío Resuelve el siguiente ejercicio:
112
P(x;y;z) =
50x4y4 + 100x8y8z6 – 60x10y10z10 3(x + x2) + 7x2 –3x
Álgebra – 6to. grado
Resolución de ecuaciones con coeficiente entero
2
Recuerda que:
ECUACIÓN: Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.
Ejemplos:
a. 3x – 2 = 7
c.
b. x – 1 = 8
d. __________________
SOLUCIÓN: Es el valor que verifica a toda la ecuación.
Ejemplo: 2x + 3x – 8 =
x
+ 4
__________________
Verificando la solución:
5x – x = 4 + 8
2x + 3x – 8 =
4x = 12
si: x
12 4
x
=
x
= 3
x
+ 4
=3
→ 2(3) + 3(3) – 8 = 3 + 4
6 + 9 – 8 = 3 + 4
15 – 8 = 7 7 = 7
*
Según los signos de colección o agrupación se trabajarán los paréntesis, las llaves y los corchetes (en ese orden).
*
Se transponen los términos de un miembro a otro de acuerdo a su semejanza cambiando de signo.
*
Se reducen los términos semejantes.
*
Se despeja la incógnita (puedes verificar).
Álgebra – 6to. grado
113
¡Listos... a trabajar!
2 I.
Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y escribe (V) si es verdadero o (F) si es falso.
1. 3x + (5 – 2x) + 4 = 6
→
x = –3
(
)
2. 4x – (5 – 7x) – 6 = 11
→
x = 1
(
)
3. 5 – (3y – 6y – 8) – 7y = 2y + 16 – 9
→
y = 2
(
)
4. 3(y – 4) = (3y – 5 – 4y) – (2 – 5y + 10)
→
y = –5
(
)
5. 5z – 7(z – 1) = –{2(z – 3) + z}
→
z = –1
(
)
6. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(–2x + 8)
→
x = –3
(
)
7. Si: x = 3, calcula "a" en:
→
a = 15
(
)
→
m = –12
(
)
3(x + a) – (5x + 2a) = 8
8. Calcula "m", si: x = 4 en:
3(x – 4m) + 4m = 6x – 7m
9. 3(x – 6) + 3 = 3 + 5(x –4)
→
x = 19
(
)
4x – 5x – 6 4x – 5x – 6 2x = 2x 10. 8 – 4x + 1 8 – 4x + 1 3 x+1
→
x = –4
(
)
114
Álgebra – 6to. grado
¡Demuestra lo aprendido! I.
Busca en los semicírculos las ecuaciones y resuélvelas en tu cuaderno, halla la respuesta en otro semicírculo y píntalas del mismo color.
1.
2.
3x + 2 = 5
4.
3.
5
5.
6x – x = 22 + 21
7.
6.
4 + 5x – (3 – 3x) = 6x – 7
8.
–35
10.
13.
8 – 5x + 3(2 + x) = – (x + 6)
9.
1
11.
–1
–3x + 2 – (x – 3)= –5x + 4
–3
12.
9 – 3x + 2(3 – x) = –5(x + 4) – x
14.
20
15. Si: x = 2; halla "a" en:
11+[3(x+2)+4]=[6(–2x–2 )+1]–13
Álgebra – 6to. grado
–4
2x – a + (5x – a) = 3x – a
115
2
16.
2
17.
18.
7x + 1 15 4x+ 3x – 1 = 3x – 1 5 5 7x + 4 + 7x + 4 + x x
4x+ – 3 7
19.
20.
–6
21.
Halla "a" si: x = –2; en 4 – (5x – 3a) = 3 – 4(x + a)
4
22.
23.
(3x – 6)x 5x + 4 4x – x–3
=
8
24.
–6(–6 + 3x) 4x –
5x + 4 –3 + x
3(x + 1) – 5(x+5) = 4(1–2x) – 2(x–3)
2
Desafío Resuelve el siguiente ejercicio:
(3x – 6) 2x +
116
5(x + 4) x–1
=
5x + 20 + 2x 8 3x – 6
–1
Recuerda: –1
a b = b a
Álgebra – 6to. grado
Resolución de ecuaciones con coeficiente fraccionario
2
Para resolver este tipo de problemas, se tiene en cuenta lo siguiente: 1º
Calcular el m.c.m. de los denominadores.
2º
Se multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.
3º
Se reducen términos semejantes (transponiendo términos)
4º
Se despeja la incógnita.
¡Ahora, hazlo tú! Halla el valor de "x" en cada caso: 1.
2x x 7 + = 3 2 6
2.
x 5 x + = +1 6 2 4
3.
x 1 x 4 + + + = x+1 2 2 3 3
4.
x 1 x+2 + + = x 3 3 4
5.
4x 1 3x 1 = + – 3 2 2 4
6.
x –
7.
6x+1 x = + 2x 6 3
8.
x–3 +
9.
2x – 9 2
10. 3x + 7 + 2
–
x–2 13 – 3x = 3 4
Álgebra – 6to. grado
5 x 1 = – 4 12 4
5(x – 4) 2 2x – 10 + = 6 3 3
5x + 12 6
=
4x + 10 3
117
2
¡Demuestra lo aprendido! Halla el valor de "x" en cada caso: 1.
x 1 2 – = 2 3 3
2.
x 1 x + = 6 2 3
3.
2x 1 3x 1 + + + = 2x 3 3 4 4
4.
2x 1 – = 5 5 5
5.
3x+1 1 – = 0 2 4
6.
x–1 x+1 + = 2 4 6
7.
4x+3 5x+7 – = 0 3 4
8.
2x 3 4x 5 + = – 3 4 3 4
9.
2x – 9 =
3x – 4 2x + 7 – 2 3
10. 4x + 7x = 13x – 5 3 4 8 4
Desafío •
Una señora tuvo a los 24 años hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 57 años. ¿Qué edad tienen los mellizos?
118
Álgebra – 6to. grado
Recortar y dividir Recorta cada una de estas regiones de tal manera que al superponer coincidan. (Observa el ejemplo)
Ejemplo:
Álgebra – 6to. grado
119
2
2
RECort indica a como te la prof esora
120
Álgebra – 6to. grado
Planteo de ecuaciones
2
Método para la resolución de un problema El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se requiere una práctica considerable y para esto se sugiere lo siguiente: 1º
Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea.
2º
Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas.
3º
Planteo del problema: se elige la incógnita por una letra "x" por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.
4º
Resolución de la ecuación. Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron.
¡Ahora, hazlo tú! En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas: 1.
Si ganara 395 nuevos soles más de lo que recibo podría comprar una radio que cuesta 1 200 nuevos soles, ¿cuánto gano?
2.
Lo que gana Alberto, excede en 175 nuevos soles a lo que gana Armando y es igual a 850 nuevos soles. ¿Cuánto gana Armando?
3.
Al vender mi computadora perdí 235 soles. Si el comprador me pagó 847 soles, ¿cuánto me costó la computadora?
4.
Encontrar un número tal que al dividirlo por 10 y a este cociente dividirlo por 3, la suma de estos cocientes es 40.
5.
Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio, ella respondió: "Si no hubiera comprado un chocolate, que me costó 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado". ¿Cuánto gastó?
6.
La edad de Hugo aumentada en nueve años es igual a la de su esposa que tiene 38 años. ¿Qué edad tiene Hugo?
7.
Lo que le prestan a María con los 547 nuevos soles que tiene, es igual a 650. Si aún le falta 250 para comprar un artefacto eléctrico, ¿cuánto le prestan y cuánto cuesta el artefacto?
8.
Juan le dice a Pedro: "Dame S/.18 y así tendré el doble del dinero que tú tienes" y Pedro le contesta: "Más justo es que tú me des S/.15 y así tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto tenía Pedro?
9.
Se ha comprado por S/.6 000 cierto número de enciclopedias, si se hubiera comprado 30 más, con la misma cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más barato. Calcula el número de enciclopedias.
Álgebra – 6to. grado
121
2
10. ¿Cuál es la edad actual de un padre que duplica la edad de su hijo y hace 24 años su edad era 10 veces que la de su hijo? 11. Miguel tiene cinco años menos que Doris. Si hace cuatro años la suma de sus edades era 21 años, ¿qué edad tiene Doris? 12. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre; si dentro de cinco años, la mitad de la edad del padre sería igual a la del hijo, ¿cuál es la edad del padre?
¡Demuestra lo aprendido! En tu cuaderno, resuelve los siguientes problemas: 1.
Al vender una radio gané 60 soles; si el comprador me pagó 273 soles, ¿cuánto me costó la radio?
2.
Encuentra un número que multiplicado por 3 y sumado con su tercera parte resulta 40.
3.
Se compra cier to número de relojes por S/.144; sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en soles, ¿cuántos relojes se han comprado?
4.
Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma cantidad de agua a cada una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el contenido del primer recipiente sea los 2/3 del segundo?
5.
Si al comprar una docena de lapiceros me regalan un lapicero, ¿cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros?
6.
Si al triple de la edad que tengo se quita mi edad aumentado en ocho años, tendría 36 años, ¿qué edad tengo?
7.
Julia tiene tres años más que María. Si el duplo de la edad de Julia menos los 5/6 de la edad de María es 20 años, ¿qué edad tiene María?
8.
Elsa es seis años más joven que Juan. Hace tres años Juan tenía el triple de la edad que Elsa tenía. Entonces, encuentra la edad de Juan.
9.
Hace 30 años, María tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora, ¿qué edad tendrá dentro de cuatro años?
10. Dentro de 40 años, Arturo tendrá el quíntuple de su edad actual. ¿Cuántos años tenía hace tres años?
Desafío *
¿Cuál es el número impar tal que agregado a los cuatro impares que le siguen, dé un total de 905?
122
Álgebra – 6to. grado
Sistema de Ecuaciones Lineales
2
Se llama así al conjunto formado por dos ecuaciones con dos incognitas, las cuales se verifican para valores asignados a sus variables. Forma:
ax + by = c.......(1)
mx + ny = P.......(2)
donde:
"a", "b", "m", "n": son los coeficientes de las variables
"c" y "p": son los términos independientes
"x" y "y": son las incógnitas o variables.
Ejemplos:
1) 3x + 2y = 5
x + y = 2
2) 4x – y = 7 x + y = 3
3) x + y = 8 x – y = 6
Conjunto Solución del Sistema (C.S.)
Son los valores de las variables "x" y "y" que cumplen con ambas ecuaciones en el sistema.
Ejemplo:
En el sistema:
Los valores de x = 3; y = 2 que cumplen con ambas ecuaciones por lo tanto será su conjunto solución, es decir:
3x – y = 7 ............. (1) x + y = 5 ............. (2)
C.S. = {x = 3; y = 2}
¿Cómo se resuelve un Sistema?
Para hallar el conjunto solución se puede resolver por varios métodos, estudiaremos el método de REDUCCIÓN.
Método de REDUCCIÓN.
Ejemplo 1:
Resolver el sistema:
Álgebra – 6to. grado
x + y = 9 ............. (1) x – y = 5 ............. (2)
123
2
Resolución: *
Si sumamos algebraicamente en forma vertical ambas ecuaciones tendremos: x + y = 9 ............. (1)
(+)
x – y = 5 ............. (2)
x + y + x – y = 9 + 5
x + x = 14
2x = 14
14 2 x = 7 x =
*
Como: x = 7 en la ecuación (1):
x + y = 9, entonces: 7 + y = 9
y = 9 – 7
y = 2
*
Luego: x = 7; y = 2, será el conjunto solución. → C.S. {x = 7; y = 2}
Ejemplo 2:
Hallar los valores de "x" y "y" en:
5x – y = 8 .............. (1) 3x – y = 4 .............. (2)
Resolución: Si restamos algebraicamente en forma vertical tendremos: 5x – y = 8 (–)
3x – y = 4
(–)
(5x + y) – (3y – y) = 8 – 4 5x – y – 3x + y = 4 5x – 3x = 4 2x = 4
4 2 x = 2 x =
Como: x = 2, en la ecuación (1) tendremos:
124
Álgebra – 6to. grado
5x – y = 8
2
5(2) – y = 8 10 – y = 8 10 – 8 = y
2 = y ó y = 2
Luego: x=2, y=2, su conjunto solución será: C.S. {x=2; y=2}
¡Ahora, hazlo tú! I.
Marca correctamente la alternativa:
1. Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
a)
3x + 2y = 5
x + y = 0
x + y + z = 0
a)
x + 2y = 3
2x + y = 4
x – 3y – z = 5 x + y = 5
b) x – y = 5
c)
x + y = 7
2x – y = 5 x + y = 4
3. En el sistema los términos independientes son iguales:
a)
x + y = 12 x – y = 6
c)
2. En el sistema los coeficientes de una de sus variables son iguales:
b) 4x + 3y + 2z = 9
b) x + y = 5
c)
x + y = 7
2x – y = 5 x + y = 5
4. En el sistema el conjunto solución es: C.S. {x=1; y=1}
a)
x + y = 5 x – y = 3
Álgebra – 6to. grado
b) 2x + y = 3 x + y = 2
c)
3x + y = 4 x – y = 1
125
2
II. Relaciona correctamente los sistemas con su conjunto solución:
A)
B)
C)
D)
E)
x + y = 5 x – y = 1 2x + y = 3 x – y = 0 2x – y = 5 x – y = 2 3x + 2y = 7 x + 2y = 5 x + 4y = 8 x + 5y = 10
(
)
C.S. {x=3 ; y=1}
(
)
C.S. {x=3 ; y=2}
(
)
C.S. {x=0 ; y=2}
(
)
C.S. {x=1 ; y=2}
(
)
C.S. {x=1 ; y=1}
III. Resuelve los sistemas:
1.
2x + y = 8
5.
2x – y = 4
2.
3x + 2y = 11
3x + 2y = 5
6.
3x – 2y = 7
3.
x + y = 12
4.
2x – y = 7 3x – y = 11
126
5x – y = 8 2x – y = 6
7.
x – y = 8
x + 2y = 3
4x + 3y = 7 2x + 3y = 5
8.
5x – y = 16 2x + y = 12
Álgebra – 6to. grado
Retos para el hogar 1.
Resuelve los sistemas:
1.
5x + y = 8
5.
3x – y = 0
2.
4x + 3y = 1
5x + y = 6
6.
5x + 3y = 8
3.
x + y = 15
4.
3x – y = 10 2x – y = 6
7x – 2y = 9 3x + 2y = 11
7.
x – y = 7
2x + y = 3
8x + y = 8 6x + y = 6
8.
3x – y = 10 2x – y = 6
Desafío Sin resolver el sistema, explica cómo los valores: x=9; y=10 son soluciones para el sistema:
11x – 3y = 69 –3x + 3y = 3
Álgebra – 6to. grado
127
2
2
128
Álgebra – 6to. grado
Repaso 1.
2
Si: P(x) = 6x2 + 12x + 36
Q(x) = 4x2 – 17x – 28
R(x) =
S(x) =
1 3 2 4
1 4 1 x3 + 3 x3 +
1 1 x+ 5 6 1 1 x2 + x + 4 5 x2 +
Calcula:
a) P(x) + Q(x)
c) R(x) + S(x)
b) P(x) – Q(x)
d) S(x) – R(x)
2.
Resuelve:
a) 3x2(5x3 + 5x2 + 3x + 3)
Álgebra – 6to. grado
b)
25x4 + 75x3 + 50x2 5x2
129
2
3.
Resuelve:
a) 2(y + 1) + 3(y – 2) = 3 + y
c) y – 22 =
4.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
y y y + + 4 8 6
x + y = 14
b)
y y y – = –1 2 4 3
d)
y y y 1 – = + 3 5 15 3
b)
x – y = 6
c)
2x – 3y = –14 3x + 3y = 39
130
4x + 4y = 4 4x + 5y = 3
d)
5x + y = 8 4x + y = 6
Álgebra – 6to. grado
2
y=
2 x
+ ... +
3 x
Algebra 6to grado – IV Bimestre Álgebra – 6to. grado
131
2
Índice Índice
Pág.
l
Inecuaciones en Z
51
l
Intervalos acotados en Z
55
l
Intervalos no acotados en Z
59
l
Resolución de inecuaciones I
63
l
Resolución de inecuaciones II
67
l
Situaciones problemáticas de desigualdades
71
132
Álgebra – 6to. grado
2
Inecuaciones en Z Sabías que ...
Pafnuti Lvovich Chebyshev
... los sellos matemáticos son empleados en los correos. Ello propone un excelente medio para la difusión de la historia de la MATEMÁTICA.
Aquí un ejemplo:
• Okatovo (1821 - 1894) Matemático ruso
Datos técnicos:
Rusia 1946 Tras cursar sus estudios universitarios en Moscú y doctorarse llegó a ser catedrático de la Universidad de San Petersburgo. Fue nombrado miembro de la Academia de la CC. de Berlín, Bolonia, París y Suecia.
Abarcó: Teoría de números, donde estudió propiedades de los números primos; Cálculo de probabilidades, realizando investigaciones sobre los conceptos de variable aleatoria y de esperanza matemática. Formuló, además el Teorema de Chebyshev; Teoría de la aproximación en conexión con la teoría de polinomios y teoría de integración.
Introducción A veces se dan unas condiciones en las que en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad, estos son:
">, mayor que"
"
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