AA1. Modelado de funciones y el método de Euler. Solución.pdf

Ingeniería en Informática Cuatrimestre Septiembre-Diciembre 2014 Métodos Numéricos AA1. Modelado de funciones y el método de Euler

1. Calcula la velocidad de un paracaidista en caída libre con el empleo del método de Euler para el caso en que

m  80kg  y c  10kg / s . Lleva a cabo el cálculo desde t     0  hasta t  20s  con un tamaño de paso de 1 s . Usa una condición inicial en que el paracaidista tiene una velocidad hacia arriba de 20m / s  en t     0 . Suponga en el paracaídas se abre instantáneamente en t

 10s , de modo tal que el coeficiente de arrastre

sube a 50kg / s .

Paracaidista t v(m/s) 0

-20.00

1

-7.6900

2

3.0813

3

12.5061

4

20.7528

5

27.9687

6

34.2826

7

39.8073

8

44.6414

9

48.8712

10

28.1367

11

20.3613

12

17.4455

13

16.3521

14

15.9420

15

15.7883

16

15.7306

17

15.7090

18

15.7009

19

15.6978

20

15.6967

v(m/s) 60 50 40 30 20 10

t(s)

0 0 -10 -20 -30

5

10

15

20

25

2. La velocidad es igual a la razón de cambio de la distancia  x  m  ,

dx dt 

 v  t 

Solución: Sustituye esta ecuación en v  t  

a)

 gm 

1  e

c 

c  t  m

   y desarrolla una solución analítica para la distancia  

como función del tiempo. Suponga que  x  0   0 . Para las condiciones iniciales  x  0   0

b) dx dt



dx 

gm c  gm c

 dx    dx 

1  e 1  e

 gm

c  gm c  gm

( c / m ) t 

( c / m ) t 

1  e

 1  e



0

dt

( c / m ) t 

 ( c / m ) t 

 

 dt  dt

0

 





m  0  (1)   C   c  c 

 gm2

 C 

c2

C   

 gm2 c2

 

Por tanto, la ecuación analística para la distancia

 dt  e dt     c   gm  m  ( c / m) t    x  t   t e   C  c  c

 dx 

 gm 

 ( c / m ) t 

recorrida en función del tiempo queda como:  x  t  

 x  t  

 x  t  

 gm 

m

c 

c

t 

e

 ( c / m )t 

 gm   c 2

2

 gm 

m  m t  e ( c / m )t     c  c c

 gm2  c   t  e ( c / m )t   1 2  c m 

b) Determina con las soluciones analíticas obtenidas la velocidad y distancia de caída en los primeros 10 s , con intervalos de 1 s .

Solución analítica t

v(m/s)

x(m)

0

0

0

1

8.953

4.613

2

16.405

17.406

3

22.607

37.007

4

27.769

62.275

5

32.066

92.258

6

35.642

126.166

7

38.618

163.342

8

41.095

203.236

9

43.157

245.394

10

44.873

289.435

c) Usa el método de Euler para integrar numéricamente las ecuaciones

dv dt

  g 

c m

v  y

dx dt 

 v  t   con objeto

de determinar tanto la velocidad como la distancia de caída como función del tiempo para los primeros 10 s de caída libre, usando m  68.1kg  y c  12.5kg / s . Utiliza un tamaño de paso de 1 s .

c   v  ti 1   v  ti    g  v  ti    ti 1  ti   m  

 x  ti 1   x ti  

 gm 

1  e c 

c   t i  m

  ti 1  t i   

Solución numérica t

v(m/s)

x(m)

0

0

0

1

9.800

8.953

2

17.801

25.358

3

24.334

47.965

4

29.667

75.735

5

34.022

107.800

6

37.577

143.442

7

40.479

182.060

8

42.849

223.155

9

44.784

266.313

10

46.364

311.186

d) Traza una gráfica de la velocidad y la distancia de caída comparando en ambas gráfica los resultados analíticos y numéricos.

Distancia de caída 350 300     ) 250    m     ( 200    a    i    c    n    a    t 150    s    i    D

100 50 0 0

2

4

6

8

tiempo (s) Sol. Analítica

Sol. Numérica

10

12

Velocidad de caída 50 45 40     )    s 35     /    m30     (     d    a 25     d    i    c 20    o     l    e    V15

10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s) Sol. Analítica

Sol. Numérica

4. La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a la diferencia de temperatura y la del medio que lo rodea (temperatura ambiente),

dT  dt  donde T   = temperatura del cuerpo

 k T  T 0 

 C  , t  = tiempo (min),

k   = constante de proporcionalidad (por minuto) y

T 0  = temperatura del ambiente  C  . Suponga que una taza de café tiene originalmente una temperatura de 68C . Emplee el método de Euler para calcular la temperatura desde t   0  hasta 10 min, usando un tamaño de paso de 1 min, si T0

 21C  y k   0.1/ min . Elabora la tabla y la gráfica corr espondientes.

Solución: El modelo de Euler queda como:

T ti 1   T  ti   k T  ti   T0   ti 1  ti  

t(min)

T(ti) (°C)

0

68.0000

1

63.3000

2

59.0700

3

55.2630

4

51.8367

5

48.7530

6

45.9777

7

43.4800

8

41.2320

9

39.2088

10

37.3879

80

T(°C)

70 60 50 40 30 20 10

t(min)

0 0

2

4

6

8

10

12