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ATRITO DE ESCORREGAMENTO E ATRITO DE ROLAMENTO: ANÁLISE DE SITUAÇÕES SIMPLES1 SLIDING FRICTION AND ROLLING FRICTION: ANALYSIS OF SIMPLE CASES
A. V. Andrade-Neto Departamento de Fısica ´ Universidade Estadual de Feira Feira de Santana Avenida Transnordestina, Transnordestina, s/n, Novo Horizonte, Campus Universita ´rio ´rio 44036-900 Feira de Santana, BA, Brazil. E-mail:
[email protected]
No presente trabalho apresentamos uma discussa ˜o ˜o elementar, mas unificada dos conceitos de atrito de escorregamento e atrito de rolamento. S˜ao ao exploradas algumas situa¸c˜ coes o ˜ es simples, mas de grande riqueza conceitual e ausentes da maioria dos livros textos. Palavras-chave: atrito de escorregamento, rolamento, atrito de rolamento. We present an elementary but unified discussion of the concepts of sliding friction and rolling friction. Are explored some simple situations but of very conceptual wealth and absent from most textbooks. Keywords: sliding friction, rolling, rolling friction.
INTRODU¸C˜ CAO ˜ Quando as superf´ıcies ıcies de dois cor pos s´olidos olidos se to cam, esses es ses corpos corp os inter- age agem m atrav´ at rav´es es de de ao exemplos exem plos de for¸cas cas de contato c ontato a for¸ca ca normal nor mal e as for¸ for ¸cas cas de atrito. at rito. Enquanto Enqu anto for¸cas cas de contato. contato. S˜ao a normal (como (c omo o nome indica in dica)) ´e uma for¸ca ca perp p erpendi endicula cularr `a superf´ıcie, ıcie, as for¸cas cas de atrito at rito s˜ao ao tangen tan genci ciais ais `a superficie superfi cie de contato. O estudo dessas for¸ for ¸cas cas tem enorme enor me interesse pr´ pr ´atico atico porque o seu controle permite aumentar a eficiˆencia eficiˆencia de m´aquinas aquinas e equipa- mentos, diminuindo o desgaste das partes part es m´oveis oveis dessa d essass m´aquinas aqui nas como, c omo, por exemplo, exem plo, o motor mot or de um automo auto mo ´vel. ´vel. Isso levou le vou ao desenvolvimento de uma ciˆencia encia denomina deno minada da tribol tri bologia ogia,, que se ocupa o cupa do estudo est udo da d a interac¸¸˜˜ao ao entre entr e superf´ıcies ıcies submetidas a cargas ou em movimentos relativos. De um ponto de vista fundamental, as for¸cas cas de atrito at rito tem orige o rigem m nas interac inter ac¸o ¸o˜es ˜e s atˆ a tˆomic om icas as que qu e ocorrem nas regio˜es ˜es de contato entre as superf´ıcies, ıcies, o que torna o problema bastante bast ante complexo comp lexo,, j´a que a situa¸ situa ¸cc˜˜ao ao das da s supe su perf rf´´ıcies ıci es influe inf luenci ncia a enormemente o fenˆomeno. omeno. Dentre os diversos fatores que influenciam o comportamento comportame nto das for¸ for ¸cas cas de atrito podemos citar a natureza dos materiais e o grau de polimento das superf´ıcies ıcies em contato, a existˆ exis tˆencia enci a ou n˜ao ao de umida u midade de ou lubrif l ubrifican icantes tes entre as sup erf´ erf´ıcies ıcie s e a velo velocidad cidade e relativa relati va entre entre as superf´ıcies. ıcies. Devemos inicialment e definir o que se entende por ‘contato’ entre duas superf´ıcies ıcies s´olidas. olida s. Do ponto p onto de vista vis ta macrosco macr osco ´pico, ´pico , o contato co ntato entre dois d ois s´olidos olido s (conside (con siderado radoss como com o r´ r´ıgidos, ıgidos, i.e., indeforma ´veis) pode se dar de forma pontual (e.g., uma esfera sobre um plano horizontal), segundo ´veis) uma linha (e.g., um cilindro sobre um plano horizontal, cujo contato acontece ao longo de uma geratriz do cilindr o) ou segundo segund o uma ´area area (e.g., u m cubo com uma u ma das faces apoiadas em um plano horizontal). horizontal) . Obviamente os casos de contatos pontua po ntuais is e linea li neares res s˜ao ao idea i dealiz lizac ac¸¸˜˜oes oes j´a que q ue sempre sem pre exis ex iste te uma u ma def d efor orma macc¸¸˜˜ao ao por contato devi do a n˜ao ao rigidez absol uta dos corp os reais. Do ponto de vista vist a microsc mic rosco o ´pico, ´pico , devido de vido `a rugosidade das superf´ıcies ıcies na escala esc ala atˆomica, omic a, as regio reg io ˜es ˜es de d e efetivo efet ivo contat co ntato o s˜ao ao uma u ma p equena equ ena parte par te da d a ´area are a macro ma crosco sco´pica ´pi ca de contato. 1
Este trabalho ´e uma versão ampliada de um minicurso ministrado na XVI Semana de Física da UEFS.
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Quando duas superf´ıcies de corpos s´olidos est˜ao em contato, h´a uma for¸ca de atrac¸˜ao entre os corp os conhecida como adesa˜o, a q ual tem origem nas for¸cas atrativas interato ˆmicas. O atrito ´e consequ ˆˆencia da necessidade de vencer estas for¸cas atrativas. Quando n˜ao h´a movimento relativo das superfic´ıes de dois corp os em contato falamos em atrito est´atico. Quando acontece movimento relativo entre as superf´ıcies dizemos que ocorre atrito cin´etico ou dinaˆmico. O movimento relativo entre duas superf´ıcies em contato pode ser um escorregamento puro, um rolamento puro (tamb´em chamado de rolamento sem deslizamento) e, no caso mais geral, rolamento com deslizamento. Obviamente, a forma geom´etrica do corpo ´e fundamental para o tipo de movimento relativo. Um corpo s´o pode exibir rolamento puro se possuir uma s e¸c˜ao circular (cilindro ou esfera, por exemplo). Desse modo as for¸cas de atrito podem ser classificadas como atrito de escorregamento e atrito de rolamento, as quais ser˜ao analisadas a seguir.
ATRITO DE ESCORREGAMENTO O atrito ´e uma das experiˆencias mais familiares ao ser humano e possui uma longa histo ´ria. Um dos primeiros a estudar de forma sistem´atica o atrito foi o italiano Leonardo da Vinci, que analisou o movimento de um bloco retangular sobre uma superf´ıcie plana. Por volta de 1500 ele estabeleceu duas leis. A primeira afirma que as ´areas em contato n˜ao tem efeito sobre o atrito e a segunda que se o p eso do objeto ´e dobrado, o atrito tamb´em ser´a dobra do. Tamb´em foi observado por da Vinci que o atrito ´e diferente para diferentes materiais. As leis de da Vinci foram redescobertas no s´eculo XVII p elo f´ısico francˆes Guillaume Amontons. Ele teorizou que o atrito era o resultado do trabalho realizado para levantar uma superf´ıcie sobre a rugosidade da outra, bem como o trabalho para realizar a deformac¸a˜o da s uperf´ıcie. Novos estudos sobre esse assunto foram realizados por Charles Coulomb, estabelecendo claramente que a for¸ca de atrito ´e proporcional `a for¸ca compressiva (forc¸a normal). Coulomb tamb´em estab eleceu que a for¸ca de atrito n˜ao depende da velocidade, uma vez iniciado o movimento. Quando h´a movimento relativo entre as superf´ıcies em contato, dizemos que h´a uma forca de atrito cin´etica. Em outras palavras, qua ndo existe uma velocidade relativa n˜ao nula entre o contato das superf´ıcies. As leis fenomenol´ogicas de Amontons-Coulomb que descrevem o atrito de escorregamento podem ser expressas como (a) A for¸ca de atrito ´e indep endente da ´area aparente de contato. (b) O atrito ´e proporcional `a carga normal. (c) O atrito cin´etico ´e aproximadamente independente da velo cidade de deslizamento.
Pela segunda lei do atrito, o m´odulo da for¸ca de atrito cin´etico ´e proporcional ao m´odulo da for¸ca normal N . Matematicamente temos que : Fc = µ c N,
(1)
onde µ c ´e o coeficiente de atrito cin´etico. Mesmo quando n˜ao h´a movimento relativo entre as superf´ıcies, p ode haver for¸cas de atrito. Essa for¸ca ´e denominada atrito est´atico. Considere mos um bloco em repouso apoiado sobre uma
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tamb´em horizontal, sabemos da exp eriˆencia superf´ıcie plana horizontal. Se aplicamos uma for¸ca F que o bloco s´o se move em relac¸a˜o `a sup erf´ıcie horizontal quando o m´odulo da forca F atinge um valor cr´ıtico que denominaremos (F e )max . Esse valor m´aximo ´e proporcional a N, ou seja, (Fe)max = µ e N,
(2)
onde µ e ´e o coeficiente de atrito est´atico. Diferentemente da for¸ca de atrito cin´etico, que ´e aproximadamente constante, a for¸ca de atrito est´atico po de variar entre o valor nulo (quando n˜ao existe for¸ca paralela `a superficie) at´e o valor m´aximo (F e )max . Assim, 0 ≤ Fe
≤ µ e N.
(3)
Os conteu ´dos acima s˜ao ab ordados em to dos os livros de f´ısica de nivel superior e tamb´em em livros de n´ıvel m´edio de ensino. Esses conteu ´dos s˜ao apresentados sempre ap´os as leis de Newton, como uma aplicac¸˜ao dessas leis e, o que ´e importante, em um contexto te´orico no qual o corpo sob an´alise ´e modelado como uma part´ıcula. Contudo, h´a situa¸c˜oes em que o modelo de part´ıcula ´e claramente inadequado. Na referˆencia [1] ´e analisado o deslocamento lateral da for¸ca normal sobre um corpo (um bloco) em equilibrio est´atico ou dinaˆmico, apoiado sobre uma superf´ıcie plana sujeito a uma for¸ca de atrito. J´a na referˆencia [2] ´e discutido o equ´ıvoco de se utilizar o mo delo de part´ıcula para se calcular o trabalho realizado pela for¸ca de atrito cin´etico que age sobre um corpo que escorrega. Outra situa¸c˜ao que mostra o limite do modelo de part´ıcula ´e o de rolamento, conforme analisado na referˆencia [3].
ROLAMENTO Movimentos de corp os que rolam s˜ao muitos comuns no dia a dia. Como exemplos ´obvios podemos citar os movimentos das rodas de uma bicicleta ou de um automo ´vel. Tamb´em ´e muito comum o uso de esferas em experimentos em plano inclinado. O pr´oprio Galileu realizou experiˆencias desse tipo [4].
Figura 1: Distribuição de velocidade de um corpo rígido que rola sem deslizamento. No caso de rolamento n˜ao podemos tratar o corpo como uma part´ıcula. Um modelo adequado para esse caso ´e o de corpo r´ıgido o qual, por definic˜ao, ´e um sistema no qual a distaˆncia entre duas part´ıculas do corp o e´ inaltera´vel ou, em outras palavras, o corp o e´ indeforma´vel. Obviamente, nenhum corpo real e´ perfeitamnete r´ıgido, mas em muitos casos essa ´e uma idealizac¸a˜o conveniente. Vamos iniciar nossa an´alise pelo caso ideal de rolamento sem deslizamento ou rolamento puro.
Rolamento puro. Cinem´atica Quando um corpo com simetria axial (um cilindro, uma esfera, um anel) rola sobre uma superf´ıcie plana e cada ponto da periferia da roda n˜ao desliza sobre o plano, dizemos que acontece um rolamento sem deslizamento ou rolamento puro. Para fixar ideia, consideremos um cilindro de raio
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R rolando sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Quando ele gira de um ˆangulo θ, o ponto de contato do corpo com a superf´ıcie horizontal ter´a se deslocado de uma distaˆncia s, tal que s = Rθ.
(4)
Essa ´e a distaˆncia percorrida pelo centro de massa do corpo quando o mesmo gira de um ˆangulo θ. Derivando a equa¸c˜ao (4) em relac¸a˜o ao tempo obtemos que vcm = ωR,
(5)
onde vcm = ds/dt ´e a velocidade de translac¸a˜o do centro de massa e ω = dθ /dt ´e a velocidade angular de rotac¸˜ao do corpo em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. A eq.(5) ´e a condi¸c˜ao necessa´ria para que ocorra rolamento sem deslizamento. Enquanto o centro de mas sa do corpo movimenta-se em uma tra jet´oria retil´ınea, um ponto na borda do corpo descreve uma trajet´oria denominada cicl´oide [Ver Apˆendice]. Essa tra jet´oria pode ser visualizada colocando-se uma fonte luminosa na borda de um cilindro que rola sobre uma superf´ıcie plana. Vamos agora determinar a velocidade de um ponto qualquer do corpo. O movimento mais geral de um corpo r´ıgido ´e uma combinac¸a˜o de translac¸˜ao e rotac¸˜ao [5]. Desse modo, pode-se decompor a velocidade de uma part´ıcula arbitra´ria de um corpo r´ıgido em dois termos: um que representa a velocidade instantaˆnea de translac¸a˜o e outra que representa a velocidade instantaˆnea de rotac¸a˜o. Assim, a velocidade de um ponto qualquer do cilindro ser´a
v = vcm + ω × r,
(6)
onde, como j´a definido vcm ´e a velocidade de translac¸a˜o do centro de massa e r ´e o vetor p osi¸c˜ao relativo ao centro de massa. Considerando o eixo perpendicular ao plano do movimento como sendo
= −ω zˆ e r = z + ρ � onde z = zzˆ e ρ e´ a componente de r contida no plano de o eixo z, tal que ω × r = ω × (z +ρ ) = ω ×ρ � j´a que ω × z = 0. Assim, a eq.(6) fica movimento, ent˜ao ω v = vcm + ω ×ρ .
(7)
A Figura 1 ´e uma representac¸a˜o gr´afica da eq.(7). V´arias conclus˜oes podem ser tiradas da Figura 1: (a)
O ponto de contato da roda com o plano horizontal tem velocidade resultante nula, o
que significa que n˜ao ocorre deslizamento. O contato do cilindro com o plano acontece ao longo de uma geratriz, cuja velocidade no instante de contato e´ nula. (b)
A velocidade de qualquer ponto da roda p ossui direc¸˜ao perp endicular `a linha que liga esse
ponto ao ponto de contato. (c)
O centro do corpo desloca-se com uma velocidade v cm , enquanto o ponto superior da
roda desloca-se com o dobro dessa velocidade (2 vcm ). A conclus˜ao (a) acima nos permite realizar a seguinte discussa˜o. Como a velocidade relativa de escorregamento entre as superf´ıcies e´ nula, isso significa que, no caso de rolamento puro, n˜ao pode haver atrito cin´etico entre as superf´ıcies. Em outras palavras, no caso de rolamento puro de um corpo r´ıgido, se existe atrito ele ´e necessariamente est´atico j´a que a velocidade relativa de escorregamento e´ nula. Deve ser observado que h´a um movimento relativo entre o centro de massa do corp o e a superf´ıcie sobre a qual o corp o rola. O que n˜ao h´a ´e um movimento relativo das superf´ıcies em contato e essa e´ a raz˜ao p ela qual, nesse caso, n˜ao h´a atrito cin´etico.
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Figura 2: Forças que atuam sobre um corpo rígido de seção circular de raio R submetido a uma força F. Só uma análise posterior pode determinar se o sentido de Fat está correto. Se a Eq. (5) n˜ão é obedecida teremos um rolamento com deslizamento. Se vcm > ωR teremos um rolamento com deslizamento de translac¸a˜o. Isso acontece quando, por exemplo, um carro ´e freiado bruscamente, provocando derrapagem.
Por outro lado, quando v cm
< ωR h´a um
rolamento com deslizamento de rotac¸˜ao. Um exemplo desse caso se d´a quando um carro desliza sobre uma pista de lama e os pneus giram com velocidade angular tal que v cm < ωR. Essa descric¸˜ao cinem´atica do rolamento ´e realizada pelos principais livros textos universita´rios utilizados nos cursos de f´ısica b´asica. Supreendentemente, a an´alise dinaˆmica desse caso ´e quase completamente ignorada.
DINˆAMICA DO ROLAMENTO DE UM CORPO R´IGIDO SOBRE UM PLANO HORIZONTAL Vamos agora analisar a dinaˆmica do rolamento em um plano horizontal. Vamos considerar ambos os corpos (o corpo que rola e o plano horizontal) ideais, i.e., corpos r´ıgidos perfeitos. Vamos considerar o corpo se movendo sobre um pl ano horizontal submetido a uma for¸ca
aplicada a uma certa altura h do plano (Figura 2) e a uma for¸ca de atrito F at a motriz horizontal F qual, provisoriamente est´a orientada para a esquerda. Apenas uma an´alise posterior pode determinar se esse sentido ´e correto ou n˜ao. As equa¸c˜oes de movimento para o s´olido s˜ao: F − Fat = Macm
(8)
2 F (h − R) + F at R = Iα = Mk α,
(9)
onde M ´e a massa do corpo,
I
´e o momento de in´ercia do corp o calculado em relac¸a˜o a um eixo
passando pelo seu centro de massa, α e´ a acelerac¸a˜o angular do corpo em torno desse eixo e k ´e o 2
2
2
2
2
raio de girac¸a˜o (para uma esfera k = 2R /5, para um cilindro k = R /2 e para um anel k = 2
R ). Das express˜oes acima e utilizando que a cm = αR obtemos
(10) Para a esfera, o cilindro e o anel temos explicitamente
Vemos da equa¸c˜ao acima que a depender do intervalo de h, a for¸ca de atrito pode ter sentido oposto ou n˜ao ao movimento do centro de massa do corpo e, inclusive, ser nula. Para a esfera, por exemplo, vemos que no intervalo 0
≤ h
< 7R/5, a for¸ca de atrito ´e positiva (F at
> 0), o que significa que seu sentido coincide com aquele mostrado na Figura 2. Para h = 7R/5 temos que F at = 0, enquanto que no intervalo 7R/5
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≤ h ≤ 2R
a for¸ca de atrito ´e negativa (F at < 0),
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logo o seu sentido ´e contra´rio ao indicado na Figura 2. Uma an´alise semelhante se aplica ao cilindro e ao anel. O
ilustra a situa¸ca˜ o para uma esfera de raio R = 20 cm submeti da a uma for¸ca F = 5 N.
Podemos discutir v´arios aspectos interessantes a partir dos resultados acima. Em primeiro lugar vemos que existe um valor cr´ıtico de h para o qual a for¸ca de atrito se anula, independente do valor de F. Isso mostra que pode haver rolamento de um corpo sobre uma superf´ıcie plana mesmo na ausˆencia de atrito. Isso ´e importante porque, como os livros textos tratam quase exclusivamente de rolamento sobre um plano inclinado, sem tratar da dinaˆmica de rolamento sobre uma superf´ıcie horizontal, isso induz os estudantes a imaginar que a for¸ca de atrito ´e sempre uma condi¸c˜ao necessa´ria para a existˆencia do r olamento. Vemos tamb´em que se a for¸ca F est´a aplicada a uma altura maior que esse valor cr´ıtico, a for¸ca de atrito tem o mesmo sentido do movimento do centro de massa do corpo, i.e., a for¸ca de atrito contribui para aumentar a acelerac¸˜ao do corpo. Esse resultado s´o e´ estranho quando analisado no contexto do modelo de part´ıcula. No contexto do modelo de corpo r´ıgido, no qual deve-se levar em conta outras grandezas dinaˆmicas na an´alise do movimento, como o torque, esse resultado e´ perfeitame nte compreens´ıvel. Outra consequˆencia interessante das Eqs. (10) ou (11) ´e que se a for¸ca F for nula, i.e., se n˜ao existe for¸ca motriz, a for¸ca de atrito se anula. Nesse caso ideal (so ´lidos e sup erf´ıcies inderfor ma´veis), desprezando a resistˆencia do ar, As ´unicas for¸cas que atuam no corp o que rola sem deslizar sobre uma sup erf´ıcie horizontal, s˜ao a for¸ca peso e a normal, ambas aplicadas no centro de massa do corpo.
Gráfico 1: Fat em função de h para uma esfera de raio R = 20cm submetida a uma força F = 5N. Mas, por que raza˜o a for¸ca de atrito ´e nula no rolamento puro em um plano horizontal? o motivo ´e que, nesse caso ideal, se houvesse uma for¸ca de atrito n˜ao nula retardando o movimento, o torque produzido por essa for¸ca aumentaria a velocidade an gular do corp o mas, ao mes mo tempo, essa for¸ca de atrito diminuiria a velocidade do centro de massa do corpo, o que ´e absurdo. Enta ˜o, a for¸ca de atrito deve ter o mesmo sentido do movimento de translac¸a˜o do corp o? Nesse caso, o torque produzido por F at provo caria a diminuic¸˜ao da velocidade angular do corpo enquanto a velocidade do centro de massa aumentaria com o tempo. As duas situa¸c˜oes s˜ao absurdas, o que significa que em um plano horizontal a for¸ca de atrito (entre o plano e o corpo que rola) ´e nula e, portanto, v cm = ωR = constante. Uma an´alise detalhada dessa situa¸c˜ao ´e feita na Referˆencia [3].
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Figura 3: Forças que atuam sobre um corpo deformável. Deve ser notado que a força N está deslocada em relação à posição de um corpo perfeitamente rígido.
ATRITO DE ROLAMENTO Por que ´e muito mais f´acil deslocar um corp o que p ossui rodas (um m´ovel de escrit´orio, por exemplo) do que o mesmo corpo sem rodas? A resposta a essa questa˜o nos remete ao conceito de atrito de rolamento. Sabemos da experiˆencia que um corpo s´olido que rola em um plano hor- izontal perde velocidade e p´ara ap´os certo tempo. Enta˜o por que o corpo p´ara? al´em da resistˆencia do ar (arrasto aerodinaˆmico) h´a o atrito de rolamento que surge devido ao fato de que nem o cor po nem o plano s˜ao perfeitamente r´ıgidos e, assim, no movimento de rolamento, ambos sofrem deformac¸o ˜es, o que d´a origem ao atrito de rolamento. Considermos, para fixar ideia, um cilindro que rola em um plano horizontal. Vamos considerar que as deformac¸˜oes ocorre m exclusivamente no corp o que rola. Um exemplo dessa situa¸c˜ao seria um pneu de automo ´vel trafegando sobre uma pista hor- izontal de concreto ou asfalto. A Figura 3 mostra as for¸cas que atuam sobre o corpo onde mais uma vez
ser´a desprezaremos a resistˆencia do ar. Devido ao achatamento do corpo, o ponto de aplicac¸˜ao de N atua no caso do corpo deslocado para frente p or uma distaˆncia x em relac¸˜ao ao ponto em que N at ´e a for¸ca de atrito que se op˜oe ao movimento. As equa¸c˜oes dinaˆmicas ficam agora: indeforma´vel. F
onde
I
F − Fat = −Ma cm
(12)
Fat R − Nx = −Iα
(13)
´e o momento de in´ercia do corpo e α a acelerac¸˜ao angular em relac¸a˜o ao centro de massa. Na
referˆencia [3] ´e desenvolvida a teoria que mostra p or que o corpo p´ara. Se o corpo se desloca com velocidade do centro de massa constante, as
equa¸c˜oes de
movimento ficam F = Fat ,
(14)
Fat R = Nx.
(15)
Da Eq. (15) podemos definir uma grandeza adimensional µ r tal que µ r =x/R=F a /N t
(16)
onde µ r ´e denominado coeficiente de atrito de rolamento ou coeficiente de resistˆencia ao rolamento. Deve ser observado que se o corpo ´e perfeitamente r´ıgido x = 0 e, desse modo, µ r = 0. Isso explica porque no rolamneto puro de um corpo r´ıgido a for¸ca de atrito ´e nula. Valores t´ıpicos de µ r para pneus de carro sobre asfalto s˜ao da ordem de 0, 01 enquanto o co eficiente de atrito est´atico (µ e ) e´ da ordem de 0, 9, ou seja, µ r ´e cerca de 90 vezes menor que µ e . Esses valores explicam porque ´e t˜ao mais f´acil deslocar um m´ovel que possui ro das em compara¸c˜ao com o mesmo m´ovel sem rodas.
CONCLUSÕES
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Neste trabalho consideramos a dinaˆmica do rolamento sobre uma sup erf´ıcie horizontal plana, assunto ignorado pela maioria dos livros textos universit´arios de f´ısica b´asica, que, em geral, considera a cinem´atica de rolamento e a dinaˆmica de rolamento em um plano inclinado. Consideramos duas situa¸c˜oes, a sab er, o movimento de rolamento sem e com for¸ca motriz. A matema´tica envolvida na an´alise desse movimento ´e bastante simples e ´e acess´ıvel inclusive para estudantes do ensino m´edio. Apesar de sua simplicidade matema´tica, essas situa¸c˜oes fornecem as condi¸c˜oes ´otimas para a introdu¸c˜ao e aprofundamento de importantes conceitos como o de corpo r´ıgido, a conserva¸c˜ao da energia, conserva¸c˜ao do momento angular, for¸cas de atrito, dentre outros.
APˆENDICE Cicl´oide ´e a curva gerada p or um ponto P sobre uma circunferˆencia que rola sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Consideremos um c´ırculo de raio R que se move ao longo do eixo x, com o ponto P inicialmente na origem. As equa¸c˜oes param´etricas da curva descrita pelo ponto P (a cicl´oide) s˜ao dadas p or
onde θ ´e o ˆangulo de rotac¸a˜o do c´ırculo `a medida que o c orpo gira. A cicl´oide ´e de grande importˆancia na histo ´ria da ciˆencia porque ´e a solu¸c˜ao de dois problemas famosos. O primeiro e´ o problema da braquisto´crona (menor tempo), o qual consiste na determinac¸a˜o da curva (trajet´oria) ao longo da qual um corpo deslizando sem atrito gastara´ o menor ´ admitido que os tempo poss´ıvel para ir de um ponto A a um ponto B, sob a¸c˜ao da gravidade. E pontos A e B n˜ao est˜ao na mesma vertical, cuja solu¸c˜ao, neste caso, seria uma reta. O segundo ´e o denominado problema da tauto´crona (tempos iguais), que consiste em determinar a forma da curva que faz com que um corpo atinja o ponto mais baixo da curva em intervalos de tempos iguais, independente- mente da altura em que o corpo ´e solto. A solu¸c˜ao de ambos problemas ´e uma cicl´oide invertida.
REFERˆENCIAS [1] Eden V. Costa e C. A. Faria Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica v. 32, n.4, 4301 (2010). [2] Osman Rosa e Ronilson Carneiro Filho Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica v. 33, n.2, 2308 (2011). [3] A. V. Andrade-Neto, J. A. Cruz, M. S. R. Milt˜ao e C. S. Ferreira. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica v. 35, n.3, 3704 (2013). [4] Michael Segre. Caderno de F´ ısica da UEFS , 06, 87 (2008). [5] H. Moys´es Nussenzveig.
Curso de F´ısica B´asica 1: Mecânica . Editora Edgar Blu¨cher, (1997).
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