A21- Calculo Financiero Empresarial by Maya UMED

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MISIÓN Y VISIÓN DE LA UMED MISIÓN

La UMED tiene la misión de contribuir a la socialización de la educación, ofreciendo la oportunidad de acceder a la educación superior a aquellas personas que no pueden asistir al sistema escolarizado, poniendo a su disposición servicios educativos de calidad en la modalidad abierta a distancia, formando profesionales con perfiles de egreso acordes a las necesidades del campo de trabajo profesional, estimulando valores como la honestidad, el respeto, la confianza, el profesionalismo, la cooperación y la lealtad.

VISIÓN

La UMED tiene como visión la de ser reconocida como la institución más prestigiada de México en el campo de la educación abierta a distancia, teniendo presencia en todas las entidades federativas del país, extendiendo sus servicios a otros países. Siendo además una universidad en toda la extensión de la palabra, que atienda tanto el aprendizaje de sus estudiantes como la producción del nuevo conocimiento a través de la investigación, y que difunda y extienda a la sociedad los bienes de la cultura.

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S egunda egunda Edición. Edición. 2007 2007 Copyright ©2006 S egunda egunda Edición. Edición. 2006 2006 P or J orge orge Luis Maya Alemán Alemán Cuernavaca, Cuernavaca, Morelos. Los derechos de esta obra son propiedad de: Fundación undación Morelense de Investigación Investigación y Cultura, Cultura, S.C S .C.. Coronel Ahumada Nº 33 Col. Lomas Lomas del Mirador 62350 Cuernavaca, Morelos, México. Queda hecho el depósito que marca la Ley. Derechos Derechos R eservados. eservados. Impreso en México.

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FUNDACIÓN MORELENSE DE INVESTIGACIÓN Y CULTURA, S. C.

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GUÍA DE AUTOESTUDIO

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ÍNDICE

Pág.

I. INTRO INT RODUC DUCCI CIÓN.................. ÓN................................ ........................... .......................... ....................... ..........

7

II. INSTRU INST RUCC CCIONE IONES S DE MANEJ O......... O............. ......... ......... ........ ......... ......... ......... ......... ....

9

III. OBJ E TIVO TIV O GENE GE NER RAL..................................... AL.................................................. ........................ ........... 11 IV. CONTE CO NTENIDO NIDO TEMÁT TE MÁTIC ICO................. O.............................. .......................... ......................... ............

13

UNIDAD I INTRODUCCIÓN…...................................................................... 15 UNIDAD II INTERÉS SIMPLE ….................................................................... 26 UNIDAD III INTERÉS COMPUESTO………………………………..................

43

UNIDAD IV  ANUALIDA  ANUA LIDADES DES…………………………..………………...............

64

UNIDAD V  AMORTIZACIÓN  AMORTIZA CIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN AMORTIZA CIÓN ..................

75

V.

99

GLOSAR GLOS ARIO..................... IO.................................. .......................... .......................... .......................... ...............

VI. BIBLIO BI BLIOGR GRAF AFÍA ÍA BÁSIC BÁS ICA.................. A............................... .......................... ...................... ......... 108 108 VII. ACTIVIDADE ACT IVIDADES S DE DE APLICAC APLI CACIÓN..... IÓN.......... ......... ........ ........ ......... ......... ......... ......... .... 109 109 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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7 I. INTRODUCCIÓN

El estudio del Cálculo Financiero Empresarial permite al alumno elaborar modelos matemáticos encaminados a interpretar y resolver los problemas financieros que se le presentan en su vida diaria. La mayoría de ellos es probable que adquieran en el futuro un automóvil, una casa, o cualquier tipo de artículo a plazos, o bien, se soliciten créditos, contraten pólizas de seguros de vida, etc. Asimismo, pueden buscar un segundo ingreso invirtiendo sus ahorros en obligaciones, acciones u otro tipo de inversión rentable. El conocimiento del Cálculo Financiero Empresarial les permitirá por tanto, prestar o invertir su dinero de una manera más racional. Para efectuar una adecuada decisión financiera, es fundamental tomar en cuenta el valor temporal del dinero. Esta consideración se recuerda a lo largo de esta guía, particularmente cuando se plantea el estudio sobre la elaboración de presupuestos de capitales. El interés, que es la cantidad pagada por un crédito, juega un papel de suma importancia en el desarrollo económico de las naciones. El creciente énfasis que los gobiernos conceden para lograr un desarrollo económico equilibrado, sugiere nuevas e interesantes aplicaciones para el Cálculo Cálculo Financier F inanciero o Em E mpresarial. presarial. A lo largo de esta Guía de Autoestudio se plantean problemas prácticos ilustrativos que aplican las fórmulas y tablas que en el mismo se definen y presentan. La mayor parte de los problemas están basados en información tomada de transacciones comerciales reales y es interesante descubrir que créditos en apariencia ventajosos para el solicitante, encierran intereses altos que pueden ser determinados fácilmente con los métodos desarrollados en esta Guía. Las tablas son parte indispensable de cualquier texto de Cálculo F inanciero inanciero E mpresarial. presarial.

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9 II. INSTRUCCIONES DE MANEJO

Siguiendo los lineamientos del material preparado por la institución, en esta Guía se incluyen: a) Unidades. (5) b) Glosario. c) Bibliogr Bibliografía. afía. d) Actividades de Aplicación. Cada una de las unidades comprende: - Presentación. - Objetivo de la Unidad. - Contenido. - Autoevaluación. Por lo anterior es necesario explicar al alumno la manera de utilizar la presente Guía de Autoestudio: En primer lugar deberá leer el Índice con la finalidad de observar tanto el contenido como la organización del material. En segundo lugar analizará cada una de las partes en que se divide a fin de familiarizarse familiarizarse con la Guía. Guí a. A continuación, iniciará en el estudio de las Unidades e irá avanzando de acuerdo a sus posibilidades. La evaluación de cada Unidad se realizará a través de un cuestionario de Autoevaluación con preguntas elaboradas en el material contenido en la Guía de Autoestudio. Al finalizar el desarrollo del Contenido Temático, se incluye un Glosario para que el alumno consulte en caso necesario los conceptos más usuales en el curso. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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La Bibliografía Básica abarca los textos indispensables básicos para el estudio de esta materia. Cabe destacar la importancia de que el alumno realice las lecturas y ejercicios sugeridos en las Actividades de Aplicación a efecto de consolidar los conocimientos.

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III. OBJETIVO GENERAL

AL FINALIZAR EL CURSO EL ALUMNO ADQUIRIRÁ DESTREZA EN LA INTERPRETACIÓN Y MANEJ O DE  TEOREMAS

Y

FÓRMULAS;

ADEMÁS

CREARA

NUEVOS SISTEMAS Y MODELOS MATEMÁTICOS

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13 IV. CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD I INTRODUCCIÓN

I.1 Indicadores económicos. I.2 Inversiones. I.3 Progresiones Matemáticas y Geométricas. Autoevaluación. Actividades de Aplicación. UNIDAD II INTERÉS SIMPLE

II.1 Monto. II.2 Valor actual. II.3 Tasa y tipos de interés. II.4 Plazo. II.5 Descuento. Autoevaluación. Actividades de Aplicación. UNIDAD III INTERÉS COMPUESTO

III.1 Conceptos generales. III.2 Monto compuesto. III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. III.4 Valor actual. III.5 Valor futuro. III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Autoevaluación. Actividades de Aplicación.

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14 UNIDAD IV  ANUALIDADES

IV.1 Introducción y terminología. IV.2 Anualidades ordinarias. IV.3 Anualidades anticipadas. IV.4 Anualidades diferidas. IV.5 Anualidades caso general. Autoevaluación. Actividades de aplicación. UNIDAD V  AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN

V.1 Conceptos generales. V.2 Tablas de amortización. V.3 Importe de los pagos. V.4 Número de pagos. V.5 Tasa de interés. V.6 Depósitos a un fondo de amortización. V.7 Número de depósitos. V.8 Tasa de interés. Autoevaluación. Actividades de aplicación.

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15 UNIDAD I INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN

Para poder comprender y estudiar los principios fundamentales del Cálculo Financiero Empresarial, es recomendable que el estudiante conozca algunos aspectos básicos de los indicadores económicos, las inversiones y progresiones matemáticas y geométricas. A continuación se establecerán los conceptos teóricos y prácticos de los conceptos señalados anteriormente y que serán de gran utilidad para el estudiante en el presente curso. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendrá como: Objetivo Comprender los conceptos teóricos y prácticos del Cálculo Financiero Empresarial a través del conocimiento de los indicadores económicos, las inversiones y las progresiones matemáticas y geométricas.

CONTENIDO

I.1 Indicadores económicos. I.2 Inversiones. I.3 Progresiones Matemáticas y Geométricas. Autoevaluación. Actividades de Aplicación.

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I.1 Indicadores económicos. Los economistas buscan averiguar que ocurre en el mundo que los rodea, para ello se basan en la teoría y en la observación, para crear y contrastar teorías macroeconómicas con la realidad existente. La estadística económica proporciona una fuente de información sistemática y objetiva, los gobiernos encuestan periódicamente a los hogares y a las empresas para obtener información sobre su actividad económica: así obtienen los indicadores económicos que son empleados por los economistas para estudiar la economía y por los responsables de la política económica para vigilar las tendencias económicas y formular las medidas oportunas. Esta información debe ser utilizada activamente por los administradores de negocios, para estar preparado ante cambios en el entorno. Índices financieros

Índices financieros, índices de precios de títulos valores que se comercian en los mercados financieros. Los más conocidos son los que se publican en los tres centros financieros más importantes del mundo: los índices Nikkei publicados en J apón por el Nihon Keizai Shimbun, el índice DowJ ones publicado en Estados Unidos por la compañía DowJ ones y el índice del Financial  Times publicado por este periódico británico. De éstos los más conocidos son aquéllos que miden la evolución de los precios de las principales empresas que cotizan en los mercados, como el Nikkei Stock Average, el Financial Times Stock Exchange (FT-SE o Footsie) y el DowJ ones Industrial Average. Existen otros indicativos que permiten estudiar la evolución del precio de las acciones de las empresas de los distintos sectores industriales, como el del tabaco, los transportes, la construcción, las empresas de productos alimenticios, de comunicación y de espectáculos, entre otras. Esto permite a los inversores comparar la evolución de los distintos sectores y de las empresas dentro de cada sector. Pero los índices analizan también todos los aspectos de los mercados financieros: los instrumentos financieros con intereses fijos CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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(como los bonos emitidos por los gobiernos), los precios de las materias primas o los tipos de cambio. La complejidad de los mercados financieros es tan grande que estos índices ayudan a disponer de una visión general del funcionamiento del mercado y representan un mecanismo de medida para que los inversores comparen la evolución de un instrumento financiero en función de la evolución del índice. Esta medida también puede utilizarse para juzgar la gestión de los agentes financieros que emiten fondos de inversión: si un fondo de inversión crece más que el índice bursátil, se dice que el fondo evoluciona de un modo más positivo que el promedio. De hecho, lo importante en realidad es la evolución del fondo respecto a la de otros fondos de inversión. Aunque el papel de los índices financieros consiste en ayudar a aquellos agentes que operan en los mercados financieros, son también indicadores de la economía, mostrando las expectativas de los mercados sobre los diferentes sectores o sobre toda la economía. Sin embargo, para poder juzgar la evolución general de la economía conviene analizar un índice general y no tan sólo un índice sectorial, porque el índice general está menos influido por algunos comportamientos erráticos de determinadas industrias. Así pues, es mejor analizar el comportamiento del índice general del Financial Times que el Footsie. I.2 Inversiones. El dinero en la bolsa del pantalón o el de una cuenta de cheques, siempre está disponible para efectuar pagos o compras, pero aparte de esa función, no reporta utilidad alguna. Con las altas tasas de interés que se conceden hoy en día, tener demasiado dinero en efectivo, constituye un lujo caro. Quienes saben administrar hábilmente el dinero, desde las prudentes amas de casa hasta sagaces ejecutivos de las empresas, tienen un objetivo común; poner el dinero a “trabajar”. Este propósito puede conseguirse tanto prestando como adquiriendo bienes con el. Así por ejemplo, los prestamistas compran boletas de CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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empeño que les reditúan beneficios y los inversionistas adquieren valores de renta variable con la esperanza de que la empresa tenga éxito y produzca ganancias de capital superior a las que obtendría mediante obligaciones u otros instrumentos de inversión.  Todas las personas deberían conocer la forma de como se transfiere la propiedad de valores en el mercado financiero. Un Valor al portador , es aquel que se paga a su poseedor en el momento de su presentación, es decir, que puede ser cobrado por cualquiera que posea el título. Debido al creciente aumento de robos de valores al portador, algunas instituciones solicitan evidencia sobre su propiedad antes de aceptarlos. Otros instrumentos negociables que tienen la leyenda de “pagarse a la orden de”, pueden transferirse por simple endoso, con su correspondiente entrega.  Todas estas personas con dinero ocioso, pueden encontrar un lugar apropiado donde produzca beneficios económicos entre los múltiples y diversos instrumentos de inversión que existen en los actuales mercados financieros .Sin embargo, no es conveniente efectuar una sola inversión, sino realizar un minucioso estudio de las diferentes alternativas que se presentan, a efecto de seleccionar la mejor combinación, debe efectuarse conforme a los siguientes criterios: Liquidez. Rápida conversión en dinero de la inversión, con mínima o nula pérdida de capital. Seguridad. Protección del dinero. Beneficios r eales a corto pl azo. Rápida realización de beneficios. Ganancias de c apital. Incrementos en el valor de la inversión. Cotizabilidad . Existencia de un mercado secundario activo, que permita efectuar rápidas ventas en capital a costos razonables de transacción.

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19 Ventajas Fiscales. Ingresos reales no gravados y tasas favorables sobre las ganancias de capital.

I.3 Progresiones Matemáticas y Geométricas. Progresiones.

Son una serie de números o términos algebraicos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del anterior; sumándolo, multiplicándolo o dividiéndolo por una diferencia o razón común. Con un criterio similar al expuesto sobre logaritmos, se estudiaran brevemente las progresiones y su aplicación en el Cálculo Financiero Empresarial. En esta Guía las progresiones se agrupan en tres categorías: • • •

Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas. Progresiones geométricas infinitas.

Progresión aritmética.

Es una sucesión de números, llamados términos, en la que cualquier término posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumándole (o restándole) un número constante llamado diferencia común (d). Fórmula del últi mo término d e una progresión aritmética

u

= a + (n − 1)d 

Donde: u = último término; a = primer término: n = número de términos; d = diferencia común. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Ejemplo: Encontrar el vigésimo término de la progresión aritmética: 115; 112; 109; 106;… Utilizando la fórmula

u = a +(n −1)d 

En donde a = 115; n = 20; d = -3

= 115 u = 115 u = 115 u

+ (20 − 1 )(− 3 ) + (19 )(− 3 ) − 57 = 58

Suma de una progr esión aritmética

La suma de una progresión aritmética puede hallarse mediante una fórmula, la cual se la a continuación: Fórmula de la suma de términ os de una progresión ari tmética

S 

=

n

2

(n +

u

)

Ejemplo: Encontrar la suma de los treinta primeros términos de la progresión aritmética 15; 21; 27; 33;…. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Es necesario calcular el último término: a u u u u

= = = = =

15 ; n = 30 ; d  = 6 ; u = 7 ;  x = ? a + (n − 1 ) d  15 + (30 − 1 )(6 ) 15 + 174 189

30 (15 + 189 ) 2 S  = 15 (204 ) S  = 3060 S 

=

Progresión geométrica.

“Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se deduce del anterior multiplicándolo o dividiéndolo por una cantidad constante llamada razón”. Ejemplo: 980; 490; 245; 122,5; 61,25;… es una progresión geométrica descendente cuya razón es 0,5.

Ejemplo: 3; 9; 27; 81;… es una progresión geométrica ascendente cuya razón es 3. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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22 Fórmula del últi mo término de una progresión geométrica

u

= a r n −1

Donde: u = último término; a = primer término; r = razón común; n = número de términos. Fórmula de la suma de una progresión geométri ca cuya razón es menor que 1

S 

=

a

− ar  n 1 − r 

r 

〈1

Fórmula de la suma de una progresión geométri ca cuya razón es mayor que 1 S  =

ar n − a r  − 1

r  〉 1

Ejemplo: Encontrar el término 10 y la suma de los 10 primeros términos de la progresión 1.000 ; 1.500; 2.250; 3.375;…. r  = 1 . 5 u

= ar  n −1

u

= 1 . 000 (1,5 )10 −1

= 1 . 000 (1,5 )9 = 1 . 000 (38 , 443359 ) u = 38 . 433 , 359 u

 Término 10 de la progresión.

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Se aplica la fórmula cuya razón es mayor que 1:

− a 1 .000 (1,5 )10 − 1 .000 = S  = r  − 1 1,5 − 1 57 .665 ,039 − 1 .000 S  = = 113 .330 ,08 0 ,5 ar 

n

Ejemplo: Encontrar el término 10 y la suma de los primeros 10 términos de la progresión geométrica 100; 50; 25;…..

= 0 , 50 u = ar  n − 1 r 

u

S 

= 100 (0 , 50 )9 = 0 ,195312 =

a

− ar  n 1 − r 

Utilizamos esta fórmula puesto que la razón es menor que 1.

100 − 100(0,50)10 100 − 0,097656 S  = = 1 − 0,50 0,50 99,902344 S  = = 199,80469 0,50 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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24 Progresión geométrica infinita.

Es aquel tipo de progresión geométrica cuya razón es menor que 1, el número de términos es ilimitado, pero la suma de sus términos es cuantificable. Fórmula de la progresión geométrica infinita

S 

=

a

1 − r 

Ejemplo: Encontrar la suma de todos los términos de la progresión

1 1 1 1 ; ; ; ;...... 2 4 8 16 1 ; r  = 0,5; n = ∞ 2 1 1 = =2 S  = 1 − 0,50 0,50

a=

LECTURAS.

Hernández Hernández, Abraham. “Matemáticas Financieras”. Editorial ECAFSA.1996 México. p.p. 45 a 65. Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez.”Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. 1987 México. p.p.23 a 33 y 250. Ayres J r., Frank “Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 2003. p. 32. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. 2006 México. p.p.15 a 20. Cissel. Cissel. Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005. p.p. 27 a 29. Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004. Autoevaluación 1. ¿Qué es porcentaje? 2. ¿Cómo se expresa el porcentaje en forma decimal? 3. ¿En qué se diferencia el cálculo del precio como porcentaje del precio de costo y como porcentaje del precio de venta? 4. ¿Qué es la depreciación? 5. ¿Qué es una progresión aritmética descendente? 6. ¿Qué es una progresión geométrica ascendente? 7. ¿Cuál es la fórmula de la suma de una progresión aritmética?

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26 UNIDAD II INTERÉS SIMPLE PRESENTACIÓN

En esta Unidad se analizaran algunos conceptos o bases conceptuales de lo que significa el interés simple, con sus diferentes variables: capital, tasa de interés, tiempo, valor actual, monto y sus aplicaciones en el ámbito financiero y comercial. Es necesario que el alumno se familiarice con dichos conceptos y con las respectivas fórmulas para su cálculo, ya que en el medio financiero la aplicación del cálculo de interés simple es permanente en operaciones de crédito, ahorros, inversiones de corto plazo, préstamos, etcétera. Objetivo Conocer el cálculo del interés simple en sus modalidades y aplicaciones en el ámbito comercial y financiero.

CONTENIDO

II.1 Monto. II.2 Valor actual. II.3 Tasa y tipos de interés. II.4 Plazo. II.5 Descuento. Autoevaluación. Actividades de aplicación. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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27 Interés simple.

La suma de dinero prestada en una operación con interés, se denomina el capital inicial o principal. La cantidad recibida por el prestatario constituye el valor presente o valor actual del préstamo. En los préstamos a interés simple el capital inicial y el valor presente coinciden. El tiempo o duración del préstamo es el periodo durante el cual el préstamo utiliza todo o parte del dinero prestado. En los préstamos a interés simple el cálculo de intereses se efectúa únicamente sobre el capital inicial. El costo de un préstamo a interés simple se expresa en términos de una tasa de interés, que se define como aquella parte fija de capital que se paga por su uso. Las tasas de interés se expresan generalmente como un porcentaje especifico por unidad de tiempo. Así, el 1 % significa una parte entre cien. Si la tasa de interés es del 5 % anual, la cantidad recibida por concepto de intereses en un año, será de

5 1 = 0.05 del capital inicial. Una tasa de interés del % mensual, 100 2 5 = 0.005 del capital representa intereses cada mes del orden de 1000 inicial. El interés simple se define como el producto del capital inicial, la tasa de interés y el tiempo. Esta definición conduce a la siguiente fórmula del interés simple:

 I 

= Cit 

En donde el interés simple (I) está en función directa del capital (C), la tasa de interés ( i ) y el tiempo (t). Según esta premisa, el interés simple puede calcularse de manera simple y sencilla con la fórmula anterior.

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Ejemplo: Calcular el interés simple que gana un capital de $ 500.000 al 12 %, desde el 15 de marzo hasta el 15 de agosto del mismo año. Antes de resolver el problema del interés, hay que calcular el tiempo que transcurre entre las dos fechas. Se calcula tomando una de las dos fechas extremas: Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Marzo Abril Mayo  J unio  J ulio Agosto

16 30 31 30 31 15

15 30 30 30 30 15

 Total

153

150 días

El problema propuesto puede resolverse de cuatro formas: Con el tiempo aproximado y el año comercial:

 I  = (500.000)(0.12)

150 = $ 25.000 360

Con el tiempo exacto y el año comercial:

153 = $ 25.500  I  = (500.000 )(0.12 ) 360 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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29

Con el tiempo aproximado y el año calendario:

 I 

= (500 . 000 )(0 . 12 )

150 = $ 24 . 657 , 53 365

Con el tiempo exacto y el año calendario:

 I  = (500 .000 )(0.12 )

153 = $ 25.150,68 365

Como podemos apreciar, el interés más alto se da en el segundo caso, con el tiempo exacto y el año comercial, y equivale a 25.500; mientras que el más bajo está dado en el tercer caso, con el tiempo aproximado y el año calendario y es igual a 24.657,53. Para operaciones bancarias, el más utilizado es el segundo caso. II.1 Monto. El monto a interés simple es la suma del capital original más los intereses generados en el transcurso del tiempo. Se representa con la letra M. Fórmula del monto

 M  = C (1+ i t ) Ejemplo: Calcular el monto de un capital de $ 150.000 al 1.8% mensual durante 180 días. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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30

= C (1 + it ) 180  ⎞ ⎛   M  = 150 .000 ⎜ 1 + 0 . 018 ⎟ 30 ⎝   ⎠  M  = $ 166 .200  M 

Se calcula primero el interés:

 I  = (150.000)(0.018)

180 = $ 16.200 30

Sumando el capital, se obtiene el monto:  M  = 150.000 + 16.200 = $ 166.200

II.2 Valor Actual. Valor actual o presente de un documento o deuda es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento del documento, deuda o pago. Se representa por la letra C. Valor actual o presente de una suma, con vencimiento en una fecha futura, es aquel que, a una tasa dado y en un periodo de tiempo determinado hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un valor igual a la suma debida. Estas definiciones resumen el concepto de valor actual y establecen que el tiempo faltante para el vencimiento de un documento financiero o deuda es el que interesa y el que debe tomarse en cuenta para el cálculo.

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31 Fórmula del valor actual a interés simple

C  =

 M 

1 + i t 

El valor actual puede calcularse con tasa de interés anual, semestral, mensual, etc. y con el tiempo expresado en días, meses, años, etc. En el cálculo se determina siempre el tiempo que falta para el vencimiento del documento, deuda o pago por cuanto se considera el monto final. Ejemplo: De un documento de $ 100.000, con vencimiento en 180 días, se desea conocer su valor actual 60 días antes de su vencimiento, considerando una tasa de interés del 18% anual. C  =

100.000 = $ 97.087,38 60  ⎞ ⎛  1 + 0.18⎜ ⎟ ⎝ 360 ⎠

Comprobación:

⎡ ⎣

⎛  60  ⎞⎤ = $ 100.000 ⎟ ⎝ 360 ⎠⎥⎦

 M  = 97.087,38⎢1 + 0.18⎜

II.3 Tasa y tipos de interés. Tasa de interés

“Es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo”.

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32

Esta dada como un porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el año como unidad de tiempo. Se representa por la letra i Designamos por C  a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada cuyo valor aumenta a S en una fecha posterior: C se conoce como capital. S se conoce como monto o valor acumulado de C I = S C se conoce como interés.

Ejemplo: i=

 Interés Capital

=

15 = 15% = 0.15 100

Ejemplo: B obtiene de L un préstamo de $ 500 y al final de un año le paga $ 525 En este caso C = $ 500, S = $ 525: En este caso se tiene lo siguiente: i = S  − C  = $ 525 − $ 500 = $ 25

La tasa de interés devengada o cargada es la razón del interés devengado al capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es de un año. La tasa anual de interés, representada por i, está dada como porcentaje (por ejemplo: 6%) o como su equivalente en forma decimal (0.06). En los cálculos se utiliza la fracción decimal.

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33

Ejemplo: En el ejemplo antes mencionado i , i =

 I  P

carga intereses a la tasa de 5%.

=

25 = 0.05 ; es decir, que L 500

Tipos de interés.

Cuando el plazo de una transacción a interés simple está dado en día y la tasa de interés es anual, es necesario convertir los días en términos de fracción de año para aplicar las fórmulas de interés simple. Cuando el interés se calcula utilizando un divisor de 360, se le denomina interés ordinario . Cuando el divisor es de 3653 0 366, se le denomina interés exacto. Si se establece la tasa de interés, un documento de 360 da por resultado que el prestamista pague más interés que el que le correspondería en caso de usar 365 ó 366. En préstamos individuales la diferencia puede ser pequeña, pero es sustancial si se efectúan muchas operaciones de este tipo. Este beneficio extra hace que el “año de 360 días” sea muy popular entre los prestamistas. Ejemplo: Determinar el interés ordinario e interés exacto sobre un préstamo de $300 a 60 días, si la tasa es del 8%. Sustituyendo en la siguiente fórmula:  I  i = 0.08 se tiene lo siguiente:

= Cit 

en donde C = $ 300 y

Interés ordinario = 300 x 0.08 x 60 / 360 = $ 4.00 Interés exacto = 300 x 0.08 x 60 / 365 = $ 3.95 Observe que el interés ordinario es mayor que el interés exacto y más sencillo de calcular cuando no se dispone de calculadora. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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II.4 Plazo. El número de días en el año también puede variar: año comercial: 360 días; año calendario: 365 días; año bisiesto: 366 días. Con esta premisa, el cálculo de días para encontrar el interés ganado puede realizarse en forma aproximada o en forma exacta. En forma aproximada: con el objeto de facilitar los cálculos de tiempo, se acostumbra suponer el año de 360 días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno; esto se denomina cálculo aproximado del tiempo.

Ejemplo: Del 15 de marzo al 15 de junio hay 90 días. Marzo Abril Mayo  J unio  Total

15 días 30 días 30 días 15 días 90 días

En forma exacta: se toma como referencia el número de días calendario, es decir, meses de 30 y 31 días, año de 365 0 366 días, según corresponda. Como puede observarse, tomando el ejemplo anterior y considerando una de las dos fechas extremas, son 92 días.

Marzo Abril Mayo  J unio  Total

16 días 30 días 31 días 15 días 92 días

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II.5 Descuento. “Es la operación de adquirir, antes del vencimiento, los valores generalmente endosables”. “Operación por la que un banco entrega al tenedor de un efecto de comercio, antes de su vencimiento, el importe del mismo con ciertas deducciones“. Es la operación que consiste en adquirir letras, pagarés o documentos financieros por un importe efectivo menor al valor en la fecha de vencimiento. Es decir, es la diferencia entre el valor del documento antes de la fecha en que vence y su valor al vencimiento. Es la acción de recibir o pagar un dinero hoy a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, según las condiciones convenidas en el pagaré. Descuento Racional

Descuento racional o descuento simple, a una tasa de interés, es la diferencia entre monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente. Se representa con la sigla “Dr”. Se interpreta también como el interés simple del valor actual. Para calcular el descuento racional se debe conocer primero el valor actual y luego restarlo del monto, formulando: =  Monto − valor   Dr  =  M  − C   Dr 

C 

 Dr 

=

actual

 M 

1 + i t 

=  M  −

 M 

1 + i t 

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En el descuento racional, al igual que para el cálculo del valor actual, pueden darse dos tipos de problemas: cuando el documento no gana intereses desde la emisión, esto es, cuando el valor nominal coincide con el monto y cuando es necesario calcular el monto, pues el documento genera intereses desde la emisión. A continuación se presentan dos ejemplos que sirven para analizar estos casos. Ejemplo: Calcular el descuento racional de un documento de $ 250.000 suscrito el 30 de junio a 180 días de plazo, si se descontó el 30 de noviembre del mismo año con una tasa de interés del 24 % anual. En este ejemplo el valor nominal es igual al monto, puesto que no gana intereses. M = $ 250.000 Fecha de vencimiento: 27 de diciembre. Fecha de descuento: 30 de noviembre. Días que faltan para el vencimiento: del 30 de noviembre al 27 de diciembre = 27 días. C  =

250.000 = $ 245.579,57 27 1 + 0.24 360

Solución gráfica del problema:

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Dr. = 250.00 – 245.579,57 = $ 4.420,43 Ejemplo: Calcule el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de $ 100.000 a 180 días de plazo, suscripta el 31 de marzo del 2003 al 18% anual desde su suscripción, si se descuenta el 29 de julio del mismo año al 21% anual.

⎡ ⎣

 M  = 100.000⎢1 + (0.18)

180 ⎤ = $ 109.000 360 ⎥⎦

Fecha de vencimiento: 27 de septiembre. Fecha de descuento: 29 de julio. Días que faltan para el vencimiento de la letra de cambio: 60 días. C  =

109.000 = $ 105.341,01 (Valor  actual con descuento racional) 60 1 + (0.21) 360

Aplicando la fórmula que corresponde se tiene lo siguiente:

Dr = 109.000 – 105.314,01 = $ 3.685,99 (descuento racional) La solución del problema se puede expresar gráficamente:

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Esto puede comprobarse calculando el interés simple del valor actual:

 I  = (105.314,01)(0.21)

60 = $ 3.685,99 = Dr  360

Descuento bancario, comercial o bursátil.

Se utiliza en las operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por adelantado. Su Cálculo se realiza sobre el monto o valor al vencimiento. Se emplea una tasa de descuento para diferenciarla de la tasa de interés que se aplica al cálculo del valor actual. Se expresa como Db . Se denomina tasa de descuento al interés porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su vencimiento. Se expresa como un porcentaje. Al descontar una letra se recibe una suma inferior al valor nominal, si ésta no genera intereses desde la fecha se suscripción. Si se establece lo contrario, es decir, si gana intereses desde la fecha de suscripción, se debe proceder a calcular los montos al vencimiento del descuento. Para descontar una letra en un banco, ésta debe contener una promesa de pago en una fecha posterior a la cual se va a descontar el documento. Fórmula del descuento bancario o bursátil.

Este tipo de descuento es común en las operaciones, transacciones y préstamos bancarios y bursátiles (aquellas que se realizan en las bolsas de valores).

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Como es un interés sobre el valor del documento o deuda a la fecha de vencimiento o monto, se expresa en forma similar a la fórmula de interés simple. Db =

Mdt

En dónde: Db = Descuento bancario o descuento bursátil. M = Valor del descuento a la fecha del vencimiento. d = Tasa de descuento. t =Tiempo en días, comprendido entre la fecha de descuento y la fecha del vencimiento.

Ejemplo: Calcular el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagaré de $ 80.000 en el día de hoy, a 120 días plazo, considerando una tasa de descuento del 12 % anual. Monto: $ 80.000 Para calcular el descuento bancario se aplica la fórmula:  Db =  Mdt 

⎛  ⎝   Db = $3.200

 Db = 80.000⎜ 0.12

120 ⎞ ⎟ = 3.200 360 ⎠

 El descuento que aplica el banco es de $3.200

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Ejemplo: Calcular el descuento bancario de un documento de $ 35.000, suscrito el 15 de marzo a 180 días de plazo, si se descuenta el 15 de junio del mismo año a una tasa del 18% anual. Primero se representa el problema gráficamente:

Cálculo del tiempo: el número de días entre la fecha de descuento, 15 de junio y la fecha de vencimiento 11 de septiembre. Plazo Marzo  Ab ri l Mayo Junio Julio  Ag osto Septiembre

16 30 31 30 31 31 11

Total

180 días

Tiempo de descuento Junio 15 Julio 31  Ag osto 31 Septiembre 11 Total

88 días

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Aplicando la fórmula, se tiene:  Db = 35.000(0.18)

88 = $ 1.540 360

LECTURAS.

Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez”. Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. 1987 México. p.p. 46, 43, 50, 52 y 55. Ayres J r., Frank. “Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 2003. p. 40. Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. México. 2006. p.p.31 a 34 y 81. Cissel. Cissel. Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005. p.p. 32 a 38 y 4, 75. Autoevaluación 1. ¿Cuál es la fórmula para calcular el interés simple? 2. ¿Cuál es la diferencia entre tasa de interés e interés? 3. ¿Cuál es la diferencia entre tiempo exacto y tiempo aproximado?

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4. Dibuja una gráfica de tiempos y valores. 5. ¿Cuál es la fórmula para calcular el monto a interés simple?

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43 UNIDAD III INTERÉS COMPUESTO PRESENTACIÓN

El conocimiento y manejo del interés compuesto es necesario en las operaciones financieras a largo plazo, en operaciones de inversiones de capital, en los cálculos del monto, del interés y del tiempo. Este tipo de interés se va capitalizando de acuerdo con el tiempo, medido en periodos de capitalización o de conversión. Igualmente, el concepto y aplicación del valor actual es básico en el interés compuesto para manejar en documentos e inversiones financieras en el largo plazo. Al finalizar esta unidad, el alumno tendrá como:

Objetivo Conocer el concepto de interés compuesto y sus aplicaciones en la liquidación de documentos financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier plazo.

CONTENIDO

III.1 Conceptos generales. III.2 Monto compuesto. III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. III.4 Valor actual. III.5 Valor futuro. III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Autoevaluación. Actividades de Aplicación. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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III.1 Conceptos generales. “Es el interés de un capital al que se van acumulando los réditos para que produzcan otros”. “Cuando se calcula interés compuesto, el capital aumenta por la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los períodos a que se refiere la tasa. Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un período, sino que se adicione al capital, se dice que los intereses se capitalizan”. El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en una unidad de tiempo, se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como períodos de capitalización se hayan establecido. III.2 Monto compuesto. “El monto de un capital a interés compuesto o monto compuesto, es el valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses”. “A diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto”. Para cualquier periodo de capitalización y tasa de interés por periodo, se obtiene la fórmula del monto en interés compuesto: Fórmula del monto en interés compuesto

 M 

= C (1 + i )n

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Entonces: Fórmula de interés compuesto

 I 

=  M 

− C 

El factor (1 + i ) puede hallarse mediante calculadoras electrónicas, variando i y n o buscarse en tablas matemáticas en función de las referidas variables. n

La fórmula del monto también puede expresarse tomando en cuenta los periodos de capitalización menor de un año: semestral, trimestral, bimestral, mensual, diaria o continua. Fórmula del monto en interés compu esto en función d e m y t

 M 

 j  ⎞ = C  ⎛  1 + ⎜ ⎟ m  ⎠ ⎝ 

m

∗ t 

M = Monto. C =Capital inicial.  j = tasa de interés nominal capitalizable varias veces. m = número de capitalizaciones en el año. t = número de años.

Si la capitalización es anual (tasa efectiva), la fórmula del monto en un año es:  M 

= C  (1 + i )n

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Si la capitalización es semestral:

j  ⎞ ⎛   M  = C  ⎜ 1 + ⎟ ⎝  2  ⎠

2

Si la capitalización es trimestral:

⎛  ⎝ 

 M  = C  ⎜1 +

j ⎞

4

⎟ 4 ⎠

Si la capitalización es bimestral:

j  ⎞ ⎛   M  = C  ⎜ 1 + ⎟ ⎝  6  ⎠

6

Si la capitalización es mensual:

 M 

j  ⎞ ⎛  = C  ⎜ 1 + ⎟ ⎝  12  ⎠

12

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Si la capitalización es quincenal:

 M 

 ⎞ = C  ⎛  ⎜1 + ⎟ 24  ⎠ ⎝  j

12

Si la capitalización es diaria:

⎛  ⎝ 

 M  = C  ⎜1 +

 ⎞ ⎟ 360 ⎠  j

360

⎛  ⎝ 

o,  M  = C  ⎜1 +

 ⎞ ⎟ 365 ⎠ j

365

Si la capitalización es continua o instantánea, el valor del capital se capitaliza continuamente:  j

= tasa nominal

C

= capital inicial

M

= Monto

t

= número de años

e=

lim  x → ∞

1 (1 + ) x = 2.718281  x

Ejemplo: Calcular el monto de un capital de $ 200.000 a interés compuesto durante 5 años, si la tasa de interés es del 12% anual capitalizable en la siguiente forma: CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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 Tasa del 12% efectiva: 5

 M  = 200.000(1 + 0.12)

= $ 352.468,34

 Tasa del 12% anual capitalizable semestralmente: 10

⎛  0.12 ⎞ = $ 358.169,54  M  = 200.000⎜1 + ⎟ 2  ⎠ ⎝   Tasa del 12% anual capitalizable trimestralmente: 20

⎛  0.12 ⎞ = $ 361.222,25  M  = 200.000⎜1 + ⎟ 4  ⎠ ⎝   Tasa del 12% anual capitalizable bimestralmente: 30

⎛  0.12 ⎞ = $ 362.272,32  M  = 200.000⎜1 + ⎟ 6  ⎠ ⎝   Tasa del 12% anual capitalizable mensualmente: 60

⎛  0.12 ⎞ = $ 363.339,34  M  = 200.000⎜1 + ⎟ ⎝  12  ⎠  Tasa del 12% anual capitalizable diariamente: 1800

⎛  0.12 ⎞  M  = 200.000⎜1+ ⎟ ⎝  360 ⎠

= $ 364.387,33

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 Tasa del 12% anual capitalización continua: (0.12 ) (5 )

 M  = 200.000(2.718281)

= $ 364.423,76

Como puede notarse, cuando el periodo de capitalización aumenta, se incrementan el monto y el interés compuesto. Ejemplo: Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6 años de plazo, con una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente: Calcular el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento y el interés.  j . t   M  = C  (e ) e = 2 . 718281 Se calculan i  y n :

12  ⎞  períodos = 6 ⎛  ⎜ ⎟ = 12 ⎝  6  ⎠ ⎛  0 . 15  ⎞ = 0 . 075 = 7 , 5 % i = ⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠ C  = 3 . 000 . 000 n

semestral

= 3 . 000 . 000 (1 + 0 . 075 )12 = 3 . 000 . 000 (1 . 075 )12 ) = $ 7 . 145 . 338 , 80  M  = 3 . 000 . 000 (2 . 381780  M 

 Interés

compuesto

que

debe

=  M  − C   I  = 7 . 145 . 338 , 80 − 3 . 000 . 000 = $

 pagar 

:

 I 

4 . 145 . 388 , 80

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50 Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios.

Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de capitalización, se presenta el caso de los períodos de capitalización fraccionarios. Ejemplo: El tiempo de pago de una deuda es 4 años y 9 meses y la tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente. Se tiene que:

n=

4(12) + 9 57 = = 9.5 semestres 6 6

Es decir, 9 semestres y una fracción de semestre. Para el cálculo del monto compuesto con periodos de capitalización fraccionario pueden aplicarse dos métodos. a) El matemático que toma el valor exacto de n en la fórmula del monto compuesto. b) El comercial. Ejemplo: Calcular el monto de una deuda de $ 4.000.000 a interés compuesto durante 6 años y 3 meses de plazo, con una tasa de interés del 14% anual capitalizable semestralmente.

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a). Cálculo matemático.

6(12) + 3 75 = = 12,5 semestrales 6 6 0.14 i= = 0.07 2 12.5  M  = 4.000.000(1 + 0.07) = 4.000.000(2.329685)  M  = $ 9.318.740,34 n=

b). El cálculo comercial que aplica la parte entera de n en la fórmula del monto compuesto (interés compuesto) y la parte fraccionaria en la fórmula del monto de interés simple. En otras palabras, el método comercial aplica interés compuesto a la parte entera e interés simple a la parte fraccionaria. En el ejemplo anterior, con el método comercial se tiene: ∗

3 ⎞ 12 ⎛   M  = 4.000.000(1.07 ) ⎜1 + 0.07 ⎟ 6 ⎠ ⎝   M  = 4.000.000(2,25219159 )(1.035) = $ 9.324.073,18 Como puede apreciarse, el método comercial da un resultado mayor que el método matemático. * En este procedimiento es necesario destacar que en la parte del cálculo con interés simple debe relacionarse la tasa de interés por período con los meses o días que tiene el correspondiente período. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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III.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente. Tasas equivalentes Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un año y se denomina ( j ) . Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital una vez en el año y se denomina (i) .

“Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión (capitalización) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año”. “Las tasas nominal y efectiva son equivalentes cuando producen la misma cantidad de dinero al final del año”. Ejemplo: Un capital de $1, al 18% anual capitalizable mensualmente, será: 12

⎛  0.18 ⎞ = 1(1.05)12 = 1(1,1956182) = $ 1,1956182  M  = 1⎜1 + ⎟ ⎝  12  ⎠ A una tasa de interés efectiva del $ 19,56182 %:  M  = 1(1 + 0,1956182) = 1(1,1956182) = $ 1,1956182

En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal de 18% anual capitalizable mensualmente, es equivalente a la tasa efectiva del $19,56182 %, puesto que las dos producen el mismo resultado.

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53 Fórmula de equivalencia tasa nomi nal / tasa efectiva

 j  ⎞ (1 + i ) = ⎛  ⎜1 + ⎟ ⎝  m  ⎠

m

Ejemplo: ¿A qué tasa efectiva equivale un tasa nominal del 18% anual capitalizable trimestralmente?

 j  ⎞ (1 + i ) = ⎛  ⎜1 + ⎟ ⎝  m  ⎠

m

En este caso: i

=?

 j

= 18 %

m

= 4

4

(1 + i ) = ⎛ ⎜ 1 + 0 . 18  ⎞⎟ 4  ⎠ ⎝  (1 + i ) = (1 + 0 . 045 )4 (1 + i ) = (1 . 045 )4 (1 + i ) = 1,1925186

= 1,1925186 − 1 = 0 ,1925186 i = 19 , 25186 % i

 También se puede plantear el problema inverso: ¿A qué tasa nominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19,25186 %?

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Para la solución de este problema utilizamos la ecuación de equivalencias:

 j  ⎞ (1 + i ) = ⎛  + 1 ⎜ ⎟ ⎝  m  ⎠

m

 Y reemplazamos

(1 + 0 ,1925186 (1 ,1925186

) = ⎛ ⎜ 1 +  j  ⎞⎟ 4  ⎠ ⎝ 

) = ⎛ ⎜ 1 +  j  ⎞⎟ 4  ⎠ ⎝ 

4

4

Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos métodos: exponentes o radicales y logaritmos. Por exponentes o radicales.

Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera. (1 ,192518

)

1 . 045

= 1 +

1 . 045

− 1 =

0 . 045

=

4 (0 . 045  j = 0 . 18

1

4

 j  ⎞ = ⎛  ⎜1 + ⎟ 4  ⎠ ⎝ 

4 4

 j

4  j

4

 j

4 ) =  j  j

= 18

%

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Por logaritmos:  j ⎞ log(1,192518) = log⎛  ⎜1 + ⎟ ⎝  4 ⎠  j ⎞ 0.076465 = 4 log⎛  ⎜1 + ⎟ ⎝  4 ⎠ 0.076465  j ⎞ = log⎛  ⎜1 + ⎟ 4 ⎝  4 ⎠ anti log(0.019116) = 1 +

1.045 = 1 +

 j

1.045 − 1 =

 j

0.045 =

4

 j

4

4 4

 j

4 0.045(4) =  j  j = 0.18

 j

= 18 %

III.4 Valor actual. El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés. Por ejemplo: las siguientes preguntas y otras similares, se pueden responder mediante el cálculo del valor actual: ¿Cuánto vale hoy una deuda de $ 1.000.000 que vencerá en 5 años? y ¿En cuánto se puede vender un documento de $ 5.000 que vence en 4 años? CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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“La expresión valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha determinada antes del vencimiento”. “El valor actual. Valor en el momento presente de los beneficios o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de sustitución del capital”. Para efecto se considera la fórmula siguiente: Fórmula del valor actual a interés compuesto

−n ( ) C  =  M  1 + i Fórmula del valor actual a interés compuesto en fu nción de m y t

C 

 ⎞ =  M  ⎛  ⎜1 + ⎟  M   ⎠ ⎝   j

− m . t 

Para capitalizaciones continúas:

C 

=  M  e −  j .t 

e = 2.718281

Gráficamente se puede ubicar el valor actual:

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El valor actual puede calcularse en cualquier fecha comprendida entre la fecha de suscripción y la fecha de vencimiento, según las condiciones en que se establezca el cálculo. Pueden haber dos casos generales: cuando el documento no gana interés y el valor nominal coincide con el monto o, cuando el documento gana interés y se requiere calcular el monto. Ejemplo: Calcular el valor actual de un pagaré cuyo valor al vencimiento, al final de 4 años, es de $ 3.500.000, considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente (este es un ejemplo típico del primer caso).  M 

= $ 3 . 500 . 000

 j  ⎞ ⎛  C  =  M  ⎜ 1 + ⎟ m  ⎠ ⎝ 

;

 j

= 0 . 12

;

m

= 2

− m . t 

− 2 (4 )

C 

=

= C  = C  = C 

0 . 12  ⎞ 3 . 500 . 000 ⎛  ⎜1 + ⎟ 2  ⎠ ⎝  3 . 500 . 000 (1 . 06 )− 8 3 . 500 . 000 (0 . 627412 ) $ 2 . 195 . 943 , 30

Entonces el valor actual es de $ 2.195.943,30

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III.5 Valor futuro. Una de las tareas más importantes del economista es la predicción del comportamiento futuro de la economía. Los hombres de negocios utilizan estos pronósticos para la toma de decisiones referentes a inversión, producción y mercadeo con la esperanza de obtener buenos resultados para sus compañías. Basándose en las predicciones del gobierno, los administradores adecuan sus políticas para promover el crecimiento económico, el empleo y la estabilidad de los precios. En el Informe Económico del Presidente de 1967 , el Concejo de Economistas Estadounidense indicaba: “Todos los encargados de la política nacional para el crecimiento económico… se han percatado de la importancia del interés compuesto. Si la economía estadounidense continúa creciendo a razón del 4% anual, la producción se duplicará en 18 años se triplicará en 28 años y se cuadruplicará en 35 años. Si este potencial se reparte sabia y eficazmente mediante prácticas competitivas están asegurados grandes avances en el sistema económico de todos los estadounidenses” .

La tendencia estadounidense de aplaudir el crecimiento material ha dado como resultado no prestar más que una mínima atención a la calidad de vida de los habitantes, menos fácil de medir. La preocupación por los problemas sanitarios, nutrición, contaminación, etc., indica un cambio en la ordenación de las prioridades, insistiendo tanto en la cantidad como en la calidad de los mismos. Cuando el economista se interesa por el aspecto monetario de los cambios que está estudiando, expresa los datos correspondientes en la unidad monetaria en uso. Otra vez su interés se centra en las modificaciones del producto real o actual, en cuyo caso debe presentar los datos de forma que se eliminen los efectos de las alteraciones de los precios y del valor del dinero. Una medida del volumen del producto se puede obtener mediante datos expresados en términos de los precios de un año base o en relación a un poder de compra constante de ese año base. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Un ejemplo de las clases de las series de tiempo con las que se acostumbran trabajar los economistas es la referida al Producto Nacional Bruto. El PNB (En in gles, GNP Gross National Prod uct) es el indicador más importante de la economía. Es el valor total en los precios de mercado corriente de todas las mercancías terminadas y los servicios producidos por la economía nacional en un año o expresado a una tasa anual. Algunos economistas piensan que las políticas fiscales gubernamentales –como los impuestos y los programas de gasto público– son la causa fundamental del progreso económico. Otros se inclinan por dar la máxima importancia a la política monetaria. Una política monetaria seguida por algunos economistas es el mantenimiento de un crecimiento uniforme de la oferta monetaria. El control de la cantidad de dinero es responsabilidad de las autoridades monetarias. Las existencias de dinero deban ser incrementadas hasta adecuarse a las que un incremento muy rápido de tales existencias puede provocar inflación. III.6 Ecuaciones de valor equivalente. Al igual que en interés simple, en interés compuesto también se utilizan las ecuaciones de valor cuando se requiere reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto de diferentes valores o capitales disponibles en diferentes tiempos, tomando en consideración una fecha común, llamada también fecha focal . Relacionando los valores y fechas con la fecha focal, se obtiene la ecuación de valor, que permite igualar el conjunto de obligaciones iniciales con el conjunto de nuevas obligaciones. La siguiente gráfica nos ayuda a explicar el procedimiento:

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Sea,  M 1 , M 2  y M 3 las obligaciones que vencen en los períodos: dos, cuatro y siete, respectivamente, y se quiere reemplazarlas por un solo valor al final del quinto período, con una tasa de interés (i ) y una capitalización por período. Sea x el valor que reemplaza las tres obligaciones y al final del quinto período la fecha focal. Al relacionar ésta con las obligaciones, se puede plantear la ecuación de valor, de la siguiente manera:

S 

=  M  1 (1 + i )3 +  M  2 (1 + i )1 +  M  3 (1 + i )− 2

El primer valor M1 acumulará interés durante 3 períodos; el segundo valor M2 acumulará interés durante 1 período y el tercer valor M3 deberá calcularse como valor actual por dos períodos. Ejemplo: Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $ 900.000 a 12 meses de plazo; $ 1.300.000 a 18 meses de plazo y $ 1.800.000 a 24 meses de plazo. Desea reemplazarlas por un solo pago el día de hoy, ¿cuál será el valor de ese pago, considerando una tasa de interés del 15% capitalizable semestralmente?

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Para resolver el problema se toma como fecha focal el día de hoy, por ser la fecha en que parará las deudas y se asigna la letra x al valor de reemplazo. Todos los valores que hay que calcular serán valores actuales. −2

−3

⎛  0.15 ⎞ + 1.300.000⎛ 1 + 0.15 ⎞ + 1.800.000⎛ 1 + 0.15 ⎞  x = 900.000⎜1 + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2  ⎠ 2  ⎠ 2  ⎠ ⎝  ⎝  ⎝  −2 −3 −4  x = 900.000(1.075) + 1.300.000(1.075) + 1.800.000(1.075)  x = 900.000(0,865333) + 1.300.000(0.804961) + 1.800.000(0.748801)  x = 778.799,70 + 1.046.449,30 + 1.347.841,80  x = $ 3.173.090,80

−4

Si en el mismo problema la empresa consigue que sus acreedores le acepten consolidar sus tres deudas para cancelarlas al final de 24 meses, ¿cuál será el valor de este pago?

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Se toman 24 meses como fecha focal por ser la fecha de pago; los dos primeros valores serán montos por cuanto ganarán intereses por 2 y 1 períodos y el último no se altera: x

= 900.000(1 + 0.075)2 + 1.3000.000(1 + 0.075)1 + 1.8000.000

x

=900.000(1,155625) +1.3000.000(1.075) +1.8000.000

x

= 1.040.0625,50 + 1.397.500 + 1.800.000

x

= $4.237.652,50

Como puede observarse, el resultado es mayor que el del primer problema, puesto que se realiza el pago al final, en consecuencia, tiene que pagar más intereses. LECTURAS.

Hernández Hernández, Abraham. “Matemáticas Financieras”. Editorial ECAFSA. México. 1996. p. 133. Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez.”Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 1987. p.p. 65, 73 a 74, 78, 80 y 84. Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. México. 2006. p.p.111, 116, 122, 138 y 147. Cissel, Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005. p.p. 107, 119, 129, 150 y 161.

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Autoevaluación 1. ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto? 2. ¿Cuál es la fórmula del monto en interés compuesto? 3. ¿Cómo se calcula el interés compuesto? 4. ¿En qué se diferencia una tasa de interés efectiva de una tasa de interés nominal capitalizable varias veces en el año? 5. ¿Qué es más conveniente para un inversionista: una tasa de interés del 45% efectiva o una tasa del 39% anual capitalizable mensualmente? 6. ¿Cómo se calcula el precio de un documento con un interés compuesto?

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64 UNIDAD IV  ANUALIDADES PRESENTACIÓN

Las anualidades o rentas son utilizadas con mucha frecuencia en operaciones financieras de endeudamiento y de formación de capitales, mediante cuotas periódicas o series de pagos o depósitos, es decir, sirven para formar capitales o para reducir deudas mediante cuotas periódicas. Son muy útiles para la elaboración de tablas de amortización gradual, tablas de valor futuro, para el cálculo de cuotas periódicas, ya sea para cancelar una deuda o formar un capital. La anualidades o rentas se emplean en los cálculos de pólizas de seguros, cuotas de pago, cuotas de depósito, cálculo actuarial, compras a plazo, préstamos a largo plazo, préstamos hipotecarios y otros, por lo tanto, analizarlas en el área financiera. Para estudiarlas y manejarlas adecuadamente, es imprescindible dominar el interés simple y el interés compuesto. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendrá como:

Objetivo Conocer y manejar los mecanismos de cálculo que faciliten la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas.

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65 CONTENIDO

IV.1 introducción y terminología. IV.2 Anualidades ordinarias. IV.3 Anualidades anticipadas. IV.4 Anualidades diferidas. IV.5 Anualidades caso general. Autoevaluación. Actividades de Aplicación. IV.1 Introducción y terminología. “Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales“. Puede consistir en el pago o depósito de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por período. Renta: el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta, o simplemente anualidad.

Es la renta o anualidad que aparece asociada con los pagos o depósitos periódicos de sumas de dinero, como los dividendos de acciones, cupones de bonos, cuotas, pensiones, cuotas de amortización, cuotas de depreciación, etcétera. Las anualidades o rentas constituyen una sucesión o serie, de depósitos o de pagos periódicos, generalmente iguales, con sus respectivos intereses por período, y se las puede expresar gráficamente, como se observa en el ejemplo siguiente donde aparecen 6 períodos y sus correspondientes 6 pagos o depósitos (R):

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66 Clasificación de las anualidades o rentas.

Antes de esbozar una clasificación de las rentas, es necesario definir algunos conceptos: Período de pago o período de la anualidad : tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos; puede ser diario, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral, anual, etcétera. Tiempo o pl azo de un a anualidad: intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pagos y el final del último. Tasa de un a anualidad: tipo de interés que se fija para el pago de las rentas o anualidades; puede ser nominal o efectiva. Renta: valor del pago o depósito periódico. Renta anual: suma de los pagos o depósitos efectuados en un año. Rentas perpetuas: indefinidamente.

serie de pagos que han de efectuarse

Justin H. Moore y Lincoyán Portus Govinden coinciden en clasificar las anualidades o rentas de la siguiente forma: 

 An ual id ades even tuales o c on ti ng ent es: aquellas en la que el comienzo y el fin de la serie de pagos son imprevistos y dependen de algún acontecimiento externo. Ejemplo: los seguros de vida, de accidentes, incendios, robo, etcétera.



 An ual id ades ci ertas: aquellas en las que su fecha inicial y terminal se conocen por estar establecidas en forma concreta. Ejemplo: las cuotas de préstamos hipotecarios o quirografarios, pago de intereses de bonos, etcétera.

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IV.2 Anualidades ordinarias. Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se realiza al final de cada período. Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo. R

0

1

R

2

R

3

R

4

R

5

R

6

IV.2 Anualidades anticipadas. Son aquellas en las que el depósito, el pago y la liquidación de los intereses se hacen al principio de cada período. Ejemplo: pago de cuotas por adelantado. R

0

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

6

IV.4 Anualidades diferidas. Son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido determinado intervalo de tiempo establecido. Ejemplo: préstamos con períodos de gracia. R

Período de gracia

0

1

2

3

R

4

R

5

R

6

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IV.5 Anualidades caso general. Son aquellas cuyos períodos de pago o de depósito y de capitalización no coinciden. Por ejemplo, cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y la capitalización de los intereses es semestral. Las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o anticipadas; y éstas a su vez pueden ser diferidas, perpetuas y perpetuas diferidas. Cuadro resumen de la clasific ación de las anualidades  An ual id ades ciert as

Vencidas Diferidas perpetuas Perpetuas diferidas

Anticipadas Diferidas perpetuas Perpetuas diferidas

An ual id ades even tuales

Vencidas Diferidas perpetuas Perpetuas diferidas

Anticipadas Diferidas perpetuas Perpetuas diferidas

 An ual id ades venci das

Del conjunto de anualidades que se acaban de detallar, se explicarán las más comunes, que son las anualidades ciertas vencidas simples, es decir, aquellas que vencen al final de cada período y cuyo período de pago coinciden con el de capitalización. “El valor de una anualidad calculada a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual a presente”. “El monto de una anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos depósitos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. El valor actual A de una anualidad es la suma de los valores actuales de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo”.

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Estas dos definiciones bastante completas, radica la base de la expresión práctica del monto y del valor presente o valor actual de una anualidad, así como la deducción de las respectivas fórmulas. Para la deducción de la fórmula del monto de una anualidad, se toma como fecha focal el término de la anualidad .Para la deducción de la fórmula del valor actual de una anualidad, se toma como fecha focal el tiempo cero o inicio de la anualidad. Monto de una anualidad

Sea una anualidad o renta de $ 10.000 al final de cada 6 meses durante 3 años, al 12% anual capitalizable semestralmente (anualidad vencida).

Fórmula del monto de una anualidad

⎡ (1 + i )n − 1 ⎤ S  = ⎢  R ⎥ i ⎣ ⎦ Para calcular el monto (S) de la anualidad, se toma como fecha focal el final del año 3.  Entonces : n = 6

;

i=

0.12 = 0.06 2

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Cada renta ganará intereses durante los períodos que falten hasta el término de la anualidad, o hasta el último depósito renta. Por lo tanto, se pueden sumar: 5

S  = 10.000(1 + 0.06)

+ 10.000(1.06)4 + 10.000(1.06)3

+ 10.000(1.06)2 + 10.000(1.06) + 10.000 Se puede sacar el factor común: 10.000 S 

= 10 . 000 [1 + (1 . 06 ) + (1 . 06 )2 + (1 . 06 )3 + (1 . 06 ) 4 + (1 . 06 ) 5 ]

Resulta una progresión geométrica cuya razón es (1.06) S 

=

a

= 1

n

ar  r 

;

− − 1

a r 

= 1 . 06

;

n

= 6

Entonces:

⎡ (1 .06 )6 − 1 ⎤ S  = 10 .000 ⎢ ⎥ = 10 .000 (6 .975318 ) 1 . 06 1 − ⎣ ⎦ S  = $ 69 . 753 ,183

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Generalizando:

R = $ 10.000; i = 0.06; S = monto; n = 6 Valor actual de una anualidad

El valor actual de la misma anualidad puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada renta se calculará con el valor actual que le corresponde, relacionada con el inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de interés. Para la demostración, se utilizará un ejemplo similar al anterior, pero en este caso se trata de una serie de pagos semestrales de $ 10.000 durante 3 años con una tasa de interés del 12% anual, capitalizable semestralmente.

Fórmula del valor actual de una anualidad ordin aria simple  A

=  R −1

 A = 10.000(1+ 0.06)

⎡ 1 − (1 + i )− ⎢ i ⎣

n

⎤ ⎥ ⎦

+10.000(1.06)−2 +10.000(1.06)−3

+10.000(1.06)−4 +10.000(1.06)−5 +10.000(1.06)−6 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Encontrar el factor común:  A = 10.000[

(1.06) −1 + (1.06)−2 + (1.06) −3 + (1.06) −4 + (1.06) −5 + (1.06) −6 ]

Resulta una progresión geométrica cuya razón (1 . 06

S 

=

a

− ar  1 − r 

)− 1

〈

1

n

Entonces:

⎡ (1.06 )−1 − (1.06 )−1 [(1.06 )−1 ]6 ⎤  A = 10 .000 ⎢ ⎥ −1 1 − [(1.06 ) ] ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ 1 − 1 (1.06 − 6 )⎤ ⎢ 1.06 1.06 ⎥  A = 10 .000 ⎢ ⎥ 1.06 − 1 ⎢ ⎥ 1.06 ⎣ ⎦ ⎡ 1 − 0 .6 − 6 ⎤  A = 10 .000 ⎢ ⎥ ⎣ 0.06 ⎦  A = 10 .000 (4.917324 ) = $ 49 .173,24

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Los símbolos utilizados en las fórmulas de monto y de valor actual de las anualidades son: R = el pago periódico o renta. I = tasa de interés por período de capitalización.  j = tasa nominal anual. n = número de períodos de pago. S = monto de una anualidad o suma de todas sus rentas.  A = valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las rentas.

 Tanto la S como  A pueden calcularse directamente mediante calculadoras electrónicas, por logaritmos o utilizando las tablas de valores por tasa de interés (i) y por período de pago (n). LECTURAS.

Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez.”Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 1987. p.p. 80, 125 a 126, 155, 171, 180 y 187. Ayres J r. Frank. “Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 2003. p. 80. Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. México. 2006. p.p. 165, 167 a 168 y 178. Cissel. Cissel. Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005. p.p. 177 a 178, 224, 235 y 261. Autoevaluación 1. ¿En qué consiste una anualidad o renta? CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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2. ¿Cómo se clasifican las anualidades? 3. ¿Qué es una anualidad cierta, ordinaria y simple? 4. ¿Cuál es la fórmula del monto de una anualidad ordinaria? 5. ¿Cuál es la fórmula del valor actual de una anualidad ordinaria? 6. ¿Cuál es la fórmula del monto de una anualidad anticipada?

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75 UNIDAD V  AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN PRESENTACIÓN

La amortización y los fondos de valor futuro, o fondos de amortización, son aplicaciones de las anualidades o rentas estudiadas en la Unidad anterior. En el caso de las amortizaciones se utiliza para programas de endeudamiento a largo plazo y de los fondos de amortización, para construir fondos de valor futuro. Actualmente, el sistema de amortización gradual tiene una utilización bastante acentuada en todo el sistema financiero, compuesto por bancos, cooperativas, mutualistas, financieras, etc., en lo que respecta al crédito a mediano y largo plazo, ya sea para la compra de bienes inmuebles –como terrenos, casas o departamentos- o para la adquisición de automotores, maquinaria o crédito comercial. Asimismo, para la construcción de fondos de valor futuro o fondos de depreciación, con el propósito de reponer activos fijos o para formar capitales o seguros cuyo propósito sea otorgar pensiones. Al finalizar esta Unidad, el alumno tendrá como:

Objetivo Manejar el proceso de amortización gradual, así como el proceso de formación de fondos de valor futuro.

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76 CONTENIDO

V.1 Conceptos generales. V.2 Tablas de amortización. V.3 Importe de los pagos. V.4 Número de pagos. V.5 Tasa de interés. V.6 Depósitos a un fondo de amortización. V.7 Número de depósitos. V.8 Tasa de interés. Autoevaluación. Actividades de Aplicación.

V.1 Conceptos generales.  Am or tización

Es muy frecuente la utilización del término amortizar como el proceso de extinción de una deuda, con su interés compuesto, mediante una renta o pago durante un determinado número de períodos. En esta Guía de Autoestudio se empleará este término en ese sentido. “Amortizar es el proceso de cancelar un deuda y sus intereses por medio de pagos periódicos“. “Amortizar: se dice que un documento que causa intereses está amortizado cuando todas las obligaciones contraídas (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales) hechos en intervalos de tiempo iguales”.

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77 Cálculo de la cuota o renta

En al amortización cada renta o pago sirve para cubrir los intereses y reducir el capital, es decir, cada pago está compuesto por capital e intereses. La composición del pago o renta, aunque es constante en su cantidad, varía en función del número de periodos de pago: mientras aumenta el número, disminuirá el interés y se incrementará el capital por cuota .En el siguiente gráfico puede observarse el comportamiento de la amortización.

En general, cuando el número de cuotas es grande, en las primeras cuotas se paga más interés y en las últimas más capital. Para el cálculo de la cuota o renta se utiliza la fórmula de la renta en función del valor actual de una anualidad vencida.  R

=

 A

1 − (1 + i ) − n i

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Ejemplo: Una empresa consigue un préstamo de $ 3.000.000 con una tasa de interés del 14% anual capitalizable semestralmente, el cual será amortizado mediante pagos iguales, cada semestre, durante 3 años y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral.

 R

=

 A

1 − (1 + i ) − n i

 A =

$ 3.000.000 ;  R = ? ; n =

[(3)(12) + 6] =7 6

m=

360 =2 180

0.14 = 0.07 2 3.000.000 3.000.000 = = $ 556.659,66  R = 1 − (1.07 )−7 5,389289 0.07 i=

El valor del pago o cuota semestral será de $ 556.659,66. En esa cuota están incluidos el interés y el capital, este último se utiliza para reducir la deuda. Con el transcurso del tiempo y a medida que se van pagando cuotas, disminuye el interés y aumenta el capital por cada cuota, como se muestra en el gráfico anterior del comportamiento de una amortización.

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V.2 Tablas de amortización. Capital ins oluto y tabla de amortización.

“La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o capital insoluto en la fecha…”. “El capital insoluto, justamente después de que se ha efectuado un pago, es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por hacerse”. La parte de la deuda no pagada constituye el saldo insoluto, como se muestra en el siguiente cuadro denominado “Tabla de amortización”. Utilizando los datos del ejemplo anterior. Se detallan los periodos, el capital insoluto, el interés, la cuota y el capital pagado.

Forma de elaboració n de la tabla de amortización gradual.

El interés vencido al final del primer período es:  I  = Cit 

; I  = 3.000.000(0.07 )(1) = $ 210.000

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80

El capital pagado al final del primer período es: Cuota- interés = 556.659,66 – 210.000 = $ 346.659,66 El capital insoluto para el segundo período, que es a la vez el saldo de la deuda al final del primer período, es: Capital al principio del primer período – capital pagado al final del primer período.

= 3.000.000 − 346.659,66 = $ 2.653.340,34 El interés vencido al final del segundo período es:  I 

= 2 . 653 . 340 (0 . 07 )(1 ) = $

185 . 733 ,82

El capital pagado al final del segundo período es:

556.659,66 − 185.733,82 = $ 370.925,84 El capital insoluto para el tercer período es:

2.653.340,34 − 370.925,84 = $ 2.282.414,20  Y así sucesivamente hasta el último período, en el cual debe coincidir el capital insoluto al principio del último período con el capital pagado al final del último período, cuando se cancela la deuda. La columna 4 de la tabla “Cuota o Pago “, menos la columna 3, “Interés vencido al final del período”, deben dar como resultado la columna 5: “capital pagado al final del período“. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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81

La columna 6 es la diferencia de la columna 2 menos la columna 5 en cada período, tanto horizontal como verticalmente. A veces pueden ocurrir pequeñas diferencias debido a las aproximaciones; en estos casos, deben reajustarse. V.3 Importe de los pagos. Como en las secciones siguientes se utilizaran las tablas de amortización por el momento es suficiente con esta ilustración. De lo que se ha visto aquí, se puede apreciar que las operaciones de amortización se resuelven utilizando las fórmulas de anualidades de acuerdo con las condiciones de amortización planteadas. Como el tema de anualidades ya ha sido cubierto ampliamente, en las secciones siguientes se hace hincapié en el análisis de las cuatro principales incógnitas que se pueden plantear en una operación de este tipo, a saber: ¾ ¾ ¾ ¾

El importe de los pagos. El número de pagos. La tasa de interés. Los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor. Fórmula del import e de los pagos en una amortización

 R

=

Ci

1 − (1 + i )− n

Ejemplo: Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar un adeudo de $4.000 contratado a 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha quedar saldada al cabo de un ano, haciendo pagos bimestrales comenzando dentro de dos meses. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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82 C  = 4.000

 R

n=6 i=

0.42 = 0.07 6

 R

=

=

Ci

1 − (1 + i )− n

4000 (0 .07 ) 280 = = 839 . 18 1 − (1 . 07 )− 6 0 . 33365778

FECHA

Al momento de la operación Fin del bimestre 1 Fin del bimestre 2 Fin del bimestre 3 Fin del bimestre 4 Fin del bimestre 5 Fin del bimestre 6  Totales

PAGO BIMESTRAL

839.18 839.18 839.18 839.18 839.18 839.20* 4 195.90

7% INTERÉS SOBRE SALDO

280.00 240.86 198.97 154.16 106.21 54.90 1 035.10

 AMORTIZACIÓN

559.18 598.32 640.21 685.02 732.97 784.30 4 000.00

SALDO

4 000.00 3 440.82 2 842.50 2 202.29 1 517.27 784.30 0.00

*Se ajustó para compensar las diferencias por redondeo. Una situación en la que no todos los pagos son iguales. Ejemplo: Una deuda de $1.000 se debe amortizar en 12 meses haciendo 3 pagos de $ 350 al final de otros tantos periodos de 3 meses y un pago que salde la deuda al cabo de 12 meses el tipo de interés es de 20% capitalizable trimestralmente, elabore una tabla de amortización para la deuda.

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Ver tabla siguiente: Fecha

Pago cada 3

5 % interés sobre

meses

saldo

Amortización

Saldo

Al momento de la operación

1.000.00

Fin del trimestre 1 Fin del trimestre 2

350.00

50.00

300.00

700.00

Fin del trimestre 4

350.00

35.00

315.00

385.00

 Totales

350.00

19.25

330.75

54.25

56.96

2.71

54.25

0.00

1.106,96

106.96

1.000.00

Fin del trimestre 3

Nótese como sabiendo el importe de los primeros pagos se puede ir construyendo directamente la tabla para llegar exactamente al último periodo, calcular el valor del último pago sumando el saldo a los intereses (54.25 + 2.71 = 56.96). V.4 Números de pagos. Fórmula de número de pagos en una amortización

C  =  R

1 − (1 + i )− n i

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84 Ejemplo:

¿Cuántos pagos mensuales de $ 119.00 son necesarios para saldar una deuda de $ 1.800.00 contratada hoy a 32.4% convertible mensualmente? C  = 1.800.00

0.324 = 0.027 12  R = 119 n=? i=

 De Ci  R

C  =  R

1 − (1 + i )−n i

− 1 = −(1 + i )−n

(1 + i )−n = 1 −

Ci  R

Ci ⎞ − n log (1 + i ) = log⎛  ⎜1 − ⎟ ⎝   R  ⎠ Ci ⎞ ⎡ 1.800.00(0.027) ⎤ log⎛  ⎜1 − ⎟ log ⎢1 − ⎥⎦  R  ⎠ 119 ⎝  ⎣ n= = log(1 + i ) log(1.027 ) log(0.59159664) (− 0.22797430) = = 19.70314897 n= log(1.027 ) 0.01157045

Sería necesario: a) Hacer 18 pagos de $ 119.00 y un pago final mayor o. b) Hacer 19 pagos de $ 119.00 y un pago final menor a saber. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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a).- Al final del pago 18 el saldo insoluto sería (derechos del acreedor): 18

1.800,00(1.027 ) − 119

(1.027)17 − 1

0.027 = 2.907,64 − 2.712,12 = 195.52

Este saldo quedaría en manos del deudor otro mes, por lo que su valor al final de este último mes sería:

195.52(1.027 ) = 200.80 Que sería lo que habría de pagar en el decimonoveno mes para liquidar totalmente la deuda. b).- Como alternativa de pago, si abona 19 mensualidades de $ 119.00 el saldo al cabo del vigésimo pago sería: 19

1.800,00(1.027 ) − 119

(1.027)19 − 1

0.027 = 2.986,15 − 2.904,35 = 81.80

Si realiza el último pago en el mes 20, el valor de este saldo en ese momento sería:

81.80(1.027 ) = $84.01  Y con este pago se líquida también totalmente la deuda.

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Debe notarse que las dos maneras de liquidar el pago final son equivalentes; la adopción de una u otra alternativa dependerán de lo que resulte más conveniente para acreedor y deudor.

V.5 Tasa de interés. En ocasiones es necesario determinar la tasa de interés que se carga en la operación. Ejemplo: Una máquina de coser usada cuesta $ 820.00 al contado. El plan a crédito es de $ 270.00 de enganche y 10 pagos quincenales de $58.00. ¿Cuál es la tasa de interés que se cobra en la operación? C  = 550  R = 58 n = 12 i =?

550 = 58

1 − (1 + i )−10 i

10

1 − (1 + i ) i

= 9.48275862

Para determinar i , en primer lugar, se ensayan diferentes valores de

i

que arrojen el valor

1 − (1 + i )−10 i

lo más próximo posible a

9.48275862:

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87 −10

1 − (1.02) = 8.98258501 0.02 1 − (1.01)−10 i = 0.01 = 9.47130453 0.01 1 − (1.0095)−10 = 9.496757904 i = 0.0095 0.0095 1 − (1.0097)−10 = 9.48656454 i = 0.0097 0.0097

 para

i = 0.02

Interpolando.

9.48275862

9.4865 6454

0.0097

i

i − 0.0097

9.47130453

0.01

9.48275862 − 9.48656454 = 0.24940482 0.01 − 0.0097 9.47130453 − 9.48656454 i = 0.0097 + (0.0003)(0.24940482) = 0.0097 + 0.00007482 i = 0.00977482

=

Para verificar que tenemos el valor correcto:

1 − (1.00977482)−10 = 9.48275526 0.00977482 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Con sólo una diferencia pequeña y despreciable. Debida al redondeo. Así pues, la tasa de interés que se cobra en la operación es de 0.97% quincenales (23.46% anual convertible quincenalmente). V.6 Depósitos a un fondo de amortización. Como se vio en la introducción, el caso de fondo de amortización se distingue porque aquí la deuda que se va a amortizar se plantea a futuro, y lo que se hace es constituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y periódicos) en cuentas que devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento. En seguida se presenta un ejemplo que ilustra el caso en el que es necesario determinar el valor de los depósitos: Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 400.000,00. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga 9% convertible mensualmente. a).- ¿ De cuánto deben ser los depósitos? b).- Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo. a).- En este caso los $ 400.000,00 son un monto, ya que su valor es a futuro por lo que:

 M  = 400.000,00  R = ?

i=

0.09 = 0.0075 n = 6 12

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=  R

 Y  M 

(1 +

i

)n − 1 i

400.000,00(0.0075) 3000 = =65.427,5 6 n 0.045852 (1+i) −1 (1.0075) −1  R =65.427,56  R =

 Mi

=

b).-La tabla: Fecha

Depósito por

Intereses

período

Total que se

Saldo

suma al fondo

Fin del mes 1

65 427,56

-

65 427,56

65 427,56

Fin del mes 2

65 427,56

490,71

65 918,27

131 345,83

Fin del mes 3

65 427,56

985,09

66 412,65

197 758,48

Fin del mes 4

65 427,56

1 483,19

66 910,75

264 669,23

Fin del mes 5

65 427,56

1 985,02

67 412,58

332 081,81

Fin del mes 6

65 427,58

2 490,61

67 918,19

400 000,00

 Totales

392 565,38

7 434,62

400 000,00

-

Nótese que se incrementó el último depósito mensual en dos centavos para ajustar el fondo exactamente a $ 400 000,00.

Ejemplo: Una persona adquiere a crédito un departamento en condominio por el que aparte de un enganche y abonos mensuales debe pagar, al final de cada uno de los 3 primeros años, una anualidad de $ 16 500,00. Para CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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prevenir el pago de estas anualidades decide acumular un fondo haciendo depósitos quincenales en una cuenta que paga 12 %, convertible mensualmente. ¿Cuánto debe depositar cada quincena para acumular lo que necesita para amortizar su deuda cada fin de año? En este caso, se debe advertir que el período de capitalización no coincide con el período de los depósitos, por lo que se hace necesario determinar en primer lugar la tasa efectiva quincenal equivalente a una tasa de 0.12/12 = 0.01 efectiva mensual, para lo cual, como se vio antes:

(1 + i )2 = 1.01 1 + i = 1.01 i

= 1.01 − 1 = 0.00498756

 Así  :

= 16500  R = ? i = 0.00498756 n = 24 quincenas

 M 

 M 

=  R

(1 + i )n − 1 i

;  R =

quincenal

 Mi

(1 + i )n − 1

16500 (0.00498756 ) 82 .29474 = (1.00498756 )24 − 1 0.126825  R = $ 648 .88  R

=

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V.7 Número de depósitos. Dos ejemplos de este caso: Ejemplo 1

¿Cuántos depósitos mensuales sería necesario realizar en un fondo de amortización que se invierte en un instrumento que paga 9% anual convertible mensualmente si se quiere liquidar una deuda que vale $4,800.00 a su vencimiento y si se realizan depósitos de $ 850.00?

= 4800 i = 0 .09 = 0 .00750  R = 850 n=?

 M 

480 = 850

(1 .0015 )n − 1

0 .0075 4800 (0 .0075 ) (1.0075 )n = − +1 = 1 .04235294 850 log 1 .04235294 0.01801480 n= = = 5.55 log 1.0075 0 .003245 Se podría con 5 depósitos de $850.00 más un sexto depósito de:

⎡ (1.0075)5 −1⎤ ⎢850 0.0075 ⎥ (1.0075) + x = 4800= 4346,59+ x ⎣ ⎦  x = 4800− 4346,59 = 453,41 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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92 Ejemplo 2

Una persona debe pagar $ 7 500,00 el 2 de junio y decide formar un fondo de amortización depositando $1,216,06 mensuales en una inversión que rinde 14.03% efectivo anual ¿El día 2 de qué mes debe hacer el primer depósito para acumular con el del 2 de junio la cantidad que adeuda?  M  = $

7500

n=?  R = 1216,06 i = 0.1403 efectivo

anual.

En primer lugar es necesario determinar cuál es la tasa efectiva mensual, ya que los depósitos serán mensuales y la tasa dada es efectiva anual:

(1 + i )12 = 1.1403 Esto se puede resolver por medio de logaritmos:

12 log (1 + i ) = log 1.1403 1 1 log(1 + i ) = (log 1.1403) = (0.057019) 2 2 log(1 + i ) = 0.00475159 1 + i = anti log 0.00475159 1 + i = 1.0110 i = 0.0110 CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Que es la tasa efectiva mensual. Luego, para calcular el número de pagos:

7500 = 1216 ,06

(1 .0110 )n − 1

0 .0110 7500 (0 .0110 ) (1 .0110 )n = + 1 = 1.067842 1216 ,06 n log 1 .0110 = log 1 .067842 log 1 .067842 0.028507 = =6 n= log 1 .0110 0 .004751 Entonces, si el último depósito se habrá de realizar el 2 de junio y es necesario hacer 6 depósitos, el primero de ellos deberá realizarse el 2 de enero.

V.8 Tasa de interés. En esta sección se presentan ejemplos de circunstancias en las que es necesario calcular la tasa de interés que se carga en operaciones realizadas a través de fondos de amortización. Ejemplo: Una deuda que vencía el 25 se septiembre, por un monto de $ 16 800,00 se liquidó con un fondo acumulado mediante 8 depósitos mensuales vencidos por $ 1 967.76. ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que rendía el fondo?

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= 16800 i = ? n = 8  R = 1967 , 76

 M 

 M 

=  R

(1 + i )n − 1

(1 + i )n − 1 i

(1 + i )8 − 1 i

(1 + i )8 − 1 i

i

=

 M 

=

 M 

 R  R

=

16800 1967 . 76

= 8 . 5376265

Ensayando valores de i para aproximar el valor que buscamos:

= 8 .58296905 0 .02 (1 .019 )8 − 1 i = 0 .019 = 8 .5527035 0 .019 (1 .018 )8 − 1 i = 0 .018 = 8 .52255817 0 .018 (1 .0185 )8 − 1 i = 0 .0185 = 8 .53761583 0 .0185 Sí 

i

= 0 .02

(1 .02 )8 − 1

 Y como 8.53761583 es prácticamente igual al valor que buscamos (8.53762665) no resulta necesario interpolar para saber que la tasa cargada en la operación es de aproximadamente 1.85% mensual. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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Ejemplo: Una deuda de $ 10 000,00 con vencimiento el 12 de octubre se amortizó mediante un fondo que se constituyó mediante 5 depósitos de $ 1 911,20 realizados los días 12 de los meses de junio a octubre. ¿Cuál fue la tasa efectiva anual que pagó el fondo?

= 10000 n = 5  R = 1911 , 20 i = ?

 M 

(1 + i )5 − 1 10000 = 1911 , 20 i

(1 + i )5 = 10000 i

1911 , 20

= 5 . 2323148

En primer lugar se determina la tasa efectiva mensual ensayando valores de i:

Sí  i = 0.02

(1.02)5 −1

= 5.2040401 0.02 = 5.22489347 i = 0.022 = 5.23535113 i = 0.023 = 5.23011971 i = 0.0225

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Así, la tasa mensual está entre 2.25 y 2.30 %, y para aproximarla interpolamos entre estos valores:

y: i − 0. 00225

5 .2323148 − 5 .23011971 0 .0230 − 0 .0225 5 .23535113 − 5 .23011971 0 .00219509 i − 0 .0225 = = 0.419597356 0 .0005 0 .00523142 i − 0. 0025 = 0 .419597356 (0 .0005 )00 . 0002098 i = 0 .0225 + 0 .0002098 i = 0 .0227098

=

Verificando:

(1.0227098)5 − 1 0.0227098

= 5.2323138

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La tasa efectiva mensual es de aproximadamente 0.0227 y la tasa efectiva anual:

(1.0227098)12 − 1 = 0.30926994 O un tiempo aproximado de 30.93 % anual. LECTURAS.

Hernández Hernández, Abraham. “Matemáticas Financieras”. Editorial ECAFSA. México.1996. p. 505. Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez.”Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 1987. p.p. 213, 215, 217, 223, 230 y 234. Ayres J r. Frank. “Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw Hill. México. 2003. p.p. 95 a 97. Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. México. 2006. p.p.193, 195 a 196, 202 a 204. Cissel. Cissel. Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005. p.p. 271 a 272, 291.

Autoevaluación 1. ¿En qué consiste la amortización gradual? 2. ¿Qué es una tabla de amortización gradual?

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3. ¿Cómo se calcula la renta o pago periódico para amortizar una deuda? 4. ¿Qué es el saldo insoluto? 5. ¿Cómo se calcula el saldo insoluto de una deuda? 6. ¿En qué consisten los derechos del acreedor y el deudor? ¿Cómo se pueden calcular?

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99 V. GLOSARIO  A  A CUENTA. Es el pago parcial por anticipado, de una determinada deuda, o la entrega por el comprador al vendedor de una fracción del precio de la compra.  A DINERO. Dícese de una opción negociable en el que el precio de ejercicio de la misma se corresponde con el precio actual del activo subyacente.  A LA EJECUCIÓN. Orden de compra o venta de valores que deja al agente mediador, que realiza la operación, en libertad de fijar el cambio a la que aquella deba realizarse, al no haber fijado previamente el ordenante, un cambio límite.  A FUTURO. Referido a los valores negociables supone un contrato de compraventa en el que, aun cuando el precio de la misma se pacta en el momento de su realización, la entrega de los títulos no se llevará a cabo hasta una fecha posterior, previamente convenida.  A LA PAR. Contratación de un valor en Bolsa a su precio nominal. La cotización a la par se identifica con el número índice de 100. Cambio o cotización equivalente al 100% del valor nominal del título.  A LA VISTA. Se aplica este término a la obligación representada por medio de un efecto o documento exigible al deudor cuando se le presenta. También se denominan así las cotizaciones (de monedas o mercancías) para entrega inmediata.  A VOLUNTAD. Es una cláusula por la que en las operaciones bursátiles a plazo, condicionales, si bien el comprador o vendedor quedan obligados de forma definitiva se reservan el derecho de liquidar la operación en cualquier fecha, dentro del plazo convenido, a condición de avisar con una antelación de 24 horas. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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100  AB ANDONO DE CUENTAS Y VALORES. Se consideran bienes abandonados por sus titulares y pertenecientes al Estado: los valores, dinero y demás bienes inmuebles, constituidos en depósito en toda clase de entidades financieras, respecto de los cuales no se haya practicado gestión alguna por los interesados que implique ejercicio de su derecho de propiedad en 20 años.  AB ONO. Apunte contable practicado en el haber de una cuenta.  ACCIÓN (SHARE). Parte alícuota del capital. Cada una de las partes en que está dividido el capital escriturado de una sociedad anónima. Pueden ser nominales o al portador, pudiendo diferenciarse series distintas por su valor nominal o por el contenido de sus derechos.  ACCIÓN A LA PAR. Acción emitida al valor nominal de la acción.  ACCIÓN DE DISFRUTE. Surgen como consecuencia de operaciones de reducción de capital con cargo a beneficios o reservas libres con amortización de los primitivos títulos y entrega de unos nuevos a los antiguos titulares, que las facultan para seguir participando en los beneficios.  ACREEDOR. El que tiene acción o derecho a pedir el cumplimiento de alguna obligación. Sus derechos se hallan reconocidos, en las cuentas de pasivo del deudor.  AHORRO. Es el excedente de la renta sobre los gastos de consumo corriente. Los gastos de consumo de las economías domésticas normalmente son iguales o inferiores a su renta, lo cual da lugar a que se mantenga una porción de la misma apartada, en general como precaución ante posibles necesidades futuras de consumo.  AMORTIZAR. Devolución de un capital prestado con arreglo a determinadas condiciones y plazos que en los valores mobiliarios coincidirán con las condiciones de emisión de dichos valores. Término contable que viene a significar la pérdida del valor de un activo financiero mediante su pago o anulación, como consecuencia del uso, CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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101

del transcurso del tiempo, de los adelantos de la técnica, o del cumplimiento del fin para el que estaba destinado.  ANÁLISIS BURSÁTIL. Conjunto de técnicas que sirven de base para la adopción de decisiones respecto al mercado de valores. Su objetivo es la formulación de hipótesis sobre el funcionamiento de este mercado o de un determinado valor del mismo.

Existen dos posturas: 



De un lado el análisis técnico que trata de explicar el precio de un valor en base a modelos de comportamiento, mediante la aplicación de la estadística, usando como instrumentos de trabajo, los índices de bolsa, volúmenes de contratación, gráficos, etc. De otro lado el análisis fundamental, que parte del principio de que la cotización de las acciones depende de la realidad económico-financiera de la empresa.

 ANÁLISIS DE VAL ORES. Examen y estudio pormenorizado de los factores legales, económicos, financieros y bursátiles de los valores negociables y que condicionan una inversión.  ANÁLISIS FINANCIERO. Conjunto de técnicas encaminadas al estudio de las inversiones con un enfoque científico. El interés que pueda ofrecer una inversión se analiza utilizando conjuntamente las técnicas que ofrecen el análisis de balances, la matemática financiera, los métodos estadísticos y los modelos econométricos. Otros aspectos que se deben de tener en cuenta, son la coyuntura sectorial o nacional y cualquier otro tipo de información política, social o económica cuya incidencia pueda estimarse importante.  ANUALIZAR. Poner en base anual una correspondiente a períodos inferiores al año.

tasa de interés

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102 B BONO. Valores de renta fija con vencimiento de uno a tres años. BRUTO. Es el importe total de algo sin deducción alguna. C CÁLCULO FINANCIERO. Conjunto de operaciones matemáticas que permite determinar y resolver un problema financiero. CAPITAL. Recursos provenientes del ahorro o del préstamo que se destina a la adquisición de activos financieros o reales. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. Es la que implica la agregación de los intereses al capital de tal forma que se reinvierten en el siguiente período al mismo tipo de interés. Véase Interés compuesto CAPITALIZACIÓN SIMPLE. Es aquella en la que los intereses generados no son reinvertidos en el período siguiente y por tanto los intereses no generan nuevos intereses. Véase Interés simple CASAS DE BOLSA. Es el nombre por el que se conocen a las sociedades de mediación en bolsa y a las sociedades de análisis bursátil. CNMV. Acrónimo de la Comisión Nacional del Mercado de Valores. Es la encargada del buen funcionamiento y vigilancia del cumplimiento de todas las normativas vigentes en la Bolsa. CONTABILIDAD. Es un soporte básico para tomar decisiones sobre inversiones, basándose en criterios y procedimientos existentes para asegurar la correcta valoración de bienes, derechos y obligaciones.

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103 CONTRATO. Acuerdo entre dos o más partes mediante el cual se obligan los contratantes a dar, hacer o no hacer alguna cosa, que vienen especificadas claramente en el mismo. CORTO PLAZO. Se trata de un término subjetivo referente al periodo de tiempo de duración de las operaciones bursátiles, dependiendo su clasificación del sector de la actividad a que se refieren. En bolsa este período de tiempo entre compra y venta suele ser de 15 sesiones (tres semanas naturales). Se le da el nombre de a muy corto plazo, cuando el vencimiento es de una semana (5 sesiones). CH CHEQUE. Documento que contiene un mandato de pago a la vista hecho por el librador sobre un depósito hecho en el librado y a favor de sí mismo o de tercera persona. Se regula el cheque en los artículos 106 y siguientes de la Ley Cambiaria y del Cheque de 16 de julio de 1985 (B.O.E. Nº 172 de 19 de julio). D DEPOSITANTE. Persona que constituye un depósito, entregando la cosa al depositario, quien asume la obligación de guardarla y restituirla. Al ser el depósito un contrato real no se requiere una capacidad especial en el depositante, y ni siquiera es necesario que este sea propietario de la cosa depositada. DEPOSITARIO. Persona en quien se deposita una cosa. En el caso de bolsa, institución financiera que se hace responsable de la administración y custodia de los valores de renta fija o variable, cobrando una comisión por dicha custodia y encargándose de todo lo referente a ellos: cobrar dividendos, avisar de ampliaciones, etc. DEPRECIACIÓN. Pérdida que experimenta una moneda al disminuir su precio expresado en otras monedas. DESCUENTO. Rebaja, compensación de una parte de la deuda. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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104 DEUDA. Obligación que uno tiene de pagar, satisfacer o reintegrar a otro una cosa, por lo común dinero, o de cumplir un deber. DINERO. El dinero actual es el fin de un largo proceso histórico de desmaterialización que va desde la moneda metálica de valor intrínseco a la moneda representativa de un valor depositado que la garantiza, pasa luego por el papel moneda de curso forzoso y termina en la moneda escritural bancaria (dinero bancario). Del dinero mercancía al actual dinero abstracto escritural existe una larga evolución que se explica por las funciones cada vez más variadas y complejas a que los medios de pago sirven hoy en la vida económica.// Palabra empleada en el mercado bursátil para indicar que en el momento de la contratación (en el correo de la bolsa tradicional) había una mayor demanda de un valor determinado que oferta y no han podido ser casadas operaciones. Equivalente a demanda de un valor y representa el volumen de dinero en demanda de compra que al final de la sesión bursátil tradicional queda sin poder ejecutarse. E ESTABILIZACIÓN. Utilización de los instrumentos de política económica con la finalidad de evitar o reducir los desequilibrios coyunturales que se producen en una economía F FECHA DE EMISIÓN. Día en que se produce la emisión de un valor negociable. FINANZAS. Es la parte de la economía que se encarga del estudio de los mercados del dinero y de capitales, de las instituciones y participantes que en ellos intervienen, las políticas de capitalización de recursos y de distribución de resultados, el estudio del valor temporal del dinero, la teórica del interés y el coste del capital.

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105 G GRÁFICO. Representación de datos numéricos, en forma de líneas o dibujos, y en los que se muestra de una forma gráfica la relación que dichos datos guardan entre si. Dentro de los gráficos de bolsa, el más conocido es aquel que recibe el nombre de chart y en el se muestra la evolución de la curva de cotizaciones en función de las sesiones de bolsa transcurridas. I INTERÉS. Remuneración que se paga o se recibe por el uso temporal de dinero. El interés es la cantidad de dinero expresada en monedas y el tipo de interés es esta cantidad expresada en porcentaje. INTERÉS B ÁSICO. Tipo de interés cargado por el Banco Central de un país a los bancos privados cuando descuenta o redescuenta papel financiero o comercial con él. INTERÉS FIJO. El tipo de interés no varía sobre el pactado ni depende del comportamiento de otros factores económicos como en el caso del interés variable. INTERÉS INTERBANCARIO.  Tipo de interés cruzado en el mercado de activos computables en el coeficiente de caja interbancario, es decir, es el tipo de interés al que los bancos se prestan dinero entre si. Existen diferentes tipos de interés interbancario: a un día, semanales, mensuales, trimestrales, semestrales y anuales. INTERÉS REAL.  Tipo de interés expresado en términos reales, es decir, descontando la tasa de inflación. INTERÉS VARIABLE. Tipo de interés fijado de acuerdo con un tipo de referencia (interbancario, IPC, etc.). El tipo de interés varía al alza o a la baja según varíe el tipo de referencia en vez de ser siempre el mismo como en el caso del interés fijo.

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106 L LARGO PLAZO. Periodo de tiempo en operaciones bursátiles con vencimiento de la orden alrededor de un año. Es una clasificación subjetiva y depende del sector económico y de la actividad. LETRA A CEPTADA. Es aquella letra de cambio que ha sido aceptada por el librado bien con la palabra acepto y su firma o simplemente con ésta. LETRA AVALADA. Dícese de la letra que es afianzada en el mismo documento. LETRA COMERCIAL. Se utiliza para aplazar los pagos en las relaciones entre comerciantes o empresarios y sus proveedores y clientes. LETRA DE CAMBIO. Documento cambiario donde se contiene un mandato de pago hecho por el librador al librado a favor del tenedor.  Tiene la condición procesal de documento ejecutivo. LETRAS DEL TESORO.  Título de deuda pública a corto plazo (menos de 18 meses) emitidos por el Tesoro Público. Su valor nominal es de un millón de pesetas, se emiten al descuento y se adquieren por subasta en el mercado primario y se negocian en el mercado secundario de renta fija. M MERCADO BURSÁTIL. Mercado primario y secundario compraventa y emisión de valores de renta fija y renta variable.

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P PAGARÉ. Documento privado por el que una persona se compromete a pagar a otra, o a su orden, una cantidad determinada en una fecha fija. Los pagarés más usuales son los bancarios, los de empresa y los del tesoro público. CÁLCULO EMPRESARIAL FINANCIERO ING. JORGE LUIS MAYA ALEMÁN

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107 T TASA. Proporción de un activo financiero medido en unidades de otro activo. V VALOR. Utilidad de un bien que permite recibir en equivalencia una determinada cantidad de dinero, es subjetivo y se cuantifica en el momento de la compraventa. En bolsa se usa como sinónimo de sociedad o empresa.

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108 VI. BIBLIOGRAFÍA

Hernández Hernández, Abraham. “Matemáticas Financieras”. Editorial ECAFSA. México. 1996. Díaz Mata, A, y V. Aguilera Gómez.”Matemáticas Financieras”. Editorial McGraw McGraw Hill. México. 1987. Ayres J r. Frank F rank.. ““Mate Matem máticas áticas Financieras” inancieras”.. Edit E ditorial orial McGraw McGraw Hill. México. 2003. Mora Zambrano, Armando. “Matemáticas Financieras”. Editorial Alfaomega. México. 2006. Cissel. Cissel. Flaspohler. “Matemáticas Financieras”. Editorial CECSA. México. 2005.

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109 VII. ACTIVIDADES ACTIVIDADES DE A PLICACIÓN UNIDAD I INTRODUCCIÓN

Determine Determine el último último término término y la la sum suma a de las progresiones siguientes: a) 11, 23,35…. 12 términos términos b) 5,-3,-11…. 5,-3,-11…. 10 términos. términos. c) 1/2,5/8,3/4… 7 térm términos. Calcule el término 10 y la suma de los diez primeros términos de la siguiente progresión 9 , 27 , 81 , 243 , …. Calcule el 15º término y la suma de los primeros 15 términos de la progresión aritmética 2, 5 , 8 , 11 , 14 , … Encuentre la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas: a) 2;1;0.5;…. b) 1; 1/5; 1/25;1/125;… 1/25;1/125;…..

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110 UNIDAD II INTERÉS SIMPLE

1.- Calcule el interés que gana un capital de $ 140.000 al 11% anual durante 170 días. 2.- Calcule el interés simple que genera un capital de $ 4.000.000 colocado a una tasa de interés del 20% anual durante 80 días. 3.- Un pagaré de $ 6.000, suscrito el 14 de marzo a 190 días de plazo con una tasa de interés del 31% anual desde la suscripción, es vendido el 13 de mayo del mismo año a una tasa de interés del 28% anual. Calcule: a) la fecha de vencimiento; b) la gráfica de tiempos y valores; c) el valor al vencimiento o monto; d) el número de días comprendidos entre la fecha de negociación y la fecha de vencimiento; e) el valor actual o precio del pagaré a la fecha de negociación. 4.- Un pagaré de $ 200.000, suscrito el 4 de marzo a 100 días de plazo, se descuenta el 3 de abril del mismo año a una tasa de interés del 34% anual. Calcule el descuento racional. 5.- Un documento financiero de $ 6.000.000, suscrito el 17 de mayo a 150 días de plazo, y una tasa de interés del 31% anual desde su suscripción, se descuenta el 16 de julio del mismo año a una tasa de interés del 30% anual. Calcule el descuento racional y calcule el descuento bancario, suponiendo una tasa de descuento del 30% anual.

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111 UNIDAD III INTERÉS COMPUESTO

1.- Calcule el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de $ 2.000.000 colocado durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. Analice los resultados. 2.- Calcule el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de $ 600.000 colocado a una tasa de interés del 15% anual capitalizable semestralmente durante 7 años. 3.- Una empresa obtiene un préstamo de $ 5.000.000 a 10 años de plazo con una tasa de interés del 15% capitalizable semestralmente. Calcule el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento. 4.- Al nacer su hijo, una madre abre una cuenta de ahorros con un capital de $ 800. ¿Cuánto tendrá en la cuenta cuando su hijo cumpla 18 años, si se considera una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. 5.- ¿ A qué tasa efectiva es equivalente una tasa del 35% anual capitalizable trimestralmente? 6.- Una empresa tiene las siguientes deudas u obligaciones: $ 4.000 a 2 años de plazo; $ 6.000 a 4 años de plazo; $ 8.000 a 8 años de plazo; $ 10.000 a 10 años de plazo. La empresa acuerda con sus acreedores reemplazar sus deudas por un solo pago a los 5 años, con una tasa de interés del 14 % anual, capitalizable semestralmente. Calcule el valor del pago único.

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112 UNIDAD IV  ANUALIDADES

1.- Calcule el monto de una serie de depósitos de $ 40.000 cada 6 meses, durante 8 años al 14% anual capitalizable semestralmente. 2.- Calcule el valor actual de una serie de pagos de % 10.000 cada mes durante 15 años al 1% mensual. 3.- Calcule el monto de una serie de depósitos de $ 200.000 cada trimestre durante 6 años y 9 meses, considerando una tasa de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. 4.- Al nacer su hijo, un padre empieza a realizar una serie de depósitos mensuales de $ 300 en una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente. Calcule cuánto habrá acumulado cuando su hijo cumpla 18 años. 5.- El cliente de un banco solicita un préstamo a 5 años de plazo e indica que su capacidad de pago es de $ 800 mensuales. Calcule el valor del préstamo que el banco le acreditaría, si le cobra una tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente.

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113 UNIDAD V  AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN

1.- Haga una tabla que muestre como se amortiza una deuda de $30,000.00 contratada hoy y que debe pagarse mediante 5 pagos mensuales iguales y vencidos si se carga 19% anual convertible mensualmente. 2.- ¿ Cuál sería el importe de cada uno de 15 pagos bimestrales iguales y vencidos necesarios para pagar un automóvil que cuesta $137,800.00, si se da un enganche de $ 36 800,00 y se cobra un interés de 1.2% mensual sobre saldos insolutos? 3.- El señor Ramírez compra un juego de muebles de sala en $13,500.00. Paga 15% de enganche y 3 mensualidades de $ 2 000,00 cada una a los 30, 60 y 90 días de realizada la operación, respectivamente. Si convino en liquidar el resto mediante 2 mensualidades más a los 120 y 150 días, ¿Cuál será el importe de cada uno de estos pagos iguales si la transacción se contrató a 1.5% mensual sobre saldos insolutos?

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