A1

 

 

 

 ACTIVIDAD 1: 1:   EJERCICIOS SOBRE DISTRIBUCIONES MUESTRALES MUESTRALES  

Nombre del estudiante:

  Con base en el material consultado en la la unidad resuelve resuelve los ejercicios ejercicios que se plantean acerca acerca

•

de los siguientes temas: ➢ 

Distribuciones muestrales

➢ 

Teorema del Límite Central (TLC)

Técnicas básicas básicas  

1. Una población consta de cinco números: 2,3,6,8,11. 2,3,6,8,11. Considere todas las muestras posibles de tamaño dos que pueden extraerse con reemplazo de esta población. Encontrar:

Elemento 2 Elemento 1

2 

3 

6 

8 

11

2 

2,2 

2,3 

2,6 

2,8 

2,11 

3 

3,2 

3,3 

3,6 

3,8 

3,11 

6 

6,2 

6,3 

6,6 

6,8 

6,11 

8 

8,2 

8,3 

8,6 

8,8 

8,11 

11

11,2 

11,3 

11,6 

11,8 

11,11

a. La media de la población La media de la población seria 2, 3, 6, 8, 11 = media = 2+3+6+8+11/5 = b

Página 1 de 6

 

Elemento 2 Elemento 1

2 

3 

6 

8 

11

2 

2.00 

2.50  

4.00 

5.00 

6.50 

3 

2.50 

3.00  

4.50 

5.50 

7.00 

6 

4.00 

4.50  

6.00 

7.00 

8.50 

8 

5.00 

5.50  

7.00 

8.00 

9.50 

11

6.50 

7.00  

8.50 

9.50 

11.00

b. La desviación estándar de la población

2 = √ {(2−6)

2+(3−6)2+(6−6)2+(8−6)2+(11−6)2

= √54/5 = 3.29

5

c. El valor valor esperado de la media muestral

Muestras 2,3  2,6  2,8  2,11  3,6  3,8  3,11  6,8  6,11  8,11  Total

M. Muestra Muestrall 2.50  4.00  5.00  6.50  4.50  5.50  7.00  7.00  8.50  9.50  60.00

d. La desviación estándar (error estándar) de la media media muestral

2.5+4+5+6.5+4.5+5.5+7+7+8.5+9.5

 x=

10 

  = 6

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2. Se seleccionaron seleccionaron muestras muestras aleatorias de tamaño n de poblaciones con las medias y varianzas dadas aquí. Encuentre la media y desviación estándar de la distribución de muestreo de la media muestral  X en cada caso: a. n  36,     10,   2   9 =

=

=

 = x = 10 9 x = √  = 0.5 36 6  √ 3

b. n  100,     5,   2   4 =

=

=

 = x = 5 4 x =  √  = 0.2 100 

√ 

c.

n  8,     120,   2   1 =

=

=

 = x = 120 1 x = √  = 0.35  

√ 8 

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Si las poblaciones muestreadas muestreadas son normales, ¿cuál ¿cuál es la di strib ución de muestreo de  X

paralos incis os a, b y c?

  Es cuando se tiene poblaciones muestrales de forma normal, así como su distribución distribución

•

de muestreo. De acuerdo con el Teorema del Límite Central, si las poblaciones muestreadas no son normales, ¿qué se puede decir acerca de la distribución muestral de

 X

para los inci sos a,

b y c?

  Aumenta el tamaño de la muestra, muestra, así como las medias muestrales y esas se acercan

•

a la media de la población. 3. Una muestra aleatoria de n observaciones se selecciona de una población con desviaci ón estándar

1. Calcule el error estándar estándar de la media (SE) (SE) para los

sigui entes entes valores de n .

a. n = 1  b. n = 2 c.

n = 4 

d. n  9 =

e. n  16 =

f. g.

n  25 =

n

 100

=

a.  b.  c.  d. 

1  =1 SE = √ 1  1  = 0.71 SE = √ 2  1 = 0.50 SE = √ 4  1  = 0.33 SE = √ 9 

1 

e.

SE =

f.

SE =

= 0.25 16  6  √ 1 1 

= 0.20

25  5  √ 2 1 

g.

SE = √ 1 100 00   = 0.10

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4. Se seleccionaron m uestras aleatori as de tamaño n de poblaciones binomiales con parámetros poblacionales p dados aquí. Encuentr Encuentr e la media media y la desvi ación estándar de la distribución de muestreo de la proporción m uestral p  en cada caso: ˆ

a. n

100, p

0.3

  =    = 100(0.3)  = 30 = √  (1 − ) =;  = √ (100)(0.3)(0.7) (100)(0.3)(0.7) =;  = √ 21 21 ;  = 4.582 

b.

400, p

n

  =  

 = 400(0.1)

= √  (1 − ) c.

0.1

=;  = √ (400)(0.1)(0.9) (400)(0.1)(0.9) =;  = √ 36 36 ;

250, p

n

 = 40  = 6 

0.6

  =    = 250(0.6)  = 150 = √  (1 − ) =;  = √ (250)(0.6)(0.4) (250)(0.6)(0.4) =;  = √ 60 60 ;  = 7.746  7.746 

5. ¿Es adecuado utilizar la distribución normal para aproximar la distribución de muestreo de

P 

en las siguientes circunstancias? a. n = 50, p = 0.05  b. n  75, p  0.1 =

c.

=

n = 250, p = 0.99 

la distribución muestral se puede acercar a la distribución normal si es que cumple con:

    ≥ 10

y

(1 −  − ) ≥ 10

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En ese caso podemos decir que: a)

 = 50 50((0.05 0.05)) = 2.5 ≤ 10; (1 − ) = 50( 50 (1 − 0.05  0.05)) = 50( 50 (0.95 0.95)) = 47.5 ≥ 10

Como no se cumplen las 2 condiciones, no se puede aproximar. b)  = 75 75((0.1 0.1)) = 7.5 ≤ 10 ; (1 − ) = 75( 75 (1 − 0.1  0.1)) = 75( 75 (0.9 0.9)) = 67.5 Como no se cumplen las 2 condiciones, no se puede aproximar. c)

≥ 10

250(0.99 0.99)) = 247.5 ≤ 10 ; (1 − ) = 250( 250(1 − 0.99) = 250( 250(0.01 0.01)) = 2.5 ≤ 10  = 250(

Como no se cumplen las 2 condiciones, no se puede aproximar.

 Ap li cac cacio io nes nes  

1.

Enfermedad de Alzheimer. La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el principio

de los síntomas hasta el fallecimiento varía de 3 a 20 años; el promedio es 8 años con una desviación estándar de 4 años. El administrador de un gran centro médico selecciona al azar, de la base de datos del centro, los registros médicos de 30 pacientes de Alzheimer ya fallecidos y anota la duración de la enfermedad para cada unidad en muestra. Encuentre las probabilidades aproximadas para los siguientes eventos: a. La duración promedio es menor a 7 años b. La duraci duración ón promedio excede de 7 años c. La duración promedio está a no más de un año de la media poblacional

   = 8 

En caso de ser distribución normal se utiliza la siguiente formula:

̅   −     =   ⁄    En ese caso se sustituyen valores: −

a)   =

4

−

 

=  

 

0.7302

=

−1.3693 ≈ 1.37

b) se calcula la duración promedio cuando exceda de 7:   = 1 − (  < 7 7)) = 1 − 0.08534 = 0.91466

c) se pide duración que no pase 1 año entonces seria: (7

< ̅ < 9)

Si se realiza el calculo para 9 y se usa el valor del punto a) y el punto b) seria: 9 − 8

1

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 = 4 = = 1.3693 ≈ 1.37 0.7302 ⁄  √ 3300 

Grafique el error estándar de la media (SE) contra el tamaño muestral n y enlace los puntos con una curva suave. ¿Cuál es el efecto de aumentar el tamaño de muestra sobre el error estándar?

5

40

120 160 200

2. Salarios de profesores profesores.. Suponga que los profesores de una universidad u niversidad en E.U.A. -con rango de profesor en instituciones públicas que imparten programas académicos de dos años-, ganan un promedio de 71,802 dólares por año, con una desviación estándar de 4,000 dólares. En un ejercicio por verificar este nivel de salario se seleccionó una muestra aleatoria de 60 profesores de una base de datos del personal académico de todas las instituciones públicas que imparten programas de dos años en E.U.A. a. Describa la distribución de de muestreo de la media muestral X Página 4 de 6

 

  = 71,802   4000 =

b. ¿Dentro de qué límites se esperaría que esté el promedio muestral, con probabilidad 0.95?

1 – α= 0.95 α= 0.05 serían los limites

⁄2 = 0.025 P(z) = 0.975 tomando los valores de las tablas, tenemos tene mos que: Z = 1.96 usando la siguiente formula

 



 ± ⁄2 ( 95% = (

 

√ 

71,802−1.96(4,000)  

,

+ .

); ( √ 6600  √ 6600  71,802−7,840   71,802+7,840    95% = ( ) ); ( √ 6600  √ 6600 

,

 

)

 95% = (71,802-1,012.13); (71,802+1,012.13)  95% = (70,789.87); (72,814.13) c. Calcule la probabilidad de que la media muestral x sea mayor que 73,000 dólares. Se utiliza esta fórmula:

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  =

  x − ̅ μ 



σ

Sustituimos:

  =   =

73,000−71,802   73,000−71,802 4,000  1,198 4,000 

 = 0.30

Se toman los valores de 73,000 porque es mayor 71,802: P(z) = 0.61 P (x> 73,000) = 1 – P (Z) P (x> 73,000) = 1 – 0.61 P (x> 73,000) = 0.385 = 39%

d. Si una muestra aleatoria en realidad produjo una media muestral de 73,000 dólares, ¿consideraría usted que esto es poco común? ¿Qué conclusión obtendría?

73,000 se encuentra fuera del limite 1.- 70,789.86 2.- 71,802 3.- 72,814.14

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Potasio.. El requerimiento normal diario de Potasio en seres humanos está 3. Requerimiento de Potasio en el intervalo de 2,000 a 6,000 miligramos (mg), con cantidades más grandes necesarias durante los meses calurosos de verano. La cantidad de potasio en distintos alimentos varía pero las mediciones indican que el plátano contiene un nivel alto de potasio, con aproximadamente 422 mg en un plátano de tamaño mediano. Suponga que la distribución de potasio en plátanos está distribuida normalmente, con media igual a 422 mg y desviación estándar de 13 mg por plátano. Usted come n  3 plátanos al día y T es el número total de =

miligramos de potasio que recibe de ellos. a. Encuentre la media y la desviación estándar estándar de T . Se Calcula la media y desviación estándar de T:

  = 3( 3 (422 422)) = 1266   1266 = 35.58     = √   = √ 1266

b. Encue Encuentre ntre la probabili dad de que su ingesta diaria diaria de potasio de los tres plátanos exceda de 1,30 1,300 0 mg . (Sugerencia: Observe que T es la suma de tres v ariables ariables aleatoria X1, X2 y X3  dond X1  es la canti dad de potasi o en el plátano 1, etc.) s e

1300 − 1266   =

35.58

34 = 35.58 = 0.96

Por lo tanto:  = 0.16553 =  

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4. Duración de baterías para automóvil. automóvil. Un fabricante de baterías para automóvil afirma que la distribución del tiempo de duración (tiempo de vida) de las baterías de su mejor marca tiene una media

   = 54

meses y una desviación estándar

   = 6

meses. Suponga que un grupo de

consumidores decide verificar la afirmación y para ello compran una muestra de 50 baterías y las somete a prueba para medir m edir su tiempo de vida. a. Suponiendo que la afirmación del fabricante es verdadera, describa la distribución de muestreo de la media muestral cuando n  50 baterías. =

 = 54

  = 6

 = 50

b. Suponiendo que la afirmación del fabricante es verdadera, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra de 50 baterías tenga un tiempo de vida de 52 meses o menos? Z= 52-54/6 =-2/6 =-0.33

(  ≤ 52  52)) = 0.37070

5. Temperatura corporal. Suponga que la temperatura corporal de personas sanas se distribuye aproximadamente normal con media 37.0 C y desviación estándar de 0.4 C. a. Si 130 personas sanas se se seleccionan aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que la temperatura promedio para estas personas sea de 36.80 o menor?

 = 36.8

 = 0.4

Z= 36.8-37/0.4 = -0.2/0.4 = -0.5

P= 0.30854

b. ¿Considerarí ¿Consideraría a una temperatura promedio de 36.80 como poco probable de ocurrir, Página 8 de 6

 

si la verdadera temperatura promedio de las personas sanas es de 37 C?

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6. Costo de un apartamento. apartamento. El costo promedio de un apartamento en el desarrollo Cedar Lakes es de $62,000 usd con una desviación estándar de $4,200 usd. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un apartamento en este este desarrollo cueste al menos $65,000 usd?

    3000   = 65000−62000 = = 0.7142 4200 4200 

b. ¿La probabilidad de que el costo promedio promedio de una muestra muestra de dos apartamentos sea al menos de $65,000 usd es mayor o menor que la probabilidad de que un apartamento cueste eso? ¿En qué cantidad difiere?

 65000)) = 0.23885 (  ≥ 65000

Si son 2 departamentos:

 −   = 65000 − 62000 4200   =   ⁄   

⁄ 

3000 = 2970 = 1.01

2

7. Lanzamiento de una moneda. moneda. Una moneda justa se lanza n  80 veces. Sea pˆ la proporción muestral de caras (soles). Encuentre P(0.44  p  0.61)  =

ˆ

(0.44 <  <   < 0.61) = 0.61 − 0.44 = 0.17  8. Herramientas defectuosas. defectuosas. Se ha encontrado que 2% de las herramientas que produce cierta máquina tienen algún defecto. ¿Cuál es la probabilidad de que en 400 de dichas herramientas, a. 3% o más tengan algún defecto?

Página 10 de

 

  =  = 0.02 (1 − ) 0.02(0.98)   = √  = √  = √0.000049 = 0.007    ( ≥ 0.03) =  0.03 − 0.02 

= 0.007 0.01 0.007 = 1.4285

(  ≥ 0.03  0.03)) = 0.07780

b. 2% o menos tengan algún defecto?

( ≥ 0.03) =  0.02 − 0.02 

= 0.007 0 =0 0.007

(  ≥ 0.03) = 0.5

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Referencias  Referencias   Dennis D., W., Mendenhall, W. I., & Scheaffer, R. L. (2009). Estadística Matemática con  Aplicaciones  Aplicacio nes (7 ed.). México, México: Cengage Learning.

Devore, J. L. (2016). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias (9 ed.). Cengage Learning. Retrieved from https://elibro.net/es/lc/uvm/titulos/93280 https://elibro.net/es/lc/uvm/titulos/93280 McClave, J., & Sincich, T. (2014). Statistics (12 ed.). Harlow: Pearson. Mendenhall, W. I., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2015). Introducción a la Probabilidad y Estadística (14 ed.). México, D.F: CENGAGE Learning.

Sweeney, D. J., Anderson, D. R., & Williams, T. (2011). Estadística para Negocios y Economía (11 ed.). Cengage Learning. Retrieved from https://elibro.net/es/lc/uvm/titulos/39949 Fanny Zapata. (1 de abril de 2020). Error de muestreo: fórmulas y ecuaciones, cálculo, ejemplos. Lifeder. Recuperado de  de https://www.lifeder.com/error-de-muestr https://www.lifeder.com/error-de-muestreo/. eo/. 

Colaboradores de Wikipedia (2021) Muestra estadística, Recuperado de : Muestra estadística Wikipedia, la enciclopedia libre

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  Redacta Redacta una conclusión en la que expliques expliques en qué consi sten los si guientes conceptos: - ¿Qué es un parámetro poblacional? Es una estadística que indica un numero referente a la población •

- ¿Qué es una estadística muestral? De cierta manera extrae un numero estadístico de la población ayuda a conocer, determinar los aspectos generales de la población.

-

¿Qué entendemos por la distribución de muestreo de una estadística muestral? Es la que concentra todas las muestras posibles en cuanto a tamaño y cálculos.

-

¿Qué entendemos por el error estándar de una distribución de muestreo?

-

Es cuando al realizar una estadística estadística el error se deriva de porcentaje o hay alguna diferencia en el cálculo de la estadística.

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