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Í NDICE

1. Derivada de uma função função------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.1. Introdução ao conceito de derivada------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.2. Definição de derivada de uma função num ponto---------------------------- 3 1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto ---------- 4 1.4. Derivadas laterais-------------------------------------------------------------- 9 deriváveis----------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.5. Funções deriváveis-----------------------------continuidade ------------------------------------------------ 12 1.6. Derivabilidade Derivabilidade e continuidade-----------------------------------------------2. Derivadas de algumas funções------------------------------------------------------ 13 3. Regras de derivação-------------------------derivação--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 4. Aplicação das derivadas--------------derivadas------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18

--------------------------------------------------------- 18 4.1. Sinal da derivada e sentido de variação-------------------------------------------------- 19 4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 4.3. Segunda derivada de uma função-----------------4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada ----------------------------- 25

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Professora Maria Daniel Silva

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1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 1.1. I NTRODUÇÃO AO CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO (DERIVADA) A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.

A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único ponto em comum. Por exemplo

Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) ?

Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno h, diferente de zero, e sobre a curva assinala-se assinala-se o ponto ( x 0 + h, f ( x 0 + h) ) . h>0

h 0

b) x > 1

f)

c) y > 1

g) x - 2 > 0

d) y > -1

h) y - 2 £ 0

y £ -1

Considera agora a inequação x + 2y - 4 £ 0 .

O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um semiplano cuja fronteira é a recta de equação x + 2y - 4 = 0 . Para identificar qual é o semiplano procede -se de uma das seguintes formas. 1º processo Ensino Profissional

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Desenha-se a recta de equação y = -

x + 2 usando dois dos seus pontos (pontos de 2

intersecção com os eixos coordenados, preferencialmen te). ü

Observa- se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a

origem do referencial (0,0) Para x=0 e y=0, temtem- se 0 + 2 ´ 0 - 4 £ 0 Û -4 £ 0 verdade Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condiç ão.

Se a proposição fosse falsa concluía- se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido. 2º processo x +2 2

ü

Desenha-se a recta de equação y = -

ü

Resolve- se a inequação dada em ordem a y: x + 2y - 4 £ 0 Û 2y £ - x + 4 x Û y £ - +2 2

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