A1 - Ejercicios - Calculo Vectorial UVM

 

1. Con Con base base en el materia materiall co consu nsulta ltado do en la unidad unidad resuelv resuelvan an en eq equi uipo po de do dos s o tres tres personas los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre:   

Ecuaciones paramétricas Coordenadas polares Vectores y geometría del espacio

Ejercicio 1. Curvas de orden superior 

Revisa la Página 101 del 101 del material sugerido y resuelve los Ejercicios 1-14 Múltiplos de 4

Kindle, J. H. (1994). Geometría analític ana lítica, a, plana plana y del espacio espacio   [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/0 1/geometria-analitica-serie-schaumkindle.html

 

 

 

Ejercicio 2. Ecuaciones paramétricas

Revisa la Página 18 y 18 y resuelve los Ejercicios 13, 15 y 17

Estos ejercicios están resueltos en el libro

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

 

Ejercicio 3. Coordenadas polares

Revisa las Páginas las Páginas 80 y 81 y 81  y resuelve los ejercicios: 2 incisos a) y b), así como los Ejercicios 4 y 10

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

 

Estos ejercicios están resueltos en el libro

 

 

Estos ejercicios están resueltos en el libro

 

Ejercicio 3. Coordenadas polares

Revisa las Páginas las Páginas 80 y 81 y 81  y resuelve los ejercicios: 2 incisos a) y b), así como los Ejercicios 4 y 10

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

 

Ejercicio 4. Vectores en el plano y espacio

Revisa la Página la Página 7 y 7 y resuelve los ejercicios 6 a 10

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial  [Versión  [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915? page=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

 

C) En otras palabras, esto es la definición de resta de vectores donde nuestro origen es el punto A .

 

Ejercicio 5. Producto punto

Revisa la Página la Página 26 y 26 y resuelve el punto 1.3 Ejercicios 1, 3 y 5

  .-  = ( ,5),  = (−2,3)

 ⋅  = 1 ⋅ (−5) + 5 ⋅ 3  ⋅  = −5 + 15  ⋅  = 10 ‖‖ = √ ( 1 ) ² +(5 ) ² ‖‖ = √ 1 +25 ‖‖ = √ 26 26 ‖‖ = √ (− (−2 ) ² + 3 ² ‖‖ = √ 4 + 9 ‖‖ = √ 1 13 3

3.-  = (− ,0,7),  = (2,4, −6)  ⋅  = (−1) ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 + 7 ⋅ (−6)  ⋅  = −2 + 0 − 42  ⋅  = −44

‖‖ = √ (− (−1 ) ² +( 0 )² +( 7 ) ² ‖‖ = √ 1 + 0 + 49 ‖‖ = √ 50 ‖‖ = √ ( 2 ) ² +( 4 ) ² +(−6 ) ²

Jane, S. (2013). Cálculo vectorial  [Versión  [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915? page=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

 

‖‖ = √ 4 + 16 + 36 ‖‖ = √ 56 56 5.  = 4 − 3 + ,  =  +  + 

 ⋅  = 4 ⋅ 1 + (−3) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅=4−3+1 ⋅=2 ‖‖ = √ ( 4 ) ² +(−3) ² +( 1 ) ² ‖‖ = √ 16 16 + 9 + 1 ‖‖ = √ 26 26 ‖‖ = √ ( 1 ) ² +(1 ) ² +(1 ) ² ‖‖ = √ 1 + 1+ 1 ‖‖ = √ 3

Ejercicio 6. Producto vectorial Jane, S. (2013). Cálculo vectorial  [Versión  [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915? page=1 Colección E-Libro Pórtico UVM

Revisa la Página la Página 38 y 38 y resuelve los Ejercicios 1.4 (Incisos 1, 3, 6 y 7)

| |

1.-

   

2

4

1

3

  = (2)(3) − (4)(1)

=6−4 =2  1

3

5

0

2

7

−1

0

3

|

3.-

|

=

= [1 ⋅ ((2)(3) − (7)(0))] − [3 ⋅ ((0)(3) − (7)(−1))] + [5 ⋅ ((0)(0) − (2)(−1))] = [1 ⋅ (6 − 0)] − [3 ⋅ (0 + 7)] + [5 ⋅ (0 + 2)] = 6 − 21 + 10 = 37 6. (3 − 2 + ) × ( +  + )

|

 ⅈ   j

=

3 1

  −2 1

|

k  1

1

=

|−   − | −| | j+|   −  |k  2

1

1

1

 ⅈ

3

1

3

1

1

1

2

1

= [(2)(1) − (1)(1)] − [(3)(1) [ (3)(1) − (1)(1)] + [(3)(1) − (−2)(1)]

 

= [2 − 1] − [3 − 1] + [3 + 2] =  − 2 + 5

7.-( + ) × (−3 + 2)

|

=

 1

−3

|k 

1 2

= [(1)(2) − (1)(−3)] = [2 + 3] = 5 Ejercicio 7. Planos

Revisa la Página la Página 120 y 120 y resuelve los Ejercicios 1a, 1c, 3, 5a y 6a

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

Hallar la ecuación del plano: a. Paralelo al plano xy y situado 3 unidades por debajo de él

⃗  =< 0,0, −3 >  +  = 0  = −3

b. Perpendicular al eje z en el punto (0,0,6).

⃗  =< 0,0,6 >  +  = 0  = 6

2. Hallar las ecuaciones del plano que pasa por el punto (3,-2,4) y es perpendicular a la recta de los componentes 2,2,-3.

⃗  =< 2,2, −3 >  = (3, −2,4)  +  +  +  = 0

 

2(3) + 2(−2) − 3(4) +  = 0 6 − 4 − 12 +  = 0 −10 +  = 0

 = 10 2 + 2 − 3 + 10 = 0 3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,2,4) y es paralelo al plano 2x3y-5z+6=0

⃗  =< 2, −3,5 >  = (−1,2,4) ( − 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0 2(x − (−1)) − 3(y − (2)) − 5(z − (4)) + 6 = 0 2 + 2 − 3  + 6 − 5  + 20 = 0 2 − 3 − 5 + 28 = 0

Ejercicio 8. Recta en el espacio

 

Revisa la Página la Página 127 (Problemas propuestos 1a y 1c)

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

Solución 2 −  + z − 5 = 0 Sustituyendo z=1 2 −  + 1 − 5 = 0 2 −  − 4 = 0 ……(1)

x+2y-2z-5=0 Sustituyendo Z

 + 2 − 2 − 5 = 0  + 2 − 7 = 0 ……(2) Resuelve el sistema de ecuaciones; se multiplica por 2 la ecuación 1 4 −2  −8 = 0

 + 2 − 7 = 0 Se hace la suma 5x=15 x=3 Sustituye x en la ecuación 1 y se despeja y 2(3)-y-4=0 6-y-4=0 y=2 Por lo tanto la coordenadas son (3,2,1)

 

Solución  Sustituimos la x en la igualdad y tenemos dos ecuaciones

Comprobación

Por lo tanto la coordenadas son

Ejercicio 9. Superficies

(3,

−14 3

5

, ) 3

 

Revisa la Página la Página 139 y 140 (1. 140 (1. Hallar las ecuaciones de las esferas) Incisos 1 a, c y Ejercicio 7

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica,  plana y del del espacio [PDF]. espacio [PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/g eometria-analitica-serie-schaumkindle.html

 

Ejercicio 10. Coordenadas cilíndricas y esféricas Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915? page=1

Revisa la Página la Página 73 Ejercicio 1.7 (Incisos 14 a 18)

Solución

(x, y, z) → (r, ϴ,z ϴ,z )

 = √ 12+ 0²= √ 1= 1 −1   0

 ¿ tan −1 =180 °= π  z= 2 Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son ( 1, π,2)

Solución

(x, y, z) → (r, ϴ,z )

 = √ (− (−1 )2 +( √ 3 ) ²= √ 1 + 3 =√ 4= 2 3 300 π  5 π  60 ° =300 300° °= =  ¿ tan  √  =−60 °=360 ° − 60° −1

−1

180

6

z= 13 Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son

( 2,

5 π  6

,13)

 

Solución

(x, y, z) → (r, ϴ,z )

 = √ 52 + 6²= √ 2 25 5 + 36 =√ 61= 7.81

 ¿

−1  6 tan 5

50 π 

50

=

5 π 

° = 180 = 18

z= 3

( 7.81,

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son

5 π  18

,3)

(x, y, z) → (R , ϴ, φ ) 2

12

2

√  + 1 + √ 6 =√ 1 + 1 + 6 =√ 8= 2.82 135 π  27 π  3 π  − −1 =− 45 ° =180− 45= = =  ¿ tan

R=

1

1

−1   √  6

φ ¿ cos

2.82

180

=36 ° =

36 π 

12 π 

 4 π 

180

60

20

=

=

36

=

4

π  5

Por lo tanto las coordenadas esféricas son

( 2.82,

3 π  4

π 

,5 )

(x, y, z) → (R , ϴ, φ )

R = √ 02 + √ 32 + 1²= √ 3 + 1 =√ 4 = 2 3 exite te  ¿ tan √  =no exi −1

0

−1

φ ¿ cos

 1 2

=60 ° =

60 π  180

=

π  3

Por lo tanto las coordenadas no se puede convertir a coordenadas esféricas

π 

( 2, Error, 0

 

Conclusión Sobre la importancia de utilizar el fundamento teórico de las ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, vectores y geometría del espacio como elementos básicos para el aprendizaje y aplicación del cálculo vectorial. Son de gran utilidad cuando se trata de estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos, así como en el estudio de elipses y circunferencias. Dentro de la industria son necesarias en la navegación, hablando de la industria aeronáutica o marina, e incluso se  presentan en formas de productos creados dentro de fábricas. Los vectores y planos son utilizados prácticamente todo el tiempo en cualquier área de Ingeniería. Un ejemplo es en la logística cuando los procesos requieren el uso de maquinaria, saber programar las computadoras que van a realizar el producto requiere el cálculo de vectores como fuerza, posición o aceleración. El campo eléctrico es un vector muy utilizado en la industria, para calcular el campo eléctrico o la fuerza debida a una carga puntual en cualquier  parte del espacio, es necesario desde crear un vector unitario que apunte de la carga que genera a la que recibe, como aplicar leyes que involucran vectores. Esto es usado en la industria eléctrica, metalúrgica, química, etc., y en general en todas las industrias, ya que los vectores están presentes en todo proceso. Otro ejemplo es el cálculo de la velocidad en una línea de  producción, hacer uso de esta herramienta para calcular tiempos, desplazamientos entre estaciones de trabajo, y con ello poder reducir demoras y desperdicios. Las curvas polares se presentan en muchas áreas de la vida cotidiana. Los círculos, por ejemplo, son una de las figuras más utilizadas y aplicadas en la industria, ya que facilitan cualquier proceso. Pueden ser aplicados incluso para distribución de planta o layout, y al haber sido estudiados de forma correcta se garantizará un mejor resultado en la producción, a menor costo y en menor tiempo. Además, muchos productos pueden adquirir la forma de curvas  polares. Además, en cualquier sector de Ingeniería es posible encontrarse con la concurrencia de variables espaciales y polares, por lo que es de gran u utilidad tilidad conocer estos conceptos.

Referencias

 













Jane, S. (2013) Jane, (2013).. Cálcul Cálculo o vector vectorial ial [Versi [Versión ón https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?page=1

electr electróni ónica] ca]..

Recuper Recuperado ado

de

Kindle, J. H. (1994). Geometría analítica, plana y del espacio [Archivo PDF]. Recuperado de http://librotecarios.blogspot.com/2014/01/geometria-analitica-serieschaum-kindle.html Sergio Esteves Rebollo. (2015, 3 octubre). Resta de Vectores (Método Gráfico) [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=q7hV-IZZEU8 Maths, S. (s. f.). Suma y resta de vectores. Sangaku Maths. Recuperado 14 de noviembre de 2021, de https://www.sangakoo.com/es/temas/suma-y-resta-de-vectores Coordenadas Polares - Cálculo vectorial (Diario de reflexión). (s. f.). calculovectorial. Recuperado 14 de noviembre de 2021, de https://sites.google.com/site/ingenieriacalculovectorial/parcial-1/geometria-3d ingeniat. (2011, 26 abril). UDEM MAD R29.2 E01 Distancia entre dos puntos [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=06QNSQD-2Ow