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Material Instrucional especialmente elaborado pelo Prof. Antônio Francisco para uso exclusivo do CETEB-CA.

Curso: Processos Industriais Docente: Discente:

Módulo: Básico Turno:

Carga Horária: 30h Turma: 3

SUMÁRIO Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros Conjunto dos Números Racionais Potenciação Notação científica, Radiciação Expressões numéricas Unidade de medidas Razão Proporção Grandezas proporcionais Regra de três simples Porcentagem Cálculo algébrico Produtos notáveis Fatoração Equação do 1º grau Equação do 2º grau Função do 1º grau Função do 2º grau Função exponencial Logaritmos Função logarítmica Exercícios Referência Consultada

4 7 10 18 21 22 24 24 27 29 32 34 36 37 39 40 42 46 51 52 57 58 61 63 66

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O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Em matemática, usamos com muita freqüência alguns conjuntos de números e, entre eles, o conjunto dos números naturais. Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os chamados números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que se indica pela letra  N  .  N  = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} Quando se exclui o 0 deste conjunto, temos o conjunto indicado por  N * . *  N  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} → conjunto dos números naturais não-nulos. Considerando a sucessão dos números naturais, podemos observar o que se segue. 

Todo número natural tem um sucessivo.

Exemplos:     

O sucessivo de 0 é 0 + 1 = 1 O sucessivo de 1 é 1 + 1 = 2 O sucessivo de 2 é 2 + 1 = 3 O sucessivo de 37 é 37 + 1 = 38 O sucessivo de 199 é 199 + 1 = 200

De uma maneira geral, dado um número natural n o seu sucessivo é (n + 1) . Zero é o menor dos números naturais e não é sucessivo sucessivo de nenhum outro número natural. Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. Exemplos:     

O antecessor de 1 é 1-1 = 0 O antecessor de 2 é 2 – 1 = 1 O antecessor de 3 é 3 – 1 = 2 O antecessor de 26 é 26 – 1 = 25 O antecessor de 500 é 500 – 1 = 499

De uma forma geral, dado um número natural n (n ≠ 0) o seu antecessor é (n − 1) . Qualquer número natural, a partir do 1, é maior que todos os números que o procedem e é menor que o seguem. Exemplos: 4 > 3, 4 > 2, 4 > 1, 4 < 8

4 < 5, 4 < 6, 4 < 7, 4 < 8,...

Não existe o maior dos números naturais, isto é, existem infinitos números naturais. Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos.

5

Igualdade e desigualdade A relação a = b é uma relação de igualdade as relações desigualdades. 

≠ b, a > b e a < b são relações de

Propriedades da igualdade

a) Reflexiva: a = a b) Simétrica: se a = b , então b = a c) Transitiva: se a = b e b = c , então 

a

a

=c

Propriedades da desigualdade

Transitiva: se a > b e b > c, então a > c se a < b e b < c, então a < c

Adição de números naturais A operação da adição é usada quando devemos juntar duas ou mais quantidades. Consideremos, então, a seguinte situação em que empregaremos a operação da adição: Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham ao todo nessa empresa? Exercício 1º) Um automóvel passou pelo Km 435 de uma rodovia. Ele ainda deverá percorrer 298 km até chegar ao seu destino. Em qual Km dessa estrada está o ponto de destino desse automóvel? 2º) O odômetro é um aparelho usado nos veículos para marcar o número de quilômetros percorridos. Um carro sai de São Paulo com o odômetro marcando 28596 km e vai até Rio Claro, uma cidade distante 175 km de São Paulo. Ao chegar a Rio Claro, qual a quilometragem que o odômetro desse carro estará marcando? 3º) A produção de uma indústria foi de 105 780 peças em janeiro, 93 968 em fevereiro e 119 498 peças em março. Quantas peças essa indústria produziu nesse trimestre?

Subtração de números naturais A operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de outra quantidade. Exemplo: Uma imobiliária anunciou um apartamento por R$ 38.650,00 e outro imóvel, menor por R$ 27.930,00. Qual a diferença de preço entre os dois imóveis? Solução

38 650 - 27 930 10 720

minuendo subtraendo diferença ou resto

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Exercício 1º) Hidrômetro é um aparelho semelhante a um relógio: marca o consumo de água de uma casa em centímetros cúbicos. A leitura de um hidrômetro feita no dia 20 de março indicava 2 568 metros cúbicos e uma nova leitura feita um mês depois, indicava 2 727 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos nesse período? 2º) Você sabe que o odômetro é um aparelho usado nos veículos para marcar o número de quilômetros percorridos. Ao sair de uma cidade  A, uma moto tinha seu odômetro marcando 18.602 quilômetros, ao chegar a uma cidade  B , o odômetro marcava 19.110 quilômetros. Quantos quilômetros separam a cidade  A da cidade  B ? 3º) Sabe-se que a profundidade média do oceano Pacífico é de 4.188 metros e a profundidade média do oceano Atlântico é de 3.736 metros. Qual é a diferença entre essas duas profundidades?

Multiplicação de números naturais A operação de multiplicação é empregada quando adicionamos a mesma quantidade muitas vezes. Exemplo: Um edifício de apartamentos tem 6 andares. Em cada andar há 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm o edifício todo? Solução:

Para resolver esse problema, podemos fazer: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 Essa mesma igualdade pode ser representada por: 6 x 4 = 24

Exercício: 1º) Três cidades, A, B e C são ligadas por uma rodovia. Sabe-se que de A até B são 275 km e que de B até C a distância corresponde ao triplo da distância de A até B. Quantos quilômetros são de B até C? 2º) Você sabe que o dobro significa duas vezes, o triplo três vezes, o quádruplo significa quatro vezes e o quíntuplo significa cinco vezes. Nessas condições, e sabendo que o número natural n vale 495, determine: a) O dobro número n b) O triplo do número n c) 6 x n d) O quádruplo do número n e) O quíntuplo do número n f) 12 x n

Divisão de números naturais A operação da divisão é empregada quando queremos dividir uma quantidade em partes iguais. Exemplo: Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las em 12 caixas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de peças. Quantas peças serão colocadas em cada caixa? Solução: Para resolver esse problema, devemos fazer 183 ÷ 12. Como o resto é 3, dizemos que esta é uma divisão com resto ou uma divisão não exata. Logo, podemos dizer que em cada caixa serão colocadas 15 peças, sobrando ainda 3 peças. Exercício 7

1º) Uma tonelada de cana–de–açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de álcool são necessárias para produzir 6 970 litros de álcool? 2º) Para verificar se um automóvel está bem regulado, procura-se calcular o consumo de combustível dividindo-se a distância que o automóvel percorre pela quantidade de combustível gasta. Sabendo que para percorrer 444 km um carro consome 37 litros de combustível, determine o consumo desse carro. 3º) Um pedaço de madeira tem 340 centímetros de comprimento e foi dividido em 3 partes. A primeira parte tem 78 centímetros de comprimento, enquanto as duas outras têm o mesmo comprimento. Quantos centímetros têm cada uma dessas partes? 4º) O número atômico (Z) é o número de prótons presentes no núcleo de um átomo. O número de massa (A) é a soma do número de prótons (Z) e de nêutrons (N) presentes no núcleo de um átomo. Calcule o número de elétrons de um átomo de Carbono sabendo-se seu número atômico é 6 e seu número de massa é 12.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números + 1,+2,+3,+4...,+10...,+25...,+100,... são chamados números inteiros positivos. Os números inteiros positivos são identificados com os números naturais maiores que 0 . +1 = 1 +2 = 2... +10 = 10... +25 = 25... +100 = 100... Os números − 1,−2,−3,−4,−5,...,−10,...,−25,...,−100,... são chamados números inteiros negativos. O conjunto formado pelos números inteiros com o sinal de mais (+) positivos, pelos números inteiros com o sinal de menos (-) negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros e é representado pela letra  Z  .

 Z  = (...,−5,−4, −3, −2,−1, 0, + 1,

+ 2, + 3, + 4, + 5,...)

Exercícios: 1º) Tomando como referência o nível do mar, use números inteiros positivos ou negativos para indicar os valores expressos nas frases: a) O mergulhador só desce ao mar para fazer reparos a até 300m de profundidade. b) Na fronteira do estado do amazonas com a Venezuela estão os dois pontos mais elevados do território brasileiro: Pico 31 de março, com 2992 metros, e o Pico da Neblina, com 3014 metros. c) A Petrobrás é a única empresa no mundo capaz de explorar poços localizados a até 2000 metros abaixo da superfície do mar.

Comparação de números inteiros Qualquer número inteiro positivo é maior que zero. Exemplo: +15 > 0  Qualquer número inteiro positivo é maior que qualquer número inteiro negativo. Exemplo: +19 > - 28  Qualquer número inteiro negativo é menor que zero. Exemplo: - 1256 < 0  Entre dois números inteiros negativos, o maior é aquele que tem o menor módulo. Exemplo: -6 > -10, pois − 6 < − 10 Generalizando o que vimos: Entre dois números inteiros quaisquer, o maior é aquele que está mais à direita na reta numérica inteira. Exercícios: 

8

1º) Compare os dois números inteiros que estão envolvidos no seguinte fato: Uma temperatura de 2 graus abaixo de zero é mais alta que uma temperatura de 6 graus abaixo de zero. 2º) Usando os símbolos > e 0 Como ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por: a

49

 x

Então:

S

=

−b± ∆ 2a

=

− (2) ± 36 2(1)

=

−2+6 4  ´ = = =2  x  2 2   x" = − 2 − 6 = − 8 = −4  2 2

−2±6 2

= {− 4,2}

2)  x 2 − 14 x + 49 = 0 no conjunto  R . Nessa equação, temos:

b = −14 c = 49 =1 ∆ = b 2 − 4ac = (−14) 2 − 4(1)(49) = 196 − 196 = 0 Como ∆ = 0, a equação tem uma única raiz real dada por: − b − (−14) 14 = = = 7 ⇒ Então: S = {7} .  x = a

2a

2(1)

2

3)  x 2 − 5 x + 8 = 0 no conjunto  R . Nessa equação, temos:

b = −5 =1 ∆ = b 2 − 4ac = (−5) 2 − 4(1)(8) = 25 − 32 = −7 Como ∆ < 0, a equação dada não tem raízes reais. Neste caso, S = ∅ a

c

=8

Determinar no conjunto  R , a solução da equação 3 x( x + 1) −  x = 33 − ( x − 3) 2 . Vamos, inicialmente, escrever a equação dada na sua forma normal: 3 x( x + 1) −  x = 33 − ( x − 3) 2 3 x 2 + 3 x −  x = 33 − ( x 2 − 6 x + 9) 3 x 2 + 3 x −  x = 33 −  x 2 + 6 x − 9 3 x 2 + 2 x = − x 2 + 6 x + 24 3 x 2 +  x 2 + 2 x − 6 x − 24 = 0 4 x 2 − 4 x − 24 = 0  x 2 − x − 6 = 0

Nesta equação, temos:

Dividimos todos os termos por 4 para simplificar a equação

b = −1 =1 2 2 ∆ = b − 4ac = (−1) − 4(1)(−6) = 1 + 24 = 25 Como ∆ > 0, a equação tem duas raízes dadas por: a

c

= −6

1+ 5 6  = = =3  x ´ − b ± ∆ − (−1) ± 25 1 ± 5  2 12 = =  x =  1− 5 − 4 2a 2(1) 2  = = −2  x" =  2 2 Logo, S = {− 2,3} .

Exercício: 50

1º) As equações a seguir estão escritas na forma ax 2 + bx + c = 0 . Determine o valor do discriminante ∆ em cada uma e diga se a equação tem raízes reais. a)  x 2 − 3x − 4 = 0

b)

4 x 2 − 2 x + 1 = 0

2º) Determine o conjunto solução da equação de 2º grau, sendo U  = R

 x 2

2

−

 x + 12

3

= 2 x .

Problemas do 2º grau 1) A soma do quadrado com o quíntuplo de um mesmo número real 2) A soma de um número real inteiro diferente de zero com o seu

 x é igual a 36. Qual é esse número  x ? 10 inverso dá . Qual é o número inteiro 3

considerado? 3º) Um pedaço de arame de 40 cm de comprimento foi cortado em dois pedaços de comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados que, juntos formam uma área de 58 cm . Determine o comprimento em que cada pedaço foi cortado.

FUNÇÃO DE 1º GRAU Definição: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Tipos de funções do 1º grau    

Função Afim (  f  ( x) = ax + b ) Função Linear (  f  ( x) = ax ) Função Identidade (  f  ( x) = x ) Função Constante (  f  ( x) = k , k  ∈ R )

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,  x = e outro ponto é    1

3

1   ;0  . 3    

1   Marcamos os pontos (0, -1) e    ;0  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

 3  

51

x 0

Y -1 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x (a) é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante (b) é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

FUNÇÃO DO 2º GRAU Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos de função quadrática: 1. 2. 3. 4. 5.

f(x) = 3x 2 - 4x + 1, onde a = 3, 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico O gráficode gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma uma curva chamada parábola. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x 2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

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x -3 -2 -1

y 6 2 0

0 1 2

0 2 6

Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que:  

0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; cima ; se a > 0, se a < 0, 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; baixo;

Zeros ou raízes da função do 2º grau Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara.

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são   −

b

  2a

;−

∆  

 . Veja os gráficos:

4a 

53

Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax 2 + bx + c, a 0, é o conjunto conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: possibilidades: 1ª - quando a > 0, a>0 ∆  Im =  y ∈  R /  y ≥ −





4a 

2ª quando a < 0  

Im =  y ∈  R /  y ≤ −

∆ 

4a 

Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: seguinte: O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 1.

Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 54

∆  

2.

O vértice V   −

3. 4. y.

A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; Para x = 0 , temos y = a · 0 2 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos

b

  2a

;−

 indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

4a 

Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo. Conforme o sinal do discriminante ∆ = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º caso - ∆ > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x 1 ≠ x 2 ). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0  y

 y

< 0 ⇔  x <  x1

> 0 ⇔ ( x <  x1 ou  x > x2 )  y < 0 ⇔  x1 <  x < x2

quando a < 0 ou  x > x2 e

 y

> 0 ⇔  x1 <  x < x2

55

2º - ∆ = 0

quando a > 0  y > 0, ∀ x ≠ x1 não existe  x tal que  y  y

>0

= 0  para  x1 =  x

quando a < 0  y < 0, ∀ x ≠ x1 não existe  x tal que  y  y

>0

= 0  para  x1 =  x

2º -

∆< 0

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quando a > 0  y

 y

> 0, ∀ x

< 0, ∀ x

quando a < 0

FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição de uma função exponencial Uma função  f  :  R → R+* é chamada de função exponencial quando existe um número real a ≠ 1 , tal que  f  ( x ) = a x , para todo  x ∈  R . Se a > 1 ,dizemos que  f  é crescente. Se 0 < a < 1 , dizemos que  f  é decrescente.

a , com a

>0 e

57

Exemplos:  x

 1  g ( x) =    5 

h( x)

= (0,4) x

 y

= ( 3 ) x

Gráfico da função exponencial Vamos construir os gráficos de algumas funções exponenciais. Exemplos:  x

 f  ( x )

 1  g ( x ) =    2 

=2

 x

1º caso

 x

−2

 x

g ( x )

1

−3 −2 −1

8 4 2 1 1

0

2 1 2 4 8

0 1 2 3 a

 f  ( x)

4 1

−1

No primeiro caso, a base

2º caso

1

2 1

2

é

2 ( a > 1) ,

1

(0 < a < 1) ,

4

então a função exponencial é crescente.

 D(  f  )

=  R e

 D( g )

=  R e

Im( f  ) = R*+

No segundo caso, a base

a

é

2

então a função exponencial é decrescente.

Im( g ) = R *+

Observe que os gráficos das funções exponenciais passam pelo ponto quadrantes. Há ainda funções que podem ser obtidas a partir da função exponencial.

(0, 1)

e só ocupam o 1º e o 2º

Exemplos:  f  ( x )

= 2 x +1

G ( x )

= 5.3 x

h( x )

= 3x − 2

Exercício Certa substância se decompõe segundo a lei m(t ) = k .2−0,5t  em que k  é uma constante, t  indica o tempo em minutos e m(t ) , a massa da substância em gramas. No instante inicial 2,048 gramas. Essa quantidade 58

decai para 512 gramas após k  = 2.048 e t  = 4 min

t 

minutos. Com base nessas informações, determine os valores de

k 

e de t .

LOGARITMOS Definição de Logaritmos Dados

e b números reais positivos, com a ≠ 1 , o logaritmo de b na base a é o número real  x tal que: x log a b =  x ⇔ a = b . O número b é chamado logaritmando. Dizemos também que co log a b = − log a b nas mesmas condições para a e b . a

Exemplos: log 2 0,5 = −1 ⇔ 2−1 = 0,5

log6 36 = 2 ⇔ 62 = 36

log10 1 = 0 ⇔ 100 = 1

Em particular, log10 = 0 pode ser escrito também como log1 = 0. Sempre que a base for omitida, entende-se que o logaritmo tem 10 por base.

Exercícios resolvidos 1º) Determinar o valor de  x sabendo que  x = log 1 (

2 )3.

8  x

3

3

1  3 1 − 3  x −3 x 3 solução: log 1 ( 2 ) =  x ⇒     = 2 ⇒ (2 ) = 2 2 ⇒ 2 = 2 2 ⇒ − 3 x = ⇒  x = − 2 2  8  8 3

2º) Quanto vale k , se logk  81 = 4 ? solução: logk  81 = 4 ⇒ k 4 = 81 e k  > 0 ⇒ k  = 4 81 ⇒ k  = 3 (−3 não serve,  pois k  > 0) Exercício 1º) Calcule: a) log 2 2

b) log 0,1

c)

log 1 16 4

Conseqüências da definição de logaritmos 1º Conseqüência: 2ª Conseqüência: 3ª Conseqüência: 4ª Conseqüência: 5ª Conseqüência:

pois a 0 = 1 1 log a a = 1, pois a = a n n n log a a = n, pois a = a log n a = n, pois log a n = m ⇒ a m = n ⇒ a log n = n log m log a m = log a n ⇒ m = n, pois a =n⇒m=n

log a 1 = 0,

a

a

a

59

Exemplos: a)

log 3 8

(log

3

3 ).(3

b)

) = 1.8 = 8

log3  x = log3 29 ⇒ x = 29

Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto de dois números positivos, em uma base logaritmos de cada um desses números na base a .

a,

com

0 < a ≠ 1, é igual à soma dos

com

0 < a ≠ 1,

log a (b.c ) = log a b + log a c

Exemplos: a)

log5 (25.625) = log5 25 + log5 625 = log5 5 + log5 5 = 2 + 4 = 6 2

4

b) log 500 = log(100.5) = log100 + log 5 = 2 + log 5 Logaritmo de um quociente O logaritmo do quociente de dois números positivos, em uma base dos logaritmos de cada um desses números na base a . log a

b c

a,

é igual à diferença

= log a b − log a c

Exemplos:  125  3 4  = log5 125 − log5 625 = log5 5 − log5 5 = 3 − 4 = −1  625 

a)

log5 

b)

log 4 

  1    = log 4 1 − log 4 16 = 0 − 2 = −2  16 

Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência em uma base pelo logaritmo da base da potência.

a, com 0 < a

≠ 1, é igual ao produto do expoente da potência

log a b n = n.. log a b

Exemplos: 1

a)

log5 5 = 8. log 5 5 = 8.1 = 8 8

b)

log 2 3 = log 2 3 2 =

Mudança de base

1 2

log 2 3

Se você observar com atenção, algumas calculadoras científicas têm uma tecla em que você lê log . Essa tecla calcula logaritmos na base 10 . Se digitarmos o número 100 e, em seguida, log , aparecerá o número 2 , que é o resultado de log100 . Em calculadoras como essa, se quisermos calcular logaritmos em bases diferentes de 10 , teremos que usar a propriedade de mudança de base, como veremos a seguir. Se a, b e c são números reais positivos, e a e c são ambos diferentes de 1 , então: log a b =

logc b logc a

60

Exemplos: Sabendo-se que log11 ≈ 1,04, determinar um valor aproximado de log11 1.000. Para isso, transforma-se o logaritmo dado para a base 10 , porque o dado fornecido é um logaritmo nessa base: log11 1.000 =

log1.000 log11

=

log103 log11

=

3. log10 log11

≈ 2,88

Cálculo de logaritmos usando calculadora Determinação do valor de um logaritmo Além da base 10, há outra base muito usada em problemas científicos, conhecida como base e , em que e representa um número irracional, cujo valor aproximado é 2,718. O logaritmo de um número  x na base e é indicado usualmente por ln  x , em vez de loge x, e chama-se logaritmo natural de  x , ou logaritmo neperiano de  x, em homenagem ao escocês John Napler (1550-1617). Para efetuar cálculos que envolvem logaritmos, podemos utilizar uma calculadora científica. Observe algumas teclas: A tecla log serve para calcular o logaritmo na base 10. Como já vimos anteriormente, digita-se o número e aperta-se a tecla log. Se o logaritmo estiver na base e , utilizamos a tecla ln .  x  A tecla 10 serve para calcular o logaritmando de um logaritmo de base 10 . Digita-se o valor  x do logaritmo e aperta-se a tecla 10 x . Se o logaritmando se refere a u logaritmo neperiano, utilizamos a tecla e x . Exemplos: 

a) Para calcular log 47, digita-se 47 e aperta-se a tecla log . Assim, obteremos log 47 ≈ 1,6720978 . b) Para calcular o valor de b na expressão log b = 1,4624 , teclamos 1,4624 e depois 10 x . Logo b ≈ 0,29 . c) Para calcular ln 9, digitamos 9 e apertamos a tecla ln na calculadora. Dessa forma, ln 9 ≈ 2,197224 . d) Para calcular o valor de b na expressão ln b = 2,0794, teclamos 2,0794 e depois e x . Logo, b

≈ 7,9997.

Exercício resolvido 1º)Indicar os passos para efetuar os cálculos pedidos, supondo o uso da calculadora científica. a) Determinar o valor de

b

em

ln b = 1,6094

b) Calcular

ln 10

Solução: a) Digita-se 1,6094 e aperta-se a tecla e x . Assim, obtemos b ≈ 5 b) Digita-se 10 e aperta-se a tecla ln . Dessa forma, obtemos ln 10 ≈ 2,3026 Exercício 61

1º) O pH de uma solução é dado pela fórmula



  1    . Qual é o pH de uma substância que +   H  O   3  

 pH  = log



tem por concentração de  H 3O + a quantidade de 3,8.10−5 mol / λ ? 2º) Se o pH de uma substância é 100, qual deve ser a concentração de  H 3O + ? 3º) Por definição, pOH duma solução é o cologarítmo na base 10 de sua concentração hidroxiliônica em íonsgrama/litro ou moles/litro OH − . Sendo assim escreva o pOH em função do logaritmo na base 10.

FUNÇÃO LOGARITMICA Definição de uma função logarítmica Já vimos funções exponenciais. Agora, vamos estudar funções logarítmicas. Uma função  f  :  R*+ →  R é chamada de função logarítmica quando existe um número real a ≠ 1, tal que  f  ( x ) = log a x, para todo  x ∈  R*+ Se

a

a , com a

>0 e

> 1, dizemos que  f  é crescente. Se 0 < a < 1, dizemos que  f  é decrescente.

Exemplos: a) g ( x) = log 2 x

b)

h ( x )

c)  y = log 1  x

= log8  x

5

Gráfico da função logarítmica Vamos construir os gráficos de algumas funções logarítmicas.  f  ( x) = log3  x  x

1 9 1 3

 f  ( x)

−2 −1

1

0

3 9  x

−1 −( x 2) h

1

2

9 1 3

g ( x ) = log 1 x 3

1 62

1 3 9

0 1 2

No primeiro caso, a base a é No segundo caso, a base  I m ( h)

3 ( a > 1) , então a função logarítmica é crescente.  D(  f  ) = R*+

a

é

1 3

(0 < a < 1),

então a função logarítmica é decrescente.

e  I m (  f  ) =  R .  D( h) = R

*

+

e

=  R .

EXERCÍCIOS Simplificação 01) Simplificando a fração a)

105 21

, obtêm-se um valor equivalente a:

1 5

63

b) – 5 c) d) e)

2 5 5 5 20 1 5

02) Simplificando a fração 132 / 22 obtêm-se um valor equivalente a: a)

1 5

b) 6 c) d) e)

2 5 5 5 20 1 5

Expressões 03) Calculando-se o valor da expressão

0,5 × 0,2 − 0,4 : 0,2 0,8 × 0,1

, obtêm-se:

a) 17,315 b) 1,7315 c) - 23,75 d) 2,375 e) 23,75

Razão e proporção 4) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de plástico possui 200g de peso líquido e 250g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto? 5) A razão entre a quantia que gasto e quantia que recebo como salário pôr mês é de 4 / 5. O que resta coloco na caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança? 6) Na prova de Química, a razão do número de questões que Maria acertou para o número total de questões foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de 16 questões, quantas questões Maria acertou? 7) A razão entre as idades de um filho e seu pai é de 2 / 5. Se o filho tem 24 anos, qual a idade do pai? 8) Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm . Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30 km, qual a escala utilizada no mapa? 9) Sabendo-se que 6, 24, 5 e x formam nessa ordem, uma proporção, determine o valor de x. 10) Determine a quarta proporcional dos números 2 / 3, 5 e 1 / 4. 11) Numa maquete a altura de um edifício é de 80 cm. Qual a altura real do prédio, sabendo-se que a maquete foi construída na escala de 1: 40? 12) Para ser aprovado no Vestibular da UFBA, Mônica tem que acertar 70%. Sabendo-se que a prova tem 20 questões, quantas questões ela terá que acertar? 13) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas condições, 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de água? 64

Regra de três simples e porcentagem 14) Ao participar de um treino Barrichello imprimiu velocidade de 200 km/h, fez o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso? 15) Para transportar material bruto para uma construtora foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 metros cúbicos cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 metros cúbicos, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 16) Para construir uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os outros, para construir uma outra quadra igual à anterior, em quantos dias a quadra estaria pronta? 17) Em um banco um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual seria o tempo gasto para atender 36 clientes? 18) Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? 19) Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 20) Em 30 dias, uma frota de 25 carros consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 30 carros consumiria 240.000 litros de combustível?* 21) Em uma partida de basquete, Gilmar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres ele acertou? E quantos errou? 22) Durante o ano de 2003 o Camaçariense disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a taxa de porcentagem em relação aos jogos que a equipe venceu? 23) Comprei 60 peças de montar e aproveitei apenas 45. As restantes estavam com defeito. Qual a taxa de porcentagem das peças com defeito? 24) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei então, R$76,50 pelo objeto. Qual era o preço original do objeto? 25) Sabe-se que 37,5% de uma distância x correspondem a 600 metros. Qual é a distância x? 26) Uma mercadoria é vendida em duas lojas nas seguintes condições: Loja 1 – preço R$ 120,00, com 20% de desconto. Loja 2 – preço R$ 140,00, com 30% de desconto. Em qual das lojas a mercadoria pode ser comprada pelo preço mais baixo? 27) Em uma sala de aula há 15 meninas e 10 meninos. Dê a porcentagem de meninos e meninas dessa classe? 28) Numa cidade a população é de 55.000 habitantes. Desses, 18% tem mais de 50 anos. Nessas condições, quantos habitantes dessa cidade têm: a) Mais de 50 anos? b) Menos de 50 anos?

Sistema de equação, equação do 1º grau, equação do 2º grau, função do 1º grau e função do 2º grau. 29) (UNIFOR) As idades de dois irmãos somam, hoje, 30 anos. Se, há 8 anos, o produto de suas idades era 48, a idade atual do mais velho é a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16 30) (UFD) - Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercícios que erra. Ao fim de 50 exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios ele acertou? a) 35 b) 34 c) 33 d) 55 d) n.d.a 31) (PUC-Campinas-SP) Um artesão está vendendo pulseiras (a x reais a unidade) e colares (a y a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, calcule o preço de cada pulseira. 65

32) Em um playground há 10 veículos, entre karts e bicicletas. Sabendo-se que o número total de rodas é 34, vamos descobrir quantos karts e quantas bicicletas há nesse playground. 33) Marta e Ana realizaram um trabalho, pelo qual receberam juntas R$ 3200 reais. Ana recebeu 60% da quantia recebida por Marta. Use as incógnitas x e y e estabeleça um sistema de equações do 1 grau associado a essa situação . 34) A diferença entre dois números reais é 3. multiplicando o maior numero pôr 5 e o menor pôr 2 , a soma desses produtos é igual a 43. 35) A soma de dois números reais é 125 e o maior desses números é igual ao triplo do menor aumentado de 5 unidade. 36) Dê um livro com 160 páginas, li o correspondente aos 3/2 do número de páginas que ainda faltam para eu ler. Usando as incógnitas x e y, escrava um sistema de equações associado a essa situação. 37) Resolva as seguintes equações: a) 8x – 2 = 5x b) 5 ( x + 2) – 3 ( x + 6) = 40 38) Sendo ƒ: R  IR, esboçar o gráfico das funções do 1º grau, determinar suas raízes e classificar a função em crescente e decrescente e fazer o estudo da função: a) ƒ (x) = −3x + 1 b) ƒ (x) = 2x – 4 39) A função n: A R. Definida por n( T) = 6 T + T 2, expressa o número de colônias de bactérias em uma placa, onde n é o número de colônia, T é o tempo em horas e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os instantes em que as colônias foram contadas. Com esses dados determine: a) O número de colônias para T = 3h b) O conjunto contradomínio CD(n) 40) Na função ƒ : R R definida por  f  ( x ) = 7 x + 6 , para que valor de x tem – se  f  ( x ) = 20 ? 41) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Se 16 gramas de uma substância, cuja meia-vida é de 5 anos, se reduzir daqui a n vidas mais-vidas a 2 −20 gramas, qual o valor de n ?

66