A. Ghersi - Calcolo Strutturale e Nuova Normativa (ACCA) PDF

ACCA software S.p.A.

presenta gli atti dei convegni sul tema:

Calcolo Strutturale e nuova normativa

svoltisi in: Avellino, 10 marzo 2005

Bologna, 18 marzo 2005

Bari, 30 marzo 2005

Roma, 14 aprile 2005

Napoli, 28 aprile 2005

Milano, 16 maggio 2005

Torino, 23 maggio 2005

Messina, 9 giugno 2005

Prima edizione - ottobre 2005

ACCA software S.p.A. Via Michelangelo Cianciulli 83048 MONTELLA (AV) - Italy Tel. (+39) 0827/69504 - Fax (+39) 0827/ 601235 E-mail: [email protected] - Internet: www.acca.it

ACCA software e i Relatori non si assumono alcuna responsabilità per danni diretti o indiretti eventualmente causati dall’uso delle informazioni contenute nella presente pubblicazione. Questa pubblicazione, o parte di essa, non può essere riprodotta in nessuna forma, in alcun modo e per nessuno scopo, senza l’autorizzazione scritta di ACCA software S.p.A. e dei Relatori.

Relatori

Relatori Ing. Antimo Bencivenga Ricerca e sviluppo C.S.I. s.r.l. Prof. Ing. Alberto Castellani Ordinario di Costruzioni in Zona Sismica, Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di Milano Ing. Antonio Cianciulli ACCA software S.p.A Prof. Ing. Alessandro De Stefano Ordinario di Costruzioni in Zona Sismica, Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino Prof. Ing. Ciro Faella Ordinario di Tecnica delle Costruzioni, Facoltà di Ingegneria, Università di Salerno Prof. Ing. Aurelio Ghersi Ordinario di Tecnica delle Costruzioni, Facoltà di Ingegneria, Università di Catania Ing. Gerardo Masciandaro Amministratore C.S.I. s.r.l. Prof. Ing. Roberto Ramasco Ordinario di Costruzioni in Zona Sismica, Facoltà di Ingegneria, Università di Napoli

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Presentazione

Presentazione Il 20 marzo 2003, è stata firmata dal Presidente del Consiglio l’Ordinanza 3274 che, su indicazione della Protezione Civile, ha profondamente modificato le Norme Tecniche per le costruzioni in zona sismica ed introdotto una nuova Classificazione Sismica dell’intero territorio nazionale. Numerose e molto importanti le novità introdotte dal documento: •

abbandono definitivo del “Metodo delle tensioni ammissibili” ed adozione del solo “Metodo agli stati limite”;

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introduzione di una disciplina specifica per ponti e opere geotecniche;

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considerazione degli effetti locali nella valutazione della sollecitazione sismica;

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nuova classificazione sismica dei comuni italiani in attesa che le Regioni provvedano, sulla base dei criteri generali definiti all’Allegato 1, all’individuazione, formazione ed aggiornamento, dell’elenco delle zone sismiche;

•

introduzione dell’obbligo di verifiche per alcune categorie di edifici ed opere infrastrutturali, da effettuarsi secondo le nuove norme, entro cinque anni dalla pubblicazione dell’ordinanza.

Gli elementi innovativi dell’Ordinanza sono numerosi ed introdotti in maniera così repentina da non poter non lasciare disorientati tutti i tecnici e gli “addetti ai lavori”. 1

Calcolo Strutturale e nuova normativa

ACCA software, da sempre vicina ai professionisti e sensibile alle loro esigenze ha organizzato, tra i mesi di marzo e giugno del 2005, un ciclo di giornate di studio dal titolo “Calcolo strutturale e nuova normativa: i punti più controversi”. Questi incontri, pensati per consentire ai professionisti di mantenersi costantemente aggiornati rispetto alle continue evoluzioni normative e tecniche tuttora in corso, avevano l’obiettivo di porsi come naturale momento di approfondimento dei corsi già tenuti dagli ordini professionali italiani dopo l’emanazione dell’Ordinanza 3274. Nel corso dei seminari sono stati affrontati i punti maggiormente rilevanti e controversi delle nuove norme tecniche, tra cui i principi generali relativi all’analisi sismica, all’analisi dinamica, alle problematiche concernenti la gerarchia delle resistenze. Ai seminari hanno preso parte relatori di assoluta competenza e professionalità, tra i quali eminenti docenti universitari e professionisti esperti di progettazione e realizzazione di software per il calcolo strutturale. ACCA ha voluto raccogliere in questo volume gli interventi degli autorevoli relatori, certa di rendere un utile servizio non solo alle migliaia di tecnici che hanno partecipato agli incontri tenutisi in tutta Italia ma anche ai professionisti che non erano in quelle sedi presenti. Questa raccolta degli atti intende fornire al lettore una preziosa testimonianza del dibattito sviluppatosi nelle varie giornate e dell’attenta disamina condotta dagli stimati relatori sulla normativa per le costruzioni in zona sismica. Essa comprende gli interventi fatti nei vari incontri tenuti in varie città italiane nel corso del 2005. Nel testo si troveranno pertanto interventi che trattano problematiche analoghe affrontate da diversi relatori. Ing. Antonio Cianciulli ACCA software S.p.A.

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Introduzione - L’evoluzione della normativa tecnica per le costruzioni

Introduzione L’evoluzione della normativa tecnica per le costruzioni Ing. Antonio Cianciulli ACCA software S.p.A. Avellino, 10 marzo 2005 Nel nostro paese la progettazione e la realizzazione di opere di ingegneria civile sono regolamentate da un corpus normativo costituito da un rilevante numero di provvedimenti (Leggi e Decreti) la cui applicazione è obbligatoria. Le leggi di riferimento per la progettazione, la direzione dei lavori ed il collaudo di opere strutturali sono: •

Legge n. 1086 del 5 novembre 1971 (Gazzetta Ufficiale del 21 dicembre 1971 n. 321): “Norme per la disciplina delle opere in conglomerato cementizio armato, normale e precompresso, ed a struttura metallica”

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Legge n. 64 del 2 febbraio 1974 (Gazzetta Ufficiale del 21 marzo 1974 n. 76): “Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche”

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Tali leggi prevedono che le norme di carattere strettamente tecnico siano emanate dal Ministero dei LL.PP. (attualmente Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti) di concerto con il Ministero dell’Interno con appositi decreti. Esse prevedono, inoltre, che le norme tecniche siano specifiche per i diversi materiali e sistemi costruttivi e che siano oggetto di frequenti aggiornamenti, ad opera dello stesso Ministero. In particolare è previsto (art. 21 L. 1086/1971) un aggiornamento biennale e, nel caso delle norme “antisismiche”, < ogni qual volta occorra in relazione al progredire delle conoscenze del fenomeno sismico>. Il Legislatore, in sostanza, ha previsto l’emanazione di norme tecniche attraverso provvedimenti di rango secondario (D.M.) che richiedono tempi certamente più ridotti e procedure certamente più snelle rispetto alle Leggi (che devono essere approvate in parlamento), anche e soprattutto in considerazione dell’esigenza di aggiornamento frequente della normativa tecnica legata all’evoluzione delle conoscenze, delle tecniche e delle metodologie costruttive. Nonostante ciò la frequenza degli aggiornamenti prevista dalle L. 1086/71 e 64/74 non è stata rispettata; gli ultimi Decreti emanati in materia dal Ministero dei Lavori Pubblici risalgono, infatti, al gennaio del 1996 e sono:

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•

D.M. 9.1.1996 “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche” (Gazzetta Ufficiale del 5 febbraio 1996, n. 29 - Suppl. Ord.)

•

D.M. 16.1.1996 “Norme tecniche per le Costruzioni in zona sismica” (Gazzetta Ufficiale del 5 febbraio 1996, n. 29 - Suppl. Ord.)

•

D.M. 16.1.1996 “Norme tecniche relative ai "Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi"” (Gazzetta Ufficiale del 5 febbraio 1996, n. 29 - Suppl. Ord.).

Introduzione - L’evoluzione della normativa tecnica per le costruzioni

Tali provvedimenti ancora oggi regolano, di fatto, la progettazione. Come è ben noto agli addetti ai lavori il primo dei tre citati decreti prevede tre metodi di calcolo: le tensioni ammissibili, gli stati limite in “versione nazionale” e gli stati limite in “versione europea”. Per le tensioni ammissibili il Decreto fa semplice riferimento a quello precedente del 1992, senza riprodurne il testo. Tale metodologia, infatti, seppur ancora largamente applicata nella pratica (per lunga consolidata abitudine), non è di fatto aggiornabile in quanto estranea, da lungo tempo, ad ogni filone di ricerca. Dal gennaio del 1996, quindi, il complesso delle norme tecniche rimane sostanzialmente invariato fino al marzo del 2003, quando si verifica una reale (e inattesa), rivoluzione normativa. In seguito all’onda emotiva seguita ai tristemente noti episodi di S. Giuliano di Puglia (che in realtà ben poco hanno a che vedere con il mancato aggiornamento della normativa tecnica), viene emanata, in tempi brevissimi, una nuova normativa per le costruzioni in zona sismica, che coglie di sorpresa tecnici, categorie professionali e parte delle istituzioni. Lo stupore e le perplessità degli addetti ai lavori si devono a due diverse motivazioni: modalità di emanazione delle norme e contenuti delle norme stesse. Le nuove norme non sono infatti contenute in un provvedimento del Ministero delle Infrastrutture, come previsto dalle L. 1086/1971 e L. 64/1974, ma emanate attraverso un’Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri su indicazione del Dipartimento della Protezione Civile. Il crollo della scuola di San Giuliano, che ha suscitato comunque nell’opinione pubblica la sensazione di inadeguatezza della vigente normativa sismica nazionale, ha giustificato un’iniziativa di intervento “drastica” e “straordinaria” di un soggetto di norma non preposto a tale compito. 5

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Il provvedimento emanato, l’ormai celeberrima Ordinanza n. 3274/2003, è corredato da quattro voluminosi allegati attraverso i quali viene sostanzialmente riscritta, in un sol colpo, tutta la normativa per le Costruzioni in zona sismica (in tutti gli aspetti) e viene adottata una nuova classificazione sismica di tutto il territorio nazionale. Essa introduce numerosissimi elementi di novità tra i quali ricordiamo: •

classificazione dell’intero territorio nazionale come zona sismica;

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definitivo abbandono del metodo delle tensioni ammissibili, ritenuto obsoleto;

•

verifiche degli spostamenti della struttura per effetto del sisma (S.L.D.);

•

introduzione del concetto di progettazione in alta e bassa duttilità;

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considerazione degli effetti locali nella valutazione della sollecitazione sismica.

L’Ordinanza 3274 prevede, inizialmente, un periodo transitorio, cioè un periodo di coesistenza con la precedente normativa, di 18 mesi a partire dalla data di pubblicazione in Gazzetta Ufficiale avvenuta l’8 maggio 2003. Ciò tuttavia non è sufficiente ad evitare le perplessità ed i timori di numerosi professionisti davanti ad una mole tanto consistente quanto inattesa di novità. I tempi così ristretti, inoltre, non hanno evidentemente consentito il coinvolgimento e la consultazione delle categorie professionali interessate e delle istituzioni (le Regioni) suscitando malumori e malcontento. L’Ordinanza 3274 è motivo di acceso contrasto tra il Dipartimento della Protezione Civile – che ha redatto il provvedimento – ed il Ministero delle Infrastrutture, cioè il soggetto di norma preposto all’emanazione ed all’aggiornamento della normativa tecnica, che mostra di non gradire l’“invasione di campo”.

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Introduzione - L’evoluzione della normativa tecnica per le costruzioni

Il Ministro Lunardi nomina una commissione allo scopo di elaborare un testo organico che provveda ad aggiornare e coordinare tutte le norme tecniche per le costruzioni, quindi di ambito ben più ampio delle disposizioni contenute nell’Ordinanza, ma con il dichiarato intento di giungere all’emanazione prima dell’entrata in vigore in via esclusiva dell’Ordinanza 3274 e, quindi, di vanificarne di fatto gli effetti. Paradossalmente, dopo un decennio di stagnazione, dunque, due diversi organi dello Stato procedono alla revisione della normativa ignorando ciascuno il lavoro dell’altro: il Dipartimento della Protezione Civile revisionando gli allegati tecnici all’Ordinanza 3274 (anche sulla base delle indicazioni ricevute dalle Regioni) e il Ministero lavorando, con un riserbo assoluto, alla stesura di un testo totalmente nuovo. Il poco edificante conflitto istituzionale viene risolto soltanto con l’emanazione Decreto Legge 28 maggio 2004, n. 136 che stabilisce che il Ministero delle Infrastrutture deve provvedere all’emanazione di nuove norme tecniche per le costruzioni “di concerto” con il Dipartimento della Protezione Civile. Ad oggi, i lavori della Commissione incaricata dal Ministro delle Infrastrutture sono conclusi ed il testo delle “Norme Tecniche per le Costruzioni” è sottoposto al vaglio delle Regioni e del Dipartimento della Protezione Civile. Tale documento presumibilmente verrà pubblicato in Gazzetta Ufficiale entro il prossimo autunno; per la sua entrata in vigore si prevede un ulteriore periodo transitorio della durata di 18 mesi nel quale sarà possibile continuare ad operare anche con la precedente normativa (1996) emanata dal Ministero dei Lavori Pubblici. La pubblicazione “Norme Tecniche per le Costruzioni”, non segnerà comunque, anche dopo il termine della prevista fase transitoria, la fine dell’Ordinanza 3274/2003. La normativa di prossima pubblicazione prevede (al Punto 5.7.1.1), infatti, la possibilità di continuare ad operare con le norme predisposte dal Dipartimento della Protezione Civile. 7

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Queste ultime, dopo un processo di revisione ed aggiornamento durato quasi 2 anni, hanno superato la quasi totalità delle imprecisioni e delle perplessità che avevano accompagnato la prima versione pubblicata. Infatti, senza scendere in particolari, la prima versione dell’Ordinanza 3274 ed i relativi allegati contenevano (inevitabilmente, considerati i tempi ristrettissimi impiegati per la stesura) un considerevole numero di imprecisioni e talvolta errori che hanno richiesto diverse rettifiche ed aggiornamenti (si veda, a tal proposito, la Tabella seguente). All’Ordinanza va riconosciuto certamente il merito di aver smosso la normativa italiana da un immobilismo nel quale versava da diversi anni e di aver recepito i criteri fondamentali codificati dai principali paesi soggetti ad eventi sismici. Essa, che può essere considerata la sintesi applicativa delle più recenti conoscenze tecniche e scientifiche dell’ingegneria sismica, ha fornito un’importantissima occasione di rinnovamento della pratica progettuale (si pensi che oltre 25.000 ingegneri hanno frequentato i corsi di aggiornamento sulla 3274) ed è certamente una significativa “tappa di avvicinamento” a quegli Eurocodici che dovranno diventare (Direttiva CEE 89/106) la base dell’Ordinamento ufficiale italiano.

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Introduzione - L’evoluzione della normativa tecnica per le costruzioni

Cronologia dei provvedimenti emanati da marzo 2003 ad agosto 2005 Normativa

Titolo

Data Pubblicazione/ Approvazione

Note

Primi elementi in materia di Ordinanza del Presiden- criteri generali per la classi- Gazzetta Ufficiale te del Consiglio dei Mi- ficazione sismica del territo- n. 105 del 8.5.2003 nistri n. 3274 del 20 rio nazionale e di normative - Supplemento marzo 2003 tecniche per le costruzioni in Ordinario n. 72 zona sismica Ritirata in seguito alla emaNota esplicativa dell’Ordinanza Nota esplicativa del del Presidente del Consiglio Risulta NON pub- nazione dell’Ordinanza del Servizio Sismico Naziodei Ministri n. 3274 del 20 blicata in Gazzetta P.C.D.M. n. 3316 del nale del 4 giugno 2003 marzo 2003 2.10.2003 1° Nota (1° Errata Corrige)

Gazzetta Ufficiale n. 157 del 9 luglio 2003

2° Nota (2° Errata Corrige) – Comunicato del Ministero di Giustizia

Gazzetta Ufficiale Annulla la precedente rettifin. 160 del 12 luglio ca 2003

Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3316 del 2 ottobre 2003

Gazzetta Ufficiale Rettifica numerose formule n. 236 del 10 otto- contenute nel testo bre 2003 dell’Ordinanza 3274.

Decreto della Presidenza del Consiglio dei Ministri - Dipartimento della Protezione Civile 21 ottobre 2003

Sono definite le tipologie degli edifici e delle opere infrastrutturali per le quali è obbligatorio Gazzetta Ufficiale procedere, ai sensi dell’art. 2 n. 252 del 29 ottodell’Ordinanza 3274, alla veribre 2003 fica entro il 20 marzo 2008, e sono fornite le indicazioni per tali verifiche tecniche.

Disposizioni attuative dell'art. 2, commi 2, 3 e 4, dell'ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003

Ordinanza del Presidente Gazzetta Ufficiale del Consiglio dei Ministri “Disposizioni urgenti di pron. 26 del 2 febbraio (Ordinanza 23 gennaio tezione civile.” 2004 2004, n. 3333) Decreto Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti n. 113/AG/30/15 del 28 gennaio 2004 Decreto del Capo di Dipartimento della Protezione Civile n. 123 del 22 gennaio 2004

-

Nomina di una commissione destinata alla redazione del T.U. norme tecniche

-

Nomina di un Gruppo di lavoro destinato ad “aggiornare le tematiche contenute nell’Ord. 3274”

prosegue alla pagina successiva 9

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continua dalla pagina precedente Normativa

Titolo

Elementi informativi sulla Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003, recante Nota esplicativa del “Primi elementi in materia di Dipartimento della Procriteri generali per la classifitezione Civile del 29 cazione sismica del territorio marzo 2004 nazionale e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismica” (Gazzetta Ufficiale n. 105 del 8.5.2003)

Data Pubblicazione/ Approvazione

Note

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Decreto Legge 28 maggio 2004, n. 136 Disposizioni urgenti per garantire la funzionalità di taluni settori della pubblica amministrazione.

Art. 5 - Normative tecniche in materia di costruzioni (Le Disposizioni urgenti per Gazzetta Ufficiale norme tecniche per le cogarantire la funzionalità di n. 124 del 28 mag- struzioni devono essere taluni settori della pubblica approvate “di concerto” tra gio 2004 amministrazione. Dipartimento della Protezione Civile e C.S.LL.PP. )

L. 27 luglio 2004 , n. 186

Gazzetta Ufficiale Conversione in Legge del n. 175 del 27 luglio D.L. 28 maggio 2004 , n. 136 2004

Ordinanza del Presidente Differimento all’8 maggio 2005 Gazzetta Ufficiale del Consiglio dei Ministri dell’entrata in vigore esclusiva n. 269 del 16 no(Ordinanza n. 3379) dell’Ordinanza 3274 vembre 2004 Ordinanza del Presidente Differimento all’8 agosto 2005 Gazzetta Ufficiale del Consiglio dei Ministri della entrata in vigore esclu- n. 107 del 10 mag(Ordinanza n. 3431) siva dell’Ordinanza 3274 gio 2005 Ordinanza del Presidente Differimento all’8 ottobre 2005 Gazzetta Ufficiale del Consiglio dei Ministri della entrata in vigore esclusi- n. 181 del 5 agosto (Ordinanza n. 3452) va dell’Ordinanza 3274 2005 Art. 14 undevicies - Modifica dell’art. 5 della L. 186 con Conversione in Legge, con Gazzetta Ufficiale l’introduzione di un regime L. 17 agosto 2005, n. 168 modificazioni, del D.L. n. 194 del 22 agotransitorio di 18 mesi per le 115/2005 sto 2005 “Norme Tecniche per le Costruzioni”.

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Approfondimenti di calcolo

Approfondimenti di calcolo Principi di base dell’analisi modale: spettri di risposta e fattore di struttura - Calcolo di sollecitazioni e spostamenti con gli stati limite Ing. Antimo Bencivenga Ricerca e Sviluppo C.S.I. s.r.l. Bari, 30 marzo 2005 Il motivo di questa breve digressione teorica nasce dall’aver riscontrato, nella nostra esperienza di sviluppatori di software, che alcuni concetti e teorie che l’Ordinanza da per scontati, non sempre fanno parte del bagaglio culturale di tutti i tecnici. Molti di noi, infatti, si sono laureati da molto tempo, altri si sono specializzati in altre branche della professione, ecc.. Abbiamo ritenuto utili questi brevi cenni per dare a tutti la possibilità di seguire meglio il prosieguo del convegno. I concetti esposti sono basilari per la comprensione della “Nuova Normativa Sismica”, sia che entri in vigore l’Ordinanza, il Testo Unico o quello che sarà, perché, in ogni caso, dovremo fare l’analisi dinamica, le verifiche agli Stati Limite e via dicendo.

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Equilibrio dinamico F=M*A 1) M * A(t) + K * x(t) = F(t) Am

M

2) M * (At(t) + Am(t)) + K * x(t) = 0 K

3) M * Am(t) + K * x(t) = - M * At(t)

At

Fig. 1

Partiamo dall’“Analisi dinamica”. La prima legge da cui si parte è il famoso 2° Principio della Meccanica, che sicuramente conosciamo tutti: F=m*a Esso ci dice che se abbiamo una massa m completamente sospesa e ad essa applichiamo una forza F, la massa accelererà di una accelerazione a e le quantità F ed il prodotto m * a saranno uguali tra loro. Facciamo un successivo passo e vediamo cosa accade alla prima struttura in Fig. 1. La massa m ora non è più sospesa in aria ma sta alla sommità di un’asta dotata, a sua volta, di una rigidezza che indicheremo con K. Se applichiamo alla massa una forza F, avverrà che non solo la massa accelera ma si sposterà anche l’asta, cui essa è solidale, di una certa quantità x. Quindi stavolta la forza esterna F che prima era uguale ad m * a adesso sarà uguale a: m*a+K*x=F La relazione 1) di Fig. 1 dice che ci deve essere equilibrio tra la forza che noi applichiamo e le altre due forze che nascono, una di tipo inerziale m * a l’altra di tipo elastico k * x e, poiché questo è vero al variare del tempo t, possiamo scrivere che: m * a(t) + K * x(t) = F(t)

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Approfondimenti di calcolo

Consideriamo ora la seconda struttura di Fig. 1 in cui è stata tolta la forza F e si suppone che si muova il terreno alla base. Se la forza non c’è, il secondo membro diventa uguale a 0 e, poiché se si muove il terreno alla base, il movimento si trasmette anche alla massa m, possiamo dire che l’accelerazione totale che subisce la massa è data dalla somma di due accelerazioni: quella del terreno at(t) e quella della massa rispetto alla base am(t), ottenendo la relazione n. 2). Modifichiamo la 2) portando at(t) (l’accelerazione del terreno) al secondo membro ottenendo la relazione 3), che confrontata con la 1) fornisce: F = - m * at(t) È, quindi, come se volessimo studiare la nostra struttura soggetta a una forza F pari alla massa per l’accelerazione del terreno. Quest’equazione molto semplice, ricavata su una struttura altrettanto semplice, ci dà l’idea di quelle che sono le forze in gioco, anche se non possiamo utilizzarla per le strutture reali.

Analisi dinamica modale Analizziamo il sistema in assenza di azioni esterne: M * A(t) + K * x(t) = 0

Poniamo: ω =

K /M

Al tempo 0 spostamento X0 e velocità V0; integrando: 1) X(t) = V0 sin(ωt)/ ω + X0 cos(ωt) Periodo =

2 ⋅π / ω = 2 ⋅π M / K

Dipende da K e da M

Frequenza = inverso del periodo L’equazione 1 rappresenta una oscillazione libera (in assenza cioè di forze del sistema) e viene detta anche Modo naturale di Vibrazione.

Fig. 2

Facciamo un piccolo passo teorico in avanti, togliendo sia la forza esterna che l’accelerazione del terreno e lasciando solo le forze inerziali ed elastiche, la cui somma viene posta = 0. Questa è un’equazione differenziale di secondo grado perché l’accelerazione è la derivata seconda dello spostamento. Se in questa equazione differenziale fissiamo i valori iniziali della velocità e dello spostamento ad un tempo “0” ed integriamo, otterremo la formula n. 1) in Fig. 2. 13

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Tale formula descrive la legge dello spostamento della struttura nel momento in cui, ad un tempo iniziale “0”, diamo uno spostamento X0 ed una velocità V0, laddove si è posto ω = K M e cioè la radice quadrata della rigidezza diviso la massa. L’equazione 1), rappresentata in un piano cartesiano xy, è semplicemente un moto armonico che, poiché stiamo trascurando tutti gli effetti dello smorzamento, prosegue indefinitamente. Questo moto armonico è caratterizzato da alcune cose: la prima è il periodo. Basta immaginare per un attimo la mensola che si muove avanti e indietro: il periodo è il tempo che intercorre tra due posizioni uguali successive; in questa formula il periodo è 2 ⋅ π ω e cioè 2 ⋅π ⋅ M K

Da essa si nota che il periodo dipende in modo diretto (anche se sotto radice quadrata) dalla massa e in modo inverso dalla rigidezza; ciò ha una grande importanza, come preciseremo meglio tra poco. Resta il concetto-base che una struttura molto rigida avrà un periodo proprio di vibrazione basso mentre una struttura con una grande massa avrà un periodo elevato, cose del resto abbastanza intuitive. Ragionando in termini di frequenza, che è l’inverso del periodo, ossia il numero di oscillazioni compiute nell’unità di tempo. Si ha che una struttura molto rigida compie numerose oscillazioni al secondo, mentre una “pesante” ne compie poche. Questo moto, oltre che dal periodo, è caratterizzato dall’ampiezza, cioè dagli spostamenti massimi. L’equazione 1) descrive quello che si chiama “modo naturale di vibrazione” del sistema. Abbiamo certamente sentito parlare di “modo di vibrazione” e mi auguro che il concetto risulti chiaro. Tuttavia un richiamo può essere ugualmente utile. Quello descritto è il modo naturale di vibrazione del sistema, cioè un sistema in assenza di forze e per una struttura molto semplice. Ma cosa accade quando le strutture cominciano a diventare più complesse? Il discorso si complica ma non eccessivamente. Supponiamo che per un attimo la nostra mensola, oltre alla massa in sommità, ne abbia un’altra anche in mezzeria. Dando l’impulso alla massa in al14

Approfondimenti di calcolo

to avremo un certo modo di vibrazione ma, se lo diamo alla massa al centro della mensola, il modo di vibrare sarà certamente diverso dal semplice pendolo che oscilla, e quindi è nato un secondo modo naturale di vibrazione. Possiamo riassumere che in una struttura contenuta in un piano, con un solo tipo di movimento, abbiamo tanti modi naturali di vibrazione per quante sono le masse che si possono muovere. Questo discorso dei modi naturali di vibrazione è importantissimo e, anche se tralascio completamente i passaggi matematici, deve restare il seguente concetto: quando ci si trova in presenza del sisma andremo a conoscere i singoli modi di vibrazione della nostra struttura reale che, opportunamente combinati tra loro, ci diranno cosa accade in essa struttura.

Modi di vibrazione Per un modo di vibrazione consideriamo solo l’effetto massimo (che si ripete ciclicamente in funzione del periodo T1). Supponiamo ad esempio che tale effetto sia il taglio alla base, chiamato F1. Una struttura reale ha molte masse, per ognuna delle quali è possibile ripetere il ragionamento precedente e, quindi, avremo tanti modi di vibrazione, ognuno caratterizzato da un periodo Ti e da un effetto massimo Fi. L’evento sismico ha l’effetto di eccitare tali modi di vibrazione con il risultato di trasformare il moto armonico teorico in un moto irregolare, ma comunque caratterizzato, ad un certo istante, diverso per ogni modo di vibrazione, dal raggiungimento del massimo.

Fig. 3

Ritornando un attimo alle strutture reali, quando si ha un’accelerazione del terreno, è ovvio che tutte le masse comincino contemporaneamente a vibrare, ma quello che accade nella struttura è comunque una combinazione di quello che accade nei singoli modi di vibrazione. Pertanto conoscendo i singoli modi di vibrazione si riesce (e vedremo poi in che modo) a conoscere il comportamento dell’intera struttura. Ancora un paio di osservazioni sui modi di vibrazione prima di passare al discorso sulle loro combinazioni. I modi di vibrazione non sono tutti uguali tra loro, nel senso che per la posizione che hanno le masse all’interno della struttura ed altri motivi simili, ce ne sono alcuni che sono più importanti ed alcuni meno. 15

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È intuitivo che se applico un impulso ad una massa che sta in alto, mi si mobilita tutta la massa della struttura mentre, se ho una massa molto vicina all’incastro, l’impulso dato ad essa probabilmente non si ripercuote sulle altre masse. Ogni modo di vibrazione è caratterizzato, quindi, dall’avere la sua, chiamiamola così, “importanza”. Il secondo aspetto da prendere in considerazione è che ogni modo di vibrazione è un movimento continuo e, in ogni istante, è caratterizzato dal suo effetto, nel senso che in ogni istante varia, ad esempio, il taglio alla base. Ai fini del calcolo non ci interessa seguire tali variazioni istantanee, ma ci è sufficiente poter conoscere l’effetto massimo. Inoltre, poiché ogni modo di vibrazione ha un periodo diverso, tale effetto massimo non si verificherà contemporaneamente per ogni modo. Quale è allora il valore, ad esempio, del taglio alla base rappresentativo dell’evento sismico che prenderemo in considerazione per effettuare i nostri dimensionamenti? Il discorso è strettamente statistico: considerando ogni modo come un evento indipendente, il valore più probabile di una serie di valori indipendenti tra loro è la radice quadrata della somma dei quadrati dei singoli valori.

Combinazione dei modi di vibrazione a) Evento sismico: cosa succede? Simultaneità modi vibrazione Simultaneità modi vibrazione Æ NON simultaneità massimi Ragionamento di tipo probabilistico (valori sempre positivi): 1) Radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS) 2) Combinazione quadratica completa (CQC) Si sceglie in funzione dei periodi dei modi di vibrazione: a) Periodi ben differenziati Æ va bene la SRSS b) Periodi vicini (< 10%) obbligatoria la CQC La CQC fornisce valori più alti della SRSS

Fig. 4

Se, ad esempio, una struttura con tre modi di vibrazione comincia a oscillare per effetto del sisma, avrò che il primo modo fornisce una sollecitazione di 5000, il secondo di 3000 ed il terzo di 1000, ma non nascerà, per questo, 16

Approfondimenti di calcolo

una sollecitazione con valore di 9000 totale perché, avendo i tre modi di vibrazione periodi differenti, i valori massimi nascono in istanti diversi. Come possiamo calcolare, ad esempio, il valore del taglio alla base con cui andremo a dimensionare la nostra struttura? Considerando i modi di vibrazione come una serie di eventi indipendenti (molto diversi l’uno dall’altro), faremo un ragionamento di tipo probabilistico. Se facciamo la radice quadrata della somma dei quadrati otterremo, come valore più probabile, circa 6000 e non 9000. Si sono supposti eventi indipendenti, ma l’Ordinanza introduce una importante puntualizzazione: se i modi di vibrazione sono vicini tra loro, non si possono più definire totalmente indipendenti. Quindi la combinazione SRSS (Square Root of Square Sum - radice quadrata della somma dei quadrati) non va più bene e bisogna usare la combinazione CQC (Combinazione Quadratica Completa). I valori ottenuti con la combinazione CQC sono sempre maggiori di quelli ottenuti con la combinazione SRSS. Di quanto sono maggiori i valori calcolati con la SRSS dipende da quanto sono vicini i periodi (vedi Fig. 4). Riassumendo, per periodi ben differenziati fra loro, va bene la SRSS (radice quadrata della somma dei quadrati), altrimenti bisogna usare necessariamente la CQC (Combinazione Quadratica Completa).

Scelta dei modi di vibrazione Ogni modo di vibrazione è caratterizzato da un Coefficiente di Partecipazione che è una misura di quanto è eccitabile quel modo rispetto alla totalità dei modi, in relazione alla direzione del sisma. Un modo di vibrazione è tanto più importante quanto maggiore è la massa partecipante, in rapporto alla massa totale. Per essere sicuri di eccitare il 100% della massa totale dovremmo estrarre tutti i modi di vibrazione La Normativa italiana impone di eccitare almeno l’85% della massa. I modi più importanti in genere sono i primi, col periodo più alto. Pertanto basta scegliere un numero relativamente basso di modi di vibrazione da estrarre per arrivare all’85%.

Fig. 5

Abbiamo detto che i modi non sono tutti egualmente “importanti”, ma o17

Calcolo Strutturale e nuova normativa

gnuno è caratterizzato da un coefficiente, detto “coefficiente di partecipazione”. In un certo senso siamo fortunati perché i modi di vibrazione vengono estratti in ordine di importanza e i primi sono sempre i più importanti. Perché dico che siamo fortunati? Prima ho detto che se abbiamo tre masse che si possono muovere in una direzione abbiamo tre modi di vibrazione indipendenti. Poiché, normalmente, schematizziamo le strutture con le masse concentrate nei nodi, per una struttura con 500 nodi (niente di eccezionale) abbiamo già 500 masse. Considerando il sisma in direzione X ed in direzione Y ci sono 1000 modi di vibrazione da estrarre. La procedura di estrazione dei modi di vibrazione è molto onerosa dal punto di vista computazionale per cui, se fossimo costretti ad estrarre tutti i 1000 modi di vibrazione, avremmo grossi problemi. Ci viene in aiuto il fatto che i modi con periodi più alti (i primi) sono i più importanti e, poiché la normativa italiana consente di fermarci quando sono state eccitate l’85% delle masse, avremo un significativo risparmio di tempo e di lavoro. Nell’esempio precedente, se il modo più importante fosse quello relativo alla massa vicino all’incastro ed avessimo calcolato soltanto quello, avremmo ottenuto una sollecitazione alla base di 5000 (veramente bassa) e, quindi, non avremmo ben dimensionato la struttura. Pertanto il concetto finale è: raggiungere almeno l’ 85% delle masse eccitate. Per raggiungere questo obiettivo è importante fare una piccola differenziazione a livello di schematizzazione.

Combinazione dei modi di vibrazione b) In una struttura con molti modi di vibrazione, quanti ne devo usare? Pochi modi, calcolo breve, ma rischio di sottostimare l’effetto. Molti modi (al limite tutti), calcolo lungo Struttura schematizzate con impalcati infinitamente rigidi: Modi totali = piani * 3 (possibile il calcolo di TUTTI i modi) Struttura schematizzata con impalcati deformabili: Modi totali = numero masse * 3 Se con 40, 50 modi non si arriva all’85%, c’è qualche problema. Masse a quota “0”, masse su parti rigide etc…

Fig. 6 18

Approfondimenti di calcolo

Quando la struttura ha impalcati piani con determinate caratteristiche noi normalmente li schematizziamo, in fase sismica, come infinitamente rigidi nel loro piano. Ciò vuol dire che tutte le masse dei nodi a quel piano in realtà le portiamo in un solo nodo, magari fittizio, che è il baricentro delle masse al piano stesso. Naturalmente dobbiamo aggiungere i momenti di trasporto di queste masse perché le posizioniamo tutte in questo unico nodo. Così schematizzata, la struttura ha soltanto tre modi di vibrazione: traslazionale nelle due direzioni X ed Y e rotazionale intorno a Z. Quindi, per una struttura di 5 piani schematizzata ad impalcati infinitamente rigidi, abbiamo 15 modi di vibrazione in totale. Essendo pochi, possiamo considerarli tutti essendo così sicuri di estrarre il 100% della massa eccitata. Se, invece, la stessa struttura è schematizzata con impalcati deformabili, ogni nodo ha la sua massa e, poiché ogni nodo ha due modi di vibrazione (uno in X e l’altro in Y), avendo 500 nodi, i modi possibili di vibrazione saranno 1000. Come anticipato, però, i modi più importanti sono i primi e, se la struttura è abbastanza regolare, un numero relativamente basso di modi di vibrazione dovrebbe metterci già in grado di raggiungere l’85% di massa eccitata. Quantificare la frase “relativamente basso” è sempre cosa complessa. Giusto per dare un ordine di grandezza, un numero compreso tra i 20 e i 50 modi di vibrazione dovrebbe essere sufficiente per eccitare sempre l’85% delle masse. Se questo non avviene probabilmente c’è qualche problema di schematizzazione, nel senso che i modi successivi ai primi 50 evidentemente sono relativi a masse in vicinanza di parti vincolate della struttura. Se si vanno a prendere masse in prossimità dei vincoli di fondazione, è ovvio che non si riescono ad eccitare le masse più in alto e, quindi, il contributo di quel modo è praticamente nullo.

19

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Gli spettri di risposta Lo spettro di risposta “traduce” l’accelerazione al suolo nell’accelerazione della massa strutturale. Dati sperimentali

↓ Interpolazione

↓ Formule Normativa

↓   T S e (T ) = a g ⋅ S ⋅ 1 + ⋅ (η ⋅ 2,5 − 1)  T  B  

Fig. 7

L’inquadramento generale dell’analisi dinamica può essere sintetizzato con quanto esposto sinora. Vediamo ora come, nella normativa italiana, viene prescritto di portare in conto l’analisi dinamica. Il concetto fondamentale che bisogna conoscere è quello relativo allo Spettro di Risposta. Lo Spettro di Risposta è, in sostanza, una funzione con cui la normativa, noto che sia il periodo di vibrazione della struttura, ci consente di conoscere l’accelerazione delle masse in elevazione. Aggiungo che questa è la modalità più diffusa di rappresentazione dello spettro, ma non l’unica.

Spettri elastici e di progetto S(t) = F(Terreno) * F(Smorzamento) * Ag Accelerazione al suolo Ag = rapporto diretto con lo spettro Terreno soffice Æ valori più alti e forma più allungata Smorzamento elevato = valori più bassi Gli spettri definiti dalla Normativa sono: Spettro di risposta elastico, orizzontale e verticale Spettro di risposta di progetto allo SLU, orizzontale e verticale Spettro di risposta di progetto allo SLD, orizzontale e verticale

Fig. 8 20

Approfondimenti di calcolo

Gli spettri di risposta vengono costruiti in modo sperimentale osservando molti accelerogrammi registrati durante gli eventi sismici che vengono poi interpolati con una funzione matematica che è quella riportata nella normativa. La risposta della struttura dipende sostanzialmente da 3 fattori: innanzitutto l’accelerazione del suolo (quanto più il suolo si muove tanto maggiori saranno le forze che nascono), la zona a cui esso si riferisce ed, infine, il grado di consolidamento del terreno.

Spettro elastico Lo spettro fornisce le accelerazioni massime registrabili. Valori elevati: non utilizzato direttamente, ma per ricavare quelli di progetto allo SLU e allo SLD. Spettri di risposta per sisma orizzontale:

 T  0 ≤ T < TB Se (T ) = ag ⋅ S ⋅ 1+ ⋅ (η ⋅ 2,5 −1)  TB  TB ≤ T < TC

Se (T) = ag ⋅ S ⋅η ⋅ 2,5 



TC ≤ T < TD Se (T) = ag ⋅ S ⋅η ⋅ 2,5⋅  TC  T 

TD ≤ T

T T  Se (T) = ag ⋅ S ⋅η ⋅ 2.5⋅  C 2 D   T 

η = 10/(5 + ξ ) ≥ 0,55

Smorzamento viscoso equivalente in %

η=1 per ξ=5%

Fig. 9

Se osserviamo in Fig. 9 l’andamento qualitativo degli spettri, in corrispondenza dei massimi c’è, infatti, un tratto piano, detto “plateau”. Ciò vuol dire che c’è un certo intervallo di periodi per i quali la risposta della struttura è massima. Di conseguenza anche le accelerazioni che nascono e, quindi, le forze sono massime. Un terreno soffice non solo amplifica le accelerazioni subite dalle masse, ma amplifica anche il tratto ad andamento costante dello spettro. Gli spettri sono costruiti con quattro tratti, separati da valori-limite del periodo Tb,Tc e Td riportati in Ordinanza e visibili in Fig. 9. Il tratto 21

Calcolo Strutturale e nuova normativa

compreso tra Tb e Tc è quello ad andamento costante e, passando da un terreno molto consistente (ad es. il calcare fratturato) ad uno meno consistente, il coefficiente S passa da 1 a 1,35 e l’intervallo Tc-Tb aumenta. L’Ordinanza definisce tre diversi tipi di spettro: lo Spettro Elastico, quello allo Stato Limite Ultimo e quello allo Stato Limite di Danno. Esaminiamo lo Spettro Elastico. Esso fornisce le forze che nascono se la struttura rimane in campo elastico. Tali forze risultano molto elevate. Per un terreno consistente, infatti, il valore più basso si aggira intorno a 0.6 g; in tal caso la struttura, in campo elastico, risulta soggetta ad azioni orizzontali pari addirittura al 60% delle forze verticali. È, quindi, evidente che lo spettro elastico non può essere adottato come spettro di progetto.

Spettro di progetto allo SLU (Spettro elastico con smorzamento 5) / Q = Spettro di progetto allo SLU Q alto Æ Forze basse Q = Fattore di struttura: dipende da: Materiale Per il C.A. valgono le seguenti considerazioni: Tipologia strutturale (Q telai > Q setti/pareti > Q nuclei) Regolarità strutturale (Q Regolare > Q Irregolare) Classe di duttilità scelta (Q Classe Alta > Q Classe Bassa) Per una stessa struttura Q può variare moltissimo: Telaio + piani + campate regolare in altezza in CD”AÆ Q = 5.85 Telaio + piani + campate NON regolare in altezza CD”BÆ Q = 3.28

Fig. 10

Vediamo come, in realtà, si impiegano i valori forniti da tale spettro. Dobbiamo tenere conto di un aspetto fondamentale: la duttilità globale. Sottoponendo la nostra struttura a forze via via crescenti, quando la prima sezione di un’asta raggiunge il suo momento ultimo, la struttura non collassa, essendo molte volte iperstatica. Possiamo continuare a incrementare le forze, raggiungendo il momento ultimo in altre sezioni, fino a quando si genera una labilità che porta la struttura al collasso. Ad esempio, se una struttura è in grado di resistere in campo elastico (immediatamente prima che si formi alcuna cerniera plastica) per una 22

Approfondimenti di calcolo

forza pari a 1000, questa sarà in grado di non collassare fino ad una forza molto maggiore (ad es. di 5000), pur essendo ormai abbondantemente in campo plastico. Di questo effetto occorre tenere conto. La capacità di resistenza della struttura dopo il superamento della soglia elastica è detta “Duttilità”. Questa definizione, non del tutto rigorosa, consente di introdurre il significato del “fattore di struttura”, che è una misura della duttilità strutturale; più è alto il fattore di struttura, più la struttura è duttile. È importante sottolineare che non esiste un metodo diretto di calcolo del fattore di struttura, ma esso è di derivazione empirica ed è funzione delle tipologie strutturali. In realtà si procede proprio in questo modo: le forze calcolate applicando lo spettro elastico vengono applicate alla struttura previa riduzione del Fattore di Struttura. Il Fattore di Struttura non è un numero univoco ma dipende dalla duttilità della struttura che, a sua volta, dipende dalla sua tipologia (a telai, a parete, in calcestruzzo o in c.a. o in muratura), dall’introduzione di accorgimenti costruttivi particolari, dall’applicazione del criterio della gerarchia delle resistenze e così via. La normativa premia le strutture molto duttili consentendo di adottare un fattore di struttura (generalmente indicato col simbolo q) più alto e, di conseguenza, forze più basse. Se non si vogliono perseguire queste caratteristiche di duttilità si dovranno adottare Fattori di Struttura più bassi e, quindi, si progetteranno le strutture con forze più alte. Vediamo di dare degli ordini di grandezza qualitativi: il fattore q per una struttura “a telai” è maggiore di una struttura “a pareti”, che a sua volta è maggiore di una struttura a nuclei. Inoltre q è più alto se la struttura è regolare e/o se si progetta in Classe di Duttilità Alta (con il rispetto di regole onerose) anziché in Classe di Duttilità Bassa (con regole meno onerose). Volendo dare, invece, degli ordini di grandezza quantitativi, per una struttura a telai, a più piani, a più campate, regolare in altezza e progettata in CDA si ha un valore di q = 5.85 mentre, per una struttura a più piani, a campate non regolari in altezza e progettata in CDB si ha q = 3.28 (le forze quasi raddoppiano). 23

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Spettro di progetto allo SLD Esclusivamente per effettuare la verifica degli spostamenti (4.11.2) Pari allo spettro elastico / 2.5 Con gli spostamenti calcolati allo SLD si effettuano le verifiche: a) per edifici con tamponamenti collegati rigidamente alla struttura che interferiscono con la deformabilità della stessa dr < 0.005 h b) per edifici con tamponamenti progettati in modo da non subire danni a seguito di spostamenti di interpiano drp , per effetto della loro deformabilità intrinseca ovvero dei collegamenti alla struttura dr < drp < 0.01 h In funzione delle caratteristiche della struttura, la verifica allo SLD può essere più penalizzante di quelle allo SLU e viceversa.

Fig. 11

L’altro spettro di progetto che viene introdotto è quello allo Stato Limite di Danno. Per ottenere lo Spettro allo Stato Limite di Danno l’Ordinanza indica di dividere per 2,5 i valori dello Spettro Elastico. Con i valori così ottenuti si effettua la verifica allo Stato Limite di Danno, mirata al contenimento degli spostamenti per un sisma di intensità più bassa e che, quindi, ha una probabilità di accadimento più alta. Di tale verifica e delle problematiche connesse parlerà diffusamente il prof. Ramasco. Qui voglio sottolineare solo che le verifiche allo Stato Limite Ultimo ed allo Stato Limite di Danno richieste dall’Ordinanza hanno pari importanza, dal momento che non è detto necessariamente che lo SLU sia più penalizzante dello SLD. Gli spostamenti calcolati allo SLD potrebbero, infatti, essere maggiori di quelli consentiti sebbene la struttura risulti verificata allo SLD. In altre parole, esistono strutture che vanno dimensionate ai fini del contenimento delle deformazioni; ciò, ad esempio, era quanto accadeva con un calcolo alle Tensioni Ammissibili per una struttura in acciaio. Aggiungo, infine, che, a ben vedere, la verifica allo SLD era già presente, sia pure in forma leggermente diversa, nel D.M.’96.

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Approfondimenti di calcolo

Combinazioni allo Stato Limite Verifiche allo SLU Per sollecitazioni flettenti (N, N-Mx, N-Mx-My) Per sollecitazioni taglianti Per sollecitazioni torcenti Per elementi snelli Verifiche allo SLE Stato limite di fessurazione Stato limite di decompressione Stato limite di formazione delle fessure Stato limite di apertura delle fessure Stato limite delle tensioni di esercizio Stato limite per tensioni di compressione nel C.A. Stato limite per tensioni di trazione nell’acciaio Stato limite di deformazione

Fig. 12

Un altro aspetto meritevole di attenzione è quello, non nuovo, delle combinazioni di carico agli stati limite. Poiché siamo ancora abituati a ragionare in termini di tensioni ammissibili, può essere utile fare qualche puntualizzazione sul concetto di combinazioni di carico probabilistiche. Finora, nel calcolo di una struttura sottoposta a carichi, abbiamo sempre considerato i cosiddetti valori caratteristici. Un valore caratteristico è, ad esempio, quello di 200 Kg/mq, indicato dalla normativa per il sovraccarico accidentale per civile abitazione. In un calcolo alle tensioni ammissibili di una trave appoggiata noi prendiamo il momento massimo e, con esso, verifichiamo la nostra sezione. In altre parole prendiamo il valore caratteristico. Agli Stati Limite il ragionamento che si fa è differente. Si amplifica la sollecitazione con dei coefficienti di sicurezza (sollecitazione di progetto), si riducono le resistenze dividendole per altri coefficienti (maggiori di 1) per tenere conto delle varie incertezze, si semiprogettano le armature della sezione in c.a. in maniera che il suo momento ultimo sia maggiore o uguale della sollecitazione di progetto, ottenendo, quindi, un coefficiente di sicurezza maggiore o uguale dell’unità. 25

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Il discorso si complica se, sulla stessa struttura, sono presenti contemporaneamente più tipologie di carico di diversa natura; cosa che avviene praticamente sempre: carichi permanenti, carichi accidentali per civile abitazione, neve, vento, ecc.. Anziché sommare gli effetti (come nei calcoli alle Tensioni Ammissibili) per tenere conto della contemporaneità della loro presenza, essendo poco probabile che questi risultino presenti col valore caratteristico, si usano dei coefficienti riduttivi per quelle azioni che non sono considerate “di base” (vedi Fig. 13). Vale la pena scendere più nel dettaglio. In queste combinazioni le sollecitazioni derivanti dalle varie azioni vengono moltiplicate per un coefficiente di sicurezza γ, in genere amplificativo (ma non sempre), e per un coefficiente ψ riduttivo, che tiene conto, in caso di coesistenza di carichi accidentali di diversa natura, della scarsa probabilità che essi risultino tutti presenti nella loro interezza.

Le sollecitazioni agli stati limite La struttura viene calcolata con le azioni caratteristiche

↓

γ

Le sollecitazioni risultanti vengono incrementate moltiplicandole per un coefficiente di sicurezza dipendente dalla natura del carico.

ψ

In caso di coesistenza di più azioni si applica a ogni sollecitazione derivante da un carico accidentale un coefficiente riduttivo per tener conto della ridotta probabilità di contemporaneità delle azioni.

↓

Tutte le possibili combinazioni, allo SLU, devono essere ricavate da: i=n   Fd = γ g Gk + γ p Pk + γ q Q1k + ∑ (ψ 0i Qik ) i=2  

Fig. 13

Esaminiamo il coefficiente γ facendo riferimento al D.M. ‘96. La formula di Fig. 13 è quella che ci dice come calcolare le sollecitazioni allo stato limite. In essa vengono indicati con Gk i carichi permanenti, con Pk gli eventuali carichi dovuti a precompressioni e con Qk i carichi accidentali. Il significato di questa formula è: prendiamo una tipologia di carico accidentale alla volta fra quelli presenti (civile abitazione, vento, neve…) 26

Approfondimenti di calcolo

e facciamolo diventare il “carico di base” Q1k, moltiplichiamo gli altri carichi accidentali per i coefficienti riduttivi ψ e sommiamoli. Tale somma va, a sua volta, moltiplicata per il coefficiente di sicurezza γq che può assumere i valori 1,5 oppure 0 (fra poco vedremo perché) e sommiamo, infine, il tutto alla sollecitazione dovuta ai carichi permanenti moltiplicata per γg, che può assumere i valori 1 oppure 1,4. Per semplicità abbiamo tralasciato la precompressione. Per quale motivo γg e γq possono assume valori diversi? Ricordiamo che γg e γq sono coefficienti di sicurezza. Se, ad esempio, vogliamo verificare la sezione di mezzeria di una trave per il momento che tende le fibre superiori, poiché il carico permanente mi da un momento che tende le fibre inferiori, sarebbe illogico incrementare questo effetto migliorativo per 1,4. Ci si deve, pertanto, limitare a moltiplicarlo per γg=1. Stesso concetto per l’insieme dei carichi accidentali (quello racchiuso fra le parentesi quadre) i quali potranno essere affetti dal coefficiente γq che può assumere un valore pari ad 1,5 oppure 0 se l’effetto dovesse essere peggiorativo per la verifica che si sta conducendo in quel momento. Quanto detto è sufficiente per farci capire che costruire tali combinazioni è un tantino complesso. Se aggiungiamo anche il fatto che ciascun carico accidentale dovrà, a rotazione, indossare i panni di “carico di base”, intuiamo che il numero di combinazioni è spesso elevatissimo.

Ricerca minimi e massimi Dati: sollecitazioni caratteristiche per ogni condizione di carico Ricerca massimo valore positivo: 1) Scelta di una condizione di carico accidentale: se il valore della sollecitazione è > 0, moltiplicarla x 1.5, altrimenti x 0. 2) Tutte le sollecitazioni derivanti da carichi permanenti saranno moltiplicate x 1.4 se positive, per 1 se negative. 3) Tutte le sollecitazioni dovute a carichi accidentali (diverse dalla prima) saranno moltiplicate x 1.5 e per il coefficiente riduttivo se positive, altrimenti x 0. 4) Ripetizione dei passi 1), 2) e 3) per tutte le altre condizioni di carico accidentale. Il ragionamento è speculare per cercare il minimo valore negativo.

Fig. 14 27

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Sollecitazioni allo SL > Tensioni ammissibili S1 (per carichi permanenti) = 2500 Nm S2 (per carichi accidentali) = 1000 Nm S3 (per effetto del vento)

= +/-2000 Nm

Alle tensioni ammissibili: Sollecitazione massima positiva = 5500 Nm Sollecitazioni minima negativa = inesistente Agli Stati Limite: Sollecitazione massima positiva = 7550 Nm Sollecitazioni minima negativa = -500 Nm In ogni caso con i valori massimi e minimi si verifica l’elemento.

Fig. 15

Per dare il solito ordine di grandezza, vediamo cosa accadrebbe per una medesima condizione di carico fra stati limite e tensioni ammissibili. Supponiamo di avere, in una sezione di mezzeria di una trave, tre valori delle sollecitazioni: 2500 per carichi permanenti, 1000 per carichi accidentali, +/- 2000 per effetto del vento (il vento può essere una sollecitazione alternata in segno). Combinando alle tensioni ammissibili avremo una sollecitazione massima di +5500 [scartando, ovviamente, il valore (2500 + 1000 - 2000) = 1500], per cui semiprogetteremo la nostra sezione. Combiniamo agli stati limite una volta facendo diventare una volta il carico accidentale di base, una volta il vento col segno e col più segno meno, ottenendo stavolta che la sollecitazione massima positiva è 7550 e la sollecitazione minima negativa –500. Combiniamo agli stati limite assumendo, come “carico di base”, una volta il carico accidentale, una volta il vento col segno più ed una volta il vento col segno meno, ottenendo, questa volta, 7550 come sollecitazione massima positiva di 7550 e –500 come sollecitazione minima negativa. Agli stati limite è addirittura comparsa una sollecitazione negativa che tende le fibre superiori; cosa che nelle tensioni ammissibili non compariva.

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Approfondimenti di calcolo

Le sollecitazioni composte Per sollecitazioni composte discorso analogo; per ogni sollecitazione elementare ricerca massimi e minimi, quindi verifica con tutte le possibili combinazioni delle sollecitazioni elementari. Tra tutte le possibili coppie o terne, quale è la più gravosa? Non è possibile saperlo a priori e quindi bisogna verificarle tutte. Pressoflessione retta:

+Nmax + Mc +Nmin + Mc -Nmax + Mc -Nmin + Mc +Mmax + Nc -Mmax + Nc

Combinazioni che facilmente diventano molte nel caso di pressoflessione deviata.

Fig. 16

Finora abbiamo parlato di sollecitazioni semplici, ma il ragionamento, dal punto di vista matematico, non cambia nel caso di sollecitazioni composte (ad esempio pressoflessione retta/deviata e taglio), nel senso che, ovviamente, ogni coppia o terna va ricavata con un ragionamento analogo. La complicazione è che, ad esempio, in pressoflessione retta non posso sapere in anticipo quale sia quella più gravosa. Devo, quindi, cercare lo sforzo normale N massimo ed il momento M correlato, poi cercherò l’N minimo di compressione con il momento correlato, però poi devo andare a considerare se c’è sforzo di trazione e poi fare l’inverso coi momenti massimi e minimi. Queste combinazioni possono diventare ancora di più nel caso della pressoflessione deviata, per aumentare ulteriormente nel caso di presenza del sisma. In quest’ultimo caso entra in gioco un altro fattore, in quanto l’effetto massimo del sisma deriva, in analisi dinamica, da una radice quadrata, quindi senza segno. Pertanto, si è costretti a tenerne conto nelle terne N, Mx ed My una volta con il segno più ed una volta con il segno meno in tutte le possibili combinazioni: N + Mx + My; N – Mx – My … e poi occorre cambiare di segno ad N e ricominciare daccapo e così via. 29

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Il tutto continua a complicarsi grazie alla presenza dell’eccentricità accidentale, che deve cambiare anch’essa di segno ecc., dando luogo ad un numero ingente di combinazioni. Questi concetti sono stati riportati nelle Figg. 17 e 18.

Le combinazioni in presenza di sisma In presenza di sisma la formula di riferimento è la seguente:

(

γ I E + G K + P K + ∑i ψ 2iQ Ki

)

Concettualmente è simile a quella vista per il D.M. 96 allo SLU Notiamo il Fattore di importanza γ I I coefficienti probabilistici sono diversi da quelli del D.M. 96 Il calcolo di E viene effettuato con valori ridotti dei carichi. La sollecitazione sismica, nel caso di analisi dinamica, è senza segno. Ciò comporta molte complicazioni nel ricavare le combinazioni con cui verificare l’elemento; i valori cioè di N, Mx e My non sono più legati tra loro, ma sono valori statistici che devono essere presi con tutti i possibili segni.

Fig. 17

La sollecitazione sismica a) Per sisma X: Nmax, Nmin Mxmax

Per sisma Y: Nmax, Nmin Mxmax

P e r si sm a Z : Nmax, Nmin Mxmax

Mxmin

Mxmin

Mxmin

Mymax

Mymax

Mymax

M y mi n

M y mi n

M y mi n

Le possibili terne per sisma in X sono le seguenti: Nmax + Mxmax - Mymax Nmax + Mxmax + Mymax Nmax - Mxmax + Mymax

Nmax - Mxmax - Mymax

-Nmax + Mxmax + Mymax

-Nmax + Mxmax - Mymax

-Nmax - Mxmax + Mymax

-Nmax - Mxmax - Mymax

Ripetiamo tutto per Nmin Solo per Sisma X abbiamo 16 terne di valori N, Mx, My

Fig. 18 30

Approfondimenti di calcolo

La sollecitazione sismica b) Per ogni direzione orizzontale bisogna considerare anche gli effetti dell’eccentricità accidentale; ciò comporta che si aggiungono altri valori da considerare nelle combinazioni precedenti. Tutti questi valori alla fine saranno sommati a quelli dovuti ai carichi verticali, a loro volta ridotti. Per una struttura in zona sismica allora: 1)

Calcolo Combinazioni allo SLU secondo il D.M. 96

2)

Calcolo Combinazioni in presenza di sisma

3)

Dimensionamento dell’elemento allo SLU

4)

Verifica agli SLE di esercizio in assenza di sisma

Fig. 19

Non occorre dimenticare che l’Ordinanza, in ogni caso, coesiste col D.M. 9/1/1996, per cui le nostre strutture saranno verificate secondo questo percorso: •

Calcolo delle combinazioni allo stato limite ultimo secondo il D.M. del 96, quindi, in assenza di sisma, con quella formula che abbiamo visto all’inizio.

•

Calcolo di nuove combinazioni stavolta in presenza di sisma con la formula riportata al punto 3.3 dell’Ordinanza; avremo così un insieme di sollecitazioni con cui andare a semi progettare allo stato limite ultimo i nostri elementi quali travi, pilastri, ecc.

•

Dimensionamento degli elementi strutturali.

Infine essendo sempre valido il D.M. 9/1/1996 agli stati limite di esercizio effettueremo il calcolo delle combinazioni secondo le formule riportate agli stati limite di esercizio.

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Calcolo Strutturale e nuova normativa

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Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato Duttilità di una sezione e prescrizioni di dettaglio strutturale Prof. Ing. Alberto Castellani Dipartimento di Ingegneria Strutturale del Politecnico di Milano Milano, 16 maggio 2005

Fig. 1: diagramma elasto-plastico della struttura

Consideriamo un sistema ad un grado di libertà, figura 1, sottoposto ad una forza esterna F. Il diagramma F-x sia ad esempio di tipo elasto-perfettamente plastico, con limite del campo elastico nel punto di coordinate Fo xo. Sia xu lo spostamento al raggiungimento del quale si ha una degrado riconoscibile della struttura. Il rapporto: µ = xu / xo è definito duttilità della struttura. La duttilità rappresenta quindi la capacità di resistenza della struttura 33

Calcolo Strutturale e nuova normativa

oltre i limiti elastici. Se la struttura non ha un comportamento riconducibile allo schema elasto-perfettamente plastico, e se la forza F è una forza di natura alternata, variabile nel tempo, il comportamento può essere più complesso. Tuttavia ancora si potrà individuare un valore dello spostamento xu oltre il quale si ha un degrado limite, ed ancora si definisce duttilità il rapporto tra xu e lo spostamento al limite elastico xo.

Fig. 2: diagramma momento-curvatura, per una trave inflessa, debolmente armata

L’Eurocodice stabilisce una gerarchia di schemi strutturali, premiando gli schemi che meglio riescono a sfruttare la duttilità dei singoli elementi costruttivi, e prescrive il rispetto di alcuni dettagli costruttivi volti ad assicurare un comportamento duttile per il singolo elemento. È possibile definire la duttilità in termini di curvature. Con riferimento alla figura 2, ci proponiamo appunto di calcolare la duttilità come rapporto ρu/ρo. Per le strutture in calcestruzzo armato, tutte le prescrizioni di dettaglio possono essere fatte risalire al comportamento di una trave soggetta a curvature crescenti. Richiamiamo che la curvatura ultima è prossima alla curvatura alla quale corrisponde Mu, ma non coincide con essa. È legata al raggiungimento delle deformazioni limiti del calcestruzzo e dell’acciaio che ci accingiamo a richiamare. Consideriamo una prova di compressione di un cilindro standard, (un cilindro con altezza pari a due volte il diametro), formato da calcestruzzo non armato, e sprovvisto di armatura trasversale, ovvero “non confinato”. La prova di carico sia a controllo di spostamento, in modo da consentire la rilevazione del ramo discendente del diagramma sforzi-deformazioni. 34

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

Al raggiungimento dello sforzo massimo fc, il cilindro ha un danneggiamento contenuto. Si può ritenere che, dopo lo scarico, un successivo ciclo di carico ritrovi il cilindro pressoché nelle stesse condizioni iniziali. Viceversa, se si supera la condizione di carico caratterizzata dallo sforzo massimo, e si incrementano ulteriormente le deformazioni, poco oltre εc si raggiunge la frantumazione del calcestruzzo. La deformazione εcu, corrispondente al valore di sforzo 0.85 fc, è convenzionalmente considerata la deformazione alla quale corrisponde un danneggiamento irreversibile. Passando dal cilindro standard ad un elemento strutturale, ancora convenzionalmente si ritiene che sia raggiunta la resistenza ultima dell’elemento qualora la deformazione superi il valore εcu. Se il calcestruzzo è “confinato”, ovvero impedito di deformarsi lateralmente, (per effetto Poisson), il diagramma sforzi-deformazioni ha l’andamento qualitativamente indicato nella figura 3, del quale si discuterà più oltre. Ancora, convenzionalmente, la resistenza ultima dell’elemento è definita dal raggiungimento della deformazione εccu corrispondente allo sforzo 0.85 fc, ove fc è la resistenza a compressione del calcestruzzo non confinato. Quindi, per quanto riguarda il calcestruzzo ρu è definito dal raggiungimento di εcu o εccu.

fcc = fc (1. + 2.5 α ωw) per ωw < 0.1/α fc (1.125 + 1.25 α ωw) per ωw ≥ 0.1/α εccu = εcu + 0.1 α ωw

Fig. 3: Diagramma sforzi deformazioni per calcestruzzo confinato e non confinato

35

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Fig. 4: Tipico diagramma sforzi-deformazione di una barra di armatura, in una prova a trazione

Per quanto riguarda l’acciaio di armatura, la figura 4 ricorda il tipico risultato di una prova a trazione con carico crescente monotonamente. Per un acciaio Fe 440 le deformazioni individuate valgono εy ≅ 0.2 %; εh ≅ 10 εy; εsu ≅ 100 εy. Il valore εsu dipende dalla lunghezza del campione in prova. Attorno alla sezione di rottura il provino presenta deformazioni longitudinali e trasversali molto marcate per un tratto di provino delle dimensioni di qualche diametro, che delimitano la tipica zona di “strizione”. Se il carico è di natura ciclica alternata, come può verificarsi in condizioni sismiche, pochi cicli oltre il limite εh producono una rottura che non manifesta strizione. A parità di lunghezza del campione in prova, la deformazione media alla rottura è > ρo). Il limite superiore assicura che non sia ancora cominciato il fenomeno di incrudimento. In tali condizioni la curvatura è al suo limite ρu perché il calcestruzzo ha raggiunto la deformazione massima ammissibile εcu. Come di consueto, supponiamo che le deformazioni abbiano una distribuzione lineare lungo l’altezza della sezione e sia fsu=fy la sollecitazione nell’acciaio, fcu la sollecitazione media nel blocco di calcestruzzo compresso. Dalla fig. 5 si ha: Ku =

ε cu (ε su + ε cu )

(13)

f cu ⋅ b ⋅ K u ⋅ d = As ⋅ f Ku =

As ⋅ f

y

b ⋅ d ⋅ f cu

= p⋅

f

y y

f cu

(14) (15)

avendo indicato con p = As/b·d la percentuale di armatura. Dalle (13), (14) e (15) si ottiene: fy ε cu ε cu < p⋅ < (ε h + ε cu ) f cu (ε y + ε cu )

(16)

La (16) è in sostanza una limitazione sulla percentuale di armatura p. Essa discende dall’ipotesi (12): se εsu < εy (sezioni fortemente armate), non si sfrutta la duttilità dell’acciaio e quindi si ottiene una minore duttilità globale della sezione, aumentando inutilmente il costo. Se, d’altra parte, εsu > εh (sezioni debolmente armate), pochi cicli di carico producono una rottura dell’acciaio “fragile”, ovvero senza strizione della sezione. Per una sezione che rispetta i limiti della (16) il legame tra il momento flettente M e la curvatura ρ ha l’andamento indicato qualitativamente in fig. 2. La condizione (16) definisce pertanto i limiti più opportuni per la percentuale di armatura p. Essa costituisce la base teorica per le limitazioni all’armatura riportate nell’Eurocodice 8, o nella Circolare Ministeriale. 37

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Secondo EC8 p max = p '+

0.0018 f cd ( µφ ε yd f yd )

Ad es., con fc = 280 kg/cm2; fcu = 200 kg/cm2; εcu = 0.003; εy = 0.0022; fy =4400 kg/cm2; risulta pmax = 0.004 + p’ pmin = 0.5 fctm / fyk = 0.00375

Fig. 5: distribuzione di sforzi nelle due condizioni ρ = ρo e ρ = ρu.

La figura 5 rappresenta le due distribuzioni di sforzo nelle condizioni ρ = ρo e ρ = ρu. La curvatura ρo viene raggiunta quando lo sforzo dell’acciaio è pari a fy , mentre il calcestruzzo è ancora lontano dal suo limite εcu . Si può dunque calcolare ρo applicando la teoria lineare e ponendo fs = fy. Con riferimento alla fig. 5, si ottiene: As f y =

1 f bkd 2 c

ε y 1− K = K εc

(17) (18)

Detti ora Es ed Ec i moduli elastici dell’acciaio e del calcestruzzo si ha: 38

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

f c = Ec ⋅ ε c

f y = Es ⋅ ε y ;

(19)

Posto infine Es/Ec = n per le (18) e (19) la (17) diventa: n ⋅ p ⋅ (1 − K ) =

1 ⋅ K2 2

(20)

da cui: K = ( pn)2 + 2 pn − pn

Si ha inoltre: ρo =

εy

(21)

d (1 − K )

mentre dalla fig. 5 si ricava: ρu =

ε cu Ku d

(22)

Dalle (20), (21) e (22) si ottiene: ρ u ε cu 1 − K = ⋅ ρo ε y Ku

ed in virtù della (15): µ=

ρ u ε cu f cu 1 − K = ⋅ ⋅ p ρo ε y f y

(23)

La equazione così trovata mostra che la duttilità flessionale cresce con il crescere di due parametri del calcestruzzo εcu ed fcu,. Ciò indica che, al migliorare della qualità del calcestruzzo, cresce la duttilità. Viceversa la duttilità è inversamente proporzionale a tre parametri riferiti all’acciaio: εy e fy (i quali sono peraltro definiti dai prodotti in commercio) e p, percentuale di armatura. Ad esempio, per calcestruzzi normali si può assumere εcu = 0.003 e fcu = 0.7·fc’. Quanto al momento massimo Mu, se si suppone che la risultante delle compressioni si trovi alla distanza 0.4 Kud dal lembo compresso, si ottiene: 39

Calcolo Strutturale e nuova normativa

M u = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ (1 − 0.4 ⋅ K u )

(24)

ove Ku è fornita dalla (16). Esempio: p = 1%; fc = 280 kg/cm2; fcu = 200 kg/cm2; εcu = 0.003;

▬▬▬►

εy = 0.0022; fy =4400 kg/cm2;

K= 0.358 ρu /ρo = 4

Figura 6

Qualora esista una staffa chiusa, pari a un Φ 10 ogni 10 cm, in grado di fornire quindi una percentuale meccanica di armatura pari a ω = 0.009·Es/Ec = = 0.09, si può assumere εccu = 0.0075; fcc = 1.1125 fc. La duttilità flessionale della sezione diviene pari a 11. Ove esista anche una armatura a compressione, con percentuale p’ e distanza d’ dalla fibra più compressa, si ottiene: µ = ε cu ⋅ εy

0,7 f 'c (1 − K ) ⋅ f y ( p − p' )

(25)

ove: K = n 2 ⋅ ( p + p ')2 + 2n ⋅ ( p + p'⋅d ' / d ) − n ⋅ ( p + p ' )

(26)

Nell’esempio precedente, assumendo d = 25 cm; d’= 5 cm; p’= 0.005, si ottiene K=0.322 e conseguentemente µ = ρu / ρo = 8.4. Le equazioni precedenti costituiscono la base teorica per le prescrizioni che l’Eurocodice elenca per assicurare duttilità alle sezioni in c.a.. L’equazione mostra che:

40

•

µ cresce con il crescere di εcu, spiegando il motivo delle prescrizioni sulla percentuale minima di staffe.

•

µ cresce con il crescere di fcu, spiegando il motivo delle prescrizioni sulle resistenze minime richieste per il calcestruzzo.

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato •

µ cresce con il diminuire di p, spiegando il motivo delle prescrizioni sul quantitativo massimo di armatura.

•

µ cresce con il diminuire di p-p’, ovvero con l’aumentare di p’. L’Eurocodice prescrive che il valore minimo di p’ sia pari a ½ p.

Effetto della azione assiale Consideriamo il caso nel quale esiste solo la armatura tesa. Calcolo di ρo. Il procedimento prevede di definire la distribuzione delle deformazioni, a partire dalla deformazione εy dell’acciaio teso, scegliendo una curvatura arbitraria, e quindi un K arbitrario. Risulterà:

ρo =

εy (1 − K ) ⋅ d

L’equilibrio alla traslazione conduce alla equazione: −p ⋅ f y ⋅b⋅d + f c ⋅ K ⋅b⋅d / 2 = P

L’equazione di equilibrio ad M consente di calcolare K.

Figura 7

Calcolo di ρu. Il procedimento prevede di definire la distribuzione delle deformazioni, a partire dalla deformazione εcu del calcestruzzo compresso, scegliendo una curvatura arbitraria, e quindi un Ku arbitrario. Risulterà:

ρu =

ε cu (K u ⋅ d )

Prefissato P, l’equilibrio alla traslazione consente di definire Ku. 41

Calcolo Strutturale e nuova normativa

− p ⋅ f y ⋅ b ⋅ d + f cu ⋅ K u ⋅ b ⋅ d = P

dalla quale: Ku =

(P + f y ⋅ p ⋅ b ⋅ d ) ( f cu ⋅ b ⋅ d )

=

f y⋅ p fc

+

P Po

e quindi:

µ=

ε cu ⋅ f cu ⋅ (1 − K ) [( P / b ⋅ d + f y ⋅ p) ⋅ε y ]

µ=

ε cu ⋅ (1 − k ) ( f y ⋅ p / f c + P / P o) ⋅ε y

Essa mostra che la duttilità flessionale decresce con P/Po. Ritenendo fy·p/fc ≈ 0.1, risulta che la duttilità dimezza quando P/Po = 0.1. A parità di altri parametri, la dipendenza della duttilità da P è del tipo in figura:

Fig. 8: diagramma momento-curvatura, per una trave inflessa, debolmente armata, per diversi valori di P

Mettendo in conto armatura a compressione ed azione assiale, la formula finale vale: µ=

ε cu ⋅ f cu ⋅ (1 − K ) {[ P / b ⋅ d + f y ⋅ ( p − p ' )] ⋅ ε y}

Questa formula mostra che un’azione di compressione P fa diminuire la duttilità. A parità di dimensioni, una trave soggetta a soli momenti flettenti, avrà un comportamento più duttile di una colonna soggetta a momenti e ad azione assiale. Ciò consente di comprendere il requisito “strong column weak beam”, alla base della progettazione delle strutture in c.a. 42

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

Sezione di forma qualsiasi Prefissiamo un valore della azione assiale P. Nel caso generale, con armature su più livelli, ed una sezione di forma qualsiasi, occorre suddividere la sezione in rettangoli, con strisce parallele alla direzione presunta dell’asse neutro. Prefissata una curvatura della sezione, e quindi un diagramma delle deformazioni, la condizione di equilibrio consente di definire la posizione dell’asse neutro Le ipotesi sono quelle di carattere generale per il calcestruzzo armato: •

le sezioni ruotino restando piane

•

il calcestruzzo non reagisca a trazione

•

il diagramma sforzi deformazioni del calcestruzzo sia il seguente:

fcc = 1 + 2.5·α·ωw se ωw < 0.1 / α = 1.125 +·α·ωw se ωw ≥ 0.1 / α εccu = εcu + 0.1 · ωw · α Figura 9

fcc = 1 + 2.5·α·ωw se ωw < 0.1 / α = 1.125 +·α·ωw se ωw ≥ 0.1 / α

εccu = εcu + 0.1 · ωw · α Figura 9

Figura 10

La funzione in figura 9 ha la seguente espressione analitica: 43

Calcolo Strutturale e nuova normativa

f = Ec ⋅ ε + [

( f cc − E c ⋅ε cc1) 2 ε cc 1

]⋅ε 2

f = ( f cc + k 2 ⋅ ε cc1) − k 2 ⋅ ε

ove k 2 =

per ε < εcc1 per ε > εcc1

(0.85 ⋅ f c − f cc ) (ε ccu − ε cc1)

La compressione al picco εcc1 non rappresenta la deformazione ultima al collasso del calcestruzzo, utilizzabile per il calcolo della duttilità della sezione in termini di curvatura. Quest’ultima convenzionalmente è reputata pari alla deformazione corrispondente al 0.85 fc, con fc resistenza a compressione del calcestruzzo non confinato. Una formula per tale valutazione è data nella figura 1. Il simbolo usato è εccu. Utilizzando questa od altra funzione f = f(ε), dalla equazione di equilibrio alla traslazione si determina la posizione dell’asse neutro, kd(n). L’equilibrio alla traslazione si esprime: kd

∫ b ⋅ σ ( x) dx + ∑i A(i ) ⋅ f s – P =0

o

Una procedura possibile è quella di fissare un valore k di tentativo, fino a quando l’equazione risulta soddisfatta. Se la sezione è rettangolare il termine b non dipende da x, e rappresenta la larghezza della sezione. Se la sezione è di forma generica, b = b(x). Data la distanza dell’asse neutro, kd, la curvatura è: ρo =

εy d (n) − kd (n)

avendo assunto che nella armatura più tesa, alla distanza d(n), sia ε = εy. Lo sforzo nel livello iesimo di armatura si calcola in base alla deformazione: ε i = ρ o ⋅ (d (i ) − kd (n))

fi = εi Es se εi < εy f i = fy 44

se εi > εy.

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

Analogamente il calcolo di ρu si riferisce alla configurazione seguente.

Figura 11

ρu =

ε cu kd (n)

avendo assunto che nella fibra più compressa sia εc = εcu. La posizione dell’asse neutro si determina ancora con la equazione di equilibrio: kd

∫ bσ ( x) dx + ∑i A(i ) f s − P = 0

0

Esempio per una parete di taglio lunga 3 m, larga 20 cm, con calcestruzzo fc= 300 kg/cm2, e εcu = 0.0035. P -t0 100 200 300

My 207 311 409 500

Mu 354 465 565 651

ρy

ρu

0.87 10-5 0.96 10-5 1.04 10-5 1.12 10-5

1.23 10-4 0.907 10-4 0.713 10-4 0.587 10-4

Duttilità 14.16 9.37 6.81 5.24

Tabella 1: duttilità con armatura distribuita, figura 12 b

P -t0 100 200 300

My 341 459 569 671

Mu 379 513 639 750

ρy

ρu

0.87 10-5 0.968 10-5 1.04 10-5 1.12 10-5

3.47 10-4 2.18 10-4 1.3 10-4 0.871 10-4

Duttilità 36.00 22.58 12.48 7.77

Tabella 2: duttilità con armatura concentrata agli estremi, figura 12 a 45

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Le due pareti hanno lo stesso quantitativo totale di acciaio e le stesse dimensioni geometriche. La staffatura è definita da α = 0.1 ωw = 0.05. Ne risultano fcc = 303, e εccu =0.004.

Figura 12 a: armatura concentrata alle due estremità

Figura 12 b: armatura distribuita

Figura 13. Esempio di calcolo del diagramma M-ρ 46

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

azione assiale 10 t

momenti tm

20 15 10 5 0 0

0,05

0,1

0,15

curvatura 1/m

Figura 14: Sezione nella figura 13. Duttilità flessionale 11.76

azione assiale 40 t

momenti tm

20 15 10 5 0 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

curvatura 1/m

Figura 15: Sezione nella figura 13. Duttilità flessionale 8.09

47

Calcolo Strutturale e nuova normativa

Prescrizioni Eurocode 8 Si fa riferimento alla formula: µ=

ε cu ⋅ (1 − K ) [ f y ⋅ ( p − p ' ) / f c + P / P o] ⋅ ε y

In essa trovano spiegazione la più parte delle prescrizioni EC8.

Valori minimi di µφ L’eurocodice prescrive: µφ of these regions (defined as the ratio of the post-ultimate strength curvature at 85% of the moment of resistance, to the curvature at yield, provided that the limiting strains of concrete and steel εcu and εsu,k are not exceeded) is at least equal to the following: µφ = 2qo – 1 if T1 ≥ TC µφ = 1+2(qo – 1)TC/T1 if T1 < TC Esempio: edificio qo = 5, T1 = 0.6 s, terreno tipo B , TC = 0.5 s, µφ = 9.

Values of the parameters describing the recommended Type I elastic response spectra

48

Ground type

S

TB(s)

TC(s)

TD(s)

A B

1,0 1,2

0,15 0,15

0,4 0,5

2,0 2,0

C D E

1,15 1,35 1,4

0,20 0,20 0,15

0,6 0,8 0,5

2,0 2,0 2,0

Eurocodice 8 - Capitolo 5: Costruzioni in calcestruzzo armato

µ ÷ 1/(p-p’) Duttilità in funzione della armatura a trazione, p, e di quella a compressione p’ L’eurocodice prescrive: The reinforcement ratio of the tension zone ρ does not exceed a value ρmax equal to: ρ = ρ '+

0.0018 f cd

µ φ ε syd f

yd

with the reinforcement ratios of the tension zone and compression zone, ρ and ρ’, both normalised to bd, where b is the width of the compression flange of the beam. If the tension zone includes a slab, the amount of slab reinforcement parallel to the beam within the effective flange width defined in 5.4.3.1.1(3) is included in ρ.

µ ÷ /(p-p’) Armatura delle colonne L’eurocodice prescrive: Columns (1)P The total longitudinal reinforcement ratio ρl shall be not less than 0,01 and not more than 0,04. In symmetrical cross-sections symmetrical reinforcement should be simmetrical. (2)P At least one intermediate bar shall be provided between corner bars along each

µ ÷ εcu Duttilità in funzione della percentuale di staffe L’eurocodice prescrive: The diameter d bw of the hoops (in millimetres) shall be not less than 6. b) The spacing, s, of hoops (in millimetres) shall not exceed: s = min{hw/4; 24d bw; 225; 8dbL} (5.13) where dbL is the minimum longitudinal bar diameter (in millimetres); and hw the beam depth (in millimetres). 49

Calcolo Strutturale e nuova normativa

c) The first hoop shall be placed not more than 50 mm from the beam end section (see Fig. 5.6)

µ ÷ 1/ […+P/Po] Effetto della azione assiale P e prescrizione strong column/weak beam Da questa relazione nascono due regole: 1) La grandezza P/Po deve essere limitata a 0.55. 2) La relazione tra µ e P è tale che comunque una colonna ha una dutti-

lità inferiore a quella di una trave, a parità di altre condizioni. Questa relazione è alla base della regola “strong column, weak beam”. Quest’ultima regola trova peraltro giustificazione anche nel fatto che è comunque preferibile che non ci siano cerniere plastiche lungo la linea di trasmissione dei carichi gravitazionali.

Figure 5.6: Transverse reinforcement in critical regions of beams

50

Problematiche specifiche sugli edifici nella nuova normativa sismica

I principi della nuova normativa sul calcolo strutturale Principi generali - Analisi sismica: statica lineare/non lineare, dinamica lineare/non lineare - Spettri di risposta e fattore di struttura Prof. Ing. Alessandro De Stefano Ordinario di Costruzioni in zona sismica, dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino

Torino, 23 maggio 2005 In questa occasione prima di tutto voglio ringraziare per l’ospitalità la società ACCA. Senza entrare nel merito specifico del software, mi interessa proporre all’attenzione alcuni punti fondamentali. Il primo è che la nuova normativa (per nuova normativa intendo l’ordinanza OPCM 3274 aggiornata con OPCM 3316, perché il “testo unico” ha una procedura ancora da rispettare prima di diventare norma ufficiale) ha certamente aspetti controversi ma non c’è dubbio che abbia carattere di consistenza e coerenza. I suoi contenuti hanno una ragione riconoscibile e una base concettuale ragionevole anche se possono essere discussi talvolta per le difficoltà applicative. Il secondo punto importante è la convergenza verso il corpo normativo europeo. Questo è un aspetto fondamentale perché, nel quadro della progressiva integrazione europea, deve essere sempre più agevole l’inter51

Calcolo Strutturale e nuova normativa

scambio in termini di progettazione e di attività di impresa. Una qualsiasi normativa che non si ponga su una linea di convergenza comunitaria ha il fiato corto e rischia di porci ai margini del contesto europeo. L’eccesso di complessità di una normativa può comportare rischi di errori progettuali, legati a difficoltà interpretative o di comprensione. Talvolta si tratta di errori a sfavore di sicurezza, come studi del passato hanno evidenziato. L’eccesso di complessità può essere, talora, corretto senza snaturare la norma e senza attenuarne significativamente il rigore, ma non sempre ciò è possibile. La complessità è una sfida perché obbliga a recuperare quella competenza tecnica che normative più semplici, come quelle a cui siamo abituati, ci hanno fatto perdere. Ciò può rendere più complicata la vita dell’ingegnere civile non specialista, attivo su un ampio spettro di domini tecnici e progettuali diversi. Si porrà, prevedibilmente, in modo più generalizzato, l’esigenza di una maggiore specializzazione delle figure professionali e di una professione intesa come integrazione tra esperti in ambiti disciplinari diversi. Prima di tutto vediamo la situazione piemontese; noi siamo in una regione di sismicità alquanto bassa; anche la zona attualmente classificata in categoria 2 è in corso di revisione per declassarla alla categoria 3. Le zone sismiche piemontesi di categoria superiore a 4 sono concentrate in tre aree: un’area si trova al confine con la Francia e comprende parte della provincia di Torino e parte della provincia di Cuneo; un’altra area è situata al nord del Piemonte, nel novarese; la terza area si trova nell’alessandrino sud-orientale. Nella gestione piemontese del rischio sismico si inserisce un delicato equilibrio di competenze tra ARPA e Protezione Civile regionale che non trova corrispondenza nella generalità delle amministrazioni regionali italiane. L’ARPA, ente che può svolgere ruolo consultivo ma non impositivo, diventa braccio tecnico dell’amministrazione regionale, che opera, provvede e legifera tenendo conto delle indicazioni tecniche formulate dall’Arpa. Anche i controlli sui progetti di costruzioni in zone sismiche avvengono con procedure che tengono conto della differenza e dualità di ruoli tra le due istituzioni. 52

Problematiche specifiche sugli edifici nella nuova normativa sismica

Veniamo ora all’esame dei contenuti tecnici della normativa. L’Ordinanza della Protezione Civile presenta un aspetto di relativa ambiguità; nasce con consistenti riferimenti all’Eurocodice 8, ma non è del tutto chiaro se va intesa come “norma prestazionale”, al pari dell’Eurocodice, o come norma prescrittiva, sul solco della tradizione di tutte le norme tecniche nazionali precedenti. Quando si parla di “norma prestazionale” si prefigura una struttura normativa che contiene, in forma ben distinta e riconoscibile, i Principi e le Regole. Il primo e più importante dei principi è che la struttura non deve collassare sotto sisma. Le Regole suggeriscono come si può progettare una struttura che non collassa. L’osservanza delle Regole, formulate in modo esplicito nel codice, garantisce implicitamente il rispetto dei Principi. Tuttavia l’osservanza delle Regole non è obbligatoria ed è facoltà del progettista dimostrare di poter ottenere il rispetto dei Principi, con sicurezza almeno uguale, con scelte e criteri differenti. Nell’Ordinanza questa sorta di “libero arbitrio” non è riconoscibile con certezza ed il carattere di norma prescrittiva sembra prevalere.

Il terremoto Il terremoto è spesso l’azione prevalente nel determinare lo stato di danno o di collasso che il progettista deve saper evitare.

L’azione sismica „

„

„

„

„

Azione sismica ⇒ scuotimento multidirezionale del suolo. • Azione sismica ⇒ azione dinamica (le forze inerziali non sono trascurabili rispetto a quelle statiche).

Rappresentare l’azione sismica con un sistema di forze statiche equivalenti non ha riscontro fisico, ma è un espediente per semplificare l’analisi strutturale. Il terremoto si misura con l’intensità (scala Mercalli) o la magnitudo (scala Richter).

Il terremoto è un evento di breve durata (la durata è