A Conquista Da Matematica
Short Description
Download A Conquista Da Matematica...
Description
Caro professor, Este material foi organizado pensando em você. Ele possui todas as resoluções dos exercícios da coleção; assim, ficará mais fácil identificar a complexidade de cada exercício, agilizando seu trabalho em sala de aula. O formato em CD permite a impressão seletiva, auxiliando a elaboração e a correção de provas e trabalhos.
Os autores
SUMÁRIO 6. ano o
O ser humano vive cercado por números. ....................................................................................................................... 5 Calculando com números naturais.................................................................................................................................. 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................................................................................. 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais.................................................................................................................. 32 A forma decimal dos números racionais. ........................................................................................................................ 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................................................................................. 59 Volume e capacidade.............................................................................................................................................................. 67 Medindo a massa.................................................................................................................................................................... 70
7 .o ano Potências e raízes. ................................................................................................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros. .................................................................................................................................... 84 O conjunto dos números racionais................................................................................................................................... 102 Estudando as equações........................................................................................................................................................ 117 Estudando as inequações..................................................................................................................................................... 147 Estudando os ângulos. ........................................................................................................................................................ 155 Estudando triângulos e quadriláteros........................................................................................................................... 165 Razões e proporções.............................................................................................................................................................. 167 Grandezas proporcionais..................................................................................................................................................... 185 Porcentagem............................................................................................................................................................................ 200
8 .o ano Os números reais.................................................................................................................................................................... 207 Introdução ao cálculo algébrico..................................................................................................................................... 211 Estudo dos polinômios. ........................................................................................................................................................ 214 Estudo das frações algébricas........................................................................................................................................... 230 Equações do 1o. grau com uma incógnita......................................................................................................................... 236 Porcentagem e juro simples.................................................................................................................................................. 245 Sistema de equações do 1o. grau com duas incógnitas. ................................................................................................ 248 Geometria................................................................................................................................................................................. 259 Ângulos formados por duas retas paralelas com uma reta transversal............................................................... 262 Polígonos................................................................................................................................................................................. 265 Estudando os triângulos.................................................................................................................................................... 270 Estudando os quadriláteros. ............................................................................................................................................. 276 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 282
9 .o ano Noções elementares de estatística.................................................................................................................................... 291 Estudando as potências e suas propriedades.................................................................................................................. 296 Calculando com radicais. ................................................................................................................................................... 304 Equações do 2o. grau.............................................................................................................................................................. 338 Função polinomial do 1.o grau............................................................................................................................................ 388 Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática).............................................................................................. 397 Segmentos proporcionais. .................................................................................................................................................... 411 Semelhança.............................................................................................................................................................................. 419 Estudando as relações trigonométricas no triângulo retângulo.......................................................................... 430 Estudando as relações trigonométricas nos triângulos........................................................................................... 442 Estudando as áreas das figuras geométricas planas................................................................................................... 453 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 465
SUMÁRIO 6. ano o
O ser humano vive cercado por números............................................................ 5 Calculando com números naturais.................................................................... 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................... 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais....................................................... 32 A forma decimal dos números racionais............................................................. 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................... 59 Volume e capacidade.......................................................................................... 67 Medindo a massa............................................................................................... 70
O SER HUMANO VIVE CERCADO POR NÚMEROS Explorando, página 10.
4.
1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto. 3. Respostas pessoais. 4. Resposta em aberto.
Exercícios, página 14. 1. a3; b1; c4; d2 2. Resposta em aberto. 3.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
302 1 12 322 45 667 100 1 000 10 000 100 000 901 19 900
8 1 3 5
6.
Desafio!, página 15. b)
a) 887 b) 99 c) 9 470
d) 0 e) 11 999 f) 7 000
a) 1 001 b) 20 010
c) 4 002 d) 6 006
7.
c) d) Editoria de arte
3 4 5 6
5.
1 − Uma história muito antiga
a) 8h19min b) 1, 2, 3, 4 e 5 c) X
e) f) g) h)
a) b) c) d)
8. a) 636 e 640 b) 1 324 e 1 328 c) 19 552 e 19 556
e)
Brasil real, página 16.
9.
1. a) XVIII b) XIX
2. MDCCCXL 1840; MDCCCLXXXIX 1889; MDCCCLXXIX 1879; MDCCCLIV 1854; MDCCCLII 1852
2 – E o nosso sistema de numeração? Exercícios, páginas 19 e 20. 1. a) São iguais.
b) cinco; 5
2. Resposta em aberto. 3. sete; 7;
a) 1 001 e 1 005 b) 9 007 e 9 011 c) 20 219 e 20 223
c) MDCCLXXXVII d) MDCCCLXXXIX
.
Existem outras maneiras.
10. Resposta em aberto. 11. a) b) c) d)
4 algarismos; 7, 5, 0 e 4 4 algarismos; 1 e 0 4 algarismos; 5 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0
Chegou a sua vez!, página 21. 1. “Os campeões em cada copa” 2. Os anos da copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões.
5
3. www.fifa.com
2.
4.
a) Sete mil e quatrocentos quilômetros. b) Quarenta e oito mil quilômetros quadrados. c) Dois milhões, cento e sessenta e seis mil e oitenta e seis quilômetros quadrados. d) Vinte e quatro mil, quatrocentos e trinta quilômetros quadrados; vinte e dois mil quilômetros quadrados. 3. Resposta em aberto. 4. a) Nove milhões, novecentos e trinta mil, quatrocentos e setenta e oito. b) Cento e sessenta e nove milhões, setecentos e noventa e nove mil, cento e setenta. c) Resposta em aberto. 5. a) 600 000 e 600 b) 6 000 c) 6 d) 6 000 000 e) 60 000 000
a) 5 b) 2 c) 2 d) 4
e) 3 f) 1 g) 1 h) 0
a) 10
b) 7
5. c) 1
6. 6
Explorando, página 22. 1. Desenhar: a) 10 bolinhas, b) 13 bolinhas, c) 21 bolinhas, d) 11 bolinhas. 2. a) Desenhar 1 bolinha, 31 bolinhas, 12 bolinhas e 11 bolinhas. b) Somente no caso do item b, em que houve um aumento de 18 . c) Nos casos dos itens a e c. No item a, diminuição de 9 ; no item c, diminuição de 9 . 3. a) Diminuiu. b) 5; 70
c) 50; 7
4. a) Diminuiu. b) Passou de 800 para 8. c) Passou de 1 para 100. 5. a) Trocá-lo de lugar com o 0; 7 650. b) Trocá-lo de lugar com o 5; 7 065. c) Trocá-lo de lugar com o 6; 6 057.
Exercícios, páginas 26 e 27. 1. 257, 275, 527, 572, 725, 752 a) 752 b) 257 2. a) Mil e vinte e sete. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. 3. Resposta em aberto. 4. Resposta em aberto. 5. 2 106 504 6. Quatro números: 123, 345, 567 e 789.
Brasil real, páginas 25 e 26. 1. a) Rússia: Dezessete milhões, setenta e cinco mil e quatrocentos. Canadá: Nove milhões, novecentos e setenta mil, seiscentos e dez. China: Nove milhões, quinhentos e setenta e dois mil e novecentos. Estados Unidos: Nove milhões, trezentos e setenta e dois mil, seiscentos e quatorze. b) 8 514 215 km2; oito milhões, quinhentos e quatorze mil, duzentos e quinze quilômetros quadrados
6
Tratando a informação, página 27. Chegou a sua vez!, página 28. 1. Resposta pessoal. 2. Resposta em aberto. Desafio!, página 28. a) O número é 99. b) Acima: 34, 42 e 50; abaixo: 66, 74 e 82. c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17... d) 217 e 218. e) 8 números; resposta em aberto.
Calculando com números naturais 3.
Chegou a sua vez!, páginas 31 a 33.
a) Representam as regiões brasileiras. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. d) Resposta em aberto.
1. a) b) c) d) e) f) g)
Multiplicação. Subtração. Adição. Subtração. Divisão. Multiplicação. Divisão.
Chegou a sua vez!, página 38. a) 23 1 21 1 22 1 25 1 21 1 24 5 136 R R 136 nascimentos b) Abril. c) Fevereiro e maio.
2. a) 6 3 3 5 18 R 18 ovos 18 2 6 5 12 12 ovos R 1 dúzia 7 dias R 7 3 5 5 35 R$ 35,00 b) • 205 2 005 102 1 102 alunos • sobrou 1 pera. c) • 27 1 3 5 30 R 30 camelos • 30 1 35 1 15 5 80 R 80 camelos d) 95 2 7 5 88 R 88 camelos
Exercícios, páginas 39 e 40. 1. a) Ivo: 9 070 1 13 620 1 10 090 5 32 780 R R 32 780 pontos Beto: 8 230 1 14 740 1 9 980 5 32 950 R R 32 950 pontos Guto: 10 060 1 12 900 1 10 120 5 33 080 R R 33 080 pontos b) Ivo: 13 620 1 10 090 5 23 710 R R 23 710 pontos Beto: 14 740 1 9 980 5 24 720 R R 24 720 pontos Guto: 12 090 1 10 120 5 22 210 R R 22 210 pontos
3 – Ideias associadas à adição Brasil real, páginas 35 a 37. 1. a) 91 1 38 1 14 1 101 5 244 R 244 km b) 28 596 1 244 5 28 840 R 28 840 km c) 28 840 1 244 5 29 084 R 29 084 km d) 30 000 2 29 084 5 916 R 916 km 2.
2. 54 307 1 6 128 5 60 435 R 60 435 habitantes 3. 376 1 1 144 5 1 520 R 1 520 livros 4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Exemplo: 90 5 54 1 36
a) Prata
Bronze
Total
Argentina
257
278
362
897
Brasil
241
283
402
926
Canadá
347
546
681
1 574
Cuba
781
531
481
1 793
EUA
1 748
1 295
873
3 916
México
157
217
408
782
? d a 90 54
b) EUA, Cuba, Canadá, Brasil, Argentina, México. c) 4.o lugar
e b
84 36
c 110
48
121 62
59
Editoria de arte
Ouro
a 5 90 1 84 ⇒ a 5 174 b 5 84 1 110 ⇒ b 5 194 c 5 110 1 121 ⇒ c 5 231 d 5 174 1 194 ⇒ d 5 368 e 5 194 1 231 ⇒ e 5 425 ? 5 368 1 425 ⇒ ? 5 793
7
5. N 5 330 1 792 1 428 R N 5 1 550 R R N 5 1 550 crianças
1a coluna: 12 1 16 5 28 ? 5 39 2 28 R ? 5 11
6. 215 1 175 1 245 1 175 5 810
3a coluna: 10 1 14 5 24 ? 5 39 2 24 R ? 5 15
7. 965 1 1 028 1 692 5 2 685 R 2 685 pessoas 8. 11 296 1 1 649 5 12 945 R 12 945 crianças 9.
2. a) 875 b) Não é possível. c) Não é possível. d) 0
a) 319 1 426 1 565 5 1 310 R 1 310 pessoas b) Hidroginástica. c) 565 2 319 5 246 R 246 pessoas Desafio!, página 40.
3. Em 2009; 2 010 2 1 692 5 318 R R 318 participantes a mais
7
8
3
2
6
10
4. 36 290 2 27 545 5 8 745 R 8 745 reais
9
4
5
5. 2 590 2 2 431 5 159 R 159 m3
Exercícios, página 45.
4 – Ideias associadas à subtração Brasil real, página 43. 1. 1 891 2 66 5 1 825
1. 3 002 2 1 496 5 1 506 2. a) 9 105 2 5 299 5 3 806 b) 10 210 2 6 226 5 3 984 3. a) ? 5 6 991 1 6 429 R ? 5 13 420 b) ? 5 15 000 2 7 995 R ? 5 7 005
2. a) região Norte b) 151 107, cento e cinquenta e um mil, cento e sete. 133 717, cento e trinta e três mil, setecentos e dezessete. 105 203, cento e cinco mil, duzentos e três. 85 606, oitenta e cinco mil, seiscentos e seis. 3. a) 4 282 2 3 736 5 546 R 546 metros b) 10 912 2 9 218 5 1 694 R 1 694 metros 4. 99 999 999 2 60 141 715 5 39 858 284 R R 39 858 284 veículos Exercícios, página 44. 1. 12 1 13 1 14 5 39 1a linha: 12 1 17 5 29 ? 5 39 2 29 R ? 5 10 3 linha: 9 1 14 5 23 ? 5 39 2 23 R ? 5 16 a
8
Chegou a sua vez!, página 45. 1. a) 120 b) 18
c) 150 d) 60
2. a) 85 2 8 5 73 (1a vez) 73 2 8 5 65 (2a vez) . . . 13 2 8 5 5 (10a vez) b) 19 3. Alternativa b. 7 000 1 700 1 700 1 70 1 70 1 7 1 7 5 5 8 554
Chegou a sua vez!, página 47. a) 3 530 2 3 048 5 482 R 482 quilowatts-hora
b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.
Editoria de arte
b)
5 – Ideias associadas à multiplicação Explorando, páginas 50 e 51.
Exercícios, página 48. 1. 58 2 46 1 20 5 5 12 1 20 5 32
1. Todas as parcelas são iguais. 2. a) 6 b) 4 c) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 d) Todas as parcelas são iguais. e) 24
2. 50 2 (10 1 25) 2 1 3. (53 2 38 1 40) 2 51 1 (90 2 7 1 82) 1 101 5
5 (15 1 40) 2 51 1 (83 1 82) 1 101 5 5 55 2 51 1 165 1 101 5 4
1 165 1 101 5 270
3.
4. 50 2 (71 2 37 1 6) 5. Respostas possíveis: a) 11 1 20 2 (10 1 15) b) 10 1 11 1 15 1 20 c) 15 1 11 1 20 2 10 d) 10 1 20 2 (11 1 15)
a) 4 3 6 5 24 R 24 tipos tipos de pão
4. a) 1 3 1 5 1 b) 2 3 2 5 4 c) 3 3 3 5 9 d) 4 3 4 5 16 e) 5 3 5 5 25 f) 6 3 6 5 36
6. 40 2 25 212 1 10 2 7 1 8 5 14
Chegou a sua vez!, páginas 49 e 50. 1. a) Para representar fenômenos físicos, químicos, sociais, econômicos etc. Para explicar símbolos ou cores usados nos gráficos, mapas etc. b) Unesco, Embaixada de Cuba e Ministério da Educação. c) Há quanto tempo alguns países oferecem escola para todas as crianças. d) Resposta em aberto. e) Países; tempo (em anos) em que todas as crianças daquele país estão na escola. f) 134 2 6 5 128 R 128 anos 44 2 6 5 38 R 38 anos 2. a) • 1 927 2 1 804 5 123 R 123 anos • 1 960 2 1 927 5 33 R 33 anos • 1 974 2 1 960 5 14 R 14 anos • 1 987 2 1 974 5 13 R 13 anos • 1 999 2 1 987 5 12 R 12 anos
recheios
b) Respostas em aberto. • Resposta pessoal. • Resposta em aberto.
5. a) 3 3 4 5 12 ou 4 3 3 5 12 b) 2 3 6 5 12 ou 6 3 2 5 12 c) 6 3 2 5 12 ou 2 3 6 5 12 d) 1 3 8 5 8 ou 8 3 1 5 8 e) 7 3 7 5 49 f) 3 3 5 5 15 ou 5 3 3 5 15 6. a) 2 3 6 5 12 R 12 maçãs (Seu Agenor) 2 3 12 5 24 R 24 maçãs (Dona Berta) b) 5 3 6 5 30 R 30 maçãs (Seu Agenor) 5 3 12 5 60 R 60 maçãs (Dona Berta) c) Resposta em aberto. Exercícios, páginas 55 e 56. 1. 6 3 50 5 300 R 300 laranjas 2. 13 3 43 5 559 R 559 azulejos 3. 27 560 3 4 5 110 240 R 110 240 habitantes
9
4. São 6 opções diferentes. blusa
saia
branca
amarela
vermelha
preta cinza
Saia preta
blusa branca blusa amarela blusa vermelha
blusa branca blusa amarela blusa vermelha
saia cinza 5.
a) 16 3 6 5 96 R 96 trens b) 96 3 125 5 12 000 R 12 000 passageiros
6. Quantidade de pães
1
2
3
4
5
6
7
Preço total
2 reais
4 reais
6 reais
8 reais
10 reais
12 reais
14 reais
7. a) 3 7 3 8 2 9 6
45 3 (90 1 2) (45 3 90) 1 (45 3 2) 4 050 1 90 4 000 1 50 1 90 4 000 1 140 5 4 140 d) 92 3 45 92 3 (40 1 5) (92 3 40) 1 (92 3 5) 3 680 1 460 3 600 1 80 1 400 1 60
4 000 1 80 1 60 4 000 1 140 5 4 140
a) 7 3 8 5 56 b) 8 3 6 5 48 Chegou a sua vez!, página 60. 1. a) (1 1 2 1 4 1 8) 3 48 5 720 b) (1 1 4 1 8) 3 23 5 299
8. 12 3 9 5 108 R 108 litros
2.
9.
a) 27 323 1a vez vertical: 64 3 2 5 128 3a vez 256 3 2 5 512
2a vez
128 3 2 5 256 4a vez 512 3 2 5 1 024
1a vez 2a vez horizontal: 32 3 2 5 64 64 3 2 5 128 4a vez 3a vez 128 3 2 5 256 256 3 2 5 512 10.
10
353 (20 1 4) (35 3 20) 1 (35 3 4) 700 1 140 700 1 100 1 40 800 1 40 5 840 c) 45 3 92
Chegou a sua vez!, página 57.
b) 3 7 3 4 8 2 9 6 1 4 8 0 1 7 7 6
b) 35 3 24
a) 24 3 35 24 3 (30 1 5) (24 3 30) 1 (24 3 5) 720 1 120 700 1 20 1 100 1 20
700 1 100 1 40 5 840
3 2
2
7
12
1
0 4
17
3
0
5
6
8
0
0
6
3
9
1
3
7
0
2
3
b) 18 872 1
3
4
0
0
1
0
3
1
0
4
1
2
8
8
0 11
1
7
8
3
4
0
8
1
6
3
2
4
2
Exercícios, páginas 61 e 62. 1. 81 2 7 3 11 5 81 2 77 5 4 2. a 5 10 1 3 3 2 ⇒ a 5 10 1 6 ⇒ a 5 16 b 5 10 3 3 1 2 ⇒ b 5 30 1 2 ⇒ b 5 32 ab
3. (12 1 8) 3 5 5 100
Brasil real, página 65. a) Ouro: hipismo, vela (nas categorias laser e star), vôlei masculino, vôlei de praia masculino; Prata: vôlei de praia feminino e futebol feminino; Bronze: judô masculino e atletismo masculino. b) Sim. c) Não, quintuplicou. d) I. (4 2 4) 3 (4 1 4) 1 1 5 0 3 8 1 1 5 5 0 1 1 5 1 (Tóquio) II. 3 3 2 2 4 1 3 3 (3 2 3) 5 6 2 4 1 1330562410521052 (Montreal ou Munique) III. 4 2 4 1 4 2 1 5 0 1 4 2 1 5 4 2 1 5 5 3 (Barcelona ou México) IV. 4 2 0 3 4 2 (2 2 2) 5 4 2 0 2 0 5 4 (Moscou) V. 2 3 2 2 4 1 3 3 3 2 3 5 4 2 4 1 1 9 2 3 5 0 1 9 2 3 5 9 2 3 5 6 (Seul) VI. 4 1 4 2 4 1 4 5 8 2 4 1 4 5 4 1 4 5 8 (Los Angeles) VII. (3 1 2) 3 (9 2 7) 5 5 3 2 5 10 (Atenas) VIII. 2 3 (3 1 4) 2 2 5 2 3 7 2 2 5 14 2 2 5 5 12 (Sidney) IX. 4 3 4 2 (5 2 4) 5 16 2 1 5 15 (Atlanta) e) Resposta em aberto.
4. 50 2 (6 3 8 1 2) 5 50 2 (48 1 2) 5 50 2 50 5 0 5. (20 2 3 3 6) 3 2 5 (20 2 18) 3 2 5 2 3 2 5 4 6. (3 3 7 1 2 3 15) 3 (81 2 4 3 20) 5 (21 1 30) 3 3 (81 2 80) 5 51 3 1 5 51 7. a) 4 3 2 1 4 3 5 b) 3 3 (3 1 3 1 2) c) 2 3 (8 1 8) 1 3 3 4. Existem outras respostas. 8. a) 150 1 5 3 25 b) 150 1 5 3 25 5 150 1 125 5 275 R R 275 reais 9. a) 30 3 2 1 30 3 3 b) 30 3 2 1 30 3 3 5 60 1 90 5 150 R R 150 balões 10. a) Alex b) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 c) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 5 30 1 50 1 60 5 5 140 R 140 reais d) 360 2 140 5 220 R 220 reais Desafio!, página 62.
5
12
6
2
3
10
30
4
15
6 – Ideias associadas à divisão Explorando, páginas 66 e 67. 1.
Chegou a sua vez!, página 63. a)
1
2
7
M1
2
1
1
1
5
1
1
b)
1
5
3
4
7
M1
1
2
3
1
9
M1 MR
933
c)
2
1
3
1
2
M1
1
3
3
1
0
M2 MR
122
d)
5
8
M1
5
1
3
1
1
2
1
6
1
1
M2 MR
9
a) Sim. 72 4 (divisão exata) 32 18 0 b) Número de candidatos em cada grupo: 18 72 4 32 18 0
80
M2 MR 23
Chegou a sua vez!, página 64. 1. Vale 150 milhões. 2. 106 716 367 669 3. a) 1 200 2 1 5 1 119 anos b) 1 750 2 1 200 5 550 anos c) 1 850 2 1 750 5 100 R 100 anos d) 1950 2 1 850 5 100 R 100 anos e) 2 005 2 1 950 5 55 R 55 anos
2. a) 6 3 12 5 72 R 72 perguntas b) 72 32 R 2 perguntas 8 2 c) Como são 2 perguntas por participante e há 32 candidatos, são 64 perguntas. Como havia 72 perguntas, sobrarão 8 perguntas.
11
3.
Exercícios, página 71. a) 8 2 0 4 b) • 6 2 0 3 • 8 2 0 4 c) Não; sobra um pedaço de 2 quadrinhos roxos. 3 3 4 5 12 R 12 quadrinhos roxos 12 10 2 1 d) Não; fica faltando um pedaço de 1 quadrinho para completar a barrinha azul. 4 3 2 5 8 R 8 quadrinhos vermelhos e) • 9 : 3 5 3 R cabem 3 barrinhas verde-claras em uma barrinha azul. • 10 : 5 5 2 R cabem 2 barrinhas amarelas em uma barrinha alaranjada. • 7 4 R faltam 3 quadrinhos para 3 1 a barrinha roxa completar a barrinha preta.
1. a) n 5 9 3 7 1 2 n 5 63 1 2 n 5 65 b) n 5 11 3 16 1 5 n 5 176 1 5 n 5 181 c) n 5 64 3 25 1 10 n 5 1 600 1 10 n 5 1 610 2. n 5 45 3 17 n 5 765 3. Se o divisor é 12, o resto maior possível é 11, então: n 5 12 3 9 1 11 n 5 108 1 11 n 5 119 4. n 5 6 3 35 1 5 n 5 210 1 5 n 5 215 R 215 laranjas Exercícios, página 72.
Exercícios, páginas 68 e 69.
5. 476 : 50 5 9 R 9 cupons e resta 26 reais. 50 2 26 R Precisa gastar 24 reais
1. x 5 (20 : 4) 3 5 x5535 x 5 25 y 5 20 : (4 3 5) y 5 20 : 20 y51 a) x 1 y 5 25 1 1 5 26 b) x 3 y 5 25 3 1 5 25 c) x : y 5 25 : 1 5 25
6. 10 000 : 400 5 25 R 25 voltas
2.
1. 75 : 15 5 15 R 15 vezes 2. a) Resposta em aberto. b) 184 : 4 5 46 R 46 papéis 3. 1 352 : 4 5 338 4. 344 : 8 5 43 R 43 reais
7. 6 970 : 85 5 82 R 82 toneladas 8. 6 160 : 560 5 11 R 11 viagens Exercícios, página 70. 1. 8 : 0 2. 12 : 24 3. 0 : 10 4. 1 5. 32 : 8 5 4 32 3 5 5 160 160 : ? 5 4 ⇒ ? 5 160 : 4 ⇒ ? 5 40, logo devo multiplicar o divisor por 5, porque 40 5 8 3 5.
12
a) 105 : 5 1 30 5 21 1 30 5 51
b) 201 2 64 : 4 5 201 2 16 5 185 c) 65 : 5 2 10 5 13 2 10 5 3 d) 162 : 9 3 9 5 18 3 9 5 162
3. N 5 85 : 5 1 3 3 15 2 50 N 5 17 1 45 2 50 N 5 62 2 50 N 5 12
4. a) (7 3 7 1 5) : (18 2 15 : 3 1 5) 3 2 5 5 (49 1 5) : (18 2 5 1 5) 3 2 5 5 54 : (13 1 5) 3 2 5 5 54 : 18 3 2 5 533256 b) (30 2 5 3 6) : (7 1 2 3 10) 3 (40 2 30 1 5) 5 5 (30 2 30) : (7 1 20) 3 (10 1 5) 5 5 0 : 27 3 15 5 5 0 3 15 5 0
c) 100 formigas (1 000 000 : 10 000) d) Resposta possível: As formigas são muito úteis, pois comem os parasitas das plantas.
7 – Resolvendo problemas Brasil real, páginas 77 a 79. 1. a) Washington; Atlético-PR b) Paulo Nunes e Renaldo; 18 gols (34 2 16 5 18) c) maior: Vasco (22 1 21 1 29 5 72); menor: São Paulo (19); diferença: 53 gols d) 29 2 16 5 13 R 13 gols e) Sim. Washington (34) em 2004 fez o dobro de Souza (17) em 2006. f) Respostas em aberto.
5. a 5 (36 : 6 2 5) 3 2 a 5 (6 2 5) 3 2 a5132 a52 b 5 36 : (6 2 5) 3 2 b 5 36 : 1 3 2 b 5 36 3 2 b 5 72 b : a 5 72 : 2 5 36
2. a) • 8 • 17; 10 • PDT
6. 2 1 30 : 5 1 (9 3 6 2 4) : 5 2 (40 : 10 1 3) 5 5 2 1 6 1 (54 2 4) : 5 2 (4 1 3) 5 5 2 1 6 1 50 : 5 2 7 5 5 2 1 6 1 10 2 7 5 5 8 1 10 2 7 5 5 18 2 7 5 11 N 5 3 ? 11 5 33 20 1 (40 2 30) : 5 Brasil real, página 73. 1.
2. 316 2 00 12 7 6 26350 R 26 350 pacientes 4 2 6 0 0 0
1
2
PPS
2
—
2
1
—
1
PSB
1
2
3
PMDB
4
3
7
PSDB
4
2
6
PP
—
1
1
PT
4
1
5
b) PT (5), PSDB (6) e PMDB (7). São números naturais consecutivos. c) Nenhum dos três, pois todos elegeram 4 governadores no 1o turno. d) O PSB elegeu 3 governadores. O único partido que elegeu 6 governadores (dobro de 3) foi o PSDB. e) Nenhum, pois dos partidos que elegeram 5 ou mais governadores, o máximo abrangido foi 4 regiões (das 5 regiões brasileiras).
7.
236 296 4 3 6 59 074 R 59 074 domicílios 0 2 9 1 6 0
1
PFL
Exercícios, páginas 79 a 81. 1. a) 4 1 5 1 3 1 1 5 13 R 13 alunos b) 4 1 5 1 3 1 1 1 2 1 5 5 20 R 20 alunos 2. 340 3 6 5 2 040 R 2 040 metros 3. 320 2 (87 1 218) 5 5 320 2 305 5 15 R 15 alunos 4.
3. a) 18 000 2 10 000 5 8 000 R 8 000 espécies b) 18 000 : 2 000 5 9 R 9 vezes
125 3 (3 2 2) 1 230 3 (6 2 4) 1 312 3 (8 2 5) 5 5 125 3 1 1 230 3 2 1 312 3 3 5 5 125 1 460 1 936 5 1 521 R 1 521 reais
13
5. a) 1 hora 5 60 minutos e 1 minuto 5 60 segundos, logo: 1 hora 5 60 3 60 5 3 600 segundos 7 3 (3 600 : 20) 5 7 3 180 5 1 260 R 1 260 vezes b) em 1 hora goteja 1 260 vezes, em 2 horas: 2 3 1 260 5 2 520 R 2 520 vezes c) 30 minutos é igual à metade de uma hora, então: 1 260 : 2 5 630 vezes d) 90 minutos é o triplo de 30 minutos, então: 630 3 3 5 1 890 R 1 890 vezes 6. 9 3 (7 2 1) 3 8 3 12 5 5 9 3 6 3 8 3 12 5 5 54 3 8 3 12 5 5 432 3 12 5 5 184 R 5 184 reais 7. 10 1 (10 1 2) 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 20 1 5 5 47 R 47 crianças 8. 12 3 450 1 20 3 750 1 8 3 1 200 5 5 5 400 1 15 000 1 9 600 5 30 000 R R 30 000 reais 9. Arrecadado na venda: 250 3 40 gasto na produção: 250 3 12 1 4 000 lucro obtido 5 arrecadado – gasto: 250 3 40 2 (250 3 12 1 4 000) 5 5 10 000 2 (30 000 1 4 000) 5 10 000 2 7 000 5 3 000 R 3 000 reais
14
12. 1-a fileira: 1, então 64 2 1 5 63, sobram 63 bandeiras. 2 -a fileira: 1 1 2 5 3, então 63 2 3 5 60, sobram 60 bandeiras. 3-a fileira: 3 1 2 5 5, então 60 2 5 5 55, sobram 55 bandeiras. 4-a fileira: 5 1 2 5 7, então 55 2 7 5 48, sobram 48 bandeiras. a 5- fileira: 7 1 2 5 9, então 48 2 9 5 39, sobram 39 bandeiras 6-a fileira: 9 1 2 5 11, então 39 2 11 5 28, sobram 28 bandeiras. 7-a fileira: 11 1 2 5 13, então 28 2 13 5 15, sobram 15 bandeiras. a 8- fileira: 13 1 2 5 15, então 15 2 15 5 0. 13. Gastou na 1-a loja: 300 : 2 1 2 5 5 150 1 2 5 152 5 Ao sair da 1-a loja tinha: 300 2 152 5 148 Gastou na 2-a loja: 148 : 2 1 2 5 5 74 1 2 5 76 Ao sair da 2-a loja tinha: 148 2 76 5 72 Gastou na 3-a loja: 72 : 2 1 2 5 5 36 1 2 5 38 Ao sair da 3-a loja tinha: 72 2 38 5 34 R 34 reais 14. Número no visor: 347 Ao apertar a tecla D: 347 3 2 5 694 Ao apertar a tecla S: 694 1 1 5 695 Ao apertar a tecla D: 695 3 2 5 1 390
10. (15 3 50 1 10 3 100) 3 3 5 5 (750 1 1 000) 3 3 5 5 1 750 3 3 5 5 250 R 5 250 reais
15. (28 3 50) : 100 5 5 1 400 : 100 5 14 R 14 notas
11. 108 horas com programação 160 2 108 R horas com consertos quantia recebida: 108 3 40 1 (160 2 108) 3 25 5 108 3 40 1 52 3 25 5 4 320 1 1 300 5 5 620 R 5 620 reais
16. Gastou na livraria Todas as Letras: 9 3 24 5 216 Gastaria na livraria Escrita (um livro): 24 2 6 5 18 Teria comprado na livraria Escrita: 216 : 18 5 12 R 12 livros
17. Se vendeu 82 assinaturas, vendeu 32 assinaturas a mais que 50. 50 3 15 1 32 3 20 1 600 5 5 750 1 640 1 600 5 1 990 R 1 990 reais
2. 209 3. a) 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 b) 37 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 2 187 c) 110 5 1. Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.
Chegou a sua vez!, página 83. 1. couraçado: (M, 2), (M, 3), (M, 4), (M, 5) e (M, 6). submarino: (N, 10). cruzador: (D, 12), (E, 12), (F, 12) e (G, 12). destroyer: (K, 13) e (L, 13). hidroavião: (F, 5), (E, 6) e (G, 6).
d) 150 5 1. O número 1 multiplicado cinquenta vezes dá 1. e) 0100 5 0. O número 0 (zero) multiplicado cem vezes dá 0 (zero). f) 106 5 1 000 000. Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
2. Praça do Sol, alternativa a. 3. D4, E3, F4, E5, alternativa d.
8–P otenciação de números naturais
4. a) 52 5 25 e 25 5 32, logo 52 25 b) 74 5 2 401 e 103 5 1 000, logo 74 . 103
Explorando, página 84.
c) 43 5 64 e 29 5 512, logo 43 29 d) 110 5 1 e 101 5 10, logo 110 101
1. a) 3 3 3 5 9 b) 5 3 5 5 25 c) 7 3 7 5 49
5. 4 3 4 ou 42
3.
14243 5
c) 7 3 7 3 7 5 343
a) 38 000 000 5 38 3 10 ; 6 000 000 5 6 3 10 ; 17 000 000 5 17 3 106 b) 180 5 18 3 10; 330 000 5 33 3 104; 6 000 000 5 6 3 106; 1 000 5 103 6
2. a) 23 5 8 R Curitiba b) 32 5 9 R Belo Horizonte c) 6 3 22 5 6 3 4 5 24 R Recife d) 52 5 25 R Brasília ou Fortaleza e) 52 5 25 R Salvador
Exercícios, páginas 89 a 91.
6
1442443 8
d) 8
144424443 11
11
Editoria de arte
1.
144424443
b)
Brasil real, páginas 88 e 89.
1. 5 3 5 3 5 3 5 ou 54
10
144424443 10 1442443
a) 5 3 5 3 5 5 125 b) 9 3 9 3 9 5 729
c)
5
144424443
a)
14243
6.
2. Todos os fatores são iguais.
7. 62 5 36 63 5 216, logo n 5 3 8. Não, todas estão corretas. 9. a) 72
b) 63
10. 100 000 é formado de 5 zeros, então o expoente dessa potência é 5. 11. Sim; 169 5 144 1 25
15
12. a) 4 3 10 5 4 3 10 000 000 5 40 000 000 (quarenta milhões) b) 9 3 105 5 9 3 100 000 5 900 000 (novecentos mil) c) 106 5 1 000 000 (um milhão) d) 2 3 103 5 2 3 1 000 5 2 000 (dois mil) 7
2. 302 : (72 3 3 2 102 2 2) 5 5 900 : (49 3 3 2 100 2 2) 5 5 900 : (147 2 100 2 2) 5 5 900 : (47 2 2) 5 5 900 : 45 5 20 3.
13. Se 1 000 m 5 1 km e 108 5 100 000 000, então 100 000 000 : 1 000 5 5 100 000 R 100 000 km Logo, 3 3 108 5 3 3 100 000 5 300 000 R R 300 000 km
a) 72 2 40 1 18 : 32 2 100 5 5 49 2 40 1 18 : 9 2 1 5 5 49 2 40 1 2 2 1 5 5 9 1 2 2 1 5 11 2 1 5 10 b) (62 2 52) 3 33 2 102 5 5 (36 2 25) 3 27 2 100 5 5 11 3 27 2 100 5 5 297 2 100 5 197
14. a) 400 000 5 4 3 100 000 5 4 3 105 R R 4 3 105 km b) 120 mil 5 120 000 5 12 3 10 000 5 12 3 104 150 mil 5 150 000 5 15 3 10 000 5 15 3 104 c) 2 500 5 25 3 100 5 25 3 102 d) 100 mil 5 100 000 5 105 3 milhões 5 3 000 000 5 3 3 106 37 milhões 5 37 000 000 5 37 3 106
c) 62 : (23 1 1) 3 (32 2 5) 5 5 36 : (8 1 1) 3 (9 2 5) 5 5 36 : 9 3 4 5 5 4 3 4 5 16 d) (7 3 3 1 112) 3 103 5 5 (7 3 3 1 121) 3 1 000 5 5 (21 1 121) 3 1 000 5 5 142 3 1 000 5 142 000
Exercícios, página 92.
e) (7 3 32 2 1) : (82 2 2 3 31) 5 5 (7 3 9 2 1) : (64 2 2 3 31) 5 5 (63 2 1) : (64 2 62) 5 5 62 : 2 5 31
1. a) A raiz quadrada de 81 é 9, porque 9 3 9 5 81. b) A raiz quadrada. 2. a)
4 5 2 , pois 22 5 4
b)
49 5 7 , pois 7 5 49
c)
64 5 8 , pois 82 5 64
d)
121 5 11 , pois 112 5 121
e)
144 5 12 , pois 122 5 144
f)
225 5 15 , pois 152 5 225
2
3. 9, 16, 36, 49 e 64, pois possuem raízes quadradas exatas no conjunto dos números naturais. 4. 169 5 13 R 13 metros, pois 132 5 169
Exercícios, página 93. 1. N 5 412 1 312 1 212 ⇒ N 5 1 681 2 961 1 1 441 ⇒ N 5 720 1 441 R N 5 1 161, então temos: 1 1 1 1 6 1 1 5 9
16
4. a) 25 1 42 2 23 3 3 5 5 32 1 16 2 8 3 3 5 5 32 1 16 2 24 5 5 48 2 24 5 24 b) (25 1 42 2 23) 3 3 5 5 (32 1 16 2 8) 3 3 5 5 (48 2 8) 3 3 5 5 40 3 3 5 120 c) 25 1 (42 2 23) 3 3 5 5 32 1 (16 2 8) 3 3 5 5 32 1 8 3 3 5 5 32 1 24 5 56 5. (34 2 26 2 100) : (52 2 23) 5 5 (81 2 64 2 1) : (25 2 23) 5 5 (17 2 1) : 2 5 5 16 : 2 5 8 Logo, 82 5 64.
f) 220 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3232323232323232323 3 2 3 2 3 2 5 1 048 576
Brasil real, páginas 93 e 94. 1. a)
81 3 2 3 102 1 19 3 22 5 5 9 3 2 3 100 1 19 3 4 5 5 18 3 100 1 76 5 5 1800 1 76 5 1876, século XIX b) 1877 c) Resposta em aberto.
Chegou a sua vez!, página 96. 1. a) • verde; • azul e verde; • não consta no gráfico b) 9 2 5 5 4 R 4 times c) 1988, 1990, 1995, 1997
2. a) A segunda expressão. • (2 3 36 )2 1 23 3 (103 ;22) 2 (34 3 2 1 144 ) 5 5 (2 3 6)2 1 8 3 (1 000 : 4) 2 (81 3 2 1 12) 5 5 122 1 8 3 250 2 (162 1 12) 5 5 144 1 8 3 250 2 174 5 5 144 1 2 000 2 174 5 5 2 144 2 174 5 1 970 • 112 2 100 1 54 3 (9;3)0 1 (15 2 40 ;8)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 30 1 (15 2 5)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 1 1 103 1 210 5 5 121 2 10 1 625 1 1 000 1 210 5 5 111 1 625 1 1 000 1 210 5 5 736 1 1 000 1 210 5 5 1 736 1 210 5 1 946 b) 1 970 1 13 5 1 983 c) (210 2 25 ) 3 4 5 5 (1 024 2 5) 3 2 5 5 1 019 3 2 5 2 038 d) Até 2006 o Brasil foi pentacampeão, como em 1970 ele já foi tricampeão, o Brasil ganhou duas vezes a nova taça. 3. 5 3 202 2 103 : 52 1 32 5 5 5 3 400 2 1 000 : 25 1 9 5 5 2 000 2 40 1 9 5 5 1 960 1 9 5 1 969 a) Resposta em aberto. b) 2006 Chegou a sua vez!, página 95. a) 56 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 15 625 b) 65 5 6 3 6 3 6 3 6 3 6 5 7 776 c) 97 5 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 5 5 4 782 969 d) 79 5 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 40 353 607 e) 210 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 5 1 024
2. 1ª partida: 2 . 0 (vitória) 2ª partida: 1 4 (derrota) 3ª partida: 3 5 3 (empate) 4ª partida: 0 5 (derrota) 5ª partida: 2 . 1 (vitória) 6ª partida: 3 . 1 (vitória) 7ª partida: 2 5 2 (empate) 8ª partida: 1 . 0 (vitória) 9ª partida: 0 5 0 (empate) 10ª partida: 3 . 0 (vitória) São 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas, então: 533133112305 5 15 1 3 1 0 5 18 R 18 pontos
Retomando o que aprendeu, páginas 97 e 98. 1. Alternativa c. 3 exercícios em 10 minutos 6 5 3 3 2; então, 6 exercícios em 10 3 2 minutos 6 exercícios em 20 minutos 2. Alternativa b. 2 3 20 2 2 3 8 5 5 40 2 16 5 24 R 24 reais 3. Alternativa b. (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40) (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52) Termos comuns: 16, 28 e 40. 4. Alternativa a. 60 6 00 10 60 7 4 8
17
60 8 4 7
Paula: 1 3 16 1 0 3 32 1 2 3 64 5 5 16 1 0 1 128 5 5 144 R 144 pontos
60 11 5 5
Marcos: 1 3 16 1 0 3 32 1 4 3 64 5 5 16 1 0 1 256 5 5 272 R 272 pontos
A única divisão exata é 60 : 6. 5. Alternativa c. 62 143 5 5 36 164 5 5 100 510
Brasil real, páginas 98 e 99. 6. Alternativa b. (43 1 42 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 32 1 33) 5 5 (64 1 16 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 9 1 27) 5 5 84 : 7 1 2 3 39 5 5 12 1 78 5 90 7. Alternativa d. Eu: 1 320 figurinhas Meu primo: 1 320 : 2 5 660 R 660 figurinhas Minha irmã: 660 3 3 5 1 980 R 1 980 figurinhas
1. a) 8 estados (AM, AC, RO, RN, AL, SE, SC, RS) b) Santa Catarina e Rio Grande do Sul. c) São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro. d) de 501 a 2 000 casos 2. a) • região Norte • região Nordeste • região Norte • região Sudeste b) 449 1 466 1 1 793 1 1 668 1 1 188 5 5 5 564 R 5 564 municípios c) 1 371 236 1 3 349 405 1 4 919 940 1 1 21 509 157 1 8 708 546 5 5 39 858 284 R 39 858 284 veículos d) 191 094 1 85 284 1 116 436 1 14 758 1 1 32 982 5 440 554 R 440 554 pessoas
8. Alternativa b. 3 3 5 3 10 5 15 3 10 5 150 R 150 mililitros Logo, são necessários 2 frascos do medicamento. 9. Alternativa d. 2 1 3 5 5 5 8 5 11 5 14 5 17 5 20 5 23 5 26 5 29 5 32 10. Alternativa a. 1ª) 838 1 162 5 1 000 2ª) 160 3 15 5 2 400 3ª) 3 600 : 2 5 1 800 4ª) 1 864 2 17 5 1 847 11. Alternativa d. Fernanda: 1 3 16 1 1 3 32 1 3 3 64 5 5 16 1 32 1 192 5 240 R 240 pontos Rita: 1 3 16 1 1 3 32 1 1 3 64 5 5 16 1 32 1 64 5 112 R 112 pontos
18
3. A região Nordeste tem 9 estados. O 9 é um quadrado perfeito porque 9 5 32. A região Norte tem 7 estados. O 7 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 7. A região Centro-Oeste e a região Sudeste têm 4 estados cada uma. O 4 é um quadrado perfeito porque 4 5 22. A região Sul tem 3 estados. O 3 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 3. Assim, somente nas regiões Nordeste, Centro-Oeste e Sudeste o número de estados é um quadrado perfeito.
Divisibilidade: divisores e múltiplos 9 – Noção de divisibilidade
3.
Explorando, página 102. 1. a) b) c) d)
e) f) g) h)
36 ; 2 5 18 36 ; 3 5 12 36 ; 4 5 9 36 ; 6 5 6
36 ; 12 5 3 36 ; 18 5 2 36 ; 36 5 1 36 ; 1 5 36
2. a) 23 ; 1 5 23 b) 23 ; 23 5 1 c) Nenhum.
b) 900 20 100 45 0 (sim)
e) 900 40 100 22 20 (não)
c) 900 25 150 36 00 (sim)
f) 900 60 300 15 00 (sim)
a) 1 305 3 10 435 15 0 (sim)
4. 1 e 13. 5. 1, 3, 5 e 15. 1, 5 e 25. 1 e 19. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
b) 1 1 3 1 0 1 5 5 9, e 9 é divisível por 3. 5. 297
6. 20, 18, 264 e 1 000. Os números pares são divisíveis por 2. 7. 1 Exercícios, página 104. 1. a) 109 3 19 36 1 (não)
c) 202 11 92 18 4 (não)
b) 119 9 29 13 2 (não)
d) 310 5 10 62 0 (sim)
2. 37 9 1 4 (não)
45 9 0 5 (sim)
62 9 8 6 (não)
72 9 0 8 (sim)
81 9 0 9 (sim)
d) 900 30 00 30 (sim)
4.
3. 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
a) b) c) d)
a) 900 15 00 60 (sim)
54 9 0 6 (sim)
79 9 7 8 (não)
93 9 03 10 (não)
99 9 09 11 0 (sim)
6. 555 7. a)
719 23 029 31 6
b)
706 13 56 54 4
Para ser divisível, o resto deve ser 0, como o resto é 6, então, este é o menor número que deve ser subtraído.
Se sobra 4 para se ter 13 que é o divisor e assim obter resto 0 (para ser divisível), o menor número natural que se deve adicionar é 9.
8. 3 9. Números entre 40 e 50: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49. O único número que é divisível por 6 e 7 ao mesmo tempo é 42. 10. De 10 a 15, o número 60 é divisível por 10, 12 e 15; então, temos: 60 10 0 6
6 grupos de 10 equipes
60 12 0 5
5 grupos de 12 equipes
19
60 15 0 4
4 grupos de 15 equipes
10 – Critérios de divisibilidade Exercícios, página 110.
Chegou a sua vez, página 105. 1. a) 42 5 2 8 b) 43 5 3 8 c) 44 5 4 8
1. a) 259, 295, 529, 592, 925, 952 b) Para ser divisível por 2, o número deve ser par, então são divisíveis por 2 os números 592 e 952. c) Para ser divisível por 3, o número deve ter por soma de seus algarismos um número divisível por 3. Como todos os números são formados por 2, 5 e 9, e 2 1 5 1 9 5 16, que não é divisível por 3, então nenhum deles é divisível por 3.
d) 45 5 0 9
e) 46 5 1 9
2.
2. Quociente
Resto
32
6
32
3
32
12
3. 56 373 236 47 2 238 09 17 7 08 2 093 1 888 205
a) Sim, porque 12 756 é um número par. b) Sim, porque 1 1 2 1 7 1 5 1 6 5 21 é divisível por 3. c) Sim, porque: 56 4 16 14 0 d) Não, porque não termina em 0 ou 5. e) Sim, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 756 8 f) Não, porque: 36 94 4 3. a) 5 1 0 1 0 1 1 5 6, não é divisível por 9. b) 5 1 n 1 0 1 1 5 n 1 6 n 1 6 deve ser um número divisível por 9 e o menor possível; logo, n 1 6 5 9; então, n 5 3.
Desafio, página 105. Pelas informações dadas, o total de exercícios é um número: • que está entre 50 e 100; • divisível por 7, porque se contar de 7 em 7 não sobra resto; • ímpar, porque contando de 2 em 2 sobra 1; • não é divisível por 3, porque sobra 1 quando contado de 3 em 3. Os números que atendem às informações acima são 77 e 91, mas como 77 ao ser dividido por 5 deixa resto 2; então, o número de exercícios que João resolveu é 91, porque: 77 5 27 15
2 20
91 5 41 18
1
4. a) b)
• 3? Sim, porque 4 1 0 1 3 1 0 1 2 1 0 5 9. • 4? Sim, porque 20 é divisível por 4. • 8? Não, porque 020 não é divisível por 8. O menor número formado pelos três últimos algarismos que é divisível por 8 é 24; logo, devemos substituir n por 4.
5. a) 3 000 e 3 300 b) 3 000 6. Números entre 50 e 60: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59. Divisível por 2: 52, 54, 56 e 58. Divisível por 3: 5 1 1 5 6; 5 1 4 5 9; 5 1 7 5 12. O número procurado é 54, porque, para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
7.
6. Sim. a) Para ser divisível por 2, d pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8, mas como deve também ser divisível por 3, 3 1 2 1 5 1 d 5 10 1 d, deve ser o menor número possível divisível por 3, então d 5 2. b) Para ser divisível por 9: 7 1 0 1 b 1 1 3 5 10 1 b deve ser o menor número possível divisível por 9, então b 5 8.
7. a) 22 R 1 3 22; 2 3 11 b) 60 R 1 3 60; 2 3 30; 3 3 20; 4 3 15; 5 3 12; 6 3 10 c) 17 R 1 3 17 8. a) 22 R 1, 2, 11 e 22 b) 60 R 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 c) 17 R 1 e 17
Brasil real, página 111. 1. a) Várias respostas possíveis; por exemplo: 1902, 1905, 1908, 1971, 2001. b) 1908 e 1980. 2.
9. Os fatores de um número são também seus divisores. Exercícios, páginas 115 e 116. 1.
a) Divisíveis por 2: 250, 1 050, 340, 350, 188, 60, 90 e 202. Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo: 1 050, 60 e 90. b) Seis. c) Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 4: 340, 188 e 60. Divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo: 60. d) 90 e 171. Chegou a sua vez!, página 112.
3.
12 1 5 1 29 1 13 1 11 70 5 5 14 R 14 reais 5 5 a) Sendo 4 bimestres e 6 a média de aprovação, a soma mínima para aprovação é: 4 ? 6 5 24 b) 24 2 (5 1 8 1 8) 5 24 2 21 5 3
11 – D ivisores, fatores e múltiplos de um número natural Explorando, página 113. 1. 1 e 10; 2 e 5; isto é, 1, 2, 5 e 10. 2. 1, 2, 5 e 10. 3. Os fatores de um número são também seus divisores. 4. 1 3 20 5 20; 2 3 10 5 20; 4 3 5 5 20 5. 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Não. c) 26 5 1 3 26 26 5 2 3 13 Sim. 48 5 1 3 48 48 5 2 3 24 48 5 3 3 16 48 5 4 3 12 d) 48 5 6 3 8
a)
Sim. 92 5 1 3 92 92 5 2 3 46 92 5 4 3 23
Sim. 72 5 1 3 72 72 5 2 3 36 72 5 3 3 24 72 5 4 3 18 72 5 6 3 12 72 5 8 3 9 Não. 86 5 1 3 86 86 5 2 3 43
2.
13 1 23 1 22 1 27 1 22 1 25 132 5 5 22 1. 6 6 2.
a) b)
b) Não. c) Não. d) Sim.
3. a) b) c) d) e)
2, porque 14 5 2 3 7 2, 3, 6 e 9, porque 18 5 2 3 9 e 18 5 3 3 6 5, porque 25 5 5 3 5 3, 5 e 9, porque 45 5 3 3 15 e 45 5 5 3 9 2, 3, 6 e 9, porque 54 5 2 3 27, 54 5 3 3 18 e 54 5 6 3 9 f) 2, 5 e 10, porque 70 5 2 3 35, 70 5 5 3 14 e 70 5 10 3 7 4. Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 Divisores de 25: 1, 5 e 25 Divisores de 15 e também de 25: 1 e 5 5. Divisores de 14: 1, 2, 7 e 14. Divisores de 35: 1, 5, 7 e 35. a) Os divisores de 14 que não são divisores de 35: 2 e 14 b) Os divisores de 35 que não são divisores de 14: 5 e 35 c) Os divisores de 14 que são também divisores de 35: 1 e 7
21
Por 2, porque 5 148 é par. Por 3, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18. Por 4, porque 48 é divisível por 4. Por 6, porque é divisível por 2 e por 3. Por 9, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18.
6. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Maior divisor de 60 sem ser 60 é 30. 7. 0, 15, 30, 45, 60, 75 8. 300 13 40 23 1
2. Resposta em aberto.
Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, tirando 1, que é o resto, de 300, o número obtido será o maior múltiplo de 13 menor que 300. 300 2 1 5 299
12 – Números primos Exercícios, página 120 1. a) 15 b) 5 casas c) Século 21, 21 não é um número primo.
9. 100 13 09 7 Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, adicionando a 100 o que falta para o resto ser 13 (13 2 9 5 4), obtemos o menor múltiplo de 13 maior que 100. 100 1 4 5 104 10.
a) b) c) d) e) f)
202 36 0 0e4 4 Números naturais menores que 500 e com 3 algarismos iguais: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2: 222 e 444. Múltiplos de 3: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2 e 3: 222 e 444.
11. Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 e 30. Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30. Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15 e 30. 12. 15 13. a) b) c)
2008 e 2020 três: 1992, 1996 e 2000 Década de 1980: 1984, 1988 Década de 1990: 1992, 1996 e 2000 Década de 2000: 2000, 2004 e 2008 Desafio!, páginas 116 e 117.
1.
1
2
6 5
5
3
4
1
6
4
7
8
3
0
2
2
5
5
8
9
22
2 0
2. Não, pois é divisível por 7. 3. a) 26 1 3 5 5 64 1 3 5 67 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, e prosseguindo as divisões: 67 11 1 6 R quociente menor que o divisor b) 42 1 52 5 5 16 1 25 5 41 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 41 7 6 5
R quociente menor que o divisor
c) 472 2 372 2 232 5 5 2 209 2 1 369 2 529 5 5 840 2 529 5 311 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 311 7 31 44 3 311 13 51 23 12
311 11 91 28 3 311 17 141 18 05
311 19 121 16 R quociente menor que o divisor 07 4. 47 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 47 7 R quociente menor que o divisor 5 6
51 não é primo, é divisível por 3. 69 não é primo, é divisível por 3. 83 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 83 11 83 7 R quociente menor 7 7 13 11 que o divisor
6. O “segredo” é que o número de cima é igual à soma dos dois números abaixo dele: 63 5 33 1 30; 47 5 30 1 17; 38 5 17 1 21 a) a 5 63 1 47 5 110 b 5 47 1 38 5 85 c 5 110 1 85 5 195; O número 195 b) Não, pois 195 é divisível por 5. Brasil real, página 121.
91 não é primo, é divisível por 7.
1. Nenhum deles é primo. O 15 é divisível por 5, o 36 e o 1 532 são pares.
91 7 21 13 0 97 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 97 7 97 11 R quociente menor 27 13 9 8 que o divisor 6 39 não é primo, é divisível por 3. 24 não é primo, é divisível por 2. 99 não é primo, é divisível por 3. 5. a) 131 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 131 7 131 11 61 18 21 11 R quociente igual 5 0 ao divisor b) 253 não é primo porque é divisível por 11: 253 7 253 11 43 36 33 23 1 0 c) 211 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 211 7 211 11 01 30 101 19 2 211 13 81 16 03
211 17 41 12 R quociente menor 7 que o divisor
d) 391 não é primo porque é divisível por 17: 391 7 391 11 41 55 61 35 7 6 391 13 01 30
391 17 51 23 0
2. Sim (7 1 3 1 6 1 7 5 23), 23 é primo porque só tem dois divisores naturais: o 1 e ele mesmo. 3. a) 23, 31, 131, 5 e 13. b) Não, pois 299 (que é o total) é múltiplo de 13 (299 ; 13 5 23). 4. Um, o 13.
13 – Decomposição em fatores primos Exercícios, página 123. 1. a) 2 3 23 5 46 b) 5 3 17 5 85
c) 3 3 19 5 57 d) 7 3 11 5 77
2. b) 32 3 5 3 17 c) 24 3 32 3 11 d) 72 3 11 Alternativas b, c e d. 3. Não; 3 3 22 3 11 4. 112 56 28 14 7 1
2 2 2 2 7
112 5 24 3 7
5. (152 1 255) ; (32 1 1) 5 48 5 (225 1 255) ; (9 1 1) 5 24 5 480 ; 10 5 48 12 6 3 1
2 2 2 2 3
48 5 24 3 3
6. a) 48 5 24 3 3
23
b) 50 2 25 2 5 5 1 c)
d)
80 40 20 10 5 1
50 5 2 3 52
2 80 5 24 3 5 2 2 2 5
99 3 99 5 32 3 11 33 3 11 11 1
e) 108 54 27 9 3 1
2 108 5 22 3 33 2 3 3 3
f) 132 66 33 11 1
2 132 5 22 3 3 3 11 2 3 11
g) 210 105 35 7 1
2 210 5 2 3 3 3 5 3 7 3 5 7
h) 180 90 45 15 5 1
2 180 5 22 3 32 3 5 2 3 3 5
i) 234 117 39 13 1
2 234 5 2 3 32 3 13 3 3 13
7. 23 3 53 8.
24
1 200 600 300 150 75 25 5 1
2 1 200 5 24 3 3 3 52 2 a 5 4, b 5 1, c 5 2 2 a1b1c54111257 2
9. 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 10. 1 620 810 405 135 45 15 5 1
240 5 24 3 3 3 5 x54
2 1 620 5 22 3 34 3 5 2 n 5 34 3 3
3 3 5
11. a) b) c)
22 3 5 3 112 5 5 4 3 5 3 121 5 5 20 3 121 5 2 420 22 3 7 3 13 5 5 4 3 7 3 13 5 5 28 3 13 5 364 33 3 17 5 5 27 3 17 5 459 Brasil real, página 124.
75 3 25 5 5 5 1
1.
75 5 3 3 52
2. a) América Latina b) A coluna vermelha indica a expectativa de vida de 1965 a 1970, e a coluna azul indica a expectativa de vida de 2000 a 2005. c) África d) 44 2 44 5 22 3 11 22 2 11 11 1
3 5 5
49 7 7 7 1
49 5 72
54 27 9 3 1
54 5 2 3 33
2 3 3 3
67 5 1 3 67 (número primo) 59 5 1 3 59 (número primo)
70 2 35 5 7 7 1
15 000 7 500 3 750 1 875 625 125 25 5 1
70 5 2 3 5 3 7
71 5 1 3 71 (número primo)
76 2 38 2 19 19 1
76 5 22 3 19
56 28 14 7 1
56 5 23 3 7
2 2 2 7
15 000 5 23 3 3 3 54
b) Resposta possível: As principais causas dessa ameaça são a caça, o comércio clandestino, no qual as aves são capturadas enquanto filhotes, ainda no ninho, e a degradação em seu hábitat natural.
14 – Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum 65 5 5 3 13
65 5 13 13 1 3. a)
2 2 2 3 5 5 5 5
Exercícios, página 127. 1.
1 580 790 395 79 1
2 2 5 79
1 580 5 22 3 5 3 79
650 325 65 13 1
2 5 5 13
650 5 2 3 52 3 13
4 000 2 000 1 000 500 250 125 25 5 1
2 2 2 2 2 5 5 5
4 000 5 2 3 5
20 2 10 2 5 5 1
54, 72 2 R fator comum 27, 36 2 27, 18 2 27, 9 3 R fator comum 9, 3 3 R fator comum 3, 1 3 1, 1 m.d.c. (54, 72) 5 2 3 32 5 18 2. a)
5
3
50, 75 2 25, 75 3 25, 25 5 5, 5 5 1, 1
R fator comum R fator comum
m.d.c. (50, 75) 5 52 5 25
b)
112, 70 2 R fator comum 56, 35 2 28, 35 2 14, 35 2 7, 35 5
20 5 22 3 5
7,
7 7 R fator comum
1, 1 m.d.c. (112, 70) 5 2 ? 7 5 14
25
c) 150, 250 75, 125 25, 125 5, 25 1, 5 1, 1
m.d.c. (150, 250) 5 2 ? 5 5 50
d)
90, 225 2 45, 225 3 R fator comum 15, 75 3 R fator comum 5, 25 5 R fator comum 1, 5 5 1, 1 m.d.c. (90, 225) 5 32 ? 5 5 45
e)
56, 28, 14, 7, 7, 7, 1,
f)
84, 42, 21, 21, 7, 7, 1,
210 105 105 105 35 7 1
2 R fator comum 2 2 3 5 7 R fator comum
504, 252, 126, 63, 21, 7, 1, 1,
588 294 147 147 49 49 7 1
2 2 2 3 3 7 7
R fator comum
Exercícios, página 128. 1.
b)
144, 216, 288 2 R fator comum 72, 108, 144 2 R fator comum 36, 54, 72 2 R fator comum 18, 27, 36 2 9, 27, 18 2 9, 27, 9 3 R fator comum 3, 9, 3 3 R fator comum 1, 3, 1 3 1, 1 1 m.d.c. (144, 216, 288) 5 23 ? 32 5 72
R fator comum
2 ? 32 5 18
R fator comum
39, 65, 91 3 13, 65, 91 5 13, 13, 91 7 13, 13, 13 13 R fator comum 1, 1, 1 m.d.c. (39, 65, 91) 5 13
R fator comum R fator comum R fator comum R fator comum
90, 126 2 R fator comum 45, 63 3 R fator comum 15, 21 3 R fator comum 5, 7 5 1, 7 7 1, 1
R fator comum R fator comum
g)
4.
m.d.c. (56, 84, 210) 5 2 ? 7 5 14
m.d.c. (504, 588) 5 22 ? 3 ? 7 5 84
h)
96, 144, 240 2 48, 72, 120 2 24, 36, 60 2 12, 18, 30 2 6, 9, 15 2 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 N 5 24 ? 3 5 48
a)
3.
2
26
2 R fator comum 3 5 R fator comum 5 R fator comum 5
c)
30, 75 2 15, 75 3 5, 25 5 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (30, 75) 5 2 ? 3 ? 52 5 150 18, 60 2 9, 30 2 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (18, 60) 5 22 ? 32 ? 5 5 180 66, 102 2 33, 51 3 11, 17 11 1, 17 17 1, 1 m.m.c. (66, 102) 5 2 ? 3 ? 11 ? 17 5 1 122
d)
36, 54, 90 2 18, 27, 45 2 9, 27, 45 3 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1
m.m.c. (36, 54, 90) 5 22 ? 33 ? 5 5 540
48, 20, 40, 36 2 24, 10, 20, 18 2 12, 5, 10, 9 2 6, 5, 5, 9 2 3, 5, 5, 9 3 1, 5, 5, 3 3 1, 5, 5, 1 5 1, 1, 1, 1
7.
8.
8, 10 2 4, 5 2 2, 5 2 1, 5 5 1, 1
12, 6, 3, 3, 1, 1,
15, 24 2 15, 12 2 15, 6 2 15, 3 3 5, 1 5 1, 1
m.m.c. (12, 15, 24) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 múltiplos comuns de 12, 15 e 24: { 120, 240, 360, ...} 17 17 17 127 247 367 Como a quantidade de figurinhas está entre 200 e 300, só pode ser 247. 2 1 4 1 7 5 13
m.m.c. (8, 10) 5 23 ? 5 5 40
3. 12, 20 2 6, 10 2 3, 5 3 1, 5 5 1, 1
Brasil real, página 129.
m.m.c. (12, 20) 5 22 ? 3 ? 5 5 60 4. 15, 15, 15, 15, 5, 1, 1,
5, 10 2 5, 5 2 5, 5 5 1, 1
m.m.c. (4, 5, 10) 5 22 ? 5 5 20
m.m.c. (48, 20, 40, 36) 5 24 ? 32 ? 5 5 720 2.
4, 2, 1, 1,
25, 40 2 25, 20 2 25, 10 2 25, 5 3 25, 5 5 5, 1 5 1, 1
a) Números destacados: 165, 13, 2 000, 10, 20, 25, 45. 6 são divisíveis por 5, porque terminam em zero ou 5. b) 165 3 55 5 11 11 1 1 Divisores de 165 R 1, 3, 5 e 11.
m.m.c. (15, 25, 40) 5 2 ? 3 ? 5 5 600 600 minutos 5 10 horas 3
2
5. 20, 24, 30 2 10, 12, 15 2 5, 6, 15 2 5, 3, 15 3 5, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (20, 24, 30) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 6. 15, 18 2 15, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 m.m.c. (15, 18) 5 2 ? 32 ? 5 5 90 Os ônibus partirão juntos depois de 90 minutos, ou seja, 1 hora e 30 minutos, depois das 8 horas, ou seja, às 9 horas e 30 minutos.
c) (I) 80, 40, 20, 10, 5, 1, 1,
50 25 25 25 25 5 1
2 R fator comum 2 2 2 5 R fator comum 5
m.d.c. (80, 50) 5 2 ? 5 5 10 80 m (II) 10
20
30
40
50
60
70
80
10 20 50 m
30 40 50
Editoria de arte
e)
9 1 6 1 9 1 6 5 30 30 2 4 5 26 mudas Contamos 4 árvores 2 vezes.
27
Retomando o que aprendeu, página 130. 1. múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo 5 5 múltiplos de 6. M6 5 {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 8 casas: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 2. 12c5 Divisível por 3 ⇒ 1 1 2 1 c 1 5 R deve ser múltiplo de 3 1121c15581c c pode ser: 1 (8 1 1 5 9) 4 (8 1 4 5 12) 7 (8 1 7 5 15) 1 1 4 1 7 5 12 3. 90, 135 2 45, 135 3 15, 45 3 5, 15 3 5, 5 5 1, 1 m.m.c. (90, 135) 5 270 múltiplos de 270 5 {0, 270, 540, 810, 1 080, ...} 3 algarismos: 270, 540 e 810. 4. Alternativa a. 2, 3, 5 2 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (2, 3, 5) 5 30 Como sobra 1, possíveis resultados: {31, 61, 91, 121, ...} Como é múltiplo de 7: 91 exercícios 5. Alternativa d. 1 800 900 450 225 75 25 5 1
2 2 2 3 3 5 5
1 800 5 23 ? 32 ? 52 1 800 5 2a ? 3b ? c2 Temos: a 5 3 b52 c55 Portanto: a 1 b 1 c 5 3 1 2 1 5 5 10
28
6. Alternativa d. N 5 488a9b 488a9b é múltiplo de 5, portanto b 5 0 ou b 5 5. 488a9b é múltiplo de 3, portanto 4 1 8 1 8 1 1 a 1 9 1 b deve ser múltiplo de 3. 29 1 a 1 b deve ser múltiplo de 3. Possibilidades: b
a
a1b
0
1
1
0
4
4
0
7
7
5
2
7
5
5
10
5
8
13
7. Alternativa e. n.o exibido: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Total de bolas: 4 1 8 1 12 1 16 1 20 1 24 5 84 8. Como (213466917 2 1) e (230402457 2 1) são primos, o m.m.c. (a) será igual ao produto dos dois e o m.d.c. (b) será igual a 1, portanto: ba 5 1a 5 1 9. Alternativa b. 6, 15 2 3, 15 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (6, 15) 5 2 ? 3 ? 5 5 30 30 55 linha A R 6 10. Alternativa c. 18, 48 2 9, 24 2 9, 12 2 9, 6 2 9, 3 3 3, 1 3 1, 1 m.m.c. (18, 48) 5 24 ? 32 5 144
Geometria: As ideias intuitivas 15 – Ponto, reta e plano Chegou a sua vez!, página 134.
3.
a) BC ou BD ou AC b) AB ou AC c) AB ou CD ou BC
2. Respostas em aberto. 5.
a) AB e MN b) BN , BC ou CN c) AB e AM ou AC e AB
Exercícios, página 136. 1. c; c; a; b; c; b 2. Plana.
6. 10 segmentos.
3.
7. Nas figuras 3, 6 e 7. b) Não plana.
a) Plana.
c) 4
4.
1. Respostas em aberto. 3. Respostas em aberto.
b) 7
a) 8
8. c) V d) V
a) V b) F
Desafio!, página 137. 1. a, b, d, f e h.
Desafio!, página 144.
Editoria de arte
2. f
16 – A reta Exercícios, página 140. 1. Infinitas retas. Exercícios, página 146.
2. Uma única reta. 3. Inclinada.
1. a) 6 unidades.
4. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes.
d) Paralelas. e) Concorrentes.
a) Vertical.
b) Concorrentes.
5.
Desafio!, página 141.
b) 2 unidades.
2. a) 4u b) 2u c) 1u d) 6u e) 6u f) 10u
1. Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli, na rua Comandante Marcondes Salgado.
3. 38 quarteirões.
2. Paralelas.
17 – Giros e ângulos
3. Não.
4. Figuras a, d, e, h
Explorando, página 147. Exercícios, páginas 143 e 144. 1. Seis: PA, PB, PC, PD, PE e PF .
1. Em todas elas, há a ideia de volta ou giro em torno de algo.
2. PA, PB, PC, PD, PE, PF, EF; 7 segmentos.
2. a e C; b e A; c e D; d e B.
29
b) Tanto em Estação Central do Brasil (nos postes, por exemplo) como em São Paulo (nos prédios e estruturas, por exemplo) aparecem representações de retas paralelas e de retas concorrentes. c) Estruturas com triângulos, telhados, janelas dos prédios, por exemplo. d) Estação Central do Brasil: triângulos, quadriláteros e pentágonos. A Lua: nenhum; São Paulo: quadriláteros e triângulos.
Exercícios, página 149 e 150. 1. Alternativa a. 2. A 5 908; B 5 458; C 5 1308; D 5 958 3. c) maior d) 1 volta
e) 180o
18 – Polígonos Explorando, páginas 150 e 151. 1. A, simples; B, simples; C, simples; D, não simples, E não simples. 2. A, D; B, C, E.
2. Resposta pessoal.
19 – Triângulos e quadriláteros Chegou a sua vez!, página 157. Editoria de arte
3. Quando a origem da linha coincide com a sua extremidade, é fechada; quando não coincide, é aberta. 4. B, C. 5. Resposta em aberto.
Sim, há dois lados paralelos.
6. Quadro B. Exercícios, páginas 153 e 154. 1. Sim; é uma figura geométrica plana limitada por uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta.
1. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles. 2. a) 1 e 3
b) 2 e 4
3. Triângulo equilátero.
3.
4. a) Triângulo isósceles. b) Triângulo escaleno.
4. Sim; polígono não convexo.
5.
5.
a) 6 triângulos.
a) Octógono. b) Quadrilátero.
a) 4 (B, F, H, I)
8. Sim.
c) 1 (C)
9. Como os polígonos são regulares, todos os lados têm a mesma medida. 5 3 6 5 30 30 unidades
3 3 8 5 24 24 unidades
d) 2 (A, J) 7.
3 cm
a) Não, em A Lua não temos nenhum deles.
Editoria de arte
Brasil real, páginas 154 e 155. 1.
B
A
b) 6 (A, C, D, E, G, J)
7. Triângulo.
Editoria de arte
b) Equilátero.
6.
6. 6 lados; hexágono.
5 cm
Sim, os lados opostos são paralelos.
Exercícios, páginas 158 e 159.
2. Porque ela não é limitada por uma linha formada por segmentos de reta. a) Sim. b) Quadrilátero.
30
Não há lados paralelos.
D
C E H
F
G I
J
Editoria de arte
a) 3 horas b) 9 horas
8.
Brasil real, páginas 160 e 161. 1.
Editoria de arte
a) Alagoas e Sergipe. b) Maranhão, Piauí, Rio Grande do Norte, Paraíba e Pernambuco. c) Pentágono. d) 8 lados; octógono. e) Resposta em aberto. 2. a) Retângulo: espera-se que os alunos, pelo menos, reconheçam que um retângulo é um polígono de 4 lados (quadrilátero) com 4 ângulos internos retos (que medem 90o). Outras características ainda podem ser citadas: é um polígono convexo, é um paralelogramo etc. Losango: quadrilátero, paralelogramo, os quatro lados têm mesma medida. b) 1: Amazonas 2: Pará 3: Amapá c) Resposta em aberto.
Desafio!, página 160. A
L
K
B
C
I
D
H
F
Editoria de arte
M J
E
Chegou a sua vez!, página 162.
G
São 20 triângulos, a saber: 2 triângulos grandes de lados G1: AE , EI e IA; G2: CG, GK e KC.
1.
2. Resposta pessoal. 3. Editoria de arte
12 triângulos pequenos de lados: P1: AB , BL e LA P2: BC , CD e DB P3: DE , EF e FD P4: FG , GH e HF P5: HI , IJ e JH P6: JK , KL e LJ P7: BD , DM , e MB P8: DF , FM e MD P9: FH , HM e MF P10: HJ , JM e MH P11: JL , LM e MJ P12: LB , BM e ML
Editoria de arte
6 triângulos médios de lados: M1: AD , DJ e JA M2: BE , EH e HB M3: CF , FL e LC M4: DG , GJ e JD M5: FI , IL e LF M6: HK , KB e BH
4.
5. Há várias possibilidades. 6. Resposta em aberto.
31
A forma fracionária dos números racionais 20 – A ideia de fração
9. c, b, d
Explorando, página 165. 1. b) 5
a) 3
Brasil real, páginas 169 e 170. 1.
2. Mesa 1 – comidos 4 4 dos 8 ou 8 sobraram 4 4 dos 8 ou 8
Mesa 2 – comidos 2 2 dos 8 ou 8 sobraram 6 6 dos 8 ou 8
b) 26 estados
Mesa 3 − comidos 5 5 dos 8 ou 8 sobraram 3 3 dos 8 ou 8
c) A região Nordeste é composta de 9 9 estados, então a fração é . 26 d) A região Sul é composta de 3 estados, 3 então a fração é . 26 e) A região Norte é composta de 7 estados, e a região Nordeste, de 9, então juntas têm 16 estados, portanto mais que a metade dos estados brasileiros (26).
Mesa 3. Exercícios, página 168. 1. a, b, d, e, f, h, i 2. 1 a) 4 3. a) 7 ; 1 8 8 b) 3 ; 7 10 10 4.
32
2. 1 b) 10 7 5 ; 12 12 1 5 d) ; 6 6
6.
7 12
7.
5 12
8.
17 30
b)
a) 10 partes b)
5 10
c) Resposta em aberto.
c)
3.
a) 22 carros deram a largada, e 5 carros não completaram a corrida. Então: 22 5 17 17 carros completaram a corrida. 17 é a fração dos participantes Logo, 22 dessa corrida que completaram o circuito.
b) Nesse período, 6 pilotos brasileiros venceram o GP Brasil de F1, em Interlagos, de 24 corridas realizadas. 6 Assim, a fração correspondente é . 24
1 8
5. 3 a) 7
a) Norte: Acre, Amazonas, Roraima, Rondônia, Pará, Amapá e Tocantins Sudeste: Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro e São Paulo Sul: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul Centro-Oeste: Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal Nordeste: Maranhão, Piauí, Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergipe e Bahia
6 7
b) 60 questões
21 – R esolvendo problemas que envolvem frações
c) 30 questões d) total de questões: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60 5 12 12 5 questões
Brasil real, páginas 172 e 173. 1. a) arremessos: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60 5 12 5 3 corresponde a 3 12 36 36 5 arremessos
e) total de questões: 60
acertou: 60 20 40 40 fração de acerto: 60 24 f) 60
b) Se acertou 60 arremessos e 36 foram de 3 pontos, então acertou:
60 36 24 24 arremessos de 2 pontos Exercícios, páginas 173 e 174.
c) 3 36 1 2 24
108 48 156 156 pontos
12 30 b) No primeiro dia foram 30 testes: a)
4. a)
9 corresponde a 36 9 1 corresponde a 36 9 = 4 4 alunos 9
3.
1. Número de alunos: 36
2. 40 a) 670
errou: 20
5 corresponde a 30 5 1 corresponde a 30 5 6 5 3 corresponde a 3 6 18 18 testes 5 No segundo dia foram 40 testes: 8 corresponde a 40 8 1 corresponde a 40 8 5 8 5 corresponde a 5 5 25 25 testes 8 Na segunda fase este candidato acertou: 18 25 43 43 testes
2. a) 1 litro 1 000 mililitros
3. 4.
Número de questões
Área do conhecimento
14
Língua Portuguesa
6
Língua Estrangeira
6
Geografia
6
História
10
Matemática
6
Física
6
Química
6
Biologia
5 corresponde a 1 000 5 1 corresponde a 1 000 5 200 5 200 mililitros 250 b) 1000 c) 500
1 corresponde a 16 3 3 corresponde a 3 16 48 48 cocos 3 6 corresponde a 24 6 1 corresponde a 24 6 4 4 faltas 6 Compareceram: 24 4 20 20 candidatos
5. 3 corresponde a 42 a) 3 1 corresponde a 42 3 14 14 alunos 3
33
b) 42 14 28 28 alunos 6.
1 corresponde a 75 6 6 corresponde a 6 75 450 6 N 450 brinquedos
7. Primeiro colocado:
2 corresponde a 600 2 1 corresponde a 600 2 300 300 reais 2
11.
3 corresponde a 9 8 1 corresponde a 9 3 3 8 8 corresponde a 8 3 24 24 alunos 8 2 corresponde a 12 000 7 1 corresponde a 12 000 2 6 000 7
7 corresponde a 7 6 000 42 000 7 42 000 pessoas
Segundo colocado: 3 corresponde a 600 3 1 corresponde a 600 3 200 200 reais 3
12.
5 corresponde a 120 8
Terceiro colocado:
1 corresponde a 120 5 24 8
600 (300 200)
600 500 100 100 reais
8 corresponde a 8 24 192 192 8 candidatos
8. 1a redução: 2 corresponde a 2 048 e 1 024 2 1 corresponde a 2 048 2 = 1 024 e 2 1 024 2 512
9.
34
10.
2a redução: 2 corresponde a 1 024 e 512 2 1 corresponde a 1 024 2 512 e 2 512 2 256 3a redução: 2 corresponde a 512 e 256 2 1 corresponde a 512 2 256 e 2 256 2 128
13.
a)
2 corresponde a 18 2
1 corresponde a 18 2 9 9 2 quadradinhos
b)
3 corresponde a 18 3 1 corresponde a 18 3 6 3
2 corresponde a 2 6 12 12 3 quadradinhos
c)
6 corresponde a 18 6 1 corresponde a 18 6 3 6
5 corresponde a 5 3 15 15 6 quadradinhos
d)
9 corresponde a 18 9 1 corresponde a 18 9 2 9 4 corresponde a 4 2 8 8 9 quadradinhos
Então, n é 3. 4 corresponde a 2 400 000 4 1 corresponde a 2 400 000 4 600 000 4 3 corresponde a 3 600 000 1 800 000 4 1 800 000 reais
10 corresponde a 30 10 1 corresponde a 30 10 3 10 7 corresponde 7 3 21 10
14.
Faltaram: 30 − 21 = 9 → 9 dias 15. 1a loja: 4 corresponde a 300 4 1 corresponde a 300 4 75 4 Gastou: 75 2 77 2a loja e 3a loja: Gastou: 77 Restam: 300 3 77 300 231 69 69 reais
22 – Comparando números fracionários Explorando, páginas 175 e 176. 1. 1 2 3 4 5 a) ; ; ; ; 5 5 5 5 5 b)
1 2 3 4 5 5 5 5 5 5
2. 1 1 1 1 1 1 1 a) 10 8 6 5 4 3 2 2 1 5 b) 2 partes; 4 2 6 3 5 c) 6 partes; 10 5 4 8 5 d) 8 partes; 4 8 3.
1 2 3 4 5 5 5 5 5 2 4 6 8 10
2. Sim. 3. O metrô. 4. 1 1 . a) (V) 3 6 2 1 . 6 6 1 2 5 b) (V) 3 6 2 2 5 6 6 1 3 c) (V) 3 6 2 3 6 6 2 1 d) (F) 3 3 2 3 5 (F) e) 3 3 1 2 5 f) (V) 5 10 2 2 5 10 10 2 3 5 (F) g) 3 6 4 3 5 6 6 2 2 . h) (V) 3 6 4 2 . 6 6
23 – Obtendo frações equivalentes Exercícios, página 179. 1.
Exercícios, página 177. 1. a) 2, 3 e 4. b) Os dois comeram a mesma quantidade. 1 1 c) Sara: ; Lara: 4 8 d) • 3; 5 • 2; 3
3
2
2 6 16 8 a) e d) e 7 21 10 5 3 (sim) 2 (sim) 3
b)
4
5 15 8 2 e e) e 9 18 4 1 2 (não) 4 (sim) 7
3
3 21 15 5 c) e f) e 10 70 12 2 7 (sim) 6 (não)
35
2.
3
a)
5 9
7 x 21 5 e) então: x 21 7 x 3 7 49
5
15
27
c)
5 8
3
25
40
37 6
5
b)
3.
11 3
44
12
6
4
3
3 9 5 g) então: x 15 3 x 5 x 15
4
5 a 5 9 36
então: a 5 4 a 20
3
5
x 5 5 h) então: x 5 5 x = 1 4 20
4
4. 10 1 10 5 2 20
10
4
5 25 5 4 20 5
3
2
7 14 5 a) então: x 9 2 x 18 9 x 2
4
9 18 5 10 20
6.
b)
1. 3 irredutível 7
3
3 9 5 então: x 11 3 x 33 11 x 3
2.
a)
10 5 5 8 4
1 irredutível 3
2 5
20 25
b)
20 4 5 25 5
5
15 3 5 20 4
3.
5
4.
a)
105 calculando o m.d.c. (105, 63), temos: 63 105, 35, 35, 7, 1,
4
7
63 21 7 7 1
3 fator comum 3 5 7 fator comum
m.d.c. (105, 63) 3 7 21 21
105 5 5 63 3
7
36
2
5
1 x 5 então: x 1 4 x 4 8 32
7 x 5 d) então: x 7 7 x 49 2 14
4 2
5 irredutível 6
4
c)
2 1 5 10 5
2
4 1 5 12 3
2
4
Exercícios, páginas 180 e 181.
2
5. 7 a) A maior é . 8 3 b) 4 5 20 7 21 5 5 6 24 8 24
5
4
3 12 5 5 20
5
5 30 então: x 8 6 x 48 5 8 x
f)
4
21
tarde: 6 40 240 240 alunos
b) m.d.c. (63, 105) = 21
21
63 3 105 5
21
m.d.c. (240, 300) 60
240 4 300 5
5.
5
5 1 1 a) h 60 12 12
5
b)
60 30 15 5 1
2 2 3 fator comum 5 fator comum
m.d.c. (15, 60) 3 5 15 15 1 15 1 h 4 60 4
15
30 c) m.d.c. (30, 60) 30 60
30
10 m.d.c. (10, 60) 10 60
d)
10
10 1 1 h 60 6 6
10
45 m.d.c. (45, 60) 15 60 15
e)
45 3 3 h 60 4 4
15
f)
60 60
60
60 1 →1h 60 1
60
6. manhã: 10 30 300 300 alunos
60
7. a) 8 5 4 12 10 1 40 40 alunos
b) 8 4 10 22 22 meninos 2 22 11 40 20 2 c) 40 22 18 18 meninas 2 18 9 40 20 2 d) 4 12 16 8
30
30 1 1 h 60 2 2
15 60 m.d.c. (15, 60) 15, 15, 15, 5, 1,
60
m.d.c. (16, 40) 8
16 2 40 5 8 4
e)
4 1 12 3 4
Brasil real, páginas 181 e 182. 1. a) Itália: 8 medalhas b) 7 medalhas. c) 7 ; essa fração não pode ser 8 simplificada, pois já está na forma irredutível. d) 7 ; essa fração não pode ser 19 simplificada, pois já está na forma irredutível. 2. a) 52a quinquagésima segunda; 16a décima sexta 5 1 b) ou 285 57 c) Estados Unidos, China, Rússia e Austrália d) 35 32 27 17 111 111 medalhas
37
e)
6 2 12 g 3 6 g 18 3 g
111 m.d.c. (111, 285) 3 285 3
111 37 285 95 7 44 f) ; essa fração não pode ser 285 simplificada.
6
24 – Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador Exercício, página 184.
Desafio!, página 183. a 54
12 g
*
24 e d 24
c 12
Editoria de arte
36 b
f 60
60 90
m.d.c. (60, 90) 30 30 60 2 2 2 ∗ → ∗ 90 3 3 3 30 18 2 a → a 2 18 a 36 3 54 18
2
1 2 2 4
2
2 1 e 4 4
b)
m.m.c. (2, 4) 4
1 1 , 6 8 4 1 4 6 24 4 4 3 , 24 24
m.m.c. (6, 8) 24 3
1 3 8 24 3
18 2 36 b 3 18 b 54 3 b
3 5 7 , , m.m.c. (8, 6, 12) = 24 8 6 12 3 4 2 3 9 5 20 7 14 8 24 6 24 12 24 3 4 2 9 20 14 , , 24 24 24
18 4
d)
2 c c24c8 3 12 4 8 2 d d 2 8 d 16 3 24 8 12 2 24 e 3 12 e 36 3 e 12 20 2 f f 2 20 f 40 3 60 20
38
1 1 e a) 2 4
c)
3 5 2 1 , , , m.m.c. (4, 18, 9, 6) 36 4 18 9 6 9 2 4 6 3 27 4 36 9
5 10 18 36 2
2 8 1 6 9 36 6 36 4
6
27 10 8 6 , , , 36 36 36 36
3 2 9 11 e) , , , m.m.c. (7, 5, 14, 10) 70 7 5 14 10 14 5 7 10
3 30 2 28 9 45 7 70 5 70 14 70 10
14
30 28 45 77 , , , 70 70 70 70
5
11 77 10 70 7
f)
7 14 9 11 , , , 20 15 10 30 m.m.c. (20, 15, 10, 30) 60 4 6 3
3
6
2
21 56 54 22 , , , 60 60 60 60 Chegou a sua vez!, página 185.
4
1 2 4 5 5 8 13 20 20 20
2
7 21 14 56 9 54 11 22 20 60 15 60 10 60 30 60
6.
7. 5 a) 9
10 5 6 3
Exercícios, páginas 190 e 191.
b)
a)
8 5 b) 9 8
c) 0
d)
1 2 e) 2 15
4. 6 1 6 2 4 a) 12 6 12 12 12 Editoria de arte
6 12
����� 1 � 2 6 12
4 12
3 1 3 2 5 8 4 8 8 8 ������ 3
2
8 8 ����� 5 8
Editoria de arte
b)
������
5. 2 1 3 4 8 3 11 12 12 12
3 5 1 4 6 2 9 10 6 12 12 12 19 6 13 12 12 12
5 1 1 6 2 3 5 3 2 6 6 6 2 2 0 6 6
1 1 5 3 m.m.c. (2, 3, 6, 4) 12 2 3 6 4 6 4 10 9 12 12 12 12 2 10 9 12 12 12 12 9 3 12 12 12 :3 3 1 12 4 3
c)
m.m.c. (6, 2, 3) 6
d)
9. 1 1 1 2 10 1 5 1 10 10 1
m.m.c. (3, 4) 12
m.m.c. (4, 6, 2) 12
7 5 2 7 7 7
3.
2
b)
25 – Adição e subtração
2. 7 3 4 a) 9 9 9
4 9
2
5 6 11 b) 12 12 12
b)
8. 1 1 5 a) m.m.c. (2, 3, 6) 6 2 3 6 3 2 5 10 6 6 6 6
5 1 Azul: (livros); cor-de-rosa: (DVDs); 8 4 1 amarelo: (CDs) 8
1. 3 3 6 a) 7 7 7
m.m.c. (4, 5) 20
m.m.c. (10, 2) 10
6 10 6 4 10 10 10 10
2
4 2 10 5
2
39
10. Sim.
1 4
1
1 b
5
1 1
5 1
a
2 4
1
c
5 4
5
5 1
1 2
Editoria de arte
Desafio!, página 191.
5 5
1 5 2 5 7 1 ⇒d5 1 ⇒d5 2 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1a 5 ⇒ a 5 ⇒ a5 ⇒ a5 4 2 2 4 4 4 4 2 5 5 2 3 b1 5 ⇒ b5 ⇒ b5 4 4 4 4 4 7 7 7 4 3 1 1c 5 ⇒ c 5 1 ⇒ c 5 ⇒c5 4 4 4 4 4
26 – A forma mista Exercícios, página 194. 1. a)
3. 1 1 6 1 7 1 51 1 5 1 5 6 6 6 6 6 7 13 35 26 9 3 5 5 5 6 15 30 30 30 10
d
d5
21 1 54 5 5
2 3 2 15 2 17 51 5 1 5 3 3 3 3 7 d) 1 10 7 10 7 17 11 5 1 5 10 10 10 10 c) 5
4. 1 1 15 1 12 5 2 3 1 1 5 15 1 1 12 1 5 2 3 1 1 5 27 1 1 5 2 3 3 2 5 27 1 1 5 6 6 5 5 5 5 27 1 5 27 → 27 quilômetros 6 6 6 5. 4 2 7 1 11 1 5 5 3 10 4 2 7 51 1 11 1 1 5 5 3 10 30 24 30 20 21 5 1 1 1 1 5 30 30 30 30 30 5
17 2 55 3 3
Brasil real, página 195. 1 3 3 1 1 3 2 2 1 4 4 4 2 2 1 1 3 , e b) 2 3 4 c) Elas são iguais. 1 d) No bolo de rolo; 4 . 4 e) A maior soma é a do bolo de rolo. a) 4
c)
Editoria de arte
b)
33 3 53 10 10 d) 15 1 57 2 2
2.
40
125 25 5 30 6
1 a) 5 4 1 20 1 21 51 5 1 5 4 4 4 4 1 b) 10 3 1 30 1 31 10 1 5 1 5 3 3 3 3
Cuca de manteiga
1 1 3 3 1 13 1 5 3 2 4 4 5
1 1 3 3 1 131 1 5 3 2 4 4
5
4 6 36 9 9 1 1 1 1 5 12 12 12 12 12
5
64 16 1 5 55 12 3 3
Exercícios, página 201.
Bolo de rolo 1 3 1 4 2 2 5 4 4 2 54
1.
59
2 1
2
3
4
5
6
3
6
9
12
15
18
1 1 59 2 2
1 1 9 5 2 3
2.
g) Respostas em aberto.
2. Resposta em aberto.
Desafio!, página 196.
27 – Multiplicação Explorando, página 197. 1 5 5 → 2,5 quilos ou dois quilos e 2 2 meio
a) 5
b) 8 3 2,5 5 20 → 20 reais 2. a) 6 metades de maçã b) 5 metades de maçã 5 1 ou 2 2 2
4
5
6
2
3
4
5
6
4
6
8
10
12
3
6
9
12
15
18
8
12
16
20
24
5
10
15
20
25
30
6
12
18
24
30
36
3 12 5 5 5 4 8 b) 2 5 9 9 1 1 c) 5 5 10 2 a) 4
5 12 5 10 6 1 e) 10 5 5 2 2 22 11 5 f) 3 3 d)
1
3 2 1 5 3. 4 2 3 2 1 4. 1 1 1 4 4 9 4 1 5 5 a) e) 3 7 21 10 8 45
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , 1. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Editoria de arte
7 cheios + 7 pela metade → 1 1 em → 10 ; 3 2 2 cada bandeja ou
3
4
1
Chegou a sua vez!, página 196.
c)
1
4 1 58 5 4 2
f) Resposta em aberto.
2
1 3 1 2 2 5 4 4 2
1.
Fração irredutível
7 3 21 b) 5 8 2 16
1
1
f)
2
5
1
1
5 5
2 2
4 9 1 5 10 8 45
3 5 1 5 c) g) 45 8 5 10 5 3 9 4 9 1 3 1 1 2 5 1 2 11 11 8 45 d) h) 5 5 10 7 7 4 2 9 1 1 1 2 2 5. 10 5 4 → 4 quilogramas 5 1
6.
7.
1 1 2 5 2 2 3 5 15 3 3 5 5 ou 3 → 3 de xícara de chá 2 2 4 4 4 1
1 5 8 2
1
4 1 5 5 2 1
d) 3; 5 ou 2 1 2 2
8. 1 12 5 4 5
e) 5 amigas
3
5 12
21 63 quilômetros 5 63 → 63 4
1
41
28 – Divisão Explorando, página 202. 1.
1 4 7 11 3 51 3 51 • 4 1 11 7 5 4 13 10 3 51 3 51 • • 4 5 10 13 a) 1 b) Os dois fatores são frações nas quais o numerador de uma é igual ao denominador da outra, e vice-versa. •
2. a) 2 vezes
b) 3 vezes
c) 4 vezes
3. a) 2 vezes
b) 4 vezes
c) 6 vezes
Exercícios, páginas 205 e 206. 1. 2.
7 4 , inverso de 4 7 4 15
3. 1 4 a) 5; 5 5 3 5 20 4 1 1 2 b) 7; 5 7 3 5 14 2 1 1 1 1 1 c) ;5 5 3 5 4 4 5 20 1 1 1 1 d) ;7 5 3 5 2 2 7 14 5 5 1 5 e) ;2 5 3 5 8 8 2 16 1 7 7 1 1 f) ;14 5 3 5 10 10 20 14
7. 1 1 10 1 11 1 5 5 551 5 2 2 2 2 2 1 11 1 11 2 ; 5 3 5 11 → 11 aventais 2 2 1 2 1 8. 1 1 12 1 13 1 5 a) 6 5 6 1 5 2 2 2 2 2 1 13 ; 1 5 13 3 2 5 13 2 2 1 2 1 1 2 b) 10 ; 5 10 3 5 20 2 1 9. 1 2 1 3 3 a) ; 5 3 5 4 3 4 2 8 1 4 1 7 7 b) ; 5 3 5 5 7 5 4 20 1 1 5 5 5 3 1 ; 5 3 5 c) 6 3 5 2 6 2 1 1 7 1 7 4 7 ; 5 3 5 d) 8 4 1 2 8 2 2 1 3 9 3 10 2 e) ; 5 3 5 5 10 5 3 9 1 3 3 1 1 1 30 3 f) ; 5 3 5 40 30 1 4 40 4 10.
2
11 4 g) 1 ; 51 3 5 4 11 4 11 51 3 5 h) 1 ; 11 4 5 9 i) 0 ; 5 0 3 5 0 9 5
2 1 2 26 4 copos 5. 3 ; 6 5 3 3 1 5 4 → 1
155
1
12.
a) b)
1 5 5 2 ; 5 2 8 4
b)
1
2 5 1 5 3 1 5 3 4 2
5
5
3
1
4
10 9 15 10 8 3 5 ; 5 4 3 8 3 9 4 1 4 4 5 ; 5 3 5 1 5 5 1 1
1
2
1
1 1 2 50 2 2
1 2 5 4 3 5 8 → 8 pa cot es 2 1 5
1
1 5 4 5 2 3 5 2 5 8
2
5 1 1 5 6 2 5 3 5 1 58 5 4 6 6 6 3 11. 4 ;
3 4 5 465 3 5 620 → 620 620 pacotes 4 3
2 4 1 ; 1 5 3 5 2
4 11 11 4
1 5 4. 4 ; 5 4 3 5 20 → 20 xícaras 5 1
6. 465;
42
a)
c)
d)
Brasil real, página 210.
1 7 7 1 1 6 1 6 6 7
a) Quantidade de transplantes
7 2 7 3 21 : 4 3 4 2 8
1 000
928
900 792
800 700
Desafio!, página 206.
600
Sandra: 20 anos 1 20 Virgínia: 20 10 2 1 20 20 10
500 400
361 Editoria de arte
300 200 100
1
20 2 18 18 anos
1999
2003
2004
Ano
b) 1 025 + 20% de 1 025 = 1 025 + 205 = 1 230 Foram realizados 1 230 transplantes. c) 61% de 6 200 61 1% de 6 200
Maria: 2 18 2 18 36 36 anos
Eu:
9
3 36 27 27 anos 4
6 200 100 62
61 62 3782 6 200 3 782 2 418 2 418 pacientes
1
29 – As frações e a porcentagem
30 – Resolução de problemas
Exercícios, páginas 209 e 210. Exercícios, páginas 215 e 216.
1. 8 100 19 b) 19% 100 2. 50%
a) 8%
43 100 120 d) 120% 100 c) 43%
3. setor A
1. 1 a) 24 000 000 3 000 000 3 milhões 8 de reais 4 800 000 3 14 400 000 b) 24 000 000 5 14 400 000 reais
4. Alternativa a.
c) 24 000 000 (3 000 000 14 400 000) 24 000 000 17 400 000 6 600 000 6 600 000 reais
5. Alternativa d. 6. a) 6% de 35 000 6 1% de 35 000
2.
35 000 100 350 6% de 35 000 6 350 2 100 2 100 eleitores b) 35 000 2 100 32 900 32 900 eleitores
7. 1 650 pessoas
3.
8. 9 250 reais
9. a) 2; 25%
b) 4; 50%
c) 75%;
6 3 ou 8 4
1 2 1 III 7 6 3 1 3 1 II IV 4 12 4 Frações equivalentes: II e IV I
1 2 7 6 13 3 7 21 21 21 21 13 8 21 21 21
43
4.
70
560
4 1 40 2 2 40 5 2 8 2 16 16 latas 40 5
3 210 8 1
560 210 770 770 alunos 5.
3 30 000 56 1 30 000 3 10 000 56 56 56 10 000 560 000 56 560 000 habitantes
6. 3 1 15 4 11 4 5 20 20 20 11 44 20 1 44 11 4 20 20 20 4 80 80 litros 20 7. 2 1 8 5 13 5 4 20 20 20 13 65 20 1 6513 5 20 20 20 5 100 100 quilômetros 20 (comprimento da estrada) 100 65 35 35 quilômetros (faltam duplicar) 8. 8 5 3 a) 8 8 8 5 25 b) 8 1 255 5 8 3 3 5 15 15 litros 8 c)
44
1 5 8 8 8 5 40 40 litros 8
1 2 1 40 2 2
d) 40 2
8 40 21 1 40 8 5 21 21 21 5 105 105 reais 21
1
9.
2 1 8 5 5 4 20 20 20 13 7 7 20 20 20 20 7 1 400 20 1 1 400 7 200 20
13 13 (quanto 20 20 foi vendido da peça) (o que sobra da peça)
20 20 200 4 000 R$ 4 000, 00 (preço 20 de toda a peça) 4 000 5 800 800 metros 10. 180
a) 3600
1 180 180 eleitores 20 deixaram de votar 1
b) 3 600 180 3 420 3 420 eleitores votaram 171 1 171 171 eleitores 3 420 20 votaram em 1 branco 285
1 285 285 eleitores c) 3 420 12 anularam o voto 1
684 3 d) 3 420 2 052 2 052 votos para o 5 candidato vencedor 1
3 420 (2 052 285 171) 3 420 2 508 912 912 votos para o candidato que perdeu
e) 2 052 912 1 140 1 140 votos 200
11. 800
1 200 R$ 200,00 (metade do 4 meu salário)
1 2 200 400 R$ 400,00 (meu salário)
12. 3 a) 1o dia: 5 5 3 2 (percurso que falta) 2 5 5 5 5 2o dia: 2 2 4 3 5 3 5 15 3 4 9 4 13 13 (fração 1 5 1 5 → 5 15 15 15 15 15 do percurso rodado nestes dois dias) b)
c)
2 5 600 15 1 5 600 ;2 5 300 15 15 44 500 500 quilômetros 5 15 3 300 5 4 500 → 15 (percurso total)
a) Estado A 2 400 000 4 = 9600000 9 600 000 12 000 000 3 5 toneladas 1 Estado B 3200 000 2 5 6 400 000 6 400 000 9 600 000 3 3 toneladas 1
Produção do estado A 9 600 000 toneladas
Produção do estado B 6 400 000 toneladas
O estado A produz mais trigo.
b) 9 600 000 6 400 000 3 200 000 O estado A produz 3 200 000 toneladas a mais que o estado B.
240 3
3 5 180 180 meninas 4 1
120
240 3
1 5 120 120 (número de meninas 2 pensado pelo gerente) 1
180 2 120 5 60 60 meninas não ganharão brinde
Chegou a sua vez!, página 217. 1. Alternativa b. 2. Resposta em aberto.
Retomando o que aprendeu, páginas 217 e 218. 1. 1 15 3 33 5 3 1 5 15 3 33 1 5 3 99 1 5 15 3 1 5 3 3 5 15 3 2.
100 5 500 500 rotações 3
:12
12 1 5 60 5 :12 3. Alternativa d. 13
1 5 13 13 cartas entregues 5 1 no 1o andar 65 2 13 5 52 52 cartas 65 3
14.
60
15 13 2 2 2 5 → (fração do 15 15 15 15 percurso que ainda falta para completar a viagem)
13.
15.
14 9 5 5 (fração dos alunos 2 5 → 14 14 14 14 que obtiveram notas maiores que 6,0) 5 5 300 14 1 5 300 ;5 5 60 14 14 5 14 3 60 5 840 840 alunos 14 participaram da olimpíada
4. Alternativa d.
60
420 3
5 5 300→ 300 candidatos rejeitados 7 1
420 2 300 5 120 → 120 candidatos aceitos
45
Fábrica C: 170 (51 102) = 170 153 17 17 kg
5. Alternativa c. 1 parte pintada 5
9. 1o termo 1
20
1 20 5 5 20% 5 100
1 metade do 1o termo 2 1 1 1 1 3o termo 5 5 ;2 5 3 5 metade do 4 2 2 2 2o termo 2o termo
20
1 19 1 1 ; 2 1 1 5 6. 3 2 7 2 6 19 14
5
O segredo desta sequência é: O termo seguinte é igual à metade do termo anterior.
3 1 ; 2 1 1 5 6 6
1 1 1 1 ;2 5 3 5 4 4 2 8 1 1 1 1 5o termo 5 ;2 5 3 5 8 8 2 16 1 1 1 1 ;2 5 3 5 6o termo 5 16 16 2 32 4o termo 5
19 2 5 ; 11 5 14 6
7
5
57 14 71 1 1 1 5 55 →5 está entre 14 14 14 14 14 os números naturais 5 e 6.
5
7. Alternativa a. 3 1 9 5 14 1 5 1 5 5 3 15 15 15 15 14 1 1 2 5 → fração que representa 15 15 15 15 o número de jogos que perdeu 1 52 15 15 5 15 3 2 5 30 → 30 (total de jogos do 15 torneio) 3 3 30 5 18 18 jogos vencidos 5 1 3 30 5 10 10 jogos empatados 3 18 3 3 1 10 3 1 5 54 1 10 5 64 64 (total de pontos da equipe) 8. Alternativa c. Fábrica A:
17 3 3 170 5 51 51 kg 10
1
Fábrica B: Dobro de 51 102 102 kg
46
A soma do 5o e do 6o termos é:
57 11 5 14
1 1 2 1 3 1 5 1 5 16 32 32 32 32 10. Alternativa d. 100 (45 20) 100 65 35 35 bolas amarelas 35 porcentagem de bolas amarelas 100 11. Alternativa d.
Editoria de arte
3
19 6 3 5 11 5 2 14
25% 5
25 1 5 100 4
=
3 16
5
6 3 5 16 8
5
3 1 16
5
4 1 5 16 4
A forma decimal dos números racionais 31 – Trocando dinheiro Exercícios, página 223. 1. água: trinta e cinco reais e trinta e nove centavos; luz: sessenta e cinco reais e trinta e seis centavos. 2. a) R$ 9,04
b) R$ 6,23
c) R$ 29,37
d) R$ 57,28
e) R$ 128,09
3. Resposta em aberto. 4. a) 3 3 0,10 5 0,30; 6 3 0,05 5 0,30; 1 3 0,25 1 1 3 0,05 5 0,30 b) 35 centavos; qualquer produto, menos o cappuccino; posso adquirir, também, leite e carioca ou dois cariocas (sobrando ainda 5 centavos) etc. Brasil real, página 224. 1. Resposta em aberto. 2. a) R$ 0,04; quatro centavos b) R$ 0,32; trinta e dois centavos c) R$ 0,47; quarenta e sete centavos
d) R$ 1,25; um real e vinte e cinco centavos e) R$ 0,05; cinco centavos f) R$ 13,50; treze reais e cinquenta centavos
3. Resposta em aberto. 4. R$ 930,00; resposta em aberto.
32 – Representação decimal Explorando, página 225. 1 . 10
a) Uma placa representa a décima parte ou
b) Uma barra representa a centésima parte ou
1 . 100 1 c) Um cubinho representa a milésima parte ou . 1000 Exercícios, páginas 230 e 231.
1.
415 5 400 10 5 1 5 5 400 1 10 1 5 1 1 541 1 5 4,15 100 100 100 100 100 10 100 4 inteiros 1 décimo 5 centésimos
47
2.
a)
b)
d)
5 inteiros
2 décimos
52 50 1 2 50 2 5 2 5 5 1 5 1 5 0, 52 100 100 100 100 10 100
c)
52 50 1 2 50 2 2 5 5 1 551 5 5, 2 10 10 10 10 10
5 décimos
2 centésimos
77 7 70 7 7 5 70 1 5 1 571 5 7, 7 10 10 10 10 10 7 inteiros
7 décimos
77 70 1 7 70 7 7 7 5 5 1 5 1 5 0, 77 100 100 100 100 10 100
e)
7 5 0, 7 10 7 5 0, 07 f) 100
7 décimos
7 centésimos
3. 3 3 10 3 13 51 1 5 1 5 a) 1, 3 5 1 10 10 10 10 10 13 b) 100 13 c) 1 000 2 2 4 000 2 4 002 d) 4, 002 5 4 541 5 1 5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 85 e) 1 000 3 f) 10 47 47 200 47 247 521 5 1 5 g) 2, 47 5 2 100 100 100 100 100 135 h) 1 000 4. a) Um real e dezenove centavos. b) Cinco reais e vinte e nove centavos. c) Sete reais e quarenta e seis centavos. 5. a)
8 5 0, 8 10 ;2
22 11 5 6. a) 2, 2 5 10 5 ;2 ;4 44 11 5 b) 0, 44 5 100 25 ;4
48
b)
42 5 0, 42 100
d) Três reais e cinquenta e quatro centavos. e) Sessenta e seis centavos.
c)
225 5 2, 25 100
d)
406 5 4, 06 100
;25
25 1 5 c) 0, 25 5 100 4 ;25 ;2 4 20 4 24 12 5 1 5 5 d) 2, 4 5 2 10 10 10 10 5 ;2
;50
e) 2, 50 5 2
50 50 200 50 250 5 521 5 1 5 5 100 100 100 100 100 2
;50
;2
6 6 60 6 66 33 f) 6, 6 5 6 561 5 1 5 5 10 10 10 10 10 5 ;2 7. a) 0,35 trinta e cinco centésimos b) 18,427 dezoito inteiros e quatrocentos e vinte e sete milésimos c) 0,004 quatro milésimos d) 5,9 cinco inteiros e nove décimos 8.
350
e) f) g) h)
3,6 e 3,601 3,6 3,601, pois 3,6 5 3,600 e 600 601 0,95 5 0,9500 1,37 e 1,037 1,37 1,037, pois 1,37 5 1,370 e 370 37 0,064 e 0,12 0,064 0,12, pois 0,12 5 0,120 e 64 120
7. a) entre 0 e 0,5: 0,016; 0,405; 0,057 b) entre 0,5 e 1: 0,98; 0,71 c) entre 1 e 1,5: 1,02; 1,1
1 50 5 5 0, 50 2 100 350
33 – Propriedade geral dos números decimais
8. Caixa B, pois: 4,5 4,28 4,5 5 4,50 e 50 28 9. O portão da frente, pois: 4,3 4,18 4,3 = = 4,30 e 30 18
Exercícios, páginas 232 e 233. Brasil real, página 233.
1. As duas, porque 1,50 5 1,5. 2. 2,03; 2,030; 2,0300 3. a) 0,07000 e 0,07 5 b) 6 e 6,000 5 c) 0,015 e 0,150
d) 9,32 e 9,3200 5 e) 2,025 e 2,25 f) 9 e 9,00 5
4. 5,010 5 5,01 5 5,0100 5 5,01000 5. a) b) c) d) 6. a) b) c) d)
3,7; 7,01; 3,016; 10,01; 1,0004 0,605; 0,28; 0,095 0,605 0,095 9,4 e 4,9 9,4 4,9, pois 9 4 7 e 7,1 7 7,1, pois 7 5 7,0 e 0 1 4,230 5 4,23 2,081 e 2,0095 2,081 2,0095, pois 2,081 5 2,0810 e 810 95
1. a) b)
Não, pois apesar do aumento do número de habitantes da Grande Rio, esse número ainda não ultrapassa a marca que a região da Grande São Paulo tinha em 2000. 23,2 milhões 21,1 milhões 20,4 milhões 17,8 milhões 11,9 milhões 10,6 milhões c) Resposta em aberto. Tratando a informação, página 234. a) 2005 b) 33,220 milhões 33,644 milhões 33,818 milhões 34,649 milhões 35,139 milhões c) Resposta em aberto. d) 1980: 25 inteiros e 23 milésimos; 1990: 28 inteiros, seiscentos e vinte e oito milésimos; década: série de 10; decênio, período de 10 anos.
49
Exercícios, páginas 236 e 237. 1.
amarelo: d 5 a 1 b 5 9,7 1 6,3 5 16 e 5 b 1 c 5 6,3 1 8,1 5 14,4 azul: f 5 d 1 e 5 16 1 14,4 5 30,4
a) 16,9 1 7,6 5 24,5 16,9 1 7,6 24,5 b) 35,2 2 9,8 5 25,4 35,2 2 9,8 25,4 c) 0,85 1 1,376 5 2,226 0,850 11,376 2,226 d) 25 2 18,25 5 6,75 25,00 218,25 6,75 e) 2,33 1 2,033 1 2,666 5 7,029 2,330 2,033 12,666 7,029 f) 15 2 9,85 1 3,275 5 5 5,15 1 3,275 5 8,425 15,00 2 9,85 5,15
5,150 13,275 8,425
2.
0,381 10,589 0,970 menor, pois 0,970 1 0 1
3.
3,000 21,899 1,101
4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Ex.: 6,1 5 3,4 1 2,7 verde: a 5 6,1 1 3,6 5 9,7
50
b 5 3,6 1 2,7 5 6,3 c 5 2,7 1 5,4 5 8,1
f d a 6,1 3,4
e b
c
3,6 2,7
2,7 0,9
5,4 1,8
3,6
Editoria de arte
34 – Adição e subtração de números decimais
5. a) Equipe B; 0,716 0,698, pois 716 698 b) 0,716 2 0,698 5 0,018 0,716 20,698 0,018 6. 7,4 2 4,78 5 2,62 2,62 m 7,40 24,78 2,62 7. 2,5 − 1,35 5 5 1,15 1,15 m 2,50 21,35 1,15 8. Comprimento: 0,25 1 1,70 1 0,15 1 3,80 1 1 0,15 1 4,10 1 0,25 5 10,40 10,40 m 0,25 1,70 0,15 3,80 ou 0,15 4,10 1 0,25 10,40 Largura: 0,25 1 3,80 1 0,15 1 4,50 1 0,25 5 5 8,95 8,95 m 0,25 3,80 0,15 4,50 10,25 8,95
9.
a) 1,4 1 5 10 5 10 2 1,4 5 8,6
10,0 2 1,4 8,6
b) 80,75 1 5 100 5 100 2 80,75 5 19,25 c) 345,27 1 5 1 000 5 1 000 2 345,27 5 654,73
100,00 2 80,75 19,25
Desafio!, página 237. Soma 5 1,6 1 2,1 1 1,4 5 5,1 A 5 5,1 2 (2,1 1 1,3) A 5 5,1 2 3,4 A 5 1,7 B 5 5,1 2 (1,5 1 A) B 5 5,1 2 (1,5 1 1,7) B 5 5,1 2 3,2 B 5 1,9 C 5 5,1 2 (1,6 1 1,5) C 5 5,1 2 3,1 C 5 2,0 D 5 5,1 2 ( C 1 1,3) D 5 5,1 2 ( 2,0 1 1,3) D 5 5,1 2 3,3 D 5 1,8 Brasil real, página 238. a) b) c) d)
1950 2 1960 1920 2 1940 2,99 2 1,50 5 1,49 Verdadeira.
a) b) c) d)
18 a 39 anos 36,4 2 35,3 5 1,1 1,1% 22,1 2 17,8 5 4,3 4,3% 20,8 2 16,7 5 4,1 4,1%
2.
Exercícios, páginas 241 e 242. 1. 108 108 5 5 10,8 10 100 572 572 5 5 57,2 b) 100 3 0,572 5 100 3 10 1000 92 92 5 5 9,2 c) 10 3 0,92 5 10 3 10 100 29 29 d) 1000 3 0, 0029 5 1 000 3 5 5 2,9 10 10 000 a) 10 3 1, 08 5 10 3
1000,00 2 345,27 654,73
10. x 5 (51,7 1 8,36) 2 (16,125 1 7,88) x 5 60,06 2 24,005 x 5 36,055 51,70 16,125 60,060 1 8,36 1 7,880 224,005 60,06 24,005 36,055
1.
35 – M ultiplicação com números decimais
2. 22,5 cm 5 0,225 m 0,225 3 1 000 5 225 225 m 3. a) 5 3 9, 5 95 5 3 95 475 5 3 10 5 10 5 10 5 47, 5 b) 7 3 1, 25 125 7 3 125 875 7 3 100 5 100 5 100 5 8, 75 c) 12 3 8,3 8,3 12 166 1830 9 9,6 3
d) 25 3 0,64 0,64 3 25 320 1 1280 16,00 e) 3 3 0,989 0,989 33 2,967 f) 7,2 3 4,8 7, 2 34, 8 576 12 8 8 0 3 4, 5 6 g) 0,9 3 10,5 1 0 , 5 3 0 , 9 9, 4 5
51
A 1 B 5 1,542 1 3,075 A 1 B 5 4,617
h) 7,25 3 0,6 7, 2 5 3 0, 6 4, 3 5 0
257 30, 0 0 6 1, 5 4 2
i) 9,9 3 5,5
a) 9,05 2 2,5 3 2,5 5 5 9,05 2 6,25 5 2,80 2, 5 9, 0 5 32, 5 26, 2 5 1 2 5 2, 8 0 5 0 0 6, 2 5 b) (6 2 1,07) 3 3,1 5 5 4,93 3 3,1 5 5 15,283
j) 0,96 3 0,5 0,9 6 3 0,5 0, 4 8 0 4. a) 0,7 3 0,9 3 3,5 5 5 0,63 3 3,5 5 5 2,205 0, 7 0, 6 3 3 0, 9 33, 5 0, 6 3 315 1890 2, 2 0 5 b) 14,2 3 0,4 3 2,5 5 = 5,68 3 2,5 = = 14,2 5, 6 8 3 2, 5 2840 11 1 3 6 0 1 4, 2 0 0
c) 3,21 3 0,9 3 1,07 5 = 2,889 3 1,07 = = 3,09123 3, 2 1 3 0, 9 2, 8 8 9
2, 8 8 9 3 1, 0 7 20223 12 8 8 9 0 0 3, 0 9 1 2 3
d) 1,7 3 3 3 5,29 5 5 5,1 3 5,29 5 5 26,979 1, 7 33 5, 1
5, 2 9 3 5, 1 529 12 6 4 5 0 2 6, 9 7 9
5. A 5 257 3 0,006 e B 5 3 3 1,025 A 1 B 5 (257 3 0,006) 1 (3 3 1,025)
52
1, 5 4 2 13, 0 7 5 4, 6 1 7
6.
9,9 3 5,5 495 14 9 5 0 54,4 5
1 4, 2 3 0, 4 5,6 8
1, 0 2 5 33 3, 0 7 5
6, 0 0 21, 0 7 4, 9 3
4, 9 3 33, 1 493 11 4 7 9 0 1 5, 2 8 3
7. 4 3 22,6 1 8 3 13,8 5 5 90,4 + 110,9 5 5 200,8 200,8 cm 2 2, 6 34 9 0, 4
1 3, 8 38 1 1 0, 4
1
1 1 0, 4 9 0, 4 2 0 0, 8
8. 3,8 × 31 5 5 117,8 117,8 h 3, 8 33 1 38 11 1 4 0 1 1 7, 8 9. 12 3 (199 3 3,3 2 651) 5 5 12 3 (656,7 2 651) 5 5 12 3 5,7 5 5 68,4 68,4 anos 199 3 3, 3 597 1 5 9 7 0 6 5 6, 7 10. a) b) c) d) e)
6 5 6, 7 2 6 5 1, 0 5, 7
5, 7 31 2 114 15 7 0 6 8, 4
Estimativa: 30; valor exato: 30,6. Estimativa: 150; valor exato: 148,5. Estimativa: 63; valor exato: 63,9. Estimativa: 56; valor exato: 55,3. Estimativa: 72; valor exato: 73,08.
Brasil real, páginas 242 a 244. 1. a) Verdadeira, pois: 3,5 3 145,4 5 508,9 . . 509 1 4 5, 4 3, 5 7270 4 3 6 2 0 5 0 8, 9 0
b) (138,1 3 4) 2 509 5 5 552,4 2 509 5 43,4 43,4 m 5 5 2, 4 2 5 0 9, 0 4 3, 4
d) 5 006 ; 1 000 5 5,006 É o mesmo que multiplicar por 0,001. A vírgula é deslocada três casas para a esquerda. e) 5,7 ; 10 5 0,57
c) 160 1 138,1 5 298,1 2 3 140,8 5 281,6 298,1 281,6 1 6 0, 0 1 1 3 8, 1 2 9 8, 1
b) 502 ; 100 5 5,02 É o mesmo que multiplicar por 0,01. A vírgula é deslocada duas casas para a esquerda. c) 37 ; 10 5 3,7 É o mesmo que multiplicar por 0,1. A vírgula é deslocada uma casa para a esquerda.
3
1 3 8, 1 34 5 5 2, 4
f) 106,2 ; 100 5 1,062 2. De 6,1 para 0,61 a vírgula foi deslocada uma casa para a esquerda. É o mesmo que multiplicar por 0,1 ou dividir por 10.
1 4 0, 8 32 2 8 1, 6
d) Resposta em aberto. 2. a) b) 3. a)
b) c)
3. C D U d 1 2 4 ,1 1 7 312 + 304 + 287 903 Consumo médio 5 = = 301 → 301 0 5 1 7 , 3 7,3 litros 3 3 5 301 301 kWh 0 U d Meta de consumo 5 consumo médio 3 0,8 Meta de consumo 5 301 3 0,8 5 240,8 240,8 kWh 3 100 4. 140,40 ; 2,16 5 14 040 ; 216 5 3 100 5 65 4,8 1 70,0 1 16,2 1 12,0 1 120 1 45 1 1 6,0 1 1,1 1 7,0 1 13,5 5 DM UM C D U 5 295,6 295,6 kWh 1 4 0 4 0 2 1 6 295,6 3 0,40 5 118,24 R$ 118,24 1 0 8 0 6 5 65 dólares Redução do consumo: 0 D U 295,6 3 20% 5 20 5 295,6 3 5 5. 162,80 ; 2,96 5 55 55 litros 100 5 295,6 3 0,20 5 DM UM C D U 1 6 2 8 0 2 9 6 5 59,12 → 59,12 kWh 1 4 8 0 5 5 Economia em reais: 0 D U 59,12 3 0,40 5 23,648 23,65 R$ 23,65
36 – Divisão com números decimais
[
[
Exercícios, páginas 249 e 250. 1 1. a) 63, 5 ; 10 5 63, 5 3 5 63, 5 3 0,1 5 6, 35 10
1 5 0,1 10
6. N 3 3,5 5 91 N 5 91 ; 3,5 5 910 ; 35 5 26 N 5 26 9 1 0 3 5 2 1 0 2 6 0
53
7. 62,1 ; 27 5 2,3
f ) 171,6 ; 26 5 6,6
C DU d 2 7 0 6 2 1 8 1 0 2,3 0 U d
UM C D U d 2 6 0 1 7 1 6 1 5 6 0 6,6 0 U d
8. A 5 (17,25 2 8,47) ; 2 A 5 8,78 ; 2 A 5 4,39 2
1 7,2 5 8,4 7 8,7 8
11. 1468,32 ; 552 5 2,66 R$ 2,66 CM DM UM 1 4 6 3 6 3
C DU d c 2 0 0 8 7 8 7 8 0 4,3 9 1 8 0 0 U d c 0
D 3 3 1
U d c 5 5 2 0 0 2 2 0 2,6 6 2 0 0 U d c 0
12. 897 ; 78 5 11,5
9. a) 37 ; 100 5 0,37 0,37 metro b) 1,50 ; 100 5 0,015 0,015 metro
C DU d 78 8 9 7 1 1 7 1 1,5 3 9 0 DU d 0
10. a) 10,6 ; 2 5 5,3 C DU d 2 0 1 0 6 6 0 5,3 0 U d
13. a) 70,8 ; 0,6 5 118 C DU 6 7 0 8 1 0 118 4 8 0
b) 7,25 ; 5 5 1,45 C DU d c 5 0 0 7 2 5 2 2 5 0 1,4 5 2 5 0 0 U d c 0
DU d c 3 0 0 3 6 3 6 0 0,1 2 6 0 0 U d c 0 d) 14,4 ; 12 5 1,2 C DU d 1 2 0 1 4 4 2 4 0 1,2 0 U d e) 30,6 ; 20 5 1,53 C DU d c 2 0 0 3 0 6 1 0 6 0 1,5 3 6 0 0 U d c 0
d) 21,4 ; 2,14 5 10 UM C D U 2 1 4 0 214 0 0 10
b) 5 ; 0,8 5 6,25 DU d c 8 5 0 2 0 6,2 5 4 0 U dc 0
c) 0,36 ; 3 5 0,12
54
C 8 4 3
e) 0,14 ; 2,8 5 0,05 DU d c 1 4 0 0 280 0 0,0 5 U dc
c) 13 ; 5,2 5 2,5
f) 5,12 ; 0,064 5 80
C DU d 52 1 3 0 2 6 0 2,5 0 U d
UM C D U 5 1 2 0 64 0 0 80
14. a) (1,2 1 4,8) ; 0,24 5 5 6,0 ; 0,24 5 25 1
1, 2 1 4, 8 6, 0
6 0 0 24 1 2 0 25 0
b) 24,8 ; 4 1 45,5 ; 5 5 5 6,2 1 9,1 5 15,3 2 4 8 0 8 0 0
40 6,2
Exercícios, página 251. 4 5 5 0 50 0
1.
50 9,1
6 a) 7 3 1 3 1 2,1 6 1 0 4 0 4
6, 2 1 9, 1 1 5, 3
b) 2 9 1 0 3
c) (0,05 ; 0,005) ; 0,5 5 5 10 ; 0,5 5 20 5 10
5 0 0 0
1 0 0 5 0 0 20
7 c) 1 1 4 0 1, 5 7 1 5 0 1 0 3
d) (2 3 1,1 1 3,83) ; 0,9 5 5 (2,2 1 3,83) ; 0,9 5 5 6,03 ; 0,9 5 6,7 1, 1 32 2, 2
1 3, 8 3 + 2, 2 0 6, 0 3
6 0 3 6 3 0 0
90 6,7
33 d) 1 0 0 1 0 0 0, 3 0 3 1
15. 512 ; 1,6 5 320 320 milhas 5 1 2 0 3 2 0 0
e) 1,3 ; 0,6 5 13 ; 6
16 320
6 1 3 1 0 2,1 4
16. D 5 (0,012 1 1,5) ; 1,68 D 5 1,512 ; 1,68 D 5 0,9 0, 0 1 2 11, 5 0 0 1, 5 1 2
15120 1680 0 0, 9
2.
0, 9 33 2, 7
Logo: 3 3 D 5 3 3 0,9 5 2,7 17. 9,9 ; 0,55 5 18 18 metros 9 9 0 4 4 0 0 0
55 18
18. a) 15,7 ; 3,14 5 5 1 5 7 0 0
7 4,1
314 5
b) Em cada oscilação completa, o pêndulo passa pelo observador duas vezes; logo, neste intervalo, ele vê o pêndulo passar 10 vezes.
7 a) 2 6 5 0 3,7 1 1 0 3 b) 67,2 ; 13 5 672 ; 130 1 3 0 6 7 2 2 2 0 5,1 6 9 0 0 1 2 0 11 c) 7 2 6 0 6, 5 4 5 0 6 d) 8,7 ; 2,3 5 87 ; 23 2 3 8 7 1 8 0 3,7 8 1 9 0 4
55
37 – Os números decimais e o cálculo de porcentagens
1,20 3 2 500 5 3 000,00 5 3 000 2500 1, 2 0 50000 12 5 0 0 0 0 3 0 0 0, 0 0 3
Exercícios, páginas 252 e 253. 1.
3 3 5 0, 03, então 3% 5 e 100 100 5 0,03 16 16 5 0,16, então 16% 5 b) 16% 5 e 100 100 5 0,16 21 21 c) 21% 5 e 5 0, 21, então 21% 5 100 100 5 0,21 a) 3% 5
42 42 5 0, 42, então 42% 5 d) 42% 5 e 100 100 5 0,42 55 55 5 0, 55, então 55% 5 e) 55% 5 e 100 100 5 0,55 150 150 f) 150% 5 e 5 1, 50, então 150% 100 100 5 1,50
4. 35% de 1 020 telhas 1 020 3 0,35 5 357 357 telhas 1020 0, 3 5 5100 13 0 6 0 0 3 5 7, 0 0 3
5. a) 85% de 16,8 metros quadrados 16,8 3 0,85 5 14,280 5 14,28 metros quadrados 1 6, 8 0, 8 5 840 11 3 4 4 0 1 4, 2 8 0 3
2. Custo atual: 980,00 1 15% de 980,00 150 15% 5 5 0,15 100 15% de R$ 980,00 é o mesmo que 980,00 3 0,15:
b) 16,8 2 14,28 5 2,52 2,52 metros quadrados 1 6, 8 0 2 1 4, 2 8 2, 5 2
980,00 3 0,15 5 147,0000 5 147,00 9 8 0, 0 0 0, 1 5 490000 1 980000 1 4 7, 0 0 0 0 3
9 8 0, 0 0 1 1 4 7, 0 0 1 1 2 7, 0 0 Custo atual: 980,00 1 147,00 5 1 127,00 R$ 1 127,00 3.
6. 8% 5
40% 5
40 5 0, 40 100
8% de 40% 5 0,08 3 0,40 5 0,032 0,0 8 3 0,4 0 0, 0 3 2 0 7. (3% de 250) 1 (7% de 150) 2 (4% de 90) 5 5 (0,03 3 250) 1 (0,07 3 150) 2 (0,04 3 90) 5 5 7,5 1 10,5 2 3,6 5 18,0 2 3,6 5 14,4 8.
a) 51% de 3 340 é o mesmo que 0,51 3 3 340:
a) 88 100% x 35%
0,51 3 3 340 5 1 703,40 5 1 703,4 3340 3 0, 5 1 3340 11 6 7 0 0 0 1 7 0 3, 4 0 b) 120% de 2 500 é o mesmo que 1,20 3 2 500:
56
8 5 0, 08 100
88 100 88 ⋅ 35 5 → x5 → x 35 100
x 5 30,80 R$ 30,80
b) uma calça R$ 88,00 2 R$ 30,80 5 5 R$ 57,20
duas calças 2 3 R$ 57,20 5 5 R$ 114,40
38 – Potenciação de números decimais Exercícios, página 253. 1. a) (3,7)2 3,7 3,7 13,69 b) (0,6)3 0,6 0,6 0,6 0,216
1 290 692,5 0,073 94 220,552 94 220,552 quilômetros quadrados, aproximadamente c) 1 290 692,5 94 220,552 1 196 472 1 196 472 quilômetros quadrados, aproximadamente d) Espírito Santo, Paraná, Rio de Janeiro e Santa Catarina.
c) (2,5)2 2,5 2,5 6,25 e) (2,4) 1 0
f) (4,1)2 4,1 4,1 16,81 g) (1,5)3 1,5 1,5 1,5 3,375 h) (3,02)1 3,02 2. (0,4)3 0,064 1 0,064 0,936 Falta 0,936.
Retomando o que aprendeu, páginas 255 e 256. 1. Alternativa c. Espaço ocupado pelas 16 pessoas: 16 0,30 4,8 Espaço entre as 16 pessoas: 1a 2a 3a 15a
16a
...
Editoria de arte
d) (0,3)4 0,3 0,3 0,3 0,3 0,0081
3. a) (1,2)2 (0,9)2 1,44 0,81 2,25 b) (1,2 0,9)2 (2,1)2 2,1 2,1 4,41 5 0, 05 e (0,05)2 0,05 0,05 100 0,0025
4. 5%
5. x (0,6)2 (0,8)2 x 3,6 6,4 1,0 1 6. a 4 (0,4) a 4 0,16 25 2
b 0,4 42 b 0,4 16 6,4 Logo, a b. 7. (0,8 0,15 0,3)3 5,4 (0,5)2 (0,8 0,5)3 5,4 0,25 (0,3)3 5,4 0,25 0,027 5,4 0,25 0,005 0,25 0,255
Brasil real, página 254. a) 11% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados 1 290 692,5 0,11 141 976,17 141 976,17 quilômetros quadrados b) 7,3% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados
1
2
15
15 0,55 8,25 Comprimento da fila: 4,8 8,25 13,05 13,05 m 2. Alternativa b. 52 3 (4,1 1,8) 52 3 2,3 52 6,9 45,1 3. Alternativa c. 5,00 (3 0,20 1,50) 5,00 (0,60 1,50) 5,00 2,10 2,90 R$ 2,90 4. Alternativa e. Pessoas com curso universitário completo: 75% de 320; logo, 0,75 320 0,75 320 240 240 pessoas Total de pessoas do grupo: 320 Pessoas sem curso universitário completo: 320 240 80 80 pessoas 5. Alternativa a. Quantidade de vinho na pipa: 63 0,7 44,1 44,1 litros Quantidade de garrafas de 0,9 litro que a pipa pode encher: 44,1 0,9 49 49 garrafas
57
6. 1 dólar vale R$ 2,85, 1 500 dólares valem: 1 500 3 2,85 5 4 275 R$ 4 275,00 7. Em um quilômetro lança 27,7 gramas, em 8 quilômetros lança: 8 3 27,7 5 221,6 221,6 gramas 8. Alternativa a. ; 4
40
; 4
10
;4
2,5
?
? 5 2,5 ; 4 ? 5 0,625
1 m 5 100 cm; logo, 48,6 m é 48,6 3 100 5 5 4 860 4 860 cm Total de pedaços de fita medindo 18 cm: 4 860 ; 18 5 270 270 pedaços 16. Alternativa b. Comprimento da estrada de A a B: 103,2 quilômetros Comprimento da estrada de B a C: 3 3 de 103,2 3 103,2 4 4
9. Valdir andou 41,04 quilômetros. Irmão de Valdir andou a terça parte de 41,04 quilômetros: 41,04 ; 3 5 13,68 13,68 quilômetros 10. Preço do litro de suco de laranja na indústria A: 1,80 ; 1,50 5 1,20 R$ 1,20 o litro Preço do litro de suco de laranja na indústria B: 1,20 ; 0,80 5 1,50 R$ 1,50 o litro Como 1,20 1,50, a indústria A vende o suco mais barato.
3 25
3 75 5 5 0, 75, logo: Sendo 4 100 3 25
3 3 103, 2 5 0, 75 3 103, 2 5 77, 4 4 77,4 quilômetros Comprimento da estrada de A a C: 103,2 + 77,4 5 180,6 180,6 quilômetros 17. Expectativa de vida: (3,5 3 416 2 715) ; 10 5 (1 456 2 715) ; 10 5 5 741 ; 10 5 74,1 74,1 anos 18.
12. Alternativa a. 37,8 2 0,5 5 37,3 37,3 graus 13. Alternativa d. 1o número decimal (9 ; 2 1 4 3 1,25) 5 (4,5 1 5,0) 5 9,5 2o número decimal: (2 3 1,05 2 6,4 ; 4) 5 5 (2,10 2 1,6) 5 0,5 Produto desses dois números: 9,5 3 0,5 5 4,75 14. Alternativa b. 1320 ; 40 5 1320 3
3 25
1 , mas 40
1 25 25 1 5 5 3 40 1 000 100 10 3 25 0,25 0,1 Logo: 1 320 ; 40 5 1 320 3 0,25 3 0,1. 15. Alternativa b. Total de metros de fita: 4,86 3 10 5 48,6 48,6 m Total de centímetros de fita:
58
Editoria de arte
11. Alternativa b. 185,8 2 176,9 5 8,9 8,9 milhões
1a árvore
2a árvore
1a distância
3a árvore ...
2a distância
10a 11a árvore árvore 10a distância
105 ; 10 5 10,5 10,5 metros 19. Alternativa c. Preço da passagem em janeiro de 2009: R$ 1,50 Reajuste da passagem em janeiro de 2010: 20 20% de R$ 1,50 3 1, 50 100 20 3 1, 50 5 0, 20 3 1, 50 5 0, 30 100 Preço da passagem em janeiro de 2010: 1,50 1 0,30 5 1,80 R$ 1,80 Desconto para estudante: 10 3 1, 80 10% de R$ 1,80 100 10 3 1, 80 5 0,10 3 1, 80 5 0,18 100 Preço da passagem para estudante em janeiro de 2010: 1,80 2 0,18 5 1,62 R$ 1,62
Medindo comprimentos e superfícies 39 – Unidades de medida de comprimento Explorando, páginas 258 e 259. 1. Resposta pessoal. 2. Mariana, porque encontrou a menor quantidade de palmos. 3. Marcos, porque encontrou o menor valor em pedaços de barbante. Exercícios, página 262. 1. a) km
b) m
c) mm
d) cm
2. Distância em que se originou o relâmpago: 340 3 5 5 1 700 R 1 700 metros 3. Distância entre as duas cidades: 74 milhas Valor de uma milha: 1,609 km, aproximadamente Distância entre as duas cidades, em quilômetros: 74 3 1,609 5 119,066 R 119,066 km, aproximadamente 4. Comprimento do meu passo: 56 cm Comprimento do meu pé: 24 cm Comprimento do móvel: 1 passo e 2 pés Comprimento do móvel em centímetros: 56 1 2 3 24 5 56 1 48 5 104 R 104 cm 5. Distância do ponto A ao ponto B: 84,5 km Distância do ponto B ao ponto C: 3 3 84,5 5 253,5 R 253,5 km 6. a) Maior: Júpiter, com 143 000 km; menor: Mercúrio, com 4 860 km. b) 12 756 km c) 12756 . 1, 8 6800 d) 365 − 122 5 243 R 243 dias Desafio!, página 263. Alternativa b. Reginaldo: 600 metros Lúcia: 700 metros
40 – Transformação das unidades de medida de comprimento Exercícios, páginas 265 e 266. 1. Alternativa b. 43,2 R 43,2 3 100 5 4 320 R 4 320 cm 4 320 ; 24 5 180 R 180 lacinhos 2. Comprimento da sala: 5 400 mm Se 1 mm 5 0,001 m, então: 5 400 3 0,001 5 5,4 R 5,4 m Se 1 mm 5 0,000001 km, então: 5 400 3 0,000001 5 0,0054 R 0,0054 km A unidade de medida mais conveniente para medir a sala é o metro. 18 3. 18 mm 5 (18 ; 10) cm 5 cm 5 10 5 (18 3 0,1) cm 5 1,8 cm 4. Meu passo corresponde a 56 cm. Meu pé corresponde a 25 cm. Comprimento do terreno: 18 passos e 2 pés 18 3 56 1 2 3 25 5 1 008 1 50 5 1 058 R R 1 058 cm 1 058 m5 1 058 cm 5 (1 058 ; 100) m 5 100 5 (1 058 3 0,01) m 5 10,58 m 5. a)
1 5 m5 m 5 0,5 m 5 (0,5 3 100) cm 5 2 10 5 50 cm
2 4 m5 m 5 0,4 m 5 (0,4 3 100) cm 5 5 10 5 40 cm 9 225 c) km 5 km 5 2,25 km 5 4 100 5 (2,25 3 1 000) m 5 2 250 m b)
d)
18 360 m5 m 5 3,60 m 5 (3,60 ; 1 000) km 5 5 100 5 (3,60 3 0,001) km 5 0,0036 km
6. 1 polegada 5 25 mm 1 polegada 5 5 polegada 10 2 5 mm 5 (25 3 0,5) mm 5 25 mm 5 25 3 10 5 12,5 mm Sendo 1 mm 5 0,1 cm, então: 12,5 mm 5 (12,5 3 0,1) cm 5 1,25 cm
( )
59
7. 1 milha 5 1 609 m Se 1 m 5 0,001 km, então: 1 milha 5 (1 609 3 0,001) km 5 1,609 km 85 milhas 5 (85 3 1,609) km 5 136,765 km 8. 64 m correspondem a 6 400 cm Para ter 20 retalhos, cada um deve medir: 6 400 ; 20 5 320 R 320 cm 9. 10 km correspondem a 10 000 m Logo: 10 000 1 150 5 10 150 R 10 150 m
17. Alternativa c. 1 m corresponde a 100 m, logo 4 m correspondem a: 4 3 100 5 400 R 400 m
41 – Perímetro de um polígono Explorando, página 266.
10. Comprimento da tábua: 3,10 m Uma das partes tem 98 cm de comprimento, correspondendo a 0,98 m. Restam: 3,10 − 0,98 5 2,12 R 2,12 m As duas outras partes têm o mesmo comprimento, logo cada uma mede: 2,12 ; 2 5 1,06 R 1,06 m
1. frente: 35 m; fundo: 22 m metragem do fio: 35 1 22 1 35 1 22 5 5 114 R 114 m
11. Os 385 metros foram medidos com 97 cm, o que corresponde a 0,97 m, logo há 0,03 m de tecido a menos em cada metro vendido. Então: 385 3 0,03 5 11,55 R 11,55 m de tecido a menos
3. 30 1 40 1 50 5 120 R 120 m
12. a) Se cada centímetro corresponde a 10,5 km, então a distância real entre as duas cidades é: 10,5 3 15 5 157,5 R 157,5 km b) 68 250 m correspondem a 68,250 km, logo a distância desta cidade ao mar, no mapa, é: 68,250 ; 10,5 5 6,5 R 6,5 cm 13. Respostas em aberto. 14. Respostas em aberto. 15. Alternativa a. Dois armários de 1,60 m de comprimento ocupam: 1,60 3 2 5 3,20 R 3,20 m Comprimento da parede: 5 m Espaço livre: 5 − 3,20 5 1,80 R 1,80 m Comprimento da estante: 1 m 1,80 − 1 5 0,80 R 0,80 m (sobra) 16. Alternativa b. Percorreu no Brasil: 12,5 km Percorreu na Inglaterra: 9 milhas Uma milha corresponde a 1 600 m, e 1 600 m correspondem a 1,6 km, então na Inglaterra percorreu: 9 3 1,6 5 14,4 R 14,4 km Comparando o que percorreu nos dois países, temos:
60
12,5 , 14,4 e 14,4 − 12,5 5 1,9 R 1,9 km a mais
2. frente: 30 m; fundo: 30 m metragem do fio de arame: 30 3 4 5 5 120 R 120 m
Exercícios, páginas 267 e 268. 1. a) 3 1 4,1 1 1,5 1 3,8 5 12,4 R 12,4 cm b) triângulo equilátero R três lados de mesma medida 2,9 3 3 5 8,7 R 8,7 cm c) Reduzindo todas as unidades a cm, temos: 0,3 dm corresponde a 3 cm 12 mm correspondem a 1,2 cm 25 mm correspondem a 2,5 cm 3 1 3,6 1 1,2 1 3,1 1 2,5 5 13,4 R 13,4 cm 2. medida do comprimento: 10,2 cm medida da largura: metade do comprimento 10,2 ; 2 5 5,1 R 5,1 cm perímetro do retângulo: 10,2 1 5,1 1 10,2 1 5,1 5 30,6 R 30,6 cm 3. lajota hexagonal: 6 lados medindo 65 cm 65 cm correspondem a 0,65 m perímetro da lajota: 6 3 0,65 5 3,90 R 3,90 m 4. medida do comprimento: 12 m 1 do comprimento medida da largura: 3 1 12 3 5 4 R 4 m 3 extensão do muro: 12 3 2 1 4 3 2 5 24 1 8 5 32 R 32 m 5. Se a medida dos lados são três números consecutivos, e o menor é 5, então os outros dois são 5 1 1 e 5 1 1 1 1, isto é, 6 e 7; logo, o perímetro deste triângulo é: 5 1 6 1 7 5 18 R 18 cm
6.
Brasil real, página 269 e 270. a) O perímetro do retângulo e o do quadrado são iguais, então esse perímetro é: 7,2 3 2 1 10,6 3 2 5 14,4 1 21,2 5 35,6 R R 35,6 cm b) Tendo o quadrado quatro lados de mesma medida, o lado do quadrado mede: 35,6 ; 4 5 8,9 R 8,9 cm
1. a) 1 km corresponde a 1 000 m, logo 30 223 km correspondem a 30 223 000 m. 22 069 km correspondem a 22 069 000 m. 14 500 km correspondem a 14 500 000 m. 1 916 km correspondem a 1 916 000 m. b) São 30 223 km de linhas de tráfego, sendo 1 916 km de linhas eletrificadas, logo: 30 223 2 1 916 5 28 307 R 28 307 km são linhas de trens movidos a diesel. c) 30 223 km de linhas de tráfego 14 500 km de linhas estão em São Paulo, Minas Gerais e Rio Grande do Sul Logo: 30 223 2 14 500 5 15 723 R R 15 723 km não pertencem às três cidades acima citadas.
7. a) b) 8.
medida do lado da praça: 24,5 m perímetro da praça: 24,5 3 4 5 98,0 R 98 m 4 voltas ao redor da praça: 98 3 4 5 392 R 392 m medida do comprimento do pé de Ana: 0,8 m número de passos dados: 392 ; 0,8 5 490 R 490 passos
2. a) Se 1 m corresponde a 0,001 km, então 8 836 m correspondem a 8,836 km. b) Se a extensão total da ponte é 13 290 m e 8 836 m estão sobre o mar: 13 290 2 8 836 5 4 454 R 4 454 m estão sobre a terra. Como 1 m corresponde a 0,001 km, a extensão da ponte sobre a Terra é 4,454 km. c) largura total da ponte: 26,60 m Como 1 m corresponde a 100 cm, a largura da ponte, em cm, é 2 660 cm.
perímetro do quadrado: 20 cm medida do lado do quadrado: 20 ; 4 5 5 R 5 cm Este triângulo equilátero tem como medida de lado a mesma medida do lado do quadrado, então seu perímetro é: 3 3 5 5 15 R 15 cm
9. Total de metros de arame: 70 a) terreno quadrado de 17,2 m de lado perímetro do terreno: 17,2 3 4 5 68,8 R 68,8 m (sim) b) terreno retangular com 24,5 m de comprimento e 11,8 m de largura perímetro do terreno: 2 3 24,5 1 2 3 11,8 5 49 1 23,6 5 5 72,6 R 72,6 m (não) 10. Alternativa d. perímetro da folha retangular: 40 cm medida de um lado: 4 cm soma das medidas de outros lados: 40 2 4 2 4 5 32 R 32 cm dois lados de mesma medida: 32 ; 2 5 16 R 16 cm medidas dos outros lados: 16 cm, 4 cm e 16 cm 11. Alternativa d. medida do lado do quadradinho 5 1 cm figura X tem 20 lados: seu perímetro é 20 3 1 5 20 R 20 cm figura Y tem 18 lados: seu perímetro é 18 3 1 5 18 R 18 cm figura Z tem 32 lados: seu perímetro é 32 3 1 5 32 R 32 cm
3. a) Rio Amazonas: 6 868 km que correspondem a 6 868 000 m. rio Nilo: 6 695 km que correspondem a 6 695 000 m. 6 868 000 2 6 695 000 5 173 000 R R 173 000 m a mais b) 6 868 ; 65 . 105,66 c) Se 20 km correspondem a 1 cm, então 65 km correspondem a: 65 ; 20 5 3,25 R 3,25 cm 4. a) 1 m corresponde a 0,001 km, então 250 000 m correspondem a 250 km b) o quilômetro 5. a) b) c) d)
Londres e Nova Iorque; 400 km São Paulo; 60 km 450 km linha de Paris: 200 km linha de Chicago: 150 km 200 2 150 5 50 R 50 km
61
42 – U nidades de medida de superfície
7.
1. 61
a) 7 km2 correspondem a 7 000 000 m2. 7 000 000 m2 correspondem a 700 ha. 60% de 700 ha ⇒ 60 ⇒ 3 700 5 0, 6 3 700 5 420 ha 100
2. 69
b) 700 2 420 5 280 R 280 ha
Explorando, página 271.
Desafio!, página 271.
Resposta em aberto. Exercícios, página 272.
1. Alternativa c.
Brasil real, páginas 275 e 276. 1. 3 488 – 1 300 = 2 188 O crescimento foi de 2 188 kg/ha. 2. a) Minas Gerais b) Amapá c) estado de maior área (Minas Gerais): 1 888 922 ha estado de menor área (Amapá): 87 581 ha 1 888 922 2 87 581 5 1 801 341 R R 1 801 341 ha 1 801 341 ha correspondem a 18 013 410 000 m2.
2. Alternativa b. 3. A figura possui 22 quadrados. Como a área de cada um corresponde a 1 cm2, logo a área da figura é 22 cm2. Exercícios, página 274. 1. a) 1 dm2 corresponde a 0,01 m2, logo 21 dm2 correspondem a 0,21 m2. b) 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2, logo 1 250 cm2 correspondem a 0,125 m2. c) 1 km2 corresponde a 1 000 000 m2. d) 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, logo 0,72 hm2 corresponde a 7 200 m2.
3. a) 225 000 ; 2,5 5 90 000 R R$ 90 000,00 b) Em São Paulo, 1 alqueire corresponde a 2,42 ha. 2,5 alqueires correspondem a 2,5 3 2,42 5 6,05 R 6,05 ha. c) Na Bahia, 1 alqueire corresponde a 96 800 m2. 2,5 alqueires correspondem a: 2,5 3 96 800 5 242 000 R 242 000 m2
2. 1 dm2 corresponde a 0,01 m2. 3. 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, que representa a área de um quadrado de 100 m de lado: 100 3 100 5 10 000 R 10 000 m2 4. 1,3 km2 corresponde a 1 300 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 103 ha correspondem a 1 030 000 m2. Então: 1,3 km2 103 ha 5. 1 600 cm2 correspondem a 0,16 m2. 100 caixas com 2 dúzias de piso: 100 3 24 5 2 400 R 2 400 pisos 2 400 3 0,16 5 384 R 384 m2 de piso 6. 10 000 m2 correspondem a 1 ha. 70 000 m2 correspondem a 7 ha. 1 ha é ocupado por 20 bois. 7 ha: 7 3 20 5 140 R 140 bois
62
4. a) b) c) d)
Na região Norte. 160 alqueires por R$ 595,00 o alqueire 595 3 160 5 95 200 R R$ 95 200,00 1 alqueire corresponde a 27 225 m2 160 alqueires correspondem a: 160 3 27 225 5 4 356 000 R 4 356 000 m2 1 alqueire corresponde a 2,7225 ha 160 alqueires correspondem a 435,6 ha 435,6 ha para 20 trabalhadores dá: 435,6 ; 20 5 27,78 R 21,78 ha para cada um
5. 1 alqueire corresponde a 48 400 m2. 3,5 alqueires correspondem a: 3,5 3 48 400 5 169 400 R 169 400 m2 6. 4,84 ha correspondem a 1 alqueire. 31,46 ha correspondem a: 31,46 ; 4,84 5 6,5 R 6,5 alqueires
7. a)
5 822 km2 correspondem a 5 822 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2. 5 822 000 000 m2 correspondem a: 5 822 000 000 ; 10 000 5 582 200 R R 582 200 ha b) 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 582 200 ha correspondem a: 582 200 ; 4,84 5 120 289,25 R R 120 289,25 alqueires 8. a) b)
1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2. 38 000 ha correspondem a: 38 000 3 0,01 5 380 R 380 km2 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 38 000 ha correspondem a: 38 000 ; 4,84 . 7 851,24 R R 7 851,24 alqueires, aproximadamente
43 – Áreas das figuras geométricas planas Explorando, página 277. a) b) c) d)
Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Exercícios, páginas 282 e 283.
1. a) b) c)
medida do lado: 8 cm área: 8 3 8 5 64 R 64 cm2 medida da base: 12 cm medida da altura: 6 cm área: 12 3 6 5 72 R 72 cm2 medida da base menor: 4 cm medida da base maior: 6 cm medida da altura: 3 cm (6 1 4) 3 3 5 área: 2 10 3 3 5 5 15 R 15 cm2 2 d) medida da base menor: 5 cm medida da base maior: 7 cm medida da altura: 4 cm (7 1 5) 3 4 5 área: 2 12 3 4 5 24 R 24 cm2 5 2
2. medida da base: 8 cm medida da altura: 5,2 cm 8 3 5, 2 área: 5 2 41, 6 5 5 20, 8 R 20,8 cm2 2 3. medida da base: 10 cm 1 de 10 cm medida da altura: 2 1 3 10 5 5 R 5 cm 2 área: 10 3 5 5 50 R 50 cm2 4. medida da base: 18 cm 2 de 18 cm medida da altura: 3 2 3 18 5 12 R 12 cm 3 18 312 5 108 R 108 cm2 área: 2 5. a) medida do lado: 15 cm área: 15 3 15 5 225 R 225 cm2 b) 45 m2 correspondem a 450 000 cm2 450 000 ; 225 5 2 000 R 2 000 pisos 6. medida da base: 25 cm medida da altura: 16 cm 25 3 16 área: 5 200 R 200 cm2 2 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2 200 cm2 correspondem a: 200 3 0,0001 5 0,02 R 0,02 m2 80 peças de 0,02 m2 de área cada uma: 80 3 0,02 5 1,6 R 1,6 m2 7. medida do comprimento: 8 m medida da altura: 2,75 m área: 8 3 2,75 5 22 R 22 m2 1 lata pinta 10 m2. 2 latas pintam 20 m2. Sobraram 2 m2, então é necessária uma 3a lata. 8.
a) b)
área da sala: 4,20 3 4,50 5 18,9 R 18,9 m2 área do corredor: 2,50 3 1,50 5 3,75 R 3,75 m2 área do 1o dormitório: 3 3 4,5 5 13,5 R R 13,5 m2 área do 2o dormitório: 4 3 4 5 16 R 16 m2 Carpete necessário: 18,9 1 3,75 1 13,5 1 16 5 52,15 R 52,15 m2 área do banheiro: 2,50 3 3 5 7,50 R 7,50 m2 área da cozinha: 4 3 4 5 16 R 16 m2 área da área de serviço: 1,70 3 4 5 5 6,80 R 6,80 m2 cerâmica necessária: 7,50 1 16 1 6,80 5 5 30,30 R 30,30 m2
63
Exercícios, páginas 284 e 285. 1.
12. área do telhado: 2 3 10 3 40 5 800 R 800 m2 Para cobrir 1 m2 usam-se 20 telhas. Para cobrir 800 m2: 800 3 20 5 1 600 R 1 600 telhas
A1: 4 3 3 5 12 R 12 cm2 A2: 2 3 5 5 10 R 10 cm2 Atotal 5 12 1 10 5 22 R 22 cm2
3 cm
A1
Editoria de arte
5 cm
b)
A2
2 cm 7 cm
A1: 5 3 3 5 15 R 15 cm2 332 A2: R 33cm cm22 53 → 2 Atotal 5 15 1 3 5 18 R 18 cm2
2.
1m
A1
A2
1m
A3
1m
5m
3m
1m
A1: 1 3 1 5 1 R 1 m2 A2: 1 3 5 5 5 R 5 m2 A3: 1 3 1 5 1 R 1 m2 Atotal 5 1 1 5 1 1 5 7 R 7 m2 3. Alternativa a. 5
4m 1m
m
A3
A2
a) cor-de-rosa: 3 u por 8 u; verde: 2 u por 12 u b) Não, o perímetro do retângulo cor-de-rosa é 22 u, e o do retângulo verde é 28 u. c) Ambos têm medida de área igual a 24 u2. d) Há várias soluções.
5 cm
2 cm
13.
64
A2
4m 4m
A1
4m
4m
2m
Editoria de arte
11. Alternativa b. área total: 17 3 24 3 2 1 5 3 24 3 2 1 17 3 5 3 2 5 5 816 1 240 1 170 5 1 226 R 1 226 cm2
A1
Editoria de arte
3 cm
9. área das paredes da frente e do fundo: 4 3 2,70 5 10,80 R 10,80 m2 área das paredes laterais: 3 3 2,70 5 5 8,10 R 8,10 m2 área total para revestir: 2 3 10,80 1 2 3 8,10 − (2 3 1,60 1 2) 5 5 21,60 1 16,20 − 5,20 5 5 37,80 − 5,20 5 32,60 R 32,60 m2 10. área das paredes da frente e do fundo: 8 3 4 5 32 R 32 m2 área das paredes laterais: 3 3 5 5 15 R 15 m2 área da porta: 1,5 3 2 5 3,0 R 3,0 m2 área da janela: 3 3 1 5 3 R 3 m2 área do teto: 8 3 5 5 40 R 40 m2 área a ser pintada: 2 3 32 1 2 3 15 1 40 − (3 1 3) 5 5 64 1 30 1 40 − 6 5 5 134 − 6 5 128 R 128 m2 1 lata pinta 40 m2. 2 latas pintam 80 m2. 3 latas pintam 120 m2. Sobram 8 m2, então é necessária mais uma lata R 4 latas
6 cm
a)
Editoria de arte
c) medida da frente: 4,20 1 2,50 1 3 5 5 9,70 R 9,70 m medida dos fundos: 4,50 1 4 5 8,50 R 8,50 m área do apartamento: 9,70 3 8,50 5 5 82,45 R 82,45 m2 preço do apartamento: 82,45 3 500 5 5 41 225 R R$ 41 225,00
A1: 4 3 4 5 16 R 16 m2 4 33 A2 ; 5 6 → 6 m2 2 A3 ; 4 3 3 5 12 R 12 m2 Atotal 5 16 1 6 1 12 5 34 R 34 m2 4. Alternativa c. perímetro da figura: 3 1 4 1 5 1 4 1 4 1 4 1 4 5 28 R 28 m largura da porta: 1 m rodapé: 28 2 1 5 27 R 27 m 5. Alternativa d.
m
20
m
20
16 m
16 m
Editoria de arte
10 m
34 m
6.
(34 1 10) 3 16 5 A; 2 44 3 16 5 5 352 → 352 m2 2 a) Aquadra: 18,29 3 36,57 5 668,8653 R R 669 m2, aproximadamente b) Ajogo: 10,97 3 23,77 5 260,7569 R R 261 m2, aproximadamente c) Tela: (17,07 3 2 1 34,77 3 2) 3 3 5 5 (34,14 1 69,54) 3 3 5 5 103,68 3 3 5 311,04 R 311,04 m2
7. área da quadra oficial: 20 3 12 5 240 R 240 m2 área do pátio da escola: 40 3 32 5 1 280 R 1 280 m2 área livre que restou no pátio: 1 280 2 240 5 1 040 R 1 040 m2 Brasil real, página 286. 1. a) b)
área do campo: 110 3 75 5 8 250 R 8 250 m2 placas de grama necessárias: 8 250 ; 3,5 . 2 357 R aproximadamente 2 357 placas de grama c) Sim. d) Resposta em aberto.
b) total de metros a percorrer: 305 909 total de quilômetros a percorrer: 305 909 metros correspondem a 305,909 quilômetros c) total de metros percorridos: 305 909 total de voltas dadas: 71 metros percorridos em cada volta: 305 909 ; 71 . 4 308,6 R 4 308,6 m, aproximadamente d) total de voltas a percorrer: 71 total de voltas dadas: 53 total de voltas que faltaram dar: 71 2 53 5 18 R 18 voltas metros percorridos aproximadamente em cada volta: 4 308,6 4 308,6 m correspondem a 4,3086 km quilômetros que faltavam para completar o circuito: 4,3086 3 18 . 77,55 R 77,55 km, aproximadamente Chegou a sua vez!, página 287. 1. 20 habitantes por quilômetro quadrado 2. densidade demográfica brasileira: 169799170 habi tan tes 5 19,94 5 8514215 km2 habitantes por quilômetro quadrado d5
3. 20 2 19,94 5 0,06 4. Resposta em aberto. Tratando a informação, página 288. a) no período 1994-1995 b) 18 758 – 14 039 = 4 719 Ocorreram 4 719 km2 a menos de desmatamento. c) Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de terras públicas e a exploração predatória de madeira. d) Mato Grosso e Pará. e) Resposta em aberto. Desafio!, página 289.
2. a)
ano de inauguração: 1960 ano da 1a corrida: 1978 tempo que levou para receber a 1a corrida: 1978 2 1960 5 18 R 18 anos
1. Todas têm a mesma área. 2. 16 3. 8
65
iguais. Então a distância entre cada telefone será: 612 ; 20 5 30,6 R 30,6 km
Retomando o que aprendeu, páginas 289 e 290. 1. Alternativa b. 1a hora: 512 m
5. Alternativa c. 2 km2 correspondem a 2 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 2 000 000 m2 correspondem a: 2 000 000 ; 10 000 5 200 R 200 ha
:2 2 hora: 256 m a
:2 3a hora: 128 m :2 4a hora: 64 m :2 5a hora: 32 m Distância percorrida: 512 1 256 1 128 1 64 1 32 5 992 R 992 m 2. Alternativa c. de comprimento: 85 cm correspondem a 0,85 m 5 mesas de largura: 60 cm correspondem a 0,60 m metros necessários para cada mesa: 2 3 0,85 1 2 3 0,60 5 5 1,70 1 1,20 5 2,90 R 2,90 m metros necessários para as 5 mesas: 5 3 2,90 5 14,50 R 14,50 m 6 mesas quadradas de lado 70 cm correspondem a 0,70 m necessários para cada mesa: 4 3 0,70 5 2,80 R 2,80 m metros necessários para as 6 mesas: 6 3 2,80 5 16,80 R 16,80 m total de metros necessários para todas as mesas: 14,50 1 16,80 5 31,30 R 31,30 m 3. Alternativa a. largura: 3,50 m; comprimento: 6,30 m contorno da sala: 2 3 3,50 1 2 3 6,30 5 5 7,0 1 12,6 5 19,6 R 19,6 m comprimento da peça de gesso: 70 cm que correspondem a 0,7 m. total de peças de gesso necessárias: 19,6 ; 0,7 5 28 R 28 peças
1
2
3
4
5
......................
19o telefone
......................
18o telefone
4o telefone
3o telefone
2o telefone
km 28
1o telefone
Editoria de arte
4. Alternativa d.
km 640
18 19 20
640 � 28 � 612 � 612 km
Para serem colocados os 19 telefones, é preciso dividir a distância acima calculada, de acordo com a figura, em 20 partes
66
6. área da cartolina: 75 3 30 5 2 250 R 2 250 cm2 área recortada da cartolina: 20 3 10 3 10 5 2 000 R 2 000 cm2 área restante: 2 250 2 2 000 5 250 R 250 cm2 7. Alternativa a. área reservada para o plantio de laranja: 3 3 600 5 450 → 450 ha 4 1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2, então 450 ha correspondem a: 450 3 0,01 5 4,5 R 4,5 km2 8. a) área da placa: 1 1 1 1 3 5 → m2 que corresponde a 0,25 m2 2 2 4 4 1 m2 de piso necessita: 1 ; 0,25 5 4 R 4 placas b) área a ser coberta: 55 m2 área da placa: 0,25 m2 quantidade de placas usadas: 55 ; 0,25 5 220 R 220 placas 9. Alternativa e. quantidade de pisos na caixa: 12 3 1,5 5 18 R 18 pisos área ocupada pelos pisos de uma caixa: 18 3 0,25 5 4,5 R 4,5 m2 área ocupada pelos pisos das 20 caixas: 20 3 4,5 5 90 R 90 m2 10. Alternativa b. área a ser gramada: 5 3 4200 5 3000 → 3000 m2 7 quantidade de placas necessárias: 3 000 ; 2 5 1 500 R 1 500 placas 11. Alternativa c. área da região A: 8 3 8 5 64 R 64 m2 área da região B: 4 3 4 5 16 R 16 m2 quantidade de vezes que a região A representa a região B: 64 ; 16 5 4 R 4 vezes
VOLUME E CAPACIDADE 44 – Medindo o espaço ocupado Explorando, página 293. Figura A: 42 Figura B: 210 Figura C: 24 Figura D: 12
45 – Volume do paralelepípedo retângulo Exercícios, página 296. 1. V 5 30 3 18 3 12 5 6 480 R 6 480 m3 2. V 5 2,5 3 2,5 3 2,5 5 (2,5)3 5 15,625 R R 15,625 m3 3. V 5 8 3 5 3 1,5 5 60 R 60 m3 4. Vcubo 5 4 3 4 3 4 5 64 R 64 m3 Vparalelepípedo 5 8 3 4 3 2 5 64 R 64 m3 Os volumes são iguais. 5. V 5 3,40 3 2,10 3 0,80 5 5,712 R 5,712 m3 6. V 5 0,20 3 0,10 3 0,05 5 0,001 R 0,001 m3
46 – Unidades de medida de volume Exercícios, página 297. 1. a) b)
1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 840 dm3 correspondem a: 840 3 0,001 5 0,840 R 0,840 m3 1 mm3 corresponde a 0,000 000 001 m3. 14 500 000 mm3 correspondem a: 14 500 000 3 0,000 000 001 5 0,0145 R R 0,0145 m3 c) 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 1 000 dm3 correspondem a: 1 000 3 0,001 5 1 R 1 m3 2. a) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 3,5 m3 correspondem a: 3,5 3 1 000 5 3 500 R 3 500 dm3 b) 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 1 250 3 correspondem a: 1 250 3 0,001 5 1,25 R 1,25 dm3
c) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 m3 corresponde a: 4 1 3 1 000 5 250 R 250 dm3 4 3. V 5 1 3 1 3 1 5 1 R 1 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 4. volume máximo de um bujão: 13,5 dm3 2 volume gasto: 3 13, 5 5 9, 0 → 9, 0 dm3 3 volume que resta: 13,5 2 9,0 5 4,5 R 4,5 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 4,5 dm3 correspondem a: 4,5 3 0,001 5 0,0045 R 0,0045 m3 5. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 golpe retira 100 dm3. 7 golpes retiram: 7 3 100 5 700 R 700 dm3 resta de ar após o 7o golpe: 1 000 2 700 5 300 R 300 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 300 dm3 correspondem a: 300 3 0,001 5 0,3 R 0,3 m3 Brasil real, página 298. 1. a) b) c)
97% de água salgada; resta 3% de água doce 1,36 bilhão 5 1,36 3 1 000 000 000 5 5 1 360 000 000 R 1 360 000 000 km3 volume de água do planeta: 3% 3 1 360 000 000 5 5 0,03 3 1 360 000 000 5 5 40 800 000 R 40 800 000 km3 volume de água doce do Brasil: 13,7% 3 40 800 000 5 0,137 3 40 800 000 5 5 5 589 600 R 5 589 600 km3 volume de água doce na bacia do Paraná: 7% 3 5 589 600 5 0,07 3 5 589 600 5 5 391 272 R 391 272 km3 d) volume de água doce no Brasil: 5 589 600 km3 volume de água doce em São Paulo: 89 434 km3 porcentagem de água doce brasileira em São Paulo:
67
89 434 ; 5 589 600 0,016 R aproximadamente, 1,6%
b) leitura do hidrômetro da esquerda: 1 088,9808 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 1 088,9808 m3 correspondem a 1 088 980,8 L. leitura do hidrômetro da direita: 79,6569 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 79,6569 m3 correspondem a 79 656,9 L. c) Resposta em aberto.
2. leitura do mês: 1 946 m3 leitura do mês seguinte: 2 018 m3 consumo: 2 018 2 1 946 5 72 R 72 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 72 m3 correspondem a 72 000 dm3.
47 – Unidades de medida de capacidade Exercícios, página 301. 1. V 5 10 3 7 3 2,5 5 175 R 175 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 175 m3 correspondem a 175 000 L.
2. desperdício de água em um dia: 1 600 L desperdício de água em 7 dias: 1 600 3 7 5 11 200 R 11 200 L desperdício de água em 30 dias: 1 600 3 30 5 48 000 R 48 000 L 3. a) ducha gasta: 135 L 1 chuveiro gasta da ducha: 3 1 3 135 5 45 → 45 L 3 b) Usando ducha, gastam-se: 30 3 135 5 4 050 R 4 050 L usando chuveiro, gastam-se: 30 3 45 5 1 350 R 1 350 L c) em 15 minutos, gastam-se: 45 L em 5 minutos, gastam-se: 15 L em 30 dias, economizam-se: 30 3 15 5 450 R 450 L
2. V 5 10 3 10 3 10 5 1 000 R 1 000 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 L. 1 000 cm3 correspondem a 1 L. 3. V 5 1,2 3 1,2 3 1,2 5 1,728 R 1,728 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 1,728 m3 corresponde a 1 728 L. gasto diário: 432 L dias necessários para esvaziar a caixa-d’água: 1 728 432 5 4 R 4 dias 4. a) 1,6 m corresponde a 16 dm. 50 cm correspondem a 5 dm. 45 cm correspondem a 4,5 dm. volume da banheira: 16 3 5 3 4,5 5 360 R 360 dm3 ou 360 L b) água para o banho: 16 3 5 3 3 5 240 R 240 dm3 ou 240 L c) R$ 1,50 o metro cúbico de água: 1 dm3 corresponde a 0,001 dm3. 240 dm3 correspondem a 0,240 m3. preço do banho: 1,50 3 0,240 5 0,36 R R R$ 0,36 5. Alternativa c. V 5 1,00 3 1,20 3 0,80 5 0,96 R 0,96 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,96 m3 corresponde a 960 dm3 ou 960 L. Brasil real, páginas 302 e 303. 1. a) Registro no hidrômetro: 98,6777 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 98,6777 m3 correspondem a 98 677,7 dm3 ou 98 677,7 L.
68
4. Com a torneira aberta, gastam-se de água: 12 L Com a torneira aberta apenas para molhar a escova e enxaguar a boca: 2 L economia de água: 10 L Em uma quinzena, com 4 escovações por dia, economizam-se: 15 3 4 3 10 5 600 R 600 L 5. gasto diário de uma torneira malfechada: 48 L desperdício em um mês: 48 3 30 5 1 440 R 1 440 L desperdício em uma hora: 48 ; 24 5 2 R 2 L 6.
1 de a) gasto de uma torneira aberta, 4 volta, por 15 minutos: 108 L 1 gasto de uma torneira aberta, de 4 volta, por 5 minutos: 108 ; 3 5 36 R 36 L b) gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 15 minutos: 380 L gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 30 minutos: 380 3 2 5 760 R 760 L
c) gasto de uma torneira aberta meia-volta por 15 minutos: 280 L gasto de uma torneira aberta meia-volta, por 3 minutos: 280 ; 5 5 56 R 56 L litros de água ingeridos por dia por uma pessoa: 2 L quantidade de dias para ingerir 56 L: 56 ; 2 5 28 R 28 dias
Desafio!, página 304. 1. O volume também dobra. 2. Em ambos os casos o volume também dobraria. 3. O volume do bloco ficaria multiplicado por 8.
48 – O utras unidades de medidas para medir capacidade Exercícios, página 306. 1. a) b) c) d) e) f)
1 mL corresponde a 0,001 L. 1 200 mL correspondem a 1,2 L. 1 cL corresponde a 0,01 L. 85 cL correspondem a 0,85 L. 1 hL corresponde a 100 L. 2 hL correspondem a 200 L. 1 dm3 corresponde a 1 L. 87 dm3 correspondem a 87 L. 1 m3 corresponde a 1 000 L. 3,5 m3 correspondem a 3 500 L. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L.
2. 1 mL corresponde a 0,001 L. 1 L. 500 mL correspondem a 0,5 L ou 2 3. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,36 m3 corresponde a 360 L. 4. 1 L corresponde a 1 dm3. 400 L correspondem a 400 dm3. 1 dm3 corresponde a 1 000 cm3. 400 dm3 correspondem a 400 000 cm3. capacidade de cada frasco: 50 cm3 quantidade de frascos necessários: 400 000 ; 50 5 8 000 R 8 000 frascos
5. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L. 7 500 000 cm3 correspondem a 7 500 L. 6. 1 cL corresponde a 0,01 L. 33 cL correspondem a 0,33 L. 7. volume do tanque: 0,06 m3 volume de gasolina no tanque: 3 3 0, 06 5 0, 045 → 0, 045 m3 4 falta para encher o tanque: 0,06 – 0,045 5 0,015 R 0,015 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 0,015 m3 corresponde a 15 L. 8. 1 L corresponde a 1 000 mL. 10 000 L corresponde a 10 000 000 mL. quantidade de garrafas usadas: 10 000 000 ; 250 5 40 000 R 40 000 garrafas
Desafio!, página 306. 1. Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte suficiente para completá-lo. O que restar no balde menor será 1 litro de água. 2. Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita.
Retomando o que aprendeu, página 307. 1. medidas do sólido R comprimento: 40 cm; largura: 20 cm; altura: 60 cm V 5 40 3 20 3 60 5 48 000 cm3 2. volume do 1o sólido: 1,2 m3 volume do 2o sólido: 5 3 1, 2 5 0, 75 R →0 , 75 m 0,75 m33 8 3. volume do cubo A: 2 3 2 3 2 5 8 R 8 cm3 volume do cubo B: 0,5 3 0,5 3 0,5 5 0,125 R 0,125 cm3 quantidade de vezes em que o cubo B cabe no cubo A: 8 ; 0,125 5 64 R 64 vezes
69
4. volume da caixa: 6 3 3 3 2 5 36 R 36 cm3 volume do paralelepípedo: 2 3 1,5 3 1 5 3 R 3 cm3 quantidade de paralelepípedos para encher a caixa: 36 ; 3 5 12 R 12 paralelepípedos
8. suco consumido em cada refeição: 750 mL suco consumido diariamente: 750 3 2 5 1 500 R 1 500 mL suco consumido em uma semana: 1 500 3 7 5 10 500 R 10 500 mL 1 mL corresponde a 0,001 L, logo 10 500 mL correspondem a 10,5 L.
5. volume do reservatório após a evaporação: 5 3 1,20 3 (1,20 – 0,05) 5 5 5 3 1,20 3 1,15 5 6,9 R 6,9 m3
9. volume da caixa-d’água: 105 m3 consumo diário: 4 3 105 5 84 → 84 m3 / dia 5 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 84 m3/dia correspondem a 84 000 L/dia.
6. 1 hora equivale a 60 minutos. 1 minuto equivale a 60 segundos, logo 1 hora equivale a: 60 3 60 5 3 600 R 3 600 segundos a cada 20 segundos goteja 7 vezes, logo em 3 600 segundos vai gotejar: (3 600 ; 20) 3 7 5 180 3 7 5 1 260 R 1 260 gotas volume de cada gota: 0,2 cm3 volume total de água que vaza: 1 260 3 0,2 5 252 R 252 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 252 cm3 correspondem a 0,252 dm3. 7. volume do reservatório: 10 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 10 m3 correspondem a 10 000 dm3 ou 10 000 L. Retirando 2 200 L, restam: 10 000 – 2 200 5 7 800 R 7 800 L 2a retirada de água: 1 3 7800 5 2600 → 2600 L 3 Restam: 7 800 – 2 600 5 5 200 R 5 200 L
10. quantidade de gotas a cada 5 minutos: 100 gotas quantidade de gotas em 1 minuto: 100 ; 5 5 20 R 20 gotas 1 hora corresponde a 60 minutos. quantidade de gotas em 1 hora: 60 3 20 5 1 200 R 1 200 gotas volume de cada gota: 3 mL volume total das gotas em 1 hora: 1 200 3 3 5 3 600 R 3 600 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 3 600 mL correspondem a 3,6 L. 3,6 L > 1 L 11. quantidade de óleo comprada: 100 3 120 5 12 000 R 12 000 L capacidade de cada recipiente: 750 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 750 mL correspondem a 0,75 L. quantidade necessária de recipientes: 1 200 ; 0,75 5 16 000 R 16 000 recipientes
Medindo a massa 49 – Unidades de medida de massa
b) c) d) e) f)
Chegou a sua vez!, página 310. 1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto.
50 – Transformação das unidades de medida de massa Exercícios, página 312. 1. a) um pacote de arroz: quilograma;
70
carga de um caminhão: tonelada; um comprimido: miligrama; laje de concreto: tonelada; uma pessoa: quilograma; ovo de codorna: grama
2. a) g
b) kg
c) g
d) g
e) kg
3. a) 1 kg corresponde a 1 000 g. 2,3 kg correspondem a 2 300 g. 3 kg corresponde a: b) 4 3 3 1000 5 750 → 750 g 4
f) kg
c) d)
1 mg corresponde a 0,001 g. 950 mg correspondem a 0,95 g. 1 quilate corresponde a 0,2 g. 24 quilates correspondem a: 24 3 0,2 5 4,8 R 4,8 g
4. 3,6 ; 0,2 5 18 R 18 quilates 5. a) b)
1 sanduíche é feito com 270 g. 200 sanduíches são feitos com: 200 3 270 5 54 000 R 54 000 g 1 g corresponde a 0,001 kg. 54 000 g correspondem a 54 kg. 1 kg corresponde a 1 000 g. 17,55 kg correspondem a 17 550 g. 270 g de carne para 1 sanduíche R R 17 550 de carne para: 17 550 ; 270 5 65 R 65 sanduíches
b) 1 L corresponde a 1 kg. 30 000 L correspondem a 30 000 kg. 2. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 40 m3 correspondem a 40 000 L. Se em cada litro (dm3) há 0,5 kg, em 40 000 L há: 40 000 3 0,5 5 20 000 R 20 000 kg 1 tonelada corresponde a 1 000 kg. 20 000 kg correspondem a 20 toneladas. 3. Seis embalagens de 0,5 kg correspondem a: 6 3 0,5 5 3,0 R 3 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 3 kg correspondem a 3 000 g. quantidade de embalagens de 250 g: 3 000 ; 250 5 12 R 12 embalagens 4. a) b)
6. 1 kg corresponde a 0,001 t. 83 000 kg correspondem a: 83 000 3 0,001 5 83 R 83 t 7. 1 kg corresponde a 1 000 g. 6 kg correspondem a 6 000 g. quantidade de pedaços de 750 g cada: 6 000 ; 750 5 8 R 8 pedaços 8. 1 kg corresponde a 1 000 g. 1 000 g custam R$ 5,00. 100 g custam: 5 ; 10 5 0,50 R R$ 0,50 700 g custam: 7 3 0,50 5 3,50 R R$ 3,50 9. Alternativa a. 64 kg correspondem a 64 000 g. Emagreceu 450 g, ficou com: 64 000 – 450 5 63 550 g 63 550 g correspondem a 63,550 kg ou 63 kg e 550 g.
5. 1,5 m corresponde a 15 dm. 1,20 m corresponde a 12 dm. 80 cm correspondem a 8 dm. volume do tanque: 15 3 12 3 8 5 1 440 R 1 440 dm3 ou 1 440 L 1 litro tem 0,7 kg, 1 440 L têm: 1 440 3 0,7 5 1 008 R 1 008 kg 1 kg corresponde a 0,001 t. 1 008 kg correspondem a: 1 008 3 0,001 5 1,008 R 1,008 t 6. a) 1,20 m de comprimento correspondem a 12 dm. 80 cm de largura correspondem a 8 dm. 45 cm de altura correspondem a 4,5 dm. volume de água no reservatório: 12 3 8 3 4,5 5 432 R 432 dm3 ou 432 L b) massa de 1 L de água: 1 kg massa de 432 L de água: 432 kg
10. Alternativa b. quantidade de goiabada: 2 kg correspondem a 2 000 g. quantidade consumida: 250 1 200 1 450 5 900 R 900 g quantidade que restou: 2 000 – 900 5 1 100 R 1 100 g Exercícios, páginas 313 e 314. 1. a)
volume do reservatório: 30 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 30 m3 correspondem a: 30 3 1 000 5 30 000 R 30 000 L
25 cm correspondem a 0,25 m. volume da laje: 5 3 3,2 3 0,25 5 4 R 4 m3 4 m3 correspondem a 4 000 dm3. Se 1 dm3 corresponde a 1,5 kg, 4 000 dm3 correspondem a: 4 000 3 1,5 5 6 000 R 6 000 kg
Brasil real, página 314. 1. a)
1 quarta corresponde a 12 kg. 45 quartas correspondem a: 45 3 12 5 540 R 540 kg 1 @ corresponde a 15 kg. 540 kg correspondem a: 540 ; 15 5 36 R 36 @
71
1 de um quintal corresponde a 1 @. 4 1 @ corresponde a 15 kg. 1 quintal corresponde a: 4 3 15 5 60 R 60 kg c) 1 @ corresponde a 15 kg. 30,5 @ correspondem a: 30,5 3 15 5 457,5 R 457,5 kg d) boi: 510 kg 510 kg correspondem a: 510 ; 15 5 34 R 34 @ 1 @ custa R$ 46,00, 34 @ custam: 34 3 46 5 1 564 R R$ 1 564,00 vaca: 465 kg 465 kg correspondem a: 465 ; 15 5 31 R 31 @ 1 @ custa R$ 42,00, 31 @ custam: 31 3 42 5 1 302 R R$ 1 302,00 preço pago pelos animais: 1 564 1 1 302 5 2 866 R R$ 2 866,00 2. a) 1 t corresponde a 1 000 kg. 28,5 milhões de toneladas correspondem a: 28,5 milhões 3 1 000 5 28,5 bilhões R R 28,5 bilhões de quilogramas b) aumento de produção: 30 400 000 – 28 500 000 5 1 900 000 R R 1,9 milhão de toneladas 1 @ corresponde a 15 kg. 1 tonelada corresponde a 1 000 kg ou, em arrobas: 1 000 ; 15 . 66,67 @ 1 900 000 toneladas correspondem a: 1 900 000 3 66,67 126 673 000 R R 126,7 milhões de arrobas b)
Desafio!, página 315. 1. 1 pote de fermento equivale a 5 caixas de gelatina. 2 potes de fermento equivalem a 10 caixas de gelatina. 1 pote de chocolate equivale a 2 potes de fermento, logo: 1 pote de chocolate equivale a 10 caixas de gelatina. 4 potes de chocolate equivalem a 40 caixas de gelatina. 2 kg de açúcar equivalem a 40 caixas de gelatina.
72
2. 2 kg de açúcar correspondem a 2 000 g de açúcar. 4 potes de chocolate equivalem a 2 000 g. 1 pote de chocolate equivale a: 200 ; 4 5 500 R 500 g 3. Resposta em aberto. Retomando o que aprendeu, página 315. 1 1. 1 bloco tem 1 t, 20 blocos têm: 4 1 5 3 20 5 3 20 5 25 R 25 t 1 4 4 2. 1 m3 tem 150 g de massa. 1,2 kg corresponde a 1 200 g, logo 1 200 correspondem a: 1 200 ; 150 5 8 R 8 m3 de massa 3. massa da laje: 42 toneladas 42 toneladas correspondem a 42 000 kg. quantidade de blocos que formam a laje: 28 massa de cada bloco: 42 000 ; 28 5 1 500 R 1 500 kg 4. A produção dobra a cada ano. Em 2007, a produção foi de 125 kg. em 2008 a produção foi de 250 kg, em 2009 foi de 500 kg, em 2010 foi de 1 000 kg e, em 2011, a produção será de 2 000 kg ou 2 toneladas. 5. cada bolinha: 0,25 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 0,25 kg corresponde a: 0,25 3 1 000 5 250 g 28 bolinhas têm: 28 3 250 5 7 000 R 7 000 g caixa com as bolinhas: 7,35 kg ou 7 350 g caixa tem: 7 350 2 7 000 5 350 R 350 g 6. 1 pacote de feijão equivale a 500 g. 12 pacotes de feijão equivalem a: 12 3 500 5 6 000 R 6 000 g consumo de feijão por semana: 1,5 kg corresponde a 1 500 g. 6 000 g serão consumidos em: 6 000 ; 1 500 5 4 R 4 semanas 7. a) b)
volume de concreto na laje: 20 3 8 3 0,25 5 40 R 40 m3 1 m3 de concreto tem 1 000 kg. 1 000 kg correspondem a 1 t, logo: 1 m3 de concreto tem 1 t, 40 m3 de concreto têm 40 t.
SUMÁRIO 7.o ano Potências e raízes.............................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros....................................................................... 84 O conjunto dos números racionais. ................................................................... 102 Estudando as equações...................................................................................... 117 Estudando as inequações................................................................................... 147 Estudando os ângulos....................................................................................... 155 Estudando triângulos e quadriláteros.............................................................. 165 Razões e proporções. ......................................................................................... 167 Grandezas proporcionais................................................................................... 185 Porcentagem...................................................................................................... 200
Potências e raízes b) 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 5 (0,9)5 c) 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 710 2 2 2 2 d) 3 5 5 5 5
Abertura, página 7. • Pra pensar, sem se cansar: Com quantos cubinhos se faz um cubo? Depende do tamanho do cubo. • Procure no dicionário: Qual a diferença entre censo e recenseamento? Censo: conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade, província, estado, nação etc., com todas as suas características. Recenseamento: arrolamento de pessoas ou de animais. • Número quadrado: E quantos quadradinhos terá o próximo número da sequência? A sequência começa com 4 quadradinhos, depois passa para 16 e depois para 256. Logo, o próximo número da sequência será 65 536. • Preste bem atenção e conte de forma certeira: Quantos são os quadrados? São 14 quadrados no total: nove quadrados com 1 palito, quatro quadrados com 2 palitos e um quadrado com 3 palitos.
e) 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 ... 1,5 5(1,5)20 20 fatores
3 3 3 3 3 f) 3 3 3 5 7 7 7 7 7 g) 1 3 1 3 1 3 1 3 ... 3 1 5 1100 100 fatores
2. a) 46 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 b) (0,7)3 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 2
1 1 1 c) 5 3 8 8 8 d) 104 5 10 3 10 3 10 3 10 3. De acordo com as figuras, temos: a) 4 3 4 5 42 b) 2 3 2 3 2 5 23 4. a) 63 5 6 3 6 3 6 5 216 b) 105 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 100 000 c) 72 5 7 3 7 5 49 d) 112 5 11 3 11 5 121 e) 90 5 1 f) (0,3)3 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,027 g) (1,8)2 5 (1,8) 3 (1,8) 5 3,24
1 – Potência de um número racional Explorando, página 8. a) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 8 partes iguais. b) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 16 partes iguais. c) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 32 partes iguais. d) De acordo com os itens anteriores, se dobrarmos a folha: • 6 vezes, ela ficará dividida em 64 partes iguais. • 7 vezes, ela ficará dividida em 128 partes iguais. • 8 vezes, ela ficará dividida em 256 partes iguais. Resposta em aberto. Exercícios, páginas 10 e 11. 1. a) 10 3 10 3 10 5 103
4
1
5
1
1
1
1
1
1
h) 5 3 3 3 3 5 2 2 2 2 2 32 2 4
16 2 2 2 2 2 i) 5 3 3 3 5 5 5 5 5 5 625 j) (2,5)0 5 1 5. De acordo com a figura, cada aresta tem 8 cubinhos; logo, o total de cubinhos será: 83 5 8 3 8 3 8, ou seja, 512 cubinhos. 6. De acordo com a figura, temos: 132 5 13 3 13 5 169 7. a) (0,2)2 5 (0,2) 3 (0,2) 5 0,04 b) Escrevendo 0,04 na forma de fração irredutível, temos: 44 1 0, 04 5 5 100 4 25
75
c) Escrevendo 0,04 na forma percentual, temos: 0,04 3 100 5 4%.
c) • 25 : 23 5 32 : 8 5 4 • 22 5 4 • 35 : 32 5 243 : 9 5 27 • 33 5 27
8. Das expressões, temos: (11 1 3)2 5 (14)2 5 14 3 14 5 196 112 1 32 5 121 1 9 5 130 Logo, as expressões não são iguais, pois 196 ≠ 130.
d) • 25 : 23 5 4 e 22 5 4 Logo, 25 : 23 5 22. • 35 : 32 5 27 e 33 5 27 Logo, 35 : 32 5 33.
9. De acordo com o enunciado, vem: N 5 2 3 (0,9) 2 (0,9)2 N 5 1,8 2 0,81 N 5 0,99
e) • (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 • 26 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 • (32)2 5 (9)2 5 9 3 9 5 81 • 34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 • (22)3 5 (4)3 5 4 3 4 3 4 5 64
10. a) x 5 24 3 22 x 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 y 5 28 y 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 256 Logo, x y. b) x 5 22 3 52 x 5 2 3 2 3 5 3 5 5 100 y 5 (5 3 2)2 y 5 (10)2 y 5 10 3 10 5 100 Logo, x 5 y.
f) • (23)2 5 26, pois (23)2 5 64 e 26 5 64. • (32)2 5 34, pois (32)2 5 81 e 34 5 81. • (22)3 5 26, pois (22)3 5 64 e 26 5 64. 3. a) • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 33 5 3 3 3 3 3 5 27 • 23 3 33 5 8 3 27 5 216 • (2 3 3)3 5 (6)3 5 6 3 6 3 6 5 216
11. Como 40% 5 0,4, então, o quadrado de 40% será: (0,4)2 5 (0,4) 3 (0,4) 5 0,16
b) • 32 5 3 3 3 5 9 • 52 5 5 3 5 5 25 • 32 3 52 5 9 3 25 5 225 • (3 3 5)2 5 (15)2 5 15 3 15 5 225
12. 10 5 100 ou 10 5 10 ⇒ x 5 2 8o 5 y ⇒ y 5 1 Logo, x 2 y 5 2 2 1 5 1. x
x
2
c) • 53 5 5 3 5 3 5 5 125 • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 53 3 23 5 125 3 8 5 1 000 • (5 3 2)3 5 (10)3 5 10 3 10 3 10 5 1 000
2 – Propriedades da potenciação Explorando, páginas 11 e 12. d)
1. De acordo com o esquema, temos: 33 5 3 3 3 3 3 5 27 Portanto, Larissa usou 27 cubinhos. 2. De acordo com os resultados obtidos por Carlos, temos: a) • 22 3 23 5 4 3 8 5 32 • 25 5 32 • 34 3 32 5 81 3 9 5 729 • 36 5 729 b) • 22 3 23 5 32 e 25 5 32 Logo, 22 3 23 5 25. • 34 3 32 5 729 e 36 5 729 Logo, 34 3 32 5 36.
76
• 22 5 2 3 2 5 4 • 42 5 4 3 4 5 16 • 22 3 42 5 4 3 16 5 64 • (2 3 4)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 Resposta em aberto. Exercícios, página 16. 1. a) 75 3 74 5 75 + 4 5 79 b) (132)6 5 132 3 6 5 1312 c) 85 : 84 5 85 2 4 5 81 d) (x10)3 5 x10 3 3 5 x30 e) (0,6)10 : (0,6)7 5 (0,6)10 2 7 5 (0,6)3
7.
3
3 3 3 3 3 3 3 9 f) 5 5 4 4 4 20
15
7 7 7 g) 5 9 9 9
20 2 15
7 5 9
a) 35 000 5 35 3 103 b) 60 000 000 5 6 3 107 c) 920 000 5 92 3 104 d) 92 000 000 000 5 92 3 109
5
h) (0,9)8 3 (0,9) 3 (0,9)3 5 (0,9)8 + 1 + 3 5 5 (0,9)12 4
8. 9 5 32; 27 5 33; 729 5 36 (9 3 27) 729 5 (32 3 33) 36 5 (32 1 3) 36 5 35 36 5
i) (1,7)10 5 (1,7)10 3 4 5 (1,7)40 2. a 5 213; b 5 27; c 5 25 a) a 3 b 5 213 3 27 5 213 1 7 5 220 b) b : c 5 27 : 25 5 27 2 5 5 22 c) a 3 c 5 213 3 25 5 213 1 5 5 218 d) a : b 5 213 : 27 5 213 2 7 5 26 e) a2 5 (213)2 5 213 3 2 5 226 f) b3 5 (27)3 5 27 3 3 5 221 g) a 3 b 3 c 5 213 3 27 3 25 5 213 1 7 1 5 5 225 h) a : c 5 213 : 25 5 213 2 5 5 28 i) c4 5 (25)4 5 25 3 4 5 220 3. Sendo x 5 104 e y 5 103, temos: x3 5 (104)3 5 104 3 3 5 1012 y4 5 (103)4 5 103 3 4 5 1012 Logo, x3 5 y4. 4. a) (5 3 11 3 23)3 5 53 3 113 3 233 b) (23 3 3)4 5 (23)4 3 34 5 212 3 34 c) (35 : 52)2 5 (35)2 : (52)2 5 310 : 54 3
3
3
3
3
3
)(42,3)44(2 2,3)(42,3 3(2)4,(1,1) 1)(52,15 )455 (25,3(0,6) )(52,15 )54(25 ,3)(12 2,3()212,1)(15 2,1)15 d) ((0,6) 3,1(1,1) 7
7
e) 1 3 2 5 1 3 2 7 3 3 7 3
3
35 1 5 35 2 6 5 321 5 3 36
5
7
9. a) (29 3 211 3 23) : (27)3 5 (29 1 11 1 3) : 27 3 3 5 5 223 : 221 5 223 2 21 5 22 5 4 10 b) (0, 4)2 (0, 4)9 3 (0, 4)7 3 (0, 4) 5 (0, 4)2 3 10 (0, 4)9 1 7 1 1 5 5 (0,4)20 : (0,4)17 5 (0,4)20 2 17 5 (0,4)3 5 5 (0,4) 3 (0,4) 3 (0,4) 5 0,064 10. a 5 27 3 34 3 72; b 5 25 3 32 3 7; c 5 25 3 3 3 7 a) a : b (27 3 34 3 72) : (25 3 32 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 2 3 3 72 2 1 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252 b) a : c (27 3 34 3 72) : (25 3 3 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 1 3 3 72 2 1 5 22 3 33 3 7 5 5 4 3 27 3 7 5 756 c) b : c (25 3 32 3 7) : (25 3 3 3 7) 5 25 2 5 3 32 2 1 3 3 71 2 1 5 20 3 31 3 70 5 51333153 11. (104 )7 104 3 7 1028 5 5 5 (108 3 10)3 108 3 3 3 103 1024 3 103
3
f) (2,3)4 (2,1)5 5 (2,3)4 (2,1)5 5 (2,3)12 (2,1)15
5
5. a) a2 3 b2 5 (a 3 b)2 Como a 3 b 5 6, temos: a2 3 b2 5 62 5 36 b) a3 3 b3 5 (a 3 b)3 Como a 3 b 5 6, temos: a3 3 b3 5 63 5 216 6. giga: 1 000 000 000 5 109 mega: 1 000 000 5 106 miria: 10 000 5 104 quilo: 1 000 5 103 hecto: 100 5 102 deca: 10 5 101
1028 1028 5 27 5 24 1 3 10 10
5 1028 : 1027 5 1028 2 27 5 101 5 10 12. Sabendo que 1 024 5 210 e 64 5 26, temos: 1 0242 : 643 5 (210)2 : (26)3 5 210 3 2 : 26 3 3 5 5 220 : 218 5 220 2 18 5 22 5 4 13. a) Se o raio do Sol é 7 3 1010 cm e 1 km 5 5 105 cm, então, o raio do Sol será: 7 3 1010 : 105 5 7 3 1010 2 5 5 7 3 105 5 5 7 3 100 000 5 700 000 Logo, o raio do Sol tem aproximadamente 700 000 km.
77
b) 150 000 000 km 5 15 3 107 km c) A distância da Terra à Lua é 384 000 km; logo, sendo 1 km 5 103 m, temos: d 5 384 3 103 3 103 5 384 3 103 1 3 5 5 384 3 106 d 5 384 3 106 m d) O raio da Lua é aproximadamente 1 700 km; logo, sendo 1 km 5 105 cm, temos: rLua 5 1 700 3 105 5 17 3 102 3 105 5 5 17 3 102 1 5 rLua 5 17 3 107 cm e) O raio da Terra é 3,765 vezes maior que o raio da Lua. Como o raio da Lua é aproximadamente 1 700 km, o raio da Terra será, aproximadamente: 3,765 3 1 700 km 5 6 400,5 km
A: 36; B: 24; C: 64; D: 25; E: 72 b) Os quadrados são as figuras: A, C e D. c) Os números correspondentes às áreas dos quadrados são: A: 36; C: 64; D: 25 Exercícios, página 21. 1.
1 cm
a) Sim, basta formar 5 fileiras com 5 quadrados em cada uma. b) 25 é um quadrado perfeito, pois 25 5 52. c) Não, pois o número de quadrados em cada linha e em cada coluna não será o mesmo. d) Não, pois não há número natural que elevado a 2 resulte em 29.
Brasil real, página 18. a) De acordo com a tabela de referências, a maior distância entre os extremos do Brasil é de Norte a Sul. b) Sendo 1 km 5 103 m, temos: 4 402 km 4 402 3 103 m 4 325 km 4 325 3 103 m c) Resposta em aberto.
1 cm
2. a)
Chegou a sua vez!, página 19. a) 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 128 b) 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 729 c) 35 3 36 5 35 1 6 5 311 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5 7
12 vezes
b)
5 531441 e) 26 3 26 5 26 1 6 5 212 5 2 3 2 3 2 3 2 3 ... 3 2 5 4 096 12 vezes
f) (0,3) 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,000729 g) (0,7)7 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 5 0,0823543 h) (2,25)5 5 (2,25) 3 (2,25) 3 (2,25) 3 3 (2,25) 3 (2,25) 5 57,665038 i) (32)4 5 32 3 4 5 38 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 6 561 j) (4)7 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 16 384 6
3 – Números quadrados perfeitos Explorando, página 19. a) Contando os quadradinhos de cada figura, temos:
78
2 2 3 3 5 2 2 3 32 3 5
Como o fator 5 não apresenta expoente par, 180 não é um quadrado perfeito.
11 vezes
5 177147 d) 310 3 32 5 310 + 2 5 312 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5
180 90 45 15 5 1
225 75 25 5 1
3 3 5 5 3 2 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 225 é um número quadrado perfeito. c)
729 243 81 27 9 3 1
3 3 3 3 3 3 36
Como o fator apresenta expoente par, 729 é um número quadrado perfeito.
d)
1 000 500 250 125 25 5 1
2 2 2 5 5 5 23 3 53
Como os fatores não apresentam expoente par, 1 000 não é um número quadrado perfeito. e)
1 024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 210
Como o fator apresenta expoente par, 1 024 é um número quadrado perfeito. f)
1 225 245 49 7 1
5 5 7 7 52 3 72
Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 225 é um número quadrado perfeito. g)
1 600 800 400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 2 2 5 5 26 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 600 é um número quadrado perfeito. h)
2 000 1 000 500 250 125 25 5 1
i)
2 025 675 225 75 25 5 1
3 3 3 3 5 5 34 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 2 025 é um número quadrado perfeito. 3. Para que 24 3 5x 3 112 seja um número quadrado perfeito, devemos ter todos os expoentes pares. Logo, os possíveis valores para o expoente x, dentre os números apresentados, são 6 e 10. 4. 38 3 114 é um quadrado perfeito, pois todos os fatores apresentam expoente par. 5. Para que 2n 3 76 não seja um número quadrado perfeito, basta que n seja um número ímpar. 6. Os números quadrados perfeitos entre 100 e 300 são: 112 5 121; 122 5 144; 132 5 169; 142 5 196; 152 5 225; 162 5 256; 172 5 289 Logo, existem 7 números quadrados perfeitos entre 100 e 300. 7. Entre 450 e 500, há um único quadrado perfeito; logo, N vale 484. Desafio!, página 22. a) A figura é formada por 42 ou 24 quadrados com lados medindo um palito. b) A figura é formada por 32 quadrados com lados medindo dois palitos. c) A figura possui 22 quadrados formados por três palitos. d) Para que não restem quadrados, devem ser removidos da figura 32 palitos.
2 2 2 2 5 5 5 24 3 53
Como o fator 5 não apresenta expoente par, 2 000 não é um quadrado perfeito.
79
2
81 34 (32)2 (9)2 9 9 9 5 2 5 5 5 3 2 2 2 5 100 10 10 10 2 35 (2 3 5) (10) 2 81 34 (32)2 (9)2 9 9 9 5 3 5 0,81 5 5 2 5 5 5 2 2 2 100 10 10 10 2 35 (2 3 5) (10)
Exercícios, página 24. 1. a) 64 32 16 8 4 2 1
2 2 2 2 2 2 26
0,81 5
5 (0,9) 3 (0,9) Logo, 0,81 5 0,9 . f) 36 18 9 3 1
26 5 (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 Logo, 64 5 8 .
100 50 25 5 1
b) 49 7 7 7 1 72 72 5 7 3 7 Logo, 49 5 7 .
2
0,36 5
5(0,6) 3 (0,6) 2
1 1 1 1 1 5 2 5 5 3 25 5 5 5 5 2
1 1 5 . 25 5
d) 49 7 7 7 1 72 9 3 3 3 1 32 2
49 72 7 7 7 5 2 5 5 3 9 3 3 3 3 49 7 5 . 9 3
Logo, e) 81 27 9 3 1 100 50 25 5 1
80
2 2 5 5 22 3 52
36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2 6 6 6 5 3 5 2 2 5 2 5 2 5 100 1 0 10 10 2 35 (2 3 5) (10) 2 36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2 6 6 6 5 3 5 0,36 5 5 2 5 2 5 2 5 100 10 10 2 35 (2 3 5) (10)2 10
c) 25 5 5 5 1 52
Logo,
2 2 3 3 2 2 3 32
3 3 3 3 34 2 2 5 5 22 3 52
0, 0004 5
Logo, 0,36 5 0,6 . g)
4 2 2 2 1 22 10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1 0, 0004 5
2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54 4 22 (2)2 (2)2 (2)2 5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2 2
4 22 (2)2 (2)2 (2)2 2 5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 2 5 10000 100 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100) 2 2 5 3 5 (0, 02) 3 (0, 02) 100 100 Logo, 0, 0004 5 0, 02 . h) 16 8 4 2 1
2 2 2 2 24
10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1
c) 676 338 169 13 1
2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54
22 3 133 5 (2 3 13)2 5 (26)2 5 26 3 26 Logo, 676 5 26 .
256 d) (4 16 24 (22)2 (4)2 )2 5 4 4 5 2 22 5 2 5 128 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2 64 4 22 2 2 16 2 (2 ) (4) (4) 5 4 32 4 5 2 22 5 2 5 2 5 000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100) 16 0, 0016 5
2
8 4 2 1
4 4 4 5 5 3 5 (0, 04) 3 (0, 04) 100 100 100 Logo, 0, 0016 5 0, 04 .
2
169 13 169 13 5 , pois 5 400 20 400 20
3.
e) 1 764 882 441 147 49 7 1
13 169 . , chegamos em x 5 20 400 2
121 (11)2 11 11 11 5 5 3 2 5 196 14 14 14 (14) 11 Logo, n 5 . 14 n2 5
210 3 52 3 72 5 (25 3 5 3 7)2 5 (1 120)2 5 5 (1 120) 3 (1 120)
f) 2 304 1 152 576 288 144 72 36 18 9 3 1
Logo, 210 3 52 3 72 5 1120 . 5. 2 2 11 11 22 3 112
22 3 112 5 (2 3 11)2 5 (22)2 5 22 3 22 Logo, 484 5 22 . b) 729 243 81 27 9 3 1
3 3 3 3 3 3 36
2 2 3 3 7 7 22 3 32 3 72
1 764 5 22 3 32 3 72 5 (2 3 3 3 7)2 5 5 (42)2 5 42 3 42 Logo, 1764 5 42 .
4.
a) 484 242 121 11 1
2 52 2 2 2 2 2 2 28
28 5 (24)2 5 (16)2 5 16 3 16 Logo, 256 5 16 .
2.
Sendo x 5
2 2 13 13 22 3 132
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 8 3 32
28 3 32 5 (24 3 3)2 5 (16 3 3)2 5 (48)2 5 5 48 3 48 Logo, 2304 5 48 . 6.
2
a) 4,84 5
484 (22)2 22 22 22 5 (2,2) 3 (2,2) 5 5 3 2 5 100 10 10 10 (10)
2
484 (22)2 22 22 22 5 (2,2) 3 (2,2) 4,84 5 5 5 5 3 100 10 10 (10)2 10 36 5 (33)2 5 (27)2 5 27 3 27
Logo, 729 5 27 .
Logo, 4,84 5 2,2 .
81
2
c) 60 bananas valem 5 moedas de prata, 729 (27)2 27 27 27 5 (2,7) 3 (2,7) 5 5 5 3 já que cada 12 bananas valem uma 100 10 10 (10)2 10 2 moeda de prata. 2 729 (27) 27 27 27 5 (2,7) 3 (2,7) 29 5 5 5 3 2 5 d) Transformando dúzias em unidades, 100 10 10 10 (10) temos: Logo, 7,29 5 2,7 . 1 dúzia 5 12 unidades. 2 676 (26)2 26 26 26 c) 6,76 5 5 ( , ) 3 ( ,6)dúzias e 1 5 54 unidades. 2 6 2 5 5 5 3 10 10 4 100 (10)2 10 2 2 2 Como 6 laranjas valem 2 moedas de ouro, 676 (26) 26 26 26 5 (2,6) 3 (2,6) 76 5 5 5 3 54 laranjas valem 18 moedas de ouro. 2 5 100 10 10 10 (10) 1 e) 3 quilogramas e de café valem 21 Logo, 6,76 5 2,6 . 2 1 2 moedas de prata, pois quilograma 256 (16)2 16 16 16 2 5 (1,6) 3 (1,6) 5 5 3 d) 2,56 5 2 5 100 10 10 10 (10) de café vale 3 moedas de prata. 2 2 f) 3 leitões valem 30 moedas de ouro, pois 256 (16) 16 16 16 5 (1,6) 3 (1,6) 56 5 5 5 5 3 1 leitão vale 10 moedas de ouro. 100 10 10 (10)2 10 g) Não é possível responder a essa Logo, 2,56 5 1,6 . questão, pois faltam dados. 2 1764 (42)2 42 42 42 e) 0,1764 5 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Chegou a sua vez!, página 26. 2 1764 (42)2 42 42 42 a) Gráfico A: matrículas na Educação 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Básica em 2007; b) 7,29 5
Logo,
0,1764 5 0, 42 .
Gráfico B: matrículas na Educação Básica em 2006 e 2007; 2304 (48) 48 48 48 f) 0,2304 5 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5 2 5 10000 100 100 Gráfico C: matrículas na EJA entre 2000 100 (100) e 2007. 2 2304 (48)2 48 48 48 b) Gráfico A: gráfico de setores; 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Gráfico B: gráfico de barras; Logo, 0,2304 5 0, 48 . Gráfico C: gráfico de linhas. 12 c) Sim, pois, de acordo com o gráfico A, 7. Se x 5 2 , temos: 12 6 2 2 60,59% dos alunos foram matriculados 2 5 (2 ) 5 (64) 5 64 3 64 no Ensino Fundamental. Logo, x 5 64. d) Sim. 8. Educação Infantil R de 7,0 para 6,4 1 521 3 Ensino Fundamental R de 33,2 para 31,7 507 3 Ensino Médio R de 8,9 para 8,3 169 13 EJA R de 5,6 para 4,9 13 13 e) De acordo com o gráfico C, a quantidade 1 32 3 132 de matrículas na EJA foi crescendo até n2 5 1 521 5 32 3 132 5 (3 3 13)2 5 (39)2 5 2006 e diminuiu em 2007. 5 39 3 39 Logo, n 5 39. Retomando o que aprendeu, página 27. 2
2
Desafio!, página 24. a) 36 ovos valem 12 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade de ovos, a quantidade de moedas de ouro também triplica. b) 54 galinhas valem 21 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade inicial de galinhas, a quantidade de moedas de ouro também triplica.
82
1. Alternativa c. Pelo sistema “mata-mata”, 8 times chegam às quartas de final, ou seja, 23 times estão participando dessa etapa. 2. Alternativa b. I) (3 1 5)2 5 32 1 52 (8)2 5 9 1 25 64 5 34 (Falso.)
II) (102)3 5 105 106 5 105 (Falso.) III) 7 72 5 73 73 5 73 (Verdadeiro.) IV) 100 5 0 1 5 0 (Falso.) Apenas a igualdade III é verdadeira. 3. Alternativa a. 1a expressão: (25 : 22) : 22 5 (25 2 2) : 22 5 23 : 22 5 21 5 2 2a expressão: 25 : (22 : 22) 5 25 : (22 2 2) 5 25 : 20 5 25 5 32 a) Verdadeiro, pois 2 32. b) Falso, pois 2 32. c) Falso, pois 2 32. 4. Alternativa d. (27 : 24) 2 22 5 (27 2 4) 2 4 5 23 2 4 5 8 2 4 5 4 Logo, n 5 4. 5. Alternativa e. a 5 (102 3 10)7 : (104)5 a 5 (102 1 1)7 : 1020 a 5 (103)7 : 1020 a 5 1021 : 1020 a 5 1021 2 20 a 5 101 a 5 10
2
b 5 418 : 435 b 5 436 : 435 b 5 436 2 35 b 5 41
10. Alternativa c. O quadrado perfeito entre 700 e 750 é 729. 729 R 7 1 2 1 9 5 18; portanto, 729 é múltiplo de 3. 11. Alternativa d. 2 916 1 458 729 243 81 27 9 3 1
2 2 3 3 3 3 3 3 22 3 36
22 3 36 5 (2 3 33)2 5 (2 3 27)2 5 (54)2 5 5 54 3 54
2
b 5 47 3 410 3 4 (45)7 2 b 5 47 1 10 1 4 435
x 5 252. y 8. Alternativa d. 970 mil toneladas R 970 000 toneladas R R 970 000 000 quilogramas R 97 3 107 kg 9 Alternativa b. Para que um número seja quadrado perfeito, todos os expoentes dos fatores devem ser par. Dentre os fatores dados, o 5 é o único que tem expoente ímpar; portanto, se multiplicarmos 24 3 32 3 53 por 5, obteremos um número quadrado perfeito: (24 3 32 3 53) 3 5 5 24 3 32 3 54 Logo,
Logo, 2916 5 54 . 12. Alternativa a. 2 2704 (52)2 52 52 52 3 5 (5,2) 3 (5,2) 27, 04 5 5 5 5 100 10 10 (10)2 10 2 2704 (52)2 52 52 52 27, 04 5 5 5 5 3 5 (5,2) 3 (5,2) 100 10 10 (10)2 10
b54 Logo, a + b 5 10 + 4 5 14. 6. Alternativa a. x 5 36 5 729 y 5 93 5 729 Logo, x 5 y. 7. Alternativa c. Se x 5 27 3 38 3 7 e y 5 25 3 36, então: x 5 (27 3 38 3 7) : (25 3 36) 5 27 2 5 3 38 2 6 3 y 3 7 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252
Logo, 27, 04 5 5,2 . 13. Alternativa e. 4 1 0,64 2 1,21 5 2 1
64 2 100
8 11 2 5 2 1 0,8 2 1,1 5 1,7 10 10 Logo, 4 1 0,64 2 1,21 5 1,7 .
121 5 100
52 1
14. Alternativa c. 81 9 5 5 0,9 100 10 121 11 y 5 0, 0121 5 5 5 0,11 10000 100
x 5 0,81 5
Logo, x 2 y 5 0,9 2 0,11 5 0,79.
83
O conjunto dos números inteiros Abertura, página 28.
Pontos ganhos
Time
• O que é maior?: 7 graus Celsius abaixo de zero ou 70 graus Celsius abaixo de zero? 27 8C > 270 8C, pois 7 graus Celsius abaixo de zero está mais próximo do marco zero do que 70 graus Celsius abaixo de zero.
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
Cruzeiro
53
52
45
17
Atlético-PR
48
61
62
21
Corinthians
53
41
46
25
Santa Cruz
28
41
76
235
Fonte: . Acesso em: 18 jul. 2007.
e) Colocando as informações dos dois times em uma tabela, vem:
4 – A ideia de números inteiros Explorando, página 29. 1. a) O andar térreo é indicado pelo número zero (0). b) Os botões que indicam os andares acima do térreo são: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 110 c) Os botões que indicam os andares abaixo do térreo são: 21, 22, 23, 24, 25, 26 d) Resposta em aberto. 2. a) Os times com saldo de gols positivo são: São Paulo, Vasco e Cruzeiro. Já os times com saldo de gols negativo são: Corinthians, Atlético-PR e Santa Cruz. b) Os saldos de gols positivos foram indicados com o sinal de mais (1), e os saldos negativos, com o sinal de menos (2). c) Como o saldo de gols é a diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos, temos: 5
2 621 39 223
Como a quantidade de gols sofridos foi maior, representamos o saldo de gols da seguinte forma: 223. d) Não; para que os times ficassem ordenados do maior saldo de gols para o menor, a tabela deveria ser organizada da seguinte forma: Time
84
Pontos ganhos
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
São Paulo
78
66
32
134
Vasco
59
57
50
17
Time
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
Flamengo
44
48
24
Palmeiras
58
70
212
De acordo com essa tabela, o Flamengo possui o maior saldo de gols.
Exercícios, página 34. 1. Representando as situações por números inteiros, temos: a) 28 pontos. b) 26 c) 1550 reais. d) 11 200 m e) 142 8C f) 121 gols. g) 24 000 m 2. Como Heródoto nasceu em 484 antes de Cristo, podemos representar essa data da seguinte forma: 2484. 3. Como a equipe marcou 17 gols e sofreu 20 gols, o saldo de gols será indicado por: 23. 4. O nível do mar é representado pelo número 0; logo, 395 metros abaixo do nível do mar é representado por: 2395. 5. Como o monte Aconcágua tem 6 959 m de altura, podemos representar sua altura da seguinte forma: 16 959 m. 6. Considerando o saldo inicial de R$ 300,00 e efetuando as operações para cada situação, temos: a) 1300 2 250 5 150 R 150 reais. b) 1300 1 200 5 1500 R 1500 reais. c) 1300 1 100 5 1400 R 1400 reais. d) 1300 2 320 5 220 R220 reais.
5 – O conjunto dos números inteiros
5. De acordo com o exercício 3 e considerando que cada intervalo na reta representa a distância de 100 km, vem: a) distância entre as cidades A e C R 200 km, pois há 2 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. b) distância entre as cidades A e D R 500 km, pois há 5 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. c) distância entre as cidades B e A R 600 km, pois há 6 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. d) distância entre as cidades E e B R 300 km, pois há 3 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. e) distância entre as cidades B e D R 1 100 km, pois há 11 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. f) distância entre as cidades E e A R 900 km, pois há 9 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades.
Exercícios, página 37. 1. a) A profundidade é indicada por um número negativo. Logo, a profundidade referida será: 2300 m. b) A altura é indicada por um número positivo. Logo, a altura referida será: 115 000 m. c) A situação descrita será representada por: 21 700 m. d) A representação da profundidade que o submarino alcança é: 2609 m. 2. Avião A: 250 km
Avião B: 1150 km
3. De acordo com a figura, temos as seguintes posições para as cidades em relação à capital: a) cidade A R 14 b) cidade B R 22 c) cidade C R 16 d) cidade D R 19 e) cidade E R 25
6. a) 12, pois corresponde ao ponto R. b) O ponto S, pois corresponde ao número 21. c) o ponto Q, pois corresponde ao número 14. d) 25, pois corresponde ao ponto P.
4. Se cada intervalo do exercício anterior corresponder a 100 km, as posições das cidades B e C em relação à capital serão: Cidade B R 2200 km Cidade C R 1600 km
7. Fazendo a reta e localizando nela os pontos, temos: c) B 27
26
25
24
23
b) R
f) P
22
21
Brasil real, página 38. 1. 23 000 m e 26 915 m. 2. a) • A profundidade da exploração da pesca na costa brasileira deve ser
0
11
12
a) A
e) C
13
14
d) S 15
16
17
indicada com número inteiro negativo: 2200 m. • A menor temperatura registrada oficialmente na cidade de Caçador é indicada por um número inteiro negativo: 214 8C.
85
• A altitude do Pico da Neblina seria indicada por um número inteiro positivo: 13 014 m. b) A temperatura máxima no deserto do Saara durante o dia pode alcançar: 151 8C. c) A temperatura noturna mínima no deserto do Saara pode chegar a 24 8C.
d) 1500 R o módulo é 500. e) 0 R o módulo é 0. f) 111 R o módulo é 111. 4. Os dois números inteiros diferentes que possuem módulo igual a 20 são: 120 e 220. 5. a) 111 5 11 R Módulo de mais onze é igual a onze. b) 2 30 5 30 R Módulo de menos trinta é igual a trinta.
6 – Módulo de um número inteiro Exercícios, páginas 40 e 41. 1. a) De 15 a 0, há cinco intervalos; logo a distância é 5. b) De 28 a 0, há oito intervalos; logo a distância é 8. c) De 23 a 0, há três intervalos; logo a distância é 3. d) De 17 a 0, há sete intervalos; logo a distância é 7. e) De 22 a 15, há sete intervalos; logo a distância é 7. f) De 29 a 21, há oito intervalos; logo a distância é 8. g) De 12 a 17, há cinco intervalos, logo a distância é 5. h) De 24 a 14, há oito intervalos; logo a distância é 8.
6. Não, pois o módulo de um número inteiro está associado à distância; logo é sempre positivo. 7. a) 2 7 . 1 3
b) 2 35 1 60
3. Sendo o módulo de um número inteiro a distância desse número até o zero, vem: a) 131 R o módulo é 31. b) 2300 R o módulo é 300. c) 228 R o módulo é 28.
86
2 35 5 35 e 1 60 5 60 R 35 < 60
c) 213 . 110
213 5 13 e 110 5 10 R 13 > 10
d) 2 50 5 1 50
2 50 5 50 e 1 50 5 50 R 50 5 50
8. Os números inteiros que têm módulo menor que 3 são: 22, 21, 0, 11, 12.
2. a) De 90 km a oeste até 50 km a leste são 140 quilômetros, pois de 90 km até a origem são 90 km, e da origem até 50 km são 50 km. b) De 3 8C abaixo de zero até 12 8C acima de zero há 15 graduações, pois de 3 8C abaixo de zero até zero há 3 graduações, e de zero até 12 8C há 12 graduações. c) De 80 km ao norte até 30 km ao sul são 110 quilômetros, pois de 80 km até a origem são 80 km, e da origem até 30 km são 30 km. d) De 251 8C até 227 8C são 24 graduações: 51 2 27 5 24.
27 5 7 e 13 5 3 R 7 > 3
2 2 5 2; 21 5 1; 0 5 0; 11 5 1; 1 2 5 2 9. a) Dentre os números inteiros dados, os que têm módulo menor que 30 são: 213, 120, 127, 225.
213 5 13; 1 20 5 20; 2 25 5 25; 1 27 5 27
b) Dentre os números inteiros dados, os que possuem módulo entre 30 e 50 são: 232 e 240.
2 32 5 32 e 2 40 5 40
c) Dentre os números inteiros dados, 151 é o único que tem módulo acima de 50. 1 51 5 51. 10.
217 1 1 33 2 2 50 17 1 33 2 50 50 2 50 0
11.
b) 220 < 210, pois 220 está mais distante de zero que 210. c) 27 < 11, pois todo número positivo é maior que um número negativo.
a) O simétrico de 226 é 126, pois ambos estão à mesma distância do zero.
(
)
b) O módulo de 265 é 65 2 65 5 65 , e o oposto de 65 é 265, pois 65 e 265 estão à mesma distância do zero. 12. 81 34 1 30 81 81 1 1 111 2 O oposto de 2 é 22. 13. O oposto de 24 é 14.
22
21
0
11
12
13
14
15
14. De acordo com o enunciado, esses números são chamados números opostos ou simétricos.
7 – Comparação de números inteiros
2. De acordo com a reta numérica, temos: a) a > 0, pois a está à direita de zero. b) b < 0, pois b está à esquerda de zero. c) c > 0, pois c está à direita de zero. d) 0 > d, pois 0 está à direita de d. e) a > b, pois a é positivo, e b é negativo. f) a > c, pois a está à direita de c. g) d < a, pois d é negativo, e a é positivo. h) b < c, pois b é negativo, e c é positivo. i) b > d, pois b está mais próximo de zero que d. 3. a) O menor número inteiro positivo da figura é 128. b) O maior número inteiro negativo da figura é 221. c) O maior número inteiro da figura é 175. d) O menor número inteiro da figura é 296. 4. a) b) c) d) e)
Explorando, página 41. 1. a) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Montevidéu (122 8C). b) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Tóquio (0 8C). c) Estava mais quente em Tóquio (0 8C) que em Londres (23 8C). d) Estava mais quente em Londres (23 8C) que em Oslo (210 8C). e) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Oslo (210 8C). f) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Londres (23 8C). 2. De acordo com a tabela, nesse dia fez mais frio em Oslo (Noruega).
Exercícios, páginas 44 e 45. 1. a) 22 > 26, pois 22 está mais próximo de zero que 26.
0 < 17 111 > 0 0 > 29 213 < 0 12 > 219
f) g) h) i) j)
230 < 16 17 < 120 211 > 230 21 < 15 220 < 23
5. O saldo nulo é igual a um saldo de gols zero. Como a equipe A teve um saldo negativo, e o número zero é maior que qualquer número negativo, a equipe que tem o maior saldo de gols é a equipe B. 6. Quanto mais à direita um número está do outro, maior será esse número; logo, colocando na ordem indicada, temos: a) 2100, 270, 210, 0, 120, 180 b) 112, 17, 11, 2100, 2160, 2300, 2500 7. a) Como o time Alegre sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 27. b) Como o time Bonito sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 25.
87
c) Como 25 está à direita de 27, 25 é maior que 27. Logo, a equipe Bonito é que passou para a fase seguinte do torneio.
20 8C e subiu 8 8C, a temperatura máxima em Brasília nesse dia foi: (120 8C) 1 (18 8C) 5 28 8C. b) Como a temperatura era 21 8C e aumentou em 6 8C, a temperatura ao meio-dia era: (21 8C) 1 (6 8C) 5 5 8C. c) Como a temperatura era 28 8C à meia-noite e subiu 7 8C ao meio-dia, a temperatura ao meio-dia era: (28 8C) 1 1 (17 8C) 5 21 8C.
8. Como 213 é menor que 29, pois 29 está à direita de 213, a equipe que deverá ser rebaixada é a equipe A.
10.
a) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 24, 21, 0, 12 e 16, pois todos esses números estão à direita de 25. b) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 220, 27, 24, 21 e 0, pois todos esses números respeitam a condição x 0.
2. a) Em Seul, a temperatura variou de 25 8C até 0 8C; logo, a temperatura variou em 5 8C. Em Buenos Aires, a temperatura variou de 18 8C até 21 8C; logo, a temperatura variou em 3 8C. Em Berlim, a temperatura variou de 23 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 5 8C. Em Moscou, a temperatura variou de 26 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 4 8C. No Cairo, a temperatura variou de 21 8C até 33 8C; logo, a variação da temperatura foi de 12 8C. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.
a) b) c)
A 5 {x Z | x . 2 20} R Forma simbólica. A 5 {219, 218, 217, 216, 215, 214, ...} R R Nomeação dos elementos. B 5 {x Z | x 2 7} R Forma simbólica. B 5 {... 213, 212, 211, 210, 29, 28} R Nomeação dos elementos. C 5 {x Z | 2 5 x 1 3} R Forma simbólica. C 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} R Nomeação dos elementos.
11.
12.
a) P 5 {x Z | x 2 3} R P 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, ...} b) Q 5 {x Z | 2 9 x 2 6} → Q 5 {28, 2 7, 2 6}
Desafio!, página 51.
c) R 5 {x Z | x 2100} R R 5 {..., 2106, 2105, 2104, 2103, 2102, 2101}
1. Analisando a pirâmide, verificamos que a soma dos dois números inferiores é igual ao número acima.
A 5 {x Z | 2 6 x 1 3}
2. Como a pirâmide segue o mesmo segredo da anterior, temos:
A 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} a) Nesse conjunto, há três números inteiros não negativos. b) Nesse conjunto, há dois números inteiros positivos. c) O conjunto Z* é dos inteiros não nulos; logo, pertencem ao conjunto A os elementos: 25, 24, 23, 22, 21, 11 e 12.
216 116 216
1. a) Como a temperatura mínima era de
88
0 116
212 24 14 112 28 24
8 – Adição de números inteiros Explorando, páginas 45 e 46.
0
0 14 18
Exercícios, páginas 53 e 54. 1. a) (111) 1 0 5 111 b) 0 1 (213) 5 213 c) (234) 1 (23) 5 237
Editoria de arte
9.
2.
3.
d) e) f) g) h) i) j)
(28) 1 (251) 5 259 (121) 1 (121) 5 142 (149) 1 (260) 5 211 (2130) 1 (2125) 5 2255 (149) 1 (1121) 5 1170 (1820) 1 (2510) 5 1310 (2162) 1 (2275) 5 2437
a) b) c) d) e)
Para térreo 2 3 6, temos: (12) 1 (13) 1 (26) 5 (15) 1 (26) 5 21 Para térreo 2 1 3, temos: (22) 1 (21) 1 (13) 5 (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo 3 3, temos: (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo 3 4 3 6, temos: (23) 1 (14) 1 (13) 1 (26) 5 (23) 1 (26) 1 1 (14) 1 (13) 5 (29) 1 (17) 5 22 Para térreo 1 6 6 1, temos: (21) 1 (16) 1 (26) 1 (11) 5 (21) 1 (11) 1 1 (16) 1 (26) 5 0 (térreo)
a) De acordo com a tabela, cada grupo obteve: A R (113) 1 (118) 5 131 B R (212) 1 (134) 5 122 C R (23) 1 (125) 5 122 D R (128) 1 (25) 5 123 E R (121) 1 (118) 5 139 b) De acordo com a pontuação total obtida no item anterior, os três primeiros colocados foram respectivamente os grupos E, A e D.
4. Representando o valor que Caio tem por um número positivo, e o valor da retirada, por um número negativo, temos: (13 600) 1 (24 000) 5 2400. Portanto, se Caio fizer essa retirada, seu saldo será de 2400 reais. 5. Representando o prejuízo por um número negativo (212), e o lucro, por um número positivo (1 29), vem: (212) 1 (129) 5 117 Logo, a florista teve um lucro de 17 reais. 6. Representando a data de nascimento de Júlio César por 2100 e sabendo que ele morreu com 56 anos, calculamos o ano de sua morte: (2100) 1 (156) 5 244 Logo, Júlio César morreu no ano 244 ou 44 a.C.
7. Representando 31 a.C. por 231 e sabendo que Marco Antônio morreu com 51 anos, calculamos o ano de seu nascimento: (231) 1 (251) 5 282 Logo, Marco Antônio nasceu em 282 ou 82 a.C. 8. Em 10 km há 10 000 m, pois 1 km 5 1 000 m. Em 10 000 m há 50 vezes 200 m, pois 10 000 200 5 50. Como a temperatura diminui cerca de 1 grau a cada 200 m de afastamento da superfície terrestre, temos: (120) 1 (250) 5 230 Logo, a temperatura na atmosfera a uma altura de 10 km é 230 graus. 9. Valor ganho com as respostas corretas: 52 × 20 5 1 040 R R$ 1 040, 00 Como Carlos acertou 52 perguntas de um total de 100, ele errou 48 perguntas; logo, Carlos pagou pelas respostas erradas o valor de: 48 × 22 5 1 056 R R$ 1 056, 00 Fazendo a diferença, vem: (11 040) 1 (21 056) 5 216 Logo, Carlos perdeu 16 reais no programa. 10. Para determinar o valor de x em cada caso, basta somar o resultado de cada igualdade com o simétrico das parcelas conhecidas. Assim, temos: a) (113) 1 (29) 5 14 b) (210) 1 (16) 5 24 c) 0 1 (17) 5 17 d) (13) 1 (13) 5 16 e) (23) 1 (27) 5 210 f) (218) 1 (120) 5 12 11. De acordo com as operações do extrato, podemos escrever: (17 200) 1 (110 000) 1 (213 000) 1 (28 000) 1 1 (15 000) 5 5 (17 200) 1 (110 000) 1 (15 000) 1 1 (213 000) 1 (28 000) 5 5 (122 200) 1 (221 000) 5 11 200 Logo, o saldo de Sérgio no dia 6 de junho era de 1R$ 1 200,00. 12. a) (127) 1 (113) 1 (228) 5 5 (140) 1 (228) 5 112
89
3. a) b) c) d) e) f)
c) (190) 1 (275) 1 (247) 5 5 (190) 1 (2122) 5 232 d) (211) 1 (120) 1 (135) 1 (227) 5 5 (211) 1 (227) 1 (120) 1 (135) 5 5 (238) 1 (155) 5 117 e) (132) 1 (268) 1 (222) 1 (148) 5 5 (132) 1 (148) 1 (268) 1 (222) 5 5 (180) 1 (290) 5 210
4. A soma dos dois números inferiores é igual ao número acima; com essa regra preenchemos as linhas que faltam:
f) (199) 1 (2100) 1 (2100) 1 (198) 1 (210) 5 5 (199) 1 (198) 1 (2100) 1 (2100) 1 1 (210) 5 5 (1197) 1 (2210) 5 213
275 2170 2140
g) (273) 1 (222) 1 (245) 1 (292) 1 (1250) 5 5 (2232) 1 (1250) 5 118 13. Como a e b são números inteiros opostos, o resultado da adição de a 1 b é 0, pois como a 5 2b, temos: (2b) 1 (1b) 5 0. 14. Sim; se a e b são números inteiros positivos, a soma de a 1 b também será positiva. 15. Sendo a 5 273, b 5 151 e c 5 217, temos: a) a 1 b R (273) 1 (151) 5 222 b) a 1 c R (273) 1 (217) 5 290 c) b 1 c R (151) 1 (217) 5 134 d) a 1 b 1 c R (273) 1 (151) 1 (217) 5 5 (290) 1 (151) 5 239
Exercícios, páginas 55 e 56. 1. a) b) c) d) e)
(120) 1 (218) 5 20 2 18 5 12 (230) 1 (121) 5 230 1 21 5 29 (281) 1 (217) 5 281 2 17 5 298 (137) 1 (152) 5 37 1 52 5 189 (215) 1 (122) 1 (26) 5 215 1 22 2 6 5 5 215 2 6 1 22 5 221 1 22 5 11
2. De acordo com a figura, vem: A R (27) 1 (210) 5 27 2 10 5 217 B R (217) 1 (19) 5 217 1 9 5 28 C R (28) 1 (120) 5 28 1 20 5 112
90
g) 31 1 14 5 145 h) 21 1 30 5 129 i) 40 2 63 5 223 j) 91 2 57 5 134 l) 290 1 10 5 280 m) 2100 1 104 5 14
7 1 17 5 124 28 2 2 5 210 29 1 14 5 15 24 2 4 5 28 19 2 23 5 24 240 2 11 5 251
280 230
230
260
250
195 1125
130
210
195
140
155
Editoria de arte
b) (250) 1 (230) 1 (212) 5 5 (280) 1 (212) 5 292
5. a) b) c) d) e) f)
7 1 20 2 4 5 27 2 4 5 23 217 1 14 1 3 5 217 1 17 5 0 27 2 16 2 10 5 27 2 26 5 11 225 2 21 2 40 5 246 2 40 5 286 35 1 18 1 62 5 53 1 62 5 1115 275 1 70 1 50 2 61 5 275 2 61 1 70 1 1 50 5 2136 1 120 5 216 g) 84 2 79 2 81 1 86 5 84 1 86 2 79 2 81 5 5 170 2 160 5 110 h) 264 2 96 2 77 1 200 5 2237 1 200 5 5 237 i) 292 1 17 1 34 1 20 5 292 1 71 5 221 j) 76 1 92 2 104 2 101 1 94 5 76 1 92 1 1 94 2 104 2 101 5 1262 2 205 5 157 l) 17 2 40 2 30 2 60 1 100 5 17 1 100 2 2 40 2 30 2 60 5 117 2 130 5 213 m) 81 1 19 2 95 2 105 1 260 2 110 5 81 1 1 19 1 260 2 95 2 105 2 110 5 5 1360 2 310 5 150
9 – Subtração de números inteiros Exercícios, página 58. 1. Para sabermos quantos anos Alexandre viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte:
(2323) 2 (2356) 5 2323 1 356 5 33 Logo, Alexandre viveu 33 anos. 2. Para sabermos quantos anos Pitágoras viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte: (2496) 2 (2570) 5 2496 1 570 5 74 Logo, Pitágoras viveu 74 anos.
6. Resposta em aberto. Brasil real, páginas 59 e 60. 1. a) (130) 2 (210) 5 130 1 10 5 140 R 40 graus. b) (143) 2 (137) 5 143 2 37 5 16 R 6 graus. c) (143) 2 (212) 5 143 1 12 5 155 R 55 graus.
3. a) A diferença entre os pontos das duplas B e A é dada por: (1230) 2 (2150) 5 5 1230 1 150 5 5 1380 Logo, a dupla B fez 380 pontos a mais que a dupla A. b) • Rodada 2 R (1300) 2 (260) 5 300 1 1 60 5 360 A dupla A ganhou a rodada 2 com 360 pontos a mais. • Rodada 3 R (1280) 2 (2120) 5 1280 1 1 120 5 400 A dupla B ganhou a rodada 3 com 400 pontos a mais. • Rodada 4 R (1220) 2 (1150) 5 1220 2 2150 5 70 A dupla A ganhou a rodada 4 com 70 pontos a mais. c) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe A é: (2150) 1 (1300) 1 (2120) 1 (1220)
d) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe B é: 230 1 (260) 1 (1280) 1 (1150)
4. A diferença entre as temperaturas é dada por: (125) 2 (29) 5 125 1 9 5 34 Logo, a diferença é de 134 graus.
2. a) A menor temperatura mundial ocorreu na Antártida, na estação Vostok. A temperatura foi de 289 8C. (212) 2 (289) 5 212 1 89 5 177 Logo, a diferença das temperaturas mínimas de Xanxerê e Vostok é de 77 graus. b) (17) 2 (249) 5 17 1 49 5 156 Logo, a diferença de temperaturas ocorridas em Browning, em 1916, foi de 56 graus. c) (158) 2 (289) 5 158 1 89 5 1147 Logo, a diferença entre a maior e a menor temperatura registrada no mundo foi de 147 graus. d) Registrando as temperaturas negativas em ordem crescente, temos: 289 < 249 < 212 < 210
10 – Adição algébrica Exercícios, páginas 62 e 63. 1.
5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
0 2 (217) 5 0 1 17 5 117 (29) 2 (116) 5 29 2 16 5 225 (113) 2 (120) 5 113 2 20 5 27 0 2 (118) 5 0 2 18 5 218 (21) 2 (219) 5 21 1 19 5 118 (120) 2 (19) 5 120 2 9 5 111 (24) 2 (117) 5 24 2 17 5 221 (140) 2 (180) 5 140 2 80 5 240 (111) 2 (262) 5 111 1 62 5 173 (272) 2 (281) 5 272 1 81 5 19
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2 (19) 5 29 2 (211) 5 111 1 (213) 5 213 1 (121) 5 121 3 2 (22) 5 3 1 2 2 (21 1 10) 5 11 2 10 7 1 (6 2 3) 5 7 1 6 2 3 1 2 (21 1 5) 5 1 1 1 2 5 9 1 (24 2 2) 5 9 2 4 2 2 2(1 1 1 2 4) 5 21 2 1 1 4
a) b) c) d)
27 1 (113) 5 27 1 13 5 16 10 2 (220) 5 10 1 20 5 130 211 2 (26) 5 211 1 6 5 25 32 1 (240) 5 32 2 40 5 28
2.
91
3. Como Lucca considerou os valores borrados como sendo a média aritmética dos valores vizinhos, vem: a) Às 9 horas R [(214) 1 (210)] 2 5 5 [224] 2 5 212 Logo, a temperatura às 9 horas era de 212 8C. b) Às 11 horas R [(210) 1 (28)] 2 5 5 [218] 2 5 29 Logo, a temperatura às 11 horas era de 29 8C. 4. a) 6 1 (29 1 1) 5 6 2 9 1 1 5 7 2 9 5 22 b) 8 2 (26 1 10) 5 8 1 6 2 10 5 14 2 10 5 5 14 c) 210 1 (6 2 4) 5 210 1 6 2 4 5 214 1 1 6 5 28 d) 2 1 (2 1 5 2 7) 5 2 1 2 1 5 2 7 5 9 2 7 5 5 12 e) 25 1 (2 2 4) 2 (7 2 1) 5 25 1 2 2 4 2 2 7 1 1 5 216 1 3 5 213 f) (25 1 3) 2 (5 2 9) 1 (8 2 1) 2 11 5 25 1 1 3 2 5 1 9 1 8 2 1 2 11 5 222 1 20 5 5 22 5. x 5 1 2 [4 1 (4 2 2 2 5) 2 (27 1 3)] x 5 1 2 [4 1 4 2 2 2 5 1 7 2 3] x51242412152713 x 5 111 2 15 x 5 24 y 5 2 2 [7 2 (21 2 3 1 6) 2 8] y 5 2 2 [7 1 1 1 3 2 6 2 8] y522721231618 y 5 16 2 11 y 5 15 Como x 5 24 e y 5 15, temos x < y. 6.
92
a)
30 1 [216 2 (27 1 10)] 5 5 30 1 [216 1 7 2 10] 5 5 30 2 16 1 7 2 10 5 5 37 2 26 5 5 111
b)
210 2 [11 1 (210 2 6) 1 1] 5 5 210 2 [11 2 10 2 6 1 1] 5 5 210 2 11 1 10 1 6 2 1 5 5 222 1 16 5 5 26
c)
18 2 (14 1 15) 2 [13 2 (16 2 21)] 5 5 18 2 14 2 15 2 [13 2 16 1 21] 5 5 18 2 14 2 15 2 13 1 16 2 21 5 5 134 2 63 5 5 229
d)
2(222) 2 [29 1 (27 2 23 2 26) 2 28] 5 5 122 2 [29 1 27 2 23 2 26 2 28] 5 5 122 2 29 2 27 1 23 1 26 1 28 5 5 199 2 56 5 5 143
e) 9 2 (210) 2 [221 2 (213 2 13 1 25)] 2 2 (218) 5 5 9 1 10 2 [221 1 13 1 13 2 25] 1 18 5 5 9 1 10 1 21 2 13 2 13 1 25 1 18 5 5 183 2 26 5 5 157 f) 11 1 [217 2 (222 1 16) 1 (229)] 2 2 (246 1 54) 5 5 11 1 [217 1 22 2 16 2 29] 1 46 2 54 5 5 11 2 17 1 22 2 16 2 29 1 46 2 54 5 5 179 2 116 5 5 237 7. Calculando o saldo de figurinhas para cada dia da semana que João jogou, vem: • 2a-feira R 217 1 43 1 14 1 23 2 45 5 5 262 1 80 5 118 • 3a-feira R 24 2 7 2 8 2 10 2 4 1 31 2 2 19 5 155 2 48 5 17 • 4a-feira R 19 2 21 1 36 2 100 2 35 1 1 100 5 1155 2 156 5 21 • 5a-feira R 223 1 24 2 25 1 26 2 27 1 1 28 5 275 1 78 5 13 • 6a-feira R 210 1 60 2 126 1 63 2 208 1 1 117 5 1450 2 334 5 1116 • Sábado R 299 1 85 2 121 2 310 1 420 1 1 115 5 2530 1 620 5 190 a) João ganhou mais figurinhas na 6a-feira. b) João se saiu pior na 4a-feira. c) De acordo com os saldos de figurinhas, em cada dia da semana, vem: 118 1 7 2 1 1 3 1 116 1 90 5 234 2 1 5 5 1233 Logo, a quantidade de figurinhas de João aumentou em 233. Desafio!, página 63. Resposta em aberto.
11 – Multiplicação de números inteiros
7. a) x ? (216) 5 216 R x 5 11, pois 11 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. b) x ? (25) 5 (25) ? (19) R x 5 19, pois pela propriedade comutativa, temos: (19) ? (25) 5 (25) ? (19). c) x ? (28) 5 0 R x 5 0, pois a multiplicação de um número inteiro por zero é sempre zero. d) x ? (11) 5 111 R x 5 111, pois todo número inteiro multiplicado por 11 resulta no próprio número.
Exercícios, página 67. a) (18) ? (29) 5 272 b) (26) ? (25) 5 130 c) (17) ? (14) 5 128 d) (19) ? (17) 5 163 e) (28) ? (16) 5 248 f) (15) ? (211) 5 255 g) 0 ? (113) 5 0 h) (26) ? (218) 5 1108 i) (13) ? (121) 5 163 j) (28) ? 0 5 0 l) (211) ? (221) 5 1231 m) (220) ? (117) 5 2340 n) (117) ? (117) 5 1289 o) (25) ? (232) 5 1160
8. a) x ? (12) 5 26 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 26 (12) R x 5 23 Logo, x deve ser substituído por 23. b) (25) ? x 5 150 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 150 (25) R x 5 210 Logo, x deve ser substituído por 210. c) x ? (25) 5 210 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 210 (25) R x 5 12 Logo, x deve ser substituído por 12.
2. Segredo: a multiplicação dos dois números inferiores é igual ao número acima. 212 000
115 23
180
210 25
28 12
24
Editoria de arte
2150
Esses itens poderiam também ser resolvidos da seguinte forma:
a) x ? (12) 5 26
x ? (12) 5 (12) ? (23)
a) (27) ? (111) ? (22) 5 (277) ? (22) 5 1154
Logo, x 5 23.
b) (29) ? (25) ? (23) 5 (145) ? (23) 5 2135
b) (25) ? x 5 150
c) (212) ? (26) ? (13) 5 (172) ? (13) 5 1216
(25) ? x 5 (25) ? (210)
d) (29) ? (29) ? (24) ? (21) 5 (181) ? (14) 5 5 1324
Logo, x 5 210.
e) (28) ? (110) ? (17) ? (12) 5 (280) ? (114) 5 5 21 120
x ? (25) 5 (25) ? (12)
Logo, x 5 12.
3.
f) (28) ? (16) ? 0 ? (211) 5 (248) ? 0 5 0 4. Respostas em aberto. 5. 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (22) 5 114 ou 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (16) 1 (27) ? (28) 5 242 1 56 5 114 6. 25 ? (28 1 5) 5 25 ? (28) 1 (25) ? (15) 5 5 140 2 25 5 15
c) x ? (25) 5 210
9. a) O produto de dois números inteiros é positivo quando esses dois números possuem sinais iguais. Logo, em 8 quadradinhos, o resultado será positivo. b) O produto de dois números inteiros é negativo quando esses dois números possuem sinais diferentes. Logo, em
93
8 quadradinhos, o resultado será negativo.
5 (114) 1 (210) 5
5 14
b) xy 1 2x, para x 5 26 e y 5 23: Exercícios, página 68.
26 ? (23) 1 2 ? (26) 5
a) 81 1 (220) ? (14) 5
5 2(218) 1 (212) 5
5 81 1 (280) 5
5 118 2 12 5
5 81 2 80 5
5 16
5 11
c) 3a 2 7b, para a 5 18 e b 5 27:
b) (24) ? (27) 2 30 5
3 ? (18) 2 7 ? (27) 5
5 (128) 2 30 5
5 (124) 2 (249) 5
5 128 2 30 5
5 124 1 49 5
5 22
5 173
c) 223 2 (26) ? (13) 5
d) 2a 1 5b 2 10, para a 5 110 e b 5 22:
5 223 2 (218) 5
2 ? (110) 1 5 ? (22) 2 10 5
5 223 1 18 5
5 (120) 1 (210) 2 10 5
5 25
5 120 2 20 5
50
d) (29) ? (16) 2 (12) ? (227) 5
5 (254) 2 (254) 5
e) 3a 2 5b 1 4c, para a 5 21, b 5 21 e c 5 21:
5 254 1 54 5
3 ? (21) 2 5 ? (21) 1 4 ? (21) 5
50
5 (23) 2 (25) 1 (24) 5
e) 19 2 (24) ? (15) 5
5 23 1 5 2 4 5
5 19 2 (220) 5
5 27 1 5 5
5 19 1 20 5
5 22
5 139
f) 10 2 a 1 ab 2 2b, para a 5 21 e b 5 13:
f) 7 ? (23) 2 9 ? (26) 1 11 ? (22) 5
10 2 (21) 1 (21) ? (13) 2 2 ? (13) 5
5 (221) 2 (254) 1 (222) 5
5 10 2 (21) 1 (23) 2 (16) 5
5 221 1 54 2 22 5
5 10 1 1 2 3 2 6 5
5 243 1 54 5
5 11 2 9 5
5 111
5 12
g) (15) ? (111) 2 37 2 (22) ? (114) 5
5 (155) 2 37 2 (228) 5
5 155 2 37 1 28 5
5 183 2 27 5
5 146
h) 18 2 3 ? (27) 1 9 ? (24) 2 20 5
5 18 2 (221) 1 (236) 2 20 5
5 18 1 21 2 36 2 20 5
5 139 2 56 5
5 217
2. a) 2x 1 5y, para x 5 17 e y 5 22:
94
2 ? (17) 1 5 ? (22) 5
Desafios!, página 69. 1. As possíveis multiplicações de dois números inteiros em que o resultado dá 120 são: (11) ? (120); (21) ? (220); (12) ? (110); (22) ? (210); (14) ? (15); (24) ? (25) Para encontrar esses fatores, basta fatorar o número 20: 20 10 5 1
2 2 5 22 ? 5
2. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 16 são: (11) ? (16); (21) ? (26); (12) ? (13); (22) ? (23). Como a soma deve ser 25, os dois números inteiros procurados são: 22 e 23. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 210 são: (21) ? (110); (11) ? (210); (22) ? (15); (12) ? ?(25). Como a soma deve ser 13, os dois números inteiros procurados são: 15 e 22. Chegou a sua vez!, página 70. O gasto de Beto com o material escolar foi: 1 ? 2 1 5 ? 6 1 1 ? 5 1 1 ? 7 1 4 ? 1 5 2 1 30 1 1 5 1 7 1 4 5 48 R R$ 48,00 Como Beto levou R$ 50,00, ele conseguirá comprar tudo o que precisa, e ainda sobrarão 2 reais.
e) 0 (15) 5 0 R 0 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. f) (17) 0 R A divisão não é definida para o divisor zero, portanto não pode ser efetuada em Z. 3. Na divisão x (28) 5 12, x 5 216, pois (28) ? (12) 5 16. 4. Sim; Todo número dividido por ele mesmo dá 1. Se o quociente for 21, é porque os números têm mesmo módulo e sinais contrários, ou seja, são opostos. 5. Resposta em aberto. 6. Resposta em aberto. 7. a) (29) (13) 5 23 b) (211) (211) 5 11 c) (121) (17) 5 13
12 – Divisão de números inteiros Exercícios, página 73.
d) (136) (24) 5 29 e) 0 (120) 5 0 f) (231) (131) 5 21 g) (145) (23) 5 215
1. a) Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o resultado da divisão será negativo. b) Zero dividido por qualquer número inteiro negativo será sempre zero. c) Como o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o resultado da divisão será positivo. d) A divisão de zero por qualquer número inteiro estritamente positivo será sempre zero.
h) (152) (12) 5 126 i) (265) (25) 5 113 j) (290) (16) 5 215 l) (164) (116) 5 14 m) (239) (213) 5 13 n) (196) (224) 5 24 o) (2200) (125) 5 28 p) (163) (121) 5 13 q) (181) (227) 5 23 8. Resolvendo as divisões do quadro, vem:
2. a) (19) (29) 5 21 R 21 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. b) (22) (11) 5 22 R 22 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. 3 3 c) (23) (22) 5 R Z; logo, essa 2 2 divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro). 11 11 d) (111) (15) 5 R Z; logo, 5 5 essa divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro).
(2120) (210) 5 112 (2200) (250) 5 14 (260) (112) 5 25
(196) (216) 5 26
(180) (28) 5 210
(148) (124) 5 12
(1150) (115) 5 110 (2121) (111) 5 211 Somando os resultados obtidos, temos: (112) 1 (25) 1 (210) 1 (110) 1 (14) 1 (26) 1 1 (12) 1 (211) 5 5 112 2 5 2 10 1 10 1 4 2 6 1 2 2 11 5 5 128 2 32 5 24 Logo, a soma dos resultados dessas divisões dá 24.
95
d) (21)4 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 11
Exercício, página 74.
e) (11)6 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) 5 11
a) 31 1 (240) (12) 5
5 31 1 (220) 5
5 31 2 20 5
5 111
f) (21)6 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) 5 11
b) 210 2 20 (14) 5
g) (11)3 5 (11) ? (11) ? (11) 5 11
5 210 2 (15) 5
h) (21)3 5 (21) ? (21) ? (21) 5 21
5 210 2 5 5
5 215
i) (11)5 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 5 11
c) (130) (26) 1 (218) (13) 5
5 (25) 1 (26) 5
5 25 2 6 5
5 211
j) (21)5 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 5 21 k) (11)7 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) ? (11) 5 11
d) 7 (27) 1 2 ? (26) 1 11 5
5 (21) 1 (212) 1 11 5
5 21 2 12 1 11 5
5 213 1 11 5
5 22
l) (21)7 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) 5 21 2. a) Podemos notar que, quando o expoente é um número par, a potência é sempre um número inteiro positivo. b) Podemos notar que, quando o expoente é um número ímpar, o sinal do resultado vai depender do sinal da base.
e) (236) (24) 1 3 ? (23) 5
5 (19) 1 (29) 5
519295
50
f) 35 2 6 ? (16) 1 (154) (26) 5
5 35 2 (136) 1 (29) 5
5 35 2 36 2 9 5
5 35 2 45 5
5 210
g) 2 1 (275) (25) 2 4 ? (21) 5
5 2 1 (115) 2 (24) 5
5 2 1 15 1 4 5
5 17 1 4 5
5 121
13 – Potenciação de números inteiros Chegou a sua vez!, página 74.
1. Como x é um número inteiro negativo e o expoente é par, a potência será sempre um número inteiro positivo. Logo, x2 será um número inteiro positivo. 2. Como a é um número inteiro negativo e o expoente é ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base. Logo, a3 será um número inteiro negativo. 3. a) (217)2 5 (217) ? (217) 5 1289 b) (115)3 5 (115) ? (115) ? (115) 5 13 375 c) (140)2 5 (140) ? (140) 5 11 600 d) (230)3 5 (230) ? (230) ? (230) 5 227 000
1. a) (11)2 5 (11) ? (11) 5 11
e) (25)4 5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) 5 1625
b (21) 5 (21) ? (21) 5 11
f) (13)5 5 (13) ? (13) ? (13) ? (13) ? (13) 5 5 1243
c) (11)4 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 11
g) (15)4 5 (15) ? (15) ? (15) ? (15) 5 1625
2
96
Exercícios, páginas 76 e 77.
4.
d) (19) ? (19)11 ? (19)8 5 (19)1 1 11 1 8 5 (19)20 a) (19)2 5 (19) ? (19) 5 181
e) (213)20 (213)14 5 (213)20 2 14 5 (213)6
b) (29)2 5 (29) ? (29) 5 181
f) (17)4 5 (17)4 ? 3 5 (17)12 g) (110)5 ? (110) ? (110)8 5 (110)5 1 1 1 8 5 5 (110)14
3
c) (19)3 5 (19) ? (19) ? (19) 5 1729 d) (29)3 5 (29) ? (29) ? (29) 5 2729 e) (12)5 5 (12) ? (12) ? (12) ? (12) ? (12) 5 5 132 f) (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 5 232 g) (21)10 5 11 R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. h) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 181 i) (27)3 5 (27) ? (27) ? (27) 5 2343 j) (2100)0 5 11 l) (21)101 5 21R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é negativo. m) (225)2 5 (225) ? (225) 5 1625 n) (110)6 5 (110) ? (110) ? (110) ? (110) ? ? (110) ? (110) 5 11 000 000
h) (120)7 (120)6 5 (120)7 2 6 5 (120)1 7.
2
a) ( 24)7 ? (24)10 ? (24) ; (24)8 5 5 (24)7 1 10 1 1 ; (24)16 5 5 (24)18 (24)16 5
5 (24)18 2 16 5
5 (24)2 5
5 (24) ? (24) 5
5 116 2
6 6 2 b) (22) ; (22) ? (22) ? (22) 5 5 (22)6 ? 2 ; (22)6 1 2 1 1 5 5 (22)12 (22)9 5
5 (22)12 2 9 5
5 (22)3 5
5 (22) ? (22) ? (22) 5
5 28
o) (21)9 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 21 p) (21)200 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. q) (11)99 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é positivo. 5. Para a 5 (21)100 5 11 e b 5 (21)101 5 21, temos: a) a 1 b 5 (11) 1 (21) 5 0 b) a 2 b 5 (11) 2 (21) 5 11 1 1 5 12 6. a) (28)5 ? (28) ? (28)4 5 (28)5 1 1 1 4 5 (28)10 2
b) (12)6 5 (12)6 ? 2 5 (12)12 c) (210)9 (210)6 5 (210)9 2 6 5 (210)3
Exercício, página 77. a)
(29)2 2 (15) ? (116) 5 5 181 2 (180) 5 5 181 2 80 5 5 11
b)
(22)4 (116) ? (21)7 5 5 (116) (116) ? (21) 5 5 (11) (21) 5 5 21
c)
(26)2 2 (27)2 1 130 5 5 136 2 (149) 1 1 5 5 136 2 49 1 1 5 5 137 2 49 5 5 212
d)
52 2 (23)3 1 (24)2 5 5 25 2 (227) 1 (116) 5 5 25 1 27 1 16 5 5 52 1 16 5 5 168
97
e)
4 ? (25)3 1 (220)2 5 5 4 ? (2125) 1 (1400) 5 5 2500 1 400 5 5 2100
f)
112 2 4 ? (25)2 1 100 5 5 121 2 4 ? (125) 1 1 5 5 121 2 100 1 1 5 5 122 2 100 5 5 122
g)
17 2 3 ? (22) 2 (26) ? (21) 5 5 17 2 3 ? (14) 2 (136) ? (21) 5 5 17 2 12 2 (236) 5 5 17 2 12 1 36 5 5 53 2 12 5 5 141
h)
7 ? (22)2 2 5 ? (22)3 2 102 5 5 7 ? (14) 2 5 ? (28) 2 100 5 5 28 1 40 2 100 5 5 68 2 100 5 5 232
2
2
3. a)
36 5 6
b) 2 64 52 (18) 52 8 c)
100 5 10
d) 2 49 52 (17) 52 7 4. a)
400 5 20, pois 202 5 400.
b) 2 900 52 (130) 52 30, pois 302 5 900. 7
c) 2 2500 52 (150) 52 50, pois 502 5 2 500. d)
144 5 12, pois 122 5 144.
(
5. p 5 1 2 2 100 p 5 1 2 (210)
)
p 5 1 1 10 p 5 111 Logo, p 5 111. 6. x 5 81 ;(42 2 52) x 5 9 (16 2 25) x 5 9 (29) x 5 21
14 – Raiz quadrada exata de números inteiros
Logo, x 5 21. 7. Não, pois não existe em Z raiz quadrada de número negativo.
Exercícios, página 79. 1. a)
25 5 5
b)
64 5 8
c)
281 R Não existe em Z.
d)
1 51
15 – Expressões numéricas Exercício, página 80. a) (27 2 4) ? (29 1 2) 2 (272 1 2) (25 2 5) 1 1 (29 2 4 1 6) 5
2.
9 R É um número inteiro, pois
9 5 3.
25 R É um número inteiro, pois 25 5 5. 37 R Não é um número inteiro, pois 62 5 5 36 e 72 5 49, e entre 6 e 7 não há números inteiros.
5 (211) ? (27) 2 (270) (210) 1 (27) 5
5 177 2 (17) 2 7 5
5 177 2 7 2 7 5
5 177 2 14 5
5 163
b) (29 2 3);(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (25 1 4) 1 (236);(21 2 3) 5 64 R É um número inteiro, pois 64 5 8. (29 2 3);(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (2 5 1 4) 1 (236);(21 2 3) 5 80 R Não é um número inteiro, pois 82 5 64 e 92 5 81, e entre 8 e 9 não há 5 (212);(16) 2 10 2 (27) ? (21) 1 (236);(24) 5 números inteiros. 5 2 2 2 10 2 (17) 1 (19) 5 Logo, 37 e 80 não representam 5 2 2 2 10 2 7 1 9 5 números inteiros. 5 22 2 10 1 7 2 9 5
98
5 221 1 7 5
5 214
c) (21 2 4) ? (210 1 16) 2 (28);(12) 2 7 2 (21) ? (15) 5
1 16) 2 (28);(12) 2 7 2 (2 1) ? (15) 5 5 (25) ? (16) 2 24 2 7 2 (25) 5 5 2 30 2 24 2 7 1 5 5
b) Como para um homem de 50 anos com um estilo de vida saudável podemos abater 15 anos, um homem de 50 anos pode aparentar 35 anos. c) O gráfico ficaria da seguinte forma: a idade biológica menor que a cronológica 0 25
5 230 1 4 1 7 2 5 5
210
5 235 1 11 5
215
5 224
5 5 2 20 2 6 2 (235);(25) 5 5 5 2 20 2 6 2 (17) 5
5 5 2 [20 2 6 2 7] 5
5 5 2 20 1 6 1 7 5
5 18 2 20 5
5 22
5 23 1 27 2 2 2 1 5
5 26 1 27 5
5 121
f) (22 2 3)2 ;(225) 1 30 2 (210 1 36 )2 ;(22)3 2 52 5 5 (25)2 ;(225) 1 30 2 (210 1 6)2 ;(28) 2 25 5 30 2 (24)2 ;(28) 2 25 5 5 25 ; ( 2 25 ) 1 5 2 1 1 30 2 ( 1 16 ) ; ( 2 8 ) 2 25 5 5 21 1 30 2 (22) 2 25 5
5 21 1 30 1 2 2 25 5
5 21 1 30 1 2 2 25 5
5 226 1 32 5
5 16
Chegou a sua vez!, páginas 81 e 82. 1. a) A mulher, pois ela consegue abater mais anos da idade cronológica.
212 213
215 216
221 223
225 230
227 229
235 Homens Mulheres
2. a) A fábrica teve lucro nos meses de maio, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro. A fábrica teve prejuízo nos meses de janeiro, fevereiro e março. b) O lucro foi maior em novembro. c) Os meses que apresentam lucro zero são os meses de abril e junho. d) Lucro: 110 1 15 1 26 1 32 1 15 1 50 1 1 30 5 1178 Como o lucro da fábrica é dado em milhares de reais, o lucro total nos meses de lucro foi de R$ 178 000,00. Prejuízo: 220 2 10 2 5 5 235 O valor absoluto do prejuízo total em milhares de reais, foi de R$ 35 000,00. Portanto, o lucro foi maior em R$ 143 000,00.
e) (26)2 (212) 2 (23)3 1 (22)5 (24)2 2 50 5 5 36 (212) 2 (227) 1 (232) (116) 2 1 5 5 23 1 27 1 (22) 2 1 5
25 26
220
d) (250);(25 2 5) 2 20 1 (242);(17) 2 (235);(21 2 16 ) 5 5) 2 20 1 (242);(17) 2 (235);(21 2 16 ) 5 5 (250);(210) 2 20 1 (26) 2 (235);(21 2 4) 5
30 anos 40 anos 50 anos 60 anos 70 anos
Editoria de arte
3. a) No eixo horizontal, a grandeza representada é o tempo. No eixo vertical, a grandeza representada é a temperatura. b) • A temperatura média é maior em julho. • A temperatura média é menor em janeiro e fevereiro. c) Em dezembro, a temperatura média era de 0 8C e, em fevereiro, a temperatura média era de 23 8C; logo, a temperatura em dezembro é maior que a temperatura em fevereiro, pois 0 8C > 23 8C.
99
d) • De abril para maio, a temperatura variou em 16 8C, pois 110 8C 2 4 8C 5 16 8C. Portanto, houve um aumento de 6 8C nesse período. • De dezembro para janeiro, a temperatura variou em 23 8C, pois 23 8C 2 0 8C 5 23 8C. Portanto, houve uma queda de 3 8C. e) A média da temperatura no 1o semestre é dada pela soma das temperaturas médias de cada mês dividido por 6:
(23) 1 (23) 1 (21) 1 (14) 1 (110) 1 (115) ;6 5 5 23 2 3 2 1 1 4 1 10 1 15 ;6 5 5 27 1 29 ;6 5 5 22 6 . 3,6 R .3,6 8C Logo, a média da temperatura no 1o semestre foi de aproximadamente 3,6 8C.
• A média de temperatura no 2o semestre é dada por:
(118) 1 (117) 1 (112) 1 (17) 1 (13) 1 0 ;6 5 5 18 1 17 1 12 1 7 1 3 1 0 ;6 5
5 57 6 5 9,5 R 9,5 8C
Logo, a média da temperatura no 2o semestre foi de 9,5 8C.
Retomando o que aprendeu, páginas 82 e 83. 1. Alternativa b. (23) 2 (21) 5 23 1 1 5 22 Logo, o simétrico do número obtido é 12. 2. Alternativa c. A variação de temperatura é dada pela diferença entre a temperatura final e a inicial: (22 8C) 2 (14 8C) 5 22 8C 2 4 8C 5 26 8C Logo, a temperatura baixou 6 graus nesse período. 3. Alternativa a. (21)2 5 11 (I) (21)3 5 21 (II) Logo, a soma de (I) e (II) será: 11 2 1 5 0 4. Alternativa e.
100
Os números inteiros menores que 24 estão à sua esquerda. Daí vem: 24 > 27 > 210 > 212 Logo, dentre a sequência de números apresentada, há 3 números menores que 24. 5. Alternativa b. Primeiro, verificamos os resultados para as potências apresentadas: (13)5 5 1243
242 5 216
(21)10 5 11
(27)2 5 149 (22)3 5 28 Logo, há duas potências que representam números inteiros negativos. 6. Alternativa c. I) 224 5 (22)4 R Falsa, pois 224 5 216 e (22)4 5 116. II) 220 5 (22)0 R Falsa, pois 220 5 21 e (22)0 5 11. III) 223 5 (22)3 R Verdadeira, pois 223 5 28 e (22)3 5 28. IV) (12)6 5 (22)6 R Verdadeira, pois (12)6 5 132 e (22)6 5 132.
Logo, há 2 sentenças verdadeiras.
7. Alternativa c. De acordo com os saldos do quadro, vem: 12 400 1 850 2 680 1 450 2 1 720 2 750 5 5 3 700 2 1 750 5 5 1550 R Crédito de R$ 550,00. 8. Alternativa b. De acordo com o extrato bancário de Roberto, vem: 1236 2 51 2 400 1 1 320 2 92 2 813 2 45 2 2 184 2 90 1 352 2 150 2 46 2 120 5 5 11 908 2 1 991 5 283 Logo, o saldo da conta de Roberto no dia 10/8 ficou negativo em 83 reais. 9. Alternativa b. De acordo com o enunciado, podemos escrever: (210)2 ? x 5 2500 100 ? x 5 2500 100 ? x 5 25 ? 100 x 5 25 10. Alternativa d. a3 2 3 ? a2 ? x2, para a 5 10 e x 5 2, temos: (10)3 2 3 ? (10)2 ? (2)2 5
15. Alternativa a.
5 1 000 2 3 ? 100 ? 4 5 5 1 000 2 1 200 5
x 5 2(23)3 2 (22)3
5 2200
x 5 2(227) 2 (26) x 5 27 2 (64)
11. Alternativa a.
x 5 27 2 64
(23)2 ? 29 1(23)3 ;(23)2 5 5 9 ? 29 1(227) ;9 5
x 5 237 y 5 (22)3 2 (23)2 2 (25)0 1 (22)4
5 9 ? 29 2 27 ;9 5
y 5 28 2 (19) 2 (11) 1 (116)
5 2324 9 5
y 5 218 1 16
y 5 28 2 9 2 1 1 16
5 9 ? 236 ;9 5
y 5 22
5 236
Logo, x ? y 5 (237) ? (22) 5 174.
12. Alternativa d. (210)3 2 9 ? (210)2 ? (22)2 5 5 21 000 2 3 ? (100) ? (4) 5
16. Alternativa b. a3 2 (b 2 c)3, para a 5 29, b 5 12 e c 5 110: 3
5 21 000 2 3 ? (400) 5
(29)3 2 (12) 2 (110) 5
5 21 000 2 1 200 5
5 2 729 2 12 2 10 5 3 5 2 729 2 28 5 5 2 729 2 2512 5
3
5 2 2 200 Logo, a metade do valor da expressão é: 22 200 2 5 21 100
5 2729 1 512 5
13. Alternativa e.
5 2217
A 5 (22)3 2 (28) (22)
17. Alternativa d.
A 5 28 2 (14)
x 52 2 21 1 (23 1 4) 2 (22 2 6) 2 (23 1 5)
A 5 28 2 4 A 5 212 B 5 (22) ? (21) ? (11) ? (12) ? (21) ? (12) ? (22) B5 B5
(12) ? (12)
?
(22) ? (22)
(14) ? (14)
B5
116
x 52 2 21 1 (11) 2 (28) 2 (12)
x 52 2 21 1 1 1 8 2 2 x 52 2 18 2 2 x522822 x 5 28
Logo, o quadrado de x será 64, pois x2 5 (28)2 5 64.
Logo, A 1 B 5 212 1 16 5 14. 14. Alternativa b. (212)2 (27 2 11) 2 (24 1 2 2 1) ? (23)2 1 1 (22)4 ? (1 2 2)3 5 5 (1144) (218) 2 (25 1 2) ? (19) 1 (116) ? ? (21)3 5 5 28 2 (23) ? (19) 1 (116) ? (21) 5 5 28 2 (227) 1 (216) 5 5 28 1 27 2 16 5 5 224 1 27 5 5 13
101
O conjunto dos números Racionais Abertura, páginas 84 e 85.
5. a) 1
5 • 1 1 é maior, menor, igual ou diferente 10 de 11,5? 5 5 0,5, então São iguais, pois 10 1 1 0,5 5 1,5. 5 é maior, menor, igual ou 10 diferente de 21,5? 5 52 0,5, então São iguais, pois 2 10 21 2 0,5 5 21,5.
b) 1
6 12
;6
10 30
;10
c) 2 5 40
;6
51
;10
51
;5 ;5
1 2
52
1 3
1 8
d) 2 9 15
;3
e) 1 16 40 f) 2 33 44
;8
212
16 – O conjunto dos números racionais Exercícios, página 88. 1.
6. a) 1 ;2 → 10 2 0 0,5 1 Logo, 2 52 0,5. 2 b) 13; 4 → 13
10 3,25 20 0 13 Logo, 1 51 3,25. 4
a) Racionais inteiros: 1, 2, 11, 12, 21 e 22.
c) 21 ;5 → 21
b) Racionais escritos na forma 5 5 fracionária: 1 ,2 . 10 10 c) Racionais escritos na forma decimal: 11,5; 21,5.
5
10 4,2 0 Logo,1
21 51 4,2. 5
d) 61 ;10 → 61
2. b) 17 pertence a IN, Z e Q. 3 c) 1 pertence a Q. 8 d) 22,7 pertence a Q. 3. Sim; o zero é um número racional, pois podemos escrevê-lo na forma racional, 0 0 etc. como por exemplo: ; 7 12 4. a) 24 IN
g) 16 [ IN
b) 24 [ Z
h) 16 [ Z
c) 24 [ Q
i) 16 [ Q
4 IN 9 4 e) 1 Z 9 4 f) 1 [ Q 9 d) 1
j) 21,6 IN
Logo,2
61 52 6,1. 10
e) 1 ;20 → 100 0
Logo, 1
20 0, 05
1 51 0, 05. 20
f) 3;50 → 300 50 0 0, 06
Logo, 2
3 52 0, 06. 50
g) 27;100 → 270
l) 21,6 Z m) 21,6 [ Q
10
10 6,1 0
a) 25 pertence a Z e Q.
102
4
100
700 0,27 0 27 Logo, 1 51 0,27. 100
;3
52
3 5
2 5 3 52 4 ;11 51
;8 ;11
reta numérica, vem: a) Abscissa do ponto A R 12 3 1 b) Abscissa do ponto B R 2 ou 21 . 2 2 c) Imagem geométrica do número
6 h) 39 ;6 → 39 30 6,5 0 Logo, 2
39 52 6,5. 6
i) 23;10 → 23
1
10
30 2,3 0 7.
ou 1 3 1 R Ponto D. 2
d) Imagem geométrica do número
23 Logo,2 52 2,3. 10
9 10 ;5 15 3 52 b) 21,5 52 10 ;5 2 ; 25 25 1 52 c) 20,25 52 100 ;25 4 ;2 18 9 d) 11,8 51 51 10 ;2 5 ;2 2 1 52 e) 20, 002 52 1000 ;2 500 ;5 55 11 f) 15,5 51 51 10 ;5 2
7 2
2
5 2
ou 2 2 1 R Ponto E. 2
e) Abscissa do ponto C R 1
a) 10,9 51
1 2
3. Fazendo a reta numérica e representando nela os pontos, vem: S �3
D �2
B �1
A 0
C �1
�2
R �3
Editoria de arte
4. Resposta em aberto.
Desafio!, página 91. 1. Alternativa d.
Desafio!, página 89. 2 Um litro de água completa apenas da 3 1 jarra. É fácil perceber que em da jarra 3 cabe 0,5 litro de água. Logo, na jarra toda cabe 1,5 litro de água.
17 – A reta numérica Exercícios, página 90. 1. Respondendo aos itens de acordo com a reta numérica, vem: 4 a) 1 R Ponto R. 3 1 b) Ponto B R 2 . 3 2 5 c) Ponto S R 2 ou 21 . 3 3 2 d) 1 R Ponto A. 3 e) 13 R Ponto M. 2. Respondendo aos itens de acordo com a
a) 0,40 < 0,31 R Comparação falsa, pois 0,40 está à direita de 0,31 na reta numérica; logo, 0,40 > 0,31. 1 b) 1 R Comparação falsa, pois 1 está 2 1 à direita de na reta numérica; logo, 2 1 1. . 2 4 c) 0, 4 R Comparação falsa, pois 10 4 5 0, 4. 10 d) 2 > 1,9 R Comparação verdadeira, pois 2 está à direita de 1,9 na reta numérica; logo, 2 > 1,9. 2. Alternativa a. De acordo com as posições marcadas na figura, o ponto A está na metade entre os pontos 0 e 1 km; logo, o ponto A representa 1 a posição km ou 0,5 km. 2 O ponto B está na metade entre os pontos 1,5 km e 2 km; logo, o ponto B representa a 3 posição 1,75 km 5 1 km. 4
103
Brasil real, páginas 91 e 92. 1. a) Houve queda em três meses: fevereiro (20,5%), maio (20,5%) e agosto (21,3%). b) Houve crescimento em seis meses: janeiro (1,8%), março (0,4%), abril (0,2%), junho (2,9%), julho (1,4%) e setembro (1,7%). c) Junho [2,9 – (20,5) 5 3,4 R 3,4%] 2, 9 29 5 d) Maior: 2,9% R 5 0,029 100 1 000 21, 3 213 Menor: 21,3% R 5 20,013 5 100 1 000 e) 1,8% R 0,018 20,5% R 20,005 0,4% R 0,004 0,2% R 0,002 1,4% R 0,014 1,7% R 0,017 Ordem decrescente: 2,9% . 1,8% . 1,7% . .1,4% . 0,4% . 0,2% . 20,5% . 21,3%. 2.
104
b)
c) d)
e) f) g)
Monte Roraima R 2 734,06 2 2 739,3 5 5 25,24 Logo, a diferença, em módulo, entre as temperaturas estimadas para o Monte Roraima é de 5,24 m. 4 picos: Pico da Neblina, Pico 31 de Março, Pico do Cristal e Monte Roraima. 3 picos: Pico da Bandeira, Pico da Pedra da Mina e Pico das Agulhas Negras. A maior diferença se deu entre as medições do Pico da Pedra da Mina; essa diferença é para mais. Pico da Bandeira. 2 739,3 < 2 770,0 < 2 780,0 < 2 787,0 < < 2 889,8 < 2 992,4 < 3 014,1 No Amazonas.
18 – Adição algébrica de números racionais
a) Fazendo altitude nova menos a antiga, vem: Exercícios, página 94. Pico da Neblina R 2 993,78 2 3 014,1 5 1. 5 220,32 3 5 9 10 29 1 10 1 a) 2 1 52 1 5 51 Logo, a diferença, em módulo, entre as 4 6 12 12 12 12 temperaturas estimadas para o Pico da b) 12,35 2 3 5 20,65 Neblina é de 20,32 m. c) 2 1 1 3 52 5 1 6 5 25 1 6 51 1 Pico 31 de Março R 2 972,66 2 2 992,4 5 4 10 20 20 20 20 5 219,74 d) 20,48 2 1,6 5 22,08 Logo, a diferença, em módulo, entre as temperaturas estimadas para o Pico 31 e) 11,55 1 4,75 5 16,30 de Março é de 19,74 m. 7 8 21 16 221 1 16 5 52 f) 2 6 1 9 52 18 1 18 5 Pico da Bandeira R 2 891,98 2 2 889,8 5 18 18 5 2,18 Logo, a diferença entre as g) 17,35 2 10 5 22,65 temperaturas estimadas para o Pico da h) 22,91 1 3,07 5 10,16 Bandeira é de 2,18 m. Pico da Pedra da Mina R 2. R 2 770,0 2 2 787,0 5 28,39 Logo, a diferença entre as a) 2 1 5 2 1 5 4 1 5 2 3 5 4 1 5 2 3 5 6 511 3 6 2 6 6 6 6 6 temperaturas estimadas para o Pico da 2 5 1 4 5 3 4 1523 6 Pedra da Mina é de 1 28,39 2 m. 5 1 2 5 5 511 3 6 2 6 6 6 6 6 Pico das Agulhas Negras R b) 1 2 0,47 2 1,9 1 0,63 5 R 2 791,55 2 2 787,0 5 4,55 5 1,63 2 2,37 5 Logo, a diferença entre as 5 20,74 temperaturas estimadas para o Pico das Agulhas Negras é de 4,55 m. c) 24,7 1 2 2 1,75 1 1,48 5 Pico do Cristal R 2 769,76 2 2 780,0 5 5 26,45 1 3,48 5 5 210,24 5 22,97 Logo, a diferença, em módulo, entre as temperaturas estimadas para o Pico d) 7 2 5 2 2 1 1 5 14 2 15 2 12 1 9 5 14 2 15 2 12 1 9 5 9 6 3 2 18 18 18 18 18 Cristal é de 10,24 m.
5
23 2 27 4 52 18 18
2 2
52
Brasil real, páginas 95 e 96. 2 9
3. A 5 14,75 1 (17,21) 1 (210,92) A 5 14,75 1 7,21 2 10,92 A 5 11,96 2 10,92 A 5 11,04
1. a) De acordo com as informações do enunciado, podemos organizar a seguinte tabela: Campeonato Sul-Americano de Atletismo (2006) Classificação
País
1o
4. Para saber quantos graus a temperatura aumenta, devemos fazer temperatura final menos temperatura inicial. Assim, temos: a) (123,5) 2 (111,8) 5 123,5 2 11,8 5 11,7 Logo, a temperatura aumentou 11,7 graus. b) (11,5) 2 (28,5) 5 11,5 1 8,5 5 10 Logo, a temperatura aumentou 10 graus. 5. Para x 5 20,67 e y 5 20,75, temos: a) x 1 y 5 20,67 1 (20,75) 5 20,67 2 2 0,75 5 21,42 b) x 2 y 5 20,67 2 (20,75) 5 20,67 1 1 0,75 5 10,08 c) 1 2 x 2 y 5 1 2 (20,67) 2 (20,75) 5 1 1 1 0,67 1 0,75 5 12,42 6. A distância do ponto A até o ponto P é o módulo de 210,75 m; logo, A está a 110,75 m de P. A distância do ponto P até o ponto B é 113,65 m. Portanto, a distância do ponto A ao B é dada: 10,75 m 1 13,65 m 5 24,40 m 7. Para a 5 21,75; b 5 13,6 e c 5 24,21, temos: a 2 b 1 c 5 21,75 2 (13,6) 1 (24,21) 5 5 21,75 2 3,6 2 4,21 5 5 29,56 8. Como a temperatura caiu 6 graus, temos: 13,5 8C 2 6 8C 5 22,5 8C Logo, a temperatura registrada às 18 horas nessa cidade era de 22,5 8C. 9. 2,5 2 [0,2 1 (23,7 1 5) 2 1,4] 5 5 2,5 2 [0,2 2 3,7 1 5 2 1,4] 5 5 2,5 2 0,2 1 3,7 2 5 1 1,4 5 5 17,6 2 5,2 5 5 12,4 Logo, o menor número inteiro maior que 12,4 é 13.
Medalhas Ouro
Prata
Bronze
Total de Medalhas
Total de Pontos
Brasil
26
11
17
54
498
2o
Colômbia
9
18
10
37
317
3o
Argentina
5
3
5
13
151
Medalhas conquistadas no Campeonato Sul-Americano de Atletismo em 2006
b) 30 25
26
20
18
15 10 5 0
17
11
9 5 Ouro
10 3
Prata
5
Brasil Colômbia Argentina
Editoria de arte
1 14 15 12 9 14 2 15 2 12 1 9 5 2 2 1 5 5 2 18 18 18 18 18
Bronze
2. a) 53,89 m 2 33,81 m 5 20,08 m b) 90,57 – 71,42 5 19,15 R 19,15 m R1 915 cm 3. a) Sim. A diferença entre as marcas dos dois atletas é 0,06 m (53,95 m 2 53,89 m); Passaram-se 102 anos (2008 2 1906). b) Sendo o dardo arremessado do local onde o dardo da atleta anterior caiu, a distância entre o local de arremesso da primeira colocada e o da última colocada será encontrada somando-se a distância obtida por cada atleta: 53,95 1 49,88 1 46,74 1 43,81 1 43,75 1 1 41,94 1 41,46 1 41,08 1 40,11 5 5 402,72 Portanto, a distância seria de 402,72 m. c) A diferença entre as marcas obtidas pelas duas atletas é dada por: 53,95 2 71,42 5 217,47 Logo, o módulo dessa diferença é 17,47 m.
Desafio!, página 96. Aplicando a operação inversa da adição para descobrir os valores desconhecidos, completamos o quadro:
105
b) Triplo de 10,8: 3 ? (10,8) 5 12,4 0,8 3 2, 4
3 1 3 2 1 2 5 2 5 4 2 4 4 4 1 4
1 2
1
1
1
2 3
1
Editoria de arte
1
1 2
5 11 12
3 4
5
5
7 6
5
5
1 1
d) Dobro de 26,5: 2 ? (26,5) 5 213 16,5 2 13 ,0
23 11 12 2 5 51 12 12 12
23 12
5
→
2
23 3 23 9 14 7 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 2 6 → 12
→
7 c) Quádruplo de 1 : 6 2 7 14 51 4 ? 1 6 3 3
1 2 1 1 5 2 5 2 2 2 2
3.
4
11 1 11 3 8 2 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 4 3
19 – Multiplicação de números racionais
d) (11,2) ? (16) ? (10,65) 5 5 (17,2) ? (10,65) 5 14,68
Exercícios, página 98. 1.
2 2 4 a) 1 ? 2 52 15 5 3 3 12 51 b) (24) ? 2 11 11 c) 1 1 ? 1 3 51 3 2 4 8 5 5 d) 2 ? (20, 4) 5 2 8 8
()
e) (20,8) ? (20, 45) ? (20,5) 5 5 (10,36) ? (20,5) 5 20,18
1 ? 2 4 51 1 4 10 2 2
1
e) (26,4) ? (11,5) 5 29,60 2 6, 4 1,5 320 64 1 9,60 f) (20,7) ? (22,1) 5 11,47 2,1 0,7 1, 47
2.
106
5 a) Dobro de 2 : 8 1 5 5 52 2 ? 2 4 84
1 3 1 3 ? 2 52 a) 22 ? 2 4 2 7 14 1 1 7 2 1 1 51 b) 2 ? 1 ? 2 9 7 1 6 3 27 c) (21,5) ? (10,36) ? (12,7) 5 5 (20,54) ? (12,7) 5 21,458
4. (25) ? (21,8) 2 (17) ? (11,2) 5 5 19 2 (18,4) 5 5 19 2 8,4 5 5 10,6 5. O dobro de 6,25 m é: 2 ? 6,25 m5 12,50 m. Como se trata de profundidade, podemos representar esse valor pelo número racional relativo: 212,50 m. 6. Se a cada quilômetro rodado consome-se 0,12 , de combustível, em 82,5 quilômetros serão consumidos: 82,5 ? 0,12 5 9,9 R 9,9 , 7. 5 ? (22,24) 1 3 ? (13,25) 5 5 (211,2) 1 9,75 5 5 211,2 1 9,75 5 5 21,45 8. a)
1 1 5 4 1 5 ? 2 1 2 ? 1 41 9 4 2
5 1 10 9 210 1 9 1 52 1 52 1 5 52 9 2 18 18 18 18 10 9 210 1 9 1 52 1 5 52 18 18 18 18
b)
10 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1c) 6 5 1 ? 1 2 1 ? 2 52 2 2 52 1 52 1 52 (21,7) 5 5 6 5 6 (17,31) 30 ;30 30(173,1) ; (217) 5 24,3 31 10 5 2 3
c)
10
1 1 1 ? 2 52 1 2 2 1 52 1 1 1 52 6 1 5 52 1 2 3 30 5 6 5 6 30 30 d)
(20,28) ? (11,5) 2 (10,7) ? (20,72) 5 5 20,42 2 (20,504) 5 5 20,42 1 0,504 5 5 10,084
e)
0,625 2 (10,84) ? (10,6) 5 5 0,625 2 (10,504) 5 5 0,625 2 0,504 5 5 10,121
100
12 1 5 5 52 5 (26 ) ? 1 f) (26);1 5 12 2 2
100
a)
10
(12) ; (20,5) 5 (120) ; (25) 5 24
660 110 000 0,6 10
f) (230,4) ; (14) 5 (2304) ; (140) 5 27,6 10
304 40 240 7,6 000 100
g) (21,44) ; (20,24) 5 (2144) ; (224) 5 16 100
10
h) (16) ; (22,5) 5 (160) ; (225) 5 22,4
2.
180 36 000 0,5
100 e) (10,66) ; (11,1) 5 (166) ; (1110) 5 10,6
Exercícios, páginas 100 e 101. 2 1 6 9 6 7 2 a) 1 ;2 5 1 52 ? 2 7 7 7 1 9 3 3 2 3 11 3 14 6 ? 1 51 51 b) 1 ;1 7 14 7 1 11 11 1 1 5 10 5 9 1 5 2 ;2 c) 2 ? 2 51 27 9 27 3 102 6 1 1 d) 2 5 ;1 25 5 2 5 ? 1 8 52 1 8 8 8 1 25 5 5 2 4 4 1 2 e) 1 ;(12) 5 1 51 ? 1 7 7 7 2 1
73,1 17 051 4,3 00
100 d) (20,18) ; (10,36) 5 (218) ; (136) 5 20,5
20 – Divisão de números racionais 1.
(22,1) ; (22,8) 5 (221) ; (228) 5 10,75
10 210 28 140 0,75 0
b) 7 2 5 ? (11,5) 5 5 7 2 7,5 5 5 20,5
10
60 100 000
10
25 2,4
3. Metade de 21,8% R (21,8) ; 2 5 20,9% Logo, a queda foi de 20,9%.
10
107
4.
21 2 ; 25 14 1 15
2 5 8 5 1 12
5 1 3 3 3 1 5 12 21 15 3 9 3 10 ? 2 5 2 5 2 ? 1 ; 2 5 2 ; 2 ? 1 5 8 2 5 1 25 5 14 2 2 10 2 1 9 3 5 51 3
5 5 21 14 ;1 5 ; 2 5 2 ;1 8 12 25 15
5.
3 10
x 5 (15) (212,5) 5 (150) (2125) 5 20,4
5
1 1 4 10 5 10 10 10 52 2 ? 2 ? 2 2 2 5 9 4 1 3 5 1 9 3
10 10 10 30 210 1 30 20 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 500 125 10 10 10 30 2 10 1 30 20 000 0,4 52 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 1 1 Sendo x 5 20,4, temos: 4 3 1 3 2 e) ;( 2 2 ) 1 1 ? 2 2 1 ; 2 5 a) Triplo de x R 3 ? (20,4) 5 21,2 3 1 8 2 4 2 3 3 10 1 1 2 1 1 1 2 5 ? 2 1 2 2 1 ? 2 5 b) Metade de x R (20,4) 2 5 (24) (20) 5 20,2 3 2 1 2 4 2 3 3 10 1 1 1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 40 20 52 2 22 52 2 1 52 2 1 5 3 2 6 3 2 6 6 6 6 6 00 0,2
3 10
52
;2 1 1 1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 1 4 2 52 2 22 52 52 2 1 5 52 52 1 2 1 1 4 8 3 25 6 4 3 5 2 6 64 6 6 6 6 ;2 3 2 5 a) 2 ;1 2 (12);2 5 2 12)? ? 1 2 (1 5 5 5 4 5 1 8 2 1 1 21, 44);(10, 48) 2 (20,9);(11,2) 5 f) ( 4 5 4 5 2);2 5 2 12)? 2 5 ? 1 2 (1 5 4 5 1 8 2 5 23 2 (20,75) 5 1 8 1 8 5 16 25 1 16 11 55 23 52 22 52 1 52 1 5 51 1 0,75 5 2 5 2 5 10 10 10 10 1 8 5 16 25 1 16 11 22,25 1 5 51 52 1 52 2 5 10 10 10 10 4 8 1 8 1 3 7. 2 2 (10,8) (10,5) 5 b) 1 ;(12) 2 3 ? 2 5 1 2 2 5 ? 2 5 2 2 (11,6) 5 5 4 5 2 1 4 4 5 2 2 1,6 5 1 8 1 3 2 2 5 2 3 ? 2 5 1 ? 2 5 10,4 4 5 2 1 4 4 3 16 15 216 1 15 1 a) Valor da expressão na forma 52 1 52 1 5 52 ;2 5 4 20 20 20 20 4 2 fracionária: 1 51 . 16 15 216 1 15 1 10 ;2 5 52 1 5 52 20 20 20 20 b) Valor da expressão na forma decimal:
6.
c) (25,6) (22,8) 2 (10,25) (20,5) 5 5 12 2 (20,5) 5 5 12 1 0,5 5 12,5
10,4.
8. x 5 (10,2) (20,04) 2 3 ? (21,6) x 5 25 2 (24,8) 4 5 4 4 5 5 d) ;(20, 4) 2 ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2 5 x 5 25 1 4,8 9 3 9 10 3 10 x 5 20,2 5 4 4 5 5 ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2 5 3 9 10 3 10
108
Desafios!, página 101. 1. Podemos representar o salário de Marcos 7 na forma de fração: . 7 Depois de pagar a prestação
d) (10,05) ? (10,05) ? (10,05) 5 (0,05)1 1 1 1 1 5 5 (0,05)3 2.
1 2 1 1 1 a) 2 5 2 ? 2 51 9 9 9 81
da casa, sobram para Marcos: 7 3 723 4 4 2 do salário. 2 5 5 → 7 7 7 7 7 b) 1 1 5 1 1 ? 1 1 51 1 4 4 4 16 4 Com metade de ele paga a prestação do 6 7 carro: c) 2 1 5 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 51 1 2 64 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 4 do salário. 2 5 ? 5 → 6 7 7 7 7 1 21 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ? 2 ? 2 51 5 2 ? 2e a ?casa, 2 pagar Dessa forma, após 2 2 2 2 2 2 64 2 o carro sobram para Marcos: d) (20,7)3 5 (20,7) ? (20,7) ? (20,7) 5 7 3 2 7 3 1 2 7 5 725 2 2 5 20,343 2 1 5 2 5 → 5 2 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 0 12 7 5 725 2 2 e) 2 511 5 → do salário. 11 5 2 5 7 7 7 7 7 7 f) (10,9)3 5 (10,9) ? (10,9) ? (10,9) 5 2 representa De acordo com o enunciado, 5 10,729 7 R$ 276,00; pois é o que sobra para Marcos. 7 1 7 g) 1 51 1 3 3 Logo, representa R$ 138,00. 7 7 1 h) (24,2)2 5 (24,2) ? (24,2) 5 117,64 representa R$ 138,00; Como 7 7 i) (21,4)2 5 (21,4) ? (21,4) 5 11,96 representa: j) (16,2)0 5 11 7 ? 138 5 966 6 2 6 6 36 k) 1 5 1 ? 1 51 5 5 5 25
Portanto, o salário de Marcos é R$ 966,00. 2. Alternativa d. Duas fotos coloridas custam: 2 ? R$ 3,60 5 5 R$ 7,20. Logo, sobram para as cópias simples: R$ 10,00 2 R$ 7,20 5 R$ 2,80 Como uma cópia simples custa R$ 0,15, com R$ 2,80 poderei pagar: 2,80 : 0,15 5 18 Portanto, poderei pagar por 18 cópias simples.
2 l) 2 3 5 2 3 ? 2 3 51 9 10 10 10 100 3.
2 a) 2 5 5 2 5 ? 2 5 51 25 7 7 7 49 b) (10,8)3 5 (10,8) ? (10,8) ? (10,8) 5 5 10,512 4 c) 2 1 5 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 51 1 2 2 2 2 2 16 d) (22,5)2 5 (22,5) ? (22,5) 5 16,25
21 – Potenciação de números racionais
4. 1 x 5 2 (12) 2
Exercícios, páginas 105 e 106. 1.
9 9 9 9 1 1 1 1 1 9 3 5 1 a) 1 ? 1 ? 1 5 1 10 10 10 10 10 b) (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) 5 5 (22,4)1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (22,4)5 1 11 2 c) 2 11 ? 2 11 5 2 11 5 2 11 8 8 8 8
1 1 x 5 2 ? 1 2 2 1 x 52 4 a) Quadrado do número x: 1 2 1 1 2 5 2 ? 2 51 1 4 4 4 16 b) Cubo do número x:
109
5.
3 2 9 a) 2 2 5 4 8
1 1 9 8 1 5 1 ? 2 52 16 2 9 1 2
7 7 5 2 b) 2 2 2 2 5 9 6 6 1 2 7 6 25 5 2 ? 2 2 1 5 9 3 7 1 36
51
2 25 24 25 1 2 51 2 52 3 36 36 36 36 3
2
1 1 c) 3 ? 2 2 (212) ? 2 5 2 4 1 3 1 5 3 ? 2 2 (212 ) ? 1 16 4 8 3 3 3 3 3 6 3 52 2 2 52 1 52 1 51 8 4 8 4 8 8 8 2 2 2 2 4 d) 2 ? (210) 2 2 1 5 5 3 9
1 3 1 1 1 2 5 2 ? 2 ? 2 52 1 4 4 4 4 64
7. A 5 (20,25) : (22)2 2 (20,5)2 : (22) A 5 (20,25) : (14) 2 (10,25) : (22) A 5 20,0625 2 (20,125) A 5 20,0625 1 0,125 A 5 10,0625 8. (10,8) : (20,2)2 1 (22,7) : (20,3)2 5 5 (10,8) : (20,04) 1 (22,7) : (10,09) 5 5 20 1 (230) 5 5 20 2 30 5 210 9.
1 2 1 16 a 5 8 5 ? 52 1 b 1 81 16 Portanto, o quociente de a por b é 2. Logo,
10.
52
1 1 8 4 9 8 2 1 ? 1 5 2 2 (11) 5 5 9 1 4 1 5
11.
8 8 5 13 2 1 52 2 52 5 5 5 5
2 3 16 27 5 1 7)5 ? 2 2 (27 9 1 8 1
5 26 2 (27) 5 26 1 7 5 11
2
1 1 1 1 a) 3 22 5 5 ? 5 3 3 3 9 2
1 1 1 1 22 7b) 8 5 81 5 8 ? 8 5 64 ? (125 ) 5 25 1 3 1 1 1 1 1 c) (24) 23 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 4 4 4 4 64 2
1 1 1 1 5 2 ? 2 51 d) (210) 5 2 100 10 10 10 22
1
1 1 e) (29) 21 5 2 52 9 9 3
6. a) (22)3 2 (20,5)3 5 5 28 2 (20,125) 5 5 28 1 0,125 5 27,875 b) (22)2 2 (20,5)2 5 5 14 2 (10,25) 5 5 14 2 0,25 5 13,75 c) (22)2 2 (22) ? (20,5) 1 (20,5)2 5
110
1 1 ; y 5 9 21 5 6 9 1 1 3 2 5 x1y5 1 5 1 5 6 9 18 18 18 5 Logo, x 1 y 5 . 18 x 5 6 21 5
4 2 2 3 7 16 8 2 e) 2 2 2 2 2 2 2 ? (15) 5 1 3 3 25 9 27 2 3 16 8 7 4 2 7 2 ? (125 )1 5 2 2 2 2 2 2 ? (15) 5 1 3 3 25 9 27 25 1
1 3 1 1 2 1 a 5 2 2 3 5 5 ; b 5 4 2 2 5 5 2 8 4 16
4 4 2 4 ? (210 ) 2 1 1 5 5 1 25 5 9 9 52
5 14 2 (11) 1 (10,25) 5 5 14 2 1 1 0,25 5 5 4,25 2 1 5 13,25
1 1 1 1 1 f) 10 23 5 5 ? ? 5 10 10 10 10 1000 2 21 1 1 5 g) 1 5 51 5 2 2 5 22 h) 2 3 5 1 4 3 2 4
2 4 2 4 4 16 5 2 5 2 ? 2 51 3 3 3 9
3 23 1 i) 2 5 3 2 2 2 2 3 2 2 2 8 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 3 3 3 3 27
3 2 3 2 2 2 8 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 27 3 3 3 3
22 – Raiz quadrada exata de números racionais
Exercícios, página 108. 5 5 5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 1. 32De acordo com as figuras geométricas, vem: 5 a) 36 5 6, pois 6 ? 6 ou 62 5 36. 5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 32 b) 0, 49 5 0,7, pois 0,7 ? 0,7 ou (0,7)2 5 0,49. 2 2 4 12. Para cada casa decimal que a vírgula 2 2 4 2 5 . c) , pois ou ? 5 se desloca à direita, diminuímos uma 3 9 3 3 9 3 unidade negativa no expoente de base 10. 2. Daí vem: a) 2 304 2 a) 0,01 5 1022 c) 0,0015 1023 1 152 2 b) 0,00001 5 1025 d) 0,000001 5 1026 576 2 13. 288 2 5 22 6 2 6 6 36 511, 44 a) 1 5 1 5 1 ? 1 51 144 2 25 6 5 5 5 72 2 4 1 1 1 1 1 1 24 b) 10 5 5 ? ? ? 5 5 0, 0001 36 2 10 10 10 10 10 10000 4 18 2 1 1 1 1 1 5 ? ? ? 5 5 0, 0001 9 3 10 10 10 10 10000 3 3 3 1 1 1 1 1 c) 2 23 5 5 ? ? 5 5 0,125 1 28 ? 32 2 2 2 2 8 25 j) 2 1 5 1 2 1 2 2
d) 4 21 5
1 5 0,25 4
2 304 5 28 ? 32 5 (24 ? 3)2 5 (16 ? 3)2 5 (48)2 5 5 48 ? 48
Como 2 304 5 48 ? 48, temos, pela 23 23 23 3 1 3 2 2 a) 1 2 5 2 5 1 5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13definição, ) 51 27 que 2304 5 48. 3 3 3 3 23 23 3 3 2 1 2 5 1 5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13) 51 27 b) 676 2 3 3 3 24 24 24 4 5 3 2 3 3 3 3 338 5 2 3 81 b) 2 1 5 2 5 1 5 1 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 51 3 169 13 3 3 3 2 2 2 2 2 16 24 24 4 13 13 3 3 3 3 3 2 3 81 2 5 1 5 1 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 51 1 22 ? 132 2 2 2 2 2 3 3 16 676 5 22 ? 132 5 (2 ? 13)2 5 (26)2 5 26 ? 26 22 22 1 22 2 1 1 3 2 c) 2 5 2 5 2 5 (26) 5 (26) ? (26) 51Como 36 676 5 26 ? 26, temos, pela 3 6 6 2 6 22 22 2 1 2 3 definição, que 676 5 26. 2 5 2 5 (26) 5 (26) ? (26) 51 36 6 6 6 21 21 21 c) 1 764 2 10 6 4 4 5 d) 2 2 5 2 5 1 51 5 5 882 2 5 5 6 441 3 15. 147 3 a) 56 5 22 1 33 1 52, pois 56 5 4 1 27 1 25. 49 7 b) 154 5 21 1 33 1 53, pois 154 5 2 1 27 1 125. 7 7 c) 385 5 23 1 32 1 52 1 73, pois 385 5 8 1 1 22 ? 32 ? 72 1 9 1 25 1 343. 1 764 5 22 ? 32 ? 72 5 (2 ? 3 ? 7)2 5 (42)2 5 42 ? 42 d) 160 5 22 1 30 1 52 1 72 1 92, pois 160 5 5 4 1 1 1 25 1 49 1 81. Como 1 764 5 42 ? 42, temos, pela definição, que 1764 5 42. 14.
111
d) 2 500 1 250 625 125 25 5 1
2 2 5 5 5 5 22 ? 54
2
1 1 1 1 1 1 5 4 5 2 2 5 5 ? 5 (0, 04) ? (0, 04) 25 25 25 625 5 (5 )
2 1 1 1 1 1 1 5 4 5 2 2 5 5 ? 5 (0, 04) ? (0, 04) 25 25 25 625 5 (5 ) Daí, vem que x 5 0,04.
e) Sendo x 5 25 , então x 5 5, pois 5 ? 5 5 5 25. 36 6 f) Sendo x 5 , então x 5 , pois 49 7 6 6 36 . ? 5 7 7 49
2 500 5 22 ? 54 5 (2 ? 52)2 5 (2 ? 25)2 5 (50)2 5 5 50 ? 50 Como 2 500 5 50 ? 50, temos, pela definição, que 2500 5 50 . 3.
4. a) 12,25 5
1225 100
; 25
2
49 72 7 7 7 5 5 2 5 5 ? 5 (3,5) ? (3,5) 4 ; 25 2 2 2 2
a) Sendo x2 5 100, então x 5 10, pois: 2 ; 25 1225 49 72 7 7 7 100 2 12,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (3,5) ? (3,5) 2 2 2 100 ;25 4 2 50 2 49 5 3,5 ? 3,5; temos, pela Como 12,25 5 25 5 4 5 5 definição: 12,25 5 3,5. 1 22 ? 52 2
;4 1296 324 182 18 18 18 5 5 2 5 5 ? 5 (3,6) ? (3,6) 5 5 5 100 ; 4 25 5 2 ;4 2 18 18 18 1296 324 18 b) Sendo x2 5 121,12 então ,96 5x 5 11, pois: 5 5 2 5 5 ? 5 (3,6) ? (3,6) 5 5 5 100 ; 4 25 5 121 11 324 Como 12,96 5 5 3,6 ? 3,6; temos,pela 11 11 25 2 1 11 definição: 12,96 5 3,6. 121 5 112 5 11 ? 11 2 ; 25 Portanto, x 5 11. 3025 121 112 11 11 11 c) 30,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (5,5) ? (5,5) 2 2 2 1 100 ;25 4 1 2 2 c) Sendo x2 5 , então x 5 ,;pois: 25 2 4 3025 121 11 11 11 11 16 30,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (5,5) ? (5,5) 2 2 2 100 ;25 4 16 2 2 8 2 121 Como 30,25 5 5 5,5 ? 5,5; temos, 4 2 4 2 2 pela definição: 30,25 5 5,5. 1 24 2 ;4 2916 729 272 27 27 27 2 1 1 1 29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4) d) 1 1 1 5 5 5 100 ; 4 25 5 4 5 2 2 5 5 ? 52 16 4 4 4 2 ; 4 2 (2 ) 2916 729 272 27 27 27 29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4) 2 1 5 5 5 100 ; 4 25 5 Portanto, x 5 . 4 729 5 5, 4 ? 5, 4 ; temos, Como 29,16 5 ;16 16 1 25 d) Sendo x2 5 0, 0016 5 , 5 10000 ;16 625 pela definição: 29,16 5 5, 4 . 1 então x 5 ou x 5 0,004; pois: ;16 7 2 7 7 25 784 49 72 e) 0, 0784 5 5 5 2 5 5 ? 5 (0,28) ? (0 25 25 25 10000 ;16 625 25 625 5 2 ;16 2 7 7 7 784 49 7 125 5 0, 0784 5 5 5 2 5 5 ? 5 (0,28) ? (0,28) 25 25 25 10000 625 25 25 5 ;16 49 5 5 Como 0, 0784 5 5 0,28 ? 0,28; temos, 625 4 1 5 pela definição: 0, 0784 5 0,28 .
100 5 22 ? 52 5 (2 ? 5)2 5 (10)2 5 10 ? 10 Portanto, x 5 10.
112
b) 12,96 5
4 0
f) 0,1024 5 2
;16
5 ;16
1024 10000
2
;16
5 ;16
8 8 8 64 82 441 5 2 5 5 ?7. 5 (0,5 3221 ) ? (,0pois ,32) 21 ? 21 5 441. 25 25 25 625 25 256 5 16, pois 16 ? 16 5 256.
8 8 8 64 82 5 2 5 5 ? 5 (0,32) ? (0,32) 25 25 25 625 25 64 Como 0,1024 5 5 0,32 ? 0,32; temos, 625 pela definição: 0,1024 5 0,32. 11 121 ; então a 5 , pois 4 196 11 11 121 ? 5 4 14 196 .
900 5 30 , pois 30 ? 30 5 900. Então, temos: 441 1 256 2 900 5 21 1 16 2 30 5 37 2 30 5 7 Logo, o valor da expressão é 7.
6. a10 ? b4 5 (a5 ? b2)2 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2) Como a10 ? b4 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2), temos, pela definição, que
8 64 ; então x 5 , pois 15 225 8 8 ? 5 64 . 15 15 225 8 . Logo, x 5 15
8. Se x 5
5. Se a 5
a10 ? b4 5 a5 ? b2 .
23 – Estudo das médias Exercícios, página 110. 1. Para determinar a média aritmética, basta somar os cinco números e dividir essa soma por cinco: 2 25 1 (222) 1 (213) 1 15 1 30 225 2 22 2 13 1 15 1 30 260 1 45 5 5 5 5 5 5 15 52 52 3 5 2. Calculando a média aritmética ponderada, vem: 8 ? 2 1 15 ? 2 1 20 ? 1 1 16 1 30 1 20 66 5 5 5 13,2 2 12 11 5 5 3. Calculando a média ponderada para compra de Cristina, vem: 3 ? 21 1 2 ? 12 63 1 24 87 5 5 5 17, 4 312 5 5 Logo, o preço médio por caneta foi R$ 17,40. 4. Calculando a média aritmética, vem: 2 1 3 8 2 9 19 1 1 1 1 3 6 4 5 12 12 12 5 12 5 19 ? 1 5 19 3 3 3 12 3 36 5. Calculando a altura média dos jogadores, vem: 1,90 1 1,99 1 2, 01 1 2, 08 1 2,12 10,1 5 5 2, 02 5 5 Logo, a altura média dos jogadores é 2,02 m.
113
6. Para calcularmos o custo de cada copo de refresco, devemos calcular a média ponderada para o custo. Daí, vem: 8 50 1 2 85 400 1 170 570 5 5 5 57 8 12 10 10 Logo, o custo de cada copo de refresco é 57 centavos. 7. Nos cinco resultados, o primeiro valor refere-se aos gols marcados pelo clube, e o segundo valor refere-se aos gols sofridos por esse clube. Assim, temos: Gols marcados R 4 1 3 1 2 1 4 1 1 5 14 Gols sofridos R 2 1 3 1 3 1 0 1 1 5 9 a) O clube marcou 14 gols. b) O clube sofreu 9 gols. c) A média de gols marcados é dada por: 4 13 12 1 4 11 14 5 5 2,8 5 5 Logo, a média de gols marcados por esse clube foi de 2,8 gols. d) A média de gols sofridos é dada por:
2 13 13 1 0 11 9 5 5 1,8 5 5 Logo, a média de gols sofridos por esse clube foi de 1,8 gol.
8. Calculando a idade média dos jogadores dessa equipe, vem: 3 20 1 2 26 1 2 23 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 5 3 12 12 11 11 11 11 11 5
60 1 52 1 46 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 285 5 5 23,75 12 12
Logo, a idade média dos jogadores dessa equipe é 23,75 anos. 9. De acordo com as notas, calculamos a média do aluno no bimestre: 4 6 1 3 8 1 2 7,5 1 1 9 24 1 24 1 15 1 9 72 5 5 5 7,2 4 13 12 11 10 10 Logo, a média desse aluno foi 7,2. 10. O preço médio do produto é dado por: 3500 30 1 8 500 24 105000 1 204 000 309 000 5 5 5 25,75 3500 1 8500 12000 12000 Logo, o preço médio desse produto, por unidade, foi R$ 25,75. Brasil real, página 111. 1. a) b) c) d)
114
2004 R IDH de 0,798 (0,500 , 0,798 , 0,799 R categoria: médio) 2005 R IDH de 0,800 (0,800 5 0,800 R categoria: alto) 0,800 . 0,798; foi maior. Melhorou; porque quanto maior o IDH, melhor é a qualidade de vida da população. Como o IDH de 2004 ficou 0,002 abaixo do mínimo para alcançar a categoria alto, o IDH de 2006 precisa ser no mínimo de 0,802 para que a média dos três anos esteja na categoria alto.
2. a) b)
Calculando a média dos indicadores medidos em 2000, temos: 0,502 1 0,615 1 0, 408 1,525 5 0,508 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2000 era 0,508. Calculando a média dos indicadores medidos em 2005, temos: 0, 420 1 0,648 1 0,540 1,608 5 5 0,536 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2005 era 0,536. Chegou a sua vez!, páginas 112 e 113.
1. a) Resposta em aberto.
b) Resposta em aberto.
c) Resposta em aberto.
2. a) De acordo com o gráfico, nasceram nessa maternidade nesse dia: 4 1 2 1 2 1 1 1 1 5 10 R 10 crianças. b) De acordo com o gráfico, 4 crianças nasceram com mais de 50 cm de altura: duas com 51 cm, uma com 52 cm e uma com 53 cm. c) Nenhuma. d) Calculando a média das alturas das crianças que nasceram nesse dia, temos:
491 4 47 1 2 48 1 2 51 1 52 1 53 188 1 96 1 102 1 52 1 53 5 5 49,1 5 5 10 4 12 12 11 11 10 Logo, a média de altura das crianças foi 49,1 cm.
3. a) Calculando a média das alturas do time feminino, vem:
1,70 1 1,76 1 1,77 1 1,80 1 1,82 1 1,82 1 1,83 1 1,87 1 1,97 1 2, 00 1 1,94 1 1,92 22,2 5 5 1,85 12 12
Logo, a altura média do time era 1,85 m.
b) Calculando a média das alturas do time masculino, vem: 2, 00 1 1,86 1 2,11 1 2,11 1 1,92 1 1,91 1 1,91 1 2,11 1 2, 04 1 2,11 1 2, 06 1 2,11 5 12 5 24,25 2, 02 12 Logo, a altura média do time era 2,02 m. c) 2,02 2 1,85 5 0,17 Logo, o time masculino é 0,17 m ou 17 cm mais alto que o time feminino. d) De acordo com a tabela, a jogadora mais alta da seleção feminina é Alessandra. e) De acordo com a tabela, a jogadora mais baixa da seleção feminina tem 1,70 m de altura. f) A maior altura dos jogadores do time masculino é 2,11 m, e cinco jogadores possuem essa altura. g) Jogador mais baixo: 1,86 m. Jogadora mais alta: 2,00 m. A diferença entre essas alturas é: 1,86 m 2 2,00 m 5 20,14 m O número racional negativo indica que o jogador é mais baixo do que a jogadora. h) Iziane e Janeth possuem a mesma altura (1,82 cm). i) De acordo com a tabela, 4 jogadores possuem altura inferior a 2,0 m.
115
3 2 1 3 2 2 ? 2 2 2 ; 2 5 2 2 1 9 1 18 2 4 ; 2 5 5 2 ? 2 4 ; 2 5 8 4 8 4 18 16 2 1 5 ; 2 5 4 8
Retomando o que aprendeu, páginas 113 e 114. 1. Alternativa a. (0,1 2 0,01) : (0,2 2 0,02) 5 5 (0,09) : (0,18) 5 10,5
5
2 4
1 ; 2 5 8
5
2 4
16 8 ? 2 52 52 4 4 1
8. Alternativa a. x 5 2(22)2 2 9 ; (21)100 2 2 x 5 [2(14) 2 3] ; [11 2 2] x 5 [24 2 3] ; [21] x57 1 Se x 5 7, então x21 51 . 7 9. Alternativa c. Alternativa d. 3 ? 12 1 18 ? 13 1 9 ? 14 36 1 234 1 126 396 5 5 5 13,2 5 1 3 1 18 1 9 30 30 x 5 (21 231? )12 ? 1 18 2 2 21 9 ? 14 1 1 36 234 126 396 4 ? 13 2 5 5 5 13,2 18 1 9 30 30 5 31 1 8 1 3 1 3 1 Logo, 2 a média das idades dos alunos é 2 51 2 5 5 x 5 (22) ? 2 2 5 (22 ) ? 2 1 4 4 2 2 4 2 2 2 13,2 2 anos. 3 1 2 10. Alternativa e. 51 2 5 5 1 2 2 2 106 1 125 1 95 1 104 430 Sendo x 5 1, o cubo de x será: 5 5 107,5 4 4 3 (1) 5 (1) ? (1) ? (1) 5 1. Logo, a média de pontos da equipe A nesse torneio é 107,5 pontos. Alternativa b.
2. Alternativa d. Fazendo a diferença entre os pontos considerados, temos: 21,5 2 (26,35) 5 5 21,5 1 6,35 5 14,85 Logo, a distância entre os dois pontos considerados é 4,85 m. 3.
1 1 3 1 2 5 (22 ) ? 2 4 2 2 2
4.
3 2 2 1 ? 3 2 1 5 2 3 2 2 ? 3 2 2 5 2 2 2 2 2 2 5 1 5 5 2 ? 52 521,25 2 2 4 21,25 está entre os inteiros 22 e 21. 5. Alternativa c. 1 x 5 621 5 6 1 2 1 1 1 22 y 5 6 5 5 ? 5 6 6 6 36 1 1 6 1 7 x1y5 1 5 1 51 6 36 36 36 36 6. Alternativa e. 0,25 1 0,19 : (4 2 0,8 : 0,5 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 1,6 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 2,1) 5 5 0,25 1 0,19 : (1,9) 5 5 0,25 1 0,1 5 0,35 7. Alternativa d.
116
11. Alternativa a. 1 2 2 2 1 1 1 ;2 3 5 2 1 1 4 2 4 2 5 21 1 2 2 2 1 1 4 ;2 3 5 4 4 4 4 2 3 4 3 5 21 1 2 1 ;2 5 4 4 4 2 1 3 5 21 1 1 ;2 5 4 4 1 3 ; 2 5 5 21 1 16 4
16 1 3 ; 2 5 5 2 1 16 4 16 5 1 15 3 15 4 5 ;2 5 2 5 2 ? 2 51 4 16 4 16 4 3 1
12. Alternativa d.
211,6 1 13,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14, 1 3 3 2 5 2 12 5 2 ? 2 2 2 ; 2 5 2 2 211,6 1 13,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14,2 1 15, 4 5 5 1 9 1 18 12 5 2 4 ; 2 5 5 2 ? 2 4 ; 2 5 4 8 4 8 236,5 1 29,2 7,3 5 52 521, 46 18 2 16 1 5 5 ; 2 5 5 4 8 Logo, a média aritmética é 21,46. 2 1 5 ; 2 5 4 8 5
2 4
16 8 ? 2 52 52 4 4 1
ESTUDANDO AS EQUAÇÕES b) 132 2 122 5 42 1 32 Da equação, vem: 1o membro R 132 2 122 2o membro R 42 1 32
Abertura, páginas 115 e 116. • Qual o número cujo triplo mais 6 dá 21? 5, pois o triplo de 5 é 15 com mais 6 dá 21. • No dicionário Aurélio, o significado das palavras são: Equivalente R de igual valor; aquilo que equivale. Equilíbrio R manutenção de um corpo na posição normal, sem oscilações ou desvios; igualdade de forças opostas. Equilátero R que tem os lados iguais entre si. Equidistante R que dista igualmente. Equilibrista R pessoa que se conserva em equilíbrio. • Você já ouviu falar em “incógnita”? x 1 y 5 67 e x 2 2y 5 46 x 1 y 5 67 → x 5 67 2 y I x 2 2y 5 46 II Substituindo I em II, temos: 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221 (2 1) 3y 5 21 21 y5 3 y57 x 1 y 5 67 x 1 7 5 67 x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, x 5 60 e y 5 7.
24 – Igualdade
2. Sendo a 5 b e b 5 27, pela propriedade transitiva, a 5 27. 3. Pedro apenas mudou os termos de membro, passando o termo do 1o membro para o segundo e o do segundo para o 1o. Logo, Pedro utilizou a propriedade simétrica. 4. Sim, pois, pela propriedade simétrica, 21 5 x 1 1 R x 1 1 5 21. 5. Sendo x 5 3y e 3y 5 z 2 2, pela propriedade transitiva, x 5 z 2 2. 6.
2o– membro
7. Adicionando 26 ao 1o membro, o 2o membro também deverá ser adicionado de 26. Daí, vem: 8 2 6 ou 2 2o– membro
8. a) x 1 2 5 6 → x 1 2 2 2 5 6 2 2 x54 b) x 1 2 521 → x 1 2 2 2 521 2 2 x 5 23
As idades de Eva e Ivo Sendo os dois números ímpares, a diferença entre eles 6, e ainda a soma 40, depois de algumas tentativas concluímos que as idades são 17 e 23 anos. Exercícios, página 119 e 120.
1 ,o 7 o 2 membro também deverá ser multiplicado 1 por . Daí, vem: 7 (21) ? 17 ou 3 Multiplicando o 1o membro por
9. a) 3x 5 21 →
1. a) 82 1 2 5 6 ? 11 Da equação, vem: 1o membro R 82 1 2 2o membro R 6 ? 11
21 3 x57
1 1 ? 3 x 5 21 ? 3 3
x5
b) 3x 5215 →
15 3 x 5 –5
1 1 ? 3 x 5215 ? 3 3
x 52
117
25 – Equações
5. De acordo com as situações, escrevemos: a) x 1 31 5 100 b) x 2 8 5 41 c) 2x 1 31 5 73 d) 3x 2 13 5 47 1 1 e) x 1 x 5 35 2 3 f) 4x 5 x 1 72
Explorando, página 120. 1.
2.
3.
Como cada sorvete custa R$ 3,00, temos: a) 5 sorvetes custam: 5 ? 3 5 15 R 15 reais b) 10 sorvetes custam: 10 ? 3 5 30 R 30 reais c) 15 sorvetes custam: 15 ? 3 5 45 R 45 reais d) x sorvetes custam: 3x reais 6. Como o ponteiro da balança indicou 90 kg: a) se ganhar 10 kg R 90 1 10 5 100 R 100 kg b) se ganhar x kg R (90 1 x) R (90 1 x) kg c) se perder 5 kg R 90 2 5 5 85 R 85 kg d) se perder y kg R (90 2 y) R (90 2 y) kg Sendo a quantidade de carros no pátio da concessionária igual a 30, temos: a) se houvesse 3 vezes mais carros R 3 ? 30 5 90 R 90 carros b) se houvesse t vezes mais carros R 30 ? t c) se a quantidade de carros fosse dividida por 3 revendedores R 30 : 3 5 5 10 R 10 carros d) se a quantidade de carros fosse dividida por n revendedores R 30 : n Exercícios, página 123.
1.
2.
3.
4.
118
Idade atual de Karina: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 10 5 28 7. Massa de uma das caixas: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 4x 5 20 8. Largura: x; comprimento: x 1 10 Sendo o triplo da largura igual ao dobro do comprimento, temos: 3x 5 2(x 1 10)
26 – Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
Sim, é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 1 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1 0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 1 1 0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 2 1 0 R não é uma equação, pois não expressa uma igualdade. x 5 21 R é uma equação, pois representa uma igualdade. 25 1 23 5 22 ? 10 Embora seja uma igualdade, essa sentença não apresenta número desconhecido. Só há uma incógnita na equação, a incógnita x.
Explorando, páginas 123 e 124. 1. O número cujo triplo mais 6 dá 21 é o número 5. Representando a situação na forma de equação, temos: 3 ? x 1 6 5 21, sendo x o número desconhecido. 2.
3.
O número cuja metade mais o seu dobro dá 20 é o número 8. Representando a situação na forma da equação, temos: x 1 2x 5 20 , sendo x o número desconhecido. 2 O número que diminuído do seu triplo é igual ao quádruplo do número menos 18 é o número 3. Representando a situação na forma da equação, temos: x 2 3x 5 4x 2 18, sendo x o número desconhecido.
Exercícios, página 127. 1. a) x 2 7 5 0 x57 S 5 {7} b) x 1 9 5 0 x 5 29 S 5 {29} 3 c) x 2 5 0 8 3 x5 8 3 S5 8 d) x 1 1 5 0 x 5 21 S 5 , pois 21 IN. e) x 2 10 5 3 x 5 3 1 10 x 5 13 S 5 {13} f) x 2 6 5 210 x 5 210 1 6 x 5 24 S 5 {24} g) 2x 5 216 16 x 52 2 x 5 28 S 5 {28}
h) 4x 5 240 40 x 52 4 x 5 210 S 5 {210} i) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} j) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} x k) 3 5 4 x53?4 x 5 12 S 5 {12} 1 2 l) x 1 5 3 3 2 1 x5 2 3 3 1 x5 3 1 S5 3
2. a) 7x 2 6 5 5x 1 4 7 ? (5) 2 6 5 5 ? (5) 1 4 35 2 6 5 25 1 4 29 5 29 R sentença verdadeira Logo, o número 5 é raiz da equação 7x 2 6 5 5x 1 4. x b) 3x 2 1 5 1 20 6 (6) 1 20 3 ? (6) 2 1 5 6 18 2 1 5 1 1 20 17 5 21 R sentença falsa Logo, o número 6 não é raiz da equação x 3x 2 1 5 1 20 . 6 c) 8 1 5x 5 0 1 8 8 1 5 ? 2 50 5 1 8 1 (28) 5 0 82850 0 5 0 R sentença verdadeira 8 é raiz da equação 8 1 5x 5 0. Logo, 2 5
d) y2 2 3y 5 8 2 y (22)2 2 3 ? (22) 5 8 2 (22) 4165812 10 5 10 R sentença verdadeira Logo, 22 é raiz da equação y2 2 3y 5 8 2 y. 1 1 5 3x 2 6 2 1 2 1 2 1 2? 1 5 3 ? 2 3 6 3 1 2 4 1 1 1 52 2 3 6 2 8 1 4 1 1 5 2 6 6 2 2
e) 2x 1
3
9 3 5 6 3 2 3 3 5 → sentença verdadeira 2 2 2 Logo, é raiz da equação 3 1 1 . 2x 1 5 3x 2 6 2 3. Para x 5 0: (0)2 2 5 ? (0) 1 6 5 0 0201650 6 5 0 R sentença falsa Para x 5 1: (1)2 2 5 ? (1) 1 6 5 0 1 2 5 1 6 5 0 2 5 0 R sentença falsa Para x 5 2: (2)2 2 5 ? (2) 1 6 5 0 4 2 10 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Para x 5 3: (3)2 2 5 ? (3) 1 6 5 0 9 2 15 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Logo, 2 e 3 são as raízes da equação x2 2 5x 1 6 5 0. 4. Para x 5 1 : 2 1 1 1 1 2 2 ? 2 53? 2 2 3 2 1 2 1 3 2 5 2 2 2 3 1 9 4 2 5 2 2 6 6 5 5 → sentença falsa 6
12 2 2 1 2
119
c) x 2 5 5 0 e x 5 25 x2550 x 2 5 1 5 50 15 x 5 15 x 5 25 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. d) 2x 5 18 e x 5 9 2x 18 5 2 2 x59 x59 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. e) 5x 5 215 e x 5 3 5x 5 215 5x 15 52 5 5 x 5 23 x53 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. f) x 2 1 5 23 e x 5 22 x 2 1 5 23 x 2 1 1 1 52 3 1 1 x 5 22 x 5 22 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. g) 4x 5 16 e x 5 4 4x 5 16 4x 16 5 4 4 x54 x54 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. h) x 1 2 5 25 e x 5 27 x 1 2 5 25 x 1 2 1 2 2 52 5 1 (22) x 5 25 2 2 x 5 27 x 5 27 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.
1 : 3 1 1 2 1 1 2? 2 5 3 ? 2 3 2 3 1 3 2 1 2 2 51 2 3 2 3 4 3 3 2 2 5 2 6 6 3 3 1 1 5 → sentença falsa 6 3 1 Para x 5 : 6 1 1 1 1 1 2 2 ? 2 5 3 ? 2 6 2 3 6 3 2 1 1 1 2 2 5 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 5 2 6 6 6 6 1 1 2 52 → sentença verdadeira 6 6 1 2 1 Logo, é raiz da equação 2x 2 5 3x 2 . 2 3 6 Para x 5
5. Substituindo x por 25 na equação, temos: 3 ? (25 1 2) 2 5 ? (25 1 3) 5 1 3 ? (23) 2 5 ? (22) 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R sentença verdadeira Logo, 25 é raiz da equação 3 ? (x 1 2) 2 5 ? ? (x 1 3) 5 1, pois, substituindo x por 25, obtemos uma igualdade verdadeira.
27 – Equações equivalentes Exercícios, página 132. 1. a) x 1 4 5 7 e x 5 7 2 4 x1457 x 1 4 1 ( 24 ) 5 7 1 (24) x5724 x53 x5724Rx53 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. b) x 1 2 5 9 e x 5 7 x1259 x 1 2 1 ( 22 ) 5 9 1 (22) x5922 x57 x57 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.
120
( )
2.
a) x 1 2 5 5 x 1 2 2 2 5522 x53 S 5 {3} b) x 2 11 5 0 x 2 11 1 11 5 0 1 11 x 5 11 S 5 {11}
c) 4x 5 28 4x 8 52 4 4 x 5 22 S 5 {22} d) x 2 2 5 21 x 2 2 1 2 521 1 2 x51 S 5 {1} e) 6x 5 6 6x 6 5 6 6 x51 S 5 {1} f) 4x 5 3x 1 9 4x 2 3x 5 3x 1 9 2 3x x59 S 5 {9} g) 3x 5 7 3x 7 5 3 3 7 x5 3 7 S5 3 h) 5x 1 1 5 16 5x 1 1 2 1 5 16 2 1 5x 15 5 5 5 x53 S 5 {3} x 3 5 i) 4 10 2 x 3 4? 5 ?4 4 10 5 6 x5 5 6 S5 5 j) 10x 2 2 5 7x 10x 2 2 1 2 5 7x 1 2 10x 2 7x 5 7x 1 2 2 7x 3x 2 5 3 3 2 x5 3 2 S5 3 k) 6x 1 5 5 6 6x 1 5 2 5 5 6 2 5 6x 1 5 6 6
1 6 1 S5 6 l) 8x 1 4 5 0 8x 1 4 2 4 5 0 2 4 8x 4 52 8 8 4 4 1 x 52 52 8 4 2 1 S 5 2 2 x5
28 – Equações do 1°- grau com uma incógnita Exercícios, página 137. 1. a) 2x 2 8 5 8 2x 5 8 1 8 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8} b) 3x 1 1 5 19 3x 5 19 2 1 3x 5 18 18 x5 3 x56 S 5 {6} c) 7y 2 4 5 10 7y 5 10 1 4 7y 5 14 14 y5 7 y52 S 5 {2} d) 2t 1 1 5 28 2t 5 28 2 1 2t 5 29 9 t 52 2 9 S 5 2 2 e) 11 2 3y 5 2 23y 5 2 2 11 23y 5 29 ? (21) 3y 5 9 9 y5 3 y53 S 5 {3}
121
f) 3x 5 27 1 x 3x 2 x 5 27 2x 5 27 7 x 52 2 7 S 5 2 2 g) 9x 1 5 5 4x 9x 2 4x 1 5 5 0 5x 5 25 5 x 52 5 x 5 21 S 5 {21} h) 20 5 26x 1 32 0 5 2 6x 1 32 2 20 6x 5 12 12 x5 6 x52 S 5 {2}
9 S 5 2 2 e) 20x 2 13 5 20 1 9x 20x 5 20 1 9x 1 13 20x 5 33 1 9x 20x 2 9x 5 33 11x 5 33 33 x5 11 x53 S 5 {3} f) 21x 1 1 5 11x 1 6 21x 5 11x 1 6 2 1 21x 5 11x 1 5 21x 2 11x 5 5 10x 5 5 ;5 5 1 x5 5 10 ;5 2 1 S5 2 g) 9x 2 23 5 13x 2 27 9x 5 13x 2 27 1 23 9x 5 13x 2 4 9x 2 13x 5 24 24x 5 24 ? (21) 4x 5 4 4 x5 4 x51 S 5 {1} h) 0,8 1 2x 5 x 1 3,5 2x 5 x 1 3,5 2 0,8 2x 5 x 1 2,7 2x 2 x 5 2,7 x 5 2,7 S 5 {2,7}
2. a) 7x 1 1 2 5x 5 9 2x 1 1 5 9 2x 5 9 2 1 2x 5 8 8 x5 2 x54 S 5 {4} b) y 1 9y 1 5 5 215 10y 1 5 5 215 10y 5 215 2 5 10y 5 220 20 y 52 10 y 5 22 S 5 {22} c) 17x 2 1 5 15x 1 3 17x 5 15x 1 3 1 1 17x 5 15x 1 4 17x 2 15x 5 4 2x 5 4 4 x5 2 x52 S 5 {2} d) 16 2 x 5 x 1 25 2x 5 x 1 25 2 16 2x 5 x 1 9 2x 2 x 5 9 22x 5 9 ? (21) 2x 5 29 9 x 52 2
122
3. Resolvendo as equações, temos: 10y 1 4 5 16y 2 8 9x 2 4 5 6x 1 8 10y 5 16y 2 8 2 4 9x 5 6x 1 8 1 4 10y 5 16y 2 12 9x 5 6x 1 12 10y 2 16y 5 212 9x 2 6x 5 12 26y 5 212 ? (21) 3x 5 12 6y 5 12 x54 12 S 5 {4} y5 6 y 5 2 S 5 {2} a) O valor do número y é 2. b) O valor do número x é 4. c) O produto de y por x: y?x52?458
d) O quociente de y por x: ;2 y 2 1 5 5 x 4 ;2 2
c) 7x 2 3 ? (x 2 2) 5 3 ? (x 1 4) 7x 2 3x 1 6 5 3x 1 12 4x 1 6 5 3x 1 12 4x 5 3x 1 12 2 6 4x 5 3x 1 6 4x 2 3x 5 6 x56 S 5 {6} d) 2 ? (y 2 2) 1 5 ? (2 2 y) 5 23 ? (2y 1 2) 2y 2 4 1 10 2 5y 5 26y 2 6 23y 1 6 5 26y 2 6 23y 5 26y 2 6 2 6 23y 5 26y 2 12 23y 1 6y 5 212 3y 5 212 12 y 52 3 y 5 24 S 5 {24} e) 2 ? (1 2 t) 1 1 5 3 ? (t 2 3) 2 2t 2 2 2t 1 1 5 3t 2 9 2 2t 22t 1 3 5 t 2 9 22t 5 t 2 9 2 3 22t 5 t 2 12 22t 2 t 5 212 23t 5 212 ? (21) 3t 5 12 12 t5 3 t54 S 5 {4} f) 5 ? (m 1 1) 2 3 ? (2m 1 1) 5 4 ? (5 2 m) 5m 1 5 2 6m 2 3 5 20 2 4m 2m 1 2 5 20 2 4m 2m 5 20 2 4m 2 2 2m 5 18 2 4m 2m 1 4m 5 18 3m 5 18 18 m5 3 m56 S 5 {6}
4. 2x 2 6 5 10 3x 2 5 5 4 5x 2 7 5 8 2x 5 10 1 6 3x 5 4 1 5 5x 5 8 1 7 2x 5 16 3x 5 9 5x 5 15 16 9 15 x5 x5 x5 2 3 5 x 5 8 x 5 3 x53 S 5 {8} S 5 {3} S 5 {3} Logo, as equações equivalentes são: 3x 2 5 5 4 e 5x 2 7 5 8, pois apresentam a mesma solução. 5. Chamando o número desconhecido de x, vem: 3x 1 90 5 5x 3x 5 5x 2 90 3x 2 5x 5 290 22x 5 290 ? (21) 2x 5 90 90 x5 2 x 5 45 S 5 {45} Logo, o número é 45. Exercícios, página 139. 1. a) 3 2 (3x 2 6) 5 2x 1 (4 2 x) 3 2 3x 1 6 5 2x 1 4 2 x 23x 1 9 5 x 1 4 23x 5 x 1 4 2 9 23x 5 x 2 5 2 3x 2 x 5 25 24x 5 25 ? (21) 4x 5 5 5 x5 4 5 S5 4 b) 4 ? (x 2 2) 5 4 1 2 ? (x 2 1) 4x 2 8 5 4 1 2x 2 2 4x 2 8 5 2x 1 2 4x 5 2x 1 2 1 8 4x 5 2x 1 10 4x 2 2x 5 10 2x 5 10 10 x5 2 x55 S 5 {5}
2.
Para que a expressão seja igual a zero, devemos ter: x 2 2 ? (3 2 2x) 5 0 x 2 6 1 4x 5 0 5x 2 6 5 0 5x 5 6 6 x5 5 6 S5 5 6 Logo, devemos ter x 5 . 5
123
3. 3 ? (1,4 2 x) 1 5x 5 2 (x 2 4,8) 4,2 2 3x 1 5x 5 2x 1 4,8 4,2 1 2x 5 2x 1 4,8 2x 5 2x 1 4,8 2 4,2 2x 5 2x 1 0,6 2x 1 x 5 1 0,6 3x 5 0,6 0,6 x5 3 x 5 0,2 S 5 {0,2} Logo, x 5 0,2. 4. (m 2 3 ) ? x 1 3x 1 4 ? (m 2 5) 5 0 Sendo x 5 2, temos: (m 2 3) ? 2 1 3 ? 2 1 4 ? (m 2 5) 5 0 (m 2 3) ? 2 1 6 1 4 ? (m 2 5) 5 0 2m 2 6 1 6 1 4m 2 20 5 0 6m 2 6 1 6 2 20 5 0 6m 5 20 20 :2 10 m 5 :2 5 3 6 10 S5 3 10 Logo, a letra m é expressa pelo número . 3 5. Sendo as expressões iguais, temos: 3 ? (1,2x 2 2,4) 5 2 ? (1 1 1,5x) 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 2 1 3x 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 4,8 1 3x 3,6x 5 4,8 1 3x 1 7,2 3,6x 5 12 1 3x 3,6x 2 3x 5 12 0,6x 5 12 12 x5 0,6 x 5 20 S 5 {20} Logo, x 5 20. Exercícios, página 140. 1.
x 5 12 5 5x x 60 1 5 5 5 5 5x 1 x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 S 5 {10}
a) x 1
124
x 52 3 7 7x x 21 2 52 7 7 7 7x 2 x 5 221 6x 5 221 ;3 21 7 x 52 52 6 ;3 2 7 S 5 2 2 x x 1 5 21 c) 5 2 2x 5x 210 1 52 10 10 10 2x 1 5x 5 210 7x 5 210 210 x5 7 x 5 30 S 5 {30} 5 d) 5 5 2 3x 7 35 5 21x 5 2 7 7 7 35 5 5 2 21x 0 5 5 2 21x 2 35 21x 5 230 ;3 30 10 x 52 52 21 ;3 7 10 S 5 2 7 1 x 2x 1 e) 2 52 1 6 2 3 4 2 6x 8x 3 2 52 1 12 12 12 12 2 2 6x 5 28x 1 3 26x 5 28x 1 3 2 2 26x 5 28x 1 1 26x 1 8x 5 1 2x 5 1 1 x5 2 1 S5 2 3y 5 y 5 2 5 2 f) 8 6 3 2 9y 20 8y 60 2 5 2 24 24 24 24 9y 2 20 5 8y 2 60 9y 5 8y 2 60 1 20 9y 5 8y 2 40 9y 2 8y 5 240 y 5 240 S 5 {240} b) x 2
2. Para A 5 B, temos: x 2 3x 1 51 2 2 5 4 10x 8 20 15x 1 5 2 20 20 20 20 10x 1 8 5 20 2 15x 10x 5 20 2 15x 2 8 10x 5 12 2 15x 10x 1 15x 5 12 25x 5 12 12 x5 25 12 S5 25 3.
4.
5.
Chamando o número de x, temos: 3 1 2 ?x1 5 ?x 5 2 3 18x 15 20x 1 5 30 30 30 18x 1 15 5 20x 18x 5 20x 2 15 18x 2 20x 5 215 22x 5 215 ? (21) 2x 5 15 15 x5 ou x 5 7,5 2 15 S 5 ou S 5 {7,5}. 2 Chamando o número desconhecido de x: x x 1 5 x 2 56 4 6 3x 2x 12x 672 1 5 2 12 12 12 12 3x 1 2x 5 12x 2 672 5x 5 12x 2 672 5x 2 12x 5 2672 27x 5 2672 ? (21) 7x 5 672 672 x5 7 x 5 96 S 5 {96} Representando o número por x: x x 1 5 2x 2 30 5 5x x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 x 5 10x 2 150 6x 5 10x 2 150 6x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150
x5
150 4
;2 ;2
5
75 ou x 5 37,5 2
6. Se a pessoa calça 38, temos que N 5 38, então: 5x 38 5 17 4 152 5x 28 5 1 4 4 4 152 5 5x 1 28 0 5 5x 1 28 2 152 0 5 5x 2 124 25x 5 2124 ? (21) 5x 5 124 124 x5 5 x 5 24,8 24,8 cm Exercícios, página 142. 1.
x14 50 3 1 ? (x 1 4) 3x 12 2 2 50 3 3 3 3x 2 12 2 1 ? (x 1 4) 5 0 3x 2 12 2 x 2 4 5 0 2x 2 12 2 4 5 0 2x 2 16 5 0 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8}
a) x 2 4 2
b)
c)
x 28 245x 2 1 ? (x 2 8) 8 2x 2 5 2 2 2 1 ? (x 2 8) 2 8 5 2x x 2 8 2 8 5 2x x 2 16 5 2x x 5 2x 1 16 x 2 2x 5 16 2x 5 16 ? (21) x 5 216 S 5 {216} x 22 x24 5 8 3 3 ? (x 2 2) 8 ? (x 2 4) 5 24 24 3 ? (x 2 2) 5 8 ? (x 2 4) 3x 2 6 5 8x 2 32 3x 5 8x 2 32 1 6 3x 5 8x 2 26 3x 2 8x 5 226 25x 5 226 ? (21)
125
5x 5 26 26 x5 5 26 S5 5 4x 3 x 23 2 5 d) 3 2 3 2 ? (x 2 3) 8x 9 2 5 6 6 6 8x 2 9 5 2 ? (x 2 3) 8x 2 9 5 2x 2 6 8x 5 2x 2 6 1 9 8x 5 2x 1 3 8x 2 2x 5 3 6x 5 3 ;3 3 1 x5 5 6 ;3 2 1 S5 2 32 x x 11 x e) 5 2 8 4 3 3 ? (3 2 x) 6 ? (x 1 1) 8x 5 2 24 24 24 3 ? (3 2 x) 5 6 ? (x 1 1) 2 8x 9 2 3x 5 6x 1 6 2 8x 23x 5 6x 1 6 2 8x 2 9 23x 5 22x 2 3 23x 1 2x 5 23 21x 5 23 ? (21) x53 S 5 {3} f)
2.
126
t 25 1 t 3t 1 14 2 5 2 2 3 3 12 6 ? (t 2 5) 1 ? (3t 1 14) 4 4t 2 5 2 12 12 12 12 6 ? (t 2 5) 2 4 5 4t 2 1 ? (3t 1 14) 6t 2 30 2 4 5 4t 2 3t 2 14 6t 2 34 5 t 2 14 6t 5 t 2 14 1 34 6t 5 t 1 20 6t 2 t 5 20 5t 5 20 20 t5 5 t54 S 5 {4}
2 ? (x 1 1) 52 2 x 3 2 ? (x 1 1) 6 3x 5 2 3 3 3
2 ? (x 1 1) 5 6 2 3x 2x 1 2 5 6 2 3x 2x 5 6 2 3x 2 2 2x 5 23x 1 4 2x 1 3x 5 4 5x 5 4 4 x5 5 4 S5 5 4 5 0,8 , e se encontra entre os 5 números inteiros 0 e 1. Logo, x 5
3. 2 x 1 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? (4x 2 1) 1 11 3 2 6 ? 5 ? (2x 2 3) 3 ? 3 ? (4x 2 1) 4x 66 1 5 1 6 6 6 6 4x 1 6 ? 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? 3 ? (4x 2 1) 1 66
4x 1 6 ? [10x 2 15] 5 3 ? [12x 2 3] 1 66 4x 1 60x 2 90 5 36x 2 9 1 66 64x 2 90 5 36x 1 57 64x 5 36x 1 57 1 90 64x 5 36x 1 147 64x 2 36x 5 147 28x 5 147 ;7 147 21 x5 5 28 ;7 4 21 S5 4 7m 2 1 m24 5 2 3 6 ? 3 ? (m 2 2) 3 ? (7m 2 1) 2 ? (m 2 4) 2 5 6 6 6 6 ? 3 ? (m 2 2) 2 3 ? (7m 2 1) 5 2 ? (m 2 4)
4. 3 ? (m 2 2) 2
6 ? [3m 2 6] 2 21m 1 3 5 2m 2 8 18m 2 36 2 21m 1 3 5 2m 2 8 23m 2 33 5 2m 2 8 23m 5 2m 2 8 1 33 23m 5 2m 1 25 23m 2 2m 5 25 25m 5 25 ? (21) 5m 5 225 25 m 52 5 m 5 25 Logo, a solução da equação é um número negativo.
5.
a)
x24 x 22 21 5 3 8 8 ? (x 2 4) 3 ? (x 2 2) 24 2 5 24 24 24 8 ? (x 2 4) 2 24 5 3 ? (x 2 2) 8x 2 32 2 24 5 3x 2 6 8x 2 56 5 3x 2 6 8x 5 3x 2 6 1 56 8x 5 3x 1 50 8x 2 3x 5 50 5x 5 50 50 x5 5 x 5 10
340 1 4x 5 1 400 4x 5 1 400 2 340 4x 5 1 060 1 060 x5 4 x 5 265 Logo, foram atendidas 265 pessoas nesses meses.
2. De acordo com o enunciado: capacidade do 1 reservatório: 1 x Esvaziou−se : x 3 3 1 1 1 1 −se : x Esvaziou Esvaziou−se Retirou : x−se 400 de água capacidade total do reservatório 3 1 13 3 3 litros − capacidade Esvaziou se −se: 400 x litros−se do reservatório litros de água rvatório de400 Retirou total do resetotal 3 capacidade água 3 3Retirou Restou u no reservatório : x 5 3 do reservatório −se 400 litros de água 3 capacidade Os números naturais divisores deRetirou 10 u no reservatório : total x Restou Restou u no reservatório : x 5 são: 1, 2, 5 e 10. 5 3 Restou u no reservatório: x 1 3 5 b) Sendo x 5 10, o valor numérico da x 1 400 1 x 5 x 3 5 1 expressão 0,1 ; será: 5 x 6 000 9x 15x x 1 1 5 15 15 15 15 1 0,1 ; 5 0,1 ; 0,1 5 1 5x 1 6 000 1 9x 5 15x x 14x 1 6 000 5 15x c) Sendo x 5 10, o quadrado de x será: 2 14x 5 15x 2 6 000 10 5 10 ? 10 5 100 14x 2 15x 5 26 000 Desafio!, página 143. 2x 5 26 000 ? (21) De acordo com as dicas, podemos escrever: x 5 6 000 idade de Eva R x Logo, cabem no reservatório 6 000 litros de idade de Ivo R x 1 6 água. soma das idades igual a 40 R x 1 x 1 6 5 40 2x 1 6 5 40 3. De acordo com o enunciado: 2x 5 40 2 6 trabalham na matriz: x 2x 5 34 trabalham nas filiais: 4x 34 x 5 Como o total de funcionários é 1 365, 2 temos: x 5 17 x 1 4x 5 1 365 Logo, Eva tem 17 anos, e Ivo tem 23 (17 1 6) anos de idade. 5x 5 1 365 1 365 x5 5 x 5 273
29 – Usando equações na resolução de problemas Exercícios, páginas 148 e 149.
Logo, na matriz trabalham 273 funcionários e nas filiais trabalham 1 092 (4 ? 273) funcionários
1. De acordo com o enunciado: 4. De acordo com o enunciado: janeiro: 180 atendimentos total de eleitores pesquisados: x fevereiro, março, abril e maio tiveram a mesma quantidade de atendimento. Sendo 40 votos no candidato A, 40no % do total : 40A,x votos candidato x para cada mês, o total de atendimento 100 40 votos no candidato A, 40% do total40 : x A,candidato 40% do total :40% do xtotal total:: 40100 votos no A,40% x nesses meses é 4x. votos no candidato 35 100 100 B,% 35do % do total : 35x x total de eleitores pesquisados votos no candidato votos no candidato A , 40 total : x total de eleitores pesquisados junho: 160 atendimentos B, 100 B35 , 35% docandidato total35 : 100 votos no candidatovotos total datono B, candi 35% do total xno total: de eleitores votos no candi 100 ato B, :35100 % do x total de eleitores pesquisados votos pesquisados indecisos :d3500 Como o total de atendimentos no 35 total: 100 x total de eleitores pesquisados 35% do d ato B , 35 % do total : votos no candi indecisos : 3500 o pessoas: 1 semestre foi de 1 400 indecisos : 3500 100 indecisos : 3500 3 500 indecisos: 180 1 4x 1 160 5 1 400 indecisos : 3500
127
40x 35x 1 1 3 500 5 x 100 100 40x 35x 350 000 100x 1 1 5 100 100 100 100 40x 1 35x 1 350 000 5 100x 75x 1 350 000 5 100x 75x 5 100x 2 350 000 75x 2 100x 5 2350 000 225x 5 2350 000 ? (21) 25x 5 350 000 350000 x5 25 x 5 14 000 Logo, foram pesquisados 14 000 eleitores.
1 3 x 1 46,2 5 x 5 4 4x 924 15x 1 5 20 20 20 4x 1 924 5 15x 4x 5 15x 2 924 4x 2 15x 5 2924 211x 5 2924 ? (21) 11x 5 924 924 x5 11 x 5 84 Logo, a capacidade total do tanque é de 84 litros.
5. De acordo com o enunciado: 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte diagrama: total de pérolas: x um sexto do total1caiu Turistas 1: x um sexto do total caiu paradireita a direita um sexto do total caiupara paraaadireita: : 6 x Inglês Espanhol 6 1 um sexto do total caiu para a direita : x 1 um a 6 1 1 para 42 � x 30 � x um sexto total caiu paraquinto a:direita um ququ intdo o para a easquerda : x1x : 6 x int esquerda um o para 5 5 esquerda um qu int o para aesquerda: 1 : 5x 1 16 � não falam inglês nem espanhol. int osegurou squerda : direita x um para a ecom 1 total de pérolas no colar umqu terço a mão : x total de pérolas 5 segurou um terço com 3: 1x dedepérolas um A soma desses valores é o total de turistas total pérolasno nococlar umterço terçosegurou seguroucom coma amão mãodireita direita olar total 1 :3 3 x colar no 1 total a mão direita: de pérolas no c um terço segurou com a mão direita : x o lar pesquisados. Assim, montamos a equação: : x um décimo segurou com a mão esquerda 3 10 11 décimosegurou segurou com amão mão esquerda umdécimo x um décimo segurou com a esquerda um 1: : 10 (42 2 x) 1 x 1 (30 2 x) 1 16 5 70 x 6 pérolas ficar am presas colar . 1xx décimo segurou com ano mão esquerda : 10 um com a mão esquerda: 10 6 pérolas ficaram presas no colar. 42 2 x 1 x 1 30 2 x 1 16 5 70 10 6 pérolas ficar m presas no colar . 6 pérolas ficar amapresas colar . ficaram seisnopérolas 2x 1 88 5 70 presas no colar. 2x 5 70 2 88 1 1 1 1 2x 5 218 ? (21) x1 x1 x1 x 16 5 x 6 5 3 10 x 5 18 5x 6x 10x 3x 180 30x 1 1 1 1 5 Logo, 18 turistas falavam inglês e espanhol 30 30 30 30 30 30 ao mesmo tempo. 5x 1 6x 1 10x 1 3x 1 180 5 30x 8. Do enunciado, podemos escrever: 24x 1 180 5 30x comprimento da tábua maior: x 24x 5 30x 2 180 3 comprimento da tábua menor: x 24x 2 30x 5 2180 5 26x 5 2180 ? (21) A soma das duas partes da tábua é igual a 120 cm de comprimento, então: 6x 5 180 3 180 x 1 x 5 120 x5 5 6 5x 3x 600 x 5 30 1 5 5 5 5 Logo, esse colar tinha 30 pérolas. 5x 1 3x 5 600 6. De acordo com o enunciado: 8x 5 600 600 capacidade do tanque: x x5 8 1 ponteiro indicava: x x 5 75 5 colocou: 46,2 litros comprimento da tábua maior: 75 cm ou 3 0,75 m nova indicação: x 4 comprimento da tábua menor: A soma do que o ponteiro indicava com 15 3 o que foi colocado corresponde à nova ? 75 5 45 cm ou 0,45 m 5 1 indicação. Então:
128
Portanto, o comprimento da menor parte da tábua é 0,45 m.
b) Lucca acertou 8 flechas na região A e 5 na região B. Logo, ele fez: 10
9.
8 ? 20 1 5 ? 6
x 2
6 1 2 1 x 5 30 R R x 5 30 – 8 R x 5 22 10. Do enunciado, podemos escrever: percurso total: x 3 primeiro dia: x 5 4 segundo dia: x 15 terceiro dia: 800 km Somando os três dias, teremos o percurso total: 3 4 x1 x 1 800 5 x 5 15 9x 4x 12 000 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 4x 1 12 000 5 15x 13x 1 12 000 5 15x 13x 2 15x 5 212 000 22x 5 2 12 000 ? (21) 2x 5 12 000 12 000 x5 2 x 5 6 000 Logo, o percurso total foi 6 000 km. Portanto, a aeronave voou 3 600 km 3 1 200 ? 6000 5 3 600 no primeiro dia. 5 1 11. De acordo com o enunciado, podemos escrever: pontos na região A: x x pontos na região B: 2 a) Como Caio acertou 5 flechas na região A e 4 na região B, perfazendo 140 pontos, temos: 2 x 5? x 1 4 ? 5 140 21 5x 1 2x 5 140 7x 5 140 140 x5 7 x 5 20 Logo, cada flecha certeira na região A vale 20 pontos.
20 ? 160 1 50 5 210 pontos 21
Como Caio fez 140 pontos e Lucca 210 pontos, Lucca fez 70 pontos (210 2 140 5 5 70) a mais que Caio. 12. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 1o bimestre: x 2o bimestre: 2x 3o bimestre: 4x 4o bimestre: 8x 5o bimestre: 16x 6o bimestre: 32x O ano tem 6 bimestres e os acessos dobravam a cada visita. Sendo o total de visitas 756, podemos escrever: x 1 2x 1 4x 1 8x 1 16x 1 32x 5 756 63x 5 756 756 x5 63 x 5 12 Logo, foram feitas 12 visitas no 1o bimestre de 2007. 13. Do enunciado, podemos escrever: total de entrevistados: x 1 entrevistados que liam a revista A: ? x 3 2 entrevistados que liam a revista B: ? x 5 entrevistados que liam a revista C: 832 Somando os entrevistados das revistas A, B e C, teremos o total de pessoas entrevistadas: 1 2 x 1 x 1 832 5 x 3 5 5x 6x 12 480 15x 1 1 5 15 15 15 15 5x 1 6x 1 12 480 5 15x 5x 1 6x 2 15x 5 212 480 24x 5 212 480 ? (21) 4x 5 12 480 12480 x5 4 x 5 3 120 Logo, foram entrevistadas 3 120 pessoas. 14. Do enunciado, podemos escrever: Tiago ficou com x figurinhas.
129
Guilherme ficou com (x 1 20) figurinhas. Como foram rasgadas 36 das 200 figurinhas, sobraram 164 figurinhas (200 2 36 5 164). Então: x 1 (x 1 20) 5 164 x 1 x 1 20 5 164 x 1 x 5 164 2 20 2x 5 144 144 x5 2 x 5 72 Logo, Tiago tem 72 figurinhas, e Guilherme tem 92 figurinhas (72 1 20 5 92). 15. Sabemos que 1 hora 5 60 minutos, então: 12 horas 5 12 ? 60 5 720 minutos Do enunciado, podemos escrever: volume de água drenada pelo encanamento 1: 720 ? 30 5 21 600 litros de água volume de água drenada pelo encanamento 2: 720 ? x Como o total de água drenada é de 72 000 litros: 21 600 1 720x 5 72 000 720x 5 72 000 2 21 600 720x 5 50 400 50 400 x5 720 x 5 70 Logo, o segundo encanamento drena 70 litros de água por minuto. Brasil Real, página 150. 1. Do enunciado, vem: • 200 000 ligações com doação de 7 reais: 7 ? 200 000 5 1 400 000 • 100 000 ligações com doação de 15 reais: 15 ? 100 000 5 1 500 000 Como foram arrecadados 4 400 000 reais com todas as ligações, podemos escrever que as doações de 30 reais foram: 1 400 000 1 1 500 000 1 30 ? x 5 4 400 000 30x 5 4 400 000 2 1 400 000 2 1 500 000 30x 5 1 500 000 1500000 x5 30 x 5 50 000 Logo, foram 50 000 ligações com doação de 30 reais.
130
2. Sendo o total arrecadado em 2006 de 4 400 000 reais, e 4 840 projetos sociais apoiados por essa campanha, podemos escrever: 4 400000 . 909,10 4840 Logo, se o total arrecadado foi dividido igualmente entre os projetos sociais apoiados, cada um receberia, aproximadamente, R$ 909,10. 3. Se 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 30 reais cada uma, podemos escrever: 73 000 ? 3 ? 30 5 6 570 000 Logo, seria arrecadado R$ 6 570 000,00. 4. Se os 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 7, de 15 e de 30 reais cada uma, o total arrecadado seria: 73 000 ? 3 ? 7 1 73 000 ? 3 ? 15 1 73 000 ? 3 ? 30 5 5 1 1 533 000 1 3 285 000 1 6 570 000 5 5 11 388 000 Logo, seria arrecadado R$ 11 388 000,00. Desafios, página 150. 1. I. Alternativa e. Realizando uma única pesagem, podemos separar a massa de 24 kg em dois pratos com embalagens de 12 kg cada uma. Logo, é possível montar pacotes de 12 kg cada um. II. Alternativa c. Realizando exatamente duas pesagens, podemos na primeira pesagem distribuir 12 kg entre os dois pratos, de modo que a balança atinja novamente o equilíbrio. Para uma segunda pesagem, podemos formar pacotes de 6 kg. Com um pacote de 12 kg e outro de 6 kg, podemos montar um pacote de 18 kg. Logo, realizando duas pesagens, podemos montar pacotes de 6 kg, 12 kg e 18 kg. 2. De acordo com o enunciado, podemos escrever: total de abelhas: x 1 total numa flor de Kadamba: ?x 5 1 pousou numa flor de Silinda: ?x 3 1 1 voa sobre uma flor da Krutaja: 3 ? x 2 5 3
x
A abelha que sobra voa atraída pelo perfume do jasmim. Como o total de abelhas é x: 1 1 1 1 ? x 1 ? x 1 3 ? x 2 x 1 1 5 x 5 3 5 3 1 1 3x 5x x 1 x 13? 2 11 5 x 5 3 15 15 1 2x 1 1 x1 x1 3 ? 11 5 x 5 3 15 5
1 1 2x x1 x1 11 5 x 5 3 5 3 1 x 1 x 11 5 x 5 3 9x 5x 15 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 15 5 15x 9x 1 5x 2 15x 5 215 2x 5 215 ? (21) x 5 15 Logo, o número de abelhas é 15.
30 – Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas Explorando, página 151. 1. Resposta pessoal. Contando o número de quadradinhos que forma cada figura, temos: a) A figura é composta por 24 quadradinhos. b) A figura é composta por 9 quadradinhos. c) A figura é composta por 6 quadradinhos. d) A figura é composta por 16 quadradinhos. Para calcular, bastou contar o número de quadradinhos que formava cada figura. 2. Se cada quadradinho tem 1 cm de lado, sua área será 1 ? 1 5 cm2. Logo, a área de cada figura será: • figura a: 24 cm2, pois é formada por 24 quadradinhos. • figura b: 9 cm2, pois é formada por 9 quadradinhos. • figura c: 6 cm2, pois é formada por 6 quadradinhos. • figura d: 16 cm2, pois é formada por 16 quadradinhos. 3. Resposta em aberto.
Exercícios, página 153. 1. Do enunciado, podemos escrever: altura do retângulo: x medida da base: 2 ? x Sendo o perímetro do retângulo 60 cm, podemos escrever: x 1 2x 1 x 1 2x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 Logo, a altura do retângulo é 10 cm, e a medida da base é 20 cm (2 ? 10). 2. Sendo as medidas dos lados desse triângulo expressas por três números inteiros consecutivos, e sabendo que um dos lados mede x, podemos escrever: x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 5 27 x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 27 3x 1 3 5 27 3x 5 27 2 3 3x 5 24 24 x5 3 x58 Logo, as medidas dos lados desse triângulo são: 8 cm, 9 cm e 10 cm. 3. Sendo π 5 3,14, o comprimento da circunferência igual a 314 cm, e sabendo que esse comprimento é expresso por C 5 2 ? π ? r: 314 5 2 ? 3,14 ? r 314 5 6,28r 6,28r 5 314 (simétrica) 314 r5 5 50 6,28 Logo, o raio da circunferência é 50 cm. 4. Sendo a área do trapézio expressa por: (B 1 b) ? h , em que a base maior (B) A5 2 mede 20 cm, a altura (h) mede 15 m e a área (A) vale 270 m2, temos: (20 1 b) ? 5 270 5 2 (20 1 b) ? 15 5 270 2 300 1 15b 5 270 2 300 1 15b 540 5 2 2
131
300 1 15b 5 540 15b 5 540 2 300 15b 5 240 240 b5 15 b 5 16 Logo, a base menor do terreno mede 16 m. 5. Chamando de x a frente do terreno, podemos escrever: frente do terreno: x lateral do terreno: 3x Como o contorno do terreno mede 80 metros: x 1 3x 1 x 1 3x 5 80 8x 5 80 80 x5 8 x 5 10 Logo, se for colocada grade na frente do terreno, serão necessários 10 metros de grade. 6. Sabemos que a área A de um retângulo é dada por comprimento “a” vezes a largura “b”. Sendo uma das dimensões igual a 12 m, e área igual a 360 m2, temos: A5a?b 360 5 12 ? b 12b 5 360 (simétrica) 360 b5 12 b 5 30 Logo, a outra dimensão mede 30 m. 7. Sabemos que o perímetro de uma figura é a soma das medidas dos lados. Logo, de acordo com a figura, podemos escrever: 3x 1 2 1 3x 1 6 1 3x 1 2 1 3x 1 2 5 36 12x 1 12 5 36 12x 5 36 2 12 12x 5 24 24 x5 12 x52 Portanto, o valor de x é 2 cm. Retomando o que aprendeu, páginas 153 a 155. 1. Alternativa c. Resolvendo a equação, temos: 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3
132
3 ? (3x 1 5) 2 ? (2x 2 9) 48 2 5 6 6 6 48 3 ? (3x 1 5) 2 2 ? (2x 2 9) 5 6 9x 1 15 2 4x 1 18 5 48 5x 1 33 5 48 5x 5 48 2 33 5x 5 15 15 x5 5 x53 Verificando as alternativas: a) 3 x 5215 15 x 52 525 3 b) 3x 5 27 27 x5 59 3 c) 3x 5 9 9 x5 3 x53 d) 3x 5 15 15 x5 55 3 e) 3x 529 9 x 52 3 x 523 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3 é, também, raiz da equação 3x 5 9. Logo, a raiz da equação
2. Alternativa a. 2x 1 x 1 (x 1 4) 5 116 R soma dos três números 2x 1 x 1 x 1 4 5 116 4x 1 4 5 116 4x 5 112 112 x5 4 x 5 28 Portanto, os três números são: 28, 56 (2 ? 28 5 56) e 32 (28 1 4 5 32). Logo, o produto desses três números é 28 ? 56 ? 32 5 5 50 176. 3. Alternativa b. 3x 2 (x 1 1) 5 2x 1 1 3x 2 x 2 1 5 2x 1 1 2x 2 1 5 2x 1 1
2x 5 2x 1 1 1 1 2x 5 2x 1 2 2x 1 x 5 2 3x 5 2 2 x5 3 Logo, o valor de x é
2 . 3
4. Alternativa a. 2 ? (1 2 0,4) 1 x 5 4 ? (0,1x 2 0,4) 2 2 0,8x 1 x 5 0,4x 2 1,6 2 1 0,2x 5 0,4x 2 1,6 0,2x 5 0,4x 2 1,6 2 2 0,2x 5 0,4x 2 3,6 0,2x 2 0,4x 5 23,6 20,2x 5 23,6 ? (21) 0,2x 5 3,6 3,6 x5 0,2 x 5 18 Logo, o valor de x é 18. 5. Alternativa e. Sendo 4 ônibus na excursão, e cada ônibus com 35 alunos, temos: 4 ? 35 5 140 Portanto, participaram da excursão 140 alunos. Como havia, ao todo, 150 pessoas na excursão, concluímos que 10 pessoas (150 2 140 5 10) eram professores. Logo, 10 professores foram a esse passeio. 6. Alternativa b. Capacidade total do tanque: x Escoou 68 litros de água, ficando a terça 1 parte da capacidade total: ?x 3 Com isso, podemos escrever: 1 x 1 68 5 x 3 1 204 3x 1 5 3 3 3 1x 1 204 5 3x 1x 5 3x 2 204 1x 2 3x 5 2204 22x 5 2204 ? (21) 2x 5 204 204 x5 2 x 5 102 Logo, a capacidade do tanque é 102 litros.
7. Alternativa c. Sendo o valor da média 12,5: (x 2 4) 1 x 1 2x 1 2 (x 1 6) 5 12,5 4 x 2 4 1 x 1 2x 1 2x 1 12 5 12,5 4 6x 1 8 5 12,5 4 6x 1 8 50 5 4 4 6x 1 8 5 50 6x 5 50 2 8 6x 5 42 42 x5 6 x57 Logo, o número x é 7. 8. Alternativa d. Do enunciado, vem: total de jogos: x 3 venceu: ?x 5 1 ?x empatou: 3 Perdeu 2 jogos. Daí, podemos escrever: 3 1 1 x 12 5 x 5 3 9x 5x 30 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 30 5 15x 9x 1 5x 5 15x 2 30 9x 1 5x 2 15x 5 230 14x 2 15x 5 230 2x 5 230 ? (21) x 5 30 3 dos jogos que A equipe venceu 5 disputou, logo: 6 3 ? 30 51 Portanto, a equipe venceu 18 jogos. 9. Alternativa b. Sendo x a hora adicional e R$ 21,00 o valor pago, temos: 6 1 3x 5 21 3x 5 21 2 6 3x 5 15 15 x5 3 x55 Logo, o carro ficou no estacionamento 5 horas adicionais mais a primeira hora, ou seja, 6 horas (1 1 5 5 6).
133
10. Alternativa a. Sendo o número x, temos: 1 x 1 x 5 2x 2 30 5 5x 1x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 1x 5 10x 2 150 5x 1 1x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150 150 x5 4 x 5 37,5 Logo, o número é 37,5. 11. Alternativa e. total de recenseadores: x Se cada recenseador visitar 100 residências, faltariam 60 residências: 100 ? x 1 60 Se cada recenseador visitar 102 residências, todas seriam visitadas: 102 ? x Daí, podemos escrever: 100x 1 60 5 102x → total de residências
total de residências
100x 5 102x 2 60 100x 2 102x 5 260 22x 5 260 ? (21) 2x 5 60 60 x5 2 x 5 30 Logo, foram contratados 30 recenseadores. 12. Alternativa c.
5 2 3x 50 2 2 ? 2 (x 2 5) 1 ? (5 2 3x) 6x 0 2 2 5 2 2 2 2 6x 2 2 ? 2 (x 2 5) 2 1 ? (5 2 3x) 5 0 3x 2 2 (x 2 5) 2
6x 2 2 ? [2x 2 10] 2 5 1 3x 5 0 6x 2 4x 1 20 2 5 1 3x 5 0 5x 1 15 5 0 5x 5 215 15 x 52 5 x 5 23 Logo, o valor de x é 23.
13. Alternativa a. custo da bola de vôlei: x custo da bola de basquete: x 1 40 Como foram compradas 6 bolas de basquete e 10 bolas de vôlei, podemos escrever:
134
10 ? x 1 6 ? (x 1 40) 5 1 280 10x 1 6x 1 240 5 1 280 16x 1 240 5 1 280 16x 5 1 280 2 240 16x 5 1 040 1 040 x5 16 x 5 64 O custo de cada bola de basquete foi 105 reais (65 1 40 5 105). Como o professor comprou 6 bolas de basquete, temos: 6 ? 105 5 630 Logo, foram gastos R$ 630,00 com as bolas de basquete. 14. Alternativa b. • total de amigos: x • Se cada amigo recebeu 2 convites, sobrarão 25 R 2x 1 25 • Se cada amigo recebeu 3 convites, faltarão 15 R 3x 2 15 Daí, vem: 2x 1 25 5 3x 2 15 2x 5 3x 2 15 2 25 2x 5 3x 2 40 2x 2 3x 5 240 2x 5 240 ? (21) x 5 240 A quantidade de convites disponíveis é: 2 ? 40 1 25 5 80 1 25 5 105 Logo, são 40 amigos e 105 convites. Se cada amigo recebeu 4 convites, serão necessários 160 convites (4 ? 40 5 160). Como só há 105 convites disponíveis, ainda faltariam 55 convites (160 2 105 5 55). 15. Alternativa c. Do enunciado, podemos escrever: 1a pergunta, ganhou: x 2a pergunta, ganhou: 2x 3a pergunta, ganhou: 3x 4a pergunta, ganhou: 4x O candidato recebeu R$ 15 000,00 por ter acertado as perguntas. Então: x 1 2x 1 3x 1 4x 5 15 000 10x 5 15 000 15 000 x5 10 x 5 1 500 Logo, o prêmio inicial era de R$ 1 500,00.
16. Alternativa b. 1a parte da tábua: 1,80 m 2a parte da tábua: 2x 3a parte da tábua: x Como o comprimento total da tábua é de 5,85 metros, temos: 1,80 1 2x 1 x 5 5,85 1,80 1 3x 5 5,85 3x 5 5,85 2 1,80 3x 5 4,05 4, 05 x5 3 x 5 1,35 Logo, o comprimento da segunda parte, em metros, é 2,70 (2 ? 1,35 5 2,70).
31 – Equação do 1°- grau com duas incógnitas Exercícios, páginas 158 e 159. 1. De acordo com cada situação, podemos escrever: a) x 1 y 5 61 b) 2x 2 7 5 y c) 3x 1 5y 5 100 d) x 5 y 1 7 ou x 2 y 5 7 1 e) ? x 5 2y 2 2 3 f) ? x 2 ? y 51 3 5 2. Sendo x a idade de Mariana e y a idade de Gabriela podemos escrever: x2y52 3. Sendo x o preço do livro e y o preço do caderno: a) x 1 y 5 32 b) x 5 y 1 25 c) x 5 6 ? y d) 2 ? x 1 5 ? y 5 60 4. Sendo x o número de carros e y o número de motos: a) Como no estacionamento há 20 veículos, temos: x 1 y 5 20 b) Sendo o número de carros igual ao triplo do número de motos, temos: x 5 3y c) Como o número de carros supera o número de motos em 12, podemos escrever: x 5 y 1 12
d) Sendo a metade do número de carros igual a cinco vezes o número de motos: 1 ? x 55? y 2 e) Como no estacionamento há 42 rodas, podemos escrever: 4x 1 2y 5 42 5. Sendo a equação 9 ? x 1 y 5 1: a) (0, 1) R 9 ? 0 1 1 5 1 01151 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. b) (1, 0) R 9 ? 1 1 0 5 1 91051 9 5 1 R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. c) (1, 28) R 9 ? 1 1 (28) 5 1 92851 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. d) (21, 10) R 9 ? (21) 1 10 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 6. Sendo a equação 2x 1 3y 5 1, vem: a) (21, 21) R 2 ? (21) 1 3 ? (21) 5 1 22 2 3 5 1 25 5 1 R R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. b) (21, 1) R 2 ? (21) 1 3 ? (1) 5 1 22 1 3 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 7. Sendo x a medida do lado do quadrado e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: a) perímetro do quadrado: 4x perímetro do triângulo: 3y Logo, 4x 5 3y. b) Se o lado do quadrado mede 15 cm, o lado do triângulo medirá:
135
4 ? 15 5 3y 60 5 3y 3y 5 60 60 y5 3 y 5 20 Logo, o lado do triângulo medirá 20 cm. b) Se o lado do triângulo mede 12 cm, o lado do quadrado medirá: 4x 5 3 ? 12 4x 5 36 36 x5 4 x59 Logo, o lado do quadrado medirá 9 cm. 8. Depois de algumas tentativas, o único par ordenado que é solução das equações x 1 y 5 3 e x 2 y 5 1, é o par (2, 1). x1y53 21153 3 5 3 R verdadeira x2y51 22151 1 5 1 R verdadeira Outra maneira para a resolução seria: Como o par ordenado tem de satisfazer as duas equações, podemos isolar x na primeira equação e substituí-lo na segunda, ou seja: x 1 y 5 3 R x 5 3 2 y (I) e x 2 y 5 1 (II) Substituindo (I) em (II): 32y2y51 22y 5 1 2 3 22y 5 22 ? (21) 2y 5 2 2 y5 2 y51 Sendo x 5 3 2 y e substituindo o valor de y, temos: x5321 x52 Logo, o par ordenado que satisfaz as equações é (2, 1). 9. Sendo as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 5 7, temos: • (3, 22) em x 1 2y 5 1 R 3 1 2 ? (22) 5 21 3 2 4 5 21 21 5 21 R R igualdade verdadeira
136
• (3, 22) em x 2 2y 5 7 R 3 2 2 ? (22) 5 7 31457 757R R igualdade verdadeira Logo, o par (3, 22) é solução para as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 7. 10. Existem várias possibilidades de resposta. Três possíveis respostas seriam os pares: (7, 1); (3, 3); (5, 2) • (7, 1) em x 1 2y 5 9 R 7 1 2 ? 1 5 9 71259 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (3, 3) em x 1 2y 5 9 R 3 1 2 ? 3 5 9 31659 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (5, 2) em x 1 2y 5 9 R 5 1 2 ? 2 5 9 51459 9 5 9 R R igualdade verdadeira 11. Sendo a equação 4x 1 y 5 20, temos: a) se x 5 0 R 4 ? 0 1 y 5 0 0 1 y 5 20 y 5 20 Logo, quando x 5 0, uma solução é o par ordenado (0, 20). 1 3 3 1 y 5 20 b) se x 52 → 4 ? 2 4 4 1 23 1 y 5 20 y 5 20 1 3 y 5 23 3 , uma solução é o 4 3 par ordenado 2 , 23. 4 Logo, quando x 52
12. Sendo a equação 10x 2 3y 5 7: a) se y 5 1 R 10x 2 3 ? 1 5 7 10x 2 3 5 7 10x 5 7 1 3 10x 5 10 10 x5 10 x51 Logo, quando y 5 1, uma solução é o par ordenado (1, 1).
1 13 13 b) se y 5 → 10x 2 3 ? 57 3 3 1 10x 2 13 5 7 10x 5 7 1 13 10x 5 20 20 x5 10 x52 13 , uma solução é o Logo, quando y 5 3 13 par ordenado 2, . 3
13. Sendo x 5 5y 1 6, o valor de y em cada uma das equações será: a) 2 ? x 1 y 5 34 2 ? (5y 1 6) 1 y 5 34 10y 1 12 1 y 5 34 11y 1 12 5 34 11y 5 34 2 12 11y 5 22 22 y5 11 y52 b) 3 ? x 2 2 ? y 5 221 3 ? (5y 1 6) 22y 5 221 15y 1 18 2 2y 5 221 13y 1 18 5 221 13y 5 2 21 2 18 13y 5 239 39 y 52 13 y 5 23 c) 5 ? x 5 y 5 ? (5y 1 6) 5 y 25y 1 30 5 y 25y 5 y 2 30 25y 2 y 5 230 24y 5 230 6 30 5 y 52 52 24 6 4
32 – Sistemas de duas equações do 1°- grau com duas incógnitas Explorando, páginas 159 e 160. 1. De acordo com o enunciado, podemos considerar as seguintes possibilidades:
Número de partidas vencidas
Número de partidas perdidas
Número de partidas disputadas (soma das partidas vencidas com as partidas perdidas)
Soma dos pontos de acordo com as partidas disputadas
0
4
01454
0 ? (2) 1 4 ? (1) 5 4
1
3
11354
1 ? (2) 1 3 ? (1) 5 5
2
2
21254
2 ? (2) 1 2 ? (1) 5 6
3
1
31154
3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7
4
0
41054
4 ? (2) 1 0 ? (1) 5 8
2. O único par que satisfaz as duas condições apresentadas é o par (3, 1), pois 3 1 1 5 4 é o número de partidas disputadas e 3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7 corresponde aos pontos somados. 3. Sendo x o número de partidas vencidas e y o número de partidas perdidas, e sabendo que a equipe disputou 30 jogos no total e somou 51 pontos, podemos escrever as seguintes equações para essa situação: x 1 y 5 30 (I) e 2 ? x 1 1 ? y 5 51 (II) Depois de algumas tentativas verificamos que o único par ordenado que satisfaz as equações I e II é o par (21, 9), ou seja, a equipe venceu 21 partidas e perdeu 9. Logo, a equipe teve 21 vitórias e 9 derrotas. Exercícios, páginas 164 e 165. 1. a) Chamando a quantidade de figurinhas de Carlos de x, e as de Celso de y, temos: x 1 y 5 201 x 5 2y b) Chamando a quantidade de livros com espessura de 3 cm de x, e com espessura de 5 cm de y, temos: x 1 y 5 15 3x 1 5y 5 50 2. Sendo o par ordenado (8, 1) e o sistema x 2 8y 5 0 , vem: x 2 3y 5 5 (8, 1) em x 2 8y 5 0 R 8 2 8 ? (21) 5 0 82850 050R R igualdade verdadeira (8, 1) em x 2 3y 5 5 R 8 2 3 ? (1) 5 5 82355 555R R igualdade verdadeira
137
Logo, o par (8, 1) satisfaz as duas equações e, por isso, é solução do sistema.
y 5 23 Substituindo y em (I): x 5 2y x 5 2 ? (23) x 5 26
3. Sendo o par ordenado (23, 5) e o sistema 23x 1 2y 5 12 , vem: 3x 1 8y 5 31 (23, 5) em 2x 1 2y 5 12 R 2(23) 1 2 ? (5) 5 12 13 1 10 5 12 13 5 12 R igualdade falsa (23, 5) em 3x 1 8y 5 31 R 3 ? (23) 1 8 ? (5) 5 31 29 1 40 5 31 31 5 31 R igualdade verdadeira Logo, o par (23, 5) satisfaz apenas a equação 3x 1 8y 5 31 e, por isso, não é solução do sistema, pois não satisfaz a primeira equação. 4. x 1 y 5 20 a) x 2 3y 52 12
(II)
Da primeira equação, vem: x 1 y 5 20 R x 5 20 2 y (I) Substituindo I em II: x 2 3y 5 212 (220y) 2 3y 5 212 20 2 y 2 3y 5 212 24y 5 212 2 20 24y 5 232 ? (21) 4y 5 32 32 y5 4 y58 Substituindo y em (I): x 5 20 2 y x 5 20 2 8 x 5 12 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (12, 8). x 5 2y (I) b) 2x 2 5y 5 3 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 2x 2 5y 5 3 2 ? (2y) 2 5y 5 3 4y 2 5y 5 3 2y 5 3 ? (21)
138
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 23). 5. x 1 y 5 10 a) x 1 3y 5 14 Da primeira equação: x 1 y 5 10 R x 5 10 2 y Da segunda equação, temos: x 1 3y 5 14 R x 5 14 2 3y
(I) (II)
Comparando as equações (I) e (II): 10 2 y 5 14 2 3y 2y 5 14 2 3y 2 10 2y 5 4 2 3y 2y 1 3y 5 4 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x 5 10 2 y x 5 10 2 2 x58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2). y 5 6x (I) b) 3x 2 2y 5 54 Da segunda equação, temos: 3x 2 2y 5 54 22y 5 54 2 3x ? (21) 2y 5 254 1 3x 254 1 3x y5 (II) 2 Comparando as equações (I) e (II): 254 1 3x 6x 5 2 1 ? (254 1 3x) 12x 5 2 2 12x 5 1 ? (254 1 3x) 12x 5 254 1 3x 12x 2 3x 5 254 9x 5 254
54 9 x 5 26 x 52
Substituindo x em (I): y 5 6x y 5 6 ? (23) 5 236 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 236). 6.
x 1 y 5 6 (I) a) x 5 y 1 2 (II) Substituindo (II) em (I): x1y56 y121y56 2y 5 6 2 2 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (II): x5y12 x5212 x54 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 2). x 5 2y (I) b) 2x 1 5y 5 9 (II) Substituindo a equação (I) em (II): 2x 1 5y 5 9 2 ? (2y) 1 5y 5 9 4y 1 5y 5 9 9y 5 9 9 y5 9 y51 Substituindo y em (I): x 5 2y x52?1 x52 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). x 1 y 5 5 c) x 2 y 5 1 (II) Da primeira equação, temos: x1y55Rx552y (I)
Substituindo (I) em (II): x2y51 (5 2 y) 2 y 5 1 5 2 y 2y 5 1 22y 5 1 2 5 22y 5 24 ? (21) 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x552y x5522 x53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (3, 2). 2x 2 y 5 3 d) 3x 1 2y 5 8 (II) Da primeira equação, temos: 2x 2 y 5 3 2y 5 3 2 2x ? (21) y 5 23 1 2x (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 2y 5 8 3x 1 2 ? (23 1 2x) 5 8 3x 2 6 1 4x 5 8 7x 5 8 1 6 7x 5 14 14 x5 7 x52 Substituindo x em (I): y 5 23 1 2x y 5 23 1 2 ? (2) y 5 23 1 4 y51 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). y 5 3x 1 2 (I) e) 2x 2 y 524 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 24 2x 2 (3x 1 2) 5 24 2x 2 3x 2 2 5 24 2x 5 24 1 2 2x 5 22 ? (21) x52
139
Substituindo x em (I): y 5 3x 1 2 y 5 3 ? (2) 1 2 y5612 y58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 8). 2x 1 y 5 5 f) 8x 2 y 5 5 (II) Da primeira equação, temos: 2x 1 y 5 5 R y 5 5 2 2x (I) Substituindo (I) em (II): 8x 2y 5 5 8x 2 (5 2 2x) 5 5 8x 2 5 1 2x 5 5 10x 5 5 1 5 10x 5 10 10 x5 10 x51 Substituindo x em (II): 8x 2 y 5 5 8 ? (1) 2 y 5 5 82y55 2y 5 5 2 8 y 5 23 ? (21) y53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (1, 3). 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema, sendo x carros e y motos: x 1 y 5 22 4x 1 2y 5 74 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 4x 1 2y 5 74 4 ? (22 2 y) 1 2y 5 74 88 2 4y 1 2y 5 74 22y 5 74 2 88 22y 5 214 ? (21) 2y 5 14 14 y5 2 y57
140
Substituindo y em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 7 x 5 15 Logo, na revendedora há 15 carros e 7 motos. 8. Sendo x o preço do sorvete e y o preço do doce: x 2 y 5 4 x 1 2y 5 13 (II) Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I) Substituindo (I) em (II): x 1 2y 5 13 (4 1 y) 1 2y 5 13 4 1 y 1 2y 5 13 3y 5 13 2 4 3y 5 9 9 y5 3 y53 Substituindo y em (I): x541y x5413 x57 Logo, o preço do sorvete é 7 reais. 9. Chamando a lapiseira de x e a caneta de y: x 5 3y (I) x 1 y 5 24 (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 24 3y 1 y 5 24 4y 5 24 24 y5 4 y56 Substituindo y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (6) x 5 18 Logo, a lapiseira custa 18 reais, e a caneta custa 6 reais.
Substituindo a equação (I) em (II), temos: x 1 y 5 160 5 y 1 y 5 160 3 5y 3y 480 1 5 3 3 3
10. Sabendo que o mais velho tem x anos, podemos dizer que o mais novo tem y anos. Assim: x 2 y 5 4 x 1 y 5 20 (II) Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I)
5y 1 3y 5 480 8y 5 480 480 y5 8 y 5 60
Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 20 (4 1 y) 1 y 5 20 4 1 y 1 y 5 20 2y 5 20 2 4 2y 5 16 16 y5 2 y58 Substituindo y em (I): x541y x5418 x 5 12
Substituindo y em (I): 5 x5 ?y 3 20 5 x5 ? 60 31 x 5 100 Logo, já foram lidas 100 páginas do livro. 13. De acordo com o enunciado: x 5 4y () I x 1 y 5 30 (II)
Logo, os filhos do professor têm 12 e 8 anos. 11. Do enunciado, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 2,85 (II) x 5 y 1 0,93 () I
Substituindo a equação (I) em (II): x 1 y 5 30 4y 1 y 5 30 5y 5 30 30 y5 5 y56
Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 2,85 (y 1 0,93) 1 y 5 2,85 y 1 0,93 1 y 5 2,85 2y 5 2,85 2 0,93 2y 5 1,92 1,92 y5 2 y 5 0,96 Substituindo y em (I): x 5 y 1 0,93 x 5 0,96 1 0,93 x 5 1,89 Logo, o comprimento da parte menor é 0,96 m, e o comprimento da parte maior é 1,89 m. 12. De acordo com o enunciado: 5 I x 5 3 ? y () x 1 y 5 1,60 (II)
Substituindo y em (I): x 5 4y x 5 4 ? (6) x 5 24 Logo, 6 professores ensinam Matemática nesse colégio. Desafio!, página 165. 1. De acordo com as balanças, a soma de um cubo com duas esferas equivale a 8 kg, e uma esfera equivale à soma de um cubo com 1 kg. Daí, podemos montar o seguinte sistema, sendo a esfera x e o cubo y: 2x 1 y 5 8 () I x 5 y 1 1 (II)
141
Substituindo (II) em (I): 2x 1 y 5 8 2 ? (y 1 1) 1 y 5 8 2y 1 2 1 y 5 8 3y 5 8 2 2 3y 5 6 6 y5 3 y52 Substituindo y em (II): x5y11 x5211 x53 Logo, como a esfera pesa 3 quilogramas, para equilibrar a balança, serão necessários 3 pesos de 1 quilograma. 2. Chamando de x o peso do cubo, de y o peso da esfera e de z o peso da pirâmide, de acordo com os valores marcados nas balanças, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 1 z 5 23 (III) y 1 z 5 11 2x 1 y 5 28
Da segunda equação, vem: y 1 z 5 11 R z 5 11 2 y (I) Da terceira equação, temos: 2x 1 y 5 28 R y 5 28 2 2x (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 1 z 5 23 x 1 y 1 (11 2 y) 5 23 x 1 y 1 11 2 y 5 23 x 1 11 5 23 x 5 23 2 11 x 5 12 Substituindo x em (II): y 5 28 2 2x y 5 28 2 2 ? (12) y 5 28 2 24 y54 Substituindo y em (I): z 5 11 2 y z 5 11 2 (14) z 5 11 2 4 z57
142
Logo: a) o cubo tem 12 kg. b) a pirâmide tem 7 kg. c) a esfera tem 4 kg. Brasil real, página 166. 1. Resolvendo o sistema: x 1 y 5 67 x 2 2y 5 46 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 67 R x 5 67 2 y (I) Substituindo (I) em (II): x 2 2y 5 46 (67 2 y) 2 2y 5 46 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221 ? (21) 3y 5 21 21 y5 3 y57 Substituindo y em (I): x 5 67 2 y x 5 67 2 (7) x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, o 14 Bis percorreu 60 metros, durante 7 segundos. 2. Resolvendo o sistema: x 2 y 5252 10x 2 y 5 2 (II) Da primeira equação, temos: x 2 y 5 252 R 2 y 5 252 2 x ? (21) y 5 52 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 10x 2 y 5 2 10x 2 (52 1 x) 5 2 10x 2 52 2 x 5 2 9x 5 2 1 52 9x 5 54 54 x5 9 x56 Substituindo x em (I): y 5 52 1 x y 5 52 1 6 y 5 58 Logo, D. Pedro II foi aclamado imperador com 6 anos de idade e reinou durante 58 anos.
3. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema: y 5 x 1 21 (I) 2x 2 y 5 1 840 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 1 840 2x 2 (x 1 21) 5 1 840 2x 2 x 2 21 5 1 840 x 5 1 840 1 21 x 5 1 861
Retomando o que aprendeu, páginas 168 e 169.
Substituindo x em (I): y 5 x 1 21 y 5 1 861 1 21 y 5 1 882 Logo, o primeiro volume de Machado de Assis foi impresso em 1861 e Papéis avulsos, em 1882. Chegou a sua vez!, página 167. a) Borracha branca – látex Rjaneiro 2007 (0,28) e janeiro 2008 (0,28) b) Lápis de cor R de 2,60 para 2,34 Caneta hidrográfica R de 4,80 para 4,74 Caneta esferográfica R de 0,58 para 0,53 Cola branca lavável R de 0,95 para 0,60 Caderno universitário (96 folhas) R R de 8,56 para 8,19 c) Completando a tabela com as diferenças de preço, temos: Produto
Preço médio
e) Pela tabela do item c, observamos que o produto que apresentou a maior queda de preço foi a cola bastão (20,56). f) Tabela R caderno universitário (200 folhas) (0,70).
(em reais)
Janeiro/2007 Janeiro/2008
Variação de preço
Lápis preto no 2 (unidade)
0,36
0,39
(0,39 2 0,36) R 0,03
Lápis de cor (caixa com 12 cores)
2,60
2,34
(2,34 2 2,60) R 20,26
Caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores)
4,80
4,74
20,06
Caneta esferográfica cristal (unidade)
0,58
0,53
20,05
Borracha branca – látex (unidade)
0,28
0,28
0
Cola bastão (10 g)
2,55
1,99
20,56
Cola branca lavável (40 g)
0,95
0,60
20,35
Régua plástica cristal (30 cm)
1,03
1,05
0,02
Caderno universitário/capa dura/ espiral/1 matéria (96 folhas) (96 folhas)
8,56
8,19
20,37
Caderno universitário/capa dura/ espiral/10 matérias (200 folhas)
14,72
15,42
0,70
Caderno brochura 1/4 de capa dura (96 folhas)
2,16
2,41
0,25
Fonte: ,www.procon.sp.gov.br. Acesso em: 15 out. 2008.
d) As variações de preços que tiveram queda estão indicadas com valores negativos.
1. Alternativa c. De acordo com o enunciado, Caio ganhou x e Celso ganhou y, então: 2x 2 3y 5 10 2. Alternativa d. I) (2 7,5) em 8x 1 5y 5 231 R R 8 ? (27) 1 5 ? (5) 5 231 256 1 25 5 231 231 5 231 (igualdade verdadeira) Logo, I é verdadeira. II) (10, 25) em 4x 2 5y 5 65 R R 4 ? (10) 2 5 ? (25) 5 65 40 1 25 5 65 65 5 65 (igualdade verdadeira) (10, 25) em x 5 2y R 10 5 2 ? (25) 10 5 210 (igualdade falsa)
Logo, II é falsa, pois (10, 25) não é 4x 2 5y 5 65 . solução do sistema x 5 2y
III) x 5 y 1 6 (I) 5x 2 4y 5 10 (II) Substituindo (I) em (II): 5 (y 1 6) 2 4y 5 10 5y 1 30 2 4y 5 10 y 5 10 2 30 y 5 220 Logo, a afirmativa III é verdadeira. 1 IV) 27, em 3x 1 2y 5 220 R 2 1 1 → 3 ? (27) 1 2 ? 5220 2 1 221 1 1 5220 de verdadeira) 220 5220 (igualdad Logo, a afirmativa IV é verdadeira. Portanto, há três afirmações verdadeiras.
143
3. Alternativa e. Resolvendo o sistema: 3x 2 y 5 4 (II) x 2 y 5 8 Da equação x 2 y 5 8, temos: x 2 y 5 8 R x 5 8 1 y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 2 y 5 4 3 ? (8 1 y) 2 y 5 4 24 1 3y 2 y 5 4 2y 5 4 2 24 2y 5 220 20 y 52 2 y 5 210 Colocando y em (I): x581y x 5 8 1 (210) x 5 8 2 10 x 5 22 Logo: x 1 y 5 22 1 (210) x 1 y 5 22 2 10 x 1 y 5 212 4. Alternativa b. 2x 2 y 523 (II) 2x 1 y 522 Da segunda equação, temos: 2x 1 y 5 22 R y 5 22 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 23 2x 2 (22 1 x) 5 23 2x 1 2 2 x 5 23 x 5 23 2 2 x 5 25 Substituindo x em (I): y 5 22 1 x y 5 22 1 (25) y 5 27 Logo, x 2 y 5 25 2 (27) x 2 y 5 25 1 7 x 2 y 5 2. 5. Alternativa a. Montando um sistema com as duas equações:
144
3x 1 4y 5 3 (II) x 1 6y 5 8 Da equação x 1 6y 5 8, temos: x 1 6y 5 8 R x 5 8 2 6y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 4y 5 3 3 ? (8 2 6y) 1 4y 5 3 24 2 18y 1 4y 5 3 214y 5 3 2 24 214y 5 221 ? (21) 14y 5 21 ;7 21 3 y5 5 14 ;7 2 Colocando y em (I): 3 3 x 58 2 6 ? 2 1
x5829 x 5 21 Logo:
3 3 x3 2 y3 5 (21) 2 2 27 x3 2 y3 521 2 8
3
27 8 8 27 3 3 x 2 y 52 2 8 8 35 3 3 x 2 y 52 8 x3 2 y3 521 2
6. Alternativa d. Sendo o preço da calça x e o preço da camiseta y: x 1 y 5 55 3x 1 2y 5 140 (II) Da equação x 1 y 5 55, vem: x 1 y 5 55 x 5 55 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 3x 1 2y 5 140 3 ? (55 2 y) 1 2y 5 140 165 2 3y 1 2y 5 140 2y 5 140 2 165 2y 5 225 ? (21) y 5 25
Colocando y em (I): x 5 55 2 y x 5 55 2 25 x 5 30 Logo, o preço da calça é R$ 30,00, e o da camiseta é R$ 25,00. 7. Alternativa c. Chamando de x os candidatos aceitos e de y os candidatos não aceitos, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 420 (II) y 5 5x (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 420 x 1 5x 5 420 6x 5 420 420 x5 6 x 5 70 Colocando x em (I): y 5 5x y 5 5 ? (70) y 5 350 Logo, foram aceitos 70 candidatos. 8. Alternativa d. Chamando de x os DVDs de música brasileira e de y os de música estrangeira, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 36 (II) x 5 3y (I) Aplicando a equação (I) em (II): x 1 y 5 36 3y 1 y 5 36 4y 5 36 36 y5 4 y59 Colocando y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (9) x 5 27 Logo, são 27 DVDs de música brasileira. 9. Alternativa a. Chamando os carros de x e as motos de y, podemos montar o seguinte sistema de equações: x 1 y 5 36 4x 1 2y 5 126 (II)
Da equação x 1 y 5 36, vem: x 1 y 5 36 R x 5 36 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 4x 1 2y 5 126 4 ? (36 2 y) 1 2y 5 126 144 2 4y 1 2y 5 126 22y 5 126 2 144 22y 5 218 ? (21) 2y 5 18 18 y5 2 y59 Colocando y 5 9 em (I): x 5 36 2 y x 5 36 2 (9) x 5 36 2 9 x 5 27 Logo, existem no pátio 27 carros. 10. Alternativa d. Do enunciado, vem: x 1 y 5 x 2 y 5
1 2 3 (II) 2
1 Da equação x 1 y 5 , vem: 2 1 1 x 1 y 5 2 → x 5 2 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 3 x2y5 2 3 1 2 2 y 2 y 5 2 1 3 2y2y5 2 2 3 1 22y 5 2 2 2 2 22y 5 2 22y 5 1 ? (21) 2y 5 21 1 y 52 2 1 Colocando y 52 em (I): 2 1 x5 2y 2 1 1 x 5 2 2 2 2
145
Então: 1 1 1 2 2 2 x5 2 x51 x5
Logo, o menor desses dois números é 2
1 . 2
11. Alternativa c. Chamando de x a área do lote maior e de y a área do lote menor: x 1 y 5 2 600 (II) x 2 y 5 200 Da equação x 1 y 5 200, vem: x 2 y 5 200 R x 5 200 1 y (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 2 600 (200 1 y) 1 y 5 2 600 200 1 y 1 y 5 2 600 2y 5 2 600 2 200 2y 5 2 400 2 400 y5 2 y 5 1 200 Colocando y 5 1 200 em (I): x 5 200 1 y x 5 200 1 1 200 x 5 1 400 Logo, a área do lote maior é de 1 400 metros quadrados. 12. Alternativa a. Chamando de x os livros com 3 cm de espessura e de y os livros com 7 cm de espessura, temos: x 1 y 5 22 3x 1 7y 5 106 (II) Da equação x 1 y 5 22, vem: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I)
146
Substituindo (I) em (II): 3x 1 7y 5 106 3 ? (22 2 y) 1 7y 5 106 66 2 3y 1 7y 5 106 4y 5 106 2 66 4y 5 40 40 y5 4 y 5 10 Colocando y 5 10 em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 10 x 5 12 Logo, foram colocados 12 livros com espessura de 3 cm nessa pilha. 13. Alternativa c. Somando uma das diagonais, encontramos o número 2 1 5 1 8 5 15. Logo, a soma das horizontais, verticais e diagonais deverá ser 15. Pegando a primeira e a segunda linha, podemos montar o seguinte sistema: 2 1 3y 1 2x 5 15 → 2x 1 3y 5 15 2 2 → 2x 1 3y 5 13 (II) x 1 5 1 5 1 y 5 15 → x 1 y 5 15 2 5 2 5 → x 1 y 5 5
Da equação x 1 y 5 5, vem: x 1 y 5 5 R x 5 5 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 2x 1 3y 5 13 2 ? (5 2 y) 1 3y 5 13 10 2 2y 1 3y 5 13 y 5 13 2 10 y53 Colocando y 5 3 em (I): x552y x 5 5 2 (3) x52 Logo: x2 2 y2 5 (2)2 2 (3)2 x2 2 y2 5 4 2 9 x2 2 y2 5 25
Estudando as inequações Introdução, página 170. De acordo com o dicionário Aurélio, o significado das palavras é; • Inequação; desigualdade. • Inegável; não negável; evidente. • Ineficiente; sem eficiência. • Inenarrável; inarrável. • Inelegibilidade; não elegível. • Inegociável; que não se pode negociar. Todas as palavras começam com o prefixo “in”, que é um prefixo que indica negação.
33 – Desigualdade Exercícios, página 174. 1. De acordo com a situação exposta no enunciado, se Isa também levar sua mochila, que tem as mesmas coisas e é idêntica à de Bel, não muda nada, segundo o princípio aditivo. 2. Sendo a desigualdade 52 1 22 , (5 1 2)2, seu primeiro membro será 52 1 22. 3. Se x . 18 e 18 . y, concluímos, pela propriedade transitiva, que x . y. 4. Se a . x, não podemos afirmar que x . a. 5. Sim; pelo princípio aditivo. Sendo x 2 1 , 10, podemos escrever x 2 1 1 1 , 10 1 1.
8. Dada a desigualdade 2x , 7, se multiplicarmos ambos os membros por 21; 2x , 7 ? (21) 1x . 27 x . 27 Logo, a nova desigualdade é x . 27. 9. Dada a desigualdade 4x . 20, se 1 multiplicarmos ambos os membros por ; 4 4x . 20 5 1 1 ? 4 x . 20 ? 4 41 x.5 Logo, a nova desigualdade será x . 5.
34 – Inequação Explorando, página 175. a) De acordo com as falas, o interessado que tem a maior quantia é Nilton. b) De acordo com as falas, podemos afirmar a respeito das quantias de cada um; • Ana tem menos de 6 000, pois se dobrasse a quantia que tem não alcançaria 12 000. • Nilton tem mais de 24 000, pois com metade do valor que tem ele compraria o carro e ainda lhe sobraria dinheiro. • Ricardo tem 11 000, pois se comprasse o carro por 11 000 não lhe sobraria nada. • Kátia tem menos de 18 000, pois um terço de suas economias não atingiria a metade do valor pedido por Vágner, ou seja, 6 000 reais.
c) Não é possível afirmar que quantia Kátia tem exatamente, pois ela pode 6. Sendo a desigualdade x 1 9 . 20, se ter qualquer quantia abaixo de 18 000 adicionarmos 29 aos dois membros, reais. Ricardo tem 11 000 reais, pois se teremos; houvesse um desconto de 1 000 reais no x 1 9 1 (29) . 20 1 (29) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11 preço do carro ele compraria o carro e lhe 9) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11. Logo, obtemos a desigualdade sobrariam 1 000 reais. x . 11. d) O máximo que Ana pode ter é a terça 7. Sendo 3x , 12, podemos afirmar, pelo parte do máximo que Kátia pode ter, pois princípio multiplicativo, que x , 4. Então; Kátia tem no máximo 6 000 reais, o que 4 não corresponde à metade do valor do 1 1 ? 3x , 12 ? →x,4 carro, e Ana tem menos de 6 000, pois se 3 3
147
dobrasse o que ela tem, ainda assim não conseguiria comprar o carro. e) De acordo com as falas, podemos fazer as seguintes correspondências entre os possíveis compradores e as sentenças matemáticas; x . 12000 R Nilton 2 W 5 11 000 R Ricardo 2y , 12 000 R Ana m , 6000 R Kátia 3 f) O único interessado em uma situação que pode ser traduzida por uma equação é Ricardo.
Exercícios, páginas 177 e 178. 1. Sim, 3x 2 2 , 1 é uma inequação, pois representa uma desigualdade e tem um elemento desconhecido. 2. (2 1 10) ; (2 1 4) , 2 1 10 ; 2 1 4 Não é uma inequação, pois, embora represente uma desigualdade, não possui elemento desconhecido. 3. O 1o membro é o lado esquerdo do sinal de desigualdade, e o 2o membro é o lado direito. Então; 2 a) 1 2 4x , x 1 3 1o membro 2o membro
b)
x x 1 21 . 1 2 3 6 o o
1 membro 2 membro
4. Sendo x o número de letras e verificando se a inequação x , 5 pode ser aplicada à palavra; a) matemática R não, pois tem 10 letras e 10 . 5. b) zero R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. c) lado R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. d) área R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. e) quadrado R não, pois tem 8 letras e 8 . 5. f) par R sim, pois tem 3 letras e 3 , 5. 5. De acordo com cada item, podemos montar as seguintes desigualdades; a) 2x 1 7 . 20 2 x , 2y b) 3 c) 4x 2 1 . 20 4 d) x 1 x , 1 5
148
e) 3x 2
1 x .1 2
6. Se o lado do quadrado mede x, seu perímetro p1 será; p1 5 x 1 x 1 x 1 x R p1 5 4x Como os lados do retângulo medem 7 m e 3 m, seu perímetro será; p2 5 7 1 3 1 7 1 3 R p2 5 20 Sendo o perímetro do quadrado maior que o perímetro do retângulo, podemos escrever; p1 . p2 R 4x . 20 7. a) Sendo o custo da caneta x, e o custo da lapiseira y; x 1 y . 10, pois as duas juntas custam mais de 10 reais. b) Como o preço de três canetas é menor que o preço de 5 lapiseiras; 3x , 5y 8. Sendo x o comprimento do terreno e 30 metros a medida da largura, temos; a) o perímetro do terreno tem menos de 500 metros; x 1 30 1 x 1 30 , 500 2x 1 60 , 500 b) A área do terreno tem mais de 300 metros quadrados, então; 30 ? x . 300 30x . 300 9. Do enunciado, podemos escrever; capacidade do recipiente; x Retirando 3 litros, temos x 2 3. 1 metade da capacidade do recipiente; x 2 Retirando 3 litros desse recipiente ainda sobra menos da metade da capacidade do recipiente, então; 1 x 23 , x 2
35 – Inequação do 1°. grau com uma incógnita Desafio!, página 180. O salário de Paulo é obtido pela soma de uma parte fixa de R$ 500,00 e uma parte variável que corresponde a R$ 20,00 por aparelho vendido.
a) Se Paulo vendeu 54 aparelhos, seu salário será; 500 1 20 ? 54 5 500 1 1 080 5 1 580 R R R$ 1 580,00 b) Sendo o salário mensal s, quando ele vende p ou mais unidades todo mês, temos; s 500 1 20p
;2
g) 3 ? (x 2 1) 2 2x 13 3x 2 3 2 2x 13 x 2 3 13 x 13 1 3 x 16
Exercícios, página 180.
S 5 {x ∈ Q x 16}
1. a) x 1 15 . 21 x . 21 2 15 x.6 S 5 {x ∈ Q x . 6} b)
x 2 18 , 223 x , 223 1 18 x , 25 S 5 {x ∈ Q x 25}
c)
17 2 x , 30 2x , 30 2 17 2x , 13 ? (21) 1x . 213 x . 213 S 5 {x ∈ Q x .213}
d) 11 2 9x 2x 29x 2x 2 11 29x 2 2x 211 211x 211 ? (21) 111x 111 x 11 11 x1 S 5 {x ∈ Q x 1} e) 8x 1 19 10x 1 11 8x 10x 1 11 2 19 8x 10x 2 8 8x 2 10x 28 22x 28 ? (21) 12x 28 8 x 2 x4 S 5 {x ∈ Q | x 4} f) 13x 2 1 , 9x 1 1
13x , 9x 1 1 1 1 13x , 9x 1 2 13x 2 9x , 12 14x , 2
2 1 5 4 ;2 2 1 S 5 x ∈ Q | x 2 x
h)
9 ? (x 2 2) 2 5 ? (x 2 3) , 1 9x 2 18 2 5x 1 15 , 1 4x 2 3 , 1 4x , 1 1 3 4x , 4 4 x 4 x,1 S 5 {x ∈ Q | x 1}
2. Do enunciado, podemos escrever; perímetro do retângulo; 5 x 1 5 1 x 5 5 2x 1 10 perímetro do quadrado; 11 1 11 1 11 1 11 5 5 44 Para o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do quadrado, devemos ter;
2x 1 10 . 44 2x . 44 2 10 2x . 34 34 x. 2 x . 17 Logo, a medida do comprimento do retângulo deve ser maior que 17 cm.
3. De acordo com o enunciado; recipiente cheio; x Tirando 2 litros, restam; x 2 2 Restará no recipiente uma quantidade 3 da capacidade do recipiente; menor que 5 3 x 5 Com essas informações, podemos escrever; 3 x 22 x 5 5x 10 3x 2 5 5 5
149
5x 2 10 , 3x 5x , 3x 1 10 5x 2 3x , 10 2x , 10 10 x 2 x,5 Como do recipiente foram retirados 2 litros, podemos afirmar que a capacidade do mesmo é; x > 2 litros. Logo, os possíveis valores racionais de x são; 2 < x , 5
e)
4. a)
b)
x 5 2 1 x 21 2 3 3x 10 6x 6 2 1 2 6 6 6 6 3x 2 10 1 6x , 26 9x 2 10 , 26 9x , 26 1 10 9x 4 4 x 9 4 S 5 x ∈ Q | x 9 x 21 x .11 2 3 3 (x 2 1) 6 2x . 1 6 6 6 3(x 2 1) . 6 1 2x 3x 2 3 . 6 1 2x 3x . 6 1 2x 1 3 3x . 9 1 2x 3x 2 2x . 9 x.9 S 5 {x ∈ Q| x . 9} x 1 22x . 2 5 4 2 10 ? (2 2 x) 4x 5 . 2 20 20 20
c) 4x . 5 2 10 ? (2 2 x) 4x . 5 2 20 1 10x 4x . 215 1 10x 4x 2 10x . 215 26x . 215 ? (21) 6x , 15 ;3
15 5 5 6 ;3 2 5 S 5 x ∈ Q | x 2 x
150
d)
x 11 x 22 4 8 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 2 2) 8 8 2 ? (x 1 1) < 1 ? (x 2 2) 2x 1 2 < x 2 2 2x < x 2 2 2 2 2x < x 24 2x 2 x < 24 x < 24 S 5 {x [ Q | x < 24} x . 2 ? (1 2 x) 2 2 ? 2 ? (1 2 x) x . 2 2 x . 2 ? 2 ? (1 2 x)
x . 2 ? [2 2 2x] x . 4 2 4x x 1 4x . 4 5x . 4 4 x> 5 4 S 5 x ∈ Q | x . 5 x 21 1 x 22 f) .2 1 4 6 3 3 ? (x 2 1) 4 ? (x 2 2) 2 .2 1 12 12 12 3 ? (x 2 1) .2 2 1 4 ? (x 2 2) 3x 2 3 .2 2 1 4x 2 8 3x 2 3 .210 1 4x 3x .210 1 4x 1 3 3x .2 7 1 4x 3x 2 4x .2 7 2 x .2 7 ? (21) 1 x 1 7 x 7 S 5 {x ∈Q | x 7} 5. Resolvendo a inequação; 1 x ? (x 2 2) 21 3 2 2 ? (x 2 2) 3x 6 2 6 6 6 2 ? (x 2 2) , 3x 2 6 2x 2 4 , 3x 2 6 2x , 3x 2 6 1 4 2x , 3x 2 2 2x 2 3x , 22 2x , 22 ? (21)
Curitiba
1x . 12 x.2 Fazendo a verificação, temos; • para 3, temos; 3 . 2 (sentença verdadeira) Logo, o número 3 pertence ao conjunto solução da equação. 6. Resolvendo a inequação; 3 ? (2x 2 1) , 5x 2 1 6x 2 3 , 5x 2 1 6x , 5x 2 1 1 3 6x , 5x 1 2 6x 2 5x , 2 x,2 Fazendo a verificação dos números em questão; • para 26, temos; 26 , 2 (sentença verdadeira) • para 23, temos; 23 , 2 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 , 2 (sentença verdadeira) • para 3, temos; 3 , 2 (sentença falsa) • para 6, temos; 6 , 2 (sentença falsa) Logo, os números 26, 23 e 0 pertencem ao conjunto solução da inequação, e os números 3 e 6 não pertencem a esse conjunto.
São Paulo
3,50 1 2,10 5 5,60
2
3,50 1 2 ? 2,10 5 7,70
3
3,50 1 3 ? 2,10 5 9,80
...
...
12
3,50 1 12 ? 2,10 5 28,70
Rio de Janeiro
3,50 1 1,80 5 5,30
2
3,50 1 2 ? 1,80 5 7,10
3
3,50 1 3 ? 1,80 5 8,90
...
...
12
3,50 1 12 ? 1,80 5 25,10
Distância percorrida (km)
Valor pago (R$)
1
3,50 1 1,80 5 5,30
2
3,50 1 2 ? 1,80 5 7,10
3
3,50 1 3 ? 1,80 5 8,90
...
...
12
3,50 1 12 ? 1,80 5 25,10
x
3,50 1 1,80 ? x
d) São Paulo R 3,50 1 2,10 ? x 5 20,00 R 20 2 3, 5 Rx 5 R x . 7,8. Portanto, 2,1 7 quilômetros.
a)
1
1
c)
Brasil real, página 181.
Valor pago (R$)
Valor pago (R$)
b) O valor da bandeirada é maior na cidade do Rio de Janeiro, mas só esse fato não garante que a corrida seja mais cara no Rio, pois o valor do quilômetro rodado não é o maior das três cidades.
1.
Distância percorrida (km)
Distância percorrida (km)
Curitiba R 3,50 1 1,80 ? x 5 20,00 R 20 2 3, 5 Rx 5 R x . 9,2. Portanto, 1, 8 9 quilômetros.
2. a) Resolvendo a equação;
145 1 5 ? (x 1 571) . 64 2 7 ? (68 2 x)
145 1 5x 1 2 855 . 64 2 476 1 7x
5x 1 3 000 . 2412 1 7x
5x . 2412 1 7x 2 3 000
5x . 23 412 1 7x
5x 2 7x . 23 412
22x . 23 412
12x , 13 412 3412 2 x , 1 706
Distância percorrida (km)
Valor pago (R$)
1
4,30 1 1,25 5 5,55
2
4,30 1 2 ? 1,25 5 6,80
3
4,30 1 3 ? 1,25 5 8,05
...
...
12
4,30 1 12 ? 1,25 5 19,30
? (21)
x
151
0
Logo, o maior número inteiro que satisfaz a equação dada é 1 705.
Portanto, a Música do Parnaso foi impresso em 1705.
b) Resolvendo as inequações; 552 2 5 ? (x 2 221) , 8 ? (x 2 3) 2 11 ? (x 1 1 10) 2 221 552 2 5x 1 1 105 , 8x 2 24 2 11x 2 110 2 2 221 25x 1 1 657 , 23x 2 355 25x , 23x 2 355 2 1 657 25x , 23x 2 2 012 25x 1 3x , 22 012 22x , 22 012 ? (21) 12x . 12 012 2012 x. 2 x . 1 006 2 ? (105 2 y) y 1 86 40 13 1 1 , 2 2 12 9 4 18 36 2 ? 2 ? (105 2 y) 3 ? (y 1 86) 160 117 1 1 , 2 2 36 36 36 36 36
,
2 ? 2 ? (105 2 y) 117 1 2 2 36 36 36 3 ? (y 1 86) 1 160 , 117 2 2 ? 2 ? (105 2 y) 2 1
3y 1 258 1 160 , 117 2 2 ? [210 2 2y] 2 1 3y 1 418 , 117 2 420 1 4y 2 1 3y 1 418 , 2304 1 4y 3y , 2304 1 4y 2 418 3y , 2722 1 4y 3y 2 4y , 2722 2y , 2722 ? (21) 1 y . 1 722 y . 722 Logo, o menor número natural que satisfaz a primeira inequação é 1 007, e o menor número natural que satisfaz a segunda inequação é 723. Portanto, a história de Genji foi escrita em 1007, e Barbara Cartland escreveu 723 romances.
Chegou a sua vez!, página 182. a) Observando os gráficos, podemos concluir que o gráfico 1 é de barras ou colunas, e o gráfico 2 é de linha.
152
b) O gráfico 1 trata da esperança de vida do brasileiro ao nascer; o gráfico 2 trata da evolução da esperança de vida no país, de 1960 a 2007. c) IBGE significa Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. d) De acordo com o gráfico 2, vemos que, em 1980 e em 2007, o sexo feminino é o que tem maior esperança de vida. e) 72,7 – 62,7 5 10 R 10 anos f) De acordo com o gráfico, os anos em que a esperança de vida do brasileiro foi maior do que 60 anos foram os anos de 1980, 1991, 2000 e 2004 e 2007.
Retomando o que aprendeu, página 183. 1. Sendo x o número de funcionários residentes na cidade A e sabendo que 50 trabalhadores vieram de outras cidades, temos;
x . 50, pois o número de funcionários que residem na cidade A deve ser sempre maior que o número de funcionários vindos de outras cidades.
2. Multiplicando os dois membros da inequação 25x . 1 por (21);
25x . 1
15x , 21
5x , 21
? (21)
3. Resolvendo a inequação; x 13 x 2 2 ? (x 1 1) , 5 5 ? 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 1 3) 5x 2 , 5 5 5 5x 2 5 ? 2 ? (x 1 1) , 1 ? (x 1 3) 5x 2 5 ? [2x 1 2] , x 1 3 5x 210x 2 10 , x 1 3 25x 2 10 , x 1 3 25x , x 1 3 1 10 25x , x 1 13 25x 2 x , 1 13 26x , 213 ? (21) 16x . 213 13 x .2 6 13 S 5 x ∈ Q | x .2 6
4. Resolvendo a inequação; x 27 x 1 1 5 10 2 ? (x 2 7) x 10 1 10 10 10 2 ? (x 2 7) 1 x < 10 2x 2 14 1 x < 10 3x 2 14 < 10 3x < 10 1 14 3x < 24 24 x 3 x
View more...
Comments
