A 7.1 Ns Primos

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En general, todo número compuesto “N”, puede ser expresado de la forma: N = A . B . C

Número Primo: Es aquel número entero positivo que tiene solo dos divisores: la unidad y el mismo número.

Donde: A;B;C

son números primos absolutos diferentes.

;;

son números positivos

Principales Fórmulas: 1. Cantidad de divisores (C.D.)

Número Compuesto:

N = A . B . C

Dado el número:

Son aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores.

C.D.(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)

Ejemplo: Ejemplo:

4 ....... sus divisores son 1; 2; 4 12....... sus divisores son 1; 2; 3; 4; 6; 12

Números Primos entre sí (PESI):

2

2. Suma de divisores (S.D.) N = A . B . C

Dado el número:

Dado un conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí, cuando el único divisor común de todos ellos sea la unidad. Ejemplo: Sean los números:

2

Sea el número: 180 = 2 . 3 . 5 C.D.(180) = (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores

A  1  1 B 1  1 C 1  1 . . . A 1 B 1 C 1

S.D.(N) =

8; 12 y 15 Ejemplo:

8



1;2;4;8

12



1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

15



1 ; 3 ; 5 ; 15

3

Sea el número: 120 = 2 . 3 . 5 S.D.(120) =

24  1 32  1 52  1 . . 2 1 3 1 5 1

S.D.(120) = 360

Observamos que su único divisor común es la unidad, entonces 8; 12 y 15 son números primos entre sí (PESI).

OBSERVACIONES: 1.

Para todo número entero positivo, se cumple que:

Descomposición Canónica: Total divisores

Consiste en descomponer a un número mayor que la unidad, como el producto de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Ejemplo: 520

2

260 130 65 13 1

2 2 5 13

3

520 = 2 . 5 . 13

de un número

Total divisores

=

primos

Total divisores

+

compuestos

+ 1

2.

El número uno (la unidad), no es primo ni compuesto por tener un solo divisor (él mismo).

3.

La serie natural de los números primos es ilimitada.

4.

La descomposición canónica de un número es única.

5.

Los divisores primos de un número, son las bases de la descomposición canónica.

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

12. ¿Cuántos divisores de 4800, son múltiplos de 5 pero no múltiplos de 3? 13. Hallar el valor de “k”, si: N = 4 1.

De los divisores de 1800. a) ¿Cuántos son primos? b) ¿Cuántos no son primos? c) ¿Cuántos son simples? d) ¿Cuántos son compuestos?

14. ¿Cuál es el valor de m, para que el producto 40 . 15 tenga 116 divisores compuestos?

3.

Hallar “n”, si el número de divisores de 300 es igual a n al número de divisores de 16 . 90 .

4.

¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al número 420, para que el producto resultante tenga 180 divisores?

n

1.

¿Cuántos ceros debe tener N = 2000...000, para que admita 56 divisores?

7.

Señale la(s) proposición(es) verdaderas: I. 377 es un número primo. II. 281 es un número primo. III. 240 tiene 20 divisores. A) Solo II B) Solo III

a

n

Al multiplicar por 33 al numeral A = 21 . 11 se duplica su cantidad de divisores. Hallar “n”. De los divisores de 1080, determinar: a) ¿Cuántos son múltiplos de 2? b) ¿Cuántos son múltiplos de 3?

9.

¿Cuántos son 2 pero no 3 ?

d) e)

¿Cuántos son impares? ¿Cuántos acaban en cero?

E) I y III

2.

La cantidad total de divisores que tiene el número 7920 es: A) 30 B) 40 C) 54 D) 60 E) 90

3.

Determine el número de divisores compuestos que tiene 68000. B) 44

C) 45

D) 36

La cantidad de divisores compuestos que tiene: 12 8 12 – 12 es: A) 2001 C) 2323 E) 2441 B) 2307 D) 2440

5.

Si ab es un número primo mayor que 13 el número

Determinar “n”, para que el número 12  18 tenga 28

de divisores del número ab0ab es:

divisores que no son divisibles por seis.

A) 16

n

10. Determinar “n”, si 175  245 tiene 28 divisores que no n

-2-

B) 12

C) 14

D) 18

E) 24

x

6.

Si 10 . 21 tiene 100 divisores, el valor de “x” es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7.

¿Cuántos ceros debe colocar a la derecha de 144 para que el número resultante tenga 135 divisores? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

son divisibles por 35. 11. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9, para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?

E) 37

4.





c)

C) I y II D) II y III

b

Hallar un número de la forma N = 2 . 3 , sabiendo que si se le multiplica por dos, el número de divisores aumenta en 3 y si se le divide entre 6, su número de divisores disminuye en 8.

A) 48 8.

m

15. Calcular (a + b), si el número: a b N = 36 . 5 tiene 96 divisores compuestos

n

Hallar el valor de “n”, si el número 25 . 45 tiene 117 divisores.

6.

k

– 4 tiene 36

divisores.

2.

5.

k+2

Números Primos

n

8.

Si 24 . 14 tiene 200 divisores compuestos, dar el valor de “n”. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3

9.

Si N = 4 A) 6

x+3

2

20. ¿Cuántos rectángulos de 80m de área existen, tal que sus lados son números enteros? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

x

+ 4 tiene 72 divisores compuestos, dar “x”. B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 x

21. La cantidad de terrenos rectangulares; cuyos lados expresados en metros son enteros, tienen una 2 superficie de 3080 m . A) 32 B) 16 C) 10 D) 14 E) 24

3

10. El número 15 . 24 tiene 700 divisores, dar “x”. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2

22. El área de un rectángulo es 588 m . ¿Cuántos valores puede tomar su perímetro sabiendo que sus lados miden un número entero de metros y su perímetro es menor que 150 metros?

11. ¿Cuál es el número de divisores, del número de divisores de 4500? A) 9 B) 12 C) 18 D) 10 E) 6

A) 6 12. Hallar la suma de todos los divisores compuestos de 600. A) 1860 B) 1850 C) 1849 D) 1810 E) 1812

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

23. ¿Cuántos divisores tiene el número ababab si se cumple que el número tiene 4 divisores primos y también ab es primo?

13. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1500? A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 16

A) 12

B) 20

C) 24

D) 30

E) 36

24. El número de divisores divisibles entre 20 que tiene 11880 es: A) 10

14. De todos los números que dividen exactamente a 720, ¿cuántos son impares? A) 6 B) 8 C) 4 D) 30 E) 15

B) 12

C) 16

D) 18

E) 20

25. Encontrar un número de la forma abc que posee 9 divisores y además: b = a + c 2 2 2+” Hallar: “a + b + c A) 96 B) 48 C) 54

15. El número de divisores divisibles entre 9 que tiene 18900 es: A) 16 B) 20 C) 24 D) 36 E) 40

D) 98

E) 72

16. Cuántos divisores de “N” no son múltiplos de 6, siendo: 2 N = 180 . 45 A) 84 B) 48 C) 56 D) 24 E) 36

26. Si el cuadrado de “N” tiene 15 divisores, ¿cuántos

17. Hallar un número de 4 cifras que sea divisible por 15 y tenga 10 divisores. Dar el residuo de dividir el número entre 17. A) 11 B) 9 C) 8 D) 5 E) 2

27. ¿Cuántos números de 4 cifras iguales tienen 8 divisores? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

divisores tiene “N”? A) 3 ó 5 C) 6 ó 4 B) 6 ó 5 D) 8 ó 6

E) 8 ó 4

28. Hallar la suma de cifras de un número que sólo admite dos divisores primos y que tiene en total 6 divisores cuya suma es 28. A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 8

18. Si aabb tiene 21 divisores, calcular “a + b”, si se sabe que uno de sus divisores es el número ocho. A) 10 B) 12 C) 11 D) 16 E) 9

4

29. ¿Cuántos divisores de 450 son múltiplos de 3 pero no de 5? A) 36 B) 40 C) 72 D) 120 E) 144

19. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 12 al número 150 para que el producto resultante tenga 540 divisores? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

-3-

Números Primos

a

b

30. Sea un número: M = 2 . 3 . 5 que tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Hallar la suma de cifras de “M”. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 31. De los divisores de 81 impares? A) 4100

B) 3750

51

39. Un número N descompuesto en sus factores primos x y z es de la forma N = 2 . 3 . 5 . Se suprimen 24 divisores dividiéndolo por 2; 18 divisores dividiéndolo por 3 y 12 divisores dividiéndolo por 5. ¿Cuál es el número N? A) 330 000 B) 325 000

 100 , ¿cuántos son 10

C) 4305

D) 4250

C) 337 500 D) 324 000

E) N.A.

E) 4305 40. Hallar el número de la forma aabb tal que posea 21

32. Hallar el valor del número entero positivo “n” sabiendo

divisores y uno de sus dos factores primos es 2; dar la suma de sus cifras. A) 20 B) 33 C) 22 D) 28 E) N.A.

que: A = 360  28 , tiene 456 divisores que son n

múltiplos de 70. A) 5 B) 6

C) 7

D) 9

E) 8

33. ¿Cuántos divisores que no son múltiplos de 40 tiene el número 9520? A) 32

B) 26

34. El número 4

m–1

C) 27

 6

m+1

 7

D) 30

2m

E) 25

posee 70 divisores que





son 2 pero no 8 . ¿Cuántos de sus divisores son 

21 ? A) 124

B) 216

C) 106

D) 204

E) 224 n

n

n

35. Hallar cuántos divisores tiene: 60 4  126 3  70 2 , sabiendo que es cuadrado perfecto y que “n” es el menor número posible. A) 320 481 C) 125 481 E) N.A. B) 204 524 D) 302 841 36. ¿Cuál es el valor de “a” si el número abcd tiene 14 divisores y que: a + c = b + d = 9? A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

37. El número 18  N tiene 60 divisores, siendo 3 de ellos 2

primos absolutos. Hallar el número de divisores de N, sabiendo que es el menor posible. A) 9 B) 6 C) 12 D) 8 E) 4 



38. ¿Cuántos divisores tiene: 7   5 ; si    tiene 35 divisores y se sabe además que:  = p ; para “p” y 2

“” primos? A) 4340

C) 2390

B) 5330

D) 5430

E) 5125

-4-

Números Primos