การแปลงทางเรขาคณิต

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

ใบความรูที่ 1

การเลื่อนขนาน การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนว เสนตรงในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนด ตัวอยาง กําหนดให ∆ ABC เปนรูปตนแบบ เมื่อเลื่อนขนาน ∆ ABC ไปในทิศทางและระยะทาง ตามที่กําหนดดังรูป แลว∆ A′B ′C ′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน

L

A P

B

P′

B′

′

C C จากรูป จะเห็นวา มีการเลือ่ นจุด A ไปที่จุด A′ เลื่อนจุด B ไปที่จุด B ′ และ เลื่อนจุด C ไปที่ จุด C ′ ในทิศทางเดียวกันและเปนระยะเทากัน จะไดวา A′A′ , B ′B ′ และ C ′C ′ ขนานกันและ ยาวเทากัน ถา P เปนจุดใด ๆ บน ∆ ABC แลวจะมี P ′ บน ∆ A′B ′C ′ เปนจุดที่สมนัยกันกับจุด P และ PP ′ จะขนานและยาวเทากันกับความยาวของ AA′ , BB ′ และ CC ′ ดวย ในการบอกทิศทางและระยทางของการเลื่อนขนาน จะไดเวกเตอร เปนตัวกําหนด จากตัวอยางขางตนอาจใชเวกเตอร MN เพื่อบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนานดังรูป A′ A

B

P M

C

B′

P′

NC ′

เวกเตอร MN อาจเขียนแทนดวย MN ซึง่ จะมีทิศทางจากจุดเริ่มตน M ไปยังจุดสิ้นสุด N และมีขนาดเทากับความยาวของ จากตัวอยางการเลื่อนขนานขางตนจะไดวา 1

1. A′A′ , B ′B ′ , C ′C ′ และ P ′P ′ จะขนานกันกับ MN MN 2. AA′ = BB ′ = CC ′ = PP ′ จะขนานกันกับ MN การกําหนดเวกเตอรของการเลื่อนขนานอาจใหจุดเริ่มตนอยูบนรูปตนแบบหรืออยูนอกรูปตนแบบก็ได ในการเลื่อนขนาน เมื่อกําหนดเวกเตอรของการเลื่อนขนานรูปตนแบบมาให เราตองวิเคราะห วาจะตองเลื่อนรูปตนแบบไปในทิศทางใด และเปนระยะเทาไร ถาเวกเตอรของการเลื่อนขนานที่กําหนดใหขนานกับแกน X หรือแกน Y การเลื่อนขนานรูป ตนแบบก็จะกระทําไดงาย แตถาเวกเตอรที่กําหนดใหนั้นไมขนานกับแกน X และแกน Y แลว เราอาจ ใชวิธีดังตัวอยางตอไปนี้เพื่อชวยในการหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ตัวอยาง ใหนักเรียนพิจารณาการเลื่อนขนานจุด P ดวย MN ตอไปนี้ Y N

6 4

M

-8

2

-6

-4

-2

0

P• 2

4

6

X

2

วิธีที่ 1 เลื่อนจุด P ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนวยและเลื่อนขึ้นไปตามแนวแกน Y 3 หนวย จะไดตาํ แหนงของจุด P ′ ดังรูป

N

6 P′

3 4

M

-8

-6

4

3

2

-4

-2

0

P 2

4 4

6

X

3

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 1

การเลื่อนขนาน

กําหนด ∆ DEF จงเขียนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ∆ DEF ดวย MN Y D

M

6 F

4 2

E -6

-4

รูปแบบการประเมิน

-2

N 0

4

2

ดี

พอใช

6

X

ควรปรับปรุง

ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง

ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที่.............. 4

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

แบบทดสอบกอนเรียนหลังเรียนที่ 1

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน 1. จงหาพิกัดของจุด (3,-1) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกับการสงจุด B (-2,6) ไปยังจุด (6,2) ก. (11,-5) ข. (13-4) ค. (5,-5) ง. (0,-11) 2. จงหาพิกัดของจุด A (4,-2) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกันการสงจุด B (-1,5) ไปยังจุด B ′ (5,1) ก. (0,-8) ข. (2,-2) ค. (10,-6) ง. (8,4) 3. ขอใดจัดเปนการเลื่อนขนาน ก. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ข. เงาของตนไมในลําธาร ค. รถไฟที่แลนตรงไป ง. ชิงชาสวรรค 4. เลื่อนจุด (5,7) ไปทางซาย 6 หนวย จะเปนจุดใด ก. (5,13) ข. (11,7) ค. (-1,7) ง. (-5,1) 5. เลื่อนจุด (-8,3) ไปทางซาย 4 หนวย จะเปนจุดใด ก. (-8,7) ข. (-4,3) ค. (-12,3) ง. (-8,-1)

ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที.่ .............

5

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

ใบความรูที่ 2

การสะทอน การสะทอนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเสนตรง  ที่ตรึงเสนหนึ่งเปนเสนสะทอน แตละจุด P บนระนาบจะมีจดุ P ′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด P โดยที่ 1. ถาจุด P ไมอยูบนเสนตรง  แลวเสนตรง  จะแบงครึง่ และตั้งฉากกับ PP ′ 2. ถาจุด P อยูบนเสนตรง  แลวจุด P และจุด P ′ เปนจุดเดียวกัน ตัวอยางการสะทอนทีม่ ีเสนตรง  เปนเสนสะทอน A

C

 C′

B B′ A′

รูปเรขาคณิตที่สามารถหารอยพับและพับรูปทั้งสองขางของรอยพับใหทับกันสนิทไดเรียกวา รูปสมมาตรบนเสน และเรียกรอยพับนั้นวา แกนสมมาตร รูปสมมาตรบนเสนแตละรูปอาจมีจาํ นวน แกนสมมาตรไมเทากัน เชน D C P F

E A

Q

B

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปนรูปสมมาตรบนเสนที่มีแกนสมมาตร 4 เสนไดแก AC , BD , EF และ PQ รูปสมมาตรบนเสนเปนรูปที่เกิดจากการสะทอน โดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน

6

ในกรณีที่กําหนดเสนสะทอนเปนเสนตรงที่ไมใชแกน X หรือแกน Y อาจหาพิกันของจุดที่เปน ภาพที่ไดจากการสะทอนจุดที่กําหนดใหโดยพิจารณาดังนี้ ถาเสนสะทอนไมขนานกับแกน X และไมขนานกับแกน Y แตเปนเสนในแนวทแยง ให ลากเสนตรงผานจุดที่กําหนดใหและตั้งฉากกับเสนสะทอน ภาพของจุดที่กําหนดใหจะอยูบนเสนตั้งฉาก ที่สรางขึ้น และอยูหางจากเสนสะทอนเปนระยะเทากันกับที่จุดที่กําหนดใหอยูหางจากเสนสะทอน เมื่อ ไดภาพของจุดนั้นแลวจึงหาพิกดั ตัวอยาง กําหนดจุด P( -3,3), Q(4,0) และ R (-3,-4) มีเสนตรง  ผานจุด (-4, -2) และ (1,3) ดังรูป Y 

P • (-3, -3) -6

4 2

-2

0

• (-4, -2)

-2

-4

• (1, 3)

2

Q (4, 0) • 6 4

X

• -4 R (-3, -4) จากรูปหาพิกัดของจุด P ′, Q ′ และ R ′ ซึง่ เปนภาพทีไ่ ดจากการสะทอนจุด P, Q และ R ตามลําดับดังนี้

7

Y

Q′

(-2, 6) P • (-3, -3)

4 2 Q (4, 0)

-6

R (-6, -1)

-4

-2

0

P′

(1, -1)

4

6

X

-2

• -4 R (-3, -4) 1) ลากเสนตรง m1 ผานจุด P และใหตั้งฉากกับเสนสะทอน  2) หาจุด P ′ บนเสนตรง m1 ที่ทําใหจุด P และจุด P ′ อยูหางจากเสนตรง  เทากัน 3) จากรูป จะไดพิกดั ของจุด P ′ เปน (1,-1) 4) ในทํานองเดียวกัน เมื่อลากเสนตรง m2 ผานจุด Q และใหตงั้ ฉากกับเสนสะทอน  แลว หาจุด Q ′ จะไดพิกัดของจุด Q ′ เปน (-2,6) 5) ในทํานองเดียวกันเมื่อลากเสนตรง m3 ผานจุด R และใหตงั้ ฉากกับเสนสะทอน  แลวหา จุด R ′ จะไดพิกัดของจุด R ′ เปน (-6, -1)

8

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การสะทอน ใหนักเรียนพิจารณาวาขอใดเปนรูปสะทอน และขอใดเปนรูปการเลื่อนขนาน 1. ………………………..

2. ……………………….

3. ……………………….

9

4. ………………………..

รูปแบบการประเมิน

ดี

พอใช

ควรปรับปรุง

ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง

ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที่..............

10

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

แบบทดสอบกอนเรียนหลังเรียนที่ 2

การสะทอน ใหนักเรียนทําเครื่องหมายกากบาท (X) ลงหนาขอที่เปนคําตอบถูก 1. ขอใดจัดเปนการสะทอน ก. เงาของตนไมในลําธาร ข. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ค. ชิงชาสวรรค ง. รถไฟที่แลนตรงไป 2. ถารูปตนแบบคือ แลวภาพของ A′ ที่เกิดจากการสะทอนโดยมีแกน X เปนเสนสะทอน คือขอใด ก.

ข.

ค.

ง.

3. กําหนด AB โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน จุด A มีพิกัดเปน (-3,4) และจุด B มีพิกัดเปน (4,-2) จงหาพิกดั ของจุด A′ และ B ′ ก. A′ (-3,-4), B ′ (4,2) ข. A′ (-3,4), B ′ (-4,2) ค. A′ (3,4), B ′ (-4,-2) ง. A′ (3,-4), B ′ (-4,2) 4 .ถารูปหนึง่ เกิดจากการแปลงอีกรูปหนึง่ โดยทีจ่ ดุ P แปลงไปเปนจุด Y จุด Q แปลงไปเปนจุด X และจุด R แปลงไปเปนจุด Z ดังรูป P

Q

X

Y

Z

11

ก. การเลื่อนขนาน R ข. การหมุน ค. การสะทอน ง. การสะทอนและการหมุน 5. ขอใดคือจุด S ′ และ T ′ ซึง่ เปนภาพทีไ่ ดจากการสะทอน Y L Y L

โดยมี L เปนเสนสะทอน

4 4 S S 2 2

T T -4-4

ST

-2 -2

0 0

22

44

XX

-2 -2 ก. S ′ (0,1), T ′ (-4,2) ข. S ′ (2,3), T ′ (6,2) ค. S ′ (1,2), T ′ (5,1) ง. S ′ (0,2), T ′ (-4,1)

ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที.่ .............

12

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

ใบความรูที่ 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การหมุน การหมุนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเปนจุดหมุนแตละจุด P บน ระนาบ มีจดุ P ′ เปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กําหนดดวยมุมที่มีขนาด k โดยที่ 1) ถาจุด P ไมใชจดุ O แลว OP = OP ′ และขนานของ POˆ P ′ เทากับ k 2) ถาจุด P เปนจุดเดียวกันกับ O แลว P เปนจุดหมุน ตัวอยาง จุดหมุน O อยูบนรูปตนแบบ 1)

ตัวอยางที่ 1 ถา ∆ A′B ′C ′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC ที่กําหนดให รอบจุดกําเนิด O ตาม เข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา จงหา 1) พิกัดของจุด A′, B ′ และ C ′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด A,B และ C ตามลําดับ 2) ∆ A′B ′C ′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC

13

แนวคิด จากโจทยกําหนดให O เปนจุดหมุน และหมุน ∆ ABC ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา เราสามารถหาจุด A′, B ′ และ C ′ ไดโดยการลากเสนตรงผานจุดยอดมุมของ ∆ ABC กับ จุดหมุนO เพือ่ ใหเกิดมุมตรงซึง่ มีขนาด 180 องศา เมือ่ ลาก AO , BO และ CO แลวใหหาจุด A′, B ′ และ C ′ ซึง่ แตละจุดจะอยูหางจากจุด O เปนระยะที่เทากันกับระยะที่จุด A,B และ C อยาหางจากจุด O ตามลําดับ จากแนวคิด ทําไดดงั นี้ 1. หาพิกัดของจุด A′, B ′ และ C ′ ดังนี้ - ลาก AO , BO และ CO - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OA เขียนสวนโคงตัด OA ที่จุด A′ จะได A′ (9,-5) - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OB เขียนสวนโคงตัด OA ที่จุด B ′ จะได B ′ (4,-5) - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OC เขียนสวนโคงตัด OC ที่จุด C ′ จะได C ′ (4,-1) นั่นคือ A′, B ′ และ C ′ มีพิกดั เปน (9,-5), (4,-5) และ (4,-1) ตามลําดับ 2. ลาก A′B ′ , B ′C ′ และ C ′A′ จะได ∆ A′B ′C ′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC รอบจุด กําเนิด O ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา 14

15

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การหมุน :

P ′Q ′R ′S ′

เปนภาพที่ไดจาการหมุน

พิกัดของจุด พิกัดของจุด พิกัดของจุด พิกัดของจุด รูปแบบการประเมิน

PQRS ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา

P′ =

Q′ R′ S′

(.....................) = (.....................) = (.....................) = (.....................) ดี

พอใช

ควรปรับปรุง

ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง

ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที่.............. 16

รายวิชา คณิตศาสตร (ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 2

แบบทดสอบกอนเรียนหลังเรียนที่ 3

หนวยการเรียนรูที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต

การหมุน 1. ขอใดคือภาพทีเ่ กิดจากการหมุน ทวนเข็มนาฬิกา

ก.

รอบ

จากรูปที่กําหนดให 90°

ข.

ค. ง. 2. รูปสามเหลีย่ ม ABC จุด A มีพิกัดเปน (3,0) จุด B มีพิกัดเปน (5,1) และจุด C มีพิกัดเปน (2,3) จงหาพิกัดของจุด C บนภาพจากการหมุนรูปสามเหลีย่ ม ABC โดยหมุนรอบจุดกําเนิดดวยมุม 180° ก. (2,3) ข. (2,-3) ค. (-2,3) ง. (-2,-3) 3. รูปสามเหลีย่ ม DEF จุด D มีพิกัดเปน (3,0) จุด E มีพิกัดเปน (5,1) และ จุด F มีพิกัดเปน (2,3) จงหาพิกัดของจุด E บนภาพจากการหมุนรูปสามเหลีย่ ม DEF โดยหมุนรอบจุดกําเนิดดวย 180° ก. (5,-1)) ข. (-5,-1) ค. (5,1) ง. (-5,1)

17

4. ขอใดเปนการหมุน ∆ ABC โดยการหมุนเข็มนาฬิกา และมีจดุ P เปนจุดหมุน เปนมุม 90 องศา ก. ข.

ค.

ง.

5. ขอใดจัดเปนการหมุน ก. เงาของตนไมในลําธาร ข. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ค. ชิงชาสวรรค ง. รถไฟที่แลนตรงไป ชือ่ .......................................................................................ชั้น.................เลขที่..............

18