เรียนรู้สับเซตและเพาเวอร์เซต

1

ใบความรู้ที่ 3.1 เรื่อง สับเซต (Subset)

นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ( A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A  B ) นิยาม เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกของเซต A อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็น สมาชิกของเซต B ( A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย AB)

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า A = {1}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 4, 5, 6} และ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จะได้ว่า

A  B เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A หรือ 1 เป็นสมาชิกของ B B  D เพราะสมาชิกทั้งหมดของ B เป็นสมาชิกของ D A  D เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A เป็นสมาชิกของ D A  C เพราะ 1  A แต่ 1  C B  C เพราะ มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง 2  B แต่ 2  C C  D เพราะ 6  C แต่ 6 D

2

จากการสังเกต

ถ้า A  B แล้วทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B และ ถ้า B  A แล้วทุกสมาชิกของ B เป็นสมาชิกของ A เมื่อเงื่อนไขทั้งสอง เป็นจริงพร้อมกัน จะได้ว่า A = B

ถ้า A  B และ B  A แล้ว A =B

3

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A = {a, b, c} และ B = {a, b, c, d} จะได้ A  B เพราะทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B ถ้า C= {2, 4, 6} และ D = {6, 4, 2} จะได้ C  D เพราะทุกสมาชิกของ C เป็นสมาชิกของ D และ C= D เราเรียกสับเซตแบบนี้ว่า สับเซตไม่แท้ ข้อสังเกต 1. เซตทุกเซต เป็นสับเซตของตัวเอง ( ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A  A ) 2. ถ้า A  B และ B  A แล้ว A = B 3. ถ้า A  B และ A ≠ B แล้ว เรียก A ว่า สับเซตแท้ ของ B (AB) 4. ถ้า n(A) = n แล้ว จานวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต และ จานวนสับเซตแท้ทั้งหมดของเซต A = 2n – 1 เซต 5. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และเซตว่างไม่มีสับเซตแท้

4

ตัวอย่างที่3

กาหนดให้ A = {a, b} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีทา สับเซตของ A ที่ไม่มีสมาชิกเลย คือ  สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {a}, {b} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ {a, b} ดังนั้น A มีสับเซตคือ  , {a}, {b}, {a, b}

ตัวอย่างที4่ กาหนดให้ B = {1, {2}, 3} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีทา สับเซตของ A ที่ไม่มีสมาชิกเลย คือ  สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {1}, {{2}}, {3} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ได้แก่ {1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3} สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว ได้แก่ {1, {2}, 3} ดังนั้น A มีสับเซตคือ  , {1}, {{2}}, {3}, 1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3}, {1, {2}, 3}

เซตจากัดใด ๆ และมีจานวนสมาชิก n ตัว จานวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2n เซต

5

ใบกิจกรรมที่ 3.1 เรื่อง สับเซต คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบคาถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาทากิจกรรม 5 นาที

ข้อที่

เซตที่กาหนดให้

1 2 3 4

A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} A = {a, b} , B = {a, b, c, d} A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4, 5} A = { } , B = {1, 2, 3} A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f, g} A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}

5 6 7 8 9 10

ความสัมพันธ์ของเซตที่กาหนดให้ A เป็นสับเซตของ A ไม่เป็นสับ เซต B เซตของเซต B

สรุป เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ …………………………… ……………………………………………………………………………………………………….

6

ข้อที่

เซตที่กาหนดให้

1 A = {a} 2 A = {1, 2} 3 A = {1, 2, 3}

สับเซตของเซตที่กาหนดให้

จานวนสับเซต ทั้งหมดของเซต ที่กาหนดให้

{a} ,  {1}, {2}, {1, 2}, 

2 = 21 4 = 22

……………………………………………………… ………………………………………

…………

……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………

…………

……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………… ………………………………

…………

4 A = {1, 2, 3, 4}

5 A = {a, b, c}

6 A = {a, b} ………………………………

…………

สรุป ……………………………………………………………………………………………………….

7

แบบฝึกหัดที่ 3.1 เรื่อง สับเซต คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบคาถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาทากิจกรรม 5 นาที

จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตที่กาหนดให้ต่อไปนี้ 1. A = { 0 } n(A) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต A มี .................... เซต ได้แก่ .............................................................................................................................................. 2. B = { 2, x } n(B) = ……… ได้แก่

สับเซตทั้งหมดของเซต B มี .................... เซต

.............................................................................................................................................. 3. C = { 1, 3, 5 } n(C) = ……… ได้แก่

สับเซตทั้งหมดของเซต C มี .................... เซต

.............................................................................................................................................. 4. D = { 2, 4, a, x } n(D) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต D มี .................... เซต ได้แก่ .............................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 5. E = { {1} } ได้แก่

n(E) = ………

สับเซตทั้งหมดของเซต E มี .................... เซต

.............................................................................................................................................. 6. F = { 0, {5} } n(F) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต F มี .................... เซต ได้แก่ ...................................................................................................................................

8

ตอนที่ 2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด 1. ให้ กาหนด A =  0 , 1 , 2 , 3  1. 0  A 5. 4 A 2.  0  A 6.  1 , 2   A 3.  2  A 7.  1 , 2 ,3   A 4. 3  A 8.  0, 1 , 2 , 4   A 2.ให้ B =  a , b , c  1. aB 5 )  a , b , c  B 2. bB 6 )  a  B 3 .  c  B 7 )  a , c  B 4 . a  B 8 )  b  B 3. ให้ A= {1, 2, 3}, B ={ 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4} , D = {2, 3, 4, 5} ……………1. A  B ……………2. B  C ……………3. B  A ……………4. C  B ……………5. B  D ……………6. C  D ……………7. A  D ……………8. A  C ตอนที่ 3 จงกาเครื่องหมาย  หน้าข้อที่เห็นว่าถูก และกาเครื่องหมาย  หน้าข้อ ที่เห็นว่าผิด …………. 2.1 ถ้า A  B แล้ว B  A …………..2.2 ถ้า A  B และ a  A แล้ว a  B …………..2.3 ถ้า A  B และ B = C แล้ว A  C …………..2.4 กาหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5}  A ………….2.5 ถ้า A = {1, 3} แล้ว จานวนสับเซตของ A เท่ากับ 4 เซต …………..2.6 ถ้า A = {a, b, c} แล้ว   A

9

ใบความรู้ที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต

นิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A หมายถึง เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสับเซต ทั้งหมดของเซต A เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) P(A) ={ x x  A } ถ้า n(A) = n แล้ว จานวนสมาชิกของ P(A) = 2n

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ C = {1, {2}, {2,3}} จงหาเพาเวอร์เซตของ C วิธีทา C = {1, {2}, {2,3}} จานวนสมาชิกของ C มี 3 ตัว จานวนสับเซตทั้งหมดของ C เท่ากับ 2 = 8 เซต คือ 3

สับเซตของ C ที่ไม่มีสมาชิกเลยคือ



สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 1 ตัว คือ {1}, {{2}}, {{2,3}} สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}} สับเซตของ C ที่มีสมาชิก 3 ตัว คือ {1, {2}, {2,3}} ดังนั้น P(C) = {  , {1}, {{2}}, {{2,3}}, {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}}, {1, {2}, {2,3}} }

10

ตัวอย่างที2่

กาหนดให้ D = {  ,{1}} จงหา P(D) วิธีทา วิธีทา D = {  ,{1}} จานวนสมาชิกของ D มี 2 ตัว จานวนสับเซตทั้งหมดของ D เท่ากับ 2 = 4 เซต คือ 2

สับเซตของ D ที่ไม่มีสมาชิกเลยคือ



สับเซตของ D ที่มีสมาชิก 1 ตัว คือ {  }, {{1}} สับเซตของ D ที่มีสมาชิก 2 ตัว คือ {  ,{1}} ดังนั้น

P(D) = {  , {  }, {{1}}, {  ,{1}}

ข้อสังเกต กาหนดให้ A เป็นเซตใด ๆ แล้วจะได้ว่า 1.

 

2. A



3. P(A)

P(A) P(A) 

4. ถ้า A เป็นเซตว่าง P(A) = {  }

11

ใบกิจกรรมที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบคาถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาทากิจกรรม 5 นาที

ตอนที่ 1 ข้อที่ เซตที่กาหนดให้ สับเซตของเซตที่ กาหนดให้ 1 A = {a} {a} ,  2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2},  3 A = {1, 2, 3} 4 A = {1, 2, 3, 4} 5 A = {a, b, c} 6 A = {a, b}

จานวนสับเซต เพาเวอร์เซตของเซตที่ ทั้งหมดของเซต กาหนดให้ ที่กาหนดให้ 2 = 21 {{a} , } 2 4 = 2 {{1}, {2}, {1, 2}, }

สรุป เพาเวอร์เซตของเซต A คือ …………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

12 ตอนที่ 2 จงเขียนเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้ 1. A = { 4 } n(A) = ……… จานวนสมาชิกของ P(A) มี .................... เซต P(A) = ........................................................................................................................... 2. B = { 3, 5 } n(B) = ……… จานวนสมาชิกของ P(B) มี .................... เซต P(B) = ............................................................................................................................. . 3. C = { a, b, c } n(C) = ……… จานวนสมาชิกของ P(C) มี .................... เซต P(C) = ............................................................................................................................ 4. G = { {3}, {a} } n(G) = ……… จานวนสมาชิกของ P(G) มี .................... เซต P(G) =................................................................................................................................. 5. H = { 1, {2, 3} } n(H) = ……… จานวนสมาชิกของ P(H) มี .................... เซต P(H) = ................................................................................................................................ 6. M = { 0,  } n(M) = ……… จานวนสมาชิกของ P(M) มี .................. เซต P(M) = .............................................................................................................................. 7. A = { x } n(A) = ……… จานวนสมาชิกของ P(A) มี .................... เซต P(A) = ....................................................................................................................... P( P(A) ) = ....................................................................................................................... 8. B =  n(B) = ……… จานวนสมาชิกของ P(B) มี .................... เซต P(B) = ....................................................................................................................... P( P(B) ) = ....................................................................................................................... P( P( P(B) ) )= .......................................................................................................................

13

แบบฝึกหัดที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต คาชี้แจง

ตอนที่ 1 1. A =  2. B = {a} 3. { 2 , 5 } 4. D = { 1 , 3 , 5 } 5. A = {{1}} 6. A = {1,{1}} 7. A = {,{}}

1. ให้นักเรียนหาเพาเวอร์เซตของแต่ละข้อต่อไปนี้ 2. ให้เวลาทากิจกรรม 5 นาที

14

ตอนที่ 2 จงเติมเครื่องหมาย หน้าข้อความที่เป็นจริง และเติมเครื่องหมาย  หน้าข้อความที่ เป็นเท็จ 1. ให้ A= {1, 2, 3}, B ={ 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4} , D = {2, 3, 4, 5} จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ จริง หรือ เท็จ ……………1.1 ……………1.2 ……………1.3 ……………1.4 ……………1.5 ……………1.6 …………. …………. …………. …………. …………,

A B

BC B A

CB BD

CD

2.   P(A) 3. A  P(A) 4. มีเซต A ที่ทาให้ P(A) มีจานวนสมาชิกเป็นจานวนคี่ 5. มีเซต A ซึ่ง P(A) =  6. ถ้า P(A) มีสมาชิก 256 ตัว แล้ว A มีสมาชิก 8 ตัว