VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO
Profesor:
Ing. Daniel E. Weber
J.T.P.:
Ing. Sebastián Romero
Cimentaciones U.T.N. – Facultad Regional Santa Fe – 2009 E-Mail:
[email protected]
Principios P1
P2 q1 q2 Viga sobre apoyos elásticos
La viga sobre lecho elástico constituye el caso limite de una viga continua sobre apoyos elásticos, cuando la distancia entre los apoyos tiende a cero
1
P1
P2
q1 q2
Viga sobre lecho elastico
P1
P2
q2
q1
Lecho elástico el medio retiene la viga cuando tiende a levantarse isótopo homogéneo 1 elástico de variación lineal yi = ∗ pi
C
K = C = Coeficient e de balasto
Kg 2 Kg pi K =C = → cm = 3 yi cm cm
Para una viga de esta clase, puede suponerse que la flecha de la misma es igual al asentamiento que experimenta el terreno situado debajo. C es la medida de la rigidez elástica del terreno. Coeficiente de Balasto.
2
La teoría de la viga flotante sobre lecho elástico, permite deducir la ecuación general que expresa la presión del suelo en función de las abscisas de cada punto de la viga:
pi = f (x ) Y por lo tanto del asentamiento:
yi =
1 f (x ) C
Deducción de la fórmula para la deformación: La viga tiene un ancho b y está solicitada por una carga continua cualquiera. La presión del suelo es p = C.y Un elemento de longitud dx está sometido a una carga
b ⋅ (q − p ) ⋅ dx = b ⋅ (q − C ⋅ y ) ⋅ dx y = f (x ) y' =
q
df (x ) dx
x
p
Viga flotante solicitada por una carga continua
dx
d2 f (x ) M y' ' = =− 2 E ⋅I dx 3 d f (x ) Q y' ' ' = =− 3 E ⋅I dx
y
P2
P3
P1
Viga flotante solicitada por una carga discontinua p
x
dx
y
d 4 f (x ) j 1 y' ' ' ' = = = ⋅ b ⋅ (q − C ⋅ y ) 4 E ⋅I E ⋅I dx
j[kg / cm] = b ⋅ (q − C ⋅ y )
3
Deducción de la fórmula para la deformación: La ecuación diferencial es entonces:
d4 y b = ⋅ (q − C ⋅ y ) 4 E ⋅I dx Para vigas con cargas aisladas y tramos en los que q = 0. La ecuación anterior se simplifica:
d4 y C⋅b =− ⋅y 4 E ⋅I dx Suponiendo vigas con I constante (momento de inercia):
C⋅b = 4 ⋅ a4 E ⋅I Donde:
a=4
b⋅C 4 ⋅E ⋅I
Elasticidad del medio
Deducción de la fórmula para la deformación: La ecuación:
Toma la forma:
d4 y C⋅b =− ⋅y 4 E ⋅I dx d4 y + 4 ⋅ a4 ⋅ y = 0 dx 4
Cuya integral es:
y = A 1e ax cos(ax ) + A 2 e ax sen(ax ) + A 3 e −ax cos(ax ) + A 4 e −ax sen(ax ) Donde: A1; A2; A3; A4 son constantes que dependen de las condiciones de borde
4
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro: Para la figura a) las constantes de la ecuación, quedan determinadas por las condiciones: Para x = 0 debe ser y’ = 0 Para x = L/2 debe cumplirse M = 0 y Q = 0 o sea que y’’ = y’’’ = 0 Además:
L/2
∫
0
C ⋅ b ⋅ y ⋅ dx =
P 2
De ellas se obtiene:
P0 = χ 0 ⋅
P b ⋅L
P1 = χ1 ⋅
P b ⋅L
M0 = χ M ⋅
P ⋅L 8
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro: En la siguiente tabla figuran valores para c0; c1; cM en función de l = a.L donde:
a=4 l
b⋅C 4 ⋅E ⋅I 0
1.0
Elasticidad del medio
2.0
3.0
p
cM 1,00 1,00 0,92 0,74 0,70 c0 1,00 1,01 1,18 1,64 1,71 c1 1,00 0,94 0,73 0,10 0,00 Si l>p los dos extremos de la viga se levantan y separan del suelo, fig. b). En ese caso se efectúan los cálculos con:
λ' = a ⋅ L ' = π
5
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro: Ejemplo: B = 150 cm D = 60 cm L = 6,00 m P = 100 Tn C = 5 Kg/cm2 E = 210 t/cm2 Calcular M0; P0 y P1
Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladas iguales y aplicadas a distancias iguales entre si: El origen del eje de abscisas x, se considera situado en el punto medio de la distancia comprendida entre dos cargas consecutivas. Para x = 0 y x = L/2 debe ser y’ = 0 Además:
L/2
∫
0
C ⋅ b ⋅ y ⋅ dx =
De ellas se obtiene:
P 2
P0 = χ 0 ⋅
P b ⋅L
P1 = χ1 ⋅
P b ⋅L
M0 = −
P ⋅L χM0
M1 =
P ⋅L χM1
6
Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladas iguales y aplicadas a distancias iguales entre si:
l
0
1.0
2.0
3.0
4.0
3/2 p
c0
1,00
0,99
0,92
0,61
0,27
0,00
c1
1,00
1,01
1,08
1,35
1,90
2,32
cM0
24
24,2
25,1
30,7
46,0
56,4
cM1
12,0
12,1
12,5
13,5
16,0
18,6
Calcular con los datos del problema anterior.
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada: El origen del eje de abscisas x, se hace coincidir con el punto de aplicación de la carga. Una vez establecidas las constantes A1; .....; A4 las funciones y = f(x), y’ e y’’ permiten establecer las siguientes fórmulas:
p=
a ⋅ P cos(ax ) + sen(ax ) ⋅ 2⋅b e ax
M=
P cos(ax ) − sen(ax ) ⋅ 4⋅a e ax
Q=
P cos(ax ) ⋅ 2 e ax
Estas ecuaciones representan las líneas de influencia de los valores de p, M y Q en el punto 0.
7
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada: Estas líneas de influencia se hallan en la Tabla 1. En función de sus ordenadas h pueden calcularse p0; M0 y Q0, con las ecuaciones:
p=
a⋅ ⋅ 2⋅b
M=
1 ⋅ 40 ⋅ a
Q=
1 ⋅ 2
∑P ⋅ η i
pi
∑P ⋅ η i
∑P ⋅ η i
Mi
Qi
Para el caso de dos cargas, se toma el origen de x, en el punto de aplicación de la primer carga.
M=
1 ⋅ (P1 ⋅ ηM1 + P2 ⋅ ηM2 ) 40 ⋅ a
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada: Ejemplo: B = 150 cm D = 60 cm a = 0,0043 cm-1 P1 = 100 Tn P2 = 50 Tn Distancia entre cargas = 2,33 m Calcular M; Q y p en el punto de aplicación de la carga P1 Tabla 1 – Vigas Continuas, Pórticos, Placas y Vigas Flotantes sobre Lecho Elástico – Ing. J. Hahn
8
Viga Flotante de longitud finita: Para el caso de vigas flotantes de sección prismática y longitud finita, los coeficientes para el cálculo de M, Q y p han sido determinados. Estos valores figuran en las tablas 6 a 16 en función de las longitudes elásticas l = a.L comprendidas entre l = 0 y l = 8 Ejemplo: Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas aisladas. Se supone a = 0,002 cm-1 De aquí resulta l = 0,002 . 1000 = 2 Se utiliza la tabla 7 Las curvas para momentos se determinaron por separado para P1 = 100 Tn y P2 = 20 Tn. Por ejemplo para el punto 1 de aplicación de P1 se tiene:
M1 =
8,46 ⋅ 100T ⋅ 10m = 84,6Tm 100
Viga Flotante de longitud finita: Los coeficientes h de P1 se leen en la columna xi/L = 3/10 = 0,3 y los de P2 en la columna xi/L = 8/10 = 0,8 Suponiendo que el ancho de la viga flotante es b = 2 m, las presiones del suelo, en los puntos A y 1 de la viga serán:
σA = σA =
ηP1 ⋅ P1 + ηP2 ⋅ P2 b ⋅L
2,03 ⋅ 100T + (− 0,74 ) ⋅ 20T = 9,41T / m 2 2m ⋅ 10m
σ1 =
1,55 ⋅ 100T + 0,26 ⋅ 20T = 8,01T / m 2 2m ⋅ 10m
9
Viga Flotante de longitud finita: Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas P = 80 T situadas cada una a 2 m de su respectivo extremo. Son C = 1 kg/cm3 y a = 0,002 cm-1, b = 1,5 m: (utilizar la tabla 20)
p=
ηp ⋅ P b ⋅L
=
M = ηM ⋅ P ⋅ L =
2,03 ⋅ 80T = 10,83T / m 2 1,5m ⋅ 10m
4,11 ⋅ 80T ⋅ 10m = 32,88Tm 100
Viga Flotante de longitud finita: Datos:
P
L = 5,00 m b = 2,00 m P = 60 Tn
C=K
h = 0,50 m C = K = 5 kg/cm3 E = 210 Tn/cm2
Calcular M; p; y (en el centro y extremos de la viga)
a=4
b⋅C 4 ⋅E ⋅I
I=
b ⋅ h3 12
λ = a ⋅L
10
Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado: Cuando en el origen A de la viga actúa una carga aislada PA o un Momento MA, las ecuaciones de las curvas M, Q y p son: Caso a (carga PA):
1 sen(ax ) 1 ⋅ ⋅ PA = ⋅ ηM ⋅ PA ax a a e
M=
cos(ax ) − sen(ax ) ⋅ PA = −ηQ ⋅ PA e ax a 2 ⋅ cos(ax ) a p= ⋅ ⋅ PA = ⋅ ηP ⋅ PA ax b b e
Q=−
Caso b (momento MA):
cos(ax ) + sen(ax ) ⋅ MA = ηM ⋅ MA e ax 2 ⋅ sen(ax ) Q = −a ⋅ ⋅ M A = −a ⋅ ηQ ⋅ M A e ax
M=
p=−
a 2 2 ⋅ [cos(ax ) − sen(ax )] a2 ⋅ ⋅ M = − ⋅ ηP ⋅ MA A b b e ax
Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado: En la tabla 5 figuran ya determinados en función de a.x, los valores de los coeficientes h. La flecha yA y el ángulo de giro aA, en el punto A se deducen: Caso a (carga PA):
Caso b (momento MA):
yA =
2⋅a ⋅ PA C⋅b
αA = −
2 ⋅ a2 ⋅ PA C⋅b
yA = −
2 ⋅ a2 ⋅ MA C ⋅b
αA = −
4 ⋅ a3 ⋅ MA C ⋅b
11
Viga de Fundación Elástica (T.P. N° 11): Determinar el asentamiento diferencial máximo que se produce en la fundación de tres columnas de un edificio cuyas dimensiones se indican en la figura:
C1=70Tn
1,00
Sección
I
C2=80Tn
C2=130Tn
3,00
II
6,00
0,50
III
IV V
E = 210.000 Kg/cm2
b = 1,50 m
C = 5000 Tn/m3
h = 1,10 m
Ejemplo 1: VIGA INFINITA
2,33 m
Calculo de la presión reactiva y descenso P1
P2
b
x
2
E [kg/cm ] 3
K [kg/cm ]
P1 [kg] = P2 [kg] = b [cm] = d [cm] =
100000 50000 150 60 E [kg/cm 2] = 210000
Para P1 en x = 0
K [kg/cm 3] = 5,17
Para P2 en x = 233
a ∗ x = 0,00000
a∗x
e
= 1,00000
η
P1
a ∗ x = 1,00
a∗x
e
=
sen (ax)= 0,0000 cos (ax)= 1,000
sen ax + cos ax ax
e
= 2,72355
I [cm 4] = 2700000
a=4 p=
sen (ax)= 0,842516 cos (ax)= 0,538671
η
K ∗b = 0,004300161 4∗E ∗I
P ∗ a (sen ax + cos ax ) ∗ ax 2 ∗b e
= 1,000
p 0 = p 0( P1) + p 0( P 2 ) =
px=0 (P1)= 1,433387 px=0 (P2)= 0,363455
P2
=
sen ax + cos ax
e
ax
= 0,507127
a ∗ (P1 ∗ηP1 + P 2 ∗ηP 2 ) 2b
p0 = p0( P1) + p0( P2) =
2
[Kg/cm ] 1,796841
yo [cm] = po / K = 0,347552
12
Calculo del momento
M =
P (cos ax − sen ax ) ∗ ax 4∗a e
M 0 = M 0( P1) + M 0( P2) =
ηM =
(cos ax − sen ax )
e
ηM(P1)= 1
ax
ηM(P2)= -0,11156
1 ∗ (P1∗ηM P1 + P2 ∗ηM P2) = 5489440,00 4∗a
[Kgcm]
Calculo del esfuerzo de corte
Q=−
P cos ax ∗ ax 2 e
ηQ =
ηQ(P1)= 1
cos ax
ηQ(P2)= 0,1977824
ax
e
1 Q0 = Q0( P1) +Q0( P2) = − ∗(P1∗ηQP1 + P2∗ηQ P2) = 2
[Kg]
-54944,6
2,33 2
Po [Kg/cm ] =
1,79684143
P1 [Kg] = 100000
P2 [Kg] = 50000
yo [cm] = 0,347551534 po Mo [Kgcm] =
5489440,00
Qo [Kg] =
-54944,5604
yo
Mo
Qo
Ejemplo 2: 1,726 0,22
0,20
0,13
0,13
0,15 0,05
0,22
0,826
0,45
0,45
Platea Transformador
0,50 0,30
0,90 0,13 Estribo 0,06
0,035
φ
6mm
0,035
φ 12mm.
1c/1m. a cada lado alternados cada 50 cm Estribo φ 6mm
0,023
0,036
Estribo φ 8mm
φ 12mm.
0,052
0,196
0,30
φ 12mm. 0,052
0,036
φ 16mm.
φ 16mm.
φ 16mm.
φ 16mm.
13
CALCULO DE REACCIÓN EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO a =
3
= 6500 b [m] = 2
Cb [t/m ] 2
Eb [t/m ]
b∗cb 4∗E b∗I
4
=
0,500875
L [m]= 10,00
= 3400000
4 I [m ] = 0,01519 L´ = λ /a = 10,00
XP2[m] =
4,00
XP1 [m] = 1,00
λ =a∗ L= 5,009 X0/L= 0,00 λ >ππ la viga se despega del suelo
L/10=
P1 [ton] = 70,00
0,20
5,32
4,06
2,52
18,62
14,21
8,82
-0,57
0,33
1,27
-2,28
1,32
5,08
8,64
10,48
16,34
15,53
13,9
12,805
11,635
Reacción por tramo [ton]
31,87
29,43
26,705
24,44
19,995
12,99
6,49
1,965
Verificación
31,87
61,3
88,005
112,445
132,44
145,43
151,92
153,885
η P1 =
po =
∗ η P1 =
P1 b∗ L
η P2 =
XP2/L= 0,40
po =
P2 b∗L
∑
∗ηP2 =
=
P 0
[ton]
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,19 0,33 -0,08 de tabla viga finita para λ=5
-0,22
-0,2
-0,13
-0,05
0,04
-0,28
-0,77
-0,7
-0,455
-0,175
0,14
2,16 2,62 2,16 de tabla viga finita para λ=5
1,35
0,64
0,14
-0,22
-0,51
8,64
5,4
2,56
0,56
-0,88
-2,04
8,36
4,63
1,86
0,105
-1,055
-1,9
-0,95
-2,955
149,98
152,935
149,98
#¡REF!
4,165
0,40
P2 [ton]= 80,00
0,10
XP1/L= 0,10
0,30
1,00
1,155
CALCULO DE MOMENTOS EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO 3
Cb [t/m ] b [m] 2
Eb [t/m ]
a =
= 6500 =2
4
b∗cb 4∗E b∗I
=
0,500875
L [m]= 10,00
= 3400000
4
XP2[m] =
I [m ] = 0,0151875 10,00 L´ = λ /a =
XP1 [m] =
4,00
L/10=
P1 [ton]= 70,00
1,00
1,00
P2 [ton] = 80,00
XP1 / L = 0,1 XP2 / L = 0,4 λ =a∗ L= 5,009 X0/L= λ >ππ la viga se despega del suelo
0,00
0,10
0,20
0
4,06
-1,05
0
56,84
-14,7
100η MP2 =
0
-0,14
0,07
Mo = η M 2 ∗ P2 ∗ L ∗ b ∗ 1 = 100
0
-2,24
1,12
24,48
81,92
0
54,6
-13,58
-3,8
57,14
XP1/L= 0,10
100η MP1 =
Mo = η M 1 ∗ P1 ∗ L ∗ b ∗ 1 = 100
XP2/L= 0,40
∑ M 0
=
0,30
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-2,02 -1,77 -1,14 de tabla viga finita para λ=5
-0,57
-0,21
-0,04
0,01
0
-7,98
-2,94
-0,56
0,14
0
-0,51
-0,9
-0,62
-0,21
0
19,84
-8,16
-14,4
-9,92
-3,36
0
3,88
-16,14
-17,34
-10,48
-3,22
0
-28,28
0,40
-24,78
-15,96
1,53 5,12 1,24 de tabla viga finita para λ=5
14
CALCULO DEL CORTE EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO 3
Cb [t/m ] b [m] 2
Eb [t/m ]
= 6500 =2
a =
λ =a∗ L= 5,009 X0/L= λ >ππ la viga se despega del suelo η QP1 =
Qo =η Q1 ∗ P1 ∗ b = XP2/L= 0,40
η QP2 =
Q o = η Q2 ∗ P2 ∗ b =
∑Q
0
=
b∗cb 4∗E b∗I
=
XP1 / L = 0,1
0,500875
XP2 / L = 0,4
L [m]= 10,00
= 3400000
4 I [m ] = 0,0151875 10,00 L´ = λ /a = XP1 [m] = 1,00
XP1/L= 0,10
4
-156,32
XP2[m] =
4,00
L/10 = 1,00 P2 [ton] = 80,00
P1
[ton]
= 70,00
0,00
0,10
0,20
0,30
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0
-0,529
-0,199
-0,017 0,055 0,064 de tabla viga finita para λ=5
0,047
0,026
0,009
0
0
0
-74,06
-27,86
6,58
3,64
1,26
0
0
0
-0,012
0,068
-0,093
0,004
0,041
0,036
0
0
-1,92
10,88
38,4
-82,4
-43,2
-14,88
0,64
6,56
5,76
0
0
-75,98
-16,98
36,02
-74,7
-34,24
-8,3
4,28
7,82
5,76
0
-2,38
0,40
7,7
8,96
0,24 -0,515 -0,27 de tabla viga finita para λ=5
15
