98408779 Proracun Prednapregnutog Krovnog Nosaca

1. UVOD Potrebno je proračunati prednapregnuti stropni nosač industrijske hale. Zadatkom nisu definisani posebni uvjeti okoline tako da se smatra da je nosač u suhoj sredini bez agresivnih uticaja, iz čega slijedi da je klasa agresivnosti sredine je jedan. Utezanje užadi za prednaprezanje se vrši nakon očvršdavanja betona, tj. primjenjuje se prednaprezanje sa naknadnim spojem. Opteredenje je pretežno mirno. Sva horizontalna dejstva se prenose direktno na stubove, tako da se nosač proračunava samo na dejstvo vertikalnog opteredenja. Nosač se postavlja na odgovarajuda elastomer ležišta pri čemu je otpor trenja zanemarivo mali. Kompletan proračun se provodi prema EC2 propisima. Za dokaz graničnog stanja nosivosti prema EC2 koristit de se parcijalni koeficijenti sigurnosti kao i koeficijent kombinacije dejstava Ψ.

1.1.

PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

1.1.1. Dokaz sigurnosti za granično stanje nosivosti (uls) Kombinacija za samo jedno promjenljivo dejstvo: S  ( G,j · GK,j + P · PK + 1,5 · QK,1 )   R  fck/c ; fyk/s ; 0,9fpk/s 





Računska vrijednost dejstva Sd (uzrok naprezanja)

Računska vrijednost otpornosti presjeka Rd (naprezanja)

Gdje je :

G – parcijalni koeficijent sigurnosti za stalna dejstva P – parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje prednaprezanja

Q = 1,5 - parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanje promjenjivih dejstava c, s : parcijalni koeficijenti sigurnosti za materijale ( beton i čelik )

Vrijednosti ovih koeficijenata su date u literaturi i one iznose : Tabela 1 Nepovoljno dejstvo Povoljno dejstvo

G

Q

1,35 1,0

1,5 0

P = 1,00 – Za opteredenja usljed prednaprezanja.

Tabela 2 MATERIJAL

Oznaka

Parcijalni koeficijenti za proračunsku situaciju Stalna/Prolazna

Incidentna

Beton

c

1,50

1,30

Čelik (obični i za prednaprezanje)

s

1,15

1,00

1.1.2. Granično stanje upotrebljivosti (sls) Za kontrolu graničnog stanja upotrebljivosti potrebno je napraviti nekoliko kombinacija opteredenja, i to :   

Rijetka kombinacija : S  ( GK,j + PK + QK,1 )  - za jedno promjenjivo dejstvo Česta kombinacija : S  ( GK,j + PK + 1,1  QK,1 + i>1 ( 1,i  QK,i )  Kvazi-stalna komb.: S  ( GK,j + PK + i1 ( 2,i  QK,i ) 

Keficijenti kombinacija za granično stanje upotrebljivosti: 1,1 = 0,70 2,1 = 0,50

2. MATERIJALI 2.1.

BETON

Zadat je beton klase C 40/50. Osnovne karakteristike betona za ovu klasu (Tabela3; str.16; skripta „Prednapregnuti beton“, prof.dr.M. Zlatar) su sljedede: Tabela 3

Klasa betona Čvrstoda na pritisak [N/mm2] Čvrstoda na zatezanje [N/mm2] E – modul [N/mm2] Granična deformacija

C40/50 fck,cyl fck,cube fctm fctk,0.05 fctk,0.95 Ecm εcu·10-3 εcu·10-3

40 50 3,5 2,5 4,6 35000 -3,0 -3,5

2.2.

BETONSKI ČELIK Zadat je čelik S 500 sljededih karakteristika: - fyk = 500 N/mm2 - Es = 200000 N/mm2

2.3.

ČELIK ZA PREDNAPREZANJE Zadat je čelik St 1570/1770 Osnovne karakteristike: - fyk = 1570 N/mm2 – karakt. vrijednost čvrstode čelika za prednaprezanje pri tečenju; - fpk = 1770 N/mm2 – karakt. vrijednost čvrstode čelika za prednaprezanje na gr. kidanja; - Ep = 195000 N/mm2 – modul elastičnosti; - fp0,1k = 1500 N/mm2 – karakt. vrijednost napona čelika za prednaprezanje pri graničnoj deformaciji 0,1%.

Natega: poprečni presjek natege Presjek jednog užeta: poprečni presjek užeta

DIWYDAG 6803 (3 užeta) np = 3 užeta Ap = 450mm2 uže ispleteno od sedam žica 0,62’’ n = 7 žica A = 150mm2

3. PRORAČUNSKI MODEL , DIMENZIJE I ZAŠTITNI SLOJEVI 3.1.

RASPON – PROSTA GREDA leff = 2200cm ltot = leff + 2 x 25 = 2250 cm L

3.2.

MINIMALNI BROJ I MINIMALNI RAZMAK ARMATURE ZA PREDNAPREZANJE

3.2.1. Minimalni broj Prema EC2 za pojedini konstruktivni element od prednapregnutog betona, u prethodno napregnutoj zategnutoj zoni, mora se predvidjeti minimalan broj armature za prednaprezanje. Ovom mjerom obezbjeđuje se dovoljna pouzdanost od eventualnog otkazivanja odredenog broja žica tj. od trenutnog nenajavljenog loma. Minimalna armatura iznosi : 7 žica prečnika min ≥ 4 mm

3.2.2. Minimalni razmak Svijetli razmak između zaštitnih cijevi armature za prednaprezanje kod prednaprezanja sa utezanjem nakon očvršdavanja betona ne smije biti manji od prečnika zaštitne cijevi, niti manji od 55mm.

3.3.

ZAŠTITNI SLOJ

3.3.1. Betonski čelik Prema EC 2, prilikom određivanja debljine pokrovnog sloja sa stanovišta zaštite od korozije i sigurnog prenosa sile treba računati sa minimalnom debljinom Cmin kao i dodatnom veličinom ∆h koja treba da pokrije moguda odstupanja.

Debljina pokrovnog sloja betona se određuje: a) Prema kriteriju zaštite armature korozije (prema vrsti okoline) minCw1 = 15 mm. Ova vrijednost se može umanjiti za elemente koji su izrađeni od betona kvalitetne klase jednake ili vede od C40/50 sto je u ovom slučaju ispunjeno, pa je Cw1 = 10 mm.

b) Prema kriteriju prenosa sila spoja (uz pretpostavku: maxdg < 32 mm i < c < 40 mm ) - Za vilice Φ = 8,00 mm => minCw2 = Φw = 8,0 mm - Za podužne šipke Φ = 14,0 mm => minC1 = Φe = 14,0 mm c) Nominalna – stvarna vrijednost zaštitnog (pokrovnog) sloja betona: nomCw = minCw1 +

h

h – veličina koja pokriva moguda odstupanja h = 5 mm  10 mm => Odabrano: h = 10 mm nomCw =

10 mm + 10 mm = 20 mm

Napomena: Za minCw1 uzima se veda vrijednost između Cw1 i Cw2 => usvojeno 10 mm. nomCe = nomCw + nomCe

Φw

= 20 mm + 8 mm = 28 mm

USVOJENO : C = 28 mm

3.3.2. Čelik za prednaprezanje a) Prema kriteriju zaštite od korozije ( prema uslovima sredine ): minCcp1 = 25 mm. Napomena: Za kvalitetne klase betona jednake ili vede od C40/50 može se izvrštiti smanjenje za 5 mm : minCp1 = 25,0 – 5,0 = 20 mm b) Prema kriteriju prenosa sila spoja (maxdg < 32 mm ): minCp2 = φduct = 55 mm. Napomena: Za kvalitetne klase betona jednake ili vede od C40/50 može se izvrštiti smanjenje za 5 mm: minCp2 = φduct = 50 mm. c) Nominalna stvarna vrijednost: nomCp = max (minCp1 ; minCp2) + h nomCp

= 50mm + 5mm = 55 mm

3.4.

KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA

Za proračun djelovanja prednaprezanja potrebno je izračunati karakteristke poprečnog presjeka. Pri tome u obzir su uzete slijedede pretpostavke: - Poprečni presjek zaštitne cijevi arm. za prednaprezanje φduct =5,5cm; - Poprečni presjek armature za prednaprezanje Ap1 = Ap2 = 4,5 cm2; E 195000 - Odnos modula elastičnosti armature za prednaprezanje i betona: p  p   5,57 Ec 35000 - Odnos modula elastičnosti betonskog čelika i betona: s 

Es 200000   5,71 Ec 35000

Slika 1 - Karakteristike bruto poprečnog presjeka

Slika 2 - Karakteristike netto presjeka

Proračun karakteristika idealiziranog presjeka:

Slika 3 - Idealizirani poprečni presjek

E,S = 5,71 E,P = 5,57 Površina kablova za prednaprezanje: Ap1 = 4,5 cm2 = Ap2 = 4,5 cm2 Površina armature (pretpostavljeno): As1 = 3,08 cm2 (2Φ14) As2 = 19,63 cm2 (4Φ25) As = As1 + As2 = 22,71cm2 Površina idealiziranog presjeka: Ai = Ac + (E,p – 1 )  AP + (E,s – 1 )  As ; Ai = 2180 + (5,57 – 1 )  9,0 + (5,71– 1 )  22,71= 2337,38cm2 yp1 = 9,0cm yp2 = 21,0cm Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i armature za prednaprezanje: zcp = zc,dole - ycp = 63,91 – (21,0 + 9,0)/2 = 48,91cm

Udaljenost težišta betonskog dijela presjeka i obične armature: zcs,1 = zc,dole - ycs,dole = 63,91 – (3,7)/2 = 62,06 cm zcs,2 = zc,gore - ycs,gore = 46,1 – 7,2 = 38,9cm Položaj težišta idealizirane površine poprečnog presjeka u odnosu na težište betonskog presjeka: z  z 



p

 1  Ap  zcp   s  1  As1  zcs,1   s  1  As2  zcs,2 Ai

 5,57  1  9,0  48,91   5,71  1  3,08  62,06   5,71  1  19,63  38,9  0,0972m 2337,38

Težište idealiziranog presjeka: zi = zc - z = 63,91 – 0,0972 = 63,81cm Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i armature za prednaprezanje: zip = zcp - z = 48,91 – 0,0972= 48,81cm Udaljenost težišta idealiziranog presjeka i obične armature: zis,1 = zcs,1 - z = 62,06 – 0,0972 = 61,96cm zis,2 = zcs,2 - z = 38,9 – 0,0972 = 38,80cm Moment inercije idealiziranog presjeka: Ii  Ic   p  1  Ap  zcp  zip   s  1   A s1  zcs,1  zis,1   s  1   A s2  zcs,2  zis,2 Ii  2510704,224   5,57  1   9,0  48,91  48,81   5,71  1   3,08  62,06  61,96    5,71  1  19,63  38,9  38,80  2843785,4cm4 U sljededoj tabeli dat je prikaz geometrijskih karakteristika prednapregnutog krovnog nosača. Tabela 4 - Geometrijske karakteristike prednapregnutog krovnog nosača KARAKTERISTIČNE Ac; Aci Ic; Ici zu VRIJEDNOSTI POPREČNOG 2 4 (m ) (m ) (m) PRESJEKA

zp1 (m)

zp2 (m)

Ac,bruto

0,2180

0,02511

0,6391

0,5491

0,4291

Ac,netto

0,2131

0,02388

0,6503

0,5603

0,4403

Ac,ideal

0,2337

0,02844

0,6381

0,5481

0,4281

4. DEJSTVA 4.1.

STALNA I PROMJENJIVA DEJSTVA

4.1.1. Karakteristične vrijednosti 



Stalno opteredenje: Vlastita težina nosača:

 Gk1  0,218  25  5,45 KN / m'

Težina pokrova:

 Gk2  4,0 KN / m'

Promjenljivo opteredenje:

 Q k1  4,0 KN / m'

4.1.2. Vrijednosti mjerodavne za dimenzioniranje 4.1.2.1.

Granično stanje upotrebljivsti

a) Rijetka kombinacija - Potrebna za proračun napona usljed ukupnog opteredenja. GK  GK,1  GK,2  5,45  4,0  9,45 kN / m' QK 

 4,0 kN / m'

GK  Q K 

 13,45 kN / m'

b) Česta kombinacija - Potrebna za dokaz širine naprslina. GK  GK,1  GK,2  5,45  4,0  9,45 kN / m'

1,1  Q K  0,7  4,0 

 2,80kN / m'

GK  1,1  Q K 

 12,25kN / m'

c) Kvazi – stalna kombinacija - Potrebna je za dokaz napona u stanju eksploatacije kao i za proračun progiba. GK  GK,1  GK,2  5,45  4,0  9,45 kN / m'

 2,1  Q K  0,5  4,0 

 2,00kN / m'

GK  1,1  Q K 

 11,45kN / m'

4.1.2.2. -

Granično stanje nosivosti Veličine dejstava za osnovnu kombinaciju opteredenja iznose:  G  GK  1,35  9,45  12,76 kN / m'  Q  Q K  1,5  4,0  6,0 kN / m'  G  GK   Q  Q K

 18,76kN / m'

4.2. DEJSTVA PREDNAPREZANJA 4.2.1. Vođenje armature za prednaprezanje; Karakteristične vrijednosti postupka prednaprezanja; 4.2.1.1.

Vođenje armature za prednaprezanje

Odabrano je parabolično vođenje u 2 sloja, prema slici 2 i prema slijededoj jednačini:

zi (x)  4  fi  (  2 ) 

x ltot

 položaj presjeka

ltot  22,5m  ukupna dužina nosača Strijela luka za liniju 1: f1  25,0  9,0  16,0cm Strijela luka za liniju 2: f2  60,0  21,0  39,0cm

Slika 4 - Vođenje natega za prednaprezanje

4.2.1.2.   

Karakteristike postupka prednaprezanja

Koeficijent trenja μ = 0,18; Neželjeni uglovi odstupanja od predviđenih k = 0,005 m-1; Klizanje u ankernom tijelu Δlsl = 2,0 mm.

Napomena: Vrijednosti ovih koeficijenata daju se na osnovu dopuštenja za određeni postupak.

4.2.2. Dejstva prednaprezanja u graničnom stanju upotrebljivosti 4.2.2.1.

Opdenito

Sa izuzetkom: - graničnog stanja slike naprslina, odnosno dekompresije, - dokaza spojnice između montažnih elemenata, - dokaza od djelovanja zamora, smije se djelovanje sile prednaprezanja u graničnom stanju upotrebljivosti odrediti kao srednja vrijednost Pm,t. Nasuprot toga, naprijed izuzete dokaze treba provoditi sa tzv. gornjom, odnosno, donjom karakterističnom vrijednosti sile prednaprezanja: Pk,sup - gornja granična vrijednost, Pk,inf - donja granična vrijednost, a koje su u svakom slučaju funkcije srednje vrijednosti: Pk,sup  rsup  Pm,t ; rsup  1,1 Pk,inf  rinf  Pm,t ;

rinf  0,9

Srednja vrijednost sile prednaprezanja Pm,t u vremenu t i u presjeku x uzduž konstruktivnog elementa u slučaju prednaprezanja sa utezanjem nakon očvršdavanja betona proračunava se pomodu obrasca: Pm,t  P0  Pc  P (x)  Psl  Pt (t)

Pm,t (x)  srednja vrijednost sile prednaprezanja u presjeku x P0  sila prednaprezanja na kraju elementa za prednaprezanje neposredno nakon završenog postupka prednaprezanja

Pc  gubici sile prednaprezanja usljed elastične deformacije elementa kod unošenja sile prednaprezanja P (x)  gubici sile prednaprezanja usljed djelovanja trenja Psl  gubici sile prednaprezanja usljed klizanja ankernih tijela Pt (t)  gubici sile prednaprezanja usljed efekata puzanja, skupljanja i relaksacije

4.2.2.2.

Sila prednaprezanja P0

Vrijednost sile na aktivnom kraju iznosi:

 0,80  fpk   P0  Ap 0,max ; gdje je 0,max  min   0,90  fp0,1k    2 o,max  0,8  fp,k  0,8  1770  1416 N mm o,max  0,9  fp,01k  0,9  1500  1350 N mm2 Napomena: Pod pretpostavkom da presa radi sa tačnošdu 5% u odnosu na krajnju silu prednaprezanja, smije se dopustiti veda sila u iznosu:

o,max  0,95  fp,01k  0,95  1500  1425 N mm2 Sila prednaprezanja Pm,0  Ap pm0 koja se unosi u beton neposredno nakon utezanja je manja od slijedede dvije vrijednosti napona:

pm0  0,75  fp,k  0,75  1770  1327,5 N mm2 pm0  0,85  fp,01k  0,85  1500  1275 N mm2 Razlika između napona  o,max i pm0 pri tome se može iskoristiti da se izravnaju gubici prednaprezanja usljed trenja i usljed klizanja ankernog tijela. Najveda sila prednaprezanja u trenutku t = 0 koja kod prednaprezanja sa sprezanjem ostvarenim naknadnim injektiranjem cementnog maltera djeluje neposredno nakon uklanjanja presa ne smije biti veda od manje vrijednosti prema jednadžbi: Pm 0,max  Ap   pm 0,max Sila prednaprezanja Pm 0  Ap   pm 0 unosi u beton neposredno nakon utezanja, je manja od sljedede dvije vrijednosti:

pmo  0,75  fp,k  0,75  1770  1327,5 N mm2 pm,o  0,85  fp0.1,k  0,85  1500  1275 N mm2 Pm0  Ap  pm0  450 · 1275  573,75kN

4.2.2.3.

Gubici usljed trenja

Gubitak sile prednaprezanja usljed trenja P (x) kod elemenata sa naknadnim utezanjem prema EC2 procjenjuje se izrazom: P (x)  P0  (1  e(kx) )   0,18  koeficijent trenja između čelika za prednaprezanje i zaštitne cijevi k  0,005m1  nepredviđeni ugao skretanja   suma uglova skretanja na dužini x

Suma uglova i (i-označava broj linija vođenja armature i=1,2) izračunava se uz pretpostavku paraboličnog vođenja armature za prednaprezanje prema izrazu:

i (x) 

8  fi ltot2

Za liniju 1: 8f 8  0,160 1 (x)  21  x  x ltot 22,52 Za liniju 2: 8f 8  0,390 2 (x)  22  x  x ltot 22,52 Tabela 5 - odnos DPm/P0 = e-m∙( θ +k∙x)

e-m∙( θ +k∙x)

Element za prednaprezanje

x=0

x = 11,25

x = 22,5

Linija 1

1

0,984871

0,96997

Linija2

4.2.2.4.

0,955797 0,977649

1

Gubici sile prednaprezanja usljed elastičnih deformacija nosača

Odabrano je da se element za prednaprezanje uteže sa dvije različite strane, tj. elemenat 1 u presjeku x = 0, a elemenat 2 u presjeku x = 22,5m, tako da se gubici sile prednaprezanja usljed elastičnih deformacija ostaju mali i u ovom slučaju se nede dalje razmatrati.

4.2.2.5.

Gubici sile prednaprezanja usljed klizanja (popuštanja ankernih tijela)

Nakon popuštanja elemenata za prednaprezanje, odnosno nakon otpuštanja prese početni napon σpm0 na mjestu prednaprezanja se smanjuje za vrijednost ∆σpsl kao posljedica klizanja ∆lsl. Na kraju područja uticaja popuštanja ponovo imamo vrijednost napona prednaprezanja σpm0 (x). Da bi se odredila linija sile prednaprezanja po dužini nosača najprije treba izračunati gubitke ∆σpsl i dužinu popuštanja lsl uz pretpostavku da je ∆lsl = 3,0mm.

Slika 5 - Grafički prikaz uticaja prokliznuda klina

Dužina popuštanja lsl se dobije iz sljededeg uslova: σpm0 · e-m∙( θ +k∙lsl) = (σpm0 - ∆σpsl) · e+m∙( θ +k∙lsl) Za male eksponenete može se pisati da je: σpm0 [1 - m∙ ( θ + k ∙ lsl)] = (σpm0 - ∆σpsl) [1 + m∙ ( θ + k ∙ lsl)]

(1)

S druge strane, iz uslova lineranog toka napona slijedi da je:  lsl  0,5  psl  lsl Ep lsl 

2  lsl  Ep psl

(2)

Izjednačavajudi i uvrštavajudi ∆σpsl iz jednačine (2) u jednačinu (1) dobije se da je lsl: lsl  Ep lsl   8f  pm0    2 i  k   ltot  pri čemu je napon σpm0 nepoznat.

Daljnji proračun se u osnovi provodi pod pretpostavkom da je napon σpm0(x) na kraju područja popuštanja lsl dostigao izračunatu graničnu vrijednost, tj.: σpm0(lsl) = 1275MPa, pri čemu je σpm0 = 1275 · e+m∙( θ +k∙lsl). Pod navedenim pretpostavkama iz gornje jednačine dalje se iterativno izračunavaju vrijednosti σpm0, lsl, i ∆σpsl koje su za elemente za prednaprezanje 1 i 2 date u sljededoj tabeli. Tabela 6 Armatura za prednaprezanje

Ϭpm0 (N/mm2)

∆Ϭpsl (N/mm2)

lsl (m)

1

1292,85

53,1

14,7

2

1322,1

65,0

12,0

NAPOMENA Utezanje u presjeku x=0 Utezanje u presjeku x=22,5m

Tok sile prednaprezanja za obje linije armature za prednaprezanje dat je na slijededoj skici:

Slika 6 - Tok sile prednaprezanja

4.2.2.6.

Gubici ovisni o vremenu

a) Prema EC 2 vremenski gubici sile prednaprezanja od puzanja, skupljanja i relaksacije ∆Pt (t,x) približno se mogu izračunati prema: Pt(t) = p,c+s+r · Ap, gdje je:

p,c s r 

p,c s r 

cs (t,t0 )  Ep  pr  p (t,t0 )  (cg  cp0 ) A   A 1  p  p   1  c  z2cp   1  0,8 (t,t 0 ) Ac  Ic 

cs (t,t0 )  Ep  pr  p  (t,t0 )  (cg  cp0 ) , cp,pm0 1  p   1  0,8  (t,t0 ) pm0

gdje su: p  Ep / Ecm  195000 / 35000  5,57 s  t,to  – Procijenjena mjera skupljanja betona konačna mjera   t,to 

– Koeficijent puzanja

A c , Ic , zcp – Geometrijske karakteristike betonskog presjeka p,c s r

 Promjena naprezanja u netezi zbog puzanja, skupljanja i relaksacije na mjestu "x" u

pm0

 Naprezanje u natezi od prednaprezanja u trenutku "t 0 "

cg

 Naprezanje betona u visini natege od vlastite težine i drugih stalnih djelovanja u trenutku "t"

cp,pm0

 (cp0 ) naprezanje u betonu u razini natege od prednaprezanja u trenutku "t 0 "

pr

 Promjena naprezanja u natezi na mjestu "x" zbog relaksacije

Vremenski gubici proračunat de se u poprečnom presjeku u polovini nosača u vremenu t = ∞. b) Konačna mjera skupljanja εcs∞, koeficijent puzanja φ (∞, t0) Konačne vrijednosti koeficijenta puzanja i konačna vrijednost mjere skupljanja su date u zavisnosti od tzv. efektivne debljine elementa deff a potrebno je voditi računa i o različitosti konzistencije svježeg betona. Za krutu konzistenciju potrebno je vrijednosti množiti sa 0,7 a za tečnu sa 1,2. Potrebno je definisati efektivnu debljinu presjeka: d eff 

2  AC u

Slika 7 – Geometrijske karakteristike betonskog presjeka

d eff 

2  AC 2  2180   14,533cm u 300

deff ≈ 150mm U tabeli 5, str. 17 (skripta Prednapregnuti beton, Zlatar) date su konačne mjere skupljanja u funkciji efektivne debljine i položaja elementa. Iz tabele slijedi da je konačna mjera skupljanja εcs∞ = -0,6 · 10-3. U tabeli 4 date su i vrijednosti koeficijenta puzanja u funkciji efektivne debljine, položaja elementa i starosti betona u trenutku opteredenja. Za vrijednost efektivne debljine presjeka 150mm i za starost betona u vremenu nanošenja opteredenja od 28 dana i relativnu vlažnost 50 % (suhi uvjeti sredine) koeficijent puzanja ima vrijednost φ (∞, t0) = 2,5.

c) Promjena napona u armaturi za prednaprezanje uslijed relaksacije ∆σpr (pad napona pri konstantnim deformacijama u vremenu) Može se odrediti prema: p = pgo - 0,3 · p,c+s+r (3) Najprije je potrebno izračunati vrijednost početnog napona u elementu za prednaprezanje uslijed prednaprezanja i stalnog opteredenja. Taj početni prosječni napon u elementu za prednaprezanje u polovini raspona iznosi: pmo = 0,5 · (1275 + 1239,75+ 12,0/14,7 · (1275 – 1239,75)) = 1271,70 N/mm2

Ova vrijednost 1271,70N/mm2 ostaje, što je uslovljeno postupkom prednaprezanja kao jedan dio promjene napona usljed vlastite težine nosača. Za proračun gubitaka ovisnih o vremenu s toga se uzima da je pgo = pm0 = 1271,70N/mm2. Zbog pojednostavljenja a na strani sigurnosti drugi član se može zanemarti u jednačini (3), pa je p = pg0 = 1271,70N/mm2. Na slici 7 dat je dijagram iz kojeg se mogu izračunati gubici napona uslijed relaksacije čelika za prednaprezanje nakon 1000 sati. U funkciji odnosa p/fpk = 1271,70/1770 = 0,72 i za klasu relaksacije 2 koja se odnosi na užad iz tog dijagrama možemo interpolirajudi odrediti gubitke napona uslijed relaksacije čelika.

pr ,1000 

2,5  0,2  2,0  1271,70  37N / mm2 100

Slika 8 - Gubici napona usljed relaksacije čelika za prednaprezanje nakon 1000h, kod 20°C (EC)

Konačna vrijednost se uzima aproksimativno tri puta veda nakon hiljadu sati relaksacije, pa su konačno gubici: ∆pr = 3 ∙ ∆pr,1000 =3 · 37 = 111N/mm2

d) Naprezanja cg i cpo u betonskom poprečnom presjeku Momenat savijanja u polovini nosača uslijed stalnog opteredenja Gk,1, Gk,2: Msd,G

G 

k,1

 Gk,1   l2 8

9,45  22,02   571,73kNm 8

Komentar: Iako se stalno opteredenje nanosi u različitom vremenskom periodu uzede se srednja vrijednost napona u elementu za prednaprezanje za gornji momenat.

Srednja vrijednost napona zatezanja u betonu u sredini između armatura 1 i 2 iznosi: M 571,73  0,5   0,5603  0,4403  11,98N / mm2 cg  sd,G  0,5   zp1  zp2  ;  cg  0,02388 Ic,netto cg = 11,98N/mm2

(Napon zatezanja u betonu uslijed samostalnog opteredenja)

Početna vrijednost napona u betonu u visini elemenata za prednaprezanja (u sredini između njih) uslijed sile prednaprezanja iznosi: N M cpo  cpo  cpo  0,5  (zp1  zp2 ) Ac,netto Ic,netto Ncpo  pmo  Ap  1271,7  9,0  10 4  1,145MN Mcpo  Npo  0,5  (zp1  zp2 )  1,145  0,5  (0,5603  0,4403) Mcpo  0,573MNm

cpo 

Ncpo Ac,netto

cpo  



Mcpo Ic,netto

 0,5  (zp1  zp2 )

1,145 0,573   0,5  (0,5603  0,4403)  5,37  12,0  17,37N / mm2 0,2131 0,02388

Slijedi da je: cg + cpo = 11,98 – 17,375= -5,4 N/mm2

e) Gubitak napona p,c+s+r

p,c s r 

p,c s r

cs (t,t0 )  Ep  pr  p (t,t0 )  (cg  cp0 ) A   A 1  p  p   1  c  z2cp   1  0,8 (t,t0 ) Ac  Ic 

0,6  10 3  195000  111  5,57  2,5  (5,4)   249,7N / mm2 4 9  10  0,2180  1  5,57  1   0,48812   1  0,8  2,5 0,2180  0,025107 

Prosječna vrijednost zcp za obje armature za prednaprezanje: zcp = 0,6381 – 0,5 · (0,09 + 0,21) = 0,4881m. Gubitak sile prednaprezanja u jednom kablu u trenutku t = ∞ iznosi: ∆Pp,c+s+r = -249,7 · 4,5 · 102 = 112,4kN Srednja vrijednost sile prednaprezanja kblova u sredini raspona u trenutku t = ∞ iznosi:

Pm∞,1 = 1267,97 · 10-3 · 450 – 112,4 = 458,2kN Pm∞,2 = 1274,5 · 10-3 · 450 – 112,4 = 461,13 kN Sila prednaprezanja na lijevom osloncu u trenutku t = ∞ iznosi: Pm∞,1(x=0,0) = Pm0,1(x=0,0) + ∆Pp,c+s+r = 1239,75 · 10-3 · 450 – 112,4 = 445,49kN Pm∞,2(x=0,0) = Pm0,2(x=22,5) + ∆Pp,c+s+r = 1257,1 · 10-3 · 450 – 112,4 = 453,29kN Prema tome srednji napon u elementima za prednaprezanje u vremenu t = ∞ u presjeku u polovini nosača iznosi: pm∞ = pmo - ∆p,c+s+r = 1271,7 – 249,7 = 1022 N/mm2.

4.2.3. Dejstva usljed prednaprezanja u graničnom stanju nosivosti Kod dokaza graničnog stanja nosivosti za savijanje sa normalnom silom dejstva uslijed prednaprezanja se po pravilu uzimaju preko deformacija, tj. na strani otpornosti presjeka R d. Kod dokaza stanja granične nosivosti za poprečne sile se uzima povoljnije djelovanje nagete armature za prednaprezanje na strani dejstava Sd. Kod ovdje odabranog standardnog postupka sila prednaprezanja Pd pri tome djeluje povoljno na strani otpornosti presjeka Rd.

5. ODREĐIVANJE PRESJEČNIH VELIČINA 5.1.

PRESJEČNE SILE USLJED STALNOG I PROMJENJIVOG OPTEREĆENJA

5.1.1. Maksimalni momenti u polju u graničnom stanju upotrebljivosti Rijetka kombinacija: Gk  Q k   leff 2  9,45  4,0   22,02  Msd,rijetka    813,73kNm 8 8 Česta kombinacija: 12,25  22,02 Msd,èesta   741,13kNm 8 Kvazistalna kombinacija: 11,45  22,02 Msd,kvazistalna   692,73kNm 8

5.1.2. Presječne sile u graničnom stanju nosivosti Momenat u polju: 18,76  22,02 Msd,max   1134,98kNm 8 Poprečna sila: 18,76  22,0 Vsd,max   206,36kNm 2

5.2.

PRESJEČNE SILE USLJED PREDNAPREZANJA

5.2.1. Granično stanje upotrebljivosti Presječne veličine Np, Mp i Vp date su u Tabeli 6 za poprečne presjeke u sredini raspona kao i na osloncima i to za vremenske tačke t = 0 i t = ∞. Pri tome za obje armature za prednaprezanje uzet je jedan srednji napon prednaprezanja cpm za poprečen presjeke iznad oslonaca zbog pojednostavljenja uzete su karakteristike poprečnog presjeka za presjek u polju. Nagib tangente po liniji armature za prednaprezanje u osi oslonca u presjeku ξ = 0 i ξ = 1 za liniju 1 kao i liniju 2 iznosi: 4  0,16 Srednji nagib tangente :  0,02844 Linija 1: tg1 (x  0)  22,5 0,02844  0,0693 tgm   0,0489 4  0,39 2  0,0693 Linija 2: tg2 (x  0)  22,5 m  2,7995 pmo = 1271,7N/mm2, pm∞ = 1022N/mm2 Ap = 9,0cm2, zp1 = 0,5603m, zp2 = 0,4403m (polje) .

Tabela 7 PRESJEČNE SILE ZA VREMENSKU TAČKU REDNI BROJ

PRESJEK

t=0

t=∞

Np [kN]

Mp [kN]

Vp [kN]

Np [kN]

Mp [kN]

Vp [kN]

1

Oslonac lijevo

1117,87

245,93

54,59

893,14

196,49

43,62

2

Polje

1144,53

572,27

0

919,80

459,90

0

3

Oslonac desno

1125,98

247,72

54,99

901,25

198,28

44,02

5.2.2. Granično stanje nosivosti Presječne sile usljed prednaprezanja u stanju granične nosivosti proračunavaju se uz pomod vrijednosti iz Tabele 7 i to u onom karakterističnom presjeku gdje su za odgovarajudi dokaz potrebni.

6. DIMENZIONIRANJE U STANJU GRANIČNE NOSIVOSTI 6.1.

KARAKTERISTIKE MATERIJALA MJERODAVNE ZA DIMENZIONIRANJE



Beton

C40/50:



Betonski čelik

Bst 500:



Čelik za prednaprezanje

1570/1770:

fck = 40N/mm2 fcd = 40/1,50 = 26,67N/mm2 fyk = 500N/mm2 fyd = 500/1,15 = 434,78N/mm2 fpk = 1770N/mm2 fpd = 0,9 · fpk/1,15 = 1385,22N/mm2

Parcijalni koeficijenti sigurnosti za dokaz nosivosti: - beton: - čelik za armiranje i čelik za prednaprezanje:

6.2.

γc = 1,50 γs = 1,15

DIMENZIONIRANJE NA SAVIJANJE SA UZDUŽNOM SILOM

6.2.1. Poprečni presjek u polju u krajnjem stanju Msd,max 

18,76  22,02  1134,98kNm 8

Statička visina do zajdničkog težišta betonske armature i armature za prednaprezanje: 2  1,54 9,0 dm  1,10  (  3,7   15,0)  10 2  0,997m 12,08 12,08

Uz pretpostavku ovakvog rasporeda armature statička visina je dm = 0,997 m, pa je relativni momenat: bF=40cm Msd,max hF=17,5cm 1,134 sds    0,11 2 2 bF  dm  fcd 0,40  0,997  26,66 za hF/d = 0,175/0,997 = 0,18 za bF/bw = 40/16 = 2,5

bw=16cm 1000ω = 121,6

Potrebna površina poprečnog presjeka: 1 ( bF  dm  fcd  Ap  pd ) potr A s  fyd Kao računska veličina može se uzeti da je:

pd  (rinf pm  p )  Ep  fpd  1385,22N/mm2 , gdje je: εpm – srednja vrijednost deformacija armature za prednaprezanje usljed sile Pm,t, ∆εp – promjena istezanja čelika usljed vanjskih dejstava, rinf – koeficijent za određivanje donje karakteristične vrijednosti prednaprezanja r inf = 0,9. Srednja vrijednost deformacije elemanata za prednaprezanje 1 i 2 u vremenu t = ∞ iznosi:   p,scr 931,8 pm  pm   4,78%o Ep 195000 rinf ∙ εpm = 0,9 ∙ 4,78‰ = 4,3‰ εpo,1k = fpo,1k /Ep = 1500/195000 = 7,69‰

(rinf pm  p ) po,1k pd  fpd  1385,22N/mm2 1 1 ( bF  dm  fcd  Ap  pd )  (0,1216  0,40  0,997  26,66  9,0  10 4  1385,22)  104 fyd 434,78

potr

As 

potr

A s  2,76cm2

ODABRANO:

2Φ14 Bst 500S 2 stvAs = 3,08cm

6.2.2. Dokaz prethodno pritisnute zategnute zone Ovdje je potrebno dokazati da nije prekačena nosivost prethodno napregnute zategnute zone usljed djelovanja stalnog tereta Gk,1 i prednaprezanja. Karakteristične vrijednosti koeficijenata sigurnosti pri tome su: - povoljno djelovanje vlastite težine γG = 1,0, - prednaprezanje γP = 1,0 Ovaj dokaz se daje u formi dimenzioniranja na savijanje sa normalnom silom za presjek u polju u vremenskoj tački t = 0. Gubitak sile predanprezanja usljed deformacija skradenja betona je na strani sigurnosti i zanemaruje se. Presječne veličine usljed navedenih uticaja su:  Momenat savijanja usljed Gk,1: 5, 45  22, 02  329, 73kNm 8 8 Karakteristična vrijednost sile prednaprezanja: Pk = rsup · Pmo = 1,1 · 1144,53 = 1258,98kN Mk = -1,1 · 572,27 = -629,87kNm M sd ,G 



Gk ,1  leff 2



Presječne veličine mjerodavne za dimenzioniranje su: Nsd = -γp · Pk = -1,0 · 1258,98 = -1258,98kN Msd = Msd,G + γp · Mk = 329,73 - 1,0 · 629,87 = -300,14kNm Rastojanje zs od sile Nsd do težišta gornjeg pojasa: zs = h – yp1,m – hF/2 = 1,1 – (0,09 + 0,21)/2 – 0,175/2 = 0,8625m Statička visina: d = h – hF/2 = 1,1 – 0,175/2 = 1,013m MEds = -300,14 - (-1258,98 · 0,8625) = 785,73kNm Relativni moment: MEds 0,78573 sds    0,064 0,40 2 bF  d  fcd 0,40  1,0132  30 za hF/d = 0,175/1,013 = 0,173 za bF/bw = 40/16 = 2,5

1000ω = 67,4

potr

As 

1 1 ( bF  dm  fcd  Ap  pd )  (0,0674  0,16  1,013  26,66  1,25)  10 4 fyd 434,78

0 , pa

možemo zaključiti sljedede: 1. Pošto je relativni momenat μsd = 0,064 < μsd,lim = 0,40, nosivost prethodno napregnute zategnute zone nije dostignuta. 2. Za ovo granično stanje nije potrebna armatura u gornjoj zoni.

6.3.

DIMENZIONIRANJE NA POPREČNE SILE

6.3.1. Karakteristične vrijednosti poprečne sile mjerodavne za dimenzioniranje Karakteristična vrijednost poprečne sile za dimenziniranje Vsd uz uzimanje u obzir nagnutog vođenja kablova za prednaprezanje: Vsd = Vod – Vpd ,

gdje su: Vsd – poprečna sila mjerodavna za dimenzioniranje, Vod – poprečna sila usljed stalnog opteredenja Gk,1, Gk,2, Gk,Q i pokretnog opteredenja Qk, Vpd – komponenta poprečne sile usljed nagiba elemenata za prednaprezanje, paralelna sa Vod. Kod direktno oslonjenog nosača za ravnomjerno raspodjeljeno opteredenje mjerodavan presjek za određivanje veličine Vod, može se uzeti na rastojanju “d” od unutrašnjeg ruba oslonca. Ovo pravilo također vrijedi i kod direktno oslonjenog nosača opteredenog kombinacijom ravnomjerno podjeljenog opteredenja i koncentrične sile.

linija 2 linija 1

25

10

Vpd2 Vpd1

d=175

Slika 9 - Konstruktivni element sa nagnutim vođenjem kablova za prednaprezanje

Poprečna sila Vod od ravnomjerno raspodjeljenog opteredenja Gk,1, Gk,2, Qk na odstojanju “d” od unutrašnjeg ruba oslonca iznosi: a l  V0d     G  Gk   Q   Q k   eff  c  d   (1,0  9,45  1,0  4,0)  (11  0,1  1,75)  123,07kN  2 2  U odnosu na djelovanje nagetog elemenat za prednaprezanje treba razmotriti dva slučaja: 1. Napon u elementu za prednaprezanje ne prekoračuje čvrstodu f p0,1k kao mjerodavna sila prednaprezanja, kod uzimanja u obzir gubitaka prednaprezanja, srednja vrijednost sile Pm,t je pomnožena mjerodavnim koeficijentom sigurnosti γP. 2. Napon u elementima za prednaprezanje prekoračuje čvrstodu f p0,1k. U tom slučaju sila prednaprezanja se dobije iz fp0,1k, djeljenjem sa γS.

Srednji napon u elementima za prednaprezanje na krajnjim osloncima nakon uzimanja u obzir gubitaka usljed trenja i klizanja ankernih tijela iznosi: - na lijevom osloncu: pmo 

pmo 

1239,75  1275  1257,38N / mm2 2 na desnom osloncu: 1257,1  1275  1266,1N / mm2 2

Napon prednaprezanja u vremenu t = ∞ je na strani sigurnosti (f p0,1k = 1500N/mm2).

pm,t  pmo  p,csr  1257,38  249,7  1007,68N/mm2 Prema tome, u stanju granične nosivosti na poprečne sile u području oslonaca nije prekoračena karakteristična vrijednost čvrstode pa je mjerodavan slučaj 1. Nagib armature za prednaprezanje u presjeku na udaljenosti “d” od unutarnjeg ruba oslonca 1 2x iznosi računa se po formuli: z'i (x)  4  fi (  2 )  tg , x = 0,25 + 0,1 + 1,75 = 2,1m ltot ltot -

linija 1: f1 = 15,25cm; tg1  4  0,16(

1 2  2,1  )  0,0231 22,5 22,52

-

linija 2: f2 = 47,72cm; tg2  4  0,39(

1 2  2,1  )  0,0564 22,5 22,52

Vpd  rinf   P  pm,t  Ap  tgi  0,9  1,0  1007,68  4,5  104  (0,0231  0,0564)  103  32,44kN

Poprečna sila koju preuzima presjek iznosi: - za proračun smičude armature i za dokaz nosivosti pritisnutih dijagonala Vsd = Vod - Vpd = 123,07 – 32,44 = 90,63kN 6.3.2. Proračun potrebne smičude armature VRd,3 = Vcd – Vwd , gdje su: Vcd - dio poprečne sile koju preuzima betonski presjek = VRd,1 VRd,1 - nosivost na poprečne sile konstruktivnog elementa bez smičude armature Vwd - dio poprečne sile koja otpada na smičudu armaturu

VRd,1  Rd  k  1,2  40 1   0,15 cp   bw  d , gdje su: τRd - osnovna računska čvrstoda pri smicanju elemenata bez armature za smicanje, daje se u funkciji klase betona τRd = 0,41 N/mm2 za kvalitetnu klasu betona C40/50 k - koeficijent kojim se uzima u obzir debljina elementa, zavisi od visine presjeka i prekidanja (završavanja) podužne armature u oslonačkom području k = 1,6 – d *m+ ≥ 1,0 d = 1,013m → k = 1,0 d - statička visina presjeka (d = 1,013m) 1 – koeficijent armiranja podužne armature A s1 3,08   0,002 bw  d 16  101,3 bw  najmanja širina presjeka unutar statičke visine N 816,22 cp  sd   0,37 N mm2  srednji napon pritiska Ac 2180 1 

Nsd  rinf   p  pm,t  Ap  0,9  1,0  1007,68  9,0  10 1  816,22kN VRd1  0,41  1, 0  1,2  40  0,002   0,15  0,37   160  1013  94,06 kN Vsd  90,63 kN  Nije potrebno proračunati amičudu armaturu, usvaja se minimalna armatura

Asw,min  min  bw  100  0,0013  16  100  2,08 cm2 m

ODABRANO: S500 dvosječne vilice :  8 /20 pot

asw  2,08cm2 / m' p

stv

asw  2,51  2  5,02cm2 / m'

6.3.3. Dokaz pritisnutih betonskih dijagonala VRd2  0,5   fcd  bw,netto  0,9  d  (1  ctg) VRd2  kapacitet nosivosti pritisnutih betonskih dijagonala   faktor sadejstva f   0,7  ck  0,5 200 40   0,7   0,5 200 U slučaju da rebro sadrži oslabljenje veličine duct bw / 8,tada silu VRd2 treba reducirati sa: bw,netto  bw  0,5  duct bw,netto  16  0,5  5,5  13,25cm VRd2  0,5  0,5  26,67  0,1325  0,9  1,013  10 3  805,44kN VSd

Uzimanjem u obzir dodatnog naprezanja u dijagonalama usljed podužnog pritiska treba provjeriti uslov:   VRd2,red  1,67  VRd2  (1  cp,eff ) VRd2 fcd Vsd 1,1  1,0  1007,68  9,0  104   4,26 N / mm2 Aci 0,234 4,26 VRd2,red  1,67  VRd2  (1  )  1,40  VRd2 VRd2 26,67

cp,eff 

7. DOKAZ GRANIČNOG STANJA UPOTREBLJIVOSTI 7.1.

OGRANIČENJE NAPONA U STANJU UPOTREBLJIVOSTI

a) Pregled Iako su u ovom primjeru provjeravani svi uslovi prema EC-2, ovdje de se dati pregled svih provedenih dokaza i to: - Ograničenje napona pritiska u betonu σc ≤ 0,45fck za kvazistalnu kombinaciju opteredenja; - Ograničenje dopuštenih napona u armaturi za prednaprezanje, σp≤ 0,75fpk za rijetku kombinaciju opteredenja; - Dokaz napona pritiska u betonu prethodno napregnute zategnute zone za kombinaciju stalnog opteredenja i prednaprezanja.

b) Dokaz napona pritiska u betonu σc za kvazistalnu kombinaciju opteredenja Dokaz se provodi gornji rub presjeka u sredini raspona: c,0 

Pm,t Msd,c  Mp,t   z0 A ci Ici

0,9198 0,5717  0,4599   (1,10  0,6381)  5,75N / mm2 0,2337 0,0284 0,45  fck  0,45  40  18 N mm2 c,0 c,0  

Dokaz za donji rub presjeka: c,0  

0,9198 0,5717  0,4599   0,6381  1,42N / mm2 0,2337 0,0284

fct,m  3,5N / mm2

Dokaz napona pritiska u betonu u području sidrenja elemenata za prednaprezanje provodi se indirektno preko veličine aknernih ploča i bit de dat u odjeljku 8.2.1..

c) Dokaz napona u elementima za prednaprezanje za rijetku kombinaciju opteredenja Dokaz se provodi da napon u elementu za prednaprezanje σp za rijetku kombinaciju opteredenja ne prekorači vrijednost 0,75fpk = 0,75 ∙ 1770=1327,5 N/mm2. Napon u elementu za prednaprezanje u polovini raspona uzimajudi u obzir gubitke usljed trenja i klizanja ankernog tijela iznosti pmo = 1271,70 N/mm2. Pod pretpostavkom da de se do preuzimanja ukupnog stalnog i promjenjivog opteredenja ostvariti svega 30% vremenskih gubitaka ova vrijednost se smanjuje na: pm1 = pmo - Pp,c+s+r = 1271,70 – 0,3 ∙ 249,7 = 1196,79 N/mm2. Porast napona u armaturi za prednaprezanje, odnosno napona s u betonskom čeliku prema literaturi se procjenjuje na vrijednost: Ms  Pmt p  z Ap  A s

Msd,rijetka  813,73kNm Np  919,80 kN Mp  459,90 kNm Ms  Msd,rijetka  Mp – Np ∙ zs1  813,73 – 459,90  919,80 ∙ 0,57399  881,79 kNm 881,79  919,80 0,873 p   7,47 kN / cm2 9,0  3,08 Napon u elementima za prednaprezanje: p  pm1  p  1196,79  74,7  1271,49 N / mm2 p  1271,49 N mm2

p  0,75  fpk  1327,5 N mm2

d) Dokaz napona pritiska u betonu prethodno napregnute zategnute zone za kombinacije stalnog opteredenja Gk1 + prednaprezanje

Pm0 0,125  Gk1  l2eff  Mm c,u    z0 A c,netto Ic,netto c,u  

1144,5 0,125  5,45  22,02  572,27  103   0,6503  10 3  11,98 N / mm2 0,2131 0,02388

0,6  fck  0,6  40  24,0N / mm2 f c,u

7.2.

GRANIČNO STANJE SLIKE NAPRSLINA

7.2.1. Zahtjevi kod prednapregnutih nosača Za podatke u ovom zadatku, klasa izloženosti 1 i prednaprezanje sa naknadnim spojem, širina naprslina se ograničava na vrijednost 0,2mm za čestu kombinaciju opteredenja.Pri tome se prednaprezanje računa sa donjom karakterističnom vrijednosti.Dalji dokaz de se provesti u odjeljku 7.2.3. indirektno određivanjem maksimalnih prečnika šipki betonske armature. 7.2.2. Minimalna armatura U prednapregnutim betonskim elementima, minimalna armatura za ograničenje širine naprslina nije potrebna ako: 1. Poprečni presjek za rijetku kombinaciju opteredenja i mjerodavnu karakterističnu vrijednost prednaprezanja ostane pritisnut. 2. Kod pravougaonih poprečnih presjeka pod dejstvom mjerodavne karakteristične vrijednosti prednaprezanja visina zategnute zone pod pretpostavkom ispucalog poprečnog presjeka ne prekoračuje manju od veličina h/2 ili 0,5m. Ovo vrijedi i za rebro kod T – presjeka. Napon na donjem rubu poprečnog presjeka za rijetku kombinaciju opteredenja i donju karakterističnu vrijednost prednaprezanja iznosi:

c,u 

Pm0 0,125  Gk1  l2eff  Mm   z0 A c,netto Ic,netto

0,9  0,9198 0,8137  0,9  0,4599   0,6503  3,54  9,14  5,6 N / mm2 0,2337 0,02844 Prvi uvjet nije ispunjen! c,u  

Drugi uvjet se, prema literaturi, može smatrati ispunjenim ako napon pritiska u betonu usljed prednaprezanja u težištu presjeka ispunjava slijedede uslove: P c,s  k  h  fct,eff A c,i c,s  3,54 p 1,1  3,5  3,85 N/mm2 c,s c,s

*



3,54  0,919 3,85

Drugi uslov nije ispunjen!  Zahtjeva se minimalna armatura za ograničenje širine naprslina!

min

A s  k c  k  f ct,eff 

A c,t s

k c  koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela napona u presjeku neposredno prije nastanka naprslina k c  0,40  (1  0,919)  0,033 k  koeficijent kojim se uzima u obzir nelinearni uticaj sopstvenih napona za h  80cm k  0,5 za h  80cm f ct,eff čvrstoda betona na zatezanje u vrijeme nastajanja prvih naprslina f

ct,eff

f

ct,m

 3,5N / mm2

s  dopušteni napon u armaturi neposredno nakon nastajanja naprslina Za odabrani prečnik šipki 14mm prema tabeli 4.11 iz EC-2 za prednapregnuti beton s  200N / mm2 min A s  0,033  0,5  3,5 

0,15  104  0,44cm2 p 200

stv

A s  3,08cm2

Po visini rebra su raspoređene konstruktivne šipke 8/20cm sa svake strane.

7.2.3. Ograničenje naprslina bez direktnog proračuna za proračun potrebne armature Dokaz de se dati indirektno odabirom graničnog prečnika šipke prema EC-2. Pri tome, prednaprezanje se posmatra kao vanjska sila. Promjena napona Δσp usljed vanjskog opteredenja postaje zanemarljivo mala i ne uzima se u obzir. Naponi u čeliku σs za čestu kombinaciju opteredenja jednaki su: Ms  rsup  Pmt S  z Ap  A s zu  0,6381m zo  h  zu  1,10  0,6381  0,462m

a) Gornji rub presjeka za t = 0

Msd,česta 

Gk1  l2eff 5,45  222   329,725 kNm 8 8

Np0  1144,53 kN Mp0  572,27 kNm d  h  hf / 2  1,10  0,175 / 2  1,013 m A s  19,63 cm2 (4 25) Ap  0 z  0,9h  0,9  1,013  0,912m Ms  Msd,česta  rsup  Mpo  rsup  Npo   d  zu  Ms  0,3297  1,1  0,572  1,1  1,145  1,013  0,6381   0,772 MNm 0,772  1,1  1,145 0,912 S  19,63  10 4

0

 Računski je dokazano da je presjek u težištu flanše pritisnut!

b) Donji rub presjeka u t =  Msd,česta  741,13 kNm Np  919,80 kN Mp  459,90 kNm d  h  d1  1,10  0,12  0,98 m z  0,9  h  0,9  0,98  0,882m A s  Ap  12,08 cm2 Ms  0,741  0,9  0,4599  0,9  0,9198   0,6381  0,12   0,756 MNm 0,756  0,9  0,9198 0,882 S   24,44 N / mm2 4 12,08  10 stv

  14mm

max

*  25mm (Prema tabeli 7.2. iz EC-2)

Indirektno je dokazano da širina naprslina nede predi dopuštenu vrijednost.

7.3.

OGRANIČENJE PROGIBA

Prema EC 2 su formulisana prosta pravila kada nije neophodno eksplicitno proračunavanje progiba. Strožije provjere su potrebne za elemente koji se nalaze van takvih granica ili kada im odgovaraju drugačije granice ugiba od onih koje su sadržane od uproštenih metoda. Ovdje de se približno odrediti progibi prednapregnutog nosača. Mjerodavno je kvazi-stalno opteredenje: Gk1 + Gk2 + 0.5 · Qk = 5,45 + 4,0 + 0.5 · 4,0 = 11,45 KN/m Za ovu kombinaciju opteredenja nisu dostignute presječne sile koje izazivaju pojavu naprslina (odjeljak 7.1.b). Zbog toga se krovni nosač posmatra kao nosač bez naprslina, pa su kao mjerodavne karaktristike poprečnog presjeka one koje vrijede za stadij I: I c = Ic,i = 0,02844m4. Uticaj puzanja se uzima preko smanjenog modula elastičnosti: Ec,ef=Ecm/(1+ φ∞,to)=35000/(1+2,5)=10000 N/mm2 Uticaj skupljanja se zanemaruje za dokaz progiba. Prednaprezanje se posmatra kao vanjsko dejstvo i obuhvatit de se preko skretnih sila ui, pri čemu je: ui  zi'' (x)  Pm,t . Sa vrijednošdu srednje sile Pm,t = 893,14 kN bit de: - Za element za prednaprezanje 1: 8f P 8  0,160 893,14 u1   2 1  m,t     1,13 kN / m' ltot 2 22,52 2 -

Za element za prednaprezanje 2: 8f P 8  0,390 893,14 u2   2 2  m,t     2,75 kN / m' ltot 2 22,52 2

u1  u2  1,13  2,75  3,88 kN / m'

Negativni momenti na krajnjim osloncima su na strani sigurnosti i ne uzimaju se u obzir. Računska vrijednost progiba u sredini raspona iznosi:

f

1  5    11,45  3,88   224   81,18mm 10000  0,02844  384 

dop f 

leff 22  103   88mm 250 250

dop

f

8. RASPORED ARMATURE, KONSTRUISANJE 8.1.

BETONSKA ARMATURA

8.1.1. Osnovna mjera dužine sidrenja

fck  40

 fbdI  2,25 

fctk ,0.05 2,5  2,25   3,75 N / mm2 c 1,5

fbdII  0,7  fbdI  0,7 3,75  2,63 N / mm2

Osnovna mjera dužine sidrenja:  f 435 lIb   ydI  0,25     29,0 4 fbd 3,75  f 435 lIIb   ydII  0,25     41,35 4 fbd 2,63

8.1.2. Sidrenje na krajnjim osloncima Sila zatezanja na krajnjem osloncu iznosi: a Fs  Vsd  l  Nsd d Vsd  Vsd,max  rinf  Vpd  206,36  0,9  43,62  167,11 kN al  veličina pomjeranja al  z 

1  ctg 0 2

al  0,9  105 

1  ctg90  47,25 cm 2

Nsd  Np  893,14 kN Fs  167,11 



sila prednaprezanja

47,25  0,9  893,14  728,67 kN 0  Nije potrebna armatura za preuzimanje sile Fs 105

Potrebna dužina sidrenja na krajnjem osloncu iznosi :

2 l   lb,netto 3

pot A

Obzirom na to da je sila Fs sila pritiska A s  0, za lb,netto se uzima mjerodavna vrijednost minimalne dužine sidrenja lb,min prema izrazu: 10 lb,min  0,3  lb   10 cm lb,min  0,3  40,6  12,18cm  14,00cm  10,00cm 2 l   14,0  9,33cm 3

pot A

Usvojeno je: lA  15cm

8.1.3. Preklapanje armature Armaturne šipke u donjoj zoni, zatim u rebru, kao i armaturne šipke u gornjoj zoni nastavljaju se preklapanjem. Potrebna dužina preklapanja iznosi: A ls  i  lb,netto  1   A  lb  pot s  ls,min stv A s  A  1,0  za prave šipke 1  2,0  za preklapanje zategnuzih šipki ako je: 1. 30% ili više od 30% šipki nastavljeno preklapanjem; 2. Ako je unutrašnji razmak između šipki a  10, a vanjski razmak b  5.

ls,min  0,3  1   A  lb  15  200mm

Vrijednost dužine preklapanja armaturnih šipki različitih prečnika koji su korišteni u zadatku dati su u slijededoj Tabeli 8: Tabela 8 – Vrijednosti dužine preklapanja REDNI BROJ

ARMATURA

φ [mm]

lb [cm]

ls [cm]

1.

Armatura u donjoj zoni

14

40,6

2.

Horizontalna arm. u rebru

8

3.

Armatura u gornjoj zoni

25

ls,min [cm]

0,3  1   A  lb

15φ

20,0

69,2

24,36

21,0

20,0

33,08

42,66

19,85

12,0

20,0

103,38

165,1

62,03

37,5

20,0

Napomena: Mjerodavne vrijednosti dužine preklapanja su podvučene.

8.1.4. Minimalni i maksimalni procenat armiranja a) Minimalna armatura za izbjegavanje otkazivanja usljed nenajavljenog loma Minimalna betonska armatura u zategnutoj zoni za smanjenje opasnosti od nenajavljenog loma prema EC-2 iznosi: d min A s  0,6  b t  fyk min

A s  0,0015  b t  d

bt  srednja širina zategnute zone bt  0,16m d  statička visina presjeka u odnosu na zategnutu armaturu d  1,05m 1,05  104  2,01cm2 500

min

A s  0,6  0,16 

min

A s  0,0015  0,16  1,05  10 4  2,52cm2  mjerodavna vrijednost

b) Minimalna armatura za izbjegavanje otkazivanja u slučaju mogudeg nenajavljenog loma armature za prednaprezanje Na osnovu novih saznanja predlaže se slijededa vrijednost minimalne armature: fct  Wcu  min A s    fyk  zs

  Odnos punog opteredenja prema čestoj kombinaciji opteredenja; U ovom zadatku puno opteredenje predstavlja rijetka kombinacija opteredenja, pa slijedi: 

813,73  1,09 741,13

fct  Čvrstoda betona na zatezanje; Uzima se da je jednaka srednjoj čvrstodi na zatezanje; fct  fctm  3,5 N / mm2 Wcu  Momenat otpora betonskog presjeka za donje rubno vlakno; Wcu 

0,0251  0,039m3 0,6391

fyk  Karakteristična čvrstoda na granici tečenja za betonski čelik; fyk  500 N / mm2 zs  Krak unutarnjih sila u odnosu na presjek betonskog čelika zs  0,9  d  0,995 m   Koeficijent kojim se uzima u obzir veličina armature za prednaprezanje;   1,3 min

A s  1,09 

3,5  0,039  1,3  104  2,99cm2 500  0,995

Mjerodavno :

min

A s  2,99cm2

Odabrana minimalna armatura: 214 BSt500s

stv

A s  3,08cm2

2,52cm2

c) Maksimalna armatura Maksimalna površina poprečnog presjeka armature iznosi: 4 2 19,63cm2 (4 25) max A s  0,04  A c  0,04  0,218  10  8,2cm

d) Minimalni stepen armiranja vilicama: A min sw  min w  bw  sin  Sw min

w  0,0013% (Za klasu čelika S500 i klasu betona C40/50)

min

A sw  0,0013  0,16  1,0  104  2,08cm2 / m' Sw

Odabrane su klasične vilice: 8/20cm BSt500s stv

A sw  5,02cm2 / m' 2,08cm2 / m' Sw

8.1.5. Razmak vilica Vsd 206,36   0,256 VRd2 805,44 Za dop

1 Vsd 2   5 VRd2 3



Sw  0,6  d  0,6  1,05  63cm  30cm

stv

Sw  20cm

dop

Sw

8.2.

ARMATURA ZA PREDNAPREZANJE

8.2.1. Ankerisanje elemenata za prednaprezanje Prema literaturi za preuzimanje sila cijepanja iza ankerne ploče potrebna armatura se daje prospektom prema dopuštenju odabranog sistema. Iako se prema literaturi može koristiti čelik za prednaprezanje, odnosno metode za prednaprezanje za koje postoje odgovarajudi atesti rečevantnih institucija, prema EC-2 se dopuštaju i pojedinačni slučajevi.

8.3.

SPECIFIKACIJA ARMATURE

1

Prečnik Φ(mm) 14

Masa kg/m 1,242

Dužina L (m) 5,95

4

Ukupna dužina Luk (m) 23,8

Masa (kg) 29,56

2

14

1,242

12,0

2

48,0

59,62

3

8

0,405

6,45

10

64,5

26,12

4

8

0,405

10,6

5

53,0

21,47

5

25

3,951

6,95

8

54,0

219,68

6

25

3,951

12,0

4

48,0

189,65

7

8

0,405

2,31

132

304,92

123,49

8

8

0,405

1,16

132

153,12

62,01

Pozicija

Broj

Σ 731,60kg