Guía para la resolución de problemas de
ELECTROMAGNETISMO Problemas resueltos
Guía para la resolución de problemas de
ELECTROMAGNETISMO Problemas resueltos
José Luis Fernández Fernández
Mariano Jesús Pérez-Amor
Universidad de Vigo, España
Universidad de Vigo, España
Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México
Registro bibliográfico (ISBD) José Luis Fernández Fernández. Guía para la resolución de problemas de electromagnetismo : problemas resueltos / José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor. – Barcelona : Reverté, 2012. XI, 465 p. : il. ; 24 cm. Índice. DL B-6557-2012. – ISBN 978-84-291-3062-1 1. Electromagnetismo. I. Pérez-Amor, Mariano Jesús, coaut. II. Título. 537
© José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor Esta edición: © Editorial Reverté, S. A., 2012 ISBN: 978-84-291-3062-1
Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89
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Índice de problemas
PROBLEMAS DE ELECTROSTÁTICA En el vacío
PROBLEMAS DE MAGNETOSTÁTICA En el vacío
Problema 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Problema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Problema 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Problema 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Problema 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Problema 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Problema 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Problema 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Problema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Problema 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Problema 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
En presencia de dieléctricos Problema 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Problema 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Problema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Problema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Problema 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Problema 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Problema 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Problema 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . .119
Energía electrostática Problema 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Problema 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Problema 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . .137 Problema 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . .150 Problema 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . .153 Problema 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Conductores en equilibrio Problema 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . 164
PROBLEMAS DE CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS Problema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Problema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Problema 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Problema 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Problema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Problema 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Problema 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Problema 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
En presencia de materiales magnéticos Problema 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Problema 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Problema 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Problema 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Problema 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Problema 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
PROBLEMAS DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS En medios dieléctricos Problema 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Problema 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Problema 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
En medios conductores Problema 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Problema 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Problema 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Problema 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
En presencia de fronteras Problema 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Problema 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Problema 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Problema 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Problema 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Problema 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 307
PROBLEMAS DE CAMPOS CUASIESTACIONARIOS Campos cuasimagnetostáticos en medios conductores Problema 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Problema 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
vi
Problema 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Problema 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Problema 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Problema 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Problema 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Inducción electromagnética en régimen cuasiestacionario Problema 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Problema 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Problema 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Problema 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Problema 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Problema 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 396
ÍNDICE DE PROBLEMAS
Campos cuasielectrostáticos Problema 7.14 . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Problema 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Problema 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Circuitos cuasiestacionarios Problema 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Problema 7.18 . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Problema 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Energía magnética Problema 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Prólogo
La presente obra es fruto de una experiencia de más de 30 años en la docencia del electromagnetismo en diversas titulaciones de ciencias e ingeniería. Teniendo en cuenta la gran cantidad de libros de electromagnetismo disponibles, cabe preguntarse si es todavía posible aportar algo a la literatura en este campo. Por este motivo, en lo que sigue argumentaremos las razones que nos movieron a escribirla. Un análisis somero de la bibliografía en el área nos ha conducido a clasificar los libros existentes, atendiendo a su nivel de exposición y contenidos, en cuatro categorías: a ) los que, sin abordar propiamente los fundamentos del electromagnetismo, tratan leyes eléctricas y magnéticas limitadas a modelos de circuitos, lo que los hace adecuados a un curso introductorio de física en grados en ciencias e ingeniería, b ) los que tratan los campos electromagnéticos y sus leyes fundamentales (las ecuaciones de Maxwell) con el formalismo del análisis vectorial, pero con un alcance limitado a los casos más básicos en cuanto a regímenes temporales (estático y estacionario sinusoidal) y medios materiales (lineales e isótropos), resultando apropiados para cursos intermedios de las mencionadas titulaciones, c ) los que utilizan modelos de campos electromagnéticos a nivel de posgraduado (típicamente dan soporte a estudios de master y doctorado) profundizando en las relaciones de los campos con las cargas y corrientes, en la radiación y otros aspectos, utilizando herramientas matemáticas a un nivel superior (cuadrivectores, variable compleja, transformadas integrales, etc.) y, finalmente, d ) libros especializados que tratan campos específicos (v.g. radar, antenas, fibras ópticas, etc.) y que asumen que el lector dispone ya de una base en la teoría del electromagnetismo. Especialmente en los pertenecientes a las categorías a ) y b ) es usual encontrar numerosos ejemplos y problemas propuestos, siendo la tónica dominante que de un pequeño porcentaje de los mismos se incluya una resolución más o menos extensa, mientras que de una considerable fracción solo se incluya la solución final.
viii
PRÓLOGO
En estas categorías de libros encontramos también textos específicos de problemas resueltos en los que la parte teórica se reduce al mínimo necesario para establecer la notación e incluir las leyes más importantes; siendo de empleo habitual para el trabajo autónomo de los estudiantes como complemento a los libros de texto, es indudable su capacidad formativa ya que no se conoce bien una teoría mientras no se aplica a la resolución de problemas concretos. La presente obra tiene ese carácter de “libro de problemas” y está dirigida a quienes han de trabajar el electromagnetismo al nivel b ) mencionado. A pesar de su vocación marcadamente formativa, es muy habitual que en los libros de problemas no se dé la debida importancia ni se expliquen con suficiente detalle los primeros pasos del proceso de resolución, es decir, lo que podríamos denominar el planteamiento y que incluye la elección del modelo y la propuesta de hipótesis simplificadoras. Así, frecuentemente se adoptan, sin mayores explicaciones, proposiciones esenciales para la resolución y que no son evidentes. Este tipo de planteamientos suele ser fuente de frustración para los estudiantes puesto que les transmite la sensación de que se está resolviendo el problema mediante una idea feliz o apartada de una lógica de procedimiento. También pueden inducir a la creencia errónea de que el esfuerzo debe concentrarse principalmente en las destrezas matemáticas y en la obtención de la solución de ecuaciones y no fomenta la práctica de detenerse a pensar críticamente en los aspectos físicos de los problemas. En la fase de planteamiento se pasa de una situación más o menos real a un modelo físico-matemático. Esta es, en nuestra opinión, una de las etapas más delicadas de la resolución, que no es fácilmente reducible a una mera sucesión de pasos programables debido, entre otras cosas, a la diversidad de situaciones con que nos podemos encontrar y a la complejidad de los problemas reales. Ello hace que esta fase sea resuelta de una manera artesanal en la que la intervención humana es imprescindible. Entendemos que es posible desarrollar aptitudes para el planteamiento de problemas mediante ejemplos seleccionados que aporten al lector unos caminos de razonamiento sistemático y que salven la brecha entre los fundamentos teóricos y la aplicación concreta ya que, como no podría ser de otra manera, es en el entendimiento de la teoría en lo que se basa el desarrollo de capacidades para su aplicación. Ésta ha sido la motivación fundamental que nos ha animado a escribir la presente obra. En lo que sigue se explican su estructura y aspectos más destacables. La obra se ha estructurado en dos partes. La primera parte incluye un compendio de la teoría electromagnética en el que se catalogan los diferentes conceptos y proposiciones dentro de alguna de las siguientes clases:
PRÓLOGO
ix
i ) definiciones, ii ) leyes físicas o matemáticas que relacionan entre sí los conceptos definidos en i ) y, finalmente, iii ) hipótesis, tanto en la forma de condiciones previas como de proposiciones cuyo cumplimiento no está demostrado, que delimitan las condiciones de validez de las definiciones y leyes referidas en i ) y en ii ). En nuestro campo de aplicación del conocimiento formal consideramos que, a la hora de postular un modelo, es de suma importancia hacer explícitas todas las hipótesis adoptadas con objeto de, por una parte, verificar la adecuación del modelo a la situación real y, por otra, tener constancia de sus límites de aplicabilidad. Por ello, hemos puesto un gran cuidado en acompañar las definiciones y leyes de las correspondientes hipótesis bajo las cuales son válidas. Cabe objetar que, en la mayoría de las ocasiones, este trabajo es poco ventajoso, bien porque las condiciones de validez son obvias o bien porque ello hace más farragosas las exposiciones, pero nuestra experiencia nos ha animado a hacerlo de esta manera en la creencia de que el sistematismo seguido en la parte teórica dará pautas al lector a la hora de enfrentarse a la resolución de los problemas. Aunque el carácter de esta parte teórica es el propio de un manual, con pocos ejemplos ilustrativos y dando prioridad al sistematismo y a la concisión, hemos dado al tema 7 un tratamiento más extenso, incluyendo la descripción de algunos casos teóricos de interés (v.g., la definición y tipos de campos cuasiestacionarios o el establecimiento, a partir de las leyes de Maxwell bajo la aproximación cuasiestacionaria, de los modelos de circuitos), pues hemos detectado que son temas raramente detallados en la literatura existente y no es fácil encontrar explicitadas las hipótesis de validez de los mismos. Hemos puesto también un gran cuidado en que la notación fuese sistemática e inequívoca. Por ejemplo, las fuentes de los campos electromagnéticos (cargas y corrientes) se designan genéricamente con una misma letra (ρ para las cargas y J para las corrientes) y es en los subíndices en donde se matiza su grado de concentración espacial (volumétrica, superficial, lineal) y su naturaleza (libre, de polarización, de magnetización, etc.). Por otra parte, siempre indicamos con el símbolo del acento circunflejo las magnitudes complejas empleadas, tanto vectoriales como escalares. La segunda parte de esta obra es una colección de problemas resueltos. En ella se focaliza la atención del lector en dos aspectos esenciales del proceso de resolución de problemas de electromagnetismo: la utilización de una metodología de resolución sistemática y el establecimiento de una clara conexión con los fundamentos teóricos. Incluye 73 problemas clasificados en cinco grupos según
x
PRÓLOGO
su modelo electromagnético, recorriendo los tipos más representativos de los problemas clásicos de la disciplina. En cada problema se explica con sumo detalle los pasos importantes del planteamiento, qué hipótesis relevantes son de aplicación y se justifica el modelo electromagnético escogido. También en cada problema se identifican claramente las expresiones teóricas a aplicar utilizando la misma numeración que tienen en el compendio de teoría. La estructura de cada problema es como sigue: El tratamiento de cada problema comienza con la fase de planteamiento, que hemos desglosado en dos apartados. En el primer apartado, “Elección del modelo”, dedicamos un espacio a hacer inventario de las posibles fuentes de los campos y, en función de su dependencia temporal, establecer a qué modelo electromagnético se ajusta el problema concreto. Hacemos un análisis teniendo en cuenta qué datos se dan en el enunciado y cuáles son las magnitudes incógnita y qué ley o conjunto de leyes (que, lógicamente, pertenecerán al antedicho modelo electromagnético) permiten la resolución del problema. El segundo apartado, “Búsqueda de posibles simplificaciones”, incluye la reducción del número de variables espaciales aplicando razonamientos basados en las simetrías y en los tamaños relativos (órdenes de magnitud) de las magnitudes que intervienen. También se incluyen en este apartado otros razonamientos que puedan permitir una simplificación del problema o facilitar su resolución, tales como la aplicación del principio de superposición. A continuación de la fase de planteamiento viene la que denominamos “Resolución”. Se incluye aquí la escritura de las ecuaciones de los campos, eventualmente la de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y la reducción y obtención de la solución del sistema de ecuaciones resultantes. En esta etapa intentamos establecer claramente cuáles son las ecuaciones de partida, pero no insistimos demasiado en el detalle de los desarrollos matemáticos, dando algunos resultados intermedios donde pensamos que ello puede facilitar al lector el seguimiento de los cálculos. Además, el empleo exhaustivo de numeración de las expresiones y de la indicación de cuáles se están utilizando en cada paso hace diáfano el proceso. Cuando existen varios caminos posibles de resolución de un problema los indicamos e, incluso, resolvemos detalladamente algunos problemas por cada uno de esos caminos, lo cual creemos enriquecedor ya que permite al lector su comparación. En una última fase se incluye una “Discusión del resultado” cuando estimamos que aporta ideas o contribuye a desarrollar en el lector herramientas de análisis y hábitos de crítica. Por ejemplo, ocasionalmente se analiza la coherencia dimensio-
PRÓLOGO
xi
nal y se verifica si la solución obtenida converge, dando valores extremos a algunos de los parámetros de la solución, a la de casos más simples conocidos. Como requisitos previos para abordar esta obra con pleno aprovechamiento, es aconsejable que el lector disponga ya de los conocimientos de física del nivel a ) mencionado, así como de las herramientas matemáticas propias de un curso básico de análisis vectorial y de ecuaciones diferenciales. Quedan fuera del alcance de esta obra los temas que habitualmente se incluyen tras el estudio de las ondas en medios semiinfinitos: líneas de transmisión, guías de onda y antenas, así como temas más propios de cursos de física teórica como la teoría de la relatividad, el estado sólido, radiación, etc. En los apéndices se han incluido tablas sobre notaciones, unidades y operadores matemáticos de uso frecuente. También se incluye una recopilación de todas las hipótesis empleadas a lo largo de la obra, cada una identificada con una numeración que indica la sección de la parte teórica en que fue utilizada por primera vez, seguida del número de orden de aparición dentro de la sección. Los autores expresan su agradecimiento a los compañeros del Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Vigo con los que compartieron la docencia del electromagnetismo por sus contribuciones y apoyo para la consecución de la presente obra, especialmente a los profesores José Carlos López Vázquez y Ángel Manuel Fernández Doval. También agradecen al profesor Virgilio Rodríguez de Miguel sus útiles comentarios sobre la convergencia de las series del Problema 2.8, a D. Jesús del Val García la ejecución de las figuras del Apéndice 4 y a Dña. María J. Villar Alonso la asistencia técnica en la edición del texto. Hacen constar igualmente su gratitud al equipo de producción de la Editorial Reverté, S.A. y en particular a D. Julio Bueno y a Mercè Aicart por su exquisito y minucioso trabajo de revisión y maquetación. Finalmente y de forma especial, agradecen a todos los que han sido sus alumnos a lo largo de estas tres décadas el proporcionarles la razón de ser de su actividad docente así como la oportunidad de realimentarla y el estímulo para mejorarla.
Problemas resueltos PROBLEMA 2.1 Una carga Q f está repartida uniformemente sobre una media corona circular de radio interior R i y radio exterior R e . Si el medio que la circunda es el vacío, se pide: Hallar el campo eléctrico en los puntos del eje de revolución.
Solución
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Por ser el medio el vacío cumple las hipótesis:
H1.5−1 (medio isótropo y lineal) y H1.5−3 (medio homogéneo), por lo que la permitividad eléctrica tiene el mismo valor en todos los puntos del medio:
2
PROBLEMA 2.1
= o , ∀r del medio
[1]
lo cual asegura que no va a existir carga de polarización: ρp = 0 , ∀t , ∀r del medio
[2]
También cumple la hipótesis:
H1.11−1 (medio dieléctrico perfecto), es decir, su conductividad eléctrica es nula: σ = 0 , ∀r del medio
[3]
lo cual asegura que la distribución de carga libre no va a variar con el tiempo: ∂ ρf ∂t
= 0 , ∀t , ∀r interior al dominio
[4]
1.2. Análisis de las condiciones de contorno En este problema, por no existir fronteras entre diferentes medios, consideraremos la distribución superficial de carga como interior al dominio, dominio que ocupa todo el espacio. Por ello, las únicas condiciones de contorno aplicables son las de regularidad en el infinito puesto que las fuentes ocupan un dominio finito. 1.3. Identificación del tipo de problema Como ni las fuentes ρt en el interior del dominio ni las condiciones de contorno dependen del tiempo, el problema cumple la hipótesis:
H2.1−3 (problema electrostático). En este caso, como se conoce el valor de la carga en todos los puntos del espacio, podemos abordar la solución del problema mediante la aplicación directa de la ecuación [2-17] o de la [2-18]. El problema se reduce, en ambos casos, al planteamiento directo de una simple integral y su consiguiente integración.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones En la resolución de esa integral conviene tener en cuenta las simetrías del problema. En particular, la simetría con respecto al plano z y dado que las proyecciones sobre el eje x de los campos eléctricos debidos a dos elementos diferenciales de
3
PROBLEMA 2.1
carga simétricos con respecto a ese plano se anulan entre sí puesto que tienen el mismo módulo y direcciones contrarias.
3. Resolución Como la carga libre Q f se reparte uniformemente sobre la superficie de la media corona, la densidad superficial de carga ρ f s será:
1 2 π R e − R i2 ρ f s Qf = 2
[5]
Por tanto, teniendo en cuenta el sistema de ejes de coordenadas elegido en la Figura 1, tomamos como elemento diferencial de carga: [6]
d q f = ρf s r d r d φ
En la misma figura se deduce que el campo eléctrico d E en un punto genérico P del eje z debido a ese elemento diferencial de carga puede descomponerse, en el plano definido por ese eje z y el vector de posición del elemento diferencial de carga, en sendas componentes según el eje z y paralela al plano x y : d E z , y d E . 3.1. Cálculo de la componente E z 3.1.1. Mediante la integración directa del campo Según [2-18], la expresión de la componente d E z es: d E z (0, 0, z ) =
ρf s r d r d φ z dq 2 cos γ = 4πo z + r 2 4πo z 2 + r 2 z2 +r2 R e
E z (0, 0, z ) = Ri
=
ρf s r z 2 3/2 d r 2 4πo z + r
ρf s z 4o
1 z 2 + R i2
π
−
dφ = 0
1
[7]
z 2 + R e2
en donde sustituyendo el valor de ρ f s de la ecuación [5]: ⎡
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Qf 1 1 ⎥ ⎢ − E z (0, 0, z ) = ⎥ 2 ⎢ 2 2 2 2πo R e − R i ⎣ Re ⎦ Ri 1+ 2 1+ 2 z z
[8]
4
PROBLEMA 2.1
3.1.2. Mediante la integración de la expresión del potencial Teniendo en cuenta la ecuación [2-5] , en el punto genérico P del eje z se tiene: E z (0, 0, z ) d z = −d V (0, 0, z ) = − V x = y = 0, z + d z − V x = y = 0, z ⇒ ∂ V x = y = 0, z ⇒ E z (0, 0, z ) = − ∂z
[9]
El potencial en el punto (0, 0, z ) se puede obtener mediante la integración de la ecuación [2-17]: dV =
V (0, 0, z ) =
ρ f s πr d r 4πo r 2 + z 2 ρf s
R e
4o Ri
⇒
r r2 +z2
dr =
ρ f s 4o
R e2 + z 2 −
R i2 + z 2
[10]
por lo que el campo será: ρf s z ∂V E z (0, 0, z ) = − = ∂z 4o
1 z 2 + R i2
−
1 z 2 + R e2
[11]
La ventaja de este camino para hallar el valor de E z estriba en que la integral [7] es, en general, más dificultosa de resolver que la doble operación de integrar la [10] y derivar su resultado para obtener el campo. 3.2. Cálculo de la componente E y mediante la integración directa del campo Con respecto a la otra componente, E , de la Figura 2 se desprende que, teniendo en cuenta que la carga tiene simetría respecto al plano z y , la componente E x se anula y la componente E y viene dada por:
Figura 2
5
PROBLEMA 2.2
d E y (0, 0, z ) = d E (0, 0, z ) sen φ = d E (0, 0, z ) sen γ sen φ = ρf s r d r d φ r 2 sen φ = 4πo z + r 2 2 2 z +r R e E y (0, 0, z ) = Ri
=
ρf s r 2 3/2 d r 4πo z 2 + r 2
ρf s
2πo
ln
Re +
[12]
π sen φd φ = 0
R e2 + z 2
R i2 + z 2
+
Ri R i2 + z 2
−
Re R e2 + z 2
Ri +
2 +z2 + R R Qf Ri Re e e ln E y (0, 0, z ) = + − π2 o R e2 − R i2 R e2 + z 2 R i + R i2 + z 2 R i2 + z 2
[13] [14]
El cálculo de la componente E y vía integración de la expresión del potencial resulta muy laborioso puesto que habría que calcular el potencial en puntos fuera del eje z .
PROBLEMA 2.2 Una cáscara esférica metálica, aislada y descargada, tiene en su interior una carga puntual de valor Q a una distancia d de su centro. Se pide: Hallar el valor del potencial en todos los puntos del espacio.
Solución
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Existen tres dominios: Dominio 1: r < a
125
PROBLEMA 2.17
PROBLEMA 2.17 Un condensador de placas planoparalelas de longitud L , ancho b y separación entre placas h tiene la región entre éstas llena con una plancha dieléctrica de permitividad eléctrica relativa r constante. El condensador se carga mientras está conectado a una batería que proporciona una diferencia de potencial V0 , desconectándose de la misma una vez cargado. A continuación se extrae parcialmente la plancha dieléctrica hasta que la porción que queda entre las placas tenga una longitud x m . Se pide: a) Calcular la ddp entre las placas del condensador. b) Calcular la fuerza eléctrica sobre la plancha dieléctrica, tanto para un proceso elemental a carga constante como a potencial constante.
Solución
Figura 1
1. Elección del modelo Dado que el enunciado dice que la permitividad eléctrica del dieléctrico introducido es constante, supondremos que, tanto este medio como el aire, cumplen las hipótesis:
H1.5−1 (medio isótropo y lineal) y H1.5−3 (medio homogéneo), por lo que las permitividades eléctricas de la plancha dieléctrica m = o r y del aire a = o , tienen el mismo valor en todos los puntos de cada medio
a , m = C t e , ∀r de cada medio También supondremos que cumplen la hipótesis:
H1.11−1 (medio dieléctrico perfecto),
[1]
126
PROBLEMA 2.17
es decir, sus conductividades eléctricas respectivas son nulas: σa = σm = 0 , ∀r de cada medio
[2]
El enunciado nada dice acerca de los momentos en los que se realizan las mediciones de los potenciales, antes y después de sacar parcialmente la placa dieléctrica. Denominaremos al estado inicial, Figura 1, con subíndice 0 y al genérico con la plancha desplazada, Figura 2, sin subíndice. Supondremos que dichas mediciones tienen lugar una vez que el sistema haya alcanzado el estado estacionario. Bajo esta suposición el problema cumple, en cada estado, la hipótesis:
H2.1−3 (problema electrostático). La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electrostático puede obtenerse mediante el cálculo del gradiente de la energía electrostática We tal como se expuso en la Subsección 2.4.4. de la parte teórica. En nuestro caso esa fuerza puede calcularse mediante las expresiones [2-58] o [2-64], según se escoja un proceso virtual a carga o a potencial constante respectivamente. En este problema discutiremos la conveniencia de una u otra elección. La energía We se puede hallar en función de los campos mediante la expresión [2-50]. Las cargas libres se encuentran en la superficie de las placas con una distribución ρ f s desconocida y, además, existirá una distribución de carga de polarización superficial ρp s también desconocida, por lo que no es posible obtener el campo E mediante la integración directa de la ecuación [2-15]. No obstante, se trata de un problema electrostático muy similar a otros resueltos anteriormente (véase, p. ej., el Problema 2.14), que está totalmente determinado mediante los potenciales de las placas del condensador y cuya solución se puede hallar mediante la integración de la ecuación de Laplace [2-32] para V (r). Conocido este potencial, el campo se hallaría a través de la ecuación [2-5].
2. Búsqueda de posibles simplificaciones El enunciado nada indica acerca de las relaciones entre las dimensiones del condensador. Cuando la distancia entre placas, h, no es pequeña respecto a las dimensiones L y b de las mismas, las líneas del campo eléctrico tendrán una distribución del tipo representado en la Figura 1.a ). En ese caso, la integración de la ecuación de Laplace no es sencilla, siendo uno de los caminos más recurridos el de la utilización de métodos numéricos. Las condiciones de frontera que deben verificar los campos son las [2-7] y [2-8.a ] que, en el caso de la frontera entre los dieléctricos y la placa superior, Figura 2, quedan:
127
PROBLEMA 2.17
D az = ρ f s a
[3]
D mz = ρ f s m
[4]
E ax = E mx = 0
[5]
donde el primer subíndice de cada campo, a o m , indica el medio y el segundo subíndice (z o x ) indica la componente del campo. Además, ρ f s a es la densidad superficial de carga libre en la zona de la placa superior en contacto con el aire y ρ f s m la correspondiente al contacto con la plancha. Por otra parte, las condiciones en la frontera entre los dieléctricos serán: D ax = D mx
[6]
E az = E mz
[7]
Para el estado inicial se obtendría un conjunto de ecuaciones similar. Las condiciones [5] y [6] se verifican si se cumple que el campo eléctrico es, en todos los puntos del espacio entre las placas del condensador, perpendicular a dichas placas, es decir: E (r) = E z (x , z ) az
[8]
tal como se muestra en la Figura 2. Aunque, tal como se ve en la Figura 1.a ), este no es el caso, la resolución exacta de la ecuación de Laplace demostraría que la aproximación propuesta es aceptable en todo el volumen entre placas excepto en una zona periférica de anchura similar a la distancia h entre las mismas (zona en la que se manifiestan los denominados efectos de borde). Si imponemos a la aproximación [8] que el potencial resultante satisfaga la ecuación de Laplace, resulta que E es uniforme en todo el espacio entre las placas ya que, ∇E (r) = 0
⇒
∂ E z (x , z ) = 0 ⇒ E (r) = E z (x ) az ∂z
[9]
y, al ser la caída de potencial entre placas VP independiente de x , placa inferior
VP =
E (r) · d r = hE z (x ) = f (x ) ⇒ placa superior
⇒ E (r) = E z az , con E z = C t e
[10]
Para que sea aceptable la aproximación [10], es necesario que se verifique el resto de las condiciones de frontera: efectivamente, [10] garantiza que la condición
128
PROBLEMA 2.17
[7] se cumple y el cumplimiento de [3] y [4] nos permitirá obtener las densidades superficiales de carga. Para obtener una solución analítica aproximada del problema supondremos: h L,b
[11]
Entonces, el volumen donde son apreciables los efectos de borde es pequeño y no se comete un gran error si se desprecian dichos efectos, lo cual es lo mismo que suponer que el campo E es perpendicular a las placas y constante en módulo en todo el volumen entre las mismas y nulo fuera de ese dominio, tal como se representa en la Figura 1.b ) y en la Figura 2. Entonces, a partir de ahora, prescindiremos del subíndice z en las expresiones de los campos E y D y de los subíndices a y m en las de los campos E: E mz 0 = E 0 = C t e ,
E az = E mz = E = C t e
D mz 0 = D m0 ,
D mz = D m
D az 0 = D a0 ,
D az = D a
[12]
[13]
3. Resolución 3.1. Apartado a) De acuerdo con lo anterior, la aplicación de [4], [10], [12] y [2-21] y al caso representado en la Figura 1.b ), conduce a: V0 = E 0 h ⇒ E 0 =
V0 D m0 ρ f s m0 = = h m m
[14]
habiéndose utilizado el subíndice m para indicar que se trata de un punto interior a la plancha dieléctrica y el subíndice 0 para indicar que corresponde al estado inicial. De [14] se deduce: bL [15] V0 ρ f s m0 d s = ρ f s m0b L = m Q0 = h placa superior
Figura 2
129
PROBLEMA 2.17
y la capacidad del condensador será: C0 =
Q0 bL = m V0 h
[16]
Cuando se desconecta la batería, esta carga libre Q 0 sobre las placas del condensador se mantiene, incluso después de desplazada la plancha dieléctrica la distancia x m , Figura 2. Lo que ya no se puede asegurar es que dicha carga se distribuya uniformemente sobre toda la superficie de la armadura del condensador. De [3], [4], [10], [12], [13] y [2-21] se obtiene: ρ f s a = D a = a E = a
VP h
ρ f s m = D m = m E = m
VP h
[17.a ] [17.b ]
Por estar el condensador aislado, la carga libre en la placa superior no ha variado: ρ f s d s = Q a +Q m = ρ f s a (L − x m )b + ρ f s m x mb =
Q0 =
placa superior
= [a (L − x m ) + m x m ]
b VP h
[18]
r L V0 L + (r − 1) x m
[19]
VP h
[20]
De [16] y [18] se tiene: VP = y de [10] y [12]: E= viniendo VP dado por [19]. 3.2. Apartado b) 3.2.1. Mediante la derivada de la energía eléctrica total a carga constante En la posición de la plancha dieléctrica correspondiente a la Figura 2, la energía del condensador en este caso será, de [12], [19], [20], [2-21] y [2-50]:
130
PROBLEMA 2.17
We =
1 1 1 2 E d v = o E 2b h (L − x m ) + o r E 2b hx m = 2 2 2
sistema
r2 L 2 V02 1 b 1 b 2 = o [L + (r − 1) x m ] VP = o 2 h 2 h L + (r − 1) x m
[21]
Otra forma de calcular We es mediante [2-49.a]: 1 We = C VP2 2
[22]
siendo C la capacidad del condensador, que se deduce de [18]: C=
Q0 b b = [a (L − x m ) + m x m ] = o [L + (r − 1) x m ] VP h h
[23]
La fuerza a la que está sometida la plancha dieléctrica se obtendrá mediante: 1 b 2 L2 ∂ We 2 ( V = − 1) = F =− o r r ∂ x m Q 2 h 0 [L + (r − 1) x m ]2 1 b = o (r − 1) VP2 2 h
[24]
siendo el sentido de F el del movimiento de la plancha para valores de x m crecientes, es decir, el de la Figura 2. Por tanto, la fuerza eléctrica F tiende a introducir el dieléctrico en la región entre placas. Otra forma de obtener F es utilizando [2-58], [22] y [23]: 2 1 Q 2 ∂ 12 C0 ∂ 2 C VP ∂ We = =− F =− =− ∂ x m Q ∂ xm ∂ x m Q Q 2 2 Q ∂ Q (r − 1) h 1 [25] =− 0 =− 0 2 2 ∂ xm C 2 o [L + (r − 1) x m ] b que, teniendo en cuenta [16] o [18], coincide con [24]. 3.2.2. Mediante el cálculo directo de la variación de energía eléctrica total a carga 3.2.2. constante En la Figura 3 se representan dos posiciones infinitamente próximas de la plancha dieléctrica: en el estado 1 la plancha está introducida una distancia x m y en el estado 2 una x m + d x m .
131
PROBLEMA 2.17
Figura 3 La energía de todo el sistema en el estado 1 será la integral de la densidad de la energía electrostática, w e . De [2-50], [2-21] y [12]: w e1 (r) d v =
We1 =
sistema
=
1 o E 2 d v + 2
aire
1 1 1 m E 2 d v = o E 2b h (L − x m ) + m E 2b hx m = 2 2 2
plancha
1 = o b hE 2 [L + (r − 1) x m ] 2
[26]
y la energía en el estado 2 será: We2 = We1 + δWe = =
w e2 (r) d v =
sistema
aire
1 o (E + d E )2 d v + 2
1 m (E + d E )2 d v = 2
plancha
1 = o (E + d E )2 b h [L + (r − 1) x m + (r − 1) d x m ] = 2 1 = o E 2 + 2E d E b h [L + (r − 1) x m + (r − 1) d x m ] 2
[27]
donde en el último paso se ha despreciado el infinitésimo proporcional a d E 2 por ser de orden superior.
132
PROBLEMA 2.17
La variación de energía, por tanto, será: 1 δWe = o b h E 2 (r − 1) d x m + 2E d E [L + (r − 1) x m ] + 2E d E (r − 1) d x m 2 [28] expresión en la que es despreciable el último sumando frente a los otros dos (por tratarse de un infinitésimo de orden superior) y en la que habrá que hallar d E , ya que éste depende de x m y de d x m . Como el proceso es a carga constante y teniendo en cuenta que en la superficie de las armaduras del condensador ρ f s viene dado por [17], [29]
Q 0 = Q a +Q m = Q a + dQ a +Q m + dQ m Q a + dQ a = a (E + d E ) (L − x m − d x m )b Q m + dQ m = m (E + d E ) (x m + d x m )b
[30.a ] [30.b ]
de donde:
o E [L + (r − 1) x m ] = o E [L + (r − 1) x m ] + o E (r − 1) d x m + + o d E [L + (r − 1) x m ] + o d E (r − 1) d x m
[31]
de donde, despreciando el último sumando, fácilmente se deduce: d E = −E
(r − 1) d x m L + (r − 1) x m
[32]
Sustituyendo este valor de d E en la expresión [28] de δWe se obtiene: 1 δWe = − o b hE 2 (r − 1) d x m 2 La fuerza pedida se obtendrá, finalmente: δWe 1 b ∂ We =− = o (r − 1) VP2 F=− ∂ xm Q d xm 2 h
[33]
[34]
3.2.3. Mediante la derivada de la energía eléctrica total a potencial constante Calcularemos la fuerza de manera análoga a como se ha hecho en el Punto 3.2.1, pero empleando [2-64] en lugar de [2-58]. La expresión de la energía es, como en el caso anterior, la [22]. Sustituyendo en ella el valor de la capacidad dado por [23], resulta:
133
PROBLEMA 2.17
y la fuerza será:
1 b 1 We (x ) = C VP2 = o [L + (r − 1) x m ] VP2 2 2 h
[35]
1 b 2 ∂ We ( V = − 1) F= o r ∂ x m V 2 h P
[36]
3.2.4. Mediante el cálculo directo de la variación de energía eléctrica total 3.2.4. a potencial constante Siguiendo el proceso llevado a cabo en el Punto 3.2.2 pero, en este caso, a potencial constante tenemos que: * El estado 1 será igual que en el Punto 3.2.2, * En el estado 2, teniendo en cuenta [20]: VP2 = VP1 ⇒ d VP = 0 ⇒ d E = 0
[37]
y de [37], [2-21] y [2-51] se puede escribir: 1 w e2 (r) − w e1 (r) = E 2 [2 (r) − 1 (r)] 2
[38]
de donde queda claro que la densidad de energía electrostática permanece invariable en el desplazamiento virtual excepto en el elemento diferencial de volumen d v en que la permitividad ha variado al ser invadido el aire por la plancha dieléctrica. Por tanto, podemos escribir: 1 δWe = (w e2 − w e1 ) b h d x m = o (r − 1) E 2b h d x m 2 La fuerza, entonces, será: ∂ We δWe 1 1 b F= = = o (r − 1) E 2b h = o (r − 1) VP2 ∂ xm V d xm 2 2 h
[39]
[40]
4. Discusión del resultado Como se ha demostrado, los cuatro métodos expuestos en los Puntos 3.2.1 a 3.2.4 dan el mismo valor de la fuerza F , resultado lógico puesto que F es la superposición de fuerzas de Coulomb y éstas sólo dependen de la configuración de las cargas en el estado en el que se calcula F y no de cómo se hace evolucionar el sistema para calcularla. Aunque a la vista de la expresión [24] la fuerza depende de x m , esto solo es así si el condensador se mantiene aislado. En la misma expresión [24] se demuestra
134
PROBLEMA 2.18
que, si se expresa en función del potencial actual VP , la fuerza es independiente de x m . Por tanto, si se mantuviese el potencial entre placas constante, observaríamos que para extraer el dieléctrico haría falta una fuerza constante. De todas formas, debemos tener en cuenta una limitación del modelo empleado para resolver el problema, consistente, según se expuso en el Apartado 2, en que hemos despreciado los efectos de borde. Por ello, no es de esperar que la expresión de la fuerza obtenida siga siendo válida cuando el elemento de volumen en el que hay variación de energía al efectuar un desplazamiento virtual está contenido en las zonas donde tienen lugar los efectos de borde. Concretamente, esos casos son cuando el dieléctrico está totalmente introducido (lógicamente la fuerza es cero, en desacuerdo total con la expresión [24]) y cuando está a punto de ser totalmente extraído (en cuyo caso la fuerza adquiere un valor no nulo pero es más complicada de evaluar). Comparando los cuatro métodos de resolución, parece claro que, para la geometría de este problema, resulta más sencillo el cálculo mediante un proceso virtual a potencial constante. En general, cuando el campo eléctrico es paralelo a la frontera que se desplaza, suele resultar más sencillo el método de los desplazamientos virtuales a potencial constante.
PROBLEMA 2.18 En la figura se muestra un condensador de placas planoparalelas rectangulares, idénticas, de dimensiones a × b y cuyo dieléctrico es el aire. La armadura inferior está fija sobre un plano horizontal (plano X Y ), mientras que la superior tiene posibilidad de trasladarse tanto en la dirección OX como en la OY , manteniéndose constante la distancia entre placas h (siendo h a ,b ) y la ddp Vo entre ellas. Se pide:
Calcular, para una posición x , y dada de la armadura superior y suponiendo que está en reposo, la componente paralela al plano X Y de la fuerza sobre dicha armadura.
Solución
1. Elección del modelo Como la armadura que puede desplazarse está en reposo y como en todo instante la ddp entre armaduras es constante, el problema cumple la hipótesis:
H2.1−3 (problema electrostático).
150
PROBLEMA 2.20
PROBLEMA 2.20 El sistema de la figura representa un voltímetro electrostático que consiste en un disco dieléctrico de radio R 1 al que está unido el electrodo A, constituido por dos sectores opuestos de ángulo θo y radio externo R 2 . El conjunto puede rotar alrededor de su eje de revolución. El otro electrodo, B, rodea al anterior sin tocarlo y consiste en una caja cilíndrica de altura interior h a la que se le han vaciado dos sectores del mismo ángulo θo así como dos discos de radio R 1 en los centros de sus tapas. El plano del electrodo A equidista de los planos de las tapas de B y el medio que rodea a ambos electrodos es el aire. Suponiendo que se aplica una diferencia de potencial constante Vo entre ambos electrodos y que, en una primera aproximación, se pueden despreciar los efectos de borde, se pide: Calcular, para la posición mostrada en la figura, el par de fuerzas a que está sometido el electrodo A, indicando claramente su sentido.
Solución
Figura 1
1. Elección del modelo Puesto que el enunciado nos pide calcular unas fuerzas de origen electrostático, supondremos que se cumple la hipótesis:
H2.1−3 (problema electrostático). Para calcular las fuerzas y los pares de fuerzas se puede utilizar el método de los desplazamiento virtuales, método que está relacionado con la energía electrostática y cuya teoría se expuso en la Subsección 2.4.4. Allí se obtuvieron las expresiones
151
PROBLEMA 2.20
de las acciones mecánicas para desplazamientos virtuales en los casos de carga y potencial constantes, por lo que se debe intentar discernir cuál de los dos caminos es el más apropiado en este caso. Para ello calcularemos primero la energía y después razonaremos la conveniencia de emplear uno u otro camino. La energía We se puede hallar en función de los campos mediante la expresión [2-50]: 1 1 [1] E · Dd v = o E 2 d v We = 2 2 V
V
puesto que el dieléctrico es el aire.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Al despreciar los efectos de borde, puede considerarse que el campo eléctrico es nulo en todo el espacio excepto en los cuatro volúmenes cilíndricos de base los sectores de ángulo θ y radio limitado por R 1 < r < R 2 , correspondientes al solape entre los electrodos A y B, y de altura h/2. En estos volúmenes el campo E es uniforme y perpendicular al electrodo A, Figura 1.
3. Resolución 3.1. Método 1 De la expresión [2-6] se obtiene: B VA − VB = Vo =
E · d r =E
h 2
⇒ E=
2Vo =Cte h
[2]
A
Aunque el campo que nace en el electrodo A tiene sentidos opuestos a uno y otro lado de esa placa metálica, como la expresión de la energía depende del módulo del campo y no de su sentido, la densidad de energía es uniforme en todo el volumen donde existe campo y, a la vista de la mencionada figura, se podrá escribir: 1 We = o 2
2Vo h
2
1 d v = o 2
V
=
2o Vo2 R 22 − R 12 h
2Vo h
2 R 2 h 4 rθdr = 2 R1
θ
[3]
152
PROBLEMA 2.20
Para calcular el par mecánico pedido, podemos aplicar las expresiones [2-60] o [2-65] pero, dada la forma de la expresión [3], es más directo el aplicar la [2-65]: ∂ We τ= ∂ θ V
[4]
El par pedido será, consecuentemente: τ=
2o R 22 − R 12 h
Vo2
[5]
3.2. Método 2 Al resultado obtenido en la expresión [3] se puede llegar obteniendo la energía del condensador mediante la capacitancia del sistema utilizando la expresión [2-49.a ]. En efecto, el sistema es equivalente a cuatro capacitores en paralelo, los correspondientes a los cuatro volúmenes antedichos en los que el campo no es nulo. Teniendo en cuenta que el área de la sección recta de cada uno de ellos es S=
R 22 − R 12 θ 2
[6]
la capacidad total será: R 22 − R 12 θ o S o =4 C =4 h/2 h
[7]
y la energía: 2 2 − R R 1 1 2 1 θ o 2 We = C V 2 = 4 Vo 2 2 h
[8]
que coincide, lógicamente, con la obtenida anteriormente en [3]. A partir de aquí el cálculo del par mecánico seguiría los pasos dados en el método 1.
153
PROBLEMA 2.21
PROBLEMA 2.21 Se tienen dos placas metálicas delgadas muy extensas, conectadas ambas a tierra y situadas paralelamente a una distancia 3L entre sí. En el espacio que queda entre ellas y equidistante de las placas hay una plancha dieléctrica, también muy extensa, de espesor L y permitividad 2 . Los espacios que quedan entre la plancha y las placas están rellenos de sendos líquidos de permitividades respectivas 1 y 3 . La entrecara de los dieléctricos 1 y 2 se ha rociado con una distribución uniforme de carga que, debido a su delgadez, se puede considerar superficial y de valor ρ f s 12 . Se pide: a) Calcular los campos eléctricos en todos los puntos de la región entre placas. b) Calcular la fuerza eléctrica por unidad de área que actúa sobre la plancha dieléctrica.
Solución
Figura 1
1. Elección del modelo 1.1. Análisis de las fuentes Para modelar el problema supondremos que todas las placas son doblemente infinitas. Los planos conductores aíslan una región del espacio en la que existen tres dominios que son los de interés en este problema: Dominio 1: 0 < x < L Dominio 2: L < x < 2L Dominio 3: 2L < x < 3L
154
PROBLEMA 2.21
Dado que el enunciado nada dice acerca de la naturaleza de los dieléctricos que rellenan el espacio entre las dos placas metálicas, supondremos que esos medios materiales cumplen las hipótesis:
H1.5−1 (medio isótropo y lineal) y H1.5−3 (medio homogéneo), por lo que las permitividades eléctricas 1 , 2 y 3 tienen el mismo valor en todos los puntos de cada medio
i = C t e , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3
[1]
También supondremos que cumple la hipótesis:
H1.11−1 (medio dieléctrico perfecto), es decir, sus conductividades eléctricas son nulas: σi = 0 , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3
[2]
lo cual asegura que la distribución de carga libre interior a cada dominio no va a variar con el tiempo: ∂ ρf i ∂t
= 0 , ∀t , ∀r interior al dominio i , siendo i = 1, 2, 3
[3]
El enunciado permite suponer, también, que: ∂ i = 0, ∀t , siendo i = 1, 2, 3 ∂t
[4]
Teniendo en cuenta las expresiones de la teoría [1-18], [1-24] y [1-49] y la anterior expresión [1] se deduce que existe proporcionalidad entre ρp v y ρ f v : o [5] ρ f v i , ∀t , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 ρp v i = − 1 − i y también: ρt v i =
o ρ f v i , ∀t , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 i
[6]
De [3], [4] y [6] se deduce que: ∂ ρt i = 0 , ∀t , ∀r interior al dominio i , siendo i = 1, 2, 3 ∂t
[7]
PROBLEMA 2.21
155
independientemente del valor que tomen las densidades superficiales ρ f s y ρp s de carga en las fronteras (tanto en las placas metálicas como en las fronteras dieléctricas) y de que el potencial a que están sometidas las placas metálicas sea o no función del tiempo. 1.2. Análisis de las condiciones de contorno Las condiciones de contorno corresponden a la distribución de potencial en los planos metálicos y en las fronteras dieléctricas x = L y x = 2L. El análisis de los fenómenos que suceden dentro de los materiales conductores se efectuará en el capítulo que trata de la conducción estacionaria. En este caso, sucede que: a) la distribución de carga total en el interior de los tres dieléctricos no depende del tiempo, ecuación [7], b) tampoco depende del tiempo la carga libre superficial ρ f s 12 , y c) los potenciales de referencia a los que están conectadas ambas placas no dependen del tiempo, por lo que se puede suponer que todas las distribuciones de carga inducida serán independientes del tiempo y que no existen corrientes en los conductores. Por tanto, el potencial en todo el volumen de cada conductor es uniforme e independiente del tiempo. Concretamente, el valor de ese potencial en ambas placas metálicas es nulo. Lo dicho en el párrafo anterior permite asegurar también que los potenciales en las fronteras x = L y x = 2L tampoco dependerán del tiempo. Por todo ello, las condiciones de contorno del problema no dependerán del tiempo. 1.3. Identificación del tipo de problema Según acabamos de ver, en los dominios 1, 2 y 3 ni las fuentes ρt en el interior de dichos dominios ni las condiciones de contorno dependen del tiempo. Por todo ello, el problema cumple la hipótesis:
H2.1−3 (problema electrostático). Los campos eléctricos pedidos se pueden resolver, dada la gran simetría del problema, aplicando directamente la ley de Gauss [2-2]. La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electrostático puede calcularse mediante el método de los desplazamientos virtuales tal
156
PROBLEMA 2.21
como se expuso en la Subsección 2.4.4. Esa fuerza puede calcularse mediante expresiones correspondientes a procesos virtuales a carga o a potencial constante, elección que efectuaremos posteriomente.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Debido a la simetría de traslación en las direcciones y , z tanto de las fuentes (cargas totales en el interior de los dominios) como de las condiciones de contorno, puede asegurarse que el potencial en todos los dominios va a ser independiente de las coordenadas y , z : Vi (r) = Vi (x ) ,
i = 1, 2, 3
[8]
y de [8] y [2-5], el campo eléctrico en los tres dominios debe ser de la forma: Ei (r) = E i (x ) ax , i = 1, 2, 3
[9]
Di (r) = D i (x ) ax , i = 1, 2, 3
[10]
De [9] y [2-21]:
3. Resolución 3.1. Apartado a) La forma del campo Di (r) dada por [10] posibilita el aplicar directamente la ley de Gauss, ecuación [2-2] Di · d s = Q f i , i = 1, 2, 3
[11]
Si
sin más que escoger convenientemente las superficies gaussianas de manera que se pueda aprovechar la simetría en D. Por ello se escogerán cilíndricas o prismáticas con las generatrices perpendiculares a las placas metálicas, unas enteramente en un mismo dieléctrico, superficies S 1 , S 2 y S 3 , tal como se muestra en la Figura 1, y otras con las bases a ambos lados de las fronteras, superficies S 12 y S 23 . La aplicación de la ley de Gauss a cada una de ellas conduce a: D · d s = [D i (x 2 ) − D i (x 1 )] ΔS = 0 ⇒ Si
⇒ D i (x 2 ) = D i (x 1 ) , i = 1, 2, 3 siendo x 2 y x 1 las coordenadas de las bases de la superficie S i .
[12]
157
PROBLEMA 2.21
Teniendo en cuenta [12] y [2-21] resulta: E i (x 2 ) = E i (x 1 )
[13]
es decir, el campo eléctrico es uniforme dentro de cada dominio. Por otra parte, en la superficie S 12 que abarca dos dieléctricos se tendrá: D · d s = (D 2 − D 1 ) ΔS = ρ f s 12 ΔS ⇒ S 12
⇒ D 2 − D 1 = ρ f s 12
[14]
Teniendo en cuenta [14] y [2-21] resulta: ρ f s 12 = 2 E 2 − 1 E 1
[15]
y en la superficie S 23 : D · d s = (D 3 − D 2 ) ΔS = 0 ⇒ D 3 = D 2
[16]
S 23
Teniendo en cuenta [16] y [2-21] resulta:
3 E 3 = 2 E 2
[17]
Por otra parte, la aplicación de la ecuación [2-6] a un segmento rectilíneo perpendicular a las placas y con sus extremos en ellas, línea A BC D de la Figura 1, y considerando [13] permite escribir: E · d r = 0 = E1L + E2L + E3L ⇒ E1 + E2 + E3 = 0
[18]
A BC D
De las ecuaciones [15], [17] y [18] se deducen fácilmente las expresiones de los distintos campos E 1 , E 2 y E 3 : E1 = −
2 + 3 ρ f s 12 1 2 + 2 3 + 3 1
[19]
E2 =
3 ρ f s 12 1 2 + 2 3 + 3 1
[20]
E3 =
2 ρ f s 12 1 2 + 2 3 + 3 1
[21]
158
PROBLEMA 2.21
3.2. Apartado b) Para el cálculo de la fuerza por unidad de área que actúa sobre la plancha dieléctrica, y teniendo en cuenta que se trata de un sólido rodeado de líquidos dieléctricos, utilizaremos, como se justificó en la Subsección 2.4.4, el método de los desplazamientos virtuales, desplazando el sólido (y, por tanto, las fronteras 1-2 y 2-3) una distancia d x y evaluando la variación de energía electrostática entre los estados inicial y final.
Figura 2 La densidad de energía electrostática en cada estado ha de calcularse empleando el valor de los campos en dicho estado y los valores de las permitividades eléctricas también en dicho estado, valores que, como se ha dicho en la Subsección 2.4.4, por tratarse de un sólido lineal, homogéneo e isótropo en contacto con líquidos dieléctricos descargados y también lineales, homogéneos e isótropos, pueden considerarse constantes en cada medio con el desplazamiento virtual. Para facilitar el cálculo de la variación de energía, interesa escoger unas condiciones para el desplazamiento virtual en las que la densidad de energía se mantenga invariable en todo el espacio excepto en el volumen barrido por las fronteras en el desplazamiento virtual. De esta manera, el incremento de energía entre los estados inicial (i) y final (f) se reduce al habido en dicho volumen y, en cada estado, la energía correspondiente a ese volumen, por ser de espesor infinitesimal, se puede calcular simplemente multiplicando la densidad de energía por dicho volumen. Para que este cálculo sea válido es necesario que exista un volumen suficientemente extenso de cada líquido en la región exterior a las placas (por ejemplo, disponiendo las placas en una cubeta) de modo que, al realizar el desplazamiento virtual, la diferencia de volumen del líquido barrido por la frontera móvil entre placas sea suministrada (o absorbida) por la región del líquido más alejada de las placas, en la que el campo eléctrico de borde ha caído a valores despreciables y,
159
PROBLEMA 2.22
con él, la energía asociada al volumen de líquido travasado a la región barrida entre placas. En nuestro caso, la condición antedicha se verifica si se supone el desplazamiento virtual a carga constante, ya que, en ese proceso, el vector D, en cada medio, no varía con el desplazamiento virtual. Entonces, aplicando [2-56] al volumen barrido por una sección de área ΔS, Figura 2: ΔF d x = − (Wef − Wei ) = −δWe
[22]
siendo ΔF la fuerza eléctrica sobre la porción de la plancha de área ΔS y su sentido el mismo que el del desplazamiento d x , es decir, del medio 2 hacia el 3. El incremento de energía será, de [2-51] y teniendo en cuenta que existe volumen barrido a ambos lados de la plancha dieléctrica: δWe = (w e1f − w e2i ) ΔS d x + (w e2f − w e3i ) ΔS d x
[23]
De [23] y [2-51]: 1 δWe = 2 1 = 2
2 D 1f
1 D 12
1
− −
2 D 2i
2 D 32
3
1 ΔS d x + 2
2 D 2f
2
−
2 D 3i
3
ΔS d x
ΔS d x = [24]
Despejando la fuerza de la expresión [22] y utilizando la [24] se obtiene la expresión de la fuerza por unidad de área: 1 δWe 1 D 12 D 32 ΔF 1 2 3 22 − 1 (2 + 3 )2 [25] =− =− − = ρ f s 12 ΔS ΔS d x 2 1 3 2 Σ2 siendo: Σ = 1 2 + 2 3 + 3 1
[26]
PROBLEMA 2.22 Una esfera conductora de radio a , inmersa en un líquido dieléctrico de permitividad que ocupa todo el espacio exterior a la esfera, está conectada a una fuente de fem Vo y a una distancia D de su centro (D > a ) hay una carga libre puntual de valor Q . Se pide: Calcular el valor de la fuerza que actúa sobre la carga Q .
383
PROBLEMA 7.11
PROBLEMA 7.11 En el espacio vacío se tiene una línea conductora rectilínea indefinida recorrida por una corriente I (t ) y una espira cuadrada conductora de lado a , resistencia R y autoinductancia L , tal como se indica en la Figura 1. La espira se mueve perpendicularmente a la línea con una velocidad constante v, siendo ambas, en todo momento, coplanarias. Se pide: Hallar la ecuación diferencial que liga la intensidad I (t ) con la i (t ) que circula por la espira cuadrada.
Figura 1 Solución
1. Elección del modelo En el presente problema se plantea calcular cuál será la relación entre la corriente i (t ) que circula por la espira y la corriente I (t ) que circula por la línea. Esta relación deberá buscarse en las leyes del electromagnetismo que encajen con los datos dados en el enunciado. En el caso más general debe tomarse el modelo ondulatorio, modelo que corresponde al conjunto de ecuaciones de Maxwell [1-4]-[1-7] y bajo el cual los conductores soportarán unas ciertas distribuciones de cargas y corrientes, pudiendo comportarse como sistemas radiantes o antenas. Dado que en el alcance impuesto a esta obra expresado en su Prólogo se ha excluido esa parte del electromagnetismo, haremos la suposición de que el sistema trabaja en régimen cuasiestacionario, en el que ya no tienen cabida los conceptos de radiación ni de antena. Por tanto se asumirá la hipótesis:
H7.1−1 (aproximación cuasiestacionaria).
384
PROBLEMA 7.11
En el marco cuasiestacionario el comportamiento de la espira puede describirse mediante la teoría de circuitos aplicando el modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica con las matizaciones que se exponen a continuación. En primer lugar, en este caso no son aplicables las hipótesis: H7.5−5 (generador ideal σg = ∞ de fem sinusoidal de amplitud εgo ) H7.5−6 (capacitor ideal de capacidad C ) por no existir generadores ni capacitores en la espira. En segundo lugar, aunque adoptaremos la hipótesis:
H7.5−9 (la frecuencia es suficientemente baja como para poder suponer que la densidad de corriente J f v se distribuye uniformemente en toda la sección del conductor) que es la definición de régimen de baja frecuencia, si fuese necesario se podría considerar el comportamiento en alta frecuencia: en ese caso habría que tener en cuenta que R y L serán funciones de la frecuencia tal como se expone en el Apartado 7.5.2.4 y, para una variación temporal arbitraria de las magnitudes electromagnéticas, la asignación de un único valor de R y L dejaría de tener sentido. En tercer lugar y finalmente, es necesario tener en cuenta que, por existir movimiento relativo entre la espira y la línea, no se verifica la hipótesis:
H7.5−4 (el conjunto es rígido y estacionario en el medio que lo rodea). Si los campos producidos por la línea fuesen despreciables, podría resolverse el problema en un referencial ligado a la espira respecto al cual todas las fuentes de campos electromagnéticos, cargas y corrientes, estarían en reposo ya que el vacío no aporta fuentes al campo. Como no es este el caso, será necesario considerar conjuntamente los campos creados por dos sistemas de fuentes, la línea y la espira, en movimiento relativo. Como el sistema más complejo es la espira y como, además, los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en el referencial espira, es lógico plantear las ecuaciones de circuito en el referencial espira considerando exclusivamente las cargas y corrientes por ella soportadas (modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica) y ampliar este modelo introduciendo los términos asociados con los campos producidos por la línea. Por otra parte, y por motivos de limitación del alcance de esta obra, asumiremos la hipótesis:
H5.1−1 (todas las velocidades que intervienen son mucho menores que la velocidad de la luz en el vacío)
385
PROBLEMA 7.11
que garantiza que, para calcular los campos producidos por la línea en el referencial espira (que denotaremos con el subíndice “l” y el superíndice prima), es aplicable la transformación galileana, Sección 5.2 de la Parte Teórica, a dichos campos tal como se ven desde el referencial línea (que denotaremos con el subíndice “l”), cuya obtención es fácil. Una vez conocidos los campos debidos a la línea medidos en el referencial espira, su efecto sobre la corriente i (t ) puede tratarse de la misma forma que los campos producidos por la propia espira ya que lo único relevante es el valor de los campos y no qué fuentes los han creado. En consecuencia, la modificación a aplicar consiste en tomar como campo eléctrico E(r) en la expresión [7-113] la suma de los debidos a la espira Ee (r, t ) y a la línea E l (r, t ): E(r, t ) = Ee (r, t ) + E l (r, t )
[1]
lo que nos indica que a la hora de calcular la circulación de [7-113] aparecerán dos términos, correspondientes a cada uno de los campos, en la expresión de la fem ε (t ) de la ecuación [7-138]: [2] Ee (r, t ) + E l (r, t ) · d r = Ee (r, t ) · d r + E l (r, t ) · d r ε (t ) = Γ
Γ
!
"# εL
$
Γ
!
"# εl
$
La primera integral es la contribución a la fem sobre la espira debida a los campos por ella generados y corresponde a la fórmula [7-135] del modelo expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica, de donde se puede escribir: εL (t ) = −L
d i (t ) dt
[3]
en donde los valores positivos de la fem corresponden al sentido de i (t ), es decir, dextrógiro. La segunda integral es justamente el término adicional no contemplado en el modelo. Para calcularla obtendremos la expresión del campo E l (r, t ). Aplicando la transformación galileana [5-18]: E l (r, t ) = El (r, t ) + v ∧ Bl (r, t )
[4]
Los campos El (r, t ) y Bl (r, t ) son los siguientes: a) Campo El (r, t ). Atendiendo a [7-16], este campo consta de dos términos: El (r, t ) = −∇V l (r, t ) −
∂ Al (r, t ) ∂t
[5]
386
PROBLEMA 7.11
El primer sumando es el gradiente del potencial escalar V l (r, t ) que, según [7-1], queda completamente determinado por la distribución de cargas en todo el espacio. El enunciado del problema no da datos suficientes para obtener este término del campo pero, por tratarse de un gradiente, su circulación es nula y no contribuirá a la fem en la espira cuadrada, por lo que su valor no influye en i (t ). El segundo sumando, la derivada temporal del potencial vector Al (r, t ), es el campo de inducción, que tendrá, en general, una circulación no nula sobre la espira que denominaremos εI (t ), y tenderá a producir corrientes en el material conductor del que está formada la misma. Según [7-2], Al (r, t ) queda completamente determinado por la distribución de corrientes en todo el espacio, las cuales están, a su vez, completamente definidas al ser datos la geometría de la línea e I (t ). b) Campo Bl (r, t ). En principio, la componente de la fuerza de Lorentz que depende del campo magnético, expresión [1-1], es irrelevante a la hora de determinar i (t ) ya que las causas de las corrientes en circuitos son las fem, ya sean provenientes de campos electromotores de generadores externos o resultantes de los campos eléctricos generados por las cargas y corrientes del propio sistema a analizar. Sin embargo, en muchos casos es más fácil calcular la mencionada fem externa εI (t ) a partir del campo magnético Bl (r, t ) creado por la línea mediante la expresión [5-23] en lugar de a partir de Al (r, t ), que exigiría calcular la integral sobre las corrientes [7-2] y que, además, en el caso particular que nos ocupa, es una integral divergente.
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Las simplificaciones pertinentes ya se han introducido en el modelo expuesto anteriormente.
3. Resolución 3.1. Basándose en la circulación de los campos eléctricos Según la expresión [7-138], teniendo en cuenta que en el circuito formado por la espira no existen generadores ni capacitores, resulta: 0 = Ri (t ) − ε (t )
[6]
387
PROBLEMA 7.11
donde ε (t ) viene dado por [2]. La contribución εl en dicha expresion puede escribirse, teniendo en cuenta [4] y [5]: ∂ Al (r, t ) [7] · d r + v ∧ Bl (r, t ) · d r εl (t ) = − ∂t !
Γ
"#
Γ
$
εI
"#
!
εM
$
donde εI es la contribución a la fem sobre la espira, supuesta en reposo respecto a la línea, debida exclusivamente a la corriente I (t ) que circula por ésta. Su cálculo lo plantearemos a partir del campo Bl (r, t ) por los motivos expuestos en el punto b) del apartado anterior. Análogamente a como se operó en [7-129]: ⎤ ⎡ ⎢ ∂ ⎥ ∂ Al (r, t ) ⎥ (r, ) ·dr=⎢ ∇ ∧ A = t · d s εI = − − l ⎣ ∂t ⎦ ∂t ⎡
Γ
S
⎤
⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ∂ ⎥ (r, ) =⎢ B t · d s − l ⎢ ∂t ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ S "# $ ! ΦI
v=0
=−
∂ Bl (r, t ) · ∂t
[8]
S v=0
donde ΦI es el flujo abrazado por la espira debido a la corriente I (t ) que circula por la línea. Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, existen dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsección 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En este caso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de inducción son claramente no despreciables. Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de Bl (r, t ) en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con la excepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálculo del campo magnético de una línea indefinida puede obtenerse muy fácilmente aplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoria circular concéntrica con la línea: B l (x , t ) =
μo I (t ) 2πx
[9]
siendo su dirección azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función de I (t ), estando representados ambos por los signos x en la Figura 1.
388
PROBLEMA 7.11
De [8] y [9]:
εI = −
μo d I (t ) 2π d t
r +a
a μo d I (t ) r + a a dx =− ln x 2π d t r
[10]
r
habiéndose escogido d s en el mismo sentido que Bl (hacia dentro del papel) por lo que εI será positiva en sentido dextrógiro. De [7] y [9], y tomando para la fem sentido dextrógiro: μo I (t ) va εM = [v B l (r ) − v B l (r + a )] a = 2π
1 1 − r r +a
[11]
Finalmente, de [2], [3], [7],[10] y [11]: % & d i (t ) va r + a d I (t ) a μo I (t ) − L + − ln ε (t ) = 2π r dt r (r + a ) dt
[12]
La ecuación diferencial pedida se deduce de [6] y [12] que, escribiendo ya la dependencia explícita: r (t ) = r (0) + v t
[13]
quedaría: ( ' d i (t ) va a μo r (t ) + x d I (t ) I (t ) − L + − Ri (t ) = 0 − ln 2π r (t ) dt r (t ) [r (t ) + a ] dt
[14]
3.2. Basándose en la derivada total del flujo magnético Un método alternativo de resolución del problema consistiría en, una vez adoptado el modelo cuasiestacionario e identificado el carácter de circuito de la espira, ecuación [6], calcular la fem total en la misma mediante la expresión: ε (t ) = −
d Φ (t ) dt
[5-22]
siguiendo el procedimiento indicado en la Sección 5.4 de la Parte Teórica. Dado que los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en el referencial espira, es lógico escoger como referencial uno ligado a ella. El campo total B (r, t ) que contribuye al flujo es: B(r, t ) = Be (r, t ) + B l (r, t )
[15]
389
PROBLEMA 7.11
donde B l (r, t ) es el campo magnético debido a la línea medido en el referencial espira, que puede calcularse aplicando la transformación galileana [5-19]: B l (r, t ) = Bl (r, t )
[16]
habiéndose ya calculado Bl (r, t ) en el punto anterior, expresión [9]. El flujo Φ (r, t ) será la suma de los debidos a los campos Be (r, t ) y B l (r, t ): ΦL (t ) =
Be (r, t ) · d s =Li (t )
[17]
S r +a
B l (r, t ) · d s =
Φl (r, t ) =
μo I (t ) r +a μo I (t ) a dx = a ln = 2πx 2π r
r
S
= M (r ) I (t )
[18]
donde, con objeto de simplificar la notación, se ha utilizado el símbolo M para expresar el coeficiente de inducción mutua dado por [7-27] en la Parte Teórica en vez del L i I que estaría más acorde con la nomenclatura allí dada. De [18]: M (r ) =
r +a Φl (r, t ) μo = a ln I (t ) 2π r
[19]
Por tanto, la fem será: d [Li (t )] d [M (r ) I (t )] d ΦL (t ) d Φl (r, t ) − = − =− ε (t ) = − d t d t d t d t ! "# $! "# $ εL
εl
d i (t ) d I (t ) d M (r ) d r = −L −M (r ) −I (t ) = d t d t d r d t ! "# $! "# $! "# $ εL
εI
d i (t ) μo − a = −L dt 2π
εM
%
r +a ln r
&
a d I (t ) v − I (t ) dt r (r + a )
[20]
que coincide con la expresión [12]. Se han indicado mediante llaves inferiores las distintas contribuciones a la fem siguiendo la misma nomenclatura que en el Punto 3.1. El resto de los cálculos serían idénticos a los realizados en el mencionado Punto 3.1.
390
PROBLEMA 7.12
PROBLEMA 7.12 Se tiene una línea conductora cilíndrica infinitamente larga, recorrida por una corriente I (t ) y dispuesta horizontalmente, Figura 1. Por debajo de ella se dispone una espira cuadrada de lado a construida con un alambre delgado de conductividad σ, densidad másica ρm y sección recta S de manera que su plano sea vertical, contenga al eje del cilindro y su lado más próximo sea paralelo a dicho eje y esté a una distancia ro de él. En el instante t = t o se abandona la espira a la acción de la gravedad. Despreciando la autoinductancia del circuito, se pide: Obtener la ecuación diferencial del movimiento de la espira.
Figura 1 Solución
1. Elección del modelo Cabe hacer aquí las mismas consideraciones que las que se han hecho en la elección del modelo del Problema 7.11. Como allí, admitiremos la hipótesis:
H7.1−1 (aproximación cuasiestacionaria) y el carácter de circuito de la espira con las matizaciones allí expuestas. No obstante, existe una diferencia entre ambos problemas: en el presente, la espira está sujeta a una aceleración, mientras que en el otro la velocidad era constante. Teniendo en cuenta que se plantearán las ecuaciones del electromagnetismo desde un referencial inercial, no será posible en este caso escoger un referencial ligado
391
PROBLEMA 7.12
a la espira, por lo que, por razones obvias, se escogerá uno ligado a la línea. Desde ese referencial, las cargas soportadas por la espira estarán sujetas a la aceleración del propio movimiento de la espira, lo que supone que, en general, serán fuentes de radiación. No entra en el alcance de esta obra el discutir las condiciones en las que dichos efectos serían despreciables, de modo que, para poder admitir el modelo cuasiestacionario, nos limitaremos simplemente a suponer que lo son. En definitiva, se despreciarán todos los efectos de radiación, tanto provenientes de las cargas y corrientes soportadas por los conductores como del movimiento de arrastre de la espira. Por otra parte, asumiremos la hipótesis:
H5.1−1 (todas las velocidades que intervienen son mucho menores que la velocidad de la luz en el vacío) que garantiza que es aplicable la transformación galileana, Sección 5.2 de la Parte Teórica, y la expresión [5-25] que permite calcular la fem en la espira a partir de los campos vistos desde el referencial ligado a la línea. Abordaremos ahora la identificación de la cadena de causas-efectos que determinarán el comportamiento del sistema, Figura 2. La corriente I (t ) de la línea produce un campo magnético Bl (r, t ) que contribuye al flujo total Φ (r, t ) abrazado por la espira. La parte de Φ (r, t ) debida a Bl (r, t ) variará en el tiempo debido a la variación de la corriente I (t ) y debido también, por no ser uniforme el campo Bl (r, t ), al movimiento relativo de la espira respecto a la línea. Por otra parte, la corriente de la espira i (t ) produce a su vez un campo magnético BL (r, t ) que también contribuye al flujo Φ (r, t ). La variación temporal de Φ (r, t ) produce una fuerza electromotriz ε (t ) en la espira que está relacionada con la corriente i (t ) a través del modelo de circuito correspondiente. La conjunción de esta corriente con el campo magnético exterior Bl (r, t ) producirá una fuerza mecánica que se superpondrá a la de la gravedad. Esa fuerza resultante y la masa de la espira nos permitirán plantear la ecuación de la dinámica del movimiento pedida.
Figura 2
392
PROBLEMA 7.12
Es de destacar que en la expresión de la fuerza magnética entre dos circuitos filiformes, [4-51], debe excluirse del campo magnético que aparece en dicha fórmula la contribución BL (r, t ) debida al propio circuito, tal como se detalla en la Subsección 4.3.4 de la Parte Teórica. Por ello, para calcular la fuerza sobre la espira, debe considerarse solamente el campo de la línea Bl (r, t ).
2. Búsqueda de posibles simplificaciones Aunque ya se han realizado varias simplificaciones en el apartado anterior, todavía no se ha utilizado la información dada en el enunciado relativa a poder despreciar la autoinductancia de la espira. Esta hipótesis implica despreciar el bucle de realimentación de la Figura 2 que une el campo propio de la espira BL (r, t ) con el flujo Φ (r, t ), de modo que para el cálculo de este último y de la fem en la espira solo se considerará el campo de la línea Bl (r, t ).
3. Resolución Lo primero que haremos es calcular la expresión del campo Bl (r, t ) en todo el espacio y particularizarlo posteriormente a la región de la espira. Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, existen dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsección 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En este caso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de inducción son claramente no despreciables. Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de Bl (r, t ) en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con la excepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálculo del campo magnético producido por una línea indefinida puede obtenerse muy fácilmente aplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoria circular C concéntrica con la línea, Figura 1: μo I (t ) B l ρ, t = 2πρ
[1]
siendo su dirección azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en función de I (t ). La expresión general de la fem inducida se obtiene de [5-25] particularizándola a este caso: ∂ Bl (r, t ) [2] · d s + u (t ) ∧ Bl (r, t ) · d r ε (t ) = − ∂t Σ
C
393
PROBLEMA 7.12
Figura 3
en donde: u (t ) =
d r (t ) ax dt
[3]
y el segundo sumando representa la aportación a esa fem del movimiento relativo entre la línea y la espira. Teniendo en cuenta [1] y la Figura 3 podemos escribir, tomando como sentido positivo de la fem el sentido dextrógiro: −
∂ Bl ·ds=− ∂t
Σ
r +a
r +a μo I μo a d I ln adρ = − 2πρ 2π d t r
[4]
r
(u ∧ Bl ) · d r = C
∂ ∂t
dr B l (r ) d l − dt
NP
dr =a dt
dr B l (r + a ) d l = dt
QM
μo I d r μo I a2 μo I − = 2πr 2π (r + a ) d t 2π r (r + a )
[5]
De [2], [4] y [5] se llega a: μo a ε= 2π
dI r +a dr a − ln I d t r (r + a ) d t r
[6]
Por su parte, teniendo en cuenta el tratamiento de circuitos cuasiestacionarios expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica, puede dibujarse el circuito equivalente mostrado en la Figura 4 en el que ε (t ) es la fem sobre la espira calculada en [6] y R es su resistencia.
394
PROBLEMA 7.12
Figura 4
La ecuación de circuito a aplicar se deduce de [7-138] eliminando los términos de la fem del generador y de la capacidad ya que en la espira no hay ni generadores ni capacitores: ε (t ) = Ri (t )
[7]
La resistencia R de la espira es la suma de las de sus cuatro lados, que se deducen de [7-125]: R =4
a σS
[8]
De [6]-[8]: ε (t ) μo σS = i (t ) = R 8π
dI r +a a dr − ln I d t r (r + a ) d t r
[9]
La fuerza sobre la espira debida a la conjunción de esa corriente y el campo Bl viene dada por [4-51]: F (t ) = i (t )
d r ∧ Bl (r, t ) = C
d r ∧ Bl + i
=i MN
d r ∧ Bl + i
NP
= FM N + FN P + FPQ + FQM
d r ∧ Bl + i
PQ
d r ∧ Bl = QM
[10]
Todas estas fuerzas, teniendo en cuenta los sentidos de Bl y de d r, tienden a abrir la espira, Figura 5. Debido a la simetría, las contribuciones a las fuerzas FM N y FPQ tienen el mismo módulo para cada valor de ρ, por lo que no contribuyen al movimiento de la espira. La resultante, por tanto, es:
395
PROBLEMA 7.12
z
F NP
N
ax
P
F MN
F PQ
Bl
i(t) M
Q
F QM
Figura 5 a
a B l (r, t ) d l + i (t ) ax
F (t ) = −i (t ) ax 0
= −i (t ) a
B l (r + a , t ) d l = 0
μo I (t ) a ax 2π r (r + a )
[11]
y de [11] y [9]: %
μo a F (t ) = − 4π
&2
dI r +a dr σSI a − ln I ax = F ax r (r + a ) d t r (r + a ) d t r
[12]
z
r (t) N
P
ax F
M
mg a x
Q
Figura 6 La ley dinámica, teniendo en cuenta la Figura 6, será: )
d 2r Fx = F + m g = m dt2
[13]
y, finalmente, la ecuación diferencial del movimiento de la espira pedida será, de [12] y [13]:
396
PROBLEMA 7.13
%
μo a mg − 4π
&2
dI dr r +a σSI a d 2r − I ln =m r (r + a ) d t r (r + a ) d t r dt2
[14]
donde la masa de la espira se calcula como: m = 4Sa ρm
[15]
La ecuación diferencial [14] puede escribirse en forma más compacta como: d 2r G I (t ) d I (t ) r + a G I 2 (t ) a d r − ln −g =0 + d t 2 r 2 (r + a )2 d t r (r + a ) d t r
[16]
donde se han agrupado algunas de las magnitudes constantes en un único parámetro G : % &2 aσ μo [17] G= 8π ρm
4. Discusión del resultado La ecuación diferencial [16] corresponde a lo que pide el enunciado del problema. Se trata de una ecuación no lineal de segundo orden. Para conocer la ecuación r (t ) del movimiento de la espira habría que integrar dicha ecuación diferencial, para lo que se utilizarían las condiciones iniciales r (t o ) = ro y (d r /d t ) (t o ) = 0, dadas en el enunciado (la segunda condición está dada implícitamente cuando se dice que en t = t o la espira es abandonada a la acción de la gravedad, por lo que debe entenderse que parte del reposo).
PROBLEMA 7.13 Se arrollan N vueltas de hilo conductor a lo largo de un contorno plano y cerrado arbitrario que encierra un área S . La bobina así formada tiene una resistencia R y un coeficiente de autoinducción L , estando el conjunto inmerso en un campo magnético externo uniforme, perpendicular a dicho plano y de módulo B e (t ) = Bo cos ωt . En esas condiciones se hace girar dicha bobina alrededor de un eje contenido en su plano con una velocidad angular igual a la frecuencia angular ω del campo B e (t ), verificándose que en t = 0 el vector superficie S de la bobina tiene la misma dirección y sentido que Be en ese instante. Si se conectan los terminales de la bobina a las armaduras de un condensador de capacidad C mediante cables de un material conductor perfecto, se pide: La expresión de la corriente que atraviesa la bobina en función del tiempo una vez alcanzado el régimen estacionario.
