97852673 Les Espaces de Sobolev

Université Ibn Zohr Faculté des sciences Agadir Département de Mathématiques Projet de fin d’études Section sciences mathématiques

Sujet :Les espaces de Sobolev Participants

AABIDA M’barek MAZID Sehail

BOUNACER Hamza WAHROUR Rachid

Encadrant Prof : EL MENNAOUI Omar JUIN 2012

Projet de fin d’étude SM6

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Table des matières 1 Préliminaires 1.1 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Notation et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Suites régularisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Topologie définie par une une famille de semi-normes 1.1.5 Existance des fonction de classe C ∞ . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les espaces D et Dk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 L’espace des fonctions tests D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 L’espace DK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Système fondamental de voisinage de 0 dans D K (s.f.v) . 1.2.4 La topologie de D=D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Convergence dans D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Distributions et Transformation de Fourier 2.1 Espace de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 La convergence dans D 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 La topologie de D 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés topologiques de D 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Ensembles bornés et Ensembles compacts dans D 0 (Ω) 2.3 Opérations Sur Les Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Produit d’une distribution par une fonction C ∞ . . . . 2.3.2 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Derivée d’une distribution : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Les distributions régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Transformation de Fourier dans L1 (Rd ) . . . . . . . . . . . 2

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2 2 2 3 4 4 6 7 8 8 8 9 9 10

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12 12 13 13 13 14 15 15 16 16 17 19 19

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES

2.4.2 Transformation de Fourier dans L2 (Rd ) 2.5 Espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 L’espace S 0 des distributions tempérées . . . . 2.6.1 Transformation de Fourier dans S 0 . .

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25 27 29 30

3 Espace de Sobolev W 1,p (Ω) 3.1 Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,p 3.2 L’espace W0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 32 36

1,p

3.3 L’espace dual de W0 (Ω) . . . . . . 3.4 Théorème de densité . . . . . . . . . 3.5 Les injections de Sobolev . . . . . . 3.5.1 Cas ou` Ω = RN . . . . . . . . . 3.5.2 Cas ou` Ω ⊂ RN . . . . . . . . . 3.6 Probleme de Dirichlet homogène 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Indications et solutions . . . . . . . .

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4 Les espaces W m ,p 4.1 Les espaces de Sobolev en dimention 1 . . . . . . m ,p 4.2 L’espace W0 (I ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Les espaces de Sobolev en dimention N . . . . . . 4.3.1 Définition et Propriétées élémentaires . 4.3.2 Propriétées élémentaires . . . . . . . . . . . 4.4 L’espace H m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 L’espace H s (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exemple d’applications des espaces de sobolev 4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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37 37 38 38 39 39 41 43

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46 46 49 49 49 50 51 52 56 57 58 59

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Résumé

Nous introduisons ici les principaux résultats concernant les espaces de Sobolev dans l’espace euclidien . Nous commencerons par définir formellement les espaces de Sobolev. Nous aborderons ensuite les résultats concernant les plongements et les injection de Sobolev.

Chapitre 1 Préliminaires 1.1

1.1.1

Espaces vectoriels topologiques

Notation et rappels

Etant donné un entier n ≥ 1,les éléments de Nn sont appelés multi-indices.Pour α = (α1 ,α2 ,.....,αn ) ∈ Nn le nombre |α| = α1 +α2 +.....+αn est appelé longeur du multi-indice α.pour k compris entre 1 et n, on note l’opérateur de dérivation par rapport à la k-ième variable par ∂k =

∂ ∂ xk

et α

∂ α = ∂1 1 ......∂nαn =

α

∂ |α| α

α

∂ x1 1 ∂ x2 2 .....∂ xn n

Soit k un entier supérieur à 1.On dit que f : Ω 7→ K et de classe C k si toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues jusqu’à l’ordre k.L’ordre dans lequel sont effectuées les dérivation est indifférent d’après le théorème de Schwarz.on note C k (Ω) l’ensemble des fonctions de classe C k sur Ω . On dit que f : Ω 7→ K et de classe C ∞ si elle est de classe C k sur Ω pour chaque k ≥ 1.On pose C ∞ (Ω) l’ensemble des fonctions de classe C ∞ sur Ω. Noté d’près Lauran Schwartz "(Ω) = C ∞ (Ω). On T a : C ∞ (Ω) ⊂ ... ⊂ C k (Ω) ⊂ ... ⊂ C ( Ω) ⊂ C 0 (Ω) .Nous rap∞ pelons que "(Ω) = C (Ω) = k ≥0 C k (Ω). 2

1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

WAHROUR Rachid

– On désigne par L p (Ω) l’espace des fonctions de puissance p integrable à R 1 valeurs dans K.Muni de la norme k f kp = [ Ω | f (x )|p ] p ,L’espace L p (Ω) est p

un espace de Banach.si p ≥ 1,on désigne par L l oc (Ω) l’espace des fonctions appartenant à L p (K ) pour tout compact K de Ω. – Définition : soit f une fonction réelle définie sur un ouvert Ω ⊂ Rn ,on appelle support de f l’ensemble s u p p (f ) = {x ∈ Ω : f (x ) 6= 0}

1.1.2

Suites régularisantes

Définition 1.1.1. soit f ∈ L 1l oc (Rn ) une fonction localement integrable sur Rn la fonction R R f (x ) = R n f (x −y )αε (y )d y = R n f (x )αε (x −y )d y est dite la convolution de f par αε notée par f ∗ αε ou αε ∗ f . On appelle suite régularisante ,toute suite(ρn ) de fonction telle que,pour tout n ∈ N Ron ait ρn ∈ D(Rm ), s u p p (ρn ) ⊂ B (0,1), R n ρn = 1, ρn ≥ 0 sur Rn . Exemple : soit la fonction suivante ( exp( |x |21−1 ) si|x | ≤ 1 est C ∞ à support la boule fermée de centre 0 et de f (x ) = 0 si|x | > 1 rayon 1 dans Rn .En divisant ρ par l’integrale deρ sur Rn ,on obtient une autre fonction C ∞ de support B 1 (0),notée α telle que R α(x )d x = 1.Pour tout ε > 0,on définit Rn

αε (x ) = ε1n α( xε ).On voit clairement que : 1)αε ∈ C c (Rn ). 2)RLe support de αε est B ε (0). 3) R n αε (x )d x = 1.

Proposition 1.1.1. :soit f ∈ C (Rm ),alors ρn ∗ f → f uniformement sur tout compact de Rm . Théorème 1.1.1. soit f ∈ L p (Rm ) avec 1 < p < ∞,alors ρn ∗ f → f dans L p (Rm ). Preuve 1.1.1. Soit " > 0.D’après le théorème de densité,il existe f 1 ∈ C 00 (R m ) telle que k f − f 1 kL p < ".D’aprés la proposition au dessus on sait que ρn ∗ f 1 → f 1 uniformement sur tout compact.D’autre part on a : s u p p (ρn ∗ f 1 ) ⊂ B (0, 1 ) + s u p p (f 1 ) ⊂ K (˙K compact fixé).Par conséquent on en n

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1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

WAHROUR Rachid

déduit que : lim kρn ∗ f 1 − f 1 kL p (R m ) = 0. n →+∞

Enfin on écrit : ρn ∗ f − f = [ρn ∗(f − f 1 )]+(ρn ∗ f 1 − f 1 )+( f 1 − f ) . d’où il résulte que : kρn ∗ f − f kL p (R m ) ≤ 2k f − f 1 kL p (R m ) +kρn ∗ f 1 − f 1 kL p (R m ) . on a donc : lim supkρn ∗ f − f kL p (R m ) ≤ 2", ∀" > 0

n →+∞

i.e lim supkρn ∗ f − f kL p (R m ) = 0. n →+∞

1.1.3

Semi-normes

Définition 1.1.2. On dit qu’une application p : E 7→ R est une semi-norme si pour chaque x ,y ∈ E et λ ∈ K, on a : - p (x +y ) ≤ p (x )+p (y ). − p(λ) = |λ|p (x ). Proposition 1.1.2. : soit E un K espace vectoriel. si p est une semi-norme sur E alors : 1- p (0) = 0. 2- p (x ) ≥ 0. 3- |p (x )−p (y )| ≤ p (x −y ). Exemple : soit κΩ l’ensemble des parties compactes de Ω. 1- considérons l’espace C (Ω) des fonctions continues sur Ω.pour chaque compact K ∈ κΩ ,l’application ρK : C (Ω) 7→ R définie,pour chaque f ∈ C (Ω),par ρK (f ) = supx ∈K | f (x )| e s t u n e s e m i −nor m e . 2−soi t k∈ N∗ .Pour chaque K ∈ κΩ .l’application ρK : C k (Ω) 7→ R Définie pour chaque f ∈ C k (Ω), ρK (f ) = supx ∈K ,|α|≤k |∂ α f (x )| e s t u n e s e m i −nor m e . 3 − pou r c ha q u e k∈ N∗ et chaque K ∈ κΩ . l’application ρk ,K : C ∞ (Ω) 7→ R définie pour chaque f ∈ C ∞ (Ω),par ρk ,K (f ) = supx ∈K ,|α|≤k |∂ α f (x )| e s t u n e s e m i −nor m e . d é f i n i t ion : on d i t q u 0 u n e f a m i l l e (pi )i ∈I de semi-normes sur un espace E est séparante si, pour chaque x ∈E non nul,il existe i∈I tel que p i (x ) > 1

1.1.4

Topologie définie par une une famille de semi-normes

Soit E un espace vectoriel et (p i )i ∈ I une famille séparnte de semi-normes sur E.Etant donnés un élément x 0 ∈ E ,un sous-ensemble fini non vide I n ⊂ I et Projet de fin d’étude SM6

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1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

WAHROUR Rachid

un reel r > 0,on note Vn (x 0 ,r ) = {y ∈ E : maxi ∈I p i (x 0 −y ) 0 tels que Vn (x 0 ,r ) ⊂ O Les ensembles de la forme Vn (x 0 ,r ) sonts des ouverts et jouent un role analogue à celui des boules ouverts dans les espaces métriques. Les sous-ensemble de E de la formeVn (x 0 ,r ) sont des fermés et jouentun role analogue à celui des boules fermées dans les espaces métriques. Définition 1.1.4. On appelle topologie sur E déterminée par la famille (p i )i ∈ I celle dont les ouverts sont définis précédement. Proposition 1.1.3. La topologiee déterminée par une famille séparante de seminormes(p i )i ∈ I est séparée. Définition 1.1.5. Un espace vectoriel muni d’une topologieT est un espace vectoriel topologique (E.v.t) si : 1) (x ,y ) 7→ x +y est une application continue de E × E dans E. 2) (λ,x ) 7→ λx est application continue de K × E dans E. 3 - La sructure d’espace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T si les axiomes 1) et 2) sont vérifiées. Théorème 1.1.2. un espace vectoriel E muni de la topologie engendrée par une famille séparente de semi-normes est un espace vectoriel topologique. *-Etablissons la continuité en un point (a,b).Fixons un indice i 0 ∈ I et un reel ε > 0.Pour(x ,y ) ∈ (E × E ) nous avons : p i 0 (x +y )−(a +b )≤ p i 0 (x −a )+p i 0 (y −b ). Il s’en suit que p i 0 (x +y )−(a +b )≤ ε dès que p i 0 (x −a ) ≤ ε2 et p i 0 (y −b ) ≤ ε2 D’où la continuité de l’addition au point (a,b) *-Pour la multiplication externe (λ,x ) 7→ λx .Etablissons sa continuité en un point (λ,a ).Fixons un indice i 0 ∈ I et un reel ε > 0.Pou r (λ,x ) ∈ K × E ,nous avons : p i 0 (λx )−(αa )≤ |λ−α|p i 0 (x )+|α|p i 0 (x −a ) Fixons un réel r > 0 tel que |α|r ≤ ε2 .Nous observons que pour x vérifiant p i 0 (x − a ) ≤ r ,nous avons p i 0 (x ) ≤ p i 0 (a )+r et donc |λ−α|p i 0 (x ) ≤ |λ−α|(p i 0 (a )+r ).Fixons Projet de fin d’étude SM6

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1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

WAHROUR Rachid

alors un réel η tel que η(p i 0 (a )+r ) ≤ ε2 .Pour (λ,x ) ∈ K × E vérifiant |λ−α| ≤ η et p i 0 (x −a ) ≤ r nous avons p i 0 (λx −αa ) ≤ ε. D’où la continuité de la multiplication au point (α,a ). On en déduit ainsi que : 1- Les translations et les homothéties ,de rapport 6= 0 ,sont des homomorphismes. 2- L’ensemble V(a ) des voisinages d’un point a ∈ E est l’image par la translation Ta de l’ensemble des voisinages V(0) de O.La topologie d’un espace vectoriel est connue dès que l’on connait les voisinage de 0 ; V(a ) = Ta (V(0))

1.1.5

Existance des fonction de classe C ∞

Si Ω ⊂ R n est un ensemble ouvert.Nous rappelons que : C ∞ (Ω) =

\

C k (Ω).

k ≥0

Proposition 1.1.4. si u ∈ C (Ω),si x ∈ s u p p (u ) alors il existe une suite (x n ) ⊂ Ω telle que u (x n ) 6= 0,∀n ∈ N et lim x n = x . n 7→∞

L’objectif est de construire des fonctions de classe C ∞ à support compact ou ayant d’autres propriétés qui permet,en particulier de séparer deux fermés disjoints.Ces fonctions seront utilisées dans les techniques de convolution et de régularisation de fonctions et de distributions. S Définition 1.1.6. Si k ∈ N {∞} l’espace C 0k (Ω) est formé par toutes les fonctions u ∈C k (Ω) ayant comme support un sous-ensemble compact de Ω.Les éléments de C 0∞ (Ω) notés dans la suite par D(Ω), sont dits fonctions test/ou fonctions d’essai. Toute fonction u ∈ C 0k (Ω) peut être étendue à une fonction de C 0k (R n ).On peut donc voir C 0k (Ω) comme un sous-espace de C 0k (R n ). Si M ⊂ R n est un ouvert on peut définir C 0k (M ) comme l’ensemble des éléments de C 0k (R n ) ayant le support dans M. Lemme 1. : Il existe une fonction φ ∈ D(R n ) telle que φ(0) > 0 et φ(x ) ≥ 0 pour tout x ∈ R n . ( 0 si t ≤ 0 est de classe C ∞ sur R On Preuve 1.1.2. on a la fonction : f (x ) = −1 t si t > 0 e en déduit que la fonction Projet de fin d’étude SM6

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1.2. LES ESPACES D ET DK

WAHROUR Rachid

φ(x ) = f (1−kx k2 ) a les propriétés demandées. Par translation et changment d’echelle on obtient que,pour tout δ > 0 la fonc0 tion x 7→ φ( x −x ) est positive sur R,strictement positive en x 0 et à support dans la δ boule de rayon δ centrée en x 0 .L’existance d’une telle fonction permet, en particulier de prouver un résultat classique qui est utilisé dans le calcul des variations. Lemme(2. Il existe une fonction croissante Θ ∈ C ∞ (R) telle que o si x ≤ 0 Θ(x ) = 1 si x ≥1 ( 0 si x ≤ 0 est de classe C ∞ sur Preuve 1.1.3. on a vu que la fonction f (x ) = −1 x si x ≥ 0 e R. De plus nous savons évidement que s u p p (f ) = [0,∞[ et 0 < f (x ) ≤ 1 pour tout x ∈ R. Rx Définissons alors g (x ) = f (x )f (1 −x ) et G (x ) = 0 g (t )d t on a 0 ≤ g (x ) ≤ 1 pour tout x ∈ R et s u p p (g ) ⊂ [0,1].De plus g 6= 0 car g ( 12 ) = [ f ( 12 )]2 6= 0. G (x )

La fonction Θ(x ) = G (1) est donc de classe C ∞ sur R,elle est croissante et vérifie les conditions ( 0 si x ≤ 0 Θ(x ) = 1 si x ≥ 1 Proposition 1.1.5. soit a < b < c < d des réels.Alors il existe ρ ∈ D(R) telle que 1)ρ(x ) = 1 ∀x ∈]c ,d [. 2)s u p p (ρ) ⊂]a ,b [. 3)0 ≤ ρ(x ) ≤ 1 ∀x ∈ R −a −x Preuve 1.1.4. Posons ρ(x ) = Θ( xc −a )Θ( bb −d ) où Θ est la fonction constuite auparavant. ( ˜ ) = 1 si kx k < r ρ(x Corollaire 1. soient 0 < r < R et n ∈ N ∗ .Il existe ρ˜ ∈C ∞ (R n ) telle que ˜ ) = 0 si kx k > R ρ(x

˜ ) = ρ(kx k2 ) où ρ a été constuite auparavant Preuve 1.1.5. on peut prendre ρ(x avec −a = b = R 2 et −c = d = r 2

1.2

Les espaces D et Dk

Soit Ω un ouvert de R n ,K un compact de R n Projet de fin d’étude SM6

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1.2. LES ESPACES D ET DK

1.2.1

WAHROUR Rachid

L’espace des fonctions tests D(Ω)

On appelle D(Ω) l’espace vectoriel des fonctions de classe C ∞ sur Ω à support compact dans Ω. i e :D(Ω) = {ϕ : R n → C : s u p p (ϕ) â Ω e t ϕ ∈ C ∞ (Ω).} soit Ω ⊂ R n un ouvert quelconque.Alors D(Ω) est dense dans L P (Ω) pour 0 < p < ∞. Preuve 1.2.1. soit f ∈ L p (Ω),ε > 0 et f 1 ∈ C 00 (R) tels que k f − f 1 kL p (Ω) < ε.on considère ( la fonction f 1 définie par : f (x ) si x ∈ Ω f1 = 0 si x ∈ R m \Ω de sorte que f 1 ∈ L p (R m ).D’après le théorème 1.1.3 on a : lim kρn ∗ f 1 − f 1 k = 0.D’autre n →∞ part s u p p (ρn ∗ f 1 ) ⊂ B (0, n1 )+s u p p (f 1 ⊂ Ω) pour n assez grand.

soit u n = (ρn ∗ f 1 )|Ω .Alors pour n assez grand,u n ∈C 00 (Ω) et de plus ku n − f 1 kL p (Ω) → 0 donc pour n assez grand,ku n − f kL p (Ω) < 2ε.

1.2.2

L’espace DK

Définition 1.2.1. On appelle DK l e sou s e s p a c e d e D(Ω) formé des fonctions ϕ ayant leurs supports dans le compact K de R n . Définition 1.2.2. (Convergence dans DK )Soi t (ϕn ) ⊂ D K ,on dit que ϕn converge vers 0 dans D K si les fonctions ϕn convergent vers 0 uniformement sur R n ,ainsi que chacune de leurs dérivées. i.e : sup |D p ϕ(x )| −−−→ 0, ∀p ∈ N n x ∈R n avec : D p ϕ(x ) =

x →+∞

∂ p 1 +...+p n (∂ x 1 )p 1 ...(∂ x n )p n

ϕ(x 1 ,...,x n ).

Remarque 1. cette topologie est définie par la famille des semi-normes Np :Np (ϕ) = sup |D p ϕ(x )|, p=(p1 +...+p n ).

x ∈R n

1.2.3

Système fondamental de voisinage de 0 dans D K (s.f.v)

Un s.f.v de la fonction 0 dans DK e s t d e f i n i p a r l e s V(m,ε, K ) avec m ∈ N ,ε > 0 Projet de fin d’étude SM6

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1.2. LES ESPACES D ET DK

WAHROUR Rachid

V (m ,ε, K ) = {ϕ ∈ D K : N p (ϕ) ≤ ε,|p | ≤ m } avec |p | = p 1 +...+p n . DK e s t àb a s e d énom b r a b l e d 0ou v e r t s , l oc a l e m e n t con v e x e s e t com p l e t s .

1.2.4

La topologie de D=D(Ω)

Pour définir la topologie de D,on aura besoin des ensembles V ({m },{ε},{Ω}). - Soit Ω = {Ω0 = ;,Ω1 ,...,Ωk ,...} une suite infinie d’ouverts de R n telle que : i-Ωk −1 ⊂ Ωk . ii-∀K compact de R n ,∃k 0 ∈ N tel que : ∀k ≥ k 0 on ait : Ωk ⊃ K . - Soit (εk )k ≥0 une suite de nombre > 0 décroissante telle que εk → 0(k → +∞). - Soit (mk )u n e s u i t e d e nom b r e s ≥ 0, croissante telle que :m k → +∞(k → +∞). Alors : V ({m },{ε},{Ω}) = {ϕ ∈ D : ∀k ∈ N ,∀x 3 Ωk ,|D p ϕ(x )| ≤ m k }. Lorsque les suites (m k ),("k ),(Ωk ) varient de toutes les façons possibles,les ensembles V ({m },{"},{Ω}) définissent un s.f.v de 0 dans une topologie compatible avecla structure d’espace vectoriel de D.- La topologie ainsi définie est à base non dénombrable(les suites des nombres ne forment pas un ensemble dénombrable). -Si K est un compact fixe de R n ,cette topologie induit sur DK l a t opol o g i e d éj a d é f i n i e . −On p e u t s a n s mod i f i e r l a t opol o g i e d e D p r e n d r e u n e f oi s pou r t ou t e s u n e m êm e s u i t e
à condition que Ωk soient compacts,par exemple on peut prendre Ωk = B (0,k ) k .(kx k < k) - Un système fondamental de semi-normes définissant la topologie de D est consti

|D p ϕ(x )|
sup . tué par les N {m },{"} définie par N {m },{"} (ϕ) = sup "k k kx k≥k ,|p |≤m k


On choisissant Ωk = B (0,k ) k V {m },{"},{Ω} est définie par : N {m },{"} (ϕ) ≤ 1. En effet : ϕ ∈ V (m ,") ⇒ ∀k ,∀x 3 Ω = B (0,k ) on a : |D p ϕ(x )| ≤ "k pour |p | ≤ m k . ⇒ ∀k : |D p ϕ(x )| sup ≤1 "k kx k≥k ,|p |≤m k
En passant au sup sur k on obtient : N {m },{"},{Ω} ≤ 1.

1.2.5

Convergence dans D

Soit (ϕ j ) j ≥0 une suite d’élément de D,posons K j = s u p p ϕ j .On dit que (ϕ j ) j ≥0 converge dans D vers ϕ ∈ D si : 1) Tous les K j son t con t e n u s d a n s l e m êm e com p a c t K . Projet de fin d’étude SM6

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1.3. EXERCICES

WAHROUR Rachid

2)kD α ϕ j −D α ϕk −−−→ 0,dans C ,∀α ∈ N n j →+∞

1.3

Exercices

Exercice 1. Soit ρ une fonction continue sur R telle que 0 ≤ ρ(x ) ≤ 1.ρ(x ) = 1 si |x | ≤ 1 et ρ(x ) = 0 si |x | ≥ 2.on pose ρn (x ) = ρ( nx ),pour n = 1,2,.... on munit R de la mesure de Lebesgue.Soit f ∈ L 1 (R).on pose f n = ρn ∗ f . i) Montrer que le support de ρn est contenu dans [−2n,2n].
ii) Montrer que Rf n ∈ L 1 (R), n R= 1,2,n.... iii) Montrer que R f n (x )d x → R f (x )d x . Exercice 2. Soit (f n ) la suite de fonctions de D(R) définie par :
f n (t ) = 21n exp − 1|t |2 si |t | < n ,o sinon. 1−

n2

(k )

- Montrer que,pour chaque k ≥ 0,la suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur tout compact vers une fonction g ∈ D(R) que l’on précisera.A-t-on convergence dans D(R) ? Exercice 3. i)- Soit φ ∈ D(R n ) et h ∈ R n \{0}.Pour t ∈ R \{0},on pose : φ(x +t h)−φ(x ) . φt (x ) = t Montrer que φt ∈ D(R n ) pour t 6= 0. ii)- Montrer que lorsque t tend vers 0,φt converge dans D(R n ) vers une fonction que l’on déterminera. SOLUTIONS DES EXERCICES Solution 1 : i)- Rappelons que le support d’une fonction et le complémentaire du plus grand ouvert où cette fonction est nulle.Si x 3 [−2n,2n].On a | nx | > 2 ;par consequent ρn (x ) = ρ( nx ) = 0.ce qui implique par définition que : s u p p (ρn ) ⊂ [−2n,2n] ii)- | f n (x )| = |ρn (x )f (x )| ≤ |f (x )| d’ou le résultat demandé. iii)- f n ∈ L 1 (R) et | f n | ≤ f , ∀n ≥ 1,avec f ∈ L 1 (R).Il reste à montrer que f n (x ) → f (x ) pour tout x ∈ R.En effet ,soit x ∈ R et p ∈ N tels que |x | ≤ p .Pour tout n ≥ p
on a ρ(x ) = 1, car |x | ≤ n et par suite f n (x ) = f (x ) pour tout n ≥ p .Autrement dit,x étant fixé,il existe p ∈ N tel que | f n (x )− f (x )| = 0 pour tout n ≥ p c’est à dire que f n (x ) → f (x ) pour tout x ∈ R. R R Alors d’aprés le théorème de la convergence dominée : R f n (x )d x −−−→ R f (x )d x . n →+∞

Solution 2 : Projet de fin d’étude SM6

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1.3. EXERCICES

WAHROUR Rachid

1 Introduisons la fonction Θ(t ) = exp(− 1−t 2 ) si |t | < 1,0 si non, qui est un élément

de D(R).On a f n (t ) = 21n Θ( nt ).On en déduit que (k )

f n (t ) = 21n × n1k Θ(k ) ( nt ). En particulier,si K est n’importe quel compact de R,on a sup| f n(k ) (x )| ≤

kΘ(k ) k∞ 2n n k

x ∈K

.

(k )

Ceci prouve que f n converge uniformément sur tous les compacts de R vers la fonction nulle (le terme en 21n n’est donc utile que pour k=0).En revanche,la convergence n’a pas lieu dans D(R) : si tel était le cas ,les supports de (f n ) seraient tous inclus dans un même compact K.Et il est clair que s u p p (f n ) = [−n,n]. Solution 3 : i)- Il suffit de remarquer que φt est à support compact :si le support de φ est contenu dans la boule B (0,M ) alors le support de φt est contenu dans la boule B (0,M +|t |khk). ii)- Observons d’abord que pour |t | ≤ 1,le support de toutes les fonctions φt est contenu dans un même compact à savoir K = B (0,M + |t |khk).Nous allons ensuite appliquer la formule de Taylor avec reste integral pour trouver la limite de φt .Pour α un multi-indice,on applique cette formule à l’ordre 2 pour la fonction g = ∂ α φ entre les points x et x+th.Ontrouve : n Z 1 n X X ∂2
α ∂ α 2 (∂ φ)(x )+t h i h j (1−u )h i h j (∂ φ)(x +u t h)d u . (∂ α φ)(x +t h)−∂ α φ(x ) = t hi ∂ xi ∂ xi ∂ x j 0 i =1

i =1

En notant M = sup|β |≤|α|+2 sup |∂ β φ(y )|,on obtient que pour tout x dans R n on y ∈R n

a n n Z 1 X X
∂ φ α hi (x ) ≤ M |t |khk2 (1−u )d u . (∂ φ)(x )−∂ α ∂ xi i =1 i ,j =1 0 Pn ∂φ Ceci prouve la convergence uniforme de ∂ α φt vers ∂ α ( β =1 h i ∂ x ).Ainsi,φt converge i Pn ∂φ dans D(R n ) vers la fonction x 7→ i =1 h i ∂ x (x ). i

Projet de fin d’étude SM6

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Chapitre 2 Distributions et Transformation de Fourier 2.1

Espace de distribution

Dans tout les paragraphes qui suivent Ω désigne un ouvert de Rd . Définition 2.1.1. Une distribution T est une forme linéaire sur D(Ω), dont la restriction à chaque D K (Ω), K compact de Rd , est continue. Où encore une forme linéaire continue sur D(Ω) . Remarque 2. : 1-Une application T : D(Ω) −→ C ϕ 7−→< T,ϕ >= T (ϕ) est une distribution si : i- T est linéaire : ¨ =< T,ϕ1 > + < T,ϕ2 > , ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) < T,λϕ >= λ < T,ϕ>∀λ∈ C ii-T est continue : Si (ϕn ) est une suite d’elements de D(Ω) telle que : ¨

Il existe K compact fixe de Rd tel que :Supp(ϕn ) ⊂ K ,∀n k D P ϕn k∞ −−→ 0 ∀ p multi-indice dans Nd n →∞

12

2.2. PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DE D 0 (Ω)

BOUNACER Hamza

Alors converge vers 0 (dans C). 2- Les distributions sur un ouvert Ω forment un espace vectoriel qu’on désigne par D 0 (Ω), plus précisément D0 (Ω) est le dual toplogique de D(Ω).

2.1.1

La convergence dans D 0 (Ω)

Définition 2.1.2. Soit (Tn ) une suite de distributions, on dit que (Tn ) converge vers 0 dans D 0 (Ω) si ∀ϕ ∈ D(Ω), lim < Tn ,ϕ >= 0 n →∞

Remarque 3. Si B est borné dans D(Ω) et si T est une distirbution alors T est borné sur B, et parsuite T (B ) := Su p ϕ∈B | T (ϕ) | a bien un sens, de plus on a la caractérisation suivante de la convergence dans D 0 (Ω) : (Tn ) converge vers 0 dans D 0 (Ω) si Tn (B ) converge vers 0 quel que soit B ensemble borné de D(Ω) .

2.1.2

La topologie de D 0 (Ω)

Le critère de convergence précédent définie sur D 0 (Ω) une topologie ayant pour système fondamental de semi-normes les N B (T ) := T (B ) = Su p ϕ∈B | T (ϕ) | . Un système fondamental de voisinages de 0 pour cette topologie est formé par les V (B,") définies par V (B,") = {T ∈ D 0 (Ω) : N B (T ) ≤ "} avec B ensemble borné de D(Ω) et " réel ≥ 0. On admet le résultat suivant : D 0 (Ω) muni de cette topologie est un espace vectoriel topologique localement convexe, à base non dénombrabele d’ouverts .

2.2

Propriétés topologiques de D 0 (Ω)

Théorème 2.2.1. Le dual topologique D’(Ω) est complet .

Projet de fin d’étude SM6

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2.2. PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DE D 0 (Ω)

BOUNACER Hamza

Preuve 2.2.1. soit (Tn ) une suite de Cauchy dans D’(Ω). ⇒ ∀ B ensemble borné dans D(Ω)," réel strictement positif, ∃n0 ∈ N tel que : ∀ i, j ≥ n 0 on ait : |Ti (ϕ)−Ti (ϕ)| ≤ " ∀ϕ ∈ B Alors la suite des nombres complexes (Tn (ϕ)) est de Cauchy, donc elle converge vers une limite notée T(ϕ). On construit ainsi une forme linéaire sur D(Ω) verifiant |T(ϕ)-Tn (ϕ)|≤" , or Tn est une distribution donc elle est borné sur tout bornée B de D(Ω), et par suite T est bornée sur B. D’où T ∈ D 0 (Ω). (Tn ) converge vers T dans D’(Ω) car Su p ϕ∈B |TN −T | ≤ "

Conclusion D’(Ω) est complet.

2.2.1

ƒ

Ensembles bornés et Ensembles compacts dans D 0 (Ω)

Définition 2.2.1. On dit qu’un ensemble de distributions est bornée, si ces éléments prennent des valeurs bornées sur tout bornée de D(Ω). Théorème 2.2.2. Dans D 0 (Ω), il y a identité entre ensembles bornées et ensembles relativement compacts. (D 0 (Ω) est un espace de Montel). Preuve 2.2.2 (Indications). La preuve du théorème découle des deux résultas suivants : - D’(Ω) est le dual de D(Ω), qui est aussi un espace de Montel - le dual d’un espace de Montel est un espace de Montel . voir L.SCHWARTZ [1],P73 Théorème 2.2.3. D(Ω) et D’(Ω) sont réflexifs, chacun est le dual fort de l’autre. Preuve 2.2.3 (Indications). D’(Ω) est un espace vectoriel topologique localement convexe, où les ensembles bornés sont relativement compacts donc, d’après un théorème de MM.MAKEY et ARENS, il est semi-réflexif. Un espace semi-réflexif et tonnelé est réflexif.

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2.3. OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

BOUNACER Hamza

Théorème 2.2.4 (d’approximation ). D(Ω) est un sous-espace vectoriel dense, de D 0 (Ω). Cela revient à dire que tout distributiont est limite d’une suite de fonctions indifiniment déribvables a supports compacts. Preuve 2.2.4. Il résulte de la réflixivité de D 0 (Ω).En effet : Toute forme linéaire continue sur D(Ω) est définie par une fonction ϕ de D(Ω) .Si ϕ⊥D(Ω), c’est-à-dire si elle vérifie Z f (x )ϕ(x )d x = 0

∀f ∈ D(Ω)

Rd

Ceci est vraie en particulier pour f = ϕ donc ϕ = 0 (pp), et cela entraîne bien que D(Ω) soit un sous-espace dense de D 0 (Ω)

2.3 2.3.1

Opérations Sur Les Distributions

Produit d’une distribution par une fonction C ∞

Définition 2.3.1. Soient f ∈ C ∞ (Ω) et T ∈ D’(Ω) La forme linéaire définie par ϕ ∈ D(Ω) 7−→< T, f .ϕ > est une distirbution sur Ω, notée f .T . ainsi : < f .T,ϕ >=< T, f ϕ >,

f ∈ C ∞ (Ω), ϕ ∈ D(Ω)

Preuve 2.3.1. i- est bien définie car f .ϕ ∈ D(Ω). En effet :La formule de Leibniz (de dérivation d’un produit) entraine que f .ϕ ∈ C ∞ (Ω) De plus on a Su p p (f .ϕ) ⊂ Su p p (f )∩Su p p (ϕ) ⊂ Su p p (ϕ) â Ω. ii- La linéarité est evidente . iii- La continuité :Soit (ϕn ) une suite d’éléments de D(Ω), convegente vers 0 . Alors il existe K compact de Rd tel que Supp(ϕn ) ⊂ K , ∀n ∈ N et Projet de fin d’étude SM6

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2.3. OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

BOUNACER Hamza

k D P ϕn k∞ −→n →∞ 0∀α = (α1,...,αd ) ∈ Nd . On a Supp( f .ϕn ) ⊂ Supp(ϕn ) â Ω, et d’aprés la formule de Leibniz : α

D f .ϕn =

X

β (β ) C α . f (α−β ) .ϕn

où

β Cα

=

2.3.2

P

β

C αii , α ≤ β ⇐⇒ αi ≤ βi , ∀i

i =1

β ≤α

⇒k D α ϕn k∞ ≤

i =d Y

β (α−β ) |]. k D β ϕ k −−→ 0Donc n ∞ β ≤α [C α .Su p K | f n →0

f .T ∈ D 0 (Ω).

Support d’une distribution

Définition 2.3.2. Le support d’une distribution T est le complémentaire du plus grand ouvert où T est nulle. Su p p (T ) = (∪i ∈I Ωi )c

oùT Ωi = 0.

Remarque 4. • x ∈ / Supp(T) ssi ∃ V voisinage de x dans Rd tel que TV = 0 •x ∈ Supp(T) ssi ∀ V voisinage de x dans Rd on a TV 6= 0 •Su p p (T ) = {x ∈ Rd ∀V ∈ V (x ),∃ϕ ∈ D(V )t q : T (ϕ) 6= 0}

2.3.3

Derivée d’une distribution :

> Cas des distributions sur R : Définition 2.3.3. Soit T ∈ D 0 (R), on appelle derivée de T la fonctionnelle défenie par : T 0 : ϕ 7→ − < T,ϕ 0 >,∀ϕ ∈ D 0 (R) T 0 est une distribution. En effet : … La linéarité de T 0 decoule de celle de la dérivation dans R. … T 0 est continue :soit (ϕn ) une suite d’éléments de D(R), convergeante vers 0 . ⇒ ∃ K compact de R tel que Supp(ϕn )⊂ K . comme Supp(ϕ 0 ) ⊂ Supp(ϕ)∀ϕ, dérivable alors : Su p p (ϕn0 ) ⊂ K D’autre part on a :

k ϕn(α) k∞ −→n→∞ 0

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(1)∀n ∀α ∈ N

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2.3. OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

BOUNACER Hamza

Donc : k ϕn0 k∞ −→n →∞ 0

(2).

(1) et (2) entraine que (ϕn0 ) converge vers 0 dans D(R), et par suite < T 0 ,ϕn >= − < T,ϕn0 > converge vers 0 dans D 0 (R). D’où T0 est continue . > Cas des distributions sur Rd : Définition 2.3.4. Soit T ∈ D 0 (Rd ), on appelle derivée de T par rapport à la variable x k , 1 ≤ k ≤ d , la fonctionnelle définie par : ∂ϕ ∂T : ϕ 7→ (−1)1 < T, >,∀ϕ ∈ D 0 (Rd ) ∂ xk ∂ xk ∂T ∂ xk

De la même façon qu’au dimension 1,on établit que

est une distribution .

Pour tout α = (α1 ,...,αd ) multi-indice de on définit la dérivée partielle de T d’ordre α par < D α T,ϕ >= (−1)|α| < T,D α ϕ >,∀ϕ ∈ D(Rd ) Nd ,

avec D αϕ =

2.3.4

∂ α1 ...∂ αd ϕ α

α

∂ x 1 1 ...∂ x d d

et | α |=

iX =d

αi

i =1

Les distributions régulières

Définition 2.3.5. 1-Une fonction f définie de Rd à valeur dans C est dite localment intégrable sur Rd si pour tout compact K de Rd on a Z | f (x ) | d x < ∞ K

L’ensemble des fonctions localment intégrables sur Rd est noté L 1l oc (Rd ). 2-Pour f ∈ L 1l oc (Rd ), on appelle distribution associé à f la forme linéaire définie par   f : D(Rd ) −→ C Z ϕ 7−→

f (x )ϕ(x )d x Rd

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2.3. OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

∗ [f ]est bien définie car Z

Z | f (x ) | d x < ∞

f (x )ϕ(x )d x |≤k ϕ k∞

|

BOUNACER Hamza

Rd

K = s u p p (ϕ)

K

∗ Montrons que [f ] ∈ D 0 (Rd ) . i - la linéarité : decoule de la linéarité de l’intégrale . i i - la continuité : Soit (ϕn ) une suite d’élément de D(Rd ) telle que ϕn −→ 0, alors ∃K compact de Rd tel que Su p p (ϕn ) ⊂ K ,∀n ∈ N et

k D α ϕn k∞ −→n →0 0,∀α ∈ Nd m u l t i −i n d i c e

(?)

on a, d’une part Z

Z f (x )ϕn (x )d x |≤k ϕn k∞

|

| f (x ) | d x < ∞

Rd

K

et d’autre part, d’aprés (?) pourα = (0,0,...,0) on a k D 0 ϕn k∞ =k ϕn k∞ −→n →0 0 Donc

Z f (x )ϕn (x )d x −→n →0 0 d a n s C

< [f ],ϕn >= Rd

D’où [f ] ∈ D 0 (Rd ). Remarque 5. Si f , g ∈ L 1l oc (Rd ), alors [f ] = [g ] ⇐⇒ f = g presque partout Pour la preuve on utilise le lemme de la theorie d’intégration suivant Lemme 3. :Soit Ω un ouvert de Rd et soit f ∈ L 1l oc (Ω) telle que Z f (x )ϕ(x )d x = 0

∀ϕ ∈ D 0 (Ω)

Ω

alors f = 0 presque partout sur Ω. En particulier L 1l oc (Rd ) ⊂ D 0 (Rd )

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

2.4

BOUNACER Hamza

Transformation de Fourier

La transformation de Fourier est un outil particulièrement important en mathématiques, que ce soit du point de vue fondamental, ou de celui des applications. Dans cette section on va introduire la transformation de Fourier dans L 1 (Rd ) puis dans S(Rd ) et enfin, grace à la densité de S(Rd ) dans L 2 (Rd ), on va montrer que la transformation de Fourier F s’étend en un isomorphisme isométrique de L 2 (Rd ) sur lui-même. Ce dernier résultats permet de définir l’espace de Sobolev H s ,s ∈ R .

2.4.1

Transformation de Fourier dans L1 (Rd )

Définition 2.4.1. Pour f ∈ L 1 (Rd ), la transformée de Fourier de f est la fonction, noté fb (ou parfois F (f )) définie par Z f (x )e −2πi d x , t ∈ Rd fb(t ) = F (f )(t ) = Rd

où est le produit scalaire usuelle de Rd . Remarque 6. L’intégrale intervenant dans la définition de fb a un sens en tout point de Rd puisque f ∈ L 1 (Rd ) et | e −2πi f (x ) |≤| f (x ) | ∀x ,t ∈ Rd . Pour tout t ∈ Rd , on note e t la fonction définie sur Rd par e t (x ) = e 2πi , x ∈ Rd Cette famille de fonctions vérifient : e t (x +y ) = e t (x )e t (y ) e t (x ) = e x (t ) Lemme 4. Pour f ∈ L 1 (Rd ) et t ∈ Rd on a fb(t ) = ( f ? e t )(0). Preuve 2.4.1. On a pour tout t ∈ Rd Z (f ? e t )(0) =

Z

f (x )e −2πi d x = fb(t )

f (x )e t (0−x )d x = Rd

Rd

Soit x ∈ Rd , on note τx l’operateur de translation par x . Pour toute fonction f définie sur Rd on a, pour presque tout y ∈ Rd τx (f )(y ) = f (y −x ) Projet de fin d’étude SM6

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Théorème 2.4.1. Soit f , g ∈ L 1 (Rd ),x ∈ Rd ,λ > 0 on a : iF (τx f ) = e −x F (f ) iiF (e x f ) = τx (F (f )) iiiF (f ? g ) = F (f )F (g ) ivx Si on notef λ (x ) = f ( ), alors F (f λ )(t ) = λn F (f )(λt ) pour tout t ∈ Rd λ Preuve 2.4.2. i ) et i i ) découle de la définition de F et de l’invariance par translation, de la mesure de Lebesgue λ et de la tribu de Borel B(Rd ). i i i ) Soit t ∈ Rd Z Z ‚Z Œ (f ? g )(x )e −2πi d x =

F (f ? g )(t ) = Rd

e −2πi

Rd

f (x −y )g (y )d y

dx

Rd

La fonction à intégrer est sommable car | e −2πi f (x −y )g (y ) |≤| f (x −y )g (y ) | On peut donc appliquer le théorème de Fubini, et on obtient Œ ‚Z Z

f (x −y )e −2πi d x d y = F (f )F (g )

g (y )e −2πi

F (f ? g )(t ) =

Rd

Rd

i v ) Soit t ∈ Rd , on a Z fbλ (t ) =

f λ (x )e

−2πi

Z dx =

Rd

= (λ)n

Z Rd

Rd

x f ( )e −2πi d x λ

x x f ( )e −2πi d x = (λ)n fb(λt ) λ

ƒ

Lemme 5. Pour f ∈ L p (Rd ), 1 ≤ p ≤ ∞ , l’application τ : Rd → L p (Rd ) x 7→ τx (f ) : y 7→ f (y −x ) est uniformément continue. Projet de fin d’étude SM6

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Preuve 2.4.3. Soit ε > 0, f ∈ L p (Rd ). comme Cc est dense dans L p (Rd ), alors il existe g continue à support compact telle que :k f − g kL p ≤ ε On suppose que Supp(g)⊂ B(0,r ), la continuité uniforme de g implique l’existence de δ ∈]0,r [ tel que : −1

|x −y | < δ ⇒| g (x )− g (y ) |< λ(B (0,3r )) p ε et par conséquent : Z

| g (t −x )− g (t −y ) |p d t Rd

≤

λ(B (0,r )) p ε λ(b (0,3r ))

par suite on obtient :

ε 3 p La norme L , prise par rapport à la mesure de Lebesgue, est invariante par translation i .e : k τx g kL p =k g kL p ∀x ∈ Rd Don c | x −y |< δ ⇒k τx f −τy f kL p k τx g −τy g kL p ≤

=k τx f −τx g +τx g −τy g +τy g −τy f kL p ≤k τx (f − g ) kL p + k τx g −τy g kL p + k τy (g − f ) kL p ≤ ε

ƒ

Théorème 2.4.2. [Riemann-Lebesgue] i) -L’ application F : f −→ fb est linéaire continue de L 1 (Rd ) dans C0 (Rd ) ii) - Si f ∈ L 1 (Rd ) alors fb est uniformement continue. Preuve 2.4.4. i)- Il est clair que F est linéaire, pour la continuité on a ∀f ∈ L 1 (Rd ),hs p a c e ∗1m m ∀x ∈ Rd | fb(x ) |≤k f kL 1 donc k fbk∞ ≤k f kL 1 comme ceci est vraie pour toute f ∈ L 1 (Rd ), et on tenant compte de la linéarité de F on obtient la continuité . Montrons maintenant que fb ∈ C0 (Rd ). D’une part, si f ∈ L 1 (Rd ), alors fb est continue sur Rd .En effet : Comme pour tout x ∈ Rd ,t 0 ∈ Rd on a : e −t (x )− e −t 0 (x ) = e −2πi − e −2πi −→t →t 0 0 Projet de fin d’étude SM6

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Il en resulte, d’aprés le théorème de la convergence dominée de Lebesgue (avec le contrôle | f (x )(e −t (x )− e −t 0 (x )) |≤ 2 | f (x ) |), que Z fb(t )− fb(t 0 ) = f (x )(e −t (x )− e −t (x ))d x −→t →t 0 0

0

Rd

D’où la continuité de fb sur Rd . D’autre part :lim|x |→0 fb(t ) = 0 .En effet : Comme e πi = −1, alors Z p −2πi b 2|t | f (x )e f (t ) = − d x ,a v e c | t |= < t ,t > Rd

On posant z = 2|tt |2 on obtient Z f (z −

fb(t ) = − Rd

Donc

2 fb(t ) =

R Rd

D’où pour tout t ∈ Rd , on a

t )e −2πi d z 2 2|t |

(f (x )− f (x − 2|tt |2 ))e −2πi d x

| fb(t ) |≤k τ0 f −τh f kL 1 ,h =

t 2 | t |2

le lemme 2.4.5 imlique que k τ0 f −τh f kL 1 −→ 0 quand h −→ 0 D’où lim fb(t ) = 0 |t |→0

Conclusion F (L 1 (Rd )) ⊂ C0 (Rd ) ii)-Soient Montrons maintant que f est uniformément continue f ∈ L 1 (Rd ), et δ>0 alors ∀x ,y ∈ B (0,δ) on a Z b −2πi −2πi b f (t )(e −e )d t f (x )− f (y ) = Rd Z −2πi −2πi = f (t )e (e −1)d t Rd Le théorème de la convergence dominée de Lebesgue permet de conclure . Projet de fin d’étude SM6

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Proposition 2.4.1 (Formule d’échange). Soient f et g deux fonctions de L 1 (Rd ), alors f gb et fbg sont dans L 1 (Rd ), et on a Z Z f (t ) gb(t )d t = fb(t )g (t )d t Rd

Rd

Preuve 2.4.5. On vient de voir que | gb(x ) |≤k g kL 1 donc f gbest dans L 1 (Rd ) .De même fbg est dans L 1 (Rd ) .L’égalité resulte du théorème de Fubini car (x ,y ) 7→ e −2πi f (t )g (x ) est sommable sur R2d . En effet on a Z Z € Š f (t ) g (x )e −2πi d x d t f (t ) gb(t )d t = Rd

Rd

Z

€

−2πi

g (x ) f (t )

=

Š

Z g (x ) fb(x )d x

dt dx = Rd

Rd

1 d 1 d b Théorème 2.4.3. € Š (Inversion de Fourier dans L (R )) Si f et f sont dans L (R ) alors f (t ) = F fb (−t ) en tout point de continuité de f .

Preuve 2.4.6. admise Corollaire 2. : i)Si f et g sont dans L 1 (Rd ) et si fb(t ) = gb(t )∀t ∈ Rd alors f (x ) = g (x ) pp ii) Supposons que f ∈ L 1 (Rd ) et fb≥ 0.Si f est continue en 0 alors fb est intégrable et on a Z fb(x )d x

f (0) = Rd

Transformation de Fourier et dérivation La Transformation de Fourier et la dérivation sont liées de la façon suivante : Théorème 2.4.4. Soit f ∈ L1 (Rd ) .on suppose que x 7−→ x i f (x ) est sommable. Alors fb est de classe C 1 et on a ∂ fb = −2πi F x i f (x )) ∂ xi

Projet de fin d’étude SM6

23

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Preuve 2.4.7. On pose g (x ,t ) = e −2πi f (x ) alors ∂ g (x ,t ) = −2πi x i e −2π f (x ) ∂ ti Cette dérivée partielle est continue pour tout x et k

∂ g (x ,t ) k= 2π k x i f (x ) k∈ L1 ∂ ti

Les conditions du théorème de dérivation sous le signe d’intégration sont satisfaites, et par suite on obtient ∂ fb ∂ (t ) = ∂ ti ∂ ti Z = −2πi

Z

e −2πi f (x )d x Rd

e −2πi x i f (x )d x

Rd

= −2πi F (x i f (x ))(t ) D’où le théorème. Pour α ∈ Nd nous écrivons | α |=

iX =d

αi

xα =

;

i =1

αi

xi

i =1

et si f est de classe C |α| : Dα f =

i =d Y

∂ |α| α

α

∂ x 1 1 ...∂ x d d

f

Corollaire 3. Soit f : Rd 7−→ C telle que x 7−→ (1+ | x |)k f (x ) est intégrable .Alors fb est de calsse C k et pour α ∈ Nd tel que | α |≤ k on a D α fb= (−2πi )|α| F (x α f (x )) Théorème 2.4.5. Soit f : Rd − 7 → C. On suppose que f et la dérivée partielle son intégrables. Alors   ∂f F (t ) = 2πi t i fb(t ) ∂ xi Projet de fin d’étude SM6

24

∂f ∂ xi

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

Preuve 2.4.8. Pour simplicité de notation nous considérons le cas d= 1. Fixons M 1 < M 2 réels positifs,en intégrant par parties on obtient Z

M2

e

−2πi t .x

M1

Comme f et

d f (x ) d x = e −2πi t .M 2 f (M 2 )−e −2πi t .M 1 f (M 1 )+2πi t dx df dx

M2

Z

e −2πi t .x f (x )d x M1

sont intégrables, on obtient par convergence dominée M2

Z lim

M 1 →−∞

M1

d f (x ) dx = e −2πi t .x dx

M2

Z

e

lim

M 1 →−∞

−2πi t .x

Z

M2

e −2πi t .x −∞

Z

d f (x ) dx dx

M2

e −2πi t .x f (x )d x

f (x )d x = −∞

M1

Il en découle que limM 1 →−∞ (M 1 ) existe, et comme f est intégrable alors la seule limite possible est zero. De même limM 2 →∞ e −2πi t .M 2 f (M 2 ) = 0. D’où Z M2   df d f (x ) e −2πi t .x F (t ) = lim dx M 2 →∞M 1 →−∞ dx dx M1 Z M2 e −2πi t .x f (x )d x = 2πi t fb(t ) = lim 2πi t e −2πi t .M 1 f

M 2 →∞M 1 →−∞

M1

Corollaire 4. Soit f ∈ C k .On suppose que f et toutes ses dérivées partielles jusqu’à l’ordre k sont inétgrables.Alors lim | t |k fb(t ) = 0

|t |→∞

Et pour α ∈ Nd , tel que | α |≤ k , on a α

|α| α

F (D f ) = (2πi ) t fb(t )

α

avec t =

i =d Y

αi

ti

i =1

2.4.2

Transformation de Fourier dans L2 (Rd )

La définition de la transformé de Fourier pour les fonctions intégrables n’est pas directement applicable à une fonction quelcolque de L2 (Rd ) .Toutefois cette définition convient lorsque f ∈ L1 (Rd )∩L2 (Rd ) et on démontre que fb∈ L2 (Rd ) et Projet de fin d’étude SM6

25

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2.4. TRANSFORMATION DE FOURIER

BOUNACER Hamza

que k f k2 =k fb k2 . Grâce à densité de L 1 ∩ L 2 dans L2 (Rd ) cette isométrie s’étend en une isométrie de L2 (Rd ) sur lui même, cette extension permet de définir la transformée de Fourier (où encore transformée de Fourier-Plancharel) pour toute fonction f de L2 (Rd ). Théorème 2.4.6. (théorème de Plancherel) Soient f et g deux fonctions de L1 (Rd )∩ L2 (Rd ) on a : i-(f , g )2 = ( fb, gb)2 ii-k f k2 =k fbk2 Preuve 2.4.9. i-En posant h(x ) = gb(x ), on obtient Z Z

g (t )e 2πi d t = F (g )(x )

g (t )e −2πi d t =

h(x ) =

Rd

Rd

b = F F (g ) = g La formule d’échange appliquer à f et h donne donc h Z Z b )d t = fb(t )h(t )d t f (t )h(t Rd

Rd

ce qui est équivalent à Z

Z f (t )g (t ) = Rd

Rd

fb(t ) gb(t )

ii-Il suffit de prendre f = g pour aboutir au résultat. L’extension de la transformation de Fourier à L2 (Rd ) se fait en utilisant la densité de (L1 (Rd ) ∩ L2 (Rd ),k . k2 ) dans L2 (Rd ) et la complition de L2 (Rd ).C’est une application du résultat de topologie suivant : Lemme 6. Soient E et F deux espaces vectoriels normés, F banach et G un sousespace dense de E. Soit T un opérateur linéaire continu de G dans F. Alors il existe un prolongement unique Te de T, linéaire continu de E dans F et la norme de Te est égale à la norme de T . D’aprés le théorème de PLancherel , F est une isométrie de L1 (Rd ) ∩ L2 (Rd ) de dans L2 (Rd ) .En appliquant le lemme ci-dessus avec E = F = L2 (Rd ) et G = L1 (Rd )∩L2 (Rd ), on obtient le théorème suivant :

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2.5. ESPACE DE SCHWARTZ

BOUNACER Hamza

Théorème 2.4.7. (théorème de Plancherel-Riesz) Il existe un unique automorphisme, qu’on note aussi F , de L2 (Rd ) qui prolonge canoniquement l’isométrie L1 (Rd )∩L2 (Rd ) −→ L2 (Rd ) f 7−→ fb De plus pour tout (f , g ) ∈ L2 (Rd )×L2 (Rd ), on a 1-F (F (f )) = F (F (f )) = f p.p ; 2-(f , g )2 = ( fb, gb)2 ; 3-k f k2 =k F (f ) k2 . Preuve 2.4.10. Il suffit d’approcher, chaque fois, f et g par des suites de L1 (Rd )∩ L2 (Rd ), puis appliquer la formule d’inversion de Fourier pour 1), et le théorème Plancherel dans L1 (Rd ) ∩ L2 (Rd ) pour 2) et 3).Le passage à la limite permet de conclure. Remarque 7. Il faut prendre garde au fait que désormais F désigne deux applications distinctes :d’une part celle de L1 (Rd ) dans C0 (Rd ), d’autre part celle de L2 (Rd ) sur lui même, et que ces deux applications ne coïncident que sur L1 (Rd )∩ L2 (Rd ).

2.5

Espace de Schwartz

Définition 2.5.1. On appelle espace de Scwartz S (Rd ), l’espace des fonctions de classe C ∞ sur Rd à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées. Autrement dit, une fonction ψ ∈ C ∞ (Rd ) est un élément de S (Rd ) si,∀p ≥ 0 N p (ψ) =

α

sup 0≤|α|,|β |≤p

α

k x α D β ψ(x ) kL ∞ < ∞ α,β ∈ Nd , x α = x 1 1 ... x d d

En pratique on utilise la caractérisation suivante :soit ψ ∈ C ∞ (Rd ) ψ ∈ S (Rd ) s i

lim x α D β ψ(x ) = 0 , ∀α, β m u l t i −i n d i c e s

kx k→∞

Evidemment, S (Rd ) est un espace vectoriel sur R, ou sur C quand les fonctions que l’on considère sont à valeurs complexes, ce qui sera le cas, puisqu’on parlera beaucoup de transformation de Fourier. Projet de fin d’étude SM6

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2.5. ESPACE DE SCHWARTZ

BOUNACER Hamza 2

Proposition 2.5.1. La fonction x 7−→ e −kx k2 est une fonction de l’espace de Schwartz. Pi =d Preuve 2.5.1. Rappelons ici que k x k22 = i =1 x i2 est le carré de la norme euclidienne sur Rd . Pour établir que la proposition est vraie, il suffit de démontrer 2 que u (x ) = e −kx k2 et toutes ses dérivées décroissent plus vite que tout polynôme en l’infini. C’est vrai pour u, en vertu de l’adage qui affirme que l’exponentielle l’emporte sur tout polynôme. On démontre ensuite par récurrence sur la longueur du multi-indice β que : D β u (x ) = Pβ (x )u (x ) où Pβ est un polynôme. Proposition 2.5.2. L’espace de Schwartz est invariant par dérivation et par multiplication par un polynôme. Preuve 2.5.2. Cette proposition veut dire que si u ∈ S (Rd ) , alors x 7−→ x α u (x ) et D β u est dans S (Rd ).En effet x γ .D θ (x α u (x )) = x γ (D θ (x α )u (x )+x α D θ u (x )) = [x γ D θ x α ]u (x )+x γ+α D θ u (x ) Ceci est vraie pour tout multi-indices γ,θ ∈ Nd . donc x 7−→ x α u (x ) est dans S (Rd ) Pour etablir que D β u ∈ S (Rd ),il suffit de remarquer que x γ D θ D β u (x ) = x γ D θ +β u (x ) Définition 2.5.2. Soit (ψn ) une suite d’éléments de S (Rd ).On dit que (ψn ) converge vers 0 dans S (Rd ) si ∀ α , β multi-indices (x α D β ψn (x )) converge uniformément vers 0 sur Rd . Théorème 2.5.1. D(Rd ) ,→ S (Rd ) est une injection continue, et dense. Preuve 2.5.3. Ceci veut dire deux choses : Si d’une part (ϕn ) est une suite de fonctions tests convergeant vers 0 au sens des fonctions tests, alors (ϕn ) converge vers 0 dans S (Rd ) (continuité). D’autre part, pour toute fonction ψ dans l’espace de Schwartz, on peut exhiber une suite de fonctions tests (ψn ) qui converge vers ψ dans S (Rd ) (densité). Montrons la première assertion : Si (ϕn ) converge vers 0 dans D(Rd ) cela veut dire qu’il existe un compact fixe K de Rd contenant les supports des ϕn , et que ϕn et toutes ces dérivées convergent uniformément vers 0 sur K. la convergence dans S (Rd ) est alors vraie a fortiori. Pour la densité, on introduit une fonction plateau θ qui a son support dans Projet de fin d’étude SM6

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2.6. L’ESPACE S 0 DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

BOUNACER Hamza

¦ © ¦ © x ∈ Rd ,| x |≤ 2 et qui vaut sur le compact x ∈ Rd ,| x |≤ 1 ceci est garantit grâce au prolongemnt d’Urysohn Soit maintenant, pour u dans l’espace de Schwartz, la suite des fonctions tests x ψn (x ) = u (x )θ ( ) n Soit β un multi-indice, on calcule D β (ψn − u )(x ) et on montre(en utilisant la formule de Leibniz ) que ceci converge uniformément vers 0. D’ou la convergence dans S . Théorème 2.5.2. 1- S (Rd ) est stable par trasformation de Fourier, en plus elle existe une constante C p telle que Np ( fb) ≤ C p Np +d +1 (f ) 2-Si on munit S (Rd ) de la topologie induite par celle de L2 (Rd ), alors la transformation de Fourier est un isomorphisme isométrique d’inverse F −1 (f )(x ) = F (f )(−x )

2.6

L’espace S 0 des distributions tempérées

Définition 2.6.1. Soit T ∈ D 0 (Rd ). On dit que T est une distribution tempéré, ce qu’on note T ∈ S 0 (Rd ), s’ils exitent p ∈ N et C ≥ 0 tels que |< T,ϕ >|≤ C Np (ϕ)

∀ϕ ∈ D(Rd )

Théorème 2.6.1. (Extension de la dualité) Soit u ∈ S 0 (Rd ). L’application ϕ 7−→< u ,ϕ > définie sur D(Rd ), se prolonge de manière unique en une forme linéaire sur S (Rd ) qui verifie |< T,ϕ >|≤ C Np (ϕ)

∀ϕ ∈ S (Rd )

Preuve 2.6.1. La preuve de ce théorème repose sur le théorème de Hahn-Banach, et la densité de D(Rd ) dans S (Rd ) Définition 2.6.2. (La convergence dans S 0 ) On dit que la suite (u n ) d’élément de S 0 (Rd ) converge vers u dans S 0 (Rd ), si on a lim < u n ,ϕ >=< u ,ϕ >

n →∞

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∀ϕ ∈ S (Rd ) Faculté des sciences Agadir

2.6. L’ESPACE S 0 DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

BOUNACER Hamza

Remarque 8. Il est clair que, si (u n ) −→ u dans S 0 alors (u n ) −→ u dans D 0 . D’autre part, si les u n ont leur support dans un même K , la convergence dans D 0 est équivalente à la convergence dans S 0 . La différence entre les deux notions de convergence n’apparaît donc qu’à l’infini. Théorème 2.6.2. Soit u ∈ S 0 (Rd ) alors toutes ces dérivées sont dans S 0 (Rd ).De plus si u n −→ u dans S 0 alors pour tout multi-indice α, on a D α u n −→ D α u dans S 0 Preuve 2.6.2. Soit u ∈ S 0 , alors u est un élément de D 0 tel que pour p ∈ N et C ≥ 0 on a |< T,ϕ >|≤ C Np (ϕ) ∀ϕ ∈ D(Rd ) D’aprés le théorème de dérivation des ditributions on a, pour tout multi-indice α ∈ Nd et ϕ ∈ D(Rd ), D α u ∈ D 0 et |< D α u ,ϕ >|=| (−1)|α| < u ,D α ϕ >|≤ C Np (D α ϕ) ≤ C 0 Np 0 (ϕ) Donc D α ∈ S 0 . On suppose que u n −→ u dans S 0 , on a pour α ∈ Nd < D α u n ,ϕ >= (−1)|α| < u n ,D α ϕ >

ϕ ∈S

Or S est stable par dérivation, alors D α ϕ ∈ S , il s’ensuit que lim < D α u n ,ϕ >= lim (−1)|α| < u n ,D α ϕ >

n →∞

n →∞

= (−1)|α| lim < u n ,D α ϕ > n →∞

= (−1)|α| < u ,D α ϕ >=< D α u ,ϕ > D’où D α u n −→ D α u dans S

2.6.1

0

Transformation de Fourier dans S

0

Soit f ∈ L 1l oc , ϕ ∈ S on a Z |< [f ],ϕ >|≤k ϕ kL∞

| f (x ) | d x ≤ C N0 (ϕ),

C =k ϕ kL∞

Rd

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2.6. L’ESPACE S 0 DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

BOUNACER Hamza

Donc [f ] ∈ S 0 D’autre part on a Z b >= < [f ], ϕ

Z Rd

b )d x = f (x )ϕ(x

‚Z f (x ) Rd

e

−2πi

Œ ϕ(t )d t

dx

Rd

La fonction (x ,t ) 7−→ f (x )e −2πi est sommable sur R2d car elle est dominée par | f (x )ϕ(t ) |∈ L 1 On peut donc appliquer le théorème de Fubini, et on obtient Z ‚Z Œ ¬” — ¶

 −2πi b = [f ], ϕ ϕ(t ) e f (x )d x d t = fb ,ϕ Rd

Rd

Définition 2.6.3. (Théorème) Soit u une élément de S 0 (Rd ) .La transfomée de Fourier de u est une ditribution tempérée définie par :



 b , ϕ ∈ S (Rd ) ub ,ϕ = u , ϕ Remarque 9. On doit montrer que ub est bien une ditribution tempérée. Il est claire que ub est une forme linéaire sur S (Rd ). En plus on a pour p ∈ N , C ≥ 0 et ϕ ∈ S (Rd )



 b | ≤ C Np (ϕ) b ≤ C .C p Np +d +1 (ϕ) | ub ,ϕ | = | u , ϕ Donc ils existent p ∈ N et C 0 ≥ 0 tels que

 | ub ,ϕ | ≤ C 0 Np 0 (ϕ),

ϕ ∈ S (Rd )

D’où ub ∈ S 0 (Rd ) Théorème 2.6.3. La transformation de Fourier est un isomorphisme de S 0 (Rd ) sur lui même, d’inverse F −1 = F Preuve 2.6.3. On a pour u ∈ S 0 et ϕ ∈ S ¬ ¶ ¬ ¶ ¬ ¶

 F F u ,ϕ = F u ,F ϕ = u ,F F ϕ = u ,ϕ On en deduit que F F (et pour la même raison F F ) coïncide avec l’identité. Théorème 2.6.4. (continuité )Si (u n ) converge vers u dans S 0 (Rd ), alors (ubn ) converge vers ub dans S 0 (Rd ) . Preuve 2.6.4. immediate, pour tout ϕ ∈S(Rd ) on a







 b −−→ u , ϕ b = ub ,ϕ ubn ,ϕ = u n , ϕ n →∞

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Chapitre 3 Espace de Sobolev W 1,p (Ω) 3.1

Définition et propriétés élémentaires

Soit Ω ⊂ RN un ouvert et soit p ∈ R avec 1 ≤ p ≤ ∞. Définition 3.1.1. L’espace de Sobolev W 1,p (Ω) est défini par Z « ¨ Z ∂ ϕ = − g i ϕ,∀ϕ ∈ C c∞ (Ω),∀i = 1,2..N u ∈ L p (Ω)|∃g 1 , g 2 ,..., g N ∈ L p (Ω) tels que u ∂ x i Ω Ω ∗ Pour u ∈ W 1,p (Ω) on note ∂∂ xu = g i et ∇u = ( ∂∂ xu ........., ∂∂xu ) 1 N i ∗L’espace W 1,p (Ω) est muni de la norme ||u ||W 1,p

N X ∂u = ||u ||L p + || ||L p ∂ xi i =1

ou parfoit de la norme équivalente p ||u ||1,p = (||u ||L p

N X ∂ u p p1 + || || p ) ∂ xi L i =1

∗ H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) est un espace de Hilbert muni de produit scalaire N X ∂u ∂v 〈u ,v 〉H 1 = 〈u ,v 〉L 2 + , 〉 2 〈 ∂ xi ∂ xi L i =1

32

3.1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES

Ou`

MAZID Sehail

Z 〈u ,v 〉L 2 =

u (x )v (x )d x Ω

La norme associe ku k1H

= (ku k2L 2 +

N X ∂u 2 1 k k 2)2 ∂ xi L i =1

Proposition 3.1.1. . ? (W 1,p ,k.kW 1,p ) est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ +∞ ? (W 1,p ,k.kW 1,p ) est un espace réflexif pour 1 < p < +∞ ? (W 1,p ,k.kW 1,p ) est un espace séparable pour1 ≤ p < +∞ Preuve ? Soit (u n ) une suite de Cauchy dans W 1,p (Ω) alors (u n ),( ∂∂ ux n ),( ∂∂ ux n )........( ∂∂ ux n ) 1 2 n sont des suites de Cauchy dans L p (Ω). Or L p est complet alors on obtient l’existance de u , ∂∂ xu ....... ∂∂xu ∈ L p (Ω) tq un → u

, ∂∂ ux n 1

→

∂u ∂ x1

...... ∂∂ ux n n

→

∂u , ∂ xn

1

n

comme

ku n −u kW 1,p = ku n −u kL p +k

∂ un ∂ u ∂ un ∂ u − kL p +.......+k − kL p ∂ x1 ∂ x1 ∂ xn ∂ xn

Alors un → u ? Soit

d a n s W 1,p

n +1 fois z }| { E = L p (Ω)× L p (Ω)×···× L p (Ω)

on considère l’application T : W 1,p → E

u → (u ,∇u ) PN on munit de la norme || (u , ∇u )|| = ||u ||L p + i =1 || ∂∂ xu ||L p . i Soit u ∈ W 1,p , on a kTu kE

= k[u ,∇u ]k = ku kL p +k∇u kL p = ku kW 1,p

(3.1)

Donc T est isomotrie continue. Soit X = T (W 1,p ) ⊂ E , et soit (x n ) ⊂ X une suite converge vers x ∈ E Projet de fin d’étude SM6

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3.1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES

MAZID Sehail

x n ∈ T (W 1,p ) ⇒ x n = Tu n u n ∈ W 1,p on veut montrer que x ∈ X . La suite Tu n est de Cauchy dans E car elle converge , donc (u n ) est de Cauchy dans W 1,p , donc kTu n −Tu kE

= kT (u n −u )kE = kTu n −Tu kW 1,p

7→ 0.

(3.2)

Alors Tu n → Tu = x ⇒ x ∈ X = T (W 1,p ). D’ou` X est un sous espace fermé de E, comme E est Banach réflexif , alors X est réflexif. Donc W 1,p est réflexif ? L’espace n +1 fois z }| { E = L p (Ω)× L p (Ω)×···× L p (Ω) est séparable et T (W 1,p ) ⊂ E ⇒ T (W 1,p ) est séparable Donc W 1,p est séparable. Soit 1 ≤ p ≤ ∞ ∗ Si u ∈ C 1 (Ω) ∩ L p (Ω) et si ∂∂ xu ∈ L p (Ω) pour i = 1.....N ( ici ∂∂ xu désigne la dérivé i i partielle de u au sens usuel). Alors u ∈ W 1,p (Ω) ∗ Si Ω est borné , alors C c1 (Ω) ⊂ W 1,p (Ω) .Inversement si u ∈ W 1,p (Ω) ∩C (Ω) et si ∂u ∈ C (Ω) pour tout i = 1,2,.....,N ( ∂∂ xu désigne ici la dérivé au sens de W 1,p ). ∂ xi i Alors u ∈ C 1 (Ω) , ∗Soit (u n ) ⊂ W 1,p (Ω) telle que u n → u dans L p et (Ïu n ) converge vers une limite dans (L p )N . Alors u ∈ W 1,p (Ω) et ku n −u kW 1,p → 0. Lorsque 1 < p ≤ ∞ il suffit de savoir que u n → u dans L p et que (Ïu n ) reste bornée dans (L p )N pour conclure que u ∈ W 1,p . Théorème 3.1.1. ( Friedrichs) Soit u ∈ W 1,p (Ω) avec 1 ≤ p < +∞ , alors il existe une suite (u n ) de C c∞ (RN ) telle que u n|Ω → u

d ans

L p (Ω) e t p.p s u r Ω

∇u n |Ω → ∇u

d ans

(L p (ω))N pou r ω ⊂⊂ Ω

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3.1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES

MAZID Sehail

Notation :ω ⊂⊂ Ω signifie que ω est un ouvert tel que ω ⊂ Ω et ω est compact Proposition 3.1.2. . Dérivation d’un produit Soient u ,v ∈ W 1,p (Ω)∩ L ∞ (Ω) avec 1 ≤ p ≤ +∞ , alors u v ∈ W 1,p (Ω)∩ L ∞ (Ω) et ∂u ∂v ∂ (u v ) = v +u ∀i = 1,2.......N ∂ xi ∂ xi ∂ xi Dérivation d’un produit de composition Soit G ∈ C 1 (R) tq G (0) = 0 et |G 0 (s )| ≤ M ∀s ∈ R. Soit u ∈ W 1,p (Ω),a l or s G ◦u ∈ W 1,p (Ω) e t

∂ ∂u (G ◦u ) = (G 0 ◦u ) ∂ xi ∂ xi

Preuve (1) On a d’après le théorème de Friedrichs il existe des suites (u n ) , (v n ) dans C c∞ (RN )) telles que Un → u

vn → v

d ans

L p (Ω) e t p.p s u r Ω

∇u n → ∇u ∇v n → ∇v d a n s (L p (ω))N pou r ω ⊂⊂ Ω Et on a aussi ku n kL ∞ ≤ ku kL ∞ e t |v n kL ∞ ≤ kv kL ∞ Par ailleurs on a Z

∂ϕ =− u n vn ∂ xi Ω

Z ( Ω

∂ un ∂ vn v n +u n )ϕ ∂ xi ∂ xi

∀ϕ ∈ C c1 (Ω)

Passant a` la limite , par convergence dominée , il vient Z Z ∂ϕ ∂u ∂v uv =− ( v +u )ϕ ∀ϕ ∈ C c1 (Ω) ∂ x ∂ x ∂ x i i i Ω Ω (2) On a |G (s )| < M |s | ∀s ∈ R. Projet de fin d’étude SM6

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3.2. L’ESPACE W01,P (Ω)

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Donc |G ◦u | ≤ M |u | ⇒ G ◦u ∈ L p (Ω), de mˆ e me (G 0 ◦u ) ∂∂ xu ∈ L p (Ω). i Il reste a` vérifier que Z Z ∂ϕ ∂u (G ◦u ) = (G 0 ◦u ) ∂ xi ∂ xi Ω Ω Lorsque 1 ≤ p < ∞ , d’après le théorème de Friedrichs , on choisit une suite (u n ) dans C c∞ (Rn ) telle que u n → u dans L p (Ω) et ∇u n → ∇u dans(L p (ω))N ∀ω ⊂⊂ Ω On a Z Z ∂ un ∂ϕ = − (G 0 ◦u n ) ϕ (G ◦u n ) ∂ x ∂ x i i Ω Ω Or G ◦u n →G ◦u dans L p (Ω) et (G 0 ◦u n ) ∂∂ ux n → (G 0 ◦u ) ∂∂ xu dans L p (ω), par i i convergence dominée ∂ (u ) ∂ (G ◦u ) = (G 0 ◦u ) ∂ xi ∂ xi

3.2

1,p

L’espace W0 (Ω)

Définition 3.2.1. Soit 1 ≤ p < +∞ 1,p On désigne par W0 (Ω) la fermeture de C c1 (Ω) dans W 1,p (Ω) , muni de la norme induite par W 1,p . C a` d 1,p

W0

(Ω) = C c1 (Ω)

W 1,p (Ω)

Soit p ∈ [1,∞] 1,p ∗ W0 (Ω) est un espace de Banach séparable , il est réflexif pour 1 < p < ∞ ∗ Lorsque Ω = RN on sait que C c1 (RN ) est dense dans W 1,p (RN ) et par conséquent 1,p

W0

(RN ) = W 1,p (RN )

Lemme 7. Soit u ∈ W 1,p (Ω) et 1 ≤ p < +∞ , avec supp u compact inclus dans Ω. 1,p Alors u ∈ W0 (Ω) preuve On fixe un ouvert ω tel que supp u ⊂ ω ⊂⊂ Ω et on choisi α ∈ C c1 (ω) tel que α = 1 sur supp u . Donc α u = u . D’autre part d’après le théorème de Friedrichs il existe une suite Projet de fin d’étude SM6

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3.3. L’ESPACE DUAL DE W01,P (Ω)

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(u n ) dans C c∞ (RN ) telle que u n Ω → u dans L p (Ω) et ∇u n ω → ∇u ω dans (L p (ω))N . 1,p Donc αu n −→ αu dans W 1,p (Ω) et αu ∈ W0 (Ω) 1,p

On en résulte que u ∈ W0

(Ω).

Théorème 3.2.1. On suppose que Ω de classe C 1 soit u ∈ W 1,p (Ω)∩C (Ω)

1 ≤ p < +∞

avec

Alors les Propriétés suivantes sont équivalentes : (i ) u = 0 sur Γ = ∂ Ω 1,p (i i ) u ∈ W0 (Ω)

3.3

1,p

L’espace dual de W0 (Ω) −1,p 0

Définition 3.3.1. On désigne par W0 et par H −1 (Ω) le dual de H 01 (Ω) ∗ si Ω est borné on a 1,p

W0

1,p

l’espace dual de W0

−1,p 0

(Ω) ⊂ L 2 (Ω) ⊂ W0

Si

avec 1 ≤ p < +∞

(Ω)

2N ≤ p < +∞ N +2

Avec injections continues et denses ∗ Si Ω n’est pas borné 1,p

W0

−1,p 0

(Ω) ⊂ L 2 (Ω) ⊂ W0 si

3.4

(Ω)

2N ≤p ≤2 N +2

Théorème de densité

Théorème 3.4.1. (théorème de prolongement) Soit 1 ≤ p ≤ ∞ . On suppose que Ω est de classe C 1 avec Γ borné il existe un opérateur de prolongement P : W 1,p (Ω) → W 1,p (RN ) telle que Pu |Ω = u Projet de fin d’étude SM6

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3.5. LES INJECTIONS DE SOBOLEV

MAZID Sehail

Théorème 3.4.2. (Théorème de densité de densité dans l’espace de Sobolev ) Soit Ω un ouvert de classe C 1 dont la frontière est bornée alors l’espace D(Ω) est dense dans W 1,p (Ω) Démonstration 1,p Soit u ∈ W 1,p (Ω) . On a W0 (RN ) = W 1,p (RN ) , donc il existe une suite (v n ) ⊂ D(RN ) qui tend vers Pu dans W 1,p (RN ). Dès alors u n = v n /Ω tend vers u dans W 1,p (Ω)

3.5

Les injections de Sobolev

Définition 3.5.1. Un operateur T ∈ L (E , F ) est compact si et seulement si T (B E ) est relativement compacte

3.5.1

Cas ou` Ω = RN

Théorème 3.5.1. (Sobolev , Gagliardo, Nirenberg) Soit 1 ≤ p < N ,alors W 1,p (RN ) ⊂ L p ∗ (RN )

o u`

p∗

est donné par

1 1 1 = − p∗ p N

et il existe une constante C = C (p,N) telle que ku kL p ∗ ≤ C k∇u kL p ∀u ∈ W 1,p (RN ) ? Soit 1 ≤ p < N alors W 1,p (RN ) ⊂ L q (RN ) avec injection continue ? Si p = N ona W 1,N (RN ) ⊂ L q (RN )

∀q ∈ [p,p ∗]

∀q ∈ [N ,+∞]

avec injection continue

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38

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3.6. PROBLEME DE DIRICHLET HOMOGÈNE

3.5.2

MAZID Sehail

Cas ou` Ω ⊂ RN

Théorème 3.5.2. (Rellich - Kondrachov) On suppose Ω borné de classe C 1 , on a si 1 ≤ p < N alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω) ∀q ∈ [1,p ∗[ si p = N alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω) ∀q ∈ [p,+∞[ 1,p Si p > N alors W (Ω) ⊂ C (Ω) avec injection compactes

3.6

Probleme de Dirichlet homogène

Soit Ω ⊂ RN un ouvert borné . On cherche une fonction u : Ω → R verifiant ¨ −∆u +u = f sur Ω (1) u =0 sur Γ=∂ Ω Où ∆u =

X ∂ 2u ∂ 2x i

= l apl acien d e u

et f une fonction donné sur Ω , la condition u = 0 sur Γ s’appelle la condition de Dirichlet. ∗ Une solution classique de (1) est une fonction u ∈ C 2 (Ω) verifiant (1) ∗ une solution faible de (1) est une fonction u ∈ H 01 vérifiant Z

Z

Z

∇u ∇v + Ω

uv =

∀v ∈ H 01

fv

Ω

Ω

Proposition 3.6.1. Toute solution classique est une solution faible. Preuve 3.6.1. On a u ∈ H 1 (Ω)∩C (Ω). Donc u ∈ H 01 (Ω). D’autre part si v ∈ C c1 (Ω) on a Z

Z

Z

∇u ∇v + Ω

uv = Ω

fv Ω

et par densité cette égalité reste vraie pour v ∈ H 01 (Ω)

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39

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3.6. PROBLEME DE DIRICHLET HOMOGÈNE

MAZID Sehail

Théorème 3.6.1. (Dirichlet , Riemann , Hilbert) Pour toute f ∈ L 2 (Ω) il existe u ∈ H 01 (Ω) unique solution faible de (1) . De plus u s’obtient par Z Z 1 2 M i n{ (|∇u |+v )− f v } 2 Ω Ω C’est le princip de dirichlet. Preuve 3.6.2. On applique le théorème de Lax-Milgram dans l’espace de Hilbert H = H 01 (Ω) avec la forme biliniéaire Z a (u ,v ) =

(∇u ∇v +u v ) Ω

et la forme biliniéaire Z ϕ:v →

fv Ω

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40

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3.7. EXERCICES

MAZID Sehail

3.7

Exercices

Exercice 1 Soit u définie sur ]-1,1[ par ¨ u (x ) =

1 si x>0 0 sinon

Montrer que u 6∈ H 1 (]−1,1[ ) Exercice 2 Montre que si I est borné , l’inclusion suivante W 1,p (I ) ⊂ C (I ) est continue et compacte Exercice 3 Soit u ∈ L 2 (Ω). Montrer que si u ∈ H 1 (Ω) , alors il existe une constante C telle que Z ∂ϕ d x | ≤ C kϕkL 2 ∀ϕ ∈ D(Ω) ∀i = 1,2.......N | u ∂ xi Ω Exercice 4 (formule de changement de variables) Soient Ω,Ω0 deux ouverts de Rn et soit H : Ω0 → Ω une application bijective , x = H (y ) , telle que H ∈ C 1 (Ω0 ), H −1 ∈ C 1 (Ω0 ), J a c H ∈ L ∞ (Ω0 ), J a c H −1 ∈ L ∞ (Ω0 ) Soit u ∈ W 1,p (Ω), montrer que u ◦H ∈ W 1,p (Ω0 ) et X∂u ∂ Hi ∂ (u ◦H ) (y ) = (H (y )) (y ) ∂ yj ∂ xi ∂ yj

∀i = 1,2,......,N

i

Exercice 5 Montrer que les fonctions continues, C 1 par morceaux a` support compact bornées dans Ω appartient a` H 1 (Ω) Exercice 6 Soit B la boule unité ouverte de RN , si N = 2 , montrons que la fonction x u (x ) = |l o g (| |)|α 2 Appartient a H 1 (B ) pour 0 < α < 12 , mais n’est pas borné au voisinage de l’origine. Projet de fin d’étude SM6

41

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3.7. EXERCICES

MAZID Sehail

Exercice 7 (Inégalité de poincaré) Montre que si u ∈ W 1,p (]a ,b [),−∞ ≤ a ,b ≤ +∞ p

ku kW 1,p ≤ (1+b −a )ku 0 kL Exercice 8 Soit V = H 01 (Ω) (Ω étant un ouvert de RN ) que l’on munit du produit scalaire Z 〈u ,v 〉 =

(∇u .∇v +u v )d x Ω

On pose 1 J (u ) = a (u ,u )− L(u ) 2 ou` a (u ,v ) =

R

∇u . ∇v d x une forme biliniéaire symetrique continue R sur V × V , et L(u ) = Ω f u d x une forme liniéaire continue sur V avec f ∈ L 2 (Ω) . Ω

1) Montrer ( au moins formellement ) que J 0 (u ) = −∆u − f dans V 0 = H 0−1 (Ω) 2) Montre que , si on identifie V et V 0 , alors J 0 (u ) = u 0 ou` u 0 est l’unique solution dans H 0−1 (Ω) de ¨ −∆u +u = f sur Ω (1) u =0 sur Γ=∂ Ω

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42

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3.8. INDICATIONS ET SOLUTIONS

3.8

MAZID Sehail

Indications et solutions

Exercice 1 u ∈ L 2 (]−1,1[) mais u 0 = δ0 (la mesure de dirac en 0 ) qui ne peut pas être identifiée avec une fonction de L 2 (] − 1,1[) ( la démonstration en faisant un raisonement par l’absurde) Exercice 2 Soit B la boule unité de W 1,p (I ) avec 1 ≤ p ≤ +∞ . Pour u ∈ B on a Zy u 0 (t )d t |

|u (x )−u (y )| = | x

1

≤ ku 0 kL p |x −y | p 0 1

≤ |x −y | p 0

∀x ,y ∈ I

(3.3)

On résult alors du téorème d’Ascoli que B est relativement compact dans C (I ) Exercice 3 Soit u ∈ H 1 (Ω) , par définition de H 1 (Ω) , pour tout 1 ≤ i ≤ N , il exist g i (= ∂∂ xu ∈ i L p (Ω =)) unique tel que , quelque soit ϕ ∈ D(Ω) Z Z ∂ϕ u d x = − u g i ϕd x ∂ x i Ω Ω Alors , en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz On obtient Z ∂ϕ | u d x |≤ kg i kL 2 kϕkL 2 ∂ x i Ω Ainsi la relation est vérifiée avec C = max kg i kL 2 = max k 1≤i ≤N

1≤i ≤N

∂u k 2 ∂ xi L

Exercice 4 Soit 1 ≤ p ≤ +∞ d’après le théorème de Friedrichs on choisit une suite (u n ) dans C c∞ (RN ) telle que u n → u dans L p (Ω) et ∇u n → ∇u dans (L p (ω))N pour ω ⊂⊂ Ω Alors u n ◦H → u ◦H dans L p (Ω) et (

∂ un ∂ Hi ∂u ∂ Hi ◦H ) →( ◦H ) ∂ xi ∂ yj ∂ xi ∂ yj

d ans

L p (ω0 ) pou r ω0 ⊂⊂ Ω0

Etant donnée ψ ∈ C c1 (Ω0 ) on a Projet de fin d’étude SM6

43

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3.8. INDICATIONS ET SOLUTIONS

Z

MAZID Sehail

∂ψ =− (u n ◦H ) ∂ yj Ω0

Z

X ∂u ∂ Hi n ◦H ) ψd y ( ∂ xi ∂ yj Ω0 i

Par passage à la limite on obtient le réultat désiré. Exercice 5 On a pour toute fonction ϕ ∈ C c∞ (Ω) ∂ϕ f (x ) dx =− ∂ xk

Z

Z ψk (x )ϕx d x

∂ f (x )

Où ψk (x ) = ∂ xi pour tout x ∈ Ωi . le suport de f étant borné et ψk est continue k à suport borné , donc appartient à L 2 (Ω) . Ainsi f admet une dérivé faible dans L 2 (Ω) et appartient à H 1 (Ω) Exercice 6 Soit 0 ≤ α ≤ 12 et u la fonction définie sur la boule unité de R2 par x u (x ) = |l o g (| |)|α 2 Tout d’abord , on véréfié que u est un élément de L 2 (B ) . En effet Z

2

Z

1

|u | d x = 2π B

0

r |l o g ( )|2α r d r ≤ +∞ 2

Prouver que u admet une dérivé faible ψ ∈ L 2 (B ) Où x −αx |l o g (| |)|α−1 ψ(x ) = 2 2 |x | Exercice 7 Marche à suivre : utiliser l’inégalité de hölder et le fait que u est une primitive de u0 Exercice 8 1) La fonction J est dérivable et pour tout ω ∈ H 01 (Ω) on a 〈J 0 (u ),ω〉 =

Z ∇u .∇ω− f ωd x Ω

Projet de fin d’étude SM6

44

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3.8. INDICATIONS ET SOLUTIONS

MAZID Sehail

Si u appartient a` L 2 (Ω) alors J 0 (u ) appartient au dual de L 2 (Ω) . Suite a` une intégration par partie , on obtient Z 〈J 0 (u ),ω〉 =

(∆u + f )ωd x Ω

Aussi , si on identifie L 2 (Ω) et son dual L 2 (Ω) à l’aide du produit scalaire , on obtient J 0 (Ω) = −∆u − f 2) Si on utilise le produit scalaire H 1 (Ω) pour associer une fonction a` J 0 (u ), on obtient évidamment un autre résultat . Soit v l’élément de H 01 (Ω) associé a` J 0 (u ) par identification de H 01 (Ω) et son dual a` l’aide du produit sclaire H 1 (Ω) . En d’autres termes , v est l’unique élément de H 01 (Ω) tel que pour tout ω ∈ H 01 (Ω) Z

∇v.∇ω+v ωd x = 〈J 0 (u ),v 〉 = Ω

Z ∇u .∇ω+ f ωd x Ω

Par intégration par partie , on en déduit que v est solution du problème aux limites vérifiée par u 0 . Ainsi v = u 0 et , si on identifie H 01 (Ω) et son dual H 1 (Ω) àl’aide du produit scalaire , J 0 (u ) = u 0 .

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45

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Chapitre 4 Les espaces W m ,p Les espaces de Sobolev en dimention 1

4.1

Soit I un intervalle de R, borné ou non. Et soient m ∈ N tels que m ≥ 2 et p ∈ [1,+∞]. Définition 4.1.1. On appelle espace de Sobolev d’ordre m et d’exposant p l’ensemble des fonctions de L p (I ) telles que leurs dérivées au sens de distributions d’ordre 1,2,...,m appartiennent à L p (I ). On note cet espace W m ,p (I ). Et on le définit par : ¨ Z Z W m ,p (I ) = u ∈ L p (I )|∃g 1 ,..g m ∈ L p (I )t .q.

u D j ϕ = (−1) j

I

Où

Dj φ =

∂ jφ ∂ xj

g j ϕ,∀j = 1,..,m ∀ϕ ∈ D(I ) I

, et on note g j = D j u ∀j = 1,2,..,m .

Une fonction u appartient à W m ,p (I ) si toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre m y appartiennent aussi. Plus pécisément, u ∈ W m ,p (I ) si et seulement s’il existe m fonctions :g 1 ...g m ∈ L p (I ) telle que Z Z u D j ϕ = (−1) j

I

gjϕ

∀ϕ ∈ D(I ),

∀j = 1,2...m

I

Ainsi on a ¦ © W m ,p (I ) = u ∈ W m −1,p (I ),u 0 ∈ W m −1,p (I ) 46

«

4.1. LES ESPACES DE SOBOLEV EN DIMENTION 1

AABIDA M’barek

et on le munit de norme ||u ||W m ,p (I ) =

X

||u (n ) ||L p (I )

n ≤m

si 1≤ p < +∞ Et

||u ||W m ,∞ (I ) = max ||u (n ) ||L ∞ n≤m

si p = +∞ Si p=2 , on note H m (I ) = W m ,2 (I ) et on prend pour la norme ||u ||H m (I ) =

X

||u (n) ||2L p (I )

1/2

n ≤m

qui est associée au produit hermitien : < u ,v >H m =

X n ≤m

Z

u (n ) (x )v (n ) (x )d x I

Proposition 4.1.1. Étant donnés un entier m ≥ 2 et un réel 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace W m ,p (I ) vérifie : – (i) ∀p ∈ [1,+∞], W m ,p (I ) est un espace de Banach. – (ii) ∀p ∈]1,+∞[, W m ,p (I ) est un espace réflexif. – (iii) ∀p ∈ [1,+∞[, W m ,p (I ) est un espace séparable.

alors

Preuve (i) On a l’application ||.||W m ,p (I ) est bien définie une norme sur W m ,p (I ), comme somme finie des normes. Montrons maintenant que l’espace (W m ,p (I ),||.||W m ,p (I ) ) est complet. Soit (u n )n ⊂ W m ,p (I ) une suite de Cauchy. Alors ∀k ≤ m la suite (D k u n )n est de Cauchy dans L p (I ), qui est complet pour la norme ||.||L p (I ) . Donc ∃u , g 1 ,..., g m ∈ L p (I ) telles que u n → u et D k u n → g k ∀k = 1,2,...m . lorsque n → +∞. Et on a ∀ϕ ∈ D(I ) Z Z Z Z u D k ϕ = lim

I

n →+∞

u n D k ϕ = lim (−1)k

I

Projet de fin d’étude SM6

n →+∞

47

D k u ϕ = (−1)k

I

gkϕ I

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4.1. LES ESPACES DE SOBOLEV EN DIMENTION 1

AABIDA M’barek

D’où D k u = g k , pour tout k=1,2,...,m. donc l’espace W m ,p (I ) est complet pour la norme ||.||W m ,p (I ) . (ii) Soit p ∈]1,+∞[ Soit l’opérateur T : W m ,p (I ) 3 u 7→ (u ,D 1 u ,..,D m u ) ∈ (L p (I ))m +1 On a T est une isométrie, en effet : ||Tu ||(L p (I ))m +1 = ||(u ,D 1 u ,..,D m u )||(L p (I ))m +1 = ||u ||L p (I ) +

m X

||D k u ||L p (I ) = ||u ||L p (I )

k =1

On pose ˜ = Tu ∈ T (W m ,p (I )) T˜ : W m ,p (I ) 3 u 7→ Tu Donc T˜ est une isométrie surjective, alors c’est un isomorphisme de W m ,p (I ) dans T (W m ,p (I )). Or le sous espace T (W m ,p (I )) est un fermé de (L p (I ))m +1 , en effet : Si (u n )n ⊂ T (W m ,p (I )) converge vers u, alors ∃(x n )n ⊂ W m ,p (I ) telle que T x n = u n . Donc (x n )n converge vers x dans W m ,p (I ) (puisqu’il est complet). D’où ||u n −u ||(L p (I ))m +1 = ||T x n −T x ||(L p (I ))m +1 = ||T (x n −x )||(L p (I ))m +1 = ||x n −x ||W m ,p (I ) → 0 lorsque n → +∞. Alors T (W m ,p (I )) est réflexif. (car il est un sous espace fermé dans un espace de Banach réflexif ). finalement W m ,p (I ) est un espace réflexif.(puisque T˜ est un isomorphisme de W m ,p (I ) dans T (W m ,p (I ))). (iii) Or l’espace (L p (I ))m +1 est séparable, alors T (W m ,p (I )) l’est aussi comme un sous ensemble d’un espace métrique séparable. D’où l’espace W m ,p (I ) est aussi séparable, car il est isomorphe à T (W m ,p (I )) qui est séparable.

Théorème 4.1.1. (de densité) Soit I un intervalle borné de R à frontière lipschitzienne et soit p ∈ [1,∞[ alors : L’ensemble C ∞ (I ) des restrictions des fonctions C ∞ (R) à I est dense dans W m ,p (I ) pour tout m ∈ N.

Projet de fin d’étude SM6

48

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4.2. L’ESPACE W0M ,P (I )

AABIDA M’barek

4.2

m ,p

L’espace W0

(I )

Définition 4.2.1. Soit m un entier ≥ 2 et p un réel tel que 1 ≤ p ≤ ∞. On définit m ,p l’espace W0 (I ) comme étant la fermeture de D(I ) dans W m ,p (I ). Théorème 4.2.1. m ,p

W0

¦ (I ) = u ∈ W m ,p (I );u = 0,D 1 u = 0,..,D m −1 u = 0 s u r

∂I

©

Preuve ⇒ m ,p Soit u ∈ W0 (I ). Il existe une suite (u n )n ⊂ D(I ) telle que u n → u dans W m ,p (I ) quand n → +∞. Par le choix de représentant continu on peut supposer que u ∈ C (I ).Par conséquent ,on voit que la convergence est uniforme, et comme u n = 0 sur ∂ I ∀n ∈ N, u=0 sur ∂ I . ⇐ Soit u ∈ W m ,p (I ) telle que u=0 sur ∂ I . On fixe une fonction ¨ 0 si |t | ≤ 1 G (t ) = t si |t | ≥ 2 et |G (t )| ≤ |t |,∀t ∈ R. On pose ensuite u n := n1 G (n u ). Ainsi u n ∈ W m ,p (I ). D’autre part 1 } n Par conséquent s u p p (u n ) est un compact de I. En effet, il est borné car u=0 sur m ,p ∂ I et u (x ) → 0 quand |x | → +∞,∀x ∈ I . Or u n ∈ W0 (I ) (car elle est à support compact ∀n ∈ N), alors on constate que u n →n → ∞u dans W m ,p (I ) . s u p p (u n ) ⊂ {x ∈ I ,|u n (x )| ≥

4.3 4.3.1

Les espaces de Sobolev en dimention N

Définition et Propriétées élémentaires

Soient Ω ⊂ RN un ouvert, m un entier ≥ 2 , p un réel ∈ [1,+∞] et α ∈ NN un multi-indice. Projet de fin d’étude SM6

49

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4.3. LES ESPACES DE SOBOLEV EN DIMENTION N

AABIDA M’barek

Définition 4.3.1. On définit l’espace de Sobolev sur l’ouvert Ω par : ¨ Z Z W

m ,p

p

p

(Ω) = u ∈ L (Ω),∀|α| ≤ m ,∃g α ∈ L (Ω)t .q.

α

|α|

u D ϕ = (−1)

« g α ϕ,∀ϕ ∈ D(Ω)

On peut aussi le définir par la formule de récurrence suivante : « ¨ ∂u m −1,p m ,p m −1,p ∈W (Ω),∀j = 1,2,...N W (Ω) = u ∈ W (Ω); ∂ xj On note g α = D α ϕ. Il est évident que l’espace W 0.p (Ω) coïncide avec l’espace de Lebesgue L p (Ω).

4.3.2

Propriétées élémentaires

Proposition 4.3.1. On munit lespace W m ,p (Ω) par la norme ||.||W m ,p , telle que ¨ P α p si p < +∞ 0≤|α|≤m ||D u ||L ||u ||W m ,p = α max0≤|α|≤m ||D u ||L ∞ si p = +∞ qui lui donne une structure d’espace de Banach. Preuve L’opérateur D α est linéaire et comme l’application ||.||L p est une norme sur L p (Ω) alors l’application ||u ||W m ,p définie une norme sur W m ,p (Ω). Montrons que W m ,p (Ω) est complet. soit (u n )n une suite de Cauchy dans W m ,p (Ω). Alors (D α )n est une suite de Cauchy dans L p (Ω), puor tout α multi-indice avec 0 ≤ |α| ≤ m . Et comme L p (Ω) est complet alors ∃u ,u α ∈ L p (Ω) telles que u n → u et D α u n → u α . Or L p (Ω) ⊂ L 1l oc (Ω) donc u n détermine une distribution Tu n ∈ D 0 (Ω), et ona : ∀ϕ ∈ D(Ω) Z |Tu n (ϕ)−Tu (ϕ)| ≤

|u n −u |.|ϕ| ≤ ||ϕ||q .||u n −u ||p Ω

(D’après l’inégalité de Hölder avec p1 + q1 = 1) D’où Tu n (ϕ) → Tu (ϕ) ∀ϕ ∈ D(Ω)

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4.4. L’ESPACE H M (Ω)

AABIDA M’barek

De même T D α u n (ϕ) → Tu α (ϕ) ∀ϕ ∈ D(Ω). Et comme ∀ϕ ∈ D(Ω) Tu α (ϕ) = lim T D α u n (ϕ) = lim (−1)|α| Tu n (D α ϕ) = (−1)|α| Tu (D α ϕ) n →+∞

n →+∞

Alors u α = D α , ∀α ∈ NN avec 0 ≤ |α| ≤ m . Donc u ∈ W m ,p (Ω) et |u n −u | → 0 quand n → +∞ Finalement W m ,p (Ω) est complet, donc l’espace (W m ,p (Ω),||.||W m ,p ) est un espace de Banach. Proposition 4.3.2. Etant doonée m ∈ N et p ∈ [1+∞[ 1. pour tout p ∈]1+∞[, W m ,p (Ω) est réflexif. 2. pour tout p ∈ [1+∞[, W m ,p (Ω) est séparable.

4.4

L’espace H m (Ω)

Définition 4.4.1. Un cas particulier de ces espaces de Sobolev est celui où p=2. Soit m un entier positif . On note H m (Ω) l’espace des fonctions u de L 2 (Ω) dont toutes les dérivées d’ordre inférieur ou égal à m appartenant à L 2 (Ω). Et on a ∀m ∈ N ¦ © H m (Ω) = W m ,2 (Ω) = u ∈ L 2 (Ω)t .q.D α u ∈ L 2 (Ω),∀α ∈ NN avec ,|α| ≤ m Par rapport aux espaces de Sobolev W m ,p (Ω) les espaces H m (Ω) possèdent une propriété supplémentaire fort agréable : ce sont des espaces de Hilbert, pour le produit scalaire : Z X < u ,v >m ,Ω = D α u .D α v 0≤|α|≤m Ω

La norme associée est : ||u ||m ,Ω =

 X

Z

|D α u |2

1/2

0≤|α|≤m Ω

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4.5. L’ESPACE H S (Ω)

AABIDA M’barek

Théorème 4.4.1. (de Sobolev) Si Ω est borné de frontière régulière c 1 par morceaux, alors toute fonction v ∈ H m +[N /2]+1 (Ω), avec m ∈ N [N/2]=la partie entière de n/2, coïncide p.p. dans Ω avec une fonction de C m (Ω), c’est à dire une fonction de C m (Ω) qui se prolonge continûment sur C m (Ω) avec ses dérivées d’ordre |α| ≤ m , et ∃C > 0 ∀v ∈ H m +[N /2]+1 (Ω) sup sup |∂ α v | ≤ C ||v ||m +[N /2]+1 |α|≤m x ∈Ω

de sorte l’injection de H m +[N /2]+1 (Ω) dans C m (Ω) est linéaiire continue. En particulier, pour N=1 il vient H 1 (]a ,b [) ⊂ C 0 ([a ,b ]) et por N=2 il vient H 2 (Ω) ⊂ C 0 (Ω). Théorème 4.4.2. (de Rellich) Soit Ω borné de frontière régulière c 1 par morceaux. Si (v j ) j est une suite bornée dans H m (Ω), on peut en extraire une soussuite (v j k ) j k convergente dans H m −1 (Ω), autrement dit l’injection de H m (Ω) dans H m −1 (Ω) est compacte.

4.5

L’espace H s (Ω)

Définition 4.5.1. Plus généralement, on utilise la transformée de Fourier pour définir l’espace de Sobolev lorsque p=2. Pour tout s ∈ R on définit ¦ © H s (RN ) = u ∈ S 0 (RN ) t.q (t 7→ (1+|t |2 )s /2 ub (t )) ∈ L 2 (RN ) Proposition 4.5.1. Soit s ∈ R 1. la forme sesquilinéaire < u ,v >H s = produit scalaire sur H s (RN )

R RN

(1+|t |2 )s ub (t )vb(t )dt définie un

2. Les normes ||.||m ,Ω et ||u ||H m sont équivalentes. Théorème 4.5.1. pour tout réel s l’espace (H s (RN ),< u ,v >s ) est un espace de Hilbert

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52

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4.5. L’ESPACE H S (Ω)

AABIDA M’barek

Preuve Comme la transformée de Fourier est linéaire et comme L 2 (RN ) est un espace vectoriel, il est clair que H s (RN ) est un espace vectoriel. Montrons maintenant que la forme < u ,v >s définie un produit scalaire. Tout d’abord < u ,v >s est bien définie sur H s (RN )×H s (RN ) et y sesquilinéaire continue. D’autre part si u ∈ H s (RN ) telle que < u ,v >s =0. Alors Z RN

(1+|t |2 )s |ub (t )|2 = 0.

Don c (1+|t |2 )s |ub (t )|2 = 0 p.p

(car c’est une fonction positive dont l’intégrale est nulle). Alors ub = 0, donc u(t)=0 (puisque la ransformée de Fourier est inversible dans S 0 (RN )). D’où < u ,v >s est définie un produit scalaire sur H s (RN )×H s (RN ). Il reste á démonrer que H s (RN ) est complet. Soit (u k )k ⊂ H s (RN ) de Cauchy. Alors Z RN

(1+|t |2 )s |ubp (t )− ubq (t )|2 d t →p,q →+∞ 0

On en déduit que la suite de fonctions (t 7→ (1+|t |2 )s /2 ubk (t ))k est aussi de Cauchy dans L 2 (RN ) qui est complet. Donc elle coverge vers g ∈ L 2 (RN ), et ona g ∈ S 0 (RN ) (car L 2 (RN ) ⊂ S 0 (RN )). Et comme l’application t 7→ (1+|t |2 )−s /2 est à croissace lente alors (1+|t |2 )−s /2 g (t ) est aussi dans S 0 (RN )).Donc ∃ ∈S 0 (RN ),telle que ub (t ) = (1+|t |2 )−s /2 g (t ) donc u ∈ H s (RN ). Ceci prouve bien que l’espace H s (RN ) est complet pour la norme associée. Proposition 4.5.2. Étant donnés un entier m et un réel s, alors les normes |||u |||H m e t ||u ||H s sont équivalentes Projet de fin d’étude SM6

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4.5. L’ESPACE H S (Ω)

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Preuve Soit (m ,s ) ∈ N×R, alors |||u |||H m =

È X

||D α u ||2L 2

0≤|α|≤m

et

s ||u ||H s =

X

Z

|D α u |2

0≤|α|≤m Ω

Donc il existe une constante C > 0 telle que ∀t ∈ RN C −1

X

X

|t |2|α| ≤ (1+|t |2 )m ≤ C

0≤|α|≤m

|t |2|α|

0≤|α|≤m

Comme la transformée de Fourier est, à une constante prés , une isométrie de L 2 (RN ) sur lui même , alors on a D α u ∈ L 2 (RN ) ⇔ t α ub ∈ L 2 (RN ) Donc, on en déduit que u ∈ H m (RN ) ⇔ ∀α ∈ NN tel que |α| ≤ m ,D α u ∈ L 2 (RN ) d’où on a l’équivalence de ces deux normes.

Proposition 4.5.3. ∀s 1 ,s 2 ∈ R , si s 1 ≥ s 2 , alors H s 1 (RN ) ⊂ H s 2 (RN ) avec une injetion continue Preuve si s 1 ≥ s 2 donc (1+|t |2 )s 1 ≥ (1+|t |2 )s 2 , ∀t ∈ RN . Et on a ||.||s 1 ≥ ||.||s 2 . Proposition 4.5.4. Étant donné un réel s, alors on a H −s (RN ) est isométriquement isomorphe à (H s (RN ))0 Où (H s (RN ))0 est le dual topologique de H s (RN ).

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4.5. L’ESPACE H S (Ω)

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Preuve soit l’application Λ : H s (RN ) 3 φ 7→ Λφ ∈ (H s (RN ))0 où Λφ est une forme linéaire continue sur H s (RN ) définie par Λφ(ϕ) =< φ,ϕ >H s (RN ) D’aprés la représentation de Riesz, l’application Λ est un isomorhisme isométrique. Soit l’application b −1 ∈ H −s (RN ) T : H s (RN ) 3 ψ 7→ (F ((1+|t |2 )s /2 ψ)) Par définition même de H s (RN ) et de ||.||H s (RN ) , on a T est une application linéaire, il est évident que T est un isomorphisme isométrique . On pose Γ f = ΛT −1 f

l’application Γ f est un isomorphisme de H −s (RN ) dans (H s (RN ))0 . Théorème 4.5.2. (de Meyer-Serrin) Soit Ω un ouvert de RN , alors on a ∀m ∈ N l’espace C ∞ (Ω)∩H m (Ω) est dense dans l’espace H m (Ω) Proposition 4.5.5. ∀(s ,m ) ∈ R×N, on a : D(RN ) est dense dans H s (RN ) Preuve On a D(RN ) ,→ S(RN ) ,→ H s (RN ) avec les injections sont continues. Or la première injection étant de plus dense , alors il suffit de montrer que S(RN ) est dense dans H s (RN ). Soit u ∈ H s (RN ), alors (1+|t |2 )s /2 ub (t ) ∈ L 2 (RN ) Comme S(RN ) est dense dans L 2 (RN ), alors ∃(ϕn )n ⊂ H s (RN ) telle que ϕn →n →∞ (1+|t |2 )s /2 ub (t ) ∈ L 2 (RN ) dans L 2 (RN ) Projet de fin d’étude SM6

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4.6. INJECTIONS DE SOBOLEV

Soit

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ψn = (1+|t |2 )−s /2 ϕn (t )

on a ψn est encore dans S(RN ) ( par définition de S(RN )). Et comme la transformée de Fourier étant bijection bicontinue (elle est continue de récéproque aussi continue) de S(RN ) dans lui même. On peut donc choisir (u n )n ⊂ S(RN ) telle que ubn = ψn on a alors ||u n −u || ≤ C ||(1+|t |2 )s /2 ubn − ub ||L 2 = ||ϕn −(1+|t |2 )s /2 ub ||L 2 →n →∞ 0 D’où u n → u dans H s (RN ) Alors S(RN ) est dense dans H s (RN ). Ce qui acheve preuve .

4.6

Injections de Sobolev

Définition 4.6.1. Soient (E ,||.||E ),(F,||.||F ) deux espaces normés tels que E ⊂ F , on dit que (E ,||.||E ) s’injecte continuement dans (F,||.||F ) s’il existe une injection de E dans F et étant continue ( ∃C > 0 , ∀x ∈ E ona a ||x ||E ≤ C ||x ||F ). Et on note (E ,||.||E ) ,→ (F,||.||F ) Les espaces de Sobolev W m ,p (Ω) mélangent les notions de régularité (rôle de m ) et d’intégrabilité (rôle de p). On va voir qu’en réalité ces deux aspects sont liés, et qu’en imposant suffisamment d’intégrabilité aux dérivées au sens de distributions d’une fonction, on peut obtenir de la régularité. Les injections de Sobolev font apparaître des conditions critiques et délicates sur la régularité de la frontière de l’ouvert sur lequel on travaille. Dans le cas de l’espace tout entier on a des injections continues mais jamais d’injections compactes. Proposition 4.6.1. Soit s un réel strictement positif, alors on a H s (RN ) ,→ L 2 (RN ) ,→ H −s (RN ) Proposition 4.6.2. Soit (s ,m ) ∈ R×N ∗ Si s ≤ m alors W s ,p (Ω) ,→ W m ,p (Ω) ∗ Si p ≤ q et Ω borné alors W s ,q (Ω) ,→ W m ,p (Ω) Projet de fin d’étude SM6

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4.7. EXEMPLE D’APPLICATION

4.7

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Exemple d’application

Le problème de Dirichlet pour l’équation de Poisson. Revenons au problème initial : Soit un domaine de RN de classe C 1 borné et de bord ∂ Ω . Considérons le problème (1) de Dirichlet suivant ¨ −∆u = f , dansΩ ; u = 0, sur∂ Ω. où f est donnée sur Ω et u : Ω → R est l’inconnue. Une solution classique de (1) est une solution u ∈ C 2 (Ω) vérifiant (1). Une solution faible de (1) est une fonction u ∈ H 01 (Ω) vérifiant Z Z ∀v ∈ H 01 (Ω)

∇u .∇v = Ω

fv Ω

A) Toute solution classique est une solution faible. En effet, u ∈ H 01 (Ω)∩C 1 (Ω) et donc u ∈ H 01 (Ω) D’autre part, si v ∈ D(R), on a Z Z ∇u .∇v = Ω

fv Ω

et cette égalité reste vraie pour v ∈ H 01 (Ω) par densité. B) L’existence et l’unicité de la solution faible. C’est le principe de Dirichlet. Pour tout f ∈ L2(Ω), il existe u ∈ H 01 (Ω) unique solution faible de. De plus u s’obtient par Z Z Z « ¨ Z 1 1 2 2 ||∇u || − f u = min ||∇v || − f v (2) 2 Ω v ∈H 01 (Ω) 2 Ω Ω Ω C’est une conséquence directe du théorème de Lax-Milgram. C) La solution faible est suffisamment régulière. D) Admettons que la solution faible u ∈ H 01 (Ω)de (2) appartienne à C 2 (Ω) et supposons que Ω de classe C 1 . Alors u = 0 sur ∂ Ω. D’autre part, on a Z Z ||∆u v || = Ω

u v,

∀v ∈ D(R).

Ω

et donc l’équation : −∆u = f presque partout sur Ω . En fait, on a alors égalité partout sur Ω car u ∈ C 2 (Ω) et donc u est une solution classique. Projet de fin d’étude SM6

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4.8. EXERCICES

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Théorème 4.7.1. (de Lax-Milgram) Nous considérons ∗ V un espace de Hilbert réel. ∗ γ une forme bilinéaire continue sur V ×V et V-elliptique (i .e :

∃β > 0 ∀v ∈ V γ(v,v ) ≥ β ||v ||2 )

∗ φ une fonctionnelle linéaire continue sur V. Alors il existe un et un seul u ∈ V vérifiant ∀v ∈ V γ(u ,v ) = φ(v ) Et l’application γ → u est linéaire continue de V’ dans V . Théorème 4.7.2. Nous considérons ∗ V un espace de Hilbert réel et V0 un sous-espace fermé de V, γ une forme bilinéaire et continue sur V × V et V0 − e l l i p t i q u e , φ une fonctionnelle linéaire continue sur V , u 0 un èlèment de V. Alors il existe un et un seul u ∈ V solution du problème (P)

trouver u ∈ u 0 +V0 tel que ∀v ∈ V0 γ(u ,v ) = φ(v ).

Preuve 4.7.1. Remarquons q u e w = u −u 0 doit vérifier w ∈ V0 e t ∀v ∈ V0 γ(u ,v ) = φ(v )−γ(u 0 ,v ) et w existe et est unique par le théorème de Lax-Milgram 1.7.1, d’où l’existence et l’unicité de la solution du problème (P).

4.8

Exercices

Exercice 4. Etant donné Ω un ouvert de RN . 1) Soit l’espace H s (RN ) Montrer que l’application I −∆est un isomorphisme de H s +2 (RN ) dans H s (RN ). b) justifier pourquoi D k (RN ) ⊂ H s (RN )∀k ∈ N. c) prouver que H s (RN ) ⊂ C k (RN )∀s > k + N2 ,∀k ∈ N. d) Montrer que ∇ : H s (RN ) → H s −1 (RN ) et que si u ∈ H s (RN ) et ϕ ∈ D k (RN ),alors u ϕ ∈ H s (RN ). 2)Soit ω ⊂ Ω un ouvert. On note H s (ω) = {u ∈ D 0 (ω),∀ϕ ∈ D(ω);u ϕ ∈ H s (RN )} Projet de fin d’étude SM6

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4.8. EXERCICES

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Montrer que toute distribution est localements dans H s (ω) ; ie : ∀T ∈ D 0 (ω),∀ω ⊂ Ω ouvert tel que ω ⊂ Ω, ∃δ = δ(T,ω) ∈ R tel que T ∈ H s (RN ). 3)Soit f ∈ D 0 (ω) et u ∈ D 0 (ω) une solution de -∆u = f au sens de D 0 (ω). On suppose que f ∈ H s (RN ), avec ω un ouvert de Ω tel que ω ⊂ Ω a) Montrer que u ∈ H r +2 (ω). b) En déduire que si f ∈ C ∞ (ω), alors u ∈ C ∞ (ω).On dit que l’opérateur ∆ est hypoéliptique.

4.8.1

Solution

1) - On rappelle que ¦ © H s (RN ) = u ∈ S 0 (RN ) t.q (t 7→ (1+|t |2 )s /2 ub (t )) ∈ L 2 (RN ) a) - Pour tout T ∈ S 0 (RN ), on a F (∂x j T ) = i t j Tb puisque pour tout ϕ ∈ D(Ω) b 〈F (∂x j T ) , ϕ〉 = 〈∂t j T , ϕ〉

b = − 〈T , ∂t j ϕ〉

= 〈T , i F (x ϕ)〉 = 〈i t j Tb , ϕ〉

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)

Donc F ((I −∆)T ) = (1+|t |2 )Tb et pour tout T ∈ S 0 (RN ) on a si et seulement si si et seulement si

T ∈ H s +2 (RN ) (1+|t |2 )s /2+1 Tb ∈ L 2 (RN )

(1+|t |2 )s /2 F ((I −∆)T ) ∈ L 2 (RN )

si et seulement si (I −∆)T ∈ H s (RN ) Il est alors clair que l’application H s +2 (RN ) 3 T 7→ ψ := F −1 ((1+|t |2 )Tb) ∈ H s (RN ) Projet de fin d’étude SM6

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4.8. EXERCICES

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est un isomorphisme. En particulier, si ψ ∈ H s (RN ) alors T := F −1 (

b ψ ) ∈ H s +2 (RN ) (1+|t |2 )

b) pour tout u ∈ C ck (RN ), on a ∂ α u ∈ C c (RN ) ⊂ L 2 (RN ) ∀α, |α| ≤ k .i |α| t α ub = F (∂ α u ) ∈ L 2 (RN ) car F est une isométrie de L 2 (RN ). En particulier, (1+|x |2 )k /2 |ub | ≤ C (1+|x 1 |+|x 2 |+...+|x k |)|ub | ∈ L 2 (RN ) et donc u ∈ H k (RN ) c) On rappelle que H s (RN ) ⊂ C 0 (RN ) si s > N2 alors

ub ∈ L 1 (RN )

d’aprés l’inégalité de Cauchy- Schwarz et le fait que F −1 : L 1 (RN ) → C 0 (RN )) Comme l’opérateur ∂ j est définie de H s +1 (RN ) à valeurs dans H s (RN ) , c’est juste l’inégalité |t |(1+|t |2 )k /2 ≤ C (1+|t |2 )(k +1)/2 on a ∂ α u ∈ C 0 (RN ) pour tout u ∈ H s (RN ) ∀α, |α| ≤ [s −

N ] 2

Où [.] désigne la partie entière. Enfin, on remarque que (1+|t |2 )k /2 ≤ 16k /2 (1+|y |2 )k /2 (1+|t −y |2 )k /2

∀t ,y ∈ RN

En effet por tout y ∈ RN tel que |y | ≥ |t |/4 on a (1+|y |2 )(1+|t −y |2 ) ≥ 1+|y |2

(4.5)

2

(4.6)

≥ 1+|t | /16 Projet de fin d’étude SM6

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4.8. EXERCICES

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et pour tout y ∈ RN tel que |y | ≤ |t |/4 on a (1+|y |2 )(1+|t −y |2 ) ≥ 1+|t −y |2

(4.7)

≥ 1+|t |2 /2−|y |2

(4.8)

2

≥ 1+|t | /16

(4.9)

on a utilisé l’inégalité de Young. D’où | < t ,y >RN | ≤ |t |2 /4+|y |2 Ainsi en notant

˜ = (1+|t |2 )k /2 ub u

et

φ = 16k /2 (1+|t |2 )k /2 ub

on obtient |F (u ϕ)|(1+|t |2 )k /2 ≤ |u ∗ϕ|(1+|t |2 )k /2 ≤

u∗φ

(4.10) (4.11)

et donc ˜ ˜ L 2 ||φ||L 2 ≤ C N ||u ϕ||H k +N +1 ||u ||H k < ∞ ||u ϕ||H k ≤ ||u∗φ|| L 2 ≤ ||u||

(4.12)

2) Soit ω ⊂ Ω ouvert tel que ω ∈ Om e g a ∃χ ∈ D(RN ) tel que χ ≡ 1s u r ω . On alors Tχ ∈ E 0 (Ω)), et donc on peut considérer Tχ comme un élément de S 0 (RN ) (en posant < Tχ ,ϕ >=< T,χϕ > pour tout ϕ ∈S(RN ). Par définition d’une distribution, il existe m ∈ N, C > 0 tels que ∀ψ ∈ D(Ω),

s u p p (ϕ) ⊂ s u p p (χ),

| < T,χ > | ≤ sup sup |(∂ α ψ)(x )|. |α|≤m x ∈Ω

On en déduit ∀ϕ ∈ S(RN )| < T χ,ϕ > | ≤ C ||χϕ||W m ,∞ ≤ C ||χϕ||H −s ≤ C ||ϕ||H −s

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4.8. EXERCICES

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où on a posé -s := m + N/2 + 1. Par ailleurs, F (χT ) ∈ C ∞C 1p u i s q u e χT ∈ E (RN ). Ainsi, pour tout ϕ ∈ D(RN ) et une suite (ρm ) d’approximation de l’identité Z Z (1+|t |2 )s F (T χ)ϕd t

=

RN

=

(1+|t |2 )s F ((T χ)∗ρm )ϕd t (4.13)

lim

m →+∞

N

ZR

lim

m →+∞

(T χ)∗ρm F ((1+|x |2 )s ϕ)d t(4.14)

RN

= < T χ,F ((1+|x |2 )s ϕ) > 2 s

≤ C ||F ((1+|x | )

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ϕ||−s H

= C ||ϕ||L 2

(4.15) (4.16)

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