97106997-Guia-6-Integrales-Multiples.doc

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS Materia: Matemática III Ciclo: I/2012 GUÍA Nº 6: Integrales Múltiples Evalúe las siguientes integrales iteradas. 3 2

1.



  4  0 0

x2 9



y 2

 dydx 16  

4 y

3.



9  y

2

0 0

5.

 0 0

2  y

6.

R/ 8

0

49 5

 x 3 2  dxdy  1 R/  8 2  y



8.

  2 dpdv

R/ 8

5  43 cos 2 

R/ 2

 

10.

3 4

 2cos

 

R/ 

2 v

  3 cost dudt r drd

R/ 42

sin 

 2 0

 3 0

11.

dxdy

x

1 y2

2

3

y



 3 sect

9.

dydx

8 v

 t  4 s  2 dsdt 0

3

1 0

t

4

7.

  xy

2.

4.

1 R/ 3

x  y dxdy

2 2x

4 y

98 R/ 3

dxdy

1 1

43 R/ 2

R/

R/

0

9 8

 2 2

3

0

rdrd 

12.

2



r 4  r 2 cos 2  drd

0 0

R/

16 3

En los siguientes ejercicios trace la región de integración. Invierta el orden de integración y evalúe.  

13.

 x

sin y

0

y

1 1

dydx

R/ 2

  cos  16  x  dxdy R/ 80  5

0 y1 4

 y

x 2 e xy dxdy

R/

0

1 16 1 2

15.

14.

1

 sin x

16.

  0

0

ydydx

R/

e2 2

 4

1

En los ejercicios siguientes, cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar. 1 x2

1

17.

19.

 

dydx

0 1

0

1

1 y 2

1

18.



R/   ln 4  1



 

0

 R/ 2

ln x 2  y 2  1 dxdy

0

2

 

1

 1 x

2

1

2

x y

R/   1  ln 2 

dydx 2

 1 y 2

En los siguientes ejercicios dibuje la región de integración.  4

20.

  0



rdrd

21.

 csc

 4

0

 1

22.

3 4 2 sin 

4 cos 2 

rdrd 

2

e r rdrd

0 0

En los siguientes ejercicios evalúe la integral doble 23.

 sin xdA R es la región acotada por las siguientes rectas: y  2 x , y  2x y x  

R/

R

24.

 x

2

R

25.

  4 e

9  y 2 dA , R es la región acotada por la circunferencia x 2  y 2  9 R/ 864 5



x2

 5 sin y dA ; R es la región limitada por las gráficas de y  x , y  0 y x  4

R/

2 e16  5 sin 4  22

R

26.

3 2

2   6 y  x  dA ; R es la región limitada por las gráficas de y  cos x y y  x

2

R/   3.66

R

En los siguientes ejercicios utilice integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas del plano xy . Dibuje también la región. 27. y  x 3 , y  x 2

R/

1 12

28) y  x 2  9 , y  9  x 2 R/ 72

1 29. y  x , y  x 2 en el primer cuadrante R/

6

31. x   y 2 , y  x  2 R/

9 2

30. y  x 2 , y  x  2

R/

9 2

32b. y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 2 R/ 1 2

32a. x  y 2 , x  2 y  y 2

R/

1 3

En los siguientes ejercicios calcule el área de la región polar usando integrales dobles. Dibuje la región. 33. Interior a una hoja de la rosa r  cos 2  34. Interior al círculo r  4 sin  y exterior al círculo r  2

35. Encerrada por la gráfica de r  3 cos 3 36. Interior a r  4 y exterior a r  2

R/

R/

2  3 3 3

4  6 3



3

9 4

R/ 12 

En los siguientes ejercicios escriba y evalúe una integral doble que represente el volumen del sólido descrito. 37. Limitado por el cilindro x 2  y 2  16 , el plano

z 4x

z0

y

R/

512 3

38. Limitado por los cilindros x 2  y 2  4 y z 2  4 en el primer octante.

R/

16 3

15   32 39. Limitado por las superficies x  z 2  1 , x  y , x  y 2 en el primer octante. R/ 120

40. Sólido del primer octante cortado en el cilindro x 2  y 2  9 por el plano x  z R/ 9

41. Sólido del primer octante limitado por

zr

y el cilindro r  3 sin  R/ 6

42. Sólido cortado en la esfera z 2  r 2  16 por el cilindro r  4 cos 

R/

128  3  4  9

En los siguientes ejercicios dibuje el sólido cuyo volumen esta dado por la integral doble dada. 2 4

43.



y

2

2 2 4 x

2

 4 x dydx

44.

02x

1 x

45.

 0 0

1 1

1  x 2 dydx 

 0 x

1  y 2 dydx

46.

2    4  x  dydx 0

0

6

43 x 2

  0

0

 

 2

x y   dydx 3 2

3

2 5

47.

 r

2 2 3

drd

  r  r cos   2 drd

48.

0 0

4

49.

4 y  y2

  2

0 1

4 y  y 2  x 2 dxdy

 4 y  y2

Utilice una integral doble en coordenadas polares para encontrar el volumen del sólido descrito. 50. Región formada por la intersección de los cilindros y  3 x 2  3 z 2 y y  4  x 2  z 2 R/ 2  51. Región formada por la intersección de los cilindros x  y 2  z 2 y 2 y  y 2  z 2 en la dirección del eje x positivo R/

3 2

Evalúe las siguientes integrales triples 2 2 2

52.

 x y zdxd yd z

1 1 1

R/ 8

53.

0 0 0

e e e

54.

 1 1 1

1 dx d ydz xyz

  x

2



 y 2  z 2 dz d ydx

R/ 1

0 0 0

3

R/ 1

55.

9 x2

  0

9 x2

0



dx d ydz

R/ 18

0

1 1 1 y

56. La siguiente es la región de integración de la integral

   dzd yd x . Escriba los 5 restantes

1 x 2

0

órdenes de integración.

Calcule el volumen de cada una de las siguientes regiones. 57. Región entre el cilindro z  y 2 y el plano xy que está acotada por los planos x  0 , x  1 ,

y  1 , y  1

R/

2 3 4

58. Región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y  z  2 y el cilindro

x  4  y2

20 3

R/

59. El tetraedro el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por  1 , 0 , 0  ,  0 , 2 , 0  y  0 , 0 , 3 R/ 1 60. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y  1  x y la

 x  , 0  x 1  2

 superficie z  cos 

R/

4 x2

61. La región común, en el primer octante, a los interiores de los cilindros x 2  y 2  1 y x 2  z 2  1 R/

16 3

62. La región cortada en el cilindro x 2  y 2  4 por el plano z  0 y el plano x  z  3 R/ 12  63. Región cortada en el cilindro elíptico sólido x 2  4 y 2  4 por el plano z  0 y el plano z  x  2 R/ 4  64. Cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r  2 sin  y el plano xy y cuya parte superior está en el plano z  4  y 65. Cilindro circular recto sólido cuya base es la región del plano xy que está dentro de la cardioide r  1  cos  y fuera de la circunferencia r  1 y cuya parte superior está en el plano z  4 R/   8 66. Escriba las 6 integrales que representan el volumen del sólido limitado por z  x  y 2 , arriba del plano x  z  1 y debajo de z  1 . Calcule el volumen. R/

4 15

67. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido cuyo volumen, en coordenadas cartesianas está dada por 4 y y2

4

  2



4 y  y2

4 y  y2 x 2



dz dxdy

R/

0

8 3

68. Utilice una integral triple en coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por x 2  y 2  z 2  4 , y  x , y  3 x , z  0

2 9

R/

2   4 cos 

69. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por

  0

0

2

sin  d  d d

0

5

70. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro

 32 2  16   3  

x 2  y 2  4 , la superficie z  8  x 2  y 2 y el plano z  0 . R/   

71. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del sólido del problema 19. 72. Escriba una integral triple en coordenadas esféricas que represente el volumen del sólido entre la esfera   cos  y el hemisferio   2 , z  0 R/

31 6

73. Calcule el volumen del sólido encerrado por la cardiode de revolución   1  cos  . R/

8 3

74. Calcule el volumen del sólido acotado abajo por la esfera   2 cos  y arriba por el cono

z  x2  y2

R/

 3

75. Sea Q el casquete de una esfera sólida de radio 2, cortado por el plano z  1 . Exprese el volumen de Q como una integral triple en coordenadas: a) esféricas, b) cilíndricas y c) cartesianas. Calcule además el volumen evaluando la integral más sencilla. R/

5 3

76. Un depósito semiesférico de 5 cm de radio se llena con agua hasta 3 cm de la parte superior. Calcule el volumen de agua en el tazón utilizando una integral triple en coordenadas esféricas. R/ 36  77. Calcule el volumen para el depósito del problema 25 si ahora se llena completamente R/

250 3

6

2

2

4r2

 

78. Transforme

0

0

3 dzdrd a coordenadas cartesianas en el orden dz dxdy y a

r



coordenadas esféricas. Evalúe la integral que le resulte más sencilla. R/ 2 8  4 2



79. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple:  2 1  cos  4

   rdzdrd

 2

1

0

80. Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple:  2 3  4 1 cos

   0

0

 2 sin d  d d

0

81. Evalúe la siguiente integral cambiando el sistema de coordenadas.

1

1 x2

  0

1 x 2  y 2



x 2  y 2  z 2 dzdydz

R/

 2

 1 x2  1 x2  y2

7