94099909 Analiza Elektroenergetskog Sistema Zbirka 100 Zadataka

Nikola Rajaković

Milan Ćalović

Predrag Stefanov

Aleksandar Savić

100 REŠENIH ZADATAKA IZ ANALIZE ELEKTROENERGETSKIH SISTEMA

BEOGRAD, 2002

Osnovni proračuni

2

Poglavlje 1 OSNOVNI PRORAČUNI

Osnovni proračuni

3

Zadatak 1.1 Za deo elektroenergetskog sistema prikazan na sl. 1.1a izračunati parametre ekvivalentnih šema voda i transformatora. 3 2 AT 1 2

Jaka mreža UnM = 220 kV

1 3

Unv = 400 kV Lv = 260 km AT

Ur = 200 kV

Sl. 1.1a Elektroenergetski sistem iz zadatka 1.1

Podaci za autotransformatore su sledeći: Sn12 = 400 MVA X12% =12 % gub PCun = 727 kW

m = 400/231/36,75 kV/kV/kV X23% = 14 % X13% = 17,5 % gub PFen = 148 kW io% = 0,15 % In

Nadzemni vod je nominalnog napona 400 kV sa provodnicima u snopu 2×(Al-Fe 490/65 mm2). Prečnik provodnika je d = 30,6 mm, a poluprečnik kruga na kome su razmešteni provodnici u snopu Rs = 200 mm (Ds = 400 mm). Podužna aktivna otpornost voda je rv = 0,0295 Ω/km,f. Na sl. 1.1b prikazan je raspored provodnika na stubu. D = 1100

D = 1100 Ds = 40

377 1100

2 1100 = 733 3

600

2277 1900 800

sve mere su u cm

600

Osnovni proračuni

4 Sl. 1.1b Raspored provodnika na stubu, za vod iz zadatka 1.1

Rešenje: S obzirom da će vod biti predstavljen monofaznom ekvivalentnom π-šemom, to se najpre nalaze konstrukcioni parametri voda (Rv, Xv, Bv). Pošto je zadata podužna aktivna otpornost voda to je ukupna aktivna otpornost: Rv = rvLv = 0,0295⋅260 = 7,67 Ω/f. Aktivna otpornost jednog od provodnika snopa je dvostruko veća, pošto se u snopu nalaze dva provodnika. Podužna pogonska induktivnost voda lv nalazi se prema izrazu: lv = 2 ⋅10 −4 ln

DSG , r 'es

gde je srednje geometrijsko rastojanje, (prema sl. 1.1b), s obzirom da su provodnici u horizontalnoj ravni: DSG = 3 D12 D13 D23 = 3 D ⋅ 2 D ⋅ D = 3 2 ⋅ D = 1,2599 ⋅ 11 = 13,859 m , a ekvivalentni poluprečnik snopa:

r 'es = n nre Rsn−1 = 2 ⋅ (0,95 ⋅

30,6 ) ⋅ 200 = 76,25 mm . 2

U gornjoj formuli za proračun ekvivalentnog poluprečnika snopa sa re je označen ekvivalentni poluprečnik provodnika koji uvažava činjenicu da se kod proračuna induktivnosti uticaj unutrašnje induktivnosti iskazuje preko uvođenja odgovarajućeg prstena (u kome je koncentrisana sva struja) na rastojanju re od ose provodnika. Za Al-Fe užad obično se uzima da je re ≅0,95r, gde je sa r označen stvarni poluprečnik užeta. Prema tome podužna induktivnost voda je: lv = 2 ⋅10 −4 ln

1385,9 = 10,4 ⋅10 −4 H/km, f , 7,625

a podužna reaktansa:

xv = ωlv = 314 ⋅10,4 ⋅10 −4 = 0,327 Ω/km, f . Oznaka 'f ' ukazuje da su parametri izračunati po fazi trofaznog voda. Podužna pogonska kapacitivnost nalazi se prema formuli:

cv =

55,55 ⋅10 −9 D ln SG  res 

2hSG 2 2 4hSG + DSG

   

,

Osnovni proračuni

5

gde je sa res označen ekvivalentni poluprečnik snopa sa stanovišta kapacitivnosti (zato što provodnik poluprečnika res ima istu kapacitivnost kao i odgovarajući snop provodnika po fazi):

res = n nrRsn−1 = 2 2 ⋅15,3 ⋅ 200 = 78,23 mm . Ovaj ekvivalentni poluprečnik snopa (res) razlikuje se od odgovarajućeg ekvivalentnog poluprečnika snopa merodavnog za proračun induktivnosti ( res′ ), pošto u formuli za njegovo izračunavanje figuriše stvarni, a ne ekvivalentni poluprečnik provodnika. Prema sl. 1.1b srednja geometrijska visina faznih provodnika je hSG = H −

2 2 f = 19 − ⋅ 11 = 11,67 m , 3 3

odnosno, jednaka je srednjoj težišnoj visini faznih provodnika nad zemljom (s obzirom da su provodnici u horizontalnoj ravni), gde je f=11 m maksimalni ugib provodnika. Posle zamene brojčanih vrednosti nalazi se: cv =

55,55 ⋅ 10 −9

 1385,9 2 ⋅11,67 ⋅ ln  7,823 4 ⋅11,67 2 + 13,859 2 

   

= 11,05 ⋅ 10 −9 F/km, f ,

pa je odgovarajuća pogonska podužna susceptansa:

bv = ωcv = 314 ⋅11,05 ⋅10 −9 = 3,47 ⋅10 −6 S/km, f . Sada su ukupna reaktansa, odnosno susceptansa: X v = xv Lv = 0,327 ⋅ 260 = 85,02 Ω ;

Bv = bv Lv = 3,47 ⋅10 −6 ⋅ 260 = 0,9022 ⋅10 −3 S. Treba primetiti da je u ovom konkretnom primeru odnos r : x=1 : 11, što je i tipično za nadzemne vodove 400 kV sa konstrukcijom u snopu. S obzirom na činjenicu da će vod biti predstavljen ekvivalentnom π-šemom, dakle tretiran sa koncentrisanim parametrima i s obzirom na to da je vod dužine Lv=260 km to se, radi što vernijeg modelovanja voda, uvode skalarni koeficijenti popravke. Skalarni koeficijent popravke po aktivnoj otpornosti iznosi:

bv xv L2v 3,47 ⋅ 10 −6 ⋅ 0,327 ⋅ 260 2 kR = 1− = 1− = 0,947 , 3 3 tako da je korigovana vrednost aktivne otpornosti: R ' v = k R Rv = 0,947 ⋅ 7,67 = 7,47 Ω/faza .

Osnovni proračuni

6

Analogno se postupa i pri proračunu reaktanse i susceptanse ekvivalentne π-šeme: 2 bv xv L2v   rv   3,47 ⋅10 −6 ⋅ 0,327 ⋅ 260 2 1 −    = 1 − k X = 1− 6   xv   6   X v′ = k X X v = 0,987 ⋅ 85,02 = 83,945 Ω/faza ;

  0,0295  2  1 −    = 0,987 ;   0,327  

bv xv L2v 3,47 ⋅10 −6 ⋅ 0,327 ⋅ 260 2 = 1+ = 1,0064 ; 12 12 Bv′ = k B Bv = 1,0064 ⋅ 0,9022 ⋅10 −3 = 0,908 ⋅10 −3 S/faza ;

kB = 1+ ili

Bv′ = 0,454 ⋅10 −3 S/faza , 2

pošto se u ekvivalentnoj π-šemi ukupna susceptansa deli na dve polovine. Autotransformatori će biti zamenjeni “Г”-ekvivalentnom šemom (pošto se tada otočne grane voda i autotransformatora mogu objediniti, kako je to pokazano na sl. 1.1c), pri čemu tercijerni namotaj spregnut u trougao, neće u stacionarnom režimu biti opterećen pa prema tome neće ni učestvovati u ekvivalentnoj šemi. Parametri monofazne ekvivalentne šeme autotransformatora po fazi su onda:

X 12e =

2 1 X 12 % U nT 1 12 400 2 = ⋅ ⋅ = 24 Ω ; 2 100 S n12 2 100 400

1 PCunU n2 1 0,727 ⋅ 400 2 Re = = ⋅ = 0,3635 Ω ; 2 2 S12 2 400 2 n P 0,148 Ge = 2 Fen = 2 ⋅ = 1,85 ⋅10 −6 S ; 2 2 Un 400 i % S n12 0,15 400 Be = 2 o = 2⋅ ⋅ = 7,5 ⋅ 10 − 6 S . 2 2 100 U n 100 400 Kod proračuna parametara ekvivalentne šeme za dva paralelna autotransformatora, treba voditi računa da se parametri redne grane polove, a parametri otočne grane udvostručuju. Ekvivalentna šema sistema data je na sl. 1.1c. 1

Z ' v = (7,47 + j83,945) Ω

U1 j

Bv′ = j 0,454 ⋅ 10 −3 S 2

2 U2

j0,454⋅10-3 S

Ge=1,85⋅10-6 S

Sl. 1.1c Ekvivalentna šema sistema iz zadatka 1.1

ZT=(0,3635+j24) Ω 3 U3

-jBe=-j7,5⋅10-6 S

Osnovni proračuni

7

Zadatak 1.2 Vod nominalnog napona 400 kV ima sledeće parametre: rv = 0,035 Ω/km; xv/rv = 10; qc = 0,5 MVAr/km; gv = 0. a) Naći podužnu kapacitetivnost voda cv, karakterističnu impedansu Zc; talasni otpor Zv i prirodnu snagu Pnat. b) Proračunati gubitke aktivne i reaktivne snage u vodu dužine Lv = 200 km, aktivnu i reaktivnu snagu i napon na početku voda, ako se na kraju voda isporučuje snaga P = Pnat pri nominalnom naponu (Un = 400 kV) i faktoru snage cosϕ = 0,98 (cap). Rešenje: a) Podužna kapacitivnost voda (po fazi) nalazi se iz reaktivne snage punjenja voda qc, kao: cv =

qc ω nU n2

=

0,5 = 9,947 ⋅ 10 −9 F/km . 2π ⋅ 50 ⋅ 400 2

Podužna susceptansa je:

bv = ωcv = 2π ⋅ 50 ⋅ 9,947 ⋅10 −9 = 3,125 ⋅10 −6 S/km . Podužna impedansa i admitansa su onda: z v = (0,035 + j 0,35) Ω/km = 0,352 Ω/km / 84,29° ;

y v = j 3,125 ⋅ 10 −6 S/km = 3,125 ⋅ 10 −6 S/km / 90° . Karakteristična impedansa voda je onda: Zc =

0,352 / 84,29° zv = = 335,62 Ω / − 2,86° , yv 3,125 ⋅ 10 −6 / 90°

a talasni otpor (karakteristična impedansa idealizovanog voda):

Zv =

xv 0,35 = = 334,67 Ω , bv 3,125 ⋅10 −6

dok je prirodna snaga:

Pnat =

U n2 400 2 = = 478,1 MW . Z v 334 ,67

b) Kompleksna snaga voda koja se na kraju voda predaje je: S 2 = Pnat (1 − jtg arccos 0,98) = (478,1 − j 97,1) MW = 487,96 MW / - 11,48° .

Osnovni proračuni

8

Gubici u vodu, kada se on predstavi sa π-ekvivalentom (za U2 = U2 /0°) su: 2

∆ S gub = Z v

P22

Q   +  Q2 − c  478,12 + (97,1 + 50)2 2   = (7 + j 70) = (10,95 + j109,5) MVA . U 22 400 2

Pad napona u vodu je: Q  Q    Rv P2 + X v  Q2 − c  X v P2 − Rv  Q2 − c  2  2    ∆U = +j U2 U2 7 ⋅ 478,1 − 70 ⋅ 147,1 70 ⋅ 478,1 + 7 ⋅147,1 = +j = (− 17,38 + j86,24 ) kV 400 400 Napon na početku voda je onda: U 1 = U 2 + ∆U = 400 − 17,38 + j86,24 = (382,62 + j86,24 ) kV = 392,22 kV / 12,71° . Kompleksna snaga na početku voda je: Bv 2 U1 2 = (478,1 − j 97,1) + (10,95 + j109,5) − j100 ⋅ 3,125 ⋅ 10 −6 ⋅ 392,22 2 = (489,05 − j 39,3) MVA .

S1 = S 2 + ∆S

gub

−j

Provera vrednosti toka aktivne snage na početku i kraju voda može se izvršiti preko formule za snage injektiranja:

U 12 U 1U 2 392,22 2 392,22 ⋅ 400 P1 = sin µ + sin (θ12 − µ ) = sin 5,71° − sin (12,71° − 5,71°) ZL ZL 70,35 70,35 = 217 ,56 − 271,4 = 488,96 MW (umesto ranije proračunatih 489,05 MW), gde je µ = 90° − arctg

XL = 90° − 84,29° = 5,71° . RL

U 22 UU 400 2 392,22 ⋅ 400 sin µ − 1 2 sin (θ 21 + µ ) = − sin 5,71 + sin (12,71 + 5,71) ZL ZL 70,35 70,35 = −226 ,28 + 704 ,3 = 478,02 MW (umesto ranije proračunatih 478,1 MW).

P2 = −

Sve razlike u rezultataima su posledica zaokruživanja.

Osnovni proračuni

9

Zadatak 1.3 Konzumno područje dvostrano se napaja trofaznim vodovima 400 kV. U slučaju ispada jednog od njih, drugim vodom dužine 200 km konzumnom području priticaće celokupna njegova snaga jednaka dvostrukoj prirodnoj snazi voda. Kolika će biti približna vrednost ugla voda (faznog pomeraja između napona na krajevima), a kolika reaktivna induktivna snaga koju troši vod pod pretpostavkom da se naponi bitno ne menjaju i da je podužna kapacitivna snaga otočnih kapacitivnosti voda približno 0,5 MVAr/km?

Rešenje: Radi se o dužini voda (deonice) kod koje još ne nastupaju efekti karakteristični za prenos naizmeničnom strujom na velike udaljenosti (dužina nešto veća od desetine četvrttalasne dužine). Kod prenosa prirodne snage (idealizovanim) vodom ima se na svakih 100 km ugaoni pomeraj napona od 6°, tj na 200 km 2⋅6 = 12°. S obzirom da je, naročito kod umerenih dužina, ovaj ugaoni pomeraj za vodove najviših napona praktično srazmeran sa aktivnom snagom (što se pored ostalog vidi i iz poprečne komponente fazorske razlike napona (PX − QR ) / U , gde je QR za red veličine manje od PX, a pogotovo ako se u osnovi kompenzuje reaktivna snaga potrošačkog područja, kako i odgovara uslovima prirodne snage (za jedan ili više vodova)). Prema tome kod prenosa dvostruke prirodne snage imaće se praktično i dvostruki ugaoni pomeraj: θ v = θU1 − θU 2 = 2 ⋅ 12° = 24°. Za približno nalaženje reaktivne induktivne snage koju “troši” vod u specifikovanim uslovima moguće je sledeće rezonovanje: Ukupna kapacitivna snaga koju proizvode otočne kapacitivnosti voda 400 kV dužine 200 km iznosi (približno):

Qcv = qcv Lv = 0,5 MVAr/km ⋅ 200 km = 100 MVAr. Kod prenosa prirodne snage (idealizovanim) vodom, vod sam sebe kompenzuje, tj. koliki su gubici reaktivne induktivne snage u rasipnim reaktansama, toliko proizvode kapacitivnosti voda (uzimaju kapacitivnu, odnosno daju induktivnu reaktivnu snagu). Otuda se pri prenosu prirodne snage imaju gubici reaktivne induktivne snage u rednim rasipnim reaktansama, takođe jednaki 100 MVAr i u celini su kompenzovani reaktivnom snagom otočnih kapacitivnosti. Kako su gubici reaktivne induktivne snage u rednim reaktansama srazmerni sa kvadratom struje, a time pri približno konstantnom naponu i kvadratu snage, oni će pri dvostrukoj prirodnoj snazi biti 22 = 4 puta veći nego pri jednostrukoj, tj. iznosiće približno 4⋅100 = 400 MVAr. S obzirom da je kapacitivnostima kompenzovano samo 100 MVAr, ima se na kraju: QΣv = Q − Qcv = 400 − 100 = 300 MVAr, tj. vod približno troši ukupno 300 MVAr.

Osnovni proračuni

10

Zadatak 1.4 Za deo elektroenergetskog sistema iz zadataka 1.1: a) Izračunati koeficijente ekvivalentnog četvorokrajnika; b) Nacrtati kružne dijagrame snaga koje protiču preko sabirnica 1 i 3. c) Nacrtati spiralne dijagrame za napon (i struju) za režim prenosa prirodne snage i za režim praznog hoda.

Rešenje: a) Ekvivalentna šema zadatog dela sistema data je na sl. 1.4a. 1

If1

Zv

If2 2

Uf1

ZT

Uf2

Y ot v 2

Y ot v 2

If3

3 Uf3

Y Tot

Sl. 1.4a Deo elektroenergetskog sistema iz zadatka 1.4

Matrična relacija koja povezuje fazne veličine napona i struja na ulazu i izlazu prvog četvorokrajnika (ekvivalentne π-šeme voda) je:

U f 1   A1 I  =  f 1  C 1

B1  U f 2   . D1   I f 2 

Množenjem prethodne matrične relacije sa 3 prelazi se sa faznih na takozvane računske veličine napona i struja. Ovako uvedeni fazori napona i struja zadržavaju fazni stav, a moduli im se povećavaju 3 puta. Umesto termina računski za napone se može koristiti i termin linijski, odnosno međufazni. Termin međufazni za struje nije primeren. Prema tome prethodna jednačina postaje:

U 1   A1  I  = C  1  1

B1  U 2  . D1   I 2 

(1)

S obzirom da je prema ekvivalentnoj šemi: ot    Z v Y ot Yv v   U1 =U 2 + I 2 + U 2 Z v = U 2 1 +    2 2   

  + Z v I 2,  

Osnovni proračuni

11

a takođe: ot 2   Z v Y ot Z v Y v  ot  v I1 = U 2 Y v + + I 2 1 +    4 2   

 ,  

(2)

to se poređenjem relacija (1) i (2) određuju koeficijenti prvog četvorokrajnika: ot 2

ot

ot

Z Y Z Y Z Y ot A1 = 1 + v v ; B1 = Z v ; C 1 = Y v + v v ; D1 = 1 + v v . 2 4 2 Očigledno je, s obzirom da se radi o pasivnom, simetričnom četvorokrajniku da je:

A1 = D1 i A1 D1 − B1 C 1 = 1. Na sličan način se ima:

U 2   A 2  I  = C  2  2

B 2  U 3  . D 2   I 3 

(3)

Prema ekvivalentnoj šemi sa sl. 1.4a je: U 2 = U3 + ZT I3 ;

(

)

I 2 = Y T U 3 + 1+ Z T Y T I 3 , ot

ot

(4)

tako da se poređenjem (3) i (4) nalaze koeficijenti drugog četvorokrajnika (ekvivalentna Γ-šema transformatora): A 2 = 1; B 2 = Z T ; C 2 = Y T ; D 2 = 1 + Z T Y T . ot

ot

Pošto taj četvorokrajnik nije simetričan to je:

A2 ≠ D 2 , ali pošto je pasivan to je zadovoljen uslov: A 2 D 2 − B 2 C 2 = 1. Ako se iz (3) smeni matrica-kolona radnih veličina na ulazu u drugi četvorokrajnik u (1), dobija se:

U 1   Ae  I  = C  1  e

B e  U 3  . D e   I 3 

(5)

Osnovni proračuni

12

U relacijama (5) su uvedeni koeficijenti ekvivalentnog četvorokrajnika koji se nalaze prema pravilima matričnog množenja:  Z Y ot  ot A e = A1 A 2 + B1 C 2 = 1 + v v  + Z v Y T ;   2    Z Y ot  ot B e = A1 B 2 + B1 D 2 = 1 + v v  Z T + Z v 1 + Z T Y T ;   2   ot 2 ot  Z v Y v   Z v Y v  ot ot  C e = C 1 A 2 + D1 C 2 = Y v + + 1+ YT ;  4   2   

(

)

ot 2   Z v Y ot Z v Y v  ot  v D e = C 1 B 2 + D1 D 2 = Y v + Z T + 1 +    4 2   

(

)

  1 + Z T Y Tot .  

(6)

Posle zamene numeričkih vrednosti zadatih veličina, dobija se: Z v = (7,47 + j83,945)Ω = 84,277 Ω / 84,912° ; Y v = j 0,454 ⋅ 10 −3 S = 0,454 ⋅ 10 −3 S / 90° ; ot

Z T = (0,3635 + j 24 )Ω = 24,00275 Ω / 89,13° ;

Y T = (1,85 − j 7,5) ⋅ 10 −6 S = 7,72 ⋅ 10 −6 Ω / − 76,144° , ot

a zamenom tih veličina u relacije (6) dobijaju se koeficijenti ekvivalentnog četvorokrajnika: Ae = 0,962 / 0,2025° = Ae / α ; B e = 107,28 / 85,86° Ω = Be / β ; C e = 0,883 ⋅ 10 −3 / 89,8° S = Ce / γ ; D e = 0,94 / 0,225° = De / δ .

b) Kompleksni izrazi za snage koje protiču preko sabirnica 1 i 3 su:

De UU /β − δ − 1 3 /β + θ ; Be Be A UU S 3 = −U 32 e / β − α + 1 3 / β − θ , Be Be

S 1 = U 12

gde je sa θ označen ugao između fazora napona U1 i U3. Posle zamene poznatih numeričkih vrednosti u gornje relacije, izrazi za kompleksne snage postaju: S 1 = U 12 ⋅ 8,76 ⋅10 −3 / 85,635° − U 1U 3 ⋅ 9,32 ⋅ 10 −3 / θ + 85,86° ; S 3 = −U 32 ⋅ 8,967 ⋅10 −3 / 85,658° + U 1U 3 ⋅ 9,32 ⋅ 10 −3 / 85,86° − θ

(7)

Osnovni proračuni

13

Relacije (7) u polarnim kordinatama predstavljaju jednačinu familije krugova čiji je centar određen prvim sabirkom u relacijama (7), a poluprečnici krugova drugim sabirkom (pošto je samo drugi sabirak funkcija ugla θ). Naponi u relacijama (7) su međufazne veličine tako da su snage trofazne. Da bi se mogli analizirati različiti režimi rada proučiće se tri karakteristična slučaja:

1. slučaj U 3 = U nv = 400 kV = const. Drugim rečima, napon na sabirnica 3 se održava konstantnim dok će se napon U1 menjati u dijapazonu ±10 % (tab. 1.4a). Prvi sabirak u izrazu za S3 (relacije (7)) ne zavisi od U1 i iznosi:

8,967 ⋅10 −3U 32 = 8,967 ⋅10 −3 ⋅ 400 2 = 1434,72 MVA . Tab. 1.4a Prvi karakteristični slučaj U1 (kV) 0,9Unv = 360 0,95Unv = 380 Unv = 400 1,05Unv = 420 1,1Unv = 440

8,76 ⋅10 −3U 12 (MVA) 1135,29 1264,94 1401,6 1545,26 1695,94

9,32 ⋅10 −3U1U 3 (MVA) 1342,08 1416,64 1491,2 1565,76 1640,32

Kružni dijagrami snaga koji odgovaraju tab. 1.4a nacrtani su na sl. 1.4b. Krugovi snaga na sabirnicama 3 su koncentrični krugovi pošto im je centar fiksan (prvi sabirak u S3 ne zavisi od U1) dok se centri krugova na sabirnicama 1 udaljavaju od koordinatnog početka sa rastom napona pri čemu raste i njihov poluprečnik (treća kolona u tab. 1.4a). Ako se na sl. 1.4b uoči prava stalne aktivne snage (P = 500 MW = const) to se vidi da će sa rastom napona U1 rasti i reaktivna snaga Q1 koja se preko sabirnica 1 predaje u sistem (za niže vrednosti napona ona je negativna - tačke 1 i 3 na sl. 1.4b), zatim da će se rastom napona U1 reaktivna snaga Q3 (krugovi snaga na sabirnicama 3, III i IV kvadrant), koja je negativna, (tačke 1' i 3'), po modulu da se smanjuje i da će pri dovoljno velikoj vrednosti napona U1 snaga Q3 promeniti smer (tačka 5'), odnosno da i snaga Q3 raste sa rastom napona U1 (za Q3>0, tj. reaktivna snaga se preko sabirnica 3 predaje jakoj mreži). Isto tako se uočava da sa rastom napona opada ugao θ između U1 i U3 (θ5'> X T ,

to je: Zd = Zi ekv

ekv

= jX T .

Proračun kratkih spojeva

244 jXT ekv Z ekv d = Zi

Sl. 3.17b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 3.17a za impedanse direktnog i inverznog redosleda

Ekvivalentna šema sistema sa sl. 3.17a za impedanse nultog redosleda, prikazana je na sl. 3.17c. jXTγ1/2

j3X ekv

Z0

Sl. 3.17c Ekvivalentna šema sistema sa sl. 3.17a za impedanse nultog redosleda

Sa šeme ns sl. 3.17c je: Z 0 = j ( X Tγ 1 / 2 + 3 X ) , ekv

gde je: 2 X T % U nT 20 10,52 XT = = = 0,55 Ω ; 100 S nT 100 40

X Tγ 1 / 2 =

2 X Tγ 1 / 2 % U nTK

100

S nTK

=

1 10 2 = 4 Ω. 100 0,25

Struja zemljospoja treba da je manja od 300 A, pa važi uslov:

IZ =

3U fr Zd + Zi ekv

ekv

+ Z0

ekv

≤ 300 A ,

odnosno:

300 ≥ 3 odakle je

10000 / 3 → 3 X ≥ 52,64 Ω , j 0,55 ⋅ 2 + j 4 + j 3 X

Proračun kratkih spojeva

245

X ≥ 17,55 Ω .

b) Ekvivalentna šema za impedanse direktnog i inverznog redosleda ostaje ista kao u tač. a, a za impedanse nultog redosleda, prikazana je na sl. 3.17d. jXTγ1/2

3R ekv

Z0

Sl. 3.17d Ekvivalentna šema sistema impedansi nultog redosleda iz tač. b zadatka 3.17

Analogno, kao u proračunu reaktanse za uzemljenje u tač. a je:

IZ =

3U fr ekv Zd

+

ekv Zi

+

ekv Z0

=

3 ⋅ 10000 / 3 ≤ 300 A , 2 ⋅ j 0,55 + j 4 + 3R

odakle je

(3R )2 + 5,12

≥

3 ⋅ 10000 = 57,66 , 300

odnosno

(3R )2 ≥ 57,66 2 − 5,12 , pa se konačno dobija: R ≥ 19,44 Ω .

Proračun kratkih spojeva

246

Zadatak 3.18 Koliki je u sistemu prikazanom na sl. 3.18a (sa parametrima elemenata datim na toj slici) napon zvezdišta 35 kV namotaja transformatora u vreme jednofaznog kratkog spoja na vodu nominalnog napona 110 kV, ako tranzijentna struja jednofaznog kratkog spoja iznosi 1,5 kA i ako je Petersenova prigušnica, priključena na sekundarno zvezdište transformatora, podešena na prvu nižu vrednost svojih nominalnih struja u odnosu na struju zemljospoja 35 kV mreže bez Petersenovog kalema a) za slučaj da je transformator bez tercijera, b) za slučaj transformatora sa tercijerem, spregnutim u trougao. SnT = 20 MVA mnT = 110/38,5 kV/kV X12% = 10 %, X13% = 11 % MREŽA 3 Ur = 110 kV X23% = 6 %, X0µ% =100 % nominalnog napona 35 kV Zo = j120 Ω 1 2 ΣL = 200 km c0 = 5⋅10-9 F/km U nPR = 35 / 3 kV Ik1Z = 1,5 kA InPR = 5, 10, 15, 20, 25, 30 A Sl. 3.18a Trofazna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 3.18

Rešenje: Reaktanse između pojedinih namotaja i reaktansa magnećenja transformatora svedene na napon 110 kV su:

X 12 =

2 X 12 % U nT 10 110 2 = = 60,5 Ω ; 100 S nT 100 20

X 13 =

2 X 13 % U nT 11 110 2 = = 66,55 Ω ; 100 S nT 100 20

X 23 =

2 X 23 % U nT 6 110 2 = = 36,30 Ω ; 100 S nT 100 20

X 0µ =

2 X µ % U nT

100 S nT

100 110 2 = = 605 Ω . 100 20

Odgovarajuće reaktanse ekvivalentne zvezde tronamotajnog transformatora su: 1 ( X 12 + X 13 − X 23 ) = 1 (60,5 + 66,55 − 36,30) = 45,375 Ω ; 2 2 1 X 2 = ( X 23 + X 12 − X 13 ) = 15,125 Ω ; 2 1 X 3 = ( X 13 + X 23 − X 12 ) = 21,175 Ω . 2 X1 =

Proračun kratkih spojeva

247

Struja zemljospoja u 35 kV-noj mreži bez Petersenove prigušnice je:

I z = + j 3U n c0ωΣL = j1,73 ⋅ 35 ⋅ 103 ⋅ 5 ⋅ 10 −9 ⋅ 314 ⋅ 200 = j19 A . Petersenova prigušnica, prema uslovu zadatka, treba da se podesi na InPR = 15 A, pa je reaktansa prigušnice svedena na stranu 35 kV: X PR 35 =

U nPR 35 / 3 = 1000 = 1350 Ω , I nPR 15

ili, svedena na stranu 110 kV: 2

X PR 35

 110  = 1350  = 11 020 Ω .  38,5 

a) Za slučaj bez tercijara kapacitivna reaktansa nultog redosleda mreže 35 kV je: 1 1 = = 3183,1 Ω , ωc0 ΣL 314 ⋅ 5 ⋅ 10 − 9 ⋅ 200 ili svedena na stranu 110 kV: 2

 110  3183,1  = 26 000 Ω .  38,5  Ekvivalentna šema sistema impedansi nultog redosleda ima izgled prikazan na sl. 3.18b. j45,375 Ω

j15,125 Ω j3⋅11020 Ω

I0 j120 Ω

j605 Ω

-j 26000 Ω

U0

Sl. 3.18b Ekvivalentna šema mreže impedansi nultog redosleda sistema sa sl. 3.18a, za slučaj da je transformator bez tercijera

Sažimanjem redno i paralelno vezanih reaktansi na šemi sa sl. 3.18b, dobijaju se ekvivalentne šeme na sl. 3.18c. 1 Ako se usvoji da je struja I0 uslovno u faznoj osi biće: I 0 = I k1Z , tj. I 0 = 500 A , pa je 3 shodno sl. 3.18c: I 01 + I 02 = 500 A ;

Proračun kratkih spojeva

248

j120 ⋅ I 01 = j (45,37 + 557,5) ⋅ I 02 . Iz gornje dve jednačine dobija se struja I02, koja iznosi:

I 02 = 83 A . j45,37 Ω I0

I0PR

j605 Ω

j120 Ω

j7075,125 Ω

U0 c1) j45,37 Ω I01

I0

I02

j120 Ω

j557,5 Ω

U0 c2) Sl. 3.18c Ekvivalentne mreže nultog redosleda posle sažimanja rednih (c1) i paralelnih elemenata (c2), na sl. 3.18b

Struja I0pr se shodno šemama sa sl. 3.18c, može odrediti iz jednačine: j 7075,125 ⋅ I 0 PR = j 557,5 ⋅ I 02 , odakle je: I 0 PR = 6,54 A . Traženi napon zvezdišta transformatora za vreme kvara biće:  38,5   38,5  U = j 3 ⋅ X PR ⋅ I 0 PR   = j 3 ⋅ 11020 ⋅ 6,54 ⋅   = j 75500 V = j 75,5 kV .  110   110 

b) Ekvivalentna šema sistema nultog redosleda za slučaj da transformator raspolaže sa tercijerom prikazana je na sl. 3.18d. Sukcesivnim uprošćavanjem dobija se odgovarajuća pojednostavljena šema sistema, prikazana na sl. 3.18e. Iz jednačina: I 01 + I 02 = 500 A ;

j120 ⋅ I 01 = j (45,37 + 20,38) ⋅ I 02 ;

Proračun kratkih spojeva

249

dobija se vrednost za struju kvara:

I 02 = 324 A . j45,37 Ω I0

j15,12 Ω j3⋅11020 Ω

j605 Ω

j120 Ω

j21,175 Ω

-j26000 Ω

Uo

Sl. 3.18d Ekvivalentna šema impedansi sistema nultog redosleda za slučaj da transformator iz zadatka 3.19 ima tercijer spregnut u trougao j45,37 Ω I0

I0PR

j605 Ω

j120 Ω

j21,175 Ω

j7075,125 Ω

U0 e1) j45,37 Ω j120 Ω

I01

I0

I02

j20,38 Ω

U0 e2) Sl. 3.18e Ekvivalentne šeme sistema nultih impedansi sa sl. 3.18d pre (e1) posle sažimanja rednih i paralelnih elemenata (e2)

Struja prigušnice može se odrediti iz jednačine: j 7075,125 ⋅ I 0 PR = j 20,38 ⋅ I 02 = j 20,38 ⋅ 324 , odakle je: I 0 PR = 0,932 A . Traženi napon u zvezdištu transformatora za vreme kvara biće:  38,5  U N = j 3 ⋅ 11020 ⋅ 0,932 ⋅   = j10780 V = j10,78 kV .  110 

Proračun kratkih spojeva

250

Zadatak 3.19 U elektroenergetskom sistemu, čiji su podaci dati na sl. 3.19a dolazi do jednofaznog kratkog spoja sa zemljom na sabirnicama 1. a) Izračunati ukupnu struju jednofaznog kratkog spoja sa zemljom na sabirnicama 1 za slučaj izolovanog, a potom za slučaj direktno uzemljenog zvezdišta transformatora T1. b) Za slučaj izolovanog zvezdišta transformatora T1 izračunati napon tog zvezdišta, za vreme kvara. c) Da li se zvezdište transformatora T1 može ostaviti izolovano? Obrazložiti odgovor. 5 G

T1

4

1

L12 = L13 = L23 = L = 150 km

2

AT

xv = 0,42 Ω/km x0v = 3xv

~ SnG = SnT1 = 300 MVA UnG1 = 15,75 kV mT1 = 15,75/231 kV/kV X'dG% = XiG% = 30 % XT1% = 12 %

SnAT = 300 MVA mAT = 220/400 kV/kV XAT% = 11 %

3 T2

1 3 2 pasivno potrošačko područje

S'k3 = 10000 MVA pri UM = 400 kV XiM = X’dM X0M =2 X’dM

6

SnT2 = 150 MVA mT2 = 220/110/35 kV/kV/kV X12% = 15 %; X13% = 9 % X23% = 12 %

Sl. 3.19a Monofazna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 3.19

Rešenje: Proračun impedansi generatora, transformatora T1 i AT i vodova: ′ = X iG = X dG

2 ′ % U nG X dG 1 30 15,75 2 2312 = = 53,36 Ω ; 100 S nG mT21 100 300 15,752

2 X T 1 % U nT 12 2312 = = 21,34 Ω ; 100 S nT 100 300 = X v13 = X v 23 = X v = xv L = 0,42 ⋅ 150 = 63 Ω ;

X T1 = X v12

X 0v12 = X 0v13 = X 0v 23 = X 0v = 3 X v = 189 Ω ; U M2 2 400 2 220 2 m AT = = 4,84 Ω ; S k′ 3 10000 400 2 ′ = 9,68 Ω . = 2 X dM

′ = X dM X 0M

X AT =

2 X AT % U nT 11 220 2 = = 17,75 Ω 100 S nT 100 300

Proračun impedansi tronamotajnog transformatora T2:

Proračun kratkih spojeva

X 12

251

2 15 220 2 X 12 % U nT 2 = = = 48,4 Ω ; 100 S nT 2 100 150

X 13 =

2 X 13 % U nT 9 220 2 2 = = 29,04 Ω ; 100 S nT 2 100 150

X 23 =

2 X 23 % U nT 12 220 2 2 = = 38,72 Ω ; 100 S nT 2 100 150

1 ( X 12 + X 13 − X 23 ) = 19,36 Ω ; 2 1 X 2 = ( X 12 + X 23 − X 13 ) = 29,04 Ω ; 2 1 X 3 = ( X 13 + X 23 − X 12 ) = 9,68 Ω . 2 X1 =

Ekvivalentna šema sistema za direktni i inverzni redosled, data je na sl. 3.19b. 1 0 j53,36 Ω

2

j63 Ω

j21,34 Ω

j17,75 Ω j4,84 Ω j63 Ω

j74,7 Ω

ekv Zd

=

j63 Ω

ekv Zi

0

j22,59 Ω

3 j48,4 Ω

Sl. 3.19b Ekvivalentna šema impedansi direktnog (inverznog) redosleda za sistem sa sl. 3.19a

Sređivanjem prethodne šeme dobija se šema na sl. 3.19c.

1

j63 Ω

j74,7 Ω

2 j22,59 Ω

j126 Ω Zd = Zi ekv

ekv

j64,59 Ω

Sl. 3.19c Ekvivalentna šema impedansi direktnog (inverznog) redosleda posle sređivanja šeme sa sl. 3.19b

Konačno, ekvivalentna impedansa direktnog i inverznog redosleda je:

Proračun kratkih spojeva Zd = Zi ekv

ekv

= j

252

74,7 ⋅ 64,59 = j 34,64 Ω . 74,7 + 64,59

Ekvivalentna šema za nulti redosled za slučaj izolovanog zvezdišta transformatora T1 data je na sl. 3.19d. j189 Ω

1

2 j17,75 Ω

0 j21,34 Ω j189 Ω ekv Z0

j189 Ω

j9,68 Ω 0

j27,43 Ω

3 j29,04 Ω

j19,36 Ω j9,68 Ω j29,04 Ω

Sl. 3.19d Ekvivalentna šema impedansi nultog redosleda sistema sa sl. 3.19a, pri izolovanom zvezdištu transformatora T1 Ekvivalentovanjem trougla 1-2-3 sa sl. 3.19d u zvezdu, dobija se šema na sl. 3.19e.

j21,34 Ω Z ekv 0

1

j63 Ω

Z

j63 Ω j63 Ω

j92,04 Ω

2 j27,43 Ω j90,43

3 j29,04 Ω

Sl. 3.19e Ekvivalentna šema impedansi nultog redosleda posle transfiguracije trougla 1-2-3 sa sl. 3.19d u zvezdu 123Z.

Konačno, ekvivalentna impedansa nultog redosleda za slučaj izolovanog zvezdišta transforamtora T1 je: Z 0ekv (iz ) = j 63 + j

90,43 ⋅ 92,04 = j108,61 Ω . 90,43 + 92,04

Proračun kratkih spojeva

253

a) Tražena struja jednofanog kratkog spoja za slučaj izolovanog zvezdišta transformatora T1 je: I k1Z (iz ) = 3I 0(iz ) =

U fr ekv Zd

+

ekv Zi

+

ekv Z 0(iz )

=

3 ⋅ 220 / 3 = − j 2,142 kA . 2 ⋅ j 34,64 + j108,61

Za slučaj direktno uzemljenog zvezdišta ekvivalentna impedansa nultog redosleda je: Z 0(uz ) = Z 0(iz ) j 21,34 = j ekv

ekv

108,61 ⋅ 21,34 = j17,84 Ω . 108,61 + 21,34

Struja jednofaznog kratkog spoja sa zemljom za ovaj slučaj je: I k1Z (uz ) = 3I 0(uz ) =

U fr ekv Zd

+

ekv Zi

+

ekv Z 0(uz )

=

3 ⋅ 220 / 3 = − j 4,374 kA . 2 ⋅ j 34,64 + j17,84

b) Napon izolovanog zvezdišta transformatora T1 za slučaj jednofaznog kratkog spoja sa zemljom na sabirnicama 1 je: U N = − Z 0(iz ) I 0(iz ) = − Z 0(iz ) ekv

ekv

I k1Z (iz ) 3

= − j108,61 ⋅

− j 2,142 = −77,55 kV . 3

c) Pošto je kriterijum efikasnosti uzemljenja zvezdišta proizvoljnog elektroenergetskog X 0 X d ≤ 3, za elektroenergetski sistem iz zadatka za slučaj izolovanog zvezdišta sistema transformatora T1 se dobija: X 0 X d = 108,61 34,64 = 3,135 > 3 , pa se može zaključiti da zvezdište transformatora T1 ne sme raditi izolovano.

Proračun kratkih spojeva

254

Zadatak 3.20 Za dati trofazni, jednofazno prikazani elektroenergetski sistem sa sl. 3.20a, proveriti da li sme zvezdište jednog od dva generatorska transformatora da se drži neuzemljeno, ako je izolacija zvezdišta prema “masi” (zemlji) dimenzionisana za nivo trećine nominalnog faznog napona odgovarajućeg namotaja. Proveru vrednosti kvazistacionarnog napona zvezdišta prema zemlji izvršiti samo za slučaj jednofaznog kratkog spoja na početku jednog od dva voda u tranzijentnom periodu. Podaci o parametrima elemenata sistema, dati su ispod sl. 3.20a. U fr = 230 / 3 kV

1

~

2

1

2 3

~

3

SnG = SnT = 2×200 MVA UnG = 15,75 kV mT = 15,75/231 kV/kV X'dG% =20 % XT1% = 12 %

Unv = 220 kV Lv = 160 km xv = 0,42 Ω/km X0v = 1,2 Ω/km

S'k3 = 8000 MVA pri UM = 400 kV XiM = X’dM X0M = 2X’dM

SnAT1-2 = 400 MVA SnAT3 = 133,3 MVA mAT = 220/400/36,75 kV/kV/kV ux12 = uk12 = 8 % ux13 = uk13 = 12 % pri snazi ux23 = uk23 = 14 % 400 MVA

Sl. 3.20a Jednofazna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 3.20

Rešenje: Parametri elemenata elektroenergetskog sistema sa sl. 3.20a su: 2

′ X dGe

2 X ′ % U nG 1 20 15,75 2  231  = dG =   = 26,68 Ω ; 100 2 S nG mT2 100 2 ⋅ 200  15,75 

2 X T % U nT 12 2312 = = 16 Ω ; 100 2 S nT 100 2 ⋅ 200 1 1 1 = X v = xv Lv = 0,42 ⋅ 160 = 33,6 Ω ; 2 2 2 2 u % U nT 8 220 2 = x12 = = 9,68 Ω ; 100 S AT 12 100 400

X Te = X ve X 12

X 13 = X 23

2 u x13 % U nT 12 220 2 = = 14,52 Ω ; 100 S AT 12 100 400

2 u x 23 % U nT 14 220 2 = = = 16,94 Ω . 100 S AT 12 100 400

Proračun kratkih spojeva

255

Na osnovu napred proračunatih reaktansi rasipanja autotransformatora, svedenih na naponski nivo voda (220 kV), nalaze se parametri odgovarajuće zvezde tog tronamotajnog autotransforamtora: 1 ( X 12 + X 13 − X 23 ) = 1 (9,68 + 14,52 − 16,94) = 3,63 Ω ; 2 2 1 1 X 2 = ( X 12 + X 23 − X 13 ) = (9,68 + 16,94 − 14,52 ) = 6,05 Ω ; 2 2 1 1 X 3 = ( X 13 + X 23 − X 12 ) = (14,52 + 16,94 − 9,68) = 10,89 Ω . 2 2 X1 =

Reaktansa mreže svedena na naponski nivo voda je:

′ = X dM

2

2

U M2  220  400 2  220  =     = 6,05 Ω . S 'k 3  400  8000  400 

Na osnovu izračunatih parametara na sl. 3.20b nacrtana je odgovarajuća ekvivalentna šema impedansi za direktni i inverzni redosled. jX’Ge

jXTe

jXve

jX1

jX2

jX’dM

jX3 ekv Zd

=

ekv Zi

Sl. 3.20b Mreža direktnih i inverznih impedansi sistema sa sl. 3.20a

Krak zvezde sa reaktansom jX3 je otvoren, s obzirom da je tercijer neopterećen. Naime, direktne i inverzne ems se indukuju u tercijeru ali je njihov fazorski zbir po zatvorenoj konturi (trouglu) jednak nuli (sistem od 3 vektora međusobno pomerena za 120°), tako da struje direktnog i inverznog redosleda u simetričnim režimima ne teku po trouglu. Sa sl. 3.20b nalazi se da je: Zd = Zi ekv

ekv

′ + X Te ) j ( X ve + X 1 + X 2 + X dM ′ ), = j ( X Ge

odakle je posle zamene brojčanih vrednosti pojedinih reaktansi: Zd = Zi ekv

ekv

= j 42,68 j 49,33 = j 22,88 Ω .

Nulta ekvivalentna šema impedansi sistema kada je samo jedan blok-generatorski transformator direktno uzemljen, ima izgled kao na sl. 3.20c. Nulte reaktanse elemenata na sl. 3.20c su onda:

Proračun kratkih spojeva

256

X T = 2 X Te = 32 Ω ; 1 1 X 0ve = xov Lv = ⋅ 1,2 ⋅ 160 = 96 Ω ; 2 2 ′ = 2 ⋅ 6,05 = 12,1 Ω . X 0 M = 2 X dM jXT

jX0ve

jX1

jX2

jX0M

jX3

ekv

Z0

Sl. 3.20c Mreža nultih impedansi sistema sa sl. 3.20a Ekvivalentna nulta impedansa posmatrana otočno sa mesta kvara je:

Z 0ekv = jX T

( j( X 0ve + X 1 ) + j ( X 2 + X 0 M )

jX 3 ) = j 32 j106,44 = j 24,604 Ω .

Napon zvezdišta izolovanog transformatora prema zemlji određen je samo nultom komponentom napona pošto direktna i inverzna komponenta napona (kod simetričnog trofaznog sistema) ne utiču na potencijal zvezdišta. Pri tome, napon zvezdišta upravo je jednak naponu na mestu kvara (nultoj komponenti) pošto se nulte struje kroz izolovano zvezdište ne zatvaraju i jednostavno se nulti potencijal sa mesta kvara prenosi do zvezdišta. Dakle, shodno sl. 3.20d je:

U N = −U 0 = −

Z 0ekv Z 0ekv

+

Z ekv d

+

Z iekv

U fr = −

24,604 230 ⋅ = 24,604 + 2 ⋅ 22,88 3

1 1 231 = 46,43 kV > U izolacije zvezdišta = U nf = ⋅ = 44,456 kV . 3 3 3

Io Io Io 3Io Uo Uzv

+

Sl. 3.20d Ekvivalentna šema sistema iz zadatka 3.20 za proračun napona izolovanog zvezdišta blok-generatorskog transformatora na strani mreže

Zaključuje se da zvezdište treba izolovati jače od 1/3 punog faznog napona (npr. izolacija zvezdišta treba da je dimenzionisana na 2/3 vrednosti punog faznog napona).

Proračun kratkih spojeva

257

Zadatak 3.21 Za elektroenergetski sistem prikazan na sl. 3.21a odrediti: a) Struju trofaznog kratkog spoja na sabirnicama 6. b) Struju jednofaznog kratkog spoja na istim sabirnicama, kao i struju i napon na krajevima otpora za uzemljenje u naredna dva slučaja: b1) Svako od zvezdišta na 35 kV strani transformatora T3 je uzemljeno preko otpornosti za uzemljenje R = 30 Ω. b2) Zvezdišta na 35 kV strani oba transformatora T3 međusobno su povezana i uzemljena preko zajedničke otpornosti za uzemljenje R = 30 Ω. Napon na mestu kvara, pre kvara je U fr = 36,5 / 3 kV. Ostali podaci o sistemu su dati na sl. 3.22a. Napomena: Procentualne reaktanse transformatora T2 su proračunate za snagu 150 MVA, dok su za transformatore T3 date za odgovarajuće prolazne snage. 3 4 S'k3 = 8000 MVA Unv = 110 kV 2 1 pri UM = 225 kV xv = 0,41 Ω/km x0v = 1,2 Ω/km ~ XiM = X’dM T2 L24 = 80 km , X0M =1,5X’dM 3 L25 = 60 km L45 = 60 km SnT2 = 150/150/50 MVA SnG = SnT = 2×50 MVA mT2 = 220/110/10,5 kV/kV/kV X'dG% = 25 % 5 X12% = 12 %, X13% = 15 %, X23% = 7 % UnG = 15,75 kV mT1 = 115/15,75 kV/kV SnT3 = 75/75/25 MVA XT% = 12 % mT3 = 110/36,75/10,5 kV/kV/kV sprega Yd5 T T X % = 7 %, X % = 3,8 %, X % = 1 %

T1

1

2

6

3

3

12

13

23

K

Sl. 3.21a Jednoplna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 3.21

Rešenje: Parametri sistema svedeni na naponski nivo 35 kV su: 2

′ = X dG

2 ′ % U nG X dG 1 25 15,75 2  115   36,75  mT21 2 =     = 3,69 Ω; 100 S nG mT 3 100 100  15,75   110 

X T1 =

2 X T 1 % U nT 12 115 2  36,75  1 1 =   = 1,77 Ω; 100 S nT mT2 3 100 100  110 

2

2

X dv 24

1  36 ,75  = xdv L24 2 = 0 ,41 ⋅ 80 ⋅   = 3,661 Ω; mT 3  110 

X 0v 24

1  36,75  = x0v L24 2 = 1,2 ⋅ 80 ⋅   = 10,715 Ω; mT 3  110 

2

2

Proračun kratkih spojeva

258 2

X dv 25

1  36 ,75  = xdv L25 2 = 0 ,41 ⋅ 60 ⋅   = 2 ,746 Ω; mT 3  110  2

1  36,75  X 0v 25 = x0v L25 2 = 1,2 ⋅ 60 ⋅   = 8,036 Ω; mT 3  110  X dv 45 = X dv 25 = 2 ,746 Ω; X 0v 45 = X 0v 25 = 8,036 Ω; X T 212 =

2 2 X T 212 % U nT 12 110 2  36,75  2 1 =   = 1,08 Ω; 100 S nT 21 mT2 3 100 150  110 

X T 213 =

2 2 X T 213 % U nT 15 110 2  36,75  2 1 =   = 1,35 Ω; 100 S nT 21 mT2 3 100 150  110 

X T 223 =

2 2 X T 223 % U nT 7 110 2  36,75  2 1 =   = 0,63 Ω; 100 S nT 21 mT2 3 100 150  110 

(

)

(

)

(

)

1 1 X T 212 + X T 213 − X T 223 = (1,08 + 1,35 − 0 ,63) = 0 ,9 Ω; 2 2 1 1 X T 22 = X T 212 + X T 223 − X T 213 = (1,08 + 0 ,63 − 1,35) = 0 ,18 Ω; 2 2 1 1 X T 23 = X T 213 + X T 223 − X T 212 = (1,35 + 0 ,63 − 1,08) = 0 ,45 Ω; 2 2 2 2 xT 312 U nT 3 7 36 ,75 X T 312 = = = 1,26 Ω; 100 S nT 31 100 75 X T 21 =

X T 313 =

2 xT 313 U nT 3,8 36 ,75 2 3 = = 2 ,053 Ω; 100 S nT 33 100 25

X T 323 =

2 xT 323 U nT 1 36 ,75 2 3 = = 0 ,54 Ω; 100 S nT 33 100 25

X T 31 =

(

)

X T 32

(

)

(

)

X T 33

1 1 X T 312 + X T 313 − X T 323 = (1,26 + 2 ,053 − 0 ,54 ) = 1,3865 Ω; 2 2 1 1 = X T 312 + X T 323 − X T 313 = (1,26 + 0 ,54 − 2 ,053) = −0 ,1265 Ω; 2 2 1 1 = X T 313 + X T 323 − X T 312 = (2 ,053 + 0 ,54 − 1,26 ) = 0 ,6665 Ω; 2 2

X 0M

2

2

U M2 2 1 225 2  110   36,75  mT 2 2 =     = 0,1766 Ω; S k′ 3 mT 3 8000  220   110  = 1,5 X dM = 0,2649 Ω.

′ = X dM

Ekvivalentna šema za impedanse direktnog (inverznog) sistema data je na sl. 3.21b.

Proračun kratkih spojeva j3,69 Ω

259 2

j1,77 Ω

4

j3,661 Ω

j2,746 Ω

j1,08 Ω

j0,1766 Ω

j2,746 Ω 5

j1,26 Ω

j1,26 Ω 6 K

Sl. 3.21b Ekvivalentna šema impedansi direktog (inverznog) redosleda sistema sa sl. 3.21a

Ekvivalentovanjem rednih grana i prebacivanjem trougla 2-4-5 mreže sa sl. 3.21b u zvezdu dobija se šema data na sl. 3.21c: 2

j5,46 Ω

4

j1,098 Ω

j1,098 Ω 0

j6,558 Ω

j1,2566 Ω

j2,3546 Ω j0,824 Ω 5

j1,454 Ω

j0,63 Ω 6 K Sl. 3.21c Ekvivalentna šema impedansi sa sl. 3.21b, posle transformacije trougla 2-3-4 u zvezdu

Sa prethodne šeme dobija se ekvivalentna impedansa direktnog (inverznog) redosleda, za kvar na sabirnicama 6: ekv Z ekv d = jX d = j1, 454 + j

6,558 ⋅ 2,3546 = j 3,1865 Ω . 6,558 + 2,3546

Struja trofaznog kratkog spoja na sabirnicama 6 je onda:

Proračun kratkih spojeva

I k3 =

U fr ekv Zd

=

260

36,5 / 3 = − j 6,613 kA. j 3,1865

b1) Ekvivalentna šema impedansi nultog redosleda za slučaj kada je svako od zvezdišta transformatora T3 uzemljeno preko individualnih otpornosti za uzemljenje, data je na sl. 3.21d. 2

j1,77 Ω

4

j10,715 Ω

j8,036 Ω

j0,18 Ω

j8,036 Ω

j0,9 Ω

j0,2649 Ω

j0,45 Ω

5 j1,3865 Ω

j1,3865 Ω

j0,6665 Ω

j0,6665 Ω

-j0,1265 Ω

-j0,1265 Ω

3R=90 Ω

3R=90 Ω 6 K

Sl. 3.21d Ekvivalentna šema impedansi nultog redosleda sistema pri individualnom uzemljenju zvezdišta na 35 kV strani transformatora u grani 5-6 preko otpora od 30 Ω Ekvivalentovanjem paralelnih i rednih grana i prebacivanjem trougla 2-4-5 i zvezdu dobija se uprošćena šema data na sl. 3.21e. Sa sl. 3.21e se dalje dobija ekvivalentna nulta impedansa sistema, za kvar na sabirnicama 6: Z 0 = (45 + j 0,25) Ω. ekv

Struja jednofaznog kratkog spoja za kvar na sabirnicama 6 je onda: I k1Z =

3U fr / 3 ekv Zd

+

ekv Zi

+

ekv Z0

=

3 ⋅ 36,5 / 3 = (1,375 − j 0,202 ) = 1,39 kA / − 8,37° 2 ⋅ j 3,1865 + 45 + j 0,25

Struja kroz otpornik za uzemljenje svakog od transformatora u grani 5-6, jednaka je polovini struje jednofaznog kratkog spoja:

Proračun kratkih spojeva IR =

261

I k1Z = (0,6875 − j 0,101) = 0,695 kA / − 8,37°. 2

Napon na krajevima otpornosti za uzemljenje je:

U R = I R ⋅ R = 0,695 ⋅ 30 = 20,85 kV. j1,77 Ω

j0,5046 Ω j3,214 Ω

j3,214 Ω

j4,984 Ω

j3,7186 Ω

j4,5407 Ω

j2,411 Ω j0,6932 Ω j0,33325 Ω

j0,25 Ω

- j0,06325 Ω 45 Ω 6 K

Sl. 3.21e Ilustracija postupka sažimanja mreže nultih impedansi sa sl. 3.21d

b2) Za slučaj kada su zvezdišta na 35 kV strani oba transformatora u grani 5-6 međusobno povezana i uzemljena preko zajedničke otpornosti menja se samo deo ekvivalentne šeme transformatora T3, kako je to pokazano na sl. 3.21f. Sa sl. 3.21f se dobija da je u ovom slučaju ekvivalentna nulta impedansa sistema, za kvar na sabirnicama 6: Z 0 = (90 + j 0,25) Ω . ekv

Struja jednofaznog kratkog spoja za kvar na sabirnicama 6 onda je:

I k1Z =

3U fr / 3

+ + = 0,7005 kA / − 4,21° . ekv Zd

ekv Zi

ekv Z0

=

3 ⋅ 36,5 / 3 = (0,6986 − j 0,0514 ) = 2 ⋅ j 3,1865 + 90 + j 0,25

Proračun kratkih spojeva

262

Struja kroz otpornost za uzemljenje jednaka je struji jednofazog kratkog spoja, tj: I R = I k1Z = (0,6986 − j 0,0514 ) = 0,7005 kA / − 4,21°. Napon na krajevima otpornosti za uzemljenje je:

U R = R ⋅ I R = 30 ⋅ 0,7005 = 21,016 kV.

j4,5407 Ω

j0,25 Ω

j1,3865 Ω

j1,3865 Ω

j0,6665 Ω

j0,6665 Ω

- j0,1265 Ω

- j0,1265 Ω

3R=90 Ω 6 K

Sl. 3.21f Ekvivalentna šema sistema nultih impedansi pri zajedničkom uzemljenju zvezdišta na 35 kV strani transformatorau grani 5-6, preko otpora od 30 Ω

Proračun kratkih spojeva

263

Zadatak 3.22 Na sl. 3.22a dat je dalekovod 1-2 dužine Lv, podužne nulte reaktanse xov, na čijim krajevima su transformacije sa direktno uzemljenim zvezdištima na strani voda. Za vreme jednofaznog kratkog spoja na vodu, izmerene su blokiranjem merenja pri isključenju prekidača u istom trenutku tranzijentnog perioda, efektivne vrednosti napona i struja na početku i kraju voda (U1, U2, I1, I2). Voltmetri i ampermetri za merenja napona i struje priključeni su u odgovarajuća sekundarna kola mernih transformatora prema šematski prikazanom načinu merenja na sl. 3.22a. Izračunati rastojanje l mesta kvara od podstanice 1. Lv 1

2

faza C faza B faza A r0v A1 A2 1,0

A1

Pimax = 1,03 r.j. – Posle isključenja kvara Pm = 0,9 r.j.

0,5

0

0

δ0 = 35,6° δn = 60,9°

δgr = 119,1°

δ [°]

Sl. 4.15d Krive snaga – ugao sistema pre kvara i posle isključenja kvara iz tač. c i ilustracija metoda poređenja površina ubrzanja i usporenja iz tač. d

Proračun stabilnosti

358

d) Provera stabilnosti sistema u režimu posle kvara Uvidom u dijagrame snaga-ugao sa sl. 4.15d, uočava se da su vrednosti površina ubrzanja (A1) i usporenja (A2) sledeće: δn

A1 = 0,9 (δ n − δ 0 ) − ∫ (1,03 sin δ) dδ = 0,9 (δ n − δ 0 ) + 1,03(cos δ n − cos δ 0 ) = δ0

= 0,9 ⋅ (1,0629 − 0,621) + 1,03(cos 1,0629 − cos 0,621) = 0,0611; δ gr

(

)

A2 = ∫ (1,03 sin δ) dδ − 0,9 (δ gr − δ n ) = 1,03 cos δ n − cos δ gr − 0,9 (δ gr − δ n ) = δn

= 1,03(cos 1,0629 − cos 2,079 ) − 0,9 ⋅ (2,079 − 1,0629) = 0,0874 . Pošto je A2 > A1, sistem je u režimu posle isključenja kvara ostao stabilan. Kritični ugao isključenja kvara dobija se iz uslova jednakosti površina A1 i A2 na sl.4.15e i dat je preko izraza:

 P   0,9  ⋅ (2,079 − 0,621) − 0,486 = δ ikr = arccos  m δ gr − δ 0 + cos δ gr  = arccos  1,03   Pimax  = arccos 0,788 = 38° = 0,633 rad.

(

)

P [r.j.]

Pmax = 1,546 r.j.

1,5 A2 = A1 A2 1,0

A1

Pimax = 1,03 r.j. Pm = 0,9 r.j.

0,5

0

δ ikr = 38°

0

δ0 = 35,6° δn = 60,9°

δgr = 119,1°

δ [°]

Sl. 4.15e Ilustracija određivanja kritičnog ugla isključenja kvara δ ikr iz tač. d

Proračun stabilnosti

359

Kritično vreme isključenja kvara je onda:

tikr =

(

)

2 Ti δ ikr − δ 0 2 ⋅ 8 ⋅ (0,663 − 0,621) = = 0,049s ≈ 2,5 periode . ωs Pm 314 ⋅ 0,9

Proračun stabilnosti

360

Zadatak 4.16 Elektrana predstavljena ekvivalentnim generatorom, vezana je na moćnu mrežu posredstvom generatorskog blok-transformatora i prenosnog voda, kako je to prikazano na sl. 4.16a (na kojoj su takođe dati i svi podaci o elementima sistema). a) Naći izraz za karakteristiku snaga-ugao sistema u normalnom pogonu (pre kvara) i početni ugao δ10, ako se u moćnu mrežu isporučuje snaga P∞ = 300 MW, pri faktoru snage cos ϕ∞ = 1,0. b) Ako se na početku voda (neposredno iza sabirnica visokog napona blok-transformatora) dogodi jednofazni kratki spoj sa zemljom, naći izraz za karakteristiku snaga-ugao posle pojave kvara i početni ugao snage δ20. c) Primenom metoda jednakih površina utvrditi da li sistem posle pojave kvara ostaje stabilan. Rešenje ilustrovati grafički. U proračunima koristiti relativne jedinice sa SB = 400 MVA i UB = 220 kV.

1 G

BT

2

3

~

Xv = 48,4 Ω X0v = 3 Xv

SnG = 400 MVA UnG = 15 kV x′d = 24% xi = x′d

Moćna mreža U∞ = 220 kV P∞ = 300 MW

SnT = 400 MVA UnT = 15/220 kV/kV xT = 12% Sprega: Y0d

Sl. 4.16a Jednopolna šema i parametri elemenata sistema iz zadatka 4.16

Rešenje: a) Proračun stanja pre kvara: U B2 220 2 ZB = = = 121 Ω ; SB 400 X G = X d′ = 0,24 r.j. ; X T = 0,12 r.j. ; 48,4 Xv = = 0,4 r.j. ; 121 P 300 P= = = 0,75 r.j. ; S B 400

X 0v = 3 X v = 1,2 r.j. ;

X 1ekv = X ekv = X G + X T + X v = 0,24 + 0,12 + 0,4 = 0,76 r.j.

Proračun stabilnosti

361

Indukovana EMS pre kvara je: E ′ = U ∞ + jX ekv

P 0,75 = 1,0 + j 0,76 ⋅ = (1 + j 0,57) r.j. = 1,151 r.j. ∠29,683° . U∞ 1,0

Kriva snaga-ugao pre kvara data je izrazom: P=

E ′U ∞ 1,151 ⋅ 1,0 sin δ = sin δ = 1,5145 sin δ . ekv 0,76 X

Početni ugao snage u normalnom režimu je:

δ10 = arcsin

PX ekv 0,75 = arcsin = 29,683° = 0,518 rad . E ′U ∞ 1,5145

b) Stanje za vreme kvara (ekvivalentna šema prikazana je na sl. 4.16b) 1′ ° E′

jXT 1 14444244443 j 0,36 r.j. jX G

jXv

2

j0,4 r.j.

3 ° U∞

Zk = j(Xi + X0) = = 0,2986 r.j.

Sl. 4.16b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.16a za vreme kvara

U zamenskoj šemi sistema za vreme kvara figuriše otočno priključena impedansa kvara Z k = j ( X i + X 0 ) , koja se sastoji od redno povezanih ekvivalentnih impedansi sistema inverznog i nultog redosleda (gledano sa mesta kvara), čije su vrednosti: Xi =

X iv ( X iG + X iT ) 0,4 ⋅ (0,24 + 0,12) = = 0,1895 r.j. ; X iv + X iG + X iT 0,76

X0 =

X 0T X 0v 0,12 ⋅ 1,2 = = 0,1091 r.j. X 0T + X 0v 0,12 + 1,2

Impedansa kvara je onda: Z k = j ( X i + X 0 ) = j (0,1895 + 0,1091) = j 0,2986 r.j. Proračun transfer impedanse za sistem sa sl. 4.16b, vrši se transfiguracijom zvezde, čije su impedanse Z 1′ 2 = j ( X G + X T ) = j 0,36 r.j. ; Z 23 = jX v = j 0,4 r.j. i Z k = j 0,2986 r.j. , tako da je: 0,4 ⋅ 0,36   ∆ Z 1′ 3 = j  0,36 + 0,4 +  = j1,242 r.j. 0,2986  

Proračun stabilnosti

362

Kriva snaga-ugao za vreme kvara data je preko izraza: P=

1,151 ⋅1,0 sin δ = 0,92673 sin δ . 1,242

Početni ugao snage na krivoj njihanja za vreme kvara je ( Pm =

δ 20 = arcsin

300 = 0,75 r.j. ): 400

0,75 = 54,03° = 0,943 rad . 0,92673

Granični ugao stabilnosti je onda: δ gr = 180° − δ 20 = 180° − 54,03° = 125,97° = 2,1986 rad . Karakteristične krive snaga-ugao pre i posle nastanka kvara prikazane su na sl. 4.16c.

P [r.j.] 1,5

A2 A1 0,75

0

Kriva njihanja pre kvara 1,5145 sin δ Kriva njihanja za vreme kvara 0,92673 sin δ

δ10 = 0,518 rad δ20 = 0,943 rad

δgr = 2,1986 rad

δ [rad]

Sl. 4.16c Karakteristike snaga – ugao sistema iz zadatka 4.16, pre nastanka kvara i za vreme kvara c) Provera stabilnosti metodom jednakih površina: Uslov je da na sl. 4.16c bude A2 > A1

A1 =

δ20 =0,943

∫ (0,75 − 0,92673sinδ) dδ = 0,75⋅ (0,943− 0,518) + 0,92673⋅ (0,5874− 0,8688) = 0,058;

δ10 =0,518

A2 =

δgr =2,1986

∫ (0,92673sinδ − 0,75) dδ = 0,92673⋅ (0,5874+ 0,5874) − 0,75⋅ (2,1986− 0,943) = 0,1469 .

δ20=0,943

Kako je A2 > A1 sistem ostaje stabilan i posle pojave kvara.

Proračun stabilnosti

363

Zadatak 4.17 Za dati trofazni jednopolno prikazani elektroenergetski sistem sa sl. 4.17a ispitati tranzijentnu stabilnost generatora za slučaj tropolnog kratkog spoja na početku voda-ogranka neopterećenog pre kvara, ako su ems generatora E ′ iza podužne tranzijentne reaktanse, kao i napon moćne mreže, konstantni. Trofazni kratki spoj se isključuje posle ti = 0,15 s. Ostali podaci o sistemu su dati na sl. 4.17a. U∞ = const Ur = 115 kV Moćna 70 MW mreža Lv = 100 km xv=0,4 Ω/km (XM → 0) 10 MVAr G T1 T2

~

°

° SnG = SnT1 = 75 MVA SnT2 = 75 MVA UnG = 10,5 kV xT2 = 12 % k3 x ′dG = 30% mT2 = 110/220 kV/kV xT1 = 10,5% mT1 = 10,5/115,5 kV/kV Ti = 8 s Sl. 4.17a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.17

Rešenje: Parametri ekvivalentne šeme sistema, prikazane na sl. 4.17b su: 40,5 115,5 2 ⋅ = 72 Ω ; 100 75 12 110 2 XT 2 = ⋅ = 19,36 Ω ; 100 75 1 X vekv = ⋅ 0,4 ⋅100 = 20 Ω . 2 ′ + X T1 = X dG

j72 Ω E′

j20 Ω

j19,36 Ω

U r = 115 kV

Sl. 4.17b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.17a Dalje se nalazi: 72 ⋅10 72 ⋅ 70 +j = 128,94 kV ∠19°52′ ; 115 115 39,36 ⋅10 39,36 ⋅ 70 = 115 − −j = 114,12 kV ∠ − 12°07′ . 115 115

E ′ = 115 + U∞

U∞

Proračun stabilnosti

364

Ugao koji je ems E ′ zatvarala prema naponu moćne mreže pre kvara je: δ 0 = 19°52′ + 12°07′ = 31°59′ = 31,98° . Dinamička karakteristika radnog stanja pre, identična je sa karakteristikom posle isključenja kvara sa sl. 4.17c. P=

E ′U ∞ 128,94 ⋅114,12 sin δ = sin δ = 132,14 sin δ , XΣ 111,36

odakle je 70 = 132,14 sin δ 0 , odnosno: sin δ 0 = 0,53 ; δ 0 = 31,99° ≈ 32° ;

δ gr = 180° − 32° = 148° .

Prema formuli:

(

)

cos δ ikr = δ gr − δ 0 sin δ 0 + cos δ gr , odnosno: cos δ ikr = 116° ⋅

π ⋅ 0,53 − 0,848 = 0,225 , 180°

nalazi se kritični ugao isključenja kvara:

δ ikr = 77° .

Kako je maksimalno vreme posle koga treba isključiti kvar:

t max =

(

)

Ti S nG δ ikr − δ 0 8 ⋅ 75 ⋅ 45 = = 0,207 s , 9000 Pm 9000 ⋅ 70

odnosno tmax > ti = 0,15 s, to se zaključuje da je generator tranzijentno stabilan.

Proračun stabilnosti

365

P [MW] P = 132,14 sin δ 100

Pm = 70 MW

50

0

0

δ 0 = 32°

δ ikr = 77°

δ gr = 148° 180° δ [°]

Sl. 4.17c Dinamička karakteristika sistema iz zadatka 4.17, sa označenim karakterističnim veličinama

Napomena: pretpostavka da je otočni vod na kome se dešava kvar prethodno neopterećen znači u stvari i najteži slučaj sa gledišta stabilnosti jer tada udaljena elektrana predaje svu snagu moćnoj mreži pa je i početni ugao najveći. Takođe i pretpostavka tropolnog kratkog spoja predstavlja najteži slučaj, a s druge strane omogućava prostu metodiku proračuna, bez uzimanja u obzir preostalog dela sistema.

Proračun stabilnosti

366

Zadatak 4.18 U kom vremenu treba obostrano jednovremeno isključiti vod V1, sistema jednopolno prikazanog na sl. 4.18a, na čijem se početku dogodio trofazni kratki spoj, da bi sistem bio tranzijentno stabilan, ako je generator nominalno pobuđen i ako odaje u sistem aktivnu snagu od 300 MW. Potrošački centri su jednaki i pri naponu na njihovim sabirnicama od 220 kV, svaki uzima po 150 MW pri cos ϕ = 0,95 (induktivni). Ostali podaci o sistemu dati su na sl. 4.18a.

Zp = const Lv1 = Lv2 = Lv3 = Lv4 = 150 km xv = 0,42 Ω/km

° °

V1

U∞ = 220 kV = const Sistem beskonačne snage

° °

~ G

V2

UnM = 220 kV

k3 T V3

SnG = SnT = 500 MVA cos ϕnG = 0,9 UnG = 15,75 kV xdG ′ = 30 % xT = 12 % mT = 15,75/231 kV/kV Ti = 8 s

V4

Zp = const

Sl. 4.18a Jednopolna šema i parametri sistema za zadatka 4.18

Rešenje: Parametri zamenske šeme sistema sa slike 4.18a, prikazane na slici 4.18b, su:

2312 = 44,823 Ω ; 500 = X v 4 = 63 Ω ;

′ + X T = 0,42 ⋅ X dG X v1 = X v 2 = X v 3

220 2 Zp = ⋅ (0,95 + j 0,312) = (291 + j 95,6) Ω . 150 0,95

Proračun stabilnosti

367

(291 + j95,6) Ω

1

j44,823 Ω

E′

3

j63 Ω

j63 Ω 2

j63 Ω

j63 Ω

U∞

4 (291 + j95,6) Ω

Slika 4.18b Ekvivalentna šema sistema sa slike 4.18a.

Kako su tačke 3 i 4 na istom potencijalu, to se zamenska šema razmatranog sistema sa sl. 4.18b može uprostiti kao što je to pokazano na sl. 4.18c. 1

j76,323 Ω

j31,5 Ω

2

E′ (145,5 + j47,8) Ω

U∞ = 220 kV = const

Sl. 4.18c Uprošćena šema sistema sa sl. 4.18b.

Sa šeme sa sl. 4.18c dobija se: j 31,5 ⋅ (145,5 + j 47,8) = 105,07 Ω ∠87°07′ ; j 31,5 + 145,5 + j 47,8 j 76,323 ⋅ j 31,5 = j 76,323 + j 31,5 + = 113,69 Ω ∠97°33′ . 145,5 + j 47,8

Z 11 = j 76,323 + Z 12

Zamenska šema sistema posle isključenja voda V1 predstavljena je na sl. 4.18d. 1

j44,82 Ω

j63 Ω

j63 Ω

E′ (291 + j95,6) Ω

2 U∞ = 220 kV = const

Sl. 4.18d Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.18a, posle isključenja voda V1

Proračun stabilnosti

368

j 63 ⋅ (291 + j 95,6) = 165,53 Ω ∠86°21′ ; j 63 + 291 + j 95,6 j107,823 ⋅ j 63 = j107,823 + j 63 + = 178,97 Ω ∠96°46′ . 291 + j 95,6

Z 11i = j107,823 + Z 12i

Napomena: indeks 'i' ispred oznake za sopstvenu i međusobnu impedansu označava da su to vrednosti odgovarajućih impedansi posle isključenja voda V1.

x′ %  x′ %   x′ %   x′ %  E ′ = U nG 1 + d sin ϕ nG  +  d cos ϕ nG  = U nG 1 +  d  + 2 d sin ϕ nG = 100 100    100   100  2

2

2

= 15,75 ⋅ 1 + 0,32 + 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,436 = 18,31 kV, ili svedeno na stranu mreže nominalnog napona 220 kV: ′ = 15,75 ⋅1,1626 ⋅ E sv

231 = 268,8 kV . 15,75

′ , U∞ i δ ( δ je ugao između Karakteristika električne odate snage generatora u funkciji E sv ′ i U∞) neposredno pre nastanka kvara je: E sv

′2 E sv E′ U P= sin µ11 + sv ∞ sin (δ − µ12 ) , Z11 Z12 gde je

µ11 = 90° − 87°07′ = 2°53′ ; µ12 = 90° − 97°33′ = −7°33′ .

′ i U∞ u stacionarnom režimu neposredno pre kvara δ0 može se izračunati Ugao između E sv iz jednačine: 268,8 2 268,8 ⋅ 220 300 = sin 2°53′ + sin (δ 0 + 7°33′) , 105,07 113,69

odakle je: δ 0 = 23°07′ .

Za vreme trajanja trofaznog kratkog spoja na početku voda V1, odata električna aktivna ′ , U∞ i snaga generatora je jednaka nuli, a karakteristika odate električne aktivne snage u funkciji E sv δ posle isključenja voda V1 je:

Pi = gde je:

′2 E sv E′ U sin µ11i + sv ∞ sin δ − µ12i , Z11i Z12i

µ11i = 90° − 86°21′ = 3°39′ ;

(

)

Proračun stabilnosti

369

µ12i = 90° − 96°46′ = −6°46′ ; Pi =

268,8 ⋅ 220 268,8 2 sin 3°39′ + sin (δ + 6°46′) = 27,8 + 331sin (δ + 6°46′) . 165,53 178,97

Granični ugao δgr određuje se iz jednačine: Pm = Pi , odnosno:

(

)

300 = 27,8 + 331sin δ gr + 6°46′ , Iz poslednje jednačine je: δ gr + 6°46′ = 180° − 55°35′ , tako da je: δ gr = 180° − 55°35′ − 6°46′ = 117°39′ . Kritični ugao isključenja voda V1 ( δ ikr ), određuje se iz jednačine:

(

)

Pm δ ikr − δ 0 =

δ gr

∫ (Pi − Pm )dδ ,

δikr

odnosno:

(

)

300 ⋅ δ ikr − 0,40346 =

117°39′

∫ [27,8 + 331sin(δ + 6°46′) − 300]dδ ,

δikr

gde je 0,403462 ugao δ0 izražen u radijanima. Dalje je:

(

)

(

)

300 δ ikr − 121,0386 = 272,2 ⋅ δ ikr − 2,05338 + 331cos δ ikr + 6°46′ − 331cos(117°39′ + 6°46′) , gde je 2,05338 ugao δgr izražen u radijanima;

(

)

331cos δ ikr + 6°46′ = 27,8 δ ikr + 250,9614 . Rešavanjem ove poslednje transcedentne jednačine dobiće se δ ikr , koji iznosi:

δ ikr ≈ 29°54′ . Na sl. 4.18e dat je grafički prikaz rešenja transcedentne jednačine iz zadatka 4.18.

Proračun stabilnosti

370

P

27,8 ⋅ δ + 250,9614 331 ⋅ cos(δ + 6°46′)

0

δ ikr

0

90°

δ [°]

′ Sl. 4.18e Grafički prikaz rešenja transcedentne jednačine iz zadatka 4.18

P [MW] Pm = 300 MW 300 Pi = 27,8 + 331sin (δ + 6°46′)

200

100

0

δ ikr = 29°54′

0

δ 0 = 23°07 ′

90°

δ gr = 117°39′

180° δ [°]

Sl. 4.18f Dinamička karakteristika sistema iz zadatka 4.18 sa označenim karakterističnim veličinama. Kritično vreme jednovremenog obostranog isključenja voda V1 biće:

tikr =

(

)

Ti S nG δ ikr − δ 0 8 ⋅ 500 ⋅ (29°54′ − 23°07′) = = 0,101s ≈ 5 perioda. 9000 Pm 9000 ⋅ 300

Na sl. 4.18f ilustrovana je dinamička karakteristika sistema, sa označenim karakterističnim veličinama.

Proračun stabilnosti

371

Zadatak 4.19 Za dati trofazni, na sl. 4.19a jednopolno prikazani elektroenergetski sistem nominalne učestanosti 50 Hz, podjednako opterećeni generatorsko-transformatorski blokovi istih karakteristika odaju na sabirnice višeg napona ukupnu (trofaznu) aktivnu snagu P uz cos ϕ = 1 pri (linijskom) naponu Ur. Sa istih sabirnica odvodi se u lokalno potrošačko područje pod navedenim naponom aktivna snaga Pp uz cos ϕ p = 1 , pri čemu se ekvivalentna impedansa (rezistansa) potrošača može smatrati konstantnom. Izračunati kritično vreme beznaponske pauze Tbpkr sa gledišta tranzijentne stabilnosti (tj. trajanje tropolnog isključenja do ponovnog uključenja) voda na čijem se početku desio čist trofazni kratki spoj, koji se isključuje u vremenu ti, ako se jaka aktivna mreža na kraju može zameniti reaktansom ′ izračunatom iz udela te mreže u tranzijentnoj tropolnoj snazi kratkog spoja S k′ 3 na Z ′ M ≈ jX M sabirnicama 2 sa nominalnim naponom mreže U nM , i konstantnim naponom U M iza te reaktanse. Svi neophodni podaci za proračune dati su na sl. 4.19a. 2 G T Ur = 230 kV AT Jaka aktivna P mreža Unv = 220 kV S k′ 3M xv = 0,42 Ω/km k3 Lv = 150 km G T

~

~

SnG = SnT = 2×200 MVA UnG = 15,75 kV xG′ = 28 % xT = 12 % Ti = 10 s mT = 15,75/231 kV/kV

Pp = 230 MW  Z p = const cos ϕ p = 1 

P = 380 MW ti = 0,09 s

SnAT =400 MVA xAT = 10 % mAT = 220/400 kV/kV S k′ 3M = 10000 MVA pri U nM = 400 kV

Sl. 4.19a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.19

Rešenje: Proračun osnovnih parametara: sve veličine u proračunima biće svedene na stranu voda:

(28 + 12) ⋅ 2312 = 53,36 Ω ; 100 ⋅ 2 ⋅ 200 X v = xv Lv = 0,42 ⋅150 = 63 Ω ;

′ sv = X GT

10 220 2 X AT = ⋅ = 12,1 Ω ; 100 400 2 U2 400 2  220  2 ′ sv = nM m AT XM = ⋅  = 4,84 Ω . S k′ 3M 10000  400 

Svedena ems E ′ iza podužne tranzijentne reaktanse generatora X G′ , koja se prećutno pretpostavlja da je po modulu konstantna u vremenu u kome se odlučuje o tranzijentnoj stabilnosti,

Proračun stabilnosti

372

izračunava se iz radnog napona (pre kvara) na sabirnicama višeg napona elektrane i snaga koje se predaju tim sabirnicama P i Q = 0 ( cos ϕ = 1 ):

2

   

2

2  380 ⋅ 53,36   = 230 2 +  = 246,32 kV   230   

Proračun stabilnosti

373

a

µ11 = 90° − ψ11 = 90° − 78,756° = 11,244° . Međusobna impedansa punog sistema između tačaka 1 i 2 (u kojoj deluje ekvivalentni napon mreže), nalazi se shodno šemi sa slike 4.19c: Z 12

1 °

′ sv jX GT

jX v′ , AT , M

2 °

Rp

Sl. 4.19c Ekvivalentna šema za proračun međusobne impedanse sa sl. 4.19a

′ sv + jX v′ , AT ,M + Z 12 = jX GT

′ sv jX v′ , AT ,M jX GT 53,36 ⋅ 79,94 = j 53,36 + j 79,94 − = Rp 230

= −18,55 + j133,3 = 134,5845 ∠97,92°, tj.

Z12 = 134,5845 Ω ψ12 = 97,92° ; µ12 = 90° − ψ12 = 90° − 97,92° = −7,92° , što je u sličnim slučajevima tipično. Dinamička karakteristika pre kvara odnosno posle (uspešnog) ponovnog uključenja, tj. za pun sistem na mestu 1 (unutrašnjost generatora) ima oblik

P1 ≡ P1pu =

′ U M sv E sv ′2 Esv sin µ11 + sin (δ − µ12 ) = 93,057 + 431,631sin (δ + 7,92°) Z11 Z12

.

Presek ove karakteristike sa pravom mehaničke snage Pm, koja se prećutno pretpostavlja da je konstantna, daje početni ugao δ 0 , koji se dobija preko izraza: Pm ≡ P10 = P = 380 = 93,057 + 431,63 sin (δ 0 + 7,92°) , gde je sa P10 označena početna (radna) snaga u tački 1 (unutrašnjost generatora), koja je zbog zanemarenja otpornosti (gubitaka) jednaka snazi P. Otuda je: sin (δ 0 + 7,92°) =

380 − 93,057 = 0,6647877 ⇒ δ 0 + 7,92° = 41,667° , 431,631

odakle je ugao: δ 0 = 41,667° − 7,92° = 33,747° .

Proračun stabilnosti

374

Kontrola se može izvršiti na primer sabiranjem uglova bloka G-T i onoga za vod, AT i M: ′ sv U r 380 ⋅ 53,36 230 PX GT = = 0,3833 ⇒ θGT = 20,973° ; Ur 230 Pv X v′ , AT ,M U r 150 ⋅ 79,94 230 tg θv , AT ,M = = = 0,2266739 ⇒ θ v, AT ,M = 12,771° , Ur 230

tg θGT =

E ′ sv δ0 θGT θv , AT , M

Ur . . U M sv

Sl. 4.19d Fazorski dijagram napona iz zadatka 4.19

pa je: δ 0 = θ GT + θ v , AT ,M = 20,973° + 12,771° = 33,744° , što pokazuje da je prethodni proračun ugla δ 0 bio korektan. Dinamička karakteristika za vreme kvara (čist trofazni kratak spoj na početku voda, što je isto kao da se dogodio na sabirnicama, s tom razlikom što će reagovati zaštita voda) dobije se kada se kvar zameni sa impedansom kvara Zk = 0, kako je to ilustrovano na sl. 4.19e, gde je ekvivalentna otočna impedansa: Ze =

1 °

Rp Z k Rp ⋅ 0 = = 0, Rp + Z k Rp + 0 jX v′ , AT ,M

′ sv jX GT

Rp

2 °

Zk = 0

1 °

⇒

′ sv jX GT

jX v′ , AT , M

2 °

Ze = 0

Sl. 4.19e Ekvivalentne šeme za proračun impedansi sistema sa sl. 4.19a za vreme kvara pa je sopstvena impedansa u 1 za vreme kvara:

′ sv = X GT ′ sv ∠90° = 53,36 ∠90° = Z11k ∠ψ11k , Z 11k = jX GT dok je:

µ11k = 90° − ψ11k = 90° − 90° = 0° .

Proračun stabilnosti

375

Moduo međusobne impedanse za vreme kvara teži beskonačnosti, jer je sa sl. 4.19e ′ sv + jX v′ , AT ,M + Z 12k = jX GT

′ sv jX v′ , AT ,M jX GT , Ze

pa zbog Z e = 0 cela impedansa teži beskonačnosti. Prema tome generatori za vreme kvara odaju nultu snagu, tj. dinamička karakteristika degeneriše u apscisu pravouglog koordinatnog sistema P - δ: Pk =

′ U M sv E sv ′2 E sv 246,32 2 sin µ11k + sin δ − µ12k = sin 0° = 0 . 53,36 Z11k Z12k

(

)

Dinamička karakteristika za vreme (trofaznog) isključenja voda, dobija se na bazi zamenske šeme, sa sl. 4.19f, u kojoj isključenje voda odgovara potpunom prekidu, odnosno beskonačnoj rednoj impedansi na mestu isključenja, pa moduo međusobne impedanse Z12i → ∞ dok je sopstvena impedansa:

′ sv = 230 + j53,36 = 236,10886 ∠13,062° , Z 11i = R p + jX GT tj.

Z11i = 236,10886 Ω ; ψ11i = 13,062° ; µ11i = 90° − ψ11i = 90° − 13,062° = 76,938° . 1

′ sv jX GT

∞

jXv

∞

jX ′AT ,M 2

Rp

Sl. 4.19f Ekvivalentna šema za proračun impedansi sistema Prema tome dinamička karakteristika za vreme dok je vod isključen daće samo sopstveni član odnosno konstantnu aktivnu snagu:

Pi =

′ U M sv E sv ′2 E sv 246,32 2 sin µ11i + sin δ − µ12i = sin 76,938° = Z11i Z12i 236,10886

(

)

= 256,968 ⋅ 0,97412 = 250,3176 MW. Ugao pri kome se isključuje vod može se izračunati na osnovu zadatog vremena isključenja voda ti: ti = 0,09 s =

(δ i − δ 0 ) ⋅ 2Ti S n 360° ⋅ 50 ⋅ Pa

,

Proračun stabilnosti

376

tj. iz jednačine: 0,09 2 =

(δi − 33,747°) ⋅ 2 ⋅10 ⋅ 2 ⋅ 200 , 18000 ⋅ 380

odakle se dobija da je: δ i = 40,6725° . Granični ugao δ gr izračunava se iz preseka prave mehaničke snage Pm sa opadajućim delom dinamičke karakteristike punog sistema, što se prevodi u jednačinu:

(

)

Pm = 93,057 + 431,631sin δ gr + 7,92° = 380 , odakle je:

(

)

sin δ gr + 7,92° = 0,6647877 , odnosno: δ gr + 7,92° = 180° − 41,667° , odakle se konačno dobija: δ gr = 180° − 49,587° = 130,413° . Sada je moguće po metodi jednakih površina, tj. izjednačavanjem površine ubrzanja A1 sa maksimalno mogućom površinom usporenja A2 max , izračunati kritični ugao ponovnog uključenja

δ pukr :

(

)

Pm (δ i − δ 0 ) + (Pm − Pi ) δ pukr − δ i = 144444 42444444 3

δ gr

∫ P1 (δ)dδ − Pm (δ gr − δ pu

δ pukr

kr

),

14444244443 A2 max

A1

ili kraće, posle poništavanja pozitivne i negativne vrednosti za Pm δ i i Pm δ pukr :

(

) (

)

Pm δ gr − δ 0 − Pi δ pukr − δ i =

δ gr

′ U M sv E sv  E sv  ′2 ∫  Z11 sin µ11 + Z12 sin (δ − µ12 )dδ . δ pu kr  

Ova jednakost mogla se i neposredno iskazati, jer ako je površina A1 = A2 max , onda je i

(

)

površina pravougaonika sa stranicama δ gr − δ 0 i Pm jednaka sumarnoj površini ispod odgovarajućih dinamičkih karakteristika: kvara (površina jednaka nuli pa otpada), isključenog voda i punog sistema posle uspešnog ponovnog uključenja.

Proračun stabilnosti

377

P1 [MW] 500

P1 = P1pu

Α2max 400

Pm

Α1

300

Pa

200 Pi

osa simetrije za P1

100 Pk 0

0

δ0 δi

δ pukr 90°

δ gr

180° δ [°]

Sl. 4.19g Dinamičke karakteristike sistema iz zadatka 4.19 sa označenim karakterističnim veličinama Posle izvršene integracije i uvrštenja brojčanih vrednosti dobija se jednakost: 380 ⋅ (130,413° − 33,747°)

π π = 250,318 ⋅ (δ pukr − 40,6725°) 180° 180° π + 93,057 ⋅ (130,413° − δ pukr ) 180° + 431,631 ⋅ cos(δ pukr + 7,92°) − cos(130,413° + 7,92°) ,

[

]

koja posle sređivanja daje jednačinu po δ pukr :

2,7447δ pukr + 431,63 cos(δ pukr + 7,92°) = 284,5585 . Ova nelinearna (transcedentna) jednačina po δ pukr ne dopušta iskazivanje cos δ pukr u eksplicitnom obliku kao u slučaju kada sve dinamičke karakteristike (sinusoide) prolaze kroz koordinatni početak, uključivo i slučaj kada sinusoida kvara degeneriše u apscisu (idealizovani jednomašinski sistem bez gubitaka i potrošnje često upotrebljavan kod približnih proračuna tranzijentne stabilnosti), već se rešava nekim numeričkim iterativnim metodom za rešavanje nelinearnih jednačina. Dovoljno tačno rešenje za δ pukr iz gornje jednačine je

δ pukr ≈ 69,55° . Kritično (sa gledišta tranzijentne stabilnosti) vreme beznaponske pauze Tbpkr = t pukr − ti , kao razlika vremenskih trenutaka ponovnog uključenja (kod nađenog ugla δ pukr ) i isključenja voda

Proračun stabilnosti

378

(merenih od nastanka kvara) može se izračunati iz poznatog obrasca za slučaj konstantne snage akceleracije (ovde Pa = Pm − Pi ), vodeći računa da je za vreme kvara do trenutka isključenja rotor agregata dobio nadsinhronu električnu ugaonu brzinu: ω  dδ   dδ    = s Pa ti +   ,  dt  t =ti Ti S n  dt  0

gde drugi sabirak zbog ω − ω s = ω0 − ω s = ω s − ωs = 0 otpada, tj. 360 ⋅ 50  dδ  = ⋅ 380 ⋅ 0,09 = 153,9°/s ,    dt  ti =0,09 s 10 ⋅ 2 ⋅ 200 pri čemu su svi proračuni sprovedeni za oba agregata zajedno, kao za jedan ekvivalentan, ali se očigledno isto dobija i za svaki agregat pojedinačno ( Pa1G = Pm1G = Pa 2 , pa su i Pa i Sn upola manji u gornjem obrascu za jedan umesto oba agregata). Treba takođe podvući da u gornjem obrascu vremenski trenutak ti znači vremenski interval od nastanka do isključenja kvara, tj. vreme kvara Tk = ti − t 0 ≡ ti . Izračunavanje promene ugla pri konstantnoj akceleraciji obavlja se po poznatom obrascu, vodeći računa da se primena ne odnosi na početno stanje, nego od trenutka isključenja kvara (odnosno voda) do ponovnog uključenja, tj. kao početni ugao ima se δi a ne δ 0 , početna ugaona

 dδ   dδ  brzina   a ne   = 0 i akceleracija Pa = Pm − Pi a ne Pa = Pm , pa je:  dt  0  dt  ti δ pukr = δ i +

ωs  dδ  PaTbp2 kr +   Tbpkr , 2 Ti S n  dt  ti

pri čemu je vreme 't' kao što je već rečeno identično sa trajanjem beznaponske pauze, kritičnim sa gledišta stabilnosti, što je i jedina nepoznata. Sa zadatim brojčanim vrednostima iskazujući uglove u stepenima a ne u radijanima, biće 69,55° = 40,6725° +

360 ⋅ 50 ⋅ (380 − 250,318) 2 Tbpkr + 153,9 Tbpkr , 2 ⋅10 ⋅ 2 ⋅ 200

odakle se dobije kvadratna jednačina po Tbpkr : 291,78Tbp2 kr + 153,9 Tbpkr − 28,88 = 0 , sa rešenjima Tbpkr

1, 2

=

− 153,9 ± 153,9 2 − 4 ⋅ 291,78 ⋅ (−28,88) , 2 ⋅ 291,78

od kojih je samo pozitivno rešenje fizički moguće, pa je:

Tbpkr =

− 153,9 + 239,5655 = 0,146798 s ≈ 0,15 s . 583,56

Proračun stabilnosti

379

Tranzijentna stabilnost ne dopušta duže vreme beznaponske pauze, kakvo je potrebno za uspešno ponovno uključenje kod prolaznog kvara sa gledišta dejonizacije prostora na mestu kvara (minimalno vreme dejonizacije oko 0,2 s, a poželjno i 0,3 do 0,4 s). Treba, znači, pokušati sa još kraćim vremenom isključenja kvara (jednoperiodna relejna zaštita i dvoperiodni prekidači, plus pola periode za gašenje luka, tj. sa ti = 0,02 + 2⋅0,02 + 0,01 = 0,07 s), ili proveriti da li se dobija dovoljno vreme beznaponske pauze za blaže a češće kvarove, pa se time zadovoljiti (interesantno je na kraju izračunati maksimalno klizanje pod pretpostavkom da je uključenje ipak uspešno). Za vreme kvara rotor dostigne klizanje: st i =

1 ωs

pa je:

smax =

ω Pt 380 ⋅ 0,09  dδ  = 0,00855 ,   = s ai = dt ω T S 10 ⋅ 2 ⋅ 200   ti s i n

ω s PaTbpkr 1  dδ  1  dδ  (380 − 250,32) ⋅ 0,15 = + + 0,00855 =   =   ω s  dt  t ωsTi S n ω s  dt  t 10 ⋅ 2 ⋅ 200 pu kr i

= 0,00486 + 0,00855 = 0,01341 ( tj. 1,341%).

Proračun stabilnosti

380

Zadatak 4.20 Za jednomašinski prenosni sistem, čija je jednopolna šema prikazana na sl. 4.20a, naći maksimalne prenosne snage, s obzirom na granice tranzijentne stabilnosti, u sledećim slučajevima: a) Normalno stanje (pre kvara); b) Trofazni kratki spoj na sredini jednog od dva paralelna voda; c) Dvofazni kratki spoj u istoj tački kao u b; d) Jednofazni kratki spoj u istoj tački kao u b; e) Dvofazni kratki spoj sa zemljom u istoj tački kao u b; f) Stanje posle isključenja voda u kvaru. Numeričke vrednosti parametara elemenata sistema, takođe su date na sl. 4.20a. U rekapitulaciji proračuna rangirati slučajeve a – f, po kriterijumu maksimalne prenosne snage. 1 G

BT

2

~

V1

3

V2 K

E ′ = 1,2 r.j. X d′ = 0,1 r.j.

XdT = XiT = 0,1 r.j. X0T = 0,05 r.j.

XdG = XiG = X d′

Xdv1 = Xdv2 = 0,5 r.j. Xiv1 = Xiv2 = 0,5 r.j.

Kruta mreža

U∞ = 1,0 r.j.

X0v1 = X0v2 = 1,0 r.j. Zk = 0 (nulta impedansa luka)

Sl. 4.20a Jednopolna šema i osnovni parametri sistema iz zadatka 4.20

Rešenje: Za proračun maksimalne prenosne snage, za različite slučajeve definisane u formulaciji zadatka, neophodno je da se prvo proračunaju odgovarajuće transfer impedanse. 1. Proračun transfer impedanse Z13 1.a. Normalno stanje Transfer impedansa za normalno stanje jednostavno se nalazi uvidom u jednopolnu čemu sistema sa sl. 4.20a. Ona iznosi: 1 0,5   Z 13 = jX dG + jX dT + j X dv = j  0,1 + 0,1 +  = j 0,45 r.j. 2 2  

1b. Trofazni kratki spoj Za proračun transfer impedanse pri trofaznom kratkom spoju na sredini jednog od dva paralelna voda, koristi se ekvivalentna šema impedansi direktnog redosleda, prikazana na sl. 4.20b,

Proračun stabilnosti

381

odakle se, posle transfiguracije zvezde 1-2-3-K u trougao 13K, za vrednost transfer impedanse dobija: Z Z 0,2 ⋅ 0,5 Z d 13 = Z dS + Z dv + dS dv = j 0,2 + j 0,5 + j = j1,1r.j. Z dv 0,25 2

ZdG = j0,1 r.j. ZdT = j0,1 r.j.

1

Zdv = j0,5 r.j.

2

E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZdS = ZdG + ZdT = j0,2 r.j.

3

U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Z dv = j 0,25 r.j. 2

Z dv = j 0,25 r.j. 2

K

K

Sl. 4.20b Ekvivalentna mreža direktnog redosleda sistema iz zadatka 4.20

1c. Dvofazni kratki spoj Impedansa kvara, koja se redno spaja sa ekvivalentnom impedansom direktnog redosleda (gledano sa mesta kvara) je ekvivalentna impedansa inverznog redosleda, pa je ekvivalentna šema sistema za ovaj slučaj prikazana na sl. 4.20c.

1′

ZdS = j0,2 r.j.

2′

Zdv = j0,5 r.j.

3′

E′ = 1,2 r.j. ∠δ

U∞ = 1,0 r.j. ∠0°

Z dv = j 0,25 r.j. 2

Z dv = j 0,25 r.j. 2

K′ Z iekv = j0,1528 r.j. K″

Sl. 4.20c Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri dvofaznom kratkom spoju sistema iz zadatka 4.20 Za proračun ekvivalentne impedanse inverznog redosleda koristi se šema sa sl. 4.20d, odakle je: Zi = 1

ekv

Zi

Z iS Z iv 0,2 ⋅ 0,5 = j = j 0,14286 r.j. ; Z iS + Z iv 0,2 + 0,5

 1 Z iv  Z iv Zi +  2  2 (0,14286 + 0,25) ⋅ 0,25  = j = j 0,1528 r.j. = Z iv Z iv 0,14286 + 0,25 + 0,25 1 Zi + + 2 2

Proračun stabilnosti

382

1″

ZiS = j0,2 r.j.

2″

Ziv = j0,5 r.j.

Z iv = j 0,25 r.j. 2

3″ Z iv = j 0,25 r.j. 2

K″

Sl. 4.20d Ekvivalentna šema mreže inverznih impedansi sistema iz zadatka 4.20

Za proračun transfer impedanse u ekvivalentnoj šemi sa sl. 4.20c, treba prvo izvršiti transfiguraciju trougla 2′3′K′ u zvezdu 0′-2′-3′-K′, a potom sprovesti ekvivalentovanje rednih i paralelnih grana shodno sl. 4.20e. 1′

ZdS = j0,2 r.j.

2′

Z2′-0′ = j0,125 r.j.

Z3′-0′ = j0,125 r.j.

0′

E′ = 1,2 r.j. ∠δ

3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0°

Z1′-0′ = j0,325 r.j.

ZK′-0′ = j0,0625 r.j.

ZK″-0′ = j0,2153 r.j.

K′ ekv

Zi

= j 0,1528 r.j.

K″

Sl. 4.20e Ekvivalentna mreža sa sl. 4.20c, posle transfiguracije trougla 2′3′K′ u zvezdu 0′-2′-3′-K′

Transfer impedansa pri dvofaznom kratkom spoju dobija se posle transfiguracije zvezde 0′-1′-3′-K′ u trougao 1′3′K″, odakle je: ∆

Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j

0,325 ⋅ 0,125 = j 0,6387 r.j. 0,2153

1d. Jednofazni kratki spoj Impedansa kvara u ovom slučaju je zbir Z i + Z 0 , koja se na mestu kvara (sabirnice K) vezuje na red sa ekvivalentnom mrežom direktnog redosleda, shodno sl. 4.20f (na kojoj se koristi prethodno ekvivalentovana mreža direktnih impedansi sa sl. 4.20e i vrednost ekvivalentne impedanse inverznog redosleda sa sl. 4.20d. Prethodno treba sračunati ekvivalentnu impedansu nultog redosleda (gledano sa mesta kvara) shodno sl. 4.20g. ekv

ekv

Proračun stabilnosti

383 Z1′-0′ = j0,325 r.j.

1′

Z3′-0′ = j0,125 r.j.

0′

3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0°

E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZK′-0′ = j0,0625 r.j.

K′ ekv

Zi

= j 0,1528 r.j.

K″ Z ekv 0 = j 0,2614 r.j. K0

Sl. 4.20f Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri jednostrukom zemljospoju u sistemu iz zadatka 4.20

10

Z0T = j0,05 r.j.

20

Z0v = j1,0 r.j.

Z 0v = j 0,5 r.j. 2

30

Z 0v = j 0,5 r.j. 2

K0

Sl. 4.20g Ekvivalentna šema mreže nultih impedansi sistema iz zadatka 4.20

Posle transfiguracije trougla 2030K0 u zvezdu 00-20-30-K0, dobija se ekvivalentna šema nultih impedansi na sl. 4.20h. 10

j0,05 r.j.

20

j0,25 r.j.

j0,25 r.j.

00

30

j0,125 r.j. K0

Sl. 4.20h Ekvivalentna šema sistema nultih impedansi, posle transfiguracije trougla 2030K0 sa sl. 4.20g u zvezdu 00-20-30-K0 Ekvivalentna nulta impedansa sistema sa sl. 4.20h je: Z0 = j ekv

(0,05 + 0,25) ⋅ 0,25 + j 0,125 = j 0,2614 r.j. 0,05 + 0,25 + 0,25

Proračun stabilnosti

384

Transfer impedansa za slučaj jednostrukog zemljospoja, dobija se sa sl. 4.20f posle transfiguracije zvezde 0′-1′-3′-K0 u trougao, odakle je: ∆

Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j

0,325 ⋅ 0,125 = j 0,5352 r.j. 0,0625 + 0,1528 + 0,2614

1e. Dvofazni kratki spoj sa zemljom Impedansa kvara u ovom slučaju dobija se kao ekvivalentna impedansa paralelnih ekv

ekv

impedansi Z i i Z 0 , kako je to prikazano na sl. 4.20i (gde su iskorišćene ranije proračunate vrednosti direktnih impedansi sa sl. 4.20e i ekvivalentne vrednosti inverzne i nulte impedanse sa sl. 4.20d i 4.20h). 1′

Z1′-0′ = j0,325 r.j.

Z3′-0′ = j0,125 r.j.

0′

3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0°

E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZK′-0′ = j0,0625 r.j.

K′ Z 0 = j 0,2614 r.j.

Zi

K0

K″

ekv

ekv

= j 0,1528 r.j.

Sl. 4.20i Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri dvostrukom zemljospoju u sistemu iz zadatka 4.20

Sa sl. 4.20i je: Z i0 = j ekv

0,2614 ⋅ 0,1528 = j 0,0964 r.j. 0,2614 + 0,1528

Onda je transfer impedansa za slučaj dvostrukog zemljospoja: ∆

Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j

0,325 ⋅ 0,125 = j 0,7057 r.j. 0,0625 + 0,0964

1f. Stanje posle isključenja voda u kvaru Sa slike 4.20b, transfer impedansa u ovom slučaju je: Z 13 = Z dG + Z dT + Z dv = j 0,1 + j 0,1 + j 0,5 = j 0,7 r.j.

Proračun stabilnosti

385

2. Proračun maksimalnih prenosnih snaga

a. Normalno stanje b. Trofazni kratki na sredini jednog od dva paralelna voda c. Dvofazni kratak spoj na istom mestu d. Jednofazni kratki spoj e. Dvofazni kratki spoj sa zemljom f. Posle isključenja voda u kvaru

Transfer impedansa j0,45 r.j.

Maks. prenosna snaga 2,667 r.j.

j1,10 r.j. j0,6387 r.j. j0,5352 r.j. j0,7057 r.j. j0,7 r.j.

1,091 r.j. 1,879 r.j. 2,242 r.j. 1,700 r.j. 1,714 r.j.

P [r.j.] 2,5

a. Pmax = 2,667 r.j.

2

d. Pmax = 2,242 r.j. 1,5

c. Pmax = 1,879 r.j. f. Pmax = 1,714 r.j. e. Pmax = 1,700 r.j.

1

b. Pmax = 1,091 r.j. 0,5

0

0

90° 180° δ [°] Sl. 4.20j Krive snaga – ugao za slučajeve razmatrane u zadatku 4.20

3. Ako se po kriterijumu veličine prenosne snage načini redosled posmatranih slučajeva, on ima sledeći izgled 1. Normalno stanje 2. Jednofazni kratki spoj 3. Dvofazni kratak spoj 4. Stanje posle isključenja voda u kvaru 5. Dvofazni kratki spoj sa zemljom 6. Trofazni kratki spoj

Pmax = 2,667 r.j. Pmax = 2,242 r.j. Pmax = 1,879 r.j. Pmax = 1,714 r.j. Pmax = 1,700 r.j. Pmax = 1,091 r.j.

Proračun stabilnosti

386

Zadatak 4.21 Za elektroenergetski sistem na sl. 4.21a, proveriti tranzijentnu stabilnost generatora za slučaj trofaznog kratkog spoja na početku jednog od dva paralelna voda i isključenja voda u kvaru za ti = 0,20 s. Pretpostaviti da je šema idealizovana, a vod tretirati preko modela sa raspodeljenim parametrima. Radne veličine zadate su na sabirnicama 3 i date na sl. 4.21a. Na istoj slici su dati i ostali parametri sistema, neophodni za proračun. 1 2 3 Jaka mreža

Lv = 200 km Zce

~ G

T1

T2

P

(XM → 0)

U3 = UnM P = 0,8 ΣPnat cos ϕ = 0,9 (ind.)

k3 SnG = SnT1 = 1,2 ΣPnat ′ = 30% xdG xT1 = 12% mT1 = UnG/1,05 Unv Ti = 8 s

SnT2 = 1,08 ΣPnat xT2 = 12% mT2 = Unv/UnM

Sl. 4.21a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.21

Rešenje: Jednopolna zamenska šema sistema direktnih impedansi prikazana je na sl. 4.21b. ′ + X T1 ) 1 j ( X dG

Zce, λ •

1′

•

2 •

E′

jXT2

3 U3

Sl. 4.21b Jednopolna zamenska šema sistema sa slike 4.21a

U zamenskoj šemi na sl. 4.21b generator je predstavljen tranzijentnom reaktansom i EMS E ′ iza tranzijentne reaktanse, transformatori T1 i T2 preko reaktansi rasipanja XT1 i XT2, dva identična paralelna voda preko karakteristične impedanse Zce (Zce = Zc/2, gde je Zc karakteristična impedansa jednog od dva voda) i električne ugaone dužine λ, dok je jaka mreža, s obzirom da je pretpostavljeno da je neograničeno jaka, zamenjena preko krutog napona U3 (odnosno, ne postoji uticaj mreže na razmatrani sistem). Ako se pojedini elementi ekvivalentne šeme (blok generator-transformator, vod i transformator T2) predstave preko odgovarajućih četvorokrajnika, dobija se ekvivalentna šema na sl. 4.21c.

Proračun stabilnosti

387

′ + XT2 ) j ( X dG

E′

Av

Bv

Cv

Dv

jXT2

U3

Sl. 4.21c Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.21b, pri predstavljanju elemenata odgovarajućim četvorokrajnicima

Lanac četvorokrajnika na sl. 4.21c može se uprostiti tretmanom preko odgovarajućeg ekvivalentnog četvorokrajnika sa sl. 4.21d, čiji se parametri nalaze primenom matričnog računa:

°

°

Ae

Be

°

Ce

De

E′ °

°

° U3

°

°

Sl. 4.21d Ekvivalentni četvorokrajnik sistema sa sl. 4.21c

jZce sinλ 1 jX ′ + X T1 )  cosλ  Ae Be  1 j( X dG T2     1 = C D  = 0  cosλ  0 1 1  e    j Zce sinλ  e   ′ + X T1  X dG X   ′ + X T1 )sinλ + Zce sinλ + ( X dG ′ + X T1 ) cosλ sinλ j  X T 2 cosλ − T 2 ( X dG cosλ − Zce Zce  . = X 1   j sinλ cosλ − T 2 sinλ   Zce Zce Parametri zamenske šeme su: 2 2 ′ % + xT 1 % U nG xdG U nv 0,42  1,05U nv  2 ′ + X T1 = X dG ⋅ (1,05U nv ) = 0,3859 ;   = 100 S nG  U nG  1,2 ΣPnat ΣPnat 2

XT2

2 2 2 U nv U nv xT 2 % U nT 2 . = = 0,12 = 0,111 100 S nT 2 1,08 ΣPnat ΣPnat

Radne veličine koje odgovaraju zadatom radnom stanju sistema na sabirnicama 3 su: P = 0,8 ΣPnat ;

Q = P tgϕ = 0,8 ΣPnat

1 − cos 2 ϕ = 0,8 ΣPnat ⋅ 0,484 = 0,3875 ΣPnat , cos ϕ

gde je sa ΣPnat označena prirodna snaga dva paralelna voda. Ugao između ems E ′ i napona na sabirnicama 3 ( U 3 ), koji će biti označen sa δ 0 i koji, ako se napon U 3 stavi u faznu osu (U 3 = U 3 ∠0 = U nM ⋅ (U nv U nM ) ∠0 = U nv ∠0) , predstavlja fazni

Proračun stabilnosti

388

stav ems E ′ , tj. E ′ = E ′ ∠δ 0 , nalazi se iz prve od jednačina, koja važi za ekvivalentni četvorokrajnik: E ′ = Ae U 3 + B e I .

(1)

Na osnovu prethodnog nalazi se da je

Ae = cos λ −

2 ′ + X T1 X dG 0,3859U nv ΣPnat sin λ = cos12° − sin 12° = 0,89791 , 2 Z ce ΣPnat U nv

pošto je električna ugaona dužina svakog od vodova:

λ = 0,06 ⋅ 200 = 12° , i pošto je

Z ce =

2 U nv , ΣPnat

a takođe i

X   ′ + X T 1 )sin λ + Z ce sin λ + ( X dG ′ + X T 1 )cos λ  = B e = j  X T 2 cos λ − T 2 ( X dG Z ce      X  ′ + X T 1 )1 − T 2 tgλ  + Z ce tgλ + X T 2  = = j cos λ ( X dG Z ce       U2 = j cos12° 0,3859 nv ΣPnat    = j 0,685

   U2  0,111 nv  2 2  ΣPnat 1 −  + U nv tg 12° + 0,111 U nv  = tg 12 ° 2   ΣPnat ΣPnat  U nv    ΣPnat   

2 U nv . ΣPnat

U jednačini (1) struja I predstavlja računsku struju ( I = 3 I f ), ako su ems E ′ i napon U 3 linijske veličine, tako da je:

I=

I=

S* U *3

=

S e − jϕ ; U nv

ΣP P cos ϕ − jϕ 0,8 ΣPnat − jϕ e = e = 0,889 nat e − j 25,84° . U nv cos ϕU nv U nv

Proračun stabilnosti

389

Posle zamene nađenih veličina u (1) dobija se:

E ′ = 0,89791U nv + j 0,685

2 U nv ΣP ⋅ 0,889 nat e − j 25,84° = 1,2858U nv e − j 25°13′ = E ′ ∠δ 0 ; ΣPnat U nv

odakle je: E ′ = 1,2858U nv r.j. , a

δ 0 = 25°13′ = 25,23° .

Kontrola ovog rezultata lako se vrši preko dinamičke karakteristike ustaljenog stanja na kojoj se ugao δ 0 ima u tački u kojoj je električna odata snaga jednaka mehaničkoj snazi (pošto su gubici zanemareni), tj.: E ′U 3 E ′U 3 0,8 ΣPnat Be = sin δ 0 = Pm = 0,8 ΣPnat ⇒ sin δ 0 = . Z1′ 3 Be E ′U 3 Dinamička karakteristika posle isključenja voda u kvaru nalazi se preko koeficijenta ekvivalentnog četvorokrajnika Bei , gde indeks 'i' ukazuje da je jedan od dva paralelna voda isključen:

   X  ′ + X T 1 )1 − T 2 tgλ  + Z c tgλ + X T 2  = B ei = j cos λ ( X dG Zc       U2 = j cos12° 0,3859 nv ΣPnat    = j 0,897

   U2  0,111 nv  2 2  ΣPnat U U 1 − tg 12°  + 2 nv tg 12° + 0,111 nv  = 2  ΣPnat ΣPnat  U   2 nv  ΣPnat   

2 U nv , ΣPnat

jer je:

Z c = 2Z ce = 2

2 U nv . ΣPnat

Dinamička karakteristika sa isključenim vodom u kvaru ima oblik:

Pi =

E ′U 3 1,2858U nvU nv sin δ = sin δ = 1,433 ΣPnat sin δ , 2 Bei 0,897U nv ΣPnat

i prikazana je na sl. 4.21e.

Proračun stabilnosti

390

Za crtanje krivih njihanja na sl. 4.21e, nalazi se najpre ugao δ x , preko izraza Pm = Pi (δ x ) ⇒ sin δ x =

0,8 ΣPnat = 0,5581 , 1,433 ΣPnat

odakle je: δ x = 33°55′ = 33,92° ; δ gr = 180° − 33°55′ = 146°05′ = 146,08° .

P

1,877 ΣPnat

1,433 ΣPnat

1 2

A2

Pm = 0,8 ΣPnat

A1

0

δ 0 = 25,23° δ x = 33,92° δ ikr = 69,67°

δ gr = 146,08°

δ

Sl. 4.21e Krive njihanja sistema iz zadatka 4.21, 1- pre kvara; 2-posle isključenja kvara

Kritični ugao isključenja voda u kvaru dobija se iz izraza:

cos δ ikr =

(δ gr − δ 0 )sin δ0 + ri cos δ gr , ri

gde je: ri =

X 1′′ 3 B e = = X 1′′ 3i B ei

j 0,685

2 U nv ΣPnat

2 U nv j 0,897 ΣPnat

= 0,7637 .

Proračun stabilnosti

391

Dalje se ima:

cos δ ikr =

π (146,08° − 25,23°) ⋅ 180 ⋅ 0,426 + 0,7637 ⋅ (−0,83) ° 0,7637

= 0,347 ,

odnosno

δ ikr = 69°40′ = 69,67° , tako da je kritično vreme isključenja voda u kvaru:

tikr =

(

)

Ti S n δ ikr − δ 0 8 ⋅1,2 ΣPnat (69,67 − 25,23) = = 0,243 s ≈ 2,5 periode . 9000 Pm 9000 ⋅ 0,8 ΣPnat

Pošto se tropolni kratak spoj isključuje za ti = 0,20 s, to se zaključuje da je za pretpostavljeni kvar ti < t ikr , pa je generator tranzijentno stabilan.

Proračun stabilnosti

392

Zadatak 4.22 Za dati trofazni, jednopolno prikazani jednomašinski sistem sa na sl. 4.22a, izračunati kritično vreme ponovnog uključenja (tzv. vreme beznaponske pauze) faze u kvaru, sa gledišta tranzijentne stabilnosti za slučaj prolaznog jednopolnog kratkog spoja na početku voda 220 kV. Faza u kvaru se monofazno isključuje u vremenu od 0,15 s. Pretpostavlja se da su identične generatorsko-transformatorske grupe bile jednako opterećene i da su odavale pre kvara na sabirnice ukupnu aktivnu snagu P = 120 MW uz cos ϕ = 1 . Pretpostaviti da su u kritičnom vremenu po tranzijentnu stabilnost ems E ′ i mehanička snaga turbine Pm, kao i napon (i učestanost) jake mreže konstantni. Podaci o sistemu, neophodni za proračune, takođe su dati na sl. 4.22a. G Ur = 235 kV

~

P

~

Lv = 300 km xv = 0,42 Ω/km x0v = 1,3 Ω/km

k1Z

G SnG = SnT = 2×80 MVA UnG = 10,5 kV xG′ = 33% = xGi xT = 12% Ti = 5 s mT = 10,5/231 kV/kV

Jaka aktivna mreža X M′ → 0 U∞ = const f = const

Sl. 4.22a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.22

Rešenje: Sve veličine se svode na nominalni napon voda. Obe paralelne generatorskotransformatorske grupe mogu se posmatrati kao jedna ekvivalentna grupa, čija je tranzijentna reaktansa, svedena na stranu voda: 2

′ = X GT

33 + 12 10,5 2  231  ⋅ ⋅  = 150 Ω . 100 2 ⋅ 80  10,5 

Ukupna reaktansa (direktna, inverzna) voda (kod proračuna stabilnosti obično računata bez faktora popravke): X v = xv Lv = 0,42 ⋅ 300 = 126 Ω .

Celokupna reaktansa sistema, koja je istovremeno i međusobna reaktansa između krajeva generatora i krute mreže, shodno zamenskoj šemi sa sl. 4.22b je

′ + X v = 150 + 126 = 276 Ω . ΣX = X 12 = X GT

Proračun stabilnosti

393

1

′ jX GT

jXv

E′

2 U∞

Sl. 4.22b Ekvivalentna šema impedansi direktnog i inverznog sistema Moduo svedene ems E ′ generatora je:

′   PX GT 2  120 ⋅150  E ′ = U r2 +   = 235 +   = 247,17 kV ,  235   Ur  2

2

pri čemu su zanemarene otpornosti elemenata mreže i pretpostavljeno da je faktor snage na krajevima generatorsko-transformatorskih blokova cos ϕ = 1 . Na sličan način nalazi se i napon U∞ jake mreže, shodno fazorskom dijagramu napona sa sl. 4.22c: 2

2

 PX v  2  120 ⋅126  U ∞ = U r2 +   = 235 +   = 243,65 kV . U  235   r 

E′

δ0

Ur

′ PX GT Ur PX v Ur

U∞

Sl. 4.22c Fazorski dijagram napona sistema sa sl. 4.22a Početni ugao δ 0 može se naći iz izraza za prenosnu snagu: Pm = P0 =

E ′U ∞ sin δ 0 = Pmax sin δ 0 , X 12

koji posle zamene brojčanih vrednosti poznatih veličina postaje: 120 =

247,17 ⋅ 243,65 sin δ 0 = 218,2 sin δ 0 , 276

odakle je:

sin δ 0 =

120 = 0,549954 , 218,2

Proračun stabilnosti

394

odnosno: δ 0 = 33,364° . Pored radne tačke usput je nađena i dinamička karakteristika normalnog (punog) sistema, koja je istovetna sa onom posle (uspešnog) ponovnog uključenja (ovde faze prolaznog kvara), čija je forma: P = Ppu = 218,2 sin δ . Razume se da kod zanemarenja otpornosti, sopstvene i međusobne impedanse degenerišu u odgovarajuće reaktanse, a komplementarni uglovi njihovih argumenata µ11 i µ12 iščezavaju, pa sinusoida prenosne snage prolazi kroz koordinatni početak, sa apscisom kao osom simetrije. Da bi se našla dinamička karakteristika za vreme jednopolnog kratkog spoja treba na mesto kvara u direktnom sistemu otočno staviti rednu vezu ekvivalentne inverzne i nulte reaktanse sistema (tj. reaktansu jednopolnog kratkog spoja), kako je to ilustrovano na sl. 4.22d. 1

′ jX GT

E′

jXv

2

U∞ jXi     jX k1Z  jX0 

Sl. 4.22d Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22a za vreme kvara Može se uvesti smena: X k1Z = X i + X 0 . Inverzna komponenta ekvivalentne reaktanse sistema gledane otočno sa mesta kvara, lako se nalazi iz šeme sa sl. 4.22e: Xi =

X iGT X iv 150 ⋅126 = = 68,5 Ω . X iGT + X iv 150 + 126 ′ X iGT = X GT

X iv = X v

Sl. 4.22e Ekvivalentna šema za proračun direktne i inverzne impedanse sistema, gledano sa mesta kvara

Proračun stabilnosti

395

Analogno se nalazi i ekvivalentna otočno računata (između faze na mestu kvara i tačke nultog potencijala) nulta reaktansa sistema, shodno zamenskoj šemi sa sl. 4.22f, pri čemu treba voditi računa da su generatorski transformatori zbog sprege Yd zaprečni za nulti sistem i da su na strani višeg napona oba zvezdišta transforamtora direktno uzemljena (nulta reaktansa magnećenja transformatora, u paraleli sa rasipnom, može da se zanemari, pa nije ni zadata). Onda je: X0 =

X 0T X 0v 40 ⋅ 390 = = 36,28 Ω , X 0T + X 0v 40 + 390

pri čemu je X 0T

12 2312 = XT = ⋅ = 40 Ω ; 100 160

X 0v = x0v Lv = 1,3 ⋅ 300 = 390 Ω . X0T

X0v

Sl. 4.22f Ekvivalentna šema za proračun nulte impedanse sistema, gledano sa mesta kvara

Prema tome za reaktansu kvara, pri jednopolnom kratkom spoju ima se vrednost: X k1Z = X i + X 0 = 68,5 + 36,28 = 104,78 Ω , dok se ukupna transfer reaktansa (međusobna reaktansa) sistema za vreme kvara X 12k računa na osnovu šeme sa sl. 4.22g i iznosi:

′ + Xv + X 12k = X GT

X GT X v 150 ⋅126 = 150 + 126 + = 456,4 Ω . X k1Z 104,78

jX 12k

1 E′

′ jX GT

2 jXv

U∞

jXk1Z

Sl. 4.22g Ekvivalentna šema sistema za vreme kvara, posle zamene Xi + X0 na sl. 4.22d, sa Xk1Z.

Proračun stabilnosti

396

Sada se konačno nalazi dinamička karakteristika sistema pri jednofaznom kratkom spoju): Pk =

E ′U ∞ 247,17 ⋅ 243,65 sin δ = sin δ = Pmaxk sin δ = 131,95 sin δ . X 12k 456,4

Da bi se našla dinamička karakteristika za vreme isključene faze u kvaru potrebno je u jednopolnu zamensku šemu direktnog sistema na mesto prekida ubaciti paralelnu vezu ekvivalentne inverzne i nulte reaktanse redno računate (merene) na mestu prekida, tj. između polova prekidača, shodno šemi sa sl. 4.22h.

1

′ jX GT

jXie

jXv

E′

2 U∞

jX0e

Sl. 4.22h Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22a, posle isključenja faze u kvaru

Redno merena ekvivalentna inverzna reaktansa na mestu prekida Xie se nalazi iz šeme pasivnog inverznog sistema sa sl. 4.22i,

′ X iGT = X GT

X iv = X v

Sl. 4.22i Ekvivalentna mreža inverznih impedansi posle isključenja faze u kvaru tj. kao zbir inverznih reaktansi elemenata sistema: X ie = X iGT + X iv = 150 + 126 = 276 Ω . Analogno se nalazi ekvivalentna nulta reaktansa X0e redno spojena na mestu prekida (isključenja faze kvara), shodno šemi sa sl. 4.22j: X 0e = X 0T + X 0v = 40 + 390 = 430 Ω .

X 0T = X T

X 0v

Sl. 4.22j Ekvivalentna mreža nultih impedansi posle isključenja faze u kvaru Paralelna veza reaktansi Xie i Xoe daje reaktansu isključenja jedne faze X i1 f (indeks i ovde znači isključenje, a ne inverzno), koja se stavlja redno na mesto prekida u direktan sistem shodno sl. 4.22k: X i1 f =

X ie X 0e 276 ⋅ 430 = = 168,1Ω . X ie + X 0e 276 + 430

Proračun stabilnosti

397

jX 12i

1 E′

′ jX GT

jX i1 f

2 jXv

U∞

Sl. 4.22k Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22h, posle paralelnog sprezanja reaktansi Xie i Xoe Zbir svih reaktansi na sl. 4.22k daje transfer reaktansu između krajeva sistema za vreme isključenja jedne faze X 12i : ′ + X i1 f + X v = 150 + 168,1 + 126 = 444,1Ω . X 12i = X GT Konačno se nalazi dinamička karakteristika za vreme isključenja jedne faze čija je forma: Pi =

E ′U ∞ 247,17 ⋅ 243,65 sin δ = sin δ = Pmaxi sin δ = 135,61sin δ . X 12i 444,1

Jednačina obrtnih masa agregata: &δ&(t ) = ω s (P − P (δ(t ) )) , Ti S n m kojom se opisuju elektromehanički prelazni procesi, prikazuje se u formi modela sistema u prostoru stanja:

δ& (t ) = ωs (ω(t ) − 1) ; & (t ) = ω

1 (P − P(δ(t ) )) , Ti S n m

gde su promenljive stanja ugao rotora δ(t ) i relativna ugaona brzina rotora ω(t ) u odnosu na sinhronu brzinu ωs. Vremenska zavisnost ugla, odnosno ugaone brzine agregata dobija se numeričkim rešavanjem ovog sistema diferencijalnih jednačina, uz uvažavanje da se u svakom od razmatranih perioda odata snaga agregata modeluje odgovarajućom dinamičkom karakteristikom. Usvajanjem da je u početnom ravnotežnom stanju ugaona brzina sistema bila jednaka sinhronoj, a ugao jednak δ 0 = 33,364° i rešavanjem sistema diferencijalnih jednačina: δ& (t ) = 314 (ω(t ) − 1) ;

& (t ) = ω

1 (120 − 131,95 sin δ) , 5 ⋅ 2 ⋅ 80

Proračun stabilnosti

398

gde je dinamička karakreristika zamenjena karakteristikom za vreme kvara Pk , do trenutka isključenja faze kvara ti = 0,15 s, proračunava se ugao δi . Rezultati numeričke integracije Runge-Kutta metodom četvrtog reda, sa korakom integracije 0,01 s, dati su u tab. 4.22a.

Tab. 4.22a Rezultati numeričke integracije do trenutka isključenja faze u kvaru ti

ω [rad/s] 314,16 314,35 314,53 314,71 314,90 315,07 315,25 315,42 315,58 315,74 315,89 316,08 316,18 316,30 316,43 316,54

t [s] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

δ [ °] 33,36 33,42 33,58 33,84 34,21 34,69 35,26 35,93 36,70 37,56 38,51 39,58 40,66 41,86 43,12 44,45

Vremenu isključenja ti = 0,15 s odgovara nađeni ugao δ i = 44,45° , posle čega se prelazi na dinamičku karakteristiku sa isključenom fazom u kvaru. Sada je moguće po metodi jednakih površina izračunati kritični ugao ponovnog uključenja faze prolaznog kvara δ pukr . Analitički se dalje može naći cos δ pukr u obliku obrasca, tj. tačno, ako, kao u zadatku sve sinusoide prolaze kroz koordinatni početak. Ako su površine + i maksimalno moguća – jednake, onda se ima i jednakost pravougaonika osnove δ gr − δ 0 i visine Pm sa površinom ispod odgovarajućih sinusoida:

(

)

(

)

δi

δ pukr

δ gr

δ0

δi

δ pu kr

Pm δ gr − δ 0 = ∫ Pmax k sin δdδ +

∫ Pmaxi sin δdδ +

∫ Pmax sin δdδ ,

ili ako se amplitude snaga zamene proizvodom E ′U ∞ podeljenim odgovarajućom međusobnom reaktansom, a slično i Pm = Pmax sin δ 0 , dobiće se ugao δ pukr iz jednakosti: δ E ′U ∞ E ′U ∞ i E ′U ∞ sin δ 0 δ gr − δ 0 = Pmaxk sin δdδ + ∫ X 12 X 12k δ X 12i

(

)

0

δ pukr

∫

δi

δ

E ′U ∞ gr Pmaxi sin δdδ + P sin δdδ , X 12 δ ∫ max pu kr

Proračun stabilnosti

399

P [MW]

1 P ≡ Ppu = 218,2 sin δ

200

150

3

Pi = 135,61sin δ − − + Pk = 131,95 sin δ

+

100

Pm = 120 MW

2

50

0

δ0 δi

0

δ pukr δ gr

90°

180° δ [°]

Sl. 4.22l Krive njihanja sistema sa sl. 4.22a: 1-pre kvara; 2-za vreme kvara; 3-posle isključenja faze u kvaru koja posle deljenja sa E ′U ∞ i množenja sa X12 i integracije postaje:

(

(

)

)

Rešenje gornje jednačine po cos δ pukr je: cos δ pukr =

(

)

sin δ 0 δ gr − δ 0 − rk (cos δ 0 − cos δ i ) − ri cos δ i + cos δ gr , 1 − ri

gde je rk =

X 12 X 12k

i

(

)

X 12 X X ( cos δ 0 − cos δ i ) + 12 cos δ i − cos δ pukr + 12 cos δ pukr − cos δ gr . X 12k X 12i X 12

sin δ 0 δ gr − δ 0 =

ri =

X 12 . X 12i

Posle izračunavanja ugla δ gr = 180° − δ 0 = 180° − 33,364° = 146,636°

Proračun stabilnosti

400

i parametara: rk =

X 12 276 = = 0,6047 ; X 12k 456,4

ri =

X 12 276 = = 0,6215 , X 12i 444,1

dobija se da je:

π ⋅ sin 33,364° − 0,6047 ⋅ (cos 33,364° − cos 44,45°) 180° cos δ pukr = − 1 − 0,6215 0,6216 ⋅ cos 44,45° + cos146,636° − = −0,7005, 1 − 0,6215 (146,636° − 33,364°) ⋅

odakle je:

δ pukr = 134,464° . Numeričkom integracijom može se sada izračunati i kritično vreme uključenja faze u kvaru, koje odgovara ovom uglu, sa sl. 4.22l. Odgovarajući sistem diferencijalnih jednačina za period isključene jedne faze, sa zamenjenom dinamičkom karakteristikom Pi = 135,61sin δ

je:

δ& (t ) = 314 (ω(t ) − 1) ; & (t ) = ω

1 (120 − 135,61sin δ) , 5 ⋅ 2 ⋅ 80

Početne vrednosti promenljivih stanja su krajnje vrednosti ovih promenljivih iz prethodnog perioda, odnosno: δ(0,15) = 44,45° ; ω(0,15) = 1,0076 r.j.

δ pukr

Rezultati numeričke integracije do dostizanja vrednosti kritičnog ugla ponovnog uključenja = 134,464° , pri čemu su do vremena 1,1 s prikazane vrednosti sa korakom 0,05 s, dati su u

tab. 4.22b.

Proračun stabilnosti

401

150

δ [°]

100

50

δ0

0

0

0,5

1

t [s]

Sl. 4.22m Promena električnog ugla δ sa vremenom posle poremećaja u sistemu iz zadatka 4.22 Tab. 4.22b Rezultati numeričke integracije od trenutka isključenja faze u kvaru ti do trenutka dostizanja vrednosti kritičnog ugla ponovnog uključenja δ pukr t [s] 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,11 1,12

ω [rad/s] 316,53 316,91 317,07 317,03 316,85 316,58 316,28 315,98 315,70 315,46 315,26 315,11 315,01 314,95 314,93 314,96 315,05 315,21 315,44 315,79 315,87 315,96

δ [°] 44,45 51,86 60,03 68,35 76,34 83,67 90,19 95,83 100,64 104,71 108,14 111,08 113,64 115,97 118,19 120,43 122,85 125,61 128,93 133,07 134,02 135,03

Proračun stabilnosti

402

Izračunatom kritičnom uglu ponovnog uključenja isključene faze (prolaznog jednopolnog kratkog spoja δ pukr = 134,464° odgovara vreme računato od nastanka kvara od 1,115 sekundi. Otuda je maksimalno (kritično) vreme beznaponske pauze, tj. vreme od isključenja do ponovnog uključenja odgovarajuće faze, sa gledišta tranzijentne stabilnosti: t pauze = 1,115 − 0,15 = 0,965 s ≈ 1s . Minimalno vreme beznaponske pauze određuje se vremenom potrebnim za dejonizaciju vazduha na mestu jednopolnog kratkog spoja, što je preduslov uspešnog ponovnog uključenja za slučaj prolaznog kvara (inače je moguće da normalni napon ponovo upali luk, ako vazduh nije dovoljno dejonizovan). Za najviše napone, pa i za napon 220 kV, to minimalno vreme iznosi oko 0,3 do 0,4 s. Prema tome može se odabrati vreme pauze negde između 0,4 i 1 s, koje zadovoljava oba uslova: i minimalno vreme sa gledišta potrebne dejonizacije i maksimalno sa gledišta tranzijentne stabilnosti. Ugaona brzina odnosno klizanje rotora generatora rastu u toku odabranog vremenskog intervala, sve dok je snaga akceleracije pozitivna, tj. u konkretnom slučaju zaključno sa trenutkom t = 0,25 s, kada se postiže i najveće klizanje (kod generatora pozitivno za nadsinhrone brzine): ω − ω s 317,07 − 314 = = 0,00927, ωs 314

s ≈ ω −1 =

odnosno 0,927 %, tj. ispod 1 %, što opravdava učinjenu aproksimaciju ω ≈ ω s kod izvođenja diferencijalne jednačine kretanja rotora. Zapaziti pozitivne priraštaje uglova i kod negativne akceleracije, koji se smanjuju (rotor usporava kod ω > ω s ).

317

ω  rad   s    316

315

314

0

0.5

1

t [s]

Sl. 4.22n Promena ugaone brzine agregata posle poremećaja u sistemu iz zadatka 4.22

Proračun stabilnosti

403

Na sl. 4.22n nacrtana je zavisnost ugaone brzine ω u funkciji vremena sve do trenutka koji odgovara kritičnom vremenu ponovnog uključenja. Zapaža se izvesno usporavanje brzine u vremenskom intervalu koji odgovara površini – na sl. 4.22n, a zatim sve do kritičnog vremena ponovo brži rast usled + površina akceleracije. Dalji tok bi značio kasnije usporavanje, jer sledi negativna površina sve do izvesne granične vrednosti, s obzirom da se radi o granici stabilnosti.

Proračun stabilnosti

404

Zadatak 4.23 Turbogenerator je vezan na moćnu mrežu, posredstvom blok-generatorskog transformatora rasipne reaktanse XT = 0,1 r.j. i prenosnog voda reaktanse Xv = 0,4 r.j. Napon jake mreže je U∞ = 1,00 r.j., elektromotorna sila turbogeneratora pri stalnoj pobudi E = 1,80 r.j., sinhrona reaktansa Xd = Xq = 0,90 r.j., učestanost sistema 50 Hz, a vremenska konstanta inercije Ti = 10 s, kako je to prikazano na jednopolnoj šemi na sl. 4.23a. a) Naći učestanost oscilacija ugla snage δ, pri malom impulsnom poremećaju, ako se zanemari prigušenje u sistemu, pri vrednostima odate snage generatora P0 = 0,05; 0,5 i 1,2 r.j. b) Naći kritično vreme isključenja krofaznog kratkog spoja na neopterećenom odvodu, neposredno iza sabirnica VN transformatora T, pri P0 = 0,5 r.j. c) Ako je vreme isključenja kvara ti = 0,9 tkr, naći maksimalni ugao njihanja generatora δmax i rezervu stabilnosti koja se tada ima u odnosu na slučaj b. T

G

Spojni vod

~

Xv = 0,4 r.j.

E = 1,80 r.j. Xd = Xq = 0,9 r.j. XT = 0,1 r.j. Ti = 10 s fn = 50 Hz

Kvar

Moćna mreža U∞ = 1,00 r.j.

Sl. 4.23a Jednopolna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 4.16

Rešenje: a) Izraz za krivu njihanja je:

EU ∞ sin δ , X

P=

koji za E = 1,80 r.j.; U∞ = 1,00 r.j. i X = Xd + XT + Xv = 1,40 r.j. postaje: P=

1,80 ⋅1,00 sin δ = 1,286 sin δ [r.j.] . 1,40

Izraz za koeficijent sinhronizacione snage je: Ps =

dP = 1,286 cos δ [r.j./rad] . dδ

Proračun stabilnosti

405

Učestanost oscilacija ugla snage nalazi se preko formule: 1/ 2

ωosc

 P 2πf 0  = s   Ti 

[rad/s] .

Rezultati proračuna koeficijenta sinhronizacione snage i učestanosti oscilacija za tri zadate vrednosti početne snage dati su u tab. 4.23a.

Tab. 4.23a Proračun učestanosti oscilacija ugla snage δ iz zadatka 4.23a δ0

P0 [r.j.] 0,05 0,50 2,00

[ °] 2,23 22,89 68,96

[rad] 0,040 0,400 1,204

ωosc [rad/s] 6,35 6,10 3,81

Ps [r.j./rad] 1,285 1,184 0,462

f osc = ωosc 2π [Hz] 1,01 0,97 0,61

b) Kriva njihanja sistema P(δ) i ilustracija metoda jednakih površina za proračun kritičnog vremena isključenja kvara, za Pm = P0 = 0,5 r.j. , prikazana je na sl. 4.23b.

Pmax = 1,286 r.j.

P [r.j.]

A2

1,0

P = 1,286 sin δ A1

Pm = 0,50 r.j.

0,5

A3

0

δ0 = 0,400 rad

δkr = 1,581 rad

δgr = 2,74 rad δ [rad]

Sl. 4.23b Kriva njihanja sistema i ilustracija primene metode jednakih površina pri proračunu kritičnog vremena isključenja kvara

Iz uslova jednakosti površina: A1 = A2 ,

Proračun stabilnosti

406

odnosno A1 + A3 = A2 + A3 , sledi: 0,5 ⋅ (π − 2δ 0 ) =

δ gr = π−δ0 =2, 74 rad

∫ (1,286 sin δ)dδ ,

δ kr

odakle se dobija jednačina po cos δkr: 1,1708 = 1,286(cos δ kr + 0,9213) , čije je rešenje: cos δ kr = −0,9213 + 0,9104 = −0,0109 , što znači da je kritični ugao isključenja kvara: δ kr = 90,624° = 1,582 rad . Kritično vreme isključenja kvara je onda:  T (δ − δ 0 )  t kr =  i kr   P0 πf 0 

1/ 2

10 ⋅ (1,582 − 0,400)  =  0,5 π ⋅ 50 

1/ 2

= 0,388 s.

c) Ako je ti = 0,9 tkr = 0,349 s, ugao isključenja kvara je: δi =

πf 0 P0 2 π ⋅ 50 ⋅ 0,5 ti + δ 0 = 0,349 2 + 0,400 = 1,357 rad = 77,75° . Ti 2⋅5

Onda je površina A1 sa slike 4.23b, kada se tkr zameni sa ti: A1 = P0 (δ i − δ 0 ) = 0,5 ⋅ (1,357 − 0,400) = 0,479 r.j. , a izraz za jednakost površina A1 i A2 (kada se ugao δgr = π - δ0 zameni sa δmax), daje:

A2 = 0,479 =

(

δ max

∫ (1,286 sin δ − 0,5)dδ = 1,286(cos δi − cos δ max ) − 0,5(δ max − δi ) =

δi

)

(

)

= 1,286 0,2112 − cos δ max − 0,5 δ max − 1,357 , odakle se dobija jednačina:

1,286 cos δ max + 0,5 δ max = 0,4711 .

Proračun stabilnosti

407

Rešenje gornje nelinearne transcedentne jednačine je: δ max ≈ 1,99 rad = 114° . Rezerva stabilnosti (RS) za slučaj kada se kvar isključuje posle trajanja od ti = 0,9tkr = 0,349 s, u odnosu na slučaj ti = tkr = 0,388 s je:

RS =

P(ti =0,9 tkr ) − P(ti =tkr ) 1,286 sin δ max − 0,5 1,286 sin 114° − 0,5 = = = 1,3493 , P(ti =tkr ) 0,5 0,5

odnosno 34,93%. Ilustracija proračuna δmax i RS, pri ti = 0,9 tkr data je na sl. 4.23c.

P [r.j.] P(δmax) = 1,1746 r.j. 1,0 A2

A1 0,5

0

P = 1,286 sin δ Pm = 0,50 r.j.

δ0 = 0,400 rad δi = 1,357 rad δmax = 1,99 rad δgr = 2,74 rad δ [rad]

Sl. 4.23c Ilustracija proračuna maksimalnog ugla njihanja i rezerve stabilnosti sistema iz zadatka 4.23c

Proračun stabilnosti

408

Zadatak 4.24 Za uprošćeni elektroenergetski sistem EPS-a, čiji su podaci dati u zadacima 2.15 i 3.30, izvršiti procenu dinamičke stabilnosti (stabilnosti pri malim poremećajima), usvajajući za početni radni režim onaj koji je obrađivan u zadatku 2.15. Procenu stabilnosti izvršiti usvajajući da su sve mašine u sistemu neregulisane (sa konstantnom mehaničkom snagom agregata i konstantanim naponom pobude), i da je elektromotorna sila E' iza tranzijentne reaktanse kod svih generatora konstantna. Pri tome zanemariti prigušenja generatora D. Podaci za zamensku šemu generatora sa konstantnom elektromotornom silom dati su u zadatku 3.30. Vremenske konstante Ti ekvivalentnih agregata ovog pojednostavljenog sistema sa šest ekvivalentnih agregata, proračunate na bazi nominalnih prividnih snaga elektrana date su na osnovu stvarnih podataka za generatore EPS-a u tab. 4.24a. Tab. 4.24a Podaci za vremenske konstante inercije agregata iz zadatka 4.24 Broj čvora 1 5 6 15 17 21

Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo

Ti [MWs/MVA] 4,15 6,7 3,72 8,4 8,2 6,6

Ispitati dinamičku stabilnost ovog sistema i u slučaju da je sistem oslabljen ispadom dalekovoda između čvorova 5 i 6 sistema. Rešenje: Kompletan model za procenu dinamičke stabilnosti višemašinskog sistema sastoji se iz skupa diferencijalnih jednačina tipa: δ& i (t ) = ω s (ωi (t ) − 1) ; 1 & i (t ) = (Pm − Pi (δ i (t ) )) ; ω Ti

i = 1, 2, ..., NG; i = 1, 2, ..., NG,

pridruženih svakom agregatu u sistemu, gde je ωs sinhrona ugaona brzina, ωi(t) relativna ugaona brzina u odnosu na sinhronu brzinu a δi(t) ugao fazora elektromotorne sile Ei' iza tranzijentne reaktanse, kao i sistema algebarskih jednačina tipa jednakosti, koje predstavljaju jednačine tokova snaga, odnosno model mreže: Pi = Gii U i2 +

N + NG

∑U i U j [Gij cos(θi − θ j ) + Bij sin (θi − θ j )] ; j =1

i = 1, 2, ..., N+NG;

j ≠i

Qi = − Bii U i2 +

N + NG

∑U i U j [Gij sin (θi − θ j ) − Bij cos(θi − θ j )] ; j =1

i = 1, 2, ..., N+NG,

j ≠i

gde su Gij i Bij konduktanse, odnosno susceptanse elemenata kompleksne matrice admitansi nezavisnih čvorova sistema YČV date u zadatku 2.15, proširene sa NG ''unutrašnjih'' generatorskih

Proračun stabilnosti

409

čvorova koji odgovaraju elektromotornim silama Ei'. Modelovanje potrošača konstantnim impedansama, kao i premeštanje injektiranja generatora u ''unutrašnje'' generatorske čvorove, dozvoljava da se sprovede Kronova redukcija, odnosno eliminacija svih pasivnih čvorova (tj. čvorova sa nultim injektiranjem), tako da u modelu mreže figurišu samo unutrašnji generatorski čvorovi, što je prikazano relacijama:

[

NG

(

)

(

Pi = GGii Ei′ 2 + ∑ Ei′ E ′j GGij cos δi − δ j + BGij sin δ i − δ j j =1

)] ;

i = 1, 2, ..., NG;

j ≠i

[

NG

(

)

(

Qi = − BGii Ei′ 2 + ∑ Ei′ E ′j GGij sin δ i − δ j − BGij cos δ i − δ j j =1

)] ;

i = 1, 2, ..., NG,

j ≠i

gde su GGij i BGij elementi konduktansi i susceptansi kompleksne matrice YG, u poziciji 'ij', pri čemu je: −1 Y G = Y GG − Y GP Y PP Y PG . Matrice YGG, YPP, YGP i YPG su submatrice kompleksne matrice YČV sistema, koje odgovaraju unutrašnjim generatorskim čvorovima 'G' i negeneratorskim čvorovima 'P'. Ovakav model mreže ne dozvoljava detaljna razmatranja pojava vezanih za kvarove u mreži ili promenu njene konfiguracije, ali predstavlja osnov za analizu dinamičke stabilnosti jer se zamenom izraza za Pi u odgovarajuću diferencijalnu jednačinu dobija sistem običnih diferencijalnih jednačina tipa: δ& i (t ) = ω s (ωi (t ) − 1) ;

i = 1, 2, ..., NG;

    NG 1 & i (t ) =  Pm − GGii Ei′ 2 − ∑ Ei′ E ′j GGij cos δ i (t ) − δ j (t ) + BGij sin δ i (t ) − δ j (t )  ; ω Ti  j =1    j ≠ i   i = 1, 2, ..., NG,

[

(

)

)]

(

koji se linearizacijom u okolini date ravnotenže radne tačke prevodi u sistem običnih nelinearnih diferencijalnih jednačina oblika: ∆δ& i (t ) = ω s ∆ωi (t ) ;

i = 1, 2, ..., NG;

 1  NG & i (t ) =  ∑ Ei′ E ′j GGij sin δ i 0 − δ j 0 − BGij cos δ i 0 − δ j 0 ∆δ i (t ) − ∆δ j (t ) ∆ω Ti  j =1  j ≠i 

[

(

)

(

)](

  ;    i = 1, 2, ..., NG,

)

sa konstantnim koeficijentima definisanim početnim radnim stanjem, čija se analiza stabilnosti svodi na analizu linearizovanog sistema tipa ∆&x = A∆x ,

odnosno analizu svojstva matrice stanja sistema A, gde vektor x predstavlja vektor stanja, dimenzije 2NG, čije su komponente uglovi δi i ugaone brzine ωi.

Proračun stabilnosti

410

Na osnovu rešenja zadatog radnog režima, odnosno proračuna tokova snaga iz zadatka 2.15, uz usvojene vrednosti nominalnih snaga agregata priključenih u sistemu i odgovarajućih reaktansi generatora u tranzijentnom režimu po d osi xd′ i blok-generatorskih transformatora xBT datih u zadatku 3.30, a ovde ponovljenih u tab. 4.24b. Tab. 4.24b Reaktanse generatora i blok-transformatora sistema iz zadatka 4.24 Redni broj

Naziv čvora

Sn [MVA]

xd′ [r.j.]

xBT [r.j.]

1 2 3 4 5 6

Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo

1461 760 527 732 1308 509

0,015 0,050 0,042 0,030 0,020 0,065

0,009 0,0154 0,023 0,018 0,010 0,023

Takođe su proračunate i elektromotorne sile iza tranzijentne reaktanse svakog od šest ekvivalentnih generatora, prikazane u tab. 4.24c. Tab. 4.24c Rezultati proračuna EMS generatora iz zadatka 4.24 Redni broj 1 2 3 4 5 6

Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo

Ei' [r.j.] 1,1540 1,2379 1,0949 1,1033 1,0568 1,1275

δi0 [rad] 0,2474 0,4123 0,2069 0,2116 0,4127 0,2926

Matrice GG i BG sistema ovde imaju elemente, koji su izraženi u relativnim jedinicama za SB = 100 MVA i UB = 400 kV: 3,6167 0,9503  1,1798 GG =  1,8924 1,7027  0,7936

0,9503 1,1798 1,8924 1,7027 0,7936  0,7245 0,4534 0,4778 0,5273 0,4601 0,4534 0,6479 0,6145 0,5992 0,3122  ; 0,4778 0,6145 1,2753 0,9853 0,3681  0,5273 0,5992 0,9853 3,2978 0,5384   0,4601 0,3122 0,3681 0,5384 1,0599 

- 24,7952 2,9417 3,9840 5,5781 4,6901  2,9417 - 10,2612 1,9591 1,1342 1,2760   3,9840 1,9591 - 11,9328 1,5922 1,5250 BG =   5,5781 1,1342 1,5922 - 15,8179 3,3371  4,6901 1,2760 1,5250 3,3371 - 16,4428   1,6318 1,1607 0,6367 0,6305 1,1733

1,6318 1,1607  0,6367   . 0,6305 1,1733   - 7,440 

Proračun stabilnosti

411

Vremenske konstante inercije agregata date u postavci zadatka, preračunate na baznu snagu SB = 100 MVA, date su u tab. 4.24d. Tab. 4.24d Preračunate vrednosti konstanti Ti iz tab. 4.24a, na SB = 100 MVA Redni broj 1 5 6 15 17 21

Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo

Ti [MWs/MVA] 60,6 50,92 19,6 61,5 107,26 33,6

Zamenom datih vrednosti u sistem linearizovanih diferencijalnih jednačina ∆&x = A∆x , uz usvajanje da je sistem u početnom stanju bio u sinhronizmu (ωi0 = 0), dobija se matrica stanja sistema dvanaestog reda: 0 - 0,404 0 0,072 0 0,082 0 0,116 0 0,099 0 0,036   314,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0,077 0 - 0,216 0 0,049 0 0,027 0 0,033 0 0,030  0 0 314,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0,260 0 0,139 0 - 0,634 0 0,098 0 0,095 0 0,041  0 0 0 0 314,16 0 0 0 0 0 0 0 A =  0 0,117 0 0,027 0 0,031 0 - 0,254 0 0,066 0 0,013  0 0 0 0 0 0 314,16 0 0 0 0 0   0 0,049 0 0,016 0 0,015 0 0,033 0 - 0,125 0 0,012   0 0 0 0 0 0 0 0 314,16 0 0 0  0 0,062 0 0,050 0 0,022 0 0,022 0 0,043 0 - 0,200   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 314,16 0

        .         

Sopstvene vrednosti ove matrice, koja modeluje sistem pri zanemarenim prigušenjima su: λ1,2 = 0; λ3,4 = ± j14,9206; λ5,6 = ± j11,9604; λ7,8 = ± j7,4064; λ9,10 = ± j9,1127; λ11,12= ± j8,5079. Jedan par ovih vrednosti je jednak nuli, dok su ostali parovi sopstvenih vrednosti na imaginarnoj osi. Par koji je jednak nuli se javlja zbog linearne zavisnosti promenljivih, tj. u svim izrazima se uglovi javljaju kao razlika, te se može tražiti relativna vrednost u odnosu na jedan ugao koji se proizvoljno može usvojiti kao referentni (obično je to ugao prvog generatora). Uslovljenost da se svi koreni javljaju u paru ima za posledicu da su dve sopstvene vrednosti matrice stanja jednake nuli. Ostale sopstvene vrednosti, koje se nalaze na imaginarnoj osi, odnosno na samoj granici stabilnosti pokazuju da je ovaj sistem, uz uvažavanje sigurnog postojanja prigušenja,

Proračun stabilnosti

412

stabilan. Frekvencije elektromehaničkih modova se kreću između 1,2 i 2,37 Hz što je i karakteristično za generatorske modove elektromehaničkih oscilacija. Slučaj kada je pri istoj početnoj raspodeli snaga aktivnog generisanja u sistemu, sistem oslabljen ispadom voda između čvorova 5 i 6 (400 kV vod između HE Đerdap i TE Kostolac) ima sledeće sopstvene vrednosti sistema:

λ1,2 = 0; λ3,4 = ± j15,0976; λ5,6 = ± j11,5638; λ7,8 = ± j6,3953; λ9,10 = ± j8,3262; λ11,12= ± j8,5038. Pokazuje se da je sistem i u ovom slučaju dinamički stabilan i da se opseg kritičnih frekvencija menja ka nižim vrednostima (1,02 Hz), koje se približavaju vrednostima kritičnim za oscilacije između pojedinih grupa agregata (grupe se formiraju delimičnim razdvajanjem sistema usled znatno oslabljenih veza među generatorima).

Proračun stabilnosti

413

Zadatak 4.25 Za sistem iz zadatka 4.24 ispitati tranzijentu stabilnost generatora u sistemu ako se desio trofazni kratki spoj na vodu 5-6 kod sabirnica 5, i to za sledeća dva slučaja: - Ako je vreme isključenja voda u kvaru 0,15 s. - Ako je vreme isključenja voda u kvaru 0,2 s. Za oba slučaja usvojiti da je vreme beznaponske pauze, pre ponovnog uključenja voda u kvaru 0,2 s.

Rešenje: Pre rešavanja samog zadatka biće predstavljen metod koji je odabran za rešavanje ovog problema tranzijentne stabilnosti. Na sl. 4.25a je predstavljen jedan uopšteni elektroenergetski sistem sa N čvorova i NG sinhronih mašina. Svaka sinhrona mašina predstavljena je svojom unutrašnjom elektromotornom silom Ei′ i reaktansom za tranzijentni period X d′ . jX d′ 1 G1

jX d′ 2

G2

E1′ /δ1 ′ G jX dN

E2′ /δ 2

Elektroenergetski sistem sa N čvorova koji sadrži priključne čvorove sinhronih mašina (G1, G2, ..., GNG ), vodove, transformatore, i potrošnju modelovanu

GN G

preko konstatnih admintansi.

E ′NG /δ NG

Sl. 4.25a Uopšćeni prikaz elektroenergetskog sistema sa N čvorova i NG sinhronih mašina Sinhrone mašine su povezane na sistem preko čvorova označenih sa G1, G2 i G NG . Potrošnje u pojedinim čvorovima modelovane su preko modela konstantnih impedansi. Imajući sve ovo u vidu može se napisati sledeća jednačina:

gde je:

Y 11 Y 12  U  0  Y T Y   E  =  I  , 22       12

(1)

U = [U 1 U 2 L U N ]T , vektor napona čvorova,

(2)

E = E ′1

(3)

[ I = [I

1

E ′ 2 L E ′ NG I 2 L I NG

]

T

, vektor unutrašnjih elektromotornih sila generatora,

] , vektor struja generatora, T

(4)

Y 11 Y 12  Y T Y  , (N+NG)×( N+NG) kompleksna matrica admitansi nezavisnih čvorova. (5) 22   12

Proračun stabilnosti

414

Matrica admitansi u jednačini 5 je podeljena na submatrice u skladu sa brojem čvorova u mreži (N) i brojem generatora u sistemu (NG), tako da su dimenzije pojedinih njenih submatrica sledeće: Y11 je dimenzija N×N; Y12 je dimenzija N× NG; Y22 je dimenzija NG × NG. Matrica Y11 je slična matrici admitansi koja se koristi u proračunim tokova snaga, s tom razlikom što su u nju uključene admitanse kojima je modelovana potrošnja kao i recipročne vrednosti impedansi generatora. Prema tome, ako npr. u čvoru n imamo potrošnju onda se ′ ) se admitansa kojom se modeluje potrošnja dodaje dijagonalnom elementu Y11nn. Takođe, (1 / jX dn dodaje dijagonalnom elementu Y 11GnGn . Matrica Y22 je dijagonalna matrica recipročnih vrednosti tranzijentnih impedansi generatora, odnosno:

Y 22

 1  jX d′ 1   =    0 

0 1 jX d′ 2 O 1 ′ G jX dN

    .    

(6)

Matrica Y12, odnosno element u poziciji 'km' dobija se prema jednačini:  −1 ako je k = Gn i m = n  Y 12 km =  jX dn . ′ 0 u protivnom

(7)

Kada se jednačina (1) razdvoji na dve jednačine, dobija se sistem:

Y 11 U + Y 12 E = 0 ,

(8)

+ Y 22 E = I .

(9)

T Y 12 U

Ako se pretpostavi da je vektor E poznat, tada je jednačina (8) linearna jednačina po nepoznatoj U koja se može odrediti ili iterativno ili Gaussovom eliminacijom. Koristeći GaussSeidelov metod k-ta komponenta vektora U u (i+1)-iteraciji je:

U (ki +1) =

k −1 N  1  NG ( i +1) − Y E − Y U − Y 11kn U in  ; ∑ ∑ ∑ 12 kn n 11kn n  Y 11kk  n=1 n=1 n= k +1 

i = 1, 2, ...

(10)

Posle izračunavanja vektora U, vektor struja generatora može da se izračuna iz jednačine (9):

[

I = I1

I 2 L I NG

]

T

T = Y 12 U + Y 22 E .

(11)

Proračun stabilnosti

415

Aktivne snage na izlaznim krajevima mašina se onda dobijaju preko jednačine:

{

}

Pen = Re E n I ∗n , n = 1, 2 ,..., N G .

(12)

Na osnovu gore navedenog može se dati algoritam za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti. U algoritmu se naizmenično rešavaju jednačine njihanja za pojedine generatore i jednačine tokova snaga koje predstavaljaju mrežu. Za rešavanje jednačina njihanja korišćen je modifikovani Eulerov metod za numeričku integraciju, dok je za rešavanje jednačina tokova snaga korišćen Gauss-Seidelov iterativni postupak. Pre predstavljanja algoritma za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti biće izložen Eulerov metod za numeričku integraciju. Kriterijum jednakih površina je primenljiv za jednomašinski sistem. Za višemašinske sisteme, međutim, potrebno je primeniti tehnike numeričke integracije za rešavanje jednačine njihanja za svaku mašinu. Jedna relativno jednostavna tehnika numeričke integracije je Eulerov metod. Metod će biti primenjen na diferencijalnu jednačinu prvog reda: dx = f (x ) , dt

(13)

i ilustrovan je na sl. 4.25b. Korak integracije je označen sa ∆t. Tangenta (nagib krive) na početku intervala inegracije je: dxt = f ( xt ) . dt

(14)

Nova vrednost argumentu xt + ∆t se računa na osnovu prethodne vrednosti argumenta xt i priraštaja ∆x, preko izraza:  dx  xt + ∆t = xt + ∆x = xt +  t ∆t .  dt 

(15)

x

Tačna vrednost

dxt dt

Proračunata vrednost

∆x

xt+∆x

∆t

xt

t

t+∆t

Sl. 4.25b Ilustracija Eulerove metode

t

Proračun stabilnosti

416

Kao što je pokazano na sl. 4.25b, Eulerov metod pretpostavlja da je tangenta, odnosno nagib krive konstantna u toku posmatranog intervala ∆t. Unapređenje metode može se dobiti proračunom tangente (nagiba krive) i na početku i na kraju intervala, a zatim nalaženjem njihove srednje vrednosti. Modifikovan Eulerov metod ilustrovan je na sl. 4.25c. Najpre se izračuna tangenta na početku intervala po jednačini (13), a zatim se ta vrednost koristi za proračun preliminarne vrednosti argumenta ~ x po jednačini:  dx  ~ x = xt +  t ∆t  dt 

(16)

x: Posle toga se računa tangenta u tački ~

d~ x = f (~ x ). dt

(17)

Sada se nova vrednost argumenta xt + ∆t računa na osnovu srednjeg nagiba:

1  dx d~ x xt + ∆t = xt +  t + ∆t . 2  dt dt 

(18) d~ x dt

Tačna vrednost

x

1  dxt d~ x +   2  dt dt 

dxt dt

~ x

xt+∆x

∆t

xt

t

t+∆t

t

Sl. 4.25c Ilustracija modifikovane Eulerove metode Gore izložena metoda može da se primeni za proračun ugaone brzine ω i ugla snage generatora δ, pri čemu su vrednosti na početku intervala označene sa ωt i δt. Za slučaj jednačina njihanja koje su oblika kao jednačina (13), tangente (nagibi krivih) na početku intervala su: dδ t = ωt − ωs ; dt dωt p at (r . j .) ⋅ ω s = , dt Ti ⋅ ωt (r . j .)

(19) (20)

gde je p at (r . j .) snaga akceleracije u relativnim jedinicama, računata za δ = δt i ω t (r . j .) = ω t / ω s .

Proračun stabilnosti

417

Primenjujući jednačinu (16) preliminarne vrednosti nepoznatih su: ~  dδ  δ = δt +  t ∆t ;  dt  ~ = ω +  dωt ∆t . ω t  dt 

(21) (22)

~ ~ Dalje, tangente (nagibi) za δ i ω su: ~ dδ ~ = ω − ωs ; dt ~ ~ p a (r . j .) ⋅ ω s dω = , ~ dt Ti ⋅ ω (r . j .)

(23) (24)

~ ~ ~ p at (r . j.) snaga akceleracije u relativnim jedinicama, računata za δ = δ i ω gde je ~ t ( r . j . ) = ωt / ω s . Primenjujući jednačinu (18) dobijaju se nove vrednosti za δ i ω na kraju intervala: ~ 1  dδ t d δ  ∆t ; δ t + ∆t = δ t +  + 2  dt dt  ~ 1  dω dω ωt +∆t = ωt +  t + ∆t . 2  dt dt 

(25) (26)

Procedura data jednačinama (19)-(26) počinje u t = 0 sa specifikovanim početnim vrednostima δ0 i ω0 i nastavlja se iterativno do vremena t = T, gde je T definisano konačno vreme proračuna. Sada se može izložiti algoritam za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti za višemašinski sistem. On se sastoji od 11 koraka: 1. Izvršiti proračun tokova snaga u cilju dobijanja napona čvorova Uk (k = 1, ..., N), struja generatora In (n = 1, 2, ..., NG) i električne snage generatora Pen (n = 1, 2, ..., NG). Postaviti mehaničku snagu generatora na vrednost Pen, tj. Pmn = Pen. Takođe vrednost ugaone brzine postaviti na vrednost sinhrone brzine tj. ωn=ωs. U ovom koraku potrebno je izračunati i admitanse potrošnje tj. zameniti potrošnju modelom sa konstantnim admitansama.

′ ⋅In, 2. Izračunati unutrašnju elektromotornu silu generatora E n = E n ∠δ n = U Gn + jX dn (n = 1, 2, ..., NG), gde su UGn i In veličine izračunate u koraku 1. Veličinu En držati na konstatnoj vrednosti. Ugao δn je početni ugao snage. 3. Izračunati matricu Y11, modifikovanjem YČV matrice iz proračuna tokova snaga uključivanjem admitansi potrošnje i recipročnih impedansi generatora. 4. Izračunati matricu Y22 prema jednačini (6) i matricu Y12 prema jednačini (7). 5. Inicijalizovati vreme, tj. staviti t = 0.

Proračun stabilnosti

418

6. Ako postoji operacija uključenja, promene opterećenja, kratkog spoja ili promene podataka uraditi sledeće: - Za slučaj operacija uključenja ili promene opterećenja modifikovati matricu admitansi. - Za slučaj trofaznog kratkog spoja postaviti napon sabirnice pogođene kvarom na 0. 7. Koristeći vrednosti za elektromotorne sile generatora E n = En ∠δ n , (n = 1, 2, ..., NG), za vrednost δn u vremenu t, izračunati električnu snagu generatora (Pen) u vremenu t preko jednačina (10)-(12). 8. Koristeći vrednosti za električnu snagu generatora (Pen) koja je izračunata u prethodnoj ~ tački i vrednosti za δn i ωn u vremenu t, izračunati preliminarne vrednosti ugla snage δn i ugaone ~ u vremenu t + ∆t preko jednačina (19)-(22). brzine ω n

~ 9. Koristeći vrednosti za elektromotorne sile generatora E n = En ∠ δn , (n = 1, 2, ..., NG), ~ izračunati preliminarnu vrednost električne snage generatora ( Pen ) u vremenu t + ∆t iz jednačina (10)-(12). ~ ~ ~ izračunate u 10. Koristeći veličinu Pen izračunatu u koraku 9, a takođe i veličine δn i ω n koraku 8, izračunati konačne vrednosti ugla snage δn i ugaone brzine ωn u vremenu t + ∆t iz jednačina (23)-(26). 11. Postaviti vreme na vrednost t = t + ∆t. Zaustaviti algoritam ako je t ≥ T. U protivnom vratiti se na korak 6. Jedina modifikacija koja je u ovom zadatku urađena u odnosu na izloženi metod je ta, da su impedansama generatora pridružene i impedanse blok-transformatora preko kojih su generatori priključeni na mrežu. Ta modifikacija suštinski ne menja izloženi metod. Svi potrebni proračuni izvršeni su u programskom paketu MATLAB 6. Kao izlazni rezultati dobijaju se promene uglova snaga generatora u sistemu. Dijagrami promena uglova snaga generatora sa vremenom za slučaj kada se kvar isključuje za vreme 0,15 s, dati su na sl. 4.25d. Za slučaj kada se kvar isključuje za 0,2 s dijagrami promene uglova snage generatora sa vremenom dati su na sl. 4.25e. Sa dijagrama se može uočiti da su u prvom slučaju svi generatori stabilni, dok je u drugom slučaju generator u čvoru 5 nestabilan jer ugao snage ovog generatora raste u beskonačnost.

Proračun stabilnosti

419 čvor 1

δ (°)

čvor 5

δ (°)

0.5

100

0 0

-0.5 -1

0

0.5

1

1.5

t (s)

čvor 6

δ (°)

-100

20

0

0

-10

-20

0

0.5

1

1.5

t (s)

čvor 17

δ (°)

0.5

-40

1

1.5

t (s)

1.5

t (s)

1.5

t (s)

čvor 15

δ (°)

10

-20

0

0

0.5

1 čvor 21

50 δ (°)

50 0 0 -50

0

0.5

1

1.5

t (s)

-50

0

0.5

1

Sl. 4.25d Dijagrami promena uglova snaga generatora u vremenu za prvi slučaj (stabilan sistem)

čvor 1

δ (°)

čvor 5

δ (°)

0.5

2000

0 1000

-0.5 -1

0

0.5

1

1.5

t (s)

čvor 6

δ (°)

0

0

0.5

1

1.5

t (s)

1.5

t (s)

1.5

t (s)

čvor 15

50 δ (°)

20 0

0

-20 -40

0

0.5

1

1.5

t (s)

čvor 17

δ (°)

-50

0

0.5

1 čvor 21

50 δ (°)

20 0 0 -20

0

0.5

1

1.5

t (s)

-50

0

0.5

1

Sl. 4.25e Dijagrami promena uglova snaga generatora u vremenu za drugi slučaj (nestabilan sistem)