9.1 SUCESIONES Y SERIES COMPLEJAS.pdf

2/05/2017

SUCESIONES Una sucesió sión comp mplleja eja { zn} es un función cuy cuyo dominio es el con onjjunto de los núm úmeero ross enteros positivos y cuyo rango es un subcon subconjun junto to de los los núm números eros comple complejo joss  C.

SUCESIONES Y SERIES COMPLEJAS

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

SUCESIONES

 z

n

 1 i

n

CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN

 Si  Lim  Lim  z n

n

1

n



2

n



3



z3

 1 i

n



4



z4



n



5



z5

 1

 

z1  1  i z2





L,

n

0

Se dice que la sucesión {z n} es convergente.

2

i

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

3

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

4

EJEMPLO 1

CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN Si  Lim z n  L,

 i  La sucesión   n

n

n 1

{ zn} convergente al número L si para cada núme número ro real real posi positi tivo vo ε se puede encontrar rar un entero positivo N talque | zn - L| < ε siempr siempree que n > N . ROSA ÑIQUE ALVAREZ

2

5

  es convergente 

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

6

1

2/05/2017

SOLUCIÓN n 1

 i   n

  

n

1

n



n



n



n





2



3

4

5

z1 z2





i

n

2

z4 z5

 i 1  lim  0   n   

 

z3



SOLUCIÓN

 1

1

n



3

i 

 i 1     n 

4

n

1  

5

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

LA SUCESIÓN ES CONVERGENTE A CERO

7

8

EJEMPLO 2

DIVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN

La sucesión

Una sucesión { zn} que no converge se dice que es divergente.

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

1 i

9

SOLUCIÓN

n

es divergente

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

10

SOLUCIÓN 1 i

n

1

n



2

n



3

n



n





n

z1

 zn

1  i 



z3

 1 i

4



z4



5



z5

 1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

n

0

z2



 1 i

El número complejo zn no se aproxima a un número complejo fijo cuando n → ∞

2

i

11

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

12

2

2/05/2017

TEOREMA: CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SUCECIÓN

EJEMPLO 3 Considera la sucesión

Una sucesión { zn} converge a un número complejo L=a + ib si y solo si  Re( zn) converge a Re( L)=a e Im( zn) converge a Im( L)=b.

 3  ni     n  2ni  Use el teorema para demostrar que la sucesión en convergente

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

13

SOLUCIÓN  z n



3  ni

n 

n

2n

n

n

2

2

5n

n

2

 6n

5n

2

 3  ni    converge a  n  2ni 

2

 L

2 

5

1 

i

5



2

 6n 2

i

 3n

5n

n 

2

n 

 3n

5n

 z  

lim Im

2



 z   lim

lim Re

14

SOLUCIÓN 2n

n  2ni

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

5

1 

5

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

15

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

SERIE DE NÚMEROS COMPLEJOS

16

SERIE GEOMÉTRICAS



 zk    z   z2  .... zn  .... k 1



 az

1

k  1

La serie es convergente si la sucesión de sumas  parciales {S n}, donde S n

  z    z  ....z 1

2

donde a es una constante compleja 

n

 az

converge. Si S n → L cuando n → ∞, se dice que la serie converge a  L o que la suma de la serie es  L ROSA ÑIQUE ALVAREZ

k 1

17

k 1

 a  az  az 2  ...  az n1  .....

k 1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

18

3

2/05/2017

EJEMPLO 4

SERIE GEOMÉTRICA

Serie geométrica

1  2i 

k 





5

k 1



k 

Si 0 < |z|< 1, entonces la serie geométrica converge con suma

1  2i 

2

1  2i



5

5



2



 az

Suma parcial S n 

k 



5

k 1



k 

1  2i 5

1  2i 



5



2

5

n

19

n

  az k   a  1

az



az

2

S n

 ...  az n

1

1

k  1

S n



az

az



 zS n



a

2



ROSA ÑIQUE ALVAREZ

20

DEMOSTRACIÓN

SUMA PARCIAL DE LA SERIE GEOMÉTRICA



; 0   z  1

1  2i 

DEMOSTRACIÓN

 zS n

1   z

n

2

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

Sn

a



k 1

1  2i 

n

k 1

az



3

 ... 

az





 zS n



 z S n

n

S n



ROSA ÑIQUE ALVAREZ



1 a



 z



21

DEMOSTRACIÓN



a1



1

n

az

a



n

az 

z

n

n





 z

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

22

DEMOSTRACIÓN

1   z  a n

S n

lim S n

1   z



n 

lim S n n

0

1 lim a n

a 

1   z

  z

n



z 1

lim S n n 

1   z



lim 1 n

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

  z

n

lim S n



n

23

0

a 

1   z





lim 1 n 

r   1

  z

n



a 1   z ROSA ÑIQUE ALVAREZ

24

4

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DEMOSTRACIÓN

SERIE GEOMÉTRICAS Si |z| ≥ 1, entonces la serie geométrica diverge

SUMA PARCIAL DE LA SERIE GEOMÉTRICA

a

lim S n

 

1   z

n

 az

 az

k 1

k 1



a

1   z

; 0   z  1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

25

SERIES GEOMÉTRICAS ESPECIALES

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

1  z

EJEMPLO 5

1



2

  z   z

  z

3



......,

|  z | 1



1  2i 

k 



5

k 1

1 1  z

1



  z   z

2

  z

3



.....,

|  z | 1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

k 1

1  2i 5

k 

k 

27

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

 k 1

1  2i 

k 

5

k 

28

SOLUCIÓN

 1  2i  1  2i    5k 1 5 k 1  

k 1



1  2i k 

k 1

5k 



a 

k 

Determine el valor de convergencia de la serie.

SOLUCIÓN



26

Dada la serie

1



;  z  1

k 1

SERIE GEOMÉTRICA 

k 1

 1  2i  1  2i       5   5 k   

k 1

1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

 1  2i  1  2i       5   5   k 1  

1  2i  5  z 

29

 z 

;

5 5

k 1

1  2i 5

1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

30

5

2/05/2017

SOLUCIÓN 



1  2i 

k 

5

k 1

k 

SOLUCIÓN

 1  2i  1  2i       5   5 k   

1  2i

k 1





1

1  2i 

k 1

k 

5



k 

1

5 1  2i



1  2i 

k 1

k 

5



k 

1

5 1  2i



1  2i 4  2i



1

i





2

k 1

5 ROSA ÑIQUE ALVAREZ

31

Teorema: una condición necesaria de la convergencia de una serie

1  2i 

k 

5

 z

converge, entonces

k 

lim

 z n 

4  2i



1

i

2

1

i

2

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

32

Teorema: prueba del n-ésimo término para la divergencia de la serie 

0

Si lim  z

n 

k 1



k 



Si

1  2i

5

1  2i 



n 

n



0, entonces

 z

k 

diverge

k 1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

33

TEOREMA: CONVERGENCIA ABSOLUTA

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

34

PRUEBAS PARA LA CONVERGENCIA ABSOLUTA



Una serie  z k  se dice que absolutamente

1. PRUEBA DE LA RAZÓN

k 1

convergente si



  z

k 

converge

2. PRUEBA DE LA RAÍZ

k 1

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

35

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

36

6

2/05/2017

PRUEBA DE LA RAZÓN

PRUEBA DE LA RAÍZ 



Supongamos que



 z

Supongamos que

 z k 

k 

k 1

k 1

es una serie de términos complejos distintos de cero tal que  z lim n1   L

Es una serie de términos complejos distintos de cero tal que

i) Si L 1 o L=∞, entonces la serie diverge.

iii) Si L=1, la prueba no es concluyente.

iii) Si L=1, la prueba no es concluyente.

n 

lim n  zn

 zn

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

37

EJEMPLO 6

L

ROSA ÑIQUE ALVAREZ

38

CONCLUSIÓN 

Considere la serie



n 



 z

k 1

k 1



La serie



k 

 z

k 1

k 

k 1

PRUEBA DE LA RAZÓN  z lim n 

n 1  z

converge absolutamente para |z|