90810585 Spregnute Konstrukcije Net

5

SADRŽAJ

PREDGOVOR A. SPREGNUTE KONSTRUKCIJE U VISOKOGRADNJI 1. Kratak pregled razvoja spregnutih konstrukcija 2. Neki problemi spregnutih konstrukcija 3. Svojstva spregnutih konstrukcija 4. Elementi nosača i tehnička regulativa za spregnute konstrukcije 5. Teorija kruto spregnutih konstrukcija 6. Uticaj plastičnih deformacija betona 7. Meka armatura i kablovi za prednaprezanje u spregnutom sistemu 8. Deformacije spregnutih nosača 9. Sredstva za sprezanje 10. Koeficijent sigurnosti u spregnutim nosačima 11. Praktični proračun spregnutih nosača u vidu prostih greda 12. Numerički primer nosača sistema proste grede 13. Postupci izvođenja spregnutih konstrukcija 14. Numerički primer podesta topionice železare Skoplje 15. Numerički primer mostovskog nosača sistema prednapregnuto-spregnute proste grede B. SPREGNUTE KONSTRUKCIJE U ZGRADARSTVU 1. Uvodne napomene 2. Uvod u projektovanje spregnutih nosača sistema proste grede (Beratungsstelle für Stahlverwendung, Düsseldorf) - [32] 3. Proračun naponskih stanja spregnutih sistema 4. Uticaj plastičnih deformacija betona na naponska stanja spregnutih nosača 5. Proračun moždanika za vezu čeličnog nosača i betonske ploče 6. Spregnute konstrukcije sa profilisanim limovima 7. Numerički primer proračuna međuspratne konstrukcije sa profilisanim limovima i betonskom ispunom

7 9 9 16 18 21 30 42 58 81 91 132 134 143 159 174 215 237 237 238 244 259 289 304 326

6

C. STUBOVI U SPREGNUTOJ KONSTRUKCIJI 1. Uvodne napomene 2. Numerički primer spregnutih stubova 3. Izvodi iz domaće tehničke literature 4. Spregnuti stubovi izloženi uticajima povišenih temperatura

345 345 363 377 377

D. SPREGNUTE KONSTRUKCIJE U MOSTOGRADNJI 1. Mostovi kao najviši domet građevinarstva 2. Prikaz nekolikih izvedenih spregnutih mostovskih konstrukcija u domaćim okvirima

379 379 380

ANEKSI ANEKS I ANEKS ANEKS ANEKS

DIN 18806 – Verbundkonstruktionen, Verbundstützen II Pravilnik o tehničkim merama i uslovima za spregnute konstrukcije III Rečnik najpotrebnijih reči i izraza u oblasti spregnutih konstrukcija IV Spisak literature

415 425 443 449

7

PREDGOVOR

Feci quod potui, faciant meliora potentes Izlaganja o spregnutim konstrukcijama u praksi napisana su polovinom 1985. godine u vidu skripti za predavanja studentima starijih semestara Građevinskog fakulteta u Subotici. Prvobitno je prpremljeno samo poglavlje A, kasnijih godina dopunjeno i ostalim poglavljima B, C, D, čemu su priloženi i neophodni aneksi prema sadržaju priključenom ovim izlaganjima. Izlaganja su obrađena pretežno prema nemačkoj literaturi, pri čemu je u punoj meri korišćen i odličan domaći „Pravilnik o tehničkim merama i uslovima za spregnute konstrukcije“ iz 1970. godine. Osnova ovog „Pravilnika“ je proračun konstrukcija prema konceptu dopuštenih napona (deterministički koncept), koji se još uvek primenjuje u domaćoj, ali i inostranoj praksi. U okviru Saveznog zavoda za standardizaciju iz Beograda obrađen je i izdat standard U.Z1.010 kojim su obuhvaćene spregnute konstrukcije – čelik, beton, u svetlu savremenih stremljenja evropskih i domaćih stručnih krugova ka semiprobabilističkom konceptu proračuna svih građevinskih konstrukcija. Oba koncepta u suštini za sada daju iste računske rezultate, s obzirom na nedovoljno iscrpne elemente laboratorijskih ispitivanja konstrukcija i njihovog ponašanja tokom eksploatacije. Novi standard U.Z1.010 kratak je i nedovoljno jasan, posebno u poglavlju klasifikacije poprečnih preseka čeličnih nosača, te bi bilo nužno da budu propraćeni detaljno obrađenim numeričkim primerima, kojima bi se bliže objasnio način primene ovog standarda u praksi. U industrijskoj gradnji – crnoj, obojenoj metalurgiji, rudarstvu, elektroprivredi – spregnute konstrukcije u pravom smislu reči malo su građene, ako ih uopšte i ima. U višespratnim objektima crne metalurgije, sa podestima pokrivenim armiranobetonskim pločama na čeličnim nosačima, pod opterećenjima velikih intenziteta, primena pravih spregnutih konstrukcija nije bila moguća (sem ne tako brojnih kabinetskih pokušaja) s obzirom na veliki broj tehnoloških i montažnih otvora u podestima, koji nisu dopuštali tačno definisanje sudelujuće širine betonske ploče. Ipak su ugrađivane mnogobrojne veze u vidu povijenih ankera od okruglih betonskih profila različitih debljina, veze proistekle iz prirodnih potreba spajanja armiranobetonske ploče i čeličnih nosača. S obzirom da merenja napona i ugiba ovakvih konstrukcija pod opterećenjem nisu sprovođena (nikada nije bilo dovoljno novaca za ispitivanja ovakve vrste), nikada se nije utvrdilo koliko je ostvarivano sadejstvo

8

podesnih pokrivača i čeličnih nosača, što bi predstavljalo dragoceno saznanje neophodno domaćoj, pa i šire, i stručnoj i naučnoj misli. Široka primena spregnutih konstrukcija u mostogradnji, koja se posebno zapaža poslednjih decenija dvadesetog veka, prikazana je u ovim izlaganjima sa nekoliko dispozicionih crteža izgrađenih domaćih mostova, čiji su projektanti bili najeminentniji stručnjaci na ovom polju građevinarstva, poznati i u širim evropskim okvirima. Crteži su preuzeti iz publikacije „Spregnute konstrukcije“, koju je izdao časopis „Izgradnja“ iz Beograda 1972. godine. Spisak upotrebljene literature, uglavnom iz nemačkih izvora, pri čemu valja istaći delo Anselma Hoischena „Die Berechnung von Verbundträger“, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart 1955. godine, delo izvanredno prilagođeno potrebama praktičara za svakodnevnu upotrebu, priložen je ovim izlaganjima u vidu aneksa VI. Beograd, 16.08.2000. godine

Prof. dr Miroslav Debeljković

NAPOMENA: (zapis Profesora) Predgovor će se dopuniti izrazima zahvalnosti recenzentu, donatoru, priređivačima građe za štampu naknadno. Sve je rađeno po starom propisu iz 1970. godine. Tekst predgovora se može menjati, zavisno od datuma objavljivanja knjige. Beograd, 25.04.2004.

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

9

SPREGNUGE KONSTRUKCIJE U PRAKSI A. SPREGNUTE KONSTRUKCIJE U VISOKOGRADNJI 1. KRATAK PREGLED RAZVOJA SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA

1.1. Prvi koraci ka novim konstrukcionim oblicima Godina 1910. može se smatrati kao neka prekretnica u razvoju spregnutih konstrukcija. Do tada su se kolovozne table čeličnih mostova za drumski i železnički saobraćaj skoro isključivo gradile od udubljenih i koritastih limova, prema slikama A.1.1. i A.1.2, neretko u vidu svodova u opeci razapetih između kolovoznih podužnih nosača ili konstruktivno pogodnih Zores profila, prema slici A.1.3. Teškoće u održavanju ovakvih kolovoznih tabli, a naročito njihovo propadanje od korozije tokom vremena, bile su neposredni povod da su se na železničkim mostovima u Francuskoj, ubrzo i u ostalim zemljama sveta, počevši od 1920. godine, počele da grade kolovozne table pa i čitave konstrukcije od ubetoniranih čeličnih profila, u kojih je beton predstavljao ne samo noseću ispunu nego i zaštitu od atmosferilija, prema slici A.1.4. Brzo je, međutim, zaključeno da ovaj tip mostova nije bio pogodan za veće raspone od 20–25 metara, zbog velike sopstvene težine betona. Da bi se smanjila težina betonske Slika A.1.1. – Raspored ispune, došlo se već negde oko 1920. godine do udubljenih limova sa tri ili zamisli da se ova ispuna zameni armiranobetonjednim podužnim nosačem skom pločom, relativno tankom te i znatno manje sopstvene težine. Iz toga vremena zabeležena je izgradnja, prema podacima francuskog konstruktera Ridet-a, nekoliko železničkih mostova u Francuskoj na kojima je bila ugrađena armiranobetonska ploča debljine 25 cm preko pojaseva čeličnih nosača.

10

Spregnute konstrukcije

Slika A.1.2. – Koritasti limovi Ploča, spojena sa gornjim pojasevima čeličnih nosača zakovanim ankerima na razmacima od oko 3,20 metara, služila je kao kolovozna tabla samo za prenos opterećenja sa kolovoza na glavne čelične nosače. Novoj kolovoznoj konstrukciji moglo se jedino prigovoriti da je bila skuplja za nekih desetak procenata od kolovoznih tabli građenih do 1920. godine. Međutim, zbog drugih dobrih osobina kolovozne table na velikom broju mostova i dalje su se gradile u vidu armiranobetonskih ploča. Isto tako, i u zgradarstvu su vrlo rano počele da se rado grade međuspratne konstrukcije od armiranobetonskih ploča preko čeličnih nosača. Slika A.1.3. – Kolovoz sa Tokom uobičajenih probnih opterećenja po Zores profilima završetku građenja, zapažena je i na mostovima i u zgradarstvu osetna razlika između merenih ugiba i ugiba sračunatih pod prepostavkom da čelični nosači sami nose celokupno opterećenje. Izmereni ugibi mostovskih nosača ili međuspratnih konstrukcija, sračunatih i izgrađenih po ovom modelu, uvek su bili manji od računskih, što je u nekim zemljama Evrope, a skoro istovremeno i u SAD, skrenulo pažnju na sadejstvo armiranobetonske ploče i čeličnih nosača. Ova je interakcija bila zapažena i u slučajevima kada između ova dva elementa nije postojalo nikakvo posebno sprezanje, već jedino prirodna veza prouzrokovana prijanjanjem betona na čeličnu površinu nosača i otpora trenja klizanja. Odmah posle tih zapažanja javljaju se i prvi pokušaji da se razjasni uočeno sadejstvo betonske ploče i čeličnih nosača, i to u dva pravca:

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

11

- eksperimentalnim ispitivanjem specijalno načinjenih probnih nosača u laboratorijama, - primenom teorije savijanja armiranobetonskih nosača na ovu novu vrstu konstrukcija, pri čemu se imalo u vidu da i klasična armiranobetonska ploča (ili nosač) predstavlja u suštini spregnutu konstrukciju, spoj materijala različitih fizičkih svojstava u jedinstvenu konstrukciju koja je prijanjanjem čelične armature o beton, osposobljena za prijem spoljnih opterećenja, slika A.1.5.

Slika A.1.4. – Kruti profili kao armatura sa ankerima na osloncu [1]

1.2. Istraživanja novih konstrukcionih oblika se proširuju Kako se odmah uvidelo da se sprezanjem čeličnih nosača i betonske ploče, koje i tako postoji u konstrukciji sa svojom posebnom funkcijom kolovozne table, postižu značajne uštede u čeliku, zainteresovanost za proučavanje ovih novih konstrukcionih oblika povećalo se širom sveta. Temeljita istraživanja saradnje betonske ploče i čeličnih nosača započeta su u SAD 1921. godine, u Engleskoj i Kanadi 1922. godine. Pri tome su posmatrani slučajevi čeličnih nosača potpuno ili delimično ubetoniranih, prema slici A.1.4/1-3. U ovim opitima vezu betona i čelika predstavljalo je prirodno prijanjanje betona za čelik. Na osnovu svežih Slika A.1.5. – Armiranobetonsaznanja stečenih istraživanjima novih konstrukski nosač cionih oblika u Švajcarskoj, proučavanja spregnutih konstrukcija nastavljena su u SAD 1930. godine, kojima su obuhvaćeni i različiti tipovi dodatnih sredstava za sprezanje betona i čelika. Na kongresu Međunarodnog društva za mostove i zgradarstvo (AIPC) u Parizu 1932. godine javljaju se prvi naučni radovi posvećeni ovoj vrsti konstrukci-

12

Spregnute konstrukcije

ja, među kojima se nalazi i izveštaj profesora Stüssy-a o rezultatima izvršenih opita, obavljenih u Švajcarskoj sa ubetoniranim nosačima, neposredno pred pomenuti kongres. Savez švajcarskih fabrika za mostogradnju i zgradarstvo organizovao je ove opite da bi se utvrdilo u kojoj se meri povećava nosivost čeličnog nosača sprezanjem sa betonom. Zaključci su bili precizni: - nosivost čeličnog nosača se povećava sprezanjem sa betonom, - prirodno prijanjanje betona za čelični nosač nije dovoljno da bi se zajedničko dejstvo oba elementa obezbedilo do kraja, - prethodno opterećenje čeličnog nosača, pre betoniranja, ne smanjuje ukupno opterećenje koje dovodi spregnuti nosač do sloma, - ugibi spregnutog nosača usled korisnog opterećenja mogu se izračunati, ako se momenat inercije idealnog preseka odredi za količnik n = Ea / Eb = 10 . U ovom se izveštaju prvi put pominju moždanici od pljošteg čelika, kojima bi trebalo da se obezbedi sprezanje dva elementa. Proučavanja su nastavljena 1934. godine u Cirihu u Institut za ispitivanja (EMPA), u Parizu 1935. godine u École central. Sva ova ispitivanja izvedena su uglavnom pod statičkim opterećenjem, sa naglaskom na pogodnim oblicima sredstava za sprezanje – moždanicima i ankerima. I pored mnogih korisnih saznanja, stečenih tokom ovih ispitivanja, projektovanje i građenje mostova u periodu između 1930. i 1940. godine teklo je po ranijoj koncepciji o ulozi armiranobetonske ploče kao kolovozne table i glavnih čeličnih nosača koji sami, bez ikakve saradnje sa pločom, primaju celokupno opterećenje. Razlog za ovakvo stanje u mostogradnji bio je jednostavan – nedostatak dovoljno razvijene teorije proračunavanja spregnutih konstrukcija, koja se morala razlikovati od teorije homogenih nosača već i po tome što se u betonu javljaju i deformacije koje su u funkciji vremena.

1.3. Zagrebački most Snažan podstrek u to vreme za konstruktere da nastave sa pručavanjem spregnutih konstrukcija mostova bili su rezultati ispitivanja drumskog mosta preko reke Save u Zagrebu 1939. godine. Ovaj most u nosećoj čeličnoj konstrukciji, sistema kontinualne grede sa četiri otvora raspona 54,60 + 2 · 55,075 + 54,60 metara, prema slici A.1.6, punog zavarenog poprečnog preseka prikaznog slikom A.1.7, sagrađen je tokom 1938/1939. godine. Kolovozna tabla, načinjena od armiranog betona, oslonjena je istovremeno na podužne i glavne nosače. Svi konstruktivni delovi rasčlanjeni su na linearne elemente, pri čemu su glavni čelični nosači primali vertikalno stalno i pokretno opterećenje i prenosili ga na oslonce. U to vreme, svi su se mostovi projektovali po ovom modelu. Rezultati probnog opterećenja, koji su pokazali da se konstrukcija mosta ponaša kao spregnuta, pobudila je veliko interesovanje stručnih krugova, naročito van tadašnje Jugoslavije. Utvrđeno je da je mestimičnim vezama betonske ploče i čeličnih nosača prouzrokovano neočekivano sprezanje, sa znatno manjim ugibima u poređenju sa računskim.

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

13

Slika A.1.6. – Most preko reke Save u Zagrebu 1938/1939. godine

Slika A.1.7. – Poprečni presek mosta preko reke Save u Zagrebu Ova nova saznanja jako su uticala na razvoj teorije spregnutih konstrukcija i njihovu primenu u građevinarstvu, koja je uzela maha tek po završetku Drugog svetskog rata. Posebnu pažnju na ovaj zagrebački most privlačila je neobična debljina pojasnih lamela glavnih nosača, koja se kretala u granicama 40–95 mm. I pored tako velikih debljina lamela, koje se i danas smatraju skoro nedopustivim u mostogradnji, zavarivanje tih lamela za vertikalni lim kao i njihovo nastavljanje zavarivanjem u radionici i na gradilištu potpuno je uspelo, zahvaljujući i posebnom predgrevanju elemenata tokom zavarivanja.

1.4. Spregnute konstrukcije prodiru u praksu Posle mnogih sličnih zapažanja i u drugim zemljama, a naročito u Francuskoj, interesovanje za spregnute konstrukcije do te mere je poraslo, da se uoči

14

Spregnute konstrukcije

samog Drugog svetskog rata došlo do zaključka o potrebi novih i opsežnih ispitivanja i to kako u laboratorijama na probnim nosačima tako i na već sagrađenim mostovima. Jedan od prvih takvih planova ispitivanja načinjen je u Francuskoj i ostvaren je u periodu 1939-1944. godine. Na velikom broju laboratorijskih opita i ispitivanja na sagrađenim mostovima sakupljena su, sumarno izneto, nova saznanja: - betonska ploča sarađuje sa čeličnim nosačem i to dovodi do znatne ekonomičnosti spregnutog nosača, - da bi se dobio pravi spregnuti nosač potrebno je ostvariti efikasnu vezu između betonske ploče i čeličnog nosača, - proračun naponskih stanja u spregnutom nosaču može se sprovesti po pravilima koja važe za armirani beton, - u slučaju kontinulanih nosača u zaključcima se preporučuje da se denivelacijom oslonaca izvrši prednaprezanje betonske ploče kako bi se izbegli naponi zatezanja u zoni negativnih momenata. Ovi opiti, ma koliko bili opsežni, nisu dali odgovore na brojna pitanja proračuna naponskih stanja od svih uticaja koji se javljaju u spregnutim konstrukcijama. U SAD su 1936. godine preduzeta opsežna ispitivanja armiranobetonskih konstrukcija, u koja su bile uključene i spregnute konstrukcije, sa ciljem da se provere računske osnove buduće tehničke regulative iz oblasti ovih konstrukcija. Po završenom eksperimentalnom radu objavljeni su 1944. godine propisi pod nazivom: „American Association of State Highway Officials“ (AASHO), koji su, pored ostalog, stvorili i mogućnost široke primene spregnutih konstrukcija u mostogradnji. Propisi u zgradarstvu pod nazivom: „American Institute of Steel Construction“ (AISC) ozvaničeni su tek 1952. godine. Uoči i nekoliko godina posle Drugog svetskog rata, spregnute konstrukcije su u Evropi građene ponegde u zgradarstvu i mostogradnji na osnovu ličnog iskustva i odgovornosti pojednih konstruktera. Pravi polet u primeni spregnutih konstrukcija, čiji je ekonomski efekat bio već dovoljno poznat, nije se mogao očekivati pre donošenja tehničke regulative, koja bi stvorila osnove za projektovanje i građenje i omogućila da konstrukteri učestvuju pod istim uslovima u ostvarenju svojih zamisli. Za donošenje ovakvih propisa nedostajala je teorija spregnutih konstrukcija, koja bi obuhvatila sve pojave karakteristične za spregnute konstrukcije. Isto tako su nedostajali i odgovarajući rezultati ispitivanja, koji bi pouzdano mogli da potvrde teorijska istraživanja. To je dalo podstreka da se u Švajcarskoj u Institutu EMPA tokom 1938/1939. godine izvrše opsežni laboratorijski opiti sa ciljem da se utvrdi nosivost različitih sredstava za sprezanje i izaberu najbolja među njima. Programom ovih opita bilo je predviđeno ispitivanje pojedinačnih moždanika, ali isto tako i moždanika ugrađenih u probne nosače, pod statičkim i dinamičkim opterećenjima. Donošenju propisa za spregnute konstrukcije u Zapadnoj Nemačkoj prethodila su ispitivanja na Tehničkim visokim školama u Stuttgart-u i Karlsruhe-u po programu sačinjenom 1949. godine, koji je obuhvatio:

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

15

- temeperaturne uticaje, - uticaje od skupljanja i tečenja betona, - uticaje prethodnog naprezanja - probleme sprezanja, odnosno nosivosti različitih oblika moždanika i ankera. Ovaj program je dobrim delom bio ispunjen do 1954. godine. Na osnovu rezultata ovih ispitivanja kao i mnogobrojnih teorijskih istraživanja, koja su bila objavljena posle Drugog svetskog rata sa analizom pojednih problema specifičnih za spregnute konstrukcije, doneti su prvi propisi 1950. godine pod nazivom: „Vorläufigen Richtlinien für Bemessung von Verbundträger im Strassenbrückenbau“, a zatim 1955. godine DIN 1078 – Verbundträger – Strassenbrücken (Richtlinien für Berechnung und Ausbildung). Ako se zanemari nenamerno spregnuta konstrukcija drumskog mosta preko reke Save u Zagrebu, koja je kao ispitani model u razmeri 1:1 imala znatnog uticaja na ubrzani razvoj ove vrste konstrukcija uopšte, u pređašnjoj Jugoslaviji se javilo veće interesovanje za spregnute konstrukcije tek posle Drugog svetskog rata. U prvim godinama posle rata sagrađen je most za drumski saobraćaj preko reke Save kod Bosanske Gradiške. Podužni kolovozni nosači mosta, sa glavnim nosačima u rešetkastoj čeličnoj konstrukciji, projektovani su kao spregnuti sa kolovoznom armiranobetonskom tablom. Projekat sprezanja podužnih nosača izrađen je po švajcarskim propisima, objavljenim posle izvršenih opita u EMPA 1942/1943. godine. Na teritoriji Srbije, jedan od prvih posle rata, izgrađen je drumski most preko reke Ibar kod Kraljeva. Glavni nosači, sistema kontinualne grede u čeliku St 52, spregnuti su armiranobetonskom pločom kao kolovoznom tablom, koja naleže na gornje pojaseve glavnih nosača. Sprezanje je izvršeno samo u zonama pozitivnih momenata savijanja. U zonama negativnih momenata savijanja celokupni statički uticaji povereni su glavnim čeličnim nosačima. Posle izgradnje ovih prvih značajnih objekata zabeležen je čitav niz manjih i većih spregnutih konstrukcija širom zemlje. Iz ovog kratkog pregleda, svakako uopštenog i nepotpunog, može se stvoriti slika o rađanju ideje spregnutih konstrukcija i nezaobilaznim naporima u teoriji i praksi, koji su omogućili da se ova nova vrsta konstrukcija ravnopravno takmiči sa ostalim nosećim konstrukcijama u građevinarstvu.

16

Spregnute konstrukcije

2. NEKI PROBLEMI SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA

Sprezanjem armiranobetonske kolovozne table sa punim ili rešetkastim čeličnim nosačima u jedinstveni sistem postižu se značajne uštede u potrošnji čeličnog materijala, koje u prvom redu zavise od statičkog sistema nosača i u proseku iznose oko dvadesetak procenata u poređenju sa konstrukcijama bez sprezanja. Pri tome je otkriven niz novih problema specifičnih za spregnute konstrukcije, koji su morali biti rešeni pre šire upotrebe ove vrste konstrukcija u praksi. Suština spregnutog nosača sastoji se u prinudnoj saradnji armiranobetonske ploče sa čeličnim nosačem kao jedinstvene celine. Pri tome se armiranobetonskom pločom prihvata najveći deo napona pritisaka prouzrokovanih momentima savijanja. Sprezanje se može primeniti na sisteme prostih i kontinualnih greda, ne isključujući ni druge noseće sisteme, slika A.2.1. U zonama negativnih momenata savijanja kontinualnih nosača, betonska ploča je izložena naponima zatezanja, koji se moraju svesti u dopuštene granice ili potpuno iskljuljučiti posebnim montažnim merama ili prethodnim naprezanjem kablova u suprotnom smislu. Smanjenje površine poprečnog preseka pritisnutog pojasa čeličnog nosača u zonama negativnih momenata savijanja može se postići, ako je to ekonomski opravdano, Slika A.2.1. – Šema spregnutih nosača ugrađivanjem delimične armiranobetonske ploče u donjem pojasu čeličnog nosača, slika A.2.1/3. Čelični nosači se konstruišu u oba oblika – kao puni ili rešetkasti. Uobičajeni poprečni preseci ovih nosača, jednozidni ili sandučasti, prikazani su slikom A.2.2. Spregnuti nosač sastavljen je od betona i čelika, dva različita materijala koji se bitno razlikuju po svojim fizičkim i mehaničkim osobinama. Beton se, pri tome, odlikuje i svojstvima koja se ne zapažaju u čeliku. Pod uticajem konstantnih napo-

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

17

na, beton pokazuje znake tečenja, a uz to podleže i deformacijama prouzrokovanim skupljanjem. Obe deformacije su funkcije vremena, sa presudnim uticajima na proračun i oblikovanje spregnutih konstrukcija, ali i na način njihovog izvršenja. Ove značajne razlike spregnutih konstrukcija u poređenju sa homogenim, zahtevale su rešavanje čitavog niza problema, koji se mogu svrstati u tri grupe: a) problemi sprezanja armiranobetonske ploče sa čeličnim nosačem, koji, pre svega, obuhvataju sredstva za postizanje sprezanja i njihov proračun; b) analiza naponskih stanja u spregnutim konstrukcijama, za koje je proučena i izgrađena posebna teorija sprezanja; c) problemi izvršenja spregnutih konstrukcija u koje spadaju metode prethodnog naprezanja, načini montaže, načini izrade armiranobetonskih ploča – monolitne ili montažne (gotove).

Slika A.2.2. – Oblici spregnutih nosača Iako je najveći deo tih problema već bio rešen u posleratnim godinama, večita težnja konstruktera-stvaralaca širom sveta, uključujući i domaće, u traženju novih, celishodnijih i ekonomičnijih rešenja u svim oblastima konstrukcija, a pogotovu u oblasti spregnutih koje su još relativno mlade, doprinela je zapaženim radovima poslednjih dvadesetak godina i daljem razvoju teorije i prakse ovih konstrukcija.

18

Spregnute konstrukcije

3. SVOJSTVA SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA

3.1. Pozitivna svojstva Osnovna je prednost spregnutog nosača nesrazmerno povećanje krutosti pri savijanju u poređenju sa nespregnutim čeličnim nosačem istih geometrijskih karakteristika. Velikim porastom momenta inercije poprečnog preseka vidno se smanjuje ugib nosača, dok se njegov otporni momenat povećava u nešto manjoj meri. Pozivajući se na podatke zabeležene u američkoj praksi, u kojoj su odnosi cena nešto drugačiji nego u Evropi, moglo bi se zaključiti sa dovoljnom tačnošću: - u mostova statičkog sistema proste grede, konstruisanih od simetričnih valjanih čeličnih profila, ostvarene su uštede u težini čelika od 10–20% u poređenju sa nespregnutim nosačima; - ako je ugrađeni čelični nosač nesimetričnog zavarenog poprečnog preseka, uštede dostižu granicu od 30–40%; - u mostova sistema kontinualnih greda srednjih raspona, smanjenje utroška čeličnog materijala iznosi u proseku 10–15%, s tim da su ukupni troškovi građenja konstrukcija umanjeni samo za 5–8%, s obzirom na složenije konstrukcione zahvate tokom sprezanja; - veće uštede u građenju spregnutih konstrukcija mogu se postići i posebnim redosledom montaže, uvođenjem jednostavnog prednaprezanja, kontrolisanom preraspodelom sila u presecima. Tokom izvodjenja spregnute konstrukcije, obično se čeličnim nosačima prihvata u celosti sopstvena težina oplate i svežeg betona. Planskim podupiranjem čeličnih nosača, može se veći deo stalnog opterećenja preuzeti spregnutim nosećim sistemom, uz dovoljne uštede utroška čeličnog materijala, kojima se kompenzuju troškovi izrade skele za podupiranje. U poslednje vreme rado se koriste montažne armiranobetonske ploče, koje se, posle očvršćavanja, sprežu sa čeličnim nosačima. Ovakav način montaže spregnutih konstrukcija posebno je pogodan u zgradarstvu, s obzirom da se prethodnom izradom ploča eliminiše znatan deo parazitarnih uticaja betona u vidu skupljanja i tečenja. Prednosti, koje spregnuta konstrukcija pruža, mogu se sažeti u nekoliko stavki: a) boljim iskorišćenjem mehaničkih svojstava betona olakšava se konstrukcija kolovozne table, što se odražava i na smanjenje utroška čeličnog materijala u poređenju sa nespregnutim nosačima, b) smanjenjem ukupnog opterećenja mostovske konstrukcije otvaraju se široke mogućnosti primene većih raspona, c) povećana je sigurnost spregnute konstrukcije u opterećenju do loma u poređenju sa nespregnutom konstrukcijom, s obzirom da je diskontinuitet u prome-

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

19

ni poprečnih preseka čeličnih nosača duž raspona manje izražen, iako je uticaj zamora materijala nešto povećan smanjenjem stalnog opterećenja, d) povećanjem krutosti spregnute konstrukcije, mogu se, prema potrebama, birati nosači nesimetričnih poprečnih preseka znatno manjih visina, s tim što je povećanje utroška čelika zbog odstupanja od optimalnih visina uočljivo manje no u nosača simetričnih poprečnih preseka.

3.2. Negativna svojstva Uz neosporne prednosti kojima spregnute konstrukcije raspolažu, zapažaju se i izvesni nedostaci, koji se stvarno i ne bi mogli pripisati samo ovoj vrsti konstruktivnih sistema. Pre bi se to moglo pripisati konstrukterima, koji ne posvećuju dovoljno pažnje projektovanju i izvršenju spregnutih konstrukcija. Tokom proteklih godina zabeležen je izvestan broj izvedenih objekata u spregnutoj konstrukciji, sa manje ili više izraženim nepredviđenim deformacijama. Već je davno zapaženo da beton, ugrađen u konstrukciju, pokazuje pod opterećenjem, stalnim i pokretnim, neka neželjena negativna svojstva. Pored trenutnih elastičnih deformacija pod pokretnim opterećenjem i vremenski zavisnog skupljanja, javlja se i tečenje betona pod uticajem stalnog opterećenja, što se u zapaženoj meri odražava na veličine ugiba spregnutih nosača, promenljivih tokom vremena. Uz promene ugiba, jednovremeno se beleži i preraspodela unutrašnjih sila, koju nije uvek jednostavno računski obuhvatiti. Računska analiza spregnutog nosača znatno je složenija od analize nosača u homogenom materijalu. Za neke slučajeve tačna rešenja za naponska stanja i deformacije praktično i ne postoje, čak ni uz primenu najstrožije teorije spregnutih nosača. Isto tako, zapažaju se problemi pri izvodjenju konstrukcije, naročito u redosledu izrade armiranobetonske ploče ili prednaprezanja kablova, kada je to potrebno. Posebna se pažnja mora posvetiti proučavanju sredine u kojoj će se spregnuta konstrukcija graditi i eksploatisati, s obzirom da je neophodna što tačnija procena veličina i trajanja sporih deformacija skupljanja i tečenja, sa neposrednim uticajem na ponašanje spregnutog nosača.

3.3. Primena spregnutih konstrukcija Područje primene spregnutih nosača praktično je neograničeno. Armiranobetonske ploče kao kolovozne table mogu se primenjivati na sve tipove čeličnih nosača mostova različitih konstruktivnih sistema, kao što su gredni, lučni, okvirni, viseći i drugi. Sprezanje armiranobetonske ploče ne mora uvek biti ostvareno sa glavnim nosačima mosta. Najčešće se ova veza gradi sa podužnim kolovoznim nosačima lučnih ili visećih mostova, u područjima u kojima se može iskoristiti kapacitet nosivosti armiranobetonske ploče, po pravilu bez posebnog pojačanja. U konstrukcijama zgrada u kojih je osnovni noseći sistem čelični skelet, međuspratne armiranobetonske ploče se redovno koriste u spregnutom delovanju sa čeličnim nosačima. U ovu grupu spadaju i čelični stubovi, punjeni ili obloženi

20

Spregnute konstrukcije

betonom, koji su se i ranijih godina vrlo često izvodili, ali je spregnuto delovanje betona i čelika uglavnom zanemarivano. U današnje vreme se i ovakvi stubovi, podrobno ispitani u odgovarajućem obliku, znatno bolje koriste kao spregnuti – videti nemački DIN 18806/1984. godine, pod nazivom: Verbundkonstruktionen – Verbundstützen [2].

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

21

4. ELEMENTI NOSAČA I TEHNIČKA REGULATIVA ZA SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

4.1. Čelik U čelični deo spregnutog nosača ugrađuje se meki građevinski čelik u gradaciji Č.0361-Č.0363, ili za veća opterećenja Č.0561-Č.0563, prema JUS-u C.B0. 500/1989. godine, pod nazivom: Opšti konstrukcioni čelici – tehnički uslovi [3]. Čelični nosači manjeg raspona i nekih tipiziranih konstrukcija obično su simetričnih poprečnih preseka. Mnogo češće se ugrađuju čelični nosači nesimetričnih poprečnih preseka od umirenog čelika garantovane žilavosti, fabrički zavareni, koji su se tokom vremena pokazali daleko racionalnijim. Raspored materijala u poprečnom preseku čeličnog nosača obično se određuje probom. S obzirom na pretežno konstantnu površinu armiranobetonske ploče u poprečnom preseku nosača, postoji niz varijacija za racionalno iskorišćenje oba pojasa čeličnog nosača, zavisno od načina građenja, tačnije rečeno nanošenja opterećenja na nosač. Za prethodno određivanje dimenzija čeličnog nosača postoje eksplicitna rešenja, koja su ipak ograničena na neznatan broj kombinacija raznovrsnih opterećenja zabeleženih u praksi, te se retko i koriste. Nemački autor Schrader je u svojoj publikaciji „Vorberechnung der Verbundträger“ predložio 1955. godine rešenja kojima se relativno brzo mogu odrediti prethodne dimenzije čeličnog nosača za veći broj kombinacija opterećenja. Publikacija je opremljena nizom grafičkih priloga iz kojih se mogu očitati funkcijske vrednosti za pojedine dimenzije. Postupak je prilično složen, tako da ga može upotrebiti samo konstrukter kome je projektovanje spregnutih konstrukcija prevashodni zadatak. Isto tako, nemački autor Utescher je u svojoj knjizi „Bemessungsverfahren für Verbundträger“ [43] izložio 1956. godine postupak za tačnije prethodno iznalaženje potrebne površine zategnutog pojasa čeličnog nosača spregnutog sistema. Postupkom je obuhvaćeno utvrđivanje potrebne površine zategnutog pojasa čeličnog nosača za određeno opterećenje, u zavisnosti od poznate površine armiranobetonske ploče i, prema ovoj, pretpostavljenoj površini pritisnutog pojasa i vertikalnog rebra čeličnog nosača. Uticaj skupljanja i tečenja betona obuhvata se u ovom postupku samo aproksimativno. Na osnovu ovako odabranih dimenzija poprečnog preseka spregnutog nosača, moraju se dokazati sva naponska stanja u ovom sistemu po nekoj od uobičajenih računskih metoda. Knjizi je priložen niz dijagrama sračunatih za spregnute valjane profile, tako da se može korisno upotrebiti za spregnute sisteme u zgradarstvu.

22

Spregnute konstrukcije

4.2. Spojna sredstva i vrste sprezanja 4.2.1. Kruto sprezanje Za vezu armiranobetonske ploče i čeličnog nosača spregnutog sistema upotrebljavaju se još uvek i u današnje vreme razni tipovi moždanika, u većoj ili manjoj meri deformabilnih. U zavisnosti od deformabilnosti spoja, uvedeni su pojmovi krutog i elastičnog sprezanja. Pod krutim sprezanjem podrazumeva se nepopustljiva veza armiranobetonske ploče i čeličnog nosača. Na toj osnovnoj pretpostavci se zasniva i teorija krutog sprezanja. Za kruto sprezanje ugrađuju se moždanici manje popustljivi, poznati kao kruti, ali se neretko koriste i posebne vrste moždanika veće popustljivosti, nazvani elastičnim. Obe vrste moždanika, koje u suštini zadovoljavaju pretpostavke krutog sprezanja, imaju svoj značaj u smislu različitih metoda dokaza dimenzija spregnutog sistema, tačnije rečeno određivanja njihove nosivosti.

4.2.2. Elastično sprezanje Pod elastičnim sprezanjem podrazumeva se određeno pomeranje armiranobetonske ploče u odnosu na čelični nosač, koje potiče od elastičnog popuštanja spojnih sredstava. Sa popustljivim spojem smanjuje se deo spregnutog delovanja u preuzimanju celokupnog opterećenja, a može se korisno primeniti za veće raspone u slučaju da je nosivost armiranobetonske ploče ograničena. Teorija elastičnog sprezanja zasniva se na strogo definisanoj elastičnoj popustljivosti veze. Tu popustljivost nije jednostavno odrediti za bilo koji tip moždanika koji se u praksi primenjuju, bilo da se radi o krutom ili elastičnom moždaniku. Stoga je primena ove teorije ograničena samo na sprezanje pomoću takvih veza koje se mogu definisati elastičnim popuštanjem kao što je, na primer, horizontalni rešetkasti spreg koji povezuje kolovoznu tablu sa glavnim nosačima, prema slici A.4.1.

Slika A.4.1. – Vrste sprezanja

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

23

4.2.3. Isprekidano sprezanje Pored krutog i elastičnog sprezanja, u ovoj vrsti konstrukcija postoji i mogućnost isprekidanog sprezanja. Armiranobetonska ploča se izvodi neprekinuto, ali se spoj između čeličnog nosača i armiranobetonske ploče na pojedinim mestima prekida. Svrha isprekidanog sprezanja slična je elastičnom sprezanju, kojim se smanjuju naponi u pritisnutoj ploči od spregnutog delovanja. Zbog izvesnih tehničkih problema tokom izvođenja radova, ovaj se postupak manje upotrebljava u praksi.

4.3. Armiranobetonska ploča Dimenzije ploče određuju se prema potrebama lokalnog savijanja, tako da su uvek poznate neke minimalne dimenzije potrebne za funkciju sprezanja. Tako je, na primer, minimalna debljina ploče spregnutog mostovskog nosača određena sa 16,0 cm, s tim da se u proseku kreće oko 20,0 cm sa neretko promenljivom visinom sve do 30,0 cm na mestu spoja sa čeličnim nosačima, zavisno od njihovog razmaka odnosno raspona ploče. U današnje vreme rasponi kolovoznih ploča kreću se i do 12,0 metara što je uslovljeno ugrađivanjem visokih marki betona i čelične armature veće zatezne jačine. Povećanje nosivosti armiranobetonske ploče pod uticajima sprezanja putem povećanja njene debljine nije ekonomično, pa se po pravilu i ne izvodi. „Nulla regula sine exceptione“ (nijedno pravilo bez izuzetka), rekoše stari i mudri Latini, pa je tako i u ovom slučaju. Zabeleženi su izuzeci u nekih načina izvođenja spregnutih konstrukcija mostova, kada je kolovoznim tablama u vidu armiranobetonskih ploča poverena funkcija raspodele opterećenja na više podužnih kolovoznih nosača u poprečnom preseku čelične konstrukcije mosta. Kolovozne table su bile izvedene većih debiljina no što je to bilo potrebno za lokalno savijanje, ali su troškovi za betonske radove bili kompenzirani uštedama na drugim elementima konstrukcija. Za veće raspone ploča i analiza naponskih stanja mora biti znatno strožija. U tu je svrhu u poslednje vreme objavljen niz priručnika zasnovanih na dovoljno strogim rešenjima teorije ploča, a za neka posebna opterećenja mogu se koristiti i kompjuterski programi. Često upotrebljavani pojmovi „krstasto armirane ploče“ ili „ploče armirane u jednom pravcu“ ne bi se više smeli u današnje vreme pominjati. Svaka ploča je krstasto armirana, razlike su samo u načinu oslanjanja. Britanski propis za mostogradnju, na primer, ne određuje postupak analize naponskih stanja ploče za lokalno savijanje, ali zahteva da se takozvana podeona armatura proveri sa najmanje 50% momenta savijanja u pravcu raspona, ako je za analizu ploče upotrebljena neka aproksimativna računska metoda. U konstruisanju oslonaca armiranobetonske ploče kao kolovozne table spregnute mostovske konstrukcije, valjalo bi se držati sledećih smernica: - što su rasponi glavnih nosača veći, to je i sadejstvo armiranobetonske ploče veće. Trebalo bi nastojati da ploča bude oslonjena samo na glavne nosače, tako da smer napona lokalnog savijanja bude upravan na smer napona uticaja sprezanja.

24

Spregnute konstrukcije

Poprečni se nosači u polju u tom slučaju izostavljaju, izuzev onih nad ležištima glavnih nosača, gde su neophodni iz drugih razloga, - u manjih raspona, armiranobetonska ploča je praktično istih dimenzija kao i u većih raspona, ali je njeno iskorišćenje u spregnutom sistemu znatno manje. U takvim slučajevima ugrađuju se poprečni nosači i u polju glavnih nosača i sprežu sa pločom. Ploča je bolje iskorišćena pod povećanim lokalnim momentima savijanja u pravcu raspona glavnih nosača, količina betonske armature je smanjena. Spregnutim poprečnim nosačima velike torzione krutosti pri savijanju, primetno se povećava i torziona krutost glavnog nosećeg sistema. Ovako povećana torziona krutost dva glavna nosača, spregnuta sa armiranobetonskom pločom u ravni gornjih pojaseva, bez sprega protiv vetra u ravni donjih pojaseva, obično se u proračunima zanemaruje, više zbog nedostatka dovoljnog iskustva i pristupačne strožije računske analize, nego iz nekih drugih potreba. Veći broj glavnih nosača u poprečnom preseku mostovske konstrukcije, spregnutih sa armiranobetonskom pločom u gornjim pojasevima, izraziti su vid roštiljskog sistema nosača sa zapaženom preraspodelom opterećenja i bez učešća njihove računske torzione krutosti. Valja napomenuti da naponi lokalnog savijanja i naponi spregnutog sistema potiču iz dva potpuno različita nosiva sistema, tako da se ne smeju jednostavno superponirati. Pod uticajima spregnutog sistema, armiranobetonska ploča se ponaša kao visoki nosač (die Scheibe), sa bitno drugačijom raspodelom napona nego pod uticajima lokalnog savijanja. Obično sumiranje ova dva naponska stanja daje samo približnu predstavu o takozvanom „opasnom preseku“ u ploči, tako da je pitanje koeficijenta sigurnosti u konstrukciji još uvek otvoreno pitanje.

4.4. Sadejstvujuća širina armiranobetonske ploče Poznato je da su u osnove teorije savijanja nosača ugrađena tri postulata: - Hooke-ov zakon proporcionalnosti napona i sila (ut tensio sic vis = koliki napon tolika sila), - Bernoulli-eva hipoteza o ravnim poprečnim presecima i posle savijanja nosača, - Navier-ova hipoteza o normalnim naponima proporcionalnim rastojanjima od neutralne osovine. Ova tri postulata su neodrživa u slučaju širokih ploča, u koje se spoljna opterećenja uvode putem smičućih napona na spoju armiranobetonske ploče i čeličnog nosača, kao što je slučaj u spregnutih sistema. Uvođenjem pojma sadejstvujuće širine ploče u teoriju spregnutih konstrukcija udovoljava se, pre svega, uslovima Bernoulli-eve hipoteze. Normalni naponi σ xy po širini 2b armiranobetonske ploče, pod uticajem smičućih napona kao zamišljenog koncentrisanog spoljnog opterećenja, neravnomerno su raspodeljeni, prema slici A.4.2.

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

25

Ova neravnomerna raspodela napona σ xy u smeru y – y osovine zavisi od više parametera, od kojih su, u prvom redu, deformacije poprečnih preseka armiranobetonske ploče pod opterećenjem smičućim naponima, inače zanemarene u teoriji savijanja homogenih nosača. Deformacije ploče u smeru podužne osovine nosača zavise i od smičuće krutosti ploče, što znači od njenih dimenzija: debljine d ukupne širine 2b raspona l, od rasporeda materijala unutar preseka ploče. Na raspored normalnih napona σ xy u pop-

Slika A.4.2. – Sadejstvujuća širina ploče

rečnim presecima utiču i torzioni momenti, koji se u ploči javljaju u zavisnosti od konturnih uslova njenog oslanjanja na čelične nosače. Sadejstvujuća širina ploče menja se duž raspona nosača u skladu sa promenama normalnih napona σ xy i vrstom opterećenja. Rezultati teorijskih i eksperimentalnih istraživanja ukazuju da je osnovni parametar sadejstvujuće širine ploče količnik b/l pri čemu je b = širina ploče u metrima, l = raspon nosača u metrima. Sadejstvujuća širina ploče bs slika A.4.2, menja se duž raspona ploče u skladu sa promenom veličina normalnih napona σ xy i vrstom opterećenja, sa bitnim razlikama u rasponu i nad osloncem nosača. Ostali parametri koji utiču na sadejstvujuću širinu ploče manjeg su značaja, te se u praksi i ne uzimaju u obzir. Osnovna definicija sadejstvujuće širine ploče proističe iz slike A.4.2., na osnovu koje se može napisati jednačina (A.4.1):

bs ⋅ σ max =

b

∫ σ xy ⋅ dy

(A.4.1)

o

Za opšti slučaj opterećenja, definicija sadejstvujuće širine ploče po jednačini (A.4.1) nije potpuna. U slučaju nesimetričnog opterećenja spregnutog sistema, javljaju se duž raspona nosača u poprečnim presecima armiranobetonske ploče, u tački y = 0, i smičući naponi τ xy , koji su u ravnoteži sa normalnim naponima σ xy . Slikom A.4.3, prikazan je slučaj naponskog stanja u polovini širine poprečnog prese-

26

Spregnute konstrukcije

ka ploče pri simetričnom i antimetričnom opterećenju. Sadejstvujuća širina ploče pri antimetričnom opterećenju, slika A.4.3, definisana je jednačinom (A.4.2):

Slika A.4.3. – Raspodela normalnih i smičućih napona u ploči

bs ⋅ σ max =

b

l/2

o

o

∫ σ xy ⋅ dy −

∫

τ xy( y =0) ⋅ dx = 0

(A.4.2)

s tim što je, uopšteno govoreći, moguće: >

bs = b <

(A.4.3)

Antimetrično opterećenje prouzrokuje u spregnutom sistemu torziona naponska stanja, od kojih zavisi neposredno i sadejstvujuća širina ploče, čime se računski postupak dalje komplikuje. U mostovskih konstrukcija je količnik b/l po pravilu mali, tako da za simetrično opterećenje skoro uvek sadejstvujuća širina zahvata punu širinu ploče između čeličnih nosača. Normalni naponi su približno ravnomerno raspodeljeni po čitavoj širini ploče. Ako se problem ograničene torzije aproksimativno svede na antimetrično opterećenje, dijagram napona savijanja nosača sa tri površine i sadejstvujućom širinom bs ploče, bez ukrućenja u donjem pojasu, imaće oblik prikazan slikom A.4.4. Iz uslova ravnoteže za ploču, da momenti savijanja u odnosu na vertikalnu osovinu antimetrije moraju međusobno biti jednaki, može se napisati jednačina (A.4.4): b b 2 2 ⋅ c ⋅ σ o ⋅ bs = σ o ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ b c 2 3

(A.4.4)

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

27

iz koje se dobija sadejstvujuća širina ploče, prema jednačini (A.4.5): b ⎛b⎞ bs = ⋅ ⎜ ⎟ 3 ⎝c⎠

2

(A.4.5)

Slika A.4.4. – Antimetrično opterećenje nosača sa tri površine <

Za različite količnike b/c dobijaju se sadejstvujuće širine ploče bs = b, uz >

napomenu da ova zavisi i od razmaka podužnih nosača 2c, a ne samo od količnika b/l. Određivanjem sadejstvujuće širine ploče po jednačini (A.4.5), složeni problem ograničene torzije otvorenog poprečnog preseka sveden je na savijanje glavnog nosača, sa zadovoljavajućim rezultatima u praktičnim radovima. Slično rešenje se može primeniti i na zatvoreni sandučasti presek nosača uz odgovarajuću sadejstvujuću širinu armiranobetonske ploče. Ako se zahteva maksimalno iskorišćenje naponskog stanja u ploči, neophodno je tačnije određivanje sadejstvujuće širine, čijom se varijacijom vrlo malo utiče na promenu napona u donjem pojasu čeličnog nosača. S obzirom da maksimalno iskorišćenje naponskog stanja u ploči neposredno zavisi od optimalnog izbora površine poprečnog preseka donjeg pojasa čeličnog nosača, aproksimativne vrednosti sadejstvujuće širine ploče spregnutog sistema, kakve se preporučuju članom 35 “Pravilnika” navedenog pod brojem [4] spiska literature, obično su zadovoljavajuće u svakodnevnih konstrukcija. Ipak valja naglasiti da maksimalno opterećenje mostovskog nosača redovno proističe iz nesimetričnog položaja opterećenja, koje se može razložiti na simetrični i asimetrični udeo. Zato je potrebno da se obrati pažnja na mogućnost smanjenja sadejstvujuće širine ploče za antimetrični deo opterećenja u poređenju sa širinom normiranom u “Pravilniku” [4].

4.5. Tehnička regulativa za spregnute konstrukcije Izvori tehničke regulative, korišćeni u ovim izlaganjima, navedeni su ovoj tački teksta: - “Pravilnik o tehničkim merama i uslovima za spregnute konstrukcije” naveden je pod tačkom [4] spiska literature uz ova izlaganja. Izrađen po DIN-u

28

Spregnute konstrukcije

1078, Blatt 1/1955. godine, stupio je na snagu 1970. godine objavljivanjem u Službenom listu SFRJ. Pravilnik je zasnovan na konceptu dopuštenih napona, na konceptu koji se još uvek primenjuje u domaćim stručnim krugovima, ali i širom Evrope. Iscrpan je i jasan u datim uputsvima za proračun i konstruisanje spregnutih konstrukcija, te je kao takav i ugrađen u tekst narednih izlaganja; - “Pravilnik o tehničkim uslovima, tehničkim elementima i normama za projektovanje i građenje želeničkih mostova”. Nacrt pravilnika nije objavljen u Službenom listu SFRJ. Zabeležen je pod brojem [5] spiska literature; - “Preporuke jedne metode za proračun železničkih mostova od ubetoniranih čeličnih punih nosača”. UIC – Internacionalna unija železnica izdala je ovu preporuku u svojoj fiši R – 773 sa važnošću od 1.10.1970. godine. Upisan je pod brojem [6] spiska literature; Napomena: Pravilnici, navedeni pod brojevima [4]-[6], doneseni su pre 1.01.1980. godine tako da nisu usklađeni sa međunarodnim sistemom mera, koji je stupio na snagu 1.01.1980. godine; - Predlog standarda za spregnute građevinske konstrukcije JUS.U.Z1.010, u izdanju Saveznog zavoda za standardizaciju godine 1988., naveden je pod brojem [7] spiska literature; - Standard JUS U.Z1.010 – Spregnute konstrukcije, čelik-beton, u izdanju Saveznog zavoda za standardizaciju, sa obaveznom primenom od 16.01.1991. godine. Standard je kratak i nedovoljno jasan za svakodnevnu primenu bez iscrpnih pratećih objašnjenja i uputstava. Zasnovan je na semiprobabilističkom konceptu dimenzionisanja konstrukcija (autor prof. Drago Horvatić, Zagreb). Naveden je pod brojem [8] spiska literature; - ISO/DIS 2394 – General principles on reliability for Structures iz 1985. godine upisan je pod brojem [9] spiska literature; - ISO/TC 167/SC 1-2nd Working draft – Composite Structures, Norway 1988. godine, naveden je pod brojem [10] spiska literature; - Eurocode No.4: Common unified rules for Composite Steel and Concrete Structures, Brisel 1985. godine, upisan je pod brojem [11] spiska literature; - Evrokod 4: Zajednička unificirana pravila za spregnute čelične i betonske konstrukcije, Brisel-Luksemburg 1985. godine, prevod enegleskog teksta na srpski jezik, upisan je pod brojem [12] spiska literature; - DIN 1078, Blatt 1 – Verbundträger – Strassenbrücken – Richtlinien für die Berechnung und Ausbildung, 1955. godine, upisan je pod brojem [13] u spisku literature; - DIN 1078, Blatt 2 – Verbundträger – Strassenbrücken – Richtlinien für die Berechnung und Ausbildung – Begründungen und Erklärungen, 1955. godine, naveden pod brojem [14] spiska literature;

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

29

- Ergenzungsbestimmungen der Deutschen Bundesbahn za DIN 1078 für Verbundträger – Eisenbahnbrücken, 1959. godine, upisan je pod brojem [15] spiska literature; - DIN 18806/1984. godine – Verbundkonstruktionen – Verbundstützen, naveden je pod brojem [2] spiska literature; - JUS C.BO.500/1989. godine – Opšti konstrukcioni čelici– tehnički uslovi, naveden je pod brojem [3] spiska literature.

30

Spregnute konstrukcije

5. TEORIJA KRUTO SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA

5.1. Uvodne napomene Još od pojave armiranog betona proširila se primena armiranobetonskih ploča i čeličnih nosača kao zajedničkih konstruktivnih elemenata, pri čemu je, pre svega, svaki element posmatran posebno pri ispunjenju svoga zadatka u konstrukciji. Armiranobetonska ploča primala je lokalna opterećenja u vidu međuspratne konstrukcije ili kolovozne table mosta, dok je čelični nosač, na koji se armiranobetonska ploča oslanjala, predstavljao glavni noseći sistem preko koga su opterećenja prenošena na oslonce. Pri probnim opterećenjima i merenjima ugiba čeličnih nosača nisu dostizane računske vrednosti, s obzirom da su se opterećenja delila na oba elementa putem prijanjanja i trenja betona i čelika u zajedničkoj spojnici. Dejstvo međusobnog sprezanja betona i čelika moglo se uočiti na: - mogućnostima povećanja opterećenja armiranobetonske ploče, obično ugrađene upravno na čelični nosač, - rasterećenju čeličnog nosača, - povećanju krutosti celog nosećeg sistema. Plansko iskorišćenje sadejstva ploče i nosača dovelo je do povećanja nosivosti konstrukcija. Profesor Maier-Leibnitz podneo je u Nemačkoj 1941. godine izveštaj o prvim pokušajima sa spregnutim nosačima, u kojima su ploča i nosač bili spregnuti moždanicima i kosim ankerima. Ovi su nosači u potpunosti ispunili očekivanja. Nešto pre ovih pokušaja, teorijska istraživanja vremenskih svojstava betona (tečenje i skupljanje betona) pod stalnim opterećenjem ukazivala su na mogućnost očekivanja loših rezultata, tako da je sprezanje primenjivano, pre svega, samo kao dopunska sigurnost ali i u cilju smanjenja deformabilnosti nosećeg sistema. Iako je nedostatak čelika u posleratnim godinama i siloviti razvoj čeličnih i betonskih konstrukcija prisilio proizvođače na korišćenje svih mogućnosti, tek su teorijska proučavanja spregnutih konstrukcija, koja su posle Drugog svetskog rata otišla dovoljno daleko, omogućila potpunu i plansku primenu spregnutih konstrukcija sa svim svojim prednostima kojima su nesumnjivo raspolagale. Posle prvog egzaktnog rešenja uticaja tečenja i skupljanja betona na raspodelu napona u spregnutim konstrukcijama, koje je u Nemačkoj prikazao Fröhlich, pojavio se u literaturi veliki broj tačnih i približnih rešenja za proračun spregnutih nosača, koja su značajno uprostila prvobitne računske postupke. I pored pojednostavljenja, vladao je opšti utisak da su predložene metode proračuna toliko složene

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

31

da se proračun spregnutih nosača može savladati samo mukotrpnim matematičkim operacijama i brojnim prethodnim teorijskim proučavanjima. Tokom godina je Katedra za čelične, drvene i kamene konstrukcije Univerziteta u Karlsruhe-u, u Nemačkoj, prikupila niz različitih postupaka proračuna spregnutih konstrukcija. Obradom raspoloživih obrazaca, profesor Anselm Hoischen je pokušao u svojoj publikaciji „Die praktische Berchnung von Verbundträger“, u izdanju Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart 1955. godine [16], prema kojoj su i ova izlaganja najvećim delom i sačinjena, da objedini i pojednostavi različite postupke proračuna spregnutih konstrukcija po obliku i sadržaju, obuhvatajući i sve slučajeve opterećenja. Pri tome se uspelo da se pojedini obrasci, koji se primenjuju pri proračunu homogenih čeličnih nosača, prikažu analogno i za spregnute konstrukcije, a da se isto tako dobije i puni uvid u njihova svojstva pod odgovarajućim opterećenjima. Uticaj tečenja betona pod stalnim opterećenjem uveden je u proračun po približnoj metodi profesora Fritz-a [17], a da pri tome nisu potrebni novi računski postupci, već se samo ponavlja poznati računski tok sa drugim numeričkim vrednostima. Ako se ovaj postupak uporedi sa tačnom metodom, pokazuje se da greška raste sa porastom krutosti armiranobetonske ploče, ali da za merodavna naponska stanja ostaje u tolerantnim granicama i u slučaju ekstremnih vrednosti. Pri tome valja imati u vidu da se i „tačan“ proračun spregnutih nosača zasniva na nizu nesigurnih pretpostavki, tako da nije razumno zahtevati veću tačnost od proračuna nego što to pružaju početni elementi. Prikazanim računskim postupkom, spregnute konstrukcije se približavaju širem krugu konstruktera, koji su se do nedavno ustezali od primene ove vrste konstrukcija. Uz primenu ovako uprošćenih računskih postupaka, prirodno je da se pretpostavlja iscrpno poznavanje ostalih grana građevinske tehnike usko povezane sa projektovanjem i izvršenjem spregnuth konstrukcija.

5.2. Teorija savijanja spregnutog nosača 5.2.1. Osnovne postavke Spregnuti nosač je sastavljen od armiranobetonske ploče i čeličnog nosača obično punog poprečnog preseka, od dva materijala koja su međusobno bitno razlikuju po svojim elastičnim osobinama. Računski model savijanja spregnutog nosača zasniva se na pretpostavci da su oba elementa spojena kontinualno i nepomerljivo po celoj dužini nosača. U granicama dopuštenih napona važi Hooke-ov zakon, što znači da su naponi σ u svakoj tački proporcionalni elastičnoj deformaciji ε, pri čemu je faktor proporcionalnosti (modul elastičnosti E) različit za beton i čelik. Ova zavisnost je izražena poznatom jednačinom (A.5.1):

σ b = ε b ⋅ Eb

i

σ č = ε č ⋅ Eč

(A.5.1)

32

Spregnute konstrukcije

Pretpostavkom krute i kontinualne veze betona i čelika u dodirnoj spojnici omogućeno je da se u računski model savijanja spregnutog nosača uvede i druga osnovna hipoteza, Bernoulli-eva hipoteza ravnih poprečnih preseka i posle svake deformacije nosača. Uključujući i treću Navier-ovu hipotezu o normalnim naponima proporcionalnim rastojanjima od neutralne osovine, problem savijanja spregnutog nosača svodi se na računski model savijanja homogenog čeličnog nosača.

5.2.2. Čisto savijanje Ako se element nosača dužine dx deformiše momentom savijanja Mo, deo vlakana će se izdužiti, deo skratiti. Dijagram deformacija spregnutog nosača, pod pretpostavkom da preseci ostaju ravni i posle savijanja, prikazan je slikom A.5.1/3. Shodno toj slici, očigledno je da postoji samo jedno vlakno koje zadržava prvobitnu dužinu, te nije ni napregnuto, prema jednačini (A.5.1). ako je r poluprečnik krivine ovog nultog vlakna, tada je specifično izduženje ( E = Δl / l ) proizvoljnog vlakna na rastojanju z.

Slika A.5.1. – Elementi spregnutog nosača izloženog savijanju

εz =

Δ dx dϕ ⋅ z z = = dx dx r

( luk = r ⋅ ϕrad )

(A.5.2)

Naponi u betonu i čeliku dobijaju se iz jednačine (A.5.1), u vidu jednačine (A.5.3): z r

σ b = ⋅ Eb

odnosno σ č =

z ⋅ Eč r

(A.5.3)

Ako se količnik modula elastičnosti betona i čelika označi prema tački 3 Pravilnika [4] sa:

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

n=

Eč Eb

33

(A.5.4.)

Jednačine napona glase: z z ⋅ Eč odnosno σ č = ⋅ Eč (A.5.5) r r Za raspodelu napona u spregnutom nosaču, prema tome, važi uslov da su pri istim rastojanjima od neutralne osovine naponi čelika n puta veći od napona betona. Ako se u dijagramu napona nosača, prema slici A.5.1/4., nanese napon betona uvećan n puta, dobiće se poznata pravolinijska raspodela napona homogenog preseka. Položaj neutralne osovine poprečnog preseka proizilazi iz uslova da, ako ne postoji podužna sila u preseku, zbir napona u preseku mora biti jednak nuli, kako je to i prikazano jednačinom (A.5.6): n ⋅σ b =

Ab

Ač

∫ σ b ⋅ dAb + ∫ σ č ⋅ dAč = 0

(A.5.6)

Na osnovu jednačine (A.5.5) dobija se relacija (A.5.7): A Ač ⎤ Eč ⎡ 1 b ⋅ ⎢ ⋅ ∫ z ⋅ dAb + ∫ z ⋅ dAč ⎥ = 0 (A.5.7) r ⎢n ⎥ ⎣ ⎦ Izraz u zagradi jednačine (A.5.7) predstavlja statički momenat radnih površina poprečnog preseka spregnutog nosača u odnosu na neutralnu osovinu, pri 1 . Da bi uslov jednačine (A.5.7) bio čemu se površina betona množi faktorom n ispunjen, statički momenat površina poprečnog preseka mora da bude jednak nuli, što znači da neutralna osovina mora biti i težišna osovina idealnog iliti spregnutog preseka (u daljem tekstu: spregnutog), čiji se geometrijski položaj određuje putem računskog pojma idealnih radnih površina, prema slici A.5.1. Idealna površina poprečnog preseka spregnutog nosača, sastavljenog od 1 betonske ploče bez armature površine ⋅ Ab i čeličnog nosača površine Ač, izražen na je jednačinom (A.5.8):

Ai = Ač +

1 ⋅ Ab n

(A.5.8)

Ako je u betonsku ploču ugrađena i armatura površine Aa, idealna površina se računa prema jednačini (A.5.9), shodno članu 4 Pravilnika [4]:

Ai = Ač + Aa +

1 ⋅ Ab n

(A.5.9)

34

Spregnute konstrukcije

Shodno članovima 3 i 5 Pravilnika [4], pored obične armature u betonsku 1 ploču se može ugraditi i čelična žica za prednaprezanje površine ⋅ Az , pri čemu nz je nz = Eč / Ez :

Ai = Ač + Aa +

1 1 ⋅ Az + ⋅ Ab nz n

(A.5.10)

Položaj neutralne, istovremeno i težišne osovine spregnutog preseka nosača sastavljenog od betonske ploče bez armature i čeličnog nosača, prema slici A.5.1, proističe iz jednačine (A.5.11) - (A.5.15): 1 ⋅ Ab ⋅ ab n ač + ab = a ⎤ ⎥ ab = a − ač ⎦ Ač ač =

(A.5.11) (A.5.12)

Zamenom vrednosti jednačine (A.5.12) u jednačinu (A.5.11) dobija se relacija (A.5.13): ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 1 Ač ⋅ ač + ⋅ Ab ⋅ ač = ⋅ Ab ⋅ a ⎥ n n ⎦ Ač ⋅ ač =

1 ⋅ Ab ⋅ ( a − ač ) n

(A.5.13)

iz koje proizilazi geometrijski položaj ove osovine:

1 ⋅ Ab n

A ⋅a = b ⋅a 1 n ⋅ Ai ⋅ Ab + Ač n Ač A ab = ⋅a = č ⋅a 1 Ai ⋅ Ab + Ač n ač =

(A.5.14)

(A.5.15)

1 ⋅ Az vrlo nz mala u odnosu na ukupnu površinu aramiranobetonske ploče (maksimalni procenat armiranja preseka 3%), položaj težišne osovine se može sa dovoljnom tačnošću 1 zadržati prema jednačinama (A.5.14) i (A.5.15). Ako su Aa i ⋅ Az veći, moraju nz se uvoditi u proračun. U slučaju da je površina aramature Aa ili žica za prednaprezanje

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

35

Naponska stanja u spregnutom nosaču određuju se iz uslova da unutrašnji momenat normalnih napona mora da se drži u ravnoteži sa spoljnim momentom savijanja Mo, što je izraženo jednačinom (A.5.16):

Mo =

Ab

Ač

∫ z ⋅ σ b ⋅ dAb + ∫ z ⋅ σ č ⋅ dAč

(A.5.16)

Uvodeći u jednačinu (A.5.16) vrednosti jednačine (A.5.5), dobiće se relacija (A.5.17): A Ač ⎤ E Eč ⎡ 1 b 2 Mo = ⋅ ⎢ ⋅ ∫ z ⋅ dAb + ∫ z 2 ⋅ dAč ⎥ = č ⋅ I i r ⎢n ⎥⎦ r ⎣

(A.5.17)

Izraz u zagradi jednačine (A.5.17) odgovara definiciji momenta inercije homogene površine, u koju je uvršten

1 deo betonske površine. Prema tačkama 4 i n

5 Pravilnika [4], momenti inercije Ii idealnih površina izraženi su jednačinama (A.5.18) – (A.5.20), analogno jednačinama (A.5.8) – (A.5.10) idealnih površina poprečnog preseka spregnutog nosača, slika A.5.1. Za poprečni presek bez meke armature u betonskoj ploči, idealni momenat inercije poprečnog preseka spregnutog nosača glasi: 1 I i = I č + Ač ⋅ ač2 + ⋅ ⎡⎣ I b + Ab ⋅ ab2 ⎤⎦ n

(A.5.18)

Ako se u betonskoj ploči nalazi i meka armatura, momenat inercije je izražen jednačinom (A.5.19): 1 I i = I č + Ač ⋅ ač2 + Aa ⋅ aa2 + ⋅ ⎡⎣ I b + Ab ⋅ ab2 ⎤⎦ n

(A.5.19)

Momenat inercije poprečnog preseka spregnutog nosača, sa betonskom pločom u koju je ugrađena i žica za prednaprezanje, računa se po jednačini (A.5.20): I i = I č + Ač ⋅ ač2 + Aa ⋅ aa2 +

1 1 ⋅ Az ⋅ az2 + ⋅ ⎡⎣ I b + Ab ⋅ ab2 ⎤⎦ nz n

(A.5.20)

sa dopunskim oznakama: aa = rastojanje težišta meke armature od težišne (neutralne) osovine spregnutog preseka, slika A.5.1. rastojanje težišta žice za prednaprezanje od težišne (neutralne) az = osovine spregnutog preseka. Naponi u čeliku i betonu na rastojanju z od neutralne osovine proističu iz jednačine (A.5.5) i (A.5.17):

36

Spregnute konstrukcije

- u betonu - u čeliku

Mo ⋅z n ⋅ Ii M σč = o ⋅ z Ii

σb =

(A.5.21) (A.5.22)

Potpuno naponsko stanje spregnutog nosača definisano je putem četiri ivična naponska stanja. Sa ivičnim rastojanjima prema slici A.5.1, mogu se u proračun uvesti četiri vrednosti otpornog momenta: Wbo =

Ii ybo

; Wbu = Wčo =

Ii ybu

=

Ii yčo

;

Wču =

Ii yču

;

(A.5.23)

Naponska stanja u sve četiri ivice spregnutog nosača računaju se po jednačini (A.5.24):

Mo ⎤ n ⋅ Wbo ⎥⎥ Mo ⎥ σ bu = ⎥ n ⋅ Wbu ⎥ ⎥ M σ čo = oo ⎥ Wč ⎥ ⎥ Mo ⎥ u σč = u ⎥⎦ Wč

σ bo =

(A.5.24)

Zaključujući prema jednačini (A.5.24), naponska stanja spregnutog nosača računaju se prema poznatim jednačinama teorije savijanja homogenih preseka, pri 1 čemu se za napone u betonu uvodi faktor . n

5.2.3. Savijanje nosača sa podužnom silom Složeno savijanje spregnutog nosača najlakše će se obuhvatiti odvojenim posmatranjem uticaja savijanja i podužne sile sa superponiranjem (sabiranjem) napona. Ako u neutralnoj osovini spregnutog nosača deluje normalna sila N, deformacije svih vlakana su iste, jednačina (A.5.25):

ε b = ε č = const. Količnik napona u betonu i čeliku proističe iz jednačine (A.5.1): σ č Eč = =n σ b Eb

(A.5.25)

(A.5.4)

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

37

Iz uslova ravnoteže spoljnih i unutrašnjih sila proizilazi jednačina (A.5.26):

N = σ b ⋅ Ab + σ č ⋅ Ač

(A.5.26)

Naponsko stanje u betonu i čeliku dobija se iz jednačina (A.5.4) i (A.5.26):

σ b ⋅ Ab = N − σ č ⋅ Ač = N − n ⋅ σ b ⋅ Ač σ b ⋅ ( Ab + n ⋅ Ač ) = N

⎤ ⎥ N N ⎥ σb = = ⎛1 ⎞ n ⋅ Ai ⎥ n ⋅ ⎜ ⋅ Ab + Ač ⎟ ⎥ ⎝n ⎠ ⎦

(A.5.27)

Analognim putem dobija se i napon u čeliku:

σč

⎤ ⋅ Ab + σ č ⋅ Ač = N ⎥ n ⎥ N N⎥ σč = = ⎛ Ab ⎞ Ai ⎥ ⎥ ⎜ n + Ač ⎟ ⎝ ⎠ ⎦

(A.5.28)

Imenilac u zagradi jednačine (A.5.27) predstavlja idealnu površinu spregnu1 tog nosača, pri čemu se opet beton uvodi redukovan faktorom . Još jednom valja n naglasiti da se za proračun naponskog stanja u spregnutom nosaču pod uticajem centrične normalne sile N primenjuju poznate jednačine teorije aksijalno opterećenih homogenih nosača. Naponska stanja spregnutog nosača opterećenog centričnom normalnom silom N i momentom savijanja Mo određuju se po jednačini (A.5.29), sa već poznatim oznakama: M ⎤⎤ 1 ⎡n ⋅ ⎢ ± oo,u ⎥ ⎥ n ⎣⎢ Ai Wb ⎦⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡N ⎤ M = ⎢ ± oo,u ⎥ ⎥ ⎢⎣ Ai Wč ⎥⎦ ⎦⎥

σ bo,u =

σ čo,u

(A.5.29)

5.2.4. Uticaj poprečnih (transverzalnih) sila Smičući napon τ z u spregnutom nosaču na rastojanju z od neutralne osovine, prouzrokovan poprečnom (transverzalnom) silom, može se odrediti posmatra-

38

Spregnute konstrukcije

njem uticaja normalne sile na deo poprečnog preseka iznad osovine z prema slici A.5.2. Ova normalna sila proističe iz sume svih normalnih napona ovog dela poprečnog preseka, po jednačini (A.5.30):

Slika A.5.2. – Smičući naponi u spregnutom nosaču N z = (σ b ⋅ dAb + σ č ⋅ dAč )

(A.5.30)

Unoseći izraze (A.5.21) i (A.5.22) u jednačinu (A.5.30) dobija se relacija (A.5.31): y y0 ⎤ M Mo ⎡1 0 ⋅ ⎢ ⋅ ∫ z ⋅ dAb + ∫ z ⋅ dAč ⎥ = o ⋅ S z (A.5.31) Ii ⎢ n z Ii ⎥ z ⎣ ⎦ Vrednost u zagradi jednačine (A.5.31) predstavlja statički momenat površine iznad ili ispod z osovine u odnosu na neutralnu osovinu, pri čemu se opet uvodi deo 1 betonske površine poprečnog preseka redukovan faktorom . n Smičuća sila u poprečnom preseku na rastojanju z jednaka je promeni normalne sile dela poprečnog preseka iznad z linije:

Nz =

Tz =

dN z S dM o S = z ⋅ = z ⋅ Q u kN/cm dx Ii dx Ii

(A.5.32)

Ako se sa b označi širina poprečnog preseka, dobiće se izraz za smičući τ z napon na rastojanju z od neutralne osovine, po jednačini (A.5.33):

τz =

Q ⋅ Sz Ii ⋅ b

u kN/cm2

(A.5.33)

koja isto tako predstavlja izraz po kome se računaju smičući naponi homogenih nosača, prema zakonima osnovne otpornosti materijala. Radi potpunog razumevanja jednačine (A.5.32), valja se podsetiti na osnovnu vezu opterećenja q, transverzalne sile Q i momenta savijanja M, prema slici A.5.3, na kojoj je prikazano proizvoljno opterećenje q = f(x).

A. Spregnute konstrukcije u visokogradnji

39

Sa veličinom M momenat savijanja u tački c nosača na slici A.5.3, priraštaj dM momenta savijanja M' = M + dM u tački c1 na udaljenju dx iznosi: dM = Q ⋅ dx − q ⋅ dx ⋅

dx 2

(A.5.34)

Zanemarujući član q ⋅ dx 2 /2 kao beskonačno malu veličinu drugog reda, dobija se veličina transverzlane sile u vidu jednačine (A.5.35): Q=

dM dx

(A.5.35) Slika A.5.3. – Veza q, Q i M

Priraštaj transverzalne sile u tački c1 iznosi: dQ = − q ⋅ dx

(A.5.36)

iz čega proizilazi izraz za opterećenje q: q= −

dQ d 2M = − dx dx 2

(A.5.37)

5.2.5. Ugib spregnutog nosača 1. Poluprečnik krivine r homogenog nosača deformisanog pod opterećenjem izražen je u Decart-ovom koordinatnom sistemu jednačinom (A.5.38):

1 = r

(

y ′′ 1+ ( y ')

(A.5.38)

)

2 3/ 2

gde je r = poluprečnik krivine elastične linije nosača, y = ordinata elastične linije. U tehničku praksu uvedena je dovoljno tačna pretpostavka da je ugib y nosača vrlo mali u odnosu na raspon l, tako da je nagib y' tangente na elastičnu liniju pri osloncu nosača vrlo mali, što znači da se član ( y ′ ) u jednačini (A.5.38) može u potpunosti zanemariti kao neznatan u odnosu na jedinicu. Sa ovakvom pretpostavkom, poluprečnik krivine određuje se iz pojednostavljenog izraza (A.5.39): 2

1 M = ± y ′′ = ± r E⋅I

(A.5.39)

40

Spregnute konstrukcije

Uvodeći u jednačinu (A.5.39) vrednost idealnog momenta inercije Ii, prema jednoj od jednačina (A.5.18) – (A.5.20), ugib spregnutog nosača se određuje po obrascu koji se primenjuje u proračunu homogenih nosača. 2. Numerički primer po slici A.5.4. - Greda je načinjena od čelika Č.0361 sa σ dop = 16,0 kN/cm 2 .

Slika A.5.4. – Prosta greda raspona l = 10,0 m

- Momenat savijanja iznosi:

M = 10 ⋅ 10 / 4 = 25,0 kNm

- Potreban otporni momenat:

W = 2500 /16,0 = 156, 25 cm3

- Odgovara čelični nosač I 180 sa Wx = 161 cm3 , I x = 1450 cm 4 . - Jednačina ugiba nosača u grani A – 1 glasi: y=

P ⋅ l 3 ⎛ x 4 x3 ⎞ P ⋅ l 2 ⋅ x P ⋅ x3 − ⎜− − ⎟= 16 ⋅ EI ⎜⎝ l 3l 3 ⎟⎠ 16 ⋅ EI 12 ⋅ EI

Nagib tangente y ′ = dy / dx predstavlja prvi izvod jednačine ugiba: dy P ⋅l2 P ⋅ x2 = − dx 16 ⋅ EI 4 ⋅ EI

Nagib tangente elastične linije na osloncu za x = 0:

dy P ⋅ l2 10 ⋅ 10002 =α = = = 0,0205 dx 16 ⋅ EI 16 ⋅ 2,1 ⋅ 104 ⋅ 1450 Vrednost ( dy / dx ) = 0,02052 = 4, 21 ⋅ 10−4