90 Problemas Matematicos de Nivel Superior

 

ticos de nivel 90… problemas matemá ticos superior:

1…Hallar

todas las parejas ( a, b) de números reales con la siguiente propiedad:

Dados los números reales c y d , si las ecuaciones 2

  x a ax x 1  cy   x2  bx 1  dtienen   raíces reales; Entonces la ecuación: 2…

  x2  ( a b) x 1  cd   tiene raíces reales.

En la igualdad

Cada letra representa un dígito de 0 a 9, y letras distintas di stintas representan dígitos distintos.  ABCD es un número de cuatro cifras, ECE y FGF son números de tres cifras. Hallar los números ABCD, ECE, FGF.   3…Bibí escribió un número natural.

Si se suman todos los l os números naturales menores que el número que escribió Bibí, se obtiene un número de tres cifras iguales. Determinar qué números pudo haber escrito Bibí. 4…Decimos que un número entero x  entero x  (1 ≤ x  ≤ x  ≤ 100) es miembro de la familia la familia  n si si x   x tiene tiene exactamente n divisores positivos. Por ejemplo, 12 es miembro de la familia 6 pues tiene 6 divisores positivos: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. ¿Cuál es la l a familia que tiene la mayor cantidad de miembros? 5…Se tienen dos números A y B, cada uno de 100 dígitos, formados formados exclusivamente por dígitos 4 y 7. La suma A + B tiene 101 dígitos, de los cuales exactamente 20 son 4 y exactamente 30 son 9. Determinar la cantidad de dígitos 1 que puede tener A + B. 6…Sean r1, r2,..., r1000 los restos de la división de un entero positivo positivo impar por 2, 3,…, 1000. Se sabe que los restos son distintos dos a dos y uno de ellos es 0. Hallar todos los valores de k   para los cuales es posible que rk = 0.

S 7…Hallar el mínimo y el máximo de la suma que satisfacen a + c = 20202, b + d = d = 20200.



a b



c d  donde a, b, c, d son d son enteros positivos

 

8…En el paralelogramo ABCD paralelogramo ABCD se ubica G en el lado AB lado AB.. Se considera la circunferencia que pasa por A por  A y G y es tangente a la prolongación de CB en un punto P. La prolongación de DG DG   interseca a la circunferencia en L. Si el cuadrilátero GLBC  GLBC es es cíclico, demostrar que AB que AB = PC . 9…Determinar cuántos números de cuatro dígitos son múltiplos de 11 1 1 y tienen todos sus dígitos diferentes. 10…Hallar todos los enteros n > 1 que se pueden representar como suma de 4 divisores de n n-1 -1 positivos y distintos entre sí. 11…Los 11… Los enteros positivos a, a,  b, b,  c, c,  d, d,  e,  e, f satisface:  f satisface: .

Demostrar que 12…

es un número compuesto.

Para cada entero positivo n se define el número .

Hallar el máximo común divisor de los 2011 números: E (1), E (2),…, E (2011). 13… Determinar si existen enteros positivos x , y , z tales z tales que el producto  (x + x + y ))(y  (y + + z ))(z  (z + + x ) sea igual a: a) 6767 b) 7676 c) 6776 En cada caso, si la respuesta es afirmativa, hallar todas las ternas ordenadas  (x , y , z ) que satisfacen la condición.  14… Sean a , b , c , d  d c cuatro elementos distintos del conjunto

, de modo que la

suma de cada tres de ellos sea múltiplo del cuarto. Determinar el mayor valor que puede tomar . >1, cuya suma es un 15… Sea n un n un entero positivo tal que hay k divisores k divisores positivos de n , k >1, número primo. Demostrar que el producto de esos k d k divisores es menor o iig gual que

.

16… Sea ABC  ABC un un triángulo tal que al construir exteriormente al triángulo los cuadrados

, y

y

, los puntos A, B  y C quedan B y C quedan en el interior de los triángulos

. Demos mostrar que los triángul gulos

y

tienen la mi mis sma área.

17… Hallar todos los números n  n q que se pueden expresar en la forma

,

donde k es k es un entero no negativo. 18… En el trapecio ABCD , la suma de las bases AB  AB y y CD  CD es es igual a la diagonal BD . Sea M  M el el punto medio de BC  BC y y E  E el el simétrico de C respecto C respecto de la recta DM . Demostrar que

 

19… Hallar el mayor entero positivo no divisible por 10 que es múltiplo de alguno de los números que se obtienen al suprimirle dos dígitos consecutivos de su escritura decimal, ninguno de ellos en la primera o en la última posición. 

20… Sea P un P un punto interior al triángulo ABC . Demostrar que

,

donde R  R es es el circunradio del triángulo ABC . 21…  Hallar todos los números de la forma 11…1 que tienen un múltiplo de la forma 10…01.   21… Nota : 11...1 tiene todos sus dígitos iguales a 1, y 10...01 tiene el primer dígito y el último dígito iguales a 1 y todos los demás iguales a 0.   22… Determinar el menor entero positivo A tal que el producto de 999999999 por A tiene todos sus dígitos iguales a 1. 23… El trapecio ABCD, de bases AB y CD y lados no paralelos BC y AD, tiene

. La recta perpendicular a BD que pasa por C y la recta perpendicular a AC que pasa por D se intersecan en un punto sobre el lado AB. Demostrar que:

. 24… Sean ABC un triángulo acutángulo, O un punto interior del triángulo y M un punto sobre el segmento AB. Las circunferencias circunscritas a los triángulos AOM y BOM cortan a los segmentos AC y BC en P y en N, respectivamente. Demostrar que:

25…Encontrar todos los valores enteros estrictamente positivos de k, n y p que satisfacen la

siguiente ecuación: 

.  26… Hallar todos los polinomios P(x) de coeficientes reales tales que:  

,  para todos los números reales x, y, distintos de cero   27… Determinar cuántos son los enteros n>1 tales que n divide a

positivo x.

para todo entero

 

28… Sea A= {1,2,…,2004}. Encontrar el mínimo valor de n de manera que cualquier 

subconjunto de A de n elementos tiene dos elementos distintos a y b tales que múltiplo de 2004.

es un

29… Sea ABCDEF un hexágono convexo tal que los triángulos ACE y BDF tienen sus circunradios iguales. Si R es el valor de esos circunradios y r es el inradio del triángulo ACE, demostrar que

30… Sean a, b y c números reales positivos. Demostrar que

. 31… Determinar todos los pares (a, b) de enteros positivos para los cuales  

es un número entero.

32… Sea l un número real tal que la desigualdad pares (a, b) de números enteros positivos.  

se verifica para infinitos

Demostrar que l ³ 5.   33… Sean a, b y c números reales positivos. Demostrar que 

. 34… Encontrar todas las ternas (x, y, z) de enteros positivos tales que, x

y

3

1+2 +3 =z . Se considera un triángulo ABC con los ángulos A y B agudos. Las bisectrices de los ángulos A y B cortan a BC y AC  en M y N respectivamente. Sean P y Q puntos del lado AB tales que MP es perpendicular a AB y NQ es perpendicular a AB. 35…

Sabiendo que el ángulo C > 2. PCQ, calcular la medida del ángulo C. 36…

Sea n > 1 un entero. Calcular la cantidad de permutaciones (p1, p2,..., pn) de (1, 2,..., n) tales que pi+1 - pi < 1 para todo i, 1 < i < n - 1.

 

37…

2

2

2

Sean a, b y c enteros positivos tales que a + b + 1 = c .

Demostrar que [a / 2] + [c / 2] es par. 2

38…

2

2

Sea n > 2 un entero. Para cada n-upla (x 1, x2,..., xn) tal que x1 + x2 +... + xn = 1 llamamos m = min { | xi - x j | : 1 < i < j < n}. Calcular el mayor valor posible de m. 2

2

2

Sean a y b enteros positivos tales que el número b + (b + l) +... + (b + a) - 3 es múltiple de 5 y a + b es impar. 39…

Calcular el dígito de las unidades del número a + b escrito en notación decirnal. 2

Sea (x) = ax + bx + c una función cuadrática con coeficientes reales (a distinto de 0) tal que la ecuación ((x)) = x tiene cuatro raíces reales distintas. 40…

Demostrar que no existe ninguna función f : R --> R tal que f (f (x)) = (x) para todo x real. 6

41…

Hallar todos los enteros n, n > 1, tales que cada divisor primo de n - 1 es divisor 3 2 de n - 1 o de n - 1 42…

A cada número entero positivo n se le asocia un entero no negativo f(n), de modo que se cumplen las siguientes condiciones: i.  ii.  iii. 

 f (ab) = f (a) + f (b),  f (n) = 0, si n es primo mayor que 10 y  f (1) (1) < f (243) (243) < f (2) (2) < 10.

Halle f (1998) (1998) sabiendo que es menor que 10. 43… ° °  B se Sea untal cuadrado. En=el90 semiplano por quedecontiene > 45 . Sean Q escoge un ABCD punto P que ^ APC y ^PAC determinado el AC  punto corte deaPC    con AB y H el pie de la altura correspondiente a Q en el triángulo AQC . Demuestre que los puntos P, H y D están alineados.

44…

Sean a, b y c números reales positivos tales que: a + b + c = 1.

Demuestre que:

.

 

45…

Dado un entero n no negativos tales que

2, considere todas las sucesiones x1, x2,..., xn de números reales

 x1 + 2 x2 + ... + nxn = 1

Hallar el valor máximo y el valor mínimo de 2

2

2

 x1 + x2 + ... + xn ,

y determinar todas las sucesiones x1, x2,..., xn para las cuales se obtienen estos valores. Sea M un subconjunto de {1,2,...,1998} con 1000 elementos. Demostrar que siempre es posible encontrar dos elementos a y b en M , no necesariamente distintos, tales que a + b es una potencia de 2. 46…

47…

Demostrar que existe un único conjunto no vacío S de enteros con las siguientes propiedades: 1.  Si 998 x + 999 y  S para algún par de enteros x, y, entonces 998 y + 999 x  2.  Si 1 |c| 998, entonces c S.

48…

S 

Calcular la suma

49…

Hallar todos los enteros positivos n con la siguiente propiedad: existe un polinomio Pn( x  x) de grado n, con coeficientes enteros, tal que Pn(0)=0 y Pn( x  x)=n para n  valores enteros y distintos de  x. 50…

Considerar un prisma, no necesariamente recto, cuya base es un rombo  ABCD con lado AB=5 y diagonal AC =8. =8. Una esfera de radio r es tangente al plano ABCD en C y tangente a las aristas AA1, BB1 y DD1 del prisma. Calcular r . Demostrar que nhay infinitos enteros positivos n tales que la cantidad de divisores positivos que tiene 2 -1 es mayor que n.

51…

52…

Sean x1, x2,..., xn números no negativos n

3 tales que

 x1 + x2 + ... + xn = 1.

Determinar el máximo valor posible de la expresión x1 x2 + x2 x3 +... + xn-1 xn. 53…

Sea N el conjunto de los números enteros positivos. Determinar si existe una función  f : N-->N tal que f ( f   f (n))=2n, para todo n 54…

N.

Sea ABCD un tetraedro regular, P y Q puntos distintos en los planos BCD y ACD  respectivamente.. Demostrar que existe un triángulo cuyos lados miden AP, PQ y QB. respectivamente

 

55…

¿Cuál es el menor múltiplo de 99, cuyos dígitos suman 99 y que empieza y termina con 97? 56…

Las circunferencias c1 y c2 son tangentes interiormente a la circunferencia c en los puntos A y B, respectivamente, como se ve en la figura. La tangente interior común a c1  y c2 toca a estas circunferencias en P y Q, respectivamente. Demostrar que las rectas AP  y BQ intersecan a la circunferencia c en puntos diametralmente opuestos.

57…

Sea N un entero positivo dado. Demostrar que existen dos pares de enteros ( , ) ( , ) positivos a b y c d  tales que las sumas de los números en ambos pares son iguales ( a  b  c  d )  y el cociente de los productos de los números en ambos pares es igual a

a b  N . Es decir c  d 



 N  .

El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia cir cunferencia de centro O de modo que las diagonales del cuadrilátero no pasan por el punto O. El circuncentro del triángulo  AOC pertenece a la recta BD. Demostrar que el circuncentro del triángulo BOD  pertenece a la recta AC . 58…

En un triángulo ABC las alturas AA’ y BB’ se cortan en H . Sea X el punto medio del lado AB e Y el punto medio de CH . Demostrar que las rectas  XY y A’B’ son perpendiculares. 59…

Decidir si existe un polinomio cuadrático f ( x  x) tal que f ( x  x)0 tenga exactamente 2 raíces reales distintas, f (  f  f (  xx)) ))0 tenga exactamente 4 raíces reales distintas, f ( f   f ( f   f ( x  x))) ))) 0 tenga exactamente 8 raíces reales distintas, etc., es decir, tal que para todo entero f (... f (  xx)...)) 0 tenga exactamente 2n raíces reales distintas (los positivo n la ecuación f (  f  (...  f  )...)) puntos suspensivos indican que hay n letras f )).. 60…

3

61…

3

Hallar todos los pares (  xx  y ,y) de enteros positivos tales que tanto x + y como x+ y   2 2 son divisibles por x + y . 62…

Sean a y b dos números naturales tales que mcm (a, a + 5) = mcm (b, b + 5). 

Demostrar que a = b. 

 

63…

Decidir si existen números naturales a, b, c tales que mcm (a, b) = mcm (a + c, b

+ c).  64…

Hay nueve números escritos en una tabla: a1 

a2 

a3 

b1 

b2 

b3 

c1 

c2 

c3 

Se sabe que los seis números que se obtienen al sumar cada fila y cada columna de la tabla son iguales, es decir: a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 

Demostrar que la suma de los productos de los números de las filas es igual a la l a suma de los productos de los números n úmeros de las columnas, es decir: a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3 = a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3. 

2

2

Se da la función , donde los trinomios x + ax + b y x + cx + d  no tienen raíces comunes. Demostrar que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes (es decir, demostrar que (i)  (ii) y que (ii)  (i)). 65…

 x); (i) existe un intervalo de la recta numérica que no contiene ningún valor de f ( x  x) se puede representar de la forma (ii) f ( x  x))...))  f n ( x f n-1 ( f  f 2 (...  f   f (  xx) = f 1 (  f 

2  f 1, f 2, ..., f n-1, f n es igual a   xx +  , con  ,  reales, o es igual a 1 /  x  x, donde cada . o es igual a xfunción

66…

Sea ABCD un paralelogramo y O el punto de intersección de sus diagonales AC y BD. Se considera el punto M del lado AB o de su prolongación tal que ^MAD=^AMO ^MAD=^AMO.. Demostrar que MD=MC. 67…

La sucesión xn está definida por las siguientes si guientes condiciones: condiciones:

Demostrar que hay un término de esta sucesión que es igual a 0. Hallar el subíndice de dicho término.

 

68…

Sea M el punto medio del lado BC del triángulo ABC . Construir la recta l paralela a BC y que intersecta al triángulo de modo tal que el segmento de l comprendido entre los lados AC y AB es hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo tercer vértice es M . Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B. Una recta tangente común toca la primera circunferencia en el punto C y la segunda en el punto D. El punto B está más próximo a la recta CD que al punto A. La recta CB intersecta nuevamente a la segunda circunferencia circunferencia en el punto E . Demostrar que AD es bisectriz del ángulo CAE . 69…

70.,. Sean CM y BN medianas del triángulo ABC . Se eligen puntos P y Q en los lados  AB y AC , respectivamente, tales que la bisectriz del ángulo C del triángulo ABC sea también bisectriz del ángulo NBQ. Si al hacer esto resulta que AP= AQ, ¿puede deducirse que ABC es isósceles? 71…Demostrar la

desigualdad:

reales  x , y tales y  tales que x  que  x + + y  y es es un número irracional y los 72… Demostrar que existen números reales x  dos números

 x

2



y

2

,

 x 3  y 3

son ambos racionales. 

3  p  4 p  9 es un cuadrado 73... Hallar todos los números primos positivos p positivos p tales que

perfecto.

Escribimos el desarrollo decimal de las fracciones de ellas tiene el período más largo?  74…

75… Se

¿Cuál

tienen tres circunferencias en el plano, cada una tangente exteriormente a las

otras dos. Dos de las circunferencias son adecada radio 3 ydelalas otra, radio 2. Una cuarta el circunferencia es tangente exteriormente una tresdeanteriores. Determinar radio de esta cuarta circunferencia. 76… Se

tienen 4 esferas en el espacio, cada una tangente exteriormente con las otras 3. Dos de las esferas son de radio 3 y las otras dos, de radio 2. Una quinta esfera es tangente exteriormente a cada una de las cuatro anteriores. Determinar el radio de esta quinta esfera. 77…

Sea ABC un triángulo rectángulo en A y M , N puntos del lado BC tales que  BM  MN CN . Si AM 3 y AN 2, calcular la medida de MN . 78… Hallar todos los pares de enteros positivos distintos a y b que tienen la misma cantidad

de dígitos y el número que se obtiene al escribir b a continuación de a es divisible por el número que se obtiene al escribir a a continuación de b.

 

De un rectángulo PQRS se ha recortado un rombo  ABCD de diagonales AC y y  BD. . Hallar el mínimo valor posible del área del rectángulo PQRS. 79…

Hallar el mayor entero positivo n para el que n! se puede expresar como producto de n3 3 enteros positivos consecutivos. consecutivos.

80…

En una semicircunferencia de diámetro  AD=3 se marcan los puntos  B y C tales  AB  BC   AB  BC  que y son iguales, con = =1. Hallar la medida del segmento CD.los segmentos 81…

2

Hallar todos los números enteros n tales que (n + 7) / (n + 3) es también un número entero.

82…

83…

Sea n la suma de todas las potencias de 19, desde 19 hasta 19 2

3

n = 19 + 19 + 19 +... + 19

2001

2001

:

 

Hallar el resto de la división de n por 7620. 84…

Sean ABCD un rectángulo, M el punto medio del lado BC y P, Q puntos del lado  AB tales que